THEOEIE
TRANSFORMATIONSGRUPPEN
DR1TTER UND LETZTER ABSCITNITT
ХШТЕК MITWIRKUNG
VON
Prof. Dr. FllIEDRIOH BNGEL
13ЕА1ШШТКТ
VON
SOPHUS LIE,
PHOFESSOR DFIl GF.rVMETlllE AN 3>KR UKlVERStTAT LF.tPZKr
LEIPZIG
DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER
1893

Софус Ли
Теория групп преобразований
Часть 3
При содействии Фридриха Энгеля
Перевод с немецкого
Л. А. Фрай
Под редакцией
А. В. Болсинова

Предисловие
Предлагаемая читателю третья часть является заключительной частью
книги. Она разбита на шесть разделов, и прежде всего хотелось бы вкратце
рассказать об их содержании.
В первом разделе будут описаны и классифицированы все конечные
непрерывные группы, действующие на прямой и на плоскости, а также
все проективные группы прямой и плоскости, и наконец, все линейные
однородные группы от трех переменных.
Во втором разделе будут полностью описаны конечные непрерывные
примитивные группы пространства R^. Из импримитивных групп будут
описаны все те, для которых остается инвариантным некоторое семейство
из оо1 поверхностей, не распадающееся на инвариантное семейство из оо2
кривых, а также все те, для которых остается инвариантным некоторое
семейство из оо2 кривых, из которых нельзя сгруппировать инвариантное
семейство из оо1 поверхностей. Наконец, будут вкратце описаны все
прочие импримитивные группы пространства i?3- Хотя еще в 1878 году я уже
произвел все вычисления, необходимые для описания этих групп, мне все
же до сих пор не удалось так наглядно упорядочить эти вычисления, чтобы
считать их полную публикацию целесообразной.
В третьем разделе содержится описание всех примитивных
проективных групп пространства Rs, кроме того, в нем будет в основном завершено
описание всех импримитивных проективных групп пространства Rs, разве
что отдельные вычисления будут выполнены не до конца. Особо я упомяну
еще следующие исследования из данного раздела: это задание всех кривых
и плоскостей пространства Rs, допускающих проективные группы с
более чем двумя параметрами, и описание всех типов подгрупп проективной
группы конического сечения и проективной группы поверхности второго
порядка.
При помощи описания всех подгрупп двух последних из названных
групп, очевидно, решается задача задания всех подгрупп группы
евклидовых и группы неевклидовых движений в i?3. Как известно, еще в 1868 году
Камиль Жордан (см. Ann. di mat., сер. 2, том 2, стр. 167 и ниже) описал

все действительные непрерывные и разрывные подгруппы группы
евклидовых движений пространства Дз. Но он при этом пользуется совершенно
другим методом, и во всяком случае, у него не встречаются ни символ
Xf, ни уравнения (XiXk) = SciksXsf. Описание всех непрерывных групп
евклидовых и неевклидовых движений пространства Дз было впервые
выполнено мной.
Более того, задав все проективные группы пространства Дз? мы
также решим задачу описания всех типов подгрупп конформной группы
пространства Дз- Эта связь будет явно использоваться даже при описании
всех проективных групп пространства Д4, оставляющих некоторую
прямую инвариантной, а именно, будет использовано то обстоятельство, что
проективная группа прямой пространства Дз является равносоставленной
с группой евклидовых движений и преобразований подобия пространства
Д4. Подобные утверждения можно найти у меня уже в 1871 г. (Ges. d. Wiss.
zu Christiania и Math. Ann., том 5).
Наконец, одновременно с этим описаны все подгруппы наибольшей
группы контактных преобразований пространства Дз, при которой линии
кривизны переходят снова в линии кривизны. Я вынужден подчеркнуть,
что начало этих важных исследований в области теории групп также
датируется 1870-71 годами. А в 1872 г. публикуется краткое изложение моей
теории инвариантов контактных преобразований, в которой приводятся все
основные результаты (Ges. d. Wiss. zu Christiania, 1872 г.).
Подобные описания групп, проведенные в упомянутых трех первых
разделах, уже сами по себе имеют большое значение, поскольку как
часто нам нужны все группы или все проективные группы пространства,
обладающие определенными свойствами, и как удобно в этом случае иметь
возможность просто указать те группы, которые нам нужны! Но эти
исследования послужат здесь еще и для того, чтобы применить и объяснить на
многочисленных примерах общие теории из части I. Однако при
выбранном здесь виде изложения нам часто приходится отказываться от вывода
отдельных результатов при помощи наиболее элементарных
вспомогательных средств; в планы данного произведения не входит переход от частного
к общему, напротив, мы будем выводить как можно больше частного из
общего.
Кроме того, здесь, как и во многих других частях книги,
исключительный геометрический интерес представляют в целом чисто аналитические
рассуждения. Вообще я надеюсь, что значение моей теории групп будет

неуклонно возрастать, что она окажется плодотворной для многих
областей математики и в той или иной степени изменит их образ. Прежде всего
я имею в виду геометрию, теорию дифференциальных уравнений,
механику и, наконец, обычную теорию инвариантов Кэли.
Принципы механики имеют теоретико-групповую природу, а теории
интегрирования в механике являются одной из прекраснейших
иллюстраций для моих теорий. Кинематика и ее утверждения частично подпадают
в качестве совершенно специальных случаев под мои общие утверждения.
Мои исследования по геодезическим кривым и общей проблеме
эквивалентности в теории дифференциальных уравнений указывают на
принципы, следуя которым можно успешно заниматься механикой. Математики,
уже внесшие вклад в эту область, а именно Пенлеве, Штауде и Ште-
КЕЛЬ, несомненно придут к замечательным результатам, если глубже
вникнут в мои общие теории. Даже в оптике и в математической физике вообще
мои идеи будут плодотворными.
Обычная теория инвариантов, развитая Кэли, как я полагаю, сведется
благодаря моим теориям к более простым и общим принципам и в то же
время будет расширена на произвольные группы. Я называю здесь только
мои вышеупомянутые исследования о кривых и поверхностях
пространства i?3, допускающих инфинитезимальные проективные преобразования.
Эти исследования, предполагающие вообще много различных приложений,
представляют особый интерес для обычной теории инвариантов.
Различают общие и специальные — мы говорим сингулярные —
формы. Форма n-го порядка а™ от т переменных сингулярна тогда и только
тогда, когда многообразие пространства Rm-i задаваемое уравнением а™ —
— О, допускает некоторое инфинитезимальное проективное преобразование
пространства Rm-i или, что тоже самое, если форма а™ сама допускает
некоторе линейное однородное инфинитезимальное преобразование.
Непонятно, почему разработчики теории инвариантов давным-давно не описали
хотя бы все сингулярные кватернарные формы, поскольку теория
инвариантов этих форм все же другая, нежели теория инвариантов общих кватер-
нарных форм. Возможно, это связано с тем, что эти теоретики как чистые
алгебраисты имели некоторое опасение перед трансцендентностью.
Этому пробелу в теории форм * соответствует совершенно
аналогичный пробел в теории кривизны. В последней вопрос об условиях конгру-
* Удивительным образом этот пробел зачастую совсем не ощущается. Так, если г-н Мау-
рер утверждает (Munchn. Ber., 1888 г., стр. 104), что г-н Кристофель строго доказал, что для
эквивалентности двух алгебраических форм посредством линейной замены равенство их абсо-

энтности мнимых поверхностей и кривых вообще еще не рассматривался,
например, для кривых нулевой длины в обычном пространстве даже не
разработаны понятия, которые должны были бы вводиться вместо
становящихся иллюзорными кривизн. Все это убедительно говорит о том,
насколько неполными являются прежние теории инвариантов и кривизны с точки
зрения теории групп.
После такого отступления я возвращаюсь к дальнейшему изложению
содержания.
Четвертый раздел рассматривает ряд особо важных категорий групп.
Например, в первой главе этого раздела описаны все группы от
наименьшего числа переменных, являющиеся равносоставленными с общей
проективной или с общей линейной или же со специальной линейной группой
пространства Rn. Во второй главе исследуются примитивные проективные
группы пространства Rn, являющиеся обобщениями примитивных
проективных групп пространства Дз, и будет показано, что ни одна из этих групп
не может быть переведена снова в проективную группу посредством
некоторого непроективного точечного преобразования пространства Rn.
Еще в первой части были заданы все конечные непрерывные
группы пространства Rn, обладающие наибольшей транзитивностью в
бесконечно малом, и на этом основывается описание всех конечных
непрерывных групп пространства Rn, имеющих максимально возможную
транзитивность в конечном. Приведенный там результат является верным, но он
выводится из утверждения, доказанного относительно первых из
вышеуказанных групп при помощи предельного перехода, оправданность которого
вовсе не является заведомо очевидной. Поэтому отчасти важность этих
результатов, и отчасти необходимость систематичности подтолкнули нас к
тому, чтобы дать новое обоснование этих утверждений, и в то же время
мы смогли вывести другие важные утверждения. Этому посвящена третья
глава раздела.
В четвертой и пятой главах речь идет о непрерывных группах,
действующих в Rn (n > 2), для которых дифференциальное уравнение второго
порядка вида
п
У^ /«/(si • • • хп) dxi dxy = О
i,is=l
лютных инвариантов является как необходимым, так и достаточным, то следует отметить, что
г-н Кристофель явно ограничивается в своем доказательстве формами общих положений.

остается инвариантным и кроме того в некотором смысле имеет место
наибольшая свободная подвижность в бесконечно малом. Специальный случай
этой задачи уже был рассмотрен РИМАНОМ, поскольку РИМАН по сути
ищет все такие группы, для которых не только такое уравнение, но и сама
квадратичная форма Ejivdxidxv остается инвариантной. Рим АН находит
группу евклидовых и группу неевклидовых движений Rn, я кроме того
нахожу группу преобразований подобия и группу взаимных радиусов. Эти
мои исследования, впервые опубликованные в 1885 г., идут таким
образом существенно дальше исследований Рим А НА, и в то же время дают
новое обоснование приведенных без доказательств результатов Римана,
правильность которых была впервые подтверждена Кристофелем и
Липшицем. Господин Киллинг, знакомый с моей вышеупомянутой работой
1885 г., счел возможным воспроизвести мое решение этой задачи без
существенных изменений.
В последней главе этого раздела вкратце говорится о том, какой вид
принимают понятия теории групп для вещественных аналитических групп,
и как общие утверждения этой теории распространяются на вещественные
неаналитические группы. В теории вещественных неаналитических групп
главенствует утверждение о том, что всякая транзитивная вещественная
неаналитическая группа, для которой существует определенное число
производных, переводима посредством вещественного преобразования в
некоторую вещественную аналитическую группу. Это утверждение я
опубликовал еще в 1888 г. (Leipz. Вег., 1888 г., стр. 17), а позднее (там же, 1890 г., стр.
360 и ниже) обрисовал средства, при помощи которых можно его доказать.
Еще я хочу упомянуть, что в рассматриваемой главе показано, какой вид
принимает теория групп, оставляющих инвариантным дифференциальное
уравнение второго порядка, если ограничиться вещественными группами.
Пятый раздел посвящен началам геометрии.
В исследованиях по основаниям геометрии большую роль помимо
ЕВКЛИДА, который всегда будет занимать первое место, играют также имена
Лобачевского и Римана, но прежде всего Римана. Между
Лобачевским и Риманом имеется существенное различие. В то время как
Лобачевский хотел лишь продолжить труды ЕВКЛИДА и в некоторой
степени стать вторым Евклидом, Риман предложил совершенно другой путь,
рассмотрев пространство как числовое многообразие и применив к нему
все средства анализа.
У Евклида общего понятия числа, а именно, иррационального,
изначально не существует. Его геометрия имеет несколько ступеней, первая

из которых заведомо независима от аксиомы параллельных и от общего
понятия величины.
На этой первой ступени Евклид исходит из таких понятий, как
пространство, поверхность, кривая, точка, прямая, плоскость, и некоторых их
свойств. Далее он постулирует понятие движения и понятия "расстояние"
и "угол", то есть некоторые инварианты движений. Этих понятий и их
свойств достаточно для построения первой ступени его геометрии. Затем
он вводит аксиому параллельных и получает вытекающие из нее следствия.
И наконец, он вводит общее понятие величины, причем следует отметить,
что введение им понятий площади поверхности и длины дуги по сути
основано на некоторых аксиомах.
Последователи Евклида на протяжении столетий пытались усовер-
шествовать его систему, отказавшись от аксиомы параллельных.
Небезынтересны в частности исследования, проведенные в прошлом веке и заново
открытые совсем недавно. Многие математики, например, САККЕРИ (1733),
"открытый" г-ном Бельтрами, и с другой стороны Ламберт в работе,
обнаруженной ШТЕКЕЛЕМ*, поняли, что априори возможны три случая. Если
из двух точек прямой А и В восстановить в одну и ту же сторону
перпендикуляры одинаковой длины АС и BD, то можно выбрать одну из трех
гипотез:
>
CD = АВ.
<
Были сделаны попытки получить следствия из этих трех гипотез. В
частности, Ламберт из первой и третьей гипотез делает вывод о том, что
разность между суммой углов треугольника и двумя прямыми углами пропро-
циональна площади этого треугольника, и подчеркивает, что если
придерживаться первой гипотезы, то для каждого отрезка имелся бы абсолютный
размер, и что тогда не было бы больше никаких подобных фигур. Ламберт
добавляет, что третья гипотеза реализуется на шаре, и даже высказывает
предположение, что первый случай имеет место на мнимой сфере.
Хотя согласно этому Ламберт по сути уже располагал римановой
геометрией на плоскости*, он приходит в конце концов благодаря
исследованиям, неполноту которых понял еще Гинденбург, к выводу о том, что
допустима лишь гипотеза CD = АВ.
*Leipziger Magazin fur reine und angewandte Mathematik, том I, 1786 г. Работа Ламберта,
опубликованная после его смерти Бернулли, датируется 1766 г.
*Тем самым прояснилось сделанное на стр. 394 замечание, написанное до того, как мы
ознакомились с работой Ламберта.

Лобачевский был по-видимому первым, кто смело заявил, что
гипотеза CD > АВ ведет к разумной, замкнутой в себе геометрии,
причем не только на плоскости, но и в обычном пространстве. Однако дал
ли Лобачевский безошибочное доказательство этого утверждения, я не
берусь судить, для этого я недостаточно хорошо знаком с
исследованиями Лобачевского, поскольку они были лишь частично опубликованы на
немецком или французском языке. В любом случае, его неевклидова
геометрия является верной, это показали более поздние исследования Рима-
на и Бельтрами, из которых следует, что геометрия на плоскости
Лобачевского реализуется на определенных многообразиях евклидова
пространства.
Рим АН рассматривает пространство как числовое многообразие (что
Грассман, кстати, уже по сути сделал в 1844 г.), но кроме этого он
предполагает известными все средства анализа. Он рассматривает, пусть и неявно,
преобразования этого многообразия и требует, чтобы при этих
преобразованиях некоторая постоянная положительная квадратичная форма
дифференциалов оставалась инвариантной. Исходя из этих (правда, нечетко
сформулированных) аксиом он приходит к понятию геодезической линии, и при
помощи совершенно гениального приложения теории кривизны ГАУССА —
к трем различным геометриям: 1) евклидовой, 2) той, что обычно называют
геометрией Лобачевского и 3) той, которая получила название римано-
вой геометрии.
Гениальный результат Рим АН А представлен лишь как довольно
краткий набросок и является в таком виде не только неполным, но имеет и
другие недостатки. Но в любом случае он показал, что для п > 1
всегда существуют n-мерные многообразия, которые в смысле РИМАНА
имеют постоянную кривизну, принимающую произвольное положительное или
отрицательное значение. Он также заметил, что существование п-мерных
многообразий с постоянной положительной римановой кривизной заведомо
обеспечивается посредством шара (п + 1)-мерного евклидова пространства.
Простую модель многообразия с постоянной отрицательной
РИМАНОВОЙ кривизной дал г-н БЕЛЬТРАМИ, показав, что при п = 3 такое
многообразие может быть отображено на внутренность некоторой вещественой
непрямолинейной поверхности второго порядка в R^.B этой связи я кроме
того напомню еще о проективном измерении величин, предложенном Кэ-
ЛИ. Насколько я понимаю, заслуга связанных с этим исследований г-на Ф.
Клейна в области неевклидовой геометрии заключается главным образом
в том, что в них популяризуются результаты его предшественников. Клейн

использует при этом введенные мною понятия инфинитезимального
преобразования и однопараметрической группы.
Риман рассматривает, пусть и неявно, движения пространства как
преобразования, образующие некоторую группу, и пытается, если можно
так выразиться, характеризовать эту группу при помощи простых свойств.
Господин ФОН ГЕЛЬМГОЛЬЦ попробовал пойти дальше в этом
направлении, но нельзя сказать, что эта попытка, несомненно представляющая
большой интерес, была успешной, поскольку его математические рассуждения
основаны на неверных предположениях. Если не ошибаюсь, мне удалось
полностью решить задачу, которую поставил Риман и пытался решить Ф.
ГЕЛЬМГОЛЬЦ. Подробнее с этим можно будет ознакомиться в главах 21, 22
и 23.
В исследованиях по основаниям геометрии, проведенных Ф. ГЕЛЬМ-
гольцем, де Тилли, Ф. Клейном, Линдеманом и Киллингом,
имеется ряд грубых ошибок, которые в конечном счете исходят из того, что
авторы этих исследований либо совсем не располагали знаниями в
области теории групп, либо эти знания были очень недостаточными. Поскольку
эти ошибки зачастую являются весьма поучительными, то в разделе об
основаниях геометрии мы их подробно разберем. В частности, что касается
г-на Линдемана, ср. еще конец §146. Во всех этих работах отмечается
недостаток точности высказываний, что, разумеется, сильно затрудняет их
оценку.
Шестой и последний раздел содержит ряд крайне важных общих
исследований о конечных непрерывных группах.
Глава 25 посвящена фундаментальным теоремам теории групп. При
этом преследуется цель, четче раскрыть мысли, лежащие в основе этих
утверждений и их доказательств. Кроме того, будут сформулированы
аналогичные общие утверждения, способные пролить новый свет на основные
понятия и теоремы. При этом также предпринят заход с другой стороны,
для того чтобы дать новое и более простое обоснование моих
фундаментальных теорем. Я не могу признать, что г-н Шур дал действительно более
простое обоснование моих фундаментальных теорем. Сверх того, что г-н
Шур по сравнению со мной изначально стоит на гораздо более
специальной точке зрения, те упрощения, которых он, очевидно, в некоторых местах
достигает, обусловлены тем, что он доказывает лишь некоторые части
соответствующих теорем; таким образом, конечно же, почти всегда можно
достичь сокращения доказательств. При этом я ни в коем случае не наме-

рен отрицать, что и эти исследования г-на Шура имеют свое значение, не
говоря уже о том, что г-н Шур также получил действительно новые
результаты, которые здесь вообще не обсуждаются. Во всех работах Шура
по теории групп обнаруживаются ответственность и серьезность, качества,
которые к сожалению, отсутствуют в очень многих работах с большими
претензиями.
В главе 26 показано, как можно привести r-параметрическую группу
с известными конечными уравнениями к каноническому виду,
задаваемому инфинитезимальными преобразованиями этой группы; оказывается, что
для этого при интегрировании необходимы лишь квадратуры.
В главе 27 будет вновь рассмотрена задача описания г-параметрических
групп с заданной структурой, изложенная в первой части книги, и дано
более полное решение этой задачи. Будет показано, что интегрирования,
необходимые согласно части I для решения этой задачи, в самом
неблагоприятном случае сводятся к квадратурам.
В главе 28 речь пойдет о теории структур. Эта крайне важная теория
собственно является отправной точкой для моих общих исследований о
конечных непрерывных группах, и по теории структур я также получил много
важных результатов, которые, кстати, чрезвычайно важны для приложений
теории групп. Эти результаты будут практически полностью изложены в
главе 28. О результатах, достигнутых в последнее время с другой
стороны и идущих существенно дальше, будет довольно подробно рассказано в
заключительной главе.
Мои исследования о группах преобразований были закончены еще в
1884 г. и позднее дополнены лишь в деталях.
Начиная с 1884 г. было проведено также несколько исследований
по теории групп с другой стороны. Многие из этих работ имеют чисто
теоретико-групповой характер, причем если они касались конечных
непрерывных групп, то проведены эти исследования были в основном немецкими
учеными. Здесь я назову следующие имена: Энгель, Киллинг, Штуди,
Шур, Шефферс, Маурер, а также Пейдж (американец), Вернер, Ум-
лауф и Кноте, а из французов де Танненберг, Тресс и Картан. Эти
работы мы кратко обсудим в 29 главе. Другие работы Энгеля и Зоравски
с одной стороны и ПиКАРА и Тресса с другой посвящены бесконечным
непрерывным группам и поэтому не будут в данном труде подробно
обсуждаться.

В других, отчасти тоже исключительно важных работах, теория
конечных непрерывных групп применяется к дифференциальным уравнениям.
Здесь на первом месте будут стоять ПИКАР и ВЕССИО, затем АППЕЛЬ, Пе-
НЛЕВЕ и многие другие французы. Но все эти работы, так же как и те, что
были упомянуты выше относительно конечных групп, мы сможем
осветить лишь в отдельном произведении, посвященном дифференциальным
инвариантам, бесконечным группам и теории интегрирования, которое я
намереваюсь написать при поддержке Энгеля.
Еще меньше внимания, разумеется, можно уделить многочисленным,
но как правило тривиальным работам, в которых с 1885 г. после задела,
произведенного СИЛЬВЕСТРОМ, были выписаны дифференциальные
инварианты для нескольких специальных групп.
Завершает данный труд предметный указатель ко всем трем частям,
составленный профессором ЭнГЕЛЕМ.
Сентябрь 1893 г.
Софус Ли

Часть третья и последняя

Раздел I
Конечные непрерывные группы прямой
и плоскости
Настоящий раздел посвящен нахождению всех конечных непрерывных
групп точечных преобразований прямой и плоскости (главы 1, 3, 4). Кроме
того, в нем будут заданы все проективные группы прямой и плоскости
(глава 2, §4 и глава 5), и в заключение этих исследований будут описаны
все линейные однородные группы от двух и трех переменных (глава 2, §5
и глава 6). Следует также упомянуть, что в главе 4, §19 мы пользуемся
результатами глав 3, 4 и главы 23 из тома II для нахождения всех конечных
непрерывных групп контактных преобразований плоскости.
Описав таким образом в общих чертах результаты первого раздела,
сделаем несколько замечаний относительно вида полученных групп.
Оказывается, что все конечные непрерывные группы прямой подобны
проективным группам. В случае плоскости, правда, это уже неверно. Однако,
инфинитезимальные преобразования любой конечной непрерывной группы
плоскости могут быть приведены к очень простому виду, в котором, если
группа транзитивна, наряду с целыми рациональными функциями могут
встречаться экспоненциальные функции, а в случае интранзитивной
группы — произвольные функции. Эти важные результаты относительно того,
как выглядят группы на прямой и в плоскости, были уже опубликованы
Софусом Ли в 1874 году в Gott. Nachr., N22.

Глава 1
Нахождение всех конечных
непрерывных групп преобразований
одномерного многообразия
Прежде всего мы разовьем два различных метода, с помощью которых
без труда найдем все группы преобразований одномерного многообразия.
Затем мы покажем, что эти группы могут также быть получены
практически непосредственно из результатов главы 29 первого тома.
§1
Каждая r-параметрическая группа одномерного многообразия х
записывается в виде уравнения
х = /(х, а\ • • • аг)
с г параметрами а\... аг. Она порождается г независимыми инфинитези-
мальными преобразованиями:
*i/=Ci(x)£'"'Xr/=^r(x)£'
которые попарно удовлетворяют соотношениям вида
{XiXk) = (*fr -&ir) fx = !>•*•/•
4 ' 5 = 1
Общее инфинитезимальное преобразование нашей группы имеет вид

где е\ • • • ег — произвольные константы. Поскольку X\f • • • Xrf являются
независимыми инфинитезимальными преобразованиями и, следовательно,
£i • • • £г не удовлетворяют никакому линейному соотношению
aif 1 Н Ь ar£r = 0
с постоянными коэффициентами а\... аг, мы видим, что функция
£ = ei^i H h er£r
с г произвольными константами ei... ег является общим решением
некоторого линейного дифференциального уравнения
dr , ч dr~^ d£
+ M^)-^^T+-"+^r-i^+ar(x)..^ = 0,
порядка г, которое, со своей стороны, полностью определяет общее ин-
финитезимальное преобразование нашей группы, а значит, и саму
группу. Таким образом, определяющие уравнения (ср. часть I, глава 11) г-
параметрической группы преобразований одномерного многообразия
состоят из одного линейного обыкновенного дифференциального уравнения
порядка г.
Поместим начало координат в некоторую точку общего положения, и
в окрестности этой точки разложим инфинитезимальные преобразования
нашей группы в ряд по степеням переменной х. Определяющее уравнение
разрешено относительно производной порядка г. Следовательно (часть I,
глава 11, стр. 188 и ниже), наша группа не содержит инфинитезимальных
преобразований порядка г или выше, то есть первый член в разложении
любого из ее инфинитезимальных преобразований в ряд по х всегда имеет
порядок ниже, чем г. Зато мы всегда можем выбрать г независимых
инфинитезимальных преобразований, имеющих порядок 0, 1, ••• , (г — 1)
относительно х:
(Х0/ = (1 + а0х + ...)
Xlf = {x + a1x2 + ...)%
dx
(1)
tXr_i/ = (хг-1+аг_1х'- + •••)£•
Эти г независимых инфинитезимальных преобразований мы, разумеется,
можем использовать вместо исходных X\f... Xrf.

Вспомним теперь, что коммутирование двух инфинитезимальных
преобразований порядков г и к соответственно дает инфинитезимальное
преобразование порядка (i + k — 1) или выше (часть I, стр. 193, теорема 30). В
нашем случае мы имеем
(С*-)|.(х' + ...)|)-((*-вх«-' + ...)|. (2,
Очевидно, что член порядка (г + к — 1) в правой части этого равенства
при различных ink никогда не обращается в нуль. Мы уже знаем, что
наша r-параметрическая группа не содержит инфинитезимальных
преобразований порядка г или выше, откуда мы заключаем, что в нашем случае
числа г, /с и г + /с — 1 всегда должны быть меньше, чем г. Если г принимает
наибольшее возможное значение: г = г — 1, a fc ^ г принимает наибольшее
их оставшихся возможных значений: к = г — 2, то мы получаем следующее
условие на число параметров в нашей группе:
r-l + r-2-l<r,
то есть г < 4.
Таким образом, всякая конечная непрерывная группа одномерного
многообразия содерэюит не более трех параметров .
Рассмотрим теперь по порядку все три возможных случая: г = 1,2,3.
Если г = 1, то группа содержит всего одно инфинитезимальное
преобразование вида
Введем новую переменную
х dx
(Это можно сделать, поскольку Х\ разлагается в степенной ряд по х,
который обращается в нуль при х — 0, и точно так же х записывается в виде
степенного ряда по xi, обращающегося в нуль при х\ = 0.) При этом Xof
принимает вид
ах\
Xi =
Jo

Это инфинитезимальное преобразование порождает однопараметрическую
группу, конечные преобразования которой имеют вид: х[ = х\ +а; это есть
группа всех трансляций одномерного многообразия Х\.
В случае г = 2 мы имеем два инфинитезимальных преобразования
xo/=(i+'")£' Xi/=(x+'")£'
коммутируя которые, мы получаем
(Х0Х1) = (1 + •••)£•
Таким образом, выполняется соотношение вида
(X0X1) = X0f + X-X1f
или, если в качестве нового Xof взять Xq/ + AXi/,
(X0X1) = X0f. (3)
Как и в первом случае, введем новую переменную xi так, чтобы
преобразование Xof приняло вид ^-. Тогда X\f = £ij£-, и из соотношения (3)
следует, что
-— = 1, £i = xi + Const.,
axi
где, впрочем, постоянная интегрирования равна нулю, потому что
инфинитезимальное преобразование X\f и при новой переменной х\ должно
иметь порядок 1 (часть I, стр. 197, утверждение 1).
Инфинитезимальные преобразования
Xof = -,—, X\f — x\-—
ахi dx\
порождают двупараметрическую группу с конечными преобразованиями
вида х[ = а\Х\ + а^\ это есть не что иное, как общая линейная группа
одномерного многообразия.
Если, наконец, г = 3, то группа содержит три инфинитезимальных
преобразования вида
ад_(1 + ...)|, *,/-<* + ->|. *,/_<*, + ...)§.

Имеют место следующие соотношения:
Положим
Тогда
(ХМ = X0f + XiXyf + X2X2f,
(X0X2) = 2X1f + fiX2f,
(Х,Х2) = X2f.
X0f = X0f + aiXif + a2X2.
(XoXi) = X0f + (X1-a1)X1f + (X2X-2a2)X2f,
(X0X2) = 2X1f + (a1+n)X2f,
Полагая a\ = X\ и 2a2 = X2, мы получаем
(XoXi) = Xo/, (X0X2) = 2X1f(X1 + fi)X2f.
Из тождества Якоби
((X0Xi)X2) + ((X1X2)Xo) + (№X0)Xi) = 0
следует, что
(X0X2) + (X2X0) + (Ai + fi)X2f = 0,
откуда Ai + /x = 0 и
(X0Xl) = X0l (X0X2) = 2XU (X1X2) = X2. (4)
Ясно, что инфинитезимальные преобразования X^f и X\j сами
порождают двупараметрическую группу Эту группу мы уже рассматривали и
знаем, что при подходящем выборе переменной х она принимает вид:
XoJ = -j-, Xif = х—.
ах ах
При этом Л"г/ принимает некоторый новый вид £2^5, где функция £2
вследствие (4) должна удовлетворять уравнениям
— = 2х, Х- ^2 = ^2
ах ах

и, следовательно, равна х2. Таким образом, мы имеем
Л0/ = -7-, Ai/ = X —, Л 2/ = ^ —.
ax ax ax
Конечные преобразования трехпараметрической группы, порожденной
этими инфинитезимальными преобразованиями, имеют вид:
, а\ + а2х
1 +а3х
это есть не что иное, как общая проективная группа одномерного
многообразия.
Итак, мы получаем следующую важную теорему.
Теорема 1. * Всякая конечная непрерывная группа одномерного
многообразия имеет не более трех параметров и подобна либо однопарамет-
рической группе всех трансляций
xf = х + a,
либо двупараметрической общей линейной группе
х1 — а\ + агх,
либо, наконец, трехпараметрической общей проективной группе
, а\ + а2Х
х = .
1 + азх '
Как мы знаем, каждая двупараметрическая группа одномерного
многообразия приводится к виду
#, Л (5)
dx' dx
Отсюда можно сделать вывод, что два независимых инфинитезимальных
преобразования
dx' dx
*Ли, Gott. Nachr., декабрь 1874 г., и Math. Ann., том 16; во второй работе используется тот
же метод, что и в настоящем тексте.

одномерного многообразия никогда не могут быть перестановочными;
действительно, в противном случае они бы порождали двухпараметрическую
группу, которая бы не была подобна группе (5), так как эти две группы
имели бы различную структуру. Кроме того, из условия перестановочности
немедленно следует, что £i и £2 отличаются лишь на постоянный
множитель, а следовательно, X\f и X^j', если они перестановочны, не могут быть
независимыми. Итак, мы получили следующий результат:
Утверждение 1. Два независимых инфинитезимальных
преобразования одномерного многообразия всегда неперестановочны.
Отметим, что группы одномерного многообразия все без исключения
транзитивны. Более того, они примитивны.
§2
В начале предыдущего параграфа мы показали, что каждой г-параме-
трической группе одномерного многообразия соответствует некоторое
линейное обыкновенное дифференциальное уравнение порядка г:
которое полностью определяет эту группу. Оно называется определяющим
уравнением группы. Таким образом, все группы одномерного многообразия
можно найти, отыскав соответствующие определяющие уравнения. Этим
мы сейчас и займемся*.
В соответствии с теоремой 28, том I, стр. 187, для того, чтобы линейное
дифференциальное уравнение
£<г> + а^х)^-^ + • • • + ar-i(*)£' + аг(х)£ = 0 (6)
порядка г было определяющим для некоторой r-параметрической группы,
необходимо и достаточно, чтобы для любых двух решений £(х) и г)(х)
уравнения (6) функция £т/ — %'rj также была решением.
* Ли воспользовался этим способом нахождения всех групп на прямой еще в 70-х годах или,
во всяком случае, в 1882 году. Тогда он занимался приведением дифференциального уравнения
€'"+2а£'+а'€ = 0 к виду £;// = 0. Из его общей теории интегрирования немедленно следует,
что для этого должно иметь место некоторое уравнение Риккати первого порядка.

Чтобы найти соответствующие условия на функции а\(х)... аг(х),
построим уравнение
dP +ai" d^ + - + «»■(*> -f4) = 0 (7)
и подставим в него производные порядка г и (г + 1) функций £ и 7/,
выраженные через
£, е'-..^-1', г?, г,'...^-1) (8)
с помощью равенства (6) и равенства
7/(г) + ai(x)7/r-1) + • • • + ar_i(x)r/ + аг(х)т/ = 0. (6')
Проделав это, мы получим уравнение вида
ЕЛ^(^(Л)-^¥°)=о (9)
г,/с=0
относительно величин (8), и это уравнение должно выполняться
тождественно, какими бы ни были решения £ и г\ уравнения (6). Отсюда следует,
что (9) выполняется тождественно вообще для всех значений величин (8)
и что поэтому коэффициент при каждом выражении вида fMjf^ — ^M^W
должен равняться нулю.
Прежде всего рассмотрим случаи г = 1 и г = 2.
Если г = 1, то дифференциальное уравнение (б) имеет вид
f' + a(x)f = 0. (10)
Для любых двух решений £(х) и г\(х) этого уравнения выражение £/г) — г/£,
очевидно, тождественно равно нулю и поэтому также является решением
уравнения (10). Отсюда следует, что на функцию а(х) не накладывается
никаких ограничений.
В случае г = 2 уравнение (6) имеет вид
?' + а1(х)? + а2{х)£ = 0. (11)
Мы имеем
d(W - Z'v) ,„ с,, d2(£,j -j'rj) ,„ cHi.cw c"„'
^ =£v - £ *?, ^ =& -S v + tv - £ v,

и уравнение (7) принимает вид
av'" + W + a2rf) - v(C + <*it" + <*20 + i'n" - Z'W = o.
Выражая теперь £", rj", £'", г)'" через £, 77, £', г/', мы получаем
(-ai+Q2)(^'-^) = 0;
это и есть уравнение (9) для нашего случая. Множитель перед £т/ - £'г)
должен равняться нулю, откуда а[ = аг- Следовательно, уравнение (11)
является определяющим уравнением некоторой двупараметрической
группы тогда и только тогда, когда оно имеет вид
На функцию а(х) снова нет никаких ограничений.
Перейдем к случаю г > 2. Легко увидеть, что
d"W ~ Z'V) = (^(m+l) _ £(m+l) ) + (m _ 1)(^(-) _ £<m) ') +
+ m(m~3)(^ym-l) _ ^-1)^) + . . .
— это ряд, имеющий (га + 1)/2 членов, если число m нечетно, и (га + 2)/2
членов, если га четно. Если мы будем учитывать лишь те члены, которые
содержат производные порядка (г — 1) или выше, то уравнение (7) можно
переписать следующим образом:
^(г+1) _ ^(r+1)^ + (r _ 1)(^(r) _ £(ry} + !^3) (^/yr-l) _ ^(r-D^) +
+ ai{^(r) - Z{r)V + (г - 2)(^Vr_1) - £(г_1У)} +
+ a2^T1{r~1)-^r~1)v) + --- = 0.
Воспользуемся соотношениями
f(r)+Ql^(r-l)+... = 0)
£(r+1) + Qi^r> + (a'x + а2)£{г-1] + ■ ■ ■ = 0
и соответствующими соотношениями для г] и получим, что уравнение (9)
имеет вид
+ rT^«'Vp-1,-€(,-V) + - = o>

где опущенные члены содержат лишь производные более низкого
порядка, чем (г — 1). Приравняв к нулю коэффициенты при выражениях вида
^MfjW — ^W^W), мы получаем г (г — 3) = 0 и ot\ = а[ = 0. Таким
образом, единственное возможное значение г, при котором г > 2, это 3, и для
г = 3 наше дифференциальное уравнение (6) должно иметь следующий
вид:
?" + а2(х)? + агШ = 0. (12)
Чтобы найти, каким условиям должны удовлетворять функции а2 и аз,
рассмотрим уравнение
—^з + "2—£ +вз«ч-€ч)=о,
откуда имеем
^(4) _ £(4)т? + 2(еу// _ Cr]l) + а2{^, _ erj) + аз(^, _ ^ = 0
С учетом уравнения (12) и уравнения
£(4) + а2е + К + <*з)£' + <*з£ = 0,
а также соответствующих уравнений для г) мы получаем
(-^ + 2а3)«т?,-$,г/) = 0.
Следовательно, а^ = 2аз, и это — единственное условие на функции а2
и аз-
Положим а2(х) = 2а(х); тогда определяющее уравнение для наиболее
общей трехпараметрической группы одномерного многообразия
записывается в виде
?" + Мх)£' + а'(х)£ = 0.
Итак, найдены все группы одномерного многообразия, и имеет место
следующий факт.
Предложение 1. Определяющее уравнение конечной непрерывной
группы одномерного многообразия всегда имеет один из следующих видов:
Г£' + а(х)£ = 0,
h" + a(x)C + а'(х)£ = 0, (13)
[Г + 2а(х)£' + а'(*)£ = 0;

при этом на функцию а(х) не накладывается никаких ограничений.
Таким образом, мы нашли вообще все группы одномерного
многообразия. Покажем, что каждая из этих групп принадлежит одному из трех
типов, указанных в предыдущем параграфе. Действительно, если положить
а = О, то мы получим следующие три дифференциальных уравнения:
$' = (), $" = 0, £'" = (), (14)
которые доставляют соответственно группы
#. df_ ^Д. df_ хсЦ_ x2d$_
dx' dx dx dx' dx dx
Нам осталось доказать, что уравнения (13) заменой переменной х можно
привести к виду (14).
Чтобы доказать этот факт, предположим, что вместо х введена новая
переменная х\ — F(x), При этом инфинитезимальное преобразование
*' = «*>£
принимает вид
откуда
Далее,
*/ = {Wg = {W.ni,.iL=ft(ll,JL,
S IT/
F"
F" F'F"r -<2F"2
* -Ь\* -4i^p-4i ^з ,
0 npf pin _ о pff2 i p, pin _ су рц2
S =Sl * ~ £ 1 ^72 SI
Adx F'3
где для краткости через £\ мы обозначаем
dx{

Уравнения (13) при этой замене переменных примут следующий вид:
<•♦ (*-£)«+ш*-£)*-*
a F'F'"-lF"2\ 1 d ( a F1 F'" - \F"2\ r _
F'2 F'4 J ^ + F' dx \F>2 F'4 )™~
Для того, чтобы эти уравнения приняли вид (14), нужно в первых двух
случаях вместо F подставить решение дифференциального уравнения
F" = aF',
а в последнем случае — решение уравнения
F'F'" _ 1F»2 = aF'\
2
§з
При нахождении групп одномерного многообразия в предыдущих
параграфах мы почти не пользовались теорией, развитой в первом томе, за
исключением нескольких общих результатов из первых глав. Нельзя не
упомянуть, однако, что все группы одномерного многообразия могут быть
найдены практически непосредственно из результатов главы 29 тома I.
Как было показано в начале первого параграфа, каждая г-параметри-
ческая группа одномерного многообразия в окрестности некоторой точки
х = 0 общего положения содержит одно инфинитезимальное
преобразование нулевого порядка относительно х, по одному инфинитезимальному
преобразованию порядка 1,2 ... (г — 1), но ни одного инфинитезимального
преобразования порядка г или выше.
Рассмотрев случаи г = 1, г = 2 и г > 2 несколько более
подробно, мы сразу же увидим, что они в точности соответствуют трем случаям,
различаемым на странице 625, том I, глава 29, если там положить п = 1.
Действительно, если г = 1, то наша r-параметрическая группа в
окрестности точки х = 0 содержит п = 1 инфинитезимальных преобразований
нулевого порядка, п2 — 1 = 0 первого порядка и ни одного
инфинитезимального преобразования более высокого порядка. Если г = 2, то она
Г+ 2

содержит п — 1 преобразований нулевого порядка, п2 = 1 преобразований
первого порядка, но ни одного преобразования более высокого порядка.
Наконец, при г > 2 она содержит п = 1 преобразований нулевого порядка,
п2 — \ преобразований первого порядка и, кроме того, преобразование
более высокого порядка. Отсюда следует, что содержащийся в главе 29 тома I
результат можно немедленно применить к нашему случаю. При этом мы
получаем утверждение теоремы 1 (стр. 6). В частности, мы можем
заключить, что специальная линейная группа n-мерного пространства при п — 1
превращается в группу всех трансляций одномерного многообразия.

Глава 2
Нахождение всех подгрупп общей
проективной группы прямой и общей
линейной однородной группы плоскости
Знание всех подгрупп обеих указанных в заглавии групп необходимо
для дальнейшего изучения групп плоскости*. Найдя эти подгруппы, мы,
естественно, сможем указать все подгруппы для любой группы, имеющей
ту же структуру, что и одна из упомянутых в заглавии (см. том I, теорема
33, стр. 210).
Из соображений удобства отныне инфинитезимальные преобразования
от одной переменной х мы будем коротко записывать в виде
df
а для инфинитезимальных преобразований от двух переменных х, у мы
будем использовать обозначения
df df
9^=Р' Yy=q-
Подобные обозначения уже использовались ранее (см., например, том I,
стр. 555).
§4
Общая проективная группа одномерного многообразия х является
трехпараметрической. Поэтому в настоящем параграфе мы будем коротко
называть ее группой G3.
* Непрерывные подгруппы общей линейной однородной группы хр, ур, xq, yq от двух
переменных х, у впервые были найдены в Norwegischen Archiv 1878 (см. также Math. Ann.,
Bd. 16); при этом переменные х, у понимались как декартовы координаты в плоскости, а
также как однородные координаты в пучке лучей. Позднее интересные исследования в этой
области были проделаны Стефаносом.

Эта группа содержит оо3 конечных преобразований, которые имеют
вид
, а\Х-\-а2
х = .
азх + 1 *
Она порождается тремя независимыми инфинитезимальными
преобразованиями
Xif = р, X2f = хр, X3f = х2р
(см. глава 1 или том I, стр. 554-555). Таким образом, в общем виде ее
инфинитезимальные преобразования записываются следующим образом:
Xf = (ei + е2х + е3х2)р,
где ei, е2, ез — произвольные константы.
Группа Сз транзитивна, даже трехточечно транзитивна (том I, стр.
631-632), то есть в ней всегда найдется такое преобразование, которое три
произвольно выбранных различных точки многообразия х переводит в
другие три произвольно выбранных точки; бесконечно удаленная точка при
этом не является исключением.
Структура (том I, глава 17) группы G3 задается уравнениями
(X1X2) = X1f, (X1X3) = 2X2f, (X2X3)=X3/, (1)
а ее присоединенная группа (том I, глава 16), следовательно, имеет вид
де\ де2
де\ дез
jp t 0 df df
E3f = 2ei— +e2—.
де2 де3
Поскольку Gs не содержит центральных инфинитезимальных
преобразований, то эта присоединенная группа является трехпараметрической.
Сперва мы определим, какие типы однопараметрических подгрупп
содержатся в группе С?з, или, что равносильно, найдем все имеющиеся в С?з
типы инфинитезимальных преобразований. Для этого мы воспользуемся
методами, развитыми в томе I, стр. 278-287.
Величины ei, е2, ез в записи общего инфинитезимального
преобразования мы будем понимать как однородные координаты точек некоторой

плоскости. Тогда каждое инфинитезимальное преобразование, а
следовательно, и каждая однопараметрическая подгруппа группы Сз,
изображается некоторой точкой этой плоскости. Обратно, каждая точка этой
плоскости изображает некоторое инфинитезимальное преобразование, а значит, и
некоторую однопараметрическую подгруппу группы G^.
Рассмотрим теперь действие присоединенной группы E\f, E2f, Ез/
на точках плоскости ei, е2, 63 и найдем в этой плоскости все минимальные
инвариантные многообразия (см. том I, стр. 225), то есть все такие
инвариантные многообразия, что каждая точка общего положения на любом таком
многообразии под действием нашей присоединенной группы переходит во
все остальные точки общего положения этого многообразия. Каждое такое
минимальное инвариантное многообразие задает некоторый тип инфини-
тезимальных преобразований, а следовательно, и некоторый тип
однопараметрических подгрупп в Сз. Указанным образом мы получим все такие
типы. Действительно, две однопараметрических подгруппы принадлежат
одному и тому же типу, если они сопряжены в Сз, что имеет место тогда и
только тогда, когда точка, изображающая одну из них, под действием
некоторого преобразования из присоединенной группы может быть переведена
в точку, изображающую другую, то есть когда эти две точки принадлежат
одному и тому же минимальному инвариантному многообразию.
Итак, найдем все многообразия плоскости ei, е2, ез, инвариантные
относительно присоединенной группы. Поскольку ei, e2l ез являются
однородными координатами, искомые многообразия задаются однородными
системами уравнений относительно еь 62, ез, то есть системами,
допускающими инфинитезимальное преобразование
9f df д/
oe\ oe2 oes
Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы найти все системы
уравнений от ei, е2, ез, которые инвариантны относительно четырехпара-
метрической группы E\f, Е2/, Ез/, Ef. Проделаем это в соответствии с
теоремой 42, том I, стр. 237. Рассмотрим матрицу
|-е2 -2е3 О
ei 0 -е3|
О 2ei e2
е\ е2 е3
Так как не все ее определители третьего порядка тождественно обращаются
в нуль, мы полагаем все определители третьего порядка равными нулю и
(2)

помимо не имеющей геометрического смысла системы е\ — е2 — ез = О
получаем уравнение
e!-4eie3 = 0, (3)
которое непременно задает многообразие, обладающее требуемым
свойством. Далее, заметим, что при выполнении условия (3) не все
определители второго порядка матрицы (2) обращаются в нуль и что, положив все эти
определители равными нулю, мы получим лишь "непригодную" систему
уравнений е\ — е2 — ез — 0. Таким образом, мы видим, что кроме
конического сечения (3) присоединенная группа не оставляет на месте никакую
другую точечную фигуру в плоскости ei, е2, ез-
Итак, найдены все типы однопараметрических подгрупп группы Gs-
Их всего два: подгруппы первого типа изображаются всеми точками
плоскости, не лежащими в коническом сечении (3), а подгруппы второго типа —
точками этого сечения. Следовательно, две однопараметрические
подгруппы группы Gs сопряжены в Gs тогда и только тогда, когда изображающие
их точки либо обе принадлежат коническому сечению (3), либо обе ему не
принадлежат.
Чтобы получить представителей для этих двух типов
однопараметрических подгрупп, нужно лишь выбрать две точки плоскости, одна из
которых не лежит в коническом сечении (3), а другая ему принадлежит. В
качестве таких двух точек можно взять точки е\ — ез = 0 и е2 = ез =
= 0. Однопараметрические подгруппы хр и р являются, таким образом,
представителями соответственно первого и второго типов.
Оба найденных типа могут быть описаны более простым способом.
А именно, найдем все точки одномерного многообразия х,
инвариантные относительно однопараметрической группы
Xf = (ei + е2х + е3х2)р.
Для этого нужно лишь решить квадратное уравнение
езх2 + е2х + е\ = 0; (4)
корни этого уравнения будут координатами искомых инвариантных точек.
Если е\ — 4eie3 ^ 0, то есть если Xf принадлежит первому типу, то
уравнение (4) имеет два различных корня, один из которых может, правда,
оказаться бесконечно большим. Таким образом, в этом случае Xf оставляет
на месте две точки, одна из которых может лежать в бесконечности. Если,

с другой стороны, е2 — 4е1бз = 0, то уравнение (4) имеет два
совпадающих корня, которые также могут быть бесконечно большими. В этом случае
Xf оставляет на месте двойную точку, которая может лежать как в
конечном, так и в бесконечном. Легко увидеть, что в каждом из рассмотренных
случаев однопараметрическая группа Xf полностью определяется своими
инвариантными точками.
Пусть
Xf = eYXxf + e2X2f + e3X3f, Yf = dxif + ^X2f + e3X3f
— два независимых инфинитезимальных преобразования группы G3. Тогда
не все определители второго порядка матрицы
ki e2 е3|
\£i £2 £з|
равны нулю. Коммутирование преобразований Xf и Yf дает
инфинитезимальное преобразование
(X Y) = (е1е2 - e2e1)XJ + 2(eie3 - e36i)X2/ + (e2e3 - e3e2)X3f. (5)
В соответствии с нашим предположением, Xf и Yf изображаются
в плоскости ei, е2, е3 двумя различными точками, a (XY) — точкой с
однородными координатами
i/i = е1е2 - e2eu v2 = 2(е1е3 - e3£i), v3 = е2е3 - е3е2.
Эта точка допускает очень простую геометрическую интерпретацию.
Очевидно, что она удовлетворяет следующим двум уравнениям:
e2v2 - 2eii/3 - 2e3^i = 0, e2v2 - 2e\v3 - 2e3v\ = 0;
следовательно, она лежит как в поляре точки ei, е2, е3 относительно
конического сечения (3), так и в поляре точки в\, е2, £з- Другими словами,
Если Xf и Yf — два независимых инфинитезимальных преобразования
группы G3, то точку, изображающую инфинитезимальное преобразование
(X Y), можно найти, соединив прямой точки, изображающие Xf и Yf,
и определив полюс этой прямой относительно конического сечения е| —
- 4eie3 = 0.

Это геометрическое построение точки, изображающей (17), по
точкам, изображающим Xf и У/, ясно показывает, что два независимых инфи-
нитезимальных преобразования из Сз всегда неперестановочны (см. стр. 6).
Действительно, если Xf и Yf независимы друг от друга, то
изображающие их точки различны, а прямая, проходящая через эти точки, имеет один
вполне определенный полюс. Поэтому выражение для (X Y) не может
тождественно обращаться в нуль.
Теперь не составляет никакого труда предъявить все двупараметриче-
ские подгруппы группы G3.
Пусть Xf и Yf — два независимых инфинитезимальных
преобразования некоторой такой подгруппы. Тогда в общем виде ее инфинитезимальное
преобразование записывается как XXf + jiYf, и в плоскости ei, в2, ез эта
подгруппа изображается прямой. Для того, чтобы Xf и Yf
действительно порождали двупараметрическую подгруппу, необходимо и достаточно,
чтобы имело место равенство вида
(XY)=ClXf + c2Yf.
Другими словами, прямая в плоскости ei, в2, ез только тогда
изображает двупараметрическую подгруппу группы Сз, когда она содержит свой
полюс относительно конического сечения (3), то есть когда она является
касательной к этому коническому сечению. Таким образом:
Двупараметрические подгруппы группы Сз в плоскости е\, ег, ез
изображаются касательными прямыми к коническому сечению е\— 4eie3 =
= 0.
Ясно, что посредством присоединенной группы E\f, £"2/? E$f
всякая касательная к нашему коническому сечению может быть переведена в
любую другую такую касательную, и, следовательно, все
двупараметрические подгруппы группы Сз сопряжены друг другу в Сз- Таким образом,
в Сз существует один единственный тип двупараметрических подгрупп. В
качестве представителя этого типа мы можем выбрать касательную в
точке е2 = ез = 0. Уравнение этой касательной имеет вид ез = 0. Тогда
в качестве представителя мы получаем подгруппу р, хр. Это наибольшая
подгруппа в Сз, оставляющая на месте бесконечно удаленную точку.
Поскольку с помощью группы Сз каждая точка х, в том числе и бесконечно
удаленная, переводится в любую другую точку, мы видим, что каждая дву-
параметрическая подгруппа оставляет на месте некоторую конечную или
бесконечную точку и полностью этой точкой определяется.
Объединим полученные результаты в теорему.

Теорема 1. Всякая подгруппа общей проективной группы р, хр, х2р
одномерного многообразия х сопряжена в этой группе одной из следующих
трех подгрупп:
р, хр
хр
V
В первом из этих трех возможных случаев она оставляет на месте одну
точку, во втором — две различные точки, а в третьем — две совпадающие
точки, и каждый раз она полностью определяется заданием ее
инвариантных точек.
Само собой разумеется, что приведенные выше рассуждения,
поскольку они используют лишь структуру группы р, хр, х2р, применимы вообще
к любой группе X\f, X2f, Х%/, обладающей структурой
(Х1Х2) = XJ, (ХХХ3) = 2X2f, (Х2Х3) = X3f.
(1)
В частности, мы немедленно получаем, что всякая подгруппа такой группы
сопряжена в этой группе одной из следующих трех подгрупп:
XJ, X2f
x2f\ xj
Сейчас мы выведем еще один замечательный результат, который нам
понадобится в дальнейшем.
Предположим, что X\f, X2f, X3f — трехпараметрическая группа со
структурой (1), и пусть
YJ = ацХг/ + ai2X2f + ai3X3f (г = 1, 2, 3)
— три произвольных инфинитезимальных преобразования этой группы. Как
и ранее, мы будем рассматривать оо2 инфинитезимальных преобразований
eiXif + e2X2f + езХ3/ как точки плоскости, понимая еь е2, ез как
однородные координаты этих точек. Тогда Yi/, Y2f, У3/ изображаются в этой
плоскости тремя точками. При этом {Y\Y2) будет полюсом (относительно
конического сечения е2 — 4е\ез = 0) прямой, соединяющей Y\f и Y2f, a
(Y1Y3) — полюсом прямой, соединяющей Y\f и Уз/- Отсюда следует, что
Y\f является полюсом прямой, которая соединяет точки {Y\Y2) и (Y1Y3), а
значит, должно иметь место соотношение следующего вида:
((ВД), (Y1Y3))=p.Y1f,
где р — константа. Раскрывая скобки, мы легко находим р и получаем
следующее утверждение.

Предложение1. ЕслиХ\/, X2f, X3f — такая трехпараметрическая
группа, что
(X1X2) = X1f, (X1X3) = 2X2f, (X2X3)=X3f,
(1)
и если
YJ = aaXJ + ai2X2f + ai3X3f (i = 1, 2, 3)
— три произвольных инфинитезималъных преобразования этой группы, то
имеет место следующее соотношение
((ВД), (^Уз)) = 2
an ai2 ai3
^21 #22 #23
аз1 азг азз
YJ.
(б)
§5
Рассмотрим теперь общую линейную однородную группу
{х' — а\х + а2у
yf = а3х + а4у
(7)
двумерного многообразия х, у.
Эта группа является четырехпараметрической, и поэтому в настоящем
параграфе мы будем называть ее "группой G^\ Она порождена
следующими четырьмя независимыми инфинитезимальными преобразованиями
хр, ур, xq, yq.
(8)
Из теоремы 98, том I, стр. 561, следует, что G\ содержит две
инвариантные подгруппы , а именно специальную линейную однородную группу
xq, хр - yq, ур,
(9)
и однопараметрическую подгруппу, порожденную центральным инфините-
зимальным преобразованием
хр + yq.

Особенно важной является трехпараметрическая группа (9), так как она
(том I, теорема 96, стр. 558) голоэдрически изоморфна общей
проективной группе одномерного многообразия. Если в качестве координаты точек
одномерного многообразия взять переменную у и сопоставить инфинитези-
мальным преобразованиям (9) преобразования
+р, -2Ур, -?2р, (10)
соответственно, то мы сразу же получим голоэдрический изоморфизм
групп (9) и (10).
Чтобы сделать наличие обеих инвариантных подгрупп в G\ более
явным, отныне вместо четырех независимых инфинитезимальных
преобразований (8) мы будем использовать следующие четыре:
Xif = xq, X2f = хр - yq, X3f = yp,
X4f = xp + уд-
Структура группы G\ примет тогда следующий вид:
(ХХХ2) = -2Xi/, (ХМ = X2f, [X2XZ) = -2X3f,
(X,X4) = (X2X4) = (X3X4) = 0.
Сперва мы опишем все существующие в G\ типы однопараметриче-
ских подгрупп. С этой целью величины е\... е<\ в записи общего инфини-
тезимального преобразования
eixq + е2{хр - yq) + е3ур + е4(хр + yq)
группы G\ мы будем понимать как однородные координаты точек
[некоторого] трехмерного пространства. Рассмотрим действие на этом
пространстве присоединенной группы
'if = 2е2^—
де\
<2f = -2^1^—
ое\
<з/ =
kf = 0
df
-ез^—,
de2
+ 2е3^—,
ае3
df n df
де2 де3

2е2
-26i
0
ei
-е3
0
ei
е2
0
2б3
-2б2
ез
0
0
0
64
группы G\ и отыщем все минимальные многообразия, инвариантные
относительно этой присоединенной группы. Другими словами, мы ищем все
системы уравнений относительно переменных е\ .. .64, допускающие ин-
финитезимальные преобразования E\f... E^f, а также преобразование
_ df . df df df
Ef = ei- h62^ he3T Ьб4^—.
аб1 oe<z oes c/64
При этом тождественно равное нулю преобразование E±f мы можем,
естественно, исключить из рассмотрения.
Преобразования E\f, £2/, Ез/, Ef порождают четырехпараметри-
ческую группу, определитель которой
(и)
тождественно равен нулю, в то время как не все миноры третьего порядка
тождественно обращаются в нуль. Следовательно уравнения
Si/ = 0, E2f = О, Я3/ = 0, Ef = 0
обладают общим решением, которое, если его положить равным
произвольной константе, доставляет семейство оо1 поверхностей, а именно,
семейство поверхностей второго порядка
e! + ei63 , ,10v
——ту = const, (12)
Ч
среди которых в качестве предельных случаев содержатся конус 63 + 6163 =
= 0 и двойная плоскость е\ — 0.
Чтобы найти остальные инвариантные многообразия, мы должны в
матрице (11) приравнять к нулю миноры третьего и второго порядка.
Положив равными нулю миноры третьего порядка, мы получим, во-первых,
систему уравнений
62 + 6163 = 0, 64=0, (13)
которая задает инвариантное коническое сечение, а именно, кривую
пересечения инвариантного конуса 62 + 6163 = 0 с инвариантной плоскостью
64 = 0. Во-вторых, мы получим инвариантную точку
ei = е2 = е3 = 0, (14)

которая является вершиной инвариантного конуса e% + е\ез = 0; эта точка
соответствует центральному инфинитезимальному преобразованию группы
G4, преобразованию хр + yq. Положив равными нулю миноры второго
порядка, мы получим лишь систему уравнений (14), то есть ничего нового.
Этим исчерпываются все многообразия в пространстве е\ ...в4,
инвариантные относительно группы E\f... E^f, так как коническое
сечение (13), очевидно, не содержит меньших инвариантных многообразий.
Впрочем, мы могли бы предвидеть, что мы получим плоскость е^ — 0 и
лежащее в ней коническое сечение (13). Действительно, трехпараметри-
ческая инвариантная подгруппа (9) изображается в пространстве е\... е^
плоскостью 64 = 0; с другой стороны, ясно, что присоединенная группа
Eif.. .E\f преобразует точки плоскости е$ = 0 так же, как и
присоединенная группа E\f, £2/, E$f трехпараметрической группы (9),
поскольку E\f оставляет на месте все точки нашего пространства, а значит, и
все точки плоскости 64 = 0. Применяя рассуждения предыдущего
параграфа, мы немедленно получаем, что кроме некоторого конического
сечения в плоскости 64 = 0 других инвариантных многообразий не
существует.
Отметим также, что группа E\f, Eif, Esf — это всего лишь другой
вид одной хорошо известной группы. Если однородную систему
координат в пространстве е\... е\ выбрать так, чтобы плоскость 64 = 0 перешла
в бесконечно удаленную плоскость, а коническое сечение (13) — в
сферическую окружность, то наша группа будет не чем иным как группой всех
вращений около точки 61=62 = 63 = 0. При этом поверхности второго
порядка (12) перейдут в сферы с центром в точке е\ — в2 — ез = 0.
Зная все многообразия, инвариантные относительно группы E\f... £4/,
мы можем немедленно указать все типы инфинитезимальных
преобразований группы G\ или, что равносильно, все типы ее однопараметрических
подгрупп. Каждый такой тип задается в пространстве е\... в4 некоторым
инвариантным относительно группы E\f...E±f многообразием, а точнее,
некоторым так называемым минимальным инвариантным многообразием
(см. стр. 14). Таким образом мы приходим к следующим результатам:
1) Каждая невырожденная поверхность второго порядка из семейства (12),
из которой исключены все точки конического сечения (13), задает
некоторый такой тип.
2) Конус б2 + 6163 = 0 задает такой тип, если из него выбросить вершину
и сечение (13).

Остальные типы задаются следующими многообразиями:
3) Плоскость 64 = 0 без конического сечения (13).
4) Коническое сечение (13).
5) Вершина е\ = е2 = ез = 0 конуса е| + е\е,г — 0.
Выберем по представителю для каждого из найденных типов. Для
этого в каждом из соответствующих минимальных инвариантных
многообразий нужно выбрать по одной точке. В первом случае, например,
инвариантное многообразие задается уравнением вида
е1 = с<2(е2 + е1ез),
где с — конечная, отличная от нуля константа и где е\... е$ могут
принимать все значения, не удовлетворяющие уравнениям (13). Мы можем
положить
е\ = е3 = 0, е2 = 1
и, скажем, е\ = с. Тогда для оо1 типов первого рода мы получим
следующих представителей:
1) xp-yq + c{xp + yq) (с^О).
Здесь следует отметить, что два одинаковых по величине, но
противоположных по знаку значения константы с доставляют два инфинитезималь-
ных преобразования, лежащих на одной и той же поверхности второго
порядка и, следовательно, сопряженных друг другу. Это происходит потому,
что уравнение е\ = с2 имеет в качестве решения как е\ — с, так и е\ = — с.
Аналогично, мы можем выбрать по представителю для остальных
типов и выписать соответствующие однопараметрические подгруппы:
2) xq + хр + yq, 3) хр — yq, 4) xq, 5) хр + yq.
Остается еще найти все дву- и трехпараметрические подгруппы в G\.
Пусть
Yif = ocixq + 0i(xp - yq) + ^УР + Si(xp + yq)
(t=l, 2)
— два независимых инфинитезимальных преобразования группы G^- Если
мы отбросим в них члены, содержащие хр + yq, мы получим два
укороченных инфинитезимальных преобразования
Yif = oiixq + Pi(xp - yq) + ^УР
(г=1, 2).

Эти укороченные преобразования, правда, уже необязательно независимы
друг от друга, однако выполняется соотношение
(YXY2) = (F^), (15)
так как преобразование хр + yq перестановочно со всеми инфинитезималь-
ными преобразованиями группы G$.
Соотношение (15) приводит нас к очень простому способу построения
точки, изображающей (YiY2), по точкам, изображающим Y\j и Y2f.
Очевидно, что укороченные инфинитезимальные преобразования Y\f
и Y2f принадлежат специальной линейной однородной группе xq, хр —
— УЧ-> УР и поэтому изображаются точками плоскости е$ = 0. Чтобы
получить точки, изображающие Y\f и Y2f, нужно точки, изображающие Y\f
и Y2f, соединить прямыми с точкой хр + yq, то есть с вершиной конуса
е2 + е\ез = 0, а затем найти точки пересечения этих прямых с плоскостью
в4 = 0. Короче говоря, нужно точки Y\f и Y2f спроектировать через точку
xp-\-yq на плоскость е^ = 0. Тогда, чтобы получить точку (Y\Y2) = (Y\Y2),
нужно в плоскости в4 = 0 найти полюс прямой, соединяющей точки Y\f
и Y2f, относительно конического сечения (13).
Предложенное построение точки {Y\Y2) в общем случае дает одну
вполне определенную точку плоскости е$ — 0. Этого не происходит только
тогда, когда прямая, соединяющая точки Y\f и Y2f, проходит через точку
хр + yq; в этом случае либо точки Y\j и Y2f совпадают, и тогда (YiY2) =
= (Y\Y2) = 0, либо одна из точек Y\f и Y2f совпадает с точкой хр + yq, и
тогда (Y\Y2) = 0. Отсюда следует, что два независимых инфинитезималъ-
ных преобразования группы G^ перестановочны тогда и только тогда,
когда прямая, которая соединяет изображающие их точки, проходит через
точку хр + yq.
Таким образом, найдены все двупараметрические подгруппы в G4, чьи
инфинитезимальные преобразования перестановочны. Каждая такая
подгруппа изображается в виде прямой, содержащей точку хр + yq. Очевидно,
что посредством присоединенной группы группы G\ всякая прямая,
проходящая через точку xp + yqn не являющаяся образующей конуса е2 + е\въ =
= 0, переводится в любую другую прямую, обладающую этим свойством.
Точно так же, каждая образующая этого конуса переводится в любую
другую его образующую.
Другими словами, в группе G\ существует два типа двупараметриче-
ских подгрупп с перестановочными инфинитезимальными
преобразованиями. Подгруппы первого типа изображаются в пространстве в\ ... е\ прямы-

ми, которые содержат точку хр + yq, но не являются образующими конуса
е^+ехвз = 0. Подгруппы же второго типа изображаются образующими
этого конуса. В качестве представителей этих двух типов мы можем выбрать
двупараметрические подгруппы
хр — yq, хр + уя и щ, хр + yq*
Любая другая двупараметрическая подгруппа группы G±
изображается прямой, не проходящей через точку xp-\-yq. Эта прямая либо полностью
лежит в плоскости е$ — 0, либо имеет с ней ровно одну общую точку. В
первом случае мы, очевидно, имеем дело с подгруппой специальной
линейной однородной группы xq, xp — yq, ур. Эта подгруппа, следовательно,
изображается касательной к коническому сечению (13). Во втором случае,
если Yi/, У2/ — независимые инфинитезимальные преобразования
соответствующей подгруппы, то точка (У1У2), являющаяся вполне
определенной точкой плоскости в4 = 0, должна лежать на прямой, соединяющей Y\j
и У2/. Таким образом, (У1У2) — это как раз и есть общая точка
плоскости е\ — 0 и прямой, соединяющей Y\f и У2/. Легко увидеть, что точка
(У1У2) лежит в коническом сечении (13) и что прямая, соединяющая Y\f
и У2/, должна лежать в плоскости, касательной к конусу е\ + е^з = 0.
Обратно, всякая прямая, пересекающая коническое сечение (13) и лежащая
в касательной плоскости конуса е\ + е^з = 0, действительно изображает
двупараметрическую подгруппу.
Итак, найдены все двупараметрические подгруппы в G4, чьи
инфинитезимальные преобразования неперестановочны. Это, во-первых, все
касательные к коническому сечению (13) в плоскости е$ = 0, а во-вторых, все
касательные к конусу е\ + е\вз = 0, пересекающие сечение (13), которые
не содержат точку хр + yq и не лежат в плоскости е± — 0.
Все подгруппы из первой категории сопряжены друг другу в G4 и
образуют тип, в качестве представителя которого можно выбрать группу
xq, xp-yq.
Что касается подгрупп второй категории, то можно показать, что те
из поверхностей второго порядка (12), которые являются
невырожденными, все без исключения касаются конуса е\-\- e\e^ = 0 вдоль сечения (13)
и что, следовательно, все образующие этих поверхностей второго
порядка лежат в касательных плоскостях конуса е\ + е\е$ = 0. Таким образом,
подгруппы второй категории изображаются в пространстве е\...е±ъ виде

образующих тех из поверхностей второго порядка (12), которые
являются невырожденными. Под действием присоединенной группы каждая точка
такой поверхности второго порядка, не принадлежащая коническому
сечению (13), переходит в любую другую такую точку этой поверхности, а
каждая образующая этой поверхности может быть переведена в любую другую
из того же семейства образующих этой поверхности. Однако, такая
образующая под действием присоединенной группы никогда не переходит ни в
образующую другой поверхности второго порядка, ни в образующую той же
поверхности, принадлежащую другому семейству образующих; последнее
следует из того, что присоединенная группа непрерывна. Таким образом,
существует бесконечно много типов двупараметрических подгрупп второй
категории. Каждая невырожденная поверхность из семейства (12)
доставляет два таких типа. Один из них задается первым семейством образующих
этой поверхности, а другой — вторым. Поскольку каждая касательная
плоскость конуса е\ + е^ — О посредством присоединенной группы может
быть переведена в любую другую такую плоскость, то, чтобы получить
по одному представителю для каждого из этих типов, нужно всего лишь
в одной из плоскостей, касательных к конусу е% + е^з = 0, указать все
касательные к этому конусу, которые пересекают коническое сечение (13),
но не лежат в плоскости е\ — 0 и не проходят через точку xp + yq.
Рассмотрим, для примера, касательную плоскость, содержащую точку xq. Тогда в
качестве искомых представителей мы получим подгруппы
xq, xp-yq + c(xp + yq),
где с — конечная отличная от нуля константа. В этом случае равные по
величине, но противоположные по знаку значения константы с доставляют
две подгруппы, которые изображаются в виде образующих одной и той же
поверхности второго порядка. Однако, эти образующие принадлежат
различным семействам, и поэтому соответствующие подгруппы не сопряжены
bG4.
Итак, нам осталось найти все трехпараметрические подгруппы
группы G$.
Всякая трехпараметрическая подгруппа д% группы G^ в пространстве
е\... 64 изображается в виде плоскости. Если эта плоскость совпадает с
плоскостью б4 = 0, то дз есть не что иное, как трехпараметрическая
инвариантная подгруппа
xq, xp - yq, yp (9)

группы G$. В любом другом случае плоскость, соответствующая
подгруппе #з> пересекает плоскость е^ = 0 по некоторой прямой, которая
изображает двупараметрическую подгруппу в G^ и, в то же время, подгруппу
группы (9). Отсюда следует, что эта прямая является касательной к
коническому сечению (13) и что плоскость, соответствующая подгруппе дз,
касается этого сечения. Пусть Y\f и 1^/ — два независимых инфинитези-
мальных преобразования подгруппы рз, и предположим, что точка,
изображающая Y\f, лежит на упомянутой касательной к сечению (13), в то
время как точка, изображающая 1^/, ей не принадлежит. Тогда инфини-
тезимальное преобразование (У1У2) должно тождественно равняться нулю
либо изображаться точкой, лежащей на этой прямой. Первое имеет место,
только если точки Yif, Y2/ к хр + yq лежат на одной прямое, а второе —
лишь тогда, когда плоскость, определяемая точкой Уг/ и нашей
касательной, содержит точку хр + yq. Следовательно, плоскость, изображающая рз>
если она не совпадает с е± = 0, должна содержать точку xp + yqn касаться
конуса е\ + e\e^ — 0. Легко убедиться, что каждая плоскость, касательная
к этому конусу, соответствует некоторой трехпараметрической подгруппе
группы G4. Все такие подгруппы сопряжены друг другу в G4, поскольку
каждая касательная к нашему конусу плоскость присоединенной группой
группы G4 переводится в любую другую такую плоскость.
Таким образом, в группе G$ существует два типа трехпараметриче-
ских подгрупп. Первый тип образован лишь одной подгруппой, а именно,
инвариантной подгруппой
xq, хр - yq, yp.
Подгруппы второго типа в пространстве е\... е$ изображаются
плоскостями, касательными к конусу е\ + е\е^ = 0; представителем этого типа
является группа
xq, хр - yq, хр + yq.
Объединим полученные результаты в теорему.
Теорема 2. Если некоторая подгруппа общей линейной группы G±
плоскости х, у
xq, хр - yq, ур, хр + yq
является трехпараметрической, то она либо совпадает с инвариантной
подгруппой
\xq, xp-yq, ур\, 1

либо сопряжена в общей линейной группе следующей подгруппе:
xq, xp - yq, xp + yq
Всякая двупараметрическая подгруппа группы G\ сопряжена в G\ одной
из следующих подгрупп:
3
5
xq, xp — yq + c(xp + yq) c^o
xp-yq, xp-\-yq
xq, xp-yq
xq, xp-\-yq
Наконец, всякая однопараметрическая подгруппа группы G± либо
сопряжена одной из групп
ХР — УЯ + С(ХР + УЧ) с^°
xp-yq
xq + xp + yq
10
xq
либо порождена центральным инфинитезимальным преобразованием
группы G$:
' ' 11
xp + yq
Встречающаяся в двух случаях произвольная константа с является
существенным параметром, то есть различным значениям с соответствуют
подгруппы, которые в общем случае не сопряжены в G^.
Само собой разумеется, что теперь для любой четырехпараметриче-
ской группы, обладающей той же структурой, что и общая линейная группа
плоскости х, у, мы, на основании приведенных выше рассуждений, можем
немедленно указать все типы подгрупп и вообще все подгруппы.
До сих пор нас интересовала просто структура группы G^
xq, xp - yq, yp, xp + yq.
В заключение нам хотелось бы сделать несколько замечаний о G$ как о
группе плоскости х, у.
Группа G$ оставляет на месте точку х = у = 0, а проходящие через эту
точку оо1 прямых переводит друг в друга. Среди инфинитезимальных
преобразований группы G4 существует ровно одно, которое оставляет на месте

каждую из этих прямых, а именно, центральное инфинитезимальное
преобразование хр + yq. Следовательно, оо1 прямых, проходящих через точку
х = у = 0, переставляются между собой посредством трехпараметрической
группы, которая является проективной и мериедрически изоморфна
группе G±. Очевидно, что эта трехпараметрическая группа есть не что иное,
как общая проективная группа одномерного пространства, в чем можно
убедиться непосредственно. Действительно, переменные х, у можно
рассматривать как однородные координаты наших оо1 прямых, проходящих
через точку х = у = 0; если теперь эти две однородные координаты
заменить одной неоднородной:
X
х\ = -
У
и выяснить, куда переходит х\ под действием инфинитезимальных
преобразований группы G4, то мы увидим, что это равносильно действию общей
проективной группы р\, Х\р\, х\р\ одномерного многообразия.
Соответствующие вычисления были проделаны в томе I, стр. 579 (ср. также том I,
стр. 558, теорема 96).
Из сказанного следует, что каждая r-параметрическая подгруппа
группы (?4 преобразует оо1 прямых, проходящих через точку х — у — 0, либо
r-параметрически, либо (г — 1)-параметрически. Причем первый случай
имеет место тогда, когда эта подгруппа не содержит инфинитезимальное
преобразование xp+yq, а второй — когда содержит. Единственной
подгруппой, преобразующей указанные прямые точно так же, как и группа G± (т.е.
трехпараметрически), является инвариантная подгруппа xq, хр — yq, yp.
Объединим это с результатами предыдущего параграфа, согласно которым
каждая подгруппа общей проективной группы одномерного многообразия
оставляет на месте либо одну точку, либо две различные точки, либо две
совпадающие точки. Мы получаем следующее утверждение.
Предложение 2. Общая линейная группа G$ плоскости х, у
xq, хр - yq, yp, хр + yq
содержит ровно одну подгруппу, которая, как и сама G^t не оставляет на
месте ни одну прямую, проходящую через инвариантную точку х = у — 0.
Это трехпараметрическая инвариантная подгруппа
xq, хр - yq, yp.
Любая другая подгруппа группы G± оставляет на месте по крайней мере
одну прямую, проходящую через точку х = у = 0.

Если некоторая подгруппа группы G± оставляет на месте только одну
прямую, проходящую через точку х = у = О, то эта подгруппа
является либо трехпараметрической и принадлежит типу 2 (см. теорему 3), либо
двупараметрической и принадлежит типу 3 или 4. Если она оставляет на
месте две различные прямые, проходящие через точку х = у = 0, то она
является либо двупараметрической и принадлежит типу 5, либо однопара-
метрической и принадлежит типу 7 или 8. Если же она оставляет на месте
две совпадающие прямые, то она является либо двупараметрической и
принадлежит типу 6, либо однопараметрической и принадлежит типу 9 или 10.
Остается только однопараметрическая подгруппа хр+yg, которая оставляет
на месте всякую прямую, проходящую через точку х = у = 0.

Глава 3
Нахождение всех конечных
непрерывных групп точечных
преобразований плоскости
Хотя в заглавии говорится о нахождении всех* конечных непрерывных
групп точечных преобразований плоскости, не следует думать, будто мы
действительно собираемся выписать все такие группы. Это отнюдь не
входит в наши намерения, и мы будем действовать, как при нахождении всех
r-параметрических транзитивных групп с заданной структурой (см. том I,
глава 22, стр. 434-435). А именно, мы подразделяем конечные
непрерывные группы точечных преобразований плоскости на типы, причисляя две
такие группы к одному и тому же типу тогда и только тогда, когда одна
из них подобна другой относительно некоторого точечного преобразования
плоскости. При этом каждая из искомых групп будет принадлежать одному
и только одному типу, и обратно, все группы, принадлежащие
некоторому типу, можно легко получить, если известна хотя бы одна из них, и эту
группу можно рассматривать в качестве представителя всего типа.
Следовательно, поставленную в заглавии задачу мы можем заменить следующей:
Предъявить для каждого типа конечных непрерывных групп
плоскости ровно по одному представителю.
Решив эту задачу, мы будем знать по существу все конечные
непрерывные группы точечных преобразований плоскости, поскольку каждая такая
группа будет подобна относительно некоторого точечного преобразования
плоскости ровно одному из найденных представителей.
* Набросок классификации всех групп плоскости был опубликован Софусом Ли в Gottinger
Nachrichten еще в 1874 году. Подробное доказательство было предъявлено им в Norwegischen
Archiv за 1878 год, а позднее в Math. Ann., Bd. 16. Несложный метод нахождения всех импри-
митивных групп плоскости, используемый в настоящем тексте, впервые упоминается в архиве
Ли за 1885, а начиная с 1886 года он включался в лекции Ли в Лейпцигском университете.

В соответствии со сказанным на стр. 220-221 тома I, каждая группа
плоскости попадает в один из двух непересекающихся классов, первый из
которых содержит все примитивные группы, а второй — все импримитив-
ные группы. Кроме того, ясно, что две группы плоскости, принадлежащие
одному и тому же типу, либо обе примитивны, либо обе импримитивны.
Таким образом, нашу задачу можно решать отдельно для примитивных и
импримитивных групп. Однако, прежде чем приступить к этому мы
должны знать, как можно определить, является данная конечная непрерывная
группа точечных преобразований плоскости примитивной или имприми-
тивной. Поэтому решению нашей задачи мы предпошлем один параграф, в
котором мы развитую в томе I общую теорию примитивных и
импримитивных групп перенесем на случай групп плоскости и дополним в той мере,
насколько это будет необходимо.
§6
В соответствии со сказанным на стр. 220-221 тома I, г-параметриче-
ская группа
Xkf = £>kix,y)P + rlk(x,y)q (fe = l...r)
плоскости х, у является импримитивной тогда и только тогда, когда она
оставляет на месте некоторое семейство оо1 кривых ip(x,y) — const.
Тогда, если группа X\j... Xrf интранзитивна, то она и импримитивна,
поскольку всякая интранзитивная группа плоскости разбивает плоскость на
оо1 кривых вида ф(х,у) = const, каждая из которых остается на месте, и
поэтому на месте остается и все семейство ф{х,у) = const.
Указанный критерий импримитивности группы X\f.. .Xrf можно
переформулировать несколькими различными способами. Во-первых, он
эквивалентен тому, что рассматриваемая группа оставляет инвариантным
некоторое линейное дифференциальное уравнение в частных производных
вида
Af = a(x,y)^.+[3(x,y)^ = 0
(том I, стр. 221). Заметим, что с линейным уравнением Af = 0 в
частных производных инвариантно связано обыкновенное дифференциальное
уравнение
а(х, y)-dy- /?(x, y)-dx = 0. (1)

Отсюда немедленно следует, что г-параметрическая группа X\f.. .Xrf
плоскости х, у является ымпримитивной тогда и только тогда, когда
она оставляет инвариантным обыкновенное дифференциальное уравнение
вида (1).
Вспомним теперь, что dx : dy в каждой точке плоскости х, у
определяет некоторое направление, благодаря чему х, у, dx : dy можно
рассматривать как координаты оо3 линейных элементов плоскости. Поэтому
если мы хотим знать, оставляет ли наша группа инвариантным некоторое
обыкновенное дифференциальное уравнение вида (1), мы должны прежде
всего исследовать, как она преобразует линейные элементы плоскости, и, в
частности, установить, оставляет ли она на месте некоторое семейство оо2
линейных элементов, задаваемое уравнением вида (1).
С этой целью, как и в томе I, стр. 524-526, рассмотрим переменные
х, у как функции вспомогательной переменной t и расширим инфинитези-
мальные преобразования X^f, положив
dx , dy ,
— = х , — = у .
dt ' dt У
Таким образом мы получаем расширенную группу относительно
переменных х, у, х', у'\
x'kf = &р + тч + Up' + vW (fc = i... г),
где использованы следующие обозначения:
Х дх +У ду -*"' дх'~Р>
,дщ ,дщ , df ,
Х^х-+У^у- = ^ W=Q-
Поскольку теперь в качестве координат оо3 линейных элементов плоскости
с таким же успехом можно взять х, у, х' : у\ мы видим, что расширенная
группа X[f ... X'Tf указывает, как эти линейные элементы преобразуются
посредством группы X\f.. .Xrf\ таким образом, нужно лишь выяснить,
оставляет группа X[f... Xfrf инвариантным уравнение вида
а(х,у)-у'-Р(х,у)-х' = 0. (Г)
или нет.

В группе X\f.. .Xrf существует определенное число независимых
инфинитезимальных преобразований, скажем г — га, которые оставляют на
месте некоторую произвольную точку xq, yo общего положения; при этом
число га принимает значение 2 или 1 в зависимости от того, является
группа Xif .. . Xrf транзитивной или интранзитивной. Эти г — га
инфинитезимальных преобразований порождают (г — га)-параметрическую подгруппу
группы X\f... Xrf (см. том I, стр. 205, предложение 2), а их разложения
в ряд по степеням х — хо, у — у о не содержат членов нулевого порядка и,
следовательно, имеют вид:
Ykf = {А/с(х - х0) + fik(y ~ Уо) + • • • }Р + {"к(х - xo) + рк(у - Уо) + • • • }<?
(k=l. . . 1—га).
Кроме того, при сделанных предположениях
CiliJ -f- . . . -\- Cr—rnIr—rriJ
представляет собой наиболее общий вид инфинитезимального
преобразования группы X\f... Xrf, не содержащего членов нулевого порядка
относительно х — хо, у — Уо- Если мы теперь расширим Y^f точно так же, как
это было проделано с X^f, мы получим г — га независимых
инфинитезимальных преобразований вида
Y£f = Ykf + {(\k + -~)x' + (iAk + .--)y'}p' + {(vk + -~)x' + (pk + .-.)y'}q'
(к=1. . . 1—т).
относительно х, у, х',у\ которые порождают (г — га)-параметрическую
подгруппу группы X[f.. .Xrf, а именно, наибольшую подгруппу этой
группы, оставляющую инвариантной систему уравнений х = хо, У = Уо-
Если теперь группа X[f.. .Xrf оставляет инвариантным некоторое
уравнение вида (Г), то группа Y[f... Yr'_m/, очевидно, оставляет
инвариантной систему уравнений
х = х0, у = уо, ot{x,y)y' - (3(x,y)xf = 0
или, что равносильно, систему уравнений
х = х0, у = уо, а(х0,уо)у' - /?(я<ь Уо)*' = 0, (2)
где коэффициенты при х' и у' одновременно не равны нулю, поскольку
хо, уо является точкой общего положения. Если мы вспомним, что всякая

система уравнений вида (2) определяет некоторый линейный элемент,
проходящий через точку xq, yo, то мы можем сделать следующий вывод: если
группа Xif... Xrf импримитивна, то группа Y{f... Yr'_m/ кроме точки
£(ь Уо оставляет на месте некоторый проходящий через нее линейный
элемент.
Обратное утверждение также верно: если группа Y{f... Уг/_т/ вместе
с точкой жо, Уо общего положения оставляет на месте проходящий через
нее линейный элемент xq, усь сад' ~~ Рох' — 0> то группа X\f... Xrf
является импримитивной. Действительно, предположим сначала, что группа
X\f.. .XTf транзитивна, то есть число т равно 2. Тогда наш линейный
элемент, проходящий через точку хо, уо, допускает ровно г — 2
независимых инфинитезимальных преобразования из r-параметрической группы
X[f.. -X^f, и следовательно, под действием этой группы он принимает
оо2 различных положений, совокупность которых инвариантна
относительно этой группы (см. том I, стр. 483, Теорема 85). Заметим также, что точка
то, Уо под действием группы X[f... XfTf также принимает оо2 различных
положений. Таким образом, семейство оо2 линейных элементов,
инвариантное относительно группы X[f.. .X'rf, задается уравнением вида (Г),
и группа Xif ... Xrf действительно импримитивна. Остается еще случай,
когда группа X\f... Xrf интранзитивна; но тогда она заведомо
импримитивна. Таким образом, наше обратное утверждение полностью доказано.
Итак, чтобы определить, является данная г-параметрическая
непрерывная группа X\f.. .Xrf плоскости примитивной или импримитивной,
нужно поступать следующим образом: нужно найти наибольшую
содержащуюся в X\f.. .Xrf подгруппу, оставляющую на месте некоторую
произвольную точку Хо, уо общего положения, и выяснить, как эта
подгруппа преобразует оо1 линейных элементов плоскости х, у, проходящих
через эту точку; если она оставляет на месте какой-либо из этих оо1
линейных элементов, то группа X\f... Xrf гшпрымитивна; в противном
случае она примитивна.
Придадим только что полученному критерию более удобную форму.
Все зависит от того, оставляет группа Y{f... Уг/_т/ на месте
некоторый линейный элемент, проходящий через инвариантную точку хо, уо,
или нет. Чтобы в этом разобраться, нам совсем не обязательно знать всю
группу Y{f... Yr'_m/; нам нужно лишь выяснить, как эта группа
преобразует оог линейных элементов, проходящих через точку хо, у о, а это, в
соответствии со сказанным на стр. 232-234 тома I, можно сделать очень
просто. Отбросим в записи преобразований Y£f члены, содержащие pug,

а в оставшихся членах положим х = хо, у = у о', мы получим линейную
однородную группу
4)kf = (А*х' + fikyf)pf + {укх' + pky')q'
(k=l. . .1—га).
относительно переменных х', ?/, которая изоморфна группе У//... Уг'_т/
и которая точно так же, как эта группа, преобразует линейные элементы,
проходящие через точку хо, у о.
Теперь нужно еще установить, оставляет ли линейная однородная
группа 2)i/.. .2)r-mf на месте линейный элемент вида аох' — fay' = О,
или, что равносильно, оставляет ли эта группа, если ее рассматривать как
группу плоскости х\ у\ на месте какую-либо прямую, проходящую через
точку х' = у' = 0. На этот вопрос можно ответить, используя
предложение 2, стр. 28. Мы получаем следующий результат:
Теорема 3. Чтобы узнать, является данная г-параметрическая
группа
Xkf = £k(x,y)p + r)k{x,y)q (k = l...r)
примитивной или нет, можно действовать следующим образом. Прежде
всего нужно найти число г — т независимых друг от друга инфинитези-
мальных преобразований вида e\Xif-\-... +erXrf, оставляющих на месте
некоторую произвольную точку хо, уо общего полоэ/сения. Далее среди всех
инфинитезимальных преобразований, обладающих этим свойством, нужно
выбрать г — т независимых (обозначим из через Y\f... Yr-mf) и
разложить их в ряд по степеням х — хо, у — уо, пренебрегая при этом всеми
членами порядка 2 и выше. В результате будут получаться выражения
вида:
Ykf = {Л/,(х - хо) + fik(y ~ Уо) + • • • }Р + {vk(x - х0) + pk(y -yo) + '-}q
(к=1. . . 1—га).
Наконец, нужно построить инфинитезимальные преобразования
ЗЬ/ = (Afex7 + /ад7)?7 + (i/fcx7 + pky')q'
(k—l. . . 1—m).
относительно переученных х', у', которые, очевидно, порождают
линейную однородную группу. Если группа 2)i/.. .%)r-mf имеет один из следу-

ющих двух видов:
x'q', х'р' - y'q', y'p', х'р + y'q';
II II II II \ /
xq , хр -yq, yp,
то исходная группа X\f... Xrf примитивна; в любом другом случае она
импримитивна.
Из этой теоремы следует, что для того, чтобы выяснить, является
группа X\f ... Xrf примитивной или импримитивной, совсем не обязательно
знать саму группу X\f.. .Xrf; достаточно знать ее определяющие
уравнения (том I, глава 11). Зная эти уравнения, можно найти члены
первого порядка в разложении инфинитезимальных преобразований У/./ в ряд
по степеням х — Xq, у — уо и построить линейную однородную группу
2)1/...фг-т/.
С другой стороны, из теоремы 4 следует, что r-параметрическая
группа X\f... Xrf плоскости х, у импримитивна всегда, когда число г
меньше пяти. Действительно, если эта группа транзитивна (ясно, что нам
нужно доказать наше утверждение только для этого случая), то т = 2, а
значит, г — т < 3, откуда видно, что соответствующая линейная группа
?)i/ • • • ?)r-m/ н^ может иметь ни один из видов (3).
Теперь мы можем приступить к решению задачи, сформулированной
на стр. 29. Мы решим ее, как уже говорилось, сначала для примитивных, а
затем для импримитивных групп.
I. Примитивные группы плоскости
§7
Если некоторая r-параметрическая группа X\f.. .Xrf (обозначим
ее через Gr) плоскости х, у примитивна, то, во-первых, она должна
быть транзитивной; кроме того, соответствующая ей линейная группа
2)i/« • -Z)r-mf, определенная в предыдущем параграфе, должна иметь
один из видов (3). Обратно, в соответствии с результатами предыдущего
параграфа, каждая группа Gr, удовлетворяющая этим условиям,
непременно примитивна.
Предположим, что инфинитезимальные преобразования группы Gr в
окрестности некоторой точки xq, уо общего положения разложены в ряд
по степеням х — хо, у — уо. Тогда имеет место следующий факт.

Группа Gr плоскости х, у примитивна тогда и только тогда, когда
в окрестности точки xq, yo общего положения она содержит следующие
инфинитезимальные преобразования:
Во-первых, два инфинитезимальных преобразования нулевого порядка
относительно х — Хо, У — Уо, никакая линейная комбинация которых не
приводит к преобразованию порядка 1 или выше, или, другими словами,
два инфинитезимальных преобразования вида
? + ••-, 9 + -", (4)
где невыписанные члены имеют порядок 1 или выше относительно х —
— хо, у — уо. Это требование равносильно тому, что группа Gr должна
быть транзитивной.
Во-вторых, четыре или три инфинитезимальных преобразования
первого порядка, никакая линейная комбинация которых не дает
преобразований порядка 2 или выше относительно х — хо, у — уо, то есть эти
инфинитезимальные преобразования первого порядка должны иметь вид
(х - x0)q н— , (х - х0)р -{у- yo)q н— , {у- уо)р + • • •,
(х-хо)р- (y-yo)q + ---
или вид
(х - x0)q Н , (х - х0)р - {у - yo)q Н , {у- Уо)р + • • • ,
где в обоих случаях невыписанные члены должны иметь порядок 2 или
выше относительно х — хо, у — уо- Это немедленно следует из того, что
соответствующая линейная группа 2)i/, ...,2)r_m/ должна иметь один из
видов (3).
Но все конечные непрерывные группы, чьи инфинитезимальные
преобразования нулевого и первого порядка имеют один из только что
указанных видов, были найдены в главе 29 первого тома: нам нужно лишь
число п там положить равным двум. Таким образом, мы имеем следующий
результат.
Теорема 4. Если конечная непрерывная группа точечных
преобразований плоскости примитивна, то есть если она не оставляет инвариантным
никакое семейство кривых (р(х,у) = const, то она имеет либо пять, либо
шесть, либо восемь параметров и, соответственно, подобна либо особой
линейной группе
р, q, xq, xp - yq, yp,

либо общей линейной группе
р, g, xq, xp - yq, yp, xp + yq,
либо, наконец, общей проективной группе
р, q, xq, xp - yq, yp, xp + yq, x2p + xyq, xyp + y2q.
Итак, мы определили все типы примитивных групп плоскости и для
каждого из этих типов нашли по одному представителю. Как мы видим, в
плоскости существуют только три типа примитивных групп. Заметим
также, что рассуждения главы 29 из первого тома, примененные к двумерному
многообразию, доставляют все типы примитивных групп этого
многообразия, в то время как в случае одномерного многообразия они доставляют
вообще все типы групп (см. глава 1, стр. 11).
П. Импримитивные группы плоскости
§8
Пусть X\f ... Xrf — r-параметрическая импримитивная группа
плоскости, а </?(х, у) = const — некоторое семейство кривых, инвариантное
относительно этой группы. Тогда (ср. том I, стр. 139, предложение 1) имеют
место соотношения вида
Xk<P =^/с(™) (fc = 1...Г).
Если мы в качестве нового х возьмем if, то наша группа примет вид
Xkf = £k(x)p + r)k(x,y)q (fc = i...r),
где мы снова используем буквы £ и г). Легко увидеть, что переменная х под
действием группы X\f... Xrf преобразуется сама по себе, и притом точно
так же, как под действием группы, порожденной укороченными инфините-
зимальными преобразованиями
Хк/ = ЫФ (fe = l...r).

Эта новая группа изоморфна группе X\f... Xrf, поскольку очевидно, что
из соотношений
г
(XiXk) = Y,CiksXaf (t,fc = l...r)
3=1
следует
г
5=1
(ср. том I, стр. 307, предложение 4); однако, в общем случае этот
изоморфизм является мериедрическим, так как из независимости инфините-
зимальных преобразований X\f.. .Xrf никак не следует независимость
преобразований Xif... Xrf.
По теореме 1, стр. 6, группа Xif.. .Xrf, будучи группой
одномерного многообразия, может иметь не более трех параметров.
Следовательно, она является либо трех-, либо дву-, либо однопараметрической, либо,
наконец, нульпараметрической, то есть состоящей только из
тождественного преобразования; этот последний случай имеет место тогда, когда все
Xkf тождественно равны нулю. В соответствии с этим, группа X\f ... Xrf
преобразует кривые х = const либо трех-, либо дву-, либо однопараметри-
чески, либо же нульпараметрически, то есть вообще оставляет на месте.
Таким образом, мы будем различать четыре случая, которые мы сейчас
рассмотрим по порядку начиная с последнего.
Первый случай: кривые х = const преобразуются нульпараметрически,
то есть все X^f равны нулю. В этом случае группа X\f... Xrf содержит
г независимых инфинитезимальных преобразований вида
#i(z,y)g, ... Фг(х,г/)д.
Второй случай: кривые х = const преобразуются однопараметриче-
ски. Поскольку в этом случае группа X\f ... Xrf является
однопараметрической, по упомянутой выше теореме переменную х можно выбрать таким
образом, что каждое преобразование X^f будет иметь вид акр, а
преобразование Xkf, соответственно, вид акр + %(х, y)q9 где константы а\ ... аь
разумеется, не могут все одновременно равняться нулю. Отсюда видно, что
при таком выборе переменной х группа X\f.. .Xrf будет содержать г
независимых инфинитезимальных преобразований вида
$i{x,y)q, ... £r_i(x,y)g, p + r)(x,y)q.

Третий случай: кривые х = const преобразуются двупараметрически.
В этом случае по той же самой теореме переменную х можно выбрать так,
что каждое преобразование X^f будет иметь вид (а^ + Ь^х)р, где не все
выражения вида akbj—djbk равны нулю, поскольку группа X\f ... Xrf
является двупараметрической и, следовательно, должна содержать два
независимых инфинитезимальных преобразования. Теперь легко увидеть, что
при таком выборе переменной х группа X\f.. .Xrf будет содержать г
независимых инфинитезимальных преобразований вида
$\{x,y)q, ••• Фг_2(я,у)я, P + Vo(x,y)q, xp + Vi{x,y)q.
Четвертый случай: кривые х = const преобразуются трехпараметри-
чески. В этом случае переменную х можно выбрать таким образом, что в
группе X\f... Xrf найдется г независимых инфинитезимальных
преобразований вида
&i(x,y)q, ... <Pr-?>{x,y)q, P + Vo(x,y)q, хр + m{x,y)q,
x2p + r)2(x,y)q.
Итак, мы получили четыре класса импримитивных групп плоскости.
Каждая импримитивная группа плоскости при надлежащем выборе
переменных х, у попадает в один из этих классов. Поэтому, чтобы отыскать
все импримитивные группы, нужно просто для каждого из этих четырех
классов найти все принадлежащие ему группы.
Решение этой задачи можно существенно упростить, если принять во
внимание то, что, во-первых, посредством любого преобразования вида
х\ — constx, y\ — Q(x,y) (5)
каждая группа, принадлежащая одному из наших четырех классов,
переходит в группу, принадлежащую тому же самому классу, а во-вторых, каждая
r-параметрическая группа, принадлежащая одному из трех последних
классов, содержит (г — 1)-параметрическую подгруппу, которая принадлежит
предшествующему классу. В соответствии с этим, мы можем действовать
следующим образом.
Прежде всего мы найдем все группы вида
&i{x,y)q, ... &r(x,y)q
и с помощью преобразований вида (5) каждую из них приведем к
нормальному виду. Затем к каждой из полученных групп мы будем добавлять

наиболее общее преобразование вида р + rj(x,y)q так, чтобы снова
получить группу. Таким образом мы найдем все группы из второго класса, после
чего с помощью преобразований вида (5) мы каждую из них приведем к
нормальному виду. К полученным группам мы снова будем добавлять
наиболее общее преобразование вида хр + rji(x, y)q и опишем таким образом
группы из третьего класса, и наконец, добавляя к ним преобразование х2р+
+ щ(х, y)q, мы получим группы из четвертого класса.
Проделаем теперь соответствующие вычисления.
§ 9. Кривые х — const преобразуются
нульпараметрически
Здесь речь идет о том, чтобы найти все r-параметрические группы
вида
Xkf = <Pk(x,y)q (к = 1...г). (6)
Мы видим, что группа X\f... Xrf действует только на переменную у,
вообще не преобразуя переменную х. Поэтому, если мы положим
переменную х равной какому-либо постоянному значению а, мы вместо
преобразований Xkf получим преобразования
Xkf = <Pk(a,y)q (fc = l...r), (6')
которые порождают группу, изоморфную группе (6) и содержащую только
переменную у. В случае, когда константа а не принимает особых значений,
ни одно из инфинитезимальных преобразований Xkf не может
тождественно обращаться в нуль, и, следовательно, группа (6') не может состоять лишь
из тождественного преобразования. С другой стороны, по теореме 1, стр. 6,
эта группа содержит не более трех параметров. Мы будем говорить, что
группа вида (6) является группой первого, второго или третьего рода, если
группа (6') при некотором произвольном значении параметра а является
соответственно одно-, дву- или трехпараметрической.
Найдем теперь все группы первого, второго и третьего рода.
Если группа (6') является однопараметрической, то по теореме 1,
стр. 6, при подходящем выборе переменной у она принимает вид q;
другими словами, при замене переменной у в Xkf подходящей функцией 1?(а, у)
аргументов у и а инфинитезимальные преобразования Xkf принимают вид:
Xkf = Fk(a)-q (k = l...r).

Если теперь в группе (6) в качестве нового у ввести функцию 17 (х, у) (это
есть не что иное, как преобразование вида (5)), то эта группа примет вид:
Xkf = Fk{x).q (к = 1...т).
С другой стороны, ясно, что, какими бы ни были функции Fk, инфините-
зимальные преобразования вида
[1] \F1(x)q, F2(x)q, ... Fr(x)q
будут порождать г-параметрическую группу, правда, при условии, что не
выполняется никакое соотношение вида
ciFi(x)+ ... +CrFr{x) = 0
с постоянными коэффициентами. Итак, с помощью преобразований
вида (5) мы все группы первого рода привели к нормальному виду.
Пусть группа (6') теперь является двупараметрической, и значит, г >
1. Тогда, по уже неоднократно упомянутой теореме, при подходящем
выборе переменной у эта группа принимает вид q, yq. Для группы (б) это
означает, что при замене переменной у на подходящую функцию 17(х, у)
она принимает вид:
Xkf = {Fk(x) + Gk(x) -y}q (k = l...r).
Однако
(XiXk) = {FiGk - FkGi)q = Qik{x) • g,
где не все функции f2ik тождественно равны нулю, так как, если бы
Xif и Xkf при всех значениях ink удовлетворяли соотношениям вида
aik(x)Xif + /3ik(x)Xkf = 0, то, вопреки нашему предположению,
группа (6') была бы однопараметрической. Для любого j мы имеем:
{f2ikq, Xjf) = GjQikq,
и если в левой части этого уравнения мы вместо ftikq подставим GjQikq,
то мы получим G2jfiikq\ аналогично мы можем получить G^Q^q со сколь
угодно большим т. Отсюда следует, что все Gj должны быть
независимыми от х, поскольку в противном случае группа Xif... Xrf содержала бы
бесконечно много независимых друг от друга преобразований
ftikq, Gjfiikq, Gjfiikq ...,

что невозможно в силу конечности этой группы. Таким образом,
функции Gj постоянны, и инфинитезимальные преобразования нашей группы
имеют вид:
Xkf = {ску + Fk(x)}q (fc = l...r),
где ск, разумеется, не могут все одновременно равняться нулю. При этом
мы всегда можем считать, что постоянная сг не равна нулю. Выберем сгу -Ь
+ Fr(x) в качестве нового у; тогда Xrf = cryq, и наша группа содержит
г независимых инфинитезимальных преобразований вида
[2]
Fi(x)q, ... Fr-i{x)q, yq
(г>1)
Если, наконец, группа (6') является трехпараметрической, то, по все
той же теореме 1, стр. 6, при подходящем выборе переменной у она
принимает вид q, yq, y2q. При этом, в качестве нового у всегда можно выбрать
такую функцию J?(x, у), что группа (6) предстанет в виде
Xkf = Wk{x) +У-Хк(х) +У2 'Фк{х)}я (к = 1...г).
Заметим теперь, что при коммутировании любых двух инфинитезимальных
преобразований Xif и Xkf переменная х ведет себя как константа и что
Qi VQ-» y2Q удовлетворяют соотношениям
(0, УЧ) = Ъ («, У2Я) = 2yq, {yq, y2q) = y2q.
Следовательно, к любым трем из инфинитезимальных преобразований Xkf
применимо предложение 1, стр. 18, а значит, любые Xif, Xkf и Xjf
удовлетворяют тождеству
{(XiXk), (XiXj)) = 2
4>г Хг Фг
Ц>к Хк Фк
4>з Xj Фз
Xif = 2AikjXif.
Если в этом тождестве вместо Xif подставить AikjXif, то мы получим
AfkjXif. Аналогичным образом можно получить преобразования A\k-Xif
и т.д., каждое из которых должно принадлежать группе X\f.. .Xrf.
Отсюда следует, что все Aikj должны быть константами: Aikj — Cikj\ кроме

того, из тождества
\Xif <fi Хг Фг\
\Xkf 4>к Хк W=o
\Xjf 4>j Xj ФА
\Xsf (fs Xs Фз\
следует, что для любых четырех из инфинитезимальных преобразований
X\f ... Xrf выполняется соотношение
CkjsXif — CijgXfcf + CiksXjf — CikjXsj = 0.
Постоянные A^j не могут все одновременно равняться нулю, поскольку
в противном случае группа (6') не была бы трехпараметрической.
Поэтому можно считать, что постоянная Л123 = Ci23 не равна нулю. Но тогда
из последнего уравнения мгновенно вытекает, что X±f... Xrf
выражаются через X\f, X2/, Xsf в виде линейных комбинаций с постоянными
коэффициентами и что, следовательно, группа (6), как и соответствующая
группа (6'), содержит только три независимых инфинитезимальных
преобразования. Случай г > 3, таким образом, исключается, и остается лишь
случай г = 3.
Итак, у нас есть трехпараметрическая группа
Xkf = (Ы*) + УХк(х) + У2фк(х)) q (к = 1, 2,3),
которую мы с помощью преобразований вида (5) должны привести к как
можно более простому нормальному виду. С этой целью вспомним, что
наша группа, в соответствии с предложением 5, том I, стр. 591, непременно
содержит двупараметрические подгруппы. Предположим для простоты, что
такая подгруппа порождается преобразованиями X\f и Х2/.
Как мы уже знаем, определитель J2 ±<£ 1X2^3 не равен нулю, и
поэтому инфинитезимальные преобразования
Хк/ = {4>k{a) + УХк(а) + у2фк(а)}я (к = 1,2)
независимы друг от друга и порождают двупараметрическую группу. Но
эта группа проективна и, следовательно, сопряжена в общей проективной
группе одномерного многообразия у группе q, yq (см. теорема 2, стр. 17).
Отсюда следует, что при замене переменной у на подходящую функцию
вида
а(х)у + (3(х)
*у(х)у + 6(х)

группа X\f, X2f принимает вид:
XJ = {Fx(x) +yG!(x)}g, X2f = {F2(x)+yG2(x)}q.
Как и выше (стр. 40), нетрудно показать, что функции G\ и G2 являются
постоянными и что при подходящем выборе переменной у группа X\f, X2f
записывается в виде Fi(x)q, yq. Выбрав, наконец, в качестве нового у
функцию у J F\(x), можно достичь того, что F\(x) будет единичной
функцией. В новых переменных х, у группа X\f, X2f, X3f имеет вид
q, yq, X3f = {if(x) + yx(x) + y2rp(x)}q,
поскольку все преобразования, которыми мы пользовались, имеют вид
\(х)у + ц(х)
Х\ = X, уг
г/(х)у + р(х)'
и следовательно, в исходном выражении для X%f они изменяют лишь вид
функций (£з5 Фз, Хз- Мы имеем
{Я,Х3/) = {Х(х)+2уф{х))д, (1)
(<7, (q, X3f)) = 2ф(х)д, (2)
откуда следует, что функции ф(х) и х(х) должны быть постоянными.
Наконец, из равенства
(yq, X3f) = -ip(x)q + у2 • ip(x)q
следует, что функция ip(x) также постоянна.
Таким образом, мы доказали, что всякую группу третьего рода с
помощью некоторого преобразования (5) можно привести к виду
[3]
<?, УЪ У2Я
§ 10. Кривые х = const преобразуются
однопараметрически
В соответствии с программой, приведенной на стр. 38, нам нужно
лишь к каждой из групп, полученных в предыдущем параграфе, добавить

преобразование р + r)(x,y)q и найти наиболее общий вид функции г), при
котором снова получится группа.
Прежде всего мы попытаемся привести к нормальному виду г-параме-
трические группы вида
Fi(x)g,...Fr_i(x)g, V + r)(x,y)q.
Если г = 1, то выберем в качестве нового у какое-либо решение cj(x, у)
дифференциального уравнения
duj duo
дх ду
в результате мы получаем группу
[4] fp
Если г > 1, то должно иметь место равенство вида
г-1
(р + щ, Fiq) = ^ CjfcFfc • q,
так как выражение, стоящее слева, не зависит от р. Тогда
г-1
10у
F^-^ = T,c^
fc=l
откуда следует, что функция rj линейна по у:
ri = y<p(x) + x(x).
Положив
xi = х, J/1 = уа(х) + /?(х),
мы получим
р + Щ = Pi + (уа'(х) + /?'(х) + а • 77)91;
если мы теперь выберем а и /3 так, что
а' + ау> = 0, /3' + ах = 0

(а это можно сделать всегда), то р+щ примет вид рь Кроме того, поскольку
остальные инфинитезимальные преобразования нашей группы при такой
замене переменных переходят в преобразования того же вида, то эта группа
теперь предстает в виде
Fi(x)q, .. .Fr-i(x)q, p.
Наконец, из равенства (р, Fiq) — F[q вытекает, что функции Fi должны
удовлетворять системе обыкновенных дифференциальных уравнений вида
dFz Ul
(г = l...r — 1).
k=l
При этом константы с^ могут быть совершенно произвольными, так как
тождество Якоби, примененное к инфинитезимальным преобразованиям
нашей группы, не дает никаких соотношений на сц~.
По известной теореме, все F\.. . Fr_\ должны удовлетворять
некоторому однородному линейному дифференциальному уравнению порядка г —
— 1 с постоянными коэффициентами:
dr~lF „ dr~2F „ dF „ ^ л
dx
' dx'
dx
Следовательно, мы можем заменить F\.. . Fr_i на частные решения
этого уравнения. Эти частные решения можно выписать в виде нескольких,
скажем I > 0, наборов вида
С^ ч vt/ С^ * • • • vt/ С*- ч
О * Лу О * • • • Лу О *
где а.\... щ — отличные друг от друга константы, a mi... raj —
неотрицательные целые числа, которые в сумме дают г —1 — 1. Таким образом, наша
группа имеет вид
[5]
e°"-xq, xe°"-xq,
x2eakXq, ... xmkeakXq, p
(fc=l,2. . .1; l>0)

Обратимся теперь к группам вида
Fi(x)g,...Fr(x)g, yq, p + r){x,y)q,
где, в соответствии со сказанным на стр. 40, число г должно быть больше
нуля.
Мы имеем
v - Уд- )q = cyq + Yl CkFk(i
и
(р + щ, Fiq) = (f[{x) - Fi^j q = Cm + Y, CikFkq.
Из последнего уравнения видно, что т\ имеет вид а(х) + у(3(х) + у2,у(х).
Подставив это выражение в первое уравнение, мы мгновенно получим, что
г
7(х) = 0, с = 0, а(х) = J2 CkFk(x).
к=1
Заменим теперь инфинитезимальное преобразование р + yq на
р+ (^~YCkF4 =V + Vl3{x)q\
^ /с=1 '
затем введем в качестве нового у выражение у\ = у • ф(х) и получим
p + yfiq = p+ ; qi.
Ф
Выбрав, наконец, функцию ф так, что ф' + (Зф = 0, мы получим просто р.
Поскольку остальные инфинитезимальные преобразования при такой
замене переменных изменяются несущественно, наша группа имеет вид
Fi(x)q,... Fr(x)q, p, yq.
Первые г + 1 инфинитезимальных преобразований, очевидно, порождают
подгруппу, которая, в соответствии со сказанным выше, имеет вид [5];
таким образом, мы получаем группу
[6]
e°"-xq, xe°"-xq, ... xm>-ea>-xq, yq, p
(fc=l,2.. Л; />0)

Рассмотрим теперь группы
9, »«, у2ъ v + v{x,y)(i-
Мы имеем
(д, р + т?д) = — g = (a + 2by + 3cy2)g,
(1/9, Р + W) = ( У^ - V J 9 = (a + 0V + 7У2)9,
где а, 6, с, а, /3, 7 — константы. Из первого уравнения следует, что
ту = <р(х) + ay + by2 + су3.
Подставив это выражение во второе уравнение, мы получим, что с = О,
а (^(х) = const. Таким образом, наша группа порождается следующими
четырьмя инфинитезимальными преобразованиями:
ОТ
9, У9, У 9, Р
§ 11. Кривые ж = const преобразуются
двупараметрически
Здесь к каждой из полученных в § 10 групп мы должны добавить ин-
финитезимальное преобразование вида хр + ту(х, y)q.
Сперва рассмотрим группу
Мы имеем
р, xp + r](x,y)q.
(р, хр + щ) = р + —д,
<9т7
и следовательно — = 0, то есть г] = ip(y). Рассмотрим отдельно два слу-
дх
чая: (р = 0 и (р ^ 0.В первом из этих случаев мы получаем группу
И
р, хр
Во втором случае заменим у на у\ = ^(у); тогда
хр + <р(у)д = хр + (р-ф' -qi.

Если мы теперь выберем ф так, что (рф' = 1, то мы получим группу
[9] р, xp + q
Далее, найдем все группы вида
eakXq, xeakXq, ... xvrikeOLkXq, р, xp + r)(x,y)q
(fc=l,2. . .)•
Запишем их для краткости в виде
Fi(x)q, ...Fr(x)q, р, xp + rjq (г > 0).
Из соотношений
(р, хр + щ)=р+ —q = р + 5Zа***?'
(хр + щ, Ftq) = Uf[(x) - Fi-^j q = J2bikFkq
следует, что
откуда т/>;(х) = 0 и
г
r/ = q/ + y?(x), <р'(х) = ^2akFk(x).
k=l
Если мы теперь в преобразовании {xF[ — cF{)q вместо Fi подставим
выражение хШк еакХ, то мы получим преобразование
akxmk+1eCXkXq + (mk - с)хШк eOLkXq,
которое может принадлежать нашей группе только тогда, когда постоянная
ак равна нулю. Поэтому г инфинитезимальных преобразований Fkq имеют
очень простой вид:
g, xq, x2q, ... xr~lq\

кроме того,
r-l
ту = су + Y] тг^\хк+1 + const
или просто
ту = су + hxr,
так как все остальные члены можно отбросить благодаря наличию
преобразований F^q. Положим теперь
хг = х, у\ = у + ахг;
при этом совокупность всех линейных комбинаций инфинитезимальных
преобразований g, хд, ... xr~1q, V не изменится, а преобразование xp+rjq
примет вид
хр + Щ = xpi + {су + (or + h)xr}qi
= Я1Р1 + {cyi + (h + ar - ac)xr1}qi.
Если с / г, то подходящим выбором постоянной а мы можем добиться
того, чтобы h + а(г — с) = 0, и тем самым получить группу
g, хд, ... xr_1g, р, хр + суд
(г>0)
Если же с = г, то мы всегда можем считать, что число h не равно нулю,
так как в противном случае мы приходим к только что найденной группе.
Возьмем в качестве нового х выражение х<Лг и получим группу
д, хд, ... хг_1д, р, хр + (гу + хг)д
(г>0)
Перейдем теперь к группам
eaAXg, xeakXq, ... хт/>еа,>хд, уд, р, хр + гу(х,у)д
(fc=l,2. . .)•
Для краткости запишем их в виде
Fi (x)g, ... Fr (x)g, yg, p, xp + r?g (r > 0).
[10]

Мы имеем
(yq, xp + rjq) = (у— - rj) q = ayq + ^akFkq,
(F4g, xp + щ) = Ы^- - xF[{x)\ q = byq + Yl b^F^
откуда легко следует, что
г
а = О, ту = уа(х) - ^ akFk(x).
к=\
Очевидно, что вместо xp + rjq можно выбрать xp + ya(x)q\ при этом
(р, хр + yaq) = р + уахд
г
= р + суд + ^ ckFk(x)q,
fe=i
и следовательно, все с*; равны нулю, а а = сх + const, где константу
интегрирования можно сразу же отбросить. Введем теперь вместо у и х новые
переменные у\ = уе~сх и х\ = х\ тогда
P = Pi- cye~cxqi =pi- cyiqi
Я = e~cxq\ = e~CXlqu yq = yi?i,
то есть преобразования F^g, yq после этой замены переменных имеют по
существу тот же вид, что и до нее, в то время как
ХР + Щ — ХР + cxyq
переходит в х\р\. Как и в предыдущем случае, можно показать, что
Fig, ... Frq должны иметь вид д, хд, ... хг_1д. Таким образом, мы
приходим к следующей группе:
[12]
д, хд, ... хт хд, yq, р, хр
(г>0)
Остается рассмотреть группы
<?, ОТ, V2q, P, xp + r}(x,y)q.

Из первого из уравнений
(q, хр + од) = —q =(a + 2by + Scy2)q
ду
(yq, хр + од) = (у— -r})q = (a + Py + -/y2)q
следует, что
г} = (р(х) + ay + by2 + q/3,
а из второго мы имеем с — О, ip — const. Поэтому функцию ту можно
положить равной нулю, и наша группа принимает вид:
[13] g, ОД, y2q, р, хр
§ 12. Кривые ж = const преобразуются
трехпараметрически
Теперь к каждой из групп, полученных в § 11, мы должны добавить
преобразование вида х2р + rj(x,y)q.
В случае
р, хр, x2p + r](x,y)q
имеют место уравнения
дт]
(р, хАр + од) = 2хр + — ? = 2хр,
/2 ч 2 ^7? 2
(хр, х р + од) = х р + x—q = х р + од.
ох
Следовательно, и ^, и сама функция ту равны нулю, и остается лишь
группа
[14] р, хр, х2р
Вводя еу в качестве нового у, мы можем вместо р, хр + q писать
р, хр + yq. Следовательно, нам нужно рассмотреть группы вида
р, xp + yq, x2p + rj(x,y)q.

Мы имеем
откуда
/2 n dv
(р, х р + ад) = 2хр + — q,
/ 2 ч 2 / дг) дг) .
(хр + уд, х р + од) - х р + I х— + у- г] ] q,
дг} л дг) дт) п
то есть функция ту должна иметь вид 2ху+ф(у) и быть при этом однородной
функцией степени 2: ту = 2ху + су2. Если с равняется нулю, то введя в
качестве нового у выражение у/у, мы получим группу
[15] р, 2хр + yq, х2р + xyq
Если же с не равно нулю, заменим у на by; при этом преобразование у<? не
изменится, а у2<? перейдет в \y2q. Положив b — с, мы получим
[16] р, хр + ОТ, х2р + (2ху + у2)^
Чтобы найти все группы вида
q, xq, ... xr~lq, p, xp + cyq, x2p + r}(x,y)q (r > 0),
составим уравнения
977
r-l
(9, х2р + ад) = — q = ^ a*x*g,
ду
/с=0
(р, х2р + ад) = 2хр + —^ = 2хр + I 2су + ^2 bkxk J q,
из которых следует
r-l
7? = <р(х) + у^аА:х/с
fc=0
r-l
bfc
^(у) + 2сху + J] ^Yx/C+1
fc=0

Сравнивая эти два выражения, мы получаем
г
V = а0у + 2сху + ^2 9ьхк\
к=0
поскольку <?о> д\ • • -gr-i можно положить равными нулю, мы можем
считать, что
V = aQy + 2сху + дхг.
Но
(хр + суд, х2р + щ) = х2р + {2сху + g(r — c)xr}q
r-l
и следовательно,
= х2р + щ + ^ л*х*д,
fc=0
а0 = 0, р(г-с-1) = 0.
С другой стороны,
{xr~1q, х2р + ад) = {(1 - r)xr + 2cxr}q
r-l
fc=0
Следовательно, г — 1 = 2с, то есть если г > 1, то г — с— 1 не может
равняться нулю, и тогда д = 0. Объединяя случаи г > 1 и г = 1, р = 0, мы
получаем группу
[17]
q, xq, ... xr q, p, 2xp + (r — l)yg, x p + (r - l)xyg
(r>0)
В случае же г = 1, д ф 0, мы получаем группу
д, р, хр, x2p + gxq,
которая после замены переменной у на еу/д принимает вид
[18]
yq, р, хр, х р + худ

Определим теперь все группы вида
q, xq, ... xr~lq, p, xp + (ry + xr)q, x2p + rj(x, y)q (г > 0).
Для этого составим уравнения
д r_1
(р, х2р + щ) = 2хр+—q = 2хр + 2(гу + xr)q + ^ a^xkq,
дх
к=о
г-1
(q, х2р + щ) = ^-q = ^2 bkxhq.
) =
Из них следует, что
г-1
ту = (р(х) +У^2 Ькхк
к=0
г-1
= ф(у) + 2 (^ + — J + £ ^-Х*
/с=0
Сравнивая эти два выражения, мы получаем
2xr+1
V = ^оУ + 2гх?/ + ахг +
г+ 1
где для краткости мы отбросили лишние члены, содержащие х°, х1, ... хт 1.
Далее, имеет место соотношение
[xp + {ry + ^r}g, х2р + од) = х2р + I 2rxy + b0xr Н —xr+1 j q,
правая часть которого, очевидно, должна иметь вид х2р + щ, и
следовательно,
г -\- г
bo = а = 0, = г = 0.
г + 1
Но это невозможно, поскольку число г должно быть больше нуля. Таким
образом, групп данного вида вообще не существует.
Перейдем теперь к группам
g, xq, ... xr~lq, yq, p, xp, x2p + r)(x,y)q (r > 0).

Уравнения
дт)
r-l
/2 \ иЧ V^4 к
(р, ip + щ) = 2хр + т— q = 2хр + > акх q + ayg,
ax f—'
fc=o
(g, x2p + ад) = —-q = ^2 ЬьхкЯ + &УЯ,
(yq, xzp + щ) = [ у— -ri)q =
fc=0
r-l
^ cfcxfcg + -yyq
k=0
показывают, что функция rj после удаления излишних членов вида ^ д№к+
+ /гу принимает вид т/ = аху. Кроме того, мы имеем
(xr q, х р + аху q) = (1 — г)хгд + axrq,
и это выражение должно равняться нулю, так как наша группа не содержит
преобразование xrq. Таким образом, а = г — 1, и мы получаем группу
[19]
q, xq, ... xr lq, yq, p, xp, x2p + (r - l)sj/g
(r>0)
Остается еще рассмотреть группы вида
Я, УЯ, У2Я, V, хр, x2p + r)(x,y)q.
Мы имеем
(q, х2р + щ) = —q = (a + 2by + 3q/2)g,
(уд, х2р + од) = U^5 _ rj \ q = (a + /fy + 7y2)g
Первое из этих уравнений показывает, что rj имеет вид <р(х) +ау + Ьу2+су3,
а из второго следует, что с равняется нулю и что функция (р(х) постоянна.
Таким образом, мы получили группу
[20]
Я, УЯ, У2Я, V, хр, х2р
Итак, мы привели все импримитивные группы преобразований
плоскости к нормальному виду.

§13
Пока мы продвинулись в нахождении всех импримитивных групп
плоскости ровно настолько, чтобы утверждать, что каждая импримитив-
ная группа плоскости подобна относительно некоторого точечного
преобразования плоскости одной из групп, найденных в §§9-12. Однако,
поставленная нами на стр. 29 цель для случая импримитивных групп еще не
достигнута. Все дело в том, что для каждого типа импримитивных групп
плоскости мы должны указать ровно по одному представителю, в то
время как легко увидеть, что в §§9-12 многие типы представлены более чем
одной группой.
Например, группа [14] посредством преобразования х\ = у, у\ — х
переходит в группу [3], и следовательно, обе эти группы представляют один
и тот же тип. Посредством этого же самого преобразования группа [4]
переходит в одну из групп [1], группа [8] — в одну из групп [2], и т.д.
Кроме того, мы покажем, что можно частично избавиться от
встречающихся в наших группах произвольных функциональных символов и что,
следовательно, количество типов импримитивных групп плоскости не так
велико, как может показаться по количеству этих символов.
Начнем с групп [1] (стр. 39) и попытаемся установить, каким
различным типам групп они принадлежат.
С этой целью мы должны прежде всего найти все точечные
преобразования вида х\ = а(х,у), у\ = /3(ж,у), которые оставляют на месте
совокупность всех групп [1], то есть при которых каждая г-параметрическая
группа вида
F!(x)«, ...Fr(ar)9 (A)
переходит в группу вида
5i{xi)qu ...ffr(*i)9i- (В)
Группа (А) при замене переменных ж, у на xi, у\ принимает следующий
вид:
Fk(x)^Pl+Fk{x)^qi (fc = l...r), (А')
где коэффициенты перед р\ и qi должны быть выражены через х\ и уг.
Группа (А') имеет вид (В) тогда и только тогда, когда функция ау
тождественно обращается в нуль, а функция /Зу зависит только от х. Поэтому

наиболее общее точечное преобразование, оставляющее на месте
совокупность всех групп [1], имеет вид
xi = (p(x), yi =ух(х) +ф(х). (С)
Под действием такого преобразования группа (А) принимает вид
Fi{x)X{x)qu...Fr{x)x{x)qu (A")
где нужно еще переменную х с помощью уравнения х\ = (р(х) выразить
через х\. Отсюда видно, что функция ф(х) из преобразования (С) никак не
влияет на вид получаемой группы (А"). Следовательно, нам нужны не все
преобразования (С), а лишь те, для которых функция ф(х) равна нулю.
Пусть заданы две произвольные г-параметрические группы вида [1],
скажем (А) и (В). Для того, чтобы эти группы принадлежали одному и
тому же типу, необходимо и достаточно, чтобы одна из них была подобна
другой относительно преобразования вида
xi = (p(x), J/1 = ух(х), (С")
то есть чтобы группа {А"), в которой, естественно, переменную х нужно
еще выразить через xi, при подходящем выборе функций (р(х) и х(х)
совпадала с группой (В). Для этого, в свою очередь, необходимо и достаточно,
чтобы с учетом (С) тождественно выполнялись г соотношений вида
г
$k{xi)qi = ^jCkjFj{x)x{x)qi (fc = l...r),
3 = 1
где константы Ckj таковы, что составленный из них определитель не равен
нулю. Таким образом, вопрос о том, принадлежат ли группы (А) и (В)
одному и тому же типу, сводится к тому, чтобы выяснить, обращаются ли
уравнения
г
Ы^1)=Х(х)^2ск^{х) {к = 1...г) (D)
j=i
в тождества, если вместо х\ и х подставить некоторые функции от х, а
константы с^ выбрать так, чтобы составленный из них определитель не
равнялся нулю; при этом функция х\ должна, разумеется, быть
произвольной функцией переменной х, в то время как х может сводится к отличной
от нуля константе.

Решение вопроса о том, могут ли уравнения (D) выполняться при всех
поставленных выше условиях, хотя и не представляет никаких трудностей
с теоретической точки зрения, на практике может оказаться не таким
простым делом, главным образом, из-за наличия г2 неизвестных констант Ckj.
Поэтому не будет лишним привести еще один метод, который также
позволяет выяснить, принадлежат ли группы (А) и (В) одному и тому же типу,
не требуя при этом введения констант с^.
Прежде всего заметим, что наиболее общее инфинитезимальное
преобразование группы (А)
^ekFk(x)q = F(x)q
к=1
можно задать посредством некоторого обыкновенного дифференциального
уравнения порядка г, поскольку очевидно, что F(x) является общим
решением однородного линейного дифференциального уравнения вида
drF dr~1F dF
-d^ + ai{x)i^+---+ar-l{x)i^+ar{x)F = 0- {E)
Точно так же общее инфинитезимальное преобразование группы (В) имеет
вид
г
5^eAr&t(si)gi =$(xi)qu
k=l
и функция $(xi) является общим решением дифференциального уравнения
вида
4+,1(11)з^+-+—(ii)^+Mi'»-°- {G)
Но под действием преобразования (С) общее инфинитезимальное
преобразование F(x)q переходит в преобразование F(x)x(x)qu и все зависит от
того, является ли последнее общим инфинитезимальным преобразованием
группы (В), то есть, является ли функция F(x)x(x)> представленная как
функция от х\, общим решением дифференциального уравнения (G).
Поэтому группы (А) и (В) принадлежат одному и тому же типу тогда и только
тогда, когда найдется преобразование вида
xi=¥>(x), 3r = F.X(x), (Я)

при котором дифференциальное уравнение (Е) переходит в
уравнение (G)*. Если известны уравнения (Е) и (G), то, с теоретической точки
зрения, выяснить, существует ли такое преобразование, совсем несложно.
Нужно к уравнению (Е) применить преобразование (Н) и потребовать,
чтобы получившееся уравнение имело вид (G). Таким образом мы
получим ряд обыкновенных дифференциальных уравнений относительно (р(х)
и х{х)> Для которых всегда можно проверить, являются они совместными
или нет, а также установить могут ли они выполняться, если функция (р не
равна константе.
Итак, задача о нахождении всех различных типов г-параметрических
групп вида [1] свелась к изучению инвариантных свойств линейного
дифференциального уравнения (Е) порядка г по отношению ко всем
преобразованиям вида (Н). Однако мы не собираемся заниматься этой задачей,
поскольку это завело бы нас слишком далеко в сторону. Отметим лишь, что
при ее решении важную роль играет вопрос о том, допускает ли
дифференциальное уравнение (Е) некоторое инфинитезимальное преобразование
вида 5х — £(x)5t, 5F — F • Q(x)5t с ненулевой функцией £.
Не оставим, однако, без внимания другое обстоятельство. В наиболее
общий вид r-параметрической группы из семейства [1] входят г
произвольных функций, а для того, чтобы упростить вид этой группы, в нашем
распоряжении имеется всего две произвольные функции из преобразования (С).
Поэтому с самого начала ясно, что из г произвольных функций, входящих
в инфинитезимальные преобразования группы
F1{x)q,...Fr{x)q, (A)
мы сможем исключить ровно две. В самом деле, если в качестве нового у
ввести выражение F 1х)у, то группа (А) перейдет в группу
F2(x) Fr{x)
Fi{x) Fi(x)
Если при этом г > 1, то мы можем выбрать функцию F2\Zl, которая точно
* Первым, кто занимался вопросом о том, при каких условиях дифференциальное
уравнение (Е) посредством преобразования вида (Н) переходит в уравнение (G), был Лагерр.
После него теорией инвариантов линейного дифференциального уравнения (Е) по отношению
ко всем преобразованиям (Н) занималось еще несколько математиков, в том числе Альфан.
Эта теория имеет много пересечений с общей теорией конечных и бесконечных групп
преобразований.

не является постоянной, в качестве нового х; мы получим группу вида
q, xq, 0!(x)q, ... Фг-2{х)д {г ^ 2).
Таким образом, группы [1] можно заменить следующими группами:
I1'] И
q, xq, 0i{x)q, .. .Фг-2{х)д, (г ^ 2)
Здесь все г — 2 произвольных функций Ф являются, в известном смысле,
существенными, то есть ни одна из них не может быть исключена
посредством замены переменных.
Результаты, полученные для групп [1], немедленно переносятся на
случай групп [2] (стр. 40), так как совокупность всех групп [2] также остается
на месте под действием преобразований вида (С). Нам не нужно,
следовательно, останавливаться на вопросе о том, какие различные типы
представлены этими группами. Отметим только, что группы [2] можно заменить
группами
[2'] \q,yq\ Q, xq, Фг(х)д, ... Фг-2(х^, yq, (r ^ 2)
где г — 2 произвольных функции Ф являются существенными в указанном
выше смысле.
Вид групп [б] (стр. 45) также можно упростить. А именно, всегда
можно добиться того, чтобы некоторая константа а^ обращалась в нуль.
Действительно, пусть все otk не равны нулю; тогда при замене переменной у
на ye~aiX инфинитезимальные преобразования
переходят в
e°^xq, xeaiXq, ...xmieaiXq, xveOLkXq
q, xq, ...xmiq, x"e{ak-ai)xq,
в то время как yq не изменяется, а p принимает вид р — a\yq. Поэтому
группы [6] можно заменить следующими группами:
[6']
Остается еще отметить, что в группах [5] (стр. 44), а также в
группах [б'] один из ненулевых коэффициентов всегда можно сделать равным 1.
Если, например, а\ ^ 0, то нужно всего лишь в качестве нового х взять
а\х.
q, xq, .
..xmq,
eakXq, xeakXq,...xmkeakXq, yq,
(fc=l,2. . .1; l>0)
V

§14
В следующей главе мы подробно исследуем, каким различным типам
принадлежат группы, найденные в §§ 9-13, и сможем тогда предъявить
таблицу, которая для каждого типа будет содержать ровно по одному
представителю. Пока же мы ограничимся тем, что соберем вместе все полученные
нами различные типы одно-, дву-, трех- и четырехпараметрических групп,
не забыв при этом учесть замечания из § 13. Эти типы представлены
следующими группами:
I) Однопараметрические группы: Vq\.
И) Двупараметрические группы:
а) транзитивные:
Р, Я
р, xp + yq
q, xq
b) интранзитивные:
III) Трехпараметрические группы:
а) транзитивные:
<1, УЯ
exq, eaxq, p
(с**1,0)
exq, xexq, p\ \q, exq, p\ \q, xq, p
q, p, xp + cyq\ q, p, xp + (x + y)q
p, 2xp + yq, x2p-\-xyq
p, xp + yq, x p+ (2xy + y )q
b) интранзитивные:
q, xq, F(x)q
9, xq, yq
Я, УЯ, У Я
IV) Четырехпараметрические группы:
а) транзитивные:
exq, eaxq, e^q, p
(а,^0, 1; а?0)
e"q, xe"q, e^q, p
(с^0,1)
exq, xexq, x2exq, p
q, exq, eaxq, p
(c*^0, 1)
q, exq, xexq, p
q, xq, e~q, p
q, xq, x q, p
q, e q, yq, p\ q, xq, yq, p
я, yq, у q, v

q, xq, p, xp + cyq
q, xq, p, xp + (2y + x2)q
q, yq, p, xp
yq, p, xp, x p-\- xyq
b) интранзитивные:
q, xq, Fx(x)q, F2(x)q\ \q, xq, F(x), yq
От встречающихся в этой таблице произвольных постоянных и
произвольных функций избавиться нельзя; в этом можно легко убедиться в
каждом отдельном случае. Следовательно, каждый тип одно-, дву-, трех- и
четырехпараметрических групп плоскости представлен в нашей таблице по
существу ровно одной группой.

Глава 4
Классификация конечных непрерывных
групп точечных преобразований
плоскости
В предыдущей главе мы рассматривали примитивные группы
плоскости отдельно от импримитивных. Мы доказали, что всего существует три
различных типа примитивных групп, и для каждого из этих типов указали
по одному представителю. Однако нам пока не удалось выяснить
количество типов импримитивных групп; мы знаем лишь, что для каждого типа
импримитивных групп у нас есть по меньшей мере по одному
представителю. Следовательно, результаты предыдущей главы не являются
классификацией в истинном смысле этого слова, а представляют собой лишь
подразделение всех импримитивных групп на некоторые классы, при
котором одна и та же импримитивная группа вполне может принадлежать двум
различным классам.
В самом деле, мы исходили из того, что каждая импримитивная группа
плоскости оставляет на месте некоторое семейство оо1 кривых. Из всех
инвариантных относительно группы семейств оо1 кривых мы выбрали лишь
одно и причисляли группу к первому, второму, третьему или четвертому
классу в зависимости от того, преобразует она это семейство нуль-, одно-,
дву- или трехпараметрически. Но если некоторая группа оставляет на месте
два различных семейства оо1 кривых, то вполне может случиться так, что
она кривые одного семейства преобразует, скажем, однопараметрически, а
кривые второго семейства — двупараметрически, то есть что она
принадлежит как второму, так и третьему классу.
Итак, нам нужно найти некоторый признак, который бы позволил нам
разбить все импримитивные группы плоскости на классы так, чтобы
каждая импримитивная группа принадлежала ровно одному из этих классов.
Таким признаком может служить число всех инвариантных относительно

данной группы семейств оо кривых. Выясним прежде всего, сколько
инвариантных семейств оо1 кривых может иметь импримитивная группа.
§15
Пусть задана r-параметрическая импримитивная группа
Xkf = £k(x,y)p + r]k(x,y)q (fc = l...r)
и некоторая точка xq, у о общего положения. Построим определенную на
стр. 33 линейную однородную группу
Ф*/ = (А*ж' + МУ'У + ("кх' + pky')q'
(к = 1.. .г — га),
которая, если ограничиться теми преобразованиями из группы X\f... Xrf,
которые оставляют на месте точку хо, Уо, показывает, как преобразуются
оо1 линейных элементов х' : у', проходящих через точку xq, yo-
Поскольку мы предполагаем, что группа X\f.. .Xrf импримитивна,
линейная однородная группа 2)i/... 2)r_m/ оставляет на месте по крайней
мере один линейный элемент х' : у', проходящий через точку хо, уо (ср.
стр. 32-33). В соответствии со сказанным на стр. 27-28, здесь существует
несколько возможностей. А именно, либо группа 2)i/... %)r-mf оставляет
на месте один единственный линейный элемент, либо два различных, либо,
наконец, вообще каждый из оо1 линейных элементов, проходящих через
точку хо, yol если она имеет лишь один инвариантный линейный элемент,
то может так случиться, что этот линейный элемент будет двойным, то есть
будет состоять из двух совпадающих линейных элементов.
Посмотрим, что это означает для группы X\f... Xrf.
Если группа 2)i/.. -2)r-m/ оставляет на месте всего один
проходящий через точку xq, уо линейный элемент, то группа X\f .. . Xrf
оставляет инвариантным ровно одно обыкновенное дифференциальное уравнение
первого порядка:
а(х, y)dy - /?(х, y)dx = О
и, следовательно, ровно одно семейство оо1 кривых: </?(х, у) = const. В
частности, если наш инвариантный линейный элемент является двойным,
то полученное инвариантное дифференциальное уравнение и
соответствующее инвариантное семейство кривых также должны рассматриваться как

двойные; в этом случае группа X\f... Xrf оставляет на месте два
совпадающих или, если угодно, два бесконечно близких семейства оо1 кривых.
Если группа 2)i/... 2)r-m/ оставляет на месте ровно два различных
линейных элемента, проходящих через точку хо, Усь то группа X\f... Xrf
оставляет инвариантными в точности два различных обыкновенных
дифференциальных уравнения первого порядка и, следовательно, ровно два
различных семейства оо1 кривых.
Если, наконец, группа 2)i/... 2)r-m/ оставляет на месте каждый
проходящий через точку хо, уо линейный элемент, то в зависимости от того,
является группа X\f... Xrf транзитивной или нет, возможны два случая.
В первом случае каждый из оо1 инвариантных линейных элементов под
действием расширенной группы X[f.. .X'Tj (см. стр. 31) принимает оо2
положений, совокупность которых, очевидно, определяет инвариантное
относительно группы X\j... Xrf дифференциальное уравнение первого
порядка: a(x,y)dy — /3(х, y)dx — 0; таким образом, всего существует со1
дифференциальных уравнений первого порядка, инвариантных относительно
группы Xif...Xrf:
~( dv\
Ф I х, у, — I = const
и, следовательно, оо1 различных инвариантных семейств кривых, каждое
из которых состоит из оо1 кривых. Во втором случае каждый из оо1
инвариантных линейных элементов под действием группы X[f ... X'Tf
принимает только оо1 различных положений, и следовательно, все оо3 линейных
элементов плоскости могут быть представлены в виде оо2 инвариантных
семейств, задаваемых двумя уравнениями вида
при этом функции х и Ф не могут одновременно не зависеть от ^-, так
как в противном случае группа X\f... Xrf должна была бы оставлять на
месте каждую точку плоскости. В этом случае группа Xif... Xrf
оставляет инвариантными оо°° различных дифференциальных уравнений первого
порядка и, следовательно, оо°° различных семейств оо1 кривых. Легко
увидеть, что соответствующие дифференциальные уравнения задаются
уравнением вида
4x(x,y,iO'4x'v,fD)=0,

где функция Q совершенно произвольна за исключением того, что она не
может не зависеть от ^.
Этим исчерпываются все возможные случаи. Мы получили четыре
различных класса импримитивных групп плоскости, первый из которых
распадается еще на два подкласса:
I)) Одно единственное инвариантное семейство оо1 кривых.
a) Это семейство является одинарным.
b) Это семейство является двойным.
II)) Два различных инвариантных семейства оо1 кривых.
III)) оо1 различных инвариантных семейств оо1 кривых.
IV)) оо°° различных инвариантных семейств оо1 кривых.
Мы не будем пока спешить с применением полученной
классификации импримитивных групп плоскости к группам, найденным в
предыдущей главе. Вместо этого мы еще раз рассмотрим вопрос о семействах оо1
кривых, оставляемых на месте некоторой группой плоскости, и
постараемся решить его чисто аналитически. Мы делаем это потому, что приведенное
выше решение этого вопроса основывалось на абстрактных рассуждениях,
которые для иного читателя были, возможно, недостаточно подробными, а
также потому, что новый способ позволит нам в явном виде описать
дифференциальные уравнения первого порядка, которым эти семейства кривых
удовлетворяют, что само по себе было бы весьма желательным.
§16
Пусть задана r-параметрическая группа плоскости:
Xkf = Ых> У)Р + Vk(x, y)q (fc = 1... г).
Задача о нахождении всех инвариантных относительно этой группы
семейств оо1 кривых равносильна (см. стр. 30) задаче о нахождении всех
дифференциальных уравнений вида a(x,y)yf — (3(x,y)xf = 0,
инвариантных относительно расширенной группы:
Х& = ZkP + ш + &>' + vW (к = 1...г).
Каждое из искомых уравнений, кроме инфинитезимальных
преобразований Xfkf, допускает, очевидно, еще преобразование
Uf = x'p'+y'q'.

Но, как легко убедиться, выражения (Х'к U) тождественно равны нулю, а с
другой стороны, Uf не может быть представлено в виде линейной
комбинации преобразований X[f... X'rf, так как в противном случае оно могло
бы быть получено путем расширения некоторого инфинитезимального
преобразования £(х, у)р + г)(х, y)q, что, очевидно, невозможно. Поэтому г + 1
инфинитезимальных преобразований
X[f...X'rf,Uf (1)
независимы друг от друга и порождают (г + 1)-параметрическую
группу относительно переменных х, у, х', у'. Теперь задача нахождения всех
уравнений вида а(х, у)у' — /3{х, у)хг = 0, инвариантных относительно
группы Xif... Xrf, может быть сформулирована следующим образом: нужно
найти все уравнения относительно переменных х, у, х', у', которые
зависят от х1 и у' и допускают группу (1). В такой формулировке нашу задачу
можно решить без особого труда, используя результаты главы 14, том I.
Начнем с рассмотрения того случая, когда (г + 1)-параметрическая
группа (1) от переменных х, у, х', у' транзитивна. В соответствии с
правилом из только что упомянутой главы, мы должны выяснить, могут ли все
определители четвертого порядка матрицы
|& vi Й ч11
: : : : (2)
Кг Vr С Vr\
|0 0 х1 у'\
обращаться в нуль вследствие какого-нибудь уравнения относительно х, г/,
х', у', которое должно обязательно зависеть от х' и у*. Но все эти
определители четвертого порядка являются целыми однородными функциями
степени 2 относительно х' и у', и поэтому все сводится к тому, чтобы выяснить,
обладают ли эти целые однородные функции общим множителем,
зависящим от хг и yf. Если такого общего множителя нет, то группа X\f ... Xrf
не имеет ни одного инвариантного семейства оо1 кривых и является
примитивной. Если же такой общий множитель существует, то можно различать
следующие случаи. Во-первых, может случиться так, что этот общий
множитель будет линейным по х; и у'. Тогда группа X\f.. ,Xrf оставляет
на месте одно-единственное одинарное семейство оо1 кривых. Во-вторых,
этот общий множитель может иметь степень 2 относительно х; и у'. Если
при этом он делится на квадрат линейной однородной функции аргументов

xf и у', то группа X\f.. .Xrf оставляет на месте ровно одно семейство
оо1 кривых, которое к тому же является двойным. Если же он не делится
на квадрат такой функции, то группа Xif... Xrf оставляет на месте два
различных семейства оо1 кривых.
Поясним эти рассуждения на примере группы [15] (стр. 49):
р, 2хр + yq, х2р + xyq.
Определитель матрицы (2) в данном случае имеет вид:
(3)
о
1 О О
2х у 2х' у'
х2 ху 2хх' ху' + х'у
О 0 х' у'
= -уЧх'У,
откуда следует, что х1 — О является единственным инвариантным
уравнением, обладающим требуемым свойством, а х — const — единственным
инвариантным относительно группы (3) семейством оо1 кривых, и это
семейство, очевидно, является двойным.
Перейдем к случаю, когда группа (1) от х, у, х\ у1 интранзитивна, то
есть когда уравнения
X'J = О, ... X'rf = 0, Uf = О
(4)
имеют по крайней мере одно общее решение.
Сначала предположим, что группа Xif.. .Xrf от х, у транзитивна.
Тогда уравнения X[f — 0, .. .,X'rf — 0 могут быть разрешены
относительно р и д, а уравнения (4) могут, следовательно, быть разрешены
относительно трех из производных р, д, р1', qf и обладают ровно одним общим
решением, которое обязано иметь вид X (#,2/, |?) и зависеть от ^-. Но
тогда все оох дифференциальных уравнений первого порядка
dy\
х, yij-)= const
инвариантны относительно группы X\f.. ,Xrf и, кроме того, являются
единственными инвариантными относительно нее уравнениями.
Пусть теперь группа Xif ... Xrf от переменных х, у интранзитивна,
а число г больше единицы. Тогда имеют место соотношения вида
Xkf = Pk(x,y)-XJ (к = 2,3...г),

откуда
(fc=2, 3. . .г).
Поскольку ни одно из выражений
дри ,dpk (k_2 х
не может тождественно обращаться в нуль (в противном случае инфините-
зимальные преобразования X\f.. . Xrf не были бы независимыми друг от
друга), уравнения (4) можно заменить тремя независимыми друг от друга
уравнениями
X[f = 0, ^р' + W = 0, х'р' + y'q' = О,
которые, в свою очередь, равносильны уравнениям
*i/ = 0, р' = 0, 9' = 0,
так как выражение £ij/ — 771 а/ не равно тождественно нулю. Другими
словами, при сделанных предположениях уравнения (4) имеют ровно одно не
зависящее от хг и у' общее решение (р(х,у), которое есть не что иное,
как инвариант интранзитивной группы X\f... Xrf от х, у. Отсюда
следует, что каждое зависящее от хг и у' уравнение, которое допускает группу
X[f.. .X'rf, должно получаться в результате приравнивания к нулю всех
определителей третьего порядка матрицы (2). Далее, заметим, что при
сделанных предположениях должны иметь место соотношения вида
£,к = Рк - £ь
Vk = Pk'Vu
d » с' *с (''дРк . „/^*Л
1 1 , ( tdPk , ,дрк\
(fe=2...r),
откуда видно, что, приравняв к нулю определители третьего порядка
матрицы (2), мы получим следующие уравнения:
(Ьу'-тх')(х'^+у'^=0 (к = 2,3...г),

где ненулевые множители, которые зависят только от х и у, уже отброшены.
Следовательно, одним из инвариантных относительно группы X\f .. . Xrf
дифференциальных уравнений первого порядка является уравнение
£1 dy — rji dx = 0.
Все оох интегральных кривых этого дифференциального уравнения,
очевидно, записываются в виде <р(х, у) — const и, кроме того, являются
инвариантными. Ответ на вопрос, существует ли еще одно инвариантное
дифференциальное уравнение, зависит от поведения матрицы
др2
дх
др2
ду
дрт
дх
дрт
ду
(5)
Если не все определители второго порядка этой матрицы тождественно
обращаются в нуль, то £i dy — щ dx = 0 является единственным
дифференциальным уравнением, инвариантным относительно группы X\f.. .Xrf\
более того, это уравнение будет одинарным. Если же все эти
определители второго порядка равняются нулю, то возможны два случая: либо кроме
£i dy — щ dx = 0 существует еще одно, отличное от него инвариантное
дифференциальное уравнение первого порядка, а именно
др2 , др2 , п
-=— dx + -£— dy = О,
дх ду
либо инвариантное уравнение £i dy — щ dx = 0 является двойным.
Остается еще рассмотреть случай г = 1. В этом случае очевидно, что
уравнения (4) имеют два независимых общих решения: в качестве одного
из них можно выбрать инвариант <р(х, у) самой однопараметрической
группы Xif, в то время как другое должно зависеть от х' и у' и потому имеет
вид х (х> 2Л ^) • Следовательно, все дифференциальные уравнения первого
порядка, инвариантные относительно однопараметрической группы X\f,
задаются уравнением вида
X(X,y,dx) = ПЫХ>У))>
где ft обозначает произвольную функцию.

Итак, все результаты предыдущего параграфа, полученные путем
абстрактных рассуждений, мы вывели чисто аналитически и, вдобавок,
существенно усовершенствовали.
§17
Сейчас мы займемся тем, что для каждой из найденных в
предыдущей главе групп определим инвариантные относительно нее семейства оо1
кривых. При этом мы могли бы воспользоваться только что
рассмотренным общим методом, который доставляет все дифференциальные
уравнения первого порядка, инвариантные относительно данной группы,
проинтегрировав которые, можно получить и все инвариантные семейства оо1
кривых. Однако, поскольку все рассматриваемые группы уже имеют
простой нормальный вид, мы выберем другой, несколько более короткий путь.
Если семейство кривых (р(х,у) = const допускает некоторое
инфинитезимальное преобразование Xf, то это может происходить по-разному:
либо каждая кривая этого семейства в отдельности остается на месте, то
есть выражение Xtp тождественно равно нулю, либо эти кривые
переставляются между собой, что происходит тогда, когда Х(р — fi((p), где
функция Q не является тождественно равной нулю. Во втором случае, взяв
[ dp
J ОД
в качестве нового <р, можно добиться того, чтобы выражение Xtp имело
значение 1.
Отсюда следует, что каждое семейство кривых </?(ж, у) = const,
инвариантное относительно инфинитезимального преобразования q,
удовлетворяет уравнению (ff(y) = 0 либо уравнению <pf(y) = 1. Кроме семейства
х = const инфинитезимальное преобразование q допускает также каждое
семейство вида у + и(х) = const, где и(х) — произвольная функция от х.
Итак, найдены все семейства оо1 кривых, инвариантные относительно q.
Если некоторое отличное от х — const семейство кривых допускает
кроме q преобразование вида F(x)q, то оно должно иметь вид у + и(х) =
— const, и, кроме того, функция

должна зависеть только от у + ш(х). Поскольку этого не происходит, мы
заключаем, что х = const является единственным семейством оо1 кривых,
которое допускает оба преобразования q и F(x)q, а также единственным,
допускающим два независимых инфинитезимальных преобразования вида
Fi(x), F2{x)q.
Инфинитезимальные преобразования q и yq оба оставляют на месте
семейство кривых х = const. Любое другое инвариантное относительно
них обоих семейство должно иметь вид у + и(х) — const, а выражение
У ^(j/+ "(*)) =У
должно зависеть только от у + ш(х). Следовательно, ш(х) — константа, и
х = const, у = const являются единственными семействами оо1 кривых,
инвариантными относительно q и yq одновременно. Аналогично
показывается, что кроме х = const инвариантным относительно преобразований
F(x)q, yq остается еще лишь семейство j^ = const.
Если семейство у + и(х) = const допускает инфинитезимальное
преобразование р, то функция и/(х) должна зависеть только от у + и>(х), а
значит, является константой. Следовательно, уравнение
ах + by = const
с произвольным параметром а : b задает все семейства оо1 кривых,
инвариантные относительно преобразований ри q.
Остается лишь уточнить еще один момент. Все импримитивные
группы из предыдущей главы оставляют на месте семейство кривых х = const.
Но если данная группа X\f... Xrf не имеет никаких других инвариантных
семейств кривых кроме х = const, то остается неясным, является
семейство х = const одинарным или двойным. Как же это выяснить?
Итак, пусть х = const — единственное семейство оо1 кривых,
инвариантное относительно данной группы Xif.. .Xrf. Тогда все
инфинитезимальные преобразования из этой группы, оставляющие на месте
некоторую точку жо, У о общего положения, преобразуют оо1 линейных элементов,
проходящих через эту точку, так, что из всех этих линейных элементов на
месте остается ровно один, а именно х' = 0. Для того, чтобы
инвариантное семейство х = const было двойным, необходимо и достаточно, чтобы
двойным был и инвариантный линейный элемент х' = 0, что происходит
тогда и только тогда (ср. глава 2, стр. 28), когда определенная на стр. 33

линейная однородная группа
(\кх' + цку')р' + {укх' + pky'W (к = 1... г - т),
соответствующая группе X\f... Xrf, имеет один из следующих двух
видов:
x'q' + а{х'р' + г/У); *У, *У + у'я\
где а: — произвольная константа. Следовательно, инвариантное
относительно группы X\f.. .Xrf семейство х = const является двойным
тогда и только тогда, когда все инфинитезимальные преобразования группы
X\f... Xrf, чьи разложения в ряд по степеням х — xq и у — i/q
начинаются с членов первого порядка, могут быть представлены в виде линейных
комбинаций либо одного преобразования вида
(х - x0)q + а{(х - х0)р + {у - yo)q} + • • • ,
либо двух преобразований вида
(х - x0)q + • • • , {х- х0)р + (у - yo)q + • • • ;
при этом вид членов порядка 2 и выше в только что выписанных инфини-
тезимальных преобразованиях не играет никакой роли.
Это были предварительные замечания. Рассмотрим теперь по порядку
все группы, найденные в предыдущей главе, и для каждой из них найдем
все инвариантные относительно нее семейства оо1 кривых. При этом будем
иметь в виду усовершенствования, введенные в § 13.
Что касается групп [1'] (стр. 56), то однопараметрическая группа q
оставляет на месте оо°° различных семейств кривых: кроме х = const сюда
входят все семейства вида у + и(х) = const; группы же
q, xq, Fi(x)q, ... Fr{x)q (г ^ 0)
оставляют на месте лишь семейство х = const, которое, как легко увидеть,
в этом случае является двойным.
Среди групп [2'] (стр. 56) только двупараметрическая группа
Я, УЯ
имеет два инвариантных семейства, а именно х = const и у = const;
остальные же группы
g, xq, Fi(x)q, ... Fr(x)q, yq (r ^ 0)

оставляют на месте лишь семейство х — const, которое является
одинарным.
Группа [3] (стр. 42):
Q, УЯ, У2Я
имеет ровно два инвариантных семейства:
х = const и у = const.
Однопараметрическая группа р (стр. 43) подобна группе q и потому не
требует особого рассмотрения.
Обратимся к группам [5] (стр. 44), которые имеют вид:
eakXq, xeakXq, ... хШкeakXq, p
(fc=l, 2.. Л).
Если такая группа содержит более двух параметров, то она оставляет на
месте лишь семейство х — const, которое при этом является двойным. Если
же она двупараметрическая, то дело обстоит иначе. В этом случае группа
имеет вид еах, р, где постоянная а либо равна нулю, либо ее можно сделать
равной единице (ср. стр. 57). В первом случае мы имеем группу
Р, Я
с оо1 инвариантными семействами кривых: ах + by = const. Во втором
случае наша группа принимает вид exq, p. Выбрав в качестве нового у
выражение уе~х, мы приведем эту группу к виду g, p — yq; заменив затем х
на е~х, мы получим группу
g, xp + yq.
Эта группа оставляет на месте семейство кривых х = const; любое другое
инвариантное семейство должно иметь вид у + и(х) = const, а кроме того,
функция
x—{y + u)) + y — {y + u)) =y + xw (x)
должна зависеть только от у + и(х). Следовательно, ш(х) имеет вид со(х) =
= ах + с, а значит, инвариантным будет каждое из оо1 семейств ах + by =
= const.

Если группа [6'] (стр. 56), которая имеет вид
q, xq, ... xmq, ecnxq, xe^xq, ... xm'eahXq, yq, p
(Ar=l,2..J; /^0),
содержит более трех параметров, то существует лишь одно инвариантное
семейство, а именно х = const, которое, вдобавок, является одинарным.
Если же эта группа является трехпараметрической, то она имеет вид
Q, УЯ, Р
и оставляет на месте два семейства: х = const и у = const.
Группы р, хр и р, xp-\-q ([8] и [9] на стр. 46) можно не рассматривать,
поскольку первая из них подобна группе q, yq, а вторая — группе q, xp-\-yq.
Группа [10] (стр. 47) имеет вид
q, xq, ... xrq, р, хр + cyq.
Если г > 0, то х = const является единственным инвариантным
относительно этой группы семейством кривых; при этом, если с ф 1, это
семейство будет одинарным, а если с— 1, то двойным. В случае г — 0 мы имеем
группу
q, р, хр + cyq,
которая благодаря наличию преобразований pnq может оставлять на месте
лишь семейства вида ах + by = const. Какие из этих семейств в
действительности остаются на месте, можно определить из условия, что функция
х-г— (ах + by) + су-—(ах + by) — ах + cfa/
<Эх ду
должна зависеть только от ах + by. Легко убедиться, что в случае с = 1 на
месте остается каждое из оо1 семейств ах + by = const, в то время как в
случае с ф 1 мы получим лишь следующие два инвариантных семейства:
х = const и у = const.
Группа [11] (стр. 47), имеющая вид
q, xq, ... xr~lq, р, хр + (ry + xr)q (г > 0),
оставляет на месте только семейство х = const, которое является двойным,
если г = 1, и одинарным в любом другом случае.

Группа [12] (стр. 48) имеет вид
g, xq, ... xrg, yq, р, xp
и, если г > 0, оставляет на месте только семейство х = const; если же
г = 0, мы имеем группу
Q, УЯ, Р, ХР,
которая оставляет на месте еще одно семейство, а именно у = const.
Группа [13] (стр. 48):
Q, УЯ, У2Я, Р, хр
имеет лишь два инвариантных семейства: х = const и у — const.
Группа [14]: р, хр, х2р не рассматривается, поскольку она подобна
группе q, yq, y2q.
Что касается группы [15] (стр. 49):
р, 2хр + уя, х2р + худ,
то мы уже видели на стр. 63, что она оставляет на месте лишь семейство
х = const, которое при этом является двойным.
Группа [16] (стр. 49), имеющая вид
р, xp + yq, x2p+(2xy + y2)g,
может оставлять на месте только семейства вида ах + by = const, так
как только такие семейства кривых инвариантны относительно подгруппы
р, xp -f yq (ср. стр. 68). При этом выражение
х2 —(ах + by) + (2ху + у2) — (ах + by) = ах2 + 2bxy + by2
ох оу
должно быть функцией, зависящей лишь от ах + by, что происходит только
тогда, когда b — 0 или а — Ь. Следовательно, единственными
инвариантными относительно нашей группы семействами кривых будут х = const и
х + у — const. Взяв х + у в качестве нового у, мы получим группу
р + 4, xp + yq, x2p + y2q
с двумя инвариантными семействами кривых: х = const и у = const.

Группа [17] (стр. 50) имеет вид
q, xq, ... xrq, p, 2xp + ryq, x2p + rxyq.
Если г > 0, то она оставляет на месте только семейство х = const, которое
является двойным при г = 2 и одинарным в любом другом случае. Если же
г = 0, то эта группа подобна группе q, yq, y2q, p и поэтому исключается
из рассмотрения.
Группе [18] (стр. 50):
yq, р, хр, х2р + xyq
соответствует одно инвариантное семейство: х = const, так как
благодаря наличию преобразований р и хр она могла бы оставлять на месте еще
лишь семейство у — const, которое, однако, не допускает инфинитезималь-
ное преобразование х2р + xyq. Единственное инвариантное семейство х =
= const является при этом одинарным.
Группа [19] (стр. 51) имеет вид
q, xq, ... xrq, yq, p, хр, x2p + rxyq.
Если r > 0, то она имеет лишь одно инвариантное семейство: х = const,
которое является одинарным. Если г = 0, мы имеем группу q, yq, р, хр, х2р,
которая подобна группе q, yq, y2q, р, хр и поэтому из рассмотрения
исключается.
Наконец, группа [20] (стр. 52):
Q, УЯ, У2Я, Р, XV, x2p
имеет два инвариантных семейства: х = const и у = const.
§18
Теперь, наконец, мы можем привести таблицу для всех групп
плоскости. В случае импримитивных групп мы, разумеется, используем
классификацию из § 15. Итак,
Теорема 5. Всякая конечная непрерывная группа точечных
преобразований плоскости х, у подобна относительно точечных преобразований
одной и, в общем, только одной из приводимых ниже групп:

А) Примитивные группы:
р, q, xq, хр - yq, ур, хр + yq, х2р + xyq, хур + y2q
р, q, xq, хр - yq, ур, хр + yq
р, q, xq, хр - yq, yp .
В) Импримитивные группы:
I) Группы, обладающие одним единственным инвариантным
семейством оо1 кривых.
а) Инвариантное семейство является одинарным.
q, xq, р, 2хр + yq, х2р + xyq
q, xq, ... xrq, p, 2xp + ryq, x2p + rxyq
(r>2)
q, xq, ... xrq, yq, p, xp, x2p + rxyq
(r>0)
yq, p, xp, x2p + xyq
q, xq, .. . xrq, yq, p, xp
(r>0)
q, xq, ... xrq, p, xp + cyq
(r>0; сф\)
q, xq, ... xT 1q, p, xp + {ту + xr)q
(r>l)
q, xq, ... xmq, eakXq, xeakXq, ... xmke°kXq, yq, p
(fc=l, 2. . .1; 1^0; i+m+mi+. . . +m/>0; c*i=l)
g, xq, F1(x)q, ... Fr(x)g, y<?
(rgO)

b) Инвариантное семейство является двойным.
q, xq, x2q, p, xp + yq, x2p + 2xyq
р, 2хр + yq, х2р + xyq
q, xq, ... xrq, p, xp + yq
(r>0)
q, p, xp + (x + y)g
ea**g, xea*xtf, ... xmAea*xtf, p
(ai(ai-l)=0, /c=l,2. . ./; />0; /+m+mi+ . . . +m/>l)
g, rrgs Fx(x)q, ... Fr(x)<?
(r^O)
II) Группы, обладающие двумя инвариантными
семействами оо1 кривых.
q, yq, V2q, Р, xp, x2p
р + q, xp + yq, x2p + y2q
q, yq, у q, p, xp
q, yq, у q, v
q, yq, у q
q, yq, Р, xp] \q, p, xp + cyq (с ф 0,1) | | g, yq, p | | g, yq
III) Группы, обладающие оо1 инвариантными
семействами оо1 кривых.
Р, q, xp + yq\ q, xp + yq
Р, Q

IV) Группы, обладающие оо°° инвариантными
семействами оо1 кривых.
Я\-
Группы, оставляющие на месте лишь одно инвариантное семейство
кривых, упорядочены в этой таблице таким образом, что сначала идут
группы, преобразующие это инвариантное семейство трехпараметрически, за
ними следуют группы, преобразующие это семейство двупараметрически,
и так далее. Группы, оставляющие на месте два семейства кривых,
упорядочены аналогично.
Ни один из встречающихся в нашей таблице произвольных параметров
убран быть не может, поскольку, как легко убедиться, в каждом отдельном
случае эти параметры входят в структуру соответствующей группы и уже
там от них невозможно избавиться. Точно так же невозможно
избавиться ни от одной из встречающихся произвольных функций. Следовательно,
каждый тип групп плоскости в нашей таблице представлен по существу
одной группой.
§19
Всякую конечную непрерывную группу точечных преобразований
плоскости х, у можно рассматривать как группу контактных
преобразований, а точнее, как приводимую группу контактных преобразований.
Обратно, каждая приводимая группа контактных преобразований плоскости х, у
с помощью некоторого контактного преобразования переводится в группу
точечных преобразований этой плоскости (ср. том II, стр. 390).
Следовательно, определив все конечные непрерывные группы точечных
преобразований плоскости х, у, мы тем самым нашли и все конечные непрерывные
приводимые группы контактных преобразований этой плоскости.
Напомним еще, что неприводимые группы контактных преобразований плоскости
были получены еще во втором томе (см. том И, стр. 433, теорема 69). Таким
образом, теперь нам известны вообще все конечные непрерывные группы
контактных преобразований плоскости. Все же нужно сделать еще кое-что.
Хотя наша таблица групп точечных преобразований плоскости и
содержит по представителю для каждого типа приводимых групп контактных

преобразований этой плоскости, может так случиться, что один и тот же тип
групп контактных преобразований представлен в этой таблице двумя (а то
и более) группами. Другими словами, некоторые из групп, перечисленных в
нашей таблице, вполне могут быть подобны относительно контактных
преобразований, несмотря на то, что относительно точечных преобразований
они подобными быть не могут.
Когда же две группы точечных преобразований плоскости, которые не
подобны друг другу относительно точечных преобразований, могут все-
таки быть подобными относительно контактных преобразований?
Очевидно, что только тогда, когда каждая из них оставляет на месте по крайней
мере одно семейство оо2 кривых плоскости. В самом деле, при любом
невырожденном контактном преобразовании плоскости совокупность всех
оо2 точек этой плоскости переходит в некоторое семейство оо2 кривых,
и обратно, каждое семейство оо2 кривых плоскости с помощью
некоторого контактного преобразования всегда можно перевести в оо2 точек этой
плоскости (см. том II, стр. 33-34).
Итак, прежде всего мы должны из собранных на стр. 71-73 групп
выбрать те, которые оставляют на месте некоторое семейство оо2 кривых. Это
— единственные группы, среди которых могут находиться такие, которые
подобны друг другу относительно контактных преобразований.
Заметим сперва, что группа точечных преобразований, содержащая три
независимых инфинитезимальных преобразования вида
Fi(x)q, F2(x)q, F3(x)q,
не может иметь инвариантное семейство, состоящее из оо2 кривых.
Действительно, под действием трехпараметрической подгруппы, порожденной
этими тремя инфинитезимальными преобразованиями, любая кривая у =
= f(x) принимает оо3 различных положений:
у + aiFi(x) + a2F2(x) + a3F3(x) = f(x).
Аналогичное утверждение справедливо и для всех групп, содержащих три
инфинитезимальных преобразования q, yq, y2q, так как под действием
трехпараметрической группы <?, УЯ, У2Я всякая кривая у = f(x) также
принимает оо3 различных положений:
biy + b2 ( .
У + Ъ3

Наконец, обратим внимание на то, что все группы, которые являются
подгруппами общей проективной группы
Р, Q, хр, УР, Щ, УЯ, x2p + xyq, xyp-\-y2q,
оставляют на месте семейство всех оо2 прямых.
На основании только что сделанных замечаний практически для всех
приведенных на стр. 71-73 групп можно установить, оставляют они на
месте некоторое семейство оо2 кривых или нет. Сомнения остаются лишь
относительно следующих шести групп:
(В, I, а, 7 при г = 2)
(В, I, а, 8 при / = 1; т = т\ = 0)
(В,1,Ь,5приг = 1,2) '
так как они не имеют вид проективных групп.
Первая из этих групп не оставляет на месте никакое семейство оо2
кривых. Действительно, каждое семейство оо2 кривых, инвариантное
относительно трехпараметрической подгруппы q, xq, р, имеет вид
у — а + Ьх + Сх ,
где а и b являются параметрами этого семейства, в то время как
различные значения параметра С соответствуют различным инвариантным
семействам; однако, как легко убедиться, ни одно из этих семейств не
инвариантно относительно инфинитезимального преобразования
хр + (2у + x2)q.
Напротив, каждая из оставшихся групп (6) имеет по крайней мере одно
инвариантное семейство оо2 кривых, поскольку все эти группы могут быть
переведены в проективные группы.
Действительно, если в качестве нового х взять ех, то группа q, exq, yq, p
перейдет в проективную группу q, xq, yq, хр, а группа q, exq, p — в
проективную группу q, xq, хр. Далее, посредством преобразования Х\ —
= —х, у\ — у • е~х группа exq, xexq, p принимает проективный вид:
(q, xq, р, хр + (2у + x2)q
9, exQ, УЪ P
I q, exq, p; exq, xexq, p
exq, e«xq, p (а ф 0, 1)
[p + q, xp + yq, x2p + y2q,

qi,xiqi, p\ + y\q\, и точно так же группа exq, eaxq, р (а ф О, 1)
посредством преобразования
а^е**"1)*, yi=e~x-y
принимает проективный вид
9ь xxqi, (а - l)xlpl - yxqx (а ф О, 1).
Наконец, группа р + q, хр + yq, x2p + y2q подобна проективной группе
pi +xiqi, xipi +2yigb (xj-yi)pi +x1y1gr1
относительно преобразования
x -\- у ху
Сформулируем прежде всего замечательный результат, который
следует из только что приведенных рассуждений.
Предложение 1. Каждая конечная непрерывная группа точечных
преобразований плоскости х, у, которая оставляет на месте некоторое
семейство оо2 кривых этой плоскости, при подходящем выборе переменных
х, у переходит в проективную группу.
Соберем теперь вместе все группы плоскости, оставляющие на месте
какое-нибудь семейство оо2 кривых. Упорядоченные по количеству
параметров, они имеют следующий вид:

(21)
OB)
(С)
p, q, xq, xp - yq, yp, xp + yq, x2p + xyq, xyp + y2q
m
(<5)
(5)
(в)
f p, q, xq, xp - yq, yp,
\q, xq, yq, p, xp, x2p
xp + yq
-{-xyq
p, q, xq, xp - yq, yp
q, xq, p, 2xp + yq, x2p + xyq
[Q, xq, yq, p, xp
yq, p, xp, x2p + xyq
q, xq, p, xp + cyq
q, xq, yq, p
q, exq, yq, p = q, xq, yq, xp
9, 2/9, P, xp
[p, 2xp-\-yq, x2p-\-xyq
p + q, xp + yq, x2p + y2q =
= p + xq, xp + 2yq, (x2 - y)p + xyq
q, p, xp + (x + y)g
9, p, xp + cyg (c^O, 1)
9, p, yq
q, p, xp + yq
q, xq, p
q, exq, p = q, xq, xp
exq, xexq, p = q, xq, p + yq
exq, eaxq, p=q, xq, (a - l)xp - yq (а ф О, 1)
q, xq, yq
q, p; q, xq
q, xp + yq; q, yq
q-
Здесь при группах, которые не являются проективными, стоят
подобные им проективные группы.
Итак, наконец, мы можем решить задачу, с которой мы стартовали в

этом параграфе. Действительно, в соответствии со сказанным на стр. 74,
ясно, что две из перечисленных в теореме 6 групп могут быть подобны
друг другу относительно некоторого контактного преобразования только
тогда, когда они обе принадлежат одному и тому же из классов (21)... (&).
Следовательно, остается лишь выяснить, могут ли какие-нибудь из групп,
принадлежащих этим классам, быть подобными друг другу относительно
некоторого контактного преобразования.
Мы не будем подробно описывать соответствующие вычисления, так
как при использовании теоремы 52, том II, стр. 311, они не представляют
большого труда. Приведем лишь их результаты.
Группы 93, 1 и 93, 2 подобны друг другу относительно некоторого
контактного преобразования, которое, к тому же, является двойственным.
Точно так же относительно двойственного преобразования группа С, 1 подобна
группе £, 2, группа Э, 4 — группе Э, 5, группы £, 4 — группам (£, 10,
группа £, 5 — группе (£, 8, группа (£, б — группе (£, 11, группа (£, 3 — группе
С, 9, и наконец, группа #, 1 — группе #, 2, а группа 5, 3 — группе #, 4.
Кроме того, группа (£, 1 подобна группе (£, 2 относительно некоторого
недвойственного контактного преобразования (см. том И, стр. 312).
Таким образом, если из таблицы на стр. 71-73 исключить группы 93, 2;
С, 2; 2), 4; (£, 2, 3, 8, 10, 11; и 5, 2, 4, то для каждого типа приводимых
групп контактных преобразований плоскости она будет содержать по
одному и, в общем, ровно по одному представителю.
Этим мы довели до конца и классификацию всех конечных
непрерывных групп контактных преобразований плоскости.

Глава 5
Нахождение и классификация всех
проективных групп плоскости
Проективные группы плоскости х, у — это подгруппы общей
проективной группы
р, q, xp, ур, xq, yq, x2p + xyq, xyp + y2q (1)
этой плоскости. Проективные группы, как и вообще все конечные группы
плоскости, мы подразделяем на типы. При этом две проективные группы
мы причисляем к одному и тому же типу только тогда, когда они подобны
друг другу относительно некоторого проективного преобразования, то есть
когда они сопряжены друг другу в общей проективной группе. Поскольку
каждый тип проективных групп полностью определяется одной
принадлежащей ему группой и имеет ее в качестве представителя, мы можем
сформулировать поставленную в заглавии задачу следующим образом:
Указать ровно по одному представителю для каждого типа
проективных групп плоскости.
При решении этой задачи необходимо, а во многих отношениях и
достаточно, рассмотреть двойственные преобразования плоскости. В самом
деле под действием всякого двойственного преобразования плоскости
общая проективная группа плоскости переходит в саму себя; она, как принято
говорить, самодвойственна. Отсюда следует, прежде всего, что каждая г-па-
раметрическая проективная группа плоскости двойственным
преобразованием всегда переводится снова в r-параметрическую проективную группу.
Далее, заметим, что, чтобы получить наиболее общей вид
двойственного преобразования плоскости, можно сперва выполнить наиболее общее
проективное преобразование, а затем только одно двойственное
преобразование. Следовательно, типы проективных групп плоскости бывают двух
родов. Каждый тип первого рода остается инвариантным при всех
двойственных преобразованиях плоскости, а принадлежащие ему группы при

этом переставляются между собой. Типы же второго рода выстраиваются
в пары, так что два типа, образующие одну пару, под действием любого
двойственного преобразования переставляются друг с другом. Если
некоторая проективная группа принадлежит типу первого рода, то очевидно,
что всегда можно указать такое двойственное преобразование, при котором
эта группа перейдет в себя, и следовательно, эта группа самодвойственна.
Группы, принадлежащие типам второго рода, разумеется, не являются
самодвойственными, однако их нахождение можно значительно упростить. А
именно, нужно отыскать представителя лишь для одного из каждых двух
типов, составляющих пару; представитель другого типа получается из
представителя первого посредством произвольного двойственного
преобразования.
Нам будет полезно рассмотреть какое-нибудь двойственное
преобразование и увидеть, как под действием этого преобразования изменяются ин-
финитезимальные проективные преобразования. Мы найдем
соответствующие формулы для двойственного преобразования, задаваемого уравнением
ххг + 2/2/1 + 1 = 0.
Это преобразование переводит каждую точку в ее поляру относительно
конического сечения х2 4- у2 — 1, а каждую прямую — в ее полюс
относительно этого конического сечения.
Двойственное преобразование, о котором идет речь, является
контактным преобразованием плоскости. Рассмотрим его как однородное
контактное преобразование. Тогда, по теореме 15, том II, стр. 150, его уравнения
находятся из уравнений
Q = xxi + 2/2/1 + 1 = 0
Jfl л Jfi л
р-А- = 0, *-А^=0
л дП л л дП л
Pi+A-—=0, 91+А—=0
dxi дух
посредством исключения А и разрешения относительно xi, у\, pi, q\. Мы
получаем
( V
XI = ; , 2/1
хр + yq хр + yq (2)
Pi = х(хр + yq), qx = у(хр + yq).

Определим теперь, какой вид принимают инфинитезимальные
преобразования (1) под действием нашего контактного преобразования. Заметим, что
выражения (1) можно понимать как характеристические функции
некоторого однородного инфинитезимального контактного преобразования (том И,
стр. 265). Следовательно, нам нужно лишь в выражениях (1) с помощью (2)
вместо х, у, р, q ввести новые переменные #ь у и Pi, Qi (предл. 2, том И,
стр. 267). Мы получаем формулы
р = х\рх + х ид gi, q = xiyipi + y\qu
xp=-xipu yp = -xxqu xq = -yipu УЯ =-yiQi, (3)
x2p + xyq = pu xyp + y2p = qu
с помощью которых для каждой проективной группы плоскости можно
сразу же выписать двойственную группу, в которую она переходит под
действием нашего двойственного преобразования.
Следует отметить, что посредством нашего двойственного
преобразования общая проективная группа изоморфна самой себе, причем в точности
этот же изоморфизм мы уже встречали в томе I на странице 555.
Учитывая важность задачи, решению которой посвящена настоящая
глава, было бы желательно, насколько это возможно, сделать ее
обсуждение независимым от сказанного в предыдущих главах. Поэтому здесь мы
не будем использовать проведенную в главах 3 и 4 классификацию всех
конечных непрерывных групп точечных преобразований плоскости.
О том, что этой классификацией действительно можно воспользоваться,
свидетельствуют следующие соображения. Проективные группы плоскости могут быть
определены как непрерывные группы плоскости, оставляющие инвариантным
семейство всех оо2 прямых, а значит, и обыкновенное дифференциальное уравнение
второго порядка у" — 0. Таким образом, если известны все типы конечных
непрерывных групп плоскости, то сперва среди них выбираются те, чьи представители
оставляют инвариантным хотя бы одно обыкновенное дифференциальное
уравнение второго порядка, поскольку лишь такие группы в принципе могут быть
переведены в проективные группы. Если G — это представитель одного из таких типов, то
нужно найти все инвариантные относительно G дифференциальные уравнения
второго порядка и для каждого из этих дифференциальных уравнений найти точечное
преобразование плоскости, при котором это уравнение переходит в уравнение у" =
= 0, разумеется, при условии, что такое преобразование существует. Таким образом
мы получим ряд точечных преобразований, под действием которых G переходит в
проективные группы. Найдя эти проективные группы, мы получим представителей
для всех типов тех проективных групп, которые подобны группе G относительно

точечных преобразований. Произведя указанные вычисления для всех выбранных
типов проективных групп, мы опишем все типы проективных групп плоскости.
Используя только что описанный метод, Ли определил все типы проективных
групп с более чем двумя параметрами (см. его архив, том X, стр. 90-101, Кристиа-
ния 1885 г.). Однако, этот метод плохо применим для дву- и однопараметрических
проективных групп. Метод, используемый в последующих параграфах, по существу,
приведен там же на стр. 102 и далее.
§20
Нам представляется целесообразным сперва определить различные
типы однопараметрических проективных групп или, что равносильно,
различные типы инфинитезимальных проективных преобразований.
В соответствии с предложением 2, том I, стр. 585, каждое инфините-
зимальное проективное преобразование плоскости оставляет на месте по
меньшей мере одну точку и одну проходящую через нее прямую.
Перенесем теперь эту прямую с помощью некоторого проективного
преобразования в бесконечность; тогда соответствующее инфинитезимальное
проективное преобразование линейно и имеет вид
(ах + (Зу + 7)Р + (<*'х + /З'у + i')q.
Далее, воспользуемся линейными преобразованиями и переведем лежащую
на бесконечно удаленной прямой инвариантную точку в бесконечно
удаленную точку оси ординат. Тогда мы получим инфинитезимальное
проективное преобразование, которое оставляет инвариантным семейство прямых
х = const и которое, следовательно, имеет вид
(ах + 7)Р + (olx + (З'у + f')q. (4)
Поэтому достаточно рассмотреть лишь инфинитезимальные проективные
преобразования вида (4) и установить, какие различные типы таких
преобразований содержит общая проективная группа (1).
Прежде всего, положим а и 7 равными нулю. Тогда, если а! и /?' также
обращаются в нуль, то мы получим инфинитезимальное преобразование q.
В противном случае, произведем замену переменных с помощью линейного
преобразования вида
х = х\ + а, у = у\ 4- Ъх\ + с

и получим преобразование
{(а' + 6/?>i + 0'У1 + (аа' + с/?' + У) }qi,
которое при подходящем выборе а, 6 и с принимает вид xi^i или y\q\. Но
xigi под действием проективного преобразования
1
1
Xi
2/1
У2 = —
Xi
Х2
переходит в #2« Таким образом, в этом случае мы получаем только
следующие два инфинитезимальных преобразования:
ш
УЯ\-
Они действительно представляют два различных типа, так как q — это ин-
финитезимальная трансляция и оставляет на месте все точки бесконечно
удаленной прямой, а также все прямые, проходящие через бесконечно
удаленную точку оси ординат, в то время как yq — это инфинитезимальное
перспективное преобразование, при котором на месте остаются все точки
прямой у = 0 и все прямые, проходящие через бесконечно удаленную точку
оси ординат. Поскольку бесконечно удаленная точка оси ординат не лежит
на прямой у — 0, мы видим, что инфинитезимальные преобразования q
и yq не сопряжены в общей проективной группе.
Пусть теперь а в инфинитезимальном преобразовании (4) равно
нулю, а 7 нет. Тогда мы можем положить 7 = 1- Введем новые переменные
посредством линейного преобразования
х\ = Агг, у\ = у + fix + и.
Тогда наше преобразование
р + (а'х + 0'у + i)q
принимает вид
Api + {s^*i+0'yi+y + /x-''0,}?i-
Если (3' не равно нулю, то положим
ос -fi/3' = 0, f'+ii- vfi =0, А = /3'

и получим преобразование pi+T/igi. Если же /3' = 0, то, выбрав подходящие
А и /i, мы получим одно из следующих преобразований: р\ + Xiqu рг.
Последнее из этих двух преобразований, преобразование pi, сопряжено q и
поэтому исключается из рассмотрения. Зато преобразования
Р + УЯ\ \P + xq
представляют два новых типа, отличных от полученных ранее.
Преобразование р -\-yq оставляет на месте только бесконечно удаленные точки обеих
координатных осей; что касается прямых, то кроме бесконечно удаленной
прямой оно оставляет на месте еще прямую у = 0. Напротив,
преобразование p+xq не оставляет на месте никакую другую прямую кроме бесконечно
удаленной и никакую другую точку кроме бесконечно удаленной точки оси
ординат.
Пусть, наконец, параметр а в инфинитезимальном преобразовании (4)
отличен от нуля. Не ограничивая общности, можно считать, что а = 1.
Заменой переменной х мы можем сделать 7 равным нулю. Далее, произведя
в преобразовании хр + (а!х + (З'у + ^f)q замену переменных
х\ = х, 2/i = fix + vy + p,
мы получим
xiPi + {(n + t/a'- n0')xi + 0'yi + vi - pP'}qi.
Если параметр /З' не равен ни нулю, ни единице, то выберем р, и v так,
чтобы
/i(l - (3') + uaf - 0, vi - p(3f - 0,
и получим преобразование х\р\ 4- (3fy\q\. Если (3* — 1, то положим и^ —
— р = 0 и, если а' не обращается в нуль, vaf = 1. Таким образом, мы
получаем два преобразования: xipi + (х\ + y\)qi и XiPi -h yiqi. Если же
(3' = 0, то положим p + va! = 0 и, если параметр 7' не равен нулю, wyf = 1,
что приводит еще к двум преобразованиям: х\р\ -Ь q\ и xipi.
Из пяти только что найденных преобразований два последних
сопряжены соответственно преобразованиям р + yq и yq и, следовательно, не
приводят к новым типам. Точно так же обстоит дело со вторым и с третьим
из этих преобразований, поскольку, выполнив проективное преобразование
1 У1
Х2 = —, У2 = ,
Xi Xi

мы получим
XiPi + (xi + yi)qi = ~{x2p2 + 92), xipi + yiqi = -x2p2-
Таким образом, преобразования вида
хр + суд (с ф 0, 1) (5)
— это единственные преобразования, которые, возможно, приведут к новым
типам, отличным от полученных ранее.
Каждое преобразование вида (5) оставляет на месте три точки, а
именно, начало координат и обе бесконечно удаленные точки координатных
осей. Разумеется, оно оставляет на месте и стороны треугольника,
определяемого этими точками. Отсюда следует, что преобразования (5)
представляют новые, отличные от найденных ранее типы. Однако, остается еще
проверить, можно ли избавиться от параметра с.
Очевидно, что два инфинитезимальных преобразования вида (5),
сопряженных в общей проективной группе, могут быть сопряжены только
при помощи проективного преобразования, оставляющего на месте
упомянутый выше треугольник. Проективные преобразования, обладающие этим
свойством, образуют группу, которая состоит из нескольких семейств
преобразований (ср. том I, стр. 310). Одно из этих семейств образовано всеми
преобразованиями, оставляющими на месте каждую из сторон этого
треугольника. Оно имеет вид
xi = Аж, J/1 = /ху, (6)
где А и ji — произвольные параметры. Преобразования из остальных
семейств переставляют стороны этого треугольника. Легко убедиться, что их
можно получить, если сперва выполнить наиболее общее преобразование
вида (6), а затем один или несколько раз выполнить в подходящей
последовательности преобразования
xi = г/, г/1 = x\ xi = -, 2/i = -. (7)
х х
Каждое из преобразований (5) инвариантно относительно
преобразования (6), в то время как под действием преобразований (7) инфинитези-
мальное преобразование хр 4- cyq переходит в преобразования хр 4- ^yq
и хр 4- (1 — c)yq соответственно. Таким образом, два инфинитезимальных

преобразования вида (5), имеющие параметры с и с\ соответственно,
сопряжены в общей проективной группе только тогда, когда С\ принимает
одно из следующих значений:
с,
1-е,
1
1
1-е'
или, как известно из теории двойного отношения четырех точек, когда
имеет место равенство
(c?-d + l)3 (с2-с+1)3
ci(ci - I)2
с2(с-1)2
Этим доказано, что два инфинитезимальных преобразования вида (5)
могут быть сопряжены друг другу только в виде исключения, а значит, мы
не можем избавиться от параметра с. Таким образом, преобразования (5)
представляют бесконечно много различных типов.
Итак, общая проективная группа плоскости содержит следующий
отличные друг от друга типы инфинитезимальных преобразований:
/
xp + cyq (с/ 0, 1)
\\р + уя 1 1 v + щ 1 \т\
ш-
(8)
Точки и прямые, инвариантные относительно этих преобразований
образуют соответственно следующие фигуры:
КАРТИНКИ
Бесконечно удаленная прямая здесь изображена в конечном. Заметим
также, что всякий раз, когда три различных точки одной прямой или три
различных прямые, проходящие через одну точку, остаются на месте, на месте
остаются и вообще все точки соответствующей прямой и все прямые,
проходящие через соответствующую точку.
Мы видим, что каждому типу инфинитезимальных проективных
преобразований плоскости соответствует одна вполне определенная фигура,
образованная его инвариантными точками и прямыми. Таким образом,
если имеется некоторое произвольное инфинитезимальное проективное
преобразование Xf и известны все инвариантные относительно него точки и

прямые, то можно немедленно установить, какому типу принадлежит Xf.
Соответствующий тип невозможно с уверенностью указать лишь тогда,
когда Xf оставляет инвариантным невырожденный треугольник, поскольку в
этом случае известно лишь, что Xf сопряжено инфинитезимальному
проективному преобразованию вида
хр + cyq (с ф 0, 1).
В таком случае придется отдельно выяснять, какое значение принимает
параметр с для данного преобразования Xf.
Если для какой-либо из приведенных выше фигур мы рассмотрим
двойственную фигуру, то мы получим фигуру с точно таким же
расположением точек и прямых. Отсюда немедленно следует, что четыре типа,
представителями которых являются
Р + УЯ, P + xq, yq, q,
под действием любого двойственного преобразования переходят в себя.
Значит, всякое инфинитезимальное проективное преобразование,
принадлежащее одному из этих типов, является самодвойственным (ср. стр. 79).
Преобразование xp + cyq под действием двойственного преобразования (2)
переходит в — {х\р\ -\-cy\qi), и поэтому оно также является
самодвойственным. Итак, доказано следующее утверждение.
Предложение 1. Всякое инфинитезимальное проективное
преобразование плоскости самодвойственно, то есть, всегда найдутся такие
двойственные преобразования, при которых это инфинитезимальное
преобразование переходит в себя.
§21
Воспользуемся полученными результатами для того, чтобы определить
все кривые на плоскости, которые допускают одно или несколько инфини-
тезимальных преобразований.* Знание этих кривых нам в скором времени
очень понадобится.
Если кривая на плоскости допускает инфинитезимальное проективное
преобразование, то с помощью некоторого проективного преобразования
* Впервые эта задача была решена в статье Клейна и Ли, опубликованной в Mathematischen
Annalen, Bd. 4, стр. 50 (ср. также Comptes Rendus, 1870, Bd. 70, стр. 1222).

она переводится в кривую, инвариантную относительно одного из инфини-
тезимальных преобразований (8). Следовательно, достаточно указать все
кривые, обладающие этим последним свойством.
Прежде всего, инвариантными относительно инфинитезимальных
преобразований (8) являются их траектории, задаваемые соответственно
уравнениями
у — а- хс] у = а - ех; у — -х2 = а; х = а; х = а,
где а обозначает произвольную константу. Правда, следует добавить, что в
первом случае к траекториям принадлежит также прямая х = 0, а в первых
четырех случаях — бесконечно удаленная прямая. Если некоторая кривая
инвариантна относительно одного из преобразований (8), но траекторией
не является, то, по теореме 15, том 1, стр. 117, каждая ее точка должна
при соответствующем инфинитезимальном преобразовании оставаться на
месте. Однако, такое случается только при инфинитезимальных
преобразованиях yq и q, первое из которых оставляет на месте все точки прямой
у — 0, а второе — все точки бесконечно удаленной прямой.
Заметим теперь, что кривая вида у — \х2 — а посредством некоторого
преобразования всегда может быть переведена в кривую у = \х2, которая
принадлежит к кривым вида у — ахс. Далее, константа а в уравнениях
у = ахс; у = аех,
если она отлична от нуля, с помощью проективного преобразования всегда
может быть сделана равной единице. Таким образом:
Если плоская кривая допускает инфинитезгшалъное проективное
преобразование, то она либо является прямой, либо посредством
проективного преобразования приводится к одному из следующих видов:
у = хс] у = ех,
где значение параметра с отлично от 0 и 1.
Спрашивается, существуют ли кривые, допускающие более чем одно
инфинитезимальное проективное преобразование.
Во-первых, ясно, что каждая прямая допускает ровно шесть
независимых инфинитезимальных проективных преобразований. Действительно,
всякую прямую посредством проективного преобразования можно переве-

сти в бесконечность, а бесконечно удаленная прямая допускает шесть ин-
финитезимальных преобразований
р, q, xq, xp - yq, ур, xq + yq,
которые порождают общую линейную группу, и, более того, она не
допускает никакое инфинитезимальное преобразование, не зависящее от этих
шести.
Далее, предположим, что кривая у — хс допускает инфинитезимальное
проективное преобразование
xf = eip + e2p + e3xp + e4yp + e5xq + e6yq + e7(x2p + xyq) + e8{xyp + y2q).
В соответствии с томом I, стр. 109, для этого необходимо и достаточно,
чтобы выражение Х(у — хс) при подстановке у — хс тождественно
обращалось в нуль. Это означает, что константы е\... eg должны быть такими,
чтобы равенство
е2 + е5Х-се1Хс~1 + (е6-сез)хс + (1-с)е7хс+1 -ce4X2c~1 + (l-c)esx2c = 0
(9)
выполнялось тождественно для всех значений х. Поскольку с ф 0 и с ф 1,
уравнение (9) содержит семь степеней х с показателями
0, 1, с-1, с, с + 1, 2с -1, 2с. (9')
В общем случае эти показатели попарно различны. Поэтому в общем
случае равенство (9) имеет место только тогда, когда ег, es, ei, 67, 64, eg
равны нулю, а ее = сез, то есть, когда инфинитезимальное преобразование Xf
имеет уже известный нам вид xp + cyq. Существуют, однако, значения с,
при которых показатели (9') не все отличны друг от друга. Единственными
такими отличными от нуля и единицы значениями с являются
с= 2, с= -, с= -1.
Для каждого из этих значений параметра с среди показателей (9')
найдется лишь пять попарно различных, так что уравнение (9) дает только пять
независимых соотношений на в\... eg.
Таким образом, мы доказали, что среди кривых вида
у = хс (с^О, 1)

9
X ,
l
У = я2,
1
у = г
X
существует только три кривых, допускающих более чем одно инфинитези-
мальное проективное преобразование. Это три конических сечения
У
каждое из которых допускает ровно три независимых инфинитезимальных
проективных преобразования. Впрочем, поскольку два последних из этих
конических сечений под действием проективных преобразований (7)
переходят в первое, то, учитывая сказанное ранее, мы получаем известное
утверждение о том, что всякое невырожденное коническое сечение под
действием проективных преобразований переходит в любое другое.
Абсолютно аналогичным образом доказывается, что кривая у = ех не
допускает никаких других инфинитезимальных проективных
преобразований кроме уже известного нам преобразования p+yq; мы не видим никакой
необходимости приводить здесь соответствующие вычисления.
Итак, имеет место следующее утверждение.
Предложение 2. Если кривая в плоскости допускает более, чем одно
инфинитезималъное проективное преобразование этой плоскости, то она
допускает либо шесть, либо три независимых преобразования такого рода.
В первом случае она является прямой, а во втором — невырожденным
коническим сечением. Если кривая допускает только одно инфинитезгьиальное
проективное преобразование, то ее уравнение посредством проективного
преобразования моо/сет быть приведено к виду у — хс, где значение
константы с отлично от 0, 1/2, 1, 2 и —I, или к виду у — ех.
Очевидно, что три независимых инфинитезимальных проективных
преобразования, оставляющие на месте некоторое невырожденное
коническое сечение, порождают трехпараметрическую проективную группу,
которую мы будем называть группой этого конического сечения.
Поскольку всякое невырожденное коническое сечение посредством проективного
преобразования может быть переведено в любое другое такое сечение, мы
видим, что группы всех невырожденных конических сечений принадлежат
одному и тому же типу. В качестве представителя этого типа выберем
группу конического сечения у — \х2 — О, которая имеет вид (ср. стр. 76)
р + xq, хр + 2yq, (х2 - у)р + xyq\. (10)
Так как каждое невырожденное коническое сечение самодвойственно, эта
группа также самодвойственна.

§22
Среди всех инфинитезимальных проективных преобразований самыми
простыми и в то же время самыми важными для последующих изысканий
являются те, которые сопряжены инфинитезимальной трансляции q.
Инфинитезимальная трансляция q оставляет на месте все точки
бесконечно удаленной прямой, а также все прямые вида х = const, то есть все
прямые, проходящие через бесконечно удаленную точку оси ординат. Более
того, легко убедиться, что это — единственное инфинитезимальное
проективное преобразование, обладающее этим свойством, и, следовательно,
оно полностью определяется своими инвариантными точками и прямыми.
Инфинитезимальные проективные преобразования, сопряженные q,
естественно, должны обладать аналогичным свойством: каждое такое
преобразование должно оставлять на месте все точки некоторой прямой и все
прямые, проходящие через некоторую точку этой прямой; кроме того, оно
полностью определяется этими инвариантными точками и прямыми.
Вспомним теперь введенное в томе II на странице 4 понятие линейного элемента:
под линейным элементом мы понимали точку в совокупности с некоторой
проходящей через нее прямой. Тогда можно утверждать следующее:
Каждому инфинитезималъному проективному преобразованию,
сопряженному инфинитезимальной трансляции, соответствует один вполне
определенный линейный элемент плоскости, и обратно, каждому
линейному элементу плоскости соответствует вполне определенное
инфинитезимальное проективное преобразование, сопряженное инфинитезгшальной
трансляции.
Таким образом, всего существует оо3 инфинитезимальных
проективных преобразований, сопряженных инфинитезимальной трансляции.
Для того, чтобы получить аналитическую запись для этих оо3
преобразований, рассмотрим всего один линейный элемент. Пусть
соответствующая точка задается уравнениями
сх — а = 0, су — Ь = 0, (11)
а соответствующая прямая — уравнением
\х + цу + 1У = 0. (12)
Однородные параметры а, 6, с, А, /л, v должны при этом удовлетворять
соотношению
Аа + дЬ + 1/с = 0, (13)

так как прямая нашего линейного элемента проходит через его точку.
Предположим теперь, что инфинитезимальное проективное преобразование
eiP + e2q + е3хр + е4ур + ebxq + e6yq + e7(x2p + xyq) + е8(хур + y2q) (14)
оставляет на месте все точки прямой (12). Тогда коэффициенты при р и q
должны делиться на Ах+ду+г/, то есть, преобразование (14) должно иметь
вид
(Ах + \ху + v) ((ах + /3)р + (ay + j)q).
Если при этом остаются на месте и все прямые, проходящие через
точку (11), то а : (3 : 7 должны относиться друг к другу так же, как с : —
—а : —Ь. Следовательно, в общем виде инфинитезимальное проективное
преобразование, сопряженное инфинитезимальной трансляции,
записывается следующим образом:
(Ах -Ъ fiy + i/){(cx — а)р + (су — b)q}, Xa + fib + vc — О, (15)
Оно зависит от шести однородных параметров, которые связаны
соотношением второго порядка (13).
Сравнивая выражение (15) с общим видом (14) инфинитезимально-
го проективного преобразования, мы находим параметры е\... eg,
соответствующие инфинитезимальному преобразованию (15), в виде билинейных
функций шести однородных параметров а, Ь, с, A, /i, v\
ei = — va, в2 = —f Ь,
ез = f с — Аа, 64 = —да, 65 = — АЬ, ее = f с — /i&,
ч (16)
е7 = Ас, е8 = дс,
Xa + /xb + vc — 0.
Если из этих уравнений исключить A, /i, z/, a, 6, с, то получится система
из четырех независимых однородных алгебраических уравнений
относительно е\... eg вида
^(Х...-)=0 (г = 1...4), (17)
которая также задает совокупность всех инфинитезимальных проективных
преобразований, сопряженных инфинитезимальным трансляциям.

3eie5 -
9eie7 -
3eieg -
Зв4б7 -
- 2e2e3 4- e2e6 = 0,
- 2e§ - e3e6 + e§ = 0,
- езб4 — 64^6 = 0,
- 2езб8 + ееб8 = 0,
Зе2б4 - 2eie6 + eie3 = 0,
9е2е8 + е| - €з€б — 2е| = 0
Зе2б7 — езв5 — esee = 0,
Зебба + езв7 — 2ебв7 = 0,
На самом деле, систему уравнений (16) невозможно просто заменить
системой из четырех уравнений относительно ei...es, точно так же, как, например,
невозможно кривую третьего порядка в обычном пространстве представить в
виде двух уравнений второго порядка относительно четырех однородных координат.
Разрешим уравнения (16) относительно следующих девяти величин:
Ла, Л6, Ас, да, fib, fie, va, vb, z/c,
a затем исключим Л, /i, z/, a, 6, с. Мы получим девять уравнений второго порядка
(18)
Зебба + езв7 — 2евв7 = 0,
9е4е5 + 2е\ - 5е3еб + 2е\ = 0,
из которых, правда, только четыре не зависят друг от друга. Мы не будем здесь
обсуждать, заменяют ли уравнения (18) полностью уравнения (16).
Очень важным является тот факт, что из уравнений (16) нельзя
получить ни одного линейного однородного соотношения относительно только
е\... е%. В этом очень легко убедиться. Впрочем, эти уравнения позволяют
указать восемь независимых друг от друга инфинитезимальных
преобразований вида (15). Такими инфинитезимальными преобразованиями
являются, к примеру, преобразования
Р, Ъ Щ, УР, x2p + xyq, xyp + y2q,
(:r + l)2p + (х + l)yg, x{y + \)р + (у + 1)2д.
§23
В соответствии с предложением 6, том I, стр. 211, каждая (8 —
— т)-параметрическая проективная группа плоскости может быть задана с
помощью т независимых линейных однородных соотношений на е\... eg
вида
8
5^Cifcefe = 0 (i = l,2...m). (19)
Эти соотношения определяют наиболее общее преобразование вида (14),
содержащееся в этой группе. Теперь, чтобы узнать, существуют ли в этой
группе инфинитезимальные преобразования вида (15), нужно всего лишь

проверить, имеет ли система уравнений, получаемая объединением систем
(19) и (17), ненулевое решение. Отсюда немедленно следует
Предложение 3* Если проективная группа плоскости имеет пять или
более параметров, то она содержит по крайней мере одно инфинитези-
мальное преобразование, которое в общей проективной группе плоскости
сопряжено инфинитезимальной трансляции.
Если же проективная группа плоскости имеет менее, чем пять
параметров, то вполне может случиться, что она вообще не содержит
инфинитезимальных преобразований вида (15). Это верно, например, для трехпа-
раметрической проективной группы
р + xq, хр + 2yq, (х2 - у)р + xyq
конического сечения у — \х2 = 0 (см. стр. 89).
Предположим, что проективная группа g содержит некоторое число
инфинитезимальных преобразований вида (15). Тогда совокупность этих
инфинитезимальных преобразований должна оставаться инвариантной
относительно всех преобразований из группы д, поскольку инфинитезималь-
ное преобразование вида (15) под действием любого преобразования из д
должно переходить снова в преобразование вида (15). Следовательно,
если для каждого содержащегося в д инфинитезимального преобразования
вида (15) мы нарисуем соответствующий ему линейный элемент (см. стр.
89), мы получим фигуру из линейных элементов, инвариантную
относительно д. Отсюда мы можем сделать следующие выводы.
Если группа д содержит просто некоторое количество изолированных
инфинитезимальных преобразований вида (15), то она оставляет на месте
каждый из соответствующих им линейных элементов.
Если д содержит оо1 различных преобразований (15), то нужно
рассмотреть два случая, поскольку соответствующие оо1 линейных элементов
либо образуют многообразие элементов (см. том I, стр. 14), либо нет. В
первом случае эти оо1 линейных элементов огибают либо инвариантную
относительно д кривую, либо инвариантную точку. Во втором случае точки
этих оо1 линейных элементов образуют инвариантную кривую, а их
прямые огибают либо инвариантную кривую, либо инвариантную точку.
Если в д содержится оо2 инфинитезимальных преобразований (15), то
соответствующие оо2 линейных элементов определяют инвариантное
семейство из оо1 многообразий элементов (см. том И, стр. 31), которое яв-

ляется либо инвариантным семейством оо кривых, либо инвариантным
семейством оо1 точек, то есть, инвариантной кривой.
Наконец, если группа д содержит все оо3 инфинитезимальных
преобразований (15), то она совпадает с общей проективной группой,
поскольку, как мы видели на стр. 91, в этом случае можно указать восемь
независимых инфинитезимальных проективных преобразований, имеющих
вид (15). Впрочем, это же следует из того, что попарные произведения
инфинитезимальных преобразований
р, g, x2p + xyq, xyp + y2q,
принадлежащих семейству (15), имеют вид
(р, х2р + xyq) = 2хр + yq, (<?, х2р + xyq) = xq,
(р, хур + y2q) = ур, (<?, хур + y2q) = хр + 2yq.
Проведенные рассуждения позволяют нам сперва определить
наибольшие подгруппы общей проективной группы, а затем доказать некоторое
общее утверждение, которое существенно упростит нахождение всех
проективных групп плоскости.
Всякая семипараметрическая проективная группа g-j должна
непременно содержать оо2 инфинитезимальных преобразований вида (15).
Соответствующие этим преобразованиям оо2 линейных элементов определяют
либо семейство оо1 кривых, инвариантных относительно g-j, либо одну
единственную инвариантную кривую. Второй случай исключается, поскольку, в
соответствии с предложением 2, стр. 88, никакая кривая на плоскости не
допускает более шести инфинитезимальных проективных преобразований.
В первом же случае каждая из оо1 кривых должна допускать шестипара-
метрическую проективную группу. Но тогда наше семейство состояло бы
исключительно из прямых, которые бы огибали некоторую инвариантную
относительно g-j кривую или некоторую инвариантную точку. Но это также
невозможно, и поэтому общая проективная группа не содержит семинара-
метрических подгрупп.
Всякая шестипараметрическая проективная группа содержит либо оо2,
либо оо \ но по крайней мере оо1 инфинитезимальных преобразований
вида (15). В первом случае соответствующие оо2 линейных элементов
определяют либо инвариантную кривую, которая, разумеется, является прямой,

либо инвариантное семейство кривых, которое должно состоять из
прямых и огибать некоторую инвариантную точку. Во втором случае должна
существовать либо инвариантная прямая, либо инвариантная точка.
Следовательно, всякая шестыпараметрическая проективная группа плоскости
состоит из оо6 проективных преобразований, которые оставляют
инвариантной либо некоторую фиксированную прямую, либо некоторую фиксы-
рованную точку.
Если проективная группа плоскости содержит пять параметров, то она
либо содержит лишь конечное число изолированных преобразований
вида (15) и тогда оставляет на месте соответствующие линейные элементы,
либо же она содержит оо1 или оо2 преобразований вида (15). Точно так же,
как и в предыдущем случае, можно показать, что тогда эта группа оставляет
на месте либо точку, либо прямую.
Проективная группа с четырьмя или тремя параметрами всегда им-
примитивна (см. стр. 34) и поэтому оставляет инвариантным семейство
оо1 кривых. Каждая из кривых этого семейства допускает по меньшей
мере два независимых инфинитезимальных преобразования и, следовательно,
является либо прямой, либо коническим сечением. Тогда инвариантная
огибающая этого семейства будет либо точкой, либо прямой, либо коническим
сечением; однако, коническим сечением она может быть лишь тогда, когда
группа является трехпараметрической.
Наконец, каждая одно- или двупараметрическая проективная группа
плоскости оставляет на месте по крайней мере одну точку и одну
проходящую через нее прямую. Для однопараметрическои группы это следует
из предложения 2, том I, стр. 585, а для двупараметрической — из
предложения 4, том I, стр. 589, так как в любой двупараметрической проективной
группе всегда найдутся два независимых инфинитезимальных проективных
преобразования X\f и Хч]*, удовлетворяющих условию
(Х,Х2) = е • XJ,
а значит, она обладает структурой, о которой идет речь в предложении,
упомянутом последним.
Объединим все сказанное в теорему:
Теорема 6* Всякая подгруппа общей проективной группы плоскости
оставляет на месте либо точку, либо прямую, либо же она является
трехпараметрической проективной группой невырожденного конического
сечения.

§24
Рассуждения, приведенные в предыдущем параграфе, существенно
упрощают нахождение всех проективных групп плоскости, так как теперь
нам уже нужно найти все проективные группы плоскости, каждая из
которых оставляет на месте либо прямую, либо точку. Кроме них
существует только два типа проективных групп: во-первых, сама общая
проективная группа, а во-вторых, тип, чей представитель является трехпараметри-
ческой проективной группой некоторого невырожденного конического
сечения. Прежде всего мы найдем все проективные группы плоскости,
которые оставляют инвариантной некоторую прямую, при этом не оставляя
на месте никакую из ее точек. Из этих групп посредством двойственного
преобразования мы получим все проективные группы, которые оставляют
инвариантной некоторую точку, при этом не оставляя инвариантной
никакую проходящую через нее прямую. После того, как это будет проделано,
нам нужно будет еще определить все проективные группы, оставляющие
на месте точку и проходящую через нее прямую, то есть, оставляющие на
месте некоторый линейный элемент.
Если проективная группа оставляет на месте прямую, то мы можем
перенести эту прямую в бесконечность и получим подгруппу общей
линейной группы
[1] |р, Q, ХР, УР, Щ, VQ
Таким образом, в соответствии с намеченной программой, мы
должны найти все линейные группы, при которых ни одна точка бесконечно
удаленной прямой не остается на месте. Но эти группы представляют
собой все линейные группы, под действием которых точки бесконечно
удаленной прямой преобразуются трехпараметрически. Действительно, если
точки этой прямой преобразуются одно- или двупараметрически, то, как
следует из сказанного на стр. 17, по крайней мере одна из них остается
на месте. Все группы, обладающие требуемым свойством, можно
немедленно выписать, используя том I, стр. 572-574. Всего существует четыре
вида таких групп: во-первых, сама общая линейная группа [1], во-вторых,
ее пятипараметрическая инвариантная подгруппа
И
р, q, xq, xp - yq, yp
и кроме того, все подгруппы группы [1], сопряженные в ней группам
[3] I xp, yp, xq, yq I [4]
xq, xp-yq, yp\.

Очевидно, что никакие две из групп [1]... [4] не сопряжены друг
другу в общей проективной группе, а значит, эти группы представляют четыре
различных типа проективных групп. Таким образом, каждая проективная
группа, оставляющая инвариантной некоторую прямую, не оставляя при
этом на месте никакую из лежащих на ней точек, сопряжена в общей
проективной группе одной из групп [1]... [4].
Кстати, теперь мы в состоянии указать, какие существуют типы
примитивных проективных групп плоскости. Действительно, по теореме 7, стр.
94, каждая проективная группа плоскости, не совпадающая с общей
проективной группой, оставляет инвариантной либо некоторою прямую,
либо некоторую точку, либо же является трехпараметрической проективной
группой некоторого конического сечения. Но всякая трехпараметрическая
группа плоскости импримитивна, и всякая проективная группа,
оставляющая на месте некоторую точку, также импримитивна. Таким образом, кроме
общей проективной группы примитивными могут быть только те
проективные группы, которые оставляют инвариантной некоторую прямую, но не
оставляют на месте ни одну точку. Единственными группами,
обладающими этим свойством, являются группы [1] и [2], и, по теореме 5, стр. 35, они
действительно примитивны. Итак,
Теорема 7. Если некоторая подгруппа общей проективной группы
плоскости примитивна, то она сопряжена в этой группе либо общей
линейной группе
р, q, xq, xp - yq, ур, хр + yq,
либо специальной линейной группе
р, q, xq, xp-yq, yp.
Теперь для групп [1]... [4] мы должны найти соответствующие
двойственные группы. Однако при этом нам нужно рассмотреть только группы
[1] и [2], поскольку, действуя на группы [3] и [4] двойственными
преобразованиями, мы не получим представителей новых типов, а именно, эти две
группы самодвойственны. Это следует из того, что группы [3] и [4] кроме
бесконечно удаленной прямой оставляют на месте лежащую в конечном
точку х = у = 0, что легко увидеть, выполнив двойственное
преобразование (2), стр. 80. Каждая из групп, двойственных группам [1] и [2], оставляет
на месте одну точку. Выберем в качестве этой инвариантной точки
бесконечно удаленную точку оси ординат и примем во внимание то, что вместе с

этой точкой инвариантным остается и семейство прямых х = const. Тогда
группа, двойственная группе [1], принимает вид
[5]
р, q, xq, xp, yq, x2p + xyq
а для [2] двойственной группой будет пятипараметрическая инвариантная
подгруппа группы [5], а именно
[6]
р, q, xq, 2xp + yq, x2p-\-xyq
Итак, найдены все проективные группы, которые оставляют на месте
некоторую точку, при этом не оставляя инвариантной никакую проходящую
через нее прямую. Каждая такая группа сопряжена в общей проективной
группе одной из групп [5], [6], [3], [4].
Нам осталось лишь найти те проективные группы, которые оставляют
на месте некоторый линейный элемент. Перенесем прямую этого
линейного элемента в бесконечно удаленную прямую, а его точку — в бесконечно
удаленную точку оси ординат. Тогда наша задача сводится к отысканию
всех подгрупп в пятипараметрической группе
[7] |р, q, xq, xp, yq
Очевидно, что эта группа самодвойственна, поскольку она является
наиболее общей проективной группой, оставляющей инвариантным
фиксированный линейный элемент. Мы будем называть ее коротко группой G$.
Каждую подгруппу в G5 посредством подходящего конечного
преобразования
Х\ — Ах 4- Д, У\ — vx + /лу + р (20)
мы будем приводить к простому нормальному виду; при этом для подгрупп,
сопряженных друг другу в G5, мы всегда будем получать ровно один
нормальный вид. Проделав это, мы должны будем еще установить, найдутся
ли среди полученных групп такие, которые, не будучи сопряженными в G5,
сопряжены в общей проективной группе. Из двух или более групп,
сопряженных друг другу в общей проективной группе, естественно, нужно будет
оставить лишь одну. Отбросив таким образом все излишние группы, мы
для каждого типа проективных групп, оставляющих на месте линейный
элемент, получим ровно по одному представителю.

Мы должны различать три класса подгрупп группы G§\ такая
подгруппа может действовать на прямых х = const либо нульпараметрически,
либо однопараметрически, либо двупараметрически. В §25 мы рассмотрим
все эти случаи по порядку.
§25
I) Прямые х = const преобразуются нульпараметрически
Наиболее общей группой, обладающей этим свойством, является
инвариантная в G5 подгруппа G&
[8] k, xq, yq
любая другая относящаяся сюда группа содержится в G3.
Если двупараметрическая подгруппа группы G% содержит
преобразование q, то она имеет вид
q, {-yx + 5y)q.
Если параметр 6 не равен нулю, то выберем "ух + 5у в качестве нового у.
Таким образом мы получаем два нормальных вида:
[9]
Q, xq
[ю] WTm
Всякая двупараметрическая подгруппа в Сз, не содержащая q9 имеет
вид
(x + a)q, (y + P)q.
Выбрав подходящие х и у, мы получим
[11] I xq, yq
Как мы уже знаем (см. стр. 81), всякая однопараметрическая
подгруппа (/yx + 6y + £)q группы Gs может быть приведена к одному из следующих
видов:
[12] Щ [xq\ \yq\.

II) Прямые х = const преобразуются однопараметрически
Каждая обладающая этим свойством r-параметрическая подгруппа
группы G$ содержит, если г > 1, (г — 1)-параметрическую подгруппу,
которая преобразует прямые х = const нульпараметрически и которая,
следовательно, может быть приведена к одному из видов, найденных в I). Таким
образом, к каждой из групп [8]... [12] мы должны добавить преобразование
вида
(ах + /3)р + ("ух + 8у + e)q,
где а и (3 не могут одновременно равняться нулю. Далее, в каждом
отдельном случае мы должны определить, при каких а, (3, 7> &> е мы получим
группу, а затем найденные группы с помощью подходящего
преобразования (20) привести к нормальному виду.
Сперва мы найдем четырехпараметрические группы вида
q, xq, yq, {ах + (3)р.
Если константа а не равна нулю, то выберем ах + (3 в качестве нового х;
мы получаем всего два вида групп:
[13] I q, xq, yq, p I [14] \q, xq, yq, xp
Рассмотрим теперь трехпараметрические подгруппы
q, xq, (ax + p)p + 8yq.
Если а = 0, a 6 Ф 0, то выберем -jj> в качестве нового у. Тогда при а = 0
мы получим две группы
[15] I q, xq, р I [16] q, xq, p + yq
Если же а ф 0, то мы можем сделать (3 равным нулю и получим группу
[17] q, xq, xp + cyq
Входящий в нее произвольный параметр с посредством конечных
преобразований (20) убрать невозможно.
Для трехпараметрических групп вида
q, yq, (ах + (3)р +-yxq

из соотношения
(yq, (ах + (3)р + -yxq) = -yxq
следует, что 7 = 0- Далее, известным образом мы приходим к следующим
двум нормальным видам:
[18] \q, yq, р\ [19] I q, yq, xp
Рассмотрим, наконец, группы
xq, yq, {ax + 0)р + eq.
Из соотношений
((ах + 0)р + eq, yq) = eq, ((ах + /3)р + eq, xq) = (ах + (3)q
следует, что е = /3 = 0. Таким образом, остается лишь группа
[20] \xq, yq, xp\.
Перейдем теперь к двупараметрическим подгруппам группы G5, при
которых прямые х = const преобразуются однопараметрически.
В группах
q, (ах + (3)р + (7х + £у)д
константу /3 мы можем сделать равной нулю всегда, когда а не обращается
в нуль. Поэтому мы будем различать два вида таких групп:
q, р + (ух + Sy)q и q, xp + (7Х + <fy)g. (21)
Если в качестве нового у взять Ах + /i?/, то в первом случае мы получим
Если £ ^ 0, то мы полагаем ц'у — \5 = 0из качестве нового х выбираем 8х.
В результате мы получаем группу
[21] \q, P + yq
Если 6 = 0, но 7 Ф 0, положим /ту = 1. Таким образом, мы получим еще
две группы:
[23] \q,p
[22] \q,p + xq

Во втором из случаев (21) указанная выше замена координат приводит к
группе
q, хр + {(/i7 — \5 + Х)х + 5y}q.
Если значение 6 отлично от единицы, то мы полагаем Х(6 — 1) = /ту. Если
S = 1 и 7 Ф 0> положим /ту = 1- Наконец, может иметь место случай
5 = 1, 7 = 0. Мы получаем два вида групп:
[24] \q, хр + q/g [25] \q, хр + (х + y)q
где параметр с может принимать и значение 1. Кстати, от этого параметра
нельзя избавиться посредством преобразований вида (20).
Рассмотрим двупараметрические группы вида
xq, (ах + /3)р + (5у + e)q.
Перемножая оба инфинитезимальных преобразования, мы получаем (8 —
— a)xq — @q. Следовательно, Р = 0, а А можно положить равным 1. Если
S т^ 0, то в качестве нового у выберем 5у + е\ если же S = 0 и если е ф 0,
то можно сделать £ = 1. Таким образом, мы получаем два вида групп:
[26] I xq, хр + cyq I [27] Ixg, xp-\-q
Остается еще рассмотреть двупараметрические группы
yq, (ах + р)р + (7Х + е)д.
Произведение этих двух инфинитезимальных преобразований равно ("ух +
+ е)^. Следовательно, 7 — £ — 0» и известным способом мы получаем
группы
[29]
[28] Г^77
У4, хр
В соответствии с рассуждениями из §20, однопараметрические группы
(ах + р)р + (7Ж + Sy + e)g,
преобразующие прямые х = const однопараметрически, принимают один
из следующих видов:
[30]
V
p + yq
p + xq
xp + q
хр + (х + y)q
хр + cyq
Никакие две из групп [30] не сопряжены в G$.

Ill) Прямые х = const преобразуются двупараметрически
Всякая относящаяся сюда r-параметрическая подгруппа д группы G$
содержит два независимых инфинитезимальных преобразования вида
р + (7Х + 5у -\- s)q и хр + (*у'х -Ь 5fy + ef)q.
Тогда ясно, что преобразование
р + (<ух + <fy + е)д (22)
вместе с содержащимися в д инфинитезимальными преобразованиями вида
(У'х + 8"у -\- e")q порождает (г — 1)-параметрическую инвариантную
подгруппу в д, под действием которой х преобразуется однопараметрически.
Таким образом, из групп, найденных в II), нам нужно выбрать те,
которые содержат преобразование вида (22), а затем к каждой такой группе так
добавить преобразование вида
хр + (j'x + S'y + e')q,
чтобы снова получить группу.
Кроме самой группы G$, из группы [15] мы прежде всего получаем
четырехпараметрическую группу
[31] q, xq, р, хр + cyq
в которой от параметра с избавиться невозможно.
Четырехпараметрических групп вида
Я, Щ, V + УЯ, хр + 5yq
не существует, поскольку они должны были бы содержать инфинитезималь-
ное преобразование
(р + yq, хр + Syq) = р,
чего не происходит. Заметим, что такое противоречие мы будем получать
всегда, когда имеется преобразование p-\-yq при отсутствии преобразований
р и yq. Поэтому мы вообще не будем рассматривать группу [21] и вторую
из групп [30].
Группа [18] приводит к четырехпараметрическим группам вида
q, yq, р, хр + -ixq.

Так как
{yq, xp + -yxq) = -yxq,
мы видим, что 7 обращается в нуль, и остается лишь группа
[32]
g, yq, р, хр
Трехпараметрические получаются из групп [22], [23] и [28]. В первом
случае мы получаем группы вида
Ч, V + Щ, хр + (7Х + &У)Я-
Произведение последних двух преобразований равно
и, следовательно, 5 должно равняться 2. Рассмотрим в качестве нового у
выражение у + *ух. Тогда получим
[33] \q, p + xq, xp + 2yq
Во втором случае мы имеем дело с группами вида
д, р, хр + (7х + 5у)д.
Вводя Ах + ру в качестве нового у, мы убеждаемся, подобно тому, как это
делалось на стр. 99-100, что эти группы приводятся к видам
[34] д, р, хр + суд [35] q, р, хр + (х + г/)д
В третьем случае соответствующие группы имеют вид
yq, р, хр + (7Х + e)q.
Произведение первого и последнего преобразований равно (jx + e)q, и,
следовательно, у и е должны равняться нулю. Таким образом, мы получаем
лишь группу
[36]
yq, р, xp
Остается найти все двупараметрические подгруппы в G5,
преобразующие х однопараметрически. Здесь существуют лишь следующие две
возможности:
р, хр + (7Х + 6у + e)q; р + xq, хр + (jx + 5у + е)д.

В первом случае, перемножая преобразования, мы получаем, что 7 должно
равняться нулю. Если 6 отлично от нуля, то е можно сделать равным нулю;
если же 5 — О, а е ^ 0, то е можно сделать равным 1. Во втором случае
произведение преобразований равно
р+ {(6 - 1)х + 7}<7-
Следовательно, 5 = 2 и 7 = О- Выбирая у + \е в качестве нового у, мы
делаем е равным нулю. Таким образом, мы получаем только три двупара-
метрические группы:
[37] р, xp + cyq\ [38] р, хр + q
[39] р + xq, xp + 2yq
Итак, найдены все подгруппы группы G5: каждая подгруппа этой
группы сопряжена в ней одной из групп [8]... [39]. При этом никакие две из
этих групп не сопряжены друг другу в G$. Действительно, никакая из групп
пункта I) не может быть сопряжена группам из пунктов II) или III), а в том,
что ни в каком из пунктов I), II), III) не существует двух групп,
сопряженных друг другу в G$, легко убедиться в каждом отдельном случае.
Нам остается еще сделать две вещи. Во-первых, мы должны
установить, какие из групп [8]... [39] сопряжены в общей проективной группе, а
во-вторых, указать, какие из них двойственны друг другу. Решению этих
двух задач посвящен следующий параграф. При этом нам, естественно, не
нужно еще раз рассматривать однопараметрические группы.
§26
Группа G5
р, q, xq, xp, yq
— это наибольшая проективная группа, оставляющая инвариантным
некоторый линейный элемент, а именно, линейный элемент L, который состоит
из бесконечно удаленной прямой и бесконечно удаленной точки оси
ординат. Таким образом, если две подгруппы д± и #2 группы G$ не сопряжены
в G*>, но сопряжены в общей проективной группе, то они должны быть
подобны друг другу относительно проективного преобразования, при
котором линейный элемент L уже не будет инвариантным. Этот случай, однако,

может иметь месть только тогда, когда каждая из групп д\ и д2 кроме
линейного элемента L оставляет на месте по меньшей мере еще один линейный
элемент. Отсюда ясно, как нужно поступать, чтобы установить, какие из
групп [8]... [39] сопряжены друг другу в общей проективной группе.
Пусть д — одна из групп [8]... [39]. Нужно определить все точки и
все прямые, инвариантные относительно этой группы, после чего можно
немедленно предъявить все инвариантные относительно д линейные
элементы Lb L2, Далее, для каждого из этих линейных элементов нужно
найти такое проективное преобразование, при котором он переходит в
вышеупомянутый линейный элемент L, и подействовать этим проективным
преобразованием на группу д. Поступая таким образом, мы получим
некоторое количество подгрупп р1? д2,... в G$, каждая из которых
сопряжена в общей проективной группе подгруппе д. Если, наконец, среди групп
[8]... [39] отыскать те, которые в G5 сопряжены одной из групп #ь 02? • • • >
то мы получим все содержащиеся среди [8]... [39] группы, которые в
общей проективной группе сопряжены группе д.
Среди групп [8]... [39] существует несколько групп, которые не
оставляют инвариантным никакой другой линейный элемент кроме L. Помимо
одной однопараметрической группы таковыми являются группы
[13], [15], [16], [22], [31], [33], [35], [39].
Ни одна из этих групп, естественно, не сопряжена в общей проективной
группе никакой другой из групп [8]... [39].
Теперь мы должны были бы по порядку рассмотреть все оставшиеся
группы и для каждой из них проделать указанные выше вычисления.
Однако это заняло бы слишком много места, и поэтому мы приведем лишь
результаты этих вычислений.
Ни одна из групп [8], [9], [14], [23], [29], [32] не сопряжена в общей
проективной группе никакой другой из групп [8]... [39].
Каждая из групп [10], [11], [24], [26], [28], [37] сопряжена одной из
оо1 групп
[40] д, ахр + суд
в то время как никакие две из групп [40] не сопряжены друг другу в общей
проективной группе.
Объединим группы [17] и [8] в одно семейство из оо1 групп:
[41] q, xq, ахр + cyq

Это семейство состоит из пар сопряженных групп, так как проективное
преобразование
1 У
xi = -, J/1 = -
х х
переводит группу [41] в группу
qu xiqu axipi + (а - c)yiqi.
Аналогично, объединяя группы [18] и [34], мы получаем семейство
[42] д, р, ахр + суд
состоящее из оо1 пар сопряженных групп. Это можно увидеть, если в [42]
переставить местами переменные х и у.
Группа [19] сопряжена в общей проективной группе группам [20]
и [36], группа [21] сопряжена группе [38], а группа [25] — группе [27].
Теперь мы точно знаем, какие из групп [8]... [39] представляют один
и тот же тип проективных групп, и следовательно, для каждого типа
проективных групп, оставляющих на месте некоторый линейный элемент, мы
можем предъявить ровно по одному представителю. Нам остается еще
установить, какие из найденных групп переводятся друг в друга двойственными
преобразованиями.
Для этого желательно знать двойственное преобразование, при
котором группа [7] переходит в саму себя, то есть такое двойственное
преобразование, при котором определенный на стр. 103 линейный элемент L
остается на месте. Такое двойственное преобразование определяется
уравнением
y + yi-xxi = 0,
так как под действием этого преобразования каждая точка переходит в свою
поляру относительно конического сечения у — \х2 — 0, а каждая прямая —
в свой полюс относительно этого конического сечения; при этом линейный
элемент L действительно остается на месте. Уравнения этого
преобразования имеют вид
V XV
xi = —, у1 = у, pi=xq, qi = -q (23)
(ср. стр. 79).

Посредством двойственного преобразования (23) инфинитезимальные
преобразования q, р, xq, xp, yq переходят в преобразования
Q = -Qu P = Xiqu xq = pi, xp = -Xipi, yq = Xipi + yiqx.
Теперь для каждой из найденных групп можно немедленно указать ей
двойственную и, в частности, установить, является ли эта группа
самодвойственной. Соответствующие вычисления мы опускаем.
§27
Теперь, наконец, мы можем привести таблицу, в которую входит
ровно по одному представителю для каждого типа проективных групп. В этой
таблице каждая самодвойственная проективная группа заключена в
жирную рамку, а каждые две двойственные друг другу группы стоят рядом и
соединяются значком ~.
Таблица всех проективных групп плоскости.
I) Восьмипараметрические группы.
р, q, xp, yp, xq, yq, x2p + xyq, xyp-\-y2q
II) Шестипараметрические группы.
р, q, xp, yp, xq, yq
p, q, xq, xp, yq, x p + xyq
III) Пятипараметрические группы.
p, q, xq, xp - yq, yp
p, q, xq, 2xp + yq, x2p + xyq
p, q, xq, xp, yq

IV) Четырехпараметрические группы.
g, yq, р, xp\~\q, xq, xp, yq
q, p, xg, axp + cyq
q, xg, p, (c - a)xp + q/g
xp, yp, xq, yq
V) Трехпараметрические группы.
p + xg, xp + 2yq, (x2 - ?/)p + xyq
xq, xp - yq, yp
q, p, axp + cyq
q, xq, (c - a)xp + cyq
q, yq, xp
q, xq, p
q, p + xg, xp + 2yq
q, xq, p + yq\~\q, p, xp+(x + y)q\.
VI) Двупараметрические группы.
А) С неперестановочными инфинитезимальными
преобразованиями.
g, axp + суд
(с^О)
д, (с-а)жрЧ-суд
(с^О)
q, p + yq
q, xp+(x + y)g
р + xg, xp + 2yq
В) С перестановочными инфинитезимальными
преобразованиями.

\^р\
q, xq\
q, p + xq
q, xp
xp, yq
VII) Однопараметрические группы.
xp + cyq (с ф 0)
p + yq
p-\-xq
УЧ
и-
В этой таблице группы вида
q, p, xq, axp + cyq
и группы вида
q, axp + cyq
учтены дважды, поскольку каждое из этих семейств состоит из пар
двойственных друг другу групп. Следует также отметить, что в тех случаях, где
встречается произвольный параметр а : с, два различных значения этого
параметра могут соответствовать двум сопряженным друг другу группам.
В таких случаях можно воспользоваться вспомогательной таблицей
g, p, axp + cyq\ = \p, q, cxp + ayq
q, xq, (с — a)xp + cyq = <?, xq, {a — c)xp + ayq
xp + cyq
cxp + yq
xp+ (1 -c)yq
(1 -c)xp + yq
cxp+ (c- l)yq
(c- l)xp + cyq
Здесь значок = означает, что группы, стоящие по обе стороны от него,
сопряжены друг другу в общей проективной группе.

§28
Нередко для заданной проективной группы д нужно найти
наибольшую проективную группу, содержащую д в качестве инвариантной
подгруппы. Если речь идет о наибольшей непрерывной проективной группе, в
которой д инвариантна, то эта задача легко решается с помощью
следующего предложения.
Предложение 4. ргор:5:4 Если конечная непрерывная группа
оставляет на месте некоторую изолированную точечную фигуру, то эта фигура
остается на месте под действием любой конечной проективной группы,
содержащей данную группу в качестве инвариантной подгруппы.
Доказательство этого факта следует непосредственно из
предложения 3, том I, стр. 586. Действительно, если рассмотренная там точечная
фигура М, инвариантная относительно группы Gr_m, является
изолированной, то есть если она не принадлежит никакому непрерывному
семейству точечных фигур, каждая из которых инвариантна относительно Gr_m,
то под действием преобразований из Gr она не может изменять свое
положение, и, следовательно, она должна быть инвариантна относительно Gr.
Чтобы воспользоваться предложением 4 в нашем случае,
предположим, что известны все инвариантные относительно группы G точки и
прямые, являющиеся изолированными. Эти точки и прямые образуют
изолированную точечную фигуру F, инвариантную относительно д. Таким
образом, мы должны найти наибольшую непрерывную проективную группу G,
оставляющую на месте фигуру F, а затем определить наибольшую
непрерывную подгруппу © группы G, содержащую д в качестве инвариантной
подгруппы. Тогда (5 — это наибольшая непрерывная проективная группа, в
которой д инвариантна.
Продемонстрируем пригодность этого метода на примере.
Под действием однопараметрической группы р + xq на месте
остаются лишь одна прямая и одна точка, а именно, бесконечно удаленная
прямая и бесконечно удаленная точка оси ординат. Следовательно, линейный
элемент L, определенный на стр. 103, является единственной
инвариантной относительно группы р + xq точечной фигурой, состоящей из
изолированных точек и прямых. Наибольшей непрерывной группой, при которой
L остается на месте, является уже известная нам группа G5:
р, q, xq, xp, yq.

Таким образом, мы должны отыскать наибольшую подгруппу группы G5,
содержащую р + xq в качестве инвариантной подгруппы.
С этой целью найдем наиболее общий вид такого инфинитезимального
преобразования
Xf = eiP + e2Q + e3xq + e^xp + ebyq,
при котором выражение
(p + xq, Xf) = (e3 — ei)gr + eAp + (e5 - e4)^
имеет вид \(p+xq). Мы видим, что должны выполняться соотношения ез =
= е\ и б4 = еэ — б4- Следовательно, наибольшей непрерывной проективной
группой, содержащей р + хд в качестве инвариантной подгруппы является
группа
р + х<7, q, xp + 2yq.
Это седьмая группа из пункта V.
Пользуясь этим методом, для каждой из перечисленных в предыдущем
параграфе групп нетрудно найти наибольшую непрерывную проективную
группу, содержащую ее в качестве инвариантной подгруппы. В частности,
оказывается, что единственными группами, не содержащимися в качестве
инвариантных подгрупп в больших непрерывных проективных группах,
являются группы
1,1; II, 1 и 11,2; III,3; IV, 1,2,5; V, 1,5,7; VI,А5 и В5.
Если задана наибольшая непрерывная проективная группа G,
содержащая в качестве инвариантной подгруппы данную проективную группу д,
то можно без труда найти наибольшую прерывную проективную группу, в
которой д инвариантна (если такая прерывная группа вообще существует).
Однако, мы не будем на этом останавливаться.

Глава 6
Нахождение всех линейных однородных
групп от трех переменных
Общая линейная однородная группа от трех переменных является де-
вятипараметрической, и поэтому в дальнейшем мы будет называть ее
группой Gg. Она имеет вид
Г х' = апх + а\2У 4- ai3z, у1 = а2\х 4- а22У + a23z,
| z1 = a3ix + а32у + a33z
и порождается девятью независимыми инфинитезимальными
преобразованиями
хр, УР, zp, xq, yq, zq, xr, yr, zr, (2)
df
где, в соответствии с нашими прежними обозначениями, г обозначает ——.
dz
Найдем все подгруппы в Gg. С этой целью мы будем подразделять
подгруппы группы Gg на типы, причисляя две подгруппы к одному и тому
же типу тогда и только тогда, когда они сопряжены в Gg. Тогда наша задача
сводится к тому, чтобы для каждого типа подгрупп в G^ найти ровно одну
принадлежащую ему подгруппу, то есть для всех таких типов указать ровно
по одному представителю.
Согласно главе 28, том I, решение этой задачи очень важно для
нахождения и классификации всех групп точечных преобразований трехмерного
пространства.
§29
Согласно теореме 98, том I, стр. 561, группа Gg содержит две
инвариантных подгруппы: во-первых, восьмипараметрическую специальную
линейную однородную группу
zp, zq, xq, xp - yq, yp, xp - zr, xr, zr, (3)

а во-вторых, одночленную подгруппу, порожденную центральным инфини-
тезимальным преобразованием
хр + yq + zr = U
ГруППЫ Gg-
Первая из этих двух инвариантных подгрупп голоэдрически
изоморфна общей проективной группе плоскости (теорема 96, том I, стр. 558), ведь
это просто общая проективная группа плоскости, записанная в однородных
переменных х, у, z. Действительно, если понимать х, у, z как
прямоугольные координаты в трехмерном пространстве, то их можно рассматривать и
как однородные координаты оо2 прямых, проходящих через точку х = у =
= z — 0. Очевидно, что эти оо2 прямых под действием группы (3)
переставляются между собой, причем посредством общей проективной группы
двумерного многообразия. Чтобы выписать зависимость между группой (3)
и общей проективной группой плоскости в явном виде, нужно положить
х у
Z Z
и установить, как изменяются у и X) под действием инфинитезимальных
преобразований (3). Проделав эти вычисления, мы получим (см. том I, стр.
579)
zp = р, zq = q, xq = yq, yp = tjp,
xp-yq = ^p- ijq, xp - гг = 2yp + tjq, yg - zr = yp + 2tjq,
(4)
3xp — (xp + yq + zr) = Зур, Зуд — (xp + yq + zr) = 3rjq,
xr = -(y2p + ynq), yr = -(ynp + t}2q).
С помощью этих формул всякое инфинитезимальное проективное
преобразование плоскости, заданное в неоднородных переменных у, Г), можно
немедленно записать в однородных переменных х, у, 2, и наоборот.
Итак, группа (3) и общая проективная группа плоскости
p>q>FP,W>M,M,F2p + Wq>WP + 92q (5)
обладают одинаковой структурой. Тогда очевидно, что группа Gg имеет ту
же структура, что и девятипараметрическая группа
р, q, yp, tjp, yq, gq, ?2p+?tjq, № + *)\ r (6)

от трех переменных у, Г), з« Таким образом, сначала мы можем определить
все подгруппы группы (б), что не представляет никаких трудностей,
поскольку подгруппы группы (5) нам уже известны — они были найдены в
предыдущей главе. Если же мы знаем все подгруппы в (б), легко получить
и все подгруппы группы 09. Для этого всего лишь нужно в подгруппах
группы (6) каждое инфинитезимальное преобразование с помощью
формул (4) заменить на соответствующее инфинитезимальное преобразование,
записанное в переменных х, у, г, а вместо г подставить хр + yq + zr.
Подгруппы группы (б) попадают в один из двух различных классов:
первый класс составляют подгруппы, содержащие инфинитезимальное
преобразование г, а второй — подгруппы, его не содержащие. Подгруппы
первого класса имеют вид
£i/...£m/,t, (7)
а подгруппы второго класса имеют вид
f + amt, (8)
где в обоих случаях Xif ... Хш/ — это m-параметрическая подгруппа
группы (5), а а\... аш — константы.
Группа (б) содержит одно центральное инфинитезимальное
преобразование, а именно г. Следовательно, ее присоединенная группа является вось-
мипараметрической и совпадает с присоединенной группой группы (5).
Отсюда следует, что две подгруппы gi и д2 группы (б) сопряжены в этой
группе тогда и только тогда, когда одна из них посредством некоторого
преобразования из группы (5) переводится в другую. Мы заодно
получаем, что д\ и #2 могут быть сопряжены в группе (6) только тогда, когда,
во-первых, либо они обе имеют вид (7), либо они обе имеют вид (8), а
во-вторых, когда группа X\f.. .Xmf, соответствующая подгруппе д\,
сопряжена в группе (5) группе X\f... Xmf, соответствующей подгруппе д2.
Это обстоятельство существенно облегчает нахождение всех подгрупп
группы (б). Действительно, с помощью некоторого преобразования из
группы (5) мы можем в (7) и (8) группу Х\$ ... Xmf привести к одному из
видов, указанных в §27. Если теперь 0i и 92 — две различных группы из §27 и
если в качестве группы Xif... Xmf мы сначала выберем дь а потом д2, мы
получим две группы вида (7), которые точно не сопряжены друг другу, и
точно так же мы получим две несопряженные группы вида (8). Итак, чтобы
найти все подгруппы в (б), мы должны действовать следующим образом.

В (7) и (8) вместо Xif... Xmf будем подставлять по порядку группы
из §27. Группы вида
X\f . . .Xmfi r> (?)
разумеется, более упростить невозможно. Для каждой же группы вида
Xif + axr, ..., Xmf + amr, (8)
мы должны определить, какие значения могут принимать параметры
ai... am, а затем проверить, нельзя ли избавиться от тех из этих
параметров, которые могут принимать произвольные значения; при этом можно
использовать лишь те преобразования, которые принадлежат группе (5) и,
кроме того, оставляют на месте группу X\f... Xmf.
Итак, пусть X\f... Хш/ — некоторая группа из §27. Тогда
выполняются соотношения вида
777,
{XiXk) = Y^ cik^X^f (г, к = 1... т).
С другой стороны,
{Xif + а*г, Xkf + akv) = {Х{Хк).
Следовательно, инфинитезимальные преобразования (8) порождают
^-параметрическую группу тогда и только тогда, когда ai... am удовлетворяют
условиям
771
^2сМц<Хц=® (i,fc = l...m). (9)
ii=i
Предположим, что среди уравнений (9) найдутся I независимых. Тогда т —
— I из параметров а^ остаются совершенно произвольными, в то время как
оставшиеся I записываются в виде линейных функций этих т — I
параметров.
В частности, всегда можно сделать так, что I из параметров ам будут
равны нулю, а оставшиеся т — I будут произвольными. Действительно, по
нашему предположению, / — это количество независимых друг от друга ин-
финитезимальных преобразований вида (3^3^). Тогда X\f ... Xmf можно
выбрать так, что все {ХгХк) будут записываться в виде линейных
комбинаций преобразований X\f... Xif:
i
{XiXk) = ^2cikflXflf (i,fc = l...m) (10)
/i=i

и что при этом не все определители порядка / матрицы
\Cikl • • • Cikll
(г,/с=1. . . т)
будут тождественно равны нулю. Проделав это, из уравнений (9) мы
получаем, что а\ ... ai все без исключения должны равняться нулю, в то время
как a;+i... ат остаются произвольными.
В группах, перечисленных в §27, инфинитезимальные преобразования
выбраны как раз так, что они удовлетворяют соотношениям (10) для
соответствующего /.
Итак, у нас есть группа вида
Xif... Xif, Xi+if + aj+it, • • •, Xmf + amt, (8')
где Xif... Xmf удовлетворяют соотношениям (10), и мы должны
установить, как изменятся произвольные параметры a/+i...am, если на
группу (8') подействовать наиболее общим преобразованием из группы (5),
оставляющим инвариантной группу 3L\f.. .Xmf. Мы подробно разберем,
как можно решить эту задачу, поскольку соответствующий метод работает
вообще во всех подобных ситуациях. Само по себе создание такого общего
метода в данном случае было бы совсем не обязательным, так как здесь все
довольно просто.
Пусть Xif... Xmf, 3i/ • • • 3/i/ — наибольшая непрерывная подгруппа
группы (5), содержащая группу Xif... Xmf в качестве инвариантной
подгруппы. Тогда, в соответствии с предложением 7, том I, стр. 262, группа,
порожденная всеми (3£мХ;у), (в нашем случае это группа Xif.. .Xif)
также будет инвариантна в группе X\f ... 3£m/, 3i/ • • • З/i/- Следовательно,
имеют место соотношения
l
(Э£лЗ*) = X>a*s*,/ (А = 1... Z; г = 1...Л), (11)
5=1
в то время как выражения для (3£/+м, Зг) имеют вид
( I т—1
I №+м, Зг) = 2^ Pl+n,i,sXsf + 22 7Z+M,t,i/£/+i//
Л 8=1 и=\ ^iZ)
I (fjL=l...m—l; г=1.../г),

где не все 7 равны нулю.
Если теперь мы подействуем на группу (8') одним из инфинитези-
мальных преобразований Xif... Xmf, то каждое инфинитезимальное
преобразование группы (8') перейдет в бесконечно близкое
инфинитезимальное преобразование этой группы; сама же группа (8') при этом остается
инвариантной. Если же мы на группу (8') подействуем одним из инфини-
тезимальных преобразований ЗгЛ то группа (8') перейдет в группу того
же вида, но ее параметры a/+i... ат при этом изменятся на бесконечно
малые величины. Действительно, если мы на Xi+^f + оц+^г подействуем
инфинитезимальным преобразованием ЗгЛ то> согласно тому I, стр. 141,
мы получим инфинитезимальное преобразование вида
£/+м/ + а/+мг + St(Xi+tlf + ац+^г, 3i/).
Оставляя только те члены, которые не зависят от X\f ... Xif, мы получаем
771 — I
Таким образом, под действием Зг/ группа (8') переходит в бесконечно
близкую группу того же вида, и эта новая группа порождается инфини-
тезимальными преобразованиями
£i/... Xif, Xi+flf + (ai+fl + Sai+fl)v (fi = 1... m - I),
где Sai+/JL равно
771— I
6ai+fJL = - ^2 7/+AM,*/a/+i/ -St (fi = l...m-l).
Другими словами, если мы на группу (8') действуем инфинитезимальным
преобразованием 3i/, то это имеет тот же эффект, как если бы мы на
параметры aj+i... аш подействовали инфинитезимальным преобразованием
т—1 т—1 о п
Само собой разумеется, что h инфинитезимальных преобразований
Ai/ ... А^/ порождают группу. Эта группа показывает, как изменяются
параметры a/+i ...ат при действии группы Xif... Xmf, 3i/ • • • З/i/ на

группу (8'). Следовательно, эта группа мериедрически изоморфна группе
£i/... xmf, 3i/ • • • 3/i/.
Теперь нетрудно установить, при каких условиях две группы вида (8')
подобны друг другу относительно некоторого преобразования из группы
£l/---£m/i 3l/. •-3/i/.
Для удобства мы будем рассматривать a/+i...am как
прямоугольные координаты (га — /)-мерного пространства Rm-i. Тогда каждая
группа (8') представляется точкой этого пространства, и обратно, каждая
лежащая в конечном точка пространства Rm-i соответствует некоторую группу
вида (8'). Рассмотрим действие группы A\f...Akf на точках
пространства Rm-i и предположим, что найдены все минимальные многообразия,
инвариантные относительно этой группы (см. том I, стр. 225); для этого
нужны только эффективные операции, так как группа Ai/ ... A^f линейна и
однородна. Тогда очевидно, что две группы вида (8') подобны
относительно некоторого преобразования из группы X\f... Xmf, 3i/ • • • Зл/ тогда и
только тогда, когда соответствующие им точки пространства Rm-i лежат в
одном и том же минимальном инвариантном многообразии.
Теперь, чтобы для каждого типа групп, подобных друг другу
относительно преобразований из группы X\f... 3£m/, 3i/ • • • З/i/, выбрать ровно
по одному представителю, нужно в каждом минимальном инвариантном
многообразии пространства Rm-i, не лежащем полностью в
бесконечности, выбрать по одной точке. Группы (8'), соответствующие этим точкам,
будут удовлетворять поставленному требованию.
Наконец, следует упомянуть тот случай, когда наибольшая
подгруппа группы (5), содержащая группу X\f ...Xmf в качестве инвариантной
подгруппы, не непрерывна, а состоит из нескольких дискретных семейств
преобразований. В этом случае вполне может оказаться, что некоторые из
групп (8'), полученных указанным выше способом, подобны относительно
преобразований из группы (5). Поэтому в каждом отдельном случае нужно
проверять, происходит это или нет.
Поясним приведенные выше общие рассуждения на примере. В
качестве группы Xif.. .Xmf возьмем группу VI, В, 1 из §27. Нужно
определить, какие из групп вида
р -hair, q -ha2r (13)
сопряжены друг другу в группе (6).

Инфинитезимальные преобразования (13) порождают двупараметри-
ческую
группу, при любых значениях параметров а\ и а2-
Прежде всего мы должны найти наибольшую подгруппу группы (5), в
которой группа р, q инвариантна. Эта подгруппа является шестипарамет-
рической и имеет вид
р, q, и, ?р-эдь до> ?p + tjq-
Теперь мы должны найти группу Ai/ ... А^/, действующую на параметрах
ot\ и а2. В нашем случае эта группа является четырехпараметрической и
имеет вид
df df df df df df
9а 1 9а 1 дос^ да2 да i да2
Она оставляет на месте точку а\ = а2 = 0. Однако никакая лежащая в
конечном точечная фигура не инвариантна относительно этой группы.
Следовательно, каждая группа вида (13) сопряжена в группе (6) либо группе
р, q, либо группе р, q + г.
Действуя таким образом, можно определить все подгруппы группы (6)
и привести их к нормальному виду. Мы опускаем все необходимые
вычисления, которые не представляют особых трудностей, и в следующем
параграфе приводим уже линейные однородные группы от х, у, z, которые,
как мы знаем, можно выписать сразу, как только известны все подгруппы
группы (6). Для хр + yq + zr мы будем использовать введенное на стр. ПО
обозначение U.
§30
Таблица всех линейных однородных групп
от трех переменных.
zp, zq, хр, ур, xq, yq, xr, yr, zr
zp, zq, xq, xp — yq, yp, xr, yr, xp — zr

II.
zp, zq, xq, xp - yq, yp, xp + yq + aU\ I zp, zq, xp, yp, xq, yq, zr
zp, zq, xq, xr, xp — zr, yq + aU
zp, zq, xq, xr, xp, yq, zr
III.
zp, zq, xq, xp - yq, yp
zp, zq, xq, xp - yq, yp, U
zp, zq, xq, xr, xp — zr
zp, zq, xq, xr, xp — zr, U
zp, zq, xq, xp + aU, yq + @U
zp, zq, xq, xp, yq, zr
IV.
zp, zq, xp 4- aU, yq + /3U
zp, zq, xp, yq, zr
zq, xq, xp + aU, yq + (lU
zq, xq, xp, yq, zr
zp, zq, xq, axp + cyq + aU zp, zq, xq + U, xp + yq + aU
zp + U, zq, xq, yq + aU zp, zq, xq, axp + cyq, U
xq, xp - yq, yp, xp + yq + aU
xq, yp, xp, yq, zr
V.
zp + xq, yq — zr, xr + yp
zp + xq, yq — zr, xr + yp, U
xq, xp - yq, yp
xq, xp - yq, yp, U
zp, zq, axp + cyq + aU zp, zq + U, xp + aU
zp, zq, axp + cyq, U
zp, xq, axp + cyq + aU zq, xq + U, xp + yq + aU
zq, xq, axp + cyq, U

zq, xp + aU, yq + /3U\ \zq, xp, yq, zr
zq, xq, zp
zq, xq + U, zp + U\ zq, xq + U, zp
zq, xq, zp + U\ \zq, xq, zp, U
zq, zp + xq, yq — zr -f aU zq, zp + xq, yq — zr, U
zq, xq, zp + yq + aU \ zq, xq, zp + yq, U
zp, zq, xp + (x 4- y)q + aU zp, zq, xp + (x + y)q, U
VI.
zq, axp + cyq + aU \zq + U, xp + all zq, axp + cyq, U
zq, zp + yq + aU\ zq, zp + yq, U
zq, xp + (x + y)q + aU\ zq, xp + (x + y)g, U
zp + xq, yq — zr + aU \zp + xq, yq — zr, U
zp, zq I zp, zq + U zp, zq, U
zq, xq
zq, xq + U\ zq, xq, U
zq, zp + xq
zq + U, zp + xq + aU \zq, zp + xq + U
zq, zp + xq, U
zq, xp + aU \zq + U, xp + aU
zq, xp, U
xp + aU, yq + /3U
xp, yq, zr
VII.

хр + cyq + aU
(c#o, i)
xp + cyq, U
(C9*o,i)
zp + yq + aU \zp + yq, U
zp + xq
zp + xq + U\ \zp + xq, U\ \yq + cdJ yq, U
zq
zq + U\ \zq, U
VIII.
u\.
Здесь следует отметить, что параметры а и с, встречающиеся в
нескольких группах, никогда не могут одновременно равняться нулю, так
как соответствующие группы определяются отношением этих параметров,
а не их абсолютными величинами.
Далее заметим, что здесь линейные группы упорядочены не по
количеству принадлежащих им независимых инфинитезимальных
преобразований, а так, что в каждом пункте собраны все линейные группы, которые
преобразуют оо2 прямых, проходящих через точку х = у = z = 0,
посредством проективных групп, обладающих одним и тем же числом
независимых инфинитезимальных преобразований. Для такого способа
упорядочивания есть несколько причин. В частности, такой порядок очень удобен при
возможном использование линейных однородных групп для классификации
групп пространства х, у, z (см. том I, глава 28).
§31
В этом параграфе мы коротко остановимся еще на одном методе
нахождения всех подгрупп группы
Р, q, ?Р, ДО* ЗД, riq, r.2p + raiq, дф + ri2q, г.
(б)
Подгруппы группы (6) можно разбить на два класса: те, которые
одновременно являются и подгруппами группы
р, q, ?р, до, w, m, F2p + ?tjq> ?tjp + g2q (5)

и те, которые таковыми не являются. Все подгруппы первого класса уже
известны из §27.Таким образом, остается найти только те подгруппы,
которые принадлежат второму классу.
Если gm+i — некоторая (га + 1)-параметрическая подгруппа
группы (6), то она содержит га + 1 независимых инфинитезимальных
преобразований вида
Xif...Xmf, r + 3/,
где X\f ... 3tm/, 3/ принадлежат группе (5). Заметим сразу, что
преобразования Xif.. .Xmf, со своей стороны, порождают га-параметрическую
подгруппу в (5), являющуюся инвариантной подгруппой в pm+i. Пусть
Xif... 3£m/, 3i/ • • • 3/г/ — наибольшая подгруппа группы (5), в которой
группа X\f... Xmf инвариантна. Тогда gm+i имеет вид
Xif...Xmf, t + ai3i/+ ... +ал3л/, (14)
где а обозначают параметры.
Мы можем считать, что группа X\f...Xmf уже имеет один из видов,
перечисленных в §27. Тогда все сводится к тому, чтобы по порядку
рассмотреть все эти различные виды группы X\f.. .Xmf и в каждом отдельном
случае при помощи преобразований из группы Xif.. .Xmf, 3i/-.-3/i/
избавиться от возможно большего числа параметров.
Если на группу (14) подействовать инфинитезимальным
преобразованием 3/г/, то она примет вид
{h h
X^f + StiXM г + £а<3*/ + й(г + £а*3»/, 3*/)
г=1 г=1 ^ '
(М=1...т).
С другой стороны, имеют место соотношения вида
т
(£м3/с) = }] pjxkvXyf,
h m
(ЗгЗ/с) = 2_^7г/с535/ + /] PikvXyf,
5=1 U=l
откуда следует, что группа (15) имеет вид
h h
Xif . . . Xmf, * + ^2{<*i+6t^2 7sfct<*s J3t/.
i=l s=l

Она имеет тот же вид, что и группа (14), но ее параметры отличаются от
параметров группы (14) на бесконечно малые величины
h
6at = St-^2iskias (i = l...h).
5 = 1
Отсюда мы заключаем, что при действии преобразований группы
Xif...Xmf, З1/...З/1/ на группу (14) параметры ai...ah
преобразуются посредством группы
h h e\ r
г=1 5=1 г
которая мериедрически изоморфна группе X\f... Xmf, 3i/ • • • Зл/.
Вопрос о том, от скольких из параметров а\.. .ан группы (14)
можно избавиться, сводится, таким образом, к описанию всех минимальных
инвариантных относительно группы Aif...Ahf многообразий /г-мерного
пространства а\... ад.
Мы ограничимся этими общими указаниями, но заметим, что
только что описанный метод нахождения всех подгрупп группы (б)
доставляет подгруппы, упорядоченные по количеству содержащихся в них
независимых инфинитезимальных преобразований. В общем случае этот метод
уступает в удобстве методу из §29; в частности, он очень неудобен, когда
т равно 1.
Оба разобранных здесь метода нахождения всех линейных однородных
групп от трех переменных были описаны Софусом Ли в его архиве в 1884
году*.
* Соответствующую статью, уже упомянутую на страницах 29 и 81, можно найти в
первом выпуске [тетради???] десятого тома, который вышел в свет в конце 1884 года. Поэтому
указанный на страницах 29 и 81 год 1885 должен быть исправлен.

Часть I
Конечные непрерывные группы
обыкновенного пространства

Если бы мы захотели найти все конечные непрерывные группы
обыкновенного трехмерного пространства теми же методами, которые мы
использовали в случае плоскости, то это заняло бы очень много места.
Поэтому мы сперва найдем все примитивные группы обыкновенного
пространства, так как знание этих групп является, очевидно, наиболее важным. Что
же касается импримитивных групп, то мы разобьем их на три класса,
первые два из которых мы опишем полностью, а для третьего лишь укажем,
как можно найти все принадлежащие ему группы.

Глава 7
Описание всех примитивных групп
трехмерного пространства
Многие из указанных в заглавии групп могут быть предъявлены
непосредственно на основании результатов первых двух томов, и только для
некоторых примитивных групп трехмерного пространства, чтобы их
отыскать, требуется придумывать нечто новое. При описании этих последних
групп мы нарушим обычай и будем предполагать, что читатель, по крайней
мере отчасти, знаком с теорией Монжа об интегрировании
дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка от трех
переменных. Для этого есть две причины: во-первых, предлагаемый метод,
разработанный при помощи теории Монжа, весьма поучителен сам по себе;
во-вторых, нам бы хотелось избежать повторений. В одной из следующих
глав мы проведем некоторые исследования в n-мерном пространстве, и в
случае п — 3 мы как раз получим примитивные группы, о которых идет
речь; при этом мы будем использовать метод из главы 28 первого тома, и
поэтому сейчас мы приведем другой метод *.
§32
Пусть Gm — примитивная га-параметрическая группа пространства
х, у, z. Тогда эта группа заодно и транзитивна, а значит, содержит ровно
га — 3 независимых инфинитезимальных преобразования, которые
оставляют на месте некоторую произвольную точку хо, Уо> zo общего положения.
Эти га—3 инфинитезимальных преобразования порождают
(га—3)-параметрическую подгруппу Ст_з группы Gm (см. том I, стр. 205, предложение 2)
* Результаты настоящей главы, по сути дела, были предъявлены Софусом Ли еще в десятом
томе (см. стр. 124 и далее) его норвежского архива (Kristiania 1884).

и имеют вид
Ykf = {Afci(x - х0) + Хк2(у - уо) + \кз(г - z0)}p+
+ {Vkl(x - Xq) + /ifc2(y - Уо) + МЛЗ(2 - ^0)}^+
+ {*ы(я - Ж0) + ^(У - Уо) + ^зО* - 20)}г + . . .
(fc=l. . .m-3),
где опущенные члены имеют относительно х — хо, у — Уо, >г — 2о порядок
2 или выше.
Как мы видели в томе I, стр. 599-601, т — 3 инфинитезимальных
преобразования
?)*/ = (Afcix7 + Afc2y' + A^V + H/JLkix' + /W + №^)^+
+ (viclX* + ^2j/; + VkZz')r'
{k — \ . . . 771 — 3),
также порождают группу от переменных х', у', 2х, которую мы будем
обозначать через ©. Эта группа, будучи линейной и изоморфной группе Ст_з,
имеет очень простой смысл. А именно (см. том I, стр. 600), х', у', zf
можно понимать как однородные координаты оо2 направлений, проходящих
через точку хо, уо» Zo; тогда группа © показывает, как эти оо2 направлений
преобразуются под действием группы Ст_з- Следует особо отметить, что
© полностью определяется членами первого порядка в разложении
инфинитезимальных преобразований Y\f.. . Ут_з/ по степеням х — хо, у —
— Уо, z — zq, и обратно, зная инфинитезимальные преобразования из
группы ©, можно сразу же выписать члены первого порядка в разложении в ряд
наиболее общего инфинитезимального преобразования из Ст_з.
Группа © преобразует двумерное многообразие направлений,
проходящих через точку хо, уо, ^о> проективным образом, и следовательно,
согласно теореме 7, стр. 94, возможны следующие четыре случая:
1) © преобразует эти оо2 направлений наиболее общим образом, то
есть восьмипараметрически.
2) © преобразует эти направления трехпараметрически и притом
посредством наиболее общей группы, оставляющей на месте некоторый
невырожденный конус второго порядка.
3) © оставляет инвариантным некоторый плоский пучок оо1
направлений, проходящих через точку хо, Уо, z0, не оставляя при этом на месте
никакое отдельно взятое проходящее через эту точку направление.

4) & оставляет на месте по крайней мере одну проходящую через точку
х0, Уо , *о прямую.
Последний случай из рассмотрения можно исключить. Действительно,
если бы группа & оставляла на месте некоторую проходящую через точку
яо? Уо, zo прямую, то нашлась бы система обыкновенных
дифференциальных уравнений:
dx
dy
dz
a(x,y,z) P(x,y,z) ^(x,y,z)'
инвариантная относительно группы Gm, и тогда, вопреки нашему
предположению, группа Gm была бы импримитивной.
Из трех оставшихся случаев первый исчерпывается результатами
главы 29 первого тома: если группа & преобразует оо2 направлений,
проходящих через точку хо, Уо, zq, наиболее общим образом, то, в соответствии с
результатами этой главы, группа Gm подобна относительно точечных
преобразований либо общей проективной группе
[1]
либо общей
р, q, г, хр, yp, zp, xq, yq, zq, xr, yr, zr
x2p + xyq + xzr, xyp + y2q + yzr, xzp + yzq + z2r
линейной группе
[2]
либо, наконец,
[3]
p, q, r, xp, yp, zp, xq, yq, zq, xr, yr, zr |,
специальной линейной группе
p, q, r, xq, xp - yq, yp, zp, zq, xp - zr, xr, yr |
пространства х, у, z.
Перейдем к третьему случаю, где группа © оставляет на месте
плоский пучок оо1 направлений, проходящих через точку хо, Уо, z$. Поскольку
хо, Уо, zo является точкой общего положения, то мы заключаем, что в
этом случае с каждой точкой общего положения инвариантно
(относительно группы Gm) связан некоторый плоский пучок оо1 проходящих через нее
направлений; следовательно, существует некоторое пфаффово уравнение
а(х, у, z) dx + (3{х, у, z) dy + 7(0:, у, z) dz = 0, (1)

инвариантное относительно группы Gm. Это уравнение в полных
дифференциалах не может быть интегрируемым. Действительно, если бы оно
обладало интегралом ip(x,y,z), то семейство оо1 поверхностей <p(x,y,z) —
— const было бы инвариантно относительно Gm, а сама группа Gm,
следовательно, была бы импримитивной. Если же уравнение (1) неинтегрируемо,
то, как мы можем считать известным, посредством введения новых
переменных j:, rj, з оно может быть приведено к виду
d3 + M? = 0. (2)
При этой замене переменных группа Gm переходит в группу ©т, которая
оставляет уравнение (2) инвариантным и поэтому может быть рассмотрена
как r-параметрическая группа контактных преобразований плоскости £, з*
Следовательно, все сводится к тому, чтобы найти все группы контактных
преобразований плоскости £, з> которые примитивны как группы точечных
преобразований пространства у, %, X).
В соответствии со сказанным на стр. 394, том II, всякая приводимая
группа контактных преобразований плоскости доставляет импримитивную
группу пространства. С другой стороны (том II, теорема 73, стр. 445), среди
неприводимых групп контактных преобразований плоскости £, i лишь де-
сятипараметрические являются примитивными в смысле групп
пространства у, i, 9> в то время как шести- и семипараметрические также имприми-
тивны. Но поскольку каждая десятипараметрическая неприводимая группа
контактных преобразований плоскости у, з> рассматриваемая как группа
пространства у, j, t), посредством некоторого точечного преобразования
этого пространства переводится в десятипараметрическую группу
некоторого линейного комплекса (том II, теорема 74, стр. 449), то верно
следующее утверждение.
Если m-параметрическая группа пространства ж, у, z примитивна и,
кроме того, так преобразует оо2 направлений, проходящих через
фиксированную точку общего положения, что на месте остается некоторый плоский
пучок оо1 направлений, то т — 10, и эта группа подобна относительно
точечного преобразования десятипараметрической проективной группе
V
-уг,
zp -
q + яг, г, xq, xp - yq, yp,
xp-\-yq-\- 2zr,
- у(хр + yq + zr), zq + x(xp + yq + zr),
z(xp -\-yq + zr)

которая оставляет на месте линейный комплекс
dz + xdy — ydx = 0.
§33
Остается еще рассмотреть второй из указанных выше четырех
случаев, то есть найти все примитивные группы пространства х, у, 2, которые
обладают тем свойством, что оо2 направлений, проходящих через
фиксированную точку общего положения, преобразуются трехпараметрически и
притом посредством наибольшей группы, оставляющей на месте
некоторый невырожденный конус второго порядка.
Очевидно, что любая такая группа содержит, как минимум, шесть
параметров и, кроме того, оставляет инвариантным уравнение второй
степени, которое имеет вид
ап dx2 + а22 dy2 + а3з dz2+
+ 2ai2 dx dy + 2а\з dx dz + 2а2з dy dz = 0,
(3)
где девять коэффициентов а^ = <у.ы представляют собой такие функции от
х, у, 2, что составленный из них определитель не может тождественно
обращаться в нуль. Тогда вместе с уравнением (3) инвариантным
относительно группы Gm остается и одно дифференциальное уравнение в частных
производных первого порядка и второй степени, а именно, уравнение
О
92
дх
92
ду
-1
dz
дх
ап
«21
«31
dz
ду
«12
«22
«32
-1
«13
«23
«33
= 0;
(4)
это уравнение возникает при отыскании геометрического места всех
элементарных площадок
dz dz
%ч Уч 2, — , 7Г~
дх ду
пространства х, у, 2, каждая из которых своей плоскостью касается конуса
второго порядка, соответствующего ее точке (ср. том II, стр. 71 и далее).

Мы будем предполагать, что читатель знаком с теорией Монжа об
интегрировании дифференциальных уравнений в частных производных
первого порядка.
Согласно этой теории, дифференциальному уравнению в частных
производных (4) соответствует оо3 кривых, называемых его характеристиками.
Через каждую точку пространства проходят оо1 таких этих характеристик,
которые сопоставляют этой точке тот же конус второго порядка, что и
уравнение (3). Совокупность всех оо3 характеристик остается инвариантной
вместе с уравнением (4) и, следовательно, как и уравнение (4), допускает
группу Gm.
Если мы рассмотрим эти оо3 характеристик в качестве точек
нового трехмерного пространства £, Г), з> т0 в этом новом пространстве мы
получим группу &т, голоэдрически изоморфную группе Gm. Эта группа
показывает, как оо3 характеристик уравнения (4) переставляются между
собой. Группа &т голоэдрически изоморфна группе Gm потому, что всякое
точечное преобразование пространства х, ?/, 2, оставляющее на месте все
оо3 характеристик, должно оставлять на месте и все точки х, у, z и,
следовательно, совпадает с тождественным преобразованием. Под действием
группы Фт остается инвариантным некоторое неинтегрируемое пфаффово
уравнение вида
А(у, tj,}) dy + /i(y, tj, i) dx) + v($, rj,3)^3 = 0, (5)
которое показывает, что две бесконечно близкие характеристики у, rj, i и
I + ф, tj + dtj, i + di дифференциального уравнения (4) пересекаются в
одной точке. Но поскольку через каждую точку пространства х, у, z
проходят оо1 характеристик, то оо3 точкам пространства х, у, z в
пространстве у, t), з соответствует, очевидно, оо3 кривых, которые удовлетворяют
пфаффову уравнению (5) и совокупность которых остается инвариантной
относительно <Sm.
Для простоты, мы с самого начала будем считать, что переменные
j:, t), i выбраны так, что пфаффово уравнение (5) имеет вид
di-t)dt = 0 (6)
(это можно сделать всегда). Тогда группу &т можно рассматривать как
группу контактных преобразований плоскости у, з* Точно так же, оо3
кривых пространства у, rj, з> которые соответствуют оо3 точкам пространства
х, у, 2, могут быть рассмотрены как кривые на плоскости £, з> поскольку

каждой кривой пространства х, у, г, удовлетворяющей уравнению (6),
соответствует вполне определенный комплекс элементов М^ плоскости j:, 3.
Отсюда следует, что наша группа <Зт, рассматриваемая как группа
контактных преобразований плоскости £, з, оставляет на месте некоторое
семейство оо3 плоских кривых:
Я(?,з; я, у, г) =0. (7)
Входящие в это семейство три параметра мы обозначаем через ж, у, z,
так как каждой точке пространства ж, у, z соответствует кривая из
семейства (7). Отметим, наконец, что уравнение (3) имеет очень простой смысл
по отношению к семейству кривых (7) — оно представляет собой условие
того, что две бесконечно близкие кривые ж, у, z и х + dx, у + dy, z + dz
из семейства (7) касаются.
Приведенные только что рассуждения дают нам метод для нахождения
всех примитивных групп пространства ж, у, z, которые оставляют
инвариантным уравнение вида (3) с не обращающимся в нуль определителем*.
Действительно, как мы знаем, каждой m-параметрической группе Gm,
обладающей требуемым свойством, соответствует некоторая т-параметри-
ческая группа Фт контактных преобразований плоскости у, j, причем эта
группа Фт оставляет на месте семейство оо3 кривых плоскости у, 3. Но
поскольку, в соответствии со сказанным на стр. 126, группа Gm содержит, по
* Разбираемый здесь метод может также быть использован для того, чтобы найти все
нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка:
т / dz dz\ п
которые допускают конечную непрерывную группу точечных преобразований пространства.
Всякая конечная непрерывная группа контактных преобразований плоскости у, з,
оставляющая инвариантным некоторое обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка
относительно у и j, доставляет группу такого рода, и, как поясняет Ли в десятом томе
своего архива, этим исчерпываются все такие группы. Поскольку Ли к тому времени описал не
только все группы плоскости, но и все соответствующие инвариантные дифференциальные
уравнения, осуществление этой идеи не потребовало большого количества вычислений. По
инициативе Ли они были проделаны де Танненбергом [???] в его диссертации (см. Ann. de
la Fac. de Toulouse, 1891). Оказалось, что существует всего семь типов нелинейных
дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных, которые допускают группу
точечных преобразований с, по меньшей мере, четырьмя параметрами. Де Таниенберг, чья
работа выделяется своей превосходной редакцией, получил красивый результат, который гласит,
что при подходящем выборе переменных касательные к характеристикам этих
дифференциальных уравнений образуют однородные комплексы.

крайней мере, шесть параметров, то мы должны действовать следующим
образом.
Прежде всего мы найдем все группы контактных преобразований
плоскости, которые имеют, как минимум, шесть параметров и оставляют
на месте, по крайней мере, одно семейство оо3 кривых этой плоскости.
Если & — одна из этих групп и если уравнение
Ф(?,3; x,y,z)=0 (8)
с тремя параметрами х, у, z задает инвариантное относительно ©
семейство оо3 кривых, то мы найдем условие
Ф(х, у, z, dx, dy, dz) = 0 (9)
того, что две бесконечно близкие кривые из семейства (8) касаются друг
друга. Если условие (9) имеет вид, отличный от (3), то есть если функцию
Ф нельзя выбрать так, чтобы она была целой однородной функцией второй
степени относительно dx, dy, dz, то семейство кривых (8) не приводит
к группе с требуемым свойством. Если же (9) имеет вид (3), то, в
соответствии с указаниями из главы 23, том I, мы найдем группу G, которая
показывает, как параметры х, у, z семейства (8) преобразуются под
действием группы (5. Легко показать, что группа G, если она примитивна, как
раз и является группой, обладающей требуемым свойством.
Таким образом мы рассмотрим по порядку каждую группу контактных
преобразований (5, обладающую оговоренным выше свойством, и каждое
инвариантное относительно нее семейство оо3 кривых. Те из найденных
при этом групп G, которые являются примитивными, будут единственными
группами пространства х, у, z, обладающими инвариантным уравнением
вида (3).
Займемся теперь реализацией этого алгоритма; при этом мы сначала
рассмотрим случай, когда группа (5 приводима, а затем тот случай, когда
она неприводима.
§34
В соответствии со сказанным на стр. 376, том II, каждая приводимая
группа контактных преобразований плоскости у, j посредством
некоторого контактного преобразования может быть переведена в группу точечных
преобразований этой плоскости. Но все группы точечных преобразований

плоскости перечислены на стр. 71-73. Следовательно, прежде всего, из этих
групп мы должны выбрать все те, которые оставляют на месте некоторое
семейство оо3 кривых плоскости и при этом содержат не менее шести
параметров.
Общая проективная группа плоскости у, i не имеет ни одного
инвариантного семейства оо3 кривых, поскольку каждая кривая такого семейства
должна была бы допускать оо5 коллинеаций [проективных преобразований
?????] и, следовательно, была бы прямой, в то время как в плоскости
существует всего только со2 прямых.
Общая линейная группа
Р, t, ?Р, ЗР, ?t, ix
плоскости у, i также не имеет инвариантных семейств оо3 прямых.
Действительно, каждая кривая из такого семейства должна была бы допускать
оо3 коллинеаций, под действием которых на месте оставалась бы и
бесконечно удаленная прямая, откуда следует, что это семейство состояло бы не
из конических сечений, а только из прямых, что, как мы только что
показали, исключено.
Аналогично можно показать, что группа
Р, *, ?Р, рт, зг, ?2р + ?зг
также не имеет инвариантных семейств оо3 кривых, ведь эта группа
состоит из всех коллинеаций, оставляющих на месте бесконечно удаленную
точку оси I.
Заметим, наконец, что семейство оо3 кривых плоскости £, % не может
допускать четыре независимых инфинитезимальных преобразования вида
$iG0t, ф2(?)*, ФзООг, $4(y)t.
Действительно, если некоторое инвариантное относительно этих четырех
инфинитезимальных преобразований семейство кривых содержит кривую
Ь — /(?)> т0 оно содержит и оо4 кривых
Ь = /(f) + ai$i(f) + а2Ф2(?) + а3Ф3(?) + а4Ф4(?),
где а — произвольные константы.

Из всех перечисленных на стр. 71-73 групп, содержащих более пяти
параметров, теперь остаются лишь следующие четыре:
t, yr, ?2t, jt, р, ?р (А)
г, уг, А, р, FP + з*, fp + 2W (В)
г, рг, у2г, р, ур, зг, fp + 2^r (С)
t, 3*, 32t> Р> FP, У2Р- Р)
Найдем прежде всего все семейства оо3 кривых, инвариантные
относительно одной из первых трех групп.
Пусть i = /(f) — какая-нибудь фиксированная кривая, принадлежащая
такому инвариантному семейству. Тогда этому семейству должны
принадлежать и все кривые, в которые 3 = /(f) переходит под действием одно-
параметрических групп г, уг и у2г, и, следовательно, это семейство имеет
вид
3=/(y) + a + 6? + cy2, (10)
где а, Ь, с — произвольные константы, которые, разумеется, не входят в
функцию /(f). Далее, наше семейство должно допускать инфинитезималь-
ное преобразование р, и поэтому вместе с кривой (10) оно должно
содержать и бесконечно близкую ей кривую
Ь = /(F) +a + bz + cf + St{f'(f) + b + 2cf}.
Следовательно,
//(F)=/i + 2i/F + 3pF2
и
/(F) = A + де + v? + pf,
где /, /x, v, p — константы, не зависящие от параметров а, Ь, с.
Отсюда следует, что каждое семейство оо3 кривых, инвариантное относительно
одной из групп (А), (В), (С), имеет вид
3=a + bF + CF2+pF3, (n)
где р — некоторое определенное число. Чтобы найти все возможные
значения числа р, мы будем исходить из того, что каждая из групп (А), (В), (С)
содержит инфинитезимальное преобразование FP + Зг и что>
следовательно, семейство (11) должно допускать еще и однопараметрическую группу

£р + зг. Под действием этой однопараметрической группы семейство (11)
переходит в
3 = j + bf + ct • f + pt2 • f3,
откуда следует, что оно инвариантно тогда и только тогда, когда для всех
значений t имеет место равенство
pt2 = р,
то есть когда р равняется нулю.
Таким образом, мы доказали, что семейство
l = x + 2yi + zi2 (12)
с тремя параметрами х, у, z является единственным семейством оо3
кривых, которое, возможно, будет инвариантным относительно одной из трех
групп (А), (В), (С). Наконец, легко убедиться, что это семейство
инвариантно относительно каждой из групп (А), (В), (С).
Условие
dy2-dxdz = 0 (13)
того, что две бесконечно близкие кривые из семейства (12) касаются друг
друга, имеет вид (3). Таким образом, в соответствии с рассуждениями,
приведенными на стр. 129, нам нужно теперь лишь определить группы,
посредством которых группы (А), (Б), (С) преобразуют параметры х, у, z
семейства (12), а затем выяснить, являются эти группы относительно х, у, z
примитивными или нет.
При отыскании этих групп мы будем опираться на результаты главы 23
первого тома. Если
£/ = a(j,3)p + c(f,a)r
— инфинитезимальное преобразование, оставляющее на месте
семейство (12), то Xf преобразует параметры х, у, z посредством некоторого
инфинитезимального преобразования
Xf = £(ж, у, z)p + 7)(х, у, z)q + С(*, У, z)r.
Это преобразование Xf можно найти, если £, г) и ( искать в виде функций,
зависящих только от х, у, z, причем таких, что уравнение (12)
относительно пяти переменных Ъ, Ъ, х, у, z допускало бы инфинитезимальное
преобразование
Xf + Xf.

В частности, оказывается, что инфинитезимальные преобразования
*, ?г, fv, зг, р, ?р, ?2р + 2?зг
преобразуют параметры х, ?/, г посредством инфинитезимальных
преобразований
р, ±д, г, хр + от + zr, -(2ур + г<?), -(yq + 2zr), xq + 2yr
соответственно. Таким образом, теперь для групп (А), (В), (С) мы можем
без труда указать соответствующие группы (А'), (В'), (С), посредством
которых преобразуются параметры х, у, z семейства (12).
Группу (А') нам даже не нужно выписывать. Дело в том, что поскольку
г является однопараметрической инвариантной подгруппой в (А), то р
будет однопараметрической инвариантной подгруппой в (А'). Отсюда
следует, что группа (А') оставляет инвариантным линейное дифференциальное
уравнение в частных производных
а/ _
дх
и, следовательно, является импримитивной.
Группы (В') и (С) имеют вид
р, q, г, 2?/р + zg, хр — zr, xq + 2уг (В')
р, q, г, 2yp-\-zq, хр — zr, xq + 2yr, хр + yq + zr. (С)
Обе они, разумеется, оставляют инвариантным уравнение (13). Если
зафиксировать некоторую точку общего положения, то под действием каждой из
этих групп проходящие через эту точку оо2 направлений dx : dy : dz
будут преобразовываться посредством наиболее общей проективной группы,
оставляющей на месте конус второго порядка dy2 — dx dz = 0. Таким
образом, обе эти группы примитивны.
Если в качестве новых х и z ввести выражения ^=^ и ^^
соответственно, то уравнение (13) перейдет в уравнение
dx2 + dy2 + dz2 = 0, (14)
а группы (В') и (С) примут вид
И
Р, Ъ г, ур - xq, zq - yr, xr - zp
[6] p, q, r, yp — xq, zq — yr, xr — zp, xp-\-yq-\- zr

Обе эти новые группы оставляют инвариантным уравнение (14). Первая из
них является, очевидно, группой всех движений евклидова пространства, а
вторая состоит из всех евклидовых движений и преобразований подобия.
Перейдем теперь к группе
*, № l\ Р, ?Р, ?2Р (D)
и найдем сначала все инвариантные относительно нее семейства оо3
кривых.
Пусть з = /00 — кривая, принадлежащая такому семейству. Тогда это
семейство содержит и все кривые, получающиеся из кривой 3 — /(?)
посредством преобразований из трехпараметрической группы г, jt, $2x, и,
следовательно, состоит из оо3 кривых
а/(г) + 6
3 = ЖТ7- (15)
Продифференцируем эти уравнения трижды по х:
, ас-Ь , „ 2{ас-Ь) ffl(A]2, ac~b f//M
3 {/W + c}2/W' 3 {№ + c}*UKW + {f(t) + c}*J {T)'
,„ _ 6(QC-b) ff/M,3 6(aC ~ fe) f//rx f///rx , aC~fe f///M
и, исключив а, Ь, с, получим дифференциальное уравнение Лагранжа-
Шварца третьего порядка:
/ /// _ 3 //2
33 ,223 - ад = о. (16)
ъ
Поскольку кривые из семейства (15) являются интегральными кривыми
для уравнения (16), это уравнение допускает инфинитезимальные
преобразования г, з*, 32г> вследствие чего нам остается еще лишь найти наиболее
общий вид функции .F00, при котором уравнение (16) допускает и
инфинитезимальные преобразования р, ур, ;с2р.
Если дифференциальное уравнение (16) допускает инфинитезималь-
ное преобразование р, то функция F(f) должна удовлетворять
соотношению F'OO = 0, откуда F(t) = const = А. Если уравнение (16) допускает
еще и £р, то уравнение
ЗУ"-|3"2-АЗ'2=0 (17)

относительно переменных р, з, з'> b"■> Ь'" должно допускать
инфинитезимальное преобразование
которое получается расширением инфинитезимального преобразования ур
(см. том I, § 132, стр. 549-550). Для этого необходимо и достаточно, чтобы
выражение
Щг'г'" - Ь"2 ~ V2) = -ь'ь'" + 2Аз'2 + бз"2 - ъТ
обращалось в нуль с учетом (17), то есть константа А должна равняться
нулю. Нам нужно еще выяснить, допускает ли уравнение
3У"-!з"2=0 (18)
инфинитезимальное преобразование £2р. Мы видим, что это действительно
так, поскольку из £2р путем расширения получается преобразование
а выражение
vd'i"' - b"2) = -2»V" + 12в"2 + бз'з" - ОвУ" - бзУ
с учетом (18) обращается в нуль.
Итак, мы доказали*, что уравнение (18) является единственным
дифференциальным уравнением третьего порядка, инвариантным
относительно группы D, и, следовательно, оо3 интегральных кривых
уравнения (18) образуют единственное инвариантное относительно
группы D семейство со3 кривых.
Теория дифференциальных инвариантов (см. том I, гл. 25) приводит к более простому
методу нахождения всех дифференциальных уравнений, инвариантных относительно заданной
группы точечных преобразований плоскости у, j. Позже это будет проделано подробно; здесь
же нам бы не хотелось пользоваться этой теорией.

Запишем семейство (19) следующим образом:
В + xi + VI + z = О,
(20)
где, как и ранее, параметры семейства обозначаются через х, у, z. Тогда
условие того, что две бесконечно близкие кривые нашего семейства
касаются, принимает вид
dz2 + у2 dx2 + х2 dy2 + (Az - 2ху) dx dy - 2х dy dz - 2у dz dx = 0. (21)
Оно имеет вид (3), и его определитель
у2 2z - xy -у
\2z — ху х2 —х
-у -х 1
-A(z-xyf
не равен нулю тождественно. Найдем теперь группу D', посредством
которой параметры семейства (20) преобразуются при действии на это
семейство группы D. Действуя указанным на стр. 131 образом, мы получаем, что
D' имеет вид
[7]
q + хт, yq + яг, (ху - z)p + y2q + yzr,
p + yr, xp + zr, x2p + (xy — z)q + xzr
Эта группа, разумеется, оставляет инвариантным уравнение (21). Кроме
того, она оставляет на месте поверхность второго порядка z — ху = 0; она
даже является наибольшей проективной группой пространства х, у, z, под
действием которой эта поверхность переходит в себя. Отсюда немедленно
следует, что группа [7] примитивна. Это, однако, также можно получить,
исследовав, как преобразуются направления, проходящие через некоторую
инвариантную точку общего положения; при этом точкой общего
положения будет любая точка, не лежащая на поверхности z — ху = 0.
Таким образом, мы полностью рассмотрели тот случай, когда группа,
обозначавшаяся на стр. 128-129 через (S, является приводимой. Отныне мы
будем предполагать, что группа <$ неприводима.
§35
По теореме 69, том II, стр. 433, всякая неприводимая группа
контактных преобразований плоскости у, з является либо шести-, либо семи- либо

десятипараметрической, и с помощью подходящего контактного
преобразования ее всегда можно привести к одному из следующих трех видов:
р, q + ft, r, j:q + \fx, ip - tjq, tjp + I»j2r (£)
p, q + yt, r, yq + |y2t, yp - tjq, gp + ^2r, yp + tjq + 2jt (F)
( p, q + yr, r, yq + iy2r, yp - tjq, tjp + ±t)2r,
< fp + tjq + 2^r, (3 - ft>)p - \x)2c\ - \w2x, \f$ + ЗЯ + нг, (tf)
l (и - ^?2ч)р + (чз - 5И2)я + (з2 - i?V)r-
Здесь у, tj, 3 являются координатами линейных элементов в плоскости у, 3.
Далее, мы знаем (теорема 71, том II, стр. 439), что всякая
неприводимая группа контактных преобразований плоскости j:, 3 имеет лишь одно
инвариантное семейство оо3 кривых и что в случае групп Е, F, Н это
семейство имеет уже известный нам вид
3=x + 2y? + z?2. (22)
Поэтому сейчас мы должны найти группы Е', F' и Н', которые преобразуют
параметры х, ?/, z семейства (22) при действии на это семейство групп Е, F
и Н, и выяснить, являются группы Е', F', Н' примитивными или нет.
Группы Е' и F' нам находить не нужно, поскольку и без этого
можно увидеть, что они импримитивны. Действительно, и Е', и F' содержат
однопараметрическую инвариантную подгруппу, а именно г. Но тогда (ср.
стр. 132) обе эти группы, как группы от переменных х, у, г, обладают
инвариантным уравнением
9/ _
дх
а значит, они действительно импримитивны.
Найдем группу Н'. Прежде всего заметим, что следующие шесть из
инфинитезимальных преобразований группы Н:
г, q + рт, yq + \i\ р, ур - tjq, УР + tjq 4- 2jt (23)
получаются расширением инфинитезимальных точечных преобразований
с, рт, 1?2г, р, ?р, д, + 23с
плоскости у, 3- Тогда на основании сказанного на стр. 131-132 мы можем
немедленно указать инфинитезимальные преобразования, посредством
которых преобразуются параметры х, у, z семейства (22) при действии на

это семейство преобразований (23). Эти преобразования имеют вид:
Р, \ч, \г, ~(2УР + ^)> -(yq + 2zr), 2xp + yq. (24)
С другой стороны, пусть
Я/ = а(у, п, з)р + Ь(у, п, з)я + с(у, tj, з)*
— некоторое невырожденное инфинитезимальное контактное
преобразование из группы Н, которое не может быть получено расширением инфини-
тезимального точечного преобразования плоскости у, з- Чтобы найти
инфинитезимальное преобразование
Xf = £{x, у, z)p + ri{x, у, г)^ + С(х, у, z)r,
посредством которого преобразуются параметры семейства (22) при
действии на это семейство преобразования Xf, запишем это семейство
кривых в виде семейства оо3 элементов ML плоскости у, з, то есть следующим
образом (см. том II, стр. 12 и далее):
Г, = * + 2ОТ + *Д (25)
\t)=2y + 2zt,
а затем будем искать £, 77, С в виде таких функций от х, у, z, при
которых система уравнений (25) от переменных у, Г), з, #, У, г допускает
инфинитезимальное преобразование
£/ + Х/.
Пусть, например, Xf = Х)р 4- |tj2t. Тогда £, 77, С должны быть такими
функциями от х, у, z, при которых уравнения
\х)2 = 2ух) + 2ziX) + £ + 2т?? + С?2
О = 2zX) + 2т? + 2С?
с учетом (25) обращаются в тождества. Мы получаем, что
Xf=-2{y2p + yzq + z2r).
Аналогично, если

то
Xf=\{zq + 2yr).
Два недостающих инфинитезимальных преобразования группы Н' можно
получить из уже известных с помощью скобочной операции, подобно тому,
как в томе II, стр. 432, были найдены два последних инфинитезимальных
преобразования группы Н.
Окончательно, мы получаем, что группа Н' имеет вид:
( р, q, г, 2ур + zq, хр - zr, xq + 2yr, xp + yq + zr,
< x2p + xyq + y2r, y2p + yzq + z2r, (H')
[ 2xyp + (y2 + xz)q 4- 2yzr.
To, что эта группа примитивна, следует уже из того, что она в качестве
подгрупп содержит примитивные группы (В9) и (С).
Группа Н', разумеется, оставляет инвариантным знакомое нам
уравнение
dy2 -dxdz = 0. (13)
Если, как и на стр. 132, в качестве нового х ввести выражение ^^, а в
качестве нового z — выражение ^f-7 то вместо Н' мы получим новую де-
сятипараметрическую группу, которая оставляет инвариантным уравнение
dx2 + dy2 + dz2 = 0. (14)
Эта новая группа имеет вид:
Р, 9. г, xq - ур, уг
2xU - Sp, 2yU -
U = хр + yq + zr,
-zq
-Sq,
S = :
, zp-
2zU -
v2+y'
xr, U,
■Sr
l + z2
и содержит все евклидовы движения, все преобразования подобия и,
наконец, все преобразования обратными радиус-векторами. Другими словами*,
она состоит из всех конформных точечных преобразований пространства
х, у, г, и поэтому мы будем называть ее конформной группой этого
пространства.
*То, что конформные преобразования пространства х, у, z представляются в виде суммы
только что названных преобразований, было впервые показано Лиувиллем.

Впрочем, к группе [8] можно было бы прийти и не вычисляя группу Н';
это можно сделать с помощью метода, описанного в томе II, стр. 458 и
далее.
До сих пор мы рассматривали группу Н как группу контактных
преобразований плоскости j, з и для того, чтобы найти соответствующую группу Н',
исследовали, каким образом группа Н переставляет оо3 кривых из семейства (22). Однако,
группу Н можно понимать и как группу точечных преобразований пространства
у, ц, з- При этом система уравнений (25) задает семейство со3 кривых
пространства у, Г), з> инвариантное относительно Н. Чтобы теперь от группы Н перейти к
группе Н', нужно эти оо3 кривых пространства у, Г), з рассмотреть как точки в
новом трехмерном пространстве х, у, z. Отсюда следует, что существует
контактное преобразование пространств £, t), 3 и я, у, z, относительно которого группы
Н и Н' подобны друг другу, а именно контактное преобразование, определяемое
системой уравнений
3 = * + 2уг + ,г2,
X) = 2у + 2zi
(см. том II, стр. 52-53).
Группа Н посредством замены переменных
l\ =h 3i =Ь- |#Ь 9i = Ь
переходит в десятипараметрическую проективную группу линейного комплекса
cfoi + £1 dt)i - t)i dii = 0 (26)
(см. том II, стр. 445-446). С другой стороны, как мы видели ранее, группа Н'
посредством замены переменных
х — z х + z
переходит в конформную группу пространства х\, ух, z\. Отсюда следует, что
группа [4] линейного комплекса и конформная группа [8] также подобны друг другу
относительно контактного преобразования трехмерного пространства. Это контактное
преобразование определяется системой уравнений
3i =zi + i2i+yiyi,
1)1 = Уг ~ (xi -2Zi)yi,
где ух, rji, 3i — пространство линейного комплекса, aa;i, ух, zx — пространство
конформной группы. Это преобразование переводит точки пространства £i, tji, 31
в прямые пространства х\, ух, zx, пересекающие сферическую окружность, а
прямые комплекса пространства jx, гц, 31 — в точки пространства жх, yi, zx. Особенно

важным свойством этого преобразования является то, что оно прямые пространства
?ъ 9ъ 3i переводит в сферы пространства х\, yi, z\ и таким образом обращает
линейчатую геометрию Плюккера в сферическую геометрию* .
§36
Мы знаем теперь все примитивные группы трехмерного пространства
и можем сформулировать следующую теорему.
Теорема 9. Если конечная непрерывная группа трехмерного про-
странства примитивна, то относительно некоторого точечного
преобразования этого пространства она подобна одной из перечисленных ниже
восьми групп:
I)) пятнадцатипараметрическая общая проективная группа
трехмерного пространства ([1] на стр. 124);
II)) двенадцатипараметрическая общая линейная группа этого
пространства ([2] на стр. 124);
* Упомянутое в тексте контактное преобразование было обнаружено Ли в 1870 году. Исходя
из этого преобразования он заложил основы сферической геометрии и установил
замечательную взаимосвязь между линейчатой и сферической геометриями, а также между проективной
и метрической. Поскольку некоторые авторы выставляют эти важные открытия как результат
осуществления идей г-на Нетера, мы считаем нужным разъяснить, как все обстояло на самом
деле. В начале 1869 года в Verh. d. G. d. W. (Christiania) Ли изложил свое понимание понятия
комплексного в геометрии плоскости. Применение этого подхода к понятию двойственности
привело его к отображению некоторых линейных комплексов на точечное пространство. В
вышедшем осенью 1869 года продолжении Ли, между прочим, обстоятельно занимался
отображением, соответствующим симметрической двойственности (то есть теории сопряженных
поляр). В объявленном там продолжении он намеревался исследовать отображения,
соответствующие несимметрической двойственности; именно таким отображением является
отображение линейного комплекса на точечное пространство, которое, таким образом, было, хотя и
неявно, обнародовано Софусом Ли в феврале. Позднее в том же году г-н Нетер мимоходом
получил по существу те же самые уравнения отображения линейного комплекса. Однако, в его
работе нет ни единого намека на применение этого отображения. Так обстояло дело в
исторически правильном изложении (см. Math. Ann., том V, стр. 165, 166). Противоречащие этому
сведения (см. там же, стр. 251, строки 6-15 сверху) являются неверными и были добавлены
вследствие ошибки в процессе корректуры.
Важный вклад в сферическую геометрию, основанную Софусом Ли в 1870 году, внесли
Клейн и в особенности Дарбу в его дополнениях (1873 г.) к его работе, представленной к
награде в 1869 году. Обстоятельные исследования г-на Рейе по этому вопросу едва ли содержат
нечто существенно новое, однако они послужили распространению этой теории. Из более
поздних авторов особого упоминания заслуживает г-н Лория (Loria).

Ill)) одиииадцатипараметрическая специальная линейная группа ([3] на
стр. 124);
IV)) десятипараметрическая проективная группа невырожденного
линейного комплекса ([4] на стр. 125);
V)) гиестипараметрическая проективная группа невырожденной
поверхности второго порядка или, что то Dice самое, группа всех двиэ/сений
неевклидова пространства ([7] на стр. 134);
VI)) гиестипараметрическая группа всех евклидовых двиэ/сений ([5] на
стр. 132);
VII)) семг/параметрическая группа всех евклг/довых двиэ/сений и всех
преобразований подобг/я ([6] на стр. 132);
VIII)) десятгтараметрическая группа всех преобразовангш обратными радиус-
векторами ([8] на стр. 137).
Четыре из перечисленных в этой теореме групп, а именно, вторая,
третья, шестая и седьмая, содержат в качестве инвариантной подгруппы
группу
Р, Я, г.
Пятая содержит в качестве инвариантных подгрупп следующие две
взаимные просто транзитивные группы:
\q + xr, yq + zr, (ху — z)p + y2q + yzr
\р + yr, xp + zr, x2p + (ху — z)q + xzr ,
первая из которых оставляет на месте все образующие вида х = a, z — ау
поверхности z — ху — 0, а вторая — все ее образующие вида у — 6, z — Ъх.
Простыми среди наших восьми групп являются только три: первая
(см. том I, теор. 97, стр. 560), четвертая (см. том II, теор. 70, стр. 437)
и восьмая группа, которая относительно контактного преобразования
пространства х, у, z подобна четвертой и поэтому имеет одинаковую с ней
структуру.
На основании полученных результатов мы без труда приходим к
следующей теореме.
Теорема 10. В трехмерном пространстве существует всего три
типа простых групп точечных преобразовангш, структура которых отлг/чна
от структуры любой группы точечных преобразовангш на прямой гтг/ в
плоскоспт. Этгшг/ группамг/ являются

I)) общая проективная группа;
II)) десятипараметрическая проективная группа линейного комплекса;
III)) десятипараметрическая группа всех преобразований обратными радиус-
векторами, а также все группы, подобные этим трем относительно
точечных преобразований.
Две последние из этих трех групп имеют одинаковую структуру и,
кроме того, подобны друг другу относительно контактного
преобразования трехмерного пространства.

Глава 8
Описание некоторых импримитивных
групп трехмерного пространства
В обыкновенном пространстве х, у, z можно различать следующие
три класса импримитивных групп.
I. Группы, оставляющие на месте семейство оо1 поверхностей <^(ж, у, г) -
— const, которое не может быть представлено в виде инвариантного
семейства оо2 кривых; другими словами, такая группа не оставляет на месте ни
одно семейство кривых вида
(р(х, у, z) = const, ф(х, у, z) = const.
II. Группы, оставляющие на месте семейство оо2 кривых
(р(х, у, z) = const, ip(x, у, z) = const,
которое не может быть представлено в виде инвариантного семейства оо1
поверхностей; такая группа не может оставлять на месте ни одно семейства
кривых вида
ft{y>(x,y,z), ф(х,у,г)) = const.
III. Группы, которые оставляют на месте некоторое семейство оо2
кривых и преобразуют кривые этого семейства импримитивным образом;
любая такая группа оставляет на месте некоторое семейство кривых (р —
= const, ф — const, а также по меньшей мере одно семейство поверхностей
вида £2((р,ф) — const.
Всякая импримитивная группа пространства х, у) z обязательно
принадлежит одному из этих трех классов; однако может так случиться, что

одна и та же группа одновременно принадлежит двум различным классам.
Например, мы увидим, что группа из первого класса при определенных
условиях может принадлежать второму Поэтому такое разбиение на
классы не приводит к истинной классификации импримитивных групп.
Мы ограничимся тем, что отыщем все группы из первого и второго
классов. Нахождение всех групп из третьего класса не представляет
никаких принципиальных трудностей, но требует довольно громоздких
вычислений; поэтому мы не будем останавливаться на отыскании этих групп и
удовольствуемся лишь некоторыми общими замечаниями по этому поводу.
I. Группы, оставляющие на месте некоторое семейство
поверхностей tp = const, не оставляя при этом на месте
ни одно семейство кривых вида ср — const, ф = const.
§37
Прежде всего, выберем функцию (р(х, у, г) в качестве нового г. Этим
наша задача сводится к нахождению всех групп пространства х, у, z,
оставляющих на месте семейство плоскостей z = const, не оставляя при
этом на месте ни одно семейство кривых вида z = const, ф(х, у, z) = const.
Если некоторая m-параметрическая группа Gm обладает этим
свойством, то под действием этой группы переменная z преобразуется сама по
себе и причем (см. теорема 1, стр. 6) самое большое трехпараметрически.
Более того, z всегда можно выбрать так, что инфинитезимальные
преобразования группы Gm будут иметь вид:
ffc(x, у, z)p + т(х, у, z)q + (ак + bkz + ckz2)r (к = 1... га).
Рассмотрим сперва наибольшую из тех подгрупп группы Gm, которые
оставляют на месте все плоскости z = const. В соответствии с
предложением 5, том I, стр. 307, эта подгруппа инвариантна в Gm. Будем считать,
что она является mi-параметрической, и называть ее группой Gmi. Мы
утверждаем, что Gmi не имеет инвариантных семейств кривых вида z —
= const, ijj(x,y,z) = const. Это нужно доказать, разумеется, только для
случая т> т\.
Действительно, если бы существовало изолированное семейство
кривых z = const, ijj(x,y,z) = const, инвариантное относительно
группы Gmi, то посредством каждого преобразования из группы Gm это се-

мейство должно было бы переходить снова в семейство, инвариантное
относительно Gmi (см. том I, стр. 586, предложение 3). Но поскольку оно
изолировано, оно должно было бы оставаться инвариантным и
относительно Gm, и, следовательно, группа Gm не обладала бы требуемым свойством.
С другой стороны, если бы группа Gmi имела бесконечно много
инвариантных семейств кривых вида z — const, ф(х, у, z) — const, то каждая
плоскость z — а содержала бы бесконечно много инвариантных семейств
оо1 кривых, и тогда (ср. стр. 59-61) oomi~2 или oomi_1 преобразований
из Gm, оставляющих на месте некоторую точку жо, 2Ль zo общего
положения, оставляли бы на месте и каждое из лежащих в плоскости z = zq oo1
ориентированных направлений, проходящих через точку хо, у о, zq. При
наших предположениях эти преобразования преобразовывали бы эти оо1
проходящих через точку хо, j/o? zo направлений самое большое двупара-
метрически и поэтому (см. стр. 28) оставляли бы на месте по меньшей
мере одно из этих направлений. Но тогда бы существовало семейство
кривых вида z = const, ф(х,у,г) = const, инвариантное относительно Gm,
чего быть не должно.
Итак, наше утверждение доказано. Кроме того, мы получаем
следующий метод нахождения всех групп, обладающих требуемым свойством.
Сперва мы находим все группы, которые обладают требуемым
свойством и оставляют на месте каждую из плоскостей z = const или, как мы
иногда говорим, преобразуют эти плоскости нульпараметрически. К
каждой из найденных таким образом групп Gm мы добавляем наиболее общее
преобразование вида
£{x,y,z)p + ri(x,y,z)q + r,
при котором получается (т + 1)-параметрическая группа, содержащая Gm
в качестве инвариантной подгруппы. Так мы получим все группы,
которые обладают требуемым свойством и преобразуют плоскости z = const
однопараметрически, и т.д.
38. Плоскости z = const преобразуются
нульпараметрически.
Всякая m-параметрическая группа Gm такого рода имеет вид
Ых> У' Ф + Vk(x, y,z)q (к = 1... m).
(1)

Так как она не оставляет на месте никакое семейство кривых z —
— const, ф(х, у, z) — const, точки каждой плоскости z — а общего
положения должны преобразовываться примитивным образом, то есть, инфините-
зимальные преобразования (1), если z считать константой, должны
порождать примитивную группу от переменных х и у. Но по теореме 5, стр. 35,
всякая примитивная группа от двух переменных является либо восьми-,
либо шести-, либо пятипараметрической сообразно с тем, подобна эта группа
общей проективной, общей линейной или специальной линейной группе.
Отсюда следует, что наша группа Gm от трех переменных х, у, z с
помощью подходящего преобразования вида
xi = а(х,у,z), ух = /?(ж,у,z), zx = z
приводится к виду
( Xkf = Zklp + Zk2q + Zk3xp + ZkAyp + Zkbxq + Zk6yq +
+ Zk7{x2p + xyq) + Zk8{xyp + y2q)
(/c=l...m),
либо к виду
(Л)
Xkf = ZkiV + Zk2q + Zk3xp + Zk4yp + Zk5xq + Zk6yq
(/c=l...m),
(B)
либо, наконец, к виду
( Xkf = Zklp + Zk2q + Zk3xq + Zk4(xp - yq) + Zk5yp
1 (fc=l...m).
(C)
Индексы при новых переменных здесь отброшены; Z являются функциями
только от z, и при этом в случае (А) не все определители восьмого порядка
матрицы
\Zk\ • • • Zks\
(fc=l...m)
(2)
могут одновременно быть равными нулю, в случае (В) — не все
определители шестого порядка матрицы
Zki • • • Zke
(fc=l...m)
(3)

а в случае () — не все определители пятого порядка матрицы
\Zk\ ... Zkb
(fc=l...m)
Предположим сначала, что Gm — m-параметрическая группа вида (А).
Из преобразований группы Gm выберем все те, при которых все точки
некоторой фиксированной плоскости z = Z\ общего положения остаются
на месте. Эти преобразования образуют (га — 8)-параметрическую
группу Gm_s, которая под действием любого преобразования из Gm переходит
в группу с этим же свойством. Но поскольку плоскость z — z\ инвариантна
относительно группы Gm, мы получаем, что Gm-g является инвариантной
подгруппой группы Gm.
Рассмотрим теперь какую-нибудь другую плоскость z = Z2 общего
положения. Группа Gm преобразует точки этой плоскости посредством
некоторой восьмипараметрической группы д8, изоморфной группе Gm.
Группа Gm-8 преобразует эти точки посредством изоморфной ей группы 7- Так
как Gm-s инвариантна в Gm, мы видим, что 7 должна быть инвариантна
в д%. Принимая во внимание то, что группа д$, будучи общей проективной
группой плоскости z — Z2, проста, мы заключаем, что j либо совпадает
с #8> либо состоит только из тождественного преобразования. Тогда
группа Gms либо содержит лишь тождественное преобразование, либо
преобразует точки каждой плоскости z = а общего положения восьмипарамет-
рически и при этом, разумеется, посредством общей проективной группы
этой плоскости; следовательно, во втором случае группа Gm_s обладает
тем же свойством, что и группа Gm.
Применяя только что приведенные рассуждения к группе Gm-g и
продолжая в том же духе, мы получим серию инвариантных подгрупп
Gm-8, Gm-2.8, Gm-z.8, •••
группы Gm. Последняя из этих подгрупп состоит только из тождественного
преобразования, и поэтому число т кратно восьми. Каждая из остальных
подгрупп инвариантна в предыдущей и преобразует точки каждой
плоскости z — а общего положения восьмипараметрически, посредством общей
проективной группы этой плоскости.
В этой серии подгрупп содержится восьмипараметрическая группа G&,
которая голоэдрически изоморфна группе
Р, q, xp, yp, xq, yq, x2p + xyq, xyp-\-y2q (5)
(4)

и преобразует точки каждой плоскости z = а общего положения
посредством общей проективной группы этой плоскости. Если теперь в плоскости
z = zq зафиксировать некоторую точку, то точки любой другой плоскости
z — а будут преобразовываться посредством некоторой шестипараметри-
ческой группы Gq, которая, согласно сказанному на стр. 93, оставляет на
месте либо некоторую точку, либо некоторую прямую. Из непрерывности
следует, что Gq всегда оставляет на месте точку. Таким образом, каждой
точке плоскости z — zq взаимно однозначно соответствует точка в любой
плоскости z — а. Выбрав в каждой плоскости z — а точку,
соответствующую фиксированной точке плоскости z = zq, мы получим некоторую
кривую. Проделав то же самое для всех оо2 точек плоскости z = zo, мы
получим семейство оо2 кривых, которое, очевидно, инвариантно относительно
группы Gg. Это семейство кривых задается двумя уравнениями вида
\(х,у) — const, /i(<x,y) = const,
разрешимыми относительно х и у. Тогда мы можем в качестве новых х
и у выбрать А и /х. При этом группа Gg перейдет в некоторую группу Gg,
содержащую лишь переменные х и у, но не z. Группа Gg, будучи вось-
мипараметрической группой от двух переменных, подобна относительно
точечного преобразования группе (5). Отсюда следует, что наша группа Gg
при подходящем выборе переменных х, у, z может быть приведена к виду:
[1]
р, 4, хр, ур, xq, yq, x2p + xyq, xyp-\-y2q
Произведем замену переменных ж, у, z, при которой Gg принимает
вид [1]. При этом инфинитезимальные преобразования группы Gm должны
снова принимать вид (А), так как Gm преобразует точки каждой плоскости
z = а точно так же, как Gg. Но поскольку группа Gg инвариантна в Gm,
мы должны найти все группы вида (А), содержащие Gg в качестве
инвариантной подгруппы. Коммутируя инфинитезимальные преобразования [1] с
инфинитезимальными преобразованиями вида (А), мы сразу же получим,
что группа [1] инвариантна в группе вида (А) только тогда, когда все Z^j
являются константами, то есть когда группа (А) совпадает с [1].
Итак, мы доказали, что всякая группа вида (А), не оставляющая на
месте ни одного семейства кривых вида z = const, ф(х,у,г) = const,
подобна относительно некоторого точечного преобразования пространства
х, у, z группе [1].

Найдем теперь все группы вида
Xkf = Zklp + Zk2q + Zk3xq + ZkA(xp - yq) + Zkbyp
(fc=l...m).
Группы вида (В) после этого найти будет очень просто.
Ясно, что укороченные инфинитезимальные преобразования
Xkf = Zk3xq + Zk4(xp - yq) + Zk5yp (к = 1... га)
также порождают группу. Эта группа, правда, уже необязательно будет
m-параметрической, но, поскольку не все определители пятого порядка
матрицы (4) обращаются в нуль, мы можем утверждать, что не все
определители третьего порядка матрицы
\Zk3 Zk4 Zk5
| (fc=l...m)
равны нулю. Но группа xq, xp — yq, ур голоэдрически изоморфна общей
проективной группе р, — 2^р, — у2р одномерного многообразия £ (стр. 19).
С другой стороны, как мы видели в главе 2, стр. 40-42, всякая группа вида
Xkf = Zk3p - 2Zk^p - Zkbfp (к = 1... га),
для которой не все определители третьего порядка матрицы (6) равны
нулю, является трехпараметрической и с помощью преобразования вида
= 7(*)+УФ)
И a(z)+fl3(z)
может быть приведена к виду pi, jipi, £ipi. Аналогичным образом отсюда
следует, что группа
X\f.. -Xmf
также является трехпараметрической и посредством преобразования вида
xi = a(z)x + (3(z)y, j/i = i(z)x + e(z)y
(6)
приводится к виду xi?i, xipi - yiqu yipi.

Введем эти новые переменные х\, у\ в группе (С), после чего
отбросим индексы. Тогда эта группа примет вид
xq + Znp + ZX2q, xp -yq + Z2\P + Z22q, УР + Z31P + ZZ2q,
ZkiP + Zk2q (/c = 4...m).
Введем теперь x-\-Z2\ в качестве нового х и y—Z22 в качестве нового у. При
этом второе из инфинитезимальных преобразований нашей группы примет
простой вид xp — yq, а другие преобразования либо вообще не изменят свой
вид, либо изменят, но не существенно. Мы имеем
(хр - yq, xq + Znp + Z12q) = 2xg - Znp + Zi2q,
{xp - yq, 2xq - Zup + Zl2q) = Axq + Zup + Z12q,
и, следовательно, наша группа содержит преобразование xq. Точно так же
показывается, что она содержит и преобразование ур. Далее,
(Zklp + Zk2q, xp - yq) = Zklp - Zk2q,
откуда следует, что наша группа содержит отдельно Zk\p и Zk2q. Наконец,
{Zkip, xq) = Zklq, {Zk2q, yp) = Zk2p,
и наша группа имеет вид
[2] xq, xp - yq, yp, Zxp,... Ztp, Zxq,... Ztq
Здесь Z\... Zi обозначают функции переменной z, которые могут быть
произвольными, но не должны удовлетворять однородному линейному
соотношению
a\Z\ + ... 4- aiZi = 0
ни при каких постоянных коэффициентах а\.. .а/, одновременно не
равных нулю. Само собой разумеется, что число I должно быть больше нуля,
поскольку число параметров т = 21 + 3 для нашей группы должно быть не
меньше пяти.
Отметим, что одну из I функций Z\ ... Z{ всегда можно положить
равной 1. Действительно, если в качестве нового х взять -^-, а в качестве
нового у взять ^-, то получится группа
Z2 Z\ Z2 Z\
xq, xp - yq, yp, p, —p,... — p, q, —q,... — q.
Zj\ Zj\ Zj\ Zj\

Найдя, таким образом, все группы вида (С), перейдем к нахождению
всех групп вида
Xkf = ZkiP + Zk2q + Zk3xp + Zk4yp + Zkbxq + Zk6yq
(fc=l...m),
Как мы знаем из предложения 6, том I, стр. 261, совокупность всех ин-
финитезимальных преобразований (XiXk) порождает группу,
инвариантную в группе (В). Эта новая группа имеет, очевидно, вид (С) и преобразует
точки каждой плоскости вида z = Zq пятипараметрически. Следовательно,
как мы только что показали, при подходящей замене переменных она
принимает вид
xq, xp-yq, yp, Zxp,...Z{p, Zxq,...Z{q. [1]
Вид же группы (В) при этой замене переменных существенно не
изменится, и ее, таким образом, можно получить, если к группе [1] добавить одно
или несколько инфинитезимальных преобразований вида
Xf = йр + %>q + £xq + Я(хр - yq) + <£yp + $(хр + yq),
где 21, 93 ... # обозначают функции от z.
Чтобы определить вид функций 21... #, рассмотрим преобразование
{Xf, хр - yq) = Zip - Щ - 2£xq + 2£ур.
Так как оно должно принадлежать группе [1], мы заключаем, что этой
группе принадлежат все четыре преобразования
2lp, 93g, Cxq, <£yp,
и поэтому коэффициенты 21, 93, С, (£ в преобразовании Xf можно
положить равными нулю. Тогда
(Xf, xq) = 2®xq,
и аналогичным образом мы получаем, что коэффициент 2) также можно
положить равным нулю. Наконец, группе [1] должно принадлежать
преобразование
(Zkp, Ъ{хр + yq)) = Zk$p,

а также преобразование
(Zfcffp, $(xp + yq)) = Zk%2p,
преобразование Z^3p, и так далее; но поскольку группа [1] не может
содержать бесконечно много независимых инфинитезимальных
преобразований, функция £ должна быть постоянной.
Таким образом, всякая группа вида (В) подходящей заменой
переменных может быть приведена к виду
[3] xq, хр - yq, ур, хр + yq, Zxp... Z{p, Zxq... Z{q
само собой разумеется, что одну из I функций Z\... Z\ здесь также можно
положить равной 1.
Итак, найдены все группы, обладающие указанным в заглавии
настоящего параграфа свойством, и имеет место следующий результат.
Предложение 1. Если некоторая группа точечных преобразований
пространства х, у, z оставляет на месте все плоскости из семейства
z — const и при этом не имеет инвариантных семейств кривых вида z =
— const, (p(x,y,z) — const, то посредством точечных преобразований
пространства х, у, z эта группа приводится к одному из следующих трех
видов: [1], стр. 145, [2], стр. 147, и [3], стр. 149.
§ 39. Плоскости z = const преобразуются
однопараметрически.
В соответствии со сказанным на стр. 143, мы должны сперва к группе
[1] р, q, хр, ур, xq, yq, x2p + xyq, xyp + y2q
добавить наиболее общее инфинитезимальное преобразование
Xf = г + f (х, у, z)p + г)(х, у, z)q,
при котором получится девятипараметрическая группа, содержащая
группу [1] в качестве инвариантной подгруппы.
Поскольку инфинитезимальные преобразования
(р, Xf) = £хр + ад,
{хр, Xf) = (х£х - £)р + xr)xq

должны принадлежать группе [1], функция £ не зависит от z. Точно так же
мы получаем, что функция г\ тоже не содержит переменную г. Найдя теперь
функции £ и г/, что не представляет никаких трудностей, мы увидим, что
€р + Щ является преобразованием из группы [1], и, следовательно, наша
девятипараметрическая группа имеет вид
[4]
Р, Ч, ХР, УР, xq, yq, x2p + xyq, xyp + y2q, r
Рассмотрим теперь группу
[2] xq, xp-yq, yp, Zxp...Z{p, Zxq...Z{q
и добавим к ней инфинитезимальное преобразование вида
Xf = г + f (х, у, z)p + г)(х, у, *)g.
Поскольку инфинитезимальные преобразования
(ZlQ, X/) = Z^p + (Z^ - Z[)q,
{xq, Xf) = x£yp + (xrjy - £)q
должны принадлежать группе [2], мы имеем
i
Zxiy = ax-\-by + ^2 cbzk,
i
x£y = ax + b'y + ^2 ckzh,
а значит,
x(ax + by + J2C^Z4 = Zi (o!x + Ь'У + J2c'kZk),
откуда следует, что а1 = ci, а все остальные константы равны нулю. Тогда
£у — с\ и £ = ciy + <p(x,z). Однако константу с\ мы можем сразу же
положить равной нулю, так как наша группа содержит инфинитезимальное
преобразование ур. Поэтому функция £ не зависит от у, и точно так же г)
не зависит от х.

Рассмотрев преобразования
(ZlPl Xf), (xp-yq, Xf),
мы увидим, что имеют место равенства вида
i
Z\£x - Z[ = ax + ^2 ckZk,
i
xZx-Z = a'x + Y.c'kZk-
Из этих равенств следует, что коэффициент а равен нулю и что £ имеет вид:
£ = a(z)x + P(z).
Аналогично мы получаем, что rj имеет вид:
V = l(z)y + e(z).
Далее, поскольку преобразование
(xq, Xf) = {j(z)x - a(z)x - 0(z)}q
также должно принадлежать группе [2], функция j(z) — a(z) должна быть
постоянной, а функции (3{z) и s(z) должны иметь вид
£c*zfc.
Следовательно, мы можем считать, что Xf имеет вид
Xf = r + a(z){xp + yq}.
Введем теперь в качестве нового х выражение f{z)x, а в качестве
нового у выражение f(z)y, где функция f(z) находится из дифференциального
уравнения
f'(z)+a(z).f(z) = 0.
Преобразование Xf перейдет при этом в преобразование г.

Искомая группа примет вид
xq, xp-yq, ур, Zip,...Ztp, Ziq,...Ztq, r,
где нужно еще определить функции Z\... Z\. Рассмотрим с этой целью
инфинитезимальное преобразование
(г, Zkp) = Z'kp,
которое обязательно должно иметь вид
i
^bkvZvp.
Отсюда следует, что функции Zk должны удовлетворять I
дифференциальным уравнениям
i
Уравнения такого вида мы уже встречали на стр. 43; используя
приведенные там рассуждения, мы получаем, что искомая группа имеет вид
еА*
еА'
xq
ZP,
zq,
, xp-yq
zeXkZp,..
zeXkZq,.
(fc=l,2.../i;
VV,
zmk
.zmk
h>0)
r,
eXk
eXk
zv,
ZQ
Числа mi, гаг .. • гад являются здесь положительными целыми числами,
чья сумма должна быть равна / — h; числа же Ai, h- - -lh являются
произвольными числами, никакие два из которых не должны равняться друг
ДРУГУ-
Теперь мы должны добавить инфинитезимальное преобразование вида
r + £(x,y,z)p + r}(x,y,z)q
к группе
[3] xq, хр - yq, ур, хр + yq, Zxp,... Z{p, Zxq,... Z{q.

Действуя точно так же, как и в предыдущем случае, мы приходим к группе
xq, xp
eXkZp,
eXkZq,
- yq, УР, xp + yq, r,
zeXkZp,...zmkeXkZp,
zeXkZq,...zmkeXkZq
(fc=l,2.../i; /i>0)
[6]
Итак, найдены все группы, посредством которых инвариантное
семейство плоскостей z = const преобразуется однопараметрически и при
которых инвариантным не остается ни одно семейство кривых вида z —
= const, ф(х, у, z) = const.
§ 40. Плоскости z = const преобразуются дву- или
трехпараметрически.
Сперва мы должны к каждой из групп [4], [5], [6] добавить инфините-
зимальное преобразование вида
Xlf = zr + f (я, у, z)p + г)(х, у, z)q.
При этом из группы [4] легко получается группа
р, q, xp, yp, xq, yq, x2p + xyq, xyp-\-y2q, r, zr
В случае группы [5] мы всегда можем считать, что Xif имеет вид
Xif = zr + a{z)(xp 4- yq);
мы приходим к этому точно так же, как в § 39. Далее, мы имеем
(г, Xif) = г + a'{z)(xp + yq),
откуда следует, что a'(z) = 0, и функция a(z) является постоянной:
Xif = zr + a{xp + yq).
Тогда
(zm" -eXkZp, Xif) = {(a-mk)zm"eXkZ -Xkzm"+1eXkZ}p,

и это преобразование должно принадлежать группе [5], что, очевидно,
имеет место только тогда, когда число А/, равно нулю.
Таким образом, мы получаем группу
xq,
хр
- yq, УР, г,
Р,
Я,
zp,
zq,
z2p,
z2q,
zr
+ a(xp
zmp,
.zmq
+ vq),
От произвольного параметра а здесь избавиться нельзя.
Если при добавлении к группе [6] преобразования X\j снова
получается группа, то мы опять можем считать, что X\f имеет вид
Xif = zr + a{z){xp + yq).
Из равенства
(г, xif) = r + a'{z)(xp + yq),
теперь можно заключить, что ct!{z) является константой и что функция a(z)
имеет вид az+b, в котором число b сразу же можно положить равным нулю.
Таким образом,
Xif = zr + az(xp + yq),
и мы получаем
(zmkeXkZp, Xxf) = (a- \k)zmk+1eXkZp-mkzmkeXkZp.
Это преобразование должно принадлежать группе [б], и поэтому все Л^
должны равняться а. Следовательно, искомая группа имеет вид
xq,
хр —
Р,
q,
yq,
zp,
zq,
УР,
z2p,
z2q
хр + yq,
...zmp,
...z^q
r,
zr,
Нам осталось еще к каждой из групп [7], [8], [9] добавить инфинитези-
мальное преобразование вида
X2f = z2r + f (ж, у, z)p + г)(х, г/, z)q.

Из группы [7] мы получаем группу
[10]
р, q, хр, yp, xq, yq, x2p + xyq, xyp + y2q, r, zr, z2r
В случае группы [8] мы, как и в §39, получаем, что преобразование
X2f всегда можно представлять себе в виде
X2f = z2r + a(z){xp + yq).
Тогда
(r, X2f) = 2zr + a,(z)(xp + yq),
откуда следует, что a'(z) = 2a и a(z) = 2az + 6. Из равенства
(zmp, X2f) = 6^mp + (2a - m)zm+1»
вытекает, что 2а = га. Далее,
V
m
zr +'^(xp + yq), X2f) = z2r + mz(xp + yq),
и, следовательно, число b равно нулю. Таким образом, искомая группа
может быть записана в виде
[п]
xq, хр — yq, yp, г, 2zr + т(хр + yq), z2r+ mz(xp+ yq),
p, zp,...zrnp, q, zq,...zmq
Точно так же из группы [9] получается группа
[12]
xq, хр — yq, yp, xp + yq, г, zr, z2r + mz(xp + yq),
p, zp,...z'"p, q, zq,...z q
Итак, поставленная в § 37 задача решена, и имеет место следующий
результат.
Предложение 2. Если конечная непрерывная группа пространства
х, у, z обладает инвариантным семейством оо1 поверхностей ср(х, у, z) =
= const и при этом не оставляет на месте ни одно семейство кривых вида
ср(х, у, z) = const, ip(x, у, z) = const, то посредством точечных
преобразований эту группу всегда молено привести к одному из двенадцати
видов [1] ... [12].
Перейдем теперь к нахождению всех групп, принадлежащих второму
из трех классов, указанных на стр. 141.

II. Группы, оставляющие на месте некоторое семейство
кривых ср(х, у, z) = const, *ф(х, у, z) = const, не
оставляя при этом на месте ни одно семейство
поверхностей вида 0(ср, гр) = const.
§41
Пусть Gm — m-параметрическая группа, а <р = const, ф = const —
инвариантное относительно нее семейство кривых. Если в качестве нового х
взять tp, а в качестве нового у взять ф, то эта группа примет вид
Xkf = Ых, У)Р + Vk(x, y)q + Cfcfo У, z)r
(к=1...т).
Если, к тому же, группа Gm обладает требуемым свойством, то она не
может оставлять на месте ни одно семейство поверхностей вида Q(x, у) =
— const. Следовательно, она должна преобразовывать оо2 кривых х —
= const, у = const примитивным образом. Это равносильно тому, что
группа укороченных преобразований
Xkf = tkfa у)р + щ(х, y)q (к=1...т)
(см. том I, стр. 307, предложение 4) от переменных х, у должна быть
примитивной. Это условие является необходимым и одновременно
достаточным, поскольку эта укороченная группа указывает, как оо2 кривых х =
= const, у = const преобразуются под действием группы Gm.
Так как укороченная группа X\f... Xmf должна быть примитивной,
то она (см. теор. 5, стр. 35) является либо пяти-, либо шести-, либо восьми-
параметрической и при подходящей замене переменных х, у приводится к
одному из следующих трех видов:
р, q, xq, xp - yq, yp (21)
р, q, xq, xp - yq, yp, xp + yq (35)
p, q, xq, xp - yq, yp, xp + yq, x2p + xyq, xyp + y2q. (<£)
Если теперь под h понимать любое из чисел пять, шесть или восемь, а под
Xkf = £к(х, у)р + щ{х, y)q (k = l...h)

понимать ту из групп 21, 03, £, которая является /г-параметрической, то
Xif + Ci (*> 2Л ^)г> • • • > ^Oi/ + 0i(*> 2/. ^)r>
Fi(x, у, z)r,..., ^-/.(х, у, z)r
будет общим видом га-параметрической группы Gm, обладающей нужным
нам свойством.
Среди инфинитезимальных преобразований нашей группы Gm
существует га — h независимых преобразований, которые оставляют на месте
каждую из кривых семейства х = const, у = const. Эти т — h
преобразований имеют вид
Fi(х, у, z)r,... Fm_b(x, у, z)r
и, в соответствии с предложением 5, том I, стр. 307, порождают (га —
— К)-параметрическую инвариантную подгруппу Gm-k группы Gm. Мы
должны прежде всего выяснить, какие различные виды может иметь эта
группа Gm-h.
Группа Gm-h оставляет на месте каждую прямую вида х — xq, у —
= уо, но преобразует оо1 точек этой прямой либо нуль-, либо одно-, либо
дву-, либо трехпараметрически (см. теор. 1, стр. 6). Первый случай имеет
место лишь тогда, когда группа Gm-h сводится к тождественному
преобразованию, то есть когда h = т. В оставшихся трех случаях к цели нас
приводит тот самый метод, который мы использовали на стр. 38^42 для
нахождения всех га-параметрических групп плоскости вида
<&i(x,y)q,..^m{x,y)q.
При этом мы получаем, что во втором случае посредством замены
переменной z подходящей функцией переменных х, у, z группу Gm-h всегда
можно привести к виду
F1(x,y)r,...Fm_/l(x,y)r. (£>)
В третьем случае всегда можно добиться того, чтобы группа Gm-h
принимала вид
Fi(x,y)r,...Fm_b_i(x,y)r, zr. (£)
Наконец, в четвертом случае группа Gm-h является трехпараметрической
и приводится к виду
г, zr, z2r. (#)

Теперь ясно, как нужно действовать, чтобы найти все т-параметриче-
ские группы Gm, обладающие требуемым свойством.
Мы начнем с нахождения всех групп Gm, посредством которых
кривые х = const, у = const преобразуются пятипараметрически, то есть всех
групп Gm, для которых h = 5 и группа X\f ... Xmf имеет вид (21).
Сперва мы будем искать те из них, которые являются пятипараметрическими и
инвариантная подгруппа Gm-h которых состоит лишь из тождественного
преобразования. Затем мы по порядку найдем все те, инвариантная
подгруппа которых имеет один из видов £>, (£, #.
Найдя таким образом все группы Gm, под действием которых кривые
х = const, у = const преобразуются пятипараметрически, мы к каждой из
полученных групп добавим наиболее общее инфинитезимальное
преобразование вида
xp + yq + ((x,y,z)r,
при котором вновь получается группа. Окончательно, к полученным при
этом группам мы добавим еще два инфинитезимальных преобразования:
x2p + xyq + d(x,y,z)r,
xyp + y2q + b(Xiy,z)r,
и найдем наиболее общий вид функций Ci и С25 при котором получается
группа.
§42 Кривые х = const, у = const преобразуются
пятипараметрически.
Сперва нужно найти все пятипараметрические группы вида
р + ar, q + /?r, xq + ftr, xp-yq + (2r, yp + Сз^,
где под а, /3, £i, £2, Сз понимаются функции переменных ж, у, z.
Выражение
(р + ar, q + pr) = (рх + apz - ay - (3az)r
должно тождественно равняться нулю, так как наша группа не содержит
преобразований такого вида. Следовательно, дифференциальные уравнения
Э/ Э/ df df
ox az ay az

имеют общее решение, не зависящее от z (см. том 1, стр. 91, теорема 12).
Если это решение выбрать в качестве нового г, то а и /? станут равными
нулю, в то время как последние три инфинитезимальных преобразования
из нашей группы своего вида существенно не изменят.
Далее,
00
30
(р, xq + Cir) = q 4- -^r, (<?, x^ + Or) = -трг,
откуда следует, что функция £i должна зависеть только от г. Аналогично
показывается, что этим же свойством обладают и функции £2, О- Если £i ф
= 0, то заменой переменной 2 преобразование хд 4- 0Г приводится к виду
xq + r. Мы имеем
90
(х<? + г, xp-yq-h Ог) = -2х<? + "о- * г^
и, следовательно,
-^ = -2, 0 = -2г + а,
где константу а можно сразу положить равной нулю. Наконец, нетрудно
показать, что при этом £% = —г2,и мы получаем группу
[13] р, <7, xg + г, хр — yq — 2zr, ?/р — z2r
Если же Ci = 0, то с помощью скобочной операции мы получим, что ^2
и £з также равны нулю, и мы приходим к группе
[14]
р, q, xq, хр -yq, yp
которая, впрочем, уже содержится среди групп [2], найденных на стр. 147.
Обратимся теперь к группам вида
( Р + Or, Q + Or, m + Сзг, хр - yq + Or, г/р + Or,
\ Fi(x,y)r,...Fz(x,y)r.
Это в точности все те группы, инвариантная подгруппа
(7)
Fi(x,y)r,...Fi{x,y)r

которых преобразует точки всякой прямой вида х = уо, У = Уо однопара-
метрически.
Предположим сначала, что 1 = 1.
Введем новую переменную z так, чтобы преобразование F\r приняло
вид г. Наша группа будет тогда иметь вид
г, Р + Cir, q + С2Г, xq + Сз^, яр - ОТ + С4^, УР + Сб^. (8)
Коммутируя преобразование г с остальными преобразованиями из нашей
группы, мы получаем, что С/с имеет вид
Ск = akz + рк(х,у) (к = 1...5).
Мы имеем
(р 4- (ецг 4- pi)r, хр - от + (o*z + />4)г) = Р + ^(х, г/)г,
и, следовательно, а\ = 0. Аналогично мы получаем, что нулю равны и
а2 ... as. Если теперь в качестве нового z взять выражение z — J pi dx, то
инфинитезимальное преобразование р 4- pi г перейдет в р, вследствие чего
преобразование g + р2^ будет иметь вид
q+ (Cx + x(x,y))r,
где, однако, функцию £(у) всегда можно сделать равной нулю: достаточно
лишь переменную z заменить на z — J х &У- Группа (8) при этом принимает
вид
г, р, q + Cxr, xq + pz(x,y)r, хр - yq + p4{x,y)r, yp + ръ{х,у)т. (8')
Перемножая с помощью скобочной операции преобразование р с
предпоследним преобразованием из группы (8'), мы получаем, что р\ имеет вид
р4 = ах + (р(у).
С другой стороны,
[q 4- Схг, хр — от + (ах + (р)т) = — q + [}р'{у) ~ Сх)г,
и следовательно, (pf(y) = b — константа. Благодаря наличию в нашей
группе преобразования г мы можем пренебречь постоянной интегрирования и

считать, что ср(у) = by. Заменой переменной z на z — ах 4- by мы получим
преобразование хр — yq, в то время как вид преобразований г, р и q + Схг
при этом существенно не изменится. Далее,
(р, хд 4- р3г) = q + -g^r, (4 + Схг, хз 4- рзО = -трг,
откуда, пренебрегая постоянной интегрирования, мы получаем
рз = -Сх2 + ку.
Более того, из равенства
[хр — yq, xq + [\Сх2 4- fcy)r) = 2xq 4- (Сх2 — /cy)r
следует, что константа к равна нулю. Абсолютно аналогично мы получаем,
что р5 = \Су2.
Итак, мы у самой цели. Если С — О, то мы имеем следующую группу:
[15]
г, р, q, xq, хр - yq, yp
если же С ^ 0, то, заменив z на ^z, мы получим группу
[16]
г, р, q 4- хт, xq 4- ^х2г, хр — yg, yp 4- ^y2r
Первая из этих двух групп содержится среди групп [5], стр. 151, а вторая
известна нам еще из тома II, стр. 419-420, где она рассматривалась как
неприводимая группа контактных преобразований плоскости х, у.
Пусть теперь число / в (7) больше единицы.
Коммутирование преобразований F\(x,y)r и р 4- Cir Да^т
oz ox J
Но множитель, стоящий перед г, должен зависеть только от х и у, и поэтому
Ci = ai(x,y)z + /?!(x,y).
Аналогично мы получаем, что
С/с =a/c(x,y)z + /3A:(x,y) (к = 1...5).

Введем теперь вместо z новую переменную
zi = <р(х,у)г + ф(х,у).
Тогда
р + (агг + /?i)r = р + {(<£* + otitp)z + ^ж + finp}ri.
Следовательно, функции (риф можно выбрать так, что коэффициент
перед г\ обратится в нуль. Другими словами, мы с самого начала можем
считать, что функция d в (7) нулевая.
Далее, мы имеем
(р^ + (а2г + /32)г) = (^—г + —jr,
откуда следует, что функция а2 не зависит от х. Более того, вводя в качестве
нового z выражение x{y)z-> гДе X является решением дифференциального
уравнения х'(у) + а2Х = 0> МЫ добьемся того, что а2 обратится в нуль.
Коммутируя преобразования р и q + /?2(я, 2/)r c преобразованиями
( х^ + (а32: + /?3)г, от + (а52: + /?5)г, , .
| хр-от + (а4г + /?4)г,
мы получим, что аз, а4 и а$ — константы, а коммутируя преобразования (9)
между собой, мы получим, что эти константы должны быть равны нулю.
Следовательно, наша группа (7) имеет вид
р, q + (h(x,y)r,
xq +fo(x,y)r, xp-yq + (3A{x,y)r, yp + (Зъ(х,у)г, (7')
Fi{x,y)r,...Fi(x,y)r.
Чтобы определить функции Fi... F/, построим преобразование
которое показывает, что F/. удовлетворяет дифференциальному уравнению
вида
Ц = Х>^- (10)
1У=1

где Cku — константы. Аналогично, коммутируя F^r и ур + for, мы получим
уравнение вида
Из уравнений (10) и (10') легко следует, что каждое из I + 1 выражений
a|ib $Fb 2д^1 tdlFk
дх1 ' <9xz ' <9х' ' <9xz
может быть представлено в виде C\F\ + ... + C/F/ с постоянными
коэффициентами С, и, следовательно, должно выполняться уравнение
d^Fi
(ao + aiy+ ... +aiyl)—[- = 0,
в котором не все константы а равны нулю. Но отсюда следует, что Fk
является целой функцией от х, причем ее степень не превышает I — 1. Точно
таким же образом, коммутируя Fk с q + for и xq + for, мы получим, что
Fk является целой функцией и относительно у и что степень этой функции
также не превышает / — 1.
Пусть ei... ei — I произвольных параметров. Обозначим через h
ненулевую степень, которой обладает функция e\Fi + ... 4- ejF/ относительно
х и у. Тогда эта функция будет иметь вид
i
J2 еьрь = Х*хН + ^"^ + ... + Afc-ixj/71-1 + \hyh + • • • ,
fc=i
где опущенные члены имеют порядок /г — 1 или ниже, а константы Ао ... Ад
не все равны нулю. Коммутируя
I
достаточное количество раз с xq + for и ур + /?5?~, мы получим, что наша
группа содержит преобразование вида
xpxfr,

где р и а — положительные целые числа, чья сумма равна h.
Коммутирование с
Щ + /33г, ур + /?5г, р, <? + /?2г
показывает, что наша группа содержит вообще все преобразования вида
xVr (р+ 0-^/1).
Следовательно, YlekFk является наиболее общей целой функцией
степени h относительно х и у.
Итак, мы приходим к следующему виду для группы (7):
г, хг, уг, х2г, хуг, у2г,...
...xhr, xh~1yr,...yhr {h >0),
р, q + P2{x,y)r,
{ xq + /?3(z, 2/)r, xp-yq + /34(x, y)r, yp + /?5(x, j/)r.
(7")
Коммутируя преобразования p и g + /?2Г, мы заключаем, что последнее
имеет вид
q + {а0хм + агхну + ...+ ahxyh + Y)r. (11)
В коэффициенте при г здесь отброшены все члены порядка h и ниже
относительно хну, поскольку они излишни. Через Y здесь обозначена функция,
зависящая только от у; однако, эту функцию можно сразу положить равной
нулю, так как при замене переменной z на z — JY dy она обнуляется, в
то время как остальные преобразования из нашей группы либо вообще не
изменяются, либо изменяются, но не существенно.
Далее, мы находим, что xq + for при отброшенных излишних членах
имеет вид
хд +
н
+ 2 Л + 1 2 (12)
+ Ь0хл+1 + bixS/ + ... + bhxyh}r.
Здесь все константы Ь можно положить равными нулю. Этого можно
добиться, введя в качестве нового z выражение
z- Ь0х у- Ь\ха —
bh
h+1
Л+1

Вид остальных преобразований из нашей группы при этом существенно не
изменится.
Коммутирование преобразований (11) и (12), в которых мы Y и Ь уже
считаем равными нулю, дает преобразование вида
+ Aak(i-l)iV",+*'(y)}r,
которое, разумеется, должно принадлежать нашей группе. Поскольку h > О,
мы заключаем, что а\...аь, равны нулю. Далее, функция Ф'(у) должна
быть целой функцией степени h относительно у, и поэтому, отбросив члены
порядка h и ниже, мы можем считать, что Ф{у) — byh+l.
Преобразования (11) и (12), таким образом, имеют вид
/ xh+2 \
д + оохЛ+1г, хд+ \а°]-^ +ЬуМ) т'
Коммутируя их преобразованием xp — yq + P±(x, у)г, мы получим
преобразования
- 2xq + (x^ - a0xh+2 + (h + l)byh+1\ r,
и, следовательно, должны выполняться равенства
^ - (Л + 1)оо*Л+1 = ~а0хм + Gh(x, у),
бу
х°-^ - a0xh+2 + (h + l)byh+l = -2a0^ - 2byh+1 + <5h(x,y),
где Gh и &h — целые функции степени h относительно х и у. Эти
уравнения показывают, что константа Ь равна нулю и что функция (5^ делится
на х. Кроме того, из них видно, что константа ао также равна нулю и что
переменные х и у входят в Gh со степенями, не превышающими (h — 1).
Отсюда, в свою очередь, следует, что /?4, если отбросить излишние члены,

является функцией, зависящей только от х. Более того, коммутируя хр —
— УЯ + ДЦя, у)г и р, мы увидим, что мы можем положить Д* = cxh+l.
Наконец, если в качестве нового z ввести выражение z — с^+Т' то
константа с также обратится в нуль.
Чтобы найти оставшееся преобразование ур + fi^x, у)г, умножим его
на
р, q, xq, xp - yq
и убедимся, что
др5 д(Зъ д(Зъ дръ дръ
ох оу оу ох оу
являются целыми функциями от х и у и что их степень не превышает h.
Но это, очевидно, возможно только тогда, когда степень производных
605
дх '
<Эу
не превышает h — 1, то есть, когда степень функции /?5 сама не
превосходит h. Таким образом, функцию (3$ можно положить равной нулю, и мы
получаем для группы (7) следующий простой вид:
[17]
Здесь, правда, целое число h должно быть > 0, хотя в случае h = О мы
также получим группу, а именно, найденную ранее группу [15].
Перейдем теперь к группам вида
fp + Cir, Ч + br, xq + (3r, xp-yq + Qr, ур + Сы,
р,
ъ
xq, xp
(р+*=
-УЧ.
=0Д,2.
УР,
М)
xpyGr
У Fi(x,y)r,...Ff(x,y)r, zr,
то есть к группам, чья инвариантная подгруппа
Fi(x,y)r,...Fj(x,y)r, zr
преобразует точки каждой прямой х — xq, у = Уо двупараметрически.
(13)

Коммутируя первые пять преобразований с F\(x,y)r, мы получаем
уравнения вида
Е^Х->У)~0^ -Xkfay) = akz + ^ck„F„{x,y)
(k=l. . .5),
и, следовательно,
Cfc = а* (ж, y)z2 + /3*(x, г/)г + 7*(ж, г/).
С другой стороны, коммутируя те же самые преобразования с zr, мы
получим
откуда вытекает, что ак равны нулю, а 7/с имеют вид
l
7/с = -5^cJ.l/FJ/(x,y)
и, следовательно, могут быть положены равными нулю.
Ясно, что инфинитезимальные преобразования
Г zr, p + fi1(x,y)zr, q + (32(x,y)zr,
I xq + /?3(x, y)zr, xp - yq + /?4(x, г/)гг, yp + /35(z, J/)^r
(14)
порождают шестипараметрическую подгруппу группы (13). Если вместо z
ввести новую переменную z\ — lz9 то эта подгруппа примет вид (8)
(стр. 157). Поэтому приведенные там рассуждения можно без изменений
перенести на случай группы (14), и мы заключаем, что эту группу
посредством замены переменной z на подходящее выражение вида zip(x, у) можно
привести к виду
zr, p, q + Cxzr, xp — yq,
xq + -Cx2zr, yp + -Cy2zr.
Вид инфинитезимальных преобразований
Fi(x,j/)r,...F/(x,j/)r

при этом существенно не изменится.
Если бы С = О, функции F\... F[ найти было бы очень легко. Но
можно показать, что константа Сив самом деле не может принимать отличных
от нуля значений.
Действительно, коммутируя Fkr с р и ур-\- \Cy2zr, мы получим
уравнения вида
dFk Л
1У=\
V^-WFb-Y.bb.F,,
(15)
U=l
дх 2
где а и Ь — константы. Отсюда мгновенно следует, что
1 / /
-Cy2Fk =yY, *k»F„ - Y, bk„F„.
u=l
u=\
Если бы С ^ 0, то для любого целого положительного числа т > 1
выполнялось бы I соотношений вида
yTFk = yJ2 *rbvFv + J2 bTkvFu (к = 1... 0;
i/=i
v=l
но это возможно лишь тогда, когда все функции F\... Fi равны нулю, что
исключено. Итак, константа С должна равняться нулю.
Поскольку С = 0, из уравнений (15) точно так же, как и на стр. 159—
160, следует, что Fk являются целыми функциями относительно х, и
проведенное там вычисление функций Fk дословно переносится на наш случай.
В результате мы получаем, что группа (13) приводится к виду
[18]
где h является неотрицательным целым числом. Если h — 0, то группа [18]
содержится среди групп [8], полученных на стр. 152; там нужно только а
и m положить равными нулю.
V,
я,
xq,
хр —
УЯ, УР,
=0,1,2.. .К)
zr,
xpyar

Нам осталось еще рассмотреть группы вида
p + Ci^ 9 + С2Л
xq + СзЛ xp-yq + С4Л да + СбЛ
г, zr, z2r,
(1б)
инвариантная подгруппа г, zr, z2r которых преобразует точки каждой
прямой х = хо, У = Уо трехпараметрически.
Чтобы определить функции Ci • • • Сб> умножим первые пять
преобразований из нашей группы на преобразования г и zr и получим соотношения
вида
dz
^ =ak + bkz + ckz2,
z-^--(k=a'k + b'kz + c,kz2,
откуда немедленно следует, что функции £*. не зависят от х и у и являются
целыми функциями от г. Поэтому мы можем положить все £/. равными
нулю и получим группу
[19] р, g, xtf, xp-yq, ур, г, zr, z2r
то есть группу [11] (стр. 154) при т = 0.
§43. Кривые х = const, у = const преобразуются
шестипараметрически.
Сейчас к каждой из групп [13]... [19] мы должны добавить наиболее
общее преобразование вида
Xf = xp + yq + С (я, У, z)r,
при котором мы снова получим группу.
Если Xf добавить к группе [13], то функция £ должна быть
постоянной. Это можно увидеть, умножив Xf на каждое из преобразований р, q,
xq + г. Далее,
(хр -yq- 2zr, Xf) = 2(r,

откуда следует, что С = О, и мы получаем группу
[20]
р, q, xq -\-г, xp — yq — 2zr, yp — z г, xp + yq
В случае группы [14], коммутируя Xf срид, мы увидим, что £ зависит
только от z. Если С = 0, то мы имеем группу
[21] \р, д, xg, xp-yq, yp, xp + yq
если же С ^ 0, то подходящей заменой переменной z можно добиться того,
чтобы искомая группа принимала вид
[22] р, q, xq, xp - yq, yp, xp + yq + г
Первую из этих двух групп мы уже встречали: она содержится среди
групп [3], стр. 149.
Группу [15] мы отдельно рассматривать не будем, ведь она содержится
среди групп вида [17]. Добавим поэтому преобразование Xf прямо к [17].
Коммутируя Xf с преобразованиями р, q, xq и yp, мы получаем, что
дх^ ду^ ду^ дх
являются целыми функциям от х vl у степени, не превышающей h.
Следовательно, £ имеет вид
С = ¥>(*)+ Y1 a**xV,
где а^к сразу же можно положить равными нулю. Чтобы найти ip(z),
умножим Xf на г и получим, что ц> является линейной функцией от z. Таким
образом, искомая группа имеет следующий вид:
[23]
р, q, xq, xp-yq, yp, xp + yq + azr, xpyar
(p+<7=0,l,2.../i)
От произвольного параметра а здесь избавиться нельзя. В частности, если
этот параметр равен нулю и, кроме того, нулю равно число /г, то
соответствующая группа [23] принадлежит группам вида [6], стр. 151. Если же
а ф 0, но h = 0, то группа [23] содержится среди групп вида [8], стр. 152.

Для того, чтобы при добавлении к группе [16] преобразования Xf
снова получалась группа, функция £ должна иметь вид 2z + ax + by. Это можно
увидеть, если умножить Xf на каждое из преобразований р, г, q -f xr\
однако, коммутируя Xf с хр — yq мы получим, что а и b равны нулю. Итак,
искомая группа имеет вид
[24]
г, р, q + xr, xq + \х2г, хр — yq, yp + \y2r, xp + yq + 2zr
Эту группу мы уже встречали в томе II, стр. 425, где она рассматривалась
как неприводимая группа контактных преобразований плоскости х, z.
Из группы [18] мы легко получаем группу
[25]
которая при h = 0 содержится среди групп [9], стр. 153. Наконец, из
группы [19] получается группа
Р, Я, Щ,
xp + yq
{р+с--
хр -
zr,
=0,1,2
УЪ
ХРУ
..h)
УР,
7г
р,
q,
щ,
хр
г,
-yq,
ZT, А
УР>
хр + yq,
[26]
которая совпадает с группой [12] (стр. 154), если га = 0.
§ 44. Кривые х = const, у = const преобразуются
восьмипараметрически.
Теперь к каждой из групп [20]... [26] нужно добавить еще по два ин-
финитезимальных преобразования вида
Xif = х2р + xyq + Ci(z, У, z)r,
X2f = хур + y2q + С.2{х, у, z)r.
В случае группы [20] мы имеем
36
(р, Xif) = 2xp + yq+ -^г,

и это выражение должно иметь вид
3 1
-(хр + yq) +-(xp-yq- 2zr).
Следовательно,
дх
С другой стороны, коммутируя Xf с q, мы получаем
ду
= 1,
а значит,
X\f = х2р + xyq + (у — xz + ip(z))r.
Но из равенства
(хр + yg, Xi/) = ж2р + xyq + (y- xz)r
следует, что функция ф равна нулю. Наконец, мы имеем
(ур - z2r, Xif) = xyp + y2q + z(y - xz)r
= X2f.
Таким образом, искомая группа имеет вид
[27]
р, q, xq + r, xp-yq- 2zr, ур - z2r, хр + yq,
х2р + xyq + (у — xz)r, xyp + y2q + z(y — xz)r
Из групп [21] и [22], коммутируя Xf по очереди с р, q, хр — yq и ур,
мы легко получаем следующие две группы:
[28]
р, q, xq, xp-yq, yp, xp + yq, x2p + xyq, xyp + y2q
[29]
p, q, xq, xp - yq, yp, xp + yq + r,
x2p + xyq + -XT, xyp + y2q + -yr
первая из которых есть не что иное, как группа [1], стр. 145.

Найдем теперь группы, получающиеся добавлением преобразований
Xif и X2J к группе [23]. С этой целью умножим сначала Xif на xhr и
на yhr. Мы получим два уравнения вида
x^-hx^^G^y), yh^-hxyh = G2(x,y), (17)
где G\ и G<2 — целые функции степени h или ниже относительно х и у. Из
этих уравнений следует, что
^ = /*х + Ь, (18)
где Ъ — константа.
Коммутируя теперь Xif с преобразованиями р, q и xq, мы получим
уравнения вида
( d(i За _, , . 9Ci ~ , ч
-^- = тг^ + Сз^у), -^-=<24(х,г/),
^^ =Gb(x,y),
где под G3, <?4> Gb снова понимаются целые функции степени h или ниже
относительно х и у. Непосредственно из (19) следует, что степень
функции G^ относительно хиуне превышает h — 1 и что функция С?з имеет
вид
Ga{x,y) = cxh+ ^2 Ъьх*Ук.
i+k<h
Далее, из (18) и (19) вытекает, что а — |/i и что
Ci = hxz + hz + с
xh+i
'ft + 1'
где члены порядка h и ниже, будучи излишними, опускаются.
Наконец, умножим Xif на хр — yq и получим
* i+kuh
Если мы здесь вместо О подставим выражение из предыдущей формулы,
то мы увидим, что число Ь равно нулю и что Xif имеет вид
Xif = х2р + худ + hxzr + ехг,

где с равняется нулю всегда, когда h ф 0. При этом
(ур, Xif) = хур + y2q + hyzr + cyr = X2f.
Если h ф 0, или h = 0 и с = 0, то мы имеем группу
[30]
2Л
р, g, xg, xp-yq, yp, xp + yq+ —zr,
х2р + худ + /гхгг, хур + y2q + /гугг,
ХРуаГ (p+a=0,l,2.../i)
которая при h = 0 совпадает с группой [4], стр. 149. Если же h = 0, но
с ^ 0, то, заменяя z на е2//с, мы приходим к группе
[31]
р, ?, xg, хр - уд, ур, хр + yg, zr,
х2р + худ + xzr, хур + у2д + yzr
Из группы [24] мы вообще не получим ни одной новой группы,
поскольку, умножив X\f на р и на г, мы увидим, что функция £i должна
удовлетворять следующим двум дифференциальным уравнениям:
^=3* + а, ^ = >,
ах аг
что, очевидно, невозможно.
Добавим X\j и X2f к группе [25]. Коммутируя X\f с xhr и yV, мы
получим два уравнения вида
х7^ - hxh+l = d(x, у) + axz,
oz
yh-^ - hxyh = G2(x,y) + а2г,
где G\ и (?2 имеют тот же смысл, что и в уравнениях (17), стр. 168. Отсюда
следует, что а\\\ а2 равны нулю и что
-=— = hx + Ъ.
oz
Далее, коммутируя X\f с zr, мы получаем уравнение
i+fc</i

и, следовательно,
О = hxz + bz-asz - ^ aikxlyk,
где, однако, константы 6, аз и а^ можно сразу же положить равными нулю.
Наконец, мы имеем
(ур, Xi/) = хур + y2q + %гг,
и искомая групп имеет вид
[32]
которая при h — 0 совпадает с группой [7], стр. 152.
Нам осталось еще добавить X\f и Хг/ к группе [26]. Коммутируя Xl/
и Х2/ с г и zr, мы легко получим, что £i и £2 не зависят от х и у и являются
целыми функциями второй степени от г. Тогда искомая группа имеет вид
р, g, хд, хр-
yq, yp, xp + yq,
х2р + худ + /ixzr, хур + у2<? + /iyzr,
zr, xpyar
(p+a=0,l,2.../i)
Pi
9
xg,
xp
- yq, yp, xp + yq,
x2p + xyq, xyp + y2q,
r,
zr, z2r
[33]
Эта группа совпадает с группой [10], стр. 153.
Итак, поставленная в §41 задача решена.
Предложение 3, Если конечная непрерывная группа пространства
х, у, z оставляет на месте некоторое семейство кривых
(р(х, у, z) = const, t/>(x, у, z) = const,
не оставляя при этом на месте ни одно семейство поверхностей вида
J?((/?(x,y,z), ф{х,у,г)) = const,
то относительно некоторого точечного преобразования пространства
х, у, z эта группа подобна одной из групп [13]... [33].

§ 45, Общие замечания относительно остальных
импримитивных групп пространства ж, у, z.
Нам осталось еще рассмотреть все группы в пространстве, которые
обладают инвариантным семейством кривых ip — const, ф — const, чьи
кривые можно объединить в инвариантное семейство оо1 поверхностей
!?(<£>, гр) — const. Выберем переменные х, у, z так, чтобы это инвариантное
семейство поверхностей имело вид х — const, а инвариантное семейство
кривых имело вид х — const, у — const. Тогда инфинитезимальные
преобразования всякой га-параметрической группы Gm, обладающей требуемым
свойством, будут иметь следующий вид:
( Xkf = &0Ф + Vk{x, y)q + Gfc(*> У» z)r (2Q)
1 (fc=l...m).
Итак, все сводится к тому, чтобы определить все группы такого вида.
Как было сказано на стр. 141, мы ограничимся здесь лишь
несколькими замечаниями.
Группе Gm соответствует укороченная группа от двух переменных х
и у. Эта укороченная группа порождается т укороченными инфинитези-
мальными преобразованиями
Xkf = £к(х)р + r)k{x,y)q (к = 1...т).
Она изоморфна группе Gm и показывает, как посредством группы Gm
преобразуются оо2 кривых х = const, у = const; кроме того, ясно, что она
импримитивна. В частности, может даже случиться, что эта укороченная
группа будет состоять только из тождественного преобразования.
В главах 3 и 4 все импримитивные группы от двух переменных
были приведены к нормальному виду, и поэтому мы с самого начала
можем считать, что переменные х и у выбраны так, что укороченная группа
X\f... Xmf имеет один из найденных там видов. Если предположить, что
эта укороченная группа является /-параметрической, то
инфинитезимальные преобразования из группы Gm можно записать следующим образом:
(21)
f Хк/ = ЫХ)Р + Vkfa y)q + 0k(*> V,z)r (A; = 1... I),
[Xl+jf = Fj(x,y,z)r (j = l...m-Z),
где / укороченных инфинитезимальных преобразований
Xkf = Zk(x)p + rik{x,y)q (k=l...l) (22)

независимы друг от друга и порождают /-параметрическую импримитив-
ную группу, которая имеет один из видов, перечисленных на стр. 71-73.
Таким образом, задача нахождения всех групп вида (20)
распадается на несколько отдельных задач: чтобы найти все такие группы, нужно в
качестве укороченной группы (22) рассмотреть по порядку все имприми-
тивные группы от х, у, собранные на стр. 71-73, и для каждой из этих
групп отыскать все группы вида (21).
Спрашивается, как построить все группы вида (21), соответствующие
данной укороченной группе (22).
При ответе на этот вопрос, мы будем исходить из того, что т — I
независимых инфинитезимальных преобразований
Xl+jf = Fj(x,y,z)r {j = l...m-l) (23)
порождают (га — /)-параметрическую инвариантную подгруппу
группы (21), а именно, наибольшую подгруппу этой группы, при которой все
оо2 прямых х = const, у — const остаются на месте. Группы вида (23)
мы уже встречали на стр. 155 и показали, что возможны четыре случая.
Во-первых, группа (23) может состоять только из тождественного
преобразования; это происходит тогда, когда число т — I равно нулю. В оставшихся
трех случаев, заменив z на подходящую функцию от х, у, z, группу (23)
можно привести к виду
Fi{x,y)r,...Fm-i{x,y)r (га-/ > 0),
Fi(x,y)r,...Fm_j_i(x,y)r, zr (га-/>1)
или
Г, 2Т, Z2V
соответственно.
В соответствии с этим мы должны различать четыре случая и при
нахождении групп (21), соответствующих заданной укороченной группе (22).
В первом случае группа (21) имеет вид
Ых)р + Vkfaу)я. + Gkfo y,zY (fc = i... 0; (24)
во втором случае
&0Ф + Vk{x, У)Я + &(*, У,г)г (А; = 1... 0,
Fj{x,y)r (j = l.../г),

где h > 0; в третьем случае
| ЫФ + Vk(x, y)q + (к(х, y,z)r (к = 1... /), ^v
[zr, Fj{x,y)r (j = l.../г),
где также /г > 0; наконец, в четвертом случае группа (21) имеет вид
Uk{x)P + Vkfa y)q + 0fc(*, У, *)r (fc = 1... /),
1 г, zr, z2r.
Теперь все сводится к тому, чтобы в каждом отдельном случае
найти наиболее общий вид функций Ci • • • С/ и Fi • • • Fh, при котором вновь
получается группа, а затем посредством подходящей замены переменных
привести эту группу к как можно более простому виду.
Необходимые здесь вычисления не представляют никаких
принципиальных трудностей. Мы можем, например, немедленно выписать все
группы вида (27): коммутируя в этом случае первые I инфинитезимальных
преобразований с г и zr, мы получим, что £i... Q не зависят от х и у и
являются целыми функциями от z второй степени; поэтому функции Ci • • • С/
мы можем положить равными нулю и заключаем, что каждой укороченной
группе (22) соответствует лишь одна гругша вида (27), а именно, группа
£,k{x)v + r)k(x,y)q (к = 1..Л),
г, гг, z2r.
В остальных случаях вычисления будут более громоздкими, однако их
всегда можно проделать.
Для нахождения обсуждаемых здесь групп можно использовать еще
один метод.
Если <8т является m-параметрической группой, обладающей
требуемым свойством, то она обладает по крайней мере одним инвариантным
семейством оо1 поверхностей. Если это инвариантное семейство привести к
виду z — const, а затем в качестве нового z выбрать подходящую функцию
от z, то группа <&т примет вид
оск{х, у, z)p + Рк(х, У, z)q + (а/с + bkz -h ckz2)r
(fc=l...m).

Группа (5m содержит инвариантную подгруппу
Xjf = ^j{x,y,z)p + r]j(x,y,z)q (j = 1..Л), (28)
которая оставляет на месте каждую из плоскостей z = const и число
параметров I которой равно по меньшей мере т — 3. Кроме того, группа <Sm
обладает по меньшей мере одним инвариантным семейством кривых вида
z = const, у?(х, у) = const, откуда ясно, что группа (28) каждую из оо1
плоскостей z = const преобразует импримитивным образом. Обратно, из
приведенных на стр. 142-143 рассуждений следует, что группа &т лишь
тогда оставляет на месте семейство кривых вида z = const, tp(x,y) =
= const, когда ее инвариантная подгруппа (28) преобразует каждую из оо1
плоскостей z = const импримитивным образом. Итак, мы приходим к
следующему способу нахождения всех групп, о которых идет речь.
Сперва нужно найти все группы вида (28), при которых каждая из оо1
плоскостей z = const преобразуется импримитивным образом, и с
помощью преобразований вида
xi = х(я, у, г), ух = ф(х, у, г), z\ = z (29)
привести эти группы к как можно более простому нормальному виду. Затем
к каждой из полученных групп нужно добавить наиболее общее инфините-
зимальное преобразование вида
г + а0(х, у, z)p + /?о(я, У, z)q,
при котором снова получится группа, и с помощью преобразований (29)
привести эту группу к нормальному виду. К найденным таким образом
группам нужно добавить преобразование
zr + oli (х, г/, z)p + /?i (x, у, z)q,
и, наконец, нужно будет еще добавить преобразование
z2r + а2(х, у, z)p + /?2(ж, У, z)q.
При этом нужно не забыть про случай, когда группа (28) состоит только из
тождественного преобразования.
Но как найти группы вида (28) ?

Из того, что группа (28) каждую из оо1 плоскостей z — const
преобразует импримитивным образом, следует, что если переменную z положить
равной константе с, эта группа превратится в импримитивную группу
Xjf = €j (xi У, Ф + Vj (ж, у, c)q {j = 1.. Л), (30)
от двух переменных х, у, причем группа (30), очевидно, изоморфна
группе (28). Но группа (30) при подходящем выборе переменных х, у
переходит в одну из импримитивных групп, собранных на стр. 71-73.
Следовательно, если под
Ukf = ик{х)р + vk(x, y)q {к = 1... I)
понимать какую-то из тех импримитивных групп, то ясно, что посредством
преобразования вида (29) группу (28) всегда можно привести к виду
h
Xjf = J2ZJrUrf (j = l...Z), (28')
r=l
где Zjr — функции, зависящие только от z.
Таким образом, для того, чтобы найти все группы вида (28), которые
каждую плоскость z = const преобразуют импримитивным образом,
нужно в (28') вместо U\f... U^f подставить по порядку каждую из
импримитивных групп, перечисленных на стр. 71-73, и в каждом отдельном найти
наиболее общий вид функций ZjT, при котором (28') будет группой с
числом параметров не меньше, чем /г. После этого полученные группы (28')
посредством преобразований вида (29) нужно привести к наиболее
простому виду; при этом, однако, можно использовать лишь те преобразования
вида (29), которые обладают тем свойством, что группа U\f... U^f
инвариантна относительно преобразования
xi = *(:r, j/,c), yi = ^(ж,у,с), (29')
где с является произвольным параметром.
Эти вычисления также можно проделать всегда. Особенно простыми
они будут в случае, когда группа U\f.. .Uhf плоскости х, у
преобразует кривые х = const трехпараметрически. Рассмотрим этот случай более
подробно.

Если группа U\f... Ukf преобразует кривые х = const трехпарамет-
рически, то она имеет вид
(Vif =p + wi(x, y)q, V2f = хр + w2(x, y)q,
V3f = x2p + w3{x,y)q,
WTf = w3+T(x,y)q
(r=l-/i-3).
(31)
Преобразования W\f... Whsf порождают (h — 3)-параметрическую
инвариантную подгруппу группы (31), и, кроме того, легко увидеть, что мы
всегда можем добиться того, чтобы Vi/, V2/, V3f порождали трехпарамет-
рическую подгруппу, структура которой нам известна (см. стр. 13) и имеет
вид
(V1V2) = Vi/, (ViV3) = 2V2/, (V2V3) = V3f.
В этом случае группа (28') имеет вид
/i-З
Xjf = ZjiVi/ + Zj2V2f + Zj3V3f + Yl zJ.*+rWTf
T=l
(32)
0=1-0,
где Z суть такие функции от z, что не все определители порядка h матрицы
\Zji ... Zji
I 0=1-/)
равны нулю.
Чтобы упростить вид группы (32), заметим, что / укороченных инфи-
нитезимальных преобразований
Xjf = z^f + zj2v2f + zj3vzf с? = 1... о
(33)
порождают группу, изоморфную группе (32). К этой укороченной группе
мы можем применить рассуждения, приведенные на стр. 40-41, и
получим*, что она является трехпараметрической. Заметим также, что при
сделанных предположениях инфинитезимальные преобразования
Zjip + Zj2xp + Zj3x2p (j = 1.. .1)
"К этому же результату можно прийти и с помощью рассуждений, приведенных на стр. 144-
145.

тоже порождают трехпараметрическую группу и что эта группа (см.
стр. 41-42) посредством некоторого преобразования вида
_ X(z)x + f*{z) _
i/(z)x + р(г)'
приводится к виду pi, xipi, x\p\. Но тогда, как нетрудно увидеть,
группа (33) с помощью преобразования вида
\(z)x + n(z) _, ч .
v{z)x + p(z)
(34)
приводится к виду Vi/, V2/, V3/. Это преобразование (34) можно
получить, если в наиболее общем конечном преобразовании
\х + ц
Xi = ; , J/1 = Ф{Х, J/, А, /X, V, р)
их + р
группы Vi/, V2/, V3/ подходящим образом определить параметры Л, /х, */, р
как функции от г.
Если теперь преобразование (34) применить к группе (32), то она
примет вид
/i-З
vkf + Y,zLWrf,
т=1
/i-3
^ZJ/TWTf
т=1
I, (Jk=l,2,3; i/=l.../-3),
(32')
где Z' и Z — снова функции, зависящие только от г. Здесь, однако, в каждом
отдельном случае легко показать, что все Z' можно сделать равными нулю
и что, следовательно, группа (32') может принимать следующий простой
вид:
/i-3
Vi/, V2/, V3/, J] Z„TWT/ (1/ = 1... J - 3).
(32")
T=l
Наконец, коммутируя эти преобразования между собой, можно легко найти
наиболее общий вид функций Z, при которых группа (32") будет иметь по
крайней мере h параметров.

Если, например, группа U\f... Uhf имеет вид
yq, р, xp, x2p + xyq
(третья группа на стр. 72), мы полагаем
V\f = p, V2f = 2xp + yq, V3f = x2p + xyq,
WJ = yq.
Приведенные выше рассуждения показывают, что под действием
подходящего преобразования вида (34) группа (32) принимает вид
р, 2xp + yq, x2p + xyq,
Ziyq,... Zi-зУЯ-
При этом число / должно быть больше трех; функции Z являются
произвольными функциями от z, не удовлетворяющими никакому соотношению
CiZi + ... + CisZi-s = О
с постоянными коэффициентами.
Если группа U\f... Uhf преобразует кривые х — const не трехпара-
метрически, то вычисления будут более громоздкими.
Так как количество получаемых групп будет велико, чтобы ничего не
упустить, имеет смысл применить для их нахождения оба описанных здесь
метода.
Мы не будем дольше задерживаться на этих вычислениях. Сделаем
лишь еще одно замечание. Оказывается, что каждая транзитивная
группа пространства х, у, z приводится к такому виду, что коэффициенты
перед р, qur являются целыми функциями от х, у, z и от некоторых
экспоненциальных выражений eXl, еЛ'2,..., где Ai, A2 ... —линейные функции
переменных х, у, г.* Весьма вероятно, что аналогичное утверждение верно
и для транзитивных групп n-мерного пространства.
*Все импримитивные группы пространства ж, у, z были найдены Софусом Ли еще в 1878
и 1879 годах, правда, с помощью чрезвычайно громоздких вычислений; тогда же был получен
и приведенный здесь результат относительно транзитивных групп. В процессе тех вычислений
Ли развил и методы, описанные в настоящей главе. Эти методы сильно упростили нахождение
всех импримитивных групп пространства х, у, z, поскольку они позволили разбить всю
задачу на большое количество подзадач, каждая из которых может быть решена сама по себе. С
помощью приведенных в данном тексте результатов читатель без труда может описать любой
нужный ему класс импримитивных групп пространства х, у, z

Под конец, отметим еще, что вычисления из §§ 37-44 без труда
переносятся на случай пространства сколь угодно большой размерности.
Действительно, пусть G — конечная непрерывная группа пространства
х\.. . хп, оставляющая на месте некоторое семейство оо1 плоских (п — 1)-
мерных многообразий, скажем, семейство хп = const, и пусть д —
инвариантная подгруппа группы G, оставляющая на месте каждое многообразие
хп = const. Если д преобразует точки каждого многообразия хп = const
посредством общей проективной группы, либо общей линейной группы,
либо специальной линейной группы, то группу G всегда можно привести
к простому нормальному виду. Получающиеся при этом группы являются
обобщениями групп [1] ... [12], стр. 145-154, и могут быть найдены с
помощью тех же вычислений, что и эти двенадцать. Аналогичные вычисления
приводят к цели и в случае, когда д преобразует точки каждого из этих
многообразий посредством любой другой примитивной группы от п — 1
переменных.
С другой стороны, если © — конечная непрерывная группа
пространства Rn, обладающая инвариантным семейством oon_1 прямых
х\ = const, ..., хп-\ = const, (36)
то группу 0 можно привести к простому нормальному виду всегда, когда
эти oon_1 прямых преобразуются посредством общей проективной
группы, либо общей линейной группы, либо специальной линейной группы
пространства Rn. Получающиеся при этом группы соответствуют группам
[13]... [33], стр. 157-170, и находятся с помощью тех же вычислений*.
Аналогично находятся и группы ©, преобразующие oon_1 прямых (36)
посредством любых других примитивных групп пространства Дп-ь
* Отметим, что в случае п = 2 эти вычисления совпадают с вычислениями из §§ 10-12
(стр. 42-52) и что, следовательно, при п — 2 они доставляют все транзитивные импримитив-
ные группы плоскости.

Часть II
Проективные группы
обыкновенного пространства

Мы не ставим себе целью обсудить проективные группы
обыкновенного трехмерного пространства так же исчерпывающе, как проективные
группы плоскости. Мы найдем все из них, которые являются
примитивными, а в случае импримитивных проективных групп мы продвинемся ровно
настолько, чтобы читателю стало понятно, как можно найти недостающие.
То немногое, что останется после этого сделать для нахождения всех
проективных групп пространства, потребует лишь некоторой доли терпения.
Что касается хода исследования, то прежде всего мы найдем все
кривые и поверхности в пространстве, которые допускают как можно больше
независимых инфинитезимальных проективных преобразований (глава 9).
Из полученных при этом проективных групп мы подробно рассмотрим две,
а именно, группу поверхности второго порядка и группу евклидовых
движений; для каждой из этих двух групп мы, в частности, найдем все
подгруппы (главы 10 и И). В главе 12, используя результаты глав 9-11, мы
найдем все примитивные проективные группы пространства. Наконец, в
главе 13 мы изложим два метода нахождения всех импримитивных
проективных групп и выпишем некоторое количество таких групп в явном виде.
Впрочем, примитивные проективные группы пространства можно
найти и не опираясь на результаты глав 9-11. Действительно, в соответствии
со сказанным на стр. 123-124, мы с самого начала имеем подробную
информацию относительно вида инфинитезимальных преобразований
примитивных проективных групп, и эти группы с помощью простых вычислений
можно привести к нормальному виду. Мы все же предпочтем избранный
нами путь для того, чтобы избежать повторений, так как позже мы будем
проделывать аналогичные вычисления для случая п переменных, и там они
будут намного более удобны.

Глава 9
Кривые и поверхности в обыкновенном
пространстве, допускающие
проективные группы
Каждая кривая или поверхность, допускающая вообще одно
непрерывное семейство проективных преобразований, определяет проективную
группу, а именно группу, образованную всеми проективными
преобразованиями, под действием которых эта кривая или поверхность остается на
месте. Правда, эта группа совсем не обязательно непрерывна и может
состоять из некоторого числа отдельных семейств преобразований. Однако,
среди этих семейств, в соответствии с результатами главы 18, том I,
существует ровно одно, которое само образует непрерывную группу. Эта
последняя группа является наибольшей непрерывной проективной группой,
при которой наша кривая или поверхность остается на месте, и, очевидно,
полностью определяется этой кривой или поверхностью.
Особенно важным является случай, когда инвариантная кривая или
поверхность, задающая проективную группу, является изолированной, то есть
не содержится ни в каком непрерывном семействе инвариантных
относительно этой группы кривых или поверхностей. В этом случае определение
группы посредством задания инвариантной кривой или поверхности
обладает чем-то отличительным по сравнению с любыми другими возможными
определениями, что, очевидно, не так, когда группа оставляет на месте
одновременно бесконечно много кривых или поверхностей. [Очень странное
предложение???]
В настоящей главе мы найдем все проективные группы пространства,
определяемые тем, что они оставляют на месте изолированную кривую или
поверхность. В то же время мы определим все кривые и поверхности,
которые допускают более, чем два независимых инфинитезимальных
проективных преобразования. Сперва мы рассмотрим группы, обладающие
инвариантной кривой, а затем те, которые обладают инвариантной поверхностью.

§46
Кривые в пространстве разбиваются на три класса, один из которых
образован прямыми, второй состоит из плоских кривых, а третий — из
пространственных кривых*. Рассмотрим эти три класса по порядку.
Каждая из оо4 прямых в пространстве будет инвариантна относительно
некоторой одиннадцатипараметрической группы, полностью определяемой
этой прямой.
Далее, рассмотрим произвольную плоскую кривую. Всякая
проективная группа, оставляющая эту кривую на месте, должна оставлять на месте
и плоскость этой кривой. Если эту плоскость перенести в бесконечность,
то наша группа перейдет в подгруппу общей линейной группы
р, q, г, хр, ур, zp, xq, yq, zq, xr, yr, zr.
Но эта последняя группа содержит четыре независимых инфинитезималь-
ных преобразования
р, д, г, xp + yq + zr,
которые оставляют на месте все точки бесконечно удаленной плоскости
и порождают четырехпараметрическую группу. Таким образом, мы видим,
что каждая плоская кривая допускает четырехпараметрическую
проективную группу, которая оставляет на месте все точки этой кривой и вообще
все кривые соответствующей плоскости.
Пусть G — наибольшая проективная группа, оставляющая на месте
данную плоскую кривую С. Как и ранее, перенесем плоскость этой кривой
в бесконечность. Тогда группа G будет преобразовывать точки бесконечно
удаленной плоскости посредством некоторой мериедрически изоморфной
ей группы д, которая имеет ровно на четыре параметра меньше, чем
группа G, и, очевидно, является наибольшей проективной группой этой
плоскости, при которой кривая С остается на месте. Но мы знаем (см. предл. 2,
стр. 88), что плоская кривая, допускающая инфинитезимальное
проективное преобразование, допускает либо только одно, либо ровно три таких
независимых преобразования, и поэтому группа G, если она не совпадает
с группой р, g, r, xp + yq-\- zr является пяти- или семипараметрической.
Теперь нетрудно указать некоторые нормальные виды, к которым
можно привести группу G в зависимости от того, является она пяти- или семи-
* Здесь и далее под плоскими (пространственными) кривыми понимаются кривые на
плоскости (в пространстве), не вырождающиеся в прямую (кривую на плоскости). Прим. перев.

параметрической. Действительно, G содержит либо одно, либо три
независимых инфинитезимальных преобразования, принадлежащих специальной
линейной однородной группе
zp, zq, xq, xp - yq, yp, xp - zr, xr, yr
и порождающих группу д\ голоэдрически изоморфную определенной выше
группе д. Если переменные х, у, z понимать как однородные координаты
точек бесконечно удаленной плоскости, то мы увидим, что gf является
ничем иным, как группой д, записанной в однородных переменных х, у, z.
Следовательно, чтобы определить, к каким нормальным видам приводится
группа G, нужно только взять различные нормальные виды группы д,
которые найдены в главе 5, записать их в трех однородных переменных, и в
каждом случае добавить еще четыре инфинитезимальных преобразования
р, q, r, xp + yq 4- zr.
Если группа д является однопараметрической, то, в соответствии со
сказанным на стр. 86-88, будучи записанной в неоднородных координатах
у, X), она может быть приведена к одному из следующих двух видов:
yp + ct)q; p + tjq,
где параметр с не может принимать ни одно из значений 0, ±1, +2, +
+ ^, поскольку в противном случае группа д оставляла бы на месте только
прямые или конические сечения и не определялась бы ни одной из своих
инвариантных кривых. Следовательно, каждая пятипараметрическая
проективная группа G обыкновенного пространства, которая оставляет на месте
некоторую плоскую криволинейную кривую и этим полностью
определяется, приводится к одному из следующих двух видов:
р, g, r, xp + yq + zr, xp + cyq
(c#0, ±1, +2, +i)
и
p, g, r, xp + yq + zr, zp + yq
(ср. стр. 110-111).
В обоих случаях G оставляет на месте оо1 различных кривых
бесконечно удаленной плоскости, среди которых содержатся две или три прямые,
но ни одного конического сечения. Группа G однозначно определяется
каждой инвариантной относительно нее плоской кривой.

Остается еще рассмотреть случай, когда группа д является трехпара-
метрической и, следовательно, состоит из всех проективных
преобразований плоскости, оставляющих на месте некоторое невырожденное
коническое сечение. Если это коническое сечение выбрать так, чтобы его
уравнение в однородных координатах имело вид
х2 + у2 + z2 = О,
то G примет вид
р, д, г, хр + yq + zr, xq — ур, yr — zq, zp — xr.
Это есть не что иное, как семипараметрическая группа всех проективных
преобразований пространства, оставляющих на месте наше коническое
сечение, или, другими словами, группа всех евклидовых движений и
преобразований подобия.
Найденные только что группы являются единственными
проективными группами пространства, которые полностью определяются тем, что они
оставляют на месте изолированную плоскую криволинейную кривую.
Займемся теперь пространственными кривыми, допускающими
проективные преобразования.
Если бы мы уже знали все типы инфинитезимальных проективных
преобразований пространства, как это было с инфинитезимальными
проективными преобразованиями плоскости (см. стр. 85), то было бы совсем
нетрудно, указать вообще все пространственные кривые, допускающие по
меньшей мере одно инфинитезимальное проективное преобразование; нам
нужно было бы просто из всех этих типов выбрать те, которые
оставляют на месте пространственные кривые, и найти эти кривые в явном виде.
Здесь же, однако, мы ограничимся тем, что отыщем все пространственные
кривые, которые допускают по меньшей мере два независимых
инфинитезимальных проективных преобразования. Знание упомянутых выше типов
групп для этого совсем не обязательно.
Прежде всего, ясно, что инфинитезимальное проективное
преобразование пространства, оставляющее на месте пространственную кривую, не
может оставлять на месте все точки этой кривой, поскольку если все точки
некоторой пространственной кривой остаются на месте, то всегда
найдется пять инвариантных точек, никакие четыре из которых не лежат в
одной плоскости, что невозможно ни при каком проективном преобразовании

пространства кроме тождественного. Отсюда следует, что всякая т-пара-
метрическая проективная группа, оставляющая на месте некоторую
пространственную кривую, преобразует точки этой кривой т-параметрически.
Но поскольку эти точки образуют одномерное многообразие, из теоремы 1,
стр. 6, следует, что число т не может превышать 3, а сама группа не может
содержать два перестановочных независимых инфинитезимальных
преобразования. Поэтому каждая пространственная кривая, обладающая
требуемым свойством, допускает два независимых инфинитезимальных
проективных преобразования X\f и X2f, порождающих двупараметрическую
группу со следующей структурой:
{Х,Х2) = X,f.
При этом группа X\f, X2f оставляет на месте по меньшей мере одну
точку П, некоторую проходящую через нее прямую Г и некоторую
проходящую через них обеих плоскость Е.
Пусть П' — точка общего положения на нашей инвариантной кривой,
то есть такая точка, которая не является инвариантной относительно
группы X\f, X2f и в окрестности которой уравнения кривой могут быть
представлены в виде, при котором две из переменных х, у, z будут
выражены через третью посредством обыкновенных степенных рядов. Тогда
группа X\f, X2f содержит ровно одно инфинитезимальное преобразование
ciXif + c2X2f, оставляющее точку П' на месте.
Очевидно, что определенное таким образом преобразование c\X\f +
+ c2X2f вместе с точкой П' оставляет на месте и проходящую через нее
касательную Г' к нашей кривой, и соответствующую соприкасающуюся
плоскость Е'; кроме того, оно оставляет на месте точку П, прямую Г и
плоскость Е. Отсюда, как мы покажем, следует, что преобразование c\X\f +
+ c2X2f оставляет на месте и некоторый невырожденный тетраэдр.
Действительно, в соответствии с нашими предположениями, точка П'
не совпадает с П. Более того, будучи точкой общего положения на
пространственной кривой, она не лежит в плоскости Е. Далее, так как все
касательные пространственной кривой не могут пересекать никакую
фиксированную прямую, касательная Г' не пересекает прямую Г. Наконец,
соприкасающиеся плоскости пространственной кривой не могут все проходить
через одну точку, и поэтому плоскость Е' точно не проходит через точку П.
Их этого всего следует, что плоскости Е и Е' вместе с двумя плоскостями,
определяемыми точкой П и прямой Г', и точкой П' и прямой Г соответ-

ственно, образуют невырожденный тетраэдр, инвариантный относительно
инфинитезимального преобразования C\X\f + c2X2f.
Выберем только что полученный тетраэдр в качестве координатного
тетраэдра, причем так, чтобы точка П7 имела координаты х = у = z = О,
чтобы уравнения касательной Г' и соприкасающейся плоскости Е' имели
соответственно вид у = г = 0иг = 0, и чтобы плоскость Е совпадала
с бесконечно удаленной плоскостью, а Г и П получались пересечением
плоскости Е с плоскостью х = 0 и прямой х = у = 0.
Тогда уравнения нашей кривой будут иметь вид
у = а2х2 + а3х3 + --- ,
z = Ь3х3 + Ь4х* + • • • , U
где правые части являются обыкновенными степенными рядами и где
константы а2 и Ь3 обязательно не равны нулю, так как точка х = у = z = О
должна быть точкой общего положения. Далее, поскольку инфинитезималь-
ное преобразование c\X\f + c^X^j должно оставлять координатный
тетраэдр на месте, оно имеет вид
CiXif + c2X2f = axp + (3yq + 72т,
где ни одна из констант се, /3, 7 и ни одна из разностей се — /?, се — 7, /? — 7
не равна нулю, так как в противном случае преобразование
c1X1f + c2X2f
имело бы только плоские инвариантные кривые.
Мы должны еще учесть то, что инфинитезимальное преобразование
CiXif + c2X2f оставляет на месте кривую (1). Аналитически это
требование выражается тем, что вместе с (1) должны выполняться равенства
(Зу = 2а2ах2 + Зазсех3 + ♦ ♦ ♦ ,
72/ = ЗЬ3ах3 + 4:Ь^ах4 Н .
Но поскольку а2 и Ь3 должны быть отличны от нуля, это возможно лишь
тогда, когда (3 = 2а, 7 = За и когда уравнения (1) имеют простой вид
у — а2х2, z — Ьзх3.
(2)

Здесь мы можем а^ и &з сразу же положить равными единице, так как под
действием проективного преобразования
1 1
х\ =х, ух = —у, 2i = —z
&2 Оз
наш координатный тетраэдр остается на месте, а уравнения (2) принимают
вид
уХ = х\, 2i = х\.
Таким образом, если существует вообще [???] одна пространственная
кривая, допускающая два независимых инфинитезимальных проективных
преобразования пространства, то она обязательно будет рациональной
пространственной кривой третьего порядка, чье уравнение посредством
подходящего проективного преобразования приводится к виду
у = Х2, Z = X3, (3)
(ср. Клейн, Ли, Comptcs Rcndus 1870).
Мы уже знаем одно инфинитезимальное проективное преобразование,
оставляющее на месте кривую (3); это преобразование имеет вид хр +
+ 2yq + 3zr. Выясним теперь, какие еще инфинитезимальные проективные
преобразования обладают этим свойством.
Эти инфинитезимальные преобразования можно было бы искать
аналогично тому, как мы искали все инфинитезимальные проективные
преобразования плоскости, оставляющие на месте кривую у = хс (см. стр. 87).
Тогда мы должны были бы выписать общее инфинитезимальное
проективное преобразование пространства х, у, z, которое имеет вид
а\Р + &2Q. + &зг + сцхр + ... + ai$(xzp + yzq + z2r),
и найти наиболее общий вид коэффициентов а\... а\Ъ, при котором
уравнение (3) будет инвариантным. Однако, более удобным нам представляется
следующий путь.
Если кривая (3) является инвариантной относительно инфинитези-
мального проективного преобразования
Xf = f № У, z)-g^ + ЩХ, y,z)— + C(x, г/, z) —,
то должна существовать такая функция и)(и), что система уравнений
х = и, у = и2, z = и3 (3')

относительно четырех переменных х, у, z, и допускает
инфинитезимальное преобразование
Это условие необходимо, но, очевидно, и достаточно. Функция и(и),
соответствующая всякому инфинитезимальному преобразованию,
обладающему требуемым свойством, определяется тем, что уравнения
£(х, у, z) = ш(и), г)(х, у, z) = 2иш(и), С(я, У, z) = Ъи2и(и)
при подстановке выражений из (3') должны обращаться в тождества. Но
поскольку £, ту, С являются целыми функциями от х, у, z, функция и (и)
обязательно должна быть целой функцией переменной и, В частности, для
Xf — хр + 2yq + 3zr функция и (и) имеет вид и (и) — и.
Проверим, не может ли и (и) принимать значения 1 и и2.
Если и (и) — 1, то уравнения
£(х, г/, z) = 1, гу(х, г/, z) = 2щ £(х, У, *) = Зи2
при подстановке выражений (3') должны обращаться в тождества, и,
следовательно, £ = 1, г? = 2х, С = Зу. Поскольку X/ является проективным
преобразованием, £ не может содержать слагаемое с х2, и действительно,
инфинитезимальное проективное преобразование р + 2xq + Зуг оставляет
кривую (3) на месте.
Если и {и) = и2, то уравнения
£(х, у, z) = и2, т?(х, у, z) = 2тх3, С(^> У. А = З^4
должны с учетом (3') обращаться в тождества. Принимая во внимание еще
и то, что инфинитезимальное преобразование Xf должно быть
проективным, мы получим
£(х, у, z) = ах2 + Ьу, т?(х, у, z) = ахт/ + cz, C{x, у, z) = axz,
где a, b, с должны удовлетворять условиям а + Ь = 1, а + с = 2, а = 3.
Отсюда следует, что b = —2 и с = —1, и действительно, кривая (3) является
инвариантной относительно инфинитезимального проективного
преобразования
Зх(хр + yq + zr) — 2ур — zq.

Итак, мы нашли три независимых инфинитезимальных проективных
преобразования, оставляющих на месте кривую (3). Они имеют вид
fXi/ = p + 2a:9 + 3yr,
<X2f = xp + 2yq + Zzr, (4)
I Xsf = S(x2p + xyq + xzr) — 2yp — zq.
Но так как, в соответствии со сказанным на стр. 183, всякая
пространственная кривая пространства х, у, z не может допускать более трех
независимых инфинитезимальных проективных преобразований, мы видим, что
X\f, Х2Л Xzf порождают трехпараметрическую группу, которая
является наибольшей проективной группой, оставляющей на месте кривую (3).
Таким образом, имеет место следующий результат.
Предложение!. Если пространственная кривая пространствах, у, z
допускает два независимых инфинитезимальных проективных
преобразования этого пространства, то она допускает ровно три таких
независимых преобразования и является рациональной пространственной кривой
третьего порядка.
Рассуждения, приведенные на стр. 183-186, могут быть перенесены на случай
пространства размерности п. Поскольку это не представляет ни малейшего труда,
чтобы больше к этому не возвращаться, мы сформулируем соответствующий
результат прямо сейчас.
Предложение 2. Если некоторая кривая n-мерного пространства Rn, не
лежащая ни в каком плоском (п — I)-мерном пространстве, допускает два
независимых инфинитезимальных проективных преобразования этого пространства,
то она допускает ровно три таких независимых преобразования и является
рациональной кривой порядка п, не лежащей ни в каком плоском (п — \)-мерном
пространстве.
Если систему координат выбрать так, чтобы наша рациональная кривая
порядка п задавалась уравнениями
_ 2 _ з _ п
то эта кривая будет допускать следующие три независимых преобразования:
pi + 2xip2 + ЗХ2Р3 + ... + nxn-ipn,
Х1Р1 + 2Х2Р2 + ЗхзРз + • ■ • + ПХпрп,
(п - 1)х2р\ + (п - 2)хгР2 + • •. + xnpn-i - nxi(xipi + ... + хпрп).

Эти преобразования, разумеется, порождают трехпараметрическую группу, которая
является наибольшей проективной группой пространства х\... хп, оставляющей
нашу кривую на месте.
Исследуем теперь несколько подробнее группу (4). Сперва мы найдем
все инвариантные относительно нее точечные фигуры, а затем займемся ее
подгруппами.
Чтобы не иметь дело с бесконечно удаленными точками, запишем
группу (4) в терминах четырех однородных переменных (см. том I,
стр. 579). Тогда эта группа предстанет в следующем виде:
( Xxf = x4pi + 2rnp2 + Зх2р3,
< -2X2f = xipi - x2P2 - Зх3рз + Зх4р4, (5)
[ -X3f = 2x2pi + X3P2 + 3xxp4.
Все инвариантные относительно нее точечные фигуры задаются такими
системами уравнений относительно х\.. .х4, которые допускают три инфи-
нитезимальных преобразования X\f, X2f, X$f9 а также преобразование
XAf = xipi + Х2Р2 + х3рз + хАрА.
Таким образом, нам просто нужно, используя методику из главы 14 первого
тома, найти все системы уравнений, инвариантные относительно четырех-
параметрической группы X\f... X*/.
Такое инвариантное уравнение можно получить, если определитель
преобразований X\f...Х4/ приравнять к нулю:
1x4 2xi 3x2 О
л _ Xi —Х2 —ЗХз 3X4
2x2 хз 0 3xi
Х\ Х2 Хз Х4
Это уравнение задает инвариантную поверхность четвертого порядка,
которая, очевидно, является развертывающейся поверхностью для нашей
кривой (3) третьего порядка; поскольку, вдобавок, не все миноры третьего
порядка определителя А обращаются в нуль при А — 0, ясно, что точки этой
развертывающейся поверхности преобразуются под действием нашей
группы транзитивным образом.
Все шестнадцать миноров третьего порядка определителя А могут
одновременно обращаться в нуль лишь тогда, когда все xi ... х4 равны нулю,
= 0.
(6)

что вообще не имеет геометрического смысла, либо когда имеют место
равенства
Х2Х4 — х\ = О, Х\Х2 — Х3Х4 = 0, х\ — Х\Х<$ = 0. (7)
Эта инвариантная система уравнений определяет нашу инвариантную
кривую (3) третьего порядка как пересечение трех поверхностей второго
порядка. Таким образом, мы доказали, что наша группа не оставляет на месте
никакую другую пространственную кривую кроме кривой (3) и что,
следовательно, эта инвариантная кривая является изолированной.
Миноры второго порядка определителя Л одновременно обращаются
в нуль только при х\ — Х2 = хз = Х4 = 0, и поэтому наша группа не
оставляет на месте ни одной точки пространства.
Итак, найдены все точечные фигуры, инвариантные относительно
группы (4). Перейдем теперь к обсуждению подгрупп этой группы.
Очевидно, что группа (4) имеет ту же структуру, что и общая
проективная группа одномерного многообразия. Действительно, структура
группы (4) имеет вид
(Х1Х2) = XJ, (ХгХз) = 2*2/, (Х2Х3) = X3f. (8)
Тогда, как следует из главы 2 (стр. 17), группа (4) имеет лишь один тип
двупараметрических подгрупп и только два типа однопараметрических. В
качестве представителей этих типов можно выбрать соответственно
подгруппы Xlf, X2f; X2f и Xlf.
Двупараметрическая, и следовательно, интранзитивная группа X\f,
X2f оставляет на месте семейство оо1 поверхностей, которое находится
интегрированием трехпараметрической полной системы
*i/ = 0, X2f = 0, X4f = 0
относительно переменных х\.. .х\. Уравнение этого семейства
поверхностей имеет вид:
а[хъх\ - 3xix2x4 + 2х\)2 + Ь{х2х4 - x\f = 0. (9)
Чтобы найти остальные инвариантные относительно группы Xif, X2f
точечные фигуры, рассмотрим матрицу
#4 2Xi 3X2 0
Х\ —Х2 —3^3 3^4
Х\ Х2 Хз Х4
(10)

и приравняем к нулю сперва все ее определители третьего порядка, а
затем все определители второго порядка. Определители второго порядка
доставляют лишь инвариантную точку х\ — Х2 — х^ = 0, в то время как
определители третьего порядка кроме самой кривой (3) доставляют ее
касательную х\ = Х4 = 0 в точке х\ — Х2 = Х4 = О, а также инвариантное
коническое сечение
Х4 = 0, 3^2 — 4xiX3 = 0, (11)
лежащее в соприкасающейся плоскости х^ = 0 этой точки.
Поскольку не все определители третьего порядка матрицы (10)
обращаются в нуль при условии Х4 = 0, инвариантная плоскость Х4 = 0
должна содержаться среди поверхностей семейства (9). Это действительно
так. Чтобы убедиться в этом, достаточно положить Ь = 4а. В этом случае
в левой части можно вынести за скобки множитель х\, и если затем его
отбросить, то останется уравнение четвертого порядка, которое, очевидно,
задает развертывающуюся поверхность (б) нашей кривой третьего порядка.
Плоскость X4 = 0 пересекает эту развертывающуюся поверхность по
двойной прямой Х\ — Х4 = 0 и по коническому коническому сечению (11), в то
время как остальные поверхности из семейства (10) она пересекает только
по шестикратной прямой х\ = Х4 = 0. Отсюда следует, что семейство (10)
не содержит невырожденных поверхностей второго порядка; правда,
случай а = 0 доставляет тройной конус второго порядка х2х4 — х\ — 0.
Итак, мы получили довольно важный результат, который гласит, что
не существует двупараметрических проективных групп, оставляющих на
месте одновременно невырожденную поверхность второго порядка и
пространственную кривую третьего порядка. Более того, не существует
двупараметрических проективных групп, оставляющих на месте две различные
пространственные кривые третьего порядка либо одну кривую третьего
порядка и одну не касающуюся ее прямую.
Однопараметрические подгруппы группы (4), как было замечено,
бывают двух типов, представителем одного из которых является X2f, а
другого — X\f.
Траектории подгруппы X2f находится посредством интегрирования
двупараметрической полной системы X2f = 0, X±f = 0 относительно
х\... Х4- Они задаются уравнениями
\х\ + /ix2x4 = 0, ь>х\ + pxix3 = 0,
\vx\x2 — ЦРХ3Х4. = 0

с двумя парами однородных параметров A, /ihi/, p, и, в общем случае,
являются кривыми третьего порядка, для которых кривая (3) в точках х\ =
= х2 = хз — 0 и х\ — Х2 — Х4 = 0 будет огибающей.
Точно так же мы получаем уравнения траекторий подгруппы X\f:
\с(х2Х4 — х\) — ах\,
< с(ХзХ4 — Х\Х2) — 2аХ\Х4 + Ъх\, (13)
\с(х2 — ^1^з) = а(х2Х4 — 2х\) — Ьх\Х4>
где а, Ь, с представляют собой три однородных параметра. Эти траектории
также являются кривыми третьего порядка, огибаемыми кривой (3) в точке
Х\ = Х2 = Х4 = 0.
Мы заканчиваем наше рассмотрение кривых в пространстве,
допускающих проективные преобразования, тем, что сформулируем следующее
предложение, которое вытекает из полученных результатов.
Предложение 3. Если проективная группа пространства
определяется тем, что она обладает инвариантной изолированной кривой, то она
состоит либо из оо11, либо из оо7, либо из оо3 проективных преобразований,
которые соответственно оставляют на месте прямую, невырожденное
коническое сечение или пространственную кривую третьего порядка.
§47
Займемся теперь проективными группами, которые определяются тем,
что оставляют на месте изолированную поверхность. Мы ограничимся,
главным образом, теми группами, которые имеют не менее трех
параметров, а затем, в отдельном параграфе, укажем, как можно найти все
неплоские поверхности, допускающие ровно два независимых инфинитезималь-
ных проективных преобразования.
Всякая плоскость в пространстве является инвариантной относительно
некоторой двенадцатипараметрической проективной группы, которая
полностью определяется этой плоскостью.
В случае неплоской развертывающейся поверхности все опять же
очень просто. Действительно, если на проективную группу, оставляющую
такую поверхность на месте, подействовать двойственным
преобразованием, то получится проективная группа, оставляющая на месте криволиней-

ную кривую. Таким образом, в этом случае мы приходим к задаче,
решенной в предыдущем параграфе.
Если наша развертывающаяся поверхность не является конусом, то под
действием этого двойственного преобразования она переходит в
пространственную кривую. Поэтому, если эта поверхность допускает два
независимых инфинитезимальных проективных преобразования, то она
допускает ровно три таких независимых преобразования и принадлежит третьему
классу, то есть является развертывающейся поверхностью некоторой
пространственной кривой третьего порядка. Следовательно, группа,
определяемая такой поверхностью, сопряжена в общей проективной группе
группе (4), стр. 186, а уравнение этой поверхности посредством некоторого
проективного преобразования приводится к виду (6), стр. 188.
Если же наша инвариантная поверхность является конусом, то следует
различать несколько случаев, которые легко рассмотреть, руководствуясь
сказанным в § 46.
Каждая из относящихся сюда групп содержит четырехпараметриче-
скую подгруппу, которая оставляет на месте все прямые, проходящие
через вершину соответствующего конуса. Если в качестве этой вершины
выбрать бесконечно удаленную точку-носитель связки прямых х = const, у =
= const, то эта четырехпараметрическая подгруппа будет иметь вид
г, xr, yr, zr, (14)
а сам конус перейдет в цилиндр, уравнение которого не будет зависеть от z.
Группа (14) оставляет на месте каждый цилиндр вида Ф(х,у) = 0.
Если такой цилиндр допускает проективную группу с числом параметров,
превышающим четыре, то возможны два случая: либо его образующие
преобразуются однопараметрически, либо они преобразуются трехпараметри-
чески.
В первом случае этот цилиндр не будет цилиндром второго порядка, и
инфинитезимальное преобразование, которое действительно переставляет
его образующие, может принимать один из следующих двух видов:
xp + cyq (с^О, ±1, I, 2); p + yq.
Мы приходим, таким образом, к двум пятипараметрическим группам:
г, хг, г/г, zr, xp + cyq (с ф 0, ±1, \, 2);
(15)
г, хг, уг, zr, p + yq.

Каждая из этих двух групп оставляет на месте оо1 цилиндров и
полностью определяется любым из этих цилиндров, который не вырождается в
плоскость.
Остается еще рассмотреть случай цилиндра второго порядка. Если
уравнение этого цилиндра записано в виде у — \х2 — 0, то
соответствующая этому цилиндру группа имеет вид:
г, хт, yr, zr, р + xq, хр + 2yq, х2р + xyq + xzr — ур.
Следовательно, имеет место следующий факт.
Предложение 4. Если проективная группа пространства
определяется тем, что оставляет на месте изолированную развертывающуюся
поверхность, то она состоит либо из оо11, либо из оо7, либо из оо3
проективных преобразований, оставляющих на месте соответственно
плоскость, невырожденный конус второго порядка или развертывающуюся
поверхность пространственной кривой третьего порядка.
Найдем теперь все неразвертывающиеся поверхности, допускающее
г ^ 3 независимых инфинитезимальных проективных преобразований.
Предположим сначала, что г > 3. Тогда каждая асимптотическая
линия соответствующей поверхности допускает по меньшей мере три
независимых инфинитезимальных проективных преобразования. Для каждого из
двух семейств асимптотических линий этой поверхности существует две
возможности: либо это семейство состоит из пространственных кривых
третьего порядка, либо из прямых, поскольку неразвертывающаяся
поверхность не может обладать семейством плоских криволинейных
асимптотических линий. Оба семейства асимптотических линий не могут одновременно
состоять из кривых третьего порядка, так как тогда через каждую точку
общего положения на нашей поверхности проходили бы две такие кривые,
которые были бы инвариантны относительно некоторой проективной
группы с по крайней мере двумя параметрами, что, однако, невозможно (см.
стр. 189-190). Аналогично, не может быть такого, чтобы одно семейство
асимптотических линий состояло из прямых, а другое — из кривых
третьего порядка, так как тогда через каждую точку общего положения на нашей
поверхности проходила бы некоторая кривая третьего порядка и некоторая
не касающаяся ее прямая, а в совокупности они должны были бы
допускать по меньшей мере два независимых инфинитезимальных проективных
преобразования, что, в соответствии со сказанным на стр. 189-190,
исключено. Таким образом, оба эти семейства асимптотических линий состоят

из прямых, а сама поверхность имеет второй порядок. Поскольку всего
существует оо9 различных невырожденных поверхностей третьего порядка,
верно следующее утверждение.
Предложение 5. Невырожденная поверхность второго порядка
является единственной неразвертывающейся поверхностью в пространстве,
допускающей более, чем три независимых инфинитезгшальных
проективных преобразования. Она допускает ровно шесть таких независимых
преобразований, которые порождают шестипараметрическую проективную
группу, и эта группа полностью определяется данной поверхностью.
Позже мы обсудим эту группу подробно.
Пусть теперь г = 3, и наша задача состоит в том, чтобы найти все
неразвертывающиеся поверхности, допускающие ровно три независимых
инфинитезимальных проективных преобразования. При этом мы с
самого начала знаем, что искомые поверхности не могут быть поверхностями
второго порядка.
Предположим, что X\f, X2/, -Х3/ — три независимых
инфинитезимальных проективных преобразования, которые оставляют на месте
некоторую поверхность, обладающую требуемым свойством. Тогда каждая
асимптотическая линия этой поверхности допускает по меньшей мере два
независимых инфинитезимальных преобразования из группы, порожденной
преобразованиями X\f, X2/, -Х3/. Как и выше, отсюда следует, что каждое из
двух семейств асимптотических линий нашей поверхности может состоять
только из прямых или из пространственных кривых третьего порядка.
Если бы оба семейства асимптотических линий состояли из кривых
третьего порядка, то каждой точке общего положения на нашей
поверхности соответствовала бы по меньшей мере одна однопараметрическая группа
С1Х1/ + С2Х2/ + С3-ВД
которая бы оставляла на месте и саму точку, и обе проходящие через нее
асимптотические линии. Но, как мы видели на стр. 190, две
пространственные кривые третьего порядка, инвариантные относительно одного и того же
инфинитезимального проективного преобразования, пересекаются в одной
или двух точках и имеют в каждой из этих точек общую касательную.
Следовательно, две асимптотические линии, проходящие через произвольную
точку общего положения на нашей поверхности, касались бы друг друга, а
сама поверхность была бы развертывающейся, что исключено.

С другой стороны, если бы оба семейства асимптотических линий
состояли из прямых, то наша поверхность была бы поверхностью второго
порядка, что опять же невозможно. Итак, остается еще лишь рассмотреть
случай, когда одно семейство асимптотических линий образовано
прямыми, а второе — кривыми третьего порядка. Мы увидим, что в этом случае
поверхность, обладающая требуемым свойством, существует.
Очевидно, что искомая группа X\f, X2f, Xsf содержит двупарамет-
рическую подгруппу, оставляющую на месте некоторую пространственную
кривую третьего порядка. Будем считать, что X\f, X2f является такой
подгруппой. Но проективная группа кривой третьего порядка обладает оо1 дву-
параметрическими подгруппами, которые все сопряжены друг другу.
Поэтому в качестве группы X\f, X2f мы можем выбрать любую из этих оо1
и положить, к примеру,
X2f = xp+ 2yq + Згг.
Эта двупараметрическая группа оставляет на месте одну
единственную, бесконечно удаленную точку Р кривой третьего порядка у = х2, z =
= х3. Однако, каждая из ее оо1 однопараметрических подгрупп вида
X2f - XXJ = {х- Х)р + 2(у - Xx)q + 3(2 - Ху)т
имеет еще одну инвариантную точку П, которая лежит в конечном и
координаты которой, очевидно, имеют следующие значения:
х = А, у — A2, z — А3.
Под действием преобразования X2f — XX\f на месте, разумеется, остается
и прямая асимптотическая линия искомой поверхности, проходящая через
точку П. Будучи асимптотической линией, эта прямая должна лежать в
соответствующей точке П соприкасающейся плоскости нашей кривой
третьего порядка, но она не может быть касательной, поскольку тогда искомая
поверхность совпадала бы с развертывающейся поверхностью этой
пространственной кривой третьего порядка.
Чтобы эту прямую асимптотическую линию, проходящую через П,
найти в явном виде, отыщем сперва все прямые, проходящие через П и
инвариантные относительно X2f — XX\f\ среди них, естественно, будет
находиться и искомая асимптотическая линия.

Уравнения произвольной проходящей через П прямой имеют вид:
х - А : у - А2 : z - А3 = а : Ь : с. (А)
Чтобы эта прямая была инвариантной, с учетом (А) должны выполняться
равенства
х — А : 2{у — \х) : 3(z — Ху) = а :Ь : с,
и, следовательно, а, 6, с должны удовлетворять уравнениям
а:2(Ь- Ха) : 3(с - ХЬ) = а : Ь : с.
Здесь возможны следующие три случая:
а = О, Ь = 0; а = 0, с - ЗА6 = 0;
6 - 2Аа = 0, 2с - Ш = 0,
и поэтому единственными инвариантными относительно Хъ$ — XXif
прямыми, проходящими через точку П, являются следующие три:
х - X - 0, у - А2 = 0;
х - А = 0, г - ЗХу + 2А3 = 0;
у - А2 = 2А(х - А), г - А3 = ЗА2(х - А).
Первая из этих прямых для наших целей непригодна, так как она
проходит через обе инвариантные точки П и Р нашей кривой третьего порядка
и поэтому не может лежать в соприкасающейся плоскости
ЗА2х - ЗАу + z - А3 = 0
этой кривой, соответствующей точке П. Третья прямая является
касательной в точке П и, следовательно, также исключается из рассмотрения.
Вторая же прямая лежит в соприкасающейся плоскости точки П и не совпадает
с касательной в этой точке, откуда следует, что она является проходящей
через П прямой асимптотической линией искомой поверхности.
Придавая параметру А в уравнениях
х - X = 0, z - ЗХу + 2А3 = 0

все возможные значения, мы найдем все прямые асимптотические линии
нашей искомой поверхности, и поэтому, исключив Л, мы получим
уравнение самой этой поверхности; оно имеет вид
z - Ъху + 2х3 = 0. (16)
Эта поверхность третьего порядка принадлежит третьему классу и известна
под именем линейчатой поверхности Кэли.
Наконец, легко убедиться в том, что кроме инфинитезимальных
проективных преобразований X\f и X2f поверхность (16) допускает еще и
преобразование
X3f = q + Зхг.
Из сказанного ранее ясно, что эта поверхность не допускает
инфинитезимальных проективных преобразований, не зависящих от X\f, X2f, X%f.
Таким образом, преобразования
f-X'i/ = p + 2a;g + 3j/r1
I X2f = xp + 2yq + Ъгг, (17)
{X3f = q + 3xr
порождают трехпараметрическую проективную группу, которая полностью
определяется поверхностью (16). Эта группа, очевидно, транзитивна, а ее
структура имеет вид
(XlX2) = XJ, (ХгХг/) = 0, (Х2Х3) = -2Х3/. (18)
Чтобы найти все точечные фигуры, инвариантные относительно
группы (17), запишем эту группу в четырех однородных координатах:
X\f = x4pi + 2xip2 + Зх2рз,
-2X2f = XXpi- Х2Р2 ~ ЗЖзРз + 3х4Р4,
X3f = х4Р2 + 3xip3
и добавим еще преобразование
X*f = Xipi + X2P2 + Х3РЗ + Х4Р4-
Приравнивая к нулю определитель
1x4 2xi 3x2 0 I
xi -х2 -Зх3 Зх4 , Qv
0 х4 Зхх 0 ' [ }
Xi Х2 Хз Х4

мы получаем две инвариантные поверхности: линейчатую поверхность Кэ-
ли
х$х\ — ЗХ1Х2Х4 Ч- 2х\ — 0 (20)
и плоскость Х4 = 0. Миноры третьего порядка определителя (19), будучи
приравненными к нулю, доставляют инвариантную прямую Х4 = 0, х\ = 0,
которая является пересечением линейчатой поверхности Кэли и плоскости
Х4 — 0. Наконец, положив равными нулю миноры второго порядка
определителя (19), мы получим инвариантную точку Х4 = 0, х\ — 0, х\ — 0,
которая лежит на только что упомянутой прямой.
Мы закончим этот параграф тем, что сформулируем еще одно
предложение, которое следует непосредственно из приведенных выше
рассуждений.
Предложение 6. Если поверхность в обыкновенном пространстве
допускает более, чем два независимых инфинитезимальных
преобразования, то она является либо плоскостью, либо конической поверхностью,
либо развертывающейся поверхностью некоторой пространственной
кривой третьего порядка, либо поверхностью второго порядка, либо, наконец,
линейчатой поверхностью Кэли третьего порядка.
Поверхность второго порядка и линейчатая поверхность Кэли
являются единственными неразвертывающимися поверхностями,
удовлетворяющими условиям этого предложения.
§48
Согласно данному нами на стр. 190 обещанию, мы сейчас коротко
укажем, как можно найти все неплоские поверхности в пространстве,
допускающие ровно два независимых инфинитезимальных проективных
преобразования.
Если неплоская поверхность допускает ровно два независимых
инфинитезимальных проективных преобразования (обозначим их через X\f
и X2f), то эти преобразования порождают двупараметрическую
проективную группу G, которая преобразует точки этой поверхности посредством
двупараметрической группы д. Действительно, среди инфинитезимальных
преобразований CiXif + C2X2J не существует таких, которые оставляют
на месте все точки нашей поверхности, потому что в противном случае на
месте оставались бы вообще все точки пространства. Пусть теперь ъ и X) —
координаты точек нашей поверхности. Тогда д будет двупараметрической

группой от у, Г), которую посредством подходящей замены переменных
всегда можно привести к одному из следующих видов:
Я, И; q, nq; р, ?p + q; р, q
(см. гл. 3, стр. 57).
Далее, заметим, что наша поверхность не может быть
развертывающейся, поскольку (см. стр. 191) всякая развертывающаяся поверхность либо
вообще не допускает независимых инфинитезимальных проективных
преобразований, а если допускает, то либо одно, либо по меньшей мере три.
Следовательно, наша поверхность обладает двумя различными
семействами асимптотических линий, каждое из которых, разумеется, инвариантно
относительно группы G. Но отсюда следует, что группа д от переменных
р, X) должна оставлять на месте по меньшей мере два различных семейства
оо1 кривых.
Таким образом, мы с самого начала можем исключить случай, когда
7 принадлежит типу, представленному группой q, yq, так как (см. стр. 66)
группа q, щ оставляет на месте только одно семейство оо1 кривых, а
именно, семейство £ = const. Группа д не может принадлежать и типу,
представленному группой q, rjq. В этом случае семейства асимптотических линий
нашей поверхности задавались бы уравнениями ъ — const, X) = const, и
под действием группы G каждая кривая из семейства i = const оставалась
бы на месте. Но тогда асимптотические линии j = const являлись бы либо
пространственными кривыми третьего порядка, либо прямыми линиями,
так как из того, что наша поверхность является неразвертывающейся,
следует, что плоскими кривыми они бы быть не могли. Однако, они не могли
бы быть и кривыми третьего порядка, поскольку, в соответствии со
сказанным на стр. 189-190, группа G не может одновременно оставлять на месте
оо1 пространственных кривых третьего порядка. Таким образом, кривые
I — const должны были бы быть прямыми. При этом для всякой кривой
вида n = const в группе G должно было бы содержаться инфинитезималь-
ное преобразование c\X\f + C2X2/, оставляющее ее на месте. Поскольку
все кривые г. = const инвариантны, мы видим, что под действием c\X\f +
+ C2X2J на месте оставались бы все точки нашей кривой tj = const и что,
следовательно, эта кривая являлась бы прямой. Тогда оба семейства
асимптотических линий нашей поверхности состояли бы из прямых, то есть, эта
поверхность имела бы порядок два, что исключено, поскольку она не
может допускать более двух независимых инфинитезимальных проективных
преобразований.

Итак, группа G должна принадлежать либо типу, представленному
группой р, ур + q, либо типу, представленному группой р, q, и,
следовательно, G преобразует точки соответствующей инвариантной поверхности
транзитивным образом. Отсюда следует, что X\f и X2f не могут
удовлетворять никакому тождеству вида
tpi(x, у, z)Xif + (р2(х, у, z)X2f = 0.
Мы приходим к следующему результату.
Предложение 7, Если неплоская поверхность в пространстве х, у, z
допускает ровно два (и не более) независимых инфинитезимальных
преобразования, скажем Xif и X2f, то X\f и X2f не удовлетворяют никакому
тождеству вида
<рг(х, у, z)Xxf + (f2(x, у, z)X2f = 0.1 (2)
При этом сама поверхность не является ни развертывающейся
поверхностью, ни поверхностью второго порядка.
Чтобы найти все поверхности, обладающие рассматриваемым здесь
свойством, нужно сперва отыскать все двупараметрические проективные
группы пространства, инфинитезимальные преобразования X\f и X2f
которых не удовлетворяют никакому тождеству вида (21). Всякая такая
группа оставляет на месте оо1 поверхностей, чьи уравнения могут быть
заданы с помощью допустимых/выполнимых операций; правда, при известных
условиях эти поверхности могут все одновременно быть
развертывающимися поверхностями или поверхностями второго порядка. Поэтому из всех
найденных поверхностей нужно будет еще выбрать те, которые не являются
ни развертывающимися поверхностями, ни поверхностями второго
порядка.
Если преобразования X\f и X2f неперестановочны, то
количество возможных случаев сравнительно невелико. При перестановочных
-X"i/, X2f этих случаев будет больше. Самым простым является тот
случай, когда Xif и X2f оставляют на месте один и тот же невырожденный
тетраэдр: если этот тетраэдр выбрать в качестве координатного тетраэдра,
то уравнения соответствующих плоскостей примут вид
х^х^х^х^4 = const (Ai + А2 + Аз + А4 = 0).
В общем случае поверхность такого вида действительно допускает только
два независимых инфинитезимальных проективных преобразования.

Глава 10
Проективная группа поверхности
второго порядка в обыкновенном
пространстве
Всякая невырожденная поверхность второго порядка в
обыкновенном пространстве допускает ровно шесть независимых инфинитезималь-
ных проективных преобразований, которые порождают шестипараметриче-
скую группу. Если систему координат выбрать так, чтобы эта поверхность
второго порядка задавалась уравнением
z-xy = 0, (1)
то соответствующая шестипараметрическая группа запишется в виде:
( Xif =p + yr, X2f = хр 4- zr,
Xzf = х(хр + yq + zr) - zq,
X4f = q + xr, Xsf = yq + zr,
X6f = y(xp + yq + zr) - zp
(ср. стр. 134). Эта группа является наибольшей непрерывной проективной
группой, оставляющей на месте поверхность (1), и поэтому полностью
определяется этой поверхностью.
В § 49 мы найдем все подгруппы группы (2), то есть мы разобьем эти
группы известным нам образом на типы (см. том I, стр. 281) и для каждого
типа подгрупп укажем по одному представителю. В § 50 мы отыщем все
семейства оо4 кривых, инвариантные относительно группы (2); знание этих
семейств пригодится нам при нахождении всех примитивных проективных
групп пространства. Наконец, в § 51 мы определим все подгруппы одной
семипараметрической группы, которая очень тесно связана с группой (2).

§49
Группа (2) преобразует точки поверхности (1) посредством
изоморфной ей группы, которую совсем нетрудно выписать в явном виде. Пусть
х, у — координаты точек поверхности (1); тогда, в соответствии с томом I,
стр. 233-234, чтобы получить инфинитезимальные преобразования этой
последней группы, нужно в (2) отбросить члены, содержащие г, а в
оставшихся членах положить z — ху. Таким образом, группа, посредством которой
группа (2) преобразует точки поверхности (1), имеет вид
р, хр, х2р, q, yq, y2q. (3)
Группа (3) является шестипараметрической и имеет ту же структуру,
что и группа (2). Поэтому вместо того, чтобы находить подгруппы
группы (2) непосредственно, мы можем сперва отыскать подгруппы группы (3),
а затем, заменяя инфинитезимальные преобразования (3)
преобразованиями Xif... Xq/, легко получить все подгруппы группы (2).
Для приведения подгрупп группы (3) к нормальному виду мы можем
использовать все конечные преобразования
х\ = > У\ = (4)
ci2X + аз а5у + а$
этой группы. Однако, чтобы уменьшить количество получаемых групп, мы
кроме этих преобразований будем пользоваться еще и преобразованием
xi = у, У\ = х; (5)
другими словами мы сможем еще переставлять хну. Так как уравнения
х = const и у = const, очевидно, задают семейства образующих на (1), это
означает, что мы оба семейства образующих поверхности (1) считаем
равноправными. Это можно делать, поскольку существуют проективные
преобразования пространства, которые оставляют на месте поверхность (1),
но меняют местами оба семейства ее образующих.
Легко убедиться, что группа (3), которую мы будем коротко называть
группой Gg, содержит только две инвариантные подгруппы: р, хр, х2р и
Qi VQi y2Q> которые мы будем обозначать через дз и 7з соответственно. Мы
видим, что подгруппы группы Gq естественным образом распадаются на
два класса. К первому классу мы причисляем все подгруппы, которые не
имеют общих инфинитезимальных преобразований ни с #з> ни с 7з» ясно,

что каждая подгруппа из этого класса имеет не более трех параметров. Ко
второму классу принадлежат все оставшиеся подгруппы группы G§\ каждая
из них имеет одно или несколько общих инфинитезимальных
преобразований с по крайней мере одной из групп дз и 7з> и эти общие преобразования
сами образуют подгруппу (см. том I, стр. 211, предл. 7).
Всякая однопараметрическая подгруппа из первого класса
порождается инфинитезимальным преобразованием вида
(ai + а2х + а3х2)р + (/?! + foy + РзУ2)д,
в котором ни все а, ни все (3 не могут одновременно равняться нулю. На
основании сказанного на стр. 17, это инфинитезимальное преобразование с
помощью подходящего преобразования (4) можно привести к нормальному
виду, который будет зависеть от того, сколько из выражений а\ — 4аi аз и
02 — 4/?i/?3 отличны от нуля — два, одно или вообще ни одного. Этим трем
случаям соответствуют четыре различных нормальных вида:
хр + cyq (сф 0); р + yq\ xp + q; p + q,
но так как мы можем переставлять местами хну, преобразования р + yq и
хрЛ- q будут эквивалентными, и следовательно, в нашем первом классе мы
различаем лишь три типа однопараметрических подгрупп,
представителями которых являются
V + <?; V + У?; хр + cyq (с ф 0). (6)
Каждая двупараметрическая подгруппа из первого класса имеет вид
HjZ + Hi/, e2/ + h2/,
где Si/, S2/ порождают двупараметрическую подгруппу группы дз, а
Hi/, H2/ порождают двупараметрическую подгруппу группы 73•
Отсюда следует, что инфинитезимальные преобразования нашей группы
неперестановочны и, следовательно, могут быть выбраны так, чтобы выполнялось
равенство
(Si/ + Hi/, S2/ + Н2/) = Si/ + Hi/,
которое сразу же распадается на следующие два:
(E1f,E2f) = E1f, (Hx/, H2/)=Hx/.

Тогда, на основании сказанного на стр. 17, переменные х и у можно
выбрать так, чтобы
5i/ = P> E2f = xp, Hi/ = g, H2/ = ОТ.
Таким образом, наша группа может быть записана в виде
р + <7, xp + yq. (7)
В соответствии с предложением 5, том I, стр. 591, всякая трехпарамет-
рическая подгруппа из первого класса обязательно содержит двупарамет-
рическую подгруппу, которая, разумеется, тоже принадлежит ко второму
классу и, следовательно, может быть приведена к виду р + <?, хр Л- yq.
Кроме того, в нашей трехпараметрической подгруппе есть еще одно инфи-
нитезимальное преобразование, которое можно привести к виду
Xf = (с*! + а2х + а3х2)р + y2q,
где не все ai, a2, 0:3 равны нулю. Коммутируя Xf дважды с xp + yq, мы
получим преобразования
-ol\P + а3х2р + 2/2<7,
-haip + а3х2р + 2/2<7,
которые должны принадлежать нашей трехпараметрической группе. Но
поскольку р и хр не могут встречаться сами по себе, мы заключаем, что а\
и а2 должны равняться нулю. Наконец, коммутирование преобразований
р + q и азх2р + 2/2д дает
2а3хр + 2уд,
а значит, аз = 1. Таким образом, мы приходим к группе
р + q, xp + yq, x2p + y2q. (8)
Перейдем теперь к подгруппам из второго класса.
Если д — такая подгруппа, то можно считать, что с д% подгруппа д
имеет по крайней мере одно общее инфинитезимальное преобразование, а с 7з
— не более, чем с д%. В случаях, когда это не так, нужно лишь поменять
местами х и у. Инфинитезимальные преобразования из группы рз>
содержащиеся в д, порождают подгруппу в д%, которую подходящим выбором
переменной х можно привести к одному из следующих четырех видов:
р, хр, х2р; р, хр; р; хр.

В каждом из этих четырех случаев, д может содержать еще и другие инфи-
нитезимальные преобразования, которые, разумеется, уже не будут
принадлежать группе #з- Если эти преобразования можно выбрать так, что все они
будут принадлежать группе 7з> то все нормальные виды соответствующих
подгрупп указать совсем несложно; нужно только следить за тем, чтобы
инфинитезимальных преобразований из 7з было не больше, чем из д%. Мы
получим следующие подгруппы:
р, хр, х2р, q, yq р, xp, q, yq
р, хр, х2р, q р, xp, q
р, хр, х2р, yq p, xp, yq (9)
р, хр, х2р р, хр
Р, Q\ Р, УЯ\ Р\ xp,q; xp, yq-, хр.
Группу хр, q здесь из рассмотрения нужно исключить, так как при
перестановке х и у она переходит в группу р, yq.
Каждая из оставшихся групп содержит, во-первых, некоторое не
превышающее двух количество независимых инфинитезимальных
преобразований из #з> которые образуют некоторую группу д. Во-вторых, она
содержит по меньшей мере одно инфинитезимальное преобразование
н/ + н/,
не принадлежащее ни д%, ни 7з- В-третьих, в ней могут еще содержаться
инфинитезимальные преобразования из 7з- Ясно, что инфинитезимальные
преобразования из д вместе с каждым преобразованием Ef порождают
подгруппу в #з> Для которой д является инвариантной подгруппой. Поскольку
в группе р, хр, х2р только одночленные подгруппы типа р являются
инвариантными в больших подгруппах, а сама подгруппа р инвариантна в
р, хр, мы видим, что при подходящем выборе переменной х подгруппа д
приводится к виду р и что искомые группы принимают вид
р, хр + (Pi + р2У + РзУ2)я,
куда, возможно, еще могут быть добавлены преобразования вида (71+722/+
+ ъу2)я-
Поскольку Pi, /32, Рз не могут все обращаться в нуль, с помощью
подходящей замены переменной у можно получить один из следующих

двух нормальных видов:
р, хр + q; Р, хр + cyq (с ф 0),
и остается еще только выяснить, какие могут встречаться преобразования
вида (7i + 722/ + 7зУ2)<7- Легко увидеть, что в первом случае 71 = 72 =
= 7з = 0, так как преобразование q не может встречаться само по себе. В
втором случае, используя скобочную операцию, мы получаем, что искомая
подгруппа может еще содержать либо q, либо y2q. Однако, под действием
преобразования у\у — 1 инфинитезимальное преобразование y2q переходит
в —qi, а хр + cyq — в хр — cyiqi, в то время как р остается неизменным.
Таким образом, остается всего лишь три группы:
р, xp + q; p,xp + cyq; р, хр + cyq, q (с ф 0).
(10)
Итак, найдены все подгруппы группы Gq, и нам остается лишь собрать
группы (6)—(10) в одну таблицу.
Все типы подгрупп группы
р, хр, х2р, q, yq, y2q
(3)
где хну считаются равноправными.
I) Пятипараметрические:
р, хр, х р, q, yq
II) Четырехпараметрические:
р, хр, х р, q
р, хр, х р, yq
р, хр, q, yq

Ill) Трехпараметрические:
p, xp, x p
P, xp, q
p, xp, yq
p + q, xp + yq, x2p + y2q
p, xp + cyq, q (с ф 0)
IV) Двупараметрические:
p, xp
p, xp + q\ \p + q, xp + yq
p, xp + cyq (с ф 0) [pTTI ПрП/з] |жр, yg
V) Однопараметрические:
p + q
p + yq
xp
xp + cyq (с Ф 0)
Эти подгруппы представляют все типы подгрупп группы Gq, причем
в общем случае двум различным из этих подгрупп соответствуют два
различных типа. Исключением являются группы, содержащие произвольный
параметр. Так, в случае групп III, 5 значениям си ^ параметра с всегда
соответствуют две сопряженные подгруппы группы Gq. To же самое
происходит и в случае IV, 4 для значений с и —с. Наконец, в случае V, 5 значениям с,
—с, \, —\ соответствуют четыре сопряженных подгруппы группы Gq. Это
объясняется перестановочностью переменных х и у и тем, что в качестве
нового у можно выбирать -.
Из приведенной выше таблицы легко получить все подгруппы
проективной группы (2). Нужно только везде вместо р, xp, х2р, q, yq, y2q
подставить следующие инфинитезимальные преобразования:
р = р + уг, хр = хр Л- zr,
х2р = х(хр + yq + zr) — zq,
q = q^r хт, yq = yq + zr,
{ У2Я = У(хр + yq + zr) - zp.
(И)

Мы не будем выписывать подгруппы группы (2) в явном виде и сделаем
лишь несколько общих замечаний относительно них.
Поверхность z — ху = 0 обладает двумя семействами образующих.
Каждое из этих семейств образует одномерное проективное многообразие,
на котором группа (2) и все ее подгруппы действуют проективным образом.
Заметим, что эти семейства образующих задаются уравнениями х — const
и у = const соответственно, откуда следует, что в группе (2) существует
только один тип подгрупп, преобразующих оба эти семейства трехпарамет-
рически. Представителем этого типа является группа
( p + q + (x + y)r,
< xp + yq + 2zr, (12)
[(х + у)(хр + yq + zr) - z{p + q),
которая соответствует группе р + q, хр + yq, x2p + y2q из таблицы на
стр. 203-204. Все остальные подгруппы преобразуют одно из двух семейств
образующих не более, чем двупараметрически и, следовательно, оставляют
на месте некоторую образующую нашей поверхности. Группа (12) не имеет
инвариантных образующих, зато оставляет на месте плоскость х — у = 0 и
ее полюс относительно поверхности второго порядка z — ху — 0.
Очевидно, что она является наибольшей подгруппой группы (2), оставляющей на
месте эту плоскость. Итак, верно следующее утверждение.
Предложение 1. Всякая подгруппа шестипараметрической
проективной группы некоторой поверхности второго порядка либо оставляет на
месте некоторую образующую этой поверхности, либо является трехпа-
раметрической группой, оставляющей на месте не лежащую на этой
поверхности точку и полярную плоскость этой точки относительно этой
поверхности.
Далее, заметим, что каждая подгруппа группы (2) является
самодвойственной. Действительно, полярное преобразование
z + zi -(xyi +хгу) = 0
поверхности z — ху = 0 определяет двойственное преобразование,
относительно которого будут инвариантными и сама поверхность z — ху = 0,
и, разумеется, ее проективная группа (2). Запишем это двойственное
преобразование в виде однородного контактного преобразования пространства

х, у, z (см. том II, теор. 15, стр. 150):
( Я V
) xi = —, у\ = —, zi
\ г г
{ Pi = yr, gi = жг, ri
Но под действием однородного контактного преобразования (13) каждое
инфинитезимальное преобразование из группы (2), очевидно, переходит в
себя, а значит, каждая подгруппа этой группы действительно двойственна
самой себе, причем относительно преобразования (13).
Найдя по представителю для каждого типа подгрупп группы (2),
можно еще задаться вопросом, соответствуют ли эти представители различным
типам внутри общей проективной группы пространства. Мы отметим лишь,
что в общем случае ответ на этот вопрос будет положительным. Это
очевидно, например, для всех подгрупп группы (2), оставляющих на месте
поверхность z — ху = 0 и никакую другую поверхность второго порядка.
Можно еще упомянуть тот факт, что проективная группа, оставляющая
на месте две различные поверхности второго порядка, оставляет на месте
и все поверхности из пучка поверхностей второго порядка, определяемого
этими двумя поверхностями. В этом можно убедиться, если для каждой
подгруппы группы (2) найти соответствующие инвариантные поверхности
второго порядка.
§50
В этом параграфе мы найдем все семейства оо4 кривых пространства,
инвариантные относительно шестипараметрической проективной
группы ©g некоторой невырожденной поверхности второго порядка.
Если семейство оо4 кривых инвариантно относительно группы &$, то
каждая кривая из этого семейства допускает по меньшей мере два
независимых инфинитезимальных преобразования из (56 и поэтому, как
следует из § 46, является либо плоской кривой, либо пространственной кривой
третьего порядка. Второй случай исключается, так как невырожденная
поверхность второго порядка и пространственная кривая третьего порядка
не могут одновременно быть инвариантными относительно проективной
группы с более, чем одним параметром (см. стр. 189). Таким образом, наше
семейство состоит исключительно из плоских кривых.
Здесь возможны следующие два случая: либо кривые из нашего
семейства в общем случае являются плоскими кривыми, либо они все без ис-
ХР + УЯ + zr
; ' (is)
—г.

ключения являются прямыми. Во втором случае мы действительно имеем
семейство оо4 кривых, инвариантное относительно ©g> поскольку в
пространстве существует ровно оо4 прямых, и совокупность этих прямых
инвариантна относительно (5е- Первый же случай, как легко убедиться,
невозможен.
Действительно, предположим, что имеет место первый случай, и пусть
С — какая-нибудь из соответствующих оо4 плоских кривых, ар —
наибольшая из подгрупп группы ©g, оставляющих С на месте. Тогда точки,
принадлежащие плоскости кривой С, под действием группы д будут
преобразовываться посредством некоторой проективной группы у, которая также
оставляет С на месте. Эта группа 7 должна быть голоэдрически изоморфна
группе #, поскольку кроме тождественного преобразования существует
самое большое еще одно проективное преобразование, оставляющее на месте
невырожденную поверхность второго порядка и все точки некоторой
плоскости. Следовательно, группа 7 является по меньшей мере двупараметриче-
ской, а плоская кривая С является невырожденным коническим сечением.
Таким образом, наше инвариантное семейство оо4 кривых состоит из оо4
конических сечений. Плоскости этих конических сечений не могут все быть
касательными к нашей инвариантной поверхности второго порядка, так как
в противном случае вместе с каждым из этих конических сечений на месте
оставались бы и обе образующие этой поверхности, лежащие в его
плоскости; но тогда соответствующая этому коническому сечению группа была бы
однопараметрической, и мы бы получили противоречие. С другой стороны,
если бы плоскости этих оо4 конических сечений в общем случае
пересекали нашу поверхность второго порядка по невырожденным коническим
сечениям, то они все должны были бы лежать на этой поверхности, так
как в противном случае вместе с каждым из наших со4 конических
сечений на месте оставалось бы еще одно невырожденное коническое сечение,
принадлежащее той же плоскости, и группа 7 снова была бы
однопараметрической. Но на поверхности второго порядка существует только оо3
конических сечений, и мы опять приходим к противоречию. Таким образом,
упомянутый выше первый случай действительно не может иметь место.
Итак, мы получили следующий результат.
Предложение 2. Семейство всех прямых является единственным
семейством оо4 кривых, инвариантным относительно шестипараметриче-
ской проективной группы невыро,жденной поверхности второго порядка.
Из этого предложения, в частности, следует, что прямые являются

единственными кривыми в пространстве, принимающими под действием
проективной группы невырожденной поверхности второго порядка ровно
оо4 различных положений.
§51
Если проективную группу (2) поверхности z — ху — 0 записать в
однородных переменных £i...£4 и добавить еще инфинитезимальное
преобразование х\р\ + ... + £4^4> то получится семипараметрическая группа
£401 + £203, ^101 - ^202 + ^303 ~ ^404, ^302 + ^104,
J £402 + £lP3, -Ж1Р1 + £202 + ЖзРЗ - 3?4Р4, £301 + £204, (14)
[ £101 + £202 + £303 + ^404,
которая является наибольшей непрерывной линейной группой от х\... £4,
оставляющей инвариантным уравнение £з£4 — £i£2 = 0. Эта группа,
играющая важную роль в теории преобразований четырехмерного
пространства, имеет ту же структуру, что и группа
0, £0, £20, q, yq, y2q, r (15)
обыкновенного пространства. Таким образом, зная все подгруппы
группы (15), мы сможем немедленно выписать все подгруппы группы (14).
Сейчас мы займемся тем, что определим все подгруппы группы (15). Они
пригодятся нам в главе 13, при нахождении всех импримитивных
проективных групп пространства.
Поскольку группа (15) содержит центральное инфинитезимальное
преобразование, а именно г, и инвариантную шестипараметрическую
подгруппу, а именно Gq: p, xp, x2p, q, yq, y2q, подгруппы которой мы уже
знаем, все подгруппы группы (15) найти совсем несложно.
Действительно, если подгруппа группы (15) содержит
инфинитезимальное преобразование г, то она получается из некоторой подгруппы
группы Gq простым добавлением преобразования г, причем можно считать, что
эта подгруппа группы Gq с самого начала имеет один из нормальных
видов, перечисленных на стр. 203-204. Если же подгруппа группы (15) не
содержит преобразование г, то она имеет вид
Zif + air, ..., Zm/ + amr,

где Zif... Zmf порождают m-параметрическую подгруппу группы Gq,
которую мы без потери общности можем считать содержащейся среди
подгрупп, собранных на стр. 203-204. Если предположить, что среди инфини-
тезимальных преобразований {ZiZk) будет ровно / ^ т независимых друг
от друга и что все (ZiZk) будут выражаться в виде линейных комбинаций
преобразований Z\f... Zif, то мы получим, что ai... а/ равны нулю и что
наша подгруппа имеет вид
ZJ ... Z,/, Zl+1f + al+1r, ..., Zmf + amr. (16)
Преобразуя эту группу с помощью наибольшей подгруппы группы Gq, в
которой Zif.. .Zmf является инвариантной, мы в общем случае сможем
один или несколько из оставшихся произвольных параметров o>i+i.. . am
сделать равными единице.
А сейчас мы приведем два примера. В группе
р + axr, q + a2r, хр + a3r, УЯ + ot^r
параметры ai и a2 обращаются в нуль, а аз и а± остаются произвольными
и не могут быть сделаны равными единице. В группе
р + air, q + a2r
параметр аь если он не равен нулю, заменой переменной х можно сделать
равным единице; аналогичное утверждение верно и для а2. Поскольку х
и у можно переставлять местами, мы получаем следующие три группы:
Р, q\ P, q + r; p + r, q + r,
которые представляют три различных типа подгрупп группы (15).
Соберем теперь вместе все подгруппы группы (15) и упорядочим их по
числу независимых инфинитезимальных преобразований, содержащихся в
группе, посредством которой каждая из них преобразует х и у.
Подгруппы группы
"" (15)
р, хр, х2р, q, yq, y2q, r
если х и у считать равноправными.

I) x и у преобразуются шести параметрически:
р, хр, х2р, q, yq, y2q
II) х и у преобразуются пятипараметрически:
р, хр, х р, q, yq + ar
р, хр, х-р, q, yq, r
III) x ]/i у преобразуются четырехпараметрически:
р, хр, х*р, q
р, хр, xzp, g + r
р, хр, х*р, д, г
р, хр, xzp, yq + ar
р, хр, xzp, уд, г
р, хр + ar, q, yq + br\ |р, хр, g, уд, г I.
IV) х и у преобразуются трехпараметрически:
р, хр, х2р
р, хр + аг, g
р, хр, х2р, г
р, хр + аг, g + г
[р, хр, g, r]
р, хр + аг, уд + Ьт
|р, хр, от, г
р, хр + cyq + ar, q (с / 0) р, хр + суд, д, г (с / 0)
р + g, xp + yg, x2p + y2q
p + g, xp + yg, x2p + y2g, r

V) х и у преобразуются двупараметрически:
\р, хр + аг
р, хр + <? + аг
р, хр + cyq + аг (сф 0)
] р + q, xp + yq + ar
Р, Q | | Р, 9 + г | | Р +
Р, хр, г
р, xp + q, r\
р, хр + cyq, r {сфО)
p + q, xp + yq, r\
г, q + r\ |p, q, r\
\р, yq + ar\ \p + r, yq
хр + ar, yq + br
+ ar\ \p, ОТ, г|
|^P, ОТ, r|.
VI) x и у преобразуются однопараметрически:
Р
р + г
р, г
Р + <7 р + <? + г
p + q, r
p + yq + ar\ \p + yq, r
хр + аг
хр, г
хр + cyq + ar (с ф 0) хр + cyq, r (с ф 0)
VII) х и г/ преобразуются нульпараметрически:
И-
Инвариантными в (15) являются лишь следующие шесть подгрупп:
р, хр, х2р, q, yq, y2q\ р, хр, х2р, г; q, yq, y2q, r;
р, хр, х2р; q, yq, y2q; r.
В приведенной выше таблице две из этих подгрупп отсутствуют, так как х
и у считаются равноправными.

Глава 11
Группа евклидовых движений и
преобразований подобия
Здесь мы исследуем указанную в заглавии группу подобно тому, как
мы исследовали группу невырожденной поверхности второго порядка в
предыдущей главе.
§52
Семипараметрическая группа евклидовых движений и преобразований
подобия является группой всех проективных преобразований,
оставляющих на месте некоторое коническое сечение бесконечно удаленной
плоскости t = 0. Если систему координат выбрать так, чтобы это коническое
сечение задавалось уравнениями t = 0, ху — г2 — 0, то наша группа примет
вид
р, q, г, xp + yq + zr,
2zp + yr, xp — yq, 2zq -\- xr.
Для краткости мы будем записывать эту группу следующим образом:
р, q, r, U, Si, 52, 53.
Если под X\f ... Xmf понимать некоторую m-параметрическую
подгруппу группы Si, S2, S3, U, то каждая подгруппа 7 группы (1) будет
иметь вид
Xkf + акр + PkQ + 1кГ (fc = 1... m),
куда еще могут входить "свободные" трансляции вида Хр + [iq + иг.
Поскольку группа р, <?, г всех трансляций инвариантна относительно всех
преобразований из группы Si, S2, S3, U, которую мы будем обозначать

через G4, мы сразу можем группу X\f.. .Xmf с помощью подходящего
преобразования из G$ привести к нормальному виду.
Все возможные нормальные виды группы X\f.. .Xmf мы можем
взять из главы 2, так как группа Si, 52, S3, U имеет ту же структуру,
что и рассматриваемая там группа
Щ, ^{УЧ-хр), УР, xp + yq.
Следовательно, остается только выяснить, какие свободные трансляции
Хр -\- jiq -\- иг могут встречаться в подгруппе 7-
Всякая инфинитезимальная трансляция полностью определяется
некоторой точкой бесконечно удаленной плоскости, а всякая двупараметриче-
ская группа трансляций — некоторой прямой в этой плоскости (см. том I,
стр. 559). Так как свободные трансляции, принадлежащие подгруппе 7,
порождают в ней инвариантную подгруппу, мы видим, что фигура в
бесконечно удаленной плоскости, определяющая эту группу трансляций,
инвариантна относительно 7 и относительно группы X\f ... Xmf. Следовательно,
может так случиться, что в 7 будут входить все свободные трансляции или
что 7 вообще не будет содержать свободных трансляций; кроме того, 7
может содержать одну или две свободных независимых инфинитезимальных
трансляции в зависимости от того, оставляет группа X\f... Xmf на месте
точку или прямую в бесконечно удаленной плоскости. При этом две точки
и точно так же две прямые в бесконечно удаленной плоскости считаются
равноправными, если они могут быть переведены друг в друга посредством
преобразования из G^ оставляющего инвариантной группу X\f... Xmf.
Выпишем теперь различные типы групп X\f.. .Xmf (см. стр. 26) и
для каждого из этих типов укажем трансляции, которые могут входить в
соответствующую группу 7 как свободные трансляции.
1)) Точки конического сечения t = О, ху — z2 = 0 преобразуются трех-
параметрически. Группа X\f.. .Xmf: Si, S2, S3; Si, S2, S3, U\
свободные трансляции: отсутствуют или все.
2)) Точки конического сечения преобразуются двупараметрически. Группа
X\f... Хш$\ Si, S2 + cU; Si, S2, U\ свободные трансляции:
отсутствуют; p\ p, г; все.
3)) Точки конического сечения преобразуются однопараметрически:
А) Группа X\f.. .Xmf: S\\ S\ + U\ Si, U; свободные трансляции:
отсутствуют; p; p, г; все.

В) Группа X\f.. .Xmf: S2 + cU; S2, U\ свободные трансляции:
отсутствуют; р; г; р, г; р, q\ все.
4)) Точки конического сечения преобразуются нульпараметрически:
Группа X\f... Xm/: либо просто тождественное преобразование, либо U;
свободные трансляции: р; г; р, г; р, <?; все.
Мы ограничимся тем, что полностью рассмотрим случаи 1) и 2), а
затем сразу приведем таблицу всех подгрупп группы (1).
В первом случае, если все трансляции являются свободными, то кроме
самой группы (1) мы получим еще шестипараметрическую подгруппу
р, q, г, 2zp + уг, хр — yq, 2zq + xr. (2)
Если искомая подгруппа не содержит свободных трансляций, то мы
получим группу вида
Si + aiP + Piq + ^nr (г = 1,2,3),
к которой еще может быть добавлено преобразование
U + а±р + /?4<7 + 74^-
Если наша подгруппа содержит преобразование U-\ , то, заменив х, у, z
соответственно нах + щ, У + @4, z + 74» мы получим преобразование С/,
после чего с помощью скобочной операции легко показать, что все
оставшиеся а, /3, 7 равны нулю. Таким образом, мы приходим к группе
2zp + yr, хр — yq, 2zq + xr, xp + yq + zr. (3)
Если искомая подгруппа не содержит преобразование U-\ , то с помощью
замены переменных х, у, z величины а.2, Р2, ol\ можно сделать равными
нулю. Далее, коммутируя преобразования S\ + • • • , S2 + • • •, мы получим
/?i = 7i = 72 = 0, а коммутируя S\ + • • • , S2 + — - на S3 + • • •, увидим,
что /?з = #з = 7з = 0. Таким образом, мы получаем группу
2zp + yr, хр — yq, 2zq + xr. (4)
Во втором случае мы имеем два преобразования
Si + aip + Prf + 71 г,
S2 + cU + a2p + /?2tf + 72^,

к которым еще может быть добавлено преобразование U Н . Сначала мы
рассмотрим случай, когда искомая подгруппа не содержит U Н .
а) Свободных трансляций нет. Заменой переменных у и z можно
добиться того, что а\ = 7i = 0. Далее, с помощью скобочной операции мы
получим преобразование
Si+/3i(c-l)g-272P-/?2r,
откуда следует, что р2 = 72 = 0 и что 0i = 0, если с ф 2. Наконец,
величину а'2 заменой переменной х также можно сделать равной нулю за
исключением случая, когда с = — 1. Если с = 2 и /?i 7^ 0, то
соответствующую группу
Si+/3ig, S2 + 2C/
с помощью преобразования
xi =01 -х, г/1 =г/, zi =/?i2
можно привести к более простому виду; если с = -1 и а2 / ^, то мы
применяем преобразование
1
xi = х, yi = -a2y, zi=z.
OL2
Оба эти преобразования принадлежат группе Si, S2, S3, U и оставляют
инвариантной каждую из оо1 групп Si, S2 + ell.
Итак, мы имеем следующие группы:
Г 2zp + 2/г, (с + 1)хр + (с — 1)2/4 + czr;
< 2zp + 2/r + q, Зхр + 2/9 + 2zr\ (5)
[ 2zp + yr, 22/p + zr + р,
к которым при наличии преобразования [/ + ••• добавляется еще группа
2zp + 2/r, хр — 2/9, хр + yq + гг.
Ъ)Свободная трансляция имеет вид р. Заменой переменной у мы
добиваемся того, что 7i = 0- С помощью скобочной операции мы получаем,
что /З2 = 0 и что /?i = 0, если с ф 2. Наконец, если с ф 0, величину 72

заменой переменной z также можно сделать равной нулю. Мы получаем
группы
2zp + yr, (с + 1)хр + (с — l)yq + czr, p;
2zp + yr + q, Зхр + yq + 2zr, p; (6)
[2zp + yr, xp-yq + r, p,
к которым еще добавляется группа
2zp + yr, xp - yq, xp + yq + zr, p.
(?)
с) Свободные трансляции имеют вид р, г. Здесь можно показать, что
(3\ = 0, если с/ 2, и что величину 02 можно сделать равной нулю, если
с ф 1. Таким образом, мы имеем
2zp + yr, (с + 1)хр + (с — l)yq + czr, p, г;
2zp + yr + q, Зхр + yq + 2zr, р, г;
2zp + yr, 2xp + zr + q, p, r,
а также
2zp + yr, xp — yq, xp + yq + zr, p, r.
d) Все трансляции являются свободными:
{2zp + yr, (с + 1)хр + (с - l)yq + агх, p, <?, r;
2zp + J/r, xp - yq, xp + от + zr, p, q, r.
Продолжая в том же духе, мы получим следующую таблицу
(8)
(9)
(10)
Подгруппы семипараметрической группы
р, q, r, 2zp + yr, xp - yq, 2zq + xr, xp + yq + zr
оставляющей на месте коническое сечение
t = 0, xy-z2 = 0.
(1)
I) Точки конического сечения преобразуются трехпараметрически:

2zp + yr, xp - yq, 2zq + xr, p, q, r
2zp 4- yr, xp — yg, 2zg 4- XT
2zp 4- yr, xp — yq, 2zq + xr, xp + yq + zr
II) Точки конического сечения преобразуются двупараметрически:
2zp 4- yr, (с 4- 1)хр 4- (с - 1)уд + czr, р, g, r
2zp + yr, xp - yq, xp-\-yq-{- zr, p, q, r
2zp 4- yr, (c 4- l)xp 4- (c — l)yg 4- czr, p, r
2zp + yr + q, 3xp 4- yq 4- 2zr, p, r
2zp + yr, 2xp + zr + q, p, r
2zp + yr, xp - yg, xp + yq + zr, p, r
2zp 4- yr, (c 4- l)xp 4- (c — l)yg 4- czr, p
2zp 4- yr 4- q, 3xp 4- yg 4- 2zr, p
2zp + yr, xp — yq-\-r, p
2zp + yr, xp — yq, xp -\-yq-\- zr, p
2zp 4- yr, (c 4- l)xp 4- (c — l)yg 4- czr
2zp + yr + q, 3xp + yg 4- 2zr
2zp + yr, 2yq + zr +p\ 2zp + yr, xp — yq, xp + yq + zr
III) Точки конического сечения преобразуются однопараметрически:

А) На месте остается двойная точка конического сечения:
2zp + yr, р, q, г 2zp + yr + хр + yq + zr, р, q, г
2zp + yr, хр + yq + 2Х, р, q, r
2zp + yr, p, r\ 2zp + yr + q, p, r
2zp + yr + xp + yq + zr, p, r\ 2zp + yr, xp + yq + zr, p, r
2zp -\-yr, p\ 2zp + yr + q, p
2zp + yr + xp + yq + zr, p\ 2zp + yr, xp + yq + zr, p
2zp + yr\ 2zp + yr + q
2zp + yr + xp + yq + zr\ 2zp + yr, xp + yq + zr
В) На месте остаются две различные точки конического сечения:
(с + 1)хр + (с - l)yg + C2T, р, <?, г\ \хр- yq, xp + yq + zr, p, q, r
(с + 1)хр + (с - l)yg + czr, р, g
xp-yq-r r, p, q
хр - yq, xp + yq + zr, p, q
(с + \)хр + (с — l)yq + czr, р, г 2хр + zr + #, р, г
хр - yg, xp + yq + zr, p, r
(с + 1)хр + (с — 1)у<? + czr, p
xp-yq + r, p
2хр + zr + q, p
хр - yq, xp + yq + zr, p
(с + 1)хр + (с — 1)у<7 + czr, г 2хр + zr + q, r

хр — yq, xp + yq + zr, r
(с + \)хр + (с — l)yq + czr
хр — yq + г
2хр + zr + q\ \хр — yq, xp -\- yq -\- zr
IV) Точки конического сечения преобразуются нульпараметрически:
Р, 9, г
Р, 9
р, г
V
И
хр + у<? + zr, p, g, r
xp + yq + zr, p, q
xp + yq + zr, p, r
xp + yq + zr, p
xp + yq + zr, r
xp + yq + zr
Следует отметить, что в группах III, В, 1, 3, 13, 16 значения с и —
—с параметра с соответствуют одному и тому же типу, так как группа
Si, 5г, S3, U содержит преобразование
xi =2/, 2/1 = х, zi = z.
Упомянем также, что группы I, 1; VI, 1, 6 являются единственными
инвариантными подгруппами группы (1). Иногда желательно иметь все
подгруппы, упорядоченные по количеству параметров; такая классификация
приведена в следующей таблице:
2 шестипараметрические : I, 1; II, 2.
4 пятипараметрические : II, 1, 6; III, А, 3, В, 2.
12 четырехпараметрических : I, 3; II, 3, 4, 5, 10; III, А, 1, 2, 7, В, 1, 5, 8;
IV, 6.
18 трехпараметрических : I, 2; II, 7, 8, 9, 14; III, А, 4, 5, 6, И, В, 3,
4, 6, 7, 12, 15; IV, 1, 7, 8.
17 двупараметрических : И, 11, 12, 13; III, А, 8, 9, 10, 15, В, 9, 10, И,
13, 14, 19; IV, 2, 3, 9, 10.
9 однопараметрических : III, А, 12, 13, 14, В, 16, 17, 18; IV, 4, 5, И.

Все приведенные в предыдущей таблице группы представляют
различные типы подгрупп группы (1). Однако среди них могут найтись такие,
которые сопряжены друг другу в общей проективной группе пространства.
Это, разумеется, возможно только для групп, которые кроме конического
сечения t = 0, ху — z2 = 0 оставляют на месте еще какое-то коническое
сечение.
Поскольку никакая трансляция не может оставлять на месте
коническое сечение, лежащее в конечном, легко увидеть, что лишь немногие среди
всех полученных групп оставляют на месте коническое сечение, не
лежащее в бесконечно удаленной плоскости. Этим свойством обладают лишь
группы II, 11 при с = 1, III, А, 12 и III, В, 16 при с = 0, |, 1, 2, 3.
Значения с — —1, — ^, —2, —3 в последнем случае особо рассматривать
не нужно, поскольку они доставляют те же типы подгрупп в (1), что и
значения с = +1, +\, +2, +3 соответственно (см. стр. 216). Но даже
среди этих групп в общей проективной группе друг другу сопряжены лишь
группы, соответствующие значениям с= \ и с = 3.
С другой стороны, все группы III, А оставляют на месте оо1
конических сечений вида
t = 0, ху — z2 + ау2 = О,
группы III, В оставляют на месте оо1 конических сечений вида
t = О, ху — az2 = О,
а группы IV оставляют на месте вообще все бесконечно удаленные
конические сечения. Несмотря на это ни одна из групп III, А или III, В не
сопряжена в общей проективной группе никакой другой из оставшихся групп,
в то время как группы IV, 2, 4, 7, 9 подобны относительно проективных
преобразований группам IV, 3, 5, 8, 10 соответственно.
Таким образом, если отбросить группы IV, 3, 5, 8, 10, то мы получим
по существу исключительно те группы, которые и в общей проективной
группе представляют различные типы подгрупп.
§53
До сих пор при изучении группы, которой посвящена данная глава,
мы систему координат выбирали так, чтобы соответствующее этой группе
инвариантное коническое сечение было вещественным. При этом мы
получали группу (1) и имели то преимущество, что подгруппы этой группы

принимали очень простой вид. Отныне мы будем использовать
общепринятое представление этой группы, то есть будем считать, что
соответствующее инвариантное коническое сечение совпадает с бесконечно удаленной
сферической окружностью
t = 0, х2 + у2 + z2 = О,
так что группа евклидовых движений и преобразований подобия принимает
вид
р, q, г, xq — yp, yr — zq, zp — xr, xp + yq + zr. (11)
Шестипараметрическая инвариантная подгруппа
р, g, г, xq - ур, уг - zq, zp - xr (12)
группы (11) является не чем иным, как группой всех евклидовых движений.
Прежде всего мы решим задачу нахождения всех поверхностей,
которые под действием группы (11) всех евклидовых движений и
преобразований подобия принимают в точности оо4 различных положений.
Поскольку группа (11) является семипараметрической, каждая
обладающая требуемым свойством поверхность допускает ровно три независимых
инфинитезимальных преобразования из (11) (см. том I, стр. 482, предл. 10).
Эти инфинитезимальные преобразования порождают в (11) трехпараметри-
ческую подгруппу, которая является примитивной, и, как следует из
предложения 6, стр. 196, наша поверхность является либо плоскостью, либо
развертывающейся поверхностью некоторой пространственной кривой
третьего порядка, либо линейчатой поверхностью Кэли, либо поверхностью
второго порядка, либо, наконец, сферой.
Так как существует всего только оо3 различных плоскостей,
случай плоскости сразу же исключается. Развертывающаяся поверхность
пространственной кривой третьего порядка и линейчатая поверхность Кэли
допускают по три независимых инфинитезимальных проективных
преобразования, однако ни одна из двух трехпараметрических групп,
порождаемых этими преобразованиями, не имеет инвариантных конических сечений
(см. стр. 186-188 и 195-196), и, следовательно, эти поверхности также
исключаются из рассмотрения.
Если трехпараметрическая проективная группа дз кроме указанной
выше сферической окружности оставляет на месте некоторую
невырожденную поверхность второго порядка, то точки бесконечно удаленной
плоскости под действием этой группы должны преобразовываться трехпарамет-
рически, так как наибольшая подгруппа в дз> оставляющая на месте все

бесконечно удаленные точки, оставляет на месте и все точки этой
поверхности, а значит, и вообще все точки пространства, то есть состоит только
из тождественного преобразования. Отсюда следует, что наша сферическая
окружность является единственной точечной фигурой в бесконечно
удаленной плоскости, инвариантной относительно трехпараметрической
группы дз- Поэтому инвариантная поверхность второго порядка должна
пересекать бесконечно удаленную плоскость по этой сферической окружности
и должна быть сферой. В самом деле, каждая сфера допускает ровно оо3
преобразований из группы (11), а именно оо3 вращений около ее центра.
Остается только найти все конусы, допускающие три независимых ин-
финитезимальных преобразования из группы (11).
Если вершина такого конуса лежит в конечном, то под действием
группы (11) она будет принимать ровно оо3 различных положений. Но
поскольку сам конус должен принимать оо4 положений, кривая, по которой он
пересекает бесконечно удаленную плоскость, будет принимать ровно оо1
различных положений, откуда следует, что она должна допускать в
точности оо2 из оо3 проективных преобразований бесконечно удаленной
плоскости, оставляющих на месте нашу сферическую окружность. Однако
единственными обладающими этим свойством кривыми являются касательные к
нашей сферической окружности, поскольку под действием всякой двупара-
метрической проективной группы плоскости, обладающей инвариантным
коническим сечением, кроме этого конического сечения на месте остается
только некоторая касательная к нему прямая и никакая другая кривая в этой
плоскости. Следовательно, наш конус будет вырожденным.
Предположим теперь, что вершина нашего конуса лежит в точке Р
бесконечно удаленной плоскости и что Р не принадлежит инвариантной
сферической окружности. Под действием группы (11) точка Р будет
принимать оо2 различных положений. Поэтому, если зафиксировать Р, то сам
конус должен принимать еще оо2 различных положений. Группа (11)
содержит всего оо5 преобразований, оставляющих Р на месте, оо1 из которых
оставляют на месте все проходящие через Р прямые. Этими оо1
преобразованиями являются оо1 трансляций в направлении точки Р. Следовательно,
при фиксированной Р все оо2 проходящих через Р прямых будут
преобразовываться посредством некоторой четырехпараметрической группы д^,
которая кроме плоскости нашей сферической окружности будет оставлять
на месте и обе касательные к этой сферической окружности, проведенные
из точки Р. Спрашивается: существует ли конус с вершиной в точке Р,
принимающий под действием группы р4 ровно оо2 различных положений

или, что то же самое, допускающий ровно оо2 преобразований из д^1
Чтобы ответить на этот вопрос, сформулируем его несколько по-другому. Все
проходящие через Р прямые образуют плоскую связку, которая
преобразуется посредством группы д^. Если прямые из этой связки заменить точками
некоторой плоскости, то бесконечно удаленная плоскость перейдет в
прямую, а обе касательные к нашей сферической окружности, проведенные
из Р, превратятся в две точки на этой прямой. Таким образом, наш вопрос
равносилен следующему: какая кривая на плоскости допускает оо2
проективных преобразований, оставляющих на месте некоторую прямую вместе
с двумя лежащими на ней точками? Очевидно, что единственными такими
кривыми являются прямые, и поэтому каждый конус, обладающий
указанным выше свойством, состоит из некоторой проходящей через Р плоскости,
то есть является вырожденным.
Пусть, наконец, вершина S нашего конуса лежит на инвариантной
сферической окружности.
Если вершину S зафиксировать, то сам конус должен принимать еще
оо3 различных положений. Но в группе (11) существует оо6 различных
преобразований, оставляющих S на месте, ровно оо1 из которых оставляют на
месте все проходящие через S прямые. Поэтому при фиксированной S все
оо2 проходящих через S прямых преобразуются посредством некоторой пя-
типараметрической группы дъ, которая кроме самой точки S оставляет на
месте бесконечно удаленную плоскость и касательную к нашей
сферической окружности в точке S. Но существует ли в связке прямых,
проходящих через точку S, невырожденный конус, который под действием
группы #5 принимает ровно оо3 различных положений и, следовательно,
допускает оо2 преобразований из д^1 Сформулируем этот вопрос иначе, заменив
прямые из связки с центром в S точками некоторой плоскости. Тогда наш
вопрос будет звучать следующим образом: существует ли в этой плоскости
кривая, которая допускает оо2 проективных преобразований, оставляющих
на месте еще и некоторую прямую вместе с некоторой принадлежащей ей
точкой? Очевидно, что единственной кривой такого рода является
некоторое коническое сечение, которое касается соответствующей прямой в
соответствующей точке. Таким образом, единственным конусом, обладающим
требуемым свойством, является невырожденный конус второго порядка с
вершиной на нашей инвариантной сферической окружности, который
касается бесконечно удаленной плоскости вдоль касательной к этой
сферической окружности, проходящей через его вершину.
Итак, мы получили следующий результат.

Предложение 1. Единственными поверхностями, принимающими под
действием семипараметрической группы
р, q, г, xq — ур, уг — zq, хр — xr, xp + yq + zr (11)
всех евклидовых движений и преобразований подобия ровно оо4 различных
полоо/сений, являются, во-первых, сферы, а во-вторых, все
невырожденные конусы второго порядка, имеющие в качестве вершины точку
инвариантной сферической окружности и касающиеся бесконечно удаленной
плоскости вдоль проходящей через эту точку касательной к только что
упомянутой сферической окружности.
Сферы являются единственными вещественными поверхностями,
принимающими под действием группы (11) ровно оо4 различных положений.
Сейчас мы найдем все кривые, которые под действием группы (11)
принимают оо4 различных положений.
В соответствии со сказанным в § 46, каждая такая кривая является
либо плоской, либо пространственной кривой третьего порядка, поскольку
она допускает ровно оо3 различных преобразований из группы (11). Эти
оо3 преобразований образуют некоторую группу 7з, которая кроме нашей
сферической окружности должна оставлять на месте какую-то другую
точечную фигуру в бесконечно удаленной плоскости и поэтому не может
преобразовывать точки бесконечно удаленной плоскости трехпараметрически.
Отсюда следует, что 7з содержит по меньшей мере одно инфинитезималь-
ное преобразование, под действием которого все точки бесконечно
удаленной плоскости остаются на месте. Но все преобразования такого рода,
содержащиеся в группе (11), имеют вид
а\р + a2q + a3r + а4(хр + yq 4- zr),
и их траектории, как легко убедиться, все без исключения являются
прямыми линиями, а значит, те из искомых кривых, которые лежат в конечном,
могут быть только прямыми линиями; в бесконечном же эти кривые лежать
не могут, так как всякая кривая на бесконечно удаленной плоскости под
действием группы (11) принимает лишь оо3 различных положений. В
самом деле, каждая прямая общего положения допускает оо3 преобразований
из группы (11), а если прямая пересекает нашу сферическую окружность,
то она допускает оо4 таких преобразований. Итак, мы доказали следующее
утверждение.

Предложение 2. Прямые являются единственными кривыми в
пространстве, принимающими под действием семипараметрической группы
евклидовых движений и преобразований подобия ровно оо4 различных
положений.
Объединив это предложение с предложением 1, мы увидим, что
линейчатая геометрия и наша новая сферическая геометрия занимают особое
положение среди всевозможных наглядных представлений четырехмерного
пространства. Впрочем, оо4 конусов, упомянутых в предложении 1, также
могли бы послужить основой для нового типа геометрии, но эта геометрия
была бы комплексной и поэтому из рассмотрения исключается.
Отыщем теперь все кривые, которые под действием шестипараметри-
ческой группы
р, q, r, xq - ур, уг - zq, zp - xr (12)
евклидовых движений принимают ровно оо4 различных положений.
Всякая такая кривая допускает оо2 преобразований из группы (12).
Следовательно, если она не является прямой, то она должна быть либо
пространственной кривой третьего порядка, либо плоской кривой.
Пространственная кривая третьего порядка не может допускать более
оо2 движений. С другой стороны, мы знаем, что существует лишь один
класс двупараметрических проективных групп, оставляющих на месте
кривую третьего порядка. Каждая такая группа (см. стр. 189) оставляет на
месте некоторую точку этой кривой, а также невырожденное коническое
сечение, лежащее одновременно в соприкасающейся плоскости этой точки и на
развертывающейся поверхности нашей кривой. Поэтому если это
коническое сечение перенести в нашу сферическую окружность, то мы получим
самый общий вид пространственной кривой третьего порядка,
допускающей оо2 движений. Она характеризуется тем, что ее развертывающаяся
поверхность содержит нашу сферическую окружность. Очевидно, что каждая
такая кривая под действием группы (12) принимает оо4 различных
положений, и легко убедиться в том, что всего существует оо4 таких кривых.
Если плоская кривая принимает под действием группы движений оо4
различных положений, то она не может лежать в бесконечно удаленной
плоскости, поскольку тогда она была бы инвариантна относительно всех
трансляций и принимала бы только оо3 различных положений.
Следовательно, двупараметрическая группа движений #2, оставляющая нашу
кривую на месте, кроме бесконечно удаленной плоскости имеет еще одну
инвариантную плоскость Е, в которой лежит наша инвариантная кривая. Далее,

под действием группы д2 точки бесконечно удаленной плоскости и точки
плоскости Е преобразуются двупараметрически. Действительно,
наибольшая непрерывная подгруппа в д2, оставляющая на месте все точки одной
из этих плоскостей, в другой из них оставляет на месте все касательные
к лежащей в ней кривой, а значит, и все точки этой плоскости и
вообще все точки пространства. Таким образом, эта подгруппа состоит только
из тождественного преобразования. Поскольку точки плоскости Е под
действием группы д2 преобразуются двупараметрически, лежащая в Е
инвариантная кривая является невырожденным коническим сечением. Это
коническое сечение, как и наша сферическая окружность, содержит только одну
инвариантную точку и, следовательно, должно касаться этой сферической
окружности. Отсюда следует, наконец, что общая для этих двух конических
сечений развертывающаяся поверхность, которая, разумеется, инвариантна
относительно д2, является конусом второго порядка, чья вершина лежит в
конечном. Итак, мы приходим к противоречию, поскольку наша группа д2
должна была бы состоять из оо2 вращений около вершины этого конуса.
При этом она бы оставляла на месте еще и оо1 конусов с вершиной в этой
точке, и эти конусы пересекали бы плоскости Е по оо1 инвариантным
коническим сечениям, но тогда, вопреки сказанному выше, под действием
группы <72 точки плоскости Е преобразовывались бы лишь однопараметри-
чески.
Таким образом, не существует плоских кривых, принимающих под
действием группы всех движений оо4 различных положений, и мы имеем
следующий результат.
Предложение 3. prop: 11:3 оо4 прямых и оо4 пространственных
кривых третьего порядка, чьи развертывающиеся поверхности содержат
инвариантную сферическую окружность, являются единственными кривыми
в пространстве, принимающими под действием группы всех евклидовых
движений ровно оо4 различных положений.
Теперь мы в состоянии указать вообще все семейства оо4 кривых,
инвариантные относительно группы всех евклидовых движений. Каждая
кривая из такого семейства допускает по меньшей мере оо2 движений, и
поэтому само семейство состоит либо из оо4 прямых, либо из оо4 кривых
третьего порядка, описанных в предложении 3, либо, наконец, из оо4
плоских кривых, лежащих в бесконечно удаленной плоскости. Эти семейства
кривых можно было бы без особого труда определить и более точно, одна-

ко мы не будем на этом останавливаться и ограничимся лишь еще одним
замечанием.
Семейство оо4 прямых в прямоугольных координатах х, у, z задается
двумя обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка:
dx2 ' dx2
Семейство же оо4 кривых третьего порядка, о которых идет речь в
предложении 3, удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка,
поскольку все касательные к этим кривым пересекают нашу инвариантную
сферическую окружность. Это дифференциальное уравнение имеет вид
\dx J \dx J
Наконец, любое другое инвариантное относительно группы движений
семейство оо4 кривых удовлетворяет конечному уравнению
* = 0,
так как оно состоит исключительно из кривых, лежащих в бесконечно
удаленной плоскости t = 0. Отсюда вытекает следующее предложение.
Предложение 4. Если система двух обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка вида
d2y ( dy dz\
dx2 \ ' dx1 dx J '
— =0(x,y,z, ^, —)
dx2 \ ' dx' dxJ
является инвариантной относительно группы всех евклидовых движений,
то она имеет вид
d2y _ d2z _
dx2 ' dx2
и ее интегральные кривые суть оо4 прямых в пространстве.

Глава 12
Примитивные проективные группы
обыкновенного пространства
При нахождении указанных в заглавии групп мы будем исходить из
того, что в главе 7 мы уже определили все типы примитивных групп
пространства. Используя результаты, полученные в главах 9-11, мы без труда
отыщем все типы примитивных проективных групп пространства. Во
втором параграфе этой главы мы рассмотрим два класса примитивных
проективных групп пространства и разовьем новый, более прямой способ
нахождения принадлежащих этим классам групп.
§54
Всякая примитивная проективная группа пространства должна быть
подобна одной из восьми проективных групп, перечисленных в теореме 9,
стр. 139. Следовательно, чтобы найти все примитивные проективные
группы, мы должны для каждой из этих восьми групп установить, подобна
ли она некоторой проективной группе. Если да, то нам нужно будет еще
выяснить, может ли эта группа быть подобной нескольким проективным
группам, не сопряженным друг другу в общей проективной группе
пространства.
Но как же узнать, подобна ли данная группа пространства некоторой
проективной группе?
Всякая проективная группа характеризуется тем, что она оставляет
на месте семейство всех оо4 прямых или, что равносильно, систему двух
обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:

которую коротко можно записать следующим образом: у" = 0, г'1 = 0.
Поэтому если произвольная группа G пространства подобна некоторой
проективной группе, то, во-первых, она должна иметь по меньшей мере одну
инвариантную систему дифференциальных уравнений второго порядка
вида
у" = а(х, у, z, у', zf), z" = (3(х, у, z, yf, z'), (1)
а во-вторых, среди инвариантных относительно группы G систем вида (1)
должна существовать по меньшей мере одна, которая при подходящей
замене переменных х, у, z принимает вид
У" = 0, z" = 0. (2)
Эти условия являются, очевидно, необходимыми и достаточными.
Рассмотрим теперь по порядку восемь групп, приведенных на стр. 139—
140. Пять из них, а именно общую проективную, общую линейную,
специальную линейную, группу евклидовых движений и преобразований
подобия и, наконец, группу евклидовых движений, можно рассмотреть одним
ударом. Все эти группы уже имеют проективный вид и содержат группу
евклидовых движений. Поскольку для этой последней группы мы уже
показали (см. стр. 223-224), что кроме системы у" — z" — 0 она не имеет
никаких других инвариантных систем дифференциальных уравнений
вида (1), мы видим, что каждое преобразование, переводящее одну из только
что указанных групп в некоторую проективную группу, само должно быть
проективным и что, следовательно, всякая проективная группа, подобная
одной из этих пяти групп, сопряжена этой группе в общей проективной
группе.
Случай десятипараметрической конформной группы тоже не
представляет никаких затруднений. Эта группа также содержит группу евклидовых
движений, и так как, кроме того, ей принадлежат некоторые непроективные
инфинитезимальные преобразования, она уже не оставляет инвариантной
систему (2). Таким образом, систем вида (1), инвариантных относительно
конформной группы, вообще не существует, то есть эта группа не подобна
ни одной проективной группе.
Шестипараметрическая группа невырожденной поверхности второго
порядка сама является проективной, и, в соответствии с предложением 2,
стр. 207, единственным инвариантным относительно этой группы
семейством оо4 кривых в пространстве является семейство оо4 прямых. Отсюда
следует, что эта группа может быть подобна некоторой проективной группе
только относительно проективного преобразования.

Нам осталось еще только рассмотреть десятипараметрическую
проективную группу линейного комплекса, которую мы для краткости будем
обозначать через Giq.
Зададимся следующим вопросом: какие семейства оо4 кривых
инвариантны относительно этой группы? Каждая кривая из такого семейства
допускает по меньшей мере шесть независимых инфинитезимальных
проективных преобразований, откуда следует (см. § 46), что она является либо
прямой, либо невырожденным коническим сечением. Поскольку семейство
всех прямых так или иначе инвариантно относительно этой группы, нам
нужно лишь выяснить, обладает ли группа Сю инвариантными
семействами оо4 конических сечений.
Предположим, что такое инвариантное семейство существует. Если мы
зафиксируем некоторое произвольное коническое сечение из этого
семейства, то на месте будет оставаться и полюс его плоскости относительно
нашего линейного комплекса. Но поскольку само коническое сечение
допускает по меньшей мере оо6 преобразований из Сю, оно должно
содержать этот полюс и, следовательно, допускает ровно оо6 преобразований
из Сю, которые, естественно, образуют шестипараметрическую
проективную группу G§. Проведем через каждую точку этого конического сечения
плоскость комплекса, проходящую через упомянутый выше полюс. Мы
получим оо1 плоскостей, огибающих невырожденный конус второго порядка.
Этот конус должен быть инвариантным относительно Gq. Но фигура,
состоящая из некоторого конического сечения и лежащей на нем точки,
допускает ровно оо6 проективных преобразований пространства, и эти оо6
преобразований не оставляют на месте ни один конус второго порядка.
Таким образом, мы пришли к противоречию, и наша группа G\q не обладает
инвариантными семействами оо4 конических сечений.
Итак, десятипараметрическая проективная группа линейного
комплекса оставляет на месте лишь одно единственное семейство оо4 кривых, а
именно семейство оо4 прямых, и система у" = 0, z" — 0 является
единственной системой дифференциальных уравнений вида (1), инвариантной
относительно этой группы. Отсюда следует, что эта группа может быть
подобна некоторой проективной группе только относительно проективного
преобразования.
Таким образом, мы нашли все примитивные проективные группы.
Остается только сформулировать соответствующую теорему.
Теорема 11. В трехмерном пространстве существует всего семь раз-

личных типов примитивных проективных групп. Представителями этих
семи типов являются следующие семь групп:
1)) пятнадцатипараметрическая общая проективная группа (см. стр. 124,
[id.
2)) двенадцатипараметрическая общая линейная группа (см. стр. 124, [2]),
3)) одиннадцатипараметрическая специальная линейная группа (см.
стр. 124, [3]),
4)) семипараметрическая группа евклидовых движений и преобразований
подобия (см. стр. 132, [б]),
5)) шестипараметрическая группа евклидовых движений (см. стр. 132,
[5]),
6)) шестипараметрическая проективная группа невырожденной
поверхности второго порядка (см. стр. 134, [7]),
7)) десятипараметрическая проективная группа невырожденного
линейного комплекса (см. стр. 125, [4]),
Всякая примитивная проективная группа пространства подобна одной из
этих семи групп относительно некоторого проективного преобразования,
в то время как посредством непроективных преобразований снова в
проективную группу она переведена быть не моо/сет.
§55
В этом параграфе, как было объявлено во вступительной части
настоящей главы, мы разовьем новый метод для нахождения некоторых
примитивных проективных групп пространства.
Пусть G — примитивная проективная группа пространства, a g —
наибольшая подгруппа группы G, оставляющая на месте некоторую точку Р
общего положения. Тогда g может переставлять оо2 направлений,
проходящих через точку Р, тремя различными способами, а именно либо
самым общим образом, либо так, что на месте остается плоский пучок оо1
направлений, либо, наконец, так, что на месте остается невырожденный
конус второго порядка (ср. стр. 123-124). Первый из этих случаев мы
рассматривать не будем, так как он приводит только к общей проективной,
общей линейной и специальной линейной группе. Таким образом остается
две возможности: либо G оставляет инвариантным пфаффово уравнение
а(х, у, z) dx + 0(х, у, z) dy + 7(2, У, z) dz = 0, (3)

которое, разумеется, не может быть интегрируемым [???], либо G оставляет
инвариантным уравнение второй степени вида
ап dx2 + с*22 dy2 + азз ^2 + 2c*i2 dx dy + 2с*23 dy dz + 2a^3i dz dx = 0 (4)
с ненулевым определителем. Сейчас мы рассмотрим эти два случая с
помощью одного нового метода и определим все относящиеся сюда
примитивные проективные группы.
Предположим сперва, что G является примитивной проективной
группой с инвариантным неинтегрируемым пфаффовым уравнением (3).
Рассмотрим х, у, z как функции вспомогательной переменной t, на
которую искомая группа G не действует, и положим
dt ' dt2 ' dt y' ""
Тогда уравнение
а(х, у, z)xf + 0(х, у, z)y' + 7(ж, у, z)zf = О, (5)
будет обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка,
инвариантным относительно группы G. Кроме того, будучи
проективной группой, G обладает инвариантной системой двух дифференциальных
уравнений второго порядка:
x':y':z' = x":y":z", (б)
поскольку эта система, очевидно, задает в пространстве семейство оо4
прямых.
Уравнение, получающееся из (5) дифференцированием по t, вместе
с самим уравнением (5) должно образовывать систему, инвариантную
относительно G. Добавляя к этой системе уравнение (6), мы опять должны
получить инвариантную систему. Следовательно, четыре уравнения (5), (6)
и
осхха + (Зуу'2 + ъ*'2 + (<*у + Рх)х'у' + (0г + ъ)у'*'+ (7\
+ Ьх + (*г)г,х'=0 [ }
представляют собой систему уравнений, инвариантную относительно G.
Теперь ясно, что входящие в эту систему уравнения первого порядка, то
есть уравнения (5) и (7), сами должны образовывать инвариантную
относительно G систему уравнений. Но поскольку группа G должна быть
{

примитивной, система уравнений (5) и (7) не может состоять из двух
независимых уравнений, потому что в противном случае она бы определяла
некоторое инвариантное относительно G разложение пространства х, у, z
на схэ2 кривых. Таким образом, уравнение (7) должно быть следствием
уравнения (5), что по-другому можно сформулировать следующим
образом: уравнение (5) относительно шести переменных х, у, z, х', yf, z'
должно допускать инфинитезимальное преобразование
Wf = XTx+VTy+Z^
С учетом теоремы 15, том I, стр. 117, мы получаем, что уравнение (5)
может быть записано в виде соотношения на решения дифференциального
уравнения Wf = 0. Выберем для симметрии из решений уравнения Wf =
= 0 следующие шесть:
х', у', z1, yz' — zy' = w, zx' — xz' = и, xyf — ух1 = ги, (8)
которые удовлетворяют соотношению
х'и + y'v + z'w = 0. (9)
Тогда уравнение (5) можно заменить системой двух уравнений вида
П(х', у', z', и, v, w) = 0, х'и + y'v + z'w = 0. (10)
Поскольку, вдобавок, уравнение (5) допускает инфинитезимальное
преобразование
Х дх'+У dy'+Z dz>'
система уравнений (10) со своей стороны должна допускать
инфинитезимальное преобразование
х>£1+ >EL + z>EL+udl + vd£+wdl
дх' ду' dz' ди dv dw'
Следовательно, мы можем считать, что Q является однородной функцией
своих аргументов.
Очевидно, что переменные х\ у', z', и, v, w являются ни чем иным,
как однородными координатами прямых в пространстве я, у, z, и,
следовательно, эквивалентная уравнению (5) система (10) задает семейство оо3

прямых, называемое одномерным комплексом. Этот комплекс, само собой
разумеется, инвариантен относительно нашей проективной группы G.
Из уравнения (5) следует, что через каждую точку х, ?/, z общего
положения проходит оо1 прямых этого комплекса и что эти оо1 прямых
образуют плоский пучок. Пусть Pi и Р2 — две произвольные точки общего
положения. Соответствующие им пучки прямых пересекаются по
некоторой прямой 7, причем прямая 7 и прямая Р1Р2 обязательно будут
скрещивающимися. Тогда очевидно, что нашему комплексу принадлежат вообще
все оо2 прямых, пересекающих обе эти прямые. Пусть теперь g — какая-
нибудь другая прямая комплекса, то есть прямая, не пересекающая прямые
Р\Р2 и 7 одновременно. Тогда сначала для каждой точки прямой д, а затем
и вообще для каждой точки пространства х, у, z можно найти
соответствующий плоский пучок прямых комплекса; пожалуй, нет необходимости
обсуждать это более подробно. Таким образом, наш комплекс полностью
определяется выбранными прямыми и, как видно из его построения,
является линейным. Следовательно система уравнений (10), задающая этот
комплекс, приводится к виду
Г aix' + а2у' + a3zf + b\u + b2v + b^w = 0, , *
[ x'u + y'v + z'w = 0, ^
где а и b — константы.
Остается еще заметить, что линейный комплекс (11) не может быть
вырожденным, то есть он не может состоять из всех оо3 прямых,
пересекающих некоторую фиксированную [???] прямую. Действительно, в
противном случае все оо1 плоскостей, проходящих через эту фиксированную
прямую, являлись бы интегральными поверхностями пфаффова уравнения (3),
и вопреки нашему предположению это уравнение было бы интегрируемым.
То, что комплекс (11) не может быть вырожденным, в аналитической
записи равносильно тому, что выражение а\Ь\ + а2Ь2 + аз^з должно быть
отлично от нуля.
Таким образом, мы доказали, что каждая примитивная проективная
группа пространства х, у, z с неинтегрируемым инвариантным
пфаффовым уравнением (3) оставляет на месте некоторый невырожденный
линейный комплекс. Соответствующее пфаффово уравнение полностью
определяет этот линейный комплекс и имеет вид
Г aidx + a2dy + a$dz + , ,
\ + bi(ydz — zdy) -\-b2(zdx — xdz) + bs(xdy — ydx) = 0, ^ '

где константы а и b должны удовлетворять условию а\Ь\ + а2Ь2 + «з^з ф 0.
В линейчатой геометрии доказывается, что всякий невырожденный
линейный комплекс с помощью проективного преобразования можно
перевести в любой другой такой комплекс. Следовательно, мы можем считать, что
пфаффово уравнение (12) с самого начала имеет уже известный нам вид
dz + xdy — ydx = 0 (13)
(ср. стр. 125). Теперь легко увидеть, что существует лишь одна
примитивная проективная группа, относительно которой пфаффово уравнение (13)
будет инвариантным, а именно десятипараметрическая проективная группа
невырожденного комплекса, задаваемого уравнением (13). Это, однако, мы
доказывать не будем.
Теперь предположим, что G является примитивной проективной
группой, оставляющей инвариантным уравнение второй степени
an dx2 + #22 dy2 + азз dz2 + 2ai2 dx dy + 2а2з dy dz + , ,
+ 2a3idzdx = 0 ^ '
с ненулевым определителем.
Мы снова будем рассматривать х, у, z как функции вспомогательной
переменной t и построим дифференциальное уравнение
ацх'2 + а22уа + а33^2 + 2а12х'у' + 2а2зУ V + 2a3iz'x' = 0, (14)
которое также будет инвариантно относительно G. Точно так же, как и
выше, мы получаем, что уравнение (14) от шести переменных х, 2/, z, х1', з/, z1
допускает инфинитезимальное преобразование
ox ay dz
и что, следовательно, его можно заменить системой двух уравнений вида
cj(x', у1, zf, и, v, w) = 0, х'и + y'v + zfw = 0, (15)
где cj является однородной функцией своих аргументов.
Система уравнений (15), очевидно, определяет одномерный комплекс,
каждая из оо3 прямых которого является интегральной кривой
уравнения (4). Через каждую точку х, у, z общего положения проходят оо1
прямых этого комплекса, которые образуют невырожденный конус второго
порядка. Из этого можно заключить, что мы имеем дело с комплексом второго

порядка и что поэтому функцию и можно считать целой однородной
функцией второй степени от х, у, z, xf, yf, z'. Подробное обоснование этого
результата мы опускаем, так как это является прерогативой линейчатой
геометрии.
Итак, мы установили, что каждая примитивная проективная группа G,
обладающая инвариантным уравнением вида (4), оставляет на месте
некоторый одномерный комплекс второго порядка. Этот комплекс имеет
поверхность особенностей, которая, разумеется, также инвариантна
относительно G. Но из предложения 3, стр. 196, следует, что среди проективных
групп, оставляющих на месте неплоскую поверхность, примитивной
является лишь одна, а именно шестипараметрическая проективная группа
невырожденной поверхности второго порядка. С другой стороны, все
проективные группы, оставляющие на месте две или более различных плоскости,
являются импримитивными. Таким образом, наша поверхность
особенностей не может быть общей поверхностью четвертого порядка; более того,
она является либо двойной невырожденной поверхностью второго порядка,
либо четырехкратной плоскостью. В первом случае наш комплекс
состоит из оо3 касательных к соответствующей поверхности второго порядка, а
во втором случае, очевидно, соответствующая плоскость должна содержать
инвариантное относительно G коническое сечение, и наш комплекс состоит
из оо3 прямых, это сечение пересекающих.
Мы видим, что существует всего три типа проективных примитивных
групп, обладающих инвариантным уравнением (4) с невырожденным
определителем. Представителями этих трех типов являются
шестипараметрическая проективная группа невырожденной поверхности второго порядка,
семипараметрическая группа евклидовых движений и преобразований
подобия и, наконец, шестипараметрическая группа евклидовых движений.
Итак, цель настоящего параграфа достигнута.

Глава 13
Импримитивные проективные группы
обыкновенного пространства
Мы видели, что практически каждая примитивная проективная
группа пространства оставляет на месте либо поверхность, либо кривую, то
есть обладает некоторой инвариантной точечной фигурой; исключениями
являются только общая проективная группа и десятипараметрическая
проективная группа линейного комплекса. Сначала мы покажем, что этим же
свойством обладают все без исключения импримитивные группы: каждая
импримитивная проективная группа оставляет на месте по меньшей мере
одну точечную фигуру, которая является либо поверхностью, либо кривой,
либо точкой.
Далее, основываясь на результатах главы 9, мы без труда сможем
указать все импримитивные проективные группы, которые не оставляют на
месте плоских точечных фигур, то есть не обладают инвариантными
точками, прямыми и плоскостями. Для нахождения остальных импримитивных
проективных групп можно использовать два различных метода, каждый
из которых будет подробно описан. Мы продвинемся настолько, что для
нахождения всех типов импримитивных проективных групп пространства
останется проделать лишь некоторые совершенно понятные вычисления,
которые не представляют особых затруднений и требуют лишь некоторой
доли выдержки и терпения.
В последнем параграфе этой главы мы коротко поясним, как можно
определить все типы подгрупп десятипараметрической проективной
группы линейного комплекса.
§56
Если импримитивная проективная группа пространства интранзитив-
на, то она оставляет на месте бесконечно много поверхностей и кривых.

Однако можно показать, что и всякая импримитивная проективная группа,
являющаяся транзитивной, обладает по крайней мере одной инвариантной
точечной фигурой.
Предположим сначала, что наша импримитивная, но транзитивная
проективная группа G является трехпараметрической, то есть, другими
словами, просто транзитивна.
Чтобы показать, что G оставляет на месте по меньшей мере одну
точечную фигуру, запишем инфинитезимальные преобразования Xif, X2f,
Xsf из G в однородных координатах х\.. . х4 (см. том I, стр. 578-579) и
добавим еще инфинитезимальное преобразование
X*f = xipi+ Х2Р2 + £зРз + х4Р4,
которое вместе с Xif, X^f, X$f образует четырехпараметрическую
линейную группу от х\ .. .Х4- Определитель Л инфинитезимальных
преобразований Xif ... X±f не может тождественно равняться нулю, поскольку
тогда уравнения
Xi/ = 0,...,X4/ = 0
обладали бы общим решением и (^, f2, ^-J, и оо1 поверхностей
(хх х2 хЛ
ш —, —, — = const
\ Х4 %4 х4)
были бы инвариантны относительно G, что невозможно в силу
транзитивности группы G. Таким образом, А — 0 является уравнением,
инвариантным относительно группы Xif ... Xj/, а также относительно группы G,
откуда следует, что всегда найдется поверхность, инвариантная
относительно G.
Перейдем к импримитивным проективным группам пространства,
которые являются транзитивными, но имеют т > 3 параметров.
Пусть д — группа такого рода. Здесь нужно различать два случая:
либо д обладает инвариантным семейством сю1 поверхностей ip(x,y,z) —
— const, либо таких инвариантных семейств поверхностей не существует,
но д оставляет на месте некоторое семейство оо2 кривых вида а(х,у, г) =
= const, (3(x, у, z) — const.
В первом случае каждая из оо1 поверхностей допускает т — 1, а
значит, по меньшей мере три независимых инфинитезимальных
преобразования из д и, следовательно (см. предл. 6, стр. 196), является либо плоско-

стью, либо поверхностью второго порядка, либо конусом, либо
развертывающейся поверхностью пространственной кривой третьего порядка, либо,
наконец, линейчатой поверхностью Кэли третьего порядка. Отсюда следует,
что наше инвариантное семейство поверхностей всегда имеет огибающую,
которая может быть поверхностью, прямой или точкой и которая,
разумеется, инвариантна относительно д. В частности, если это семейство состоит
из оо1 конусов, то их вершины образуют инвариантную кривую, которая
при определенных условиях может вырождаться в точку Нечто подобное
происходит и в случае инвариантного семейства оо1 линейчатых
поверхностей Кэли, поскольку каждая такая поверхность обладает некоторой особой
точкой, которая играет для этой поверхности ту же роль, что вершина для
конуса (ср. стр. 196).
Остается еще рассмотреть случай, когда наша т-параметрическая
группа д не обладает инвариантными семействами оо1 поверхностей, но
оставляет на месте семейство оо2 кривых a(x,y,z) — const, /3(x,y,z) —
— const. При этом можно быть уверенным, что эти со2 кривых нельзя
объединить в инвариантное семейство оо1 поверхностей; другими
словами, не существует такой функции ио{а, /3), что семейство со1 поверхностей
а;(а, /3) — const будет инвариантным относительно д.
Введем в качестве новых независимых переменных функции а(х, у, z),
/3(х, у, z) и третью подходящую функцию 7 от х, у, z. При этом инфини-
тезимальные преобразования из д примут вид
Xkf = ¥>*(«,/?)§£ + Xk(a,P)jp + Vfc(a,/5,7)|£
(fe=l...m).
В соответствии с предложением 4, том I, стр. 307, т укороченных инфини-
тезимальных преобразований
Хк/ = <Рк(<х,0)^ + Хк(а,13)!щ (к = 1...т)
от переменных а, /3 сами образуют некоторую группу д, которая
изоморфна группе д и показывает, как кривые а(х, у, z) — const, /?(x, у, z) — const
переставляются под действием группы д. Эта группа д в нашем случае,
очевидно, является примитивной, откуда вытекает, что она является по
меньшей мере пятипараметрической и, кроме того, подобна некоторой
проективной группе плоскости. Так как каждая проективная группа плоскости
оставляет на месте семейство всех оо2 прямых, мы видим, что д обладает

инвариантным семейством оо2 кривых П(а, /?; а, Ь) = 0. Но отсюда
следует, что д обладает инвариантным семейством оо2 поверхностей, а именно
семейством
П(а(х,у,2), (3{x,y,z); а, Ь) = 0.
Поскольку д, так же как и д, является по меньшей мере пятипараметри-
ческой, каждая поверхность из этого инвариантного семейства допускает
не менее трех независимых инфинитезимальных преобразований из д и,
следовательно, принадлежит одному из пяти классов поверхностей,
упомянутых при рассмотрении первого случая. Отсюда, наконец, мы можем
заключить, что оо2 поверхностей П = 0 всегда имеют огибающую,
которая может быть поверхностью, прямой или точкой и которая, естественно,
инвариантна относительно д.
Итак, мы доказали следующее утверждение.
Предложение 1, Всякая импримитивная проективная группа
обыкновенного пространства оставляет на месте либо поверхность, либо
кривую, либо точку.
Объединяя этот результат с результатами, полученными для
примитивных групп, мы приходим к следующей теореме.
Теорема 12. В обыкновенном пространстве существует всего две
проективные группы, не обладающие ни инвариантными поверхностями,
ни инвариантными кривыми, ни инвариантными точками. Этими
группами являются пятнадцатипараметрическая общая проективная группа и
десятипараметрическая проективная группа невырожденного линейного
комплекса*.
§57
На основании предложения 1 мы можем разбить все импримитивные
проективные группы пространства на два класса: к первому классу мы
будем причислять все группы такого рода, оставляющие на месте точку,
прямую или плоскость, то есть, короче, некоторую плоскую точечную фигуру, а
ко второму — все группы, не обладающие плоскими инвариантными
точечными фигурами, но оставляющие на месте некоторую неплоскую
поверхность или пространственную кривую. Поскольку групп, принадлежащих
*С. Ли, Archiv for Math., Bd. 10, 1884 г.

второму классу, по-видимому, гораздо меньше, чем групп, принадлежащих
первому классу, мы сначала займемся вторым классом.
Одно- и двупараметрические проективные группы второму классу
принадлежать не могут, так как, в соответствии со сказанным на стр. 585 и 589
первого тома, такие группы непременно оставляют на месте хотя бы одну
точку, одну проходящую через нее прямую и одну содержащую эту
прямую плоскость. Следовательно, нам нужно рассматривать только группы,
имеющие по меньшей мере три параметра.
Если некоторая такая группа обладает инвариантной изогнутой
поверхностью, то эта поверхность может быть только невырожденной
поверхностью второго порядка или развертывающейся поверхностью
некоторой пространственной кривой третьего порядка. То, что конус и линейчатая
поверхность Кэли исключаются, ясно из того, что в обоих этих случаях на
месте оставалась бы некоторая точка. С другой стороны, если под
действием этой группы на месте остается пространственная кривая, то она должна
быть кривой третьего порядка.
Однако шестипараметрическая проективная группа невырожденной
поверхности второго порядка является примитивной и, следовательно, сюда
не относится. Кроме того, каждая подгруппа этой группы оставляет на
месте либо некоторую образующую этой поверхности, либо некоторую точку
вместе с ее полюсом относительно этой поверхности (см. стр. 205).
Таким образом, остается лишь трехпараметрическая проективная группа
пространственной кривой третьего порядка.
Предложение 2. Трехпараметрическая проективная группа
пространственной кривой третьего порядка является единственной импри-
митивной проективной группой пространства, не оставляющей на месте
ни точек, ни прямых, ни плоскостей*.
Опишем теперь все импримитивные проективные группы,
оставляющие на месте точку, прямую или плоскость. Если двойственные друг другу
группы для простоты считать одинаковыми, то мы можем ограничиться
лишь теми группами, которые оставляют на месте либо плоскость, либо
прямую.
Все проективные группы, обладающие инвариантной прямой,
являются импримитивными, что в случае проективных групп, оставляющих на
месте некоторую плоскость, уже неверно. Действительно, среди последних
*С. Ли, Archiv for Math.y Bd. 10, 1884 г.

существует четыре типа примитивных групп, представителями которых
являются следующие четыре группы: общая линейная группа, специальная
линейная группа, группа евклидовых движений и преобразований подобия
и, наконец, группа евклидовых движений. Однако нужно отметить, что эти
четыре группы двойственны некоторым импримитивным группам.
Количество недостающих импримитивных групп очень велико.
Поэтому нам представляется целесообразным воспользоваться для их
нахождения двумя различными методами и сравнить полученные при этом
результаты, чтобы случайно что-нибудь не упустить. Два таких метода
напрашиваются здесь сами собой. Действительно, во-первых, можно начать с
того, что найти все проективные группы, обладающие инвариантной
плоскостью; сделав это, мы с помощью двойственных преобразований получим
и все те, которые оставляют на месте точку, и нам останется еще
найти лишь те немногие, которые оставляют на месте некоторую прямую, но
не обладают ни инвариантными точками, ни инвариантными плоскостями.
Во-вторых, можно сначала найти все проективные группы, оставляющие на
месте некоторую прямую (эти группы выстраиваются в пары двойственных
друг другу групп), а затем отыскать еще все те группы, которые
оставляют на месте либо точку, либо плоскость, но не прямую. В обоих случаях,
естественно, нужно будет еще отбросить упомянутые выше четыре
примитивных группы.
Вряд ли один из этих методов имеет преимущество перед другим, и,
как уже было сказано, целесообразно было бы применить оба и тем самым
получить доказательство правильности вычислений. Поэтому мы
обстоятельно обсудим оба этих метода и подробно разъясним, какого рода
вычисления встретятся при их применении. Однако в самих вычислениях мы
продвинемся лишь настолько, насколько это будет необходимо для полного
понимания этих методов, и не будем проделывать все вычисления,
требующиеся для нахождения всех импримитивных проективных групп
пространства.
Сперва мы покажем, как можно найти все проективные группы
пространства, оставляющие на месте плоскость или точку, а затем — как
определить все те, которые обладают инвариантной прямой*.
*В работе, опубликованной в Archiv for Math., Bd. 10, 1884 г., на которую мы уже
ссылались, Ли отыскал все проективные группы пространства, которые оставляют на месте
бесконечно удаленную плоскость и преобразуют ее точки восьми-, шести- или пятипараметрически.

§ 58 Проективные группы пространства, обладающие
инвариантной плоскостью или инвариантной точкой.
Сначала мы рассмотрим группы, оставляющие на месте некоторую
плоскость. Перенесем эту инвариантную плоскость с помощью
проективного преобразования в бесконечность. Тогда все сводится к описанию
подгрупп общей линейной группы
р, q, г, яр, г/р, zp, xq, yq, zq, xr, yr, zr, (1)
которую мы будем обозначать через Gi2.
Здесь нам очень пригодится то, что в главе 6 были найдены все
подгруппы группы Gg:
хр, г/р, zp, xq, yq, zq, хг, г/г, zr, (2)
Действительно, в соответствии со сказанным в томе I, стр. 570-571,
описание всех подгруппы группы Gyi сводится к описанию всех подгрупп
общей линейной однородной группы (2). Но поскольку в главе 6 мы уже
нашли все подгруппы группы Gg, нам нужно только пояснить, как, зная
подгруппы группы Gg, можно найти подгруппы группы Gi2. Этим мы
сейчас и займемся.
Всякая подгруппа д группы G\2 содержит некоторое число, скажем га,
независимых инфинитезимальных преобразований, линейной комбинацией
которых нельзя получить никакую инфинитезимальную трансляцию Ар +
4- nq + vr. Эти инфинитезимальные преобразования имеют вид
Xkf + &кР + РкЧ + ~1кГ (fc = l...m), (3)
где X\f.. .Xmf являются независимыми инфинитезимальными
преобразованиями из Gg, образующими в свою очередь подгруппу в Gg. Кроме
того, д содержит некоторое количество, скажем /, независимых
инфинитезимальных трансляций:
AfcP + /4kg + w (fc = l...Z), (4)
которые мы для краткости будем называть свободными трансляциями. Так
как группа трансляций р, <?, г инвариантна в группе Gyi, она будет
инвариантна относительно всех преобразований из Gg. Поэтому мы с самого
начала можем считать, что группа X\f... Xmf, а значит, и соответствующая

подгруппа д группы G\2, имеет один из нормальных видов, выписанных на
стр. 116-119. Таким образом, нам нужно лишь в каждом отдельном случае
определить константы а&, /?&, 7fc и возможные свободные трансляции (4).
Пусть группа д содержит свободные трансляции, но не все три: р, q, r
одновременно. Спрашивается: какие трансляции могут в этом случае быть
свободными? На этот вопрос можно ответить точно так же, как на стр. 211-
212. А именно, содержащиеся в д свободные трансляции (4), порождают
одно- или двупараметрическую инвариантную подгруппу g группы д, и
эта подгруппа g изображается в бесконечно удаленной плоскости точкой
или прямой. Разумеется, что эта точка или прямая будет инвариантна
относительно д, а также относительно группы X\f... Xmf. Поэтому прежде
всего нужно найти все точки и прямые в бесконечно удаленной плоскости,
инвариантные относительно X\f ... Xmf. Если таких инвариантных точек
и прямых не существует, то группа д либо вообще не содержит свободных
трансляций, либо содержит все три: р, <?, г. Напротив, каждая
инвариантная точка показывает, что соответствующая ей трансляция может быть
свободной; то же самое верно и для каждой инвариантной прямой. Однако
не всегда нужно учитывать все инвариантные точки и все инвариантные
прямые. Пусть группа X\j... Xmf, к примеру, оставляет на месте две
различные точки; мы будем считать их эквивалентными, если в Gq найдется
преобразование, которое эти две точки переводит друг в друга, а группу
X\f... Xmf оставляет на месте. Это преобразование переводит друг в
друга и обе соответствующие этим инвариантным точкам трансляции.
После того, как найдены все трансляции, которые могут входить в д
в качестве свободных трансляций, нужно еще определить все возможные
значения констант а^, /?&, 7fc- В общем случае, с помощью скобочной
операции мы получаем, что некоторые из этих констант должны быть равны
нулю, а другие связаны некоторыми соотношениями. Ненулевые
константы с помощью подходящих преобразований из G\i можно частично сделать
равными единице. При этом можно использовать, во-первых, все
трансляции
х' — х + а, у' = у + 6, г' — z + с,
а во-вторых, все преобразования из Gi2, которые оставляют на месте
одновременно и группу X\f ... Xmf, и группу всех свободных трансляций.
Сейчас, выбирая в качестве группы X\f... Xmf по порядку все
группы из таблицы на стр. 116-119, мы в каждом отдельном случае укажем,

какие свободные трансляции могут содержаться в соответствующей
группе д.
I,
II,
и,
III,
III,
III,
IV,
IV,
IV,
IV,
V
V
V
V
V
V
V
V
V,
VI,
VI,
VI,
VI,
VI,
VI,
VI,
VI,
VI,
VII,
VII,
VII,
VII,
VII,
1,2
1,2
3,4
1,2
3,4
5,6
1,2
3,4
5, 6, 7, 8
9, 10
1,2
3,4
5,6,7
8,9, 10
11, 12
13-17
18, 19
20,21
22,23
1,2,3
4,5
6,7
8,9
10, 11, 12
13, 14, 15
16-19
20-22
23,24
1,2
3,4
5,6,7
8,9
10, 11, 12
свободные трансляции: отсутствуют; все три.
свободные трансляции: отсутствуют; р, q; все три.
отсутствуют; q; все три.
отсутствуют; р, q\ все три.
отсутствуют; q; все три.
отсутствуют; q; р, q
отсутствуют; q; р, q
отсутствуют; q; p, q
отсутствуют; q; р, q
отсутствуют; r;p, q
отсутствуют; все три.
отсутствуют; г; р, q
отсутствуют; р; q\ р
отсутствуют; q; p, q
отсутствуют; р; q; р
отсутствуют; q\ p, q
отсутствуют; q\ p, q
отсутствуют; q; p, q
отсутствуют; q; p, q
отсутствуют; р\ q\ p
отсутствуют; р; q; p
отсутствуют; q; p, q
отсутствуют; q; p, q
отсутствуют; q; p, q
при VI, 11 еще и р.
отсутствуют; q\ p, q
при VI, 14 еще и q,
отсутствуют; q; p, q
отсутствуют; q; p; p
отсутствуют; q; p, q
отсутствуют; q\ p, q
отсутствуют; р; q; p
отсутствуют; q; p, q
отсутствуют; р\ q; p
отсутствуют; р\ q\ p
все три.
все три.
все три.
все три.
все три.
все три.
q\ все три.
<7, г; все три.
q\ q, r; все три.
все три.
все три.
все три.
все три.
q\ q, r; все три.
q\ все три.
<7, г; все три.
все три.
все три;
все три;
г.
все три.
q; q, r; все три.
все три.
все три.
q; p, г; все три.
все три.
q; p, г; все три.
q; q, r; все три.

VIII, 1 : отсутствуют; q; р, q; все три.
Наконец, д может состоять только из трансляций, что происходит тогда
когда группа X\f,... Xmf сводится к тождественному преобразованию. В
этом случае д может принимать один из следующих трех видов: р; р, q\
Р, Я, г.
Итак, все готово к тому, чтобы с помощью несложных вычислений
можно было найти все проективные группы, обладающие инвариантной
плоскостью. Мы, однако, удовольствуемся лишь тем, что определим, во-
первых, какие из этих групп не обладают инвариантными прямыми, а во-
вторых, какие из них не оставляют на месте ни одну точку.
Если проективная группа пространства обладает инвариантной
плоскостью, но не обладает инвариантными прямыми, то либо под действием
этой группы точки инвариантной плоскости преобразуются самым общим
образом, либо она оставляет на месте некоторую точку и не обладает
никакими другими инвариантными точечными фигурами в этой плоскости,
либо она оставляет на месте некоторое лежащее в этой плоскости
коническое сечение. Таким образом, она преобразует точки своей инвариантной
плоскости либо восьми-, либо шести-, либо пяти-, либо трехпараметриче-
ски, поскольку ни одна точка инвариантного конического сечения не может
оставаться на месте (в противном случае на месте оставалась бы и
проходящая через нее касательная).
Из теоремы 102, том I, стр. 574, можно заключить, что всего
существует четыре типа проективных групп, оставляющих на месте некоторую
плоскость и преобразующих точки этой плоскости наиболее общим
способом, то есть восьмипараметрически. Если эту инвариантную плоскость
перенести в бесконечность, то в качестве представителей этих четырех
типов можно выбрать группы
zp, zq, xq, xp-yq, yp, xp - zr, xr, yr
(5)
zp, zq, xp, yp, xq, yq, xr, yr, zr
zp, zq, xq, xp - yq, yp, xp - zr, xr, yr, p, q, r
(6)
zp, zq, xp, yp, xq, yq, xr, yr, zr, p, q, r.
Точно так же, существует только четыре типа проективных групп,
которые оставляют на месте некоторое лежащее в бесконечно удаленной

плоскости коническое сечение и преобразуют точки этой плоскости трех-
параметрически. Из таблицы на стр. 214 мы получаем следующих
представителей для этих четырех типов:
2zp + уг, хр — yq, 2zq + xr
2zp + yr, xp — yq, 2zq + xr, xp + yq + zr
2zp + yr, xp - yq, 2zq + xr, p, q, r
2zp + yr, xp — yq, 2zq + xr, xp + yq + zr, p, q, r.
(7)
(8)
Остается еще определить группы, которые оставляют на месте лишь
некоторую точку бесконечно удаленной плоскости.
Предположим, что д — такая группа и что д преобразует точки
бесконечно удаленной плоскости шестипараметрически. Тогда соответствующая
ей группа X\f ... Xmf имеет один из следующих двух видов:
zp, zq, xq, xr, xp, yq, zr
zp, zq, xq, xr, xp — zr, yq + c(xp -\-yq-\- zr)
(см. стр. 116, II, 4 и З). Следовательно, сама группа д, если отбросить
свободные трансляции, будет иметь один из видов:
<
zp + dip + Piq + 71Г,
zr + a7p + p7q + 77Г
zp + aip + Piq + 7ir,
yq + c(xp + yq + zr) + a6p + /?6g + 76r.
О*)
(5)
Что касается содержащихся в д свободных трансляций, то их либо вообще
не существует, либо это только д, либо д содержит все три трансляции
Р, q, r.
В случае (А), содержащееся в д преобразование
ХР + УЯ. + zr + аР + Ря + 7Г
(9)
заменой х, у, гнах + а, У + /?, 2 + 7 приводится к виду хр + yq + zr. Тогда
с помощью скобочной операции легко показать, что все а^, /?&, 7fc будут

нулевыми. Более того, такими простыми вычисления будут всегда, когда
д содержит преобразование вида (9), независимо от наличия свободных
трансляций. Таким образом, в случае (А) мы получаем следующие три
группы:
\zp, zq, xq, xr, хр, yq, zr
\zp, zq, xq, xr, xp, yq, zr, q
zp, zq, xq, xr, xp, yq, zr, p, q, r, (11)
первые две из которых, правда, из рассмотрения исключаются, поскольку
они оставляют на месте прямую х = z = 0.
Если группа (В) не содержит свободных трансляций, то, заменив х и у
соответственно на х + as и z — 75 > мы получим преобразование
хр - zr + /35q.
Коммутируя его с остальными преобразованиями, мы увидим, что
<*ь /?ь 7ь /?2, 72, с*3, /?з, <*4, /34, 74, <*6, 76
все равны нулю. Далее, рассматривая выражения
{zp, xg + 7sr), {zp, xr), (х<? + 7зг, zq + a2p),
мы получим 7з — 0> Рь — 0 и ^2 = 7з — 0- Наконец, если с ф — 1, то
константу pG заменой переменной у можно сделать равной нулю; если же
с = — 1 и Дз Ф 0, то заменой переменной г константу Дз можно сделать
равной —1. Итак, мы получаем две группы:
(zp, zq, xq, xr, хр - zr, yq + c{xp + yq + zr)
)zp, zq, xq, xr, xp — zr, xp-\-zr-\-q,
каждая из которых, правда, оставляет на месте прямую х = z = 0.
Если группа (В) содержит только одну трансляцию, q, то
введением новых х и z можно добиться того, чтобы as и 75 равнялись
нулю. Затем с помощью скобочной операции нетрудно показать, что
OL\, 71, 72, <*з> а±, 74, olq, 7б все равны нулю и что 7з = —ос2. Если
константа с отлична от 1, то а2 — 0; если же с = 1, то заменой
переменной z число а2 = — 7з можно сделать равным 1. Таким образом, мы

получаем следующие две группы:
zp, zq, xq, xr, xp — zr, yq + c(xp + yq + zr), q (13)
zp, zq + p, xq — r, xr, xp — zr, xp + 2yq + zr, q, (14)
первая из которых также оставляет на месте прямую х = z = 0; вторая из
этих групп оставляет на месте линейный комплекс, задаваемый уравнением
dy — х dz + z dx = 0.
Если, наконец, группа (В) содержит все три трансляции р, q, r, то мы
имеем группу
zp, zq, xq, xr, xp — zr, yq + c(xp + yq + zr), p, q, r. (15)
Остается еще отыскать все группы д, которые оставляют на месте
бесконечно удаленную плоскость и лежащую на ней точку, в то время как
точки бесконечно удаленной плоскости преобразуются пятипараметрически.
Группа Xif ...Xmf, соответствующая такой группе д, может принимать
один из видов
zp, zq, xq, xr, xp — zr
zp, zq, xq, xr, xp — zr, xp + yq + zr
(см. стр. 117, III, 3 и 4). Свободные трансляции либо вообще отсутствуют,
либо представлены единственной трансляцией q, либо содержаться в д все
втроем: р, q, r.
Вычисления, приводящие к классификации таких групп, практически
полностью повторяют вычисления, проделанные выше, и поэтому мы
удовлетворимся лишь тем, что выпишем получаемые в результате группы. Эти
группы имеют вид
( zp, zq, xq, xr, xp — zr, xp + yq + zr
I zp, zq, xq, xr, xp - zr, xp + yq + zr, q
zp, zq, xq, xr, xp — zr
{ zp, zq, xq, xr, xp — zr, q
zp, zq, xq, xr, xp — zr, xp + yq + zr, p, q, r
zp, zq-\-p, xq — r, xr, xp — zr, q (17)
zp, zq, xq, xr, xp — zr, p, q, r.

Группы (16) оставляют на месте прямую х = z = 0.
Итак, найдены все проективные группы пространства, обладающие
инвариантной плоскостью, но не оставляющие на месте ни одну прямую.
Всего существует четырнадцать типов таких групп, представителями которых
являются группы (5), (6), (7), (8), (11), (14), (15) и (17). Заметим, что две
из этих групп содержат существенный параметр с, и поэтому в каждом из
этих случаев мы имеем дело с оо1 различными типами. Отметим, наконец,
что из вышеупомянутых четырнадцати групп четыре, а именно группы (6)
и (8), являются примитивными; все остальные группы являются импри-
митивными, и каждая из них оставляет на месте по меньшей мере одно
семейство оо2 прямых и, в общем случае, не обладает ни одним
инвариантными семейством оо1 прямых.
Если проективная группа G оставляет на месте бесконечно удаленную
плоскость, но не обладает ни одной инвариантной точкой в пространстве,
то под действием этой группы точки бесконечно удаленной плоскости
преобразуются либо восьми-, либо шести-, либо пяти-, либо трехпараметри-
чески. В первом случае G, очевидно, имеет один из видов (6), стр. 240,
поскольку обе группы (5) оставляют на месте точку х — у — z — ^). В
четвертом случае G оставляет на месте некоторое лежащее в бесконечно
удаленной плоскости коническое сечение и поэтому приводится к одному
из двух видов (8), так как группы (7) оставляют на месте точку х = у =
= z = 0. Остается еще рассмотреть второй и третий случаи, в каждом
из которых на месте остается некоторая прямая из бесконечно удаленной
плоскости.
Если G оставляет на месте некоторую прямую из бесконечно
удаленной плоскости и преобразует точки этой плоскости шестипараметрически,
то соответствующую группе G группу X\f... Xmf можно привести к
одному из следующих двух видов:
zp> zq, xp, yp, xq, yq, zr
zp, zq, xq, xp - yq, yp, xp + yq + c(xp + yq + zr)
(см. стр. 116, И). Отсюда следует, что без учета свободных трансляций груп-

па G имеет один из двух видов:
zr + а7р + (37q + 77Г
xp + yq + c(xp + yq + zr) + aop + Аз9 + 7б^-
(с)
(Д)
Свободных трансляций либо нет вообще, либо их две: р и q, либо все три:
Р, 9, г.
В случае (С) мы немедленно получаем группы
zp, zq, xp, yp, xq, yq, zr
zp, zq, xp, yp, xq, yq, zr, p, q
zp, zq, xp, yp, xq, yq, zr, p, q, r,
(18)
(19)
первая из которых, правда, оставляет на месте точку х = у = z = 0.
Если группа (D) не содержит свободных трансляций, то, заменяя
переменные х, у, 2нах + а4, у — /З4, z + аь мы добьемся того, что ct'4, /З4, (X-i
будут равными нулю, после чего с помощью скобочной операции
нетрудно показать, что все а, (5, 7 должны обращаться в нуль. Мы приходим к
группе
zp, zq, xq, xp-yq, yp, xp + yq + c(xp + yq + zr),
(20)
которая, впрочем, оставляет на месте точку х = у = z = 0.
Если в группу (D) входят р и q, используя скобочную операцию,
нетрудно убедиться, что 7i • • • 75 равны нулю. Если с ф 0, то заменой
переменной z можно сделать 76 — 0; если же с = 0, то 76 может принимать
одно из двух значений: 0 или 1. Таким образом, мы получаем следующие
две группы:
zp, zq, xq, xp-yq, yp, xp + yq + c{xp + yq + zr), p, q
(21)
yzp, zq, xq, xp-yq, yp, xp + yq + r, p, q.
При наличии всех трех трансляций р, q, r мы имеем группу
zp, zq, xq, xp-yq, yp, xp + yq + c(xp + yq + zr), p, q, r. (22)

В случае, когда G преобразует точки бесконечно удаленной плоскости
пятипараметрически, соответствующая группа X\f ...Xmf может иметь
один из следующих двух видов:
zp, zq, xq, xp - yq, yp, xp + yq + zr
zp, zq, xq, xp-yq, yp
(см. стр. 117, III). Отсюда следует, что сама G может принимать один из
видов:
(zp, zq, xq, xp-yq, yp, xp + yq + zr
\zp, zq, xq, xp-yq, yp
(zp, zq, xq, xp-yq, yp, xp + yq + zr, p, q
I zp, zq, xq, xp - yq, yp, xp + yq + zr, p, q, r
J zp, zq, xq, xp - yq, yp, p, q
[zp, zq, xq, xp-yq, yp, p, q, r.
Итак найдены все проективные группы пространства х, у, z,
обладающие инвариантной плоскостью, но не имеющие инвариантных точек.
Эти группы образуют тринадцать типов, представителями которых
являются группы (б), (8), (19), (21), (22) и (24). Два из этих типов содержат
существенный параметр.
Предположим, что вычисления, проиллюстрированные только что на
нескольких примерах, проделаны для всех случаев. Тогда мы имели бы все
проективные группы, оставляющие на месте некоторую плоскость, но наша
задача полностью решена бы не была. Действительно, хотя все полученные
нами группы представляли бы различные типы подгрупп в общей линейной
группе (1), стр. 237, нужно было бы еще установить, нет ли среди них
таких, которые сопряжены друг другу в общей проективной группе; такие
группы в общей проективной группе принадлежали бы одному и тому же
типу, и поэтому каждый раз мы должны были бы оставлять лишь одну из
них, отбрасывая все остальные.
Если две подгруппы группы (1), не сопряженные друг другу в этой
группе, сопряжены в общей проективной группе, то очевидно, что кроме
бесконечно удаленной плоскости они должны оставлять на месте и
некоторую другую плоскость. Поэтому, чтобы определить, какие из найденных
подгрупп группы (1) являются лишними, мы должны для каждой их этих

подгрупп выяснить, не оставляет ли она на месте какую-нибудь лежащую
в конечном плоскость. Эту инвариантную плоскость, если она существует,
нужно с помощью проективного преобразования перевести в бесконечность
и установить, получится ли при этом подгруппа группы (1), сопряженная
в этой группе некоторой другой из найденных нами ее подгрупп.
Избавившись таким образом от всех лишних подгрупп группы (1), мы сможем с
уверенностью утверждать, что для каждого типа проективных групп,
обладающих инвариантной плоскостью, мы имеем ровно по одному
представителю.
Нам осталось еще найти все проективные группы, которые
оставляют на месте некоторую точку. Но эти группы легко получаются из групп,
оставляющих на месте некоторую плоскость, с помощью двойственного
преобразования. Очевидно, что новые типы проективных групп мы
получим при этом лишь из тех подгрупп группы (1), которые не имеют
инвариантных точек. Таким образом, если мы знаем все подгруппы группы (1),
нам нужно лишь найти группы, двойственные группам (6), (8), (19), (21),
(22), (24).
Здесь мы можем воспользоваться двойственным преобразованием (13),
стр. 205, которое определяется полярным преобразованием поверхности
второго порядка z — ху — 0. Это двойственное преобразование переводит
бесконечно удаленную плоскость в бесконечно удаленную точку прямой
х = const, у = const. Применив это преобразование к только что
упомянутым группам, мы получим группы
( р, q, г, хр + 2yq + zr, yp, xq, хр - yq, xr, уг,
I x{xp-\-yq-\-zr), y{xp + yq + zr) _
j р, q, г, хр, yp, xq, yq, xr, yr, zr, x(xp + yq + zr),
{ y{xp + yq + zr)
( r, xr, yr, p - 2y{xp + yq + zr), xp - yq,
\ q — 2x(xp + yq + zr)
I r, xr, yr, zr, p — 2y(xp-\-yq-\-zr), xp — yq,
[ q — 2x(xp + yq + zr)
( xr, yr, xp, yp, xq, yq, zr, x(xp + yq + zr),
I y(xp + yq + zr)
j r, xr, yr, xp, yp, xq, yq, zr, x(xp + yq + zr),
[ y(xp + yq + zr)
(8')
(19')

( xr, yr, xq, xp — yq, yp, xp + yq — czr, x(xp + yq + zr),
y(xp + yq + zr) ,21,,
xr, yr, xq, xp — yq, yp, xp + yq + r, x{xp + yq + zr),
y{xp + yq + zr)
r, xr, yr, xq, xp-yq, yp, xp + yq - czr, x(xp + yq + zr), _,.
y(xp + yq + zr)
[ xr, yr, xq, xp-yq, yp, zr, x(xp-\- yq + zr), y(xp + yq + zr)
r, xr, yr, xq, xp-yq, yp, zr, x(xp + yq + zr)y y(xp + yq + zr)
xr, yr, xq, xp — yq, yp, x(xp -f yq + zr), y(xp -\-yq-\- zr)
{ r, xr, yr, xq, xp-yq, yp, x{xp + yq + zr), y(xp + yq + zr).
(24')
Эти группы являются представителями всех типов проективных групп,
которые оставляют на месте некоторую точку, но не обладают инвариантными
плоскостями.
Группы (8') оставляют на месте цилиндр 4ху — 1 = 0. Они примут
несколько более простой вид, если в качестве инвариантного цилиндра
выбрать цилиндр у — \х2 = 0 (ср. стр. 192).
§ 59. Проективные группы пространства, обладающие
инвариантной прямой.
Каждая из оо4 прямых пространства допускает некоторую одинна-
дцатипараметрическую проективную группу. Если эту прямую с помощью
проективного преобразования перевести в ось пучка плоскостей z — const,
то соответствующая одиннадцатипараметрическая проективная группа
примет вид
р, q, r, xp, yp, zp, xq, yq, zq, zr, z(xp + yq + zr). (25)
Таким образом, все сводится к тому, чтобы найти все подгруппы
группы (25).
Вместо того, чтобы искать подгруппы самой группы (25), мы сначала
отыщем подгруппы некоторой группы четырехмерного пространства Щ,
имеющей с (25) одинаковую структуру. К этой группе пространства i?4 мы
приходим следующим образом.

Прямые пространства х, у, z можно рассматривать как вырожденный
линейный комплекс этого пространства, поскольку оо3 прямых,
пересекающих некоторую фиксированную прямую, образуют вырожденный
линейный комплекс. Например, уравнение
dz + \{x dy-y dx) = 0 (26)
при А ф 0 задает невырожденный комплекс, но если Л = 0, то это
уравнение определяет вырожденный комплекс всех прямых, пересекающих ось
пучка плоскостей z = const. В соответствии с этим, десятипараметриче-
ская проективная группа линейного комплекса (26) (ср. стр. 125) при А = О
имеет вид
Г р, q> г, xq> xp - yq, ypy xp + yq + 2zr> zp, zq, .^
\ z(xp + yq + zr)
Эта группа (27) является инвариантной подгруппой в (25).
В соответствии со сказанным на стр. 140, десятипараметрическая
группа невырожденного линейного комплекса имеет ту же структуру, что и
группа всех конформных преобразований пространства х, у, z. Но эта
последняя группа, в свою очередь, имеет ту же структуру, что и проективная
группа невырожденной поверхности второго порядка в R± или, что
равносильно, группа неевклидовых движений пространства R±. (Позже, в
главе 18 мы еще к этому вернемся.) Таким образом, группа невырожденного
комплекса в R% имеет ту же структуру, что и группа неевклидовых
движений в i?4- Поэтому весьма возможно, что группа (27), будучи вырожденным
случаем группы линейного комплекса, имеет ту же структуру, что и группа
евклидовых движений в i?4, поскольку в эту последнюю группу
вырождается группа неевклидовых движений. Группа (25) будет тогда иметь ту же
структуру, что и группа евклидовых движений и преобразований подобия
пространства R^.
В самом деле, так все и происходит. Группа евклидовых движений
и преобразований подобия пространства R± состоит из всех проективных
преобразований пространства i?4, оставляющих на месте бесконечно
удаленное плоское трехмерное многообразие Ms в R4 и некоторую лежащую
в этом многообразии невырожденную поверхность второго порядка. Пусть
х\, #2? яз> х\ — прямоугольные координаты в Д4, t = 0 — уравнение
многообразия Мз, а
t = 0, х\Х2 — Х3Х4 = 0 (28)

— уравнения инвариантной поверхности второго порядка в Мз. Тогда
группа пространства Щ, о которой идет речь, имеет вид*:
Рь Р2, Рз, Pa, xipi + х2Р2 + ^зРз + ^4Р4 = U,
хаР\ + х2Рз = Su Х3Р1 + Х2Р1 = Ти
х\Р\ - Х2Р2 + %зРз - %4Р4 = S2, xipi - Х2Р2 - %зРз + ^4^4 = Т2,
хзР2 + ^iP4 = 5з, хАр2 + xip3 = Г3.
(29)
Эта группа действительно имеет то же строение, что и группа (25). Это
легко увидеть, если построить следующее соответствие между инфините-
зимальными преобразованиями обеих групп:
Si = xq, S2 = yq- xp, S3 = ур,
Ti=r, T2=xp + yq + 2zr, T3 = -z(xp + yq + zr), ^q)
Pi = ^, P2 = ~Zp, P3 = -^, p4 = P,
U = xp + yq.
To, как эти группы связаны друг с другом, станет еще более ясным
если заметить следующее. Преобразования Si, S2, S3 оставляют на месте
оо1 образующих
t = О, A#i — fiX3 = 0, /х#2 — Ах4 = 0 (31)
поверхности (28), а соответствующие им преобразования из группы (25)
оставляют на месте все плоскости пучка z = const. С другой стороны,
преобразования 7\, Тг, Тз оставляют на месте все оо1 образующих
t = О, A#i — /ЛХ4. = 0, /i.T2 — Ахз = 0 (32)
поверхности (28), а соответствующие им преобразования из группы (25)
оставляют на месте все точки на оси пучка z — const. Наконец, под
действием преобразований р\, р2, рз, Pa, U на месте остаются все точки
*В Math. Апла/ел, В<± 5, Ли показал, что общая проективная группа трехмерного
пространства изоморфна группе всех контактных преобразований, переводящих линии кривизны
в линии кривизны. Там же он заметил, что группа, названная первой, имеет ту же
структуру, что и группа всех конформных преобразований четырехмерного пространства. Далее он
показал, что наибольшая проективная группа пространства Яз, обладающая инвариантной
прямой, имеет ту же структуру, что и группа всех преобразований подобия пространства Щ.
Затем, в десятом томе норвежского архива он свел классификацию всех проективных групп
пространства Яз, обладающих инвариантной прямой, к классификации всех групп
преобразований подобия пространства R^.

бесконечно удаленного плоского многообразия Мз, в то время как
соответствующие преобразования из (25) сохраняют все плоскости из пучка
z — const и все точки на оси этого пучка.
Отсюда видно, что оо1 плоскостям, проходящим через инвариантную
относительно группы (25) прямую, соответствуют оо1 образующих (31)
поверхности (28), а оо1 точкам этой прямой соответствуют оо1
образующих (32) поверхности (28).
Эту взаимосвязь между группами (25) и (29) мы используем прежде
всего для того, чтобы найти двойственное преобразование пространства
х, у, г, относительно которого группа (25) будет инвариантна.
Заметим, что преобразование
х[ = Х\, х'2 = Х2, х'з = Х4, #4 — х3 (33)
оставляет на месте поверхность (28), но переводит друг в друга оба
семейства ее образующих; при этом группа (29) переходит в себя, а ее инфи-
нитезимальные преобразования переставляются между собой. В
пространстве х, у, z преобразованию (33) отвечает некоторое преобразование, при
котором плоскости z = const заменяются точками своей оси. Это
преобразование можно получить, если установить такое взаимно однозначное
соответствие между инфинитезимальными преобразованиями из группы (25),
которое бы отвечало действию преобразования (33) на инфинитезимальных
преобразованиях (29). Таким образом мы получим следующие уравнения
для этого искомого преобразования пространства х, у, z:
x'q' — г, y'q' — х'р' — хр + yq 4- 2zr,
г' = xq, x'p' + y'q' + 2z'r' = yq — хр,
а само это преобразование будет иметь вид
{~/ _ г I _ xp+yq+zr i _ _р
~ «' У - я ' *~ я> (34)
р' - -zq, q' = q, r' = xq.
Это есть однородное контактное преобразование, задаваемое уравнением
у' - у + xz' - x'z - 0 (35)
(ср. том II, теор. 15, стр. 150). Так как уравнение (35), очевидно, определяет
линейный комплекс, ясно, что преобразование (34) является не чем иным,

как двойственным преобразованием, соответствующим этому линейному
комплексу.
Итак, мы нашли двойственное преобразование пространства х, у, z,
сохраняющее группу (25).
Займемся теперь тем, что опишем подгруппы группы Gn (29); зная
эти подгруппы, мы сможем с помощью формул (30) без труда выписать все
подгруппы группы (25).
Нашу задачу существенно упрощает то, что инфинитезимальные
преобразования
5Ь S2, 53, Гь Т2, Гз, U (36)
порождают семипараметрическую подгруппу G-j в (29), которая имеет то
же строение, что и группа
р, хр, х2р, q, yq, y2q, r, (37)
а подгруппы этой последней группы уже найдены на стр. 207-210. Правда,
там переменные х и у в (37) считались равносильными; но это не имеет
значения, так как это эквивалентно тому, что равносильными будут
считаться оба семейства образующих поверхности (28), что, в свою очередь,
эквивалентно действию двойственного преобразования (34).
Теперь все подгруппы группы Gn (29) можно найти с помощью
рассуждений, аналогичных рассуждениям, проведенным на стр. 211 и стр. 237-
238. Поэтому мы можем быть предельно краткими.
Всякая подгруппа д группы Сц содержит, во-первых, несколько,
скажем т, независимых инфинитезимальных преобразований вида
Xkf 4- afciPi + ct'fc2P2 + аьзРз + OLk4P4 (A; = 1... m),
где Xif... Xmf порождают m-параметрическую подгруппу группы Gj (36),
а во-вторых, некоторое количество свободных трансляций
PjlPl + Pj2P2 + Pj3P3 + Pj4P4 (j = 1 • • • О,
которые сами по себе порождают инвариантную подгруппу в д. При этом
можно считать, что группа X\f ... Xmf имеет один из нормальных видов,
перечисленных в таблице на стр. 209-210.
Чтобы выяснить, какие свободные трансляции могут входить в
группу д, нужно установить, какие плоские многообразия, принадлежащие
бесконечно удаленному плоскому многообразию Мз пространства R4,
инвариантны относительно группы X\f ... Xmf. Каждому такому многообразию

соответствует некоторая группа трансляций, которая может быть
порождена свободными трансляциями из д. Однако во многих случаях совсем
не обязательно [??] рассматривать все такие многообразия, так как
группа (36) может содержать преобразования, которые оставляют на месте
группу Xif... Xmf, а названные многообразия переводят друг в друга. Кроме
того, нужно помнить, что семейства образующих поверхности F<i (28)
считаются равносильными.
Пусть 7 — одна из тех групп свободных трансляций, которые могут
содержаться в д. Нужно определить все группы д, которые содержат в
точности трансляции из 7- Прежде всего, с помощью скобочной операции можно
убедиться, что некоторые из констант o^i, &k2<> &кз> ak± будут равны
нулю. Остальные константы, по крайней мере частично, можно обнулить с
помощью подходящих преобразований из Gn (29), однако при этом можно
использовать лишь те преобразования из Gn, которые сохраняют группу 7
и (га + 4)-параметрическую группу
Xif ...Xmf, P1...P4.
В приведенной ниже таблице для каждого нормального вида группы
Xif... Xmf указано, какие свободные трансляции могут входить в
соответствующую группу д и как под действием группы Xif... Xmf
преобразуется поверхность Ръ (28).
I. F<i преобразуется гиестипараметрически:
5ъ S2, 5з, Ть Т2, Г3; Sb S2, ^з, Ть Т2, Т3, С/;
свободные трансляции: отсутствуют; все четыре.
П. 1*2 преобразуется пятипараметрически; образующая из одного из
семейств инвариантна:
Si, ^2, ^З! Ti, T2 + C1U; Si, S2, S3, Ti, Т2, U\
свободные трансляции: отсутствуют; pi, p±\ все четыре.
HI. i<2 преобразуется четырехпараметрически:
А) Двойная образующая из одного из семейств инвариантна:
Si, S2, S3, Ti; Si, S2, S3, Ti +U; Si, S2, S3, Ti, U\
свободные трансляции: отсутствуют; pi, p±\ все четыре.

B) Две образующих из одного из семейств инвариантны:
Sb З21 S3, T2+aU; Sb S2, S3, Т2, J7;
свободные трансляции: отсутствуют; рь р4; все четыре.
C) Каждое семейство обладает одной инвариантной образующей:
Si, S2 +atf, Гь Г2 +bU; Su S2, Гь Т2, U;
свободные трансляции: отсутствуют; р\\ рь p±\ рь р3, р4; все четыре.
IV. F2 преобразуется трехпараметрически:
A) Все образующие из одного из семейств:
Si, S2, S3; Si, S2, S3, U;
свободные трансляции: отсутствуют; рь р\\ все четыре.
B) Одна образующая из одного из семейств и одна двойная
образующая из другого:
Si, S2 + at/, Гь Si, S2 + at/, Тг + U; Sb S2, Tb t/;
свободные трансляции: отсутствуют; p\\ pi, рз; pi, P4; pi, рз, р±, все
четыре.
C) Одна образующая из одного из семейств, две из другого:
Sb S2 + aU, T2 + bU; Sb S2, T2, t/;
свободные трансляции: отсутствуют; рь pi, p±, pi, рз; pi, рз, Ра\ все
четыре.
D) По образующей из каждого семейства:
Si, S2 + сТ2 + aU, Ti (с ^ 0); Sb S2 + сГ2, Ть U {с ф 0);
свободные трансляции: отсутствуют; pi; pi, p±\ pi, рз, р^\ все четыре. Если
с = 1, то на месте остаются еще и оо1 касательных к F2, и, следовательно,
свободными могут быть еще трансляции pi, рз +р±.
E) Точка вне поверхности вместе со своей полярной плоскостью:
Si+rb S2+T2, Ss+Ts; Si+Гь S2 + T2, S3 + T3, U;
свободные трансляции: отсутствуют; рз — р\\ pi, p2, рз + Ра\ все четыре.

V. F2 преобразуется двупараметрически:
A) Одна образующая из одного из семейств, все из другого:
Si, S2+aU\ Si, S2, U;
свободные трансляции: отсутствуют; ри Рь Рз\ Pi, Ра', Рь Рз, Ра', все
четыре.
B) Одна образующая из одного из семейств и одна двойная
образующая из другого:
Si, S2 + Ti+aC/; Sb S2 + Tu U;
свободные трансляции: отсутствуют; рь pi, рз; pi, pa', Pi, Рз, Ра', все
четыре.
C) Одна образующая из одного из семейств, две из другого:
Si, S2 + сТ2 + aU {сф 0); Sb S2 + cT2, U {с ф 0);
свободные трансляции: отсутствуют; р\\ рь р3; pi, P4; Pi, Рз, Ра, все
четыре; если с — 1, то еще добавляется случай pi, рз + Ра-
D) По образующей из каждого семейства, а также точка вне
поверхности, лежащая в определяемой этими образующими касательной плоскости:
Si + Гь S2 + Г2 + aU\ Si + Ть S2 + Г2, С/;
свободные трансляции: отсутствуют; р\\ рз — Р4; Рь Рз + Ар4; Рь Рз, Ра',
Pi, P2, Рз +Р4; все четыре.
E) По двойной образующей из каждого семейства:
Si, Гь Si, Тг+U; Si + С/, Тг + С/; Sb Гь С/;
свободные трансляции: отсутствуют; рх; рь р3; рь рз + Р4; Pi, Рз, Ра', все
четыре.
F) Одна двойная образующая из одного из семейств, две из другого:
Si, T2 + aU; Si+U, T2+aU; Su T2, U;
свободные трансляции: отсутствуют; рь pi, рз; Pi, P4; Рь Рз, Ра', все
четыре.
G) По две образующих из каждого семейства:
S2 + aU, Г2 + 6С/; S2, T2, U;

свободные трансляции: отсутствуют; рь рь Р2, Pi, Pa', Pi, Рз, Ра', все
четыре.
VI. F2 преобразуется однопараметрически:
A) Одна двойная образующая из одного из семейств, все из другого:
Si; Бг+U; Su U;
свободные трансляции: отсутствуют; рьРъ Рз;Ръ Р4;Ръ Рз+Р*>Ри Рз, Ра',
все четыре.
B) По двойной образующей из каждого семейства:
Si+Ti; Sx+Тг+Щ Si+Tb [/;
свободные трансляции: отсутствуют; рь рз — Ра\ Pi, Рз + \ра', Pi, Рз, Ра',
Pi, P2, Рз + Р4; все четыре.
C) Одна двойная образующая из одного из семейств, две из другого:
Sl+T2 + aU; Si+T2, U;
свободные трансляции: отсутствуют; Pi\ Pi, Рз\ Pi, Pa', Pi, Рз, Ра\ все
четыре.
D) Две образующих из одного семейства, все из другого:
S2+aU; 52, U;
свободные трансляции: отсутствуют; р\\ р\,р2\ Pi, Рз', Pi, Pa', Pi, Рз, Ра',
все четыре.
E) По две из каждого семейства:
52 + сТ2 + aU (сф 0); S2 + сТ2, U (с ф 0);
свободные трансляции: отсутствуют; Ри Pi, p2', Pi, Pa', Pi, Рз, Ра', все
четыре. Если с = 1, то еще добавляется случай Рь рз + Р4-
VII. F2 преобразуется нулъпараметрически:
В этом случае группа X\f.. .Xmf либо имеет вид U, либо состоит
только из тождественного преобразования.
Свободные трансляции: отсутствуют; рх; рз — Pa, Pi, Pa, Pi, Рз + Р4;
Рь Р2', Pi, Рз, Pa', Pi, P2, Рз +Ра, все четыре.
Итак, все готово к тому, чтобы все подгруппы группы Gn (29) с
помощью довольно простых вычислений можно было привести к
нормальному виду. После этого, пользуясь формулами (30), нетрудно получить

нормальный вид для подгрупп группы (25). Однако нужно помнить, что
при нахождении подгрупп группы (29) оба семейства образующих
инвариантной поверхности (28) считаются равносильными, и поэтому к
получающимся подгруппам группы (25) нужно будет еще добавить группы, им
двойственные; при этом лучше всего использовать двойственное
преобразование (34). Впрочем, совсем не обязательно учитывать все группы,
двойственные подгруппам группы (25), поскольку в некоторых случаях
двойственное преобразование (34) к новым группам не приводит.
Таким образом можно найти нормальные виды для всех подгрупп
группы (25), а следовательно, и представителей всех типов тех
проективных групп пространства х, у, г, которые оставляют на месте некоторую
прямую. Однако при этом для каждого такого типа мы получим,
вообще говоря, несколько представителей. Действительно, хотя получающиеся
группы не сопряжены друг другу в (25), среди них могут найтись такие,
которые будут сопряжены друг другу в пятнадцатипараметрической общей
проективной группе. Поэтому для каждой из найденных групп нужно будет
еще выяснить, имеет ли она инвариантные прямые, отличные от оси пучка
плоскостей z — const. Если нет, то она не сопряжена ни одной из других
найденных групп и в общей проективной группе. В противном случае, эту
другую инвариантную прямую посредством проективного преобразования
нужно перевести в ось пучка плоскостей z = const, после чего
несложно установить, можно ли соответствующую подгруппу с помощью такого
преобразования перевести в какую-нибудь другую из найденных подгрупп.
Итак, мы показали, как можно найти все проективные группы,
обладающие инвариантной прямой, и даже указали, как для каждого типа таких
групп получить ровно по одному представителю. Мы не будем
проделывать все необходимые вычисления и ограничимся тем, что найдем все
проективные группы, оставляющие на месте прямую, но не обладающие ни
инвариантными плоскостями, ни инвариантными точками.
Если некоторая подгруппа группы (25) не обладает ни
инвариантными плоскостями, ни инвариантными точками, то соответствующая ей
подгруппа группы (29) не должна оставлять на месте ни одну образующую
поверхности F2 (28). Следовательно, нужно рассмотреть лишь случаи I и
IV, Е.
В первом случае наша подгруппа группы (29) содержит шесть инфи-
нитезимальных преобразований вида
Si + ацрг + ... + &i4P4, Ti + Pupi + ... + Pi4PA
(i=l,2,3),

а также, возможно, инфинитезимальное преобразование вида
U + aipi + ... + ачР4-
Свободные трансляции либо вообще отсутствуют, либо присутствуют все
без исключения.
При наличии свободных трансляций мы получаем две группы
!Su S2, 5з, Гь Г2, Гз, pi, р2, Рз, Р4 /38ч
Si, S2, 53, Гь Г2, Г3, U, pi, р2, рз, Р4-
При отсутствии свободных трансляций, а также преобразования [/ + •••
константы a2i • • • с*24 заменой переменных х\... х$ можно сделать
равными нулю, после чего с помощью скобочной операции легко показать, что
все а и Р обращаются в нуль. Если же искомая группа содержит
преобразование U Н , то сперва заменой переменных х\... х± его нужно привести
к виду U, а тогда опять же с помощью скобочной операции нетрудно
показать, что все а и /3 будут равны нулю. Итак, мы имеем еще две группы:
!Su $2, S3, Гь T2, T3
Si, S2, 5з, Ti, Г2, Гз, С/.
Во втором случае наша подгруппа группы (29) содержит три
преобразования вида
Si + Ti + aiipi + ... + a*4P4 (г = 1,2,3),
к которым еще может быть добавлено преобразование
U + aipi + ... +^4Р4-
Свободные трансляции либо вообще отсутствуют, либо имеют вид: р3 — Р4,
ИЛИрь р2, рз+Р4, ИЛИрь р2, рз, Р4.
При наличии преобразования U Н мы сразу получаем группы
'Si+rb 52 + Г2, 5з+Г3, С/
5i + Гь 52 + Г2, 53 + Г3, С/, рз - Р4 ^
Si +ГЬ 52 + Г2, S3 + Г3, С/, pi, p2, рз+Р4
KSi+Tu 52+Г2, 53+Г3, С/, pi, p2, рз, р4.

При отсутствии U + ••• необходимы несложные вычисления.
Предположим сначала, что свободных трансляций нет. Тогда
введением новых х\ и Х2 мы добиваемся того, что «21 и <^22 равны нулю. Затем,
коммутируя Si + Ti + • • • и S3 + Т3 + • • • с S2 + Т2 + • • •, мы получим
преобразования
2(Si + Ti) + 2aupi - 2ai2p2 - (^23 + a24)pi
2(S3 + T3) - 2«3iPi + 2a32P2 + («23 + a24)p2,
откуда следует, что
«12 = «13 = «14 = «3i = «зз = «34 = 0, «23 + #24 = 0.
Далее, мы имеем
(Si + 7\ + anpi, S3 + Т3 + «32p2) = -(S2 + Г2) + (an - а32)(рз + р4),
и, следовательно, «23 = <^24 = 0 и ац = «32- Заменой переменной х±
константы «11 и «32 можно сделать равными нулю, и мы получаем группу
Sx+Tu S2 + T2, S3 + T3. (41)
В остальных случаях мы аналогичным образом приходим к группам
fSi+Ti, S2+T2, S3 + T3, РЗ-Р4
<Si+Tu S2 + T2, S3 + T3, рь pa, Рз+Р4 (42)
[Si +ГЬ S2 +T2, S3 + T3, pi, P2, рз, P4-
Итак, найдены все подгруппы группы С?и (29), не оставляющие на месте
ни одну образующую поверхности (28).
Подгруппы группы (25), соответствующие группам (38)-(42), имеют

вид:
xq, xp - yq, yp, г, хр + yq + 2zr, z
xq, xp - yq, yp, r, xp + yq + 2zr, г
xq, xp - yq, yp, r, xp + yq + 2zr, z
Щ + Л ОТ + гг, до — z(xp + yg + zr
xq + г, уд + zr, yp — z(xp +yq + zr
xq + r, yq + zr, yp — z(xp + yq + zr
xq + r, yq + zr, yp - z(xp + yq + zr
xg + r, от + zr, до - z(xp + yq + zr
xg + г, уд + zr, до — z(xp + yq + zr
xq + r, от + ^ УР - *(яр + ОТ + ^r
[xg + г, от + zr, yp - z(xp + yq + zr
xp + yq + zr)
xp + yq + zr), xp + от
xp + yq + zr), p, q, zp, zq
, xp + yq
, p + zq
, xp + yq, p + zq
, q, zp, p-zq
i xp + yq, я, zp, p- щ
, p, q, zp, zq
, xp + yq, p, q, zp, zq.
(43)
Эти группы вместе с самой группой (25) являются представителями всех
типов проективных групп, обладающих инвариантной прямой, но не
имеющих ни инвариантных точек, ни инвариантных плоскостей.
В заключение, мы найдем еще все инвариантные подгруппы
группы (29), что позволит нам указать все инвариантные подгруппы
группы (25).
Группа (29) не обладает инвариантными плоскими многообразиями,
лежащими в М3. Поэтому каждая из ее инвариантных подгрупп содержит
либо все трансляции р\.. .р\, либо вообще ни одной. В противном случае
все ее инфинитезимальные преобразования имели бы вид
4
aiSi + a2S2 + a3S3 + $ХТХ + (32Т2 + (33Т3 + ^ Ъри
г=1
где не все а, (3 равны нулю, и коммутируя эти преобразования с pi... р±
мы пришли бы к противоречию. Таким образом, она должна содержать все
трансляции.
Трансляции р\... р4 сами порождают инвариантную подгруппу в (29).
Поэтому если инвариантная подгруппа группы (29) кроме р\.. ,р±
содержит еще и другие инфинитезимальные преобразования, то эти
преобразования можно выбрать так, что они будут порождать инвариантную подгруппу
группы Gr (36). Но все инвариантные подгруппы группы G-? легко
получаются из инвариантных подгрупп группы (37), которые были выписаны на

стр. 210. Таким образом, группа Сц (29) содержит следующие
инвариантные подгруппы:
Грь Р2, Рз, Ра\ Pi, Р2, Рз, Р4, U
1рь Р2, Рз, Р4, Si, 52, 53; рь Р2, Рз, Р4, 5i, 52, 5з, U
|Рь Р2, Рз, Р4, Ть ^2, Г3; рь Р2, рз, Р4, Ть ^2, ?з, U
1рь Р2, Рз, Р4, Si, 52, 53, Гь Г2, Г3.
Этим самым мы нашли и инвариантные подгруппы группы (25),
однако выписывать их в явном виде нам нет никакой надобности.
Итак, мы в достаточной мере обсудили методы нахождения всех
проективных групп пространства х, у, г, оставляющих на месте точку, либо
прямую, либо плоскость. В заключение, мы обратим внимание читателя на
то, что результаты этого и предыдущего параграфов действительно
позволяют сверить проделанные в них вычисления, а с другой стороны,
дополняют друг друга. Так, в § 58 мы нашли все проективные группы, которые
оставляют на месте точку или плоскость, но не обладают инвариантными
прямыми. В настоящем параграфе эти группы, разумеется, не
рассматривались. Группы же, которые оставляют на месте прямую, но не обладают
инвариантными точками и плоскостями, в §58 не учитывались — зато они
были описаны в настоящем параграфе.
Отыскав все проективные группы пространства х, у, г, можно без
особого труда найти и все линейные однородные группы от четырех
переменных. Для этого нужно просто применить методы, развитые в главе 6.
§60
Единственной примитивной проективной группой пространства х, у, г,
подгруппы которой мы еще подробно не изучили, является десятипарамет-
рическая проективная группа невырожденного линейного комплекса*.
Сейчас мы вкратце расскажем, как можно легко найти все ее
подгруппы.
Точная классификация подгрупп этой группы была предъявлена в диссертации г-на Кноте
(Archiv for Math, og Namrv., Bd. 15, 1892 г.). Использованные им методы берут свое
начало [принадлежат ???] в исследованиях Ли, который изложил г-ну Кноте приводимые далее
рассуждения.

Если соответствующий линейный комплекс задается уравнением
dz + х dy — у dx = О, (45)
то (см. стр. 125) его десятипараметрическая проективная группа имеет вид
р — yr, q + хт, г,
р — yr, q -\- хт, г,
xq, xp - yq, yp, xp + yq + 2zt,
zp — у(хр + yq + zt), zq + x(xp + yq + zt),
z{xp + yq + zt).
(46)
Как же определить, какие типы подгрупп содержит эта группа (46), и
как найти по представителю для каждого из этих типов?
Очевидно, что ни одна из примитивных проективных групп
пространства х, у, z (см. стр. 226-227) не может содержаться в группе
линейного комплекса, и поэтому каждая подгруппа группы (46) импримитивна и,
в соответствии со сказанным на стр. 236, оставляет на месте либо
пространственную кривую третьего порядка, либо прямую, либо точку вместе
с проходящей через нее плоскостью комплекса.
Если подгруппа группы (46) не обладает ни инвариантной прямой,
ни инвариантной точкой, то она непременно является трехпараметриче-
ской проективной группой некоторой пространственной кривой третьего
порядка. Эта кривая должна принадлежать нашему комплексу. Поскольку,
как известно, любая из оо7 принадлежащих ему пространственных кривых
третьего порядка посредством проективного преобразования,
оставляющего этот комплекс на месте, может быть переведена в любую другую такую
кривую, мы видим, что все такие трехпараметрические подгруппы
группы (46) сопряжены друг другу и образуют лишь один тип подгрупп. В
качестве представителя этого типа мы выбираем группу
Г р + 2xq - ут, xp + 2yq + 3zr, ,_
\ zq + х{хр + yq + zt) - \ур,
которая оставляет на месте принадлежащую комплексу (45) кривую
третьего порядка
х3
у = х2, z = -— (48)
(ср. стр. 186).
Если подгруппа группы (46) обладает инвариантной прямой, то эта
прямая либо принадлежит нашему комплексу, либо не принадлежит.

Наибольшая подгруппа группы (46), оставляющая на месте не
принадлежащую нашему комплексу прямую, является шестипараметрическои
и приводится к виду
Г xq, хр - yq, ур,
\ г, хр + yq + 2zr, z(xp + yq + zr), ^ '
если в качестве инвариантной прямой выбрать ось пучка плоскостей z =
= const. Но группа (49), очевидно, имеет ту же структуру, что и шести-
параметрическая проективная группа невырожденной поверхности второго
порядка, и, следовательно, ее подгруппы легко указать, используя
результаты, приведенные на стр. 203-204, после чего останется лишь выяснить, нет
ли среди полученных таким образом подгрупп группы (49) таких, которые
сопряжены друг другу в (46).
Наибольшая подгруппа группы (46), оставляющая на месте прямую,
принадлежащую нашему комплексу, является семипараметрической и
имеет вид
Г p-yr, q + xr, xq, yq + zr,
\ r, xp + zr, zq +x(xp + yq +zr), ^ '
если в качестве инвариантной прямой комплекса выбрать ось пучка
плоскостей х = const. Эта группа (50) имеет ту же структуру, что и семи-
параметрическая группа евклидовых движений и преобразований подобия
(см. стр. 211). Голоэдрический изоморфизм между этими группами задается
следующими формулами:
г = р, q + xr = —г, xq = g,
хр + zr = хр — yq, yq 4- zr = хр + yq + zr, (51)
p — yr = Izp + yr, zq + x(xp + yq + zr) = — (2zq + xr).
Используя результаты, полученные в § 52, мы немедленно можем выписать
все подгруппы группы (50), и нам останется только выяснить, не
сопряжены ли некоторые из полученных таким образом подгрупп группы (50) в
группе (46).
Займемся, наконец, подгруппами группы (46), оставляющими на месте
некоторую точку вместе с ее полярной плоскостью, но не обладающими
инвариантными прямыми.
Если в качестве инвариантной точки выбрать полюс бесконечно
удаленной плоскости относительно нашего комплекса, то наибольшая подгруп-

па группы (46), оставляющая эту точку на месте, будет иметь вид
Г p-yr, q + хт, т, ^
[ xq, хр — yq, yp, xp + yq + 2zr.
Таким образом, нам нужно найти все подгруппы группы (52), не
оставляющие на месте прямых.
Группа (52) содержит однопараметрическую инвариантную
подгруппу, а именно г, и поэтому она мериедрически изоморфна шестипараметри-
ческой группе
р, q, xq, хр - yq, yp, хр + yq. (53)
Более того, легко увидеть, что группа (53), рассматриваемая как
проективная группа плоскости х, у, бесконечно удаленные точки этой плоскости
преобразует так, как группа (52) преобразует оо1 прямых комплекса,
принадлежащих бесконечно удаленной плоскости пространства х, у, г. Далее,
отбрасывая в каждой подгруппе д группы (52) все члены, содержащие г,
мы получим укороченную группу 7* которая будет голоэдрически или
мериедрически изоморфна группе д и, кроме того, будет лежать в (53). Если
д и д' — две сопряженные подгруппы группы (52), то соответствующие
группы 7 и У будут, очевидно, сопряжены друг другу в (53).
Если теперь подгруппа д группы (52) не обладает инвариантными
прямыми, то она не может оставлять на месте никакую прямую комплекса, и
поэтому соответствующая укороченная группа 7> понимаемая как группа
плоскости х, у, должна преобразовывать бесконечно удаленные точки этой
плоскости трехпараметрически. Отсюда следует (ср. стр. 95), что 7
посредством подходящего преобразования из группы (53) приводится к одному из
следующих четырех видов:
(xq, xp-yq, yp
I xq, хр - yq, yp, xp + yq
< (54)
xq, xp - yq, yp, p, q
[xq, xp-yq, yp, xp + yq, p, q.
Таким образом, если группа д содержит преобразование г, то она должна

приводиться к одному из видов
(xq, xp-yq, yp, r
\xq, xp-yq, yp, xp + yq + 2zr, r
(xq, xp-yq, yp, p-yr, q + хт, г
}xq, xp — yq, yp, xp + yq + 2zr, p — yr, q + xr, r.
Если же д не содержит 7, то соответствующая укороченная группа 7 не
может приводиться к последним двум из групп (54), поскольку тогда 7
содержала бы два преобразования вида
р — ут + ат, q + хт + /?r,
коммутирование которых, вопреки нашему предположению, давало бы
преобразование г. Если группа 7 имеет первый или второй из видов (54), то д,
как легко убедиться, приводится к одному из видов
xq, xp - yq, yp
xq, xp - yq, yp, xp + yq,
но эти группы так же, как и группы (55), оставляют на месте прямую х =
= у = 0 и поэтому из рассмотрения исключаются.
Отсюда видно, что каждая подгруппа группы (46), не обладающая
инвариантными прямыми, сопряжена в (46) либо одной из двух групп (55'),
либо группе (47).
В заключение, мы еще покажем, что каждая подгруппа группы
линейного комплекса является самодвойственной.
Если уравнение линейного комплекса (45) записать следующим
образом:
z' — z 4- xyf — у'х — 0, (56)
то оно будет определять некоторое двойственное преобразование, которое
можно представить в виде однородного контактного преобразования
I х - , у - z - , (5?)
(^ р — —ут, q = хт, т —т.
Так как это двойственное преобразование оставляет на месте каждое ин-
финитезимальное преобразование из (46), очевидно, что оно сохраняет и
каждую подгруппу группы (46).

Сделаем еще несколько замечаний, касающихся классификации проективных
подгрупп пространства Rn.
Наибольшая проективная группа пространства Rn, оставляющая на месте
плоское ^-мерное многообразие Mq, имеет вид
\q A ...P(n-,)(?tl), f/, (58)
^ Oi ... £g(g+2), ±1 ... i(n_g_i)(n_g+i).
Здесь преобразования Р попарно перестановочны и порождают инвариантную
подгруппу, преобразования S порождают группу, имеющую ту же структуру, что и
общая проективная группа пространства Rq, а преобразования Т — группу, имеющую
ту же структуру, что и общая проективная группа пространства Rn-q-\. Кроме
того, каждое преобразование S перестановочно с каждым Т, a U перестановочно
со всеми S и Т. Зная теперь все проективные группы пространств Rq и Rn-q-i,
можно подобно тому, как в главе 10, найти все подгруппы группы С/, Si ..., 7 \ ...,
а затем с помощью рассуждений, аналогичных рассуждениям из § 59, отыскать все
подгруппы группы (58), то есть все проективные группы пространства Rn,
оставляющие на месте некоторое плоское многообразие Mq.
Особенно простым является описание всех интегрируемых* проективных
групп пространства Rn. Каждая такая группа оставляет на месте по меньшей
мере одно плоское многообразие Mn-i и преобразует точки этого многообразия
посредством интегрируемой проективной группы. Таким образом, если известны все
интегрируемые проективные группы пространства Яп-ь то нахождение всех таких
групп в случае Rn сводится к решению линейных уравнений.
Рассуждения из § 55 также могут быть использованы для нахождения
некоторых проективных групп пространства Rn.
* Интегрируемой мы называем всякую группу, которая обладает структурой, указанной в
томе I, на стр. 265. Обоснование для этого термина будет дано позже.

Часть III
Исследования различных видов
групп в n-мерном пространстве

В первой части этого тома мы отыскали все конечные непрерывные
группы плоскости. Во второй части было найдено большое количество
конечных непрерывных групп обыкновенного пространства, а нахождением
всех таких группы мы не занимались лишь потому, что это заняло бы
слишком много места, а не из-за каких-то особых трудностей.
Иначе обстоит дело в случае пространства произвольной
размерности п. Нахождение всех групп такого пространства пока вообще не
представляется возможным; мы даже не в состоянии описать все примитивные
группы n-мерного пространства. Поэтому здесь мы ограничимся
изучением нескольких особых групп пространства Rn, и это будут исключительно
те группы, которые нам уже встречались в случаях п = 2ип = 3и которые
являются обобщениями рассмотренных там групп на случай пространства
размерности п.
Последняя глава этой части посвящена вещественным группам. До сих
пор в изучаемых нами группах мы все переменные и параметры
понимали как комплексные величины, однако в этой главе мы будем считать, что
переменные и параметры принимают только вещественные значения. Мы
отводим для этого целую главу потому, что вопросы, возникающие при
переходе к вещественному случаю, сами по себе чрезвычайно интересны, а
также потому, что некоторые результаты относительно вещественных групп
нам понадобятся в следующей части, которая посвящена изучению
оснований геометрии.

Глава 14
Группы, имеющие ту же структуру, что
и некоторые проективные группы
В этой главе мы опишем все группы от как можно меньшего числа
переменных, которые имеют ту же структуру, что и следующие три
проективные группы пространства Rn: общая проективная группа, общая
линейная или специальная линейная группа этого пространства. В случае общей
проективной группы пространства Rn мы найдем еще и все группы от п +1
переменных, имеющие с ней одинаковую структуру.
Природа этого предмета такова, что аналогичным образом можно
решить и много других задач этого типа.
§6i
Как нам известно, общая проективная группа пространства Rn
содержит ровно п(п + 2) = N параметров, и поэтому для краткости мы будем
называть ее группой Сдг.
Пусть &n — некоторая группа от га переменных х\.. .хт, имеющая
ту же структуру, что и группа Сдг, где число т принимает наименьшее
возможное значение. Тогда число т должно в точности равняться п, поскольку
если бы га было меньше, чем п, то группа Gn содержала бы подгруппы с
по меньшей мере N — т> N — п параметрами, в то время как группа Сдг
не содержит подгрупп с более, чем N — п параметрами (см. том I, предл. 3,
стр. 206, и теор. 101, стр. 569). По той же причине ясно, что группа G^ от
п переменных х\... хп должна быть транзитивной.
Чтобы найти все возможные виды группы Сдг, разложим ее инфините-
зимальные преобразования в окрестности некоторой точки х\ ... х^ общего
положения по степеням величин х\ — х\, ..., хп — х^п.
Поскольку группа Gn является транзитивной, она содержит ровно N—
—п = п(п+1) независимых инфинитезимальных преобразований порядка 1

или выше относительно хи — xv (см. том I, стр. 217). Эти инфинитезималь-
ные преобразования порождают п(п + 1)-параметрическую подгруппу д'
в Сдг, имеющую ту же структуру, что и общая линейная группа
Рк, хм» (к, iy = l...n) (1)
пространства Rn (см. том I, предл. 2, стр. 205, и стр. 569). Далее,
среди инфинитезимальных преобразований группы Сдг найдется, возможно,
несколько таких, которые имеют порядок 2 и выше относительно xv — х®;
тогда эти преобразования будут порождать подгруппу д" в Сдг, которая
будет инвариантной подгруппой группы д'. Точно так же, при наличии
инфинитезимальных преобразований порядка три и выше мы получим
подгруппу д'", которая будет инвариантна как в д", так и в д', и т. д. Пусть,
наконец, s — наибольший порядок, который могут иметь инфинитезималь-
ные преобразования из Сдг. Тогда все содержащиеся в Сдг инфинитези-
мальные преобразования порядка s будут порождать некоторую подгруппу
g(s), инвариантную в каждой из групп д', д" ... д^5-1^.
Но в окрестности точки х\ ... х^ существует не более, чем пп
независимых инфинитезимальных преобразований порядка 1 относительно xv —
—х£, никакая линейная комбинация которых не дает преобразований
порядка 2 или выше, и поэтому наша группа Gn всегда будет содержать
некоторые инфинитезимальные преобразования порядка 2 относительно xv — х^.
Отсюда следует, что определенное выше число s должно быть больше
единицы, а также что инфинитезимальные преобразования из ^ будут
попарно перестановочны (том I, стр. 264, предл. 9).
С другой стороны, группа $^ является инвариантной подгруппой в д',
а д' имеет ту же структуру, что и общая линейная группа (1)
пространства Rn. Но мы знаем (см. том I, теор. 99, стр. 562), что эта группа (1)
содержит всего три инвариантные подгруппы, а именно
{Р\..-Рп\ Pi---Pn, У2хтрт;
7^1 (2)
рк, хкр„, хкрк - xvpv (/с, v = 1... п; к фи).
Поскольку лишь одна из групп (2), а именно n-параметрическая группа
Р\ • • -Рп-> состоит только из перестановочных преобразований, мы видим,
что группа д^ является п-параметрической.
Если бы число s было больше двух, то инфинитезимальные
преобразования из д^ были бы перестановочны и с инфинитезимальными преобра-

зованиями из g^5_1\ поскольку коммутируя некоторое инфинитезимальное
преобразование из д^ с инфинитезимальным преобразованием из Q^s~l\
мы бы получили преобразование порядка 25 — 2 или выше, и вследствие
25 — 2 > s оно должно было бы быть тождественно равным нулю. Кроме
того, группа д^_1\ будучи инвариантной подгруппой группы д', должна
была бы иметь ту же структуру, что и одна из двух оставшихся групп (2).
Но поскольку ни одна из этих двух групп не связана с группой р\... рп
так, как группа д^5-1^ должна быть связана с группой g^s\ мы приходим к
противоречию и заключаем, что число s должно равняться двум.
Таким образом, наша группа Сдг в окрестности точки х\ ... х„ общего
положения содержит инфинитезимальные преобразования лишь нулевого,
первого и второго порядков. При этом она содержит п независимых инфи-
нитезимальных преобразований второго порядка и пп независимых инфи-
нитезимальных преобразований первого порядка, никакая линейная
комбинация которых не дает преобразований порядка два или выше.
Следовательно, к группе Gjy можно немедленно применить результаты главы 29
первого тома (стр. 625 и 627-629) и получить следующую теорему.
Теорема 13. Среди групп от менее чем п переменных не существует
ни одной, которая имела бы ту .же структуру что и общая проективная
группа пространства Rn. Все обладающие этой структурой группы от
п переменных подобны общей проективной группе пространства Rn.
Существенно быстрее группу Gn можно определить, опираясь на
теорему 81, том I, стр. 446.
Известно, что общая проективная группа пространства Rn содержит
ровно два типа (N — п)-параметрических подгрупп и что в качестве
представителей этих типов можно выбрать группы
Pb Xkpu (fc, l/ = 1...П),
п
XkPv, %k Yl XrPr (fc, I/ = 1 . . . П)
T=l
(том I, теор. 101, стр. 569). Известно также, что существует такой
голоэдрический изоморфизм общей проективной группы пространства Rn на
себя, при котором указанные две группы соответствуют друг другу (там
же, предл. 4). Тогда из только что упомянутой теоремы 81 следует, что все
транзитивные группы от п переменных, имеющие ту же структуру, что и

общая проективная группа пространства Rn, подобны друг другу, а
следовательно, и общей проективной группе пространства Rn.
§62
Перейдем теперь к нахождению всех групп, которые имеют ту же
структуру, что и общая линейная группа
Р/с, XkPu (k,I/ = l...ri) (1)
пространства Rn, и содержат как можно меньше переменных, то есть по
крайней мере не больше, чем п.
Можно показать, что все без исключения искомые группы являются
транзитивными.
Действительно, пусть га — число, обладающее тем свойством, что
группы от га переменных, имеющие ту же структуру, что и группа (1), еще
существуют, в то время как таких групп от меньшего числа переменных
уже нет. Теперь если бы нашлась интранзитивная группа
Xkf = ^2€kfi(xi...xm)-Q— {к = l...n(n + l)),
/х=1 ^
имеющая ту же структуру, что и группа (1), то пространство х\...хп
распадалось бы на оо* (т — /)-мерных многообразий, каждое из которых было
бы инвариантно относительно группы X\f Далее, поскольку группа (1)
содержит всего три инвариантных подгруппы, группа X\f ... должна была
бы каждое из этих (га — /)-мерных многообразий преобразовывать
посредством некоторой голоэдрически изоморфной группы (см. том I, стр. 310,
предл. 8), и, следовательно, существовала бы группа от га — I < m
переменных, имеющая ту же структуру, что и группа (1), что, однако,
противоречило бы нашему предположению относительно числа т.
Так как мы доказали, что все искомые группы являются
транзитивными, то для их нахождения можно использовать результаты главы 22
первого тома. Нужно только предварительно отыскать максимальные подгруппы
группы (1), которые не являются инвариантными в (1) и не содержат
инвариантных в (1) подгрупп.
Если д является подгруппой группы (1), обладающей только что
описанным свойством, то число ее параметров равно п(п + 1) — га, где га не

превышает п. Кроме того, ясно, что д не может содержать все п трансляций
Pi.. .рп, поскольку они порождают инвариантную подгруппу группы (1).
Поэтому мы можем считать, что д содержит ровно q < n (и не более)
независимых инфинитезимальных трансляций, и так как все ^-параметрические
группы трансляций сопряжены друг другу в общей линейной группе (1)
(см. том I, стр. 558, предл. 1), мы можем, в частности, добиться того, чтобы
группа д содержала в точности следующие трансляции: р\...рд.
При сделанных нами предположениях д не может содержать ни одного
из (п — q)(q + 1) независимых инфинитезимальных преобразований
Pq+v, XlPq+v, • • • , XqPq+v (f = 1 . . . П - q)
а также ни одного из инфинитезимальных преобразований, получающихся
из них с помощью линейных комбинаций, поскольку в противном случае
с помощью коммутирования с р\... ря можно было бы получить одну из
не входящих в д трансляций. Отсюда мы заключаем, что число т равно по
меньшей мере (n — q)(q + l); с другой стороны, мы имеем т ^ п, а значит,
(п — q)(q + 1) й т ^ п
или
(n-q- 1)<?^0.
Поскольку q < n, то это условие выполняется только при q — Qwq — п — 1,
и, следовательно, т = п, то есть рассматриваемые подгруппы группы (1)
имеют ровно п(п +1) — п — пп параметров. Более того, они содержат либо
ровно п — 1 независимых инфинитезимальных трансляций, либо вообще их
не содержат. В случае п = 1 эта разница, разумеется, пропадает.
Если некоторая nn-параметрическая подгруппа группы (1) вообще не
содержит трансляций, то она порождается пп независимыми инфинитези-
мальными преобразованиями вида
п
XkPv + ^2 аь»тРт {к, v = 1... п), (3)
т=1
а значит, непременно содержит инфинитезимальное преобразование вида
п
^(хт + ат)рт.
т=1

Если в качестве новых хт выбрать выражения хт + ат, то последнее
преобразование примет простой вид
^2 ХтРт-
т=1
Коммутируя его с преобразованиями (3), мы увидим, что все а^т равны
нулю. Таким образом, мы получаем группу
ХкРи (fc, ^ = 1...п), (4)
которая является наибольшей подгруппой группы (1), оставляющей на
месте точку xi = 0,..., хп = 0.
Если же nn-параметрическая подгруппа группы (1) содержит п — 1
трансляций pi... рп и этим исчерпываются все ее трансляции, то ни в какое
из ее инфинитезимальных преобразований не могут входить выражения
вида
п— 1%п— iPm
поскольку в противном случае с помощью коммутирования с одним из
преобразований pi... Pn-i мы бы получили трансляцию рп, которая не должна
содержаться в этой подгруппе. Таким образом, соответствующая
подгруппа порождается пп независимыми инфинитезимальными
преобразованиями вида
Pv, ^vPk + ctvkPn, xnpk + ajbPn, Xnpn + apn
{v,k=l...n-l)
(ср. том I, стр. 562). Вводя хп + a в качестве новых хп и коммутируя затем
ХпРп с остальными преобразованиями, мы получим, что наша подгруппа
принимает следующий простой вид:
Pv, XvPk, ХпРк, ХпРп (У, к = 1 . . . П - 1), (5)
Очевидно, что это наибольшая подгруппа группы (1), оставляющая на
месте (п — 1)-мерные плоские многообразия хп — 0.
Итак, мы нашли все определенные выше подгруппы группы (1). Чтобы
зафиксировать полученный результат, сформулируем его в виде
предложения.

Предложение 1. Если подгруппа общей линейной группы
Рд, ХцРи (М> "= 1...П) (1)
пространства Rn не содержит групп, инвариантных в этой общей
линейной группе, то она имеет самое большое пп параметров. Если она имеет
ровно пп параметров, то в общей линейной группе она сопряжена либо
группе
x^Pv (ti,i' = l...ri), (4)
либо группе
Pk, XkPj, xnpj, хпрп (к, j = 1.. .п - 1). (5)
Если п — 1, то группы (4) и (5) совпадают; если же п > 1, то они
существенно отличаются друг от друга, поскольку группа (4), как легко
убедиться, не содержится ни в какой большей подгруппе группы (1), в то
время как группа (5) содержится в {пп + 1)-параметрической группе
Р/с, xkpj, xnpj, рп, хпрп (к, j = 1... п - 1).
Теперь мы можем воспользоваться результатами главы 22 первого
тома. Мы видим, что транзитивных групп от менее, чем п переменных,
имеющих ту же структуру, что и группа (1), нет вообще и что существует
лишь два типа транзитивных групп от п переменных, обладающих этой
структурой. Один из этих типов определяется подгруппой (4); он состоит
исключительно из примитивных групп и имеет в качестве представителя
саму группу (1). Второй тип, тот, который определяется подгруппой (5),
состоит из импримитивных групп (ср. том I, теор. 91, стр. 521), и для него
также очень просто указать представителя, поскольку мы знаем, что в
пространстве Rn существует импримитивная проективная группа, имеющая ту
же структуру, что и группа (1) (см. том I, стр. 569).
Итак, мы имеем следующую теорему.
Теорема 14. В случае, когда количество переменных меньше, чем п,
групп, имеющих ту же структуру, что и общая линейная группа
Рц, X^pv (/i, V = 1...П) (1)
пространства Rn, не существует. В случае п переменных существует
всего два типа групп, обладающих этой структурой. Представителем одного

из них является сама общая линейная группа (1), а в качестве
представителя другого типа может служить импримитивная группа
п
Vv> %kPw> ^nPn-) %к / %тРт , v
7^х (6)
(i/=l...n; к=1...п— 1),
которая состоит из всех проективных преобразований пространства Rn,
оставляющих на месте некоторую бесконечно удаленную точку Если п =
= 1, то эти два типа совпадают.
§63
Займемся теперь специальной линейной группой
{PjA) *E\lPw> %fJ,P(J, %I/Pl/ , ч
(/x,i/=l...n; \1фи)
пространства Rn и проделаем для нее то же, что в предыдущем параграфе
было сделано для случая общей линейной группы.
Поскольку группа (7) не содержит никаких других инвариантных
подгрупп кроме группы pi.. .рп, то точно так же, как на стр. 266-267, можно
убедиться, что каждая группа от как можно меньшего числа переменных,
имеющая ту же структуру, что и группа (7), обязательно транзитивна.
Чтобы определить все эти транзитивные группы, мы должны сперва отыскать
все подгруппы в (7), имеющие как можно большее число параметров, но
не содержащие все п трансляций р\.. .рп.
Как и в предыдущем параграфе, нетрудно увидеть, что каждая такая
подгруппа имеет в точности п2 + п — 1 — п — п2 — 1 параметров и что она
либо вообще не содержит трансляций, либо содержит ровно п — 1
независимых трансляций. В последнем случае мы можем считать, что она содержит
трансляции pi... pn_i.
При отсутствии трансляций соответствующая подгруппа порождается
п2 — 1 независимыми инфинитезимальными преобразованиями вида
п п
ZfiPv "г / J QfivrPri %jPj ~ %nPn i / j HjtPt
T=l T=l
(ju, i/=l...n; д#^; j=l...n— 1).

Коммутируя последние п — 1 из этих преобразований между собой, мы
получим, что все /3jn равны друг другу и что все остальные /3jr за
исключением Pjj равны нулю. Поэтому при замене Xj на Xj-\~Pjj и хп на xn—/3in
наша подгруппа примет вид
п
&цитРтч xjVj %пРп
т=1
(д,^=1...п; у-фу, j=l...n—1).
Теперь с помощью скобочной операции нетрудно проверить, что все сх!^ит
обращаются в нуль.
При наличии трансляций рх.. .pn_i наша подгруппа кроме них
содержит еще п2 — 1 — (п — 1) независимых инфинитезимальных преобразований
вида
XjPj ЗСпРп "т &jPni %nPj "т PjPni
XjPk + ttjfcPn
(j,fc=l...n-l; j^fc)-
Однако если здесь в качестве нового хп ввести выражение хп — а\, а
затем прокоммутировать х\р\ — хпрп с остальными инфинитезимальными
преобразованиями, то рассматриваемая подгруппа примет вид
Pji ^jPj %nPn-> %nPj-> %jPk
(j,fc=l...n-l; &к).
Итак, имеет место следующий факт.
Предложение 2. Если подгруппа специальной линейной группы
!Pfi-> %ilPv> ^fiPfi ~ %vPv , v
(/x,i/=l...n; /x^i/)
пространства Rn не содержит групп, инвариантных в этой специальной
линейной группе, то она имеет самое большое пп — 1 параметров. Если она
имеет в точности пп — 1 параметров, то в специальной линейной группе
она сопряжена либо группе
XfiPvi xliPv ~ X»Pv (д^=1--.п; /li^i/),
(8)

либо группе
{Pji %jPj ~~ ЭСпРп) %nPji %jPk ,.ч
(j,fc=l...n-l; зфк).
Подобно тому, как в предыдущем параграфе, отсюда вытекает
следующая теорема:
Теорема 15. В случае, когда количество переменных меньше, чем п,
не существует ни одной группы, которая бы имела ту же структуру, что
и специальная линейная группа
Р^ Х^ри, X^p^-XvPv (/i,i/=l...n;^i/) (7)
пространства Rn. В случае п переменных существует всего два типа
групп, обладающих такой структурой. Представителем одного из них
является сама специальная линейная группа (7), а в качестве представителя
другого может служить импримитивная группа
п п
Vvi XkPv, Хкрк + У^ХТрТ, Хк У^Хтрт
7^i 7^i (Ю)
(/y=l...n; k=l...n—l; v^k).
Эта последняя группа является наибольшей инвариантной подгруппой
самой общей проективной группы пространства Rn, оставляющей на месте
некоторую бесконечно удаленную точку. Если п = 1, то эти два типа
совпадают.
§64
Нам нужно еще определить все группы от п +1 переменных, имеющие
ту же структуру, что и общая проективная группа пространства Rn.
Обладающие этим свойством интранзитивные группы указать очень
просто. Действительно, если 7 — такая интранзитивная группа, то
предположим, что переменные х\... хп+\ выбраны так, чтобы наиболее общий
инвариант группы 7 был произвольной функцией от xm+i.. .хп+\. Если
теперь переменные xm+i... rrn+i рассматривать как константы, то мы
получим транзитивную группу 7' от га ^ п переменных х\... xmj и так как

группа 7 является простой, группа У должна быть голоэдрически
изоморфна 7 (см. том I, стр. 310, предл. 8). Но тогда из теоремы 13, стр. 266, следует,
что т = п и что группа У посредством некоторого точечного
преобразования п переменных х\... хп переводится в общую проективную группу
пространства Rn. Этим доказано, что сама группа д подобна относительно
некоторого точечного преобразования пространства х\... хп+\ группе
п
Pui X»Vv, Хц ^ ХТрТ (/i, V = 1 . . . П).
т=1
Несколько более серьезные приготовления требуются для нахождения
всех транзитивных групп пространства Дп+ь имеющих ту же структуру,
что и общая проективная группа пространства Rn. Чтобы описать все
такие группы, мы должны сперва определить все группы пространства Лп,
которые имеют ровно N — (п — 1) = n2 + n — 1 параметров, чем мы сейчас
и займемся.
Рекомендуется прежде всего рассматривать те из искомых групп,
которые лежат в общей линейной группе
P/i, ХцРи (Д, 1/ = 1...П). (1)
Если некоторая (п2 +п- 1)-параметрическая подгруппа д группы (1)
не содержит инфинитезимальных преобразований вида
71 71 71
^2 хтРт + ^2 а»р»= и+^2 а»р^ (п)
т=1 v=l v=l
то она обязательно содержит п2 + п — 1 независимых инфинитезимальных
преобразований вида
P/z, xliVv + OLpvU, XjPj - Хпрп + PjU
(/it/=l...n; цф»', j = l...n—l).
Однако с помощью скобочной операции легко убедиться, что все а^г/ и (5и
равны нулю и что, следовательно, д совпадает со специальной линейной
группой
Pfi, Я/iPi/, ХцРц ~ XvVv (/z,«/=l...n; цфи) (7)
С другой стороны, если д все же содержит преобразование вида (11),
то, вводя хт + ат в качестве нового хт, мы вместо д получим некоторую

подгруппу д' группы (1), содержащую U. Если бы при этом число п
равнялось 1, то группа gf состояла бы лишь из преобразования
xiPi. (12)
Поэтому мы можем считать, что п > 1. При п > 1 мы имеем n2-f п — 1 > п2,
и следовательно, подгруппа д' должна непременно содержать некоторые
трансляции. Если бы число содержащихся в ней независимых трансляций
было меньше, чем п, то она бы обязательно содержала п2 преобразований
вида
п
X^Vv + 5Z а^тРт (Д, I/ = 1 . . . П).
т=1
Но коммутируя эти преобразования с принадлежащими д1 трансляциями,
мы бы пришли к противоречию. Таким образом, д' кроме преобразования U
содержит еще и все п трансляций pi.. .рп. Если теперь вспомнить, что
группа д' должна быть (п2 + п — 1)-параметрической, нетрудно увидеть,
что д' и специальная линейная однородная группа
S/xPi/, ХцРц-XvPv Ox,f/=l...n; /x^i/), (8)
имеют ровно п2 — 2 общих независимых инфинитезимальных
преобразований, которые, естественно, порождают (п2 — 2)-параметрическую
подгруппу. Но только что упомянутая группа (8) имеет ту же структуру, что и
общая проективная группа пространства Rn-\, и, следовательно, не
содержит подгрупп с более, чем (п — 1) (п +1) — (п — 1) = п2 — п параметрами (см.
том I, стр. 558 и 569). Таким образом, (п2 — 2)-параметрическую подгруппу
она содержит лишь тогда, когда п = 2. Отсюда видно, что подгруппа gf,
содержащая U и все трансляции, может существовать только в случае п =
= 2. Так как специальная линейная однородная группа пространства i?2
содержит всего один тип (22 — 2)-параметрических подгрупп и поскольку
в качестве представителя этого типа можно выбрать группу Х\Р2, Х\Р\ —
— Х2Р2 (см. стр. 19 и теор. 2, стр. 17), группа gf, встречающаяся в случае
п — 2, приводится к виду
Pb P2, Я1Р2, XiPi -Х2Р2, Xipi +X2p2. (13)
Это наибольшая проективная группа пространства R2, оставляющая на
месте бесконечно удаленную прямую и бесконечно удаленную точку прямой

х\ — О, то есть проективная группа линейного элемента плоскости х\, Х2
(ср. стр. 96).
Итак, найдены все (п2 + п — 1)-параметрические проективные группы
пространства Rn, принадлежащие общей линейной группе (1).
Далее, вспомним, что существует такой голоэдрический изоморфизм
общей проективной группы Gn пространства Rn на себя, при котором ин-
финитезимальным преобразованиям
отвечают соответственно преобразования
X ^,U ^ XvP^it U i Pfi
(см. том I, стр. 555). При этом изоморфизме только что найденным
подгруппам общей линейной группы (1) будут соответствовать некоторые (п2-\-п —
— 1)-параметрические подгруппы группы
ХцРи, x^U (/х, v = 1... и). (14)
Выпишем эти подгруппы в явном виде.
Группе (7) соответствует наибольшая инвариантная подгруппа
группы (14), а именно
{%llPvi Х^Р}! %1/PlS) X^U /1г\
(15)
(/i, i/=l...n; V>^v)-
Но поскольку группа (14) является наибольшей проективной группой
пространства Rn, оставляющей на месте точку х\ = 0, ..., хп = О, ясно,
что группа (15) посредством некоторого проективного преобразования
пространства Rn может быть переведена в уже известную нам группу
[Pv, XkPv, ХкРк + U, XkU
1 (;у=1...п; /с=1...п-1; ифк).
Группа (12) соответствует самой себе. Наконец, группе (13)
соответствует группа
ягРь хгри х2Р2, xi(xipi +X2P2), х2(х1р1 +х2р2), (16)

то есть наибольшая проективная группа плоскости хь Х2, оставляющая на
месте точку х\ — Х2 =0и прямую Х2 = 0. Ясно, что эта группа (16)
подобна группе (13) относительно некоторого проективного преобразования
ПЛОСКОСТИ Xi, X2-
Собирая вместе полученные результаты, мы можем сказать, что
если некоторая (п2 + п — 1)-параметрическая проективная группа
пространства Rn содержится в одной из групп (1) или (14), то она сопряжена в
общей проективной группе пространства Rn одной из следующих групп:
если п > 2, то она сопряжена группе (7) или группе (10); если п = 2, то
она сопряжена либо группе (7), либо группе (10), либо группе (13); если
п — 1, то она сопряжена группе (7) или группе (13) (действительно, в этом
случае группы (7) и (10) совпадают).
Приступим теперь к решению более общей задачи — задачи отыскания
всех (п2 + п — 1)-параметрических проективных групп пространства Rn.
Разобьем эти группы на два класса: к первому мы отнесем все те,
которые содержат некоторое невырожденное гомотетическое преобразование,
то есть такое преобразование, которое в общей проективной группе
пространства Rn сопряжено преобразованию Х\р\ + ... + хпрп; ко второму
классу мы будем причислять все те, которые таких преобразований не
содержат.
Найдем сначала все группы, принадлежащие первому классу.
Очевидно, что их описание сводится к описанию всех (п2+п —1)-параметрических
проективных групп, содержащих U.
Пусть G — некоторая такая группа, и пусть
п п п
— какое-либо инфинитезимальное преобразование из G. Тогда группе G
принадлежат и преобразования
п п
(su) = Y, а^м - J2 ъх*и>
п п
{(SU)U) = £аЛ + ^7Л{/,
/i = l £t=l
и поэтому в G можно так выбрать (n2 -f п — 1) независимых инфините-
зимальных преобразований, что каждое из них будет иметь один их трех

видов:
п п п
Мы можем считать, что п > 1, поскольку при п = 1 группа G
совпадает с упомянутой выше группой xipi. Если п > 1, то преобразования из G
не могут все вместе иметь вид ^(З^х^ру, и группа G должна содержать
и преобразования, имеющие один из двух других видов. При этом нужно
рассмотреть несколько случаев в соответствии с тем, содержит ли
группа G все трансляции, или лишь некоторые из них, или вообще ни одной;
и, аналогично, все преобразования ^i^x^U, лишь некоторые из них или
вообще ни одного.
Два из этих возможных случаев, а именно, когда группа G не содержит
преобразований вида ^^f^x^U и когда она не содержит трансляций, мы
уже рассмотрели. В первом их этих случаев G является подгруппой общей
линейной группы (1), а во втором — подгруппой группы (14).
Рассмотрение остальных случаев существенно упрощается за счет
того, что, благодаря упомянутому на стр. 274 голоэдрическому изоморфизму
общей проективной группы пространства Rn на себя, каждой группе G,
обладающей требуемым свойством, соответствует некоторая другая
группа С, обладающая тем же свойством. Вследствие этого действительно нам
нужно исследовать только тот случай, когда G содержит некоторые (а
возможно, и все) преобразования вида J2 1цху№ и некоторые, но не все
трансляции. Рассмотрев этот случай, мы должны будем лишь для каждой из
найденных при этом групп указать соответствующую группу Gf.
В случае, который нам остается рассмотреть, G будет содержать
некоторое число, скажем, q (0 < q < п), независимых инфинитезималь-
ных трансляций. Мы можем считать, что этими трансляциями являются
Pi.. .pq. Отсюда следует, что G не содержит инфинитезимальных
преобразований, получающихся линейной комбинацией следующих (п — q)(q + 1)
преобразований:
Pq+ji XlPq+ji • • • > xqPq+j U = 1 • • • П ~ ?)•
Но поскольку группа G должна быть (n2 + n — 1)-параметрической, это
возможно лишь тогда, когда
(n-q)(q + l) ^n+1

или
q(n-q-1)^1.
Так как q < п, левая часть этого неравенства всегда будет неотрицательной,
и, следовательно, возможны только следующие два случая:
q(n-q-l)= О, q(n-q-l) = 1.
В первом из них, поскольку q не может равняться нулю, мы имеем q — п—1,
а во втором —
1
п = q + 1 + -,
Q
что имеет место лишь тогда, когда q — 1 и п = 3.
Если g = 1 и п = 3, то G не содержит преобразований вида
С*2Р2 + СКЗРЗ + /?2^lP2 + P3X1P3;
более того, даже слагаемые такого вида не могут входить в инфинитези-
мальные преобразования группы G, поскольку в противном случае,
коммутируя такие преобразования с р\ или с U, мы бы получили противоречие.
Поэтому G может иметь только следующий вид:
{Pb XlPl, Х2Р\, ХзР1, Х2Р2, ХЗР2, Х2Рз, X3p3l , ,
xiI/, х2£/, х3ЕЛ
Это действительно группа с З2 +3 — 1 = 11 параметрами, а именно
наибольшая проективная группа пространства xi, X2, Х3, оставляющая на месте
прямую Х2 = хз = 0. Одиннадцатипараметрическая группа С,
соответствующая этой группе (17), также оставляет на месте некоторую прямую
и поэтому подобна ей относительно некоторого проективного
преобразования. Ее, следовательно, указывать не надо.
Если же q — п — 1, то G содержит инфинитезимальные преобразования
Pi.. .pn-i, U, но ни одного преобразования вида
п-1
3=1
и ни одного преобразования, содержащего такое выражение в качестве
слагаемого. Если вместо х\ ...хп ввести новые переменные
Х\ Xn-i J_
5 * * * 5 5 5
Xfi Xjx Xjx

то группа G перейдет в некоторую группу G, не содержащую
преобразований со слагаемыми вида
п-1
—axnU — yj PjxjU
j=i
(ср. том I, стр. 566-567), то есть в некоторую подгруппу общей линейной
группы (1). Но мы уже знаем все (п2 + п — 1)-параметрические
подгруппы группы (1). Таким образом, этот случай не дает ничего нового; кроме
того, соответствующая группе G группа Gr подобна одной из уже
найденных групп относительно некоторого проективного преобразования
пространства Rn.
Итак, найдены все (п2 + п — 1)-параметрические проективные группы,
принадлежащие первому классу (см. стр. 275). Остается еще найти те,
которые принадлежат второму классу, то есть те, которые не содержат инфини-
тезимальных преобразований, сопряженных преобразованию U. Пусть © —
некоторая такая группа.
Предположим сначала, что (5 не содержит трансляций. Поскольку
U точно не лежит в 0, то в этом случае & будет содержать п2 + п — I
независимых инфинитезимальных преобразований вида
п
r=l
n
XjPj - xnpn + ajU + ^2, PjtPt
r=l
n
xuU + -y„U + ^2 7vtPt
r=l
(/i, i/=l...n; 1хфу; j=l...n— 1).
С помощью скобочной операции легко убедиться, что все ад/у и ау равны
нулю. Далее, точно так же, как на стр. 270, можно добиться того, чтобы

нулю равнялись и все (3^УТ и (3jT. При этом группа <& примет вид
%[jlPis) %цРц *"vPv
п
т=1
(/i, i/=l...n; 11фу).
Мы имеем
(х„р„ S„)=xfiU- ivlLpv,
(хирц, х^и - iuvpu) = xuu + iuvpy.
и, наконец,
(x^U - iuvpv, xuU + 7^Р/х) = -7^(2^ + *Л + ^p,,)-
Мы видим, что если бы 7^ т^ 0, то (3 содержала бы преобразование 2U +
+ £/хР/х + Я/yPi/, а следовательно, и само преобразование U, что исключено.
Поэтому 7,у,х = 0, иб является подгруппой группы (14), все (n2 + n —
— 1)-параметрические подгруппы которой мы уже знаем, а значит, мы опять
не получаем ничего нового.
Заметим, что приведенные выше рассуждения годятся только для
случая п > 1. В этом, однако, нет ничего страшного, так как все проективные
группы от одной переменной уже найдены в главе 2. Отметим также, что
эти рассуждения одновременно дают ответ и для случая, когда & не
содержит преобразований вида ^ J^z^U.
Нам остается рассмотреть лишь еще один случай, а именно тот
случай, когда (3 содержит некоторые, а возможно и все преобразования вида
Х^7/х^/х^ и некоторые, но не все трансляции. Возможность наличия всех
трансляций, очевидно, сводится к этому случаю.
Пусть (3 содержит q (О < q < п) независимых инфинитезимальных
трансляций, скажем pi...pq. Поскольку в группу (3 не могут входить ни
преобразование U, ни любое сопряженное ему преобразование, она не
содержит ни одного инфинитезимального преобразования, которое можно
получить посредством линейной комбинации следующих (п — q)(q + 1) + 1
преобразований:
U, pq+j, xipq+j, ..., xqpq+j (j = 1... n - q).

С другой стороны, группа © является (п2 + п — 1)-параметрической, откуда
следует, что
(n-q)(q+l) + l ^п+1
или q(n — q — 1) ^ 0, то есть q — п — \. Поскольку хпрп+арп является
невырожденным гомотетическим преобразованием, Ф не должна содержать ни
одного преобразований вида хпрп + арп и вообще ни одного инфинитези-
мального преобразования, получаемого линейной комбинацией следующих
п + 1 преобразований:
ХпРгы Рп-) Х\рп, • • • Хп— \Рп-
Поэтому если в качестве новых переменных х\...хп ввести выражения
) • • • ) )
Хп Хп Хп
то группа 0 перейдет в некоторую группу 0, не содержащую
преобразований вида
XU + Ys^tXtU;
т=1
обладающие этим свойством группы были описаны выше. Таким образом,
мы опять не получаем ничего нового.
Итак, найдены все (п2 + п — 1)-параметрические проективные группы
пространства Rn.
Теорема 16. Общая проективная группа пространства Rn при п > 3
содержит только два типа (п2 + п — 1)-параметрических подгрупп:
представителем одного из них является специальная линейная группа
Pii-> Хцри, х^р^ xvpv
(/i, /y=l...n; цфи),
(7)
а представителем другого — группа
n n
p„, xkpu, xkpk + ^2,xTpT, xk^2,xTpT
т=1 т=1
(i/=l...n; k=\...n— 1; ифк)\
(10)

более того, существует такой голоэдрический изоморфизм общей
проективной группы пространства Rn на себя, при котором каждой группе
первого типа взаимно однозначно соответствует некоторая группа второго
типа. Если п = 3, то к этим двум типам (п2 + п — \)-параметрических
подгрупп добавляется еще третий тип, представленный группой
PU Х\Р\, x2Pl, x3Pl, Х2Р2, хЗР2-> х2РЗ-> ХЗРЗ,
Л Л Л (17)
Xi 2^ хтРт , х2 2^ ХтРт, х3 2^ ХтРт•
т—\ т=1 т=1
Если п — 2, то опять добавляется третий тип, представителем которого
является группа
Ри Рг, х\Р\-> Х\Р2, Х2Р2- (13)
Наконец, при п — 1 указанные вначале два типа совпадают, но зато
добавляется еще один тип, представленный группой
xipi. (12)
Теперь мы в состоянии указать все транзитивные группы от п + 1
переменных, имеющие ту же структуру, что и iV-параметрическая общая
проективная группа пространства Rn. При этом мы будем опираться на
результаты главы 22 первого тома.
Типы, представленные подгруппами (7) и (10), доставляют лишь один
тип TV-параметрических транзитивных групп от п + 1 переменных, причем
все группы этого типа являются систатическими, поскольку группа (7)
инвариантна в общей линейной группе (1) (см. том I, стр. 520, предл. 9). В
качестве представителя этого типа можно выбрать специальную линейную
однородную группу от п + 1 переменных:
Х»Р», Я/JV - ХуРг, (fl,V = l...n + l]fl^v). (18)
Группа (17) является наибольшей проективной группой пространства Дз>
оставляющей на месте некоторую прямую в этом пространстве. Она не
содержится ни в какой другой подгруппе общей проективной группы G\^
пространства Дз и поэтому доставляет тип примитивных групп от
четырех переменных, имеющих ту же структуру, что и G\^ (см. том I, теор. 91,
стр. 521). Чтобы получить представителя для этого типа, рассмотрим оо4

прямых пространства Rs как точки некоторого пространства R±, а затем
найдем группу этого пространства R±, которая показывает, как оо4 прямых
пространства Rs переставляются между собой под действием группы G15.
Действуя таким образом, мы в качестве представителя нашего типа
получим пятнадцатипараметрическую группу
( 4
I Pfii ^цУу ^lyPfii / J %тРтi
т=1
2х^2_^хтрт-р^2_^хт
т=1 т=1
{ (/x,i/=1...4)
всех конформных преобразований пространства i?4- Действительно,
известно, что оо5 линейных комплексов пространства Rs образуют плоское
пятимерное пространство i?5, в котором оо4 прямых пространства Rs
изображаются невырожденным многообразием F2 второго порядка. Далее, как
было замечено Ф. Клейном, эти оо5 линейных комплексов пространства Rs
под действием общей проективной группы G\b этого пространства
преобразуются точно так же, как точки пространства Rs преобразуются под
действием наибольшей проективной группы Г15 этого пространства,
оставляющей на месте многообразие F2. Следовательно, Gi5 преобразует прямые
пространства Rs так, как Г15 преобразует оо4 точек многообразия F2. Но
Г15, со своей стороны, при подходящем выборе координат точек
многообразия F2 преобразует эти точки посредством группы всех конформных
преобразований пространства R±.
Группа (13) является наибольшей проективной группой плоскости,
оставляющей на месте некоторый линейный элемент этой плоскости. Она
содержится в общей линейной группе плоскости и поэтому доставляет тип
имприлштивных групп от трех переменных, имеющих ту же структуру, что
и общая проективная группа Gg соответствующей плоскости.
Представителя для этого типа можно получить, если рассмотреть действие группы Gg
на линейных элементах нашей плоскости, а затем изобразить их точками
некоторого пространства Rs. Для этого нужно лишь расширить общую
проективную группу плоскости Gs, рассмотрев х2 как функцию от х\ и введя
следующее обозначение:
dX2

(см. том II, стр. 5, предл. 1). При этом получается группа
Грь Р2, хгрг -х3Рз, х2р2 + хзРз,
х2р\ - xjp3, Х1Р2 + рз,
Xxpi + XiX2P2 + (Х2 - XiX3)p3,
[ Х1Х2Р1 + xjp2 + (х2х3 - xixj)p3,
которая нам уже встречалась на стр. 167.
Наконец, группа (12) доставляет тип импримитивных групп от одной
переменной, имеющих ту же структуру, что и общая проективная
группа пространства R\. В качестве представителя этого типа можно выбрать
группу
Р\ + Р2, XiPi + Ж2Р2, X\Pl + XlP2 (21)
или подобную ей группу
V\ + ziP2, х\Р\ + 2х2р2, (ж? - x2)pi + X1X2P2, (22)
которая является наибольшей проективной группой плоскости xi, X2,
оставляющей на месте коническое сечение Х2 — \х\ — О (ср. стр. 76).
Объединим полученные нами результаты в теорему.
Теорема 17. Если п > 3, шо существует только один тип
транзитивных групп от п + 1 переменных, имеющих ту же структуру, что и
общая проективная группа пространства R^. Представителем этого
типа является специальная линейная однородная группа
ХцР„, хмрм ~ x»Vv (м, 1/ = 1...П + 1; цфи). (18)
от п+1 переменных. Если п ^ 3, то кроме только что упомянутого типа
существует еще ровно один тип транзитивных групп от п+1 переменных,
обладающих указанной структурой. TIpedcmaeumenejM этого типа в случае
п = 3 является группа (19) всех конформных преобразований
пространства R3, в случае п = 2 — группа (20), получающаяся расширением общей
проективной группы плоскости, а в случае п — 1 — наибольшая
проективная группа плоскости, оставляющая на месте невырожденное коническое
сечение. Зато, каким бы ни было значение числа п, всегда существует
ровно один тип интранзитивных групп от п + 1 переменных, имеющих ту же
структуру, что и общая проективная группа пространства Rn. Чтобы

получить представителя этого типа, нуэ/сно к общей проективной группе
пространства Rn добавить (п + 1)-ую переменную хп+ъ которая
преобразовываться не будет.

Глава 15
Общие замечания по поводу некоторых
примитивных проективных групп
n-мерного пространства
Из результатов главы 12 кроме всего прочего вытекает следующее
утверждение: примитивная проективная группа трехмерного пространства
посредством непроективного точечного преобразования никогда не может
быть переведена в проективную группу. Остается выяснить, верно ли это
утверждение для всех примитивных проективных групп плоскости. Мы
покажем, что оно верно, во всяком случае, для некоторых из них, а именно
для тех, которые являются обобщениями примитивных проективных групп
пространства /?з- Используемый нами при этом метод будет существенно
отличаться от метода из главы 12, и, следовательно, мы получим новое
доказательство для части результатов этой главы.
Решению только что описанной задачи и посвящена настоящая глава*.
§65
Чтобы упростить последующие рассуждения, предположим сперва,
что нам дана произвольная проективная группа G пространства Rn и
нужно установить, существует ли непроективное преобразование, при котором
группа G переходит снова в проективную группу Мы сведем эту задачу к
некоторой другой, решить которую в каждом отдельном случае будет
существенно легче.
* Применяемый в этой главе метод был использован Софусом Ли в Leipziger Berichten за
1890 год и привел к серии утверждений, которые воспроизведены и усовершенствованы в
теоремах 18 и 19 (см. Leipziger Berichten 1890, стр. 313, предл. 13; стр. 316, предл. 14; стр. 300,
предл. 4 и 5; стр. 318, предл. 15).

Общность наших рассуждений, очевидно, не нарушится, если мы с
самого начала будем считать, что группа G с помощью некоторого
проективного преобразования приведена к виду, при котором точка х\ = ... =
= хп = 0 является относительно G точкой общего положения. Поэтому
отныне мы будем предполагать, что G имеет именно такой вид.
Пусть теперь Г — некоторое непроективное преобразование, при
котором G снова переходит в проективную группу. Тогда для любых двух
проективных преобразований S и S' преобразование Т" = STS' также
будет непроективным преобразованием, переводящим группу G в
проективную группу В частности, подходящим выбором преобразований S и S' мы
всегда сможем добиться того, что Т' будет оставлять на месте точку х\ =
= ... = хп = 0 и вести себя регулярно в окрестности этой точки. Таким
образом, мы всегда можем добиться того, чтобы преобразование Т" имело
вид
п
Уг = ^2аг„х„ + --- (г = 1...п), (1)
где порядок опущенных членов относительно х\.. .хп превышает
единицу и где определитель, составленный из а^, не равен нулю. Следовательно,
непроективное преобразование, обладающее указанным свойством,
найдется тогда и только тогда, когда существует непроективное преобразование
вида (1), переводящее G в проективную группу.
Но преобразования вида (1) можно заменить еще более простыми
преобразованиями. Действительно, поскольку составленный из aiy
определитель не равен нулю, уравнения
п
Уг = ^2 ai'/X» (i = 1'"n) (2)
задают проективное преобразование пространства Rn\ более того, ясно, что
каждое непроективное преобразование вида (1) можно получить, если
сначала выполнить некоторое непроективное преобразование вида
х • = xi Н (г = 1.. .п), (3)
а затем проективное преобразование (2). Таким образом, непроективное
преобразование, обладающее требуемым свойством, существует тогда и
только тогда, когда найдется непроективное преобразование вида (3),
переводящее группу G снова в проективную группу.

Итак, чтобы выяснить, можно ли данную проективную группу G
пространства Rn посредством некоторого непроективного точечного
преобразования этого пространства перевести в другую проективную группу,
нужно действовать следующим образом: сперва нуэ/сно группу G с
помощью подходящего проективного преобразования привести к такому
виду (3, чтобы точка х\ — 0, ...,хп = О была относительно Ф точкой
общего положения, после чего нужно только установить, существует ли
непроективное преобразование вида
х- =Xi Н (г = 1...п), (3)
переводящее группу (3 снова в проективную группу.
Проделаем это для примитивных проективных групп пространства Rn,
которые получаются путем обобщения примитивных проективных групп
пространства Дз (см. теор. 11, стр. 226) на случай n-мерного пространства.
§66
В этом параграфе мы исследуем общую проективную, общую
линейную и специальную линейную группу пространства Rn.
Поскольку специальная линейная группа
Р», ХцРи, х^р^ - xvpv {fjL,i/ = l...n;fi^u) (4)
пространства Rn содержится как в общей линейной, так и в общей
проективной группе, само собой напрашивается с нее и начать. Действительно,
если нам удастся показать, что специальная линейная группа может быть
переведена в проективную группу только с помощью проективного
преобразования, то то же самое будет верно и для двух других групп.
Относительно группы (4) точка х\ = 0,..., хп = 0 уже является
точкой общего положения, и поэтому мы можем сразу перейти к нахождению
самого общего преобразования вида (3), переводящего группу (4) в
проективную группу.
Если группа (4) посредством преобразования (3) снова переходит в
проективную группу, то, учитывая сказанное на стр. 196-197 первого тома,

легко увидеть, что благодаря (3) имеют место следующие равенства:
п п
т=1
п
т=\
(5)
х^р^ - xvpv = х'^ - x'vp'v + ^2 S^TxfTUf
r=l
(д, и=1...п; рфи)у
где через U' для краткости мы обозначаем выражение х\р\ -\-
где 5Д/,Г при перестановке /лиг/ меняет знак.
Предположим сначала, что п > 1.
В этом случае мы имеем
+ <Рпи
= ХцР^ — Хуру + 'YviiyX^U — "У^ц/^XyU ,
откуда видно, что коэффициенты <5М/УТ полностью определяются
коэффициентами 7/^т- Далее,
\XfiPfi ХуРу, Х^Ру) = ZX^Py
= ^х^Ру -\- Z^y^y^x^U — 'y^yyXyU ,
уХуР^, X^p^L XyPy) = ZXyP^
= ZXyP^ — 'Уиц^х^и + Z^fy^yXyU ,
откуда следует, что все 7д^т за исключением лишь 7д/у/х и 7*7^ равны нулю,
и мы имеем
XfiPj/ = x^Py + 'Уци^х^и
XvPil = £/уРд + 1vi±vXyU
XfiPjj, — xvpv = x^p^ — XyPy + ^иц,уХ^и — 'j^^XyU
(/i, jv=l...n; 1хфи).
(6)
Если п = 2, то каждый коэффициент вида 7^,,^ полностью
определяется своим индексом ^, так как в этом случае каждому ^ соответствует ровно

одно число /л, удовлетворяющее условию ji ф v. Если, с другой стороны,
п > 2 и т ф \i и ф v, то мы получаем
а значит, 7т/ут = 7м^/х, то есть при п > 2 каждый коэффициент вида 7/n//i
также зависит только от v. Следовательно, мы можем вместо ^^^ писать
просто 7/у» а вместо 7^1/ соответственно 7д- При этом уравнения (6)
принимают вид
X^Pv = х'цРи + IvX'^U'
х^р^ - хуру = x'fl'p - x'vp'v + Чцх'^и' - 1„х'„и' (6')
Чтобы еще более упростить эти уравнения, воспользуемся тем, что инфи-
нитезимальные преобразования, стоящие справа, все без исключения
оставляют на месте (п — 1)-мерное плоское многообразие
^7т*; + 1 = о.
т=1
Перенесем это многообразие с помощью проективного преобразования
1 + Z^T=1 7тХ'т
в бесконечность и получим таким образом вместо уравнений (6') уравнения
{XfiPu = XyPv, X^p^ — Xvpu = X^p^ — Xvpv
(6 )
(/x,/y=l...n; M#^).
Здесь следует особенно отметить то, что проективное преобразование (7)
имеет вид я" = х'и -\ , где невыписанные члены имеют порядок два или
выше относительно х'.
Нам остается еще только найти наиболее общее преобразование вида
х'1 = Х{ Л , при котором группа (4) снова переходит в проективную
группу и с учетом которого, в частности, выполняются соотношения (6"). Мы
увидим, что это преобразование полностью определяется равенствами (6").

Из (6") мы получаем
и следовательно,
~"Л' „"„" XV>X]' XvXV^ .
ЗД* - *„P„ = ——Рц - —JTPv\
поскольку это выражение должно равняться хмрм — xupv, мы получаем
х» =
что возможно лишь тогда, когда преобразование х" = Xi-\ имеет вид
х" = Х{ • p(xi ... хп) (г = 1... п), (8)
где под р понимается обыкновенный степенной ряд вида 1 Н .Но тогда,
как следует из (8),
П г\
х»Р» = х^ . р . р„ + 2_^х^хт—рт,
dxv
и правая часть этого равенства должна иметь вид
ХрРи = ^М * P ' Pi/-
Следовательно, все п производных функции р должны равняться нулю,
а сама р должна быть единичной функцией. Таким образом,
тождественное преобразование х" = х\ является единственным преобразованием вида
х" = Х{ Л , при котором выполняются соотношения (6").
Объединяя этот результат со сказанным ранее, мы получаем, что
каждое преобразование вида х\ = х^ + • • •, при котором группа (4) переходит
снова в проективную группу, является проективным и имеет вид
^i-E^Ux, (< = 1-n)-
Итак, в соответствии с § 65, мы доказали, что в случае п > 1 специальная
линейная группа (4) посредством непроективного преобразования никогда

не может быть переведена в проективную группу. Как уже было отмечено
на стр. 285, отсюда следует, что при п > 1 и общая проективная, и общая
линейная группы пространства Rn переходят в проективные группы также
только под действием проективных преобразований.
При п = 1 специальная линейная группа (4) состоит только из
трансляции р, но, правда, существуют непроективные преобразования, при
которых эта группа снова переходит в проективную группу. Найти все такие
непроективные преобразования совсем несложно, и мы предлагаем
читателю сделать это самостоятельно. В случае же общей линейной группы р, хр
и общей проективной группы р, хр, х2р только проективные
преобразования могут переводить их в проективные группы.
В самом деле, если общая линейная группа р, хр пространства R\
под действием преобразования вида х1 — х + • • • снова переходит в
проективную группу, то с учетом этого преобразования должны иметь место
равенства вида
{р = р1 Л- ах'р' + /Зх' р',
хр — х'р' -\- ^х1 р1.
Используя скобочную операцию, мы получаем
(р, хр) = р — рг + 2jxfpf -\- (а7 — Р)хг р\
откуда а = 2j и aj — /3 = /3, и следовательно,
р= (l+7s')V.
Из этого равенства с учетом второго из равенств (9) мы находим
х1
(9)
х —
1 + 7х''
а значит, преобразование х1 — х + • • • проективно. Итак, мы доказали, что
группа р, хр может переходить в проективную группу только под
действием проективного преобразования. Отсюда ясно, что то же самое верно и
для общей проективной группы р, хр, х2р.
Объединим полученные результаты в теорему.
Теорема 18. Общая проективная и общая линейная группы
пространства Rn не переходят в проективные группы ни при каком непроективном

преобразовании этого пространства. При п > 1 это верно и для
специальной линейной группы пространства Rn.
Ту часть этой теоремы, которая относится к общей проективной
группе, можно, разумеется, переформулировать следующим образом:
проективные преобразования являются единственными точечными
преобразованиями пространства Rn, переводящими общую проективную группу этого
пространства в себя.
§67
Рассмотрим теперь три другие примитивные проективные группы
пространства Rn и покажем, что и они переводятся в проективные группы
только посредством проективных преобразований. Этими тремя группами
будут группа
Рц, *liVv ~ XvVv (М, ^ = 1 . . . П) (10)
евклидовых движений, группа
Р^ ХцРи-ХиРц, U (/i, l/= 1...П) (11)
евклидовых движений и преобразований подобия и, наконец, наибольшая
непрерывная проективная группа пространства Rn, оставляющая на месте
некоторое невырожденное (п - 1)-мерное многообразие второго порядка;
если это многообразие с помощью проективного преобразования привести
к виду
п
Ех' + 1 = 0' (12)
т=1
то наша третья группа примет вид
Pfi + хмС/, х^ру - хур^ (fi,i/ = l...ri). (13)
При этом мы с самого начала ограничимся случаем п > 1, так как
случай п = 1 мало интересен. Поскольку группа (10) является подгруппой
в (11), нам нужно доказать наше утверждение только для групп (10) и (13).
Нам даже не нужно изучать каждую из групп (10), (13) по отдельности,
поскольку их можно рассмотреть одним ударом, построив более общую
группу
Рц+С- X^U, XpPv - XvPn (/i, I/ = 1 . . . 7i), (14)

для которой группы (10), (13) являются частными случаями.
Группа (14) уже имеет вид, при котором точка х\ — ... = хп = 0
является точкой общего положения. Поэтому, в соответствии со сказанным
на стр. 284, нам нужно только выяснить, какие преобразования вида х\ —
= Х{ + • • • переводят группу (14) снова в проективную группу.
Если х\ — xi + • • • является преобразованием, обладающим только
что указанным свойством, то с учетом этого преобразования должны иметь
место равенства вида
п п
kj=l k=l
А (15)
k=l
(/x, i/=l...n),
где для краткости через S^u и Sr „ мы обозначаем соответственно
выражения х^ру - х„р^ и x'^p'v - x'vp'^ и где, разумеется, 7^/с = -^Vllk-
Предположим сперва, что п > 2, и пусть /i, z/, т — три различных
числа между 1 и п. Тогда
и следовательно,
!7/XT/i = "ivTVi HfXTT = 7/Х/У/У1 (ЛГ\
IRITIS ~Г 7/^Т/Х ~Г ^illVT = "•
Если в последнем из этих уравнений переставить местами v и т, то мы
получим
7/i/^T * 7r/V/i I 7/XT/V = ^1
и тогда с учетом того, что 7т///х = ~1ит^ мы получим 7/ут/х = 0, то есть все
l\Lvk с тремя отличными друг от друга индексами равны нулю. С другой
стороны, из первого из уравнений (16) следует, что каждый коэффициент
7/хт/х — — 1т\ц1 зависит только от г и совсем не зависит от /i, и
следовательно, мы можем положить 7/хт/х = 7т и соответственно 7/хтт = —7д- Тогда
вторая серия равенств из (15) принимает следующий простой вид:
Г s^ = s;„ + lv^u' - ltlx'uu'
I (^,i/=l...n).

Заметим, что в не рассматривавшемся до сих пор случае п = 2
соответствующие уравнения из (15) могут с самого начала быть записаны в виде (17).
Поэтому теперь мы снова можем убрать ограничение п > 2.
Как легко убедиться, все инфинитезимальные преобразования,
стоящие в правой части формул (17), оставляют на месте (п — 1)-мерное
плоское многообразие
п
^7*4 + 1 = 0.
к=1
Точно так же, как и в предыдущем параграфе, перенесем это многообразие
посредством проективного преобразования
х'
*" = i+e;:.^ (i-,-»> (18)
в бесконечность и получим вместо уравнений (17) уравнения
!xfiPv ~ xvV\i = Xfj,Pv ~ XvV^i
в то время как первые из уравнений (15) примут вид
kj=l k=l
(/i=1...7l).
(17')
(19)
Коммутируя рм 4- cx^U с x^v - х„р^ (у ф /х), с учетом (19) и (17')
мы получаем
п
fe=l
-P'^xy + ^x'lU".
Следовательно, f3ruy — /3f ^, и обе эти величины можно обозначить через /3'.
С другой стороны мы получаем Д^д = —/%„, но в случае п > 2 эти
величины всегда равны нулю, поскольку при п > 2 среди чисел 1... п не

существует ни одного отличного от и числа fi, которое занимало бы
особое положение относительно и. Далее, коммутируя только что найденное
выражение для ри 4- cxvU с хир^ — х^ру = х"р^ — х'^р'1, мы получим
п
V* + cx^U =p'^ + J2x'kWukvP* - а'»кЛ}+
/с=1
п
- 2а' x"v" - 2а' x"v"+
+ 2a'llvlix'^ + 2a'llliUxlv'!x+
Сравнивая получившееся выражение с (19), мы видим, что все о^-, в
которых ни одно из чисел fc, j не равно ни /i, ни и, равны нулю и что, кроме
того, нулю равны и а^,у/у, а^, aj^, а'^; но поскольку дни/ являются
двумя произвольными числами от 1 до п, отсюда следует, что нулю равны
вообще все с*'^ • и что уравнения (19) имеют вид
I'
W + cxuU = V'l + 0'x'lU" - P^xlU", (19')
(д, /у=1...п; \хфу)-
Здесь, как было сказано выше, при п > 2 все величины /3' равны нулю.
Теперь, коммутируя р^ 4- cx^U и pv 4- cxvXJ, мы получаем
Тогда, учитывая (17'), мы видим, что /3' — с и что fi1 v — О и в случае п = 2.
Следовательно, уравнения (19') можно заменить уравнениями
(p» + cx»U = p'> + cx>ft" (i(r)
Объединяя, наконец, эти уравнения с уравнениями (17'), которые также

могут быть записаны следующим образом:
Хц{р» + cxvU) - хи{р^ + cx^U) =
= х'№ + cx'fi") - x'livl + cx'lU'%
мы получим х'^ = хм.
В соответствии со сказанным ранее, мы доказали, что проективное
преобразование
xi = ~л v^ (г = 1... п)
является самым общим преобразованием вида х\ — х\ + • • •, при котором
группа (14) снова переходит в проективную группу. Итак, мы имеем
следующую теорему.
Теорема 19. При п > 1 группа евклидовых двиэк:ений
пространства Rn переводится в проективные группы только посредством
проективных преобразований этого пространства. То же сеймов верно и для
группы, состоящей из евклидовых движений и преобразований подобия,
а также для наибольшей непрерывной проективной группы
пространства Rn, оставляющей на месте некоторое невырожденное (п—1)-мерное
многообразие второго порядка.
§68
Поскольку в пространстве четной размерности существуют только
вырожденные линейные комплексы, то проективной группе невырожденного
линейного комплекса пространства Лз могут соответствовать только
примитивные проективные группы пространства нечетной размерности. С
этими группами мы уже встречались (см. том II, стр. 521-522) и знаем, что
линейный комплекс
п
dz + ^2(x„ dy„ - yv dx}y) = 0 (20)
«/=1
пространства z, x\... хп, у\.. .уп инвариантен относительно группы
Г Pfi- УцГ, Яц + хдг, г, U + zr,
\ %fiQv Н~ %1/QfjL-t Xfj.Pi/ ~ Vi/Qfii VfiPi/ ~ Vi/Pfii ,01 v
| zPfi - V^U, zq^ + XpU, zU
\ (/i,f'=l...n);

при этом мы пользуемся обозначением
п
Так как точка х^ = у^ — z — О является точкой общего положения,
то, в соответствии со сказанным на стр. 284, нам нужно лишь найти все
преобразования вида
Г а^ = *м + • • • , ^ = ^ + ..., *' = * + ... ^
\ (/х=1...п),
переводящие группу (21) снова в проективную группу.
Если преобразование (22) обладает только что указанным свойством,
то с учетом (22) имеет место соотношение вида
п
U + zr = U' + z'r' + ^{aux'uU' + MUU'} + -yz'U'. (23)
1У=1
Здесь инфинитезимальное преобразование, стоящее в правой части,
оставляет на месте плоское многообразие
1 + YjfiLvx'» + /W,) + -jz' = F' = 0.
Следовательно, если это многообразие с помощью проективного
преобразования
г" = ^Л 1," = ¥е у" = —
Ln F,i У» р,, * р, ^24)
(д=1...п)
перенести в бесконечность, то вместо (23) мы получим простое уравнение
U + zr = U" + z"r". (230
Более того, ясно, что теперь нам нужно отыскать лишь наиболее общее
преобразование вида
Г х'1 = хд + • • • , yl = у» + ■ ■ ■ , z" = z + ■ ■ ■
1 (M=l...n),

при котором группа (21) переходит в проективную группу и имеет место
равенство (23').
При наших предположениях преобразование (22') приводит еще и к
равенствам вида
*№ + ^gM = x'lrfi + x'Ui + • • •,
x^Vv - У»Чц = x'ltfl - у"^ + • • • ,
У№; - УиРц = y'jj>" + y'lv'l + • • •,
где все опущенные члены получаются линейной комбинацией инфинитези-
мальных преобразований
z"u",x::u",y::u" („ = i...n).
Коммутируя с U + zr = U" + z"r"9 мы сразу же получим, что эти невыпи-
санные члены все равны нулю, а значит
xii4v "г xuq^ — x^qv -\- xuq^
У/хР^ - У/уР/х = У^'р" + у"р£,
(25)
Отсюда следует, во-первых, что
dz" dz" л dz" ft*" л , ,
'ду„ <%
<Эх,у
<9xL
а значит, 2:" не зависит ни от хи, ни от у„ и является функцией от z. С
другой стороны, мы получаем
dz"
2z^- = 2z",
dz
и следовательно, z" = z. Далее,
xfj.Qfi — xfj,Qfj,i У/хР/х — У/хР/х'

откуда
то есть
или
_ _ УуРу _ ^уЛр
xfiPv VvQ.ii — %fi * Vv '
Vv xfi
= x"v" - v"a"
x^y" = x'^y» (/x, v = 1... n)
x'li = XV • P(xl • • • xn, V\ . . . J/n, Z),
v'l = Ум • P(xi • • • xn, J/i... j/n, z),
(M=l...n).
Но теперь мы имеем
// v^ Г dp „ <Эр „1
x^ = x^pq» + l^x» <xT—pr + Ут-^-Ят j ,
// v^ Г dp „ dp ,A
У»Р» = У»РР» + 2^Уц \xr^-Pr + Утд^Чт j >
и эти выражения должны совпадать соответственно с x'^q^ и г/^р^.
Следовательно, все производные функции р по х^ и уд равны нулю, то есть р в
лучшем случае будет функцией только от z. Наконец, из (23') мы получаем
U + zr = (р + 2z^\ f>,X' + УЛ) + 2zr"
= U" + z"r",
откуда #f = 0; другими словами, р является константой и имеет значение 1.
Таким образом, единственным преобразованием вида (22"),
обладающим требуемым свойством, является тождественное преобразование. Но
отсюда сразу же следует, что наиболее общее преобразование (22), при

котором группа (21) снова переходит в проективную группу, является
проективным и имеет вид
т* — Ъ^ ?/ = У± ?' — —
•V р' У» f' F
(д=1...п),
где под F понимается выражение вида
п 1
F =1- ^2(а„х„ + f3vyu) - -72.
Итак, мы доказали следующую теорему
Теорема 20. Проективная группа невырожденного линейного
комплекса в (2п + 1)-мерном пространстве может переходить в
проективную группу только под действием проективного преобразования этого
пространства.
Итак, задача, которую мы поставили во вступительной части этой
главы, полностью решена.

Глава 16
Нахождение всех конечных
непрерывных групп пространства Rn,
являющихся максимально
транзитивными
В соответствии с тем, как принято говорить в теории преобразований,
r-параметрическую группу пространства Rn мы называем m-точечно
транзитивной (а если т=1, просто транзитивной)*, если она содержит по
крайней мере одно преобразование, при котором m заданных точек общего
взаимного положения переходят в т произвольно выбранных таких точек,
в то время как ни одно из принадлежащих ей преобразований не переводит
т + 1 заданных точек общего взаимного положения в т + 1 произвольно
выбранных таких точек.
Если для некоторой m-точечно транзитивной группы пространства Rn
зафиксировать / точек общего взаимного положения, то точки
пространства Rn будут преобразовываться транзитивным образом, если / < т, и
интранзитивным образом, если I _ т. Отсюда следует, что при m-точечно
транзитивной группе пространства Rn никакие / _ т точек не имеют
инвариантов, в то время как т + 1 точек всегда имеют по крайней мере
один инварианте Отсюда легко вытекает следующий факт:
г-параметрическая группа пространства Rn является m-точечно транзитивной тогда
*Этот термин, который мы уже употребляли в томе I, стр. 631, может, правда, вводить в
заблуждение, поскольку, в соответствии с ним, например, мы должны были бы любую
транзитивную группу пространства Яп, имеющую менее, чем 2п параметров, называть просто
транзитивной, в то время как мы уже привыкли под просто транзитивными группами понимать
только n-параметрические транзитивные группы пространства Rn (см. том I, стр. 212).
Однако, так как понятие m-точечной транзитивности по существу фигурирует только в настоящей
главе, мы оставляем термин "га-точечно транзитивная группа", не опасаясь недоразумений.
1Т-н Киллинг в своей работе "Расширение понятия инварианта'ХМагЛ. Ann. том. 35, стр.
423) занимался инвариантами нескольких точек относительно конечной непрерывной группы

и только тогда, когда под действием этой группы т + 1 точек обладают
инвариантами, а т или менее точек инвариантов уже не имеют (ср. том I,
стр. 218-220).
На стр. 632 первого тома мы уже доказали два утверждения
относительно как можно более транзитивных групп. Первое из них гласило, что
число т может принимать значение п + 2, но не более, а второе говорило,
что каждая (п + 2)-точечно транзитивная группа пространства Rn подобна
общей проективной группе этого пространства. Здесь нам, однако,
придется вернуться к этим утверждениям.
Дело в том, что приведенные в первом томе доказательства этих двух
утверждений содержат пробел*, так как в этих доказательствах само
собой разумеющимся считалось то, что под действием га-точечно
транзитивной группы пространства Rn проходящие через каждую фиксированную
точку общего положения oon_1 линейных элементов преобразуются (га —
— 1)-точечно транзитивным образом; другими словами, считалось, что из
транзитивности этой группы в конечном следует ее транзитивность в
бесконечно малом. Но в общем случае эта импликация недопустима, и даже если
в некотором отдельном случае она верна, то это всегда требует подробного
обоснования.
Поэтому сейчас мы докажем эти два утверждения заново и совсем по-
другому. Следующие далее рассуждения представляет собой не заполнение
оставленного в первом томе пробела, а совершенно новое доказательство
тех двух утверждений, которое по больше части имеет довольно
элементарный характер, поскольку оно, по крайней мере в случае первого из этих
и получил по этому поводу серию утверждений. Все эти утверждения, однако, можно найти на
стр. 218-220 нашего первого тома; утверждение о том, что каждая группа полностью
определяется инвариантами достаточно большого количества точек, также не является исключением,
поскольку это утверждение немедленно следует из сделанного там на стр. 220 замечания о
том, что всегда найдется число рт, которое будет равняться нулю, причем нулю будут
равны и все числа pm+i, Рт+2 Кроме того, г-н Киллинг не заметил того, что конечные
уравнения такой группы определяются этими инвариантами, вообще говоря, неоднозначно, а
однозначно они ими определяются лишь тогда, когда в качестве инвариантов выбраны
главные решения полной системы, задающей эти инварианты. Упомянем еще один факт, который
в первом томе появился в неявном виде. Он состоит в том, что инварианты произвольного
количества точек относительно r-параметрической группы в худшем случае выражаются через
инварианты г точек. Этот результат, который ускользнул от г-на Киллинга, следует
непосредственно из предложения 5, том I, стр. 66; Ли впервые указал на это в Lepziger Berichten за
1889 г., стр. 228.
*На это Ли указал на семинаре, которым он руководил в течение 1891-92 гг.; там же были
приведены и идущие ниже новые доказательства.

утверждений, не использует сложное понятие транзитивности в бесконечно
малом.
Нахождением конечных непрерывных групп, являющихся как можно
более транзитивными, мы будем заниматься в первых двух параграфах
настоящей главы. В третьем же параграфе мы приведем некоторые
исследования, которые преследуют очень похожую цель: мы покажем, что для
количества параметров в примитивных группах пространства Rn можно
указать верхнюю границу, зависящую только от числа п. Эти
исследования, однако, следует считать только предварительными, поскольку граница,
которую мы получим, будет слишком велика; позже эту верхнюю границу
нам нужно будет еще свести к ее наименьшему значению.
§69
Первым мы докажем утверждение о том, что конечная непрерывная
группа пространства Rn может быть самое большое (п + 2)-точечно
транзитивной.
При п = 1 это утверждение несомненно верно, так как, во-первых,
на одномерном многообразии не существует конечных непрерывных групп
с более, чем тремя параметрами (см. стр. 3), а во-вторых, каждая трех-
параметрическая группа одномерного многообразия обязательно является
(1 + 2)-точечно транзитивной; то, что трехпараметрические группы
действительно существуют, показывает общая проективная группа этого
многообразия.
Чтобы доказать наше утверждение в общем случае, предположим, что
оно верно для n-мерного пространства и для всех пространств меньшей
размерности, и покажем, что при таком предположении это утверждение
будет иметь силу и в случае (п + 1)-мерного пространства. Поскольку оно
верно в случае п = 1, мы тем самым докажем его для каждого п.
Итак, будем считать доказанным тот факт, что ни в каком пространстве
размерности т < п + 1 не существует конечных непрерывных групп,
которые являются более, чем (га + 2)-точечно транзитивными. Мы покажем,
что тогда в пространстве размерности п + 1 не существует ни одной
конечной непрерывной группы, которая являлась бы более, чем (п + 3)-точечно
транзитивной.
Пусть G — конечная непрерывная группа пространства i?n+i,
являющаяся как можно более транзитивной. Так как общая проективная группа

пространства i?n+i уже (n+З)-точечно транзитивна, группа G должна быть
по меньшей мере также (п + 3)-точечно транзитивной. Кроме того, ясно,
что если G является r-параметрической, то число г должно равняться по
меньшей мере (п + 1)(п + 3).
Покажем прежде всего, что группа G должна быть примитивной.
Действительно, если бы G была импримитивной, то пространство
i?n+i представлялось бы в виде инвариантного семейства оот
многообразий Mn+i-m размерности п + 1 — га, где 0 < га < п + 1. Через каждую
точку общего положения проходило бы ровно одно такое многообразие,
и при фиксации соответствующей точки оно оставалось бы на месте. Но
под действием группы G все оот многообразий из нашего семейства
переставлялись бы друг с другом посредством изоморфной группы (5, и эта
группа Ф, будучи конечной непрерывной группой от га < п + 1
переменных, была бы самое большое (га + 2)-точечно транзитивной, то есть, если
зафиксировать га + 2 различных многообразия Mn+i-m общего
взаимного положения, то оот многообразий Mn+i-m преобразовывались бы уже
нетранзитивным образом. Если бы теперь на га + 2 различных
многообразиях Mn+i-m общего взаимного положения мы зафиксировали по одной
точке общего положения, то все эти многообразия Mn+1_m оставались бы
на месте, и следовательно, оот многообразий Мп+1_т уже не
преобразовывались бы транзитивным образом. Но тогда, очевидно, точки
пространства i?n+i также преобразовывались бы интранзитивным образом, то есть
группа G была бы лишь (га + 2)-точечно транзитивной, и в наиболее
благоприятном случае, когда га = п, она была бы в точности (п + 2)-точечно
транзитивной, в то время как она должна была бы быть по крайней мере
(п + 3)-точечно транзитивной. Это противоречие показывает, что группа G
должна быть примитивной.
Предположим, что в некоторой окрестности точки х\...з^+1 общего
положения инфинитезимальные преобразования группы G разложены в ряд
по степеням величин х\ — х\,..., xn+i — я£+1.
Наша r-параметрическая группа G, будучи примитивной группой,
транзитивна и, следовательно, в окрестности точки х\ ... х^ содержит
ровно г — п — 1 независимых инфинитезимальных преобразований первого или
более высокого порядка относительно xv — x^. Эти инфинитезимальные
преобразования порождают (г — п — 1)-параметрическую подгруппу д в G
(см. том I, стр. 205, предл. 1). Среди инфинитезимальных преобразований
из д может содержаться не более (п + I)2 таких, которые имеют порядок 1
относительно х„ — х^ и никакая линейная комбинация которых не дает пре-

образований порядка 2 или выше. Но число г равняется по меньшей мере
(п +1) (п + 3), а значит, число г — п-1 должно равняться по меньшей мере
(п + 1)(п + 2). Следовательно, д содержит по меньшей мере (п + 1)(п +
+ 2) — (п + I)2 = п +1 независимых инфинитезимальных преобразований,
имеющих относительно х„ — х^ порядок 2 или выше.
По теореме 29, том I, стр. 192, подгруппе д соответствует конечное
положительное целое число s, обладающее тем свойством, что д содержит
инфинитезимальные преобразования порядка s относительно xv — х^9 но
не содержит инфинитезимальных преобразований порядка 5 + 1 или выше.
В нашем случае это число s не может быть меньше, чем 2. Если
предположить, что д содержит I независимых инфинитезимальных преобразований
порядка s, скажем
п+1 о г
Zjj = Y^ Cii/tei • • • zn+i) о— (j = i... о,
то, как следует из сказанного на стр. 263-264 первого тома, преобразования
Z\f ... Zif попарно перестановочны и порождают инвариантную
подгруппу группы д.
Если группа Z\j... Zif интранзитивна, то уравнения
zx/ = o, ..., ztf = o
задают полную систему, инвариантную относительно д и имеющую по
крайней мере одно решение. Тогда группа д является импримитивной,
вследствие чего, как показывают рассуждения, приведенные на стр. 298-
299, сама группа G в этом случае может быть самое большое (п + 3)-
точечно транзитивной.
Если, с другой стороны, группа Z\f.. .Zif транзитивна, то она
содержит п+1 независимых инфинитезимальных преобразований 3i/ ♦ ♦ ♦ Зп-иЛ
которые не удовлетворяют никакому соотношению вида
п+1
^ (pu(xi... xn+i)3i// = 0.
Поскольку все Zf попарно перестановочны, таковыми являются и все 3/, и
следовательно, 3i/ ♦ ♦ ♦ Зп+i/ порождают (п + 1)-параметрическую просто
транзитивную группу с попарно перестановочными преобразованиями. По

теореме 64, том I, стр. 340, эта группа подобна относительно некоторого
точечного преобразования пространства i?n+i группе
^ в/ _9/_в (1)
9yi' <Эу2' '"' c?2/n+i"
Принимая во внимание то, что каждое инфинитезимальное
преобразование переменных 2/1...уп+ь перестановочное со всеми инфинитезималь-
ными преобразованиями (1), получается линейной комбинацией
преобразований (1), мы видим, что группа Zif...Zif совпадает с группой
3i/ • • • Зп+i/ и> следовательно, сама подобна группе (1). Наконец, следует
отметить, что Z\f... Z[f является инвариантной подгруппой группы д, и
поэтому при подходящей замене переменных у\... Уп+i группа д перейдет
в некоторую группу 7, содержащую (1) в качестве инвариантной
подгруппы. Теперь легко увидеть, что каждое преобразование, оставляющее
инвариантной группу (1), принадлежит общей линейной группе пространства
i?n+i, а поскольку эта общая линейная группа имеет лишь (п + 1)(га + 2)
параметров, мы можем заключить, что д в рассматриваемом случае
является самое большое (п + 1)(п + 2)-параметрической. Возвращаясь к группе G,
мы получаем, что она может быть не более, чем (п -Ь 1)(гс 4- 3)-параметри-
ческой. Итак, мы доказали, что и в этом случае G является самое большое
(п + 3)-точечно транзитивной.
Приведенные выше рассуждения показывают, что если наше
утверждение верно для каждого пространства размерности < п +1, то оно верно
и для пространства размерности п -\- 1. Но поскольку оно верно для
пространства размерности 1, то, как уже было отмечено ранее, оно полностью
доказано. Таким образом, имеет место следующая теорема.
Теорема 21. В n-мерном пространстве не существует конечных
непрерывных групп, являющихся более, чем (п + 2)-точечно
транзитивными; другими словами, под действием каждой конечной непрерывной группы
пространства Rn любые п + 3 точки обладают по меньшей мере одним
инвариантом*.
Кроме того, предшествующие рассуждения приводят к следующему
результату.
*Само собой разумеется, что для транзитивности бесконечных непрерывных групп такую
верхнюю границу указать невозможно. В этом можно убедиться уже на примере бесконечной
группы всех точечных преобразований, которая, очевидно, является бесконечно транзитивной.

Предложение 1. Если конечная непрерывная группа пространства Rn
является (п+2)-точечно транзитивной, то есть если под действием этой
группы п + 2 точки еще не ьшеют инвариантов, то эта группа
примитивна. Если, с другой стороны, импримитивная конечная непрерывная группа
пространства Rn разбивает это пространства на инвариантное
семейство оот многообразий размерности п — т, то она является самое
большое (га + 2)-точечно транзитивной, то есть под действием этой группы
любые га + 3 точки имеют инвариант.
Сформулируем теперь еще два результата, содержащихся в
рассуждениях, приведенных на стр. 300.
Предложение 2. Если инфинитезимальные преобразования
некоторой транзитивной группы пространства Rn попарно перестановочны, то
эта группа просто транзитивна и подобна относительно некоторого
точечного преобразования пространства Rn группе р\... рп всех трансляций
этого пространства.
Предложение 3, В пространстве Rn не существует бесконечных
групп точечных преобразований, которые бы содерэ/сали группу pi...pn
всех трансляций пространства Rn в качестве инвариантной
подгруппы. Наибольшей конечной группой пространства R^, содержащей группу
Pi .. .рп всех трансляций в качестве инвариантной подгруппы, является
общая линейная группа этого пространства.
§70
Теперь нам нужно доказать утверждение о том, что каждая (п + 2)-
точечно транзитивная группа пространства Rn является п(п + 2)-парамет-
рической и посредством некоторого точечного преобразования переводится
в общую проективную группу этого пространства.
При п = 1 это утверждение также верно, поскольку одномерное
многообразие, как мы знаем, не обладает группами с более, чем тремя
параметрами и каждая трехпараметрическая группа подобна общей проективной
группе этого многообразия (см теор. 1, стр. 6). Поэтому мы будем
действовать так же, как и в предыдущем параграфе, то есть предположим, что наше
утверждение верно для пространств размерности п и ниже, и покажем, что
тогда оно верно и в случае пространства размерности п + 1.

Итак, пусть при п ^ 1 для любого пространства размерности т < п+1
доказано, что все (т + 2)-точечно транзитивные группы этого пространства
подобны общей проективной группе этого пространства. Найдем все (п +
+ 3)-точечно транзитивные группы пространства Rn+i-
Если G — группа, обладающая требуемым свойством группа, то она
имеет по крайней мере (п + 1)(п + 3) параметров и является примитивной.
Как и в предыдущем параграфе, рассмотрим все инфинитезимальные
преобразования из G, которые в окрестности некоторой точки х\ ... x^+i
общего положения имеют относительно xv — х% порядок 1 или выше.
Порождаемую этими инфинитезимальными преобразованиями группу мы снова
обозначаем буквой д. О группе д нам известно следующее: д имеет по
меньшей мере (п + 1)(п + 2) параметров и является (п + 2)-точечно
транзитивной; она содержит некоторые инфинитезимальные преобразования
порядка 2 относительно хи — х%\ наконец, если s > 1 — наибольший порядок,
который могут иметь входящие в д инфинитезимальные преобразования, то
все инфинитезимальные преобразования порядка s
^5)/ = Еолх1...хп+1)^- (j = i...z)
из д попарно перестановочны и порождают инвариантную в д подгруппу.
Здесь следует различать два случая, поскольку группа x[s' f... Э£^ /
может быть как транзитивной, так и интранзитивной. Эти два случая мы
должны рассмотреть отдельно.
Если группа x[s f... X\s f транзитивна, то, как мы видели в
предыдущем параграфе, она просто транзитивна и подобна относительно
некоторого точечного преобразования группе
EL Ё1 _?/_. (1)
дуг' дуъ '", %i+i*
Кроме того, при подходящей замене переменных у\... 2/n+i группа g
переходит в некоторую группу д' линейных преобразований. Но группа д, а
следовательно, и группа д', имеет самое меньшее (п + 1)(п + 2) параметров.
С другой стороны, наиболее общее линейное преобразование пространства
Rn+i зависит ровно от (п + 1)(п + 2) параметров. Таким образом, и д, и д'
должны иметь (п + 1)(п + 2) параметров, а группа д\ в частности, должна
совпадать с общей линейной группой пространства Дп+1-

Покажем, что это приводит к противоречию.
Действительно, общая линейная группа д' пространства Rn+\
примитивна и преобразует ооп линейных элементов, проходящих через каждую
фиксированную точку общего положения, наиболее общим образом. То же
самое должно, разумеется, быть верным и для подобной ей группы д, а
так как д является инвариантной подгруппой группы G, последняя также
должна преобразовывать ооп линейных элементов, проходящих через
каждую точку общего положения, наиболее общим образом. По теореме 112,
том I, стр. 631, из того, что G является конечной непрерывной группой и
содержит по меньшей мере (п + 1)(п + 3) параметров, теперь следует, что
G является в точности (п + 1)(п + 3)-параметрической и при подходящем
выборе переменных х\.. .хп+\ совпадает с общей проективной группой
пространства i?n+i- Но при таком выборе переменных группа д станет
наибольшей проективной группой пространства Rn+u оставляющей на месте
некоторую точку х\ ... х£+1 общего положения, то есть будет импримитив-
ной, в то время как она должна быть примитивной. Мы пришли к
противоречию, и следовательно, тот случай, когда определенная выше группа
X[s f... X\s f транзитивна, невозможен.
Рассмотрим теперь случай, когда группа X[s f.. .X\s f является ин-
транзитивной.
В этом случае, как мы видели в предыдущем параграфе, группа д им-
примитивна и, следовательно, разбивает пространство i?n+i на оот
многообразий размерности п + 1 — га, образующих инвариантное семейство, где
га принимает одно из значений 1,2, ..., п. Но согласно предложению 1,
стр. 301, конечная непрерывная группа пространства Дп+ь разбивающая
это пространство указанным выше образом, может быть самое большое
(га + 2)-точечно транзитивной, а с другой стороны, группа д должна быть
(п+2)-точечно транзитивной, откуда следует, что га = пи что под
действием д пространство i?n+i представляется в виде инвариантного семейства
ооп кривых.
Чтобы найти д, сделаем такую замену переменных х\... xn+i
новыми переменными у\.. .2/п+ь при которой упомянутые выше ооп кривых
задаются уравнениями
У\ — const, ..., Уп — const.
(2)

При этом группа д принимает вид
п
^2vk»(yi.. .Уп)Ци +%,n+i(yi.. .yn+i)9n+i
(*=1,2,...).
Под действием группы д кривые (2) преобразуются посредством
изоморфной ей укороченной группы
п
^^1/(У1..-Уп)?1/ (*=1,2,...). (3)
v=\
Но поскольку группа д является (п + 2)-точечно транзитивной,
очевидно, что ооп кривых (2) должны под действием д преобразовываться (п +
+ 2)-точечно транзитивно, и поэтому группа (3) от переменных у\.. .уп,
изоморфная группе д, должна быть также (п + 2)-точечно транзитивной.
Следовательно, эта группа (3) подобна относительно некоторого
точечного преобразования пространства Rn общей проективной группе этого
пространства, то есть при подходящем выборе переменных у\.. .уп она может
быть записана в виде
п
Як, УиЧк> Уу^УтЧт (fc,i/=i...n).
т=1
Сама же группа д при таком выборе переменных у принимает вид, при
котором она содержит, во-первых, п(п + 2) независимых инфинитезимальных
преобразований вида
Г Як+ПкЫ ...J/n+l)?n+l
VuQk + Рик{У\ • • • Уп+ikn+i
\ V- (4)
Уи 2^ УтЧт + ъ\у\ • • • Уп+1)яп+1
т=1
^ (fc,i/=l...n),
а во-вторых, некоторое количество, скажем /г, независимых
инфинитезимальных преобразований
Fi(yi...yn+i)qn+u ••••> Fh{yi---yn+i)qn+u (5)

оставляющих на месте каждую из ооп кривых (2). Инфинитезимальные
преобразования (5) порождают здесь /г-параметрическую инвариантную
подгруппу группы д (см. том I, стр. 307, предл. 5). Количество h этих инфи-
нитезимальных преобразований (5) равно по меньшей мере п + 2, так как
группа д должна содержать по меньшей мере (п + 1)(п + 2) параметров.
Поскольку инвариантная подгруппа (5) группы д не может состоять
только из тождественного преобразования, она преобразует точки каждой
из прямых (2) по меньшей мере однопараметрически. Следовательно (ср.
стр. 155), при замене переменной yn+i подходящей функцией от у\... уп+\
эта подгруппа всегда приводится к одному из следующих трех видов:
*i(2/i...J/n)gn+b •••, Fh{y\---yn)<ln+\, (5')
F\{y\...yn)qn+\, •••, ^)i-i(yi.-.yn)9n+bJ/n+i9n+b (5")
<3Vi+i, 2/n+i?n+b Уп+iQn+u (5"')
причем инфинитезимальные преобразования (4) при этом существенно не
изменятся. Третья из этих групп возникает лишь в случае п = 1, так как
только в этом случае число параметров, содержащихся в группе (5'") будет
не меньше, чем (п + 2).
Чтобы теперь воспользоваться полученными результатами для
нахождению группы G, вспомним, как группы д и G связаны между собой.
К группе д мы пришли, зафиксировав в (п + 1)-мерном пространстве
группы G некоторую точку х\.. . <т£+1 общего положения: д есть не что
иное, как наибольшая непрерывная подгруппа группы G, оставляющая эту
точку на месте. Наша цель теперь состоит лишь в том, чтобы доказать,
что группа G подобна общей проективной группе пространства i?n+i. Для
этого достаточно доказать, что наибольшая непрерывная подгруппа д
группы G, оставляющая на месте точку я§...:г^+1, преобразует проходящие
через эту точку ооп линейных элементов наиболее общим образом, то есть
п(п+2)-параметрически. Действительно, если д обладает таким свойством,
то группа G, будучи конечной непрерывной группой с по меньшей мере
(п + 1)(п + 3) параметрами, обязательно будет подобна общей проективной
группе пространства i?n+i (см. том I, теор. 112, стр. 631).
Итак, проверим, можно ли исходя из найденных ранее свойств
группы д выяснить, как эта группа преобразует ооп линейных элементов,
проходящих через инвариантную точку х\ ... х^+1.
Ясно, что под действием группы д эти ооп линейных элементов преоб-

разуются посредством некоторой изоморфной ей группы g и что эта
группа g является проективной.
Группа 0 не может быть голоэдрически изоморфной группе д,
поскольку д содержит по меньшей мере (п + 1)(п + 2) параметров, в то время как д,
будучи проективной группой пространства размерности п, содержит самое
большое п(п + 2) параметров. Следовательно, группа g изоморфна группе д
лишь мериедрически. С другой стороны, g не может состоять только из
перестановочных преобразований и вообще быть интегрируемой группой
(ср. стр. 262). Действительно, если бы она была интегрируемой, то
согласно предложению 4, том I, стр. 589, она бы оставляла на месте по крайней
мере один линейный элемент, проходящий через точку х\ ... я^+ь и тогда
под действием группы G с каждой точкой общего положения был бы
инвариантно связан некоторый проходящий через нее линейный элемент. Но
отсюда следует, что G допускала бы инвариантную систему обыкновенных
дифференциальных уравнений, то есть была бы импримитивной, в то время
как она, как мы знаем, должна быть примитивной.
Пользуясь этими замечаниями, теперь нетрудно установить, сколько
параметров содержится в группе д.
В соответствии со сказанным на стр. 305 первого тома, структуру всех
групп, изоморфных группе д, можно указать сразу, как только известны все
инвариантные подгруппы группы д. Но мы уже видели, что посредством
замены переменных у\... yn+i группа д приводится либо к виду (4), (5'),
либо к виду (4), (5"), либо, наконец, к виду (4), (5"'); причем к
последнему виду она приводится только тогда, когда п имеет значение 1. Таким
образом, мы должны рассмотреть эти три случая по порядку и найти в
каждом из них все инвариантные подгруппы. Каждая такая инвариантная
подгруппа дает структуру некоторой группы, изоморфной группе д, когда
д приводится к рассматриваемому в данный момент виду. Наконец, из всех
найденных таким образом структур мы должны исключить те, которые
являются интегрируемыми, поскольку группа g не может быть
интегрируемой. Оставшиеся после этого структуры будут единственными
возможными для g структурами. При этом, однако, нужно всегда иметь в виду то, что
группа g может быть самое большое п(п + 2)-параметрической.
Если д приводится к виду (4), (5'), то, чтобы найти инвариантные
подгруппы группы д, нужно рассмотреть два случая. Действительно, каждая
инвариантная подгруппа группы (4), (5') содержит либо исключительно
инфинитезимальные преобразования вида (5'), либо она также содержит

по крайней мере одно инфинитезимальное преобразование, не являющееся
линейной комбинацией преобразование вида (5').
Первый случай доставляет только те изоморфные (4), (5') группы,
которые содержат по меньшей мере п(п + 2) параметров. Второй же случай
вообще исключается из рассмотрения. Действительно, если инвариантная
подгруппа группы (4), (5') содержит лишь одно преобразование вида
• п п
I ,= 1 *,„=!
Inn ч '
+ ^2 °vVv ^2 УтЯт + ^У1 ' ' ' Vn+l)Qn+U
\ v=l r=l
где не все a;y, b^, с„ одновременно равны нулю, то она содержит все п(п-\-
4- 2) инфинитезимальных преобразований вида (4) (ср. том I, стр. 560) и
поэтому доставляет такую изоморфную группе (4), (5') группу, инфините-
зимальные преобразования которой попарно перестановочны. Но мы знаем,
что преобразования из группы g не могут быть попарно перестановочными.
Если, с другой стороны, группа д приводится к виду (4), (5"), то мы
имеем очень похожую ситуацию. А именно, если инвариантная
подгруппа группы (4), (5") содержит лишь инфинитезимальные преобразования
вида (5"), то она доставляет такую изоморфную (4), (5") группу, которая
имеет не менее, чем п(п 4- 2) параметров. Если же инвариантная подгруппа
группы (4), (5") содержит вдобавок лишь одно преобразование вида (б), в
котором не все аи, bkv, cu одновременно равны нулю, то она содержит все
п(п 4- 2) инфинитезимальных преобразований вида (4) и доставляет такую
изоморфную (4), (5') группу, которая изоморфна группе (5") и поэтому
является интегрируемой.
Отсюда мы заключаем, что если группа д может принимать вид (4), (5')
или (4), (5"), то группа g должна содержать по меньшей мере п(п + 2)
параметров. Но поскольку группа g не может содержать более, чем п(п + 2)
параметров, то в обоих случаях она содержит ровно п(п + 2) параметров и
является общей проективной группой пространства Rn.
Таким образом, для случая п > 1 вопрос о количестве содержащиеся
в g параметрах исчерпан. В случае же п = 1 нужно еще иметь в виду, что
д, возможно, приводится к виду (4), (5"') или, что то же самое, к виду
9Ь У1?Ь У??Ь 92, У2<?2, У242-
(7)

В этом случае группа g должна была бы быть мериедрически
изоморфной группе (7), так как, будучи проективной группой одномерного
многообразия, она может быть самое большое трехпараметрической. Но группа (7)
содержит только две инвариантные подгруппы, а именно <?i, yiqi, ViQi и
<?2, У2Я2, у\я2- Поэтому каждая группа, мериедрически изоморфная
группе (7) и не состоящая только из тождественного преобразования (что в
случае группы g исключено), является трехпараметрической и имеет ту же
структуру, что и группа #i, yi^i, Ух^ь Итак, мы доказали, что и в этом
случае группа g совпадает с общей проективной группой пространства Rn.
Заметим, впрочем, что рассмотренная только что ситуация, когда g
приводится к виду (7), на самом деле невозможна*. Однако здесь это
несущественно, поскольку [???] нам достаточно знать, что если бы такая ситуация
и возникла, группа 7 все равно имела бы требуемое число параметров.
Итак, мы доказали, что группа g всегда совпадает с общей
проективной группой пространства Rn и что, следовательно, при сделанных нами
предположениях ооп направлений, проходящих через инвариантную
точку xj...x^+1, преобразуются под действием группы д наиболее общим
образом. Но отсюда, как уже было отмечено на стр. 305, следует, что
группа G подобна относительно некоторого точечного преобразования
пространства /?n+i общей проективной группе этого пространства. Таким
образом, утверждение, сформулированное в начале этого параграфа,
полностью доказано.
Сформулируем это утверждение следующим образом.
Теорема 22. Если конечная непрерывная группа n-мерного
пространства является (п+2)-точечно транзитивной, то есть если п+2 точки еще
не имеют относительно этой группы никаких инвариантов, ап + 3 точки
уже имеют по крайней мере один инвариант, то эта группа является в
точности п(п + ^-параметрической и подобна относительно
некоторого точечного преобразования пространства Rn общей проективной группе
этого пространства.
При доказательстве этого утверждения мы воспользовались
теоремой 112 из первого тома, в которой идет речь о конечных непрерывных
группах, как можно более транзитивных в бесконечно малом.
Небезынтересен тот факт, что это утверждение можно доказать и без использования
*Это следует, например, из нашего списка всех конечных групп плоскости (см. стр. 71-73).

этой теоремы и что, следовательно, при доказательстве теоремы 22
можно не прибегать к понятию транзитивности в бесконечно малом. Для этого
нужно действовать следующим образом.
Сперва нужно найти все группы вида (4), (5'); (4), (5") и (4), (5"')
и привести их посредством подходящей замены переменной yn+i к
нормальному виду. Требуемые для этого вычисления, как было замечено на
стр. 178, не вызывают больших трудностей и очень похожи на вычисления,
проведенные на стр. 155-170. Найдя эти группы, нужно еще установить,
какие из них являются (п 4- 2)-точечно транзитивными и какие из тех,
которые являются (п + 2)-точечно транзитивными, содержатся в некоторой
(п + 3)-точечно транзитивной группе. Это также не представляет ни
малейших трудностей.
В заключение, отметим, что с помощью аналогичных рассуждений
можно отыскать и все (п + 1)-точечно транзитивные группы
пространства Rn.
§71
В § 69 было показано, что для транзитивности конечных
непрерывных групп пространства Rn можно указать верхнюю границу: каждая такая
группа, как оказалось, может быть не более, чем (п + 2)-точечно
транзитивной. Далее, в § 70 мы нашли верхнюю границу для числа параметров в
(п + 2)-точечно транзитивных группах пространства Rn, доказав, что такая
группа не может иметь более, чем п(п+2) параметров. Это наталкивает нас
на вопрос о том, нельзя ли указать такую верхнюю границу для количества
параметров в других классах групп пространства Rn.
При п > 1 количество параметров в транзитивных группах
пространства Rn не имеет верхней границы, поскольку уже в плоскости
существуют транзитивные группы, имеющие сколь угодно много параметров (см.
стр. 71-73). С другой стороны, напрашивается предположение о том, что
для количества параметров в примитивных группах пространства Rn такая
верхняя граница существует, так как мы знаем, что каждая примитивная
группа плоскости содержит самое большое восемь параметров, а в случае
трехмерного пространства — пятнадцать.
Сейчас мы покажем, что для количества параметров в примитивных
группах пространства Rn действительно можно указать верхнюю границу.
Пусть G — конечная непрерывная примитивная группа простран-

ства Rn. Без ограничения общности можно считать, что начало
координат является точкой общего положения относительно этой группы. Тогда в
окрестности начала координат эта группа содержит п независимых
инфинитезимальных преобразований
Р1 + -" , Р2 +
. . . , рп +
(8)
нулевого порядка относительно х, Ai независимых инфинитезимальных
преобразований первого порядка, никакая линейная комбинация которых
не дает преобразований второго или более высокого порядка, и, наконец,
вообще Л/с независимых инфинитезимальных преобразований порядка к
никакая линейная комбинация которых не дает преобразований порядка к +
+1 или выше. Поскольку наша группа является конечной, то найдется такое
конечное положительное целое число 5^1, что эта группа содержит инфи-
нитезимальные преобразования порядка 5, но не выше (см. том I, стр. 11).
Если нам удастся показать, что для любой примитивной группы
пространства Rn число s не превышает некоторую верхнюю границу,
зависящую только от п, то этим самым мы докажем, что число параметров
в примитивной группе пространства Rn не может превышать некоторую
верхнюю границу, зависящую только от п. Действительно, группа
пространства i?n, для которой число 5 не превосходит конечное
положительное целое число га, содержит, как легко увидеть, самое большое столько
же параметров, сколько и наиболее общая целая функция степени т от
п переменных.
Чтобы получить такую верхнюю границу для числа s, рассмотрим
сначала принадлежащие нашей группе инфинитезимальные преобразования
порядка 5:
(9)
X[s)f ... Xj>>/.
Мы можем, очевидно, считать, что число s больше единицы. Тогда
инфинитезимальные преобразования (9) являются попарно перестановочными и
порождают As-параметрическую инвариантную подгруппу группы
x[2)f
X
(s-1)
x[s)f
f
x{2f
xt.?f
x{s)f,
(10)

которая порождена всеми инфинитезимальными преобразованиями
порядка от 1 до 5, принадлежащими группе G (см. том I, стр. 263 и стр. 264,
предл. 9).
Предположим, что группа (9) транзитивна. Тогда, согласно
предложению 2, стр. 301, она просто транзитивна и подобна группе
gi ••• Чп
всех трансляций пространства Rn. При этом группа (10), в которой (9)
является инвариантной подгруппой, при подходящей замене переменных
2/1 - • • Уп переходит в линейную группу пространства Rn. Отсюда
следует, что группа (10) содержит не более, чем п(п + 1) параметров, а значит,
сама группа G содержит не более, чем п(п + 2) параметров. Кроме того,
оказывается, что число 5 должно иметь значение 2. Действительно, при
5 > 2 инфинитезимальные преобразования порядка s и 5 — 1 из (10)
были бы попарно перестановочны, и группа (10) содержала бы по крайней
мере одно инфинитезимальное преобразование, не зависящее от
преобразований (9) и со всеми ими перестановочное. Но это невозможно, так как
в пространстве Rn не существует линейных инфинитезимальных
преобразований, перестановочных со всеми трансляциями этого пространства, за
исключением, конечно, самих трансляций.
Таким образом, случай, когда группа (9) транзитивна, рассматривать
дальше нет никакой надобности.
Если группа (9) интранзитивна, среди As уравнений
X[s)f = 0, ...,X<s)/ = 0 (П)
найдется т, т < п, независимых, так что уравнения (11) определяют
m-параметрическую полную систему. Поскольку группа (9) инвариантна
в (10), эта полная система, очевидно, инвариантна относительно
группы (10). Кроме того, ясно, что инфинитезимальные преобразования
порядка s и s — 1 из (10) тоже порождают инвариантную в (10) подгруппу, а
значит, уравнения
x[s)f = o, ...,x[s?f = o
х1(-1)/=о, ...,4'.:I1)/=o
также определяют полную систему, инвариантную относительно (10).
Если бы полная система (12) была m-параметрической, то есть если бы все

уравнения
x{1s~i)f = o, ...,*<>-;>/ = о аз)
являлись следствием уравнений (И), то все без исключения выражения
которые, очевидно, могут быть представлены в виде линейных комбинаций
инфинитезимальных преобразований
обращались бы в нуль благодаря (И). Тогда m-параметрическая полная
система (11) допускала бы не только инфинитезимальные
преобразования (10), но и преобразования (8), то есть она допускала бы всю группу G.
Но тогда, вопреки нашему предположению, группа G была бы
импримитивной.
Таким образом, если среди уравнений (11) найдется т < п друг от
друга независимых, то среди уравнений (12) найдется по крайней мере
га + 1 друг от друга независимых.
Если полная система (12) не является n-параметрической и если s > 2,
то можно пойти еще дальше. Действительно, в этом случае уравнения
(xls)f = o, 4*_1)/ = о, х{;-2)/ = о
\ (г=1. . .Л.; к=1. . .A4_i; j=l. . . Лч_2)
снова определяют полную систему, инвариантную относительно
группы (10). Если бы теперь все уравнения (14) были следствиями
уравнений (12), то все без исключения выражения
(Pl/ + ...,xls)f), ..., (Pl/ + ...,xis-1)f)
(i=l. . .Л.; fe=l. . .A4_i)
с учетом (12) обращались бы в нуль, и следовательно, полная система (12)
была бы инвариантна относительно всей группы G. Но тогда, вопреки
нашему предположению, G снова была бы импримитивной. Итак, мы можем
заключить, что среди уравнений (14) найдется по крайней мере одно, не
являющееся следствием уравнений (12).

Продолжая в том же духе, мы получим следующее: если число s,
соответствующее примитивной группе G, превышает п, то среди уравнений
Г x[s)f = о, ..., x^f = о
x|s"1)/ = o, ..., x[s-])f = o
\ . " (15)
[x(S-n+l)/ = 0) x(S-n+l)/ = 0
всегда найдется п друг от друга независимых.
Теперь легко указать верхнюю границу для числа s: такой границей
является число 2п + 1.
Действительно, если бы s было больше, чем 2п + 1, то инфинитези-
мальные преобразования из группы (10), имеющие порядок (s — n) и выше,
согласно предложению 9, том I, стр. 264, были бы попарно
перестановочными и порождали бы группу. Поскольку среди таких инфинитезимальных
преобразований существует по меньшей мере п 4-1 друг от друга
независимых, то эта группа была бы по меньшей мере (п 4- 1)-параметрической. С
другой стороны, она должна была бы быть транзитивной, потому что, как
было показано выше, среди уравнений (15) нашлось бы ровно п друг от
друга независимых. Но это невозможно, так как, согласно предложению 2,
стр. 301, транзитивная группа пространства i?n, преобразования которой
попарно перестановочны, является в точности n-параметрической.
Следовательно, s не может превышать число 2п + 1.
Сформулируем этот результат в виде теоремы.
Теорема 23. Конечная непрерывная примитивная группа
пространства Rn не может в окрестности точки общего положения х\ ... х\
содержать инфинитезималъные преобразования, порядок которых
относительно ху — х^ превышает 2п + 1. Отсюда следует, что в лучшем случае
эта группа содержит столько же параметров, сколько и наиболее общая
целая функция степени 2п + 1 от п переменных.
Из приведенных выше рассуждений можно вывести еще несколько
утверждений. Например, легко увидеть, что всегда, когда среди
уравнений (И) существует ровно п — т друг от друга независимых, число s
не может превышать 2т + 3. Однако, мы удовольствуемся теоремой 23,
поскольку эта теорема по крайней мере показывает, что количество пара-

метров в примитивных группах пространства Rn обладает верхней
границей, и этого нам пока вполне достаточно. Но только пока, так как ясно,
что полученная в этой теореме верхняя граница слишком велика, и даже
при п = 1 она не является действительной верхней границей. Со временем
нам, без сомнения, удастся указать истинную верхнюю границу для случая
произвольного п, и тогда, по всей вероятности, окажется, что примитивная
группа пространства Rn может содержать не более, чем п(п + 2)
параметров и что соответствующее число s не превосходит 2.
Поскольку мы уже начали делать догадки, выскажем здесь еще одно
предположение.
Как мы знаем, каждая примитивная группа пространства размерности
п = 3 приводится к такому виду, что приращения всех переменных под
действием ее инфинитезимальных преобразований являются целыми
рациональными функциями этих переменных. Можно предположить, что это
утверждение верно не только для указанных пространств, но и вообще для
пространств сколь угодно большой размерности. В случае п = 4 это
предположение уже подтвердилось.

Глава 17
Группы пространства Rn, обладающие
инвариантным уравнением вида
п
^2 /fci/(a>i • • • хп) dxk dxu = 0
Если группа пространства Rn оставляет инвариантным некоторое
дифференциальное уравнение второго порядка
п
У^ Ai/(ffi • • -^n) dxk dxy = 0 (fk„ = /„*.), (1)
определитель которого не обращается в нуль тождественно, то очевидно,
что эта группа обладает следующим свойством: если зафиксировать
некоторую точку х\.. .х£ общего положения, то oon_1 направлений х[ : xf2 :
• • • : х'п, проходящих через эту точку, под действием оставшихся
преобразований из нашей группы будут преобразовываться так, что уравнение
второго порядка
п
J2 Ы*?---4)44 = о (2)
будет инвариантным (см. том I, гл. 28); здесь, разумеется, определитель
£±/п(х°).../пТ1(х0)
имеет отличное от нуля значение.
В этой главе мы изучим некоторый класс таких групп, а именно,
мы найдем все непрерывные группы точечных преобразований
пространства Rn, которые оставляют инвариантным некоторое дифференциальное

уравнение вида (1) и обладают при этом тем свойством, что oon_1
направлений х[ : • • • : х'п, проходящих через каждую фиксированную точку
х\ ... х„ общего положения, преобразуются наиболее общим образом, то
есть наиболее общим образом, при котором уравнение (2) остается
инвариантным*. Мы увидим, что при п > 2 все непрерывные группы такого
рода являются конечными и приводятся к простым нормальным видам.
Первая часть этого результата, а именно утверждение о том, что все
такие группы конечны, является частным случаем одного общего
утверждения, которое мы выведем в заключительном параграфе этой главы: мы
покажем, что всякая непрерывная группа точечных преобразований
пространства Rn, оставляющая инвариантным однородное относительно dxv
уравнение вида
F(x\... xn, dx\... dxn) = 0,
зависит, вообще говоря, только от конечного числа параметров, при
условии, что это уравнение нелинейно по dxv.
§72
Итак, сейчас мы займемся нахождением всех непрерывных групп
пространства Rn, которые оставляют инвариантным уравнение вида (1) и
обладают указанным выше свойством.
Для простоты, мы, как обычно, будем считать, что точка х\ = x<i =
= ... = хп — О является точкой общего положения. Кроме того, мы будем
предполагать, что уравнение (2), соответствующее точке х\ — • • • = х^ —
— О, имеет простой вид
Х[2+... +х;2 = о. (з)
Этого можно добиться, если заменить переменные х& новыми
переменными х^ с помощью однородного линейного преобразования
п
хк = ^2 abi>xu (k=i...п); (4)
/у=1
* Первым эту задачу поставил и решил Ли. При этом он пользовался методом, описанным в
настоящей главе (см. Arch, for Math, og Naturvid., том Х, стр. 389, Кристиания, 1885г.). О связи
этой задачи с известной теоремой Римана о дифференциальных выражениях второго порядка
мы поговорим позже.

при этом вместо х'к мы получим величины
п
*к = ^2akiyXfJy (fc=l...n),
и тогда посредством подходящего преобразования (4) мы сможем добиться
того, чтобы уравнение
п
53 fuk(0...0)x'kx,„ = 0
имело вид (3).
Согласно теореме 109, том I, стр. 603, каждая из искомых групп
сопоставляет точке х\ = 0, ...,хп = 0 некоторую линейную однородную
группу от переменных х[...х'п, и эта линейная группа показывает, как
преобразуются oon_1 направлений х[ : ♦ ♦ ♦ : х'п, проходящих через точку
х\ = 0,..., хп = 0, если эту точку зафиксировать. Поэтому прежде всего
мы должны выяснить, какие здесь могут возникать линейные однородные
группы.
Наиболее общая линейная однородная группа, оставляющая
инвариантным уравнение (3), порождается п^~ +1 независимыми инфинитези-
мальными преобразованиями
х'иРк ~ xkP'»i X'lPl + • • • + ХпРп ("• к=1...п). (5)
Среди ее инфинитезимальных преобразований существует ровно одно,
которое оставляет на месте все oon_1 направлений х[ : ♦ ♦ ♦ : х'п. Поэтому
ясно, что oon_1 направлений, проходящих через точку х\ = 0,..., хп = 0,
преобразуются под действием этой группы п^~ ' -параметрически.
Предположим теперь, что линейная однородная группа,
соответствующая точке х\ = 0,... ,хп = 0, оставляет инвариантным уравнение (3) и
преобразует направления х[ : ♦ ♦ ♦ : х'п наиболее общим образом, то есть
1-2 -параметрически. Тогда возможны два случая: либо эта линейная
однородная группа совпадает с группой (5), либо она является п^~ -пара-
метрической подгруппой группы (5).
Во втором случае соответствующая точке xi=0,...,xn = 0 линейная
однородная группа, разумеется, не может содержать инфинитезимальное

преобразование х[р[ + ... + х'пр'п и поэтому порождается ™.2 незави"
симыми инфинитезимальными преобразованиями вида
х»Рк ~ хкР» + Oivk{x\v\ + ... + х'пр'п)
(к, i/=l...n),
где а„к = — akv — константа. При п > 2 с помощью коммутирования
легко убедиться, что все a„k равны нулю. Если же п = 2, то константа а\^
необязательно равна нулю и, более того, может иметь любое значение.
Кроме того, между случаями п = 2 и п > 2 есть еще одно существенное
различие: в то время как при п > 2 все группы пространства Rn, обладающие
требуемым свойством, являются конечными, в случае п = 2 существуют и
бесконечные группы, удовлетворяющие нашему требованию.
Поэтому мы пока исключим из рассмотрения случай п — 2. Однако
мы вернемся к нему в отдельном параграфе и найдем все возникающие
в этом случае конечные непрерывные группы; это сделать несложно, так
как мы уже знаем все конечные непрерывные группы плоскости (см. гл. 4).
Бесконечные же непрерывные группы, возникающие в случае п — 2, мы
определим позже, когда мы найдем вообще все бесконечные непрерывные
группы плоскости.
Отныне мы будем предполагать, что число п больше, чем 2. Тогда,
согласно сказанному ранее, существует лишь две линейные однородные
группы, которые могут соответствовать точке х\ = ... = хп = 0: во
первых, группа
x'»V'k ~ x'kVu (". *=l...n), (6)
а во-вторых, группа
х\Л - 4pL> x'ip'i + • • • + хпРп (". fc=i...n). (5)
Таким образом, теперь о свойствах искомых групп мы можем сказать
следующее.
Каждая из этих групп содержит либо ровно \^ , либо ровно
1.2 + 1 независимых инфинитезимальных преобразований первого
порядка относительно х\... хп, никакая линейная комбинация которых не
дает преобразования второго порядка. В обоих случаях эта группа содержит
™^ инфинитезимальных преобразований первого порядка вида
XkPv - ХиРк Н = Sku (i/,fc=l...n; k<v),

причем в первом случае ими исчерпываются все такие преобразования, а во
втором случае к ним добавляется еще инфинитезимальное преобразование
xipi + ... + хпрп Н = U.
Невыписанные здесь члены имеют относительно х\... хп порядок два или
выше.
Поскольку точка х\ — О, ..., хп — 0 является точкой общего
положения, то в каждом из этих случаев искомая группа содержит еще и
инфинитезимальное преобразование нулевого порядка относительно xi...xn,
которое имеет вид
AiPi + •.. 4- ХпРп + ...,
где, разумеется, не все Ai...An равны нулю и где невыписанные
члены имеют относительно х\... хп порядок один или выше. Коммутируя
это преобразование с преобразованиями S^, легко убедиться, что искомая
группа содержит п независимых инфинитезимальных преобразований
нулевого порядка, имеющих вид
Ри Н = Pv (i/=l...n).
Таким образом, согласно предложению 5, том I, стр. 217, все без
исключения искомые группы транзитивны.
Об инфинитезимальных преобразованиях нулевого и первого порядка,
которые могут встречаться, мы имеем теперь ясное представление.
Остается еще выяснить, какой вид имеют входящие в искомые группы инфините-
зимальные преобразования порядка два и выше.
Если одна из искомых групп содержит инфинитезимальное
преобразование второго порядка
п
W = ^2 brkjXTxkpj Н (bTkj = -bkrj),
r,k,j=l
то она должна содержать и инфинитезимальное преобразование первого
порядка
п
{PUW) = 2 J2 bvkjXkPj + • • • . (7)
Таким образом, входящие в (7) члены первого порядка должны получаться
с помощью линейной комбинации членов первого порядка из
преобразований Sik или членов первого порядка из преобразований Sik и С/. Отсюда

следует, что должны иметь место соотношения вида
Kkj + b„jk = 0 (к&), (8)
а также соотношения вида
Ьикк = Ьиии, (9)
где, если группа не содержит U, все коэффициенты Ьикк> разумеется, равны
нулю.
Если числа */, к, j отличны друг от друга, то из (8) путем
перестановки индексов мы получаем
bjykj = -bjyjk = —bjUk = bjkiy =
= bkju = —bki/j = -b„kj,
а значит, b„kj = 0- Поэтому из всех коэффициентов bykj нулю не
обязаны равняться лишь те, которые имеют по крайней мере два совпадающих
индекса, то есть коэффициенты вида
Ь„кк, bkvk, bkkv
При этом, как мы знаем, Ьикк — Ьк»к, и кроме того, благодаря (8) и (9)
имеют место равенства
Ъкку = —Ькик — -Ьикк = -bvvv (»фк),
так что все коэффициенты b„kj, которые, возможно, не равны нулю,
выражаются через bvvv.
Если искомая группа не содержит преобразование U, то согласно
сказанному ранее, все bvvv равны нулю, а поэтому нулю равны и вообще все
flvky Следовательно, эта группа не содержит инфинитезимальных
преобразований ни второго, ни более высокого порядка относительно х и состоит
только из
п(п — 1) п(п + 1)
п+ — = —
1-2 1-2
независимых инфинитезимальных преобразований Р;у, S^.
Если же преобразование U принадлежит искомой группе, то в нее
могут входить инфинитезимальные преобразования второго порядка, причем
каждое такое преобразование имеет вид
п п п п
v=l к=1 Аг=1 />=1

где опущенные члены имеют относительно х\...хп порядок три или выше.
Теперь, если т, fc, j — три различных числа, то мы получаем
п
ySTk, ^2 b]jV» + •••)= hvT - brvk + • • • ,
(SVb bkvT - bTvk + •••)= bTVj + • • • .
Таким образом, если одна из искомых групп содержит хотя бы одно ин-
финитезимальное преобразование второго порядка, то ей принадлежат все
п преобразований
п п
Vu = 2х„ Y2 хьРк ~ Y2 х1 ' Р» + * *' ("=1-*)-
к=1 к=1
В любом другом принадлежащем этой группе инфинитезимальном
преобразовании второго порядка члены второго порядка могут быть получены
линейной комбинацией членов второго порядка преобразований V\ ... Vn.
Попарное коммутирование преобразований V\... Vn не дает ни одного
инфинитезимального преобразования третьего порядка, поскольку члены
третьего порядка в разложении в ряд коммутатора {VuVk) тождественно
равны нулю. Тем не менее, вполне может быть, что в одной из искомых
групп встречаются инфинитезимальные преобразования третьего порядка.
Пусть
— такое инфинитезимальное преобразование третьего порядка, и пусть
£i ♦ ♦ • £п — входящие в него члены третьего порядка. Коммутируя с рт 4-
+ ♦ ♦ ♦, мы получим инфинитезимальное преобразование второго порядка,
л(3)
которое также принадлежит этой группе, и следовательно, £1 должны
удовлетворять условию вида
дх
i/=l T k=l i/=l i/=l
Дифференцируя это уравнение по Xj, мы получаем
71 ол(3) П П П
» д2£@) п п
^ дх дхР,/ = 2 ^ ark(xkPj - XjPk) + 2aTJ ^ ж„р„.
k=l v=l

Если здесь поменять местами т и j, которые мы считаем отличными друг
от друга, то ничего не должно измениться, откуда следует, что
OLTk = ocjk = 0 (k^rj), aTT + ajj = О,
то есть, нулю равны вообще все коэффициенты а, поскольку г и j могут
принимать произвольные значения от 1 до п.
(3)
Этим мы доказали, что все производные функций ££, обращаются в
нуль, а значит, как следует из соотношения
нулю равны и сами £,, . Короче говоря, искомые группы не могут
содержать инфинитезимальных преобразований порядка три или выше.
Соберем теперь вместе все полученные результаты:
Если непрерывная группа n-мерного пространства (п > 2) обладает
инвариантным дифференциальным уравнением вида
п
Y2 /ьЛж1 • • • хп) dxk dxu = 0, (1)
определитель которого не равен нулю, и если эта группа такова, что
направления, проходящие через любую зафиксированную точку общего
положения, преобразуются наиболее общим образом, то с помощью
подходящей замены переменных х\... хп всегда можно добиться того, чтобы
эта группа в окрестности точки х\ — 0, ...хп — 0 общего положения
содержала следующие инфинитезимальные преобразования:
во-первых, п независимых инфинитезимальных преобразований
нулевого порядка вида
Ри =P,s-\ (i/=l...n);
во-вторых, либо п^~ инфинитезимальных преобразований вида
Skv = хкРи - xvPk H (A, i/=l...n; fc<i/),
либо ^ ~ + 1 инфинитезимальных преобразований вида
Sku = XkPu ~ XisPk + * * * , U = XiPi + • • • + Хпрп + . . •
(к, is=l...n; к<и).

В первом из этих двух случаев наша группа не содержит инфинитези-
мальных преобразований порядка два или выше. Во втором же случае она
либо не содержит инфинитезимальных преобразований второго порядка,
либо она содерэ/сит ровно п независимых инфинитезимальных
преобразований второго порядка вида
п п
Vv = 2хи ^ XkPk ~ ^ Хк ' ?" + ' ' ' («/=1-Г1)-
/с=1 к=\
Инфинитезимальных преобразований порядка три или выше она
содержать не может.
Ограничение к < и для S^ можно снять, потребовав только, чтобы
S,sk = —Ski> и5 следовательно, Skk — 05 чт0 мы и будем делать впредь.
Из только что сказанного вытекает, что следует различать три случая:
каждая группа, обладающая требуемым свойством, порождается либо п -\-
+ п(^~1), либо п + п{^1) + 1, либо п + n(^~1} + 1 + п независимыми
инфинитезимальными преобразованиями. Таким образом, при п > 2
бесконечных непрерывных групп, удовлетворяющих нашим требованиям, не
существует. Этот факт интересен сам по себе.
Рассмотрим теперь каждый из этих трех случаев по отдельности.
§73
Сперва мы найдем все группы, порождаемые п + ^ ~ J + 1
независимыми инфинитезимальными преобразованиями вида
Рц. = Рц + • • • , U = ^2,хТрТ + • • • ,
т=1
Sku = *kPv ~ X„Pk + * * *
(д, fc, i/=l...n; Skv+Suk=0)-
Очевидно, что Sku и U удовлетворяют соотношениям вида
(k,v,j, /i=l...n),
(10)
(11)

где Sjyj при v = j равно единице, а при v ф j — нулю. Далее,
и если правую часть этого равенства взять в качестве нового Рм
получим
(P/lU) = Pfl (д=1...п).
Чтобы определить коэффициенты (3kv и /3 в равенстве
п—1 п
fc=i fy=fc+i
рассмотрим тождество
((PMSjT)C/) + ((SJT£/)PM) + ((£/PM)SiT) = О,
которое благодаря (11) и (12) принимает вид
((Р^т)и) = (Р^т).
Следовательно, все /?&„, /3 равны нулю, и мы имеем просто
(PfiSjr) = £MjPT — ^дгР? (д, j,r=l...n).
Остается еще подсчитать выражения
п п—\ п
(ед) = Х>"р«' + £ £ ikvSku + iu.
Рассмотрим с этой целью тождество
((ед-)с/) + ((р,с/)рд) + ((с/Рд)Р,) = о,
равносильное тождеству
((ВД)[/)=2(РМРД
и получим
(P^Pj) = 0 (M)j=l...n).

Итак, мы доказали, что всякая группа вида (10)содержит га+ ^ +1
инфинитезимальных преобразований Рд, S/^, [/, которые связаны
соотношениями (11)... (14), то есть теми же соотношениями, что и инфинитези-
мальные преобразования группы
Рц, хкРи - ХиРк, ^2хтрт
т=1
(15)
(д, к, i/=l...n),
состоящей из всех евклидовых движений и преобразований подобия
пространства Rn. На основании теоремы ПО, том I, стр. 614, мы можем
заключить, что каждая группа вида (10) подобна группе (15) относительно
некоторого точечного преобразования пространства х\... хп.
Впрочем, этот результат можно было бы получить и не прибегая к
только что проделанным вычислениям. Действительно, поскольку среди
инфинитезимальных преобразований (10) содержится преобразование вида
^2 ХтРт + '
т=1
мы могли бы сразу воспользоваться теоремой 111, том I, стр. 618.
§74
п(п— 1)
Найдем теперь все группы, порождаемые га -\—\2 ) + 1 + га инфини-
тезимальными преобразованиями вида
Рц = Рц + • • • , U = ^ ХтРт + '
т=1
Skv = XkPv - ХиРк Н ,
п п
V^ = 2хм ^2 хтРт - Pti У^ х\ +
т=1 т=1
(M,fc,i/=l...n; 5а^+5^а=0).
(16)
Преобразования V^, S^, и С/ удовлетворяют, очевидно, соотношениям

вида
Г (W) = 0, (UVlt) = Vlt, {SjkVtl)=ek»Vj-ejtlVk
У (tiykyj=\...n).
Далее,
(USkv) = <*kv\V\ + . . . + OLkvnVn,
следовательно, введя в качестве нового Sk» выражение Sku — &kviУ\ — — —
- oikunVn, мы получим
(USk„) = 0 (k,u=i...n). (18)
Чтобы определить, чему равны коэффициенты (Зт в уравнениях
п
(bfcjOpv) = Sjixbk,; — Sjvbkn — £knbjv + Skvbjii H" / v Нт мч
r=l
рассмотрим тождество
((SkjS^U) + ((S^U)Skj) + ((USkj)S^) = 0.
Второй и третий члены в этом тождестве обращаются в нуль, и мы
получаем, что все /Зт равны нулю и что, следовательно,
{{^kjbfit/j — ^'д*Ь/с// — £jvbkii — £kiibjv + £kv£>.
(k,j,ti,v=l...n).
JM (19)
Теперь мы должны еще выбрать такие Рм, чтобы остальные
коммутационные соотношения принимали как можно более простой вид.
Имеет место соотношение
п— 1 п п
к=1 v=k+l т=1
Если в качестве нового Рм ввести
п— 1 п п
/С=1 /У = /с+1 Т=1

то мы получим
(РМС/) = РМ (М=1...п). (20)
Построим, далее, тождество
((PkS^)U) + ((S^U)Pk) + {(UPk)S^) = 0,
которое с учетом (18) и (20) сводится к
((Р*ЗДС) = (Р*ЗД-
Теперь легко убедиться, что
(Р*ЗД = ек^Р„ - ек„Р^ (*lAi,i/=i...n). (21)
Аналогичным образом тождество
((РлК)^) + ((вдр*) + ((шда) = о,
два последних члена которого взаимно уничтожаются, дает соотношение
(PkVv) = 2ekvU + 2S„k (к, „=i...n). (22)
Наконец, тождество
((PkP„)U) + {Р„Рк) - (РкРи) = 0
показывает, что имеют место равенства
(РкР„)=0 (fc,i/=l...n). (23)
Таким образом, каждая группа вида (16) содержит (п+1^(2п+2^ инфи-
нитезимальных преобразований Рм, Sk„, t/, Vj, которые удовлетворяют
соотношениям (17)... (23). Но точно таким же соотношениям
удовлетворяют и инфинитезимальные преобразования группы
т=1
п п
2xj^2xTpT -Pj^x2T.
(24)
т=1 т=1
Снова воспользовавшись теоремой ПО, том I, стр. 614, мы можем
заключить, что каждая группа вида (16) подобна относительно некоторого
точечного преобразования пространства х\...хп группе (24).
С помощью теоремы 111, том I, стр. 618, мы могли бы прийти к этому
же результату, не прибегая к вычислениям.

§75
Займемся теперь описанием всех групп, порождаемых п + ™.2
независимыми инфинитезимальными преобразованиями вида*
( Р„=р„-\ ,
I Sk„ = хкр„ - х„рк + • • • (25)
[ (k,v=l...n; Sku + Suk=0),
и предположим сначала, что п > 2.
С самого начала ясно, что Sky удовлетворяют соотношениям вида
(j, /с, /x, i/=l...n),
где число еку, равно либо единице, либо нулю, в зависимости от того, равны
или различны числа к и /i. Среди этих соотношений возьмем на заметку
следующие:
(SlkSle) = S2k, (S2kSl,2) = —5iA;, {SikSk2) = £l,2? (26')
где индекс /с, разумеется, должен быть больше, чем 2. Кроме того,
следует отметить, что коммутирование Sjk с двумя различными 5 всегда дает
различные результаты, за исключением лишь того случая, когда оба
коммутанта равны нулю.
Теперь мы попытаемся привести к наиболее простому виду
соотношения, связывающие каждое преобразование Р„ с Sjk и с остальными Ри. Мы
*При рассмотрении этого случая (в норвежском Архиве, том X, стр. 199 и далее, 1885г.)
Ли был вынужден различать случаи четного и нечетного п. Вскоре после этого (в 1886г.)
Энгель обнаружил, что этого можно избежать, действуя так, как указано в настоящем
тексте; впоследствии, в своих докладах на семинаре в Лейпцигском Университете, Ли поступал
точно так же. Недавно эта задача была решена Киллингом, который также не рассматривал
отдельно случаи четного и нечетного п. Однако, при этом, как это ни странно, он ни единым
словом не упомянул о значительно более раннем решении этой задачи Софусом Ли (см. Crelles
Journal, том 109, стр. 177, 1892г.). — В цитируемой работе г-н Киллинг дает три обоснования
теории Римана об основаниях геометрии. Между тем, в его рассуждениях очень мало
оригинального, поскольку они опираются на исследования Липшица и в еще большей степени
на исследования Ли. В его рассмотрении задачи Римана-Гельмгольца содержится несколько
грубых ошибок. — Упомянем также, что последующие вычисления приводят к описанию всех
групп вида (25) и в случае п = 2.

добьемся этого, заменяя каждое Р„ подходящим выражением вида
п
/X,T=1
(ср. том I, стр. 610).
Имеют место соотношения вида
п—1 п
(ВД2)= ft + E ^ afcj-S,y.
k=lj=k+l
n—1 n
(p2512) = -a - E E &A;
fc=l j=A;+l
если мы здесь в качестве новых Pi и Р2 введем
п—1 п
А:=3 j=A:+l
п—1 п
Р2 +aii25i,2^ ^ ockjSkj,
k=3j=k+l
то мы получим
п
(PiSit) = P2 + ^{aijSij + a2jS2j},
n
(ft5i|2) = -Pi - £{/?ySy + Aj52j-}.
j=3
Чтобы еще более упростить эти выражения, положим
п
Р\ — Pi + ^{^Ij^lj + ^2jS2j},
i=3
n
p2 = ft + Е^у5у + M2i52j};
J'=3

тогда
п
(ВД,2) = Р'2 + £{(ау - Ч- - Mii)5ii+
+ (a2j- + Ai, -№j)S2j},
n
(F2SU2) = -P[ - £{(/?!, - Ai,- + А12,-)5у+
J=3
+ (#2j — A2j — fJ>lj)S2j}.
Очевидно, что все коэффициенты здесь нельзя одновременно свести к
нулю. Выберем поэтому А и \i так, чтобы выполнялись равенства
A2j + Mij = aij> M2j - Aij = a2j о=з...n),
и получим по крайней мере, что (P{Si,2) = Р2. Отбросив теперь штрихи
и определив Рз...Рп с помощью равенств (P\Sik) = Р/с, мы получим
следующие соотношения:
(Pi5if2) = P2, (PiSiO = Р* (fc=3...n),
(P25lf2) = -Pi - Х)(^517- + /%S2j). (2?)
J=3
Преобразования Р выбраны так, что в нашем распоряжении остается
только 2(п — 2) произвольных параметра. Действительно, если положить
71
Pi = Pi + ^(pijStf + P2jS*j)>
J=3
и следовательно, в соответствии с (27),
п
Р2 = (PiSi,2) = Р2 - ^(Рг^-^- - pijS2j),
n
Pfc = (Pi^ifc) = Pfc + p2fe5ii2 + 5^/01^5^
J=3
(fc=3...n),

то мы получим
п
(P2Si,2) = "Л " Yt&iSV + &№•
j=3
Таким образом, какими бы ни были параметры р\$, p2j, равенства (27) при
замене Р\... Рп на Р\... Рп сохраняют свой вид.
Воспользуемся параметрами pij для упрощения п — 2 равенств
п—1 п
(Pis2k) = Е Е ai*>s« (fc>2>'
г=1j=i+l
из которых следует, что
п
{P\S2k) = (PlS2k) ~ PlkSl,2 +1^2p2jSlcj.
J=3
Положив pxjt = a12 , мы добьемся того, что ни одно из п — 2 выражений
{PiS2k) не будет содержать Sli2.
Не так просто обстоит дело с параметрами р2к- В случае п > 3, правда,
ими можно воспользоваться для того, чтобы еще больше упростить
выражения (PiS2k), однако при п — 3 это уже не пройдет. В самом деле, в этом
последнем случае
(PlS2l3) = (Pl52|3)-pll35il2,
так что выражение (PiS^) вообще не зависит от р2,з- Легко убедиться,
что при п = 3 ни одно из девяти выражений (PkS^) не зависит от р2,з-
Поэтому, если мы хотим рассматривать случай п = 3 вместе со случаем п >
3, то нам не следует использовать p2j для упрощения выражений (PfcS/x,,).
Попытаемся, однако, с их помощью упростить выражения (Р/^Р,,).
Имеет место соотношение вида
71 71—1 71
(PiP2) = Ea"p" + E E &Ai-
i/=i fc=ij=fc+i
При замене Р на Р это соотношение принимает вид
п п п—1 п
(р1р2) = Е^п-2Е^л + Е Е ^Skj.
i/=l j=3 /c=lj=/c+l

(28)
Следовательно, с помощью подходящего выбора p2j можно добиться
того, чтобы выражение (Р1Р2) не зависело от Рз-..РП; при этом совсем
неважно, чему равно число п.
Использовав таким образом все имевшиеся в нашем распоряжении
параметры, мы можем теперь отбросить штрихи над Ри. Мы имеем
соотношения (27) и знаем еще, что все (P\S2k) {к > 2) не зависят от 5i,2,
а также что (Р1Р2) не содержит Рз • • -Рп- Поскольку мы не можем уже
производить замены преобразований Р„, то все остальные
коммутационные соотношения между ™.2 инфинитезимальными преобразованиями
Pv> Skj должны быть найдены с помощью тождеств Якоби.
Рассмотрим сначала, предполагая, что к > 2, следующие тождества:
((Pi52fc)5if2)+Pjb-(P252fc) = 0l
({P2Slk)Sh2) - (P2S2k) + Рк +
п
+ J20ijSV+&bSL2.
Первое из них показывает, что (P2S2A;) имеет вид
п
(P2S2k) = Pk + £(7iA; + 72,%), (29)
J=3
так как выражение ((PiS2fc)5i,2) не содержит Ри, и в него могут входить
только такие 5Д1/, для которых один из индексов равен 1 или 2, член же 5^2
оно не содержит. Поскольку это же верно и для выражения ((Рг^х^)^^),
из второго тождества следует, что все (3'2к равны нулю и что при п > 3 нулю
равны и все /?J -. Таким образом, выражение для (Рг*?^) имеет следующий
простой вид:
(P2Sif2) = -Pi-/?Si,3, (27')
где при п > 3 число /3 обращается в нуль. Соотношения (28) при этом
принимают вид
({PiS2k)Si,2) = ((P2Sik)Si,2) = (P2S2*) - Pk. (28')
Чтобы найти, чему равны 7ij и 72.7 > построим тождества Якоби для
Ply $ik, Si,2 и для Р2, S2k, S12', они имеют следующий вид:
Г (Pfc51,2)-(P152fc)-(P251,)=0,
\ ((P2S2k)Si,2) + (P2Slk) + (Pi52fc) - /3 ■ ek3Sh2 = 0.

С другой стороны, из (29) следует, что
п
{{P2S2k)Sia) = (PkSh2) + £(7i;Sy " VjSij),
и с учетом (30) мы получаем
(ВД,2) = (PiSbk) + (ВД*)
п
= \(5 - £/,351,2 + £ 51(727 5у - 71.7%).
i=3
Отсюда следует, что
((PiS2fc)Si,2) + ((P25ifc)5if2) = \ Y,hijSij + 72,%);
J=3
однако, согласно (28') и (29), левая часть этого равенства равна
п
2(P2S2k) ~ 2Рк = 2^(71,-51,- +72,%).
J=3
Таким образом, все 71 j и 72j равны нулю, и мы имеем
(P2S2k)=Pk,
(PiS2k) + (P2Slk) = (PkSh2) = ±/fefc3Si,2
(fc>2).
Построим теперь следующие тождества:
Г ((PkSlk)Sh2) - (PkS2k) + ±0ek3S2k = 0,
\ ((PkS2k)Sh2) + (PkSlk) - \(3ekZSlk = 0,
f ((PiS2k)Sik) -P2 ~ (PkS2k) = 0,
\ ((P25ifc)52fc) -Pt- ^1,3 - (PfcSife) = 0,
((PkSlk)S2k) + ife3S,,2 - ((PkS2k)Slk) = 0,
где А:, разумеется, считается большим двух.
(31)
(32)
(33)
(34)

Из первого из тождеств (32) вытекает, что (PkS2k) имеет вид
п
(PkS2k) = -р2 + Е^йЧ + 45Ч-)-
i=3
(35)
Лк)
Однако h2k здесь всегда равняется нулю; действительно, поскольку
{PiS2k) не содержит Sli2, то ({PiS2k)Sik) не содержит 52ь вследствие
чего, как показывает первое из тождеств (33), выражение (PkS2k) также не
содержит S2k-
Подставив выражение для (PkS2k) во второе из тождеств (32), мы
получим
[ {PkSxk) = -Pi-PSU3 + ±pek3Slk+
+ £{*%%-htfSv). (36)
3=3
Наконец, если выражения для (PkS\k) и (PkS2k) подставить в (34), то мы
получим следующее условие:
-(PiS2k) + peksSia - £/fe*3Si,2 - Е hijskj+
i=3
+ ^Sk3Sh2 + (P2Sik) - £ hvi)skj = 0,
3=3
Лк)
так как h2k = 0, Таким образом,
(PiS2k) ~ (PtSik) = Pek3Slt2 -2^hl$Skj,
3=3
откуда с учетом (31) следует, что
(PiS2k) = f/fe*3Si,2 -^h^Skj.
J=3
Однако поскольку (P\S2k) не зависит от S\^ и при п = 3, мы получаем,

что число Р должно равняться нулю и в случае п = 3. Итак,
п
(PiS2k) = -foSik) = -У>(ь;)%,
й (37)
[ (P2S12) = -Ру, (PkS12) = 0 <*>з).
Из (33) мы, кроме того, получаем
п
(PkSik) = -Pi - £> - SkMfSy,
п
(PkS2k) = -P2 + £(1 - e^h^Sij.
Сравнивая эти выражения с (35) и (36), мы убеждаемся, что все /i^ и
j (fc)
все /г^ равны нулю.
Несложно доказать, что нулю равны и все h[j, в которых к и j имеют
различные значения; разумеется, это необходимо только для случая п > 3.
Рассмотрим с этой целью тождества
((PiS2k)S2lM) + (PiSk») - ((PiS2ll)S2k) = О,
((P2Sik)Sllt) + (P2Skll) - ((P2Sllt)Slk) = 0,
где /си// — два отличных друг от друга числа, каждое из которых
превосходит 2. Мы получаем
(PiSkfl) = h{$S2k-h{$S^
(P2Sk^) = h[l)S^-h{Sslk.
Подставим теперь эти выражения в тождество Якоби для Рь Рг, 5^м, что
с учетом (27) и (31) дает
((PiP2)Sk„) + 2Ь,<$Рк - 2/i(^PM = 0.
Но поскольку (Р1Р2) не содержит Pi... Рп, выражение ((PiP2)5'/c/x)
вообще не содержит членов с Pi... Рп, и следовательно,
Ag? = Л<? = 0.

Таким образом, все h\- действительно равны нулю, то есть выполняются
соотношения вида
f(Pi5i,2)= P2, {PiSlk) = Pk, (P1S2k)=0,
(F25i>2) = -Pi, (P2S2k) = Pk, (P2Slk) = 0,
I (PiSkfl) = (P25fcM) = (PkS1<2) = 0, (38)
(PkSik) = -Pi, (PkS2k) = -P2
Итак, для п — 3 мы знаем коммутаторы каждого Ру с каждым Sky,.
Чтобы получить все такие соотношения для п > 3, рассмотрим тождества
((Pi5ife)5^)+0 + 0 = 0,
((Pi5ifc)5^)-P^ + 0 = 0,
где fc, /х, */ — три произвольных числа, отличных друг от друга и от 1.
Отсюда с учетом (38) следует, что
(PkS^) = 0, (PkSku) = Р„.
Таким образом, все требуемые соотношения найдены и для п > 3;
очевидно, что их можно записать с помощью одного-единственного равенства:
{PkS^) = £kflP„ ~ EkuPfi (*,Ax,i/=l • • • n). (39)
Остается только вычислить выражения {РкРи).
Тождество
((PiP2)5i,2) +0 + 0 = 0
показывает, что (Р1Р2) также не зависит от Pi и Р2 и что, следовательно,
это выражение вообще не содержит Р. Одновременно ясно, что в (Р1Р2) не
может встречаться ни одно Skj* в котором один из индексов равен 1 или 2,
за единственным исключением, а именно Si^- Поэтому, если п = 3, то мы
имеем (Р1Р2) = a>Si,2-
Если п > 3, рассмотрим тождество
({PlP2)S^) = 0 (ц,„>2; цфи).
Если бы п > 4, отсюда немедленно следовало бы, что (Р1Р2) = dS\^\ в
случае же п = 4 мы получаем, что
(ЛР2) = aS1<2 + 653,4. (40)

Таким образом, в этом равенстве собраны все возможные случаи; при этом
нужно лишь помнить, что при п — 3 и п > 4 число b равно нулю.
Из тождеств
((PlP2)Si,3) + {ЪРз) = О,
((PiP2)S2,3) + (P3Pi)=0
следует, что
(Р2Р3) = aS2<3 + bS1<4,
(P3Pi)=a53,i + 652,4,
а значит,
О = ((PiP2)P3) + ((P2P3)Pi) + ((P3Pi)P2) = -З6Р4,
то есть, 6 равняется нулю и при п = 4.
Итак, (Р1Р2) = aSi,2. Наконец, тождества
{(PlP2)S2k) ~ (PlPk) = О,
{(PkP1)Slu)-(PkP„) = 0
показывают, что имеют место равенства
(PiPk) = aSlk, (РкР„) = aSkl/.
Таким образом, равенство
{PkP»)=aSkl, (fc,„=i...n) (41)
включает в себя все коммутационные соотношения между двумя
любыми Ри.
Величина а может, но не обязана равняться нулю.
Если а = О, то 12 инфинитезимальных преобразований Р„, S^fi
связаны между собой следующими простыми коммутационными
соотношениями:
(Р*ЗД = гк1ХР„ - екиР^ (РкРи) = 0 (42)
(j, к,/л, /;=!...п),

то есть в точности теми же соотношениями, что и инфинитезимальные
преобразования группы
Vv, XkVv - x„Pk («л fc=i... n) (43)
всех евклидовых движений пространства Rn. Следовательно, согласно
теореме ПО, том I, стр. 614, группа Р/у, 5^ в этом случае подобна группе (43)
относительно некоторого точечного преобразования пространства х\... хи.
Если, с другой стороны, а ф 0, то вводя в качестве нового Ри
выражение -j^Pw> мы получим следующие коммутационные соотношения между
\^2 инфинитезимальными преобразованиями Ри, 5/сМ:
(Р*ЗД = eklMPv - екиР„, (РкР„) = Sk<v (44)
(j, ky fi, /y=l...n).
Но точно такими же соотношениями связаны инфинитезимальные
преобразования группы, уже упоминавшейся нами на стр. 289, а именно ^
независимых инфинитезимальных преобразований
п
Ри - Хи ^ ХтРт, ХкРи ~ X„pk (к, i/=l...n) (45)
т=1
наибольшей непрерывной проективной группы пространства Rn,
оставляющей на месте (п — 1)-мерное многообразие второй степени
х\ + --- + х2п = 1. (46)
Согласно выше упомянутой теореме, группа Рк, S^u при а ф 0 подобна
группе (46) относительно некоторого точечного преобразования простран-
СТВ3 X], . . . ^ Xfi»
Итак, поставленная в начале этой главы задача полностью решена для
случая п > 2, и мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема 24. Если непрерывная группа пространства х\.. .хп,
размерность которого превосходит 2, обладает инвариантным
дифференциальным уравнением второй степени вида
п
^2 fb»(xi • • • хп) dxk dx„ = 0,

определитель которого не равен нулю тождественно, и если, кроме того,
направления, проходящие через каждую фиксированную точку общего
положения, преобразуются под действием этой группы самым общим
образом, то есть ™^ -параметрически, то эта группа является конечной и
имеет либо \^ > либо \^ ' + 1, либо (п+1К™+2> параметров. В первом
случае она подобна относительно некоторого точечного преобразования
пространства х\... хп группе
Pk, XvlPv - ^vVii (*,/i,i'=l...n)
(i)
или группе
Pk-
п
~ *^^ / v %tPt-> 3C(iPv
т=1
(к, /х,«/=!...п).
%уРц,
Во втором случае она подобна группе
ш)
Рк,
%liPis
(к,
%1/Plll
/X, (/=1...
п
т=1
п),
тРт
(III)
а в третьем — группе
Рк, XvPv -
п
%vPfj,
2хк } хТрТ -
т=1
(к,
/X, 1/=1..
п
? / J %тРт->
т=1
п
Рк^24
т=1
■ п),
(IV)
причем в каждом из этих случаев относительно некоторого точечного
преобразования пространства х\... хп.
Очевидно, что каждая из групп (/)... (IV) примитивна.
Действительно, если зафиксировать точку общего положения х\ — 0, ... ,хп = 0, то в
пространстве oon_1 направлений х[ : ... : х'п, проходящих через эту точку,

инвариантным будет лишь многообразие второй степени х[2 + ♦ ♦ ♦ + х'п2 —
= 0, но ни одно плоское многообразие направлений. Так как наша теорема
доказана для п > 2 и, в частности, для п — 3, то вышестоящие
рассуждения дают также новое обоснование для некоторых результатов главы 7 (ср.
стр. 122 и стр. 126-137).
§76
Обратимся теперь к случаю п = 2. При этом, как было упомянуто
ранее, мы удовлетворимся описанием всех конечных непрерывных групп
пространства Д2, обладающих требуемыми здесь свойствами.
Итак, речь идет о том, чтобы найти все конечные непрерывные группы
от двух переменных xi, Х2, которые обладают инвариантным уравнением
вида
a(xi,x2)dxi2 + 2/?(xi,x2)dxidx2 4- /y(xi,x2)dx22 = 0 (47)
с отличным от нуля определителем (З2 — а^ и под действием которых оо1
направлений dx\ : dx2, проходящих через каждую фиксированную точку
общего положения, преобразуются наиболее общим образом.
Если зафиксировать некоторую точку х^, х\ общего положения, то
очевидно, что на месте в любом случае остаются два из оо1 направлений
dx\ : dx2, проходящих через эту точку, а именно направления,
определяемые уравнением
a(x?, x\) dx2 + 2/?(х?, х%) dxi dx2 + 7(^1^2) dx22 = 0.
Следовательно, если эти оо1 направлений преобразуются наиболее общим
образом, то они должны преобразовываться однопараметрически. С другой
стороны, из инвариантности двух только что определенных направлений
следует, что каждая из искомых группы обладает двумя различными
инвариантными семействами оо1 кривых плоскости xi, X2 (см. стр. 60). Но
поскольку мы знаем все конечные непрерывные группы плоскости,
которые оставляют на месте два различных семейства оо1 кривых (см. стр. 73),
нам нужно лишь выбрать из них те, под действием которых оо1
направлений, проходящих через каждую фиксированную точку общего положения,
преобразуются в точности однопараметрически.
Действуя таким образом, мы получим, что каждую конечную
непрерывную группу, обладающую требуемыми свойствами, с помощью подхо-

дящего выбора переменных можно привести к одному из следующих видов
Ри Р2, х1р1+сх2Р2 (c^i) (48)
Ри Р2, Xipu X2P2 (49)
Pi + Р2, xipi + Х2Р2, x?Pi + Х2Р2 (50)
Ри xipi, xtfi; pu xipi (51)
Ри Р2, x\pu x\pu Pu P2, xipu X2P2, x\pi (52)
Ри Р2, xipu X2P2, x\pu x\p2. (53)
Таким образом, в то время как при п > 2 существует всего четыре
различных типа таких групп, при п = 2 мы получаем восемь типов, два из
которых интранзитивны, а один содержит один существенный параметр.
Группами (51) и (52) мы более заниматься не будем, поскольку они
не соответствуют ни одной из групп, получающихся при п > 2. Остальные
же группы приводятся к такому виду, при котором можно четко проследить
аналогию с пространствами более высокой размерности. Действительно,
группа (50) подобна (ср. стр. 76 и 88) относительно точечного
преобразования плоскости хи Х2 трехпараметрической проективной группе
Г Pi ~Xi(XiPi +Х2Р2), Р2 ~X2{XiPi +X2P2), /ГЛ,Ч
< (50 )
[ Xip2 ~ X2Pl
конического сечения
х\ + х\ - 1 = 0.
Группы (48), (49) и (53), с другой стороны, посредством точечного
преобразования
х\ — х[ -h ix'2, X2 = х[ — гх'2 (54)
переводятся соответственно в группы
Ри р'ъ Ар*2 - Ap'i + cViPi + 4Р2) (48')
Ри Ръ x'iP2 ~ х2Ри х\р\ + х'гр'г (49')
( rrJ or! SY*f orJ SY*f <r\f rr>f fj _L T»' *\f
I Pu P2-> xlP2 ~xiPu xlPl • x2P2i
I 2x[(x[p'l + x'2p'2) -p'^x'2 + x'22), (53')
[ 2x'2(x'1p'1 + x'2p'2) - V'2{x'2 + x'22),

где с' определяется из равенства
С = 4 (с*1)
1-е
и, следовательно, может принимать любое конечное значение.
Легко увидеть, что группы (50'), (49'), (53') в точности соответствуют
группам, полученным при п > 2, а группа (48') имеет аналог при п > 2
только тогда, когда с' = 0.
§77*
Мы видели, что существуют только конечные непрерывные группы,
обладающие инвариантным уравнением вида
п
/1 fkv{xl-'xn)dxkdxu = 0 {fkv = fvk), (1)
fc,I/=l
определитель которого не равен тождественно нулю, и преобразующие
oon_1 линейных элементов, проходящих через каждую фиксированную
точку общего положения, наиболее общим образом. Отсюда, однако,
отнюдь не следует, что каждая непрерывная группа, обладающая
инвариантным уравнением (1) с ненулевым определителем, является конечной. Чтобы
установить, так ли это, требуется отдельное исследование. Однако вместо
того, чтобы проводить это исследование только для уравнений вида (1),
мы, как было объявлено на стр. 315, рассмотрим произвольное однородное
относительно dxv уравнение
i?(xi ... xn, dx\ ... dxn) = 0. (54)
При этом мы увидим, что наибольшая непрерывная группа точечных
преобразований, под действием которой такое уравнение остается инвариантным,
при некоторых предположениях всегда будет конечной.
Если бы уравнение (54) было линейным по dx,y, то есть, если бы оно
было пфаффовым уравнением, то оно непременно бы допускало какую-
нибудь бесконечную непрерывную группу точечных преобразований.
Таким образом, случай, когда уравнение (54) является линейным, мы должны
*Так как рассуждения последующих глав не используют результатов параграфа § 77, при
первом чтении этот параграф можно пропустить.

с самого начала исключить. Далее, без ограничения общности мы можем
считать, что уравнение (54), рассматриваемое как уравнение относительно
dxjj, является неприводимым, то есть, что оно не распадается на несколько
уравнений относительно dx\ ... dxn. Это предположение будет верно
всегда, если мы с самого начала будем считать, что уравнение (54) разрешено
относительно одного из dxv, то есть имеет, например, вид
dxn = dXn-iU [xi ...xn, -—— ... -—— J , (54')
\ dxn-i dxn-ij
где ш в окрестности общей [???] системы значений своих аргументов
раскладывается в обыкновенный степенной ряд. Произведение dxn-iu) здесь,
разумеется, не может быть линейной функцией от dx\ ... dxn-\.
Поскольку каждая система значений хи, dxu определяет линейный
элемент в пространстве Rn, то уравнение (54') сопоставляет каждой
точке х\.. .хп общего положения семейство из ооп~2 проходящих через нее
линейных элементов, и это семейство при сделанных предположениях
образует кривое [???] нераспадающееся многообразие в пространстве oon_1
линейных элементов, проходящих через эту точку. Если теперь в каждой
точке пространства Rn рассмотреть все проходящие через нее плоские (п —
— 1)-мерные многообразия
In -%n =Pl(?l ~Xl)+ • • • +Pn-l(?n-l -Xn-l), (55)
касающиеся только что определенного семейства ооп~2 линейных
элементов, то мы в каждой точке получим семейство, состоящее из бесконечного
множества проходящих через нее многообразий (55). Таким образом,
учитывая то, что каждая точка х\... хп вместе с проходящим через нее
плоским многообразием (55) определяет в пространстве Rn некоторый Mn_i-
элемент*, мы убеждаемся, что уравнение (54') задает также некоторое
семейство Mn-i-элементов пространства Rn.
Уравнения этого семейства Мп-\-элементов найти несложно.
*См. том II, стр. 103-104. Там, правда, было введено лишь понятие элемента
пространства Яп, и во всем втором томе речь идет только об элементах. Здесь же, так как мы говорим
и о линейных элементах пространства, чтобы избежать путаницы, нам необходимо выражение
"элемент (п — 1)-мерного многообразия пространства Яп" или короче "Mn_i-элемент
пространства Яп'\ Это выражение не только имеет ясный смысл, но и находится в соответствии с
терминологией, которую мы использовали в плоскости и в трехмерном пространстве, называя
элементы плоскости также линейными элементами, а элементы пространства — элементами
поверхности (см. том II, стр. 4 и 47).

Прежде всего, ясно, что плоское многообразие (55) проходит через
линейный элемент х\ ...хп, dx\ ... dxn тогда и только тогда, когда р\... рп
удовлетворяют уравнению
71-1
dxn - ^ рк dxk = 0. (56)
fc=i
Если теперь положить
dx\ f dxn-2
- Ж1' •• • ' А~ ~Хп-2
(^Хп _ i (^Хп _ i
И
u{xi...xn, х[...х'п_2) = и/,
то легко убедиться, что многообразие (55) касается многообразия ооп~2
линейных элементов, соответствующего точке х\... хП9 тогда и только тогда,
когда имеют место равенства
Рп-2 =
их1 ихп-2
п-2 я , (57)
Таким образом, чтобы получить уравнения только что
определенного семейства Mn_i-элементов пространства Д^, достаточно исключить
х[ ... х'п_2 из уравнений (57).
Количество получающихся из (57) уравнений, не содержащих
х[... х'п_2, зависит от поведения определителя
^±а^'"^й7> (58)
Если этот определитель не равен нулю тождественно, исключением
величин х' из (57) мы получим лишь одно уравнение
F(xi...xn, Pi-.-Pn-i) = 0, (59)
содержащее только х\... хп, р\.. .рп-ь Если же этот определитель
тождественно равен нулю, то из (57) получается система по меньшей мере двух
независимых уравнений от Х\. .. хп, р\ . . .рп-\-

Мы ограничимся случаем, когда определитель (58) не является
тождественно равным нулю; другими словами, мы будем считать, что
семейство ооп~2 элементов, сопоставляемое точке х\...хп уравнением (54'),
содержит ооп~2 различных проходящих через эту точку (п — 1)-мерных
касательных плоскостей или, что равносильно, что это семейство ооп-2
линейных элементов образует неразвертывающееся многообразие в (п — 1)-
мерном пространстве всех oon_1 линейных элементов, проходящих через
точку х\... хп. Введя такое ограничение, мы без труда покажем, что
наибольшая непрерывная группа точечных преобразований пространства Rn,
оставляющая инвариантным уравнение (54'), зависит лишь от конечного
числа параметров.
Тот случай, когда определитель (58) тождественно равен нулю, мы
оставим без рассмотрения, так как решить эту задачу в такой общей
постановке не представляется возможным.
Итак, мы предполагаем, что определитель (58) отличен от нуля и что
уравнение относительно Х\... xn, р\.. .pn-i, получающееся
исключением величин х' из (57), имеет вид (59).
Величины pi.. .pn-i суть не что иное, как координаты (п — 1)-мерных
плоскостей (55) [???], проходящих через произвольную точку х\...хп.
Следовательно, уравнение (59), по построению, является по сути
другим аналитическим представлением геометрической картинки,
определяемой уравнением (54'). Но уравнение (56) показывает, что р\.. .pn-i
можно рассматривать и как частные производные функции хп переменных
х\... xn_i, и следовательно, уравнение (59) можно понимать как
дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка с
неизвестной функцией хп.
Эту интерпретацию уравнения (59) мы положим в основу
последующих рассуждений. А именно, поскольку уравнение (59) в некотором смысле
представляет собой лишь другой вид уравнения (54'), ясно, что
относительно всех точечных преобразований пространства Rn эти два уравнения
связаны друг с другом инвариантно. Но отсюда следует, что совокупность
всех точечных преобразований пространства i?n, оставляющих
инвариантным уравнение (54'), совпадает с совокупностью всех точечных
преобразований, под действием которых инвариантным остается дифференциальное
уравнение в частных производных первого порядка (59). Таким образом,
если бы мы доказали, что наибольшая непрерывная группа точечных пре-

образований, оставляющих инвариантным уравнение (59), является
конечной, то то же самое было бы доказано и для уравнения (54').
Здесь мы будем считать известной некоторую часть теории
интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных первого
порядка*.
Дифференциальное уравнение в частных производных (59) выделяет
среди oo2n_1 Mn-i-элементов пространства Rn семейство из оо2п_2
элементов. Как известно из теории интегрирования дифференциальных урав-
нении в частных производных первого порядка, эти оо п элементов
можно вполне определенным [???] образом разбить на оо2п_3 таких
многообразий элементов, что каждое из этих многообразий содержит ровно оо1
элементов и что каждый элемент общего положения, удовлетворяющий
уравнению (59), принадлежит ровно одному такому многообразию элементов.
Эти оо2п_3 многообразий элементов называются характеристиками
дифференциального уравнения (59).
Но в нашем случае каждой точке общего положения уравнение (59)
сопоставляет такое семейство оо71-2 проходящих через нее Mn_i-элементов,
которое огибает некоторый конус, состоящий из ооп~2 проходящих через
эту точку линейных элементов, а именно тот конус, который
сопоставляется этой точке уравнением (54'). Следовательно, оо2п_3 характеристик
уравнения (59), понимаемые как точечные структуры [???] в Rn,
определяют семейство оо2п_3 кривых этого пространства, и через каждую точку
в Rn проходит ровно ооп~2 таких кривых. Рассмотрев в каждой точке этого
пространства ооп~2 проходящих через нее характеристик, мы получим ооп
различных (п — 1)-мерных точечных многообразий, каждое из которых
является интегральным многообразием дифференциального уравнения (59),
называемым еще интегральным коноидом уравнения (59). Поскольку
каждая характеристика содержит оо1 различных точек, очевидно, что через нее
проходит в точности оо1 таких интегральных коноидов.
Характеристики и интегральные коноиды важны для нас потому, что
каждое точечное преобразование пространства Rn, оставляющее
инвариантным дифференциальное уравнение (59), оставляет инвариантным
семейство его оо2п_3 характеристик и семейство его ооп интегральных
коноидов.
* Используемые здесь результаты из теории интегрирования таких дифференциальных
уравнений общеизвестны. В томе II они не доказывались потому, что там нашей целью не
было полное изложение теории дифференциальных уравнений в частных производных
первого порядка. Однако в настоящем томе мы еще вернемся к этой теории интегрирования.

Рассмотрим теперь пересечение оо2п_3 характеристик уравнения (59)
с некоторым (п — 1)-мерным плоским многообразием общего положения Е.
В общем случае каждая характеристика уравнения (59) пересекает Е
только в одной точке, и соответствующий этой точке Мп-\-элемент этой
характеристики определяет на Е некоторую точку с проходящим через нее
плоским (п — 2)-мерным многообразием; другими словами, он определяет
некоторый Мп-2-элемент многообразия Е. Каждой характеристике
уравнения (59) таким образом сопоставляется некоторый Мп_2-элемент
многообразия Е. С другой стороны, ясно, что через каждый Мп_2-элемент
многообразия Е проходит некоторое дискретное количество Мп-\-элементов
пространства i?n, удовлетворяющих уравнению (59). Следовательно,
каждый Мп_2-элемент многообразия Е определяет некоторое дискретное
количество характеристик дифференциального уравнения (59).
Отсюда вытекает, что между оо2п_3 характеристиками уравнения (59)
и оо2п_3 Мп-2-элементами многообразия Е существует соответствие,
которое является взаимно однозначным по крайней мере внутри
некоторой области характеристик и некоторой области А/п_2-элементов. Поэтому
OQ2n-3 характеристик уравнения (59) можно отобразить на оо2п_3 Мп_2-
элементов многообразия Е.
Очевидно, что под действием определенного таким образом
отображения две бесконечно близкие характеристики уравнения (59), имеющие
общую точку, переходят в два бесконечно близких совместно лежащих
[???] Мп-2-элемента многообразия Е. Следовательно, ооп~2
характеристикам произвольного интегрального коноида уравнения (59) соответствуют
OQn-2 ]\/[n_2-элементов в Е, каждые два бесконечно близких из которых
лежат совместно [???]; другими словами, им соответствуют ооп~2 Мп_2-
элементов в Е, которые образуют многообразие элементов. Таким образом,
ооп интегральных коноидов отображаются в ооп (п — 2)-мерных
многообразий элементов многообразия Е\ кроме того, поскольку ооп~2
характеристик, принадлежащих некоторому интегральному коноиду, в общем случае
пересекают Е в ооп"2 различных точках, ясно, что если ооп многообразий
элементов многообразия Е, которые соответствуют ооп интегральным
коноидам уравнения (59), рассматривать как точечные многообразия, то их
размерность в общем случае будет равна п — 2. Наконец, остается
заметить, что через каждый Мп_2-элемент многообразия Е проходит ровно оо1
из только что упомянутых ооп (п — 2)-мерных точечных многообразий; это

следует из того, что через каждую характеристику уравнения (59) проходит
ровно ею1 интегральных коноидов этого уравнения*.
Если мы в качестве координат точек многообразия Е выберем
3, fi.. .?п-2, а в качестве координат Мп-2-элементов этого многообразия
— 3? Ji • • • Jn-2? Pi • • • Pn-2> то внутри некоторой области каждой
характеристике уравнения (59) взаимно-однозначно соответствует некоторый
элемент з, г-i... jn_2, Pi • • • Рп-2- При этом сюп интегральным коноидам
уравнения (59) соответствует ооп многообразий элементов многообразия Е,
которые, если их понимать как точечные структуры, имеют размерность п — 2
и вследствие этого задаются уравнениями вида
* = *(*!•••*»-* *!•••*»). »v = f; (60)
(/х=1...п-2);
параметры этого семейства обозначены через xi... хп потому, что
каждый интегральный коноид уравнения (59) определяется некоторой
точкой х\.. .хп пространства Rn. Наконец, мы знаем, что через каждый
элемент з, fi • • -Ъп-2, Pi • • • Рп-2 проходит ровно оо1 многообразий из
семейства (60); отсюда следует, что из (60) получается \{п — 2){п— 1) — 1
независимых, не содержащих х\... хп соотношений на \(п — 2)(п — 1) частных
производных второго порядка
<92з
0^ = Р** (М.-1—2, (61)
величины з и что все производные порядка два и выше величины з
выражаются через 3>Ji-?n-2, Pi • • • Рп-2 и через одну из производных (61),
скажем рж. Следовательно, каждое многообразие из семейства (60)
полностью определяется заданием одного из принадлежащих ему элементов
3, £i... £n_2, pi... рп-2 и> кроме того, значением некоторой из
производных (61), к примеру, значением производной р^.
Пусть теперь G — наибольшая непрерывная группа точечных
преобразований, под действием которой уравнение (54) или, что равносильно,
уравнение (59) остается инвариантным.
*С описанным здесь отображением характеристик уравнения (59) на Мп_2-элементы (п —
— 1)-мерного пространства мы уже встречались на стр. 126-129 для частного случая п = 3,
правда там оно возникло несколько по-другому.

Как мы уже упоминали, под действием этой группы G оо2п_3
характеристик уравнения (59) переставляются между собой, причем посредством
некоторой изоморфной группы 0. Поскольку каждое преобразование
группы G, оставляющее на месте все характеристики уравнения (59), обязано
совпадать с тождественным преобразованием, ясно, что группа &
изоморфна группе G голоэдрически.
Если оо2п_3 характеристик уравнения (59) отобразить только что
описанным образом на оо2п_3 Мп_2-элементов многообразия Е, то (5
перейдет в некоторую группу ©' от переменных з, £i... jn_2, Pi • • • Pn-2,
голоэдрически изоморфную группе G. Но под действием группы G две
пересекающиеся бесконечно близкие характеристики уравнения (59) переходят в
две характеристики, обладающие тем же свойством; с другой стороны, две
бесконечно близкие характеристики такого рода соответствуют двум
совместно лежащим [???] бесконечно близким элементам з, JV, yv и З+^з, ?^+
+ <hv, Vv + dpjy. Следовательно, группа & является не чем иным как
группой контактных преобразований пространства з, ji... ?п-2- Вспомним,
наконец, что G должна оставлять инвариантным семейство ооп интегральных
коноидов уравнения (59) и что этим интегральным коноидам в
пространстве з, ?i • • -?п-2 соответствуют ооп многообразий элементов (60), откуда
следует, что это семейство ооп многообразий элементов (60) должно быть
инвариантным относительно группы <5'.
Пусть з°, J? • • • ?n-2> Pi • • • Рп-2 ~ некоторый элемент общего
положения в пространстве з, £i • • -ln-2- Согласно сказанному выше, через этот
элемент проходит ровно оо1 многообразий элементов (60), и каждое из
этих многообразий полностью определяется заданием соответствующего
элементу з°, ?£, р^ значения производной второго порядка р^. Контактные
преобразования из группы &', оставляющие на месте элемент j°, j:j^ p^,
переставляют наши оо1 многообразий элементов между собой посредством
некоторой группы, и можно показать, что эта группа является не более, чем
трехпараметрической.
В самом деле, очевидно, что только что определенные контактные
преобразования преобразуют наши оо1 многообразий элементов точно так же,
как они преобразуют производные р^, если в их уравнениях j, £|У, ру
заменить на з°, ?£, rf, а все производные второго порядка величины з
выразить через pifc. Но если наиболее общее контактное преобразование из

группы (&', оставляющее на месте элемент з°, Й, р®у, имеет вид
| (д=1...п-2),
то производные второго порядка р^,у величины з' будут, очевидно,
рациональными функциями от рд„, коэффициенты которых будут функциями от
3> ?i • • • ?n-2? Pi • • • Рп-2- Таким образом, если положить з = 3°> ^ = XU»
р;у = р^ и выразить все рд/у через р^., то получится уравнение вида
tik = ЩЫ, (63)
где функция W содержит лишь конечное число параметров. Так как
уравнение (63) указывает, каким образом преобразуются оо1 проходящих через
Ь°, ?£> Р?у многообразий (60), ясно, что эти многообразия преобразуются
посредством некоторой конечной непрерывной группы одномерного
многообразия, а как следует из теоремы 1, стр. 6, такая группа может быть
самое большое трехпараметрической.
Итак, мы доказали, что преобразования группы ©', оставляющие на
месте элемент общего положения з°> ?£, р®у, преобразуют оо1 проходящих
через этот элемент многообразий (60) не более, чем трехпараметрически.
Возвращаясь теперь к группе G, мы убеждаемся, что преобразования из G,
оставляющие на месте некоторую характеристику уравнения (59),
преобразуют оо1 интегральных коноидов, проходящих через эту характеристику,
самое большее трехпараметрически.
Теперь совсем нетрудно доказать, что группа G является конечной.
Действительно, если зафиксировать одну из оо2гг_3 характеристик
уравнения (59), то оо1 проходящих через нее интегральных коноидов
будут преобразовываться не более, чем трехпараметрически; следовательно,
чтобы на месте оставалась не только сама характеристика, на и каждый
проходящий через нее интегральный коноид, должны выполняться самое
большее 2п — 3 + 3 = 2п условий. Интегральные коноиды, проходящие
через некоторую характеристику уравнения (59), покрывают все
пространство Rn ровно один раз, то есть, через каждую точку общего положения
в пространстве Rn проходит ровно один из этих оо1 интегральных
коноидов. С другой стороны, ясно, что не существует такого линейного
дифференциального уравнения в частных производных первого порядка,
которому удовлетворяли бы все ооп интегральных коноидов уравнения (59),
поскольку каждый элемент нелинейного дифференциального уравнения в

частных производных (59) принадлежит оо1 различным интегральным
коноидам. Таким образом, если зафиксировать п различных характеристик
общего взаимного положения, а также все проходящие через них
интегральные коноиды, то через каждую точку общего положения будет проходить
п фиксированных интегральных коноидов, пересекающихся только в этой
точке, так что на месте будет оставаться каждая точка общего положения, а
значит, и вообще всякая точка пространства Rn. Поскольку фиксирование
п характеристик и проходящих через них интегральных коноидов
соответствует самое большее 2пп условиям, мы видим, что группа G не может
содержать более, чем 2пп параметров и что, следовательно, она является
конечной.
Итак, наша задача решена, и мы получаем следующую теорему.
Теорема 25. Пусть уравнение
F{x\.. .хп, dx\ ... dxn) = О
является однородным относительно величин dxn и, если его
рассматривать как уравнение относительно dx\ ... dxn, неприводимым.
Предположим также, что каждой точке общего положения х\...хп оно
сопоставляет некоторый конус ооп_2 линейных элементов dx\ ... dxn,
обладающий ооп_2 различными (п — \)-мерными касательными плоскостями,
проходящими через точку Х\.. .хп. Тогда наибольшая непрерывная
группа точечных преобразований пространства R^, оставляющая уравнение
F = О инвариантным, является конечной и содержит не более, чем "Inn
параметров.
Очевидно, что эту теорему можно переформулировать следующим
образом:
Теорема 26. Если дифференциальное уравнение в частных
производных первого порядка
Q{xi...xn, Vi...pn-\) = 0 [ри = -q-^\
таково, что ооп_2 (п — \)-мерных плоскостей
ln-Xn =Pl(?l ~Xi)+ ... +Pn-l(?n-l -Xn-i),
которые оно сопоставляет каждой точке общего положения Х\ ... хп,
огибают некоторый конус размерности п, проходящий через точку

xi...xn, то наибольшая непрерывная группа точечных преобразований
пространства Rn, оставляющая уравнение Q = О инвариантным,
является конечной и содержит не более, чем 2пп параметров.
Методы, которыми мы здесь воспользовались, при определенных
условиях приводят к цели и тогда, когда задана система из т < п — 1
независимых относительно dx уравнений
^ ( dxi dxn-i\ Л . .
F» Ui...in, т- •••-31-1=0 (м=1.-.т). (64)
He вдаваясь в необходимые для этого вычисления, мы скажем лишь, что
наибольшая непрерывная группа точечных преобразований, оставляющая
инвариантной систему (64), является конечной всегда, когда
выполняются следующие условия: во-первых, система дифференциальных уравнений
в частных производных первого порядка, инвариантно связанная с
системой (64), должна состоять из т уравнений вида
Пц(Х1...Хп-1, Pi...Pn-l) = 0 (д=1...т), (65)
которые независимы друг от друга и нелинейны относительно р\.. .рп-\, а
во-вторых, система (65) должна быть неограниченно интегрируемой [???],
то есть, все выражения
Д ~{\дРт \ дхт т дхп J дрт V 9хт т дхп ) /
с учетом (65) должны обращаться в нуль.

Глава 18
Некоторые свойства групп, найденных в
предыдущей главе
Смысл групп (/), (//), {Ш), выписанных на стр. 334, мы уже
выяснили: группа (/) является группой всех евклидовых движений
пространства Лп, группа (///) является группой евклидовых движений и
преобразований подобия, группа (//), наконец, является проективной группой
невырожденного (п — 1)-мерного многообразия второй степени [???], и
поэтому ее можно также называть группой неевклидовых движений
пространства Rn.
Таким образом, нам остается лишь установить смысл группы (IV),
чем мы займемся в следующем параграфе. Второй параграф этой
главы посвящен некоторым характеристическим свойствам, общим для групп
(/) и (//). Следующий за ним параграф занимается структурой групп
(/)... (IV), а в последнем, четвертом параграфе доказывается два важных
утверждения относительно группы (IV),
§78
Те из инфинитезимальных преобразований группы
( п
r=l
J n n
J Ix^^XrPr-Pv^xl
r=l r=l
I (/X, I/=1...7l),
которые выписаны в первом ряду, суть евклидовы преобразования и
преобразования подобия пространства Rn, и следовательно, все они оставляют
(IV)

инвариантным уравнение
dxi2 + ... +dxn2 = 0. (1)
С помощью простых вычислений, приводить которые здесь, пожалуй, нет
нужды, легко убедиться, что инфинитезимальные преобразования, стоящие
во втором ряду, также оставляют инвариантным уравнение (1). Отсюда
следует, что уравнение (1) инвариантно относительно всей группы (/V).
Мы утверждаем, что при п > 2 группа (IV) является наибольшей
непрерывной группой точечных преобразований пространства Rn,
оставляющей инвариантным уравнение (1).
Действительно, обозначим эту наибольшую непрерывную группу
через G. Тогда группа G должна по крайней мере содержать группу (IV) в
качестве подгруппы. С другой стороны, oon_1 направлений dx\ : ... : dxn,
проходящих через каждую фиксированную точку общего положения,
должны под действием группы G преобразовываться так, чтобы уравнение (1)
оставалось инвариантным; следовательно, эти направления должны
преобразовываться самым общим образом, допускающим инвариантность
уравнения (1). С помощью теоремы 24, стр. 334, мы убеждаемся, что группа G
не может содержать больше параметров, чем группа (/V), то есть, что
группа G совпадает с (/V).
Точечные преобразования пространства Rn, оставляющие
инвариантным уравнение (1) принято называть конформными преобразованиями
этого пространства. Поэтому мы можем также сказать, что в каждом
пространстве размерности п > 2 группа (IV) является наибольшей
непрерывной группой конформных преобразований.
Этим результатом можно воспользоваться для того, чтобы найти
вообще все конформные преобразования пространства Rn при п > 2.
Очевидно, что группа (/V), будучи наибольшей непрерывной
группой конформных преобразований пространства Rn, должна быть
инвариантной относительно каждого конформного преобразования этого
пространства. Обратно, каждое преобразование пространства Дп,
оставляющее группу (IV) инвариантной, обязано быть конформным
преобразованием, потому что группа (IV) кроме уравнения (1) не оставляет
инвариантным никакое другое уравнение этого вида [???]. Таким образом, чтобы
найти наиболее общий вид конформного преобразования пространства Rn,
мы должны лишь отыскать наиболее общий вид точечного преобразования

пространства i?n, под действием которого группа (IV) переходит в себя.
Этим мы сейчас и займемся*.
Каждое преобразование, под действием которого группа (IV)
переходит в себя, имеет вид
п
где х^ и х'„° — две точки общего положения, невыписанные члены в правой
части имеют относительно х^ — х^ порядок два или выше, и наконец,
определитель, составленный из а,у/2, не равен нулю. Но поскольку группа (/V)
содержит все трансляции рх.. ,рП9 мы можем здесь в качестве новых х^
и х'у ввести соответственно х^ — х^ и x'v — x'„° и ограничиться
нахождением всех преобразований вида
п
х'„ = ^2 a»vx» + '" (^=i...n), (2)
под действием которых группа (/V) переходит в себя.
Каждое преобразование (2), обладающее требуемым свойством,
оставляет инвариантным уравнение (1), вследствие чего укороченное
преобразование
п
Х'„ = ^^OLy^x'l (i/=l...n), (3)
M=l
также должно оставлять инвариантным уравнение (1) и переводить
группу (IV) в нее же саму. Отсюда следует, что преобразование (2) можно
получить, выполнив сначала преобразование вида
х'1 = х^ + ... (м=1...п), (4)
под действием которого группа (IV) переходит в себя, а затем
преобразование (3). Итак, найдем сперва все преобразования вида (4), под действием
которых группа (IV) переходит в себя.
*В томе I, на стр. 360-361, описан общий метод, который может быть использован для
решения поставленной здесь задачи. Метод, излагаемый в настоящем параграфе является по
сути модификацией того общего метода для рассматриваемого здесь случая.

При сделанных нами предположениях с учетом преобразования (4)
имеют место соотношения вида
fc=l
п
k=\
Pv=xit «**o« - wn+e few
i,k=l fc=l
где для краткости мы используем следующие обозначения:
(5)
С/,
/ , ХтУт
т=1
п п
2хм ^ хгрг - рм ^ х? = Т^.
т=1
т=1
Чтобы упростить эти соотношения, мы будем исходить из того, что U" и V^'
связаны соотношениями
(и'Х') = К'> (W) = o
и что, следовательно, под действием конечных преобразований однопара-
метрической группы
остается на месте, во-первых, семейство ооп инфинитезимальных
преобразований e§U" + e\V{' + . .. + &пУп в целом, а во-вторых, каждое из
инфинитезимальных преобразований V" по отдельности (см. том I, стр. 252,
теор. 43 и стр. 258-259); попытаемся поэтому с помощью преобразования
некоторой такой группы избавиться от 7/с-
Посредством конечного преобразования
.< - x"v + \W"x4 + ^W"W"xl +
(i/=l...n)

однопараметрической группы W"f мы получаем
V? = Vl" (и=1...п)
и кроме того
и" = pum+ YtPkvle\
где pw pk — функции от t, которые находятся из дифференциальных
уравнений
dp n dpk
с начальными условиями [p]t=o = 1, [pk]t=o = 0 (см. том I, стр. 252,
теор. 43). Таким образом,
и" = и'"+ Y,\ktvz\
к=1
так что если мы выберем Xkt — — 7ь то соотношения (5) при замене х"
на х1" примут более простой вид
U = U"', VV = V™ („=!...„),
п
fc=l
(5')
v,=p': e «U(« - «o+E $*n".
Коммутированием с равенством U = U'" мы получаем, что все Р'к, ос'^1у, (3' к
равны нулю, а тогда из соотношений U = U'" wpll = р'^ следует, что х^ =
— ли
— -V •
Таким образом, мы доказали, что конечные преобразования
однопараметрической группы
Y,ikVk
&=1
являются наиболее общими преобразованиями вида (4), под действием
которых группа (/V) переходит в себя. Отметим, что эти конечные преобра-

зования имеют вид
п
«Е/х ~~ 7/х* / J %т
т=1
i-2tJ2i^+t2J2^l (6)
(|/=l...n),
в чем легко убедиться посредством интегрирования.
Подводя итог сказанному выше, мы получаем, что каждое
преобразование, относительно которого группа (/V) является инвариантной,
представляется в виде STS\, где преобразования S и S\ принадлежат самой
группе (IV), а Т является преобразованием вида (3), оставляющим
инвариантным уравнение (1).
Из теории квадратичных форм известно, что в случае нечетного п
преобразования (3), оставляющие инвариантным уравнение (1), всегда
образуют непрерывную группу. Эта группа совпадает, очевидно, с группой,
порождаемой инфинитезимальными преобразованиями
п
Р», XfiPis ~ XvPfi, У^Д^гРт (M,«/=l...n) (7)
т=1
и, следовательно, содержится в группе (/V). Таким образом, при
нечетном п группа (/V) является наибольшей группой конформных
преобразований пространства Rn.
Если, с другой стороны, число п является четным, то совокупность
всех преобразований (3), оставляющих инвариантным уравнение (1),
распадается на два непересекающихся семейства, одно из которых образует
непрерывную группу, порождаемую инфинитезимальными
преобразованиями (7); чтобы получить второе, нужно сначала выполнить наиболее общее
преобразование группы (7), а затем подходящее несобственное движение
[???] пространства Rn, например, следующее:
Х^ — Х\, . . . , Хп_] — Xn_i, Хп — Хп, (о)
под действием которого каждая точечная фигура переходит в
симметрическую ей фигуру. Поскольку преобразование (8) также оставляет
группу (IV) инвариантной, мы получаем, что при четном п совокупность всех

конформных преобразований пространства Rn распадается на два
семейства, одно из которых совпадает с группой (/V), а второе порождается
группой {IV) и преобразованием (8).
Из приведенных выше рассуждений вытекает еще один достойный
внимания результат.
А именно, известно, что евклидовы движения, несобственные
движения [???], преобразования подобия и преобразования обратными радиус-
векторами в пространстве Rm все без исключения являются конформными
преобразованиями. Известно также, что все эти преобразования
определяют группу — так называемую группу обратных радиус-векторов — которая
содержит j.2n+ параметров, то есть столько же, сколько и группа {IV).
Отсюда мы можем заключить, что в каждом пространстве, размерность
которого превышает 2, группа всех конформных преобразований
совпадает с группой обратных радиус-векторов*.
В заключение этого параграфа мы докажем следующую теорему^:
Теорема 27. Если п > 1, то посредством точечного преобразования
группу
(IV)
никогда нельзя перевести в проективную группу.
При п > 1 группа (/V), очевидно, не является проективной, поскольку
она содержит п непроективных инфинитезимальных преобразований
второго порядка относительно х\...хп. Если бы группу (/V) можно было
посредством некоторого точечного преобразования
п
У у = У и + ^2<*vk{xk - xl) + • • • ("=i...") (9)
/
Pfll XflPfS ~
1 n
^X^i У X'
r=l
I (M
%vPfi
rPr-
u=l..
n
1—1
n
PnJ2Xr
T=l
n)
*Для n = 3 это утверждение впервые было сформулировано и доказано Лиувиллем; для
п > 3 первым его установил Ли (1871г., см. Math. Ann., том 5, примечание на стр. 186);
доказательство для произвольного п > 2 первым опубликовал Дарбу.
+См. С. Ли, Leipz. Бег. 1890г., стр. 312.

перевести в некоторую проективную группу G, то G должна была бы
содержать п инфинитезимальных преобразований второго порядка относительно
У и — У^-> которые, как следовало бы из проективности группы G, имели бы
вид
п
(У» ~ vl) ^{Ут - Уг)Ят (*=1...п).
т=1
Если теперь преобразование (9) выполнить в обратном направлении, то эти
инфинитезимальные преобразования примут вид
п п
^2 <*vk(xk - Х%) ^2(ХТ - Хт)Рт + • • • (i/=l...n),
к=1 т=1
где невыписанные члены имеют относительно хк — х% порядок три или
выше. Однако очевидно, что инфинитезимальные преобразования этого вида
не могут содержаться в группе (/V). Это противоречие доказывает нашу
теорему.
§79
В предыдущей главе мы рассмотрели группы, обладающие
инвариантным уравнение вида
п
^2 fku{xi... хп) dxk dxy = 0,
куи=\
определитель которого не равен нулю. Можно потребовать, чтобы
инвариантным было не только такое уравнение, но и выражение вида
п
^2 fk»{xi...xn)dxkdx1J (10)
к,и=1
с ненулевым определителем.
Если непрерывная группа оставляет инвариантным выражение
вида (10) и если, кроме того, она преобразует oon_1 линейных элементов,
проходящих через каждую точку общего положения, наиболее общим
образом, то всегда (ср. стр. 315) можно добиться того, чтобы она в
окрестности точки общего положения х\ ... х^ содержала п инфинитезимальных
преобразований
Pi H , • • • , V-пЛ

нулевого порядка и \п(п — 1) преобразований
(х„ - xl)pk - (Хк - Х°к)ри + • • • (fc,«/=l...n)
первого порядка, однако она не может содержать ни одного преобразования
первого порядка вида
п
^{хт - х°т)рт + ... ,
т=1
а значит, согласно сказанному на стр. 320-321, и ни одного преобразования
порядка два или выше. Таким образом, из результатов предыдущей главы
немедленно следует справедливость следующего утверждения:
Теорема 28. Если непрерывная группа точечных преобразований
пространства Rn оставляет инвариантным дифференциальное выраэюение
второй степени
п
^2 fkv{xi...xn)dxkdxi„ (10)
определитель которого неравен нулю, и если, кроме того, она преобразует
oon_1 линейных элементов, проходящих через каждую фиксированную
точку общего положения, наиболее общим образом, то она содержит ровно
\п{п +1) параметров и подобна относительно точечного преобразования
пространства Rn либо группе
Pv,xkPv-xupk (*/.fc=i...n) (/)
евклидовых движений, либо проективной группе
п
Pv -Xv^YL XtPt' XkVv ~~ X»Pk(b, i/=l...n) (II)
т=1
многообразия второй степени
т=1
Действительно, группа (I) оставляет инвариантным
дифференциальное выражение
dxi2 + --- + dxn2, (11)

а группа (//) оставляет инвариантным дифференциальное выражение
,2
^dxr2|l-^x^j + |^xrdTrj
r=l
/9=1
Г=1
(12)
r=l
Кроме того, очевидно, что каждая из этих двух групп является
наибольшей непрерывной группой точечных преобразований, оставляющей
соответствующее дифференциальное выражение инвариантным.
Интересно, что группу (//) можно привести к виду, при котором
соответствующее инвариантное дифференциальное выражение существенно
упрощается. Этот новый вид группы (//) можно получить следующим
образом.
Конформная группа (IV), стр. 334, оставляет инвариантным
уравнение ^dxj2, = 0 и содержит группу (/) в качестве подгруппы. Поэтому
весьма возможно, что группа (/V) содержит подгруппу, подобную
группе (//), так что эта подгруппа будет оставлять инвариантным
дифференциальное выражение вида
р(х\... xn)(dxi Н + dxn ).
Действительно, нетрудно убедиться, что группа
Рм
п п
Г=1
Г=1
(д, /v=l...n),
(1П
которая, очевидно, является подгруппой группы (/V), имеет ту же
структуру, что и группа (//), откуда, согласно теореме ПО, том I, стр. 614, следует,
что эти две группы подобны относительно некоторого точечного
преобразования пространства Rn. Соответствующее группе (//') дифференциальное
выражение имеет вид
У dxTz
т=1
ГС с
(i-i£*)'
(13)
т=1

что соответствует нашему предположению.
Выражение (13) представляет особый интерес потому, что оно
совпадает с выражением, упомянутым [???] Риманом в его речи на замещение
должности доцента* [???]. Отсюда видно, что утверждение теоремы 28
связано с утверждением Римана о дифференциальных выражениях второй
степени^. Подход Римана, правда, отличается от нашего, даже если отвлечься
от того, что он рассматривает лишь вещественные значения переменных
х\ .. .хп. Дело в том, что Риман исходит из того, что линейный элемент
пространства Rn определяется выражением вида (10), и требует, чтобы
некоторый ковариант выражения (10), который он называет мерой
кривизны пространства i?n, имел одинаковое значение для всех точек
пространства. Далее он показывает, что при таком предположении выражение (10)
посредством точечного преобразования пространства R^ можно привести
к виду
п
т=1
п 2 *
О+ ?£*?)
т=1
Несмотря на это, можно сказать, что наша теорема 28 в каком-то
смысле совпадает с утверждением Римана, а именно, на стр. 264 своей работы
Риман говорит: "Характерной особенностью многообразий с постоянной
мерой кривизны является то, что фигуры в них могут передвигаться без
растяжения. Действительно, если бы в некоторой точке такого
многообразия мера кривизны не была бы одинаковой во всех направлениях, то
фигуры в этом многообразии нельзя было бы параллельно переносить и
поворачивать произвольным образом." Таким образом, требование о том,
чтобы мера кривизны была постоянной, равносильно требованию о том,
чтобы все фигуры могли передвигаться без растяжения. Но последнее из
этих требований вытекает из того условия нашей теоремы 28, что под
действием искомой группы преобразований линейные элементы, проходящие
через каждую фиксированную точку общего положения, преобразуются как
можно более общим образом. Доказывать это мы здесь, однако, не будем.
*См. собрание сочинений Римана, стр. 254-269; дифференциальное выражение, о котором
идет речь, выписано там на стр. 264. Впрочем, Риман привел свое утверждение без
доказательства; полное доказательство было предъявлено позднее Липшицем и Кристоффелем.
указывал на эту связь еще в томе X своего архива на стр. 411 (Кристиания, 1885г.)

§80
Обратимся теперь к изучению структуры групп (/)... (IV).
Группа (/V) при п > 2 является простой. Действительно, пусть Г —
некоторая инвариантная подгруппа группы (/V) и пусть
п п п
w = ^2 avVv + ^2 0kAxkPv - x„Pk)+р ^2 х»р»+
n ( n n \
+ X!7n \ 2х^^2ХкРк - Pv^xl >
v=\ I fc=l fc=l J
— инфинитезимальное преобразование группы Г. Тогда Г должна
содержать и преобразования
(PkW) (Pj(PkW)),
откуда следует, что в Г содержится инфинитезимальное преобразование
вида
AiPi + --- + Anpn,
где хотя бы одно из чисел Ai ... Лп не равно нулю. Поскольку п > 2,
коммутирование этого преобразования с х\.ру — хир^ показывает, что Г содержит
все р/с. Далее, коммутируя р& с преобразованиями
п п
2х„ ^2 ХтРт ~ Pv ^2 Хт ("=1-п>' (14)
т=1 т=1
мы убеждаемся, что группе Г принадлежит xipi + • • • + хпрп, а также все
хкРи — xvPk- Наконец, коммутируя х\р\ + • • • + хпрп с
преобразованиями (14), мы получаем, что Г содержит также все п преобразований (14).
Таким образом, Г совпадает с группой (IV), так что последняя
действительно является простой.
Что касается группы (II), стр. 334, то ясно, что в случае п = 3 простой
она не будет, поскольку шестипараметрическая проективная группа
невырожденной поверхности второго порядка в трехмерном пространстве
содержит две трехпараметрические инвариантные подгруппы (см. стр. 199-200).

В случае п > 3 достаточно воспользоваться тем обстоятельством, что
проективная группа (//) невырожденной поверхности второго порядка в Rn
имеет ту же структуру, что и группа обратных радиусов в Дп_ь
поскольку, как было замечено Ф. Клейном*, последняя может быть получена из
первой с помощью стереографической проекции. Так как группа обратных
радиусов пространства Rn-\ при п — 1 > 2 всегда проста, то группа (//)
при п > 3 также проста.
Итак, мы имеем следующую теорему.
Теорема 29. * Непрерывная группа обратных радиусов в п-мерном
пространстве при п > 2 всегда является простой; непрерывная
проективная группа невыроо/сденного (п—1)-мерного многообразия второго порядка
в n-мерном пространстве является простой при п > 3.
Остается еще рассмотреть группы (/) и (///), стр. 334, которые,
очевидно, простыми не являются, поскольку обе они содержат в качестве
инвариантной подгруппы группу всех трансляций. Мы ограничимся лишь
следующими замечаниями по поводу этих групп.
Если п = 3 или > 4, то группа (/) не содержит никаких других
инвариантных подгрупп кроме уже упомянутой подгруппы pi.. ,рп, а
группа (///) кроме pi.. .рп содержит в качестве инвариантных подгрупп лишь
группу pi.. ,рп, xipi + ... + хпрп и группу (/). В случае же п — 4
группа (I) содержит две, а группа (///) — четыре дополнительные
инвариантные подгруппы. Это происходит от того [???], что группа
xkpv - xvpk (Av;=i ...п) (15)
при п — 3 и п > 4 является простой, а при п — 4 содержит две
двупараметрические инвариантные подгруппы.
§81
Сейчас, как было объявлено во введении к этой главе, мы докажем два
утверждения о проективной группе многообразия второго порядка в Rn.
Первое из них звучит следующим образом.
*Math. Ann., том 5, стр. 267 (1871г.).
*Эту теорему первым сформулировал и доказал Ли (см. Archiv for Math., том 10, стр. 413,
Кристиания, 1885г.).

Теорема 30. * Наибольшая непрерывная проективная группа
невырожденного многообразия второго порядка в пространстве Rn при п > 1
не содержится ни в какой большей непрерывной подгруппе общей
проективной группы этого пространства.
Справедливость этой теоремы для п = 2 следует из теоремы 7, стр. 94,
которая гласит, что каждая непрерывная подгруппа общей проективной
группы плоскости оставляет на месте либо прямою, либо точку, либо
коническое сечение. Поскольку трехпараметрическая проективная группа
конического сечения не обладает ни инвариантной прямой, ни инвариантной
точкой, то она не содержится ни в какой большей непрерывной подгруппе
общей проективной группы плоскости. Отсюда следует, что для
доказательства нашей теоремы достаточно показать, что если она верна для
пространства размерности п—1 ^ 2, то она верна и для пространства размерности п.
Итак, предположим, что наша теорема верна для пространства
размерности п — 1 и рассмотрим наибольшую непрерывную проективную
группу G невырожденного многообразия второго порядка в пространстве Rn.
Покажем, что всякая непрерывная проективная группа (& пространства Дп,
содержащая, но не совпадающая с G, совпадает с общей проективной
группой этого пространства.
Пусть Р — точка общего положения в Д^,. Тогда все инфинитези-
мальные преобразования группы G, оставляющие Р на месте,
порождают непрерывную группу, которая преобразует oon_1 проходящих через Р
направлений dx\ : ... : dxn посредством непрерывной проективной
группы #, причем очевидно, что g является наибольшей непрерывной
проективной группой некоторого невырожденного многообразия второго порядка в
пространстве Rn-\ этих oon_1 направлений. С другой стороны, все инфи-
нитезимальные преобразования группы (3, оставляющие на месте точку Р,
порождают непрерывную подгруппу в (5, которая преобразует эти oon_1
направлений посредством некоторой проективной группы д.
Ясно, что g содержится в д; однако, согласно сделанным
предположениям, g не принадлежит никакой большей непрерывной подгруппе общей
проективной группы пространства Rn-i, а значит, g совпадает с g или с
общей проективной группой пространства наших oon_1 направлений.
Если бы группа g совпадала с д, то по теореме 24, стр. 334, группа (5
была бы подобна относительно точечного преобразования пространства Rn
либо группе обратных радиусов пространства Rn, либо группе евклидовых
* Впервые сформулирована и доказана Ли, Leipz. Ber. за 1890г., стр. 319-320.

движений и преобразований подобия. Первый случай исключается, так как
группу обратных радиусов посредством точечного преобразования вообще
нельзя перевести в проективную группу (см. теор. 27, стр. 352). Однако
второй случай также невозможен, поскольку тогда, согласно теореме 19,
стр. 292, группа © была бы подобна относительно некоторого проективного
преобразования группе преобразований подобия и, следовательно,
оставляла бы на месте некоторое (п — 1)-мерное плоское многообразие, в то время
как G не обладает такими инвариантными многообразиями и поэтому не
может содержаться в проективной группе, которая такими инвариантными
многообразиями обладает.
Остается лишь случай, когда $ совпадает с общей проективной
группой пространства Rn-\. В этом случае, согласно теореме 112, том I,
стр. 631, группа 0 подобна либо общей проективной, либо общей
линейной, либо, наконец, специальной линейной группе пространства Rn,
причем относительно проективного преобразования этого пространства (см.
теор. 18, стр. 288). Однако две последние из названных групп должны
быть исключены из рассмотрения, поскольку обе они оставляют на
месте плоское (п — 1)-мерное многообразие. Таким образом, при сделанных
нами предположениях общая проективная группа пространства Rn
является единственной непрерывной проективной группой этого пространства,
содержащей группу G, но не совпадающей с ней.
Итак, наша теорема полностью доказана. Кстати, ее можно
обобщить следующим образом: наибольшая проективная группа
невырожденного многообразия второго порядка пространства Rn не содержится ни
в какой большей подгруппе общей проективной группы этого
пространства. Доказательство этого утверждения основывается на материале
главы 18 первого тома.
Второе обещанное утверждение гласит:
Предложение 1. Если п > 1, то наибольшая непрерывная
проективная группа невыроэ/сденного многообразия второго порядка
пространства Rn кроме общей проективной группы не содержится ни в одной
конечной непрерывной группе пространства Rn, под действием которой
oon_1 линейных элементов, проходящих через каждую фиксированную
точку общего положения, преобразуются наиболее общим образом, то есть
(п2 — 1)-параметрически.
Пусть h — наибольшая непрерывная проективная группа некоторо-

го невырожденного многообразия второго порядка в пространстве Rn, и
пусть Н — конечная непрерывная группа пространства Rn, содержащая h
в качестве подгруппы и преобразующая oon_1 линейных элементов,
проходящих через каждую фиксированную точку общего положения, наиболее
общим образом. Наше предложение утверждает тогда, что Н является
общей проективной группой пространства Rn.
Действительно, согласно теореме 112, том I, стр. 631, группа Н
подобна относительно точечного преобразования пространства Rn либо общей
проективной, либо общей линейной, либо специальной линейной группе
этого пространства. Очевидно, что под действием этого точечного
преобразования группа h переходит в некоторую проективную группу, и
следовательно, согласно теореме 19, стр. 292, это точечное преобразование
обязано быть проективным, вследствие чего Н является проективной группой.
Тогда, как показывает теорема 30, стр. 357, группа Н совпадает с общей
проективной группой пространства Rn.

Глава 19
Вещественные группы
Все встречавшиеся до сих пор переменные и параметры мы понимали
как комплексные величины. Теперь же мы хотим ограничиться
вещественными переменными и параметрами и рассмотреть лишь те группы, которые
состоят из вещественных преобразований. Сперва мы очень коротко*
остановимся на общей теории вещественных групп, а затем, в дополнение к
результатам первого раздела, найдем все вещественные группы на прямой
и в плоскости. В конце этой главы мы решим, уже для случая
вещественных групп, задачу, обсуждавшуюся в главе 17.
§82
Пусть
x'v — U(xi • • • хп\ а\ ...ar) (i/=i...n) (1)
— r-параметрическая группа с вещественными, попарно обратными
преобразованиями. Мы будем предполагать, что функции Д ... fn являются
аналитическими (в смысле Вейерштрасса) функциями своих аргументов,
то есть, если х\ ... х^, а\... а^ — некоторый вещественный набор
общего положения, то эти функции можно представлять себе как обычные, но,
разумеется, вещественные степенные ряды относительно х„ — х£, а^ — ajj.
При этих предположениях непосредственно из результатов глав 2, 4
и 9 первого тома следует, что группа (1) содержит г независимых инфини-
тезимальных преобразований
Xbf" = $^&1/(Я1...Яп) ~— (fc=L..r),
* Нетрудно выяснить, в какой мере каждая из приведенных в томах I и II теорий без
изменений переносится на вещественный случай и где их нужно усовершенствовать, чтобы они
были применимы и к вещественным группам. Здесь мы обсудим лишь некоторые из наиболее
важных моментов (ср. том I, стр. 1).

которые удовлетворяют соотношениям вида
(XkXj) = '$2ckjsX8f (fcj=i...r). (2)
s=l
При этом £kj СУТЬ обыкновенные вещественные степенные ряды
относительно х\ — х\, ..., хп — х„, a Ckj — вещественные константы.
С другой стороны, если задано какое-либо инфинитезимальное
преобразование
Zf = ^Qv^.^Xn) — ,
где C^kv — обыкновенные вещественные степенные ряды, то ясно, что
уравнения
х]У = ху + -^Zxu -Ь ~}yi Zxv + • • •
(i/=l...n)
с вещественным параметром t определяют однопараметрическую группу
вещественных преобразований, которую естественно называть однопара-
метрической группой, порожденной вещественным инфинитезимальным
преобразованием Zf. Следовательно, выражение
eiXi/+ ... +erXrf, (3)
где е\...ет принимают произвольные вещественные значения, задает
oor_1 различных вещественных инфинитезимальных преобразований,
которые порождают столько же вещественных однопараметрических групп.
С учетом сделанных выше предположений ясно, что совокупность этих
оог-1 однопараметрических групп образует в точности группу (1). Мы
можем сделать следующий вывод. Всякая т-параметрическая
вещественная группа (1) с попарно обратными преобразованиями порождается
г независимыми вещественными инфинитезимальными преобразованиями
X\f... Xrf, которые удовлетворяют соотношениям (2), где под ckjS
понимаются вещественные числа.
В то же время, из результатов главы 9 тома I следует, что верно и
обратное утверждение: если г независимых вещественных инфинитезимальных
преобразований X\f... Xrf удовлетворяют соотношениям вида (2), где
Ckjs обозначают вещественные числа, то они порождают
г-параметрическую вещественную группу с попарно обратными преобразованиями.

Поскольку функции, входящие в уравнения (1), являются
аналитическими функциями своих аргументов, уравнения (1) имеют смысл и тогда,
когда fv(x\ ... хп\ а\... аг) рассматриваются как комплексные функции
своих аргументов. С другой стороны, ясно, что условия, которым должны
удовлетворять функции fu для того, чтобы уравнения (1) обладали
групповым свойством для вещественных значений величин х\... хп, а\... аг,
будут выполняться и для комплексных значений этих величин.
Следовательно, уравнения (1) при сделанных предположениях определяют г-пара-
метрическую группу еще и тогда, когда х и а понимаются как
комплексные величины; эта группа, разумеется, будет группой комплексных
преобразований. Очевидно, что общее инфинитезимальное преобразование этой
группы задается уравнением (3), если в нем ху понимать как комплексные
переменные, а е^ — как комплексные параметры. Таким образом, верно
следующее утверждение.
Каждой г-параметрической вещественной группе gr от п
вещественных переменных, задаваемой аналитическими уравнениями,
соответствует вполне определенная г-параметрическая группа Gr комплексных
преобразований; чтобы получить эту группу Gr, нужно просто переменные и
параметры группы gr рассматривать как комплексные величины.
Такая тесная связь между группами Gr и gr наводит на мысль, что
при изучении группы gr следует всегда иметь в виду и группу Gr.
Поэтому желательно выяснить, какие свойства являются общими для этих двух
групп и в чем они друг от друга отличаются. Сейчас мы займемся тем, что
пройдемся по введенным в первом томе понятиям транзитивности, интран-
зитивности, примитивности и т.д. и проверим, как группы gr и Gr ведут
себя по отношению к этим понятиям.
Группу gr мы будем называть транзитивной, если каждая
вещественная точка х\...хп общего положения под действием gr принимает ровно
ооп различных вещественных положений; в противном случае gr
называется интранзитивной. Отсюда следует, что gr транзитивна, если среди
уравнений
XJ = 0, ...,Xrf = 0 (4)
найдется ровно п независимых друг от друга уравнений, и интранзитив-
на, если число таких уравнений меньше, чем п. Другими словами, группы
GT и дТ одновременно либо транзитивны, либо интранзитивны. В
частности, если дт интранзитивна, то уравнения (4) имеют m < n независимых

общих решений, которые, очевидно, всегда могут быть выбраны в виде
вещественных функций от х\...хп. Если эти решения положить равными
произвольным вещественным константам, то вещественное пространство
х\... хп распадется на оот (п — т)-мерных вещественных многообразий,
каждое из которых будет инвариантно относительно дт.
Мы будем говорить, что группа дг импримитивна, если существует
разбиение вещественного пространства х\.. .хп на оот (п — т)-мерных
вещественных многообразий, инвариантное относительно дТ, или, что
равносильно, если дг оставляет инвариантной некоторую (п —
т)-параметрическую полную систему
Ykf = У]г)кЛх1---хп)-£ =0 (fc=1...7i-m; 0<т<тг).
В противном случае мы будем говорить, что дг примитивна.
Здесь, очевидно, возможна такая ситуация, при которой группа дг
примитивна, а группа Gr импримитивна. Это происходит тогда, когда дг не
оставляет инвариантной никакую вещественную полную систему, в то
время как некоторая полная система, коэффициенты которой являются
комплексными функциями от х\... хп, инвариантна относительно Gr.
Нетрудно увидеть, что в этом случае Gr должна оставлять инвариантной и
комплексно сопряженную полную систему. И вообще ясно, что всегда, когда
Gr оставляет инвариантной только одну (п — га)-параметрическую полную
систему, эта система может быть приведена к вещественному виду и
будет инвариантной относительно дТ\ если же таких систем несколько и они
не могут быть записаны через вещественные уравнения, то они должны
выстраиваться в пары попарно комплексно сопряженных систем.
Мы будем называть группу дг простой, если она не содержит
вещественных инвариантных подгрупп. Если дг проста, то, как бы ни была
устроена группа G>, всякая инвариантная в Gr подгруппа является
комплексной и подгруппа, ей комплексно сопряженная, также будет
инвариантной. Так, например, обстоит дело в случае проективной группы
поверхности x2+y2+z2 + \ = 0. Группа всех вещественных и комплексных
преобразований, оставляющих эту поверхность на месте, содержит две трехпара-
метрических инвариантных подгруппы, которые являются комплексно
сопряженными и соответствуют двум комплексно сопряженным семействам

образующих этой поверхности (ср. гл. 10); группа же всех вещественных
проективных преобразований, при которых эта поверхность переходит в
себя, не имеет вещественных инвариантных подгрупп и, следовательно,
является простой.
Отметим еще, что каждая /-параметрическая инвариантная подгруппа
группы Gr, являющаяся единственной такой подгруппой в Gr, обязательно
содержит г независимых вещественных инфинитезимальных
преобразований, которые порождают вещественную подгруппу группы дт.
Пусть gr — другая вещественная r-параметрическая группа от т
вещественных переменных у\.. .ут. Мы будем говорить, что группы дТ и gr
имеют одинаковую структуру, если gr содержит г независимых
вещественных инфинитезимальных преобразований Y\f ... Yrf, которые
связаны соотношениями
г
(YkYj) = J2 CkjsYsf №о=1...г),
где Ckjs — те же самые константы, что и в (2). Если gr и gr имеют
одинаковую структуру, то соответствующие им группы Gr и (5Г комплексных
преобразований имеют, естественно, одинаковую структуру в смысле,
оговоренном в томе I, стр. 291. Однако обратное утверждение, вообще говоря,
неверно, поскольку может так случиться, что группы Gr и 0Г будут
голоэдрически изоморфны лишь комплексным образом. В качестве примера
здесь можно привести группы р, хр, х2р и xq — ур, у г — zq, zp — xr,
которые имеют одинаковую структуру как группы комплексных
преобразований, но не как группы вещественных преобразований, поскольку первая
из них содержит вещественную двупараметрическую подгруппу, а вторая
нет.
Две r-параметрические вещественные группы gr и gr от вещественных
переменных xi... хп мы будем причислять к одному и тому же типу, если
они подобны друг другу относительно некоторого вещественного
точечного преобразования переменных х\... хп. Если группы gr и gr не являются
подобными относительно вещественного точечного преобразования,
существует все же возможность того, что соответствующие группы Gr и ©г
комплексных преобразований подобны друг другу относительно
комплексного точечного преобразования.
Для того, чтобы выяснить, являются ли две r-параметрические
вещественные транзитивные группы gr и gr от вещественных перемен-

ных х\ ...хп подобными относительно некоторого вещественного
точечного преобразования, нужно прежде всего установить, обладают ли они
одинаковой структурой в указанном выше смысле. Если да, то для решения
вопроса о подобии будет достаточно теоремы 76, том I, стр. 425; в этой
теореме нужно еще только потребовать, чтобы голоэдрический изоморфизм, о
котором в ней идет речь, был вещественным и чтобы в качестве х\ ... х^
и Ui • — Уп можно было выбрать две вещественные точки общего
положения. Действительно, на стр. 427 первого тома вводится преобразование Т,
относительно которого группы X\f ... Xrf и Z\f ... Zrf в условиях
теоремы 76 будут подобны друг другу. Из только что добавленных требований
мгновенно следует, что преобразование Т будет вещественным.
До сих пор мы занимались рассмотрением тех вещественных групп,
которые задаются аналитическими уравнениями. Что же можно сказать о
вещественных группах, уравнения которых аналитическими не являются и
просто определены для вещественных значений переменных и параметров?
Мы ограничимся лишь несколькими небольшими замечаниями по
этому поводу.
Предположим, что уравнения
х'„ = F„(xi... хп\ а\... ar) (i/=i... п), (5)
где Fv суть вещественные неаналитические функции своих вещественных
аргументов, задают r-параметрическую группу с попарно обратными
преобразованиями. Для того, чтобы к этой группе можно было применить,
методы развитые в первом томе, функции Fv должны обладать
некоторыми производными по х\... хп, а\... аг. Мы не будем останавливаться на
вопросе о наименьшем количестве необходимых производных и отметим
лишь, что для доказательства основных результатов глав 2, 4, и 9 первого
тома в применении к группам такого рода достаточно существования всех
производных первого порядка и некоторого количества производных
второго порядка. Опираясь на исследования Коши и Липшица о существовании
решений для вещественных неаналитических дифференциальных
уравнений, можно доказать следующие две теоремы.
Теорема 31. Если уравнения
x'v = Fv{xi... хп\ а\... ar) (i/=i... п), (5)

задают г-параметрическую вещественную группу, которая вместе с
каждым своим преобразованием содержит и ему обратное, и если
функции Fu обладают всеми производными первого и некоторым, здесь не
уточняемым количеством производных второго порядка относительно
х\.. .хп, а\.. .аг, то соответствующая группа порождается г
независимыми вещественными инфинитезимальными преобразованиями
П г) f
где функции Qkv дифференцируемы по каждой из переменных х\... хп.
Кроме того, эти инфинитезимальные преобразования связаны
соотношениями вида
г
(ZkZj) = ^2ckjsZsf (*j=i...r), (6)
где Ckjs — некоторые вещественные числа.
Теорема 32. Пусть задано г независгьиых друг от друга
вещественных инфинитезимальных преобразований
п я f
Zkf = ^2СкЛх1--хп)-д— (fc=i...r);
пусть, далее, входящие в них гп вещественных функций £/,„
дифференцируемы по каждой из п переменных £]_... хп, и имеют место соотношения
вида
г
(ZhZj) = ^CkJ8Zaf (fcj = l...r), (б)
5=1
где c^s обозначают вещественные числа. Тогда Z\j... Zrf порождают
г-параметрическую вещественную группу с попарно обратными
преобразованиями.
Очень важен следующий результат:
Теорема 33. Если преобразования
х'„ = F„(xi... хп\ <ц ... ar) (i/=i... п), (5)

некоторой r-параметрической вещественной группы попарно обратны и
если функции Fv обладают всеми производными первого порядка
относительно х\...хп, а\...аТ и некоторым, здесь не уточняемым
количеством производных второго порядка, то соответствующую группу, если
она транзитивна, введением новых переменных у\ .. .уп и новых
параметров 1\... 1Г всегда можно привести к виду
у1 = /Лш—Уп; 1\--Лг) (i/=i...n),
где функции fu будут аналитическими функциями своих аргументов"".
Важность этой теоремы заключается в том, что она позволяет при
нахождении вещественных транзитивных групп сразу Dice ограничиться
теми группами, которые задаются вещественными аналитическими
уравнениями, то есть теми группами, в инфииитезимальных преобразованиях
^&i/(Zl---Zn)^— (*=1, 2...)
которых функции £kv являются аналитическими функциями переменных
JL 1 • • • ^п •
Мы сделаем лишь набросок доказательства теоремы 33.
Пусть
zkf = J2CkAxi---xn)-~— (fc=i...r>,
— г независимых инфииитезимальных преобразований, порождающих
группу (5). Тогда имеют место соотношения вида
г
{ZkZj) = ^ckjsZsf (*j=i...r), (6)
5=1
в которых Ckjs обозначают вещественные числа. Отсюда, как и в главе 16
первого тома, следует, что группе (5) соответствует присоединенная
группа, порождаемая инфинитезимальными преобразованиями
v,s=\
*Это утверждение было сформулировано Софусом Ли в Leipziger Berichten за 1888 год,
стр. 17.

С другой стороны, легко показать, что для E\f... Erf выполняются
соотношения
г
(EkEj) = ^2 ckjsEsf (fc,j=i...r)
и что, следовательно, c^js удовлетворяют знакомым нам уравнениям*
(fc, j, /г, 5=1...г).
Теперь, как и в томе II, стр. 294-298, можно построить г-параметрическую
вещественную просто транзитивную группу, которая имеет такое же
строение, что и группа (5), и в инфинитезимальных преобразованиях
Ukf = ^<Jfc|/(ui...Ur)- (fe=l...r),
;,= 1 °^"
которой функции Ukv являются вещественными аналитическими
функциями своих аргументов. Поскольку, с другой стороны, группа параметров
группы (5) является вещественной и просто транзитивной и имеет то же
строение, что и группа (5), ясно, что эта группа параметров подобна
относительно некоторого вещественного точечного преобразования группе
Uif...Urf (ср. том I, теорема 64, стр. 340). Наконец, принимая во
внимание результаты главы 22 первого тома, а также сказанное там на стр.
427^428, легко увидеть, что и сама группа (5) посредством вещественного
точечного преобразования переводится в некоторую вещественную
аналитическую группу.
В теореме 33 мы имеем дело только с транзитивными вещественными
группами. То, что для интранзитивных вещественных групп аналогичная
теорема не верна, можно убедиться уже при рассмотрении интранзитивных
групп плоскости. Например, три инфинитезимальных преобразования
XJ = ?1 X2f = xq, Xsf = F(x)q
*Эти соотношения на Ck3S нельзя вывести непосредственно из уравнений (6), поскольку
неизвестно, обладают ли функции ^и вторыми производными, вследствие чего нельзя
воспользоваться тождеством Якоби.
я

всегда порождают трехпараметрическую интранзитивную группу, какой бы
ни была нелинейная по х функция F (ср. стр. 39), а значит и тогда, когда
F будет вещественной неаналитической функцией от х. В этом последнем
случае группа X\f, X2f, X$f не переходит в аналитическую группу ни
при какой замене переменных. Действительно, если бы она могла быть
записана в аналитическом виде
Xkf = Ых, У)Р + %(*, У)Ч (*=1.2,з),
то должны были бы выполняться тождества вида
X2f = p2(x,y)X1f, X3f = p3{x,y)Xif,
что невозможно в силу неаналитичности функции F.
Сейчас мы займемся тем, что поясним приведенные выше общие
рассуждения на нескольких примерах, проведя исследования, описанные в
главах 1-5, для случая вещественных групп. Мы увидим, что при этом к
приведенным в этих главам результатам нужно сделать лишь небольшие
дополнения.
§ 83. Нахождение всех вещественных конечных и всех
вещественных проективных групп на прямой и в
плоскости
Все без исключения конечные непрерывные группы на прямой тран-
зитивны; поэтому, в соответствии со сказанным на стр. 366-367, те из них,
которые являются вещественными, мы сразу же можем представлять себе в
виде, в котором входящие в них функции являются вещественными
аналитическими функциями. Отсюда следует, что рассуждения, приведенные на
стр. 2-6, немедленно доставляют классификацию вещественных групп на
прямой; нужно только точку общего положения, которая на стр. 2
принимается за начало координат, считать вещественной. Следовательно, теорема 1,
стр. 6, будет верной и в следующей формулировке. Всякая вещественная
конечная непрерывная группа вещественного одномерного многообразия
подобна относительно вещественного точечного преобразования и т.д.
Кроме того, к этим же результатам можно прийти и на основании параграфа 2,
стр. 7-11, поскольку ничего не изменится, если считать, что определяющие
уравнения (б) на стр. 7 имеют вещественный вид.

Иначе обстоит дело с вещественными проективными группами
прямой: здесь при переходе к вещественным группам рассуждения из §4,
стр. 12-18, нуждаются в небольшом усовершенствовании.
Пусть д — некоторая вещественная подгруппа трехпараметрической
вещественной общей проективной группы на прямой. Тогда, по теореме 2,
стр. 17, соответствующая группа G комплексных преобразований может
оставлять на месте либо две различных точки, либо только одну, которая,
правда, может оказаться двойной. Если на месте остается только одна
точка, то она обязательно вещественна и посредством вещественного
проективного преобразования может быть перенесена в бесконечность. Таким
образом, в этом случае группа д с помощью вещественного проективного
преобразования может быть приведена к одному из следующих двух видов:
Р, хр
Р
(7)
Если же группа G оставляет на месте две точки, то они либо обе
вещественные, либо обе комплексные и при этом комплексно сопряженные. Если они
вещественные, то посредством вещественного проективного
преобразования их можно перевести в точки 0 и оо, а если комплексные, то в точки
-И и —г. Следовательно, в этом случае группа 7 с помощью
вещественного проективного преобразования может быть приведена к одному из двух
видов
^~' ' (8)
хр
{х2 + 1)р
Таким образом, для каждого типа вещественных подгрупп вещественной
проективной группы р, хр, х2р мы нашли по одному представителю.
Что касается вещественных линейных групп от двух переменных, то
практически все из них уже перечислены в теореме 3, стр. 26; недостает
лишь тех групп, которые оставляют на месте две комплексно сопряженные
прямые, проходящие через точку х = у = 0. Так как всякая пара таких
прямых посредством вещественного линейного преобразования может быть
переведена в прямые (x + iy)(x — iy) — 0, ясно, что к группам из теоремы 3
нужно добавить лишь группы
xq - ур, хр + yq
xq-yp + c {хр + yq)
(9)
Здесь, разумеется, с — это вещественная константа, которая, вдобавок,
может быть сделана больше либо равной нулю, поскольку при перестановке

переменных х и у получается группа того же вида, но со значением
параметра —с. Кроме того, значения параметра с в группе 7 из теоремы 3 теперь
можно ограничить до положительных чисел.
Перейдем теперь к вещественным конечным группам плоскости*.
Если дТ — некоторая группа такого рода и если она примитивна в
смысле, оговоренном на стр. 363, то она непременно и транзитивна и, в
соответствии со сказанным на стр. 366, может быть приведена к виду, в
котором все функции будут аналитическими. Если мы предположим, что
она уже имеет такой вид, то возможны два случая: либо соответствующая
r-параметрическая группа Gr комплексных преобразований (см. стр. 362)
тоже примитивна, либо она импримитивна.
В первом случае очевидно, что группа дТ преобразует оо1
вещественных линейных элементов, проходящих через каждую фиксированную
вещественную точку общего положения, посредством трехпараметрической
вещественной проективной группы, то есть самым общим образом.
Учитывая то, что рассуждения из главы 29 первого тома остаются верными и для
случая вещественных переменных х\... хп и вещественных аналитических
преобразований, мы приходим к выводу, что в этом случае группа дТ
всегда будет подобна (относительно вещественного точечного преобразования
плоскости) одной из трех групп, перечисленных в теореме 5, стр. 35.
Во втором случае группа Gr оставляет на месте по меньшей мере
одно семейство оо1 кривых плоскости. Если бы она оставляла на месте лишь
одно такое семейство, то, в соответствии со сказанным на стр. 363, это
семейство состояло бы из характеристик некоторого вещественного
линейного дифференциального уравнения в частных производных и содержало бы,
таким образом, оо1 вещественных кривых, совокупность которых была бы
инвариантна относительно дТ\ но тогда, вопреки нашему предположению,
группа дт была бы импримитивной. Если бы, с другой стороны, группа Gr
оставляла на месте бесконечно много семейств оо1 кривых, то вместе с
каждой фиксированной точкой общего положения на месте оставались бы
и все проходящие через нее линейные элементы, а значит, и все
проходящие через нее вещественные линейные элементы; но тогда бы
существовало бесконечно много вещественных семейств оо1 кривых, инвариантных
относительно дт. Следовательно (ср. стр. 61), группа Gr должна оставлять
на месте два и только два семейства оо1 кривых, и эти два семейства
должны быть комплексно сопряженными, то есть они должны задаваться двумя
* Набросок классификации вещественных групп плоскости был сделан Софусом Ли уже в
Leipziger Berichten за 1889 год, стр. 156.

уравнениями вида
(р(х, у) 4- 1ф(х, у) = const, (р(х, у) — гф(х, у) = const,
где (риф суть независимые друг от друга вещественные функции. Более
того, ясно, что если группа Gr одно из этих двух семейств преобразует
/-параметрически, то второе она должна преобразовывать тоже
/-параметрически. Заметим также, что группа GT содержит г независимых вещественных
инфинитезимальных преобразований, и эти преобразования не изменяются
при перестановке -\-i и —г.
Мы знаем все конечные непрерывные группы плоскости, оставляющие
на месте ровно два семейства оо1 кривых (см. стр. 61). Среди этих групп
существует только четыре типа таких групп, которые оба инвариантных
семейства преобразуют одинаковым образом*. Представителями этих типов
являются следующие четыре группы
( Pu ffiPb x\pu qu ViQi, ViQi
I Pu xipu Qu ViQi ,inN
{ 2 2 (10)
P\ + qu xipi + yiqu xxpi + yxqi
{ pu qu xipi + Ciyiqi (ci ф 0, 1)
Поскольку оба инвариантных относительно этих групп семейства х = const
и у = const являются вещественными, всякая группа Gr, обладающая
рассматриваемым свойством, должна быть подобна одной из групп (10)
относительно некоторого комплексного преобразования.
Если число параметров г в группе Gr равно шести, то найдется
комплексное преобразование, относительно которого группа Gr подобна
первой из групп (10). Это преобразование^ обязано иметь вид
хх = а(х, у) + г/?(х, у), ух = ip(a - г/3),
где а и /3 — две вещественные независимые друг от друга функции, а </? —
вещественная либо комплексная функция от а—г/3. Под действием
рассматриваемого преобразования оо1 кривых х = const должны переходить в оо1
комплексных кривых, а кривые у = const — в оо1 комплексно сопряженных
* Здесь имеется ввиду то, что подгруппы, которые на самом деле преобразуют эти семейства
имеют одинаковое число параметров. Прим. перевод.
tМетод, применяемый здесь для случая шести- и четырехпараметрических групп уже
использовался Софусом Ли в Leipziger Berichten за 1890 год, стр. 406 и далее.

им кривых. Если теперь в Gr в качестве новых хну ввести вещественные
функции а и /?, то группа Gr примет некоторый новый вид, которым можно
заменить ее исходный вид, а соответствующее преобразование примет вид
xi =x + iy, yi= tp(x-iy).
Разрешив эти уравнения относительно х иу, мы получим
xi+v(yi) xi-u(yi)
х — , у = .
2 ' у 2г
(И)
где cj обозначает некоторую вещественную или комплексную функцию.
Тогда, чтобы получить новый вид группы Gr, нужно в первой из групп (10)
вместо х\, у\ подставить новые переменные х, у.
Выполнив преобразование (11), мы получаем
1 /.
Р\ = 2i(2P + ?)i
x + iy,. , ч
XiPi =
2г
(х + гу)2
2г
(Ф + 9),
и следовательно, в новый вид группы Gr входят следующие три
преобразования:
гр + Я, xq-yp + i(xp + yq),
-2хур + (х2 - y2)q + г{(х2 - у2)р + 2xyq}.
Но так как группа Gr является шестипараметрической и содержит шесть
независимых вещественных инфинитезимальных преобразований, то кроме
только что выписанных преобразований она должна содержать и
соответствующие им комплексно сопряженные преобразования, то есть она должна
порождаться следующими шестью вещественными инфинитезимальными
преобразованиями:
Р, q, xq - ур, хр + yq,
(х2 - у2)р + 2xyq, 2хур + (у2 - x2)q
(12)
Поскольку эти преобразования действительно порождают шестипарамет-
рическую вещественную группу, всякая шестипараметрическая группа Gr,

обладающая рассматриваемым свойством, подобна относительно
некоторого вещественного точечного преобразования плоскости группе (12).
Группа (12) является наибольшей конечной непрерывной группой
плоскости, оставляющей на месте семейства кривых х + гу = const и х —
— гу = const. Она нам уже встречалась на стр. 336, где мы получили ее из
первой из групп (10) с помощью преобразования
* = 2±±»1, »-^. (13)
Если группа Gr является четырехпараметрической, то относительно
некоторого комплексного преобразования она подобна второй из групп (10).
Из только что приведенных соображений следует, что Gr подобна
относительно вещественного точечного преобразования плоскости группе
р, q, xq-yp, xp + yq\. (14)
Группа pi, <7ь XiPi + ciViQi (ci Ф 0, 1) содержит лишь одну
двупараметрическую инвариантную подгруппу, а именно р\, q\. Поэтому если
группа GT является трехпараметрической и подобна относительно
некоторого комплексного точечного преобразования только что указанной группе,
то она содержит двупараметрическую инвариантную подгруппу, которая
относительно некоторого комплексного точечного преобразования подобна
группе р\, q\ и которая непременно содержит два независимых
вещественных инфинитезимальных преобразования. Отсюда следует, что эта
инвариантная подгруппа с помощью некоторого вещественного точечного
преобразования может быть приведена к виду р, q и что при этом группа Gr
принимает вид
р, q, (ахх + а2у)р + (а3х + aAy)q,
где а являются вещественными константами. Наконец, принимая во
внимание то, что группа Gr должна оставлять на месте ровно два комплексно
сопряженных семейства оо1 кривых, на основании сказанного на стр. 370 мы
получаем, что GT посредством некоторого вещественного точечного
преобразования переводится в группу
V, Я, yp-xq + c{xp + yq)\. (15)
Мы должны еще разобрать случай, когда группа GT является
трехпараметрической и подобна относительно комплексного точечного
преобразования группе р\ + q\, Х\р\ + г/itfi, xlPi + ViQi- Здесь нам поможет
рассмотрение соответствующей группе Сз присоединенной группы.

Если X\f, Xif, Xsf — какие-то три вещественных независимых
инфинитезимальных преобразования искомой трехпараметрической
группы Сз, то имеют место соотношения вида
3
(XkXj) = ^ ckjsXsf (fcj = l,2,3),
s=l
где под Ckjs понимаются вещественные числа. Тогда присоединенная
группа группы Сз порождается тремя независимыми вещественными
линейными инфинитезимальными преобразованиями Eif, E2f, E^f переменных
6i, в2, ез, и эти преобразования удовлетворяют соотношениям
з
(EhEj) = ^ CkjsEsf {к,.7 = 1,2,3)
5=1
с теми же самыми константами CkjS- Если под еь в2, ез понимать
однородные координаты точек некоторой плоскости, то Eif, E<if, E^f
определяют трехпараметрическую вещественную проективную группу Г
преобразований этой плоскости; при этом группа Г транзитивна и оставляет
на месте некоторое невырожденное коническое сечение (ср. стр. 13-18),
которое, очевидно, задается вещественным уравнением. Но каждая
вещественная точка общего положения в плоскости группы Сз допускает одно
и только одно вещественное инфинитезимальное преобразование c\X\f +
+ tiXif 4- tsXsf из Сз- С другой стороны, вещественная точка г\ : *2 • *з
в плоскости группы Г допускает лишь инфинитезимальное преобразование
*iE\f + €2^2/ + ез£"з/ из Г. Следовательно, вещественные транзитивные
группы Gs и Г подобны друг другу относительно некоторого
вещественного точечного преобразования (ср. стр. 364-365).
Таким образом, мы доказали, что группа G$ посредством
вещественного точечного преобразования может быть переведена в
трехпараметрическую вещественную проективную группу некоторого конического
сечения, задаваемого вещественным уравнением. Поскольку всякое такое
коническое сечение с помощью вещественного проективного преобразования
приводится к виду х2 + у2 — 1 = 0 либо к виду х2 + у2 + 1 = 0, мы видим,
что всякая вещественная группа Сз, обладающая требуемым свойством,
подобна относительно вещественного точечного преобразования группе
р - х[хр + yq), q - у(хр + yq), yp - xq
(16)

либо группе
p + x(xp + yq), q + y(xp + yq), yp - xq \. (17)
Теперь мы знаем все конечные непрерывные вещественные группы
точечных преобразований плоскости, которые примитивны как группы
вещественных преобразований, но импримитивны как группы комплексных
преобразований. Однако, мы бы хотели еще раз остановиться на тех их
них, которые являются трехпараметрическими, и применить более прямой
способ для их нахождения; при этом мы получим группы (16) и (17) в
несколько ином виде.
Пусть Сз — трехпараметрическая вещественная группа, обладающая
требуемым свойством. Тогда в окрестности некоторой вещественной точки
общего положения мы можем разложить инфинитезимальные
преобразования этой группы в ряд. Перенесем эту точку с помощью вещественного
точечного преобразования в начало координат; тогда группа Сз,
поскольку она транзитивна, в окрестности точки х — у = О содержит два
вещественных инфинитезимальных преобразования нулевого порядка
относительно х, у, скажем,
Р = р+... , Q = q + ...
и, кроме того, одно вещественное инфинитезимальное преобразование
первого порядка, которое может быть записано в виде
S = yp-xq + c (xp + yq)-\ ,
где под с понимается вещественное число; это действительно так,
поскольку вместе с точкой х = у = О на месте остаются и два проходящих через нее
комплексно сопряженных линейных элемента, которые посредством
вещественного линейного однородного преобразования всегда можно перевести
в линейные элементы dx + г dy = 0, dx — г dy = 0 (ср. стр. 370). Заметим
еще, что в Р и Q опущенные члены имеют относительно х, у порядок один
и выше, а в S — порядок два и выше.
Так как Р, Q, S представляют собой вещественные независимые
инфинитезимальные преобразования из трехпараметрической группы, имеют
место соотношения вида
\(PS) = -Q + cP + aS, (QS) = P + cQ + {3S,
(PQ) = AP + /xQ + 75, (

где а, /3, 7? A, /i — вещественные константы. Положив
Р' = р + aS, Q' = Q + 65,
мы получим
(Р' 5) = -Q' + сР' + (6 - са + а)57
(Q' 5) = Р' + cQ' + (а + cb - 0)S.
Поскольку с является вещественным числом, мы всегда можем найти такие
два конечных вещественных числа, что в правых частях члены,
содержащие 5, обнулятся. Таким образом, мы можем считать, что а и /3 в
равенствах (18) равны нулю. Тождество Якоби для Р, Q, S имеет вид
X(-Q + cP) + /x(P + cQ) - 2c(PQ) = 0,
и следовательно,
// — Ас = —0, /ic + А = О, С7 = О,
откуда, благодаря тому, что число с вещественно, мы имеем А = ji — 0, а
7 не равно нулю только тогда, когда с — 0.
Если 7 = 0, то наша группа имеет следующую структуру:
(PQ)=0, (PS) = -Q + cP, (QS) = P + cQ. (19)
Таким строением обладает вещественная группа
р, g, 2/p-zg + c(zp + yg) L (15)
Поскольку относительно этой группы точка х = у — 0 также является
точкой общего положения, из сказанного на стр. 364-365 мы заключаем, что
всякая вещественная группа Р, Q, S со структурой (19) подобна
относительно некоторого вещественного точечного преобразования группе (15).
Более того, вещественный параметр с в группе (15) можно сделать
неотрицательным, поскольку группы вида (15) попарно подобны относительно
преобразования х\—у, у\—х.
Как мы уже видели на стр. 336, группу (15) можно получить из
последней из групп (10) с помощью преобразования (13); при этом параметры с
и с\ связаны следующими соотношениями:
. сг + 1 с + г с2 - 1 + 2d
с\ — \ с —г с1 +1

Следовательно, посредством преобразования (13) группа pi, gi, xipi +
+ ^iViQi (ci 7^ 0, 1) переходит в вещественную группу только тогда, когда
абсолютная величина числа С\ равна 1.
Если же вещественная константа 7 не равна нулю, то с — 0, и наша
группа Сз обладает следующей структурой:
(PQ)=yS, (PS) = -Q, (QS) = P.
В соответствии с тем, является 7 больше нуля или меньше, рассмотрим в
качестве новых Р и Q преобразования
2Р 2Q
л/7' у/У
или
2Р 2Q
'-1
'-1
Тем самым мы добьемся того, что число 7 будет равно 4 или —4
соответственно. При этом мы получим структуру
(PQ)=45, (PS) = -Q, (QS) = P
(19')
ИЛИ
(PQ) = -45, (PS) = -Q, (QS) = P. (19")
Здесь напрашивается вопрос о том, не содержит ли группа (12) две
вещественные подгруппы с такой структурой, и действительно, нетрудно
проверить, что вещественная подгруппа
р+{х -у )p + 2xyq, q + 2xyp+(y -x )q, yp - xq
группы (12) имеет структуру (19'), в то время как подгруппа
р - (х2 - у2)р - 2xyq, q - 2хур - (у2 - x2)q, yp - xq
(20)
(21)
имеет структуру (19"). На основании сказанного на стр. 364-365 мы
заключаем, что каждая трехпараметрическая вещественная группа вида Р, Q, 5,
обладающая структурой (19') или (19") подобна относительного
вещественного точечного преобразования группе (20) или группе (21)
соответственно.
Ясно, что обе группы (20) и (21) подобны относительно комплексных
точечных преобразований третьей из групп (10). Но точка х\ — у\ — 0
относительно этой последней группы не является точкой общего положения,

и поэтому сперва в этой группе нужно ввести такие новые переменные,
чтобы начало координат стало точкой общего положения. Этого можно
добиться при помощи преобразования
1
X2=XU У2 = ,
У\
под действием которого группа р\ + q\, х\р\ + y\q\, х\р\ + у\°\ принимет
вид
V2 + 2/202, 42 + х1р2, Х2р2 ~ У2Ч2- (22)
Теперь нетрудно увидеть, что эта группа подобна группе (20) относительно
преобразования
х = ^Р^, У=Х~ЧЖ (23)
и группе (21) относительно преобразования
* = ^=А У=*Ч^> (24)
2 ' у 2г к }
Итак, как и было объявлено на стр. 375, мы получили еще одну
классификацию для тех из искомых групп, которые являются трехпараметри-
ческими. Отметим только, что группы (20) и (21) подобны
относительно вещественных преобразований соответственно группам (17) и (16) (см.
стр. 374-375). Однако, в то время как обе вещественные группы (20) и (21)
примитивны во всей вещественной плоскости, лишь вторая из
вещественных групп (16) и (17) обладает этим же свойством; первая же из них хотя
и примитивна внутри конического сечения х2 + у2 — 1 = 0, которое она
оставляет на месте, в оставшейся части вещественной плоскости
является импримитивной, так как она оставляет инвариантным семейство
вещественных касательных к этому сечению.
Сформулируем соответствующую теорему.
Теорема 34. Если вещественная конечная непрерывная группа
плоскости является примитивной, то есть не оставляет на месте никакое
семейство оо1 вещественных кривых, то она подобна (относительно
некоторого вещественного точечного преобразования плоскости) либо общей
проективной группе, либо общей линейной группе, либо специальной
линейной группе, либо же одной из групп (12), (14), (15), (20) и (21).

Нам осталось еще найти все вещественные импримитивные группы
плоскости, то есть такие вещественные группы, которые оставляют на
месте по крайней мере одно семейство оо1 вещественных кривых.
Пусть Х\... Хт — г независимых вещественных инфинитезимальных
преобразований некоторой такой группы, и пусть <р(х,у) = const —
вещественное семейство кривых, инвариантное относительно этой группы.
Тогда имеют место равенства вида
Хк{ф) = u>k(v) (fe=i-.r),
где u>k суть вещественные функции от </?. Следовательно, если в качестве
нового х мы с помощью вещественного точечного преобразования
введем </?, то наша группа примет вещественный вид
Xkf = uk(x)p + т]к{х, y)q (*=i... г).
Укороченные вещественные инфинитезимальные преобразования
Xkf = и)к{х)р (к=г...г)
порождают вещественную группу одномерного многообразия, изоморфную
группе Х\... Хг. Но поскольку, как следует из сказанного на стр. 369,
всякая вещественная конечная непрерывная группа одномерного
многообразия подобна относительно вещественных точечных преобразований одной
из групп
р, хр, х2р; р, хр; р,
здесь можно сразу применить рассуждения из § 8 (стр. 36-38) и
действовать согласно программе, выдвинутой на стр. 38. При этом, разумеется,
при приведении групп к нормальному виду нужно с самого начала
ограничиться рассмотрением вещественных преобразований вида (5), стр. 38.
Воспользовавшись результатами параграфа § 9 (стр. 38-42), мы
получим все вещественные интранзитивные группы плоскости; эти группы
имеют тот же вид, что и соответствующие комплексные группы, а
именно, [1], [2], [3], только теперь уже функции Fk(x) будут не
аналитическими функциями переменной ху а абсолютно произвольными вещественными
функциями, которые даже не обязаны быть дифференцируемыми или
интегрируемыми.
Точно так же, вычисления, проведенные в §§ 10, 11 и 12 (стр. 42-52),
немедленно доставляют все вещественные транзитивные группы
плоскости, которые оставляют на месте некоторое вещественное семейство оо1

кривых. Используемые там замены переменных таковы, что они будет
вещественными, если рассматриваемая группа вещественна. Только однажды
, а именно на стр. 47, используется замена переменных которая при
определенных условиях вещественной не является. Там для того, чтобы
избавиться от константы /г, мы в качестве нового х вводим выражение х \fh. Однако
легко заметить, что этого же можно достичь, вводя j^y в качестве нового уу
и эта замена переменных будет вещественной всегда, когда
рассматриваемая группа вещественна.
Итак, всякая вещественная группа плоскости, оставляющая на месте
некоторое вещественное семейство сю1 кривых, посредством
вещественного точечного преобразования может быть приведена к одному из видов
[1]... [20] из главы 3; только в случаях [5] и [6] (стр. 44-45) при переходе
к вещественному случаю понадобится небольшое изменение.
Встречающиеся там константы а\ ... щ в случае вещественной группы совсем не
обязаны все без исключения быть вещественными — они могут быть и
попарно комплексно сопряженными. Следовательно, чтобы указать только
вещественные инфинитезимальные преобразования соответствующих
вещественных групп, нужно группы [5] и [6] записать в следующем виде:
[5"]
еакХ
еоскх
cos (3kx
sin/JfcX-
•я<
Я,
хе<*к
хеакХ
х cos fax
sin/Jjtx-
(fe=l,2..
'•<?, ••
q, ...
1; l>0)
. Xm
хШк
k eak x cos fax • q,
eakX sinfax • q, p
eakX
eak
cos fax •
x sin fax
Я,
•Q
xeakX
xeak
cos fax •
x sin fax
(fc=l,2.
Q,
-я
■l;
, . . .
/>0)
771a p&kX
cos fax-
xmkeakXsmfax
Q,
•9,
УЯ,
P
[6"]
где ак и fa — вещественные константы.
Рассуждения из § 13, стр. 52-57 там, где они касаются интранзитив-
ных групп, сразу же переносятся на вещественный случай. Концовка этого
параграфа, однако, нуждается в небольшом изменении, поскольку там мы
должны исходить из групп [5"] и [б"]. Нетрудно увидеть, что заменой
переменной х одну из ненулевых констант ак, fa в [5"] всегда можно сделать
равной единице. С другой стороны, в группах вида [6"] с помощью
вещественного преобразования всегда можно добиться того, чтобы одна из
констант ак равнялась нулю, а одна из оставшихся ненулевых констант а^, fa
принимала значение 1; однако, если все ак равны нулю, а все fa от ну-

ля отличны, то с помощью вещественного преобразования никогда нельзя
добиться того, чтобы одно из чисел /?£ обращалось в нуль.
Наконец, рассуждения из § 17 (стр. 65-71) верны и в случае
вещественных групп.
Теперь мы можем указать, как нужно дополнить таблицу, приведенную
на стр. 71-73, чтобы для каждого типа (см. стр. 364) конечных непрерывных
вещественных групп плоскости предъявить ровно по одному
представителю: нужно к примитивным группам добавить следующие пять групп:
(\р, q, xq- ур, хр + yq, (х2 - у2)р + 2xyq, 2хур + (у2 - x2)q
| Р, Q, Щ - ур, хр + yq |
<
V
р, q, xq-yp + c (хр + yq) (с ^ 0) |
р + (х2 - у2)р + 2xyq, q + 2xyp + (у2 - x2)q, xq - ур
р-(х2- у2)р - 2xyq, q - 2хур - (у2 - x2)q, xq - ур
(25)
(см. теор. 34, стр. 378); кроме того, седьмую группу на стр. 72 нужно
заменить на группу [б/;], стр. 379, а первую группу на стр. 73 — на группу [5"].
Здесь нужно еще отметить, что группа [6"] должна иметь по меньшей мере
четыре параметра, а группа [5;/] — по меньшей мере три.
Перейдем, наконец, к нахождению всех вещественных проективных
групп плоскости.
Если дг — некоторая r-параметрическая вещественная проективная
группа плоскости, то соответствующая группа Gr комплексных
преобразований (см. стр. 362) также будет r-параметрической проективной группой.
Поэтому, если г < 8, то, по теореме 7, стр. 94, группа Gr либо оставляет
на месте одну точку или одну прямую, либо является трехпараметрической
группой некоторого невырожденного конического сечения.
Если имеет место последний случай, то соответствующее коническое
сечение, очевидно, задается вещественным уравнением второй степени
относительно х и у. Поскольку, как известно, каждое такое коническое
сечение с помощью вещественного проективного преобразования может быть
приведено к одному из двух видов
х2 + у2 + 1 - 0, х2 + у2 - 1 - 0,
мы заключаем, что группа дТ подобна относительно вещественного
проективного преобразования одной из следующих, уже упоминавшихся на

стр. 374-375 групп:
р + х2р + xyq, q + хур + y2q, ур — xq
р-х2р- xyq, q-xyp- y2q, ур - xq
(26)
Если Gr оставляет на месте некоторую точку и если эта точка является
комплексной, то на месте должна оставаться и комплексно сопряженная ей
точка, а также вещественная прямая, эти две точки соединяющая. Если же
Gr обладает инвариантной комплексной прямой, то инвариантной будет и
комплексно сопряженная ей прямая, а также вещественная точка, лежащая
на их пересечении. Другими словами, всякий раз, когда GT оставляет на
месте комплексную точку или комплексную прямую, на месте остается еще
и некоторый линейный элемент, прямая или точка которого вещественна.
Исходя из этого, вещественные проективные группы <?г, для которых
соответствующие группы Gr обладают по крайней мере одной
инвариантной точкой или прямой, можно разбить на три класса. Группу дт мы будем
причислять к первому классу, когда Gr вообще не оставляет на месте ни
один линейный элемент, ко второму, когда Gr оставляет на месте по
меньшей мере один вещественный линейный элемент, и к третьему, когда Gr
оставляет на месте только комплексные линейные элементы и ни одного
вещественного.
Если дт принадлежит первому классу, то Gr оставляет на месте либо
вещественную прямую, но ни одну лежащую на ней точку, либо же
вещественную точку, но ни одну проходящую через нее прямую. В этом случае,
как следует из § 24, стр. 94-97, группа Gr подобна относительно
проективного преобразования плоскости одной из групп [1]... [б] (стр. 95, 96). Ясно,
что тогда и дт будет подобна одной из этих групп относительно некоторого
вещественного проективного преобразования.
Если дт принадлежит второму классу, то с помощью вещественного
проективного преобразования ее можно перевести в вещественную
подгруппу пятипараметрической вещественной группы
р, q, xq, xp, yq [7]
(ср. стр. 96). Следовательно, нам нужно найти просто все вещественные
подгруппы группы [7].
Очевидно, что всякая вещественная подгруппа группы [7] преобразует
оо1 прямых вида х — const либо нульпараметрически, либо однопарамет-
рически, либо двупараметрически. Поэтому для нахождения этих подгрупп

можно применить тот же самый метод, что и в §25, стр. 97-103.
(Напомним, что там использовались результаты из §20, стр. 81-86.) То, что здесь
мы ограничиваемся рассмотрением вещественных групп, при этом на
результат не влияет, так как там использовались лишь такие конечные
преобразования группы [7], которые будут вещественными, если вещественной
будет и рассматриваемая подгруппа группы [7] *. Отсюда следует, что
всякая вещественная подгруппа группы [7] посредством вещественного
преобразования этой группы может быть приведена к одному из видов [8]... [39]
(см. стр. 97-102). Наконец, исследования, проведенные в § 26, стр. 103-105,
показывают, какие из найденных групп сопряжены в вещественной общей
проективной группе. Таким образом, в таблице на стр. 106-107
представлены все вещественные проективные группы, оставляющие на месте
вещественный линейный элемент.
Если, наконец, дт принадлежит третьему классу, то Gr оставляет на
месте либо вещественную прямую и две лежащие на ней комплексно
сопряженные точки, либо вещественную точку и две проходящие через нее
комплексно сопряженные прямые. В первом случае с помощью
вещественного проективного преобразования мы обе инвариантные точки переводим
в бесконечно мнимые круговые точки. При этом дг будет вещественной
подгруппой четырехпараметрической вещественной группы
р, q, yp-xq, xp + yql (27)
Во втором случае мы наши инвариантные прямые переводим в прямые х +
+ гу = 0, х — гу = 0; при этом дт переходит в вещественную подгруппу
четырехпараметрической вещественной группы
yp-xq, xp + yq, x2p + xyq, xyp + y2q
(28)
которая, очевидно, двойственна группе (27) и имеет одинаковую с ней
структуру. Нам нужно, однако, рассмотреть лишь те подгруппы этих двух
групп, которые не имеют инвариантных вещественных линейных
элементов.
* Единственное исключение имеет место на стр. 82: инфинитезимальное преобразование
р + (а'х + Р'у + Y) с помощью используемых там преобразований может быть приведено
лишь к одному из четырех видов: р\ + y\q\\ pi + x\q\\ pi — x\qi; pi; но под действием
вещественного конечного преобразования Х2 = х\, у2 = —у\ группы [7] преобразование
р\ - x\q\ переходит в р2 -\-x2q2-

Если подгруппа группы (27) не содержит инфинитезимальных
трансляций, то она имеет один из следующих трех видов
ур - xq + ар + 0q, хр + yq + Хр + (J,q;
ур- xq-\- с(хр + yq) + ар + (3q\
xp + yq + ap + Pq.
Третью из этих групп рассматривать не нужно, поскольку она оставляет
на месте бесконечно много вещественных линейных элементов. Первые же
две группы с помощью вещественных преобразований вида
xi = х + a, J/1 = у + Ь
всегда можно привести к виду
yp-xq, xp + yq
ур- xq + c(xp + yq)
(29)
где константу с благодаря переставляемости переменных х и у можно
сделать неотрицательной.
Если бы вещественная подгруппа 7 группы (27) содержала только одну
инфинитезимальную вещественную трансляцию ap+/3q, то эта трансляция
порождала бы однопараметрическую инвариантную подгруппу в 7, и, как
легко увидеть, группа 7 имела бы один из видов
ар + fiq; ар + (3q, хр + yq + Хр + \iq
и, следовательно, оставляла бы на месте бесконечно много вещественных
линейных элементов.
Если, наконец, вещественная подгруппа группы (27), не оставляющая
на месте ни одного вещественного линейного элемента, содержит и р, и q,
то она имеет вид
' ' (30)
Р, Я, ур - xq + с{хр + yq)
где константу с можно считать неотрицательной.
Аналогичным образом можно показать, что всякая вещественная
подгруппа группы (28), не оставляющая на месте ни одного вещественного
линейного элемента, посредством вещественного проективного
преобразования приводится к виду
ур - xq + с(хр + yq), х р + xyq, xyp + y q
(31)

Итак, мы нашли все вещественные проективные группы плоскости.
Заметим, что вторая из групп (26) подобна относительно вещественного
проективного преобразования группе
р + xq, хр + 2yq, {х2 - у)р + xyq,
вещественного конического сечения у — \х2 = 0. Поэтому для того, чтобы
для каждого типа вещественных проективных групп плоскости указать
ровно по одном представителю, нужно к группам, перечисленным на стр. 106—
107, добавить группы
р + х2р + xyq, q + хур + y2q, yp — xq
р, q, yp-xq, xp + yq
x2p + xyq, xyp + y2q, yp - xq, xp + yq
p, q, yp - xq + c{xp + yq) (c^O)
(32)
x p + xyq, xyp Л-у q, yp-xq- c(xp + yq) (c^o)
yp-xq, xp + yq
yp — xq + c(xp + yq) (c^o)
Отметим еще, что все группы, которые здесь или на стр. 106-107 помечены
как двойственные, двойственны относительно вещественного
двойственного преобразования.
Разумеется, аналогичным образом можно найти и все вещественные
конечные группы контактных преобразований плоскости. Сейчас мы не
будем заниматься отысканием этих групп и ограничимся лишь несколькими
замечаниями по поводу тех из них, которые являются неприводимыми.
Вещественная группа G контактных преобразований плоскости непри-
водима, если она не имеет инвариантных семейств, состоящих из оо2
кривых. Если, вдобавок, группа G неприводима как группа комплексных
контактных преобразований, то есть, если не существует и комплексных
инвариантных семейств оо2 кривых, то, как легко убедиться, группа G является
десяти-, семи- или шестипараметрической и подобна относительно
вещественного контактного преобразования одной из трех групп, указанных в

томе II, на стр. 432, 425 и 419 соответственно. Если, с другой стороны,
группа G, как группа комплексных контактных преобразований,
приводима, то она оставляет на месте два комплексно сопряженных семейства оо2
кривых и, как было замечено Энгелем, с помощью вещественного
контактного преобразования приводится к виду, при котором эти два инвариантных
семейства кривых задаются обыкновенным дифференциальным
уравнением второго порядка
В этом случае группа G подобна (относительно комплексного контактного
преобразования) либо общей проективной группе плоскости, либо
некоторым подгруппам этой группы.
В заключение этого параграфа мы бы хотели сказать несколько слов о
вещественных группах евклидовых движений в трехмерного пространстве.
Все эти группы являются вещественными подгруппами группы
р, q, r, xq - ур, уг - zq, zp - xr
(33)
и могут быть найдены с помощью метода, описанного в главе 11. Поскольку
группа
щ — ур, уг — щ, zv — хг,
очевидно, не содержит вещественных двупараметрических подгрупп,
нетрудно увидеть, что каждая из искомых групп, не совпадающая с (33),
посредством вещественного преобразования группы (33) приводится к одному из
следующих видов*:
xq — ур, уг — zq, zp — xr
xq — ур + с г
xq-yp, r
V
Р, Q
Щ ~ УР, Р, Я, г
xq-yp + cr, p, q
(34)
Р, Я, г
Здесь с обозначает вещественный параметр.
* Вещественные группы движений впервые были найдены К. Жорданом (см. Annali di
Matematica за 1868 год); невещественные группы у него не упоминаются.

§ 84. Вещественные группы пространства R^ обладающие
вещественным инвариантным уравнением вида
/] ffci/(^i•• • Хп) dxk dxjy — 0.
Сейчас мы снова займемся задачей из главы 17, но уже для случая
вещественных групп. Мы отыщем все вещественные группы от п
вещественных переменных х\... хп, которые обладают вещественным инвариантным
уравнением вида
п
^2 %ЛХ\ • • • хп) dxk dxv = 0 (35)
с ненулевым определителем и при которых oon_1 вещественных
линейных элементов dx\.. ,dxny проходящих через каждую фиксированную
вещественную точку общего положения, преобразуются наиболее общим
возможным образом. При этом сперва мы будем предполагать, что число п
больше, чем 2,
Если бы среди искомых групп существовала интранзитивная группа,
то наше пространство распадалось бы на оо9 вещественных инвариантных
(n—q)-мерных многообразий, где q имело бы одно из значений 1, 2 ... п—1.
Но тогда вместе с каждой фиксированной вещественной точкой на месте бы
оставался и плоский пучок, состоящий из ооп~9-1 проходящих через нее
вещественных линейных элементов, а значит, вещественные линейные
элементы, проходящие через такую точку, не преобразовывались бы наиболее
общим образом, сохраняющим инвариантность группы (35).
Следовательно, все искомые группы транзитивны. На основании теоремы 33, стр. 366,
мы с самого начала можем ограничиться рассмотрением только тех групп,
преобразования которых задаются уравнениями с аналитическими
функциями.
Пусть х\...х\— некоторая вещественная точка общего положения. С
помощью вещественной трансляции эту точку можно перенести в начало
координат, и поэтому мы сразу можем считать, что х^ = ... = х\ — 0.
Далее, как следует из известной теории вещественных квадратичных форм,
посредством некоторого вещественного линейного однородного
преобразования мы всегда можем добиться того, чтобы уравнение
п
J2 M0...0)dxfcdx„ = 0
fc,i/=i

принимало следующий простои вид:
dxi2 + dx22 + ... + dxm2 - {dxm+12 + ... + dxn2) = 0, (36)
где положительное целое число т удовлетворяет условию \п ^ т ^ п.
Теперь, поскольку п > 2, так же как на стр. 316-321, мы получаем,
что каждая группа, обладающая требуемым свойством, в окрестности
точки х\ — ... — хп — 0 общего положения содержит следующие инфините-
зимальные преобразования.
Во-первых, п вещественных инфинитезимальных преобразований
нулевого порядка относительно х:
Pi +
. . . , рп +
(37)
Во-вторых, либо ^~ \ либо \^ 4- 1 независимых вещественных
инфинитезимальных преобразований первого порядка, никакая линейная
комбинация которых не дает преобразования порядка два или выше. В
первом случае эти преобразования имеют вид
X<m+kPm-\-j %m+jPm+k ~г
(д, v=l . . . т; k,j=l. . . п—т).
(38)
Во втором случае к только что выписанным преобразованиям добавляется
еще вещественное преобразование вида
^ XvVv +
(39)
/У=1
Что касается инфинитезимальных преобразований более высокого
порядка, то их либо вообще нет; либо их всего п, они имеют порядок два и
записываются в виде
/ п / т п—т v
2хА* /_^ ХтРт - ( 2^ Х„ - 2_^ Xm+k )Pv~\ 1
т=1 V=l k=l '
т=1
2xm+J- ^ XTpT + I 2_^ £,, — 2_^ Хш+к JPm+j H
i/=l
/с=1
(40)
(/х=1. . . m; j=l. . . п—тгг).

Однако, эти преобразования, которые, разумеется, должны быть
вещественными, могут содержаться в нашей группе лишь тогда, когда в ней
содержится преобразование вида (39). Инфинитезимальные преобразования
порядка три и выше в нашу гругпгу входить не могут.
Итак, если некоторая обладающая требуемым свойством группа
содержит преобразование вида (39), то возможно лишь два случая: она
порождается либо 1+ ) _|_ 1 инфинитезимальными преобразованиями вида (37),
(38), (39), либо (n+\K2n+2) преобразованиями вида (37)... (40). В первом
случае из сказанного на стр. 364-365 этого тома и на стр. 616-618
первого тома следует, что относительно некоторого вещественного точечного
преобразования пространства Rn эта группа подобна группе
Pi"
•Рп, XiPi + .
ZfiPm+k
i %m+kP/j.'
(/x,i/=l. . .
. . + Хпрп, ХцР1У
ZvPfii
%m+kPm+j ~ %m+jPm+k
т; k,j—l. . . п — т)
Аналогично, во втором случае мы получаем, что посредством
некоторого вещественного точечного преобразования эту группу можно привести к
виду
Pi..
%/j.Pm+k ~г Хт
2х^и-
2xm+kU +
(д, V-
•Рп, U,
%flPlS
•EvPfii
-\-kPfj,-) %m+kPm+j ~ %
/ т
(£4
v=i
• 771
4=1
п — т
-Е
S = l
71—771
-Е
S=l
= 1. . . т\ k,j=l. .
\
х2
xm-\-s
. п—т)
m+jPm+k
1Рм,
JPm+k
где, для краткости, через U обозначено преобразование xipi + ... +хпрп.
Остается найти только вещественные группы пространства i?n,
которые порождаются ^ 2 ' независимыми инфинитезимальными
преобразованиями вида (37), (38).
Пусть д — некоторая такая группа, и пусть G — соответствующая ей
группа комплексных преобразований (см. стр. 362). Введем в G вместо
х\... хп новые переменные
Х± = #1, . . . , Хт = Хш, Хтп_|_^ = lXm-|-i, . . . , Xn = 1Хп.

Мы получим группу, порождаемую \^ инфинитезимальными
преобразованиями вида
В соответствии со сказанным на стр. 333, с помощью точечного
преобразования вида
эту группу можно перевести либо в группу
Рд, JmPiv ~MV (/x,i/=l...n) (43)
всех евклидовых движений, либо в проективную группу
Рм - У/хЯ, умр„ - у^рд (/х, i/=i...n) (44)
многообразия второго порядка [???] i\ + ... +j^ — 1 = 0. Отсюда мы можем
сделать вывод, что группа G подобна одной из групп (43), (44)
относительного некоторого вещественного или комплексного точечного
преобразования, причем такого, которое регулярно в окрестности начала координат.
Сперва рассмотрим случай, когда G подобна группе (43).
О группе (43) евклидовых движений мы знаем (см. стр. 357), что она
содержит лишь одну n-параметрическую инвариантную подгруппу с
попарно перестановочными инфинитезимальными преобразованиями, а именно,
подгруппу pi .. .рп всех трансляций. То же самое верно и для подобной
ей группы G: она может содержать лишь одну n-параметрическую
инвариантную подгруппу, преобразования которой попарно перестановочны. В
соответствии со сказанным на стр. 363-364, эта инвариантная подгруппа 7
группы G должна содержать п независимых вещественных инфинитези-
мальных преобразований, которые, как легко убедиться, все имеют нулевой
порядок относительно х\... хп и, следовательно, имеют вид
Pi + • • • , • • • , Рп Н •
На основании сказанного на стр. 364-365 мы заключаем, что группа 7
подобна относительно вещественного точечного преобразования вида
Xv =ХУЛ (i/=l...n)

группе pi... рп всех трансляций. Если это преобразование применить к
группе G, то она примет вид
t _
Pi
• -Рп-) ^[iPv %vP\l "г * * * ? %1лРт+к "г %m+kPiJ, т~
•^m+fePm+j •Em+jPm+k i * * *
(д, i/=l. . . ra; k,j=l. . . n—m),
(45)
и преобразования Pi... pn в этой новой группе должны, само собой
разумеется, порождать инвариантную подгруппу Отсюда немедленно следует,
что члены порядка два и выше в инфинитезимальных преобразованиях (45)
равны нулю.
Таким образом, если группа G относительно вещественного или
комплексного точечного преобразования подобна группе (43) евклидовых
движений, то относительного некоторого вещественного преобразования она
подобна группе
(46)
То же самое, разумеется, верно и для вещественной группы д, которой G
соответствует.
Предположим теперь, что группа G подобна относительно
вещественного или комплексного точечного преобразования группе (44).
В соответствии с предложением 1, стр. 359, группа (44) содержится
лишь в одной конечной непрерывной группе, преобразующей ооп-1
линейных элементов, проходящих через каждую фиксированную точку общего
положения, самым общим образом, то есть (п2 — 1)-параметрически. Этой
группой является п(п + 2)-параметрическая общая проективная группа
Pi-
. .Рп-> %у,Ри ХиРуи %fiPm-\-k "г %m+kPyLi
%m-\-kPrn+j ~ %m+jPm+k
(д, /у=1. . . тп; k,j=l. . . п—т)
Р/х> F/iPi/> Р/Д! (м,"=1-..п)
(47)
пространства £i.. .рп. Группа G подобна группе (44) относительно
точечного преобразования, регулярного в окрестности начала координат.
Поэтому группа G может содержаться в единственной конечной непрерывной
группе Г, под действием которой линейные элементы, проходящие через
начало координат, преобразуются самым общим образом. (При этом мы
предполагаем, что начало координат является инвариантной точкой
группы Г.) Эта группа Г является п(п + 2)-параметрической и, так как она

является единственной в своем роде, содержит п(п + 2) независимых
вещественных инфинитезимальных преобразований, которые, как следует из
главы 29 первого тома, имеют вид:
п
Pli "г * * * 1 %fiPv "г • * * , Хц, / j %тРт "г * * *
т=1
(д, и=\...п).
Отсюда прежде всего следует, что группа Г относительно вещественного
преобразования вида
У1 = Xi + •••,..., In = Хп + • • •
подобна группе (47) (ср. стр. 364-365). В то же время, легко увидеть, что
группа G при этом преобразовании переходит в проективную группу вида
Г pi н— , • • •, рп н— ,
I ?дР^ — ?/уРд Н , ?/xPm+fc + Jm+fcP/z H , , ,
< (48}
I Tm+kPm+j ~ Tm+jPm+к ~г ' ' *
^ (д,//=1. . . т; k,j=l. . .п—m),
все инфинитезимальные преобразования которой вещественны.
Поскольку группа (48) проективна и подобна группе (44), она,
согласно теореме 19, стр. 292, является проективной группой невырожденного
многообразия второго порядка. Уравнение этого многообразия в нашем
случае, очевидно, является вещественным, и поэтому (п — 1)-мерная полярная
плоскость, соответствующая началу координат, также будет вещественной.
Более того, начало координат является точкой общего положения, а
значит, не принадлежит своей полярной плоскости; поэтому с помощью
вещественного проективного преобразования вида jj, = £„ + ••• мы можем
эту полярную плоскость перенести в бесконечность. При этом группа (48)
примет следующий простой вид:
( Pi Н , ..., рп Н ,
I ЪцРу — ЪуРц.1 ТцРт+k + Тт+кРц,
I £m+kPm+j ~ $m+jPm+k
\ (д,/у=1. . .7п; k,j=l. . .п—тп).
(48')

Но оо1 многообразий
?1 + • • • + Im ~ (fm+1 + • • • + Jn) = —
являются единственными невырожденными многообразиями второго
порядка, инвариантными относительно п^~ ' инфинитезимальных
преобразований
IfiPu — h'Pfii У/xPm+fc + Ут+fcP/i?
Tm+kpm+j ~ Tm-\-jPm+k*
Следовательно, те из преобразований (48'), которые имеют нулевой
порядок, могут быть приведены к виду
Ри - ajr^il, Pm+k + afm+fcil
(д=1. . . т; к=\ . . . п—т),
где константа а должна быть вещественной и отличной от нуля. Наконец, с
помощью вещественного проективного преобразования константу а можно
сделать равной —1 или +1.
Таким образом, если группа G подобна относительно
вещественного или комплексного точечного преобразования группе (44), то существует
вещественное точечное преобразование, при котором группа G, а
следовательно, и группа д принимает вид
Рц + XJJ, рт+к - Xm+kU, Xyffiv - Хир^,
XfiPm+к "г Xm-\-kPii-> %m+kPm+j ~ %m-\-jPm+k
(fiy v=l. . . m; k,j=l. . . n—m)
ИЛИ ВИД
V»
-XyJJ,
ХцРт+к + X
(M.
Pm+k
т+кР/л
v=l. . .
+ Xm+kU,
ч Xm+kPm
m; k,j=l. .
XfiPv
XuPfj,-)
■\-j ~ ^m+j'Pm+fe
. n—m)
В частности, если п — 2m, эти две группы, очевидно, подобны друг другу
относительно вещественного проективного преобразования
Хц — Xm+fij,, жга+д = хц (М = 1 • • • ш)'
(49)

Итак, мы нашли все вещественные группы вида (37), (38) и тем
самым решили задачу, поставленную в начале этого параграфа. Мы получаем
следующую теорему:
Теорема 35. Если вещественная непрерывная группа от п > 2
переменных х\... хп оставляет инвариантным вещественное уравнение
п
^2 hAxi • • • хп) dxk dxv = 0,
fc,i/=i
определитель которого не равен нулю тождественно, и если под
действием этой группы oon_1 вещественных линейных элементов, проходящих
через каэ/сдую фиксированную вещественную точку общего пололсения,
преобразуются наиболее общим возмоэ/снььч образом, то эта группа имеет
либо (п+\И2п+2), либо ^y±Ii + 1, либо ^у±12 параметров. В первом
случае найдется вещественное точечное преобразование пространства Rn,
относительно которого она подобна группе вида (42), стр. 388, где т
является целым числом, удовлетворяющем условию \п ^ т ^ п. Во втором
случае найдется такое вещественное точечное преобразование,
относительно которого эта группа подобна группе вида (41). В третьем же
случае она с помощью вещественного точечного преобразования
переводится либо в группу вида (46), стр. 389, либо в вещественную
проективную группу невырожденного многообразия второй степени, задаваемого
вещественным уравнением относительно х\.. .хп.
В заключение мы коротко остановимся на случае п = 2.
Если вещественная группа плоскости оставляет инвариантным
вещественное уравнение
а(ж, у) dx2 4- 2/?(ж, у) dx dy 4- j(x, y)dy2 = О
с определителем 01 — cry» не обращающимся в нуль тождественно, то с
помощью вещественного точечного преобразования можно добиться того,
чтобы это уравнение имело один из следующих двух видов:
dx2 4- dy2 = 0, dx dy = 0.
Кроме того, нужно потребовать, чтобы рассматриваемая группа
преобразовывала оо1 вещественных линейных элементов, проходящих через любую

фиксированную вещественную точку общего положения, наиболее общим
возможным образом, то есть однопараметрически. Различные виды, к
которым может быть приведена такая группа, в случае, если она конечна, легко
получить, используя рассуждения, приведенные на стр. 370-380.

Часть IV
Исследования по основаниям
геометрии

Исходя из некоторого количества простых фундаментальных понятий
и аксиом, Евклид развил геометрию чисто геометрически, не прибегая к
аналитическим средствам. Однако, какой бы достойной восхищения ни
была его теория, что касается выбора оснований, она оставляет желать
лучшего.
Во-первых, не ясно [???], является ли предложенная Евклидом
система фундаментальных понятий и аксиом полной; кроме того, можно сказать,
что в настоящее время общепризнан тот факт, что в ходе своих
рассуждений Евклид неявно вводил понятия, которые должны были быть
сформулированы в виде аксиом. Например, введенное им понятие пространства
поверхностей фактически основывается на аксиоме, которая не была им
сформулирована.
Во-вторых, возможно, что некоторые из аксиом Евклида являются
излишними, то есть, что их можно вывести на основании предшествующих
им определений и аксиом.
Выяснение вопроса о полноте системы фундаментальных понятий и
аксиом является в сущности более важной задачей, чем отыскание лишних
аксиом. Несмотря на это вопрос о том, в какой мере евклидова система
аксиом может быть пополнена, все еще ждет окончательного решения.
Намного больше усилий [???] было затрачено на разрешение второго вопроса,
однако поводом для последних исследований в области оснований
геометрии послужил лишь вопрос о доказуемости или недоказуемости
одиннадцатой аксиомы Евклида, а именно, аксиомы параллельности.
После многочисленных неудавшихся попыток нескольких
математиков, главным образом Лежандра, доказать аксиому параллельности, сначала
Лобачевский (1829г.), а вскоре после него Бойяи (1832г.) показали, правда
только косвенно, что эта аксиома недоказуема. На самом деле, они
показали, что можно построить геометрию, вообще не использующую аксиому
параллельности. Из писем Гаусса, опубликованных лишь через много лет
после того, как они были написаны, следует, что Гаусс пришел к
аналогичным результатам задолго до Лобачевского и Бойяи.
Сегодня можно лишь удивляться тому, что вопрос о необходимости
аксиомы параллельности впервые был решен таким окольным путем, когда
одного-единственного взгляда на сферу было бы достаточно, чтобы
убедиться в возможности существования непротиворечивой геометрии,
которая не использует аксиому параллельности, но которая, во всяком случае

в некоторой подходящим образом выбранной области, удовлетворяет всем
предшествующим аксиомам Евклида.
Геометрия Лобачевского и Бойяи подобно евклидовой геометрии была
построена чисто геометрически. Первым, кто привлек к изучению
оснований геометрии аналитические методы, был Риман. К сожалению, он не
оставил сколько-нибудь подробного изложения своих исследований в этой
области, и нам приходится довольствоваться лишь очень краткими и
поэтому часто непонятными рассуждениями из его работы* на замещение [???]
должности доцента в Геттингенском университете (1854г.)
Во главу угла в этой работе Риман ставит утверждение о том, что
пространство является многообразием чисел, то есть, что точки пространства
могут быть заданы с помощью координат. Далее он спрашивает, какими
свойствами должно обладать это многообразие чисел, чтобы в нем
имела место евклидова или подобная ей геометрия. Разрешение этого вопроса
является, очевидно, чисто аналитической задачей, которую можно решать
совершенно независимо.
Однако истинное значение того, что пространство является
многообразием чисел, у Римана не прослеживается. Он попытался доказать это
утверждение, но его доказательство нельзя считать обоснованным [???]. Чтобы
действительно доказать, что пространство является многообразием чисел,
нужно, несомненно, сперва сформулировать довольно большое количество
аксиом, в то время как Риман, по-видимому, не отдавал себе в этом отчет.
При этом, конечно, нужно учитывать, что для Римана важно было с
помощью введения многообразия чисел придать задаче чисто аналитическую
формулировку и что условия, при которых введение многообразия чисел
возможно, были для него делом второстепенным. К тому же, его работа
задумывалась как пробная лекция и не предназначалась для печати. Если бы
он решился опубликовать ее сам, то он, наверняка, многое бы изменил.
Отметим, что введение понятия многообразия чисел при изучении
оснований геометрии ни в коем случае не случайно, но обусловлено
природой вещей. Действительно, при построении геометрии следует различать
несколько уровней. Один уровень не зависит от аксиомы параллельности,
а также от понятий площади поверхности и иррационального числа. Среди
более высоких уровней существуют такие, где без понятия
иррационального числа обойтись нельзя и где за аксиому необходимо принять то, что
многообразием чисел является по крайней мере прямая. Первым, кто указал
* Abh. d. Gott. Akad., том 13, 1867г. Собрание сочинений Римана, 1-ое издание, стр. 254-269.

на необходимость введения аксиомы такого рода для того, чтобы завершить
построение геометрии, был г-н Г. Кантор.
В основу геометрии многообразия чисел Риман положил понятие
элемента длины, интегрирование которого приводит к понятию длины
конечной линии [???]. Он потребовал, чтобы квадрат элемента длины являлся
целой однородной функцией второй степени от дифференциалов координат;
добавив еще, между прочим, требование о том, чтобы каждая линия могла
произвольно передвигаться без изменения своей длины, он обнаружил, что
кроме евклидовой геометрии возможны еще две геометрии. Одна из них
совпадает с геометрией Лобачевского, а вторая соответствует геометрии на
сфере.
Исследования Римана, посвященные понятию элемента длины,
которые, правда, он сам описал лишь в общих чертах, представляют
наибольший интерес прежде всего с точки зрения анализа. Вполне вероятно, что
эти исследования, кроме всего прочего, послужили поводом для теории
дифференциальных выражений второй степени, развитой г-ми Липшицем
и Кристоффелем в 70-х годах, поскольку во всяком случае г-н Липшиц в
качестве одной из целей своих исследований ставил проверку
правильности утверждений Римана. Однако нельзя отрицать того, что рассуждения
Римана вносят мало ясности в действительный предмет его исследований,
а именно в вопрос об основаниях геометрии. Дело в том, что все аксиомы
Римана имеют отношение к понятию элемента длины, то есть к инфините-
зимальным свойствам пространства. Чтобы исходя из них можно было
судить о свойствах пространства в некоторой конечной области, необходимо
интегрирование. Но поскольку аксиомы, необходимые для чисто
геометрического построения геометрии, должны носить элементарный характер и
поскольку ни элемент длины, ни интегрирование элементарными
понятиями не являются, ясно, что римановы аксиомы для этой цели непригодны.
Г-н фон Гельмгольц в своей известной работе* 1868 года, хотя и не
отдавая себе в этом отчет, избежал этого недостатка аксиом Римана, взяв за
основу аксиомы, которые имеют дело с точками, отстоящими друг от друга
на конечном расстоянии, и попытавшись вывести из них аксиому Римана
об элементе длины.
Г-н фон Гельмгольц сразу же принял за аксиому то, что пространство
является многообразием чисел. Это было существенным шагом вперед по
сравнению с исследованиями Римана, хотя г-н фон Гельмгольц,
несомненно фактах, лежащих в основе геометрии", Gott. Nachr. 1868г., стр. 193-221; см. также
собрание его научных трудов, том II, стр. 618-639.

но, также недооценил важность этой аксиомы: в конце этой своей работы
(на стр. 221) он утверждает, что сформулированные им аксиомы
"предполагают меньше, чем обыкновенно приводимые геометрические
доказательства". Это утверждение совершенно неверно, тем более что остальные
аксиомы Гельмгольца содержат несколько излишних предположений.
Другим важным продвижением вперед по сравнению с Риманом
является то, что г-н фон Гельмгольц работает напрямую с семейством движений
пространства, понимая его как семейство преобразований
соответствующего многообразия чисел. В одном случае он даже выполняет два таких
движения одно за другим и использует то обстоятельство, что такую
последовательность двух движений можно заменить одним-единственным
движением, то есть он в известной степени воспользовался групповым свойством
движений, не будучи, правда, знакомым с общим понятием группы.
Хотя работа г-на фон Гельмгольца в своих предположениях и
является определенным продвижением вперед по сравнению с исследованиями
Римана, нельзя не заметить, что в своей ценности для математики она
уступает работе Римана. Дело в том, что в то время как набросанный Риманом
метод, как оказалось, действительно приводит к доказательству
сформулированных им утверждений, мы увидим, что аналитических методов,
которыми пользовался г-н фон Гельмгольц, явно не достаточно и что г-н фон
Гельмгольц в ходе своего исследования сделал ряд неверных
предположений.
Резюмируя основные идеи Римана и г-на фон Гельмгольца, можно
сказать, что оба ученых, хотя и неявно, поставили новую задачу, которую мы
назовем задачей Римана-Гельмгольца* и которую можно сформулировать
следующим образом: нужно описать такие свойства, которые являются
общими для семейства евклидовых движений и для обоих семейств
неевклидовых движений, и которые выделяют эти три семейства среди всех
возмоэ/сных семейств двиэ/сений многообразия чисел.
Вскоре после того, как Ли в 1869 году поведал своему другу Ф.
Клейну о своих первых исследованиях по непрерывным группам, Клейн обратил
его внимание на исследования Римана и фон Гельмгольца и отметил, что
понятие непрерывной группы неявно играет в них определенную роль (см.
*На самом деле, можно сказать, что этой задачей мы по сути обязаны Риману. Однако
мы считаем, что наше название этой задачи также вполне справедливо, поскольку г-н фон
Гельмгольц был первым, кто обнаружил, что теория Римана не дает окончательного решения
этой задачи. В явном виде эта задача не была сформулирована ни одним из них.

работу Ли в Math. Ann., том 16, стр. 257). Однако только в 1884 году Ли,
в ответ на многократные просьбы Клейна, взялся за основательную
проверку выкладок Гельмгольца и провел подробное теоретико-групповое
исследование задачи Римана-Гельмгольца в обыкновенном трехмерном
пространстве. Это не представляло для Ли большого труда, поскольку он еще
задолго до того описал все конечные непрерывные группы этого
пространства. Впервые результаты этих исследований (без вычислений) Ли
опубликовал в 1886 году в Leipziger Berichten. В двух более объемных статьях
1890 года, также опубликованных в Leipziger Berichten, Ли не только
подверг основательной критике исследования Гельмгольца, но также, и это
было основной целью этой работы, привел несколько новых решений задачи
Римана-Гельмгольца.
Нижеследующие главы представляют собой переработку упомянутых
статей Ли, посвященных этому предмету, с некоторыми дополнениями.
Глава 20 излагает некоторые теории, которые лучше всего рассмотреть
до того, как приступать к обсуждению исследований Гельмгольца. Дело
в том, что часть предложенных им аксиом, как мы увидим, можно
сформулировать следующим образом: семейство движений образует группу, и
относительно этой группы две точки обладают ровно одним инвариантом,
а все инвариантны более чем двух точек выражаются через инварианты
пар точек. Чтобы выяснить радиус действия [???] аксиом фон Гельмгольца,
нужно знать все группы, удовлетворяющие только что сформулированным
требованиям. Поскольку задача описания всех таких групп важна сама по
себе и поскольку ее решение требует большого количества вычислений,
нам представляется целесообразным проделать эти вычисления отдельно.
В главе 21 дана подробная критика выкладок и аксиом Гельмгольца, а
главы 22 и 23 посвящены различным решениям задачи Римана-Гельмгольца
в обыкновенном и в n-мерном пространстве. Наконец, в главе 24
обсуждаются и критикуются некоторые более новые исследования оснований
геометрии.
В заключение этих предварительных замечаний мы бы хотели ясно
подчеркнуть, что приводимые ниже исследования не претендуют на то,
чтобы являться философскими спекуляциями об основаниях геометрии, и
представляют собой не более, чем тщательное теоретико-групповое
обсуждение теоретико-групповой задачи, которую мы назвали задачей Римана-
Гельмгольца. В конце этого раздела мы еще скажем несколько слов о пользе
решения этой задачи для построения системы геометрии [???]. Хотя здесь

мы не делаем никаких попыток доказательства, мы бы хотели высказать
наше убеждение в том, что можно построить такую систему геометрических
аксиом, которая является достаточной и при этом не содержит излишних
предположений. К сожалению, несомненно то, что в настоящее время
существует слишком мало исследований, которые действительно способствуют
разрешению проблемы оснований геометрии.

Глава 20
Описание всех групп пространства Из,
относительно которых две точки
обладают ровно одним инвариантом, а
более чем две точки не имеют
существенных инвариантов
В основе рассуждений настоящей главы лежит введенное в § 59
первого тома (стр. 218-220) понятие "инварианта нескольких точек". Нашей
целью здесь является описание всех конечных непрерывных групп
пространства i?3, которые удовлетворяют определенным требованиям
относительно инвариантов произвольного числа точек. А именно, относительно
каждой из этих групп две точки должны иметь в точности один инвариант,
а все инварианты s > 2 точек должны выражаться через инварианты пар,
составленных из этих s точек. Называя, в соответствии с томом I, стр. 219,
инвариант s точек существенным^ если он не может быть выражен через
инварианты наборов, состоящих из s — 1 или менее точек, мы можем
переформулировать нашу задачу следующим образом:
Нужно найти все конечные непрерывные группы пространства Щ,
относительно которых две точки имеют в точности один инвариант, а
более чем две точки не могут иметь ни одного существенного инварианта.
Сперва мы решим эту задачу для комплексного случая, найдя все
группы комплексных преобразований, обладающие указанными свойствами, и
только затем мы решим ее для групп вещественных преобразований*.
* Первые намеки на результаты, к которым приводит настоящая глава, Ли сделал еще в 1886
году в Leipziger Berichten (стр. 337 и далее); подробные доказательства были опубликованы
им впервые в 1890 году (там же, стр. 355^418). Нижеследующие рассуждения представляют
собой переработку второй из этих двух статей.

О причине, которая побудила нас предпослать настоящую главу
непосредственному изучению оснований геометрии, было сказано на стр. 397-
398.
§ 85. Характеристические свойства искомых групп
Пусть
Xkf = £к [х, У, z)p + щ(х, у, z)q + С* (ж, У, z)r
(fc=l...m)
— m-параметрическая группа, обладающая требуемыми свойствами, и
пусть
xujjuzi; х2,У2,*2\ >>>;x8,y8,z8 (1)
— произвольные s точек пространства R^. Положим
Тогда, во-первых, га линейных дифференциальных уравнений в частных
производных
Xl1)f + Xj?)f = 0 (*=i...m) (2)
относительно 6 переменных £i,yi, 2i,a?2»2/2»22 должны иметь в точности
одно общее решение
J{xuyuzi] х2,У2,г2), (3)
а во-вторых, при s > 2 все общие решения т уравнений
xl1)f + XJ?)f + ... + xis)f = 0 {k-i...m) (4)
относительно 35 переменных х^^Ук^к должны выражаться через s^~2 '
функций
J(xX,y\, Z\\ Хм, у у,, Zy) (Л=1...5-1; д=А+1,...в). (5)
Прежде всего, следует отметить, что каждая из искомых групп
должна быть транзитивной. Действительно, если бы группа X\f.. .Xmf была
интранзитивной, то уравнения
Xkf = 0 (к=1...т)

имели бы во всяком случае одно общее решение, откуда следовало бы, что
уравнения (2), вопреки нашим требованиям, обладали бы по меньшей мере
двумя независимыми общими решениями.
Чтобы найти другие свойства искомых групп, напомним, что т инфи-
нитезимальных преобразований
X^f + X^f + .-.+X^f {fe=i...m) (6)
порождают r-параметрическую группу от 35 переменных (1), которая
показывает, как набор из 5 точек (1) пространства Дз преобразуется под
действием группы X\f.. .Xmf. При этом мы будем считать, что точки (1)
являются относительно группы Xif... Xmf не только точками общего
положения, но и точками общего взаимного положения, то есть что
система значений (1) является системой общего положения относительно
группы (6).
Сделав такие предположения, нетрудно увидеть, какие новые
положения может принимать система s точек (1) под действием преобразований
из группы (б). Действительно, согласно сказанному на стр. 216 первого
тома, в общем случае подвижность этой системы точек ограничена лишь тем
условием, что каждый инвариант группы (6) должен иметь одинаковое
числовое значение для всех положений этой системы. Таким образом,
обозначив положение, принимаемое точкой Хк,Ук,*к под действием
произвольного преобразования из группы Xif... Xmf, через х'к, ук, z'k и вспомнив,
что все инварианты группы (6) должны выражаться через инварианты (5),
мы получаем, что s точек (1) могут переходить во все точки х'к, у'к, z'k (к —
= 1... s), которые удовлетворяют уравнениям
Г «J(*a>»ai*a; x'^y'^z'ti) = «7(*а,Уа,*а; х^У^ги) (7)
1 (A=l...s-1; ai=A+1,...s)
и которые, кроме того, таковы, что система значений
лежит в некоторой окрестности системы (1).
Если мы теперь зафиксируем первые s — 1 из точек (1), то
х'к = хк, у'к = г/ь 4 = zk (fc=i...*-i),

и следовательно, все те из условий (7), в которых А и /i меньше, чем s, уже
выполнены, так что остается лишь 5 — 1 условий
J{x\,y\,z\; x's,y'sizs) = J{x\,y\,z\; xa,ya,za)
(А=1,2...в-1).
Итак, при фиксировании этих 5 — 1 точек точка xs,ya, zs может переходить
во все точки, которые удовлетворяют уравнениям (8) и лежат в некоторой
окрестности точки xs,ya,za. Однако, поскольку группа X\f... Xmf
является конечной, то при фиксировании достаточного количества точек общего
взаимного положения на месте должны оставаться вообще все точки. Таким
образом, при достаточно большом s уравнениям (8) уже не удовлетворяет
непрерывное семейство систем значений x's, y's, z's, и эти уравнения влекут
уравнения
х'а = ха, y's =ys, z's = za. (9)
Согласно сказанному на стр. 490-491 тома I, это происходит самое позднее
при 5 = т + 1. Мы увидим, однако, что при сделанных нами
предположениях это верно и для меньшего значения числа 5.
Если мы зафиксируем лишь одну точку общего положения, скажем
#ь2/ъ2ь то любая отличная от нее точка общего положения £2,2/2,22
может переходить в оо2 точек х'2, у2, z2-> удовлетворяющих уравнению
J{x\,y\,zu ж;2,У2>4) = J(xuyuzi; х2,У2,*2)-
Но поскольку наша группа X\f... Xmf транзитивна, вследствие чего при
фиксировании некоторой точки общего положения параметры этой группы
подчиняются ровно трем условиям, очевидно, что точка X2,y2->z2 может
принимать оо2 положений только тогда, когда остается еще по меньшей
мере два произвольных параметра. Таким образом, наша группа является
по меньшей мере пятипараметрической.
Ясно, что при фиксировании точки Xi,yi,z\ все оо3 точек
пространства распадаются на оо1 инвариантных поверхностей
«/(яь2/ь*1; s,y,z) = const. (10)
В случае шестипараметричекой группы евклидовых движений, которая,
очевидно, удовлетворяет всем требованиям, перечисленным на стр. 399,
эти оо1 поверхностей (10) суть не что иное, как оо1 сфер с центром в точке

#i,2/i,2i. Поэтому для краткости мы будем говорить, что оо1
поверхностей (10) являются псевдосферами с центром X\,yi,Z\, соответствующими
группе Xif ... Xmf. Тогда мы можем сделать следующий вывод: если под
действием группы X\f ... Xmf зафиксировать некоторую точку xi, yi, z\
общего положения, то любая другая точка в общем случае может свободно
передвигаться по проходящей через нее псевдосферой с центром x\,y\,z\.
Совокупность всех имеющихся псевдосфер образует, само собой
разумеется, инвариантное относительно группы X\f.. .Xmf семейство
поверхностей. Отметим также, что оо1 псевдосфер (10) могут быть заданы
посредством интегрируемого пфаффова уравнения вида
a(xi,yi,zi; x,y,z)dx + fidy + fdz = 0, (11)
которое получается дифференцированием уравнения (10) и в котором
величины x\,y\,z\ играют роль констант.
Пусть теперь зафиксированы две точки: х\,у\,х\ъ Х2,У2, ^2- Тогда, как
мы знаем, любая отличная от них точка общего положения хз, уз, ^з может
принимать все положения х($, 2/3> z3> которые удовлетворяют уравнениям
J(xi,yi,zi; #з>Уз>4) = Л#ьУь*1; #з,Уз,23),
J(x2,y2,z2; х'з^Уз^з) = Л#2,У2,22; #з,2/з,23)
и лежат в некоторой окрестности точки хз, уз, ^з> и следовательно, эта точка
может принимать по меньшей мере оо1 положений. Но поскольку
фиксирование этих двух точек дает пять условий на параметры нашей группы, эта
группа должна быть не менее, чем шестипараметрической.
Если бы уравнения (12) не были независимы друг от друга
относительно x'3,yf3,z'3, то есть, если бы второе уравнение было следствием первого,
то очевидно, что все 5 — 1 уравнений (8) также были бы следствием первого
из них, каким бы большим ни было число 5. Но тогда, вопреки сказанному
выше, не существовало бы такого 5, при котором уравнения (8) имели бы
своим следствием уравнения (9), что равносильно тому, что при
достаточно большом 5 не все инварианты 5 точек выражались бы через инварианты
пар точек. Таким образом, мы можем заключить, что уравнения (12)
независимы друг от друга относительно x3,y3,z3 и что точка хз,уз,*з при
фиксировании точек xi, г/i, z\ и Х2,У2, zi может принимать только оо1
положений. Другими словами, оо1 псевдосфер с центром X\,y\,z\ должны
пересекать оо1 псевдосфер с центром Х2,У2,%2 по оо2 кривым, определяе-

мым уравнениями
\ J(xuyi,zi] x,y,z) = const,
\ J{X2, 2/2, Z2\ X, у, Z) = COnst
или системой
(a{xuyi,zii x,y,z)dx + (3dy + 'ydz = О,
I a{x2,y2,z2; x,y,z)dx + fidy + *ydz = 0.
В частности, мы получаем, что оо1 псевдосфер с центром x\,y\,z\ не могут
не зависеть от своего центра и что, следовательно, существует по меньшей
мере ос2 различных псевдосфер.
Пусть, наконец, зафиксированы три различные точки Xk,yk,Zk (к =
= 1,2,3). Тогда любая другая точка £4,2/4, z± может принимать все
положения £4,2/4 > 24> лежащие в некоторой окрестности точки х±,2/4, ^4 и
удовлетворяющие трем уравнениям
( J{xuyuzi; x'A,y'4,z'4) = J(xi,y1,zi; xA,yA,zA),
I J(%2,2/2, z2; x\, y'A, z'4) = J(x2,2/2, ^2; ж4,2/4,24), (15)
[ ^(^з,2/з,^з; ^412/4^4) = ^(^з,2/з,^з; ^4,2/4,^4).
Если бы среди этих трех уравнений имелось лишь два независимых друг от
друга относительно x'A,y'A,z'A, то есть если бы, например, третье являлось
следствием первых двух, то среди 5 — 1 уравнений (8) последние 5—3 всегда
были бы следствиями первых двух, и поэтому, каким бы большим ни было
число 5, уравнения (9) никогда бы не следовали из (8). Таким образом, из
уравнений (15) должны следовать уравнения
х\ = £4, Т/4 = 2/4, 4 = Z4,
то есть, при фиксировании трех точек общего взаимного положения на
месте должны оставаться вообще все точки пространства*.
Отсюда, в первую очередь, следует, что число т должно равняться
шести; во вторых, отсюда вытекает, что не все из ос2 кривых (13) могут
лежать на оо1 псевдосферах с центром в хз, 2/з, z3 и что каждая такая кривая
* Отсюда, кроме всего прочего, следует, что уравнения
J{x'k,y'k, 4; ж', у', г') = J(xk, ук, zk; x, у, z) (fc=i,2,3) (A)

в общем случае пересекается с каждой такой псевдосферой лишь в одной
точке, так что система (14) не может не зависеть от хьуьгья^уг»^.
Таким образом, в пространстве R% не существует ни одного семейства
оо2 кривых, такого что на каждой псевдосфере лежало бы оо1 кривых их
этого семейства. Поскольку каждое семейство оо2 кривых, покрывающее
все пространство Rs, представимо в виде семейства характеристик Монжа
некоторого линейного дифференциального уравнения в частных
производных вида
\{x,y,z)— +n(x,y,z)— + v(x,y,z)— = 0,
то мы можем также сказать, что наши псевдосферы не являются
интегральными поверхностями одного и того же линейного дифференциального
уравнения в частных производных.
Из только что доказанного свойства псевдосфер можно вывести еще
одно важное свойство искомых групп; а именно, можно доказать, что ни во
одной из искомых групп не найдется двух инфинитезимальных
преобразований, имеющих одинаковые траектории.
Действительно, пусть X\f и X^j — два независимых
инфинитезимальных преобразования из группы X\f ... X^f, траектории которых
совпадают. Это означает, что имеет место тождество вида
X2f = <f{x,y,z)Xif,
где ip не является простой константой. Построим теперь шесть линейных
дифференциальных уравнений
Хк/ + Х(к1]/ = 0 (*=i...e), (16)
разрешимы относительно я', ?/, z'. Если на величины х'к,ук, z'k, rc^., y^., z^ наложить условия
J(x'k>Vkizk> xyVrzj) = J{xk,yk,zk; х3,у3,г3)
(£,.7 = 1,2,3; k<j)
и понимать их как параметры, то, как легко убедиться, уравнения (Л), разрешенные
относительно x',yf,z\ задают наиболее общую группу, относительно которой точки x\,y\,z\
и Х2,У2,*2 обладают инвариантом J{x\,y\,z\', 22,^2,22). Эта группа, очевидно,
содержит группу X\f... Xmf, однако она не обязана быть непрерывной и может
распадаться на несколько непересекающихся непрерывных семейство преобразований (ср. том I,
гл. 18). Отметим также, что из уравнений (А) можно получить конечные уравнения
группы X\f... Xmf; для этого нужно разрешить уравнения (А) относительно х',у'^' и
потребовать, чтобы получившиеся уравнения при х'к — х^, ук = уд., z'k — z^ (к = 1,2,3)
обращались в уравнения х' — х, у' — у, z' — z.

общее решение которых
J(x,y,z; xuyuzi),
если его полагать равным произвольным константам, определяет оо1
псевдосфер с центром хьуь z\. Заметим, что среди этих шести уравнений
содержатся следующие два:
Xlf + x[1)f = 0,
(р{х, у, z)Xif + (f{xuyuzi )x[1]f = О,
из которых мгновенно следуют уравнения
Xxf = 0, X[1]f = 0.
Но поскольку первое из этих двух уравнений не зависит от Xi,yi,zb мы
получаем, что при сделанных предположениях все псевдосферы
пространства Дз удовлетворяют одному и тому же линейному дифференциальному
уравнению в частных производных, что, как мы только что показали,
невозможно.
Итак, мы можем сформулировать следующее предложение:
Предложение 1. Если конечная непрерывная группа точечных
преобразований пространства Дз такова, что относительно нее две точки
имеют ровно один инвариант, a s > 2 точек не имеют ни одного
существенного инварианта, то эта группа является транзитивной и шести-
параметрической, и никакие два независимых инфинитезимальных
преобразования этой группы не имеют одинаковых траекторий. Кроме того,
соответствующее этой группе семейство псевдосфер состоит из по
меньшей мере оо2 поверхностей, и в пространстве Дз не существует ни одного
дважды бесконечного семейства кривых, кривые которого порождали бы
все эти псевдосферы.
Прежде, чем продолжить наши рассуждения, мы придадим более
удобную формулировку условию о том, что две точки имеют относительно ше-
стипараметрической транзитивной группы X\f.. .Xmf ровно один
инвариант.

Прежде всего, заметим, что это условие равносильно тому, что
линейные дифференциальные уравнения в частных производных (16)
должны иметь ровно одно общее решение, то есть, что пять из этих
уравнений должны быть независимыми друг от друга. Но группа X\f.. .Xmf
транзитивна, и следовательно, можно считать, что X\f, X^f, X$f не
связаны никаким линейным однородным соотношением, а Х4/, X$f, Xq/
выражаются в виде линейных однородных комбинаций преобразований
Xi/, X2/, X3f:
з
Хз+kf = ^2<fkj{x,y,z)Xjf (fc=i,2,3). (17)
i=i
Очевидно, что с учетом этих тождеств уравнения (16) можно заменить
уравнениями
з
{ ^&kj(x,y,z)Xjf + <pkj(xuyuzl)X$1)f}=0 (18)
[ (fc=l,2,3)
или уравнениями
Г xkf + xi1]f = o,
3
\ ^2{<fkj(x,y,z)-(fkj(xuyuz1)}Xjf = 0 (19)
j=i
{ (*=1,2,3).
При сделанных нами предположениях первые три из шести уравнений (19)
разрешимы относительно pi, <?i, 7*1, а последние три вообще не содержат
Pi, <7ь ri- Поэтому для того, чтобы среди уравнений (19) существовало
ровно пять независимых друг от друга уравнений, необходимо и
достаточно, чтобы последние три из них, которые можно переписать в виде
3
Хз+kf -^VkjixuyuzJXjf = 0 (/с=1,2,з), (20)
j = l

сводились ровно к двум независимым друг от друга уравнениям. Таким
образом, принимая во внимание то, что все три инфинитезимальных
преобразования
з
Хз+kf -^2<Pkj(xi,yi,Zi)Xjf (fc=l,2,3),
3 = 1
оставляют на месте точку Xi, у, z\ [???] и что, если эта точка является
точкой общего положения, все инфинитезимальные преобразования группы
Xif... X<$f, оставляющие эту точку на месте, получаются линейной
комбинацией этих трех, мы получаем следующий результат:
Предложение 2. Если X\f... X<$f является шестипараметрической
транзитивной группой пространства Дз и если
Ykf = OLk{x, у, z)p + 0k(x, у, z)q + 7/с(^, У, z)r
(fc=l,2,3)
— три произвольных независимых инфинитезимальных преобразования из
этой группы, оставляющих на месте некоторую точку общего положения,
то две точки обладают ровно одним инвариантом относительно группы
X\f... Xq/ тогда и только тогда, когда определитель
ах Pi 7i
Oil 02 72
&з Рз 7з
(21)
тождественно обращается в нуль без того, чтобы нулю равнялись все его
миноры второго порядка.
Используя содержащийся в этом предложении критерий, мы можем
вывести еще одно важное свойство искомых группы. Этим свойством
обладают, правда, только те из них, которые являются импримитивными.
Если шестипараметрическая группа, удовлетворяющая нашим
требованиям, является импримитивной, то может так случиться, что она
обладает инвариантным семейством оо1 поверхностей вида u(x,y,z) — const.
Если это так, то переменные х, у, z всегда можно выбрать таким образом,
чтобы это инвариантное семейство поверхностей задавалось уравнением
х — const; сама группа при этом будет иметь вид
Xkf = ЫФ + Vk(x, у, z)q + & (я, у, z)r (fc=i...6),

где £1... £б не равны нулю одновременно, поскольку в противном случае
эта группа была бы транзитивной.
Согласно теореме 1, стр. 6, группа X\f ... X6f может преобразовывать
поверхности х = const либо одно-, либо дву-, либо трехпараметрически.
Мы покажем, однако, что здесь возможен лишь третий случай.
Если бы поверхности х = const преобразовывались только однопа-
раметрически, то по только что упомянутой теореме, переменную х можно
было бы выбрать так, что каждое выражение £к(х)р принимало бы вид акр.
Если бы при этом, например, а\ ф 0, то в качестве новых у и z можно
было бы выбрать два независимых решения уравнения X\f = О, в результате
чего наша группа приняла бы вид:
Xif = р, Xkf = г)к(х, у, z)q + Cfcfc, 2Л Z)T
(Jt=2...6).
Но тогда инвариант точек х, у, z и xi, yi, Z\ должен был бы иметь вид х—х\,
и псевдосферы с центром x\,y\,Z\ задавались бы уравнениями х — Х\ —
— const или х — const. Таким образом, мы бы имели всего оо1 различных
псевдосфер, что, согласно сказанному ранее, невозможно.
Если бы, с другой стороны, поверхности х — const преобразовывались
двупараметрически, то, согласно все той же теореме 1, стр. 6, подходящим
выбором переменной х группу X\f.. .X$f можно было бы привести к
виду
X2f = xp + щ(х, у, z)q + C2(z, 2/, z)r,
Xkf = г]к(х, у, z)q + Cfc(*> У, z)r
(fc=3...6),
и следовательно, точка общего положения X\,y\,z\ допускала бы три
независимых инфинитезимальных преобразования вида
Yif = (х - xi)p + fjiq + Cir,
Y2f = fj2Q + С2Л
Уз/ = Ш + СзЛ

а соответствующий определитель
\x-xi т Ci\ \а г \
| 0 щ Сз| |% Сз1
согласно предложению 2, должен был бы тождественно равняться нулю. Но
тогда независимые инфинитезимальные преобразования Y2f и У3/ были бы
связаны тождеством вида
вследствие чего они имели бы одинаковые траектории, что исключено
согласно предложению 1.
Итак, мы доказали, что инвариантное семейство поверхностей х =
= const должно преобразовываться трехпараметрически.
Предложение 3. Если относительно некоторой шестипараметриче-
ской транзитивной группы две точки обладают ровно одним инвариантом,
a s > 2 точек не имеют существенных инвариантов, то под действием
этой группы каждое семейство оо1 поверхностей, которое она, возможно,
оставляет инвариантным, преобразуется трехпараметрически.
Сейчас мы найдем все шестипараметрические транзитивные группы
пространства Дз, которые обладают некоторыми из свойств,
сформулированных в предложениях 1 и 3, а точнее, мы отыщем все
шестипараметрические транзитивные группы X\j... X$f пространства Дз> такие что
во-первых, две точки обладают ровно одним инвариантом, во-
вторых, никакие два независимых инфинитезимальных преобразования не
имеют одинаковых траекторий, и в-третьих, каждое инвариантное
семейство оо1 поверхностей, если таковые существуют, преобразуется
трехпараметрически.
Чтобы поставленную на стр. 399 задачу решить полностью, мы
должны будем еще для каждой из получившихся групп установить, обладают
ли s > 2 точек существенными инвариантами, поскольку нам нужны лишь
те группы, относительно которых s > 2 точек не имеют существенных
инвариантов. Следующее предложение существенно упрощает разрешение
этого вопроса.

Предложение 4» Если относительно шестипараметрической
транзитивной группы X\f.. .X<$f пространства R3 две точки х, у, z и
хъ Уь zi обладают ровно одним инвариантом J{x,y,z,X\,y\,Z\), то
s > 2 точек не имеют существенных инвариантов тогда и только тогда,
когда, во-первых, этой группе соответствует по меньшей мере оо2
различных псевдосфер и когда, во-вторых, не существует семейств оо2 кривых,
инвариантных относительно этой группы, кривые которых порождают
все псевдосферы.
В верности этого предложения убедиться совсем несложно.
Действительно, из предложения 1, стр. 405, немедленно следует, что
перечисленные в предложении 4 условия являются необходимыми. Достаточность этих
условий доказывается следующим образом.
Поскольку две точки должны обладать ровно одним инвариантом и
поскольку должно существовать по меньшей мере оо2 различных псевдосфер,
ясно, что две псевдосферы, центры х\, у\, Z\ и Х2, У2, zi которых
являются точками общего взаимного положения, в общем случае имеют одну
общую кривую, так что функции
J(xuyuzi; х3,уз,^з), </(^2,2/2,^2; x3,y3,z3),
которые мы для краткости будем обозначать через J\^ и J2,3> независимы
друг от друга относительно хз, уз? ^з- Отсюда, очевидно, следует, что три
функции J1?2, <Л,з> ^2,3 являются независимыми друг от друга решениями
уравнений
xk]f+xk]f+43)/ = о (fe-i...e).
Но поскольку при сделанных предположениях эти уравнения должны быть
разрешимы относительно шести из девяти производных pv, <?„, г„ (у —
— 1,2,3) и поэтому имеют лишь три независимых общих решения, этим
доказано, что при сделанных предположениях все инварианты трех точек
выражаются через инварианты пар точек, и следовательно три точки не
имеют существенных инвариантов.
С другой стороны, если бы три псевдосферы, центры xv,yv,zv {у —
— 1,2,3) которых являются точками общего взаимного положения, имели
не просто общую точку, а целую общую кривую, то псевдосферы, с
центрами в любых двух из этих трех точек, определяли бы такое семейство
оо2 кривых, что на каждой псевдосфере лежало бы оо1 кривых.
Поскольку это семейство кривых, очевидно, не зависело бы от положения этих

трех точек, то оно, как и семейство всех псевдосфер (ср. стр. 402),
было бы инвариантным относительно группы X\f ...Xq/9 в то время как
в нашем предложении наличие такого инвариантного семейства кривых
категорически исключается. Таким образом, мы доказали, что три
псевдосферы с тремя различными центрами в общем случае обладают лишь
одной общей точкой. Следовательно, если через x\,y^z\ обозначить
некоторую точку общего положения, отличную от этих трех, то три функции
JiA-> ^2,4, «^3,4 обязательно будут независимыми друг от друга
относительно Х4,2/4,^4- Принимая во внимание то, что четыре точки имеют
относительно группы X\f... X$f ровно шесть независимых инвариантов и что
Л,2, Л,з> ^2,з> */i,4, J2,4, ^з,4 как раз являются такими шестью
инвариантами, мы получаем, что при сделанных предположениях четыре точки
также не имеют существенных инвариантов. Но тогда ясно, что s > 4
точек также не имеют существенных инвариантов. Итак, наше предложение
полностью доказано.
Сначала мы опишем все примитивные группы, обладающие
свойствами, перечисленными на стр. 408, а затем уже импримитивные.
§ 86. Искомые группы, являющиеся примитивными.
В пространстве Д3 существует всего два типа шестипараметрических
примитивных групп (см. теор. 9, стр. 139). Представителями этих типов
являются группа евклидовых движений
р, g, r, xq - ур, уг - zq, zp - xr
(22)
р + х[/,
xq - ур,
q + yU,
yr - zq,
r + zU,
zp — xr
и шестипараметрическая проективная группа
zU. I
(23)
поверхности второго порядка х2 4- у2 4- z2 4-1 = 0, где, как обычно, U
обозначает xp + yq + zr.
Как известно, под действием группы (22) две точки имеют ровно один
инвариант, а именно расстояние между ними в обычном смысле:
(Xi - Х2)2 + (j/i - У2)2 + (21 - Z2)2.

То же самое верно и для группы (23), а соответствующий инвариант имеет
вид
{X\-X2)2 + {y\-y-2)2 + {Z\-Z2)i2 + {{X\y2-X2y\j2 + {y\Z2-y2Z\)2 + {Z\X2-Z2X\)i2}
(l+XiX2 + yiy2+ZiZ2)2 '
что есть не что иное, как двойное отношение точек x\,y\,Z\\ Х2,У2,%2 и
двух точек, в которых соединяющая их прямая пересекает инвариантную
поверхность второго порядка. Кроме того, уже давно известно, что для
каждой из этих двух групп инварианты произвольного количества точек
выражаются через инварианты пар точек, то есть s > 2 точек не имеют
существенных инвариантов. Если бы мы не знали об этом, мы могли бы
прийти к этому результату с помощью предложения 4, стр. 409.
Действительно, во-первых, относительно каждой из этих групп две точки имеют
ровно один инвариант, а во-вторых, обе эти группы, будучи
примитивными, не обладают инвариантными семействами оо2 кривых.
Итак, случай примитивных групп полностью рассмотрен. Отметем еще
лишь, что каждая из двух полученных нами групп оставляет инвариантным
уравнение второго порядка вида
andx2 + ot.22dy2 + Oizzdz2 + 2ai2<ix dy + 2ot2?>dy dz + 2a^\dz dx — 0,
определитель которого не равен нулю, и что оо2 направлений,
проходящих через каждую фиксированную точку общего положения,
преобразуются трехпараметрически.
§ 87. Искомые группы, являющиеся импримитивными.
Все группы, подпадающие под этот случай, являются шестипарамет-
рическими и транзитивными. Но если в пространстве Дз действует ше-
стипараметрическая транзитивная группа и при этом зафиксирована
некоторая точка общего положения, то двумерное многообразие проходящих
через эту точку оо2 линейных элементов преобразуется посредством
проективной группы, которая может быть не более, чем трехпараметрической.
С другой стороны, список проективных групп плоскости, приведенный на
стр. 106-107, показывает, что всякая проективная группа плоскости,
имеющая не более трех параметров, либо оставляет на месте некоторую точку,
либо состоит из оо3 проективных преобразований, оставляющих на месте
некоторое невырожденное коническое сечение. Отсюда мы можем
заключить, что для шестипараметрических транзитивных групп пространства Щ

существует лишь две возможности: либо вместе с каждой фиксированной
точкой общего положения на месте остается некоторый проходящий через
нее линейный элемент, либо на месте остается некоторый невырожденный
конус второго порядка, и оо2 линейных элементов, проходящих через
фиксированную точку, преобразуются трехпараметрически.
Второй их этих двух случаев здесь невозможен, поскольку
соответствующая шестипараметрическая группа была бы тогда примитивной (ср.
стр. 123-124). Поэтому каждая группа, обладающая требуемыми здесь
свойствами, оставляет инвариантной некоторую систему уравнений вида
dx dy dz
a(x,y,z) @{x,y,z) -y(x,y,z)
или, что равносильно, некоторое семейство оо2 кривых вида
(р(х, у, z) = const, *0(x, у, z) — const.
Если теперь переменные х, у, z выбрать так, чтобы инвариантное
семейство кривых принимало вид х = const, у = const, то все искомые группы
будут иметь вид
Xkf = Ых> У)Р + Vk(x, y)q + Ob (я, У, z)r
(fc=l...G).
Согласно предложению 4, том I, стр. 307, шесть укороченных
инфинитезимальных преобразований
Xkf = Ых> У)Р + Vk(x, y)q (А;=1...б)
порождают группу от двух переменных, изоморфную группе X\f... X$f.
Этой укороченной группой мы сейчас и займемся.
Если бы эта укороченная группа была менее, чем пятипараметриче-
ской, то группа X\f...Xq/ содержала бы два независимых
инфинитезимальных преобразования вида
u>i(x,y,z)r, u2(x,y,z)r,
то есть два инфинитезимальных преобразования, имеющих одинаковые
траектории, чего, согласно предложению 1, стр. 405, быть не должно.
Следовательно, укороченная группа X\f...X&f должна быть либо шестипа-
раметрической, либо пятипараметрической. Выясним теперь, какие
различные виды может иметь эта укороченная группа.

Если группа X\f... X<$f от двух переменных является примитивной,
то (см. стр. 71) с помощью подходящего выбора переменной х ее всегда
можно привести к одному из следующих двух видов:
Г р, q, xq, xp - yq, ур, xp + yq
У р, q, xq, xp - yq, yp.
Если же группа X\f ...X§f импримитивна, то она, как группа
плоскости х, у, обладает по меньшей мере одним инвариантным семейством
оо1 кривых (р(х,у) = const. Но тогда очевидно, что уравнение ц?(х,у) =
= const определяет в пространстве х, у, z семейство оо1 поверхностей,
инвариантных относительно группы Xif ...X$f. Поскольку, согласно
предложению 3, стр. 408, группа X\f... Xef должна каждое инвариантное
относительно нее семейство оо1 поверхностей преобразовывать трехпарамет-
рически, мы получаем, что укороченная группа X\f...-Х"е/, понимаемая
как группа плоскости, должна каждое инвариантное относительно нее
семейство оо1 кривых преобразовывать трехпараметрически. Таблица,
приведенная на стр. 71, показывает, что этим требованиям удовлетворяют лишь
немногие из пяти- и шестипараметрических импримитивных групп
плоскости, причем те из них, которые являются шестипараметрическими,
посредством подходящего выбора переменных х и у приводятся к одному из
следующих трех видов:
q, Щ, УЧ, Р, хр, х2р + xyq
q, xq, x2q, p, xp + yq, x2p + 2xyq (25)
q, yq, y2q, p, ^p, x2p,
а те, которые являются пятипараметрическими, — к виду
q, xq, р, 2хр + yq, x2p + xyq. (26)
Итак, найдены все возможные виды укороченной группы X\f... Xef,
и нам нужно лишь для каждой из этих укороченных групп отыскать все
соответствующие шестипараметрические группы X\f ... X§f от переменных
х, у, z. При этом, разумеется, мы должны учитывать то, что никакие два
инфинитезимальных преобразования группы X\f.. .X$f не могут иметь
одинаковые траектории. Найдя все различные виды группы Xif.. .X<$f,
удовлетворяющие этому условию, мы должны будем, наконец, для каждой

из найденных групп выяснить, имеют ли две точки ровно один инвариант
и обладают ли s > 2 точек хотя бы одним существенным инвариантом.
Сперва мы предположим, что укороченная группа Xif.. .X§f
является шестипараметрической, а затем — что она является пятипараметриче-
ской.
А) Описание всех групп, укороченные группы которых
являются шестипараметрическими
Если укороченная группа X\f.. .Xq/ является
шестипараметрической, то, как мы знаем, ее можно привести к одному из следующих четырех
видов:
(I) р, q, xq, xp + yq, xp - yq, yp
(II) р, q, xq, xp + yq, xp - yq, x2p + xyq
(III) p, q, xq, xp + yq, x2q, x2p + 2xyq
(IV) p, q, xp, yq, x2p, y2q.
Рассмотрим эти четыре случая по порядку.
Первый случай
Найдем сперва все шестипараметрические группы от x,y,z, которые
удовлетворяют требованиям, перечисленным на стр. 218, и укороченные
группы которых имеют вид (/). Каждая такая группа имеет вид
p + Vir, q + (p2r, xq + ip3r, xp + yq + ipAr,
xp-yq + <pbr, yp + <p<>r,
где под if i... ере понимаются функции от х, у, z. Таким образом, мы
должны найти наиболее общий вид функций ipi... <^<з, при котором инфините-
зимальные преобразования (27) порождают шестипараметрическую
группу, удовлетворяющую требованиям, выписанным на стр. 408. Однако, при
этом для приведения функций tpi... фв к наиболее простому виду мы
можем пользоваться лишь заменами переменной z.

Первым делом, выберем в качестве нового z некоторое зависящее от z
решение дифференциального уравнения
!+^l(.W)!=o.
Инфинитезимальное преобразование р + (р\г примет при этом простой
вид р, а вид остальных преобразований существенно не изменится. Таким
образом, мы можем с самого начала считать, что (р\ = 0.
Коммутирование первых двух инфинитезимальных преобразований
дает теперь
(р, q + у?2г) = -q^t\
но поскольку наша группа не содержит инфинитезимальных
преобразований вида ф(х, у, z)r, множитель перед г должен здесь тождественно
равняться нулю, то есть функция ф2 должна быть независимой от х. Более
того, если в качестве новой переменной ввести z\ — lo(x, у), то р не
изменит своего вида, a q примет вид
, ч {ди ди\
q + <ЫУ, z)r = q + \^j + ip2^ j • ri.
Поэтому если функцию и выбрать так, чтобы она удовлетворяла уравнению
Wy + ^2^2 = 0, то два первых инфинитезимальных преобразования нашей
группы примут вид
р, q-
Чтобы определить, чему равна функция </?з, рассмотрим равенства
(р, xq + ip3r) =q+ -q^-г,
(<?, xq + (p3r) = -rpr,
которые показывают, что (рз зависит только от г. С другой стороны, (р% не
может равняться нулю, поскольку тогда наша группа содержала бы два
инфинитезимальных преобразования с одинаковыми траекториями: q и rrg, в
то время как на стр. 408 этот случай исключается. Следовательно, в
качестве нового z можно выбрать такую функцию от z, что функция рз станет

равной единице, и поскольку это никак не влияет на р и д, то первые три
инфинитезимальных преобразования нашей группы имеют теперь вид
р, q, xq + г.
Коммутируя хр + yq + ip^r с р и д, мы точно так же, как в случае
функции (£з, получаем, что if4 зависит только от z. С другой стороны, мы
имеем
(xq + г, хр + yq + щ(г)г) = (ff4(z)r,
так что (f4(z) = 0 и ipa(z) = с, и мы получаем инфинитезимальное
преобразование
хр + 2/# + ст.
Точно так же, как для (/?з и ^, мы убеждаемся, что (f$ также зависит
только от z. Кроме того, мы имеем
(xq + г, xp-yq + (ps(z)r) = -2xq + <p'b(z)r,
и следовательно, if'b(z) = —2, так что <fs(z) = —2z + const, где
постоянную интегрирования посредством замены переменной z можно сделать
равной нулю, причем так, что вид предшествующих инфинитезимальных
преобразований не изменится.
Определим, наконец, чему равна функция </?6, которая, естественно,
также зависит только от z. Рассмотрим для этого равенства
(xq + г, ур + <pe(z)r) =xp-yq + (f'6(z)r,
(хр -yq- 2zr, yp + ipe(z)r) = -2yp - 2{z(p'6(z) - Ve(z)}r,
из которых следует, что
ip'6(z) = -2z, z<p'b(z) = 2(pe(z) = -2z2.
Итак, мы получаем, что инфинитезимальные преобразования нашей группы
могут принимать следующий простой вид:
Г р, q, xq + г, yq + zr, хр - zr,
< 2 t28)
[ yp- z г.
Заметим мимоходом, что эта группа получается расширением общей
линейной группы плоскости
Р, Я, S9, у?, хр, ур

с помощью производной
dy_ =
dx
(ср. стр. 165).
Остается еще выяснить, удовлетворяет ли группа (28) требованиям,
выписанным на стр. 399, и прежде всего, требованию о том, что две точки
пространства х, у, z должны иметь ровно один инвариант относительно
этой группы.
Наша группа содержит три инфинитезимальных преобразования,
которые имеют нулевой порядок относительно х, у, z и никакая линейная
комбинация которых не дает преобразований первого или более высокого
порядка. Этими тремя преобразованиями являются
р, q, xg + r.
Отсюда следует, что начало координат х = у = z = 0 является точкой
общего положения. Эта точка остается на месте под действием следующих
трех инфинитезимальных преобразований из нашей группы:
ур — z2r, хр — yq — 2zr, xp + yq,
и, согласно предложению 2, стр. 406, все зависит от того, равен
определитель
\У 0 -z2>
х —у —2z
х у 0
= 2y2z — 2xyz2
тождественному нулю или нет. Так как этот определитель не равен нулю
тождественно, две точки пространства Дз вообще не имеют инвариантов
относительно группы (28). Таким образом, группа (28) нам не подходит.
Второй случай
Пусть укороченная группа Xif.. .XGf имеет теперь вид (//) (см.
стр. 413), так что группа X\f ... Xq/ имеет вид
Гр + </?1Г, q + tp2r, xq-\-ip3r, xp-\-yq-\-ip4r,
\ xp-yq + (p5r, x2p + xyq + </?6r,
где ipi...ipe — функции переменных х, у, z.

Вычисления, аналогичные проделанным в первом случае, показывают,
что первые пять из инфинитезимальных преобразований (29) могут
принимать вид
р, g, xq + г, хр + уд, хр — yq — 2zr.
С другой стороны, из равенств
/9 ч 9(fQ
(р, xzp + xyq + iper) = 2хр + yq + -7— г,
/ 2 . ,ч . ^б
№^Р + ^2/2 + фо>г) = xq + -т— г,
Эу
/2 ч 2 Г д<£б <9<£б 1
(хр + yq, х р + худ + <р6г) = х р + xyq + < х— Ь y-^— >
мгновенно следует, что
<Эх ду
^^ 1- 2/^— = <£б = У ~ xz.
ох ду
Таким образом, мы получаем следующие шесть инфинитезимальных
преобразований:
г
р, g, xq + г, хр + yg, xp-yq- 2zr,
х2р + худ + (у — xz)r.
(30)
Они порождают, очевидно, шестипараметрическую группу, которая
получается из шестипараметрической проективной группы
р, д, хд, хр + уд, хр - уд, х2р + худ
плоскости х, у точно так же, как группа (28) получается из общей
линейной группы плоскости.
Однако группа (29) нам тоже не подходит. Дело в том, что точка х =
= у = z = 0, которая снова является точкой общего положения,
инвариантна относительно трех инфинитезимальных преобразований
хр 4- уд, хр — уд — 2zr, х2р + худ + (у — xz)r

группы (30), а соответствующий определитель
х у (J
х —у —2z
х2 ху у — xz
= -2ху(у - xz)
не равен нулю тождественно, и следовательно, две точки пространства R^
не имеют относительно группы (30) ни одного инварианта.
Третий случай
В этом случае укороченная группа X\f.. .X§f имеет вид (//),
стр. 413, а группа X\f ... X^f, следовательно, имеет вид
p + tpir, q + V2r, xq + ip^r, xp + yq + yAr,
x2q + (f5r, x2p + 2xyq + <p6r,
(31)
где if i... tpQ — функции от x, у, z.
Точно так же, как в первом случае, мы убеждаемся, что первые четыре
из инфинитезимальных преобразований (31) приводятся к виду
р, q, xq + г, хр + yq + сг.
Чтобы определить, чему равна функция с^5, рассмотрим равенства
(р, х2д + </?5г) = 2хд +
(?, x2g + v?5r) =
(xg + г, х g + <p5r) = х— h
д(рь
г
<Эх
г
{хр + yq + сг, х q + (ръг) =хд+ х — h 2/-^ Ь с
(9г/ <9z
дх
ду
dz J '
из которых следует, что

Аналогично из равенств
(р, х2р + 2xyq + iper) = 2хр + 2z/g +
(<?, х2р + 2хг/д + <р6г) = 2хд + -д-^г,
ду
дх
д^ д(р6
(xq + r, х р + 2х?/9 + <рбг) = х g + х- h -
V ду dz
(хр + yq + cr, х2р + 2худ + </?бг) = х2р + 2xyq+
мы находим, чему равна функция ip§, а именно, мы получаем
ах ау аг
<9<^б <9(£б (9v?6 0/ , v
Таким образом, наша группа (31) может принимать вид
г,
р, g, xq + r, xp + yq + cr,
x2q + 2хг, х2р + 2xyq + 2(у + сх)г
(32)
Точка х = у = z = 0 здесь также является точкой общего положения.
Она остается на месте под действием следующих трех инфинитезимальных
преобразований:
Г хр + (у - cx)q, x2q + 2xr,
1 х2р + 2xyq + 2 (у + ex) r,
а соответствующий определитель
х у — сх
О х2
О
2х
х2 2ху 2(у + сх)
= 2х3(у + сх) - 4х3у + 2х3(у - сх) (34)
тождественно равен нулю, в то время как не все его миноры второго
порядка равны нулю. Следовательно (см. предл. 2, стр. 406), две точки xi, y\, z\

и Х2,У2,%2 пространства 7?з имеют относительно группы (32) ровно один
инвариант. Несложные вычисления дают следующее выражения для этого
инварианта:
z\ + z2 — d(x2 — ^i)2 — 2 . (35)
X2 — X\
Все это верно для любого значения константы с. Очевидно, что заменой
переменных х, у, z от этой константы избавиться нельзя. Следовательно,
она является существенным параметром, так что группа (32) представляет
оо1 различных типов групп.
Нам нужно еще выяснить, действительно ли группа (32)
принадлежит к искомым нами группам, то есть, выражаются ли инварианты
произвольного количества точек через инварианты пар точек. Поскольку мы уже
знаем, что две точки имеют ровно один инвариант, и поскольку, с другой
стороны, семейство псевдосфер (ср. стр. 402)
z + z0 - cl(x - х0)2 - 2У~У0 = const (36)
X — Хо
состоит не просто из оо1, а из оо3 различных поверхностей, то
согласно предложению 4, стр. 409, нам нужно лишь установить, существует ли
семейство оо2 кривых, которое является инвариантным относительно
группы (32) и кривые которого порождают все псевдосферы.
Так как точка х = у = z = 0 является точкой общего положения, ясно,
что если ее зафиксировать, то проходящие через нее кривые любого
инвариантного семейства оо2 кривых должны будут оставаться на месте. Точка
х = у = z = 0 допускает три инфинитезимальных преобразования (33),
которые, естественно, порождают трехпараметрическую подгруппу
группы (32). Но если мы в соответствующем этой подгруппе определителе (34)
приравняем нулю все миноры второго порядка, то мы получим, что х =
— у = 0 является единственной проходящей через точку х — у — z =
— 0 кривой, остающейся на месте одновременно с этой точкой. Поскольку
кривая х = у = 0 под действием группы (32) принимает оо2 положений
х — const, у — const, отсюда следует, что х — const, у — const является
единственным семейством оо2 кривых, инвариантным относительно
группы (32). Наконец, поскольку псевдосферы (36), очевидно, не порождаются
кривыми из семейства х = const, у — const, мы заключаем, что более чем
две точки не имеют существенных инвариантов относительно группы (32).
Отметим также, что х — 0 является единственной проходящей через
точку х — у — z = 0 поверхностью, инвариантной относительно груп-

пы (33), и что, следовательно, никакое другое семейство оо1 поверхностей
кроме семейства х = const не допускает группу (32).
Четвертый случай
Найдем теперь все шестипараметрические группы пространства х, у, z,
которые удовлетворяют требованиям со стр. 408 и укороченные группы
которых имеют вид
р, хр, х2р, q, yq, y2q. (IV)
Инфинитезимальные преобразования этих групп имеют вид
{ 2 ^ 2 ^ (37)
[ х р + фБг, у q + фбГ,
где ifi... (/?б — функции переменных х, у, z.
Как и в первом случае, мы убеждаемся, что функции ipi и </?2
можно без ограничения общности положить равными нулю. Коммутирование
третьего преобразования с р и q показывает, что срз не зависит от х и у,
и поскольку функция <рз, очевидно, не может быть нулевой, мы можем с
помощью замены переменной z сделать ее равной 1. Итак, мы имеем три
инфинитезимальных преобразования
р, <?, хр + г.
Коммутируя yq + ф^г с только что перечисленными
преобразованиями, мы получаем, что </?4 не зависит от х, у, г и, следовательно, является
постоянной. Поэтому мы можем положить щ = с, где константа с, однако,
не может равняться нулю.
Чтобы найти вид функции </?5, рассмотрим соотношения
2 ^5
(р, х р + <р5г) = 2хр + —г,
/2,ч ^5
(<?, х р + <р5г) = —г,
(yq + cr, х р + <р5г) = I у-g— + с——
(хр + г, агр + </?5г) = агр + I х— h —— ) г.

Первые три из них показывают, что
дх
= 2,
д(р5 дфь
ду
дг
= 0.
С учетом этого последнее уравнение дает (р§ — 2х.
Аналогичные вычисления показывают, что ip<$ = 2су, и мы приходим
к следующей группе:
р, q, хр + г, yq + сг, х2р + 2xr, y2q + 2суг
(с^О)
(38)
Очевидно, что параметр с здесь является существенным.
Наличие трех инфинитезимальных преобразований р, q, хр + г
показывает, что начало координат является точкой общего положения. Эта
точка остается на месте под действием следующих трех инфинитезимальных
преобразований группы (38):
yq
схр, х2р + 2xr, y2q + 2суг (с^о).
Поскольку соответствующий определитель
-сх
х2
0
У
0
У2
0
2х
2су
2сх2у2 - 2сх2у2
(39)
(40)
тождественно равен нулю, в то время как все его миноры второго порядка
не равны нулю, мы можем заключить, что две произвольные точки
пространства х, у, z имеют относительно группы (38) ровно один инвариант.
Действительно, с помощью простых вычислений можно убедиться, что
выражение
*\ + *2 ~ 1{х2 ~ xi)2 ~ с • /(j/2 - У\)2 (41)
является единственным инвариантом точек x\,y\,z\ и £2,2/2, ^2-
Семейство псевдосфер в случае нашей группы (38) имеет вид
z + zq — 1(х — хо)2 — с • 1(у — уо)2 = const
(42)
и, следовательно, состоит из более чем оо1 поверхностей. С другой
стороны, приравнивая к нулю миноры второго порядка определителя (40), мы,

как и в предыдущем случае, получаем, что х — у — 0 является
единственной проходящей через точку х — у — z — 0 кривой, которая остается на
месте одновременно с этой точкой, и что, следовательно, х = const, у =
— const является единственным инвариантным относительно группы (38)
семейством оо2 кривых. Поскольку псевдосферы (42), очевидно, не
порождаются кривыми этого семейства, то на основании предложения 4, стр. 409,
мы заключаем, что более чем две точки не имеют существенных
инвариантов относительно группы (38).
Отметим еще, что семейства х = const и у = const являются
единственными семействами оо1 поверхностей, инвариантными относительно
группы (38).
В) Описание всех групп, укороченные группы которых
являются пятипараметрическими
В этом случае, согласно сказанному на стр. 412^413, укороченная
группа X\f... XqJ приводится к одному из следующих двух видов:
(V) р, q, xq, xp - yq, yp
(VI) р, q, xq, 2xp-\-yq, x2p + xyq.
Таким образом, мы должны рассмотреть еще и эти два случая.
Пятый случай
Если укороченная группа имеет вид (V), то группа X\f... Xrf имеет
вид
<рг, р + (fir, q + (p2r, xp-yq-\- (p3r,
xq + (f4r, УР + Р5Г,
где ip,(fi... фь — функции переменных x, у, z.
Этот случай мы уже рассматривали на стр. 157-158, где было
показано, что группу (43) с помощью подходящего выбора переменной z можно
привести либо к виду
либо к виду
г, р, q, xq, xp - yq, yp,
r, p, q + xr, xp - yq,
yp + \y2r, хч + |^2r-
(44)

Первая их этих групп нам не подходит, так как инфинитезимальные
преобразования q и xq имеют одинаковые траектории. Группа (44) известна нам
из тома II (см. теор. 66, стр. 421), и мы знаем (см. том II, стр. 445-446), что
если в качестве новых переменных х, у, z выбрать х, \у, z — \ху, то эта
группа перейдет в проективную группу
p-yr, q + xr, г, xq, xp - yq, yp . (45)
Положим этот проективный вид рассматриваемой группы в основу нашего
исследования.
Наличие инфинитезимальных преобразований р — yr, q + xr, r
показывает, что точка х = у = z = 0 является точкой общего положения.
Поскольку эта точка остается на месте под действием трех
инфинитезимальных преобразований
xq, xp - yq, yp (46)
из группы (45) и поскольку соответствующий определитель
|0 х 0|
\х —у О
\У О О
(47)
тождественно равен нулю, в то время как не все его определители
второго порядка равны нулю, то, согласно предложению 2, стр. 406, две точки
яьУ1?21 и x2,y2,z2 имеют относительно группы (45) ровно один
инвариант. Легко убедиться, что этот инвариант имеет вид
z2 - zi +хгу2 -x2yi. (48)
Соответствующее группе (45) семейство псевдосфер
z — zo + xoy — уох = const (49)
содержит оо3 различных поверхностей и состоит из всех плоскостей
пространства х, у, z. Кроме того, поскольку, согласно теореме 73, том II,
стр. 445, группа (44) обладает единственным инвариантным семейством
оо2 кривых, а именно х = const, у = const, то же самое, очевидно,
верно и для группы (45). Далее, так как оо3 псевдосфер (49) не порождаются
кривыми из семейства х = const, у = const, из предложения 4, стр. 409,
немедленно следует, что относительно группы (44) [???] никакой набор из
более чем двух точек не имеет существенных инвариантов.
Следует также отметить, что группа (45) вообще не имеет
инвариантных семейств оо1 поверхностей (см. том II, стр. 445-446).

Шестой случай
Если укороченная группа X\f.. .XqJ имеет вид (V/), стр. 422, то
группа X\f ... Xrf обязана иметь вид
( (рг, р + (рхг, q + (p2r, 2xp + yq + (p3r,
Л 2 (50)
[ xq + щг, х'р + xyq + (psr,
где <р, <pi... <р5 — функции от х, у, г.
Точно так же, как на стр. 157-158, мы можем добиться того, чтобы
у? = 1,у?1=0иу?2 = Сх\ при этом функции y?3i ^4 и ^5 не зависят от z.
Чтобы определить, чему равна функция (рз(х,у), рассмотрим
равенства
dips
(р, 2хр + yq + <р3г) = 2р + —г,
(q + Cxr, 2xp + yq + (рзг) = q+ l -^ - 2Сх ) г,
которые показывают, что
ах ду
и следовательно, С = 0 и </?з = £>х + Еу + #, где константу Н можно
сразу же отбросить, аДий при замене z на z — \Dx — Еу обращаются в
нуль. Таким образом, первые четыре их преобразований (50) имеют теперь
следующий простой вид:
р, д, г, 2хр + yq.
Коммутируя xq + ip^(x^y)r с р и q, мы получаем, что функция </?4
имеет вид </?4 = Lx + My, где ненужная постоянная интегрирования уже
отброшена. Далее, мы получаем
(2хр + yq, xq + (Lx + My)r) = xq + (2Lx + Mj/)r,
так что константа L должна равняться нулю, а константа М, разумеется,
нулевой быть не может, поскольку тогда преобразования q и хд имели бы
одинаковые траектории. Вводя в качестве нового z выражение jjz, можно
добиться того, чтобы константа М равнялась 1.

Рассмотрим, наконец, соотношения
(р, х2р + xyq + фЪг) = 2хр + уд +
<Э</?5
(g, х2р + xyq + <p5r) =
{xq + уг, х р -\- xyq + (/?5^) = I х
дх
, дср5
ду
ду
■ ху г,
(2хр + уд, х2р + худ + Уьг) = 2(х2р + худ) +
+ (2ж^+у^1г.
Из них следует, что
2х
дц>ь
дх
дрь дуъ
= с,
Эх
Эу
2сх + у2 = 2(^5 + if,
ду
дх ду
где константу К можно положить равной нулю. Итак, мы пришли к группе
(р, g, г, 2xp + yg, xq + yr,
Ъ
х2р + xyq + {\у2 + сх)г.
(51)
Наличие преобразований р, д, г показывает, что точка х = у = z — О
снова является точкой общего положения. Инфинитезимальные
преобразования группы (51), оставляющие эту точку на месте, имеют вид
2хр + yg, xq + уг, х2р + xyq + (^у2 + сх)г,
а соответствующий определитель
2х
0
X2
У
X
ху
0
У
\у2 + сх
равен
х2у2 + 2сх3 - 2х2у2 + х2у2 = 2сх3.

Тождественному нулю он равен лишь тогда, когда константа с имеет
значение 0, однако его миноры второго порядка не равны нулю и при с = 0.
Следовательно, группа
р, q, г, 2xp + yq, xq + yr,
x2p + xyq + \у2т
(52)
является единственной из всех групп (51), относительно которой две точки
имеют ровно один инвариант. Несложные вычисления показывают, что этот
инвариант имеет вид
(У2-У1)2 , .
22-21-— —. (Ъ6)
2{х2 -xi)
Очевидно, что семейство псевдосфер
z-zo- iy~V0\ = const, (54)
2{Х - Xq)
соответствующее нашей группе (52), состоит из оо3 различных
поверхностей. Далее, легко убедиться, что инфинитезимальные преобразования
группы (52), оставляющие на месте точку общего положения х — у — z —
= 0, оставляют на месте лишь одну проходящую через эту точку кривую, а
именно, прямую х — у — 0. Следовательно, х — const, у — const является
единственным семейством оо2 кривых, инвариантным относительно
группы (52), и, как следует из предложения 4, стр. 409, более чем две точки не
имеют относительно группы (52) ни одного существенного инварианта.
В заключение, заметим, что группа (52) оставляет инвариантным одно-
единственное семейство оо1 поверхностей, а именно, семейство х — const.
Итак, найдены такэ/се и все импримитивные группы
пространства Rz, удовлетворяющие требованиям, перечисленным на стр. 399.
§88
Поставленная в начале этой главы задача имеет, согласно результатам
двух предыдущих параграфов, следующее решение:

Теорема 36. Если конечная непрерывная группа пространства х, у, z
такова, что две точки этого пространства имеют относительно этой
группы ровно один инвариант, а все инварианты более чем двух точек
выражаются через инварианты пар точек, то эта группа является
транзитивной и шестипараметрической, причем относительно некоторого
точечного преобразования пространства х, у, z она подобна либо группе
евклидовых движений, либо шестипараметрической проективной группе
невырожденной поверхности второго порядка, либо одной из следующих
четырех групп:
р, q, xp + r, yq + cr, x2p + 2xr, y2q + 2cyr
(с^О)
[1]
р, q, xq + г, х q + 2xr, xp + yq + cr,
x2p + 2xyq + 2(y + cx)r
p-yr, q + xt, r, xq, xp - yq, yp
p, q, r, xq + yr, 2xp + yq,
x2p + xyq + \y2r
И
[3]
[4]
Параметр с, встречающийся здесь дважды, является существенным, и
избавиться от него нельзя.
Как было показано в предыдущих параграфах, каждая из четырех
групп [1] ... [4] оставляет инвариантным семейство оо2 кривых, а
именно, семейство х = const, у = const. Добавим еще, что все эти четыре
группы являются систатическими.
Действительно, инфинитезимальные преобразования указанных
четырех групп все без исключения перестановочны с инфинитезимальным
преобразованием г, и следовательно, согласно предложению 2, том I, стр. 510,
эти группы являются систатическими. В этом, правда, можно убедиться
и непосредственно, поскольку для каждой из групп [1] ... [4] все
инфинитезимальные преобразования, оставляющие на месте некоторую точку
общего положения жо,Уо^о» оставляют на месте и каждую точку прямой
х = хо, у — 2/о.

Отметим, под конец, что под действием групп [1], [2], [3] все оо2
линейных элементов, проходящих через произвольную фиксированную
точку общего положения, преобразуются трехпараметрически; в случае же
группы [4] они преобразуются лишь двупараметрически. Дело в том, что
группа [4] в окрестности каждой точки х^усь^о общего положения
содержит инфинитезимальное преобразование второго порядка относительно
х-хо, у-уо, г- z0.
Можно было бы задаться вопросом о том, приводимы ли группы
[1], [2], [4], которые имеют непроективный вид, с помощью подходящей
замены переменных х, у, z к проективным группам. В случае группы [4]
ответ на этот вопрос будет отрицательным, поскольку если бы ее можно
было привести к проективному виду, то инфинитезимальное
преобразование второго порядка, которое она содержит в окрестности точки общего
положения х = у = z = 0, должно было бы иметь вид
(Хх + цу + i/z)(xp + yq + zr) -\ ,
где опущенные члены имели бы порядок три или выше относительно
я, у, z. Поскольку это необходимое условие не выполняется, группа [4]
не может быть подобна проективной группе.
§ 89, Случай вещественных групп
До сих пор мы понимали переменные ж, у, z как комплексные
величины. Теперь же мы ограничимся областью вещественных чисел и
решим поставленную в начале этой главы задачу, предполагая, что группы
являются вещественными и что допустимы только вещественные точечные
преобразования.
Итак, мы ищем все вещественные конечные непрерывные группы
пространства 11%, относительно которых две вещественные точки
имеют ровно один инвариант, а три (или более) вещественные точки не
обладают существенными инвариантами. При этом, разумеется, мы
ограничиваемся рассмотрением тех вещественных групп, конечные уравнения
которых допускают некоторое количество дифференцирований по переменным
и параметрам.
С самого начала ясно, что все искомые группы транзитивны (ср.
стр. 400). Следовательно, согласно сказанному на стр. 366, мы в каждом

отдельном случае с помощью вещественного точечного преобразования
можем ввести такие новые переменные х, у, z, что соответствующая группа
будет задаваться вещественными уравнениями, а функции переменных и
параметров, входящие в эти уравнения, будут аналитическими в смысле
Вейерштрасса. Поэтому нам нужно рассмотреть лишь такие т-параметри-
ческие группы
Xkf = Ы^> У, Ф + Vk{x, У, z)q + Оь(х, у, z)r
(fc=l,2...m),
в которых функции £*., rjfc, C/c в окрестности произвольной вещественной
точки xo,yo,ZQ общего положения являются обыкновенными степенными
рядами, коэффициенты которых, разумеется, являются вещественными.
Пусть Xif... Xmf — некоторая такая m-параметрическая
вещественная группа, удовлетворяющая нашим требованиям относительно
инвариантов двух или нескольких точек, которую мы для краткости будем называть
группой Gm. Тогда выражение
ei-^i/H- ... +emXmf,
если в нем х, у, z понимать как комплексные переменные, а е\... ет — как
комплексные параметры, задает общее инфинитезимальное преобразование
некоторой m-параметрической группы Gfm комплексных преобразований
(ср. стр. 362). Несложно увидеть, что эта группа Сш также удовлетворяет
нашим требованиям относительно инвариантов двух или нескольких точек:
под действием группы Gfm две точки имеют ровно один инвариант, а более
чем две точки существенных инвариантов не имеют. Действительно, как в
случае группы Gm, так и в случае группы Gfm инварианты s точек являются
решениями полной системы
4^/ + 42V + • • • + Xk]f = 0 (fc=l-m),
а количество независимых друг от друга решений этой системы не зависит
от того, понимаются переменные х, у, z как вещественные или как
комплексные величины. Таким образом, если в случае вещественных х, у, z
две точки обладают ровно одним инвариантом, а все инварианты более чем
двух точек выражаются через инварианты пар точек, то это же будет верно
и для случая комплексных х, у, г, и обратно. Более того, всегда можно
добиться того, чтобы все инварианты s точек стали вещественными
функциями от 3s переменных x\,y\,z\,... ,xs,ys,zs.

Это доказывает следующее утверждение: если т-параметрическая
вещественная группа X\f.. .Xmf удовлетворяет нашим требованиям
относительно инвариантов нескольких точек, то она, если переменные
х, у, z в ней понимать как комплексные величины, доставляет
группу, обладающую всеми свойствами, выведенными в § 85; но тогда группа
X\f... Xmf обязана быть шестипараметрической и подобной
относительно некоторого вещественного или комплексного точечного
преобразования пространства х, у, z одной из групп, перечисленных в теореме 36,
стр. 425.
Перечисленные в теореме 36 группы распадаются на два класса.
Каждая группа из первого класса оставляет инвариантным уравнение второй
степени вида
andx2 -\-a22dy2 +azzdz2 + 2a\2dxdy + 2a2$dydz -\-2az\dzdx = 0, (55)
где а являются функциями от х, у, z и где соответствующий определитель
не равен нулю тождественно; кроме того, эти группы таковы, что оо2
линейных элементов, проходящих через произвольную фиксированную точку
общего положения, преобразуются трехпараметрически. Группы из
второго класса оставляют инвариантным семейство оо2 прямых х = const, у =
= const, но никакое другое семейство оо2 кривых. Согласно сказанному на
стр. 426, к этому классу принадлежат группы [1]... [4].
Чтобы шестипараметрическая вещественная группа пространства Дз
была подобна группе, принадлежащей первому из наших двух классов,
она, очевидно, должна оставлять инвариантным некоторое уравнение
вида (55), определитель которого не равен нулю тождественно и в котором
функции а являются вещественными функциями от х, у, z\ кроме того,
оо2 вещественных линейных элементов, проходящих через произвольную
фиксированную вещественную точку общего положения, должны
преобразовываться трехпараметрически. Но по теореме 35, стр. 391, всякая
шестипараметрическая вещественная группа такого рода подобна относительно
некоторого вещественного точечного преобразования либо группе
евклидовых движений, либо шестипараметрической вещественной проективной
группе, оставляющей инвариантным вещественное невырожденное
бесконечно удаленное коническое сечение, а также объемы [???], либо
шестипараметрической проективной группе невырожденной поверхности
второго порядка, задаваемой вещественным уравнением от х, у, z. В
последнем случае следует различать три подслучая: соответствующая поверхность

второго порядка может быть либо мнимой, либо вещественной и
нелинейчатой, либо вещественной и линейчатой.
Найдем все вещественные шестипараметрические группы, подобные
одной из групп [1]... [4], стр. 426.
Поскольку каждая из групп [1]... [4] оставляет инвариантным только
семейство х — const, у — const и не имеет никаких других
инвариантных семейств оо2 кривых, то каждая вещественная шестипараметрическая
группа Xif... X6f, подобная одной из них, должна оставлять
инвариантным одно-единственное семейство оо2 кривых. Более того, это семейство
обязано быть вещественным, поскольку если бы оно было комплексным, то
группа Xif.. .X6f, которая является вещественной, оставляла бы на
месте и комплексно сопряженное семейство кривых, то есть существовало бы
два различных инвариантных семейства, что исключено. С помощью
вещественного точечного преобразования наше инвариантное семейство оо2
кривых можно перевести в семейство х = const, у = const, и поэтому с
самого начала можно считать, что вещественная группа X\f... X<$f имеет
вид
Xkf = Ых, у)р + Vk(x,y)q + tk{x,y,z)r
(/c=l,2...6),
где функции £/,, щ, £/. являются, разумеется, вещественными функциями
своих аргументов.
Как и ранее (см. стр. 412), шесть укороченных инфинитезимальных
преобразований
Xkf = Ых> у)р + %(*> у)я. (*=i,2...6)
также порождают группу от двух переменных х, у, которая, очевидно,
является вещественной. Согласно сказанному на стр. 412, само собой
разумеется, что эта укороченная группа должна быть по меньшей мере пятипара-
метрической и что она, если ее рассматривать как группу плоскости,
должна каждое инвариантное относительно нее вещественное или комплексное
семейство оо1 кривых преобразовывать трехпараметрически.
Если укороченная группа Xif.. .Xq/ вообще не имеет
инвариантных семейств оо1 кривых плоскости, то согласно сказанному на стр. 370-
371, она подобна относительно вещественного точечного преобразования

плоскости группе (/), стр. 413, или группе (//), стр. 422. Если, с
другой стороны, она оставляет инвариантным одно семейство оо1 кривых, то
это семейство обязано быть вещественным, а сама группа, как следует из
рассуждений, приведенных на стр. 378-379, приводится посредством
вещественного точечного преобразования к одному из следующих трех видов:
(//), (///), стр. 413, и {VI), стр. 422. Если, наконец, группа X\f.. .Xef
обладает двумя различными инвариантными семействами оо1 кривых, то
возможны два случая: либо оба эти семейства являются вещественными,
либо они комплексно сопряжены друг другу. В первом из этих случаев
нашу укороченную группу можно привести к виду (IV), стр. 413, а во втором
— к виду
р, q, xp + yq, yp-xq,
(х2 - у2)р + 2xyq, 2хур + (у2 - x2)q
(ср. стр. 380), причем в обоих случаях это можно сделать с помощью
вещественных точечных преобразований.
Если укороченная группа X\f ... X$f имеет один из видов (/)... (VI),
то все возможные виды группы X\f... X§f можно получить с помощью
вычислений, проделанных на стр. 414-425, поскольку, как легко убедиться,
там мы использовали лишь такие преобразования, под действием которых
вещественная группа Xif... X6f остается вещественной. Отсюда следует,
что виды (I) и (II) укороченной группы также не приводят к
вещественным группам, обладающим требуемыми свойствами, и что каждая
вещественная группа Xif.. .X§f, которая удовлетворяет нашим требованиям
и укороченная группа которой имеет один из видов (///)... (VI),
подобна относительно вещественного точечного преобразования одной из групп
[2], [1], [3], [4]. Параметр с, встречающийся в группах [1] и [2], должен,
разумеется, иметь вещественное значение.
Пусть, наконец, укороченная группа Xif... Xef имеет вид (V//).
Тогда группа Xif... X§f должна быть подобна относительно комплексного
преобразования группе вида [1], поскольку группу (IV), стр. 413, можно
получить из группы (VII) заменив переменные хиунах + {уих —
— гу соответственно (см. стр. 336). Однако мы не будем пользоваться этим
обстоятельством и предпочтем более прямой способ описания всех шести-
параметрических вещественных групп, которые удовлетворяют нашим
требованиям и укороченные группы которых имеют вид (VII).

Итак, найдем все шестипараметрические вещественные группы вида
J P + <Pi^ g + ^2^, хр + yq-\-(p3r, yp-xq + (p4r,
\ (x2 -y2)p + 2xyq + <p5r, 2xyp + (y2 - x2)q + <p6r,
относительно которых две точки имеют ровно один инвариант, а более чем
две точки существенных инвариантов не имеют; (р\. ..(рв являются здесь,
разумеется, вещественными функциями от х, г/, г.
Точно так же, как на стр. 414^415, мы убеждаемся, что первые три
из инфинитезимальных преобразований (56) посредством вещественного
точечного преобразования приводятся к виду
Р, Я, xp + yq + ar,
где а — вещественная константа.
Коммутируя ур — xq-\- ф±г с р и q, мы получаем, что у?4 не зависит от
х ту. Далее, мы имеем
(хр + yq + ar, yp- xq + yi{z)r) = aip'A(z)r.
Таким образом, если а ф 0, то </?4 не зависит от г; если же а = 0 и у?4 ^ О,
то введением в качестве нового г выражения
/
dz
<pA(z)
мы добьемся того, что функция у\ станет равной 1. Объединим эти два
случая, записав первые четыре из преобразований (56) в виде
р, g, xp + yq-\- ar, yp — xq-\- br,
где b также является вещественной константой.

Рассмотрим теперь равенства
(р, (х2 - у2)р + 2xyq + <р5г) = 2(хр + yq) + —-^г,
(д, (х2 - у2)р + 2ху<? + <р5г) = -2(ур - хд) + -^г,
(хр + от + аг, (х2 - у2)р + 2худ + фЪг) = (х2 - у2)р + 2xyq-\-
+ |х^
, ^5 , 9у?5 v
ду
9z
(ур - xq + br, (x2 - y2)p + 2xyg + <p5r) = 2xyp + (y2 - x2)g+
(yp -xq + br, 2xyp + (y2 - x2)<? + (per) = -(x2 - y2)g - 2xyg+
Г a^6 дсрв ид(ръ\
и получим
9<Рь
дх
= 2а,
9<Р5
^у
= -26,
х^^ + у^— + а—— = <^5,
<Эх
<Эу
dz
д(рь dip 5 cfy>5
а<рб ^6 , u9ip6
Отсюда, прежде всего, следует, что
(£5 = 2(ах — by) 4- u>(z), auj'(z) = ou(z) = a2u"(z),
(57)
a значит,
(fe = 2(bx + ay) + 60/(2).
Если это значение функции ip$ подставить в последнее из
соотношений (57), то мы получим уравнения
2, ,///
bW{z) = -u(z) = -azu>"{z)

которые могут иметь место лишь тогда, когда функция u)(z) является
нулевой.
Таким образом, мы приходим к следующей группе:
р, q, xp + yq + ar, ур — xq + br,
(x2 — y2)p + 2xyq -h 2(ax — by)r,
2xyp + (y2 — x2)q + 2(bx + ay)r
(58)
Здесь, разумеется, а и b не могут равняться нулю одновременно, поскольку
в противном случае эта группа была бы интранзитивна. Если b = О, то
заменой переменной z мы можем всегда добиться того, чтобы а = 1; если
же константа b не равна нулю, то ее всегда можно сделать равной 1.
Несложно подсчитать, что относительно группы (58) две точки
^ь 2/ь zi и х2,У2,г2 обладают одним-единственным инвариантом, который
имеет вид
zi +z2 -a-l{(x2 -xi)2 + {У2 -yi)2} + 2barctg
2/2-2/1
X2 — X\
Рассуждения, аналогичные приведенным ранее (ср., например, стр. 419),
показывают, что если а и b не равны нулю одновременно, то три или
более точек не имеют существенных инвариантов. Однако мы докажем это
по-другому, указав комплексное точечное преобразование, посредством
которого группа (58) переходит в группу [1], стр. 426, а группа [1], как мы
знаем, удовлетворяет всем нашим требованиям.
Если в группе (58) ввести новые переменные
xi=x + iy, yi=x- iy, z\ = z,
то получится группа
Pi + <7ь i(pi - ?i), xipi + yigi + aru i(y\qi - xipi) + bru
Av\ + 2/itfi + {(a + ib)xx + (a - ib)yi}ru
i(y\qi - x\pi) + i{(a - ib)yi - (a + ib)xi}ri.
Поскольку a + ib ф О, мы можем в качестве нового z\ взять выражение
-^т^, в результате чего мы получим группу, имеющую в точности вид [1].

Таким образом, группа (58) подобна группе [1] относительно комплексного
преобразования
2*1
xi=x + iy, yi=x- гу, zi =
а + гб'
причем параметрам а и Ь группы (58) соответствует следующее значение
параметра с группы [1]:
а ~ ib /,м
с= -. (59)
а + ib v }
Итак, мы доказали, что вещественная группа (58) удовлетворяет всем
нашим требованиям, и следовательно, найдены вообще все вещественные
группы такого рода в пространстве Дз-
Теорема 37. Если вещественная конечная непрерывная группа
пространства х, у, z такова, что две точки имеют относительно нее ровно
один инвариант, а все инварианты более чем двух точек выражаются
через инварианты пар точек, то эта группа является шестипараметри-
ческой и подобна относительно вещественного точечного преобразования

пространства одной из следующих групп:
1
р, q, г, xq - yp, уг - zq, zp - xr
р, q, г, xq — ур, yr + zq, zp + xr
p + xU, q + yU, r + zU, xq — yp, yr — zq, zp — xr
p — xU, q — yU, r — zU, xq — yp, yr — zq, zp — xr
p — xU, q — yU, r + zU, xq — yp, yr + zq, zp + xr
p, q, xp + yq + cr, yp - xq + r,
(x2 — y2)p + 2xyq + 2(cx — y)r, 2xyp + (y2 — x2)q + 2(x + cy)r
p, q, xp + yq + r, yp-xq,
(x2 — y2)p + 2xyq + 2xr, 2xyp + (y2 — x2)q + 2yr
p, q, xp + r, yq-\- cr, x2p + 2xr, y2q + 2cyr
(c#0)
p, q, xq-\-r, x q + 2xr, xp + yq + cr,
x2p + 2xyq + 2(y + cx)r
10 \p — yr, q + xr, r, xq, xp — yq, yp
11
p, q, r, xq + yr, 2xp + yq,
x2p-\-xyq + \y2r
Встречающийся здесь параметр с каждый раз является существенным, и
избавиться от него нельзя.
Сделаем несколько замечаний по поводу этой таблицы.
Через U здесь обозначено преобразование хр-\- yq-\- zr.
Группа 2 оставляет на месте коническое сечение, по которому
вещественный конус х2 + у2 — z2 = 0 пересекает бесконечно удаленную
плоскость. Она получается из группы 1 евклидовых движений при замене
переменной z на iz.

Группа 4 оставляет на месте вещественную невырожденную
поверхность второго порядка х2 + у2 + z2 = 1, а группа 5 оставляет на месте
вещественную линейчатую поверхность х2 + у2 — z2 = 1. Эти группы можно
получить из группы 3 поверхности х2 + у2 + z2 +1 = 0, если в качестве
новых переменных ввести ix,iy,iz или ix,iy,z. Соответствующие выражения
для инвариантов двух точек легко получаются из формулы, приведенной на
стр. 411.
Вместо группы (58) в нашей таблице стоят группы 6 и 7, так как,
согласно сказанному на стр. 432, один из параметров а и b всегда
можно сделать равным 1. Однако следует отметить, что параметр с в группе 6
нужно ограничить так, чтобы он принимал неотрицательные значения,
поскольку параметрам -\-с и —с соответствуют сопряженные группы, в чем
легко убедиться, поменяв местами х и у и заменив г на —г.
Группы 8 ... 11 суть не что иное, как группы [1]... [4] со стр. 426.
Отметим, что в группе 8 параметр с должен принимать лишь такие значения,
для которых с2 й 1, поскольку группа 8 под действием преобразования
z
Xl =У, J/i = X, Zi = -
с
переходит в группу того же вида, параметр которой имеет значение ^.
§90
Сейчас мы коротко остановимся на том, как задачу, только что
решенную для трехмерного пространства, можно решить в случае плоскости.
Если относительно некоторой непрерывной группы плоскости две
точки обладают ровно одним инвариантом, а более чем две точки вообще не
имеют существенных инвариантов, то можно показать (ср. § 85), что эта
группа должна быть транзитивной и трехпараметрической и что, кроме
того, она не может содержать двух инфинитезимальных преобразований,
имеющих одинаковые траектории.
Обратно, ясно что, относительно каждой трехпараметрической
транзитивной группы G плоскости две точки всегда имеют ровно один инвариант.
Если к тому же никакие два инфинитезимальных преобразования из G не
имеют одинаковых траекторий, то можно показать, что набор из более чем
двух точек не имеет существенных инвариантов.
Действительно, если мы зафиксируем некоторую точку Р\ общего
положения, то все остальные точки плоскости будут преобразовываться по-

средством некоторой однопараметрической подгруппы группы G. При этом
они будут передвигаться по оо1 кривым, а именно, по соответствующим
группе G псевдоокружностям с центром в Рх. Но если бы существовало
только оо1 псевдоокружностей, то есть если бы псевдоокружности не
зависели от своего центра, то инфинитезимальные преобразования группы G,
оставляющие на месте точку Pi, имели бы те же траектории, что и
независимые от них инфинитезимальные преобразования, которые оставляют на
месте произвольную точку общего положения, отличную от Pi. Так как это
невозможно, мы можем заключить, что существует по меньшей мере оо2
псевдоокружностей. Если теперь вместе с точкой Pi зафиксировать еще
одну точку Р2 общего положения, то две псевдоокружности с центрами
в ?i и ?2? проходящие через некоторую третью точку Рз, пересекаются
кроме точки Рз в лучшем случае еще в некоторых изолированных точках.
Таким образом, если Pi и Р2 зафиксированы, то на месте остается каждая
точка Р плоскости, причем благодаря [???] двум инвариантам,
соответствующим парам Pi, Р и р2, Р. Отсюда следует, что при сделанных
предположениях все инварианты более чем трех [???] точек выражаются через
инварианты пар точек (ср. также стр. 409-410).
Итак, чтобы найти все комплексные группы плоскости, которые
удовлетворяют нашим требованиям относительно инвариантов нескольких
точек, нужно лишь среди трехпараметрических групп, собранных на стр. 57,
выбрать те, которые являются транзитивными и никакие два инфинитези-
мальных преобразования которых не имеют одинаковых траекторий.
Проделав это, мы получим лишь следующие четыре группы:
р, g, xp + cyq
(с^О)
р + х2р + xyq, q + хур + y2q, yp - xq
(60)
xq, xp - yq, yp
p, q, xp + (x + y)q
Здесь группу
p, xp + yq, x2p + (2xy + y2)q
мы заменили на проективную группу конического сечения х2 + у2 + 1 = 0

(ср. стр. 70, 76 и 88). Точно так же, вместо группы р, 2хр + yq, х2р + xyq
здесь приведена подобная ей проективная группа (ср. стр. 95).
Инварианты двух точек х\, у\ и х2,2/2 относительно групп (60) имеют
вид
cl(x2 -xi)2 -1(у2 -У\)2,
(Х2 - Xi)2 - (j/2 - Vl)2 + (жЦ/2 - *22/l)2
(1+Ж1Я2 +У1У2)2
^1У2 -ж2уь (ж2 -*i)e~
(61)
соответственно.
Чтобы получить все вещественные группы плоскости, обладающие
требуемыми свойствами, нужно к группам (60) добавить еще следующие
две группы (ср. стр. 370-375 и 428):
р, q, yp-xq-\-c{xp-\-yq)
\р-х2р- xyq, q - хур - y2q, yp - xq
(62)
Первая из этих групп доставляет инвариант*
{(X2-Xi) -{У2-У1)}е ^'2-'i;
(63)
вторая же группа получается из второй из групп (60) заменой переменных
х, у на гх, гу, так что указать соответствующий ей инвариант не
представляет никакого труда^.
*Г-н фон Гельмгольц уже по крайней мере в 1868 году занимался исследованиями, цель
которых на нашем языке можно сформулировать следующим образом: описать такие группы
плоскости, относительно которых две точки обладают ровно одним инвариантом, а более двух
точек существенных инвариантов не имеют. При этом он заметил, что в плоскости возможно
такое семейство движений, относительно которого две точки имеют инвариант (63).
^Трехпараметрические группы плоскости Ли описал еще в 1874-76 годах, хотя и не
выписав до мельчайших подробностей всех необходимых вычислений (Gott. Nachr. за 1874г.;
норвежский архив за 1878г.). В 1884 году он дал подробную классификацию различных
нормальных форм, к которым приводятся все такие группы. В 1887 году г-н Пуанкаре в своей
работе, посвященной основаниями геометрии плоскости (Bull de la Soc. Math., том 15),
воспользовался ранними теоретико-групповыми исследованиями Ли, однако он не был знаком ни
с работой Ли 1884 года, ни с первым докладом [???] Ли об основаниях геометрии (1886г.),
ни даже с работой фон Гельмгольца 1868 года. Интересные результаты, полученные г-ном
Пуанкаре, вытекают непосредственно из исследований Ли.

Глава 21
Критика исследований Гельмгольца
В работе, на которую мы уже ссылались на стр. 396, Гельмгольц
изложил свои рассуждения по поводу задачи Римана-Гельмгольца, которыми
мы сейчас займемся подробно.
Мы начнем с того, что (в §91) воспроизведем дословный текст
сформулированных им аксиом. Затем (в § 92 и 93) мы выясним, какой вид могут
принимать эти аксиомы при использовании понятий и языка теории групп.
В § 94 мы подвергнем критике выводы, которые Гельмгольц делает из своих
аксиом в случае трехмерного пространства, и покажем, что он приходит к
своему результату с помощью ряда неявных предположений, которые все
без исключения являются неверными.
Чтобы устранить этот существенный недостаток рассуждений
Гельмгольца, можно пойти двумя путями: можно либо вообще не обращать
внимания на его аксиомы и поставить во главу угла его вычисления, либо же
можно исходить из его аксиом, забыв про его вычисления.
В §95 мы выберем первый путь и покажем, какие аксиомы
необходимы для того, чтобы прийти к цели посредством вычислений, подобных
вычислениям Гельмгольца.
В § 96 мы последуем вторым путем и выясним, какие выводы теория
групп позволяет сделать из аксиом Гельмгольца. При этом мы увидим, что
хотя эти аксиомы, если их понимать несколько иначе, достаточны для
того, чтобы охарактеризовать евклидовы и неевклидовы движения
трехмерного пространства, по крайней мере одна из его аксиом, а именно аксиома
монодромии, является излишней.
Этот результат наводит на мысль о том, нельзя ли обойтись и без
некоторых других составляющих аксиом Гельмгольца. Ответ на этот вопрос дан
в главе 23; оказывается, что остальные его аксиомы также содержат
излишние элементы.

§ 91. Аксиомы Гельмгольца
В основу своих исследований Гельмгольц положил следующие
аксиомы или, как он сам их называет, гипотезы*:
"I. Пространство размерности п является n-мерным многообразием, то есть,
каждый его элемент, точка, определяется некоторыми непрерывными и
независимыми друг от друга переменными величинами (координатами), количество которых
равно п. Таким образом, каждое движение точки сопровождается непрерывным
изменением по меньшей мере одной из координат. Исключения, когда это изменение
является прерывным или когда несмотря на движение ни одна из координат не
изменяется, возможны только в случае областей, задаваемых одним или несколькими
уравнениями (то есть, в случае точек, кривых, поверхностей и т.д.), которые с
самого начала можно исключить из рассмотрения.
Следует отметить, что под непрерывностью изменения координат при
движении мы понимаем не только то, что каждая изменяющаяся величина пробегает все
промежуточные значения между своим начальным и конечным значением, но и то,
что существуют производные, то есть, что отношения связанных друг с другом
изменений координат при устремлении величин этих изменений к нулю стремятся к
некоторому фиксированному значению.
II. Предполагается существование подвижных твердых тел (систем точек). Это
нужно для того, чтобы можно было производить сравнение пространственных
величин с помощью понятия конгруэнтности. Поскольку здесь мы еще не располагаем
какими-либо особыми методами измерения пространственных величин, то пока мы
можем дать лишь следующее определение твердого тела: 2п координат всякой
пары точек, принадлежащей некоторому твердому телу, удовлетворяют некоторому
не зависящему от движений этого тела уравнению, которое одинаково для всех
конгруэнтных пар точек.
Конгруэнтными являются те пары точек, которые одновременно или одна за
другой [???] могут совпадать с одной и той же парой точек пространства.
III. Предполагается, что движения твердого тела являются вполне свободными;
другими словами, предполагается, что каждую точку твердого тела можно
непрерывным образом перевести в геометрическое место любой другой такой точки, если
только она не связана уравнениями, выполняющимися для нее и для других точек
твердой системы, которой она принадлежит.
Таким образом, первая точка твердой системы обладает полной свободой
движения. Если ее зафиксировать, то вторая точка будет удовлетворять некоторому
уравнению, и одна из ее координат будет функцией остальных п — 1 координат.
Если теперь зафиксировать и вторую точку, то третья точка будет удовлетворять
* Gott. Nachr., 1868г., стр. 197 и далее.

двум уравнениям, и т.д. Следовательно, для того, чтобы задать положение
некоторой твердой системы, требуется ""^ величин.
Из этого предположения и из предположения, сформулированного в пункте II,
следует, что если заданы две твердые системы точек А и В и если в некотором
положении системы А можно добиться того, чтобы их соответствующие точки
были конгруэнтны, то и в любом другом положении системы А можно добиться
конгруэнтности всех тех точек, которые были конгруэнтными прежде. Другими
словами, конгруэнтность двух пространственных систем не зависит от их
положения, и все части пространства без учета границ конгруэнтны друг другу.
IV. Наконец, мы должны приписать пространству еще одно свойство, которое
аналогично монодромии функций одной комплексной переменной и которое
состоит в том, что два конгруэнтных тела остаются конгруэнтными и после поворота
одного из них вокруг какой-либо оси вращения. Аналитически вращение
характеризуется тем, что некоторое число точек движущегося тела во время движения
сохраняют свои координаты, а движение, обратное данному, характеризуется тем,
что все комплексы значений [???] координат, непрерывно переходящие друг в
друга при исходном движении, теперь пробегаются в обратном порядке. Тогда наше
предположение можно сформулировать следующим образом: если твердое тело
поворачивается около п — 1 своих точек и если эти точки выбраны так, что его
положение зависит только от некоторой независимой переменной, то это
вращение без каких-либо обратных отображений, в конце концов, приводит это тело в
его исходное положение."
Приведенные здесь аксиомы Гельмгольца приписывают движениям п-
мерного пространства некоторые свойства, и теперь наша задача состоит в
том, чтобы описать все возможные системы движений, обладающие
указанными свойствами. Чтобы при решении этой задачи можно было
воспользоваться нашей теорией групп, мы должны, прежде всего, показать, что мы
действительно имеем дело с теоретико-групповой задачей. Этому посвящен
следующий параграф.
§ 92. Следствия из аксиом Гельмгольца
Первая из аксиом Гельмгольца говорит о том, что непрерывные
движения существуют, и объясняет, что следует понимать под непрерывным
движением.
Если мы говорим о движении в n-мерном пространстве, то удобнее
всего представлять себе два n-мерных пространства, лежащих друг в
друге, одно из которых является неподвижным, а второе движется; особенно-

стью рассматриваемого движения является то, каким образом отдельные
точки движущегося пространства изменяют свое положение относительно
неподвижного пространства. Аксиома I требует, чтобы каждое движение
сопровождалось непрерывным изменением координат движущихся точек.
Таким образом, если мы рассматриваем движение, начинающееся в
момент времени t = О и продолжающееся в течение некоторого времени £, и
предполагаем, что произвольная точка движущегося пространства в момент
времени t = 0 имела относительно неподвижного пространства координаты
х\ ... хп, а в момент времени t — координаты ji... £п, то наше движение
задается уравнениями вида
р|у = Fv{xi...xn, t) (i/=i...n), (1)
которые при t — 0 переходят в уравнения у|у = xv\ при этом Fv являются
вещественными функциями своих аргументов.
Отсюда видно, что каждое непрерывное движение n-мерного
пространства доставляет некоторое непрерывное семейство оо1 вещественных
точечных преобразований этого пространства, причем такое, в котором
содержится тождественное преобразование.
Что касается свойств функций F„, то заметим, что Гельмгольц
потребовал существования по крайней мере первых производных
относительно х и t. Это следует уже из аксиомы I, хотя там это высказано не так
определенно, как хотелось бы. Однако это становится совершенно
несомненным, если рассмотреть вычисления, приведенные на стр. 202-206 его
работы. Впрочем, там фон Гельмгольц пользуется и существованием
некоторых производных второго порядка, а именно он дифференцирует сперва
по х, а затем по встречающемуся там параметру, чему соответствовало бы
то, что производные функций Fu относительно х были бы, в свою очередь,
дифференцируемы относительно £.
Далее, следует отметить, что Гельмгольц исключает из рассмотрения
те положения, в которых нарушается непрерывность. Мы можем
выразиться более строго и потребовать, как это обычно и делается, чтобы
рассматривалась лишь та ограниченная часть пространства, внутри которой все
возникающие функции и их первые производные являются непрерывными.
Это требование уже давно стало неотъемлемой частью всех общих
исследований по непрерывным группам.
В своей второй аксиоме Гельмгольц описывает движения п-мерного
пространства более подробно, указывая, как две произвольные точки упо-

мянутого выше подвижного пространства ведут себя по отношению друг к
другу под действием различных движений. Требования аксиомы II, а также
требования последующих аксиом, касаются, разумеется, лишь тех точек,
которые находятся в той ограниченной части n-мерного пространства, о
которой говорилось раньше, и остаются в ней во время движения.
Зафиксируем наше подвижное пространство в каком-либо положении
внутри неподвижного пространства и рассмотрим две произвольные точки
подвижного пространства, которые относительно неподвижного
пространства имеют координаты х\ ...х^, Ух • • -Уп- Величины х? ...х°, у^ ...у%
имеют определенные числовые значения, которые мы, однако, можем
считать вполне произвольными. Далее, пусть xi...xn, ух---Уп —
координаты этих двух точек в каком-нибудь другом положении
подвижного пространства. Вторая аксиома Гельмгольца требует, чтобы координаты
х\... хп, у\... уп удовлетворяли некоторому не зависящему от движений
уравнению, то есть уравнению, которое в любом другом положении нашей
пары точек также выполняется для координат обеих точек из этой пары.
В этой аксиоме, кроме того, ясно подчеркивается, что такому уравнению
удовлетворяют 2п координат каждой пары точек, принадлежащей
некоторому твердому телу. Отсюда следует, что, какими бы ни были
начальные положения х§ ... х£, у\ ... уп двух точек, это уравнение относительно
xi... хп, з/1... Уп всегда будет невырожденным [???] уравнением.
В аксиоме II требуется также, чтобы упомянутое уравнение было
одинаковым для всех конгруэнтных пар точек, то есть для всех пар
точек, которые переходят друг в друга под действием движений, и
следовательно, кроме xi... xn, y\.. .уп оно зависит еще только от координат
некоторой произвольной конгруэнтной пары точек, то есть, например, от
х\ ...х°, Ух .. .Уп- Таким образом, его можно привести к виду
Ф(х?...х°, у°х...Уп, xi...хп, ух...Уп) = 0. (2)
В частности, это уравнение должно выполняться тогда, когда пара х„, уи
совпадает с парой х^, у£. Но поскольку величинам х£, у® можно
придавать все произвольные числовые значения и поскольку, следовательно,
х\ • • • %п, Ух • • • Уп не могут сами по себе удовлетворять какому-либо
соотношению, мы получаем, что уравнение (2) при подстановке
Xv =X°, yu =yl (i/=l...n)
должно обращаться в тождество. Отсюда следует также, что уравнение (2)
не может не зависеть от всех 2п величин х^, у^.

Под действием движения, задаваемого уравнениями (1), пара хи, yv
переходит в новую пару, точки которой в неподвижном пространстве имеют
координаты
{£;, =FU{Xl...Xn, t)
t)„ = Fi/(y1...yn, t) (3)
(i/=l...n).
Поскольку эта новая пара точек должна удовлетворять тому же уравнению,
что и пара хи, у„, мы получаем, что, каким бы ни было значение
переменной £, имеет место равенство
Ф(х°1...х°п, у?...уЦ, У1...?п, t)i...t)n) = 0. (2')
Если в это уравнение подставить величины (3), то мы получим
уравнение относительно х\.. .хп, у\.. .уп и t9 которое должно
выполняться для всех значений переменной t. Таким образом, если вспомнить, что
х\ • • • xni У\ • • • Уп связаны соотношением (2) и что это соотношение
должно быть независимым от всех движений, то мы увидим, что уравнение (2')
посредством подстановки (3) должно переходить в уравнение,
равносильное уравнению (2). Действительно, если бы это было не так, то есть, если
бы уравнение (2') при подстановке (3) не переходило в уравнение,
являющееся следствием уравнения (2), то уравнение (2) относительно координат
движущейся пары точек, очевидно, не было бы независимым от этого
движения и изменялось бы в ходе этого движения.
Так как уравнение (2) не может быть независимым от всех 2п величин
x|J, у|), мы можем разрешить его относительно одной из этих величин,
скажем у£:
Уп = {p(x°i---xn, У1---Уп-и xi...хп, У1...уп). (4)
Из сказанного выше теперь следует, что уравнение
Уп = <Р(х1--хп> Уг-'-Уп-И fl---fn, «Jl-.-tJn) (4')
после подстановки (3) переходит в (4), и поскольку величинам х°, у® мы
можем придавать произвольные числовые значения, это должно
выполняться для любых х£, у£, то есть уравнение
<р(х?...Х°, У?.-.У°_1, ?l...?n, tjl-..tjn) = , .
=<р(х?...х£, У?...у£_ъ xi...хп, У1...уп)

должно при подстановке (3) обращаться в нуль.
Все это будет верно и тогда, когда мы величинам х?...х°, у\ ... y^-i
придадим конкретные числовые значения а\ ... ап, (3\ ... (Зп-\-
Следовательно, если мы положим
(p(ai. ..an, Pi. ../?п_ь xi.. .xn, yi...yn) = ^(xi • •
то из (5) мы получим уравнение
^Oa---?n, tji...t)n) = Q{xi...xn, 2/1-..Уп), (б)
которое также обращается в тождество при подстановке (3). Таким
образом, мы обнаруживаем, что две точки х\... хп, у\ ... уп имеют
относительно оо1 преобразований (1) инвариант J?(xi ... xn, 2/1 • • • 2/п)«
Одновременно мы получаем, что уравнение (2) (или эквивалентное ему уравнение (4))
приводится к виду
j?(xi...xn, 2д...2/п) = Л(х?...х°, 2/?...2/п)« (7)
Уравнения (1) задавали некоторое из непрерывных движений,
существование которых в n-мерном пространстве предполагалось в аксиоме I.
Проведенные только что рассуждения показывают, таким образом, что
функция fi(xi... xn, 2/i ... уп) координат пары точек х\... хп, у\... уп
сохраняет свое числовое значение при всех движениях этой пары точек, и
что, следовательно, при взятии за основу второй аксиомы фон Гельмголь-
ца каждая пара точек ранее указанного подвижного пространства обладает
инвариантом относительно всех движений. Другими словами:
Если
1„ = Fu(xi ...Xn, t) (i/=l...n) (1)
является семейством оо1 преобразований, определяемым произвольным
непрерывным движением n-мерного пространства, то относительно
семейства (1) две точки х\.. .хп, у\ .. .уп всегда обладают инвариантом
i?(xi ...xn, 2/1- ..2/п),
причем эти две точки имеют этот же самый инвариант относительно
всякого семейства оо1 преобразований, определяемого одним из
непрерывных движений пространства, существование которых предполагается в
аксиоме I.

Однако нужно подчеркнуть, что существование такого инварианта
является следствием второй аксиомы Гельмгольца, но что требованием о
том, чтобы такой инвариант существовал, эту аксиому полностью
заменить нельзя.
Действительно, вторая аксиома требует, как мы видели выше, чтобы
координаты любых двух отличных друг от друга точек нашего
подвижного пространства удовлетворяли некоторому не зависящему от движения
уравнению, причем невырожденному уравнению, то есть такому, которое
имеет смысл для всех пар точек. Если теперь две точки х\... хп и у\... уп
подвижного пространства имеют относительно всех движений инвариант
i?(x, у), то отсюда (правда, только в общем случае) следует, что 2п
координат этих точек удовлетворяют уравнению, не зависящему от движений, а
именно уравнению
П(хг...хп; У1...уп) = П(х°1...х1; у?...у£), (7)
где отличные друг от друга системы значений х\ ... х„ и у® ... у£
обозначают координаты пары точек х\... хп, yi... уп при некотором
фиксированном положении подвижного пространства. Однако в некоторых особых
случаях может так случиться, что (7) не будет невырожденным
уравнением относительно х\ ... хп, у\ .. . уп. Так обстоит дело, например,
тогда, когда правая часть уравнения (7) для некоторой системе значений
х\ ... х^, у\ ... Уп принимает вид 0/0.
Отсюда следует, что чтобы полностью исчерпать содержимое второй
аксиомы Гельмгольца, мы не можем удовлетвориться требованием о том,
чтобы для каждой пары точек существовал инвариант, и что мы должны
добавить еще одно требование, которое можно сформулировать следующим
образом:
Инвариант J?(xi...хп; у\ ...уп) нары точек х\ ...хп, у\ .. .уп
должен вести себя так, чтобы для любых отличных друг от друга систем
значений х\ ... х° и У\ ...у^ уравнение (7) было невырожденным
уравнением относительно х\ ... хп и у\... уп.
Само собой разумеется, что это требование относится лишь к тем
системам значений х\.. .х^п, у\... у£, которые принадлежат упомянутой
ранее ограниченной области n-мерного пространства.
Прежде, чем мы перейдем к рассмотрению третьей аксиомы
Гельмгольца, мы укажем некоторые следствия, которые можно вывести из
существования инварианта i?(x,y).

Пусть уравнения
х'и = Fu{xi ...хп; t) («/=i...n) (8)
и
X'l = Фи(х[ ...Х'п\ т) (i/=l...n) (9)
задают два произвольных непрерывных движения n-мерного пространства.
Если сначала в течение времени t выполнить движение (8), а затем в
течение времени г движение (9), то точка х\.. .хп перейдет в положение
х'[ ... х'£, определяемое формулами
< = Ф,у(^(х,0 ... Fn(x,t); т) („=i...n). (10)
Поскольку уравнения (10), очевидно, задают преобразование, мы видим,
что последовательное выполнение двух непрерывных движений дает
некоторое преобразование пространства. То же самое верно, разумеется, и
для последовательного выполнения произвольного количества
непрерывных движений.
Если теперь вспомнить, что 1?(х, у) является инвариантом пары точек
х\... хп, т/1.. .уп как относительно преобразования (8), так и
относительно преобразования (9), то нетрудно увидеть, что эти две точки обладают
этим инвариантом и относительно преобразования (10) и вообще
относительно всякого преобразования, получающегося последовательным
выполнением нескольких непрерывных движений. Итак:
Если выполнить некоторое непрерывное движение или несколько
таких движений одно за другим, то в результате всегда будет получаться
преобразование, относительно которого две произвольные точки xv и уи
имеют инвариант П{х,у).
Таким образом, допустимые [???] непрерывные движения определяют
некоторое семейство преобразований пространства, относительно которого
две точки хи и уи имеют инвариант П{х,у). Какими особыми свойствами
обладает это семейство, мы сказать пока еще не можем; первую
информацию об этом дает лишь третья аксиома Гельмгольца. Из формулировки же
второй аксиомы нельзя даже заключить, должны ли две точки иметь только
один инвариант.
Третья аксиома Гельмгольца (см. стр. 439, строчки 14-24 сверху)
состоит из двух частей.

Первую часть (строчки 14-18) с учетом сказанного выше можно
переформулировать следующим образом: предполагается, что каждая точка
подвижного пространства может непрерывно перейти в положение любой
другой точки этого пространства, если только она не связана тем
условием, что инварианты всех пар точек подвижного пространства, которым она
принадлежит, должны во время движения сохранять свои числовые
значения.
Отсюда следует, что каждый инвариант, которым обладает некоторый
произвольный набора точек Рь Р2, -Рз> ••• относительно всех
движений, должен выражаться через инварианты содержащихся в этом
наборе пар точек. Действительно, если J является инвариантом набора точек
Pi, P2, Р3, ... относительно всех движений, то функция J сохраняет свое
числовое значение при всех движениях. Если бы функция J не выражалась
через инварианты пар точек Рь Р2\ Р\, Рз; Рг, Рз; ..., то подвижность
набора Pi, P2, Р3, ... была бы ограничена не только тем, что
инварианты этих пар точек должны во время движения сохранять свои числовые
значения, но также и независимым от этого условием того, что функция J
должна сохранять свое значение. Это, однако, противоречило бы аксиоме,
сформулированной выше.
Таким образом, из первой части третьей аксиомы Гельмгольца
следует, что одна точка вообще не имеет инвариантов относительно всех
движений и что три или более точки имеют относительно всех движений лишь
такие инварианты, которые выражаются через инварианты содержащихся
среди них пар точек. Другими словами, одна точка вообще не имеет
инвариантов, две точки имеют относительно всех возможных движений по
меньшей мере один инвариант, а три или более точки имеют не имеют
существенных инвариантов. Однако, поскольку мы еще не знаем, может
ли это свойство движений полностью заменить требования, перечисленные
в первой части третьей аксиомы, мы, как и ранее, должны добавить
требование о том, чтобы каждая точка Р подвижного пространства в своем
движении была ограничена лишь инвариантами, которые она имеет с
другими точками подвижного пространства.
Остается еще обсудить вторую часть третьей аксиомы Гельмгольца
(см. стр. 439, строчки 19-24 сверху).
С первого взгляда может показаться, что вторая часть аксиомы III
содержит лишь следствия из первой части, и Гельмгольц, очевидно, так и
считал. Однако, дело обстоит иначе. Хотя строчки 19-22 констатируют лишь

факты, являющиеся непосредственным следствием сделанных ранее
предположений (в частности, слова: "Таким образом, первая точка твердой
системы обладает полной свободой движения" представляют собой лишь
переформулировку того, что одна точка не имеет инвариантов), в строчках 23
и 24 содержится новое предположение, которое не следует из предыдущих.
Дело в том, что Гельмгольц фиксирует некоторое количество, скажем
777,, точек Pi, P2, ... Рш подвижного пространства, а тогда, согласно
аксиоме II, координаты любой другой точки Р подвижного пространства
удовлетворяют некоторым уравнениям, которые показывают, что инварианты
т пар точек Р, Pi; P, Pi; ...; Р, Рт в ходе всех еще возможных
движений сохраняют свои числовые значения. По поводу же количества и
свойств этих уравнений предыдущие предположения ничего не говорят, а
первые сведения по этому поводу дают лишь требования, неявно сделанные
в строчках 23 и 24.
В них Гельмгольц требует то, что на нашем языке можно выразить
следующим образом: если зафиксированы т точек Pi, P2, ... Pm, то п
координат любой другой точки Р должны удовлетворять ровно т (и не более)
уравнениям, и эти уравнения в общем случае должны быть независимыми
друг от друга, то есть, они должны быть независимыми друг от друга до
тех пор, пока Pi... Рш являются точками общего взаимного положения*.
Отсюда следует, во-первых, что при фиксировании одной точки Pi
любая другая точка Р удовлетворяет ровно одному уравнению. Но поскольку
одна точка не должна иметь инвариантов, мы получаем, что две точки
имеют ровно один инвариант.
Далее, требования Гельмгольца показывают, что при фиксировании
т точек Р\... Рт общего взаимного положения непрерывное движение
еще возможно, если число т имеет одно из значений 1, 2, ... п — 1, и что
в случае т = п никакое непрерывное движение уже невозможно, а также
что при фиксировании п таких точек на месте остаются вообще все
точки пространства. Действительно, если зафиксированы т точек Pi... Рт,
то п координат любой другой точки общего положения Р удовлетворяют
т независимым друг от друга уравнениям. Поскольку, согласно сказанному
*Так следует понимать слова, приведенные на стр. 439, в строчках 20-24. Здесь, хотя и
неявно, Гельмгольц говорит, что если зафиксировать первую точку некоторой твердой
системы точек, то любая другая точка должна удовлетворять ровно одному уравнению; однако,
поскольку он добавляет, что "одна из ее координат будет функцией остальных", ясно, что он
исключает выполнение двух уравнений для второй точки. Точно так же, ясно следует, что
при фиксировании m точек любая другая точка должна удовлетворять ровно т уравнениям,
которые в общем случае не зависят друг от друга.

ранее, это является единственным условием, которому подчинена
подвижность точки Р при сделанных предположениях, то точка Р может
посредством непрерывного движения переходить в любую другую точку Р',
координаты которой удовлетворяют тем т уравнениям и которая соединена с Р
непрерывным рядом таких точек. Поэтому, если, в частности, число т
имеет значение п, то точка Р уже не может выполнять непрерывных движений
и должна оставаться на месте.
Выше мы видели, что последовательное выполнение произвольного
количества непрерывных движений равносильно вполне определенному
точечному преобразованию пространства Rn. Теперь мы можем дать более
точные разъяснения по поводу семейства возникающих таким образом
преобразований.
Рассмотрим наше подвижное пространство в некотором положении
внутри неподвижного пространства. Пусть Р\.. .Рп — п точек общего
взаимного положения в подвижном пространстве, и пусть фх.. . фп — точки
неподвижного пространства, в точности совпадающие с ними. Если Р —
произвольная точка подвижного пространства, отличная от этих п точек,
то и она имеет вполне определенное положение ф внутри неподвижного
пространства, поскольку не существует ни одного непрерывного движения,
при котором точки Р\... Рп сохраняли бы свои положения фх... фп.
Подвергнем теперь подвижное пространство произвольному
количеству непрерывных движений. Мы увидим, что самое общее точечное
преобразование пространства Rn, получающееся таким образом, зависит лишь
от конечного числа произвольных параметров.
Действительно, сперва посредством непрерывного движения мы
можем точку Р\ перевести из положения фх в любую другую точку ф'1? так
что наиболее общее положение точки ф^ зависит от п произвольных
параметров. Если точку ф'х зафиксировать, то Р2 может перейти в любую
точку ф^, которая удовлетворяет некоторому уравнению, и
следовательно, фз ПРИ фиксированном ф'х зависит уже от п — 1 параметров, и т.д.
Короче говоря, с помощью непрерывных движений можно добиться того,
чтобы Р\... Рп принимали новые положения ф'х... ф^, где система точек
Фх... ф^ зависела бы от
n + (n-l) + (n-2)+...+l = n("+21)
параметров. Этим, однако, исчерпываются все возможности. Дело в том,
что вместе с тем, как точки Р\...Рп принимают новые положения

ф^.^ф^, любая другая точка Р подвижного пространства принимает
вполне определенное новое положение ф', потому что, как мы знаем,
не существует ни одного непрерывного движения, при котором бы точки
Фх... Фп все без исключения оставались на месте.
Смысл этого факта заключается в том, что переход системы Р\.. .Рп
из начального положения фх.. .фп в новое положение ф'х.. . ф^ задает
вполне определенное точечное преобразование. Так как этот переход можно
осуществить и посредством ряда следующих друг за другом непрерывных
движений, последовательное выполнение этих движений всегда приводит
к этому же самому точечному преобразованию. Если считать, что система
точек Р\... Рп может передвигаться произвольным образом, то при
выборе системы ф^.. . ф^ в нашем распоряжении есть ровно ^п(п 4- 1)
произвольных параметров. Отсюда следует, что совокупность всех точечных
преобразований, которые могут быть получены посредством
произвольного количества непрерывных движений подвижного пространства,
имеющего определенное начальное положение, образует семейство, зависящее от
\п(п 4-1) существенных параметров.
Заметим еще, что это семейство точечных преобразований не зависит
от выбранного нами начального положения подвижного пространства,
поскольку, как бы мы ни выбирали это начальное положение, в подвижном
пространстве всегда найдется п точек Р\... Рп, которые совпадают с
точками ф1...фп неподвижного пространства. Таким образом, только что
определенное семейство точечных преобразований образует группу.
Действительно, если подвижное пространство с помощью произвольного
преобразования нашего семейства перевести из положения R в положение R',
а затем с помощью другого преобразования нашего семейства из
положения R в положение R", то найдется вполне определенное принадлежащее
этому семейству преобразование, при котором R переходит в R".
Полученная группа обязана быть транзитивной, поскольку она
каждую точку пространства может перевести в любую другую его точку.
Далее, легко убедиться, что ее преобразования можно упорядочить в пары
обратных друг другу преобразований. Действительно, если S является
преобразованием из нашей группы, переводящим фх... фп в ф^ ... ф^, то с
помощью некоторого количества непрерывных движений всегда можно
добиться того, чтобы точки подвижного пространства, которые в некотором
положении этого пространства совпадают с ф'х... ф^, переходили в
положения фх... фп. Таким образом, вместе с S нашей группе принадлежит и
преобразование S~l.

Наконец, можно доказать, что наша группа, которую мы коротко
обозначим через д, является непрерывной. Действительно, если бы она таковой
не являлась, то, согласно сказанному в главе 18 первого тома, она состояла
бы из ряда непересекающихся непрерывных семейств, каждое из которых
содержало бы \п{п + 1) параметров, и среди этих семейств существовало
бы непрерывное семейство, которое бы образовывало \п[п +
^-параметрическую группу g с попарно обратными преобразованиями. Эта группа g
была бы единственным из упомянутых непрерывных семейств,
содержащим тождественное преобразование. Но каждое непрерывное семейство
оо1 преобразований, определяемое некоторым непрерывным движением,
содержит тождественное преобразование (см. стр. 440) и, следовательно,
принадлежит группе д. Поэтому д включает в себя все преобразования,
возникающие при последовательном выполнении произвольного количества
непрерывных движений. Отсюда следует, что д содержится в д, и
поскольку д является подгруппой в д, мы заключаем, что д совпадает с д, то есть,
что д действительно является непрерывной группой.
Таким образом, при сделанных Гельмгольцем предположениях верно
следующее:
Последовательное выполнение в произвольного числа допустимых
непрерывных движений приводит к конечной непрерывной транзитивной
группе g вещественных преобразований, которая содержит ровно ^п(п +
+ 1) параметров и преобразования которой попарно обратны друг другу.
Само собой разумеется, что две точки имеют относительно этой
группы ровно один инвариант, a s > 2 точек существенных инвариантов не
имеют. Действительно, если бы, например, две точки имели относительно
этой группы более, чем один инвариант, то они имели бы эти инварианты,
очевидно, и при всех непрерывных движениях, в то время как относительно
них они должны иметь только один инвариант.
Вышестоящие рассуждения показывают, что мы имеем дело с
конечной непрерывной группой и что относительно этой группы две точки
имеют только один инвариант, a s > 2 точек существенных инвариантов не
имеют. Группы такого рода мы обсудили в главе 20, и хотя там мы
ограничились пространством размерности три, по крайней мере часть
приведенных там рассуждений, а именно рассуждения со стр. 399-404, без труда
переносится на случай n-мерного пространства. Отсюда следует, что
каждая группа, удовлетворяющая только что сформулированным требованиям,
обладает следующими свойствами: если зафиксирована некоторая точка об-

щего положения, то любая другая точка общего положения может
принимать oon_1 различных положений; если зафиксировать две точки общего
положения, то любая отличная от них точка общего положения может
принимать ооп_2 различных положений, и т.д. Короче говоря, мы убеждаемся,
что конечность нашей группы и предположения относительно инвариантов
двух и более точек имеют своим следствием приведенные на стр. 447
требования Гельмгольца о том, чтобы при фиксировании одной точки любая
другая удовлетворяла ровно одному уравнению, и т.д. Таким образом, эти
требования нам больше не нужны.
Наконец, отметим еще, что конечная непрерывная группа д,
определяемая непрерывными движениями пространства, состоит в очень простой
связи еще с одной группой. Мы имеем в виду группу д' всех точечных
преобразований, относительно которых две произвольные точки ж„, уи имеют
инвариант Q(x,y).
То, что такая группа д' существует, ясно с самого начала, поскольку,
какую бы функцию Q{x, у) мы ни выбрали, всегда найдутся преобразования,
относительно которых две точки имеют инвариант i?(x, у), а совокупность
этих преобразований всегда образует некоторую группу д', которая,
правда, при определенных условиях может состоять лишь из тождественного
преобразования.
В нашем случае легко увидеть, что наиболее общее преобразование
группы д' содержит ровно \п(п + 1) произвольных параметров; это
немедленно следует из особых свойств, которые при сделанных здесь
предположениях имеет инвариант Q{x,y). Таким образом, ясно, что д является
наибольшей непрерывной группой, содержащейся в^, и если группа д'
сама является непрерывной, то она, разумеется, совпадает с д.
§ 93. Теоретико-групповая формулировка аксиом
Гельмгольца
Подытожим теперь результаты предыдущего параграфа. При этом, для
удобства речи, определенную на стр. 449^450 группу д мы будем называть
группой двююений пространства Rn. В соответствии с этим каждое
преобразование этой группы мы будем называть движением, так что под
движением мы будем понимать преобразование, которое переводит подвижное
пространство из одного положения в другое. То, что мы до сих пор назы-

вали непрерывным движением, является просто непрерывным семейством
оо1 движений, содержащим тождественное преобразование.
Очевидно, что эта терминология соответствует общепринятой
терминологии, а также терминологии, которую мы использовали ранее, где
говорится о группе евклидовых движений, а под движением понимается
преобразование из этой группы.
Резюмируя результаты предыдущего параграфа, мы можем теперь
сказать, что первые три аксиомы Гельмгольца равносильны следующим
требованиям:
A) Каждая точка n-мерного пространства определяется п
координатами Х\ . . . Хп.
B) Допустимые [???] непрерывные двиэ/сения n-мерного
пространства определяют конечную непрерывную группу
К = f»(xi • • • яп; а>1 • • • ar) (i/=i...n), (11)
которая является вещественной и транзитивной и которую мы
называем группой движений. Число параметров г в этой группе равно \п{п +
+ 1), и преобразования этой группы попарно обратны друг другу. Функции
h - - - fn дифференцируемы как относительно х, так и относительно а, а
производные по х в свою очередь дифференцируемы относительно а.
C) Относительно группы (11) две точки имеют ровно один
инвариант, a s > 2 точек существенных инвариантов не имеют. Если
J{x\... хп\ у\... уп) является инвариантом двух точек xv и yv, то
внутри n-мерного пространства можно ограничить такую конечную п-мерную
область, что соотношение
J(xi...xn; y1...yn) = J(x01...x°n; у?...у£) (12)
при любом выборе двух отличных друг от друга точек х\ ... х„ и у® ... у„
из этой области будет доставлять невырожденное уравнение
относительно х\ ...хп, yi ...уп.
D) Внутри только что определенной области все точки обладают
полной свободой движения относительно группы (11), если только они не
связаны инвариантами, которые имеют относительно этой группы
отдельные пары точек. Если, например, х\ ... х^ и у\ ... у% являются двумя
произвольными отличными друг от друга точками такой области, то при
фиксировании первой вторая может принимать все положения у\... уп,
которые удовлетворяют уравнению
J(.t?...x°; yi...yn) = J{x0l...x°n; у?...у°); (13)

при этом предполагается, что возможен непрерывный переход из у® .. .у„
в У\ • • • Уп через вещественные системы значений, удовлетворяющие
уравнению (13).
К этому добавляется еще четвертая аксиома Гельмгольца, часто
упоминаемая аксиома монодромии, которую до сих пор мы еще не учитывали.
Ей мы можем придать следующую формулировку:
Е) Если внутри указанной области зафиксировать п — 1 точек общего
взаимного положения, то есть п—1 точек, которые остаются на месте
одновременно лишь под действием однопараметрической группы
движений, и если Xf — инфинитезимальное преобразование этой
однопараметрической группы, то соответствующие конечные уравнения
х'и =х„ + \Хх„ + ^XXxv + • • • (i/=i...n) (14)
ведут себя так, что при возрастающем от нуля t все остальные точки
х\... хп этой области, в конце концов, одновременно возвращаются в свои
начальные полоэ/сения. Короче говоря, требуется, чтобы уравнения (14)
задавали движение с вещественным периодом.
§ 94. Критика выводов, сделанных Гельмголыдем из его
аксиом
В предыдущем параграфе аксиомам Гельмгольца была придана такая
формулировка, в которой четко прослеживается теоретико-групповой
характер всей задачи. Сейчас мы займемся тем, что подвергнем критике
выводы, которые Гельмгольц сделал из своих аксиом. Чтобы сделать это как
можно более удобным образом, мы, прежде всего, переведем эти следствия,
насколько это возможно, на язык теории групп. Поскольку Гельмгольц
ограничился в своих исследованиях пространством размерности три, для нас
естественно сделать то же самое.
В пространстве размерности три каждая удовлетворяющая
требованиям Гельмгольца группа движений является шестипараметрической. Но
Гельмгольц рассматривал*, выражаясь нашим языком, все те принадлежа-
*G6tt. Nacftr., 1868г., стр. 202 и далее. Замечателен способ, с помощью которого он
строит эти движения. Он выбирает некоторое определенное движение S, под действием которого
некоторая определенная точка Р\ переходит в новое положение Р; с другой стороны, он
считает известным наиболее общее принадлежащее рассматриваемой группе движение Т, под

щие этой группе движения, которые оставляют на месте некоторую
фиксированную точку. Поскольку группа движений транзитивна, совокупность
всех движений, оставляющих на месте фиксированную точку, образует
трехпараметрическую группу. Если для простоты мы в качестве этой
инвариантной точки выберем начало координат, то уравнения этой трехпара-
метрической группы будут иметь вид
( х' = Xix + Х2у + А32 Н
< у' = /iix + fi2y + Мз2 + • • • (15)
[ z' = vix + v2y + v$z H ,
где A, /i, v и невыписанные члены более высоких порядков зависят от трех
произвольных параметров и где определитель, составленный из A, /i, z/, не
равняется нулю тождественно.
Однако Гельмгольц исследовал не саму группу (15), а то, как под
действием этой группы преобразуются точки, бесконечно близкие к началу
координат. Другими словами, он ограничился рассмотрением
преобразований
Г dx' — Ai dx + А2 dy + A3 dz
I dy1 = /ii dx + /X2 dy + /X3 dz (16)
[ dz' = v\ dx + ^2 dy + ^3 dz,
которые получаются дифференцированием уравнений (15) и последующей
подстановкой значений х = у = z = 0. Ясно, что эти преобразования
образуют группу от переменных dx, dy, dz, причем это есть не что иное,
как линейная однородная группа, которую группа всех движений ставит
в соответствие началу координат и которая показывает, главным образом,
как при фиксированном начале координат преобразуются проходящие через
него линейные элементы dx : dy : dz (см. том I, теор. 109, стр. 603).
До сих пор рассуждения Гельмголыда были безукоризненны. Однако
здесь он неявно и без единого слова обоснования предполагает, что все
его аксиомы, касающиеся движений, еще возможных после фиксирования
действием которого Pi также переводится в Р. Тогда очевидно, что S~lT является наиболее
общим принадлежащим этой группе движением, при котором Р остается на месте. Этим он
не только доказал, что такие движения существуют, но и привел уравнения этих движений к
такому виду, при котором они применимы и к точкам, бесконечно близким к точке Р.
Разумеется, Гельмгольц не занимался символьными вычислениями с преобразованиями — у него
даже не встречается в явном виде понятие семейства преобразований. И вообще,
использование понятий и языка теории групп придает рассуждениям Гельмгольца более четкую форму.

некоторой точки, применимы и к бесконечно близким к ней точкам, то есть,
что из того, что они выполняются для точек, отстоящих друг от друга на
конечном расстоянии, следует, что они выполняются и для бесконечно
близких точек. Выражаясь более точно, он рассматривает линейную
однородную группу
( х' — \\Х + \2У + Аз^
I у1 = fixx + fi2y + № (16')
[ z' = v\x + 1У2У + v$z
как группу движений, оставляющую на месте начало координат, и
предполагает, что группа (16') удовлетворяет каждой его аксиоме всегда, когда ей
удовлетворяет группа (15). На этом предположении основываются все его
дальнейшие рассуждения.
Прежде всего мы покажем, что это предположение равносильно
некоторому другому предположению, которое допускает более удобную
формулировку, а затем мы на ряде примеров ясно покажем недопустимость
этого предположения.
Группа (15) порождается тремя независимыми инфинитезимальными
преобразованиями вида
( {оск\х + ак2У + otkzz + • • • )р+
+(PkiX + Pk2V + Pk3Z + ---)q+
\ / ч (17)
{ (fc=l,2,3),
где а, /3, 7 — константы, а опущенные члены имеют относительно х, у, z
более высокий порядок. Шестипараметрическая группа всех движений
кроме инфинитезимальных преобразований (17) содержит еще три
преобразования вида
Р+-, ? + ••-, Г + -... (18)
Группа (16'), с другой стороны, является укороченной группой, соответ-

ствующей группе (17), и ее инфинитезимальные преобразования*:
( Lkf = (akix + ак2У + акз*)р + (Pkix + 0Ь2У + Pk3z)q+
< + (7fci^ + 7/с2У + 7fc3^)r (19)
[ (fe=i,2,3)
получаются из преобразований (17) отбрасыванием всех членов высших
порядков, однако они не обязаны быть независимыми друг от друга.
Заметим также (ср. том I, стр. 606), что при сделанных предположениях
инфинитезимальные преобразования
V, q, r, Lxf, L2/, L3f (20)
также порождают транзитивную группу, которая, правда, уже не обязана
быть шестипараметрической. Эта группа (20) представляет собой не что
иное, как укороченную группу, соответствующую группе всех движений
(17), (18).
Смысл неявно введенного Гельмгольцем предположения теперь
состоит просто в том, что группа (19) удовлетворяет каждой аксиоме, сделанной
относительно движений, возможных после фиксирования начала
координат, тогда, когда этой аксиоме удовлетворяет группа (17). С другой
стороны, очевидно, что группа всех движений (17), (18) удовлетворяет всем
аксиомам Гельмгольца тогда и только тогда, когда группа (17)
удовлетворяет аксиомам, остающимся после фиксирования начала координат. Наконец,
ясно, что группы (20) и (19) связаны между собой точно так же, как группы
(17), (18) и (17). Таким образом, предположение Гельмгольца равносильно
просто предположению о том, что укороченная группа (20) удовлетворяет
поставленному им требованию всегда, когда этому требованию
удовлетворяет исходная группа (17), (18).
Это предположение делается Гельмгольцем неявно, без малейшего
намека на доказательство и даже без намека, на то, что оно вообще требует
доказательства. Сейчас мы на ряде примеров покажем, что это
предположение необосновано. Мы увидим, что шестипараметрическая транзитивная
*Мы бы не хотели оставить без внимания то» что Гельмгольц оперирует с инфинитезималь-
ными преобразованиями линейной однородной группы (161); можно даже сказать» что он» хотя
и не осознавая этого, рассматривает однопараметрические группы, порожденные некоторыми
из этих инфинитезимальных преобразований. Однако, общее понятие инфинитезимального
преобразования у него найти нельзя, не говоря уже об общем понятии однопараметрической
группы.

группа пространства Rs вполне может удовлетворять некоторым из
требований Гельмгольца, в то время как соответствующая укороченная группа
им не удовлетворяет; с другой стороны, мы увидим, что
шестипараметрическои транзитивной группе, не удовлетворяющей некоторым требованиям
Гельмгольца, может соответствовать укороченная группа, которая этим
требованиям удовлетворяет.
Как мы видели, часть требований Гельмгольца сводится к тому, что две
точки имеют относительно группы всех движений ровно один инвариант.
Две точки xi, т/1, z\ и Х2, т/2, %2 имеют относительно шестипараметрическои
транзитивной группы
q, xq + r, x2q + 2xr, x3q + 3x2r, x4q + 4x3r, p (21)
только один инвариант: Х2 — xi, а относительно соответствующей
укороченной группы
Я, г, хг, р (21')
они имеют уже два инварианта: Х2 — xi и у2 — у\. С другой стороны,
относительно шестипараметрическои транзитивной группы
q, xq + r, x2q + 2xr, x3q + 3x2r, p, xp — zr (22)
эти две точки вообще не имеют инвариантов, в то время как относительно
соответствующей укороченной группы
<?, г, хг, р, xp — zr (22')
они имеют инвариант У2~У\-
Отсюда следует, что группы (17), (18) и (20), вообще говоря,
удовлетворяют указанному здесь требованию не одновременно.
Рассмотрим теперь группу
q, р, xq + г, x2q + 2хг, хр + yq + сг,
х2р + 2xyq + 2(сх + у)г,
которая нам уже встречалась на стр. 418. Согласно сказанному на стр. 419,
относительно этой группы две точки имеют ровно один инвариант, a s > 2

точек существенных инвариантов не имеют, то есть, она
удовлетворяет некоторым требованиям, которые следуют из аксиом Гельмгольца (ср.
стр. 452). Однако соответствующая укороченная группа
q, р, г, хг, xp + yq — cxq, yr (23')
этим требованиям не удовлетворяет, поскольку она содержит целых три
преобразования, а именно г, хг, уг, которые имеют одинаковые
траектории, что невозможно при условии, что две точки обладают одним
инвариантом, a s > 2 точек существенных инвариантов не имеют.
Таким образом, рассмотренное здесь требование не обязано
выполняться одновременно и для группы (20), и для группы (17), (18).
Наконец, к требованиям, которые вполне могут выполняться для
группы (20) и при этом не выполняться для группы (17), (18), принадлежит
аксиома монодромии.
Доказательством этому служит группа
|>, <?, xp + yg + r, yp-xq,
< (х2 - у2)р + 2xyq + 2хг, (24)
[ 2хур-\-(у2 -x2)q + 2yr,
которую мы получили на стр. 432. Дело в том, что эта чрезвычайно
интересная группа удовлетворяет всем требованиям аксиомы монодромии
Гельмгольца, в то время как о соответствующей укороченной группе
Р, 4, г, yp-xq, xr, yr (24')
этого сказать уже нельзя.
То, что группа (24') не удовлетворяет аксиоме монодромии, увидеть
несложно. Действительно, если зафиксировать две точки общего
положения, скажем начало координат и точку хсУсь^о* где хотя бы одна из
координат хо и уо не равна нулю, то остающиеся в нашем распоряжении
движения образуют однопараметрическую группу, порожденную инфини-
тезимальным преобразованием (хоу — Уох)г, а конечные уравнения этой
группы имеют вид
х' = х, yf = y, zf = z + t(x0y-yox)-

При этом очевидно, что точка х, у, z при неограниченном возрастании
величины t начиная с нуля никогда не возвратится в свое начальное положение.
Чтобы, с другой стороны, убедиться в том, что аксиоме монодромии
удовлетворяет группа (24), мы должны несколько более подробно
остановиться на движениях этой группы.
Если под действием группы (24) зафиксировать некоторую точку
£(ь2Ль2(ь то любая другая точка в общем случае будет вполне свободно
передвигаться по проходящей через нее псевдосфере
{(х - х0)2 + (у - Уо)2}е z = const
(25)
с центром в точке xo,yo,zo; исключение составляют лишь точки прямой
х = хо, у = у о, которая, очевидно, сама является псевдосферой, поскольку
все эти точки остаются на месте. Таким образом, если мы хотим
зафиксировать две точки, которые одновременно остаются на месте только под
действием некоторой однопараметрической подгруппы группы (24), то мы
должны выбрать эти точки так, чтобы соединяющая их прямая не была
параллельна z-оси.
Двумя такими точками являются начало координат и произвольная
точка хо, уо, zq, для которой хотя бы одна из координат хо и уо не равна нулю.
Конечные уравнения однопараметрической группы, под действием которой
обе эти точки остаются на месте, находятся из системы
dx^= , | у0(х'2-у'2)
dt xl + yl
<¥___>, 2Уох'у'
dt ~ X +
9 9 '
Ч + Уо
dz!_
~dt
2{у0х' - х0у')
Хо + Уо
2х0х'у'
Хо + Уо
хр(х'2 - у'2)
Хо+Уо
(26)
с известными начальными условиями [х;]^=о = х и т.д. Из (26) мы
получаем
- х' + гу' ) = -г \х' + гу' - К J } \ ,
dt у хо + гуо )
а отсюда посредством интегрирования
(х0 + iyo)(x + iy)
х' -\- гу' —
{х - х0 + i(y - yo)}eil + x + iy'
(27)

С другой стороны, известно, что точка х, у, z передвигается по
проходящей через нее псевдосфере с центром в начале координат, и поэтому мы
получаем еще одно уравнение относительно x,y,z и х^у',^:
(х'2 + г/2)е-г' = (х2 + г/2)е-г,
из которого немедленно следует, что
х'2 + v'2
х2 + уг
Это полностью определяет конечные преобразования однопараметрической
подгруппы, о которой идет речь. Их можно было бы без труда указать и
в вещественном виде, однако для нашей цели это совсем не обязательно,
поскольку то, что наша группа (24) удовлетворяет аксиоме монодромии,
следует уже из уравнений (27) и (28). Действительно, если на наше
пространство подействовать непрерывным движением, задаваемым
уравнениями (27), (28) и если переменной t позволить принимать все вещественные
значения от 0 до 27г, то при t = 2-к все точки одновременно вернутся в свои
начальные положения*.
Отсюда мы заключаем, что группа (24) действительно удовлетворяет
аксиоме монодромии, в то время как соответствующая укороченная
группа (24') ей не удовлетворяет.
Группа (24) особенно замечательна еще и потому, что она
убедительнейшим образом показывает, как мало можно сказать о поведении
бесконечно близких точек исходя из поведения конечно удаленных друг от друга
точек и как опасно аксиомы, установленные для одних, переносить на
другие, как это сделал фон Гельмгольц.
Действительно, если под действием группы (24) зафиксировать
некоторую точку, скажем начало координат, то любая другая точка, как мы
видели выше, в общем случае будет передвигаться по одной из оо1
инвариантных поверхностей
(х2 + y2)e~z = const.
*оо2 траекторий, описываемых при этом точками пространства, являются кривыми
пересечения двух семейств псевдосфер
{х2 + у2)е~г = const, {(х - хо)2 + (у - уо)2}е~г = const.
Следовательно, их проекции на плоскость х, ув общем случае являются окружностями, а в
исключительных случаях — прямыми.

Точки каждой такой поверхности преобразуются трехпараметрически,
причем посредством группы, которая, как легко убедиться, имеет ту же
структуру, что и группа евклидовых движений плоскости, и, более того, подобна
этой группе относительно некоторого вещественного преобразования.
Совсем по-другому ведут себя точки, бесконечно близкие к началу
координат. Чтобы наглядно представить, как преобразуются эти точки при
фиксированном начале координат, лучше всего рассмотреть группу,
посредством которой преобразуются оо2 линейных элементов, проходящих через
начало координат, поскольку каждая бесконечна близкая к началу
координат точка определяет такой линейный элемент. Если под х\у\ z' понимать
однородные координаты линейного элемента, то эта группа будет иметь вид
j/V - x'q\ x'r\ у'г\
и легко убедиться, что под действием этой группы многообразие этих оо2
линейных элементов преобразуется посредством проективной группы,
которая двойственна группе евклидовых движений плоскости.
Отсюда видно, что при переходе от конечно удаленных точек к
бесконечно близким может иметь место существенный скачок в свойствах и
что бесконечно близкие точки иногда подчиняются совершенно другим
законам, нежели точки, отстоящие друг от друга на конечном расстоянии.
Приведенные выше примеры являются достаточным свидетельством,
того что предположение, неявно введенное Гельмгольцем и подробно
исследованное на стр. 455^56, является неверным. Поскольку все его
последующие рассуждения исходят из этого предположения и убедительны лишь
с учетом этого предположения, мы заключаем, что Гельмгольц не доказал
утверждений, приведенных им в конце его работы: он не доказал, что его
аксиом достаточно для описания евклидовых и неевклидовых движений.
Убедившись таким образом в том, что рассуждения Гельмгольца нельзя
считать обоснованными, в следующем параграфе мы займемся
предположениями, которые Гельмгольц сделал в ходе своих вычислений.
§ 95, Рассуждения по поводу вычислений Гельмгольца
В предыдущем параграфе мы видели, что Гельмгольц сразу же
применяет свои аксиомы к случаю бесконечно близких точек. В неверном
предположении о том, что это допустимо, заключается слабая сторона работы

Гельмгольца; введение этого предположения лишило его рассуждения всей
убедительно сти.
Этот недостаток можно избежать, если с самого начала видоизменить
аксиомы Гельмгольца так, чтобы они относились только к бесконечно
близким точкам, причем это можно устроить так, что вычисления Гельмгольца
при взятии за основу этих видоизмененных аксиом действительно дадут
желаемый результат. Поскольку это можно сделать различными способами
и поскольку подробное обсуждение этих различных возможностей было бы
излишним, мы ограничимся тем, что сформулируем одну систему аксиом,
которая имеет дело с бесконечно близкими точками и которая хотя и не
совпадает с предположениями, неявно вводимыми Гельмгольцем в ходе его
вычислений, но очень к ним близка. Затем с помощью вычислений, которые
в принципе не отличаются от вычислений Гельмгольца, мы докажем, что
эта система аксиом достаточна для описания евклидовых и неевклидовых
движений обыкновенного пространства.
Предлагаемые нами аксиомы звучат следующим образом:
I) Трехмерное пространство является многообразием чисел.
II) Движения этого пространства образуют вещественную
непрерывную группу точечных преобразований.
III) Если зафиксировать некоторую вещественную точку общего
положения, то линейная однородная группа, которая показывает, как
преобразуются оо2 линейных элементов, проходящих через эту точку, является
трехпараметрической.
IV) Под действием всякой вещественной однопараметрической
подгруппы только что упомянутой линейной однородной группы все
вещественные линейные элементы, которые не остаются на месте,
описывают вещественные конусы и, двигаясь по ним непрерывным образом, не
поворачивая обратно, в конце концов, одновременно возвращаются в свои
исходные положения; выражаясь более точно, если
х[ = OLi{t)x' + a2(t)yf + a3{t)zf
у[ = Pi(t)x'+ foW + Pz(t)z'
z[ =71(*У + 72(*)», + 7з(*У
суть конечные уравнения такой однопараметрической группы, записанные
в каноническом виде, то при возрастании вещественной переменной t
начиная с нуля найдется такое конечное положительное значение t, при
котором х[ : у[ : z[ будут относиться друг к другу, как х' : у' : z'.

Покажем, что эти аксиомы вполне достаточны для того, чтобы описать
евклидовы и неевклидовы движения.
Сперва мы должны выяснить, какой вид имеет встречающаяся в этих
аксиомах линейная однородная группа.
Пусть х[,х'2,х'3 — однородные координаты линейных элементов,
проходящих через некоторую фиксированную вещественную точку общего
положения. Тогда соответствующая этой точке линейная однородная группа д
содержит при сделанных предположениях три независимых инфинитези-
мальных преобразования вида
з
Y^ ock^x^p'u (fc=i,2,3). (29)
/Х,/У=1
Среди этих инфинитезимальных преобразований может существовать не
более одного преобразования, оставляющего на месте каждый линейный
элемент х\ : xf2 : х'3, откуда следует, что двумерное многообразие оо2
линейных элементов х\ : х'2 : х3 под действием группы д преобразуется
посредством некоторой проективной группы д, которая является либо трех-,
либо двупараметрической.
Если вспомнить о проективном соответствии между нашими сю2
линейными элементами и вещественными точками плоскости, то группе g
будет соответствовать вещественная трех- или двупараметрическая
проективная группа д' плоскости. Каждая вещественная однопараметрическая
подгруппа группы д' обладает тогда тем свойством, что в каноническом
виде
у7 = ¥>(?, tj; О» о'= ^(f,«j; *)
ее конечных уравнений величины г/ и г/ являются периодическими
функциями вещественной переменной t. Все вещественные точки, которые не
являются инвариантными относительно такой однопараметрической
подгруппы, передвигаются под ее действием по вещественным кривым,
которые они на всем их протяжении пробегают непрерывным образом и причем
так, что они, не поворачивая обратно, в конце концов, одновременно
возвращаются в свои начальные положения. Если бесконечно удаленная прямая
не инвариантна относительно этой однопараметрической группы, то точка,
лежащая в конечном, может, разумеется, в ходе своего движения проходить
через бесконечное.
Сначала мы отыщем все вещественные однопараметрические
проективные группы плоскости, обладающие только что описанным свойством.

Зная их, будет совсем несложно найти все дву- и трехпараметрические
вещественные проективные группы плоскости, каждая однопараметрическая
подгруппа которых обладает этим свойством. Тогда, наконец, мы сможем
установить, какой вид имеет линейная однородная группа (29).
Согласно сказанному на стр. 107 и 384, каждая вещественная одно-
параметрическая проективная группа плоскости с помощью
вещественного проективного преобразования приводится к одному из следующих семи
видов:
Г p + tjq; p + ?q; tjq; q;
I ?P + crjq (c^o.i); t)p - yq + фр + tjq) (c^o); (30)
{ до-и-
Какие же из этих однопараметрических групп обладают требуемым нами
свойством?
Первые пять этим свойством явно не обладают. Действительно, под
действием каждой из них на месте остается по меньшей мере одна
вещественная прямая, точки которой преобразуются однопараметрически и
причем так, что либо две различные, либо две совпадающие
вещественные точки этой прямой сохраняют свое положение. Отсюда следует, что
не остающаяся на месте вещественная точка такой прямой, хотя и может
в общем случае свободно передвигаться по этой прямой, не в состоянии
вернуться в свое начальное положение, двигаясь по ней непрерывно и при
этом не поворачивая обратно; дело в том, что она не может перешагнуть
через инвариантные точки этой прямой.
Однопараметрическая группа
№-РЧ + с(ур + ОД) (с#о)
также не удовлетворяет нашим требованиям. Действительно, под
действием этой группы каждая неинвариантная вещественная точка описывает
логарифмическую спираль; если она пробегает по этой спирали непрерывным
образом, то она, разумеется, никогда не вернется в свое начальное
положение.
Таким образом, однопараметрическая группа
W-W, (31)
под действием которой каждая вещественная точка описывает окружность,
является единственной из групп (30), удовлетворяющей нашему
требованию.

Если мы теперь рассмотрим различные типы вещественных дву- и
трехпараметрических проективных групп плоскости (см. стр. 106-107 и
стр. 384), то мы легко увидим, что почти каждая из них содержит
вещественную однопараметрическую подгруппу, которая имеет один из первых
шести из видов (30) или во всяком случае приводится к одному из этих
видов посредством вещественного проективного преобразования.
Единственной вещественной проективной группой с двумя или тремя параметрами,
которая не содержит ни одной такой однопараметрической группы,
является трехпараметрическая вещественная проективная группа
р + f(fp + чч), я + 9(fp + од), w - и (32)
мнимого конического сечения j2 + X)2 + 1 = 0.
Отсюда следует, что определенная на стр. 462 группа g при
сделанных предположениях является трехпараметрической и что с помощью
вещественного проективного преобразования ее можно привести к виду (32).
Следовательно, возвращаясь к линейной однородной группе (29), мы
мгновенно получаем (ср. стр. ПО), что она с помощью некоторого
вещественного линейного однородного преобразования принимает вид
х'уРи ~ Кр? + o>(a;ipi + Х2Р2 + хзРз)
(/х,//=1,2,3; aflv+avft=0).
Наконец, попарное коммутирование этих преобразование показывает, что
все ol^v равны нулю.
Итак, мы получили, что при сделанных предположениях можно
считать, что вещественная линейная однородная группа (29) имеет вид
х\Рч ~ X(iV\i х2Рз ~ хгР21 хзР\ ~ х1Рз-
Но отсюда следует, что каждая вещественная группа преобразований,
удовлетворяющая нашим аксиома III и IV, в окрестности каждой вещественной
точки общего положения xj, x%, х® содержит три независимых инфините-
зимальных преобразования первого порядка относительно хи — х®у, которые
можно привести к виду
(Хц - Х^)ри - {Хи - xl)pp Н (^,«/=1,2,3; ii<v),
и что кроме них она не содержит никакого другого инфинитезимального
преобразования первого порядка и, в частности, ни одного преобразования

вида
(Xi - x\)pi + (X2 - xl)p2 + (Хз ~ xl)p3 + • • • .
Таким образом, нахождение всех этих групп сводится к задаче, решенной
в § 84 (стр. 385-392). Прежде всего, мы можем заключить, что эти
искомые группы являются конечными и шестипараметрическими. Кроме того,
отсюда следует, что они подобны относительно вещественного
точечного преобразования либо группе евклидовых движений, либо вещественной
проективной группе одной из следующих двух поверхностей второго
порядка:
х\ + х\ + х\ + 1 = 0, х\ + х\ + х\ - 1 = 0.
Итак, каждую вещественную группу трехмерного пространства,
удовлетворяющую нашим аксиомам III и IV, можно посредством
вещественного точечного преобразования привести либо к группе евклидовых
движений, либо к одной из двух групп неевклидовых движений. Другими
словами, аксиомы I ... IV действительно достаточны для описания этих трех
родов движений.
§ 96. Какие выводы можно сделать из аксиом
Гельмгольца?
Забудем теперь об исследованиях, которые Гельмгольц провел на
основе своих аксиом, и, как уже было объявлено на стр. 438, выясним, какие
выводы можно сделать исходя исключительно из аксиом Гельмгольца. При
этом мы снова ограничиваемся случаем обыкновенного трехмерного
пространства.
В § 93 мы показали, как можно переформулировать аксиомы
Гельмгольца, понимая их так, как указано в § 92, и привлекая понятия и язык
теории групп. Сейчас мы займемся вопросом о том, какие группы
трехмерного пространства удовлетворяют приведенным в § 93 требованиям.
Каждая из искомых групп является вещественной, конечной и
непрерывной; две точки имеют относительно нее ровно один инвариант, а более,
чем две не имеют существенных инвариантов. Но согласно теореме 37,
стр. 433, каждая такая группа подобна относительно вещественного
точечного преобразования одной из групп, перечисленных на стр. 433^-34.
Таким образом, нам остается лишь исключить те из приведенных там групп,
которые не отвечают остальным требованиям из § 93.

Все эти остальные требования сводятся к тому, что наши группы
должны обладать некоторыми свойствами внутри некоторой конечной области
трехмерного пространства. Поскольку начало координат является точкой
общего положения для всех групп со стр. 433^34, мы, очевидно, можем
считать, что эта область состоит из всех вещественных точек, лежащих в
некоторой окрестности начала координат. Следовательно, нам нужно лишь
выяснить, какие из групп, перечисленных на стр. 433^34, обладают
следующими свойствами:
Во-первых, инвариант J(x\, yi, z\\ Х2,2/2^2) произвольных двух точек
должен вести себя так, чтобы соотношение
Лжь2/ь^1; ^2,2/2,22) = J{x\,y\,z\\ x\,y%,z\) (33)
для каждой пары отличных друг от друга вещественных точек x\,y\,z\ и
х2)У2)г2 доставляло в некоторой окрестности начала координат
невырожденное уравнение относительно хь 2/ъ z\,£2,2/2, £2 •
Во-вторых, мы требуем, чтобы при фиксировании начала координат
каждая произвольная точка хо,2/о?2о» лежащая в некоторой окрестности
начала координат, могла переходить во все точки х, г/, z этой окрестности,
которые удовлетворяют уравнению
J(x, j/, z; О,0,0) - J(x0,2/0, z0; 0,0,0) (34)
и к которым можно прийти, проходя только через точки такого рода*.
В-третьих, должна выполняться аксиома монодромии.
Прежде всего, мы для каждой из перечисленных на стр. 433-434 групп
установим, удовлетворяет ли она первому из этих требований; если да, то
мы выясним, удовлетворяет ли она второму; аксиому монодромии мы будем
рассматривать в последнюю очередь. Кроме того, поскольку группа
евклидовых движений и обе группы неевклидовых движений, очевидно,
удовлетворяют всем нашим требованиям, мы можем на время о них забыть.
В том, что группы
р, q, r, xq — ур, yr + zq, zp + xr (35)
и
р — xU, q — yU, r + zU, xq — yp, yr + zq, zp + xr
*Хотя, на самом деле, в §93 требуется еще кое-что, мы увидим, что и этих требований
вполне достаточно.

удовлетворяют нашему первому требованию, убедиться очень легко. Так,
например, в случае первой из них уравнение (33) имеет вид
J (x2-X1)2 + (j/2-yi)2-(22-21)2 =
и всегда будет невырожденным уравнением относительно хь Уь *ъ х2, 2/2, ^2-
Второму же требованию они не удовлетворяют. Действительно, для обеих
этих групп уравнение (34) имеет вид
х2 + у2-г2=х1 + у20-г1 (37)
и хотя при фиксировании начала координат точка хо, yo,zo B общем случае
может переходить во все вещественные точки, удовлетворяющие
уравнению (37), для всех точек хо, Уо, zo конуса второго порядка х\ + у$ — z$ — О
это будет уже неверно. Дело в том, что в этих точках уравнение (37)
принимает вид
х2 + у2 - z2 = О,
и ясно, что любая такая точка может переходить во все точки,
удовлетворяющие этому уравнению, только не в начало координат, поскольку оно при
сделанных предположениях остается на месте.
Отсюда мы заключаем, что группы (35) и (36) исключаются из
рассмотрения без привлечения аксиомы монодромии.
Уравнение (33), соответствующее группе
р, q, xp + r, yq + cr, x2p + 2xr, y2q + 2cyr (c#o), (38)
может быть записано в виде
{х2-х1){у2-у1)с _{xl-x\M-y\Y
ei(*i+z2) вН*У+*2)
Если константа с отрицательна, то полагая х\ — х\ и у\ — у\, мы
получим тождество; если же она положительна, то это уравнение для
каждой пары отличных друг от друга точек x\,y\,z\ и x^y^z^ доставляет
невырожденное уравнение относительно х\,у\,г\,Х2,У2,22- Таким
образом, группа (38) удовлетворяет нашему первому требованию только тогда,
когда константа с является положительной.

Однако второму требованию она не удовлетворяет и при с > 0.
Действительно, уравнение (34) в случае нашей группы имеет вид
х-ус _ хр-ур
Р,- fi 2 "
и следовательно, при фиксировании начала координат точка хо, Уо, *о
должна переводиться во все положения ж, у, г в некоторой окрестности начала
координат, которые удовлетворяют этому уравнению. Это верно для точки
^о, Уо, zo общего положения, однако если, например, хо = уо = 0, то точка
хотУо^го должна была бы переходить во все точки, лежащие в некоторой
окрестности начала координат и удовлетворяющие уравнению хус = 0, что
невозможно, так как при фиксировании начала координат все точки прямой
х = у = 0 остаются на месте (см. стр. 426).
Таким образом, группа (38) также исключается без привлечения
аксиомы монодромии.
Группа
( р, q, xp + yq + ar, yp - xq-\- r,
< (х2 - у2)р + 2xyq + 2(ах - у)г, (39)
^ 2хур 4- (у2 — x2)q + 2(х 4- ау)т
не удовлетворяет уже первому из наших требований, поскольку, положив
в соответствующем уравнении (33) х% = х\ и г/§ — У?? мы не получим
невырожденного относительно х\, уi, z\, Х2, У2, ^2 уравнения.
Иначе обстоит дело с группой
( р, q, xp + yq + r, yp - xq,
< (х2 - у2)р + 2xyq + 2хг, (40)
[ 2хур 4- (у2 - x2)q 4- 2уг.
Действительно, уравнение (33) для этой группы имеет вид
{(Ж2-*1)2 + (У2-У1)2К(21+22) =
= {{A-A)2 + {yl-y\)2}e-(>"+>"-)
и всегда является невырожденным относительно x\,y\,z\,xi, У2,*2- Таким
образом, нашему первому требованию эта группа удовлетворяет, чего
нельзя сказать о втором.

Дело в том, что уравнение (34) имеет здесь вид
{x2 + y2)e-z = {xl+yl)e-z\
так что если бы выполнялось наше второе требование, то точка хо,уо^о?
для которой, например, хо = уо = 0, должна была бы при фиксировании
начала координат переводиться во все точки х, у, г, удовлетворяющие
уравнению х2 + у2 — О или, поскольку речь идет о вещественных величинах,
двум уравнениям х = у = 0. Это, однако, невозможно, так как вместе с
началом координат на месте остаются вообще все точки плоскости х = у — 0.
Следовательно, группы (39) и (40) также исключаются из
рассмотрения.
Группы
р, q, xq + r, xp + yq + cr, x2q + 2xr,
о (41)
x p + 2xyq + 2(y + cx)r
и
p, q, r, 2xp + yg, xq + yr, x2p + xyq + |y2r (42)
не удовлетворяют даже нашему первому требованию, поскольку в обоих
случаях соответствующее уравнение (33) не дает невырожденного
относительно Xi,j/i,2i,X2,2/2>22 уравнения, если в нем положить х\ — х°, у\ —
= *?•
Наконец, группа
г, p-yr, q + xr, xq, xp - yq, yp, (43)
хотя и удовлетворяет нашему первому требованию, не удовлетворяет
второму. Действительно, соответствующее уравнение (34) имеет вид z = го,
и следовательно, при фиксировании начала координат любая другая
точка хо, уо, zq должна была бы переводиться во все точки х, у, z, лежащие в
плоскости z = zo. То, что это не так, показывают точки, для которых хо =
= Уо = 0, поскольку при фиксировании начала координат все они остаются
на месте.
Вышесказанное доказывает, что группа евклидовых двиэ/сений и обе
группы неевклидовых движений являются единственными группами,
удовлетворяющими требованиям из §93; они являются единственными
группами такого рода, даже если забыть об аксиоме монодромии.

Отсюда мы заключаем, что аксиомы Гельмгольца достаточны для
полного описания евклидовых и неевклидовых движений, если их понимать
так, как это делается в § 92 и 93. Мы видим также, что при такой их
интерпретации аксиома монодромии является излишней. Однако, как только
выясняется, что одна из аксиом Гельмгольца является лишней, возникает
вопрос, нельзя ли обойтись и без некоторых других составляющих этих
аксиом. В главе 23 мы покажем, что ответ на этот вопрос положителен.
Однако есть еще один момент, который следует принять во внимание.
В § 92 и 93 мы дали некоторую интерпретацию аксиом Гельмгольца. Мы
далеки от того, чтобы утверждать, что эта наша интерпретация является
единственно возможной. Более того, мы прямо заявляем, что эти аксиомы
допускают различные толкования. И это естественно: Гельмгольц, не имея
в своем распоряжении понятий и развитого языка теории групп, не мог
обойтись без пространных описаний, с помощью которых он, однако, не
смог уделить должное внимание всем мыслимым предположениям;
поэтому совершенно понятно, что чем тщательнее он продумывал свои аксиомы,
тем более многозначными они выходили. Хотя мы здесь и не утверждаем,
что мы привели единственную возможную интерпретацию аксиом
Гельмгольца, мы полагаем, что наша интерпретация является очень удобной и
при этом хорошо согласующейся с оригинальной формулировкой этих
аксиом. Иному читателю может показаться, что мы уже и так посвятили им
слишком много времени.
Мы не будет более подробно останавливаться на различных
интерпретациях аксиом Гельмгольца, и лишь коротко обсудим еще один момент.
Дело в том, что, как бы мы не толковали эти аксиомы, все по
сути сводится к тому, что мы либо заключаем, что они все без исключения
должны быть верными внутри некоторой области, либо считаем, что они
верны только в общем случае, то есть только для точек общего взаимного
положения. В §92 и 93 мы выбрали первую интерпретацию, однако
вторая также имеет право на существование, по крайней мере по отношению
к третьей аксиоме Гельмгольца, аксиоме о свободе движения. Чтобы
показать, как такое толкование влияет на радиус действия аксиом Гельмгольца,
мы, в заключение этой главы, выясним, что получится, если предположить,
что аксиомы Гельмгольца верны только для точек общего взаимного
положения. Мы увидим, что тогда этих аксиом не будет достаточно для
описания евклидовых и неевклидовых движений даже с привлечением аксиомы
монодромии.
Если вещественная группа удовлетворяет аксиомам Гельмгольца толь-

ко в точках общего взаимного положения, то она должна, если пока забыть
об аксиоме монодромии, иметь следующие свойства: если зафиксирована
некоторая точка общего положения, то любая другая точка общего
положения свободно передвигается по некоторой поверхности; если
зафиксированы две точки общего взаимного положения, то любая отличная от них
точка общего положения свободно передвигается по некоторой кривой;
если зафиксированы три точки общего взаимного положения, то все точки
остаются на месте. Ясно, что группы, перечисленные на стр. 433-434,
удовлетворяют всем этим требованиям и что они являются единственными
группами, обладающими этими свойствами.
Если к этим требованиям теперь добавить аксиому монодромии, то
многие их этих групп придется исключить, так как они этой аксиоме не
удовлетворяют. Однако при этом остаются не только евклидовы и
неевклидовы движения, но и еще одна группа, а именно группа 7 со стр. 434. На
стр. 457-459 мы показали, что эта группа полностью удовлетворяет
аксиоме монодромии Гельмгольца, и следовательно, для того, чтобы эту группу
исключить из рассмотрения, аксиомы монодромии недостаточно.
Итак, результаты настоящего параграфа вкратце можно
сформулировать следующим образом:
Евклидовы и неевклидовы движения полностью описываются
аксиомами Гельмгольца, если эти аксиомы понимать так, что они должны
выполняться для всех без исключения точек некоторой области;
если их толковать таким образом, то аксиома монодромии будет
излишней. Если же потребовать, чтобы аксиомы Гельмгольца выполнялись
только для точек общего взаимного положения, то для описания
евклидовых и неевклидовых движений их уже будет недостаточно; в этом случае
делу не поможет и привлечение аксиомы монодромии.
Как мы видели, аксиомы Гельмгольца, если их толковать
определенным образом, достаточны для описания евклидовых и неевклидовых
движений, но в такой интерпретации они содержат излишние элементы, и
поэтому они, на самом деле, не дают решения задачи Римана-Гельмгольца. В
двух последующих главах мы снова займемся задачей Римана-Гельмгольца
и решим ее двумя различными способами: в главе 22 — сформулировав
некоторые аксиомы, касающиеся бесконечно близких точек, а в главе 23 —
с помощью аксиом о точках, отстоящих друг от друга на конечном
расстоянии.

Глава 22
Первое решение задачи
Римана-Гельмгольца
Задача Римана-Гельмгольца в том виде, в котором мы
сформулировали ее на стр. 397, состоит в том, что нужно указать свойства, котором бы
удовлетворяли семейство евклидовых движений и оба семейства
неевклидовых движений и которые бы отличали эти три семейства от всех других
возможных семейств движений.
Сама по себе эта задача является неопределенной [???], и поэтому мы с
самого начала уточняем ее, требуя, чтобы совокупность указанных свойств
была не только достаточна для описания этих трех семейств, но и
необходима, то есть, чтобы эти три семейства не описывались уже какой-либо
частью этих аксиом. Однако и в этой уточненной формулировке наша
задача также допускает различные решения, поскольку в выборе требуемых
свойств мы совершенно неограничены [???].
Среди свойств, являющихся общими для наших трех семейств
движений, нам ближе всего то, что каждое из этих трех семейств образует
вещественную непрерывную группу, преобразования которой попарно обратны.
Поэтому мы с самого начала будем считать это само собой
разумеющимся*, так что теперь мы должны просто ответить на следующий вопрос:
какие свойства выделяют группу евклидовых движений и обе группы
неевклидовых движений среди всех вещественных непрерывных групп с попарно
*Не оставим без внимания тот факт, что можно было бы сформулировать и такие
требования, что это групповое свойство являлось бы их следствием. Однако можно, пожалуй,
утверждать, что групповое свойство естественно выбрать в качестве первого требования.
Дело в том, что понятие движения заключает в себе то обстоятельство, что два движения можно
выполнять одно за другим, откуда непосредственно следует, что совокупность
преобразований, определяемых всеми возможными изменениями местоположения посредством движения,
образует группу. Мы добавляем еще только предположение о том, что эта группа непрерывна
и состоит из попарно обратных друг другу преобразований. Впрочем, в главе 21 было
приведено решение, не использующее групповое свойство.

обратными преобразованиями? Для удобства отныне мы не будем говорить
"с попарно обратными преобразованиями", всякий раз добавляя эти слова
лишь мысленно.
В настоящей главе мы ответим на этот вопрос, ограничившись теми
свойствами наших трех групп, которые относятся к бесконечно удаленным
точкам. Мы введем одно новое понятие, а именно понятие свободы
движения в бесконечно малом, и покажем, что каждая вещественная непрерывная
группа более чем двумерного пространства, которая в вещественной
точке общего положения обладает свободой движения в бесконечно малом,
подобна относительно вещественного точечного преобразования этого
пространства либо группе евклидовых движений, либо одной из групп
неевклидовых преобразований соответствующего пространства. Таким образом
мы докажем, что свойства, заключенные в понятии свободы движения в
бесконечно малом, являются искомыми характеристическими свойствами*.
Сначала, в § 97, мы рассмотрим случай плоскости, в котором, правда,
понятия свободы движения в бесконечно малом для описания евклидовых
и неевклидовых движений недостаточно. В § 98 мы займемся
обыкновенным трехмерным пространством, а в § 99 — пространством произвольной
размерности. Наконец, в § 100 мы коротко остановимся на том, как наши
исследования соотносятся с исследованиями Римана.
§97
Пусть & — вещественная группа пространства произвольной
размерности, и пусть F — произвольная фигура в этом пространстве. Тогда, если
0 содержит вещественную непрерывную подгруппу с по меньшей мере
одним параметром, относительно которой фигура F является
инвариантной, то мы будем говорить, что под действием группы & при
фиксировании фигуры F еще возможно непрерывное движение. Если же наибольшая
подгруппа, оставляющая фигуру F на месте, состоит лишь из
тождественного преобразования, мы будем говорить, что при фиксировании фигуры F
непрерывное движение уже невозможно.
Используя эти выражения, мы сейчас определим, что мы понимаем
под свободой движения в бесконечно малом в случае плоскости.
* Нижеследующее является переработкой статьи Ли, опубликованной в Leipziger Berichten
за 1890г., стр. 284-321.

Определение 1. Вещественная непрерывная группа плоскости
обладает в вещественной точке Р свободой движения в бесконечно малом, если
она имеет следующие свойства: при фиксировании точки Р непрерывное
двю/сение еще возможно, однако если кроме Р зафиксировать
произвольный проходящий через Р вещественный линейный элемент, то
непрерывное двю/сение уэ/се невозмоэ/сно.
Сейчас мы отыщем все вещественные непрерывные группы плоскости,
которые обладают свободой движения в бесконечно малом в какой-нибудь
вещественной точке общего положения.
Пусть G — группа, обладающая требуемыми свойствами, и пусть Р —
вещественная точка общего положения, в которой G обладает свободой
движения в бесконечно малом. Обозначим через g наибольшую подгруппу
в G, оставляющую точку Р на месте. Тогда каждый проходящий через Р
вещественный линейный элемент должен под действием g непрерывно
вращаться около точки Р. Действительно, если бы это было не так, то группа g
оставляла бы на месте по меньшей мере один из этих линейных элементов,
так что она являлась бы наибольшей непрерывной подгруппой группы G,
оставляющей на месте точку Р и этот линейный элемент и поэтому
должна была бы состоять только из тождественного преобразования, в то время
как мы предполагаем, что при фиксировании Р еще возможно непрерывное
движение.
Отсюда следует, что группа G является не только транзитивной, но и
вещественно примитивной*. Действительно, если бы она была интранзи-
тивной или вещественно импримитивной, то она обладала бы
инвариантным вещественным семейством кривых <р{х, у) = const, так что вместе с
каждой вещественной точкой общего положения х, у на месте оставался бы
и проходящий через нее вещественный линейный элемент dx : dy,
определяемый уравнением фх dx + ipydy — 0. Но поскольку при фиксировании
точки Р, которая также является точкой общего положения, на месте не
остается ни один проходящий через нее вещественный линейный элемент,
то мы приходим к противоречию.
Далее, легко увидеть, что наша группа G является трехпараметриче-
ской. В самом деле, если зафиксировать точку Р и произвольный
проходящий через нее вещественный линейный элемент, то непрерывное движение
* Вещественно примитивной мы для краткости называем любую вещественную группу,
которая, если ограничиться вещественными числами, является примитивной, хотя в комплексной
области она была бы импримитивной (ср. стр. 363).

уже невозможно, и следовательно, в группе G не остается ни одного
произвольного параметра. Поскольку, кроме того, точка Р, будучи точкой
общего положения, благодаря транзитивности группы G может принимать оо2
различных положений и поскольку при фиксировании точки Р все
проходящие через нее вещественные линейные элементы могут еще непрерывно
вращаться около Р9 то фиксирование этой точки и этого линейного
элемента доставляет ровно три условия на параметры группы G, так что число
этих параметров равно трем. Все трехпараметрические вещественные
вещественно примитивные группы мы уже описали на стр. 370-378, и мы
получаем следующую теорему.
Теорема 38. Если вещественная непрерывная группа плоскости в
некоторой вещественной точке общего поло,жения обладает свободой дви-
э/сения в бесконечно малом, то она является трехпараметрической и
подобна относительно вещественного точечного преобразования этой
плоскости либо трехпараметрической вещественной непрерывной
проективной группе конического сечения
х2 + у2 + 1 = 0,
либо вещественной непрерывной проективной группе конического сечения
X2 + у2 - 1 = 0,
либо трехпараметрической проективной группе вида
р, q, yp-xq + c(xp + yq),
где с является вещественной константой.
Найденные здесь группы замечательны тем, что все они обладают
свободой движения в бесконечно малом во всех вещественных точках
некоторой части плоскости, в то время как мы потребовали, чтобы они обладали
этим свойством лишь в одной вещественной точке общего положения.
Причиной этого явления является то, что каждая группа, обладающая свободой
движения в бесконечно малом в некоторой вещественной точке общего
положения, обладает этим свойством и во всех вещественных точках,
лежащих в некоторой окрестности этой точки.
С другой стороны, найденные группы показывают, что в случае
плоскости свободы движения в бесконечно малом недостаточно, чтобы описать

группу евклидовых движений и обе группы неевклидовых движений,
поскольку кроме этих трех групп в каждой вещественной, не являющейся
бесконечно удаленной точке свободой движения в бесконечно малом
обладает еще и каждая группа вида
р, q, ур -xq + c {хр + yq) (c^o).
Для того, чтобы исключить эти группы, оставив только евклидовы и
неевклидовы движения, необходима особая аксиома. Однако это замечание не
равносильно замечанию Гельмгольца о том, что в случае плоскости
евклидова и обе неевклидовы группы не являются единственными группами,
относительно которых две точки обладают ровно одним инвариантом, а более
двух точек не имеют существенных инвариантов.
Дополним теперь полученные результаты тем, что отыщем все
вещественные непрерывные проективные группы плоскости, которые обладают
свободой движения в бесконечно малом в некоторой вещественной точке
общего положения. Знание этих групп пригодится нам впоследствии, при
рассмотрении случая трехмерного пространства.
Прежде всего, точно так же, как и выше, мы убеждаемся, что
каждая удовлетворяющая нашим требованиям проективная группа плоскости
является трехпараметрической и транзитивной. Далее, как следует из
списка трехпараметрических проективных групп плоскости, приведенного на
стр. 106, каждая из требуемых групп оставляет на месте либо коническое
сечение, либо точку.
Если на месте остается коническое сечение, то его уравнение должно
быть вещественным, так как в противном случае на месте оставалось бы и
комплексно сопряженное коническое сечение, вследствие чего наша группа
не могла бы быть трехпараметрической. Но поскольку каждое коническое
сечение, задаваемое вещественным уравнением, с помощью
вещественного проективного преобразования приводится к одному из следующих двух
видов: х2 Н- у2 ± 1 = 0, то мы можем сказать, что этот случай полностью
рассмотрен.
Если же на месте остается точка, то она не может быть
вещественной, так как тогда при фиксировании некоторой вещественной точки
общего положения каждый проходящий через нее вещественный линейный
элемент не мог бы вращаться около нее, и следовательно, не существовало
бы ни одной вещественной точки общего положения, в которой
рассматриваемая группа обладала бы свободой движения в бесконечно малом. Таким

образом, инвариантная точка является комплексной, и вместе с ней на
месте остается и комплексно сопряженная ей точка, а также соединяющая
их вещественная прямая. Поэтому если эти инвариантные точки
перенести посредством вещественного проективного преобразования в
бесконечно удаленные мнимые циклические точки, то наша группа превратится в
трехпараметрическую подгруппу четырехпараметрической группы
р, q, yp-xq, xp + yq. (1)
Итак, нам нужно отыскать еще лишь все трехпараметрические подгруппы
этой группы, которые удовлетворяют нашим требованиям.
Если трехпараметрическая вещественная подгруппа G группы (1)
обладает в вещественной точке хо, у о общего положения свободной движения
в бесконечно малом, то при фиксировании этой точки оо1 проходящих
через нее линейных элементов dx : dy будут под действием этой подгруппы
преобразовываться однопараметрически. Таким образом, если точку хсь2/о
посредством вещественного преобразования двупараметрической группы
р, q перевести в начало координат, то подгруппа G примет новый вид,
в котором она будет содержать по меньшей мере одно инфинитезимальное
преобразование вида
yp-xq + c(xp + yq), (2)
поскольку хр + yq оставляет на месте каждый линейный элемент,
проходящий через начало координат. Кроме того, будучи транзитивной группой,
G содержит еще два инфинитезимальных преобразования, которые имеют
вид
р + а{хр + yq), q + (3{xp + yq).
Коммутируя их с преобразованием (2), мы получаем
-q + cp, p + cq,
и так как константа с является вещественной, a G может содержать только
три независимых инфинитезимальных преобразования, можно заключить,
что числа а и (3 равны нулю, и следовательно, G имеет вид
р, q, yp-xq + c{xp + yq).
Таким образом, имеет место следующий факт.

Предложение 1. Если вещественная непрерывная проективная группа
плоскости в некоторой вещественной точке общего положения обладает
свободой движения в бесконечно малом, то она является трехпараметри-
ческой и подобна относительно вещественного проективного
преобразования плоскости одной из проективных групп, указанных в теореме 38.
Среди групп, перечисленных в теореме 38, существует две группы,
которые в некоторых вещественных точках плоскости не обладают свободой
движения в бесконечно малом: во-первых, группа конического сечения х2 +
+у2 — 1 = 0, а во-вторых, группа р, q, yp — xq+c (xp+yq). В первом случае
свобода движения в бесконечно малом не наблюдается во всех
вещественных точках конического сечения и во всех вещественных точках, лежащих
вне конического сечения, а во втором — во всех вещественных точках
бесконечно удаленной прямой. Однако в случае группы конического сечения
х<2 + У2 + 1 — 0 таких особых точек не существует. Итак,
Теорема 39. Если вещественная проективная группа обладает
свободой движения в бесконечно малом во всех без исключения вещественных
точках плоскости, то она является трехпараметрической и с помощью
вещественного проективного преобразования переводится в трехпарамет-
рическую вещественную проективную группу конического сечения х2 +у2 +
+ 1=0.
§98
Сейчас мы займемся тем, что проведем аналогичное исследование для
случая обыкновенного трехмерного пространства. Сперва мы определим,
что мы здесь будем понимать под свободой движения в бесконечно малом.
Определение 2. Вещественная непрерывная группа трехмерного
пространства обладает в вещественной точке Р свободой движения в
бесконечно малом, если она удовлетворяет следующим условиям: если
зафиксировать точку Р и произвольный проходящий через нее вещественный
линейный элемент, то непрерывное движение еще возможно; если же
кроме Р и того линейного элемента зафиксировать еще произвольный
проходящий через них вещественный элемент поверхности, то непрерывное
движение уже невозможно (ср. стр. 472-473).
Найдем все вещественные непрерывные группы пространства R^, ко-

торые обладают свободой движения в бесконечно малом в некоторой
вещественной точке общего положения.
Пусть G — группа, обладающая требуемым свойством, и пусть Р —
вещественная точка общего положения, в которой G обладает свободой
движения в бесконечно малом. Тогда если зафиксировать точку Р и, кроме
того, некоторый проходящий через нее вещественный линейный элемент,
то под действием G каждый проходящий через них вещественный элемент
поверхности должен непрерывно вращаться около этого линейного
элемента; в противном случае, вопреки нашему предположению, при
фиксировании этого линейного элемента никакое непрерывное движение было бы уже
невозможно.
Отсюда можно заключить, что группа G является транзитивной.
Действительно, если бы группа G оставляла на месте оо1 вещественных
поверхностей у?(х1,Х2,жз) = const, то точка Р вместе с плоскостью,
касательной к проходящей через Р поверхности ip — const, определяла бы
вещественный элемент поверхности, который не мог бы вращаться около
какого-либо из лежащих в нем линейных элементов. Если бы, с другой
стороны, на месте оставалось оо2 вещественных кривых, то их можно было
бы неограниченным числом способов объединить в семейства оо1
инвариантных поверхностей, и все сводилось бы к только что рассмотренному
случаю, который, как мы показали, невозможен.
Через нашу точку Р проходит оо2 вещественных линейных элементов
dx\ : dx2 : dx^, которые образуют плоское двумерное многообразие.
Если мы зафиксируем точку Р, то это многообразие будет
преобразовываться посредством некоторой вещественной проективной группы д, которая,
очевидно, такова, что при фиксировании произвольного вещественного
линейного элемента каждый проходящий через него вещественный элемент
поверхности будет непрерывно вращаться около этого линейного элемента,
в то время как никакое непрерывное движение не будет возможным, если
зафиксировать произвольный линейный элемент и произвольный
проходящий через него вещественный элемент поверхности. Рассмотрим
проективное соответствие между оо2 вещественными линейными элементами,
проходящими через точку Р, и вещественными точками некоторой плоскости.
При этом группе g соответствует некоторая голоэдрически изоморфная ей
вещественная проективная группа д' этой плоскости, а вещественным
элементам поверхности, проходящим через Р, соответствуют вещественные
линейные элементы этой плоскости. Таким образом, мы легко
убеждаемся, что группа д' обладает свободой движения в бесконечно малом во всех

без исключения точках ее плоскости. По теореме 39, отсюда следует, что §'
является трехпараметрическои и транзитивной и переводится посредством
вещественного проективного преобразования плоскости в группу
конического сечения х2 + у2 + 1 = 0. Следовательно, группа g также является
трехпараметрическои и транзитивной и оставляет на месте комплексный
конус линейных элементов, уравнение которого мы с помощью
вещественного линейного однородного преобразования величин dx\, dxi*, dx% можем
привести к виду
dx2 + dx22 + dx2 = 0. (3)
Для группы G это прежде всего означает, что она является шестипа-
раметрической. Действительно, если зафиксированы точка Р, проходящий
через нее вещественный линейный элемент и произвольный проходящий
через них вещественный элемент поверхности, то параметры группы G
будут подчиняться в точности 3 + 2 + 1 =6 условиям, что следует из
транзитивности группы G и из описанных выше свойств группы д. Но
поскольку при только что сделанных предположениях непрерывное движение
уже невозможно, то число этих параметров должно равняться шести.
Далее, ясно, что при фиксировании точки Р шестипараметрическая
транзитивная группа G преобразует оо2 проходящих через Р линейных
элементов трехпараметрически и причем так, что на месте остается
некоторый комплексный конус второго порядка, состоящий из линейных
элементов. Таким образом, если точку Р с помощью вещественного точечного
преобразования перенести в начало координат, а затем с помощью
вещественного линейного однородного преобразования относительно х\,Х2,хъ
добиться того, чтобы соответствующий точке Р конус линейных
элементов задавался уравнением (3), то группа G примет новый вид, при котором
в окрестности начала координат она будет содержать шесть независимых
инфинитезимальных преобразований вида
Pi + • • • , Р2 + ' ' ' , РЗ + ' ' ' ,
S/zPi/ - х„рц + a^ixipi + х2Р2 + хзРз) + • • •
(ц,1/=1,2,3; fi<jy).
Коммутируя эти преобразования между собой и учитывая то, что группа G
является шестипараметрической, легко убедиться, что все вещественные
константы ам„ должны здесь равняться нулю.
Итак, группа G принадлежит к вещественным группам, описанным на

стр. 385-392. Поскольку она, кроме того, является шестипараметрической,
мы получаем следующую теорему.
Теорема 40. Если вещественная непрерывная группа трехмерного
пространства обладает в некоторой вещественной точке общего поло-
эюения свободой движения в бесконечно малом, то она является
шестипараметрической и транзитивной и подобна относительно вещественного
точечного преобразования этого пространства либо группе евклидовых
движений этого пространства, либо одной из двух групп неевклидовых
движений этого пространства, то есть (во втором случае) либо
шестипараметрической вещественной непрерывной проективной группе,
оставляющей на месте комплексную поверхность х\ + х\ + х\ -f 1 = 0, либо
вещественной непрерывной проективной группе вещественной
нелинейчатой поверхности х\ + х\ + х\ — 1 = 0.
Мы видим, что в случае трехмерного пространства свободы движения
в бесконечно малом достаточно, чтобы описать евклидовы и неевклидовы
движения, что является еще одним примером того, что трехмерное
пространство существенно отличается от двумерного.
Сейчас мы в состоянии немедленно указать все вещественные
непрерывные проективные группы обыкновенного пространства, которые в
некоторой вещественной точке общего положения обладают свободой движения
в бесконечно малом.
Действительно, каждая проективная группа (3, обладающая этим
свойством, подобна относительно вещественного точечного преобразования
одной из трех групп, упомянутых в только что доказанной теореме. Но
согласно теореме 19, стр. 292, каждую из этих трех групп снова в проективную
группу можно перевести только посредством проективного
преобразования, и следовательно, вещественное точечное преобразование,
относительно которого группа & подобна одной из наших трех групп, является
проективным. Отметим, наконец, что одна из перечисленных в теореме 40 групп
обладает свободой движения в бесконечно малом во всех без исключения
вещественных точках пространства, в то время как две другие группы
обладают этим свойством лишь в части пространства. Полученные результаты
можно сформулировать следующим образом:
Теорема 41. Если вещественная непрерывная проективная группа
обыкновенного пространства обладает свободой движения в бесконечно
малом во всех без исключения вещественных точках этого пространства,

то она является шестипараметрической и транзитивной и состоит из
всех вещественных проективных преобразований, которые оставляют на
месте невырожденную комплексную поверхность второго порядка,
задаваемую вещественным уравнением.
Предложение 2. Если вещественная непрерывная проективная группа
обыкновенного трехмерного пространства обладает свободой движения в
бесконечно малом не во всех вещественных точках этого пространства,
а лишь во всех вещественных точках некоторой области, то она
является шестипараметрической и транзитивной, причем она либо
является непрерывной вещественной проективной группой невырожденной
вещественной нелинейчатой поверхности второго порядка, либо она подобна
относительно вещественного проективного преобразования группе
евклидовых движений.
§99
Прежде, чем мы займемся распространением результатов предыдущих
параграфов на случай пространств произвольной размерности, необходимо
коротко пояснить некоторые выражения, которыми мы будем пользоваться
(ср. также прим. на стр. 338).
Через каждую точку n-мерного пространства х\...хп проходит оо1
линейных элементов dx\ : • • • : dxn, которые образуют (п — 1)-мерное
проективное многообразие. В случае обыкновенного трехмерного
пространства каждый пучок, состоящий из оо1 таких линейных элементов, мы
называли элементом поверхности; в случае пространства Rn мы будем
использовать термин элемент многообразия размерности два или
короче М2-элемент. Точно так же, всякая связка оо2 линейных элементов
будет называться элементом многообразия размерности три или короче М$-
элементом, и так далее. Наконец, линейные элементы мы будем также
называть Mi-элементами.
Теперь мы можем определить, что мы понимаем под свободой
движения в бесконечно малом в случае пространства Rn.
Определение 3* Вещественная группа точечных преобразований
пространства Rn обладает в вещественной точке Р свободой движения в
бесконечно малом, если она удовлетворяет следующим требованиям: если
зафиксирована точка Р, а таю/се произвольный проходящий через нее
вещественный Mi-элемент, произвольный проходящий через них веществен-

ный М2-элемент, произвольный проходящих через все три вещественный
Ms-элемент, и так далее, и наконец, произвольный вещественный Мя-
элемент, проходящий через все предыдущие элементы, то непрерывное
двиэ/сение долэ/сно быть возмоэ/сно тогда и только тогда, когда q < п — 1.
Весьма возможно, что результаты, полученные нами в § 98 для
пространства размерности три, переносятся на любое пространство
размерности п > 3. Другими словами, вполне возможно, что верны следующие
утверждения.
Теорема 42. Если вещественная непрерывная группа
пространства Rn (п ^ 3) обладает в некоторой вещественной точке общего
положения свободой движения в бесконечно малом, то она является \п(п +
+ 1)-параметрической и транзитивной и подобна относительно
вещественного точечного преобразования пространства Rn либо группе
евклидовых движений этого пространства, либо одной из двух групп
неевклидовых движений этого пространства, то есть (во втором случае) либо
вещественной непрерывной проективной группе многообразия
х\ + х\ + ... + х2п + 1 = О,
либо вещественной непрерывной проективной группе многообразия
х\+х22 + ... +х2п- 1 =0.
Теорема 43. Если вещественная непрерывная проективная группа
пространства Rn (п ^ 3) обладает свободой движения в бесконечно
малом во всех без исключения вещественных точках этого пространства, то
она является \п(п 4- 1)-параметрической и транзитивной и состоит из
всех вещественных проективных преобразований, которые оставляют на
месте невырожденное комплексное многообразие второго порядка,
задаваемое вещественным уравнением.
Предложение 3. Если вещественная непрерывная проективная
группа пространства Rn (п ^ 3) обладает свободой движения в бесконечно
малом не во всех вещественных точках этого пространства, а лишь во всех
вещественных точках некоторой области, то она является \п{п +
^-параметрической и транзитивной, причем она либо является непрерывной
вещественной проективной группой невыроэ/сденного вещественного
нелинейчатого многообразия второго порядка, либо она подобна относительно

вещественного проективного преобразования пространства Rn группе
евклидовых движений этого пространства.
Сейчас мы покажем, что так оно и есть. Очевидно, что для этого нам
нужно лишь показать, что из истинности этих утверждений в пространстве
размерности п ^ 3 всегда следует их истинность в пространстве
размерности п + 1. Поскольку мы уже знаем, что эти утверждения верны при п — 3,
этим будет доказана их справедливость для каждого п ^ 3.
Предположим что теоремы 42 и 43, а также предложение 3 уже
доказаны для пространства размерности п ^ 3. Сделав это предположение,
найдем теперь все вещественные непрерывные группы пространства i?n+ь
которые обладают свободой движения в бесконечно малом в любой
вещественной точке общего положения.
Пусть G — вещественная непрерывная группа пространства i?n+i,
обладающая свободой движения в бесконечно малом в вещественной точке
общего положения Р. Если зафиксировать точку Р, затем зафиксировать
произвольный проходящий через нее вещественный Mi-элемент, затем
произвольный проходящий через них вещественный Мг-элемент, и так далее,
и наконец, произвольный вещественный Mn_i-элемент, проходящий
через все предшествующие элементы, то каждый вещественный Мп-элемент,
проходящий через этот зафиксированный Mn_i-элемент, должен под
действием группы G вращаться около него; в противном случае непрерывное
движение было бы невозможно уже при фиксировании п — 1 упомянутых
элементов.
Отсюда следует, что группа G транзитивна. Действительно, если бы
она была интранзитивной, то пространство Rn-\-i одним или даже
бесконечным количеством способов распадалось бы на оо1 инвариантных
вещественных n-мерных многообразий, и следовательно, через точку Р,
являющуюся точкой общего положения, проходил бы по меньшей мере один
вещественный Мп-элемент, который бы оставался на месте вместе с
точкой Р и поэтому не мог бы непрерывно вращаться около лежащих в нем
вещественных Mn_i-элементов.
Вспомним теперь, что проходящие через точку Р ооп вещественных
Mi-элементов образуют плоское n-мерное многообразие, которое при
фиксированном Р преобразуется посредством некоторой вещественной
проективной группы д. Воспользуемся проективным соответствием между
Mi-элементами этого многообразия и вещественными точками некоторого
плоского n-мерного пространства В!п. Каждому Mi-элементу, проходящему

через точку Р, при этом соответствует точка пространства Rfn, каждому
вещественному М2-элементу, проходящему через Р, взаимно однозначно
соответствует вещественный М[-элемент пространства Rfn, и вообще,
каждому вещественному М^-элементу, проходящему через Р, взаимно
однозначно соответствует вещественный M/q_1 -элемент пространства R'n; наконец,
группе g соответствует некоторая голоэдрически изоморфная ей
вещественная проективная группа д' пространства R'n. Если теперь в пространстве R'n
зафиксировать некоторую точку, затем произвольный проходящий через нее
вещественный М[ -элемент, произвольный проходящий через них обоих
вещественный М^-элемент, и так далее, и наконец, произвольный
вещественный М^_2-элемент, проходящий через все предшествующие элементы, то
каждый вещественный М!п_1 -элемент, проходящий через эту точку и через
все эти элементы, должен под действием группы д' непрерывно вращаться
около этого М^_2-элемента. В противном случае наша группа G не
удовлетворяла бы требованию о свободе движения в бесконечно малом в точке Р.
Таким образом, вещественная проективная группа д' пространства R'n
обладает свободой движения в бесконечно малом в любой без исключения
вещественной точке пространства Rfn.
Согласно нашему предположению, в n-мерном пространстве Rfn
верна теорема 43, и следовательно, группа д' является \п{п +
^-параметрической и посредством вещественного проективного преобразования
пространства R'n приводится к такому виду, при котором она оставляет на
месте комплексное многообразие второго порядка
х'12 + х'22+... +x;2 + i = о.
Но тогда группа g также является \п(п + 1)-параметрической и
посредством вещественного линейного однородного преобразования
дифференциалов dx\ ... drrn+i приводится к такому виду, при котором она оставляет
на месте комплексное многообразие Mi-элементов, задаваемое уравнением
dxi2 + ... + dxn2 + Gten+i2 = 0. (4)
Возвращаясь к группе G, мы получаем, что под действием этой группы
при фиксировании точки Р ооп вещественных М\ -элементов
преобразуются \п(п + 1)-параметрически, причем так, что на месте остается некоторое
комплексное многообразие второго порядка, состоящее из Mi-элементов.
Если точку Р с помощью вещественного точечного преобразования
перенести в начало координат, то посредством некоторого вещественного
линейного однородного преобразования переменных х\... хп+\ мы всегда можем

добиться того, чтобы это комплексное многообразие задавалось
уравнением (4).
Наконец, следует еще отметить, что группа G является ^(п -Ь 1)(п +
+ 2)-параметрической. Действительно, если зафиксировать точку Р, то
параметры группы G будут подчиняться п + 1 условиям; если теперь
зафиксировать все ооп проходящих через Р вещественных М\ -элементов, то
параметры группы G будут подчиняться еще \п{п + 1) условиям, поскольку
эти ооп М\-элементов при фиксировании Р преобразуются ^п(п +
^-параметрически. Но если зафиксирована точка Р и все проходящие через нее
вещественные М\ -элементы, то вместе с ними на месте остаются и все
вещественные Мг-, Мз-, ..., Мп-элементы, проходящие через Р, так что
непрерывное движение уже невозможно. Следовательно, число параметров
группы G должно равняться
л n(n + l) (n + l)(n + 2)
П + 1 + ^Т^ = ~2 *
Теперь группу G описать совсем несложно.
Как и выше, выберем переменные х\... xn+i так, чтобы точка Р была
началом координат. Тогда в окрестности начала координат G, очевидно,
содержит ^(n+l)(n+2) независимыхинфинитезимальныхпреобразований
вида
71+1
Pi + * * * , ' ' ' , Рп+1 + ' ' ' , ХцР" ~ х»Рц + а^ ^2 ХтРт + " '
т=1
(д,|/=1...п+1; /i</^),
где ol^v — вещественные константы. С учетом того, что группа G является
в точности ^(п + 1)(п + 2)-параметрической, коммутируя эти
преобразования между собой, мы получим, что все а'м„ равны нулю. Таким образом,
группа G принадлежит к группам, найденным на стр. 385-392. Более
того, мы получаем, что с помощью вещественного точечного преобразования
пространства P^+i группу G можно перевести либо в группу евклидовых
движений этого пространства, либо в вещественную непрерывную
проективную группу одного из следующих двух многообразий второго порядка:
х\ + • • • + х2п+1 ±1 = 0.
Итак, мы доказали, что если в пространстве размерности п _ 3
верна теорема 43, то в пространстве размерности п + 1 всегда верна
теорема 42.

Но если в пространстве размерности п + 1 справедлива теорема 42, то
в этом пространстве справедлива и теорема 43, а также предложение 3.
В самом деле, при только что сделанном предположении каждая
вещественная непрерывная проективная группа (3 пространства Rn+i,
обладающая в некоторой вещественной точке общего положения свободой
движения в бесконечно малом, подобна относительно вещественного
точечного преобразования либо группе евклидовых движений пространства Дп+ь
либо одной из двух групп неевклидовых движений этого пространства. Но
согласно теореме 19, стр. 292, это вещественное точечное преобразование
обязано быть проективным, и следовательно при сделанном
предположении мы незамедлительно приходим к теореме 43 и предложению 3.
Этим доказано, что если теоремы 42 и 43, а также предложение 3
верны в пространстве размерности п ^ 3, то они справедливы и в
пространстве размерности п + 1. Поскольку они уже доказаны для случая
обыкновенного трехмерного пространства, мы заключаем, что они верны
для пространства произвольной размерности.
Итак, если п ^ 3, то группа евклидовых движений и обе группы
неевклидовых движений пространства Rn полностью определяются
требованием о том, чтобы они в некоторой вещественной точке общего положения
обладали свободой движения в бесконечно малом.
Отметим также, что полученные результаты верны не только для тех
вещественных групп, конечные преобразования которых задаются
аналитическими уравнениями, но и для тех, конечные уравнения которых не
являются аналитическими, правда, при условии, что эти уравнение допускают
некоторое количество дифференцирований относительно переменных и
параметров (см. стр. 365 и 366).
§ 100. О последиссертационной [???] речи Римана
Только что проведенные исследования относительно свободы
движения в бесконечно малом довольно тесно связаны с некоторыми
рассуждениями, которые Риман в общих чертах обрисовал в своей
последиссертационной [???] речи. Поэтому мы бы хотели довольно подробно остановиться
на содержании этой речи, тем более что она имеет много точек
соприкосновения со всеми новейшими исследованиями по основаниям геометрии.
Читать Римана всегда непросто, однако его хорошо известная речь "О
гипотезах, лежащих в основе геометрии" представляет для нашего пони-

мания трудности совсем особого рода. Риман должен был держать свою
речь перед собранием, которое лишь частично состояло из математиков, и
поэтому он попытался быть понятным как можно более широкому кругу
слушателей. Из-за этого, однако, во многом пострадала точность и
определенность его выражений, и как следствие, теперь нередко именно
математики пребывают в сомнении насчет того, что же он собственно хотел
сказать.
Этот недостаток изложения особенно ощутим в том месте, где Риман
говорит о подвижности фигур в n-мерном пространстве. Там Риман
пользуется выражениями, которые могут показаться наглядными нематематику, но
об истинном смысле которых даже математик может только догадываться.
К сожалению, содержание речи Римана так и не было подвержено
всестороннему и подробному исследованию, подобному нашему обсуждению
содержания работы Гельмгольца "О фактах, лежащих в основе геометрии",
проделанному в главе 21. Теория римановой кривизны пространства Rn,
правда, была восстановлена по содержащимся в этой речи намекам, и было
показано, что, действительно, если риманова кривизна всюду постоянна, то
элемент длины можно привести к указанному Риманом виду. Однако
рассуждения Римана о подвижности фигур, по-видимому, вообще не
привлекли к себе внимания, хотя в римановой постановке вопроса об основаниях
геометрии именно эти рассуждения играют особо важную роль. С другой
стороны безотлагательного изучения требует и ряд других моментов речи
Римана.
Было бы очень похвально, если бы кто-нибудь взял на себя труд
проследить ход мыслей Римана шаг за шагом и, насколько это возможно,
ответить на различные вопросы, которые будут при этом напрашиваться. Мы,
однако, не ставим себе такой цели и удовольствуемся лишь несколькими
указаниями, которые, будем надеяться, сподвигнут кого-нибудь на такой
пересмотр идей Римана.
Как было отмечено выше, Риман с самого начала предполагал, что
точки n-мерного пространства определяются п координатами х\.. ,хп. Тогда
же (на стр. 394) мы сказали, что Риман попытался это доказать. Однако
возможно, что в этом мы были несправедливы по отношению к Риману. Дело
в том, что это можно понимать и так, что Риман смотрел на это
предположение как на нечто само собой разумеющееся. Гельмгольц, по-видимому,
считал, что Риман выдвинул это предположение в виде аксиомы*.
*См. Gott. Nadir., 1868г., стр. 198.

Чтобы быть в состоянии проводить измерения в n-мерном
пространстве, в качестве следующей гипотезы Риман выдвигает предположение о
том, что каждая линия, то есть каждое одномерное многообразие,
измерима через [???] любую другую линию*. При этом, чтобы действительно
производить измерения, нужно определить выражение для элемента
длины, то есть выражение для длины бесконечно малого кусочка линии,
заключенного между двумя бесконечно близкими точками х„ и хи + dxv.
Риман предполагает, что этот элемент длины является однородной
функцией первой степени относительно dx\ ... dxn, значение которой остается
неизменным при перемене знака всех dxv и которая, кроме того, зависит
еще и от х\.. .хп.
Теперь все сводится к тому, чтобы найти точный вид элемента длины.
С этой целью Риман без единого слова обоснования предполагает, что две
произвольные, не являющиеся бесконечно близкими точки также отстоят
друг от друга на вполне определенном расстоянии; другими словами, он
сразу же предполагает существование некоторой функции
Ъ1\Х\ , , , Хп\ Х\ , , , Хп)^
которая имеет одно и то же значение для всех х\...хп,
"равноотстоящих" от точки £j... х^. Отсюда нельзя заключить, хотел Риман этим
сделать новое предположение или он считал, что из существования элемента
длины, обладающего указанным свойством, следует существование такой
функции Q. Последнее во всяком случае совсем неочевидно, поскольку из
существования элемента длины существование такой функции Q следует
лишь тогда, когда этот элемент длины определяет кратчайшую линию
между любыми двумя точками; поэтому сперва нужно было бы доказать, что
существование такой кратчайшей линии следует из ранее сделанного
предположения относительно этого элемента длины.
Можно непосредственно убедиться в том, что существование элемента длины
ш(х\ ... хп; dx\ ... dxn),
являющегося произвольной однородной функцией первой степени относительно
dx\ ... dxn, не всегда влечет существование функции расстояния
Q{x\ .. .хп; хг.. .хп)
между двумя конечно удаленными друг от друга точками.
*См. Собрание сочинений Римана, первое издание, стр. 259 и далее.

Действительно, пусть Г — наибольшая непрерывная группа вещественных
точечных преобразований пространства Rn, под действием которой элемент длины
и; (ж, dx) остается инвариантным. Очевидно, что тогда существование этого
элемента длины равносильно тому, что две бесконечно близкие точки xv и xv + dxv
имеют относительно группы Г инвариант uj(x, dx). Существование же функции
расстояния Q{x,y) было бы равносильно тому, что две конечно удаленные друг
от друга точки хи и уи должны были бы относительно группы Г иметь инвариант
f2(x,y).
Однако существуют группы, относительно которых бесконечно близкие точки
хи и хи + dxu обладают инвариантом вида со(х, dx), в то время как точки хи и yv
инвариантов не имеют. Примером такой группы является приведенная на стр. 457
группа
g, xq + г, x2q + 2жг, x3q 4- Зж2г, р, хр — zr
пространства Яз. Относительно этой группы две бесконечно близкие точки x,y,z
и х + dx, у + dy, z + dz имеют инвариант dy — z dx, а две конечно удаленные друг
от друга точки инвариантов не имеют.
Впрочем, возможно, что дело будет обстоять иначе, если мы вместе с Риманом
добавим еще предположение о том, что при обращении знаков всех dxv значение
элемента длины lj(x, dx) не изменяется. В этом случае из приведенного только
что примера нельзя ничего заключить, поскольку инвариант dz — ydx [???] не
удовлетворяет требованию Римана. Мы, однако, не будем заниматься поднятым здесь
вопросом.
Продолжим изложение хода мыслей Римана.
Итак, Риман предполагает, что существует функция
i/(Xi . . . Хп\ Х^ . . . Хп),
которая имеет одно и то же значение для всех точек, равноотстоящих от
точки х\.. . х£. По-видимому, здесь впервые возникает общее понятие
функции расстояния в n-мерном пространстве.
Относительно функции J? Риман предполагает, что она, как функция
величин х\... хп, в окрестности точки х\ ... х^ возрастает во всех
направлениях и, следовательно, имеет минимум при xv — x%. Он также считает,
что при xv — х® все ее первые и вторые производные конечны. При этих
предположениях первый дифференциал функции Q должен при xv — х^
обращаться в нуль, а второй ее дифференциал
or и — } -—-— ах и ахи
*—' дх^дху

при подстановке xv = х„ не может быть отрицательным ни при каких
dx\... dxn.
Риман ограничивается рассмотрением того случая, когда
дифференциал d2Q при хи = х®у обращается во всюду положительную квадратичную
форму от dx\... dxn. Квадрат соответствующего точке х\ ... х^п элемента
длины ds может тогда отличаться от выражения
п
Е
лишь на постоянный, не зависящий от х\ ... х^ множитель, и
следовательно, элемент длины в произвольной точке Х\... хп задается уравнением
вида
п
ds2 = 22 a^(xi • • -Xnjdx^dxv, (5)
где a^j являются вещественными функциями, определитель которых
тождественно равен нулю, и где правая часть при общем [???] значении
величин х\... хп является всюду положительной функцией.
Вывод выражения для элемента длины воспроизведен здесь так
подробно потому, что он представляет особенный интерес главным образом
из-за введения функции расстояния.
Найденное выражение для элемента длины позволяет применить
вариационное исчисление, и мы получаем, что между любыми двумя точками,
лежащими внутри некоторой области, возможна единственная кратчайшая
линия, полностью принадлежащая этой области. Кроме того, ясно, что
через каждую точку Х\... хп проходит ровно одна кратчайшая линия, которая
содержит заданный линейный элемент dx\ : • • • : dxn, проходящий через
эту точку.
Далее, Риман рассматривает произвольную точку х\...хп и
произвольный проходящий через нее М2-элемент и через каждый из оо1
линейных элементов этого М2-элемента проводит проходящую через него
кратчайшую линию. Возникающее таким образом двумерное многообразие
однозначно определяется выбранным M<i-элементом, и его гауссова кривизна
имеет в точке х\ ... хп вполне определенное значение. Значение этой
гауссовой кривизны, которое зависит только от вида (5) элемента длины, Риман
называет мерой кривизны, которую имеет n-мерное пространство с
элементом длины (5) в точке х\... хп в направлении выбранного М2-элемента.
dzQ
dxndxjy
(JLX д (АХ i/

Более того, он утверждает, что, обратно, элемент длины (5) n-мерного
пространства в общем случае полностью определяется заданием кривизны в
каждой точке в направлении ^п(п — 1) М<ъ-элементов общего взаимного
положения.
Среди n-мерных многообразий, имеющих элемент длины вида (5), Ри-
ман рассматривает, в частности, те, для которых кривизна всюду постоянна,
то есть, для которых кривизна имеет одно и то же значение во всех точках
всех проходящих через них [???] А^-элементов. О них он говорит
следующее:
"Общее свойство многообразий, кривизна которых постоянна,
состоит в том, что фигуры в таких пространствах передвигаются без
растяжения*. Действительно, очевидно, что если бы кривизна не была
постоянной в каждой точке во всех направлениях, то фигуры нельзя было бы
переносить параллельно и поворачивать произвольным образом. Однако,
с другой стороны, кривизна полностью определяет метрические свойства
[massverhaltnisse ???] многообразия. Таким образом, метрические свойства
около одной точки во всех направлениях являются точно такими же, как и
около любой другой точки, и значит, в этой другой точке возможны те же
самые построения. Следовательно, фигуры в многообразиях с постоянной
кривизной могут принимать любые положения."
Смысл этих слов заключается в том, что требование о том, чтобы
кривизна была всюду постоянной, равносильно некоторым требованиям о
подвижности фигур. Взяв эти требования за основу, мы можем передать ход
мыслей Римана более точно, однако не совершенно точно:
Среди всех многообразий, элемент длины которых имеет вид (5), Ри-
ман ищет все те, в которых фигуры могут принимать произвольные
положения, то есть, в которых фигуры могут перемещаться параллельно
и поворачиваться произвольным образом, не претерпевая при этом растя-
э/сений. Он приходит к выводу о том, что многообразия, кривизна которых
всюду постоянна, являются единственными многообразиями, в которых
фигуры передвигаются таким образом.
Однако, как следует понимать то, что фигуры могут принимать
произвольные положения или что они должны параллельно перемещаться и
поворачиваться произвольным образом, не претерпевая при этом
растяжений?
* Здесь, на самом деле, Риман должен был добавить еще слова "произвольным образом".

Сперва мы выясним, что означает фраза о том, что фигуры
передвигаются без растяжения.
Когда Риман говорит о движении фигур, он, несомненно,
предполагает, что это движение является непрерывным. На это указывают,
например, слова "параллельно перемещаются" и "поворачиваются", которые он
употребляет. Но каждое непрерывное движение влечет за собой
непрерывное изменение координат движущихся точек и, следовательно, доставляет
непрерывное семейство оо1 вещественных преобразований
х'и = f„(xi . . . Хп\ t) (i/=l...n) (б)
многообразия х\... хп, причем это семейство содержит тождественное
преобразование (ср. стр. 440). Чтобы фигуры при этом движении не
претерпевали растяжений, длина каждой линии должна оставаться
неизменной; другими словами, оо1 преобразований (б) должны оставлять
инвариантным элемент длины (5). Обратно, ясно, что каждое семейство оо1
преобразований (6), оставляющее инвариантным элемент длины (5) и
содержащее тождественное преобразование, задает непрерывное движение, при
котором фигуры не претерпевают растяжений. Следовательно, требование
0 том, чтобы фигуры могли двигаться без растяжения, равносильно
требованию о существовании по меньшей мере одного непрерывного семейства
001 преобразований (6), которое бы оставляло инвариантным элемент
длины (5) и содержало тождественное преобразование.
Совокупность всех вещественных преобразований, относительно
которых элемент длины (5) остается инвариантным, несомненно, образует
некоторую группу 0, и эта группа (5 всегда содержит некоторую
непрерывную подгруппу G, не содержащуюся ни в какой большей непрерывной
подгруппе группы ©. Если теперь (6) является каким-либо семейством оо1
вещественных преобразований, содержащим тождественное
преобразование и принадлежащим группе G, то очевидно, что это семейство
определяет непрерывное движение, при котором не происходит растяжения фигур.
Обратно, если (6) является непрерывным движением, при котором
фигуры не претерпевают растяжения, то семейство (б) принадлежит, очевидно,
группе G. Отсюда следует, что G полностью определяется совокупностью
всех движений, при которых фигуры не претерпевают растяжений. Кроме
того, ясно, что преобразования группы G определяют совокупность всех
положений, в которые фигуры переводятся при непрерывном движении без
растяжения.

Однако, что означает требование Римана о том, что фигуры должны
параллельно перемещаться и поворачиваться без растяжений
произвольным образом!
Очевидно, что выражение "произвольным образом" слишком
неопределенно, чтобы из него можно было сделать какие-либо выводы, и поэтому
о его смысле можно только догадываться.
Мы полагаем, что параллельное смещение фигур произвольным
образом Риман представлял себе так, что при всех движениях фигуры, при
которых она не претерпевает растяжений, произвольная точка этой фигуры
может переходить в любую другую точку пространства. При такой
интерпретации требование о том, чтобы фигуры параллельно перемещались
произвольным образом, равносильно тому, что определенная выше группа G
должна быть транзитивной.
Под поворотами же Риман может понимать лишь те движения, которые
возможны после фиксирования произвольной точки. Требование о том,
чтобы фигуры поворачивались произвольным образом, мы понимаем так, что
наиболее общее движение без растяжения, возможное после фиксирования
начала координат, должно зависеть от такого числа параметров, которое не
противоречит инвариантности выражения
п
У^ afll,(0...0)dx^Ldxl,,
то есть, что транзитивная группа G должна содержать наибольшее
возможное число параметров.
Чтобы отдать себе отчет в важности этого требования, мы должны
выяснить, какие же движения без растяжения возможны после фиксирования
некоторой вещественной точки общего положения.
Для простоты мы будем считать, что начало координат является
точкой общего положения и что, более того, элемент длины посредством
вещественного линейного однородного преобразования величин х\... хп
приведен к такому виду, что при
Х\ = Х2 = ... = Хп = О
он принимает значение
dxi2 + dx22 + ... + dxn2.
(7)

Тогда каждое движение без растяжения, еще возможное после
фиксирования начала координат, задается преобразованием вида
п
х'к = ^ак„х„ + --- (fc=i...n), (8)
//=1
оставляющим инвариантным элемент длины (5); при этом определитель,
составленный из ак1У не может равняться нулю, а опущенные члены имеют
относительно х\...хп порядок два или выше.
При сделанных предположениях ясно, что соответствующее
преобразованию (8) укороченное преобразование
п
X'k = ^UkvXv (fc=l...n) (9)
должно оставлять инвариантным дифференциальное выражение (7). Далее,
легко увидеть, что преобразование (8) полностью определяется заданием
соответствующего укороченного преобразования (9). Дело в том, что
укороченное преобразование (9) показывает, как преобразуются проходящие
через начало координат oon_1 линейных элементов. Но через каждый
линейный элемент dx\ : • • • : dxn начала координат проходит ровно одна
кратчайшая линия и каждая точка этой кратчайшей линии полностью
определена, если кроме соответствующего линейного элемента известно еще и
ее расстояние г от начала координат. Таким образом, если известно, что под
действием преобразования (8), оставляющего инвариантным элемент
длины (5), линейный элемент dx\ : • • • : dxn переходит в линейный элемент
dx\ : • • • : dxn\ то это определяет и новое положение х[ ... х'п,
принимаемое точкой х\.. .хп под действием преобразования (8): х\...х'п является,
очевидно, той точкой, которая лежит на кратчайшей линии, проходящей
через линейный элемент dx\ : ♦ ♦ ♦ : dxnf на расстоянии г от начала координат.
Отсюда мы заключаем, что каждое движение без растяжения, которое
еще возможно после фиксирования начала координат, полностью
определяется тем, каким образом оно преобразует линейные элементы, проходящие
через начало координат. Следовательно, если мы потребуем, чтобы
наиболее общее движение без растяжения, возможное после фиксирования
начала координат, зависело от как можно большего числа параметров, то это
будет равносильно тому, как если бы мы потребовали, чтобы при
фиксировании начала координат проходящие через него линейные элементы преоб-

разовывались под действием группы G посредством проективной группы,
зависящей от как можно большего числа параметров.
Собирая вместе все полученные результаты, мы можем сказать: когда
Риман требует, чтобы существовал всюду положительный элемент
длины вида (5) и чтобы фигуры пространства х\... хп параллельно
перемещались и поворачивались произвольным образом, не претерпевая при этом
растяжения, то это равносильно требованию о том, чтобы элемент
длины (5) был инвариантен относительно некоторой непрерывной группы G,
которая, во-первых, является транзитивной, а во-вторых, преобразует
oon_1 вещественных линейных элементов, проходящих через каждую
фиксированную вещественную точку общего положения, наиболее общим
образом (ср. стр. 355-356).
Комбинируя теперь теорему 28, стр. 353-354, и исследования,
проведенные на стр. 385-392, мы мгновенно убеждаемся, что каждая
вещественная группа G, удовлетворяющая перечисленным здесь требованиям,
с помощью вещественного точечного преобразования переводится либо в
группу евклидовых движений пространства Rn, либо в одну из двух групп
неевклидовых движений. Таким образом, для того, чтобы полностью
описать эти три группы движений, вполне достаточно требований, которые
Риман предъявляет к подвижности фигур, вместе с требованием относительно
элемента длины.
Сделаем еще пару замечаний насчет того, как сам Риман решает свою
задачу.
Риман говорит: "Очевидно, что если бы кривизна не была постоянной
в каждой точке во всех направлениях, то фигуры нельзя было бы
переносить параллельно и поворачивать произвольным образом." Далее из
постоянства кривизны он заключает, что метрические свойства около одной
точки во всех направлениях являются точно такими же, как и около любой
другой точки, откуда он получает, что фигуры параллельно перемещаются
и поворачиваются произвольным образом без растяжения описанным выше
образом.
Очевидно, что требование о том, чтобы кривизна была постоянной во
всех точках и во всех направлениях проходящих через них М*ъ-элементов,
необходимо для того, чтобы группа G была транзитивной и чтобы при
фиксировании некоторой вещественной точки общего положения каждый
вещественный М2 -элемент, проходящий через эту точку, мог под
действием группы G переходить в любой другой такой М2-элемент. Обратно, если
группа G такова, что при фиксировании некоторой вещественной точки об-

щего положения каждый вещественный М2-элемент, проходящий через эту
точку, может переходить в любой другой такой А^-элемент, то легко
убедиться, что эта группа транзитивна и что кривизна во всех точках во всех
проходящих через них вещественных Л/2-элементах имеет одно и то же
значение. Но отсюда, согласно Риману, следует, что фигуры параллельно
перемещаются и поворачиваются произвольным образом без растяжения, а
это равносильно тому, что при фиксировании вещественной точки общего
положения проходящие через нее линейные элементы преобразуются под
действием группы G наиболее общим образом.
Итак, рассуждения Римана приводят к следующему утверждению:
Если G — наибольшая вещественная непрерывная группа,
оставляющая инвариантным всюду положительное дифференциальное выражение
вида (5), и если эта группа такова, что при фиксировании некоторой
вещественной точки общего положения каждый вещественный М2-элемент,
проходящий через эту точку, может переходить в любой другой такой
М2-элемент, то проходящие через эту точку оо1 линейных элементов
преобразуются под действием этой группы наиболее общим образом.
Риман предполагает, что квадрат элемента длины является всюду
положительным дифференциальным выражением второй степени и добавляет
требование о том, чтобы фигуры параллельно перемещались и
поворачивались произвольным образом, не претерпевая растяжений. Это последнее
требование, если его толковать, как это делаем мы, равносильно
требованию о том, чтобы соответствующее дифференциальное выражение
допускало некоторую непрерывную вещественную группу G, которая
является транзитивной и под действием которой линейные элементы,
проходящие через каждую фиксированную вещественную точку общего
положения, преобразуются наиболее общим образом.
Ясно, что при этих предположениях вещественная группа G
обладает свободой движения в бесконечно малом в каждой вещественной точке
общего положения. С другой стороны в § 97-99 мы показали, что каждая
вещественная группа & пространства Rn (n > 2), которая обладает
свободой движения в бесконечно малом в некоторой вещественной точке общего
положения, посредством вещественного точечного преобразования
переводится либо в группу евклидовых движений, либо в одну из двух групп
неевклидовых движений. Таким образом, римановых требований о
существовании квадратичного, всюду положительного элемента дуги и о том,
чтобы фигуры параллельно перемещались и поворачивались произвольным

образом, вполне достаточно для описания евклидовых и неевклидовых
движений, если только второе из этих требований понимать так, как это
делалось выше. Но мы видим также, что требование о свободе движения в
бесконечно малом вместе с требованием о том, чтобы движения
образовывали группу, полностью заменяет эти два, казалось бы, более сильных
требования Рьшана.
Сейчас мы еще покажем, что существование всюду положительного
квадратичного элемента длины можно вывести непосредственно из требования о свободе
движения в бесконечно малом, не опираясь на результаты, полученные в § 97-99.
Прежде всего, можно намного проще, чем там показать, что каждая
вещественная проективная группа, обладающая свободой движения в бесконечно малом
во всех вещественных точках пространства, совпадает с вещественной проективной
группой комплексной поверхности второго порядка, уравнение которой является
вещественным.
В случае плоскости мы доказываем это так же, как в § 97. Чтобы доказать
это для общего случая, мы предполагаем, что это уже доказано для пространства
размерности п — 1 ^ 2, а затем показываем, что это утверждение верно и в
пространстве размерности п.
Действительно, если это утверждение доказано для пространства
размерности п — 1, то легко убедиться, что каждая вещественная проективная группа 7
пространства Rn, обладающая свободой движения в бесконечно малом в окрестности
некоторой точки общего положения, имеет \п{п+ 1) параметров и что с помощью
вещественного проективного преобразования ее можно привести к виду
п п
J,k=l т=1
п
(д,1/=1...п: 7/|1,т+7„/,т=0).
Вычисления, практически ничем не отличающиеся от вычислений со стр. 290-292,
показывают, что посредством вещественного проективного преобразования
группа 7 может принимать вид
Рд + CXyJJ, Х^ри - XvPy, (Ai,i/=l...n).
Если, в частности, 7 обладает свободой движения в бесконечно малом во всех
вещественных точках пространства, то константа с должна быть положительной, и
следовательно, в этом случае 7 при подходящем выборе переменных будет состоять

из всех вещественных проективных преобразований, оставляющих на месте
многообразие
х\ + • • • + хп + 1 = 0.
Этим мы прямо доказали, что наше утверждение верно для пространства Rn,
если оно верно для пространства Rn-u и поскольку оно справедливо в случае
плоскости, то этим оно доказано для случая пространства произвольной размерности.
Рассмотрим теперь произвольную группу G пространства Яп, которая
обладает свободой движения в бесконечно малом в окрестности некоторой вещественной
точки общего положения. Тогда точно так же, как на стр. 482-484, доказывается, что
группа G является транзитивной и ^п(п+ 1)-параметрической и что ее с помощью
вещественного преобразования можно привести к виду
V» Н , Х^р» - XuPfx H (/x,i/=l...n).
Отсюда следует, что при фиксированном начале координат дифференциалы
dx\ ... dxn преобразуются так, что дифференциальное выражение
dx\ + ... + dxn (10)
остается инвариантным. Но поскольку начало координат является точкой общего
положения и поскольку наша группа транзитивна, мы видим, что такое
дифференциальное выражение соответствует каждой точке общего положения, причем,
чтобы получить дифференциальное выражение, соответствующее точке х? . ..х°,
достаточно подействовать на выражение (10) любым преобразованием
хи — fv{x\ . . .Хп) (i/=l...n),
которое переводит в эту точку начало координат, а затем в коэффициентах
полученного выражения подставить xv = х^.
Дифференциальные выражения, приписываемые таким образом точкам
пространства, под действием преобразований из нашей группы переставляются между
собой точно так же, как сами точки, откуда снова следует, что наша группа
оставляет инвариантным некоторое дифференциальное выражение вида
п
/] OLkv{x\ ...in) dxk dxv,
k,v = l
которое в начале координат принимает вид (10) и, следовательно, для вещественных
точек xi ...хп общего положения переходит во всюду положительную
квадратичную форму от dx\ ... dxn.
Этим, не используя теорему 42, стр. 481, мы доказали, что каждая
вещественная группа, обладающая свободой движения в бесконечно малом в некоторой
вещественной точке общего положения, оставляет инвариантным некоторое всюду

положительное дифференциальное выражение второй степени. Другими словами,
мы показали, что с помощью аксиомы о свободе движения в бесконечно малом
можно вывести риманову аксиому об элементе длины, не определяя сами группы,
обладающие свободой движения в бесконечно малом*.
В заключение, мы бы хотели еще посвятить несколько слов одному месту в
пробной лекции Римана, которое в предложенной там формулировке
представляется нам малопонятным. Мы имеем в виду то место на стр. 265 первого издания его
собрания сочинений, где он применяет свои рассуждения относительно
определения метрических свойств n-мерной величины к случаю пространства.
Прежде всего, трудно понять, какой смысл несет слово "во-первых" в абзаце,
начинающемся со слов: "Во-первых, их можно ...". Это "во-первых" указывает на
последующее "во-вторых", которое появляется в словах: "Если же, во-вторых,
предположить ...". Однако это "во-вторых" отвечает совсем не нашему "во-первых".
Дело в том, что в то время как "во-первых" вводит условия, которые при
определенных предположениях являются необходимыми и достаточными для определения
метрических свойств (евклидова) пространства, после слова "во-вторых" Риман не
дает, как следовало бы ожидать, другой формулировки этих условий, но вводит
новые предположения. Таким образом, слова "Если же, во-вторых, предположить
..." отвечают не этому "во-первых", а словам "если предположить независимость
линий от ...". Отсюда видно, что "во-первых" не имеет никакого отношения к
"во-вторых" и что оно, на самом деле, совсем не нужно. Действительно, все станет
довольно ясно*, если выбросить "во-первых", убрать абзац перед "Во-первых, их
можно ..." и, наконец, вставить слово "евклидова", как это сделано выше.
После уведомления, которым мы обязаны г-ну X. Веберу, редактору
собрания сочинений Римана, не подлежит никакому сомнению, что Риман действительно
написал "во-первых", что исключает возможность другого толкования. Вследствие
этого, похоже, нам не остается ничего иного, как предположить, что Риман
допустил здесь лишь стилистическую оплошность.
*На это Ли указал еще в 1890 году в Leipziger Berichten (см. прим. на стр. 292).
t Правда, остается еще выяснить, что означают слова "Наконец, в-третьих, можно было бы
...", что нам, однако, не удалось. Впрочем, в лекции Римана есть и другие места,
представляющиеся нам по меньшей мере непонятными.

Глава 23
Второе решение задачи
Римана-Гельмгольца
Прежде всего, мы вернемся к замечаниям, сделанным во введении к
предыдущей главе (см. стр. 471-472). Мы сохраним принятую там точку
зрения и снова займемся отысканием свойств, которые являются общими
для группы евклидовых и обеих групп неевклидовых движений и которые
выделяют эти три группы среди всех непрерывных групп с попарно
обратными преобразованиями. Однако, если свойства, рассмотренные в
предыдущей главе, имели дело лишь с бесконечно близкими точкам, сейчас мы
сосредоточимся только на тех свойствах, которые касаются взаимного
поведения конечно удаленных друг от друга точек.
Риман не делает различия между аксиомами, относящимися к
бесконечно близким точкам, и аксиомами, относящимися к конечно удаленным
друг от друга точкам. Используемые Риманом аксиомы, которые, правда,
сформулированы им неявно или во всяком случае не очень четко и ясно,
относятся частично к одному, частично к другому виду точек. Требование
Римана о существовании элемента длины относится к бесконечно близким
точкам. Однако, как мы уже отметили на стр. 487^88, из существования
элемента длины без дополнительных условий на этот элемент еще не
следует существование функции расстояния между двумя конечно удаленными
друг от друга точками. Несмотря на это Риман, не давая подробного
обоснования, предполагает существование такой функции расстояния, делая тем
самым предположение, касающееся конечно удаленных друг от друга
точек. Наконец, очень неопределенно сформулированные требования Римана
о подвижности фигур без растяжения также относятся к конечно
удаленным друг от друга точкам; однако благодаря особым свойствам элемента
длины, который Риман выводит из предполагаемой им функции
расстояния, эти требования без труда переносятся на случай бесконечно близких
точек (ср. стр. 490-495[???]).

Аксиомы Гельмгольца, в той формулировке, в которой они появляются
в начале его работы, относятся к конечно удаленным друг от друга точкам.
Однако он применяет их и к бесконечно близким точкам, недопустимость
чего мы доказали в главе 21.
Основное отличие между аксиомами, касающимися конечно
удаленных друг от друга точек, и аксиомами, касающимися бесконечно близких
точек, впервые отчетливо проявляется в нашем изложении. Риман, правда,
делает некоторые намеки, которые позволяют высказать предположение о
том, что у него были аналогичные мысли, однако его выражения* носят
слишком общий характер, чтобы можно было утверждать, что он все-таки
имеет в виду.
Наше первое решение задачи Римана-Гельмгольца касается только
бесконечно близких точек; выражаясь точнее, оно решает задачу нахождения
всех групп, которые определяются некоторыми свойствами в бесконечно
малом. Правда, нужно признать, что требование о том, чтобы движения
образовывали группу, относится к конечно удаленным друг от друга точкам,
однако требования такого рода избежать нельзя, поскольку при
рассмотрении движений речь обязательно идет о конечных изменениях
местоположения точек.
Наше второе решение рассматривает задачу, имеющую дело только с
конечно удаленными друг от друга точками. Понятие бесконечно близких
точек затрагивается лишь тогда, когда мы требуем, чтобы различные точки
оставались различными, то есть, чтобы две конечно удаленные друг от
друга точки под действием любого движения оставались конечно удаленными
и никогда не переходили в бесконечно близкие точки^.
Если при рассмотрении задачи Римана-Гельмгольца взять за основу
аксиомы, касающиеся конечно удаленных друга от друга точек, то решить
ее несравненно труднее, чем при использовании аксиом о бесконечно
близких точках. По этой причине наше первое решение (см. гл. 22) полностью
закрывает и случай пространства размерности п, в то время как наше
второе решение, изложенное в настоящей главе, лишь в некотором смысле
полностью закрывает только случай трехмерного пространства,
являющийся, правда, самым важным. В случае пространства размерности п мы
показываем лишь, что достаточно сформулировать некоторые аксиомы, ко-
*См. собрание его сочинений, 1-е изд., стр. 267
"I"Такой же характер носит и то решение задачи Римана-Гельмгольца, которое мы привели
в главе 21, основываясь на аксиомах Гельмгольца.

торые касаются конечно удаленных друг от друга точек и которые требуют
во всяком случае меньше, чем аксиомы Гельмгольца; однако мы не
утверждаем, что при п > 3 эти аксиомы не будут содержать ничего лишнего, и
считаем даже вполне вероятным, что без этого не обойдется.
В § 101 мы доказываем одно общее утверждение насчет групп,
относительно которых две точки имеют инвариант. Затем, в § 102, мы
рассматриваем случай пространства размерности три, где мы несколько раз
пользуемся утверждением, доказанным в § 101. Наконец, в § 103 мы занимаемся
случаем пространства размерности четыре и в заключение показываем в
общих чертах, как поставленную задачу можно решить в пространствах,
размерность которых превышает четыре.
§101
Уже при обсуждении работы Гельмгольца мы упомянули, что
нужно быть чрезвычайно осторожным, делая выводы о поведении
бесконечно близких точек исходя из того, как ведут себя конечно удаленные друг
от друга точки. Это однако не означает, что таких выводов вообще делать
нельзя. Действительно, имеет место следующая теорема.
Теорема 44. Если относительно некоторой непрерывной,
порожденной инфинитезималъными преобразованиями группы n-мерного
пространства две конечно удаленные друг от друга точки Х\... хп и у\... уп
имеют инвариант, то и две бесконечно близкие точки хи и xv + dxu имеют
относительно этой группы по меньшей мере один инвариант, или,
выражаясь более точно, эта группа оставляет на месте по меньшей мере одно
выражение вида
J(x\... хп\ dx\... dxn).
Для простоты мы сперва докажем эту теорему для конечных
непрерывных групп.
Пусть
Xkf = ^2 &v{Xl . . . Хп)-^— (fc=l...r)
— произвольная r-параметрическая группа. Положим
Ybf = ^€кЛУ1 • • -Уп)-
дУ»'

Для того, чтобы точки хи и yv обладали инвариантом (2(х,у), необходимо
и достаточно, чтобы уравнения
Xkf + Ykf = 0 (fc=i...r)
(1)
относительно 2п переменных хи и уи имели общее решение или, что
равносильно, чтобы все миноры порядка 2п матрицы
(fc=l,2...r)
(2)
равнялись нулю.
Если, предполагая, что это условие выполнено, положить уи — хи +
+ dx,,, то легко убедиться, что нулю равны и все миноры порядка In
матрицы
Ы(х). --€kn(x) d£ki(x). ..d£kn(x)\
(fc=l...r)
Следовательно, группа
(2')
Щ + ElZ^x;
/У=1
<ЭХТ
(fc=l...r)
от 2п переменных х,у, х'у, получающаяся расширением группы X\f ... Xrf
(ср. том I, стр. 524 и далее), непременно является интранзитивной и
оставляет инвариантной по меньшей мере одну функцию ш(х\... хп; х[ ... х'п).
Более того, легко увидеть, что эту функцию ш всегда можно выбрать так,
чтобы она зависела хотя бы от одной из величин х'у. Действительно,
если уравнения (1) не имеют общего решения, не зависящего от у\... уп, то
очевидно, что уравнения
*/+£ Е
д&Лх)
(3)
f/:/;_ i fj:r/.
не имеют общего решения, не зависящего от х\... х'п. Если, с другой
стороны, уравнения (1) имеют общее решение Q(x\... хп), не зависящее от
всех г/1... уп, то они имеют также решение fi(yi.,
всех х\... хп, и тогда, очевидно, выражение
(fc=l...r)
. Уп), не зависящее от
Е
Т=1
9i?(xi. ..хп)
<9хг
Я.Г

является общим решением уравнений (3), зависящим по крайней мере от
одной из величин x'v.
Отсюда следует, что относительно группы X±f ... Xrf две бесконечно
близкие точки хи и хи + dxv обладают инвариантом всегда, когда
инвариантом обладают точки xv и yv, что доказывает справедливость нашей
теоремы 44 для всех конечных непрерывных групп.
До сих пор при доказательстве теоремы 44 мы ограничивались
конечными непрерывными группами, однако нетрудно увидеть, что наше
доказательство применимо вообще ко всем конечным и бесконечным
непрерывным группам, порождаемым инфинитезимальными преобразованиями.
Действительно, если Xf — наиболее общее инфинитезимальное
преобразование некоторой группы, a Yf имеет тот же смысл, что и выше, то
две точки х,у и уи тогда и только тогда имеют инвариант относительно этой
группы, когда совокупность всех уравнений
Xf + Yf = 0
содержит не более, чем 2п — 1 независимых друг от друга уравнений.
Однако, если это условие выполнено, то совокупность всех уравнений
также содержит самое большое 2п — 1 независимых друг от друга
уравнений, вследствие чего точки xv и хи + dxu непременно обладают
инвариантом.
Этим наша теорема полностью доказана.
Если уже известно, что относительно данной непрерывной группы две
конечно удаленные друг от друга точки х„ и у„ имеют инвариант П(х,у),
то возникает вопрос, можно ли из ft получить выражение для инварианта
двух бесконечно близких точек Xjy и Xjy + dxi>\ то, что эти две точки
имеют инвариант следует из теоремы 44. Отысканием ответа на этот вопрос
мы заниматься не будем и лишь заметим, что искомый инвариант точек хи
и хи + dxu можно указать всегда, когда выражение П(х,х + dx)
раскладывается в обыкновенный степенной ряд по степеням величин dx\... dxn.
Действительно, в этом случае, чтобы получить искомый инвариант, нужно
отыскать целую однородную функцию наименьшей степени относительно
dx\... dxn, входящую в разложение выражения ft(x,x + dx) по степеням

величин dx\... dxn. Если же П(х, x + dx) не раскладывается в
обыкновенный степенной ряд по степеням величин dx\... dxn, то инвариант точек xv
и xv + dx,y не выводится непосредственно из выражения П(х,х + dx).
Хотелось бы обладать простым критерием того, имеют две
бесконечно близкие точки инвариант относительно некоторой группы или нет. Дело
в том, что как только доказано, что они не имеют инвариантов, то на
основании теоремы 44 сразу ясно, что инвариантов не имеют и две конечно
удаленные друг от друга точки. Сейчас мы покажем, как можно получить
такой критерий.
Рассмотрим какую-либо конечную или бесконечную группу G,
порождаемую инфинитезимальными преобразованиями. Среди инфинитези-
мальных преобразований группы G, оставляющих на месте некоторую
точку #i... х^ общего положения, существует некоторое количество, скажем
т ^ п2, независимых друг от друга преобразований:
^2 аь»лх»~xV)~q~ + ••• (fc=i-™)> (4)
которые имеют первый порядок относительно х^ — х^ и никакая
линейная комбинация которых не дает преобразований порядка два или выше
относительно х^ — ж°. Тогда очевидно, что члены первого порядка в
каждом инфинитезимальном преобразовании группы G, оставляющем точку
х\ ... х^ на месте, получаются линейной комбинацией членов первого
порядка преобразований (4).
Отсюда следует, что инфинитезимальные преобразования
A*f = ^2 ак^Х^Ъхг {к=1-'т) (5)
п'
переменных х[ ...х'п образуют га-параметрическую линейную
однородную группу, которая полностью определяется группой G и точкой х\ ... х^
Эта линейная однородная группа, существование которой в случае
конечной непрерывной группы G известно на уже из тома I, стр. 599 и далее,
имеет очень простой смысл: она показывает, как под действием группы G
преобразуются точки
х°и + dxu — х^ + x'vdt (v=i...n),

бесконечно близкие к точке х® ... х^, если эту точку зафиксировать. В этом
легко убедиться, приняв во внимание то, что точки, бесконечно близкие к
точке х\ ... х„, на самом деле, преобразуются только посредством членов
первого порядка инфинитезимальных преобразований (4).*
Если теперь бесконечно близкие точки xv и xv + dxv имеют
относительно группы G инвариант и(х\... хп\ dx\ ... dxn), то ясно, что при
фиксировании точки х% бесконечно близкая ей точка х% + dxv
преобразуется так, что выражение и)[х\ ... х\; dx\... dxn) остается инвариантным.
Таким образом, в этом случае и(х\ ... х^; х[... х'п) является инвариантом
группы (5).
Если, с другой стороны, группа (5) обладает некоторым инвариантом
ip(x[ ... х'п), то отсюда следует, что две произвольные бесконечно близкие
точки обладают инвариантом относительно G. Действительно, если
группа G интранзитивна и если x(xi - - -хп) — какой-нибудь инвариант
группы G, то очевидно, что выражение
п
Е
дх(х)
,=1 дх>
dxv
является инвариантом бесконечно близких точек хи и хи + dxv. Если же
группа G транзитивна, подействуем всеми преобразованиями из группы G
на выражение
tp(dxi. ..dxn);
при этом мы получим, что каждой точке пространства соответствует вполне
определенное выражение такого рода и что все эти выражения переходят
друг в друга под действием преобразований из G. Но это означает, что
существует инвариантное относительно G выражение
u(xi. ..хп, <Ь\ ...dxn)
и что, следовательно, две произвольные бесконечно близкие точки имеют
инвариант относительно G (ср. стр. 496).
Отсюда видно, что две произвольные бесконечно близкие точки тогда и
только тогда имеют инвариант относительно группы G, когда инвариантом
обладает ранее определенная линейная однородная группа (5) от
переменных х[... х'п. Сформулируем этот результат следующим образом:
* До сих пор в большинстве случаев мы понимали х[ ... х'и как однородные
координаты ооп-1 линейных элементов, проходящих через точку rrj ... х^\ однако указанную здесь
интерпретацию группы (5) мы также уже упоминали (ср. стр. 454).

Предложение 1. Чтобы выяснить, обладают ли две бесконечно
близкие точки инвариантом относительно некоторой непрерывной группы,
порождаемой инфинитезимальными преобразованиями, совсем
необязательно знать инфинитезимальные преобразования самой этой группы; для
этого достаточно знать члены первого порядка относительно хи — х°и в ин-
финитезимальных преобразованиях группы, оставляющей на месте точку
общего положения х\ ... х^п.
Особенно важно уметь выяснить, обладают ли две бесконечно близкие
точки хи и хи + dxu инвариантом, который является однородным первого
порядка относительно dxv. Дело в том, что если они обладают таким
инвариантом, то его можно рассматривать как элемент длины кривой и получить
посредством квадратуры, что каждая кривая имеет некоторую длину.
Существует такой инвариант или нет, выяснить совсем несложно. Для
этого, очевидно, нужно только установить, обладает ли группа (5)
инвариантом, который является однородным первого порядка относительно x'v, a
это сделать очень легко.
Если с помощью линейной комбинации инфинитезимальных
преобразований (5) можно получить преобразование
то все возможные инварианты группы (5) являются однородными нулевого
порядка, и не существует ни одного, который бы был однородным первого
порядка. Если же U f нельзя получить линейной комбинацией
преобразований (5) и если группа (5) вообще имеет инварианты, то она имеет
инвариант, являющийся однородным первого порядка, поскольку при сделанных
предположениях уравнения
n df
Akf = ^ а^Х'»-<М = ° (*=l».m) (5')
обязательно имеют общее решение.
Отсюда мы заключаем, что из существования инварианта двух
конечно удаленных точек нельзя с уверенностью утверждать о существовании
элемента длины, то есть, что функция расстояния между двумя конечно
удаленными друг от друга точками вполне моэ/сет существовать без
того, чтобы кривые имели длину. Действительно, если две конечно удаленные

друг от друга точки имеют инвариант, то, как следует из теоремы 44, две
бесконечно близкие точки хи и xv + dx}/ обладает по меньшей мере одним
инвариантом, однако все эти инварианты вполне могут быть однородными
нулевого порядка относительно dx,y, в то время как кривые имеют длину
только тогда, когда существует инвариант u>(x,dx), являющийся
однородным первого порядка относительно dxv.
Примером здесь может служить следующая трехпараметрическая
группа плоскости:
Р, Ч, xp + yq.
Относительно этой группы две конечно отстоящие друг от друга точки
обладают единственным инвариантом, который имеет вид
У2 -У\
Х2 — Х\ '
и точно так же, две бесконечно близкие точки имеют единственный
инвариант
dy_
dx'
Следовательно, в то время как для конечно удаленных друг от друга
точек существует функция расстояния, кривые не имеют длины относительно
этой группы.
Обратно, как мы уже видели, из существования инварианта u>(x,dx),
являющегося однородным первого порядка относительно dx, никак не
следует существование функции расстояния между двумя конечно удаленными
друг от друга точками (см. стр. 487-488). Теперь мы можем
переформулировать это следующим образом: даже если кривые имеют длину, совсем
необязательно, что двум конечно удаленным друг от друга точкам
соответствует функция расстояния, или кратчайшая соединяющая их линия.
Приведенные выше исследования взаимосвязи между инвариантами
конечно удаленных друг от друга точек и инвариантами бесконечно
близких точек можно существенно дополнить; их можно также обобщить,
рассматривая три или более точек, учитывая дифференциалы порядка два и
выше величин х„, и так далее. При удобном случае мы займемся этими
вопросами подробно.
Вернемся теперь к действительной цели этой главы, то есть к решению
задачи Римана-Гельмгольца; при этом, как было сказано ранее, мы сперва
ограничимся случаем трехмерного пространства.

§102
Мы утверждаем, что евклидовы и неевклидовы движения
пространства Дз полностью описываются следующими аксиомами:
I) Пространство Щ является многообразием чисел.
II) Движения пространства Дз образуют вещественную непрерывную
группу, порождаемую инфинитезималъными преобразованиями.
III) Если зафиксировать произвольную точку у®, у®, Уз общего положения,
то все вещественные точки х\,Х2,хз, в которые еще может
переходить другая вещественная точка х\,х\,х\, удовлетворяют
вещественному уравнению вида
ИЧУ1>2/2>Уз; х\,х\,х%\ хьх2,х3) = 0, (6)
которое не выполняется при х\—у\^ Х2 — у\-) хз — у® и которое (в
общем случае) задает вещественную поверхность, проходящую через
точку х?,Х2,Хз.
IV) Можно указать такую конечную трехмерную область, содержащую
точку У1,У2,Уз> что пРи фиксировании точки у®, у®, Уз любая другая
вещественная точка х\,х*2,х\ из этой области может еще
непрерывным образом переходить в любую принадлежащую этой области
вещественную точку, удовлетворяющую уравнению (б) и связанную с
точкой х\,х\,х\ посредством неприводимого непрерывного ряда
точек.
Если убрать слова, заключенные в скобки, то этих аксиом будет вполне
достаточно; это вытекает из последующих рассуждений, если в них всюду
вычеркнуть эти слова. Если эти заключенные в скобки слова из аксиомы III
оставить без изменения, то, если мы не ошибаемся, последующие
рассуждения показывают, что этих аксиом также будет достаточно.
Под G мы будем понимать произвольную конечную или бесконечную
непрерывную группу, которая порождается инфинитезимальными
преобразованиями и удовлетворяет аксиомам III и IV.
Поскольку уравнение (6) тождественно выполняется при х\ = х$, X2 —
— х\, Хз — х\, то совокупность всех вещественных точек Х\,Х2,Хз,
удовлетворяющих уравнению (6), всегда содержит непрерывное,
нераспадающееся семейство, которому принадлежит точка х^х^х^. Согласно
аксиоме III, это семейство точек (в общем случае) образует проходящую через

точку х?,Х2,Хз поверхность, (возможно, правда, что эта поверхность
вырождается в проходящую через эту точку кривую или даже в саму эту точку.
Как бы там ни было,) мы будем называть ее псевдосферой с центром в точке
2/?»У2-> Уз» соответствующей группе G (ср. стр. 402).
Теперь нашу третью аксиому можно переформулировать так:
псевдосфера с центром в точке у?, у®, Уз никогда не проходит через свой центр.
Отсюда следует, что под действием любого преобразования из группы G
две различные точки остаются различными, то есть, что конечно
удаленные друг от друга точки никогда не переходят в две бесконечно близкие
точки (ср. стр. 499).
Четвертую же аксиому можно переформулировать следующим
образом: можно указать такую конечную трехмерную область, содержащую
точку 2/1,2/2,2/3, что при фиксировании точки yj,2/2,2/3 любая другая
вещественная точка из этой области может внутри этой области совершенно
свободно передвигаться по проходящей через нее псевдосфере с центром
уЧ,у1у1
Прежде, чем мы приступим к описанию всех групп G, удовлетворяющих
нашим аксиомам, мы бы хотели сравнить наши аксиомы с аксиомами Гельмгольца.
Фактически Гельмгольц в своих аксиомах требует больше, чем мы, даже если
не принимать в расчет его аксиому монодромии. Дело в том, что, как было
показано ранее, из его первых трех аксиом следует, что движения образуют конечную
непрерывную группу, порождаемую инфинитезимальными преобразованиями. Мы
же в нашей аксиоме II требуем только, чтобы они образовывали просто
непрерывную, порождаемую инфинитезимальными преобразованиями группу, допуская тем
самым возможность того, что эта группа является бесконечной. Кроме того, наши
аксиомы III и IV требуют существенно меньше, чем третья аксиома Гельмгольца.
Действительно, в то время как Гельмгольц требует, чтобы каждая точка, если
только она не связана уравнениями, выполняющимися для нее и других
двигающихся точек, передвигалась совершенно свободно, мы требуем лишь, чтобы при
фиксировании некоторой точки совершенно свободно передвигалась любая другая
точка, которая не связана уравнением, выполняющимся для нее и для
фиксированной точки. Правда, мы добавляем еще, видимо, новое требование, заключающееся в
том, что псевдосфера не может проходить через свой центр, однако это требование
есть не более чем точная формулировка того, что неявно требовал и Гельмгольц.
Действительно, он требует, в частности, чтобы при фиксировании точки УиУ^Уз
любая другая точка могла совершенно свободно передвигаться по проходящей через
нее псевдосфере с центром в 2/?, 2/2,2/з- Но если бы одна из этих псевдосфер
проходила через свой центр, то при фиксировании точки 2/1,2/2*2/3 никакая точка Р этой

псевдосферы не могла бы свободно передвигаться по этой псевдосфере,
поскольку ни одно из невырожденных преобразований группы G, оставляющих на месте
точку г/i, г/2, у°, не переводит точку Р в инвариантную точку у и у®, Уз-
Перейдем теперь к описанию всех групп, удовлетворяющих нашим
аксиомам.
Сначала мы покажем, что каждая такая группа G транзитивна и что
две конечно отстоящие друг от друга точки имеют относительно G
ровно один инвариант.
Если бы группа G была интранзитивной, то она бы обязательно
оставляла на месте оо1 вещественных поверхностей, уравнения которых можно
было бы с помощью вещественного точечного преобразования привести
к виду хз = const. Если бы мы теперь зафиксировали некоторую
вещественную точку yj, 2/2'Уз общего положения, то очевидно, что любая другая
точка х^х^Хз могла бы принимать лишь те положения, которые бы
удовлетворяли уравнению хз = х°. Следовательно, уравнение (6) обязано бы
было иметь вид Х3 = X3. Но тогда псевдосферы с центром у®, у®, Уз
задавались бы уравнениями хз = const, и следовательно, одна из этих псевдосфер
проходила бы через свой центр, что исключено. Таким образом, группа G
не может быть интранзитивной и должна быть транзитивной.
Далее, из аксиомы IV следует, что при фиксировании некоторой
вещественной точки общего положения любая другая вещественная точка (в
общем случае) может принимать ровно оо2 различных положений.
Отсюда ясно, что не всякая пара точек пространства R^ может под действием
группы G переходить в любую другую пару точек и что, более того, пара
точек под действием G принимает не более оо5 различных положений.
Таким образом, если Xf — произвольное инфинитезимальное преобразование
группы G и если Yf имеет тот же смысл, что и на стр. 500, то среди всех
уравнений Xf + Yf — 0 должно содержаться не более пяти независимых
друг от друга уравнений. Эти уравнения имеют поэтому по меньшей мере
одно общее решение fi(x\, X2, хз; У\,У2*> Уз), то есть две точки х„ и уи
имеют во всяком случае один инвариант относительно G, а именно инвариант
f2{x,y).
Теперь из транзитивности группы G немедленно следует, что две
точки ху и уу имеют относительно G только один инвариант. Действительно,
если бы они имели два или даже три инварианта, то каждая пара точек
принимала бы под действием группы G самое большое оо4 различных
положения, и следовательно, при фиксировании некоторой точки общего по-

ложения любая другая точка в лучшем случае могла бы передвигаться по
кривой, что противоречит аксиоме IV.
Следовательно, группа G действительно транзитивна, и две конечно
удаленные друг от друга точки xv и yv имеют относительно G ровно один
инвариант i?(x,y). Отсюда мы можем заключить, что уравнение (6)
приводится к виду
tf(xbx2,x3; Vuvtvl) = Я(*1,*Ы; У^уЪуз)- (6')
Сейчас мы покажем, что наша группа G является вещественно
примитивной,
(Поскольку совокупность всех псевдосфер с центром в у^у^Уз
сдается одним уравнением и поскольку среди этих поверхностей содержится
оо1 вещественных поверхностей, ясно, что только дискретное количество
псевдосфер с центром у^у^Уз может вырождаться в кривую или точку.)
Поскольку (кроме того) никакая из псевдосфер с центром у®, у®, Уз не м0~
жет проходить через свой центр, мы убеждаемся, что при фиксировании
точки у®, у%, Уз на месте не будет оставаться никакая проходящая через эту
точку вещественная кривая или поверхность и что, следовательно,
группа G действительно является вещественно примитивной.
Теперь легко доказать, что группа G является конечной и причем не
более, чем ьиестипараметрической.
Прежде всего, ясно, что группе G соответствует по меньшей мере оо2
различных псевдосфер. Действительно, если бы их было только оо1, то
через каждую точку проходила бы лишь одна псевдосфера, и каждая точка
была бы центром проходящей через нее псевдосферы, чего, однако, быть
не должно.
Далее, пусть Pi, Р2, Р3 и Р — произвольные четыре вещественные
точки общего взаимного положения. Поскольку существует оо2 различных
псевдосфер, то две проходящие через точку Р псевдосферы с центрами
в точках Pi и р2 обязательно пересекаются по вещественной кривой С,
проходящей через Р. Если бы кривая С лежала и на проходящей через Р
псевдосфере с центром в Рз, то по этой кривой пересекались бы вообще
все псевдосферы, проходящие через Р; таким образом, при фиксировании
точки Р на месте обязательно оставалась бы и кривая С. Ранее, однако,
мы показали, что это невозможно. Отсюда следует, что три псевдосферы с
центрами Pi, P2 и Р3, проходящие через Р, пересекаются лишь в точке Р.

Если теперь зафиксировать точки Pi, Р2 и Рз, то точка Р может
передвигаться лишь в многообразии, лежащем на пересечении трех проходящих
через Р псевдосфер с центрами Рь Рг и Рз, но поскольку это
многообразие состоит лишь из самой точки Р, эта точка должна оставаться на месте.
Другими словами, как только зафиксированы три вещественные точки
общего взаимного положения, вместе с ними на месте остаются вообще все
точки пространства Рз- Поскольку группа G транзитивна и поскольку при
фиксировании некоторой точки любая другая вещественная точка общего
положения может еще описывать некоторую поверхность, то
фиксирование трех точек равносильно не более, чем шести условиям. Таким образом,
группа G является конечной и при этом не более, чем шестипараметриче-
ской.
Если зафиксировать вещественную точку общего положения Р, то
проективное многообразие, состоящее из оо2 проходящих через Р
вещественных линейных элементов, будет преобразовываться посредством некоторой
вещественной проективной группы д, которая, очевидно, является самое
большое трехпараметрической. Однако из нашей классификации всех
вещественных проективных групп плоскости (см. стр. 106-107 и 380-384)
следует, что каждая вещественная проективная группа плоскости,
имеющая менее трех параметров, оставляет на месте по меньшей мере одну
точку. Следовательно, если бы группа д имела менее, чем три параметра,
то она оставляла бы на месте по меньшей мере один проходящий через Р
вещественный линейный элемент, и отсюда следовало бы, что группа G
является вещественно импримитивной, в то время как она должна быть
вещественно примитивной. Таким образом, группа д является в точности
трехпараметрической, вследствие чего группа G является шестипараметри-
ческой. Итак,
Если вещественная группа G удовлетворяет нашим аксиомам III и IV,
то она является шестипараметрической и вещественно примитивной, две
конечно удаленные друг от друга точки имеют относительно нее ровно
один инвариант, и кроме того, оо2 вещественных линейных элементов,
проходящих через любую зафиксированную вещественную точку общего
положения, преобразуются под действием этой группы трехпараметри-
чески.
Сейчас мы должны прежде всего установить, какие различные виды
может иметь определенная выше группа д. Мы знаем, что она является
трехпараметрической и что она не оставляет на месте ни один веществен-

ный линейный элемент. Следовательно, если мы рассмотрим проективное
соответствие между оо2 проходящими через Р вещественными
линейными элементами и вещественными точками некоторой плоскости, то
группе д будет соответствовать некоторая трехпараметрическая вещественная
проективная группа д этой плоскости, которая не оставляет на месте ни
одну вещественную точку. Однако, согласно сказанному на стр. 106 и 384,
любая такая группа д либо является трехпараметрической вещественной
проективной группой невырожденного конического сечения, задаваемого
вещественным уравнением, либо она подобна относительно
вещественного проективного преобразования плоскости группе
р, q, tjp-yq + cfep + gq)-
Отсюда следует, что д оставляет на месте либо задаваемый вещественным
уравнением невырожденный конус второго порядка, либо вещественный
элемент поверхности вместе с содержащимися в нем двумя сопряженными
комплексными линейными элементами.
Если имеет место второй случай, то с каждой вещественной точкой
общего положения под действием группы G инвариантно связан
некоторый проходящий через нее вещественный элемент поверхности, и
следовательно, G обладает инвариантным вещественным пфаффовым уравнением,
которое вследствие примитивности группы G должно быть неинтегриру-
емым. Если это уравнение с помощью вещественного точечного
преобразования пространства Rs привести к виду dz — ydx — 0, то группа G
перейдет в шестипараметрическую вещественную группу G',
относительно которой уравнение dz — ydx = 0 является инвариантным. Более того,
с помощью вещественного точечного преобразования, оставляющего это
пфаффово уравнение инвариантным, можно добиться того, чтобы начало
координат х = у = z = 0 при этом являлось точкой общего положения
относительно G' (см. том II, стр. 402-403).
Если зафиксировать начало координат, то инвариантным будет
элемент поверхности dz = 0 и два лежащих в нем сопряженных комплексных
линейных элемента, которые посредством вещественного преобразования,
оставляющего инвариантными начало координат и уравнение dz — ydx = 0,
всегда можно перевести в линейные элементы
dz = dx + idy = 0, dz = dx — idy = 0. (7)
Но поскольку группа С транзитивна и поскольку при фиксировании
начала координат проходящие через него линейные элементы преобразуются

трехпараметрически, то в окрестности начала координат группа G должна
содержать три независимых инфинитезимальных преобразования первого
порядка относительно х, у, z, но ни одного преобразования порядка два
или выше. С другой стороны, мы знаем все инфинитезимальные
преобразования, которые оставляют инвариантным уравнение dz — ydx — 0 и
имеют порядок один относительно х, у, z (см. том II, стр. 405), и мы
легко убеждаемся, что среди этих преобразований существует всего четыре
преобразования, которые оставляют на месте линейные элементы (7) и
никакая линейная комбинация которых не дает преобразований порядка два
или выше. Эти четыре преобразования имеют вид
ур - хдЧ , xp + yq + 2zr Н , zp-\ , zq -\ ,
где опущенные члены имеют относительно x,y,z порядок два или выше.
Принимая во внимание то, что наша группа G' содержит ровно три
независимых инфинитезимальных преобразования первого порядка и что эти
преобразования не могут оставлять на месте ни один вещественный
линейный элемент, проходящий через начало координат, мы мгновенно
заключаем, что инфинитезимальные преобразования группы С, оставляющие на
месте начало координат, имеют вид
ур- xq + c (xp + yq + 2zr) H , zp -\ , zq H .
Кроме того, разумеется, что группа G' содержит в качестве транзитивной
подгруппы еще три инфинитезимальных преобразования нулевого порядка
вида
р + • • • , ?+■■-, г + ■ • • . (8)
Очевидно, что линейная однородная группа, сопоставляющая
группу G1 началу координат, имеет вид
у'р' - x'q' + с {х'р' + y'q' + 2zV), z'p', z'q'. (9)
Но под действием группы G' две конечно удаленные друг от друга точки
должны иметь инвариант, то есть, согласно сказанному на стр. 502-505???,
линейная однородная группа (9) должна обладать инвариантом, что,
очевидно, происходит лишь тогда, когда константа с равна нулю. Таким
образом, кроме преобразований (8) группа С содержит еще три преобразования
вида
yp-xq + ---, 2р + ---, zq + ---, (10)

и каждое инфинитезимальное преобразование группы G* получается
линейной комбинацией этих шести.
Вспомним теперь, что инфинитезимальные преобразования группы G
можно понимать и как инфинитезимальные контактные преобразования
плоскости х, z и что каждому из этих инфинитезимальных контактных
преобразований соответствует характеристическая функция, которой оно
полностью определяется. В частности, преобразования (10) имеют
следующие характеристические функции:
х2 + у2 + • • • , yz + /33(я, у) + • • • , xz + а3(х, у) + • • • ,
где аз и /33 — целые однородные функции третьей степени от переменных х
и у и где опущенные члены имеют относительно х, у, z более высокую
ступень, чем выписанные члены (см. том II, стр. 526 и 532-533). Но группа G'
должна также обязательно содержать инфинитезимальное преобразование,
характеристическая функция которого имеет вид
{уг + /3з + --- 1 хг4-аз4---} = г24-А2(х,у)г4-А4(х,у)4---- , (11)
где под А2 и А4 понимаются целые однородные функции второй и
четвертой степени от переменных х и у (см. том II, стр. 321 и 526-527). Однако
инфинитезимальное преобразование, характеристическая функция
которого имеет вид (11), имеет относительно х,у, z порядок два, в то время как
С не содержит инфинитезимальных преобразований второго порядка.
Таким образом, мы приходим к тому результату, что шестипараметрической
группы С, обладающей рассматриваемыми здесь свойствами, вообще не
существует и что, следовательно, второй из указанных на стр. 511 случаев
невозможен.
Чтобы избежать вычислений с характеристическими функциями, можно
действовать следующим образом. Группа G' оставляет на месте пфаффово уравнение
dz — у dx — 0, и если зафиксирована некоторая вещественная точка общего
положения, то в вещественном элементе поверхности, который уравнение dz — ydx =
= О сопоставляет этой точке, на месте остаются два сопряженных комплексных
линейных элемента. Отсюда следует, что группа G'', если ее понимать как группу
контактных преобразований плоскости х, z, обладает двумя комплексно
сопряженными инвариантными обыкновенными дифференциальными уравнениями второго
порядка. Следовательно, с помощью (комплексного) контактного преобразования
плоскости мы можем добиться того, чтобы интегральные кривые одного из этих
дифференциальных уравнений переходили в точки плоскости. Таким образом,
переменные х, у, z с самого начала можно выбрать так, чтобы группа G', понимаемая

как группа контактных преобразований плоскости а:, z, состояла исключительно
из расширенных точечных преобразований и, кроме того, оставляла инвариантным
еще одно обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Но, как мы
видели на стр. 76, каждая конечная непрерывная группа точечных преобразований
плоскости, обладающая инвариантным обыкновенным дифференциальным
уравнением второго порядка, подобна относительно точечного преобразования некоторой
проективной группе плоскости. Следовательно, мы можем считать, что группа G',
если она вообще существует, получается расширением некоторой шестипараметри-
ческой проективной группы плоскости. При этом, разумеется, мы можем не делать
различия между двумя проективными группами, сопряженными друг другу в общей
проективной группе или двойственными друг другу, и поэтому мы можем считать,
что G' получается расширением общей линейной группы плоскости:
р, г, хр, zp, xr, zr
и что, следовательно, в выбранных переменных х,у, z она имеет вид
р, г, хр - yq, zp - y2q, хт + q, zr + yq.
Однако на стр. 415-416 мы показали, что под действием этой группы две конечно
удаленные друг от друга точки инвариантов не имеют. Таким образом, мы снова
получаем, что групп G\ обладающих требуемыми здесь свойствами, вообще не
существует.
Остается еще рассмотреть первый из полученных на стр. 511 случаев.
В этом случае оо2 вещественных линейных элементов, проходящих
через каждую фиксированную вещественную точку общего положения,
преобразуются под действием G трехпараметрически и причем так, что на
месте остается некоторый невырожденный конус второго порядка,
состоящий из линейных элементов. Следовательно, G оставляет инвариантным
вещественное уравнение вида
з
/] c*pi,(xi,X2,X3)dxpdx„ = О,
определитель которого не равен нулю. Поскольку наша группа G является
шестипараметрической, то из теоремы 35, стр. 391, следует, что группу G
посредством вещественного точечного преобразования пространства Лз
можно перевести либо в группу евклидовых движений, либо в одну из двух

групп неевклидовых движений, либо в одну из следующих двух групп:
PU V2, РЗ, Х\Р2 -X2Pl, X2P3 + X3P2, Х3Р\ + ХгРз]
Pi+xiUi, P2+X2U2, Р3-Х3Щ,
Х1Р2 - х2ръ х2рз + х3Р2, хзР\ + ххрз-
Однако две последние группы не удовлетворяют нашей аксиоме III,
поскольку относительно каждой из них начало координат является точкой
общего положения и одна из псевдосфер с центром в начале координат
совпадает с конусом
Xi + х2 — х% = 0>
который проходит через свой центр, что противоречит предположению
аксиомы III.
Итак, мы доказали, что евклидовы и неевклидовы движения
действительно полностью описываются аксиомами, перечисленными на стр. 506-
507.
§юз
Сейчас мы покажем, что евклидовы и неевклидовы движения
пространства i?4 полностью описываются следующими аксиомами:
I) Пространство i?4 является многообразием чисел.
II) Движения пространства R^ образуют вещественную непрерывную
группу, порождаемую инфинитезимальными преобразованиями.
III) Если зафиксировать произвольную точку у\ ... у\ общего положения,
то все вещественные точки х\...х±, в которые еще может
переходить другая вещественная точка х\...х\, удовлетворяют
вещественному уравнению вида
Щу?...2/°; х\...х\- Х1...ж4) = 0, (12)
которое не выполняется при х\ — у\,..., х± — у\ и которое в общем
случае задает вещественную трехмерную поверхность, проходящую
через точку х\... х\.
IV) Можно указать такую конечную четырехмерную область,
содержащую точку у\ ... у\, что выполняются следующие условия. Если за-
фиксировать точку у\... у\, то любая другая вещественная точ-

ка х\...х\ из этой области может еще непрерывным образом
переходить в любую вещественную точку, удовлетворяющую
уравнению (12). Если Dice кроме точки у\ .. .у% зафиксировать еще какую-
нибудь другую вещественную точку z\ . . ,z% из этой области, то
любая другая вещественная точка х\... х\ из этой области
может еще непрерывным образом переходить в любую принадлежащую
этой области вещественную точку х\... х\, удовлетворяющую
уравнению (12) и уравнению
W{z\...z\\ х?...х°; х1...хА)=0. (13)
При этом везде предполагается, что точки х\ ... х°А и х\... х\
связаны друг с другом посредством неприводимого непрерывного ряда
точек такого рода.
Мы еще раз обращаем внимание читателя на то, что эти аксиомы,
возможно, содержат некоторые лишние элементы, хотя они требуют меньшего,
чем аксиомы Гельмгольца. Действительно, Гельмгольц требует, кроме того,
чтобы при фиксировании трех точек любая отличная от них точка
передвигалась совершенно свободно, насколько это допускают уравнения,
связывающие ее с этими зафиксированными точками; к этому добавляется еще
аксиома монодромии.
Пусть G — группа, удовлетворяющая нашим аксиомам. Проходящее
через точку х® ... х\ вещественное многообразие, определяемое
уравнением (12), мы, естественно, снова будем называть псевдосферой с центром
у® ... у®, соответствующей группе G. Тогда наша аксиома III говорит, что
псевдосферы в общем случае являются вещественными трехмерными
многообразиями и что псевдосфера никогда не проходит через свой центр.
Точно так же, как в предыдущем параграфе, теперь можно доказать,
что группа G транзитивна и что две конечно удаленные друг от друга точки
xi... Х4 и ух... г/4 имеют относительно G ровно один инвариант i?(x, у).
Отсюда немедленно следует, что уравнение (12) приводится к виду
/?(*!...*4; у?...у2) = Я(х?...*2; У?...у4°)- (14)
Дольше задерживаться на этом, пожалуй, ненужно.
Доказательство того, что G вещественно примитивна, также
практически полностью повторяет доказательство из § 102. Среди псевдосфер с
центром у? ... 2/$ существует лишь дискретное количество таких, которые

не являются вещественными трехмерными многообразиями и которые
вырождаются в двумерное или одномерное многообразие или даже в точку.
Поскольку, кроме того, ни одна псевдосфера не проходит через свой центр,
то при фиксировании точки 2/? • ♦ ♦ У4 никакое проходящее через нее
вещественное точечное многообразие не может оставаться на месте. Таким
образом, группа G должна быть вещественно примитивной.
Наконец, точно так же, как в § 102 можно доказать, что группа G
является конечной и при этом не более, чем десятипараметрической.
Действительно, если Р\.. . Р4 и Р — пять точек общего
взаимного положения, то четыре проходящие через Р псевдосферы с центрами
в Pi... Р4 могут пересекаться только в точке Р, поскольку если бы они
пересекались по некоторому проходящему через Р вещественному
многообразию М, содержащему не только точку Р, то по этому многообразию
пересекались бы вообще все проходящие через Р псевдосферы, и
следовательно, при фиксировании Р на месте оставалось бы и многообразие М,
что исключено. Если мы теперь зафиксируем точки Pi... Р4, то
очевидно, что Р может передвигаться лишь по пересечению проходящих через Р
псевдосфер с центрами в Pi... Р4, и поскольку это пересечение состоит
только из самой точки Р, эта точка должна оставаться на месте. Но
поскольку Р является точкой общего положения, на месте должна оставаться
каждая точка пространства. При сделанных предположениях фиксирование
точек Pi... Р4 требует самое большое 4 + 3 + 2 + 1 = 10 условий, откуда
следует, что группа G является конечной и самое большое
десятипараметрической.
Выберем теперь из псевдосфер с центром в точке Pi какую-нибудь
псевдосферу общего положения и обозначим ее через К\. Если Р2 — точка
псевдосферы К\, то всего существует оо1 псевдосфер с центром Р2, ни
одна из которых, однако, не совпадает с Ки поскольку псевдосфера не
может содержать свой центр.
Если точку Pi зафиксировать, то точка Р2 может совершенно свободно
передвигаться по псевдосфере К\, которая при сделанных
предположениях должна быть трехмерным вещественным многообразием. Если кроме Pi
зафиксировать еще и Р2, то любая другая точка Рз псевдосферы Ki
может передвигаться лишь по многообразию М', по которому К\ пересекает
проходящую через Рз псевдосферу с центром Р2; согласно аксиоме IV, она
может передвигаться по этому многообразию совершенно свободно. Мы
можем добавить, что М' при сделанных предположениях в общем случае
является двумерным вещественным многообразием.

Обозначим координаты точек псевдосферы К\ через ?i,?2,?з> и пусть
точка Р2 имеет координаты 0?, *?2^ 9з» а точка Рз — координаты ??,?2,?з-
Тогда полученные нами результаты можно переписать в следующем виде.
Если зафиксировать точку Рь то точки £ь £2, Уз псевдосферы i^i будут
преобразовываться так, что при фиксировании вещественной точки Ч?, Ог» Оз
псевдосферы К\ любая другая точка вещественная точка ????2»?з эт°й
псевдосферы может переходить во все вещественные точки £ь£2,?з этой
псевдосферы, удовлетворяющие некоторому уравнению вида
2»(«Ji,«М; У?,?2,?з; Я,?2,?з) = 0;
это уравнение в общем случае определяет некоторое принадлежащее К\
двумерное вещественное многообразие. Но точки трехмерного
многообразия К\ при фиксировании точки Р\ преобразуются, очевидно, посредством
некоторой группы G\\ кроме того, из только что сказанного следует, что
эта группа удовлетворяет всем аксиомам предыдущего параграфа, так что
мы можем заключить, что группа G\ является шестипараметрической и с
помощью вещественного точечного преобразования переменных £ь£2,?з
переводится либо в группу евклидовых движений, либо в одну из двух
групп неевклидовых движений пространства Рз- С другой стороны, как
мы видели выше, группа G является транзитивной и не более, чем деся-
типараметрической, и следовательно подгруппа группы G, оставляющая на
месте точку Pi, имеет не более шести параметров. Итак, мы получаем, что
G имеет ровно десять параметров и что при фиксировании точки Pi точки
пространства R^ преобразуются посредством шестипараметрической
группы; при этом точки каждой псевдосферы общего положения с центром в
точке Pi преобразуются посредством голоэдрически изоморфной
шестипараметрической группы, которая относительно вещественного точечного
преобразования пространства Дз подобна либо группе евклидовых, либо
одной из двух групп неевклидовых движений.
Если зафиксировать Pi и Р2, то точки псевдосферы Ки а также
точки любой другой псевдосферы общего положения с центом в Рь будут
преобразовываться трехпараметрически. Соответствующие трехпараметри-
ческие вещественные группы, разумеется, голоэдрически изоморфны друг
другу. Однако, если трехпараметрическая вещественная подгруппа
евклидовых или неевклидовых движений пространства Дз голоэдрически
изоморфна трехпараметрической подгруппе, оставляющей на месте некоторую
вещественную точку, то очевидно, что она сама является
трехпараметрической подгруппой, под действием которой на месте остается некоторая

вещественная точка (ср. стр. 385 и гл. 10). Следовательно, при
фиксированных Pi и Р2 каждая псевдосфера общего положения с центом в Pi должна
содержать инвариантную вещественную точку, причем соответствующие
точки должны, очевидно, образовывать непрерывную кривую, проходящую
через Р2. Из соображений симметрии при фиксировании точек Pi и Р2
через Pi также проходит непрерывная кривая, каждая точка которой остается
на месте.
Итак, если зафиксировать Pi и Р2, то через каждую из этих двух точек
будет проходить непрерывная вещественная кривая, точки которой
остаются на месте. Может так случится, что эти две кривые совпадают, однако
возможно также, что они отличны друг от друга. Вопрос о том,
действительно ли возможен второй случай, мы оставляем открытым. Однако для
удобства речи мы совокупность этих двух кривых назовем псевдопрямой.
Тогда мы можем сказать, что каждые две точки Pi и Р2 пространства R^
определяют проходящую через них псевдопрямую; при фиксировании
точек Pi и Р2 все точки этой псевдопрямой остаются на месте.
Ясно, что каждая точка псевдосферы Ki определяет проходящую
через Pi псевдопрямую и что определенные таким образом псевдопрямые
представляются собой все псевдопрямые, проходящие через Pi.
Действительно, если вместе с Pi зафиксировать некоторую не лежащую на Кi
точку общего положения Р, то на месте будет оставаться и некоторая точка Р'
псевдосферы Ki, и следовательно, псевдопрямая, определяемая точками
Pi и Р, совпадает с псевдопрямой, определяемой точками Pi и Р'.
Таким образом, точка Pi определяет ровно оо3 различных псевдопрямых, но
поскольку каждая из этих псевдопрямых может состоять из двух кривых,
только одна из которых проходит через Pi, то отсюда нельзя сразу
заключить, что семейство проходящих через Pi кривых, определяемое этими оо3
псевдопрямыми, состоит из оо3 различных прямых.
Поскольку точка Pi определяет оо3 различных псевдопрямых, а также
сю3 различных линейных элементов, то среди этих линейных элементов
существует некоторое количество, скажем оо771 (0 ^ т ^ 3), таких, что через
каждый из них проходит какая-нибудь из наших псевдопрямых, в то время
как ни через какой из остальных линейных элементов такая псевдопрямая
не проходит. Покажем, что число т равно трем.
Действительно, при фиксировании точки Рх определяемые этой точкой
псевдопрямые переходят друг в друга, и следовательно определенное выше
многообразие оот линейных элементов остается на месте. Поскольку,
кроме того, каждой точке псевдосферы Ki соответствует одна из проходящих

через Р\ псевдопрямых и поскольку при фиксировании точки Р\ каждая
точка псевдосферы К\ может переходить в любую другую ее точку, то при
фиксировании точки Pi каждая из определяемых ею псевдопрямых должна
переходить в любую другую такую псевдопрямую, и следовательно, то же
самое верно и для наших оот линейных элементов. Отсюда следует, что
через каждый их этих оот линейных элементов проходит оо3_т различных
псевдопрямых и что псевдосфера К\ распадается на оо3 (3 — т)-мерных
многообразий, причем таким образом, что каждому из наших оо771
линейных элементов соответствует одно из этих многообразий. Разумеется, что
при фиксировании точки Pi эти оо3 (3 — т)-мерных многообразий
псевдосферы К\ переставляются между собой. Если бы при этом т = 1 или
т = 2, то при фиксировании точки Рх точки псевдосферы К\
преобразовывались бы вещественно импримитивно, что, очевидно, не так. Если бы,
с другой стороны, т = О, то вместе с точкой Pi на месте оставалось бы
дискретное количество проходящих через нее линейных элементов, и наша
десятипараметрическая группа G была бы вещественно импримитивной, в
то время как она должна быть вещественно примитивной.
Таким образом, введенное выше число т действительно равно трем,
и следовательно, в общем случае через каждый вещественный линейный
элемент точки Pi проходит некоторая псевдопрямая.
Итак, мы доказали, что между оо3 вещественными линейными
элементами точки Pi и оо3 вещественными точками псевдосферы К\ существует
соответствие, которое, во всяком случае в некоторой области, является
взаимно однозначным и которое сохраняется под действием всех
преобразований группы G, оставляющих на месте точку Pi. Если теперь вспомнить,
что при фиксировании точки Pi проходящие через нее оо3 линейных
элементов преобразуются посредством некоторой вещественной проективной
группы д, то легко убедиться, что эта группа g подобна группе Gb
посредством которой при этом преобразуются точки псевдосферы К и причем эти
группы подобны относительно вещественного точечного преобразования
пространства Дз- Но Gi, со своей стороны, подобна относительно
вещественного точечного преобразования пространства Дз либо группе
евклидовых, либо одной из двух группы неевклидовых движений этого
пространства, и учитывая теорему 19, стр. 292, мы получаем, что группа g является
шестипараметрической и что ее посредством вещественного проективного
преобразования пространства Дз можно перевести в одну из трех только
что упомянутых групп движений.
Итак, наша десятипараметрическая группа G такова, что при фик-

сировании некоторой вещественной точки общего положения оо3
проходящих через нее вещественных линейных элементов преобразуются шести-
параметрически, причем либо евклидово, либо неевклидово.
Если указанные линейные элементы преобразуются евклидово, то
вместе с каждой вещественной точкой общего положения на месте остается
некоторая проходящая через нее связка оо2 линейных элементов, и
следовательно, G обладает инвариантным вещественным пфаффовым уравнением
вида
4
У^ olv{xi ... Х4) dxu = 0, (15)
которое, разумеется, не может быть интегрируемым, поскольку тогда G
была бы вещественно импримитивной. Но, как известно из теории проблемы
Пфаффа [???], с каждым неинтегрируемым пфаффовым уравнением от
четырех переменных инвариантно связана некоторая система уравнений. Эта
система уравнений, которая в случае вещественного уравнения (15) также
будет вещественной, должна, разумеется, быть инвариантной
относительно G, и следовательно, группа Сив этом случае должна была бы быть
вещественно импримитивной. Таким образом, случай, когда оо3 линейных
элементов, проходящих через фиксированную вещественную точку,
преобразуются евклидово, невозможен.
Если, с другой стороны, эти линейные элементы преобразуются
неевклидово, то с каждой вещественной точкой общего положения связан
комплексный или вещественный конус линейных элементов, который имеет
второй порядок и при подходящем выборе переменных принимает вид
dxi2 + ... + dx42 = 0 (16)
либо вид
dxi2 + dx22 + dx32 - dx2 = 0. (17)
Поскольку группа G является десятипараметрической и поскольку под
действием этой группы линейные элементы, проходящие через каждую
фиксированную вещественную точку, преобразуются шестипараметрически, то
из приведенных на стр. 385 и далее рассуждений следует, что группа G
посредством вещественного точечного преобразования пространства R4
может переходить либо в группу евклидовых движений, либо в одну из двух
групп неевклидовых движений пространства R4 (эти случаи возможны,
когда соответствующий конус имеет вид (16)), или что она подобна
относительно вещественного точечного преобразования пространства R4 либо

проективной группе одного из следующих двух многообразий:
X1 | Хп ' *^3 *^4 ^ '
либо группе
Pi • • • Р4> Я/хР* - XvVin xnV\ + ^4Р/х (м,«/=1,2,3)
(эти случаи отвечают конусу (17)).
Однако последние три группы исключаются из рассмотрения,
поскольку очевидно, что при каждой из них среди псевдосфер с заданным центром
всегда существует псевдосфера, проходящая через свой центр. Таким
образом, остаются только евклидовы и неевклидовы движения, и этим
доказано, что эти три семейства движений пространства R^ полностью
описываются аксиомами, перечисленными на стр. 515.
Сейчас мы бы хотели сказать несколько слов по поводу того, какой вид
эти рассуждения принимают в случае более чем четырехмерного
пространства.
В случае пространства Rn (n > 2) мы тоже требуем, чтобы это
пространство было многообразием чисел и чтобы движения образовывали
непрерывную группу, порождаемую инфинитезимальными
преобразованиями. Если зафиксирована некоторая точка у®.. .уп общего положения, то
любая другая вещественная точка х\ ... хп должна переходить лишь в те
вещественные точки х\ .. .хп, которые удовлетворяют некоторому
уравнению
W(y°1...y0n;x01...xon;xl...xn) = 0.
При этом мы предполагаем, что это уравнение в общем случае задает
(п — 1)-мерное вещественное многообразие и что оно неверно при х\ =
— У\•> • • • •> хп — Уп-
Проходящее через точку х\ ... хп вещественное многообразие,
определяемое уравнением W — 0, мы, естественно, называем псевдосферой с
центром у\ ... уп. Тогда наше последнее требование равносильно,
очевидно, требованию о том, чтобы никакая псевдосфера не проходила через свой
центр.
Наконец, мы требуем еще, чтобы в пространстве Rn можно было
указать конечную n-мерную область, внутри которой выполняются следующие
условия. Если в этой области зафиксировать некоторую точку Pi, то любая

другая точка из этой области должна внутри нее совершенно свободно
передвигаться по проходящей через нее псевдосфере с центром Pi. Если в
этой области зафиксировать q точек Р\.. .Pq общего взаимного
положения, то при q < п — 1 любая другая принадлежащая этой области точка
общего положения Р должна совершенно свободно передвигаться на
многообразии, по которому пересекаются проходящие через Р псевдосферы с
центрами Pi.. .Pq.
Мы утверждаем, что этих требований достаточно для полной
характеристики евклидовых и неевклидовых движений. Однако мы дадим лишь
набросок доказательства этого утверждения.
Мы предполагаем, что наше утверждение уже доказано для
пространства размерности п — 1, и покажем, что из этого предположения следует
его справедливость для пространства размерности п. Поскольку мы уже
доказали это утверждение для п — 3 и п = 4, отсюда будет следовать его
справедливость в общем случае.
Чтобы доказать, что наше утверждение верно в пространстве Rn, если
оно верно в пространстве Pn_i, мы действуем, как в случае п = 4. Мы
показываем, что каждая группа G, удовлетворяющая нашим аксиомам,
является транзитивной, что две конечно удаленные друг от друга точки имеют
относительно нее ровно один инвариант и что она является вещественно
примитивной, конечной и не более, чем |п(п + 1)-параметрической. Если
теперь зафиксировать вещественную точку общего положения Pi, то легко
убедиться, что точки каждой псевдосферы общего положения с центром Pi
преобразуются посредством группы, которая удовлетворяет всем аксиомам,
сформулированным для пространства i?n_i, и которую, следовательно, при
сделанных предположениях можно посредством вещественного точечного
преобразования пространства Rn-\ перевести либо в группу евклидовых,
либо в одну из двух групп неевклидовых движений этого пространства.
Отсюда следует, прежде всего, что G имеет ровно ^п(п + 1)
параметров. Далее, точно так же, как в случае п = 4 можно доказать, что
любые две точки пространства Rn определяют некоторую псевдопрямую.
При этом необходимо воспользоваться исследованиями г-на Вернера*,
который по инициативе Ли нашел максимальные подгруппы, содержащиеся в
проективной группе невырожденного многообразия второго порядка в
пространстве размерности п > 5.
После того, как доказано существование псевдопрямых, снова точно
* Math. Ann., том 35, стр. 161 и далее.

так же, как в случае п = 4, показывается, что ocn_1 вещественных
линейных элементов, проходящих через каждую фиксированную вещественную
точку общего положения, преобразуются под действием группы G либо
евклидово, либо неевклидово. Наконец, легко доказать, что они не могут
преобразовываться евклидово, и рассмотрение оставшегося случая
показывает, что группу G посредством вещественного точечного преобразования
пространства Rn можно перевести либо в группу евклидовых, либо в одну
из двух групп неевклидовых движений этого пространства.
В заключение этой главы мы бы хотели исправить небольшую
ошибку, которая вкралась в рассуждения на стр. 446^48. Дело в том, что там
сказано, что третья аксиома Гельмгольца состоит из двух частей, вторая
из которых содержит некоторые требования, которые не следуют из
требований, выдвинутых в первой ее части, хотя из его формулировки может
показаться, что эта вторая часть содержит лишь следствия из первой.
На самом деле, все обстоит несколько по-другому. Если эту первую
часть третьей аксиомы Гельмгольца понимать так, что при
фиксировании точки Pi любая другая точка может свободно передвигаться по
проходящей через нее псевдосфере с центром Pi, и если отсюда сделать тот
вывод, что псевдосфера никогда не может проходить через свой центр, то
эта вторая часть аксиомы Гельмгольца не содержит ничего, что бы не
следовало уже из первой ее части. В этом можно убедиться с помощью
рассуждений, подобных рассуждениям из настоящей главы; так, например, можно
доказать, что в пространстве Р3 три псевдосферы с центрами в точках
общего взаимного положения в общем случае пересекаются лишь в одной
точке. Поскольку в ходе нашего исследования аксиом Гельмгольца мы
всюду предполагали, что псевдосфера не может проходить через свой центр
(ср. стр. 465-466), то сделанное нами на стр. 466-467 разбиение третье
аксиомы Гельмгольца на две части неверно. Однако остается верным тот
факт, что Гельмгольц предъявил выведенные им из его третьей аксиомы
требования без обоснования, хотя их обоснование является не таким уж
простым.

Глава 24
Критика некоторых более новых
исследований по основаниям геометрии
За исследованиями Римана и Гельмгольца последовало большое
количество работ по основаниям геометрии, для большей части которых эти
исследования послужили непосредственным поводом. Здесь мы можем
рассмотреть лишь некоторые из этих работ, причем, естественно, те, которые
используют аппарат теории групп. Поэтому мы ограничимся метрической
геометрией, исследования же по основаниям проективной геометрии мы
трогать не будем*.
Сперва мы займемся работой де Тилли [???] "Sur les principes
fondamentaux de la geometrie et de la mecanique"*, а затем вкратце обсудим
некоторые замечания, сделанные Ф. Клейном и Линдеманом*; под конец,
мы обсудим еще две работы Киллинга.
§104
Де Тилли делает попытку обосновать геометрию трехмерного
пространства и сформулировать такие аксиомы, которые приводят либо к
евклидовой геометрии, либо к одной из двух неевклидовых геометрий.
*Ясно, что основания проективной геометрии также можно изучать с помощью теории
групп. Так, например, в главе 16 мы показали, что общая проективная группа пространства Rn
и подобные ей группы являются единственными конечными непрерывными группами
точечных преобразований пространства Яп, относительно которых п + 3 различные точки имеют
инвариант, а п + 2 точки инвариантов еще не имеют. Отсюда следует, что для построения
проективной геометрии n-мерного многообразия чисел требуется всего лишь одна аксиома, а
именно: в этом многообразии существует конечная непрерывная группа точечных
преобразований, относительно которой п + 2 точки не имеют инвариантов.
t Memoires de la societe des sciences phys. et nat. de Bordeaux, II. Serie, Tome 3 (1878-79rr.).
* Нижеследующие замечания по поводу работ де Тилли, Ф. Клейна и Линдемана частично
приведены в статье Ли в Leipziger Berichten за 1892г., стр. 106.

Первым делом, он определяет поверхность как границу двух частей
пространства, кривую как границу двух частей поверхности, а точку как
границу двух частей кривой.
Затем он вводит понятие расстояния между двумя точками. Под этим
он пока понимает лишь некоторую величину, определяемую этими двумя
точками; чтобы определить это понятие более точно, он рассматривает
произвольную кривую, соединяющую точки А и В, по которой в
направлении из В в А пробегает точка Р: он требует, чтобы расстояние АР при
этом изменялось непрерывно, всегда оставалось положительным и,
наконец, сходилось к нулю.
Кроме этого де Тилли делает еще следующее предположение: если
задана система произвольного количества точек А, Б, С, D... и если
задана точка В', такая что расстояния ABf и АВ равны друг другу, то
должны существовать такие точки С, D(..., что выполняются
равенства
АС = А'С, AD = A'D\...
ВС = В'С, BD = B'D\ ...
CD = C'D',... .
Де Тилли полагает, что на основании этих немногих предположений
можно доказать, что имеет место либо евклидова геометрия, либо одна из
двух неевклидовых.
На предположения де Тилли можно сразу же возразить, что не имеет
никакого смысла говорить о непрерывном изменении расстояния, если не
предполагается, что точки пространства Дз задаются координатами. Если
бы это предполагалось, то было бы ясно, что расстояние между двумя
точками А и В является функцией координат этих точек, и было бы вполне
оправдано требовать, чтобы при Р, пробегающем некоторую кривую
между Л и В, расстояние АР изменялось непрерывно. Если же такое
предположение не делается, то говорить о непрерывном изменении расстояния,
очевидно, непозволительно.
Это возражение состоятельно еще и потому, что в другом месте, не
используя понятия расстояния, де Тилли доказывает или, вернее, пытается
доказать, что точки пространства Rs определяются посредством координат.
Дело в том, что даже если бы доказательство де Тилли было безупречно,
все равно в аксиоме о расстоянии необходимо было бы ясно указать, что

предполагается, что точки определяются координатами; но даже и тогда
формулировка этой аксиомы де Тилли была бы неудовлетворительной.
Однако, предложенное де Тилли доказательство того, что точки
определяются координатами, является всем чем угодно, но только не
небезупречным. Дело в том, что это доказательство опирается на понятие
замкнутой поверхности, которое вряд ли определимо при подходе де Тилли,
а также использует разные другие соображения сомнительного свойства. И
вообще, доказывать, что каждая точка пространства Щ определяется
координатами, располагая лишь понятиями поверхности, кривой и точки,
совершенно бесперспективно. В настоящее время все большую и большую силу
приобретает та точка зрения, что введение в геометрию понятия координат
требует отдельной аксиомы, однако возможны еще различные мнения по
поводу того, как эту аксиому следует формулировать.
Отсюда следует, что аксиома де Тилли о расстоянии полностью висит в
воздухе [???] и что в таком ее виде из нее вообще нельзя делать какие-либо
выводы. Вследствие этого, рассуждения, которые де Тилли основывает на
своей аксиоме, не могут быть убедительными, хотя в некоторых
отношениях они небезынтересны.
Дело обстоит несколько иначе, если предположения де Тилли
дополнить аксиомой о том, что Д3 является многообразием чисел. Сделав это,
данному де Тилли определению можно придать вполне
удовлетворительную формулировку. Если, кроме того, добавить предположение о том, что
движения пространства Д3 образуют непрерывную группу, уравнения
которой обладают некоторыми производными, то можно даже показать, что
предположения де Тилли, усовершенствованные таким образом,
достаточны для того, чтобы описать евклидовы и неевклидовы движения.
Действительно, при сделанных предположениях аксиомы де Тилли
показывают, что при фиксировании в R% вещественной точки Р любая
другая точка этого пространства можно совершенно свободно передвигаться
по некоторой вещественной поверхности, которая никогда не проходит
через Р. Но отсюда, согласно рассуждениям предыдущей главы, немедленно
следует, что группу движений пространства Дз с помощью
вещественного точечного преобразования можно перевести либо в группу евклидовых
движений, либо в одну из двух групп неевклидовых движений.
Итак, мы видим, что предположения де Тилли можно дополнить так,
чтобы их было достаточно для характеристики евклидовых и
неевклидовых движений пространства Дз- Поэтому, как бы мы ни возражали против

исследований де Тилли в целом, мы все же охотно верим, что его работа
заслуживает внимания.
Киллинг заговаривает о работе де Тилли дважды: сперва в своей Бра-
унсбергерской Программе "Расширение понятия пространства" за 1884г., а
затем в Math. Алла/ел, том 35, стр. 430.
В первом случае Киллинг выражается очень неясно, так что нам даже
не удалось понять истинный смысл его критических замечаний. Во втором
же случае он несправедлив к де Тилли: он утверждает, что предположения
де Тилли сводятся к тому, что относительно группы движений
пространства Rs две точки должны иметь ровно один инвариант, а более двух точек
не должны иметь существенных инвариантов. Это утверждение неверно.
Из предположений де Тилли, если их понимать так, как указано ранее,
действительно следует, что группа движений обладает этими свойствами;
однако де Тилли требует также, чтобы при фиксировании некоторой точки Р
любая другая точка совершенно свободно передвигалась по некоторой не
проходящей через Р поверхности, а это требование исключает как раз те
группы, которые нельзя перевести в группу евклидовых движений или в
одну из двух групп неевклидовых движений.
Веронезе в своей книге Fondamenti di geometria также упоминает
работу де Тилли, однако делает это не вполне соответствующим образом. Он
говорит, между прочим, будто бы уже де Тилли утверждал, что аксиома мо-
нодромии Гельмгольца является излишней. Хотя де Тилли и не использует
аксиому монодромии, поскольку он даже не требует, чтобы при
фиксировании двух точек было возможно непрерывное движение, он пытается
доказать это исходя из своих предположений, а также показать, что при
фиксировании двух точек все другие точки описывают замкнутые траектории и
под конец одновременно возвращаются в свои начальные положения.
Однако де Тилли отнюдь не утверждает, что аксиома монодромии Гельмгольца
следует из остальных его (Гельмгольца) аксиом, и его рассуждения, даже
если бы они были обоснованными, не могли бы служить доказательством
такого утверждения, поскольку де Тилли делает такие предположения о
функции расстояния, которые у Гельмгольца не встречаются, и вообще, он
все аксиомы Гельмгольца заменил другими аксиомами.

§105
В статье, опубликованной в 1890г. в Math. Ann., том 37, Ф. Клейн
также затрагивает вопрос об аксиоме монодромии Гельмгольца (см. том 37,
стр. 564-565).
Там Клейн претендует на то, чтобы доказать ненужность одной части
аксиомы монодромии Гельмгольца посредством простого рассуждения без
каких бы то ни было [???] вычислений, в то время как Ли, по его мнению,
для достижения того же результата понадобилось обстоятельное
доказательство*. Веронезе, который в своей уже упомянутой книге Fondamenti di
geometria совершенно верно воспроизводит результаты, полученные в
исследованиях Ли по основаниям геометрии, подтверждает эту точку зрения
Клейна и даже утверждает, будто бы Клейн привел гораздо более простое
доказательство ненужности названной аксиомы во всей ее полноте. [???]
Однако если мы внимательно посмотрим на рассуждения Клейна, то
мы немедленно увидим, что, на самом деле, он вообще не дает
доказательства полученного Ли результата, не говоря уже о гораздо более простом
доказательстве. Дело в том, что Клейн вообще не становится на точку зрения
Гельмгольца, не исходит из первых трех аксиом Гельмгольца и не пытается
доказать, что из них можно вывести некоторую часть аксиомы
монодромии, но он применяет рассуждения, пригодность которых еще нужно
доказать исходя из гельмгольцевых аксиом, он же не доказывает это ни единым
словом.
Действительно, Клейн говорит о поворотах около некоторой оси, и
его образ действия состоит в том, что он поворачивает эту ось около
одной из ее точек до тех пор, пока она не принимает обратное направление
в своем начальном положении. Но если предполагаются только аксиомы
Гельмгольца, то под поворотами около оси можно понимать лишь те
движения, которые возможны только при фиксировании двух точек Р\\\ Р2\ о
том, остаются ли при этих движениях на месте какие-нибудь другие точки,
пока ничего неизвестно, и поэтому под осью этих поворотов можно было
бы понимать лишь совокупность точек Р\ и Р^. Однако, как нам кажется,
совершенно ясно, что к такой оси рассуждения Клейна неприменимы.
* Здесь Клейн ссылается на статью Ли "Замечания к работе Гельмгольца о фактах, лежащих
в основе геометрии" (Leipz. Ber., 1886г.). Однако в этой статье Ли приводит только результаты,
но не доказательства. Подробное доказательство ненужности всей аксиомы монодромии Ли
опубликовал только в 1890 году в Leipziger Berichten, но в то время, как Клейн писал свою
работу, он еще не был знаком с этой статьей.

И вообще, для того, чтобы доказать, что аксиома монодромии следует
из остальных аксиом Гельмгольца, нужны совсем другие средства, чем те,
которыми воспользовались Гельмгольц и Клейн. То, что к решению этого
вопроса приводит теория групп, мы уже видели.
Линдеман в своих лекциях* по геометрии также упоминает статью Ли
1886 года, однако там он допустил несколько ошибок, причем не только по
отношению к Ли, но и по отношению к Гельмгольцу.
Линдеман неправ, когда говорит, будто бы Гельмгольц точно так
же, как и он, ограничивается проективными группами. В своей статье в
Gottinger Nachrichten за 1868 год Гельмгольц и не думает требовать, чтобы
во время движений каждая прямая снова переходила в прямую; в его
аксиомах не встречается ни слово "прямая", ни понятие такого рода. Правда,
в своих научно-популярных докладах он кратчайшую линию между двумя
точками называет прямейшей, однако он использует этот термин как раз
в противоположность слову "прямая ".
Далее Линдеман допускает ошибку, утверждая (а в таком случае
рассуждения Ли были бы несостоятельны), что бесконечно малые движения
нельзя сразу представить в виде линейных функций. [???] Дело в том, что
даже если бы Гельмгольц рассматривал только проективные
преобразования, чего он, как было сказано, не делает, то все же нельзя было бы с самого
начала считать, что среди инфинитезимальных преобразований,
оставляющих на месте точку х — хо, у = уо, z = zq, не было бы таких, которые
бы содержали бы только члены второго порядка относительно х — хо, у —
— уо, z — z$. Другое дело, что вследствие ошибки, допущенной Гельмголь-
цем, его результаты, на самом деле, доказаны только для линейных, но не
для проективных групп.
Наконец, еще одно недоразумение происходит тогда, когда Линдеман
говорит, что Ли будто бы считал вероятным, что требование о том, чтобы
окружность была замкнутой линией, получается как следствие из аксиом
Гельмгольца, и когда он добавляет, что это предположение неверно в случае
параболической геометрии. Ли всегда подчеркивал, что в плоскости, если
ее рассматривать независимо, требование, чтобы окружность была
замкнутой кривой, не следует из остальных аксиом Гельмгольца. Однако он даже
не просто утверждал, но и доказал, что дело обстоит иначе, если плоскость
рассматривать как часть трехмерного пространства. В этом случае аксио-
*см. том II, часть 1, прим. на стр. 546.

ма монодромии является излишней, если подходящим образом понимать
аксиому Гельмогольца о свободе движения пространства*.
Мы воспользуемся этим удобным случаем, чтобы поправить одно место в
первом томе книги Линдемана. Мы имеем ввиду то место на стр. 1023 и далее, где
Линдеман делает попытку распространить развитую Ли теорию контактных
преобразований на тот случай, когда за основу берутся координаты коннекса Клебша
[???]. Хотя эту задачу можно без труда решить с помощью формул, к тому времени
давно полученных Ли, ни рассуждения Линдемана, ни его критерии неверны.
Мы удовлетворимся тем, что выведем правильные критерии, причем сразу для
пространства произвольной размерности.
Пусть х\... жп+1 — однородные точечные координаты в пространстве
размерности п, и пусть ui .. .un+i — однородные координаты плоских (п — 1)-мерных
многообразий этого пространства. Тогда, если относительно х и и имеет место
уравнение
п+1
^2,uuxv = 0, (1)
то х\ ... Xn+i, и\ ... Un+i являются однородными координатами A/n-i-элементов
или, как мы говорили раньше, элементов пространства Rn (см. стр. 480 и том. II,
стр. 103).
Но контактные преобразования пространства Rn можно, что, однако, требует
доказательства, без существенного ограничения общности определить как
преобразования вида
ixv — Fu(xi .. .жп+1, u\.. .un+i)
< Uu = Ф„{Х\ . ..SCn+1, U\ . ..Mn+l) (2)
[ (z/=l...n + l),
которые ведут себя так, что уравнения
п+1
п+1
п+1
u = l
п+1
— У Ui/Xi/
и —I
п+1
= У ^ ии dxv
п+1
u=l
* Сказанное выше, впрочем, не исчерпывает все ошибки, допущенные Линдеманом в
нескольких строчках. Однако далее останавливаться на них нам представляется ненужным.

выполняются тождественно. Характеристические свойства этих преобразований
можно, однако, сразу же указать на основании сказанного в томе II, стр. 135 и
далее.
Действительно, там было показано, что уравнение
п+1
п+1
У^ Фи dFv — ^ и» dxu
(4)
обращается в тождество тогда и только тогда, когда Fv являются однородными
функциями нулевого порядка относительно и, Фи являются однородными
функциями первого порядка, и тождественно выполняются уравнения
(FpFv)XtV, = {Фу,Фи)х%и = {*pFv)x%v. = О
(/х,»/=1...п+1: рфи)\
(5)
выражение (F#)s,u имеет здесь следующий смысл:
(ЕФ) = V 1<^дФ_ _ 8F дФ)
^ 1 дии дхи дхи дии \ '
Там же было доказано, что тогда 2п + 2 функции Fi... Fn+i, Ф1.. . Фп+1
всегда независимы друг от друга. С другой стороны, чтобы в тождество обращалось
уравнение
п+1
п+1
У^ Fv (1Фи — ^^ х» duu, (4')
из тех же соображений необходимо и достаточно, чтобы выполнялись уравнения (5)
и чтобы F„ были однородными функциями первого, а Фи — нулевого порядка
относительно х. Следовательно, уравнения (5) вместе с уравнениями
2>7^ = ^' £* =0
т=1
п+1
<9Ф„
дит
т=1
п+1
*■ E«-if-»
т = 1
(z/=l...n+l)
ад.
(6)
дают необходимые и достаточные условия того, что уравнения (4) и (4')
выполняются тождественно.

Однако уравнения (5) и (6) дают также необходимые и достаточные условия
того, что тождественно выполняются уравнения (3). Действительно, чтобы
выполнялись уравнения (3), во всяком случае необходимо, чтобы тождественно
выполнялись уравнения (4) и (4'), что, как мы только что показали, имеет место тогда
и только тогда, когда функции Fu и Фи удовлетворяют условиям (5) и (6). Если
это требование выполнено, то уравнения (4) и (4') являются тождествами, так что
имеет место тождество вида
п+1 п+1
У^ <PvF„ = ^2 иихи + С,
что, согласно условиям однородности (6), возможно тогда и только тогда, когда
С = 0. Таким образом, при сделанных предположениях все уравнения (3)
выполняются тождественно.
Мы заключаем, что выполнение уравнений (5) и (6) необходимо и достаточно,
и следовательно, уравнения (2) задают контактное преобразование.
§106
Киллинг опубликовал целую серию работ по основаниям геометрии, из
которых, правда, только две носят теоретико-групповой характер, а именно:
уже упомянутая Браунсбергерская Программа 1884 года и опубликованная
в 1892 году статья в Crelleschen Journal (том 109, стр. 121-186).
Программу 1884 года мы здесь обсуждать не будем, поскольку
полученные в ней результаты, касающиеся оснований геометрии,
ограничиваются лишь случаем плоскости, однако позже мы еще вернемся к ней, но
уже в другом контексте.
Что касается статьи в Crelleschen Journal, то мы, разумеется, не
можем исследовать всю эту большую статью от начала до конца, и поэтому
мы удовольствуемся тем, что выберем несколько мест, которые особенно
нуждаются в критике.
Сформулировав сперва некоторые аксиомы, касающиеся конечно
удаленных друг от друга точек, Киллинг в § 10 своей работы (стр. 159 и далее)
пытается доказать существование квадратичного элемента длины. Однако
при этом он не только делает те же ошибки, что и Гельмгольц, но и
допускает другие существенные ошибки.
Рассуждения, приведенные на стр. 161, кажутся нам малопонятными.
На стр. 162 из поведения бесконечно близких точек сразу же
делаются выводы относительно поведения конечно удаленных друг от друга

точек. Киллинг рассматривает все преобразования некоторой группы,
которые оставляют на месте определенную точку Р, и предполагает, что
бесконечно близкие к Р точки dx\ ... dxn преобразуются так, что линейное
выражение
с\ dx\ Л V сп dxn
остается инвариантным. Отсюда он заключает, что тогда вместе с точкой Р
на месте остается некоторая (п — 1)-мерная область, проходящая через Р.
Однако очевидно, что делать этот вывод нельзя, поскольку хотя при
сделанных предположениях соответствующая группа и оставляет инвариантным
пфаффово выражение вида
п
^а,Дх! ...xn)dxu,
это выражение определяет (п — 1)-мерное многообразие, проходящее
через Р и остающееся вместе с Р на месте, только если приравняв его к
нулю, мы получим интегрируемое Пфаффово уравнение.
На стр. 163 над инфинитезимальными преобразованиями
рассматриваемой там линейной однородной группы проводятся действия, которые
просто непозволительны. Поэтому ничего удивительного, что на стр. 166
Киллинг приходит к совершенно неверному утверждению относительно
линейных однородных групп. То, что это утверждение неверно, показывает
уже линейная однородная группа
x4pi + 2xip2 + Зя2рз
xiPi - Х2Р2 - Зх3рз + Зх4Р4
2x2pi + X3P2 + 3xiP4
от четырех переменных х\... х± (ср. стр. 187 этого тома). Действительно,
эта группа не оставляет на месте никакую "плоскую конфигурацию" [???],
она не является транзитивной и все же не разлагает пространство "в квад-
ратические конфигурации [???], каждая из которых переходит в себя".
В § 11 и 12 своей работы Киллинг исходит из того, что квадрат
элемента длины является дифференциальным выражением второй степени,
определитель которого не равен нулю, и спрашивает (в нашей
переформулировке), при каких условиях этот элемент длины является инвариантным
относительно некоторой ^п(п + 1)-параметрической группы, под
действием которой проходящие через любую фиксированную вещественную точку

общего положения линейные элементы преобразуются \п{п —
^-параметрически.
Он приводит три решения этой задачи. Первое из них основывается на
исследованиях Кристоффеля и Липшица в сочетании с теорией Ли
определяющих уравнений группы. Третье решение представляет собой лишь
видоизмененное решение Ли, опубликованное им уже в 1885 году в
десятом томе его норвежского архива (ср. стр. 325), однако это обстоятельство
не было даже упомянуто. Наконец, второе решение основывается, хотя и
частично, на собственных исследованиях Киллинга о структуре групп,
однако в еще большей степени на теориях Ли*.
Приведенные выше замечания, которые можно еще значительно
дополнить, являются более чем достаточным свидетельством того, что работа
Киллинга не знаменует собой какого-либо продвижения в исследованиях
по основаниям геометрии. Это тем более удивительно, что при написании
этой работы Киллинг имел в своем распоряжении всю теорию групп
преобразований. То, что Киллинг не посчитал нужным сослаться на две большие
работы Ли по основаниям геометрии, появившиеся еще в 1890 году, мы
упоминаем лишь мимоходом [???].
Посвятим еще несколько слов исследованиям Грассмана.
В приложении к вышедшему в свет в 1878 году стереотипному
изданию своего учения о протяженности, впервые опубликованного в 1844 году,
Грассман говорит об основаниях геометрии и делает при этом несколько
замечаний по поводу работ Римана и Гельмгольца. Однако эти замечания,
которые, впрочем, были написаны во время последней болезни Грассмана
и незадолго до его кончины, показывают лишь, что этому выдающемуся
геометру так и не удалось подробно изучить исследования Римана и
Гельмгольца и оценить полученные в них результаты. Особенно примечательно,
что при этом Грассман, по-видимому, не заметил того, что он в своем
учении о протяженности за 1862 год сам занимался неевклидовой геометрией
в пространстве произвольной размерности. Дело в том, что понятие
нормальной системы, введенное Грассманом на стр. 112 этой книги, сводится
по сути к тому, что каждый раз, когда в пространстве размерности п
имеет место евклидова геометрия, в связке oon_1 прямых, проходящих через
некоторую точку этого пространства, имеет место неевклидова геометрия
Римана.
* Заметим мимоходом, что Киллинг путает понятия тематический и им примитивный, а
также асистатический и примитивный.

Этот факт все же достоен внимания, поскольку Грассман в 1862
году мог еще и не знать о пробной лекцией Римана, и так как этот факт не
является общеизвестным, то, возможно, очень хорошо, что мы о нем
упомянули.

Заключительные замечания к разделу V
В заключение этого раздела мы бы хотели еще вкратце подчеркнуть
важность проделанных в нем исследований.
Основания геометрии представляют собой область, переработка
которой является трудной и, как мы часто говорим [???], довольно
неблагодарной задачей. Лишь немногие из большого количества занимавшихся этим
математиков признаны всеми их последователями, и среди них нет ни
одного, который бы оставался полностью неопровергнутым. Если Ли, несмотря
на все это, не удовлетворился лишь размышлениями об этом предмете —
какой математик при малейшей возможности не делал этого — если он
даже опубликовал целую серию больших и малых работ по этому поводу, то
этому было несколько причин.
Первоначальным поводом послужило то что, что в исследованиях Ри-
мана по основаниям геометрии возникает определенная математическая
задача, при рассмотрении которой можно использовать [???] весь анализ. Это
та задача, которую мы называем задачей Римана-Гельмгольца. Однако к
этому добавился тот факт, что все занимавшиеся этой задачей математики
допустили ряд грубых ошибок, которые проистекали из того, что эти
авторы либо вообще не имели представления о теории групп, либо их знание
этого предмета было очень поверхностным. Поэтому казалось нелишним,
во-первых, указать на допущенные ошибки, а во-вторых, показать, что
теория групп делает возможным безупречное решение этой задачи. Кроме того,
таким образом на этом интересном для каждого примере можно было бы
показать всю мощь теории групп.
Итак, речь шла о том, чтобы, с одной стороны, подвергнуть
критике более ранние работы по основаниям геометрии, а с другой стороны,
действительно решить упомянутую задачу. Сделать последнее было
значительно легче, чем первое. Дело в том, что авторы соответствующих работ
либо вообще не имели теоретико-групповых знаний, либо, если и имели,
то очень мало, так что часто их рассуждения понять очень трудно. Уже при
толковании их аксиом и гипотез часто приходится выдвигать свои
предположения и пробовать различные гипотезы. Поэтому нет ничего удиви-

тельного, если Ли с течением времени выдвигал различные интерпретации
работы Гельмгольца; даже в предложенном здесь изложении случается, что
мы не везде последовательно следуем одной и той же интерпретации 1. Мы
уже обращали внимание читателя на обусловленные этим недостатки.
Однако, какими бы неполными (в этом и, возможно, в других
отношениях) ни были наши рассуждения, мы считаем, что они являются самым
лучшим из всего, что было написано по поводу задачи Римана-Гельмгольца
со времен работы Римана.
Но в чем польза нашего решения этой задачи для геометрии? Мы
попытаемся ответить на этот вопрос, по крайней мере в виде намека [???].
Геометрия на различных своих уровнях должна, насколько это
возможно, обосновываться чисто геометрически; вряд ли кто-нибудь будет
возражать против этого требования.
На первом уровне требуются, во-первых, некоторые
основополагающие понятия, такие как пространство, точка, кривая и поверхность, а во-
вторых, некоторые аксиомы, например, аксиомы о свойствах прямых, о
существовании сферы и так далее. Любой другой возможный уровень
характеризуется введением особых аксиом; это может быть, например, аксиома
параллельности или аксиома Кантора. С помощью последней можно
разумно ввести такие геометрические понятия [???] как пространство
поверхностей [???], длина дуги и т.д., в то время как Евклиду для этого, на самом
деле, требуются новые аксиомы.
Далее, важно ответить на вопрос, какие аксиомы на каждом отдельном
уровне являются не только достаточными, но и необходимыми, то есть,
другими словами, незаменимыми. Ответ на этот вопрос дал бы окончательное
решение проблемы оснований геометрии. Однако, вряд ли существует
строгий метод, дающий такой ответ.
Риман, хотя, может быть, и не осознавая этого, обозначил путь, идя по
которому можно добиться хоть какого-нибудь прогресса. Риман
ограничивается рассмотрением многообразия чисел и пытается установить аксиомы,
достаточные для обоснования геометрии этого многообразия. Отсюда
вытекает следующий подход к решению проблемы оснований геометрии:
Пусть Z — аксиома, которая говорит, что Дз есть многообразие чисел,
и пусть А — аксиомы, которые в предположении Z являются необходимыми
и достаточными для обоснования геометрии пространства R%. Одну такую
систему аксиом А, не содержащую ничего лишнего, мы сформулировали в
главе 23.

Поскольку аксиомы Z и А в совокупности не содержат ничего
лишнего, то аксиомы А, рассматриваемые отдельно, также не содержат лишних
элементов. Поэтому нужно попытаться, сохранив аксиомы А, добавить
такие как можно более простые аксиомы, чтобы вместе с аксиомами А их
было достаточно для построения геометрии.
В этом и состоит та польза, которую дает решение задачи Римана-
Гельмгольца для оснований геометрии. Заслуга Римана в области
оснований геометрии состоит по существу в открытии пути, который приводит к
этим результатам. В остальном работа Римана представляет ценность
скорее с чисто аналитической точки зрения.
Теперь можно пойти примерно следующим путем:
Сперва нужно ввести некоторые основополагающие понятия, такие как
пространство, точка, кривая, поверхность, а также понятие движения,
которое, строго говоря, необязательно, но которое, как верно заметил де Тилли,
чрезвычайно упрощает все дело.
В качестве первой аксиомы можно было бы взять следующую: если
зафиксирована некоторая точка Р, то любая другая точка может при
этом описывать поверхность, которая не проходит через
зафиксированную точку Р. Отсюда следует, что различные точки при любых движениях
остаются различными.
Можно, пожалуй, утверждать, что введенные здесь понятия являются
неприводимыми, то есть настоящими основополагающими понятиями, и
что сформулированная аксиома также неприводима.
В качестве следующей аксиомы можно было бы, пожалуй,
потребовать, чтобы при фиксировании двух различных точек Р\ и Р^ существовало
бесконечно много точек, остающихся на месте вместе с этими двумя,
и чтобы эти точки образовывали ровно одну проходящую через Р\ и Р2
линию.
Конечно, этих аксиом еще недостаточно; их недостаточно даже на
первом уровне геометрии. Однако мы не будем пускаться в дальнейшие
рассуждения.
Наконец, короткое указание по поводу того, как с теоретико-групповой
точки зрения можно очень просто проследить разницу между евклидовой и обеими
неевклидовыми геометриями пространства Rn. Группа евклидовых движений (мы,
разумеется, как и в предыдущих главах, имеем ввиду вещественные группы)
содержит инвариантную вещественную подгруппу. Ни одна из обеих групп неевклидовых

движений не содержит вещественных инвариантных подгрупп. Что касается
разницы между обеими группами неевклидовых движений, то мы ограничимся здесь
случаем пространства Яз. В этом случае обе группы имеют вещественные четырех-
параметрические подгруппы, однако в случае геометрии Лобачевского эти группы
являются интегрируемыми, а в случае геометрии Римана — неинтегрируемыми.
На стр. 426 мы затронули вопрос о том, можно ли рассматриваемые там
группы [1], [2], [4] с помощью точечных преобразований пространства Яз перевести в
проективные группы этого пространства. Там мы показали лишь, что в случае
группы [4] ответ на этот вопрос отрицателен. Сейчас мы снова займемся этим вопросом
и на этот раз дадим исчерпывающий ответ.
Чтобы группа точечных преобразований пространства Яз была подобна
подобна некоторой проективной группе этого пространства, необходимо (см. стр. 224-
225), однако в общем случае еще недостаточно, чтобы она обладала инвариантным
семейством оо4 кривых, задаваемым двумя обыкновенными дифференциальными
уравнениями второго порядка вида
d*y_ - ю (т ?, z *а *А ti - v (г ?, z *ц *А (л)
dx2-V{x^z>dx,dx)> dx2-X{x^z'dx>dx)' И)
Рассмотрим сперва более общую задачу, которая состоит в том, чтобы для каждой
из групп [1], [2], [4] найти все инвариантные относительно нее семейства кривых
такого рода. При этом величины х,у, z мы будем рассматривать как комплексные
переменные.
Нашим дальнейшим рассуждениям мы предпошлем замечание о том, что под
действием каждой из групп [1], [2], [4] со стр. 426 оо2 линейных элементов,
проходящих через каждую зафиксированную точку общего положения, преобразуются
транзитивно.
Действительно, начало координат х — у — z — 0 является точкой общего
положения относительно каждой из наших групп. Если однородные координаты
оо2 линейных элементов, проходящих через начало координат, обозначить через
х : у : z'', то то, как эти линейные элементы преобразуются под действием групп
[1], [2], [4], определяется следующими тремя линейными однородными группами:
• // // // //
[ х г , у г , у q — сх р
I / / / / / / . / / // /г->\
< х г , уг , х р + у q — сх q (В)
^ xq+yr,2xp+yq
(ср. том I, стр. 603). Но легко убедиться, что каждая из трех групп (В) преобразует
эти оо2 линейных элементов х' : у' : z' транзитивно; действительно, если к каждой
из групп (В) добавить инфинитезимальное преобразование х'р' + у q' + z'r' (см.
том I, стр. 580), то всякий раз будет получаться транзитивная группа от переменных

х\у\г',и следовательно, каждая из групп (В) обладает инвариантом, являющимся
однородным нулевого порядка относительно х',у\ z .
Выясним теперь, какие из групп [1], [2], [4] со стр. 426 обладают
инвариантным семейством со4 кривых, задаваемым двумя дифференциальными уравнениями
вида (А).
Пусть G — одна из наших трех групп, и пусть S — такое инвариантное
относительно G семейство оо4 кривых. Через каждую точку общего положения Р тогда
проходит оо2 различных кривых из этого семейства. Эти оо2 кривых таковы, что
через каждую точку общего положения Р' в окрестности точки Р проходит
ровно одна из этих кривых; точно так же в общем случае ровно одна из этих кривых
проходит через каждый из оо2 линейных элементов точки Р. Поэтому, если мы
зафиксируем точку Р и произвольный проходящий через нее линейный элемент L
общего положения, то на месте будет оставаться и определяемая ими кривая С из
семейства S. Если же кроме точки Р зафиксировать еще одну произвольную
точку общего положения Р', лежащую на только что определенной кривой С, то эта
кривая также будет оставаться на месте.
Поскольку оо2 линейных элементов, проходящие через зафиксированную
точку Р, под действием группы G преобразуются транзитивно и поскольку группа G
сама является транзитивной, то наибольшая подгруппа д группы G, оставляющая
на месте точку Р и линейный элемент L, содержит ровно один параметр. С
другой стороны, поскольку при фиксировании точки Р точка Р' может принимать еще
оо2 различных положений, то наибольшая подгруппа д группы G, оставляющая
на месте точки Р и Р', также содержит только один параметр. Но однопараметри-
ческая группа д является, очевидно, и наибольшей содержащейся в G подгруппой,
под действием которой на месте остаются точка Р и кривая С. Поэтому, учитывая,
что под действием однопараметрической группы д точка Р и кривая С также
остаются на месте, мы убеждаемся, что подгруппы д и д' совпадают. Отсюда следует,
что д также оставляет на месте точку Р', и поскольку Р' является точкой общего
положения кривой С, то то же самое должно быть верно вообще для всех точек
кривой С.
Таким образом, если одна из групп [1], [2], [4] обладает инвариантным
семейством сю4 кривых S, задаваемым двумя дифференциальными уравнениями вида (Л),
то эта группа такова, что при фиксировании некоторой точки общего положения
и произвольного проходящего через нее линейного элемента на месте остаются и
все точки определяемой ими кривой из семейства S.
Теперь легко доказать, что группа [4] со стр. 426 не обладает инвариантными
семействами кривых требуемого здесь свойства.
Действительно, оо2 линейных элементов, проходящих через каждую
фиксированную точку Р общего положения, преобразуются под действием группы [4]
хотя и транзитивно, но только двупараметрически. Поэтому, если кроме точки Р
зафиксировать проходящий через нее линейный элемент общего положения L, то

на месте будет оставаться каждый проходящий через Р линейный элемент. Если бы
группа [4] обладала при этом инвариантным семейством S требуемого здесь
свойства, то при фиксировании точки Р и линейного элемента L на месте оставалась бы
не только каждая из оо2 проходящих через Р кривых из семейства S, но и, согласно
сказанному выше, все точки каждой из этих кривых. Но поскольку в общем случае
через каждую точку пространства проходит одна такая кривая, отсюда бы
следовало, что при фиксировании Р и L на месте оставалась бы каждая точка пространства.
Однако это приводит к противоречию, так как группа [4] содержит однопараметри-
ческую подгруппу, под действием которой на месте остается точка Р и все оо2
проходящих через нее линейных элементов, ведь она в окрестности каждой точки
общего положения xo^yo^zo содержит инфинитезимальное преобразование второго
порядка относительно х — жо, у — Уо, z — zq (cm. стр. 426).
Впрочем, ни одна из групп [1] и [2] также не обладает инвариантным
семейством кривых требуемого здесь свойства.
Рассмотрим сначала группу [1]. Зафиксируем начало координат, которое,
разумеется, является точкой общего положения, а также произвольный проходящий
через него линейный элемент общего положения х'0 : yf0 : zf0. Преобразования
группы [1], оставляющие эту точку и этот линейный элемент на месте, образуют
однопараметрическую группу, которая порождается инфинитезимальным
преобразованием
су'0х2р - x'0y2q + 2с (у'0х - х'0у)г (с#о). (С)
Если бы группа [1] обладала инвариантным семейством S требуемого свойства,
то однопараметрическая группа (С) должна была бы оставлять на месте некоторую
кривую, которая проходила бы через начало координат и линейный элемент х'0 : у'0 :
z'q и все точки которой оставались бы на месте. Но все инвариантные относительно
однопараметрической группы (С) точки определяются уравнениями
су0х2 = 0, х'0у2 = 0, с(уоХ-Хоу) = 0
(см. том I, стр. 116-117). Однако если х'0 : yf0 : z0 является линейным элементом
общего положения, то этим уравнениям удовлетворяют лишь точки прямой х = у =
= 0, которая не проходит через наш линейный элемент. Таким образом, группа [1]
не может оставлять инвариантным никакое семейство кривых S требуемого
свойства.
В случае группы [2] дело обстоит аналогично. Действительно, в этом случае
начало координат и линейный элемент х'0 : у0 : zo остаются на месте под действием
однопараметрической группы
х'0х2р+ {2х'0ху - (уо + cx'o)x2}q+
+ 2{х'0(у + сх) - (г/о + сх'0)х}г.

Но все точки, остающиеся на месте под действием этой группы, определяются
уравнениями
х0х2 = О, 2х'0ху - (уо + сх'0)х2 = О,
х'0(у + сх)- (у'о + сх'0)х = О
или, поскольку х'о : у'о : z0 должен быть линейным элементом общего положения,
уравнениями х = у = 0. Таким образом, не существует ни одной кривой,
проходящей через начало координат и линейный элемент х0 : у'0 : z'0, все точки которой
оставались бы на месте под действием однопараметрической группы (D), откуда
следует, что группа [2] также не обладает инвариантным семейством оо4 кривых
требуемого здесь свойства*.
Таким образом, поставленная нами на стр. 538 задача решена: доказано, что
ни одна из групп [1], [2], [4] со стр. 426 не обладает инвариантным семейством
оо4 кривых, задаваемым двумя дифференциальными уравнениями вида (А).
Отсюда, очевидно, следует, что никакую из этих групп нельзя посредством точечного
преобразования пространства Яз перевести в проективную группу.
То, что установлено для групп [1], [2], [4] со стр. 426, разумеется, сразу же
переносится и на подобные им группы 6, 7, 8, 9, 11 со стр. 434. Таким образом,
ни одна из групп 6, 7, 8, 9, 11 не обладает инвариантным семейством оо4 кривых,
удовлетворяющим двум дифференциальным уравнениям вида (Л), и
следовательно, ни одна из них не подобна проективной группе пространства Яз относительно
точечного преобразования этого пространства. С другой стороны, согласно
теореме 19, стр. 292, ни одну из проективных групп 1... 5 со стр. 433 нельзя с помощью
непроективного преобразования перевести снова в проективную группу. Легко
убедиться, что этим же свойством обладает и проективная группа 10 со стр. 434. Таким
образом, из теоремы 37, стр. 433, вытекает следующее утверждение:
Если относительно вещественной проективной группы пространства х, у, z
две точки имеют ровно один инвариант, а более двух точек существенных
инвариантов не гшеют, то эта группа является гиестипараметрическои, и с помогцью
вещественного проективного преобразования пространства х, у, z ее можно
перевести либо в одну из групп 1... 5 со стр. 433, либо в группу 10 со стр. 434.
Как мы видели, ни одна из групп 6, 7, 8, 9, 11 со стр. 434 не обладает
инвариантным семейством оо4 кривых, удовлетворяющим двум дифференциальным
уравнениям вида (А). Отсюда, согласно сказанному на стр. 539, следует, что ни
одна из этих групп не обладает тем свойством, что при фиксировании двух
произвольных точек Pi и Pi на месте остаются все точки некоторой проходящей через
* Большой интерес представляет задача описания всех непрерывных групп
пространства Яз, которые оставляют на месте некоторое семейство оо4 кривых требуемого здесь
свойства. Здесь мы лишь отметим, что все эти группы, как легко убедиться, являются конечными.

Pi и Pi непрерывной кривой. В этом можно убедиться и более непосредственно.
Если под действием одной из групп 6, 7, 8, 9, 11 зафиксировать начало координат,
а также произвольную точку хо,уо,<го, являющуюся точкой общего положения по
отношению к началу координат, то на месте будут оставаться и все точки прямых
х = у = 0 и х = хо, у = у0, но никакая другая точка. Таким образом, хотя
на месте остается бесконечно много точек, они не образуют непрерывную кривую,
проходящую через начало координат и точку хо,уо, zq.
Отсюда следует, что группы 6, 7, 8, 9, 11 не удовлетворяют аксиоме Евклида
о прямых, поскольку эта аксиома требует, чтобы через любые две точки Pi и Ръ
проходила ровно одна непрерывная кривая, все точки которой при фиксировании
точек Pi и Рг остаются на месте.
Наконец, легко убедиться, что группа 10 со стр. 434 также не удовлетворяет
аксиоме о прямых. Действительно, если под действием этой группы
зафиксировать начало координат и произвольную отличную от нее точку общего положения
#o,yo,2o, то на месте будут оставаться все точки плоскости уох — хоу = 0, и
следовательно, здесь не выполняется требование о том, чтобы через любые две
зафиксированные точки проходила лишь одна кривая, все точки которой остаются на
месте.
Отсюда видно, что группы 1... 5 со стр. 433 являются единственными
вещественными группами пространства R^, под действием которых две точки обладают
ровно одним инвариантом, а более двух точек не имеют существенных
инвариантов, и которые при этом удовлетворяют аксиоме о прямых. Таким образом, аксиома
о прямых выделяет среди групп теоремы 37 все те, которым соответствует
квадратичный элемент длины.
В заключение мы приведем еще два замечания, одно из которых представляет
собой поправку к сказанному выше, а второе является небольшим дополнением.
На стр. 426 сказано, что параметр с в обоих случаях является существенным и
избавиться от него нельзя. Это утверждение верно, однако, только для группы [1];
в случае же группы [2] от этого параметра можно избавиться.
Действительно, если с ф 0, то с помощью преобразования
z
Xi = СХ, У\=У, Zi = -
с
можно всегда добиться того, чтобы с = 1. Следовательно, вместо одной группы [2]
с произвольным параметром с в таблицу на стр. 426 нужно вставить следующие две

группы
р, q, xq-\-r, x2q-\- 2xr, xp + yq, x2p + 2xyq + 2yr
[V]
p, q, xq + r, x2q + 2xr, zp + yq + r,
x p + 2xyq + 2(z + y)r
ни одна из которых уже не содержит параметров. Разумеется, что эти же две группы
нужно вставить в таблицу на стр. 434 вместо группы 9.*
На стр. 460 мы упомянули, что группа 7 со стр. 434 обладает следующим
замечательным свойством: если под действием этой группы зафиксировать некоторую
точку Р, то оо2 вещественных точек каждой псевдосферы с центром Р будут
преобразовываться посредством трехпараметрической вещественной группы, подобной
группе евклидовых движений плоскости, а оо2 вещественных линейных
элементов, проходящих через точку Р, будут преобразовываться посредством проективной
группы, двойственной к группе евклидовых движений плоскости.
Мы хотим лишь добавить, что группы 6, 8 и 9 со стр. 434 ведут себя точно
так же: если под действием одной из этих групп зафиксировать некоторую точку Р,
то оо2 вещественных точек каждой псевдосферы с центром Р будут
преобразовываться посредством трехпараметрической вещественной группы д, оо2 проходящих
через Р вещественных линейных элементов будут преобразовываться посредством
трехпараметрической вещественной проективной группы д, и эти группы д и g
будут подобны друг другу относительно вещественного контактного преобразования
плоскости, но не относительно точечного преобразования.
Из этого достойного внимания свойства указанных групп следует, что если
зафиксировать точку Р и, кроме того, еще одну, отличную от нее точку общего
положения Р', то в каждой из этих двух точек на месте будет оставаться некоторый
элемент поверхности общего положения.
[21
*Это находится в соответствии с первой небольшой работой Ли по этому поводу (Leipz.
Ве/% 1886г., стр. 341).

Часть V
Общие рассуждения о конечных
непрерывных группах

Настоящим разделом мы завершаем третий том и, вместе с тем, весь
наш труд по конечным непрерывным группам преобразований. Этот
последний раздел содержит ряд общих исследований, которые по своему
характеру больше всего напоминают исследования из первого тома.
В главе 25 мы снова займемся теоремами, лежащими в основе всей
теории групп. Однако теперь, когда мы вполне освоили такие понятия,
как инфинитезимальное преобразование, однопараметрическая группа,
семейство инфинитезимальных преобразований, семейство однопараметри-
ческих групп и другие, мы можем рассмотреть эти теоремы с более общей
точки зрения. Мы подробно остановимся на абстрактном смысле этих
теорем и особенно на абстрактном смысле доказательств, которыми мы
снабдили их ранее. В результате мы, во-первых, составим себе верное
представление о сущности этих теорем и их доказательств, а во-вторых, получим
новые интересные результаты.
Впрочем, мы могли бы пойти дальше и ввести только что упомянутые
понятия инфинитезимального преобразования и т.д. независимо, что
сделало бы рассуждения главы 25 полностью независимыми от всего сказанного
ранее. Дело в том, что эти понятия, которые в нижеследующих
рассуждениях мы считаем известными, носят вполне элементарный характер, в то
время как в томе I мы получили их из довольно общих соображений.
Однако этим мы заниматься не будем, поскольку не видим в этом большой
необходимости.
В разделе I мы видели, что каждую r-параметрическую группу
посредством введения новых параметров можно привести к некоторому
каноническому виду, причем если были заданы конечные уравнения группы,
то соответствующие новые параметры определялись обыкновенными
дифференциальными уравнениями (см. том I, гл. 4 и стр. 171). В главе 26 мы
показываем, что эти дифференциальные уравнения всегда можно
проинтегрировать и что для их решения, кроме дифференцирования и исключения
переменных, в наименее благоприятном случае требуется еще лишь
некоторое количество независимых друг от друга квадратур. Отсюда мы делаем
важные выводы.
В главе 27, в дополнение к исследованиям из главы 22 первого
тома, мы описываем все r-параметрические транзитивные группы заданной
структуры.
Элементы теории структуры конечных непрерывных групп
встречаются уже в нескольких главах первого тома; назовем лишь главы о
присоединенной группе, о структуре и изоморфизме, о подобии г-параметрических

групп и о нахождении всех r-параметрических групп заданной
структуры (том I, главы 16, 17, 19 и 22). В настоящем разделе мы посвятим этой
чрезвычайно важной теории еще одну главу, главу под номером 28. В то
время как в первом разделе мы ограничились теми утверждениями о
групповой структуре, которые необходимы для обоснования общей теории
конечных непрерывных групп, в главе 28 мы занимаемся теорией структуры
ради нее самой [???]. Однако при этом мы практически везде
ограничиваемся утверждениями, известными Ли в 1884 году и к тому времени им уже
опубликованными. Исследования других математиков по этому предмету,
появившиеся начиная с 1886 года, обсуждаются в заключительной главе.
Наконец, в главе 29 мы дадим краткий критический обзор последних
[???] работ в области конечных непрерывных групп преобразований.

Глава 25
Фундаментальные теоремы теории
групп
Чтобы составить себе представление о теоремах, на которых
построена вся теория конечных непрерывных групп, лучше всего различать три
теоремы, которые можно назвать фундаментальными теоремами теории
групп.
Каждая из этих трех фундаментальных теорем представляет собой
двойную теорему, то есть, на самом деле, состоит из двух утверждений,
где второе утверждение, правда, является обращением первого.
Первая фундаментальная теорема говорит, что каждая г-параметри-
ческая группа удовлетворяет дифференциальным уравнениям особого
свойства, а именно так называемым основным [???] дифференциальным
уравнениям, и что, обратно, каждое семейство оог преобразований,
удовлетворяющее таким дифференциальным уравнениям и содержащее, кроме того,
тождественное преобразование, образует r-параметрическую группу.
Вторая фундаментальная теорема утверждает, что каждая г-пара-
метрическая группа с попарно обратными преобразованиями
порождается г независимыми инфинитезимальными преобразованиями X\f.. .Xrf,
для которых выполняются соотношения вида
г
(Х{Хк) = Y^ ciksXsf (a=i-r), (A)
s=l
и что, обратно, г независимых инфинитезимальных преобразований,
удовлетворяющих таким соотношениям, всегда порождают г-параметриче-
скую группу с попарно обратными преобразованиями.
Наконец, третья фундаментальная теорема говорит, что г3
постоянных Ciks> входящие в уравнения (А), удовлетворяют некоторым
соотношениям и что, обратно, для любого заданного набора из г3 постоянных

Ciks, удовлетворяющего этим соотношениям, можно найти г независимых
инфинитезимальных преобразований X\j... Xrf, которые в точности
удовлетворяют соотношениям (А).
Ни одна из этих фундаментальных теорем не является лишней, если
целью ставится построение всеобъемлющей теории групп. Однако
наиболее часто в теоретико-групповых исследованиях используется, безусловно,
вторая из этих теорем. Поэтому эту вторую теорему можно, пожалуй,
назвать основной теоремой всей теории групп.
Сейчас каждую из этих фундаментальных теорем мы обсудим более
подробно. При этом наша цель состоит, главным образом, в том, чтобы как
можно более прояснить абстрактный смысл [суть ???] этих теорем и их
доказательств, предъявленных в первом томе. Отметим, однако, что здесь
мы не будем заниматься вопросом об области определения встречающихся
функции; для ответа на этот вопрос мы отсылаем читателя к первому тому
§107
Пусть уравнения
х\ = fi(xi ...хп; аг... ar) (i=i ...n) (1)
с г существенными параметрами а\...аг задают произвольное семейство
оог различных преобразований, то есть пока еще необязательно г-парамет-
рическую группу. Преобразование (1) из этого семейства мы для краткости
обозначим через S(a).
Пусть теперь в(а+$а) — произвольное содержащееся в семействе (1)
преобразование, бесконечно близкое к преобразованию S(ay Тогда
преобразование S(a+sa) можно получить из преобразования S(a) и еще одного ин-
финитезимального преобразования, причем двумя различными способами.
Действительно, можно сначала выполнить преобразование S(ay а затем ин-
финитезимальное преобразование S7\S(a+sa), либо же можно сперва
выполнить инфинитезимальное преобразование S(a+$a)S7l9 а затем S(ay
Таким образом, два бесконечно близких преобразования 5(а) и 5(а+<5а)
из семейства (1) определяют два инфинитезимальных преобразования
S(a)S(a+6a) " S(a+6a)Sfay Тождество

показывает, что эти два инфинитезимальных преобразования связаны
друг с другом очень простым образом: чтобы получить преобразование
S7lS(a+say нужно в преобразовании S(a+sa)S7al ввести новые переменные
с помощью преобразования S(ay
Если предположить, что уравнения (1) разрешимы относительно
Х\ . . . Хп И ЧТО
Xi = Fi(x[... х'п; ai...ar) (t=i...n),
(!')
то рассмотренные инфинитезимальные преобразования можно выписать в
явном виде. Для инфинитезимального преобразования S(~\S(a+<$a) мы
получаем уравнения
х\ = fi(Fi(x,a)... Fn(x,a); ax +6a1,...,ar + 8аг),
которые благодаря тождеству
/t(Fi(x,a)...Fn(x,a); аг ...аг) = х{
принимают вид
~dfi(i,a)~
Vi = хг + 5Z *afc
fc=l
9afc
(г=1. . .n).
(2)
y=F(ic,a)
?-l
Уравнения инфинитезимального преобразования 5(a+<ja)5/J имеют вид
х- = Fi(/i(a;,a + 5a).../n(a;,a + (ya); ai...ar).
Разлагая их в ряд по степеням бесконечно малых величин 5а\... Sar, мы
приходим к уравнениям
fc=i i/=i
dfv(x,a)
дак
(i=l. . .n).
J vr=/(x,a)
Эти уравнения, однако, можно существенно упростить. Действительно,
дифференцирование тождества
Fi(fi(x,a)... fn(x,a); аг...аг) = х{

относительно ак дает
Е
V=l L
dfy(x,a)
дак
+
SFi(ica)
= 0,
Jf=/(a:,a)
I j=/(x,a)
и инфинитезимальное преобразование 5(а+^а)5г! принимает простой вид
Хл — Xi
Y.Sa><
k=i
дак
(г=1. . .п).
(3)
vr=/(x,a)
К этому виду можно прийти еще быстрее, если рассмотреть равенство
S(a+6a)S(a) = ( (S(a)) S(a+6a)J '
расписав которое мы мгновенно приходим к уравнениям (3).
Если величинам а придать определенные значения, а величины 5а
оставить произвольными, то уравнения (2) и (3) будут задавать два
семейства инфинитезимальных преобразований, которые уравнение (1)
сопоставляет преобразованию х\ = fi{x,a). [???] Легко увидеть, что оба эти
семейства в общем случае состоят из oor_1 различных инфинитезимальных
преобразований.
Действительно, все инфинитезимальные преобразования (2)
получаются линейной комбинацией г инфинитезимальных преобразований
ы = £
2=1 L
дак
а/
J y=/(x,a) дх*
(*=1...г).
Но при сделанных предположениях параметры а\.. . ar в уравнениях (1)
являются существенными, что, согласно сказанному на стр. 13 первого
тома, происходит тогда и только тогда, когда нельзя указать г функций
Х\ • • • Хг от переменных а, хотя бы одна из которых не является нулевой
и для которых тождественно выполняются уравнения
5^Xfc(ai...ar)
fc=i
дак
0 (i=l...n).

Следовательно, инфинитезимальные преобразования Z\f... Zrf также не
удовлетворяют никакому соотношению вида
п
^2xk(ai...ar)Zkf = 0,
k=i
за исключением случая, когда все xi • • • Хг являются нулевыми. Отсюда
следует, что г инфинитезимальных преобразований Z\j... Zrf при общих
[???] значениях параметров а независимы друг от друга, а это, в свою
очередь, равносильно тому, что для любого набора а\... аг общего положения
семейство (2) состоит из oor_1 различных инфинитезимальных
преобразований. То же самое, разумеется, верно и для семейства (3), поскольку
заменой переменных, соответствующей преобразованию S(a), оно
приводится к виду (2).
Итак, мы видим, что семейство оог преобразований (1) каждому из
своих преобразований сопоставляет два семейства: (2) и (3), каждое из
которых состоит из oor_1 инфинитезимальных преобразований. Эти
семейства обладают тем свойством, что всякое преобразование S(a+§a),
бесконечно близкое к преобразованию 5(а)» можно получить, либо если
сначала выполнить преобразование 5(а), а затем подходящее преобразование
из семейства (2), либо если сперва выполнить подходящего преобразование
из семейства (3), а затем преобразование 5(а).
Следует особо отметить еще одно обстоятельство, которое вытекает
из приведенных выше соображений: оказывается, что, обратно, если
семейство (2) при общих значениях параметров а содержит г независимых
инфинитезимальных преобразований и, следовательно, состоит из oor_1
различных инфинитезимальных преобразований, то семейство (1) состоит
из оог различных конечных преобразований. Таким образом, требование
о том, чтобы семейство (2) при общих значениях параметров а\ . . .аг
содерэ/сало ровно г независимых инфинитезимальных преобразований,
равносильно требованию о том, чтобы параметры а\.. .аг в уравнениях (1)
были существенными.
§108
Предположим теперь, что оог преобразований (1) образуют г-пара-
метрическую группу. Другими словами, мы предполагаем, что уравнения,

получающиеся исключением переменных х' из уравнений (1) и
х" = fi(x[ • • • x'nl bi • • • М (i=i...n), (4)
то есть уравнения
x" = fi(fi{x,a)...fn(x,a)i bi...br) (i=i...n), (5)
могут принимать вид
x" = fi{xi... xn; Ci...Cr) (z=i...n), (5')
где с — некоторые функции, зависящие только от а и 6:
Cfc = y>fc(ai - - - ar; &i... br) (fc=i...r). (6)
В более краткой форме это предположение можно выразить с помощью
символьного равенства
S(a)S(b) = S(C). (7)
Если величины 6 зафиксировать, а величины а оставить
произвольными, то левая часть равенства (7) будет, очевидно, определять семейство
оог преобразований. То же самое должно быть верно и для правой
части, и следовательно, величины с^ являются независимыми функциями от
а\... аг. Аналогично мы получаем, что с& являются независимыми
функциями от Ь\... br. Таким образом, уравнения (6) разрешимы как
относительно а\... ar, так и относительно Ь\... Ьг. В томе I (см. стр. 17-18) мы
вывели этот результат чисто аналитически, что потребовало довольно
обстоятельных рассуждений.
Из уравнения (7) немедленно следует уравнение
S(a+5a)S(b+6b) = S(c+5c),
где величины 6с находятся с помощью дифференцирования уравнений (6).
Поскольку уравнения (6) разрешимы как относительно а\... ar, так и
относительно Ъ\... Ьг, мы всегда можем выбрать такие 5а и 5Ь, что все 5с
будут равны нулю. Соответствующие значения величин 5а и 5Ь
определяются уравнениями
£{^^^Ч- <"■-"• (8)

и при выполнении этих уравнении мы имеем
S(a+8a)S(b+6b) = ^(с) = 5(а)5(Ь). (9)
Согласно сказанному в § 107, чтобы получить преобразование S(a+say
нужно сперва выполнить преобразование 5(а), а затем принадлежащее
семейству (2) инфинитезимальное преобразование 5/~ч 5(а+^а); аналогично,
преобразование S(b+6b) можно получить, выполнив сначала
инфинитезимальное преобразование 5(б+<5б)^(м •> а затем преобразование S^y
Следовательно, уравнение (9) можно переписать следующим образом:
SW ' S(a) S(a+5a) ' S{b+5b)S(b) • S(fc) = S(a) • S(6),
откуда мы получаем
S(a) S(cl+Scl) * ^(Ь+ЯО^ь) = 1,
где 1 обозначает тождественное преобразование. Таким образом, при
сделанных предположениях инфинитезимальные преобразования S\~, S(a+§a)
и 5(5+(5б)'5Г(м обратны друг другу. Поскольку, с другой стороны,
преобразование, обратное к S(b+Sb)S(b) > очевидно, имеет вид S^-Sb)S(^ , мы
получаем, наконец, что
S(a) S(a+6a) = S{b_5b)S{b) . (10)
Уравнение (10) является следствием уравнения (7), однако оно уже не
содержит величин с\ ... сг. Поскольку величины а и b не связаны между
собой никакими соотношениями, то уравнение (10) при произвольном выборе
величин а\... аг и Ъ\... br должно выполняться для любых всех значений
величин Sak и <^ь удовлетворяющих уравнениям (8). Но уравнения (10)
можно разрешить относительно 5ак и относительно Sbk, в результате чего
они принимают вид
или вид
Sbj = ^2 ^j/c(ai • • • аг\ Ьг... br)Sak y=i...r) (8')
r
5аз = ^2 ^'(ai • • • ar'-> bi • • • br)Sbk (i=i...r) (8")
fe=i

(ср. том I, стр. 29 и 30). Отсюда следует, что ни 8Ъ\... Sbr, ни 5а\... 5аг
не связаны между собой никакими соотношениями. Таким образом, если в
качестве а\... аг и Ъ\... Ьг выбрать два произвольных, но фиксированных
набора значений общего положения и потребовать, чтобы 6а и 5Ь
удовлетворяли уравнениям (8), а в остальном были совершенно произвольными,
то левая часть уравнения (10) задает первое из двух семейств oor_1
инфинитезимальных преобразований, соответствующих, согласно § 107,
преобразованию 5(а). Правая же часть уравнения (10) будет задавать второе
из двух семейств oor_1 инфинитезимальных преобразований,
соответствующих преобразованию 5(^), так как ясно, что семейство oor_1
инфинитезимальных преобразований S^-sb)^^ совпадает с семейством
преобразований S(b+5b)S(M . Итак, уравнение (10) показывает, что первое из
двух семейств oor_1 инфинитезимальных преобразований,
соответствующих преобразованию 5(а), совпадает со вторым из семейств,
соответствующих преобразованию S^)-
Если теперь зафиксировать только величины Ъ\... br, позволив
величинам ai...ar изменяться произвольным образом, то из уравнения (10)
следует, что какими бы ни были ai...ar, семейство oor_1
инфинитезимальных преобразований 5/~ч S(a+sa) всегда будет одним и тем же.
Аналогичным образом, мы убеждаемся, что семейство oor_1 инфинитезимальных
преобразований S^-6b)S(b\ также не изменяется при изменении величин
b\...br. Но поскольку, согласно равенству (10), семейства SK S(a+§a)
и S(b-6b)S(b) являются одинаковыми, мы заключаем также, что
семейства oor_1 инфинитезимальных преобразований, задаваемые выражениями
^(а) 3(а+ба) и 5(а+да)5/~ч , совпадают и не изменяются при изменении
величин а\... ar.*
Таким образом, мы видим, что если семейство (1) образует г-пара-
метрическую группу, то все семейства oor_1 инфинитезимальных преобра-
*Хотя мы решили не останавливаться на вопросе об области определения встречающихся
функций, мы не можем не сделать одно интересное замечание. Дело в том, что из приведенных
выше рассуждений следует, что предположения, сделанные в томе I на стр. 15-16, можно
заменить более общими. Там мы требовали, чтобы в определенных там областях (х) и (а)
существовали меньшие области ((х)) и ((a)), такие, что всегда, когда а и b принадлежат
области ((a)), ах — области ((х)), величины х' должны попадать в область (х), а величины с
— в область (а). На самом деле, достаточно потребовать, чтобы в (х) можно было указать
такую область ((х)), а в (а) — такие две области ((a)) и ((b)), что если х лежат в ((х)), а —
в ((a)), а 6 — в ((6)), то х' принадлежат области (х), а с — области (а).

зований, которые семейство (1) сопоставляет своим оог преобразованиям,
совпадают друг с другом. Другими словами:
Каждой т-параметрической группе (1), содержащей оог точечных
преобразований, соответствует вполне определенное семейство oor_1
инфинитезималъных преобразований. Это семейство состоит из всех ин-
финитезималъных преобразований, получающихся линейной комбинацией
некоторых г независимых друг от друга инфинитезималъных
преобразований, и обладает тем свойством, что для того, чтобы получить какое-либо
преобразование S(a+$ay бесконечно близкое к произвольному
преобразованию 5(а) из группы (1), достаточно либо сначала выполнить
преобразование 5(а), а затем подходящее преобразование из нашего семейства, либо
сперва выполнить подходящее преобразование из этого семейства, а
затем преобразование 5(а).
Сейчас мы посмотрим, к каким аналитическим результатам приводят
только что изложенные абстрактные рассуждения.
Инфинитезимальные преобразования S\~, S(a+sa) на стр. 547
задаются уравнениями
х\ = Xi + 22 ^ak
fc=l
dfi(ha)
dak
k Jy=F(rc,a)
(i=l. . .ra),
(2)
а инфинитезимальные преобразования S^-6b)S(b\ , в соответствии со
сказанным на стр. 548, задаются уравнениями
С • = Xi + ^ Sf)k
k=l
dFifab)
dbk
(г=1. . . n).
(3')
l=f{*J>)
Если теперь потребовать, чтобы величины 6а и 6Ь удовлетворяли
уравнениям (8), то имеет место уравнение (10), и с учетом (8) мы имеем
/]8а,к
k=i
дак
l=F(x,a) k=1
дЪк
J=/(x,b)
для всех значений величин я, а и Ь. Выражая с помощью уравнений (8'),
равносильных уравнениям (8), величины 5Ь через величины 5а и принимая

во внимание то, что 8а\... 8аг не связаны между собой никакими соотно
шениями, мы получаем
г
дШ,о)
дак
$=F(x,a) j=1
(i=l...n; k=l...r).
dFi(hb)
dbj
.t=/(x,b)
(П)
Аналогичным образом мы с помощью уравнений (8") получаем
равносильное тождеству (11) тождество
dFj(hb)
дЬк
= ^Afej(a,b)
f=/(i,b) J=1
(t=l...n; fc = l...r).
dfi{l,a)
ddj
t=F(x,a)
(12)
Здесь Ф и А имеют тот же смысл, что и на стр. 29-30 первого тома. С
другой стороны, согласно принятым там на стр. 28 обозначениям,
dFifab)
dbk
= Фы(х1...хп\ bi...br). (1)
-lj=/(x,b)
Хотя там функции Ф строятся иначе, легко убедиться, что левая часть
соотношения (13) совпадает с построенной там функцией Фк%{х, Ь).
Поскольку тождества (11) и (12) выполняются для всех значений
величин х, а и 6, то оно будет выполняется и тогда, когда мы вместо Ь\.. .Ьг
подставим произвольный фиксированный набор значений общего
положения и)\...шг. Сделав это и воспользовавшись обозначениями со стр. 31
первого тома, мы получим следующие новые тождества:
дак
= ^2^jk(a)^ji{x)
Jy=F(x,a) j=i
3 = 1
dfi{l,a)
daj
(и')
(12')
j=F(rc,a)
которые, разумеется, тоже равносильны друг другу. Наконец, из (11') и (12)
следует тождество
дЪк,Ь)
дЪк
= £ { £ Ay(a,b)<Ma) \ Zri(x). (12")
Jt=/(x,b) T=i [j=i

Полученные формулы представляют собой аналитическую запись
результата, доказанного в первой части этого параграфа с помощью
абстрактных рассуждений. Действительно, поскольку при сделанных
предположениях определитель, составленный из ^fc(a), имеет конечное, отличное от
нуля значение, то из тождеств (11') немедленно следует, что oor_1 инфи-
нитезимальных преобразований S7a\S^a+sa), задаваемых уравнениями (2)
со стр. 552, получаются линейной комбинацией г инфинитезимальных
преобразований
Xkf = "52 Ы&1... xn)^— (fc=i...r).
t=l axi
Точно так же тождества (12") показывают, что то же самое верно и для
oor_1 инфинитезимальных преобразований S(b+sb)S7by Но тогда инфини-
тезимальные преобразования X\f... Xrf являются независимыми друг от
друга, и семейство oor_1 инфинитезимальных преобразований,
определяемое выражением
г
£>Af (14)
k=i
с г параметрами Ai... Ar, является как раз тем семейством oor_1
инфинитезимальных преобразований из группы (1), о котором говорится на
стр. 552.
Если в тождествах (11') и (12') сделать подстановку х = /(£, a), a
затем вместо х и z писать соответственно х' и х, то в результате мы
получим новые тождества, которые показывают, что две эквивалентные системы
дифференциальных уравнений:
дх'- т
-Q^~ = Yl ^Mtftjiix') (t=l...n; fc=l...r) (15)
г дх'
tki(x') = ^2akj(o)-Q^; (i=i...n; k=i...r) (16)
при подстановке х\ — fi(x,a) обращаются в тождества. Таким образом,
мы снова приходим к основным [???] дифференциальным уравнениям из

теоремы 3, том I, стр. 33. Но эти дифференциальные уравнения выступают
теперь в ином свете. Дело в том, что поскольку они эквивалентны
тождествам (11'), то они просто показывают, что если задано произвольное
преобразование 5(а) из группы (1), то каждое бесконечно близкое
преобразование 5(а_|_<5а)> принадлежащее этой группе, можно получить,
выполнив сначала преобразование 5(а), а затем подходящее инфинитезимальное
преобразование из семейства (14). Соответствующее инфинитезимальное
преобразование указать совсем несложно: оно определяется выражением
S7j\S(a+6a) и> следовательно, имеет вид
г г
х• = Xi + ^2 Sab ^2 i>jk{a)€ji{x) (i=i...n). (17)
Отметим, что только что изложенная интерпретация основных
дифференциальных уравнений не зависит от того, образует семейство (1),
удовлетворяющее нашим дифференциальным уравнениям, группу или нет.
Действительно, если задано какое-либо семейство оог преобразований вида (1),
удовлетворяющее дифференциальным уравнениям (15) или эквивалентным
им уравнениям (16), то для этого семейства выполняется тождество (1Г),
и следовательно, каждое преобразование S(a+sa) из зтого семейства
можно получить, выполнив сначала преобразование 5(а), а затем подходящее
инфинитезимальное преобразование из семейства (14).
В следующем параграфе мы еще к этому вернемся.
Из тождеств (12") мы получаем систему дифференциальных
уравнений, которая образует дополнение [Seitenstuck???] к системе (15). Вывод
этой системы практически полностью повторяет вычисления, проведенные
на стр. 40-41 первого тома. Как и там, доказывается, что выражение
г
^2Akj(a,b)il>Tj{a)
j = l
не зависит от а\... ат и что его можно заменить некоторой функцией
#Tfc(b), зависящей только от Ъ. Затем легко убедиться, что
дифференциальные уравнения
-^ = Y^ <Wa)0*(X) (*=l...n; fc=l...r) (18)

при подстановке Xi = F{(x', а) обращаются в тождества, то есть, что
величины х\...хп удовлетворяют дифференциальным уравнениям (18), если
считать, что они выражены из уравнений х[ = /Дх,а) в виде функций от
х' и а.
Поскольку дифференциальные уравнения (18) эквивалентны
тождествам (12"), очевидно, что их смысл состоит в том, что каждое
преобразование S(a+sa) из группы (1) можно получить, выполнив сначала подходящее
инфинитезимальное преобразование из семейства (14), а затем
преобразование 5(а). Соответствующее инфинитезимальное преобразование задается
выражением S(a+$a)S7l и, следовательно, имеет вид
г г
Х'г = Хг -^2$ak^2tfjk{0<)tji(x) (i=l...n) (19)
(ср. стр. 548 и уравнение (12") на стр. 554).
Здесь также следует отметить, что эта интерпретация
дифференциальных уравнений (18) не зависит от того, образует ли семейство (1) группу.
Действительно, если какое-либо семейство оог инфинитезимальных
преобразований (1) удовлетворяет дифференциальным уравнениям (18), то
отсюда всегда следует, что преобразование S(a+sa) из семейства (1) можно
получить только что описанным способом, независимо от того, образует
семейство (1) групп или нет.
На стр. 547 мы установили очень простую связь между инфинитези-
мальными преобразованиями S7\S(a+sa) и S(a+sa)S7\, а именно
S(a) ' S(a+6a)S(a) • 5(а) = 5(а) S(a+Sa),
то есть, первое из них получается из второго заменой переменных,
соответствующей преобразованию 5(а). Если величинам а придать
фиксированные значения, а величины 8а оставить произвольными, то выражения
ЗГа)3(а+5а) и S(a+5a)SZ\ будут задавать два семейства oor_1
инфинитезимальных преобразований, и при сделанных в настоящем параграфе
предположениях эти семейства будут совпадать друг с другом и с семейством (14)
(см. стр. 551-552 и стр. 554). Таким образом, мы получаем, что семейство
oor_1 инфинитезимальных преобразований (14) инвариантно
относительно каждого преобразования 5(а) из нашей группы.

Чтобы записать этот результат в аналитическом виде, вспомним,
что уравнения инфинитезимального преобразования S7\S^a+sa) имеют
вид (17), а уравнения инфинитезимального преобразования S(a+sa)S7\ —
вид (19). Следовательно, если положить 5а^ = Uk 6t, где и\... иг являются
конечными величинами, то символом инфинитезимального преобразования
S(a)S(a+6a) будет
г г
£u*£WaW> (20)
fe=i j=i
а символом преобразования S(a+Sa) ^7а\ будет
k=l j = l
Согласно выписанному выше соотношению между этими двумя инфини-
тезимальными преобразованиями, выражение (21) должно под действием
преобразования S(a) принимать вид (20), причем это должно быть верно
при любом выборе величин и\...иг. Таким образом, если ввести
обозначение
то мы получим, что с учетом уравнений нашей группы:
А = fi(xi...xn; ai...ar) (i=i...n) (1)
выполняются соотношения
J2^k(a)Xjf + £iM*W = 0(»=*.. .г), (22)
j=i j=i
где под / понимается произвольная функция от х\... хп. Это те же самые
уравнения, которые мы вывели в томе I на стр. 44.
Выполнение уравнений (22) является следствием дифференциальных
уравнений (15) и (18), а также тождества

которое верно для каждого семейства оог преобразований (1).
Следовательно, выполнение уравнений (22) не ограничивается случаем, когда
семейство (1) образует группу, и имеет место всегда, когда это семейство
удовлетворяет дифференциальным уравнениям (15) и (18). Одновременное
выполнение дифференциальных уравнений (15) и (18) означает как раз то,
что семейство оог-1 инфинитезимальных преобразований (14)
инвариантно относительно любого преобразования из семейства (1), независимо от
того, образует семейство (1) группу или нет.
Таким образом, мы еще раз вывели все результаты, полученные во
второй главе тома I, за исключением тех, которые касаются области
определения встречающихся функций. Очевидно, что теперешний наш вывод этих
результатов намного более прозрачен, однако это стало возможным лишь
благодаря использованию ряда теоретико-групповых понятий, которые мы
не могли считать известными в начале первого тома.
§109
Сперва, как и в томе I, гл. 4, стр. 67-73, мы рассматриваем
произвольное семейство оог преобразований:
х'% — fi{xi... хп; ai... ап) (i=i...n) (1)
и предполагаем лишь, что это семейство удовлетворяет дифференциальным
уравнениям вида
л""*" = X/ ^Jk{a)^ji(xf) (t=l...n; k=l...r). (15)
Согласно сказанному на стр. 554-555, при таких предположениях
каждое преобразование 5(a+<5a) из семейства (1), бесконечно близкое к
преобразованию 5(а), можно получить, выполнив сперва преобразование 5(a), a
затем подходящее инфинитезимальное преобразование из семейства
г
Х>Х*/, (14)
к=1
а именно, инфинитезимальное преобразование
г г
Х'г = Х* + ^2Sak^2'*Pjk{Q')€ji(x) (i=l...n). (17)

Отсюда, согласно сказанному на стр. 549, следует, что г инфинитезималь-
ных преобразований
г
^2^jk{a)Xjf (fc=i...r)
3=1
при общих значениях величин а являются независимыми, так что, во-
первых, определитель, составленный из ipjk{a)-> не обращается в нуль
тождественно, а во-вторых, Xif...Xrf обязаны быть независимыми инфини-
тезимальными преобразованиями. Вследствие этого, при общих значениях
величин а уравнения (15) можно разрешить и привести к виду (16).
Если теперь выполнить преобразование 5(а), а затем инфинитезималь-
ное преобразование (14), то в результате должно получиться некоторое
преобразование S(a+sa)> бесконечно близкое к 5(а). Это преобразование
S(a+6a) легко выписать в явном виде. Действительно, инфинитезимальное
преобразование (14) в подробной записи имеет вид
г
х\ = Xi + 5t^ Xj£ji{x) (i=i...n), (14')
з=\
и, сравнивая с (17), благодаря независимости преобразований X\f .. ,Xrf
мы получаем следующие уравнения относительно 5а\... 5аг:
г
J2^jk(a)6ak = A,, ft o=i...r). (23)
k=l
Следовательно, если предположить, что а\... ar образуют набор значений
общего положения, для которого определитель, составленный из il>jk{o),
имеет конечное, отличное от нуля значение, и если учесть, что при общих
значениях величин а уравнения (15) могут принимать вид (16), то мы
получим следующие выражения для 5а\... 8аг:
г
6ак =5t^ Xjajk{a) (k=i...r). (24)
i=i
Таким образом, выполнив сперва преобразование 5(а), в котором под
а\...аг понимается набор значений общего положения, а затем
инфинитезимальное преобразование (14), мы получим бесконечно близкое к 5(а)
преобразование S(a+$a), в котором 8а\... 5аг задаются формулами (24).

Уравнения (24) можно понимать как систему обыкновенных
дифференциальных уравнений, в которой а\... ат являются неизвестными
функциями от t. Интегрируя эту систему с начальными условиями а^ = сРк при
t = О, где а\.. ,а% — набор общего положения, мы получаем
г
ак = *k + j^2^jk(a°) + • • • (*=i...r). (25)
3=1
Так как Ai... Аг и t в правой части этих уравнений встречаются только в
комбинациях Ai£, ..., \rt, мы можем переписать это следующим образом:
ак = Ы*1*1 ■ • • 1 xrt\ а? ... a°r) (*=i...r). (25')
Если здесь величины Ai... Аг и а\ ... а£ считать фиксированными, a £
понимать как произвольный параметр, то уравнения (25') будут определять
семейство, состоящее из оо1 преобразований семейства (1), и это
семейство обладает тем свойством, что последовательное выполнение
преобразования с параметром t и инфинитезимального преобразования (14) дает
принадлежащее этому семейству преобразование с параметром t + St.
Семейство оо1 преобразований, определяемое уравнениями (25'),
содержит, в частности, преобразование
х- = fi(xi ...хп; а? ... а°) (i=i...n), (26)
соответствующее случаю t = 0. Поэтому если сначала выполнить
преобразование (26), а затем бесконечно много раз выполнить инфинитезималь-
ное преобразование (14') [???], то мы всегда будем получать одно из оо1
преобразований семейства, определяемого уравнениями (25'). Однако если
инфинитезимальное преобразование (14') выполнить бесконечное
количество раз, то получится конечное преобразование порождаемой им одно-
параметрической подгруппы, и следовательно, можно предположить, что
если вслед за преобразованием (26) выполнить произвольное
преобразование из однопараметрической группы, порождаемой инфинитезимальным
преобразованием (14), то в результате получится преобразование из
семейства, определяемого уравнениями (25').
Чтобы придать только что проделанным вычислениям более точный
вид, посмотрим к чему приводит последовательное выполнение
преобразования (26) и некоторого преобразования
х'( = Vi(x[ ...x'n; Ait, .. ., Xrt) (t=i...n) (27)

из группы, порождаемой преобразованием (14). Покажем, что возникающее
таким образом преобразование
x" = Vi(h{x,aQ)...fn{x,cP)\ Ait, ...,Art) (*=i...n) (28)
совпадает с преобразованием
Уг = fi{x\... xn; ai... ar) (i=i...n), (29)
при условии, что ai... ат задаются уравнениями (25').
Действительно, величины х'( в уравнениях (28) полностью
определяются дифференциальными уравнениями
к=1
с начальными условиями
[x"]t=o = fi{xi... xn; a? ... a°) (i=i...n). (31)
С другой стороны, величины yi в уравнениях (29), если их рассматривать
как функции от а\... ar, удовлетворяют дифференциальным уравнениям
и начальным условиям
[2/i]a=a(, =/i(a:i...xn; a?...aj!) (i=i...n).
Но если а\...аг выразить с помощью (25') через £, то у{ станут функциями
от t и будут удовлетворять дифференциальным уравнениям
dy% v^ дуг dak ^ , dajt
fc=i ^ fc,j=i
которые с учетом (24) и с учетом взаимосвязи между величинами <р и а
принимают простой вид
dyi v-^ . ч
-£ = 2_^^kiki\V) (i=l...n).
/с=1

Если, кроме того, принять во внимание, что при t = 0 мы имеем а^ = ак
и, следовательно, у\ — fi(x,a°), то мы немедленно получим, что Уг = х"
и что, следовательно, преобразования (28) и (29) действительно совпадают
друг с другом, если вместо а\... ат в (29) подставить их значения из (25').
Итак, последовательное выполнение преобразования (26) из
семейства (1) и конечного преобразования однопараметрической группы,
порождаемой инфинитезимальным преобразованием (14), снова дает
преобразование из семейства (1), причем параметры ai...ar, входящие в это
преобразование, задаются с помощью уравнений (25'). Изменение
величин Ai...Ar и t влечет изменение значений параметров ai...ar,
определяемых уравнениями (25'). С помощью подходящего выбора величин
Ai... Аг и t можно даже добиться того, чтобы набор а\...аг принимал
любые значения в некоторой окрестности набора а\...о%.
Действительно, поскольку определитель, составленный из о$к, при сделанных
предположениях не равен нулю, то уравнения (25), эквивалентные
уравнениям (25'), можно разрешить относительно Ait, ...,Ar£, в результате чего
величины Ait, ..., XTt предстанут в виде обыкновенных степенных рядов
относительно а\ — а^, ..., ат — а£, которые в некоторой окрестности набора
ai... аг являются безусловно сходящимися. Таким образом, мы доказали
следующее утверждение:
Если семейство (1), состоящее из оог различных преобразований,
удовлетворяет дифференциальным уравнениям вида (15), то оно обладает
следующим свойством. Если выполнить сперва произвольное, принадлеэ/са-
щее семейству (1) преобразование (26), параметры а\.. .а® которого
доставляют конечное, отличное от нуля значение определителя ф^а), и
если затем выполнить произвольное конечное преобразование из
однопараметрической группы, порождаемой инфинитезимальным преобразованием
вида
г
5>*ад (14)
то получающееся таким образом преобразование снова принадлеэ/сит
семейству (1). Более того, упомянутую однопараметрическую подгруппу и
ее конечное преобразование всегда можно выбрать так, что указанным
способом можно получить любое преобразование из семейства (1),
параметры которого лежат в некоторой окрестности набора а\... о%.
Это утверждение по существу совпадает с теоремой 9,
сформулированной на стр. 72 первого тома, и его доказательство практически ничем

не отличается от предложенного там доказательства этой теоремы. Все же
мы предпочли доказать это утверждение еще раз, так как нам важно было
показать, что доказательство из первого тома только с виду основывается
на искусном приеме (см. том I, стр. 69). В самом деле, при нашем
теперешнем изложении все происходит естественно, без привлечения каких-либо
трюков.
Только что доказанное утверждение обладает несколькими
замечательными следствиями.
Прежде всего, ясно, что сформулированное в этом утверждении
свойство выполняется, в частности, для каждого семейства (1),
образующего r-параметрическую группу, так как в этом случае, согласно параграфу
§ 108, имеют место как раз дифференциальные уравнения вида (15).
Более того, из этого утверждения при определенных условиях
немедленно следует, что семейство (1), удовлетворяющее дифференциальным
уравнениям вида (15), образует r-параметрическую группу.
Действительно, пусть (1) — некоторое семейство оог преобразований,
удовлетворяющее дифференциальным уравнениям вида (15).
Предположим, кроме того, что семейство (1) содержит тождественное
преобразование, причем соответствующие ему параметры а\... аг таковы, что
определитель, составленный из ^j^(a), при а — а имеет конечное, отличное от
нуля значение.
Если теперь доказанное выше утверждение применить к
преобразованию х[ — fi(x, a), которое при сделанных предположениях совпадает
тождественным преобразованием, то мы немедленно получим, что семейство
оог преобразований (1) совпадает с семейством преобразований,
образуемым oor_1 однопараметрическими подгруппами с инфинитезимальными
преобразованиями
Ел^/; (14)
во всяком случае, эти два семейства совпадают в некоторой
окрестности тождественного преобразования. Применяя теперь наше утверждение
к произвольному преобразованию х[ = /Дх,а), параметры а\ ...ar
которого лежат в некоторой окрестности набора а\.. . ar, с учетом
сказанного выше мы получаем следующее: если сперва выполнить преобразование
х[ = fi(x, a), а затем любое другое преобразование х\ = /Дх, Ь) из
семейства (1), параметры Ь\...ЬТ которого также лежат в некоторой окрестности

набора а\... аг, то в результате всегда будет получаться преобразование из
семейства (1). Другими словами, при сделанных предположениях
семейство (1) образует r-параметрическую группу.
Мы можем добавить, что эта группа состоит из попарно обратных
преобразований. Это мгновенно следует из того, что семейство (1), во всяком
случае, в некоторой окрестности тождественного преобразования,
совпадает с семейством oor_1 однопараметрических подгрупп (14), и из того, что
преобразования каждой из этих однопараметрических подгрупп обратимы
в любой окрестности тождественного преобразования.
Часть результатов, полученных в предыдущем и в настоящем
параграфах, образуют содержимое теоремы, которую мы называем первой
фундаментальной теоремой теории групп (см. стр. 545). Сформулируем эту
теорему в явном виде:
Первая фундаментальная теорема 1. Если семейство оог
преобразований
х'г = fi{xl • • • хп\ CLi... ar) (i=l...n) (1)
образует r-параметрическую группу, то величины х\, если их понимать как
функции от а, удовлетворяют некоторым дифференциальным уравнениям
вида
Я-1 = X/ ^3k{ai • • • Яг)Ых1 • • • х'п) (*=l...n; fc=l-..r), (15)
aak j=i
где определитель, составленный из ipjk, не равен тождественному нулю и
где функции ^ji{xr) таковы, что г выраэ/сений
Xkf = ^ Ы{х1 • • • хп) — (fe=l...r)
г=1
dXi
задают столько Dice независимых инфинитезимальных преобразований.
Обратно, предположим, что семейство (1), состоящее из оог
преобразований, удовлетворяет дифференциальным уравнениям вида (15). Если
при этом оно содержит тождественное преобразование и если
параметры этого тоэ/сдественного преобразования доставляют конечное,
отличное от нуля значение определителя т/^/Да), то соответствующее
семейство (1) образует г-параметрическую группу с попарно обратными
преобразованиями и совпадает с совокупностью всех преобразований однопа-

раметрических групп, порожденных oor l инфинытезымальными
преобразованиями
Т
$>АЛ (14)
к=\
Другими словами, при этих предположениях семейство (1) образует
г-параметрическую группу, порождаемую г независимыми инфинитезгииальны-
ми преобразованиями X\f... Xrf.
В томе I явно сформулирована лишь первая часть этой теоремы (см. теор. 3,
стр. 33-34). Хотя вторая ее часть является непосредственным следствием из общей
теоремы 9, том I, стр. 72, впервые она выводится из этой теоремы только в главе 9,
стр. 153-154, для того, чтобы доказать теорему 23, и поэтому там она не
формулируется в виде отдельной теоремы. Если бы эта вторая часть была выведена уже
в главе 4 и выделена там в отдельную теорему, то, во всяком случае, рассуждения
главы 9 были бы гораздо более прозрачными.
Шур предъявил очень изящное аналитическое доказательство первой
фундаментальной теоремы, в котором он избежал введения параметров Ai... Лг (см.
Mathematische Annahn, том 35, стр. 163-173, и том 38, стр. 265). Однако его
доказательство требует больших вспомогательных средств, так как оно опирается не
только на теорию интегрирования система дифференциальных уравнений вида (15),
которую мы вообще не используем, но и на понятие группы параметров, без
которого здесь еще можно обойтись. Добавим еще, что у него первая фундаментальная
теорема возникает как частный случай более общих утверждений.
Мы хотели бы еще отметить, что Шур с самого начала ограничивается теми
r-параметрическими группами
Хг = fz(xi... Хп] ai...an) (1=1...п),
которые содержат тождественное преобразование, и при этом (явно) он
предполагает только то, что функции /i... /п регулярны в окрестности параметров
тождественного преобразования.
Мы не отрицаем, что эта точка зрения, принятая Шуром, представляет
определенный интерес, однако мы не считаем ее наилучшей, поскольку становясь на
практическую точку зрения и предполагая с самого начала наличие тождественного
преобразования, лучше всего также предполагать, что преобразования группы
попарно обратны. Это предположение верно, разумеется, во всех приложениях.
Однако с философской точки зрения правильнее, как нам кажется, стать на самую общую
позицию и отказаться от требования о том, чтобы группа содержала тождественное
преобразование, или, другими словами, действовать так, как мы это делали в томе I
и в настоящей главе. Дело в том, что предположение о наличии тождественного

преобразования ненамного облегчает нашу задачу, в то время как отказ от него не
добавляет существенных трудностей.
Прежде, чем продолжить, мы сделаем пару замечаний, которые
пригодятся нам в дальнейшем.
Пусть (1) — семейство оог преобразований, удовлетворяющее
дифференциальным уравнениям вида (15), и пусть а\...аг — какой-нибудь набор
общего положения, на котором определитель, составленный из ipjk(o>),
принимает конечное ненулевое значение. Если, как и ранее, преобразование (1)
обозначить через 5(а), то очевидно, что выражение S^Z S(a) также задает
семейство оог различных преобразований. В подробной записи уравнения
этого нового семейства имеют вид
xi = fi(F1(x,a)...Fn(x,a); ai...ar) (t=i...n). (1")
Поскольку величины х\ в уравнениях (1), понимаемые как функции от а,
удовлетворяют дифференциальным уравнениям вида (15), ясно, что этим
дифференциальным уравнениям удовлетворяют и величины х\ из
уравнений (1"), если их также понимать как функции от а. Если, кроме того,
принять во внимание то, что семейство оог преобразований (1") содержит
тождественное преобразование, а именно при а = а, и что при этих
значениях параметров определитель, составленный из ijjjk(a), имеет конечное
ненулевое значение, то легко убедиться, что к семейству (1") применима
вторая часть первой фундаментальной теоремы. Итак, мы приходим к
следующему результату:
Предложение 1. Если семейство
А = fi(xi • • • хп\ аг... аТ) (t=i...n) (1)
или S(a), состоящее из оог преобразований, удовлетворяет
дифференциальным уравнениям вида
Я"1 = X/ ^M^l • • • OCjttei • • • Х'п) (t=l...n; fc=l...r) (15)
аак j=i
и если а\... аг — набор общего положения, на котором определитель,
составленный из xjjjfc(a), принимает конечное ненулевое значение, то
семейство оог преобразований 5,-ч 5(a) образует г-параметрическую группу,

которая состоит из попарно обратных преобразований и порождается
независимыми инфинитезимальными преобразованиями
Xkf = 5Z&t(zi.. .жп)— (fe=i...r).
г=1 °^
Это предложение играет особенно важную роль, когда задано
семейство оог преобразований (1), образующее r-параметрическую группу с
попарно обратными преобразованиями. Дело в том, что каждое такое
семейство удовлетворяет дифференциальным уравнениям вида (15) и, кроме
того, содержит тождественное преобразование. Однако совсем необязательно,
что параметры тождественного преобразования доставляют в этом случае
конечное ненулевое значение определителя, составленного из ^jk{o), и
следовательно, нельзя утверждать, что к этому семейству применима первая
фундаментальная теорема. Здесь и приходит на помощь предложение 1.
Действительно, поскольку семейство (1) образует группу с попарно
обратными преобразованиями, то она содержит и каждое преобразование
вида 5/Гч «5(a) > гДе П°Д ^i... ar понимается некоторый фиксированный
набор значений, на котором составленный из ^jk{o) определитель принимает
конечное ненулевое значение. Но выражение S,Z «5(a) > в свою очередь,
задает семейство оог различных преобразований. Это семейство содержится
в группе (1), а значит, как нетрудно увидеть, совпадает с этой группой.
Таким образом, с учетом предложения 1 мы получаем следующее
утверждение:
Предложение 2. Каждая г-параметрическая группа
х[ = fi(xi... хп\ ai... ar) (t=i...n) (1)
преобразования которой попарно обратны, порождается г независимыми
инфинитезимальными преобразованиями X\f ... Xrf, то есть она
состоит из однопараметрических групп, порождаемых oor_1
инфинитезимальными преобразованиями Yl ^kXkf- Эти инфинитезимальные
преобразования можно найти, определив вид дифференциальных уравнений
Jfa" = 5Z ^'fc(ai * ' ' ar)tji(Xl • • • Хп) (*=l...n; fc=l...r), (15)

которым группа (1) удовлетворяет согласно первой фундаментальной
теореме; тогда
п я f
Xbf' = ^ZkiiXl-'-Xn)^— (*=l...r).
i=l °Xi
В томе I, стр. 165 и далее, мы вывели это предложение с помощью
прямых вычислений.
§110
В настоящем параграфе мы укажем, как можно обобщить рассуждения
из §§108 и 109.
Пусть заданы два произвольных семейства, каждое из которых состоит
из оог преобразований, скажем, семейство
х'г = fi(xl • • • хп\ CLi . . . ar) (t=l...n) (1)
и семейство
ifi = ft(?i... ?n; bi... ЬТ) (t=i...n). (32)
Если сначала выполнить преобразование (1), а затем преобразование (32),
мы получим преобразование
^i/ = ft(/i(^^).../n(a:,a); 6Х... 6r) (i=i...n), (33)
которое формально содержит 2г произвольных параметров. Таким образом,
уравнения (33) задают семейство, состоящее самое большое из оо2г
различных преобразований. С другой стороны, ясно, что это семейство содержит
по меньшей мере оог различных преобразований.
Нашей задачей теперь будет выяснить, при каких условиях
семейство (33) таю/се состоит только из оог различных преобразований.
Если семейство (33) состоит лишь из оог различных преобразований,
то оно должно приводиться к виду
xi = 9iixl • • • хп\ Ci . . . Cr) (t=l...n), (34)
где с\... cr — некоторые функции от а и b:
ck = <fk(a>i ...ar; bi... 6r) (fc=i...r). (35)

Точно так же, как на стр. 550, мы убеждаемся, что эти функции (pi ...ipr
не зависят друг от друга как относительно а\.. .аг, так и относительно
Ь\ . . . br.
Чтобы теперь можно было применить рассуждения из § 108, обозначим
преобразования (1), (32), (34) через 5(а), Т^ и Щс) соответственно, так
что наше требование о том, чтобы семейство (33) приводилось к виду (34),
выражается теперь символьными уравнениями
${а)Т(Ь) = 17(c)- (36)
Как на стр. 550, мы выбираем такие бесконечно малые величины 8а\... 8ат
и 8Ь\... 8ЪТ, чтобы из (35) следовало 8с^ = 0. Тогда из (36) мы получаем
3(а+6а)Т(Ь+6Ь) = Щс) = S(a)T(b)
ИЛИ
S(a)S(a+8a) ' Т(Ь+6Ь)Т[Ь) = 1, (37)
что мы, очевидно, можем переписать следующим образом:
S{a)S(a+Sa) = {T{b+Sb)T^)-1 - T{b_6b)T~y (37')
Величины 8а и 8Ь связаны здесь уравнениями
g(^' + W^)=° -'-'» (38)
в остальном же они произвольны. Поскольку, кроме того, уравнения (38)
при сделанных предположениях разрешимы как относительно 8а, так и
относительно 8Ь, то в качестве произвольных величин в (37') можно выбрать
по желанию либо 8а, либо 8Ь.
Согласно сказанному на стр. 548-549, при фиксированных а и
произвольных 8а выражение S7lS(a+sa) B общем случае задает семейство oor_1
различных инфинитезимальных преобразований, каждое из которых
получается линейной комбинацией некоторых г независимых преобразований.
Аналогичное утверждение верно и для выражения Т(Ь_щТ7~ь}. Поскольку
а\... ат и Ъ\... Ьт не связаны никакими соотношениями, мы можем вместо
а и Ь в (37') подставить произвольные фиксированные наборы значений
общего положения. Если при этом 8а и 8Ь считать произвольными
величинами, удовлетворяющими лишь уравнениям (28), то каждое из выражение

5Гч5(а+5а) и Т(ь-5Ь)Т^} в (37') определяет семейство oor_1
инфинитезимальных преобразований, которые обладают только что описанным
свойством. Само же уравнение (37') просто показывает, что эти два семейства
инфинитезимальных преобразований совпадают. Далее, из того, что
семейство oor_1 инфинитезимальных преобразований S7lS(a+sa) не зависит от
Ъ\... ЬГ9 следует, что это семейство будет одним и тем же при любых
значениях а\... ат. По той же причине семейство oor_1 инфинитезимальных
преобразований Т^-6Ь)Т^} остается неизменным, какими бы ни были
значения величин bi... br.
Таким образом, уравнение (37') показывает, что все семейства oor_1
инфинитезимальных преобразований, определяемые выражениями
^7а)3(а+5а) и Т(Ь-6Ь)Т^, совпадают друг с другом. Этих семейств
бесконечно много. Все эти семейства можно записать в более простом виде, если
зафиксировать одно из них; можно, например, как на стр. 553, в
выражении Т^щТ^} вместо Ь\...ЬГ подставить фиксированный набор значений
общего положения uj\... и)г.
Как и на стр. 553, мы считаем, что инфинитезимальное преобразование
т(ь-бЬ)Т(~ь) ПРИ bk = и3к принимает вид
г
Xi = Xi + /^ $ЬкЫ(х1 • • • хп) (г=1-п),
где г выражений
Z^1
А:=1
г=1 °Xi
задают г независимых друг от друга инфинитезимальных преобразований.
Тогда семейство oor_1 инфинитезимальных преобразований S7\S^a+sa)
совпадает с семейством
г
Еа<а/ (39)
fc=i
при любых значениях величин а\... ar, и то же самое верно для семейства
oor_1 инфинитезимальных преобразований Т^_щТ7ъ} при любых
значениях величин Ь\... br. Под Ai... Аг здесь, как и ранее, понимаются г
произвольных параметров.

Вспоминая теперь наши рассуждения по поводу инфинитезимальных
преобразований S7\S(a+sa) и ^(ь-бь^п,)9 приведенные на стр. 547-549,
мы приходим к следующему результату. Если сначала выполнить
преобразование 5(а) из семейства (1), а затем произвольное инфинитезимальное
преобразование из семейства (39), то в результате получится
преобразование из семейства (1), бесконечно близкое к S(ay причем таким образом
с помощью подходящего выбора инфинитезимального преобразования (39)
моэ/сно получить любое преобразование вида 5(а+5а). С другой стороны,
если сначала выполнить произвольное инфинитезгшальное преобразование
из семейства (39), а затем преобразование Т^) из семейства (32), то в
результате получится преобразование из семейства (32), бесконечно
близкое кТ(ьу причем таким образом можно получить каждое преобразование
вида Т(ь+щ, если только правильно выбрать инфинитезгшальное
преобразование (39).
Вычисления из § 108 позволяют записать этот результат в
аналитическом виде. При этом мы получаем [???], что если величины х[ в
уравнениях (1) рассматривать как функции от х и а, то они удовлетворяют
дифференциальным уравнениям вида
дх1- Т
-q^- = J2 ^Ма)Ых') №=1-п <=!.••»), (40)
в то время как величины £ из thetag32, понимаемые как функции от у' и Ь,
удовлетворяют дифференциальными уравнениям вида
|^ = 1>^)Ы?) (*=l-..r;i=l...n). (41)
k j=i
Пусть а\... а£ — произвольный набор значений общего положения,
то есть такой набор, на котором определитель ^jfc(a), который,
разумеется, не равен нулю тождественно, принимает конечное ненулевое значение.
Тогда выражение SrLS^ определяет семейство оог преобразований,
которое, согласно предложению 1, стр. 565, образует г-параметрическую группу
с попарно обратными преобразованиями, причем эта группа порождается
независимыми инфинитезимальными преобразованиями Xif... Xrf.
Итак, мы доказали, что семейство преобразований (1) в некоторой
окрестности набора а\.. .а% совпадает с семейством преобразований,
которое получается последовательным выполнением преобразования S(a<>) и

общего преобразования r-параметрической группы, порождаемой инфини-
тезимальными преобразованиями X\f.. .Xrf. Аналогично показывается,
что семейство (32), во всяком случае, в некоторой окрестности
произвольного набора общего положения Ь\... 6°, совпадает с семейством
преобразований, которое получается, если сперва выполнить общее
преобразование группы, порождаемой инфинитезимальными преобразованиями
Xif ...Xrf, а затем преобразование Т(&<>). Мы не будем подробно
останавливаться на доказательстве этого факта и заметим лишь, что его очень
легко доказать, используя дифференциальные уравнения (41), из которых
немедленно следует, что оог преобразований
(Г(м) Т(Ь) = (Г(Ь)Г(м)
образуют r-параметрическую группу с попарно обратными
преобразованиями, порождаемую инфинитезимальными преобразованиями X\f ... Xrf.
Приведенные выше рассуждения показывают, что семейства (1) и (32),
состоящие из оог преобразований и обладающие сформулированным на
стр. 567 свойством, могут принимать очень простой вид. Действительно,
если общее преобразование
г
Х'г = Х^ + ^2 Xb&i(x) + • • • (i=l...n) (2)
fc=l
группы, порождаемой преобразованиями X\f ...Xrf, обозначить через
-Е(А)» то семейство (1) может принимать вид S^)E^\), а семейство (32)
— вид £7(м)Т(ь<|).
Более того, из наших рассуждений следует, что если S и Г — два
произвольных преобразования и если Е(\) — общее преобразование группы,
порождаемой преобразованиями X\f.. .Xrf, то семейства оог
преобразований, определяемые выражениями SE(\) и Е^Т, связаны друг с другом
так, как требуется на стр. 567. Действительно, если сначала выполнить
преобразование SE(\), а затем преобразование Е^Т, то мы получим
преобразование
SE(\) • Efo)T,
которое, однако, снова зависит только от г существенных параметров, так
как преобразование Е^Е^) принадлежит группе X\f... Xrf и,
следовательно, представляется в виде £(,,), где v\...vr являются функциями от
Ai... Ar, ji\.. ./ir.
Таким образом, имеет место следующее утверждение:

Теорема 45. Пусть
х\ = fi(xi ...хп; ах... ar) (i=i...n) (1)
и
i\ = fi(fi...fn; bi...br) (i=i...n). (32)
— два семейства оог преобразований. Для того, чтобы при
последовательном выполнении общего преобразования первого семейства и общего
преобразования второго семейства снова получалось семейство,
состоящее ровно из оог преобразований, необходимо и достаточно, чтобы
существовала г-параметрическая группа с попарно обратными
преобразованиями, порождаемая независимыми инфинитезимальными преобразованиями
Xif.. .Xrf и связанная с семействами (1) и (32) следующим образом:
если через S обозначить произвольное преобразование общего полоэ/сения
[???] из семейства (1), а через Т — произвольное преобразование общего
положения из семейства (32), и если под Е(\) понимать общее
преобразование упомянутой выше г-параметрической группы, то семейство оог
преобразований (1) можно представить в виде SE^x), а семейство оог
преобразований (32) — в виде Е^\)Т.
Рассмотрим теперь частный случай, когда семейство (32) совпадает с
семейством (1). В этом случае из нашей теоремы 45 следует, что
семейство (1) представимо как в виде SE(X), так и в виде Е^\)Т, где под 5
понимается произвольное преобразование общего положения из семейства (1).
Таким образом, для любых Ai... Лг должны существовать такие значения
параметров ji\... /лг, при которых выполняется уравнение
Но это уравнение можно переписать в виде
S^E{X)S = EM, (43)
откуда следует, что r-параметрическая группа (43) инвариантна
относительно преобразования S.
Обратно, если Е(х) — произвольная r-параметрическая группа,
порождаемая г независимыми инфинитезимальными преобразованиями X\f... XrJ
и если S — произвольное преобразование, оставляющее инвариантной

группу i?(A)> т0 имеет место равенство вида (43), в котором fi\.. ./ir
являются функциями от Ai... Аг. Тогда
SE(\)SE(„) = S • 5(_1)£,(Л)5 • Е(„)
= S2 • EMEM
= S2 'E{p),
где параметры pi... pr суть некоторые функции от ц\... дг и z/i... иг.
Таким образом, семейство оог преобразований SE^x) обладает тем свойством,
что семейство SE^x) * SE^, которое формально содержит 2г параметров,
также состоит только из оог различных преобразований.
Итак, мы получили следующую теорему:
Теорема 46. Для того, чтобы наиболее общее преобразование,
получающееся последовательным выполнением двух произвольных преобразований
из семейства оог преобразований
х\ = fi(x\...xn\ a\...ar) (i=i...n), (1)
зависело только от г существенных параметров, необходимо и
достаточно, чтобы существовала г-параметрическая группа с попарно
обратными преобразованиями, пороэк:даемая г независимыми инфинитезимальны-
ми преобразованиями X\f .. .Xrf и связанная с семейством (1) следующим
образом: если через S обозначить произвольное преобразование общего
положения из семейства (1), а через Е^\) — общее преобразование
упомянутой г-параметрической группы, то семейство оог преобразований (1)
представимо в виде SE^, и, кроме того, группа оог преобразований Е^
инвариантна относительно преобразования S.
Только что доказанная теорема приводит к ответу на один очень
общий вопрос, а именно вопрос о том, при каких условиях семейство оог
преобразований
х\ = fi(xi ...xn\ ах... аг) (г=1...п) (1)
обладает тем свойством, что последовательное выполнение любых т
преобразований из этого семейства снова доставляет преобразование,
принадлежащее этому семейству, в то время как никакие 2, 3, ... или т — 1

преобразований из этого семейства, если их выполнить одно за другим, не
дают принадлежащих этому семейству преобразований.
Чтобы семейство (1) обладало указанным свойством, необходимо, по
меньшей мере, чтобы самое общее преобразование, получающееся
последовательным выполнением двух преобразований из этого семейства,
зависело только от г существенных параметров. Действительно, если бы это
преобразование зависело от г + 1 или более существенных параметров, то
наиболее общее преобразование, получающееся последовательным
выполнением произвольных т преобразований из семейства (1), также зависело
бы не менее, чем от г + 1 существенных параметров и поэтому не могло
бы принадлежать семейству (1). Таким образом, семейство (1)
удовлетворяет условиям теоремы 46 и, следовательно, имеет вид SE(\y где S и Е^
имеют тот же смысл, что и в теореме 46, и в частности, имеет место
соотношение вида
S~ E(X)S = Е^у
Если выполнить одно за другим два произвольных преобразования
SE(\) и SEfa) из семейства (1), то мы получим преобразование SE(\yE^y
которое, согласно сказанному на стр. 572, может принимать вид S2E(py
Таким образом, если мы последовательно выполним к произвольных
преобразований из семейства (1), то мы получим преобразование, которое
приводится к виду
SkE{a).
Но при к — т это преобразование должно принадлежать семейству (1), в
то время как при к — 2,3, ... , га — 1 семейству (1) оно принадлежать не
может. Следовательно, при к — т должно выполняться равенство вида
S щЕ(а) = SE(T)
или, что равносильно, равенство вида
5 к— 1 IP Z71-1 Z71
= Ь(т)Е{а) =ЬМ,
в то время как при к — 2,3, ..., га — 1 никакое равенство такого вида
невозможно. Другими словами, кроме свойства, указанного в теореме 46,
преобразование S должно обладать еще и тем свойством, что 5m_1 принадлежит
r-параметрической группе Е(\у в то время как ни одно из преобразований
S, S2 ... Sm~2 в этой группе не содержится.

Только что найденное условие на преобразование S необходимо для
того, чтобы наше семейство (1) обладало требуемым на стр. 572 свойством;
очевидно и то, что оно является достаточным, и следовательно, имеет место
следующая теорема:
Теорема 47. Чтобы семейство оог преобразований
А = fi(xl • • • хп\ CLi... ar) (i=l...n), (1)
обладало тем свойством, что при последовательном выполнении любых
т преобразований из этого семейства снова получается
принадлежащее ему преобразование, в то время как никакое принадлежащее
семейству (1) преобразование не получается последовательным выполнением
каких-нибудь 2, 3, ... или т — 1 преобразований из этого семейства,
необходимо и достаточно, чтобы существовала г-параметрическая группа с
попарно обратными преобразованиями, порождаемая г инфинитезималь-
ными преобразованиями Xif.. .Xrf и связанная с семейством (1)
следующим образом: если через S обозначить произвольное преобразование
общего положения из семейства (1), а через Е^ — общее преобразование
соответствующей г-параметрической группы, то, во-первых, семейство
оог преобразований (1) представимо в виде SE^\y во-вторых,
г-параметрическая группа Е^х) инвариантна относительно преобразования S, и в-
третьих, преобразование Sm~l принадлежит группе Ещ, в то время как
для преобразований S2, 53,... Sm~2 это уже неверно*.
При т = 2 эта теорема доставляет, очевидно, необходимое и
достаточное условие того, что семейство (1) образует r-параметрическую группу. В
этом случае мы получаем, что преобразование 5, а значит, и любое
преобразование из семейства (,) принадлежит группе, порождаемой
преобразованиями X\f ... Xrf. Другими словами, семейство оог преобразований (1)
образует группу, то все его преобразования принадлежат некоторой г-па-
раметрической группе, которая порождается г независимыми инфините-
зимальными преобразованиями X\f... Xrf и состоит из попарно
обратных преобразований.
Уже в первом томе, на стр. 163 мы установили теорему, которая
практически полностью совпадает с теоремой 47, хотя и отличается от нее фор-
* Теорема 47 дает полный ответ на вопрос, поставленный для случая т > 2 доктором
Вельшем, который зимой 1892-93 годов принимал участие в лекциях Ли по теории групп.
Остальные же рассуждения настоящей главы относятся к более давнему времени.

мулировкой. Разница между этими двумя теоремами состоит в том, что
сейчас мы оперируем общим понятием семейства преобразований и не
учитываем, как тогда, что в уравнениях семейства оог преобразований
х- = fi(xi... хп; аг... ar) (i=i...n) (1)
при подстановке вместо а новых параметров й\... аг некоторые
преобразования могут быть потеряны. Действительно, при замене параметров,
задаваемой уравнениями вида
ак = Щ(Й1...аг) (fc=i...r),
может так случиться, что а\... аг будут оставаться в некоторых
естественных пределах, какие бы значения ни принимали ai... аг.
В частности, теорема 46 приводит к большинству результатов из
главы 18 первого тома. Мы, однако, ограничимся лишь несколькими
замечаниями по этому поводу.
Чтобы совокупность га различных семейств
f *i = /t(fe)(*i---*n; ai...Or) (<=i...n)
[ (fc=l...m),
состоящих из оог преобразований, образовывала группу, каждое из этих
семейств должно обладать свойствами, указанными в теореме 46, то есть,
эти га семейств должны приводиться к виду
SkE{x) (fc=i...m), (45)
где Е(\) обозначает общее преобразование некоторой группы,
порождаемой г независимыми инфинитезимальными преобразованиями, a S\... 5m
являются вполне определенными преобразованиями, оставляющими эту
группу инвариантной. Этого, однако, недостаточно, и нужно еще
потребовать, чтобы каждое из га2 преобразований SiSk принадлежало одному
из семейств (45) или, что эквивалентно, чтобы для каждого из
преобразований SiSk можно было бы указать такое Sj {j — 1.. .га), при котором
преобразование SiSkS~l принадлежит r-параметрической группе Е(\у
Совокупность семейств (44) образует группу тогда и только тогда, когда
выполнены эти условия. Это по сути совпадает с содержанием теоремы 59,
том I, стр. 321. Однако сейчас мы добились несколько большего, поскольку
на этот раз мы не предполагали, что преобразования группы (44) являются
попарно обратными.

§111
Займемся теперь обсуждением второй фундаментальной теоремы.
При выводе первой фундаментальной теоремы мы уже встречались с
r-параметрическими группами, порождаемыми инфинитезимальными
преобразованиями. Мы даже установили, что изучение всякой г-параметри-
ческой группы по сути сводится к исследованию r-параметрической
группы, порождаемой г независимыми инфинитезимальными
преобразованиями. Поэтому естественно задаться вопросом об необходимых и
достаточных условиях того, что г независимых инфинитезимальных
преобразований порождают r-параметрическую группу Эти условия и составляют
содержание второй фундаментальной теоремы.
Необходимые условия можно получить различными способами.
Самым очевидным из них является, пожалуй, тот, которым Ли
воспользовался в самых первых своих исследованиях о группах и полных системах.
Поэтому сначала мы вкратце изложим идеи, которыми Ли при этом
руководствовался.
Если конечная или бесконечная непрерывная группа, преобразования
которой попарно обратны, содержит два инфинитезимальных
преобразования Xf и Yf или, в подробной записи,
x'i=xi+€i(xi...xn)5t (i=i...n) (46)
и
х\=Х1+ 7ji(Xi . . . Хп)6т (t=l...n), (47)
то она содержит и инфинитезимальное преобразование, получающееся в
результате последовательного выполнения этих двух. Прямые вычисления
показывают, что это инфинитезимальное преобразование имеет вид:
х" = Xi + £i(x)6t + Tji(x)Sr (i=l...n).
Так как отношение бесконечно малых величин St и St может принимать
какие угодно значения, этот результат можно переформулировать следующим
образом:
Если конечная или бесконечная непрерывная группа с попарно
обратными преобразованиями содержит два инфинитезимальных
преобразования Xf и Yf, то она содержит и каждое из преобразований a Xf + b Yf,
получающихся из них посредством линейной комбинации.

Далее, вместе с инфинитезимальными преобразованиями Xf и Yf
наша группа содержит и порождаемые ими однопараметрические подгруппы.
Следовательно, если учитывать не только бесконечно малые первого
порядка, но и бесконечно малые второго порядка, то эта группа содержит
преобразования
8t2
Xi=Xi+ £i{x)6t + X&Y^ (<=l-n) (46')
Sr2
которые мы будем обозначать через S и Т. Но тогда она содержит еще и
преобразование ST, которое, очевидно, с точностью до бесконечно малых
второго порядка имеет вид
х\ — Xi + £i{x)5t + щ(х)6т+
5t2 St2 (48)
+ *& 3~2 + xViStSr + У^ —,
а также преобразование TS, задаваемое уравнениями
Xi = Xi + T]i(x)Sr + €i(x)6t +
St2 St2 (49)
+ Угц—+УЬ6т81 + ХЬ — .
Сравнивая (48) и (49), мы получаем следующее простое соотношение:
x\-Xi = {Xr)i - Y£i)8t6r (i=i...n), (50)
которое представляет интерес с различных точек зрения. Во-первых, оно
показывает, что при пренебрежении бесконечно малыми величинами
порядка три и выше преобразования S и Т перестановочны тогда и
только тогда, когда тождественно выполняются п уравнений Хщ — У£* = 0,
то есть когда выражение (XY) равно нулю. Отсюда немедленно
следует критерий перестановочности двух инфинитезимальных преобразований
Xf и У/ (см. том I, стр. 259). Во-вторых, уравнение (50) показывает, что
вместе с Xf и Yf наша группа содержит некоторое третье инфинитези-
мальное преобразование.

Действительно, точка х\ получается из точки Xi посредством
преобразования ST, а точка xi получается из xi посредством
преобразования TS. Будучи группой с попарно обратными преобразованиями, наша
группа должна содержать преобразование (TS)~l — S~lT~1, переводящее
точку xi в точку х^ а значит, и преобразование S~lT~lST, под действием
которого точка Xi принимает новое положение х\. Однако, как немедленно
следует из (50), при пренебрежении всеми бесконечно малыми величинами
порядка три и выше это преобразование S~lT~lST задается уравнениями
х\ = х{ + (Xr)i - Y£i)8t8r (»=i...n), (51)
и следовательно, оно является не чем иным, как инфинитезимальным
преобразованием, соответствующим символу (XY). Таким образом:
Если конечная или бесконечная непрерывная группа с попарно
обратными преобразованиями содержит два инфинитезимальных
преобразования Xf и Yf, то она содержит и инфинитезимальное
преобразование (XY).
Если мы теперь ограничимся лишь конечными непрерывными
группами и предположим, что все инфинитезимальные преобразования такой
группы получаются линейной комбинацией некоторых г независимых
инфинитезимальных преобразований Xf ... Xrf, то мы получим, что все
инфинитезимальные преобразования (XiX^) также представимы в виде
линейных комбинаций преобразований Xf ... Xrf. Другими словами,
должны выполняться соотношения вида
г
(XiXk) = Y,dksXsf (i,*=i...r), (52)
5 = 1
где ciks — константы.
Таким образом, выполнение соотношений (52) является, во всяком
случае, необходимым условием того, чтобы существовала конечная
непрерывная группа, содержащая X\f... Xrf, все инфинитезимальные
преобразования которой получаются из X\f ... Xrf посредством линейной
комбинации.
Ли в свое время пришел к соотношениям (52) с помощью этих или
аналогичных им рассуждений*. Однако, на самом деле, эти рассуждения
нельзя считать законченным доказательством; для этого они должны быть
*Ср. конец первой статьи Ли, посвященной бесконечным непрерывным группам, Ges. d.
Wzu Kristiania, 1883г.

усовершенствованы во многих отношениях. Тем не менее, они
представляют собой естественный способ получения соотношений (52) и
способствуют их более тщательному изучению.
§112
Чтобы избежать работы с бесконечно малыми величинами, лучше
всего исходить из основных дифференциальных уравнений.
Мы знаем, что каждое образующее группу семейство оог
преобразований
х\ = fi(xi ...хп; ai... ar) (t=i...n) (1)
удовлетворяет дифференциальным уравнениям вида
дх'- <А
~0^~ = z2^Jk(°>l • • • аг)<Ых1 • • • хп) (<=i-n; fc=i...r), (15)
где определитель, составленный из ^/Да), не равен нулю тождественно и
где г инфинитезимальных преобразований
Xkf = ^2&*(xi • • • Хп">~g~. (fc=i-r)
являются независимыми друг от друга. Мы знаем также, что при этих
предположениях г инфинитезимальных преобразований X\f... Xrf
порождают г-параметрическую группу с попарно обратными преобразованиями,
которая тесно связана с группой (1) и даже при определенных условиях
совпадает с ней.
Поэтому вполне естественно поинтересоваться, каким условиям
удовлетворяют инфинитезимальные преобразования Xif.. .Xrf. Наиболее
очевидным способом ответа на этот вопрос является нахождение условий
интегрируемости дифференциальных уравнений (15).* Прежде, чем
вывести эти условия интегрируемости, отметим, что они, разумеется, не зависят
от того, образует семейство (1) группу или нет; они будут такими же и в
случае, когда семейство (1) группой не является. Поэтому пока мы вообще
не будем пользоваться требованием о том, чтобы семейство (1)
образовывало группу.
*Ли сделал это еще в 1879 году в Math. Ann., том 16, стр. 461-462.

7Г" = Z>ifc(a)Xj/' (fc=i...r), (53)
Прежде всего, п • г уравнений (15) можно заменить лишь г
уравнениями. Действительно, если f(x[ .. .х'п) = /' — произвольная функция от
х\ ... х'п и если, в соответствии с нашими прежними обозначениями,
положить
г=1 *
то из уравнений (15) получаются следующие п уравнений:
df_
дак ,=1
которые, если не фиксировать функцию /', полностью заменяют
уравнения (15).
Условия интегрируемости уравнений (53) имеют вид
Дифференцируя эти условия и принимая во внимание то, что
уравнения (53) верны для любой функции /', а значит, и для функции X'Tf, мы
получаем
j=l ^ Т ' j,7T=l
Г
,7,7Г = 1
Каждое выражение X^Xjf — XjXf7Vff встречается в правой части дважды:
один раз с множителем ф^тф-кк, а второй раз с множителем —фтттФзк-
Следовательно, последнее уравнение можно переписать в виде
( г—1 г
j^Xdor дак j iJ ■
i=1*=i+1 (54)

Поскольку, кроме того, определитель, составленный из г2 функций t/^fc, a
значит, и определитель, составленный из выражений ф^фпк — 'фттт'Фзк,
имеют ненулевые значения, то уравнения (54) можно разрешить, и мы
получаем
г
X;Xj/' - ЦХ'^Г = J] хтг^а: ... ar)X'J'.
5=1
Так как величины х' и а не связаны никакими соотношениями, эти
уравнения должны выполняться тождественно для всех значений величин х'
и а, и следовательно, их правые части, как и левые, должны быть
функциями, зависящими только от х[ .. .х'п. Вследствие независимости инфините-
зимальных преобразований X[f... Xrrfr это возможно лишь тогда, когда
Xttjs являются простыми константами. Наконец, отбросив штрихи и
заметив, что X^Xjf — XjXjrf = (XnXj), мы снова приходим к соотношениям
г
{XiXk)=J2ciksXaf «,*=i...r), (52)
5 = 1
в которых ciks суть числовые константы.
Таким образом, если семейство оог преобразований (1) удовлетворяет
дифференциальным уравнениям вида (15), то для любых пар,
составленных из г инфинитезимальных преобразований Xif ...Xrf, выполняются
соотношения вида (52).
Это утверждение входит в теорему 21, том I, стр. 149. Оставшуюся
часть этой теоремы нельзя получить непосредственно с помощью
используемого здесь метода. Однако этот метод приводит к интересным
соотношениям на tyjk. Действительно, если в первых уравнениях на стр. 580 мы вме-
сто Х^ЦГ - X'jX'J' подставим Z^jsX'sF' и учтем, что X'J'. ..X'rf
являются независимыми инфинитезимальными преобразованиями, то мы
получим дифференциальные уравнения
дфек дф8Т ^А
дат дак ^ (55)
(s,fc,T=l...r),
которые, разумеется, должны выполняться тождественно*.
* Дифференциальные уравнения (55) не были установлены Ли в 1879 году, однако они
мгновенно вытекают из соотношений, выведенных им в Math. Ann., том 16. Первым эти
уравнения опубликовал Маурер (см. Ber. d Munchener Akad., 1888г., стр. 117.

Особенно изящным методом вывода уравнений (52) является метод,
использованный нами на стр. 146-149 первого тома. Его преимущество
перед только что описанным заключается в том, что он опирается не на
теорию интегрирования систем дифференциальных уравнений вида (15), а на
более простую теорию полных систем. Сейчас мы еще раз вкратце изложим
суть этого метода.
Сперва система (15) заменяется эквивалентной системой
^ дх{
&*(*') = Z-/a^'(a)^ (*=l-..n; b=l-r). (16)
j=l
da
j
Если, далее, уравнения (1) разрешить относительно х: Xi — i^(x',a), то
из (16) немедленно следует, что F\.. . Fn, понимаемые как функции от х'
и а, являются общими решениями линейных дифференциальных уравнений
в частных производных
X'kF + AkF = О (fc=i...r), (56)
где X'kF имеют тот же смысл, что и на стр. 557, а
AkF = ^ akj{a\ • • • ar)— (fc=i...r).
j=l
з
Поскольку определитель, составленный из akj не равен нулю, то
уравнения (56) независимы друг от друга. Поскольку, кроме того, они содержат
п+г независимых переменных и имеют ровно п независимых общих
решений, они образуют г-параметрическую полную систему. Если это свойство
выразить аналитически, то легко убедиться (см. том I, стр. 148-149), что
должны выполняться не только соотношения вида
г
Х'кХр - X'^F = ^ ckjsX'sF,
5 = 1
но и соотношения вида
AkA3F - A3AkF = V ckj8A8F,
5=1
где Ckjs B обоих случаях обозначают одни и те же константы.

Таким образом, если семейство оог преобразований (1)
удовлетворяет дифференциальным уравнениям вида (15) или, что равносильно,
уравнениям вида (16), то г независимых инфинитезимальных преобразований
X\f.. .Xrf связаны соотношениями вида (15), а г независимых
инфинитезимальных преобразований
Mf = ^2^kj(o,i...ar)— (fc=i...r)
j=i j
связаны соотношениями вида
г
(AiAk) = Y^ dksAsf (г,л=1...г),
5=1
где CkjS суть те же константы, что и в (52).
Все сказанное до сих пор верно для любого семейства вида (1),
удовлетворяющего дифференциальным уравнениям вида (15). Предположим
теперь, что семейство (1) образует группу и что преобразования этой
группы попарно обратны. Тогда, согласно сказанному на стр. 566, наша
группа порождается инфинитезимальными преобразованиями X\f .. .Xrf. С
другой стороны, из только что проделанных рассуждений следует, что эти
инфинитезимальные преобразования связаны соотношениями (52). Таким
образом, мы получаем следующий важный результат:
Каждая г-параметрическая группа (1) с попарно обратными
преобразованиями содержит г независимых инфинитезимальных преобразований
Xif...Xrf, связанных соотношениями вида
г
(XiXfc) = X>feeXe/ (U-=i...r). (52)
5=1
Эти инфинитезимальные преобразования порождают эту группу, то
есть, она состоит из конечных преобразований oor_1 одиопараметриче-
ских подгрупп, порождаемых oor_1 инфинитезимальными
преобразованиями \\X\f + ... + XrXrf.
§из
Мы могли бы сейчас перейти непосредственно к доказательству
обращения только что полученного утверждения и показать, что г независи-

мых инфинитезимальных преобразований X\f... Xrf, связанных
соотношениями вида (52), всегда порождают r-параметрическую группу с
попарно обратными преобразованиями. Однако мы встанем на несколько более
общую точку зрения: мы будем предполагать, что в переменных х\... хп
заданы г произвольных независимых инфинитезимальных преобразований
X\j ... Xrf, и выясним, при каких условиях найдется г-параметрическая
непрерывная группа, которая содержит эти инфинитезимальные
преобразования и порожденные ими однопараметрические подгруппы.
Пусть Gr — r-параметрическая непрерывная группа, содержащая г од-
нопараметрических групп
А2
X,i=Xi + \k£ki(x) + Y72Xbtki + • • • (*=l...n)
(fc=l...r).
Эта группа обязана тогда содержать преобразование, получающееся при
последовательном выполнении общего преобразования однопараметрической
группы X\f, затем общего преобразования однопараметрической
группы Xij, и так далее, и, наконец, общего преобразования
однопараметрической группы Xrf. Таким образом, группа GT должна содержать
преобразование вида
г
Х'г = Xi + 5Z ХкЫ(х) Н (г=1...п), (57)
к=1
где Ai... Аг — произвольные параметры и где невыписанные члены имеют
относительно Ai... Аг порядок два или выше*.
Но уравнения (57) с произвольными параметрами Ai... Аг задают
некоторое семейство преобразований, которое в силу независимости
преобразований Xif ... Xrf состоит ровно из оог различных преобразований
(см. том I, стр. 65, предл. 4). С другой стороны, наша группа G>, если она
вообще существует, также содержит только оог различных преобразований,
откуда следует, что Gr совпадает с семейством оог преобразований (57).
Таким образом, семейство (57) должно образовывать г-параметриче-
скую группу. Но тогда оно должно удовлетворять дифференциальным урав-
*Этот результат верен, разумеется, вообще для всех групп, содержащих
однопараметрические группы X\f ... Xrf-, то есть не только для конечных групп, но и для бесконечных.

нениям вида
я ' т
где определитель, составленный из ^/с(А), не равен тождественному нулю
и где г инфинитезимальных преобразований
71 гл г
г=1 ^
не зависят друг от друга. Учитывая, что при \i = ... = Ar = 0 мы имеем
х\ — Хг и что из (57) следует
дх\
А=0
_д\к_
мы легко убеждаемся, что имеют место соотношения
г
X ^ifc(°)Ot(*) = Ы(х) (fe=l-..r; t=l...n).
i=i
Ясно, однако, что это возможно лишь тогда, когда определитель,
составленный из ifrjkWi ПРИ А = 0 имеет конечное ненулевое значение и когда
г инфинитезимальных преобразований Zif...Zrf представляются в
виде линейных комбинаций преобразований X\f ... Xrf. Объединяя этот
результат со второй частью первой фундаментальной теоремы (см. стр. 563-
564) и с результатами предыдущего параграфа, мы получаем следующее
утверждение:
Если г-параметрическая непрерывная группа от п переменных х\... хп
содержит г независимых инфинитезимальных преобразований
ТЬ ГЛ £
Xkf = ^2 €ki(Xl ...Xn)— (fc=l...r)
г=\ Х%
и порождаемые ими однопараметрические подгруппы, то ее
преобразования попарно обратны, и она состоит из преобразований однопараметриче-
ских групп, порождаемых oor_1 инфинитезимальными преобразованиями

XiXif + ... + \rXrf. Инфииитезимальные преобразования X\f ... Xrf,
в свою очередь, связаны соотношениями вида
г
(XtXk) = J2c^X*f (^=i...r). (52)
3 = 1
Это, однако, еще не дает полного ответа на вопрос, поставленный на
стр. 583. Нашей задачей было выяснить, при каких условиях существует
r-параметрическая непрерывная группа, содержащая г заданных
независимых инфинитезимальных преобразований Xif ...Xrf и порождаемые
ими однопараметрические группы. Пока же мы нашли только
необходимые условия существования такой группы, показав, что такая группа
может существовать только тогда, когда выполняются соотношения вида (52),
и что эта группа, если она существует, состоит из oor_1
однопараметрических подгрупп, инфинитезимальные преобразования которых
определяются выражением ^XkX^f с произвольными параметрами Ai... Аг. Таким
образом, остается еще доказать, что эти необходимые условия являются
достаточными, то есть что всегда, когда г независимых
инфинитезимальных преобразований X\f... Xrf связаны соотношениями вида (52),
конечные преобразования oor_1 однопараметрических групп ^ XkXkf образуют
r-параметрическую группу.
Доказательство этого факта было приведено в главе 9 первого тома,
но поскольку и порядок, и форма тамошнего изложения всего предмета
довольно существенно отличаются от сказанного выше, мы еще раз вкратце
разъясним идеи, лежащие в основе доказательства.
Мы хотим доказать, что совокупность конечных преобразований oor_1
однопараметрических групп ^ X^X^f образует r-параметрическую
группу всякий раз, когда г независимых инфинитезимальных преобразований
Xif ...Xrf связаны соотношениями вида (52). Если теперь вспомнить
первую фундаментальную теорему (стр. 563), то легко убедиться, что для
доказательства этого факта достаточно указать семейство преобразований
вида
U = fi(xl • • • хп\ 0>1 • • • От) (*=1...п), (58)
обладающее следующими свойствами: во-первых, оно должно удовлетво-

рять дифференциальным уравнениям вида
дак
~^~ = XI ^Mal • • • ar)€ji{t) (t=l...n; fc=l...r), (15')
3 = 1
в которых определитель, составленный из т/^/Да), не равен нулю
тождественно, а во-вторых, оно должно содержать тождественное
преобразование, причем параметры этого тождественного преобразования должны
доставлять конечное ненулевое значение определителя ^/.(а).
Действительно, если нам удастся указать такое семейство (58), то, согласно первой
фундаментальной теореме, это семейство будет образовывать г-парамет-
рическую группу с попарно обратными преобразованиями, причем такую,
которая состоит из oor_1 однопараметрических групп ^X^X^f. Этим
заодно доказано, что семейство этих однопараметрических групп образует
r-параметрических групп с попарно обратными преобразованиями.
Итак, все сводится к тому, чтобы найти семейство вида (58) с только
что описанными свойствами.
Поскольку определитель ф^{а) не должен тождественно равняться
нулю, уравнения (15') можно привести к виду
€ki(t) =^akj(a)-Q± (t=l-n; fc=l...r). (16)
Но, согласно сказанному на стр. 581, семейство (58) удовлетворяет
дифференциальным уравнениям такого вида тогда и только тогда, когда п
функций Fi(i, а) из уравнений Х{ = J^(?, а), возникающих при разрешении
уравнений (58) относительно х^, являются общими решениями линейных
дифференциальных уравнений в частных производных
Elf + Ea^(a)|f = ° (fc=i--^ (59)
v=\ °lv j=i aai
Если нам теперь удастся указать г инфинитезимальных преобразований
Akf = ^2abj{a)— (*=i...r),
которые удовлетворяют соотношениям вида
г
{AiAk) = ^ciksAsf «,*=i...r) (60)
5=1

и для которых определитель а^(а) не равен нулю тождественно, то этим
будет доказано и существование семейства вида (58), обладающего
требуемыми свойствами. Действительно, в этом случае в силу соотношений (52)
и (60) уравнения (60) образуют r-параметрическую полную систему,
разрешимую относительно г производных df/да^ Если а\... а£ —
произвольный набор значений, на котором определитель (*kj(a) принимает конечное
ненулевое значение, то эта полная система имеет п главных решений
относительно а/. = а£, то есть п решений F\(i, а)... Fn(y, а), которые при а^ =
= а£ принимают вид ji... £п соответственно (см. том I, теор. 12, стр. 91).
Но отсюда следует, что уравнения х\ = Fi(y,a) можно разрешить
относительно ji ...£п и что соответствующие уравнения & = fi(x,a) задают
семейство (58) требуемого свойства. Действительно, это семейство
удовлетворяет дифференциальным уравнениям вида (16'), а значит, и уравнениям
вида (15'), и, кроме того, оно содержит тождественное преобразование,
параметры aic = ajj. которого доставляют конечное ненулевое значение
определителя ipjk(a).
Теперь недостает лишь доказательства существования г независимых
инфинитезимальных преобразований A\f ...Arf только что описанного
свойства. Это доказательство аналогично рассуждениям, приведенным на
стр. 156-157 первого тома. Тем не менее, мы сделаем набросок этого
доказательства, поскольку мы хотим снабдить [???] его одним интересным
замечанием.
Положим
и рассмотрим выражения
г
м=1
которые, согласно предложению 5, том I, стр. 66, не связаны никакими
линейными соотношениями. Очевидно, что W^f удовлетворяют
соотношениям вида
г
(WiWk) = Y,akawef (a-=i...r),
5 = 1
откуда следует, что уравнения
W1f = 0,...,Wrf = 0

относительно п • г переменных у„ образуют r-параметрическую полную
систему спг — г независимыми решениями и\... ипт-т. Вводя эти решения
вместе с подходящими величинами а\... аг в качестве новых переменных,
мы получим
Wfc/ = ^cj*j(ai...ar; щ .. .unr_r) — (fc=i...r).
i=i
xj
Если величины и в этих выражениях понимать как константы, а величины а
— как переменные, то они представляют собой г независимых инфинитези-
мальных преобразований, обладающих всеми свойствами, которым должны
удовлетворять А\... Arf.
Это завершает доказательство того, что семейство oor_1 однопарамет-
рических подгрупп Yl^kXkf при сделанных на стр. 585 предположениях
всегда образует группу Хотя это доказательство в своих основных
моментах практически ничем не отличается от доказательства из тома I, мы все
же считаем, что только что проделанные рассуждения не являются
лишними, так как в них основные идеи доказательства проявляются более четко,
чем это было возможно в первом томе.
А сейчас — общанное замечание.
Выше мы определили функции Fi(z,a) как главные решения полной
системы (59); затем, исходя из выражений Wkf, мы построили г инфини-
тезимальных преобразований A\f... Arf, обладающих требуемыми
свойствами. Эти два шага можно объединить в один. Действительно, функции
■Fi(p, а) можно определить непосредственно из полной системы
г
**/ + Х>л°/ = 0 (*=i...r), (61)
где
Для этого нужно лишь из пг переменных г.,, выбрать г таких, чтобы
уравнения (61) были разрешимы относительно соответствующих г
производных функции /. Обозначим эти г переменных через а\... аг, а остальные

nr — г — через v\... vnr-r- Тогда для любого набора значений общего
положения а£, v® можно определить п главных решений
Щ?1 • • • In, ai... ar; vi... vnr-r) (t=i...n)
полной системы (61), которые при ajt = a£ сводятся к yi...pn
соответственно. Наконец, положим
Xi = Щ?1 • • • ?ni ai... ar; vj ... ^r_r) (t=i...n).
Разрешая эти уравнения относительно £i...£n, мы получим конечные
уравнения группы, порождаемой инфинитезимальными преобразованиями
Хг/...Xrf.
Определенный интерес этим рассуждениям придает то обстоятельство,
что функции i?i, будучи решениями полной системы (61), являются
инвариантами группы, порождаемой инфинитезимальными преобразованиями
г
Xkf + ^xMf (*=i...r).
Отсюда следует, что Qi суть не что иное, как инварианты г + 1 точек
£„, xl .. .у[Г относительно группы A"i/ ... Xrf, и все сводится к тому,
что конечные уравнения группы X\f.. .Xrf выражаются через
инварианты этих точек. Действительно, если функция Qi, записанная в переменных
(1) (г)
у„, х,, ...£,,;, имеет вид
и если
U = fi(xi... xn; ai... ar) (i=i...n), (58)
— конечные уравнения группы X\f ... Xrf, то в силу (58) и
Г^^/Л^---^; <*!...ar) („=i...n)
\ Ы=1-г)
выполняются п соотношения вида
[Щц.-.Ы^ ...&)) = Щх1...хп; х^ .. .х«)
(62)
(г=1...п).
(63)

Следовательно, конечные уравнения группы X\f... Xrf можно получить,
разрешив уравнения (63) относительно £i...£n, причем так, чтобы при
Уи — Хи мы имели у„ — xv (ср. прим. на стр. 404). Проделанное выше
представляет собой лишь частный случай этих общих рассуждений.
Действительно, величинам х» мы придали фиксированные значения а°, г;°,
те из величин у» , которые мы обозначили через v\... vnT-T, мы заменили
на Vi ... Vnr-r> а остальные у„ — на а\... аг.
Все это является лишь абстрактной интерпретацией некоторых
рассуждений из главы 9 тома I. Очевидно, что там мы не могли воспользоваться
этой интерпретацией в явном виде, поскольку понятия инварианта и
инварианта нескольких точек были введены лишь позже. Однако в главе 9
первого тома фактически уже содержится описание конечных уравнений
конечной непрерывной группы в терминах инвариантов, которыми
относительно этой группы обладают г + 1 точек. Поэтому мы не можем
согласиться с тем, что Киллинг, указав на возможность такого описания (Math. Ann.,
том 35, стр. 430-431), получил действительно нечто новое, тем более что он
даже не обратил внимания на то, что уравнения, доставляемые этими
инвариантами, для получения конечных уравнений группы X\f... Xrf нужно
разрешить вполне определенным образом (ср. также прим. на стр. 296).
Соберем теперь вместе результаты этого и предыдущего параграфов,
которые в совокупности дают вторую фундаментальную теорему:
Вторая фундаментальная теорема 1. Каждая г-параметрическая
группа
х\ = fi(xi ...xn; ai...аг) (i=i...n)
с попарно обратными преобразованиями содержит г независимых инфи-
нитезимальных преобразований
Xkf = Yl^(xi---Xn)^— (fc=i...r),
связанных соотношениями вид
г
(XiXk) = Y,c^sXsf <t,fc=i...r). (52)
5=1
Все инфинитезималъные преобразования этой группы получаются
линейной комбинацией преобразований X\f.. .XTf, а сама группа состоит из

oor_1 однопараметрических групп, порождаемых oor_1 инфинитезималь-
ными преобразованиями ^ X^X^f.
Обратно, г независимых инфинитезимальных преобразований
Xif.. .Xrf, удовлетворяющих соотношениям вида (52), всегда
порождают г-параметрическую группу с попарно обратными преобразованиями,
то есть, при сделанных предположениях семейство oor_1
однопараметрических групп, порождаемых oor_1 инфинитезимальными
преобразованиями Y^ XkXkf, образует г-параметрическую группу с попарно обратными
преобразованиями.
Как уже было отмечено на стр. 546, среди трех фундаментальных
теорем эта теорема с практической точки зрения является самой важной,
поскольку она используется чаще всего. Поэтому мы называем ее основной
теоремой теории групп.
§114
Учитывая ту важную роль, которую вторая фундаментальная теорема
играет во всей теории групп, легко понять, почему Ли многократно
обращался к доказательству этой теоремы и доказывал ее все новыми и новыми
способами. При этом основная часть его усилий была сосредоточена на
второй части этой теоремы, поскольку то, что каждая r-параметрическая
группа с попарно обратными преобразованиями порождается г независимыми
инфинитезимальными преобразованиями X\f... Xrfy связанными
соотношениями вида (52), доказать, очевидно, легче, чем обратное утверждение о
том, что г независимых инфинитезимальных преобразований,
удовлетворяющих соотношениям (52), всегда порождают r-параметрическую группу.
Первое опубликованное Ли доказательство этого обратного
утверждения относится к 1878 году*. Оно является строгим, хотя формально его
можно усовершенствовать, и основывается на отыскании
инфинитезимальных преобразований канонической группы параметров, хотя само понятие
канонической группы параметров в явном виде там не вводится. Мы
воспользуемся этим доказательством в главе 27, где мы займемся описанием
всех транзитивных групп заданной структуры.
Доказательство из тома I, которое в настоящей главе мы изложили,
сохранив основные идеи и лишь несколько видоизменив форму, с точки
зрения простоты и строгости вполне удовлетворительно. Тем не менее, мы
*Archiv for Math, og /Vafurv., том HI, стр. 94-100 (Кристиания).

считаем нелишним привести здесь еще одно доказательство, которое, на
первый взгляд, не связано с предыдущими рассуждениями настоящей
главы, хотя при более тщательное рассмотрении оказывается, что эти два
доказательства в сущности ничем не отличаются. Наше новое доказательство
по сути представляет собой более четкое абстрактное изложение старого*.
Мы начнем с того, что сделаем несколько замечаний общего характера.
Если
Х^.-.Х^ (м=1...т)
— координаты т различных точек Р\... Рт пространства х\... хп, то
совокупность этих га точек мы будем называть т-угольником, и если Р\... Рт
являются точками общего взаимного положения, мы будем говорить, что
этот га-угольник является т-угольником общего положения.
Пусть теперь задано какое-либо семейство оог преобразований
Уг = х- = fi(xi...xn; ai...ar) (;=i...n). (64)
Применим преобразования этого семейства к некоторому га-угольнику
общего положения. При этом наш га-угольник принимает некоторое
количество новых положений, которые определяются уравнениями
| у\^ = fi(x{^ . ..ХМ\ аг ...ar) (t=i...n)
Очевидно, что число этих новых положений равно, по меньшей мере, со1 и
не превосходит оог. Следовательно, мы можем считать, что оно равно оо'"',
где целое положительное число 1т удовлетворяет условию 0 < 1т ^ г и
зависит только от числа га. Действительно, очевидно, что 1т есть не что
иное, как число тех из величин а, относительно которых разрешимы га ♦ п
уравнений (65), а это число зависит только от га всегда, когда Pi.. ,РШ
являются точками общего взаимного положения.
При сделанном предположении семейство оог преобразований (64)
разлагается на оо*'п подсемейств, каждое из которых состоит из оог-*'"
преобразований, причем все оог-/'" преобразований каждого такого
подсемейства переводят m-угольник Р\... Рт в одно и то же положение Q\... Qm,
*Ли опубликовал это доказательство в 1890 году в статье "Новое доказательство второй
фундаментальной теоремы и т.д." (Leipz. Berichte, 1890г., стр. 453 и далее, особенно стр. 472-
476).

а под действием двух преобразований из семейства (64), принадлежащих
различным подсемействам такого рода, m-угольник Pi... Рш принимает
два различных новых положения.
Добавим теперь к нашему m-угольнику еще одну точку х™ ...
Хп или Рт+\ общего положения, причем так, чтобы получился (т +
+ 1)-угольник общего положения. Этот (т + 1)-угольник под действием оог
преобразований (64) будет принимать ровно oo*'"+1 различных положений.
Выясним, чему равно число £m+i.
Рассмотрим все оог-/'" из оог преобразований (64), под действием
которых m-угольник Pi.. .Рт переходит в некоторое из своих оо'"' новых
положений, которое мы обозначим через Q\... Qm- Если г — 1т > 0, то
Pm+i, будучи точкой общего положения, принимает под действием этих
оог-*'" преобразований по меньшей мере оо1 различных положений,
которые, однако, обладают тем свойством, что все они содержат т-угольник
Qi • • • Qm- Но поскольку т-угольник Pi... Рт под действием оог
преобразований (64) принимает ровно ooz'" различных положений, отсюда следует,
что (т+1)-угольник Рх... Pm+i принимает под действием этих
преобразований по меньшей мере oo*'"+1 различных положений и что, следовательно,
lm+i > lm- Если же число г — 1т равно нулю, то и m-угольник, и (т + 1)-
угольник принимают под действием оог преобразований (64) одинаковое
количество положений, а именно оог, то есть наибольшее возможное
число, и, следовательно, /m+i = lm.
Отсюда видно, что всякий раз, когда /тп <С г, мы имеем lm-\-i ^ ^m> в
то время как в случае 1Ш — г числа /т+ь lm+2 • • • также обязаны
равняться г. Но поскольку число 1т равно по меньшей мере 1, мы получаем, что
число 1т не превышает г — 1, если m < г, и что в таком случае 1Ш равно
по меньшей мере т. Таким образом, верно следующее утверждение:
Предложение 3. Каждый r-угольник, (г + 1)-уголъник, ... общего
положения принимает под действием оог преобразований
yi = x'i = fi(xx... xn; ai ... ar) (i=i...n) (64)
в точности oor различных положений. При т < г каэ/сдый т-угольник
общего положения принимает под действием этих преобразований самое
малое оот и самое большое оог различных положений. При этом т-угольник
и (т + \)-угольник общего положения принимают одинаковое количество
различных положений тогда и только тогда, когда они оба принимают оог
различных положений.

Но тогда верен и следующий результат:
Предложение 4. Если семейство преобразований вида
yi=xfi = fi(xi... хп; <ц... ar) (i=i...n) (64)
содержит г произвольных параметров и если некоторый т-угольник
общего полоэ/сения (т й г) принимает под действием этого семейства oom_1
различных положений, то это семейство состоит лишь из oom_1
различных преобразований, и следовательно, лишь га — 1 из г параметров а\... аг
являются существенными.
Действительно, если бы среди этих г параметров существовало га или
более существенных параметров, то есть, если бы семейство (64) состояло
по меньшей мере из оот различных преобразований, то, согласно
предыдущему предложению, каждый ттг-угольник общего положения должен был
бы под действием этого семейства принимать по меньшей мере оот новых
положений, чего не происходит. С другой стороны, если бы семейство (64)
содержало не oom_1 различных преобразований, а менее, скажем оот_2,
то оно могло бы переводить га-угольник общего положений лишь в оот-2
различных положений, что снова противоречит условию нашего
предложения.
Предложение 4 дает нам еще один критерий того, состоит ли данное
r-параметрическое семейство (64) из оог различных преобразований, то
есть, являются ли каждый из г параметров этого семейства существенным:
очевидно, что семейство (64) состоит из оог различных преобразований
тогда и только тогда, когда произвольно выбранный г угольник общего
положения переходит под действием этого семейства в оог различных
положений. Чтобы применить этот критерий, мы должны положить га = г в
уравнениях (65) и выяснить, разрешимы эти уравнения относительно а\... аг
или нет. Положительный ответ на этот вопрос и будет необходимым и
достаточным условием того, что семейство (64) состоит из оог различных
преобразований. Однако этот метод по сути не отличается от метода,
описанного на стр. 13-14 первого тома.
Предположим теперь, что семейство наших оог преобразований (64)
содержит тождественное преобразование. Обозначив, как и ранее, общее
преобразование (64) нашего семейства через £(а), легко увидеть, что
семейство преобразований S^S^ включает в себя семейство S(ay

В частности, чтобы семейство (64) образовывало г-параметрическую
группу, необходимо и достаточно, чтобы семейство S^S^) совпадало с
семейством «5(а), что при наших предположениях происходит тогда и только
тогда, когда семейство S^S^) с 2г параметрами а\... аг, Ъ\.. ,br также
состоит только из оог преобразований, то есть (см. предл. 4), когда оно
каждый (г + 1)-угольник общего положения переводит в оог различных
положений. Но поскольку каждый (г + 1)-угольник общего положения
принимает оог различных положений уже под действием семейства 5(а), ясно,
что это условие выполняется тогда и только тогда, когда семейство всех
оог (г + 1)-угольников, в которые под действием семейства 5(а) переходит
произвольно выбранный (г + 1)-угольник общего положения, остается
инвариантным относительно каждого преобразования S^) • Другими словами
это можно выразить так:
Предложение 5. Семейство оог преобразований
Vi=Xi = fi{xi... хп; <ц ... ar) (i=i...n), (64)
содержащее тождественное преобразование, образует
г-параметрическую группу тогда и только тогда, когда все (г + 1)-уголъники
пространства х\... хп разбиваются на такие семейства (г + \)-уголъников, по оог
в каждом, что каждое из этих семейств инвариантно относительно всех
оог преобразований (64).
Зададимся теперь г независимыми инфинитезимальными
преобразованиями
и выясним, при каких условиях совокупность оог-1 однопараметриче-
ских групп, порождаемых сюг_1 инфинитезимальными преобразованиями
^2 AfcXfc/, образует r-параметрическую группу.
Конечные преобразования наших оог-1 однопараметрических групп
задаются уравнениями
г t2 Г
yi = Xi + t^2А/^ьОе) + y~2 5Z ^jXktji + • • • (i=i...n),
которые мы для краткости запишем в виде
Уг = fi(xi . . . Хп\ ei . . . еТ) (i=l...n), (66)

положив Xkt = е*;. Из теоремы 8, том I, стр. 65, мы знаем, что
семейство (66) состоит из оог различных преобразований. Более того,
семейство (66) содержит тождественное преобразование, и его преобразования
попарно обратны. Таким образом, ничто не мешает нам применить
предложение 5.
Всякий (г + 1)-угольник х[ ... Хп (/л = 1... г + 1) общего
положения принимает под действием оог преобразований (66) оог различных
положений, определяемых уравнениями
iyf)=fi{x['l)...x№ ei...er) (i=i...n) (67)
[ Oi=l...r+l).
В то же время эти уравнения представляют собой конечные уравнения
oor_1 однопараметрических групп, порождаемых oor_1 инфинитезималь-
ными преобразованиями
X>X>?V = X>w (68)
от п(г + 1) переменных х\ . Под Х^ f мы, как и ранее, понимаем
выражение
4^ = £ы^,-..^))-^у.
г=1 ОТг
Если переменные х^' понимать как точечные координаты некоторого
п(г + 1)-мерного пространства, то предложение 5 в применении к нашему
семейству (66) можно сформулировать несколько более наглядно:
семейство оог преобразований (66) образует r-параметрическую группу тогда
и только тогда, когда п(г + 1)-мерное пространство х\ разбивается на
r-мерные многообразия, каждое из которых остается инвариантным под
действием преобразований из семейства (67).
Каждое разбиение пространства х\ на r-мерные многообразия можно
задать с помощью п(г + 1) — г независимых друг от друга уравнений вида
{S2T(x1 ...xn,xl ...хп — Ст , .
(r=l12,...,(r+l)n-r),

где Ст суть произвольные константы. Для того, чтобы каждое из
определенных таким образом r-мерных многообразий оставалось инвариантным
под действием оог преобразований (67), необходимо и достаточно, чтобы
функции QT были инвариантны относительно каждой из оог-1 однопара-
метрических групп (68), что происходит тогда и только тогда (ср. том I,
стр. 96-97), когда эти функции являются общими решениями следующих
г линейных дифференциальных уравнений в частных производных:
Wi/ = 0, ..., Wrf = 0. (70)
Таким образом, наше семейство (67) [м.б. (66)???] образует г-парамет-
рическую группу тогда и только тогда, когда г линейных
дифференциальных уравнений в частных производных (70) имеют (г + 1)п — г общих
решений. Согласно предложению 5, том I, стр. 66, уравнения (70)
являются независимыми, откуда следует, что требуемым количеством общих
решений они обладают только тогда, когда они образуют полную г-пара-
метрическую систему, то есть, когда имеют место тождества вида
г
(WiWk) = Y,Uik8(x™)...x£+V)Waf (i,fc=i...r)
(см. предл. 8, том I, стр. 88). Отсюда с учетом (68) мы мгновенно получаем
тождества
(X^X^)^J2^sX^f (i,fc=i...r), (71)
5=1
где ji может принимать все значения от 1 до г + 1.
Из уже упомянутого выше предложения 5, том I, стр. 66, теперь
следует, что Uiks полностью определяются уже теми из уравнений (71), в
которых /i имеет значения 1, 2... г, причем поскольку эти уравнения не со-
держат х\ \ они доставляют такие выражения для Uiks, которые также
не содержат х^ . Аналогично показывается, что ицсз вообще не зависят
от х\ и, следовательно, являются константами.
Таким образом, мы еще раз приходим к следующему результату:
Если X\f ... Xrf — независимые инфинитезималъные преобразования,
то конечные преобразования оог-1 однопараметрических групп ^X^X^f
образуют г-параметрическую группу тогда и только тогда, когда X^f

связаны соотношениями вида
{XiXk) = ^ CiksXsf (t,fc=l...r), (52)
5=1
где ciks являются константами.
Рассуждения, приведшие нас к этому утверждению, тесно связаны с
рассуждениями из второй части предыдущего параграфа. Более подробно
мы, однако, на этом останавливаться не будем.
Рассмотрим, наконец, теорему 45, том I, стр. 258. Эта теорема
говорит, что семейство 5(е) преобразований (66) образует г-параметрическую
группу тогда, и мы можем добавить: только тогда, когда семейству (66)
принадлежит каждое преобразование вида STlS^S^y Легко увидеть, что
это условие равносильно тому, что г независимых уравнений (70) образуют
г-параметрическую полную систему.
Действительно, если этому условию удовлетворяет семейство (66), то
ему удовлетворяет и семейство (67), то есть, если преобразование (67)
обозначить через 5(е), то семейству (67) будет принадлежать каждое
преобразование вида Тг}Т(е)Т(€). Вспомним теперь, что уравнения (67)
представляют собой конечные уравнения oor_1 однопараметрических групп
Yl^kWkf, откуда следует, что каждое конечное преобразование
произвольное однопараметрической группы ^XkWkf преобразует
пространство X} таким образом, что траектории oor_1 однопараметрических групп
X! PkWkf переставляются между собой, а это равносильно тому, что г
независимых уравнений (70) образуют г-параметрическую полную систему.
§115
Обратимся теперь к третьей фундаментальной теореме, которая
объединяет в себе теорему 27, стр. 170, и предложение 1, стр. 297, из первого
тома. Эта теорема звучит следующим образом:
Третья фундаментальная теорема 1. Если
п f)f
Xkf = ^2^ku(xi...Xn)^— (fc=l...r)

суть независимые инфинитезимальные преобразования г-параметрической
группы от переменных х\... хп, то есть, если выполняются соотношения
вида
г
{XiXk) = ^2 CiksXsf (i,fe=i...r), (52)
s=l
то константы Ciks> определяющие структуру соответствующей группы,
удовлетворяют уравнениям
( ciks + ckis = О
г
{ ^2{CikrCTjs + CkjTCTis + CjiTCTks} = О (72)
т=1
^ (i,k,jys=l...r).
Обратно, если задано г3 постоянных Ciks, удовлетворяющих
уравнениям (72), то л/ш достаточно большом п всегда существуют г
независимых инфинитезималъных преобразований X\f... Xrf от п переменных
х\...хп, которые связаны между собой соотношениями (52) и,
следовательно, порождают г-параметрическую группу со структурными
константами Ciks-
Первую часть этой теоремы нельзя доказать проще, чем это сделано
на стр. 169 первого тома, то есть с помощью подстановки выражений
г
(XiXk) = / ^CjksXsf
s=l
в тождества
(ХгХк) + (XkXi) = О
({XiXk)Xj) + ((XkX^Xi) + ({XjXJXk) = 0,
которые легко следуют из определения скобочной операции*:
{XiXk) = XiXkf - XkXif.
* Приведенное на стр. 95 первого тома простое доказательство специального [???]
тождества Якоби принадлежит Энгелю.

Поэтому мы сразу же перейдем к обсуждению второй части третьей
фундаментальной теоремы, то есть к утверждению о том, что каждому
набору из г3 констант Q/cS, удовлетворяющих уравнениям (72), соответствуют
r-параметрические группы структуры Ciks-
При работе над первым томом в качестве обоснования этого
утверждения предполагалось привести доказательство, опубликованное Ли в Math.
Ann., том 25, стр. 92 и далее. Однако во время печати выяснилось, что это
доказательство применимо не всегда. Дело в том, что в его основе
лежало построении линейной однородной группы со структурой Ciks, однако
при определенных условиях эта линейная однородная группа* была
изоморфна r-параметрической группе структуры ciks лишь мериедрически. С
другой стороны, рассматриваемое утверждение является частным случаем
более общего утверждения, доказываемого в томе П. Поэтому было решено
утверждение о существовании групп заданной структуры сформулировать
в первом томе без доказательства (см. том I, стр. 297), а доказательство
привести во втором томе. Только что упомянутое более общее утверждение
содержится в главе 13 второго тома, для доказательства же нашего частного
случая оно применяется в главе 17.
Вместе с доказательством эти два утверждения были опубликованы Ли
впервые в 1888 году*. В 1889 году Шур, не зная о доказательстве Ли и
действуя по-другому, показал, что для каждого набора значений с^,
удовлетворяющего соотношениям (72), можно отыскать r-параметрическую
группу со структурными константами Qfcs, при этом инфинитезимальные пре-
* Пробел, содержащийся в рассуждениях из Math. Ann., том 25, проистекает из того, что
хотя r-параметрическая группа X\f... Xrf и изоморфна своей присоединенной группе
Eif... Erf, этот изоморфизм не обязан быть голоэдрическим. Отсюда следует, что
приведенное там доказательство того, что каждая г-параметрическая группа имеет то же
строение, что и некоторая линейная однородная группа, неуниверсально. Однако мы ни в коем
случае не подвергаем сомнению справедливость самого этого утверждения; нам просто не
удалось найти доказательство, которое бы учитывало все возможные случаи. Легко показать,
что наше утверждение справедливо, во всяком случае, для всех групп преобразований от двух
переменных. Мы считаем нужным отметить, что универсальное доказательство этого
факта, который при случае [???] использовался другими [von adrer Seite ???], пока отсутствует.
Несмотря на то, что в более ранних работах Ли [???] нам удалось заполнить этот пробел с
помощью других вспомогательных средств, все же хотелось бы, чтобы вопрос о
существовании линейных однородных групп произвольной структуры получил, наконец, окончательный
ответ. [111]
^Ges. d. Wiss. zu Kristiania, 1888г.; без доказательства они появились в Leips. Ber. за 1888г.
(стр. 14-15)

образования этой группы он искал в виде обыкновенных степенных рядов*
Это доказательство, которое он впоследствии существенно упростил,
несомненно, представляет большой интерес. Однако доказательство Ли
имеет перед ним то преимущество, что в нем описание всех групп заданной
структуры сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных
уравнений. В дополнение к этому, метод Ли решает гораздо более общую
задачу. Наконец, как мы покажем далее, рассуждения Ли устанавливают
точный радиус действия тождества Якоби [??? см. далее].
То, что мы вновь возвращаемся к доказательству второй части нашей
третьей фундаментальной теоремы, имеет следующую причину.
Доказательство, приведенное в томе II, опирается на теорию групп функций и,
в частности, на описание всех групп функций заданной структуры. Это
создает видимость того, что для понимания этого доказательства будто бы
необходимо знание теории групп функций и контактных преобразований.
Однако это не так, и доказательство это можно с таким же успехом
провести без использования упомянутых теорий. Сейчас мы в общих чертах
покажем, как это можно сделать.
Итак, пусть задано г3 констант Ciks, удовлетворяющих
соотношениям (72). Попытаемся найти г независимых инфинитезимальных
преобразований Xif ... Xrf, связанных соотношениями (52).
Положим
г
^сгкэН3 = \ЩНк\ (г,/с = 1...г), (73)
5=1
где Н\.. .Нг — произвольные независимые переменные величины. Тогда
благодаря уравнениям (72) выражения \HiHk\ удовлетворяют тождествам
г |я<#*| + |я*я<| = о,
I \\ЩНк\Н^ + \\НкНу\Щ\ + \\Н^\Нк\=0 (74)
[ (i,fc,j = l...r).
*Leipz. Вег., 1889г., стр. 229 и далее; Math. Ann., том 35, стр. 179. Позднее (Math. Ann.,
том 35, прим. на стр. 529) Шур ясно дал понять, что первым это доказал Ли.

Пусть, далее, U и V — две произвольные функции от Н\... Нг. Положим
dU dV
\UV\ = J2 1Я^|"
.L 1 удщанк
гук=1
Ут1тГ ч \ dU дУ
i,fe=l U=l J г
Определенный таким образом символ \UV\ удовлетворяет, во-первых,
тождеству
\UV\ + \VU\ = 0, (76)
а во-вторых, если под W понимать еще одну функцию от Hi... Нг,
тождеству
\\UV\W\ + \\VW\U\ + \\WU\V\ = 0, (77)
аналогичному тождеству Якоби. Первое из этих тождеств очевидно, второе
же доказывается точно так же, как на стр. 236-237 второго тома: сперва
показывается, что тождество (77) верно для U — Hi9 V = Н^ при
произвольном W, затем что оно выполняется для U = Щ при любых Уи1Уи,
наконец, что оно выполняется при любых С/, V, W.
В силу (76) тождество (77) можно переписать так:
\U\VW\\ - \V\UW\\ = \U\VW\\. (77)
Следовательно, полагая U = Яь V = Н^ и W = /, с учетом (73) мы
получаем
г
\Щ\Нк/\\ - \Hk\Hif\\ = £с*в|Яв/|. (79)
5=1
Таким образом, инфинитезимальные преобразования
\Hkf\=Akf (А = 1...г)
от г переменных Нi... Нг связаны соотношениями
г
(AiAk) = Y^ CiksAsf (i,fc=i...r). (80)
s = l
Если бы Aif.. .Arf были независимы друг от друга, то мы без всякого
интегрирования имели бы r-параметрическую группу заданной структуры.

Однако Aif... Arf вовсе не обязаны быть независимыми, и если они
таковыми не являются, то они образуют группу, которая лишь мериедриче-
ски изоморфна r-параметрической группе структуры с^5. В таком случае
для решения нашей задачи требуются иные средства и методы.
Отметим, что группа A\f.. .Arf, являющаяся двойственной к
присоединенной группе, известна нам еще из главы 19 тома II, где она была
подробно изучена.
Чтобы быть в состоянии всегда указать r-параметрическую группу со
структурными константами Ciks, попытаемся сначала найти такие г
независимых функций U\... Uг переменных Н\... Нг, для которых
выражения \UiUk\ принимают как можно более простой вид, то есть равняются
нулю или единице. Это можно сделать точно так же, как в томе II, на
стр. 238-240. Поскольку проведенные там рассуждения не опираются на
теорию контактных преобразований, мы не видим необходимости
повторять их здесь еще раз и приведем лишь их результаты: посредством
интегрирования ряда систем обыкновенных дифференциальных уравнений*
можно найти г = 2т + q независимых функций Pi... Pm+Q, X\... Хт от
Hi... Яг, которые удовлетворяют соотношениям
{\Р^РТ\ = \Р^\ = \Х*Хи\ = Ъ №) \Р„Х„\ = 1
I (/х,т=1. . . rn+q; м,7Г=1. . . тп).
Обратно, если Hi... Нг выразить как функции от Pi... Prnjrq, Xi... Xrn
Нк = Пк(Р1...Рт+я,Х1...Хт) (fc-i...r), (82)
то мы получим (ср. том II, стр. 241)
\HiHi-\ = \OiQk\ > I —-— —-
Г
= / v Ciks & ^s i
5=1
и, кроме того, для любой функции / от Нi... Нг
11"' '" h w^" э^эр-J"
(83)
*B нашем случае первая из этих систем является линейной и однородной и имеет лишь
постоянные коэффициенты.

Через Bif здесь обозначено инфинитезимальное преобразование от
переменных Xi... Хт, Pi... Pm+q, получающееся из инфинитезимального
преобразования \Hif\ при замене переменных (82). Следовательно, с
учетом (79) мы получаем, что Bif удовлетворяют соотношениям
г
(BiBk) = J^^ksBsf (i,fc=i.. -г). (84)
5=1
Этим, однако, мы добились пока немногого, поскольку очевидно, что
среди инфинитезимальных преобразований B\f.. ,Brf существует ровно
столько независимых, сколько их существует среди \Hif\... \Hrf\, то есть
мы пока еще не получили такого универсального выражения для г-парамет-
рической группы со структурными константами Ciks- Однако теперь такое
выражение получить очень легко: чтобы найти г независимых
инфинитезимальных преобразований, связанных соотношениями (52), нужно лишь
расширить инфинитезимальные преобразования Bif с помощью новых
переменных.
Из всех переменных Х\... Хт, Р\... Рт+Я под действием
инфинитезимальных преобразований Bif преобразуются лишь Х\... Хт, Pi... Рт.
Поскольку в выражениях для Bif ясно просматривается определенная
симметрия между Pi... Рт и Х\... Хт, естественно добавить q новых
переменных Xm+i... Хт+д, причем так, чтобы они соответствовали
переменным Pm+i... Рщ+д, как Х\... Хт соответствуют переменным Pi... Рт.
Другими словами, напрашивается мысль построить г инфинитезимальных
преобразований
Bf=y? (dfh^f_ _ дПг df
/Л—1
и выяснить, удовлетворяют ли они соотношениям
г
(BiBk) = Y^ciksBsf (i,fc = l...r) (85)
s=l
и являются ли они независимыми. Сейчас мы покажем, что эти
инфинитезимальные преобразования действительно удовлетворяют только что
перечисленным условиям.
В самом деле, так как функции f2\... Qr не зависят от Хш+1... Xm+q,
инфинитезимальные преобразования Bif можно переписать следующим
(г=1. . .г)

образом:
Bif = BJ + J2 *p l ay •
Поскольку Xm+i...Xr не входят в коэффициенты преобразований
Bif.. .Brf и поскольку РШ+1...РГ не преобразуются под действием
Bif... Brf, мы получаем
{ВА),СвГвк) + ±{в^-вк^-)
df
дХ.
тп+т
Но
■щ dQk _-щ ^Qj _ д ^ /dQj дПк _ дП^дП/Л
1дРт+т ~ кдРт+т ~ дРт+т £- {ар» дх^ ~ дх^ apj
EdQs
Ciks~dR~
s=l --гп+т
и с учетом (82) теперь легко убедиться, что B\f.. ,Brf действительно
удовлетворяют соотношениям (85).
Наконец, легко показать, что B\f... Brf независимы друг от друга.
Действительно, если бы это было не так, то можно было бы указать г
ненулевых постоянных е\... ег, при которых бы выражение
г
г=1
тождественно равнялось нулю для любой функции / переменных
Pi... Pm+q, Xi... Xm+q. Следовательно, подставляя в качестве / по
порядку значения Pi... Рт+7, Xi... -X"m_|-g, мы бы получили, что все 2m+2q
выражений
i—l J i—l J
должны равняться нулю тождественно. Но тогда все J2 ег^г были бы
простыми константами, что невозможно, поскольку J?i... Qr являются
независимыми функциями 2m + q = г переменных Pi... Pm+9, Xi... Xm.

Таким образом, B\f.. .Brf являются независимыми инфинитези-
мальными преобразованиями, связанными соотношениями (85), и,
следовательно, порождают r-параметрическую группу заданной структуры. Итак,
наша задача решена, причем без использования теории контактных
преобразований и групп функций. Правда, нельзя не признать, что при
использовании этих теорий все рассуждения становятся более ясными и
естественными; существенно короче при этом они, однако, не становятся, поскольку
из всего проделанного здесь лишь доказательство того, что B\f... Brf
порождают r-параметрическую группу, является немного более длинным, чем
аналогичное доказательство из тома II, где мы могли пользоваться общим
тождеством Якоби.
Полученную здесь группу Bif... Brf можно привести к одному
замечательному виду. Этот вид преобразования B\j... Brf принимают, если
в них вместо Х\... Xm+g, Pi... Рш+д подставить г + q — 2т + 2q
независимых переменных Hi... Hr, Xm+i... Хт+Я; при этом мы получаем
k=l T=l
где квадратные скобки указывают на то, что Х\... Хт, Pi... Pm+Q нужно
выразить через Н\.. .Нг. Отсюда мгновенно следует, что в г + д-мерном
пространстве существует r-параметрическая группа со структурными
константами Ciks, под действием которой переменные Н\... Нг преобразуются
независимо, причем посредством линейной однородной группы
Aif = У,\НгНк\^- (i=l...r),
£i дНк
двойственной к присоединенной группе r-параметрических групп
структуры Cika-
В заключение, мы бы хотели сказать несколько слов о рассуждения из
главы 13 второго тома. Кроме их значения для теории групп контактных
преобразований и точечных преобразований они замечательны еще и тем,
что они приводят к определению радиуса действия [???] тождества Якоби.
Если </?, х и Ф — ТРИ произвольных функции от 2п переменных
xi... xn, pi... рп и если положить
^ V дР» дх„ дхи др„ J
dQi
дР
т+т
df
дХ,
(i=l...r),
m+т

то определенная таким образом операция удовлетворяет тождеству
(¥>Х) + Ш = 0. (86)
а также тождеству Якоби
{ШФ) + ((ХФ)<Р) + ((<Мх) = 0 (87)
(см. том II, стр. 171, предл. 1).
Чтобы обобщить тождество Якоби, то есть построить наиболее общее
тождество, имеющее тождество Якоби в качестве частного случая, в первую
очередь следует исходить из того, что выражение {ц>х) является линейным
и однородным относительно производных функций <р и х и чт<> оно меняет
знак, если (р и х поменять местами. Таким образом, для двух функций и
и v от г переменных z\... zr следует рассмотреть выражение
Еди dv . .
ш*ЪдГк (88)
г,к=1 г **
и попытаться найти самый общий функций о;^, для которых, во-первых,
выполняется тождество
\uv\ + \vu\ = 0, (89)
а во-вторых, тождество
||гш|ги| + ||vw|u| + ||iim|i;| = 0, (90)
где щ г>, w — три произвольные функции от z\ ... zr.
Решение этой задачи непосредственно вытекает из главы 13 второго
тома.
Действительно, очевидно, что тождество (89) выполняется тогда и
только тогда, когда функции Luik удовлетворяют уравнениям
c*>tfc + Ufct = 0 (t,fc=i...r). (91)
С другой стороны, тождество (90) для произвольных функций u,v,w
выполняется, во всяком случае, только тогда, когда оно выполняется для и =
= 2j, v = г/с, w = Zj, то есть когда функции cjik удовлетворяют условиям
[u>sj—— +Шм^-^-+шзк^- =0
5=1 V dZs dZs dZs ' (92)
(i,kj=l . . . r).

Но из предложения 2, том II, стр. 237 следует, что если г3 функций Uik
удовлетворяют условиям (91) и (92), то тождество (90) выполняется для
любых трех функций u,v,w от z\.. .22- Таким образом, остается только
найти все наборы из г3 функций и;^, удовлетворяющие уравнениям (91)
и (92).
Заметим, что, согласно результатам главы 13 второго тома,
каждому набору г3 функций cj*b удовлетворяющему уравнениям (91) и (92),
соответствуют r-параметрические группы функций, обладающие
структурой, определяемой этими функциями ицс, и что каждую такую группу
функций посредством контактного преобразования можно привести к
виду р\.. .pm+g, x\... хт (2т + q = г). Отсюда следует, что все наборы
функций LOik требуемого свойства можно получить следующим образом:
Сперва самым общим образом выбирается два целых положительных
числа т и q, таких, что 2т + q = г, причем одно из них вполне может
равняться нулю. Затем самым общим образом выбирается г произвольных
независимых функций z\... zr от переменных р\.. .рт+9, и подсчитыва-
ются функции
(z%Zk)xp = Uik(Z\ -"Zr) (t,fc=l. • -г).
Найденные таким образом функции им будут наиболее общими
функциями, обладающими требуемыми свойствами. Это дает нам и наиболее
общее выражение вида (88), удовлетворяющее тождеству (88) и обобщенному
тождеству Якоби (90).
Впрочем, выражения вида (88) не являются самыми общими
выражениями, удовлетворяющими тождеству, аналогичному тождеству Якоби.
Более общие выражения такого рода можно получить, потребовав, чтобы
выражение \uv\ было однородно относительно г/, г> и их производных. В
качестве примера здесь можно предъявить введенную в томе II на стр. 320
операцию
mv\ = ^r(—(— —\- — (— —]\-
=х \др„ \дх„ v dz J dpv \дху v dz J J
-("£-*£)■
которая тоже удовлетворяет тождеству вида (90) (см. том II, стр. 536). Более
на этом мы, однако, останавливаться не будем.

Глава 26
Приведение конечных уравнений
r-параметрической группы к
каноническому виду
Пусть
х\ = fi(xi.. .хп; ai... ar) (i=i... п) (1)
— конечные уравнения r-параметрическои группы, порождаемой г
независимыми инфинитезимальными преобразованиями
Xkf = $^Ы*1 •••xJ-J- (*=i - - -г). (2)
Эти конечные уравнения могут принимать бесконечно много различных
видов как за счет замены переменных х\... хП9 так и за счет замены
параметров а\ ... аг произвольными г независимыми функциями от а\... аг.
В этой главе нас будут интересовать лишь те виды конечных
уравнений (1), которые получаются посредством введения новых параметров.
Среди этих видов существует один особый, называемый каноническим
видом (см. том I, стр. 171). Им-то [???] мы сейчас и займемся.
Чтобы найти этот канонический вид, нужно рассмотреть систему
уравнений
dXl _ _ dXl _ ,, /ОЧ
^Г ч с, — • • • — ^г ч с, — аЪ1 W
1^к=\ л^к\ 2^к=\ л^кп
где для краткости мы вместо £,ы(х'\ ••-хп) пишем £'ki, и проинтегрировать
ее при начальных условиях х[ = х\, ..., х'п = хп для t = 0. Получаемые
таким образом уравнения
х\ — ft(xi ...xn; \\t, ..., Ar£) (i=i.. .п) (4)

и будут искомым каноническим видом. Поскольку величины Ai... Аг и t
входят в уравнения (4) только в сочетаниях
\\t = u\, ..., Xrt = ur, (5)
эти уравнения можно переписать следующим образом:
Х\ = U(Xl---Xn, UU ...,TXr) (i=l...n). (6)
По мере надобности [в зависимости от ситуации???] мы будем пользоваться
то одним, то другим из этих двух видов.
Канонический вид выделяется среди прочих видов конечных
уравнений r-параметрической группы, прежде всего, тем, что в нем четко
прослеживаются oor_1 однопараметрических групп, из которых состоит
рассматриваемая r-параметрическая группа. Действительно, если в уравнениях (4)
зафиксировать величины Ai...Ar, то эти уравнения будут задавать оо1
преобразований некоторой однопараметрической группы с параметром t.
Придавая величинам Ai... Аг все возможные значения, мы получим таким
образом все однопараметрические подгруппы, принадлежащие нашей г-па-
раметрической группе.
Однако канонический вид ни в коем случае не является единственно
возможным видом группы (1), обладающим этим свойством. Если в
уравнениях (4) вместо А ввести новые параметры v\... vT, задаваемые формулами
вида
/ Ai Ar_i \
i/k = Хк- Пк ( д-, "",~1—) (*=1---г)>
то очевидно, что мы снова получим некоторый вид группы (1), при
котором каждому набору значений v\... vT соответствует однопараметрическая
подгруппа. Следовательно, этого свойства еще недостаточно для полного
описания канонического вида.
Действительно характеристическим для канонического вида является
то свойство, что в каноническом виде (6) группы (1) каждая непрерывная
подгруппа этой группы может быть задана посредством линейных
однородных уравнений относительно и\... иг и что, выражая с помощью этих
уравнений некоторые из и через остальные, можно получить канонический
вид соответствующей подгруппы. Это свойство канонического вида,
известное нам еще из тома I (см. том I, гл. 12 и гл. 16, стр. 279), вытекает
из того, что, с одной стороны, каждая система линейных однородных
уравнений относительно и\.. .ит выделяет среди оог-1 однопараметрических

подгрупп группы (1) плоский пучок однопараметрических подгрупп, то
есть, семейство однопараметрических подгрупп, инфинитезимальные
преобразования которых образуют плоский пучок; с другой стороны, однопа-
раметрические подгруппы всякой конечной непрерывной группы образуют
плоский пучок.
Когда мы говорим, что только что указанное свойство является
характеристическим для канонического вида группы (1), мы имеем в виду, что
каждый вид группы (1), обладающий этим свойством, является
каноническим видом этой группы. На самом деле, существует бесконечно много
различных канонических видов группы (1). Действительно, если в
каноническом виде (б) вместо и посредством линейного однородного
преобразования ввести г новых параметров или, что равносильно, заменить
преобразования X\f.. . Хг/ другими г независимыми инфинитезимальными
преобразованиями группы (1), то мы снова получим некоторый
канонический вид. Однако канонический вид (6) переводится в другой канонический
вид только посредством линейного однородного преобразования
параметров, так что если мы не будем различать наборы параметров, переходящие
в друг друга под действием линейных однородных преобразований, то
канонический вид группы (1) будет определен однозначно.
Сейчас мы выясним, какие вычисления необходимы для того, чтобы
найти канонический вид r-параметрической группы, если задан некоторый
произвольный вид ее конечных уравнений. При этом, что касается
интегрирований, то мы покажем, что даже в самом неблагоприятном случае
нам потребуется лишь некоторое количество квадратур [???].
§иб
Итак, пусть
х\ = fi(xi ...xn; <2i ...ar) (t=i.. .n) (1)
— какой-либо вид конечных уравнений некоторой r-параметрической
группы. Наша задача задача состоит в том, чтобы произвести такую замену
параметров а\... аг новыми параметрами и\... иг, при которой
уравнения (1) перейдут в канонические уравнения нашей группы.
В первую очередь, мы отыщем г независимых инфинитезимальных
преобразований нашей группы. С этой целью, согласно указаниям из
первого тома, стр. 27-32, дифференцируя и исключая переменные х, мы строим

уравнения
дх' п
^— = ^2$jk(Q>l---0,r)tji(x'l...x'n) (t=l...n; fc=l...r), (7)
^^ j=l
которые при подстановке Xj_ = /i, ..., x^ = /n обращаются в
тождества. Поскольку, как было показано там же, определитель, составленный
из tpjk(a), не равен тождественно нулю, уравнения (7) можно разрешить
относительно £ji(x'):
* Qxf.
&(х[...х'п) = 2^a^(ai...ar)^ (j=i...r; t=i...n). (8)
Тогда инфинитезимальные преобразования
Xjf = ^2tji(xi...Xn)— (j = l... r)
t=l axi
представляют собой г независимых инфинитезимальных преобразований
r-параметрической группы (1), а
Ajf = ^2aji(ai. . .an)— (j=i...r)
fc=i a/c
суть независимые инфинитезимальные преобразования соответствующей
группы параметров (см. том I, стр. 401-406).
Напомним, что группа параметров имеет ту же структуру, что и
группа (1): если структура группы (1) задается соотношениями
г
(XiXj) = YsdjsXsf (i,j = l...r), (9)
5=1
то A\j... Arf удовлетворяют соотношениям того же вида:
г
(АгАу) = ^2а^8А8/ (i,j = l...r) (10)
5 = 1
с теми же константами с^5.

Теперь, в соответствии со сказанным на стр. 607, неизвестный
канонический вид (4) можно найти, проинтегрировав систему
/xi ; - ... - г<**1 ; -^ (3)
J2k=i ^ki J2k=i ^kn
с начальными условиями х[ = xi, ...,х^ = хп для £ = 0. Эту задачу
можно, однако, заменить более простой.
Дело в том, что канонический вид (4) группы (1) можно получить из
уравнений (1) и по-другому, а именно, подставив вместо а\ ... аг
подходящие функции от Ai... Аг и t. При этом нетрудно отыскать систему
уравнений, которым эти функции должны удовлетворять. Умножим уравнения (8)
на Xj и просуммируем их по j от 1 до г, что с учетом уравнений (3) дает
Следовательно, если а\... ат рассматривать как функции от t, то они
удовлетворяют системе
— = ^AJ-aJ-fe(ai...ar) (fc=i...r). (11)
Поскольку х\ при t — 0 принимает значение Х{, то а\... аг при i = 0
должны принимать значения а\... а£, соответствующие тождественному
преобразованию группы (1). Но эти условия полностью определяют величины
ai... ar, понимаемые как функции от Ai... Аг. Интегрируя систему (11) с
начальными условиями ак = а£ при t — 0, мы получаем вполне
определенные функции а\... ar:
afc =Hfe(Ai«, ...,Art) (fc=i...r), (12)
которые при подстановке в уравнения (1) приводят к искомому
каноническому виду (4) нашей группы (1). Так как уравнения (12) содержат Ai... Аг
и t только в сочетаниях (5), их можно переписать в виде
ak=iik(ui...ur) (*=i...r), (13)
так что
х\ =fi(xi...xn; Ui(u)...ilr{u)) (<=i...n) (14)

— суть канонические уравнения группы 1, записанные в виде (6).
Таким образом, чтобы группу (1) привести к ее каноническому виду,
необходимо лишь проинтегрировать систему (11) со следующими
начальными условиями: ak = а£ при t = 0.
В терминах преобразований A\j... Arf эту задачу можно
переформулировать следующим образом:
Нужно найти такую систему уравнений относительно переменных
а\... ar, t, которая допускает инфинитезимальное преобразований
Af = X1A1f+...+\rArf + ^, (15)
разрешима относительно а\... аг и обращается в тождество при
подстановке
а\ = а\, ..., аг = а£, t = 0. (16)
Во всем сказанном выше мы, разумеется, предполагали, что
функции ilijk регулярны в точке а\... а£, соответствующей тождественному
преобразованию, и что составленный из них определитель при av — a£
принимает конечное ненулевое значение. Очевидно, что тогда функции ос^[а)
также регулярны в точке av — aPv и их определитель имеет в этой точке
конечное ненулевое значение. Если наша группа (1) не удовлетворяет этим
предположениям, то сперва ее описанным на стр. 565-566 образом нужно
привести к виду, который этим предположениям удовлетворяет.
§117
Интегрирование системы (11) существенно облегчается за счет
того, что некоторые его интегралы можно найти с помощью
осуществимых/выполнимых [???] операций. Для этого нам понадобится рассмотреть
присоединенную группу группы (1).
Если в общем инфинитезимальном преобразовании
ft ТЬ r\ r гС
t=i t=i Xi t=i
группы (1) посредством общего конечного преобразования (1) этой группы
ввести новые переменные х[... х'п, то в результате получится (см. том I,

стр. 81, предл. 4) уравнение вида
г г
k=l k=l
где е!к являются линейными однородными функциями от е^\
т
e'k = ^2,РкЛа1--аг) -еп (fc=i...r). (18)
7Г = 1
Уравнения (18), которые при сделанных предположениях могут быть
получены безо всякого интегрирования, задают присоединенную группу
группы (1) (см. том I, стр. 270 и далее).
Если бы нам были известны решения (12) системы (11), то мы могли
бы сразу же выписать канонический вид этой присоединенной группы. Для
этого нужно было бы лишь выражения
a*=iifc(Ait, ...,Art) (*=i...r) (12)
подставить в уравнения (18); канонические уравнения присоединенной
группы имели бы тогда вид
г
4 = ^Pfc^(ili(At).. .ilr(At)) • еп (fe=i.. .г). (18')
7Г=1
Однако для того, чтобы указать канонический вид присоединенной группы,
знание решений (12) вовсе необязательно.
Действительно, присоединенная группа порождается инфинитезималь-
ными преобразованиями
Ejf = ^ ^Агвтг— (j = l... г), (19)
/С,7Г=1 Ск
которые связаны между собой соотношениями вида
г
(EiEj) = J2cijsEsf d,j=i...r). (20)

Следовательно, чтобы получить ее канонические уравнения, нужно
проинтегрировать систему уравнений
Vr г—г = • • • = ^ т—г = ^ (21)
с начальными условиями е!к — е^ при t = О, где мы используем следующие
обозначения:
г
^2cVjkefir = tfjk (jffc=i...r). (22)
7Г=1
Интегрирование системы (21) сводится лишь к решению алгебраического
уравнения, и мы получаем канонические уравнения присоединенной
группы в виде
г
е'к = ^<7fc,r(Aii, ..^АгОвтг (fc=i...r), (23)
7Г=1
в котором величины Ai... Ar, i содержатся лишь в сочетаниях X^t = и^.
Канонический вид (23) присоединенной группы должен, разумеется,
совпадать с каноническим видом (18'). Но поскольку мы вывели
уравнения (18') из известных нам уравнений (18) с помощью тогда еще
неизвестной подстановки (12), отсюда следует, что эта неизвестная подстановка
должна обращать в тождества уравнения
PkAai • • • ат) = tf"br(Ait, ..., Xrt) (fe=i... г). (24)
Таким образом, мы видим, что уравнения (24), которые можно
получить с помощью осуществимых/выполнимых [???] операций, являются
интегралами системы (11).
Так как при подстановке (12) уравнения (24) обращаются в тождества,
очевидно, что им тождественно удовлетворяют значения
а\ = а$, ..., ат — a?r, t — 0; (16)
кроме того, ясно что из них нельзя получить ни одного соотношения, не
зависящего от а\... аг. Точно так же, из них нельзя вывести ни одного
соотношения, зависящего только от а\... аг, поскольку уравнения (12)
разрешимы относительно A it, ..., Xrt.
В одном случае для решения нашей задачи достаточно лишь
вывести уравнения (24). Это происходит тогда, когда группа (1) не содержит

центральных инфинитезимальных преобразований. В этом случае
присоединенная группа группы (1) является r-параметрической (том I, стр. 277),
а значит, среди тт функций Рктг(а1 • • • ат) существует ровно г независимых
друг от друга. Отсюда следует, что уравнения (24) можно разрешить
относительно а\... ат. Сделав это, мы, не прибегая к интегрированию, получим
искомые решения (12) системы (11), после чего легко указать
канонический вид группы (1), опять же без какого бы то ни было интегрирования.
Таким образом, мы доказали следующее:
Теорема 48. Если известен какой-либо вид
х\ = Mxi '-xn\ ai...ar) (t=i...n)
конечных уравнений г-параметрической группы, не содержащей
центральных преобразований, то конечные уравнения этой группы можно найти,
не прибегая к интегрированию. Для этого, кроме дифференцирования и
исключения переменных, нужно лишь решить одно алгебраическое уравнение.
Иначе обстоит дело, когда группа (1) содержит центральные инфини-
тезимальные преобразования. В этом случае нашу задачу уже нельзя
решить без интегрирования, однако, как было указано на стр. 609,
необходимые интегрирования ограничиваются квадратурами. Доказательству этого
факта мы предпошлем один параграф, в котором мы установим некоторые
общие свойства присоединенной группы и системы уравнений (24).
§118
Как мы знаем, при подстановке
А = fi{xi...xn; ai...ar) (t=i...n) (1)
уравнения
€ji(x'i---xn) = 2Z^jk{ai---0T)'Q-L 0 = 1... r; t=l...n) (8)
fc=l a/c
обращаются в тождества. По-другому этот факт можно сформулировать
так: система уравнений (1) допускает г инфинитезимальных
преобразований
X'jf + Ajf (i=i...r)

от переменных х[ ... х'п, а\.. .ат, где под Xjf, как обычно, понимается
выражение
г=1 г г=1 г
Поскольку насчет группы (1) мы предполагаем лишь, что она является
r-параметрической, только что указанное свойство системы уравнений (1),
связывающее конечные уравнения r-параметрической группы, ее инфини-
тезимальные преобразования и инфинитезимальные преобразования
группы параметров, определяемой этими конечными уравнениями, верно для
любой г—параметрической группы.
Очевидно, что уравнения
(xi = fi{xl---xn\ ^...dr)
I г
< e'k = 5^Pfc7r(ai...ar)e7r (25)
7Г=1
I (г=1 . . . n; k=l . . . r),
составленные из уравнений (1) и (18), задают r-параметрическую
группу от п + г переменных х\... хп, е\... ет. Эта группа (25) обладает той
же группой параметров, что и группа (1), и порождается г независимыми
инфинитезимальными преобразованиями
Xjf + Ejf 0=i... r).
Отсюда немедленно следует, что система уравнений (25) допускает г ин-
финитезимальных преобразований
Xtf + E'jf + Ajf o=i... r)
от переменных х[ ... х'п, е[... е!т, а\... аг. Но тогда, система уравнений
г
е'к = ^РкЛа1-"ат) -еп (к=1...г), (18)
7Г=1
рассматриваемая сама по себе, допускает г инфинитезимальных
преобразований
E'jf + Ajf 0=i... r)

от 2т переменных е[ ... ej., ai... ат. Другими словами, выполнение
конечных уравнений (18) присоединенной группы влечет за собой
тождественное выполнение дифференциальных уравнений*
dei
Y^ Cnjke'n = 53 азЛ^1 --ar)-fiT-
7Г=1
7Г=1
(j,fc=l...r).
да^
(26)
Из этого свойства системы уравнений (18) можно заключить, как
функции pkiz{o) ведут себя по отношению к инфинитезимальным
преобразованиям Ajf: если переменные е[ ... е'г выразить с помощью (18) через
в\... ег и а\... аг, то уравнения
/ v ^jk^Ti — / J Ajpkn ' втг
7Г=1
7Г=1
должны обращаться в тождества. Сравнивая коэффициенты перед ei ... ег
в левой и правой частях этих тождеств, мы убеждаемся, что Ajp^
выражаются через /9/.7J- линейно, однородно и с постоянными коэффициентами:
AjPkv = 53 csjbPsir(a>i... ar)
5 = 1
(J,/C,7T=1. . .Г).
(27)
Рассмотрим теперь канонический вид
г
e'fc = ^<Tbr(Ai£, ..., Art)e7r (fe=i...r)
(23)
7Г=1
присоединенной группы.
Уравнения (23) были получены интегрирование системы (21). Отсюда
следует, что система уравнений (23) допускает инфинитезимальные
преобразования
3 = 1
*Этот результат, правда, представляет интерес лишь в том случае, когда присоединенная
группа не является r-параметрической; в противном же случае он совершенно очевиден и не
требует особого доказательства.

Воспользуемся этим обстоятельством для подсчета производных
функций а/;*, относительно t.
Благодаря указанному свойству системы уравнений (23) при
подстановке значений е[... е'т из (23) в уравнения
Г Г Г г\
хз 2^ с^кв* = 2^ -ft-'e*
j=l 7Г=1 7Г=1
эти уравнения должны обращаться в тождества. Сравнивая коэффициенты
перед в\... ет в обеих частях этих тождеств, мы получаем
о. = У ^ Х3У ^ Csjk&sni^lt, . . . , Xrt)
dt и ы (28)
(fc,7T=l. . .Г).
Если теперь сравнить тождества (28) и тождества (27), то легко
увидеть, что
г г г
/ „ ^' * Л? Р/с тг — 2_^ Л? Z-^t Cs3kPS7T
выражаются через pS7T точно так же, как ^f- выражаются через <т57Г.
Отсюда следует, что выражение
А(ркп - (Ткп) = J2 V ЛзРк* ~ ~^
с учетом уравнений
РкЛа1'"ат) ^ak7r(Xit, ...,Art) (k=i...r) (24)
обращается в нуль. Другими словами, система уравнений (24) допускает
инфинитезимальное преобразование
а/ = 5>^/ + |£.
з=\
Это свойство системы уравнений (24) имеет первостепенное значения
для решения нашей задачи. До сих пор мы знали лишь, что уравнения (24)

являются интегралами системы (11). Теперь же мы можем добавить, что
они являются интегралами особого свойства. Действительно, если
уравнения (24) продифференцировать по £, понимая при этом а\ ... аг как
функции от £, и исключить из получившейся системы, с помощью (11),
производные функций а\... ат относительно £, то мы получим лишь такие
соотношения на а\... ar, Ai... Аг и £, которые являются следствием
уравнений (24).
Если группа (1) содержит центральные инфинитезимальные
преобразования, то система уравнений (24) обладает еще одним свойством, которое
нам также пригодится впоследствии.
Если e\X\f + ... +erXrf — некоторое центральное инфинитезималь-
ное преобразование группы (1), то инфинитезимальное преобразование
eiSl/+ ... +eTE'rf
из присоединенной группы тождественно равно нулю. Но поскольку
система уравнений (18) допускает инфинитезимальное преобразование
г
^kiE'J + Akf)
k=l
и это преобразование при сделанных предположениях сводится к
eiAi/+ ... +erArf, (29)
мы получаем, что все выражения
eiMpkn + .. ■ + SrArPk-к (*,*■=i... г)
тождественно равны нулю. Отсюда следует, что система уравнений (24)
допускает еще и инфинитезимальное преобразование (29).
Вкратце этот результат можно сформулировать так: кроме инфиншпе-
зимального преобразования Af, система уравнений (24) допускает еще и
всякое центральное преобразование группы параметров A\f... Arf.
§119
Предположим, что наша группа (1) содержит некоторое количество,
скажем г — га, независимых центральных инфинитезимальных
преобразований, и выберем инфинитезимальные преобразования X\f... Xrf так,
чтобы Xm+if... Xrf были такими центральными преобразованиями.

Согласно сказанному на стр. 611, чтобы группу (1) привести к
каноническому виду, мы должны найти систему уравнений вида
ak =Ha;(Ai£, ...,Art) (A:=i...r), (12)
которая допускает инфинитезимальное преобразование
Af = XlAif+... +XrArf + ^
от переменных а\... ar, t и, кроме того, обращается в тождества при
подстановке значений
а\ = а°, ..., ат — a£, £ = 0. (16)
Мы уже знаем одну систему уравнений, удовлетворяющую этим
требованиям, а именно систему
Pbr(ai...ar) = abr(Ai£, ...,Art) (fc=i...r). (24)
Более того, мы знаем, что уравнения (24) при пока еще неизвестной
подстановке ai = Hi, ..., ar = Иг обращаются в тождества, и что, следовательно,
искомая система уравнений (12) содержит уже известную нам систему (24).
При сделанном в начале этого параграфа предположении
присоединенная группа группы (1) является га-параметрической, так что среди
функций р^тг существует всего га независимых друг от друга, вследствие чего
система (24) также содержит только га независимых уравнений. Таким
образом, нашей задаче можно придать более точную формулировку:
К уравнениям (24) нужно добавить еще г — т уравнений
относительно величин а\... аг, так, чтобы получающаяся при этом система
уравнений была разрешима относительно ai... аТ, допускала
инфинитезимальное преобразование Af и обращалась в тождества при подстановке (16).
Сперва мы сведем эту задачу к интегрированию одного линейного
дифференциального уравнения в частных производных.
Для этого мы уравнения (24) разрешим относительно некоторых га
из величин а\ ... ar, что возможно всегда, поскольку, как мы видели на
стр. 614, из (24) нельзя вывести ни одного уравнения, не зависящего от
а\ ... аТ. Для простоты мы будем считать, что а\ ... ат таковы, что
уравнения (24) можно разрешить относительно а\... аш. Пусть
&\± — kv(am+i • • -Gr; Ait, ...,Art) (/1=1... m); (30)

тогда, разумеется, система (30) также допускает инфинитезимальное
преобразование Af.
Выделим теперь из Af укороченное инфинитезимальное
преобразование от переменных £, am+1... аг, отбросив производные
df Of
даi дат
и подставив вместо а\... аш их значения из (30). В результате мы получим
укороченное инфинитезимальное преобразование
^/ = ж + ЕЛЛ/> (31)
где Ajf — укороченное инфинитезимальное преобразование,
соответствующее преобразованию Ajf:
г—т. р. о
Ajf = 2_^ uj,m+k(am+i • • • ar; Ait, ..., Xrt)
(j=l...r).
дат+к (32)
Теперь, чтобы найти систему (12), нам нужно только в переменных
am+i ... ar, t указать некоторую систему из г — т уравнений, разрешимых
относительно am+i... ar, допускающих инфинитезимальное
преобразование Af и обращающихся в тождества при подстановке в них значений
am+i=a^+1, . ..,ar = a°, t = 0 (33)
(ср. том I, стр. 126-127). Если эти уравнения добавить к уравнениям (30),
то мы получим систему уравнений, обладающую всеми требуемыми
свойствами.
Итак, все сводится к задаче, которая будет решена, если нам удастся
найти г — т независимых решений
&1\0>т+1 • • • an £)> •••> ^г-т\ат+1 • • -Яг, 0
линейного дифференциального уравнения в частных производных
Af = 0, (34)

регулярных в окрестности набора (33).
Действительно, поскольку уравнение (34) имеет разрешенный [???]
вид, то 4?i... Qr-rn являются независимыми функциями от am+1... ат (см.
теор. 12, том I, стр. 91). При этом уравнения
Ду(ат+1... ar, t) = i?i/(a^+1... a°, 0) = 0, (35)
разрешимы относительно am+i.. . ar и обращаются в тождества при
подстановке значений (33); более того, они допускают инфинитезимальное
преобразование Af. Следовательно, уравнения (30) и (35) в совокупности
образуют разрешимую относительно а\... аг систему уравнений, которая
допускает инфинитезимальное преобразование Af и обращается в
тождества при подстановке значений (16), то есть, является системой уравнений
требуемого свойства.
Кроме того, нельзя оставить без внимания тот факт, что система
уравнений (30), (35) является единственной системой требуемого
свойства. Действительно, если некоторая система уравнений в переменных
am+i... ar, t допускает инфинитезимальное преобразование Af, то
благодаря особому виду преобразования Af она может быть записана в виде
соотношений на решения Q\... Qr-m уравнений (34) (см. теор. 15, том I,
стр. 117). Если, кроме того, она разрешима относительно am+i.. .ar, то
она обязана иметь вид
i?l = COnst, . . . , Пг-тп = COllSt.
Нам остается только показать, как можно найти решения линейного
дифференциального уравнения в частных производных (34). Мы увидим,
что для этого требуются лишь квадратуры.
На стр. 618 было показано, что система уравнений (24) допускает
каждое центральное инфинитезимальное преобразование группы А\... Arf.
При сделанных предположениях Am+i/... Arf суть независимые
центральные инфинитезимальные преобразования этой группы, так что
система (24), а также эквивалентная ей система (30) должны допускать
инфинитезимальные преобразования Am+i/... Arf.
Но Am_j_i/... Arf, будучи центральными инфинитезимальными
преобразованиями, перестановочны друг с другом и с инфинитезимальным
преобразованием Af, и поскольку Af также оставляет инвариантным си-

стему (30), мы получаем, что г — т + 1 попарно перестановочных
преобразований
Af, Ат+г/...Arf
порождают группу, под действием которой система (30) остается
инвариантной. Отсюда, согласно тому I, стр. 233-234, следует, что группу
порождают и укороченные инфинитезимальные преобразования
Af, Am+1f...Arf
от переменных am+i... ar, t и что они также попарно перестановочны.
Другими словами (см. том I, стр. 140 и далее):
Линейное дифференциальное уравнение в частных производных Af =
= 0 от переменных am+i... ar, t допускает г — т инфинитезимальных
преобразований Am+\f... Arf.
Следует также отметить, что соответствующий укороченным
преобразованиям j4m+i/ ... Arf определитель порядка г — т
^771+1,771+1
£*Г,771+1
^771+1, Г
аг
(36)
не равняется тождественно нулю. Более того, сейчас мы покажем, что на
наборе значений (33) этот определитель принимает конечное ненулевое
значение.
В самом деле, предположим (см. стр. 611), что функции otjk{a) при
ai = а?, ..., ar = a£ ведут себя регулярно и что определитель
^2±ац(а)--агг(а)
при ai = а§, ... ,аг = а£ имеет конечное ненулевое значение. Тогда все
миноры порядка г — т матрицы
QJm+1,1 • • • <2m+l,r
<*r,l
СХг
(37)
имеют при а\ — а\, ..., ат — о% конечные значения, и хотя бы одно из этих
значений не равно нулю. Но система уравнений (30) допускает инфините-

зимальные преобразования Am+if... Arf, а значит, уравнения
am+fc,/z(a) = 22 am+k,m+v(a)
(k=l . . . r—m; fx=l . . . m)
дшп
UCLm+v
являются следствием уравнений (30) и, подобно им, обращаются в
тождества при подстановке значений
аг = а°,
аг = аг,
t = 0.
(16)
Отсюда следует, что среди всех миноров порядка т—т матрицы (37)
конечное ненулевое значение при а\ = а?, . • •, сьг = о% имеет, во всяком случае,
минор
К*т+1,7тН-1 ••• ^т+1,г
(38)
^Г,7П + 1 • • • &Г,Г
Наконец, поскольку определитель (38) имеет при а\ = а\, • •. ,аг = аг>
очевидно, то же значение, что и минор (36) при (33), сформулированное
выше утверждение полностью доказано.
Теперь , чтобы найти решения линейного дифференциального
уравнения в частных производных Af — 0, мы действуем следующим образом*:
Рассмотрим г — т уравнений
Af = 0, Am+if = 0, ..., Am+k-if = 0,
3m+fc+i/= о,... Дг/= о,
(39)
где к — некоторое число между 1 иг— т. Очевидно, что эти г — га
уравнений независимы друг от друга и образуют (г — га)-параметрическую
полную систему от г — га + 1 переменных am+i... ar, L Следовательно, они
имеют общее решение i?k(am+i... ar,£), и наиболее общим их решением
* Рассматриваемая здесь задача является частным случаем задачи интегрирования
дифференциального уравнения Af = 0, допускающего известные инфинитезимальные
преобразования, которая была сформулирована и решена Ли.

является произвольная функция от J?^. С другой стороны, ясно, что
полная система (39) допускает инфинитезимальное преобразование Am+kf, и
следовательно, имеем место соотношение вида
Ащ+к^к = Х№),
где функция х не равна тождественно нулю, поскольку Qkf не может быть
решением уравнения Am+kf = 0. В частности, если в качестве нового ftk
ввести функцию
Г dQk
J х№)'
то мы получим просто Am+kftk — 1-
Итак, неизвестное решение Qk полной системы (39) удовлетворяет
уравнениям
АПк = 0, 'Ат+1Пк = 0, ..., ~Аш+к-1Пк = 0,
Аш+к+\(2к = 0> • • ч ArQk = 0, Аш+кПк = 1.
Но эти уравнения можно разрешить относительно производных
дПк дПк дПк
dam+i dar ' dt
поскольку, как мы видели выше, определитель (36) не равен
тождественно нулю. Кроме того, так как при (33) этот определитель имеет конечное
ненулевое значение, то выражения для этих производных, получаемые
таким образом, ведут себя регулярно в окрестности набора (33). Таким
образом, все производные функции f2k можно выразить в виде функций от
am+i... ar, t, а сама функция ftk находится с помощью квадратуры. При
этом само собой разумеется, что ftk ведет себя регулярно в окрестности
набора (33). Наконец, придавая целому числу к по порядку все значения от 1
до г — т, мы получим г — ш решений i?!... Qr-m линейного
дифференциального уравнения в частных производных Af — 0, причем эти решения
будут независимыми, что мгновенно следует из равенств
■A-m+l^l = -Ц • • • ? ^-m+r—m^m = ■!■•
Итак, мы доказали, что посредством г — т квадратур можно найти
г — т независимых решений дифференциального уравнения Af = 0,
регулярных в окрестности набора значений (33). Соответствующие квадратуры

друг от друга не зависят, то есть, их можно выполнять в произвольном
порядке.
Таким образом, в соответствии со сказанным на стр. 620,
поставленная в этом параграфе задача полностью решена, и мы имеем следующую
теорему
Теорема 49. Если задан произвольный вид
х\ = fi(xi ...хп; а\... ar) (i=i... п)
конечных уравнений г-параметрической группы, содерэ/сащей г — т
независимых центральных инфинитезимальных преобразований, то для
приведения этих уравнений к каноническому виду, кроме дифференцирования и
исключения переменных, требуется лишь г — т независимых квадратур.
§120
Сейчас мы рассмотрим несколько важных приложений теорем 48 и 49.
Пусть снова задан произвольный вид конечных уравнений некоторой
r-параметрической группы:
x'i = fi(xi...xn; ai...ar) (i=i...n). (1)
Найдя, посредством дифференцирования и исключения переменных, г
независимых инфинитезимальных преобразований X\f.. .Xrf этой группы,
мы можем (см. теор. 33, том I, стр. 210) определить инфинитезимальные
преобразования всякой ее подгруппы, причем сделать это можно
посредством алгебраических операций.
Покажем, что можно найти и конечные уравнения любой подгруппы
группы (1).
Действительно, общее инфинитезимальное преобразование
\\X\f + • • - XrXrf
m-параметрической подгруппы группы (1) определяется некоторыми
линейными однородными соотношениями вида
А/с = /fciVi + . . . + IkmVm (fc=l. . .г),
(40)

в которых Ikfi обозначают константы, a vM — произвольные параметры.
Приведем теперь конечные уравнения группы (1) описанным выше образом к
каноническому виду
х'{ = f;0ri ...хп; Ait, ..., Xrt) (i=i... n), (41)
для чего в самом неблагоприятном случае нам понадобится лишь несколько
квадратур. Тогда, подставив в уравнения (41) вместо Ai... Аг их значения
из (40), мы легко получим конечные уравнения нашей подгруппы. Само
собой разумеется, что эти конечные уравнения нашей подгруппы будут иметь
канонический вид.
Согласно теореме 37, том I, стр. 226, после того, как найдены конечные
уравнения
xi = Xi(xl ---Хп\ CLi...ar) (i=l...n)
некоторой m-параметрической подгруппы группы (1), все инвариантные
относительно этой подгруппы системы уравнений можно найти
посредством простого исключения переменных. Этот результат особенно
замечателен в применении к случаю т = 1, поскольку он показывает, что
можно описать траектории любого инфинитезимального преобразования
группы (1):
Предложение 1. Зная какой-либо вид
х'г = /ifai • • • хп; ai ... аТ) (t=i... п). (1)
конечных уравнений г-параметрической группы, можно указать
траектории любого инфинитезимального преобразования этой группы. Для этого,
кроме операций дифференцирования и исключения переменных, в худшем
случае необходимо еще несколько квадратур, а точнее, г — т независимых
друг от друга квадратур, если группа (1) содержит ровно г — т
независимых центральных инфинитезимальных преобразований.
Это предложение можно, очевидно, переформулировать следующим
образом:
Предложение 2. Если г независимых инфинитезимальных
преобразований
Xkf = ^2Ы{х1---Хп)тг- (fc=i...r)

порождают т-параметрическую группу от п переменных х\... хп и если
известен какой-нибудь вид
х[ = fi(xi.. .xn; ai...ar) (i=i...n)
конечных уравнений этой группы, то можно проинтегрировать систему
dx\ dx\
Для этого, кроме дифференцирования и исключения переменных,
требуется лишь определенное количество квадратур, которое совпадает с
количеством независимых центральных инфинитезимальных преобразований,
содержащихся в группе X\f... Xrf.
Применяя это предложение к общей проективной группе, мы
получаем, что для интегрирования дифференциального уравнения
(ai + Ъ\х + b2y + cix2 + c2xy) dy-
-(a2 + b3x + b4y + cixy + c2y2) dx = 0,
кроме операций дифференцирования и исключения переменных,
необходимы лишь алгебраические операции. Это, очевидно, есть не что иное, как
так-называемое уравнение Якоби.
В качестве второго, правда, тривиального примера можно рассмотреть
общую линейную группу от п переменных:
п
xi = 22 bivXv + ci (i=1 • • • n).
;y=l
В случае этой группы предложение показывает, что каждую систему
уравнений вида
dx\ dx\
EILi fti/Si/ +7i ' " EILi PnvXy + 7n
можно проинтегрировать посредством алгебраических операций, факт,
впервые замеченный Д'Аламбером.

§121
Иногда результаты предыдущих параграфов можно перенести и на
случай, когда заданы не конечные, а инфинитезимальные преобразования
группы.
Если известны инфинитезимальные преобразования X\f... Xrf
некоторой r-параметрической асистатической группы, то, согласно
предложению 7, том I, стр. 518, посредством выполнимых [???] операций, то есть
посредством решения алгебраических уравнений и исключения
переменных, можно найти канонический вид конечных уравнений этой группы.
Следовательно, имеет место следующее предложение:
Предложение 3. Если известно г независимых инфинитезимальных
преобразований
Xkf = Y2&i{Xl...Xn)— (fc=l...r)
некоторой г-параметрической асистатической группы пространства
х\... хг, то траектории всякого инфинитезимального преобразования
Ai-X"i/ + ... + \Xrf этой группы можно найти посредством
алгебраических операций и исключения переменных, не прибегая к интегрированию.
Далее, пусть
Xkf = J2^i(xi-"xn)p- (fe=i...r) (42)
t=i °Xi
— r-параметрическая систатическая группа. Мы будем предполагать, что
всякое инфинитезимальное преобразование
1=1 oxi
перестановочное с X\f... Xrf9 принадлежит группе X\f... Xrf.
Другими словами, мы предполагаем, что центральные инфинитезимальные
преобразования группы (42) являются единственными инфинитезимальными
преобразованиями пространства х\. ♦. хп, перестановочными с X\f... Xrf,

Предположим также, что существует ровно / > 0 таких
независимых центральных преобразований. Для простоты мы будем считать, что
X\f.. .Xif суть независимые центральные преобразования нашей
группы.
Из предложения 2, том I, стр. 377, следует, что группа Xif. . .Xrf
транзитивна, то есть, что г уравнений
XJ = О, ..., Xrf = О
не имеют общих решений. Далее, согласно теореме 67, том I, стр. 376, ин-
финитезимальные преобразования Xif ... Xif не удовлетворяют никакому
линейному тождеству вида
i
Y,X»(xi...xn)X„f = 0. (43)
Таким образом, мы можем считать, что первые п из инфинитезимальных
преобразований X\f.. .Xrf не связаны никаким линейным тождеством
вида
п
^2хЛх1 ...xn)Xuf = О,
a Xn+if ... Xrf линейно выражаются через X\f... Xnf:
п
Xn+kf = ^ (fkuixi • • • xn)Xvf (*=i... r-n). (44)
Тогда среди n(r — п) функций ip^ существует ровно п — I независимых
друг от друга, и, кроме того, все эти функции (р^ являются решениями
/-параметрической полной системы
Xi/ = 0, ..., Xtf = 0. (45)
Общим решением этой системы является, таким образом, произвольная
функция от (pk„.
Чтобы найти теперь канонический вид конечных уравнений группы
Xif... Xrf, мы должны проинтегрировать систему
х* — =dt(i=i...n) (46)
Лк=г ^kZ'ki

с начальными условиями х\ — Хг при t = 0. Эта задача сводится к тому,
чтобы найти п независимых решений
Qv{x\ .. .xrn; Ait, .. ., \rt) (г=1.. .п)
линейного дифференциального уравнения в частных производных
Х'/ = £\кХ'к/+У- = 0. (47)
к=1
Действительно, если известно п таких решений, то уравнения
Qy[x\ ...х'п; А^, ..., Xrt) = {2u(xi... хп; 0... 0)
{у=\. . .п)
будут искомыми интегралами системы (46). Если уравнения (48) разрешить
относительно х[ ... х'п, то получающиеся при этом уравнения
х\ = fi(xi ...хп; А^, .. ,,\rt) (t=i...n) (49)
будут каноническими конечными уравнениями группы X\f... Xrf.
Покажем, что некоторые решения дифференциального уравнения (47)
можно указать, не прибегая к интегрированию.
Если в общем инфинитезимальном преобразовании e\Xif + ... +
+ erXrf нашей группы с помощью пока неизвестных уравнений (49)
вместо х\... хп подставить новые переменные х[ ... х'п, то мы получим
уравнение вида
Ее^/ = Ее*ад (50)
/с=1 А:=1
где е' связаны с е посредством соотношений вида
п
е'к = ^2akj(\it, .. .,\rt)ej (k=i...r). (51)
Эти соотношения представляют собой конечные уравнения
присоединенной группы нашей группы Xif... Xrf, причем в их каноническом виде.
Следовательно, их можно получить посредством решения алгебраического
уравнения.

Если значения е'к из (50) подставить в (51) и сравнить коэффициенты
перед 6i... ет в левой и правой частях, мы получим уравнения
г
Yt^jk(Xity...yXrt)X,jf = Xkf (*=i...r), (52)
.7=1
которые с учетом (49), разумеется, обращаются в тождества. В нашем же
случае, более того, поскольку X\f.. .Xif являются центральными инфи-
нитезимальными преобразованиями нашей r-параметрической группы, то
они должны сохранять свой вид под действием любого конечного
преобразования (49) из этой группы. Отсюда следует, что с учетом (49) должно
выполняться / соотношений вида
X'1f = X1f, ..., X'J = Xtf, (53)
то есть первые I из уравнений (52) должны иметь вид (53).
Введем следующие обозначения:
г
Y1 °зк{Ы, • • • , Kt)X'5f = E'J (fc=l... г).
j = l
Тогда E[f... E'nf не удовлетворяют никакому линейному тождеству вида
п
J2xu(x[...x'n)E'J = 0,
однако E'n+1f ... E'rf линейно выражаются через E[f... E'nf:
( п
\ „=1 (54)
t (fc=l. . .r-n).
Несложно указать и явный вид функций Ф^. Для этого нужно лишь
принять во внимание тот факт, что X[f ...X'rf удовлетворяют тождествам
того же вида, что и тождества (44).

С учетом тождеств (44) и (54) уравнения (52) принимают вид
-1/ - ^i/> • • • 1 -п/ - Xnf
п п
Y.^uixWt^'J = Y,4>ku{x)Xuf
и=\ v=l
(k=l. . . r—n),
так что
п
Л {ФьЛаЛ АО - Vku{x)}X„f = 0 (fc=i.. .r-n).
При подстановке вместо х^... х'п их значений из (49) эти уравнения
должны обращаться в тождества. Но поскольку X\f... Xnf не удовлетворяют
никакому линейному тождеству, мы можем заключить, что п(г — п)
уравнений
{Фк,у(х[.. .Х'п] \it, ...,\rt) =(pkv{Xi...Xn)
(55)
(/c=l . . . r—n; v=l. . . n)
обращаются в тождества с учетом неизвестных уравнений (49).
Заметим теперь, что величины х\... хп в уравнениях (49) суть не что
иное, как произвольные константы интегрирования, возникающие при
интегрировании системы (46), откуда немедленно следует, что каждое
уравнение вида
ФкЛх1 ' -Xn'i Alt, . . • , \rt) = Const
является интегралом системы (46); другими словами, п(г — п) функций
Фки{х'\ At) являются решениями линейного дифференциального уравнения
в частных производных (47).
Итак, мы действительно нашли решения дифференциального
уравнения (47), не прибегая к интегрированию. Кроме того, ясно, что среди этих
решений существует ровно п — I независимых. Действительно,
уравнения (55) показывают, что количество независимых друг от друга функций
Phikv{x'\\t) совпадает с количеством независимых друг от друга
функций ipki/(x), а среди y?k„(x), согласно сказанному на стр. 628, существует
ровно п — I друг от друга независимых.
Функции Фк1,{хг\ХЬ) обладают еще одним свойством, которое
пригодится нам впоследствии. А именно, точно так же, как функции ц>кЛх) яв~
ляются решениями /-параметрической полной системы (45), очевидно, что

функции Фк,;(х', Xt) являются решениями /-параметрической полной
системы
Х{/ = 0, ..., Xif = 0. (56)
Это обстоятельство важно потому, что инфинитезимальные преобразования
X[f... X'tf, будучи центральными инфинитезимальными
преобразованиями группы X[f... X'rf, перестановочны с инфинитезимальным
преобразованием
к=1
вследствие чего линейное дифференциальное уравнение в частных
производных
X'/ = X>^/ + f = 0. (47)
fc=l
допускает / попарно перестановочных инфинитезимальных преобразова-
m&X[f...X[f.
Остальные решения дифференциального уравнения (47) найти очень
легко.
Предположим, что
Фд(х/1...х^г; Ait, ...,\rt) (y.=i...n-i)
— какие-либо п — I независимых среди п(г — п) функций Фд.„(:г'; At), и
упорядочим величины х[ ... х'п так, чтобы функции Ф\... Фп-\ были
независимы друг от друга относительно х{+1.. .х'п. Тогда, полагая
у[ =Фи ..., Уп-1 =Фп-1,
мы можем в качестве новых переменных х[...х'п, t ввести величины
х[ ... х'ь у[... y'n_i, t. Поскольку Ф\... Фп-1 являются решениями
дифференциального уравнения (47), то в новых переменных это уравнение
принимает вид
X'f = £>(*'i • -.x'lM ■ --Уп-ь^-^Г + % = °- (57)
т=1 т

С другой стороны, $i.. .Фп-1 являются решениями полной системы (56),
и следовательно, X[f... X[f в новых переменных принимают вид
X'J = Xf = i2br(x[...xl,y[...y'n_ht)^ (*=!...<). (58)
т=1 °Хт
Само собой разумеется, дифференциальное уравнение (57) допускает
/ инфинитезимальных преобразований (58), а они, со своей стороны,
перестановочны друг с другом. Наконец, следует отметить, что определитель
5>Cii---c«
не равен нулю. Действительно, поскольку (см. стр. 627) X[f.. ,X[f не
связаны никакими линейными тождествами вида
£Хт(*1 •••<)*;/=о,
то Xxf.. .Xif также не удовлетворяют никакому линейному тождеству
вида
i
2>r(*i • • .x|,yi.. .у;.,,t)X'Tf = 0. (59)
т=1
Итак, нахождение недостающих решений дифференциального
уравнения (47) сводится к нахождению I независимых решений
дифференциального уравнения (57) в / + 1 переменных х[ .. .я{, t. Кроме того, известно,
что дифференциальное уравнение (57) допускает I попарно
перестановочных инфинитезимальных преобразований (58), не удовлетворяющих
никакому линейному тождеству вида (59). Таким образом, мы имеем здесь ту
же ситуацию, что и на стр. 621-624. Действуя точно так же, как там, мы
получаем, что решения дифференциального уравнения (57) можно найти
посредством / независимых квадратур.
Теорема 50, Если заданы инфинитезимальные преобразования
Xkf = ^ &*(Xl -'Xn)g— (^=1 • • • Г)
2=1 Xi

т-параметрической группы, которая содержит каждое ипфинитезималъ-
ное преобразование
df
Zf = ^2Q{X!...Xn)—,
dxi
перестановочное со весами Xkf, то для нахождения канонического вида
конечных уравнений этой группы, кроме алгебраических операций и
операции исключения переменных, требуется лишь несколько квадратур,
причем если группа X\f... Xrf содер.жит ровно I независимых центральных
инфинитезимальных преобразований, то требуется ровно I независимых
квадратур.
Это утверждение упоминалось уже в первом томе (см. том I, стр. 518).
Из теоремы 50 можно вывести один важный результат.
Пусть задано г независимых инфинитезимальных преобразований
Xkf = ^&i(xi...xn) — (*=i...r),
г=1 °Xi
порождающих r-параметрическую группу. Предположим также, что
наиболее общее инфинитезимальное преобразование
Zf = ^2(,i{x1...xn) —,
i=l °Xi
перестановочное с Xif... Xrf, линейно выражается через т независимых
инфинитезимальных преобразований
Z^f = zZ^fiiiXl • • >Хп) — (/i=l...m)
г=1 °Xi
и что нам известны такие т преобразований Zif... Zmf.
Тогда, согласно предложению 2, том I, стр. 377, группа Xif.. .Xrf
должна быть транзитивной. Очевидно, что при выполнении этих
предположений Zif... Zmf порождают m-параметрическую группу, и так как
все Zfj,f перестановочны со всеми Xkf, то группу порождают и инфините-
зимальные преобразования
XJ...XJ, Zyf...Zmf, (60)

причем если группа X\f... Xrf содержит / независимых центральных
инфинитезимальных преобразований, то группа (60) является (г + т —
^-параметрической.
Группа (60) удовлетворяет условиям теоремы 50, так как каждое ин-
финитезимальное преобразование, перестановочное со всеми инфинитези-
мальными преобразованиями (60), имеет, очевидно, вид
eiZif + ... +
и, следовательно, принадлежит группе (60). Таким образом, канонический
вид конечных уравнений группы (60) можно установить с помощью
некоторого количества независимых квадратур. Отсюда, однако, следует (см.
стр. 624-625), что с помощью квадратур можно найти и канонический вид
конечных уравнений группы X\f.. .XTf, являющейся подгруппой
группы (60). Число необходимых для этого квадратур совпадает с числом
независимых центральных инфинитезимальных преобразований, содержащихся
в группе (60), и следовательно, оно равно, по меньшей мере, /.
Если, например,
Xkf = ^2tki(x1...xn) — (fc=i...n)
г=1 °Xi
— инфинитезимальные преобразования n-параметрической просто
транзитивной группы n-мерного пространства х\.. .хп, то всякое инфинитези-
мальное преобразование Zf, перестановочное со всеми Xkf, можно
выразить в виде линейной комбинации п независимых инфинитезимальных
преобразований
Zkf = ^2 Скг{%1 . . . Хп) — (fe=l. . . п),
г=1 °Xi
причем Zif... Znf также порождают n-параметрическую просто
транзитивную группу, а именно, группу, взаимную [???] к группе X\f.. .Xnf
(см. теор. 68, том I, стр. 380).
Если кроме инфинитезимальных преобразований X\f... Xnf
известны и инфинитезимальные преобразования Z\f.. .Znf, то, в соответствии
со сказанным выше, имеем место следующая теорема.

Теорема 51. Если заданы п независимых инфипитезимальных
преобразований
Xkf = ^2 €ы(Х1 •-Хп)-^- (^=1 • • • п)
i=l °Xi
п-параметрической просто транзитивной группы n-мерного
пространства х\ . .. хп, а также инфинитезималъные преобразования
г=1 Х%
взаимной ей просто транзитивной группы, то можно установить
канонический вид конечных уравнений группы X\f... Xnf, причем если группа
X\f .. .Xnf содерэ/сит ровно ровно I независимых центральных
инфипитезимальных преобразований, то для этого, кроме алгебраических
операций и исключения переменных, требуется лишь I независимых квадратур.
Этих же операций достаточно и для нахождения канонического вида
конечных уравнений группы Zif... Znf и конечных уравнений (2тг —
^-параметрической группы X\f ... Xn/, Z\f... Znf.
Эта теорема очень пригодится нам в следующей главе*.
* Основное утверждение этой главы, заключающееся в том, что канонический вид группы с
заданными конечными уравнениями х'г = /г(х, а) можно найти всегда, неоднократно
использовалось Софусом Ли в его более ранних работах, однако в явном виде оно сформулировано не
было, не говоря уже о доказательстве. Подробное изложение соответствующей теории
впервые появилось в его статье Приведение группы к каноническому виду, Leipziger Benchte за
1889 год. В Math. Ann., том 25, Ли неявно воспользовался следующим утверждением:
Предложение 1. Зная конечные уравнения некоторой группы:
хг = Л(#1 • • -#п> а\ ... аг) (г=1. . .п),
всегда можно найти инварианты любой ее подгруппы.
Очевидно, что это утверждение является простым следствием рассуждений настоящей
главы.

Глава 27
Описание всех г-параметрических
транзитивных групп с заданной
структурой
В главе 22 первого тома поставленная в заглавии задача была решена
в предположении, что известны конечные уравнения какой-нибудь г-пара-
метрической группы заданной структуры. Мы показали, что если найдены
инфинитезимальные преобразования двух взаимных [???] просто
транзитивных групп заданной структуры, что можно сделать с помощью
операций дифференцирования и исключения переменных, то для решения нашей
задачи требуются лишь алгебраические операции и интегрирование систем
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Здесь мы откажемся от сделанного там предположения. Мы
предполагаем, что задана только сама структура, то есть набор из г3 констант Ciks,
удовлетворяющий уравнениям
Г Ciks + Ckis = 0
г
\ / ^X^ikr^rjs i CkjrCris т CjirCrks) = U (1)
т=1
[ (i,kj,s=l. . .г),
и ищем все r-параметрические транзитивные группы структуры а^3.
Другими словами, мы ищем все г параметрические группы
Xkf = ^2€кЛх1---хп)-~— (fc=i...r)
т=1
n-мерного пространства х\... хп (0 < п ^ г), которые являются
транзитивными и инфинитезимальные преобразования X\f... Xrf которых свя-

заны соотношениями
(XiXk) = Y,Cik8X8f (i,fc=i...r). (2)
s=l
В томе I мы уже упоминали эту более общую задачу, однако решили
мы ее там не полностью, поскольку выполнимые [???] операции позволяли
найти конечные уравнения r-параметрической группы заданной
структуры Ciks лишь в отдельных случаях. В общем случае это было
невозможно потому, что тогда еще не было даже доказано утверждение о том, что
каждому набору из г3 констант Ciks, удовлетворяющему уравнениям (1),
соответствует r-параметрическая группа структуры ciks-
Это утверждение мы доказали в главе 17 второго тома, показав, что
для каждого такого набора констант Ciks можно найти г-параметрическую
группу структуры Ci^s и что это можно сделать посредством
интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ср. также § 115,
глава 25 настоящего тома). Однако, с практической точки зрения, ценность
этого результата для решения нашей теперешней задачи не так велика, так
как интегрирование возникающих при этом систем приводит к слишком
сложным вычислениям.
Сейчас мы покажем, что нашу задачу можно свести к задаче,
решенной в главе 22 первого тома, по-другому. Мы покажем, что если задан набор
из г3 констант Ciks, то можно найти инфинитезимальные преобразования
двух взаимных r-параметрических просто транзитивных групп
структуры Ciks и что для этого требуется лишь решить одно алгебраическое
уравнение, а тогда, как немедленно следует из главы 22 первого тома, для
нахождения всех r-параметрических транзитивных группы структуры c^5, кроме
алгебраических операций, необходимо лишь проинтегрировать несколько
систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Как ни странно, все эти дифференциальные уравнения можно
проинтегрировать. Основываясь на рассуждениях из предыдущей главы, мы
покажем, что если найдены инфинитезимальные преобразования тех двух
взаимных [???] просто транзитивных групп, то для того, чтобы выписать
конечные уравнения всех транзитивных групп заданного строения, кроме
алгебраических операций, необходима лишь операция исключения
переменных, а в худшем случае еще и несколько квадратур*.
""Сначала, в 1874 году (Math. Ann., том 16, стр. 528), Ли показал, что сложные
функциональные уравнения, определяющие все r-параметрические группы от п переменных, можно

Прежде всего, мы займемся следующей задачей: задано г3
констант Ciks, удовлетворяющих уравнениям (1); нужно найти инфинитези-
мальные преобразования двух взаимных г-параметрических просто
транзитивных групп структуры Ciks- Однако, для того, чтобы решить эту задачу,
мы должны сделать несколько предварительных замечаний.
§122
Пусть
А = fi&i • • • Хп\ а\... аг) (г=1... п) (3)
— r-параметрическая группа, порождаемая независимыми инфинитези-
мальными преобразованиями X\f.. .Xrf и обладающая структурой aks-
Хотя пока мы не знаем ни одной такой группы, мы знаем, что они
существуют. Как их найти, мы пока обсуждать не будем.
Группа (3) удовлетворяет знакомым нам дифференциальным
уравнениям
дх' v^
-q^- =^Фэк(а)&(х') (i=i.. .n; fc=i.. .r). (4)
Она состоит из попарно обратных преобразований и содержит
тождественное преобразование. Следовательно, согласно сказанному на стр. 565-565,
мы можем считать, что в точке а\... а°, соответствующей тождественному
преобразованию, функции ф^к{о) ведут себя регулярно и что составленный
решить посредством интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Затем, в
сентябре 1884 года {Ges. d. W. zu Christiania, N 9, 1884г.) он заметил, что сперва, не прибегая
к интегрированию дифференциальных уравнений, можно найти некоторую просто
транзитивную группу заданной структуры, а затем описать все группы, обладающие той же структурой.
Это же утверждение, также без доказательства, было сформулировано в Math. Ann., том 25,
стр. 135. В феврале 1888 года та же самая задача была упомянута в Leipziger Berichten:
Описание всех r-параметрических групп точечных преобразований сводится к
интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. Если рассматривать только группы, не
содержащие центральных преобразований, то соответствующие дифференциальные
уравнения проинтегрировать очень легко. Однако при отказе от этого ограничения интегрирование
этих дифференциальных уравнений станет делом, существенно более трудным. Несмотря на
это, я пришел к тому результату, что соответствующее интегрирование можно провести и в
этом случае. Однако, этот вопрос настолько сложен, что я вынужден отложить его
окончательное решение до более подходящего момента.
Наконец, в Leipziger Berichten за 1 декабря 1890 года Ли опубликовал статью Описание всех
r-параметрических транзитивных групп посредством выполнимых [???] операций, в которой
он привел универсальный метод доказательства ранее указанных результатов.

из них определитель при а — ао имеет конечное ненулевое значение. Тогда,
если уравнения (4) разрешить относительно £ы:
т дх'
то функции otkj{a) также будут регулярны в точке а/с = оРк и будут иметь в
этой точке конечное, ненулевое значение.
В соответствии с главой (21), том I, группе (3) соответствует просто
транзитивная группа той же структуры, а именно, группа параметров.
Чтобы найти эту группу, нужно сначала выполнить преобразование вида (3)
с параметрами а\... ar, a затем такое же преобразование с параметрами
bi... br; результирующее преобразование снова имеет вид (3), а его
параметры с\... Сг известным [???] образом выражаются через а и Ь:
Ск = <Pk(ai • • • «г; bi...br) (k=i... г). (б)
Если здесь а и с понимать как переменные, a b как параметры, то эти
уравнения задают группу параметров группы (3).
Однако, согласно сказанному на стр. 428^429, том I, уравнения (б)
определяют еще одну группу. Действительно, если в них b и с понимать
как переменные, а а как параметры, то они задают группу, взаимную к
группе параметров. Отныне мы будем называть эту группу второй
группой параметров, а саму группу параметров — первой группой параметров.
Договоримся, однако, что если речь идет просто о группе параметров, то
имеется в виду первая группа параметров.
Сейчас мы построим инфинитезимальные преобразования этих двух
групп параметров, причем начнем мы с первой.
Поскольку преобразование (3) при а& = оРк обращается в
тождественное преобразование, уравнения (6) должны при Ьк = а% принимать вид
с/с = а^. Следовательно, если в уравнениях (б) величинам Ьк придавать
такие значения а\ + 5и;к, которые бесконечно мало отличаются от а£, то
мы всегда будем получать некоторые инфинитезимальные преобразования
первой группы параметров. Инфинитезимальные преобразования,
возникающие таким образом, имеют вид
г
.7 = 1
d<pk(a,b)
db,
8u)j (fc=i...r),
(7)
J h=n"

где мы по легко понятным причинам вместо Ck пишем ак.
Теперь нетрудно показать, что уравнения (7) задают общее инфини-
тезимальное преобразование первой группы параметров, то есть, что среди
инфинитезимальных преобразований (7) найдется г независимых.
Действительно, согласно сказанному на стр. 405, том I, функции ^/Да, Ь)
удовлетворяют тождествам вида
—1 ' = ^Фтз{Ь)атк{}Р1{а,Ъ).. .</?г(а,6)),
щ
т=1
-^0
которые при подстановке Ьк = о% переходят в
'д(рк{а,Ь)
dbj
6=а°
= ^Z^rjia0) - атк(аг.. .аг).
т=1
Так как определитель, составленный из (fTj(a°), конечен и не равен
нулю, а определитель, составленный из атк(а) не равен тождественно нулю,
отсюда немедленно следует, что г инфинитезимальных преобразований
ак = ак +
dtpk{a,b)
dbj
8u)j (k=i...r)
b=a{)
0 = 1... r)
независимы друг от друга.
Инфинитезимальные преобразования второй группы параметров
строятся абсолютно аналогично.
Если в уравнениях (б) произвести подстановку ак = а£, то они
примут вид ск = Ьк, и, следовательно, заменяя а& на а£ 4- Suk, мы всегда
будем получать инфинитезимальное преобразование второй группы
параметров. Возникающее таким образом инфинитезимальное преобразование
имеет вид
bi
ьк + ^
.7 = 1
dtpk(a,b)
да о
5uj (fc=i...r),
(8)
где мы вместо Ck пишем Ь'к. То, что оно является общим инфинитезималь-
ным преобразованием второй группы параметров, можно доказать подобно
тому, как это сделано выше. Однако это заняло бы довольно много
времени, поскольку в томе I не указаны основные [???] дифференциальные

уравнения второй группы параметров. Поэтому мы докажем этот факт по-
другому, тем более что нижеследующее доказательство проясняет смысл
второй группы параметров.
Обозначим преобразование (3) через 5(а) и предположим, что а, Ъ
и с связаны уравнениями (б). Тогда S^S^) = 5(с). Это уравнение можно,
очевидно, переписать в виде
5(-б,Ч) = 5Гс)- w
В нашем случае семейство оог преобразований Sri совпадает с
семейством 5(а), так что S7\ представляет собой другой вид группы
Xif.. .Xrf. Если взять за основу этот второй вид группы Xif.. .Xrf9
то из уравнений (9) мгновенно следует, что первая и вторая группы
параметров меняются ролями: та, которая была второй, становится первой, и
наоборот. Другими словами, вторая группа параметров группы 5(а)
является первой группой параметров группы Sri.
Учитывая, наконец, что в виде S7\ группа Xif... Xrf задается
уравнениями вида
Xi = Fi(x[ ... х'п\ a\...ar) (t=i...n)
и что величины х$, понимаемые как функции от ai... ar, удовлетворяют
дифференциальным уравнениям вида
(см. стр. 555), где определитель, составленный из djk, имеет при а — ао
конечное ненулевое значение, легко увидеть, что рассуждения,
проведенные для первой группы параметров, немедленно переносятся на инфини-
тезимальное преобразование (8) и что (8) действительно является общим
инфинитезимальным преобразованием второй группы параметров.
Выясним теперь, в чем заключается абстрактный смысл уравнений (7)
и (8). Это понадобится нам при вычислении инфинитезимальных
преобразований обеих групп параметров.
Правые части уравнений (7) суть параметры некоторого
преобразования нашей группы (3). Из вывода уравнений (7) вытекает, что чтобы
получить это преобразование, нужно сначала выполнить преобразование (3), а

затем преобразование Заи+$Ш9 также принадлежащее семейству (3) и
имеющее, очевидно, вид
A = xiYl
k=l
dfi(x,a)
дак
6ик (t=l...n). (Ю)
Но уравнения (10), если величины 5ui... 5uk в них считать
произвольными, задают общее инфинитезимальное преобразование группы (3) (см.
том I, стр. 77-78). С другой стороны, уравнения (7) задают общее
инфинитезимальное преобразование первой группы параметров. Таким образом,
это последнее инфинитезимальное преобразование можно получить
следующим образом:
Сперва нужно выполнить общее преобразование 5(а) группы (3),
затем ее общее инфинитезимальное преобразование J2 ^kXkf и подсчитать
получающееся таким образом преобразование Sa+Sa, бесконечно близкое к
преобразованию S(ay При этом выражения 8а\... 5аг представляют
собой бесконечно малые приращения параметров а\... аг под действием
общего инфинитезимального преобразования первой группы параметров.
Общее инфинитезимальное преобразование второй группы параметров
получается аналогично:
Сперва нужно выполнить общее инфинитезимальное
преобразование Yl,^kXkf группы (3), затем общее конечное преобразование 5(а)
этой группы и подсчитать получающееся такгим образом преобразование
За+$а, бесконечно близкое к преобразованию S(ay При этом выражения
Sai... Sar суть бесконечно малые приращения параметров а\... аг под
действием общего инфинитезимального преобразования второй группы
параметров.
Все это, разумеется, верно лишь в предположении, что функции ^j^(a)
регулярны в окрестности параметров а\... а° тождественного
преобразования и что определитель ^jfc(a°) не равен нулю (см. стр. 638). Это
предположение можно заменить другим, которое на практике более удобно. Нужно
просто потребовать, чтобы функции fi{x,a) были регулярны в
окрестности параметров а\.. .а® и чтобы уравнения (10) при произвольных Su^
задавали семейство oor_1 различных инфинитезимальных преобразований.
В самом деле, если выполняется предположение со страницы 638, то
выполняются и только что указанные требования. Обратно, если
выполняются эти требования, то верно и то предположение. Дело в том, что тогда с

учетом дифференциальных уравнений (4) имеют место тождества
dfi{x,a)
дак
a=alt j=i
Если в них вместо х\... хп подставлять по очереди г различных наборов
»
,М л. -
значении xj' ' ... Хп ' (м = 1. .. г) общего взаимного положения, то мы
получим систему уравнений, разрешимую относительно ipjk{a>°) (см- том 1>
стр. 66, предл. 5), причем все т/^/Да0) будут иметь конечные значения. То,
что определитель, составленный из Vj/c(a°)> не равен тождественно нулю,
следует из того, что среди инфинитезимальных преобразований (10)
существует г независимых.
§123
Перейдем теперь к решению задачи, поставленной на стр. 637.
Поскольку заданные нам г3 констант Ciks удовлетворяют
уравнениям (1), то в пространстве х\.. .хп подходящей размерности п найдется
г независимых инфинитезимальных преобразований
П c)f
i=l °Xi
связанных соотношениями вида
{Х{Хк) ^^CiksXsf (U=i- - -г)
(2)
5 = 1
и, следовательно, порождающих r-параметрическую группу структуры с^5.
Тогда конечные уравнения этой группы имеют следующий канонический
вид:
t T t2 T
Xi=xt + J^2Xk^hi + Y^2 ^ ^jXktji + • • •
к=1
(п)
(г=1. . .п),
и, согласно сказанному на стр. 255 первого тома, в качестве символа
конечного преобразования, задаваемого уравнениями (11), можно использовать

выражение
t^2SukXkf = ^2ekXkf (Xkt = ek). (12)
k=l k=l
При этом последовательность в обозначениях требует, чтобы мы в качестве
символа общего инфинитезимального преобразования этой группы
использовали выражение вида
где под Suji ... Sur понимаются произвольные бесконечно малые величины.
Результаты предыдущего параграфа позволяют вычислить инфини-
тезимальные преобразования обеих групп параметров, соответствующих
группе (11), несмотря на то, что мы пока еще не знаем инфинитезимальных
преобразований X\f.. . АГГ/, обладающих указанными здесь свойствами.
Таким образом мы найдем инфинитезимальные преобразования двух г-па-
раметрических взаимных просто транзитивных групп структуры ciks.
То, что рассуждения из предыдущего параграфа применимы к
нашему случаю, не подлежит никакому сомнению, так как, во-первых,
уравнения (11), очевидно, регулярны в окрестности параметров Ai = ... = Ar =
= 0 тождественного преобразования, а во-вторых, придавая параметрам Хк
в (11) бесконечно малые значения, скажем 5\к, мы получаем семейство
инфинитезимальных преобразований
г
xi = хг + 5Z^fc&i(zi • • -Хп) (г=1...п),
к=1
которое вследствие независимости инфинитезимальных преобразований
Xif... Xrf состоит из oor_1 различных преобразований (ср. стр. 642).
§124
Сперва мы отыщем инфинитезимальные преобразования второй
группы параметров группы (11).
Согласно правилу, сформулированному на стр. 641, эти
инфинитезимальные преобразования получаются следующим образом. Сперва
нужно выполнить общее инфинитезимальное преобразование ^ 5и)кХк/
группы (11), а затем ее общее конечное преобразование J2ekXkf-
Последовательное выполнение этих преобразований должно давать преобразование

вида XXе*; + $ek)Xkf, где 5е\... 5ег — бесконечно малые приращения
величин ei... ег под действием общего инфинитезимального преобразования
второй группы параметров.
Таким образом, все сводится к тому, чтобы величины 5е\... 5ег
выразить через 5шх... 5иг. Это можно сделать с помощью метода, развитого Ли
еще в 1878 году.
Сначала мы решим обратную задачу, то есть выразим 5и^ через 5ek-
Положим е/с = Xkt и определим 8Х^ посредством уравнения tSX^ = 5еь-
Тогда эта обратная задача сводится к тому, чтобы найти такое инфинитези-
мальное преобразование ^ SukXkf, чтобы в результате последовательного
выполнения преобразований J^ SukXkf и t J2 ^kX^f получалось
преобразование
tJ2^k + SXk)Xkf.
Чтобы упростить решение этой задачи, введем вместо х новые
переменные yi...yn, при которых выражение ^X^X^f принимает простой
вид
£****'-& (13)
Сделать это можно всегда, причем эти новые переменные зависят не только
от х\... хп, но и от Ai... Аг. Следовательно, мы можем считать, что ин-
финитезимальные преобразования X\f... Xrf в этих новых переменных
имеют вид
Xkf = Y^ ЧкгЫ • • • Уп) 7j~ (Л=1 • • - г), (14)
г=1 ^
где T]ki зависят также от Ai... Аг.
Преобразование с символом t^X^X^f в новых переменных имеет
символ
tT\kxkf = t^-
(см. том I, стр. 255), откуда следует, что его уравнения имеют простой вид
у[ = Уи • • •, Уп-i = Уп-и Уп = Уп + t. (15)

Таким образом, если сперва выполнить инфинитезимальное
преобразование Y^ fi^kXkf, а затем конечное преобразование t J] X^X^f, то мы
получим преобразование, которое в новых переменных имеет вид
у'п = уп + t + ^ 5и)кГ]кпЫ • • • Уп-U Уп)
к=1
г
У'г = Уг + XI Su)bVki(yi • • • Уп-U Уп)
к=1
(г=1. . .тг-1).
С другой стороны, преобразование с символом
tJ2(^ + sxk)xkf
переходит в преобразование с символом
t £(Afe + sxk)xkf = t-^- +1Y, sxkxkf,
*=1 oyn fc=l
так что его уравнения являются решениями системы
^ = i + J2sxkvkn(y[...y'n)
fc=l
at
М= J2sxMM---y'n)
fc=l
(г=1. . .n-1)
(16)
(17)
с начальными условиями j/'y = ^ при t = 0.
Интегрируя систему (17), мы должны иметь в виду, что S\i...5\r
являются бесконечно малыми величинами, и, следовательно, нам нужно
учитывать лишь члены первого порядка относительно 6\. Если бы 6Х
равнялись нулю, то уравнения (15) были бы решениями системы (17). Таким
образом, чтобы найти решения этой системы с точностью до членов
первого порядка относительно 5А, мы должны в правых частях уравнений (17)
вместо у[... у'п подставить значения (15), а затем проинтегрировать их от 0

до t. В результате мы получаем следующие решения
!(!/!... Уп-1, Уп +t)dt
y'n=yn+t + Y\ 6Хк I Vkn
y'i =Vi +У2 ^Хк / VkiiVi • • • Уп-и Уп + t)
k=i Jo
dt
(18)
(i=l. . .n-1).
Теперь наша задача сводится к тому, чтобы доказать, что величины Su^
можно определить как функции от 6Х\... 6ХГ и t так, чтобы
преобразования (16) и (18) совпадали, то есть, чтобы уравнения
^2SvkVki(yi---yn-u Уп) = ^2^Хк / Щ{(у1...уп-и Уп + t)
к=1 к=1 J°
dt
(г=1. . .п)
(19)
обращались в тождества. Доказательство этого факта оказывается довольно
простым, поскольку в нашем случае можно вычислить интегралы в правых
частях уравнений (19).
С этой целью, попытаемся отыскать г функций xi ♦ ♦ ♦ Хг от t и 6\,
которые тождественно удовлетворяют п уравнениям вида
5^<*AfcTte(yi...yn_i, Уп+t) = ^ХкГ)ы{У\--.Уп)
k=l
k=l
(20)
(»=1. . .п).
Если нам это удастся, то для того, чтобы уравнения (19) обратились в
тождества, нужно лишь положить
Suk = Хк
Jo
dt (fc=i...r).
(21)
Очевидно, что уравнения (20) выполняются тождественно тогда и
только тогда, когда функции Хк удовлетворяют уравнениям
г г
^2SXkVki(yi---yn) = ^2xkVki(yi---yn-u Уп-t) (i=i...n)
fc=l
fc=l

или, что равносильно, уравнениям
г
■^2xkVki(yi-'-yn-u Уп-t) =0 (2=1...п), (22)
д т
dt-
к=\
а также начальным условиям Хк = SXk при t = 0. Но при сделанных
предположениях
(22 ^kXuf, Xjf J = 2J ><kCkjsXsf
k=\ J k,s=l
или, с учетом (13),
откуда следует, что
dr}ji{yi---yn) v^ ч V^ / ч
—SS—£1А^^'ы<,"--) (я)
0"=1. . . г; г=1. . . n).
Вычисляя производную в (22) и учитывая (23), мы получаем
ЕдХк , .ч
-^-Vkiiyi.. .Уп-ь 2/п - 0-
г
- ^ Xk^jCjksVsiiyi ... Уп-ь Уп-t) = 0.
A:,j,s=l
Эти уравнения, в силу независимости инфинитезимальных преобразований
Xif... Xrf, распадаются на следующие:
-^ = ЕА^ЕС^Х* <fc=i-..r), (24)
j=l 5=1
которые вместе с начальными условиями Хк = 8\k для £ = 0 полностью
определяют функции Хк-

Дифференциальные уравнения (24) очень напоминают
дифференциальные уравнения
-|г + ^Л^с.^е'* = 0 (fc=i•••r)' (25)
которые, согласно сказанному на стр. 235 первого тома, вместе с
начальными условиями е'к — е/. для t = 0 определяют конечные уравнения некоторой
линейной однородной группы, а именно, конечные уравнения
присоединенной группы*, соответствующей г параметрическим группам структуры c^s.
В самом деле, если t заменить на —£, а Хк на e'k> т0 дифференциальные
уравнения (24) перейдут в уравнения (25). Следовательно, если считать,
что, проинтегрировав (25), мы нашли уравнения присоединенной группы в
виде
г
e'k = ^Pkj{Xit, ...,\rt)ej (fc=i...r) (26)
(заметим, что это есть канонический вид этих конечных уравнений), то
искомые решения дифференциальных уравнений (24) имеют следующий
вид:
г
Хк Yl Pkj(-*it, • • • 1 -V) SXj (fc=i... г). (27)
При подстановке этих выражений для Xi • • • Хт в уравнения (20) эти
уравнения обращаются в тождества, так что мы имеем
( т
^2sXkriki(yi...yn-u Vn + t) =
= 2^ $^jPkj{-Xit,..., -xrt)riki(yi • • • Уп)
{ (i=l...n)
*B том, что здесь возникает присоединенная группа, нет ничего удивительного, поскольку
если в общем инфинитезимальном преобразовании ^e^X^f группы X\f.. .Xrf
произвести замену переменных (15), которая является преобразованием из этой группы, то мы
обязательно получим инфинитезимальное преобразование вида ^e^X/^f, где е'к и е^ связаны
посредством преобразования из присоединенной группы (см. том I, стр. 270 и далее).
(20')

для всех значений величин 5Хк, у% и t. С другой стороны, в соответствии
с (21), мы получаем следующие выражения для Slj^:
5ик
Pkj{-Mt,
-\rt)dt (k=\...r).
(28)
Функции Pkj(^t) можно найти с помощью выполнимых операций.
Действительно, поскольку уравнения (25) являются линейными
однородными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами,
то, как известно, чтобы их проинтегрировать, нужно лишь решить
алгебраическое уравнение
ZskV + 2_^ cjsk^j
J=l
(s,fc=l... г)
о
(29)
где а — неизвестная, a esk равняется единице или нулю, в зависимости от
того, равны s и к друг другу или нет. Если отличные друг от друга корни
этого уравнения обозначить через о\...ат, то, как известно, Pkji^t) будут
линейными функциями от га выражений
^<?\t
(30)
с коэффициентами, которые, в свою очередь, являются целыми функциями
от t и рациональными функциями от Ai... Ar, g\ ... аш.
Отсюда следует, что интегралы в уравнениях (25) также выполнимы
[???]. Действительно, очевидно, что интеграл
/'
Jo
P/jj(Ait, .. .,\rt)dt
также является линейной функцией от га выражений (30), коэффициенты
которой являются целыми функциями от t и рациональными функциями
от Ai...Ar, t7i...am. Так как этот интеграл при t — 0 обращается в
нуль и так как pkj содержит величины t и Ai... Аг только в сочетаниях
Ait, ..., Xrt, мы можем положить
/
Jo
Pkji^it, .. .,\rt)dt = t-^kji^it, ... ,Ar£),
(31)

где функции tpkji^t) — функции, обладающие теми же свойствами, что
и pkj.
С учетом этих формул, из тождеств (20') вытекают тождества
( т fl
^2S^k Vki(yi---yn-U yn + t)dt =
| h=l Jo
r (20")
= ^ tSXjipkji-Xit, ..., -Xrt)vki(yi... Уп)
k,j=l
(i=l. . .n),
которые также выполняются для всех значений величин 6Хь, у% и t. Из (28)
мы получаем окончательный вид величин 8и>к-
г
5сик = ^2t6Xjil;kj{-X1t, ...,-Xrt) (fc=i...r). (28')
j=i
Легко убедиться, что функция pkj{Xt) при t = 0 имеет значение е^-,
откуда, очевидно, следует, что при t = 0 функция ф^(ХЬ) также равна £kj.
Но тогда определитель, составленный из фкз(Щ-> не равен тождественно
нулю и равен 1 при t = 0.
Итак, мы доказали следующее: если сначала выполнить инфинитези-
мальное преобразование J2 6сокХк/, где 5uk взяты из (28'), а затем
конечное преобразование (15), то в результате получится преобразование (18).
Возвращаясь к исходным переменным х\... хп и полагая снова Xkt — ек и
t -SXk = 8ек, мы можем переформулировать этот факт следующим образом:
Если сперва выполнить инфинитезималъное преобразование с
символом
г г
а затем конечное преобразование с символом
г г
tJ2t"kXkf = J2e«Xkf (*** = **)» (12)
fc=i fc=i

то в результате получится преобразование, символ которого имеет вид
J2(ek + 5ek)Xkf.
fc=i
Что касается вида функций ф^, то можно заметить следующее.
Величины sigmai.. .аг являются алгебраическими функциями от Ai... Аг,
причем однородными первого порядка. Следовательно, величины a\t, ..., amt
содержат Аи t лишь в сочетаниях \kt — ек, и если их выразить через
е\... ег, то они будут различными корнями уравнения
(s,/c=l. . .г)
= 0.
(29')
Таким образом, если положить a^t = а'^, то ф^{ег. • -вг будут линейными
функциями от га выражений
е^ ... е*'», (30')
коэффициенты которых, в свою очередь, являются рациональными
функциями от е\... ег и а[... а'ш.
Теперь, наконец, мы в состоянии указать инфинитезимальные
преобразования второй группы параметров. Действительно, так как определитель,
составленный из ipkjftt) не равен нулю, уравнения
&*>* = 5Z Sej^kj(-ei, • • •, -er) (fc=i •
•г)
(28")
3 = 1
можно разрешить относительно 5е\.. .6ег. Таким образом, какими бы ни
были величины 6u>k, мы всегда можем подсчитать преобразование ^(е^ +
-hSe^X^f, получающееся в результате последовательного выполнения
преобразований ^SujkXkf и J2ehXkf- При этом, согласно сказанному на
стр. 644, значения величин 8в\... 8ег представляют собой бесконечно
малые приращения величин в\... ег под действием общего инфинитезималь-
ного преобразования второй группы параметров.

Чтобы разрешить уравнения (28") относительно 6е\... 5ег,
рассмотрим г2 функций OLjk{e\... ег), определяемых г2 уравнениями
г
^2 aks(ei • • • er)^kj(ei... er) = e5J- (s,j=i... r). (32)
k=i
Эти функции, как следует из свойств функций ф^, являются
рациональными функциями величин в\... ег, сг^... сг^ и величин (30'). С их помощью
величины 5е\... 6ег выражаются из (28') следующим образом:
г
5es = ^^а^Д-еь . ..,-er) (s=i...r), (33)
fc=l
и, следовательно, инфинитезимальные преобразования второй группы
параметров имеют вид:
Bkf = 5^afce(-ei, ..., -er)^— (*=i.. .г). (34)
С самого начала ясно, что эти инфинитезимальные преобразования
независимы друг от друга. Это, однако, следует и из того, что определитель,
составленный из ф^> а значит, и определитель, составленный из а/с5, не
равен тождественно нулю.
§125
Сейчас мы подсчитаем инфинитезимальные преобразования первой
группы параметров группы (11).
Будем считать, что переменные у\ .. .уп выбраны так же, как на
стр. 644, однако теперь мы сперва выполним конечное преобразование
2/i =Уи - - -, Уп-1 = Уп-и Уп = Уп+ Ъ (15)
а затем инфинитезимальное преобразование J2 ^k^kf- В результате мы

получим преобразование
г
у'п = уп + t + ^ 5йкг)кп{У\ ♦ ♦ ♦ Уп-и Уп + t)
fc=l
г
У[ = Уг + 5Z SuJkVki{yi • • • Уп-U Уп + t)
(35)
fc=l
(г=1. . .п-1).
Попытаемся величины 6йк выбрать таким образом, чтобы символ этого
преобразования принял вид t XX^fe + ^fe)-X"fe/> a само оно, соответственно,
приняло вид (18).
Для этого необходимо, чтобы 6йк удовлетворяли уравнениям
(36)
/с=1
= ^^A/c / rjfei(yi...yn_i, yn+t)dt.
С учетом тождеств (20') и (20") уравнения (36) принимают вид
г
^2 S(DjPkj(-bit> • • • >-Kt)vki{yi---Уп) =
г
= ^2 tSX^kj{-\it, ..., -Xrt)r}ki(yi... yn).
Отсюда, благодаря независимости инфинитезимальных преобразований
Xif...Xrf9 следует, что
г г
^28ujpkj(-\it, ..., -Xrt) = y^j8Xjipkj(-Xit, ..., -Art)
i=i j=i (37)
(fe=l...r).
Чтобы разрешить эти уравнения относительно 6й>к, заметим, что разрешая
уравнения (26), мы получаем
е/с = ^p/cj (-Ait, . ..,-Art)ej- (fc=i...r).
(26')

Отсюда мы заключаем, что уравнения (37) эквивалентны следующим:
г
8йк = ^ t5\jtpTj(-\it, ..., -Ar£)pkjT(Ai£, ..., Xrt)
j,r=l
(37')
(fe=l...r).
Величины Su)fc можно, однако, получить в другом, более простом виде.
Продифференцируем уравнения (36) относительно £, понимая 8йк как
функции от t, a 6\к — как константы:
EdSuJk , ч
—~—Vki(yi • • • Уп-и Уп + *)+
к=\
г
at
+ У2<^.— (yi...yn-i, Уп+t) =
= ^*Afcr;fci(2/i...2/n_i, Уп + t).
k=i
Подставляя вместо производных функций г/ы их значения из (23), мы
получаем уравнения, которые мгновенно распадаются на следующие:
д5шк
dt
3 = 1 5=1
(38)
Очевидно, что эти дифференциальные уравнения вместе с начальными
условиями 6й>к — О ПРИ t = 0 полностью определяют величины 6йк.
Дифференциальные уравнения (38) проинтегрировать очень легко.
Действительно, дифференцирование по t дает уравнения
д д5йк тг-^ . ^-^ dSus
dt dt
j=l 5=1
dt
которые в точности совпадают с уравнениями (25). Поскольку,
согласно (38),
~д5йк]
= ОЛк,
dt

мы получаем
д6йк
= z2 РьЛ^Ъ • • • >^rt) SXj,
dt
.7 = 1
откуда с учетом (31) следует
г
6йк = ^2t6\jil>kj{\1t,...,\rt). (37")
j=i
Эти уравнения полностью аналогичны найденным ранее уравнениям (28').
Возвращаясь к исходным переменным х\... хп и полагая снова \kt =
= ек и t(5A/c = 5e/c, только что полученный результат можно выразить
следующим образом:
Если сперва выполнить конечное преобразование с символом
г г
tJ2^kXkf = J2e^X^f (ХЫ = ек), (12)
а затем инфинитезимальное преобразование с символом
г г
^2 5&кХк/ = ^2 Sej^kj{ei ♦ • • en)Xkf,
fc=i j,k=i
то мы получим преобразование, символ которого имеет вид
г
J2(ek + 5ek)Xkf.
k=i
Теперь, согласно сказанному на стр. 641, чтобы получить инфините-
зимальные преобразования первой группы параметров, нужно величины
5в\... 8еГ выразить через 5ш\... 5йг, рассматривая последние как
произвольные бесконечно малые величины. Сделать это не представляет
никакого труда. Действительно, уравнения
г
6йк = ^2Se^kj{ei...er) (fc=i...r), (39)

разрешенные относительно 5е\... 5ег, имеют, очевидно, вид
г
6ej = ^26ukakj(ei...er) (fc=i...r), (39')
fc=i
и следовательно,
Akf = J2akj(ei... er)— (fc=i.. .г) (40)
суть г независимых инфинитезимальных преобразований первой группы
параметров.
§126
Итак, найдены инфинитезимальные преобразования обеих групп
параметров группы (11), и с самого начала ясно, что каждая из этих групп
обладает структурой ciks. Чтобы увидеть это, выясним, как (AiAk)
выражаются через Asf и как (BiBk) выражаются через Bsf. Это можно сделать
следующим образом.
Если общее преобразование ^ekXkf группы (11) обозначить
через 5(е), то, согласно сказанному выше, каждое преобразование 5(е_|_$е),
бесконечно близкое к 5(е), можно получить, выполнив сначала 5(е), а затем
инфинитезимальное преобразование
г
Y^ 6ej>ipkj(e)Xkf.
Согласно сказанному на стр. 554-555, это равносильно [???] тому, что
величины х[ в уравнениях
г
xi = xi+Ylektki(x} + '" (*=i---n)
/c=l
преобразования 5(е) удовлетворяют дифференциальным уравнениям

В силу (32), однако, эти дифференциальные уравнения можно переписать
следующим образом:
3 = 1 3
Но поскольку Х\... Xrf, согласно нашему предположению, связаны
соотношениями
г
{XiXk) = }^ciksXsf,
5=1
отсюда следует (см. стр. 582), что A\f ... Arf тождественно удовлетворяют
уравнениям
г
{А{Ак) = ^ciksAsf (i,fc=i...r). (41)
5 = 1
Легко показать, что если вместо е\... ег в качестве новых
переменных ввести — ei, ..., — ег, то Akf перейдет в —Bkf. Таким образом, мы
убеждаемся, что B\f... Brf связаны соотношениями
г
{BiBk) = YJdksBsf (i,fc=i...r). (42)
5 = 1
В заключение этого параграфа, мы еще раз напоминаем, что наши
группы параметров являются взаимными [???] просто транзитивными
группами и что, следовательно, имеют место тождества
(AiBk) = 0 (i,fc=i...r). (43)
Отметим также, что их инфинитезимальные преобразования найдены здесь
как раз в том виде, в котором инфинитезимальные преобразования двух
произвольных взаимных просто транзитивных групп представлены на
стр. 379 первого тома.
§127
Итак, теперь мы знаем инфинитезимальные преобразования обеих
групп параметров, ассоциированных с группой (11), стр. 643. При
нахождении этих инфинитезимальных преобразований мы предполагали лишь,

что инфинитезимальные преобразования X\f.. .Xrf группы (11) связаны
соотношениями
г
(XiXk) = J2ciksXsf (Uc=i-. .г) (2)
5 = 1
и что группа (11) записана в каноническом виде. Однако мы ни в коем
случае не считали, что нам известны г независимых инфинитезимальных
преобразований такого свойства, и опирались лишь на доказанное ранее
утверждение о том, что такие г инфинитезимальных преобразований
существуют всегда, когда константы ciks удовлетворяют уравнениям (1).
Очевидно, что выражения, найденные нами для инфинитезимальных
преобразований обеих групп параметров, не зависят от конкретного
вида инфинитезимальных преобразований X\f.. .Xrf, поскольку они
полностью определяются значениями констант с^. Следовательно, мы
видим, что найденные нами группы будут группами параметров для любой
r-параметрической группы вида (11), инфинитезимальные преобразования
X\f.. .Xrf которой удовлетворяют соотношениям (2). Таким образом,
приведенные выше рассуждения содержат новое доказательство
предложения 1, том I, стр. 414-415; только здесь мы добились существенно
большего, показав, в придачу, как находить инфинитезимальные преобразования
не только для упомянутой в том предложении первой группы параметров,
но и для второй.
Так как найденные нами группы параметров соответствуют г-парамет-
рической группе, имеющей канонический вид, мы будем называть их
каноническими группами параметров. Разумеется, что в этом смысле каждой
r-параметрической группе соответствует бесконечно много пар
канонических групп параметров, а именно, ровно столько, сколько эта группа имеет
канонических видов. Но поскольку всякий канонический вид г-параметри-
ческой группы можно получить из любого другого ее канонического
вида посредством линейного однородного преобразования параметров этой
группы (см. стр. 608-609), ясно, что если задана некоторая пара
канонических групп параметров r-параметрической группы, то любую другую такую
пару можно получить, подвергнув переменные в\... еТ в обеих заданных
группах параметров некоторому линейному однородному преобразованию.
Из вышесказанного следует, что каждая пара канонических групп
параметров некоторой r-параметрической группы является парой
канонических групп параметров для любой другой r-параметрической группы с той

же структурой. Таким образом, канонические группы параметров каждой
r-параметрической группы существуют независимо от конкретного вида
этой группы и определяются только ее структурой. Итак, мы можем
сказать следующее:
Каждой структуре, которой может обладать г-параметрическая
группа, соответствует бесконечно много пар канонических групп
параметров. Если известна одна такая пара, то чтобы найти все остальные,
нуэ/сно подействовать на переменные двух уэ/се известных канонических
групп параметров всеми линейными однородными преобразованиями.
Возникающие здесь пары канонических групп параметров отвечают
различным аналитическим представлениям структуры г-параметрической
группы. В соответствии со сказанным на стр. 289-290 первого тома,
структура r-параметрической группы определяется константами Ciks из
соотношений (2). Однако в общем случае существует бесконечно много
различных наборов констант c^s, определяющих одну и ту же структуру.
Проделанные выше рассуждения показывают, что каждому такому набору
констант c^s соответствует вполне определенная пара канонических групп
параметров. Более того, очевидно, что чтобы получить все пары
канонических групп параметров, соответствующие определенной структуре, нужно
для каждого набора констант Cjfcs, задающего эту структуру, найти
соответствующую пару канонических групп параметров.
Объединим результаты последних параграфов в одну теорему.
Теорема 52. Если известен некоторый набор из г3 констант Ciks,
который удовлетворяет уравнениям
( Ciks + Ckia = 0
I г
\ / jXCikrCrjs i CkjrCris Н~ CjirCrksf ~ U (1)
r=l
I (i,kj,s=l. . . r)
и, следовательно, согласно третьей фундаментальной теореме
(см. стр. 597), задает структуру некоторых r-параметрических групп,
то чтобы отыскать инфинипгезимальные преобразования двух г-парамет-
рических взаимных просто транзитивных групп структуры с^, нужно
лишь решить одно алгебраическое уравнение. Если в качестве переменных
выбрать г величин е\... ег, то это алгебраическое уравнение получается

приравниванием к нулю определителя
i=i
(fe,5=l. . .г)
где Sks> как обычно, равняется 0, если к = s, и 1, если к ф s. Если отличные
друг от друга корни этого уравнения обозначить через а[ ... а'т, то инфи-
нитезимальные преобразования одной из искомых просто транзитивных
групп имеют вид
Mf = Л afej(ei • • 'er)-faT. (fc=i- - -г), (40)
j=i 3
где Qkj(e) — некоторые рациональные функции от е\... ег, от а[... агш и
от
Инфинитезимальные преобразования взаимной просто транзитивной
группы имеют вид
Bkf = ^2aks{-eu ..., -er)^— (k=i ...r).
s=l
(34)
Обе группы A\f ... Arf и B\f... Brf полностью определяются заданным
набором констант с^ и представляют собой пару канонических групп
параметров, соответствующую структуре с^.
Применению этих результатов для описания r-параметрических
транзитивных групп заданной структуры, мы предпошлем еще один параграф.
§128
Прежде, чем мы применим полученные результаты к описанию г-па-
раметрических транзитивных групп заданной структуры, мы обсудим один
вопрос, который не имеет прямого отношения к делу.
На стр. 591 мы упомянули первое опубликованное Ли доказательство
второй части второй фундаментальной теоремы и указали, что это
доказательство основывается на некоторых соображениях, которые будут
реализованы [???] в настоящей главе. Мы имели ввиду рассуждения из § 124,

которые — выражаясь нашим теперешним языком — приводят к описанию
инфинитезимальных преобразований второй группы параметров. Хотя
новое доказательство второй части второй фундаментальной теоремы не
являлось первостепенной целью этих рассуждений, нам представляется
полезным показать, что их можно применить и для этой цели. Поэтому мы
сперва [???] вкратце воспроизведем ход того, самого первого
доказательства*.
Пусть задано г независимых инфинитезимальных преобразований
X\f . .Xrf от п переменных х\.. . хп, и пусть имеют место
соотношения
г
{XiXk)=Y,Cik3X8f (U-i...r). (2)
s=l
Чтобы доказать, что при таких условиях семейство преобразований
( т 1 т
\х\ = Xi + У2ck£ki{x) + т~^ У2 ekejXk^ji + • • •
{ /c=i l'Zkj=i (44)
[ (2=1... П)
образует группу, мы действуем следующим образом*:
Сначала мы покажем, что в результате последовательного
выполнения инфинитезимального преобразования ^SukX^f и преобразования
Y2 екХк/ получается преобразование с символом ХХе& + $ек)Хк/, где
величины 6ек могут быть подсчитаны. Доказательство этого факта
аналогично доказательству из § 124, поскольку хотя там мы и считали известным,
что семейство (44) образует группу, в § 124 мы ни разу этим не
воспользовались.
Оперируя выражениями ^ екХк/ и т.д., как символами
преобразований, мы можем переписать наш результат в виде
J2 SukXkf - J2 ekXkf = J>fc + Sek)Xkf, (45)
* Нижеследующие рассуждения покажут, что доказательство Ли, как утверждалось на
стр. 591, является строгим. Следует, правда, отметить, что в том изложении оно представляет
определенные трудности для понимания, главным образом, из-за обозначений. Кроме того, там
допущен небольшой недосмотр, а именно, в одном месте (Archiv for Math, og Naturv., том III,
стр. 98) два преобразования были выполнены в неверном порядке. Однако на строгость самого
доказательства это никак не влияет.
tЗдесь мы, разумеется, всюду используем привычные нам обозначения. В частности, в
качестве символа преобразования (44) мы используем выражение ^е^Х^/, поскольку оно
применимо и тогда, когда семейство преобразований (44) не является группой.

где Sek выражаются через ик с помощью уравнений
г
5ej =^2Sukakj(-eu ...,-er) y=i...r) (46)
fe=i
(см. стр. 651).
Полагая Suk — —XkSt, где Хк — конечные величины, и принимая
во внимание то, что инфинитезимальные преобразования ^ 6сикХк/ и —
— ^2 S^kXkf обратны друг другу, мы получаем, что уравнение (45) можно
привести к виду
Y, Xk6tXkf ■ £>* + дек)Хк/ = Y, ekXkf, (45')
где 5ек и Xk5t связаны уравнениями
г
5ej = -5t^2\kakj{-eu ...,-er) (i=i...r). (46')
fc=i
Вспомним, наконец, что семейство оо1 преобразований ^XktXkf с
произвольным параметром t образует однопараметрическую группу, то есть
имеет место равенство
J2 XktXkf ■ J2 *kStXkf = J2 Afe(* + St)Xkf.
С учетом этого равенства из уравнения (45') следует уравнение
Y,h(t + 6t)Xkf ■ £(efc + Sek)Xkf = J2 X*tXkf ■ E e^Xkf- (47)
Рассмотрим уравнения (46') как систему уравнений и выразим с их
помощью величины е\... ег как функции от t при начальных условиях
ек = ejj для t = 0. Пусть
ек = #fc(Ait, ..., Xrt; e? ... е°) (k=i... г). (48)
Если эти значения величин ек подставить в преобразование
J2\ktXkf-J2ekXkf, (49)

то, как следует из уравнения (47), оно не будет зависеть от t.
Следовательно, преобразование (49) не изменится, если параметр t положить равным
нулю, и мы получаем уравнение
J2 bktXkf ■ J2 tkXkf = J2 e°kXkf, (50)
так как при t = 0 преобразование ^X^tX^f совпадает с тождественным
преобразованием.
Подстановка (48) обращает уравнение (50) в тождество. С другой
стороны, уравнения (48) можно разрешить относительно е\ ... е£, причем
е°к = ^/c(-Ai£, ...,-Art; ei...er) (k=i...r) (48')
(см. том I, стр. 82-84). Следовательно, уравнение (50) обращается в
тождество и при подстановке вместо е\... е£ их значений из (48'). Так как все
это верно для произвольных X^t и е^, мы доказали, что последовательное
выполнение двух произвольных преобразований из семейства (44) снова
дает преобразование из этого семейства, то есть, что при сделанных
предположениях семейство (44) образует группу.
Только что приведенное доказательство второй части второй
фундаментальной теоремы было опубликовано в 1878 году. Оно интересно тем,
что в нем рассматривается лишь канонический вид группы X\f. . .Xrf.
Как бы оно ни отличалось от доказательства из первого тома, легко
увидеть, что эти два доказательства по сути довольно схожи. Дело в том, что
в основе доказательства из первого тома лежит, как мы можем сейчас
выразиться, построение г независимых инфинитезимальных преобразований,
порождающих просто транзитивную группу структуры c^s- В
доказательстве, приведенном выше, мы строим такие же г инфинитезимальных
преобразований, только на этот раз эти инфинитезимальные преобразования
обладают тем свойством, что они порождают вторую каноническую группу
параметров (44).
В заключение, отметим, что доказательство из этого параграфа
применимо и тогда, когда г инфинитезимальных преобразований Xif. .. Xrf9
удовлетворяющих соотношениям
г
(1Д)-^С;Ь1,/ (t,fe=i...r) (2)
s=l

не являются независимыми. Действительно, основные моменты
рассуждений из § 124 сохраняют свою силу и в этом случае, и требуются лишь
совсем небольшие формальные изменения. Отсюда следует, что только что
приведенное доказательство может быть использовано для установления
соответствия между двумя определениями мериедрического изоморфизма
конечных непрерывных групп (см. том I, гл. 17 и 21).
§129
Приступим теперь к решению основной задачи настоящей главы.
Пусть задано г3 постоянных c^s, удовлетворяющих уравнениям
Ciks + chis = 0
г
т=\
(i,k,j,s=l... г)
Сейчас мы займемся тем, что отыщем все г-параметрические транзитивные
группы, имеющие структуру Ciks-
В соответствии с §§ 124 и 125, сперва нужно отыскать
инфинитезимальные преобразования двух r-параметрических взаимных просто
транзитивных групп структуры Ciks. Для этого, как мы знаем, требуется лишь
решить одно алгебраическое уравнение. Таким образом, мы можем
считать, что инфинитезимальные преобразования этих двух групп известны и
что первая из них имеет вид
MI = J2akj(el.. -er)— (*=i.. .г), (40)
а вторая имеет вид
Bkf = ^акз{-еъ ..., -er)— (*=i.. .г). (34)
a=i °е&
Теперь, как следует из главы 22 первого тома, чтобы для каждого типа
r-параметрических транзитивных групп, имеющих структуру с*/^, указать

по одному представителю, необходимо лишь решить следующую задачу:
дано т независимых инфинитезимальных преобразований:
г
некоторой т-параметрической подгруппы группы B\f... Brf; нужно
найти инварианты этой подгруппы или, другими словами, какие-нибудь г — т
независимых решений т-параметрической полной системы
CJ = 0, ..., Cmf = 0. (51)
Действительно, если щ(е). .. ur_m(e) — какие-либо г — т
независимых решений этой полной системы, то г(г — т) выражений А^иу являются
функциями, зависящими только от ui...ur_m, и г инфинитезимальных
преобразований
Т~гп я^ 1—m я^
£ AkU]^ = £ "^ ' "Ur"mW = Ukf (52)
(к=1...т)
порождают транзитивную группу от г — га переменных щ .. . ur_m,
которая, если [???] она является r-параметрической, имеет заданную
структуру (kks (см. том I, теор. 78, стр. 439). Более того (см. том I, теор. 79,
стр. 443), с помощью подходящего выбора подгруппы C\f... Cmf всегда
можно добиться того, чтобы группа (52) была подобна любой
r-параметрической транзитивной группе, обладающей структурой Ciks. Но поскольку
для описания инфинитезимальных преобразований всех подгрупп группы
B\f ... Brf требуются лишь алгебраические операции (см. том I, теор. 33,
стр. 210), ясно, что инфинитезимальные преобразования каждой
r-параметрической транзитивной группы структуры Ciks можно будет указать, как
только нам удастся решить сформулированную выше задачу для каждой
подгруппы Cif... Cmf группы (34).
Решить эту задачу совсем несложно.
Так как известные нам инфинитезимальные преобразования (40) и (34)
порождают две взаимные просто транзитивные группы, то, согласно теоре-

ме 51, стр. 634, можно найти канонический вид конечных уравнений
каждой из этих групп, причем для этого, кроме алгебраических операций и
исключения переменных, требуется лишь некоторое число независимых друг
от друга квадратур, равное количеству независимых центральных
инфинитезимальных преобразований, содержащихся в группе (40). Таким образом,
мы можем считать, что нам известны канонические конечные уравнения
групп (40) и (34).
Но тогда, согласно сказанному на стр. 624-625, мы в состоянии
установить канонический вид конечных уравнений для подгруппы C\f... Cmf
группы (34). Инварианты и\... иг-т этой подгруппы находятся известным
образом, посредством исключения переменных. После того, как эти
инварианты найдены, для нахождения инфинитезимальных преобразований
группы (52) также достаточно лишь операции исключения переменных.
Мы можем также указать конечные преобразования группы (52).
Действительно, если
е'к = iifc(ei...er; Ai...Ar) (k=i...r) (53)
— конечные уравнения группы (40), которые, согласно сказанному выше,
можно считать известными, то при подстановке значений (53) в г — т
выражений
ui(e[... efr) ... иг-т(е[... е'г)
эти выражения должны принимать вид
и„{е') = Q„{ui(e).. . ur_m(e); Ai.. .Ar) (i/=i.. .r-m),
то есть выражаться в виде функций, зависящих только от и\(е)... иг-т(е)
и Ai... Аг. Если эти выражения найдены, для чего снова требуется лишь
операция исключения переменных, то очевидно, что уравнения
и„(е') = f2t/(ui(e)...ur-m(e); Ai...Ar) (i/=i.. .г-m) (54)
будут конечными уравнениями группы (52), причем каноническими.
Теперь, с учетом результатов главы 22 первого тома, мы можем
сформулировать следующую теорему.
Теорема 53. Если известно г3 констант Ciks> удовлетворяющих урав-

нениям
I Ciks "г С/-25 — U
I г
\ / jiCikrCrjs "г CkjrCris "T CjirCrksf = " (1)
r=l
I (i,/cj,s=l. . . r),
mo ес/иь ес/ш задана некоторая структура г-параметрической группы, то
инфинитезимальные преобразования и конечные уравнения всех т-парамет-
рических транзитивных групп, имеющих структуру с^, можно найти с
помощью так-называемых выполнимых операций. Необходимые для этого
выполнимые операции включают в себя, во-первых, алгебраические
операции, во-вторых, исключение переменных, и, в-третьих, независимые друг
от друга квадратуры, количество которых равно числу независимых
центральных инфинитезимальных преобразований, содержащихся в г-пара-
метрической группе структуры с^. Более того, это всегда можно
сделать так, чтобы для каждого типа г-параметрических групп
структуры Ciks был найден ровно один представитель и чтобы конечные уравнения
каждого такого представителя имели канонический вид.
В главе 29 мы увидим, что без упомянутых в теореме 53
квадратур можно обойтись, если ограничиться нахождением инфинитезимальных
преобразований искомых групп.

Глава 28
Общие рассуждения о структуре
r-параметрических групп
Отправной точкой для общих исследований Ли в области конечных
непрерывных групп послужила задача интегрирования линейного
однородного дифференциального уравнения первого порядка в частных
производных, допускающего заданные инфинитезимальные преобразования. Ли
свел эту задачу к частному случаю, когда заданные инфинитезимальные
преобразования удовлетворяют соотношениям вида
г
(Х{Хк) =^CiksXsf (t,*=l. • -г).
s=l
Так возникло понятие конечной непрерывной группы. Далее, в частности,
нужно было выяснить, как знание инфинитезимальных преобразований,
допускающих данное линейное дифференциальное уравнение в частных
производных и при этом порождающих группу, может быть использовано для
интегрирования этого дифференциального уравнения. Выяснилось, что
задача эта является чисто алгебраической, то есть что трудность необходимых
интегрирований можно определить с помощью алгебраических операций.
То что, соответствующие алгебраические операции зависят только от
постоянных Ciks из соотношений (ХгХк) — Y2ciksXsf, позволило ввести
понятие структуры конечной непрерывной группы.
Действительно, каждая задача интегрирования, при которой возникает
конечная непрерывная группа, сводится к интегрированию ряда
вспомогательных уравнений, порядок которых зависит только от структуры
соответствующей группы. Это побудило Ли изучать конечные непрерывные
группы исходя не из их вида, а из их структуры, то есть принять ту точку
зрения, при которой группы с одинаковой структурой отличаются
несущественно. С другой стороны, Ли также занимался задачей описаний всех

групп заданной структуры и в 1876 году решил ее для групп контактных
преобразований*.
Понятие структуры и связанное с ним понятие присоединенной
группы играли важную роль и в самых первых исследованиях Ли о группах
преобразований плоскости и пространства. В 1874 году, когда Ли впервые
описал все конечные группы точечных и контактных преобразований
плоскости, он добился этого, используя ряд утверждений о групповой структуре
и присоединенной группе и переходя шаг за шагом от дву-, трех- и четы-
рехпараметрических групп к группам с все большим и большим числом
параметров. Однако, поскольку работа с присоединенной группой, требуя
постоянных переходов от одного пространства к другому, делает изложение
очень громоздким, Ли в своих работах постепенно все более и более
оттеснял этот метод на задний план, что стало возможным, главным образом,
благодаря вычислениям с разложениями инфинитезимальных
преобразований в ряд. Так, описание всех конечных непрерывных групп из тома III
норвежского архива еще содержит более или менее отчетливые следы
того старого метода, в то время как в Math. Ann., том 16, эти следы уже не
прослеживаются. Тем не менее, Ли часто прибегал к тому старому методу
и позже, однако старался не упоминать его в своих публикациях.
Хотя нашей целью не является обсуждение самого этого метода, в
настоящей главе мы остановимся на некоторых из утверждений о
структуре групп, многократно использованных Ли в самых ранних его теоретико-
групповых исследованиях. Кроме того, мы установим их связь [???] с
некоторыми фундаментальными утверждениями о структуре групп,
относящимися к 1882 году.
За единственным исключением, о котором мы поговорим позже,
настоящая глава содержит лишь такие утверждения о структуре групп, которые
были получены Ли в 1883 году или ранее. Более поздние исследования
о структуре групп, принадлежащие другим математикам, здесь
рассматриваться не будут. Их мы обсудим в главе 29.
Что касается организации материала в этой главе, отметим следующее.
В § 130 и 131 мы вкратце напомним основные определения и факты тео-
* Норвежский архив, том I, вторая работа по группам преобразований. Отсюда видно, что
Ли уже тогда интересовался следующими двумя задачами: описать все структуры г-парамет-
рических групп и все r-параметрические группы заданной структуры. Позже Кэли
сформулировал соответствующие задачи для теории подстановок, однако, по нашему мнению,
правильнее сказать, что эти задачи теории подстановок принадлежат Галуа и К. Жордану.

рии присоединенной группы и остановимся на исследованиях из первого
тома, посвященных группам, которые мы сейчас будем называть
интегрируемыми группами. В § 132 мы опишем структуры всех г-параметрических
простых групп, наибольшие подгруппы которых имеют г — 1, либо г — 2,
либо г — 3 параметра. В § 130 и 131 мы докажем некоторые общие
утверждения о подгруппах произвольных групп. В § 135 мы покажем, что всякой
группе соответствует ряд структур простых групп, после чего мы докажем
одно общее утверждение, имеющее очень важное значение для теории
интегрирования. К сожалению, мы не имеем возможности обсудить эти
взаимосвязи между теорией групп и теорией интегрирования более подробно.
За этими общими исследованиями мы приводим исследования более
специального характера. В § 136 и 137 мы опишем структуры всех дву-,
трех- и четырехпараметрических групп, а в § 138 — структуры всех неин-
тегрируемых пяти- и шестипараметрических групп.
После нескольких замечаний различного содержания из § 139, в § 140
мы коротко обсудим связь высших [???] комплексных чисел с теорией
групп.
§130
Понятие присоединенной группы для r-параметрической группы было
определено и подробно исследовано в главе 16 первого тома. Сейчас мы
вернемся к нему еще раз, несколько усовершенствовав рассуждения из той
главы.
Пусть
х • = fi(xi ... хп\ аг. .. аг) (г=1... п) (1)
— произвольный вид конечных уравнений некоторой г-параметрической
группы, состоящей из попарно обратных преобразований и порождаемой
г независимыми инфинитезимальными преобразованиями X\f.. .Xrf.
Как и ранее, общее конечное преобразование этой группы мы будем
обозначать символом 5(а).
Подействуем на общее преобразование 5(а) каким-либо другим
преобразованием 5(а) из нашей группы. Получающееся в результате
преобразование имеет вид STlS^S^ и, в соответствии со сделанными нами
предположениях, снова принадлежит группе (1). Следовательно, оно может
быть записано в виде £(а'), где параметры а[... о!т являются функциями от

а и а:
afk = u)k{ai...ar; ai...ar) (k=i...r). (2)
Если теперь на преобразование 5(a/j подействовать преобразованием S(bj,
то мы получим преобразование SrAS^^S^, которое можно привести к
виду 5(a//j, где параметры а", очевидно, определяются уравнениями
4' = шк{а[ ... a'r; bi... br) (fc=i...r). (3)
Но
S(a>>) = s{b)S(cif)s(b) = S(~b}S~*S(a)S(a)S(b)
= (s(a)S(b))~ (5(a)5(fl)5(b)),
а с другой стороны, имеет место равенство вида S^a)S^) = 5(ф где с/.
выражаются через а и /3 известным образом:
Cfe = ^fc(ai...ar; bi...br) (k=i...r). (4)
Следовательно,
5(a") =S(c)S(a')S(c)i
и мы видим, что параметры ак и aj£ связаны уравнениями
ak=vk{ai...ar\ ci... cr) (fc=i...r). (5)
Таким образом, уравнения (5) являются следствием уравнений (2), (3)
и (4).
Из сказанного следует, что уравнения (2) с параметрами а\... аг
определяют группу от г переменных а\... ar. Очевидно, что эта группа
изоморфна группе (1). Она показывает, как оог преобразований группы (1)
переставляются между собой под действием общего преобразования этой
группы.
Поскольку уравнения (1) группы X\f... Xrf могут принимать
бесконечно много различных видов (ср. стр. 607), ясно, что группе X\f... Xrf
соответствует бесконечно много различных групп (2). Однако все
группы (2), которые можно построить для группы X\f.. .Xrf, подобны друг
другу, так как любой вид конечных уравнений группы X\j... Xrf
получается из вида (1) посредством замены параметров а, а группа (2) переходит

при этом в подобную ей группу. Среди групп (2), соответствующих г-па-
раметрической группе X\f... Xrf, выделяется группа, которая получается
из канонических конечных уравнений группы X\f.. .Xrf. Пусть эти
канонические уравнения имеют вид
х[ = fi(xi ...xn; ei... er) (t=i... п) (1')
Если переход от параметров а\... аг к каноническим параметрам е\... ег
осуществляется посредством уравнений
ак =Я/г(е1...ег) (fc=i...r),
то есть если
fi(xi...xn\ Hi(e)...ilr(e)) =fi(xi...a:n; ei...er)
(ср. стр. 610-611), то группа (2), соответствующая виду (1') конечных
уравнений группы X\f... Xrf, задается уравнениями
йк(е\ ...е'г)= шк(Иг{е).. .^(е); йг{г)... Дг(е)) (Л=1.. .г), (2')
где е обозначают параметры.
Группа (2') есть не что иное, как присоединенная группа группы
Xif... Xrf, причем присоединенная группа в каноническом виде.
Действительно, на стр. 270-272 первого тома присоединенная группа
группы X\f ... Xrf была получена посредством того, что мы в общем ин-
финитезимальном преобразовании ^ekXkf ввели с помощью (1) новые
переменные х\ ... х(п. Из полученного таким образом уравнения
J2ekXkf = J2e'kX'kf (6)
к=1 к=1
следовало, что е\... ек и е[ ... е'к связаны соотношениями вида
г
е'к = 5Zpfci(^i...ar)e:7- (fc=i...r), (7)
которые и определяют присоединенную группу. Поскольку выражение
J2ekXkf можно понимать как символ конечного преобразования (1') (см.

том I, стр. 255), ясно, что присоединенная группа (7) показывает, как
семейство оог преобразований (Г) преобразуется под действием
преобразования (1). Отсюда, очевидно, следует, что уравнения
г
j=l
определяют группу (2), соответствующую виду (1') конечных уравнений
группы Xif... Xrf, то есть что уравнения (2') могут принимать вид (7').
Наконец, с самого начала ясно, что уравнения (7') суть канонический вид
конечных уравнений присоединенной группы. Итак, сформулированное
выше утверждение полностью доказано.
Мы заключаем, что каждому виду (1) конечных уравнений
г-параметрической группы соответствует вполне определенная изоморфная
группа (2); все такие группы (2) подобны друг другу и среди них содержится
присоединенная группа группы X\f... Xrf.
Это определение присоединенной группы имеет перед определением
из тома I то преимущество, что в нем присоединенная группа возникает
не как нечто единственное в своем роде, а как особый элемент в ряду
подобных друг другу групп. Очевидно, что присоединенная группа занимает
среди этих групп то же место, что пара канонических групп параметров
среди всех групп параметров, соответствующих некоторой г-параметриче-
ской группе (ср. стр. 656-657 и том I, стр. 21).
Сейчас, чтобы облегчить понимание последующих параграфов
настоящей главы, мы еще раз вкратце изложим наиболее важное из рассуждений,
проведенных в главе 16 первого тома в связи с присоединенной группой.
Если структура г-параметрической группы Xif.. ,Xrf задана
соотношениями
г
(XiXk) = ^Cik8X8f (t,fc=i.. .г), (8)
5 = 1
то присоединенная группа порождается инфинитезимальными
преобразованиями
Ekf = ^2 cjksej-g— (t,fc=i...r),
J?\s=l S
которые, со своей стороны, связаны соотношениями
г
{EiEk) = J2 ciksEsf (i,fc=i ■ • • г). (9)

Если группа X\f... Xrf содержит ровно / независимых центральных ин-
финитезимальных преобразований, то среди инфинитезимальных
преобразований Ekf существует ровно т—1 независимых, и присоединенная группа
является (г — /-параметрической.
То, что инфинитезимальные преобразования Ekf связаны
соотношениями (9), следует, как уже отмечалось на стр. 295 первого тома, из того,
что Ciks удовлетворяют уравнениям
I Ciks ~г С/сгз = U
I г
{ ^2{CikrCTjs + CkjrCris + CjiTCTks} = 0 (10)
т=1
^ (iykj,s=l. . .г),
С другой стороны, теперь мы знаем, что если г3 постоянных c^s
удовлетворяют уравнениям (10), то всегда найдется r-параметрическая группа,
обладающая структурой Cikg. Таким образом, мы можем вообще забыть о
группе X\f... Xrf и считать, что нам задано только г3 постоянных с*/^,
удовлетворяющих уравнениям (10); тогда мы видим, что группа E\f... Erf
является присоединенной группой для любой группы структуры Ciks, и
поэтому ее естественно называть присоединенной группой, соответствующей
структуре сц-5.
Эта точка зрения удобна тогда, когда нужно провести исследование
группы исходя только из ее структуры, то есть, например, описать ее
подгруппы или решить подобную задачу. Дело в том, что если такое
исследование проделано для одной группы, то оно без изменений переносится
на случай любой другой группы, имеющей ту же структуру. Поэтому при
решении таких задач естественно работать не с конкретными группами,
а, воспользовавшись понятием структуры группы [???], с совокупностью
всех групп одинаковой структуры. Для простоты изложения, однако, и в
этом случае удобно говорить об r-параметрической группе X\f.. ,Xrf,
инфинитезимальные преобразования которой связаны соотношениями (8),
только теперь под X\f.. .Xrf понимается не какая-либо фиксированная
группа в фиксированном пространстве, а просто r-параметрическая
группа со структурой Ciks, которая обладает свойствами [???], не зависящими
от ее аналитического представления в виде группы преобразований
некоторого пространства; другими словами, под группой X\f... Xrf здесь
нужно понимать г-параметрическую группу операций [???], структура которой
определяется заданным набором c^s.

Хотя присоединенная группа, соответствующая некоторой структуре
r-параметрических групп, не обязана быть r-параметрической, изучение
этой группы дает полное представление о всех существенных свойствах
этой структуры. Это следует из того [???], что инфинитезимальные
преобразования r-параметрической группы структуры с^8 можно рассматривать
как элементы, которые под действием присоединенной группой
переставляются между собой. Остановимся на этой интерпретации поподробнее,
поскольку в томе I она была упомянута лишь мимоходом [???] (см. том I,
стр. 297).
Величины е\... ег в записи общего инфинитезимального
преобразования
eiXi/+ ... +erXrf
r-параметрической группы X\f.. .Xrf структуры Ciks мы будем
понимать как однородные точечные координаты (г — 1)-мерного
плоского пространства Rr-\. Тогда каждое инфинитезимальное преобразование
J2 ^kXkf нашей группы изображается в этом пространстве вполне
определенной точкой, и обратно, каждая точка пространства Rr-\
соответствует вполне определенному инфинитезимальному преобразованию группы
X\f... Xrf, причем двум различным точкам пространства Rr-\
соответствуют два независимых инфинитезимальных преобразования этой группы.
Из только что описанного соответствия мы получаем соответствие
между точками пространства Rr-\ и инфинитезимальными
преобразованиями присоединенной группы E\f.. .Erf, ассоциированной со
структурой Ciks- Дело в том, что каждая точка Ai : ... : Аг
пространства Rr-i соответствует одновременно и инфинитезимальному
преобразованию ^ \kXkf r-параметрической группы X\f . .. Xrf, и
инфинитезимальному преобразованию J^^kEkf присоединенной группы, однако две
различные точки пространства Rr-\ не обязаны отвечать двум
независимым инфинитезимальным преобразованиям присоединенной группы.
Легко увидеть, что инфинитезимальным преобразованиям каждой
m-параметрической подгруппы группы X\f... Xrf соответствует (т — 1)-
мерное плоское многообразие Em_i пространства Rr-i, и следовательно
Em_i можно считать образом соответствующей m-параметрической
подгруппы. Очевидно, что Em-i соответствует и некоторой подгруппе
присоединенной группы, только эта подгруппа уже не обязана быть
m-параметрической.
Под действием конечных преобразований присоединенной группы

E\f... Erf точки пространства RT-\ преобразуются точно так же, как
oor_1 инфинитезимальных преобразований J^^kX^f преобразуются под
действием конечных преобразований группы X\f.. .Xrf. Отсюда
можно сделать следующие важные выводы, доказывать которые, пожалуй, нет
нужды:
Плоское (т — 1)-мерное многообразие Em-i пространства Rr-\
соответствует некоторой m-параметрической подгруппе группы X\f... Xrf
тогда и только тогда, когда оно инвариантно относительно всех
инфинитезимальных преобразований присоединенной группы, образами которых
являются его точки. Отсюда, в частности, следует, что каждая точка
пространства RT-\ инвариантна относительно инфинитезимальных
преобразований присоединенной группы, образом которых она является. Этот
результат можно легко доказать аналитически. Действительно, в силу
соотношения Ckjs + Cjks = О выражение
Т Г ( Г I or
J2ckEkf = J2 { J2 cJksejek \ —
k=l s=l [/c,j=l J s
тождественно равняется нулю*, и следовательно, точка Ai : ... : Аг
действительно остается на месте под действием инфинитезимального
преобразования J2 ^kXkf.
Если (га — 1)-мерное плоское многообразие Еш_х соответствует
некоторой m-параметрической подгруппе дш r-параметрической группы
Xif.. .Xrf9 то (m — 1)-мерные плоские многообразия, в которые Ет_!
переходит под действием конечных преобразований из присоединенной
группы, находятся во взаимно-однозначном соответствии со всеми га-па-
раметрическими подгруппами, сопряженными в X\f... Xrf группе gm. С
учетом сказанного ранее отсюда следует, что (га — 1)-мерное плоское
многообразие пространства Rr-\ соответствует некоторой m-параметрической
инвариантной подгруппе группы Xif.. .Xrf тогда и только тогда, когда
оно инвариантно относительно присоединенной группы.
Поскольку каждому инфинитезимальному преобразованию ^2 ekX^f
соответствует некоторая точка пространства Дг-ь то для краткости удобно
говорить о точке ^ ekXkf. По мере надобности мы будем понимать
выражение J^ ekXkf либо как символ инфинитезимального преобразования,
* Отсюда, кстати, следует, что присоединенная группа E\f ... Erf, понимаемая как группа
r-мерного пространства е\ ... ег, всегда интранзитивна.

либо как символ точки в\ : ... : ег. Если на точку ^ ekXkf
подействовать инфинитезимальным преобразованием ^2 ^k^kf из присоединенной
группы, то она перейдет в бесконечно близкую ей точку
г г
У^ ekXkf + St ^2 ckjSek><jXsf
k=l k,j,s=l
или, другими словами, в точку
г (г т \
£ ekXkf + 6t\j2 ekXkf, £ А,*,-/
(ср. том I, стр. 288). Воспользуемся этим замечанием для доказательства
одного интересного факта.
Пусть
г
fc=l
— m-параметрическая подгруппа группы X\f.. .Xrf, которую мы для
краткости будем обозначать через дш, и пусть Ет_! — многообразие,
соответствующее дш. Тогда для того, чтобы подгруппа дш содержалась в
некоторой (га + 1)-параметрической подгруппе группы X\f... Xrf,
необходимо, чтобы через Еш_х проходило m-мерное плоское многообразие Еш,
инвариантное относительно подгруппы присоединенной группы,
соответствующей многообразию Em_i. Это необходимое условие является
одновременно и достаточным.
Действительно, пусть Ет — многообразие указанного выше свойства,
и пусть J2^kXkf = Zf — точка многообразия Еш, не лежащая на Em_i.
Тогда точка
Zf + StiZY»),
в которую точка Zf переходит под действием инфинитезимального
преобразования ^h^jEjf из присоединенной группы, также принадлежит Еш,
так что имеют место соотношения вида
га
{ZYy) = a^Zf + ^2 bpvYvf Ou=i.. .тп),
где а и b — константы. Отсюда мы заключаем, что Yif...Ymf, Zf
порождают (га + 1)-параметрическую подгруппу группы X\f... Xrf. Таким
образом, верно следующее утверждение.

Предложение 1. Если дт — т-параметрическая подгруппа
г-параметрической группы Xif.. .Xrf и если Em_i — (га — \)-мерное плоское
многообразие, соответствующее подгруппе дт в (г — \)-мерном
пространстве инфинитезимальных преобразований J2 ekXkf, то дт содерэ/сится в
некоторой (т + 1)-параметрической подгруппе группы X\f... Xrf тогда
и только тогда, когда соответствующая многообразию Em_i подгруппа
присоединенной группы E\f.. .Erf оставляет инвариантным некоторое
т-мерное плоское многообразие, проходящее через Em_i.
Как мы видели выше, каждое плоское многообразие в Rr-i,
инвариантное относительно присоединенной группы, соответствует некоторой
инвариантной подгруппе группы X\f... Xrf. Абстрактный смысл имеют и
неплоские [???] многообразия, инвариантные относительно
присоединенной группы: каждому минимальному инвариантному относительно
присоединенной группы многообразию соответствует некоторый тип однопа-
раметрических подгрупп или, что равносильно, тип инфинитезимальных
преобразований группы X\f... Xrf (ср. том I, стр. 282 и далее). Под
минимальным инвариантным многообразием мы понимаем здесь (ср. том I,
стр. 224-225) такое инвариантное многообразие, которое для каждой
своей точки общего положения является наименьшим инвариантным
многообразием, ее содержащим. Следовательно, минимальное инвариантное
многообразие можно также определить как инвариантное многообразие, точки
которого под действием присоединенной группы преобразуются транзитив-
но.
Особенно важными являются изолированные минимальные
многообразия, инвариантные относительно присоединенной группы, то есть такие,
которые не принадлежат никакому непрерывному семейству инвариантных
многообразий.
Если М — минимальное инвариантное относительно присоединенной
группы многообразие, то М вполне может содержать инвариантные
многообразия меньшей размерности; это означает, что соответствующий ему
тип однопараметрических групп может вырождаться [???]. Таким образом,
наиболее простыми типами однопараметрических групп являются те,
которые соответствуют минимальным инвариантным многообразиям, не
содержащим инвариантных многообразий меньшей размерности. Очевидно, что
среди этих типов наиболее важными снова являются те, которые
соответствуют изолированным многообразиям.

Отсюда видно, что из всех многообразий, инвариантных
относительно присоединенной группы, в первую очередь внимания заслуживают те,
которые являются изолированными и не содержат инвариантных
многообразий меньшей размерности. В самом деле, уже в нескольких случаях
рассмотрение таких многообразий было для нас чрезвычайно полезно. В этой
связи прежде всего следует вспомнить описание максимальных
проективных групп плоскости, где очень важную роль играет многообразие всех
инфинитезимальных проективных преобразований, сопряженных инфини-
тезимальной трансляции (см. стр. 89 и далее). Рассуждения из главы 26
первого тома также основываются на рассмотрении этого многообразия*.
Задача нахождения всех многообразий пространства Rr-i,
инвариантных относительно присоединенной группы, сводится к тому, чтобы
отыскать все системы уравнений относительно переменных е\... ег, которые
инвариантны относительно группы E\f.. .Erf, Ef, где под Ef
понимается инфинитезимальное преобразование
к=1
Решение этой задачи также требует лишь выполнимых операций: нужно
только решить одно алгебраическое уравнение и несколько раз исключить
переменные (см. том I, стр. 282 и далее). Разумеется, было бы неплохо
располагать методами, которые бы упрощали решение этой задачи в каждом
отдельном случае. Однако здесь мы не имеем возможности
останавливаться на этом подробно и удовольствуемся лишь одним красивым результатом,
которым, правда, в последующем мы пользоваться не будем. Отметим все-
же [???], что можно доказать ряд аналогичных утверждений.
Мы рассматриваем случай, когда присоединенная группа
преобразует пространство Rr-i транзитивным образом. Очевидно, что это
происходит тогда и только тогда, когда группа E\f... Erf, Ef от г переменных
е\... ег является транзитивной, то есть когда в матрице
ец ... 1\г
^7*1 ... ъ'рт
е\ ... ет
(и)
*В своих работах, опубликованных в 1884 году, Ли неоднократно пользовался
многообразиями, инвариантными относительно присоединенной группы, и уделял им много внимания.

где через е&5 обозначено выражение
tks = ^2cjksej (k,s=i...r), (12)
j=i
не все миноры порядка г равны нулю.
Миноры порядка г матрицы (11) легко записать в простом виде.
Действительно, положив
А = ^±ец---егг,
мы, кроме самого минора А, получаем г миноров
V- 9 А
4b = V es7r— (*=i...r). (13)
Поскольку, согласно сказанному на стр. 673, выражение Ylek^kf
тождественно равно нулю, а следовательно, то же самое верно для Д то
Л\... Аг, при сделанных предположениях, не могут одновременно
равняться нулю. Таким образом, система уравнений
4i=0, ..., Д.=0 (14)
инвариантна относительно группы E\f... Erf, Ef или, что равносильно,
задает многообразие пространства Дг_ь инвариантное относительно
присоединенной группы.
Линейная комбинация миноров (13) с коэффициентами е^ дает
к=\ 5=1 к=1
= е^Л = 0.
С другой стороны,
г
/] *к^к = 0,
к=1
и поскольку при сделанных предположениях хотя бы один из миноров
порядка г — 1 определителя А обязан быть неравным нулю, мы получаем,
что
Ai : А2 : ... : Ат — в\ : е2 : ... : ег.

Таким образом, каждый минор Ак делится на е^, и мы имеем
Дк = ek-g(ei...er) (fc=i...r),
где д — независимая от к целая функция степени г — 1 от переменных
ei. ..ег.
Поскольку случай, когда все е равны нулю, не имеет
геометрического смысла, то инвариантная система (14) сводится к единственному
уравнению д = 0, и следовательно, это уравнение задает инвариантное
относительно присоединенной группы многообразие пространства i?r_i. Мы
можем добавить, что любое другое многообразие в i?r_i, инвариантное
относительно присоединенной группы, обязано полностью лежать в
многообразии д = 0.
Так как уравнение д = 0 инвариантно относительно группы
E\f... Erf, Ef и так как инфинитезимальные преобразования Ekf
являются линейными и однородными, то должно выполняться г тождеств вида
Екд = ск-д (*=i...r),
где ск — константы. Отсюда следует, что
г г
^2 екЕкд = 0 = #^ екск,
k=i k=i
что возможно лишь тогда, когда все ск равны нулю. Итак, мы видим, что
д является инвариантом присоединенной группы Eif... Erf. Поскольку
г уравнений Ekf = 0 в нашем случае обладают только одним общим
решением, очевидно, что любой другой инвариант присоединенной группы
является функцией, зависящей только от д. Таким образом, верно
следующее утверждение:
Предложение 2. * Пусть
^ г v^ 9f ^ df
j,s=l s=l
— присоединенная группа некоторой г-параметрической группы
структуры Ciks, и пусть
5=1 °6S
*Этот принадлежащий Ли результат был получен зимой 1892 года. Доказательство
инвариантности функции g было впоследствии упрощено Энгелем.

Кроме того, обозначим через Л определитель
который всегда тождественно равен нулю. Остальные г миноров
порядка г матрицы
en
ei
(И)
имеют тогда вид
дл
(fe=l...r).
£с/ш хотя бь/ <%)t/« ш элм г миноров не равен тождественно нулю, то
Ai Д2 Лг
— = — = ... = — = g(ei... ег),
ei б2 ег
где <?(ei.. . ег) — i/едяя функция степени г — 1 от переменных е. 5 это/И
случае уравнение g = 0 является единственным уравнением, инвариантным
относительно группы E\f... i?r/, £"/. Более того, функция g является
инвариантом присоединенной группы E\f... £V/, а любой другой инвариант
этой группы выражается через д.
§131
Пусть X\f .. . Xrf — r-параметрическая группа, которую мы для
краткости будем обозначать через Gr. Тогда коммутаторы (XiXk) порождают
в Gr инвариантную подгруппу (см. том I, стр. 261, предл. 6). Мы будем
называть эту инвариантную подгруппу производной группой группы Gr или,
короче, ее производной. Термин производная группа мы, кстати, уже
использовали на стр. 597 первого тома.
Производная группа группы Gr также имеет производную группу,
которую мы будем называть второй производной группой группы Gr. В
противоположность этому [???], производную группы Gr мы будем также
называть ее первой производной. Теперь совершенно ясно, как определить
т-тую [???] производную группу.
Используя эту терминологию, предложение 7 со стр. 262 первого тома
можно переформулировать следующим образом:

Предложение 3. Производная группа инвариантной подгруппы
некоторой г-параметрической группы также инвариантна в этой г-парамет-
рической группе.
Таким образом, ясно, что все производные группы группы Gr
инвариантны в Gr.
Если первая производная r-параметрической группы Gr совпадает
с Gr, то есть если Gr является своей собственной производной, то и все
последующие производные группы Gr равны Gr. Такие группы можно было
бы называть совершенными, воспользовавшись термином из теории
Кантора о точечных множествах. Однако мы считаем, что лучше подождать, не
найдется ли какой-нибудь более характерный термин.
Если r-параметрическая группа Gr не равна своей производной,
рассмотрим последовательность, состоящую из ее первой, второй и т.д.
производных групп. Поскольку ?7г-тая производная не может быть больше, чем
(т — 1)-ая, то должно существовать такое число q, что (q + 1)-ая
производная совпадает с g-той или, другими словами, что g-тая производная
является своей собственной производной. Пусть q — минимальное такое
число. Здесь возможны два случая: либо g-тая производная состоит просто
из тождественного преобразования, и следовательно, инфинитезимальные
преобразования (q — 1)-ой производной попарно перестановочны; либо q-
тая производная имеет ненулевое число параметров.
Из соображений, которые мы обсудим позже, всякую
г-параметрическую группу, некоторая производная которой состоит только из
тождественного преобразования, мы будем называть интегрируемой; всякую
же г-параметрическую группу, никакая производная которой не состоит
лишь из тоэ/сдественного преобразования, мы будем называть неинтегри-
руемой *. Имеют место следующие утверждения:
Предложение 4. Всякая подгруппа интегрируемой группы таю/се
интегрируема.
Предложение 5. Если (г — га)-параметрическая группа мериедрически
изоморфна некоторой г-параметрической интегрируемой группе, то она
сама также интегрируема.
Первое из этих предложений доказательства не требует, доказательство
*Понятие интегрируемой группы было введено Ли в Verb. d. Ges. d. W. zu Christiania
за 1884 год. Понятие производной группы он использовал впервые в восьмом томе своего
норвежского архива, Кристиания, 1883г.

же второго очевидно. Действительно, пусть X\f... Xrf — r-параметриче-
ская интегрируемая группа, и пусть
г
(XiXk) = ^2 CiksXsf (t,*=l . . . г)
s=l
— уравнения, определяющие ее структуру. Тогда в мериедрически
изоморфной ей (г — га)-параметрической группе можно выбрать г инфинитезималь-
ных преобразований Y\f... 1^/, среди которых содержится ровно г — т
независимых и которые удовлетворяют соотношениям
г
(YiYk) = ^ciksYsf (t,*=i...r).
s=\
Так как некоторая, скажем <?-тая производная группы X\f... Хг/ состоит
только из тождественного преобразования, то очевидно, что и g-тая
производная группы Yif.. ,Yrf должна состоять только из тождественного
преобразования.
Хотя термин интегрируемая группа для нас и нов, обозначаемое им
понятие нам уже встречалось. В самом деле, класс интегрируемых групп
совпадает с классом групп, рассмотренный нами на стр. 265-270
первого тома. Используя нашу теперешнюю терминологию, приведенное там на
стр. 270 предложение 12 можно сформулировать более кратко:
Предложение 6. г-параметрическая группа X\f.. .Xrf
интегрируема тогда и только тогда, когда в ней можно выбрать такие г
независимых ынфинитезимальных преобразований Y\f ... Yrf, что имеют место
соотношения вида
i+k-\
(*£*£+*) = ^2 Ci%k+k%SYaf (г=1...г-1;&=1...г,), (15)
5=1
то есть такие, что для любого г инфинитезимальные преобразования
Y\f.. .Yif порождают {-параметрическую подгруппу, инвариантную в
(г + 1)-параметрической подгруппе Y\f... Уг+i/-
В главе 27 первого тома мы установили еще несколько фактов
относительно групп структуры (15), которым теперь можно придать намного
более удобную формулировку. Мы имеем в виду предложение 4 со стр. 589
и теоремы 107 и 108 со стр. 595 и 597. Итак, в новой формулировке эти
утверждения имеют следующий вид:

Предложение 7. Всякая интегрируемая проективная группа п-мерного
пространства оставляет на месте, по меньшей мере, одну точку, одну
проходящую через нее прямую, одно проходящее через эту прямую
двумерное плоское многообразие, ... и, наконец, некоторое (п — 1)-мерное плоское
многообразие, проходящее через все эти многообразия.
Предложение 8. Всякая (г — га)-параметрическая интегрируемая
подгруппа г-параметрической группы содержится, по меньшей мере, в одной
(г — т + 1)-параметрической подгруппе этой г-параметрической группы.
Предложение 9. г-параметрическая группа X\f. . .XTf
интегрируема тогда и только тогда, когда в ней можно выбрать такие г
независимых инфинитезимальных преобразований Y\f... Yrf, что имеют место
соотношения вида
г
(YiYi+k) = ^Ci^+bsYsf (г=1. . -r-l; fc=l. . .г,), (16)
s=l
то есть такие, что для любого г инфинитезимальные преобразования
Y\f...Yif пороэ/сдают г-параметрическую подгруппу, инвариантную в
Yif.-.Yrf.
Мы, разумеется, не собираемся еще раз доказывать все эти
утверждения. Посвятим лишь несколько слов доказательству второго из них, чтобы
продемонстрировать использование присоединенной группы.
Пусть Xif... Xr_mf — (г — т)-параметрическая интегрируемая
подгруппа группы Gr, порождаемой инфинитезимальными
преобразованиями X\f.. .XTf, и пусть Er_m_i — (г — т — 1)-мерное плоское
многообразие, изображающее группу X\f.. .Xr-mf в пространстве Rr-i всех
oor_1 инфинитезимальных преобразований вида ^e^X^f. Тогда
подгруппа E\f.. .Er-mf присоединенной группы группы Gr оставляет
многообразие Er_m_i на месте (ср. стр. 673), а связку проходящих через него
oom_1 (r — т)-мерных плоских многообразий пространства Rr-i
преобразует посредством изоморфной ей проективной группы д. Но группа
Xif.. .Xr-mf интегрируема, а значит, согласно предложению 5,
интегрируема и изоморфная ей группа E\f.. .Er-mf. Тогда группа д также
интегрируема и, согласно предложению 7, оставляет на месте, по
меньшей мере, одно (г — т)-мерное плоское многообразие, проходящее через
Er_m_i. Но отсюда, согласно предложению 1, стр. 674, следует, что группа

Xif ... Xr-mf действительно содержится в (г — т + 1)-параметрической
подгруппе группы Gr, и предложение 8 полностью доказано.
Отметим, что теорема 106 со стр. 593 первого тома является частным
случаем предложения 8, поскольку все однопараметрические, а также все
двупараметрические группы, очевидно, являются интегрируемыми.
В заключение, мы приведем еще одно утверждение, которое не было
сформулировано в томе I несмотря на то, что оно следует непосредственно
из результатов главы 27 первого тома.
Предложение 10. Всякая инвариантная (г—т)-параметрическая
подгруппа г-параметрической интегрируемой группы содержится, по
меньшей мере, в одной (г — т + \)-параметрической инвариантной подгруппе
этой г-параметрической группы.
Доказать этот факт очень легко. Действительно, если Er_m_i имеет тот
же смысл, что и выше, то многообразие Er_m_i инвариантно
относительно присоединенной группы E\f... Erf нашей r-параметрической группы
(см. стр. 673), а оо™-1 проходящих через Er_m_i плоских (г — т)-мерных
многообразий преобразуются под действием этой присоединенной группы
посредством изоморфной ей проективной группы, которая, очевидно,
является интегрируемой и поэтому оставляет на месте, по крайней мере, одно из
них. Но каждое такое инвариантное многообразие соответствует некоторой
(г — га + 1)-параметрической инвариантной подгруппе нашей г-параметри-
ческой группы.
§132
В ходе наших исследований нам несколько раз встречались группы,
которые оказывались простыми (см. том I, стр. 569, теор. 97; том II, стр. 521—
522; том III, стр. 357, теор. 29). В следующей теореме мы соберем вместе
различные классы простых групп, к которым мы пришли таким образом*.
Теорема 54. Встречавшиеся нам до сих пор простые группы
распадаются на четыре класса. Каждый их этих четырех классов
охватывает бесконечно много различных структур простых групп, причем
многообразие различных структур, содержащихся в таком классе, имеет ту же
мощность, что и многообразие положительных целых чисел.
*Ли уже давно указывал на наличие этих четырех классов простых групп (см. Math. Ann.,
том 25, стр. 130 (1885); Норв. Архив, том X, стр. 413 (1885); Leipz. Ber. за 1889г., стр. 325.

Каждая простая группа, принадлежащая первому классу, обладает
той же структурой, что и общая проективная группа некоторого
пространства. Если пространство имеет размерность п, то эта группа
является п(п + 2)-параметрической, где п моэ/сет быть любььч целым
положительным числом.
Второму классу принадлежит всякая группа, которая обладает той
же структурой, что и наибольшая непрерывная проективная группа
некоторого невырожденного линейного комплекса в пространстве нечетной
размерности. Если размерность пространства равна 2п — 1, то
соответствующая группа является п(2п-\-1)-параметрической, где п снова может
быть любым целым положительным числом.
Если простая группа принадлежит третьему классу, то она имеет
ту же структуру, что и наибольшая непрерывная проективная группа,
которая оставляет инвариантным некоторое невыро,жденное многообразие
второго порядка в пространстве нечетной размерности. Если
пространство является (2п — 1)-параметрическим, то число параметров в
соответствующей группе равно п(2п — 1), где п может иметь любое целое
положительное значение, за исключением* значения п — 2.
Наконец, каждая простая группа, принадлежащая первому классу,
обладает той Dice структурой, что и наибольшая проективная группа,
которая оставляет инвариантным некоторое невырожденное многообразие
второго порядка в пространстве четной размерности. Если пространство
является (2п — 1)-параметрическим, то соответствующая группа имеет
п{2п + 1) параметров, причем п здесь снова может быть произвольным
целым положительным числом.
Среди групп, перечисленных в теореме 54, существуют такие, которые
принадлежат двум или даже трем из наших четырех классов. Так, первый,
второй и четвертый классы при п = 1 доставляют три группы одинаковой
структуры; точно так же, первый и третий классы доставляют две группы
одинаковой структуры при п = 3; наконец, две группы одинаковой
структуры возникают из второго и четвертого классов при п = 2. Можно показать,
что этим исчерпываются все случаи, когда некоторая группа принадлежит
* Значение п = 1 здесь исключать необязательно, поскольку, согласно нашему определению
простой группы (см. том I, стр. 264), всякая однопараметрическая группа является простой.
Однако однопараметрическая группа занимает среди простых групп особое место, так как
она содержит центральное инфинитезимальное преобразование. Поэтому, формулируя общие
утверждения о простых группах, следует всегда указывать, верно ли данное утверждение для
однопараметрических групп.

двум различным из наших четырех классов. Таким образом, чтобы
получить только отличные друг от друга структуры простых групп, нужно в
первом классе исключить случай п = 1, в третьем классе — случай п = 3,
а в четвертом классе — случаи п = 1 и п = 2.
Вопроса о существовании каких-нибудь других классов простых групп
или, вообще, каких-нибудь других простых групп мы здесь касаться не
будем. Мы удовольствуемся лишь несколькими утверждениями об г-пара-
метрических простых группах, наибольшие [максимальные ???] подгруппы
которых содержат либо г — 1, либо г — 2, либо г — 3 параметра.
Все эти утверждения опираются на следующий общий факт:
Предложение 11. Если т-параметрическая простая группа Gr
содержит подгруппу cr—q параметрами, и никакая другая ее подгруппа не
является более, чем {г — (^-параметрической, то в пространстве, размерность
которого меньше, чем q, не найдется ни одной г-параметрической группы
точечных преобразований, имеющей ту же структуру, что и группа Gr. В
пространстве dice размерности q такая группа существует всегда, причем
все такие группы являются примитивными.
Это предложение, на самом деле, представляет собой лишь следствие
из более ранних результатов. Действительно, если бы в пространстве
размерности т < q существовала r-параметрическая группа точечных
преобразований, имеющая ту же структуру, что и Gr, то, в соответствии с
предложением 3, том I, стр. 206, группа Gr должна была бы содержать
подгруппу с, по меньше мере, г — т параметрами, что противоречит
нашему предположению. То, что в пространстве размерности q найдется г-пара-
метрическая группа точечных преобразований, обладающая той же
структурой, что и Gr, вытекает из теоремы 81, том I, стр. 446-447, так как из
того, что группа Gr проста, следует, что ее (г — <?)-параметрическая
подгруппа не может быть инвариантной в Gr и не может содержать
инвариантную в Gr подгруппу. Наконец, то, что группа точечных преобразований
g-мерного пространства, имеющая ту же структуру, что и Gr, не может
быть импримитивной, можно увидеть следующим образом. Если бы она
была импримитивной, то соответствующее пространство распадалось бы
на оо9_т m-мерных многообразий (0 < т < <?), которые бы либо
оставались на месте каждое по-отдельности [???], либо переставлялись друг с
другом посредством группы, имеющей ту же структуру, что и Gr. Второй
случай, согласно сказанному ранее, исключается. В первом же случае, в
соответствии с предложением 8, том I, стр. 310, оот точек каждого ин-

вариантного m-мерного многообразия преобразовывались бы посредством
группы, имеющей ту же структуру, что и Gr. Следовательно, этот случай
также невозможен.
Чтобы в пространстве размерности q отыскать группу точечных
преобразований, обладающую той же структурой, что и Gr, можно
действовать следующим образом: (г — #)-параметрическая подгруппа группы Gr
изображается в пространстве Rr-i всех инфинитезимальных
преобразований группы Gr посредством некоторого (г — q — 1)-мерного плоского
многообразия Er_9_i. Поскольку эта подгруппа не инвариантна ни в какой
большей подгруппе группы Gr и поскольку присоединенная группа
группы Gr является r-параметрической, то многообразие Er_g_i остается на
месте лишь под действием соответствующей ему (г — q)-мерной
подгруппы присоединенной группы. Следовательно, под действием оог конечных
преобразований присоединенной группы многообразие Er_g_i принимает
ровно оо9 различных положений (см. том I, стр. 482, предл. 10), которые
переставляются между собой посредством группы, имеющей ту же
структуру, что и Gr. Если эти оо9 положений рассматривать как точки д-мерного
пространства, то только что упомянутая группа и будет искомой группой
точечных преобразований, имеющей ту же структуру, что и Gr. В случае
г = 1, однако, этот метод не работает.
Если в пространстве размерности q известны все конечные
непрерывные примитивные группы точечных преобразований, то, согласно
предложению 11, можно немедленно указать структуры всех г-параметрических
простых групп, которые содержат подгруппы cr — q (но не более)
параметрами. Для этого достаточно лишь из этих примитивных групп выбрать все
те, которые являются простыми. Мы знаем все проективные группы
прямой, плоскости и обыкновенного пространства (см. стр. 6, теор. 1; стр. 35,
теор. 5 и стр. 139, теор. 9), и лишь следующие из них являются простыми:
на прямой — однопараметрическая группа трансляций и трехпараметриче-
ская общая проективная группа; на плоскости — восьмипараметрическая
общая проективная группа; в обыкновенном пространстве — пятнадцати-
параметрическая общая проективная группа, а также конформная группа
и проективная группа линейного комплекса, которые являются десятипара-
метрическими и имеют одинаковую структуру (см. стр. 140, теор. 10).
В силу большой важности этих результатов мы сформулируем их в
виде трех теорем*.
*Ли, Ges. d. Wiss. zu Christiania 1883; Math. Ann., том 25, стр. 132-134 (1885).

Теорема 55. Если простая г-параметрическая группа содержит
подгруппу с г — 1 параметрами, то она является либо однопараметрической,
либо трехпараметрической. В последнем случае она имеет ту же
структуру, что и общая проективная группа на прямой.
Теорема 56. Если простая г-параметрическая группа содержит (г —
— 2)-параметрическую подгруппу, но ни одной (г — \)-параметрической,
то она является восьмипараметрической и имеет ту .усе структуру, что
и общая проективная группа плоскости.
Теорема 57. Если простая r-параметрическая группа содержит (г —
— 3)-параметрическую подгруппу и при этом не содержит ни одной
подгруппы с большим числом параметров, то она является либо пятнадцати-
, либо десятипараметрической. В первом случае она имеет одинаковую
структуру с общей проективной группой обыкновенного пространства, а
во втором — с конформной группой этого пространства или, что
равносильно, с проективной группой невырожденного линейного комплекса в
этом пространстве.
§ш
Полученные в предыдущем параграфе утверждения об г-параметри-
ческих простых группах, наибольшие подгруппы которых содержат либо
г — 1, либо г — 2, либо г — 3 параметра, являются частными случаями
некоторых утверждений касательно произвольных r-параметрических групп
такого свойства. Однако при выводе этих общих утверждений случай, когда
наибольшие подгруппы r-параметрической группы являются (г —
^-параметрическими, нужно рассматривать отдельно.
Пусть GT — r-параметрическая группа, содержащая некоторую (г —
— 1)-параметрическую неинвариантную подгруппу Gr_b и пусть Ег_2 —
плоское (г — 2)-мерное многообразие, соответствующее подгруппе G>_i в
пространстве Rr-\ всех инфинитезимальных преобразований группы Gr.
При этих предположениях многообразие Ег_2 остается на месте только под
действием тех инфинитезимальных преобразований присоединенной
группы группы Gr, которые изображаются точками многообразия Ег_2.
Следовательно, Ег_2 принимает под действием присоединенной группы оо1
различных положений. Присоединенная группа переставляет эти оо1
положений между собой посредством некоторой группы 7> изоморфной
группе GT.

Будучи группой одномерного многообразия, 7 может быть не более,
чем трехпараметрической, откуда следует, что Gr содержит (г —
(^-параметрическую инвариантную подгруппу Gr_g, где q имеет одно из значений
1, 2, 3. Если Er-g-i — многообразие, соответствующее инвариантной
подгруппе Gr_g, то все инфинитезимальные преобразования присоединенной
группы, изображаемые точками многообразия Er_g_i, оставляют на месте
каждое из оо1 положений многообразия Ег_2. Следовательно, Er_9_i
содержится в Ег_2, а также в каждом из оо1 положений многообразия Ег_2-
Таким образом, инвариантная подгруппа Gr-q группы Gr является
пересечением всех оо1 (г — 1)-параметрических подгрупп группы Gr,
сопряженных в Gr подгруппе Gr_i.
Поскольку Gr_i — неинвариантная подгруппа в Gr, мы получаем, что
q не может иметь значение 1. Если q — 2, то инвариантная подгруппа Gr-q
изображается в Rr-i плоским (г — 3)-мерным многообразием Ег-%. Через
Ег_з проходит ровно оо1 плоских (г — 2)-мерных многообразий
пространства i?r_i, которые образуют плоский пучок и среди которых,
разумеется, содержатся все оо1 положений многообразия Ег_2. Поскольку в нашем
случае эти оо1 положений преобразуются под действием присоединенной
группы двупараметрически, плоский пучок оо1 проходящих через Ег_2 (г—
— 2)-мерных многообразий преобразуется посредством некоторой двена-
дцатипараметрической проективной группы, и следовательно (см. теор. 2,
стр. 17), на месте остается ровно одно многообразие из этого пучка;
другими словами, инвариантная подгруппа Gr_2 группы Gr содержится ровно
в одной инвариантной (г — 1)-параметрической подгруппе группы Gr. Эта
инвариантная (г — 1)-параметрическая подгруппа представляет собой
предельный случай [???] множества всех оо1 подгрупп, сопряженных с Gr_i.
Отсюда мы заключаем, что в случае q = 2 структура группы Gr зада-

ется уравнениями вида
( г-2
(XkY1) = Yt*ksXaf
s=l
r-2
5=1
J r-2 (17)
(XfcXj) = 7 ;CkjSXsf
s=l
r-2
(Y1Y2)=ivY2f + Y,c*Xsf
5=1
[ (*j=l...r-2),
где число uj отлично от нуля, и следовательно, его можно сделать
равным 1. Подгруппы группы Gr, сопряженные подгруппе Gr_i, имеют вид
Xif.. . Хг_2/, У1/ + XY2f, где Л — параметр; (г — 2)-параметрическая
инвариантная подгруппа группы Gr порождаются инфинитезимальными
преобразованиями X\f... Xr_2f, а (г — 1)-параметрическая инвариантная
подгруппа — инфинитезимальными преобразованиями X\f... Xr-2f, Y2f.
Если, с другой стороны, q — 3, то под действием присоединенной
группы оо1 положений многообразия Ег_2 преобразуются посредством трехпа-
раметрической группы, которая имеет ту же структуру, что и общая
проективная группа прямой, и изоморфна группе Gr. Таким образом, легко

увидеть, что структура группы Gr имеет следующий вид:
/ г-З
(XkYfj,) = ^ akfisXsf
8 = 1
г-З
(XkXj) = ^2bkjsXJ
5=1
| 5 = 1 ^ '
г-З
(У1Уз) = 2У2/ + Х!ьЛ/
5=1
I Г
(У2У3)= У3/+ £>*./
5 = 1
t (kj=l. . .г-З; д=1,2,3).
Объединим теперь все полученные результаты в одну теорему.
Теорема 58. * Если г-параметрическая группа Gr содерэ/сит (г —
— 1)-параметрическую неинвариантную подгруппу Gr_i, то она содержит
оо1 подгрупп, сопряженных этой подгруппе, которые под действием
присоединенной группы группы Gr переставляются между собой посредством
дву- или трехпараметрической подгруппы, изоморфной группе Gr. В первом
из этих случаев Gr_i содержит (г — 2)-параметрическую инвариантную
подгруппу Gr-2, которая инвариантна и в группе Gr, а также
содержится в одной (г — ^параметрической инвариантной подгруппе группы Gr;
структура группы Gr задается в этом случае уравнениями вида (17), где
мо.жно положить и — 1. Во втором случае Gr_i содержит (г —
^-параметрическую инвариантную подгруппу Сг_з, которая инвариантна и в Gr;
структура группы Gr в этом случае задается уравнениями вида (18).
Займемся теперь изучением r-параметрических групп, наибольшие
подгруппы которых содержат менее, чем г — 1 параметров. При работе с
этой группой мы будем опираться на следующую общую теорему:
*Ли, Math. Ann., том 25, стр. 133, предл. 18.

Теорема 59. Если г-параметрическая группа Gr содержит
(г—^-параметрическую подгруппу Gr-m, но не содержит ни одной подгруппы с
более, чем г — т параметрами, и если т > 1, то в группе Gr содержится
ровно оот различных (г — т)-параметрических подгрупп, которые
сопряжены в Gr подгруппе Gr-m и которые под действием присоединенной
группы группы Gr переставляются между собой посредством некоторой
группы 7, изоморфной группе Gr. Если эта группа 7 является q-парамет-
рической, то q > т, и в Gr существует (г — q)-параметрическая
инвариантная подгруппа, которая содержится в Gr_m и во всех сопряженных
ей подгруппах группы Gr. Кроме того, следует отметить, что 7
содержит (q — т)-параметрические подгруппы, но ни одной подгруппы с более,
чем q — m параметрами, откуда, в частности, следует, что оот подгрупп
группы Gr, сопряженных подгруппе Gr-m, преобразуются под действием
группы 7 примитивным образом.
Докажем эту теорему. При сделанных предположениях подгруппа
Gr-m не содержится ни в какой большей подгруппе группы Gr, и
следовательно, она не может быть инвариантной ни в какой большей подгруппе
группы Gr. Более того, Gr-m не инвариантна и в самой группе Gr, так как
в противном случае каждое не содержащееся в Gr_m инфинитезимальное
преобразование группы Gr вместе с инфинитезимальными
преобразованиями из Gr-m порождало бы (г — т 4-1)-параметрическую подгруппу в Gr.
Пусть Er_m_i — плоское (г — т — 1)-мерное многообразие,
соответствующее подгруппе Gr-m в пространстве Rr-i всех oor_1 инфинитези-
мальных преобразований из группы Gr. В силу свойств подгруппы Gr_m
многообразие Er_m_i инвариантно относительно лишь тех инфинитези-
мальных преобразований присоединенной группы группы Gr, которые
соответствуют точкам этого многообразия. Отсюда следует, что
присоединенная группа группы Gr содержит ровно т независимых инфинитези-
мальных преобразований, которые не оставляют Er_m_i на месте и
никакая линейная комбинация которых не дает преобразования, оставляющего
Er_m_i на месте. Следовательно (см. том I, стр. 462, предл. 10), Er_m_i
принимает под действием присоединенной группы группы Gr ровно оот
различных положений, а это означает, что в Gr содержится ровно оот
различных (г — т)-параметрических подгрупп, сопряженных в группе Gr
подгруппе Gr_m.
Под действием присоединенной группы группы Gr эти оот
положений многообразия Er_m_i или, что равносильно, оот сопряженных с Gr-m

подгрупп группы Gr преобразуются посредством некоторой группы 7,
изоморфной группе Gr. Предположим, что 7 содержит q параметров. Тогда
группа Gr должна содержать (г — д)-параметрическую подгруппу Gr_9,
все преобразования которой при изоморфизме между Gr и 7 (см. том I,
стр. 300-305) отвечают тождественному преобразованию. Таким образом,
если подгруппе Gr-q в пространстве Rr-i отвечает многообразие Ег — qi,
то каждое инфинитезимальное преобразование присоединенной группы,
которое в Rr-i изображается точкой из Er_g_i, оставляет на месте каждое
из оот положений многообразия Er_m_i. В силу указанных выше свойств
многообразия Er_m_i отсюда следует, что Er_g_i лежит в Er_m_i и что,
следовательно, инвариантная подгруппа Gr-q содержится в Gr-m и,
разумеется, в каждой подгруппе группы Gr, сопряженной подгруппе Gr_m.
Кроме того, поскольку подгруппа Gr_m не является инвариантной в Gr,
имеет место неравенство г — q < г — га, так что q> т.
То, что 7 содержит (q — т)-параметрическую подгруппу, очевидно,
поскольку Er_m_i остается на месте под действием (г —
/^-параметрической подгруппы Gr_m, а подгруппе Gr_m соответствует изоморфная ей
(q — га)-параметрическая подгруппа группы 7> потому что Gr_m
содержит инвариантную (г — q)-параметрическую подгруппу Gr_g, которая при
изоморфизме между Gr и 7 (см. том I, стр. 302-303) соответствует
тождественному преобразованию. Из результатов тома I следует, что 7 не может
содержать подгрупп, число параметров в которых превышает g — га, так как
при наличии такой подгруппы можно было бы немедленно указать
подгруппу в Gr, содержащую более, чем г — га параметров, что противоречило бы
нашему предположению. Наконец, ясно, что оот положений многообразия
Er_m_i под действием группы 7 преобразуются примитивным образом.
Действительно, если бы группа 7 преобразовывала семейство этих оот
положений импримитивным образом, то она содержала бы подгруппу с более,
чем q — га параметрами.
Этим теорема 59 полностью доказана.
Для того, чтобы описать структуры всех r-параметрических групп Gr,
наибольшие подгруппы которых имеют г — га параметров (га > 1),
необходимо или, во всяком случае, полезно знать все конечные непрерывные
примитивные группы точечных преобразований от га переменных,
наибольшие подгруппы которых содержат ровно на га параметров меньше, чем
сами группы. Дело в том, что определенная в теореме 59 группа 7 являет-

ся примитивной группой m-мерного пространства, обладающей только что
указанным свойством.
Для случаев т = 2 и т = 3 мы уже в состоянии указать все
примитивные группы требуемого свойства. В плоскости существует лишь одна г-па-
раметрическая группа, не содержащая (г — 1)-параметрических подгрупп, а
именно восьмипараметрическая общая проективная групп; шестипарамет-
рическая общая линейная группа содержит пятипараметрические
подгруппы, а пятипараметрическая специальная линейная группа содержит четы-
рехпараметрические подгруппы (см. стр. 35, теор. 5 и гл. 5). В трехмерном
же пространстве существует три r-параметрические примитивные группы,
не содержащие подгрупп с г — 1 иг — 2 параметрами, а именно пятна-
дцатипараметрическая общая проективная группа, десятипараметрическая
конформная группа и, наконец, проективная группа невырожденного
линейного комплекса, имеющая ту же структуру, что и только что упомянутая
конформная группа (см. стр. 139, теор. 9; том I, стр. 569; том II, стр. 455).
Таким образом, из теоремы 59 немедленно вытекают следующие две*:
Теорема 60. Если г-параметрическая группа Gr содержит (г — 2)-па-
раметрическую подгруппу G>_2, но ни одной (г — 1)-параметрической
подгруппы, то г ^ 8, и в Gr-2 содержится (г—^-параметрическая подгруппа,
инвариантная в Gr. Структура группы Gr задается соотношениями вида
( г-8 8
Т=1 5=1
I (уй*о=£w*r/ (19)
г-8
(XkXj) = 2_^ hkjrXrf
т=1
{ (д,1/=1. • -8; fc,j = l. . .г-8),
причем постоянные с^1У8 здесь таковы, что уравнения
8
(Ч)иЧ)и) = Yl C^S%sf (М."=1. . . 8) (20)
s=l
*Ли, Math. Ann., том 25, стр. 134, теоремы VI и VII.

задают структуру восьмипараметрической общей проективной группы
плоскости.
Теорема 61. Если г-параметрическая группа Gr содержит (г
—3)-параметрическую подгруппу Gr-s, но ни одной подгруппы с более, чем г — 3
параметрами, то число г равно, по меньшей мере, 10. Здесь возмолсны два
случая: либо подгруппа Grs содержит (г — 10)-параметрическую
подгруппу, инвариантную в Gr, либо она содержит (г — 1Ъ)-параметрическую
подгруппу, инвариантную в Gr. Второй случай может иметь место лишь
тогда, когда г ^ 15. В обоих случая структура группы Gr определяется
соотношениями вида
( г — п п
(Y„YV) = £ a^TXTf + £ c»l/sYsf
т=1 s=l
(ВДк) = £W*r/ (21)
I Г — П
(XkXj) = 2J hkjrXrf
т=1
^ (/z,f=l. . . n; fc,j = l. . . r—n),
причем в первом случае п = 10, а уравнения
п
(адл = X!w?)*/ ^=i - • •»> (22)
задают структуру десятипараметрической проективной группы
невырожденного линейного комплекса в обыкновенном пространстве; во
втором же случае п — 15, а уравнения (22) задают структуру пятнадцатипа-
раметрической общей проективной группы обыкновенного пространства.
Сейчас мы приведем еще одно утверждение, которое, хотя и не состоит
в непосредственной связи с другими утверждениями настоящего параграфа,
все же имеет к ним некоторое отношение, поскольку в нем идет речь об
одной инвариантной подгруппе r-параметрической группы*.
* Впервые Ли обнародовал это утверждение в томе X своего норвежского архива (стр. 86 и
далее). Используемый здесь метод доказательства Ли описал в ежегоднике Fortschr. d. Math.
(1884г., стр. 325).

Предложение 12. Если X\f .. .Xrf — т-параметрическая группа
структуры
Т
(XiXk) = 22 CibsXsf (t,fc=l... г)
5 = 1
и если хотя бы одно из г выражений
г
^2ckss (fe=i...r) (23)
s=l
не равно нулю, то оог-2 инфинитезимальных преобразований J2 e^X^f,
удовлетворяющих условию
г г
X!e*Z!c*"=0' (24)
k=l s=l
порождают (г — 1)-параметрическую инвариантную подгруппу группы
Хг/...Xrf.
Чтобы доказать это предложение, рассмотрим присоединенную группу
Ekf = ^2^s = 1Г°з^— (fc=i...r)
группы Xif... Xrf. Инфинитезимальные преобразования этой группы
линейны и однородны. Следовательно, те из них, которые принадлежат
специальной линейной однородной группе пространства е\... ег, порождают
инвариантную подгруппу присоединенной группы (см. том I, стр. 574-575).
Но нетрудно увидеть, что инфинитезимальные преобразования
присоединенной группы Yl UkEkf, принадлежащие специальной линейной
однородной группе, определяются уравнением
к г
У^ У^ CsksUk = 0.
s=lk=l
Поскольку, с другой стороны, эти инфинитезимальные преобразования
порождают инвариантную подгруппу присоединенной группы, ясно, что
уравнение
к г
^2^2csks£k =0,
s=lk=l

которое представляет собой лишь другой вид уравнения (24), инвариантно
относительно присоединенной группы. Отсюда, наконец, следует, что
уравнение (24) определяет (г — 1)-параметрическую инвариантную подгруппу
группы X\f... Xrf9 если, конечно, оно не обращается в тривиальное
уравнение 0 = 0, что, очевидно, происходит лишь тогда, когда выражения (23)
все без исключения равны нулю.
Отметим еще, что в случае r-параметрической группы, не имеющей
(г—1)-параметрических инвариантных подгрупп, все выражения (23)
должны равняться нулю. Отсюда следует, что г-параметрическая подгруппа
может совпадать со своей собственной производной лишь тогда, когда все
выражения (23) равны нулю.
§134
В предыдущем параграфе мы рассмотрели случай г-параметрической
группы, наибольшие подгруппы которой являются (г —
тетраметрическими, и показали, что каждая такая (г—га)-параметрическая подгруппа
содержит меньшую подгруппу, которая инвариантна во всей г-параметрической
группе. Сейчас мы сделаем несколько более общее предположение и будем
считать, что наша r-параметрическая группа содержит такую (г —
га)-параметрическую подгруппу, которая не содержится ни в какой большей
подгруппе г-параметрической группы. Мы покажем, что при некоторых
предположениях, которые мы сформулируем позже, эта (г —
га)-параметрическая подгруппа также содержит инвариантную подгруппу; однако остается
невыясненным, при каких условиях эта инвариантная подгруппа (г—га)-па-
раметрической подгруппы будет инвариантна во всей г-параметрической
группе.
Мы снова начинаем со случая га = 1, поскольку в этом случае можно
обойтись довольно элементарными средствами: здесь достаточно
рассмотреть тождества Якоби. В случае же га > 1 нам придется избрать другой
путь.
Для га = 1 мы хотим доказать следующий факт:
Предложение 13. Если г-параметрическая группа Gr содержит
неинвариантную (г — 1)-параметрыческую подгруппу Gr_i, то GT-\ всегда
содержит инвариантную (г — 2)-параметрическую подгруппу. То же самое
верно и для каэ/сдой (г — 1)-параметрической подгруппы группы Gr,
которая сопряжена подгруппе Gr-i внутри GT.

Действительно, пусть X\f.. .Xr-\f, Yf — независимые инфините-
зимальные преобразования группы G>, и пусть Xif... Xr-\f порождают
неинвариантную подгруппу Gr_i. Тогда имеют место соотношения вида
(Х{Хк) = sumrsZ{ciksXsf (i,fc=i.. .r-i), (25)
и, кроме того, хотя бы одно из г — 1 выражений (XiY) содержит Yf.
Следовательно, инфинитезимальные преобразования X\f.. .Xr-if можно
всегда выбрать так, чтобы выражения (X\Y)... (Xr-2Y) не содержали Yf:
(XpY) = sumr8Z\a^8Xsf (M=i... r-2), (25')
а выражение {Xr-{Y) имело вид
r-l
(Xr-1Y) = Yf + Y,b,X8f. (25")
5 = 1
To, что множитель перед Yf в правой части этого соотношения можно
положить равным 1, очевидно, поскольку Xr-\f можно умножить на любое
конечное число.
Рассмотрим теперь тождество Якоби для Хд/, X„f и Yf, где /л, v —
= 1...Г-2:
((ХМХ„)У) + ((Х„У)Х,0 + {(YXJXJ) = 0.
Вычисляя коэффициент перед У/, мы получаем
Следовательно, X\f.. .Xr_2f порождают (г — 2)-параметрическую
группу. Чтобы доказать, что эта (г — 2)-параметрическая группа инвариантна в
группе GV-ь X\f... Xr_2/, Xr-if, рассмотрим тождество
((ВД.-0У) + ((Хг-1У)ХМ) + ((УХм)Хг-0 = 0,
где (л = 1... г — 2. Коэффициент перед У/ после раскрытия скобок
показывает, что cMir_iir_i = 0 для всех /i = 1... г — 2. Таким образом, группа
Xi/.. .Xr-2f действительно инвариантна в Gr. Но отсюда следует, что
инвариантную (г — 2)-параметрическую группу содержит и каждая
подгруппа, которая сопряжена Gr-\ внутри Gr.

Рассмотрим теперь общий случай. Пусть GT — г-параметрическая
группа, обладающая (г — т)-параметрической подгруппой G>_m, которая
не содержится ни в какой большей подгруппе группы Gr. Чтобы не
исключать случай т = 1, мы добавляем требование о том, чтобы при т = 1
подгруппа Gr-m не была инвариантна в Gr. При т > 1 это требование
излишне, поскольку можно показать (точно так же, как на стр. 689), что в
этом случае подгруппа Gr_m не может быть инвариантна ни в какой-либо
большей подгруппе группы Gr, ни в самой группе Gr.
Поскольку ни сама группа Gr, ни какая-либо ее подгруппа не содержат
Gr-m в качестве инвариантной подгруппы, то (г — т — 1)-мерное
многообразие Er_m_i, соответствующее подгруппе Gr-m в пространстве Rr-i
всех oor_1 инфинитезимальных преобразований группы Gr, принимает под
действием присоединенной группы группы Gr ровно оо771 различных
положений (ср. стр. 689). Следовательно, в Gr существует ровно оот различных
подгрупп, сопряженных подгруппе Gr_m. При этом возможны два
различных случая: либо эти оо777, положений многообразия Er_m_i заполняют все
пространство Rr-i, так что через каждую точку общего положения в Rr-\
проходит дискретное количество таких положений, либо они не заполняют
все Rr-\ и, следовательно, все без исключения принадлежат некоторому
многообразию, размерность которого не превышает г — 2. Следует, правда,
отметить, что при т = 1 второй случай невозможен.
Пусть сперва т — 1. Тогда пересечение любых двух бесконечно
близких положений многообразия Ет_2 является плоским (г — 3)-мерным
многообразием, и следовательно, оо1 положений этого многообразия обладают
огибающей структурой [???], которая касается каждого из этих оо1
положений по некоторому плоскому (г — 3)-мерному многообразию. Поскольку
совокупность этих оо1 положений многообразия Ег_2 инвариантна
относительно присоединенной группы, то эта огибающая структура также
должна быть инвариантной относительно присоединенной группы. Рассмотрим
теперь подгруппу присоединенной группы, которая которая
изображается многообразием Ег_2- Эта подгруппа оставляет на месте Ег_2 и только
что упомянутую огибающую структуру, а значит, и плоское (г — 3)-мерное
многообразие Ег_з их касания. Но отсюда немедленно следует, что Ег-з
соответствует некоторой (г — 2)-параметрической инвариантной подгруппе
в Gr_i. Точно так же, разумеется, (г — 2)-параметрическая инвариантная
подгруппа содержится в каждой из оо1 подгрупп групп Gr, сопряженных
в Gr подгруппе Gr_i.

Таким образом, мы снова пришли к предложению 13, стр. 694. Однако
на этот раз использованный нами метод применим и для случая т > 1.
Действительно, если нам удастся показать, что оот положений
многообразия Er_m_i обладают огибающей структурой и при т > 1, то мы
сможем воспользоваться теми же рассуждениями, что и при т = 1. Дело в
том, что эта огибающая структурная, если она существует, инвариантна
относительно присоединенной группы и касается каждого из оот положений
многообразия Er_m_i по некоторому плоскому или неплоскому
многообразию, которое состоит, по меньшей мере, из одной точки и не может быть
более, чем (г — т — 2)-параметрическим. Если это многообразие является
плоским, то мы, как и выше, получаем, что каждая из подгрупп группы Gr,
сопряженных в Gr группе Gr_m, содержит инвариантную подгруппу,
которая не может состоять лишь из тождественного преобразования, а с другой
стороны, является, самое большое, (г — т — 1)-параметрической.
Остается лишь выяснить, при каких условиях оо771 положений нашего
многообразия Er_m_i обладают такой огибающей структурой. Чуть позже
мы покажем, что это происходит, по крайней мере, тогда, когда имеет
место первый из различаемых выше случаев, то есть когда оот положений
многообразия Ег_т_1 заполняют все пространство Rr-\. Отсюда, с учетом
сказанного выше, вытекает следующая теорема:
Теорема 62. * Если г-параметрическая группа Gr содержит (г —
— т)-параметрическую подгруппу Gr-m, не принадлежащую никакой
большей подгруппе группы Gr, и если эта подгруппа такова, что
каждой инфинитезимальное преобразование общего полоэ/сения группы Gr
принадлежит, по меньшей мере, одной (г — т)-параметрической подгруппе
группы Gr, сопряэ/сенной в Gr подгруппе Gr-m, то Gr содерэ/сит
некоторое семейство инфинитезимальных преобразований, которое
инвариантно относительно присоединенной группы и содержит, самое малое, одно,
а самое большое, oor-m-2 инфинитезимальных преобразований из Gr-m.
Если инфинитезимальные преобразования, принадлежащие одновременно
и Gr-m, и этому семейству, образуют плоское многообразие, то они
порождают инвариантную подгруппу группы Gr-m. To же самое верно и для
каждой подгруппы, сопряженной подгруппе Gr_m в группе GT.
*При т = 1 эта теорема превращается в предложение 13 со стр. 694, однако, в отличие
от предложения 13, существование в Gr-\ инвариантной подгруппы ставится в этой теореме
в зависимость от некоторых условий. Заметим, что в этой теореме опущено предположение о
том, чтобы при га = 1 подгруппа GT-m не инвариантна в Gr. Это обусловлено тем, что это
предположение следует из последующих предположений теоремы.

Мы должны еще показать, что оо771 положений многообразия Er_m_i
при сделанных выше предположениях действительно обладают огибающей
структурой. Мы сделаем это, доказав следующее общее утверждение,
которое интересно сам по себе и которое так общо [??] еще никогда не
формулировалось*:
Предложение 14. Предположим, что в (п + \)-мерном
пространстве Яп+i задано семейство, состоящее из oom+1 (п — т)-мерных плоских
многообразий, которое покрывает все это пространство, то есть такое,
что через каждую точку общего положения проходит дискретное
количество его многообразий. Тогда это семейство обладает огибающей
структурой, которая као/сдое многообразие М из этого семейства пересекает
по некоторому плоскому или неплоскому [???] многообразию М' и которая
в определенном смысле касается М вдоль Мг.
Чтобы доказать это предложение, выберем в качестве прямоугольных
координат точек пространства i?n-i величины z, xi...xn, причем так,
чтобы не все многообразия нашего семейства были параллельны оси z (что
можно сделать всегда). Тогда наше семейство задается уравнениями вида
( п—т
Z = / j Q"m+k%m+k ~г С
k=l
J п-т (26)
•Efj, — / ^ ®тк%т+к • &/i
^ (д=1...т),
где величины а и Ь являются функциями от т + 1 параметров и\... um+i
и принимают конечные значения для всех наборов щ ... um+i общего
положения.
Сейчас мы рассмотрим семейство (п — га)-мерных точечных
многообразий (26) как семейство многообразий элементов пространства i?n+i и
переведем его, посредством контактного преобразования пространства i?n+b
в семейство многообразий элементов, состоящее исключительно из п-
мерных точечных многообразий.
*Это утверждение является обобщением давно известного утверждения о том, что в
обыкновенном трехмерном пространстве каждое семейство оо2 прямых, заполняющее все
пространство, обладает фокальной фигурой, то есть либо фокальной поверхностью, либо
фокальной кривой, либо фокальной точкой.

Понимаемое как многообразие элементов пространства i?n+b
точечное многообразие (26) задается уравнениями
Z = ^2 ат+кХт+к + С
п—т
%ц ~ / ^ "тк^т+к <~ ^\х
к=1
га
Pm+j = Q"m+j ~ / v VisjPis
(27)
v=l
(/х=1. . . га; j=l . . . п—т)
(см. том И, стр. 103 и далее). Если на это многообразие элементов
подействовать контактным преобразованием
z' = z - J2 х^ц
Хт+к — хт+к-> Рт+к = Рт+к
(и=1. . . га; к=1. . . п—т)
(28)
(см. стр. 115-116), то мы получим многообразие элементов, которое,
если его рассматривать как точечное многообразие, имеет размерность п и
задается уравнением
771 П — т
z' = Y1 Л Ь^Х'»Х'гп+к + J2arK + С.
M=l fc=l
(29)
Т=1
Таким образом, контактное преобразование (28) переводит oom+1 (n — т)-
мерных плоских многообразий (26) в oom+1 n-мерных многообразий
второго порядка.
Можно показать, что семейство (29) в общем случае обладает
лежащим в конечном огибающим многообразием. Действительно, чтобы
получить это огибающее многообразие семейства (29), нужно в уравнениях (29)

с помощью уравнений
т п—т
дЬ^к
даТ
ST V ^±т' т' 4- V" —т' + —
Z^ Z^ Я?,_. X/iXm+fc "I" Z^ gw Хт "»- д7/.
/x=l fc=l
<9l^
T=l
(i=l. . .m+1)
дщ
(30)
исключить величины г/i ... wm+i. Таким образом, для существования
лежащего в конечном огибающего многообразия необходимо и достаточно,
чтобы ?тг + 1 многообразий второго порядка (30) в общем случае (то есть
когда и\... um+i является набором общего положения) пересекались по
некоторому лежащему в конечном многообразию. Это, однако, происходит
тогда и только тогда, когда в плоском пучке оо771 многообразий второго
порядка, определяемом многообразиями (30), бесконечно удаленная п-мерная
плоскость пространства Rr-\ не является двойной, то есть когда не все
миноры порядка m + 1 матрицы
ди\
дат
{k=l . . . n — m; fi=l .
дь„к
дат
диП1 + 1
. т: т=1.
.71)
(31)
тождественно равны нулю.
Следовательно, если считать, что не все миноры порядка m + 1 этой
матрицы тождественно равны нулю, то oom+1 многообразий (29) обладают
лежащим в конечном огибающим многообразием. Кроме того, ясно, что
это огибающее многообразие не может состоять исключительно из прямых,
параллельных оси z, и что, следовательно, как многообразие элементов оно
представимо в координатах z', х[ ... х'п, р[ . . .р'п. Подействовав, наконец,
на это огибающее многообразие контактным преобразованием, обратным
к (28), мы получим лежащее в конечном многообразие, огибаемое всеми
oom+1 плоскими многообразиями (26).
Остается рассмотреть случай, когда все миноры порядка т + 1
матрицы (31) тождественно равны нулю. В этом случае параметры и\... um+i в
коэффициентах
&тч ^дА: (т=1 . . . n; /i=l . . . га; к=1 . . . п—га),
очевидно, не являются существенными, и, следовательно, семейство оо
плоских многообразий (26) вырезает на бесконечно удаленной п-мерной
га41

плоскости пространства Rn+i семейство, состоящее не из oom+1 плоских
многообразий, а, самое большое, из oom. Отсюда следует, что эта
бесконечно удаленная плоскость не является многообразием общего положения
по отношению к семейству (26). Таким образом, переведя бесконечно
удаленную n-мерную плоскость пространства i?n+i с помощью подходящего
проективного преобразования в конечное, рассматриваемый здесь особый
случай всегда можно свести к общему случаю, когда не все миноры
порядка т + 1 матрицы (31) тождественно равны нулю.
Итак, oom+1 плоских многообразий (26) всегда обладают огибающей
структурой. Каждое многообразие М из семейства (26) пересекает эту
огибающую структуру по некоторому плоскому или неплоскому
многообразию М''. Если теперь М и огибающую структуру понимать как
многообразия элементов пространства Дп+ь то М касается огибающей
структуры вдоль многообразия М'\ другими словами, М и огибающая структура,
рассматриваемые как многообразия элементов, в каждой точке
многообразия М1 имеют, по меньшей мере, один общий элемент пространства Rn+i-
Однако многообразие М не обязано быть касательной плоскостью к
огибающей структуре в обычном смысле.
Итак, наше предложение доказано. Отметим, что использованный
здесь метод применим и тогда, когда мы имеем дело с семейством oom+1
(п — га)-мерных алгебраических многообразий пространства Дп+ь
заполняющим все это пространство. Однако, если в случае, когда это семейство
состоит из плоских многообразий, огибающее многообразие существует
всегда, то в случае, когда оно состоит из произвольных алгебраических
многообразий, можно лишь показать, что огибающее многообразие
существует в общем случае*.
§135
На стр. 300-305 первого тома мы исследовали, какие различные
структуры может иметь группа, мериедрически изоморфная г-параметрической
*Ср. статья Ли о дифференциальных уравнениях в частных производных первого порядка,
опубликованную в Math. Ann., том 9. Там, на стр. 264-268, Ли доказывает общие утверждения
о существовании огибающих структур для семейства многообразий элементов (п+1)-мерного
пространства. Наше предложение 14 является продвижением вперед лишь в том смысле, что
оно утверждает, что при сделанных в нем предположениях огибающая фигура [???]
существует всегда, в то время как из результатов упомянутой выше статьи следует, что в условиях
предложения 14 такая огибающая фигура существует лишь в общем случае.

группе Gr заданной структуры*. Мы установили, что количество таких
структур равно количеству инвариантных подгрупп, содержащихся в
группе Gr, и что для того, чтобы получить структуру некоторой га-параметри-
ческой группы, мериедрически изоморфной группе Gr, нужно всем
преобразованиям некоторой вполне определенной (г — га)-параметрической
инвариантной подгруппы группы Gr поставить в соответствие тождественное
преобразование.
Пусть
г
(XiXk) = ^ ciksXsf (t,fc=l... г)
5=1
— уравнения, задающие структуру группы Gr, и пусть
г
/] hpkXkf (/^=1 • • • г-т)
— независимые инфинитезимальные преобразования некоторой (г —
тп)-параметрической инвариантной подгруппы группы Gr. Определяемая этой
инвариантной подгруппой структура га-параметрических групп,
мериедрически изоморфных группе Gr, находится следующим образом. Сперва мы
с помощью уравнений
г
^2 K&kf = 0 (а*=1 • • • г-т)
/с=1
выражаем r-шиз инфинитезимальных преобразований X\f... Xrf через
оставшиеся га, а затем подставляем найденные значения в уравнения
г
(ХгХк) = ^ Ciks%sf (*,fc=l - • - г).
5 = 1
*Если группа А изоморфна группе В, а группа В изоморфна группе С, то отсюда ни в коем
случае не следует, что группа А изоморфна группе С; такой вывод можно сделать лишь тогда,
когда оба указанных изоморфизма являются голоэдрическими. Отсюда видно, что общее
понятие изоморфизма не является понятием равенства [???], поскольку оно не обладает важным
свойством такового: изоморфные группы нельзя заменять изоморфными группами
посредством отождествления изоморфных групп [???]. Чтобы восполнить этот недостаток понятия
изоморфизма, условимся, что когда речь идет о двух мериедрически изоморфных группах, мы
будем говорить лишь, что меньшая из них мериедрически изоморфна большей, но не
наоборот. Эта договоренность исключает какие-либо недоразумения. К сожалению, мы не указали
на это при введении понятия изоморфизма (см. том I, стр. 292-293), однако мы полагаем, что
в каждом отдельном случае, где возникают изоморфные группы, мы, хотя и неявно, следовали
этой договоренности.

Возникающие таким образом соотношения, в которые входят лишь
упомянутые га инфинитезимальных преобразований, как раз и задают искомую
структуру.
Если r-параметрическая группа Gr проста, то существует лишь одна
мериедрически изоморфная ей группа, а именно группа, состоящая только
из тождественного преобразования. Если же Gr простой не является*, то
кроме этой тривиальной группы существуют и другие группы,
мериедрически изоморфные группе Gr. Естественно поинтересоваться, может ли такая
такая группа быть простой и, если да, то при каких условиях.
Чтобы ответить на этот вопрос, инфинитезимальные преобразования
группы Gr удобнее всего выбрать так, чтобы Xm+if... Xrf порождали
(г — га)-параметрическую инвариантную подгруппу. Тогда уравнения,
задающие структуру группы Gr, имеют вид
(ХМ
I (XpXm+k)
(Xm+kXm+j)
а соответствующие нашей инвариантной подгруппе га-параметрические
группы, мериедрически изоморфные группе Gr, имеют следующую
структуру:
га
(X^Xjy) = 2_^ CpvsXsf U,i/=1. . . m). (33)
s=l
Если группы структуры (33) не являются простыми, то они содержат
инвариантные подгруппы, состоящие не только из тождественного
преобразования, и мы можем считать, что такая инвариантная подгруппа
порождается инфинитезимальными преобразованиями 3£/+i/... Xmf (0 < I < га).
*На стр. 264 первого тома, следуя терминологии из теории подстановок, группы, не
являющиеся простыми, мы называли составными. Нам думается, однако, что лучше всего отказаться
от этого термина и пользоваться более более выразительным термином непростая группа.
т=1
г—га
/ J C(i,m+k,m+T^m+Tj
s=l т=1
г—га
т=1
г—га
(32)
/ v С"т-\-к,т-\-з,т-\-т^т-\-т J
т=1
(/х,/у=1 ... га; k,j=l . . . г —га),

Но тогда очевидно, что Xi+\f... Xmf, Xm+if.. .Xrf порождают (г —
— I)-параметрическую инвариантную подгруппу в Gr и что (г —
ш)-параметрическая инвариантная подгруппа Xm+i/... -Х"г/ содержится в этой
(г — /)-параметрической. С другой стороны, если инвариантная подгруппа
Xm+if.. .Xrf содержится в большей инвариантной подгруппе группы Gr,
скажем в (г — /г)-параметрической подгруппе Xh+if ♦ • ♦ Xrf (0 < h < га),
то ясно, что ЗЕ/г+i/ ... ЗСт/ порождают (га — К)-параметрическую
инвариантную подгруппу в любой группе структуры (33), и следовательно, эти
группы не могут быть простыми. Отсюда следует, что ответ на
поставленный выше вопрос можно сформулировать следующим образом:
Предложение 15. т-параметрическая группа Gm, мериедрически
изоморфная данной т-параметрической группе Gr (г > т), является простой
тогда и только тогда, когда ее структуру можно получить из структуры
группы Gr, сопоставив тождественное преобразование такой (г —
т)-параметрической инвариантной подгруппе группы Gr, которая не
содержится ни в какой большей инвариантной подгруппе группы Gr.
Это предложение позволяет нам получить структуры ряда простых
групп исходя из структуры произвольной г-параметрической группы.
Действительно, если G — r-параметрическая группа, то в ней можно
выбрать такую последовательность подгрупп 01, ©2, ©3 ..., что ®i инва_
риантна вСине содержится ни в какой большей инвариантной подгруппе
группы G, ®2 инвариантна в ©i и не содержится ни в какой большей
инвариантной подгруппе подгруппы 65 ь и т.д. Тогда подгруппа ©i доставляет
структуру простой группы, изоморфной группе G, подгруппа ©2
определяет структуру простой группы, изоморфной группе ©1, и т.д. Таким образом,
мы действительно получаем структуры ряда простых групп. Если группы
©1, ©2 ... содержат соответственно ti, t2 ... параметров, то эти простые
группы содержат соответственно г — ti, ti — t2, ti — t2 ... параметров.
Так как число г является конечным и так как каждое из чисел
г, ti, t2 ... меньше, чем предыдущее, последовательность групп ©/.
должна обрываться, причем последняя группа в этой последовательности,
скажем ©т, должна состоять из тождественного преобразования, в то время
как предпоследняя группа ©m_i является простой. Отсюда следует, что
только что полученная последовательность простых групп также
обрывается. Она состоит из т простых групп, которые в сумме содержат
ровно г параметров, причем последняя из этих групп имеет, очевидно, ту же

структуру, что и ©m-i- Если группа G сама является простой, то число га,
разумеется, равно 1.
Последовательность G, ©i, ©2 •. • мы назовем нормальным рядом
подгрупп группы G. Вообще говоря, существует несколько таких
нормальных рядов. Действительно, уже &i не обязана быть единственной
инвариантной подгруппой в G, не содержащейся ни в какой большей подгруппе
группы G. То же самое верно и для 02 по отношению к бь для ($з по
отношению к ©2, и т.д. Таким образом, в общем случае можно построить
несколько различных нормальных рядов подгрупп группы G.
Как бы ни отличались все эти нормальные ряды друг от друга, можно
все же указать некоторые свойства, общие для всех нормальных рядов
подгрупп группы G. Одно из этих свойств составляет содержание следующей
теоремы:
Теорема 63. * Пусть G — г-параметрическая группа, и пусть
G, ©1, &2 ♦ ♦ ♦ — нормальный ряд подгрупп в G. Сопоставим этому
нормальному ряду целые полоо/сительные числа li, ^ 1з---, определяемые
следующим образом: \\ представляет собой разность между числом
параметров в G и числом параметров в наибольшей подгруппе группы G,
содержащей (Si/ число \<i есть разность разность между числом
параметров в ©1 и числом параметров в наибольшей подгруппе группы <&\,
содержащей ©2, и т.д. При сделанных предположениях числа li, (2 ♦ ♦ ♦ >
если отвлечься от их очередности, никак не зависят от выбора нормального
ряда G, ©1, &2 Другими словами, если G, Гь Г2 ... — какой-либо
другой нормальный ряд подгрупп в G, которому указанным выше образом
ставятся в соответствие целые числа Ai, A2 ..., то каждое число из
набора li, (2 ... встречается в наборе Ai, A2 .. ♦, причем в оба эти набора
оно входит одинаковое количество раз.
Наша теорема будет доказана, как только нам удастся доказать ее
справедливость для двух произвольных нормальных рядов G, (Si, &2 ♦ ♦ ♦ и
*В теории подстановок аналогичная теорема известна уже давно (см. К. Жордан, Traite
des substitutions, Париж, 1870г.), и именно благодаря этой теореме Жордана Ли и пришел к
теореме 63. Это, правда, единственный случай, когда Ли получил утверждение о конечных
непрерывных группах непосредственным переносом из теории подстановок.
Ли опубликовал содержание теоремы 63 без доказательства в августе 1888 года в Abhandl.
der Leipz. Ges. d. Wiss. (том 14, стр. 562). Впервые эта теорема была доказана в диссертации
Вессо (Vessiot) по прямой инициативе Ли [???] (см. Л/7/7, de VEcole Normale, 1892г., стр. 203-
206).

G, Ti, Г2 .... При этом мы, очевидно, можем считать, что подгруппы ©i
и Ti отличны друг от друга.
Сперва мы рассмотрим особый случай, когда ©i и Гх не имеют общих
инфинитезимальных преобразований.
В этом случае, если 2)i/... 2)п/ — инфинитезимальные
преобразования подгруппы 0i, a Ti/... ТР1/ — инфинитезимальные преобразования
подгруппы Гь то, согласно предложению 11, том I, стр. 264, все выражения
(2)iYj) тождественно равны нулю, и, следовательно, ri + p\ независимых
инфинитезимальных преобразований
ф1/...фГ1/, Txf...TpJ
порождают (ti + р1)-параметрическую подгруппу группы G, которая,
очевидно, инвариантна вСи содержит 0i и Гь Но поскольку ни 0ь ни Ti не
содержатся в большей инвариантной подгруппе группы G, эта (гх + pi)-na-
раметрическая подгруппа должна совпадать с G, и rx + pL = г. Далее, легко
убедиться, что 0i и I\ просты. Действительно, если бы, например,
подгруппа Г*1 содержала инвариантную подгруппу TL/... Т^/ (0 < h < pi),
то инфинитезимальные преобразования
2)1/...^/, Ti/...Тл/,
вопреки нашим предположениям, порождали бы инвариантную в G
подгруппу, содержащую 0i. Отсюда следует, что в нашем случае ©i и Ti
состоят лишь из тождественного преобразования и что каждый из наборов
li, [2 ... и Ai, A2 ... состоит только из двух чисел. Более того, мы можем
заключить, что в нашем случае G, ©ь ©2 и G, Гь Г2 суть единственные
нормальные ряды подгрупп в G, поскольку ©i и Ti являются, очевидно,
единственными инвариантными подгруппами в G, состоящими не только
из тождественного преобразования.
Если теперь Тх/... Т„/ {н < pi) и 2)i/ ... Z)tf (6 < ti) - подгруппы
в Ti и ©i с наибольшим возможным числом параметров, то
2h/...2)ri/, Ti/...TX/
является, очевидно, наибольшей подгруппой в G, содержащей ©i, a
Тх/...TpJ, 2Ji/...2)t/

является наибольшей подгруппой в G, содержащей Г^ Следовательно,
h=r-(vi+x)=pi-x, [2 = Ч ~ t
и
Ai = г - (pi + 6) = п - 6, А2 = pi - х.
Таким образом, в рассмотренном особом случае наша теорема справедлива.
Предположим теперь, что &\ и Г\ имеют h общих независимых инфи-
нитезимальных преобразований, так что <&\ можно привести к виду
^/•••^п-л/, Zxf...Zhf,
a rxf — к виду
Yi/ • • • YPl-hf, Zif ... Zhf,
где 2)/ и Т/ не зависят друг от друга. Тогда Zif.. .Z^f порождают в G
инвариантную подгруппу Н (см. предл. 10, том I, стр. 264). Кроме того, все
(2)iTj) линейно выражаются через Z\f ... Z^f. Таким образом, Х\+ p\—h
независимых инфинитезимальных преобразований
Фх/.-.фс-л/, Ti/...TPl_fc/, Zrf... Zhf
порождают подгруппу группы G, которая, очевидно, инвариантна в
группе G и, следовательно, должна с ней совпадать; отсюда следует, что г = ti +
+ p\ — h. Наконец, следует отметить, что подгруппа Н, которая, разумеется,
инвариантна в (3i и в Гь не может содержаться в какой-либо большей
инвариантной подгруппе группы <&\ или группы Г^ Действительно, если бы,
например,
?h/...2)d/, Zxf...Zhf (Q<d<vi-h)
была инвариантной подгруппой в ©ь содержащей Я, то инфинитезималь-
ные преобразования
Т!/...ТР1_Л/, 2h/...2)d/, ZJ.-.Zhf,
порождали бы инвариантную подгруппу группы G, содержащую IV

Далее, если Я, Hi, H2.. .Hq — нормальный ряд подгрупп в Я, то
очевидно, что G, ©ь Я, Hi... Hq и G, Гь Я, Hi.. .Ня будут
нормальными рядами подгрупп в С Сейчас мы докажем справедливость нашей
теоремы для этих двух нормальных рядов.
Если
Zif...Zhf, ?}i/...2)e/ (e<ti-fc)
и
Zif...Zhf, Ti/...TX/ (*<Р1-Л)
— наибольшие [???] подгруппы в ©i и Гь содержащие Я, то
Т1/...ТР1_Л/, Zif...Zhf, ?)i/...2)e/
является подгруппой группы G, содержащей Г\ и имеющей при этом
наибольшее возможное число параметров; аналогично,
является подгруппой группы G, содержащей ©i и имеющей при этом
наибольшее возможное число параметров. Таким образом, если нормальному
ряду Я, Hi, Я2 ... Hq описанным в теореме образом соответствуют целые
числа f)i, f)2 • •. fyg, то наборы чисел, соответствующие нормальным рядам
G, ©1, Я, Hi.. .Hq и G, ©1, Я, Ях...Я^ имеют соответственно вид
г - (t! + х) = Pi - (ft + х), n - (ft + *), f)i, 1)2 .. • *)<?,
и
r-(pi+l) = pi-(h + t), ti - (ft + x), f)i, f)2 • • • *)<?•
Очевидно, что эти два набора совпадают, и, следовательно, наша теорема
верна и для двух рассмотренных здесь нормальных рядов.
Чтобы завершить доказательство нашей теоремы, нам нужно лишь
еще показать, что она верна для нормальных рядов G, ©i, ©2 • • • и
G, ©1, Я, Hi,,,, а также для нормальных рядов G, Гь Г2... и
G, Г*1, Я, Hi.... Это, однако, сводится к тому, чтобы доказать
справедливость нашей теоремы для групп ©i и Т\. Если же каждую их этих двух

групп рассмотреть так же, как это было сделано с группой G, и повторить
эту процедуру достаточное количество раз, то, в конце концов, мы придем
либо к группе, которая обладает одним-единственным нормальным рядом
подгрупп, либо к группе, для которой имеет место рассмотренный выше
особый случай. Наша теорема, таким образом, полностью доказана.
Хотя здесь мы не можем подробно остановиться на теории
интегрирования, мы все же попытаемся дать читателю представление о том, в чем
состоит важность только что доказанной теоремы для этой теории.
На стр. 665 мы уже упоминали общую задачу, которая послужила
отправной точкой для работ Ли в области теории интегрирования и теории
групп. Эта задача заключалась в том, чтобы исследовать, как знание
некоторых инфинитезимальных преобразований, оставляющих инвариантным
некоторое дифференциальное уравнение первого порядка в частных
производных, может быть использовано для интегрирования этого
дифференциального уравнения. Ли показал, что эту задачу можно свести к
следующей.
Задано линейное дифференциальное уравнение
7*4-1
Af = J2a»(Xl • "xr+ip- = 0 (34)
от г + 1 переменных х\.. . ггг+ь допускающее г известных независимых
инфинитезимальных преобразований
7*+i р. *
Xkf = ^&«/(Sl...Zr+l)~ =0 (fc=l...r),
которые связаны соотношениями
г
(XiXk) = £ dksXsf (u-i... г) (35)
s=l
и, следовательно, порождают г-параметрическую группу; кроме того,
известно, что Af и Xkf не удовлетворяют никакому линейному толсдеству
вида
г
ф)А/ + Y, Vk{x)Xkf = 0, (36)
А;=1

в котором хотя бы одна из функции </?, (р\... </v не равна нулю.
Задача состоит в том, чтобы из знания инфинитезималъных преобразований
X\f ... Xrf извлечь как можно большую пользу для интегрирования
уравнения (34).
Мы будем считать, для простоты, что группа X\f.. .Xrf является
интегрируемой и что ее инфинитезимальные преобразования уже
выбраны так, чтобы Xif.. .Xif для каждого г порождали г-параметрическую
группу, инвариантную в (г + 1)-параметрической группе Xif... Xi+if (см.
§ 131 и том I, § 75). Тогда г уравнений
А/ = 0, Xi/ = 0, ...,Xr_i/ = 0 (37)
образуют, очевидно, г-параметрическую полную систему, допускающую
инфинитезимальное преобразование Xrf. Следовательно, если v —
неизвестное решение полной системы (37), то Xrv — u(v), где функция u(v)
не равна нулю, поскольку в противном случае, вопреки нашему
предположению, выполнялось бы место тождество вида (36). С помощью замены
функции v подходящей функцией от v, можно добиться того, чтобы Xrf =
= 1, откуда следует, что функция v должна удовлетворять уравнениям
Av = 0, Xxv = 0, ...,Xr_iu = 0, Xrv = l, (38)
Эти уравнения позволяют подсчитать все г + 1 производных функции v,
после чего сама функция v находится с помощью взятия интегралов.
Если теперь v вместе с некоторыми г из переменных х, скажем
xi...xr, выбрать в качестве новых переменных х\.. ,хг+\, то Af и
Xif.. .Xr_i/ будут независимы от v, и мы получим линейное
дифференциальное уравнение в частных производных Af = 0 от г переменных
х\... хг, инвариантное относительно (г — 1)-параметрической
интегрируемой группы X\f... XT-if\ кроме того, Af и Xif... Xr_i/ не будут
удовлетворять никакому линейному тождеству. Следовательно, мы можем
повторить только что описанный процесс. Действуя таким образом, мы , в
конце концов, получим г независимых решений уравнений (34), для чего
нам потребуется г квадратур. Отсюда, кстати, и происходит термин
интегрируемая группа.
В только что рассмотренном случае мы решили нашу задачу, сведя
интегрирование уравнения (34) к интегрированию ряда полных систем. Точно
так же мы будем действовать и тогда, когда группа Xif ... Xrf, имеет
произвольную структуру и не обязана быть интегрируемой.

Выберем среди подгрупп группы X\f.. .Xrf подгруппу с
наибольшим возможным количеством параметров. Если она является га-парамет-
рической, то мы можем считать, что она имеет вид Xif.. .Xmf. Далее,
рассмотрим уравнения
А/= 0, Xi/ = 0, ...,Xm/ = 0, (39)
которые, очевидно, образуют полную (га + 1)-параметрическую систему.
Эта полная система допускает, во всяком случае, га инфинитезимальных
преобразований X\f... Xm/ из нашей группы, однако очевидно, что
знание этих преобразований бесполезно для интегрирования этой системы.
Чтобы полная система (39), кроме X\f... Xmf, допускала и другие инфи-
нитезимальные преобразования из группы Gr: X\f.. .Xrf, необходимо,
очевидно, чтобы подгруппа X\f.. ,Xmf была инвариантна в некоторой
большей подгруппе группы Gr. Но поскольку X\f... Xmf является
подгруппой с наибольшим возможным количеством параметров, это возможно
лишь тогда, когда га = г — 1 и группа X\j... Xr-if инвариантна в Gr.
Если га = г — 1 и если группа X\f.. . Xr-\f инвариантна в Gr, то,
как и выше, полная система (39) может быть проинтегрирована с помощью
одной квадратуры. Во всех остальных случаях, однако, одно-единственной
квадратуры уже недостаточно, поскольку тогда неизвестно ни одного инфи-
нитезимального преобразования, оставляющего полную систему (39)
инвариантной и пригодного для ее интегрирования. Правда, интегрирование
этой полной системы можно упростить и в этих случаях, поскольку, зная
инфинитезимальные преобразования Xm+if... Xrf, полную систему (39)
можно привести к некоторому каноническому виду. Однако на этом мы
останавливаться не будем.
Предположим теперь, что полная система (39) проинтегрирована, то
есть найдено г — га независимых ее решений щ ... иг-т. Так как эта
система является (га + 1)-параметрической и содержит г + 1 переменных, то
эта операция интегрирования равносильна интегрированию
обыкновенного дифференциального уравнения порядка г — га от двух переменных. В
соответствии с этим, мы будем называть эту операцию операцией
интегрирования порядка г — га.
Поскольку и\... иТ-ш являются решениями дифференциального
уравнения Af — 0 и поскольку это дифференциальное уравнение допускает

инфинитезимальные преобразования Xm+i/... Xrf, то выражения
-^■m+fe^l» • • • > ^m+k'Ur—m
Хт+kXm+jUi, . . . , Xm+kXm+jUr-m /^q\
также являются решениями уравнения Л/ = 0. Если подгруппа X\f... -X"m/
не инвариантна в Gr, что происходит, во всяком случае, при т < г — 1, то
выражения (40) являются новыми, независимыми от и\... иг-ш
решениями, и можно показать, что таким образом получаются все решения полной
(/ + 1)-параметрической системы
Af = 0, Xi/ = 0,...,Xj/ = 0, (41)
где Xif.. .Xif обозначает наибольшую группу, содержащуюся в Xif... Хп
и инвариантную в Gr. Следовательно, если бы группа Gr была простой, то
проинтегрировав полную систему (39), мы бы получили заодно и все
решения уравнения Af — 0.
Если группа Gr: Xif ... Xrf простой не является, то можно показать,
что 0 < / < т, и мы знаем г — / независимых решений ui... ur-i
системы (41). Выберем эти решения вместе с некоторыми / +1 из переменных х,
скажем вместе с xi... х/+ь в качестве новых переменных. Тогда
Af = Af, XJ = XJ, ...,Xtf = ВД
где Af, Xif... Xif не зависят от и\... ur-i и содержат лишь х\... xi+\.
Таким образом, наша задача свелась к задаче интегрирования линейного
дифференциального уравнения в частных производных Af = 0 от / +
+ 1 переменных xi...x/+i, которое инвариантно относительно
/-параметрической группы Xif.. .Xif от этих переменных. Более того, Af и
Xif.. .Xif не связаны никакими линейными тождествами. Хотя вг + 1
переменных xi... ж/+ь Щ ... ur-i мы знаем еще г — / инфинитезималь-
ных преобразований -X^+i/... Xrf, которые также оставляют
инвариантным уравнение Af — 0, можно, однако, показать, что знание этих инфи-
нитезимальных преобразований бесполезно для интегрирования уравнения
Af = о.
Мы видим, что наша исходная задача сводится к аналогичной
задаче, но уже от меньшего числа переменных. С этой новой задачей можно

проделать то же самое, что и с исходной, и всю эту процедуру можно
повторить столько раз, сколько потребуется. Таким образом, при сделанных
предположениях уравнение Af = 0 можно решить, проинтегрировав, одно
за другим, некоторое количество вспомогательных уравнений различных
порядков.
Очевидно, что редукцию нашей задачи можно выполнять по-разному,
так как уже при выборе подгруппы X\f ... Xmf мы обладаем полной
свободой, с единственным условием, что она должна быть подгруппой с
наибольшим возможным числом параметров. Однако, как бы мы при этом ни
действовали, порядки требуемых операций интегрирования всегда будут
равняться целым числам, которые соответствуют некоторому
нормальному ряду подгрупп группы Xif... Xrf в смысле теоремы 63, стр. 704. Но
поскольку любым двум нормальным рядам соответствуют одни и те же
целые числа, которые могут отличаться лишь порядком следования, то ясно,
что порядки требуемых операций интегрирования не зависят от способа
редукции; выбирая другой способ редукции, можно изменить лишь порядок
следования вспомогательных уравнений различных порядков, однако
нельзя добиться того, чтобы в одном случае эти вспомогательные уравнений
имели меньший порядок, чем в другом.
Наконец, можно показать, что описанный здесь метод редукции
нашей задачи к ряду вспомогательных уравнений не поддается дальнейшему
упрощению и что теперь каждый конкретный вид уравнения Af = 0
нужно рассматривать отдельно. Если об уравнении Af — 0 известно только
то, что оно допускает r-параметрическую группу X\f... Xrf и что Af и
X\f ... Xrf не связаны никакими линейными тождествами, то
интегрирование уравнения Af = О нельзя свести к интегрированию вспомогательных
уравнений, порядки которых были бы меньше, чем порядки
вспомогательных уравнений, возникающих при описанной выше редукции.
Очевидно, что обсуждаемая здесь задача полностью аналогична
задаче нахождения решений алгебраического уравнения, коэффициенты
которого принадлежат данной области рациональности [данному полю ???], при
условии, что известна его группа Галуа. Редукция обеих задач к
вспомогательным уравнениям как можно меньшего порядка проводится совершенно
аналогично.
Выше мы пользовались несколькими утверждениями, которые были
приведены без доказательства. Здесь мы также не будем подробно
останавливаться на их доказательствах и отметим лишь следующее:

Первое приведенное без доказательства утверждение гласило, что если
найдены все решения полной системы (39), стр. 709, то, подсчитав
выражения
Xm+k^v, Xm+kXm+jUJ,; . . . ,
то есть посредством обыкновенного дифференцирования, можно найти все
решения некоторой меньшей полной системы, а именно системы (41).
Доказательство этого утверждения является чрезвычайно простым и
опирается лишь на понятие сопряженных подгрупп. Более длинное доказательство,
являющееся, однако, чисто аналитическим и имеющее элементарный
характер, можно найти в Math. Ann., том 25, стр. 83-89.
Не было доказано и то, что нельзя понизить порядки возникающих
вспомогательных систем. Этот факт требует более глубокого
доказательства, которое основывается на теории инвариантов бесконечной группы
всех точечных преобразований и на приложении этой теории к конечным
непрерывным группам. Важную роль при этом играет теория подобия.
Все эти и некоторые другие моменты мы намереваемся подробно
обсудить в отдельной работе, которая будет посвящена дифференциальным
инвариантам и теории интегрирования.
В современной математике можно проследить два основных подхода к
решению дифференциальных уравнений. Один из них основывается на
введении новых функций и отыскании критериев того, что данные
дифференциальные уравнения интегрируемы в известных классах функций. Другой
подход заключается в поиске критериев эквивалентности
дифференциальных уравнений, в частности, критериев того, что данные
дифференциальные уравнения приводимы к виду, который является интегрируемым. Эти
критерии находятся с помощью теории дифференциальных инвариантов, а
приведение заданных дифференциальных уравнений к интегрируемому
виду, если оно вообще возможно, требует интегрирования некоторых полных
систем, допускающих известные группы.
Второй из этих подходов полностью соответствует духу теории групп
преобразований. Новейшие исследования, к которым мы вернемся в
заключительной главе этой книги, показали, что первый подход также имеет
прямое [???] отношение к этой теории.
Этот параграф завершает ту часть настоящей главы, которая посвящена
общим рассуждениям о групповой структуре. Сейчас, как было объявлено

на стр. 667, мы переходим к изучению структуры групп, содержащих не
более шести параметров.
§136
Этот параграф посвящен описанию всех возможных структур дву- и
ятрешараметрических групп.
Инфинитезимальные преобразования двупараметрической группы
либо перестановочны, либо неперестановочны, и поэтому [???] существует
лишь две различных структуры двупараметрических групп, а именно
(XiX2) = 0 \(X1X2)=X1\ (42)
(ср. том I, стр. 591-592). Таким образом, каждая дву параметрическая
группа является интегрируемой, на что мы уже указывали на стр. 681.
Если трехпараметрическая группа X\f.. .Xrf не совпадает со
своей собственной производной, то она является интегрируемой, поскольку
ее первая производная содержит в этом случае не более двух параметров,
вторая — не более одного, а третья должна быть нульпараметрической.
Следовательно, каждая неинтегрируемая трехпараметрическая группа обязана
совпадать со своей производной. Однако, согласно предложению 8, том I,
стр. 263, всякая неинтегрируемая трехпараметрическая группа,
совпадающая со своей производной, не содержит инвариантных двупараметрических
подгрупп; с другой стороны, она непременно содержит неинвариантные
двупараметрические подгруппы. По теореме 58, стр. 688 настоящего тома,
отсюда следует, что она имеет структуру
(X1X2)=X1f, (X1X3)=2X2f, (X2X3)=X3f. (43)
Таким образом, каждая неинтегрируемая трехпараметрическая группа
имеет ту же структуру, что и общая проективная проективная группа.
Пусть X\f, X2f, Xsf — трехпараметрическая интегрируемая группа,
содержащая неинвариантную двупараметрическую подгруппу.
Предположим, что эта подгруппа имеет вид X2f, X^f. Тогда, согласно теореме 58,
стр. 688, группа X2f, Xsf содержит однопараметрическую подгруппу,
скажем X\f, которая инвариантна во всей нашей трехпараметрической
группе и содержится в некоторой инвариантной двупараметрической подгруппе

этой группы, скажем в подгруппе X\f, X2j'. Следовательно, структура
нашей трехпараметрической группы определяется соотношениями вида
(Х2Х3) = oXi/, (Х1Х2) = РХ2/, (Х,Х3) = XJ + 7Х2/.
Из тождества Якоби для X\f, X2f, X3f немедленно следует, что /? = 0.
Если теперь положить
*i/ = Xtf + XX2f,
то мы получим
(ХМ = XJ + {(а - 1)А + 7}*2/, (Х1Х2) = 0.
Таким образом, если а ф 1, коэффициент 7 всегда можно сделать равным
нулю. Если же а = 1 и 7 ^ 0, то, заменяя X2f на ,yX2f мы добьемся того,
7 = 1. В результате мы получаем две структуры:
{Х,Х2) = 0,(A-iX3) = XJ,(X2X3) = cX2f (44)
и
(ХгХ2) = 0,(XiX3) = XtWzXa) = Xxf + X2f, (45)
где с является существенным параметром, убрать который нельзя.
Итак, найдены структуры всех трехпараметрических интегрируемых
групп, содержащих неинвариантную двупараметрическую подгруппу.
Любая другая интегрируемая трехпараметрическая группа G3
содержит только инвариантные двупараметрические подгруппы. Если бы
инвариантными были и все ее однопараметрические подгруппы, то очевидно,
что все ее инфинитезимальные преобразования коммутировали бы друг с
другом, а соответствующая структура имела бы вид
(Х1Х2) = 0, (ХгХ3) = 0, (Х2Х3) = 0. (46)
Следовательно, мы можем считать, что наша группа G3 содержит не только
инвариантные однопараметрические подгруппы, то есть что под действием
присоединенной группы группы G3 ее инфинитезимальные
преобразования действительно переставляются между собой.
Если теперь оо2 инфинитезимальных преобразований группы G3
представлять себе как точки плоскости, то каждой двупараметрической
подгруппе будет соответствовать прямая. Поскольку всякая такая подгруппа

обязана быть инвариантной в группе G3, соответствующая ей прямая
остается на месте под действием присоединенной группы. Но каждое инфини-
тезимальное преобразование группы G3 принадлежит двупараметрической
подгруппе, и, следовательно, должно существовать непрерывное семейство
прямых, инвариантных относительно присоединенной группы. С другой
стороны, присоединенная группа преобразует точки плоскости
нетривиальным образом и поэтому не может оставлять на месте все прямые.
Таким образом, наше семейство инвариантных прямых должно образовывать
плоский пучок, центр которого, очевидно, соответствует инвариантной од-
нопараметрической подгруппе группы G3.
Мы можем считать, что только что упомянутая инвариантная однопа-
раметрическая подгруппа — это X\f и что X\f, XX2f + ^X3f суть
двупараметрические инвариантные подгруппы, ее содержащие. Тогда имеют
место соотношения вида
(Х1Х2) = aXi/, (ХгХ3) = 0XJ, (Х2Х3) = 7Xi/.
Если бы одно из чисел а и /? не равнялись нулю, то подходящей заменой
вида
X2=X2f + uX1f, X3f = X3f + pX1f
всегда можно было бы добиться того, чтобы (Х2Х3)=0, и X2f, X3f
была бы тогда двупараметрической неинвариантной подгруппой в G3. Таким
образом, а = /3 = 0. Коэффициент 7, который, разумеется, не может быть
нулевым, можно сделать равным 1, и мы получаем структуру
(X1X2) = 0, (X1X3) = 0, (X2X3) = X1f. (47)
Итак, найдены все возможные структуры трехпараметрических групп,
и доказана следующая теорема:
Теорема 64. Если трехпараметрическая группа является неинтегри-
руемой, то она проста и имеет структуру
(X1X2) = X1f, (X1X3) = 2X2f, (X2X3) = X3f\; (43)
другими словами, она имеет ту лее структуру, что и общая проективная
группа прямой. Если трехпараметрическая группа является
интегрируемой и codepoicum неинвариантные двупараметрические подгруппы, то она
имеет одну из следующих двух структур
(ХГХ2) = 0, (ХГХ3) = XJ, (Х2Х3) = cX2f (44)

и
(Х,Х2) = 0, (Х.Хг) = XJ, (Х2Х3) = XJ + X2f
(45)
Если, наконец, она не содержит неинвариантных двупараметрических
подгрупп, то она либо имеет структуру
{ХХХ2) = 0, (XiX3) = О, (Х2Х3) = Xtf
(47)
либо ее инфинитезимальные преобразования попарно перестановочны, и
она имеет структуру
(Х,Х2) = О, (ХгХ3) = О, (Х2Х3) = О
(46)
Параметр с в (44) является существенным, и избавиться от него нельзя.
Таким образом, всего существует пять типов структур трехпараметри-
ческих групп, однако один из этих типов, тип (44), содержит
произвольный параметр. Среди оо1 типов, представленных структурой (44), имеется
два, которые весьма существенно отличаются от остальных оо1; эти два
типа соответствуют значениям с = 1 и с = 0. Дело в том, что при с =
= 1 любые два независимых инфинитезимальных преобразования группы
X\f, Х2/1 -Х"з/ порождают двупараметрическую подгруппу, а при с = 0
группа Xi/, X2f, X3f содержит не одну двупараметрическую
инвариантную подгрушгу Xif, Х2/, а оо1 таких инвариантных подгрупп, которые
имеют вид Xi/, XX2f + /iX3/.
Если задана трехпараметрическая группа Yi/, У2/, Уз/ со структурой
з
(YiYk) = ^2 °ib*Ys/ (^=1.2,3),
то хотелось бы научиться быстро определять, какому из указанных в
теореме 64 типов эта структура принадлежит. Сейчас мы вкратце покажем, как
это можно сделать.
Если группа У\/, У2/, Уз/, которую мы будем обозначать через G3,
совпадает со своей производной, то есть если определитель
Cl21 c122 Ci23
С231 С232 С233
С311 с312 С313
(48)

не равен нулю, то эта группа должна иметь структуру (43). Для того,
чтобы ее структуру привести к этому нормальному виду, нужно X2f положить
равным произвольному инфинитезимальному преобразованию общего
положения e\Y\f + e2Y2f + e^Y^f и найти такое инфинитезимальное
преобразование J2ekYkf, что
При этом to будет удовлетворять квадратичному уравнению с двумя
ненулевыми корнями ио\ и — to\ (см. том I, стр. 590). Следовательно, X\f и X$f
всегда можно выбрать так, чтобы
(Х2Х3) = u)\Xzf, (X2Xi) = -uJiXif.
Наконец, если в качестве нового X2f взять u)\X2f, то мы получим
(Х1Х2) = XJ, (Х2Х3) = Х3/,
а из тождества Якоби для X\f, X2f, X%f следует, что (XiXs) = АХ^/, где
ненулевое число А с помощью подходящего выбора инфинитезимального
преобразования X\f всегда можно сделать равным 2.
Если первая производная группы G$ является двупараметрической, то
есть если определитель (48) равен нулю, в то время как хотя бы один из
его миноров второго порядка не равен нулю, то группа G$ имеет
структуру (44) или (45), правда в первом случае с ф 0. Какой из этих двух случаев
имеет место, зависит от того, содержит Gs две различные инвариантные од-
нопараметрические подгруппы или нет, а это можно проверить с помощью
рациональных операций [???].
Если, наконец, производная группы Gs является однопараметрической,
то С?з имеет либо структуру (44) с с — 0, либо структуру (47), что снова
зависит от того, содержит G3 две инвариантные однопараметрические
подгруппы или только одну.
Наглядную картинку для структуры группы X\f, X2f, X3f можно
получить, если оо2 инфинитезимальных преобразований этой группы
интерпретировать как точки плоскости и рассмотреть в этой плоскости
фигуры, составленные из ее двупараметрических подгрупп и ее
инвариантных подгрупп. В случае структуры (43) двупараметрические подгруппы
изображаются оо1 касательными невырожденного конического сечения,
инвариантного относительно присоединенной группы (см. стр. 13 и далее).

В остальных случаях двупараметрические подгруппы изображаются либо
двумя пучками прямых (случай (44) при с ф 1), либо одним таким
пучком (случаи (45) и (47)), либо же каждая прямая плоскости соответствует
некоторой двупараметрической подгруппе (случаи (44) при с = 1 и (46)).
Дальнейшие рассмотрения мы оставляем читателю.
Сейчас мы изложим еще один метод, который приводит к описанию
всех возможных структур трехпараметрической группы.
Пусть
(^-fc) = ^ Ciks-sf (U"=l,2,3; fc=t+l
mod 3)
(49)
S = l
— структура некоторой трехпараметрической группы Сз- Если положить
где под х и у понимаются параметры, то (XY) будет иметь вид J2 zs^sf->
где
\C\2s c23s c31s
Х3 Xi X2 («=1,2,3). (50)
Уз У\ У2 I
Если величины х, у, z понимать как однородные точечные координаты
плоскости, то очевидно, что структура нашей группы <?з определяет в этой
плоскости некоторое коррелятивное соответствие [???], поскольку
посредством формулы (50) каждой прямой с линейными координатами щ : и2 : Щ
сопоставляется точка
Zs = Ci2sU3 + C23sUl + C31s^2 (s=l,2,3).
(50')
Это коррелятивное соответствие можно выразить одним-единственным
уравнением относительно линейных координат:
^(Cl2s^3 + C23s^l + CsisU2)Vs = 0.
5=1
Но это уравнение известным образом приводится к виду
P + G = 0,
(50")
(50"')

где уравнение Р = О задает некоторое полярное соответствие [???], a G
задает коррелятивное соответствие, определяемое некоторой прямой.
Действительно, мы получаем, что
Р = Y^{CikJU3VJ + £(С«Ь + CJii)(UiVk + UkVi)},
(51)
где г, /c,j — какая-либо циклическая перестановка чисел 1,2,3. С другой
стороны,
^ С122 + С133 С23З + C211 C311 + С322
G = - vi v2 V3 (52)
I wi u2 щ I
Изучим теперь свойства нашего коррелятивного соответствия.
Тождество Якоби доставляет три соотношения на Qfcs, которые можно
записать следующим образом:
Cl2s(C311 + C322) + C23s(Cl22 + С133) + C31s(C233 + Q21l) = 0
(5=1,2,3).
(53)
Если определитель (48) не равен нулю, то эти уравнения равносильны
следующим трем:
СЗП + с322 = Ci22 + Ci33 = С233 + Q211 = 0.
(54)
Таким образом, коррелятивное соответствие (50'") сводится к полярному
соответствию Р = 0, которое в качестве определителя имеет
определитель (48) и, следовательно, является полярным соответствием некоторой
невырожденной кривой второго класса. Если эту кривую второго класса
посредством линейного однородного преобразования линейных координат
привести к виду u\u2 —U2 — 0, то наше коррелятивное соответствие примет
вид
1*1^3 + ЩУх - 2u2V2 = 0.
Сравнивая это уравнение с (50'"), мы получаем, что уравнения (49) имеют
знакомый нам вид
(Si52) = Hi/, (S1S3) = 25г/, (^2^з) = Нз/.
Если определитель (48) равен нулю, то Р — 0 является полярным
соответствием вырожденной кривой второго класса. Действительно, если

выполняются уравнения (54), то (48) является определителем нашего
полярного соответствия, откуда следует, само это соответствие является
вырожденным. Если же уравнения (54) не выполняются, то прямая
Щ : и2 : Щ = Ci22 + Ci33 • Q233 + Q211 : с3ц + с322 (55)
не равна тождественно нулю. Но, как следует из (53), этой прямой при
коррелятивном соответствии (50") отвечает нулевая точка. Поскольку G на
прямой (55) обращается в нуль, ясно, что и при полярном соответствии
Р = 0 ей соответствует нулевая точка, так что это полярное соответствие
является вырожденным.
Посредством линейного однородного преобразования линейных
координат вырожденное полярное соответствие Р = 0 можно привести к виду
u\V2 + U2V1 = 0 или к виду u\Vi = 0, либо же оно тривиально. Если
прямая (55) не равняется тождественно нулю, то в первом случае она
удовлетворяет уравнениям щ = U2 = 0, во втором — уравнению щ = 0, а в
третьем остается произвольной. Однако в каждом из этих случаев
линейные координаты можно выбрать так, чтобы наша прямая (55) удовлетворяла
уравнениям щ = и^ = 0. Отсюда следует, что наше коррелятивное
соотношение всегда можно привести к одному из следующих четырех видов:
( U\V2 + U2V1 + c(U\V2 — U2V1) = 0
uivi +c'(uiv2 -u2vi) = 0
< (56)
U\V2 — U2V1 = 0
[ 0 = 0.
Параметр с здесь является существенным, а параметр с', если он не равен
нулю, можно посредством подходящего выбора линейных координат
сделать равным 1. Сравнивая (56) и (50"), мы немедленно получаем все
недостающие структуры трехпараметрических групп, причем эти структуры в
основном имеют вид, указанный в теореме 64.
Сейчас мы рассмотрим еще один метод, которой, не будучи таким
элементарным, является более общим.
Всякая группа точечных или контактных преобразований может быть
записана в виде группы однородных контактных преобразований. Инфини-
тезимальные преобразования этой группы определяются тогда
характеристическими функциями
#fc(xi,X2..., РьР2-..) (5=1,2,3),

где Н^ являются однородными первого порядка относительно р и где
соотношения
3
{ЩНк) = ^ CiksHs (5=1,2,3)
5=1
определяют структуру рассматриваемой группы (см. том II, глава 18).
Функции Н\, Н2, Н3 определяют однородную группу функций
(том II, стр. 213), которая, очевидно, является не более чем трехпараметри-
ческой и не все функции которой являются однородными нулевого порядка
относительно р. Однопараметрической эта группа быть не может,
поскольку тогда она не могла бы содержать три однородные функции первого
порядка Н\, Н2, Н$, не удовлетворяющие никакому линейному
соотношению ^2скНк =0с постоянными коэффициентами. Если она является дву-
параметрической, то посредством подходящей замены переменных ее
можно привести к одному из канонических видов рь х\ и р\, х2.
Следовательно, в этих новых переменных характеристические функции Н\, Н2, Нз
нашей группы однородных контактных преобразований принимают вид
Нк = <РкЫ)Р1 (*=i,2,3)
или вид
Нк = (Рк(х2)р\ (s=l,2,3).
Очевидно, что обе эти группы являются группами точечных
преобразований, причем первая — на прямой, а вторая — в плоскости.
Если Яь #2, Н3 определяют трехпараметрическую однородную
группу функций, то она может принимать один из трех канонических видов
PU XU V2] PU XU Х2\ Ри %2, Х3.
В первом случае Н\, Н2, Нз является трехпараметрической группой
однородных контактных преобразований плоскости, однако, по теореме 65,
том II, стр. 410, эта группа является приводимой, и, следовательно,
посредством однородного контактного преобразования ее можно перевести в
группу точечных преобразований плоскости. Во втором случае Н\, Н2, Нз
уже сама является группой точечных преобразований плоскости. Наконец,
в третьем случае все (Н{Нк) равны нулю.
Таким образом, имеет место следующий результат:

Предложение 16. Каждую трехпараметрическую группу однородных
контактных преобразований, инфинитезимальные преобразования
которой не являются попарно перестановочными, посредством однородного
контактного преобразования молено перевести либо в группу точечных
преобразований прямой, либо в группу точечных преобразований
плоскости.
Так как мы уже знаем все трехпараметрические группы точечных
преобразований на прямой и в плоскости (см. стр. 6 и стр. 57), мы можем
незамедлительно выписать все структуры трехпараметрических групп.
Разумеется, мы получим те же структуры, что и ранее.
Из приведенных выше рассуждений следует, впрочем, и более сильное
утверждение:
Предложение 17. Пусть Hi... НТ — г-параметрическая группа
однородных контактных преобразований, инфинитезимальные преобразования
которой не являются попарно перестановочными, и пусть число
параметров в соответствующей ей однородной группе функций не превосходит
трех. Тогда группу Hi... Нг посредством однородного контактного
преобразования МОЭ1СНО перевести в группу однородных контактных
преобразований прямой или плоскости.
Поскольку все группы однородных контактных преобразований на
прямой и в плоскости были описаны нами ранее, мы можем также
немедленно предъявить все структуры, которыми может обладать г-параметриче-
ская группа указанного свойства.
Теория однородных групп функций является мощным
вспомогательным средством при выводе таких общих утверждений, однако впоследствии
мы к ней прибегать больше не будем.
§137
Перейдем теперь к описанию всех структур, которыми может обладать
четырехпараметрическая группа.
Всякая четырехпараметрическая группа G$ содержит
трехпараметрические подгруппы. Если она, в частности, содержит некоторую
неинвариантную трехпараметрическую подгруппу Сз, порождаемую инфините-
зимальными преобразованиями -Xi/, -Х2/, Xsf, то, согласно теореме 58,

стр. 688, существует две возможности: либо группа G4 имеет структуру
( (Х1Х2)= XJ + aXtf
(XlX3)=2X2f + (3X4f
} (Х2Х3) = X3f + jX4f (57)
(XiXi) = \%X4f
{ (г=1,2,3),
либо G3 имеет инвариантную двупараметрическую подгруппу,
содержащуюся в некоторой инвариантной трехпараметрической подгруппе Гз
группы G4. Во втором случае группа G4 является интегрируемой.
Действительно, трехпараметрическая инвариантная подгруппа Гз содержит
двупараметрическую инвариантную подгруппу и, следовательно, является
интегрируемой, откуда следует интегрируемость и всей группы G4 (ср. предл. 6,
стр. 680). В первом случае мы, прежде всего, заменяем X2f на X2f +
+ \(3X4f и получаем /3 = 0. Затем мы строим тождество Якоби для
X\f, X3f, X4f, из которого следует, что А2 = 0. Тождества Якоби для
X\f, X3f, X4f и X2f, X3f, X4f показывают теперь, что Ai = A3 = 0.
Наконец, выбирая в качестве новых X\f и X3f выражения X\f + aX4f и
X3f + jX4f, мы получаем структуру
(х1х2) = ад (х,х3) = 2ад (х2х3) = x3f
(Х1Х4) = (Х2Х4) = (Х3Х4) = 0. [ }
Эта четырехпараметрическая группа, очевидно, неинтегрируема.
Итак, теперь мы знаем, что всякая четырехпараметрическая группа,
содержащая неинвариантную трехпараметрическую подгруппу, либо
интегрируема, либо обладает структурой (58). С другой стороны, легко
показать, что каждая четырехпараметрическая группа G4, содержащая только
инвариантные трехпараметрические подгруппы, является интегрируемой.
Действительно, по теореме 106, том I, стр. 593, всякая однопараметриче-
ская подгруппа группы G4 принадлежит, по меньшей мере, одной
трехпараметрической подгруппе этой группы. Следовательно, G4 содержит две
различные трехпараметрические подгруппы G3 иГ3. Обе эти подгруппы в
нашем случае инвариантны в G4, так что принадлежащая им обеим двупа-
раметрическая подгруппа (том I, предл. 7, стр. 211, и предл. 10, стр. 264)
также инвариантна в G4. Но отсюда следует, что инвариантные подгруппы
G3 и Гз группы G4 являются интегрируемыми, а значит, интегрируема и
сама G4. Таким образом, верно следующее:

Предложение 18. Всякая неинтегрыруемая четырехпарсьметрическая
группа имеет структуру (58).
Поскольку производная интегрируемой четырехпараметрической
группы G4 является не более, чем трехпараметрической, а в случае, когда G^
имеет структуру (58), эта производная содержит ровно три параметра, то
мы получаем следующий результат:
Предложение 19. Первая производная четырехпараметрической
группы является не более, чем трехпараметрической.
Прежде, чем мы перейдем к интегрируемым четырехпараметрическим
группам, мы опишем структуры всех четырехпараметрических групп, содержащих трех-
параметрическую простую группу. Эти группы, разумеется, интегрируемы, и
поэтому мы не получим никаких новых подгрупп. Однако метод, которым мы при этом
воспользуемся, является чрезвычайно плодовитым [???] и может сослужить
хорошую службу при изучении пяти- и шестипараметрических неинтегрируемых групп.
Пусть G\ — четырехпараметрическая группа, содержащая трехпараметриче-
скую простую группу (7з- Мы можем считать, что Сз порождается инфинитези-
мальными преобразованиями Xif, Xif, Хз/, связанными соотношениями
(ХгХ2) = Xi/, (Х1Х3) - 2Х2/, (Х2Х3) - X3f.
Если бы группа Сз не была инвариантна в G4, то (ср. предл. 13, стр. 694, и стр. 696)
она должна была бы содержать двупараметрическую инвариантную подгруппу, чего
не происходит. Таким образом, группа (2з инвариантна в G*. Следовательно, если
оо3 инфинитезимальных преобразований ^ekXkf изобразить точками
обыкновенного трехмерного пространства, то соответствующая группе Сз плоскость е4 = О
будет инвариантна относительно присоединенной группы E\f.. ,E±f нашей
группы GU-
Группа E\f, Eif, Ezf преобразует точки плоскости е\ — 0 посредством
трехпараметрической проективной группы, которая, очевидно, совпадает с
присоединенной группой группы Сз, и, следовательно, она оставляет на месте
изолированное невырожденное коническое сечение (см. стр. 13 и далее). С другой
стороны, группа Eif, E^f, Ezf инвариантна в присоединенной группе группы G4, a
значит, упомянутое коническое сечение должно оставаться на месте под
действием всей присоединенной группы группы G$ и, в частности, под действием E\f
(см. том I, стр. 586-587). Но поскольку невырожденное коническое сечение может
допускать не более трех независимых инфинитезимальных проективных
преобразований своей плоскости (см. предл. 2, стр. 88), то среди оо3 инфинитезимальных
преобразований ^X^E^f должно существовать, по меньшей мере, одно,
оставляющее на месте все точки плоскости е$ — 0. Наконец, принимая во внимание то, что

группа E\f, Eif, Ezf преобразует точки плоскости в4 = 0 трехпараметрически,
мы убеждаемся, что X*f можно выбрать так, чтобы преобразование E^f оставляло
на месте каждую точку плоскости е$ — 0.
Если инфинитезимальное преобразование X^f выбрано только что указанным
образом, то очевидно, что преобразование E*f, которое также оставляет на месте
точку ei = 62 = ез = 0 (см. стр. 673), имеет вид
и, следовательно, имеют место соотношения вида
(ХгХ4) = рХг/ (t=i,2,3).
Однако из тождества Якоби для Xi/, Х2/, X±f мгновенно следует, что р = 0,
и мы получаем, что всякая четырехпараметрическая группа, содержащая
трехпараметрическую простую группу, имеет структуру (58).
Теперь, чтобы найти все неинтегрируемые четырехпараметрические группы,
нужно отыскать лишь те из них, которые не содержат трехпараметрических простых
групп. При этом, разумеется, оказывается, что таких групп не бывает. Мы не будем
останавливаться на необходимых здесь рассуждениях, поскольку они равносильны
повторению сказанного на стр. 722.
Нам остается еще описать структуры всех интегрируемых четырехпа-
раметрических групп. При этом удобно сначала исключить из
рассмотрения все группы, содержащие трехпараметрическую подгруппу с попарно
перестановочными инфинитезимальными преобразованиями, а потом
рассмотреть их отдельно.
Пусть G± — четырехпараметрическая интегрируемая группа, не
содержащая трехпараметрических подгрупп с попарно перестановочными
инфинитезимальными преобразованиями. Тогда первая производная
группы С?4 также является интегрируемой, причем она, очевидно, может быть
лишь трех-, дву-, или однопараметрической. Таким образом, мы должны
рассмотреть эти три случая по порядку.
Если первая производная группы G± является трехпараметрической,
то мы можем считать, что она порождается инфинитезимальными
преобразованиями X\f, -Х2/, Xzf и что ее структура имеет один из нормальных
видов (44), (45) и (47), выписанных в теореме 65, стр. 715-716. Однако
можно показать, что возможен лишь последний из этих трех случаев.

Действительно, в каждом из первых двух случаев, группа имеет
структуру
(ХгХ2) = 0, (ХгХ3) = XJ, (Х2Х3) = ceXxf + cX2/,
где число е при с ф 1 всегда равно нулю, а при с = 1 равно либо 0, либо 1.
При с ^ 0 группа X\f, X2f является второй производной группы G$ и,
следовательно, должна быть в ней инвариантной. С другой стороны,
очевидно, что при с = 0 однопараметрические подгруппы X\f и X2f
являются единственными инвариантными однопараметрическими подгруппами
первой производной, так что группа X\f, X2f и в этом случае
инвариантна в С?4. Отсюда следует, что при любых обстоятельствах имеют место
соотношения вида
{Х,ХА) = XXJ + fiX2f, (Х2ХА) = vXxf + PX2f.
Но тогда, чтобы первая производная группы G^ была трехпараметрической,
выражение (Х3Х4) должно содержать X^f, и мы можем считать, что оно
имеет вид
(XzX4) = X3f + aXlf + (3X2f.
Рассматривая множитель перед X\f в тождестве Якоби для X\f, X$f, X±f
и множитель перед X2f в тождестве Якоби для Х2/, -Хз/> X^f, мы
получаем два уравнения
— 1 — fice = 0, сг\х — с = О,
которые, в силу условий на г и с, несовместны. Таким образом, первые два
случая действительно исключаются.
В третьем случае группа X\f, X2f, X$f имеет структуру
(XlX2) = Q, (XlX3) = 0, (X2X3)=Xlf, (59)
так что подгруппа X\f является второй производной группы G± и поэтому
инвариантна в G±. Таким образом,
(XiX4)=cX1f. (60)
Поскольку все оо1 двупараметрических групп X\f, aX2f + bX^f
инвариантны в группе Xif, X2f, X3f, то под действием присоединенной
группы группы С?4 они преобразуются не более, чем однопараметрически.
Поскольку, к тому же, в плоском пространстве всех оо3 инфинитезимальных

преобразований группы G$ они изображаются плоским пучком прямых,
ясно, что, по меньшей мере, одна их них инвариантна и в G4. Теперь можно
выбрать такие Х2/ и Хз/, что соотношения (59) не изменятся, а Хх/, Х^/
будет инвариантной в G± подгруппой. Следовательно,
(Х2Х4) = aXJ + (3X2f
{X3X4) = 1X1f + 8X2f + eX3f. [ '
Ни /3, ни е здесь не равны нулю, так как в противном случае первая
производная группы G4 не была бы трехпараметрической.
Ненулевой коэффициент (3 можно сделать равным 1. Сделав это и
введя в качестве нового X$f выражение X±f — 0X3/ + 7-^2/> мы добьемся
того, чтобы а = 7 = 0. Из тождества Якоби для Х2/, Хз/, X^f,
являющегося единственным нетривиальным тождеством Якоби, следует, что
с — £ — 1 = 0. Таким образом, с/1и соотношения (61) принимают вид
(X2X4) = X2f, (X3X4) = 6X2f + (c-l)X3f («*!).
Если мы теперь в качестве нового Хз/ введем выражение Хз/ + АХ?/, то
при условии, что сф2, мы с помощью подходящего выбора числа А всегда
можем добиться того, чтобы 6 = 0. Если же с = 2 и (5 ^ 0, то выбирая
5X2f и SXif в качестве новых Х2/ и Xi/, мы получим 6 = 1.
Таким образом, мы получаем лишь две структуры:
Г №х2) = о, (XiX3) = o, (x2x3) = xlf
I (ХгХА) = cXtf, (X2X4) = X2f, (X3X4) = (с - l)X3f (62)
[ (c#l)
И
Г (ад) = о, (ад) = о, {x2xz) = xxf
\(X1X4) = cX1f, (X2X4) = X2f, (Х3Х4) = X2f + X3f. [ '
Если первая производная группы G\ является двупараметрической,
то мы можем считать, что она порождается инфинитезимальными
преобразованиями Xif и Х2/. Если Xi/ и Х2/ неперестановочны, то первая
производная группы Xi/, X2/ обязана быть инвариантной в G$. Если же
(Х1Х2) = 0, то семейство всех оо1 однопараметрических подгрупп вида
aXif + 6X2/ под действием присоединенной группы группы G^
преобразуется не более, чем двупараметрически, и, следовательно, по меньшей

мере одна из них остается инвариантной. Не ограничивая общности, мы
можем считать, что подгруппа X\f инвариантна в G4 и что, следовательно,
имеют место соотношения вида
{Х1Х2) = eXJ, (ХгХз) = aXJ, (ХХХ4) = (3XJ
(Х2Х3) = XXJ + дХ2/, (Х2Х4) = \'Xxf + p!X2f
(Х3Х4) = uXJ + pX2f.
Если бы е ф 0, то из тождеств Якоби для X\f, X2f, X3f,
Xif, X2f, X4f и Xlf, X3f, X4f следовало бы, что /x = p! = p = 0,
и первая производная группы G4 была бы, вопреки нашему
предположению, лишь однопараметрической. Следовательно, 6 = 0. Далее, одно из
инфинитезимальных преобразований вида aX3f + bX4f непременно
перестановочно с Xif, и поэтому мы можем положить а = 0.
Если бы теперь А и \± одновременно равнялись нулю, то Xi/, X2f, X3f
была бы трехпараметрической подгруппой группы G4 с попарно
перестановочными преобразованиями. Этот случай, однако, мы пока исключаем, и,
следовательно, хотя бы одно из чисел А и /х не равно нулю, а тогда
подходящим выбором инфинитезимальных преобразований X2f и X3f мы можем
добиться того, чтобы выражение (Х2Х3) равнялось либо Х2/, либо Xif.
В первом случае, введя X4f — p'X3f + pX2f в качестве нового X4f,
мы получим соотношения
(Х1Х2) = 0, (Х^г) = 0, (Х2Х3) = X2f
(Х1Хл) = рХ1/, (X2X4) = X'X1f, {X3X4)=vX1f.
Тождество Якоби для Х2/, X3f, X4f — единственное тождество, дающее
нетривиальные соотношения, — дает А' = 0. Но тогда /3 не может равняться
нулю, поскольку в противном случае Xif, X2f и X4f были бы попарно
перестановочны. Постоянную (3 можно, разумеется, сделать равной 1, и
заменяя, наконец, X3f на X3f — vX2j', мы получим структуру
(ад) = о, №*3) = о, (x2x3) = x2f
(X1X4) = X1f, (Х2Х4)=0, (Х3Х4)=0. [ }
Во втором случае мы в качестве нового X4f вводим X4f — X'X3f +
+ vX2f и получаем соотношения
(XiX2) = 0, (XiXs) = 0, (Х2Х3) = XJ
(X1X4)=0Xlf, {Х2Х4) = n'X2f, (X3X4)=pX2f.

Тождество Якоби для X2f, X3f, X4f дает /i' = (3. Число j3 не может
равняться нулю, поскольку тогда Xif, X2f и X4f были бы попарно
перестановочны, и, следовательно, его можно сделать равным 1. Если, наконец,
в качестве нового Xsf взять X3f — pX2j\ то мы получим структуру
(ХгХ2) = О, (ХгХ3) = О, (Х2Х3) = XJ
(X1X4) = X1f, (X2X4)=X2f, (Х3Х4)=0. [ '
Если первая производная группы G4 является однопараметрической,
то мы можем считать, что она порождается инфинитезимальным
преобразованием X\f. Тогда все шесть выражений (XiXk) зависят только от Xif,
и поэтому X2f и X3f можно выбрать так, чтобы
{ХХХ2) = О, (ХгХз) = 0.
Очевидно, что (Х2Х3) не равняется нулю, поскольку в противном случае
X\f, X2f, X3f были бы попарно перестановочными. Следовательно, мы
можем положить (Х2Х3) = Xif, в то время как
(ХгХ4) = aXJ, (X2X4) = flXtf, (X3X4) = 7Xi/.
Из тождества Якоби для X2f, X3f, X4f следует теперь, что а = 0, а вводя
X4f — (3X3f+^X2f в качестве нового X4f, мы получаем (3 — 7 = 0. Таким
образом, группа G4 содержит три попарно перестановочных инфинитези-
мальных преобразования X\f, X2f, X4f, чего быть не должно. Отсюда мы
заключаем, что при сделанных предположениях первая производная
группы G4 не может быть однопараметрической.
Теперь нам нужно найти структуры всех интегрируемых четырехпара-
метрических групп, содержащих трехпараметрическую подгруппу с
попарно перестановочными инфинитезимальными преобразованиями.
Прежде, чем мы приступим к описанию этих групп, мы докажем одно
общее утверждение, которым мы затем сразу и воспользуемся.
Предложение 20. Если г-параметрическая группа, не все инфините-
зимальные преобразования которой перестановочны друг с другом, содер-
э/сит (г — \)-параметрическую подгруппу с попарно перестановочными
инфинитезимальными преобразованиями, то она содержит и инвариантную
(г — \)-параметрическую подгруппу с попарно перестановочными
инфинитезимальными преобразованиями и, кроме того, является интегрируемой.

Действительно, пусть X\f... Xrf или Gr — такая r-параметрическая
группа, и пусть X\f... Xr-if или Gr_i — та ее (г — 1)-параметрическая
подгруппа, инфинитезимальные преобразования которой попарно
перестановочны, то есть пусть
(XiXk) = 0 (i,*=i...r-i).
Предположим, что подгруппа Gr_i неинвариантна в Gr. Тогда в Gr
существует оо1 сопряженных с Gr_i подгрупп, которые под действием
присоединенной группы группы Gr преобразуются либо дву-, либо трехпарамет-
рически (см. теор. 58, стр. 688). Здесь, однако, возможен лишь первый из
этих двух случаев, так как трехпараметрическая общая проективная группа
одномерного многообразия, очевидно, неизоморфна группе Gr.
Следовательно, согласно только что упомянутой теореме, оо1 сопряженных с Gr-\
подгрупп группы Gr обладают общей (г — 2)-параметрической подгруппой,
скажем X\f... Xr-2f, инвариантной в Gr, которая, со своей стороны,
содержится в (г — 1)-параметрической инвариантной подгруппе группы Gr,
скажем в X\f..,Xr-2f, Xrf. Но тогда (см. стр. 687) эти оо1
сопряженных с GV-i подгрупп записываются в виде X\f... Xr-2f, Xr-if + XXrf.
Поскольку все они имеют ту же структуру, что и Gr_i, то
(XiXr) = (Х2ХГ) = ... = (ХГ-2ХГ) = 0,
то есть Gr действительно содержит инвариантную (г —
^-параметрическую подгруппу X\f. .. Xr_2/, Xrf, инфинитезимальные преобразования
которой попарно перестановочны.
Этим доказана первая часть предложения 20. Интегрируемость же
группы Gr легко следует из того, что инфинитезимальные преобразования
ее первой производной обязаны быть попарно перестановочными.
Вернемся теперь к нашему частному случаю г = 4. На основании
предложения 20 мы можем утверждать, что всякая группа G4, обладающая
требуемыми свойствами, обладает структурой следующего вида:
( (Х1Х2) = 0, (ХгХ3) = 0, (Х2Х3) = 0
I (Х>Х4) = chXJ + ci2X2f + ci3X3f (66)
I (i=l,2,3).
Рассмотрим оо3 инфинитезимальных преобразований ^ e^Xkf группы G^
как точки некоторого плоского пространства R3, на котором действует
присоединенная группа Eif... E\f этой группы. Ясно, что плоскость е$ = 0

остается при этом на месте. Более того, преобразования E\f, E2f, -Е"з/
оставляют на месте все точки этой плоскости и, может быть, лишь
£<./ = J>s = l:
df
Cjsejdes
преобразует точки этой плоскости нетривиальным образом.
Для того, чтобы структуру (66) привести к наиболее простому
нормальному виду, нужно в качестве новых X\f, X2f, Xsf выбрать такие
три независимых линейных комбинации инфинитезимальных
преобразований Xif, X2/, Xsf, при которых выражения (XiX±) принимают наиболее
простой вид. Это, однако, легко сводится к тому, чтобы с помощью
линейного однородного преобразования величин еь ег, ез как можно более
упростить вид преобразования E±f, поскольку коэффициенты
преобразования E/±f дают полную информацию о виде выражений (Х^Х^). Но все
простейшие нормальные виды преобразования E/±f были найдены нами
еще при описании всех типов линейных однородных групп от трех
переменных. Поэтому нам нужно из таблицы на стр. 116-119 выбрать лишь
все содержащиеся в ней типы однопараметрических подгрупп, после чего
легко выписать все типы групп G4 структуры (66).
Действуя таким образом, мы получаем шесть нормальных видов
преобразования E±f:
df df df
ei^—+ae2^— +ce3^—
oe\ ов2 оез
df, df f df df df
ot\ oe2 \ ae\ <9e2 дез
dei дв2
p °f ^ d* _l. d* j.p df _l„ d*
oe\ oe2 oe\ oe2 ues
df df df df df
вз^—, e3- bei- he2^ be3—,
ов2 oe2 ue\ ов2 dez
где, чтобы не различать слишком много случаев, мы в первом нормальном
виде совместили три вида, которые на стр. 119 выписаны по отдельности.
Кроме того, следует еще иметь в виду случай, когда преобразование E\f
тождественно равно нулю. Этим нормальным видам преобразования E^f
соответствуют следующие нормальные виды структуры (66):

(Х1Х4) = Xif, (X2X4) = aX2f, (X3X4) = cX3f
(X%Xk) = 0 (z,fc=l,2,3)
(X1X4) = cXi/, (X2X4) = (14- c)X2/, (X3X4) = Xi/ 4- cX3/
(XtX*) = 0 (1^=1,2,3)
(X1X4) = ад (x2x4) = о, (x3x4) = Хг/
(ХгХк) = 0 (t,fr=i,2,3)
(X1X4) = Xx/ 4- X2/, (X2X4) = X2/, (X3X4) = Xi/ 4- X3/
(X2Xa) = 0 (гД = 1,2,3)
(X1X4) = О, (Х2Х4) = 0, (X3X4) = X2/
(XtXfc) = 0 (г,А = 1,2,3)
(XaX4) = Xx/, (X2X4) = X2/, (X3X4) = X2/ + X3/,
(ХгХл) = 0 (t,fr=i,2,3)
(XiX4) = 0, (X2X4) = 0, (X3X4) = 0, (XtX*)=0 (гл=1,2,з)
(67)
(68)
(69)
(70)
(71)
(72)
(73)
Наконец, следовало бы еще выяснить, не является ли какая-либо из
этих семи структур лишней. Однако легко убедиться, что лишних среди
них нет. В самом деле, группа G± могла бы лишь тогда принадлежать двум
различным из наших семи классов, когда бы она содержала две различные
инвариантные трехпараметрические подгруппы с попарно
перестановочными инфинитезимальными преобразованиями, скажем Х]_/, Х2/, X$f
и Xi/, X2/, X±f. Но очевидно, что в этом случае все коммутаторы
кроме (Х3Х4) равнялись бы нулю, а коммутатор (Х3Х4) был бы линейной
комбинацией инфинитезимальных преобразований X\f и Х2/, и если бы
он не равнялся нулю, то его можно было бы привести к виду (Х3Х4) =
= Хг/. Отсюда следует, что этот случай возможен только тогда, когда E±f
тождественно равняется нулю или приводится к предпоследнему из
перечисленных на стр. 740 нормальных видов. Таким образом, группы (71)
и (73) являются единственными из групп (69)... (73), содержащими две

различные инвариантные трехпараметрические подгруппы с попарно
перестановочными преобразованиями.
Итак, перечисленные выше семь групп представляют семь различных
типов структур. Два из этих типов содержат произвольные параметры.
Здесь следует отметить, что количество различных структур, задаваемых
соотношениями (67), не равно количеству различных систем значений а, с.
В этом легко убедиться, например, поменяв местами а и с. Однако нет
необходимости останавливаться на этом более подробно; достаточно заметить,
что в (67) нельзя избавиться ни от одного из параметров а и с. Что
касается структуры (G8), то любым двум различным значениям параметра с в ней
всегда отвечают две различные структуры.
Определив количество параметров в первой производной группе для
каждой из групп (69)... (73), мы получим следующее. Первая
производная является трехпараметрической в случае (67), когда ни а, ни с не равны
нулю, в случае (68) при с/0,-1ив случаях (70) и (72). Двупараметри-
ческой она является в случае (67) при с = 0, а ф 0*, в случае (68) при
с = 0, — 1 и, наконец, в случае (69). Однопараметрической является первая
производная группы (67), когда а — с — 0, а также первая производная
группы (71).
Таким образом, те из групп (67), в которых хотя бы одно из чисел
а, с не равно нулю [???], занимают особое место. Однако среди них
существуют и другие группы, которые являются в некотором смысле особыми.
Если числа 1, а, с отличны друг от друга, то группа структуры (67)
содержит ровно три инвариантные однопараметрические подгруппы: X\f, X2f
и X%f. Если же два, но не более, из чисел 1, а, с равны друг другу — в этом
случае, очевидно, можно считать, что либо а = 1 и с Ф 1, либо а = с = 0 —
то кроме инвариантной однопараметрической подгруппы X\f наша группа
содержит еще оо1 различных подгрупп такого рода. Если, наконец, а = с =
= 1, то всякая однопараметрическая подгруппа e\X\f + е2Х2} + e^Xsf
является инвариантной в G^, и, кроме того, всякое линейное
многообразие инфинитезимальных преобразований группы G^ порождает подгруппу
вС4.
Соберем теперь вместе результаты, полученные нами для случая четы-
рехпараметрических групп:
Теорема 65. Если четырехпараметрическая группа неинтегрируема,
то она содержит инвариантную трехпараметрыческую простую группу
* Случай а = 0, сфО, очевидно, особо рассматривать ненужно.

и имеет структуру (58), стр. 723. Если она интегрируема и не
содержит трехпараметрических подгрупп с попарно перестановочными инфи-
нитезималъными преобразованиями, то она имеет одну из структур (62),
(63), (64), (65), стр. 726 и 727. Если, наконец, она интегрируема и
содержит трехпараметрическую подгруппу с попарно перестановочными ин-
финитезимальными преобразованиями, то она имеет одну из структур
(67)... (73), стр. 730.
Поскольку структура (65) получается из структуры (62), если
параметру с в (62) придать исключенное там значение с = 1, мы можем сказать, что
существует всего одиннадцать различных типов структур четырехпарамет-
рических групп. Правда, один из этих типов содержит два существенных
параметра, а два других — по одному. Чтобы составить наглядное
представление об этих типах, было бы неплохо для каждого из них
определить все инвариантные трех-, дву- и однопараметрические подгруппы и
рассмотреть плоскую проекцию фигуры, построенной из этих подгрупп в
пространстве Rs всех оо3 инфинитезимальных преобразований
рассматриваемой группы. Если к этой фигуре, не загромождая ее, можно добавить и
неинвариантные трех- и двупараметрические подгруппы, тем лучше. При
рассмотрении структур, содержащих существенные параметры, для
некоторых особых значений этих параметров придется строить отдельные
фигуры.
§138
В этом параграфе мы займемся отысканием всех структур неинтегри-
руемых пяти- и шестипараметрических групп.
Если пятипараметрическая группа Gs содержит трехпараметрическую
простую подгруппу Сз, имеющую структуру
(X1X2) = X1f, (ХгХ3) = 2Х2/, (Х2Х3)=Х3/, (74)
то она неинтегрируема. Сперва мы рассмотрим случай, когда G$ содержит
такую подгруппу G3.
Если Сз не содержится ни в какой четырехпараметрической
подгруппе группы G5, то она неинвариантна ни в какой-либо
четырехпараметрической подгруппе группы G5, ни в самой G5. Следовательно, в G$ существует
оо2 сопряженных с Сз подгрупп, которые под действием присоединенной

группы группы G?5 переставляются между собой посредством
транзитивной группы 7» изоморфной группе G5. Поскольку G$ проста и не
содержится ни в какой большей подгруппе группы G$, легко увидеть, что эта
группа 7 изоморфна группе G$ голоэдрически, то есть является пятипара-
метрической, и что двумерное многообразие всех оо2 сопряженных с G%
подгрупп преобразуется под действием 7 примитивным образом (см. том I,
теор. 85, стр. 483, и теор. 91, стр. 521). Таким образом, наша группа G5
имеет одинаковую структуру с некоторой пятипараметрической
примитивной группой плоскости, откуда следует (см. теор. 5, стр. 35), что она имеет
ту же структуру, что и специальная линейная группа р, g, xq, xp — yq, у р.
Если же Gz содержится в некоторой четырехпараметрической
подгруппе G\, то мы можем считать, что G$ имеет вид X\f...X4f и что
(ср. стр. 722) имеют место соотношения
(ад) = о, (х2х,) = о, (х3х4) = о.
Теперь если G$ инвариантна в G5> то инвариантной в G5 будет и первая
производная подгруппы G\, а значит, и Сз- Если подгруппа G$
неинвариантна в Gsy то, согласно теореме 58, стр. 688, она содержит дву- или
трехпараметрическую инвариантную подгруппу, которая также
инвариантна в G5. Но, в соответствии с теоремой 3, стр. 26, G4 содержит лишь одну
трехпараметрическую инвариантную подгруппу, а именно Сз, и ни одной
двупараметрической инвариантной подгруппы. Поэтому и в этом случае G3
инвариантна в Gs-
Из сказанного следует, что при сделанном предположении X\f, X2j\
Хз/, X$f также является четырехпараметрической подгруппой группы G5,
и, следовательно, мы можем считать, что
(ВД = 0, (Х2Х5) = 0, (Х3Х5) = 0.
Тождества Якоби, построенные для X4f, X&f и каждого из преобразований
Xi/, Х2/, X3f9 дают
({ХМХг) = ((Х4Х5)Х2) = ((Х4ХЬ)Х3) = О,
откуда мы заключаем, что выражение (Х4Х$) не содержит X\f, X2f, X$f.
Таким образом, если (Х4Х$) Ф О, то с помощью подходящего выбора ин-
финитезимальных преобразований X4f и Х5/ можно добиться того, чтобы
(Х4Х5) = X4f.

Вкратце этот результат можно сформулировать следующим образом:
если пятипараметрическая подгруппа G5 содержит трехпараметрическую
простую группу, принадлежащую некоторой четырехпараметрической
подгруппе группы G5, то она имеет ту же структуру, что и
пятипараметрическая группа плоскости
р, хр, х2р, q, yq
или пятипараметрическая группа пространства
р, хр, х2р, q, г.
Займемся теперь отысканием всех неинтегрируемых групп G5, не
содержащих трехпараметрических простых групп. Легко показать, что таких
групп вообще не существует.
Если неинтегрируемая группа G$ не содержит групп Сз
структуры (74), то каждая из ее трехпараметрических подгрупп является
интегрируемой и, согласно предложению 8, стр. 681, содержится, по меньшей мере,
в одной четырехпараметрической подгруппе группы G5. Четырехпарамет-
рические подгруппы группы G5, разумеется, также не содержат подгрупп
структуры (74), и поэтому (см. стр. 723) они также являются
интегрируемыми. Ни одна из этих четырехпараметрических подгрупп не инвариантна
в G5, так как в противном случае G$ сама была бы интегрируемой. Таким
образом, как следует из теоремы 58, стр. 688, группа G5 имеет следующую
структуру:
( (XlX2)= Xlf + alX4f + a2Xbf
{ХгХ3) = 2X2f + 0гХ4/ + foX5f
I (Х2Х3)= Х3/ + 71*4/ + 72*5/
I (*г*3+^) = Pi^X4f + &гцХ5/
(X4X5)=aX4f + bXbf
{ (г=1,2,3; м=1,2).
Если хотя бы одно из чисел а и Ъ не равно нулю, то мы можем считать,
что (Х4ХЪ) = X4f. Тогда подгруппа X4f, будучи первой производной
инвариантной подгруппы X4f, X$f группы Gsy сама инвариантна в G5, и
выражения (Х{Х4) зависят только от X4f. Положив в (75) X4f = 0, мы
получаем структуру некоторой группы G4, изоморфной группе G5.
Согласно сказанному на стр. 722, эта группа G4 непременно содержит группу G3

структуры (74). Отсюда мы заключаем, что в соотношениях (75) можно
выбрать такие выражения Xif + \iX5f, что числа а2) P2, 72 обратятся
в нуль, в то время как выражения (Х^Х^) и после этого будут зависеть
только от X±f. Проделав это, мы получим, что X\f, X2f, Xsf-, X±f
порождают четырехпараметрическую подгруппу, которая, согласно
сказанному на стр. 722, содержит подгруппу Gs структуры (74), а значит, такую
подгруппу Сз содержит и наша группа G5. Мы пришли к противоречию.
Если а — Ь — 0, то в пространстве R± всех оо4 инфинитезимальных
преобразований группы G^ инвариантная двупараметрическая подгруппа
X*/, X$f изображается прямой, инвариантной относительно
присоединенной группы E\f... E^f группы G$. Но поскольку E^f и E$f,
очевидно, оставляют на месте все точки этой прямой, ясно, что под действием
этой присоединенной группы оо1 точек этой прямой преобразуются
посредством некоторой проективной группы 7, изоморфной группе Gs
структуры (74). Так как группа Gs проста, группа 7> если она не совпадает с
общей проективной группой прямой, может быть только нульпараметриче-
ской.
Если 7 является нульпараметрической, то каждая из оо1 однопарамет-
рических подгрупп XX^f + ixX^f инвариантна в G5, и, точно так же, как
и выше, можно показать, что Gs содержит трехпараметрическую группу
структуры (74). Таким образом, этот случай невозможен.
Если же 7 является общей проективной группой прямой, то Eif, E2j*,
Esf должны преобразовывать точки прямой е\ — е2 — es = 0
посредством трехпараметрической проективной группы структуры (74).
Следовательно, укороченные инфинитезимальные преобразования E\f, E2f, Esf,
которые показывают, как E\f, £"2/1 ^з/ преобразуют точки е\ : е$ этой
прямой, порождают трехпараметрическую линейную однородную группу
от переменных е$, es, обладающую структурой (74). Таким образом,
преобразования X±f и X$f можно выбрать так, чтобы
Ho Eif, E2f, E3f, очевидно, полностью определяются коэффициентами
Pifii aifi из соотношений (75), и наоборот. Таким образом, предпоследняя
строчка в (75) имеет теперь вид
(хгх4) = о, (х2х4) = -±x4f,(x3x4) = xbf,
№х5) - -x4f,(x2x5) = lx5f,(x3x5) = о,

а {Х4Х5) = 0.
Положив
X1f = Xlf + \1Xtf + \2X5f
X3f = X3f + fnXtf + fi2X5f,
мы получаем
(X1X2) = Xxf + (ax - \M)XAf + (q2 - §A2)X5/
(X2X3) = X3/ + (A - §/xi)X4/ + (& - i/i2)X5/,
и, следовательно, Аи/i можно выбрать так, чтобы
(XiXi) = Xi/, (Х2Х3) = Х3/.
Наконец, тождество Якоби для X\f, Xif, X$f дает
((X1X3f)X2f) = 0,
что, очевидно, возможно лишь тогда, когда (Х\Хз) = 2Хг/. Таким
образом, и в этом случае группа Gs содержит группу Gz структуры (74).
Итак, мы доказали, что пятипараметрических неинтегрируемых групп
рассматриваемого здесь свойства не существует. Таким образом, верна
следующая теорема:
Теорема 66. Всякая неинтегрируемая пятипараметрическая
группа G§ содержит простую трехпараметрическую подгруппу G^. Если эта
подгруппа G% не содержится в большей подгруппе группы G5, то G5 имеет
ту же структуру, что и специальная линейная группа плоскости
р, q, xq, xp - yq, yp
(76)
В противном случае подгруппа G% инвариантна в G$, и G$ имеет ту же
структуру, что и группа
Р, хр, * Р, q, УЯ
(77)
плоскости х, у или группа
р, хр, х р, q, r
(78)

пространства х, у, z.
Если пятипараметрическая группа G$ интегрируема, то ее первая
производная содержит не более четырех параметров и, разумеется, тоже
является интегрируемой. Таким образом, чтобы найти все структуры
интегрируемых пятипараметрических групп, нужно рассмотреть все
интегрируемые группы с не более, чем четырьмя параметрами и выяснить, для
каких пятипараметрических групп они могут быть первыми
производными. Осуществление этой идеи, однако, доставило бы нам довольно
много хлопот. Поэтому здесь мы этим заниматься не будем, тем более что в
следующей главе мы познакомимся с одним утверждением, которое
сразу позволяет сказать, может ли данная интегрируемая группа быть первой
производной другой интегрируемой группы, вследствие чего число
случаев, которые необходимо рассмотреть, существенно уменьшается. Теперь же
мы перейдем к описанию всех структур шестипараметрических неинтегри-
руемых групп.
Если шестипараметрическая группа G<$ содержит
трехпараметрическую простую группу С?з, то она, разумеется, является неинтегрируемой.
Поэтому сперва мы опишем структуры всех Gq, содержащих такую
простую группу Сз.
Самой собой разумеется, что содержащаяся в Gq группа Gs имеет
структуру
(X1X2) = X1f, (X1X3)=2X2f, {X2X3) = X3f. (74)
В случае, когда Gs инвариантна в Gq, инфинитезимальные
преобразования Xif, X2f, X3f, вместе с каждым из инфинитезимальных
преобразований -Х4/, X$f, Xq/, порождают четырехпараметрическую
группу, которая, естественно, имеет структуру (58) со стр. 723.
Следовательно, -Х4/, X$f, Xq/ можно выбрать так, чтобы все они были
перестановочны с X\f, X2f, X3f. Тогда, рассмотрев все тождества Якоби, в
которые входит одно из преобразований X\f, X2f, X$f и два из
преобразований Х4/, X$f, X^f, мы получим, что скобочные выражения
(-Х4-Х5), {Х±Хъ), (X^Xq) не содержат X\f, X2f, X$f и что,
следовательно, -Х4/, X&f, X&f порождают трехпараметрическую группу. Поскольку
мы знаем все структуры трехпараметрических групп, легко указать, какие
структуры в нашем случае может иметь группа Gq.
Если Gs неинвариантна в G<$, то следует различать три случая: либо
Gs не содержится ни в какой большей подгруппе группы G&, либо она

содержится в некоторой подгруппе G4, не содержащейся ни в какой G5,
либо она содержится в некоторой G5.
I) Неинвариантная простая подгруппа G3 не содержится ни в какой
большей подгруппе группы Gq. В этом случае группа Gq обязана иметь
одинаковую структуру с некоторой шестипараметрической примитивной
группой трехмерного пространства (см. том I, теор. 81, стр. 446, и теор. 91,
стр. 521), то есть либо с примитивной группой невырожденной
поверхности второго порядка, либо с группой евклидовых движений этого
пространства (см. теор. 9, стр. 139). В первом случае группа Gq имеет одинаковую
структуру и с группой р, хр, х2р, q, yq, y2q плоскости (см. стр. 199)
и, следовательно, содержит две инвариантные простые подгруппы G%\
соответствующая структура, таким образом, содержится среди
рассмотренных выше. Во втором случае Gq не содержит инвариантных простых
подгрупп Сз, однако и тогда она имеет одинаковую структуру с некоторой
группой плоскости, а именно с группой
g, xq, x2q, р, xp + yq, x2p + 2xyq.
И) Неинвариантная простая подгруппа G3 содержится в некоторой
подгруппе G4, не содержащейся ни в какой G$. В этом случае
подгруппа G4, о которой идет речь, должна иметь структуру
(XlX2)=Xlf, (XxX3) = 2X2f, (X2X3) = X3f
(XiX4)=0, (Х2Х4) = 0, (*з*4) = 0 ( j
Поскольку G3 является первой производной подгруппы G4, то G4 не может
быть инвариантной в Gq. С другой стороны, поскольку G4 содержит только
две инвариантные подгруппы, а именно подгруппу G3, неинвариантную
в Gq, и однопараметрическую инвариантную подгруппу Х4/, то возможны
лишь два случая: либо G4 вообще не имеет подгрупп, инвариантных в Gq,
либо однопараметрическая подгруппа X±f инвариантна в Gq. В первом
случае Gq имеет структуру шестипараметрической примитивной группы
плоскости, то есть Gq обладает той же структурой, что и общая линейная
группа
р, q, xq, xp - yq, ур, хр + yq.
Во втором случае однопараметрическая инвариантная подгруппа X±f
доставляет структуру некоторой неинтегрируемой изоморфной с Gq
группы Г5. Эта группа Г5 имеет простую подгруппу Гз структуры (74), ко-

торая не содержится ни в какой ее четырехпараметрической
подгруппе, поскольку в противном случае четырехпараметрическая подгруппа
Xif, X2f, X3f, X±f содержалась бы в некоторой пятипараметрической
подгруппе группы Gq. Следовательно (см. теор. 66, стр. 736), Г5 должна
иметь ту же структуру, что и группа
xq, \(yq-xp), -yp, р, g,
так что структура группы Gq, в дополнение к соотношениям (79),
определяется соотношениями вида
(X1Xb) = -X6f + a1X4f, (X1X6)= fax*/
(Х2ХЬ) = ±X5f + a2X4f, (Х2Х6) = - \X6f + (32X4f
(Х3ХЬ) = a3X4f, (X3X6)= X5f + {33X4f
(Х4Х5)= АХ,/, (Х4Х6)= цХ4/
(Х5Х6) = vX4f.
Из тождеств Якоби для Xi/, X4/, Х5/и Х3, X^f, X§f теперь
немедленно следует, что ц = А = 0. Далее, вводя X^f + 2a2X4f и X$f — 2/32X4f в
качестве новых X$f и Xq/, мы получаем а2 = (32 = 0- Наконец, тождества
Якоби, в которые входят два из преобразований X\f, X2f, Xsf и одно
из преобразований X^f, X$f, дают ot\ = (5\ = аз = Рз = 0. Тождества
Якоби ничего нового нам уже не дадут, и поэтому если число v ф 0, то
его всегда можно сделать равным 2. Две возникающие в результате
структуры представлены следующими двумя шестипараметрическими группами
обыкновенного пространства:
р, q, r, xq, хр - yq, yp
и
p-yr, q + xr, r, xq, хр - yq, yp.
Вторая из них является подгруппой проективной группы линейного
комплекса dz + xdy — ydx = 0; более того, она приводится к виду, в котором
ее можно рассматривать как неприводимую группу контактных
преобразований плоскости (см. том И, стр. 445).

Ill) Неинвариантная простая подгруппа Сз содержится в некоторой
подгруппе G5. Если бы эта G5 не была инвариантна в Gq, to, согласно
теореме 58, стр. 688, она содержала бы инвариантную трехпараметриче-
скую или четырехпараметрическую подгруппу, которая бы одновременно
была инвариантна в Gq. Тогда из теоремы 66, стр. 736, следовало бы, что
Gs должна иметь структуру (77) или (78). Однако очевидно, что в обоих
этих случаях простая группа С?з, вопреки нашему предположению, была
бы инвариантна в Gq. Таким образом, группа G$ должна быть инвариантна
bG6.
Поскольку G§ инвариантна в Gg, в то время как Сз таковой не
является, G$ должна иметь ту же структуру, что и группа (76) со стр. 736.
Следовательно, мы можем считать, что G3 имеет вид X\f, X2f, X$f, что
X\f.. .X$f связаны теми же соотношениями, что и инфинитезимальные
преобразования
яд, \{yq-xv), -ур, v, ч,
и что (X\Xq) ... (X^Xq) не содержат Xef. Поскольку, кроме того,
единственная инвариантная подгруппа группы G§: X$f, X$f инвариантна и
в Gq, мы можем добавить, что выражения (X4Xq) и (Х$Хб) не содержат
ад ад х3/ и x6f.
Двупараметрическая инвариантная подгруппа X^f, X$f
доставляет структуру четырехпараметрической группы Г4, которая мериедрически
изоморфна группе Gq и содержит некоторую простую трехпараметриче-
скую подгруппу Г3. Эта группа Г4 обязана иметь структуру (58) со стр. 723,
и поэтому Xq/ всегда можно выбрать так, чтобы (XiXq), (Х2Х6), (XsXq)
зависели только от X±f и Xsf.
Инфинитезимальные преобразования X^f, X^f, Xq/ порождают
теперь трехпараметрическую подгруппу группы Gq. В плоском
пространстве R$ всех оо5 инфинитезимальных преобразований ^ e^X^f эта
подгруппа изображается некоторым двумерным многообразием Е2,
инвариантным относительно трехпараметрической подгруппы E\f, E2f, E$f
присоединенной группы группы Gq. Поскольку группа £?i/, E2f, -^з/ оставляет
на месте прямую в плоскости Ег, соответствующую инвариантной
подгруппе -Х4/, X&f группы Ge, и поскольку точки этой прямой преобразуются
при этом посредством некоторой трехпараметрической простой
проективной группы, то группа E\f, E2f, E$f должна и точки плоскости Е2
преобразовывать посредством некоторой трехпараметрической простой
проективной группы. Таблица трехпараметрических проективных групп плоско-

сти показывает (см. стр. 106), что при этом в плоскости Е2, кроме
упомянутой прямой, на месте остается лишь некоторая точка. Если
преобразование XGf выбрать так, чтобы оно соответствовало этой инвариантной
точке, то выражения (X\Xq), (X2Xq), (XsXq), которые, согласно
сказанному ранее, зависят только от X^f и X5f, обратятся в нуль. Таким
образом, X\f, X2f, Xzf, Xq/ порождают четырехпараметрическую подгруппу
группы Gq. Но структура пятипараметрической группы X\f ... X^f
показывает, что эта четырехпараметрическая группа не содержится ни в какой
пятипараметрической подгруппе группы Gq, и мы приходим к уже
рассмотренному случаю И.
Нам нужно еще отыскать структуры всех неинтегрируемых шестипа-
раметрических групп Gq, не содержащих простых трехпараметрических
подгрупп Сз.
Если Gq не содержит простых С?з, то все ее трехпараметрические
подгруппы (которые имеются в ней всегда) являются интегрируемыми. Отсюда
следует, что каждая трехпараметрическая подгруппа группы Gq содержится
в некоторой четырехпараметрической подгруппе. Четырехпараметрическая
подгруппа группы Gq, разумеется, также не может содержать простых G3.
Следовательно (см. теор. 65, стр. 732), всякая четырехпараметрическая
подгруппа группы Gq интегрируема и поэтому содержится, по меньшей мере, в
одной пятипараметрической подгруппе. Но, согласно теореме 66, стр. 736,
пятипараметрические подгруппы группы Gq также интегрируемы, и Gq
содержит только интегрируемые подгруппы.
Чтобы группа Gq была неинтегрируемой, необходимо, чтобы никакая
из ее пятипараметрических подгрупп не была инвариантна. Тогда мы
можем воспользоваться теоремой 58, стр. 688, и заключаем, что структура
группы Gq задается соотношениями вида
( (Х\Х2) = Xif + 0,4X4/ + a5X5f + a6X6f
(ХгХ3) = 2X2f + bAXAf + ЪЪХЪ! + b6X6f
(Х2Х3) = X3f + c4X4f + c5X5f + c6XQf
< з з (80)
(XkXs+j) = 2_^akjsX3+sf, (Хз+kXs+j) = У ^kjsXz+sf
s=\ s=l
[ (fc,i=l,2,3).
Очевидно, что группа Gq, обладающая такой структурой, неинтегрируема,

поскольку никакая ее производная не состоит лишь из тождественного
преобразования. Нужно еще установить, может ли Gq иметь эту структуру и
при этом не содержать простой подгруппы С?з.
Инфинитезимальные преобразования Ха/, X$f, XqJ порождают
в Gq трехпараметрическую инвариантную подгруппу. В плоском
пространстве i?5 всех оо5 инфинитезимальных преобразований группы Gq эта
подгруппа изображается в виде плоского двумерного многообразия Е2,
инвариантного относительно присоединенной группы группы Gq. Поскольку эта
присоединенная группа является не более, чем шестипараметрической, она
преобразует точки многообразия Е2 посредством проективной группы,
содержащей не более шести параметров, вследствие чего (см. теор. 7, стр. 94)
либо точку, либо прямую, либо невырожденное коническое сечение в Е2.
Если на месте остается точка многообразия Е2, мы можем считать, что
она соответствует преобразованию X$f. Тогда X$f является инвариантной
однопараметрической подгруппой группы Gq и определяет структуру
некоторой пятипараметрической группы, изоморфной группе Gq. Эта пятипара-
метрическая группа, очевидно, неинтегрируема и содержит, согласно
теореме 66, стр. 736, простую подгруппу Сз. Но эта простая подгруппа С?з
соответствует некоторой четырехпараметрической неинтегрируемой подгруппе
группы Gq. Таким образом, мы приходим к противоречию, поскольку, как
мы видели выше, все подгруппы группы Gq должны быть интегрируемыми.
Если в Е% на месте остается прямая, то она соответствует некоторой
двупараметрической инвариантной подгруппе группы Gq, и мы можем
считать, что этой инвариантной подгруппой является Х5/, Xq/. Тогда группа
X$f, Xq/ определяет структуру изоморфной группе Gq
четырехпараметрической группы, которая, очевидно, неинтегрируема и, в соответствии с
теоремой 65, стр. 732, непременно содержит простую
трехпараметрическую подгруппу Сз. Но эта простая подгруппа Сз отвечает
пятипараметрической неинтегрируемой подгруппе группы Gq, и мы снова получаем
противоречие.
Если присоединенная группа группы Gq не обладает в
многообразии Е2 ни инвариантными точками, ни инвариантными прямыми, то она
преобразует точки многообразия Е2 посредством трехпараметрической
проективной группы невырожденного конического сечения, и, кроме того,
-Х4/, X&f и Xq/ попарно перестановочны. Первое мгновенно следует
из теоремы 7, стр. 94, второе же вытекает из того, что первая
производная инвариантной подгруппы Ха/, X$f, Xq/, согласно предложению 3,
стр. 679, сама должна быть инвариантна в Gq. Действительно, группа

Xi/, X$f, X$f обязана быть интегрируемой, и, следовательно, ее
производная является не более, чем двупараметрической; поэтому если бы
эта первая производная не была нульпараметрической, то присоединенная
группа группы Gq оставляла бы на месте точку или прямую в Е2.
Так как X*/, Х5/, XGf попарно перестановочны, то £4/, Esf, Eq/
оставляют на месте все точки многообразия Е2, и лишь E\f, E<if, E$f
преобразуют эти точки нетривиальным образом. Легко убедиться (ср. стр. 13
и табл. на стр. 116-117), что укороченная группа E\f, £2/? E$f от
переменных 64, е*>, ее, которая показывает, как E\f, £2/, S3/преобразуют
точки многообразия Ег, с помощью линейного однородного преобразования
переменных в4, еэ, ев приводится к виду
Ei} = -е5- 2ее^—, E3J = 2е4- h e5^—
S2/ = е4- еб^— •
Следовательно, Х4/, Х5/, Xq/ всегда можно выбрать так, чтобы
выражения (XkXs+j) (fc,j=i,2,3) принимали вид
(ХгХ4) = 0, {XiXb) = X,/, (XxJCe) = 2Xbf
(X2X4) = -X4f, (X2X5) = 0, (X2X6) = X6f (81)
(Х3Х4) = -2ХБ/, {X3Xb) = -Xsf, (Х3Хв) = 0.
Вводя в качестве новых Xi/, X2/, Х3/ три выражения вида
Xif + \{X4f + mX5f + щХ6/ (i=i,2,3),
мы, подобно тому, как это было сделано на стр. 736, можем добиться, чтобы
(ХгХ2) = Xtf, (X1X3) = 2X2/, (Х2Х3) = X3f.
Таким образом, мы и здесь приходим к противоречию, поскольку наша
группа Gq не должна содержать простых трехпараметрических подгрупп.
Итак, мы показали, что неинтегрируемая группа Gq всегда содержит
простую подгруппу Сз- Так как мы уже описали все структуры, которые
может иметь группа Gq, содержащая простую подгруппу С?з, то нам
известны структуры всех неинтегрируемых групп Gq, и мы можем
сформулировать следующую теорему:

Теорема 67. Если шестипараметрическая группа Gq неинтегрируема,
то она всегда содержит трехпараметрическую простую подгруппу G$,
имеющую ту же структуру что и общая проективная группа прямой. Если
эта Gs инвариантна в Gq, то Gq имеет ту Dice структуру, что и одна из
следующих групп:
[1]
р, хр, х2р, q, yq, y2q
[2]
р, хр, х2р, q, г, yq + {у + z)r
р, хр, х2р, q, r, yq + czr
[4]
р, хр, х*р, ?, г, уг
щ
р, хр, х2р, г, уг, у2г
Если Gs неинвариантна в Gq, то следует различать два случая: либо Gs
вообще не содержится ни в какой большей подгруппе группы Gq, либо же
она содержится в некоторой четырехпараметрической подгруппе,
которая, со своей стороны, не содержится ни в какой большей подгруппе
группы Gq. В первом случае Gq имеет одинаковую структуру либо с
непрерывной проективной группой невырожденной поверхности второго порядка в
обыкновенном пространстве, либо с группой евклидовых движений этого
пространства, то есть либо с группой [1] либо с группой
[6]
р, xp + yq, x2p + 2xyq, q, xq, x2q
Во втором случае Gq имеет одинаковую структуру либо с общей линейной
группой плоскости:
[7] xq, хр - yq, ур, хр + yq, p, q
либо с шестипараметрической подгруппой
[8]
xq, хр - yq, ур, р - yr, q + xr, r
проективной группы некоторого линейного комплекса в обыкновенном
пространстве, либо, наконец, с группой
[9]
xq, хр - yq, yp, p, q, r
этого пространства .
* Описание всех структур групп, содержащих не более шести параметров, было проделано
Софусом Ли еще в 1874 году. Использованные при этом, отчасти громоздкие методы были
упрощены им в течение 1883-84 годов. (Ср. Math. Алл., том XI, стр. 518-519; Ges. d. Wiss. zu
Kristiania, 1882-84; Агсл/v for Math., 1883-84.

Читатель, должно быть, заметил, что при описании структур всех
неинтегрируемых пяти- и шестипараметрических групп наиболее
трудоемким является случай, который вообще невозможен, а именно случай,
когда искомые неинтегрируемые группы не содержат трехпараметрических
простых подгрупп. В следующей главе мы приведем одно утверждение, из
которого сразу же следует, что этот случай невозможен.
§139
Здесь мы приведем несколько замечаний, которые не настолько подробны
[???], чтобы их можно было вставить в один из предыдущих параграфов.
Пусть E\f... Erf — присоединенная группа r-параметрической группы,
обладающей структурой Ctks- Легко увидеть, что она никогда не содержит инфините-
зимальное преобразование
Н дек
то есть что никогда не выполняется тождество вида
г
Ef = ^2CjE3f} (82)
3=1
в котором с3 обозначают константы. Дело в том, что тождество (82) должно было
бы выполняться и для е^ = с&, но поскольку ^е3Е3 = О (см. стр. 673), мы бы
имели бессмысленно тождество Ef = 0.
Можно показать, что тождество вида (82) не может выполняться даже тогда,
когда с3 являются функциями от е\ ... ег. Но поскольку, согласно сказанному на
стр. 673, присоединенная группа E\f ... Erf имеет, по меньшей мере, один
инвариант, а все инфинитезимальные преобразования E\f.. . Erf перестановочны с Ef,
мы немедленно получаем следующее утверждение:
Предложение 21. Если E\f ... Erf — присоединенная группа
т-параметрической группы X\f ... Xrf, то не все ее инварианты являются однородными
нулевого порядка относительно е. В частности, присоединенная группа всегда обладает,
по меньшей мере, одним инвариантом, который является однородным первого
порядка относительно е.
Доказательство несуществования тождества вида (82), в котором с3 являются
функциями от в\ ... ег, не представляет особых трудностей, однако при
использований лишь развитых здесь средств оно получается довольно длинным. Поэтому
мы опускаем это доказательство, тем более что в следующей главе мы ознакомимся

с одним результатом, с помощью которого его можно укоротить. Здесь мы
ограничимся лишь некоторым следствиями из предложения 21.
Под действием присоединенной группы E\f... Erf пространство Rr всех
оог конечных преобразований YlekXkf группы X\f.. .Xrf преобразуется так,
что начало координат е\ = ... = ег = 0, то есть тождественное преобразование,
остается на месте (см. том I, стр. 278 и далее). Поскольку присоединенная группа,
согласно предложению 21, обладает, по меньшей мере, одним инвариантом,
являющимся однородным первого порядка, то ясно, что под действием каждого инфини-
тезимального преобразования из присоединенной группы, оставляющего на месте
некоторую произвольно выбранную прямую общего положения, проходящую через
начало координат, на месте остаются вообще все точки этой прямой. Но
проходящая через начало координат прямая соответствует некоторой однопараметрической
подгруппе группы X\f . . . Xrf, так что этот результат можно сформулировать
следующим образом (ср. том I, стр. 259):
Предложение 22. Если Yf является инфинитезимальным преобразованием
общего положения в г-параметрической группе и если Yf инвариантно в
некоторой двупараметрической подгруппе, то эта двупараметрическая подгруппа
состоит из попарно перестановочных преобразований.
Из этого предложения немедленно вытекает следующее:
Предложение 23. Если Yf является инфинитезималъным преобразованием
общего положения в г-параметрической группе, то конечные преобразования
порождаемой Yf однопараметрической подгруппы не сопряжены друг другу внутри
этой т-параметрической группы.
Точно так же, как мы говорили о первой, второй, ... производной г-парамет-
рической группы Gr, мы можем говорить о первой, второй, ... присоединенной
группе группы Gr\ при этом под первой присоединенной группой естественно
понимать собственно присоединенную группу, под второй — присоединенную группу
первой, и так далее.
Если первая присоединенная группа группы GT является г-параметрической,
то есть если она является своей собственной первой присоединенной группой, то и
все последующие присоединенные группы группы Gr будут r-параметрическими и
будут совпадать с первой присоединенной группой. Если же первая присоединенная
группа r-параметрической не является, то одна из последующих присоединенных
групп, скажем g-тая, должна совпадать со своей собственной первой
присоединенной группой и со всеми присоединенными группами, следующими за ней.
Особенно интересен случай, когда некоторая присоединенная группа группы Gr состоит
лишь из тождественного преобразования; r-параметрические группы, для которых
это верно, очевидно, представляют собой аналог [Seitenstiick ???] интегрируемых
групп.

Присоединенные и производные группы доставляют целый ряд чисел, которые
характеризуют структуру группы Gr и могут быть использованы для
классификации различных структур. Такими числами являются количество независимых друг
от друга инвариантов различных присоединенных групп, количество инвариантов
га-той присоединенной группы q-тои производной, число параметров,
содержащихся в га-той присоединенной группе q-тои производной и так далее.
На стр. 296 мы упомянули, что термин га-точечно транзитивная группа не
очень удачен, поскольку к некоторым группам он не применим. Этот недостаток
можно избежать, если для характеристики транзитивности r-параметрической
группы пространства Rn использовать не только целые, но и дробные числа. Сейчас мы
вкратце укажем, как это можно сделать.
Если в пространстве Rn задана r-параметрическая группа Gr, то верно
следующее. Пространство Rn преобразуется интранзитивно лишь тогда, когда при
фиксировании т > 0 точек общего взаимного положения Р\ ... Рт оно распадается на
oon_ni 72i-мерных многообразий, точки каждого из которых преобразуются тран-
зитивно. Тогда в качестве первой меры транзитивности группы GT может служить
число
га Л .
п
Зафиксировав Р\... Рт, нужно зафиксировать еще такие т\ точек Q\... Qmi, при
которых Rn распадается не только на инвариантные многообразия размерности щ,
но и на инвариантные многообразия размерности п2, где п2 имеет наибольшее
возможное значение < п\. Аналогично определяются числа гаг и пз, газ и п^ ...,
и в качестве меры транзитивности группы GT берется последовательность чисел
. пг п2 газ
гаН , mi Н , rn2 H , ...,
п п п
которая непременно обрывается в силу конечности числа г. Например, в случае
общей проективной группы пространства Rn эта последовательность состоит из
одного-единственного числа, поскольку га = п + 2, а все щ, mi, п2 ... равны
нулю. В случае конформной группы пространства Яз мы получаем числа
з+|, 1,
а мера транзитивности группы евклидовых движений в Яз определяется числами
1 + з' 1 + з' L
Определенные здесь числа га, rii, mi, n2 ... состоят в простой связи с
числами, обсуждаемыми на стр. 218 и далее первого тома. Мы, однако, ограничимся
лишь упоминанием об этом.

§140
В этом параграфе мы коротко остановимся на связи теории групп с
теорией гиперкомплексных чисел.
Под гиперкомплексным числом мы, вслед за Гамильтоном (1843 г.),
Грассманом (1844 г.) и их последователями, понимаем выражение вида
и = х\в\ + ... + хпеП1
где х\.. ,хп обозначают обыкновенные комплексные числа вида* а + /Зг,
а е\... еп — единицы, свойства которых должны быть оговорены отдельно
[???].
Сперва мы фиксируем то свойство, что два гиперкомплексных
числа и = J2x»ev и v = ^Уи^и равны друг другу тогда и только тогда,
когда имеют место п равенств yv — xv\ в этом случае мы говорим, что
е\... еп образуют неприводимую систему единиц. Далее, мы обычным
образом определяем сложение и вычитание гиперкомплексных чисел:
п п п
и ± у = ^ х»е» ± 5Z Vvev = 5Z(x'y ^ У»)е"'
v=l v=l v=l
Что касается умножения, то произведение обыкновенного
комплексного числа z и гиперкомплексного числа и мы определяем с помощью
формулы
п
z • и = 2_] z%v - е„ = и - z,
а при построении произведения двух комплексных чисел и и v мы считаем,
что выполняется дистрибутивный закон, и полагаем
uv = ^2fi,i/ = \пх^уи • еме„, vu = ^ д, и = 1пх^уи • еие^
так что числа uv и vu в общем случае различны. Аналогичным образом
определяется произведение трех и более гиперкомплексных чисел.
Понятие системы гиперкомплексных чисел, в том виде, в котором оно
определено здесь, было, вероятно, впервые введено Грассманом в 1884 году.
Однако зафиксированные до сих пор свойства слишком общи — нужно
наложить такие условия, чтобы многообразие чисел, получаемое посредством
перемножения чисел вида ^xvev, было как можно более [???] ограничено.
*Под х\ .. .Хп можно, разумеется, понимать и вещественные числа.

Один из возможных путей достижения этого был указан самим Грас-
сманом, но этот путь приводит лишь к некоторым, правда, очень
интересным системам комплексных чисел, которые допускают очень красивые
приложения к проективной и метрической геометрии. Как ни странно, Грас-
сман не заметил другой путь, который приводит, во всяком случае, к столь
же интересным и, кроме того, более разнообразным системам комплексных
чисел. Утверждение Грассмана о том, что он исчерпал все виды умножения
или, по меньшей мере, все из них, которые представляют интерес, было
вполне простительным самообманом.
Только что упомянутый второй путь состоит во введении понятия
замкнутой системы чисел, системы, в которой умножение двух чисел всегда
дает число из этой же системы. Тогда, очевидно, можно без ограничения
общности считать, что замкнутой является уже сама система чисел J^ xvev,
что, как легко увидеть, происходит тогда и только тогда, когда имеют место
соотношения вида
п
efie1/ = ^2^tJLt/ses (m,i/=i. . .п), (83)
5=1
где под 7/x^s понимаются обыкновенные комплексные числа.
Однако чтобы понятие замкнутой системы чисел можно было
применять на практике, его также необходимо несколько сузить. Можно,
например, потребовать, чтобы, по крайне мере в общем случае, было возможно
деление, то есть чтобы для данных ии v уравнения wu = v и uw = v были
в общем случае разрешимы относительно w. Из этого требования следует,
что никакой из определителей
не должен быть равным нулю для всех значений величин х^... хп.
Кроме того, можно потребовать, чтобы наше умножение удовлетворяло
ассоциативному закону, то есть чтобы для любых трех чисел и, и, w имело
место соотношение
(uv)w = u(vw). (85)

Коэффициенты ^^us должны тогда удовлетворять уравнениям
• п п
\ 5 = 1 5=1 УЪЬ)
\ (^,;у,7г,т=1 . . . п).
Это понятие системы гиперкомплексных чисел в неявном виде
прослеживается уже у Гамильтона*, чьи кватернионы образуют самую изящную
систему чисел, сравнимую разве что с обыкновенными комплексными
числами. В явном же виде это понятие было впервые сформулировано Кэли и, в
особенности, Ганкелем.
Наконец, можно считать, что выполняется коммутативный закон, то
есть потребовать, чтобы
uv — vu. (87)
Можно также отказаться от возможности деления. Чрезвычайно
важный класс числовых систем образуют системы, которые получаются, если
потребовать, чтобы выполнялись соотношения
uv + vu = О, (uv)w + (vw)u + (wu)v = 0. (88)
Очевидно, что величины 7^5 задают при этом структуру п-параметри-
ческой группы, а инфинитезимальные преобразования этой группы
представляются в виде комплексных чисел рассматриваемой системы.
Следовательно, задачу описания всех структур r-параметрических групп можно
переформулировать следующим образом: нужно описать все замкнутые
системы комплексных чисел с г неприводимыми единицами, такие, что,
принадлежащие им числа тождественно удовлетворяют уравнениям (88).
Взаимосвязь другого рода наблюдается между теорией групп и
числовыми системами, которые удовлетворяют ассоциативному закону и в
которых, кроме того, возможно деление. Это было впервые замечено Пуанкаре
(см. Comptes Rendus 1884, том 99, стр. 740 и далее), однако он не указал,
что это верно лишь для ассоциативных числовых систем.
Чтобы увидеть, в чем заключается эта взаимосвязь, мы будем понимать
координаты ху числа вида ^ xvev как точечные координаты в плоском
пространстве Rn, так что каждому комплексному числу нашей системы
соответствует некоторая точка этого пространства. При этом уравнение и' = uv
* Впрочем, по всей вероятности, и Гаусс уже в 1831 году ввел понятие такой системы чисел.

говорит, что каждой точке и сопоставляется определенная точка и',
зависящая от значения числа v. В подробной записи это соотношение между
точками и и и' имеет вид
п / п \
х* = ХД ^Ч^зУ» )хм (3=1...п). (89)
д=1\1/=1 /
Поскольку в общем случае существует возможность деления и,
следовательно, ни один из определителей (84) не может тождественно равняться
нулю, мы заключаем, что эти уравнения разрешимы как относительно х,
так и относительно у; другими словами, они задают линейное однородное
преобразование переменных х9 содержащее п существенных параметров
2/1 •• • Уп* Таким образом, уравнение и' — uv можно понимать как
символьную запись линейного однородного преобразования с п параметрами. Эта
трактовка уравнения и' — uv уже долгое время применяется различными
математиками.
Если выполнить сперва преобразование ur — uv, а затем
преобразование и!' = uw, мы получим преобразование, которое в символьной записи
имеет вид
и" — (uv)w.
Поскольку в силу ассоциативности это уравнение можно переписать в виде
и" — u(vw)
и поскольку (vw) есть число из нашей системы, мы видим, что полученное
преобразование принадлежит семейству (89). Следовательно, это
семейство образует группу.
Группа (89) является n-параметрической, и так как ее уравнения
разрешимы относительно п параметров yi.. ,уп, она просто транзитивна.
Кроме того, точно так же, как на стр. 20-21 первого тома, можно доказать,
что она содержит тождественное преобразование и что все ее
преобразования попарно обратны; кроме того, в случае тождественного преобразования
параметры у\... уп имеют конечные значения.
Итак, с нашей числовой системой ^ х„е„ связана просто транзитивная
линейная однородная группа, в конечны уравнения (89) которой параметры
входят лишь линейно. Эту группу можно найти уже у Пуанкаре, только
Пуанкаре не говорит, что она является просто транзитивной. Кроме того,
Пуанкаре привел без доказательства утверждение о том, что, обратно, каждой

линейной однородной группе вида (89) соответствует соответствует
числовая система с п единицами. В следующей главе мы познакомимся с одним
доказательством этого утверждения; здесь же мы ограничимся несколькими
теоретико-групповыми замечаниями.
Линейная однородная группа (89), соответствующая нашей числовой
системе, совпадает, очевидно, со своей собственной группой параметров.
Следовательно, если уравнение (89) переписать в виде
п / п \
У* = ^2 Хл^*хм )У» (s=i...п), (90)
sl х понимать как параметры, то мы получим новую просто транзитивную
линейную однородную группу, а именно просто транзитивную группу,
взаимную к группе (89) (см. том I, стр. 428). Таким образом, с каждой
числовой системой, обладающей п единицами, связано две взаимные просто
транзитивные линейные однородные группы.
Только что сказанное следует непосредственно из теории группы
параметров. Другой важный вывод можно сделать из особого вида группы (89).
Если у\ ... Уп — значения параметров, соответствующие тождественному
преобразованию, то чтобы получить общее инфинитезимальное
преобразование группы (89), нужно yv заменить на у® + 5yv. Таким образом,
уравнения этого общего инфинитезимального преобразования имеют вид
п / п \
x's =XS + ХД ^V/a<fy«/ U/i (e=l... n). (91)
fJL=l \/V=l /
Отсюда видно, что, зная инфинитезимальные преобразования группы (89),
можно выписать ее конечные уравнения.
Не оставим без внимания еще один момент. Если положить
X»f = /2 7/XI/e^Mg (l/=l...fl),
pi,s=l s
то X\f ... Xnf будут независимыми инфинитезимальными
преобразованиями n-параметрической группы (89), и, следовательно, имеют место
соотношения вида
(Х^Хи) = 2_^ CfivsXsf (av=1 . . . п).
s=l

Величины c^js здесь очень просто выражаются через 7/^s- Действительно,
если вычислив (Х^Хи) и воспользовавшись соотношениями (86), которые
верны в силу ассоциативности, мы получаем
В следующей главе мы еще вернемся к взаимосвязи между
рассмотренными здесь числовыми системами и теорией групп. Однако, из
сказанного уже сейчас видно, что теория гиперкомплексных чисел приобретает в
этой связи совершенно новое содержание и что она приводит к
интересному классу проективных групп.
Грассмановы комплексные числа также тесно связаны с некоторыми
группами, однако связь эта имеет совсем другой характер. Умножение всех
грассмановых чисел на одно из них можно рассматривать как операцию,
которая преобразует некоторую область, а именно область, состоящую из
всех плоских многообразий определенного пространства. Однако эта
операция не является преобразованием в строгом смысле этого слова.
В заключение, мы остановимся на одном обобщении понятия системы
комплексных чисел.
Каждое билинейное символьное выражение (ср. стр. 604 и далее)
2Z«^---zr)Wi^ = \uv\,
i,k=l
удовлетворяющее тождествам
\uv\ + \vu\ = о, \\uv\w\ + \\vw\u\ + \\wu\v\ = о,
можно рассматривать как операцию умножения, если в качестве
перемножаемых величин понимать функции от z\... zr. Все такие операции можно
описать с помощью теории групп функций (см. стр. 604 и далее). Правда,
ни одной из этих операций умножения не соответствует сложение.
В частности, если
г
Vik(Zl • • • *г) = 2^ Ciks*s

и если ограничиться умножением линейных однородных функций
переменных z\... zr, то мы снова приходим к замкнутым системам комплексных
чисел. Теория этих систем, как упоминалось на стр. 749, равносильна
описанию всех возможных структур r-параметрических групп.

Глава 29
Теоретико-групповые работы других
математиков
Теоретико-групповые исследования Ли, представленные в этом труде,
в основном были завершены уже в 1884 году, то есть до того, как стали
появляться другие работы в этой области*. Эти исследования совершенно
самостоятельны и образуют законченное целое, так что до сих пор у нас не
было повода обращаться к теоретико-групповым работам других авторов.
Однако поскольку количество этих работ уже довольно велико и поскольку
они внесли большой вклад в развитие теории групп, мы бы хотели сделать
небольшой обзор этих работ. Это даст читателю, по крайней мере,
некоторое представление о том, что было достигнуто в теории групп вслед за
работами Ли.
При этом, однако, мы должны сделать некоторые оговорки. Дело в том,
что в этих трех томах мы занимались лишь теорией конечных непрерывных
групп, в то время как теорию бесконечных групп, общую теорию
дифференциальных инвариантов и теорию интегрирования мы затрагивали лишь
при случае. По этой причине здесь мы также ограничимся рассмотрением
лишь тех работ, которые посвящены теории конечных непрерывных групп.
Работы же по бесконечным непрерывным группам, дифференциальным
инвариантам и теории интегрирования мы в лучшем случае будем упоминать,
не останавливаясь на их содержании.
Мы обсудим по очереди исследования Энгеля, Киллинга, Штуди,
Шура и Маурера. При обсуждении исследований Штуди, в той их части, где
речь идет о гиперкомплексных числах, мы коснемся также исследований
* Впрочем, в 1883 году в Comptes Rendus (том 96, стр. 1131) была опубликована
чрезвычайно важная работа Пикара, в которой он воспользовался теориями Ли. Однако здесь эту работу
нельзя брать в расчет, поскольку она посвящена теории интегрирования, а не теории групп,
как таковой. В труде по теории интегрирования мы намереваемся остановиться на этой работе
подробно.

Шефферса. Затем мы обсудим ряд работ различных авторов, большая часть
которых была опубликована как лейпцигские диссертации. Под конец мы
упомянем наиболее важные среди других работ, связанных с теорией
непрерывных групп, которые мы, однако, здесь обсуждать не будем, поскольку
их содержание выходит за рамки настоящего труда.
§ 141. Энгель
Первой теоретико-групповой работой Энгеля была его конкурсная
[???] работа "Об определяющих уравнениях непрерывных групп
преобразований", опубликованная в Math. Ann. за 1885 год (том 27, стр. 1-57).
В ней Энгель развил общий метод нахождения определяющих уравнений
(см. том I, глава. 11) произвольных [???] непрерывных групп. Однако этот
метод не подлежит обсуждению, поскольку он основывается на
рассмотрении некоторых бесконечных непрерывных групп. Отметим лишь
следующие два момента. Во-первых, Энгель сводит нахождение определяющих
уравнений некоторых бесконечных непрерывных групп к описанию
инфинитезимальных преобразований некоторых конечных непрерывных групп
и таким образом устанавливает замечательную связь между
бесконечными и конечными непрерывными группами. Во-вторых, Ли обнаружил, что
метод Энгеля приводит к определяющим уравнениям всех конечных и
бесконечных непрерывных групп и что его очень легко вывести из общей
теории дифференциальных инвариантов. В труде, о котором мы объявили на
стр. 712 и который, кроме дифференциальных инвариантов и теории
интегрирования, будет посвящен теории бесконечных групп, мы найдем
возможность к вернуться к этой работе Энгеля.
В работе, опубликованной в Leipziger Berichten за 1886 год (стр. 83-
94), Энгель занимается структурой групп. Основываясь на таких идеях Ли,
как соответствие между инфинитезимальными преобразованиями группы
и точками пространства, интерпретация скобочно операции как умножения
двух инфинитезимальных преобразований и т.д., он формулирует задачу
описания всех структур r-параметрических групп с точки зрения теории
инвариантов. Он сводит эту задачу к исследованию трилинейной формы
г
F = ^ CiksXiVkUs,
i,k,s=l

в которую входят два набора точечных координат х\ ...хт и у\ .. .уг и
набор плоскостных координат и\ ... иг и которая обнуляет два коварианта
г
Ф = 5Z (ciks + ckis)Xiykus
i,h,s=\
Ф = 5Z CikjsXiykZjUs,
i,k,j,s=l
где C^fcjs обозначает левую часть известного уравнения Ли
г
^ikjs = / ^t^ifcr^rj'a i C-kjr^ris ' CjirCrksf = U,
т=1
которому должна удовлетворять структура любой r-параметрической
группы.
Рассмотрение формы F приводит к присоединенной группе и т.д.
Например,
dF г,
хг = хг + -z—0t(i=l...r),
дщ
если ?/ понимать как параметры, является общим инфинитезимальным
преобразованием присоединенной группы структуры ciks, a
dF х.
щ=щ- —5t(i=i...r)
общим преобразованием группы, двойственной к присоединенной.
Тождественное равенство нулю ковариантов ФиФ показывает, что форма F
инвариантна относительно присоединенной группы.
Линейная форма
т {рр т т
k=i k k t=i fe=i
является ковариантом формы F. Следовательно, если ее положить равной
нулю, то она будет задавать в пространстве Rr-\ с однородными
координатами х\ ... хг плоское многообразие, инвариантное относительно
присоединенной группы. Таким образом, если эта форма не равна тождественно

нулю, это многообразие будет соответствовать некоторой (г
—^-параметрической подгруппе r-параметрической группы структуры с^3. [???] С другой
стороны, уравнения
г г г
/ J ^ikss = / J Сгкт / J Ctss = "
S=l T=l 5 = 1
показывают, что такая линейная форма не обязана тождественно равняться
нулю тогда и только тогда, когда нулю равны все миноры порядка г
матрицы
сгк\ • • • сгкг\
(гук=1. . .г) '
то есть когда r-параметрическая группа структуры с^ не является своей
собственной производной. Это дает нам другой способ вывода
утверждения, сформулированного на стр. 692-693 (ср. также том I, стр. 576-577).
Благодаря тому, что ковариант Ф тождественно равен нулю, форму F
можно понимать как форму с одним набором линейных и с одним набором
плоскостных координат. Тогда уравнение F = 0 каждой прямой
пространства Rr-\ сопоставляет точку. Если эта точка лежит на соответствующей
прямой или является неопределенной [???], то эта прямая изображает дву-
параметрическую подгруппу r-параметрической группы структуры сц^8. В
частности, если наша точка является неопределенной, то эта подгруппа
состоит из перестановочных преобразований. Поскольку неопределенность
[???] точки задается г условиями и поскольку в Rr-\ существует оо2г_4
прямых, мы получаем следующее утверждение*:
Предложение 1. Каждая г-параметрическая группа содержит, по
меньшей мере, оог~4 двупараметрических подгрупп с попарно
перестановочными инфинитезимальными преобразованиями. В частности, вякая
четырехпараметрическая групп содержит, по меньшей мере, одну такую
подгруппу.
Энгель использует этот результат для доказательства того, что всякая
группа, имеющая более четырех параметров, содержит четырехпараметри-
ческие подгруппы. Это доказательство аналогично принадлежащему Ли
доказательству существования трехпараметрических подгрупп и проводится
*Это утверждение было опубликовано (правда, без доказательства) Киллингом в 1884 году
в его Браунсбергерской программе.

следующим образом. Всякая Gr с более чем четырьмя параметрами
содержит некоторую G<i с попарно перестановочными преобразованиями. По
теореме 106, том I, стр. 593, эта С?2 содержится в некоторой Сз, которая,
очевидно, интегрируема (см. теор. 64, стр. 715) и, следовательно,
содержится, по меньшей мере, в одной G± (см. предл. 8, стр. 681).
В серии "Небольшие статьи по теории групп" Энгель опубликовал
результаты своих дальнейших исследований в разных частях теории групп*.
В первой из этих статей он рассуждает о смысле специального
тождества Якоби, то есть тождества между тремя произвольными инфинитези-
мальными точечными преобразованиями. Он показывает, что это тождество
есть не что иное как тождество
(u-1tu)-1u-1su(u-1tu) = u-1t~1stu
для случая, когда подстановки 5, Г, U являются бесконечно малыми. На
эту мысль Энгеля навела интерпретация, которую Ли дал общему
тождеству Якоби (см. том II, стр. 278 и далее).
В статье II Энгель доказывает один важный результат, который мы
можем сформулировать так:
Предложение 2. т-параметрическая группа Gr является
интегрируемой тогда и только тогда, когда она не содержит простых трехпара-
метрических подгрупп.
Впрочем, доказательство Энгеля содержит пробел, который
заключается в том, что он сразу предполагает, что трехпараметрическая простая
группа не может быть мериедрически изоморфна r-параметрической группе, не
содержащей трехпараметрических простых подгрупп. Позднее Энгель
заметил этот пробел и указал на него в Jahrb. iiber die Fortschr. der Math.,
том 19, стр. 356. Киллинг вывел утверждение Энгеля из своих общих
теорий о групповой структуре, но доказательство Киллинга также оказалось
нестрогим, что побудило Энгеля заполнить пробел в его исходном
доказательстве (статья 8).
Здесь мы можем сделать лишь набросок доказательства.
*1 и II Leipz. Вег., 1887, стр. 89; III там же, 1891, стр. 47; IV там же, 1891, стр. 308; V там
же, 1891, стр. 585; VI там же, 1892, стр. 43; VII там же, 1892, стр. 292; VIII там же, 1893,
стр. 360.

Если некоторая Gr не содержит простых Сз, то есть никаких G%
структуры
(ХгХ2) = XJ, (ХгХ3) = 2Х2/, (Х2Х3) = Х3/, (1)
и если группа Сз, обладающая этой структурой, не является мериедрически
изоморфной группе Gr, то согласно теореме 58, стр. 688, верно следующее.
Если Gr содержит некоторую подгруппу Gr_i, то она содержит и
некоторую инвариантную подгруппу Gr-\. С другой стороны, Gr непременно
содержит трехпараметрические подгруппы, которые являются непростыми,
а значит, интегрируемыми, так что каждая из них содержится в некоторой
четырехпараметрической подгруппе группы Gr (см. предл. 8, стр. 681).
Такие четырехпараметрические подгруппы обладают тем же свойством, что
и Gr, и, следовательно, содержат по трехпараметрическои инвариантной
подгруппе. Эта подгруппа, разумеется, интегрируема, вследствие чего и
сами они являются интегрируемыми (см. предл. 6, стр. 680), и каждая из
них содержится в некоторой пятипараметрической подгруппе группы Gr.
Продолжая таким образом, мы получим, что Gr содержит инвариантную
интегрируемую подгруппу G>_i, откуда следует, что и сама Gr является
интегрируемой.
Остается еще показать, что не существует такой группы Сг+з, которая
бы не содержала подгрупп Сз структуры (1) и которой Сз структуры (1) не
была бы мериедрически изоморфна. Если бы такая группа Сг+з
существовала, то она содержала бы некоторую инвариантную подгруппу Gr. Мы
можем, очевидно, считать, что Gs структуры (1) не изоморфна этой Gr и что,
следовательно, Gr интегрируема. С помощью простых рассуждений этот
случай можно свести к случаю, когда GT состоит из попарно
перестановочных инфинитезимальных преобразований и не содержит подгрупп,
инвариантных в G>+3- Но тогда под действием присоединенной группы
группы Gr+3 инвариантное плоское пространство Rr-\ всех oor_1
инфинитезимальных преобразований группы Gr преобразуется посредством
некоторой трехпараметрическои проективной группы 7> которая не оставляет на
месте никакое плоское многообразие пространства Rr-\. Отсюда следует,
что 7 является трехпараметрическои проективной группой как можно
более закрученной [???] кривой порядка г — 1 в пространстве Rr-\ * и что
*Трехпараметрическая простая группа пространства Rr-\, не оставляющая на месте
никакое плоское многообразие этого пространства, обязана быть простой. С другой стороны, она
содержит интегрируемую подгруппу G2, оставляющую на месте некоторую точку, и,
следовательно, оставляет на месте кривую, которая, разумеется, является как можно более
закрученной [???]. Остальное следует из предложения 2, стр. 187.

структура группы Gr+3 может принимать следующий вид:
( г г
(ВД) = Ух/ + £ akXkf, (Y2Y3) = У3/ + J] с***/
/с=1 к=1
г
(Y1Y3) = 2Y2f + Y,bkXkf
{ fc=1 (2)
(У1^) = /АХм+1/, (У3ХМ) =-(г -/х + l)^-i/
[ (Х^) = 0 (j>=i...r),
где Xr+if и Хо/ следует, разумеется, положить равными нулю. С
помощью вычислений, аналогичных вычислениям со стр. 736, теперь можно
показать, что при подходящем выборе инфинитезимальных
преобразований Yi/, Y2/, Уз/ коэффициенты а, Ь, с обращаются в нуль и что,
следовательно, Сг+з содержит подгруппу G$ структуры (1). Это противоречие
завершает доказательство предложения 2.
Очевидно, что это предложение существенно упрощает описание всех
структур неинтегрируемых групп с 4, 5, и 6 параметрами (ср. стр. 744).
В статье III Энгель приводит очень простое доказательство
утверждений Ли по поводу инфинитезимальных контактных преобразований (см.
том II, глава 15). Он предполагает, что задано конечное контактное
преобразование S, с учетом которого имеет место равенство
dz' -^2,p'idx[ = p{z,x,p)(dz-^2pi dxi J, (3)
и инфинитезимальное контактное преобразование
Величины dz и dxi в (З) можно положить равными приращениям величин
z и Хг под действием инфинитезимального преобразования Af. При этом
dz1 и dx[ будут, очевидно, приращениями величин zf и х\ под действием
инфинитезимального преобразования, получающегося из Af при замене

переменных посредством S. Отсюда немедленно следует, как
характеристическая функция
п
г=1
инфинитезимального контактного преобразования Af изменяется под
действием конечного контактного преобразования S. Рассматривая S как инфи-
нитезимальное контактное преобразование Bf с характеристической
функцией V, мы получаем, что Af переходит под действием S в инфините-
зимальное преобразование Af + 5t(AB). Подсчитав характеристическую
функцию этого инфинитезимального преобразования, мы найдем заодно и
характеристическую функцию инфинитезимального преобразования (АВ),
выраженную через U и V.
Эти рассуждения особенно важны потому, что они переносятся на
случай преобразований, оставляющих инвариантным произвольное пфаффово
уравнение от п переменных.
В статьях IV и V Энгель занимается отысканием как можно более
простого способа вывода результатов Шура и установлением связи между
этими результатами и результатами Ли. Поэтому нам представляется
целесообразным обсудить содержание этих работ при изложении исследований
Шура.
В статье VI Энгель доказывает одно замечательно утверждение о
канонической группе параметров, связанное с результатами Шура. Шур
показал, что инфинитезимальные преобразования (первой) канонической
группы параметров, соответствующей данной структуре ciks г-параметрических
групп, представимы в виде дробей, где числитель и знаменатель
являются всюду сходящимися степенными рядами и все знаменатели равны друг
другу. Энгель определяет нули этого общего знаменателя. Мы ограничимся
тем, что приведем соответствующие формулы.
Если положить
&sk -£зк, &sk - 2_^ckTSeT
т=1
К E(n+i) _ у- (1) (1) (1) (1) (4)
I П , . . . ,T„ =1
[ (t,fc=l...r)

(5)
где ipsk суть всюду сходящиеся степенные ряды, то искомый делитель будет
равняться значению определителя, составленного из x/jsk- Используя
замеченные Шуром соотношения
3 = 1
(6)
и теорему о произведении определителей, Энгелю удалось разложить этот
определитель в всюду сходящееся бесконечное произведение целых
рациональных функций:
>2 1^т = \ ^тт
П
£s, + J-*™
2v7ri
Jsk
1 j?W
2viti
Jsk
(7)
Следовательно, можно указать все нули этого определителя.
Статья VII посвящена вещественным группам контактных
преобразований, которые являются неприводимыми, то есть которые не переводятся в
группы точечных преобразований посредством вещественных контактных
преобразований. Те из полученных в этой работе результатов, которые
касаются плоскости, были изложены на стр. 384-385. Упомянем лишь, что
общая проективная группа плоскости посредством некоторого комплексного
контактного преобразования переводится в вещественную неприводимую
группу контактных преобразований, инфинитезимальные преобразований
которой имеют следующие характеристические функции
(8)
Аналогичное утверждение верно и для общей проективной группы
произвольного пространства Rn, причем, как ни странно, под действием
соответствующего комплексного контактного преобразования все плоские
многообразия пространства Rn переходят в (п — 1)-мерные комплексные
многообразия второго порядка.
1, х, г/, х2 + у2, z-\xy
х(х2 + у2) -Ay(z- \ху), у(х2 + у2) + 4x(z-
(*2 + г/2)2 + 1б(2-1*г/)2
-\ху)

То, чем Энгель занимался в своих работах по теории инвариантов
систем пфаффовых уравнений*, выходит за рамки этой книги. Однако нельзя
не упомянуть следующий из полученных там результатов:
Предложение 3, Если некоторое преобразование оставляет
инвариантной систему линейных дифференциальных уравнений в частных
производных
Xi/ = 0, ..., Xmf = О, (9)
то оно оставляет инвариантной и систему
Х^ = 0, {X^X„) = 0 (M,„=i...m). (10)
Доказательство этого предложения легко получается из рассуждений,
приведенных на стр. 84 первого тома. Это предложение очень полезно при
изучении тех групп точечных преобразований, которые оставляют
инвариантной некоторую неинтегрируемую систему пфаффовых уравнений. Если,
например, группа G пространства R4 оставляет инвариантной систему из
двух пфаффовых уравнений, не являющуюся неограниченно
интегрируемой, то она оставляет инвариантной и соответствующую систему линейных
дифференциальных уравнений в частных производных X\f — 0, X2f —
— 0 (ср. том I, стр. 102 и далее). Однако эта система не является полной
двупараметрической системой, так что G оставляет инвариантной систему
уравнений X\f = 0, X2f = 0, {Х\Х2) = 0и соответствующее этой
системе пфаффово уравнение. Если это пфаффово уравнение интегрируемо,
то G импримитивна. Если же оно не интегрируемо, то, как известно из
теории проблемы Пфаффа, с ним инвариантно связана некоторая система
обыкновенных дифференциальных уравнений, которая, разумеется, также
инвариантна относительно G; таким образом, G импримитивна и в этом
случае.
Предложение 4. Если группа точечных преобразований
пространства Rn оставляет инвариантной систему двух пфаффовых уравнений, не
являющуюся неограниченно интегрируемой, то эта группа импримитивна.
Одна из работ Энгеля посвящена вопросу о порождении конечных
преобразований проективной группы ее инфинитезимальными
преобразованиями^ Поводом к ней послужило то, что не всякое конечное преобразование
*Leipz. Вег., 1889, стр. 157, и 1890, стр. 192.
t Leipz. Ber., 1892, стр. 279. (Первое сообщение.)

специальной линейной однородной группы
х* — а\х + а,2У, yf = azx + a±y {а\а^ — а2а3 ф 1) (11)
порождается ее инфинитезимальным преобразованием
eixq + е2{хр - yq) + е3ур.
Отсюда естественным образом возник вопрос, какие проективные группы
обладают тем свойством, что каждое конечное преобразование группы
порождается инфинитезимальным преобразованием этой группы. Энгель в
своей работе показал, что этим свойством обладает, во всяком случае,
общая проективная группа произвольного пространства. Метод Энгеля
позволяет доказать, что то же самое справедливо для проективной группы
линейного комплекса и для непрерывной проективной группы невырожденного
многообразия второго порядка, однако само доказательство еще не
опубликовано. Кроме того, следует отметить, что доказательство этого свойства
для общей проективной группы было еще раньше получено Штуди. Энгель
привел это доказательство Штуди в продолжении к своей работе.
Тот факт, что не всякое конечное преобразование группы (11)
порождается инфинитезимальным преобразованием этой группы, особенно важен
потому, что из него следует, что группа (11) и общая проективная группа
прямой голоэдрически изоморфны (в смысле теории подстановок) не
всюду, а лишь в некоторой окрестности тождественного преобразования.
Действительно, рассуждения из главы 21 первого тома показывают, что эти две
группы только в некоторой окрестности тождественного преобразования
голоэдрически изоморфны в смысле теории подстановок, поскольку там,
как и везде в первом томе, предполагается, что мы ограничиваемся
некоторой области.
Из писем [???] Киллинга Энгель узнал, что существует четырнадца-
типараметрическая простая группа, которая не может быть группой
точечных преобразований пространства, размерность которого не превышает 4.
Поскольку сам Киллинг не указал такой группы, Энгель решил заняться
этим и отыскал одну такую группу, которую можно также рассматривать
как неприводимую группу контактных преобразований обыкновенного
пространства. Он поведал об этом результате Киллингу в 1888 году и
продолжил изучение этой групп, ничего, однако, не опубликовав. В 1893 он

опубликовал часть своих результатов*. Одновременно с этим некоторые из
результатов Энгеля относительно этой группы были получены Картаном.
Упомянутая четырнадцатипараметрическая группа контактных
преобразований имеет следующие характеристические функции:
1, Жь У1 > Я2, 2/2, ^ 5i, 5г, S3
ry V\ Q %2 c ry , V2 Q X2 Q
yiZ~JS2~^MSu ^ + y52-TS3
(12)
где для краткости используются следующие обозначения:
х\ + л/32/1J/2 = Si, х2у2 - 3xi2/i = S2, y\ + л/З^жг = £з
z- |(xi2/i +X22/2) = Z.
Как группа точечных преобразований пространства R$, она подобна
некоторой группе G14, оставляющей инвариантной систему уравнений
dz + xi d2/i - 2/1 dzi + ^2 dy2 - 2/2 dx2 = 0
dx\ + yjbdyi dy2 — 0, ch/l + Vsdxi dx2 — 0
dx2 ^2/2 — 3 dx\ dyi = 0.
(13)
Эта группа G\± обладает инвариантным семейством оо5 прямых, которое
удовлетворяет уравнениям (13) и задается уравнениями
2/2 = -xi\/3j:i + \у/Ъъъ
х2 = у2И - £л/3?з
Х2
(14)
У2 . Х2
?2+£l£4+?5,
где под г; понимаются параметры^. Если уравнения (14) понимать как
уравнения контактного преобразования пространства R$ и подействовать этим
* Comptes Rendus, том 116, стр. 786.
^Эти прямые представляют собой все прямые некоторого линейного комплекса,
пересекающие некоторый конус третьего порядка.

контактным преобразованием на G14, то мы получим новую группу
точечных преобразований Gw, которая оставляет инвариантной следующую
систему пфаффовых уравнений:
( Л3 = 6{з + Я di2 -12 dii = 0
I AA = 6ц + sfadfi -ndfs) = 0 (15)
{ Лъ = <Jy5 + ^(й dte - Рз df2) = О
Этой системе удовлетворяют оо5 прямых, задаваемых уравнениями (14),
если z, х, у понимать как параметры. Кроме того, инвариантными
относительно группы Gi4' являются система пфаффовых уравнений
2Л5 + ?2Л3 = О, 2Л4 - я ЛЗ = 0 (16)
и уравнение
фИз + 2 (foA* + 2 $яД> = dfi + 2 df2 Лс4 + 2 djn cfr5 = 0. (17)
Таким образом, группу Gi4' можно перевести в подгруппу конформной
группы пространства Дз-
Контактное преобразование, задаваемое уравнениями (14),
замечательно тем, что оно в некотором смысле аналогично обнаруженному Ли
контактному преобразованию, посредством которого прямые пространства R^
переводятся в сферы.
Картан отыскал две различные четырнадцатипараметрические
простые группы точечных преобразований пространства i?5, но упустил из
виду то, что они подобны относительно некоторого контактного
преобразования. При этом он заметил, что одна из них, если ее рассматривать как
группу контактных преобразований пространства Дз, обладает
инвариантным дифференциальным уравнением второго порядка в частных
производных, а также инвариантной системой двух таких уравнений.
Последняя работа Энгеля относительно дифференциальных
инвариантов [???] высших порядков* заслуживает упоминания потому, что в ней
показывается, что описание дифференциальных инвариантов порядка п
любой проективной группы сводится к описанию обыкновенных инвариантов
некоторой проективной группы той же структуры в пространстве более
высокой размерности.
* Leipziger Berichten, 1893, стр. 468.

Нижеследующие рассуждения Энгеля служат дополнением к § 135.
В § 135 мы занимались различными последовательностями простых
групп, которые возникали из различных нормальных рядов подгрупп г-па-
раметрической группы G. Сейчас мы докажем одно утверждение, из
которого непосредственно следует теорема 63, стр. 704.
Предложение 5.* Пусть G, ©ь ©2 • •. — нормальный ряд подгрупп
г-параметрической группы G, и пусть (Ei, (£2 • • • — структуры простых
групп, определяемых этим нормальным рядом; то есть (£/„. обозначает
структуру простой группы, мериедрически изоморфной группе <£>k-i>
которая получается из структуры группы <£>k-i> если в ней приравнять к
нулю все инфинитезимальные преобразования инвариантной подгруппы 6^;
под Go понимается сама группа G. Тогда последовательность структур
(£i, (£2 • • •> если ее рассматривать с точностью до перестановки, не
зависит от выбора нормального ряда G, ©ь ©2 .... Другими словами, если
задан какой-либо другой нормальный ряд G, Гх, Г2 ... и
соответствующие ему структуры простых групп имеют вид Ei, Е2 ..., то каэ/сдая
из структур (£i, (£2 • • • встречается среди структур Еь Е2 ..., причем в
обоих случаях одинаковое количество раз.
Чтобы доказать это предложение, предположим, как и на стр. 705, что
G, 0i, 02 • • • и G, Г1!, Г2 ... — два различных нормальных ряда подгрупп
в G и что ©1 и Г*! отличны друг от друга. Предположим далее, что ©i и Ti
имеют ровно h общих независимых инфинитезимальных преобразований и
что, следовательно, ©i приводится к виду 2)i/... 2)ri_/i/, Z\f ... Z^f, a
]?i к виду Ti/...TPl_b/, Zif...Zhf.
Тогда, как мы видели на стр. 706, группа G имеет вид
ЗЬ/.-.фг.-л/, T!/...TPl_h/, Zxf...Zhf,
*В теории подстановок соответствующее утверждение было впервые сформулировано и
доказано Гельдером (см. Math. Ann., том 34, стр. 30-39, 1889).

так что ее структура задается уравнениями вида
п-л
(ад,) = Е **&** + Е ьу>^г/
5=1 Т=1
Pi-/i /г
5 = 1 Т=1
(?)А) = ^А^л/, (Т
(18)
Т=1
/г
т=1
(2)iTM) = Е 7»рт^г/, (^Z,) = Е «W^t/
т=1 т=1
(z,j = l. . . ti— h; fj,,v=l. . . pi—h; 7г,ст=1. . . h).
Согласно сказанному на стр. 706, Z\f... Z^f порождают /i-парамет-
рическую подгруппу Н, инвариантную в G, ©i и 1^ и не содержащуюся ни
в какой большей инвариантной подгруппе групп <3i и IV Следовательно,
если if, Hi, if2 • • • — нормальный ряд подгрупп в Н, то G, ©i, if, if i...
иС, Гь Я, ffi... будут нормальными рядами группы G. Сейчас мы
покажем, что наше предложение справедливо для этих двух рядов.
Очевидно, что для этого нам нужно лишь показать, что две структуры
простых групп, определяемые рядом G, ©i, if, совпадают с двумя
структурами, определяемыми рядом G, Гх, if. Сделать это совсем несложно.
Действительно, инвариантная подгруппа ©i доставляет структуру
простой группы, изоморфной группе G. Чтобы найти эту структуру, нужно в
соотношениях (18) приравнять к нулю все инфинитезимальные
преобразования из ©1. Таким образом, структура этой простой группы имеет вид
Pi-h
(ТМТ;/) — У ^ OLy.us^sf (/*,"=!- - -P\-h).
(19)
5=1
Группа Н доставляет структуру группы, изоморфной группе ©ь причем
эта структура задается, очевидно, уравнениями
Хл-Н
(ад) = Ea^s/ (i,j=i...ri-/.).
(20)
5=1

С другой стороны, ясно, что подгруппа Г\ доставляет изоморфную
с G простую группу, структура которой задается соотношениями (20), а
подгруппа Н доставляет простую группу, изоморфную группе Гь
структура которой задается уравнениями (19). Отсюда следует, что нормальные
ряды G, 0i, Н, Н1... иС, Гь Н, Hi... доставляют одну и ту же
последовательность структур простых групп.
Теперь нам остается только показать, что нормальные ряды G, ©i, 02 ♦ ♦
hG, ©i, H, Hi... доставляют одну и ту же последовательность простых
групп и что то же самое верно для нормальных рядов G, Гь Гг... и
G, Ti, H, Hi.... Это, очевидно, равносильно тому, чтобы доказать наше
утверждение для групп ©i и Гь Ясно, что для этого требуется лишь
повторить только что проделанные рассуждения достаточное количество раз.
В заключение, убедимся, что теорема 63, стр. 704, является
непосредственным следствием предложения 5. Действительно, легко увидеть, что
соответствующие нормальному ряду G, ©ь ©2 • • • целые числа (ь h • • •
можно определить следующим образом: {^ есть разница между
количеством параметров в простой группе структуры ©/> и количеством
параметров в наибольших содержащихся в ней подгруппах. Но поскольку
последовательности структур (£ь ^2 • • • и Еь Е2 • • • совпадают, то это же должно
быть верно и для последовательностей целых чисел (ь b • • • и Аь А2 • • • .
С точки зрения теории интегрирования предложение 5 обладает
некоторыми преимуществами по сравнению с теоремой 63, однако мы не будем
здесь на этом останавливаться.
§ 142. Киллинг
Начиная с июля 1884 года Киллинг опубликовал значительное
количество работ по конечным непрерывным группам*. Некоторые из этих работ
имеют второстепенное значение, но большинство из них все же являются
очень важными. Слабым местом всех этих работ является изложение
материала, где пробелы в части доказательств усугубляются нередко малопонят-
* Перечислим эти работы: три Браунсбергерских программы: "Расширение понятия
пространства" (1884); "Теория лиевых групп преобразований" (1886); "Об одном определителе"
(1889). Далее, в Math. Ann:, четыре работы о структуре непрерывных конечных групп
преобразований: том. 31, стр. 252-290; том. 33, стр. 1^48; том. 34, стр. 57-122; том. 36, стр. 161-189;
работа о расширении понятия инварианта: том. 35, стр. 423-432, и работа о наибольших
подгруппах конечных групп: том. 36, стр. 239-254. Наконец, работа по основаниям геометрии,
Crelle, том. 109.

ными или даже неверными формулировками. Очень часто Киллинг обходит
трудные моменты, заявляя, что он не считает нужным останавливаться на
доказательстве того или иного утверждения.
В ходе работы над "Расширением понятия пространства" Киллинг еще
не знал о теоретико-групповых исследованиях Ли; он даже не
пользовался словом группа, употребляя вместо него термин пространственная форма
[???]. В § 3 и 4 этой работы он показывает, пользуясь, естественно,
другими выражениями, что г независимых инфинитезимальных преобразований
Xif ... Xrf всякой r-параметрической группы связаны соотношениями
вида
г
(ХгХк) = J2dksXsf (»,*=i.. .r) (21)
5=1
и что константы ciks удовлетворяют известным уравнениям ciks -\-с^3 = 0 и
т.д. Однако в обоих случаях он не останавливается на куда более сложных
обратных утверждениях. В своих более поздних работах он также нигде
не указывает на то, что нужно еще доказать, что каждому набору
постоянных Ciks* удовлетворяющему упомянутым здесь уравнениям, соответствуют
r-параметрические группы структуры сц~8.
В § 3 он также приводит неудовлетворительное доказательство того,
что конечные преобразования двух однопараметрических групп Xf и Yf
перестановочны друг с другом тогда и только тогда, когда (XY) = 0. Затем
следуют два утверждения, ни одно из которых не соответствует
действительности. Первое из них гласит, что каждая n-параметрическая группа
пространства Rn, которая состоит из попарно перестановочных
преобразований и никакие два инфинитезимальных преобразования которой не
обладают общими траекториями, подобна группе трансляций. Как показывает
группа
Pi, P2, ^ЗР1 -\~XJP2,
это неверно при п > 2. Второе утверждение говорит, что при г > п
всякая r-параметрическая группа перестановочных преобразований
пространства Rn содержит, по меньшей мере, два независимых инфинитезимальных
преобразования с общими траекториями. Это также неверно при п > 2, в
чем легко убедиться на примере группы
Pb P2, *ЗР1 +^3^2, xlpi +ХЗР2-
Все в том же § 3 он приводит новое и верное утверждение о том, что всякая
группа с более чем тремя параметрами всегда содержит независимые ин-

финитезимальные преобразования, которые перестановочны друг с другом
(ср. стр. 756). Однако он оставляет это утверждение без доказательства.
Параграфы § 5 и 6 посвящены дву- и трехпараметрическим группам,
однако они не содержат никаких новых, достойных упоминания
результатов. В § 7, наконец, сформулировано утверждение, которое полностью
повисло в воздухе:
"Между пространственными формами, для которых константы а из
уравнений (6) имеют одинаковые значения*, можно установить такое
непрерывное соответствие, которое будет иметь место при любом
движении одной из них, если одновременно соответствующим образом будет
двигаться вторая." [???]
Ясно, что в смысл этих слов вникать бесполезно.
В Браунсбергерской программе 1886 года Киллинг признал, что
"результаты параграфов 3 и 4 его предыдущей работы были еще до ее
появления установлены и опубликованы Ли". Однако позже (см. Math. Ann.,
том 34, прим. на стр. 58) он попытался смягчить это признание,
подчеркнув, что на некоторые из менее существенных моментов в этих параграфах
впервые указал он. В действительности дело обстоит следующим образом:
за исключеньем приведенного без доказательства утверждения о том, что
каэ/сдая группа с более чем тремя параметрами содержит
перестановочные инфинитезимальные преобразования, все верные утверждения,
содержащиеся в этих параграфах, принадлежат Ли, а все неверные
принадлежат Киллингу.
В § 2 только что упомянутой программы 1886 года Киллинг приводит
без доказательства одно замечательное утверждение, которое мы можем
сформулировать так:
Предложение 6. Если S и Т суть два конечных преобразования г-па-
раметрической группы Xif.. .Xrf, то преобразование STS~lT~l
принадлежит первой производной группы X\f .. . Xrf.
В § 3 из соотношений на с^8 он выводит другие соотношения, которые
он использует в § 5 для изучения инвариантов группы, двойственной к
присоединенной. К сожалению, полученные при этом утверждения
сформулированы очень неясно. В § 6 он доказывает, что в каждой г-параметрической
группе Xif. . .Xrf, которая обладает трехпараметрической инвариантной
подгруппой Xif, X<if, Xsf, не содержащей перестановочных инфините-
зимальных преобразований, преобразования X\f.. .Xrf можно выбрать
* Здесь речь идет о константах сг^3 из уравнений (21).

так, что они будут перестановочны с X\f, X2/, X$f (ср. стр. 737-738).
Формулировки остальных утверждений из § 6 содержат неверные
высказывания. [???]
Работу о расширении понятия инварианта мы уже упоминали на
стр. 296. Она не содержит ни одного результата, который был бы
одновременно новым и верным.
Отправной точкой для теоретико-групповых работ Киллинга
послужили его исследования по основаниям геометрии, и он занимался
теорией групп главным образом в связи с этими исследованиями. Тем
более удивительно то, что в своих исследованиях по основаниям
геометрии он практически вообще не пользуется своими наиболее
значительными теоретико-групповыми работами, а именно работами, посвященными
групповой структуре, и что его последняя большая статься по основаниям
геометрии оказалась такой неудачной. Поскольку на стр. 532-534 мы уже
обсуждали эту последнюю работу Киллинга, сейчас мы ограничимся лишь
небольшим замечанием.
Киллинг практически без изменений повторяет принадлежащее Ли
доказательство основного результата Римана, заключающегося в том, что при
наличии квадратичного элемента длины и свободы движения в бесконечно
малом возможны лишь евклидовы и неевклидовы движения. Затем он
хвалится простотой своего доказательства и говорит, что из теории Ли групп
преобразований он воспользовался лишь парой результатов, полностью
забывая, что он в этой работе опирается не только на лиеву теорию подобия,
но и на очень сложную теорему ПО, том I, стр. 614.
Обоснование результатов Римана, предложенное Ли, простым,
несомненно, не является, и их намного проще вывести, следуя путем,
обозначенным Липшицем. Однако обоснование Ли интересно и из совсем других
соображений.
В рассмотренных до сих пор работах Киллинга содержится не так уж
много результатов, которые являются верными и новыми, и еще меньше
таких, которые, будучи верными и новыми, снабжены доказательством.
Поэтому мы не считаем нужным останавливаться на том, что Киллинг часто
дает неверное представление о связи его исследований с исследованиями
Ли.
Перейдем теперь к гораздо более важным работам Киллинга, к его
общим исследованиям о структуре конечных непрерывных групп. К
сожалению, и эти работы оставляют желать лучшего в части изложения материала

и грешат недочетами в формулировках и доказательствах. Поэтому было
безусловно необходимо подвергнуть результаты Киллинга тщательному
пересмотру. Свой вклад в это дело внес уже Энгель, а недавно за эту
задачу серьезно взялся Картан, которому удалось подтвердить справедливость
наиболее важных результатов Киллинга.
Соотношения
г
(XiXk) = Y,Cik8Xaf, (21)
5=1
которым удовлетворяют г независимых инфинитезимальных
преобразований r-параметрической группы, привели Ли к понятию структуры г-пара-
метрической группы. Было установлено, что константы с^, определяющие
структуру (21), удовлетворяют соотношениям
Ciks + Ckis = 0 (г,М=1... г) (22)
и соотношениям
( т
I / ;\cikrcrjs ~г ckjrcris т cjircrks) ~ и
\ т=\ (^3)
\ (i,kj,s=l. . .г).
Обратно, было показано, что константы с^5, удовлетворяющие
уравнениям (22) и (23), всегда задают структуру r-параметрической группы. Таким
образом, задача нахождения всех структур r-параметрических групп была
сведена к алгебраической задаче отыскания всех наборов из г3 постоянных
Ciks, удовлетворяющих уравнениям (22) и (23), и приведения этих наборов
к как можно более простому нормальному виду (ср. том I, стр. 289-292 и
297-300).
Сам Ли решил эту алгебраическую задачу для малых значений г (для
г > 7), однако к своим общим результатам о групповой структуре он
пришел по-другому (см. гл. 28). Киллинг был первым, кто занялся этой
задачей в самой общей ее формулировке, и обнаружил новые подходы к ее
решению. Здесь, однако, мы ограничимся лишь кратким обзором наиболее
важных результатов этих исследований Киллинга, поскольку подробное их
обсуждение заняло бы слишком много места.
Киллинг начинает с задачи, которую Ли решил еще в первом томе
своего норвежского архива в 1876 году, а именно с задачи нахождения такой

двупараметрическои подгруппы r-параметрическои группы, которая
содержит данную однопараметрическую группу J2 ek^kf (ср. том I, стр. 590-
591). Если предположить, что однопараметрическая группа Y^ek^kf не
является первой производной этой двупараметрическои подгруппы (а в
общем случае так оно, очевидно, и будет), то наша задача равносильна тому,
чтобы найти такие Ai... Аг и о;, чтобы величины Ai... Аг не были
пропорциональны величинам е\ ... ег и имело место равенство
(Г Г \ Г
J2 ekxkf, Yl xJxjf)=" ЕА^/- (24)
к=1 j=l ' 5 = 1
Но равенство (24) распадается на равенства
г г
^2\j^2ckjsek=v\s (5=1... г), (25)
j=i k=i
которые имеют место лишь тогда, когда и является корнем следующего
уравнения порядка г:
г
~3$и' ~
л =
£<isV - 22 Ск3*ек
к=1
(jys=l... г)
= 0. (26)
Если это уравнение* имеет ненулевой корень, то всегда можно выбрать
такие величины Аь непропорциональные величинам еь при которых имеют
место равенства (25).
Из сказанного на стр. 673 следует, что и — 0 всегда является корнем
уравнения (26) и что, следовательно, определитель Л имеет вид
Л = иг - ^i{e)ujr~l + ф2{е)иг~2 - ... + (-l)r" Vr-i(e)u;, (27)
где под фк понимается целая однородная функция от е порядка г. Киллинг
доказывает, что все функции грк(е) являются инвариантами* присоединен-
* Киллинг называет его характеристическим уравнением группы X\f . .. Хг/, понимая ед.
как совершенно произвольные величины. Если же е^. имеют конкретные значения, то есть
если мы имеем дело с определенным преобразованием J2ek^kf^ то лучше всего говорить о
характеристическом уравнении, соответствующем преобразованию J2ek^kf-
^В программной работе 1889 года, упомянутой в примечании на стр. 768, Киллинг
приводит некоторые более простые инварианты присоединенной группы, которые записываются
в виде целых рациональных функций от гр^ и через которые грк также выражаются в виде
целых рациональных функций.

ной группы
Ekf = Yl cJhseJ~&Г {k=l'"r)
группы X\f... Xrf. При этом он использует некоторые соотношения,
которые он выводит из уравнений (22) и (23); доказательство будет несколько
более простым, если, как это делает Энгель, исходить из вида (26)
определителя Л, поскольку тогда (ср. Math. Ann., том 31, прим. на стр. 262)
с помощью уравнений (22) и (23) можно показать, что Е^Л = 0. Кроме
того, с самого начала ясно, что и из уравнения (24) является
иррациональным инвариантом присоединенной группы, вследствие чего коэффициенты
из (27) являются рациональными инвариантами.
С помощью инвариантов ф\{е)...фг-\{е) Киллинг вводит новое
интересное понятие. Он говорит, что группа X\f... Xrf имеет ранг I, если
среди г — 1 функций ф\... фг-\ существует ровно I независимых*. Таким
образом, если ф^ тождественно равны нулю для всех значений величин е,
то мы имеем дело с группой нулевого ранга. Очевидно, что всякая такая
группа содержит исключительно двупараметрические подгруппы с
перестановочными преобразованиями. Ранг группы не превышает, разумеется,
число независимых друг от друга инвариантов присоединенной группы, и
поэтому если при и = 0 в нуль обращаются все миноры порядка га + 1
определителя Д но не все его миноры порядка га, то / ^ г — га. Отсюда
следует, что / никогда не превышает количество различных корней
уравнения (26).
Инвариантность функций фк(в) приводит к простому доказательству
предложения 21 со стр. 745, которое там было приведено без
доказательства. Действительно, если не все функции ^(е) тождественно равны нулю,
то присоединенная группа обладает, очевидно, по меньшей мере, одним
инвариантом, который является однородной функцией ненулевого
порядка. Если же все фк(е) тождественно равны нулю, то группа X\f. . .Xrf
содержит только двупараметрические подгруппы с перестановочными
преобразованиями, откуда следует, что не все инварианты ее присоединенной
группы являются однородными нулевого порядка.
Впрочем Киллинг доказал более сильное утверждение^:
* Например, общая проективная группа пространства Ri имеет ранг I. Киллинг
получает очень простые выражения для / независимых инвариантов присоединенной группы этой
группы, а также для инвариантов присоединенных групп нескольких других групп.
t Другое доказательство этого утверждения, принадлежащее Энгелю, было приведено Ум-

Предложение 7. Если два независимых друг от друга инфинитези-
мальных преобразования ^ e^X^f и Yl ^jXjf некоторой
г-параметрической группы связаны соотношением вида
(Г Г ч Г
k=l j=l ' k=\
где р ф О, то все корни характеристического уравнения,
соответствующего преобразованию J^ e^X^j, равны нулю.
Киллинг установил ряд фактов, касающихся групп ранга нуль, однако
некоторые из его утверждений нуждаются в доказательстве. Мы
упомянем лишь следующих их этих фактов: всякая r-параметрическая группа Gr
ранга нуль является интегрируемой, она содержит, по меньше мере, одно
центральное инфинитезимальное преобразование, а ее первая производная
является не более чем (г — 2)-параметрической. Интегрируемость
мгновенно следует из того, что каждая двупараметрическая подгруппа группы Gr
состоит из попарно перестановочных преобразований и что,
следовательно, Gr не содержит трехпараметрических простых групп (см. предл. 2,
стр. 757). Из интегрируемости вытекает, что Gr содержит по меньшей мере
одну инвариантную однопараметрическую подгруппу, и очевидно, что
инфинитезимальное преобразование этой подгруппы является центральным
в Gr. Доказательство того, что первая производная группы Gr является
(г — 2)-параметрической, можно найти в упомянутой выше диссертации
Умляуфа, в которой с помощью метода, развитого Энгелем, найдены
структуры всех групп ранга нуль с мене чем десятью параметрами.
Киллинг также исследовал группы, для которых характеристическое
уравнение (26) имеет ровно один нулевой корень, то есть, очевидно, группы
ранга 1. Предполагая, что рассматриваемые группы совпадают со своими
первыми производными и что характеристическое уравнение не имеет
кратных корней, он доказывает, что число параметров г нечетно, и описывает
возможные структуры. Полученный им результат можно сформулировать
так: при г > 3 каждая группа указанного свойства имеет ту же структуру,
что и (2п Ч- 3)-параметрическая проективная группа некоторого
пространства i?2n> сохраняющая объем и оставляющая на месте бесконечно удален-
ляуфом в его диссертации "О строении групп, в особенности групп ранга нуль" (Лейпциг
1891) (см. стр. 19 и далее). Там показано, что инфинитезимальное преобразование Xf
конечной непрерывной группы не может принадлежать двум двупараметрическим группам Xfy Yf
и Xf, Zf, чтобы при этом (XY) = Yf и (XZ) = Xf.

ную (2п — 1)-мерную плоскость E^n-i в Rn и некоторую как можно более
закрученную [???] рациональную кривую порядка 2п — 1 в этой
плоскости. Киллинг рассмотрел и тот случай, когда характеристическое уравнение
имеет кратные корни, однако в его рассуждениях есть пробелы, и поэтому
мы не будем на этом останавливаться.
Обратимся теперь к общим исследованиям Киллинга, которые
позволили ему описать все структуры простых групп. К сожалению, мы
вынуждены отказаться от подробного обсуждения этих исследований и
ограничиться лишь несколькими основными моментами.
Сперва Киллинг доказывает следующее утверждение:
Предложение 8. Если при любых значениях величин е
характеристическое уравнение (26) группы X\f. .. Xrf имеет ровно т нулевых корней,
то каждое инфинитезимальное преобразование Yl ^k^kf общего
положения принадлежит т-параметрической подгруппе ранга нуль. Если
положить J^ ekXkf = Yrf [???], то группу X\f ... Xrf можно представить
в виде Y\f... Yrf, где Yrf, Yr-\f... Yr-m+if nopoo/сдают
соответствующую т-параметрическую подгруппу ранга нуль и имеют место
соотношения вида
г—т
(Yr-kYfJL)= ^Ck^YjJ (fc=0,l...m-l;/i=l...r-m), (28)
причем определитель матрицы, составленной из cq^ не равен нулю.
Киллинг также утверждает, что эта m-параметрическая подгруппа
ранга нуль состоит из попарно перестановочных преобразований всегда,
когда исходная r-параметрическая группа не имеет центральных инфините-
зимальных преобразований. Это очень просто доказать в случае, когда все
ненулевые корни характеристического уравнения, соответствующего
преобразованию ^ekXkf, отличны друг от друга. Что же касается
доказательства Киллинга для случая кратных корней, то о его безупречности мы
судить не решаемся.
Взяв за основу нормальный вид группы X\f... Xrf, указанный в
предложении 8, Киллинг изучает, как связаны между собою корни
характеристического уравнения, соответствующего произвольному
преобразованию m-параметрической подгруппы нулевого ранга Yrf, Yr-if... Yr-m+if,
Предполагая, что ненулевые корни характеристического уравнения,
соответствующего преобразованию Уг/, отличны друг от друга, что группа

Xif.. .Xrf совпадает со своей первой производной* и что она, кроме
того, не имеет центральных инфинитезимальных преобразований, он
получает интересные соотношения на эти корни. Особенно поразительно то,
что r — т ненулевых корней удовлетворяют га линейным однородным
уравнениям с целочисленными коэффициентами, разрешимым относительно т
из этих корней. Кроме того, оказывается, что т является рангом группы
XJ...Xrf.
Эти соотношения между корнями позволяют Киллингу успешно
решить задачу описания всех структур простых групп. При этом он
опирается главным образом на критерий периодичности линейной однородной
целочисленной подстановки, впервые установленный Липшицем, используя
таким образом эти алгебраические исследования для теории непрерывных
групп преобразований. Киллинг приходит к следующим результатам
(позднее подтвержденным Картаном): в дополнение к указанным Ли четырем
большим классам простых групп (см. стр. 682) существует лишь конечное
число структур простых групп, а именно пять, число параметров в которых
равно соответственно 14, 52, 78, 133 и 248*. В общем случае для каждого
значения числа I существует ровно четыре простые группы ранга /, а
именно по группе из каждого из четырех классов, указанных Ли. Однако для
некоторых значений I дело обстоит иначе. При / = 1 один из этих четырех
классов не содержит вообще ни одной группы, а группы, принадлежащие
трем другим, имеют одну и ту же структуру. При I = 2 один из этих
классов не содержит простых групп, а три других доставляют три группы, две
из которых имеют одинаковую структуру, что, однако, частично
компенсируется существованием 14-параметрической простой группы ранга 2. При
/ > 3 эти четыре класса всегда доставляют различные простые группы, а в
случаях I = 4, б, 7, 8 к ним добавляется по одной особой простой группе,
имеющей соответственно 52, 78, 133 и 248 параметров.
Особый интерес представляют, разумеется, пять простых групп,
которые стоят сами по себе и не принадлежат никакому бесконечному классу
простых групп. Киллинг полностью описал структуру 14-параметрической
простой группы и сделал некоторые шаги к описанию структур остальных
особых групп, однако он не указал ни одной группы, которая бы имела одну
их этих структур. Представители 14-параметрических простых групп
были впервые опубликованы независимо Картаном и Энгелем (ср. стр. 763).
* Вместо этого Киллинг говорит, что она совпадает со своей главной подгруппой.
'''Согласно Киллингу, существует две различные 52-параметрические группы, однако Кар-
тан отмечает, что эти две группы имеют одинаковую структуру

Картан, как он поведал в вышедшей вскоре после этого работе*, нашел
представителей и для остальных четырех структур, однако они пока еще не
опубликованы.
Киллинг не удовлетворился описанием всех структур простых групп и
вывел чрезвычайно важные утверждения о структуре произвольных групп.
И хотя его доказательствам не хватает строгости, к счастью, эти
утверждения, как показал Картан, верны. Мы ограничимся тем, что приведем
следующее из них:
Предложение 9. Если первая производная г-параметрической группы
не содержит простых трехпараметрических подгрупп, то она имеет ранг
нуль^.
Отсюда следует, что первая производная интегрируемой группы всегда
имеет ранг нуль. Таким образом, описание всех r-параметрических
интегрируемых групп сводится к описанию всех группа нулевого ранга,
имеющих менее чем г параметров. Из этого можно извлечь большую пользу
уже при описании интегрируемых групп с четырьмя параметрами, не
говоря уже об интегрируемых группах с пятью или более параметрами (ср.
стр. 737).
Предложение 10. Всякую конечную непрерывную группу G можно
привести к виду
J, Eil . . . .Ci7ni
где J, Ei... Em — подгруппы, никакие две из которых не имеют общих
инфинитезымальных преобразований и суммарное количество параметров
в которых равно количеству параметров в G. Причем это можно
сделать так, чтобы каждая из групп Ei. .. Em была простой и по меньшей
мере трехпараметрической и чтобы для любых отличных друг от друга
индексов г, к инфинитезимальные преобразования группы Ег были
перестановочны с инфинитезимальными преобразованиями группы Е^
Это утверждение, которое является существенно более сильным [???],
чем теорема 63, стр. 704, и предложение 5, стр. 765, имеет также очень
большое значение для теории интегрирования.
* Leipziger ВепсЫеп 1893, стр. 395^420.
tЗдесь стоит упомянуть одно утверждение, которое, правда, Картан опубликовал без
доказательства. Оно состоит в том, что r-параметрическая группа X\f... Xrf интегрируема
тогда и только тогда, когда функция гр2(е) равна нулю для всех преобразований ^е^Хь/
первой производной этой группы.

Наконец, Киллинг занимался вопросом о максимальных подгруппах
простых групп. При этом он не только подтвердил справедливость
обсуждаемых ниже результатов Вернера о максимальных подгруппах
проективной группы (п — 1)-мерного многообразия второго порядка в Rn, но и
описал максимальные подгруппы проективной группы линейного комплекса в
R<2n-i, что Ли до него проделал только для Лз-
Мы надеемся, что, несмотря на свою краткость, этот обзор работ Кил-
линга дает представление о чрезвычайной важности полученных в них
результатов. И хотя изложение и доказательства Киллинга имеют много
недостатков, никто не может отрицать того, что разработанные Киплингом
новые продуктивные методы в необычайной степени посодействовали
решению общей задачи описания всех возможных структур.
§143.Штуди
Штуди был первым, кто полностью объяснил связь между
гиперкомплексными числами и группами преобразований и дал исчерпывающее
изложение этого предмета*.
Пусть xiei + ... + хпеп — замкнутая система комплексных чисел
с п базисными единицами в\... еп, которая подчиняется ассоциативному
закону и умножение в которой имеет вид
п
е^к = ^2 ЪкзСз (*,*=! • • • п). (29)
5 = 1
Тогда, как мы видели на стр. 750, преобразования
72 s 71 n
Xs = ^2\^2 ЪкзУк >Xi (s=l • • • п) (30)
t=l ^ к=1 '
с п параметрами у\.. .уп образуют просто транзитивную линейную
однородную группу, которая содержит тождественное преобразование и которой
вместе с каждым ее преобразованием принадлежит и обратное ему
преобразование. Эта группа является своей собственной группой параметров, и,
*В работе "Комплексные числа и группы преобразований", Leipziger Berichten, 1889,
стр. 177-228, перепечатанной затем в Wiener Monatsheften, 1890, стр. 312 и далее.

следовательно, ее вторая группа параметров имеет вид
Х'* =^2 j ^ЪкзУк № (s=l...n), (31)
i=l ^ fc=l J
где х следует понимать как параметры. Таким образом, каждой такой
системе с п базисными единицами соответствует две взаимные просто
транзитивные линейные однородные группы, параметры которых входят в их
конечные уравнения лишь линейно и однородно. Все это легко получается
из теории групп параметров с учетом замечания Пуанкаре.
Штуди показал, что и, обратно, каждой паре взаимных просто
транзитивных линейных однородных групп от п переменных соответствует
замкнутая числовая система с п базисными единицами, подчиняющаяся
ассоциативному закону. Сперва он доказал следующее утверждение, которое
весьма интересно само по себе:
Предложение П.* Пусть X\f... Xrf — г-параметрическая линейная
однородная группа от переменных Х\... хп, и пусть в переменных х\... хп
существует ровно т независимых линейных однородных инфинитезималь-
ных преобразований Y\f.. .Ymf, перестановочных со всеми Xkf. Тогда
Y\f... Ymf порождают т-параметрическую линейную однородную
группу, конечные преобразования которой приводятся к такому виду
П S П N
fc=l ^ /х=1 ^
в который параметры а\.. .ат этой группы входят линейно и однородно.
Доказать это предложение очень легко. Действительно, очевидно, что
совокупность всех линейных однородных преобразований,
перестановочных со всеми преобразованиями группы X\f.. . Хг/, образует группу. С
другой стороны, все линейные однородные преобразования
п
x'i = ^2,OLikXk (i=i...n), (33)
fc=l
*Это предложение можно, разумеется, сразу же перенести на случай проективных групп
пространства Rn-\- Особенно важно то, что из него можно сделать выводы относительно
вида взаимных просто транзитивных проективных групп этого пространства. Подробности
можно найти у Штуди.

перестановочные с некоторым фиксированным линейным преобразованием
*{ = £
CikXk (t=l...n),
fc=l
определяются линейными однородными уравнениями
п п
г=1 г=1
относительно а^. Следовательно, все линейные однородные
преобразования (33), перестановочные со всеми преобразованиями линейной
однородной группы X\f.. .Xrf, также определяются линейными
однородными уравнениями относительно о^. Образуемая этими преобразованиями
группа является, таким образом, непрерывной и задается уравнениями
вида (32), в которые параметры а\... ат этой группы входят лишь линейно
и однородно. Отсюда ясно, что эта группа порождается инфинитезималь-
ными преобразованиями Y\f... Ymf из предложения И.
Из этого утверждения Штуди мгновенно следует, что каждая просто
транзитивная линейная однородная группа от переменных х\.. .хП9
взаимная просто транзитивная группа которой также линейна и однородна,
приводится к виду
П s П ч
s=l ^к=1 '
(t=i...n) (34)
где hiks — фиксированные числа, а^- произвольные параметры.
Взаимная просто транзитивная группа приводится, естественно, к
соответствующему виду. Сейчас мы покажем, что этим двум взаимным просто
транзитивным группа соответствует вполне определенная замкнутая числовая
система с п базисными единицами, подчиняющаяся ассоциативному
принципу.
Прежде всего, параметры Uk группы (34) можно выбрать так, чтобы
эта группа совпадала со своей группой параметров. Действительно, группа
параметров группы (34) определяется уравнениями
п п
У^ h^isu'i = 22 h^ihiksVuUk (/i,s=i... n), (35)
г=1 v,i,k=\

которые, разумеется, разрешимы относительно величин и'к и не доставляют
соотношений, от них не зависящих. Следовательно, их можно привести к
виду
П s П ч
Ui =E I J2liksVk\Us (^1'-'п^ (35')
где мы, чтобы избежать путаницы, вместо и и v пишем иио. Эта группа
параметров (35') просто транзитивна и имеет ту же структуру, что и
группа (34), и, следовательно, подобна ей (см. том I, стр. 407 и 340). Далее,
сопоставляя каждому преобразованию (34) с параметрами Uk
преобразование (35') с параметрами && = иь мы, очевидно, получим
голоэдрический изоморфизм этих двух групп. Следовательно, согласно сказанному на
стр. 425^428 первого тома, очень легко отыскать преобразование,
относительно которого они подобны. Нужно лишь в пространствах групп (34)
и (35') выбрать по точке общего положения х\ ... х^ и и^ ... u^ и
построить преобразование, переводящее точку
П s П ч
Xi = ^<^2hiksuklx°s (г=1... п) (36)
5=1 Lfc=l >
в точку
П s П -ч
u2 = ^N 5^t*et>fc[u2 (t=i...n). (37)
5=1 ^ к=1 '
Таким образом, уравнения искомого преобразования получаются путем
исключения величин u\... un из уравнений (36) и (37) и имеют вид
п
Ui = ^2aisxs (t=i...n), (38)
2=1
откуда видно, что это преобразование является линейным и однородным.
Если теперь в группе (35') с помощью уравнений (38) и
&i = 2ZaisWs *i=1* ' '^
вместо и и и' ввести новые переменные хг и х^, а вместо ог новые
параметры w\ . .. wn, то мы получим линейную однородную группу, являющуюся
своей собственной группой параметров (ср. том I, стр. 411). Но эта группа

есть, очевидно, не что иное, как группа (34), в которой на месте
параметров и\... ип стоят новые параметры w\... wn, являющиеся, разумеется,
линейными однородными функциями от щ ... ип.
Таким образом, без ограничения общности можно считать, что
параметры и\ .. .ип выбраны так, что эта группа является своей собственной
группой параметров. Очевидно, что тогда подстановка
П S П N
Ui = ^2 I ^2 hiksUk \и3 (г=1. . . п)
5=1 ^ к=1 '
обращает в тождества уравнения (35), и, следовательно, hiks удовлетворяют
соотношениям
п п
/ v hivkhnis — / J hiivihihs {ti,v,k,s=l. . . n),
2=1 2=1
которые показывают, что система базисных единиц е\.. . еп, умножение в
которой имеет вид
п
е*ек = Z2 ^ski^s (»Л'=1 • • • п),
s=l
подчиняется принципу ассоциативности. Проще всего это увидеть, если
группу (34) сравнить с линейной однородной группой, соответствующей
(см. стр. 750) числовой системе с умножением
п
e>iCk = /;Ъкае8,
3 = 1
— эти две группы совпадают. Этим доказано следующее важное
утверждение, вторая часть которого полностью принадлежит Штуди:
Предложение 12. Между замкнутыми числовыми системами,
имеющими п базисных единиц и подчиняющимися ассоциативному закону, и
парами взаимных просто транзитивных линейных однородных групп от
п переменных существует взаимно однозначное соответствие: каждой
такой системе соответствует вполне определенная пара таких групп, и,
обратно, каждой такой паре соответствует вполне определенная
система указанного свойства.

Штуди прав, когда он утверждает, что наиболее важное, хотя и не
единственное свое приложение гиперкомплексные числа находят при изучении
некоторых проективных групп, а именно просто транзитивных
проективных групп, которые при подходящем выборе параметров совпадают со
своими группами параметров. Дело в том, что, описав все системы
комплексных чисел с п базисными единицами, можно не только очень легко
отыскать все такие проективные группы пространства Rn-i, но также получить
чрезвычайно простое аналитическое представление для некоторых
связанных с ними проективных групп*. Аналогичную, хотя и не такую
существенную помощь системы комплексных чисел оказывают при
рассмотрении произвольных групп, обе группы параметров которых при подходящем
выборе параметров становятся проективными.
В этой связи мы бы хотели еще упомянуть замечательное
параметрическое представление, полученное Штуди для группы евклидовых движений
обыкновенного пространства. Параметры этой группы нельзя выбрать так,
чтобы обе ее группы параметров были проективными. Однако, как показал
Штуди, посредством введения восьми однородных параметров, связанных
одним квадратичным соотношением, этой группе можно придать такой вид,
при котором параметры движения ST, получающегося в результате
последовательного выполнения движений S и Т, будут билинейными
функциями параметров движений S и Т, причем это можно сделать по существу
одним-единственным способом^.
Другие исследования Штуди о гиперкомплексных числах для нас не
так интересны, поскольку они не носят теоретико-групповой характер.
Взамен, мы коротко остановимся на исследованиях Шефферса по этому
предмету, в той их части, где они касаются теории групп.
Из всех опубликованных Шефферсом работ по гиперкомплексным
числам*, мы оставим без внимания лишь две последние, опубликованные в
Comptes Rendus. Отметим лишь, что в них получено интересное
обобщение теории функций обыкновенных комплексных переменных.
В своей первой работе по комплексным числам Шефферс по совету Ли
описал числовые системы с тремя базисными единицами, опираясь на при-
* Штуди также показал, как с помощью символики комплексных чисел можно особенно
простым образом вывести и записать результаты Ли о взаимных просто транзитивных группах
(см. Leipziger Berichten, 1889, стр. 177-184).
^Leipz. Бег., 1890, стр. 341; Math. Ann., том 39, стр. 515.
*Leipz. Бег., 1889, стр. 290, и 1890, стр. 400; Math. Ann., том 39, стр. 293; Comptes Rendus,
том 116, стр. 1114 и 1242.

надлежащую Ли классификацию всех проективных групп плоскости. Куда
более важными являются вторая и третья работы, в которых, правда,
теория групп в большей степени отступает на задний план. Здесь кроме общих
утверждений о связи систем комплексных чисел с некоторыми группами
теория групп упоминается лишь в связи с разбиением групп на
интегрируемые и неинтегрируемые и утверждением Энгеля относительно неинте-
грируемых групп (см. стр. 757). Шефферс разбивает системы комплексных
чисел на, как он их называет, кватернионные и некватернионные системы, в
зависимости от того, являются соответствующие группы неинтегрируемы-
ми или интегрируемыми. Он доказывает, что всякая кватернионная система
с не более чем восьмью базисными единицами содержит систему гамиль-
тоновых кватернионов. С помощью своего метода Шефферс чрезвычайно
простым образом описывает все числовые системы с тремя, четырьмя и
пятью базисными единицами, тогда как метод Штуди был удобен лишь для
нахождения систем с четырьмя базисными единицами, в случае же систем
с пятью базисными единицами он требовал очень громоздких вычислений.
Более подробно мы на этом останавливаться не можем.
Из большой работы Молина*, посвященной гиперкомплексным
числам, мы упомянем здесь лишь одно утверждение. Как следует из сказанного
на стр. 750-751, n-параметрическая группа Gn, соответствующая числовой
системе с п базисными единицами, содержит инфинитезимальное
преобразование
а следовательно, и (п — 1)-параметрическую инвариантную
подгруппу Gn-\, принадлежащую специальной линейной однородной группе. Еще
Ли подчеркивал (Leipz. Ber., 1889, стр. 326), что особый интерес
представляют те числовые системы, для которых группа Gn_i является простой.
Описание всех таких систем для п < 9 следует непосредственно из
утверждений Ли о простых группах. Молин решил эту задачу в общей
постановке, показав, что всякая числовая система с п базисными единицами, которой
соответствует простая группа Gn_i, содержит ровно п — т2 базисных
единиц и что эта система может принимать такой вид, что соответствующая ей
группа Gn будет группой параметров общей линейной однородной группы
пространства i?m.
*Math. Алл., том 41, стр. 83

Уже в 1879 году (Math. Ann., том 16) Ли намекнул на то, что между
обычной [???] теорией инвариантов и его теорией групп существует
определенная связь. В 1884 году (Math. Ann., том 24, стр. 545-546) он сделал
несколько более подробных замечаний по этому поводу. Вскоре после этого
очень большое внимание этому вопросу уделил в своих публикациях Шту-
ди, признав, насколько проще понятия теории инвариантов формулируются
при использовании понятий, развитых в теории групп. Подробнее эти идеи
изложены в его книге о тернарных формах (Лейпциг 1889, издательство
Teubner). Однако мы не будем останавливаться на этом подробно и
перейдем к обсуждению некоторых исследований Штуди о проективных группах,
которые, к сожалению, за исключением нескольких замечаний, сделанных
на стр. ИЗ его книги, пока еще нигде не опубликованы. При этом мы
используем рукопись, предоставленную в наше распоряжение автором.
Ли уже давно описал все проективные группы пространства Rn,
которые имеют ту же структуру, что и общая проективная группа прямой, и
не оставляют на месте никакое плоское точечное многообразие в Rn. Как
следует из сказанного ранее (см. предл. 2, стр. 187, и стр. 758), эти
группы суть не что иное, как трехпараметрические проективные группы как
можно более закрученных [???] кривых порядка п. Штуди поставил себе
задачу отыскать вообще все проективные группы пространства R^,
обладающие той же структурой, что и общая проективная группа прямой, и
получил очень красивый результат, который гласит, что каждая такая
группа оставляет на месте некоторые попарно скрещивающиеся [???] плоские
многообразия Е\, Е2 ♦ ♦ .Eq пространства Rn, такие, что ни одно из них
не содержит инвариантных плоских многообразий меньшей размерности,
а сумма их ступеней [???] равна п + 1, то есть числу ступеней
пространства Rn. Это утверждение позволяет указать все такие группы; их
количество равно, очевидно, числу различных способов представления числа
п 4- 1 в виде суммы положительных целых чисел ^ 0. Однако полностью
это утверждение Штуди не доказал. Его справедливость была доказана Эн-
гелем при помощи вычислений, подобных вычислениям со стр. 758-759.
Это доказательство мы приводить не будем, поскольку, во-первых, оно
является слишком длинным, а во-вторых, мы надеемся, что будет найдено
существенно более простое доказательство.
Этим Штуди не ограничился и направил свои исследования на
проективные группы, имеющие ту же структуру, что и общая проективная группа
произвольного пространства. Несомненно, что для этих групп верно
утверждение, аналогичное сформулированному выше, и поэтому в первую оче-

редь нужно отыскать те из них, которые не оставляют на месте плоских
многообразий. В упомянутой выше рукописи Штуди занимался
проективными группами, имеющими структуру общей проективной группы
плоскости и пространства, а также некоторых других проективных групп.
Если некоторая восьмипараметрическая проективная группа G&
пространства Rn-i имеет структуру общей проективной группы плоскости и
если она не оставляет на месте никакое плоское многообразие в Rn-i,
то наименее закрученное [???] многообразие, инвариантное относительно
этой группы, является либо двумерным, либо трехмерным. Действительно,
группа Gs содержит некоторую пятипараметрическую инвариантную
подгруппу G$, отвечающую пятипараметрической проективной группе
некоторого линейного элемента плоскости. Согласно предложению 7, стр. 681,
эта подгруппа G5 оставляет на месте некоторую точку пространства Rn-i,
и очевидно, что под действием группы Gg эта точка принимает оо2 или оо3
различных положений, которые образуют инвариантное относительно Gg
неплоское [???] многообразие.
Штуди полностью рассмотрел случай, когда G& определяется
наименьшим из инвариантных относительно нее неплоских многообразий.
Следующие утверждения взяты из его рукописи.
Если проективная группа G% пространства Rn-i имеет структуру
общей проективной группы плоскости и оставляет на месте неплоское
двумерное многообразие Мг, которым она определяется, то целое число N
равно \{п + 1)(п + 2), где п может быть любым целым положительным
числом > 0. Многообразие Mi представляет собой пересечение некоторых
(N — 2)-мерных многообразие второго порядка, оно биективно
отображается на плоскость и является рациональной нормальной поверхностью
порядка п2. Например, при п — 2 мы получим поверхность четвертого порядка
в i?5> Для которой поверхность Штейнера является проекцией. Группу G%
можно определить как проективную группу, посредством которой под
действием общей проективной группы плоскости преобразуются оо^-1
кривых порядка п.
Если проективная группа G& пространства Rn-i имеет структуру
общей проективной группы плоскости и оставляет на месте не двумерное,
а трехмерное неплоское многообразие Мз, которым она определяется, то
целое число N имеет значение
-(m + l)(n + l)(m + n + 2),

где тип — отличные от нуля положительные целые числа. Точки
многообразия iV/з можно биективно отобразить на оо3 линейных элемента
плоскости; кроме того, Мз имеет порядок Згап(га + п). Мз является пресечением
некоторых многообразий второго порядка и содержит два инвариантных
семейства оо2 кривых, одно из которых состоит из рациональных
нормальных кривых порядка п, а второе — из нормальных кривых порядка га. Саму
группу Gs можно определить как проективную группу, посредством
которой некоторое плоское многообразие оо^-1 коннексов плоскости
преобразуется под действием общей проективной группы плоскости.
В своей рукописи Штуди доказал эти утверждения практически
полностью. Здесь мы вынуждены отказаться от воспроизведения его
доказательств, зато мы приведем несколько других утверждений Штуди, которые
можно доказать точно так же, как и сформулированные выше.
Если некоторая пятнадцатипараметрическая проективная группа G15
пространства Rn-i имеет структуру общей проективной группы
пространства /?з и определяется наименьшим инвариантным относительно нее
многообразием Mfc, то возможны следующие случаи: 1) число к имеет
значение 3, и точки многообразия Мз можно биективно отобразить на точки
пространства Д3 (рациональные нормальные пространства); 2) к = 4 и
точки многообразия М± находятся во взаимно однозначном соответствии с
прямыми в Д3; 3) к = 5 и точки многообразия М5 находятся во взаимно
однозначном соответствии с элементами поверхности или линейными
элементами пространства R$; 4) к = 6 и точки многообразия М$ находятся во
взаимно однозначном соответствии с фигурами в R$, состоящими из точки,
проходящей через нее прямой и проходящей через них плоскости.
Если некоторая шестипараметрическая проективная группа G<$
пространства Rn-i имеет структуру проективной группы поверхности
второго порядка F2 в Дз и если она оставляет на месте неплоское двумерное
многообразие Мг, которое ее определяет, то N равно (га + 1)(п + 1).
Многообразие Мч биективно отображается на F2 и совпадает с поверхностью,
возникающей из теории некоторых двоякобинарных форм. Оно содержит
два инвариантных семейства оо1 рациональных кривых, имеющих в одном
случае порядок га, а в другом порядок п.
Наконец, чтобы найти все шестипараметрические проективные
группы Gq пространства Rn-i, которые имеют структуру общей линейной
группы плоскости и оставляют на месте некоторое определяющее их
многообразие Мг, нужно действовать следующим образом. Нужно рассмотреть
шестипараметрическую проективную группу некоторой точки Р плоскости

и подействовать этой группой на семейство всех плоских кривых
порядка п, для которых Р является fc-кратной точкой (к = 1,2 ... п — 1). Таким
образом возникают все группы Gq требуемого свойства. Многообразие Л^
лежит в пространстве ступени N = к(2п — А; + 3) и имеет порядок п2 — к2.
Оно лишь в общем случае биективно отображается на плоскость:
исключение составляет точка Р.
Ясно, что все эти рассуждения можно обобщить в различных
направлениях. Мы надеемся, что они скоро будут опубликованы.
§144. Шур
Теоретико-групповые работы Шура* посвящены главным образом
основаниям теории групп и задаче описания всех транзитивных групп
заданного строения. Работая над последней Шур получил особенно красивые
результаты, которые интересны не только с точки зрения теории групп, но
и с точки зрения теории функций и которые непременно приведут к другим
важным результатам. Жаль, что Шур принципиально избегает
использование введенного Ли символа для инфинитезимальных преобразований и что
он в такой малой степени придерживается используемых в этой работе
обозначений.
В своей первой работе Шур занимается комплексными числами с п
базисными единицами. Сложение и умножение этих чисел он понимает как
преобразования n-мерного пространства и требует, чтобы сложение
подчинялось ассоциативному и коммутативному законам, а умножение
дистрибутивному и ассоциативному Теоретике групповая часть этой работы
содержит рассуждения, которые были впоследствии развиты в статье Новое
обоснование и т.д..
Эта последняя статья уже упоминалась на стр. 564. Мы уже тогда
подчеркивали, что аксиомы, из которых исходит Шур, мы считаем
нецелесообразными, поскольку одно лишь предположение о том, что г-параметриче-
ская группа содержит тождественное преобразование, не приводит к
существенному упрощению. Действительно, в начале своих рассуждений Шур
*К теории комплексных чисел с п базисными единицами, Math. Ann., том 33, стр. 49. О
каноническом виде группы параметров, Leipz. Ber. 1889, стр. 229. Новое обоснование и т.д.,
Math. Ann., том 35, стр. 161. Представимость инфинитезимальных преобразований
транзитивных групп в виде частных всюду сходящихся степенных рядов, Leipz. Ber. 1890, стр. 1.
К теории конечных групп преобразований, Math. Ann., том 38, стр. 263. Теория функций и
группы преобразований, Math. Ann., том 41, стр. 509.

неявно делает одно предположение, которое, как он впоследствии (Math.
Ann., том 41, прим. на стр. 523) отмечает, верно при подходящем
выборе параметров и переменных, однако отказ от которого нарушает простоту
обоснования Шура. [???]
Основные результаты этой работы состоят в следующем. Шур
показывает, что инфинитезимальные преобразования канонической группы
параметров r-параметрической группы структуры dks представляются в
виде степенных рядов с конечной областью сходимости; эти степенные
ряды устроены довольно просто и полностью определяются
постоянными ciks *• Кроме того, любую r-параметрическую транзитивную группу
структуры Ciks можно привести к такому виду, что ее инфинитезимальные
преобразования будут степенными рядами, коэффициенты которых зависят
только от dies', правда, эти степенные ряды имеют существенно более
сложное строение. Наконец, Шур рассматривает r-параметрические группы, не
содержащие тождественное преобразование. Подробно эти, несомненно,
заслуживающие внимания рассуждения мы обсуждать не будем.
От Шейбнера Шур узнал о связи между некоторыми из числовых
коэффициентов степенных рядов, в которые Шур разложил
инфинитезимальные преобразования канонической группы параметров, и числами Бернул-
ли. Благодаря этому замечанию Шур пришел к замечательному
утверждению, которое гласит, что инфинитезимальные преобразования
канонической группы параметров представимы в виде дробей, числителями и
знаменателями которых являются всюду сходящиеся степенные ряды. На
основании этого утверждения он показал, что каждая r-параметрическая
транзитивная группа при подходящем выборе переменных принимает вид, в
котором ее инфинитезимальные преобразования записываются в виде
частных всюду сходящихся степенных рядов. Эти результаты, впервые
опубликованные Шуром в Leipziger Berichten за 1890 год, были существенно
дополнены в его работе в Math. Ann., том 38. Там он показал, что если
известны инфинитезимальные преобразования двух r-параметрических
взаимных просто транзитивных групп структуры dks* то> не прибегая к
интегрированию, можно найти по одному представителю для каждого типа
(см. том I, стр. 434) транзитивных групп структуры dks, а точнее, указать
инфинитезимальные преобразования каждого такого представителя. К тому
*Этот результат Шур привел еше в Leipz. Ben за 1889 год. Он заключает в себе новое
доказательство утверждения, к тому времени сформулированного и доказанного Ли, о том,
что каждый набор из г3 постоянных сгк$, удовлетворяющий известным соотношениям, задает
структуру некоторой r-параметрической группы (ср. стр. 599).

времени эта задача уже была решена Ли, однако в случае, когда
соответствующие r-параметрические группы содержали центральные инфинитези-
мальные преобразования, он использовал некоторые квадратуры, которые,
правда, позволили ему установить и конечные уравнения представителей
(см. стр. 664-665).
Результаты предыдущих параграфов [???] позволяют вывести эти
утверждения Шура существенно короче, чем это сделал сам Шур.
Учитывая важность этих утверждений, чуть позже мы приведем их подробное
доказательство. Сейчас же мы вкратце остановимся на остальных
результатах его работ.
В работе, о которой мы только что говорили, особого внимания
заслуживает очень изящное аналитическое доказательство второй части первой
фундаментальной теоремы. Это доказательство, которое мы уже упоминали
на стр. 564, основывается на следующих рассуждениях.
Пусть оог преобразований
x'i = fi(xi...xn; ai...ar) (i=i...n) (39)
образуют r-параметрическую группу; другими словами, пусть из (39) и
х" = fi(x',b) следуют уравнения х" = fi(x,c), где Ck известным образом
выражаются через а и Ь:
Ck = (fik(Q>i • • • ar; bi... br) (fc=i... г). (40)
Тогда величины х\ рассматриваемые как функции от а, удовлетворяют
дифференциальным уравнениям вида
т дх'-
iij (x[ ...x'n) = ^2 ajk(ai... ar) j-± tf=i... г; t=i... n), (41)
k=l ak
а величины сь рассматриваемые как функции от а, удовлетворяют
дифференциальным уравнениям вида
г л
ajfl(ci...Cr) = ^ 0^(61... Ьг)^ 0>=i-..r), (42)
к=\ к
где определитель, составленный из о^д. не равняется тождественно нулю и
где г выражений
П р. г

представляют г независимых инфинитезимальных преобразований (см.
том I, стр. 33, теор. 3 и стр. 404-405).
Обратно, если задана система дифференциальных уравнений
вида (41), в которой £ji и ajk обладают только что указанными свойствами,
и если известно, что эта система неограниченно интегрируема, то
величины х\ можно выразить из (41) в виде таких функций от а и х, что х\ — х\
при ak — о?к, где а\.. . а£ — набор значений общего положения, причем
это можно сделать одним единственным образом, и, следовательно, мы
можем считать, что полученные решения имеют вид (39). Очевидно, что при
сделанных предположениях уравнения (42) также неограниченно
интегрируемы и что вместе с начальными условиями Ck = Q>k ПРИ 6/с = &\ они
полностью определяют с^. Мы будем считать, что соответствующие
решения этих уравнений имеют вид (40).
Положим теперь
х" = fi(x\.. .xn; ci...cr) (t=i...n).
Тогда
т дхп
Zji(x" ...<)= ^ OLjk{Ci . . т) д^-,
откуда в силу (42)
£>ji\xl • • • хп)
Поскольку х'1 при Ьк = а\ принимает вид /Дх,а), отсюда следует, что
A = /t(/i(s,a).../n(x,a); ЬХ...ЪТ).
Таким образом, при сделанных предположениях уравнения (39) задают
группу.
Это доказательство является, несомненно, очень простым и
прозрачным, однако оно имеет тот недостаток, что оно опирается на теорию
интегрирования дифференциальных уравнений вида (41) и использует, кроме
того, основные дифференциальные уравнения группы параметров, тогда
5Z <*jii(bi...br)
к,ii=\
г
= ^ai/x(fti---br)
11=1
dck дх"
db„ dck
дх'(
дЬ'

как наше доказательство второй части первой фундаментальной теоремы
прибегает к существенно более элементарным вспомогательным средствам.
Следует также отметить, что, строго говоря, рассуждения Шура
доказывают не вторую часть первой фундаментальной теоремы, а другое, хотя и
очень близкое ей утверждение.
В своей последней теоретико-групповой работе (Ann. Math., том 41)
Шур занимается вопросом о том, в какой мере фундаментальные
теоремы теории групп справедливы для тех групп, конечные уравнения
которых нельзя записать через аналитические функции. Его основной целью
является доказательство того, что всякая вещественная транзитивная
группа, уравнения которой допускают некоторое число дифференцирований,
подобна группе, представимой в виде аналитических уравнений,
утверждение, сформулированное Ли без доказательства*. Поскольку мы, хотя
и вкратце, уже обсуждали этот вопрос (см. стр. 360 и далее), здесь будет
достаточно сказать, что Шур доказывает, что r-параметрическая
вещественная транзитивная группа х\ = fi(x,a) переводится в группу, представимую
в аналитическом виде, по крайней мере, тогда, когда выполняются
следующие условия: функции fi(x,a) обладают всеми производными первого и
второго порядка относительно а, функции срк(а,Ь) обладают всеми
производными первого и второго порядка относительно Ь, а выражения
\dfj{x,a)
[ дак
где под а\.. .а% понимается набор значений общего положения,
дифференцируемы по Х\... хп. Статья Шура представляет собой ценное дополнение
к нашим довольно сжатым рассуждениям из главы 19.
Сейчас, как было обещано выше, мы докажем утверждения Шура,
которые были сформулированы без доказательства, и тем самым увяжем их
с нашими прежними результатами. При этом мы частично будем следовать
указаниям Энгеля^.
Пусть Xif.. .Xrf — независимые инфинитезимальные
преобразования, связанные известными соотношениями
г
(XiXk) = ^Cik8X8f (U-=i.. .г), (43)
5=1
*Leipz. Ben, 1888, стр. 17, и 1890, стр. 312.
^Leipz. Ben, 1891, стр. 308 и стр. 585.

и пусть J2 ekXkf = Xf. Тогда уравнения
xi = хк + Xxi + —— XXxi Л = fi(xi... хп] ei... ег)
(г=1. . .п)
представляют собой канонический вид конечных уравнений группы,
порождаемой Xif... Xrf, и, как следует из первой фундаментальной
теоремы, с учетом (44) выполняются дифференциальные уравнения вида
дх' т
^Гк = X>j*(ei... ег)^г(х[ . ..х'п). (45)
Если эти уравнения разрешить относительно £^:
т дх'
£л(х[ ... х'п) = ^2ajk{ei...er)^,
что всегда возможно, то
Akf = ^Qjfcj(ei...er)— (fc=i...r)
будут г независимыми инфинитезимальными преобразованиями первой
канонической группы параметров. Следовательно, чтобы найти эти инфини-
тезимальные преобразования, нужно лишь установить функции ф^^ в
уравнениях (45).
С этой целью мы полагаем е^ = X^t, так что (44) принимает вид
х\ = fi(xi...xn; Ait, ...,\rt) (i=i...n). (44')
Тогда величины x'i9 понимаемые как функции от А, удовлетворяют
дифференциальным уравнениям
Вт' т
—i-^*ifc(A1...Ar,t)^(.-r'1...4),
к i=i
где, очевидно,
*i*=%fc(Ait, ...,Art), (46)

а, понимаемые как функции от t, они удовлетворяют дифференциальным
уравнениям
дх1- т
Таким образом, если под F понимать произвольную функцию от х\... хп
и положить F(x'i... х'п) = F', то
BFf T
.7 = 1
Дифференцируя теперь (47) относительно t, a (48) относительно Л^ и
сравнивая получающиеся в результате выражения, мы получаем уравнение*
X'kF' + J2 XjVMKXj*" ~ XjV) = E 4rX'iF'>
которое в силу (43) и в силу независимости инфинитезимальных
преобразований X\f... Xrf распадается на следующие:
Я\Т/ г г
-^=£sk + J2XiJ2c^»k (s,fe=i.-.r). (49)
j=i m=i
Эти дифференциальные уравнения и вытекающие из (46) начальные
условия
[*sfc]t=o = 0 (e,fc=i...r) (50)
полностью определяют функции Ф5^. Следовательно, можно немедленно
подсчитать и функции ф8^ [???]. Здесь существует две возможности: во-
первых, разрешив одно алгебраическое уравнение, их можно выразить
через экспоненциальные функции; во-вторых, их можно представить в виде
*Этот метод является в сущности лишь аналитической записью рассуждений, которые в
§ 125 изложены в более абстрактном виде; действительно, рассуждения из § 125 можно
провести так, чтобы избежать приведения выражения Е^А-^а/ к каноническому виду.

всюду сходящихся степенных рядов. Первое из этих представлений
принадлежит Ли (см. § 125), второе — Шуру*.
Используя обозначения, введенные на стр. 760, мы получаем ф8ь в
виде следующих всюду сходящихся степенных рядов:
оо ..
*«* = Е T^+ui^S? <•.*=!■ ■•->. (51)
и так как а^ связаны с ф8к соотношениями
г
X] ^skotsj = ekj (fe,j=i - • • г), (52)
то aSj являются частными всюду сходящихся степенных рядов. Если
определитель, составленный из ipsk, обозначить через Д то
Наконец, используя эти частные всюду сходящихся степенных рядов,
преобразования Akf можно, как это сделал Шур, представить в виде
степенных рядов с ограниченной областью сходимости. Действительно, учитывая,
что числовые коэффициенты ряда (51) совпадают с коэффициентами в
разложении в ряд выражения
ех -1
х
что
X В\ 2 Вз 4 , ft б
= 1 - - + ~zrX — х + ~zrx -
ex-l 2 2! 4! б!
где В и ft, В$ ... — числа Бернулли, и, наконец, что Е^/ удовлетворяют
установленным Шуром соотношениям (6), стр. 760, мы получаем
следующее разложение в ряд функции а^:
оо
аЪ = Yl X»Ejk (fc^"=1 • • • r>> (54)
v=0
* Идентичность степенных рядов Шура и конечных выражений Ли была впервые замечена
Эн гелем.

где коэффициенты А,у определяются уравнениями
Ао = 1, Ai = --
2> ^2v = (-1)7У+1 J\^ , А2„+1=0.
До сих пор мы предполагали, что задано г независимых инфините-
зимальных преобразований X\f... Хг/, связанных соотношениями (43).
Сейчас мы сделаем более общее предположение: пусть дано г3
постоянных CikS9 удовлетворяющих известным соотношениям
Ciks + Ckis = 0
г
/ ^{^ikr^rjs "Г C-kJT^ris \ ^jir^rks) = U.
(55)
Т=1
Мы покажем, что при таком предположении г инфинитезимальных
преобразований (53), которые, очевидно, независимы друг от друга, связаны
соотношениями
(AiAk) = ^2 ciksAsf (г,*=1... г)
(1)
5=1
и, следовательно, порождают r-параметрическую просто транзитивную
Группу Структуры dks-
Пусть Ф5& — решения дифференциальных уравнений (49) с
начальными условиями (50). Тогда эти функции удовлетворяют и некоторым другим
дифференциальным уравнениям, а именно условиям интегрируемости,
которые получаются из (47) с учетом (43). Действительно, эти условия
интегрируемости имеют вид*
дУ8к дФ
Sfl
дХк
^2 cjTS^jk^TIX
j,T=l
о
(57)
(s,k,[l=l • • • Т).
Обозначая левые части этих равенств через V^ и учитывая, что Ф^
удовлетворяют дифференциальным уравнениям (49) и что c^5 связаны
соотношениями (55), мы с помощью несложных вычислений получаем, что
——— = 2_^ *TCjTSVjkLi (s,fc,M=l. . .г).
dt
3,т=1
*Эти дифференциальные уравнения были впервые указаны Маурером.

Однако эти тождества можно рассматривать как дифференциальные
уравнения относительно V^, и поскольку при t = 0 мы, очевидно, имеем
^s/c/i=o? они показывают, что Vsk^ тождественно равны нулю. Таким
образом, если ^Зк удовлетворяют дифференциальным уравнениям (49) и
начальным условиям (50) и если имеют место соотношения (55), то Ф^
удовлетворяют и уравнениям (57).
Следовательно, если выполняются соотношения (55), то определяемые
формулой (51) функции фзк удовлетворяют дифференциальным
уравнениям
дфзк дф3^ v^ / / /г7Л
-^ ~ -^ = J>,T.^T/4. (57)
С другой стороны, так как определитель, составленный из ф8^ не равен
тождественно нулю, уравнения (52) определяют г2 функций a^j, которые,
кроме того, удовлетворяют уравнениям
г
^2 ^bsOtjs = £kj (kj=i - - - r).tag58 (2)
5 = 1
Дифференцируя уравнения (52) и (58) и рассматривая их в совокупности
с (57'), легко показать, как это сделал Маурер*, что ctkj удовлетворяют
уравнениям
Е( daka dain\ v-^
^{a"^"atJ^)=kCit""' (59)
(kj = l...r)
и что, следовательно, инфинитезимальные преобразования (53)
действительно связаны соотношениями (56).
Итак, мы доказали, что введенные Шуром выражения (53)
действительно являются инфинитезимальными преобразованиями г-параметриче-
ской просто транзитивной группы структуры Ciks- При этом было
использовано лишь то обстоятельство, что с^5 удовлетворяют уравнениям (55).
Таким образом, мы получили новое доказательство второй части третьей
фундаментальной теоремы.
*Мйпс\т. Веп, 1888, стр. 118

Сделаем еще одно небольшое замечание. Из дифференциальных
уравнений следует, что
-дт 52 ***** = ** + 52 ^эсм* 52 ***/**>
откуда в силу начальных условий (50) легко получается, что ^Xk^sk —
= Xst. Следовательно,
г
52ek^sk = es (8=i... r), (60)
к=1
и благодаря (52) мы получаем
г
^ еаав:7-= е^- 0=1... г). (61)
5=1
Именно эти соотношения (61) и привели Шура к степенным рядам (54): он
обнаружил, что функции ays полностью определяются
дифференциальными уравнениями (59), соотношениями (61) и начальными условиями aSj =
= eSj при в\ = ... = ег = 0.
Перейдем теперь к выводу самого важного результата Шура, а именно
следующего:
Предложение 13, Зная какие-либо две взаимные просто
транзитивные группы от г переменных х\... хТ:
г
Xkf = ^2 ыы
г=1
U
г
Zkf = 52^xi-
г=1
имеющие структуру с^5, можно, не прибегая к интегрированию и
используя лишь алгебраические операции, найти по представителю для каждого
...Хг)— (fc=l...r)
^дf
Xr)-g— (fc=l...r),

типа г-параметрических транзитивных группы структуры Ciks, то есть
указать инфинитезимальные преобразования некоторой принадлежащей
этому типу г-параметрической транзитивной группы.
Шур получил это утверждение довольно случайно: сперва он
обнаружил, что оно справедливо, когда X\f... Xrf и Z\f... Zrf являются
каноническими группами параметров, ассоциированными со структурой q/cs,
и только позже он заметил, что его формулы применимы и в случае
любых двух взаимных просто транзитивных групп. Энгель показал, что это
утверждение можно вывести непосредственно из результатов главы 22
первого тома, избежав возникающие там интегрирования с помощью теории
главных решений полной системы; при этом он получил формулы, к
которым Шур пришел из совершенно других соображений (Leipz. Ber., 1891,
стр. 585).
Пусть
г
Y»f = J2 X^Zkf (**=! . • . г-т)
fc=l
— произвольная (г — га) -параметрическая подгруппа группы Z\f ... Zrf,
и пусть и\(х).. .ит(х) — т независимых инвариантов этой подгруппы.
Из сказанного на стр. 662-663 вытекает, что наше утверждение будет
доказано, если нам удастся, не прибегая к интегрированию, указать г
инфинитезимальных преобразований от га переменных, под действием которых
точки пространства Rm преобразуются точно так же, как неизвестные оот
(г — га)-мерных многообразий
и\{х\.. .xr) = const, ..., ит{х\.. .xr) = const (62)
пространства Rr преобразуются под действием инфинитезимальных
преобразований X\f.. .XTj'. Чтобы найти такие г инфинитезимальных
преобразований, мы действуем следующим образом.
Полная (г — га)-параметрическая система
П/ = 0, ..,, Yr-mf = 0 (63)
с га независимыми решениями щ ... ит допускает г инфинитезимальных
преобразований X\f.. .Xrf, а значит (ср. том I, стр. 140, теор. 20), она
допускает всякое инфинитезимальное преобразование вида
Г —771
Xkf + 52 Хкц{х\ ■ ..xr)YJ (fc-i.. .r), (64)
М=1

какими бы ни были функции Xkfi- Кроме того, поскольку каждое инфи-
нитезимальное преобразование вида ^Xv(xWnf оставляет на месте все
многообразия (62), ясно, что инфинитезимальные преобразования (64)
преобразуют эти многообразия точно так же, как X\j.. .Xrf. С помощью
подходящего выбора функций Хкц в (64) всегда можно избавиться от г — т
из производных функции /. Действительно, считая, что г — т
независимых друг от друга уравнений (63) разрешимы относительно производных
функции / относительно xm+i... хг, мы можем выбрать такие (г — га)2
функций р^и, что
Yl PnvWYvf =
df
дхп
i/=l -+т+р т=1
но тогда инфинитезимальные преобразования
+ 52%г(Я1...Яг)^— (м=1...г-т), (65)
дхТ
%kf — Xkf — 2_^ €k,m+fiPj2vYvf
m s r—m n or
(66)
(fe=l...r)
содержат только производные функции / относительно х\... хш.
Инфинитезимальные преобразования X\f.. .Xrf переставляют
многообразия (52) точно так же, как X\f... Xrf, и тоже порождают группу В
самом деле, мы имеем
(XiXk) = / ^CjksXsf,
s=l
и в силу того, что все (XiY^) тождественно равны нулю, имеют место
соотношения вида
д=1
5 = 1
Но так как левые части этих соотношений не содержат производных /
относительно xm_|_i... хг, это же должно быть верно и для их правых частей,

и, следовательно, все Xikfi должны тождественно равняться нулю. Таким
образом, мы получаем соотношения
г
{XiXk) = / ^CjksXsf,
5=1
которые показывают, что Xif ... Xrf порождают группу
Группа Xif.. .Xrf преобразует oom многообразий (62) точно так
же, как группа Xif.. .Xrf. С другой стороны, она не оказывает
никакого действия на переменные xm+i.. .хг. Следовательно, если переменным
xm+i... хт в Xif... ЗЕГ/ придать произвольные числовые значения
общего положения, то мы получим группу от га переменных xi... xm, которая
oom точек пространства Rm преобразует точно так же, как оот
многообразий (G2) преобразуются под действием группы Xif .. . Xrf. Так мы нашли
эту группу, не прибегая к интегрированию, наше утверждение доказано.
Применяя это утверждение к частному случаю, когда группы Xkf и
Zkf являются каноническими группами параметров, ассоциированными со
структурой Ciks и вспоминая полученный на стр. 794 и 658 вид этих групп
параметров, мы приходим к следующему утверждению, впервые
сформулированному и доказанному Шуром:
Предложение 14, Каждую г-параметрическую транзитивную группу
с помощью подходящего выбора переменных моэ/сно привести к виду, в
котором ее инфинытезимальные преобразования являются частными всюду
сходящихся степенных рядов.
Каждой просто транзитивной группе соответствует особый вид такого
рода, а именно ее каноническая группа параметров, которая определена
однозначно с точностью до линейных однородных преобразований
переменных (см. стр. 657). Для r-параметрических транзитивных групп от менее
чем г переменных в общем случае существует несколько различных видов.
Один такой вид следует из теоремы 52, стр. 657. [???]
§ 145, Маурер
Маурер занимается теоретико-групповыми вопросами в трех своих
работах*. К сожалению, вводимые им совершенно новые обозначения очень
* Munch. Bcr. 1888, стр. 103-150; Crelle, том 107, стр. 89-116 (1890); Math. Ann., том 39,
стр. 409-440(1891).

усложняют понимание его работ. Все стало бы существенно короче и
намного понятнее, если бы Маурер придерживался хорошо продуманных
обозначений, используемых в настоящем труде. Чтобы понять, что нового
содержат его работы, нужно сперва привыкнуть к его обозначениям и изучить
целый ряд предварительных рассуждений, не содержащих ничего
существенно нового. Впрочем, эта критика направлена лишь против последних
двух работ Маурера. Первая была написана до появления первого тома
Теории групп преобразований, и, кроме того, тогда Маурер еще не был хорошо
знаком с работами Ли.
Первая из перечисленных здесь работ Маурера содержит следующие
новые теоретико-групповые результаты общего характера: во-первых,
вывод упомянутых на стр. 581 дифференциальных уравнений для ф^9 во-
вторых, упомянутый на стр. 796 переход от этих уравнений к
уравнениям (59) для инфинитезимальных преобразований группы параметров и, в
третьих, замечательное, хотя и очень естественное преобразование
основных дифференциальных уравнений
дГ1 = ^2^к(Ь)а^{а') (i,fc=i...r)
к j=i
группы параметров (см. том I, стр. 404-405). Дело в том, что в силу
тождеств
г
^2aji(a)rf)8i(a) = ejs
2=1
эти дифференциальные уравнения можно заменить системой пфаффовых
уравнений
( Т Т
V" ф8г{а\... a'r) da't = У] tp8i(bi • • • К) db{
^ ^ (67)
<
-1 2 = 1
(5=1. . .г).
Однако основной целью этой работы является нахождение условий,
при которых все инварианты r-параметрической линейной однородной
группы от п переменных представимы в виде функций рациональных
инвариантов. При этом он опирается на утверждение, которое он доказал в
своей диссертации* и которое можно сформулировать следующим образом:
*0 линейных подстановках, Страсбург, 1887 год.

Предложение 15. Для того, чтобы параметры однопараметрической
линейной однородной группы, порождаемой инфинитезимальным
линейным однородным преобразованием
i,v=l г
можно было выбрать так, чтобы коэффициенты конечных уравнений
этой группы были рациональными функциями этих параметров,
необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения
A = \aiu-eiuuj\ =0 (68)
степени п равнялись нулю или чтобы для каждого корня кратности т
этого уравнения в нуль обращались все миноры порядка n-m + 1
определителя А и чтобы, кроме того, частные корней уравнения А — 0 были
рациональными числами.
С помощью этого утверждение Маурер доказывает следующее:
Предложение 16, Если рациональная однородная функция F{x\... хп)
переменных х\... хп допускает ровно г и не более независимых
инфинитезимальных линейных однородных преобразований
Xkf = ^2 akivxv-fl— (fc=l...r),
г,^=1 г
то линейной комбинацией этих инфинитезимальных преобразований
можно получить г независимых инфинитезимальных преобразований, каждое
из которых будет порождать однопараметрическую подгруппу,
обладающую указанным в предыдущем предложении свойством.
При сделанных в этом предложении предположениях X\f... Xrf,
разумеется, порождают r-параметрическую линейную однородную группу.
Эта группа содержит г однопараметрических подгрупп, инфинитезималь-
ные преобразования которых независимы друг от друга, а параметры
которых можно выбрать так, что коэффициенты их конечных уравнений будут
рациональными функциями от одного параметра. Отсюда следует*, что ко-
* Маурер с помощью прямых вычислений доказывает, что чтобы получить наиболее общее
преобразование r-параметрической группы X\f... Xrf, нужно эти г однопараметрических
подгрупп выполнить одну за другой. Это, однако, можно доказать намного проще, причем
для случая произвольной группы, если воспользоваться предложением 4, том I, стр. 65, и
действовать, как указано на стр. 76 первого тома.

нечные уравнения этой r-параметрической группы X\f... Xrf пред
ставимы в виде, в котором их коэффициенты будут рациональными функциями
от г параметров этой группы. Таким образом, очевидно, что количество
независимых рациональных инвариантов группы X\f... Xrf равно
количеству всех ее независимых инвариантов. Доказанному здесь утверждению
Маурера мы можем придать следующую формулировку:
Предложение 17. Чтобы количество независимых рациональных
инвариантов г-параметрической интранзитивной линейной однородной
группы от п переменных равнялось количеству всех ее независимых
инвариантов, необходимо и достаточно, чтобы она содержала г независимых
инфинитезимальных преобразований, порождающих однопараметрические
группы указанного в предложении 15 свойства; тогда коэффициенты
конечных уравнений этой группы представляются в виде рациональных
функций от г параметров.
Сейчас мы перейдем к обсуждению третье работы Маурера, которая
тесно связана со сказанным выше. В ней Маурер пытается выяснить, каким
условиям должна удовлетворять данная структура CikS9 чтобы
существовала r-параметрическая группа структуры aks, конечные уравнения которой
были бы алгебраическими как относительно переменных, так и
относительно параметров. Однако ему удалось найти лишь необходимые условия: его
доказательство достаточности этих необходимых условий несостоятельно.
Сделав несколько предварительных замечаний, Маурер доказывает, что
всякую r-параметрическую группу Gr можно получить, выполнив одну за
другой г подходящих из ее однопараметрических подгрупп. Само по себе
это утверждение не представляет особого интереса, и его можно доказать
намного короче и проще (ср. прим. на стр. 802), однако при его
доказательстве Маурер использует весьма хитроумный метод вычисления
инфинитезимальных преобразований второй группы параметров группы Gr. Сейчас
мы вкратце изложим этот метод, пользуясь, разумеется, нашими
привычными обозначениями.
Пусть X\fXrf — r-параметрическая группа пространства Rn,
имеющая структуру Ciks, и пусть
хЫ=/(м)(а>-1) ...x(f"1); „„) («.i...») (69)
— канонические конечные уравнения однопараметрической группы, порож-

даемой инфинитезимальным преобразованием X^f. Далее, пусть
— канонические конечные уравнения однопараметрической подгруппы E^f
присоединенной группы. Тогда в силу (69) имеют место соотношения вида
^{m"1)/ = Ep*j(m)K)4m)/ ci=i...r)f
где, как обычно,
п
^)/ = Е^(^,-^))Ло-
г=1 °xi
Разрешим последние уравнения относительно X^f:
4")f = J2p%\-^)^r1)f ci=i-r). (л)
Теперь, придавая величине д поочередно значения 1,2...//, мы можем в
уравнениях (71) исключить JO '/.. -Xj ~ /. В результате мы получаем
уравнения вида
г
4MV = £e^W..^po/ (*=i...r), (72)
i=i
где вместо х\ мы пишем просто Х{ и где 0 получается из pjk очень
простым образом*.
Уравнения (72) являются следствиями уравнений, которые
получаются из (69), если /л полагать равным 1,2...// и исключать переменные
х\ .. . а^м_ \ При р = г, действуя таким образом, мы получаем общее
преобразование
x\r) = fi(xi...xn; щ ...ur) (t=i...n) (73)
*Лучше всего это можно увидеть, если уравнения (71) при /х = 1,2... понимать как
линейные однородные подстановки, выполняемые одна за другой.

r-параметрической группы Xif.. .Xrf, и, следовательно, уравнения (72)
при ц = г являются следствием уравнений (73). То, как были получены
уравнения (73), показывает, что
дх(г) ^ п дх(г) дхМ
и поскольку (69) является каноническим видом однопараметрической
группы X^f, мы имеем
С другой стороны, уравнения (72) распадаются на следующие:
еь(^)^ЕЕ*(«Ь"М^(4 (72')
j = l V=\ V
и из (74) мы получаем
ТЙ--ЕЕ<»$?<«. -%)^w _.
(г=1 . . . п; д=1 ... г),
то есть величины х^ из (73), рассматриваемые как функции от х и и,
удовлетворяют дифференциальным уравнениям (75).
Уравнения (75) легко привести к известному нам виду. Дело в том,
что они показывают, что х из (73), рассматриваемые как функции от и9
удовлетворяют дифференциальным уравнениям
дх„
ди
м
= -Ее5м)(и1---им)ы^
3 = 1
которые, если 9^ положить равным — i?jM, суть не что иное, как
дифференциальные уравнения из теоремы 4, том I, стр. 43. Таким образом, с
помощью изложенного здесь метода очень просто получить функции fljk,

соответствующие виду (73) конечных уравнений группы X\f... Xrf,
причем эти функции будут выражены через коэффициенты, входящие в од-
нопараметрические подгруппы (70) присоединенной группы E\f... Erf.
Остается заметить, что, зная функции $jM, легко вычислить инфинитези-
мальные преобразования
Bkf = ^2Pkj(ui -"ur)^ (fc=i. ■ -г)
3=1 j
второй группы параметров группы (73). Действительно, мы имеем
соотношения г
^2 tikjPsj = £ks (*=l • • • г),
разрешая которые относительно /3Sj мы получаем /3jS. Доказательство
этого факта, которое легко следует из результатов параграфов 108 и 122, мы
оставляем читателю.
Этот принадлежащий Мауреру вывод [???] инфинитезимальных
преобразований второй группы параметров* r-параметрической группы,
получающейся последовательным выполнением некоторых г из ее однопарамет-
рических подгрупп, представляет немалый интерес; он аналогичен [???]
изложенному в § 124 и 125 выводу [???] инфинитезимальных преобразований
обеих канонических групп параметров. Более того, аналогичным образом
можно построить и инфинитезимальные преобразования первой группы
параметров группы (73).
Обсудим теперь исследования Маурера, посвященные алгебраическим
группам.
Пусть r-параметрическая группа х\ — Л(х, а) является
алгебраической, то есть пусть fa являются алгебраическими функциями как
относительно х, так и относительно а. Тогда инфинитезимальные преобразования
этой группы, очевидно, также будут алгебраическими. Следовательно, если,
руководствуясь сказанным на стр. 270-271 первого тома, построить
конечные уравнения
г
ек = ^2pkj{ai • ..ar)ej (fc=i.. .г) (76)
3 = 1
* Маурер говорит, что Ли называет эту группу группой параметров группы (73). Однако
здесь произошла путаница. Дело в том, что группа, о которой говорит Маурер, — это вовсе
не та группа, которая в первом томе названа группой параметров, а та, которую мы здесь
называем второй группой параметров.

соответствующей присоединенной группы, то Pkj(a) также будут
алгебраическими функциями своих аргументов. Таким образом, алгебраические
группы структуры Ciks могут существовать только тогда, когда конечные
уравнения соответствующей структуре Ciks (ср. стр. 671) присоединенной
группы
.7,5=1 s
могут принимать такой вид (76), что pkj являются алгебраическими
функциями своих аргументов.
Маурер придает этому необходимому условию еще один вид.
Поскольку присоединенная группа E\f... Erf всегда интранзитивна (см. стр. 673),
на основании полученного им предложения 17, стр. 802, ему легко
удается показать, что конечные уравнения присоединенной группы могут
принимать требуемый вид лишь тогда, когда количество ее параметров равно
количеству содержащихся в ней независимых инфинитезимальных
преобразований, удовлетворяющих условиям предложения 15, стр. 801.
Действительно, в этом случае присоединенную группу можно привести к такому
виду, что р^ будут рациональными функциями своих аргументов.
Но является ли это необходимое условие достаточным? Всегда ли,
когда присоединенная группа E\f.. .Erf обладает указанным свойством,
найдется r-параметрическая алгебраическая группа структуры Ciks?
Маурер отвечает на этот вопрос положительно, однако его доводы
несостоятельны.
Дело в том*, что он в своем доказательстве использует утверждение о
том, что каждую r-параметрическую группу, содержащую ровно т
независимых центральных инфинитезимальных преобразований, можно привести
к такому виду X\f... Xrf, что X\f ... Xmf являются центральными ин-
финитезимальными преобразованиями, a Xm+if.. .Xrf порождают (г —
— га)-параметрическую группу. Однако, как показывает трехпараметриче-
ская группа, приведенная на стр. 295 первого тома, это утверждение
неверно.
И действительно, рассуждения, посредством которых Маурер пришел
к этому утверждению, содержат ошибку. На стр. 433 своей работы он
утверждает, что Рл = £д/х всегда, когда одно из чисел Л, \х не превосходит т —
— гп\, тогда как доказал он лишь то, что Рх — е\^ при \ilLm — m\. Только
* На это обстоятельство в свое время указал Шур.

что упомянутая трехпараметрическая группа показывает, что величина РЛ
не обязана равняться s\^ при A^m-mi. Таким образом, выводы, которые
Маурер делает на стр. 438 своей работы, теряют силу.
Второй из упомянутых в начале этого параграфа статей Маурера мы
здесь касаться не будем, поскольку ее обсуждение завело бы нас слишком
далеко. Однако уже то, как подробно мы остановились на двух других его
статьях, свидетельствует о том большом значении, которое мы придаем его
работам.
§ 146. Различные авторы
Здесь мы сперва обсудим несколько диссертаций, написанных в
Лейпциге учениками Ли. Рассматриваемые в них задачи были поставлены Ли, и
их решение давало ответы на многие важные вопросы.
Для того, чтобы найти r-параметрические простые группы,
содержащие подгруппы с г — 4 параметрами, но не более, нужно было (ср. стр. 684-
685) описать все конечные непрерывные примитивные группы
пространства i?4- Эта задача была поставлена Пейджу [???]. Его решение
опиралось на проделанную Ли классификацию двух классов примитивных групп
пространства Rn (см. том I, гл. 29, и том III, гл. 17) и на классификацию
всех проективных групп пространства R^. Пусть Gr — г-параметрическая
примитивная группа пространства Я4, и пусть зафиксирована некоторая
точка Р общего положения. Тогда плоское пространство R% всех оо3
линейных элементов, проходящих через Р, преобразуется посредством
некоторой проективной группы. Но эта проективная группа не может оставлять
на месте, во всяком случае, ни одного линейного элемента и, как
следует из теории проблемы Пфаффа, ни одного плоского пучка оо2 линейных
элементов. Поэтому нужно рассматривать лишь такие проективные
группы пространства Rs, которые не обладают ни инвариантными точками, ни
инвариантными плоскостями (см. гл. 13). Следовательно, для всех еще
возможных примитивных групп пространства R$ можно сразу выписать члены
первого порядка в разложениях в ряд инфинитезимальных преобразований,
оставляющих на месте некоторую точку общего положения, и нужно лишь
в каждом отдельном случае определить начальные члены
инфинитезимальных преобразований высших порядков и найти структуру соответствующей
группы, после чего либо выясняется, что эта группа не является
примитивной, либо, если эта группа действительно примитивна, ее, используя
результаты главы 28 первого тома, можно привести к нормальному виду.

Пейдж* мастерски проделал все необходимые вычисления, и
оказалось, что кроме одиннадцати уже известных примитивных групп в R$ не
существует никаких других конечных непрерывных примитивных групп.
Поскольку среди этих одиннадцати групп существовала лишь одна простая
группа, которая не могла быть группой точечных преобразований в менее
чем четырехмерном пространстве, Ли мог теперь к своим результатам
относительно простых групп (ср. стр. 685-686) добавить следующий (ср. Leipz.
Вег. 1888, стр. 18):
Предложение 18. Если г-параметрическая простая группа содержит
подгруппы с г — 4 параметрами, но ни одной подгруппы с более чем г —
— 4 параметрами, то она имеет структуру общей проективной группы
пространства R^.
К теоремам, перечисленным на стр. 691, также можно было бы
добавить еще одну теорему, формулировать которую нам, пожалуй, еще нет
необходимости.
Как часто случается при доказательстве того, что чего-то не
существует, самым трудным для Пейджа здесь было показать, что в R± не
существует примитивных групп, под действием которых вместе с каждой
фиксированной точкой общего положения на месте остается плоский пучок оо1
линейных элементов, проходящих через эту точку. Пространные вычисления,
необходимые в этом случае, были опубликованы Пейджем лишь частично;
между тем, благодаря установленному Энгелем утверждению (см. стр. 761-
762) необходимость в этих вычислениях полностью отпала, поскольку из
этого утверждения немедленно следует, что группа пространства R^,
обладающая рассматриваемым здесь свойством, никогда не может быть
примитивной. Вследствие этого число подлежащих рассмотрению случаев
существенно уменьшается, поскольку из рассмотрения нужно исключить и все
те из упомянутых на стр. 807 проективных групп пространства i?3,
которые обладают инвариантной прямой. Таким образом, остается лишь четыре
случая (см. теор. 11, стр. 226, и предл. 2, стр. 236), два из которых уже
рассмотрены Ли.
В Math. Ann., том 25, стр. 135, Ли выдвинул гипотезу о том, что всегда,
когда r-параметрическая простая группа Gr содержит (г
—т)-параметрическую подгруппу, но не содержит ни одной подгруппы с более чем r — т
параметрами, в пространстве Rm существует проективная группа, имеющая
ту же структуру, что и группа Gr. Однако в 1886 году он объявил (Ges. d.
*Лейпцигская диссертация. См. Amer. Journal, том 10 (1888).

Wiss. zu Kristiania), что эта гипотеза неудачна, поскольку она, по-видимому,
была неверна для проективной группы многообразия второго порядка в Rn
при п > 5. Чтобы разрешить этот важный вопрос, имеющие большое
значение для интегрального исчисления, Ли поставил Вернеру задачу описания
максимальных подгрупп названной группы*, и Вернер при поддержке Ли
полностью решил эту не совсем простую задачу*. Его результаты, вскоре
после того подтвержденные Киллингом, состоят в следующем.
Если п — 4 или п > 5, то непрерывная проективная группа G^
невырожденного многообразия второго порядка в Rn не содержит подгрупп с
более чем N — (п — 1) параметрами, причем все (N — п +
1)-параметрические подгруппы группы Gn в общем случае сопряжены друг другу в Gn и
характеризуются тем, что под действием каждой из них на месте остается
некоторая точка многообразия. Лишь в случаях п — 4 и п — 7 существует
еще один тип (N — n + 1)-параметрических подгрупп группы G^. Этот
второй тип характеризуется тем, что под действием каждой из принадлежащих
ему групп на месте остается некоторое максимальное плоское
многообразие исходного многообразия второго порядка. Если же п — 3 или п — 5, то
Gm содержит также (N—n+2)-параметрические подгруппы; все они
сопряжены друг другу в Сдг, и каждая из них оставляет на месте некоторое
максимальное плоское многообразие исходного многообразия второго порядка.
Соответствующие результаты для максимальных подгрупп
конформной группы пространства Rn-\ (ср. стр. 357) мы опускаем.
В плоскости существует всего три типа неприводимых групп
контактных преобразований, однако в пространстве Дз таких групп значительно
больше. Один очень важный класс таких групп был описан Ли (см. том И,
гл. 25). В качестве дальнейшего шага в этом направлении Шефферсу была
поставлена задача описания всех неприводимых групп контактных
преобразований пространства R%, обладающих некоторым инвариантным
семейством оо1 дифференциальных уравнений первого порядка в частных про-
дг дг\
х, у, z, —, — I = const.
Шефферс решил эту задачу* с помощью одного из методов Ли, однако
подробное обсуждение этой важной работы Шефферса выходит за рамки
настоящего труда.
*Для случая п ^ 5 эти максимальные подгруппы были уже давно описаны Ли.
^Лейпцигская диссертация 1889, см. Math. Ann., том 35, стр. 113-160.
*Лейпцигская диссертация 1890, см. Acta. Math., том 14, стр. 111-178.
ф

Из лейпцигских диссертаций мы бы хотели также коснуться
прекрасной работы Жоравского, посвященной инвариантам изгибания (1891, см.
Acta. Math., том 16). Однако, поскольку эта относится к
дифференциальным инвариантам, мы остановимся на ней очень коротко. Ли показал, что
теорию Гаусса-Миндинга о развертывании [???] поверхностей можно
понимать как теорию инвариантов бесконечной группы, и предложил Жо-
равскому найти число независимых друг от друга дифференциальных
инвариантов различных порядков. Необходимые для этого очень громоздкие
вычисления Жоравский проделал с большим мастерством. В труде о
дифференциальных инвариантах при обсуждении известных исследований Ламе
и особенно Бельтрами мы еще вернемся к этой работе Жоравского.
Упомянем в заключение лейпцигские диссертации Умляуфа и Кноте.
На первую из них, написанную по инициативе Энгеля, мы ссылались при
обсуждении работ Киллинга, а вторая была упомянута в примечании на
стр. 258.
На стр. 128 мы уже упоминали прекрасную диссертацию де Таннен-
берга "Об уравнениях в частных производных первого порядка от двух
независимых переменных, допускающих непрерывную группу
преобразований. В ней автор также решает задачу, поставленную ему Ли.
Далее, Трессе* весьма искусно решил поставленную ему Ли
задачу вычисления всех дифференциальных инвариантов конформной группы
пространства Дз- Остальные исследования Трессе касаются бесконечных
групп, и поэтому мы не будем здесь на них останавливаться. Кроме того,
пока они опубликованы лишь в очень сокращенном варианте.
Мы уже говорили о важных замечаниях Картана в связи с работами
Киллинга. Будем надеяться, что в скором времени Картан опубликует свои
исследования в полном изложении.
Во втором томе своих лекций по геометрии Линдеман также [???]
пользуется теоретико-групповыми соображениями, однако его
рассуждения вовсе небезупречны. Дело в том, что, введя пространство как
многообразие чисел, он определяет движения как некоторую группу проективных
преобразований. При этом он требует, чтобы каждая подгруппа этой
группы, оставляющая на месте некоторую прямую, преобразовывала точки этой
прямой однопараметрически. Отсюда следует, всякая фиксированная
прямая содержит две различные или две совпадающие инвариантные точки.
*Comptes Rendus 1892, том 114, стр. 948.

Линдеман называет эти точки бесконечно удаленными точками
соответствующей прямой, однако он молча предполагает, что точка, являющаяся
в этом смысле бесконечно удаленной точкой некоторой прямой, является
бесконечно удаленной и для любой другой проходящей через нее прямой.
Тиссо и Ли занимались вопросом о том, при каких условиях
дифференциальные уравнения, определяющие геодезические двух поверхностей,
можно перевести друг в друга. Тиссо решил эту задачу, ограничившись
лишь вещественным случаем, в то время как Ли решил ее полностью {Math.
Ann., том 20). Ли также неоднократно указывал на связь этой задачи с
механикой. Недавно связанные с этим исследования были опубликованы Пэн-
леве, Штауде и Штэкелем, которые прямо исходят из применения теории
групп к механике. Однако это, несомненно, очень перспективное
направление исследований выходит за рамки настоящего труда.
Наконец, начиная с 1885 года вышло большое количество работ на
английском языке, посвященных различным примерам, иллюстрирующим
развитую Ли общую теорию дифференциальных инвариантов. Однако,
насколько нам известно, эти работы не содержат ничего по-настоящему
нового.
§147
Совершенно особое место занимает приложение теории групп к
теории интегрирования линейных дифференциальных уравнений, которым мы
обязаны Пикару и Вессио. Здесь мы, разумеется, не можем
останавливаться на этой теории, но мы обязательно вернемся к ней в труде о
дифференциальных инвариантах и теории интегрирования. Чрезвычайная важность
этих исследований заключается, в частности, в том, что они
устанавливают полное соответствие между теорией интегрирования линейных
дифференциальных уравнений и теорией алгебраических уравнений Галуа.
За рамки настоящего труда выходят и исследования Пикара, связанные
с теорией бесконечных групп. Отметим лишь следующее: Пикар*
обобщает дифференциальные уравнения в частных производных, возникающие в
теории функций и + iv комплексного переменного х + iy. Он показывает,
*Comptes Rendus, том 112, стр. 1399 (1891) и том 114, стр. 805. Особый класс
возникающих здесь бесконечных групп был рассмотрен Шефферсом в исследованиях, упомянутых на
стр. 783.

как можно найти наиболее общую систему дифференциальных уравнений
в частных производных, обладающую теми же характеристическими
свойствами, и приходит, по существу, к описанию широкого класса бесконечных
групп. Поразительно то, что, как и у Энгеля (см. стр. 754), описание этих
бесконечных групп сводится к описанию некоторых конечных
непрерывных групп.
Пикар был также первым, кто занимался общими исследованиями
алгебраических групп. В одной своей конкурсной работе* он описал двупара-
метрические группы бирациональных преобразований от трех переменных,
оставляющие на месте некоторую алгебраическую поверхность. При этом
точки такой поверхности преобразуются посредством алгебраической
группы, инфинитезимальные преобразования которой, разумеется, также
являются алгебраическими.
Не останавливаясь на красивых исследованиях Пикара, которые, само
собой разумеется, также можно обобщить, сейчас мы вкратце обсудим
следующую общую задачу, подробное рассмотрение которой было бы крайне
желательно:
Заданы инфинитезимальные преобразования X\jXTj совершенно
произвольной группы от п переменных; нужно найти все подобные ей
группы, инфинитезимальные преобразования которых
П ~г
Zkf = ^2Cki(zi...Zn)— (fc=l...r)
г=1 °Zi
являются алгебраическими.
Мы ограничимся рассмотрением двух примеров^.
Первый пример. Пусть группа X\f.. .Xrf является группой всех
преобразований пространства Rn, то есть
Xif = —— (г=1. . .п).
Мы хотим найти все преобразования вида х\ — o^(zi... гГ), с помощью
которых мы получаем равенства
EC*(*i-..*.)|£ = j£ «=*•.. п), (77)
*К теории алгебраических функций от двух переменных, Journal de math. 1889.
"''Приводимые ниже рассуждения принадлежат Ли, однако в публикациях Ли эта тема пока
освещена очень мало.

где Qjy суть алгебраические функции своих аргументов. Но тогда
дхт
iy=l
и, поскольку определитель, составленный из Сг>, разумеется, не может
равняться нулю, мы имеем
дх
—- = аТ1/(гг... zn) (r,i/=i...n), (78)
где функции ати также являются алгебраическими и должны удовлетворять
известным условиям интегрируемости. Следовательно,
г п
(zx...zn)dzv (T=i...n). (79)
Таким образом, чтобы найти общее решение нашей задачи, нужно
выбрать п независимых интегралов* от алгебраических дифференциальных
выражений в полных дифференциалах и положить их равными х\.. .хп;
эти интегралы, разумеется, должны быть независимыми друг от друга
таким образом, чтобы уравнения (79) можно было разрешить относительно
Z\ . . . Zn.
Второй пример. Пусть
*kf = 4|^ + *i |^- + 4^~ (fe-o,i,2). (80)
дхо дх\ ОХ2
Предположим, что
Xi-g— = 2^Cki(zo,zi,z2)-Q- (fc=o,i,2),
2=0 l 2=0 2
где Qki суть алгебраические функции, определитель которых, разумеется,
не может быть равен нулю. Отсюда следует, что xo,xi,X2 удовлетворяют
некоторому уравнению Риккати в полных дифференциалах:
2
dx= ^2 aik{zQlzuz2)xldzk, (81)
* Впервые такие интегралы были рассмотрены Пикаром.

где aik являются алгебраическими функциями, определитель которых не
равен нулю.
Обратно, если задано произвольное неограниченно интегрируемое
уравнение Риккати в полных дифференциалах (81), обладающее только что
указанным свойством, и если
Xi = LOi(ZQ, Zi,Z2) (i=0,l,2) (82)
— три различных частных решения этого уравнения, то хо,х\,х2 не могут
удовлетворять никакому соотношению, не зависящему от z. Дело в том, что
такое соотношение можно было бы разрешить, например, относительно жо,
в результате чего оно бы приняло вид
х0 = F(xux2).
Подстановка (82) обращала бы это соотношение в тождество, и то же самое
было бы верно для уравнений
дхо _ 8F дх\ 8F дх2
dzk dxi dzk дх2 dzk
Но с учетом (81) эти уравнения принимают вид
V- г X^\dF . 8F А
^ aikx0 = ^ i —хг + — х2 Ь aik (fc=o,i,2),
2 = 0 2 = 0 ^ 1 Ъ )
откуда ввиду свойств функций а^ мы получаем уравнения
2 г9F {dF
Хг0 =Х\1—+Хг2^— (2=0,1,2),
дх\ дх2
которые не могут выполняться в силу того, что хо,Жь x2 различны.
Следовательно, при сделанном здесь предположении уравнения (82)
всегда задают преобразование, под действием которого группа (80) снова
переходит в группу с алгебраическими инфинитезимальными
преобразованиями. Таким образом, чтобы получить наиболее общее решение нашей
задачи, нужно найти наиболее общее неограниченно интегрируемое
уравнение (81) указанного выше свойства.
Ясно, что подобные рассуждения можно провести и для многих других
групп.

До сих пор мы требовали лишь, чтобы инфинитезимальные
преобразования группы Zif... Zrf были алгебраическими. Настолько же
интересным, хотя и более сложным является вопрос о том, при каких условиях
алгебраическими являются и конечные преобразования этой группы.
В нашем первом примере ответ на этот вопрос дает теорема Абеля.
Действительно, если (fi(x)... рр(х) — р независимых абелевых интегралов
первого рода и типа р [???], то уравнения
V V
Y1 ¥>/*оо = ^{vix^u)+мо} ^=i• • -р) (8з)
1/=1 «/=1
определяют, очевидно, р-параметрическую группу, подобную группе
трансляций пространства Rp. Согласно теореме Абеля, х1 будут здесь
алгебраическими функциями как относительно х, так и относительно параметров а.
Перевод этой группы в группу трансляций сводится к задаче обращения
Якоби*.
Другой класс групп указанного свойства был обнаружен Пикаром. В
своей конкурсной работе, на которую мы ссылались выше, он доказывает,
что при определенных условиях алгебраическую группу могут задавать и
уравнения вида
( гх'у' рху
/ {Pl(x,y)dx + Q1(x,y)dy} = (Prdx + Qrdy)
I JCLabi) Jab
rx у рху
/ {P2{x,y)dx + Q2(x,y)dy} = (P2dx + Q2dy).
v Jaob[) Jab
(84)
Здесь Р vlQ — алгебраические функции, удовлетворяющие условиям
интегрируемости, ао и 6о — фиксированные числа, а а и Ь — параметры.
Разумеется, что такая группа подобна группе трансляций плоскости, ее перевод
в группу трансляций сводится [???] к обобщенной задаче обращения.
*См. примечание [???] Ли в Comptes Rendus, том 114, стр. 334 (15 февраля 1892). Здесь
можно также упомянуть диссертацию Больмана [???] Об одном классе непрерывных групп и
его связи с теоремами сложения (Галле 1892). Больман, само собой разумеется, пришел к тем
же группам, что и Ли, однако Ли получил их первым.