Text
                    УНИВЕРСИТЕТСКАЯ СЕРИЯ
Основана в 1998 г. издательством "Научная книга" (ИДМИ)
Учебники и учебные пособия по теоретической математике. Авторы — из-
известные ученые и лекторы ведущих университетов мира. Оригиналы и пере-
переводы на русский язык. Избранные тома серии Graduate Studies in Mathematics
(Американское математическое общество)
12. Годунов С. К. Лекции по линейной алгебре, 2002.
11. Буттацо Дж., Джаквинта М., Гильдебрандт С. Одномерные вариационные
задачи. Введение, 2002. Пер. с англ.
10. Кириллов А. А.. Лекции по методу орбит, 2002.
9. Эванс Л. К. Методы слабой сходимости в нелинейных уравнениях с частными
производными, 2002. Пер. с англ.
8. Эванс Л. К. Уравнения с частными производными, 2002. Пер. с англ.
7. Эванс Л. К., Гариепи Р. Ф. Теория меры и тонкие свойства функций, 2002.
Пер. с англ.
6. Януш А. Дж. Алгебраические числовые поля, 2001. Пер. с англ.
5. ФурсиковА. В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория
и приложения, 1999.
4. Годунов С. К., Роменский Е. И. Элементы механики сплошных сред и законы
сохранения, 1998.
3. Годунов С. К., Михайлова Т.Ю. Представления группы вращений и сферичес-
сферические функции, 1998
2. Крылов Н.В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в про-
пространствах Гёльдера, 1998. Пер. с англ. (GSM-12)
1. Либ Э., Лосе М. Анализ, 1998. Пер. с англ. (GSM-14)


УНИВЕРСИТЕТСКАЯ СЕРИЯ Том 10 Основана в 1998 г. издательством "Научная книга" (ИДМИ) ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДУ ОРБИТ А. А. Кириллов Университет Пенсильвании (США) Институт проблем передачи информации РАН (Россия) Новосибирск ф Научная книга ф 2002
K431 Кириллов А. А. 31 Лекции по методу орбит. — Новосибирск: Научная книга (ИДМИ), 2002. — xiv+290 с. — (Университетская серия. Т. 10). ISBN 5-88119-036-Х Книга следует курсу лекций, прочитанных автором (и основателем мето- метода орбит) в Московском госуниверситете (Россия), а также в университетах Парижа (Франция), Марселя (Франция), Кембриджа (Англия) Гамбурга (Гер- (Германия), Мэриленда (США), Пенсильвании (США) и др. Первая часть (лекции 1-6) содержит традиционный материал из теории представлений и основные положения метода орбит. Во второй части (лекции 7-11) демонстрируется при- применение метода орбит, обсуждаются сильные и слабые стороны этого метода и формулируются нерешенные проблемы. Приводится большое количество при- примеров и упражнений. Изложение адаптировано для неспециалистов в области теории представлений и молодых математиков с целью познакомить с успеш- успешно работающим в математике и физике методом орбит и привлечь внима- внимание к нерешенным проблемам, для исследования которых метод орбит мог бы быть полезным. Полностью или частично книга может служить справочником по теории представлений в объеме университетского курса. Книга содержит также материал, представляющий интерес для специалистов, непосредственно работающих с теорией представлений. Для математиков и физиков — специалистов и неспециалистов по тео- теории представлений, аспирантов и студентов математических и физических факультетов университетов. Издание осуществлено при финансовой поддержке "Научной книги" (ИДМИ) и Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 99-01-14099 ISBN 5-88119-OSfr-X ^ Графика и © художественное оформление. © А. А. Кириллов, 2002 Графика и художественное офор| Н. А. Рожковская, 2О02
Памяти моих родителей Анны Алексеевны Смирновой Александра Ивановича Кириллова
Содержание Лекция 1. Гладкие многообразия 1 1. Определение гладкого многообразия 1 1.1. Аналитическое определение 1 1.2. Геометрическое определение 7 1.3. Алгебраическое определение 9 1.4.* Подход, основанный на понятии категории 12 2. Геометрия на многообразиях 15 2.1. Векторные поля н дифференциальные формы на многообразиях 15 2.2. Геометрические объекты на многообразиях 18 2.3. Интегрирование на многообразиях 19 2.4. Линейные расслоения со связностями 20 3*. Некоммутативная геометрия 22 3.1. Супермногообразия 23 3.2. Квантовые группы 26 3.3. Геометрические объекты на супермногообразиях 28 Лекция 2. Инвариантные операции на геометрических объектах 31 1. Внешнее дифференцирование как пример инвариантной операции 31 2. Геометрические объекты 33 3. Представления GL+{n,R) 35 4. Геометрические объекты высшего дифференциального порядка 37 5. Общие свойства инвариантных операций 37 5.1. Операции на тензорных плотностях 37 5.2. Общие сведения об инвариантных операциях 39 5.3. Действие симметрической группы 40 6. Линейные (унарные) инвариантные операции 40 7. Билинейные инвариантные операции 42 8. Инвариантные операции на супермногообразиях 47 Лекция 3. Группы Ли и алгебры Ли 49 1. Группы Ли 49 1.1. Определение и примеры групп Ли 49 1.2. Инволютивные группы Ли 54 1.3. Комплексные группы Ли 60 2. Алгебры Ли 60 2.1. Определение и мотивировка 60 2.2. Источники алгебр Ли 62 2.3. Матричные алгебры Ли 64 2.4. Структурные константы и многообразие Ап 65 2.5. Типы алгебр Ли 69 XI
Содержание 2.6. Комплексные алгебры Ли и их вещественные формы 70 2.7*. Супералгебры Ли 71 3. Полупростые алгебры Ли 72 3.1. Комплексные полупростые алгебры Ли 72 3.2. Простые алгебры Ли 75 4. Связь между алгебрами Ли и группами Ли 77 4.1. Пять конструкций Lie(G) 77 4.2. Экспоненциальное отображение 82 4.3*. Супергруппы Ли 83 Лекция 4. Действия групп Ли и алгебр Ли 85 1. Действия групп и однородные пространства 85 1.1. Определение и примеры действий групп 85 1.2. Однородные G-пространства 87 1.3. Представления G-множеств 89 1.4. Двойственность Фробениуса дли множеств 91 1.5. Двойственность Фробениуса дли векторных пространств 92 2. Действия групп Ли и алгебр Ли на многообразиях 94 2.1. Однородные многообразия 94 2.2. Векторные поля 97 2.3. Действия группы Ли и действия алгебры Ли 99 2.4. Инварианты 100 2.5.* Действия супергрупп Ли 104 3. Геометрические гильбертовы пространства 108 3.1.Инвариантное интегрирование и естественные гильбертовы пространства. 108 3.2. Полуформы 110 3.3.* Пространства когомологий 111 4. Представления однородных многообразий 112 Лекция 5. Гармонический анализ на однородных многообразиях 116 1. Модель: конечные группы и однородные пространства 116 1.1. Краткое напоминание о представлениях конечных групп 116 1.2. Сплетающие операторы 119 1.3. Индуцированные представления 120 1.4. Пример практического гармонического анализа: группа 1S4 124 1.5*. Еще один пример: группа GLB,Wq) 128 1.6. Оператор Лапласа и геометрия S 131 2. Векторные функциональные пространства и линейные операторы ... 134 2.1. Пространства гладких функций на многообразии 134 2.2. Гладко индуцированные представления группы Ли 137 2.3. Теорема о ядре и сплетающие операторы 138 2.4. Унитарно индуцированные представления группы Ли 138 3. Представления 51B, К) и 5?B, С) 139 3.1. Основное аффинное пространство и представления основной серии 139 3.2. Плоскость Лобачевского и дискретная серия для SLB,M.) 143 Лекция 6. Теория характеров для групп Ли 144 1. Обобщенные характеры 144 1.1. Операторы в гильбертовом пространстве 144 1.2. Определение обобщенных характеров 149 1.3. Два примера 151
Содержание xiii 2. Инфинитезимальные характеры 154 2.1. Универсальная обертывающая алгебра и ее центр 154 2.2. Отображение симметризации 156 2.3. Центр обертывающей алгебры 158 2.4. Определение инфинитезимальных характеров 159 2.5. Пример 161 Лекция 7. Геометрия коприсоединенных орбит 162 1. Коприсоединенное представление 162 2. Симплектическая структура 164 2.1. Первый подход 164 2.2. Второй подход 167 3. Инвариантные функции на д* 169 4. Отображение моментов 170 4.1. Универсальное свойство коприсоединенных орбит 170 4.2. Некоторые частные случаи 173 5. Поляризации 175 5.1. Элементы симплектической геометрии 175 5.2. Инвариантные поляризации на симплектических многообразиях 177 Лекция 8. Метод орбит для иилыготентиых групп Ли 181 1. Руководство для пользователя 181 2. Примеры 183 2.1. Двойственный объект G 183 2.2. Построение унитарных неприводимых представлений 185 2.3. Функтор ограничения 187 2.4. Функтор индукции 189 2.5. Тензорное произведение 190 2.6. Обобщенные характеры 191 2.7. Инфинитезимальные характеры 192 2.8. Мера Планшереля 193 2.9. Другие примеры 193 3. Доказательства 194 3.1. Нилыютентные группы с одномерным центром 194 3.2. Основная процедура индукции 197 3.3. Существование обобщенных характеров 201 3.4. Гомеоморфизм G и O(G) 203 Лекция 9. Разрешимые группы Ли 206 1. Экспоненциальные группы Ли 206 1.1. Условие Пуканского 206 1.2. Обобщенные характеры 208 1.3. Инфинитезимальные характеры 211 2. Общие разрешимые группы Ли 211 2.1. Ручные и дикие группы Ли 211 2.2. Ручные разрешимые группы Ли 215 3. Пример. Бубновая алгебра Ли 218 3.1. Присоединенные орбиты бубновой алгебры Ли 218 3.2. Представления, соответствующие общим орбитам 219 3.3. Представления, соответствующие цилиндрическим орбитам 222 4. Поправки к другим правилам 223
xiv Содержание 4.1. Правила 3-5 223 4.2. Правила 6, 7 и 10 223 Лекция 10. Компактные группы Ли 225 Введение 225 1. Структура полупростых компактных групп Ли 226 1.1. Абстрактные корневые системы 226 1.2. Компактные и комплексные полупростые группы 232 1.3. Классические и особые группы 237 2. Коприсоединенные орбиты компактной группы Ли 241 2.1. Геометрия коприсоединенных орбит 241 2.2. Топология коприсоединенных орбит 246 3. Орбиты и представления 251 3.1. Обзор 251 3.2. Веса унитарных неприводимых представлений 255 3.3. Теорема Бореля — Вейля — Ботта 261 3.4. Интегральная формула для характеров 264 3.5. Инфинитезимальные характеры 265 3.6. Сплетающие операторы 267 Лекция 11. Разное 268 1. Почему работает метод орбит? 268 1.1. Математический аргумент 268 1.2. Физический аргумент 270 2. Отображение момента 271 2.1. Определение и геометрические свойства 271 2.2. Симплектическая редукция 271 3. Метод орбит и интегрируемые системы 272 3.1. Интегрируемые системы 272 3.2. Связь с методом орбит 273 4. Некоторые открытые вопросы и темы для размышлений 274 4.1. Функциональная размерность 274 4.2. Инфинитезимальные характеры 276 4.3. Кратности и геометрия 276 4.4. Дополнительные серии 277 4.5. Конечные группы 277 4.6. Бесконечномерные группы 277 Литература 279 Предметный указатель 284
Лекция 1 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ Определение гладкого многообразия 1 1.1. Аналитическое определение 1 1.2. Геометрическое определение 7 1.3. Алгебраическое определение 9 1.4.* Подход, основанный на понятии категории 12 Геометрия на многообразиях 15 2.1. Векторные поля и дифференциальные формы на многообразиях 15 2.2. Геометрические объекты на многообразиях 18 2.3. Интегрирование на многообразиях 19 2.4. Линейные расслоения со связностямн 20 . Некоммутативная геометрия 22 3.1. Супермногообразия 23 3.2. Квантоные группы 26 3.3. Геометрические объекты на супермногообразиях 28 . Определение гладкого многообразия 1. Аналитическое определение. В курсе математического анализа изучаются гладкие функции, определенные в евклидовом пространстве Шп или откры- открытой области D С Шп. Важную роль играет система координат, благодаря которой функцию / в области D можно рассматривать как функцию п ве- вещественных переменных. Для многих, даже довольно сложных множеств можно ввести систему координат, по крайней мере, локально. Пример 1. Для единичной окружности 51 С К2 х2 + у2 = 1 A) нельзя ввести единую систему координат ввиду простого факта, указан- указанного в следующем упражнении. Упражнение 1. Показать, что не существует непрерывной веществен- вещественной функции на 51, принимающей различные значения в различных точ- точках.
Предисловие Основная идея метода орбит заключается в объединении гармоничес- гармонического анализа и симплектической геометрии. С более общей точки зрения, этот метод может рассматриваться как вклад в реализацию неувядающей идеи наладить взаимопонимание между математикой и физикой. На самом деле такое понимание значения и роли метода орбит появи- появилось post factum. Первоначально метод орбит был предложен автором [Kil] для описания двойственного объекта (т. е. множества классов эквивалент- эквивалентных унитарных неприводимых представлений) нильпотентных групп Ли. Но как оказалось, ответы в терминах коприсоединенных орбит естествен- естественно получаются не только для упомянутой задачи, но и для всех других принципиальных вопросов теории представлений таких, как • классификация унитарных неприводимых представлений • построение унитарных неприводимых представлений • топологическая структура множества G • явное описание функтора ограничения и функтора индукции • формула для обобщенных и инфинитезимальных характеров • мера Планшереля на G и т. п. Еще более важно то, что ответы имеют смысл для произвольных групп Ли и даже для некоторых других более общих объектов. Действительно, методу орбит требуется лишь понятие коприсоединенной орбиты, а это понятие можно определить для очень широкого класса групп. Этот класс содержит, например, алгебраические группы над произвольным полем, бес- бесконечномерные группы Ли и квантовые группы (которые на самом деле вообще не являются группами; см. лекцию 1). Конечно, это не означает, что все правильные ответы для простейшего случая нильпотентных групп буквально переносятся на общий случай. Для общих групп требуется некоторая коррекция, которая иногда очевидна, но иногда — непредсказуема. Эта программа реализуется уже многие годы, но до сих пор далека от завершения несмотря на усилия многих авторов. Я затрудняюсь пере- перечислить всех, кто внес вклад в развитие метода орбит. На сегодняшний день в каталоге Американского математического общества указаны око- около 700 статей, в которых упоминаются коприсоединенные орбиты, и более 3000 статей, посвященных геометрическому квантованию— физическому двойнику метода орбит. Однако я не могу не назвать сыгравших глав-
Предисловие ные роли в развитии этой области Бертрама Костанта и Мишеля Дюфло с математической стороны и Жан-Мари Сурьо — с физической стороны. Недостатки являются продолжением достоинств, и метод орбит не стал исключением в этом отношении. Перечислим наиболее важные досто- достоинства и вытекающие из них недостатки метода орбит. Merits versus demerits t 1. Универсальность. Метод при- применим для групп Ли любого типа над любым полем. 2. Правила наглядны, легко за- запоминаются и иллюстрируются картинками. 3. Метод дает объяснение неко- некоторым фактам, которые кажутся мистикой. 4. Метод приводит к огромно- огромному количеству симплектических многообразий и пуассоново ком- коммутирующих семейств функций. 5. Метод вводит новые фунда- фундаментальные понятия: коприсо- единенная орбита и отображение момента. 1. Рецепты не всегда аккуратно и точно сформулированы. 2. Иногда правила требуют кор- коррекции и модификации. 3. Весьма непросто дать строгую формулировку этим объяснени- объяснениям. 4. Большинство вполне интег- интегрируемых динамических систем были открыты ранее другими методами. 5. Описание коприсоединенных орбит и их структур иногда ока- оказывается весьма нелегкой зада- задачей. Цель этой книги — изложить суть метода орбит для неспециалистов в этой области и привлечь внимание молодого поколения математиков к старым, но до сих пор нерешенным задачам теории представлений, приме- применение метода орбит к которым, по моему глубокому убеждению, приведет к успеху. Уровень изложения неравномерен, так что и специалисты, и начина- начинающие смогут найти здесь нечто интересное и полезное для себя. Кто-то сказал, что стать ученым — это все равно, что запрыгнуть в поезд на полном ходу. Действительно, пока Вы изучаете давно уже извест- известные факты и теории, свершаются новые важные открытия — и Вы опять отброшены от передней линии фронта. Есть только один выход — "пры- "прыжок" , т. е. учить быстро и тщательно прорабатывать относительно малую область, тогда как по поводу всего другого — воспринимать лишь общие идеи. Так что я преднамеренно опускаю многие подробности, совершенно излишние для понимания главных фактов и идей. Настойчивый читатель может восстановить детали, прибегнув к другим источникам, но вместе с тем я надеюсь, что изложение окажется замкнутым для большинства читателей. Наиболее трудные разделы, которые можно пропустить при первом чтении, отмечены звездочкой. Большинство понятий, терминов и кон- f Достоинства против недостатков. — Пер. с лат.
Предисловие ix струкций, не определяемых в тексте, интересующийся читатель может найти в моей книге [Ki4] или в обзоре [Ki9]. В заключение мне хотелось бы выразить надежду, что метод орбит станет для моих читателей таким же источником раздумий и вдохновения, каким он был для меня в течение всей моей жизни в математике. Александр А. Кириллов Университет Пенсильвании США Август, 2001
Содержание 4.1. Правила 3-5 223 4.2. Правила 6, 7 и 10 223 Лекция 10. Компактные группы Ли 225 Введение 225 1. Структура полупростых компактных групп Ли 226 1.1. Абстрактные корневые системы 226 1.2. Компактные и комплексные полупростые группы 232 1.3. Классические и особые группы 237 2. Коприсоединенные орбиты компактной группы Ли 241 2.1. Геометрия коприсоединеиных орбит 241. 2.2. Топология коприсоединенных орбит 246 3. Орбиты и представления 251 3.1. Обзор 251 3.2. Веса унитарных неприводимых представлений 255 3.3. Теорема Бореля — Вейля — Ботта 261 3.4. Интегральная формула для характеров 264 3.5. Инфинитезимальные характеры 265 3.6. Сплетающие операторы 267 Лекция 11. Разное 268 1. Почему работает метод орбит? 268 1.1. Математический аргумент 268 1.2. Физический аргумент 270 2. Отображение момента 271 2.1. Определение и геометрические свойства 271 2.2. Симплектическая редукция 271 3. Метод орбит и интегрируемые системы 272 3.1. Интегрируемые системы 272 3.2. Связь с методом орбит 273 4. Некоторые открытые вопросы и темы для размышлений 274 4.1. Функциональная размерность 274 4.2. Инфинитезимальные характеры 276 4.3. Кратности и геометрия 276 4.4. Дополнительные серии 277 4.5. Конечные группы 277 4.6. Бесконечномерные группы 277 Литература 279 Предметный указатель 284
Лекция 1 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ Определение гладкого многообразия 1 1.1. Аналитическое определение 1 1.2. Геометрическое определение 7 1.3. Алгебраическое определение 9 1.4.* Подход, основанный на понятии категории 12 Геометрия на многообразиях 15 2.1. Векторные поля и дифференциальные формы на многообразиях 15 2.2. Геометрические объекты на многообразиях 18 2.3. Интегрирование на многообразиях 19 2.4. Линейные расслоения со связностями 20 . Некоммутативная геометрия 22 3.1. Супермногообразия 23 3.2. Квантовые группы 26 3.3. Геометрические объекты на супермногообразиях 28 . Определение гладкого многообразия 1. Аналитическое определение. В курсе математического анализа изучаются гладкие функции, определенные в евклидовом пространстве К" или откры- открытой области D С К". Важную роль играет система координат, благодаря которой функцию / в области D можно рассматривать как функцию п ве- вещественных переменных. Для многих, даже довольно сложных множеств можно ввести систему координат, по крайней мере, локально. Пример 1. Для единичной окружности 51 С К2 х2 + у2 = 1 A) нельзя ввести единую систему координат ввиду простого факта, указан- указанного в следующем упражнении. Упражнение 1. Показать, что не существует непрерывной веществен- вещественной функции на S1, принимающей различные значения в различных точ- точках.
Лекция 1. Гладкие многообразия Указание. Применить теорему о среднем значении для обеих дуг, со- соединяющих две точки, в которых функция принимает максимальное и ми- минимальное значения. С другой стороны, S1 можно покрыть открытыми частями, на каждой из которых можно ввести свою систему координат, и существует много различных способов сделать это. Мы приведем три из них. 1. На двух частях U± окружности S1, определенных условием ±у > О, в качестве координаты берется х; на двух частях U±, определенных усло- условием ±х > 0, координатой служит у. Тогда мы получаем четыре карты. Пересечения U+nU- и U+OU- пусты, а на пересечениях U±nD± локальные системы координат связаны уравнением A). 2. Положим t± — . Каждая локальная координата t± пробега- пробегает все вещественные значения: —оо < t± < оо. Соответствующая карта покрывает всю окружность S1 за исключением единственной точки Рт = (О, =Fl). Соотношение между двумя координатами имеет вид <+ t_ = 1. 3. Рассмотрим отображение в н-» (cos 0,sin0) из М1 на S1. Образы двух интервалов 0 < 0i < 2ж и —я- < 02 < т дают две системы координат, по- покрывающие окружность S1. Пересечение состоит из двух связных частей, и локальные координаты связаны равенством в\ — в2 на одной части vC~ равенством ^ = 02 + 2зг — на другой. Вдохновленные примером 1, мы сделаем первую попытку дать опре- определение гладкого многообразия. Определение 1. к-Гладким n-мериым многообразием называется топо- топологическое пространство1 М, допускающее покрытие открытыми множес- множествами Uа, а е А, и снабженное взаимно однозначными непрерывными отображениями ipa : Ua ->• Va С К" такими, что каждое отображение Фа,р = Va ° Vp1 является й-гладким (т. е. имеет непрерывные частные производные порядка ^ к) в своей области определения. Замечание 1. По техническим причинам обычно ставят два дополни- дополнительных условия. Пространство М предполагается хаусдорфовым (т. е. лю- любые две различные точки обладают непересекающимися окрестностями) и сепарабельным (т. е. содержит всюду плотное счетное множество илиг что эквивалентно, может быть покрыто счетной системой карт). Примеры экзотических многообразий, не удовлетворяющих этим условиям, можно найти, например, в [Ki4]. В наших лекциях оба условия считаются выпол- выполненными. Множества Ua называются картами, функции х'а = х' о ipa — ло- локальными координатами,2 функции tpatp — функциями перехода, а набор {Ua, Ч>а}аеА — атласом на М. Число к может быть любым положительным целым числом или оо. Мы будем говорить просто "гладкое многообразие" вместо "оо-гладкое многообразие". 'См. ниже. 2Здесь {ж'}1ф^п — стандартные координаты в R".
ч I \ /V Л X V V У u4 -л Рис. 7. Различные атласы для S1
опологня Понятие топологического пространства полезно, но не обязательно для понимания последующего материала. Поэтому мы дадим лишь краткие сведения. Грубо говоря, топологическое пространство — это множество X, для которо- которого определено понятие окрестности точки. (В евклидовом пространстве К" роль окрестностей играют открытые шары.) Используя понятие "окрестность", можно определить все основные понятия математического анализа: • внутренняя точка множества S С X (принадлежит S вместе с некоторой окрестностью), • внешняя точка множества S С X (является внутренней точкой дополнения S = X\S), • граничная точка множества S С X (не является ни внутренней, ни внешней для S), • открытое множество (все точки множества внутренние), • замкнутое множество (содержит все свои граничные точки), • связное множество (не допускает представления в виде объединения двух непересекающихся открытых множеств), ч • предел последовательности {хп} (точка а, любая окрестность которой содер- содержит все элементы последовательности, исключай, быть может, конечное число), • непрерывное отображение / (коммутирующее с пределами: /( lim xn) = lim /xn) пчоо И Т. Д. В абстрактной топологии понятие открытого множества первично, а окрест- окрестность точки а ? X определяется как некоторое открытое подмножество О, содер- содержащее а. Совокупность открытых множеств выбирается произвольно, но с учетом трех очень простых аксиом. 1. Объединение любого семейства открытых множеств открыто. 2. Пересечение конечного семейства открытых множеств открыто. 3. Пустое множество 0 и все пространство X открыты. В случае гладких многообразий можно определить открытые множества как множества, пересечение которых с каждой картой открыто (открытые подмножест- подмножества О С Uа определены условием, что <ра(О) — открытое подмножество Va С К"). Хаусдорфовость и сепарабельность пространства в этом случае становятся допол- дополнительными условиями на рассматриваемый атлас. Ш Определение 1 имеет существенный недостаток: три атласа из при- примера 1 определяют различные многообразия, хотя естественно считать их эквивалентными определениями одного и того же многообразия S1. В свя- связи с этим замечанием введем Определение 2. Два атласа {Ua}ae.A и {11р}рев называются эквива- эквивалентными, если функции перехода из какой-либо карты одного атласа в любую карту другого атласа fc-гладкие на своей области определения. Мы не различаем гладкие многообразия, заданные эквивалентными атласами. Поэтому следует изменить определение 1 гладкого многообра- многообразия, заменив слово "атлас" словами "класс эквивалентности атласов". Од-
1. Определение гладкого многообразия нако, следуя общепринятому стандарту, мы будем всегда иметь дело толь- только с одним, подходящим для рассматриваемой ситуации атласом, но при этом иметь в виду, что этот атлас можно заменить эквивалентным. Упражнение 2. (а) Показать, что все три атласа на S1, построенные выше, эквивалентны. (b) Построить аналоги первого и второго атласов в случае п-мерной п сферы Sn С Kn+1, заданной уравнением J2 (хкJ = 1- *=о (c) Построить аналоги третьего атласа для n-мерного тора ГсС", заданного системой уравнений \z'\ = 1,1 ^ ii ^ п. Замечание 2. При практических вычислениях обычно предпочитают рассматривать минимальные атласы. Интересной геометрической харак- характеристикой многообразия является мощность минимального атласа с прос- простейшими картами Ua, при которых Va - открытые шары. (Известно, что для 5" мощность такого атласа равна 2, а для Тп — п + 1.) В теоретических вопросах полезны максимальные атласы. Например, в каждом классе эквивалентности существует ровно один максимальный атлас. Он состоит из всех карт, переходные функции из которых во все карты любого атласа данного класса эквивалентности гладкие. Для любого fc-гладкого многообразия Mi имеет смысл говорить о т- гладких вещественных функциях при любом то ^ к. Более общо, если Mi, Mi — fc-гладкие многообразия, естественно ввести понятие т-гладкого отображения / : Mi —>• М2 для любого т ^ к. Именно, / называется т- гладким, если для любых точки х0 е Mi и карт U Э х0, V Э f(xa) локальные координаты f(x) в V являются m-гладкими функциями локальных коор- координат х в U. Напомним, что топологическое пространство X называется связным, если оно не может быть представлено в виде объединения двух непересе- непересекающихся непустых открытых подмножеств. Для гладких многообразий это общее понятие эквивалентно более на- наглядному понятию линейно связного многообразия. Определим путь в мно- многообразии М как непрерывное отображение р : [0,1] -»• М. Путь р назы- называется кусочно гладким, если существует конечное число точек 0 = по < ai < ¦ ¦ ¦ < a.k = 1 таких, что р — гладкая функция на каждом открытом интервале (<!,¦_!, а,-), 1 ^ t" ^ ft. Будем говорить, что путьр соединяет точки х и у, если р@) = х v\ р{\) = у. Определение 3. Многообразие М называется линейно связным, если любые две точки М можно соединить кусочно гладким путем. Введем понятие ориентации. Будем говорить, что карты с координа- координатами {х'} и {t/7} положительно связаны, если > 0 в области определения, B) и отрицательно связаны, если имеет место противоположное неравенство.
Лекция 1. Гладкие многообразия Определение 4. Многообразие М называется ориентируемым, если оно допускает атлас с положительно связанными картами.3 Такой атлас, как и многообразие с таким атласом, называется ориентируемым, а выбранный ориентированный атлас задает ориентацию многообразия М. Упражнение 3. Показать, что любое связное ориентируемое многооб- многообразие положительной размерности допускает ровно два (с точностью до эквивалентности) ориентированных атласа (и, следовательно, две различ- различных ориентации). Указание. Показать, что для любого ориентированного атласа {иа}а^л существует атлас {U'p}peB: карты которого отрицательно связаны с карта- картами атласа {иа}а^А- Затем показать, что любой ориентированный атлас эквивалентен одному из этих двух. Рис. 2. Лист Мёбиуса Пример 2 (лист Мёбиуса). Рассмотрим п копий4 прямоугольника 0 < z < 3, 0 < у < 1 и склеим их следующим образом. Пусть Хк, ук — ко- координаты в А:-м прямоугольнике. Отождествим часть 2 < Хк < 3 А:-го прямоугольника с частью 0 < Xk+i < 1 (fc + 1)-го прямоугольника согласно функциям перехода xk+i = хк - 2, yk+i = Ук, 1 ^ к ^ п - 1. Отождествим 3Две карты с пустым пересечением считаются положительно связанными. Преду- Предупреждение: две карты могут быть одновременно положительно связанными и отрица- отрицательно связанными (если их пересечение пусто) или ни положительно, ни отрицательно связанными (см. пример 2 для п = 2). 4 Построения имеют смысл для п ^ 2. В случае п = 1 их следует слегка изменить. Мы оставляем детали читателю.
1. Определение гладкого многообразия часть 2 < х„ < 3 п-го прямоугольника с частью 0 < хх < 1 первого прямо- прямоугольника согласно функциям перехода xi = хп — 2, у\ = —уп. Полученное двумерное многообразие (его легко можно построить из п листов бумаги) является простейшим примером неориентируемого многообразия: оно не имеет атласа с положительно связанными картами. Упражнение 4*. Показать, что все одномерные гладкие многообразия ориентируемы и эквивалентны (т. е. допускают гладкую биекцию) либо вещественной прямой М1, либо единичной окружности 51. Предупреждение. Это утверждение неверно для нехаусдорфовых или несепарабельных многообразий (см. рис. 3). i i 1 t t~TT Рис. 3. Неориентируемое одномерное многообразие . Геометрическое определение. В п. 1.1 определены абстрактные многообра- многообразия, склеенные из открытых частей пространства М". Наиболее важными примерами абстрактных многообразий являются подмногообразия М С mN, аналогичные гладким поверхностям в М3 и определяемые как множество всех решений системы уравнений Fi(x) = О, 1 ^ г <$ т, C) где Fi — гладкие функции на RN. Замечание 3. На самом деле этот вид многообразий наиболее общий: знаменитая теорема Уитни утверждает, что для любого гладкого п-мерного многообразия М существует биективное отображение М в подмногообра- подмногообразие R2". Не все системы вида C) определяют многообразия. Наиболее нагляд- наглядный контрпример — это уравнение ху = 0. (Подумайте, почему это не многообразие!) Простое достаточное условие указывает следующее Предложение 1. Пусть Ft, I ^ i ^ т, — к-гладкие функции (k ^ 1) на М", множество М определено системой C) и выполнено следующее условие: ранг т х N -матрицы Ur^" ах1 равен константе r — N — пнаМ. D) Тогда можно ввести структуру k-гладкого п-мерного многообразия на М с помощью проекций М на подходящие п-мерные координатные подпростран- подпространства RN.
Лекция 1. Гладкие многообразия Схема доказательства. По теореме об обратной функции для любой точки х 6 М можно выбрать окрестность U(x) с М, обладающую взаимно однозначной проекцией на соответствующее n-мерное координатное под- подпространство. Таким образом, мы получаем атлас на М (см. пример 1). Остается проверить, что эти карты связаны fc-гладко. П Другой геометрический способ определения многообразия использует фактор-множество относительно некоторого отношения эквивалентности.5 Пример 3. я- Мерное вещественное проективное пространство () определяется как фактор-пространство ffi"+1\{0} по отношению эквива- эквивалентности: их ~ и2, если vi = с ¦ V2 для некоторого вещественного числа с. Обычно точка х ? Р" задается своими однородными координатами (хо : xi : ••• : хп), где двоеточия указывают, что имеют значение толь- только отношения координат. Многообразие Р" можно покрыть п + 1 картами Щ = {х ? Р"| х,- ф 0}, О ^ г ^ п. На Ui вводятся локальные координаты {и\ = Xj/xi,0 ^ j ^ n,j ф г'}. Функции перехода р,-.* являются рациональными функциями с ненулевыми знаменателями: v?{ — «{(uj.). Упражнение 5. Показать, что отображение fc=0 является вложением Р"(М) в ffi[("+1)("+2)J/2. Полезно подробно исследовать, что означает это утверждение в случае п — 1. Упражнение 6. Для каких п многообразие РП(М) ориентируемо? Ответ. Для п = 0 и всех нечетных п. мплексные многообразия Как аналитическое, так н геометрическое определение гладкого вещественного мно- многообразия легко обобщить на случай комплексного многообразия. Рассмотрим карты с комплексными координатами з\,...,г„ и потребуем, чтобы функции перехода V«,/3 были по крайней мере 1-гладкими в комплексном смысле. Существенное отли- отличие от вещественного случая заключается в том, что в силу этого условия функции перехода являются аналитическими функциями. ¦ Пример 4. Комплексное проективное пространство РП(С) определяется в точности так же, как и Р"(М), но с комплексными однородными коорди- координатами (z0 : 2i : .. . : zn). Разумеется, Р"(С), как любое n-мерное комплексное многообразие, можно рассматривать как вещественное 2п-мерное многообразие. Однако обратное утверждение далеко от истины (например, четномерная сфера 52" допускает комплексную структуру только для п = 1). 5Часто условие эквивалентности определяется через действие группы: две точки эк- эквивалентны, если они принадлежат одной групповой орбите.
1. Определение гладкого многообразия чисто мни- Упражнение 7. Показать, что существует бесконечно много одномер- одномерных комплексных многообразий, эквивалентных двумерному веществен- вещественному многообразию Т2. Указание. Пусть C/LT — фактор-многообразие, где LT = Z + г • Z — решетка (дискретная подгруппа) в С, порожденная 1 и т ? С\М. Показать, что C/LTl и C/iT2 всегда эквивалентны как вещественные многообразия, но как комплексные многообразия они эквивалентны тогда и только тогда, когда Т5 = —-—-Z, ( ¦ ] 6 GLB,Z). В частности, если п стх + а \с ij мые, то соответствующие комплексные многообразия эквивалентны тогда и только тогда, когда т} = ±г2 или т} = ±(Т2)~1. Оставляем читателю сформулировать и доказать комплексный аналог предложения 1. Отметим, что аналог теоремы Уитни не справедлив в комплексном случае. Например, комплексное проективное пространство Р"(С) не может быть реализовано как подмногообразие CN ни при каком N. Укажем еще один полезный общий факт: любое комплексное подмно- подмногообразие Р^С) обязательно будет алгебраическим, т. е. определяется сис- системой однородных полиномиальных уравнений в однородных координатах (теорема Чжоу). Вернемся к вещественным многообразиям. Сочетая понятия подмногообразия и фактор-многообразия, можно ввес- ввести структуру многообразия на многих множествах геометрического про- происхождения. (Вот почему этот подход называется геометрическим.) Пример 5. Рассмотрим множество Ln всех прямых в евклидовом про- пространстве М". Каждая прямая / 6 Ln может быть задана системой ли- линейных уравнений Ах = 6, х ? R", где Ь 6 М", а А — вещественная матрица ранга п — 1, имеющая п — 1 строк и п столбцов. Множество всех пар (А,Ь) является открытым подмножеством Ш" ~1. Две пары (Ai,bi) и (Л2, Ьг) определяют одну прямую I ? Ln тогда и только тогда, когда сущест- существует обратимая матрица С ? Matn_i(K) такая, что Ач = С ¦ А\ и 62 = С -Ъ^. В простейшем нетривиальном случае п — 2 читателю предлагается выпол- выполнить следующее Упражнение 8. (а) Ввести на L-z структуру гладкого 2-мерного мно- многообразия. (b) Показать, что L2 диффеоморфно Р2(М) с выколотой точкой. (c) Показать, что Li диффеоморфно листу Мёбиуса. . Алгебраическое определение гладкого многообразия М наиболее приспособ- приспособлено для компактных многообразий. Поэтому мы начнем с этого случая. Пусть М — гладкое компактное многообразие. Рассмотрим множество А(М) = ССО{М) всех гладких вещественных функций на М. С алгебраи- алгебраической точки зрения А(М) является вещественной ассоциативной комму- коммутативной алгеброй с единицей.
10 Лекция 1. Гладкие многообразия Замечательный факт заключается в том, что многообразие М полнос- полностью определено алгебраической структурой А{М). Этот факт вытекает из следующей теоремы. Теорема 1. Пусть М u N — гладкие компактные многообразия. Су- Существует взаимно однозначное соответствие между гладкими отображе- отображениями ip: N —> М и гомоморфизмами Ф: А(М) —> A(N) no формуле Ф(/) = foip. (Здесь гомоморфизм понимается как отображение, сохраняющее все алгебраические структуры, т. е. линейное мультипликативное отображе- отображение, переводящее единицу в единицу.) Мы отложим на некоторое время доказательство теоремы, а начнем с обсуждения формулировки. Рассмотрим 0-мерное многообразие X, состоя- состоящее из одной точки х. Алгебра А{Х) —это просто поле М. Все отображения <р : X -> М гладкие и соответствуют точкам т ? М. Таким образом, в этом частном случае теорема 1 означает, что любой гомоморфизм х '¦ А(М) -> К имеет вид X = Хт '¦ f *-* /(m) Для некоторой точки m 6 М. E) Мы видим, что множество М может быть восстановлено из А(М) как множество всех гомоморфизмов х '¦ А(М) -> Ш. Кроме того, можно также восстановить структуру гладкого многооб- многообразия на М, поскольку мы знаем, какие отображения М в любое другое многообразие будут гладкими. Рассмотрим теперь некомпактное многообразие М. К сожалению, в этом случае нет такого простого результата, как теорема 1, и мы должны ввести некоторые определения и сделать дополнительные предположения. Пусть М — любое гладкое многообразие и / 6 С°°(М). Носитель /, обозначаемый supp/, — это замыкание множества {т 6 М \ f(m) ф О}.6 Обозначим через А(М) (используется также обозначение С?°(М)) ал- алгебру всех гладких вещественных функций с компактным носителем в М. В частности, если М компактно, то А(М) — алгебра всех гладких функций на М. В случае некомпактного многообразия М алгебра А(М) не имеет единицы. Оказывается, что многообразие М, как и выше, полностью определя- определяется алгеброй А(М), но соответствующая теорема имеет более сложную формулировку. Пусть Аи В — две коммутативные алгебры. Гомоморфизм Ф : А -> В называется существенным, если его образ Ф{А) не содержится ни в каком собственном идеале алгебры В (т. е. идеале, который не совпадает со всей алгеброй J3). Нам потребуется еще одно определение. Гладкое отображение <р: N -*• М называется собственным, если прообраз любого компактного множества компактен (в частности, любое отображение из компактного многообра- 6Более наглядно определение дополнения supp/, а именно: х ? supp/, если существу- существует окрестность U(x) такая, что /\и(х) = О. Другими словами, наблюдатель, находящийся в точке х, с малым радиусом обзора вообще не заметит /.
1. Определение гладкого многообразия 11 зия является собственным; не существует собственного отображения из некомпактного многообразия в компактное многообразие). Теорема 1'. Пусть М u N — произвольные гладкие многообразия. Су- Существует взаимно однозначное соответствие между собственными глад- гладкими отображениями tp : N -> М и существенными гомоморфизмами Ф : А(М) -> A(N) согласно формуле Ф(/) = foip. В частности, эта теорема означает, что существует взаимно однознач- однозначное соответствие между точками многообразия М и ненулевыми гомомор- гомоморфизмами из Л(М) в №.. В доказательствах теорем 1 и 1' используется следующая Лемма 1. Пусть I — собственный идеал в Л(М). Тогда существует точка т ? М такая, что все функции из I равны нулю в точке т. Доказательство. Допустим, что таких точек нет. Тогда для любой точки m 6 М найдется функция /т 6 / такая, что /m("i) ф 0. Тогда fm также не обращается в нуль в некоторой окрестности Um точки т. Пусть g ? Л(М) — произвольная функция. Так как 5 = supp g компактно, мож- можно выбрать конечное число точек т1,...,т\ так, что соответствующие окрестности Umi, I ^ i' ^ N, покрывают все множество 5. Тогда функция F(x) := YLfmXx) принадлежит / и положительна всюду на 5. Поэтому можно определить функцию g/F 6 А(М) по формуле 0, х $ S. Теперь мы имеем g = F ¦ — 6 /, что противоречит условию / ф Л(М). П F Следствие. Пусть х '¦ Л(М) -> Ш — ненулевой гомоморфизм. Тогда он имеет вид E). Доказательство. Пусть 1Х — ядро х- Так как оно является собствен- собственным идеалом Л(М), существует точка m 6 М такая, что f(m) — 0 для всех Пусть g — функция такая, что х{э) Ф 0. Можно считать, что х{д) = 1- Тогда для любой функции / 6 Л{М) имеем x(f — x(f)g) = 0. Поэтому /(m) = x(/)s(m) в силу условия на т. Так как х — ненулевой гомоморфизм, д(т) ф 0 и х пропорциональ- пропорционально Хт- Однако два пропорциональных гомоморфизма должны совпадать (ввиду свойства мультипликативности гомоморфизмов). Следовательно, Х = Хт- D Пусть <р : N —>¦ М — гладкое собственное отображение. Тогда отобра- отображение Ф : / i-+ / о <р является гомоморфизмом из Л{М) в A(N). Требуется показать, что этот гомоморфизм существенный. Действительно, в ином случае все функции из образа Ф должны обращаться в нуль в некоторой
12 Лекция 1. Гладкие многообразия точке п 6 N, что означает, что все функции из А(М) равны нулю в точке т = <р(п). Мы получили противоречие.7 Обратно, если Ф : A(N) -*• А{М) — гомоморфизм, то для m 6 М ото- отображение Хт о Ф есть гомоморфизм из A{N) в №.. Если Ф существенный, то ХтоФ не обращается в нуль и, следовательно, имеет вид Хп для некоторого п ? N. Полагая р(т) = п, получаем отображение р : М -> N. Оставляем читателю проверить, что соответствие (р <—> Ф взаимно однозначно. Приведем пример несущественного гомоморфизма. Пусть А — А{Щ, В = A(Sl). Положим Ф(/)(х) = f(t+(x)). Тогда Ф(А) состоит из функций, которые обращаются в нуль в некоторой окрестности Р-. Гомоморфизм Ф не соответствует никакому отображению 51 ->ffi: образ Р_ не определен. *. Подход, основанный на понятии категории. С начала ХХ-го века все мате- математические теории строились на теоретико-множественном фундаменте, т. е. любой изучаемый объект определялся как множество X с некоторы- некоторыми дополнительными структурами, которые допускали интерпретацию в виде точки некоторого вспомогательного множества, построенного из X. Например, группа — это множество G со специальной точкой в GGxC х GG, определяющей закон умножения и обратное отображение, а топологическое пространство — это множество X со специальной точкой в 22 , определя- определяющей совокупность открытых подмножеств X, и т. д. Однако существует совсем иной подход социологической8 природы. Идея заключается в том, чтобы рассматривать математические объекты как члены некоторого сообщества и характеризовать их отношениями с другими объектами той же природы. Основным понятием при таком под- подходе является понятие категории. Для определения категории С надо (a) указать семейство (не обязательно множество!) Ob С объектов С, (b) для каждой пары объектов Х,У ? ОЪС определить множество Мотс(Х, Y) морфнзмов из X в У, (c) для каждой тройки объектов X, У, Z ? Ob С определить отображе- отображение, называемое композицией морфизмов Мотс(Х, У) х Могс (У, Z) -4 Morcpf, Z) :(/,j) При этом предполагается, что 1) закон композиции ассоциативен, т. е. (/ о д) о h = f о (д о Л), 2) для каждого объекта X существует единственный морфизм 1х 6 Мотс(Х,X), играющий роль левой и правой единицы: folx = lYof = f для любых / 6 Могс (X, У). Для многих важных категорий объектами являются множества (с до- дополнительной структурой), морфизмами — отображения (сохраняющие до- дополнительную структуру), композицией — обыкновенная композиция ото- ГВ действительности мы использовали здесь неочевидный факт, что для любой точки m g М найдется функция / € А(М), которая не обращается в нуль в т. Такая функция может быть выписана явно в локальных координатах. 'Этот термин предложил Ю. И. Манин.
1. Определение гладкого многообразия 13 бражений и 1х — тождественное отображение Id. Например, это верно для следующих категорий. • Sets; объекты — множества, морфизмы— отображения. • Vector; объекты — векторные пространства над данным полем К, морфизмы— if-линейные операторы. • Gr; объекты — группы, морфизмы— групповые гомоморфизмы. • Man; объекты — гладкие многообразия, морфизмы — гладкие ото- отображения. • LG; объекты — группы Ли, морфизмы— гладкие гомоморфизмы. Но при этом существуют категории другого типа. Прежде всего, се- семейство всех категорий тоже образует категорию9 • Cat; объекты— категории, морфизмы— так называемые функторы (см. ниже). Чтобы определить функтор F из категории С\ в другую категорию Сг, следует указать: (a) объект F(X) е ОЬ С2 для каждого X 6 ОЬ d, (b) морфизм F(ip) ? Motc,(F(X),F(Y)) для каждого <р 6 MorCl(X,Y) такой, что F(lx) = ^F(X) и F(<P°1>) = F(ip)oF(tp), когда композиция имеет смысл. Для категории С двойственная категория С имеет те же объекты, что и категория С, а морфизм из А в В категории С есть, по определению, морфизм из Б в Л категории С. Композиция / о g в С определяется как композиция g о f в С. Пример 6. Естественный функтор * : Vect^ -> (Vect#)° отображает про- пространство V в двойственное пространство V* := Нотк-G,К), а линейный оператор А : V -> W — в сопряженный оператор А* : W -> V*. Часто категории изображают графически: объекты обозначаются точ- точками (или маленькими кружочками), а морфизмы — стрелками. Переход к двойственной категории просто означает "обращение стрелок". Диаграмма, построенная из объектов и морфизмов, называется ком- коммутативной, если композиция стрелок вдоль пути, соединяющего объекты X и У, не зависит от выбора пути. Подход, основанный на понятии категории', позволяет унифицировать многие определения и конструкции, используемые независимо в различных областях математики. Например, эквивалентность множеств, гомеомор- гомеоморфизм топологических пространств, изоморфизм групп или алгебр, диффео- оморфизм гладких многообразий — все это частные случая общего понятия изоморфизма объектов категории. Определение 5. Два объекта X,Y 6 ОЬС называются изоморфными, если существуют морфизмы / 6 Мотс{Х, Y),g € More (У, X) такие, что f од= 1у и до f = lx- 9Точнее, здесь мы должны ограничиться так называемыми "малыми категориями", для которых объекты образуют множество.
14 Лекция 1. Гладкие многообразия Другое полезное понятие теории категорий — универсальный объект. Объект X ? ОЪС называется уннверсальным, если для любого У 6 ОЬС множество Мотс{Х,У) содержит в точности один элемент. (Графически: есть только одна стрелка из точки X в любую другую точку У.) Упражнение 9. Показать, что любые два универсальных объекта в данной категории канонически10 изоморфны. Указание. Использовать определения введенных понятий. В качестве иллюстрации определим прямую сумму и прямое произве- произведение двух объектов Х\ и Х2 категории С. Для этого построим вспомога- вспомогательную категорию C(Xi,X2). Объекты C(Xi,X2) суть тройки (ai,a2,Y), где У — любой объект категории С и (ai,a2) ? Motc(Xi,Y) x Motc(X2,Y). Морфизм из объекта (ai,a2,Y) в объект (bi,b2,Z) определяется как мор- физм <р из У в Z такой, что следующая диаграмма коммутативна: Если категория C(Xi,X2) имеет универсальный объект (ii,i2,X) (a все такие объекты изоморфны согласно упражнению 9), то X называется прямой суммой Х\ и Х2 в С, а морфизмы гьг2 называются каноническими вложениями слагаемых в сумму. Упражнение 10. Показать, что прямая сумма существует для любой пары объектов следующих категорий и описать их: (a) Sets, (b) Vector, (с) Gr, (d) Мал. Ответ, (а) и (d) дизъюнктное объединение, (Ь) прямая сумма век- векторных пространств, (с) свободное произведение групп. Определение прямого произведения в С получается из определения пря- прямой суммы "обращением стрелок" (т. е. прямое произведение является пря- прямой суммой в двойственной категории С0). Упражнение 11. Описать операцию прямого произведения для катего- категорий из упражнения 10. Ответ, (а) и (d) прямое (декартово) произведение, (Ь) прямая сумма векторных пространств, (с) прямое произведение групп. Замечание 4. Пусть С — категория и X — объект категории С. Со- Соответствие А (-» Мотс(А,Х). может быть продолжено до функтора Fx : С —> Sets. Именно, для <р 6 Мотс(А,В) определим Fx[<p) '¦ Могс(Л,X) —>¦ Моте (В, X) по формуле Fx{a) = <poa. Часто объект X можно восстановить по функтору Fxn Будем гово- говорить, что функтор Fx ¦ С —> Sets вида F = Fx представим объектом X. 10"Канонически" — это означает, что фиксирован изоморфизм. ПВ обыденной жизни аналогом этого утверждения служит известный принцип: "ска- "скажи мне, кто твой друг — н я скажу тебе, кто ты".
2. Геометрия на многообразиях 15 Однако даже непредставимые функторы из С в Sets удобно рассматривать как "обобщенные объекты" категории С. На этом мы остановимся. Интересующийся читатель может обра- обратиться к [Gr], [MacL], где дано более подробное введение в категорную идеологию. После столь длинного отступления вернемся к гладким многообрази- многообразиям. Алгебраическое определение из п. 1.3 можно сформулировать на язы- языке категорий следующим образом. Пусть CAlg(A') — категория, объекты которой суть коммутативные ассоциативные алгебры над полем К, а мор- физмы — гомоморфизмы /\-алгебр. Тогда Мал — подкатегория категории CAlg(MH. Представляется заманчивым рассмотреть объекты CAlg(ifH как обоб- обобщенные многообразия. Другими словами, утверждается следующий прин- принцип: Любая коммутативная ассоциативная алгебра является алгеброй фун- функций на некотором "многообразии". Такая точка зрения является основной в современной алгебраической геометрии со времен Гротендика. В послед- последнее время в этом контексте изучаются также некоммутативные алгебры (некоммутативная алгебраическая геометрия). Два частных случая име- имеют особое значение: супермногообразия и квантовые группы. Мы кратко рассмотрим их в п. 3.1 и 3.2. . Геометрия на многообразиях 1. Векторные поля и дифференциальные формы на многообразиях. Мы предпо- предполагаем, что читатель знаком с элементами дифференциальной геометрии и лишь напомним некоторые понятия и факты в удобной для дальнейшего форме. Касательный вектор ? к многообразию М в точке т ? М может быть определен тремя различными способами.12 (a) Геометрически — как класс эквивалентности гладких парамет- параметризованных кривых в М, проходящих через т. (Две кривые x(t) и y(t) эквивалентны, если е@) = у@) = т и \\x(t) — y(t)\\ = o(t) в любой локальной карте, покрывающей т.) п . Q (b) Аналитически — как выражение ]Са'я~7 в локальной системе координат с началом в точке т. (c) Алгебраически — как линейный функционал на А(М), удовлетво- удовлетворяющий условию Ш9) = *Шгп)+ПтШ- F) Упражнение 12. Найти явное соответствие между К" и касательными векторами к М в точке m во всех трех определениях. Ответ. Вектор {а1} 6 М" соответствует 12 Читателю предлагается сравнить эти математические определения с физическим определением касательного вектора как скорости движения точки вдоль заданной по- поверхности.
16 Лекция 1. Гладкие многообразия dx' (a) классу эквивалентности кривых x(t) таких, что -зт"@) = a', п . Q (b) выражению 23а>я~7> п Qf (с) линейному функционалу f >-* J2 а'я4" 1=1 ОХ Множество ТМ всех касательных векторов образует многообразие спе- специального вида: расслоение. Напомним, что многообразие X называется расслоением (расслоенным пространством) над базой В со слоем F, если за- задано гладкое сюръективное отображение р : X -»• В такое, что локально X представимо как прямое произведение (части) базы и слоя. Более точно, любая точка х € В имеет окрестность Ux такую, что p~l{Ux) можно отож- отождествить с Ux х F с помощью гладкого отображения ах так, что следующая диаграмма (j>\ — проекция на первый сомножитель) коммутативна: p-l(Ux) -^-* UxxF Pi Ь и, и, Следовательно, все множества Fx :=p~1(x) суть гладкие подмногообразия, диффеоморфные F. Они называются слоями. Отображение s : В -»• X называется сечением расслоения, если ро s — Id. Заметим, что прямое произведение X = В х F есть частный случай расслоения: можно положить U — X и а = Id. В этом случае сечения суть просто отображения s : В -t- F. Иногда расслоения называют косыми или скрещенными произведениями В и F. Они образуют категорию C(B,F), у которой морфизмы из (Xi,pi) в (Х2,Р2) суть гладкие отображения <р : Xi -? к? такие, что P2°<p = pi- Упражнение 13. (а) Показать, что лист Мёбиуса является расслоением с базой 5 и слоем Ш1. (Ь) Проверить, что он является единственным (с точностью до эк- эквивалентности) объектом категории C(Sl,Rl), который не эквивалентен прямому произведению 51 х R1. Расслоение (X, В, F, р) называется векторным, если F и все Fx — век- векторные (вещественные или комплексные) пространства и отображения ах, х € X, линейны на каждом слое. Таким образом, ТМ является вещественным векторным расслоением со слоем Тт(М) над точкой mgAf. (Гладкие) сечения этого расслоения на- называются (гладкими) векторными полями на М. Они допускают несколько интерпретаций. (a) Образующие потоков — т. е. однопараметрических групп диффео- диффеоморфизмов М (здесь следует считать многообразие М компактным или ограничить действие векторного поля на бесконечности). (b) Выражения У2а'{х)-т-^ в каждой локальной системе координат на ах' многообразии М с естественным правилом перехода при замене координат.
2. Геометрия на многообразиях 17 Именно, векторное поле У^аНх)-т-^ в другой карте с локальными коорди- дх' натами {tf, 1 ^ j ^ п} имеет вид J2ai(x(y))-^T^-J- (с) Линейные операторы (дифференцирования) v на А(М), удовлетво- удовлетворяющие условию v{fg)=v(f)-g + f-v{g). G) Пространство всех гладких векторных полей на М обозначается Vect(Af). Очевидно, что это модуль над А(М). (Другими словами, можно умножать гладкие векторные поля на гладкие функции.) Дифференциальная 1-форма или ковекторное поле на М определяется как п (a) выражение ? 6i(x)<fx* в каждой локальной системе координат на М с естественным правилом перехода при замене координат (в других локаль- дх' ных координатах {т/, 1 ^ j ^ п} наша 1-форма имеет вид J2 bi(x(y))-z-^dyi), (b) А(М)-линейное отображение из Vect(M) в А(М) (любое такое ото- отображение имеет вид Y^a'(x)~*-i l~* Y!ia'(x)^i(x) и> следовательно, соответ- i ОХ* { п ствует форме J2 bi(x)dx'). i=i Пространство всех гладких ковекторных полей на М обозначим Q1(M). Это пространство является модулем над А(М), двойственным Vect(Af). В любой системе локальных координат х', 1 ^ j ^ п, величины образуют двойственные базисы в ^4(М)-модулях Vect(M) и fi^Af). Пространство Qk(M) гладких дифференциальных Ar-форм на М может быть определено как к-п внешняя степень А(М)-модуля пг(М). В локаль- локальных координат fc-форма ш имеет вид LJi1 ,-fc \XjdX Л ... A CLX , \о) где i,, 1 ^ s ^ к, пробегают значения от 1 до п, а произведение Л билинейно, ассоциативно и антисимметрично. Введем пространство VectA(M) гладких поливекторных полей на М как А:-ю внешнюю степень ,Д(А/)-модуля Vect(Af). Локально fc-векторное поле с можно задать выражением вида ? с1'1 il(iRA...Aft4. (9) Замечание 5. Следуя правилу Эйнштейна, мы опускаем знак сумми- суммирования в выражениях типа (8) или (9), где буква появляется дважды —
18 Лекция 1. Гладкие многообразия как нижний и верхний индекс. Например, мы записываем векторное по- поле v как v'di, а дифференциальную 1-форму ш — как uijdx7. Это правило не только экономит место и бумагу, но часто подсказывает правильные формулировки и препятствует ошибочным утверждениям. Мы подтвер- подтвердим это следующим поучительным примером. Первый закон Ньютона в механике утверждает, что F = ma, (N1) где F — сила, m — масса, a — ускорение. Заметим, что с геометрической точки зрения сила есть ковекторное поле F = Fidx'. Действительно, ин- интегрируя ее вдоль некоторого пути (см. п. 2.3 ниже), можно вычислить со- соответствующую работу. С другой стороны, ускорение есть производная по времени скорости и, следовательно, является векторным полем. Но тогда (N1) имеет смысл только, если m — не скаляр, а тензор с двумя нижними индексами. Таким образом, корректная запись (N1) будет следующей: Fi = my • a'. Это наводит на мысль, что существует связь между физическим понятием массы и геометрическим понятием метрики. Хорошо известно, что такая связь действительно существует и является краеугольным камнем общей теории относительности. . Геометрические объекты на многообразиях. Все введенные выше объек- объекты являются так называемыми естественными геометрическими объекта- объектами. Это означает, что каноническое действие группы Diff(Af) всех диф- диффеоморфизмов (т. е. гладких обратимых преобразований) многообразия М определено на этих объектах или, проще, существует канонический спо- способ замены переменных в локальном выражении данного геометрического объекта. Фактически, это действие однозначно определено естественным действием Diff(Af) на алгебре А(М): диффеоморфизму <р € Diff соответ- соответствует автоморфизм Ф € А{М) по правилу /-¦*(/):=/о V- (Ю) Все другие геометрические объекты можно определить в терминах А(М). Действительно, Vect(Af) определено как множество всех дифференцирова- дифференцирований А{М) (с канонической структурой ^4(М)-модуля), 0}{М) — как двой- двойственный .4(М)-модулю Vect(Af), Q,k{M) и Vect*(itf) — как соответствую- соответствующие внешние степени. Поэтому любой автоморфизм А{М) автоматически определяет автоморфизмы всех этих объектов. Существуют более общие геометрические объекты —¦ так называемые тензорные поля. Под общим тензорным полем типа (k,l) на М понимается объект Т, который локально задан коэффициентами ^'{^(х) с таким же, как и выше, правилом преобразования при замене локальных координат. С алгебраической точки зрения, множество Т^к^{М) всех тензорных полей
2. Геометрия на многообразиях 19 типа (к,1) на М можно определить как .4(М)-модуль Honu(M)(yect(M) х ... х Vect(M) х пх{М) х ... х 0} к раз I раз всех мультилинейных (над Л{М)) отображений. Заметим, что ifc-векторные поля и дифференциальные fc-формы являются частными случаями тензор- тензорных полей (антисимметричные тензорные поля типа @, к) и (ifc,0) соответ- соответственно). Тензорные поля и более общие геометрические объекты будут рас- рассмотрены в лекции 2. ь . Интегрирование на многообразиях. Обозначение J f(x)dx интеграла (вве- а денное Лейбницем) чрезвычайно примечательно. Во-первых, оно указыва- ет,что интегрируемый объект является дифференциальной 1-формой, а не функцией. Как я неоднократно наблюдал в моей педагогической практике, ь студенты часто "упрощают" это выражение и пишут f f{x), считая при а этом, что никакой информации не потеряно. Но такое выражение совер- совершенно лишено смысла! Действительно, допустим, что задан геометричес- геометрический сегмент без какой-либо параметризации. Как понимать тогда интеграл по этому сегменту от функции, равной 1 во всех его точках? Очевидный ответ "длина сегмента" провоцирует следующий вопрос: В каких единицах измерять эту длину? Роль dx именно в том и состоит, чтобы фиксировать шкалу. Во-вторых, роли верхнего и нижнего пределов несимметричны: при их перестановке интеграл меняет знак. Это означает, что интеграл берет- берется по ориентированному сегменту и меняет знак при смене ориентации. Конечно, можно поставить условие а ^ Ь и рассматривать сегмент как множество. Тщательный анализ такого подхода приводит к выводу, что возможны два различных вида интегрирования: — интегрирование дифференциальной п-формы по ориентированному п-мерному многообразию, — интегрирование плотности степени 1 по любому многообразию. Обе концепции интегрирования имеют свои преимущества. Интегри- Интегрирование второго типа легко обобщается до абстрактной теории меры. Ин- Интегрирование первого типа требует введения дополнительной структуры, но, с другой стороны, допускает замечательную формулу Стокса, которая связывает геометрическое понятие границы дМ многообразия М с анали- аналитическим понятием внешнего дифференциала d дифференциальных форм: (u^jdui. A1) ем м Мы не будем останавливаться на теории интегрирования. Приведем лишь для интересующегося читателя замечательный пример Гаусса.
20 Лекция 1. Гладкие многообразия Так называемый коэффициент зацепления двух замкнутых кривых Ьг = x(t) и L2 = y(s) в Ж3 определяется формулой . Линейные расслоения со связностями. Рассмотрим более подробно геомет- геометрию комплексных линейных расслоений над гладкими многообразиями. На- Напомним (см. п. 1.2), что комплексное линейное расслоение L над гладким многообразием М можно задать следующим образом. Выбрать покрытие М открытыми множествами Ua, a € А, такими, что L допускает ненулевое сечение sa на Ua. На пересечениях Ua,p = UaC\Up сечения sa и sp связаны функциями перехода sa = ca,p ¦ sp. Сово- Совокупность функций перехода саф € С{?(?Л*,|з)х удовлетворяет условиям (a) са,а = 1 на Ua, (b) саф ¦ с^а = 1 на иаф = UaD Up, A2) (c) саф ¦ срп ¦ &,,„ = 1 на Vafi-, -UcnUpDUj. Для произвольного сечения s сужение на Ua имеет вид fa ¦ sa. Таким образом, существует биекция между гладкими сечениями s расслоения L и совокупностью {fa € C(?(Ua)}a?A такая, что выполнены условия совмест- совместности Са,/3 ¦ fa = fp Haifa,/}- A3) Заметим, что в частном случае тривиального расслоения, когда са,р имеет вид —, можно отождествить сечение {fa}aeA с обычной функцией / такой, РР что f\ua = fa-ра- Таким образом, пространство Г(Ь,М) всех гладких сече- сечений расслоения L над М является естественным обобщением пространства функций С%?(М). С алгебраической точки зрения, это пространство есть модуль над Сс'(М), который локально (т. е. над некоторой окрестностью любой точки) свободен и одно-порожденный. В сравнении с функциями, сечения линейных расслоений имеют один существенный дефект: мы не можем дифференцировать их по данному векторному полю. Чтобы преодолеть это препятствие, потребуется ввести новый геометрический объект: связность. Этот объект можно определить различными способами, но мы предпочтем пользоваться следующим опре- определением, которое хорошо работает. Определение 6. Связность V на линейном расслоении L — это отобра- отображение X ь^ Vjt из VectAf в множество линейных операторов на Г(Ь,М) такое, что (a) Vx{f-s) = Xf-s + f-Vxs для любых /бС (b) V^jt = <р^х Для любой <р е Cq'(M). A4) Оператор V* называется ковариантной производной вдоль векторного поля X.
2. Геометрия на многообразиях 21 Лемма 2. (а) Локально Vjt можно записать в виде X + ва(Х). Другими словами, Vjt преобразует сечение, заданное набором {/„ g С^(иа)}а^А, в сечение, заданное набором {(X + 9a(X))fa eCf?(Ua)}aeA. (b) Семейство 1-форм {ва е ?ll(Ua)}a?A определяет связность на L тогда и только тогда, когда выполнено условие совместности ea-90=d\oSca^. A5) Доказательство, (а) Пусть задана связность V. Определив форму 9а равенством Vxsa = 9а(Х) ¦ sa, получим локальное выражение. (Ь) Проверим, что при выполнении условия совместности A5) опера- оператор Vjt корректно определен локальным выражением, приведенным вы- выше. Таким образом, требуется проверить равенство са,р ¦ (X + 9a(X))fa — (X + 9р(Х))(са,р ¦ /«), что можно выполнить прямыми вычислениями. D Заметим, что из условия A5) вытекает, в частности, что все формы dOa, a & А, являются сужениями одной замкнутой 2-формы 9 g Q2(M). Форма 9 называется формой кривизны связности V и обозначается через curv(V). Упражнение 14. Доказать формулу curv(V)(X,y) = VjsrVy - VYVx - V[x,y]- Указание. Использовать локальное выражение для Vjt и формулу ЩХ, Y) = X6(Y) - Y9{X) - 9{[Х, У]). Понятие ковариантной производной тесно связано с так называемым параллельным переносом на L вдоль кусочно гладкого пути -у : [0,1] -> М. Будем говорить, что сечение s : 7([0i Ц) —* М ковариантно постоянно вдоль 7, если Vy(t)S = 0, 0 ^ t ^ 1, а элемент sG(l)) получен из sG@)) парал- параллельным переносом вдоль пути -у. Вообще говоря, параллельный перенос зависит от выбора пути, соединяющего две точки многообразия М. Иначе говоря, параллельный перенос вдоль петли -у может быть нетривиальным преобразованием соответствующего слоя расслоения L. Так как слой одно- одномерный, это преобразование есть просто умножение на комплексное число хG)- Хорошо известен следующий результат (см. любой учебник по диф- дифференциальной геометрии). Предложение 2. Если петля -у является границей двумерной пленки D с М, то при подходящем выборе ориентации -у и D ХG)=ехр[ /curv(V) . A6) Возникает естественный вопрос: Какие замкнутые 2-формы на М мо- могут быть формами кривизны линейного расслоения L со связностью V? Ответ дает следующее Предложение 3. Пусть а € U2(M) — замкнутая форма. Следующие утверждения эквивалентны:
22 Лекция 1. Гладкие многообразия (i) класс [а] принадлежит Н2(М,Щ С Н2(М, С) (другими словами, ин- интегралы J а являются целыми числами для всех геометрических 2-циклов D в М), (ii) существует линейное расслоение над п с эрмитовой связностью V такое, что curv(V) = 2тио\ A7) Схема доказательства. (ii)=>(i) Если а — —^curvV, то согласно пред- предложению 2 для любой двумерной поверхности D С п имеем A =X(dD). D Правая часть этого равенства равна 1, если 3D = 0, т. е. D — 2-цикл. Поэтому интеграл в левой части должен быть целым числом. (i)=>(ii) Предположим, что {Ua}a^A — так называемое покрытие Лере, т. е. все области Ua, Ua,p, Ua^n и т. д. стягиваемы. Известно, что для таких покрытий когомологии Чеха совпадают с когомологиями Де Рама.13 Так как <т замкнута, сужение на Ua также замкнуто и, следовательно, точно. Поэтому можно предположить, что a- \v = -^—Ява, где ва — 1- форма на Uа, определенная по модулю дифференциала функции fa на Ua. На Ua,p имеем d@a - вр) = 0. Поэтому существует Ваф € C%?(Ua,p) такая, что 9а — 9р — dBaip. Функции Ва:р определены по модулю слагаемого формы fa — fp- Кроме того, можно выбрать Ваф так, что Ваа = 0,Ва,р = —Вр,а- Эти функции определены по модулю постоянных слагаемых ba,p- Теперь рассмотрим функции Аа^^ — Ва,р +В^,7 + В^<а на Ua,p,-,- Они определены по модулю постоянных слагаемых Ьар+Ьрп+Ь1а и подчинены условию dAa^^ = (ва - 9р) + @? - б7) + (в., - ва) = 0. Таким образом, они являются константами, которые будут обозначаться о.афп. Мы получили так называемый комплекснозначный 2-коцикл Чеха на М. Этот коцикл соответствует коциклу [а] € #2(М,Z). Поэтому можно считать, что все числа аа,0,-у целые. Однако в этом случае са<р = ехрB7ггВа,/з) можно рассматривать как функции перехода линейного расслоения L над М. Действительно, первые два условия в A2) выполняются благодаря выбору Ва^} а последнее условие справедливо, так как аа,р,у целые. D Некоммутативная геометрия Главная идея концепции некоммутативной геометрии заключается в том, что некоммутативные алгебры выступают в роли алгебры функций. 130пределения используемых здесь без пояснений терминов можно найти в любом учебнике по алгебраической топологии. При этом я надеюсь, что изложение лекций достаточно замкнуто и дает читателю правильное представление об общих идеях теорий.
3. Некоммутативная геометрия 23 В этом параграфе мы рассмотрим два важных частных случая: супермно- супермногообразия и квантовые группы. . Супермногообразия. За последние два десятилетия выяснилось, что многие фундаментальные понятия математики (такие, как векторные простран- пространства, тензорные произведения, след и детерминант линейного оператора, дифференциальное и интегральное исчисление, многообразия, группы Ли и т. д.) имеют так называемые супераналоги. Подход с такой новой точки зрения получил неофициальное название "суперматематика". Грубо гово- говоря, идея суперматематики заключается в том, что знаки "плюс" и "минус" становятся равноправными. Согласно этой идеологии каждому обычному или четному объекту соответствует нечетный аналог, который вместе с четной частью образует суперобъект. Чтобы определить (построить) супераналог какого-либо обычного объ- объекта или некоторой теории, нужно следовать трем принципам, краткая формулировка которых и обсуждение приводятся ниже. 1. Формулировать все на языке категорий (в частности, учесть заме- замечание 4 выше). 2. В линейном случае любой суперобъект представлять в виде суммы однородных компонент: четной и нечетной. 3. Всякий раз, когда в обыкновенной формуле произведение двух од- однородных объектов ab появляется также в обратном порядке ba, встав- вставлять знак (—i)degadegb Здесь степень принимает значения в группе Ъ% :— Ъ11Ж. = {0,1} и равна по определению 0 для четных элементов и Т для нечетных элементов. Начнем с простейшего примера. Супераналог вещественного вектор- векторного пространства V — это йгградуированное пространство V, т. е. пря- прямая сумма двух подпространств, градуированных элементами группы 1^ = {0,1} : V = Vo Ф Vi. Элементы Vo называются четными, а элементы Vi — нечетными. Размерность V — это пара {do,d\), где da — dimVa. Через M"/m обозначается стандартное суперпространство размерности (n, m). Упражнение 15. Определить супераналоги следующих понятий: (a) двойственное векторное пространство V, (b) пространство Нот(У, W) линейных операторов из V в W, (c) тензорное произведение V ® W. Указание. Определить категорию SVect(R) вещественных супервектор- супервекторных пространств. Заметим, что для этой категории должен существовать функтор П, называемый сменой четности, такой, что (ПУ)О = Vi+a- Обобщим понятие коммутативности. Пусть А — йз-градуированная ассоциативная алгебра. Это означает, что — как векторное пространство А является прямой суммой двух под- подпространств: А = Ао ф А\ — умножение в А совместимо с градуировкой: Аа • Ар С Аа+р- Определение 7. 22-градуированная ассоциативная алгебра А называ- называется суперкоммутативной, если для любых однородных элементов а и 6
24 Лекция 1. Гладкие многообразия выполнено коммутационное соотношение ai = (-l)dege"deg66a. [суперкоммутативность]. A8) Как более сложный пример, мы опишем здесь супераналог симметри- симметрической алгебры S(V) для вещественного векторного пространства V. Прежде всего заменим обыкновенное векторное пространство V Ъ?- градуированным суперпространством V = Vo©Vi. Затем примем во вни- внимание, что S(V), вместе с каноническим вложением V «-+ S(V), можно определить как универсальный объект категории, объектами которой яв- являются отображения из V в некоторую ассоциативную коммутативную алгебру А, а морфизм из (<р : V ->• А) в (ф : V -»¦ В) — это гомомор- гомоморфизм алгебр 7 : А -»¦ В такой, что следующая диаграмма коммутативна (оставляем читателю проверку этого утверждения): А 1т Теперь надо лишь заменить в этом определении слово "коммутатив- "коммутативный" словом "суперкоммутативный" и рассмотреть категорию четных (т. е. сохраняющих градуировку) отображений (<р : V -? А). В резуль- результате мы получим так называемую суперсимметрическую алгебру S(V), ко- которая является тензорным произведением обыкновенной симметрической алгебры S(Vo) cs K[xi,.. .хр] и грассмановой или внешней алгебры Gr(Vi) ~ Wt(9i,.. .,9q) с антикоммутационными соотношениями ffi8j + Рв' = 0 для всех i,j. A9) Здесь xi,...хр и вг,...,вч — базисы в Vo и Vi соответственно. Заметим, что алгебра Gr(Vi) имеет конечную размерность 2Ч. Мы подошли к к понятию супермногообразия. Оно появилось впервые в середине 70-х в физических работах, где была сделана попытка объеди- объединить теории бозонных и фермионных частиц. Язык супермногообразий оказался адекватным новому феномену, открытому в физике: так называ- называемой суперсимметрии. Обычная симметрия может быть сформулирована в терминах группового действия. В случае суперсимметрии следует исполь- использовать супергруппы (групповые объекты в категории супермногообразий; см. п. 3.3). Математическая составляющая теории зародилась в работах Ф. А. Бе- Березина (см. [Ве2], [ВК]) в 70^ годы и к настоящему времени хорошо раз- развита в работах Е. Виттена (см., например, [W]). Для определения супермногообразия можно использовать аналитичес- аналитический подход, аналогичный описанному в п. 1.1. Различие состоит лишь в том, что в качестве локальных карт следует использовать так называемые суперобласти. По определению суперобласть V состоит из (а) области D С М" с координатами {х1,..., х"},
3. Некоммутативная геометрия 25 (b) алгебры Грассмана Ш{91,..., 9т). Тензорное произведение C°°(D)®R(9i,..., вт) обозначается через A(V) и рассматривается как алгебра гладких функций на V. Удобно рассматри- рассматривать элемент А{Т>) как гладкую функцию на D со значениями в алгебре Грассмана Ж(91,.. .,9™). В качестве размерности суперобласти принима- принимается пара (п,т). В частном случае D = Ж" получаем суперобласть %п\т. Заметим, что %п\т отлична от Mnlm: первая из них — это суперобласть, а вторая — градуированное пространство. Поэтому они принадлежат различным категориям и допускают различные морфизмы. Гладкое отображение из одной суперобласти V\ с координатами (х, 9) в другую суперобласть ?>2 с координатами (у, f) определяется как четный непрерывный гомоморфизм из Aip-i) в AiP\). На самом деле этот гомо- гомоморфизм определяется образами координат (i/,f): где <р< и ipi — четные и нечетные элементы A(T>i) (т. е. гладкие функции на Di со значениями в четной или нечетной компоненте алгебры Грассмана В общем случае супермногообразие М — это объект, полученный скле- склеиванием суперобластей, так же как обычные многообразия получаются склеиванием локальных координатных карт. Важно помнить, что супермногообразие М не является множеством1. Однако для любой Хг-градуированной алгебры А можно определить мно- множество М(А) А-точек М как множество всех гомоморфизмов <р : А(М) —^ А. В частности, гомоморфизмы <р : А(М) -j-R называются "точками" (или "вещественными точками") супермногообразия М. В отличие от случая обыкновенных многообразий, супермногообразие не определяется своими точками. По определению "гладкое отображение" из одного супермногообразия М в другое супермногообразие Я — это четный гомоморфизм из А{М) в А(М). Замечание 6. Эта точка зрения широко принята в современной ал- алгебраической геометрии. Вспомним, что в классической алгебраической геометрии аффинное алгебраическое многообразие X определяется как мно- множество, заданное системой полиномиальных уравнений от п переменных с коэффициентами в некотором поле (или кольце) к. В современном понима- понимании X рассматривается как функтор, сопоставляющий каждой коммута- коммутативной ассоциативной fc-алгебре А множество Х(А) всех решений данной системы уравнений со значениями в А. Упражнение 16. Показать, что множество всех точек 7?"lm совпадает с Кп. Указание. Показать, что нечетные элементы принадлежат ядру любого гомоморфизма \ ¦ A(U"^m) -»¦ П. Упражнение 17. Описать множество всех отображений ft1'1 в
26 Лекция 1. Гладкие многообразия Ответ. Множество пар (/, д) где / — параметризованная кривая в Ж" и д — параметризованная кривая в ffim. В терминах естественных координат на 7S1'1 и 7S"'m отображение задается формулой х' = /*(х), г-7 = g>(x),l$j$m. 2. Квантовые группы —¦ это групповые объекты категории Alg(€)°, двойст- двойственной категории Alg(C) всех (не обязательно коммутативных) комплекс- комплексных ассоциативных алгебр.14 Таким образом, квантовая группа G — это не группа. И даже не множество! Говоря о квантовых группах, удобно использовать как теоретико-мнсь жественную, так и теоретико-групповую терминологию. Но при этом сле- следует помнить, что все утверждения имеют смысл, только если они сформу- сформулированы категориально, т. е. не в терминах точек, но в терминах функций на G. Начнем с обычного группового закона на множестве G, т. е. отображе- отображения m : G xG -»¦ G, подчиненного аксиомам (ассоциативность, существова- существование единицы и обратного отображения). Пусть G — комплексная алгебра- алгебраическая группа и A(G) — алгебра регулярных (полиномиальных) функций на G. Отображение умножения m определяет двойственное отображение A:A{G)^A{G)®A{G), B0) которое называется коумноженнем. Это отображение переводит / ? A(G) в элемент Д/ тензорного произведения A{G) ® A(G) ? A(G x G) по формуле Af(x,y)~f(xy). В случае квантовой группы мы уже не имеем множества G, тогда как "алгебра функций" A{G) на G по-прежнему имеет смысл. Таким обра- образом, отображение B0) можно принять в качестве определения группового закона на G.15 Единица е € G со свойством eg — де = д для всех д € G заменяется гомоморфизмом eve: A(G) -»¦ С таким, что A®еие)оД= (et>e®l)°A = Id- B1) Для обычных групп ev e(f) := /(е), так что ((l®eu e)oA)(f)(g) = A(f)(g, e) = f[ge). Поэтому второе равенство в B1) эквивалентно равенству f{ge) = f(g) для всех / ? A(G), которое, в свою очередь, эквивалентно равенству Закон ассоциативности заменяется неуклюжей коммутативной диа- диаграммой и называется законом коассоциатнвности. (Читатель может нари- нарисовать такую диаграмму самостоятельно или посмотреть в любой книге по квантовым группам.) Линейное представление квантовой группы в век- векторном пространстве определяется как отображение ж : V -»¦ А ® V такое, '¦•Определенные таким образом квантовые группы суть некоммутативные аналоги комплексных алгебраических групп Ли. Существуют также некоммутативные анало- аналоги вещественных алгебраических групп, локально компактных топологических групп, компактных групп и т. д. (см., например, [ShSt] и библиографию там). 15В случае групп Ли, когда A(G) = C^°(G), следует заменить A(e)®A(G) пополненным тензорным произведением A(G)§A(G) *i A(G x G).
3. Некоммутативная геометрия 27 что следующая диаграмма коммутативна: A®V и т. п. Замечание 7. В случае конечномерной алгебры А закон коассоциа- тивности для коумножения Д эквивалентен гораздо более понятному (и наглядному) свойству: двойственное отображение Д* : А* ® А* -»¦ А* яв- является ассоциативным умножением на А*. К сожалению, наиболее инте- интересные примеры квантовых групп соответствуют бесконечномерным ал- алгебрам А. Тем не менее, это замечание по-прежнему имеет смысл. Дело в том, что А часто допускает градуировку А = Фп^о-4" с конечномерными однородными компонентами А". Тогда можно определить градуированное двойственное пространство A*gr как ®„^о[Ап)* (со свойством Mgr)gr 3 А) и опять рассмотреть Д* как закон умножения в -4*г. Замечательный факт заключается в том, что А и А*%г играют симмет- симметричные роли: все аксиомы инвариантны при замене А <—> -4*Г,Д <—> А*. Итак, квантовые группы возникают парами. Когда один член соот- соответствует обыкновенной конечной группе G (т. е. A{G) — алгебра C[G] комплекснозначных функций на G с обыкновенным умножением), двой- двойственная алгебра A*(G) тоже отождествляется с C[G], no с конволютив- ным умножением. В частности, если Оабелева, двойственность квантовых групп совпадает с двойственностью Понтрягина для абелевых групп. Пример 7. Важный частный случай появляется при рассмотрении обер- обертывающей алгебры U(д) алгебры Ли д в роли Agr(G). Коумножение опре- определяется формулой ДХ = X® 1 + 1 ®Х, X е д. B2) Двойственная алгебра A(G) в этом случае состоит из ростков функций на G вес обыкновенным умножением и коумножением согласно формуле B0). Оно коммутативно, но иногда допускает интересную некоммутативную деформацию. Преимущество нового подхода состоит в том, что такие жесткие объ- объекты, как компактные или полупростые группы Ли, допускают нетриви- нетривиальные деформации в более широкой категории квантовых групп. Мы вер- вернемся к этому примеру позже. торическое замечание Квантовые группы в описанной выше форме появились в 50-е годы под названием "кольцевые группы" в статьях киевского математика Г. И. Каца. Он определил кольцевые группы, пытаясь построить теорию, в которой некоммутативные груп- группы и их двойственные объекты играют равноправные роли. Современная история теории квантовых групп началась в 80-е годы, когда в математической физике бы-
28 Лекция 1. Гладкие многообразия ли открыты и использованы интересные примеры. Введение в эту теорию изложено в [D]. ¦ 3. Геометрические объекты на супермногообразнях. Геометрию супермного- супермногообразий можно строить таким же образом, как в описанном выше слу- случае обыкновенных многообразий. Например, можно определить вектор- векторные поля на супермногообразии М как супердифференцирования16 алгеб- алгебры А(М). Полезное упражнение: выписать выражение для векторного по- поля в терминах локальных координат. Располагая _4(.М)-модулем \ect(M), можно определить поливекторные поля, дифференциальные формы и об- общие тензорные поля так же, как и в п. 2.2. Однако имеется существенное отличие. Роль группы DiffM = AutA(M) в данном случае играет так на- называемая супергруппа. Как уже было отмечено, это не группа, а лишь групповой объект категории SMan супермногообразий. (Естественно, у него есть базисная группа вещественных точек, однако сам объект уже не восстанавливается из этой группы.) Для иллюстрации рассмотрим супермногообразия, которые являются одномерными суперрасширениями обыкновенной окружности 51. Сущест- Существуют два таких супермногообразия, которые мы обозначим 5± . По опре- определению алгебра A(S±1) состоит из функций f(t,r) одной вещественной переменной t и одной грассмановой переменной г вида /(*¦ г) = fQ(t) + г • /,(*), /,¦(< +2я-) = ±fi(t). Более точно, /о и fx 2я--периодичны в случае S+ , а в случае 5_ — /о 2я--периодична и /i 2я--антипериодична: /i(t + 2тг) = — /i(<). Удобно использовать следующие координаты на 5+ : четная коор- координата t ? K/2ffZ и нечетная координата т. Первая координата отобра- отображает S+1 на 51, а вторая — на супермногообразие Т^0'1. Фактически, S+ = S1 х К0!1 (произведение в категории SMan). Заметим, что S]}1 вложено в 51 х 7t°|2 с координатами s e К/2я-2, 0Ь 02 согласно формулам s = t, вх = т ¦ cost, в2 — т ¦ sint. Упражнение 18. Показать, что многообразие всех Ж@)-точек S+1 диф- феоморфно цилиндру, а в случае Si'1 — листу Мёбиуса. Указание. Гомоморфизм из ./^SJ.'1) в Щв) определяется характером х алгебры ^(S1!1)^ и линейным функционалом <р на пространстве A(S± )j, связанным с х формулой f{fg) = х{1)Ф{я)- Определим пространство Vect 5^ как множество градуированных диф- дифференцирований A(S± ). 16Напомним, что супердифференцнрование (также называемое градуированным диф- дифференцированием) степени S g 2г &2-градуированной алгебры А — это линейное ото- отображение D : А ->¦ А, удовлетворяющее градуированному правилу Лейбница D(ab) = D(a) ¦ b + (-l)iaa ¦ D(b), где а = deg a.
3. Некоммутативная геометрия 29 В терминах координат (*,т) общее векторное поле на S± может быть записано в виде17 B3) где гладкие функции fa удовлетворяют условию fa (t + 2п) = fa (t) в случае Sf и e«(* + 2x) = (-l)i+jfa(t) в случае 5111. Скобка Ли двух векторных полей определяется формулой Ki,6]=6ft-(-l)d*eeideBt4rfi. Громоздким, но простым вычислением получаем [?i »?]оо = ?оо»?оо — Чоо^оо + ?oi»7io == ?oo»?io ~ Замечание 8. Отметим, что [^,^] = a2(t)9t. В частности, существует квадратный корень векторного поля dt- Это простое наблюдение приво- приводит к важным философским выводам. Дело в том, что все детерминист- детерминистские процессы обычно описываются эволюционным уравнением, которое содержит производную по времени dt. Если последняя допускает извле- извлечение квадратного корня, то должно существовать более фундаментальное уравнение, использующее этот квадратный корень. И так действительно бывает в некоторых современных физических теориях. Супермногобразия S±x обладают замечательной контактной структу- структурой, заданной нечетной 1-формой в = dr + rdt. Эта форма определяет не- интегрируемое нечетное распределение Р, порожденное векторным полем вида f =a(<)CT+r3t), B4) где a(t) — периодическая или антипериодическая функция. Упражнение 19. Описать супералгебру векторных полей на 5± , сохра- сохраняющих распределение Р (или, эквивалентно, сохраняющих в с точностью до умножения на функцию). Ответ. Искомая супералгебра состоит из полей вида f = a(t)dt - ±a'(t)TdT + b(t)(dT - rdt). В заключение кратко остановимся на интегрировании по супермного- супермногообразиям. Эта часть теории чрезвычайно важна в современной теории ма- математической физики, однако до сих пор не имеет окончательного матема- математического обоснования.18 Здесь мы рассмотрим лишь простейший случай: интегрирование по чисто нечетному плоскому супермногообразию 7?0'" с антикоммутирующими координатами О1,...,0я (см. п. 3.1). Напомним, 17Мы доверяем читателю определить дифференциальный оператор Эт на A^S1^1). "Относительно современного состояния см. обзор [Le].
30 Лекция 1. Гладкие многообразия что функция на Л°1" является элементом алгебры Грассмана и может быть записана в виде 1С[1,...,п] где в1 — в'1 ...в'к, если / = {ii,...,i*} и а/ — числовые коэффициенты, комплексные или вещественные. Оказывается, что правильное определение интеграла от / над 72.°'" - это старший коэффициент а^...,„]. В первых работах на эту тему (см., на- например, [Bel]) этот факт формулировался с помощью символических пра- правил Ыв = О, IU6 = 1. B5) Позднее оказалось, что объект, который допускает интегрирование по су- супермногообразию, является не дифференциальной формой, а некоторым новым объектом, получившим название интегральная форма. При этом пра- правила B5) остаются верными. Для иллюстрации чисто математического результата, вытекающего из этих правил интегрирования, мы приведем только один пример. Из- Известно, что для положительно определенной квадратичной формы Q в Ж" справедлива формула f = (det<3)/2. B6) Каков супераналог этой формулы? Очевидно, что роль квадратичной фор- формы должна играть антисимметрическая матрица А. Согласно общей идеологии теории супермногообразий ответ должен быть пропорционален (det АI/2. И это действительно так! Напомним, что для антисимметричной п х n-матрицы А определитель равен 0 в случае не- нечетного п и равен квадрату некоторого полинома, называемого пфаффианом матрицы А, если п четно. Формула f тогда вытекает из правил B5), так как искомый показатель является, фак- фактически, полиномиальной функцией.
Лекция 2 ИНВАРИАНТНЫЕ ОПЕРАЦИИ НА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТАХ Внешнее дифференцирование как пример инвариантной операции 31 Геометрические объекты 33 Представления GL+ (п,Ш) 35 Геометрические объекты высшего дифференциального порядка 37 Общие свойства инвариантных операций 37 5.1. Операции на тензорных плотностях 37 5.2. Общие сведения об инвариантных операциях 39 5.3. Действие симметрической группы 40 Линейные (унарные) инвариантные операции 40 Билинейные инвариантные операции 42 Инвариантные операции на супермногообразиях 47 Эта лекция содержит материал, не связанный непосредственно с методом орбит. Однако собранные здесь факты будут полезны многим читателям. Изложение следует обзорной статье [Ki6]. Более систематическое изложе- изложение содержится в недавно опубликованной книге [KMS]. . Внешнее дифференцирование как пример инвариантной операции Рассмотрим отображение d, которое преобразует гладкую функцию / на многообразии М в ее дифференциал df = -^-^dxk. Согласно хорошо известному цепному правилу имеем df df oV tt-^- — ~r ¦ •=—^ (суммирование по i). дуз dxl du> K 31
32 Лекция 2. Инвариантные операции на геометрических объектах Сравним это уравнение с правилом преобразования дифференциальных 1- форм (см. лекцию 1, п. 2.1). Мы видим, что отображение d, преобразующее гладкую функцию / е С°°{М) = п°(М) в ее дифференциал df e ^{М), не зависит от выбора локальных координат {х1}. Приведем другие формулировки этого свойства. 1. Дифференциал d инвариантен относительно действия группы Diff(M). 2. Отображение d БЩ.М)-э1свиварнантно, что выражается коммута- коммутативной диаграммой где р* — каноническое действие р ? Diff(M) на С1(М). Замечание 1. Соответствие <р ь-* <p* является антипредставлением груп- группы Diff(M) на пространстве П(М), т. е. (<pi о <р2)* = <& ° ч>\. Другими словами, мы определили правое действие Diff(JW) на п{М). Конечно, его можно конвертировать в левое действие стандартным образом, положив <Р* = (р*1)*. Но (р. имеет смысл только для обратимых отображений <р, тогда как <р" определено для всех гладких отображений. На языке теории категорий это означает, что соответствие М ~> п(М) продолжается до функтора из Man0 в категорию SCAlg суперкоммутатив- суперкоммутативных алгебр (см. лекцию 1, п. 1.3). Отметим замечательный факт: операция d может быть продолжена на дифференциальные формы любой степени. Теорема 1. Существует единственное линейное отображение d : Cl(M) — ЩМ), которое отображает Clk(M) в Clk+1(M) и имеет свойства (i) d эквивариантно относительно группы Diff(M), (ii) d является антисимметричным дифференцированием относитель- относительно А-произведения: d(w Л в) = dw Л в + (-l)de8 шш Л dd, (Ш) d совпадает при к = 0 с обычным дифференциалом функции, (iv) dod = 'Q. Читатель может найти доказательство в любом учебнике по матема- математическому анализу или провести доказательство самостоятельно, исполь- используя формулу A) ниже. Из свойств (i)-(iii) отображения d вытекает следующая явная формула для d в локальных координатах: d{uilt...iihdxil Л ... Л dxik) = dwit ik Л dz'1 Л ... Л dxik. A) Еще один замечательный факт — это то, что d является единственной естественной (т. е. эквивариантной относительно группы DifF(M)) линей- линейной операцией дифференциального порядка 1 на тензорных полях. Для формулировки точного утверждения нам понадобятся некоторые предва- предварительные сведения.
2. Геометрические объекты 33 Геометрические объекты Понятие геометрического объекта естественно возникает в физике: векторы — в механике, тензоры — в теории упругости, 2-формы — в элек- электродинамике, связности — в теории поля и т. п. Это понятие интенсивно используется также в теории представлений групп Ли. Многие важные примеры представлений групп Ли (в частности, большинство неприводи- неприводимых представлений) могут быть реализованы в пространствах геометри- геометрических объектов. Строгое определение этого понятия стало возможным после Эрланген- ской программы Клейна A872 г.) и работ Софуса Ли A890 г.) о непре- непрерывных группах преобразований. В первых учебниках по этому предмету, написанных столетие назад, приводилось следующее довольно неуклюжее, но рабочее определение: Определение 1. Пусть V с Ж" — n-мерная область. Предположим, что для любых m € V и локальной системы координат X — {х1,... ,хп} в окрестности m определен элемент fmix некоторого вспомогательного про- пространства V. Предположим, что для любой другой системы координат У = {у1,... ,уп} координаты fmY можно выразить через координаты fm,x и значения г/'(т), ^А-(т), » А Дт),.... Тогда мы говорим, что в точке m задан геометрический объект с компонентами fm>x в данной локальной системе координат X. Если объект задан в каждой точке V, мы говорим, что задано поле объектов на V. Теперь переведем это определение на современный математический язык. Пусть М — гладкое п-мерное многообразие, которое мы предполага- предполагаем связным и ориентированным.1 Пусть Е — гладкое расслоение над М с /-мерным слоем V. Обозначим через Diff M группу всех гладких обра- обратимых отображений (называемых диффеоморфизмами) из М в М, и пусть Diffo M С Diff M — связная компонента единицы в Diff M. Предположим, что действие группы Diff0 М на М можно поднять до действия на Е, которое коммутирует с проекцией р : Е -»¦ М. Это предположение эквивалентно требованию, что задано действие алгебры Ли Vect(M) на Е, согласованное с проекцией р : Е -»¦ М. Определение 1'. Если выполняется приведенное выше условие, то бу- будем говорить, что Е — естественное расслоение над М. Поле геометричес- геометрического объекта — это сечение естественного расслоения. Теперь мы используем теоретико-групповой подход. Для краткости обозначим группу Diff0 М через G. Пусть Я С G — стационарная подгруппа (или стабилизатор) точки m € М в G. Известно, что действие G транзитив- но на М, поэтому мы можем рассматривать М как фактор-пространство G/H. 'Эти условия упрощают большинство теорем. Оставляем читателю обобщить приво- приводимые ниже результаты на общий случай.
34 Лекция 2. Инвариантные операции на геометрических объектах Для определения G-расслоения Е над однородным пространством G/H со слоем V достаточно определить действие подгруппы Я на V. Именно, Е является расслоенным произведением G хн V :— {множество Я-орбит в G х V], где Я действует на G правыми сдвигами. Таким образом, точка Е есть класс эквивалентности \g,v] пар (g,v) ? G х V относительно отношения эквивалентности (.9u vi) ~ (#2,"г) •» ЭЛ ? Я : gi = gih~l ,vx = ftt>2, B) G-действие на ?¦ дается формулой pi-[g, f] = [ffi5,«] и проекция р : Е -»¦ G/ff имеет вид р([д, и]) = рЯ. В приложениях часто встречаются так называемые линейные геомет- геометрические объекты. В этом случае V — векторное пространство, Е — век- векторное расслоенное пространство и действие G линейно на слоях. Для определения таких объектов требуется задать линейное представление р группы Н в пространстве V. Замечание 2. Представление G в пространстве Г(М, Е) сечений Е есть не что иное, как индуцированное представление, обычно обозначаемое Indg р- Известно (см., например, [РТ]), что каждое естественное расслоенное пространство имеет конечный дифференциальный порядок it. Это означа- означает, что действие диффеоморфизма <р на объекте в точке m зависит только от fc-струи ip в m (или, проще говоря, только от значений <р и ее част- частных производных порядка ^ к в точке m е М). Минимальное число к, для которого это верно, называется дифференциальным порядком данного геометрического объекта. Пусть Jk{H) — группа fc-струй в точке m диффеоморфизмов <р € Я. В частности, для малых значений к имеем Линейные естественные геометрические объекты дифференциального по- порядка к соответствуют линейным представлениям Я, которые факторизу- ются через группу Л (Я). Эти представления, вообще говоря, приводимы, но не вполне приводимы (не полупросты в другой терминологии). Тем не менее, естественно начать изучение с неприводимых представлений. Соот- Соответствующие геометрические объекты называются также неприводимыми. Пример 1. Естественные линейные геометрические объекты порядка О соответствуют тривиальным представлениям Я. Таким образом, непри- неприводимые объекты порядка 0 суть скалярные функции на М. В лекции 1 мы ввели тензорные плотности как наиболее общие линей- линейные геометрические объекты первого порядка. Теперь мы можем уточ- уточнить (и несколько скорректировать) это утверждение. Естественные гео- геометрические объекты порядка 1 находятся во взаимно однозначном соот- соответствии с теми линейными представлениями Я, которые факторизуются
3. Представления GL+(n,ffi) 35 через Ji(ff) = GL+(n,ffi) посредством отображения Я -»¦ GL+ (п, Ж) : <р к4 p. (m) = C) Таким образом, неприводимые объекты соответствуют неприводимым пред- представлениям GL+(n,M). Замечание 3. В п. 1 мы использовали обозначение <р для отображения, которое выражает старые координаты в терминах новых: х' = ip' (у1,..., у"). Теперь мы используем это отображение в противоположном направлении: у = <р[х). Таким образом, <р в C) соответствует <р~1 в п. 1. Представления GL+(n, R) Хорошо известно, что конечномерное представление SL(n, Ж) есть сум- сумма неприводимых подпредставлений. Для GL+(n,R) это уже не так. Одна- Однако и в этом случае неприводимые представления GL+(n,ffi) играют важную роль. Напомним, что каждое такое представление эквивалентно пр ® detA, где жр — неприводимое представление, действующее на пространстве кон- травариантных тензоров2 данного типа симметрии р € Z™, а Л ? С — произвольный параметр. Удобно объединить обозначения р и Л и использовать один символ ц = (mi,... , mn), где m,- — комплексные числа такие, что тгц — m,-_i = р\ € Z+ при 1 < { ^ п и тп„ = А. Ниже jfy обозначает я-^ ® detA и V^ — соответствующее пространство представления. С точки зрения теории представлений смысл параметра \i можно по- пояснить следующим образом. Рассмотрим подгруппу D G GL+(n,U), ко- которая состоит из диагональных матриц d с положительными элементами &i,...,6n на главной диагонали. Известно, что существует базис в V^, состоящий из общих собственных векторов всех операторов я^(^),^ ? D. Для такого собственного вектора v имеем тг,,(с1)у = <JAl .. .<JA" • v, где Л = (Ль ..., Л„) G С" называется весом собственного вектора v. Определение 2. Частичный порядок' на С" определяется следующим образом: будем говорить, что А старше и, если (i) А; — i/j € Ъ для всех i = 1,2,..., n, (ii) первая ненулевая разность А,- — ь>,- положительна. Оказывается, что все веса базисных векторов в V^ сравнимы (т. е. удов- удовлетворяют условию (i)) и имеется единственный старший вес, который равен в точности /х. Замечание 4. Скалярная матрица с-1 е GL+(n,ffi) принадлежит цент- центру группы. Таким образом, ее образ при неприводимом представлении jfjj является скалярным оператором (поскольку он коммутирует со всеми операторами представления). Точное значение этого скаляра равно с^, где 2т. е. тензоров только с верхними индексами.
36 Лекция 2. Инвариантные операции на геометрических объектах \р\ := miH \-mn, в чем нетрудно убедиться, применив т^(с-1) к старшему весовому вектору.3 Мы не будем вдаваться в детали явного построения тг^, а рассмотрим несколько примеров. • Тавтологическое представление GL+(n,M.) в пространстве К" вектор- столбцов соответствует действию Н в касательном пространстве Тт(М) (поскольку элементы вектор-столбцов соответствуют координатам в Тт(М), которые традиционно имеют верхние индексы). Веса этого представления суть стандартные образующие е,- = @,... , 0,1,0,... , 0) для Z" и старший 1- 1 вес равен е.\ = A,0,..., 0). Соответствующие геометрические объекты — это векторные поля на М. • Фундаментальные представления GL+(n,M) в Afc(K"),fc = 1,2,... ,п, имеют старшие веса к .,0). D) Соответствующие геометрические объекты — это fc-векторные поля на М. В частности, когда к — п, мы получаем одномерное представление д >->• detg, которое соответствует n-векторным полям на n-мерном многообразии. Ковекторные поля или 1-формы на М соответствуют представлению GL+(n,Hk) в пространстве вектор-строк: матрица д преобразует вектор- строку ? в ?д~1- Другими словами, это представление преобразует д в (ff")', где верхний индекс * означает транспонирование. Веса этого пред- представления получаются умножением на —1 весов тавтологического пред- представления. Итак, старший вес равен —е„ = @,0,..., 0, —1). В общем случае дифференциальные А-формы на М соответствуют стар- старшим весам А = - Ё « = @ о,-1 -1). E) «=n—fc+1 7 В частности, при к = п получаем одномерное представление д >-> которое соответствует формам объема на М. Наконец, плотности степени Л имеют тип (—Л,..., —Л). В заключение заметим, что данное неприводимое представление ж^ неоднократно встречается в тензорной алгебре. Поэтому оно может соот- соответствовать многим различным типам тензорных полей. Например, три- тривиальное представление соответствует скалярным функциям (тензорные поля ранга 0) и также тензорам типа A, 1) вида f(x) Sf. Полное описа- описание всех возможных реализаций данного представления можно получить из теоремы Вейля (см. п. 6 ниже). 3Из этого также следует, что |А| одно и то же для всех весов А данного неприводимого представления.
5. Общие свойства инвариантных операций 37 . Геометрические объекты высшего дифференциального порядка Здесь мы ограничимся примерами объектов порядка больше 1. Первый пример — связность в касательном расслоении, заданная симво- символом Кристоффеля F*j. Этот объект имеет порядок 2. Закон преобразования имеет вид г*глг*' i i \№'fy' дх" , д2у n где участвуют производные второго порядка .. .. Более того, объект не линейный: он подвергается аффинному преобразованию при замене ко- координат. Другой пример — дифференциальный оператор D порядка к в простран- пространстве гладких функций на многообразии М. Он имеет дифференциальный порядок к и принадлежит тензорному типу только при к ^ 1. (Хорошо известно, что дифференциальный оператор порядка 1 есть сумма функции и векторного поля.) Более общо, дифференциальный оператор порядка к в пространстве гладких сечений естественного векторного расслоения порядка / над М является геометрическим объектом дифференциального порядка к +1. Наконец, для любого геометрического объекта порядка к мы можем рассмотреть его /-струю, которая сама является геометрическим объектом порядка к +1. . Общие свойства инвариантных операций Главный предмет этой лекции — понятие инвариантной операции на геометрических объектах. Грубо говоря, это правило построения нового геометрического объекта из одного или нескольких заданных объектов. Это правило обычно формулируется в терминах локальных координат, но результат не зависит от выбора системы координат. Многие физические законы и математические теоремы формулируются в терминах инвари- инвариантных операций. 1. Операции на тензорных плотностях. В этой лекции мы рассмотрим только полилинейные операции на тензорных плотностях. Их можно классифици- классифицировать по числу аргументов и типу симметрии. Пусть Г11[М} обозначает пространство всех гладких тензорных плоскостей типа /л на многообра- многообразии М. Определение 3. Дифференциальным оператором типа (щ,... ,цт;ц) на М называется полилинейное отображение L ¦.Т{М)х •••хГ""-(М)->Г"(М), F)
38 Лекция 2. Инвариантные операции на геометрических объектах которое в локальной системе координат имеет вид .-,Л»)Р(*) = ХХ Pm.Kl *»д*7Г ...дК'ЯгЮ, G) где U € Г"'(М), !(/!,...,/„,) € Т"{М),^'(х) обозначает ргю координату fi(x) G V?,, Ki = (*<,,•• •¦*•»)! 9Ki = d*'1 ...dmim и суммирование прово- проводится по всем повторяющимся индексам. Можно показать, что дифференциальные операторы L типа (/лх,... ,цт; ц) характеризуются следующим образом (в бескоординатной форме): — это полилинейные отображения вида F), непрерывные в С°°-топологии4 и локальные в следующем смысле: т suppL(/i,. .,/m) С P| supp/,-. (8) 1=1 Множество всех таких операторов обозначим С(щ,ц2,--- >/*т1м)- Оператор L называется естественным или инвариантным, если он ком- коммутирует со всеми диффеоморфизмами М (т. е. не зависит от выбора ло- локальных координат). Свойство инвариантности можно сформулировать в инфинитезималь- ной форме. Пусть v — v'di — гладкое векторное поле на М. Тогда v действует на тензорную плотность / типа ц по формуле (v ¦ /)(*) = »•"(*№/(*) + 3,V» • M.(ef)/(x). (9) Здесь представление (жц), алгебры Ли g[(n,K) в пространстве V^ является производной представления ж^ группы GL(n,W) в единичном элементе и ef — стандартный базис в g[(n,K) = Matn(K). Пример 2. Рассмотрим 1-форму w = widx' на М. В этом случае (тг^)*(е|) = е| и формула (9) принимает вид , ;dwk dv' (t;.w)fc =„__ + _«„„ Условие инвариантности можно выразить равенством 1=1 Таким образом, описание всех инвариантных полилинейных операций L данного типа (fii,/i2,--- ,Pm\fi) сводится к решению системы линейных уравнений A0) для всех v e Vect M, где неизвестными функциями явля- являются коэффициенты с? Ki к (х) оператора L в выражении G). Эти уравнения довольно громоздки и вряд ли разрешимы в явном виде. Со- Соответственно и проблема классификации естественных операций решена только в частных случаях. 4т. е. топологии равномерной сходимости на любом компактном множестве С с М функций (или полей) и всех их производных.
5. Общие свойства инвариантных операций 39 . Общие сведения об инвариантных операциях. Мы приведем несколько прос- простых результатов об естественных операциях. Сначала покажем, что в лю- любой локальной системе координат любая естественная операция задается полидифференциальным оператором с постоянными коэффициентами. Лемма 1. Все коэффициенты е^ Рткх кт{х) инвариантного опера- оператора L в выражении G) суть константы. Доказательство. Уравнение A0) для общего векторного поля v содер- содержит коэффициенты и' от и и частных производных dKv'. Согласно тео- теореме Бореля все эти величины могут принимать произвольные значения в данной точке х. Таким образом, можно приравнять коэффициенты при этих величинах. В частности, приравнивая коэффициенты при v', получим г Р.*. *» = °- П Следующее наблюдение состоит в том, что тип инвариантного опера- оператора определяет его дифференциальный порядок. Лемма 2. Для любого инвариантного оператора L типа (щ,... ,цт,р) все ненулевые члены в G) обладают свойством где \К{\ := k{l + ¦ ¦ ¦ + kim и |p| := mx + ... + mn. Доказательство. Пусть (г1,...,!") — локальная система координат с центром в х0 и е = x'di — эйлерово поле (генератор полугруппы рас- расширений). Согласно (9) и замечанию 2 е действует на объект / типа li — (ть ..., т„) следующим образом: (е • f)p{x) = x'dsff(x) + \n\f(x). По- Поэтому дк'(х'д//?' +|/*.i/f')(?<)) = (l-Ki| + l/*il)/f (xo) в точке х0. Подставляя это выражение в A0), приходим к равенству т >=1 Теперь сформулируем главный результат этого раздела. Теорема 2 (конечность). Пространство С{ц\,Ц2,-- ,MmiM)Dlff'M' всех инвариантных полидифференциальных операторов типа (цх,Р2,- ¦¦ ,iim',n) конечномерно. Более того, при заданных /*i, /*2. - - - iMm имеется лишь ко- конечное число весов ц, для которых С(ц\,Ц2,... ,/Jm;/i)Dlff'M' отлично от нуля. Схема доказательства. Первое утверждение следует из леммы 2, так т как порядок оператора L € Цщ,^,- ¦ ¦ ,^т;м)ОШ(м) Равен 1/*1 ~ J2 1м>1 и пространство всех операторов (не обязательно инвариантных) данного типа и порядка конечномерно. Второе утверждение более сложное. Мы поясним идею для некоторых частных случаев ниже.
40 Лекция 2. Инвариантные операции на геометрических объектах 3. Действие симметрической группы. Отметим одно полезное обстоятельст- обстоятельство. Пусть Г? — подпространство элементов V с компактным носителем. Тогда любой инвариантной полилинейной операции типа (цх, (i2,... , /*m; /*) можно сопоставить G-инвариантный полилинейный функционал rS'x-.-xrs-xrj-na, (п) где \1 - A -тп,. . .,1 - лц) ДЛЯ р.- {т1,...,тп). Именно, имеется каноническое G-ковариантное билинейное отображе- отображение Vp х Vp —>¦ Kdet: («.«) >-> (v, v), где Kdet — стандартное одномерное пространство К, на котором группа GL(n,W) действует умножением на detg. Поэтому отображение {vi,---,vm;v) м- (L{vi,...,vm){x),v(x))dx1 A---Adxn преобразует Г^1 х • • • х Гд™ xTJ в пространство форм объема с компактным носителем в М. Интеграл от этой формы по М и есть искомый функционал. Легко показать, что справедливо также обратное утверждение. Лемма 3. Любой G-инвариантный (т+1)-линепный функционал A1) по- получается из инвариантной полилинейной операции типа (fi!,/^,... ,/xm;/x) описанной выше процедурой. Следствие 1. Существует каноническое действие симметричной груп- группы Sm+i на пространстве т-линейных естественных операций. Действительно, такое действие существует на пространстве (т + 1)- линейных G-инвариантных функционалов: оно определяется перестанов- перестановкой аргументов. Действие подгруппы Sm С 5m.|-i очевидно и сводится к перестановке аргументов, тогда как действие других элементов менее оче- очевидно. В частности, транспозиция A,т+ 1) превращает операцию типа (/П,М2> • • • ,/Jmi/j) в операцию типа (/х,/х2,... ,/jm;fji), которая может иметь совсем иной вид (см. пример 3 в п. 7). . Линейные (унарные) инвариантные операции Сначала рассмотрим линейные операции дифференциального порядка О на тензорных полях, которые суть в точности морфизмы С°° (М)-модулей Tk'l(M). Такой морфизм естественный тогда и только тогда, когда он коммутирует с действием G. Ввиду общего результата об индуцированных представлениях существует биекция blndg ж2) = Нотя(я-1,7Г2). A2) В частности, морфизмы между неприводимыми объектами могут быть только лишь нулевыми (для объектов, которые соответствуют неэквива- неэквивалентным представлениям) или кратными изоморфизму (для таких, кото- которые соответствуют эквивалентным). Теперь рассмотрим общие тензорные поля на n-мерном многообразии М. В силу A2) имеет место взаимно однозначное соответствие между инвариантными линейными операторами L : Tk>l(M) -> Tk •'' (М) диффе-
6. Линейные (унарные) инвариантные операции 41 ренциального порядка 0 и линейными операторами из (К")®' ® (E")*®fc в (R")e'' ® (К")*®*', которые коммутируют с действием GL{n,W). В силу известного результата Вейля множество всех таких операций порождается • перестановками индексов (по отдельности — верхними и нижними, так что они не смешиваются), • свертками (т. е. суммированием по одному верхнему и одному ниж- нижнему индексу, как в правиле Эйнштейна), • умножением на тензор Кронекера <$/. Замечание 5. Используя эти естественные операции, можно предста- представить любую тензорную плотность как сумму неприводимых геометри- геометрических объектов, которые соответствуют неприводимым представлениям GL+(n,№.). Например, пространство Т1'1^) распадается на две компо- компоненты, соответствующие неприводимым объектам: одна состоит из так называемых тензоров с нулевым следом таких, что Т? (г) = 0, а другая — из скалярных тензоров Tj(x) = f(x) -<$j. Укажем явный вид разложения: Теперь перейдем к естественным линейным операциям высшего по- порядка и сформулируем результат, упомянутый в конце п. 1. Теорема 3. (i) Ненулевой оператор дифференциального порядка 1 меж- между неприводимыми геометрическими объектами типа ц\ и Ц2 существует только тогда, когда fix = (О,... , 0, — 1,... , — 1), /*2 = @,... ,0, —1,... ,—1), и к к + 1 в этом случае является скалярным кратным внешнего дифференциала d. (И) Не существует инвариантных линейных операций дифференциаль- дифференциального порядка ;> 2. Эта теорема, по-видимому, была впервые сформулирована в книге [Sch] и доказана различными авторами в нескольких различных вариантах. Наиболее общие результаты получены в [R] для многообразий с дополни- дополнительной структурой (заданной симплектической контактной формой или формой объема) и в [BL] для супермногообразий. Замечание 6. Свойство d2 = 0 следует из утверждения (i) (в против- противном случае мы имели бы ненулевую инвариантную операцию порядка 2). Имеется несколько вычислительных доказательств утверждения (и) теоремы 3 (см., например, [Ki3] или [R]). В [Т] дано более элегантное дока- доказательство, которое мы здесь приведем. Будем называть тензорное поле Т аффинным, если в некоторой локальной системе координат Tfj1/ /k'(r) явля- являются аффинными функциями (т. е. полиномами степени ^ 1). Лемма 4. Любое тензорное поле является конечной линейной комбина- комбинацией аффинных полей.
42 Лекция 2. Инвариантные операции на геометрических объектах Мы не приводим доказательство полностью, а проиллюстрируем его некоторыми примерами. Например, любое векторное поле, которое не обра- обращается в нуль в точке m € М, в подходящей системе координат имеет вид di и, следовательно, является аффинным полем. Так как любое векторное поле есть сумма двух ненулевых полей, все векторные поля аффинные. Теперь вернемся к утверждению (ii) теоремы 3. Пусть L — инвари- инвариантный дифференциальный оператор порядка ;> 2. Тогда Lf = 0 для любого аффинного поля (поскольку это верно в подходящей системе координат) и,) следовательно, для любого поля. Замечание 7. Мы уже видели, что любое векторное поле является суммой двух полей, которые не только аффинны, но и постоянны в соот- соответствующей системе координат. Поэтому в этом случае можно сказать больше: любой инвариантный дифференциальный оператор L порядка ;> 1 на векторных полях равен нулю. С другой стороны, существование нетривиальной инвариантной опе- операции d на дифференциальных формах препятствует представлению общей дифференциальной формы в виде суммы постоянных форм. Как хорошо известно, общая дифференциальная 1-форма может быть сведена к кано- каноническому виду xldx2 + x3dxA + ... и, следовательно, она аффинна, но не постоянна. Для завершения доказательства теоремы 2 нам надо классифициро- классифицировать инвариантные операторы порядка 1 и типа (ц; v). Как показано в [Ki6], приравняв коэффициенты при v',divk и didjvk в A0), можно вычислить инфинитезимальные характеры представлений ж^ и тг„. Соответственно находим р = рк и v = Hk+i для некоторого к. Искомый оператор имеет по- постоянные коэффициенты и потому является скалярным кратным внешней производной d. Упражнение 1. Проверить, что действие нетривиального элемента груп- группы 5г (см. п. 5.3) на множестве линейных инвариантных операций преобра- преобразует операцию d : пк(М) -> П*+1(М) в операцию d : П""*^) -> пп-к{М). Билинейные инвариантные операции В отличие от линейных операций классификация естественных били- билинейных операций намного богаче. Для описания этого случая, как и рань- раньше, обозначим через ?(/n,fi2;/j)Dlff(M' множество всех билинейных инва- инвариантных операций, которые каждой паре неприводимых геометрических объектов типа цх, Ц2 сопоставляют объект типа р.. Относительно действия группы 5з это множество распадается на 5 частично перекрывающихся классов. Класс I содержит так называемую производную Ли вдоль векторно- векторного поля. Это операция типа (г, ft;n), определенная следующим образом.5 Пусть ? € Vect(M) — векторное поле, касательное к однопараметрическо- 5Мы обозначаем через т тавтологическое представление GL(n,R), соответствующее векторным полям на М.
7. Билинейные инвариантные операции 43 му семейству преобразований Ф( € Diff(M). (Это означает, что f(m) — скорость точки m(t) — &t(m) в момент t = 0.) Если А — произвольный геометрический объект, то действие Ф?(т) на А определено и, если объект А линейный, мы полагаем ЦА = 1ф,(Л) |,=0 . A3) Например, когда А — / — функция на М, действие Ф* — это композиция /ь»/оФ! и производная Ли L(f совпадает с обычной производной / вдоль ?. Если А = г] е Vect(M), то производная Ли Lf?? совпадает со скобкой Ли. Если мы интерпретируем векторные поля как операторы на С°°(М), то скобка Ли приобретает простой вид К>*?]= f*? ~ *?? • A4) Для любого тензорного объекта Т типа р объект L^T принадлежит тому же типу. Таким образом, определена инвариантная билинейная операция типа (r,/r,/j). Из шести операций, возникающих из одной под действием 5з, четыре операции имеют ту же природу, что и исходная, а две остальных — име- имеют тип (/*,/!;г). Последняя операция была названа в в [N] конкомитантом Схоутена — Лагранжа. Класс II — это наиболее обширный класс, содержащий естественные билинейные операции типа (Акт ® А", л'т ® Дл; Лтг ® А11), где Д — одно- одномерное представление, соответствующее формам объема на М, к, I, m — неотрицательные целые числа ^ п и х, Л, ц — комплексные числа. Частный случай этой операции — скобка Схоутена, которая является отображением из Vectfc(M) х Vect'(M) в Vectfc+'~1(M). Для разложимых поливекторных полей скобка Схоутена определяется формулой [v\ А ... A Vk, w\ A ... A w{\ = у^ (~Y\t+i+k~l\vi,wi\ А Ул . .. А щ А . .. A Vk A W\ . . . Л щ А . .. A tuj. A5) Покажем, что это определение корректно, т. е. не зависит от способа разло- разложения поливекторного поля в Л-произведение векторных полей. Для этого можно использовать альтернативное определение скобки Схоутена: [v,w] =S(vAw)-S(v)Aw-(-l)kvAS(w), v€Vectk(M). A6) Здесь отображение 6 : Vectk(M) ->¦ Vect^^M) зависит от выбора формы объема vol и в специальной локальной системе координат, в которой vol = dxl A ... Л dxn, задается в виде 8(v'1-Akdil A . ..Adik) = 9,-1w*1""Ifc9ia A...Adik. Упражнение 2. Показать, что определения A5) и A6) совпадают. Так как первое определение эквивариантно относительно Diff(JVf), a второе не зависит от представления поливектора в виде Л-произведения, наша скобка имеет оба свойства.
44 Лекция 2. Инвариантные операции на геометрических объектах В общем случае построение операции распадается на два случая. \ Случай 1: к +1 > п + 1. Операция существует, если тп = к + 1 — п — 1, /л — х+А — 1. Запишем первый аргумент в видео- и*, а второй — в виде оJ ¦ г/, где w\ и ш-i — дифференциальные формы степеней п — к и п — I соответственно, аи — фиксированная форма объема (здесь используются изоморфизмы Л*г ®Д*2 /\п-кт* ® Д-*-1 и Л'г ® Д* ^ Л"~'г* ® Д*). Положим L(uii ¦ v*~l,wi ¦ Vх) — (cidhj\ Aui2 + С2Ш1 Л duJ) ¦ г^, A7) где c\,c2 — произвольные константы. Упражнение 3. Показать, что операция A7) определена корректно (т. е. не зависит от формы объема v) тогда и только тогда, когда (х-1)С1 + (-1)"(А-1)с2 = 0. A8) Инвариантность L следует из инвариантности операций d и Л. Случай 2: к + I ^ n + 1. Операция существует, если m = к + I — 1 и ц = х+А. Запишем первый аргумент в виде a-v*,a G Vectfc(M), а второй — в виде b ¦ ил, Ь € Vect'(iW). Положим ?(а • w",Ъ ¦ vx) = (ci<Ja Ab + c2aASb + c3S{a Л 6)) • v". A9) Упражнение 4. Показать, что операция A9) корректно определена и инвариантна тогда и только тогда, когда (x-l)ei = (A-l)ej = (l-/i)c3. B0) Для х, А, ц условия A8) и B0) обычно определяют константы с1( сг, с3 с точностью до постоянного множителя. Следовательно существует един- единственная (с точностью до константы) операция требуемого типа. Единст- Единственным исключением является случай х = А = 1, когда мы получаем две независимые операции (см. тип V ниже). Действие группы 5з на операции класса II приводит к другой операции того же класса (но другого типа). Класс III содержит так называемые симметрические конкомитанты Схо- Схоутена типа (Skr,SlT;Sk+l~1T). Для определения этой операции заметим, что эти объекты типа Skr могут рассматриваться как гладкие функции на кокасательном расслоенном пространстве Т* (М), которые являются од- однородными полиномами степени к на каждом слое. Так как Т"(М) имеет каноническую симплектическую структуру, получаем естественную опе- операцию (скобки Пуассона) в С°°(Т*(М)). Это и есть наша операция. Действие 5з на симплектический конкомитант Схоутена приводит к операции типа (SkrtSlT* ® A;S'~k+lT* ® Д). По-видимому, она ранее не рассматривалась (за исключением случаев к = 1, когда она является про- производной Ли, и к = I, когда возникает конкомитант Схоутена — Лагранжа). Класс IV ввел Нейенхейс [N]. Скобка Нейенхейса определяется для так называемых векторных дифференциальных форм и имеет тип (г ® Л*т*, г ® /\'т*;т ® л*+'т*), где НЦпит' — представление, двойственное т.
7. Билинейные инвариантные операции 45 Объяснение существования этой операции заложено в алгебраической структуре fi(Af), рассматриваемой как ассоциативная суперкоммутатив- суперкоммутативная дифференциальная алгебра. Напомним (см. лекцию 1, п. 3.1), что Z-градуированная ассоциа- ассоциативная алгебра А называется суперкоммутативной, если для однородных элементов а, b 6 А имеем ab = (—1)а/36а, где а = deg а и /? = deg 6. Дифференцированием порядка к коммутативной супералгебры А назы- называется линейное отображение D : А -> А которое отображает Ат в Ак+т и удовлетворяет суперправилу Лейбница D(ab)=D(a)b + (-l)haaD(b), a = deg a. Вернемся к дифференциальным формам. Положим А = С1(М) и заме- заметим, что это дифференцируемая супералгебра с дифференциалом d порядка 1. Рассмотрим те дифференцирования D алгебры Q(M), которые суперком- мутируют с d, т. е. D(du) = (— l)desDd(Dw). Из этого свойства и правила Лейбница вытекает, что D полностью определяется своим сужением на Q°(M) = C°°{M). Образ этого сужения лежит в Qde^D(M). Более того, из правила Лейбница для произведения двух функций получаем Df = widif, ш{ €fidegfl(M), l<i^n. B1) Можно проверить, что любое семейство fe-форм {a>'}i^j<n дает производ- производную порядка к, сужение которой на п°(М) определено в B1). Таким обра- образом, эти производные можно отождествить с геометрическим объектами типа г ® Afcr* : D <—)• д, ® ш'. Далее, дифференцирования градуированной супералгебры сами обра- образуют алгебру относительно суперкоммутатора [I»!, D2] = Dx о D2 - (_l)d^ deg^D2 o Di. B2) Упражнение 5. Проверить, что суперкоммутатор B2) является диффе- дифференциалом порядка deg Dx + deg Di и удовлетворяет супертождеству Якоби [Du [D2,D3\] =[[DU D2],D3] + (-l)*t***D>[Di, [Du D3]]. B3) В рассматриваемом случае суперкоммутатор — это в точности скоб- скобка Нейенхейса. При к = 0 или / = 0 он сводится к производной Ли. Прос- Простейшая новая операция возникает при к = / = 1. Соответствующие гео- геометрические объекты типа т ® т* — это поля операторов в касательных (или кокасательных) пространствах. Операция симметрична, и ее значе- значениями будут векторные 2-формы. Она определяется соответствующими унарными квадратичными операторами А >-> [Л, А], допускающими прос- простую запись в виде [A, A]{S, v) = Ш, АП] - А[(, Аг,} - А[М, ч] + ^2[?, i»], B4) где А рассматривается как линейный оператор на Vect(M) и [А, А] — как антисимметричный билинейный оператор из Vect(M) x Vect(M) в Vect(M). Упражнение 6. Проверить, что правая часть B4) билинейна по ? и г) не только над К, но также и над С°°(М).
46 Лекция 2. Инвариантные операции на геометрических объектах Замечание 8. Во многих важных геометрических теоремах использу-t ется скобка Нейенхейса. Например, так называемое условие интегрируе- интегрируемости для почти комплексных структур и структур почти произведения можно сформулировать как обращение в нуль квадрата Нейенхейса соот- соответствующего тензорного поля. Напомним, что почти комплексная струк- структура на М определяется тензорным полем J € Т1'1 таким, что Jj J3k = — Slk или просто J2 = —1. Этот оператор определяет комплексную структуру во всех касательных пространствах ТтМ: умножение на i = л/—Т задано J. Почти комплексная структура называется интегрируемой, если су- существует структура комплексного многообразия на М (т. е. атлас, состо- состоящий из комплексных карт), которая определяет такую же комплексную структуру на касательных векторных пространствах. Аналогично структура почти произведения задается тензорным полем Р е Т1'1 таким, что Pjp( = Pi или просто Р2 = Р. Такой оператор опре- определяет расщепление каждого касательного пространства ТтМ в прямую сумму подпространств Т'тМ = Р(ТтМ) и Т'^М = A - Р)(ТтМ). Структу- Структура почти произведения называется интегрируемой, если М можно локально представить как прямое произведение двух многообразий М' и М" так, что оно порождает такое же расщепление касательных пространств. Следует отметить, что объекты, для которых определяется скобка Нейенхейса, приводимы: представление г ® Л*г* расщепляется на две не- неприводимые компоненты (одна из которых эквивалентна Л*?-). Поэтому возникают восемь различных операций на неприводимых объектах. На- Насколько мне известно, полный анализ этой ситуации еще не проводился. Класс V состоит из операций, полученных комбинацией унарных опе- операций (т. е. внешнего дифференцирования и операций порядка нуль) и тензорного умножения. Он содержит много частных случаев из классов I—IV, например, две линейно независимые операции из пк(М) х п'(М) в Qk+l(M) : duii Лш2 и о)! Л Aj2. Теперь мы можем сформулировать основную теорему. Теорема 4 [Grz]. (i) Все инвариантные билинейные операции порядка 1 принадлежат одному из описанных выше классов I-V. (ii) Все операции порядка 2 или 3 суть суперпозиции операций порядка ^ 1 с единственным исключением, описанным ниже [см. пример 3). (iii) Не существует операций порядка > 3. Из этого результата вытекает следующая Проблема 1. Описать все примитивные инвариантные полилинейные операции на тензорных полях (т. е. такие, которые не могут быть сведены к суперпозициям операций меньшего порядка или меньшего числа пере- переменных). Эта проблема не решена даже для одномерного многообразия. Пример 3 [FF]. Следующая билинейная операция дифференциального порядка 3 действует на тензорные плотности степени —2/3 на веществен- вещественной прямой и является примитивной:
8. Инвариантные операции на супермногообразиях 47 f Г" + 3 Г 9' /" 9" По-видимому, множество примитивных операций довольно велико. По моему мнению, примитивными являются следующие операции на 1- формах на прямой: Lm(fidx,..., fmdx) — det Л Л f, /» /» .(m-1) (dx) m(m+l)/2 Инвариантные операции на супермногообразиях Проблема классификации инвариантных операций на геометрических объектах может быть сформулирована для супермногообразий6 в точности так же, как для обычных многообразий. Решение этой проблемы, хотя бы в той же общности, как мы описали выше для обычных многообразий, было бы очень полезно. Ситуация отличается от классической в первую очередь следующим фактом. Представление супергруппы GL+(m|n;K) в пространстве тензоров в Km'n не является полупростым. Следовательно, неприводимые геомет- геометрические объекты дифференциального порядка 1 не могут, вообще говоря, реализоваться как тензоры. Наиболее важный объект такого сорта — это так называемый березияиан, который заменяет в случае супермногообра- супермногообразия понятие формы объема. Пример 4. Рассмотрим суперпространство V = К1'1 и действие су- супералгебры Ли д(A|1;К) на V ® V. Выберем систему координат е, ? в V, двойственную базису {дх,д{\ С V. Положим W2 = Заметим, что 4-мерный модуль У* ® V имеет решетку подмодулей {0} = С W4 = B5) где нижний индекс указывает размерность пространства. Верезиниан или форма суперобъема на V соответствует неприводимо- неприводимому одномерному подфактору W2/Wi. Соответствующее одномерное пред- 6Относительно введения в теорию супермногообразий см. [Le], [Ko2] или [Mn2], a также лекции Бернштейна по суперсимметрии в книге [QFS].
48 Лекция 2. Инвариантные операции на геометрических объектах ставление супералгебры Ли д[A|1;К) имеет вид ( fa b\ , Vе d) Упражнение 7*. Найти все одномерные С1(р|д;К)-инвариантные под- факторы в тензорной алгебре над КРК Ответ. Они образуют абелеву полугруппу (относительно тензорного умножения) с двумя порождающими элементами Вег(Мр'9) и Вег(Кр1*)* = Вег(ПКр1?), где П — функтор смены четности.
Лекция 3 ГРУППЫ ЛИ и АЛГЕБРЫ ЛИ Группы Ли 49 1.1. Определение и примеры групп Ли 49 1.2. Инволютивные группы Ли 54 1.3. Комплексные группы Ли 60 Алгебры Ли 60 2.1. Определение и мотивировка 60 2.2. Источники алгебр Ли 62 2.3. Матричные алгебры Ли 64 2.4. Структурные константы и многообразие Ап 65 2.5. Типы алгебр Ли 69 2.6. Комплексные алгебры Ли и их вещественные формы 70 2.7*. Супералгебры Ли 71 Полупростые алгебры Ли 72 3.1. Комплексные полупростые алгебры Ли 72 3.2. Простые алгебры Ли 75 Связь между алгебрами Ли и группами Ли 77 4.1. Пять конструкций Lie(G) 77 4.2. Экспоненциальное отображение 82 4.3*. Супергруппы Ли 83 Группы Ли 1. Определение и примеры групп Лн. Понятие группы Ли основное в нашей книге. Оно получается объединением двух структур, которые играют цен- центральную роль в алгебре и математическом анализе. Определение 1. Группой Ли называется множество G, которое одновре- одновременно является группой и гладким многообразием, причем эти две струк- структуры согласованы следующим образом. (LIE) Умножение в группе т : G x G -> G : (д±, д^) >-*¦ д\д% и обратное отоб- отображение i: G —>• G : д »-> д~г являются гладкими отображениями. 49
48 Лекция 2. Инвариантные операции на геометрических объектах ставление супералгебры Ли g[(l|l;R) имеет вид \ fa Ь\ , Vе d) Упражнение 7*. Найти все одномерные С?(р|д;К)-инвариантные под- факторы в тензорной алгебре над Rpl?. Ответ. Они образуют абелеву полугруппу (относительно тензорного умножения) с двумя порождающими элементами Ber(Rpl?) и Ber(Rpl?)* = Ber(IIRp'9), где П — функтор смены четности.
Лекция 3 ГРУППЫ ЛИ и АЛГЕБРЫ ЛИ Группы Ли 49 1.1. Определение и примеры групп Ли 49 1.2. Инволютивные группы Ли 54 1.3. Комплексные группы Ли 60 Алгебры Ли 60 2.1. Определение и мотивировка 60 2.2. Источники алгебр Ли 62 2.3. Матричные алгебры Ли 64 2.4. Структурные константы и многообразие А„ 65 2.5. Типы алгебр Ли 69 2.6. Комплексные алгебры Ли и их вещественные формы .'. 70 2.7*. Супералгебры Ли 71 Полупростые алгебры Ли 72 3.1. Комплексные полупростые алгебры Ли 72 3.2. Простые алгебры Ли 75 Связь между алгебрами Ли и группами Ли 77 4.1. Пять конструкций Lie(G) 77 4.2. Экспоненциальное отображение 82 4.3*. Супергруппы Ли 83 Группы Ли 1. Определение и примеры групп Ли. Понятие группы Ли основное в нашей книге. Оно получается объединением двух структур, которые играют цен- центральную роль в алгебре и математическом анализе. Определение 1. Группой Ли называется множество G, которое одновре- одновременно является группой и гладким многообразием, причем эти две струк- структуры согласованы следующим образом. (LIE) Умножение в группе т -. G x G —>• G : (gi,g2) >-»• 9\9г и обратное отоб- отображение г : G —>• G : д н->- д~1 являются гладкими отображениями. 49
50 Лекция 3. Группы Ли и алгебры Ли Это условие эквивалентно следующему (более короткому, но более трудному для проверки). (LIE') Отображение т' : G xG -+G : @1,02) *-*9\ а^1 гладкое. Исторически, абстрактные группы возникли из групп преобразований, которые использовались в математике с давних времен. Группа преобразо- преобразований G состоит из биекций (т. е. взаимно однозначных обратимых отобра- отображений) множества X, сохраняющих одну или несколько дополнительных структур на X. Например, множество всех преобразований конечного мно- множества мощности п (без каких-либо дополнительных структур) образует так называемую симметрическую группу Sn. Если X — гладкое многообразие (возможно, с дополнительными струк- структурами), то группу автоморфизмов G также можно снабдить структурой гладкого многообразия (иногда бесконечной размерности). Таким образом, группы Ли естественно возникают во всех разделах математики и прило- приложений. Довольно трудно описать кратко все многообразие групп Ли: их гео- геометрические и алгебраические свойства весьма различны. Предпринималось много попыток классифицировать группы Ли или, по крайней мере, какую-то их часть: группы малой размерности, группы данного алгебраического типа, матричные группы, группы, действующие на данном типе многообразий, и т. п. Для некоторых задач получен полный ответ, но другие задачи до сих пор считаются безнадежными. Знакомиться с царством групп Ли мы начнем с хорошо известных фактов. Большинство из них приводятся без доказательств (интересую- (интересующийся читатель найдет доказательства приводимых утверждений в любом учебнике по теории Ли) и формулируются в наиболее удобном виде для дальнейшего использования во второй части. В порядке исключения для некоторых утверждений мы приводим короткие доказательства — когда это способствует лучшему пониманию. Теорема 1. Любая замкнутая подгруппа Н группы Ли G является груп- группой Ли. Фактор-пространство М = G/H допускает единственную струк- структуру гладкого многообразия такую, что действие G на М гладкое. Неформально теорема 1 утверждает, что практически все естественно возникающие группы является группами Ли. Однако этот результат не стоит переоценивать. Например, все дискретные группы суть 0-мерные группы Ли, что не дает нам никакой полезной информации. Являясь гладким многообразием, любая группа Ли G представима в виде дизъюнктного объединения связных компонент.1 Обозначим через Go компоненту, содержащую единицу е. Предложение 1. Go — нормальная подгруппа Ли группы G, и фактор- факторгруппа wq(G) :— G/Go дискретна в фактор-топологии. 'Напомним, что для гладкого многообразия М связнан компонента может быть опре- определена как класс эквивалентности относительно следующего отношения: две точки х и у называются эквивалентными, если они могут быть соединены кусочно гладким путем (см. лекцию 1).
1. Группы Ли 51 Доказательство. Прежде всего покажем, что Go — подгруппа G. Дей- Действительно, если 0i и д2 — два элемента Go, то существуют кусочно глад- гладкие пути pi(t) и p2(t) такие, что pi@) = р2@) = e, pi(l) = gt, p2(l) = д2- Тогда путь 0 ^ i ^ 1/2, \</iP2Bt-l), 1/2^^1, соединяет е и д\д2. Следовательно, gig2 € Go- Аналогично получаем д'1 ? Go- Таким образом, Go — подгруппа G. Подгруппа Go нормальна, так как для любого элемента д В G подгруппа gGog'1 является связной компонентой G, содержащей е. Следовательно, gGog'1 = Go- Подгруппа Go открыта в G. Поэтому она также замкну- замкнута как дополнение объединения всех смежных классов gGo, где д ? Go. Следовательно, Go является подгруппой Ли в силу теоремы 1. Так как все смежные классы gGo, g € G, одновременно открыты и замкнуты в G, таким же свойством обладают все точки ira(G) по опреде- определению фактор-топологии. D Таким образом, изучение общих групп Ли сводится к изучению связ- связных групп Ли, дискретных групп (которые являются 0-мерными группами Ли) и расширений вида 1 ->• Go -* G ->• Го -» 1, где Go — связная группа Ли и Го — дискретная группа (изоморфная tto(G)). Мы не будем обсуждать дискретные группы и расширения, а сосредо- сосредоточимся на связных группах Ли. Теорема 2. Пусть G — связная группа Ли и Ki(G) — ее фундаменталь- фундаментальная группа. Существуют связная односвязная группа Ли G и эпиморфизм p:G—tGc дискретным ядром Ti С G, изоморфным Обычно G называют универсальным накрытием G. Отметим, что G — группа Ли той же размерности. Более того, G и G локально изоморфны. Это означает, что существует диффеоморфизм tp между окрестностью единицы в G и окрестностью единицы в G такой, что <p{gig2) = <p(gi)<p(g2) всюду, где определены обе части равенства. Стандартный пример — абелева группа R", которая является универсальным накрытием n-мерного тора Т". Более сложные примеры будут рассмотрены ниже. Следующее утверждение указывает на связь топологических и алгеб- алгебраических свойств группы Ли. Предложение 2. Пусть G — связная группа Ли и Г — ее дискретная нормальная подгруппа. Тогда Г содержится в центре С группы G. Упражнение 1. Доказать предложение 2. Указание. Для произвольного элемента 7 € Г рассмотреть отображе- отображение р7 : G -»¦ Г : g >->• g^g~l. Используя топологические свойства G и Г, показать, что р-, — постоянное отображение. Итак, изучение общих связных групп Ли сводится к изучению одно- связных групп Ли и центральных дискретных подгрупп.
52 Лекция 3. Группы Ли и алгебры Ли Теорема 3. (а) Любая связная одномерная группа Ли коммутативна и изоморфна либо вещественной прямой Ш. со сложением в качестве групповой операции, либо единичной окружности 51 = {z € С | \z\ — 1} с умножением в качестве групповой операции. (Ь) Любая связная коммутативная группа Ли G является прямым про- произведением связных одномерных групп Ли G,, 1 ^ i ^ n = dimG. Упражнение 2. Проверить что М и S1 являются группами Ли. Указание. Проверить выполнение условий (LIE) и (LIE'). Теперь мы рассмотрим один из наиболее важных примеров некомму- некоммутативных групп Ли. На самом деле это серия примеров, зависящих от натурального числа п. Пример 1. Пусть GL(n,R) — множество всех обратимых пхп-матриц с вещественными коэффициентами. Это множество — группа, в которой ум- умножение понимается как умножение матриц.2 Группа GL(n,R) может быть реализована как группа преобразований обычного n-мерного пространства R". Элементы К" часто записываются как вектор-столбцы с п веществен- вещественными элементами. Группа GL(n,R) действует на вектор-столбцы левым умножением. Рассмотрим структуру многообразия. Пусть Matn(R) — множество всех вещественных п х n-матриц. Множество GL(n,R) является открытым множеством п2-мерного векторного пространства Matn(IR). Действитель- Действительно, оно определяется условием detg ф О.3 Итак, GL(n,W) является гладким многообразием с естественной глобальной системой координат: множест- множеством матричных элементов {^,j, I ^ hi ^ "}¦ Известно, что это многообразие распадается на две связные компонен- компоненты GL±{n,R), различающиеся знаком det#. В принятых выше обозначени- обозначениях G = GL{n,R), Go - GL+{n,R), Го = Z/2Z и G = Го к Go (полупрямое произведение). Условие (LIE) выполняется, так как покоординатное умножение опре- определяется полиномиальными функциями (AB)tj — J^aikbkj, а обратное ото- k бражение — рациональными функциями с отличным от нуля знаменателем (A-1)jj = (—I)'"-' , '3'-г, где Aij — детерминант матрицы, полученной из А выбрасыванием j-й строки и j-ro столбца. Роль единицы е играет единичная матрица порядка п, которую мы обозначаем 1„ или просто 1. Пусть V — n-мерное вещественное векторное пространство. Обозна- Обозначим через Aut V или GL(V) группу автоморфизмов V (т. е. линейных обра- обратимых операторов в V). Выбирая базис в V, отождествляем пространство У с К" и группу GL(V) — с GL{n,R). 2На самом деле матричное умножение было определено для имитации композиции линейных операторов. 3Напомним общий топологический принцип: неравенства определяют открытые мно- множества, а равенства — замкнутые множества. Оставляем читателю дать строгую фор- формулировку и доказательство этого принципа.
1. Группы Ли 53 Этот пример имеет важное значение по многим причинам. Например, известно, что почти все группы Ли могут быть реализованы как подгруппы Ли (т. е. подгруппы, являющиеся гладкими подмногообразиями) группы GL(n,R). Ниже мы рассмотрим несколько частных случаев. Упражнение 3. Построить матричные реализации R и S1. Указание. Рассмотреть GLA,R) и одномерные подгруппы в GLB,R). Пример 2. Простейший пример некоммутативной группы Ли имеет жаргонное название "ах + 6-группа" и состоит из всех аффинных преоб- преобразований вещественной прямой: х i-> ах + Ь, Более подходящее обозна- обозначение этой группы: Aff(l,R). Эта группа имеет матричную реализацию 2 х 2-матрицами вида (^ . ), где а ф О и Ь — вещественные числа. В (а Ъ\ (х\ [ах + Ь\ самом деле, ввиду равенства I . i ) ( i ) — I i ) ясно. как надо реа- реализовать аффинные преобразования R1 линейными преобразованиями R2 (ограниченными на подходящее подмножество). Группа Aff(l,R) допуска- допускает глобальную систему координат (а, 6) и имеет две связные компоненты, отличающиеся знаком числа а. Упражнение 4. Записать покоординатно операцию умножения и об- обратное отображение. Ответ. (ai,b\) * @2,62) = (aia2,<n62 4-61) и (а, б) = (а) -а~гЬ). Этот пример часто будет предшествовать рассмотрению более слож- сложных примеров. Пример 3. Группа GL(n,C) комплексных обратимых n x n-матриц изо- изоморфна группе автоморфизмов любого n-мерного комплексного векторно- векторного пространства W. Она вкладывается в GLBn,R) как подгруппа матриц, коммутирующих с матрицей Jin — ( п" )' Действительно, комплекс- комплексное векторное пространство С" может рассматриваться как вещественное векторное пространство К2" с дополнительной структурой: умножение на i = %/—Т, определяемое матрицей J-щ- Легко проверить, что общий элемент д 6 GL(n,C) С GLBn,M) имеет вид д - \Л ~f\> где А, В 6 Matn(R) та- такие, что det# ф 0. Пример 4. Группа SL(n,R) всех вещественных матриц д таких, что det</=l. A) Это группа автоморфизмов n-мерного вещественного векторного простран- пространства V, сохраняющих форму объема dnx на V. (Напомним, что d dnx.) Упражнение 5. Показать, что SL(n,R) является гладким подмногооб- подмногообразием коразмерности 1 в Matn(R).
54 Лекция 3. Группы Ли и алгебры Ли Указание. Использовать предложение 1 из лекции 1 и тождество ддц . Инволютивные группы Лн. Сначала мы на примерах продемонстрируем частные случаи общей конструкции, которая будет рассмотрена ниже. Пример 5. Группа О(п, К) всех ортогональных матриц д, т. е. матриц д, удовлетворяющих условию 9*9 = и, B) где д* обозначает транспонированную матрицу, (g')ij = gji- Это группа автоморфизмов векторного пространства К", сохраняющих обычное ска- скалярное произведение (х,у) = Y^xiy{. Более общо, она изоморфна Aut(V,В), где V — произвольное n-мерное вещественное векторное пространство и В — симметрическая билинейная форма на V такая, что соответствующая квадратичная форма Q(x) = В(х,х) положительно определенная. При от- отказе от требования положительной определенности возникает серия групп О(р,д,К). По определению О(р,д,К) состоит из псевдоортогональных мат- матриц д т. е. матриц д, удовлетворяющих условию 9* ¦ 1рЛ ¦ 9 = 1,.я, B') где /„,, = diag(l,... , 1,-1,. ,-1). р я Упражнение 6. Сколько связных компонент у многообразия О(р, д,К)? Ответ. Четыре при pq > 0, две при pq = 0, р + q > 0. Если элемент группы О(р, q, К) записывается в виде д = ( „ п ), где Vе и) А, В, С, D — матрицы соответствующих размеров (например, А е Matp(K) и D e Mat,(K) — квадратные матрицы), то связные компоненты опреде- определяются знаками det.A и det D, которые никогда не обращаются в нуль для ( Щ Укажем один важный частный случай. Группа 0A,3,R) (известная как общая группа Лоренца L) играет чрезвычайно важную роль в специ- специальной теории относительности. Это группа автоморфизмов пространст- пространства Минковского М1'3 с координатами (t,x,y,z), снабженная квадратичной формой t2 - х2 - у2 - г2. Физики отождествляют точки М1'3 с событиями или точками пространства-времени, где t — временная, а х, у, z — про- пространственные координаты. Удобно рассматривать математическую реа- реализацию пространства М1>3 в виде пространства эрмитовых 2 х 2-матриц h = ( . . ). В этой реализации приведенная выше квадратичная уу — iz i — х j форма есть просто det ft. Группа L имеет четыре связные компоненты (см. упражнение 6). Связ- Связная компонента, содержащая единицу Lq, не односвязна, и универсальное
1. Группы Ли 55 накрытие изоморфно SLB,C). Чтобы убедиться в этом, рекомендуется выполнить следующее Упражнение 7. Пусть д е SLB,C). Обозначим через Lg преобразова- ^ ние h *->• g*hg. (a) Проверить, что Lg e L. (b) Показать, что множество {Lg\g g SLB, С)} является связной ком- компонентой, содержащей единицу группы L (иногда называемой собственной группой Лоренца). Указание. Утверждение (а) следует из равенства det^'/i^) = det/i ¦ (det^J- Для доказательства (b) надо показать, что группа SLB,С) связ- связна и что образ в L открыт (достаточно проверить, что он имеет ту же размерность). Пример 6. Группа U(n) — это подгруппа GL(n,С), состоящая из всех унитарных матриц и, т. е. матриц и, удовлетворяющих условию «¦«• = 1„, C) где и* — эрмитово сопряженная матрица: (u*),j = tZJJ. Эта группа изо- изоморфна группе автоморфизмов любого n-мерного комплексного векторного пространства W, сохраняющих положительное эрмитово скалярное произ- произведение. Действительно, любое такое пространство W изоморфно С" с обычным эрмитовым скалярным произведением (z, у) = J2 Х<Ш- i Пример 6 допускает обобщение на случай индефинитных эрмитовых форм. Именно, группа U(p, q) состоит из псевдоунитарных матриц и, т. е. мат- матриц и, удовлетворяющих условию «••/„,,•« = /„,,. C') Пример 7. Так называемая симплектическая группа определяется как Aut(V, В), где V — 2п-мерное вещественное векторное пространство и В — невырожденная кососимметрическая билинейная форма на V. Любое та- такое пространство отождествляется с пространством К2" со стандартной кососимметрической билинейной формой , У) = {J2nx, у) = ^2 (xiyn+i - xn+iyi) При таком отождествлении Aut(V, В) становится группой SpBn, Ш.) всех вещественных матриц д € GiBn,R) таких, что gtJ2ng^J2n. D) Теперь перейдем к общей конструкции. Пусть А — конечномерная ассоциативная алгебра над Ж с единицей. Обозначим через G группу об-
56 Лекция 3. Группы Ли и алгебры Ли ратимых элементов А. Это открытое плотное подмножество А.4 Следова- Следовательно, эта группа является группой Ли (см. пример 1 выше). Антиинволюцией алгебры А называется линейное отображение <т: А —> А такое, что (i) cr(ab) — сгF)сг(а) (т. е. a — антигомоморфизм), (И) о-2 = Id. Если <т — антиинволюция группы А, то отображение т(д) = <т{д~1) будет инволюцией группы G (т. е. автоморфизмом G таким, что т2 = Id). Рассмотрим множество Н неподвижных точек отображения т в G (т. е. Я = {д G G\r(g) = д}). Это подгруппа группы G, называемая ин- волютивной нодгрулпой. Теперь мы применим общую конструкцию к матричным алгебрам Mat(n, R), Mat(n, С) и Mat(n,H) (последние две рассматриваются как ве- вещественные алгебры размерности 2п2 и 4п2 соответственно). Начнем с описания всех антиинволюций этих алгебр. Предложение 3. (а) Любая антиинволюция Mat(n,K) имеет вид (тА : X-tAX'A-1, E) где А — симметрическая или антисимметрическая обратимая матрица. (Ь) Имеется n/2 + 2(-1)" различных классов антиинволюций Mat(n, К) по модулю внутренних автоморфизмов этой алгебры. Доказательство. Если о- — антиинволюция Mat(n,K), тоЛ>ч сг(Л') — автоморфизм Mat(n, К). Далее нам потребуется следующее утверждение. Предложение 4. Любой автоморфизм Mat(n,R) внутренний, т. е. имеет вид ic-A^CAC-1, CeG?(n,R). F) Схема доказательства. Пусть Eij — стандартные матричные едини- единицы Mat(n,R). Тогда EijEki = 5,кЕц. Если <р — автоморфизм, то Е^ := <p(Eij) удовлетворяют такому же соотношению. Следовательно, операторы Pi := Ец обладают следующими свойствами: Р,Р,- = <%Р,- и ?]Р* = 1. *-¦ i геометрической точки зрения это означает, что Pi — проекторы на некото- некоторые подпространства Vi С К" такие, что К" = ©,К'. Далее, из соотношений PiEkiPj = 6ikSijEk, и EijEji = Pi следует, что Ем — биекция из Vi в Vk. Это возможно лишь когда все подпространства Vi одномерны. Пусть С — оператор, преобразующий Vi в i-ю координатную ось. Тогда композиция (р с внутренним автоморфизмом F) сохраняет все матричные единицы с точностью до скалярного множителя: CEijC*1 = CijEij. Из алгебраических соотношений для Etj следует, что c,j удовлетво- удовлетворяют уравнениям ец = 1, ctjCji = 1, CijCjkcki = 1. Читателю предлага- предлагается доказать, что существуют ненулевые вещественные числа ai,...,an 4Во всех трех указанных ниже случаях это утверждение легко проверяется. Доказа- Доказательство в общем случае можно считать упражнением по теории банаховых алгебр. Указание. Ввести норму в Л такую, что |аЬ| ^ |а| ¦ \Ь\, и показать, что 1 + а обратим, если |а| < 1.
1. Группы Ли 57 такие, что с,7- = at/aj. Следовательно, СЕцС~х — AEjiA'1, где А = diag(ai, ..., а„) — диагональная матрица с элементами а; на главной диа- диагонали. Поэтому ip = iA-iC- ? Доказательство предложения 3 (продолжение). В силу предложения 4 любой антиавтоморфизм <т алгебры Mat(n,R) имеет вид E). Остается показать, что при а3 — Id матрица А симметрическая или антисимметри- антисимметрическая. Непосредственное вычисление дает о-2 = is, где В = А(А*)~1. За- Заметим, что iAl = гд2 тогда и только тогда, когда А\ и А2 пропорциональны. Поэтому В — скалярная матрица и А = сА*. Применяя транспонирование, получаем А* — с А. Следовательно, с = с, что и требовалось доказать. Теперь посмотрим, как изменяется <т под действием внутреннего автомор- автоморфизма F). Находим ic о аА о i^1 — сг^, где А — С АС. Таким образом, классифицировать антиинволюции Mat(n, К) по модулю внутренних авто- автоморфизмов — это то же самое, что классифицировать симметрические и антисимметрические невырожденные линейные формы в!"с точностью до линейных преобразований и умножения на скаляр. Решение последней задачи известно: существуют [п/2] + 1 неэквивалентных симметрических форм, соответствующих симметрическим матрицам IPjq, p ;> q (заметим, что IPig подобна —1ч,р) и (для четного п) один класс антисимметрических форм, соответствующих матрице 7„. D В примерах 5 и 7 приведены, на самом деле, все инволютивные под- подгруппы GL(n,M). Теперь рассмотрим алгебру Mat(n, С) и сформулируем соответствую- соответствующий результат. Предложение 4'. Все автоморфизмы алгебры Mat(n,C) (которая рас- рассматривается как вещественная алгебра) являются либо внутренними ав- автоморфизмами, либо композициями внутреннего автоморфизма и комп- комплексного сопряжения. Рассуждая так же, как и выше, из предложения 4' получаем Предложение 3'. (а) Все антиинволюции алгебры Mat(n,C) (как ве- вещественной алгебры) имеют вид либо E), либо аА : X ->АХ'А-\ E') где А — эрмитова обратимая матрица.5 (Ь) Существуют п/2+1 + 2(~1' различных классов антиинволюций ал- алгебры Mat(n, С) по модулю внутренних автоморфизмов этой алгебры. Более точно, для четного п существуют два класса антиинволюций вида E), со- соответствующих А = 1 и А — Jn, и п/2 + 1 классов антиинволюций вида E'); соответствующих А — IPt4, p ^ q, p+q — п. Для нечетного п имеется один класс типа E), соответствующий А = 1, и (п + 1)/2 классов типа E'), соответствующих А = 1Р:Я, р ^ q, p + q — п. Перечислим инволютивные подгруппы GL(n, С), соответствующие ан- антиинволюциям из предложения 3': О(п,С), SpBn,C), U{p,q). 5В этой ситуации нет необходимости рассматривать антиэрмитовы матрицы А, так как они имеют вид iB, где В эрмитова и iA =. iB.
58 Лекция 3. Группы Ли и алгебры Ли гебры с делением над R Алгебра А называется алгеброй с делением, если любой ненулевой элемент А обратим. Ассоциативные алгебры с делением также называются телами. Теорема Фробенвуса. Существуют только три (с точностью до изоморфизма) ас- ассоциативных алгебры с. делением над Ш : вещественное поле R, комплексное поле С и некоммутативное тело кватернионов Ш. Замечательная алгебра — тело кватернионов — была открыта Гамильтоном в 1843 г. после многолетних безуспешных попыток обобщить комплексные числа и определить ассоциативное умножение в К3. Ключевая идея, обеспечившая успех, заключалась в том, чтобы перейти от К3 к К4 (и пожертвовать коммутативнос- коммутативностью). Гамильтон записывал кватернион в виде q = х0 + х, где хо — обычное вещественное число, а х = A1,12,13) — вектор в К3. Он назвал их скалярной и векторной составляющими q. Произведение двух скаляров и умножение вектора на скаляр определялись обычным образом. Так что требовалось лишь определить про- произведение двух векторов. Это произведение распадается на скалярную и векторную части, которые Гамильтон назвал скалярным произведением и векторным произведе- произведением (термины используются до наших дней). Явные формулы имеют вид х • у = (х, у) • 1 + х х у, (х, у) = xiух + х2у2 + i j k, х х у = det х\ Х2 хз У\ У2 Уз где i, j, k — стандартные базисные векторы в К3. Алгебру Н удобно реализовать как подалгебру алгебры MatB,C) по формуле Она также может быть определена как алгебра, натянутая на одну вещественную единицу и три мнимые единицы i, j, k, удовлетворяющие соотношениям6 Оставим заинтересовавшемуся читателю исследование антиинволюций ква- тернионной матричной алгебры Mat(n,Hl) (как вещественной алгебры размерности 4п2) и приведем результаты без доказательств. ¦ Предложение 3". (а) Каждая антиинволюция алгебры Mat(n,H) имеет вид о~а '¦ X >-)• АХ*А~1, где А — обратимая эрмитова или антиэрмитова кватернионная матрица. (Ь) По модулю внутренних автоморфизмов существуют [п/2] + 1 раз- различных антиинеолюций, связанных с эрмитовыми матрицами Ip g, p^q, p+ q = п, и (для четных п) одной антиинволюцией, связанной с антиэрмито- антиэрмитовой матрицей Jn. Существует легенда, что эти соотношения Гамильтон вырезал на перилах моста, по которому он обычно проходил во время своих математических прогулок.
1. Группы Ли 59 Соответствующие инволютивные подгруппы группы GL(n,M) обозна- обозначаются через Sp(p,q) (или U(p,q,M)) и SO*Bn) (или U*(n)). Теперь сформулируем общий факт. Теорема 4. (а) Инволютпивная подгруппа Я С А является группой Ли. (Ъ) Касательное пространство Ц к Я в точке е определяется по фор- формуле .Ь = {хбД|«г(х) = -х}. (9) Метод доказательства основан на так называемом преобразовании Кэ- ли на А с центром хо, которое по определению является рациональным отображением СХо : х ^ (х - хо)(х + хо)-1 A0) на открытом плотном подмножестве VXo = {x g A \ (х + х0) обратим} и биективно отображает эту область на T>i. Обратное отображение также рационально: С'1: у^хо{\-у)(Х + у)-\ A1) Лемма 1. Пусть Я — инеолютивная подгруппа А. Тогда для любого h 6 Я преобразование Кэли С/, отображает открытую плотную область в Н на открытую плотную область в [). Доказательство. Непосредственное вычисление показывает, что A0) и A1) — взаимно обратные отображения. Используя равенство a(h) = Л для ЛеЯ, получаем <г((Л - ho)(h + ho)'1) = ^((hho1 - 1)(Л^Х + I)) = 1 - lX/io/Г1 + I) = -(h - ho)(h + ho) Следовательно, образ Сь0 преобразования Кэли подгруппы Я принадлежит t). Аналогично вычисляется, что С^ЧЬ) С Я. ? Доказательство теоремы 4. Отображение Сь определено в точке h e Н и определяет карту, покрывающую эту точку. Две различные карты связаны обратимым рациональным отображением. Таким образом, на Я имеется структура гладкого многообразия размерности dimb- Для доказательства (Ь) рассмотрим гладкую кривую t >-> g(t) в Я, выходящую из е. По определению Я имеем <r(g(t)) — g^t)'1 ¦ Следовательно, cr(g@)) = —g@)- Поэтому касательное пространство ТеН содержится в I). Так как эти два векторных пространства имеют одинаковую размерность, они совпадают. ? Упражнение 8. Описать пространство t) в случаях (а) Я = О(п,М), (b)H = U(n), (с) Я = 5рBп,К) и найти размерности этих групп. Omeem. (a) dimH = (п(п — 1))/2 и t) состоит из кососимметрических матриц, (b) dim Я — п2 и Ь состоит из косоэрмитовых матриц, (с) dim Я = (п(п + 1))/2 и Jn ¦ У) состоит из симметрических матриц.
60 Лекция 3. Группы Ли и алгебры Ли 3. Комнлексные группы Ли G — это комплексные (аналитические) многооб- многообразия с групповой операцией, заданной голоморфными функциями. Наи- Наиболее важным примером является группа GL(n,С) (см. пример 3). Как открытое подмножество комплексного п2-мерного пространства Matn(C) она имеет глобальную координатную систему. Другими примерами мо- могут служить группа SL(n,C) и ее инволютивные подгруппы SO(n,C) и Sp(n,С). Конечно, любая комплексная группа Ли является одновременно обычной (вещественной) группой Ли. Обратное утверждение неверно. На- Например, компактная группа Ли допускает структуру комплексной группы Ли только тогда, когда она является комплексным тором С"/!., где L — некоторая 2п-мерная решетка. Заметим, что компактные комплексные группы Ли не обладают мат- матричной реализацией в силу принципа максимума: любая голоморфная функ- функция на такой группе должна быть константой. Можно показать, что наиболее общая комплексная группа Ли являет- является полупрямым произведением комплексного тора и линейной подгруппы (т. е. максимальной подгруппой, допускающей матричную реализацию). . Алгебры Ли 1. Определение и мотивировка. В математике большей частью возникают ас- ассоциативные алгебры. Однако часто рассматриваются и неассоциативные алгебры специального вида — алгебры Ли. Хотя название указывает на их происхождение из теории групп Ли, в настоящее время они живут своей собственной жизнью и имеют свою собственную теорию и своих специа- специалистов. Определение 2. Алгеброй Ли над полем К называется if-векторное пространство g с билинейной операцией g x g —>• g, обычно обозначаемой квадратными скобками [, ], которая обладает следующими свойствами: (i) антисимметричность7: [х,у] = —[у,х] для всех х,у е д, (ii) тождество Якоби: [х, [у, z]] + [у, [z, х]] + [г, [х, у]] = 0 Vx, у, z G д. Определение алгебры Ли выглядит довольно громоздким и сложным. Однако в действительности оно вполне обосновано. Основная причина вве- введения этого понятия и его смысл будут объясняться в п. 2.2. Мы покажем, что понятие алгебры Ли столь же естественно, как и понятие ассоциатив- ассоциативной коммутативной алгебры. Предложение 5. Пусть А — вещественная алгебра с невырожденной операцией умножения * в следующем смысле: произведение четырех эле- элементов не равно тождественно нулю. Предположим, что в А выполняются нетривиальные билинейное и трилинейное тождества: а ¦ a*b + j3 Ь* а = 0, \ ¦ а * (Ъ * с) + р ¦ b * (с * а) + v ¦ с * (а * b) = Q, 7Для поля характеристики 2 это условие следует заменить более сильным условием [х, х] = 0 для всех х € в-
2. Алгебры Ли 61 где а, /3, А, /л, и — фиксированные вещественные числа, а а, Ь, с — произ- произвольные элементы алгебры А. Тогда А — либо ассоциативная коммута- коммутативная алгебра, либо алгебра Ли. Доказательство. Меняя а и 6 местами в первом соотношении, полу- получаем систему линейных уравнений а а*Ь + /3 -Ь*а = О, j3 ¦ а* Ь + а -Ь* а = 0. Поскольку умножение невырожденное, определитель системы должен об- обращаться в нуль. Тогда а = ±/?. Поэтому умножение либо коммутативно, либо антикоммутативно. Для второго тождества рассуждения аналогичны. Именно, рассмот- рассмотрим систему Л ¦ а * (Ь * с) + /л ¦ Ь * (с * а) + v ¦ с * (а * 6) = О, и ¦ а * F * с) + Л • 6 * (с ¦ а) + /л ¦ с * (а * Ь) = О, \х ¦ а * F * с) + v ¦ Ь * (с * а) + Л • с * (а * 6) — 0. Определитель имеет вид Л3 +ц3 + v3 — Ъ\ци= (Л + ^ + ^)(Л + е/л +e2i/)(A + e2H + ev), где е = е'2™'/3 — кубический корень единицы. Так как а*6*с не равно нулю тождественно, определитель должен обращаться в нуль. Заме- Заметим, что два последних множителя детерминанта комплексно сопряжен- сопряженные. Поэтому мы приходим к альтернативе: либо Л = /л — v, либо второе соотношение выполняется для любых А, /л, и с нулевой суммой.8 В коммутативном случае первая возможность означает, что а*Ь*с = 0, тогда как вторая приводит к ассоциативному закону. В антикоммутативном случае первая возможность приводит к тож- тождеству Якоби, а вторая означает, что тройное произведение а*(Ь*с) вполне антисимметрично и четверное произведение а * (Ь * (с* d)) тождественно равно нулю. ? Приведем другую интерпретацию тождества Якоби. Для X 6 g рас- рассмотрим линейный оператор adX : У >-» [X, Y] в д. Легко проверить, что тождество Якоби можно переписать в виде ad[X,Y] = adXadY-adYadX. A2) Как мы увидим в п. 2.2, это тождество означает, что отображение X >-» adX есть линейное представление g (т. е. гомоморфизм алгебры Ли g в алгебру Ли Endg). Закончим этот пункт примером, который хронологически был первым примером алгебры Ли. Пример 8. Рассмотрим трехмерное евклидово векторное пространство К3 с ортонормальным базисом i,j,k, снабженное так называемым вектор- аЭто связано со следующим фактом теории представлений: при действии группы перестановок S3 пространство R3 распадается на два неприводимых подпространства: одномерное пространство L\ = {(х,х,х)} и двумерное пространство Li = Lj1.
62 Лекция 3. Группы Ли и алгебры Ли ным умножением (см. п. 1.2): i X\ У\ j X-2. У2 к хз Уз x x у = i Упражнение 9. (а) Проверить, что операция векторного умножения удовлетворяет всем аксиомам алгебр Ли. (Ь)* Показать, что из тождества Якоби вытекает следующий хорошо известный факт евклидовой геометрии: для любого треугольника ABC все три высоты пересекаются в одной точке.9 Указание. Выразить точки и прямые на евклидовой плоскости К2 в однородных координатах на Р2(М): точка (х,у) € К2 соответствует A : х : у) ? Р2(К), прямая ах + by + с = 0 — (с : а : 6) G P2(R). Заметим, 2 что точка /„о = A : 0 : 0) не соответствует никакой прямой в К2; она " 22 Решение (Ь) следует из : a2) тогда и ( ) соотносится с "бесконечной прямой" Р2 следующих утверждений: (i) точка х = (zo : xi : х2) лежит на прямой а = (а0 : з только тогда, когда (а,х) := ?] а,-х,- = 0, i (и) прямая а, проходящая через точки х и у, определяется равенством а = х х у, (iii) точка пересечения х двух прямых а и 6 определяется равенством х = а х 6, (iv) прямая р, проходящая через точку х и перпендикулярная прямой (a, /«,) а, определяется равенством р = х х а, где а = а — 1^ ¦ j—р1-, (v) три прямые а, 6, с пересекаются тогда и только тогда, когда сме- смешанное произведение (а, 6, с) := (а х 6, с) — det do bo со а.2 с2 обращается в нуль (иначе говоря, векторы а, 6, с линейно зависимы), (vi) Or,y,z (x,y,a)(z,b,c) = (x,y,z)(a,b,c), где знак Ог,у,* означает, что сумма берется по циклическим перестановкам трех векторов х, у, z. 2. Источники алгебр Ли. Основным источником вещественных алгебр Ли слу- служит теория групп Ли (см. п. 4). Однако можно назвать по крайней мере еще два источника чисто алгебраического характера. Лемма 2. (а) Пусть Л — произвольная (не обязательно ассоциативная) алгебра и Der.4 — пространство всех дифференцирований Л, т. е. линей- 9Этот факт упоминается в недавно вышедшей статье [А], которая представлнет также самостоятельный интерес. Следует заметить, что приведенное ниже доказательство выглядит проще в случае сферической геометрии: прямая, проходящая через точку х перпендикулярно прямой а определяется выражением х х а (см. (iv) ниже).
2. Алгебры Ли 63 ных операторов D : А-* А, удовлетворяющих правилу Лейбница D(ab) = D(a)b + aD(b). A3) Тогда DerA — алгебра Ли относительно коммутатора [Dl,D2] = DlD2-D2Dx. A4) (b) Пусть А — ассоциативная алгебра. Введем новую операцию (ком- (коммутатор) в А по формуле [а, Ь} = аЬ- Ьа. A5) Тогда пространство А с этой операцией является алгеброй Ли. Для доказательства надо просто проверить справедливость тождества Якоби. В обоих случаях вычисления одинаковы. Более концептуальное доказательство можно получить на основе то- того, что алгебры Ли из леммы 2 связаны с группами Ли, которые иногда бесконечномерны. Два частных случая заслуживают более подробного обсуждения. 1. Пусть М — гладкое многообразие. Положим А = А(М) в лемме 2 (а). Как было показано в лекции 1, дифференцирования А(М) соответ- соответствуют векторным полям на М. Таким образом, мы получаем структуру алгебры Ли на бесконечномерном пространстве Vect M. Коммутатор в этом случае называют скобкой Ли векторных полей. В терминах локальных ко- координат эта операция записывается в виде Один из самых главных результатов изначальной теории Софуса Ли может быть сформулирован на современном языке следующим образом. Теорема Софуса Ли. Любая п-мерная вещественная алгебра Ли g может быть реализована как подалгебра Vect М для некоторого многообразия М размерности п. Таким образом, приведенный пример универсален. 2. Положим А — Matn(M) в лемме 2 (Ь). Полученная алгебра Ли обозна- обозначается через gl(n, К). Как векторное пространство оно совпадает с Matn(R), но в качестве основной операции берется коммутатор A5), а не матрич- матричное умножение в Matn(R). Этот пример также универсален в следующем смысле. Теорема Адо. Любая конечномерная вещественная алгебра Ли изоморф- изоморфна подалгебре fll(n, К) для подходящего п. Прежде, чем двигаться дальше, введем некоторые термины. Множество всех алгебр Ли над данным полем К образует категорию ?А(К), где морфизмы — это гомоморфизмы алгебр Ли, т. е. линейные отображения, сохраняющие скобки: [*(X),ir(Y)]=*([X,Y]). A6)
64 Лекция 3. Группы Ли и алгебры Ли Гомоморфизмы из вещественной алгебры Ли g в gl(n, Ш) (соответствен- (соответственно g[(n,C)) называются также вещественными (соответственно комплекс- комплексными) линейными представлениями алгебры g (ср. A2)). Конечно, можно отождествить Ж" (соответственно С) с любым ве- вещественным (соответственно комплексным) векторным пространством V. В этом случае будем использовать обозначение g((V) и говорить о пред- представлениях g в пространстве V, которое называется пространством пред- представления или д-модулем. Множество всех g-модулей образует категорию g-Mod, морфизмы ко- которой суть линейные отображения, коммутирующие с g-действием. Они называются сплетающими операторами. В этой книге мы будем рассматривать не только конечномерные, но также и бесконечномерные представления алгебр Ли. 3. Матричные алгебры Ли. Приведем комплексный аналог теоремы Адо. Теорема 5. (а) Любая конечномерная комплексная алгебра Ли g изо- изоморфна подалгебре g[(n, С) при некотором п. (Ь) Матричная реализация g может быть выбрана так, что образ максимального разрешимого идеала10 г С g содержится в подалгебре верхних треугольных матриц. Опираясь на эту теорему, часто удается доказать общие результаты об алгебрах Ли, используя теорию матриц. Для алгебр Ли с тривиальным центром теорема Адо вытекает из су- существования так называемого присоединенного представления I н adl (см. A2); очевидно, что ядро этого представления совпадает с центром д). Для общих алгебр Ли доказательство намного сложнее и не так широко ис- используется в практике, поэтому мы опускаем его. Тем не менее матричное представление конкретной алгебры Ли g может оказаться полезным при из- изучении алгебраической структуры g и построении соответствующей груп- группы Ли. Для получения практических навыков читателю рекомендуется выполнить следующее Упражнение 10. Найти матричные реализации алгебр Ли, заданных коммутационными соотношениями (а)[Х,У] = У, (b) [X, У,] = aYx + №, [X, Y2] = fYi + SY2, [Уь У2] = 0, (c) [Xi.Xj] = ефХь, i,j, к = 1,2,3, где11 {0, если некоторые из », j, к равны, 1, если », j, к образуют четную перестановку 1, 2, 3, —1, если i, j, к образуют нечетную перестановку 1, 2, 3, -^'«' If+Jl<1' М€{0,±1}, в остальных случаях, '"Определение разрешимых идеалов дано в п. 2.5. 11 Здесь мы отступаем от общего правила и используем суммирование по повторяю- повторяющемуся нижнему индексу. Возможность так поступать объясняется наличием инвари- инвариантного скалярного произведения на этой алгебре Ли.
2, Алгебры Ли 65 (е) [XUX2] = Х3, [Хг,Х3] = [Х2>Х3] = 0. Ответ, ( Ь\ (аа а@ ^\ (а) аХ + ЬУ •-> L , (Ъ) аХ + 6'У< .-> а7 аб Ь2 , V ' \0 0 0/ / 0 а3 -а2\ (с) а'ЛГ( ц. -а3 0 а1 , (d) а'ЛГ, н^ 2 V1 2 ) \i \ -\а° (е) а'Л",- н^ О О а2 \0 О О (Имеются и другие реализации, но мы выбрали наиболее простые.) 4. Структурные константы и многообразие Ап. В этом разделе мы рассмотрим совокупность всех алгебр Ли с точностью до изоморфизма. Пусть g — вещественная алгебра Ли конечной размерности п. Выбе- Выберем базис {Xi,X2, ¦ ¦ -,Хп} в g и запишем коммутатор двух произвольных базисных векторов как линейную комбинацию базисных векторов [X,-,Aj] = <*,¦** A7) (здесь применяется правило суммирования по повторяющемуся индексу к). Мы получаем совокупность d-j из п3 вещественных чисел, которые называ- называются структурными константами алгебры g (относительно данного базиса). Ввиду антисимметричности коммутатора и тождества Якоби струк- структурные константы должны удовлетворять п3 линейным и п4 квадратным уравнениям: СЬ = ~СЬ Для всех = ° для всех '¦ •?"¦ fc>Л При замене базиса структурные константы изменяются согласно стан- стандартному действию GL(n,W.) на тензорах типа B,1). Таким образом, для описания всех вещественных алгебр Ли размер- размерности л с точностью до изоморфизма надо изучить алгебраическое много- многообразие Ап, определяемое системой A7), а затем разбить множество Ап(Ш) вещественных точек на G\L(n, Ж)-орбиты. Используя первую (линейную) часть в A8), можно упростить систему n2(n-l)(n-2) „ п2(п-1) и свести ее к системе — -Р квадратных уравнении с —— 6 *¦ неизвестными. Однако при больших п полное описание всех решений весь- весьма затруднительно. Полная классификация алгебр Ли получена к настоя- настоящему времени только для n ^ 8 (на основе совершенного иного подхода). С другой стороны, нетрудно решить систему A8) при малых п и затем описать все алгебры Ли малых размерностей. Мы рассмотрим случай п ^ 3. Упражнение 11. Показать, что
66 Лекция 3. Группы Ли и алгебры Ли (a) существует только одна одномерная вещественная алгебра Ли: ве- вещественная прямая Ш с нулевым коммутатором. (b) существуют в точности две различные двумерные алгебры Ли: Ж2 с нулевым коммутатором и алгебра Ли из упражнения 10 (а). Указание. При n ^ 2 квадратные уравнения выполняются автомати- автоматически. Рассмотрим теперь трехмерные вещественные алгебры Ли. С техни- технической точки зрения удобно исключить абелеву алгебру Ли Ж3 и рассмат- рассматривать структурные константы с?-, i < j, как однородные координаты в Р^Ж). Тогда мы получаем проективное алгебраическое многообразие Р(Аз) С Р8 и действие проективной линейной группы PGLC) на нем. При п = 3 система A8) допускает простой геометрический подход. За- Заменим тензор cjj типа B,1) тензорной плотностью bkl := с^ ?'¦*', где е'-*' — стандартный тензор ранга 3 в М3 (сопряженный тензор е^ определен в упражнении 10 (с)). Тогда bkl распадается на симметрическую и антисим- антисимметрическую части bkl = skl + а*(, s*' = s'*, akt = — alk, которые преобразу- преобразуются независимо под действием Ьь(п,Щ. Заменим антисимметрический тензор akl ковектором Vi -.= a*'e,-*j. Используя тождества еу*е3'*' = 2S'k и ?ij,e'kt = SfSj —S'iSj, можно восстановить исходный тензор с^ из s*( и Vi по формулам Система A8) в новых обозначениях принимает простой вид sklv, = 0. A8') Из A8') видно, что алгебраическое многообразие Аз распадается на две неприводимые компоненты: — линейная компонента, определенная условием v — 0 (в исходных обозначениях cffc = 0), — нелинейная компонента, определенная условием {dets = 0,vg kers}. Обе компоненты 5-мерны, и их пересечение имеет размерность 4. Действие д 6 GiC,K) на Аз(Щ записывается в новых координатах (v,s) следующим образом: v ^ v(gt)~1, s >-»• gsg* ¦ det g~l. Другими слова- словами, v преобразуется как ковектор (вектор-строка) us — как произведение квадратичной формы на (Ж3)* и формы объема на М3. Используя стандарт- стандартные факты линейной алгебры, мы приходим к следующему заключению. Первая компонента состоит из квадратичных форм s — s'3 на К3, на которые группа G1.C,Ж) действует согласно второй части (И). Единствен- Единственным инвариантом этого действия является сигнатура (n+,no,n_),12 рас- рассматриваемая с точностью до эквивалентности (a,b,e) ~ (c,b,a). Таким образом, мы получаем следующий список: 12Здесь числа п+, по, п_ означают соответственно количество положительных, нулевых и отрицательных коэффициентов в каноническом виде s(x) = J2 cixf •
сигнатура C,0, B,0, B,1, A,1, A,2, @,3, 0)- О)- 1) 0)- 0) -@,0, -A,0, -@,1, -@,2, f 3) 2) 2) 1) |азме 6 6 5 5 4 0 2. Алгебры Ли 67 алгебра Ли сигнатура размерность орбиты suB) = soC) »»/B)й»оB,1) soB) к Е2 soA,1)kM2 алгебра Гейзенберга \) тривиальная алгебра Ли Ж3 Мы видим, что первая компонента ?з(Ж) состоит из 6 точек, две из которых открыты. Они соответствуют жестким алгебрам Ли suB) = soC) hssJBJsoA,1). Рассмотрим теперь алгебры Ли, входящие во вторую компоненту. В этом случае существует ненулевой вектор v = {vm} такой, что skmvm = 0. Кроме того, akmvm = -?kmrVpVm = 0. Поэтому bkmvm = 0 и c*-vfc = 0. Это значит, что [g, д] С vL. Таким образом, наши алгебры Ли содержат двумерный идеал. Оказывается, что все эти алгебры Ли имеют вид М к Ж2. В подходящем базисе коммутационные соотношения выглядят так: [X, Y] = aY+ 0Z, [X, Z} = -rY + 6Z, [X, Y] = 0. Матрицы А = f r j и A' — [ ; j;) определяют изоморфные алгебры Ли g и g' тогда и только тогда, когда А' = с- ВАВ~1 для некоторых с^0, В eGLB,R). (*) Пусть А и fi — собственные значения А. Тогда А' имеет собственные значения (с\,сц). Кроме того, мы не различаем (А,ц) и (ц,Х). Таким образом, величина является простейшим инвариантом преобразования (*). Это рациональная функция матричных коэффициентов а, /?, у, S, которая корректно опреде- определена, когда (А, ц) ф @,0) (т. е. вне множества tr A = det A = 0). Чтобы выразить f(A) через структурные константы, рассмотрим би- билинейные формы s и а, определенные тензорами а*' и »*' на д. В общей точке они имеют одномерное ядро, порожденное вектором v. Формы, ин- индуцированные на фактор-пространстве g/M-v, не вырождены и отношение их дискриминантов равно г(А) - - Поскольку вторая компонента допускает нетривиальную GLC, Е)-ин- вариантную рациональную функцию f{A), она распадается на 1-парамет- рическое семейство 5-мерных множеств уровня f(A) = с и особое 4-мерное множество А = fi — 0, где f(A) не определена. Большинство множеств
68 Лекция 3. Группы Ли и алгебры Ли уровня являются отдельными С?C,М)-орбитами. Уровни f(A) = ±2 и особое множество распадаются на две орбиты. Мы соберем полученную информацию в таблицу значение с = f(A) число орбит собственные значения X —оо < с < —2 1 вещественные, разных знаков с = —2 2 А = — ц ф О, вещественные или чисто мнимые —2 < с < 2 1 комплексно сопряженные с = 2 2 вещественные, равные, ненулевые с > 2 1 вещественные, разные, одного знака с = оо 1 одно нулевое собственное значение не определена 2 два нулевых собственных значения Заметим, что пересечение двух компонент непусто. Оно содержит уровень f(A) = —2 и особое множество. Мы видим, что алгебра Гейзенберга действительно расположена в самом центре Ь3(Ж). Окончательная структура yl3(K)/GLC,]R) показана на рис. 1 (Этот рисунок предложен В. Дергачевым. Другой, более художественный образ придумала Наташа Рожковская — см. обложку.) Рис. 1 В заключение рассмотрим поведение Ап при больших п. Известно, что 2 dimyln асимптотически равна ^-п3- Число неприводимых компонент Ап также растет довольно быстро (по меньшей мере, как число р(п) разбиений п, которое асимптотически равно ехр{А/Bп)/3}).
2. Алгебры Ли 69 Любая GL(n)-op6HTa в Ап представляет класс изоморфизма п-мерных алгебр Ли. Как однородное пространство, она имеет вид GL(n)/ Autg, где Autg — группа автоморфизмов алгебры Ли g заданного класса. Если орбита О открыта в Ап, мы говорим, что соответствующая ал- алгебра Ли жесткая. Это означает, что при малых возмущениях структурных констант мы получаем изоморфную алгебру Ли. Например, алгебры Ли из упражнения 10 (а), (с) и (d) жесткие. Если орбита О имеет непустую границу, то эта граница есть объ- объединение меньших орбит. Алгебра Ли, соответствующая этим орбитам, называется сжатием исходной алгебры Ли. В частности, абелева алгебра Ли Ж" является сжатием любой n-мерной алгебры Ли. Укажем менее тривиальный пример: алгебра Ли из упражнения 10 (е), которая, фактически, является частным случаем упражнения 10 (Ь), есть сжатие алгебр Ли из упражнения 10 (с) и (d). . Типы алгебр Ли. Прямое исследование системы A8) непросто даже при п = 4,5. Например, как известно [KiN], Aa состоит из четырех компо- компонент размерности 12, а Ль — из пяти компонент размерности 20, одной компоненты размерности 21 и одной компоненты размерности 19. Однако есть иной подход к проблеме классификации алгебр Ли, основанный на из- изучении их внутренней структуры. Для удобства читателя мы напомним некоторые определения. Определение 3. Алгебра Ли g называется расширением алгебры Ли gi с помощью алгебры Ли дг, если существует точная последовательность 0^д2^8-^д1-+0, A9) где все отображения — это гомоморфизмы алгебр Ли и точность означает, что образ каждой стрелки совпадает с ядром следующей стрелки. Иначе говоря, A9) означает, что g содержит идеал, изоморфный д2, и фактор- алгебра Ли д/дг изоморфна gi. Расширение называется центральным, если дг содержится в центре д, и тривиальным, если отображение /? в A9) допускает сечение, т. е. существует гомоморфизм 7 : gi —*¦ g такой, что/?о7 = Id. В этом случае будем говорить, что g — полупрямое произведение gi и дг, и использовать обозначение gi кдг- Теперь можно определить несколько важных типов алгебр Ли. • Коммутативные или абелевы алгебры Ли — это алгебры с нулевым коммутатором. « Класс разрешимых алгебр Ли — минимальная совокупность алгебр Ли, которая содержит все абелевы алгебры Ли и замкнута относительно расширений. • Класс иильпотентных алгебр Ли — минимальная совокупность ал- алгебр Ли, которая содержит все абелевы алгебры Ли и замкнута относи- относительно центральных расширений.
70 Лекция 3. Группы Ли и алгебры Ли • Класс полупростых алгебр Ли — минимальная совокупность алгебр Ли, которая содержит все неабелевы простые 13 алгебр Ли и замкнута от- относительно расширений. Для полноты изложения сформулируем несколько утверждений из те- теории вещественных алгебр Ли. Теорема Леви. Любая алгебра Ли g имеет единственный максималь- максимальный разрешимый идеал г. Соответствующая фактор-алгебра Ли s = g/t полупроста и g — s к г. Теорема Картана. Любая полупрострая алгебра Ли (изоморфна) прямой сумме неабелевых простых алгебр Ли. Итак, классификация всех алгебр Ли сводится к трем проблемам: Проблема А. Описать все простые алгебры Ли. Проблема В. Описать все разрешимые алгебры Ли. Проблема С. Описать все полупростые произведения gi к д2, где gi полупроста и дг разрешима. В настоящее время только проблема А полностью решена (см. п. 3.2.), тогда как проблемы В и С считаются безнадежными. . Комплексные алгебры Ли и их вещественные формы. Для любой вещест- вещественной алгебры Ли (д, [•, •]) определим ее комплексификацию (дс), [•, ]с) как комплексное векторное пространство дс = д ®к С с билинейной операци- операцией [•, ]с, продолженной из [•, •] по комплексной линейности. Проще говоря, переход от g к дс означает, что структурные константы сохраняются, но допускаются комплексные линейные комбинации базисных векторов. Пусть fl — комплексная алгебра Ли. Мы говорим, что вещественная алгебра Ли до является вещественной формой д, если д изоморфна д?- как комплексная алгебра Ли. Замечание 1. Заданная комплексная алгебра Ли g может вообще не иметь вещественной формы или иметь несколько разных вещественных форм (неизоморфных как вещественные алгебры Ли). Пусть О С Ап(С) — GL(n,С)-орбита, соответствующая g (см. 2.4). Существование вещественной формы означает, что О имеет непустое пере- пересечение с А„(Ж). (Иначе говоря, при подходящем выборе базиса все струк- структурные константы вещественные.) Согласно общей теории вещественных алгебраических групп Of|yln(M) распадается на конечное число GL(n,№.)- орбит. Это означает, что для любой комплексной алгебры Ли g существует конечное число вещественных форм (с точностью до изоморфизма). Пример 9. Пусть g = s[B,C) — трехмерная комплексная алгебра Ли 2 х 2-матриц с нулевым следом. Эта алгебра имеет два замечательных базиса с вещественными структурными константами: Первый канонический базис: 13Алгебра Ли называется простой, если она не имеет собственных идеалов, т. е. отлич- отличных от {0} и всей алгебры.
2. Алгебры Ли 71 Л у_1/О Л „ _ 1 (i О с коммутационными соотношениями [X, Y] — Z, \Y,Z] = X, [Z,X] = Y. Второй канонический базис: () СЮ ) G ) с коммутационными соотношениями [Е, F] — Н, [Н,Е] — 2Е, [Н, F] — -2F. Мы видим, что g имеет две различные вещественные формы, одна из которых изоморфна suB), а другая —s[B,ffi). Других вещественных форм в этом случае не существует. 7*. Супералгебры Ли. Обе конструкции алгебр Ли из леммы 2 имеют естес- естественные супераналоги. Для определения их надо предположить, что А является %1 -градуированной алгеброй, рассмотреть градуированные диф- дифференцирования и подкорректировать определение коммутатора согласно общему правилу знаков, (см. лекцию 1, п. 3.1). Тогда уравнения A2), A3), A4), A5) принимают вид A2') D(ab) = D(a)b + (-l)desDde%aaD(b), A3J) [DuLh] = Оф2 - (_i)^ftde6^fl2Di| A4>) [a,b] = a.b-{-l)deZadeSbba. A5') Возникает новый объект — так называемая супералгебра Ли. Многие алгебры Ли можно рассматривать как четные части супералгебр. Такой подход очень полезен в теории представлений и приложениях. Для читателей, не желающих перегружать себя супертерминологией, ниже дается описание супералгебр Ли в терминах обыкновенных алгебр Ли и их модулей. Итак, супералгебра Ли — это совокупность (a) обыкновенной алгебры Ли до, (b) go-модуля 8i, (c) симметрического спаривания [•, •] go-модулей: gi ® gi -» g0. При этом должно выполняться условие X3 := [Х,Х]-Х = 0 для любого X б gi. B0) На самом деле составляющие (а)-(с) и условие B0) соответствуют че- четырем различным вариантам супертождества Якоби, которое может вклю- включать 0, 1, 2 или 3 нечетных элемента. Пример 10. Пусть g0 =spBn,ffi), дх =Е2". Действием до на д! являет- является обычное умножение матрицы на вектор-столбец. В качестве спаривания берется отображение [х,у] = (ху' +ух')Лп- Условие B0) выполняется, так как [x,i]x = Ixx*J4X = 0. Эта супералгебра Ли, обозначаемая osp(l|2n,ffi), является простейшей супералгеброй из серии озр(к\2п,Ш), четная часть ко- которой есть произведение so(k,R) x spBn,K).
72 Лекция 3. Группы Ли и алгебры Ли Полупростые алгебры Ли Класс полупростых алгебр Ли наиболее интересен для многих прило- приложений и наиболее основательно изучен. Он связан с замечательным гео- геометрическим объектом — системой корней. Мы рассмотрим здесь лишь основные понятия, необходимые для понимания главных идей. Тем не ме- менее, читатель сможет не только получить некоторое впечатление об этой теории, но и применять основные ее результаты в своей работе. Доказа- Доказательства и более подробные сведения можно найти, например, в [В]. 1. Комплексные полупростые алгебры Ли. Начнем с формулировки основных фактов и главных структурных теорем для полупростых алгебр Ли. В следующем разделе мы проиллюстрируем введенные понятия примерами. Предложение 6. Пусть g — комплексная полупростая алгебра Ли. (a) существует так называемое каноническое разложение g в прямую сумму трех подпространств (подалгебр, но не идеалов д): д = п_еЬвп+ B1) такое, что для любого конечномерного представления (тг, V) алгебры д пос- после соответствующего выбора базиса в V элементы этих подпространств переходят соответственно в нижние треугольные, диагональные и верхние треугольные матрицы в sl(m, С), m = diml/. (b) Разложение B1) единственно с точностью до изоморфизма д. (c) Подалгебра f), называемая подалгеброй Картана, характеризуется следующим свойством: это максимальная абелева подалгебра, состоящая из аЛ-полупростых элементов.14 В частности, из предложения 6, примененного к сопряженному пред- представлению (ad,g) алгебры д, получаем, что д = ф да, где А — конечное аг€Л подмножество Ц* и ga состоит из элементов X Е g таких, что [Н, X] = а(Н) ¦ X для всех Н е ()¦ B2) Очевидно, что go = f), так как Ц — максимальная абелева подалгебра. Множество ненулевых элементов А называется системой корней, со- соответствующей паре (g,b), и обычно обозначается R. Элементы а € R называются корнями. Упражнение 12. Показать, что [ga,g^] С да+р для <*+/? 6 Я,15 [д<*,8/э] = ОдляО^а + /?^Ди [в„, д_а] С Ц. Указание. Использовать соотношение B6) и тождество Якоби. Разложение B1) определяет дополнительную структуру на системе корней: разбиение R на два непересекающихся подмножества R+ и R- = 14 Элемент X называется ad-полупростым, если оператор adX можно представить в подходящем базисе в виде диагональной матрицы. 15На самом деле в этом случае справедливо более сильное утверждение: [да.8/з] =
3. Полупростые алгебры Ли 73 —R+, определяемые соотношениями П+-Ф3а, П_ = е 8а- а€Я+ а?Я_ Корни из R+ (Я_) называются положительными (отрицательными). Обозначим через г размерность п± (т. е. мощность Я±) и через / = rkg — размерность Ц. Эти числа связаны равенством 2r + I = dim g. Корень a 6 R+ называется разложимым, если он может быть записан в виде a = 0 + 7, где оба слагаемых принадлежат R+. В ином случае a называется простым корнем. Очевидно, что любой положительный корень есть линейная комбинация простых корней с неотрицательными целыми коэффициентами. Ниже мы покажем, что простые корни линейно независимы. Та- Таким образом, существует ровно / = rkG простых корней, обозначаемых Обозначим через П множество простых корней и введем так называ- называемую корневую решетку Q = Ж. ¦ сч -\ Ь Z • сц. Предложение 7. (а) Для любого тонного линейного представления (тг, V) полупростой алгебры g билинейная форма (X, У)ж :— и(тг(Х)ж{У)) невырож- невырождена и Ad-инвариантна на д. (Ь) Пусть (•, •) — произвольная невырожденная Ad-инвариантная би- билинейная форма на jj*. Тогда величины целые и не зависят от выбора Ad-инеариантной формы на д*. С этого момента мы фиксируем Ad-инвариантную форму (¦, •) на д*, двойственную форме (X, У)^ на д. Матрица А € Mat;(Z) с элементами Л,-j = '' *' называется матри- цей Картана для (д, П). Оказывается, что эта матрица не зависит от выбора разложения B1) (и, следовательно, от выбора П) и содержит всю информа- информацию об исходной полупростой алгебре Ли'д. Удобно представить информацию, закодированную в А, графическим способом. Рассмотрим граф Дынкина Та, вершины которого отмечены простыми корнями или просто числами 1,2,...,/. Две различные вершины г и j соединяются щj = Aij ¦ Aj:i ребрами. Если Aj > Д,-,-, то мы доба- добавим стрелку, направленную из г в j. Ввиду следующих свойств матрицу Картана А можно восстановить по графу Та- Предложение 8. (а) Все диагональные элементы А равны 2. (b) Внедиагональные элементы А неположительны и удовлетворяют следующему условию: Aij = 0 тогда и только тогда, когда Ajj = 0. (c) Все главные миноры А положительны. В частности, mj = Aj-A,-,. может принимать только четыре значения: 0, 1, 2 и 3. Заметим, что линейная независимость простых корней следует из предложения 8.
74 Лекция 3. Группы Ли и алгебры Ли Перечислим все 2 х 2-матрицы Картана и соответствующие графы: B 0 2 -1W2 -1WJ -2\ B -1\ /2 -3\ Гл : о Определим элементы #j € b, I ^ l ^ 'i такие, что aj{Hi) = Л-^ для всех j = 1,...,/. B4) Предложение 9. (а) Для любого абй подпространство да одномерно и, следовательно, порождается одним элементом Ха, который называется корневым вектором. (Ь) Корневые векторы Ха можно нормализовать так, что будут вы- выполняться следующие коммутационные соотношения: (i) [H,Xa] = a(H)Xa дляНеЦ, !Na,pXa+p, 0/<* + /?€ Я, 0, Офа + ptR, B5) На, <* + /? = <), где Na? — ненулевые целые числа, удовлетворяющие условиям ЛГ_„ _р — -Nat0 - Np,a. Приведем несколько важных следствий этого предложения. Следствие 1. Для любого корня а элементы (Ха,Х-а,На) порождают подалгебру ва, которая канонически изоморфна slB, С) с базисом (E,F,H) (второй канонический базис из примера 9). Следствие 2. Вещественная оболочка элементов Ха, Х-а, На для всех а € R является вещественной формой д. Вещественная форма в следствии 2 называется нормальной или расще- пимой и обозначается gn. Следствие 3. Вещественная оболочка элементов 2 ' 2 ' 2» для всех а € Я является вещественной формой д. Она называется ком- компактной вещественной формой и обозначается дс. Неформально говоря, эти следствия утверждают, что любая комплекс- комплексная полупростая алгебра Ли g "построена" в некотором смысле из г копий s(B, С), тогда как ее нормальная (компактная) вещественная форма по- построена из г копий s(B,M) (suB)). Поэтому подробное исследование этих трех алгебр Ли очень важно для всей теории.
3. Полупростые алгебры Ли 75 2. Простые алгебры Ли. Теперь мы в состоянии сформулировать теорему о классификации простых алгебр Ли. Как обычно, мы начнем с комплексного случая. Теорема 6. Существуют четыре бесконечные серии комплексных прос- простых алгебр Ли, называемых классическими простыми алгебрами Ли: An^s((n + l,C), n^l, BnSsoBn + l,C), n^2, Cn~spBn,Q, п-^Ъ, Dn2soBn,C), n J> 4, и пять отдельных примеров: G2, F4, En, n = 6,7,8, называемых исключи- исключительными (особыми) алгебрами Ли. Здесь индекс п обозначает ранг д, который был определен ранее как размерность подалгебры Картана f). Он также равен коразмерности общей присоединенной орбиты 16 Все классические простые алгебры Ли допускают явное матричное представление: sl(n+ 1,C) состоит из всех комплексных матриц с нулевым следом порядка п + 1, spBn,C) состоит из всех комплексных матриц X порядка 2п, удов- удовлетворяющих уравнению X* J-^n + hnX — 0 (эквивалентное условие: S := J^nX симметрическая), so(n,C) состоит из всех комплексных антисимметрических матриц X порядка п. Замечание 2. Классические алгебры Ли А„, В„, С„, Dn определены для всех натуральных чисел п. Ограничения на п в теореме были сделаны лишь с целью избежать появления непростых или изоморфных алгебр Ли. Упражнение 13. Установить следующие изоморфизмы: (a) Bi ~ Ci ~ Ai, (Ь) С2 ~ В2, (с) Di ~ Ж1, (d)D2~Ai©Ai, (e)D3~A3. Проверить, что соответствующие графы Дынкина изоморфны. Мы не будем останавливаться на явном описании исключительных алгебр Ли. Заметим только, что все из них могут быть построены как Ег-градуированные или 2з-градуированные алгебры Ли с классической ал- алгеброй Ли в роли до- Пример 11. Исключительная комплексная алгебра Ли G2 может быть определена как 2з-градуированная алгебра Ли g с go = s/C,С), gi = V, д_! = V*, где V — обычный трехмерный 0О-модуль, который мы реализуем как пространство вектор-столбцов и V — двойственный модуль вектор- строк. Коммутатор однородных элементов X € д.- и У € Qj определяется следующим образом. Пусть X,Y € go, v,v? € V, f,f € V*. Тогда [X, Y] = XY- УХ, [X, v] = Xv, [/, X] = /X, "Заменив "присоединенной" словом "коприсоединенной", мы получим определение ранга произвольной алгебры Ли (см. подробности в лекции 7).
76 Лекция 3. Группы Ли и алгебры Ли Здесь f(vi,v2) e V и u(/i,/2) € V определены соотношениями Л (/(«ьяг), "з) = а ¦ det lui vi из|, (/3, "(/11/2)) = 6 • det /2 /з где а и ft — некоторые константы. В силу тождества Якоби 2ab= 1, и мы получаем матричное представ- представление G2 с помощью комплексных 7 х 7-матриц вида / X v А(})\ Х=\ f О -Ъ , B6) \л(„) -/ -хУ где Л — линейное отображение из К в soC,C), определенное формулой v л(«) rz-L[-v3 о V^ \ 0 г,3 В заключение описания G2 отметим, что 7-мерное представление B6) отождествляет эту алгебру Ли с алгеброй дифференцирований так называ- называемой комплексной октонионной алгебры Ос, ограниченных на подпростран- подпространство чисто мнимых элементов. Суть дела в том, что для любой матрицы X вида B6) линейное преобразование, заданное ехрХ, сохраняет некоторую трилинейную форму {а,Ь,с\ в С7. Так как оно сохраняет также билиней- билинейную форму (a, ft) = aft, можно определить неассоциативную билинейную операцию в С8 следующим образом: (а,а) * (/?,ft) = G,с), где у — а/3— (a,ft) и (с, d) = {a, ft, с7}. Это будет в точности комплексная октонионная алгебра. Она имеет вещественную форму О, которая является алгеброй с делением и алгебра Ли Der(O) является компактной вещественной формой G2- Опишем вещественные простые алгебры Ли. Они образуют несколько бесконечных серий и 23 отдельных примера. Мы используем следующие стандартные обозначения: s!(n,K) — множество всех вещественных матриц порядка п с нулевым следом, sf(n,H) — множество всех кватернионных матриц X порядка п, удов- удовлетворяющих условию Re trX — 0, spBn, M) — множество всех вещественных матриц X порядка 2п, удов- удовлетворяющих уравнению X*J2n + hnX - 0 (эквивалентное условие: S := J2r»X симметрическая), so*Bn) — множество всех кватернионных матриц X порядка 2п, удов- удовлетворяющих уравнению X* J2n + J^nX = 0 (эквивалентное условие: 5 := Лг»Х эрмитова), so(p,q,M) — множество всех вещественных матриц X порядка п = p + q, удовлетворяющих уравнению Х*/р>, + /Р,,Х = О, su(p, q, С) — множество всех комплексных матриц X порядка п = p+q с нулевым следом, удовлетворяющих уравнению X"Ipq + Ip,qX = 0,
4. Связь между алгебрами Ли и группами Ли 77 su(p, g,H) (используется также обозначение sp(p, q)) — множество всех кватернионных матриц X порядка n = p+q, удовлетворяющих уравнениям Х*/р,, + 1рлХ = О, RetrX = 0. Для последних трех множеств в случае р = n, q — 0 используется более короткое обозначение so(n), su(n), sp(n). Описание вещественных простых алгебр Ли вытекает из следующей теоремы. Теорема 7. (а) Каждая комплексная простая алгебра Ли остается про- простой при рассмотрении ее как вещественной алгебры Ли. (b) Каждая комплексная простая алгебра Ли имеет конечное число (^ 2) вещественных форм, которые являются простыми вещественными алгебрами Ли. (c) Каждая вещественная простая алгебра Ли получается из комп- комплексной простой алгеброй Ли процедурой, описанной в (а) или (Ь). Перечислим вещественные формы классических простых комплекс- комплексных алгебр Ли. An: s((n + l,M), su(p,g,C), p^q, p + q = n + l, sl((n + 1)/2,H) для нечетных п. В„: so(p,q,m),p^q,p + q = 2n+l. С„: spBn,M), sp(p,q) ~su(p,g,H), p^q,p+q = n. Dn: so{p,q,m),P^ q,p + q = 2n, so*Bn). Две вещественные формы данной комплексной простой алгебры Ли g представляют особый интерес (см. п. 2.6). Первая называется компактной формой дс и характеризуется следующими эквивалентными свойствами: (a) форма допускает матричную реализацию как подалгебра su(m), (b) квадратичная форма Q(X) = — tr(adXJ отрицательно определена. Вторая называется нормальной формой д„ и характеризуется следую- следующими эквивалентными свойствами: (a) форма допускает матричную реализацию как подалгебра g С з1(т,Ш) такая, что д = п_ФЬФп+, B1') где три подпространства являются пересечениями g с нижней треугольной, диагональной и верхней треугольной подалгебрами sl(m,M), (b) квадратичная форма Q(X) = tr(adXJ имеет сигнатуру ((N — n)/2,(N + n)/2), me N = dimSl n = rkg. Упражнение 14. Указать компактную и нормальную формы в приве- денном выше списке вещественных форм. Указание. Вычислить сигнатуру квадратичной формы Q[X) = tr(adXJ. Изучение полупростых алгебр будет продолжено в лекции 10. Связь между алгебрами Ли и группами Ли . Пять конструкций Lie (G). Рассмотрим важный и исторически первый ис- источник алгебр Ли, основанный на их связи с группами Ли. Оказывается,
78 Лекция 3. Группы Ли и алгебры Ли что с любой группой Ли G можно канонически связать вещественную ал- алгебру Ли g = Lie(G). На языке категорий это означает, что существует функтор Lie из категории CQ в категорию СА. Далее мы обозначаем через g или Lie (G) алгебру Ли, соответствующую группе Ли G. Возможно, читатель уже заметил, что мы придерживаемся следующе- следующего принципа в обозначениях: группы Ли обозначаются прописными буква- буквами, а их алгебры Ли — соответствующими строчными буквами готичес- готическим шрифтом. Построить Lie(G) из G можно различными способами. Мы рассмотрим здесь пять способов. Сначала дадим пять определений коммутатора, а затем покажем, что они удовлетворяют тождеству Якоби и определяют одну и ту же (с точностью до изоморфизма) алгебру Ли. 1. Запишем групповой закон умножения в координатах при помощи п функций 2п переменных, выражающих координаты {zk} произведения в терминах координат {х1}, {у*} сомножителей: zk = /к(хх,... ,хп;у1,.. -,уп). Предположим, что единица — начало локальной системы координат. Тогда /fc(xx,.. .,х";0,. ..,0) = xk,fk(Q,.,.,0;y1,.. .,yn) = у*. Поэтому разложение Тейлора функции fk имеет вид fk(x1,. ...x";;/1,. ...t/") = xfc + rf + bfjXiyi + члены высшего порядка. B7) В качестве структурных констант искомой алгебры Ли мы полагаем с*. := 4* - Ъ%. B8) 2. Пусть X и Y — два касательных вектора к G в точке е. Опре- Определим их коммутатор [X, Y] следующим образом. Пусть (p(t) и i>{t) — две гладкие кривые в G такие, что ^'@) = X, ф'@) — Y. Тогда кри- кривая ?(<) = <p(Vt)ip{Vi)<p{Vi)~1ip{Vi)~1 — 1-гладкая при < ^ 0. Положим [X,Y]=?{0). 3. Для х € G рассмотрим отображение А(х) : G -> G : д i-> x#x~x — так называемый внутренний автоморфизм G. При этом отображении со- сохраняется закон умножения и единица е — неподвижная точка. Положим Adx := А(х)'(е). Это линейное преобразование пространства g = Te(G) — производная А(х) в точке е. Рассмотрим отображение Ad : G -? GL(q): i н Adi. Это отображение имеет производную в е, которую обозначим через аЛХ := A.d'{e)(X) € Endg. Полагаем [X,Y] = adX(Y). 4. Опять положим g = Te(G). Каждому вектору X € в соответствует единственное левоинвариантное векторное поле X € VectG, которое при- принимает значение X в е. Обычная скобка Ли двух левоинвариантных полей левоинвариантна, так как скобка Ли — это естественная операция, ком- коммутирующая со всеми диффеоморфизмами и, в частности, с групповыми сдвигами. Таким образом, [X,Y] имеет вид Z для некоторого Z € д. Мы определяем [Х,У] равным Z. Предупреждение. Используя правоинвариантные векторные поля X € Vect G вместо левоинвариантных, мы получим другое определение комму-
4. Связь между алгебрами Ли и группами Ли 79 татора (с противоположным знаком). Чтобы получить ту же структуру алгебры Ли, надо ассоциировать X е. в с правоинвариантным полем —X. 5. Рассмотрим произвольную матричную (или операторную) реали- реализацию ж группы G. Тогда ir(G) — подмногообразие Matn(K). Пусть g — касательное векторное пространство17 к ir(G) в точке 1„. Определим ком- коммутатор в g формулой [X, У] = XY - YX. Теперь мы обсудим эти определения. Первое и пятое определения наиболее удобны для практических вычислений (см. примеры ниже). Вто- Второе определение более геометрического характера и выражает связь между групповым коммутатором и коммутатором алгебры Ли: коммутатор ал- алгебры Ли есть предел группового коммутатора. Третье определение наибо- наиболее концептуально и тем самым более подходит для теоретических вопро- вопросов. Четвертое определение вводит полезное понятие левоинвариантных (правоинвариантных) векторных полей на G, которые являются частны- частными случаями левоинвариантных (правоинвариантных) дифференциальных операторов на G, играющих важную роль в гармоническом анализе на груп- группах Ли. С другой стороны, первое определение имеет серьезный недостаток: зависимость от выбора локальной системы координат. Изучим эту зависи- зависимость более подробно. Заметим, что при линейном преобразовании локаль- локальной системы координат величина Ьк^ ведет себя как тензор типа B,1). Од- Однако при нелинейном преобразовании хк >-» хк+а^х'х* + ... величина bkj из- изменяется более сложным аффинным образом, а именно, bkj ^ b^ — 2a^x'V- Отметим замечательный факт: d\j по-прежнему ведет себя как тензор (в частности, ckj вообще не меняется при указанном выше преобразова- преобразовании). Поэтому билинейная операция [х,у]к = ctjjx'yi корректно определена на касательном пространстве TeG к группе G в единице е. Есть еще одно преимущество d?j в сравнении с bkj. Будем называть локальную систему координат {г1,.. • ,х"} симметрической, если хк(д~1) = —хк(д). Следующая лемма утверждает существование симметрических систем координат и описывает их полезные свойства. Лемма 3. Пусть {х1,.. .,хп} — локальная система координат с нача- xk(q) — xk(q~1) лом в е. Введем новую систему координат xk(g) -.— ———-———'-. Тогда (а) система координат {xh} симметрическая, дхк (Ъ) матрица Якоби равна 1„ в начале координат, (c) в любой симметрической локальной системе координат величина bkj антисимметрична относительно i, j и поэтому совпадает с cJ^/2, (d) групповой закон в симметрической локальной системе координат имеет вид f(x;y) = x + y+ ¦r[x,y] + Ti(x,x,y)+T2{x,y,y) + члены порядка ^ 4, B9) 1ТНе путать 0 с геометрическим касательным пространством, которое является аф- аффинным многообразием 1П + в-
80 Лекция 3. Группы Ли и алгебры Ли где [x,y]k = с^х'х* u Ti,i =1,2, — трилинейные векторнозшчные формы такие, что (i) Гг(ж, у, г) = Ti (у, х, г), Г2(ж, у, г) = Г2(ж, г, у), (п)Тг(х,х,х) = Т2(х,1,х). Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) очевидны. Для доказательст- доказательства (с) заметим, что начало симметрической локальной системы координат находится в е, поэтому выполняется уравнение B7). Подставляя у = — х и используя свойство /(х;—х) = 0, заключаем, что Ь^х'х* = 0. Следователь- Следовательно, &?j антисимметрична. Для доказательства (d) рассмотрим член третьего порядка в разложе- з нии Тейлора /(х;у). Он может быть записан в виде J2 Ti где degy Т,- = ». >=о Поскольку /(х;0) = /@;х) = х, имеем То - Т3 = 0. Следовательно, B9) и условие (i) выполнены. Опять используя свойство /(х;—х) = 0, получаем Гх(х, I, -х) +Т2(х, -х, -х) = 0, откуда следует (ii). Проверим тождество Якоби. Это легко сделать, пользуясь послед- последним определением, и несколько сложнее для других. Проведем проверку для первого определения. Главный аргумент — свойство ассоциативности группового закона, который в координатной форме записывается в виде /(/(x;j/);z) = f(x;f(y;z)). Допустим, что система координат симметрич- симметрична и сравним трилинейные члены в разложениях Тейлора левой и правой частей. Имеем |[[*. у], z] + 2Тг(х, у, z) = i[*, [у, z}} + 2Т2(х, у, z). Перенесем коммутаторы в одну часть равенства, трилинейные формы Ti и Тг — в другую и просуммируем по циклическим перестановкам х, у, z (обозначение О). Тогда О [[х,у],г] = 2 О Ti(x,y, г) - 2 О ^(х.у, г). Учиты- Учитывая условие (ii), получаем тождество Якоби. ? Следующая задача — проверить эквивалентность всех пяти приведен- приведенных выше определений. Наиболее простой путь — сравнить определения 2-5 с определением 1, используя подходящую локальную систему коорди- координат. Мы оставляем читателю провести соответствующие рассмотрения в качестве упражнения. Теперь рассмотрим обратную задачу. Существует ли для заданной вещественной алгебры Ли д группа Ли G такая, что Lie(G) = g? Иначе говоря, будет ли функтор Ли CQ -* СА сюръективным? Ответ: "да". Более того, справедлива следующая Теорема 8. Среди всех связных групп Ли G таких, что Lie(G) = g, существует ровно одна (с точностью до изоморфизма) односвязная группа Go- Пусть С — центр Go- Тогда любая связная группа Ли G такая, что Lie(G) = д, изоморфна Go/Г, где Г с С — дискретная подгруппа. Мы опускаем доказательство (которое является одним из основных моментов теории Ли) и лишь заметим, что последнее утверждение выте- вытекает из предложения 2, п. 1.1.
4. Связь между алгебрами Ли и группами Ли 81 Аналога теоремы Адо для вещественных групп Ли не существует: не все такие группы могут быть реализованы как подгруппы GL(n,R). При- Приведем простейший контрпример. Пример 12. Рассмотрим группу дробно-линейных (или мёбиусовых) преобразований х i-4 -; j проективной прямой Px(ffi), которая обыч- обычно обозначается Р5?B,Ж) и является фактор-группой 5iB,M) по свое- своему центру {±1}. В некоторых случаях удобно рассматривать единичную окружность 51 С С вместо Р^К). Группа PSU(l, 1,C) ~ 5GA,1,С)/{±1} действует на 5х преобразованиями z н+ = =. Эти две группы изоморф- bz + a ны не только, как абстрактные группы, но и как группы преобразований, в чем можно убедиться, отождествляя 1РХ(К) и 51 с помощью z = :. Обо- X — 2 значим через G универсальное (т. е. односвязное) накрытие PSU(l,l,C). Оно действует на универсальное накрытие 5х, совпадающее с К. Эта груп- группа преобразований порождается тремя потоками, соответствующими трем векторным полям на К: at at at Центр С группы G состоит из переносов cn(t) = t + 2тгп, n € Ъ. Ввиду теоремы 8 все связные группы Ли с алгеброй Ли G имеют вид G/Г, где Г — дискретная подгруппа С. В нашем случае С сама является дискретной группой и подгруппы С можно пронумеровать индексом т € Z+. Эти подгруппы имеют вид Ст С С := {стп,п € Z}. Пусть Gm := G/Cm. Тогда, в частности, Go = G, Gi ~ Р5?B,Ж) ~ P5f/A,1,C) ~ 50A,2,К), G2 ~ 5LB,M). Известно, что все линейные конечномерные представления G фактори- зуются через 5?B,К). Другими словами, они тривиальны на дискретной подгруппе С*2- Упражнение 15. Пусть g — алгебра Ли, порожденная векторными по- полями C0). (a) Проверить, что отображение Хо^^_ I), Хг~^ I), Х2^^2 4J определяет гомоморфизм алгебры Ли g bsIB,M). Найти ядро соответству- соответствующего гомоморфизма Ф2 : G -> SLB,R). (b) Показать, что присоединенное представление g имеет вид Х2 *- и отображает g в soB, \,Щ. Найти ядро соответствующего гомоморфизма Ф1 :G-> 50B,1,К).
82 Лекция 3. Группы Ли и алгебры Ли Дальнейшее обобщение компенсирует отсутствие аналога теоремы Адо. А именно, все вещественные группы Ли допускают точное бесконечномер- бесконечномерное линейное представление, поэтому они реализуются бесконечными мат- матрицами. . Экспоненциальное отображение. В п. 1 мы построили рациональное отобра- отображение (преобразование Кэли) между специального вида группами Ли и их алгебрами Ли. Для групп Ли общего вида такого отображения нет. Од- Однако вместо него можно использовать трансцендентное отображение из g в G. Для матричной группы Ли оно являются обычным экспоненциаль- ным отображением ехрХ = ]Г] —-, где ряд сходится равномерно в любой ограниченной области пространства матриц. Для общих вещественных групп Ли экспоненциальное отображение можно определить на основе следующей теоремы. Теорема 9. Для любого X € g существует единственная однопарамет- рическая подгруппа ipx(t) группы G такая, что (i) <px(t + s) = <px{t)-<px(s), (ii)<px@) = X. Доказательство. Пусть X — правоинвариантное векторное поле на G, которое принимает значение X в точке е. Определим кривую <рх : М -> G как решение обыкновенного дифференциального уравнения </х(*) = ХШ*)) C1) с начальным условием <рх@) = е. Хорошо известно, что при малых значе- значениях параметра t решение существует и единственно. Покажем, что оно удовлетворяет уравнению (i) в своей области определения. Действительно, зафиксируем достаточно малое s так, чтобы две кривые на G были опреде- определены на некотором интервале |<| < е: A,(t) = <px{t+s) и B,(t) = <px{i)-<px(s)- Проверим, что обе кривые удовлетворяют уравнению C1). Для упроще- упрощения доказательства будем использовать следующее удобное обозначение (по аналогии с матричной группой). Для касательного вектора {кбв точке до ? G будем обозначать через д ¦ ? и ? ¦ ^ левый и правый сдвиги на д € G (более полные обозначения: A9)*(<7о)(О и (Rg)»(ga)(€), где Lg и Rg — левый и правый сдвиги на д). В частности, в этих обозначениях правоинвариантное векторное поле X принимает вид Х(д) = X ¦ д. Имеем t + s)) = X(As{t)), #.{*) = <P'x(t) ¦ vx{') = X{Vx(i)) ¦ Ы*) = X(vx(i) ¦ vx{*)) = X(Bt(t)). Более того, обе кривые удовлетворяют одному и тому же начальному усло- условию А@) = В@) = <px(t)- Следовательно, они совпадают, и мы получаем (i) при \t\ + \s\ < s. Далее, можно определить кривую <px(t) для всех значений параметра t по формуле ipx(i) — (?'x('/-^))iv, где N выбрано настолько большим, что ( ) ((/)) , \t/N\ < е. Мы опускаем проверку (i) для всех значений t и s. П
4. Связь между алгебрами Ли и группами Ли 83 Теперь мы можем определить экспоненциальное отображение для про- произвольной группы Ли. Полагаем ехрХ = ipxO-)- Для матричной группы ifx(t) = e.tX, т. е. определения совпадают. Упражнение 16. Найти явный видехрХ в следующих случаях: (a)* = f A 0 0 ^ 0 1 A 0 0 0 1 A 0 ... 0\ ... 0 ... 0 ... x) (клетка Жор дана), (b)X=(a b), v ' \c —aJ (c)*=(-i - /A x z\ (d)X= 0 fx y). \0 0 v) Экспоненциальное отображение имеет очень важное свойство функто- риальности. Теорема 10. Пусть Ф : диаграмма коммутативна: — гомоморфизм групп Ли. Следующая -I I Bl > В2 Еще более важен следующий результат ехр C2) Теорема о моиодромии. Пусть Gi — связная и односвязная группа Ли, <?2 — любая связная группа Ли, gi u g2 — их алгебры Ли и <р : gi -»¦ дг — го- гомоморфизм алгебр Ли. Тогда существует единственный гомоморфизм групп Ли Ф : G\ -> G2 такой, что Ф'(е) = if и справедливо C2). На языке категорий это означает, что существует функтор Ехр : СА —> CQ, который ставит в соответствие любой вещественной алгебре Ли д од- носвязную группу Ли G и устанавливает эквивалентность СА с подкате- подкатегорией CQ. *. Супергруппы Ли. Напомним, что супергруппы не являются группами, так как супермногообразие не является многообразием (и даже не мно- множеством). Однако для любой коммутативной ассоциативной супералгебры А можно определить группу Ga А-точек для супергруппы G. Наиболее интересные и важные примеры супергрупп — это группы симметрии ес- естественных суперобъектов.
84 Лекция 3. Группы Ли и алгебры Ли Пример 13. Рассмотрим стандартное вещественное линейное супер- суперпространство Rml". Для любой суперкоммутативной ассоциативной алгеб- алгебры А группа А-точек GL{m\n) состоит из всех обратимых матриц вида — т х п- и п х т- 9 ~ (с d)' ГДе a ? Matm(A0), d ? Matn(ylo) и с, d матрицы с элементами из А\. В частности, группа Ли R-точек GL{m\n) изоморфна GL(m,R) x GL(n,M).
Лекция 4 ДЕЙСТВИЯ ГРУПП ЛИ И АЛГЕБР ЛИ Действия групп и однородные пространства 85 1.1. Определение и примеры действий групп 85 1.2. Однородные G-пространства 87 1.3. Представления G-множеств : 89 1.4. Двойственность Фробениуса для множеств 91 1.5. Двойственность Фробениуса для векторных пространств 92 Действия групп Ли и алгебр Ли на многообразиях 94 2.1. Однородные многообразия 94 2.2. Векторные поля 97 2.3. Действия группы Ли и действия алгебры Ли 99 2.4. Инварианты 100 2.5.* Действия супергрупп Ли 104 Геометрические гильбертовы пространства 108 3.1.Инвариантное интегрирование и естественные гильбертовы пространства 108 3.2. Полуформы ПО 3.3.* Пространства когомологий 111 Представления однородных многообразий 112 . Действия групп и однородные пространства Напомним некоторые известные факты, в основном для того, чтобы ввести удобную терминологию, которая будет далее использоваться. 1. Определение н примеры действий групп. Рассмотрим группу G. Множество X называется левым G-простраиством, если задано отображение G х X —ь X : (<?, х) >->¦ д ¦ х такое, что ffi(ff2 х) = {д\д2) -х, е-х = х, A) т. е. групповой гомоморфизм G —*¦ АпЬХ, который сопоставляет каждому д ? G преобразование х >->¦ д ¦ х. Будем говорить в таком случае, что G действует на X слева. Если этот гомоморфизм точный (т. е. имеет три- 85
Лекция 4. Действия групп Ли и алгебр Ли виальное ядро: никакой элемент, исключая е, не действует как единица), будем говорить, что действие эффективно. Иногда используют также понятие правого б'-пространства или правого действия. Это отображение X х G —> X : \х,д) i-+ x ¦ д такое, что = x (gig2), хе = х. (Г) Это означает, что отображение G —> Aut X, которое сопоставляет каждому д ? G преобразование ihi-j, является антигомоморфизмом (т. е. меняет порядок множителей). Рассматриваемые множества часто обладают дополнительной струк- структурой, которая сохраняется при действии группы. Например, векторные пространства и гладкие многообразия. В этом случае, будем называть их (^-пространствами и G-многообразиями. Совокупность всех левых (правых) G-пространств образует катего- категорию1, объектами которой служат G-пространства, а морфизмами — так называемые G-эквивариантиые отображения <р : X -»¦ Y, которые для каж- каждого д ? G порождают коммутативную диаграмму B) Замечание 1. На самом деле несложно перейти от левого действия к правому (и обратно), используя антиизоморфизм д >-> д~х. Именно, на лю- любом левом G-пространстве Х можно канонически определить правое дей- действие согласно правилу х-д~д-х-х. C) Поэтому категории левых G-пространств и правых G-пространств эквива- эквивалентны. Пример 1. С помощью обычного умножения матриц определяется ле- левое действие группы G?(n,R) на множестве R" вектор-столбцов и правое действие той же группы на множестве (Шп)* вектор-строк. А именно, мат- матрица А ?: GL(n,R) действует как v i-» Av, f'•-> fA, v ? Mn, / ? (Rn)*. Упражнение 1. Пусть Rn — левое GL(n,R) -пространство, которое канонически ассоциируется с правым G-пространством (R")*. Будут ли Ш" и Ш" изоморфны в категории (a) GL(n, RJ-векторных пространств? (b) GL(n,К)-топологических пространств? (c) GL(n, К)-множеств? Ответ, (а) и (Ь) "нет" для всех п, (с) "да" при п — 1 ч "нет" при •См. Лекцию 1, п. 1.4.
1. Действия групп и однородные пространства 87 Пример 2*. Для любой категории К множество Мотк(А,В) является левым G-пространством для G — AutA и правым G-пространством для G - Aut В. Далее мы будем опускать слова "левый" и "правый" и говорить просто о G-пространствах, подразумевая что каждое из них можно рассматривать как тем, так и другим способом с помощью C). Введем (или напомним) некоторые понятия. (i) Естественно определяется операция прямого произведения в катего- категории G-множеств: это обычное прямое произведение множеств, снабженное диагональным действием G: g ¦ (х,у) = (<? ¦ х,д ¦ у). (ii) Для любого G-пространства X обозначим через Х<з множество G- орбит в X и через XG — множество неподвижных точек G (т. е. х е X таких, что д ¦ х = х для всех д ? G). (iii) Для любых двух G-множеств X и У определим произведение над G (обозначение: X xY) как (X х Y)G. Удобно считать, что X — правое G G-множество, а У — левое G-множество. При этом X х Y есть фактор- G пространство X х Y по отношению эквивалентности (х ¦ д,у) ~ {х,д ¦ у). Обозначим класс (х, у) через х х у. Тогда эквивалентность принимает вид G закона ассоциативности (х ¦ д) х у = х х (д ¦ у). G G Заметим, что в общем случае не существует естественного действия группы G на X xY. Но, если X или У снабжены действием другой группы G Н, которое коммутирует с G-действием, то существует естественное Н- действие на X х У. В частности, так будет в случае, когда G абелева и G любое G-множество можно рассматривать как G х G-множество. Упражнение 2. Пусть К — поле и Lk(X) — векторное пространство всех ДТ-значных функций на множестве X. (a) Показать, что соответствие X ~-> Ьк{Х) может быть продолжено до функтора Ьк из Set0 в Vect(K) (или из Set в Vect(K)"). (b) Проверить, что LK(XG) - LK{X)G. 2. Однородные G-пространства. G-пространство Х называется однородным, если для любых двух точек хх,х2 пространства X найдется элемент д е G, отображающий х\ в х2, или, эквивалентно, Xg является одноточечным множеством. В этом случае говорим, что G действует транзитивно на X. Следующие простые факты часто оказываются полезными. Лемма 1. Имеется естественное взаимно однозначное соответствие (a) между однородными G'-пространствами с отмеченной точкой и подгруппами Н С G, (b) между однородными G'-пространствами и классами сопряженности подгрупп Н С G. Доказательство, (а) С данным однородным G-пространством Х с от- отмеченной точкой х0 е X можно ассоциировать подгруппу Н = Stab(xo) С G, которая называется стабилизатором точки х0 и состоит из всех g g G,
Лекция 4. Действия групп Ли и алгебр Ли оставляющих точку х0 неподвижной. Обратно, для любой подгруппы Я с G можно определить пространство X = G/H левых классов смежности по Я в G с отмеченной точкой х0 = Я. (Напомним, что левые классы смежнос- смежности по Я — это в точности Я-орбиты в G, если группа G рассматривается как правое Я-пространство, так что X = G/H совпадает с Gh) Оставляем читателю проверить, что соответствия (X, х0) ~-> Stab(io) и Я ~-> (G/H, Я) взаимно обратны. (Ь) Если X — однородное G-пространство без отмеченных точек, то подгруппы Stab(i), х ? X, образуют класс сопряженности, который мы обозначим С. Это утверждение вытекает из соотношения Stab(j • х) = gStab(x)g~1. Обратно, если задан класс сопряженности С подгрупп груп- группы G, то можно выбрать представителя Я е С и определить однородное множество X = G/H. Остается проверить два утверждения: 1) при различных выборах Н ?С мы получаем изоморфные однород- однородные множества, 2) построенные выше соответствия X ~» С и С ~-> X взаимно обратны. Оставляем проверку читателю. ? Упражнение 3. Пусть X = G/H — однородное G-пространство. Опре- Определим нормализатор Я в G по формуле Ng{H) — {<? ? G \ дНд~х — Я}. Показать, что группа Aut(X) всех автоморфизмов X (как объекта катего- категории G-пространств) изоморфна Ng{H)/H. Указание. Пусть <р 6 Aut(X). Тогда <р{ха) — дх0 для некоторого д ? G. Показать, что 1) 9 6 NG{H), 2) tp полностью определяется элементом д, 3) <?i и 32 определяют один и тот же автоморфизм тогда и только тогда, когда дхд^ ? Я. Пример 3.* Пусть К — компактная связная группа Ли и Г С if — ее максимальная коммутативная подгруппа (часто называемая максималь- максимальным тором). Однородное пространство Т :— KIT называется флаговым многообразием. Это один из самых замечательных примеров однородных многообра- многообразий, используемых в теории представлений полупростых групп. Поэтому мы рассмотрим некоторые его свойства. Группа W — Aut T играет важную роль. Она называется группой Вей- дя, ассоциированной с К. Так как Г совпадает со своим централизатором в Л", группа Вейля W может рассматриваться как подгруппа группы Aut(T) или группы Aut(Lie(T)). В последнем случае это будет линейная группа, порожденная отражениями. Оказывается, что многообразие Т имеет очень богатую геометри- геометрическую структуру. Например, оно допускает несколько ЛГ-инвариантных комплексных структур таких, что группа голоморфных преобразований Т есть комплексная группа Ли G, для которой К — максимальная компакт- компактная подгруппа. Стабилизатор точки F е Т в G является максимальной разрешимой подгруппой В с G. Многообразие Т допускает также кэлерову структу-
1. Действия групп и однородные пространства ру и часто используется как основной пример во многих геометрических теориях. Опишем более подробно простейший случай для иллюстрации общей ситуации. Пусть К = SUB) иГ? U{\) — диагональная подгруппа. Удоб- Удобно отождествить К с группой кватернионов единичной нормы и Г — с подгруппой комплексных чисел, равных 1 по модулю. Группа К действует на пространство М3 чисто векторных кватерни- кватернионов v сопряжением: v >-> qvq~l. Так как норма v сохраняется, образ К содержится в 0C, R). С другой стороны, этот образ связный и, следова- следовательно, содержится в 50C,R). На самом деле он совпадает с SO(Z,R), так как имеет такую же размерность 3. Итак, К — SU(i) действует на М3 обычными вращениями. Поэто- Поэтому пространство X = G/T с отмеченной точкой Т можно отождествить с двумерной сферой ||и|| = 1 с отмеченной точкой г: класс смежности qT переходит в единичный вектор v = q -i ¦ q'1. Нормализатор Nk(T) состоит из двух связных компонент: множес- множества Т диагональных матриц и множества j ¦ Т С SUB) матриц с ну- нулевой главной диагональю. (Проверить, что j -Т ¦ j~l = Т.) Поэтому группа W состоит из двух элементов и неединичный элемент действу- действует как qT >-> qjT e К/Т. При векторной реализации она действует как v = q ¦ г ¦ q~l >-> qj ¦ г ¦ (qj)~l - q ¦ jij~l ¦ q~l - q ¦ (-i) ¦ q~l — -v. Таким образом, это антиподальное отображение сферы. Можно отождествить двумерную сферу X с IP1 (С). Группа G — SLB, С) действует на X дробно-линейными преобразованиями. Заметим, чтоХ как комплексное однородное пространство не имеет нетривиальных автомор- автоморфизмов. Антиподальное отображение не сохраняет комплексную структу- РУ- Мы рекомендуем читателю дать явное описание флагового многообра- многообразия для случая К — SUC). Здесь Т — расслоение с четырехмерной базой SUC)/UB) и двумерным слоем S2. . Представления G-множеств. Пусть X — конечное множество. Обозначим через L<c(X) пространство всех комплекснозначных функций на X. Это комплексная ассоциативная коммутативная алгебра с единицей. Для комплексного векторного пространства V определим представле- представление множества X в пространстве V как гомоморфизм П : ?<с(Х) —)¦ EndV алгебр с единицей. Это означает, что отображение П обладает следующими свойствами: () (){р) (iii) ПA) = 1. (В последнем равенстве " в левой части обозначает функцию на X, которая принимает значение 1 во всех точках, тогда как в правой части " обозначает единичный оператор lv в V.) Будем называть П *-представлеиием множества X, если V снабжено скалярным произведением и П обладает дополнительным свойством (iv)
90 Лекция 4. Действия групп Ли и алгебр Ли (т. е. комплексно сопряженные функции переходят в эрмитово сопряжен- сопряженные операторы). Предложение 1. Любое представление П множества X эквивалентно следующей стандартной модели. (a) Для любого х ? X фиксируем комплексное векторное пространство Vx и положим V :¦= ф 14- Отождествим V с пространством всех вектор- функций f : X -)¦ V таких, что f(x) e 14 С V для всех х ? X. Определим П по формуле {ПШ{х)=<р{х)-/{х). D) (b) В случае *-представления П множества X утверждение остает- остается верным при дополнительном предположении, что все пространства 14, х е X, снабжены скалярным произведением и V есть прямая сумма про- пространств 14 в категории гильбертовых пространств. Доказательство, (а) Пусть (П, V) — представление X. Обозначим через 8Х функцию на X, которая принимает значение 1 в точке х е X и 0 в других точках. Так как Si — 6Х, оператор Пг := П(<$г) является идемпотентом: П? = Пг. С геометрической точки зрения это означает, что Пг — проектор на подпространство пространства V, которое мы обозначим V.. Из равенств У] 8Х = 1 и 6Х -6У = 0 при х ф у получаем, что V = ф 14- Действительно, поскольку ]Г] Пх = 1у, для любого вектора и ? У имеем Итак, V — сумма подпространств Vx, x ? X. Эта сумма прямая, так как для любого другого разложения v — ]Г v'x, v'x 6 Vx, того же вектора v, применив П;, и используя равенство Пг11а = 0 при х ф у, получаем v'y — vy. (b) В случае *-представления оператор Пг самосопряжен. Геометри- Геометрически это означает, что Пг — ортопроектор в V и, следовательно, 14 орто- ортогонально 14 при хф у. ? Теперь предположим, что X — G-множество для некоторой конечной группы G. Допустим, что заданы представление П множества X и пред- представление я группы G в одном и том же пространстве V. Будем говорить, что (П, V) и (ж, V) согласованы, если 17(д)оЩ?,)о7г(д)-1=Щ^), где ^(х) = 9{х ¦ д). F) Наиболее интересный случай возникает для однородного X. Предложение 2. (а) Предположим, что X — однородное G-множество. Любая пара согласованных представлений (П, V) множества X и {ж, V) груп- группы G в одном и том же пространстве V эквивалентна следующей стан- стандартной модели.
J. Действия групп и однородные пространства 91 Фиксируем комплексное векторное пространство W и обозначим через V = L(X, W) множество всех W-значных функций на X. Определим П и ¦к по формуле AОД/К*) = ?(*)¦/(*), Шт*)=А(х,д)/(х-д), G) где А : X х G —> Aut W — операторнозначная функция, удовлетворяющая уравнению коцикла: A{x,gx)A{x-gitg2) = A{x,gig2). (8) (b) Если, кроме того, тт унитарно иП — ^-представление, то W и V снабжены скалярными произведениями такими, что ||/||у = J2 \\f(x)\\w u хёХ значениями А являются унитарные операторы в W. Доказательство, (а) Пусть V = (Вх^хУс — разложение из предложе- предложения 1. Условие согласованности F) имеет простой геометрический смысл: оператор ir(g) переводит 14 в Vx.g. Действительно, при <р = 6Х из равенства F) получаем требуемое соотношение я-(<7)оПг = Пх.дотг(д). Следовательно, все векторные пространства 14, х ? X, изоморфны некоторому фиксиро- фиксированному пространству W и действие G имеет вид G). Наконец, уравнение коцикла непосредственно вытекает из соотноше- соотношения jt(<?i)t(s2) = t(si02) (фактически, они эквивалентны). (Ь) Мы уже видели, что V является гильбертовой суммой пространств 14, х ? X, и все слагаемые изоморфны некоторому пространству W. Таким образом, V изоморфно L(X, W) относительно введенного выше скалярного произведения. Так как операторы сдвига (T(g)f)(x) = f(x ¦ д) унитарны в V, оператор А(х,д) должен быть унитарным в W. ? Доказательство закончено, но это еще не конец истории. Оказывается, что уравнение коцикла (8) может быть решено в более-менее явном виде. Мы вернемся к этому вопросу в лекции 5. 4. Двойственность Фробениуса для множеств. Этот пункт посвящен простому, но очень полезному принципу двойственности, который открыл Фробениус сто лет назад. Конечно, для изложения идей Фробениуса мы будем исполь- использовать современную терминологию. До конца этого раздела мы фиксируем группу G и подгруппу Я. Сна- Сначала рассмотрим соотношение между категориями ?Sets G-множеств и И Sets Я-множеств. Существуют два естественных функтора. • Функтор ограничения res§ из ?Sets to Л Sets. Если X — G-множес- тво, то res^ X — то же самое множество, но рассматриваемое как Я-мно- жество. Если ip : Xi —>¦ Хг — морфизм G-множеств (т. е. G-эквивариантное отображение), то res^ <p — то же самое отображение, но рассматриваемое как Я-эквивариантное отображение. • Функтор индуцирования ind^ из "HSets в ?Sets не столь очевиден. Если У — Я-множество, то полагаем indg Y :-GxY, (9) н
92 Лекция 4. Действия групп Ли и алгебр Ли где G рассматривается как левое G-множество и правое Я-множество. Та- Таким образом, произведение является G-множеством. Если ф : Yx -> У2 — Я-эквивариантное отображение, то определим ind# ф как отображение, ко- которое переводит д х у в д х ф(у)- н н Настоятельно рекомендуем читателю проверить, что ind# действи- действительно является функтором. Наиболее важно — сформулировать "попрос- "попросту", что именно следует проверять. Принцип двойственности Фробеииуса. Для любых X е Oh{QS) u У е ObGiS) существует естественная биекция More5(mdg У,X) ~ Moins{Y,resgX). (F) Доказательство. Пусть tp e Mot-hs{Y,res#X). Это означает, что tp является отображением из У в X, которое Я-эквивариантно: tp[h ¦ у) = htp(y). С другой стороны, элемент Ф ? Mor^5(ind^ У, X) является G-эквивари- антным отображением из G х У в X, т. е. Ф{д\д х у) — дг ¦ Ф(<? х у). Мы н н н оставляем читателю проверить, что формулы tp(y) := Ф(е х у) и Ф(<? х у) = н н д ¦ <р(у) устанавливают требуемую биекцию tp <-~» Ф. Замечание 2. Иногда indf{ называется левым сопряженным функто- функтором res^, поскольку равенство (F) напоминает хорошо известную формулу (А'х, у) = (х, Ау) для сопряженного оператора в пространстве со скалярным произведением. В нашем случае роль скалярного произведения в катего- категории С, значениями которого являются множества, выполняет бифунктор С х С -+ Set : Х,У и-». Могс(Х,У). Упражнение 4. Описать G-множества ind^X для Я-множеств X, где (a) X — группа Я, действующая на себе правыми сдвигами, (b) X — одноточечное мно?кество с тривиальным действием Я. Ответ, (а) группа G, действующая на себе левыми сдвигами, (Ь) од- однородное множество X = G/H. . Двойственность Фробениуса для векторных пространств. То, что нам дей- действительно необходимо (и что открыл Фробениус), так это аналогичная конструкция и принцип двойственности для категории векторных про- пространств. Обозначим через QVec(K) категорию, объекты которой — вектор- векторные пространства V над К с линейным G-действием, а морфизмы — G- эквивариантные линейные операторы (см. лекцию 5, п. 1.2). Мы часто будем опускать аргумент К в тех случаях, когда это не существенно для изложения. Пусть % Vec — соответствующая категория для подгруппы Я. Замечание 3. Категория ?Vec является, в некотором смысле, двойст- двойственной категории QS G-множеств. По крайней мере, существует естест- естественный функтор Ьк : QS -л QVec(K)°, который ставит в соответствие мно- множеству X векторное пространство Ьк(X) всех -йТ-значных функций на X.
1. Действия групп и однородные пространства 93 Действительно, как известно, каждому отображению множеств tp -. X -л Y соответствует отображение Ьк{р) функций в противоположном направле- направлении, обычно обозначаемое tp' : Lk{Y) -> Lk (X). Это отображение перево- переводит / g LK{Y) в *>*(/) := / о v 6 LK[X). Ниже мы увидим, как это отражает природу двойственности Фробе- ниуса для векторных пространств. Функтор ограничения Res# : ?Vec -> И Vec существует и определяется так же, как и функтор res# для катего- категории множеств. Мы используем прописную букву "R" в обозначении этого нового функтора, чтобы отличить его от res#. Различие между resg и Resf не только в том, что они действуют на различных категориях. Оказывается, что Res# допускает не левый, а правый сопряженный функтор Ind# : % Vec -* Q Vec. А именно, Indg V:=(LK(G)®V)H, A0) где верхний индекс Я, как обычно, указывает подпространство Я-инвари- антных элементов. Сформулируем главное свойство этого функтора индуцирования. Линейный принцип двойственности Фробениуса. Для любых Н-вектор- Н-векторного пространства W u G-векторного пространства V существует естес- естественная линейная биекция HomG(W,Indg V) =* Homw(Resf W, V). (LF) Доказательство. Прежде всего рассмотрим подробнее исходные дан- данные. Удобно рассматривать Lk{G) как левое G-векторное пространство и в то же время правое Я-векторное пространство 2 (<? • / • h)(g\) = f(hgxg). Пусть V 6 Ob(??Vec) — Я-векторное пространство. Это означает, что мы имеем линейное представление (обозначаемое р) Н в V. Пространство V ® LK{G) — это просто пространство У-значных функций на G. Пра- Правое действие Я на этом пространстве имеет вид (F ¦ h)(g) = p(h~1)F(hg). Следовательно, G-векторное пространство Ind^ V ? Ob(^Vec) состоит из У-значных функций F на G таких, что F(hg) = p(h)F{g) для всех h?H, g?G. A1) Левое действие (т. е. представление) Ind# p группы G в этом пространстве определяется правыми сдвигами: (Indf p{g)F)(gi) = F(gig). Теперь рассмотрим сплетающий оператор а ? HoniEr(Res# W, V), т. е. a(h ¦ w) = p(h)a(w). Можно определить отображение А 6 Eoma(W,lnd% У) следующим образом. Определим Aw как У-значную функцию Fw на G по формуле Fw{g) = a(g-w). Тогда Fw(hg) - a(hgw) = p(h)a{gw) = p{h)Fw(g), откуда следует, что Fw принадлежит Ind^ V. Далее, Fgw(gi) — afa-g-w) = Fw{gig) = {g ¦ Fw){gi), откуда следует, что А(д ¦ w) = g ¦ Aw, т. е. оператор A : w м- Fw сплетающий. ? 2Напомним, что формула (д ¦ f)(x) = f(z-g) определяет левое действие группы G на пространство функций.
94 Лекция 4. Действия групп Ли и алгебр Ли Замечание 4. В терминах чисел сплетения: i(A,B) = dimHom(A,S) (LF) эквивалентно равенству i(W,lnd%V) = :(Res# W, V), которое опять же выглядит так же, как равенство в замечании 2. Но теперь Ind# дейст- действует на правый сомножитель и поэтому называется правым сопряженным функтором. . Действия групп Ли и алгебр Ли на многообразиях В этом разделе мы рассматриваем действия групп Ли на многообрази- многообразиях и связь с действиями алгебр Ли. 1. Однородные многообразия. С этого момента мы считаем, что все рассмат- рассматриваемые группы G — группы Ли и все G-множества — гладкие мно- многообразия с гладким G-действием. Другими словами, мы рассматриваем гладкие гомоморфизмы группы Ли G в бесконечномерную группу Diff M всех диффеоморфизмов гладкого многообразия М.3 В основном мы интересуемся транзитивными действиями или одно- однородными многообразиями. Оказывается, что все утверждения леммы 1 из п. 1.2 остаются справедливы, если мы ограничимся рассмотрением только замкнутых подгрупп Я С G. Более точно, имеет место следующая Лемма 2. Существует взаимно однозначное соответствие (a) между однородными G-многообразиями с отмеченной точкой и за- замкнутыми подгруппами Н С G, (b) между однородными G-многообразиями и классами сопряженности замкнутой подгруппы Н С G. Доказательство. Рассуждения такие же, как в лемме 1, но надо учесть теорему 1 из лекции 3, п. 1.1. D В силу леммы 2 существует столько же однородных G-многообразий, сколько классов сопряженности замкнутых подгрупп группы G. В частнос- частности, можно перечислить все однородные многообразия, если известны все группы Ли и все их замкнутые подгруппы. Ниже мы покажем, как про- провести соответствующие рассуждения при малых размерностях, используя технику алгебр Ли. Пример 4. Пусть G = SLB,R) = | (а ,) , ad - be = 1 i. Имеется конечное число классов сопряженности замкнутых подгрупп группы G, и мы их все перечислим. Согласно теореме 1 все эти подгруппы являются гладкими подмного- подмногообразиями G. Поэтому можно классифицировать их по размерности. Сна- Сначала рассмотрим связные подгруппы. Они соответствуют подалгебрам из 3Эта формулировка имеет смысл, лишь когда DiffM снабжена структурой бесконеч- бесконечномерного гладкого многообразия. Такую структуру действительно можно авести, но мы не будем вдаваться в детали.
2. Действия групп Ли и алгебр Ли на многообразиях 95 Lie(G) = s[B,K). Все двумерные подалгебры в s[B,K) сопряжены подалгеб- подалгебре Ь верхних треугольных матриц. Следовательно, все двумерные связные подгруппы образуют единственный класс, представителем которого будет К a о \ 1 „ _i J ,a > 0 >. Одномерная подалгебра порождается элементом X Ss[B,K), и пропор- пропорциональные элементы порождают ту же подалгебру. Относительно сопря- сопряженного действия G на s!B,K) существуют три типаХ: с вещественными различными собственными значениями ±t, с одним двойным собственным значением 0 и с чисто мнимыми различными собственными значениями ±й. Следовательно, семейство связных одномерных подгрупп группы G распадается на три класса сопряженности со следующими представителя- представителями: 1) Н = < Iе _t j , о > О V (класс всех диагонализируемых подгрупп), 2) N = [В, В] = \ (_ Л\ (класс унипотентных подгрупп), 3) Т = 5ОB,К) = { | cosf "slnM I (класс всех компактных под- ' I \sm' cost J j v групп). Подгруппы В и N допускают единственное несвязное расширение В и N с двумя связными компонентами. Эти расширения получаются при- (-1 О' соединением нетривиального центрального элемента е = п , V и ~1 Подгруппа Т не имеет расширений. Максимальное расширение Я — это нормализатор Nq{H) подгруппы Я группы G, который получается из Я /О -Л присоединением элемента г = [ 1 . 1. Оно имеет подгруппу Н\ индекса 2, порожденную Я и е — т2. Опишем некоторые однородные пространства. Пространство G/B изо- изоморфно вещественной проективной прямой Р1(К), где G действует дробно- линейными преобразованиями (или преобразованиями Мёбиуса): х >-> - ох + a Очевидно, что стабилизатор х = 0 определяется равенством с = 0 и, следо- следовательно, совпадает с В. Некоторые двумерные однородные G-многообразия встречаются как G-орбиты в присоединенном представлении G. Введем координаты (х,у, t) в g = Lie(G) такие, что общий элемент А е g имеет вид А = ( . ). \y-t -х J Образ G при присоединенном представлении сохраняет квадратичную фор- форму det А = -х2 — у2 + t2. Следовательно, он содержится в группе ОA,2) — группе изометрий псевдоевклидова пространства К1'2 (пространства Мин- ковского). Будучи связным, этот образ на самом деле содержится в группе SO+A,2,M), связной компоненте, содержащей единицу. Эта группа со- состоит из линейных преобразований, сохраняющих квадратичную форму,
96 Лекция 4. Действия групп Ли и алгебр Ли ориентацию К1'2 и верхнюю часть светового конуса, определенную нера- неравенством t > у/х2 + у2 ^ 0. Однородное пространство G/T реализуется как одна полость двупо- двуполостного гиперболоида, определенного уравнением t2 = х2 + у2 + г2 (так как Т является в точности стабилизатором точки @,0, г)). Пространство G/tfi реализуется как однополостный гиперболоид х2 + у2 = t2 + г2 (так как Hi является стабилизатором (г, 0,0)). Пространство G/N реализуется как открытая пола конуса х2 + у2 — t2, заданная условием t > 0 (так как N является стабилизатором @,г, г)) (см. рис. 1). Рис. 1 Упражнение 5. Пусть G действует на К2 стандартным представлени- представлением. (a) Показать, что Ж2\{0} является однородным пространством G/N. (b) Описать G-эквивариантное накрывающее отображение р : G/N -> G/N С д. пология однородных многообразий Многие топологические задачи в случае однородных многообразий можно свести к чисто алгебраическим вопросам. Здесь мы ограничимся одним примером: гомото- гомотопическими группами (и связанными с ними группами гомологии и когомологий).
2. Действия групп Ли и алгебр Ли на многообразиях 97 Пусть X = G/H — однородное многообразие. Тогда имеем точную последо- последовательность гомотопических групп э- я-п(Я) -» nn{G) ->• жп{Х) ->• я-п_!(Я) ->¦... > жх(Н) -> jn(G) -> ж^Х) -» 7го(Я) -> 7ro(G) -> жо(Х) -> {1}. A2) Ниже мы обычно предполагаем, что группа G связна и односвязна. Тогда iro(G) = iri(G) — {1}. Известно, что в этом случае также ж2(С) — {1}. Таким образом, нз A2) получаем следующие изоморфизмы: жо(Х) = {1}, жк{Х)^жк_1{Н), к = 1,2. A3) Напомним, что некоторые группы гомологии и когомологий можно легко получить из гомотопических групп. Например, если X связно, то Hi(X,Z) является абели- анизацией жх{Х,Щ : Hi(X,Z) = жх(Х,Щ1\кх{Х,1),жх{Х,Щ. Для односвязиого X имеем H2{X,Z) = ж2{Х,Щ и, если ж2{Х) тривиально, то H3{X,Z) S w3(X,Z). Если группы гомологии не имеют кручений (например, изоморфны Zk для некоторого к), то Hi(X,R) ^ Я((Х,2)®Еи Я'(Х,К) = Щ(Х,Ш)*. Ш Для дальнейшего мы сформулируем одно следствие этих результатов. Предложение 3. Пусть G — связная односвязная группа Ли, действую- действующая на некотором гладком многообразии М. G-орбита ?2 С М односвязна тогда и только тогда, когда стабилизатор Gf точки F s п связен. В этом случае имеем естественный изоморфизм: Н2(п,Ш) = ^ Схема доказательства (в терминах дифференциальных форм). Мы можем представить класс с s tf2(?2, К) замкнутой дифференциальной фор- формой и. Пусть р : G -> ?2 — канонический проектор: p(g) = g ¦ F. Тогда форма р'а замкнута и, следовательно, точна (так как H2(G,Ж) = 0). Поэ- Поэтому pV = d.6 для некоторой 1-формы в на G. Сужение на Gp приводит к 1-форме 0о := в\ар. Эта форма замкнута, поскольку d6a = de\Gf, = pV|gf = p'MpCGf)) — 0. Класс [в0] представляет образ с в i/^G^.M). D Пример 5. Пусть G = SUB), Я = U{1), X = S2. Так как SU{2) ^ S3 и U{1) = S1 как гладкие многообразия, из A2) получаем 7ro(S2) = ^(S2) = {1} и tt2(S2) ^ я-!(Я) = Z. В силу предложения 3 Я2E2,М) S ff^S1,!) S К. Упражнение 6. Показать, что (a) jti(SO(ij)) ? Z/2Z при п ^ 3, (b) я-!E^(и)) = K2(SU(n)) = 0 при п ^ 2. Указание. Использовать A2) и диффеоморфизмы 5О(п+1)/5О(п) = 5" и S 2+l 2. Векторные поля. Множество Vect M всех гладких векторных полей на глад- гладком многообразии М образует алгебру Ли относительно скобки Ли [vi, v2] = viv2 — v2vi. Здесь мы рассматриваем векторные поля как дифференциаль- дифференциальные операторы на М или как дифференцирования алгебры Л(М) (см. лек- лекцию 1).
Лекция 4. Действия групп Ли и алгебр Ли Эта алгебра Ли может рассматриваться как Lie(DiffM).4 Поэтому ес- естественно ввести следующее определение. Под левым действием алгебры Ли g на многообразие М понимается гомоморфизм алгебр Ли g —>• Vect M : X ь-> vx- Действие называется эффективным (или точным), если ядро этого гомоморфизма нулевое. Пример 6. Матричная алгебра Ли g[(n,K) имеет простую реализацию векторными полями на К" : А = ||af || »-» d-x'dj. Ввиду теоремы Адо любая вещественная алгебра Ли может быть реа- реализована линейными векторными полями на векторном пространстве. Пример 7. Пусть g — вещественная га-мерная алгебра Ли с базисом Хх,...,Х„, и пусть {c*j} — соответствующие структурные константы: [Xi,Xj] — cffjXk- Мы можем рассматривать Xi,...,Xn как координаты в двойственном пространстве д". Обозначим через & частную производную по Xj. Тогда формула Xi -*• у{ := <*чХыд> A4) определяет коприсоединенное представление в векторными полями на в*. Равенство [vi,Vj] = У[х„хд — <^jvk следует из тождества Якоби (и эквива- эквивалентно ему). Заметим, что центральные элементы g переходят в нулевое векторное поле. Поэтому, вообще говоря, коприсоединенное действие не является эффективным. Много интересных примеров конечномерных алгебр можно построить как под факторы5 некоторой бесконечномерной алгебры. Например, все мат- матричные алгебры g((n,K) являются подалгебрами д[(оо,М) и любая га-мерная алгебра Ли является фактором свободной алгебры Ли с га образующими. Пример 8. Рассмотрим бесконечномерную алгебру Ли L голоморфных векторных полей на С* := С\{0}, которая имеет вид v = P(z) — , где Р s C[z,z~l] — полином Лорана от z. Эта алгебра имеет естественный базис {Xk = zk+1—,k s Z} с коммутационными соотношениями dz [xk,xi\ = (i-k)xk+l: A5) Эта алгебра Ли имеет несколько вещественных форм и много конечно- конечномерных подфакторов. Именно, пусть Ln обозначает линейную оболочку {Xi:,k ^ га}. Тогда Ln является подалгеброй Ли алгебры L при п ^ —1 и Lm является идеалом в Ln при m ^ n ^ 0. Таким образом, Ln>m :— Ln/Lm — алгебра Ли конечной размерности m — га, действующая линейно в m-мерном пространстве zC[z]/zm+1C[z]. 4Читателю следует помнить, что теория бесконечномерных группы Ли более сложна, чем ее конечномерный аариант. Большинство прямых аналогов оказываются неверны и могут быть использованы лишь как эвристические соображения. 5Подфактором объекта категории называется фактор подобъекта (или подобъект фактор-объекта).
2. Действия групп Ли и алгебр Ли на многообразиях 99 Выбирая базис {zk, 1 ^ к ^ т}, получаем матричную реализацию LOrn m х m-матрицами. В частности, общий элемент L0>m имеет вид A6) Зат_з ... ma0/ . Действия групп Ли и действия алгебр Ли. Пусть G - группа Ли и М — гладкое многообразие. Любому правому G-действию М х G —>• М соответ- соответствует левое действие алгебры Ли g -> VectM. А именно, пусть X е д, и пусть gx(t), t 6 К, — произвольная гладкая кривая в G такая, что з'л'(О) = е и дх{0) = X. Определим векторное поле vx на М формулой ((t))\=0. A7) Проверим, что X i-+vx — левое действие алгебры Ли g на М. Рассмотрим операторы Т(д), д S G, на С°°(М), определенные формулой (T(g)f)(m)=f(m-g). A8) Они образуют линейное представление группы G в пространстве С°°(М), т.е. Т{д\д2) -T(gi)T{g2). Векторное полей*-, рассматриваемое как диффе- дифференциальный оператор на М, может быть определен как vx = —T(gx(t)) \t_0 Пусть gy{t) — кривая такая, что ffy(O) = е и ffy(O) = У. Из равенств T{gx{t)) = 1 + t-vx+o(t), T{gY{t)) = 1 +t • uy + o(t) следует, что МО := дх^ду^д^^ду1^) = l + t(vxvY - vYvx) + o(t). Из второго определения Lie(G) (см. лекцию 3) вытекает, что А@) = [X, Y]. Следовательно, [vx,vy] — v[x,y]- Рассмотрим теперь обратную задачу: задано действие X н-^ vx группы g на М и требуется определить действие G на М так, чтобы векторные поля vx определялись формулой A7). Оказывается, что такое действие, вообще говоря, не существует и мо- может быть определено лишь при дополнительных условиях. Предложение 4. Предположим, что G односвязна и М компактно. Тог- Тогда любое действие g = Lie(G) на М гладкими векторными полями подни- поднимается до действия G диффеоморфизмами. Мы не приводим доказательства, однако заметим, что если хотя бы одно из условий не выполняется, то заключение неверно. Ниже мы приве- приведем контрпримеры. Пример 9. (а) Пусть G — Т1 с параметром t e K/Z. Тогда g = К, и мы выберем X = — в качестве базисного элемента д. Выберем произвольно at
100 Лекция 4. Действия групп Ли и алгебр Ли целое число п > 1 и положим М — Т1 с параметром х е JR/nZ. Полагаем d vx = -г-- dx (b) Пусть G = К с параметром t. Тогда g = К и мы опять выберем X = — в качестве базисного элемента д. Положим М =Ш с параметром х at 2 d и определим vx = я -г~- ах В обоих случаях не существует действия G на М, которое порождалось бы данным действием д. Действительно, требуемое отображение G х М —» М : (х, 2) >->• хB) должно удовлетворять дифференциальному уравнению с начальным условием . ... , ,.ss jl в случае (а), , . x(t) = vx{x(t)) = { 2 J )" х@) = х. \xA(t) в случае (b), Единственное решение имеет вид в случае (а), X^ ' '-/A-tx) в случае (b). Оно определяется локально (в окрестности любой точки (д,т) s G х М), но не глобально. В первом случае глобальное определение невозможно, так как образ в Diff М замкнутой кривой в G может быть незамкнутым: хA) = х + 1 ^ х mod п. Таким образом, мы получаем многозначное отображение Во втором случае кривая хB) существует только при t из некоторо- некоторого интервала, ограниченного с одной стороны, и уходит в бесконечность при приближении t к граничной точке. (Эта ситуация может быть проил- проиллюстрирована наглядным примером М = @,1), vx = -j—¦) Иногда можно исправить ситуацию за счет увеличения G или М. Например, в случае (а) можно заменить G накрытием Ш/пЖ, а в случае (Ь) — заменить М компактификацией Р^К) = S1. Замечание 5. Для эффективного действия алгебры Ли g соответству- соответствующее действие группы G может быть неэффективным: оно может иметь дискретное ядро. Например, дробно-линейное действие G = SLB,M) на X = Р1 не будет эффективным, тогда как соответствующее действие g эффективно. 4. Инварианты. В этом пункте мы рассмотрим классификацию групповых орбит. Первый шаг — найти все инварианты действия группы. Для любого правого G-пространства Х мы определили в п. 2.3 левое действие (см. A8)) G на пространстве L(X) функций, заданных на X. Функция F называется G-инвариантной, если g-F = F для всех д е G. A9)
2. Действия групп Ли и алгебр Ли на многообразиях 101 Очевидно, что такая функция постоянна на каждой G-орбите в X. Обратно, если F постоянна вдоль каждой G-орбиты, она G-инвариантна. Большей частью, мы будем рассматривать случай, когда X — вектор- векторное пространство над полем К = К или С и G действует линейно на X. В этом случае естественно начать изучение с полиномиальных и рациональ- рациональных инвариантов. Пусть K[V] := S(V*) — алгебра /<"-значных полиномиальных функ- функций на V и K{V) :- FractA'p/] — поле частных. Обозначим через K[V]G (K(V)a) подалгебру G-инвариантных полиномов (подполе G-инвариантных рациональных функций). Функциональные уравнения A9) могут быть до- довольно сложными. Для связных групп Ли следующее простое наблюдение иногда оказывается полезным, так как оно сводит задачу к решению сис- системы линейных уравнений с частными производными.6 Теорема 1. Для связной группы Ли G пространство инвариантов можно определить системой линейных дифференциальных уравнений vXF = 0, B0) где X пробегает любую систему {Xi,..., Хк} образующих д. Доказательство. Действительно, если F — G-инвариант, то для любой гладкой кривой g(t) имеем g(t) ¦ F = F. Поэтому B0) выполняется для X - д@), т. е. для всех X е В- Докажем обратное утверждение. Если система B0) выполняется для Xi иХг, то она также выполняется для любой линейной комбинации У = \\Xi + A2X2, а также для Z = [Х\,Х2], так как vy = \ivx1 + А2их2 и»г = [vxi, vxi]¦ Таким образом, поскольку {Хь ..., X/,} порождает д, B0) спра- справедливо для всех Xgg. Пусть € С G — окрестность е, которая накрыва- накрывается экспоненциальным отображением. Для любого д g ? имеем д = ехрХ при некотором X е д. Рассмотрим кривые дхA) = exp(tX) с G и хD) = 1 • 9x{t) С X. Последняя кривая имеет свойство — F(x(t)) = (vxF)(x(t)). Теперь из B0) вытекает, что t ^ F(x(t)) — постоянное отображение. Сле- Следовательно, для д ? ? имеем (T(g)F)(x) = F(x ¦ д) = F(x -expX) = F(x). Теперь используем следующий общий результат. Лемма 3. Пусть V — окрестность точки е в связной топологической группе G. Тогда G порождается V. Доказательство. Пусть Go — подгруппа, порожденная V. Она откры- открыта в G (как объединение открытых множеств V, V-V, V-V-V,...). С другой стороны, Go замкнута (как дополнение объединения всех Go-классов смеж- смежности, отличных от самой Go). Поскольку G связна, имеем Go = G. ? Доказательство теоремы 1 (продолжение). Применяя эту лемму к V — ?, получаем, что любое решение F системы B0) является G-инвариан- том. Теорема доказана. ? "Отметим, однако, что часто простейший способ найти решения системы линейных дифференциальных уравнений с частными производными состоит в использовании эк- эквивалентности этой системы и равенства A9), когда описание G-орбит известно.
102 Лекция 4. Действия групп Ли и алгебр Ли Очевидно, что для транзитивного действия G все инвариантны посто- постоянны. Следующий пример показывает, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Пример 10. Пусть X = Tn = Kn/Z" — га-мерный тор с координатами (U e K/Z, 1 ^ г ^ га). Определим действие группы G = К на X формулой х- (ti,...,tn) = (ti +etix,...,tn +anx), где (с»1,. ..,<»„) — вещественные числа, линейно независимые над Q. Тог- Тогда не существует непрерывных G-инвариантов на Х} за исключением кон- констант. Действительно, если F — инвариант и F(t) — ?) с^е2"''*'^ — его ряд fcez» Фурье, то из B0) получаем, что Ck = е2*"^*'")^ для всех i e К. Таким п образом, Ск = 0, за исключением случая, когда ^D *»<** = 0> чт0 возможно i=i лишь при к = 0. Известно, что для алгебраических действий связных комплексных ал- алгебраических групп на аффинных алгебраических многообразиях сущест- существует достаточно рациональных инвариантов, чтобы отделить орбиты в сле- следующем смысле. Теорема 2. Общее множество уровня всех рациональных инвариантов состоит в точности из одной орбиты. Для вещественных алгебраических групп общие множества уровней инвариантов распадается на конечное число связных компонент, которые не отделяются рациональными инвариантами (ср. с геометрией квадра- квадратичных форм на вещественной аффинной плоскости; Две ветви гиперболы ху= 1 дают наиболее наглядный пример). Теперь сравним рациональные и полиномиальные инварианты. Пусть А : G —> С* — гомоморфизм из G в мультипликативную группу комплекс- комплексных чисел. Будем называть полином Р на G-пространстве W относитель- относительным инвариантом веса А, если Т(д)Р = Цд)Р для всех д е G. Очевидно, что для любых двух относительно инвариантных полиномов Р и Q одного р и того же веса их отношение R = — является рациональным инвариантом. Обратное утверждение также верно. Теорема 3. Любой рациональный инвариант R матричной группы Ли, р действующей на векторном пространстве W, имеет вид R = — для не- Q которых относительно инвариантных полиномов Р и Q одного и того же веса. Более того, в этом случае гомоморфизм А является рациональной функцией матричных элементов g S G. Набросок доказательства. Мы воспользуемся тем, что любой поли- полином может быть записан как произведение неприводимых полиномов и эта факторизация единственна с точностью до порядка множителей и умно- умножения на числа.
2. Действия групп Ли и алгебр Ли на многообразиях ЮЗ р Пусть R — — — рациональный инвариант, и пусть Р = Pi ...Pk,Q = Qi.. .Qi — разложения числителя и знаменателя на неприводимые множи- множители. Можно считать, что ни один из Р,- не пропорционален никакому Qj. Так как из равенства Т{д) ¦ R = R следует T{g)Pl. ..T(g)Pk Qi...Q, = Pi...Pk- T(g)Ql. ..T(g)Q,, получаем, что каждый T(g)Pi пропорционален некоторому Р}- и каждый T{g)Qm пропорционален некоторому Qn. Следовательно, Р и Q должны быть относительно инвариантными полиномами (одного и того же веса). Рациональность соответствующего веса А очевидна: \{д) = . О В частности, для полупростой группы, которая не имеет нетривиаль- нетривиальных гомоморфизмов в С*, все рациональные инварианты являются част- частными полиномиальных инвариантов. Такое же утверждение справедливо для линейной унипотентной груп- группы, которая не имеет нетривиальных рациональных гомоморфизмов в С* . Приведем полезную общую схему построения инвариантов группы G, действующей в пространстве X. Предположим, что мы можем построить подмножество S С X, ко- которое пересекает почти каждую орбиту в единственной точке.7 Любая инвариантная функция на X определяет при помощи сужения функцию на 5. Обратно, любая функция на S может быть канонически продолжена до G-инвариантной функции, определенной почти всюду на X. Если S глад- гладкое (алгебраическое, рациональное и т. п.) многообразие, то мы получаем информацию о гладких (алгебраических, рациональных и т. п.) инвариан- инвариантах. Предупреждение. Ограничение (сужение) на S обычно сохраняет хоро- хорошие свойства инвариантов, тогда как процедура продолжения таким свой- свойством не обладает. Например, продолжение полиномиальной функции мо- может быть всего лишь рациональным (см. пример 12 ниже). Пример 11. Пусть G — GL(n,R) действует на X = Matn(K) сопряже- сопряжением. Пусть S — аффинное подмножество, состоящее из матриц вида /О 1 0 ... 0\ 0 0 1 ... 0 0 0 0 ... 1 Cn Cn_l С„_2 •¦¦ С\ Можно проверить, что S пересекает почти все классы сопряженности.8 Бо- Более того, пересечение, если оно непусто, содержит ровно одну точку. Так 7Термин "почти каждую" можно понимать по-разному. В алгебраической геометрии этот термин означает, что объединение "хороших" орбит непусто и открыто в топологии Зариского. Другими словами, объединение "плохих" орбит содержится в алгебраичес- алгебраическом подмногообразии меньшей размерности. 8С геометрической точки зрения это означает, что для почти всех операторов А 6 Matn(A') существует циклический вектор i, т. е. векторы Z,A?,A2Z,... ,An~1i образуют базис в К".
104 Лекция 4. Действия групп Ли и алгебр Ли что мы можем рассматривать координаты ci,c2,... ,сп точки пересечения как функции исходной матрицы А е X. Фактически, они являются поли- полиномиальными функциями и совпадают с точностью до знака с коэффици- коэффициентами характеристического полинома Рд(Л) = det(A — А • 1). Таким образом, K[X]G = K[ci,c2t... ,с„]. Действительно, ограниче- ограничение любого полинома Р е К[Х]° на S является полиномом Р от ci,c2,... ,с„. На S справедливо равенство P{aij) = P(ci(a,-j),C2(a,j),... ,с„(а^)), которое в силу G-инвариантности обеих частей остается верным почти всюду. По- Поскольку обе части являются полиномами, они совпадают всюду. Известно замечательное обобщение этого примера на случай всех по- полупростых алгебр Ли. Это обобщение предложено Б. Костантом [КоЗ] (см. та же [IS]). Пример 12. Пусть N+ (соответственно ЛГ_) — подгруппа строго верх- верхних (соответственно нижних) треугольных матриц из GL(n,K). Группа G = N+ х N- действует на X — Matn(K) по формуле д = (п+,п-) : А н-> п+ • А ¦ «I1. В качестве S рассмотрим подпространство диагональных мат- матриц Л = diag(Ai,..., А„). Тогда почти все G-орбиты пересекают S в един- единственной точке. Но теперь полиномиальные функции на S продолжаются до рациональных инвариантных функций на X. Именно, пусть А к (А) — главный минор порядка к матрицы А. Он является G-инвариантным поли- полиномом на X. Ограничение его на S равно Ах... А&. Следовательно, линейная функция А* на S продолжается как инвариантная рациональная функция )(A) на X. В случае коприсоединенного действия полиномиальные и рациональ- рациональные инварианты играют важную роль в теории представлений ввиду их связи с инфинитезимальными характерами (см. ниже). *. Действия супергрупп Ли. В этом разделе мы объясним, что такое действие супергруппы G на супермногообразии М. Пусть в = flg-Ф flr — супералгебра Ли Q. Напомним, что Q имеет базисную группу Ли G = 0(Ш) с Lie(G) = дд-. Точно так же, М имеет базисное гладкое многообразие М — М(Щ. Действие Q на М включает действие G на М, но содержит некоторые дополнительные данные. Согласно общему принципу эти дополнительные данные можно пред- представить таким образом. (i) Для любой суперкоммутативной ассоциативной алгебры Л мы име- имеем группу Ли G(A), многообразие М(Л) и действие первой на второе: Q(A) х М{Л) 4 М(Л) : (д, т)^д-А т. (ii) Для любого четного гомоморфизма ц>: А -* В имеем гомоморфизм групп Ли ifiG '¦ Q{A) -? Q(B) и гладкое отображение ц>м : М(А) -* М(В) такие, что следующая диаграмма коммутативна: Q{А) х М{А) —^-> М(А) <PG*<PM 4>M G{B) х М{В) —5_> М{В)
2. Действия групп Ли и алгебр Ли на многообразиях 105 Здесь горизонтальные стрелки обозначают действия группы. Более того, если имеем гомоморфизм ф : В ->• С, то справедлива другая коммутативная диаграмма, которая отражает равенства фа о ipc = {Ф ° 4>)g и фм ° 4>м — Изложенное выше можно закодировать в следующих данных: (a) действие базисной группы Ли G на заданном супермногообразии М (т. е. гомоморфизм из G в группу AutC°°(Al)), (b) действие супералгебры Ли д = Lie(?) векторными полями на М (т. е. гомоморфизм из g в DerC°°(jW)), (c) условие согласованности этих двух действий, именно, действие четной части Вц из В Должно совпадать с действием Lie(G) = gg-- Пример 13. Здесь мы рассмотрим действие супергруппы Пуанкаре на суперпространстве-времени Минковского. Сначала напомним некото- некоторые основные факты об обычном пространстве-времени Минковского М — К1'3. Это вещественное 4-мерное векторное пространство с координатами (t,x,y,z). В физической литературе обычно используется обозначение х11, /j, = 0,1,2,3. Часто координата "время" х° обозначается через t, а простран- пространственные координаты — через х', i = 1,2,3. Это векторное пространство снабжено квадратичной формой Г) — t2 — X2 — У2 — Z2 — Г/цуХ^х"'. В соответствии со значением ^(х), которое может быть отрицательным, нулевым или положительным, элементы М называются пространственно- подобными, световыми или временно-подобными векторами. Множество М имеет удобную реализацию как векторное пространство всех эрмитовых 2 х 2-матриц Группа Ли Р аффинных преобразований М, сохраняющих псевдориманову структуру ds2 — dt2 — dx2 — dy2 — dz2, называется группой Пуанкаре. Это полупрямое произведение группы Лоренца L = ОA,3) линейных преобразо- преобразований и абелевой нормальной подгруппы Г SIR1'3 переносов. Группа L состоит из четырех связных компонент, которые характери- характеризуются сохранением пространственной и временной ориентации. Обозна- Обозначим через Lq связную компоненту, содержащую единицу, которая назы- называется собственной группой Лоренца. В стандартном базисе элемент д ? L записывается матрицей \\д?\\ и четыре связные компоненты различаются знаками #о и detg. Связная группа Ли Lo (также обозначаемая SOo(l,3)) не односвязна. Она имеет двулистную односвязную накрывающую группу Lo, изоморф- изоморфную SLB,C). Обозначим через Ро полупрямое произведение Lo к Т. Соответствующая алгебра Ли р имеет следующую 4 х 4-матричную реализацию (где ant — 2 х 2-комплексные матрицы): -(о -«•)' t* -t.
106 Лекция 4. Действия групп Ли и алгебр Ли Тогда мы получаем матричную реализацию Ро комплексными 4 х 4-мат- рицами вида р=(о (/г1)' detff = 1> '* = '¦ Центр С реализации Ро состоит из двух элементов {д — ±l,t = 0} и Ро = Ро/С. Действие Ро на М в этой реализации можно описать следующим обра- образом. Рассмотрим множество X = G^iiC) всех двумерных подпространств вС4. Упражнение 7. Показать, что X = ХОЦ2,С), где X — множество 4x2- матриц вида х — ( , где rk x = 2, и действие G?B, С) на X определяется \Х2У с помощью правого умножения. Указание. Любому х е X соответствует плоскость в С4, порожденная столбцами х. 4 х 4-Матричная группа Ро действует на X левым умножением, и это действие коммутирует с правыми умножениями. Следовательно, сущест- существует действие Ро на множестве X GLB, С)-орбит, которое имеет открытое плотное подмножество Хо, изоморфное Mat2(C). Действительно, для почти всех орбит можно выбрать представителя [¦,)¦ Действие Ро на Хо имеет вид р- h = g(h + t)g*. Как уже упоминалось, множество эрмитовых матриц, инвариантное при этих преобразованиях, можно отождествить с М. Заме- Заметим, что это действие Ро на М не является точным и факторизуется через Р = Ро/С. Теперь рассмотрим суперрасширения описанной выше картины. Ока- Оказывается, что существует серия супералгебр Ли p^N\ которое содержит р как четную часть. Эти супералгебры Ли зависят от положительного цело- целочисленного параметра N и реализуются комплексными (N + 4) х (N + 4)- матрицами с блоками размеров 2, N, 2: х= Соответствующая односвязная супергруппа обозначается через Р,, , и ее фактор по центру — через Р$ '. Напомним, что обычное пространство Минковского является однород- однородным многообразием М = Ро/?о и может быть отождествлено с нормальной подгруппой Т переносов. Таким образом, мы определяем iV-e суперпростраиство Минковского jM4'4JV как однородное суперпространство Р^/Ьо = P^/Lg. Как супер- супермногообразие, оно отождествляется с нормальной суперподгруппой T(N' суперпереносов. Существенное отличие от классического случая состоит в том, что супергруппа Т^ некоммутативна.
2. Действия групп Ли и алгебр Ли на многообразиях 107 Пространство ЛЛ4'4ЛГ имеет четыре вещественные четные координаты (t,x,y,z) и 2ЛГ комплексные нечетные координаты 9'+, 9'_, i = 1,2, ...,N. Для простоты считаем, что N = 1. Удобно ввести следующие обозначения. Пусть индексы a, b и а, Ь принимают значения 0 и 1. Вместо старых координат (х>',0±,0±) будем использовать следующие: т° 4-т1 ¦ т° — г1 ¦ т2 4- ir3 ¦ v° i-ra ПО _ *• ~г •*¦ 11 *• •*¦ 01 _ •*¦ ~ tJ" 10 •*¦ lJ- У - 2 ' у ~ 2 ' У ~ 2 ' У ~ 2 ' так что 0" = в'а и уа* — ybh. Общая суперфункция на Л44'4 имеет вид F(x; в) = f(x) + в"/а(х) + 6hfa{x) + вавЬ/аЬ(х) + 0°07oi(z) + fl'^/oiH, где коэффициенты /,/„,/*!¦¦• — гладкие комплекснозначные функции на М. Действие Lo на нечетных координатах в" — это так называемое спи- спинорное представление я- группы 1о, которое корректно определено только на двулистном накрытии ?о — SLB,C). Комплексные сопряженные вели- величины в" преобразуются согласно дуальному (комплексно сопряженному) представлению 7г*. Отметим замечательный факт: тензорное произведение я-®7г* относится к вещественному типу и эквивалентно комплексификации векторного представления L в К1'3. Таким образом, коэффициенты /, /oi, /Oi являются скалярами.9 Коэф- Коэффициенты /а и /а образуют спинорное поле и двойственное спинорное поле. В соответствии с замечанием выше коэффициенты $аЬ интерпретируются как векторные поля на М. Заметим, что каждое векторное поле на Мс можно записать в виде квадратичного полинома от спинорных переменных. В частности, векторы из светового конуса могут быть записаны в виде или, в спинорных обозначениях, Рассмотрим левое и правое действия jM4'4 на себе. Четная часть ком- коммутативна и действует обычными переносами в четных переменных уаЬ. Правое действие нечетной части задается левоинвариантными нечетными векторными полями Da = да — вьдаЬ и Da = да — вьдьа, где да = -тт-, 9а = ^53", 9а{, = ¦-. Эти поля удовлетворяют коммутационным соотно- 9По поводу собственной группы Лоренца La заметим, что если мы рассматриваем дей- действие полной группы Лоренца то /01 и jax являются так называемыми псевдоскалярами, которые меняют знак при преобразованиях, обращающих временную или пространст- пространственную ориентацию.
108 Лекция 4. Действия групп Ли и алгебр Ли шениям [Da,Db] = [Da, Db) = 0, [Da, Dj,] = -20ei. Заметим, что это правое действие коммутирует с левым действием, кото- которое задается правоинвариантными нечетными векторными полями Qa = да + 0*0oi и Qa = да + 9ьдъа- Так как поля Qa и Qb коммутируют (так же, как Qa и Qb), мы можем наложить на суперфункции F на Л!4'4 суперсим- суперсимметрические ограничения: QilF=QiF = 0 (или Q0.F = <?1^ = 0). Суперфункции, удовлетворяющие этим уравнениям, называются кираль- иыми (или антикиральиыми). Оказывается, что именно эти суперфункции входят в фундаментальные уравнения, описывающие элементарные части- частицы. Так что физический мир провозгласил новый тип симметрии: супер- суперсимметрию. Здесь мы остановимся и для интересующегося читателя опять ука- укажем фундаментальную книгу [QFS] для дальнейшего ознакомления с этой захватывающей тематикой. . Геометрические гильбертовы пространства 1. Инвариантное интегрирование и естественные гильбертовы пространства. Гильбертовы пространства, используемые в теории представлений групп Ли, часто строят из геометрических объектов. Например, пусть М — гладкое G-многообразие. Предположим, что существует G-инвариантная дифференциальная форма и старшей степени на М, которая не обращается в нуль. В этом случае М ориентируемо, и мы выбираем ориентацию так, чтобы коэффициента; в любой локальной карте был положительным. Тог- Тогда G-инвариантное положительно определенное скалярное произведение на Лс{М) определяется формулой B1) м Будем рассматривать М как правое G-пространство. Операторы сдвига 7r(<j), определенные формулой Wj)/)W=/(m-j), B2) действуют на Лс{М) и сохраняют введенное выше скалярное произведение. Обозначим через % пополнение Лс{М) относительно нормы, опреде- определенной скалярным произведением B1): ||/|| = (/, /I/2. Тогда % — комп- комплексное гильбертово пространство и та же формула B2) определяет уни- унитарное представление к группы G в %. Замечание 6. Напомним, что элементы И могут быть реализованы как классы эквивалентности измеримых по Лебегу квадратично интег- интегрируемых функций на М. На самом деле нам никогда не понадобится все пространство Л, за исключением доказательств общих теорем (таких,
3. Геометрические гильбертовы пространства 109 как спектральная теорема для унитарных и самосопряженных операторов). Наиболее интересные элементы % всегда принадлежат подпространству 7^°° гладких векторов или даже еще меньшему подпространству %w анали- аналитических векторов. Естественно поставить вопрос: насколько общего характера эта кон- конструкция и, в частности, когда можно определить инвариантное интегри- интегрирование? Ответ дает следующая Теорема 4. Пусть М = G/H — однородное G-многообразие. Инвари- Инвариантный элемент и е Qn(M) существует тогда и только тогда, когда действие стационарной подгруппы Н на касательное пространство V = Th(G/H) сохраняет форму объема. (Другими словами, образ Н в GL(V) содержится в SL(V).) Доказательство вытекает из принципа Фробениуса. ? Таким образом, инвариантная форма объема, вообще говоря, не су- существует. Это препятствие можно преодолеть, если ввести новые геомет- геометрические объекты: так называемые полуплотности и полуформы. Пространство полуплотностей на многообразии М ввел в теорию пред- представлений Макки в 50-е годы под названием "естественное гильбертово пространство" %(М). Пусть М — произвольное (не обязательно ориентируемое) гладкое многообразие. Введем комплексное линейное расслоение |vol|^2 над М, сечения которого над локальной картой Ua, a 6 А, можно символически записать в виде л • • •л Если для каждого а б А выбрать sa = \/\dxla Л ... Л dx%\ как базисное сече- сечение над Ua, то функции перехода принимают вид s/з Это выражение служит формальным определением линейного расслоения l Скалярное произведение B1) обобщается для полуплотностей следую- следующим образом. Для любых двух гладких сечений sb s2 расслоения Ivoll1/2 можно определить плотность (si,s2) степени 1 на М локальными выраже- выражениями Введем скалярное произведение двух сечений 1,*2>- B1') м
110 Лекция 4. Действия групп Ли и алгебр Ли Обычной процедурой пополнения получаем гильбертово пространство %{М), которое состоит из (классов эквивалентности) квадратично интег- интегрируемых сечений |vol|1/B. Заметим, что полуплотности образуют естественное расслоение: лю- любому диффеоморфизму ц> многообразия М соответствует линейный опе- оператор <р*, действующий на полуплотностях. В частности, для правого G- многообразия соответствующие представление G в %{М) можно символи- символически записать в виде : f{m)y/\dnm\ i-+ f(m g)\/\dn{m ¦ g)\ По определению это представление унитарно. . Полуформы. Предположим, что М — ориентируемое многообразие и су- существует комплексное линейное расслоение С над М с функциями перехода D(xl x") <рар такими, что \у>а/з\2 = "'•••' <»' По крайней мере одно такое рас- Щхр1 •• •\хр) слоение существует: это построенное выше расслоение | volp/2. Тогда как расслоение объема vol и расслоение | vol I1/2 полуплотностей тривиальны, общее расслоение С полуформ может оказаться нетривиальным. Пример 14. Пусть М — единичная окружность S1, отождествленная с K/Z с вещественной координатой х mod 1. Пусть Со — нетривиальное вещественное линейное расслоение над S1 с общим пространством, диффео- морфным ленте Мёбиуса. Сечение Со может быть реализовано аитиперио- дическими функциями на М такими, что f(x + 1) = —f(x). В качестве С возьмем комплексификацию Со ® (volI^2. Сечениями этого расслоения будут выражения вида f(x)(dxI^2, где / — комплексно- значные антипериодические функции на К. Любое гладкое преобразова- преобразование S1, сохраняющее ориентацию, можно записать в виде х н-> <р(х), где <р(х + 1) = <р(х) + 1 и <р'{х) > 0 для всех igR. При этом преобразовании се- сечение f(x)(dxI^2 переходит в f(<p(x))((p'(x)dxI'2. Мы получаем унитарное проективное представление Diff+(S1) в пространстве сечений С со скаляр- скалярным произведением (h(x)(dxI'2,f2(x)(dx)V2)= Это представление может рассматриваться как настоящее представление двулистной накрывающей группы. Наиболее интересные приложения полуформ связаны с комплексным G-многообразием М с голоморфным линейным расслоением С. В этом слу- случае можно попробовать построить унитарное представление G в простран- пространстве И некоторых голоморфных сечений С. Для этого потребуются неко- некоторые дополнительные структуры. А именно, следует сделать следующие предположения:
4. Представления однородных многообразий 111 A) для любых двух сечений si и s2 расслоение С над открытым мно- множеством U С М скалярное произведение (si,S2) является сечением рассло- расслоения vol над U. Фиксируем тривиализацию vol (т. е. ненулевую форму объема ы). Тог- Тогда условие A) означает, что С — эрмитово расслоение: на каждом слое определена эрмитова билинейная форма (•,¦) такая, что (si,s2) = {si,s2)w. Заметим, что {fis1,f2s2) = fih{si,s2) для любых голоморфных функ- функций fi,f2 на U. Пространство И состоит из таких голоморфных сечений s, для которых (s,s) < oo. M Вообще говоря, нельзя гарантировать, что это пространство будет не- ненулевым. К счастью, так действительно оказывается во многих важных случаях. B) Существует связность V на С такая, что v ¦ (si,S2) = {Vvsi,s2) + (si, Vvs2) для любого голоморфного векторного поля и на М, откуда Lv{si,sj) = divv{si,s2) + {Vvsi,s2) + (si, Vvs2). При этих условиях мы можем опре- определить унитарное представление группы голоморфных преобразований М в % по формуле T{if>)s — s о tp, где правая часть означает параллельный перенос сечения s при преобразовании ц>. Замечательно то, что эта конструкция представления Т может рас- рассматриваться как некоторая вариация процедуры индуцирования. Обычно Т называют голоморфно индуцированным представлением. *. Пространства когомологий. В этом разделе мы кратко обсудим дальней- дальнейшие обобщения процедуры индуцирования. Гомологическая алгебра учит нас, что функтор сечений, который ставит в соответствие векторному рас- расслоению С векторное пространство Г(?) его гладких, аналитических или алгебраических сечений, имеет ряд производных функторов. В категории гладких многообразий эти производные функторы обычно обращаются в нуль, но в аналитических или алгебраических категориях они дают новый метод построения представлений. Один пример такого рода рассматрива- рассматривается в лекции 10 (теорема Бореля — Вейля — Ботта). Для компактных групп Ли представления в пространствах когомоло- когомологий выглядят красиво, но не дают никаких новых примеров: все унитарные неприводимые представления появляются уже в 0-мерных пространствах когомологий, т. е. в пространствах сечений. Оказывается, что для некомпактных вещественных полупростых групп имеются серии представлений, которые появляются только в высших про- пространствах когомологий. Исторически, первый пример такого сорта был открыт Гельфандом и Граевым: они построили так называемую стран- странную серию унитарных неприводимых представлений группы SUB,1). Об- Общая концепция когомологической индукции была предложена Ленглендсом. Подробности читатель может найти в [BW], [Vog], [Son] (см. также [Ki2]).
112 Лекция 4. Действия групп Ли и алгебр Ли Представления однородных многообразий В этом разделе мы распространим (частично) результаты из п. 1.2 на случай G-многообразий. Наиболее важные результаты связаны с однород- однородными многообразиями. Пусть М — гладкое многообразие с действием группы Ли G. Будем называть М G-миогообразием. Определение 1. *-Представлением П гладкого многообразия М в гиль- гильбертовом пространстве И называется гомоморфизм алгебр П : А(М) -* EdG?) такой, что @П(р) = П(<р), (ii) множество векторов вида Щ<р)х, <р е А(М), х е И, плотно в %. Определение 2. Будем говорить, что «-представление П гладкого G- многообразия М в гильбертовом пространстве % согласовано с унитарным представлением (тс,Л) группы G в том же пространстве, если (ш) ж(д) о Щ<р) о я-(^) = 1%9), где ip3(m) = <fi{m ¦ д). Обсудим эти определения и некоторых их следствия. Во-первых, второе условие в определении 1 для компактных многооб- многообразий эквивалентно равенству Щ1м) = 1«- Оно введено, главным образом, для того, чтобы исключить тривиальный пример Щ<р) = 0. Во-вторых, вместо оператора П(<р) можно определить проекториознач- ную меру fi на М так, что Щ<Р)= I м Для удобства читателя напомним основные факты о проекторнознач- ных мерах и соответствующих интегралах (см., например, [KiG] или любой учебник по спектральной теории операторов в гильбертовых пространст- пространствах). Пусть X — топологическое пространство. Обозначим через Б(Х) ми- минимальное семейство множеств X, которое содержит все открытые под- подмножества и замкнуто относительно счетных объединений и дополнений. Элементы В(Х) называются борелевскими множествами. Обозначим через Т[И) множество всех ортогональных проекторов в гильбертовом пространстве TL, т. е. операторов Р таких, что Р2 = Р = Р*. По определению проекторнозначных мер мера /i на X является ото- отображением В(Х) в V(H) таким, что A) „(X) = 1„, оо B) ^(\_SLiSi) — ^2^{Si), где LJ — объединение непересекающихся множеств. Свойство B) обычно называют счетной аддитивностью. Для скалярной функции / на X можно определить интеграл от / относительно РG?)-значной мере ц, который обозначим А= f(x)dfj.(x). х По определению это оператор в И такой, что для любых двух векторов
4. Представления однородных многообразий 113 v2 eH имеем (Av1)v2)= / где комплексная мера /*„,,„, определена равенством р»,,»,E) = {fi(S)v1,v2). С любым *-представлением (П,7?) гладкого многообразия М можно ассоциировать проекторнозначную меру ц на М следующим образом. Для открытого подмножества О е М можно определить /j(O) как ортогональ- ортогональный проектор на замкнутое подпространство Л, порожденное векторами вида Щц>)у, <р € -4(О), v б Ti- Для борелевсгсих множество более общего вида мера ц однозначно определяется с помощью счетной аддитивности. В терминах меры ц свойство согласования (iii) принимает вид Попробуем описать все представления гладкого многообразия М. Срав- Сравнивая с п. 1.3, можно предложить следующую стандартную модель для П. Пусть V — гильбертово пространство и р — любая мера на М, за- заданная гладкой плотностью. Определим новое гильбертово пространство И = L2(M, V,dp) как пространство квадратично интегрируемых V-значных измеримых функций на М со скалярным произведением B3) м Определим оператор U(ip) в % по формуле Тогда проекторнозначная мера /j определяется формулой meS' B5) в иных случаях. Другими словами, оператор /j(S) есть умножение на характеристическую функцию множества S. Оказывается, что это не универсальная модель. Чтобы получить пред- представление наиболее общего вида, надо, чтобы пространство V зависело от точки теМ. Этого можно достичь, но при этом конструкция получается довольно громоздкой. К счастью, приведенная выше модель оказывается действительно уни- универсальной в случае представлений однородных многообразий, согласован- согласованных с данным представлением группы (см. п. 1.3). А именно, предполо- предположим, что М = H\G — однородное правое G-многообразие, и фиксируем некоторую ненулевую гладкую плотность р на М. Пусть V — гильбертово пространство. Определим проекторнозначную меру ц так же, как и выше, и представление 7г в % ¦=. L2(M, V, dm) по формуле ШЛЫ = А(т, g)f(m ¦ g)J^-A, B6)
114 Лекция 4. Действия групп Ли и алгебр Ли где А : М х G -+ Aut('H) — унитарная операторнозначная функция, удов- удовлетворяющая уравнению коцикла A(m,gi)A(m • 51,52) = A(m,gig2). B7) Теорема 5 (Г. Макки, 1952). (а) Любое *-предстпавление однородного G- многообразш, согласованное с унитарным представлением {к, ft) группы G, эквивалентно описанной выше стандартной модели. (Ъ) Любое решение уравнения коцикла B7) имеет вид Ав,..Р(т,я) = B(m)-lr(hs(mtg))B(mg), B8) где В — унитарная операторнозначная функция на М, т — унитарное представление Н в V, s : М -»• G — сечение проекции р: G -»• М : g >-»¦ Hg d h,(m,g) — решение основного уравнения s{m)g = h,{m,g)s(mg). B9) На самом деле Макки доказал более общую теорему (вместо гладкого однородного многообразия он рассматривал произвольное однородное про- пространство локально компактной группы). Доказательство теоремы для конечной группы приведено в лекции 5 (см. теорему 2). В случае групп Ли неизвестны доказательства, более прос- простые, чем оригинальное доказательство Макки или доказательство Блаттне- ра (оба этих доказательства довольно длинные и трудные). Поэтому мы не будем приводить доказательств, но предлагаем читателю поразмыслить над этой проблемой. Чрезвычайно важное следствие этого результата сформулировано в следующем критерии. Критерий иидуцируемости. Унитарное представление (n,7i) группы Ли G имеет вид Ind# р для некоторой замкнутой подгруппы Н С G и уни- унитарного представления р Н тогда и только тогда, когда существует 8- представление П многообразия М — H\G в пространстве %, согласованное с ж. Это следствие будет использовано во второй части книги при доказа- доказательстве того, что все унитарные неприводимые представления экспонен- экспоненциальной группы Ли и многие унитарные неприводимые представления бо- более общих групп Ли индуцируются представлениями меньших подгрупп. При этом потребуется дополнительная информация о *-представлениях од- однородных многообразий. Пусть М — G-многообразие. Будем говорить, что разбиение М на G- орбиты ручное, если существует счетное семейство {Х,-}*еи G-инвариант- ных борелевских подмножеств М, которое разделяет орбиты. (Это означа- означает, что для любых двух различных орбит мы можем найти индекс г такой, что Xi содержит только одну из этих орбит.) Для краткости будем назы- называть М ручным G-миогообразием. Следующий результат играет центральную роль.
4. Представления однородных многообразий 115 Теорема 6. Предположим, что G — группа Ли, М — ручное G-многооб- разие, ф.,И) — *-представление М, согласованное с унитарным непри- неприводимым представлением (тт,?*) группы G. Тогда справедливы следующие утверждения. (a) Соответствующая проекторнозначная мера ц на М сосредоточена на единственной G-орбите п 6 М. (b) Унитарное неприводимое представление ж индуцируется унитар- унитарным неприводимым представлением т стабилизатора Я точки из П. Доказательство, (а) Для любого G-инвариантного подмножества X € М ортогональный проектор ц{Х) коммутирует с ж{д), д е G. Поэтому об- область его значений является G-инвариантным замкнутым подпространст- подпространством И. Однако ж неприводимо. Поэтому таковыми подпространствами могут быть лишь {0} и %. Отсюда мы заключаем, что оператор ц{Х) — либо тождественный, либо нулевой. Теперь рассмотрим семейство {Х,},ем G-инвариантных борелевских подмножеств М, которое разделяет орбиты. Заменяя, если необходимо, Xi на M\Xi, можно считать, что ц(Х{) = 0 для всех i € N. Тогда /jflJ.-Xi) = 0. Пусть п = M\\J{ Х{. Тогда П — единственная G-орбита и //(ft) - 1. (b) Так как П — гладкое однородное G-многообразие, оно имеет вид П = G/H, где Я — стабилизатор точки из П. По критерию индуцируе- мости унитарное неприводимое представление ж индуцировано некоторым (обязательно неприводимым) представлением г подгруппы Я. ?
Лекция 5 ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НА ОДНОРОДНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ Модель: конечные группы и однородные пространства 116 1.1. Краткое напоминание о представлениях конечных групп 116 1.2. Сплетающие операторы 119 1.3. Индуцированные представления 120 1.4. Пример практического гармонического анализа: группа S4 124 1.5*. Еще один пример: группа GL{2, ?q) 128 1.6. Оператор Лапласа и геометрия S 131 Векторные функциональные пространства и линейные операторы 134 2.1. Пространства гладких функций на многообразии 134 2.2. Гладко индуцированные представления группы Ли 137 2.3. Теорема о ядре и сплетающие операторы 138 2.4. Унитарно индуцированные представления группы Ли 138 Представления SLB, M) и SLB, С) 139 3.1. Основное аффинное пространство и представления основной серии 139 3.2. Плоскость Лобачевского и дискретная серия для SLB,M) 143 . Модель: конечные группы и однородные пространства 1. Краткое напоминание о представлениях конечных групп. Мы напомним ос- основные определения и результаты теории конечномерных представлений конечных групп. Определение 1. Линейным представлением группы G в векторном про- пространстве V над полем К называется гомоморфизм ж : G —> GL(V). Когда К = R или К — С, мы говорим о вещественном или комплексном представ- представлении. Обычно представление обозначается (тг, V), но иногда для краткости мы пишем просто тг или V. Мы также опускаем слово "линейное", так как всегда это будет подразумеваться. 116
1. Конечные группы и однородные пространства 117 Понятие представления возникло одновременно с естественным поня- понятием отношения эквивалентности, что можно пояснить двумя способами. 1. Поскольку имеется изоморфизм между GL(V) и GL(n,K), n = dim К, представление тг можно считать матричной функцией на G, кото- которая мультипликативна, т. е. ir(gig2) = t(siMs2), и удовлетворяет условию ir(e) = 1. Однако этот изоморфизм зависит от выбора базиса в пространстве V. Другой выбор приведет нас к иной матричной функции тг(#) = Атг(д)А~1 (где А — обратимая матрица, связывающая базисы). Естественно рассмат- рассматривать тг и тг как эквивалентные представления. 2. Если 7Г1 и 7г2 — два представления в пространствах Vi и К2 соответ- соответственно и А : Vi -»• Vi — изоморфизм такой, что для всех g 6 G справедлива коммутативная диаграмма то естественно считать iri и тг2 = Аъ\А~х эквивалентными. К счастью, оба подхода определяют одно и то же отношение экви- эквивалентности (предлагаем читателю сформулировать и доказать соответ- соответствующее утверждение). В дальнейшем мы не различаем эквивалентные представления и под "представлением" понимаем "класс эквивалентных представлений". Для любых двух представлений (iri,Ki), (тг.Уг) над одним и тем же полем определим прямую сумму (тгг ф тт2, К Ф Иг) формулой B) и тензорное произведение (iri ® тгг, V\ ® V-j) формулой C) Очевидно, что эти операции имеют также смысл для классов эквивалент- эквивалентных представлений. Определение 2. Представление {-к, V) называется приводимым, если V имеет собственное ненулевое подпространство W, инвариантное относи- относительно операторов тг(р), g 6 G. В противном случае представление (ж, V) называется неприводимым. Определение 3. Представление (л-, V) называется унитарным, если V — комплексное векторное пространство, снабженное эрмитовой формой ( ), инвариантной относительно операторов -к(д), д € G. (Другими словами, в подходящем базисе операторы тг(д) описываются унитарными матрица- матрицами.) Вещественный аналог унитарного представления — ортогональное представление в вещественном евклидовом пространстве. Основные свойства конечномерных представлений конечной группы G перечислены в следующей теореме.
118 Лекция 5. Гармонический анализ на однородных многообразиях Теорема 1. (а) Любое комплексное (вещественное) представление ж эк- эквивалентно унитарному (ортогональному) представлению. (b) Любое представление эквивалентно прямой сумме неприводимых представлений. (c) Множество G классов эквивалентных унитарных неприводимых представлений конечно. Мощность его равна числу классов сопряженных элементов G. (d) Пусть d\ — размерности унитарных неприводимых представлений та (т. е. dim V\). Тогда каждое число dx делит порядок G и справедливо тождество Бернсайда Е 4 = #G. Схема доказательства, (а) Требуемое G-инвариантное скалярное про- произведение в V строится стандартной процедурой усреднения. Рассмотрим произвольную эрмитову (евклидову) положительно определенную форму (, )о на V и определим форму (vi,v2) := |^j5Z(irE)n,ir(^)v2)o. Очевидно, что новая форма G-инвариантна и положительно определена. (Ь) Утверждение следует из (а), так как Для унитарного или орто- ортогонального представления любое инвариантное подпространство Vi С V имеет инвариантное ортогональное дополнение V-j = V±-. Следовательно, любое приводимое представление разлагается в прямую сумму. Для доказательства (с) и (d) используем групповую алгебру C[G] и преобразование Фурье. Напомним, что C[G] — это множество формальных линейных комбинаций элементов группы с комплексными коэффициента- коэффициентами. Закон умножения продолжается с G на C[G] по линейности: = E a^9h. D) g,A6G Элементы групповой алгебры могут рассматриваться как комплекснознач- ные функции на G. При такой интерпретации закон умножения записыва- записывается в виде (a*b)(g) = J2<h)b(h-19)= E "(зг^Ы- D') A€G 3132=9 Для определения преобразования Фурье выберем представителя (тгд, V\) для каждого Л 6 G. Затем для / € С [G] положим /W = E'(sW(p), Ле5. E) G Преобразование Фурье устанавливает изоморфизм между C[G] и прямой суммой матричных алгебр ©A6g Mat^C), которую мы обозначим C[G].
1. Конечные группы и однородные пространства 119 Обратное отображение имеет вид Е^-1))- (в) A6G При этом изоморфизме центральные элементы C[G] (т. е. центральные функции на G, являющиеся константами на классах сопряженных элемен- элементов) переходят в скалярные матрицы. Отсюда следует утверждение (с). Тождество Бернсайда можно получить, сравнив размерности C[G] и C[Gj. Доказательство свойств делимости для dx можно найти в любом учебнике по теории представлений (см., например, [KR] или [Se]). D . Сплетающие операторы. Опишем упоминавшиеся в лекции 4 сплетающие операторы на языке теории представлений. Совокупность всех конечно- конечномерных комплексных представлений данной группы G образует категорию Rep(G).1 Морфизмы этой категории называются сплетающими оператора- операторами (сплетениями для краткости) или G-эквнвариантнымн операторами. По определению А : Vi -»• Vj — сплетение (или G-эквивариантный оператор), если А о iri(s) = K2{g) ° А что можно выразить коммутативной Диаграм- Диаграммой A). Множество всех сплетений для объектов (яч, Vi), (ж2, V-i) обозначается MorRepfGjC^i.^), или /(тг1,7г2), или HomG(Vi,V2). Это комплексное век- векторное пространство, и его размерность называется числом сплетения и обозначается x"(tti , тг2). Теорема 2. Пусть тгх и тг2 — два унитарных неприводимых представ- представления. Тогда ¦{!¦ . . л., если 7Г1 эквивалентно 1, тг2) = < ' 1 " в противном случае. В доказательстве теоремы используется знаменитая Лемма Шура. Если А — сплетение для двух неприводимых представ- представлений, то А либо равно нулю, либо обратимо. Доказательство этой леммы оставляем читателю. (Указание. Рассмот- Рассмотреть ядро и образ А.) Доказательство теоремы 2. Если гGГ!, тгг) ф 0, то существует ненуле- ненулевое сплетение, которое обратимо по лемме Шура. Поэтому -к\ и тгг эквива- эквивалентны. Поскольку число сплетения зависит только от классов эквивалентнос- эквивалентности,2 можно считать, что iri = Ж2 — v и Vi = V-j = V. Тогда единичный оператор 1 будет сплетением. Если А — другой сплетающий оператор, рассмотрим оператор А — X ¦ 1. Он является сплетением при любом А е С. С другой стороны, для некоторого А этот оператор необратим, так как det (А — А ¦ 1) — полином, который имеет комплексный корень Ао. По лем- 'В лекции 4 эта же категория обозначалась <? Vec. 2Контрольные вопросы: а) Это очевидно для Вас? Ь) Можете ли Вы доказать это утверждение? Если ответ "нет", надо вернуться и прочитать определения.
120 Лекция 5. Гармонический анализ на однородных многообразиях ме Шура А — Хо ¦ 1 — о. Мы доказали, что /(тг, тг) состоит из скалярных операторов. Следовательно, г'(тг, тг) = 1. ? Полезна следующая аналогия: классы <=> векторы в евклидовом эквивалентных представлений пространстве число сплетения <=> скалярное произведение множество (классов) унитарных о- ортонормированный базис неприводимых представлений Мы можем сделать эту аналогию точной, если введем формальные линейные комбинации представлений (отождествляя п\ + v-i с ж\ ф тг2) и продолжим число сплетения по линейности. Практическое применение теории представлений существенно основа- основано на том, что многие важные операторы являются сплетениями. Поэтому число независимых сплетений и их явное описание имеют большое значе- значение. Используя приведенную аналогию, сформулируем следующее Предложение 1. Если тг* ~ © п*(А) -ж\, к = 1,2, то АбЭ ••(«¦i1«i) = ^n1(A)na(A). G) AgS 3. Индуцированные представления. Одним из замечательных приложений ана- аналогии из п. 1.2 является определение индуцированного представления через двойственность Фробениуса. Начнем с простого замечания: для любой подгруппы Н конечной груп- группы G существует естественный функтор ограничения Resg: Rep(G)->Rep(tf). (8) Если мы рассматриваем представление как операторнозначную функцию я- : G -»• GL(V), то Res^rr означает ту же функцию, но ограниченную на подгруппу Я. Оказывается, что функтор (8), как аналог.линейного оператора, имеет сопряженный. Именно, существует функтор индукции Indg : Rep(#) -*• Rep(G), (9) удовлетворяющий условию t(Resfir,/,) = t(ir,hidgp) A0) для любых представлений тг группы G и р группы Я. Приведем явный вид функтора индукции. Пусть (р, V) — представ- представление Я. Рассмотрим пространство L(G, Я, р, V) всех К-значных функций F на G, удовлетворяющих условию F(hg) = p(h)F(g) A1)
1. Конечные группы и однородные пространства 121 для всех h б Я и g € G. Это пространство инвариантно относительно пра- правых сдвигов на G, и мы определим индуцированное представление Ind# р в L(G, H, р, V) формулой (Ind% p(g)F)(g') = F(g'g). A2) Мы установим свойство A0) для функтора Ind#, определенного фор- формулой A2) ниже. На самом деле свойство A0) вытекает из изоморфизма (см. лекцию 4) /(Resg1r,p)~/Ar,Indgp). (LF) Теперь опишем другой подход к определению индуцированного представ- представления. Наиболее простые примеры линейных представлений возникают сле- следующим образом. Пусть X — G-пространство и Ьк{Х) — ЛГ-векторное пространство .йГ-значных функций на X. Тогда линейное представление Т группы G в Ьк(X) задается формулой (TE)/)(z) = /(*•<,). A3) Иногда такие представления называются перестановочными, так как опера- операторы Т(д) переставляют элементы естественного базиса Ьц{Х) (т. е. функ- функции, которые имеют значение 1 в одной точке и 0 в остальных). Модифицируя формулу A3), можно получить более общие представле- представления. Во-первых, вместо Ьк(X) можно рассмотреть пространство Lk{X, V) вектор-функций на X со значениями в Л"-векторном пространстве V. Во- вторых, в правую часть можно вставить дополнительный множитель — операторнозначную функцию А : X х G -> Aut V. Тогда формула A3) при- примет вид (T(g)f)(x)=A(x,g)f(x-g). A4) Конечно, для того, чтобы формула A4) определяла представление, функция А(х,д) должна удовлетворять некоторым условиям (см. формулы (8) и B7) в лекции 4 и формулу A7) ниже). Оказывается, что когда X = G/H однородно, все возможные функции А(х,д) (с точностью до естественной эквивалентности) могут быть явно описаны и параметризованы представлениями (классами эквивалентных представлений) Я в V. Таким образом, мы опять приходим к понятию индуцированного представления. Для дальнейших рассмотрений введем обозначения. Выберем точку хое X и рассмотрим стабилизатор Я = Stab(a;0) точки х0 в G, т. е. множес- множество элементов h 6 G таких, что xQh = х0. Пусть р : G -? X — естественная проекция: д ь-> х0 . д. Отображение s : X —>• G называется сеченнем проек- проекции р, если ро s = Id. Другими словами, s(x) — элемент группы, который преобразует х0 в х.
122 Лекция 5. Гармонический анализ на однородных многообразиях Очевидно,3 что любой элемент G единственным образом записывается в виде g = hs(x), heH, xeX. A5) Итак, множество G отождествляется с прямым произведением Н х X. Применив разложение A5) к элементу s(x)g, получим уравнение, ко- которое в теории индуцированных представлений называется основным урав- уравнением4 s{x)g = h(x,g)s(x-g). A6) Это уравнение определяет функцию h : X х G -> Я, удовлетворяющую уравнению коцикла h{x,gig2) = h(x,gi)h(x ¦ gllg2). A7) Теорема 3. (а) Формула A4) определяет представление G в Ьц(Х, V) тогда и только тогда, когда функция А удовлетворяет уравнению коцикла -gi,g2)- A7') (b) Общее решение уравнения A7') имеет вид А(х,д) = В(х)-1р(Л(х,в))В(х •</), A8) где р — представление подгруппы Н = Stab(xo), В : X -»• Aut\/ — опера- торнозначная функция на X и функция h : G х X -»• Я определена в A6). (с) представление A4), где А определяется формулой A8), эквива- эквивалентно ^ Замечание 1. На языке теории когомологий можно сказать, что урав- уравнение A7) определяет 1-коцикл на G со значениями в Мар(Х, Aut V). Два таких коцикла А\ и Ai эквивалентны или когомологичны, если они связаны соотношением А2(х,д) = В(х)-1А1(х,д)В(х ¦ д). A9) Таким образом, A8) означает, что А эквивалентна коциклу Ар(х,д) := Р(Ч*,9))- Смысл A9) очень просто объяснить с точки зрения теории представ- представлений: если Ti — представление, заданное формулой A4) с операторно- значными функциям A,-, i = 1,2, связанными соотношением A9), то спра- справедлива коммутативная диаграмма Lk(X,V) -™h LK(X,V) 'I [• LK(X,V) -^K Lk(X,V) Действительно ли это очевидно для Вас? 4В англоязычной литературе используется термин "master equation".
1. Конечные группы и однородные пространства 123 где В — оператор умножения на В(х). Таким образом, Т\ и Т2 эквивалент- эквивалентны и В — соответствующее сплетение. Мы видим, что все операторнозначные коциклы A7') возникают из одного универсального Я-значного коцикла A7) — это общий факт теории когомологий. Доказательство теоремы 3. Заменив х >-> х0, #1 >-»¦ s(x), g2 >-»¦ g в A7), получим A(x,g) = A(xo,s(x))-lA(xo,s(x)g). B0) Заменив х >->¦ xQ, gx ь+ h 6 Я, g2 <-* g в A7) и обозначив А(хо,(?) через получим A(hg) = A(h)A(g). B1) Положим p(/i) = A(h) и B(x) = A(s(x)). В силу B1) р — представление Я. Из B0), B1) и основного уравнения A6) получаем A8). (с) Заметим, что в силу A1) функция F € L(G,H,p,V) полностью определяется своим ограничением на образ сечения s. Поэтому, каждой функции F можно сопоставить У-значную функцию / на X по формуле /(х) := F(s(x)). Оставляем читателю проверку того, что соответствие F >-»¦ / является сплетением для представлений A2) и A4), где В = 1. ? Мы закончим этот раздел явным описанием сплетений для пары ин- индуцированных представлений.5 Теорема 4. Пусть G — конечная группа, Я и К — две подгруппы группы G и {-к, V), (р, W) — представления этих подгрупп. Существует линейная биекция между пространством сплетений /(Ind^ тг, Ind^ р) и пространст- пространством всех Епс1(К, У/)-значных функций f на G таких, что f(kgh)=p(k)Of(g)o«(h). B2) В частности, для тривиальных представлений пир справедлива простая формула для числа сплетения для двух перестановочных представлений: i(lnd% 1, Indf 1) = #(K\G/H). B3) Доказательство. Здесь мы используем формулу A2) для индуциро- индуцированных представлений. Любой линейный оператор А из L(G,H,v,V) в L(G, K,p, W) имеет вид B4) 5Этот результат, по-видимому, известный Бернсайду и Фробениусу, был явно сфор- сформулирован в знаменитых чикагских лекциях Г. Макки по представлениям групп в 50-х годах. Лекции Макки, размноженные на мимеографе, активно использовались многи- многими математиками, но опубликованы были лишь в 1976 г. издательством Чикагского университета.
124 Лекция 5. Гармонический анализ на однородных многообразиях где а — некоторая End(V, WQ-значная функция на G x G. Ладим наиболее экономное доказательство этого факта: Rom(L(G, V), L(G, W)) ~ ((L(G, К) ® V)' ® ((L(G, К) ® W) ~ L{G, К)* ® L(G, К) ® V* ® W ~ End(i(G, К), L(G, К)) ® End(V, W) ~ L(G xG,K)® End(V, W) ~L(GxG,End(V,W)). Условие, что этот оператор является сплетением, выглядит следую- следующим образом: 53 ) Для всех 5 6 G, что эквивалентно a{gig,g29) = a(gug2) для всех geG. B5) Нас интересуют те операторы, которые обращаются в нуль на подпростран- подпространстве L(G, H, ж, VI С L(G,V) и принимают значения в подпространстве L(G, К, р, W) С L(G,W). Предлагаем читателю проверить, что оператор B4) обладает такими свойствами только тогда, когда функция а обладает следующим свойством: o-{hgx,kg2) = K(h)oa(gltg2)op(k)-1. B6) В силу B5) a(g1,g2) = f(gig2l), и поэтому свойство B6) функции а экви- эквивалентно условию B2) на /. ? 4. Пример практического гармонического анализа: группа 54. На основе общей теории мы опишем все унитарные неприводимые представления группы 54 и затем применим полученные результаты для решения модельных задач гармонического анализа. Согласно определению группа 54 состоит из всех перестановок множества X = {1,2,3,4}. Оказывается, что группа 54 изо- изоморфна группе PGLB,W3). Следовательно, 5j действует на "проективной прямой" РЧГз) дробно-линейными преобразованиями гч -. сх + a Заметим, что в геометрии группа 54 появляется как группа вращений правильного октаэдра, гексаэдра (куба) или кубооктаэдра Кеплера в И3. Упражнение 1. Установить соответствие между указанными тремя реализациями. В частности, описать перестановочную реализацию под- подгрупп, возникающих как стабилизаторы точек в других реализациях. Указание. Порядок стабилизаторов точек следующий: (a) 4 для грани куба, квадратной грани кубооктаэдра или вершины октаэдра, (b) 3 для вершины куба, грани тетраэдра или треугольной грани ку- кубооктаэдра, (c) 2 для ребра куба или тетраэдра или вершины кубооктаэдра,
1. Конечные группы и однородные пространства 125 (d) 6 для главной диагонали куба или точки проективной прямой над F3, (e) 12 для правильного тетраэдра, вписанного в куб. куб октаэдр кубооктаэдр Рис. 1. Некоторые многогранники с группой симметрии С другой стороны, в качестве естественных "геометрических объек- объектов" для группы перестановок 54 можно взять множества X* — {1,2,3,4}, упорядоченных или неупорядоченных пар точек, неупорядоченных или цик- циклически упорядоченных троек точек, циклических порядков на X* и т. д. Упражнение 2. Показать, что G имеет пять классов сопряженных эле- элементов и описать их для всех трех реализаций. Ответ (для группы вращений куба). Представители пяти классов сопряженных элементов: 1) тождественное преобразование, 2) вращение на 120° вокруг вершины, 3) вращение на 180° вокруг центра ребра, 4) вращение на 90° вокруг центра грани, 5) вращение на 180° вокруг центра грани. Рассмотрим наиболее наглядную геометрически "кубическую" реа- реализацию. Имеются четыре нетривиальных однородных G-пространства Xs,X6,Xi2, X2 (индекс указывает мощность), которые являются соответ- соответственно множествами вершин, граней, ребер и вписанных правильных тет- тетраэдров. Добавим к ним тривиальное одноточечное G-пространство Х\ и рассмотрим соответствующие перестаповочные лредставлепип я-,-, возника- возникающие в пространствах Li := L(X,-,C) комплексных функций на Х%. Напомним, что согласно A2) число сплетений между, скажем, 7г6 и 7г8, равно числу классов эквивалентных пар (грань, вершина). Здесь две пары считаются эквивалентными, если они принадлежат одной и той же G-орбите. С геометрической точки зрения ясно, что есть в точности два класса эквивалентности, соответствующие двум возможностям: вершина принадлежит или не принадлежит грани. Эти простые рассуждения при- приводят к следующей таблице.
126 Лекция 5. Гармонический анализ на однородных многообразиях Таблица 1. Числа сплетения !'(я-т,7г„) 7Г12 7Гб 7Г2 7Г12 7 4 3 1 1 7Г8 4 4 2 2 1 7Гб 3 2 3 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 Покажем, как с помощью этой таблицы вычислять размерности всех унитарных неприводимых представлений и описывать разложение всех L,- на неприводимые части. Начнем со средней строки таблицы. Число 3 на диагонали показывает, что 7г6 является прямой суммой трех различных (т. е. неэквивалентных) неприводимых подпредставлений. Действительно, еслир,-, г = 0,1,2,3,4,— все унитарные неприводимые представления G и 7г6 = р,-, то сGг6,7г6) = 4 ?] &?. Но имеется лишь одно разложение числа " в сумму квадратов: i=i 3 = 12+ I2 + I2. Мы можем занумеровать унитарные неприводимые пред- представления так, что 7Гб = ро Ф Pi Ф р2- Можно также считать, что ро — тривиальное представление (эквивалентное ni), так как iGr6, я-i) = 1. Теперь заметим, что во всех L,- можно определить сплетение R, соот- соответствующее центральной симметрии. Относительно Д-действия любое ?,- разлагается в прямую сумму двух собственных подпространств Lj = Lf ф if (разложение на нечетную и четную компоненты). В частности, L6 разлагается в сумму двух трехмерных подпространств. Одно из них состоит из четных функций и содержит инвариантное под- подпространство констант, а другое — из нечетных функций и должно быть неприводимым. Итак, мы локализовали все неприводимые подпространства в Lg. (a) Одномерное подпространство констант; сужение тг6 на это про- пространство обозначим ро- (b) Двумерное пространство четных функций с нулевым средним на Хв\ сужение я-б на это пространство обозначим pi. (c) Трехмерное подпространство нечетных функций; сужение 7г6 на это пространство обозначим pi. Далее, рассмотрим представление жг в пространстве Li- Это простран- пространство двумерно и разлагается на две неприводимые компоненты. Одна из них состоит из констант (соответствующее представление мы уже обозна- обозначили ро)- Другая также одномерна и состоит из нечетных функций на Xi (соответствующее представление обозначим яч). При реализации G = S* — это знаковое представление. Теперь рассмотрим вторую строку таблицы. Число " на диагонали означает, что 7rg либо есть сумма четырех различных унитарных непри-
1. Конечные группы и однородные пространства 127 водимых представлений, либо распадается на две эквивалентные непри- неприводимые компоненты. В последнем случае число сплетения 7г8 с любым другим представлением должно быть четным, что не так (см. последний элемент в строке). Поэтому 7rg является прямой суммой четырех унитар- унитарных неприводимых представлений. Чтобы их локализовать, заметим, что L% содержит подпространство констант и L% содержит одномерное инвари- инвариантное подпространство, где действует р4. (Число " в четвертой клетке показывает, что оба ро и р4 входят в разложение its-) Ясно, что 7Tg и 7Гб имеют два общих подпредставления, одним из ко- которых является ро- Для определения второго рассмотрим сплетения более подробно. Пространство всех сплетений между тг8 и я-б двумерно и является линейной оболочкой (А<р)(х) = $>М, (В<р)(х) = где х — грань ии — вершина куба. Упражнение 3. Показать, что (a) А + В переводит константы в константы и обращается в нуль на других неприводимых подпространствах L», (b) А — В обращается в нуль на L% и отображает Lg на L^. Следовательно, я-g = ро © рг © Рз © Ра- Упражнение 4. Показать, что 7Г12 = ро Ф Pi Ф Рг © 2рз. Теперь мы используем полученные результаты для решения модель- модельного уравнения теплопроводности. Пусть X — одно из пространств Xi, i = 6,8. Определим копечно-разностный оператор Лапласа Д на L(Xi): где х <->¦ у означает, что х и у — соседи, а N — число соседей у каждой точки D для Хе и 3 для Х&)- Уравнение теплопроводности имеет вид где точка означает производную по времени. Пусть {Ао, Ai,.. .,АП} — спектр Д и /о,.. -, /я — соответствующие собственные функции. Мы уви- увидим, что во всех случаях спектр имеет вид 0 = Ао > Ai ^ ¦ ¦ • ^ А„. Следова- п тельно, любое исходное тепловое распределение / = ?) Ckfk по прошествии i=i п времени Т можно записать в виде ряда /(Т) — Yl ex>TCkfk, который быст- i=i ро сходится к равномерному распределению /(оо) = со/о = const. Скорость сходимости определяется минимальным по модулю отрицательным собст- собственным значением \t : |/(Т) - /(оо)| = O(eAlT). Упражнение 5. Вычислить спектр оператора Д,- на L*.
128 Лекция 5. Гармонический анализ на однородных многообразиях Указание. Выбрать наиболее простой представитель / каждой непри- неприводимой компоненты L,- и найти соответствующие собственные значения по формуле Л = * , . f(x) Ответ. ЭресД6 = {0,-1,-1,-1,-3/2,-3/2}, Spec Д8 = {0, -2/3, -2/3, -2/3, -1, -1,-1, -2}. 5*. Еще один пример: группа GLB, F,). По определению эта группа состоит из обратимых 2 х 2-матриц в = \ А, элементы которых принадлежат конечному полю Fq из q элементов. Она имеет (q2 — 1)(?2 — ?) элемен- элементов (первая строка g 6 G может быть произвольным ненулевым вектором, что предоставляет (q2 — 1) возможностей; вторая строка может быть про- произвольным вектором, не кратным первому, и это предоставляет (q2 — q) возможностей). Классы сопряженных элементов G описываются хорошо известной те- теоремой из линейной алгебры. Мы перечислим их здесь. Тип I. Матрицы с двумя различными собственными значениями из F,. Они могут быть приведены к диагональному виду над исходным полем F,. Представитель класса типа I: матрица g — ( „ I. Централизатор g — группа Я диагональных матриц. Таким образом, мощность класса равна -— = q[q + 1). Существуют — — таких классов. ## . - 2 Тип II. Матрицы с двумя (обязательно различными) собственными значениями из квадратичного расширения F,s исходного поля F,. Они при- приводятся к диагональным матрицам g = I „ -г-1 над F?a. Представитель тт ( 0 1\ класса типа II: матрица g = I I, где cj и С2 такие, что уравнение \ ^2 С\} х2 — cix + С2 = 0 не имеет решений в F, (имеет пару Л, Л сопряженных ре- решений в Fga). Централизатор g изоморфен мультипликативной группе F9a и имеет ? — 1 элементов. Таким образом, мощность класса равна q2 — q. Число таких классов равно |#(F,2\F,) = : Тип III. Скалярные матрицы g = [ .). Централизатор — это вся группа G, и класс состоит из одного (центрального) элемента. Существуют q — 1 таких классов. Тнп IV. Недиагонализируемые матрицы, которые приводятся к жор- дановой нормальной форме g = (. ). Централизатор g в G состоит из матриц вида (п . ) и содержит qlq — 1) элементов. Значит, мы имеем
1. Конечные группы и однородные пространства 129 q — 1 классов типа IV, каждый из них мощности q2 — 1. Общее число клас- классов (следовательно, мощность G) равно q2 — 1. Теперь мы построим представления группы G. Так называемая основ- основная серия состоит из представлений, индуцированных одномерными пред- представлениями подгруппы В верхних треугольных матриц. Общий элемент b 6 В имеет вид Ь — ( „ I, и общее одномерное представление В можно пяпигяти п пипр записать в виде где 6i, i = 1,2, — мультипликативные характеры F,, т. е. комплексные функции на F,\{0} такие, что в(ху) = в(х)в(у). Определим щи^ = Indg реив2- Пространство X = B\G есть проек- проективная прямая Р1^,). Действительно, определим действие G на формулой (;*)=¦ ¦?¦4- О") Тогда стабилизатором точки хо = 0 будет В. Выберем сечение s : X -+ G в виде *(*) = 1 х I О - о Если i и у = х д отличны от оо, то основное уравнение A6) принимает вид А 0^ (а р\ _ /А и\ (I 0\ \х lj-y-r SJ-\Q ?} '{у 1) или (\ + vy v j3x+SJ Это уравнение имеет решение аг + 7 . aS- /3~/ ,. = /*« + *, , = /?, y=-^j, Л=^Т7- Таким образом, индуцированное представление имеет вид Упражнение 6. Найти формулу для я-в11»а в исключительных случаях, когда I, или у — х -д, или оба одновременно равны оо.
130 Лекция 5. Гармонический анализ на однородных многообразиях Ответ. Р Ф О, ' = 0. Теперь рассмотрим сплетения между представлениями основных се- серий. Пространство 1P1(F,) x P^F,) имеет ровно две G-орбиты: диагональ х = у и дополнение х ф у. В силу теоремы 4 t(tfe,,ea, t»j,»j) ^ 2. Упражнение 7. (а) Показать, что сплетение, соответствующее диаго- диагонали, может быть ненулевым тогда и только тогда, когда 0i — #i,#2 = 6'2. В этом случае оно является скалярным оператором. (Ь) Показать, что сплетение, соответствующее дополнению диагонали, может быть ненулевым тогда и только тогда, когда д\ = в'2, в2 = в[. В этом случае оно имеет свойство (Af)(o°) = с ? /(*)¦ (с) Из (а) и (Ь) вывести, что тг^,^ неприводимо при в\ ф в2 и разла- разлагается на две неприводимые части (одномерную и g-мерную) при в\ — &2- В целом, мы получили (q2 + q)/2 — 1 унитарных неприводимых пред- представлений основной серии. Нам не хватает еще (q2—q)/2 унитарных непри- неприводимых представлений, которые образуют так называемую дискретную серию.6 Квадратичное расширение F,a может рассматриваться как двумерное пространство V над F, (конечный аналог комплексной плоскости С = И2). Оно является линейной оболочкой 1 и некоторого элемента т б F9a\F9. Для нечетного q можно считать, что г2 = е для некоторого неквадратичного элемента egF,. Умножение на z = a + Ьт 6 F,2 является линейным опера- оператором в V. В базисе {1,т} соответствующая матрица имеет вид Таким образом, получаем вложение z >-+ Мг поля F,^ в Mat2(F9). Мульти- Мультипликативная группа Fx2 переходит в подгруппу Н группы G. Терминология пришла из теории вещественной группы Ли SLB,R), где унитарные неприводимые представления дискретной серии действительно зависят от дискретного множества параметров в противоположность унитарным неприводимым представлени- представлениям основной серии, которая зависит от непрерывно меняющегося параметра (см. п. 3.2).
1. Конечные группы и однородные пространства 131 Теперь рассмотрим дробно-линейное действие G на У = F,:>\F?: _ az + 7 Z^Z'9~'jz~T&- Лемма 1. G-множестео У однородно, и стабилизатор точки г € У совпадает с Н. Доказательство. Если 9 - \ Л иг — т ¦ g = ^—j, то /?т2 + F - а)т — 7 = 0 и а = 6, 7 = ?/?¦ Поэтому </ = Ма+Тд 6 Я. Число точек в G-орбите г равно #G/#ff = g2 - g = #У. Поэтому У однородно. D Пусть в — мультипликативный характер поля F,2, т. е. одномерное представление Н. Положим П© := Ind§ П©. Упражнение 8. Выписать основное уравнение для действия G на У и вывести явную формулу для П©. Ответ. Лемма 2. (а) G-множество P^F,) x У однородно. (Ь) Н-множество У состоит из двух одноточечных орбит т и —т и q — 2 орбит мощности q + 1. Следствие, (а) фгв^.Пв) ^ 1. (Ь) »(Пв1)Пва) ^ ?• Оставим читателю завершить изучение сплетений между построенны- построенными выше представлениями и локализовать унитарные неприводимые пред- представления дискретной серии. 6. Оператор Лапласа и геометрия S2. Рассмотренные выше результаты и ме- методы для конечных групп часто оказываются применимы для компактных групп и однородных пространств. В этом разделе мы покажем, что теория представлений группы G = 50C,И) способна помочь решить некоторые геометрические и аналитические задачи на двумерной сфере S2. Хорошо известно, что G является счетным множеством (классов эк- эквивалентности) представлений ри, к = 0,1,..., где dk — 2к + 1 (см. любой учебник по теории представлений или лекцию 10). Пусть <т — мера на S2, инвариантная при вращениях и нормализован- нормализованная равенством / <т = 1. Эту меру локально можно записать в виде dx Ady _ dyAdz _ dz Л dx Нас интересует разложение естественного представления Т группы G в L2(S2,cr). Пусть Н = 5ОB,М) — подгруппа вращений вокруг оси г. Это в
132 Лекция 5. Гармонический анализ на однородных многообразиях точности стабилизатор точки в S2. Поэтому Т является унитарным пред- представлением UInd# 1. Согласно двойственности Фробениуса любые унитарные неприводи- неприводимые представления (pk, Vj,) группы G входят в разложение Т с кратностью, равной числу линейно независимых Я-инвариантных векторов в 14, кото- которое в действительности равно 1 для всех к. Следовательно, как G-модуль, fc=0 Более того, известно, что образ Vk в L2(S2,<t) можно получить сужением на S2 пространства Нк(М3) однородных гармонических полиномов степени к от переменных х, у, z. В частности, Vo — пространство постоянных функций на S2, V\ порождается тремя переменными х, у, г, Уг порождается пятью полиномами ху, yz, xz, x2 — j/2, у2 — z2, и т. д. Каждое подпространство Vk содержит единственную (с точностью до скалярного множителя) Я-инвариантную функцию. Она зависит только от г и совпадает с полиномом Лежапдра Укажем первые три полинома Лежандра: Lq(z) = 1, ?i(z) = —z, ?2B) = 1 . . 2 -(Зг2 — 1). Далее нам потребуются точные значения этих полиномов в точках г = 1иг = 0. Упражнение 9. Показать, что (о, п = 2к-1. Указание. Использовать равенства (?\" Г('-1)" («+!)"] _ V (А (г-1)' BГ+1)"-" \dz) [ n! n! J 2^{i) i! (»-,•)! ' i=0 Теперь мы применим полученные результаты к следующим задачам. Задача Минковского. Показать, что выпуклое центрально-симмет- центрально-симметричное тело, все сечения которого имеют одинаковую площадь, является шаром.
1. Конечные группы и однородные пространства 133 Спектральная задача. Найти спектр оператора Лапласа — Бельтрами Д на двумерной единичной сфере S2. В обоих случаях решение основано на свойствах сплетающих операто- операторов. Чтобы решить первую задачу, мы рассмотрим оператор А на C°°(S2), определенный формулой (Af)(x) = ±-J f(y)dy, где Сх — большая окружность с эпицентром в точке i 6 S2. Можно про- проверить, что этот оператор непрерывен в ?2-норме и, следовательно, может быть продолжен до ограниченного оператора в Z2(S2,<x). Это связано с геометрией выпуклых тел в М3 следующим образом. Предположим, что тело В ограничено поверхностью, задаваемой в поляр- полярных координатах уравнением г = r(x), x 6 S2. Тогда площадь сечения В равна величине Проверим, что сужение А на подпространство ®kxL0V2k четных функций имеет тривиальное ядро. Из этого факта можно получить решение задачи Минковского. Действительно, это означает, что четная функция / одно- однозначно определяется своим образом Af. В частности, Af = const влечет / = const. Теперь мы воспользуемся тем, что А является сплетением для Т. По лемме Шура он сводится к скаляру ск на любом неприводимом подпро- подпространстве У*. Для нахождения этого скаляра воспользуемся равенствами и (АЬк)A) — ?*@). Ввиду упражнения 9 сп = 0 при нечетном », с2к = gg = (-1)* 'll^2^ Ф 0. Для решения спектральной задачи заметим, что оператор Лапласа — Бельтрами Д также является сплетающим оператором для Т. Действи- Действительно, Д = X2 + У2 + Z2, где X, Y, Z — образующие вращений вокруг координатных осей: X — ydz — zdy, Y = zdx — xdz, Z = xdy — ydx. Та- Таким образом, вычисление собственного значения А^ оператора Д на V* — это частный случай вычисления инфинитезимального характера (см. лек- лекцию 6). Удобно использовать следующее определение оператора Лапласа— Бель- Бельтрами на многообразии Римана. Пусть Ас — оператор усреднения по сфере с радиусом г и центром в данной точке. Тогда Так как (AcLk)(l) = ifc(cose), нетрудно видеть, что (AeLk)(l) м Lk{\) - jL'k(l),
134 Лекция 5. Гармонический анализ на однородных многообразиях Это дает ответ на спектральную задачу: Итак, Д имеет ряд собственных значений —k(k + 1) = 1/4 — (k + 1/2J с кратностями 2к + 1,к = О,1,2,... . Упражнение 10. Вычислить след оператора Д~21 в пространстве функций с нулевым средним. Ответ. 1. Векторные функциональные пространства и линейные операторы Далее мы будем, в основном, рассматривать бесконечномерные век- векторные пространства. Как правило, это будут пространства функций (или классов эквивалентных функций) на многообразии. Приведем некоторые сведения о таких пространствах и линейных операторах на них. . Пространства гладких функций на многообразии. Сначала рассмотрим про- пространство А(М) гладких функций с компактным носителем на гладком п- мерном многообразии М. Это топологическое пространство, и сходимость /к -> /определяется следующим образом: (a) носители всех функций Д и / содержатся в компактном множестве КсМ, (b) в любой локальной системе координат {U,{x\...,xn}) последова- последовательность {fk{x1,.. .,хп)} сходится к /(г1,.. .,х") равномерно на U П К вместе со всеми своими производными. Обозначим через А*(М) двойственное пространство, т. е. пространст- пространство всех линейных непрерывных функционалов на А(М). Обычно элементы А*(М) называют распределениями на М. Элементы А(М) иногда называют основными функциями. Значение распределения F на основной функции / обозначается через (F,f) или / Ff. м Теперь мы рассмотрим другой путь обобщения понятия функции на гладком многообразии. Пусть В{М) — пространство гладких плотностей с компактным носителем в М. Элементы двойственного пространства В*(М) называются обобщенными функциями на М. Если М — ориентированное многообразие и фиксирована дифферен- дифференциальная форма высшей степени vol, можно отождествить А(М) и В(М) с помощью / ~* / • vol. В этом случае можно отождествить обобщенные функции и распределения. Заметим, что результат отождествления зави- зависит от выбора формы объема. Во многих случаях (как, например, для R" или других однородных пространств с инвариантной мерой) существует естественная форма объема и практически нет различия между распре-
2. Векторные функциональные пространства 135 делениями и обобщенными функциями. В более деликатных ситуациях важно различать эти понятия. Любая обычная локально интегрируемая функция7 д может рассмат- рассматриваться как обобщенная функция. Если М ориентируемое и форма объема vol фиксирована, мы определяем распределение Ц .— д ¦ vol no формуле C, /) = / gf ¦ vol. м Распределения такого вида называются регулярными. Замечание 2. Конечно, не все распределения регулярны. Простейший пример нерегулярного распределения — это знаменитая J-функция Дира- Дирака. Первоначальное физическое определение ^-функции, сосредоточенной в точке т0 6 М, было следующим: <Jmo равна нулю вне точки т0, принимает значение оо в точке т0 и М В течение четверти века физики использовали это определение, не- несмотря на настойчивые уверения математиков, что такой функции не су- существует. Лишь много позже была создана математическая теория распре- распределений, и J-функция получила следующее математическое определение: <Jm0 — эт0 распределение, определенное формулой (Smo,f) = /(m0). Пространство распределений является топологическим пространством: мы полагаем lim Fk = F, если \im (Fklf) = (F,f) для любой основной к —юо к—юо функции /. Оказывается, что отображение Л(М) м- А*(М) : д >-> <? в действитель- действительности является непрерывным вложением в виде плотного подпространства, что позволяет рассматривать распределения как пределы обычных функ- функций и продолжать "по непрерывности" основные операции для гладких функций на распределения. В связи с этим мы приведем три главных примера. 1. Умножение на гладкую функцию. Пусть <р g С°°(М) и Mv — линей- линейный оператор на А(М), заданный формулой Mvf — ff. Тогда для любой основной функции / € А(М) имеем (M^9,f) = (9,Mvf). B9) Теперь предположим, что д изменяется таким образом, что 'д приближает- приближается к распределению F. Тогда правая часть B9) имеет предел (FjM^f) и можно определить действие Mv на F по непрерывности: (MvF,f) = (F,Mvf). C0) тПод локально интегрируемой функцией мы подразумеваем здесь функцию, которая интегрируема по Лебегу в любой координатной карте с компактным замыканием.
136 Лекция 5. Гармонический анализ на однородных многообразиях 2. Дифференцирование вдоль гладкого векторного поля. Рассмотрим ? € Vect M как дифференциальный оператор первого порядка на А(М) в локальных координатах (?д)(х) = ?'(хЩд(х). Имеем J м что приводит нас к следующему определению где div^ { = — дивергенция поля f относительно w. В частности, если ы мы используем унимодулярную систему координат ш = d"x := dxxA- ¦ -Adxn, Эти рассуждения приводят нас к следующему определению ?F: «*¦./> = (*",-К+ <И*ТО|Щ>- C1) 3. Диффеоморфизм (или замена переменных). Рассмотрим диффео- диффеоморфизм Ф : М —»• М. Выберем системы координат {г1,. ..,г"} и {у1,..., уп} такие, что х' = Ф'(у). Тогда где 3(Ф~1) — якобиан det\\dyk/дхЦ\. Эти рассуждения приводят к следу- следующему определению замены переменных для распределений: {^оФ,/) = (^,/оф-1.7(ф-1)). C2) Упражнение 11. Проверить, что a(x)S'Bx) = \a@)S'(x) - \a'@N(x). Указание. Сделать подстановку х — у/2 в интеграле оо f a(x)S'Bx)f{x)dx -оо и проинтегрировать по частям. Закончим этот раздел теоремой Шварца. Теорема 5. Пусть А — непрерывный линейный оператор из А(М) в A*(N). Тогда существует распределение а € А*{М х N) такое, что для любых f € А(М) и g e A{N) (Af,g) = {a,fxg). Благодаря этой теореме можно рассматривать любой оператор в функ- функциональных пространствах как интегральный оператор с обобщенным ядром
2. Векторные функциональные пространства 137 формула (Af)(y) = J a(x,y)f(x)dx м должна интерпретироваться как равенство распределений (Af, g) = J (Af){y)g(y)dy = jj a(x, y)f(x)g(y) :=(a,fxg). M MxM Такой подход очень полезен при изучении сплетений между индуцирован- индуцированными представлениями. 2. Гладко индуцированные представления группы Ли. До сих пор мы использо- использовали термин "индуцированное представление" только применительно к ко- конечной группе G. Если мы захотим распространить это понятие на случай групп Ли, то основная трудность возникнет при нахождении правильно- правильного аналога пространства Lc(G). Мы не можем использовать пространство Lc(G) всех комплексных функций на G. Хотя пространство A(G) глад- гладких финитных функций (см. лекцию 1) может показаться более удачным выбором, но это пространство имеет существенный недостаток: для неком- некомпактных подгрупп Н пространство V — {W®A{G))H тривиально (сводится к {0})! В связи с этим мы введем пространство Ah{G) С C°°(G) гладких функций на G, носители которых компактны по модулю Н. Это означает, что при естественной проекции р : G —*• X = H\G носители этих функций переходят в компактные множества. Мы модифицируем определение из п. 1.3 следующим образом. Определение 4. Пусть G — группа Ли, И — замкнутая подгруппа и (/>, V) — конечномерное комплексное представление Н. Гладко индуциро- индуцированное представление S Ind^ р действует в пространстве W = (V ® Ah{G))h гладких У-значных функций F на G таких, что (a) F(hg) = p(h)F(g), (b) p(supp F) компактно. A1') Представление действует согласно формуле ((SInd% p)(g)F)(g') = F(g'g). A2') Для группы Ли, так же, как для конечной группы, процедура индуци- индуцирования приводит к наиболее интересным представлениям. Замечательно, что теорему 4 из п. 1.3 можно адаптировать к рассматриваемой ситуации, но сначала мы сделаем несколько замечаний общего характера. Обсудим геометрическую природу пространства W ~ (V ® A(G))H, в котором действует индуцированное представление. Напомним, что в простейшем случае, когда (р, V) — тривиальное одномерное представление Я, это пространство отождествляется с функциональным пространством А(М), М = H\G. Оказывается, что в общем случае это пространство состоит из гладких финитных сечений некоторого векторного расслоения над М. Изучение векторных расслоений над гладкими многообразиями — довольно трудная
138 Лекция 5. Гармонический анализ на однородных многообразиях геометрическая и топологическая задача. Однако в случае G-векторных расслоений над однородными многообразиями эта задача сводится к чисто алгебраическим вопросам. Теорема 6. Пусть G — группа Ли, Н — замкнутая подгруппа и М = H\G — правое однородное G-многообразие с начальной точкой т0 = {#} € М. Тогда справедливы следующие утверждения. (a) Существует естественная биекция между G-векторными расслое- расслоениями Е над М со слоем V над та0 и линейными представлениями р группы Н в V. (b) Глобальное пространство Е изоморфно ind# V = G x V. н (c) Пространство гладких финитных сечений Е, как G-векторного пространства, изоморфно Slnd^ V — (Ah(G) х V)h. Доказательство. Данное утверждение есть "гладкий" вариант части принципа двойственности Фробениуса (см. п. 1.3). ? 3. Теорема о ядре и сплетающие операторы. Теперь рассмотрим структуру сплетающих операторов между двумя гладко индуцированными представ- представлениями. Пусть G — группа Ли, Н и К — две замкнутые подгруппы G и (п, V), (р, W) — конечномерные представления этих подгрупп. На основе теореме о ядре и рассуждений из п. 1.3 можно показать, что любое G-эквивариантное отображение из S Ind# V в S Indjj W соответствует End(K, 1У)-значному распределению а на G такому, что . • a(kgh) = p(k)of(g)oK(h). B2') Обратно, если распределение а удовлетворяет B2'). можно определить оператор А : lnd%V -> (Indf Wf по формуле (AF,G) = {a,F x G). В п. 1.3 мы неявно использовали канонический изоморфизм (ind^W)" ~ Ind^ W. В бесконечномерной ситуации мы можем лишь надеяться, что область значений оператора А лежит в Ind? W С (Ind? W)". Итак, вместо равенства в теореме 4 мы имеем верхнюю оценку. Теорема 7. Число сплетения i(SInd^ V,SInd? W) не превышает числа линейно независимых End(Vr, Ш)-значных распределений на G, удовлетворя- удовлетворяющих условию B2 '). Приложения этой теоремы к практическим вопросам часто связаны с интересными и нетривиальными проблемами теории распределений. Не- Некоторые из таких задач приводятся ниже. 4. Унитарно индуцированные представления группы Ли. Поскольку мы инте- интересуемся унитарными представлениями, нам потребуется распространить понятия функтора ограничения и функтора индуцирования на категории унитарных представлений группы Ли G и ее подгруппы Ли Я. Определение Res^ очевидно. Что касается Ind^, ситуация несколько сложнее. Пусть (р, V) — унитарное представление подгруппы Н. Гладко инду- индуцированное представление SInd^/> действует в пространстве гладких фи- финитных сечений некоторого векторного расслоения Е над М = H\G и,
3. Представления SLB, К) и SLB, С) 139 как G-векторное пространство, изоморфно (V ® Ah{G))h . Это простран- пространство априори не имеет G-инвариантного скалярного произведения. Отме- Отметим, однако, что существует естественная двойственность, которая каж- каждой паре сечений вг и s2 расслоения Е ставит в соответствие функцию {si,s2) € А(М) такую, что (s1,s2)(Hg) = (F1(g),F2(g))v, C3) где F\ и Fi — элементы (V ® Ah(G))h, представляющие данные сечения, и (¦, )v — скалярное произведение в V. Действительно, У-значные функции Fj(g) удовлетворяют A1'), Сле- Следовательно, правая часть C3) есть скалярная функция, равная константе на правых классах смежности по модулю И. Таким образом, мы можем рассматривать ее как функцию на М. Кроме того, эта функция имеет компактный носитель ввиду второй части A1'), если плотность ц на М интеграла / (si.sj) • I* имеет смысл. Это наблюдение приводит к следую- м щей процедуре. Пусть | vol I1/2 — линейное расслоение полуплотностей на М (см. лек- лекцию 4). Положим Е = Е® Ivoll1/2. Это G-расслоение с естественным G-инвариантным скалярным произведением финитных сечений. Согласно теореме 6 расслоение Е соответствует некоторому представлению Я. Не- Несложно определить это представление. Напомним, что линейное расслоение Ivoll1/2 полуплотностей на М соответствует одномерному представлению т группы Я, которое действует в одномерном пространстве Ст — С по формуле r(h) — (det AdB/(J(ft)I/'2. Итак, мы определяем унитарно индуциро- индуцированное представление U Ind^ p как унитарное представление, продолжающее SInd^r(/>® г) на гильбертово пополнение пространства ind§G® Ст). . Представления SLB, R) и SLB, С) Исторически, эти группы были первыми примерами некомпактных полупростых групп Ли G, для которых множество G было вычислено явно (см. [Ва] и [GN]). 1. Основное аффинное пространство и представления основной серии. Положим G = SLB,K), К = К, С, и обозначим через В борелевскую подгруппу G верхних треугольных матриц 6 = ( „ *1 ), t € Кх, s € К. (Как обычно, К* обозначает мультипликативную группу ненулевых элементов К.) Пусть в — мультипликативный характер поля К, т. е. непрерывный гомоморфизм из К* в С*. Определим одномерное представление р$ группы В по формуле рв(Ь) = 9(t). Пусть тг« = SIndf рв — соответствующее ее гладко индуцированное представление.
140 Лекция 5. Гармонический анализ на однородных многообразиях Упражнение 12. Показать, что общий мультипликативный характер К* имеет вид (a) для К - К: 0?,A(i) = (sgni)? • |<|\ где е = 0,1 и А € С, (b) для AT = С: 0„,а(*)=(щ) -|*1\ гдеп€2и А € С. Заметим, что в обоих случаях |#(J)| = |i|ReA. Указание. При АГ = Ж рассмотреть 0 как обобщенную функцию и про- проверить, что она удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению в' = с ¦ в. При К — С использовать разложение С* = R+ х Т и рассмотреть по отдельности ограничения в на R+ и Т. В силу основного уравнения, как в п. 1.3, получаем Заметим, что тг» действует в пространстве гладких сечений некоторого линейного расслоения над 9*{К) и формула C4) выражает это действие через (негладкое) сечение этого линейного расслоения над К С P1(/f).8 Представление тгв допускает также геометрическую реализацию. Стан- Стандартное линейное действие группы G = SL{2, К) на плоскости К2 имеет две орбиты: начало координат {0} и дополнение А к началу координат. По- Последнее дает пример так называемого основного аффинного пространства.9 Действие G на А коммутирует с растяжениями v i->- tv, t € Kx. Фиксируем мультипликативный характер в. Будем говорить, что функция / € С°°(А) однородна типа в, если f(tv) = 9(t)f(y) при t € К*. Предложение 2. Естественное представление щ группы G в простран- пространстве гладких однородных функций типа в эквивалентно гладко индуциро- индуцированному представлению 5SIndg/>e. Идея доказательства. Однородные функции на А можно отождеств- отождествлять с сечениями G-расслоения над ?Х(К) — G/B, определенного характе- характером рв группы В. D Выберем простейшую эрмитову форму к где \dx\ — мера Хаара на К, и исследуем, когда эта форма инвариантна относительно G-действия. Имеем 8 В теории унитарных представлений можно не учитывать исключительную точку оо ? Р1(К), так как в данном случае мы имеем дело с гильбертовым пространством, элементы которого суть не функции, а классы эквивалентных функций, определенных почти всюду. 9В теории представлений полупростых групп основное аффинное пространства опре- определяется как G/N, где N — унипотентный радикал борелевской подгруппы В с G. Это квазиаффинное алгебраическое многообразие (открытая область в аффинном многооб- многообразии).
3. Представления SLB,ffi) и 51B, С) 141 \dx\ К ax + 7 Последнее равенство получено с помощью замены переменных -= ?¦ >-»• i/. рх +о При этом рх +о где <f = dime К (т. е. d — I при AT = R и d = 2 при К = С). Представление тг^ унитарно тогда и только тогда, когда Re A = —d. (Фактически, щ совпадает cUIndf рв/щ) Положим А = —d +ir и определим основную серию унитарных пред- представлений SLB,K) по формуле = (sgn к= ) C5) Рассмотрим сплетения между построенными представлениями при к =К. Теорема 8. Нетривиальные сплетения существуют только при выпол- выполнении следующих условий: (a) ?i = ?2 и и = гг (тогда любой скалярный оператор является спле- сплетением), (b) Е\ — Е2 — е a ri — —гг = г (тогда оператор C6) является сплетением). Доказательство следует общей схеме из п. 2.3. Мы поясним лишь детали, характерные для данного частного случая. С помощью теоремы Шварца запишем сплетение между ir$i и ng в виде (Sf)(x) = Js(x,y)f(y)dy, где s(x,y) — обобщенное ядро на К х К. Тогда условие 5отг«'(з) = ne(g)°S принимает вид к
142 Лекция 5. Гармонический анализ на однородных многообразиях После замены переменных у > d\ мы получаем соотношение Py + S dy в правой части в силу равенства C7) Строго говоря, чтобы найти s(x,y), надо перейти от C7) к системе дифференциальных уравнений. Однако заметим, что наше обобщенное яд- ядро определено на гладком компактном многообразии Р1(Л") х Р1(АГ) и соот- соотношение C7), записанное в локальных координатах, включает только глад- гладкие функции. Следовательно, обобщенные решения этих уравнений явля- являются обычными функциями. С учетом этого факта, для определения s(x, у) можно использовать непосредственно C7). Сначала положим а = S = 1 и ,3 = 0. Тогда s(x, у) = s(x+-/, y+f) и, следовательно, s(x, у) = И(х — у). Далее положим /3 = 7 = 0и<$ = а. Тогда s(x,y) = s(a2x, о2у)в(а)~1в'(а)~1 и, следовательно, ?(a2i) = 0{a)9'{a)'s(t). Наконец, при а = S = 1 И7 = 0 six- у) = . Сравнивая последние два равенства, заключаем, что в' = в и, следова- следовательно, s(x, у) = const -в(х — у). О Для дальнейшего мы вычислим инфинитезимальный характер пред- представления я-Е|Г.10 Стандартный базис в g = sIB,M) состоит из матриц - -с;)- При представлении ж?:Г(Н) = 2х— - ах эти элементы переходят в следующие: tr, = -х2— + (l-tr)r, ах ах Центр Z(g) обертывающей алгебры U(q) порождается единственным эле- элементом С — Н2 + 1EF + 2FE. Прямые вычисления показывают, что тге,г(С) является скалярным опе- оператором с собственным значением —A + г2). Это собственное значение определяет инфинитезимальный характер тг?]Г и зависит только от класса эквивалентности представления. Следовательно, представления основной серии я>1Г1 и я-С2,г2 могут быть эквивалентными только при г\ = г2. За- Заметим, что теорема 8 устанавливает более точный результат: эквивалент- эквивалентность ?Ге1|Г1 ~ я-?2,г2 влечет е2 = е2 и п = ±гг. Замечание 3. Случай г = 0 исключительный: соответствующие пред- представления я-Е]о допускают нескалярные сплетения с собой. '"Определение и свойства инфинитезимальных характеров приведены в лекции 6.
3. Представления 51B, К) и 5LB, Q 143 Можно проверить, что тго,о действует в пространстве полуплотностей на Р1 и я-1,0 действует в пространстве нетривиальных полуформ на Р1. На самом деле первое представление неприводимо, а второе распадается в сум- сумму двух подпредставлений nf0. . Плоскость Лобачевского и дискретная серия для S?B, К). Оказывается, что при К = С представления основной серии образуют подмножество полной меры Планшереля (хотя они все еще не исчерпывают полностью G). При К = К, как и в случае конечных полей, это не так. Регуляр- Регулярное представление G — 5LB,R) содержит ряд унитарных неприводимых представлений иного вида, который называется дискретной серией. Для построение таких серий мы рассмотрим другое однородное G- многообразие. Пусть Я — верхняя полуплоскость комплексной плоскости С. Группа G действует на Я теми же дробно-линейными преобразова- преобразовала /?\ аг + т тт ниями: g = х : z >->¦ -. Легко проверить, что стабилизатор \1 ") pz + S точки г € Н совпадает с подгруппой 5OB,R) С 5LB,R). В данном слу- случае действие G на Я будет голоморфным. Поэтому можно рассмотреть голоморфно индуцированные представления, действующие в пространстве голоморфных функций на Н. Более точно, мы рассматриваем гильбертово пространство %п голоморфных функций на Я с G-инвариантным скаляр- скалярным произведением C8) Явная формула для представлений (полученная, как обычно, из основ- основного уравнения) имеет вид Ш)' °2- C9) Представления П„, двойственные представлениями П^, образуют дру- другую дискретную серию. Они действуют в пространстве %п антиголоморф- антиголоморфных функций на Я. Иногда эти серии называют аналитическими и анти- антианалитическими сериями соответственно. Ввиду условия п ^ 2 в C9) %п — ненулевые пространства. Интеграл C8) сходится для подходящих голоморфных функций на Я.11 Здесь мы закончим наше исследование. Интересующийся читатель может обратиться к книгам [Kn], [La], где подробно изложен гармоничес- гармонический анализ на G. 11 При п = 1 интеграл C8) может быть "регуляризован". Соответствующие представ- представления rii, Hi эквивалентны неприводимым компонентам тг*0 серий тт1 0 (см. замечание 3 выше).
Лекция 6 ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВ ДЛЯ ГРУПП ЛИ Обобщенные характеры 144 1.1. Операторы в гильбертовом пространстве 144 1.2. Определение обобщенных характеров 149 1.3. Два примера 151 Инфинитезимальные характеры 154 2.1. Универсальная обертывающая алгебра и ее центр 154 2.2. Отображение симметризации 156 2.3. Центр обертывающей алгебры 158 2.4. Определение инфинитезимальных характеров 159 2.5. Пример 161 Одним из наиболее мощных методов теории представлений конечных групп является теория характеров. Эту теорию нельзя применять непосредствен- непосредственно в бесконечномерной ситуации, поскольку унитарные операторы никогда не принадлежат классу операторов со следом. Однако имеется две моди- модификации — обобщенные и инфинитезимальные характеры — которые в данном случае оказываются полезными. В этой лекции мы рассмотрим эти модифицированные понятия характера. . Обобщенные характеры Большим продвижением, независимо сделанным И. М. Гельфандом и Хариш-Чандра в 50-е годы, явилось введение понятия обобщенного характе- характера. Для определения обобщенного характера нам потребуются некоторые сведения из теории операторов в гильбертовом пространстве. 1. Операторы в гильбертовом пространстве. Пусть Я — вещественное или комплексное гильбертово пространство. Обозначим (х, у) скалярное произ- произведение в Я. Длина вектора х е Я обозначается |х| и определяется равен- равенством |х| = у/(х,х). Множество {xfc}fc?N называется 144
1. Обобщенные характеры 145 • ортонормированной системой в Я, если (xk,Xj) — Sk,j, • ортонормированным базисом, если, кроме того, выполнено следующее условие полноты: если (х, Хк) — 0 для всех к, то х — 0. Хорошо известно, что любой вектор 1бЯ можно однозначно записать как бесконечную линейную комбинацию1 базисных векторов: х — J2ci<zk, к где ci, = (х, Хк) — коэффициенты. Пример 1. Пусть X — множество с мерой /л. Обозначим через L2(X, ц) множество вещественных /j-измеримых функций на X со скалярным про- произведением (f,g)=Jf(x)g(x)dn(x). Строго говоря, мы должны рассматривать не функции, а классы эквива- эквивалентных функций: две функции эквивалентны, если они совпадают почти всюду, т. е. множество точек, в которых они не совпадают, имеет Меру нуль. Однако, следуя общей традиции, мы пренебрегаем этим замечанием и будем называть элементы Ь2(Х,/л) просто "функциями". Комплексным вариантом этого пространства является пространство Ь%,(Х,/л) комплекснозначных /j-измеримых функций со скалярным произ- произведением U,g)= j f{x)glx)dix{x). х Во многих приложениях X — гладкое многообразие М и мера ц задана гладкой плотностью или дифференциальной формой старшей степени. Существует много замечательных примеров ортонормированных ба- базисов в гильбертовых пространствах типа Ь2(М,ц) или L$,(M, /i). Наиболее известен следующий Пример 2. Система функций на S1 = M/Z еп(х) = е2™*, пег, A) образует ортонормированный базис в L"q{S1 ,dx)? Пусть / — функция на S1 (или периодическая функция с периодом 1 на прямой К). Разложение / в линейную комбинацию еп(х) называет- называется рядом Фурье функции /. Это разложение является главным примером и объектом изучения коммутативного гармонического анализа. Одна из 'Заметим, что бесконечная линейная комбинация — понятие не алгебраическое, а топологическое. Для его определения требуется ввести понятие предела: 20тметим одно любопытное свойство этой системы: значительную часть математи- математических результатов можно записать, используя лишь буквы из этого выражения е2тгпх,
146 Лекция в. Теория характеров для групп Ли целей теории представлений и некоммутативного гармонического анализа состоит в обобщении этого примера на другие однородные многообразия. Линейный оператор А на Я непрерывен тогда и только тогда, когда конечна норма = sup J^l = sup \Ax\. B) В этом случае А называется ограниченным оператором. Множество всех ограниченных операторов в Я образует банахово про- пространство С(Н) относительно нормы B). Определим некоторые важные классы ограниченных операторов. • Множество ?о(Я) всех операторов конечного ранга (т. е. операторов с конечномерным образом). • Замыкание ?о(#) по норме. Этот класс обозначается К-(Н), и соот- соответствующие операторы называются компактными. • Класс ?г(Я) операторов Гильберта — Шмндта определяется следую- следующим условием: для некоторого ортонормированного базиса {х,} ||A||b~X;|Aa:.-|4oo. C) На самом деле для таких операторов ряд C) сходится в любом базисе и сумма не зависит от выбора базиса. Класс С.2(Я) является гильбертовым пространством со скалярным произведением Опять же, сумма не зависит от выбора ортонормированного базиса {г,}. • Множество Ci(H) операторов со следом. Это замыкание Cq(H) по следовой норме ||Л||,г= sup \b{AB)\. E) \\BUi Известно, что пространство ?i(Я)*, снабженное следовой нормой, двойст- двойственно пространству ?(Я), а двойственное ему пространство С\(Н) совпа- совпадает с пространством ?(#), снабженным обычной нормой B). Основные свойства операторов со следом указаны в следующей теоре- теореме. Теорема 1. Пусть А — оператор со следом. Тогда справедливы следу- следующие утверждения. (a) А можно записать как произведение ВС двух операторов Гиль- Гильберта — Шмидта и, обратно, произведение ВС любых двух операторов Гильберта — Шмидта является оператором со следом. (b) Ряд ^(^4i,-,ri) сходится абсолютно. Сумма этого ряда, называе- мая следом А и обозначаемая tr А, не зависит от выбора базиса. (c) Множество С\{Н) операторов со следом образует двусторонний идеал алгебры С{Н) всех ограниченных операторов на Н, и справедлива
1. Обобщенные характеры 147 оценка \\АВС\\ы ^ IHH|B||tr||C|| для всех В е А (Я) иА,Се С(Н). (d) Если хотя бы один из операторов А или В имеет след, то tr(AB) = Ът(ВА). Схема доказательства. Рассмотрим полярное разложение А — RU опе- оператора А в пространстве Я, где Д — неотрицательный самосопряженный оператор (т. е. (Rx,x) ^ 0 для всех х € Я) и U — частичная изометрия (т. е. U — изометрия замкнутого подпространства Hi С Я на замкну- замкнутое подпространство Яг С Я, равная нулю на Я/-). Полярное разложение существует для любого оператора А е ?(Я) и единственно при дополни- дополнительном требовании kerf/ = кег А. Если А € А (Я), то тем же свойством обладает R = AU*. Однако самосопряженный неотрицательный оператор R имеет след тогда и только тогда, когда R компактный и в подходящем ортонормированном базисе {г,} записывается в виде Дх,- = А,-яг,-, где А,- — неотрицательные числа такие, что Определим оператор д/Д по формуле л/Дя, = \/А,-яг,- и положим В = л/Д, С = y/RU. Тогда В и С — операторы Гильберта — Шмидта и А = ВС. ? Точно так же доказывается следующая полезная Лемма 1. Любой оператор А е Ci (Я) можно записать в виде А = J^Ai, i где rk Л, = 1 и ряд сходится в следовой норме. Все утверждения теоремы 1 можно легко вывести из этой леммы. Предупреждение. Равенство tr(AB — ВА) = 0 может не выполняться, если An В ограничены, но не имеют следов. Например, пусть Я — стан- стандартное ^-пространство последовательностей х = {х*}*бк- Определим А и В — А* по формуле Тогда АВ — ВА — это проектор Pi на первую координатную ось. Таким образом, tv(AB — В А) = 1. К сожалению, нет простых выражений ни для ||А||, ни для ||j4||tr в терминах матричных коэффициентов о,-,* := (Axj,Xk). Лишь в некоторых частных случаях эти нормы можно явно вычислить. Пример 3. Пусть А — оператор с диагональной матрицей ajk — Sjkih- Тогда ||A||tr = Z \ak\, \[A\\BS = ? M2, \\A\\ = suPfc \ak\. k k Этот пример указывает аналогию между Ci (Я), ?2(Я) и С(Н), с одной стороны, и классическими пространствами последовательностей /ь 12 и
148 Лекция в. Теория характеров для групп Ли 'оо, с другой стороны. Возникает естественный вопрос: существует ли операторный аналог других пространств 1р при 1 < р < оо? Ответ "да". Это пространство СР(Н) — так называемый р-й идеал Шаттена в С(Н). Элементы этого пространства характеризуются свойст- свойством \\A\\f, := tT(AA*)?'2 ^оо. Наиболее важные примеры операторов Гильберта — Шмидта и опера- операторов со следом доставляют интегральные операторы, которые действуют на пространстве L2(M,n) по формуле F) м где а(х, у) — функция на М х М, удовлетворяющая некоторым условиям, обеспечивающим существование интеграла. Эта функция часто называет- называется ядром оператора А. (Не путать с алгебраическим ядром оператора А, т. е. с пространством решений уравнения Af = О!) Несложно сформулировать необходимое и достаточное условие, когда интегральный оператор А будет оператором Гильберта — Шмидта: ядро должно принадлежать L2(M x M,ц х ц). Более того, в этом случае \\A\?hs = МхМ Что касается класса операторов со следом, то здесь ситуация более тонкая. Мы сформулируем лишь некоторые достаточные условия. Теорема 2. (а) Пусть М — компактное многообразие, ц — гладкая мера и а — гладкая функция на М х М. Тогда интегральный оператор А, заданный формулой F) в Н = L2(M, /л), имеет след и справедливо равенство . G) м (Ь) Пусть М — произвольное многообразие. Предположим, что интег- интегральный оператор А, заданный формулой F), положительный (т. е. (Af, f) }> О для всех f e Я) и имеет непрерывное ядро а(х,у). Тогда А имеет след и справедливо равенство \\A\\tr =trA = J a{x,x)dn(x). м (с) Пусть А — интегральный оператор на L2(R", d"x) с ядром а(х, у) из пространства Шварца 5(К2"). Тогда оператор А имеет след и справедливо равенство G). Схема доказательства, (а) С помощью разбиения единицы на М х М рассмотрение сводится к случаю интегрального оператора на L2(К", d"x) с ядром из А(Ш2п). В свою очередь, этот случай вытекает из случая интег- интегрального оператора на L2(T",d"t) с гладким ядром. Для такого оператора задачу можно легко решить, разложив ядро в ряд Фурье.
1. Обобщенные характеры 149 (b) Аппроксимируем а ядрами an б А и используем равенство ||A||tr = trA для положительных операторов. (c) Рассмотрим оператор Вп на С°°(К"), заданный формулой d2 В частности, при п = 1 имеем #1 = х2 — -r-г. Хорошо известно, что спектр этого оператора 3 состоит из нечетных целых чисел Л* = 2к + 1, к = 0,1,2,... и <Рк(х) = Нк(х)е~х I2 — соответствующие собственные функции, где Нк(х) = (—1)кех2—¦zE~** — полиномы Эрмнта. Следовательно, опе- оператор В2 имеет обратный оператор Bj~2, который является положитель- положительным оператором с собственными значениями -т--—~г^, к ^ 0. Так как Е 7^7 Г^ < °°. оператор Bf2 имеет след. Аналогично рассуждая, заключаем, что В% имеет обратный оператор B~N со следом для любого N > п. Теперь перепишем интегральный опера- оператор А в виде А — B~NВ„ А и заметим, что первый множитель имеет след, а произведение В„А ограничено (как интегральный оператор с ядром из пространства Шварца). Таким образом, А € ?i(L2 (Шп, dx")) и отображение анЛиз 5(К") в Ci(L2(Rn,dxn)) непрерывно, поскольку ||Л||1г ^ \\В~%Г ¦ \\В%А\\. Равен- Равенство G) можно установить, аппроксимируя ядро а(х,у) так называемыми м вырожденными ядрами вида ам(х,у) = JZ <рт(х)Фт(у)- ? m=i Замечание 1. Метод доказательства (с) можно обобщить на случай произвольного многообразия, на котором существует дифференциальной оператор В, имеющий обратный оператор со следом. Если интегральный оператор А имеет ядро а е С°°(М х М) и это ядро убывает достаточно быстро, так что оператор ВА ограничен, можно заключить, что А имеет след. 2. Определение обобщенных характеров. Пусть G — группа Ли и тг — беско- бесконечномерное унитарное представление группы G в гильбертовом простран- пространстве Н. Фиксируем пространство Т основных функций на G. Например, Т = A(G) — пространство гладких финитных функций на G. Отметим, что в некоторых случаях мы должны использовать более узкое пространство, определенное некоторыми дополнительными ограничениями. Для ip б Т определим оператор п(<р) по формуле (n(ip)x,y) = / <p(g){ir(g)x,y)dg для любых х,уеН, (8) 3См. подробности в лекции 8.
150 Лекция в. Теория характеров для групп Ли где dg— мера на G, определенная некоторой дифференциальной формой на G старшей степени. 4 Определение 1. Предположим, что для любого <р € Т оператор ж(<р) имеет след. Тогда соответствие р м- tTn(tp) будет распределением на G, которое мы обозначим через Хтг и назовем обобщенным характером ж. Замечание 2. Если ж — конечномерное представление с обыкновен- обыкновенным характером Хк[д) — tur(j), то обобщенный характер ж всегда сущест- существует и является регулярным распределением, заданным Хп(з)^9- Для бесконечномерных распределений существование обобщенного ха- характера не очевидно и, вообще говоря, не всегда имеет место. В 60-е годы в теории представлений было сделано замечательное от- открытие: было установлено существование двух типов локально компакт- компактных топологических групп с абсолютно различным поведением в рамках теории представлений. К первому типу относятся группы типа I или руч- ручные группы, а ко второму — группы не типа I или дикне группы. Точные определения можно найти в [Ki4], [Ki9] или [Di2]. Здесь мы лишь заметим, что все компактные группы, связные полупростые группы Ли, экспонен- экспоненциальные группы Ли, алгебраические группы Ли над полем вещественных, комплексных или р-адических чисел являются группами типа I. С другой стороны, большинство дискретных групп дикие. Исключением являются лишь расширения конечных групп абелевыми группами.5 Среди разрешимых групп Ли имеются как ручные, так и дикие груп- группы. Критерий, различающий эти случаи, будет дан ниже в терминах ме- метода орбит. Перечислим общие свойства обобщенных характеров. Теорема 3. (а) Пусть G — ручная группа и ж — унитарное неприво- неприводимое представление группы G. Тогда 6л- имеет обобщенный характер, определенный на подходящем классе основных функций. (b) Если G — вещественная полупростая или нильпотентная группа Ли, то для любого ж € G характер Хж является линейным функционалом на A(G). Для полупростых групп G обобщенные характеры унитарных не- неприводимых представлений регулярны. (c) Пусть группа G ручная и унимодулярная, и пусть dg — двусторонне инвариантная мера. Тогда все обобщенные характеры Ad-инвариантны. (d) Для групп типа I два унитарных неприводимых представления эк- эквивалентны тогда и только тогда, когда их обобщенные характеры совпа- совпадают. Замечание 3. На самом деле лучше определить характер бесконечно- бесконечномерного распределения ж не как распределение (т. е. линейный функционал на пространстве основных функций), а как обобщенную функцию (т. е. ли- линейный функционал на пространстве основных мер). Именно, для основной 4Обычно мы предполагаем, что dg инвариантна или, по крайней мере, левоинвари- на. Для таких групп все унитарные неприводимые представления конечномерны. антна. 5
1. Обобщенные характеры 151 меры /г на G определим = J G и положим (хтг,/*) = tr?r(/j). Одно из преимуществ этого подхода заклю- заключается в том, что обобщенный характер не зависит от выбора меры и Ad- инвариантен для всех ручных групп Ли. Из теоремы 3 ясно, что во многих аспектах обобщенные характеры могут успешно заменять обычные характеры. . Два примера. Первый пример — это группа Гейзенберга Н. Мы рассмотрим матричную реализацию этой группы матрицами вида Она имеет двусторонне инвариантную меру, заданную 3-формой dg — da A db A dc. Существует семейство унитарных неприводимых представлений пц группы Я, которые занумерованы вещественным ненулевым числом ft и действуют на L2(№.,dx) по формуле (см. лекцию 8) ЫЯаАс/) (*) = е2"й(ь*+с>/(* + а). (9) Пусть <р € A(G) — основная функция. Тогда оператор тгц{<р) задается формулой + a)da AdbA dc. A0) G Определим преобразование Фурье функции <р: Ж3 Так как A{G) содержится в пространстве Шварца 5(К3), функция <р также принадлежит 5(К3). В частности, верна следующая формула частичного обращения: J >dc = / v(\,ti,v)e-2iriXad\. Ж2 К Сравнивая эту формулу с выражением A0) для тгд(<р), мы видим, что является интегральным оператором в L2(R, dx) с ядром Kv(x,y) = / ?5(A,ftx,ftc)e Tl': к Так как это ядро является быстро убывающей гладкой функцией (факти- (фактически, оно принадлежит 5(К2)), соответствующий интегральный оператор
152 Лекция 6. Теория характеров для групп Ли имеет след ввиду утверждения (с) теоремы 2 и справедливы равенства trn(<p)= / Kv(x,x)dx = / ip(\,hx,hc)d\Adx. ж ж Используя опять формулу обращения преобразования Фурье, мы заключа- заключаем, что обобщенный характер пц определяется формулой Хь(а,Ь,с)=1-е2'"*ЩаN(Ь). (И) Замечание 4. Результирующая формула A1) может быть получена непосредственно из (9), если мы формально применим G) к вырожденному ядру яц(д) и используем равенства fe2*ihbxdx = 6(hb) = U(b). ж А именно, ядро имеет вид ац(х, у;д) = е2п'^Ьх+с^6(х+а — у). Таким образом, fa(x,x;g)dx= / е2"я(Ьг+<:'<5(а)^ = ~е2"<Пс5(а)8(Ь). ж ж В качестве второго примера мы рассмотрим основную серию пред- представлений п€\ группы G = SLB,R). По определению эти представления унитарно индуцированы одномерными унитарными неприводимыми пред- представлениями треугольной подгруппы В: Однородное пространство X = G/B — это вещественная проективная прямая Р^К). В лекции 5 мы применяли параметризацию X вещественной координатой х и получили реализацию л-?|Л в L2(U,dx) (см. формулу C5) в лекции 5): = (sgn Чтобы показать существование обобщенного характера в этом случае, мы используем компактность пространства X = S1 и параметризуем его комплексными числами z — etS, равными 1 по модулю. Группа G фигури- фигурирует теперь как группа SUA,1,C) комплексных матриц вида '=(;
1. Обобщенные характеры 153 Она действует на 51 дробно-линейным преобразованием z >-»• z ¦ д = = . bz + a Итак, мы получили другую реализацию л-?|Г в пространстве L2(S1,de): (.„(г 3/)«=^)/(g±|), (.2, где A(z, д) — некоторая гладкая функция на X х G. Чтобы связать эту реализацию с предыдущей, заметим, что преоб- преобразование Мёбиуса, соответствующее матрице h — I . _. 1, преобразует вещественную прямую К С С в S1. Поэтому SUA,1, С) = h • 51B, К) • Л. В частности, стабилизатор В С SUA,1,С) точки 1 € S1 состоит из матриц , , . fcoshr+icr sinhr + icr\ , (ег 2<т\ ,^1 m g+ It, a-) = ± . , . , . = ±h [ n _T ft , r a e K, a:Cl ' ' ^sinhr —i<r cosht — ictJ \0 e TJ ' ' ' и индуцирующее одномерное представление имеет вид д± (т, о) >-> (±1)?е'тг. Из A2) немедленно получаем, что при <р б A(G) оператор л-?|Г(у) имеет гладкое ядро и, следовательно, имеет след. Более того, выполняется равен- равенство G), поэтому можно вычислить след, интегрируя ядро по диагонали. На самом деле явное вычисление легче в оригинальной реализации. Группа G = 51B,М) обладает двусторонне инвариантной мерой, за- . Пусть tp(a,l3,7) — основная функ- данной плотностью dg — ция на G. Тогда Г а {3&п(Рх 4- 8)Y\^x + 8\'r .(ax + ~i\ da A dp A df {"^е T\(p)f)\X)-—I (p\Ct, 3* У) J\ 1 ' J \{3х Н~ 8\ V рх ~Ь 8 J cl Мы хотим переписать это выражение в виде интегрального оператора. На- Напомним, что основное уравнение имеет вид откуда следует t = fix + 8, s = /3hj/— — ^. Учитывая этот факт рх + д и соотношение aS — /?7 = 1, запишем координаты а, /?, 7 через t, s, у следующим образом: а = sj/ -И, /3 = s, 7 = гД — sxy -t~1x. Форма объема в новых координатах принимает вид dg = \dt A ds Л dy\. Оператор тЕГ(^) имеет вид интегрального оператора с ядром av(x,y)= r< В силу G) получаем ttVeAv) = / av(x,x)dx - [<p(sx + t-\s, x(t - t'1} - sx2) (sgnt)e\t\-1+ir\dt Ads A dx\.
154 Лекция 6. Теория характеров для групп Ли Рассмотрим последний интеграл более подробно. Покажем, что область интегрирования D не покрывает всю группу. Более точно, D содержит только элементы гиперболического и параболического типа (т. е. с вещест- вещественными собственными значениями t и f). Действительно, имеем A oV1 ft-1 s\ А о\ ^=[x i) [о t){* i) 1 ft-1 <Л А [o t){o i 0 Сужение меры Xaapa dg на D имеет вид dg = \l-t-2\-\dxAdzAdt\. Теперь за- заметим, что каждая точка g из D учитывается дважды параметризацией х, z, t, так как t и t~x играют симметричные роли (они являются собственны- собственными значениями д). Окончательно мы получаем формулу для обобщенного характера: если д имеет вещественные собственные значения t, t в противном случае. -i A3) Заметим, что этот обобщенный характер на самом деле является обычной локально суммируемой функцией на G. Итак, мы можем ввести понятие регуляризованиого следа для унитарного оператора тге,г(э)- . Инфинитезимальные характеры 1. Универсальная обертывающая алгебра и ее центр. Пусть д — алгебра Ли над некоторым полем К. Тогда существует ассоциативная А'-алгебра Цк(в) та- такая, что категории ЯТ-линейных представлений д и [/(д) естественно изо- изоморфны. Мы приведем три определения U(g). Первое, в терминах катего- категорий, более удобно в теоретических исследованиях. Второе, более простое, используется в практических вычислениях. Третье определение связывает это чисто алгебраическое понятие с математическим анализом (в случае К = К или С) и обеспечивает реализацию [/(д) дифференциальными опе- операторами. 1. Рассмотрим следующую категорию Q. Объектами Q являются пары (р,А), где А — некоторая ассоциативная А'-алгебра с единицей (которая может быть различной для различных объектов) и <р — линейное отобра- отображение из д в А такое, что <р{[Х, У]) = <p{X)v{Y) - <p{Y)tp(X) для любых X, Y ? д. A4)
2. Инфинитезимальные характеры 155 Морфизмами Q из (<pi, At) в ((р2,А2) служат коммутативные диаграм- диаграммы вида A5) где ф : Ai —»¦ Аъ — гомоморфизм ассоциативных алгебр с единицей. Теорема 4. (а) Категория Q имеет универсальный объект (г, U(q)), ко- который называется универсальной обертывающей алгеброй д. (Ь) Отображение г : д —»¦ Uk {в) является вложением. Мы не будем вдаваться в детали доказательства. Читатель без труда проведет доказательство самостоятельно, используя альтернативные опре- определения, данные ниже. 2. Пусть {Xi,.. .,Хп} — базис ЛГ-векторного пространства д. Опре- Определим f/(g) как ассоциативную алгебру с единицей над К, порожденную элементами Xk, 1 ^ к ^ п, с отношениями XkXj-XjX^lXk.Xj]. A6) Отображение ig -> f/(g) определяется по формуле ЦХк) = Хк- Не очевидно, что г является вложением. Однако это вытекает из следующей теоремы. Теорема Пуанкаре — Биркгофа — Внтта. Мономы Хк := Xf1 ... X*", fc,- 6 Z+, образуют базис в К-векторном пространстве U(%). 3. Допустим, что К = Ш. Пусть G — группа Ли такая, что Lie(G) = g. Определим Um.(q) как алгебру всех вещественных дифференциальных операторов на G, коммутирующих с левыми сдвигами. Вложение г'д —»¦ G(д) дается формулой i(Xk) = Xk (см. четвертое определение Lie(g) в лекции 3, п. 4.1) Можно дать определение на основе правоинвариантных операторов. Тогда вложение имеет вид i(-Xfc) = — Xk- Диффеоморфизм cr : g >-» д-1 устанавливает эквивалентность обоих вариантов этого определения. Упражнение 1. Показать, что категории Л'-линейных представлений g и [/(д) канонически изоморфны. Указание. Использовать универсальное свойство G(д). Упражнение 2. Показать, что для абелевой алгебры Ли размерности п универсальная обертывающая алгебра изоморфна полиномиальной алгебре К[Хи...,Хп]. Замечание 5. В теории представлений групп Ли символ f/(g), даже в случае вещественных алгебр Ли д, традиционно обозначает комплексную алгебру f/(gc) = #is(g) ® С. Очевидно, что все три данные выше определе- определения могут быть адаптированы для этого случая. В частности, последнее определение обеспечивает реализацию U(g) как алгебры комплексных диф-
156 Лекция в. Теория характеров для групп Ли ференциальных операторов на G. В наших лекциях также f/(g) обозначает комплексную обертывающую алгебру. Упражнение 3. Показать, что следующие категории естественно изо- изоморфны: (i) категории представлений g и [/«(д) в вещественных векторных про- пространствах, (ii) категории представлений g в комплексных векторных пространст- пространствах и категории комплексных представлений дс или U(g). Предупреждение. Категории различных типов не являются изоморф- изоморфными, хотя имеются естественные функторы (i) —»¦ (ii) -> (i). Упражнение 4. Показать, что для вещественной алгебры Ли g = Lie(G) универсальная обертывающая алгебра f/(g) изоморфна алгебре сверток A(G)*e всех распределений на G с носителем в единице е 6 G. Указание. Рассмотреть отображение а : g —»¦ A(G)%, которое преобра- преобразует X 6 g в распределение а(Х) : <р >-> (Х<р)(е). Заметим, что Xf = f*a{X), Xf = a{X)*f. A7) Очевидно, что для неабелевой алгебры Ли g обертывающая алгебра [/(д) некоммутативна. Однако она все еще коммутативна "в первом при- приближении". Уточним это утверждение. Рассмотрим фильтрацию !7(д), т. е. возрастающее семейство подпро- подпространств, определенных по формуле JJklo) — /f-оболочка мономов X,-,, ¦ • ¦ ,Xik, О ^ ц ^ п. A8) Эта фильтрация согласована с умножением в следующем смысле: Поэтому мы можем определить ассоциированную градуированную алгебру gr U(g) := Jogr* U{9), gv" f/(g) = с умножением, которое определено следующим образом. Если a g E4(g), b e Vila) и W. И — их образы в gr* U(a), gr' U(q), to [a] • [b] := [ab] 6 gr*+' U(S). Коммутативность f/(g) "в первом приближении" означает, что ассо- ассоциированная градуированная алгебра gr?/(g) коммутативна и изоморфна полиномиальной алгебре К[Х\,...,Хп] S 5(g). . Отображение симметризации. В предшествующем разделе мы видели, что алгебры U(e) и 5(д) во многом похожи, хотя 5(д) коммутативна, а [/(д) — некоммутативна (для неабелевой алгебры д). Заметим, что алгебра Ли д действует дифференцированиями на обе алгебры U(e) и 5(д). Действительно, оператор аЛХ : д —>¦ д единственным образом продолжается на [/(д) и 5(д) как дифференцирование. (Читателю рекомендуется вывести этот факт из универсальных свойств U(g) и 5(д).) Теорема 5. Пусть К — поле характеристики 0 (например, К = R или С). Тогда справедливы следующие утверждения.
2. Инфинитезимальные характеры 157 (a) Существует единственное линейное отображение sym : S(g) :—»¦ U(q), называемое симметризацией, обладающее свойством eym(X*) = (*ут(Х))к, X € 0. A9) (b) Отображение sym является изоморфизмом ^-модулей. Доказательство, (а) Отображение единственно, так как любой моном Хх...Хк € 5(д), X,- б 0, может рассматриваться как коэффициент при 1 * ci ...сА в TV(Z) СЛ) ¦ Для доказательства существования положим sym^ ...Х„) = i ? sgn(s)sym(XsA))...sym(Xj(A)). B0) Очевидно, что отображение B0) удовлетворяет A9). Более трудная за- задача — проверить, что это отображение корректно определено и линей- линейно. Рассмотрим тензорную алгебру Т(д), которая является свободной Z+- градуированной ассоциативной алгеброй с единицей, порожденной линей- линейным пространством д. Имеем к раз Выбирая базис в д, можно записать элементы Г(д) как некоммутативные полиномы от алгебраически независимых переменных Xi.. .Хп. Это озна- означает, что Т(д) является линейной оболочкой мономов Xit ...XiN, которые линейно независимы для различных "слов" ii.. .ijv- Группа Sn действует на слова длины N, и мы обозначим через TN(g)SN подпространство 5^-инвариантных элементов. Теперь обе алгебры 5(д) и [/(д) могут быть реализованы как фактор- алгебры Т{в). Соответствующие двусторонние идеалы Is и 1и порождают- порождаются XiXj - XjXi в случае S(g) и XtXj -Х,Х{~ с^Хк в случае [/(д). Согласно варианту теоремы Пуанкаре — Биркгофа — Витта проек- проекции ps •¦ Т(д) -> 5(д) и ри : Г(д) -> G(д), ограниченные на TSym(g) := ®k^oTk(e)Sk, являются изоморфизмами векторных пространств. Определим отображение symT : 5(g) —> T(g) по той же формуле B0). Очевидно, что образ symT совпадает с T^ym(g) и диаграмма Т(д) = Г(в) _ Г(в) ps syniy Т Ри коммутативна. Отсюда мы получаем все, что требуется: как symT, так и sym корректно определены и линейны, sym является изоморфизмом век- векторных пространств. (Ь) Покажем, что sym является изоморфизмом g-модулей. Пусть G — присоединенная группа Ли (т. е. группа, порожденная операторами ехр(Х), X 6 д). Известно, что G — группа Ли и Lie(G) - д. G-ковариантность
158 Лекция в. Теория характеров для групп Ли sym следует из A4), так как для g 6 G, X 6 0 имеем syca(g-X) — gsyax(X) и g ¦ Xk ~ (g • Xf. П 3. Центр обертывающей алгебры. Пусть Z(g) — центр U(g), т. е. подалгебра элементов С 6 U(g), коммутирующих со всеми другими элементами. При интерпретации U(g) левоинвариантными дифференциальными опе- операторами на G элементы центра реализуются двусторонне инвариантными операторами. Иногда они называются операторами Лапласа или операторами Казимира. Эти операторы играют большую роль в математическом анали- анализе: много важных фактов первоначально были замечены на этих примерах. Простое описание Z(g) как векторного пространства было дано полвека назад независимо И. М. Гельфандом и Хариш-Чандра. Здесь мы приведем современную формулировку этого результата в терминах коприсоединен- ных орбит. Теорема 6. Существует изоморфизм векторных пространств Pol(g-)G~S(g)GS?$U(g)G~Z(g). Доказательство. Первое соотношение очевидно: для любого векторно- векторного пространства V алгебры S(V) и Pol(V*) канонически изоморфны: эле- элементу v 6 V соответствует линейная функция на V* такая, что / >-> (f,v). Второе соотношение следует из теоремы 5(Ь), а третье — есть следствие теоремы 1 из лекции 4 о соотношении между инвариантами группы Ли и алгебры Ли. ? Заметим, что G-эквивариантный изоморфизм Z(g) —»¦ Pol(g*)G не един- единствен. Для дальнейшего мы зафиксируем один из возможных выборов. А именно, элементу А б Z(g) мы ставим в соответствие полином Рд 6 Pol(g*)G следующим образом. Сначала мы выберем изоморфизм ассоци- ассоциативных алгебр а между 5(д) и Ро1(д*), ставящие в соответствие X е д линейную функцию F >-+ 2iri(F, X) на д*. Затем мы используем отобра- отображение симметризации sym для отождествления векторного пространства S(q) с U(g). Наконец, определим Ра формулой РА = a osym-1 (А). B1) Несмотря на изящество и естественность этой формулы, она не обеспе- обеспечивает легкое вычисление центра Z(g) при данной алгебре Ли д. Требуется решить две главные проблемы: • явно описать инвариантные полиномы на д*, • явно описать соответствующие элементы Z(g). Во многих важных частных случаях эти проблемы решаются с помо- помощью специальных трюков, которые, однако, неприменимы в общей ситуа- ситуации. Пример 4. Пусть g = gl(n,K), где К = М или С.6 Выберем стандарт- стандартный базис [Eij] в д. Коммутационные соотношения будут следующими: 6 На самом деле К может быть любым полем характеристики нуль.
2. Инфинитезимальные характеры 159 [Eij, Eki] = SjkEu - SuEkj. Рассмотрим специальные элементы е\^ е U(g): Прямым вычислением убеждаемся, что эти элементы удовлетворяют со- соотношениям ) t\ $ $&кЕ*$ B2) при р б Z+- Следовательно, элементы С* :— ]?•?,-,• принадлежат Z(g). На самом деле элементы Ск, 1 ^ к ^ п, свободно порождают алгебру Z(a), и мы оставляем читателю проверить этот факт, используя теорему 6. Заметим, что записать явно соответствующие полиномы Рск на д* при к > 2 это отнюдь не тривиальное упражнение. . Определение инфинитезимальвых характеров. На основе описания Z(g) из п. 2.3 мы можем выяснить связь между теорией представления и коприсо- единенными орбитами. Действительно, пространство Z{g) как центр U(g) играет важную роль в теории представлений, а изоморфное пространство Pol(g*)G состоит из полиномов, которые суть константы вдоль коприсоеди- ненных орбит. Теперь объясним роль Z(g). Пусть G — группа Ли и (л-, Я) — уни- унитарное представление G. Определение 2. Вектор v e Я называется гладким, если вектор- функция G —»¦ Я : д у-? v(g)v гладкая на G. (Это эквивалентно следующему условию: для любого w € Я числовая функция д >-» (ir(g)v, w) гладкая на G.) Обозначим через Я°° пространство всех гладких векторов в Я. Со- Согласно хорошо известной теореме Гельфанда — Гординга Я°° плотно в Я. Поэтому Я°° иногда называют пространством Гельфанда — Гордиига. Теорема 7. (а) Существует комплексное представление к°° алгебры U(о) в Я°°, связанное с w формулой ) x(g(t))v\t=0, X?g,veH, № = Х. B3) (b) Если х — топологически неприводимое представление,7 то для А 6 Zc{g) оператор ж00(А) скалярный, т. е. имеет вид (с) Отображение А >-»¦ 1Ж(А) является гомоморфизмом алгебры Zc(g) в С. 7т. е. нет я-(С)-инвариантных замкнутых подпространств Я, исключая {0} и Я.
160 Лекция 6. Теория характеров для групп Ли Схема доказательства. Для X е g можно определить л-°°(Х) по фор- формуле B3), так как выражение в правой части имеет смысл при v ? Н°°. Используя второе определение Lie(G), можно проверить, что тг00 является представлением алгебры Ли g в Н°°. В силу универсального свойства G(д) оно продолжается до представления U(g). Последнее утверждение исполь- использует обобщенный вариант леммы Шура, который основан на спектральной теории операторов в гильбертовых пространствах и может быть сформу- сформулирован следующим образом. Предложение 1. Если (я-, Я) — унитарное неприводимое представление группы G и А — существенно самосопряженный оператор в Н°°, коммути- коммутирующий со всеми операторами w{g), g € G, то А — скалярный оператор. Доказательство этого предложения и вывод из него утверждения (с) можно найти в [Ki4] или других учебниках. Используя представление л-00, снабдим Я°° топологией, задаваемой системой полунорм \\v\\x — \тг°°(Х)у\, X е U(q). Полезно отметить, что эту громоздкую систему можно заменить эквивалентной счетной систе- системой {||||п := ||-||х„,гс^ 1} соответственно базису векторного пространства {Хп,п ^ 1} 6 U(q). Эта счетная систем норм эквивалентна, в свою очередь, единственной метрике ,«а) = /_. 2" + Ц»! - «а||п ' относительно которой Н°° является полным метрическим пространством. Ниже мы увидим, что в конкретных примерах пространство Я°° сов- совпадает с некоторыми классическими пространствами гладких функций та- такими, как пространство С°°(М) для компактного гладкого многообразия М или пространство Шварца 5(М"). Теперь мы подошли к определению инфинитезимальных характеров. Определение 3. Пусть G — группа Ли и (л-, Я) — унитарное неприво- неприводимое представление G. Инфинитезимальным характером (тг, Я) называется гомоморфизм 1Ж : Zq (g) —»¦ С из утверждения (с) теоремы 7. Замечание 6. В отличие от обобщенных характеров, инфинитезималь- ные характеры определены лишь для неприводимых представлений и не имеют свойство аддитивности даже для конечномерных представлений. Однако имеется связь между обобщенными (или обычными) харак- характерами и инфинитезимальными характерами, основанная на следующем утверждении. Предложение 2. Пусть G — группа Ли, (тг, Я) — унитарное неприводи- неприводимое представление G и А — элемент ^с(д).- Тогда для любого f e A{G) тг(/)ЯС#°°, *(Af) = *°°(A)w(f). B4) Следовательно, (хтг, А/) = h(A) ¦ (x*,f)- Вспоминая определение дей- действия дифференциальных операторов на распределения или обобщенные
2. Инфинитезимальные характеры 161 функции, мы перепишем последнее уравнение в виде дифференциального уравнения для обобщенного характера B5) Благодаря этому уравнению в некоторых случаях можно вычислить обоб- обобщенные характеры, если Z(a) известен, и, обратно, получить информацию о Z($), если известны обобщенные характеры. Ниже мы обсудим эти во- вопросы более подробно. 5. Пример. Рассмотрим опять группу Гейзенберга Я, которая реализуется /1 a c\ матрицами д — I 0 1 b \. Здесь Ц — Ые(Я) состоит из матриц вида \0 0 1} /О а 7\ X = I О О Р I и имеет естественный базис \0 О О/ /0 0 0\ /0 0 1\ В= 0 0 1, С=0 0 0. \0 0 0/ \0 0 0/ Обертывающая алгебра !7(Я) порождается элементами А, В, С с соотно- соотношениями ЛВ - ВЛ = С, АС" = Су1, ВС = СВ. Легко проверить, что Zc(t)) = C[C]. Таким образом, обобщенные характеры удовлетворяют ра- равенству -j-x = ^ • х- С другой стороны, Ad-инвариантность обобщенных 3d характеров приводит к уравнениям 6-^-х = as~X = 0. Общее решение ос ас этих уравнений имеет вид х = const S(a)S(b)e'Xc. Мы уже видели, что эти распределения в действительности являются характерами некоторых уни- унитарных неприводимых представлений группы Я (при подходящем выборе константы).
Лекция 7 ГЕОМЕТРИЯ КОПРИСОЕДИНЕННЫХ ОРБИТ Коприсоединенное представление 162 Симплектическая структура 164 2.1. Первый подход 164 2.2. Второй подход 167 Инвариантные функции на д* 169 Отображение моментов 170 4.1. Универсальное свойство коприсоединеиных орбит 170 4.2. Некоторые частные случаи 173 Поляризации 175 5.1. Элементы симплектической геометрии 175 5.2. Инвариантные поляризации на симплектических многообразиях 177 . Коприсоединенное представление Мы начнем вторую часть книги с изучения коприсоединенных орбит. Этот новый математический объект появился впервые в связи с методом орбит. Под коприсоедииенной орбитой мы понимаем орбиту группы Ли G в про- пространстве д*, двойственном пространству g = Lie(G). Группа G действует на д* с помощью коприсоединенного представления (см. ниже). В этой лекции мы рассмотрим геометрию коприсоединенных орбит и обсудим проблему их классификации. Пусть G — группа Ли. Напомним (см. лекцию 3), что G — глад- гладкое многообразие с умножением, которое является гладким отображением G х G —»¦ G и удовлетворяет обычным групповым аксиомам. Полезно иметь в виду следующий пример: G — матричная группа, т. е. подгруппа и од- одновременно гладкое подмногообразие GL(n,M). Пусть g = Lie(G) — касательное пространство Te(G) к G в единице е. Группа G действует на себе внутренними автоморфизмами: А(д) : х >-» дхд~1. Точка е — неподвижная точка при этом действии, и мы можем взять производное отображение А»(д) : д —»¦ 0, которое обычно обознача- обозначается Ad(#). Отображение д >-» Ad(#) называется присоединенным представ- 162
1. Коприсоединенное представление лением G. В случае матричной группы g — подпространство Matn(R) и присоединенное представление есть просто матричное сопряжение: Ad{g)X = gXg-1, X 6 0, g 6 G. A) Эта формула (в обозначениях из лекции 3, п. 3.2) справедлива и в общем случае. Рассмотрим линейное пространство, двойственное к д. Обычно это пространство обозначается д*. Напомним, что для любого линейного пред- представления (я-, V) группы G можно определить сопряженное представление (я-*, V) в двойственном пространстве следующим образом: где звездочка в правой части означает сопряженный оператор в V. В частности, мы имеем представление группы Ли G в д*, которое сопряжено присоединенному представлению в д. Это представление назы- называется коприсоедииенным и обозначается через К(д). Итак, по определению {K(g)F,X) = {F,Ad(g-1)X)l B) где X 6 s, F б д* и (F,X) — значение линейного функционала F на векто- векторе X. Для матричных групп мы можем использовать тот факт, что Matn(R) имеет билинейную форму [A,B) = tr{AB), C) инвариантную относительно сопряжения. Таким образом, пространство д*, двойственное к подпространству g с Matn(№), отождествляется с фактор- пространством Matn(R)/g-L, где символ х означает ортогональное дополне- дополнение относительно формы ( , ): д-1- = {А е Matn(IR) | (А, В) = 0 для всех В е д}. На практике фактор-пространство часто отождествляют с каким-нибудь подпространством V С Matn(R), которое трансверсально дх и имеет допол- дополнительную размерность. Пусть р — проекция Matn(R) на V параллельно дх. Тогда коприсоеди- коприсоединенное представление К может быть записано в простой форме K{g):V^V:F^p{gFg-1). D) Замечание 1. Если V инвариантно под действием Ad(G) (что имеет место для полупростой или редуктивной д), то мы можем опустить проек- проекцию р в D). Пример 1. Пусть G — группа верхнетреугольных матриц в GL(n,K) (т. е. gij = 0, при г >']). Тогда g состоит из всех верхнетреугольных матриц из Matn(M), и в качестве V можно взять пространство всех нижнетреуголь- нижнетреугольных матриц. Проекция р в этом случае преобразует каждую матрицу в ее "нижнюю часть" (т. е. заменяет все элементы над главной диагональю
164 Лекция 7. Геометрия коприсоединенных орбит нулями). Следовательно, коприсоединенное представление принимает вид K(g) : F н+ (gFg-^mnai. D') Пример 2. Пусть G = SO(n,TS.). Тогда g состоит из всех кососиммет- рических матриц из Matn(R). Здесь мы можем положить V = g и опустить проекцию р в формуле D) (см. замечание 1). Приведем формулу для инфинитезимального варианта коприсоединен- коприсоединенного действия, т. е. для соответствующего представления А'» алгебры Ли g (К.(X)F, Y) = <F, - ad(X) У) = (F, [Y, X]). E) Для матричных групп эта формула имеет вид ]), xes, Fev~a*- E') . Симплектическая структура Наиболее примечательным свойством коприсоединенного представле- представления является тот факт, что все коприсоединенные орбиты обладают ка- канонической G-инвариантной симплектической структурой. Это означает, что на каждой орбите Q С fl* есть канонически определенная замкнутая невырожденная С-инвариантная дифференциальная 2-форма а. Здесь мы объясним' этот феномен и построим форму двумя способами. 1. Первый подход. Заметим сначала, что инвариантная форма на однородном многообразии определена однозначно своим значением в одной точке. Та- Таким образом, чтобы определить а, достаточно знать значение а в некоторой точке F е п. Это значение <r(F) (которое является антисимметрической билинейной формой на Т>П) должно быть инвариантно относительно дей- действия стабилизатора Stab(F) точки F, при этом никаких других условий не требуется. Пусть stab(F) —» алгебра Ли группы Stab(F). Рассмотрим группу G как расслоенное пространство над базой П ~ G/Stab(F) и проекцией pF : G^-u-.g^y K{g)F. Очевидно, что слой над точкой F есть в точности Stab(F). Рассмотрим точную последовательность О -*-stab(F) <-»¦ в -^ ТР(п) -+ О, которая получается из приведенной выше интерпретации G как расслоен- расслоенного пространства. Можно отождествить касательное пространство Тр(Щ с фактор-пространством g/stab(F). Заметим теперь, что на g существует естественная антисимметричес- антисимметрическая билинейная форма с ядром stab(F). Именно, BF(X,Y) = (F[X,Y}). F)
2. Симплектическая структура 165 Действительно, kerSF = {х е а | в^(х,У) = о v у e а} = {х е а | (K,(X)F,Y) = о v у е а) = {* е а | K*(X)F = 0} = stab(F). Определение 1. Значение a(F) в точке F определяется формулой *(F)(K.(X)F,Kt(Y)F) = BF{X,Y). G) Невырожденность построенной формы о- следует из определения, так как K,(X)F — (pp)f(X). Проверим G-инвариантность. Как было отмече- отмечено выше, достаточно проверить, что значение <т в точке F инвариантно относительно Stab(F). Для д е Stab(F) имеем BF(AdgX, kdgY) = {F, [AdgX, AdgY]) = (F, Adg[X, Y]) = {K{g)-lF, [X, Y]) = (F, [X, Y]) = BF(X, Y). Для проверки замкнутости <т следует провести вычисления, в которых используется тождество Якоби (см., например, [Ki4]). Однако мы предпоч- предпочтем опустить эти вычисления и дать другое доказательство, основанное на следующем полезном наблюдении. Рассмотрим проекцию pF : G -»¦ п и введем форму Hf '¦= P*f{p) на G. По построению Ef является левоинвариантной 2-формой на G с начальным значением Е.р(е) = Вр- Оказывается, что эта форма не только замкнута, но и точна. Чтобы установить этот факт, мы воспользуемся так называемой фор- формой Маурера — Картана в. Это а-значная левоинвариантная 1-форма на G. Так как левое действие G на себе просто транзнтнвно (т. е. существует в точности один левый сдвиг преобразующий данную точку д\ в другую данную точку 32), для определения левоинвариантной формы достаточ- достаточно указать лишь ее значение в одной точке. По определению полагаем Э(е)(Х) = X. Тогда в(д)(Х) = д'1 ¦ X Для матричных групп эта форма обычно обозначается через g~1dg, так как Q(g(t))(g(t)) — g{tYx'gif) Для любой гладкой кривой g(t). Предложение 1. 2-Форма Ир является внешней производной левоинва- левоинвариантной вещественнозначной 1-формы 9р на G, заданной формулой 0F = -(F,Q). (8) Доказательство. Мы воспользуемся хорошо известной формулой для внешней производной 1-формы (см. лекцию 1): Полагая в = 9р, ? = X, ц = У, получаем ddF(X,Y) = X9F(Y) -Y0F{X) - 9F([X,Y]) = BF{X,Y).
166 Лекция 7. Геометрия коприсоединенных орбит Здесь X и У — левоинвариантные векторные поля на G (см. третье опреде- определение алгебры Ли в лекции 3). Поэтому первый и второй члены в среднем выражении обращаются в нуль, так как вр(Х) и 9f(Y) — постоянные функ- функции. Последний член можно переписать в виде — 9f([X, У]) = (F, [X, У]). Вернемся к форме а. Поскольку pf — сюръективное отображение, рр инъективно (так как (рр)* сюръективно). Однако ppda = dpp(cr) = d2Bp = 0. Следовательно, а замкнута. ? В общем случае вр не может быть записана в виде pp{f) с некоторой 1-формой <р на П, поэтому мы не можем утверждать, что форма <г точна (и она действительно не точна в общем случае). Напомним, что мы можем интегрировать дифференциальные А:-формы на многообразии М по ориентированным гладким fc-мерным подмногообр- подмногообразиям (более общо, по fc-циклам). Известно, что замкнутая 2-форма на гладком многообразии точна тог- тогда и только тогда, когда интеграл от этой формы по любому 2-циклу обра- обращается в нуль. В дальнейшем нам понадобится следующее Определение 2. Коприсоединенная орбита п называется целочислен- целочисленной, если каноническая форма а обладает свойством а е Ъ для любого геометрического 2-цикла С на п. (9) с Под геометрическим 2-циклом мы понимаем здесь целочисленную ли- линейную комбинацию циклов, представленных гладкими ориентированны- ориентированными 2гмерными подмногообразиями. Смысл условия интегрируемости выявляет следующее Предложение 2. Следующие утверждения эквивалентны. (i) П С fl* целочисленна. (и) Существует одномерное расслоение над п с эрмитовой связностью V такое, что curv(V) = 2nicr. A0) (Щ) Для любого F е п одномерное представление алгебры Ли stab(F), заданное действием X^2m(F,X), A1) соответствует унитарному 1-мерному представлению группы Ли Stab(F). Доказательство. (ii)-$=^(i) Импликация следует из предложения 2 лек- лекции 1, п. 2.4. (ii)-S=>-(iii) Так как stab(F) = кетВр, представление A1) является фак- фактически представлением абелевой алгебры а = stab(F)/[stab(F),stab(F)]. Соответствующая абелева группа Ли А — Stab(F)/[Stab(F),Stab(F)] имеет вид Т* х К'. Представление A1) соответствует унитарному одномерному представлению А тогда и только тогда, когда оно принимает целые значе- значения на А:-мерной решетке Л = ехр-1(е). Пусть X ? А. Обозначим чрез f петлю в Stab°(F), которая является образом сегмента [0,Х] С stab(F) при экспоненциальном отображении.
2. Симплектическая структура 167 Так как G односвязна по предположению, петля -у является границей некоторой двумерной поверхности S в G, проекцию которой на п обозна- обозначим p(S). Соответствие [7] ¦** [D] устанавливает изоморфизм ^(Stab^) ~ - /ги (см. лекцию 1). Наконец, имеем 7 S p(S) Предложение доказано. ? 2. Второй подход. Теперь мы обсудим другой способ введения канонической симплектической структуры на коприсоединенных орбитах. Он основан на понятии многообразия Пуассона. Определение 3. Гладкое многообразие М называется многообразием Пуассона, если оно снабжено бивекторным полем с = cfididj таким, что скобки Пуассона определяют на С°°(М) структуру алгебры Ли. Тождество Якоби для скобок Пуассона накладывает на с нелинейное дифференциальное условие [с, с] = 0, где [ , ] обозначает так называемую скобку Схоутена на поливекторных полях (см. лекцию 2). В этом частном случае скобка Схоутена [с, с] является тривектором t'jk, заданным соотношением ^"Bihdjhdkh =0 {/1, {/2,/з}>, где символ О означает суммирование по циклическим перестановкам /i, /2, /з. Любое симплектическое многообразие (М, <т) обладает канонической структурой Пуассона с такой, что в некоторой (следовательно, в каждой) локальной системе координат матрицы || <*' || и || о-,-л- || обратны. Для доказательства введем некоторые понятия и обозначения. Определим косой градиент s-grad/ функции / на симплектическом многообразии (М, о) по формуле # = <r(-,e-grad/). A3) Тогда для любого векторного поля ц на М имеем rjf = a(ri, s-grad/), Сле- Следовательно, (s-grad/i)/2 = (r(s-grad/i,s-grad/2). A4) Согласно теореме Дарбу любая симплектическая форма о- в подходящих локальных координатах х1,..., хп, у\,..., уп записывается в виде dx' A dyt. Поэтому s-grad/ = frfdi-difd*, где ft и <9* обозначают соответственно -^-г ох' и -=—. Бивектор с = о- в той же самой системе координат принимает вид dyt
168 Лекция 7. Геометрия коприсоединенных орбит di А д'. Отсюда легко получить равенства A5) s-grad{/!, /2} = [s-grad/i, s-grad/2]. A6) Эти равенства записаны в бескоординатной форме и поэтому справедливы в любой системе координат. Отсается лишь заметить, что из A5) и A6) вытекает тождество Якоби. Действительно, s-grad(O {/1, {Л./з}}) =0 [s-grad/i, [s-grad/2,s-grad/3]] = 0. Следовательно, О {Л, {h, /з}} = const. Однако не существует естественной операции, посредством которой можно было бы получить константу из трех функций и бивектора (см. лекцию 2). Поэтому эта константа должна быть равной нулю. Вернемся к общим многообразиям Пуассона. Приведем главную струк- структурную теорему о многообразиях Пуассона (см., например, [Ki5]) Теорема 1. Любое многообразие Пуассона (М, с) расслаивается на сим- нлектические листы, т. е. может быть представлено единственным обра- образом как дизъюнктное объединение подмногообразий {Ма}а€д таких, что бивектор с имеет невырожденное сужение са на каждое Ма и (Ма,с^) — симплектическое многообразие для каждого а ? А. Другими словами, значение {/ь/г} в точке m e Ма равно где {¦, -}а — скобка Пуассона на Ма относительно симплектической струк- структуры <та = с на этом подмногообразии. Пример 3. Определим структуру Пуассона с = e^kXidj А дк на R3. Со- Соответствующая структура алгебры Ли на C°°(IR3) определяется формулой = det х у z U /у Л 9х 9у 9z Здесь симплектическими листами являются двумерные сферы x2+y2+z2 = г2, г > 0, и начало координат. Пример 3 — это частный случай следующей общей конструкции. Пусть д — алгебра Ли с базисом {X,}i^,^n и структурными константами с^. На пространстве д*, двойственном к д, с координатами, определенными базис- базисными векторами в д, зададим бивектор c = cl;jXkdidj. A7) Теорема 2 [С. Ли A890), Ф. А. Березин A967)]. Бивектор A7) опреде- определяет структуру Пуассона на д*. Доказательство. Действительно, для проверки тождества Якоби до- достаточно рассмотреть скобки Пуассона линейных функций на д*. В силу
3. Инвариантные функции на д* 169 A7) очевидно, что {Xi,Xj} = cfjXk, т. е. линейные функции образуют ал- алгебру Ли, изоморфную д. ? Замечание 2. Приведенная теорема была сформулирована Софусом Ли примерно в 1890 г., как недавно отметил А. Вейнстейн. По-видимому, Ли никак не использовал этот результат. Ф. А. Березин переоткрыл эту теорему в 1968 г. при исследовании универсальных обертывающих алгебр [Bel]. Геометрическое значение этого результата впервые было отмечено, по-видимому, в [Ki5]. Именно, справедлива следующая Теорема 3 [А. А. Кириллов A962)]. Симплектические листы многооб- многообразия Пуассона (д*,с) суть в точности коприсоединенные орбиты. Доказательство теоремы дано в [Ki5]. Рекомендуем читателю провес- провести доказательство самостоятельно. Теорема 3 дает альтернативный подход к построению канонической симплектической структуры на коприсоединеннных орбитах. Инвариантные функции на Первый шаг в классификации коприсоединенных орбит — описание Л"(С)-инвариантных функций на д*. В первую очередь нас интересуют полиномиальные и рациональные инварианты. Общие сведения об инвари- инвариантах линейных групп приведены в лекции 4 (см. п. 4.2). В случае коприсоединенного действия полиномиальные и рациональ- рациональные инварианты играют в теории представлений важную роль ввиду связи с инфинитезимальными характерами (см. лекцию 6). Здесь мы лишь от- отметим, что гладкие АТ((?)-инварианты на д* образуют центр алгебры Ли C°°(fl*) относительно скобок Пуассона. Действительно, этот центр состоит из функций / таких, что с^Хкд'f = 0 для всех j e [1,п]. Но это в точ- точности означает, что / аннулируется всеми векторными полями Ли K,(Xj), 1 ^ ; ^ п, и поэтому / будет ДГ(С)-инвариантной. Приведем два примера, когда можно явно вычислить алгебру /(д) = Pol(g*)G, состоящую из АГ(С?)-инвариантных полиномиальных функций на Пример 4. Пусть g — полупростая алгебра Ли и G — связная груп- группа Ли, для которой Lie(G) = g. Тогда на g есть невырожденная Ad G- инвариантная билинейная форма. Поэтому коприсоединенное действие G эквивалентно присоединенному и мы можем заменить д* на д. Далее, по- полиномиальные функции на д однозначно продолжаются на дс. При этом G-инвариантные полиномы вполне определяются своим ограничением на картановскую подалгебру f) С дс. Известная теорема Шевалле утверждает, что эти ограничения образу- образуют алгебру РоЦР))^ всех полиномов на fj, инвариантных относительно груп- группы Вейля W. Известно также, что последняя алгебра изоморфна алгебре многочленов от / = rkG независимых инвариантов степеней di, ..., di, где d,: = е,- + 1, a a ex, ..., е; — так называемые экспоненты алгебры Ли д.
170 Лекция 7. Геометрия коприсоединенных орбит Например, для g = я1(п + 1) экспоненты суть {1,2, ..., п}, а базисные инварианты имеют вид Ik(X)=tr(Xk), 2<Jb^n + l. Для g =ярBп) или яоBп + 1) экспоненты суть {1, 3, ..., 2п —1}, а базисные инварианты имеют вид Ik(X)=tr(X2k), l^k^n. Наконец, для g = яоBп) экспоненты суть {1, 3, ..., 2п — 3, п — 1}, а базисные инварианты имеют вид Ik(X) =tr(X2k), l^Jfc^n-1, In{X) = Pi{X) = Vdet X. Пример 5. Пусть теперь G — группа Ли верхнетреугольных матриц вида 9 = llftjll. 9ii = 1. 9ij - О ДЛЯ г > j. Алгебра Ли g состоит из всех матриц X = \\Xij\\, удовлетворяющих условию Xij = 0 для г ^ j. Пространство д* удобно отождествлять с множеством нижнетреуголь- нижнетреугольных матриц F — H-Pijll, удовлетворяющих условию F,j = 0 для i ^ j. Ko- присоединенное действие имеет вид K{g)F = {gFg-l)mKK. В этом случае алгебра /(д) также порождается независимыми инва- инвариантами /ь ..., Ik, k - [п/2]. А именно, в качестве Im{F) можно взять левый нижний минор порядка m матрицы F. Можно показать, что совместные множества уровня Д = ci, ..., Ik = с* являются Л"(С)-орбитами, если все с,- ф О1 Если же, например, ci — 0, то возникает так называемый вторичный инвариант /' = tr (F2) и множество уровня разбивается на орбиты меньших размерностей. Отображение моментов . Универсальное свойство коприсоединенных орбит. Как мы выяснили ранее, любая коприсоединенная орбита является однородным симплектическим многообразием. Обратное "почти верно": с точностью до некоторых ал- алгебраических и топологических оговорок (см. уточнения ниже) любое од- однородное симплектическое многообразие является коприсоединенной орби- орбитой. Это утверждение выглядит наиболее естественно в контексте пуас- соновых многообразий. В дальнейшем мы предполагаем, что G — связная односвязная группа Ли. Определим ^-многообразие Пуассона как пару (M,fM), где М — мно- многообразие Пуассона с действием G и fK : g -> С°°(М) : X >-> f% — гомо- 'Для четного п это верно и в случае с„/2 = 0.
4. Отображение моментов 171 морфизм алгебр Ли такой, что следующая диаграмма коммутативна: fl -^-» Vect(M) /ft \ Js-grad A8) где ?х — поле Ли на М, ассоциированное с X е д, a s-grad(/) обозна- обозначает косой градиент функции /, т. е. векторное поле на М такое, что s-grad(/M = {/,<?} для всех д е 6ю0(М). Для данной группы Ли G совокупность всех G-многообразий Пуассона образует категорию V{G) в которой морфизм a : (М,/ft) -*¦ {N,fX) — это гладкое отображение из М в JV, сохраняющее скобки Пуассона и обеспечивающее коммутативность диаграммы C°°(JV) А-) I id 9 >¦ 9 Заметим, что из последнего условия следует, что а коммутирует с G-действием. Важным примером G-многообразия Пуассона является рассмотренное в п. 1.3 пространство (д*,с) с отображением д -*¦ C"XJ(g*), определенным по формуле f% (F) = (F,X). Теорема 4. G-многообразие Пуассона (д*,с) является универсальным притягивающим объектом в категории V[G). Это означает, что для любого объекта (M,fM) существует единствен- единственный морфизм /i : (М,/Я) -»¦ (д*,/Л), а именно, так называемое отображе- отображение моментов, определенное равенством (n(m),X)=f%(m). A9) Доказательство теоремы 4. Утверждение теоремы — прямое следст- следствие определения морфизма категории V{G). ? Заметим, что образ однородного G-многообразия Пуассона под дей- действием отображения моментов необходимо является коприсоединенной ор- орбитой. Более того, из транзитивности G-действия вытекает, что локаль- локально /j. является диффеоморфизмом. Таким образом, любое однородное G- многообразие Пуассона является накрытием коприсоединенной орбиты. Этот факт я называю универсальным свойством коприсоединенных ор- орбит. Полезно обсудить здесь отношение между однородными G-многооб- разиями Пуассона и однородными симплектическими G-многообразиями. Любое симплектичесиое многообразие (М, о-) имеет каноническую струк-
172 Лекция 7. Геометрия коприсоединенных орбит туру Пуассона с (см. п. 2.2). Однако, то, что группа Ли G действует на М и сохраняет <т, не означает, что (М, с) является G-многообразием Пуассона. Действительно, возникают два препятствия. 1. Топологическое препятствие: Поле Ли Lx,X ? 3 локально является косым градиентом некоторой функции fx, но эта функция не обязательно определена глобально. Для преодоления этого препятствия мы можем рассмотреть подходя- подходящее накрытие М многообразия М, гае все fx, X G g, однозначны. Может случиться, что G не действует на М и должна быть заменена некоторой накрывающей группой G. Односвязных накрытий М и G всегда достаточ- достаточно. 2. Алгебраическое препятствие: Отображение X >-> fx из g в С°°(М) всегда можно выбрать линейным. Действительно, пусть {X,} — базис в д. Выберем функции fi так, что Lx, — s-grad^v и положим fx — Ylcifi Для X = ^с.Х,-. Но в общем случае i t это не будет гомоморфизмом алгебр Ли: f[x,Y] и {fx,fY} могут отличаться на константу c(X,Y). Упражнение 1. (а) Показать, что отображение с : д х д -»¦ R : (X, Y) >-> c(X,Y) является 2-коциклом на д, т. е. удовлетворяет уравнению коцикла Oc([X,Y],Z) = 0 для всех X, Y, Z 6 0. (Ь) Проверить, что свобода выбора fx не имеет значения для когомо- когомологического класса с. Другими словами, коциклы, соответствующие раз- различным выборам fx, отличаются от исходного на тривиальный коцикл (или кограницу 1-цикла 6): db(X,Y) = F, [X, Y]), где 6 6 д* — линейный функционал на д. Чтобы преодолеть алгебраическое препятствие, надо перейти от ис- исходной алгебры Ли д к центральному расширению д, заданному коциклом с. По определению д = д © Ш. как векторное пространство. Коммутатор в д определяется формулой {(X,a),(Y,b)} = ([X,Y},c(X,Y)). B0) Определим действие д на М формулой ?(х,а) = Lx- (Фактически, это действие д = д/R.) Это действие пуассоновское. Положим f^x,a) = fx + <* и оставим читателю проверку равенства f[(x,a),(Y,b)] - if(x,a),f(Y,b)}- Окончательно получаем следующее Предложение 3. Любое симплектическое действие группы Ли G на сим- плектическом многообразии (М, а) может быть преобразовано в пуассонов- пуассоновское действие центрального расширения G группы G на некотором накры- накрытии М многообразия М так, что следующая диаграмма коммутативна: GxM > М I I B1) GxM
4. Отображение моментов 173 Здесь горизонтальные стрелки обозначают действия, а вертикальные — естественные проекции. 2. Некоторые частные случаи. Для наиболее "классических" (или "естест- "естественных") групп классификация коприсоединенных орбит эквивалентна той или иной уже известной проблеме. В некоторых случаях, особенно для бес- бесконечномерных групп, возникают новые геометрические и аналитические проблемы. Здесь мы рассмотрим только три примера. Ниже появятся и некоторые другие случаи. Пример 6. Пусть G = GL(n,M). Тогда g = Matn(K) обладает Ad(G)- инвариантной билинейной формой (см. п. 1.1) {А, В) = tr(AB). Поэтому коприсоединенное представление эквивалентно присоединенному. Таким образом, классификация коприсоединенных орбит — это проблема класси- классификации матриц с точностью до подобия. Пример 7. Пусть М — гладкое компактное односвязное 3-мерное многообразие с заданной формой объема vol. Пусть G = Diff(M, vol) — группа диффеоморфизмов М, сохраняющих форму объема. Пространст- Пространство Vect(M, vol) всех бездивергентных векторных полей на М играет роль алгебры Ли g = Lie(G). Напомним, что дивергенция векторного поля ? от- относительно формы объема vol — это функция div? на М, удовлетворяющая условию ?? (vol) = div? ¦ vol, где ?? — производная Ли вдоль поля ?. Исполь- Используя известное равенство ?? = d о ц + г( о d, получим ц vol = dB^, где 6^ — 1-форма на М, определенная по модулю точных форм (дифференциалов функций). Любое гладкое отображение К : S1 -» М определяет линейный функционал Fk на д*: J'(9(). B2) (Ясно, что добавление к 0^ дифференциала функции не меняет значение интеграла.) Более того, функционал Fr не изменяется и при замене пара- параметризации S1, сохраняющей ориентацию. Другими словами, Fr зависит только от ориентированной кривой K(SX~). Таким образом, классификация коприсоединенных орбит в данном примере содержит в качестве частного случая классификацию ориенти- ориентированных узлов на М с точностью до сохраняющей объем изотопии. Пример 8. Обозначим через DifF+E1) группу сохраняющих ориента- ориентацию диффеоморфизмов окружности. Пусть G — ее единственное нетриви- нетривиальное центральное расширение (так называемая группа Вирасоро- Ботта). Этот пример будет рассмотрен в п. 5.3.2. Здесь мы только отметим, что классификация коприсоединенных орбит этой группы эквивалентна каждой из следующих (по виду весьма различных) проблем: 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка ^ y = 0. B3)
174 Лекция 7. Геометрия коприсоединенных орбит Выполнив замену независимой переменной х н-> ip(t) и одновременно неиз- неизвестной функции у н-> у о (р ¦ (<р')~1/2, вместо Ly = 0 получим уравнение Ьу = 0 того же вида, но с другим коэффициентом ) . B4) Предположим, что коэффициент р(х) 2л--периодичен, а функция <p{i) облада- обладает свойством (p(t+ 2тг) — <p(t) + 2ir. Требуется классифицировать уравнения B3) относительно преобразований B4). 2. Пусть G — односвязное накрытие группы SL{2, Щ и А — группа всех автоморфизмов G. Требуется классифицировать элементы G с точ- точностью до действия А. 3. Локально проективная структура на ориентированной окружности 51 определяется покрытием S1 картами {Ua}aSA c локальным параметром ta на Ua так, что функции перехода <рар дробно-линейные и сохраняют ориентацию. (Это означает, что ta = — ;, ad — be > 0.) Требуется ctp + а классифицировать локально проективные структуры на S1 с точностью до действия Diff+E1). Чтобы пояснить связь между коприсоединенными орбитами для груп- группы Вирасоро — Ботта и задачей 1, сделаем общее замечание относительно связи между коприсоединенными орбитами группы G и ее центрального расширения G одномерной нормальной подгруппой А. Пусть g и g - алгебры Ли групп G и G. Как векторное пространство, g отождествляется с g ф К так, что коммутатор имеет вид [(X,a),(Y,b)]=([X,Y],c(X,Y)), B5) где с(Х, Y) — коцикл, определяющий центральное расширение. Это анти- антисимметричное билинейное отображение g x g в R, удовлетворяющее урав- уравнению коцикла Oe([X,Y],Z) = 0, B6) где, как обычно, символ О обозначает сумму по циклическим перестанов- перестановкам трех переменных. Отождествим д* с д* © R и обозначим общий элемент через (F, а). Коприсоединенное действие G сводится к действию G, так как центральная подгруппа А действует тривиально. Лемма 1. Коприсоединенное действие Ghuq* и на д* связаны формулой K(g)(F, a) = (K(g)F + a ¦ S(g),a), B7) где S — 1-коцикл на группе G со значениями в д*, т. е. решение уравнения коцикла . B8)
5. Поляризации 175 Доказательство. Действие G на д* линейно и переходит в обычное коприсоединенное действие G на д* при естественной проекции р : д* -* д*. Следовательно, оно имеет вид B7) для некоторого отображения 5 : G -* д*. Свойство B8) следует из мультипликативности отображения К. О Упражнение 2. Показать, что для любой связной группы Ли G ото- отображение S в B7) может быть восстановлено из коцикла с(Х, Y) из B5) следующим образом. Для любого д ? G коциклы с(Х, Y) и d(X, Y) — c(AdgX,AdgY) эквивалентны.2 Таким образом, можно записать c(AdgX, AdgY) = c(X, Y) + (<%), [X, Y}). B9) Отсюда выводим Adg(X,a) = (AdgX,a + (Ф(д),Х)) и, следовательно, полу- получаем B7) с S(g) = Ф(д~1). Таким образом, коприсоединенное действие К сохраняет гиперплос- гиперплоскости a — const и на каждой такой гиперплоскости задает аффинное дей- действие, линейная часть которого есть обычное коприсоединенное действие. . Поляризации 1. Элементы симплектической геометрии. Здесь мы будем использовать све- сведения о симплектических многообразиях из п. 2.2 (понятия косого гради- градиента, скобок Пуассона и т. д.). В общей схеме геометрического квантования (квантово-механический аналог построения унитарных неприводимых представлений из коприсо- единенных орбит) важную роль играет понятие поляризации. Определение 4. Пусть (М,<т) — симплектическое многообразие. Ве- Вещественной поляризацией (М, сг) называется интегрируемое подрасслоение Р касательного расслоения ТМ такое, что каждый слой Р{гп) является максимальным изотропным подпространством симплектического вектор- векторного пространства (ТтМ, <г(т)). В частности, размерность Р равна -dimM. Напомним, что подрасслоение Р называется интегрируемым, если су- существует слоение М, т. е. разложение М на непересекающиеся части (так называемые листы) такие, что касательное пространство к листу в любой точке me M есть в точности Р(т). Для формулировки необходимых и достаточных условий интегриру- интегрируемости Р нам потребуются некоторые понятия. Векторное поле ? на М называется допустимым, если ?(т) е Р(т) для всех т е М. Пространство всех допустимых векторных полей обозначим Vectp(M). Двойственным объектом является пространство пр(М) всех диффе- дифференциальных форм ш на М таких, что w(?b...,?fc) = 0 для любых допус- допустимых векторных полей &, ...,&, к = degw. 2Инфинитезималышй вариант этого утверждения следует непосредственно из урав- уравнения B6).
176 Лекция 7. Геометрия коприсоединенных орбит Критерий интегрируемости Фробениуса. Следующие утверждения экви- эквивалентны: (a) подрасслоение Р С ТМ интегрируемо, (b) пространство Vectp(M) является подалгеброй Ли Vect(M), (c) пространство пр(М) является дифференциальным идеалом алгеб- алгебры ЩМ). В практике применяют только те поляризации, которые на самом деле являются расслоениями М. В этом случае множество листов само является гладким многообразием В и М является расслоенным пространством над В с листами в качестве слоев. Эти листы образуют лагранжевы (т. е. мак- максимальные изотропные) подмногообразия М. Пусть Ср{М) — пространство гладких функций на М, постоянных вдоль листов. Это пространство можно также определить как множество функций, на котором обращаются в нуль все допустимые векторные поля. Лемма 2. Подрасслоение Р С ТМ размерности -dimM является по- поляризацией тогда и только тогда, когда Ср[М) — максимальная абелева подалгебра алгебры Ли С°°(М) относительно скобок Пуассона. Доказательство. Пусть Р — поляризация. Пространство Vectp(M) со- состоит из векторных полей, касательных к слоям Р. Для / е Ср°(М) имеем df ? пр(М). Поэтому s-grad/(m) косо-ортогонально Р(М) и, следователь- следовательно, принадлежит Р(М). Таким образом, для любых fi,f% G Ср°[М) имеем {} Более того, если (s-grad/i)/2 = 0 для всех /2 в Cf[M), то s-grad/(m) e Р(т) и /i постоянна вдоль слоев и, следовательно, принадлежит Ср{М). Мы показали, что Ср[М) — максимальная абелева подалгебра Ли. Теперь предположим, что Cf{M) — абелева подалгебра Ли С°°(М). Согласно формуле A5) из п. 2.2 имеем {/ь/г} = o"(s-grad/i,s-grad/2). Таким образом, косые градиенты функции / ? Ср(М) порождают изотропное подпространство в каждой точке т е М. Однако это подпространство имеет размерность -dimM и, следовательно, должно быть максимальным изотропным подпространством Тт(М). О Имеет место замечательный комплексный аналог вещественных поля- поляризаций. Определение 5. Комплексной поляризацией (М, <г) называется интегри- интегрируемое подрасслоение Р комплексифированного касательного расслоения Т^М такое, что каждый слой Р(т) является максимальным изотропным подпространством симплектического комплексного векторного простран- пространства G? М,(гс{т)). Здесь интегрируемость определяется согласно критерию Фробениуса. Заметим, что пространство Ср(М), как и выше, является подалгеброй комплексификации С°°(М). В некоторых специальных случаях можно дать наглядное описание этой подалгебры. Пусть Р — интегрируемое комплексное подрасслоение Т^М. Тогда комплексное сопряженное Р и пересечение D :— Pf]P также интегрируе-
5. Поляризации 177 мы (это легкое упражнение по критерию Фробениуса). Напротив, подрас- слоение Е := Р + Р, вообще говоря, не интегрируемо. Заметим, что как D, так и Е, могут рассматриваться как комплек- сификации вещественных подрасслоений Do = Df]TM и Ео — Ef)TM of ТЫ. Предложение 4. Допустим, что подрасслоение Е [или Ео) интегрируе- интегрируемо. Тогда в окрестности каждой точки М существует локальная система координат {щ,...,щ; zb...,z,; t/i,...,t/;; vi,...,vm;} такая, что (i) Do порождается -— 1 <i < k, avi (ii) Eo порождается —, 1 ^ i ^ k, —, —, l^j ^l, (iii) P порождается ——, 1 ^ i^ k, f- i-r—, l^j^l. avi axj ayj Введем обозначение z, — xj + iyj, 1 ^ j ^.l. Тогда можно сказать, что алгебра Ср[М) состоит из функций, которые не зависят от координат Vi, 1 ^ i ^ к, и голоморфны в координатах zj, l^j^l- Или, в геометрической интерпретации, рассматриваемые функции постоянны вдоль листов Do и голоморфны вдоль листов Eq/Do- Замечание 3. Подрасслоения Р С Т^М, для которых Е = Р + Р не- интегрируемо, довольно интересны, однако до сих пор не используются в теории представлений. В этом случае Ср'(М) все еще является подал- подалгеброй Ср{М). Природа этой подалгебры может быть проиллюстрирована следующим простейшим примером. Пусть М — К3 с координатами х, у, t и Р — линейная оболочка единст- единственного комплексного векторного поля ? = дх + гду + (у — ix)dt ¦ В терминах комплексной координаты z = х + гу это поле можно переписать в виде ? = дт— izdt- Тогда Р — линейная оболочка ? = dz + izdt и Е = С • ? ф С ¦ ? неинтегрируемо, так как [?,?] = 2idt ? Е. Уравнение ?/ — 0 хорошо известно в математическом анализе. Среди решений этого уравнения — все граничные значения голоморфных функ- функций двух комплексных переменных [z,w) в области D = {(z,w) ? С2 Imw ^ |z|2}. Граница 3D диффеоморфна К3 и параметризуется координа- координатами z и t — Rew. 2. Инвариантные поляризации на симплектических многообразиях. В теории представлений группы Ли основной интерес связан с G-инвариантными поляризациями однородных симплектических G-многообразий. Мы уже знаем, что последние являются по-существу коприсоединенными орбита- орбитами. В этой ситуации геометрические и аналитические проблемы сводятся к чисто алгебраическим. Пусть G — связная группа Ли и п с д* — коприсоединенная орбита G. Выберем точку F eU и обозначим через Stab(F) стабилизатор F bG ч через stab(F) — соответствующую алгебру Ли. Определение 6. Будем говорить, что подалгебра i) С g подчинена функ- функционалу F е з*, если выполняются следующие эквивалентные условия:
178 Лекция 7. Геометрия коприсоединенных орбит (i') отображение X i-> (F, X) есть одномерное представление t). Заметим, что коразмерность Ц в g не меньше, чем |гкДр. Если до- дополнительно выполнено условие (ii) codime f) = \xYBp (т. е. f) имеет максимально возможную размер- dimg + rkg4 ность - -), то будем говорить, что fj — вещественная поляризация F. Понятие комплексной поляризации определяется точно так же, но в этом случае рассматриваются комплексные подалгебры f) С дс, которые удовлетворяют эквивалентным условиям (i) или (i') (для функционала, по- полученного из F по комплексной линейности) и дополнительному условию (ii). Может случиться, что для данного F ? д* не существует вещественной поляризации. Наиболее наглядный пример — это G = SUB), когда g не имеет подалгебр размерности 2. Однако вещественные поляризации всегда существуют для нильпо- тентных и вполне разрешимых алгебр Ли, а комплексные поляризации всегда существуют для разрешимых алгебр Ли. Этот факт вытекает из замечательного наблюдения М. Вернь. Лемма 3 [Vel]. Пусть V — вещественное векторное пространство, снабженное симплектической билинейной формой В. Рассмотрим произ- произвольную фильтрацию V {0} = Vo С Vi С • • ¦ С Vn = V, где dim 14 = к. Обозначим через Wk ядро сужения В \v . Тогда справедливы следующие утверждения: (a) W = 5D Wk — максимальное изотропное подпространство В, к (b) если, кроме того, V — алгебра Ли, В = Вр для некоторого F е V* и все Vk — идеалы V, то W — поляризация F. Подробное доказательство этой леммы дано в [Di3, § 1.12], поэтому мы его опустим. Заметим, что в [Di3] также показано, что для алгебры Ли g над ал- алгебраически замкнутым полем К множество функционалов F ? д*, допус- допускающих поляризацию над К, содержит подмножество, открытое в смысле Зарисского. Следовательно, оно плотно в д*. Пример 9. Пусть G = 5рBп, К), где К = К или С. Алгебра Ли g состо- состоит из матриц вида SJ, где S — симметрическая матрица с элементами из К к J — [ " п " ) • Двойственное пространство д* можно отождествить с д, используя двойственность (X, Y) = tr(XY). Рассмотрим подмножество Q С д*, заданное условием ткХ = 1. Это множество является единствен- единственной G-орбитой в случае К = С и распадается на две G-орбиты ?2± в случае K-R.
5. Поляризации Покажем, что при n J 2 не существует поляризации ни при каком Feu. Действительно, легко вычислить, что rk Вр = 2п для F е п. Таким образом, предполагаемая поляризация f) должна иметь коразмерность п в д. Кроме того, она должна содержать stab(.F) и, следовательно, t)/stab(F) должно быть n-мерным Э1аЬ(.Р)-инвариантным подпространством Трп = g/stab(F) S Л'2". Рассмотрим действие Stab(F) на TfQ, = К2п более подробно. Мож- Можно записать матрицу F в виде F — vv*J для некоторого вектор-столбца v е К2п. Тогда stab(.F) состоит из матриц X таких, что Xv = 0. Соответ- Соответственно, Stab(F) состоит из матрицу таких, что^и = и. Итак, отображение ii4f = vv* J является Stab(F)-3KBHBapnaHTHbiM и отождествляет линейное действие Stab(F) на TpQ со стандартным действием на К2". Это действие допускает только два нетривиальных инвариантных подпространства: од- одномерное пространство Kv и Bп — 1)-мерное пространство (Kv)-1. Теперь мы объясним связь между введенным здесь понятием поляри- поляризации и данным в п. 5.1. Как и раньше, обозначим через рр отображение G на Q, определенное по формуле PF(g) ~ K(g)F, и через (pF). — его про- производную в точке е, которая отображает g на Трп. Теорема 5. Существует биекция между множеством G-инвариантных вещественных поляризаций Р коприсоединенной орбиты п С д* и множес- множеством вещественных поляризаций Ц данного элемента Feu. Именно, по- поляризации Р с ТС1 соответствует подалгебра f) = (pp)~1(P(F)). Для доказательства нам понадобится следующий общий результат. Предложение 5. Пусть М — G/K — однородное многообразие. (a) Существует взаимно однозначное соответствие между G-инвари- антными подрасслоениями Р с ТМ и К -инвариантными подпространст- подпространствами f) С д, содержащими Lie(A'). (b) Подрасслоение Р интегрируемо тогда и только тогда, когда соот- соответствующее подпространство f) является подалгеброй д. Доказательство, (а) Выберем начальную точку т0 е М и обозначим через р проекцию G на М согласно формуле р[д) = д ¦ т0. Пусть р,(д) — производная р в точке д е G. Определим подрасслоение Q с TG по формуле Q(g) := р^1{д)(Р(д ¦ тщ)). Очевидно, что следующая диаграмма коммутативна: „ > g JiiMf!» Vl < Q[g) (9) C0) P(m0) У TmoM (g')-(m°)) Tg.moM < P(g-m0) Здесь Lg обозначает левый сдвиг на д е G и звездочка в нижнем индексе указывает, что это производное отображение. Таким образом, Q — левоинвариантное подрасслоение TG. Обратно, каждое левоинвариантное подрасслоение Q с TG, обладающее свойством fj := Q(e) D Lie(/^), можно получить этой процедурой из G-инвариантного подрасслоения Р С ТМ: достаточно определить Р(д ¦ т0) как pt{g)Q(g).
180 Лекция 7. Геометрия коприсоединенных орбит (Ь) Так как Р G-инвариантно, Р является линейной оболочкой G- инвариантных векторных полей X, X е f). Согласно критерию Фробениуса Р интегрируемо тогда и только тогда, когда пространство Wectp(M) явля- является подалгеброй Ли. Однако последнее условие эквивалентно утвержде- утверждению, что f) — подалгебра Ли д. ? Доказательство теоремы 5. Для данного подрасслоения Р С ТО, опре- определим Ц так же, как в предложении 5 (с О, вместо М и F вместо т0). Как было указано в п. 2.1, pm(e)<r(F) = Вр. Поэтому P(F) — максимальное изотропное подпространство относительно <т тогда и только тогда, когда то же верно для () относительно Вр. Остальные утверждения теоремы 5 вытекают из предложения 5. ? Замечание 4. Пусть \) — вещественная поляризация F ? g*, P — ве- вещественная поляризация ?2, соответствующая (j, и Я = exp (j. Тогда листы G-инвариантного расслоения ?2, определенного Р, имеют вид K(gH)(F). В частности, лист, проходящий через F, является орбитой коприсоединенно- го действия Н. В заключение заметим, что легко сформулировать и доказать аналог теоремы 5 в комплексном случае. Теорема 5'. Существует биекция между множеством всех G-инвари- антных комплексных поляризаций Р коприсоединенной орбиты Q с д* и множеством всех комплексных поляризаций f) данного элемента Fgfi, Как и выше, поляризации Р С Т^ соответствует подалгебра Ц — p.(F)-1(P(F))C0c.
Лекция 8 МЕТОД ОРБИТ ДЛЯ НИЛЫ10ТЕНТНЫХ ГРУПП ЛИ Руководство для пользователя 181 Примеры х. 183 2.1. Двойственный объект G 183 2.2. Построение унитарных неприводимых представлений 185 2.3. Функтор ограничения 187 2.4. Функтор индукции 189 2.5. Тензорное произведение 190 2.6. Обобщенные характеры 191 2.7. Инфинитезимальные характеры 192 2.8. Мера Планшереля 193 2.9. Другие примеры 193 Доказательства 194 3.1. Нильпотентные группы с одномерным центром 194 3.2. Основная процедура индукции 197 3.3. Существование сообщенных характеров 201 3.4. Гомеоморфизм G н O[G) 203 . Руководство для пользователя Класс нильпотентных групп Ли предоставляет идеальную ситуацию, когда метод орбит работает с наибольшей отдачей. Применяя метод орбит, мож- можно получить простые наглядные ответы на все важнейшие вопросы теории представлений. Все результаты, описанные в этом разделе, получены в [Kil] с одним исключением: гомеоморфизм G и O(G) был установлен позднее в [Вт]. Для неспециалистов мы формулируем эти результаты как "руковод- "руководство для пользователя" с практическими инструкциями, как получить от- ответы на десять основных вопросов теории представлений.1 'Напомним еще раз, что это простые правила применимы для связных односвязных нильпотентных групп. Для групп более общего вида мы сформулируем позже "десять поправок" к этим правилам. 181
182 Лекция 8. Метод орбит для нильпотентных групп Ли Мы используем определения и обозначения из предыдущих лекций. Поэтому в случае затруднений с терминологией читателю следует обра- обратиться к предметному указателю и найти соответствующие определения в первой части книги. РУКОВОДСТВО ДЛЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ Что требуется Что нужно сделать 1. Описать двойственный объект G (т. е. множество унитарных неприводимых представлений G) как топологическое пространство 2. Построить унитарное неприво- неприводимое представление ТЬ, соответ- соответствующее орбите п е д* 3. Описать спектр Res# 4. Описать спектр Ind# 5. Описать спектр тензорного про- произведения Tul ® Та2 6. Вычислить обобщенный харак- характер Гп 1. Построить пространство О ко- присоединенных орбит с тополо- топологией фактор-пространства 2. Выбрать точку F е П, рассмот- рассмотреть подалгебру f) максимальной размерности, подчиненную F, и положить ТЬ = 1п<1д Uf,h 3. Разложить проекцию р(?2) на Н- орбиты 4. Разложить G-насыщение р~1{Щ на G-орбиты 5. Разложить арифметическую сумму ?2i + Q2 на орбиты 6. или 7. Вычислить инфинитезималь- ный характер Тп 8. Каково соотношение между Тп 7. Для А е Z(g) взять значение Ра ? P.ol(g*)G на орбите п 8. Тп и Т-п представления — двойственные 9. Найти функциональную раз- размерность Тп 10. Вычислить меру Планшереля /1 на G 9. ^ 10. Мера на O(G), возникающая при разложении меры Лебега на д* на канонические меры на коприсо- единенных орбитах
2. Примеры 183 Ниже мы покажем на примерах, как пользоваться этим руководством. Другие поучительные примеры можно найти в [Di2]. Примеры . Двойственный объект G. Первый вопрос теории представлении относи- относительно заданной группы G состоит в следующем: описать двойственный объект G, т. е. совокупности всех унитарных неприводимых представле- представлений2 группы G. Существует естественная (не хаусдорфова) топология в G, которую можно определить тремя различными способами (см. [Di2]). Наиболее удобное определение мы приведем в п. 3.4. Ниже мы увидим, что для нильпотентной группы G множество G является конечным объединением гладких многообразий, склеенных вместе соответствующим образом. Самый простой пример — это группа Гейзенберга, которая уже упо- упоминалась в предыдущих лекциях и будет опять рассматриваться подробно в п. 2.3 ниже. Для иллюстрации, как пользоваться руководством, рассмот- рассмотрим следующий более сложный и более типичный случай. Среди 4-мерных нильпотентных алгебр Ли имеется единственная ал- алгебра Ли д, которую нельзя представить в виде прямой суммы идеалов.3 Она имеет базис {Xi,X2,X3,Y} с коммутационными соотношениями Гу у 1 П Гу V.1 У. 2 — 23 (\"\ Матрицы, реализующие д, выглядит следующим образом: (о I 6 2J mXi + bY = Q 0 Q '-1 \о о о о, Общий элемент группы имеет вид (О 6 0 аЛ /16 |62 ai + \Ъа2 + |62а3> О 0 6 а2 1 | О 1 6 а2 + Ш3 О 0 0 а3 = О О 1 0000/ \0 00 1 Элемент F e g* с координатами {Xi,X2,X3,Y} можно записать как нижнетреугольную матрицу 2Напомним, что мы всегда имеем в виду класс эквивалентности унитарных непри- неприводимых представлений. 3Представления этой алгебры Ли используются в теории ангармонического осцилля- осциллятора и впервые были изучены в [Dil].
184 Лекция 8. Метод орбит для нилъпотентных групп Ли а проекция р : Mat4(K) -> g* имеет вид О 0 0> 0 0 0 0 0 0 Ai2 л43 о; Прямыми вычислениями4 получаем, что коприсоединенное действие вы- выглядит следующим образом: Я-(д(аьаа1 аз, &))(*!, Х2,Хз, У) {XUX2 - ЬХиХ3-ЬХ2 + \b2XuY + (а2 - (Ьа3)/2)Х1 + а3Х2). B) Мы интересуемся полиномиальными инвариантами коприсоединенно- го действия. Из B) легко получить один из таких инвариантов: Pi(F) — Х\. Этому факту можно дать другое доказательство, более концептуаль- концептуальное. А именно: так как элемент Xi 6 g принадлежит центру д, соответству- соответствующая координата Х\ на д* остается без изменений при коприсоединенном действии G. Заметим, что Pi не может быть единственным инвариантом, так как общая орбита не может иметь коразмерности 1. (Напомним, что коприсо- единенные орбиты четномерны и dimg = 4.) Чтобы найти другой инвари- инвариант, мы будем рассуждать по схеме из п. 4.2 лекции 4. Рассмотрим плоскость S, заданную двумя линейными уравнениями Х2 — 0, У = 0. В силу B) почти все орбиты пересекают эту плоскость. Лег- Легко вычислить, что для орбиты п, проходящей через точку (Xi,X2,X3,Y) с ф 0, пересечение uf]S состоит из единственной точки с координатами X2 \ X2 Следовательно, Х3 — ~- является рациональными инвариантом. Таким образом, мы получаем полиномиальный инвариант P2(F) = 2XlX3-X2. Рассмотрим множество уровня полученных двух инвариантов: Pi(F) = ci, P2(F) = c2. C) Предлагаем читателю доказать следующие утверждения. Множество уровня • является единственной орбитой ttCl,c2 при а ф 0, » распадается на две орбиты п^С1, отличающиеся знаком Х2, при ci = 0, с2 < 0, » пусто при ci = 0, с2 > 0, о распадается на 0-мерные орбиты Qq3^4 = {@, 0, с3, с4)}, которые явля- являются неподвижными точками коприсоедйненного действия, при ct = с2 — 0. Окончательное описание топологического пространства O(G) выгля- выглядит следующим образом. Рассмотрим вещественную плоскость R^ Ca, уда- удалим прямую с! = 0 и приклеим к оставшимся множествам 4Мы рекомендуем читателю проделать выкладки независимо, используя соотношение 1
2. примеры • две точки вместо каждой точки выброшенного луча ct = О, с2 < О, • целую 2-плоскость вместо выколотого начала координат. Топология O(G) — это стандартная фактор-топология: множество ор- орбит открыто тогда и только тогда, когда объединение всех орбит из этого множества открыто в д*. В частности, предел 5 последовательности {П?„ с} при Еп -> 0 будет следующим: • две точки п^с при с < О, • целая плоскость 0-мерных орбит п^4 при с= 0, • нет предела при с > 0. Согласно правилу 1 существует гомеоморфизм (т. е. непрерывная в обе стороны биекция) между G и O(G). 2. Построение унитарных неприводимых представлений. Согласно правилу 2 представление Tj-j, соответствующее данной орбите П, индуцируется одно- одномерным унитарным неприводимым представлением Uf.h некоторой под- подгруппы Н с G. Таким образом, чтобы получить явную формулу, надо сделать следующее: (i) выбрать точку Feu, (ii) найти подалгебру t) максимальной размерности, которая подчине- подчинена F (т. е. такую, что Вг L= 0), (iii) для подгруппы Н = expfj определить одномерное унитарное не- неприводимое представление Uf,h' Up,H(exp X) = e2l"<F'x>, (iv) выбрать сечение s : X = H\G 4Gh решить основное уравнение s(x)g = h(x,g)s(x ¦ g), D) (v) выписать окончательную формулу (Ta(g)f)(x) = UFtH{h{x,g))f{x -g). E) Проведем вычисления для всех унитарных неприводимых представ- представлений 4-мерной группы G из п. 2.1. Начнем с 0-мерных орбит. Напомним, что орбита u^'q* состоит из одной точки F = @,0,сз,са). Здесь форма Вр равна нулю тождественно, так как rk Bp = dimfi = 0. Следовательно, fj = g, H = G и Т^ = Uf,h- Таким образом, одномерное представление Та группы G, соответству- соответствующее одноточечной орбите п = {F}, задается формулой F) В нашем случае функционалу F = @,0, сз, с4) соответствует представление <»+в«Ч. G) Остальные представления соответствуют 2-мерным орбитам. Они бес- бесконечномерны и имеют функциональную размерность 1 (см. правило 9). По- Последнее утверждение, попросту говоря, означает, что представление естес- естественно реализуется в пространстве функций одной переменной.6 Согласно 5Так как рассматриваемое пространство не хаусдорфово, предел не единствен. 6Подробное обсуждение концепции функциональной размерности можно найти в [Ю8, ч. II].
186 Лекция 8. Метод орбит для нильпотентных групп Ли правилу 2 каждое из этих представлений может быть получено индукцией из одномерного представления соответствующей подгруппы Н коразмер- коразмерности 1. На самом деле для группы G можно выбрать одну и ту же под- подгруппу Н для всех представлений, соответствующих 2-мерным орбитам. Именно, положим Н = ехр(), где fj — линейная оболочка Х\, Х2, Хз- Идея заключается в том, что fj, будучи абелевой, подчинена любому функцио- функционалу Fgg*H имеет максимальную возможную размерность. Замечание 1. Наблюдаемый феномен не отражает общего правила: для другой нильпотентной группы может потребоваться бесконечно много раз- различных подгрупп Н для построения всех унитарных неприводимых пред- представлений. Мы рекомендуем читателю детально рассмотреть пример уни- универсальной нильпотентной группы G класса нильпотентности 2 с тремя образующими. По определению эта группа является 6-мерной алгеброй Ли g = Lie(G) и имеет базис {X;}i<c;<;3, {УЬ^з с коммутационными соотношениями [Xi,Xj] = ?ijkYk, [Y3,Yk] - 0. Общая орбита в g* имеет размерность 2 и определяется в координатах X;, Y3 уравнениями Ядро stabF формы Вр порождается всеми Y3 и X = X^-Xj. Роль f) может i исполнять любая подалгебра коразмерности 1, содержащая stab F. Остается заметить, что конечное число собственных подалгебр не могут покрыть целиком д. Теперь воспользуемся стандартной процедурой, описанной в первой части книги, для построения индуцированного представления Ind^ Uf.h- В нашем случае удобно отождествить пространство с мерой (X,[i) с (R^dx) и рассматривать элемент ехргУ как s(x), x 6 К1. Требуется решить основное уравнение E), которое в данном случае принимает вид ? а! + \Ьа2 + 1 6 а2 + 5*а3 1 а3 0 1 а о о ^ о i о л2 О О 1 Л3 ^0 0 0 1, У О 1 у О 0 1 \0 О О с заданными а,-, 6 и г и неизвестными ht и у. Решение имеет вид 1, ll2 / 1, \ 1 , у = х + b, hi~ai + -Ьа2 + -I> а3 + а2 + -Ьа3 х + -а3аг, 2 6 \ 2 J 2 Лг = а2 + -^Ьаз + асах, Лз = аз. Заметим, что эти выражения значительно упрощаются, если мы рассмат- рассматриваем по отдельности элементы с b = 0 или ^ = а2 = аз = 0. Дру- Другой способ упрощения вычислений основан на использовании координат
2. Примеры iftf c*i = ai + -ba2 + ftb2a3, a2 = a2 + -ba3, a3 = a3, /9 = b вместо экспоненци- экспоненциальных координат {ai, a2, аз,Ь}. На последнем шаге мы выписываем явную формулу для Uf,h- Для общих представлений ГС1|Сз, ci ф 0, положим F = (ci,0,c2/Bci), 0), а для остальных представлений Sc, сф О, полагаем F = @, с, 0,0). Мы подошли к окончательному результату: (Гс1р<я(я@,0,0|4))Я(*) = /(* + *), (8) (Sc(g(aua2,a3,O))f)(x) = e*™l<*+»')f(x), (Se(s(O, О, О, 4))Л(*) = /(* + *)¦ (9) В заключение заметим, что пространство Я00 гладких векторов в этом случае совпадает с пространством Шварца .^(К1). Как мы увидим в п. 3, это свойство присуще всем унитарным неприводимым представлениям ниль- потентной группы Ли. Для дальнейших рассмотрений приведем таблицу образов базисных элементов g и образующих Z(g) при построенных унитарных неприводи- неприводимых представлениях: II x2 X$ iriciX -f- 27ггс2 2 Trie 2 Trier d li 0 -4ttV 0 2тгг'ез 2тпС4 0 0 Pi = Xi 2я-гс! Очевидно, что коммутационные соотношения A) выполняются. За- Заметим также, что инфинитезимальные характеры разделяют общие пред- представления ТС1,Сз (но не разделяют Sc и 5_с или различные UC3iCi)- . Функтор ограничения. Продолжим изучение группы G из п. 2.1 и 2.2. В этом разделе мы рассмотрим ограничение общего представления ГС1,Сз группы G на подгруппу. Рассмотрим подалгебру f) С д, порожденную Xi, X2 и У. Это из- известная алгебра Ли Гейзенберга — нетривиальное центральное расширение абелевой алгебры Ли К2. Эта алгебра играет фундаментальную роль в квантовой механике.
188 Лекция 8. Метод орбит для нильпотентных групп Ли Базисные элементы ()* допускают матричную реализацию строго верх- верхнетреугольными матрицами /О 0 1\ /0 0 0\ /0 1 0\ X, = 0 0 0, Х2= 0 0 1 , У = 0 0 0 . \0 0 0/ \0 0 0/ \0 О О/ Соответствующая группа Ли Гейзенберга Н состоит из матриц g(a,b,c) = ехр Упражнение 1. Описать коприсоединенные орбиты для группы Гей- Гейзенберга Н. Указание. Использовать реализацию элемента (Xi,X2,Y) 6 fj* в виде /О 0 0\ нижнетреугольной матрицы I Х2 0 0 1. Показать, что коприсоединен- \Xi у о/ ное действие имеет вид Ответ. Множество О(Н) содержит 1-параметрическое семейство плос- плоскостей JJfi-= h ф 0 и 2-параметрическое семейство точек @,Хг,У). Соответственно, Н имеет серию бесконечномерных унитарных непри- неприводимых представлений, которая зависит от одного вещественного пара- параметра h и действует в L2(R,dx) по формуле 7 (VR(g(a, Ъ, c))f)(x) = e»'"(ta+«)/(* + a). Соответствующее представление () имеет вид = 2xih, Vh(X2) = 2irihx, УД(У) = . В квантовой механике величина h интерпретируется как нормализо- нормализованная константа Планка —, операторы Р = iX2 и Q = iY играют роль координаты и импульса и удовлетворяют каноническому коммутационно- коммутационному соотношению PQ — QP = ih ¦ 1 Сравним унитарные неприводимые распределения групп Я и G. Из приведенных выше равенств и таблицы в п. 2.2. получаем Resjj TCuC2 = VCl. Проверим, что это соотношение согласовано с правилом 3. Проекция р : g* -> fj* в этом случае является проекцией 4-мерного пространства с координатами Х1; Х2, Хз, У на 3-мерное пространство с координатами Xi, Х2, Y параллельно Х3-оси. Общая орбита пС1,с2, ci / 0, задается уравнени- уравнением C), и проекция р отображает ее в точности на плоскость Xi = сь 70ставляем читателю вывод этой формул из правила 2.
2. Примеры 189 Упражнение 2. Из правила 3 вывести, что Res# Sc распадается на 1- параметрическое семейство одномерных представлений Н. Проверить это утверждение, используя формулу (9) и преобразование Фурье. 4. Функтор индукции. Простейшим примером индуцированного представле- представления группы G является представление Г = Ind# 1 в пространстве функций на однородном многообразии X = H\G. Группа G действует линейно на R4 с координатами {t,x,y,z} с помо- помощью матричного представления, введенного выше. Это действие сохраняет первую координату t, так как рассматриваются верхнетреугольные мат- матрицы. На геометрическом языке это означает, что G сохраняет аффинную гиперплоскость t — 1 и, следовательно, действует аффинным преобразова- преобразованием К3. В координатах ai, a2, аз, /3 линейное действие записывается в виде /1 /3 /?2/2 I Л 1 й (t,x,y,z) k 0 г \0 О О Соответствующее аффинное действие на гиперплоскости t = 1 имеет вид (г, у, г) ¦ g(ai,a2, аз,/3) = (х + ,3, у + (Зх + /32/2,z + азу + a2x + aj.). Так как эти преобразования унимодулярны, получаем унитарное представ- представление Т группы G в L2(R3,dxdydz): {T{g{alt a2, a3, P))f)(x) = f{x + /?, у + fix + 01'/2, z + a3y + a2x + ai). Возникает следующий вопрос: Каков спектр этого представления? Или, другими словами, как разложить представление 8 на неприводимые ком- компоненты? Напомним, что Т = Ind^ 1, где Н — одномерная подгруппа expR ¦ У и 1 — тривиальное одномерное представление Н. Чтобы описать спектр Т согласно правилу 4, надо рассмотреть ко- координатную проекцию ру группы д* на ось У и разложить G-насыщение Ру'(О) гиперплоскости У = 0 на G-орбиты. Эта гиперплоскость пересека- пересекает все двумерные орбиты QC,|C2 и QJC и содержит однопараметрическое семейство 0-мерных орбит О"д . Так как в задачах разложения можно пренебречь множеством меры нуль, ограничимся представлениями ГС1,С:!, которые соответствуют общим орбитам. Окончательный ответ выглядит следующим образом: Т= |гС1,С2^(сьс2), A0) где (J. — любая мера, эквивалентная мере Лебега на Ж1хС^. 'Предполагается, что читатель знаком с теорией разложения унитарных представ- представлений (см., например, [Ю4] или [Ю9]). Однако я надеюсь, что данное здесь изложение процедуры достаточно замкнуто и не потребует дополнительных источников.
190 Лекция 8. Метод орбит для нилъпотентных групп Ли Замечание 2. Пространство Ь2(Ш3, dxdydz) имеет функциональную раз- размерность 3, а общие унитарные представления имеют функциональную размерность 1. Естественно, что разложение включает 2-параметрическое семейство унитарных неприводимых представлений. Разложение A0) можно интерпретировать как одновременную диаго- нализацию или спектральное разложение двух операторов Лапласа Д,- = T(Pi), i = 1,2. Укажем явную формулу для абстрактного разложения A0), которая может также служить и определением. Для / € L2{R3,dxdydz) введем семейство функций фСиа € L2(R,dx) таких, что Теорема 1. (а) Соответствие f <—у ф обратимо, и имеет место со- соотношение A0') (Ь) Если / преобразуется оператором Т(д), д 6 G, то соответствую- соответствующая функция фсис? преобразуется оператором ТС1,с2{д)- Заметим, что в формуле разложения A0') абстрактная мера <f^(ei,c2) ,,„. , „ dcidc2 из A0) приобретает конкретный вид ———. ¦ • 2|ei| . Тензорное произведение. В качестве примера вычислим спектр тензорного произведения ГС1|С2 ® Se. Согласно правилу 5 надо рассмотреть арифмети- арифметическую сумму орбит Г2с,,с2 и Пс. Общие точки этих орбит имеют координа- координаты (ci, X, (с2 + Х2)/Bег), У) и @, с, х, у) соответственно. Следовательно, эта арифметическая сумма есть гиперплоскость Xi = ci, которая представляет собой объединение всех орбит QCi,c2 при фиксированном с^ и подмножест- подмножества меры нуль. Таким образом, ответ следующий: спектр состоит из всех представлений Тс,,с., с фиксированным сг и TCuCi®Sc кратно / TCuc2dfi(c2). Более тонкий вопрос о кратности можно выяснить подсчетом функ- функциональной размерности: для тензорного произведения TCltC2 ® Sc функ- функциональные размерности складываются и дают 1+1= 2. С другой сторо- стороны, непрерывная сумма или интеграл всех ТСиС2 с фиксированным ci также имеет функциональную размерность 2. Поэтому можно предположить, что справедливо равенство = J A1) Конкретизировать формулу A1) (ср. с теоремой 1 выше) можно, ис- используя формулу для тензорного произведения представлений (8) и (9). Воспользуемся тем, что гильбертово произведение L2(R,dx) и L2(R,dy) ес- естественно изоморфно L2(WL2,dxdy).
2. Примеры 191 Представление тензорного произведения имеет вид _|_ ^ у Разобьем плоскость с координатами х) у на семейство параллельных прямых у — х + t. Тогда пространство L2(K2, dxdy) можно представить в виде непрерывной суммы или интеграла меньших гильбертовых про- пространств. Именно, для / g I?(К2, dxdy) определим семейство функций Ф^х) — f{x, х + <). Очевидно, что и i>t преобразуется согласно TCljC'2 для некоторого с'2, когда / преобразу- преобразуется согласно A2). В силу A1') представление A2) можно записать как непрерывную сумму представлений вида TCliCj при фиксированном ci и переменном с'2. Упражнение 3. Найти значение d2, соответствующее прямой у = x + t. Ответ. J2 = c2 + 2tcci — c2ci. . Обобщенные характеры. Вычислим обобщенный характер Xci,c2 унитарного неприводимого представления TCl>C2. Согласно правилу 6 надо вычислить интеграл A3) как обобщенную функцию на Got экспоненциальной координаты X — log д. Начнем с вычисления формы <т. Из B) получаем следующее выраже- выражение для инфинитезимального коприсоединенного действия д на д": К,(Х\) = о, iu{x2) = -Xi-^f, k.(Xs) = -^2^7, k,(Y) = Х^ + Х*щ;- °р- бита ПСьс2 задана уравнениями C). Выбрав х :— Х2 и у := Y как гло- глобальные координаты на орбите, получим параметрическое представление л.2 _|_ л ПС1_С2: Xi = ci, X2 - х, Х3 — — , У = у. В координатах х, у д- 1 д действие на ЛС1>Сз записывается в виде Kt(Xi) = О, К*(Х2) = —ci—, г, п К,(Х3) = -I—, K*(Y) — с! —. В силу определения 1 из лекции 7 в данном о у ох случае <т = -. Теперь мы в состоянии вычислить интеграл A3).
192 Лекция 8. Метод орбит для нильпотентных групп Ли (О Ь О аА /О О О О\ 006 а, I У О О 01 О 0 0 аз И F = 0 0 0 о этот интеграл за- 0 0 0 0/ < / писывается в виде /" I C2.ri(aiei+a3x+a3a^i Используя хорошо известные соотношения ^1 _)rtci f2ai —a*/asl/-t . ¦. __ / _ \\r/L\ M 4Л К Ж получаем окончательную формулу 1/2 аз Замечание 3. Этот результат можно получить чисто формальным пу- путем. Действительно, можно рассмотреть оператор (8) как интегральный оператор с обобщенным ядром и вычислить его след интегрированием яд- ядра по диагонали.9 Этот подход оправдан во многих случаях в частности, он успешно применим для всех унитарных неприводимых представлений нильпотентной группы Ли и для представлений основных серий SLB,R). Было бы полезно установить соответствующую теорему общего характера. . Инфинитезимальные характеры. В качестве основного примера рассмотрим ту же группу G, как и выше. Известно, что алгебра PoI(g*)G порождается двумя независимыми элементами Xi и Х\ — 2Х1Хз- Так как X, коммути- коммутируют, можно использовать те же выражения для образов этих полиномов в Z(q) С U(q). По техническим причинам более удобно в качестве обра- образующих выбрать Ах = ——:ХХ и Аг = —^(-Xf — 2Х1Д3). Мы уже знаем 2тгг An2 образы этих элементов для всех унитарных неприводимых представлений (см. п. 2.2.): Ai_ с/'2 О О А2 2cic2 -с2 О 9Сравнивая эти два подхода, следует иметь в виду равенство g(a.i,a2,ai,b) =
2. Примеры 193 Сравним эту таблицу со значениями инвариантных полиномов Р,- = PAi на коприсоединенных орбитах: С1 2ClC2 nt 0 -с2 О"'6 ,0 0 0 Как мы видим, правило 7 отлично работает. 8. Мера Плаишереля. Теперь вычислим меру Планшереля ц на G. Мы рас- рассматриваем ci, c2 как локальные координаты на части G, состоящей из общих представлений. Оставшаяся часть имеет меру нуль, и ее можно не учитывать. Согласно определению меры Планшереля справедливо равенство A5) Прямое вычисление fi на основе формулы A4) для обобщенного характера довольно сложно, тогда как правило 10 дает ответ немедленно: II = -dCldc2. A6) Действительно, из C) и A3) следует, что для любой интегрируемой функ- функции <р на 0* JiP(XuX2,X3,Y)dXldX2dX3dY=^Jdc1dc2 J 3' К2 Пс,.с2 Применяя преобразование Фурье, получаем равенство ,_ dc1dc2 ЩО) = JbrTCliC,(tp)- эквивалентное A5), где р, определена формулой A6). 9. Другие примеры. Мы настоятельно рекомендуем читателю (или лектору, использующему эту книгу для преподавания) самостоятельно разобрать другие примеры нильпотентных групп. Некоторые из наиболее интерес- интересных и поучительных примеров мы перечислим ниже. 1. Группа Gn всех верхнетреугольных вещественных матриц порядка п с единичной диагональю. Соответствующая алгебра Ли gn состоит из строго верхнетреугольных вещественных матриц (с нулевой диагональю). Клас- Классификация коприсоединенных орбит до сих пор не известна и исследование этого вопроса связано с глубокими комбинаторными задачами. 2. Универсальная нилъпотентная алгебра Ли gnfe класса нильпотент- нильпотентности ken образующими. По определению это фактор-алгебра свободной алгебры Лисп образующими по k-i\ производной, порожденной всеми ком-
194 Лекция 8. Метод орбит для нипьпотентных групп Ли мутаторами длины k + 1. Группа Gn,k использовалась Брауном [Вг] при до- доказательстве существования гомеоморфизма между G и O(G) (см. п. 3.4). 3. Алгебра Ли го„ с базисом Xi,...,Xn и коммутационными соотно- соотношениями О в противном случае. Соответствующая группа Ли Wn может быть реализована как группа пре- преобразований ip окрестности начала координат на вещественной прямой вида п ф) = X ¦ A + J2 акхк) + О(ХП+1). Групповым законом служит композиция преобразований. Заметим, что 1- параметрические подгруппы, соответствующие основным векторам в го„, вычисляются явно: exp(tXk) : х н- /1 - ktxk 4. Унипотептный радикал N параболической подгруппы Р полупростой группы G — обобщение примера 1. В этом случае получены несколько общих результатов, однако подробный анализ представлений никогда не проводился ранее. Интересный частный случай представляет также группа G* верхне- верхнетреугольных матриц, которые либо симметричны, либо антисимметричны относительно второй диагонали. . Доказательства Главное условие успешного применения метода орбит — это правиль- правильная геометрическая формулировка. Когда такая формулировка найдена, доказательства почти всех результатов, указанных в руководстве для поль- пользователя, становятся технически простыми. Для нильпотентных групп до- доказательства основаны на индукции по размерности группы.10 1. Нильпотентные группы с одномерным центром. Нильпотентные группы Ли имеют замечательное свойство (которое они разделяют с экспоненциаль- экспоненциальными группами, см. ниже): экспоненциальное отображение взаимно од- однозначно. Это отображение устанавливает биекцию между подалгебрами Ли g = Lie(G) и подгруппами Ли группы G, а также между идеалами g и нормальными подгруппами G. Лемма 1. Пусть g — нильпотентная алгебра Ли. Тогда любая подал- подалгебра до С д коразмерности 1 является идеалом. Доказательство. Ввиду определения нильпотентной алгебры Ли при- присоединенное действие g задается нильпотентными операторами.11 Если '"Конечно, при этом используются глубокие результаты функционального анализа и теории Ли, однако общая схема доказательств довольно естественна и проста. 11 На самом деле это свойство является характеристическим. По теореме Энгеля, если оператор ad X нильпотентный для любого X 6 д, то в — нильпотентная алгебра Ли.
3. Доказательства X € go, то оператор adX нильпотентен на g и сохраняет до. Следовательно, определен нильпотентный оператор в фактор-пространстве g/go. Однако это пространство одномерно и соответствующие операторы должны быть нулевыми. Следовательно, [X, У] € до Для любого У € д и д0 — идеал. ? Другое свойство нильпотентных алгебр Ли д, которое вытекает из определения, заключается в том, что g имеет ненулевой центр з- В ин- индукционной процедуре (см. ниже) важную роль играют нильпотентные алгебры Ли с одномерным центром. Опишем структуру таких алгебр. Лемма 2. Пусть g — нияьпотентная алгебра Ли с одномерным цент- центром з- Тогда существует базис {X,Y,Z,Wi,...,Wk} eg, обладающий сле- следующими свойствами: (a) Z порождает з, (b) [X,Y]=Z, {Wi,Y] = Q, l^i^k. Доказательство. Пусть Z — ненулевой элемент з- Алгебра g = g/з нильпотентна и, следовательно, имеет ненулевой центр \ Выберем У € g так, что Y = Y mod 3 — ненулевой элемент J. Так как У ф 0, элемент У не будет центральным элементом д. Следо- Следовательно, существует X € g такой, что [X,Y] ф 0. Однако У центральный элемент д. Поэтому У центральный по модулю з- Таким образом, [X, У] € з- Заменив, если необходимо, X на сХ, можно считать, что [X, У] = Z. Обозначим через д0 централизатор У в д. Опять используя тот факт, что У центральный по модулю з, заключаем, что д0 имеет коразмерность 1 в д. Пусть {W\,..., Wk} — элементы до, которые вместе с У и Z образуют базис в д0. Тогда все соотношения в утверждении (Ь) выполняются. ? До конца этого раздела мы фиксируем следующие обозначения: Go cG — подгруппа Ли, соответствующая подалгебре Ли д0 С д; это централизатор элемента У при присоединенном действии. Л С Go — нормальная абелева двумерная подгруппа G, соответству- соответствующая подалгебре Ли а, порожденной У и Z. С = ехрз — центральная подгруппа G. Теорема 2. Пусть (яг,??) — унитарное неприводимое представление G. Тогда следующая альтернатива имеет место: справедливо ровно одно из следующих утверждений: (a) представление яг тривиально на С, т. е. тг(с) — \% для всех с 6 С, (b) представление яг имеет вид IndGo р, где р — унитарное неприво- неприводимое представление Go- Доказательство. Построим сначала G-многообразие М из обычной ве- вещественной плоскости Ш2. Для этого определим двойственную в смысле Понтрягина группу М = А абелевой нормальной подгруппы^ = ехра С G. Группа G действует на А внутренними автоморфизмами и, следова- следовательно, действует на М = А. Опишем это действие более подробно. Введем координаты (у, z) в векторном пространстве а относительно базиса (У, Z) и перенесем эти координаты в А, используя экспоненциальное отображение. Тогда точка exp(yY +zZ) € А будет иметь координаты (у, z).
196 Лекция 8. Метод орбит для нипьпотентных групп Ли Двойственная группа А состоит по определению из унитарных харак- характеров А вида Xn,\(y>z) — е2"^у+Хг\ Поэтому М -А — двумерная плос- плоскость с координатами (/i,A). Лемма 3. Пусть g € G имеет вид g = g0 exptX, go € Go, (?l. Тогда (fi,X)^(fi-tX,X)> goeGo. A7) Доказательство. Сначала заметим, что подгруппа Go действует три- тривиально на А и, следовательно, на М. Тогда остается вычислить действие однопараметрической подгруппы exptXtx € К на А и А. Имеем Ad(exptX)(yY + zZ) - exp(adxX)(yY + zZ) = yY + (z + ty)Z. Коприсоединенное действие К(д) на А является двойственным и, следова- следовательно, задано формулой A7). ? Доказательство теоремы 2 (продолжение). Заметим, что действие G на М ручное: G-орбиты являются прямыми А = const ф 0 и точками (ц, 0). В качестве счетного семейства G-инвариантных множеств разделяющих орбиты можно взять полосы Sa:b : а < X < Ь и интервалы 1а%ь ¦ X — 0, а < fi < 6, с рациональными а и 6. Следующий шаг — построение представления П для М, согласованного с данным унитарным представлением (тг,??). Пусть / € Л(М). Для а ? А обозначим через / функцию на А такую, что ?(У, г) = / f{fi, A)Xm,a(!/> z)dfl A dX. м Полагаем П(/) = тг(?) = I /(у, г)тг(ехр(з/У + zZ))dy A dz. А Справедливы равенства ЩЛЛ) = ЛШ = 1г(Л * Л) = Tr(/i)Tr(/2) = П(Л)П(/2), Мы видим, что (П, %) является представлением М. Условие согласования вытекает из определения действия G на М. Теперь предположим, что тг неприводимо. Согласно теореме 6 из лек- лекции 4 представление П для М является, фактически, представлением не- некоторой G-орбиты п С М. Если эта орбита — точка (р,0) ? М, то тг тривиально на С. Если п — прямая А = const ф 0, то тг индуцируется ста- стабилизатором некоторой точки (fi, A) € п, который не зависит от ц и равен в точности Go- ? В силу теоремы 2 в обоих случаях (а) и (Ь) изучение унитарного не- неприводимого представления л- группы G сводится к изучению некоторого
3. Доказательства 197 унитарного неприводимого представления меньшей группы: либо фактор- факторгруппы G/C, либо подгруппы Go С G. 2. Основная процедура индукции. В этом разделе мы докажем большинство результатов, представленных в "руководстве для пользователя". Доказа- Доказательство проводится индукцией по размерности G. Иногда это довольно длинный, хотя и прямой путь. Конечно, более концептуальные доказа- доказательства были бы лучше, но на настоящий момент такие доказательства получены лишь для части результатов. В случае dimG = 1 имеем G ~ К и все утверждения легко проверить. Заметим, что в ходе проверки надо использовать следующее хорошо известное, но нетривиальное Предложение 1. Группа, двойственная в смысле Понтрягина группе К, изоморфна Ш. Другими словами, все унитарные неприводимые представле- представления К одномерны и имеют вид _ /™\ — fi2wiXx \ *2 тп> /-1 о\ Для интересующегося читателя мы приведем короткое доказательство этого утверждения. Во-первых, любое семейство коммутирующих унитарных операторов в гильбертовом пространстве размерности ;> 2 всегда имеет общее нетри- нетривиальное инвариантное подпространство. Это означает, что унитарное не- неприводимое представление абелевой группы должно быть одномерным. Во-вторых, свойство мультипликативности x(t + s) = xM x(s) приво- приводит к дифференциальному уравнению х'{1) — ax(t), где а = х'{®)-12 Таким образом, х(*) = ceat. Так как |х| = 1 и х@) = 1, константа а чисто мнимая и с— 1. Следовательно, х(*) имеет вид A8). Теперь мы можем доказать все основные результаты, применив ин- индукцию по размерности нильпотентной группы Ли G. Теорема индукции. Допустим, что правила 1-10 выполняются для всех связных односвязных групп Ли размерности < п. Тогда они выполняются также для группы G размерности п. Доказательство. Пусть g = Lie(G) из — центр д. Рассмотрим два случая. dim3 > 1 и dim3 = 1. Случай 1: dims > 1- Тогда группа G не имеет точных унитарных не- неприводимых представлений. Действительно, если dim3 = к > 1 и Z\,..., Zk — базис в з, то для любого унитарного неприводимого представления ж к группы G операторы л-(ехр( J2 z.Zj)) скалярные и, следовательно, имеют к ВИД тг(ехр( J2 XjZj)) = 12 Мы не знаем априори, что х гладкая, однако мы можем рассмотреть х как обоб- обобщенную функцию и использовать тот факт, что все обобщенные решения уравнения являются фактически обычными гладкими функциями. С технической точки зрения более удобно иметь дело с logx вместо х>
198 Лекция 8. Метод орбит для нильпотентных групп Ли Пусть зо = {J2xizJ I Z)-\jxj = °}- Тогда Со = expj0 содержится в 3 3 ядре л-. Поэтому можно рассматривать я как композицию жор, где р : G —*• G = G/Cq — проекция на фактор-группу и я — некоторое унитарное неприводимое представление G. Следующий шаг — проверка правил 1-10 для группы G при условии, что эти правила выполняются для G. Некоторые правила, а именно, пра- правила 2-4 и 6-9 проверяются очевидным образом. Рассмотрим, например, правило 2. По условию оно верно для G. Тогда любое унитарное непри- неприводимое представление Г группы G имеет вид Т — Т^ — Ind^ Up ^ для некоторой орбиты п С 0* и точки F е п. Остается проверить, что Г := Гор = lnd^U^H Для Н := р-1(Я), где п — р.(П) и F € р*(?2). (Здесь р« обозначает каноническую проекцию 0* на 0*.) Эта проверка — всего лишь простое упражнение на определение индуцированного представления, и мы оставляем его интересующемуся (или скептически настроенному) читателю. Эта же схема работает для других правил, исключая правила 1, 5 и 10. Правило 5 для G следует из правила 3 для G x G, так как Т\ ® Г2 = ResgxGGi х Г2). Итак, остается проверить правила 1 и 10. Заметим, что оба правила обладают общим свойством: они относятся не к индивидуальному пред- представлению, а к целому множеству G. Чтобы доказать, что G = O(G) как множество, достаточно проделать следующие действия: (i) разложить множество G всех унитарных неприводимых представ- представлений в соответствии с их ограничениями на Z, (ii) разложить множество O(G) коприсоединенных орбит в соответ- соответствии с их проекциями на j*, (iii) установить биекции между соответствующими частями. Несложно обосновать эту процедуру, и мы оставим доказательство читателю в качестве простого упражнения. Гораздо сложнее установить, что окончательная биекция — гомеоморфизм, и мы обсудим это ниже. Правило 10 следует из правила 6, которое дает явную формулу для об- обобщенного характера. Действительно, если мы рассмотрим характеры как распределения, по формуле Планшереля получим разложение ^-функции, сосредоточенной в е € G, на обобщенные характеры унитарных неприво- неприводимых представлений Используя преобразование Фурье в экспоненциальных координатах и учи- учитывая правило 6, можем преобразовать последнюю формулу к виду Jf(F)dF= I (^(n)|/(F)voln(F)). A9) В' O(G) П
3. Доказательства 199 Это в точности правило 10 для G. Случай 2: сНтз = 1. Тогда мы имеем альтернативу из теоремы 2. Если имеет место утверждение (а) теоремы 2, то правила 2-6 и 8, 9 про- проверяются в точности так же, как в случае 1. Это верно и в случае (Ь), но по другой причине. Для иллюстрации докажем правило 6, сохранив обозначения из теоремы 2. Пусть я = Ind§0 р — унитарное неприводи- неприводимое представление G. Пусть р действует в гильбертовом пространстве V. Тогда ¦к может быть реализовано b~H = L2(R, V, dx) по формуле (w(goexptX)f)(x) = p(expxXgo(expxX)-1)f{x + t). B0) В следующем разделе мы докажем существование обобщенного характера и покажем, что он вычисляется по стандартной формуле с помощью обоб- обобщенного ядра 7г(#), а здесь проведем соответствующее вычисление. Из B0) получаем формулу для обобщенного ядра я в терминах обоб- обобщенного ядра р: Kw(g0 exp{tX)\x, у) = Кр(ехрхХд0(ехр хХ)-гM(х + t-y). Тогда имеет место формула X)-l)dx, B1) - которая является точным аналогом формулы Фробениуса для характера индуцированного представления конечной группы. Теперь мы применим правило 6 к группе Go и запишем "<F-*°> volno(F0). По Учитывая B1), получаем формулу xAexpXoexptX) = S(t) E По =8(t) I (dx y>««..*.> voln.(F,)) , B2) к n, где пх := А'(ехрхЛ")По и Fr обозначает общий элемент пх. С другой стороны, правило 6 для тг выглядит следующим образом: 0 + tX)) = Je2^F^ г» Однако орбита ?2 является цилиндром, где []х^ж пх — базис и Ш ¦ X — директриса (см. рис. 1).
200 Лекция 8. Метод орбит для нильпотентных групп Ли Рис 1 Общая точка п имеет вид F = Fx + sFi, где Fx € ?2*, s е К, (Fj,X) - 1, {F\,XU) = 0 при Хо 6 до- Поэтому интеграл по П в B2) принимает вид Xr[aqi(X0+tX)) = I (dxdsj 2 П Д Ж2 Последнее выражение совпадает с B2) и доказывает правило б для G. Теперь обратимся к правилу 7. Возникающие трудности с проверкой этого правила обусловлены тем, что центр Z(g) алгебры t/(g) меняется, ког- когда мы переходим от g к подалгебре до или к фактор-алгебре д. К счастью, это изменение можно контролировать. Удобно отождествить Z(g) с Pol(g*)G, Z(q0) с Pol(g0)Go и Z(g") с Pol(fl)G. Рассмотрим случай, когда мы переходим отд к фактор-алгебре д = д/с, где с — подалгебра з- Обозначим через р проекцию g на g (а также проекцию G на G). Тогда двойственное отображение р* отождествляет д* с подпро- подпространством с1- С д* • Пусть П — G-орбита в этом подмножестве. Обозначим через р' : S(e) — РоЦд*) —> S(g) — Pol(g*) проекцию алгебр, которая соот- соответствует проекции р множеств. Для любого элемента А € Z(q) = Pol(g*)G имеем р(А) е ^(д). Следовательно, правило 7 выполняется для р(А): при унитарном неприводимом представлении Тц группы G он переходит в ска- скаляр РР(А)(?2). Но это означает, что при унитарном неприводимом представ- представлении Та, := % о р элемент А переходит в Рд(П).
3. Доказательства 201 Теперь пусть реализуется возможность (Ь) альтернативы из теоремы 2. В силу леммы 2 Z(g) = -2Г(до)ехрК*. Пусть я- — унитарное неприводи- неприводимое представление группы G, индуцированное унитарным неприводимым представлением р группы Go- Предположим, что р соответствует некото- некоторой орбите По С Qo и обозначим через п орбиту, соответствующую я. В силу формулы B0) при представлении я- любой элемент А ? Z(q) переходит в скалярный оператор с тем же самым собственным значением, как у р(А). Однако согласно правилу 7 последний совпадает с Рд(П0). Мы можем рассматривать Ра € Pol(g3) как полином на д*, который не зависит от координаты X. Более того, этот полином инвариантен при действии ехрШ-Х. Следовательно, на п этот полином принимает такие же значения, как на По (см. рис. 1 выше). ? 3. Существование обобщенных характеров. Докажем существование обобщен- обобщенных характеров для всех унитарных неприводимых представлений я1 и по- покажем, что они могут быть выражены в терминах обобщенных ядер опе- операторов n(g), g e G. Мы выведем этот результат из следующей теоремы, которая представляет и самостоятельный интерес. Теорема 3. Унитарное неприводимое представление я группы G, соот- соответствующее 2п-мерной орбите, может быть реализовано в гильбертовом пространстве % — L2(Rn, dnx) так, что (a) W° совпадает с пространством Шварца S{Rn), (b) образ U{q) при п совпадает с алгеброй Ап всех дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами. Доказательство. Если представление я не является локально точным (т. е. имеет ядро положительной размерности), то утверждение теоремы сводится к аналогичному утверждению для группы меньшей размерности. Таким образом, достаточно рассмотреть представление (п,М) группы Ли G с одномерным центром, для которого имеет место утверждение (Ь) аль- альтернативы из теоремы 2. Мы используем обозначения из формулировки и доказательства теоремы 2. Без потери общности можно считать константу р равной нулю. Тогда в силу B0) образы базисных элементов g при ж, имеют вид т*(Х) = —, тг.(У) = 2тгг'Лх, n.(Z) = 2ттг"Л, jt,(Wj) =j>,(Ad(expxX)Wj). Так как дейст- действие adX в g нильпотентно, элементы Wj := Ad(expxX)Wj = exp(adxX)Wj- могут быть записаны как линейные комбинации Y,Z,Wi,...,Wk, коэффи- коэффициенты которых суть полиномы от х. При этом постоянные члены Wj совпадают с Wj. Используя предположение индукции, выберем реализацию V в виде L2(Km,dmу) так, что p*(Wj) порождают алгебру всех дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами от переменных у\,.. ,ут- При выбранной реализации образ U(g) содержится в алгебре дифференци- дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами от х,у\,.. .,ут. Более того, этот образ содержит операторы х и дх- Следовательно, вмес- вместе с p*(Wj) этот образ содержит pt(Wj). Действительно, постоянный член любого полинома Р от х может быть выражен как линейная комбинация
202 Лекция 8. Метод орбит для нильпотентных групп Ли P,xdxP,...,(xdx)desPP. Таким образом, k{U(q)) содержит все дифферен- дифференциальные операторы с полиномиальными коэффициентами. Мы доказали второе утверждение теоремы. Первое утверждение спра- справедливо, так как для любой обобщенной функции (в частности, для любой <р ? L2(Rn,dnx)) условия Dtp e L2(Kn,rf"x) для любого D € А» и <р € 5(КП) эквивалентны. П На следующем шаге нам потребуется пример дифференциального опе- оператора D с полиномиальными коэффициентами в L2(R™, d"x), для которого L~x существует и имеет след. Сначала исследуем случай п = 1. Рассмот- d2 2 рим оператор Н = —-j-j + х . Лемма 4. Спектр оператора Н простой и состоит из всех нечетных положительных целых чисел 1,3,5,.... Доказательство. Определим так называемые операторы рождения и уничтожения Оставляем читателю проверку следующих соотношений: Н = а*а+1 = аа*-1, На = а{Н-2), На* = а'(Н + 2). B4) В силу последних двух соотношений в B4) для собственной функции / оператора Н, соответствующей собственному значению Л, функции af и a* f также являются собственными функциями, соответствующими собст- собственным значениям Л — 2 и Л + 2. Далее, уравнения af = 0, a*f = 0 имеют соответственно решения / = се~х I2 и / — сех*12. Следовательно, оператор рождения а* имеет нулевое ядро в Ь2(Ш, dx), а оператор уничтожения а имеет одномерное ядро, порожденное fo(x) = е~х I2. Из первого соотношения в B4) следует Hf0 = /0. Полагая /„ := (а*)™/0, получаем Hfn = Bл + 1)/„. Остается показать, что линейная оболочка V функций /о,, /i, - ¦ ¦ плот- плотна в L2(M.,dx), откуда следует , что оператор Н имеет точечный спектр с указанными_в формулировке леммы свойствами. Пусть V — замыкание V. Так как V инвариантно относительно а и а*, V инвариантно относительно -(а+а*) — хм „(а—а*) — —. Следовательно, V инвариантно относительно переносов и умножений на функции. Таким образом, ортогональный проектор Р на V коммутирует с пере- переносами и умножениями на функции. Однако любой оператор, коммутиру- коммутирующий с умножениями, сам является умножением на некоторую функцию <р и коммутирует с переносами, только если <р — константа. Итак, Р — скалярный оператор. Но этот оператор является ортогональным проекто- проектором на ненулевое подпространство. Поэтому Р = 1 и V = L2(M,dx). О Поскольку оператор Н имеет ограниченный компактный обратный оператор Я и Я является оператором Гильберта — Шмидта (принад-
3. Доказательства 203 лежит классу ?.(L2(U,dx))), заключаем, что Н~2 является оператором со следом. В пространстве L2(Mn,dnx) определим оператор Тогда Н~2 имеет след, так как является тензорным произведением п опе- операторов со следом. Теперь все готово для доказательства следующей теоремы. Теорема 4. Пусть G — связная нилъпотентная группа Ли, и пусть (я-.^) — соответствующее унитарное неприводимое представление. Опре- Определим пространство Шварца S(G), используя диффеоморфизм ехр : Шп = g -> G. Тогда для любой функции <р € S{G) оператор тг(<р) имеет след в П. (Другими словами, характер х* является распределением умеренного роста на G.) Доказательство. Один путь доказательства: используя теорему 3, по- показать, что % может быть реализовано как L2(Rn,dnx) так, что w(ip) яв- является интегральным оператором с ядром из S(R2n). Оставим этот путь доказательства читателю. Другой путь — более прямой. Выберем элемент А е G(д) такой, что тт„(А) преобразует А в оператор В, для которого обратный оператор В~1 имеет след (например, оператор Н2, рассмотренный выше). Тогда для <р е S(G) можно написать к(<р) = В~1Вт(<р) = В~1пг(А)т(<р) = В~1п(А(р). В последнем члене первый множитель является оператором со следом, тогда как второй оператор ограничен. Таким образом, п(<р) имеет след. Более того, можно оценить следовую норму оператора тт(<р): = |ти <: tTB-'MA^Wn % trB^WAvW^ay B5) Теорема доказана. П 4. Гомеоморфизм G и O(G). Пусть G — множество всех классов эквивалент- эквивалентности унитарных (не обязательно неприводимых) представлений топологи- топологической группы G. Для краткости мы используем одно и то же обозначение для представлений и их классов эквивалентности. Напомним определение топологии в G. Определение 1. Окрестность данного представления (Т,Н) определя- определяется следующими данными: (i) компактное подмножество К С G, (И) положительное число е, (iii) конечное множество векторов X = {xi,.. .,х„} в Я. Окрестность Uk,c,x(T) представления (Т, Н) состоит из всех унитар- унитарных представлений (S, V) таких, что существует конечное множество Y =
204 Лекция 8. Метод орбит для нильпотентных групп Ли {2/ь ¦ • •, Уп) векторов в V, удовлетворяющих неравенству \(T(g)xi,xj)n-(S(g)yi,yj)v\<e для любых g e К. B6) Множество G унитарных неприводимых представлений является под- подмножеством G и наследует топологию из G. Напомним еще одно понятие из общей теории представлений. Будем говорить, что унитарное неприводимое представление S слабо содержится в унитарном представлении Т, если точка S 6 G С G содержится в замы- замыкании точки Т 6 G. Упражнение 4. Одномерное представление t ь-> е2*ш для Н слабо со- содержится в регулярном представлении Г для Н, действующего переносами в L2(R,dx). Указание. Сделать преобразование Фурье и рассмотреть ^-образную последовательность в двойственном пространстве L2(M*,dX). Задача, изучаемая в этом разделе, распадается на две части. (i) Доказать, что отображение O(G) -4 G непрерывно. (ii) Доказать, что обратное отображение непрерывно. Задача (i) легче и может быть решена следующим образом. Предполо- Предположим, что последовательность орбит {Qn} сходится к пределу Q. Согласно определению фактор-топологии в O{G) это означает, что существует после- последовательность функционалов {Fn} такая, что Fn ? Qn и lim Fn — F € Q. n—foo Пусть ()n — подалгебра максимальной размерности, подчиненная Fn, иЯ„= exp t)n — соответствующая подгруппа G. Переходя, если необходи- необходимо, к подпоследовательности, можно считать, что все [)п одной и той же коразмерности г и имеют предел \\ в грассманиане Gr(g). Очевидно, что fl подчинена F. Однако может случиться так, что данная подалгебра име- имеет не максимальную возможную размерность (так как rk Bf может быть меньше, чем гкДр-,, = 2г). Используя лемму 5 из п. 5.2 лекции 7, можно построить подалгебру [) максимальной размерности, подчиненную F, такую, что f) С Ь. Следова- Следовательно, Н = ехр () Э Н. Обозначим через Г (соответственно Т) индуциро- индуцированное, представление Ind§ Uf,h (соответственно унитарное неприводимое представление Та. = Ind? UFjj). Надо показать, что Г содержится в преде- пределе13 limTn, = lim Ind%nUFn,Hn- Лемма 5. lim Tn в G содержит Т. П-+ОО Схема доказательства. Так как последовательность \\п стремится к \\ и все f)n одной и той же размерности, мы можем отождествить Xn = Hn\G со стандартным пространством Нп, так что действия G на Нп появляющи- появляющиеся ввиду отождествления Нп = Хп, имеют предел. ^Очевидно, что этот предел соответствует отождествлению Нп = X = H\G. Утверждение лем- леммы следует из явной конструкции, даваемой правилом 2. ? 13Поскольку G не обязательно хаусдорфово, предел последовательности может ока- оказаться не точкой, а некоторым замкнутым подмножеством G.
3. Доказательства 205 В случае гк Bf — 2г = гк Б^„ имеем Я = Я, Г = Г и требуемое соотно- соотношение lim Тп — Т доказано. П-+0О Предположим, что гкДр < 2г. Тогда Я — собственная подгруппа Н. Поэтому Г — приводимое представление. Лемма 6. Представление Т слабо содержится в Т и, следовательно, содержится в lim Tn ¦ ^ П-+ОО Схема доказательства. Сначала заметим, что VFjj слабо содержится в Ind^ Gр,я- Это фактически эквивалентно утверждению из упражнения 4. В дальнейшем мы будем использовать более общий факт, доказанный Феллом. Предложение 2 [F]. Функтор индукции Ind^ определяет непрерывное отображение из Я в G. Чтобы объяснить идею доказательства второй части, мы опишем под- подход, примененный Брауном [Вг]. Он основан на двух простых наблюдениях. 1. Любая нильпотентная алгебра Ли может рассматриваться как фак- фактор вп,к (см. пример 3 из п. 2.9) для некоторых пик. Следовательно, топологическое пространство G является подпространством Gn,k с наслед- наследственной топологией. 2. Алгебра Ли д„^ имеет большую группу автоморфизмов индуциро- индуцированных автоморфизмами свободной алгебры Ли. В силу первого наблюдения можно свести общую задачу к случаю 0 = Вп,к, тогда как благодаря второму можно доказать теорему для $п,к индукцией по к. О
Лекция 9 РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ ЛИ Экспоненциальные группы Ли 206 1.1. Условие Пуканского 206 1.2. Обобщенные характеры 208 1.3. Инфинитезимальные характеры 211 Общие разрешимые группы Ли 211 2.1. Ручные и дикие группы Ли 211 2.2. Ручные разрешимые группы Ли 215 Пример. Бубновая алгебра Ли 218 3.1. Присоединенные орбиты бубновой алгебры Ли 218 3.2. Представления, соответствующие общим орбитам 219 3.3. Представления, соответствующие цилиндрическим орбитам 222 Поправки к другим правилам 223 4.1. Правила 3-5 223 4.2. Правила 6, 7 и 10 223 . Экспоненциальные группы Ли Большинство предписаний руководства для пользователя (именно, правила 1, 3-5, 8, 9) остаются справедливыми и в более общей ситуации. Эти результаты были получены в основном французской школой (см. [BCD]). Справедливость правил 3-5 впервые была установлена в [Ви]. Го- Гомеоморфизм G и O{G) установлен недавно в [LL]. Что касается правил 2, 6, 7 и 10, они требуют модификации, которые мы обсудим ниже. 1. Условие Пуканского. В правиле 2 требуется сделать важную поправку. Чтобы ее сформулировать, нам понадобится следующее Определение 1. Будем говорить, что подалгебра f), подчиненная F е В*, удовлетворяет условию Пуканского, если *1 + Ь-СП*-1 A) т. е. прообраз p(F) целиком лежит в одной G-орбите. 206
1. Экспоненциальные группы Ли 207 Модифицированное правило 2 отличается от исходного только тем, что I) должна удовлетворять условию Пуканского. Необходимость следует из правила 4. Согласно этому правилу спектр индуцированного представления Ind^ Uf,h состоит из единственной точ- точки тогда и только тогда, когда выполняется условие Пуканского. В этом случае Ind# Uf,h должно быть кратным унитарного неприводимого пред- представления, ассоциированного с Qf- Принимая во внимание функциональную размерность (правило 9), за- заключаем, что кратность конечна (фактически, равна 1), если справедливо равенство codime f) — -dimOf. B) Таким образом, A) и B) дают необходимое и достаточное условие равенства Гп, = Indg UF,H. C) Мы не включили условие Пуканского в исходное правило 2 ввиду сле- следующего факта. Теорема 1. Для нилъпотентных алгебр Ли условие Пуканского A) всегда выполняется. Выведем это утверждение из следующих двух лемм. Лемма 1. Пусть в — алгебра Ли и Ц с g — подалгебра Ли, подчиненная F, коразмерности |dimQ eg. Тогда аффинное многообразие F + \)L имеет открытое пересечение с Uf {т. е. выполняется локальная версия условия Пуканского). Доказательство вытекает из рассмотрения Я-орбиты F, где Я = ехр[). Проверим, что эта орбита содержится в?+^. Для любых X,Y € () и h — ехр(Х) имеем (K(h)F, Y) = (F, Ad(h)-lY) = (F, e'^-^Y) = (F, Y). Таким образом, F и K(h)F имеют одни и те же значения на fj. Следова- Следовательно, разность принадлежит f)x. Теперь сравним размерности K(H)F и \)L. Первая равна dim Я — dimStab(^) = diraH — dimG + dirnQf, а вторая равна dimg — dimI). Раз- Размерности равны в силу B), откуда следует, что К{Н) сохраняет F + Цх и А'(Я)-орбита функционала F открыта bF+Ii1. Теперь мы можем заклю- заключить, что пересечение Qi?P|(F-f ^х) содержит окрестность F в F+ Цх. Те же аргументы можно применить к любой точке Fi € F+ t)x- Следователь- Следовательно, пересечение QfP|(F + (j-1-) открыто в F+ i)x. ? Лемма 2. Пусть G — унипотентная подгруппа Ли группы GL(n,R). Тогда все G-орбиты в Нп являются аффинными алгебраическими подмного- подмногообразиями в* (т. е. определены системой полиномиальных уравнений). Доказательство проводится индукцией по п (см. детали в [Kil]). ?
208 Лекция 9. Разрешимые группы Ли Доказательство теоремы 1. В силу леммы 2 для нильпотентной груп- группы Ли все коприсоединенные орбиты замкнуты. Поэтому пересечение K(G)Fn(F + t)L) замкнуто в (F + t)L). Однако согласно лемме 1 оно также открыто. Таким образом, оно должно совпадать с (F + f|x)- ? Для общих экспоненциальных групп лемма 2 уже не остается верной (см. пример 1 ниже), и мы должны включить условие Пуканского в фор- формулировку правила 2. Теорема 2 (Пуканский). Модифицированное правило 2 справедливо для всех экспоненциальных групп Ли. Доказательство проводится по той же схеме, которая использовалась в лекции 8 при доказательстве правила 2 для нильпотентных групп Ли. Од- Однако в данном случае рассуждение гораздо сложнее, и потому мы опустим его, рекомендуя обратиться интересующемуся читателю к [PI], [BCD] за подробностями. ? 2. Обобщенные характеры. Теперь мы рассмотрим правило 6, которое требует корректировки в силу двух причин, указанных ниже. Первая причина: для ненильпотентных экспоненциальных групп об- обобщенные характеры унитарных неприводимых представлений не обяза- обязательно определены корректно как распределения. Может оказаться, что оператор Т(<р) не имеет следа даже для ip G C™{G). Объяснение этого феномена с точки зрения метода орбит очень прос- простое. Коприсоединенные орбиты уже не будут замкнутыми подмногообр- подмногообразиями д*.' Следовательно, форма объема, ассоциированная с симплекти- ческой структурой на орбите, может быть сингулярной на границе и ин- интегральная формула в правиле б тогда не будет определять распределение на G. Таким образом, мы должны сузить область определения обобщенно- обобщенного характера, налагая дополнительные условия на пробные функции <р € Cf{G). В простейшем случае примера 1 дополнительное условие очень просто и естественно: преобразование Фурье = [<p{expX)e2vi<F'X>dX D) должно обращаться в нуль на границе орбиты. Вторая причина: для нильпотентной группы преобразование Фурье tp ь-» р, заданное формулой D), определяет унитарное преобразование из L2(G, dg) в ?2(g*, dF), где dg — мера Хаара на G и if — соответствующая мера Лебега на в*. В терминах этого преобразования правило б можно выразить следующим образом: E)
1. Экспоненциальные группы Ли 209 Правило б можно также сформулировать следующим образом: Преобразова- Преобразование Фурье характера хп является канонической мерой на коприсоединенной орбите Q. Если группа не является нильпотентной, следует подправить преоб- преобразование Фурье D), принимая во внимание более сложное соотношение между инвариантными мерами на G и д*. Для неунимодулярной группы плотности правой и левой мер Хаара имеют следующую запись в канонических координатах: dX. Заметим, что для унимодулярной группы оба выражения можно записать в виде q(X)dX, где Это аналитическая функция на д, нули которой совпадают с сингу- сингулярными точками экспоненциального отображения. Для экспоненциальной группы д(Х) всюду положительна, и поэтому функция ^)) p@) = l, F) корректно определена и аналитична. Определим модифицированное преобразование Фурье следующим обра- образом: = fe2^ Для унимодулярной экспоненциальной группы это преобразование яв- является унитарной биекцией между L2(G,dg) и L2($*,dF), и мы можем ис- использовать его вместо D) в выражении E). Модифицированное правило 6 приобретает вид G) Так как для нильпотентной группы р(Х) = 1, модифицированное пра- правило 6 в этом случае совпадает с исходным правилом. Оказывается, что модифицированное правило 6 справедливо для ши- широкого класса ненильпотентных групп, если пробные функции подчинены подходящим дополнительными ограничениям. Пример 1. Пусть G — Aff+(l,WL) — группа сохраняющих ориентацию аффинных преобразований вещественной прямой.1 Она имеет матричную 'В [Kil] подробно рассматривается этот простой, но поучительный случай (см. также [BCD] и [LL]).
210 Лекция 9. Разрешимые группы Ли реализацию 2 х 2-матрицами вида д = ( „ . j, а, 6 € й, а > 0. Элементы алгебры Ли g и двойственного пространства д* реализуются вещественны- вещественными 2 х 2-матрицами вида X = ( „ п ) > -^ = ( о) И копРисоеДиненное действие имеет вид К(а,Ь) : (х,у) ь-> (х + а~гЬу, а~1у). Мы видим, что д* распадается на две двумерные орбиты п± = {(х,у)| ± у > 0} и семейство 0-мерных орбит пх = {(х,0)}. Оставляем читателю явное построение унитарных неприводимых пред- представлений для G и вычисление их характеров. Заметим лишь, что для любого jP 6 Q± существует в точности одна одномерная подалгебра (одно- (одномерный идеал Ц с д), удовлетворяющая условию Пуканского. Замечание 1. Введем функцию j комплексной переменной г по фор- формуле .2(г) = Это голоморфная функция в диске \z\ < 2тг. Выпишем разложение Тейлора этой функции: Функция j имеет многозначное аналитическое продолжение на всю комп- комплексную плоскость. Функция р(Х), которую мы используем в модифицированном преоб- преобразовании Фурье, может быть выражена через функцию j следующим об- образом. Пусть Ai,..., А„ — собственные значения оператора ad X. Тогда ^ , (tr*2J fc=l M. Концевич заметил, что хорошо известное тождество Г(х)ГA - х) = -JL- SH17TX влечет равенство Так как ad X — вещественный оператор, его собственные значения либо вещественны, либо распадаются на комплексно сопряженные пары. При- Принимая во внимание свойство Г(У) = F(z), заключаем, что
2. Общие разрешимые группы Ли 211 Поэтому естественно ввести функцию и использовать эту функцию вместо р(Х) в определении модифицирован- модифицированного преобразования Фурье. Преимущество такой замены заключается в том, что =у-г- является целой функцией. Следовательно, к(Х) корректно определена на всей алгебре Ли g и даже на ее комплексификации. 3. Инфияитезнмальные характеры. Начальная формулировка правила 7 долж- должна быть подправлена. Напомним, что в п. 2.3 лекции б мы определили ото- отображение А ь-» Ра из У(д) в Z(g), используя отображение симметризации sym. Дело в том, что это отображение является изоморфизмом линейных пространств, но, вообще говоря, не является гомоморфизмом алгебр. Поэто- Поэтому надо модифицировать правило 7, так как оба отображения Р (-> Р(п) иЛи 1%(А) являются гомоморфизмами алгебр. У нас будет возможность обсудить этот факт ниже, а здесь мы приведем скорректированную фор- формулу. А именно, модифицированное правило 7 выглядит в точности так же, как раньше: hn{A) — Рд(Я), но соответствие А <—> Ра определено по- другому. Для определения этого нового соответствия мы рассмотрим раз- разложение Тейлора (8) функции р(Х), определенной формулой F). Формаль- Формальное преобразование Фурье ставит в соответствие этому степенному ряду формальный дифференциальный оператор J бесконечного порядка с посто- постоянными коэффициентами на д*. Этот оператор действует на Pol(g*) и об- обратим. Если {Xi} и {Fi} — произвольные двойственные базисы в g и д* со- ответственно, то J получается из р подстановкой ^-=т вместо Xi. Для A € и(д) определим РА е Pol(g*) так, что А — sym о a~1{JPA) или Ра = J~1(aosym~1A). Заметим, что для нильпотентной группы g это определение Ра совпадает с исходным, поскольку р(Х) = 1 и J = 1. Общие разрешимые группы Ли 1. Ручные и днкие группы Лн. При изучении неэкспоненциальных разреши- разрешимых групп Ли мы можем наблюдать новый феномен. Некоторые из этих групп не принадлежат типу I в смысле фон Неймана. Это означает, что те- теория представлений для этих групп имеет несколько неприятных свойств. 1. Для топологического пространства G не выполняется аксиома отде- отделимости даже в слабейшей форме Го. Это означает, что существуют две различные точки G такие, что любая окрестность каждой из этих точек содержит другую точку. 2. Разложение унитарного представления на неприводимые компонен- компоненты может быть неединственным. Может даже случиться так, что два
232 Лекция 9. Разрешимые группы Ли различных разложения не имеют общих унитарных неприводимых пред- представлений. 3. Существуют фактор-представления типов II и III в смысле фон Ней- Неймана. 4. Существуют унитарные неприводимые представления, которые не обладают обобщенными характерами. А именно, операторы n(ip),<p 6 A(G), никогда не имеют следов, за исключением случая, когда они обращаются в нуль. Для таких групп я предлагаю название дикне. Соответственно, груп- группы типа I будут называться ручными. Можно выделить две ситуации, в которых разрешимая группа Ли мо- может быть дикой. Обе имеют простую интерпретацию в рамках метода орбит. Первая ситуация: для пространства O{G) может нарушаться аксиома отделимости 7Ь, так как коприсоединенные орбиты не обязательно замк- замкнуты, даже локально. Простейший пример такой ситуации ,sk построен Маутнером в 50-х годах и позднее переоткрывался многократно. Мы опи- опишем этот пример здесь. Пример 2. Рассмотрим семейство 5-мерных групп Ли Ga, которое за- зависит от вещественного параметра а и имеет следующее матричное пред- представление: (9) Оказывается, что Ga ручная тогда и только тогда, когда a — рациональное число. Коприсоединенные орбиты для иррационального а изображены на рис. 1 Мы видим, что для топологического пространства O(G) не выполня- выполняется аксиома То. Упражнение 1*. Рассмотрим два семейства представлений G: • семейство Ua,b, а, 6 € С, действующее в L2(M,rfr) согласно формуле {Ua,b(t,z,w)<p)(r) = >.-H«<."«+«»'6«)?,(r.M)i • семейство УГ1]Г2:,, гь г2 G й+, set, действующее в L2(T2, d#irf02) по формуле (Vrur:ii!i{t, г,и,)ф){вив2) = e2*iRe(t'+e"riZ+e""r*w'>4>{e1 +tmod 1,в2 + aimod 1). (а) Показать, что существуют два различных разложения правого ре- регулярного представления Т группы G на неприводимые компоненты GaBg(t,z,w)=\ 0 e T- j Ua,bdadadbdb, (i) CxC ' = J Vrur^drxdr2ds. (ii)
2. Общие разрешимые группы Яи 213 (Ь) Показать, что иа,ь не эквивалентно ни одному из представлений a.»' Указание. См. [Kil]. Рис 1. Коприсоединенные орбиты для Ga Вторая ситуация: каноническая форма <т на некоторых орбитах может оказаться неточной. Применяя технику Макки (см. последний раздел лек- лекции 4), мы приходим к необходимости изучения представлений неабелевых дискретных групп, которые обычно оказываются дикими. Пример 3. Простейший пример группы такого сорта имеет размер- размерность 7, и группа может быть реализована блочно-диагональными 6x6- матрицами с диагональными 3 х 3-блоками вида s,r,ieK, z,w 6 с. A0) Мы опишем орбиты и представления этой группы, следуя [К2, § 19]. Введем семь вещественных координат х, у, z, u, v, s, t, r на g так, что z - x + iy, w = u + iv. Обозначим через X, Y, Z, U, V, 5, Т, R соответству- соответствующие базисные векторы в д, которые также служат двойственными коор- координатами в д*. Выпишем ненулевые коммутаторы: [S,X] = Y, [S,Y] = —X, [Т, U] = V, [Т, V] = -U, [S,T\ = R- Пусть G — связная односвязная группа Ли такая, что Lie(G) = g.
214 Лекция 9. Разрешимые группы Ли Упражнение 2. Показать, что коприсоединенные орбиты максималь- максимальной размерности в д* диффеоморфны Т2 х I2 и каноническая симплекти- ческая форма <т не является точной. Указание. Проверить, что для ненулевых г1; г2, г3 уравнения X2 + Y2 = rl U2 + V2 = r2, R = r3 определяют коприсоединенную орбиту с канонической 2-формой <r=d(pAdS + dipAdT + r3dip A dip, где угловые координаты <р и ф определены соотношениями X = rt cos ip, Y = n sin tp, U = Г2 cos ф, V = гг sin ф. Установить, что G дикая, можно следующим образом. Имеется абеле- ва нормальная подгруппа А С G, алгебра Ли которой а является линейной оболочкой X, Y, U, V. Двойственная в смысле Понтрягина группа А состо- состоит из характеров x(exp(xX+yY+uU+vV)) = e^i{ax+by+cu+dv) раСщепление А на G-орбиты будет ручным: орбиты задаются уравнениями а2 +Ь2 = rj, с2 + d2 = т\. Поэтому можно применить вторую часть теоремы 2 лекции 8. Тогда унитарное неприводимое представление ж группы G имеет вид жх<г, = Ind# р, где х € А, Н — стабилизатор точки х в G, и р — унитарное неприводимое представление Н такое, что р{а) = х{а) • 1 ПРИ а € А. Действительно, рассматриваемое представление остается в том же классе эквивалентности, когда мы заменяем пару (х,р) парой д ¦ (х, р) — (х ° А{д~1),р о А(д~1)), где А(д) : х >-> дхд~1. Таким образом, унитарные неприводимые представления G в действительности определяются следую- следующими данными: G-орбитой ПсЛи унитарным неприводимым представ- представлением р стабилизатора некоторой точки х 6 ft- Будем называть \ невырожденной, если а2 + Ь2 ф 0 и с2 +d2 ф 0. Пусть Ао — множество всех невырожденных характеров. Стабилизатор х € Ао в G не зависит от х- Это полупрямое произведение Н = exp(Z • S + Ъ ¦ Т + Ш ¦ R) к А. Отсюда следует, что часть Go С G соответствующая части Ао С А гомеоморфна (A0)g х Н. Мы видим, что G и Н одного типа: обе ручные или обе дикие. Поэтому достаточно показать, что Я — дикая группа. Воспользуемся матричным представлением элементов ft € Я в виде матриц /1 m г\ ft(m,n,r)= 0 1 п , т,пб2, гбК. V0 о V Заметим, что Я, в свою очередь, имеет нормальную абелеву подгруппу В, определенную условием п = 0. Общий характер х подгруппы В имеет вид Группа Н действует на В, и это действие факторизуется через Я/В, так как В действует тривиально на В. Простыми вычислениями можно пока- показать, что образующий элемент группы Н/В =. Z определяет преобразование
2. Общие разрешимые группы Ли 215 [в, с) »-»• [в + с mod 1, с). Тогда разбиение В на Я-орбиты будет диким: для любого иррационального с множество в + Z • emod 1 плотно в Ж/Z. Рассмотрим представление щ:С — IndgXe.c группы Я. Упражнение 3. (а) Показать, что яу>,с и я-в>,С' эквивалентны тогда и только тогда, когда с' = с и в1 — в + fcemod 1 для некоторого к g Z. (b) Показать, что для иррационального с все точки я-в>,с € Я принад- принадлежат ЛЮбОЙ ОКреСТНОСТИ 1Гд:С. Указание. Выписать явную формулу для представлений и постараться найти сплетающие операторы для них. Замечание 2. Естественно обобщить понятие коприсоединенной ор- орбиты для дикой группы первого типа и рассмотреть эргодические G-инва- риантные меры на д* как виртуальные копрнсоединенные орбиты.2 Понятие виртуальной подгруппы предложено Г. Макки [М]. Идея ис- использовать их в методе орбит была высказана автором [Ki4]. Однако вскоре после публикации [Ki4] я обнаружил, что эта идея уже реализована Пукан- ским. В частности, аналог интегральной формулы для обобщенных ха- характеров был получен в [Р2]. Левая часть формулы представляет собой относительный след оператора Т(д) в смысле фон Неймана, а правая часть является интегралом по виртуальной орбите. 2. Ручные разрешимые группы Лн. Теперь мы вернемся к ручным разреши- разрешимым группам Ли. Отметим замечательный факт: Руководство для поль- пользователя работает и в этом случае при подходящих поправках ко всем пра- правилам, кроме правил 7 и 9. Почти все результаты, описанные в этом разделе, принадлежат Л. Аус- лендеру и Б. Костанту [АК]. Эти результаты изложены здесь в несколько упрощенном варианте и с дополнениями, предложенными И. М. Щепочки- ной [She].3 Сначала рассмотрим простой критерий. Теорема 3 (Ауслендер — Костант). Связная односвязная разрешимая группа Ли G является ручной {или принадлежит типу I) тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия: (a) пространство O{G) удовлетворяет аксиоме отделимости То, (b) каноническая форма <т точна на каждой орбите. Далее мы предполагаем, что G удовлетворяет условиям теоремы 3. Даже для ручной разрешимой группы соответствие между коприсо- единенными орбитами и представлениями не обязательно взаимно одно- однозначно. Для описания этого соответствия требуется модифицировать про- пространство д*. Дело в том, что в противоположность случаю экспоненциальной груп- группе Ли коприсоединенная орбита П может оказаться не односвязной. Прос- 2Можно доказать, что в случае, когда O(G) удовлетворяет аксиоме отделимости То, все такие меры пропорциональны каноническим мерам на орбитам. 3К сожалению, полный текст кандидатской диссертации И. М. Щепочкиной (Мос- (Москва, 1980) никогда не был опубликован и до сих пор недоступен для математической общественности.
226 Лекция 9. Разрешимые группы Ли тое топологическое исследование (см. лекцию 4) показывает, что фунда- фундаментальная группа яч(О) изоморфна Stab(.F)/Stabo(.F). Определим оснащенный момент группы Ли G как пару (F, х), где F б д* их — унитарное одномерное представление Stab(F) такое, что Х„(е)=2ячТ|81аЬ(л . A1) Напомним, что такие х существуют только, когда орбита пр целочислен- целочисленная. Для разрешимой группы Ли типа I это условие выполняется, так как <т точна и, следовательно, все орбиты целочисленные. Множество всех оснащенных моментов обозначается s*igg. Группа G естественно действует на g'igg и это действие коммутирует с проекцией П : Q'igg -* в*, заданной формулой U{F,x) = F. G-орбиты в Q*igs называются оснащенными коприсоединенными орбита- орбитами, и множество всех таких орбит обозначается Origg(G). Следует заметить, что для ручной разрешимой группы Ли проекция П — отображение "на" и слой над точкой F 6 0* представляет собой тор раз- размерности, равной первому числу Бетти пр. Таким образом, соответствие между обычными и оснащенными орбитами многозначное. Модифицированное правило 1 содержится в следующем утверждении. Теорема 4 (Ауслендер — Костант). Для любой связной односвязной раз- разрешимой группы Ли G типа I существует естественная биекция между множеством G унитарных неприводимых представлений и пространством Origg(G) оснащенных коприсоединенных орбит. Подробное доказательство можно найти в оригинальной статье [АК] или в [Kil]. Здесь мы опишем конструкцию унитарного неприводимого представления Тц, ассоциированного с оснащенной орбитой П. Оказывается, что для этого потребуется новая процедура голоморфной индукции, и мы объясним основную идею прежде, чем давать определение. Мы вернемся к этому вопросу в лекции 10. Здесь и далее мы предполагаем, что Q 6 Origg и {F, x) € Я. Рассмот- Рассмотрим сначала случай, когда существует вещественная поляризация Ц для F, удовлетворяющая условию Пуканского. Тогда обычная индукция из пра- правила 2 применима при минимальных модификациях. Пусть Н° = expfj и Н — группа, порожденная Н° и Stab(F). (Заметим, что Stab°(F) содержит- содержится в Я0). Определим одномерное унитарное неприводимое представление Uf,x,h группы Н по формуле Uf,x,h{9) = < , . гО, ,,„ ¦ [х(з), geStBb(F). Корректность этого определения обеспечивается равенством A1). Затем определим требуемое унитарное неприводимое представление Та по формуле Tn = lnd%UFiX,H, A3) которая может рассматриваться как первая поправка к правилу 2.
2. Общие разрешимые группы Ли 217 Описанная процедура, к сожалению, не применима для построения унитарных неприводимых представлений всех оснащенных орбит. Причи- Причина заключается в том, что для некоторых F 6 в* не существует веществен- вещественной поляризации, т. е. не существует подалгебры Ijcg, которая были бы подчинена функционалу F и имела бы требуемую коразмерность |гкВр. С другой стороны, комплексная поляризация, т. е. комплексная под- подалгебра р С gc c такими свойствами всегда существует. Это следует из процедуры, описанной в п. 5 лекции 7. Мы используем обозначения из п. 5 лекции 7. Модифицируя далее процедуру индукции, рассмотрим комплексную поляризацию р вместо вещественной. Пусть р — комплексная поляризация функционала Fes*. Следуя процедуре из п. 5 лекции 7, введем веществен- вещественные подпространства [СдиЭСд такие, что их комплексификации будут соответственно р + р и р|"|Р- Заметим, что 5 — подалгебра gj содержащая stab(F) = Lie(Stab(F)). Пусть D — соответствующая связная подгруппа G. Положим Н -D- Stab(F). Очевидно, что Н° = D. Поляризация р называется допустимой, если е с в — подалгебра. Обо- Обозначим через Е соответствующую подгруппу G. Напомним, что любому X € g соответствует правоинвариантное век- векторное поле X на G. Продолжим отображение X »-»• X до комплексно- линейного отображения из gc B Vectc(G) и используем то же обозначение для продолженного отображения. Рассмотрим пространство L(G, F, р) гладких функций на G, удовле- удовлетворяющих условиям (X - 2iri{F, X))f = 0, для всех Хер, . . F{hg) = хШ(д) для всех h e H. К ' Заметим, что для X € g вещественное поле X является инфинитезималь- ным левым сдвигом вдоль подгруппы ехр(ЖЛ"). Поэтому первое условие в A4) есть в точности инфинитезимальная форма уравнения /(ехрА" • д) = e2m(F,x) Заметим также, что второе условие в A4) для h e Н° следует из первого условия ввиду A1). С геометрической точки зрения элементы L(G, F, р) могут рассматри- рассматриваться как гладкие сечения некоторого линейного расслоения L над правым однородным пространством М — H\G при дополнительном условии: они голоморфны вдоль некоторого комплексного подмногообразия, изоморфно- изоморфного Н\Е (см. п. 5 лекции 7). Более того, L — G-расслоение и действие Stab(F) на одномерный слой L над F задается характером х- Обозначим через L0(G,F,p) подпространство сечений, носители ко- которых имеют компактные проекции на E\G. В L0(G,F,p) можно ввести G-инвариантное скалярное произведение (см. подробности в примерах ни- ниже). Пополнение Lo(G,F,p) относительно этого скалярного произведение является гильбертовым пространством Л, где G действует унитарными операторами. Оказывается, что при подходящем условии положительности на р ре- результирующее представление неприводимо и зависит только от оснащен-
218 Лекция 9. Разрешимые группы Ли ной орбиты п, которая содержит (F,х). Обозначим его через Гц и рассмот- рассмотрим описанную конструкцию как вторую поправку к правилу 2. Наиболее важен частный случай этой конструкции, когда р — так называемое кэлерова поляризация. Это означает следующее; 1- Р + Р = 0с- 2. рГ\Р=Ьс, где fj=stab(F). _ 3. Эрмитова форма h(X, Y) := ^Bf(X, Y) положительно определена на 8с/р- В этом случае Е = G и р определяет на многообразии М — H\G G- инвариантную комплексную структуру. Кроме того, М как однородное многообразие изоморфно коприсоединенной орбите О С д* и, следователь- следовательно, обладает канонической формой объема. Можно ввести G-инвариантную эрмитову структуру на L так, что представление Та будет действовать на пространстве квадратично интегрируемых голоморфных сечений L. Как практически применять эту процедуру, подробно объясняется в следующем разделе на некоторых типичных примерах. . Пример. Бубновая алгебра Ли Мы проиллюстрируем общую теорию на конкретном примере. 1. Присоединенные орбиты бубновой алгебры Ли. Пусть g — так называемая бубновая алгебра Ли g с базисом Т, X, Y, Z и ненулевыми коммутационны- коммутационными соотношениями . . [T,X] = Y, [T,Y] = -X, [X,Y] = Z. A5) Эта алгебра имеет матричную реализацию как подалгебра Ли алгебры spD,K) с общим элементом (О а Ь 2с I S "о' -а 0 0 0 0 Для описания соответствующей односвязной группы Ли G рассмотрим груп- группу МB) движений, сохраняющих ориентацию евклидовой плоскости Ж2. Как гладкое многообразие, МB) изоморфна S1 х Ж2. Оказывается, что группа G может рассматриваться как универсальное накрытие централь- центрального расширения МB) (см. ниже). Перенесем координаты (в, а, Ь, с) группы g в группу G по формуле д{в, а, Ь, с) = ехр@Т + cZ) exp{aX + bY). A7) Предупреждение. Группа G допускает глобальную систему координат и диффеоморфна R4, но не является экспоненциальной. Упражнение 4. (а) Показать, что центр С группы G состоит из эле- элементов д{9, а, 6, с), удовлетворяющих условиям а = Ь = 0, в 6 2ж2. - (Ь) Проверить, что присоединенная группа G/C изоморфна группе движений МB).
3. Пример. Бубновая алгебра Ли 219 Указание. Использовать явную формулу для коприсоединенного дей- действия, определенного ниже. Двойственное пространство д* реализуется как множество матриц (О 0 0 0\ ; i ! о0 <«> z у -х 0/ так, что (F, S) = ti(FS) = et + ax + by + cz. Явная формула для коприсоединенного действия следующая: К{д@, а, Ь, c))F(t, x, y,z) = F(t - Ьх + ay - * z, x + bz,y- az, z), K{g{9, 0, 0,0))F(t, x, y, z) - F{t, x cos0 - у sin B, x sinfl + у cos 9, z). Инвариантными полиномами на g* являются полиномы z и x2+y2+2tz. Следовательно, общие орбиты суть 2-мерные параболоиды Пеьея : z = <я ^ 0, * = с2 - i^tlL. A9а) Гиперплоскость г = 0 распадается на двумерные цилиндры Пг: i2 + 2/2 = r2, г>0, A9Ь) и одномерные орбиты (неподвижные точки) nS = @,0,0,c), ceffi. A9с) Фактор-топология в O(G) — это обычная топология на каждой части A9а), A9Ь), A9с): {Пс„сЛ = К* х Ж, {Пг} 2 Ж>0, {пс0} S Ж. При с, -»• 0 и 2cic2 -> г2 параболоид ОС1,С2 стремится к цилиндру пг. При ci -> 0 и С[Сг -4 0 пределом является множество всех fijj. Таким образом, чтобы получить топологическое пространство O(G), следует взять вещественную плоскость К2 с координатами (а = сиЬ = 2С1С2), удалить луч а = 0, b ^ 0 и приклеить прямую Ж вместо выколотого начала координат. Чтобы получить пространство Origg(G), надо дополни- дополнительно заменить каждую точку открытого луча а = 0, b > 0 окружностью. . Представления, соответствующие общим орбитам. Все общие коприсоеди- ненные орбиты односвязны. Следовательно, нет никаких различий между орбитами и оснащенными орбитами. Согласно правилу 1 любой общей ор- орбите ПС1,с3 соответствует ровно одно (с точностью до эквивалентности) унитарное неприводимое представление я-СьСа. Опишем построение этих унитарных неприводимых представлений. Нетрудно показать, что для с\ ф 0 функционал F не имеет веществен- вещественной поляризации. Действительно, каждая трехмерная подалгебра д необ- необходимо содержит Z, Следовательно, она не подчинена функционалу F. Однако существуют две трехмерные комплексные подалгебры р± С дс, подчиненные F. Для упрощения вычисления выберем специальную
220 Лекция 9. Разрешимые группы Ли точку F б ПС1,с3 с координатами @,0,ci,c2J. Тогда можно положить р± = С ¦ Т © С ¦ (X ± iY) ф С • Z. Действительно, так как [р±,Р±] = С- (X ±гУ), мы видим, что F\. . = 0. Следовательно, обе р± являются комплексными поляризациями F. Позднее мы более подробно рассмотрим р+, которая будет обозначаться просто р, а сейчас лишь укажем необходимые модификации для р_. В этом случае имеем р + р = д,рГ)Р = С-ТфС-.?. Одномерное комплексное пространст- пространство gc/р порождается вектором ? = (X — iY) mod p и снабжено эрмитовой формой h, заданной формулой /»(?,?) = с\. Таким образом, р является кз- леровой поляризацией тогда и только тогда, когда ci > 0. Пусть D — ехр(К-ГфК Z). Многообразие М = D\G есть обычная плос- плоскость К2 с координатами (u,v). Правое действие G на М факторизуется? через G/C и порождает в точности группу преобразований М{2): (u,v) ехр(вТ) = (u cos в + vsme,—usin8 + v cos в) (вращения), (и, v) ¦ exp(aX + bY + cZ) = (и + a, v + b) (переносы). Упражнение 5. (а) Установить G-эквивариантный изоморфизм а меж- между многообразием М и коприсоединеннйо орбитой ПС1|С2, с\ ф 0. (Ь) Вычислить образ a* (a) канонической симплектической формы а при этом изоморфизме. Указание, (а) Учесть, что fiCi,c2 является левым G-многообразием, а М — правым G-многообразием. Таким образом, эквивариантность отобра- отображения а : М -> 0С1,с3 выражается равенством д ¦ a(u,v) = a((u,v) ¦ з)- (b) Использовать тот факт, что скобки Пуассона определяют на д* структуру алгебры Ли, изоморфной д. Ответы, (а) а(и,v) = F(—c\v,c\u,c\,C2 — с\{и2 + v2)/2), (b) a*(с) = ciduAdv. Согласно общей теории каждая комплексная поляризация р определя- определяет на М G-инвариантную комплексную структуру. В нашем случае эта структура задается глобальной системой координат w = и + iv. Предложение 1. Пространство L(G,Ft p), заданное системой A2), сов- совпадает в нашем случае с пространством голоморфных сечений тривиаль- тривиального линейного расслоения L над М. Доказательство. В координатах A5) правоинвариантные векторные поля на G задаются в виде .де, Т= Таким образом, второе условие в A4) ("вещественная часть") прини- принимает вид — = 2nicif, д-г = 2жгс2/. Это условие эквивалентно равенству /@, а, Ь, с) = e2"^c+e'e)f@, а, Ь, 0). B0)
3. Пример. Бубновая алгебра Ли 221 Определим сечение s : М —> G : {u,v)>~* g@, u, v, 0). Приведенное равенство означает, что решение / как функция на G полностью определяется своим сужением на s(M), которое в действитель- действительности является функцией <р = f о s на К2: <p(u,v):=f@,u,v,0). B1) Принимая во внимание B0) и B1), можно записать первое условие в A4) ("комплексную часть") в виде е'в(<9ц + idv + wci(u + iv))tp — 0 или 2-т?: + irciw<p — 0. Общее решение этого уравнения имеет вид ow ^1) -ф, B2) где ф — голоморфная функция комплексной переменной w. Наконец, определим тривиальное линейное расслоение L так, что функ- функция ipo = expl —ttci|ui|2 j определяет голоморфное сечение L. Так как это сечение нигде не обращается в нуль, все другие голоморфные сечения име- имеют вид <р= ф ¦ ipo, где ф голоморфна. ? Действие G в пространстве L[G,F,p) вычисляется, как обычно, с по- помощью основного уравнения s(u, v) ¦ д(9, a, b, с) = ехр(тТ + yZ) ¦ s{u', «') при заданных и, v, 9, а, Ь, с и неизвестных г, -у, и', v'. Решение следующее: (аи + bv) sin в + (bu — av) cos в т = в, 7 = С + , и' = ucosd + vsin# + a, v' — — usm9 + vcos8 + b. Следовательно, действие имеет вид (ж(з@, а, Ь, 0)<р)(и, v) = e«<=i(i«-«») . <р(и + a,v + Ь), {T(g(e,0,0,e)V)(u,v) v cos в). B3) Соответствующее представление алгебры Ли g в пространстве функ- функций <р имеет вид я-»(Л") = ди — wiciv, ж,(У) — д„ + iriciu, -k*{Z) — 2irici, ж*(Г) = vdu - udv + 2жгс2. В терминах голоморфных функций ф = <pl<p0 можно переписать это представление так: к,{Х) — dw — я-ciiu, ж,(У) = idw + iriciw, ж*{2) = 2ячс1, т«(Т) = -iwdw + 2iric2. Представление группы в терминах ф записывается в виде , а, Ь, с)ф)(и>) = е2«сс+те1(«,(«-.-Ь)-(д3+ба)/2) . ф^ + а + i6)i = е2™*" ¦ i>{e~i6w). B3') Рассмотрим теперь более тщательно пространство представления "К. По определению это пополнение L(G,F,p) относительно нормы, порожден- порожденной G-инваринатным скалярным произведением. Естественно выбрать та-
222 Лекция 9. Разрешимые группы Ли кое скалярное произведение в виде = f М Ж' Очевидно, что Л ненулевое в точности тогда, когда с\ > 0, т. е. когда р является кэлеровой поляризацией. В качестве ортонормированного базиса в И можно взять голоморфные (nciw)" функции фп = i—¦=(—, n ^ 0. Упражнение 6. Ввести эрмитову структуру на L так чтобы простран- пространство представлений И было изоморфно пространству всех квадратично ин- интегрируемых голоморфных сечений L. Ответ. Для голоморфного сечения ф надо определить норму его зна- значения в w по формуле Н^ш)!!2 := \ip(w)<po(w)\2. . Представления, соответствующие цилиндрическим орбитам. Рассмотрим ор- орбиты Qr, г > 0. Они имеют нетривиальную фундаментальную группу, так как стабилизатор Stab(F) точки F(t, х, у, 0) € пг имеет вид ехрBл-2 • Г+ К • {xX + yY)+M-Z). Поэтому тп(Пг) s Stab(F)/Stab°(F) S Z. Мы видим, что орбите Qr соответствует одномерное семейство оснащенных орбит Пг(т), где г 6 Z = IR/Z. Более точно, оснащенная орбита Пг(т) б Crigg состоит из пар (F, Хт,т) где F € Qr и характер Хг,т € Н задан формулой . .Xr,r(^P(^n-T + a.(xX + yY) + c-Z)) = e2''i^+a^. B4) Упражнение 7. Показать, что для любого F € пг существуют единст- единственная вещественная поляризация t) = Ш ¦ X ®R-Y (ВШ ¦ Z и единственная комплексная поляризация р = f)c- Указание. Вычислить действие Stab(F) в 7>Qr (соответственно, в ТрПг) и проверить, что оно имеет единственное Stab(F)-HHBapHaHTHoe под- подпространство Ж • dt (соответственно, С • dt). Окончательно, модифицированное правило 2 ассоциирует с орбитой Пг (т) унитарное неприводимое представление Tnr(T) = Ind^ Хг,т- Упражнение 8. Вывести следующую явную реализацию Тпг(т) в L2([0,2ir),da): (Tnr(T)(g@,a,b,c))f)(a) = еап>(«в»«+бл,«.)/(в)> = eJ""V(fli). B5) где n e Z и St 6 [0, 2ж) определены равенством а + 9 = в^ + 2жп. Указание. Использовать основное уравнение. Соответствующее представление Т» := (Тпг(г))* алгебры Ли д имеет вид Г»(Г) = да, Т.(Х) = 2irircosa, Г»(У) = 2irirsina, T,(Z) = 0. Замечание 3. На первый взгляд Г, не зависит от параметра т. Дело в том, что оператор А = ida с областью определения А@,2тг) с L2([0,2ж), da)
4. Поправки к другим правилам 223 симметричен, но не является существенно самосопряженным. Он имеет несколько самосопряженных расширений Ат, которые мы нумеруем здесь параметром т б IR/Z. А именно, область определения Ат состоит из всех непрерывных функций / на [0,27г], которые имеют квадратично интегри- интегрируемые обобщенные производные /' и удовлетворяют граничному условию 4. Поправки к другим правилам 4.1. Правила 3-5. Здесь мы кратко обсудим поправки к правилам 3-5 , предло- предложенные Щепочкиной. Пусть Я — замкнутая подгруппа G. Будем говорить, что оснащенная орбита П' б 0rigg(#) лежит под оснащенной орбитой П 6 O(G) (или, экви- эквивалентно, Q лежит над п'), если существуют оснащенный момент {F,x) e п и момент (F',x') 6 ^' такие, что выполнены следующие условия: (a) p(F) = F', (b) X = X'HaifnStab(F). Определим сумму оснащенных орбит пх и U2 как множество всех (F, х), для которых существуют {FitXi) € П,-, i = 1,2, такие, что F=F1 + F2, x = Х1Х2 на Stab^) П Stab(F2). B6) Теорема 5 (Щепочкина). Пусть G — связная односвязная ручная разре- разрешимая группа Ли и Н — ее замкнутая ручная подгруппа. Тогда справедливы следующие утверждения. (a) Спектр IndJjSn' состоит из Тп таких, что п лежит над Q'. (b) Спектр Res^ Тп состоит Sn> таких, что п' лежит под п. (c) Спектр Тпг ® 7Ь3 состоит из Тп таких, что п лежит в fii + fi2- Как и выше, доказательство проводится индукцией по размерности G и использует следующий результат, которые представляет и самостоятель- самостоятельный интерес. Пусть G — связная односвязная разрешимая группа Ли, Н — замк- замкнутая подгруппа и К — максимальная связная нормальная подгруппа G, содержащаяся в Н. В этом случае фактор-группа G/K называется основной группой. Лемма 3 (Щепочкина). Любая основная группа совпадает с односвязным накрытием одной из следующих групп: • некоммутативная двумерная группа Ли G2 = Aff(l,M), • однопараметрическое семейство трехмерных групп (?зG) в Aff(l, С), действующих на С переносами и умножениями на e1t, 7 € С\К, • четырехмерная группа G4 = Aff(l,C). 4.2. Правила 6, 7 и 10. Поправки к правилу 6 выглядят следующим образом. Рассмотрим орбиту U e O(G). Пусть {пх} 6j-^j — множество всех осна-
224 Лекция 9. Разрешимые группы Ли щенных орбит в П^). Тогда tr ТПх (exp X)dX = Другими словами, преобразование Фурье канонической меры на орбите п равно среднему всех характеров унитарных неприводимых представлений соответствующих оснащенными орбитами из П~1(Г2). Было бы интересно найти формулу для характера индивидуального унитарного неприводимого представления Тпх- Пример из п. 3.3 мог бы быть здесь полезным. Для модифицированного правила 7 необходимо сделать следующее ес- естественное уточнение. Для оснащенной орбиты Q, проходящей через точку {F,x) G Зндд обозначим через — п оснащенную орбиту, проходящую через точку {-F,x). (Заметим, что Stab(F) = Stab(-F).)
Лекция 10 КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИ Введение 225 1. Структура полупростых компактных групп Ли 226 1.1. Абстрактные корневые системы 226 1.2. Компактные и комплексные полупростые группы 232 1.3. Классические и особые группы ¦. 237 2. Коприсоединенные орбиты компактной группы Ли 241 2.1. Геометрия коприсоединенных орбит 241 2.2. Топология коприсоединенных орбит 246 3. Орбиты и представления 251 3.1. Обзор 251 3.2. Веса унитарных неприводимых представлений 255 3.3. Теорема Бореля — Вейля — Ботта 261 3.4. Интегральная формула для характеров 264 3.5. Инфинитезимальные характеры 265 3.6. Сплетающие операторы 267 Введение Теория представлений компактных групп Ли составляет старейшую и наи- наиболее продвинутую часть теории представлений групп Ли. Простейшим примером компактной группы Ли является окружность S1, которая интер- интерпретируется также как одномерный тор ТГ = K/Z. Теория представлений группы S1 существует (под названием рядов Фурье) уже в течение двух сто- столетий. Более общий раздел — коммутативный анализ Фурье — имеет дело с абелевыми группами Ли — прямыми произведениями вида Жп х ТГ х F, где F — конечная абелева группа. Оставим в стороне эту часть теории, поскольку метод орбит ничего нового здесь не добавляет. Главным объектом исследования будет теория представлений неабе- левой связной компактной группы Ли. Такая группа К может иметь не- нетривиальный центр С. Так как коприсоединенное представление триви- тривиально на центре, можно заменить К подгруппой A'i = [К, К] или одной из фактор-групп К/С, К/С° без изменения коприсоединенных орбит. Мы предпочтем последнюю возможность и соответственно предположим, что К — связная компактная группа Ли с конечным центром. Тогда алгебра 225
226 Лекция 10. Компактные группы Ли Ли t = Lie(AT) полупроста, и можно получить полный список таких групп, воспользовавшись классификационными теоремами (см. лекцию 3). Для классической компактной группы, т. е. унитарной группы над К, С или Н, почти все основные результаты известны с 20-х годов и интенсивно использовались в квантовой физике, возникшей как раз в те времена. Другие, так называемые особые группы G2, F4, Ee, E7, Е8 до недав- недавнего времени рассматривались как курьезные и бесполезные аномалии на фоне общей картины. Однако последние достижения квантовой теории по- поля убеждают, что эти группы могут играть важную роль в новых областях математической физики таких, например, как теория струн и зеркальная симметрия. Изучение этих групп и их представлений дало новые импуль- импульсы дальнейшему развитию физических теорий. На первый взгляд, что-либо нового в этой хорошо исследованной об- области сказать невозможно. Тем не менее, метод орбит дает новую интер- интерпретацию известных результатов и даже помогает установить некоторые новые факты. В то же время, идиллическая гармония между унитарными непри- неприводимыми представлениями и орбитами разрушается. Наиболее интригу- интригующие новые обстоятельства можно описать следующим образом. Выше мы видели, что установить соответствие между орбитами и унитарными неприводимыми представлениями можно двумя способами: 1) через функторы индукции и ограничения, 2) через теорию характеров. Оказывается, что для компактных групп эти два подхода приводят к различным результатам!1 . Структура полупростых компактных групп Ли 1. Абстрактные корневые системы. Рассмотрим понятие и свойства замеча- замечательного геометрического объекта — корневой системы в евклидовом про- пространстве, который появляется в удивительно многих областях матема- математики (см., например, [С], [HHSV]) и, в частности, при исследовании ком- компактных полупростых групп Ли. Наша главная цель — привести основные факты и объяснить, как ими пользоваться. Поэтому подробные доказа- доказательства будут даны лишь, когда они не слишком громоздки и помогают лучшему пониманию идей. Читатель, знакомый с корневыми системами, может пропустить этот раздел и перейти непосредственно к следующему. Определение 1. Конечное множество ЯсШп называется корневой сис- системой, а его элементы — корнями, если линейная оболочка множества R совпадает с пространством Ж™ и выполнены два условия 1) / / е Z для всех а,р € R, (а, о) 'Есть соблазн рассматривать это несоответствие как своеобразное проявление прин- принципа неопределенности Гейзенберга: данному унитарному неприводимому представле- представлению мы можем поставить в соответствие орбиту лишь с определенной степенью точ- точности р, равной полусумме положительных корней.
1. Структура полупростых компактных групп Ли 227 2) Р ~ (а, о) R для всех a,peR. В наших лекциях мы используем только приведенные корневые систе- системы, удовлетворяющие дополнительному условию 3) если о е R, то 2а ? Д. Геометрически, эти условия означают следующее. 1') Угол между двумя корнями может принимать лишь те значения, которые перечислены ниже: п т т т тг 2тг Зтг 5тг ' 6' 4' 3' I' Т' Т' Т' П> и отношение квадратов длин двух неперпендикулярных корней может быть равным только лишь 1, 2 или 3 в зависимости от угла между корнями. Все возможные конфигурации двух неперпендикулярных корней указаны ниже. Рис. 1. Конфигурации корней Гиперплоскость Ма С R", ортогональная а ? R, называется зеркалом, соответствующим о, и отражение относительно этого зеркала обозначается через sa. Условие 2) означает следующее: 2') множество R симметрично относительно всех зеркал (т. е. инвари- инвариантно относительно отражений so,a e R). Рис. 2. Двумерные приведенные корневые системы Конечная группа W, порожденная отражениями sa, a € R, называется группой Вейля, соответствующей корневой системе R. Дополнение в М" к объединению всех зеркал распадется на связные компоненты, которые называются открытыми камерами Вейля, а их замы- замыкания называются просто камерами Вейля.
228 Лекция 10. Компактные группы Ли Предложение 1. Группа W действует просто транзитивно на множес- множестве камер Вейля. Будем говорить, что вектор Л е R" регулярный, если он принадлежит открытой камере Вейля, и сингулярным, если он принадлежит по крайней мере одному зеркалу. Линейным порядком на Ж" называется отношение порядка, согласован- согласованное со структурой вещественного векторного пространства (т. е. такое, что суммы положительных векторов положительны и положительное кратное положительного вектора положительно). Упражнение 1. Показать, что любое линейное отношение порядка яв- является лексикографическим порядком относительно подходящего (неорто- (неортогонального) базиса в в М". Указание. Показать, что для любого линейного порядка на Ж" сущест- существует гиперплоскость такая, что ее дополнение распадается на открытые полупространства, одно из которых состоит из положительных векторов, а другое — из отрицательных векторов. Затем применить индукцию. Каждый линейный порядок на М" индуцирует отношение порядка на корневой системе R. Обозначим через R+ (R-) множество положитель- положительных (отрицательных) корней. Очевидно, что существует конечное число отношений порядка на R. Приведем точную формулировку. Предложение 2. Для любого линейного порядка на Шп выпуклый конус, порожденный R+, является в точности двойственным конусом2 одной из камер Вейля. Следствие. Группа W действует просто транзитивно на множество всех линейных порядков на R. Определим положительную камеру Вейля С+ = {А в Ш" | (Л, а) ^ 0 для всех о е R+}. Для общих корневых систем мы повторим определения, которые были введены в лекции 3 для некоторых частных случаев. Корень а € R+ называется разложимым, если он может быть записан в виде а — /З + f, где оба слагаемых принадлежат R+. В противном случае корень о называется простым. Из этого определения видно, что любой положительный корень является линейной комбинацией простых корней с неотрицательными целыми коэффициентами. Обозначим через П множество простых корней и заметим, что С+ ограничена зеркалами Mi,.. .,Мп, соответствующими простым корням. Матрица A S Matj(Z) с элементами At ,¦ = -}—-—Ц- называется матри- (Oi.Oj) цей Бартана для П. Так как W действует на М" ортогональными преобра- преобразованиями, эта матрица не зависит от выбора отношения порядка (следо- 2Двойственный конус V к выпуклому конусу V с К" — это множество векторов t/ таких, что (v',v) ^ О для всех v e V.
1. Структура полупростых компактных групп Ли 229 вательно, от выбора П) и содержит всю информацию об исходной корневой системе R. Существует удобный графический способ выразить информацию, за- закодированную в матрице Картана А. Рассмотрим граф Дывкииа ГА, вер- вершины которого нумеруются числами 1,2, ,...,п. Две различные вершины i и j соединяются m,j ребрами, где mij = Aj ¦ Д,-,,-. Если —Aij\ > \Aj:i\, то надо добавить стрелку, направленную от i к j. Иногда граф Дынкина называется диаграммой Дынкииа. Используя перечисленные ниже свойства матрицы Картана А, можно восстановить А из графа Гд. Предложение 3. (а) Все диагональные элементы А равны 2. (b) Внедшгоналъные элементы матрицы А неположительны и Aij — О тогда и только тогда, когда А,,, = 0. (c) Все главные миноры матрицы А положительны. В частности, rriitj — Aij ¦ Ajti может принимать только четыре значения: 0, 1, 1 и 3. Перечислим все 2 х 2-матрицы Картана и соответствующие графы: IW 2 -1W 2 -1W 2 ' -2\ /2 -1W 2 -3\ \) \-\ 2 } \-2 2 ) \-l 2 ) \-Z 2 J \-l 2 у 2 0 0 2 Итак, классификация корневых систем сводится к классификации диа- диаграмм Дынкина. Более того, если граф Дынкина Г множества R несвязный, то R является прямой суммой ортогональных подсистем, соответствующих связным компонентам Г. Таким образом, достаточно классифицировать все связные графы Дынкина. Теорема 1. Связные графы Дынкина образуют четыре бесконечные се- серии и пять изолированных примеров [см. рис. 3). Упражнение 2. Вычислить детерминанты матриц Картана для серий Ап, Bn, Cn, Dn, Е„. Указание. Показать, что detn удовлетворяет рекуррентным соотноше- соотношениям detn+j — 2detn —detn_! и, следовательно, является линейной функ- функцией от п. Использовать также изоморфизмы Ai = Bi = С]., Вз — С2, Аз S D3l E5 S D5, Е4 = А4, Е3 S А2 + Ai. Ответ. ап = п + 1, 6„ = с„ = 2, dn — 4, е„ = 9 - п. Упражнение 3. Пусть Тр,?,г — древесный граф с одной тройной вер- вершиной и тремя "хвостами" длины р, q, г. (В частности, TPi?,o S Ap+q+l, 71,1,,. = Д-+з, Ti,2,r = ^+4) Вычислить детерминант *Р,?(Г соответствую- соответствующей матрицы Картана. Ответ. tP:4,r = 2 + р + q + r-pqr = (р +!)(?+ l)(r+ 1)(—~r+ —~r +
230 Лекция 10. Компактные группы Ли Ап: О В„: О О • • • О О V О г» ^ 2 Сп: О О ••• О О=^=О г» ^ 3 Dn: О——О ••• ——О О п>4 О Еп: О——О ••• —О О О п = 6,7,8 Рис. 3. Графы Дынкина простых корневых систем Теперь изучим некоторые свойства корневых систем, связанных с группой Вейля. Определим длину w € W по формуле l(w) = #(и>(Д+) П Д_) или, словами, l(w) равно числу положительных корней о таких, что w(a) отрицательно. Предложение 4. Число l(w) равно минимальной длине разложения w = Si^sti.. .Sfk в произведение канонических образующих. Схема доказательства. Рассмотрим произвольную внутреннюю точ- точку Л положительной камеры Вейля С+ и путь, соединяющий Л с w\. Этот путь должен пересекать некоторые зеркала. Выберем путь с минималь- минимальным числом пересечений. Нетрудно понять, что этот путь можно дефор- деформировать в специальный кусочно линейный путь, сегменты симметричны относительно соответствующих зеркал. Однако тогда все угловые точки А = Ао, Ai,.. .А* = w(X) этого пути имеют вид Xj — wj[\). Более того, так как WjX и wj-iX принадлежат смежным камерам Вейля, то же верно для А и wJ1wj-iX. Однако, как уже отмечалось выше, С+ ограничено теми зер- зеркалами, которые соответствуют простым корням. Поэтому wjlwj-i = sti и wj = Wj-iSij. Следовательно, путь, соединяющий А с wX, соответству- соответствует разложению w в произведения образующих. Теперь мы воспользуемся следующим утверждением. Лемма 1. Образующие s,- имеют длину 1, т. е. только один положи- положительный корень а имеет свойство s,o e Д_. Доказательство. Очевидно, что простой корень щ имеет это свойст- свойство. Пусть о — любой другой положительный корень. Тогда в разложе- п нии а = J2 сзаз' по меньшей мере один коэффициент с^ при j ф i строго 3=1
1. Структура полупростых компактных групп Ли 231 положителен. Но при отражении в,- этот коэффициент не меняется. Те- Теперь воспользуемся тем, что коэффициенты с,- либо все неотрицательны (для положительного корня), либо все неположительны (для отрицательно- отрицательного корня). Следовательно, s,a G R+. ? Таким образом, если w имеет разложение длины m, to l(w) ^ m. С другой стороны, существуют l[w) положительных корней, которые стано- становятся отрицательными под действием w. Это означает, что А и w(X) разде- разделяются l(w) зеркалами, соответствующими этим корням. Следовательно, линейный путь, соединяющий Л и wX, пересекает точно l(w) зеркал и w можно разложить в произведение l{w) множителей. ? Каждой корневой системе ЙС1" (точнее, соответствующей группе Вейля W) можно поставить в соответствие ряд целых чисел ех ^ е2 ^ ¦ • • ^ е„, которые называются показателями (или экспонентами) и имеют много замечательных свойств. Мы укажем здесь некоторые из них. Предложение 5. (а) Распределение элементов W согласно их длине за- задается следующей производящей функцией: f=rk G л ei+l (=rk G ?*'(ш)= П ЧЬ-= П (!+* + • ••+*")• d) wew i=i i=i (b) Алгебра W-инвариантных полиномов на Шп свободно порождается однородными полиномами Р\,...,Рп такими, что degР,- = е,- + 1. (c) Алгебра W-инвариантных элементов алгебры Грассмана Л(М") сво- свободно порождается однородными элементами Qx,..., Qn такими, что deg Qi 2е, + 1. (d) Показатели удовлетворяют следующим соотношениям: Л (е,- + 1) = \W\, ^е; = |Л+|, в,- + еп_,+1 = Л, i=i i=i где h — порядок так называемого элемента Бокстера с = s^si ...sn G W.3 Корневой системе R соответствуют две важные решетки (т. е. дискрет- дискретные подгруппы) в Жп: корневая решетка, свободно порожденная простыми корнями Q = Z-ai + --- + Z-ai, B) и весовая решетка Р = (а 6 R" 1 -2/Л' а} в Z для всех а € п1. C) 3Фактически, это произведение зависит от выбора П и от нумерации простых кор- корней, но все элементы Кокстера принадлежат одному и тому же классу сопряженных элементов W и, следовательно, имеют один и тот же порядок.
232 Лекция 10. Компактные группы Ли Весовая решетка Р свободно порождается фундаментальными весами шх,... ,шп, которые определяются по формуле ^4 = % D) В терминах матриц Картана соотношение между простыми корнями и фун- фундаментальными весами можно записать в виде Q.J — 2_,UiA{;j или a ¦=¦ w ¦ A. E) i Из E) вытекает, что Q — подрешетка P. Более того, она имеет конечный индекс в Р, т. е. фактор-группа P/Q конечна и ее порядок равен det А. 2. Компактные и комплексные полупростые группы. Мы используем обозначе- обозначения из лекции 3, п. 3.1: К — односвязная компактная группа Ли ранга / с максимальным то- тором Г, С — центр К, конечная группа порядка с, G — односвязная комплексная группа Ли такая, что Lie(G) = g = tc, g = n_ + f) + n+ — каноническое разложение, R — корневая система для пары (g, Ij),4 {Hj,l ^ j ^ l,Xa,a e R} — базис Шевалле в fl с коммутационными соотношениями (i) [H,Xa] = a(H)Xa дляЯеЬ, {Na,i3Xa+p, Офа + peR, О, 0 ф а + /3 <? R, F) На, а + /? = 0, где ТТ V^ С0*! tt*) TT V^ На - 2_^ г—-akHk, если а = 2^,акак. к к Можно нормировать базис так, что все Na>p будут ненулевыми целы- целыми числами такими, что N-at-p = —NOip = NpjOl.5 Этот объект представляет интерес в теории простых алгебр Ли над ко- конечными полями. Большинство простых конечных групп могут рассмат- рассматриваться как алгебраические группы над конечными полями с простой алгеброй Ли. Напомним, что алгебра Ли t = Lie(K) является линейной оболочкой элементов G) 4Ниже мы покажем (см. теорему 2), что корневые системы, введенные в лекции 3, удовлетворяют условиям определения 1. 5Мы получаем так называемую Z-форму д, в которой структурные константы цело- численны.
1. Структура полупростых компактных групп Ли 233 Определим Ad-инвариантную симметрическую билинейную форму (форму Биллинга) на д: [X,Y)=tt[adX,adY). (8) Упражнение 4. Показать, что элементы {Hj} базиса Шевалле F) д удовлетворяют следующим соотношениям: О тт Н^Т^~У (*"¦*-««) = 1- (9) \aj>ai) Указание. Использовать равенство w.-(flj) = Sij. Затем использовать свойство антисимметричности трилинейной формы {X,Y,Z} — ([X, Y],Z) на t для троек Ха, Х-а, Н. Лемма 2. (а) Форма Шиллинга на g и ее ограничение на f) невырождены. (Ь) Ограничение формы Киллинга на t отрицательно определено. Доказательство. Операторы adX, X € t, вещественны и косо-сим- косо-симметричны. Следовательно, собственные значения этих операторов чисто мнимые. Поэтому tr(adX2) ^ 0. Равенство имеет место, только когда все собственные значения оператора аЛХ нулевые, т. е. когда adX = 0. Так как t имеет нулевой центр, X = 0. Таким образом, утверждение (Ь) доказано. Первая часть утверждения (а) вытекает из (Ь), а вторая часть — из соотношения (да, д^) = 0, за исключением случая о + C = 0. ? Обычно д и д* отождествляются посредством формы Киллинга: каж- каждому элементу X е Ij ставится в соответствие линейный функционал Fx € f)* такой, что Fx[Y) = {X,Y). Поэтому можно перенести форму Киллинга как ЛГ(С)-инвариантную форму на д* следующим образом: (FX,FY):=(X,Y). A0) Эта форма невырождена на fj* и положительно определена на вещественном подпространстве it*, натянутом на корни. Замечание 1. Иногда используется другая Ad-инвариантная форма (X, Y)' для отождествления g и д*. На каждом простом идеале д< С g форма (X,Y)' пропорциональна форме Киллинга: (X,Y)' = а,- ¦ (X, Y). Со- Соответствующие формы на д* связаны соотношением (FXt F^)' = а, • (Fi, Fi) для Fi, ^2 € fl*- В частности, для простой алгебры Ли g и любого линейного представления (тг, V) алгебры g существует константа с[п) такая, что фг).(*,У). A1) Для неприводимого представления к\ со старшим весом Л и инфинитези- мальным характером 1\ имеем dim 7гл/а (С) = т . dim g i где С = Y1 Щ + J2 ХаХ-а — квадратичный элемент Казимира Z(g). ji ея
234 Лекция 10. Компактные группы Ли Выясним соотношение между комплексными полупростыми группами Ли, с одной стороны, и абстрактными корневыми системами, с другой стороны. Для этого потребуются некоторые фундаментальные факты о представлениях slB, С). Предложение 6. (а) Любое конечномерное комплексно-линейное пред- представление в = slB, С) является прямой суммой неприводимых представле- представлений. (Ь) Пусть (jti.Vi) — стандартное (тавтологическое) представление й : Vi = С2 и щ(Х) — X. Обозначим через (nn,Vn) п-ю симметрическую степень (щ, Vi). Тогда жп неприводимо и в некотором базисе пространства Vn = C+1 имеем *n(S) = / 0 л/Г~п о о о о о (п-1) О п-2 О О О п-4 0\ О О V о о о -п/ (с) Любое неприводимое конечномерное комплексно-линейное представ- представление о эквивалентно одному из представлений тгп, n g Z+. Теорема 2. (а) Корневая система, соответствующая паре (о, ()), явля- является корневой системой в евклидовом пространстве it*. (b) Любая абстрактная приведенная корневая система получается из некоторой пары (о, f)). (c) Две комплексные полупростые алгебры Ли изоморфны тогда и толь- только тогда, когда соответствующие диаграммы Дынкина изоморфны. Схема доказательства. Мы уже видели, что все корни пары (g, fj) принадлежат подпространству it*, которое является евклидовым простран- пространством относительно формы A0). Выберем корень а и для любого кор- корня /? рассмотрим так называемую а-струну, т. е. множество корней ви- вида {^ + ka, —p^k^.q] таких, что соответствующие корневые векторы Xk € вр+ka удовлетворяют соотношениям rv v 1 - \0, к <q, [X_a,Xfc] = к>-р, где с* и <4 — некоторые ненулевые константы. Очевидно, что подпро- подпространство S(P) С в, натянутое на элементы {Хк,— р ^ к ^ q,}, является неприводимым ©„-модулем. Такие модули описаны в предложении 6. Поэ-
1. Структура полупростых компактных групп Ли 235 тому для некоторого ngZ+ имеем q+p = п и [H,Xp+ka] = Bk+p-q)Xp+pa при подходящем Н g fjplfla- Так как Н пропорционально На и Р(На) = I If n Pf ^ (ft m\ 1D[TITinU9O\« UTrt (Нр,На) — (/?,а), заключаем, что или (а, а) Таким образом, первое свойство корневой системы выполняется. Для проверки второго свойства рассмотрим опять подалгебру Ли ga и определим элемент 1а g Л",, с К по формуле sa = exp -(Ха - Х-а). Очевидно, что соответствующий внутренний автоморфизм К сохраняет все подпространства типа S{f3) и меняет местами одномерные подпростран- подпространства, порожденные векторами Х/.-р и Хч-\,. Заметим, что соответствую- соответствующие корни /?+(& — р)(х и /? + (? — k)a симметричны относительно зеркала Ма. Отсюда заключаем, что sa принадлежит нормализатору Nk,(T) и со- соответствующий автоморфизм Т индуцирует отражение $а на it*. В качестве побочного результата мы получаем реализацию абстракт- абстрактной группы Вейля как группы W = Ык{Т)/Т автоморфизмов Т и К/Т. Доказательства (Ь) и (с) более сложны, и мы опускаем их. D Для произвольной абстрактной корневой системы R были определе- определены выше две замечательные решетки; корневая решетка Q, свободно по- порожденная простыми корнями, и весовая решетка Р, свободно порожден- порожденная фундаментальными весами. Таким образом, для любой полупростой компактной группы К с максимальным тором Т определены две решетки Q С Р С it*. Выясним значение этих решеток с точки зрения теории пред- представлений. Для этого напомним хорошо известное биективное отображение между классами эквивалентности голоморфных конечномерных представ- представлений комплексной полупростой группы Ли и классами эквивалентности унитарных представлений максимальной компактной подгруппы К этой группы. Начав с произвольного унитарного представления (тг, V) подгруппы К, можно последовательно определить представление (я-,, V) вещественной алгебры Ли t = Lie(-ftT), комплексно-линейное представление (irf, V) алгебры Ли в = 1с И1 наконец, голоморфное представление (тгс, V) группы G таким образом, что следующая диаграмма будет коммутативной: End(V) exp exp exp Aut(V) Обратно, ограничение на К любого голоморфного конечномерного пред- представления G эквивалентно унитарному представлению К. Напомним, что вес А линейного представления (я-, V) группы G яв- является линейным функционалом на подалгебре Картана f) таким, что для
236 Лекция 10. Компактные группы Ли некоторого ненулевого вектора v &V nt(X)v = ЦХ) ¦ v для любого X € f). A2) Этот функционал принимает чисто мнимые значения на t и, следовательно, может рассматриваться как элемент if. Временно обозначим через Р' множество всех весов всех голоморфных конечномерных представлений группы G. Как будет показано ниже, Р' совпадает с весовой решеткой Р с it*, определенной в терминах корневой системы. Для А € Ц* обозначим через еА функцию на Н такую, что ех(ехрХ) = е^х\ X € f). A3) Не очевидно (и неверно в общем случае!), что эта функция определена кор- корректно. Действительно, элемент h ? Я может иметь различные "логариф- "логарифмы" X (т. е. элементы X g f) такие, что h = ехрХ). Однако в силу A2) для любого h g H n(expX)v = e^'W • v = ekW ¦ v = ел(ехрХ) ¦ v. A2') Следовательно, для AgF' функция еЛ определена корректно. Для дальнейших рассмотрений потребуется понятие двойственной ре- решетки. Пусть V — конечномерное вещественное или комплексное вектор- векторное пространство иГ — двойственное пространство. Для решетки L в V* двойственная решетка L* в V определяется по формуле v e L* <=>• f(v) e Z для всех / € L. Очевидно, что это понятие самодвойственно: если рассматривать V как двойственное пространство V, то L будет двойственной решеткой для L'. Рассмотрим двойственные решетки Р' С Q* С it. Теоретико-групповая интерпретация этих решеток дана в следующем предложении. В качест- качестве побочного результата мы получаем также доказательство равенства Р' = Р. Предложение 7. (а) Имеют место следующие соотношения: = t)f)exp-1(C). A4) (b) Оба определения веса совпадают, т. е. Р' = Р. Следствие. Порядок с центра С равен #(P/Q) — det A. Доказательство предложения 7. Начнем с первого соотношения A4). Для любого X е fjflexp-^e) имеем 1 = ел(ехрХ) = eAW или ЦХ) е 1тЪ. Поэтому fjflexp-^e) с2я-г'(Р')*- Для доказательства обратного включения воспользуемся тем, что груп- группа G имеет точное конечномерное представление. Поэтому совокупность всех функций еА, A g Р', отделяет точки Н. Таким образом, если X g (Р'У , то еЛ(ехр2ти'Х) = р^ЦХ) _ ^ для всех д g р' и, следовательно, ехрB7гг'Х) = е.
1. Структура полупростых компактных групп Ли 237 Второе соотношение A4) доказывается точно так же, но следует рас- рассматривать присоединенное представление. Функции еЛ, A g Q, не отделя- отделяют точки hi и Л2 пространства Н тогда и только тогда, когда Ad Лх = Ad Л2, т. е. hih^1 € С. Поэтому expX g С эквивалентно ЦХ) € 2?nZ для всех \€Q, т.е. X e2niQ*. Для доказательства (Ь) нам потребуется Лемма 3. Для простой трехмерной алгебры Ли slB, С) справедливо ра- равенство Р' = Р. Доказательство. Пусть Е, F, Н — стандартный базис sl{2, С). В силу предложения 6 старший вес Ап представления жп удовлетворяет равенству Ап(#) = п, а все другие веса также принимают целочисленные значения в Н. Таким образом, гомоморфизм вычисления в точке Н отождествляет решетку Р' с Z. С другой стороны, а — А2 —единственный положительный корень з[B,С). Следовательно, оценивание в Н отождествляет решетку Q с 2Z. Наконец, образующий элемента решетки Р определяется равенством ^^ = 1, из которого следует ы = -а = Ai. Следовательно, Р' = P. D 2 ^г = 1, из которого следует ы = (а, а) 2 Продолжим доказательство предложения 7. Пусть А € Р'. Рассмотрим соответствующее представление (к, V) группы G и его ограничение ж, на подалгебру д* С 0. Тогда А I будет весом представления да. Выражение } ' / не зависит от выбора Ad-инвариантной формы на да. Следователь- (а, а) но, это выражение равно целому числу и Р' С Р. Для доказательства вложения Р С Р' достаточно показать, что каж- каждый фундаментальный вес принадлежит Р'. Ниже мы покажем, что они являются старшими весами некоторых неприводимых представлений G. ? Для дальнейшего введем канонические координаты (ti,.. .,tt) на Н по формуле tk(expX) = e^xK A5) Эти координаты принимают ненулевые комплексные значения. Поэтому они отождествляют подгруппу Картана Н с G с подмножеством (Сх)' С d. При таком отождествлении максимальный тор Т С К переходит в подмножество Т' с (Сх)'. В то же время, решетка Р отождествляется с Z', так что функция ех принимает вид е* (Л) = **•(*)...**'(A), A=(ib...,*/)- A6) 3. Классические н особые группы. Здесь мы подытожим сведения об особых простых комплексных алгебрах Ли. Оказывается, любая такая алгебра мо- может быть построена как B/п2)-градуированная алгебра Ли, где роль go играет некоторая классическая алгебра Ли. Опишем один красивый ре- результат, полученный Е. Винбергом и В. Кацом. Пусть R — корневая система простой алгебры Ли g ранга п, П = {ai,... ,ап} — множество простых корней и ф g R — максимальный ко- корень. Определим расширенный граф Дынкина Г следующим образом. Вер-
238 Лекция 10. Компактные группы Ли шины Г образуют множество П = n(J{ao}, где «о = —Ф- Вершины а,- и а,- соединяются n,j = Aij ¦ A,|t- ребрами. Числа а&, 0 ^ k ^ п, определены следующим образом: ^ 0. A7) Предложение 8. Пусть Г* — граф, полученный из Г удалением к-й вер- вершины вместе с выходящими ребрами. Тогда g может быть реализована как (Z/'пкЩ-градуированная алгебра Ли, где до определяется графом Г*. Доказательство. Пусть д0 — подалгебра д, порожденная {Х±а,а g Г*}. Согласно теореме 2(с) g0 — полупростая подалгебра Ли алгебры д. В силу A7) корневая решетка go имеет индекс а* в корневой решетке д. Таким образом, д как до-модуль B/а*2)-градуированная. Более точно, 2(и>/ь а) степень Ха равна —^ f mod a*. Заметим, что старший вес д0-модуля (а*, а/ь) степени 1 равен a*. D Пример 1. Рассмотрим особую комплексную алгебру Ли G2. Расши- Расширенный граф Дынкина и числа {а*} изображены на рис. 4. Рис. 4- Расширенный граф Дынкина Г для G2 Следовательно, G2 может быть определена как • B/22)-градуированная алгебра Ли g такая, что до = $1B, C)©s/B, С), fli = Vi <g> Уз, где V\ — стандартное двумерное представление первого мно- множителя и Уз — четырехмерное представление второго множителя (симмет- (симметрический куб стандартного представления), • B/32)-градуированная алгебра Ли g такая, что go = slC, С), gi = V, g_i — V"", где V — стандартный трехмерный go-модуль, который реали- реализуется как пространство вектор-столбцов и У* — двойственный модуль вектор-строк. Соответствующие разложения корневой системы показаны ниже. Рассмотрим более подробно второй подход. Коммутаторы однородных элементов X € д,- и Y g g^ определяются следующим образом. Пусть X,Y e go, v,v' € V, f,f € V*. Тогда [X,Y] = XY - YX, [X, v] = Xv, [/, X] = fX, [v, f\ = vf-fv 1, [v, v'] = f(v, v1), [f, f] = v(f, /'), где f(v,v') € V* и «(/,/') e У определяются соотношениями / {f(v,v'),v") = adet\v v' v"\, (f",v(f, /')> = b ¦ det /' ,
1. Структура полупростых компактных групп Ли 239 а и b — некоторые константы. В силу тождества Якоби имеем 2ab = 1. Таким образом, мы приходим к матричной реализации G2 комплексными 7 х 7-матрицами вида '-матрицами вида / X v A(f)\ X = / 0 -v , \A(v) -f -X) где А — линейное отображение V в soC,C), заданное по формуле A8) —V О V3 Мы получаем компактную вещественную форму для Gi, предположив, что X — косо-эрмитова матрица ш = — /?. Заканчивая описание G2, отметим, что ограничение семимерного представления A7) на компактную вещественную форму для G2 отождествляет G2 с ограничением алгебры Ли дифференцирований 8-мерной алгебры октав О на подпространство чисто мнимых элементов. Дело в том, что для любой матрицы X вида A7) линейное преобразо- преобразование, заданное exp/f, сохраняет некоторую трилинейную форму {a,b,c] в К7. Так как оно сохраняет также билинейную форму (a, b) = ab, можно определить неассоциативную билинейную операцию в К8: (а, а) * (/?, Ъ) = G, с), 7 = а/? - (а, Ь), (с, с') = {а, 6, с'}. Тогда получаем в точности алгебру октав. Рис. 5. Разложения корневой системы для
240 Лекция 10. Компактные группы Ли Укажем расширенные графы Дынкина для других особых простых ал- алгебр Ли (см. рис. 6). Рис. 6. Расширенные графы Дынкина Читатель легко сможет вывести правило, по которому распределяются числа .а/ь< имеется максимальное значение а,- = max a*, a все другие числа образуют арифметическую прогрессию на любом сегменте графа Дынкина, начиная с {j}. Упражнение 5. Описать градуированные реализации остальных осо- особых алгебр Ли. Ответ. Для F4: 1) go =B4, fli = К,41 2) 0о = С3 х Ai, 01 = Ушъ ® К,,, 3) 0о = А2 х А2, 0i = VUl ® V2un, 0_i = УШ2 ® У2ш2, 4) 0о = А3 х Atl 01 = VUl ® Уш, g2 = VU2 ® У2ш, g3 = Ki, ® К,- Для Ев: 1) Во = А5 х Ai, 01 = Vut ® VL,,, 2) 0о = А2 х А2 х А2, 0i = VWl ® Кц ® К,,, 0_! = VU2 ® К,а ® VL,, Для Е7: 1) ©о = А7, 0i = К,,, 2) go = D6 х Ai, 01 = К,. ® К,,, 3) 0о = А5 х А2, 0i = VUl ® К,2) 0-1 = VL, ® К,4, 4) до = Аз х Аз х Ах, gi = VWl ® VW3 ® К,, д2 = К,, ® К,2 ® Vo, 8з = Для Е8: 1) до = А3 х Ds, 01 = К,, ® КШ5, ©г = К,, ® К,51 0з = К^ ® К,5,
2. Коприсоединенные орбиты компактной группы Ли 241 2) 0о = А4 х А4, 0i = К, <8> К,,, 02 = К., ® К.», 0з = К., ® К.,, 04 = 3) 0о = А5 х А2 х Ai, 0i = VUI ® К2 ® К.,, 02 = К/2 ® К, ® К,, 0з = 4) 0о = А7 х Ai, 01 = VWI ® Км 02 = К/4 ® Vo, 0з = К/7 ® К, 5) 0о = D8, 01 = К,, . Коприсоединенные орбиты компактной группы Ли 1. Геометрия коприсоединенных орбит. Для компактной группы Ли К копри- соединенное представление эквивалентно присоединенному представлению ввиду существования Ad-инвариантной билинейной формы на t= Lie(A'). Хорошо известная теорема о компактной группе преобразований ут- утверждает, что для данной компактной группы Ли К существует лишь ко- конечное число типов (ко)присоединенных орбит, рассматриваемых как од- однородные А"-многообразия. Другими словами, стабилизаторы элементов X g 6 (или F g 6*) образуют конечное число классов сопряженности под- подгрупп К. Пусть К^\ 1 ^ i <J к, — представители этих классов. Тогда любая присоединенная (или коприсоединенная) орбита изоморфна одному из фактор-пространств Ti = K/Ki. Общие орбиты (максимальной размерности) образуют один тип. Ста- Стабилизаторы этих орбит являются максимальными торами в К. Предложение 9. (а) Подгруппы А'('' можно выбрать таким образом, что Т С КУ) С К. (Ь) Каждая подгруппа, промежуточная между Т и К, сопряжена какой- либо из подгрупп К^>. Оба утверждения будут выведены из следующего важного факта. Лемма 4. Любая К-орбита в V пересекает положительную камеру Вей- ля С+ точно в одной точке. Доказательство. Пусть Г2 — АГ-орбита в t. Выберем регулярный элемент A g t и рассмотрим функцию d\(n) = \ц — А|2 на Q. Так как п — компактное множество, эта функция достигает минимума в некоторой точке цо, которая должна быть стационарной точкой d\. Поэтому для лю- любого X g i имеем ([Х,рц>],\) = 0, откуда получаем равенство (\р.0,\],Х) — 0 для всех X ? t. Таким образом, цо коммутирует с А и, следовательно, принадлежит t. Заменяя, при необходимости, цо на w(/j.o) для подходящего w g W, мы можем считать, что цо € С+. Остается заметить, что W-орбита любой точки имеет единственную общую точку с С+. Действительно, пусть ц ? С+ и w ? W. Тогда w(n) отделено от ц l(w) зеркалами. Поэтому iw(/z) может принадлежать С+ толь- только тогда, когда ги(ц) принадлежит всем этим зеркалам. Но в этом случае w(u) = а. О
242 Лекция 10. Компактные группы Ли Доказательство предложения 9. Очевидно, что стабилизатор точки ц € t содержит Т и совпадает с Т для регулярной точки ц. Утверждение (а) доказано. Если ц — произвольная точка t, то алгебра Ли стабилизатора этой точки содержит t и, следовательно, имеет вид = * + J2 (к• Xa 2X~a ©к• Xa+2X~a) Для некоторого Я,- С Я. Обратно, любая такая подалгебра является централизатором некото- некоторого элемента ц g t. ? Пространство Т — К/Т называется полным флаговым многообразием для К. Остальные однородные пространства Т, — К/К^ называются обоб- обобщенными флаговыми многообразиями они могут быть получены из Т про- проекцией со слоем, изоморфным произведению меньших флаговых многооб- многообразий. Пример 2. Пусть К = U(n), Т = Т(п) — подгруппа диагональных матриц. Тогда g состоит из всех косо-эрмитовых n x п-матриц X. Мы можем определить инвариантную билинейную форму на g по формуле (X, У) := -tT(XY). Утверждение (а) предложения 8 в этом случае сво- сводится к хорошо известному факту: любая косо-эрмитова матрица может быть приведена к диагональной форме сопряжением с помощью унитар- унитарной матрицы. Согласно (Ъ) эта диагональная матрица единственна, если (чисто мнимые) собственные значения (»Ai,.. .,iAn) удовлетворяют усло- условию Ai ^ Аг ^ • • • ^ А„. Собирая равные собственные значения матрицы X в блоки размеров ni,... ,пг, мы видим, что Stab(X) будет сопряженным блочно-диагональной подгруппе Uni,...,nr — Uni x ... х иПг. Соответствую- Соответствующая орбита имеет размерность d — 2 ^ ninii и эта величина изменяется i<3 от 0 до п(п — 1). В этом случае число различных типов орбит равно числу р(п) всех разбиений п. Vo Рис. 7. Флаг в
2. Коприсоединенные орбиты компактной группы Ли 243 Флаговое многообразие Jrni,...,nr может быть реализовано как много- многообразие всех фильтраций, называемых также флагами, типа (тн,..., пг): {0} = VQ С Vj С • ¦ • С Vr = С, Наиболее вырожденные флаговые многообразия — это грассманианы Gn,k — U{n)jUk,n-k- Геометрически они реализуются как многообразия i-мерных подпространстве". Флаговые многообразия имеют богатую геометрическую структуру, которую мы сейчас опишем. Во-первых, будучи однородными пространствами для компактной груп- группы Ли К, они допускают /f-инвариантную риманову метрику. Во-вторых, будучи коприсоединенными орбитами, они имеют канони- каноническую /С-инвариантную симплектическую структуру. В-третьих, они могут быть снабжены А'-инвариантной комплексной структурой, т. е. допускают локальные комплексные координаты, в кото- которых действие К голоморфно. Кроме того, все три структуры можно объединить в одну, считая, что флаговые многообразия являются однородными кэлеровыми ЯГ-много- образиями Напомним, что комплексное многообразие М называется кэлеровым, если в каждом касательном пространстве Тт(М) задана эрмитова форма h(x, у) такая, что (i) вещественная часть g = Re Л определяет риманову метрику на М, (ii) мнимая часть a = 1тЛ определяет симплектическую структуру на М. Пусть z1,..., z", zk — xk + iyk, — локальная система координат на М. Тогда локальные выражения для Л, g и о- имеют соответственно вид h — hapdza <g> dzP, hpa — hap — sa<p + iaa,p, saip, aa,p € R, g = sa^dxadxp + dyadyp) + 1aa<pdxadyp, a = ^aaiP{dxa Л dxp + dya Л dy?) - sa,pdxa Л dy?. Лемма 5. Пусть М — комплексное многообразие с локальными коор- координатами zx,...,zn и h = haipdzadzP — локальное выражение кэлеровой формы на М. (a) В окрестности любой данной точки существует вещественнознач- ная функция К такая, что коэффициенты h имеют вид ha,p = дадрК. A9) (b) Функция К, называемая кэлеровым потенциалом формы h, определя- определяется с точностью до слагаемого вида Re/, где f — голоморфная функция. Схема доказательства, (а) Удобно переписать симплектическую фор- форму о- = Im h в виде ^ha^dz" A dz?. В силу условия der = 0 имеем ^j^dzi A dza Ad^+ ^-dza A d^
244 Лекция 10. Компактные группы Ли Так как слагаемые принадлежат различным типам B,1) и A, 2) соответ- соответственно, равенство может быть верным только лишь, если оба слагаемых обращаются в нуль. Следовательно, dz° _ dha,p Известно,6 что первое условие в B0) достаточно для существования функ- функции ipp такой, что локально выполняется равенство hap = d<pp/dza. Аналогично, второе условие в B0) обеспечивает существование функ- функции фа такой, что локально выполняется равенство Ь.а,р — дфа/dz^¦ Наконец, уравнение -?$- = —=2- гарантирует существование функции К такой, что локально выполняются соотношения дК , дК Таким образом, мы нашли функцию К, удовлетворяющую A9). Заметим, что комплексно-сопряженная функция К также удовлетворяет A9), по- поскольку матрица ||Ла,/з|| эрмитова. Поэтому Re К вещественная функция и опять же удовлетворяет A9). Утверждение (Ь) справедливо, так как все вещественные решения сис- системы уравнений имеют вид f = Reg, где g — голоморфная функция. ? Пример 3. Пусть К - U{n+l), М = К/ипЛ = РП(С). Для п > 2 это вырожденное флаговое многообразие. Обозначим через (хо : хх : • • ¦ : х„) однородные комплексные координаты в М и положим |х-|2 К,- = - log ' ," ,, на аффинной части ?/,• С М, где xt ф 0. Так как разности К, - К, = log — -flog— суть вещественные части ана- Xj Xj литических функций, соответствующая кэлерова форма не зависит от ин- индекса i и корректно определена на М. В локальных координатах zk = —, Хо 1 ^ к ^ п, кэлерова форма на ?/0 выглядит следующим образом: dzk ® Ilk J2~z 6Ha самом деле мы используем здесь лемму Дольбо — Гротендика (комплексный аналог леммы Пуанкаре): d'w = 0 локально влечет ш = d'S, где d' — голоморфная часть дифференцирования d, т. е. d'(fdz'1 л ... л dzlp л dJ11 л ... л dz^) = —jg" * dz' Adz'1 л ... Л dz'v AdzJi л ... Л dz3i.
2. Коприсоединенные орбиты компактной группы Ли 245 Соответствующая метрика известна под названием метрика Фубини — Шту- ди на Р"(С). В частности, при п = 1 мы получаем формулу о = |<fz|2(l + w2)-2- Можно дать простое объяснение тому, что все флаговые многообра- многообразия обладают комплексной структурой. Напомним, что алгебра Ли t = Lie(K) — это полупростая вещественная алгебра Ли, допускающая комп- лексификацию $ = tc. Пусть Gc — соответствующая односвязная комп- комплексная группа Ли. Для упрощения технических выкладок, предположим, что группа К односвязна. Известно, что в этом случае К вкладывается в G как макси- максимальная компактная подгруппа. Рассмотрим стандартное разложение (см. лекцию 3) g — п_ © Ц © тц_, fj = {<с. Пусть Ь± = f) ф п± — противоположные подалгебры Вореля и В± С Gc — соответствующие подгруппы. Мы часто будем опускать индекс "+" в обозначениях п+ и Ь+,В+. Напомним, что Н — Тс — подгруппа Картана Gc, т. е. максимальная абелева подгруппа, которая состоит из Ad-полупростых элементов. Рассмотрим комплексное однородное многообразие Y — G/B. Лемма 6. Компактная группа К действует транзитивно наУ и ста- стабилизатор начальной точки совпадает с ВПК — Т. Доказательство. Пусть {#&, 1 ^ к ^ 1,Ха, а ? R,} — базис Шевалле в g с коммутационными соотношениями F) Напомним, что компактпая вещественная форма t для g является ли- линейной оболочкой элементов Ха — Х_а, iXa + iX_a для всех а € Л, Шк, 1 ^ к ^ /. Поэтому B2) Первое равенство в B2) означает, что К-орбнта начальной точки В/В € G/B открыта. Поскольку эта орбита компактна, она также замкнута и, следовательно, совпадает с Y — G/B. Второе равенство в B2) показывает, что локально К (~| В совпадает с Т. Так как Т — максимальная компактная подгруппа В, это верно и глобально. , ? Таким образом, мы можем отождествить Т с Y. Тогда мы получим АГ-инвариантную комплексную структуру на флаговом многообразии Т. Для вырожденного флагового многообразия Tj — К/К{ ситуация ана- аналогична: роль Yi играет G/P,-, где Р( — параболическая подгруппа G, т. е. ми- минимальная комплексная подгруппа G, содержащая В и А',-. Замечание 2. ЛГ-инвариантная комплексная структура на флаговом многообразии не единственна. В случае полного флагового многообразия Т = К/Т все возможные комплексные структуры могут быть описаны следующим образом: Ранее мы определили группу Вейля W, соответствующую паре {К,Т), как W = Nk{T)/T. Эта группа как АГ-пространство действует автомор-
246 Лекция 10. Компактные группы Ли физмами Т? Заметим, что группа Вейля W совпадает с NG{H)/H. Сле- Следовательно, эта группа действует автоморфизмами G/H как однородного пространства. Однако действие w € W на G/B не является автоморфизмом этого комплексного однородного пространства! Оказывается, что W действует на множестве с(Т) всех различных АГ-инвариантных комплексных струк- структур на Т просто транзитивно. Таким образом, с{Т) — главное однородное пространство для W и имеет мощность \W\. Заметим, что существуют ровно \W\ различных борелевских подгрупп, содержащих Н и, следовательно, \W\ способов отождествить Т с У. С этого момента мы фиксируем комплексную структуру на Т или, другими словами, фиксируем борелевскую подгруппу В такую, что В Э НОТ. Пример 4. Пусть К = SU{2). Тогда G = SL{2,€),T = S2,Y = Pl{C) и две комплексные структуры на S2 приводят нас к двум АТ-ковариантным отождествлениям S2 и СРA). Оставляем читателю следующее полезное Упражнение 6*. Описать шесть различных инвариантных комплекс- комплексных структур на флаговом многообразии Т — SUC)/T. Указание. Точки пространства Y — 51C, С)/В геометрически реали- реализуются флагами V\ С Кг, где К — «-мерное подпространство С3. Можно рассматривать V\ как точку проективной плоскости Р2(С) и Vi (более точ- точно, аннулятор У2Х С (С3)') — как точку двойственной проективной плос- плоскости •Р2(С)". Мы получим ЙТ-ковариантное вложение У в произведение двух двойственных комплексных проективных плоскостей. В терминах двойственных однородных координат (у1 : у2 : у3) и (уг : j/2 : Уз) в этих плоскостях многообразие У задается уравнением угу± +у2у2+у3уз — 0- Да- Далее, ЙТ-ковариантное отображение Т -»¦ У полностью определяется образом начальной точки х0 = Т/Т 6 К/Т = Т. Этот образ должен быть неподвиж- неподвижной точкой Т-действия на У. Остается показать, что существуют шесть неподвижных точек Г в У и найти их. 2. Топология коприсоединенных орбит. В основном мы интересуемся орбита- орбитами максимальной размерности, которые называются общими или регуляр- регулярными. Мы уже видели, что каждая (ко)присоединенная орбита пересекает подпространство t = t*. Кроме того, для регулярной орбиты П это пересече- пересечение состоит из |W| различных точек, которые образуют главную W-орбиту. Все эти точки являются регулярными элементами t, т. е. их централизатор совпадает с Г. Поэтому, все регулярные орбиты диффеоморфны полному флаговому многообразию Т — К/Т. Теперь изучим топологию регулярных орбит. Теорема 3 (лемма Брюа). Пусть G — комплексная полупростая группа Ли, Н — подгруппа Картана uW = Ng(H)/H — соответствующая группа Вейля. Выберем борелевскую подгруппу В Э Н и для любого w € W выбе- выберем представителя w e Ng(H) класса w ? Nq(H)/H. Тогда G является 7См. упражнение 3 из лекции 4.
2. Коприсоединенные орбиты компактной группы Ли 247 дизъюнктным объединением двойных смежных В-классов G - U BwB, й?ш. B3) Упражнение 7*. Доказать лемму Брюа для классической простой комп- комплексной группы. Указание. Использовать реализацию флагов в виде фильтраций и дан- данной паре фильтраций поставить в соответствие элемент группы Вейля. В случае G = SL(n,C) это можно проделать следующим образом. Рассмот- Рассмотрим пару фильтраций / : {0} = Vo С Vx С ¦ • • С Vn = С", /' : {0} = Ко' С V( С - • • С V'n = С такую что dim V\ = dim V> = i. Заметим, что фильтрация на векторном про- пространстве V индуцирует фильтрацию на любом подпространстве, на любом фактор-пространстве и на любом подфакторе (т. е. факторе одного подпро- подпространства по другому подпространству). В частности, первая фильтрация / индуцирует фильтрацию на W^ = Ц'/K'-i- Индуцированная фильтрация имеет вид о = wow с w[i] с • • • с wp - W&, wp = (v/ fl v^jiyu П Vi) + {vl П *5-i)- Так как W^ — одномерное пространство, в точности один из факторов WJ''/WJ'2i ненулевой. Пусть это будет для номера j = s(i). Получаем отображение i >-> s(i), которое на самом деле есть перестановка множества {1,2,..., п}. Однако множество Sn перестановок — это и есть группа Вейля для SL(n,С). Пусть TV = expn = [В, В]. Тогда N — нормальная подгруппа В, кото- которая называется унипотентным радикалом В. Более того, В — полупрямое произведение Я к N. Пусть Nw = NflwNw'1, где w — представитель в NK(T) класса w e W = NK(T)/T. Определим длину w ? W по формуле l(w) = dime N — dime Nw. Соглас- Согласно предложению 4 это определение эквивалентно каждому из следующих утверждений: • l(w) — длина минимального представления w как произведения ка- канонических порождающих si,...,si группы W- • l(w) — #(ш(Д+)р)Л_) т. е. число положительных корней а таких, что w(a) отрицательно. Следствие. Полное флаговое многообразие Т = G/B является объедине- объединением четномерных клеток: \\ = 2l{w). B4)
248 Лекция 10. Компактные группы Ли Доказательство. В силу разложения B3) существуют \W\ Б-орбит в Т, пронумерованных элементами W. А именно, положим IFW = Bw mod В. Общий элемент х ? IFW может быть записан в виде х = nhwmod В, h ? Н, п ? N. Так как w ? Ng(H), можем переписать его в виде х — nwB. Более того, элемент п в этом выражении определен по модулю Nw = wNw'1. Поэтому Tw = N/Na 2 С1'™) ? М2(<ш). П В частности, так как l(w) = 1 только для образующих, мы получаем следующие выражения для второго числа Бетти Ъ2(Т) — <1шЯ2(/,1): b2(IF) = число простых корней = rkG = dime f) — dim Г. B5) Этот важный факт можно доказать также следующим образом. Хорошо известно, что для компактной группы Ли К такой, О, имеем тг2(А') = О.8 Так как последовательность точна (см. лекцию 3), флаговое многообразие Т односвязно и )=S7r2(.FJ 7r1(r)=T1SZdimT. A0') Используя структуру группы Вейля (см. п. 1.1 или [В]), можно полу- получить существенно более точный результат. В частности, можно вывести простую формулу для полинома Пуанкаре для Т в терминах показателей PH0:=E**-dimjr*(^>R)= Ц i-fa • B6) k i=l Пусть ПСЕ* — регулярная коприсоединенная орбита. Каноничес- Каноническая симплектическая форма <т на п определяет класс когомологий [а] ? 2 ) Напомним, что орбита net* называется целочисленной (см. лекцию 1, п. 2.4), если [а] ? H2(IF,X) с Я2(/",Е). Число "условий целочисленности" для орбиты данного типа равно второму числу Бетти этой орбиты. Но, как показано выше,-это число равно размерности многообразия Огед(К) = Treg/W регулярных орбит. Таким образом, для компактной группы целочисленные регулярные орбиты образуют дискретное множество. Более точный результат сфор- сформулирован в теореме 5 ниже (см. п. 3.1). Теорема 4 (Картан). (а) Любое конечномерное неприводимое голоморф- голоморфное представление (тг, V) односвязной комплексной полупростой группы Ли G имеет старший вес Л (который больше любого другого веса в смысле час- частичного порядка, введенного выше). (b) Два представления с одинаковым старшим весом эквивалентны. (c) Множество допустимых старших весов совпадает с множеством Р+ доминантных весов. 8Это так ввиду, например, отсутствия Ad-инвариантиой кососимметричной билиней- билинейной формы на t.
2. Коприсоединенные орбиты компактной группы Ли 249 Следствие. Для компактной односвязной группы К множество К всех унитарных неприводимых представлений нумеруется множеством Р+ до- доминантных весов. Доказательство. Как показано в теореме 2, существует биекция меж- между классами эквивалентности голоморфных конечномерных представлений G и классами эквивалентности унитарных представлений К. О Доказательство теоремы 4. Здесь используется лемма Брюа, соглас- согласно которой открытое плотное подмножество G С G имеет вид G' — В- В = N- ¦ Н ¦ N. Пусть (тг, V) — неприводимое конечномерное представление G. Мы выберем максимальный вес Л, где "максимальный" означает, что не существует веса (тг, V) больше А. Пусть v € V — соответствующий весовой вектор. Выберем минимальный вес ц двойственного представления (тг*,К*) и обозначим через и* ? V* соответствующий весовой вектор. Заметим, что единственность весов А и ц не предполагается. Рассмотрим функцию /„„. на G (матричный элемент тг), заданную формулой /...•(ff) = <»*.*CffM- B7) На элементе g' ? G' эта функция может быть явно вычислена двумя раз- различными способами: ;'(пПп>- | Лемма 7. Величина (v*,v) отлична от нуля. Доказательство. В противном случае имеем /„„. |G,= 0 и, так как G' плотно в G, /„,„. = 0 всюду. Однако (тг, V) неприводимое и, следова- следовательно, векторы вида n(g)v, g € G, порождают все пространство V. В силу fw(gi)Utv(g) = fv,v(ggi) заключаем, что /„•,„ = 0 для всех v € V, что противоречит условию v* ф 0. D В силу B8) имеем А = — /л. Однако мы выбрали А как произволь- произвольный максимальный вес (тг, V) и /х — как произвольный минимальный вес (тг*, К"). Поэтому оба веса определены однозначно. Следовательно, А — старший вес (тг, V). Действительно, предложим обратное. Тогда сущест- существуют веса А', которые не удовлетворяют неравенству А ^ А'. Из таких весов выберем максимальный и обозначим его Ах. Очевидно, что Ai — максимальный вес (в ином случае имеем Аг > Ах для некоторого А2 $ А, что невозможно). Однако существует только один максимальный вес и, следовательно, Ai = А, что также невозможно. Утверждение (а) доказано. Далее мы используем следующее хорошо известное Предложение 10. Неприводимое представление G полностью определя- определяется любым из своих матричных элементов. Доказательство. Как и выше, можно показать, что подпространство W, порожденное левыми и правыми сдвигами Л-,,,, содержит все другие
250 Лекция 10. Компактные группы Ли матричные элементы. Группа G x G действует на G левыми и правыми сдвигами, и это действие приводит к линейному представлению П произ- произведения G х G в W. Легко проверить, что П в тг х тг*. ? Утверждение (Ь) доказано. Для доказательства (с) рассмотрим ограничение представления (тг», V) алгебры Ли g на подалгебру ga,a ? R+. Возьмем неприводимую компонен- компоненту, содержащую вектор v. Так как v — вектор старшего веса для (тг, V), он остается таковым для ограничения. Так как утверждение (с) для алгебры Ли s[B,C) справедливо (см. лекцию 3), получаем неравенство {a, a) О ) (здесь мы воспользовались тем, что рассматриваемая величина не зави- зависит от выбора Ad-инвариантной билинейной формы на д„). Так как не- неравенство выполняется для всех положительных корней а, вес А является доминантным. Наконец, пусть А — доминантный вес. Функция Д, определенная на С по формуле f\(n-hn) = ex(h), непрерывно продолжается на все клетки Брюа коразмерности 1 (что можно установить, рассмотрев ограничение / на подгруппы G,- = expgai). Однако аналитическая функция не мо- может иметь особенности на комплексном подмногообразии коразмерности > 1. Поэтому / всюду регулярна. Можно проверить, что подпространство, порожденное левыми сдвигами функции /, конечномерно (в подходящих координатах это пространство состоит из полиномов с ограниченной сте- степенью). Более того, соответствующее представление неприводимо и имеет старший вес А. Теорема Картана доказана. ? Теорема Картана не только классифицирует конечномерные неприво- неприводимые голоморфные представления G и унитарные неприводимые пред- представления А', но также указывает явное построение их. Пример 5. Пусть G = SL(n + 1,С), К - SU(n + 1), Я — диагональ- диагональная подгруппа Картана. Общий элемент Я в канонических координатах, введенных выше, имеет вид h(t) = Для А = (ku...,kn) е Р ~ Z" имеем ел(/*(*)) = tf1 ...**•. Пусть Ак(д) обозначает к-й главный минор матрицы д е G. Тогда Д&(Л(<)) = tk- Следо- Следовательно, функция /лЫ=Д*'@)...Д J-Cff) B9) голоморфна на G в точности тогда, когда все &,- неотрицательны, т. е. А доминантный. Мы получаем следующую реализацию неприводимого представления тгд со старшим весом А = (к\,. ¦ ¦ ,кп) 6 "Щ.. Это подпредставление левого (h 0 0 0 V о 0 0 0 0 0 0 *a*Jx ¦¦ 0 0 0 0 0 о" O\ 0 0 0 cv
3. Орбиты и представления 251 регулярного представления в пространстве Р\ полиномов на G, которые однородны степени fci относительно элементов первого столбца, однородны степени к2 относительно миноров первых двух столбцов и т. д. Даже частный случай п = 2 не тривиален, хотя и вполне нагляден. Пусть g € SLC,€). Введем обозначения Xi(g) = дц, x'(g) — e'ikgjigk2, 1 ^ « ^ 3. Эти шесть полиномов на G удовлетворяют единственному квад- квадратичному соотношению Х>х' = 0. C0) Пространство Pkj состоит из биоднородных полиномов степени к отно- относительно х,- и степени / относительно хК Если бы xj и х-' были независимы, „ , , (к + 2\ (I + 2\ „ размерность Рк; была бы равна произведению I 0 II „ 1. Принимая V г J \ 1 ) во внимание C0), мы получим истинную размерность (* + !)(/ + l)(Jfc + / + 2) ){ 2 )- Упражнение 8. Показать, что приведенный выше результат согласу- согласуется с формулой Г. Вейля Указание. Изобразить корневую систему для 5?C,С), найти фунда- фундаментальные веса шь шг и показать, что положительными корнями будут а = 2шг— и>2, /? = — u>i+2w2, 7 = Р = ^!+ш2. Таким образом, при А = имеем (А + р, а) _ (А + р,<9) _ (А + Р,7) _ (р,а) -ft + i' (p,/9) -' + 1' (р,7) . Орбиты и представления 1. Обзор. Мы сохраним введенные выше обозначения. В частности, К обозна- обозначает компактную односвязную группу Ли с максимальным тором Т = Т', в котором введены канонические координаты (ti,...,ti). Как мы видели, унитарные неприводимые представления (тгд, V\) груп- группы К нумеруются доминантными весами А ? Р+ С it. Наша цель — по- поставить в соответствие множество К унитарных неприводимых представ- представлений некоторому множеству коприсоединеннных орбит. Далее мы используем также обозначение (N) Q\ С t* — орбита, проходящая через точку г^А. Замечание 3. Это обозначение требует определенного комментария. Согласно теореме двойственности Понтрягина существует канонический
252 Лекция 10. Компактные группы Ли изоморфизм между произвольной абелевой локально компактной группой А и второй двойственной группой А. Однако часто (например, для всех ко- конечных групп и для аддитивных групп локально компактных полей) уже первая двойственная группа А изоморфна А. Но в таком случае не сущест- существует канонического изоморфизма. В частности, нет канонического способа нумеровать характеры R элементами самого пространства К. В практике обычно используют два способа: х\(х) = е'Лг или хх{х) = e2lrlAr. Каж- Каждый из них имеет свои преимущества и недостатки. В наших лекциях мы используем второй способ. Однако следует упомянуть, что случится при выборе первого способа. Одномерные представления Uf,h, которые используются в правиле 2 для построения унитарных неприводимых представлений, примут более простой вид г/^,я(ехрХ) = е1'^'*'. Обозначение {N) также примет более естественный вид (TV') Пд с Е* обозначает орбиту, проходящую через точку -А. С другой стороны, симплектическая структура на коприсоединенных орбитах будет связана не с формой Вр, а с формой —Вр. Желание со- хранить первоначальное определение симплектической формы а (широко известной в настоящее время как форма Кириллова — Костанта) побуждает нас ввести довольно искусственное определение (N). Напомним, что любая орбита п с V пересекает t* вдоль единственной W-орбиты, содержащей единственный элемент вида г—тА, где А е С+, т. е. 2т i A=?w, Ci>0, UJ^J. C2) 3=1 Таким образом, множество всех коприсоединенных орбит отождествляется с (К+)'. Для регулярных орбит все коэффициенты {cj} положительны, а для сингулярных орбит некоторые коэффициенты обращаются в нуль. Теорема 5. Орбита tt\ С t* целочисленна тогда и только тогда, когда А принадлежит весовой решетке Р, т. е. все коэффициенты cj в C2) целые. Доказательство. Однородное многообразие п\ изоморфно A'/Stab(A).9 Подгруппа Stab(A) всегда содержит Т и совпадает с Т при регулярном А. Рассмотрим А'-эквивариантный проектор р\ : Т — К/Т —> их, заданный формулой рх{кТ) = —:К(к)Х. (Здесь К {к) обозначает коприсоединенное ZttI действие к ? К на Е*.) Для регулярной орбиты п\ р\ является диффеомор- диффеоморфизмом. Теперь воспользуемся некоторыми результатами из лекции 3 (см. пред- предложение 8 и его следствия). В качестве базиса Яг(/") возьмем фундамен- фундаментальные классы двумерных клеток Брюа Т$ := Т,^ 1 ^ j ^ ', соответству- соответствующих образующим (si,...,si) группы Вейля. 9Отметим, что Stab(A) совпадает с Stabl —А |. \2iri )
3. Орбиты и представления 253 Клетки Tj описываются следующим образом. Для каждого просто- простого корня Qj, I ^ j ^ /, мы определили вложение алгебры Ли s[B,C) как подалгебры д_,- ч- д = fee, порожденной X±aj. Это индуцирует вложения 5uB) s tj <-t t и SUB) = A'j <^ AT. Поэтому флаговое многообразие для Kj = SUB), изоморфное РХ(С), вкладывается во флаговое многообразие Т для К. Образом этого вложения является в точности Tj. Таким образом, в качестве базиса #2(Пд) для регулярной орбиты п\ мы можем взять образы В случае сингулярной орбиты Пд некоторые из этих образов стягива- стягиваются в точку, но оставшиеся по-прежнему образуют базис #2(^а). В общем случае справедлива коммутативная диаграмма Ti _«_» Tj -2-» Т -^-+ Stab(A) 1' 1' 1' I' 51/B) —2—> Kj —^-> К == К \Р V [Р [" Рх(д > Tj > т > пх Здесь <^ и г обозначают включения, » — изоморфизм группы или однородного многообразия, р — естественную проекцию однородного про- пространства с отмеченной точкой. Обозначение рх введено выше. Каноническая форма а на П целочисленна тогда и только тогда, когда ее сужение на каждую клетку px{fj) целочисленно. С другой стороны, элемент А 6 it* принадлежит Р тогда и только тогда, когда выполняется условие целочисленности (см. A2)), которое означает что ограничение А на подалгебру Картана д;- принадлежит весовой решетке в д*: для всех j — 1,...,/. Важно отметить, что последняя строка — это последовательность сим- плектических многообразий, связанных симплектоморфизмами. В част- частности, ограничение рд(и) \т совпадает с канонической симплектической формой на Та = РЧС), умноженной на —с,- = ; ' .. 2тг w[aj,atj) Таким образом, общий случай теоремы сводится к простейшему, ког- когда К = SUB). Рассмотрим этот случай подробно. Он является хорошей иллюстрацией общих понятий на довольно наглядных примерах. Лемма 8. Теорема 5 остается верной для К = SUB). Следствие. Коэффициенты cj в C2) имеют вид где а — каноническая симплектическая форма на п\. Если коэффициент cj обращается в нуль, р{Т$) стягивается в точку. Во всех случаях условие
254 Лекция 10. Компактные группы Ли целочисленности орбиты эквивалентно условию целочисленности коэффи- коэффициентов Cj. Доказательство леммы 8. Дадим детальное описание всех общих по- понятий для этого частного случая. Утверждение леммы будет сведено к вычислению интеграла по двумерной сфере S2. Общий элемент К имеет вид к — ( т _) , \а\2 + |6|2 = 1. Алгебра Ли Е имеет базис (X, Y, Z) такой, что Двойственное пространство V состоит из матриц Fa,b,c = (_¦/, - ) таких, что {Fabc,Axyz) = tt(Fa ь с ¦ Ах у z) = ax + by + cz. Максималь- (t 0 \ ные торы имеют элементы вида [ „ .-i I, где t — каноническая комп- \и * / лексная координата, \t\ = 1. Решетка exp-1(e)p|t порождается элементом ( _г _2 ') = 4kZ, соответственно exp~1(C)f|t порождается элементом 2nZ. Элементы g и д* имеют такой же вид AXiV:Z и FO|6,C, как и выше, но с комплексными координатами (х,у, ?) и (а, 6, с) соответственно. В част- частности, единственный простой положительный корень а и единственный фундаментальный вес ш для t можно представить в виде а = Fa,a,-i и ы = -а = }?о,о,-.у2- Регулярные коприсоединенные орбиты записываются в виде Г2 О-ш = {FaAc | а2 + Ь2 + с2 = j^-j, г > 0}. Коприсоединенное действие t на Г задано формулой К. {X) = Ьдс - сдь, К,(У) = сда - адс, К, (Z) = адь - Ъда. Каноническая симплектическая форма на коприсоединенной орбите опре- определяется следующим образом: adb Adc + bde Ada+ cda Л db °"= a2 + 62 + с2 ' Симплектический объем орбиты равен оЦпгы) = / <г = г. Здесь удобно использовать "географические координаты" — ж < f < тг, —7г/2 < в < 7г/2, в которых г г г г х =—cos в cos <р, у=—cos в sin <p, z~—sin в, <т ——cos6dip/\d9. 4я" 4тг 4тг 4jt
3. Орбиты и представления 255 Объем орбиты равен целому числу, когда г б Z, т. е. Лемма доказана. ? Таким образом, множество Oint всех целочисленных коприсоединен- ных орбит для К можно естественно нумеровать с помощью множества Р+, а множество 0j."g целочисленных регулярных орбит — множеством Р++ = р+ Р+, которое является сдвигом Р+. С другой стороны, как мы видели выше, множество К всех унитарных неприводимых представлений также нумеруется множеством Р+. Ввиду этих фактов можно предположить, что имеется соответствие между орбитами и унитарными неприводимыми представлениями. Но при этом мы сталкиваемся со следующей дилеммой: Произвольному унитарному неприводимому представлению л\, А е Р+, мы ставим в соответствие либо целочисленную орбиту п\, либо ре- регулярную целочисленную орбиту Q\+,,. (Напомним, что Q\ обозначает орбиту, проходящую через точку ^-^А.) Как будет показано ниже, обе возможности имеют свои преимущества. 2. Веса унитарных неприводимых представлений. Пусть (тг\, V\) — унитар- унитарное неприводимое представление К со старшим весом А 6 Р+. Ограничение Res? ж\ уже не будет неприводимым. Так как Г — абелева группа, она рас- распадается на одномерные унитарные представления, которые оказываются в точности функциями е*, ц б Р, определенными по формуле B0). Введем в Г канонические координаты B1) и отождествим Р с Z1, используя базис из фундаментальных весов. Тогда для ц = (тп1,...,тп|) € 1} имеем е^(<) = t™1 .. .<["' (или f для краткости). Обозначим через V^ изотипическую компоненту типа \i в V\, т. е. V* := {v € V\ | ir\(t)v = fv}. Одна из старейших (и наиболее востребованных в приложениях) задач теории представлений компактных групп Ли заключается в вычислении кратности m\(ii) aeca ц т. е. размерности V^. В терминах функтора ограничения мы можем записать Для этой величины известны различные формулы, но ни одна из них не является достаточно эффективной. К сожалению, метод орбит в данном случае не составляет исключения. Формула, предлагаемая методом орбит, элегантна, наглядна, но (по крайней мере, в настоящей форме) не имеет большого практического значения. Пример 6. Чтобы продемонстрировать своеобразие этой задачи, мы рассмотрим случай G = 5GC). Здесь весовой решеткой является обычная треугольная решетка в К2, порожденная двумя фундаментальными весами ш\ ии2. Функция кратности m\(fi) для двух частных случаев А = Ашх +2и2 и А = 3^1 + Зшг выглядит следующим образом:
256 Лекция 10. Компактные группы Ли 11111 1111 12 2 2 2 1 12 2 2 1 1233321 123321 123321 1234321 12321 123321 12 2 1 12 2 2 1 111 1111 На основе этих картинок нетрудно предсказать, каким должен быть общий принцип для произвольного унитарного неприводимого представле- представления .5GC). А именно, пусть Q С Р — корневая подрешетка. Для G = SUC) она имеет индекс 3 в Р. Носителем m\(fi) является выпуклый шестиуголь- шестиугольник в X+Q, вершины которого образуют W-орбиту старшего веса А. Значе- Значения mx(ft) вдоль периметра шестиугольника равны 1. На следующем слое они равны 2 и затем продолжают расти линейно до тех пор, пока шести- шестиугольный слой не выродится в правильный треугольник. После этого рост прекратится (на значении min(fc,f) + 1 при А = kui + 1шг). В случае общей компактной группы ситуация описывается следующей теоремой. Теорема 6. Носитель т\(), т. е. множество ц G Р таких что m\(fx) ф О, имеет вид suppmx= P| w(X-Q+). C3) mglV Схема доказательства. Пространство V\ является линейной оболоч- оболочкой элементов (w\),(A)v, где А е U(g) ии — вектор старших весов. Примем во внимание следующие факты: G(g) = U(n~)U(i))U(n+), v аннулируется элементами тц., и v — собственный вектор для элемента I). Тогда V\ по- порождается элементами (я\),(А)у, где А ? G(п_). Следовательно, все веса 7Г\ должны иметь вид ц — А — v, v ? Q+, т. е. левая часть C3) содержится BA-Q+. Далее, множество весов инвариантно при действии группы Вейля. По- Поэтому suppmx С П «"(A — Q+). Обратное вложение можно установить, wew рассмотрев ограничение тг\ на различные трехмерные подгруппы Ка. ? Идеология метода орбит связывает функтор ограничения Res^ с естес- естественной проекцией р : t* -*¦ t*. Читатель может убедиться в этом, сравнив теорему 6 и следующий хорошо известный факт. Теорема 7. Образ р(п\) С i* является выпуклой оболочкой пересечения u\f)t*, которое состоит из точек ——w(X), w G W. Схема доказательства. Прежде всего мы заметим, что утверждение теоремы следует из более общего результата о симплектическом действии тора (см. [At] и [GS2]). Здесь мы кратко опишем другой подход.
3. Орбиты и представления 257 Пусть p,(F) — производная отображения р в точке F е пх. Как и в п. 1.3, запишем функционал F в виде Fx, X G t, и X — в виде J2 (caXa-caX..a), C4) где Y G t и са е С. Пусть Яа := [Ха,Х-а]. Тогда образ р»(^) будет порождаться теми На, для которых са ф 0. Таким образом, для общей точки F эта производная является сюръективным отображением TfU\ в t* и р — открытое отображение в окрестности F. Выясним, когда это отображение не будет сюръективным. Пересече- Пересечение корневой системы R с различными подпространствами L с t* образу- образует семейство подмножеств Я, с R, где i пробегает конечное множество /. Пусть {(') — подалгебра Ли, порожденная Ха, а б Я,-, и i'1) — аннулятор Я,- в t. Каждое Я,- может рассматриваться как корневая система ранга 1{ < / относительно подалгебры fW. Допустим, что Fx — сингулярная точка, т. е. такая, что p,{Fx) не сюръективно. Тогда для некоторого индекса i G / элемент X имеет вид C4) с коэффициентами са, обращающимися в нуль при а ? Я,-. Следова- Следовательно, X принадлежит одной из подалгебр t'1' + &У Пусть К^ — под- подгруппа К, соответствующая подалгебре б''). Множество всех сингулярных элементов типа г ? I распадается на /^'''-орбиты. По индукции можно считать, что теорема верна для алгебр меньшего ранга. Тогда проекция всех таких А'(')-орбиТ будет выпуклой оболочкой ее пересечения с t*. Одна- Однако это пересечение представляет собой подмножество 5 С Г2л П t*. Таким образом, проекции всех сингулярных точек образуют конечное число вы- выпуклых политопов Ps размерности < I. В частности, граница р(?2Л) также состоит из этих политопов. Отсюда следует утверждение теоремы. ? Пример 7. Для группы типа Вг = С2 проекция типичной орбиты и множества сингулярных точек изображены на рис. 8. Сравнивая теоремы 6 и 7, мы видим, что правило 3 выполняется для пары Г С К, если унитарному неприводимому представлению ж\ мы по- поставим в соответствие орбиту Q\ и рассмотр