/
Author: Яновская С.А.
Tags: философия философия науки эпистемология научное познание методология науки
Year: 1972
Text
С. А. ЯНОВСКАЯ
МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ
ПРОБЛЕМЫ
НАУКИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
• МЫСЛЬ •
МОСКВА
1972
001
Я64
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ФИЛОСОФИИ
Главная редакция
социально-экономической литературы
Под общей редакцией //. Г. Башмаковой,
Д. #. Горского, В. А. Успенского
Яновская С. А.
Я64 Методологические проблемы науки. М.,
«Мысль», 1972.
280 с. (АН СССР. Ин-т философии).
В книгу включены основные работы по философским и
методологическим проблемам науки известного советского математика и
философа С. А. Яновской. Для читателя представляют безусловный интерес
статьи, в которых освещаются основные философские и
историко-методологические проблемы математики и математической логики. В
сборник включены также работы, связанные с анализом методологических
вопросов кибернетики и критикой современной буржуазной философии.
Книга рассчитана на преподавателей вузов, а также на ученых-
специалистов — философов, математиков, логиков, кибернетиков,
лингвистов.
1-5-1 001
63-72
СОФЬЯ АЛЕКСАНДРОВНА
ЯНОВСКАЯ
С. А. Яновская родилась 31 января 1895 г. в Пружанах
и в раннем детстве вместе с семьей переехала в Одессу,
В гимназии одним из ее учителей был известный
историк математики И. Ю. Тимченко, а на Высших женских
курсах Одессы, на которые она поступила в 1915 г.,—
блестящий математик С. О. Шатуновский. Однако
занятия математикой, и в частности вопросами оснований
этой науки, были прерваны революционными событиями
1917 г. Еще на курсах С. А. Яновская стала участницей
подпольного Красного Креста помощи
политзаключенным, а в ноябре 1918 г. вступила в члены нелегальной в
то время (в г. Одессе) партии большевиков. Она
выполняет различные ответственные поручения губернского
партийного комитета, редактирует газету «Коммунист»
(которая печаталась в знаменитых Одесских
катакомбах), затем направляется в Елисаветград (Кировоград)
для борьбы с остатками григорьевских банд. В 1919 г.
Софья Александровна вступает в ряды Красной Армии,
где ведет политическую работу; в 1920—1923 гг. она
работает в Одесском губкоме партии.
Осенью 1923 г. С. А. Яновская была командирована
в Московский институт красной профессуры (ИКП) и
смогла, таким образом, вернуться к занятиям
математикой. Она быстро наверстывает упущенное и уже в 1925 г.
начинает руководить в МГУ семинаром по методологии
математики и естествознания для студентов и
аспирантов; в ИКП она ведет ряд математических курсов.
В 1929 г. С. А. Яновская оканчивает ИКП. Ее
научные интересы к тому времени определились достаточно
четко: Софью Александровну привлекают к себе
проблемы методологии и истории математики.
Ее первая опубликованная статья — «Категория
количества у Гегеля и сущность математики»
(1928)—открыла большой цикл последующих изысканий в этом
направлении, среди которых особо следует выделить
публикацию части математических рукописей К. Маркса
3
вместе с приложенной к ним статьей «О математических
рукописях К- Маркса» (1933), где выявлены основные
философско-методологические установки
основоположника марксизма на природу математического знания
вообще и на основы математического анализа в
особенности. Высказывания Маркса о ходе развития основ
математического анализа оказали несомненное влияние и на
ряд последующих работ в области методологии и
истории математики, в том числе на исследование самой
С. А. Яновской, посвященное одному из первых
критиков исчисления бесконечно малых — М. Роллю. Следует
заметить, что математическое наследие К. Маркса в
30-е годы было изучено еще «в первом приближении».
Совместно с К. А. Рыбниковым С. А. Яновская уже в
60-е годы заканчивает подготовку нового, более полного
и весьма подробно комментированного издания
«Математических рукописей» К. Маркса. Оно вышло в свет в
1968 г.
Для работ С. А. Яновской по истории и методологии
математики, охватывающих весьма широкий круг
проблем, характерен неизменный интерес к узловым
философским и логическим проблемам математической
науки. Приведем лишь три примера: книгу о научном
мировоззрении Н. И. Лобачевского («Передовые идеи
Н. И. Лобачевского — орудие борьбы против идеализма
в математике». М.—Л., 1950), статью «Из истории
аксиоматики» (1958), статью «Преодолены ли в
современной науке трудности, известные под названием «апорий
Зенона»» (1963).
•В первом труде содержится оригинальная трактовка
взглядов великого геометра на основания математики и
его отношение к произвольным допущениям в ней; во
втором на материале древнегреческой математики
выясняется, чем обусловлено возникновение дедуктивных
(аксиоматических) теорий, почему одни разделы
математики аксиоматизируются раньше, а другие — позднее;
в третьем показывается, что, несмотря на то что
трудности формально-логического характера, относящиеся к
апориям Зенона, разрешаются, тем не менее
неформальные противоречия, заключенные в них и связанные с
трудностями отражения движения в понятиях науки,
остаются и могут быть осмыслены лишь с позиций
диалектической логики.
4
Развитию историко-математических исследований,
разработке * философских вопросов математики
С. А: Яновская содействовала не только своими
научными трудами, но также, и даже прежде всего,
огромной педагогической работой, которую она вела в МГУ.
Начиная с 1930 г. она читала курс по истории
математики, а с 1935 г. совместно с М. Я. Выгодским
руководила семинаром по истории математики, а также
семинаром по философским и методологическим проблемам
математики.
Чрезвычайно велика заслуга С. А. Яновской в
области математической логики. В 1936 г. она первая начала
читать этот курс на механико-математическом
факультете МГУ и с тех пор читала такие курсы регулярно.
Как правило, она читала на механико-математическом
и на философском факультетах (с 1946 г.) ежегодно два
курса, но ни разу ею не был прочитан дважды один и
тот же курс. В общей сложности ею было прочитано
40 курсов и спецкурсов по математической логике:
основной курс, алгебраические теории математической
логики, избранные вопросы исчисления предикатов,
комбинаторная логика, натуральное исчисление Генцена,
строгая импликация Аккермана, исчисление с эпсилон-
оператором Гильберта, оперативная логика, общая
теория исчисления, логика классов, математическая логика
и таблицы Бета и др.
В течение многих лет С. А. Яновская возглавляла
работу в области методологии и философии математики
э на механико-математическом факультете МГУ,
бессменно руководила методологическим семинаром. На
философском факультете МГУ С. А. Яновская читала курсы
не только по математической логике, но' и спецкурсы по
философии математики, руководила аспирантами
кафедры логики, выступала с докладами по
диалектической логике, по критике современной зарубежной
философии, вела семинар по логической семантике.
3 марта 1959 г. на механико-математическом
факультете МГУ была организована кафедра математической
логики. С. А. Яновская взяла на себя основную
организаторскую работу по созданию кафедры. Само
возникновение кафедры было подготовлено ее многолетней
деятельностью в области математической логики.
Софья Александровна много сделала для признания
5
и оформления математической логики в специальную
дисциплину в нашей стране. Обзорные статьи С. А.
Яновской «Основания математики и математическая логика»
(в сб. «Математика в СССР за 30 лет». М., 1948),
«Математическая логика и основания математики» (в сб.
«Математика в СССР за 40 лет». М., 1959), ее доклады
общего методологического и философского характера
немало способствовали формированию математической
логики как самостоятельной отрасли знания. В этих
статьях и докладах не просто перечислялись
направления исследований в этой области знания и основные
достижения, но и осуществлялось упорядочение и
классификация проблематики математической логики,
выделение главного, осмысление полученных результатов. Для
молодой и не окрепшей еще науки это было
необходимым и своевременным.
С. А. Яновская занималась пропагандой
математической логики постоянно и неутомимо, в самых разных
формах и перед самыми различными аудиториями.
Первые вышедшие у нас книги по математической логике —
Гильберта и Аккермана «Основы теоретической логики»
'(М., 1947) и А. Тарского «Введение в логику и
методологию дедуктивных наук» (М., 1948) были изданы под
редакцией С. А. Яновской и с ее комментариями. Ее
предисловия к книге Гильберта и Аккермана и книге
Тарского содержали обзор проблематики
математической логики с характерным для научных интересов
С. А. Яновской философским осмысливанием этой
проблематики. Выход в свет указанных книг ознаменовал
собой начало серии переводов иностранных монографий,
сыгравших значительную роль в логико-математическом
просвещении. Под редакцией и с предисловием С. А.
Яновской вышли в свет книги р Кар"аття «Зиядщга и рерб-
ходимость» (М., 1959). А. Тьюринга «Может ли машина
ДыЕШЗЬ?» (М., 1960), Р, Л Гудгтейна «Математическая
логика» (М., 1961), Д. Пойа «Математика и
правдоподобные рассуждения» (М., 1957). Переводы известных
книг С. Клини и А. Чёрча были изданы по ее
инициативе и при ее непосредственной поддержке.
В 1943 г. она организовала на
механико-математическом факультете МГУ научно-исследовательский
семинар по математической логике, существующий и по сей
день и сыгравший значительную роль в развитии мате-
6
матической логики в СССР. Этим семинаром С. А.
Яновская бессменно руководила вначале совместно с
И. И. Жегалкиным и П. С. Новиковым, а затем с
А. А. Марковым.
С. А. Яновская была замечательным педагогом —
заботливым, щедрым, никогда не отказывавшим в помощи
своим ученикам. А учениками С. А. Яновской были не
только те, кто выполнял под ее руководством свои
дипломные работы и диссертации. К ней за помощью, за
советом, за консультациями обращались и те, кто не
были ее аспирантами, и те, кто уже защитил не только
кандидатские, но и докторские диссертации. И она
никому не отказывала в помощи, со всеми щедро делилась
своими идеями. Она не щадила своего здоровья и
времени для других, нередко в ущерб своей собственной
работе. С. А. Яновскую как педагога и пропагандиста
научных знаний всегда занимал вопрос о том, как сделать
трудные достижения науки доступными самой широкой
аудитории, начиная от школьников. Многие участники
математических олимпиад послевоенных лет, видимо,
навсегда запомнили лекцию С. А. Яновской «Что значит
решить задачу?». Ответ оказался несколько
парадоксальным, хотя и поразительно простым: решить
задачу — значит свести ее к уже решенным.
Многие истины, ставшие в настоящее время
привычными фактами научного сознания, С. А. Яновской
приходилось отстаивать в нелегкой борьбе. И такую борьбу
вела уже немолодая женщина, со здоровьем,
подорванным хронической болезнью: С. А. Яновская с 1936 г.
страдала тяжелой формой диабета. В ее портфеле
всегда лежал аварийный запас медикаментов и инструкция
окружающим на случай внезапной потери сознания
обладательницей портфеля, а такие случаи происходили не
так уж редко. В этом отношении поведение С. А.
Яновской можно назвать героическим.
Софья Александровна Яновская была крупным
философом-марксистом. В дни своей молодости она с
оружием в руках боролась за великие идеалы марксизма-
ленинизма. И в течение почти 40 лет в своих трудах,
выступлениях она отстаивала идеи диалектического
материализма. Она была ярким представителем
творческого марксизма. Выработка научных диалектико-материа-
листических позиций по сложным в методологическом
7
плане проблемам математики и математической логики
была основной заботой С. А. Яновской. Эти проблемы
ставились и решались в самых первых ее работах
(«Категория количества у Гегеля и сущность математики»,
1928; «Закон единства противоположностей в
математике», 1929), эти проблемы находились в центре ее
внимания на протяжении всей ее научной жизни. Эти же
проблемы обсуждались ею и в последних ее изданиях
(«О философских вопросах математической логики»,
1963; «Преодолены ли в современной науке трудности,
известные под названием «апорий Зенона»», 1963;
«Проблемы введения и исключения абстракции более высоких
(чем первый) порядков» (доклад на симпозиуме в
Варшаве), 1965; «К. Маркс. Математические рукописи»,
1968; «О роли математической строгости в истории
творческого развития математики и специально о
«Геометрии» Декарта», 1970).
Весьма плодотворной была деятельность С. А.
Яновской по подготовке и изданию статей по философии
математики, основаниям математики и математической
логики для «Фило£о_фскрй Энцщслопедии». По инициативе,
под руководством и при непосредственном участии
С. А. Яновской математическая логика на страницах
этого издания заняла достойное место. Значительный
интерес представляет написанная С. А. Яновской для
«Философской Энциклопедии» статья «Исчисление».
Кстати, и для первого издания БСЭ ею совместно с В. Гли-
венко была написана статья «Математическая логика».
Попытаемся в самой общей форме сформулировать
те основополагающие идеи философско-методологиче-
ского характера, которые настоятельно подчеркивались
и аргументировались в работах С. А. Яновской.
1. Самой плодотворной базой для решения этих
самых сложных проблем познания науки является
философия диалектического материализма. Так,
общеметодологические трудности, связанные с проблемой оснований
математики, неизбежно приводят к необходимости
обращения к критерию практики, принципу конкретности
истины, диалектическому соотношению абсолютного и
относительного и т. п.
2. Процесс познания глубоко противоречив в
диалектическом смысле. В процессе научного познания
постоянно происходит оборачивание в методе (Umschlag in
8
der Methode, по выражению К. Маркса): то, что
исторически является первичным, то на логическом уровне
анализа является вторичным. Наука, отражая в изучаемых
предметах некоторое «жесткое существо дела»,
отвлекается от «расплывчатости границ» изучаемых
объектов, прибегает, по выражению В. И. Ленина, к
«огрублениям», «омертвлениям» изучаемой действительности,
вводит в науку абстракции высоких уровней,
идеализации, прибегает к формализациям разных уровней
строгости. Но со временем в связи с углублением наших
знаний, с изменением самих изучаемых объектов, в связи
с новыми целями и задачами анализа нам приходится
менять наши абстракции, идеализации, допущения,
прибегать "к новым формализмам. Таков диалектический
путь развития науки (эти идеи наиболее полно
изложены С. А. Яновской в статье «Преодолены ли в
современной науке трудности, известные под названием «апорий
Зенона»»).
3. Наука в целом развивается содержательно.
Переход от одного формализма к другому в конечном счете
определяется семантическими и прагматическими
соображениями. Математическая строгость приносит
большую пользу именно тогда, когда она служит практике и
проверяется ею. В соотношении математической
строгости и практики практика играет первичную роль, а
математическая строгость — вторичную.
4. Опираясь на работы В. И. Ленина, С. А. Яновская
постоянно подчеркивала огромное значение для анализа
науки таких методологических принципов, как принцип
практики, конкретности истины и релятивности
познания. Коренным пороком позитивистской философии, с ее
точки зрения, является стремление к поискам
абсолютных решений, исключение из методологии
прагматических критериев, и в первую очередь критерия
общественной практики. Одновременно С. А. Яновская постоянно
подчеркивала огромное методологическое значение
требования конструктивности в отношении создаваемых в
логике и математике теорий.
5. Теория значения, обладающая достаточной
степенью общности и эффективности, может быть создана
лишь на основе включения в ее состав некоторых
прагматических критериев: правил- оперирования
выражениями и правил их использования (в том числе и за
9
пределами сферы познания). С точки зрения С. А.
Яновской, проблема значения в отношении
логико-математических теорий и сводится к формулированию правил
введения и удаления абстракций высоких уровней (эти
идеи развивались ею в докладе на симпозиуме в
Варшаве).
Опираясь на известные идеи К. Маркса и В. И.
Ленина, С. А. Яновская всегда подчеркивала, что
философия должна быть действенной, направленной на
решение важных научных и практических вопросов. Именно
это является источником развития философии и прочной
гарантией от проникновения в нее всякой бессмыслицы
и субъективизма.
В последние годы болезнь Софьи Александровны
обострилась. Но это не привело к спаду ее кипучей
творческой и педагогической деятельности, хотя она, по-'
видимому, сознавала, что дни ее жизни сочтены.
Суровые испытания жизни она встречала с замечательным
мужеством. 31 января 1966 г. в Московском
университете состоялось чествование С. А. Яновской в связи с ее
семидесятилетием и сорокалетием общественной,
педагогической и научной деятельности. В своем
непродолжительном, но запомнившемся всем присутствующим
выступлении Софья Александровна, как всегда, говорила
не о себе, а о реликом долге ученого перед народом, об
ответственности тех людей, кому выпало счастье
трудиться на благородном поприще науки.
Она говорила, что была счастлива потому, что ее
окружали хорошие люди, которых она беспредельно люби^
ла: коммунисты, вместе с которыми она сражалась на
фронтах гражданской войны, ученые, с которыми она
вместе работала, ее близкие и ученики.
Это было последнее публичное выступление
большого и мужественного человека, выдающегося ученого,
всегда неудовлетворенного собой, стремящегося к
большему, жаждущего передать эстафету своего опыта и
знаний тем, кто искренне и безраздельно хочет
посвятить себя науке.
Поэтому так взволнованно и прозвучали
заключительные слова выступления Софьи Александровны,
исполненные гордости за успехи нашей советской науки,
слова, полные глубокой веры в торжество человеческого
разума.
&
В публикуемом сборнике избранных работ С.-А.
Яновской по методологии науки помещены статьи,
напечатанные в разное время и в различных изданиях. Статьи
в сборнике расположены в хронологическом порядке и
при этом место статьи, опубликованной в свое время в
разных изданиях и вариантах, определяется датой ее
первой публикации. Редколлегия публикует работы в их
первоначальном виде, в текст вносились лишь
незначительные исправления редакционного характера. Каждая
статья снабжена примечанием, в котором указывается
место и год опубликования.
Д. Я. Горский
ПРЕДИСЛОВИЕ
К «МАТЕМАТИЧЕСКИМ РУКОПИСЯМ» К. МАРКСА1
Еще из предисловия Энгельса ко 2-му изданию «Анти-
Дюринга» (1885 г.) было известно, что в рукописном
наследстве Маркса имеются рукописи математического
содержания, которым Энгельс придавал важное
значение и которые собирался опубликовать. Фотокопии этих
рукописей (около 1000 листов) хранятся в архиве
Института марксизма-ленинизма при ЦК КПСС. К
50-летию со дня смерти Маркса, в 1933 г., часть их,
содержащая результаты' размышлений Маркса над сущностью
дифференциального исчисления, которые он изложил
для Энгельса в двух рукописях в 1881 г., и
подготовительный материал к ним, была опубликована в русском
переводе в журнале «Под знаменем марксизма»
(1933 г., № 1, стр. 15—73) и в сборнике «Марксизм и
естествознание» (1933 г., стр. 5—61). Однако на языке
оригинала и эта часть математических рукописей
Маркса до сих пор не была опубликована.
Математические рукописи Маркса носят различный
характер: одни из них представляют собой его
собственные работы, относящиеся к дифференциальному
исчислению, его природе и истории, в других содержатся
конспекты и выписки из книг, которыми пользовался Маркс.
Хотя работы Маркса естественно отделять от
конспектов и тем более выдержек из работ других авторов, для
подлинного понимания мысли Маркса часто необходимо
знакомство с конспектируемой им литературой. Только в
целом книга дает поэтому правильное представление о
содержании относящихся к математике идей Маркса.
Интерес к математике возник у Маркса в связи с его
работой над «Капиталом». В письме Энгельсу от 11
января 1858 г. Маркс сам писал об этом так: «При
разработке основ политической экономии меня так чертовски
задерживают ошибки в подсчетах, что с отчаяния я сно-
1 Вводная статья к работе К. Маркса «Математические
рукописи». М., 1968. Первый вариант статьи опубликован в журнале
«Книга и пролетарская революция», 1933, № 2.
12
ва засел за быстрое прохождение алгебры. Арифметика
никогда не давалась мне. Но окольным алгебраическим
путем я скоро опять возьму правильный прицел» К
Следы первых занятий Маркса математикой
встречаются в его первых тетрадях с выписками по
политической экономии. Некоторые алгебраические выкладки
имеются уже в тетради, основное содержание 'которой
относится к 1846 г. Из этого не следует, однако, что эти
записи не могли быть сделаны на свободных листах
тетради в более позднее время. В тетради, относящейся к
апрелю — июню 1858 г. и содержащей подготовительные
материалы к «Критике политической экономии»,
встречаются некоторые чертежи по элементарной геометрии,
а также алгебраические выкладки, относящиеся к
обобщению понятия степени и логарифмам.
Однако в этот период занятия Маркса математикой
шли только урывками, чаще всего когда он уже не мог
заниматься чем-либо другим. Так, 23 ноября 1860 г.
Маркс писал Энгельсу: «Писать статьи для меня теперь
почти невозможно. Единственное занятие, которым я
поддерживаю необходимое душевное равновесие, это —
математика» 2. Несмотря на это, он неизменно шел
вперед в своих занятиях математикой и 6 июля 1863 г*,
писал уже Энгельсу: «В свободное время занимаюсь
дифференциальным и интегральным исчислением. Кстати.
У меня избыток книг по этим вопросам, и я готов одну
из них переслать тебе, если ты хочешь этим делом
заняться. Я считаю это почти необходимым для твоих
военных занятий. Кроме того, этот раздел математики
гораздо легче (поскольку речь идет о чисто технической
стороне), нежели, например, высшие разделы алгебры.
Никаких предварительных знаний, кроме обычных
алгебраических и тригонометрических вещей, здесь не
требуется, но необходимо общее знакомство с коническими
сечениями»3. А в приложении к ненайденному письму
конца 1865 или начала 1866 г. Маркс объяснял Энгельсу
сущность дифференциального исчисления на примере
задачи о касательной к параболе.
Но в основном математика все еще занимала его
прежде всего в связи с политической экономией. Так, в
1 К Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 29, стр. 210.
2 К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 30, стр. 88.
3 Там же, стр. 296.
13
1869 г. в связи с изучением вопросов обращения
капитала и роли векселей в межгосударственных расчетах
Маркс обращается к большому курсу коммерческой
арифметики Феллера и Одермана, который
подробнейшим образом конспектирует К Характерная для" Маркса
черта, состоящая в том, что, встретившись с
каким-нибудь вопросом, в котором он еще не чувствовал себя
вполне уверенно, Маркс не успокаивался до тех пор,
пока не овладевал им полностью, вплоть до самых основ,
проявилась и здесь. Всякий раз, когда в книге Феллера
и Одермана использовался какой-нибудь
математический аппарат, Маркс считал необходимым восстановить
его в памяти, даже если был уже знаком с ним. В
конспектах по коммерческой арифметике — этих и более
поздних, см. рукописи 3881, 3888, 3931— появлялись,
таким образом, вставки чисто математического
содержания, которые в свою очередь вели Маркса все дальше в
область высших разделов математики.
В 70-х годах, особенно с 1878 г., занятия Маркса
математикой приобрели уже почти систематический
характер. Об этом времени Энгельс в предисловии ко 2-му
изданию «Капитала» писал: «После 1870 г. снова
наступила пауза, обусловленная главным образом
болезненным состоянием Маркса. По обыкновению, он заполнял
это время изучением; агрономия, американские и в
особенности русские поземельные отношения, денежный
рынок и банки, наконец естественные науки: геология и
физиология, и в особенности самостоятельные
математические работы составляют содержание многочисленных
тетрадей Маркса с выписками, относящихся к этому
времени»2.
В то же время вопросы применения математики к
политической экономии продолжали интересовать
Маркса. Так, в письме Энгельсу от 31 мая 18/3 г. Маркс
писал: «Я рассказал здесь Муру одну историю, с которой
privatim (между нами говоря. — Ред.) долго провозился.
Но он думает, что вопрос неразрешим или, по крайней
мере, pro tempore (временно. — Ред.) неразрешим ввиду
многих и большей частью еще лишь подлежащих
обнаружению факторов, относящихся к этому вопросу. Дело
1 См. К. Маркс. Математические рукописи. М., 1968, стр. 257—
260.
2 К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 24, стр. 8.
14
в следующем: ты знаешь таблицы, в которых цены,
учетный процент и т. д. и т. д. представлены в их движении
в течение года и т. д., в виде восходящих и нисходящих
зигзагообразных линий. Я неоднократно пытался — для
анализа кризисов — вычислить эти up and downs
(повышения и понижения. — Ред.) как неправильные кривые
и думал (да и теперь еще думаю, что с достаточно
проверенным материалом это возможно) математически
вывести из этого главные законы кризисов. Мур, как я
уже: сказал, считает задачу пока невыполнимой, и я
решил до поры до времени отказаться от нее» *.
Таким образом, ясно, что Маркс заведомо предвидел
возможность применения математики в политической
экономии.
Даже полное описание всех математических
рукописей Маркса во второй части настоящей книги не дает
еще полного ответа на вопрос о том, что именно
побудило Маркса от занятий алгеброй и коммерческой
арифметикой перейти к дифференциальному исчислению:
математические рукописи Маркса фактически относятся
уже к тому периоду, когда Маркс занимался
элементарной математикой только в связи с задачами,
встававшими перед ним при изучении дифференциального
исчисления. Именно в этой связи находятся его занятия
тригонометрией и теорией конических сечений, о
необходимости которых он писал Энгельсу.
В дифференциальном исчислении дело обстояло,
однако, плохо, и притом в самом его фундаменте —
методологических основаниях, на которых оно строилось.
Очень образно осветил это положение вещей в своем
«Анти-Дюринге» Энгельс: «Когда в математику были
введены переменные величины и когда их изменяемость
была распространена до бесконечно малого и
бесконечно большого, — тогда и математика, вообще столь
строго нравственная, совершила грехопадение: она вкусила
от яблока познания, и это открыло ей путь к гигантским
успехам, но вместе с тем и к заблуждениям.
Девственное состояние абсолютной значимости, неопровержимой
доказанности всего математического навсегда ушло в
прошлое; наступила эра разногласий, и мы дошли до
того, что большинство людей дифференцирует и интег-
1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 33, стр. 71—72,
15
рирует не потому, что они понимают, что они делают, а
просто потому, что верят в это, так как до сих пор
результат всегда получался правильный» 1.
Естественно, что Маркс не мог примириться с этим.
Употребляя его же слова, мы можем сказать, что «и
здесь, как и всюду», для него было «важно сорвать с
науки покров тайны»2. Это было тем более важно, что
переход от элементарной математики к математике
переменных величин по самому своему существу должен
был носить диалектический характер, а Маркс и Энгельс
считали своим долгом показать, как применяется
материалистическая диалектика не только в общественных
науках, но и в естествознании и математике. Вскрыть
же диалектику перехода к математике переменных
величин можно было, только полностью разобравшись, в чем
состоит «тайна, окружающая еще и в наше время те
величины, которые применяются в исчислении бесконечно
малых, — дифференциалы и бесконечно малые разных
порядков...»3. Именно эту задачу — выяснить
диалектическую сущность символического исчисления,
оперирующего со знаками дифференциалов, и поставил перед
собой Маркс.
Маркс занимался математикой самостоятельно.
Единственным человеком, к которому он мог обратиться за
советом, был его друг Сэмуэл Мур, математические
познания которого были, однако, весьма скромны. Какой-
либо существенной помощи Марксу Мур поэтому не мог
оказать. Более того, как это явствует из замечаний,
сделанных Муром в связи с рукописями 1881 г., которые
Маркс послал Энгельсу, содержавшими изложение идей
Маркса о происхождении и смысле символического
дифференциального исчисления, Мур просто не понял этих
идей 4.
Маркс обратился к учебникам дифференциального
исчисления. Он ориентировался на книги, по которым
велось преподавание в Кембриджском университете, где
кафедру высшей математики еще в XVII веке занимал
Ньютон, традиции которого с тех пор свято соблюдались
в Англии. Известно, какую острую борьбу пришлось
1 К Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 20, стр. 88—89.
2 К. Маркс. Математические рукописи, стр. 193.
3 К- Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 20, стр. 582.
4 См. К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 35, стр. 93—94.
16
выдержать в 20—30-х годах прошлого века английской
молодежи, группировавшейся вокруг «Аналитического
общества» математиков, с представителями устаревших
традиций, превратившими в неприкосновенную
«священную» догму обозначения Ньютона и применявшиеся им
в «Началах» синтетические методы, требовавшие, чтобы
каждая задача решалась непосредственно с начала, без
подведения ее под какую-нибудь общую задачу,
решаемую с помощью аппарата исчисления.
. В этой связи достаточно понятно поэтому и то
обстоятельство, что Маркс начал изучение
дифференциального.' исчисления по курсу французского аббата Сори
«Полный курс математики» (1778 г.), построенному по
методу Лейбница и написанному в его обозначениях, и
что он обратился непосредственно к «Анализу через
уравнения с бесконечным числом членов» самого
Ньютона (см. рукопись 2763). Разобравшись по Сори в
лейбницевых алгорифмах дифференцирования, Маркс
был настолько заинтересован ими, что даже разъяснил
их (в применении к задаче о касательной к параболе)
в специальном приложении к одному из писем
Энгельсу х.
Но Маркс не ограничился изучением курса Сори.
Следующим курсом, к которому он обратился, был
английский -перевод (1827 г.) более нового, французского
же, учебника Бушарла «Элементы дифференциального
исчисления». Написанный в духе эклектического
соединения идей Даламбера и Лагранжа, этот выдержавший
в одной только Франции восемь изданий и переведенный
на другие языки (существует и русский перевод
учебника Бушарла) учебник не удовлетворил, однако, Маркса,
и он обратился к ряду других работ и курсов. Помимо
классических произведений Эйлера и Маклорена
(который популяризировал труды Ньютона), тут были
университетские учебники Лакруа, Хайнда, Холла, Хеммин-
га и др. Ко всем этим книгам и относятся выписки и
конспекты Маркса.
В них Маркса заинтересовала прежде всего точка
зрения Лагранжа, который пытался справиться с
характерными для дифференциального исчисления
трудностями путем обоснования этого исчисления на «алгебраиче-
1 См. К. Маркс. Математические рукописи, стр. 251—254.
17
ской» основе, т. е. без введения очень неясных, тогда
еще неуточненных понятий бесконечно малого и
предела. Детально ознакомившись с идеями Лагранжа, Маркс
вскоре выяснил, однако, что на этом пути решение
трудностей, связанных с символическим аппаратом
дифференциального исчисления, не достигается. И Маркс
начал разрабатывать собственный подход к выяснению
сущности этого исчисления.
Расположенное по возможности в хронологическом
порядке описание всех математических рукописей
Маркса во второй части настоящей книги позволяет выяснить
путь, которым при этом шел Маркс. Мы видим, как,
начав с попыток оправдать точку зрения Лагранжа, Маркс
опять обращается к алгебре с целью выяснить
алгебраические корни дифференциального исчисления.
Естественно, что здесь его прежде всего интересует теорема о
кратных корнях алгебраического уравнения, отыскание
которых по существу связано с последовательным
дифференцированием исходного уравнения. Этот вопрос
специально обсуждается Марксом в ряде рукописей,
прежде всего в рукописях 3932, 3933, фигурирующих под
названиями «Алгебра I» и «Алгебра II». Особое внимание
Маркса привлекают теоремы Тейлора и Маклорена,
которые Лагранж пытался доказать «чисто
алгебраически», т. е. без помощи дифференциального исчисления.
Маркс начал систематически подбирать в этой связи
материал из разных источников о биномиальной теореме
Ньютона и теоремах Тейлора и Маклорена. Так
возникли прежде всего его рукописи «Алгебра И», «Теоремы
Тейлора и Маклорена, первая систематизация
материала», «Теорема Тейлора, теорема Маклорена и лагранже-
ва теория производных функций», которые нельзя
считать уже просто конспектами и тексты которых
приводятся поэтому фактически полностью.
Вообще в конспектах Маркса начинают все чаще и
чаще появляться его собственные замечания. В их
числе нужно особо отметить замечания, относящиеся к по-
« О dy
нятию функции и к замене символа — символом—2—
О dx
Замечания встречаются и в ряде других рукописей, см.
особенно «Тетрадь с конспектами по математическому
анализу по книгам Сори, Ньютона, Бушарла и Хайнда»,
«Тетрадь с конспектами по дифференциальному исчисле-
18
нйю по книгам Лакруа, Бушарла, Хайнда и Холла»,
«Тетрадь «Алгебра I»», «Неоконченная рукопись
«Теорема Тейлора»».
Убедившись в том, что «чисто алгебраический»
метод Лагранжа не решает трудностей, связанных с
обоснованием дифференциального исчисления, и даже придя
уже к собственной точке зрения на сущность и методы
этого исчисления, Маркс начал все же с того, что стал
собирать из всех имевшихся в его распоряжении
источников материал о разных способах дифференцирования *
и только после этого перешел к изложению
предложенного им самим (для некоторого класса функций)
способа «алгебраического» дифференцирования и к
составлению набросков основных идей,, выражающих его
собственную точку зрения. Эти идеи нашли уже отражение в
работах и вариантах к ним, публикуемых в первой части
настоящего издания. К содержанию этих работ мы
теперь и перейдем.
В 70-х годах прошлого века, к которым относится
подавляющее большинство собственных математических
работ Маркса, на европейском континенте создавался
(прежде всего в трудах К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда,
Г. Кантора) современный классический анализ с
характерной для него теорией действительных чисел и
пределов.
В английских университетах того времени это
направление работ европейских математиков фактически
оставалось неизвестным. Недаром даже про свой «Курс
чистой математики», написанный значительно позднее
(в 1917 г.), известный английский математик Харди
писал: «Она [эта книга] была написана в то время, когда
в Кембридже пренебрегали математическим анализом, и
ее патетический стиль кажется теперь немного
смешным. Если бы я переписал ее теперь, то я бы уже не
писал (по выражению проф. Литтлвуда) как
«проповедник, разговаривающий с каннибалами»» (из
предисловия к изданию 1937 г.). А ниже Харди отмечал как
особое достижение то обстоятельство, что в руководствах
по анализу «теперь (т. е. в 1937 г. — Ред.) даже в
Англии нет недостатка...».
См. К. Маркс. Математические рукописи, стр. 461—466, 467.
19
Не удивительно поэтому, что в своих математических
рукописях Маркс не мог отреагировать -на ту — более
современную — проблематику в математическом
анализе, которая создавалась в это время на континенте. Тем
не менее его идеи, относящиеся к сущности
символического дифференциального исчисления, представляют
интерес и сейчас.
Для дифференциального исчисления характерны
специфические для него символика и терминология: такие
понятия, как «дифференциал» и «бесконечно малые»
разных порядков, такие символы, как cix, ciy, cl2y,
,о dy ..... d?y Фу.
а6у,...%——, —-Т-. -"-т-,... и другие, аналогичные.
dx dx2 dx3
Еще в середине прошлого века в той литературе,
которая имелась в распоряжении Маркса, с этими
понятиями и символами связывались обычно представления о
некоторых величинах особого рода, отличных от
обыкновенных математических чисел и функций. Именно с
этими особыми величинами и должен был оперировать
математический анализ. В настоящее время это не так:
никаких особых величин в анализе нет, но символика и
терминология сохранились, они оказались очень
удобными. Почему? Как это могло произойти, если
соответствующие понятия не имели смысла? Наилучший ответ
на этот вопрос и сейчас дают математические рукописи
Маркса. И притом такой ответ, который позволяет
выяснить сущность всякого символического исчисления,
общая теория которого только недавно стала
создаваться в современной математической логике.
Суть дела в оперативной роли символов исчисления.
Если один и тот же, например, вычислительный процесс
приходится применять многократно, при решении самых
разнообразных задач, то для всего этого процесса
целесообразно выбрать особый символ, обозначающий
кратко всю, как говорит Маркс, «стратагему действий», его
образующих. Первичным, исходным при этом является
именно сам этот процесс, который в противоположность
вводимому для него символическому обозначению Маркс
называет «реальным».
Почему, однако, так целесообразно вводить при этом
новый символ? Ответ Маркса состоит в том, что это дает
нам возможность не выполнять всякий раз заново весь
нужный процесс, а пользуясь тем, что мы уже умеем
20
выполнять его в некоторых случаях, сводить выполнение
его в более сложных случаях к выполнению в этих
простых. Для этого требуется только, изучив
закономерности рассматриваемых процессов, установить некоторые
общие правила оперирования с новыми символами,
позволяющие осуществлять такое сведение. Но в таком
случае мы и получаем исчисление, оперирующее уже с
новыми символами, вступаем, как говорит Маркс, на его
«собственную почву». И Маркс подробно выясняет
диалектику того «оборачивания метода», которое связано с
этим переходом к символическому исчислению, правила
которого позволяют нам, наоборот, не от «реального»
процесса переходить к символу, а для символа искать
соответствующий ему «реальный» процесс, делать
символ оперативным: предписывающим «стратагему
действий».
Все это Маркс делает в своих двух основных
работах, написанных им в 1881 г. и посланных Энгельсу:
«О понятии производной функции» и «О
дифференциале» К В первой работе Маркс рассматривает для
некоторого класса функций «реальный» процесс (алгорифм)
отыскания производных функций и дифференциалов и
вводит для такого процесса (он его называет
«алгебраическим» дифференцированием) соответствующую
символику. Во второй работе он осуществляет
«оборачивание метода» и переходит на «собственную почву»
дифференциального исчисления, используя для этой цели
прежде всего теорему о производной произведения,
позволяющую сводить отыскание производной
произведения к отысканию производных от сомножителей. Говоря
его собственными словами, «символический
дифференциальный коэффициент становится, таким образом,
самостоятельным исходным пунктом, реальный эквивалент
которого лишь должен быть найден... Но тем самым и
дифференциальное исчисление выступает как некое
специфическое исчисление, которое оперирует уже
самостоятельно, на собственной почве, ибо исходные пункты его
du dz
—-—, суть лишь ему принадлежащие и его
характеризующие математические величины»2. Они при
1 См. /С. Маркс. Математические рукописи, стр. 29, 47.
2 Там же, стр. 55, 57.
21
этом «тотчас же превращаются в оперативные символы,
в символы процессов, которые должны быть
выполнены... для отыскания... «производных». Первоначально
возникший как символическое выражение
«производной», т. е. уже выполненных операций
дифференцирования, символический дифференциальный коэффициент
теперь играет роль символа тех операций
дифференцирования, которые только предстоит еще произвести» 1.
В распоряжении Маркса не было еще тех строгих
определений основных понятий математического анализа,
которые характерны для современного анализа. На
первый взгляд, содержание его' рукописей представляется
поэтому устаревшим, не выходящим за рамки того, что
было известно уже Лагранжу, т. е. в конце XVIII века.
В действительности, основная тенденция, характерная
для рукописей Маркса, имеет существенное значение и
в настоящее время. Маркс не был знаком с
современным строгим определением понятий действительного
числа, предела и непрерывности. Но, по-видимому, он
не был бы удовлетворен этими определениями, если бы
и был знаком с ними. Дело в том, что Маркс ищет
«реальный» процесс отыскания производной функции, т. е.
алгорифм, позволяющий, во-первых, ответить на вопрос
о том, существует ли у данной функции производная, и,
во-вторых, эффективно найти ее, если она существует.
Как известно, понятие предела не алгорифмическое
понятие, и такие задачи разрешимы поэтому только для
некоторых классов функций. Один из таких классов —
класс аналитических функций, т. е. функций,
разложимых в степенные ряды, и представляет собой объект
«алгебраического» дифференцирования, по Марксу.
Только такими функциями в сущности и занимается
Маркс. В настоящее время класс таких функций, для
которых возможны ответы на оба поставленных выше
вопроса, может быть значительно расширен и
оперирование с ними может быть построено так, чтобы были
удовлетворены все современные требования строгости и
точности. С точки зрения Маркса, существенно, однако,
чтобы все предельные переходы рассматривались в
свете их эффективной выполнимости, иначе говоря, чтобы
1 К. Маркс. Математические рукописи, стр. 57.
22
математический анализ строился на основе теории
алгорифмов, как мы сказали бы теперь.
У нас хорошо известны высказывания Энгельса з
«Диалектике природы» о том, что «поворотным пунктом
в математике была Декартова переменная величина.
Благодаря этому в математику вошли движение и тем
самым диалектика и благодаря этому же стало
немедленно необходимым дифференциальное и интегральное
исчисление, которое тотчас и возникает и которое было
в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном
и Лейбницем» К
Но что такое «переменная величина»? Что такое
«переменная» в математике вообще? Известный английский
философ Бертран Рассел говорит по этому поводу, что.
«это, конечно, одно из самых трудных для понимания
понятий», а математик Карл Менгер насчитывает по
меньшей мере шесть совершенно разных смыслов этого
понятия. Для выяснения понятий переменной величины,
иначе говоря, функции и вообще переменной в
математике рукописи Маркса и сейчас представляют
существенный интерес. Маркс прямо ставит в них вопрос о разном
смысле понятия функции: функции «от х» и функции
«в х» — и специально останавливается на том, как
следует отображать в математике изменение переменных,
в чем состоит диалектика этого изменения. Этому
вопросу о способах отображения изменения переменных Маркс
придает особое значение, так как речь идет о
характеристике именно того метода «алгебраического»
дифференцирования, который предложен им.
Дело в том, что Маркс решительно возражает
против представления всякого изменения значения
переменной в виде прибавления (или вычитания) некоторого
заранее заготовленного значения приращения (его
абсолютной величины). Достаточной идеализацией реального
изменения значений какой-либо величины является уже
предположение о том, что мы можем точно фиксировать
все значения, которые эта величина получает при
изменении. Так как в действительности всякое такое
значение можно фиксировать лишь приближенно, то
предположения, на которых строится дифференциальное
исчисление, должны быть такими, чтобы для получения выра-
1 Д Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 20, стр. 573..
23
жения производной функции f'(x) от данной функции
f(x) не требовалось информации о точном значении
каких-либо переменных, но достаточно было иметь
выражение функции f(x). При этом требуется только знать,
что значения переменной х действительно изменяются
так, что в любой (сколь угодно малой) окрестности
каждого значения переменной х (из рассматриваемой
области ее значений) имеется значение х\, отличное от х,
но не более того: «jci остается на самом деле столь же
неопределенной, как я» К
Само собой разумеется при этом, что когда х
изменяется в xh то образуется разность х\ — х< которая и
обозначается через Дл:, так что в результате х\
оказывается равным х + Дл:. Маркс подчеркивает, однако, что
это происходит лишь в результате изменения значения х
в значение хи а не предшествует этому изменению и что
представлять себе х\ как определяемую выражением
х + Дл: значило бы вносить тем самым искажающие
допущения в отображение движения (и всякого изменения
вообще). Искажающие потому, что в таком случае,
«хотя в х + Дл: Дл: по величине является столь же
неопределенной, как и сама неопределенная переменная ху тем
не менее Дл: определена как отличная от х особая
величина, как плод рядом со своей матерью до того, как та
забеременела»2.
В соответствии с этим Маркс и начинает свое
определение производной функции f'(x) от функции f(x) с
того, что изменяет х в х\. В результате этого f (x)
изменяется в f(x\) и образуются обе разности: х\ — х и
f(x\) —f(x), первая из которых заведомо отлична от
нуля, так как х\ф х.
«Здесь возросшая х, т. е. х\> отличается от самой
себя, какой она была до возрастания, т. е. от х, но х\ не
выступает как х, возросшая на Дл:; поэтому х\ остается
на самом деле столь же неопределенной, как л:»3.
Подлинная тайна дифференциального исчисления
состоит, по Марксу, в том, что для определения значения
производной функции в точке х (в которой производная
существует) нужно не только выйти в окрестность этой
1 /С. Маркс. Математические рукописи, стр. 159.
2 Там же.
8 Там же,
24
точки, в отличную от л: точку х\, и образовать
отношение разностей
f(xx)—f(x) А
т. е. выражение х г у ', но и вернуться затем об-
Х-±—X
ратно в ту же точку х\ однако вернуться не
непосредственно, а некоторым особым образом, связанным с
конкретным определением функции f(x), поскольку простое
полагание х\ = х в выражении '-ь-х—^-*- обращает его
f(x)—f(x) О Х л
в ll_£—i±-l> т е в ^ иначе говоря, в бессмыслицу.
Этот характер определения производной, состоящий
в образовании отличной от нуля разности Х\—х и по-
следующем — после составления отношения -*-^—— —
х±— х
диалектическом «снятии» этой разности, сохраняется и
в современном определении производной, где снятие
разности х\ — х осуществляется с помощью предельного
перехода от х\ к х.
В своей работе «Приложение к рукописи «Об
истории дифференциального исчисления». Анализ метода
Даламбера» Маркс тоже говорит о «производной» по
существу как о предельном значении - отношения
fM-Ax) *
— , хотя и употребляет при этом другой термин.
Хх—X
Дело в том, что путаница, связанная с терминами
«предел» и «предельное значение», по поводу которой Маркс
замечает, что «понятие предельного значения может
быть неправильно истолковано и постоянно толкуется
неправильно» *, побудила его заменить термин «предел»
в определении производной термином «абсолютно
минимальное выражение». На этой замене он, впрочем, не
настаивал, предвидя, что уточнение понятия предела, с
которым он познакомился по большому «Трактату о
дифференциальном и интегральном исчислении» Лакруа —
источнику, который значительно более других
удовлетворял Маркса, может сделать в дальнейшем ненужным
введение нового термина. Действительно, Маркс писал о
понятии предела, что «эта категория, которую ввел в ши-
1 К. Маркс. Математические рукописи, стр. 217.
25
рокий обиход в [математическом] анализе главным
образом Лакруа, приобретает важное значение как замена
для категории «минимального выражения»» К
Таким образом, диалектика, связанная с
определением производной и в современном математическом
анализе, по существу также выясняется Марксом. Именно
диалектика, а не формальные противоречия, наличие
которых делает, как будет показано ниже,
дифференциальное исчисление Ньютона и Лейбница «мистическим».
При этом нужно только иметь в-виду, что Маркс отнюдь
не запрещает представлять себе всякое изменение
значения переменной в виде добавления некоторого
«приращения» к уже имеющемуся значению. Наоборот, когда
речь идет об оценке результата уже происшедшего
изменения, приходится говорить именно о приращении
значений переменных (например, о зависимости
приращения функции от приращения независимой
переменной) и «точка зрения суммы» (х\ = х + Да: или Х\ =
= х + /i), как ее называет Маркс, становится вполне
оправданной. На этом переходе «алгебраического»
метода к «дифференциальному» Маркс специально
останавливается в своей последней работе «Теорема Тейлора»,
которая, к сожалению, осталась незаконченной и только
частично помещена поэтому в первой части настоящей
книги. (Очень подробное описание этой рукописи
Маркса, почти с полным ее текстом, помещено во второй
части книги). Здесь Маркс подчеркивает, что, в то время
как в «алгебраическом» методе х\ —х существует для
нас только в этой форме разности, а не как некоторая
Х\ — х = h и поэтому не как сумма х\ = х + h, при
переходе к «дифференциальному» методу мы можем
рассматривать h «как приращение (положительное или
отрицательное) от х. Это мы тоже вправе сделать, так как
Х\ — х = Да: и само это Ал:, вместо того чтобы служить,
как в нашем способе, простым символом или простым
знаком для разности л>ов, т. е. для х\ — х, может
трактоваться так же, как величина разности х\ — х, столь
же неопределенная, как х\—ху и изменяющаяся при ее
изменении.
Итак, х1-^х=Ах
К. Маркс. Математические рукописи, стр. 129.
26
или = неопределенной величине h. Отсюда следует, что
и f (х\) или у{ превращается в f (х + К)» х.
Таким образом, было бы крайне несправедливо
представлять себе точку зрения Маркса как состоящую в
отвержении всех других методов, применяемых в
дифференциальном исчислении. Если эти методы оказываются
успешными, Маркс ставит перед собой задачу объяснить
секрет их успеха. И после того как это удается ему, т. е.
после того как рассматриваемый метод оказывается
обоснованным и условия его применимости выполняются,
Маркс считает переход к этому методу не только
вполне оправданным, но и целесообразным.
Вслед за своими рукописями 1881 г., содержащими
основные результаты его размышлений о сущности
дифференциального исчисления, Маркс собирался послать
Энгельсу третью работу, относящуюся к истории
методов дифференциального исчисления. Эту историю он
хотел обрисовать сначала на конкретных примерах
различных методов доказательства теоремы о производной
произведения, но потом отказался от этого намерения и
перешел к общей характеристике основных периодов в
истории методов дифференциального «счисления.
Третья работа не была оформлена Марксом.
Сохранились только указания на то, что он собирался
написать ее, и черновик рукописи, из которого мы узнаем, как
составлялся и менялся у Маркса план его исторического
очерка на эту тему. Этот чеоновик полностью
опубликован в первой части книги2. Все указания Маркса о том,
что в текст нужно внести те или иные страницы из
других рукописей, при этом учтены полностью. Рукопись
дает нам возможность выяснить точку зрения Маркса на
историю основных методов дифференциального
исчисления:
1) «мистического дифференциального исчисления»
Ньютона и Лейбница,
2) «рационального дифференциального исчисления»
Эйлера и Даламбера,
3) «чисто алгебраического исчисления» Лагранжа.
1 С\\ К. Маркс Млтомлтичсские рукописи, стр. 522,
2 См. там же, стр. 137—189.
27
Характерной чертой методов Ньютона и Лейбница
является, но Марксу, то обстоятельство, что их творцы
не видели «алгебраических» корней дифференциального
исчисления: они начинали непосредственно с его
оперативных формул, происхождение и смысл которых
оставались поэтому непонятными и даже таинственными, а
само исчисление выступало «как самостоятельный,
отличный от обыкновенной алгебры способ вычисления»!, как
только что открытая, совершенно особая математическая
дисциплина, «до которой обычной алгебре, как до
звезды небесной, далеко»2.
На вопрос о том, «каким же образом... был получен
исходный пункт для дифференциальных символов как
оперативных формул», Маркс отвечает, что это делалось
«при помощи либо скрытых, либо явных метафизических
допущений, которые в свою очередь ведут к
метафизическим, нематематическим следствиям: происходит
насильственное уничтожение неких величин,
преграждающих путь выводу и, однако, им самим порожденных»3.
В другом месте об этих же методах Ньютона и
Лейбница Маркс пишет: «х\ = х+&х сразу превращается в
X\=x+dx..., где dx предпосылается с помощью
метафизического разъяснения. Сперва существует, а затем
разъясняется». «Из этой произвольной предпосылки
вытекает следствие, что... члены... должны быть
фокуснически удалены, чтобы получить правильный результат...»4
Иными словами, поскольку способы введения в
математику дифференциальных символов остаются
невыясненными, более того, вообще неверными, так как
дифференциалы dx, dy отождествляются попросту с
приращениями Дя, Д#, то оказываются необоснованными,
представляющимися как «насильственное», «фокусническое»
уничтожение и способы их удаления. Приходится
придумывать метафизически некие актуально бесконечно
малые величины, которые трактуются одновременно и как
обычные отличные от нуля (как теперь говорят,
«Архимедовы») величины, и как величины «исчезающие»
(обращающиеся в нули) по сравнению с конечными или
бесконечно малыми величинами более низких порядков
1 К. Маркс. Математические рукописи, стр. 153.
2 Там же, стр. 199.
3 Там же, стр. 123.
4 Там же, стр. 165.
28
(т. е. как «неархимедовы» величины), проще говоря, как
и нули, и не нули одновременно. «...Не остается ничего
другого, — говорит в этой связи Маркс. — как
представлять себе приращения переменной h бесконечно
малыми и приписать им, как таковым, самостоятельное
существование, например, в символах ... dx, dy... Но
бесконечно малые величины также величины, как и
бесконечно большие (слово бесконечно [малое] на самом деле
означает только неопределенно малое); эти dy. dx.,.
тоже фигурируют поэтому в вычислении как
обыкновенные алгебраические величины, и в ... уравнении...
k=^2xdx + dxdx
член dxdx имеет такое же право на существование, как
и 2xdx». Поэтому «самым удивительным является
рассуждение, посредством которого этот член
насильственно отбрасывается...»г.
Наличие таких актуально бесконечно малых, т. е.
формально противоречивых, объектов, которые не
вводятся с помощью математически обоснованных
последовательностей операций, а предпосылаются на основе
метафизических «разъяснений» и удаляются затем
посредством «трюка», и делает, по Марксу, исчисление Ньютона
и Лейбница мистическим, несмотря на ряд доставляемых
им 'преимуществ, благодаря тому что оно начинается
сразу же с оперативных формул.
В то же время Маркс высоко оценивает, конечно,
историческое значение методов Ньютона и Лейбница.
«Итак, — пишет он, — сами верили в таинственный
характер новооткрытого исчисления, которое давало поа-
вильиые (и притом в геометрическом применении прямо
поразительные) результаты математически
положительно неправильным путем. Таким образом, сами себя
мистифицировали и тем более ценили новое открытие, тем
более бесили толпу старых ортодоксальных математиков
и вызывали с их стороны враждебные вопли, будившие
отклик даже в мире неспециалистов и необходимые пля
прокладывания пути новому»2.
Следующим этапом развития методов
дифференциального исчисления является, по Марксу, «рациональное
1 К. Маркс Математические рукописи, стр 151, 153.
2 Там же, стр. 169.
29
дифференциальное исчисление» Даламбера и Эйлера.
Математически неправильные методы Ньютона и
Лейбница здесь уже исправляются, но исходный пункт
остается тот же. «Даламбер начинает прямо с отправного
пункта Ньютона и Лейбница:
xx^=x + dx.
Но он вносит сразу фундаментальную поправку:
т. е. х + неопределенное, но прежде всего конечное при-
ращение 1, которое он называет h. Превращение этого h
или Ajc в dx... у него лишь конечный результат развития
или по крайней мере его заключительная стадия, тогда
как у мистиков и инициаторов исчисления оно является
исходным пунктом...»2. И Маркс подчеркивает, что при
этом удаление дифференциальных символов из
окончательного результата происходит также «посредством
правильной математической операции. Они, следовательно,
удалены теперь без трюка»3.
Маркс высоко оценивает поэтому историческое
значение методов Даламбера. «Даламбер сорвал с
дифференциального исчисления покров тайны и тем самым сделал
огромный шаг вперед», — пишет он4.
Поскольку, однако, исходным пунктом у Даламбера
остается то же представление изменения х как суммы
х + существующее заранее, независимо от изменения х,
приращение Ах, подлинная диалектика процесса
дифференцирования не вскрывается еще Даламбером. И Маркс
делает в адрес Даламбера критическое замечание:
«Даламбер исходит из (x+dx), но исправляет эти
выражения, заменяя их на (х + Ах), соответственно на (x+-h)\
теперь становится необходимым некоторое развитие, с
помощью которого Ал: или h превращается в dx, но к
этому и сводится все развитие, которое действительно
происходит» 5.
1 Под «конечным приращением» в литературе, которой
пользовался Маркс, понималось отличное от нуля конечное приращение. —
Ред.
2 К. Маркс. Математические рукописи, стр. 169—171.
3 Там же, стр. 173.
4 Там же, стр. 175.
5 Там же, стр. 221.
30
Как известно, для получения производной -j- из
отношения конечных разностей —^ Даламбер прибегал к
«предельному переходу». В руководствах, которыми
пользовался Маркс, этому переходу к пределу
предшествовало разложение выражения f (x+h) в ряд по целым
возрастающим степеням /г, в котором коэффициентом
при h в первой степени была «уже готовая» производная
¥(х). Задача сводилась поэтому к тому, чтобы
«освободить» ее от множителя А и от других членов ряда. Это
было бы естественнее сделать, однако, определив
попросту производную как коэффициент при h в первой
степени в разложении f(x+h) в ряд по степеням h.
Действительно, «в 'первом методе 1) [Ньютона и
Лейбница], как и в рациональном 2) искомый реальный
коэффициент фабрикуется в готовом виде теоремой о
биноме и встречается уже как второй член развернутого
ряда, стало быть, в члене, необходимо содержащем Л1.
Весь дальнейший ход дифференцирования как в 1), так
и в 2) есть, следовательно, роскошь. Отбросим поэтому в
сторону этот бесполезный балласт» 1.
Именно это и было сделано Лагранжем —
основателем следующего этапа в развитии методов
дифференциального исчисления: «чисто алгебраического»
исчисления в периодизации Маркса.
Марксу сначала метод Лагранжа, «чья теория
производных функций подвела новую базу под
дифференциальное исчисление»2, очень понравился. Теорема
Тейлора, с помощью которой обычно осуществляется
разложение f(x+h) в. ряд по степеням h, исторически
выступавшая как завершающая построение всего
дифференциального исчисления, при этом обращалась в его
исходный пункт, связывающий его непосредственно с
математикой, предшествующей этому исчислению (не
пользующейся еще его специфической символикой).
И Маркс замечал по этому поводу: «Подлинные и в
силу этого простейшие взаимосвязи нового со старым
открываются всегда лишь после того, как это новое само
приобретет уже завершенную форму, и можно сказать,
1 /С. Маркс. Математические рукописи, стр. 177.
2 Там же, стр. 193.
31
что в дифференциальном исчислении это возвращение
(отнесение) назад было осуществлено теоремами
Тейлора и Маклорена 1. Поэтому только Лагранжу пришла
в голову мысль свести дифференциальное исчисление к
строго алгебраической основе»2.
Вскоре Маркс обнаружил, однако, что это сведение
не удалось Лагранжу. Как известно, Лагранж пытался
доказать, что, «вообще говоря», т. е. за исключением
«некоторых частных случаев», в которых
дифференциальное исчисление «неприменимо», выражение f(x+h)
разложимо в ряд
f(x)+ph + qh* + rlfi + ...t
где ру qy г, ... — коэффициенты при степенях h — суть
новые функции от ху независимые от h и
«произведенные» из / (я).
Но доказательство этого, по существу не имеющего
достаточно точного математического смысла,
предложения у Лагранжа, естественно,, не получилось. «Этот
скачок из обыкновенной алгебры, и притом с помощью
обыкновенной алгебры, в алгебру переменных [т. е. общую
теорию функций, отображающих движение и изменение
вообще. — Ред.] принимается за совершившийся факт,
он не доказывается и, первым делом, противоречит всем
законам обыкновенной алгебры»3, — пишет об этом
доказательстве Лагранжа Маркс.
И Маркс заключает в отношении «исходного
уравнения» Лагранжа, что оно не только не доказано, но что
самое «выведение этого уравнения из алгебры
представляется... покоящимся на обмане»4.
В заключительной части рукописей метод Лагранжа
выступает как завершение исправленного Даламбером
метода Ньютона и Лейбница, как «алгебраизация»
полученной Тейлором с помощью этого метода формулы.
«Таким же образом Фихте примыкал к Канту, Шеллинг—
к Фихте, Гегель — к Шеллингу, причем ни Фихте, ни
Шеллинг, ни Гегель не исследовали общей основы Канта,
1 Теорему Маклорена можно рассматривать — так это делает и
Маркс (см. К Маркс. Математические рукописи, стр. 195, 197) —
как частный случай теоремы Тейлора. — Ред.
2 Там же, стр. 199.
3 Там же, стр. 207.
4 Там же.
32
идеализма вообще: иначе они не смогли бы развивать
ее дальше» К
Мы видиу, что в историческом очерке Маркс дает
нам наглядный пример того, в чем должно состоять, с
его точки зрения, применение методов
материалистической диалектики и к такой науке, как история
математики.
1 К. Маркс. Математические рукописи, стр. 209.
2 С Л. Яновская
О ТАК НАЗЫВАЕМЫХ
«ОПРЕДЕЛЕНИЯХ ЧЕРЕЗ. АБСТРАКЦИЮ»»
Еще некоторое время тому назад среди математиков,
особенно тех из них, которые были склонны к махизму,
большой популярностью пользовалось крылатое
изречение Рассела, что «математика — это наука, не знающая,
ни о чем она говорит, ни верно ли то, что она говорит».
Но в результате новых исследований по основаниям
математики стало ясно, что современная «беспредметная»
аксиоматическая математика, которую имел в виду
Рассел, невозможна — не только исторически, но и
логически — без предшествующей ей «предметной»
генетической математики, т. е. математики, которая знает, о чем
она говорит, и знает, верно ли то, что она говорит.
Оказалось, что в основе современной математики должна
лежать арифметика натурального числа, которая знает,
что такое число, что значит сложить, умножить и т. д.
Оказалось, что по существу «геометрия есть не что иное,
как та часть всего здания понятий физики, которая
отображает возможные соотношения взаимного
расположения твердых тел в мире действительных вещей»
(Гильберт).
Здесь под основными понятиями нельзя больше
понимать «все, что угодно», но нужно уметь отвечать на
вопрос: «Что это такое?» — и нельзя уклониться от ответа
на этот вопрос.
Что понятия математики носят отвлеченный,
абстрактный характер, что в природе нет непосредственно
геометрических точек без измерений, чисел, как таковых,
* и т. д., — это люди знали еще с глубокой древности.
И с глубокой же древности существовали две, в корне
различные точки зрения на характер абстракции в
математике: материалистическая и идеалистическая. Вопрос
о характере математической абстракции, о способах
образования понятий в математике не сходил с тех пор с
арены философских споров и борьбы партий в филосо-
1 Статья опубликована в книге «Сборник статей по философии
математики». М., 1936.
34
фии. Особенную остроту он приобрел снова в последнее
время, когда и для математиков стало выясняться, что
нельзя оставаться на позициях «нейтральности» в споре
между материализмом и идеализмом; что нельзя, в
частности, обосновать анализ, не ответив на вопрос, что
такое натуральное число; что и в математике нельзя,
иными словами, ограничиться одними только аксиомами и
правилами вывода, но, хотя бы для доказательства
непротиворечивости, приходится ставить и вопрос о
происхождении и определении основных математических
понятий.
Для материалиста научные понятия суть копии,
слепки, снимки с материальной действительности.
Математические понятия, поскольку они действительно научны,
должны удовлетворять тому же требованию, и мы
вправе ожидать поэтому, что в основном характер
математической абстракции ничем не отличается от характера
абстракции, с помощью которой образуются понятия в
других науках, как естественных, так и общественных.
Наоборот,' идеализм заинтересован в подчеркивании
«особого» характера математической абстракции.
Недаром и Платон, и Кант стремились представить
математику наукой, обладающей особым априорным, т. е.
независимым от опыта, источником познания; недаром
современный идеализм видит в понятиях математики
«свободные творения чистого разума», или «фантазии
рассудка». Это дает ему возможность использовать
математику в борьбе против материализма для
«доказательства» превосходства духа над материей, духа, способно-
го-де из собственных недр произвести законы, которым
подчиняется реальный внешний мир, природа.
Стоит, однако, обратиться к действительной
математике (и ее истории) и попытаться на основе фактического
материала выяснить характер того процесса абстракции,
с помощью которого образуются в ней основные
понятия, чтобы убедиться во вздорности идеалистической
басни «об особом» характере математического познания,
чтобы обнаружить и в математических понятиях такие
же копии, слепки, снимки с материальной
действительности, с какими мы имеем дело во всех других науках
о природе и обществе.
В настоящей статье мы делаем именно такую попытку
сличить процесс образования понятий в математике с
2* 35
процессом образования их в других науках. Чтобы яснее
выявить диалектико-материалистический по существу
характер этого процесса, мы взяли за образец «Капитал»
Маркса, именно первые его главы, содержащие
определение понятий стоимости и денег. Выяснению вопроса в
его наиболее общей постановке мы предпошлем разбор
понятия о целом (положительном) числе, собственно,
даже не о числе вообще, а о первых простейших
количественных числах, логическое (и историческое)
возникновение которых сличим с возникновением денег по
«Капиталу».
§ 1. ЧИСЛО КАК СВОЙСТВО МНОЖЕСТВ ВЕЩЕЙ
1. Определение равночисленности
Чтобы выяснить, что отображает в действительности,
например, число 5, обратим внимание на те вещи и
отношения, для которых это число характерно. Вероятно, в
первую очередь нам придет в голову, что «5»'— это число
пальцев человеческой руки, число частей света на
Земле. Но 5 есть и число букв в слове «число», или в слове
«буква», или в слове «слово»; 5 есть число различных
правильных многогранников, число лепестков в цветке
герани или лютика. При этом свойство быть в числе 5,
характерное, например, для лепестков всякого цветка из
семейства бобовых, есть не нечто случайное, а одна из
присущих именно этому семейству особенностей,
существующая независимо от того, считаем ли мы эти лепестки
или нет. Таким образом, уже из этих примеров ясно, что
число 5 отражает какие-то реальные свойства вещей
действительного, материального, т. е. независимо от
нашего мышления существующего, мира. Но, узнав только
то, что некоторое собрание вещей характеризуется
числом 5, мы еще решительно ничего не сумеем сказать о
природе вещей этого собрания, о том, что это за вещи.
Число, таким образом, оказывается «чистейшим
количественным определением» (Энгельс) и в смысле полного
безразличия к природе тех предметов, для которых оно
характерно. Точнее говоря, некоторому собранию вещей
может отвечать какое-нибудь определенное число, но
одному и тому же числу соответствуют самые
разнообразные собрания вещей.
36
Все это, однако, еще не дает нам возможности точно
определить хотя бы число 5. Чтобы подойти к этому
определению, попробуем выяснить, что общего есть между
собранием букв в слове «буква» и собранием их в слове
«число». Нетрудно увидеть, подписав эти слова друг под
другом
буква
ttttt
illii
число,
что каждой букве верхнего собрания можно поставить
в соответствие букву нижнего, и наоборот, и притом так,
что различным 1 буквам верхнего собрания будут
отвечать различные буквы нижнего, а различным буквам
нижнего — различные буквы верхнего. Такое
соответствие называется в математике взаимно-однозначным. Для
его установления не требуется знать число вещей
каждого собрания, а нужно только уметь приводить их в
соответствие друг с другом. Однако установление такого
соответствия дает нам возможность утверждать равно-
численность двух множеств. Так, если мы знаем, что в
театре спектакль шел с аншлагом, но людей без места
не было, то, хотя бы мы и не знали числа мест этого
театра и числа проданных билетов, мы можем утверждать,
что число зрителей в этот день было равно числу мест в
театре. Равенство чисел, таким образом, можно
установить, не зная самих этих чисел: в самом деле, мы имеем
уже возможность определить понятие равночисленности
двух множеств, хотя не умеем еще определить
характерное для них число. Именно, мы будем говорить, что два
множества равночисленны — иногда говорят равномощ-
ны, — если их можно привести во взаимно-однозначное
соответствие друг с другом.
Но теперь мы имеем возможность определить и наше
число 5. В самом деле, что общего имеют все равномощ-
1 Различными считаются при этом все элементы каждого
собрания. Так, например, в слове «слово» нужно отличать одно «о» от
другого (иначе в этом слове различаемых нами букв будет не пять,
а только четыре). Это можно сделать хотя бы так: первое «о»
назвать «средним», второе — «крайним» (чтобы не пользоваться еще
на этой ступени именами числительными). Можно было бы
воспользоваться также их различием в произношении. Вообще умение
различать и отождествлять вещи должно предшествовать
определению их числа.
37
ные множества? Всякий умеющий уже считать и
пользующийся счетом человек, конечно, скажет, что все равно-
мощные друг другу множества характеризуются однихМ
и тем же числом и что, наоборот, всякие два
характеризующиеся одним и тем же числом множества равномощ-
ны. Но в таком случае число можно определить как
общее свойство всех равномощных друг другу множеств.
В применении к числу 5 ясно, что достаточно выбрать,
например, множество пальцев человеческой руки, чтобы
определить число 5 как общую характеристику всех
множеств, равномощных этому. Итак, «5» — это общее
свойство всех множеств, равномощных множеству пальцев
человеческой руки. Точно так же «4» можно определить
как общее свойство всех множеств, равномощных,
например, множеству углов квадрата, или число «2» как
общее свойство всех множеств, равномощных множеству
ног у человека, и т. д., и т. п.
2. Транзитивность и симметричность
Ясно, однако, что с таким определением могут быть
связаны трудности. В самом деле, ведь я могу определить
число 5 и как общее свойство всех множеств,
равномощных множеству пальцев человеческой руки, и как общее
свойство множеств, равномощных совокупности
(основных) частей света, и еще многими другими способами,
выбирая за представителя всего класса равномощных
друг другу множеств одно из них. Где у нас гарантия,
что все эти «определения» определяют действительно
один и тот же класс, одну и ту же совокупность
эквивалентных друг другу множеств вещей? Ведь если бы,
например, мы захотели определить класс множеств,
больших данного, то не смогли бы сделать это заданием
произвольного элемента этого класса, ибо, зная лишь, что
к классу множеств, «больших» данного, принадлежит
множество из пятнадцати элементов, мы не можем
решить, не принадлежит ли к этому классу и некоторое
множество из четырнадцати элементов.
Вообще ясно, что класс вещей 6, находящихся в
данном отношении R к вещи а, определяется выбором этой
последней. Так, например, класс целых чисел, делящихся
на я, определяется выбором числа а. Выбрав за а двойку,
мы получим при этом класс всех четных чисел, выбрав
38
тройку — класс всех кратных трем и т. д.; однако,
наоборот, указание любого элемента Ь каждого такого
класса, вообще говоря, еще не определяет этот класс.
Так, например, зная лишь, что к некоторому из наших
классов принадлежит число 6, мы еще не будем знать,
идет ли речь о классе четных чисел или о классе кратных
трем или шести. Для отношения равномощности этой
опасности, однако, нет. Здесь каждое множество может
принадлежать только одному классу равномощных друг
другу множеств вещей, и поэтому достаточно указать
любой элемент некоторого класса равномощных друг
другу множеств, чтобы этим был определен весь
класс.
Это связано с особыми свойствами равномощности,
именно с тем, что если, например, множество пальцев
человеческой руки равномощно множеству частей света,
то и, наоборот, множество частей света равномощно
множеству пальцев человеческой руки, и, кроме того,
всякое множество, равномощное одному из них, равно-
мощно и другому. Отношение равномощности, как
говорят, в математике симметрично и транзитивно. (Если из
того, что вещь а находится в отношении R к вещи b : aRb,
следует, что и вещь b находится в отношении R к вещи
а: bRa, то отношение R называется симметричным.
Отнюдь не всякое отношение симметрично. Так, отношение
подобия, конечно, симметрично, но отношение «сын»,
например, не обладает этим свойством. Ибо из того, что
«а — сын 6», никак не следует, что «й — сын а».
Транзитивным называется такое отношение R, для которого
.из aRb и bRc следует aRc. Так, если «а подобно 6», а
<<Ь подобно с», то и «а подобно с». Но если «а есть сын
b»t «Ь — сын с», то а — отнюдь не «сын с».) Именно эти
особенности отношения равномощности и позволяют нам
выбрать любое из равномощных друг другу множеств
в качестве представителя всего их класса. При этом
совершенно безразлично, какое из всех равномощных
множеств выбрать за представителя всего класса, но какое-
нибудь выбрать необходимо.
3. Логическое и историческое
в определении числа
Приведенное здесь нами определение числа (пока
только отдельных, индивидуальных чисел, а ие числа вообще
39
и тем более не всего их ряда) принадлежит Кантору и
Фреге. Мы видим, что оно предполагает существование
.вещей и совокупностей вещей (множеств), что число 5
нельзя определить, не указав хотя бы одного собрания
вещей, имеющего ровно 5 предметов, и что для
определения числа необходимо не только понимать, но и
действовать: нужно уметь приводить вещи в соответствие
друг с другом, а для этого нужно уметь их различать и
отождествлять. Что все это далеко не простая задача,
об этом свидетельствуют как -история счисления, так и
способы счета людей первобытной культуры.
«Заблуждением было бы думать, — пишет Леви-Брюль, — что
«ум человеческий» сконструировал себе числа для счета:
меж тем на самом деле люди производили счет путем
трудных и сложных приемов, прежде чем выработать
понятие о числе как таковом» К Чтобы продемонстрировать,
насколько сложна эта операция при отсутствии
соответствующей практики и насколько необходимым моментом
ее является умение приводить вещи в соответствие друг
с другом (оричем на первых ступенях 'именно вещи с
вещами, а не вещи с числами), приведу пример из Леви-
Брюля, заимствованный явно из колонизаторской
«практики» белых «цивилизаторов».
Леви-Брюль пишет: «Вот пример, взятый у дайяков
с острова Борнео. Дело шло о том, чтобы известить
определенное число восставших, но затем покорившихся
селений относительно суммы штрафа, который они
должны были уплатить. Как должен был поступить в данном
случае туземный посланец? Он принес несколько сухих
листьев и разделил их на кусочки. Однако я заменил ему
эти кусочки листьев клочками бумаги, более удобными.
Он разложил эти клочки один за другим на столе,
пользуясь одновременно пальцами для счета до 10. Затем он
положил на стол ногу, считая на ней каждый палец,
указывая одновременно на клочок бумаги, который
должен был соответствовать названию селения с именем
его вождя, с числом его воинов и суммой штрафа. Когда
он (перебрал все пальцы ног, он снова вернулся к
пальцам рук. К концу всего списка перед ним было 45
кусков бумаги, разложенных на столе. Тогда он попросил
меня снова повторить мое поручение, что я и сделал, в
1 Л. Леви-Брюль. Первобытное мышление. М., 1930, стр. 135.
43
то время как он в прежнем порядке, подсчитывая пальцы
рук и ног, перебирал свои клочки бумаги. «Вот, —
сказал он, — какие наши буквы: вы, белые, вы не считаете
так, как мы». Поздно вечером он в точности повторил
все, кладя по очереди палец на каждый клочок бумаги» 1.
Если в настоящее время мы отнюдь не всегда отдаем
себе отчет в том, что определение (количественного)
числа предполагает действительное наличие некоторого
множества вещей, для которого это число характерно и
которое служит, так сказать, общим эквивалентом для
всех равномощных ему множеств, то происходит это
потому, что для нас в роли «вещей», совокупности которых
образуют такие эквивалентные множества, выступают
сами знаки чисел: 1, 2, 3, 4, 5.., к которым мы и относим
в процессе счета сосчитываемые предметы. Ряд чисел,
освобожденных от своего* первоначального предметного
значения, свидетельствовавшего о связи их с какими-
нибудь определенными множествами вещей, игравшими
роль стандартных, например с пальцами рук 'и ног,
костяшками «счетов» и т. п., выступает при этом в роли
стандартного множества вещей, играющего роль
всеобщего эквивалента. Число, являющееся производным
понятием по отношению к множеству вещей, выступает
при этом как предшествующее вещам, заранее
существующее до всякого счета и необходимое даже в качестве
промежуточной ступени для установления соответствия
между множествами вещей. Так, при посадке деревьев
в ямы фактически осуществляется взаимно-однозначное
соответствие между множеством деревьев и множеством
ям. Однако равномощность этих двух множеств обычно
проверяют предварительно, пересчитывая их каждое в
отдельности.
Подлинно материалистическое определение числа,
таким образом, может быть только диалектическим,
вскрывающим диалектику развития этого понятия, начиная с
реальных множеств вещей, для которых оно служит
эквивалентом, и кончая тем моментом, когда, пользуясь
выражением Маркса, «роли оборачиваются» и число вы-
1 Л. Леви-Брюль. Первобытное мышление, стр. 126, 135.
Приведенный пример показывает как раз, что никакого особого
«первобытного» мышления нет: логическая основа счета у людей
первобытной культуры и у современного математика одна и та же —
установление взаимно-однозначного соответствия.
41
ступает уже не как производная от множества вещей их
характеристика, а как нечто, предшествующее этим
множествам. Для того, кто этой диалектики развития не
видит, кто берет числа сразу в виде так называемого
натурального ряда, предшествующего каким бы то ни было
вещам и их множествам, понятие числа необходимо
должно быть окутано мистическим покровом тайны и
представляться возникшим в голове из чистого
мышления. На самом же деле «понятия числа... взяты не
откуда-нибудь, а только из действительного мира. Десять
пальцев, на которых люди учились считать, т. е.
производить первую арифметическую операцию, представляют
собой все, что угодно, только не продукт свободного
творчества разума. Чтобы считать, надо иметь не только
предметы, подлежащие счету, но обладать уже и
способностью отвлекаться при рассматривании этих предметов
от всех прочих их свойств кроме числа, а эта способность
есть результат долгого, опирающегося на опыт,
исторического развития... Как и все другие науки, математика
возникла из практических потребностей людей... Но, как
и во всех других областях мышления, законы,
абстрагированные из реального мира, на известной ступени
развития отрываются от реального мира,
противопоставляются ему как нечто самостоятельное, как явившиеся
извне законы, с которыми мир должен сообразоваться» *.
Подводя итог, мы можем сказать:
1. Для того чтобы могло возникнуть понятие числа,
необходимо наличие реальных вещей и их совокупностей
.(множеств) и действенное (практическое) отношение
человека к ним, состоящее в умении комбинировать вещи
в множества, различать внутри множества как целого
отдельные элементы и приводить эти множества в
соответствие друг с другом.
2. Однако, раз возникнув, числа сами выступают в
дальнейшем как стандартные множества вещей, к
которым относятся при счете элементы сосчитываемых
множеств. И этот «переворот в методе», исторически
сопряженный с превращением чисел из характеристики
некоторых равномощных друг другу множеств вещей в
особые, до всяких вещей и их множеств существующие
«вещи», неизбежно ведет к мистике при метафизическом
1 /f. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 20, стр. 37—38.
42
способе мышления, для которого логическое не включает
в себя историческое, т. е. определение предмета не
включает истории его возникновения и развития. Такую
мистику числа мы встречаем у всех народов, у которых
имена числительные существуют уже не как названия для
каких-нибудь определенных совокупностей вещей, а
именно как имена числительные. Стоит вспомнить хотя
бы числовую мистику пифагорейцев с их представлением
о числе, как о чем-то «среднем между чувственным и
мыслью».
4. Аналогия между числом и стоимостью
От читателя, вероятно, не ускользнуло сходство самых
общих черт развития понятия о числе — начиная с рав-
номощности двух множеств и кончая множеством чисел,
выступающим как предшествующее вещам и их
множествам, — с общим ходом идей в первых главах «Капитала»
Маркса. И в этом нет ничего удивительного.
Характеризуя примененный Марксом в «Капитале» метод, Ленин
пишет: «Таков же должен быть метод изложения
(respective изучения) диалектики вообще (ибо диалектика
буржуазного общества у Маркса есть лишь частный
случай диалектики)»1. Правда, в силу особо абстрактного
характера математики вопрос о приложимости и к ней
того же метода мог возбуждать сомнения. Однако из
опубликованных недавно математических рукописей
Маркса ясно, что он его решал в положительном смысле.
Ибо применяемый им метод тот же, каким он
пользуется в «Капитале». Ставя себе задачу обосновать
дифференциальное исчисление, Маркс начинает с самого
простого, обычного, массовидного — с обыкновенной
алгебры и притом с простой суммы и разности двух чисел,
вскрывая «в этом простейшем явлении... все
противоречия (respective зародыши всех противоречий)»2
дифференциального исчисления. Больше того, самое
изложение диалектики развития дифференциала напоминает
.(конечно, только в самых общих чертах) общий ход
развития понятия о деньгах в «Капитале».
Дифференциальные символы возникают сначала как символические эк-
1 В. И. Ленин. Поли. собр. соч., т. 29, стр. 318.
2 Там же.
43
Ёиваленты некоторых реальных алгебраических
процессов и лишь в ходе дальнейшего развития меняются с
ними ролями: когда мы вступаем на собственную почву
дифференциального исчисления, исходным пунктом
становится не реальный процесс, а (эквивалентный ему)
дифференциальный символ. И Маркс показывает, как
забвение этой диалектики развития дифференциала,
попытка метафизически начать сразу с этого понятия как
уже готового, заранее данного символа приводят к
мистике бесконечно малых, рассматриваемых как особый,
таинственный сорт величин («мистическое
дифференциальное исчисление» Ньютона и Лейбница). Не
удивительно, что тот же метод оказывается применимым и по
отношению к простейшему исходному математическому
понятию — количественному числу, что диалектика
развития понятия о числе также оказывается частным
случаем диалектики вообще. Больше того:
1) Маркс начинает «Капитал» с обмена товаров,
приравниваемых друг другу, несмотря на совершенно
различную их природу.
Приведенный нами анализ числа начинается с
установления равномощности двух множеств, совершенно
независимо от особой природы входящих в эти множества
элементов.
2) Общей характеристикой всех обмениваемых друг
на друга товаров оказывается их стоимость («то общее,
что выражается в меновом отношении, или меновой
стоимости товаров, и есть их стоимость») 1.
Общей характеристикой всех равномощных друг
другу множеств вещей оказывается их число, т. е. нечто
третье, отличное от всех этих множеств (ибо число не
есть просто то конкретное множество объектов, которое
необходимо для его определения, а именно общее
свойство всех равномощных этому множеству множеств
вещей) 2.
1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 23, стр. 47.
2 Нужно, однако, твердо помнить, что в то время как
арифметика не изучает какие-либо вещи и отношения между ними в их
специфике, т. е. как характерные именно для такой-то, а не другой
области действительности, но рассматривает их с чисто
количественной стороны, политэкономия не может ограничиться
констатированием факта обмена разных товаров друг на друга и наличия у
них общей характеристики — стоимости, но должна ставить вопрос
о причине, порождающей эту общность, т. е. о труде, равно как и
44
3) Развитие форм стоимости («от простейшей,
наиболее скромной формы и вплоть до ослепительной
денежной формы») начинается с «простой, единичной или
случайной формы стоимости» как отношения между двумя
обмениваемыми друг на друга товарами А и В и через
«полную или развернутую форму» идет ко «всеобщей»
форме стоимости, впервые действительно выражающей
собой то, что имеется общего у данного товара со всеми
другими товарами. Уже в этой «полной или развернутой
форме стоимости», которая выражается уравнением: z
товара А = и товара 5, или = v товара С, или = w
товара Д или = х товара Е, или = и т. д. (20 аршин холста
равняются 1 сюртуку, или = 10 фунтам чаю, или = 10
фунтам кафе, или = 1 квартеру пшеницы, или = 2
унциям золота, или = V2 тонны железа, или = и т. д.),—
случайный характер отношения двух индивидуальных
товаровладельцев отпадает. Теперь, благодаря тому что
отношение обмена симметрично, т. е. что уравнение,
выражающее равенство такого-то количества товара А
такому-то количеству товара В, обратимо, может
возникнуть «всеобщая» форма стоимости, и стоимость всех
обмениваемых друг на друга товаров может быть
выражена в стоимости одного из них, служащего «всеобщим
эквивалентом». И дальше: специализировавшийся на
роли быть всеобщим эквивалентом товар
«выталкивается» всеми другими товарами из их среды, и этот
специфический товарный вид становится денежным товаром
или функционирует в качестве денег.
Приведенное нами в общих чертах развитие понятия
о числе также начинается с установления простого
единичного соотношения равномощности между двумя
отдельными множествами вещей. Чтобы от него прийти к
понятию числа, нужно еще пройти через «развернутую»
форму (и показать, что если множество А равномощно
множеству В, а множество В — множеству С, то
множество А равномощно множеству С). И лишь затем,
доказав симметричность отношения равномощности, то
есть то его свойство, что если А равномощно В, то и,
наоборот, В равномощно Л, мы получаем возможность
выразить то общее, что характерно для всех равномощных
вопрос, почему труд выражается в стоимости и в каком обществе
это имеет место.
45
друг другу МйбЖёстВ, с помощью одного из них,
играющего роль «всеобщего эквивалента». Наконец,
превращение возникающего на этом пути множества таких
«всеобщих эквивалентов»1 в «вытолкнутое из среды»'
других множеств вещей стандартное множество
числовых знаков (или имен числительных), играющее роль
«всеобщего эквивалента» при счете вещей, завершает',
этот процесс логического развития понятия о числе
(количественном). И этот процесс логического развития
отражает и процесс исторического развития, аналогично
тому, как это имеет место и в отношении понятия о
деньгах в «Капитале».
Повторяю, здесь не простая аналогия, а общность
метода. И это тем более справедливо, что всякая
попытка построить просто аналогию, забыть о специфических
особенностях политэкономии, с одной стороны,
арифметики — с другой, не только обречена неизбежно на
провал, но и находится в прямом противоречии с методом
диалектического материализма и ведет поэтому к явно
неправильным выводам. Так, например, стремление
продлить аналогию между определением стоимости и
определением тяжести, на которую указывает сам Маркс,
приводит к тому, что чисто общественное отношение
начинают рассматривать как естественное, возникает
представление, что «сюртук своей эквивалентной формой,
своим свойством непосредственной обмениваемости
обладает от природы, совершенно так же как тяжестью или
свойством удерживать тепло»2. Играющий роль
всеобщего эквивалента товар, например золото, выступает при
этом в виде от природы наделенным особыми
свойствами, создавая, таким образом, загадку денег,
неразрешимую для грубого взгляда буржуазного экономиста, не
видящего общественного характера категории стоимости.
Специфика политэкономии как науки, изучающей
именно общественные отношения, ярко выступает для
всякого, кто обратится непосредственно к первой главе
«Капитала». Метод диалектического материализма тем
и отличается, что, будучи единым общим методом, он
1 Поначалу последние имеют хотя и стандартный уже, но еще
предметный характер. Именно, изображаются с помощью частей
тела («пять» от «пясть»; ср. «запястье»!), а то и просто черточек или
палочек.
2 /С. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 23, стр. 67.
46
приобретает, однако, специфическую форму в
применении к каждой особой области действительности. Если
здесь мы обратили внимание на момент общности
метода, то сделали это для того, чтобы продемонстрировать
наглядно, что достигнутые математикой в конце XIX
столетия успехи в деле обоснования понятия о числе
объективно подтверждают правильность материалистической
диалектики и являются результатом стихийного
применения именно этого метода. Чтобы это выступило еще
нагляднее, чтобы действительно показать, что черты
сходства в развитии понятия о числе, с одной стороны, и
денег — с другой, являются не простой, поверхностной
аналогией, нам «придется остановиться несколько
подробнее на так называемом определении «через абстракцию»,
с помощью которого и было у нас введено понятие о
числе.
§ 2. ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ «ЧЕРЕЗ АБСТРАКЦИЮ»
1. Роль равенства в образовании
абстрактных понятий
Чтобы получить понятие о числе вещей некоторого
множества, нужно отвлечься полностью от особой природы
этих вещей и сохранить только их количество. Число
есть/таким образом, результат абстракции. Однако
самый процесс абстракции, или отвлечения, не надо
понимать при этом упрощенно, т. е. так, как его понимают
обычно эмпирики: дана вещь х, обладающая свойствами
а, 6, с, d\ чтобы выделить в чистом виде свойство d, до-
статочно-де просто отбросить свойства а, Ь, с. В статье
«Идеализм и математика» мы указали, что, для того
чтобы выделить в чистом виде отношение между вещами,
нельзя просто отбросить эти вещи, а нужно сделать их
переменными. Если бы мы не умели изменять мир, мы
не могли бы познавать его. Теперь речь у нас будет идти
тоже о выделении (или абстрагировании) в чистом виде,
но не отношения, а свойства вещей.
Для того чтобы показать, как это происходит, начнем
с примера, приводимого Марксом. Пусть нам нужно
определить вес головы сахара. Поскольку мы хотим узнать
только ее вес, мы должны, конечно, абстрагироваться от
рсех ее прочих свойств, кроме свойства тяжести. Как мы
47
это отвлечение осуществляем? «Голова сахара как
физическое тело имеет определенную тяжесть, вес, но ни
одна голова сахара не дает возможности
непосредственно увидеть... ее вес. Мы берем поэтому несколько кусков
железа, вес которых заранее определен. Телесная форма
железа, рассматриваемая сама по себе, столь же мало"
является формой проявления тяжести, как и телесная
форма головы сахара. Тем не менее, чтобы выразить
голову сахара как тяжесть, мы приводим ее в весовое
отношение к железу. В этом соотношении железо
фигурирует как тело, которое не представляет ничего, кроме
тяжести. Количества железа служат поэтому мерой веса
сахара и по отношению к физическому телу сахара
'представляют лишь воплощение тяжести, или форму
проявления тяжести. Эту роль железо играет только в
пределах того отношения, в которое к нему вступает сахар
или какое-либо другое тело, когда отыскивается вес
последнего» К
Итак, чтобы отвлечься от всех свойств головы
сахара, кроме тяжести, мы не просто отбрасываем их все,
за исключением этого одного, что было бы просто
невыполнимо ввиду их бесчисленности, а приравниваем
данную вещь к вещи, вообще говоря, совершенно от нее
отличной и равной ей только в одном, данном, отношении.
Лишь в этом отношении вещь, служащая эквивалентом
(в нашем примере железо), теряет все свои конкретные
свойства, кроме одного, выразителем которого она и
выступает. Но для этого необходимо, чтобы она этим
свойством действительно обладала. «Если бы оба тела не
обладали тяжестью, они не могли бы вступить в это
отношение, и одно из них не могло бы стать выражением
тяжести другого»2. Свойство, таким образом,
предшествует отношению, через которое оно, однако,
выделяется.
Существенной чертой этого процесса
абстрагирования является то обстоятельство, что в нем особую роль
играет отношение равенства. Лишь с его помощью —
приравнивая друг к другу различные вещи —мы
выделяем то общее, что делает их равными. Именно так мы
поступили с числом, которое определили через равночис-
1 К Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 23, стр. 6G.
2 Там же.
48
ленность, т. е. через некоторое отношение типа
равенства. Именно так Маркс пришел к понятию стоимости как
к тому общему, «что выражается в меновом отношении,
или меновой стоимости товаров...» К Меновое отношение,
в котором вещь обменивается на эквивалентную ей,
есть, конечно, тоже некоторое отношение типа равенства:
при обмене различные вещи приравниваются друг к
другу.
2. Примеры
Эта роль отношения равенства при определении новых
понятий была известна еще древним грекам. Именно с
его помощью в школе Евдокса—Евклида определяли то,
что в греческой математике играло роль нашего
вещественного числа, — понятие логоса, или отношения
величин.
Пока греческие математики могли думать, что
величины одного и того же рода соизмеримы между собой
(имеют общую меру), они могли определять отношение
двух величин примерно таким образом:
«Если х есть общая мера двух величин А и В и если
А = тх, В = пх, то говорят, что отношение величины А
к величине В есть (дробь) —». Однако открытие ирра*
циональностей сделало такое определение невозможным,
ибо греки не могли сомневаться, например, в том, что
диагональ квадрата находится в определенном
отношении к его стороне, хотя это отношение и не может быть
выражено никакой дробью. И вот Евдокс вышел из
трудности, определяя «отношение» через «пропорцию»,
т. е. через равенство «отношений». В самом деле, для
равенства двух «отношений»2 А : В и С: D соизмеримых
друг с другом величин необходимо и достаточно, чтобы
для всякой пары чисел т, п:
1) если тА>пВ, то одновременно и mC>nD\
2) если тА<пВ, то и mC<nD; наконец,
3) если бы оказалось, что тА = пВ, то и mC=nD.
Однако этот критерий пропорциональности величин
(«равенства отношений» А : В и С: D) не предполагает
1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 23, стр. 47.
2 Чтобы не смешивать геометрическое отношение величин
А : В с общим понятием об отношении вещей, мы первое ставим Э
кавычки.
49
обязательно существования общей меры, т. е. наличия
такой пары чисел т, п, для которой имеет место именно
третий случай — случай равенства: тА = пВ. Поэтому он
может быть распространен и на случай несоизмеримых
величин.
Но теперь пропорциональность двух пар величин (Л,
В) и (С, D) можно определить с помощью этого
критерия, иными словами, определить «равенство отношений»,
не опираясь при этом на понятие «отношения».
И мы действительно находим именно такое
определение пропорции у Евдокса. Однако теперь, имея ряд
АСЕ
пропорциональных величин:—=—= — = ... , мы мо-
А С
жем выбрать одно из выражений:—- или —и т. д. в ка-
В и
честве представителя всего ряда и определить таким
образом некоторое «отношение» !. Отношение в таком
случае было бы определено через «равенство отношений».
Отношение параллельности есть тоже некоторое
отношение типа равенства. В самом деле:
1) если прямая а параллельна прямой Ь, то и,
наоборот, прямая b параллельна прямой я, т. е. отношение
параллельности симметрично;
2) если прямая а параллельна прямой Ь, а прямая
Ъ — прямой с, то прямая а параллельна прямой с
(транзитивность) ;
3) наконец, всякая прямая параллельна самой себе
(рефлексивность — третье свойство равенства,
отличающегося, как известно, тем, что всякая вещь равна самой
себе, между тем как ни один человек не есть, например,
сын самого себя).
Поэтому мы вправе ожидать, что через отношение
параллельности можно «определить» (точнее, выделить,
абстрагировать) свойство, общее всем параллельным
прямым. И действительно, таким свойством прямой яв-
1 Ограниченность греков школы Евдокса—Евклида можно
видеть, однако, в том, что они не определили понятия об «отношении»
вообще, а ограничились применением учения о пропорциях к
определению отдельных индивидуальных отношений. Но это связано у
них с их определением существования через построение. С Евдок-
совой теорией иррациональности читатель может познакомиться
подробнее по статье: И. Hasse, H. Scholz. Кризис основ
древнегреческой математики. Kantstudien, 1927, некоторые положения
которой представляются, однако, спорными.
50
ляется ее направление. Направление примой, таким
образом, может быть определено через параллельность ее
другим прямым.
Геометрические образы и тела имеют определенную
форму, или фигуру. Как выделить в чистом виде эту
«фигуру», т. е. некоторое свойство тел? Мы делаем это опять-
таки через отношение, именно через отношение подобия,
которое, как легко убедиться, обладает всеми свойствами
«равенства». И тогда «фигуру» тела можно определить
как общее свойство всех подобных друг другу тел,
совершенно так же, как число, характеризующее некоторое
множество, мы определили как общее свойство всех рав-
номощных этому множеству множеств вещей.
Чтобы показать, наконец, насколько общий характер
имеет этот способ образования понятий, приведем еще
одну цитату из Маркса.
«В некоторых отношениях, — пишет Маркс, —
человек напоминает товар. Так как он родится без зеркала
в руках и не фихтеанским философом: «Я есмь я», то
человек сначала смотрится, как в зеркало, в другого
человека. Лишь отнесясь к человеку Павлу как к себе
подобному, человек Петр начинает относиться к самому
себе как к человеку. Вместе с тем и Павел как таковой,
во всей его павловской телесности, становится для него
формой проявления рода «человек»»1.
Итак, мы видим, что человек образует понятие
«человек» лишь через сравнение себя с другими людьми,
через отношение подобия между людьми.
3. Точка зрения Вейля
Против этих «определений через абстракцию», особенно
против приведенной нами трактовки их, выдвигается,
однако, целый ряд возражений. '
Одни, как, например, идеалист Вейль, не отвергают
значения этих «определений» в математике, наоборот,
ценят их очень высоко. Но они пытаются истолковать их
идеалистически. Больше того, их высокая оценка в
значительной степени связана именно с тем
идеалистическим истолкованием, которое они пытаются этим
«определениям» придать. Идеалиста при этом -прельщает то,
1 К Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 23, стр. 62 (примечание).
51
что отношение в этих «определениях», как бы
предшествует определяемому объекту: равночисленность
предшествует числу, пропорция, т. е. равенство отношений, —
отношению, обмен — стоимости. Стоит заявить, что
этими «определениями» не выделяется уже существующее —
и притом существующее независимо от сравнения их
друг с другом — общее свойство приравниваемых друг
другу вещей, а производится (недаром Вейль называет
«определения через абстракцию» творческими)
некоторый новый «идеальный объект», чтобы, с одной стороны,
сохранить все преимущества, связанные с употреблением
этих «определений», с другой же — лишить теорию
абстракции ее материалистического содержания.
Если для того чтобы выделить в чистом виде
«стоимость» как общее свойство всех товаров, Маркс исходит
из обмена товаров, в котором стоимость их проявляется,
то идеалист полагает, что акт обмена не только
выделяет, но и порождает стоимость. Если для того чтобы
«определить» число, нужно начать с определения равно-
численности, чтобы «определить» фигуру, — с
определения подобия, чтобы «определить» направление, — с
определения параллельности, то идеалист Вейль делает
отсюда вывод, что с помощью этих отношений не только
выделяются, но и порождаются свойства, творятся новые
«идеальные объекты».
4. Возражения Дубислава
Другие, как, например, махист Дубислав, для которого
математика есть только «беспредметная» наука,
отрицают вообще (правомерность этих определений за их
«метафизический» (читай: по существу
материалистический) характер. Известно, что махисты надеются
«расправиться» с материализмом, обзывая его
«метафизикой».
Чтобы показать вздорность притязаний идеализма
на «определения через абстракцию», чтобы выяснить их
действительный смысл и значение, продемонстрировать
подлинный диалектико-материалистический характер
этого способа образования понятий, нам придется
несколько подробнее остановиться на предпосылках,
лежащих в основе этого метода.
Начнем с возражений, приводимых Дубиславом.
52
«Последователи определений через абстракцию, —
говорит Дубислав, — поступают следующим образом,
когда вводят новый символ с помощью определения
через абстракцию.
В противоречие с правилом, Оккама: «Entia non sunt
multiplicanda praeter necessitatem» 1 они допускают, что
если между двумя предметами имеет место
транзитивное и симметричное отношение, то эти предметы всегда
имеют общее свойство в форме некоторого нового
идеального «нечто». Это допущение пытаются оправдать тем,
что обычно обладание двумя предметами некоторым
общим свойством влечет за собой в качестве следствия
наличие транзитивного и симметричного отношения
между ними. Поэтому, чтобы при случае произвести (или
обнаружить) в качестве значения вновь вводимого
символа некоторое идеальное нечто, достаточно, полагают,
показать, что между двумя предметами из области
данной дисциплины имеет место транзитивное и
симметричное отношение.
То общее свойство (Beschaffenheit), которое в
переносном смысле слова Ихмеет своим следствием это
транзитивное и симметричное отношение и существование
которого рассматривается как установленное, а само
оно — как достаточно отграниченное от других свойств,
считается при этом безупречно произведенным (или
обнаруженным). В силу этого можно произвольно отнести
это свойство в качестве значения к вновь вводимому
символу»2.
«Но как обстоит дело с оправданиями, которые в
действительности приводят обычно сторонники определений
через абстракцию? Все обоснование сводится к
отягощению построения точной дисциплины почти
метафизической аксиомой или предрассудком наперекор
эвристическому правилу — строить точную науку независимо от
допущений о существовании или порождении идеальных
в платоновском смысле предметов»3, — допущений,
которые, далее, он называет «необоснованными и,
пожалуй, даже опровержимыми».
Фокус, состоящий в подсовывании материализму
платоновских «идей», в смешении материализма с идеализ-
1 «Не следует приумножать сущностей без необходимости».
2 W. Dubislav. Die Definition. Berlin, 1931, S. 46.
3 Там же, стр. 50.
53
UoU кантовского или платоновского толка, не нов: с его
помощью все махисты пытаются «опровергать»
материализм. Гениальное его разоблачение содержится в
ленинском «Материализме и эмпириокритицизме». Не ново и
обвинение материалистов в незаконном оборачиваний
некоторых теорем.
Но возражениями Дубислава по данному частному
случаю стоит все же заняться по существу. Это даст нам
возможность не только лишний раз вскрыть подлинную
сущность применяемых махизмом приемов, но и
точнее отразить нашу собственную точку зрения на
«определения через абстракцию». Суть примененного Дубис-
лавом приема заключается в следующем:
1) Он смешивает идеалистический подход к
«определениям через абстракцию» как «творчески созидающим»
некоторый новый «идеальный объект» с
материалистической точкой зрения па эти «определения» как лишь на
способ выделения (абстрагирования) уже
существующего независимо от нас свойства вещей, рассуждая о
«сторонниках» определений через абстракцию вообще, а не
о материалистических или идеалистических их
сторонниках.
2) Этих «вообще сторонников» определений через
абстракцию он обвиняет, далее, в том, что они незаконно
переделывают некоторую прямую теорему в обратную.
Если несколько предметов обладают общим свойством,
например все они зеленые, то между этими предметами
можно установить некоторое отношение типа равенства
или подобия: именно, они все равны по цвету, т. е.
между ними существует некоторое транзитивное и
симметричное отношение. Отсюда, говорит Дубислав,
«сторонники» «определений через абстракцию» умозаключают,
что и наоборот: если в некоторой области предметов
имеет место транзитивное и симметричное отношение, то
существует общее всем находящимся в этом отношении
предметам свойство. Простейшая и логическая ошибка, в
которой, по Дубиславу, должен быть повинен и Маркс,
умозаключивший от факта обмениваемости товаров к
существованию у них чего-то общего — стоимости.
3) Наконец, для случая, если бы «сторонник» этих
«определений» попытался «вывернуться» из положения,
заявив, что для него существование общего свойства у
равных в каком-либо отношении предметов — отнюдь не
54 '
нуждающаяся в доказательстве теорема, а новая,
независимая от прямого предложения аксиома, у Дубислава
припасено... обвинение в метафизике. Такую-де аксиому
вводить без доказательств! Да ведь это метафизика
чистейшей воды! И платоновского толка к тому же!
Мы покажем, однако, что возражения Дубислава на
самом деле затрагивают только идеалистическую
трактовку «определений через абстракцию», по отношению к
которой они в значительной мере справедливы 1. К
материалистической же их трактовке они не имеют ни
малейшего отношения.
5. Система «постулатов», лежащих в основании
«определений через абстракцию»
Чтобы это стало ясным, займемся, как было обещано,
системой постулатов, или посылок, лежащих в основании
«определений через абстракцию».
а) Связь рефлексивности с симметричностью и
транзитивностью. Понятно, во-первых, что одних только
требований симметричности и транзитивности для
отношения, лежащего в основе «определения через абстракцию»,
недостаточно. Всякое равенство не только симметрично
и транзитивно, но и рефлексивно, т. е. каждая вещь
«равна» самой себе. Иногда делают ошибку и «выводят»
рефлексивность равенства из одних только его
симметричности и транзитивности (без дополнительного требования
непустоты для области).
При этом рассуждают обычно так: из транзитивности
следует, что если вещь а находится в отношении R к
вещи 6, а вещь Ъ — в отношении R к вещи а, то вещь а
должна находиться в отношении R к вещи а, т. е. к
самой себе. Так как в силу симметричности отношения R
посылка этого условного предложения выполнена, то,
следовательно, выполняется и заключение, т. е. вещь а
действительно находится в отношении R к самой себе,
или отношение R рефлексивно.
Стоит, однако, записать это рассуждение на языке
математической логики, чтобы наглядно выступила
содержащаяся в нем ошибка.
1 Собственные попытки Дубислава обойтись вообще без
«определений через абстракцию» насквозь идеалистичны.
55
В самом деле, требование симметричности
записывается так:
xRy->yRx (1)
( -» знак «следования», или иначе: «если... то»).
Требование же транзитивности записывается так:
(xRy& yRz)->xRz (2)
(& — знак «и»).
Подставляя во вторую формулу х вместо г, мы
получаем
(xRy&yRx)->xRx, (3)
и для того чтобы получить отсюда формулу
xRxt (4)
выражающую рефлексивность отношения, нам нужно
иметь доказанной формулу:
xRy& yRx. (5)
(В этом случае мы могли бы воспользоваться
логическим ^правилом вывода, согласно которому из двух
формул: (1) 5 и (2) S—* Т получается новая формула — Т.)
Однако формула (5) отнюдь не совпадает с
формулой (1), как мы это допустили в нашем первом
«рассуждении».
Из этого затруднения нельзя выйти и путем замены
формулы (2) формулой
(xRy->yRz)->xRz, (6)
ибо формулы (2) и (6) неравносильны, и закон
транзитивности нельзя, следовательно, выразить в форме (6).
(Неравносильность этих формул видна, впрочем, уже на
простейших примерах. В самом деле, предложение:
«Если будет туман и будет пурга, то летчик не сможет
вылететь», явно неравносильно предложению: «Если из
того, что будет туман, следует, что будет пурга, то летчик
не сможет вылететь». Ибо первое из них ставит невылет
летчика в зависимость от тумана и пурги, второе же —
в зависимость лишь от связи между пургой и туманом,
не предполагая фактического наличия ни тумана, ни
пурги.)
б) Требование непустоты для «поля» отношения.
56
Вейль избегает этой ошибки, просто внося
рефлексивность в число требований, соблюдение которых
необходимо для законности «определения через абстракцию».
Дубислав — вместе с большинством математиков —
присоединяет к требованиям симметричности и
транзитивности требование, чтобы «поле» рассматриваемого
отношения R не было пусто, т. е. чтобы действительно
существовали вещи, находящиеся друг к другу в
отношении R.
В этом случае рефлексивность можно доказать
следующим образом. Возьмем какую-нибудь вещь а,
принадлежащую полю отношения R, т. е. для которой
существует находящаяся к ней в отношении R вещь й. В
таком случае имеем:
aRb. (7)
Подставляя в формулу (1) х=а, у = Ь, получаем:
aRb->bRa, (8)
и по правилу вывода это дает нам
bRa. (9)
Наличие формул (7) и (9) дает возможность
установить формулу
aRb& bRa, (10)
а последняя в связи с формулой:
(aRb&bRa)->aRa, (11)
получаемой из формулы (2) оутем подстановки х=а,
y=b, z=a, приводит к нужной нам формуле: aRa. Так
как рассуждение это применимо к любой вещи,
принадлежащей полю отношения R, то рефлексивность этого
отношения этим действительно доказана 1.
Второй метод (т. е. требование непустоты для поля
отношения R) несомненно лучше первого, ибо он
больше соответствует фактическому положению вещей. Ведь
1 Во избежание недоразумений существенно обратить внимание
на понимание С. А. Яновской термина «поле отношения». С. А.
Яновская включает в поле отношения R только такие элементы х, для
которых существуют у такие, которые находятся к х в данном
отношении R (т. е. такие х, что з //(*/?//)). —Примечание
редколлегии) .
57
в действительности отношение только в том случае
имеет смысл, если существуют находящиеся в этом
отношении вещи. А кроме того, вещь отнюдь не изначально
«равна» самой себе в каком-нибудь отношении, т. е.
рефлексивность не есть свойство равенства одного
порядка с его симметричностью и транзитивностью.
Вспомним уже приведенные слова Маркса, что человек не
родится с зеркалом в руках и не в качестве
фихтеанского философа: «Я есмь я», но начинает относиться к
самому себе как к человеку лишь через отношение свое
к другим людям как себе подобным. И в логике,
отражающей действительное положение вещей, совершенно
естественно поэтому выводить рефлексивность из
симметричности и транзитивности, а не присоединять ее
просто к ним в качестве особого дополнительного
требования. Но только выводить, конечно, правильно (т. е.
лишь в предположении непустоты области).
в) Исключение тождества. Однако добавление,
которое делает Дубислав (или Вейль), еще недостаточно
для подлинной возможности «определить» что-нибудь
«через абстракцию». В самом деле, всем приводимым
Вейлем или Дубиславом требованиям можно
удовлетворить и с помощью такого отношения xRyy которое,
хотя и обладает свойствами симметричности,
транзитивности и рефлексивности, но и осуществляется только в
случаях х—у=а. Такое отношение действительно
существует: это отношение полного тождества. Ясно, однако,
что с помощью этого отношения нельзя отвлечься ни от
какого свойства вещи, нельзя отделить от других и
выделить в чистом виде ни одного из ее свойств, нельзя
получить ничего, кроме пустой тавтологии: «А есть Л»,
«роза есть роза», «прямая есть прямая» и т. д. Ни одно из
этих предложений не содержит в действительности
никакого сравнения и не может быть поэтому положено в
основу «определения через абстракцию». В основе
«определения через абстракцию» должно лежать именно
отношение «равенства», а не «тождества». «Равенство»
поэтому может быть определено только через «различие»,
может быть только равенством отличных друг от друга
вещей. А это значит, что нельзя ограничиться одним
только требованием непустоты для поля отношения /?,
но нужно, кроме того, требовать, чтобы это поле
содержало по меньшей мере две различные вещи или, — если
58
не желать пользоваться «понятием «два», помня, что
самое число «определяется» «через абстракцию», — чтобы
поле отношения R содержало отличные друг от друга
вещи, «равные» друг другу лишь в этом отношении R.
г) Сравнение не должно изменять сравниваемых
вещей. Легко, однако, показать, что и этого еще
недостаточно. Представим себе, что мы стали бы приводить
друг другу в соответствие солдат двух полков с целью
установить, равномощны ли эти полки друг другу, а
солдаты вздумали бы в это время перебегать из одного
полка в другой (пример А. Пуанкаре) 1, или допустим, что
весы, на которых производится взвешивание, устроены
так, что как только на них попадает кусок сахару, он
начинает разлагаться на составляющие его химические
ингредиенты, — словом, что в процессе сравнения
происходит изменение сравниваемых друг с другом вещей.
Ясно, что в таком случае мы ничего не смогли бы
«определить через абстракцию». Ибо не было бы именно
того свойства, которое мы хотим выделить: оно
изменялось бы в самом процессе сравнения. Процесс сравнения
должен быть поэтому организован так, чтобы под
влиянием его не изменялись сравниваемые вещи2. Конечно,
1 Статистикам хорошо известно, как трудна провести
правильно перепись населения (т. е. установить взаимно-однозначное
соответствие между множеством людей, населяющих некоторую
территорию, и множеством учетных карточек), если в течение переписи
часть населения передвигается.
2 Взятые сами по себе, т. е. именно как вещи, а не как
моменты данного отношения R. Чтобы выяснить это различие, заметим,
что одна и та же вещь может находиться в разных отношениях к
различным другим вещам рассматриваемой области, между тем как
момент отношения не имеет смысла независимо от этого именно
отношения (и остальных его моментов). Так, «числитель» не
существует независимо от «знаменателя» и «дроби», т. е. от отношения
между числителем и знаменателем. И точно так же «отрицательное
число» не существует без «положительного», «север» — без «юга»,
«правая сторона» — без «левой». Это и означает, однако, что
«числитель», «знаменатель», «север», «юг» сами по себе суть не вещи,
а лишь моменты отношений между вещами.
Отсюда видно, между прочим, насколько нелепы попытки
идеализма представить современные учения о числе как
подтверждающие именно его точку зрения, как растворяющие вещь (субстанцию)
в отношении (функции). Приводя высказывание Дедекинда, с
которого последний начинает свою дедукцию понятия о числе и в
котором идет речь о «способности духа относить вещи к вещам,
устанавливать соответствие между одной вещью и другой» (Р. Касси-
рер. Познание и действительность. М., 1912. стр. 53—54), Р. Кассирер
59
на практике это не всегда возможно, точнее: возможно
лишь с некоторым приближением, повышение точности
которого, однако, в нашей власти. Так, в процессе
взвешивания или обмена происходит некоторая потеря веса
или товара, но мы заинтересованы в том, чтобы она
имела наименьшее значение, была настолько незначи-
пишет: «Дедекинд, по-видимому, исходит здесь вполне в духе
традиционной доктрины из множества вещей и из способности духа
отображать их, но при более глубоком рассмотрении его взглядов
оказывается сейчас же, что традиционные названия приобрели
здесь совершенно новое содержание и новое значение. «Вещи», о
которых идет речь в дальнейшей дедукции, не принимаются за
некоторые самостоятельные, существовавшие до всякого отношения
реальности; они приобретают все свое содержание — поскольку это
имеет значение для математики — лишь в отношениях, которые
высказываются о них и вместе с этими отношениями. Они
относительные члены, которые никогда не могут быть «даны» раздельно,
но всегда лишь в идеальной связи».
Вещей, «существующих до всякого отношения», вообще не
существует. Ибо вещи существуют в связях, в отношениях с другими
вещами. Однако вещи суть не только моменты отношения, его
«относительные члены». Одни и те же вещи могут фигурировать в
разных отношениях, и в этом смысле существуют отношения,
относительно которых они имеют самостоятельное существование.
Отношение R, в котором происходит их сравнение, должно быть именно
последнего рода. Для образования понятия о числе с помощью
отображения Дедекинду необходима поэтому вещь, а не момент
отношения. И Кассирер неправ поэтому, утверждая, что когда
Дедекинд говорит о множествах вещей и их отображении друг на
друга, то «при более глубоком рассмотрении его взглядов
оказывается сейчас же, что традиционные названия (имеются в виду
«вещь» и «отображение». — С. #.) приобрели здесь совершенно
новое содержание и новое значение»: вещь-де не есть вещь, а лишь
«относительный член», и т. п. Нет, именно «здесь» они не
приобрели— и не могли приобрести — никакого нового содержания или
значения, несмотря даже на то, что сам Дедекинд — тоже идеалист и
что его построение теории целого числа отличается от построений
Кантора и Фреге своим по существу аксиоматическим характером.
Больше того, даже те реально существующие стороны и
моменты вещей, которые отражаются в абстрактных понятиях, в
известном смысле сами могут выступать как ненавистные Кассиреру
«вещи», которые «могут быть «даны раздельно»» (а не как лишь
моменты отношения): когда речь идет об абстракциях более
высокого порядка, абстракции низшего порядка должны иметь
независимое от того отношения R, в котором происходит их сравнение,
существование, а не быть только его «относительными членами».
Связанным с последним вопросом диалектическим «переворотом
в методе» («Umschlag in der Methode»), о котором говорит Маркс
в своих математических рукописях (и который, как мы видели,
имеет место и в отношении понятия о числе), следовало бы,
однако, заняться специально.
60
тельна, чтобы мы имели право отвлечься от нее, не
принимать ее в расчет. «Определение через абстракцию»
предполагает, таким образом, и некоторый момент
отвлечения, или идеализации, в обычном смысле слова, в
смысле огрубления, о котором говорит В. И. Ленин как
о необходимом признаке всякой абстракции, снимаемом,
однако, в процессе познания — на пути через
относительную истину к абсолютной. Добиваясь наиболее
адекватного отражения действительности, мы не успокаиваемся
на констатировании неизбежности некоторой неточности,
но стремимся к наиболее совершенной (наиболее близкой
к идеальной) организации процесса «сравнения». Мы
жестоко боремся с «усушкой» и «утечкой» (во лжи, в
обмане пролетарского государства и потребителя
заинтересован классовый враг), мы стараемся провести
перепись в разных местах одновременно и притом в
наикратчайший срок и т. п. Иными словами, мы добиваемся
такой организации процесса «сравнения», при которой
приравниваемые вещи не изменялись бы в процессе их
сравнения.
Итак, отношение R должно обладать свойством не
изменять вещей, в него вступающих. Оно должно быть
в некотором смысле «внешним» для этих вещей,
«безразличным» к ним 1. Но в таком случае ясно, что с его
помощью нельзя «создать» никакого нового свойства
этих вещей, а можно только выделить уже
существующее. Иными словами, свойство xRa, определенное через
отношение xRy, должно быть эквивалентно некоторому
«простому» свойству, существующему независимо от
отношения R. В противном случае некоторая вещь,
обладающая свойством xRa, приобретала бы это новое
свойство, лишь будучи приведена в отношение к другой
вещи, т. е. изменялась бы в процессе сравнения. А такие
процессы (и соответствующие им отношения R) мы, как
только что выяснено, должны исключить, когда речь идет
об «определении через абстракцию».
Наше требование, чтобы вещи не изменялись от
приведения их в отношение R друг к другу, равносильно,
таким образом, некоторому «постулату сводимости», вы-
1 Именно лишь в смысле требования не изменять свойств,
вступающих в это отношение вещей. Во всем остальном установление
этого отношения должно быть обусловлено существом дела, а не
наличием внешнего сходства между вещами^
61
ражающему требование, чтобы свойство, «определенное»
через отношение (сравнение), было эквивалентно
(«сводимо») к некоторому простому свойству, существующему
независимо от процесса сравнения. Именно это и имеет
в виду Маркс, когда в связи с определениями стоимости
и веса замечает, что «свойства... вещи не возникают из
ее отношения к другим вещам, а лишь обнаруживаются
в таком отношении...»1.
Теперь мы можем вернуться опять к Вейлю и Дуби-
славу, ибо теперь, с одной стороны, ясно, что с помощью
«определения через абстракцию» не «творится» никакой
новый «идеальный объект», а с другой — видно, что это
определение не основано ни на каком незаконном
оборачивании каких бы то ни было теорем и не опирается ни
на какую «метафизическую» аксиому. Ибо если в
процессе сравнения, не изменяющем свойств вещей, удается
обнаружить какое-нибудь свойство, которым обладают
все «подобные» друг другу в некотором отношении вещи,
то ясно, что мы имеем дело с общим им всем свойством,
существующим в вещах реально и независимо от того
отношения, в котором мы их сравниваем. Иначе
отношение это не могло бы быть «внешним», т. е. не
изменяющим свойств вступающих в него вещей.
Но в таком случае не остается места ни для какой
мистики и метафизики, действительно связанных с
«творческими» определениями Вейля, и критика Дубислава
лишается почвы. Правда, для идеалиста самое
существование вещей (и их свойств) независимо от нашего
сознания уже есть «метафизика». Но против такой
«метафизики» мы ничего не имеем против. Ибо это не
метафизика, а материализм.
д) Не формальное, а реальное общее. При
правильном, материалистическом истолковании «определений
через абстракцию» упрек в незаконном оборачивании
некоторой теоремы, как уже было отмечено, лишается почвы.
В действительности мы можем утверждать и нечто
большее: сама пресловутая «прямая теорема» не вполне
верна. Ибо из наличия чего-то общего между вещами отнюдь
не следует еще действительное право приравнять их
друг к другу, подвести под одно общее понятие, которое
можно считать научно обоснованным. Так, из того, что
1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 23, стр. 67.
62
как идеалист, так и материалист могут выступать в за*
щиту «определений через абстракцию», не следует
реальное право приравнять их как «сторонников» этого
способа образования научных понятий друг к другу. Ибо
в данном случае существенно не сходство, носящее
формальный, поверхностный характер, а именно различие
между ними. Попытка приравнять одних другим, как уже
было отмечено, преследует лишь цель подменить
материализм идеализмом. Повторяю, формальное наличие
общего признака у разных вещей без конкретного,
содержательного анализа не дает еще права
рассматривать их как равные; точнее, не может служить
достаточным основанием к введению нового научного понятия.
Последовательный неокантианец Кассирер в этом
вопросе умнее путаного махиста Дубислава, ибо он
замечает: «Если, пользуясь метким примером Лотце, мы
подводим вишни и мясо под группу красных, сочных,
съедобных тел, то мы таким путем получаем не какое-нибудь
пригодное логическое понятие, а лишь ничего не
значащий набор слов, не дающий нам ровно ничего для
понимания отдельных случаев. Таким образом, ясно, что
общее формальное правило само по себе недостаточно, что,
скорее, оно молчаливо дополняется каким-то другим
логическим критерием» 1. Нужно только заметить, что
подобного рода общее понятие, обладающее в одной
конкретной обстановке лишь формальным смыслом, при
изменившихся условиях может стать содержательным.
Так, приравнивание различных конкретных видов
труда по времени, требуемому для производства данной
потребительной стоимости, образование категории
абстрактного труда, труда вообще, формально могло быть,
конечно, осуществлено и в древнем рабовладельческом
обществе. Но реальный смысл оно приобрело лишь после
того, как развилась такая общественная формация, «при
которой индивиды с легкостью переходят от одного
вида труда к другому и при которой данный определенный
вид труда является для них случайным и потому
безразличным... Здесь абстракция категории «труд», «труд
вообще», труд sans phrase, этот исходный пункт
современной политической экономии, становится практически
истинной»2. Мы видим, таким образом, насколько конкрет-
1 Р. Кассирер. Познание и' действительность, стр. 81.
2 К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 46, ч. I» стр. 41.
63
ный характер должен носить самый процесс
образования абстракций, как самое образование именно таких, а
не других абстрактных понятий зависит от конкретной
исторической обстановки, как «даже самые абстрактные
категории, несмотря на то, что они — именно благодаря
своей абстрактности — имеют силу для всех эпох, в
самой определенности этой абстракции представляют собой
в такой же мере и продукт исторических условий и
обладают полной значимостью только для этих условий и в
их пределах» К
Чтобы показать, наконец, насколько большую роль
при этом играет практика, в частности, на своей «шкуре»
испытанный житейский урок, стоит вспомнить образ
короля Лира, пришедшего к понятию «человек вообще», а
не только «король» и «подданный», лишь в результате
жестоких испытаний, поставивших его на одну доску с
последним нищим.
6. Прямое определение объектов,
«определенных через абстракцию»
Разбор предпосылок, выполнение которых является
необходимым условием правомерности «определения через
абстракцию», мы на этом закончим. Основной результат,
к которому мы пришли, состоит при этом в том, что с
помощью этих «определений» не создается и, собственно
говоря, даже не определяется2 какой-либо новый объект,
а лишь выделяется уже существующее общее свойство.
Но в таком случае ясно, что «определение через
абстракцию» не исключает, а предполагает в дальнейшем
поиски прямого определения, непосредственно
указывающего, в чем состоит сущность того общего, которое
содержится в двух различных приравниваемых друг к
другу вещах.
«Возьмем.., — пишет Маркс, — два товара, например
пшеницу и железо. Каково бы ни было их меновое
отношение, его всегда можно выразить уравнением, в
котором данное количество пшеницы приравнивается
известному количеству железа, например: 1 квартер
пшеницы = а центнерам железа. Что говорит нам это уравне-
1 К- Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 46, ч. I, стр. 42.
2 Слово «определение» в смысле определения через абстракцию
мы потому всегда брали в кавычки.
64
ние? Что в двух различных вещах — в 1 квартере
пшеницы ива центнерах железа — существует нечто общее
равной величины» *. Вывод, который Маркс делает
отсюда, гласит:
«Следовательно, обе эти вещи равны чему-то
третьему, которое само по себе не есть ни первая, ни вторая
из них».
Но Маркс не останавливается на этом
констатировании существования чего-то третьего, общего для обеих
равных друг другу вещей. Он ставит вопрос: в чем же
состоит это третье? И в качестве иллюстрации,
подтверждающей закономерность такой постановки
вопроса, выбирает пример из математики.
«Иллюстрируем это, — пишет он, — простым
геометрическим примером. Для того чтобы определять и
сравнивать площади всех прямолинейных фигур, последние
рассекают на треугольники. Самый треугольник сводят
к выражению, совершенно отличному от его видимой
фигуры, — к половине произведения основания на
высоту. Точно так же и меновые стоимости товаров
необходимо свести к чему-то общему для них, большие или
меньшие количества чего они представляют»2.
Этим общим и оказывается в результате
дальнейшего анализа количество труда или количество рабочего
времени, общественно необходимого для изготовления
данных потребительных стоимостей.
Однако задача действительно указать то общее,
которое делает вещи равными, отнюдь не принадлежит
обычно к числу легких. Правда, бывают случаи, когда
это общее установить нетрудно, анализируя самое
данное отношение равенства. Так, подобие, как уже было
указано, есть отношение типа равенства, а то общее, что
сохраняется, например, у всех подобных друг другу
многоугольников, есть величина их углов и отношений их
сторон. Так, рассматриваемое в теории чисел сравнение
по данному модулю есть отношение типа равенства, но
то общее, что сохраняется во всех сравнимых друг с
другом числах, есть остаток от деления их на число,
служащее модулем.
Для разобранного выше примера определения
пропорции, по Евдоксу, указать это «общее» уже значитель-
1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 23, стр. 45.
2 Там же.
3 С. А. Яновская
65
но труднее. Остановимся на этом примере несколько
подробнее и попробуем охарактеризовать явно то общее, что
сохраняется для всех пропорциональных друг другу
величин. Из определения Евдокса следует, что если бы мы
построили три ящика: I, II, III, и в зависимости от того,
какое из трех соотношений:
I) тА>пВ, 2) тА = пВ, 3) тА<пВ
имеет место для данной пары чисел (т, п)у стали бы
бросать эту пару либо в первый, либо во второй, либо в
третий ящик, то, так как каждая пара при этом должна
была бы попасть в определенный ящик, совокупность
всех возможных пар (т, п) (всех рациональных чисел
или дробей-—) оказалась бы разбитой (подразделенной)
на три части (второй ящик может содержать максимум
одну паду или не содержать ни одной). Это разбиение
или сечение совокупности рациональных чисел будет
одним и тем же только для пропорциональных величин.
В самом деле, если отношение С : D не равно отношению
А : В, то обязательно найдется такая пара (т, п), для
которой mOnD, но тА<пВ (или наоборот), т. е.
которая для величин С, D должна попасть в первый
(третий) ящик, между тем как в разбиении, производимом
отношением А : В, эта же пара (т, п) попадает в третий
(первый) ящик. Таким образом, все равные друг другу
отношения производят одно и то же сечение области
рациональных чисел на три класса (поскольку средний
может оказаться пустым, обычно сводят эти три к двум),
почему Дедекинд и определил вещественное число как
сечение области всех рациональных чисел. С этим
определением, однако, связаны трудности, обусловленные
тем, что рациональных чисел бесконечно много, мы же
рассуждали о них так, как рассуждали бы в случае, если
бы их было лишь конечное число. Древним были
известны парадоксы, связанные с такого рода употреблением
бесконечного, и поскольку потребность в математике еще
была невелика, они предпочли (и могли
последовательно провести это) отказаться вообще от отыскания того
общего, которое лежит в основе равенства отношений —
пропорции, и остаться лишь при этом равенстве. Греки
школы Евдокса—Евклида не могли поэтому ввести и
понятия -площади, но должны были говорить лишь о
равенстве площадей (или их отношений, т. е. пропорцио-
66
нальности). А это значит, что они не могли поступать
так, как мы поступаем теперь и как об этом говорит
Маркс, именно: сводить треугольник... к выражению,
совершенно отличному от его видимой фигуры, — к
половине произведения основания на высоту» 1.
Когда греку Евдоксу надо было определить
«отношение» величин, он правильно начал с определения
«равенства отношений» и... остановился на этом.
Не самый метод «определения через абстракцию», а
именно эту остановку на отношении, в котором
приравниваются сравниваемые вещи, имеет в виду Лейбниц,
когда в пятом письме к Кларку пишет: «Впрочем, я
поступил приблизительно так, как и Евклид: когда он не
мог прямо определить абсолютный смысл какого-нибудь
геометрического отношения, то он указывал, что следует
понимать под равными отношениями».
Правда, Лейбниц признает при этом, что «дух,
однако, не удовлетворяется этим соответствием: он ищет
тождества вещи, которая действительно была бы той же
самой, и представляет ее себе как бы находящейся вне
субъекта». Но, как видим/ Лейбниц противопоставляет
«определение через абстракцию» прямому определению,
поиски которого объясняет лишь стремлением нашего
духа к превращению равенства («соответствия») в
тождество, свойства — в вещь. В диалектическом
взаимоотношении тождества и различия, вещи и свойства,
отдельного и общего он, таким образом, отбрасывает одну из
сторон, перенося ее в «дух». Общее (свойство или
отношение) существует при этом для Лейбница не
объективно, а лишь в субъекте.
Не удивительно, что интуиционист Вейль, стоящий
на точке зрения идеалистической трактовки «определений
через абстракцию», считает родоначальником этого
вида определений именно Лейбница. Не удивительно, что
все современные махистские, т. е. по существу тоже
идеалистические, попытки, отказавшись от «определений
через абстракцию», сохранить доставляемые ими
преимущества 2 также связаны с превращением того общего,
1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 23, стр. 45.
2 О характере «чудовищного усложнения» (Дубислав)
математики, связанного с отказом от этих определений, читатель может
составить себе представление, попытавшись, например, выкинуть из
своего научного багажа понятие площади и рассматривать всегда
только равенство или пропорциональность площадей.
3* 67
чем обусловлено равенство вещей, в фикцию, «неполный
символ», не имеющий непосредственно смысла и
вводимый лишь из соображений упрощения («экономия
мышления») (Кутюра, Рассел). К сожалению, мы не имеем
здесь возможности разобрать эти попытки по существу.
Необходимо лишь отметить то фактическое единство,
которое существует между идеалистическими
сторонниками «определений через абстракцию» и их махистскими
противниками. Общее — не формальное, а реальное —
существует, оказывается, не между
материалистическими и идеалистическими «сторонниками» определений
через абстракцию, а между махистами и идеалистами,
независимо от того, «отвергают» или «принимают» они эти
определения!
Возвращаясь к вопросу о действительном указании
того общего, которое по существу не определяется, а
лишь выделяется (абстрагируется) с помощью
«определений через абстракцию» (иными словами, к вопросу об
обнаружении того «простого» свойства, которому
должно быть эквивалентно свойство, определенное через
абстракцию), нужно отметить, что в условиях недостаточно
конкретного развития на пути к решению этой задачи
могут встретиться очень значительные трудности,
преодоление которых в этих конкретных условиях может
оказаться не под силу даже наиболее передовым ученым
эпохи. Пример такого рода, объясняющий, почему
древние не могли прийти к понятию стоимости, мы находим
у Маркса.
«Гений Аристотеля, — говорит Маркс, —
обнаруживается именно в том, что в выражении стоимости
товаров он открывает отношение равенства. Лишь
исторические границы общества, в котором он жил, помешали
ему раскрыть, в чем же состоит «в действительности» это
отношение равенства»!.
«...Он говорит:
«5 лож = 1 дому»
«не отличается» от:
«5 лож = такому-то количестзу денег».
Он понимает, далее, что стоимостное отношение, в
котором заключается это выражение стоимости,
свидетельствует, в свою очередь, о качественном отождествлении
1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 23. стр. 70.
68
дома и ложа и что эти чувственно различные вещи без
такого тождества их сущностей не могли бы относиться
друг к другу как соизмеримые величины. «Обмен, —
говорит он, — не может иметь места без равенства, а
равенство без соизмеримости»»!.
(Напомним, что соизмеримость, как уже было
указано, означает наличие общей меры. Таким образом,
Аристотель из сравнимости предметов делает вывод о
наличии у них чего-то общего, а не сводит, наоборот, общее
к голой сравнимости, как это делает идеалист Лейбниц,
отрицающий на основе того, что общее не есть вещь,
объективное существование этого общего в вещах.)
«Но здесь он останавливается в затруднении и
прекращает дальнейший анализ формы стоимости. «Однако,
в действительности невозможно, чтобы столь
разнородные вещи были соизмеримы», т. е. качественно равны.
Такое приравнивание может быть лишь чем-то чуждым
истинной природе вещей, следовательно лишь
«искусственным приемом для удовлетворения практической
потребности»».
«Итак, Аристотель сам показывает нам, что именно
сделало невозможным его дальнейший анализ: это —
отсутствие понятия стоимости. В чем заключается то
одинаковое, т. е. та общая субстанция, которую
представляет дом для лож в выражении стоимости лож? Ничего
подобного «в действительности не может
существовать», — говорит Аристотель. Почему? Дом противостоит
ложу как что-то равное, поскольку он представляет то,
что действительно одинаково в них обоих — ив ложе и
в доме. А это — человеческий труд.
Но того факта, что в форме товарных стоимостей все
виды труда выражаются как одинаковый и,
следовательно, равнозначный человеческий труд, — этого факта
Аристотель не мог вычитать из самой формы стоимости,
так как греческое общество покоилось на рабском труде
и потому имело своим естественным базисом
неравенство людей и их рабочих сил. Равенство и равнозначимость
всех видов труда, поскольку они являются человеческим
трудом вообще, — эта тайна выражения стоимости
может быть расшифрована лишь тогда, когда идея
человеческого равенства уже приобрела прочность народного
1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 23, стр. 69.
69
предрассудка. А это возможно лишь в таком обществе,
где товарная форма есть всеобщая Форма продукта
труда и, стало быть, отношение людей друг к другу ка"к
товаровладельцев является господствующим
общественным отношением» *.
Больше двух тысяч лет, таким образом, прошло от-
открытия Аристотелем отношения равенства в
выражении стоимости товаров, от момента констатирования у
них чего-то общего (соизмеримости) до действительного
обнаружения сущности этого общего, — от выделения
общего с помощью «определения через абстракцию» до
его прямого определения.
Здесь нужно, впрочем, заметить, что, говоря о
прямом (т. е. независимом от того отношения, в котором
происходит сравнение вещей) определении того общего,
которое делает вещи равными друг другу, мы не
обязательно имеем в виду именно явное2 его определение.
Для наиболее основных понятий науки последнее не
всегда возможно. Ибо нечто всегда определяется через
другое, в науке же нужно начать с некоторых понятий как
исходных. Эти исходные понятия науки должны во
всяком случае безусловно удовлетворять требованию быть
отвлеченными, абстрагированными из реальной,
материальной действительности, причем должен быть ясен
путь, способ их образования. Последний и выясняется,
в частности, с помощью «определений через
абстракцию», без которых невозможно, по-видимому,
закономерное образование именно основных, исходных понятий
науки. Полное, хотя, быть может, и не всегда явное,
определение этих понятий дает само дальнейшее
развитие науки. Из того, что некоторое понятие в данной
научной системе определяется лишь неявно (причем, однако,
нам известен способ его образования: именно как и от
чего оно отвлечено), никак не следует, что для нас
должно остаться неизвестным то реальное, отражением
которого служит данное научное понятие. Наоборот, всякое
истинное предложение, формулируемое с помощью этого
понятия, есть ступень на пути к полному познанию
отображаемого этим понятием момента действительности.
1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч . т 23. сто. 69—70.
2 Примером неявного определения может служить, например,
определение числа с помощью уравнения, которому оно должно
удовлетворять.
70
Быть может, именно такое положение имеет место в
отношении рассмотренного нами в начале статьи, по-
видимому, первого, и исторически и логически, понятия
математики — понятия о (количественном) числе1. Мы
установили, что с помощью этого понятия выражается
то общее, чем обладают все равномощные друг другу
множества. В чем состоит, однако, это общее? Ясно, что
не в особых свойствах составляющих их элементов и
даже не в порядке их расположения. Иногда говорят, что
числом выражается количество. Взаимоотношение
математического понятия о числе с философской
категорией количества при этом, однако, ближе не исследуется.
Но если и очень трудно свести понятие о числе к
чему-нибудь еще более простому или общему, то,
«определяя» его через равночисленность, мы вскрываем все же
связь этого основного понятия математики с реально
существующими множествами (агрегатами) вещей.
Некоторые математики полагают, что для математических
целей обнаружение этой связи вообще не играет роли,
что математик может не знать, что такое число и как
оно связано с действительностью — нужно-де только
уметь оперировать с числами — и что поэтому нельзя
ожидать и от развития математики, чтобы оно лучше
выяснило природу того общего свойства равномощных
множеств, которое выражается их числом. В
действительности это не так. На самом деле и для внутримате-
матических целей необходимо знать, что такое
количественное число, именно как оно связано с множеством.
И дальнейшее развитие математики проливает на эту
связь новый свет. Так, для конечных множеств
немедленно устанавливается факт независимости числа от
порядка счета, которому Минковский дал следующую
формулировку:
1 Ср. также примечание на стр. 44. По-видимому, с тем же
положением мы имеем дело и в отношении понятия величины.
«Математика, — пишет Энгельс, — это наука о величинах; она исходит
из понятия величины. Она дает последней скудную, недостаточную
дефиницию и прибавляет затем внешним образом, в качестве
аксиом, другие элементарные определенности величины, которые не
содержатся в дефиниции, после чего они выступают как
недоказанные и, разумеется, также и недоказуемые математически. Анализ
величины выявил бы все эти аксиоматические определения как
необходимые определения величины» (/(. Маркс и Ф. Энгельс. Соч.,
т. 20, стр. 572).
71
«Если мы хотим уложить в некоторое количество
ящиков большее количество вещей, то по крайней мере,
в одном из этих ящиков окажется одновременно два или
большее число предметов» (принцип Дирихле).
На этом, по видимости чрезвычайно простом,
принципе основывается доказательство многих глубоких
теорем теории чисел.
7. Диалектический характер
рассмотренного способа образования понятий
В настоящей статье мы не имели в виду исчерпать все
богатства проблем, связанных с «определениями через
абстракцию».
Перед нами стояла конкретная задача: показать,
сличив «определения через абстракцию» в математике с
методом выведения стоимости и денег в «Капитале», что,
несмотря на своеобразие предмета математики,
характер математического познания, способ образования
основных математических понятий по существу не
отличается от способа их образования в других науках и
объективно носит — там, где он применяется
правильно, — материалистический характер. Именно эта
сторона вопроса нас поэтому и занимала больше всего. В
заключение необходимо только отметить, что, как всякий
последовательно материалистический метод, этот способ
образования понятий носит ярко выраженный
диалектический характер.
Чтобы в этом убедиться, достаточно остановиться
вкратце на основных его особенностях:
1. Основное, что характерно для «определения через
абстракцию», состоит в том, что нечто единичное
становится характеристикой всеобщего. Вес данного куска
железа становится характеристикой свойства тяжести для
всех равных ему по весу тел. Пять пальцев руки
становятся выражением свойства «быть в числе 5» всех
множеств вещей, равномощных множеству пальцев
человеческой руки. Данный треугольник выражает фигуру всех
подобных ему треугольников, данный товар становится
выразителем стоимости всех эквивалентных ему товаров.
Характеризуя метод изложения «Капитала» как частный
случай диалектики вообще, Ленин именно эту
особенность — отдельное есть общее — в первую очередь и
72
выделяет. «Значит, — пишет он, — противоположности
(отдельное противоположно общему) тождественны:
отдельное не существует иначе как в той связи, которая
ведет к общему. Общее существует лишь в отдельном,
через отдельное. Всякое отдельное есть (так или иначе)
общее. Всякое общее есть (частичка или сторона или
сущность) отдельного. Всякое общее лишь приблизительно
охватывает все отдельные предметы. Всякое отдельное
неполно входит в общее и т. д. и т. д. Всякое отдельное
тысячами переходов связано с другого рода отдельными
(вещами, явлениями, процессами) и т. д.» К
Б. Рассел — философ, много занимавшийся
обоснованием математики, — высмеивал диалектику, издеваясь
именно над утверждением Гегеля, что отдельное есть
общее. Все дело, говорит Рассел, в неточности языка.
Мы употребляем одно и то же слово «есть» в двух
смыслах: во-первых, в смысле тождества — «А
тождественно В», во-вторых, в смысле включения элемента а в
класс В — «груша есть плод», «береза есть дерево»
и т. п. Стоит-де уничтожить эту двусмысленность путем
введения подходящей символики, и никакой
«диалектики» не останется.
В действительности, стоит сопоставить это
утверждение Рассела с приведенным нами местом из Ленина,
чтобы убедиться, что Ленин вовсе не смешивает обоих
значений слова «есть», а подчеркивает диалектический
характер связи между ними, полностью исчезающий для
метафизика Рассела. То обстоятельство, что Ленин
говорит об этом в связи с «Капиталом», уже само по себе
при этом знаменательно. Ибо Маркс рисует в
«Капитале» яркую картину того, как единичный товар
становится выразителем общего свойства эквивалентных ему
товаров. И это же, как мы видели, происходит при
всяком определении «через абстракцию». «Отдельное есть
общее» означает при этом не только то, что некоторое
отдельное включается как элемент в более общий класс,
но и то, что именно отдельное является выразителем (и
представителем) общего. Уничтожение этой
«двусмысленности» означает не только уничтожение диалектики,
столь желательное Расселу, но вместе с нею и всей науки.
1 В. И. Ленин. Поли. собр. соч., т. 29, стр. 318.
73
Это видно, в частности, и на методе абстракции, без
которого нет науки, математики в первую очередь.
2. Второй особенностью «определения через
абстракцию» нужно признать то обстоятельство, что в нем
конкретное выступает как форма проявления своей
противоположности — абстрактного: конкретное множество
вещей становится формой проявления абстрактного свой-;
ства «быть в числе 5», конкретный треугольник,
нарисованный на чертеже, рассматривается как форма
проявления абстрактного свойства — «быть треугольником
вообще» или «быть треугольником, подобным (в
некотором отношении) данному», «...конкретный труд
становится выражением абстрактно человеческого труда»1.
3. Легко заметить, что «определение через
абстракцию» опирается на единство тождества и различия.
Собственно, об этом уже шла речь, ибо мы выяснили
необходимость различия для выделения общего. Общее же и
есть сохраняющееся, тождественное в различном.
4. И наконец, четвертая особенность этого
«определения» состоит в том, что в нем вещь выступает
представителем свойства, в более общем случае — отношения.
Так, числа, как мы видели, оказываются свойствами
множеств (агрегатов, совокупностей) вещей, но формой
проявления этих свойств служат сами множества,
обладающие ими. Мне представляется вполне вероятным,
что именно в силу этого выражения абстрактного
свойства в овеществленной конкретной форме, число и
выступало для древних пифагорейцев как «нечто среднее
между чувственным и мыслью»2. И можно сказать, что
понятие числа не только для древних пифагорейцев, но
и для крупнейших математиков и философов
современности не лишено мистического налета.
О современной науке Ленин пишет по поводу
пифагорейцев: «А теперь... та же связь (научного мышления
и мифологии. — С. #.), но пропорция науки и мифологии
иная»3. О числе теперь, правда, никто не скажет, что
1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч.. т. 23, стр. 67.
2 «Числа, где они? Отделенные пространством, обитают ли они
сами по себе на небе идей? Они не суть непосредственно сами
вещи, так как вещь, субстанция, есть ведь нечто другое, чем число, —
тело не имеет никакого сходства с последним» (Гегель. История
философии. «Пифагорейская философия»).
3 В. И. Ленин. Поли. собр. соч , т. 29, стр. 225.
74
оно есть «среднее между чувственным и мыслью».
Однако наиболее распространенным является
представление о нем как о «мысленной вещи», непосредственно
данной нам в интуиции, — интуиции в смысле кантовского
наглядного созерцания a priori, т. е. особой способности
нашего духа, занимающей некоторое среднее положение
между чувственным и мыслью... lex же щей, но пожиже
влей...
Перед нами, таким образом, яркий пример того, как
непонимание диалектических черт процесса ооразования
абстракций, метафизическое отделение единичного ог
всеобщего, конкретного от абстрактного, вещи от
отношения приводят к мистике и используются идеализмом,
который из того обстоятельства, что конкретная вещь
выступает в качестве представителя (и выразителя)
абстрактного свойства, делает вывод, что самое это
свойство есть «мысленная вещь», «чистое творение
фантазии и рассудка».
Подводя итог, нужно только заметить, что и здесь
приходится вести борьбу на два фронта, ибо одни
вместе с Лейбницем считают возможным остановиться на
констатировании отношения равенства между вещами,
определить не число, а только равночисленность, не
отношение, а лишь пропорцию (равенство отношений);
другие же хотят, чтобы общим была непременно вещь.
Диалектическое взаимоотношение вещи и отношения,
таким образом, разрывается: одни уничтожают вещь,
другие — отношение. Понятно, что вещей не любят
идеалисты; наоборот, с отношением не может справиться
механицизм. Поэтому одни смотрят на «определение
через абстракцию» как на творческий акт создания
«идеальных объектов», другие же хотят осязать
«пространство и питаться плодами, как таковыми».
МИШЕЛЬ РОЛЛЬ КАК КРИТИК АН\ЛИЗА
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ1
В «Математических рукописях» Маркса, в разделе о
«Мистическом дифференциальном исчислении» Ньютона
и Лейбница есть место, гласящее:
«Итак, сами верили в мистический характер
новооткрытого исчисления, которое давало правильные (и
притом в геометрическом применении прямо поразительные)
результаты математически положительно неправильным
путем. Таким образом сами себя мистифицировали и тем
более ценили новое открытие, тем более бесили толпу
старых ортодоксальных математиков и вызвали таким
образом враждебный крик, отдавшийся даже в мире
несведущих в математике людей и бывший необходимым
для того, чтобы проложить путь новому»2.
В этих немногих словах дана краткая, но яркая
характеристика ряда страниц из истории первых шагов
дифференциального исчисления, которой обычно уделяют
мало внимания потому, что собственно математическое
содержание того «враждебного крика», о котором
говорит Маркс, имеет лишь ограниченную ценность. Однако
с исторической стороны и этот «враждебный крик» не
лишен интереса. Недаром Маркс считал его даже
«необходимым для того, чтобы проложить путь новому».
С этой же исторической точки зрения крайне
поучительно проследить за тем, как и в истории математики
подтверждается марксистско-ленинское положение о
неодолимости того, что возникает и развивается.
Среди критиков дифференциального исчисления
особенно любопытна фигура Мишеля Ролля. Всякий
обучающийся теперь дифференциальному исчислению уже
на первых шагах обучения встречается с теоремой
Ролля. Но лишь немногим известно, что Ролль был горячим
противником того самого дифференциального
исчисления, успеху которого он содействовал не только своей
1 Статья опубликована в работе «Труды Института истории
естествознания», том I. M, 1947.
2 Сб. «Марксизм и естествознание». М., 1933, стр. 54.
76
теоремой, но и своими выступлениями против анализа
бесконечно малых. Содержание этих его выступлений
нас здесь и будет интересовать по преимуществу.
Однако предварительно нам придется остановиться на других
работах Ролля, в первую очередь относящихся к
теореме, носящей его имя.
1
Сведения о Ролле, помещаемые в курсах истории
математики, очень скудны. Пожалуй, лучше всего выразил
их общую установку Буайе в своей «Истории
математики»1. «Противники анализа бесконечно малых, — пишет
Буайе, — не заслуживают того, чтобы на них долго
задерживаться». Роллю на этом основании он уделяет
всего пару строк. В известном курсе «Истории математики
в XVI и XVII веках» Г. Г. Цейтена Ролль упоминается
в двух словах как алгебраист; о нем сообщается также,
.что он дал «чисто алгебраический способ получения тех
величин, которые мы называем теперь рядом
производных левой части алгебраического уравнения f(x) ^=0». Это
обстоятельство, а также одна теорема, связанная с ним
и с теоремой, названной именем Ролля, заставляют
Цейтена отнести его к числу предшественников исчисления
бесконечно малых. О том, что Ролль был противником
этого исчисления, из книги Цейтена читатель вообще не
узнает2. Больше всего внимания Роллю как критику
анализа бесконечно малых уделяет Монтюкла3. По
существу его работа до сих пор остается основным
источником по интересующему нас вопросу, так как М.
Кантор4 почти дословно повторяет (только в сокращенном
виде) Монтюкла.
Ролль родился в 1652 г в нижней Оверни (Ambert).
Двадцати трех лет от роду он «явился, по выражению
Монтюкла, в Париж без другого имущества, кроме
поразительной способности к вычислениям». По другим
1 /. Boyer. Histoire des mathematiques. Paris, 1900.
2 Ролль, правда, выступил против анализа бесконечно малых в
1701 г., а книга Цейтена посвящена истории математики в XVI и
XVII вв.
3 Е. Montucta. Histoire des mathematiques, (vol. 4). Paris, 1799—
1802, vol. Ill, p. HO—116.
4 M. Cantor. Geschichte der Mathematik. Leipzig, Bd. Ill, S. 276.
77
источникам, ему пришлось зарабатывать на жизнь,
занимаясь ремеслом переписчика. Математическая
карьера Ролля началась с решения одной неопределенной
задачи, которую Озанам, считавшийся очень сильным в
вопросах этого рода, не сумел решить до конца.
Благодаря этому обстоятельству Ролль был приглашен (1685)
Кольбером в созданную тогда Парижскою академию,
платным членом которой (так называемым геометром-
пенсионером) Ролль и оставался до смерти. Он умер в
1719 г.
Ролль написал несколько работ, из которых обычно
упоминаются: «Трактат по алгебре» (1690), «Метод
решения неопределенных задач» (1699), «Мемуар об
обратных задачах на касательные» (1704). Монтюкла
характеризует их как такие, «где сквозь туман и новизну
языка, которые ему присущи1, были подмечены
остроумные и далеко ведущие методы». «Но в остальном, —
дродолжает Монтюкла, — он провел свою жизнь в
оспаривании анализа Декарта и дифференциального
исчисления, в розысках случаев, где их методы, с его
точки зрения, терпели неудачу, и во все эти диспуты он
вносил горячность и торжествующий тон, совершенно
неуместные». По-видимому, Монтюкла несколько
несправедлив к Роллю. Во всяком случае он рисует его
портрет следующими словами: «...это был искусный
алгебраист, неутомимый вычислитель, но человек исключительно
самоуверенный по отношению к своим идеям, очень
поспешный в выводах и даже завистливый к чужим
изобретениям». Однако он отдает ему долг как алгебраисту:
его нападение на анализ, говорит он, могло бы быть
серьезным и опасным, «если бы успех его отвечал его
задору и репутации, которую он заслужил в самых трудных
вопросах алгебры».
Почему же, если верно последнее, Ролль не понял
значения дифференциального исчисления? Что было в
последнем такого, что могло сделать его недоступным
даже для неплохого математика?
1 Об этом же «тумане и новизне языка», словно сговорившись,
пишут и другие историки математики, излагающие работы Ролля.
Использованный мной мемуар, посвященный критике «Анализа
бесконечно малых» Лопиталя, никаким особым «туманом» не
отличается.
78
Однако был ли Ролль подлинно незаурядным
математиком? И каково могло быть действительное
содержание теоремы Ролля, если он был противником
дифференциального исчисления?
2
По форме вопрос о том, имеется ли на самом деле в
работах Ролля «теорема Ролля», допускает, казалось бы,
лишь один из двух ответов: либо да, либо нет, В
действительности на него затруднительно ответить как да, так
и нет, если вопрос поставлен в этой общей форме.
«Теорему Ролля» находят обычно в его вышедшем в
1690 г. «Трактате об алгебре или общих принципах
решения хматематических вопросов» *. Буайе и Ринди видят
ее при этом конкретно в предложении, гласящем:
«Если в каскаде имеются эффективные корни, то
гипотезы этой каскады дают поочередно одна +, а другая
—», («Трактат», стр. 128).
Вряд ли современный математик увидит в этом
предложении что-нибудь напоминающее столь привычную
для него «теорему Ролля»! Но и разобравшись в вопросе
1 «Traite d'Algebre ou principes generaux pour resoudre les
questions de mathematique, par M. Rolle, de TAcademie Royale des
Sciences et professeur en mathematique». Paris, 1690, in 4°.
«Трактат» остался мне недоступным. Содержание его излагаю
по Кантору, Кэджори, Буайе и Ринди, приводящим ряд подлинны^
выдержек из «Трактата». Хотя каждая из использованных мной
работ в отдельности и не дает еще полного представления о
«Трактате», совокупности их, по-видимому, достаточно.
Когда статья уже была написана, я обнаружила в «Лексиконе
чистой и прикладной математики, составленном академиком
В. Я< Буняковским» и изданном в 1839 г. (теперь «Лексикон»
является библиографической редкостью), очень подробное и
обстоятельное, с рядом выдержек и пояснений к ним, изложение
«Трактата» Ролля. Поскольку, однако, оказалось, что составившееся у
меня представление подтверждается и на материале, приводимом
В. Я. Буняковским, мне не пришлось вносить каких-либо изменений
в настоящую статью. Все же считаю необходимым обратить
внимание читателя на работу В. Я. Буняковского, до сих пор остающуюся
лучшей из посвященных Роллю как алгебраисту в литературе по
истории математики, как русской, так и иностранной (см.
«Лексикон чистой и прикладной математики, составленный Императорской
Академией Наук экстраординарным академиком и доктором наук
Парижской Академии В Я Буняковским», том I А. Д.
Санкт-Петербург. В типографии Императорской Академии Наук, 1839, in 4°,
стр. 153—161 («Cascades methode des». Способ каскад, уступов).
79
по существу, — что, несмотря на необычную и
свойственную только Роллю терминологию, в общем все же
нетрудно сделать, — мы убеждаемся, что вообще в
«Трактате» речь идет непосредственно не о «теореме
Ролля», а лишь о некотором простом следствии из нее.
Чтобы в этом удостовериться, необходимо выяснить
раньше всего, что такое «каскада», «эффективные корни»,
«гипотезы». Начнем с последних. Под «гипотезами»
Ролль понимает числа, не удовлетворяющие
непосредственно уравнению, но способствующие нахождению его
корней: такие, между которыми лежит корень уравнения,
что, в частности, будет иметь место, если одно из этих
чисел при подстановке вместо неизвестной в левую часть
уравнения /(г)=0 дает положительный, а другое
отрицательный результат. «Если мы подставим два числа на
место неизвестной, каждое в отдельности, — пишет
Ролль, — и если одно из этих чисел дает положительный,
а другое отрицательный результат, то всегда имеется
корень, превосходящий наименьшее из чисел и
превзойденный наибольшим. Эти два числа будут называться
гипотезами» («Трактат», стр. 103).
Гипотезы Ролль подразделяет на крайние и средние.
Между крайними лежат все корни уравнения, средние
он старается подобрать так, чтобы между ними лежало
це более одного корня. Решению именно этой задачи и
посвящен его метод каскад. Дальнейшее сближение
гипотез с целью приближенного вычисления корня с любой
степенью точности уже не представляет, с точки зрения
Ролля, особых трудностей и может быть выполнено
разными способами: методом проб, пытаясь, например,
подставить на место неизвестной арифметическое среднее
двух уже найденных гипотез, или, если z=с есть
приближенное значение неизвестной, посредством подстановки
z=c+x с тем, чтобы далее искать х («Трактат», стр. 103
и 107).
Раньше, чем применить свой метод каскад, Ролль
преобразует уравнение так, чтобы оно имело только
положительные корни. Этого он добивается, заменяя
уравнение таким, члены которого имеют шпеременно разные
,знаки. «Когда первому члену, третьему, пятому,
седьмому и вообще всем нечетным членам предшествует знак
+ , а всем остальным членам предшествует знак —, мы
скажем, что знаки равенства (Ролль называет уравне-
80
пие равенством: egalite. — С. Я) выходят поочередно.
И можно всегда сделать, чтобы знаки были
чередующимися, посредствЬм следующего правила» («Трактат»,
стр. 120). Правило'это состоит в том, что выбирается
наибольший по абсолютной величине отрицательный
коэффициент уравнения — g; g делится на коэффициент
старшего члена (предполагаемый всегда
положительным) и к полученному частному добавляется единица.
Если теперь за h принять найденную сумму или
ближайшее к ней большее целое число, то подстановка z=h—х
приводит к желаемой цели. Ролль не доказывает этого
правила, но демонстрирует правильность его на
примерах. Так, в случае
8г*-5*-2=е А = -|- + 1 + -jj-=2,<
и подстановка г=2—х переводит данное уравнение в
8*2-27х+20=6,
знаки которого чередуются 1.
Если в уравнении нет отрицательных коэффициентов,
но хотя бы один член отсутствует, то за g
принимается нуль, и делается подстановка г=1—х. Если и отсут-
1 Вместо нуля («pour marquer le rien») Ролль употреблял
обычно греческую букву 0. Хотя М. Кантор замечает по этому поводу,
что «мы не в состоянии были бы ответить на вопрос, почему нуль
не остался в своих правах», мне представляется, что для Ролля
это нововведение не было простой причудой: не хотел ли он
подчеркнуть им, что рассматривает нуль не в его поместном значении,
а именно как число? Во всяком случае, он пишет: «Заметим, что
для обозначения ничего мы будем ставить иногда 0, т. е., что
знак 0 будет означать полное отсутствие всякой величины, как
положительной, так и отрицательной».
Предположение Таннери, что Ролль употреблял 0 во
избежание смешения нуля с буквой О, которой Виета и его ученики
пользовались наряду с другими гласными для обозначения неизвестных,
малоправдоподобно, так как сам Ролль, усвоивший символику
Декарта, не употреблял буквы 0 для обозначения неизвестных, в то
время как 0 наряду с другими греческими буквами встречается у
него и в отличном от нуля смысле. Таким образом, вряд ли это
обозначение принято во избежание смешения нуля с буквой.
Скорее наоборот: чтобы подчеркнуть оперативное сходство с ней.
В «Intermediaire des mathematiciens», vol. II, 1895, G. Enestrom
отмечает, что слово тэта в смысле ничто встречается уже в одной
работе, относящейся к 1503 г. и озаглавленной «Opusculum de praxi-
numerorum», которая ему кажется совпадающей с известным Algoris-
тиз'ом Sacrobosco.
81
ствующих членов нет, то для получения правильного
чередования знаков достаточно подстановки z= —х.
Полученное уравнение называется подготовленным
(prepare), и Ролль в дальнейшем оперирует только с ним.
Так как найденное выше число h служит верхней
границей действительных корней первоначального
уравнения, то новое уравнение не имеет отрицательных корней,
и за меньшую из его крайних гипотез может быть взято
число нуль. Большая крайняя гипотеза может быть при
этом найдена по способу определения числа h
(«Трактат», стр. 124) и Роллю остается только указать способ
отыскания средних гипотез. Как уже было упомянуто,
этой цели и служит его метод каскад.
Для выяснения того, что такое «каскада»,
предоставим слово самому Роллю: На стр. 125 своего «Трактата»
Ролль приводит «первое правило каскад», которое
гласит:
«Помножим каждый член равенства на его
собственный показатель, поделим сумму всех произведений на
неизвестную и предположим, что частное равно Э.
Помножим каждый член этого равенства на его
собственный показатель, поделим сумму всех произведений
на неизвестную и предположим, что частное равно Э.
Поступим так же с этим последним равенством и с
каждым равенством, образованным частными по мере
того, как правило будет их порождать, пока мы не
придем к равенству первой степени, не забывая делить
первое частное (le premier quotient) только на неизвестную,
второе частное на удвоенную неизвестную, третье
частное на утроенную неизвестную и т. д. Каждое из этих
равенств будет называться каскадощ поэтому когда мы
будем говорить в дальнейшем о каскадах, то под этим
нужно понимать не только последовательность равенств,
но нужно будет помнить, что эти равенства могли быть
доставлены правилом, которое здесь разъясняется, или
эквивалентным 'правилом. Каскада первой степени будет
называться первой каскадощ таковую второй степени
назовем второй каскадой и т. д. Если возьмем, например,
равенство 1
v4 —24v8+198w —648v + 473oo6,
1 Вместе с Декартом Ролль употреблял еще знак оо как знак
равенства.
82
помножим каждый член на его показатель, именно y4
на 4, — 24 у* на 3, 198уу на 2, — 648у на 1, +473 на 9,
и сумма всех этих произведений даст
4v4-72v3-f396w — 648v,
разделим эту сумму на неизвестную у и, предполагая,
что частное равно Э, мы найдем такую каскаду:
4>з — 72w + 396v — 648 со б
Чтобы найти другую каскаду, помножим каждый
член на его собственный показатель, т. е. 4 у3 на 3,
—72 YY на 2, +396 у на 1, — 648 на Э, и, деля сумму всех
этих результатов (quotients) на 2 у, мы найдем 6yy—
— 72 y+ 198 оо0. Наконец, если умножить каждый член
этой каскады на его показатель и разделить сумму всех
произведений на Зу, мы найдем последнюю каскаду
4v — 24ооб
Эти каскады можно расположить следующим образом:
Первая каскада: 4у — 24 °э 6
Вторая каскада: 6yy— 72 y+ 198 ooQ
Третья каскада: 4 y3 — 72 yy + 396 у — 648 оо 6
Четвертая каскада: y4 — 24 y3 + 198 yv — 648 y +
, + 473 сю О».
Мы видим, таким образом, что каскадой (п—&)-го
порядка называется уравнение
«2М=0,(к=0,1,...,л-1),
где /(г)=0— алгебраическое уравнение я-ой степени, и
что процесс последовательного образования каскад
низшего порядка происходит через нахождение
последовательных производных от алгебраической функции /(г).
Ролль приводит и другие способы образования
каскад, например, через вычисление коэффициентов
расположенного по степеням х многочлена f(x+z)y где
/ (y) =0 — первоначально заданное алгебраическое
уравнение и y положено равным х+г.
В «Трактате» за этим следует утверждение, что
последовательные (действительные) корни всякой каскады
&-го порядка должны быть использованы как средние
гипотезы для корней каскады (& + 1)-го порядка; иными
словами, что между двумя последовательными действи-
83
тельными корнями производной лежит не более одного
действительного корня функции, — предложение,
непосредственно следующее из «теоремы Ролля», но не
являющееся все же этой теоремой. Однако, чтобы быть
уверенными в правильности этой интерпретации, нам
остается еще выяснить, что именно понимает Ролль под
«эффективными корнями». Для этой цели можно
воспользоваться его собственными словами. «Мы
предполагаем также, — пишет он, — что во всяком равенстве
имеется столько же корней, как и измерений, и если их
имеется меньше, то недостающие будут называться
недостаточными корнями (racines defaillantes)» («Трактат»,
стр. 124). Таким образом, недостаточными корнями
оказываются, во-первых, все, кроме одного для каждого из
них, кратные корни уравнения и, во-вторых, мнимые
корни. Все остальные (т. е. не «недостаточные корни»)
называются эффективными корнями (там же, стр. 124).
Заметим, что Ролль обобщает в дальнейшем понятие
гипотезы, понимая под гипотезами каскады вообще два
последовательных эффективных корня ближайшей каскады
низшего порядка (производной). Это дает ему право
установить различение между кратными и мнимыми
корнями с помощью следующих определений: «Если
случается, что гипотезы дают 8 вместо того, чтобы давать + или
—, тогда каждая из этих гипотез будет одним из
корней каскады, в которую делается подстановка, и в этой
каскаде придется считать один недостаточный корень
первого рода для каждой из гипотез, которые произведут
этот эффект» (там же, стр. 129). «Если подстановка
гипотез не дает ни 0, ни требуемых + и — ..., тогда мы
будем считать два недостаточных корня... Когда корни
отсутствуют таким образом, они будут называться
недостаточными второго рода» (там же, стр. 130, 131).
Мы видим, что эти определения опираются на
приведенное нами в начале раздела предложение, что «если в
каскаде имеются эффективные корни, то гипотезы этой
каскады (т. е. последовательные действительные корни
ее производной. — С. #.) дают поочередно одна +, а
другая —», в котором Буайе и Ринди видят «теорему
Ролля» и которое в действительности означает только,
,что действительные (не кратные) корни многочлена
лежат между последовательными действительными
корнями его производной.
84
Таким образом, в «Трактате по алгебре» Ролля
«теоремы Ролля» вообще нет. Не удивительно, что некоторые
авторы 1 предпочитают говорить о «так называемой
теореме Ролля», между тем как другие2 возражают
вообще 'против приписывания этой теоремы Роллю. Не
получил ли, однако, Ролль это предложение как
промежуточное при доказательстве своего «метода каскад»?
Такую догадку высказал Г. Энштрем3, а Фл. Кэджори4
удалось подтвердить ее правильность путем
исследования крайне редкой, некоторое время считавшейся даже
утерянной книги Ролля, содержащей доказательство его
метода каскад и вышедшей не позже чем через год после
«Трактата», т. е. в 1691 г. История обнаружения этого
доказательства довольно поучительна. В предисловии к
книге под заглавием «Методы решения неопределенных
уравнений алгебры», вышедшей в 1699 г., Ролль
упоминает о книжке, трактующей об «effections geometriques»,
и содержащей это доказательство. Выражение «sur les
effections geometriques», а также то соображение, что
Ролль не мог «в то время ничего не знать о
применениях производной в исчислении бесконечно малых —
применениях, из которых легко вытекает его 'предложение,
особенно если изобразить #=/(*) геометрически»,
заставили Г. Г. Цейтена 5 заключить, что предложение,
содержащееся в «методе каскад» и на современном языке
устанавливающее, что «между двумя последовательными
корнями уравнения р+1} (х)=0 имеется не более одного
корня уравнения /^(jc)=0», было найдено Роллем
методами анализа бесконечно малых, и притом
геометрическим путем. На то, что сам Ролль нашел свое
предложение именно таким образом, пишет тут же Цейтен,
указывает уже заглавие маленькой книги, которая должна
содержать его доказательство, — «О геометрических
представлениях» («Sur les effections geometriques»)».
1 A. Loewy. — Ostwalds Klassiker. Nr. 127, p. 251; Л. Prings-
heim. — Bibl. mathem., 1900, 13, p. 454.
2 A. Braunmuhl. v. —Bibl. mathem., 1903, 43, p. 399.
3 Bibl. mathem., 1906—1907, 73, p. 302.
4 Fl. Cajory, On Michel Rolle's book «Methode pour resoudre
les egalitez» and the History of «Rolle's theorem». — Bibl. mathem.,
Folge 3, 1911, p. 300—313.
5 Г. Г. Цейтен. История математики в XVI и XVII веках. М.,—
Л., 1938, стр. 342.
85
Если бы Цейтен был прав, то Роллевскую критику
анализа бесконечно малых, о которой речь ниже,
следовало бы признать по меньшей мере недобросовестной.
Получилось бы, что Ролль опровергал те самые методы,
которыми он сам с успехом пользовался. На самом деле
.положение вещей, однако, не таково. Книга, о которой
дцет речь (т. е. содержащая обоснование «метода
каскад»), озаглавлена «Demonstration (Tune Methode pour
resoudre les egalitez de tous les degrez; suivie de deux
autres Methodes, dont la premiere donne les moyens de
resoudre ces memes egalitez par la Geometrie, et la se-
conde, pour resoudre plusieurs questions de Diophante qui
n'ont pas encore este resolues» («Доказательство одного
метода решения уравнений всех степеней; в
сопровождении, двух других методов, из которых первый дает
способы решения тех же уравнений посредством геометрии,
а второй — решения различных задач Диофанта, до сих
пор еще не решенных»).
Геометрический метод решения уравнений, о котором
тут идет речь, принадлежит Декарту и состоит в
решении уравнений построением с помощью пересечения
кривых. Так как при этом находятся только «эффективные
корни», то, быть может, этим объясняется и выражение
«effeclions geometriques», во всяком случае вряд ли
означающее «геометрические представления». Самое же
доказательство «метода каскад», действительно
содержащее теорему, в области алгебраических функций
равносильную «теореме Ролля», никакого отношения ни к
бесконечно малым, ни к геометрии вообще не имеет и
лишний раз доказывает, как шатки умозаключения,
построенные на словах, вырванных из контекста, или на
предвзятых мнениях!
Так как упомянутая выше работа Кэджори содержит
подробное и переданное по преимуществу словами
самого Ролля изложение его «Доказательства», я
ограничусь здесь указанием основной идеи, использованной
Роллем для доказательства теоремы, на современном
языке гласящей, что между двумя действительными
корнями многочлена всегда лежит корень его производной,
т. е. «теоремы Ролля» для частного случая
алгебраических функций.
Свое доказательство Ролль начинает с уравнений, все
рорни которых эффективны и положительны, т. е. кото-
86
рые имеют только действительные, и притом различные
положительные корни. Заметим также, что под
«умножением на прогрессию у, у+у, у + 2у и т. д.» Ролль
понимает умножение низшего члена многочлена на у,
следующего на у+у и т. д., с последующим сложением
найденных произведений.
В основе его доказательства лежит простое
замечание, что если произведение (г—а) (г—Ь) «умножить на
прогрессию у, у + уУ у + 2у»у то полученный результат при
z = b будет иметь множителем b—а. Ясно, что то же
остается в силе и для произведения (г—а) (г—Ь) на тгп.
Пусть имеем многочлен F(z)y равный
{z —a) (z — b) (z — c) (z — d) (z — ё)
и расположенный по убывающим степеням z.
Если теперь положить
(г-с) (г-d) (z-e) ... = f-f gz + hz* + vz*+...,
то результат «умножения» многочлена F(z) на
прогрессию 0, 1, 2, 3,.. может быть представлен в виде суммы
«произведений»
(z — a) {z — b) f на прогрессию 0, 1, 2
(z — a) (z — b) gz на прогрессию 1, 2, 3
(z — a) (z — b)hz2 на прогрессию 2, 3, 4
и т. д.
Каждое из этих «произведений», по предыдущему,
делится на b—а при z=b, а поэтому делится и их сумма 1.
Итак, при z—b, где b — корень уравнения F(z)=0,
результат «умножения» многочлена F(z) на прогрессию
О, 1,2, 3..., а следовательно, и левая часть ближайшей к
F(z)=0 каскады имеет множителем Ь—а, где а — любой
другой корень уравнения F(z)=0.
Так как b и а совершенно произвольные корни
уравнения F(z)=0, то отсюда следует немедленно, что при
1 В этой части своего доказательства Ролль использует
примененный Гудде в первом дополнении к «Геометрии» Декарта метод.
Гудде доказывал здесь аналогичным образом, что если у является
кратным корнем алгебраического уравнения, то у будет и корнем
Уравнения, получаемого почленным умножением коэффициентов
данного уравнения на произвольную арифметическую прогрессию.
Подробнее см. об этом: Г. Г. Цейтен. История математики в XVI и
XVII веках, стр. 340—341.
87
z=a результат «умножения» F(z) на прогрессию 0, 1, 2,
3... (и последующего деления на г) может быть
представлен в виде произведения
[а — Ь) [а —с) [a — d) [а — е) ...,
дри z=b в виде
(b-а) (Ь-с) [b-d) (b-e) ...,
дри 2=св виде
(с —a) (c — b) [c—d) (с — е) ...,
и т. д.
Если корни уравнения F(z)=0 положительны и
расположены в убывающем порядке, т. е.
a^>b^>c^>d^>e ...,
то первое из этих произведений состоит только из
положительных множителей; во втором положительны все
множители, кроме первого, в третьем все, кроме первых
двух, и т. д. Иными словами, при 'z=а левая часть
ближайшей каскады (т. е. производная от F(z))
положительна, при z=b — отрицательна, при z—c — снова
положительна, затем отрицательна, и т. д. А это
означает, что корни уравнения F(z)=0 служат гипотезами
для корней его ближайшей каскады: «ses racines sont
les hypotheses des racines de la Cascade immediate»
(«Demonstration», Art. IX, Cor. VI).
«Теорема Ролля» для уравнений, все корни которых
положительны, следует отсюда немедленно. Именно она
и служит по существу основой «метода каскад» Ролля.
Заметим, что распространение ее на случай уравнений,
имеющих мнимые корни, происходит путем
представления левой части уравнения в виде произведения двух
многочленов, из которых один имеет только
действительные, а другой — только мнимые корни.
Мы видим, таким образом, что Ролль, во всяком
случае, не лишенный творческих способностей математик,
обладающий при этом специфически алгебраическими
(а не геометрическими) интересами и склонностями и
для своего времени чрезвычайно развитым стремлением
К строгости. Последнее видно уже из одной цитаты,
приводимой Кэджори и относящейся к 1708 г.: «В
отношении математики достаточо часто замечают, что то, чго
88
не доказано со всей строгостью, вообще не доказано, и
что нет никакой достоверности, кроме полной».
Этот характер творчества Ролля, пожалуй, еще
лучше виден на следующем примере. Роллю известно
правило Гудде для определения экстремальных значений
алгебраической функции с шомощью теории кратных
корней, из которого следует, что функция достигает этих
своих значений в точках, в которых ее производная
обращается в нуль, т. е. в точках, по терминологии Ролля,
являющихся корнями ближайшей каскады низшего
порядка. Но как он это доказывает?
Основная идея доказательства Ролля может быть
продемонстрирована на простом примере, который я
разрешу себе изложить несколько более свободно. Пусть
имеем многочлен f(z) и пусть а, 6, с — три
последовательных действительных корня его производной. Так как
между двумя последовательными нулями производной не
может быть более одного нуля функции, то в
промежутках (я, Ь) и (&, с) функция f{z) обращается в нуль не
более чем по одному разу. Пусть, кроме того, числа /(а),
/(^)> f(c) Дают следующую последовательность знаков:
+ -+. (о
Докажем, что в таком случае f (b) есть минимальное
значение / (z) в промежутке (а, с).
Допустим, что это не так, т. е. пусть в промежутке
(а, с) существует число р, для которого f(P)<f(&),
причем для определенности предположим сначала, что р
лежит между а и Ь. Введем в рассмотрение новую функцию
?(*)=/(*)-/, (2)
где /№)</</(*)• • (3)
Так как ф'(г) =f(z), то в промежутке (а, Ь) функция
Ф (г) также не может обращаться в нуль более
одного раза. Между тем из того, что f(a) >0 и Kf(b) <0,
следует, что оба числа ф(а), ф(&) положительны. Так
как, далее, из (2) и (3) следует, что
?1Р)=/(Р)-*<о,
то для чисел ф(я), ф(Р), ф(&) мы получаем
последовательность знаков + — +, означающую, вопреки дока-
89
занному выше, что в промежутке (а, Ь) функция q>(z)
обращается в нуль по меньшей мере два раза.
Совершенно так же придем к противоречию в случае Ь<$<с.
Мы видим, что Ролль отнюдь не прибегает к
соображениям геометрической наглядности и обходится без
каких бы то ни было бесконечно малых. Так как
материалом его исследований являются к тому же только
алгебраические функции, то не удивительно, что он
вообще не испытывает потребности в анализе бесконечно
малых. А так как последние не удовлетворяют, с его
точки зрения, основному требованию математической
строгости, то отнюдь не обязательно прибегать, как это
делает Монтюкла, к аргументу о завистливости Ролля
или о влиянии на него посторонних лиц, чтобы
объяснить, почему он выступил с критикой вышедшего в 1696 г.
анонимно «Analyse des infiniment petits» Лопиталя 1.
з
Знаменитая книга Лопиталя, история которой в свете
новейших данных подробно изложена А. Юшкевичем во
вступительной статье к русскому переводу «Анализа
бесконечно малых», сыграла большую роль в деле
распространения нового тогда дифференциального исчисления.
Самые недостатки этой книги носили также типичный
характер: они были присущи в основном той форме
дифференциального исчисления, которую оно приняло в
руках своих первых творцов и которую Маркс называет
«мистическим дифференциальным исчислением».
Сущность последнего состояла в том, что «дифференциалы...
были введены с самого начала по определению как
самостоятельные, отделенные от переменных величин, из
которых они возникли, существования, а не выведены
каким-либо математическим путем»2, что приращения
переменных просто отождествлялись с дифференциалами:
«Х\ = х + Ах с самого начала превращается в X\ = x+dx,
где dx предпосылается с помощью метафизического
разъяснения. Сперва существует, а затем разъясняется».
Того, «что... математически правильный результат
основывается на столь же математически ложном в самом
1 Русский перевод: Г. Ф. де Л'Опиталь. Анализ бесконечно
малых. М.—Л., 1935.
2 Сб. «Марксизм и естествознание», стр. 46.
90
основании предположении, именно на замене с самого
начала х\—х~^х через х\—x=dx..., — этого не знали»1.
При этом дифференциалы не могли быть ни
конечными отличными от нуля величинами, так как иначе
была бы незаконна операция их отбрасывания, ни нулями.
«Поскольку... Ньютон... не определяет наращений
переменных х, yf etc с помощью математического вывода, но
сразу штемпелюет их в дифференциалах х, у, etc,
последние не могут быть =0... В самом деле, алгебраическое
полагание этих наращений с самого начала =0
приводит лишь к тому же, что и ... полагание сразу же ft = 0,
а значит, и £=0 в уравнении (y+k)—y=2xh + h2y т. е. в
последнем счете к 0=0». «Таким образом не остается
ничего другого, кроме как представить себе наращения
переменных как бесконечно малые наращения и приписать
им как таковым самостоятельное существование... Но
бесконечно малые величины суть так же величины, как
и бесконечно большие (слово «бесконечно» означает на
самом деле лишь неопределенно малые). ...dxdx имеет
такое же 'Право на существование, как и 2xdx.
Уничтожая в y=uz+zu+uz слагаемое иг вследствие его
бесконечной малости по сравнению с иг, или ги, мы могли бы
математически помочь себе лишь тем, что смотрели бы
на uz+zu лишь как на приближенное значение,
мыслимое сколь угодно близким к точному... Но тогда
получается еще большее чудо: этим методом мы получаем
для производной функции х совсем не приближенное, но
совершенно точное... значение»2.
Именно это положение вещей и вызвало тот
«враждебный крик», о котором уже шла речь выше и в
котором голосу Ролля принадлежало не последнее место.
С 1700 г. Ролль начал выступать против нового
исчисления с рядом докладов и мемуаров, на одном из
которых, напечатанном в Мемуарах Парижской Академии
за 1703 г., мы остановимся подробнее. Дело в том, что
Монтюкла, работа которого до сих пор является
основным источником по интересующему нас вопросу,
излагает содержание Роллевской критики анализа лишь по не
напечатанному, но бывшему у него в руках ответу Ва-
риньона, ограничившись в отношении собственного ме-
1 Сб. «Марксизм и естествознание», стр, 52, 54.
2 Там же, стр. 48—49.
91
муара Ролля несколькими строками, к тому же отнюдь
не адекватно отражающими его действительное
содержание 1. Мемуар этот, озаглавленный «О новой системе
бесконечного», представляет собой пространную, подчас
излишне многословную и придирчивую, но в общем все
же отнюдь не такую нелепую, как ее изображает Мон-
тюкла, критику книги Лопиталя. Основное содержание
этой критики будет изложено далее. Предварительно
заметим, что хотя Лопиталь и отмечает в предисловии
применимость нового исчисления к «механическим, или
трансцендентным кривым», но в его книге никакие
функции, кроме алгебраических, не дифференцируются. А мы
видели, что в этой области Ролль владел некоторым
эквивалентом дифференциального исчисления. Это делало
его нечувствительным к достоинствам нового исчисления,
но зато подчеркивало его недостатки, основным из
которых, с точки зрения Ролля, был недостаток строгости.
«На геометрию всегда смотрели, — писал он, — как
на точную науку и даже как на источник строгости,
распространенной во всех остальных частях математики.
Среди ее принципов были только настоящие аксиомы:
все теоремы и все задачи, которые в ней предлагались,
были либо основательно доказаны, либо допускали
основательное доказательство; и если в нее проскальзывали
1 Вот полностью место, посвященное Монтюкла критике
собственных мемуаров Ролля.
«Недоразумения на недоразумениях, иногда ошибки в
вычислениях и крайняя самоуверенность — вот все, что представляли его
мемуары. Они не были все напечатаны: мы находим лишь один из
них в Мемуарах Академии за 1703 г. Естественно было ожидать
встретить там кажущиеся наиболее правдоподобными возражения,
которые можно выдвинуть против дифференциального исчисления.
Ничего подобного! Мы видим, как Ролль... делает большие усилия,
чтобы доказать, что уравнение в его иррациональной форме
абсолютно то же и обозначает ту же кривую, как и когда оно
освобождено от радикалов. Но его доводы жалки и основаны лишь на
двусмысленности. Самый простой пример был бы достаточен, чтобы
закрыть ему рот. Действительно, как ни был он ослеплен своей
страстью против дифференциального исчисления, осмелился ли бы
он сказать, что у2 = ах и у = Vах означают полностью одну и
ту же кривую; нет, без сомнения. Самый посредственный аналист
видит с первого взгляда, что первое обозначает всю параболу, а
второе выражает лишь одну из ее ветвей. В этом нет ничего, что
могло бы нас удивить; второе уравнение содержит лишь один из
корней первого, которые суть
92
какие-нибудь предложения ложные или мало
достоверные, то их тотча'с же изгоняли из этой науки.
Но кажется, этот характер точности не господствует
больше в геометрии с тех пор, как к ней примешали
(L'on у a mele) новую «Систему бесконечно малых». Что
касается меня, я не вижу, чтобы она дала что-нибудь для
ястины, и мне представляется, что часто она скрывает
ошибку».
За этими словами, с которых начинается мемуар,
следует перечисление допущений «Системы», а затем
собственно критика ее, разбитая на «первые», «вторые» и
«третьи трудности».
Наибольший интерес представляет как раз та часть
критики, которая направлена против принципов нового
исчисления и на которой Монтюкла остановился меньше
всего даже в своем изложении ответа Вариньона Роллю.
Действительно, он ограничивается словами: «Вариньон
ответил сначала с большой основательностью на
возражения, касающиеся принципов нового исчисления. Он дал
истинное понятие дифференциалов и показал, что они не
были ни абсолютными нулями, ни несравнимыми, но
последними отношениями абсциссы и ординаты, когда, не-
препывно убывая, они наконец уничтожаются».
Тут по меньшей мере два недоразумения: 1) дисЬ-
(Ьеренциал, по-видимому, смешивается с производной,
2) в то же время то, что Лопиталь, а вместе с ним и
Ролль называют дифференциалом, рассматривается
именно как «абсолютный нуль», ибо речь идет, очевидно,
об «окончательном уничтожении» разностей абсцисс и
ординат.
Впрочем, в том, что Монтюкла обходит критику
принципов, нет ничего удивительного. В эпоху французской
буржуазной революции, когда была написана «История
математических и механических наук» Монтюкла, новое
исчисление уже было общепризнанным в среде
математиков, хотя принципы его еще далеко не были выяснены,
и основным аргументом в устах его защитников
по-прежнему оставалась правильность доставляемых им
результатов. Недаром Энгельс, говоря о труде Лейбница и
его учеников, доказывавших тогдашним математикам
теоремы исчисления бесконечно малых пишет, что в
конце концов, эти господа, поскольку они не умерли тем
временем, ворча сдались, — не потому что были убежде-
93
ны, а потому, что даваемые диффренциальным
исчислением решения были всегда верны 1.
Именно этот аргумент о правильности доставляемых
анализом результатов широко использовал против Ролля
Вариньон, а вместе с ним и Монтюкла, начинающий
подробный, на несколько страниц, разбор ошибок Ролля
(допущенных им в критике результатов, получаемых
средствами анализа) словами: «Но особенно
торжествовал Вариньон в отношении ошибок, приписываемых
Роллем новому исчислению; он показал, что все эти
обвинения были лишь результатами поспешности и
недосмотра со стороны этого противника новых исчислений».
Так как до сих пор, повторяю, спор Ролля с Вариньо-
ном и Сореном освещается лишь по Монтюкла, то я
остановлюсь подробнее на той части критики Ролля,
которая относится к принципам.
4
Основное возражение Ролля направлено против
«действительности», т. е. неравенства нулю дифференциалов
dx, dy, рассматриваемых как настоящие, но только (!)
бесконечно малые приращения переменных х, у. По
существу оно сводится к замечанию, что из соотношения
a + dx = a и определения нуля как «того, что, будучи
добавлено к а, дает а»2, следует, что dx=0.
Однако Ролль облекает это возражение в
значительно более сложную форму. Он привлекает систему,
состоящую из:
1) уравнения кривой3 в точке х, у\
2) уравнения той же кривой в точке x+dx, y + dyy
где dx, dy — приращения абсциссы и ординаты;
3) дифференциального уравнения, полученного путем
дифференцирования из уравнения 1), и доказывает на
1 См. /С. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 20, стр. 139.
2 Хотя Ролль исходит именно из этого определения нуля, сам
он не формулирует его в такой форме. Конечно, он не замечает и
того, что такое определение предполагает доказательство
существования и единственности определяемого объекта и что отсутствие
последней делает его соображения неприменимыми к бесконечно
малым, понимаемым как неархимедовы величины.
3 Общего понятия функции в ту пору еще не существовало; в
случаях, где мы теперь употребили бы это понятие, говорили
обычно не о функции, а о кривой.
94
примерах1, что эта система уравнения «определяет
бесконечные; так что каждое бесконечное есть абсолютный
нуль, как разность между 4 и 4 или 5 и 5 и т. д.».
Чтобы продемонстрировать наглядно характер и стиль
возражений Ролля, один из этих примеров, несмотря на
длинноты, характерные вообще для Ролля, приведу
полностью:
«Пусть, например, дана, — пишет Ролль, —
обыкновенная парабола, которая из всех кривых есть та,
равенство (т. е. уравнение. — С. #.) которой наиболее
простое.
Примем а за выражение ее параметра; и пусть
всякая ордината, как MP (черт. 1), называется у, а ее
абсцисса АР х. Тогда мы будем
иметь ах=уу, по природе этой
параболы.
Если из этого
порождающего равенства (egalite gene-
ratrice) ax = уу мы выведем
дифференциальное равенство
по правилам, которые были А
предложены в «Анализе
бесконечно малых» (глава 1), то бу- Черт j
дем иметь adx=2ydy. И в этом
равенстве dx и dy — бесконечно малые, согласно этому
«Анализу» (стр. 2), причем dx выражает MR, или
равную ей Рр, a dy выражает разность mR.
Но, согласно шестому допущению (из перечисленных
Роллем в начале. — С. #.), бесконечно малые суть
действительные количества. Откуда следует, что ордината
тр должна быть действительно отлична от ординаты MP
и что абсцисса АР должна быть также действительно
отлична от абсциссы Ар. Но абсцисса Ар равна x + dx,
а ордината рт равна y + dy. Следовательно, по
определению параболы, прямоугольник из абсциссы x + dx и
параметра а равен квадрату ординаты y+dy. Поэтому
ax+adx равно yy + 2ydy + dy2.
Беря это равенство вместе с двумя
предшествующими, мы получаем проблему, выраженную тремя равенст-
1 «Раньше чем предложить общее доказательство, — пишет
Ролль, — я полагал хорошим привести частные. Потому, что они
требуют меньше прилежания, и потому, что даже эти частные
доказательства могли бы быть достаточными в этом случае».
95
вами (т. е. систему трех уравнений. — С. #.), как видим
здесь в /С:
1ах=уу
adx=2ydy
ах -{- adx=yy+2ydy -f dy2.
Отнимая первое и второе равенство от третьего *, т. е.
равные вещи от равных, согласно обычной аксиоме, мы
получим d#2=8. Следовательно, dy=dK подставляя 8
вместо dy в дифференциальное равенство, мы найдем
также dx=Q. Но 0 есть здесь выражение абсолютного
нуля, или ничего, такого, как разность между 4 и 4.
Откуда следует, что в этой проблеме К бесконечно малые
суть абсолютные нули.
Отсюда очевидно, что мы впадаем в противоречие,
приписывая протяженность бесконечно малым dx и dy.
И это противоречие становится тем большим, чем
больше увеличиваем мы эту протяженность. Ибо, если
мы берем, например, 4 вместо бесконечно малого dyy
тогда равенство dy=Q изменится в 4 = 0, и это
противоречие станет бесконечно малым, если вместо 4 мы
подставим бесконечно малую величину* Но если эта величина
действительна, то и противоречие действительно, какую
бы мы ни имели идею о бесконечной малости.
В других примерах вычисление не было бы столь
простым. Но мы всегда можем пользоваться общими
правилами алгебры для решения проблемы, которую
выражают равенства (т. е. приведенной выше системы
уравнений.— С. #.)».
Однако Ролль не удовлетворяется еще такой
констатацией, что «бесконечно малые суть всегда
абсолютные ничто в дифференциальном равенстве». Он утверж-.
дает, что «это абсолютные ничто по их основанию», и,
чтобы убедиться в этом, обращается к «истинному
источнику этого (т. е. дифференциального. — С. #.)
равенства», которым считает собственно задачу о касательной.
Имея в виду сличить аргументацию Ролля с некоторыми
высказываниями Эйлера, привожу и этот раздел мему-
ара почти дословно.
1 Не следует ли отсюда, что Ролль не понял самого процесса
дифференцирования? Следующее его возражение заставляет,
однако, ответить на этот вопрос отрицательно.
96
«Пусть дана, — пишет Ролль, — геометрическая
кривая EFO (черт. 2), и пусть дана также точка F на этой
кривой; требуется найти вычислением секущую,
например EF, встречающую ось ОВ в некоторой точке А».
Обозначая координаты
точки F через у, х (Ролль
принимает тут ординату за
независимую переменную),
точки Е — через у+у, x+zf
Ролль получает из подобия
треугольников ABF и FDE
соотношения
Е V D У
1 • • . п ~ ~ » Черт. 2
где через s, h, п обозначены соответственно отрезки АВ,
FE, FA. Дальнейшие рассуждения он ведет уже на
примере параболы
С ... рх^уу,
для которой находит значение
т _ 2уу+чу
1 ... 5
Р
после чего замечает:
(«Так как кривая дана и точка F также дана, то в
равенстве Т ордината у является, следовательно,
определенной или данной. Но так как точка Е не дана, то
неизвестная y не Дана в Т. Таким образом, значение
этой неизвестной неопределенное, а поэтому
неопределенное и значение s, или АВ\ однако, таким образом, что,
если мы определим одну из двух, другая будет
определена в то же время. Но за y можно принимать только
или положительные, или отрицательные количества, или
абсолютные нули.
Если мы примем за y количества положительные или
отрицательные, то прямая АВ будет секущей. Но если
мы примем за значение y абсолютный нуль, то одночлен
ууу имеющийся в равенстве Г, будет полностью уничто-
4 С. А, Яновская
97
жен, и это равенство заменится другим, которое мы
видим здесь под V
Р
Таким образом, нельзя сомневаться, что у является
чистым ничто или абсолютным нулем, когда мы имеем
равенство V\ ибо это равенство было образовано лишь
через окончательное уничтожение этой неопределенной у.
...Мы видим также, что существование этого
равенства (т. е. уравнения V.—С. Я.) уничтожает EF=h и что в
этом случае AF перестает быть секущей в данной точйе.
Так что при продолжении прямой AF сколь угодно
далеко она достигнет параболы в данной точке, но не
пересечет ее.
Откуда следует, что секущая становится касательной,
когда весь треугольник FDE оказывается полностью
уничтоженным; и что для того, чтобы определить эту
касательную посредством равенства V, необходимо
предположить, что этот треугольник уничтожен».
Далее Ролль указывает, что если положить z=dx,
y=dy и принять соотношение N, то равенство V
оказывается эквивалентным «дифференциальному равенству».
X ,.. pdx=2ydy.
«Но равенство V было выведено лишь с помощью
полного уничтожения разностей гну или dx и dy. Откуда
следует, что эти dx и dy могут быть лишь абсолютными
нулями в дифференциальном равенстве».
Последнее обстоятельство не мешает им, однако, с
точки зрения Ролля, находиться друг к другу в некотором
определенном отношении. Действительно, не
удовлетворяясь только что приведенным доказательством
эквивалентности «дифференциального равенства» уравнению
V и пытаясь вывести непосредственно первое из
последнего, Ролль пишет:
«Деля каждый член равенства V на ординату у, мы
s 2,11
приводим его к—=— ... Но разности ED = y, DF = z до
того, как они были уничтожены, находились в том же
отношении, как BF к ВА, и ничто не мешает приписать
им то же отношение после их уничтожения. Ибо отно-
98
шение 0 к 0 неопределенное, как я это показал в Общем
методе неопределенных вопросов («Трактат», стр. 62)».
Таким образом, отношение —( = —| заменяется
s \ ВА)
отношением —или -^ и мы получаем найденное
раньше «дифференциальное равенство» X. «И так же можно
поступить во всех примерах. Откуда мы видим, что мы
ввели выражения для уничтоженных разностей в
аналогию (т. е. пропорцию. — С. #.), которая происходит из
равенства V и является результатом уничтожения этих
разностей».
В истории обоснования дифференциального
исчисления следующим после «мистического
дифференциального исчисления» Ньютона и Лейбница является, по
Марксу, «рациональное дифференциальное исчисление»
Эйлера и Даламбера1.
Последнее тоже далеко еще от решения вопроса об
обосновании анализа. Исходный пункт его остался тот
же: если дифференциал и не отождествляется уже
непосредственно с приращением, то он остается все же одним
из значений (хотя бы и «последним» или «предельным»)
этого приращения. В этом смысле он предшествует
производной, которая все еще фигурирует (у Эйлера по
крайней мере) лишь как отношение двух
дифференциалов.
Но это уже значительный прогресс. «Сорвав с
дифференциального исчисления мистический наряд, —
пишет К. Маркс, — Д'Аламбер сделал громадный шаг
вперед». «Д'Аламбер начинает непосредственно с
отправного пункта Ньютона и Лейбница: x\ = x+dx. Однако он
вносит сразу фундаментальную поправку: Х\=х+&х, т. е.
х + неопределенное, однако prima faciae конечное
приращение, которое он обозначает через А. Превращение
этого h или Ах в d#... происходит лишь как конечный
результат развития или по крайней мере непосредственно
перед концом, тогда как у мистиков и инициаторов
исчисления оно является исходным пунктом» 2.
1 Типичным представителем «рационального дифференциального
исчисления» Маркс вообще считает Даламбера. Однако в письме к
Энгельсу от 22 ноября 1882 г. он говорит о рациональном
дифференциальном исчислении Эйлера и Даламбера.
2 Сб. «Марксизм и естествознание», стр. 56, 54.
4*
99
Любопытно, однако, что некоторые из тех самых
аргументов, которые были приведены Роллем для
опровержения дифференциального исчисления, оказались
использованными Эйлером в целях его
усовершенствования. Да это по существу и не удивительно: здесь перед
нами только лишнее подтверждение правильности
марксистского положения о непреодолимости нового,
подлинно прогрессивного.
Действительно, в предисловии к
«Дифференциальному исчислению» Эйлер пишет:
«Многие авторы трудов по дифференциальному
исчислению держались того взгляда, что дифференциалы
и абсолютный нуль не одно и то же; они признавали
существование особой категории бесконечно малых
количеств, не становящихся вполне равными нулю, но
сохраняющих некоторую величину, меньшую, однако, чем
любая могущая быть заданной величина. Этим авторам
было сделано справедливое возражение, что они
пренебрегают геометрической строгостью; поэтому сделанные
из этих положений выводы справедливо внушали
подозрение, так как авторы пренебрегали такого рода
бесконечно малыми величинами. В самом деле, какими бы
малыми ни признавались эти бесконечно малые, однако,
при отбрасывании не только одной такой бесконечно
малой, но и многих и даже неисчислимых сразу, может в
результате получиться огромная ошибка... Совершенно
же не приводит к цели применяемый некоторыми
авторами прием, когда бесконечно малые описываются как
нечто вроде песчинок, сравниваемых с высокой горой
или даже со всем земным шаром»... «Геометрическая
строгость избегает и столь малой ошибки» *.
Сам Эйлер, рассматривая для примера приращение
переменной х2, когда х получает конечное приращение со,
приходит к выводу, что дифференциалы не могут
отличаться от нуля. «По сравнению с первоначальной
величиной хх, — говорит он, »— приращение равно 2л:о) + соо).
Оно получается в том случае, когда приращение самой
величины х равно со, и мы видим, что отношение
первого приращения ко второму равно (2х+®) : 1. Отсюда
ясно, что чем меньше приращение мы возьмем, тем бли-
же это отношение приближается к отношению 2х: 1. Но
1 Цит. по: С. Я. Лурье. Эйлер и его «исчисление нулей». — Сб.
«Леонард Эйлер». М.—Л., 1935, стр. 52—62.
100
первое отношение станет равно второму не раньше, чем
указанное приращение со совершенно исчезнет. Отсюда
ясно, что если приращение со переменной величины х
становится равным нулю, то тогда и приращение ее
квадрата хх, обусловленное первым приращением, также
исчезнет, но тем не менее отношение этих исчезнувших
приращений друг к другу будет равно 2х:1. To, что
здесь сказано о квадрате, надо распространить и на все
другие функции х... Итак, дифференциальное исчисление
не столько изучает самые эти приращения, так как они
суть нули, сколько занимается их взаимными
отношениями и пропорциональностью; а так как эти отношения
выражаются конечными количествами, то следует
полагать, что и это исчисление имеет дело с конечными
количествами...».
«Благодаря такому подходу — единственно
рациональному — становятся незыблемыми начала
дифференциального исчисления, и все возражения, обычно
выдвигаемые против этого исчисления, сами собой отпадают;
но стоит только принять, что дифференциалы или
бесконечно малые не совершенно равны нулю, и тотчас все
эти возражения получают всю свою силу».
Возвращаясь к тому же вопросу в III главе
«Дифференциального исчисления», Эйлер заключает: «Итак, на
вопрос, что такое бесконечно малая в математике, мы
ответим, что она в полном смысле слова нуль. Никаких
глубоких таинств, как полагают обычно, что и делает
исчисление бесконечно малых для многих чрезвычайно
подозрительным, здесь не скрывается».
Наконец, от вопроса о том, как можно оперировать с
отношениями нулей, Эйлер отделывается замечанием,
смысл которого сводится к тому, что так как, вообще
говоря (в действительности следовало бы сказать: при Ь
и d отличных от нуля), соотношение ab = cd можно
преобразовать к виду
a:d=c:b,
то из равенства я*0=0 яли, что то же, /г• 0 = 0• 1
следует
п: 1 = 0:0.
«Итак, — заключает он, — два нуля могут иметь
между собой какое угодно геометрическое отношение, хо-
101
тя с арифметической точки зрения их отношение есть
отношение равенства. А в дифференциальном исчислении
важно только отношение; поэтому и необходимы
различные обозначения (dx, dy и т. п. вместо нулей. — С. Я.)».
Мы видим, что Эйлер, подобно Роллю,
принципиально стоит на точке зрения абсолютной строгости в
математике (при этом оба признают величинами только то,
что удовлетворяет аксиоме Архимеда); что, как и Ролль,
Эйлер возражает против неравенства нулю
«дифференциалов, или бесконечно малых»; как и Ролль (см.
решение последним задачи о касательной), он начинает
с конечных разностей, которые затем полагает не только
исчезающими, но и исчезнувшими; что, наконец, они оба
считают возможным говорить об отношении двух нулей.
Ясно также, что, несмотря на все эти черты сходства,
между их высказываниями имеется весьма существенная
разница: то, что Ролль выдвигал против
дифференциального исчисления, Эйлером использовано в защиту его.
Впрочем, в оправдание Ролля стоит все же отметить, что,
отвергая вместе с бесконечно малыми (как это понимал
Лейбниц и его школа) самое дифференциальное
исчисление, он допускал, однако, и некоторую возможность
его исправления.
«Верно, — писал он, — что некоторые Геометры
(речь идет, по-видимому, о Ферма и Барроу. — С. #.)
ввели и допустили определенные количества, которые они
назвали Бесконечными; но эти Бесконечные суть лишь
Неопределенные и очень отличны от Бесконечно малых
новой Системы; помимо этого, упомянутые Геометры
приняли эти Неопределенные за гипотезы !, между тем
как мы не видим, чтобы это было сделано в изложении
новой Системы, или в ее практике.
Верно также, что некоторые Геометры пользовались
словом Бесконечное, говоря о параллельных, о
геометрических прогрессиях, последний член которых есть нуль,
об асимптомах и т. д. Но эти Бесконечные очень
отличны от таковых новой Системы, как нетрудно увидеть,
сравнивая их с вышеприведенными допущениями.
Если принять Неопределенное вместо Бесконечного в
Системе и если захотеть отделить условия, которые к ней
1 Т. е. за приближенные значения (?), играющие
вспомогательную роль при нахождении истинных. См. стр. 80, где приведено
роллевское определение гипотезы в алгебре.
102
присоединили, то окажется, что эти условия могут быть
приняты за гипотезы. Но это уже не будет такой
Системой, какой она была предложена».
Другие возражения Ролля менее интересны, несмотря
даже на то, что и менее типичны. По существу они
представляют собой смесь остроумия и находчивости с
поразительной иногда наивностью или даже полным
непониманием критикуемой «Системы». Так, во «вторых
трудностях» Ролль замечает, что «успех, хороший или плохой,
вовсе не связан с бесконечной малостью, которую
предполагают в Системе», ибо результаты не изменятся, если
на место dx и dy подставить не бесконечно малые, а
конечные количества. Однако при этом он полагает, что
эти конечные количества могут быть выбраны — оба —
совершенно по произволу! С его точки зрения, суть дела
в том, что так как окончательные формулы, например
для подкасательной, не содержат никаких
дифференциалов, то, хотя бы промежуточные формулы и были
неверны, от такой подстановки результат не изменится.
Так, решая задачу о построении касательной к параболе
ах=уу, посредством правила, помещенного в «Анализе
бесконечно малых», Ролль полагает «100000 туазов
вместо бесконечно малой dx и 738 туазов вместо
бесконечно малой dy» и получает два попросту* неверных
равенства:
1) для подкасательной РТ{—-—|
\ dy J
рт__ юоооо у
~ 738
2) «ложное дифференциальное равенство» (вместо
adx==2ydy)
100000а = 2уХ738,
100 000*/ П7,
откуда находит, что—гт--2- или РТ9 равно как и пола-
738
2ии
гается, — .
а
«Отсюда ясно, — заключает он, — что успех является
отнюдь не следствием бесконечной малости, которую
103
приписывают dx и dy, ибо правило дает то же, когда мы
берем произвольные конечные количества на место этих
бесконечно малых».
Он замечает далее, что многие правила «Анализа»
содержат порочный круг, так как предполагают то, что
ищется. Так, при решении задачи о касательной предаю-
лагается, что мы уже имеем готовым «дифференциал
данного уравнения», между тем как именно в нем вся
суть дела. Однако почему? Оказывается, по той простой
причине, что «раз только мы имеем это (т. е.
дифференциальное. — С. Я.) равенство, нет нужды во всем
остальном, что говорится в этом параграфе1 для нахождения
этих касательных: достаточно стереть d в dx, чтобы
иметь подкасательную на оси у, и стереть d в dy9 чтобы
иметь подкасательную на оси х. Так, имея 2ydy=adx в
качестве дифференциального равенства параболы, если
мы сотрем di в dx, мы тотчас же найдем 2ydy=ax или
dy=— для подкасательной на оси у. Аналогично,
уничтожая d в dy, мы найдем 2yy=adx, или dx=—,
а
что и есть подкасательная х-ов»2.
С трудом верится, чтобы человек, о котором Клейн
сказал однажды: «Он — один из немногих старых
математиков, которые не удовлетворялись очевидностью
теорем, но требовали строго логических определений и
доказательств»3, мог всерьез выдвигать такие соображения.
Правда, к чести Ролля нужно отметить, что и среди
«вторых трудностей» встречаются более остроумные.
Так, обсуждая вопрос о дифференциале произведения,
1 У Лопиталя сказано (см. «Анализ бесконечно малых», стр. 78):
«При помощи дифференциала данного уравнения мы найдем
значение dx, выраженное в членах, которые все содержат
множитель dy; если это выражение умножить на у и разделить на dy, то
получится значение подкасательной». Ролль, очевидно, имеет в виду
последнюю часть этого предложения (от слова «если»).
2 Конечно, Ролль хочет сказать, что подкасательной служит
правая часть этого равенства. По существу его «правило» сводится
к утверждению, что подкасательная на оси х равна - jf , Ибо,
«стирая» в «дифференциальном равенстве» dy = /' (х) dx «d из dy»
и заменяя dx названием подкасательной S/, мы получаем у —
= f'(x).S.
3 F. Klein. Anwendung der Differential — und Integralrechnung auf
Geometrie. Leipzig, 1902.
104
Ролль замечает, что «если разрешено отнять dxdy по
причине его бесконечной малости, то по причине его
бесконечной малости было бы разрешено и оставить его.
Так что в «Анализе бесконечно малых» не видно, что
заставляет взять часть ydx + xdy вместо целого ydx +
+xdy+dxdy или взять целое вместо части. Между тем
этот выбор отнюдь не свободен. Ибо если бы в этом
примере было взято целое, то от одного этого исчезли бы
все замыслы «Анализа бесконечно малых». Имеется,
следовательно, другое основание, которое заставляет
предпочесть часть, однако именно это основание не указано
в этом «Анализе». Но можно увидеть в методе гг. де-Фер-
ма и Барроу истинную причину этого отбрасывания».
Как уже было отмечено, наиболее слабым пунктом в
критике Ролля была его попытка отыскать ошибки в
результатах, получаемых средствами нового анализа
(«третьи трудности»). Однако даже эта часть критики
Ролля не осталась вполне безрезультатной. Дело в том,
что сформулированное Лопиталем правило для
нахождения максимумов и минимумов не содержало критериев,
отличающих их от особых точек кривой, в частности от
точек ветвления; что вообще не был решен вопрос о
взаимоотношении между функцией (хотя бы даже
только в форме кривой) и ее аналитическим выражением;
что, наконец, у Лопиталя встречались и небрежности в
формулировках, состоящие, например, в полагании
дифференциала, определенного им, как бесконечно малая
разность, равным бесконечности.
По всем этим слабым пунктам были даже те
неудачные возражения Ролля, в которых он, например,
старался доказать, что новый анализ противоречит сам себе,
когда ищет экстремум кривой
y = 2 + |/4x + VTF2*
один раз в этой ее форме, другой раз в форме,
освобожденной от иррациональностей. Впрочем, и тут стоит,
пожалуй, отметить, что, согласно Вилейтнеру, Ролль
«первый точно высказал предложение: всякий я-й корень
имеет п значений: если п нечетное, то все корни, за
исключением одного, мнимые, если п — четное, то два
вещественны, остальные — мнимые». Поэтому уравнение
105
должно было быть для него равносильным четырем
уравнениям:
y = 2+V4x -V4 + 2x
у = 2 —/4* — VA + 2x,
где радикалы имеют арифметическое значение, и в этом
смысле не отличалось от того же уравнения в форме,
освобожденной от иррациональностей. Однако «правила»
«Анализа» не были приспособлены к такой трактовке
выражений, содержащих иррациональности.
Изложение мемуара Ролля на этом можно закончить.
Повторяю, что хотя с чисто математической стороны его
содержание и не представляет интереса, но исторически
он достаточно поучителен: он не только подтверждает
правильность того освещения истории обоснования
анализа, которое содержится в «Математических
рукописях» Маркса, но и служит, как мы видели, лишней
иллюстрацией верности — в том числе и в применении к
истории науки — общей марксистско-ленинской
концепции о развитии и неодолимости нового, растущего.
Он может быть свидетельством того, что
невыясненность основных понятий, таких, как бесконечно малое,
дифференциал, производная, функция, служила
действительным препятствием к правильному пониманию
анализа даже для математически одаренных людей, и
притом таких элементов анализа, которые теперь доступны
начинающему.
Поэтому подробный разбор мемуара Ролля,
посвященного критике анализа бесконечно малых, можно
оправдать словами В. Я. Буняковского, которыми он
закончил свой разбор трактата Ролля по алгебре:
«...подробности такого рода представляют всегда
занимательность, и даже бывают поучительны при изучении
истории науки».
О МИРОВОЗЗРЕНИИ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО1
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Задача осветить передовые черты материалистического
мировоззрения великого русского математика Н. И.
Лобачевского давно назрела. С другой стороны, все
возрастающий интерес к отечественной науке, которому мы
обязаны новыми материалами к биографии
Лобачевского — полноценным советским изданием его сочинений,
широкой популяризацией его идей, сделал правильное
решение этой задачи вполне возможным. В нашем
распоряжении имеются теперь такие материалы, которые
позволяют полностью разобраться как в математическом
содержании работ Лобачевского, так и в их
методологических основах2. Обращаясь непосредственно к
трудам Лобаческого и опираясь на новые материалы, мы
можем не только разоблачить широко распространяемые
в зарубежной литературе идеалистические
«интерпретации» идей нашего великого соотечественника, но и
обратить его передовые идеи в орудие борьбы против
«математического» идеализма, формализма и схоластики,
все более и более агрессивно овладевающих
математикой в странах разлагающегося капитализма.
Освещению материалистического мировоззрения
Лобачевского советскими исследователями уже положено
начало. В книгах, посвященных Лобачевскому,
приводятся известные высказывания великого ученого, харак-
1 Статья опубликована в работе «Историко-математические
исследования», вып. III. M., 1950. — Прим. ред.
2 См. «Материалы для биографии Н. И. Лобачевского», собрал
и редактировал Л. Б, Модзалевский. М.-—Л., 1948; новые
документы, опубликованные В. М. Нагаевой в статье, помещенной в «Ис-
торико-математических исследованиях», вып. III. Большую помощь
читателю оказывают содержательные комментарии к сочинениям
Лобачевского и посвященные им труды В. Ф, Кагана и других
советских математиков: П. С. Александрова, А. Н. Колмогорова,
Н. Г. Чеботарева, Г. Л. Лунца, И. Г. Башмаковой и А. П.
Юшкевича л др.
107
теризующие его материалистические убеждения, его
борьбу с идеалистическими взглядами Канта на
природу пространства и на аксиомы геометрии. Но все же
материал, относящийся к интересующей нас теме, пока
еще отнюдь нельзя считать исчерпанным.
О мировоззрении великого русского математика
нельзя судить только по его философским высказываниям.
Необходимо привлечь его математические труды и осве:
тить характерные для него приемы и методы
исследования. Необходимо рассматривать их при этом в связи с
исторической обстановкой, в которой они были созданы,
в связи с классовой борьбой и обусловленной ею
борьбой мировоззрений, в которой сложились
революционные научные идеи Лобачевского. В применении к
Лобачевскому это особенно существенно потому, что с легкой
руки идеалиста Пуанкаре даже в кругах
демократической интеллигенции Лобачевского часто представляют
гениальным одиночкой, увлекшимся чисто логической
«умственной игрой» в «воображаемую» геометрию по
причине отсутствия в «глухой» Казани сколько-нибудь
серьезной математической проблематики. Разоблачить
этот идеалистический поклеп на русскую науку и одного
из ее великих представителей, проследить идущую от
М. В. Ломоносова материалистическую линию в русском
естествознании и математике, приведшую к
революционному открытию Лобачевского, является благодарной
задачей советских исследователей. К сожалению, к
такого рода исследованиям мы пока еще только
приступаем. В сущности даже вопрос о борьбе Лобачевского с
кантианством, о котором написано больше всего, нельзя
считать полностью освещенным.
Против Канта можно выступать и слева, и справа.
Махисты критикуют Канта справа, да еще пытаются при
этом опереться на Лобачевского, которого они
издевательски переряжают с этой целью в
эмпирика-субъективиста. Освещение выступления Лобачевского против
кантовского априоризма не следует отрывать поэтому от
его борьбы с субъективно-идеалистическими
эмпириками типа позитивиста Милля. Отнюдь не один только
Кант, но и его «противник» Милль, настаивавший на
опытном происхождении аксиом геометрии, но
трактовавший «опыт» идеалистически, писал (через 20 лет
после того, как геометрия Лобачевского была создана!),
108
что законы чисел и законы пространства «во все
времена... были типом достоверности, мерою сравнения для
всех низших степеней доказательства. Их неизменность
до того совершенна, что делает нас неспособными даже
представить себе какое-либо исключение из этих
законов» 1. «Самой замечательной особенностью» «истин
геометрии» Милль считает то, что «они никогда, ни в одном
случае, ни при какой перемене обстоятельств не
перестают быть неопровержимыми и приложимыми»2.
Идеи неевклидовой геометрии Лобачевского, таким
образом, столь же несовместимы с
субъективно-идеалистическим эмпиризмом Милля, обосновывавшего
абсолютную неизменность аксиом геометрии и логики
незыблемостью «условий нашего существования» (не
капитализма ли?!), как и с трансцендентальным идеализмом
Канта. Освещая борьбу Лобачевского с последним, мы
не должны забывать поэтому, что Лобачевский боролся
с Кантом слева, что его выступления против Канта не
имеют ничего общего с выступлениями позитивистов и
махистов.
Аналогично обстоит дело и в ряде других вопросов,
связанных с мировоззрением Лобачевского.
Лобачевский борется не только с Кантом. В создании им
неевклидовой геометрии значительную роль играла его
страстная борьба с Лежандром за научную
математическую строгость. Освещение этой борьбы Лобачевского
за строгость с одним из наиболее авторитетных
математиков его времени для нас тем более существенно, что
та строгость, за которую боролся Лобачевский, не имеет
ничего общего с формалистическим пониманием
требования строгости, характерным для «математического»
идеализма.
Вопреки утверждениям Пуанкаре, будто до работ
его, Пуанкаре, и Клейна геометрия Лобачевского была
только «пустым логическим упражнением», Лобачевский
пришел к своему открытию, исходя из примата опыта и
практики над логикой.
Настаивая на опытном происхождении геометрии и
опытном же решении вопроса о том, какая именно
геометрия справедлива для физического пространства, Ло-
1 Д. С. Милль. Система логики. СПб., 1865, т. I, стр. 375.
2 Там же, стр. 377. Речь идет, конечно, о геометрии Евклида.
109
бачевский подходил к математике как
естествоиспытатель. Он был передовым
естествоиспытателем-материалистом не только в математике. В физической оптике
ему принадлежит гениальное предвидение возможности
объединения волновой теории с квантовой теорией
излучения. Ему принадлежат теоремы, относящиеся к
способам определения звездного параллакса в астрономии.
Он был искусным экспериментатором и изобрел
термометр для измерения температуры почвы. Он глубоко
интересовался вопросами сельского хозяйства и считал,
что «Пенза хорошо выбрана местом для садоводства»,
именно потому, что садоводству «принуждены здесь
учиться как искусству, тогда как в южной России, на
согретой почве, под благоприятным небом не нуждаются
и пренебрегают пособием для природы, без того богатой
растительной силой» («Отчет об экспедиции в г. Пензу
для наблюдения солнечного затмения»).
Для характеристики материалистических взглядов
Лобачевского и его участия в борьбе с
идеалистическими влияниями в русском естествознании показательно
отношение Лобачевского к известному физиологу Вел-
ланскому и его последователям, распространявшим у
нас идеи Шеллинга. Высмеивая их идеалистические
спекуляции в медицине, Лобачевский остроумно изобличал
их в том, что они с равным успехом «уповательно»
могут «растолковать по системе Шеллинга и языком Вел-
ланского» как свой запрет больным употреблять в пищу
цыплят, телятину и свежие фрукты на том основании,
что «избыток организма молодых животных и сочных
плодов подавляет и без того ослабленные силы в
болезненном теле», так и прямо противоположные
предписания. «Если б это случалось наоборот, тогда бы они
сказали, что жизнь, скрытая в пище, присоединяется к
нашей и что поэтому кушанье из молодых растений или
животных самое здоровое должно быть и бывает. Со
временем узнаем лучше тайны природы и потомство не
будет уже столько страдать от болезней и лекарей» К
Это же стремление раскрыть тайны природы для
того, чтобы практически овладеть ею, руководило
Лобачевским в его математическом творчестве. Именно
поэтому его передовые идеи, относящиеся к вопросам ме-
1 «Материалы для биографии Н. И. Лобачевского», стр. 297.
ПО
*'
тодологии математики, не утратили значения и в наши
дни.
В борьбе с идеалистическими искажениями идей
Лобачевского, с формалистическими спекуляциями на
аксиоматическом методе современной математики в наши
дни звучит особенно актуально пламенная аргументация
Лобачевского за исключение из науки лишь случайных
истин и произвольных допущений, борясь с которыми
он создавал свою геометрию.
Мысли Лобачевского о соотношении анализа и
синтеза в математике позволяют нам лучше разобраться в
реальном смысле математических исчислений, в
характере и границах отражения материальной
действительности средствами математики, в вопросе о происхождении
основных математических понятий из их прообразов в
природе.
Крупнейшее значение для материалистической
философии математики имеют идеи Лобачевского,
относящиеся к вопросу о происхождении и реальном
содержании абстрактных понятий математики, таких, как
понятия: геометрическое тело, поверхность, линия, точка,
размерность геометрического пространства, длина,
площадь, объем (вообще сущность математической
величины и измерения), прямая, плоскость, угол, предел,
число, операция, функция и многие другие, над которыми
задумывался Лобачевский. Не менее важную роль
играют идеи Лобачевского, положенные им в основу
развития и обобщения математических понятий и операций;
его борьба за материалистический подход к
математическим определениям и за исключение элементов
произвола из распространения определений математических
понятий на случаи, для которых эти понятия еще не были
определены; выяснение им смысла «воображаемых»
объектов математики; рациональное зерно его теории
мнимых и иррациональных чисел.
Несомненный интерес представляет выяснение ряда
вопросов методологического характера, связанных с
математическим творчеством Лобачевского, но не
нашедших еще окончательного решения и поэтому до сих пор
остающихся невыясненными или спорными.
Почему Лобачевский по-разному определяет
тригонометрические функции в «Алгебре» и в «Новых началах
геометрии»? В какой мере ему действительно удалось
Ш
обосновать непротиворечивость его геометрии?
Существует ли на самом деле порочный круг в мемуаре
Лобачевского «Воображаемая геометрия»? Зачем
Лобачевский обернул в этом мемуаре путь, которым он шел в
предшествующем мемуаре «О началах геометрии»,
начав теперь сразу с заключительных уравнений (первой
части) предыдущего мемуара? Каково действительное
отношение Лобачевского к вопросам
непротиворечивости, независимости и полноты, связываемым в наши дни
с аксиоматическим методом математики? Есть ли, и если
есть, то в чем именно состоит методологическое
различие в подходе к неевклидовой геометрии между
Лобачевским и Больаи? Как сказалось оно на результатах
математического творчества каждого из них? Почему \
Лобачевский назвал свой первый труд по неевклидовой
геометрии «Сжатым изложением начал геометрии со
строгим доказательством теоремы о параллельных
линиях»? О какой «теореме» здесь могла идти речь, если
на самом деле содержание этого труда состояло в
построении неевклидовой геометрии, и, следовательно,
недоказуемость Евклидова постулата о параллельных
была уже обнаружена Лобачевским? Какую эволюцию
претерпели методологические взгляды Лобачевского от
его первых попыток доказать V постулат Евклида до его
«Пангеометрии»?
Список таких вопросов можно было бы значительно
увеличить. Сейчас для нас существенно отметить, что
мировоззрение Лобачевского нельзя правильно осветить,
не обращаясь к его педагогической и общественной
деятельности, к его патриотическим убеждениям и
характерному для него возмущению рабским преклонением
господствующего класса царской России перед всем
иностранным, в том числе к его негодующему отзыву о
«жалком событии нашего времени, что в лучшем
сословии пренебрегают своим языком и тщеславятся
познанием иностранного».
Почти каждая из намеченных здесь тем, — число
которых, повторяю, можно значительно увеличить, —
могла бы вырасти в самостоятельную работу. Ряд вопросов
к тому же может получить окончательное решение
только в результате критического обсуждения уже
предложенных или предлагаемых решений.
В качестве материала для такого обсуждения автор
112
предлагает цикл статей по затронутым в настоящем
введении вопросам под общим заглавием «О мировоззрении
Лобачевского». Первые две статьи из этого цикла
следуют ниже. Необходимо отметить тут же, что, хотя
каждая из них представляет собой законченное целое,
многие вопросы получают достаточное освещение лишь в
сопоставлении с другими статьями из намеченного цикла.
Целесообразнее всего рассматривать все эти статьи
поэтому только как параграфы одной работы.
И все же предлог «о», с которого начинается
заглавие книги, не является случайным. Автор не претендует
на полное освещение всего круга проблем, связанных с
мировоззрением Лобачевского; его задачей прежде
всего является выяснение на ряде примеров значения,
которое могут иметь передовые идеи Лобачевского для
борьбы с идеализмом в математике. Примеры должны
быть подобраны таким образом, чтобы с их помощью
последовательно выявлялись, наполняясь все большим и
большим содержанием, основные материалистические
черты мировоззрения Лобачевского и характерные для
них элементы стихийной диалектики. К ряду вопросов,
лишь бегло затронутых вначале, придется поэтому
возвратиться снова в дальнейшем тексте статей.
Автор надеется, что в результате коллективной
работы, основанной на творческих принципах критики и
самокритики, советским исследователям скоро удастся
написать книгу, достойную заглавия «Передовое
материалистическое мировоззрение великого русского
математика Н. И. Лобачевского».
§ 2. БОРЬБА ЛОБАЧЕВСКОГО
ПРОТИВ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ДОПУЩЕНИИ
В ГЕОМЕТРИИ
1. В буржуазной литературе по неевклидовой геометрии
широко распространено представление, что великое
открытие Лобачевского якобы обосновывает «право»
математика строить геометрию, исходя из любых
произвольных допущений. Идеологический смысл этих
спекуляций ясен. Достаточно привести какое-нибудь из
типичных высказываний этого рода, чтобы убедиться в
том, что речь идет о попытке идеализма использовать
революционное открытие Лобачевского в целях борьбы
113
против передового — материалистического — подхода к
математике. Таково, например, утверждение
американского реакционера Белла, который в своей шумной,
построенной на «принципах» рекламы империалистической
идеологии книге «Развитие математики» пишет: «...вплоть
до... смелых творений Лобачевского и Больаи может
быть непосредственно прослежена распространенная
(1945) оценка математики как произвольного творения
математиков. В точности тем же способом, каким
романист придумывает характеры, диалоги и положения, для
которых он является одновременно и автором и
хозяином, математик изобретает по произволу постулаты,
на которых он основывает свои математические
системы» *.
Ничего нового здесь, конечно, нет.
Субъективно-идеалистическую сущность этого формалистического
пасквиля— неверного, кстати, по отношению не только к
передовому математику, но и к передовому романисту — в
полной мере выразил уже Пуанкаре, заявивший по
поводу «необычных» геометрий, что «чем более эти
построения удаляются от самых обычных концепций и,
следовательно, от природы и приложений, тем яснее видно
для нас, что может сделать человеческий ум, когда он
все более и более освобождается от тирании внешнего
мира».
Трудно вообразить себе что-либо более
несоответствующее действительности, чем такого рода
идеалистические поклепы на значение и смысл действительно
смелого, открыто материалистического творения
Лобачевского! Достаточно обратиться к трудам нашего великого
соотечественника, к его научному наследству, чтобы
увидеть, что эти труды отнюдь не утратили значения и в
наши дни, что и сейчас передовые идеи Лобачевского
представляют собой действенное орудие в борьбе с
формалистическими, идеалистическими извращениями
математики и ее истории.
Именно так обстоит дело и в рассматриваемом
случае. Вопреки проникающим подчас даже в нашу среду
утверждениям, будто революционная заслуга
Лобачевского состояла в том, что он впервые ввел в математику
1 Е. Т. Bell. The Development of Mathematics. New York
—London, 1945, p. 330.
114
«условно принятую аксиому», Лобачевский страстно
боролся против всякого «сочинительства» произвольных
постулатов и допущений каких-либо неоправданных
аксиом. (Замечательно, что и венгерский математик
Я. Больаи, «Аппендикс» которого, содержащий
элементарную часть гиперболической геометрии, вышел в свет
через 3 года после первой публикации Лобачевского,
пришел к неевклидовой геометрии, исходя из задачи
освободить геометрию Евклида от «необоснованного
постулата».)
Больше того, Лобачевский открыл свою геометрию,
ие только не «освобождаясь» «от тирании внешнего
мира», а, наоборот, сознательно поставив перед собой
задачу выяснить происхождение основных понятий геометрии
из их прообразов в материальном мире, из природы.
На материале, подтверждающем эти положения, мы
сейчас остановимся более подробно.
2. Об особом положении, которое занимал в
«Началах» Евклида постулат о параллельных, написано очень
много. Напомним все же еще раз некоторые
обстоятельства.
Рассмотрим два предложения (см. черт. 1):
1) если две прямые ау Ь пересечены третьей прямой с
так, что сумма внутренних односторонних углов при
секущей равна двум прямым углам, то прямые ау Ъ
параллельны,
2) если прямые я, Ь параллельны, то сумма
внутренних односторонних углов при секущей равна двум
прямым углам.
Первое доказывалось Евклидом с помощью целой
цепочки теорем, не предполагавших никакого постулата о
параллельных, второе же было по существу только
видоизмененной формулировкой V постулата (постулата о
параллельных), принятого Евклидом без
доказательства.
Что же было в этом втором предложении такого, что
делало его не нуждающимся в доказательстве? Этот
вопрос естественно должен был возникнуть у
математиков, тем более что формулировка самого V постулата
была отнюдь не более проста. Содержащееся в этом
постулате утверждение не имеет финитного характера. Оно
гласит только, что две прямые а, Ь, пересеченные
третьей с так, что сумма внутренних односторонних углов
115
при секущей не равна двум прямым, обязательно
пересекутся, будучи достаточно продолжены, и притом с той
стороны секущей, с которой сумма внутренних
односторонних углов меньше двух прямых (см. черт. 2). Но
постулат не дает никаких указаний насчет того, насколько
далеко достаточно продолжать прямые а, Ь, чтобы
заведомо добраться до точки их пересечения. Он
представляет собой, таким образом, так называемое «чистое»
утверждение существования, не проверяемое в пределах
какого-нибудь заранее ограничиваемого, хотя бы по
особому в каждом особом случае, участка плоскости 1.
" / '" "-■'" о JL
I Т~^ —q
Черт. 1 Черт. 2
Не удивительно, что этот постулат издревле
привлекал к себе внимание математиков, упорно пытавшихся
доказать его. Не удивительно, что и молодой
Лобачевский начал с попытки доказательства этого постулата.
Однако по сравнению с его предшественниками у
Лобачевского было решающее преимущество, состоявшее в
материалистическом характере его исходных установок.
Дело в том, что не один только постулат о
параллельных не удовлетворял Лобачевского в системе
«Начал» Евклида. Лобачевский был неудовлетворен тем, что
за 2000 лет, протекших со времен Евклида,
происхождение абстрактных понятий геометрии из свойств
материальных тел природы так и оставалось невыясненным.
Именно эту невыясненность Лобачевский и считал
причиной застоя в геометрии, именно в ней прежде всего
видел объяснение того, «что эта наука, поскольку она не
переходит в анализ, до настоящего времени не вышла
ни на один шаг за пределы того состояния, в каком она
1 Именно в этом смысле он и не является «финитным», т. е.
предполагает бесконечность по существу.
116
к нам перешла от Евклида» *. Поверхности и линии,
говорил Лобачевский, предполагают «свойство тел,
познание которых должно родить в нас понятия о
поверхностях и линиях. Никто до сих пор не предпринимал труда
восходить к сим источникам, и основания геометрии
остаются темными; а после этого не мудрено, что в ней и
многое не выдержит строгого разбора»2.
«Пространство, протяжение, место, тело, поверхность,
линия, точка, направление, угол — слова, которыми
начинают Геометрию, но с которыми никогда не
соединяют ясного понятия» — так писал он в другом месте.
«...Если в точке нет ни одного протяжения, то что же в
ней остается затем, чтоб она могла быть предметом
суждения?»— спрашивал он. И тут же замечал, что
«темноту в понятии здесь производит отвлеченность, которая в
применении к действительным измерениям делается
лишней, а следовательно, в самую теорию введена
напрасно. Поверхности, линии, точки, как их определяет
Геометрия, существуют только в нашем воображении;
тогда как измерение поверхностей и линий производим,
употребляя к тому тела. Вот почему стоит только
говорить о поверхностях, линиях и точках, как их в
действительном измерении разуметь должно, и тогда будем уже
держаться тех самых понятий, которые с
представлением тел в нашем уме непосредственно соединены, к
которым наше воображение приучено, которые можем
поверять в природе прямо, не прибегая наперед к другим,
искусственным и посторонним. Но с этими новыми
понятиями наука в самом начале получает другое
направление...»3.
Обратившись к материальной действительности, к
телам природы и практике действительных измерений для
ответа на вопрос о сущности всех, в том числе и самых
обычных, обиходных абстракций геометрии, таких, как
точка, прямая, линия, поверхность и др.,
Лобачевский вышел, таким образом, из узкого круга
традиционных представлений, довлевших над его
предшественниками. Геометрия предстала перед ним в новом
1 Н. И. Лобачевский. Поли. собр. соч., т. 1- М.—Л., 1946,
стр. 79.
2 «Материалы для биографии Н. И. Лобачевского», стр. 177.
3 Я. И. Лобачевский. Поли. собр. соч., т. 2. М.—Л., 1949,
стр. 162—163.
117
свете. Многое, казавшееся сббсём простым, Оказалось
очень трудным, и Лобачевский пришел к необходимости
тщательной проверки всех, в том числе и самых
привычных, положений.
Нельзя не вспомнить в этой связи замечательных
слов Ленина, относящихся к классической работе
Энгельса «Происхождение семьи, частной собственности и
государства». «Как все великие революционные
мыслители,— пишет Ленин, — Энгельс старается обратить
внимание сознательных рабочих именно на то, что
господствующей обывательщине представляется наименее
стоящим внимания, наиболее привычным, освященным
предрассудками не только прочными, но, можно сказать,
окаменевшими» *.
Представители буржуазной идеологии — не только
Кант, но и его «противник» Милль — не случайно
пытались использовать «прочность» привычных понятий и
положений геометрии Евклида в целях пропаганды
идеализма! Не случайно исходивший из материалистических
установок Лобачевский пришел к необходимости
пересмотреть самые привычные геометрические
представления!
Не удивительно, что в этой связи его внимание было
в первую очередь привлечено к таким предложениям
Евклидовой геометрии, которые выступали в ней лишь
как необоснованные допущения.
3. Постулат Евклида о параллельных не
удовлетворял Лобачевского именно потому, что выступал как
«произвольное предположение». Все решительно
положения, эквивалентные этому постулату, которыми
математики — сознательно или бессознательно — пытались
заменить его, не устраивали Лобачевского опять-таки
потому, что представлялись недостаточно
обоснованными. Критикуя по существу Евклида за то, что, не
будучи в состоянии доказать свой постулат, он ввел его как
произвольное допущение, Лобачевский добавлял:
«Евклидовы последователи затрудняли только предмет
дополнительными положениями, либо произвольными,
либо совсем темными, стараясь убеждать в
справедливости принятой истины, которую по существу самой Гео-
метрии доказывать невозможно»2.
1 В. И. Ленин. Поли. собр. соч., т. 33, стр. 9.
2 Н. И. Лобачевский. Поли. собр. соч., т. 2, стр. 267—268.
118
Этот же упрек в недостаточной обоснованности
направлен Лобачевским против Лежандра за попытку
последнего найти выход из трудности, прибегнув «к
вспомогательным предложениям, которые он без обоснования
старается изобразить как необходимые аксиомы»г.
Наиболее убедительным среди таких
«вспомогательных» предложений, эквивалентных V постулату
Евклида, Лобачевскому представлялся так называемый
принцип однородности Лежандра, согласно которому
стороны треугольника не могут определяться его углами, т. е.
должны существовать подобные, но не равные друг
другу треугольники. В отличие от постулата Евклида этот
«принцип» уже не носит трансфинитного характера.
Иными словами, он проверяем (в пределах точности
измерений) и в конечном участке плоскости, что
побуждает Лобачевского заметить по его поводу, что «здесь
простота в понятии близка даже к первой нашей
опытности»2. Однако и этот «принцип» не удовлетворял
Лобачевского потому, что на поверку оказывался все же
произвольным. «В теории параллельных, — пишет он, —
думали принять еще за основание, что в треугольниках
углы должны зависеть от содержания (т. е. от
отношения.— С. #.) сторон. С первого раза такое положение
кажется столько же простым, сколько необходимым; но
когда вникаем в наши понятия, откуда берет оно свое
начало, то принуждены называть его так же
произвольным, как и все другие, к которым до сих пор прибегали»3.
Наконец, в «Пангеометрии» Лобачевский прямо
утверждал, что никакие произвольные положения, сколь
бы простыми они ни представлялись, не могут быть
допущены в геометрию именно потому, что они
произвольны. «Понятия, на которых основывают начала
геометрии, — пишет Лобачевский, — недостаточны, чтобы
отсюда вывести доказательство теоремы: сумма трех
углов прямолинейного треугольника равна двум прямым:
теоремы, в справедливости которой до сих пор никто не
сомневался, потому что не встречают никакого
противоречия в заключениях, которые отсюда выводятся, и
потому что измерение углов в прямолинейных треугольни-
1 Н. И. Лобачевский. Поли. собр. соч., т. 1, стр. 79 (курсив
мой.— С. #.).
2 Н. И. Лобачевский Поли. собр. соч., т. 2, стр. 161,
3 Там же, стр. 158.
119
ках согласуется в пределах ошибок самых точных
измерений с этой теоремой. Недостаточность начальных
понятий для доказательства приведенной теоремы
принудила геометров допускать прямо или косвенно
вспомогательные положения, которые, как ни просты кажутся,
тем не менее произвольны, и, следовательно, допущены
быть не могут» !.
4. В чем состоит, однако, по Лобачевскому,
произвольность «принципа однородности», если он сам
признает, что этот принцип не только прост, но и близок даже «к
первой нашей опытности»? Чтобы ответить на этот
вопрос, нам придется остановиться несколько более
подробно на сущности «принципа однородности».
Принцип этот утверждает, что в зависимости между
собой могут находиться только однородные предметы:
числа могут быть в зависимости только с числами,
величины одного рода только с величинами того же рода.
Если V постулат Евклида неверен 2, то треугольник
должен полностью определяться его углами (на
последние накладывается при этом единственное ограничение:
чтобы сумма их была меньше двух прямых). Но
величина угла независимо ни от какого постулата о
параллельных может быть определена чисто геометрически. Так,
прямой угол определяется в геометрии Евклида, как один
из двух равных смежных углов. В соответствии с этим
ко всякому углу можно отнести измеряющее его число,
выбрав за единицу измерения какой-нибудь
определяемый геометрически угол. Для отрезков в геометрии
Евклида этого нельзя сделать. Эталон длины можно
определить только эмпирически, поместив его, как таковой,
в Палате мер ;и весов. Однако если бы постулат Евклида
был неверен, то и отрезок можно было бы определить
геометрически. Для выбора единичного отрезка
достаточно было бы, например, воспользоваться стороной
какого-нибудь равностороннего треугольника, углом
которого эта сторона и определялась бы. Но в таком случае,
рассуждал Лежандр, оказалось бы, что числом, измеря-
ющим угол3, определялось бы не число, а отрезок. Ины-
1 Н. И. Лобачевский. Полное собрание сочинений по геометрии,
т. 1. Казань, стр. 409 (курсив мой. — С. #.).
2 Один только V постулат; все же остальные аксиомы
Евклидовой геометрии предполагаются остающимися в силе.
8 Выбрав раз навсегда единицу измерения для углов, Лежандр
отождествлял в дальнейшем угол с измеряющим его числом.
120
ми словами, такие «разнородные» вещи, как
отвлеченное число и конкретный отрезок, оказались бы в
зависимости друг от друга. (В геометрии Евклида этого не
получается, так как углами треугольника здесь
определяются только отношения сторон, т. е. числа.)
«Но почему же этого не может быть?» — спрашивает
Лобачевский. Не постигая сущности явления, мы, с его
точки зрения, «не можем утверждать, будто в отношение
(зависимость. — С. Я.) разнородных величин между со-'
бою должны только входить их содержания»
(отношения.— С. Я.)- И он ставит вопрос прямо: «Допуская
зависимость от содержания, почему не предполагать и
зависимости прямой?»1 Что дает нам основания
отвергать одно предположение в пользу другого?
Для ответа на этот вопрос Лобачевский обращается
к природе и здесь обнаруживает случаи зависимости
между разнородными величинами. «Некоторые
случаи, — пишет он, — говорят уже в пользу такого мнения
(т. е. возможности обоих предположений. — С. Я.):
величина притягательной силы, например, выражается
массою, разделенной на квадрат расстояния... Теперь
спрашивается, как же расстояние производит эту силу? Как
эта связь между двумя столько разнородными
предметами существует в природе?» Этого, говорит он, мы не
знаем, «но когда верно, что силы зависят от расстояния,
то линии могут быть также в зависимости с углами. По
крайней мере разнородность одинакова в обоих
случаях...»2.
Если же в природе и разнородные предметы могут
находиться в зависимости друг от друга, то исключать
такую возможность из геометрии, по Лобачевскому, и
значит вводить произвол в науку. Ибо наука обязана
исследовать все реально существующие возможности.
Материалистический характер аргументации
Лобачевского ясен уже из приведенного места. На роли
материалистического подхода Лобачевского к вопросу о
функциональной зависимости, позволившего ему — за
несколько лет до Дирихле — развить понятие
математической функции, мы еще остановимся в дальнейшем»
Здесь нам важно отметить, что Лобачевский не ограни-
1 Н. И. Лобачевский, Поли. собр. соч., т. 2, стр. 159.
2 Там же, стр, 159—160.
121
чивается общими соображениями, доказывающими
неосновательность аргументации Лежандра. Он приводит
доводы физического характера, непосредственно
свидетельствующие о том, что V постулатом во всех его формах,
в том числе и в виде «принципа однородности», по
произволу отсекаются некоторые возможности, носящие
отнюдь не «чисто» логический характер.
«В природе, — говорит Лобачевский, — мы познаем
собственно только движение, без которого чувственные
впечатления невозможны. Итак, все прочие понятия,
например, Геометрические, произведены нашим умом-
искусственно, будучи взяты в свойствах движения»1. Для
Лобачевского это означает, что геометрические свойства
пространства находятся в зависимости от физических
свойств тел2, познаваемых нами в их движении, и могут,
следовательно, меняться с изменением этих физических
свойств. «После чего, — продолжает Лобачевский, — в
нашем уме не может быть никакого противоречия,
когда мы допускаем, что некоторые силы в природе
следуют одной, другие своей особой Геометрии»3. И он тут же
высказывает предположение, что его «воображаемой»
геометрии, «может быть, следуют молекулярные силы».
Правда, это пока только предположение, «для
подтверждения которого надобно поискать других убедительных
доводов»4, но ведь речь и идет пока лишь о
допустимости таких предположений, о том, что при наличии
такого рода возможностей противоположное допущение не
может рассматриваться как обладающее характером
необходимости.
Но если оба допущения — и постулат Евклида, и его
отрицание — недостаточно обоснованы, в науке же, по
Лобачевскому, никакие произвольные предположения
недопустимы, то какой выход из этого положения
предлагает Лобачевский? К ответу на этот вопрос мы сейчас
и перейдем.
1 Н. И. Лобачевский. Поли. собр. соч., т. 2, стр. 158—159.
2 «Мы познаем в природе одни только тела», — пишет
Лобачевский, подчеркивая, что другие геометрические понятия
образуются через выделение свойств и соотношение тел, обнаруживаемых
ими в их движении («Материалы для биографии Н. И.
Лобачевского», стр. 204).
3 Н. И. Лобачевский. Поли. собр. соч., т. 2, стр. 159.
4 Там же. — Этой фразой заканчивается абзац, содержащий
аргументацию в пользу приведенного предположения.
122
5. За то, что Лобачевский пришел к своей геометрии,
исходя из задачи исключить ,из геометрии Евклида
необоснованное в ней, произвольное допущение, говорит,
на наш взгляд, уже то обстоятельство, что свой первый
доклад, посвященный созданной им неевклидовой
геометрии, который он сделал 11 февраля (по ст. ст.) 1826 г.,
Лобачевский назвал «Сжатое изложение начал
геометрии со строгим доказательством теоремы о
параллельных линиях» — «теоремы», а не «постулата», потому что
постулат кладется в основу науки без обоснования, а
Лобачевский считал свое учение о параллельных строго
обоснованным и не содержащим никаких произвольных
допущений.
Как уже было выяснено, постулат о параллельных
заведомо не принадлежал, по Лобачевскому, к числу
«несомнительных истин» геометрии. Но на основе
материала, которому он посвятил первые шесть глав своих
«Новых начал геометрии с полной теорией
параллельных» и который фактически сводился к допущению
свободного движения твердого тела и бесконечности
пространства, Лобачевский получал возможность дать
такую — обобщенную — формулировку постулата о
параллельных, необходимость которой он уже брался
доказать.
С этой целью он прежде всего доказывал ряд теорем
о сумме углов треугольника, которыми исключалась
гипотеза, что эта сумма может быть больше двух прямых,
и отделялись друг от друга две другие гипотезы: 1) что
сумма углов треугольника равна двум прямым, или
2) что она меньше двух прямых. Эти теоремы были
известны еще Лежандру 1. Теорему о том, что сумма
углов треугольника должна быть равна двум прямым во
всяком треугольнике, если она равна двум прямым
хотя бы в одном из треугольников, Лобачевский получил
независимо от Лежандра, как одну из лемм его
«теоремы о параллельных», доложенной им в 1826 г.
Действительно, мы читаем у Лобачевского: «В Записках
Французской Академии 1833 года прибавил он (речь идет о
Лежандре. — С. Я.) еще предложение, что сумма углов
должна быть я во всех треугольниках, если такова в од-
1 В сущности они были установлены еще Саккери, работы
которого, во всяком случае, не были известны Лобачевскому.
123
ном только. То же мне надобно было доказывать и в
моей теории, которую писал я в 1826 году» *.
После этого самая «теорема о параллельных» могла
примерно означать следующее: обе возможности 1) и
та, что сумма углов треугольника = я, и 2) та, что эта
сумма < я, имеют научный смысл. Первой
соответствует геометрия Евклида, употребительная, как ее называет
Лобачевский. Второй — геометрия Лобачевского,
воображаемая, в его терминологии. Постулат Евклида о
параллельных является произвольным допущением потому,
что он по произволу отсекает вторую из этих двух
возможностей.
Между тем вторая возможность более обща, чем
первая, потому что первая является ее предельным
случаем, осуществляющимся с любой наперед заданной
степенью точности — в пределах протяжений, достаточно
малых по сравнению с некоторым отрезком,
принимаемым Лобачевским за единицу измерения и называемым
теперь радиусом кривизны пространства.
Чтобы было ясно, что это действительно мнение
самого Лобачевского, я позволю себе привести подлинные
цитаты.
«...Если в природе существующая Геометрия такова,
что две параллельные линии должны быть наклонены к
третьей линии под углами, которых сумма < я, — пишет
Лобачевский, — то Геометрия употребительная нами
будет Геометрия чрезвычайно малых линий в сравнении с
теми, при которых сумма углов треугольника может
приметно разниться от я»2.
Противопоставляя сделанному им «другое
предположение», под которым имеется в виду постулат Евклида,
Лобачевский уже в той же первой печатной публикации
своих идей, из которых заимствована только что
приведенная цитата, подчеркивает оба обстоятельства: 1) и
то, что до сих пор не замечали, что это лишь «одно» из
двух возможных предположений; 2) и то, что сделанное
им предположение включает это «другое» в себя как
1 Я. И. Лобачевский. Поли. собр. соч., т. 2, стр. 149. В
студенческих записях лекций Лобачевского за 1815—1817 гг., т. е. за
10 лет до его доклада, содержится доказательство теоремы,
гласящей: «Если сумма углов в каком-нибудь А~е равна двум прямым,
то и во всяком другом А-е будет тоже». (См. там же, стр. 504.)
2 Я. Я. Лобачевский. Поли. собр. соч., т. 1, стр. 196.
124
частный случай. «Другое предположение и одно,
которое до сих пор допускали Геометры, — пишет он, —
заключается также в этом общем, с тем ограничением, что
линии должно рассматривать бесконечно малыми,
следовательно, в исчислении пренебрегать их
произведениями, вторыми и далее степенями в сравнении с
первыми» 1.
В этой связи не следует забывать и того, что
Лобачевский широко использует то обстоятельство, что
плоская геометрия (планиметрия) Евклида выполняется
точно на предельных поверхностях его геометрии,
поверхностях, являющихся в определенном смысле
предельными для поверхности сферы при неограниченном
увеличении ее радиуса, — если за прямые линии принять
так называемые предельные линии на этой поверхности.
Все это и дает Лобачевскому основания считать свою
геометрию свободной от произвольных допущений и в то
же время 'включающей в себя все содержание геометрии
Евклида. Последнего он никогда не забывает
подчеркивать. Так, переходя в «Новых началах» к учению о
подобии, имеющему, как известно, место только в
Евклидовой геометрии, и к введению тригонометрических
функций, Лобачевский пишет: «...в следующей статье,
как и во всей главе потом о тригонометрических
функциях, будем говорить о прямолинейных треугольниках
Употребительной Геометрии, хотя в строгости должно
разуметь собственно треугольники Воображаемой
Геометрии на предельной поверхности, если не хотим
допускать никаких произвольных предположений»2.
Ясно, таким образом, что Лобачевский действительно
считал свою обобщенную «воображаемую» геометрию
свободной от всяких произвольных предположений.
Ограничение же случаем употребительной геометрии
является, с точки зрения Лобачевского, произвольным
потому, что без основания (по произволу) отсекает одну
из имеющихся возможностей. Это ясно уже из того, что
наиболее обстоятельная работа Лобачевского,
посвященная началам геометрии, носит название «Новые начала
1 Н. И. Лобачевский. Поли. собр. соч., т. 1, стр. 199.
12 Н. И. Лобачевский. Поли. собр. соч., т. 2, стр. 300. Под
«произвольными предположениями» тут подразумеваются, конечно,
равносильные постулату Евклида.
125
геометрии с полной теорией параллельных» — «полной»,
так как «под этим видом параллельность уже
рассматривается во всей обширности (общности. — С. Я.)»1;
иными словами, исследуются все возможные частные2
случаи и таким образом исключаются из геометрии
элемент случайности и произвол в выборе одного из них.
Термин «воображаемая» не удовлетворял поэтому
Лобачевского. В своем последнем произведении он
переименовал свою геометрию, как известно, в «пангеомет-
рию», т. е. во «всеобщую геометрию». Говоря здесь о
своей «особой геометрии, которой я дал название
«воображаемой геометрии»», Лобачевский замечает: «...но
которую, может быть, приличнее назвать пангеометрией,
потому что это означает геометрию в обширном виде, где
обыкновенная геометрия будет частный случай».
6. Из множественности различных геометрий,
рассматриваемых в современной математике, неоднократно
делались и делаются философскими реакционерами
идеалистические «выводы». Так, Пуанкаре основывал на
этой множественности махистский вывод, что «одна
геометрия не вернее другой, а только более или менее
удобна» («Наука и гипотеза»), что вопрос об истинности
геометрии как отражении пространственных форм
материального мира вообще не имеет смысла.
Подход Лобачевского к геометрии и сейчас бьет по
этим идеалистическим «выводам». Мы уже видели, что
множественность геометрий отражала, с точки зрения
Лобачевского, множественность реальных возможностей,
существующих в природе. Ведь именно из того, что
«пространство, само собой, отдельно (от материальных
тел. — С. Я.) для нас не существует», и геометрические
понятия производятся «нашим умом искусственно,
будучи взяты в свойствах движения», которое мы познаем в
природе, Лобачевский заключал, что «в нашем уме не
может быть никакого противоречия, когда мы
допускаем, что некоторые силы в природе следуют одной, другие
своей особой геометрий». Как известно, Лобачевский
допускал возможность того, что его «воображаемая» гео-
1 Н. И. Лобачевский. Поли. собр. соч., т. 2, стр. 267.
2 «Продолжая теперь Геометрию, — писал Лобачевский, — будем
допускать как то, так и другое предположение, которые до сих пор
остаются еще возможными». (Там же, стр. 264.)
126
метрия имеет место «либо за пределами видимого мира,
либо в тесной сфере молекулярных притяжений» х.
Широко известны знаменитые слова Лобачевского,
высказанные им в его первой печатной работе (1829 г.)
по неевклидовой геометрии: «...нельзя не увлекаться
мнением г. Лапласа, что видимые нами звезды и
млечный путь принадлежат к одному только собранию
небесных светил, подобному тем, которые усматриваем как
слабо мерцающие пятна в созвездиях Ориона,
Андромеды, Козерога и проч. Итак, не говоря о том, что в
воображении пространство может быть продолжаемо
неограниченно, сама Природа указывает нам такие
расстояния, в сравнении с которыми исчезают за малостию
даже и расстояния нашей земли до неподйижных звезд.
После этого нельзя утверждать более, что
предположение, будто мера линий не зависит от углов —
предположение, которое многие Геометры хотели принимать за
строгую истину, не требующую доказательства, — может
быть оказалось бы приметно ложным еще прежде,
нежели перейдем за пределы видимого нами мира»2.
Но Лобачевский не только обосновывает
множественность возможных геометрий наличием различных
реальных возможностей, существующих в природе. Обе, с
его точки зрения, возможные и противоречащие друг
другу геометрии находятся в единстве между собой, и
«воображаемая» геометрия есть не просто другая,
равноправная с Евклидовой, а включающая последнюю как
предельный случай более общая геометрия. Именно на
этом пути диалектического, хотя и не осознанного еще,
как таковое, развития геометрии Лобачевский и считал
возможным освободить ее от произвольных допущений.
Мы имеем, таким образом, все основания сказать, что
произвол из геометрии фактически устранялся
Лобачевским путем диалектического развития и обогащения ее
содержания за счет конкретного изучения возможностей,
устраненных ранее благодаря произвольному
допущению исключительной, догматической, истинности
постулата Евклида. Прямым продолжением его пути и был
поэтому дальнейший бурный рост науки и обнаружение
новых возможностей ее развития, оставшихся еще
неизвестными Лобачевскому. Прямым подтверждением и
1 Н. Я. Лобачевский. Поли. собр. соч., т. 2, стр. 160.
2 Н. И. Лобачевский. Поли. собр. соч., т. 1, стр. 209.
127
применением его методологических идей и было поэтому
создание теории относительности.
Подводя итог, мы можем сказать, что вопреки
широко распространенным истолкованиям великого открытия
Лобачевского, как основанного на «произвольно
принятой» аксиоме, Лобачевский на самом деле создавал
свою геометрию в борьбе против всяких произвольных
допущений и ничем не обоснованных «аксиом».
Лейтмотивом неудовлетворенности Лобачевского Евклидовой
теорией параллельных, начиная от его первой печатной
публикации вплоть до заключительной «Пангеометрии»,
является мысль, что постулат Евклида о параллельных
и многочисленные равносильные ему положения, с
помощью которых математики пытались доказать этот
постулат, «как ни просты кажутся, но тем не менее
произвольны и, следовательно, допущены быть не могут»
(«Пангеометрия»).
Свою геометрию Лобачевский строил как свободную
от произвольного допущения верности того или иного
постулата о параллельных и исследующую поэтому все
могущие реально существовать (в природе!)
возможности. Поскольку он исходил при этом из движения
твердых тел и бесконечности пространства, таких
возможностей оставалось только две: 1) геометрия Евклида,
где сумма углов треугольника равна двум прямым, и
2) геометрия Лобачевского, где эта сумма меньше двух
прямых. Исходя из противоположения этих двух
возможностей, Лобачевский пришел к их единству,
обнаружив, что геометрия Евклида является предельным
случаем его неевклидовой геометрии. Свою
«воображаемую» геометрию он рассматривал, таким образом, как
общую геометрию и даже предпочел для нее поэтому
впоследствии название «пангеометрии». Оставшиеся
неизвестными Лобачевскому дальнейшие возможности
обобщения и развития геометрии не только не
опровергают его основных методологических установок, а,
наоборот, являются наилучшим подтверждением их
правильности.
Уже из приведенного материала видно, что создание
Лобачевским первой неевклидовой геометрии было
неотделимо у него от критики идеалистических установок в
математике, окончательно выродившихся в наши дни в
конвенщюналистические и формалистические извраще-
128
ния, паразитирующие на аксиоматическом методе
современной математики. На вопросе вообще о роли критики
в творчестве Лобачевского мы специально остановимся
в следующем параграфе. Здесь мы снова будем иметь
возможность убедиться в том, что история открытия
геометрии Лобачевского и передовые идеи нашего великого
соотечественника до сих пор служат могучим орудием в
борьбе против идеализма и схоластики в математике.
§ 3. РОЛЬ КРИТИКИ
В ТВОРЧЕСТВЕ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
I. Среди буржуазных математиков и историков
математики широким распространением пользуется
подразделение истории математики на противополагающиеся
друг другу периоды творчества и критики. Согласно этой
метафизической «теории», в критические периоды над
математикой довлеет забота о соблюдении формальной
логической строгости, необходимой для систематизации
и очистки накопленного в творческие периоды
материала; в периоды же творческие идеал научной строгости
отступает якобы на задний план и математик, не
стесняясь, использует не выдерживающие его критики
понятия и методы. Некритический подход и пренебрежение
к научной строгости рассматриваются при этом даже как
необходимый момент развития математики, поскольку
строгость трактуется лишь как совокупность
формальных требований, извне наложенных на математику и по
существу остающихся теми же в наши дни, как и во
времена Евклида.
Наиболее последовательные сторонники этой теории
изображают развитие математики происходящим не
через борьбу с отживающими свой век традициями и
догмами, даже не через сдачу последних в музей
древностей, где они могут храниться наряду с другими
вышедшими из употребления реликвиями, а через простое
пренебрежение к законным требованиям научной
строгости, расплата за которое еще предстоит математикам
в критические периоды. Насколько несущественными
считаются при этом изменения форм строгости, можно
судить по тому, что идеал строгости, господствовавший
в эпоху схоластики, выставляется как образец
совершенства и для науки наших дней.
5 С. А. Яновская
120
Откровенным представителем такого
метафизического противоположения критики творчеству, научной
строгости — продуктивности математика является Ф. Клейн,
который в своих «Лекциях о развитии математики в
XIX столетии» пишет:
«В периоды неудержимого роста творческой
продуктивности требование строгости часто отступало на
задний план, уступая стремлению к возможно большему и
быстрейшему обогащению научного достояния. В
следующие же затем периоды критики — периоды
просеивания и очистки достигнутых приобретений — стремление
к строгости начинает опять играть доминирующую роль.
Вспомним эпоху возникновения дифференциального и
интегрального исчисления в XVIII столетии, когда
бурный полет творческой фантазии и страстная жажда
открытий создали многое такое, что было не только
недостаточно обосновано, но оказалось впоследствии прямо
неверным. То же имело место и при создании теории
алгебраических кривых в XIX веке. В качестве
противоположного примера я приведу эпоху схоластики,
сочетавшую незначительную продуктивность с величайшей
остротой критического и диалектического ума...
Окидывая общим взором пройденный путь развития, мы
должны сказать, что в очень редкие эпохи дух критики,
стремление разложить на простейшие элементы всякий
логический шаг, «идеал строгости» были столь сильны,
как во времена схоластики» К
Вряд ли требуется доказывать советскому читателю,
что отнюдь не эпоха схоластики, с характерным для нее
авторитарным типом мышления и догматизмом,
заслуживает названия критической, что в эпоху схоластики
незначительная продуктивность сочеталась совсем не с
духом смелой критики, а, наоборот, с недостатком ее и
сугубо формальным подходом к требованиям научной
строгости. Достаточно обратиться к подлинной истории
математики, чтобы полностью разоблачить порочность
всей вообще концепции Клейна, способствующей
отождествлению математической строгости со схоластикой,
господству формализма в основаниях математики и
превращению критики в бесплодное буквоедство. Превосход-
ным образцом, доказывающим вздорность клейновского
1 Ф. Клейн. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М-»
1937, стр. 83.
130
противопоставления критики и творчества, является
история открытия неевклидовой геометрии Лобачевским.
Творчество Лобачевского с исключительной
убедительностью свидетельствует о том, насколько велико
было значение беспощадной критики и борьбы с косностью
и предрассудками математиков, с пренебрежением их к
требованиям материалистически понимаемой научной
строгости для того революционного переворота в этой
науке, который был совершен нашим великим
соотечественником.
2. С точки зрения диалектического материализма
всякое развитие, в том числе и развитие науки,
происходит через борьбу противоположностей.
• Развитие науки, движение ее вперед неотделимо от
борьбы с устаревающими научными традициями, от
безбоязненного критического подхода к ним, не
останавливающегося перед их коренной ломкой. Именно так
пришел к своему открытию и Лобачевский.
Критика начал геометрии была для Лобачевского
.отнюдь не только средством логического обоснования,
очистки и просеивания уже полученных результатов, как
это должно было быть, по Клейну. Она была для него
орудием творческого исследования и преобразования
науки, открытия я ней новых важнейших фактов. Не
случайно первый печатный труд Лобачевского,
посвященный неевклидовой геометрии (1829 г.), носит заглавие
«О началах геометрии». Не случайно этот труд
начинается словами: «Кажется, трудность понятий
увеличивается по мере их приближения к начальным истинам в
природе» 19 после чего следует объяснение причин,
помешавших математикам «достигнуть здесь последней
строгости», несмотря на упорные их усилия. О значении,
которое Лобачевский придавал требованию научной
строгости в математике, достаточно свидетельствуют
дальнейшие слова его: «В самом деле, кто не согласится, что
никакая Математическая наука не должна бы
начинаться с таких темных понятий, с каких, повторяя Евклида,
начинаем мы Геометрию, и что нигде в Математике
нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой
принуждены были допустить в теории параллельных
линий».
Н. И. Лобачевский. Поли. собр. соч., т. 1, стр. 185.
5* 131
В то время как с установками Клейна связан тот
вывод, что критика начал математики имеет чисто
отрицательный характер и в лучшем случае направлена на
систематизацию накопленного материала и очищение его
от плевел, для Лобачевского она представляет собой
необходимый момент творческого развития науки. Там,
где нет критики, оскудевает и творчество. Больше того,
разрешение трудностей, связанных с началами,
необходимо не только в целях философского обоснования
воздвигнутого на этих началах здания математики. По
мнению Лобачевского, начала ее представляют собой
незаслуженно заброшенное математиками поле. Сами начала,
такие «элементарные» науки, как алгебра и геометрия,
таят в себе богатейшие неиспользованные возможнооти
развития, которыми отнюдь не следует пренебрегать.
«Алгебру и Геометрию, — пишет Лобачевский, —
постигла одинаковая участь. За быстрыми успехами в
начале следовали весьма медленные и оставили науку на
такой степени, где она еще далека от совершенства. Это
произошло, вероятно, от того, что Математики все свое
внимание обратили на высшие части Аналитики,
пренебрегая началами и не желая трудиться над
обрабатыванием такого поля, которое они уже раз перешли и
оставили за собою» К
В наши дни не приходится доказывать, насколько
прав был в этом Лобачевский, насколько
неисчерпаемыми оказались заложенные в началах геометрии и
алгебры возможности их творческого развития, насколько
существенное значение для развития всей математики
имела неустанная борьба Лобачевского за то, чтобы наука
«стала на твердом основании, чтоб строгость и ясность
сохранялись в самых ее началах, как оне делаются
первым ее достоинством в продолжении»2.
3. Прежде чем мы перейдем к конкретному
освещению материалистических взглядов Лобачевского на
математическую строгость, не имеющих, конечно, ничего
общего с той схоластической строгостью, о которой
говорит Клейн, нам еще нужно остановиться на одном
вопросе. Это поможет нам лучше разобраться в
сущности критических методов Лобачевского и опровергнет
! И. И. Лобачевский. Поли. собр. соч., т. 4 М—Л., 1948,
стр. №
2 Там же, стр. 370.
132
один из аргументов Клейна, не затронутый нами до сих
пор.
В подтверждение правильности своих утверждений
Клейн ссылался на историю математического анализа;
пример же из истории открытия неевклидовой
геометрии — могут возразить нам — не имеет отношения к
истории анализа. Вопреки кажущейся убедительности,
возражение это отнюдь не обосновано. Легко показать, что
трудности, с которыми приходилось бороться
Лобачевскому, в такой же мере довлели над математическим
анализом, как и над геометрией, что именно
критический подход к основным понятиям и методам анализа
помог Лобачевскому справиться с такими задачами
геометрии, которые оказались непосильными для^ весьма
авторитетных математиков. Действительно, в ошибках,
допускавшихся последними, суть дела была часто в
неоправданном предельном переходе, в неясностях,
связанных с метафизическим подходом к бесконечно малым в
математике. Критически разбирая доказательства V
постулата Евклида, принадлежавшие таким математикам,
как Бертран или Лежандр, Лобачевский чаще всего
должен был выступать против ошибок того же рода,
которые препятствовали и развитию анализа,
диктовавшемуся потребностями физики и техники (прежде всего
учением о теплоте, история которого неотделима была в ту
пору от истории паровой машины). Мы знаем теперь,
что распространенная недооценка работ Лобачевского
по математическому анализу на самом деле не
оправдана; что и в области анализа интересы Лобачевского
были посвящены таким проблемам, как, например, теория
тригонометрических рядов, которым принадлежало
будущее; что и в этой области Лобачевскому принадлежит
приоритет в ряде открытий, на много десятков лет
опередивших дальнейшее развитие науки !.
Живший в Казани Лобачевский был отнюдь не
провинциалом в математике, случайно натолкнувшимся на
ее заброшенный участок, где оказался зарытым клад,
как его нередко изображают в зарубежной истории
математики. Он был ученым, занимавшим передовые
позиции во всей науке его времени. Не случайно поэтому
1 См. Г. Л. Лунц. О работах Н. И. Лобачевского по
математическому анализу. — «Историко-математические исследования»,
вып. II.
133
все научное творчество Лобачевского было связано с
критикой «начал» математики. Ибо это было время,
когда во всех областях математики дальнейшее творческое
развитие стало невозможным без преодоления косности
и рутины, довлевших над ее основаниями.
4. О том, насколько существенную роль в истории
неевклидовой геометрии должны были играть проблемы
обоснования анализа, свидетельствуют уже ошибки,
помешавшие итальянскому математику иезуиту Саккери
(1667—1733) заметить, что из «гипотезы острого угла»,
принятой им с целью доказать от противного Евклидов
постулат о параллельных, никакого противоречия не
получается. Поскольку для выяснения
материалистических черт мировоззрения Лобачевского нам еще
понадобится в дальнейшем сопоставление с Саккери, который
был не только выдающимся математиком, но и
искусным логиком, мы разрешим себе остановиться более
подробно, чем это обычно делается, на разборе логических
и математических ошибок, допущенных Саккери..
Предположив, что постулат Евклида неверен, и
опровергнув гипотезу, равносильную допущению, что сумма
углов треугольника больше 2d, Саккери г переходил к
предположению («гипотезе острого угла»),
эквивалентному тому, что эта сумма меньше 2d. Одно из
доказательств, с помощью которых он пытался опровергнуть и
это предположение, состояло в следующем.
Саккери выяснил, что в этом случае должно
существовать бесчисленное множество прямых, проходящих
через данную точку Л, лежащую вне прямой ВЬ, и не
пересекающих ВЬ (черт. 3). По каждую сторону от
перпендикуляра АВ, опущенного из точки А на прямую ВЬ,
лежит при этом одна прямая (луч) АР\ неограниченно
сближающаяся с прямой ВЬ, Всякая другая прямая АР,
не пересекающая прямой ВЬ, является, как теперь
говорят, расходящейся с ВЬ, т. е. сближается с ВЬ только
на некотором отрезке BQ, после чего начинает
расходиться с ВЬ. В точке Q, т. е. в конце отрезка BQ,
существует общий перпендикуляр QR к обеим прямым ВЬ и
АР. Луч АР' лежит на границе, отделяющей прямые АР,
расходящиеся с ВЬ, от прямых AM, пересекающих ВЬ.
1 «Euclides ab oitini naevo vindicatus» («Евклид, освобожденный
от всех пятен»). Это сочинение было впервые опубликовано в Милане
1733 г.
134
Если теперь мы будем непрерывно уменьшать угол РАВ,
сближая прямую АР с граничной, асимптотической
прямой АР', то отрезок BQ будет расти (см. черт. 4), и
основание общего перпендикуляра QR будет
неограниченно удаляться от точки В. Так как асимптотическая
прямая АР' является предельным положением для прямой
АР, то Саккери заключает отсюда, что прямая АР' тоже
имеет общий перпендикуляр с ВЬ, но только в
бесконечно удаленной точке. Две разные прямые АР' и ВЬ
оказываются, таким образом, имеющими общий
перпендикуляр в одной и той же, принадлежащей им обеим
точке. Две разные прямые не могут, однако, полагает Сак-
Черт. 3 Черт. 4
кери, иметь общий перпендикуляр в их общей точке: это
противоречило бы «природе прямой линии». Гипотеза
острого угла приводит, таким образом, к нелейому
следствию, почему и должна быть отвергнута.
Ясно, что сущность допущенной здесь Саккери
ошибки состоит в незаконном распространении на
бесконечность свойства, которым обладают две прямые,
пересекающиеся друг с другом на конечном расстоянии от
точки В. В этой ошибке не было ничего удивительного
во времена Саккери. Маркс недаром называл
мистическим дифференциальное исчисление Ньютона и
Лейбница и подчеркивал его метафизический характер.
Метафизическим был и известный закон непрерывности
Лейбница, который Лейбниц считал принципом всеобщего
порядка, коренящимся в бесконечном, и абсолютно
необходимым в геометрии в силу ее высокого совершенства 1.
Согласно этому принципу, всякая функция должна быть
непрерывна, почему, в частности, математик имеет пра-
1 См. «Избранные отрывки из математических сочинений
Лейбница». — «Успехи математических наук», т. III, вып. 1 (23), стр.193.
* 135
ёо переносить на предел любые свойства, которыми
неизменно обладают переменные, стремящиеся к этому
пределу. Удачные применения этого принципа в тех
случаях, где рассматриваемые зависимости действительно
были непрерывными — математикам XVIII века с
другими почти не приходилось встречаться, — должны были
подкреплять впечатление его полной оправданности.
И если Саккери тем не менее не был вполне
удовлетворен своим доказательством, то, думается, больше
потому, что оно не вскрывало внутренней противоречивости
подлежавшего опровержению допущения. Саккери был
слишком тонким логиком, чтобы не понимать, что сколь
бы ни казался ему законным вывод полученного им
парадоксального следствия, он не доказывал еще
абсурдности его посылки.
Чтобы привести ее к абсурду, необходимо было
вывести из «гипотезы острого угла» два следствия,
взаимно отрицающих друг друга. И Саккери действительно
попытался два таких следствия получить. На сцену при
этом опять выплыла бесконечность, но теперь уже в
виде бесконечно малых.
В «мистическом» дифференциальном исчислении
Ньютона и Лейбница (Маркс. «Математические
рукописи») с бесконечно малыми были связаны еще весьма
туманные представления. На них смотрели, как на «особые
виды бытия, которые то играют роль истинных
количеств, то должны рассматриваться как абсолютное ничто
и по своим двусмысленным свойствам как бы занимают
среднее место между величиной и нулем, между бытием
и небытием» К
Поскольку речь шла о такого рода применениях
новооткрытого исчисления, где геометрическая
наглядность могла служить коррективом к аналитическим
выкладкам, математикам эти неясности еще не очень
мешали. Однако уже и в ту пору в тумане, окутывавшем
бесконечно малые, ютились идеалистические совы типа
Беркли. Когда же возникла необходимость разобраться
в самых корнях геометрической наглядности и
исходить— как это было в случае Саккери — из допущений,
расходившихся с наиболее привычными представления-
1 Л. Карно. Размышления о метафизике исчисления бесконечно
малых. М, 1936, стр. 81—82.
136
ми, неясности, связанные с бесконечно малыми,
превратились в тормоз научного развития. Актуально
бесконечно малые, — эти «введенные с самого начала по
определению как самостоятельные, отделенные от
переменных 'величин, из которых они возникли,
существования» (Маркс. «Математические рукописи»), обитающие
где-то между бытием и небытием, — могли в таких
случаях быть использованы для получения неправильных
результатов, представлявшихся почему-либо
желательными. Именно так их и использовал Саккери.
Чтобы одолеть упорную «гипотезу острого угла»,
Саккери ввел в рассмотрение кривую, называемую теперь
эквидистантой и представляющую собой
геометрическое место точек, равноудаленных от прямой — базы эк-
видистанты. Про дугу эквидистанты, утверждал Саккери,
он может доказать оба предложения: 1) и то, что она
равна своей проекции на базу, 2) и то, что она больше
этой проекции. Второе предложение Саккери
действительно доказал. Если бы он доказал и первое, нужное
ему противоречие было бы в его руках. Доказательство
первого Саккери пытался получить по-разному: и
геометрически, и кинематически. На первом месте у него
находится доказательство с помощью весьма туманного
оперирования с бесконечно малыми.
Из произвольной точки К эквидистанты CKD спустим
перпендикуляр КМ на базу АВ (черт. 5). Саккери
доказывает, что перпендикуляр в точке К к ординате КМ
является касательной к эквидистанте. Рассмотрим затем
бесконечно малый элемент KF дуги эквидистанты.
Саккери сначала отождествляет его с элементом
касательной KR, а затем, пользуясь перпендикулярностью
последней к ординате КМ, принимает этот элемент за
бесконечно малую ширину ординаты КМ <в точке /(.
Поскольку же шириной ординаты КМ служит
одновременно и бесконечно малый элемент MP базы,
представляющей собой проекцию элемента KF дуги эквидистанты,
Саккери заключает, что элемент дуги эквидистанты
должен быть равен соответствующему элементу ее
проекции *. Из равенства элементов следует затем равенство
между всей дугой эквидистанты и ее проекцией на базу.
1 Саккери, конечно, чувствует недостаточность этих
соображений насчет бесконечно малой «ширины» ординаты, почему и считает
необходимым специально обосновать неизменность «ширины» на
137
Черт. 5
Саккери, таким образом, пытается как-то использо*
вать то обстоятельство, что в «бесконечно малом» экви-
дистанта совпадает с прямой, которой, по Евклиду,
надлежит быть параллельной к
АВ, для доказательства
того, что и «в большом»
должна быть справедлива
геометрия Евклида. Наоборот, для
Лобачевского, как мы
видели, то обстоятельство, что
геометрия Евклида
оказывается предельным случаем
его «воображаемой»
геометрии, служит наилучшим
подтверждением правильности последней.
5. Работа Саккери не была известна Лобачевскому.
Лобачевский поэтому и не критикует непосредственно
ошибок, допущенных Саккери. Нетрудно проследить тем
не менее, какую роль в истории создания неевклидовой
геометрии играла критика, направленная Лобачевским
на начала не только геометрии, но и на ошибки,
связанные с основными понятиями математического
анализа, прежде всего с метафизическим подходом к
трактовке предельного перехода и вообще бесконечности в
математике. С такой именно критикой мы встречаемся у
Лобачевского по отношению к «Началам геометрии» Ле-
жандра.
В лице Лежандра (1752—1833) мы имеем дело с
одним из видных представителей французской школы
математиков, передовые — для своего времени —
устремления которой были обусловлены французской
буржуазной революцией. В истории неевклидовой геометрии,
безусловно, заслуживают упоминания его многократно
всем протяжении ординаты с помощью, впрочем, отнюдь не
вразумительных рассуждений.
«Но, — пишет он, — принадлежащий касательной бесконечно
малый кусок К ни больше, ни меньше, чем бесконечно малый,
принадлежащий базе АВ кусок М, а, наоборот, полностью равен ему,
потому что мы ведь можем представить себе прямую МК
описанной посредством того, что именно эта точка М в постоянно
равномерном движении достигает вплоть до высоты точки К» (P. Stackel,
F. EngeL Die Theorie der Parallellinien von Euclid bis auf Gauss, 1895.
S. 127).
138
переиздававшиеся «Начала геометрии», содержавшие все
новые и новые попытки доказательства V постулата
Евклида. Даже его заключительные «Размышления о
различных способах доказать теорию параллельных линий
или теорему о сумме углов треугольника» (1833),
опубликованные через 4 года после работы Лобачевского
«О началах геометрии», т. е. когда неевклидова
геометрия уже была создана, занимают все же в истории
последней некоторое место: освещая историю
возникновения геометрии Лобачевского, нельзя пройти мимо этих
работ Лежандра. И все же Лобачевский пришел к
неевклидовой геометрии, не «отправляясь от идей
Лежандра», как утверждают иногда \ а борясь с этими идеями
и беспощадно разоблачая ошибки, допущенные Лежанд-
ром. Если на первых порах Лобачевский сам пытался
доказывать постулат о параллельных, он имел смелость
разоблачать и свои собственные ошибки. Как широко
известно, уже в 1823 г. в своем учебнике «Геометрия» он
писал по поводу Евклидова постулата о параллельных:
«Строгого доказательства сей истины до сих пор не
могли сыскать. Какие были даны могут назваться
только пояснениями, но не заслуживают быть почтены
в полном смысле Математическими
доказательствами» 2.
Для многих рассуждений Лежандра, — среди
которых далеко не все являются ошибочными, — характерно
именно привлечение предельного перехода и
оперирование с математической бесконечностью для
доказательства теорем элементарной геометрии. Остроумно
использовав в доказательстве леммы, гласящей, что
«сумма трех углов треугольника не может быть больше двух
прямых углов», постулат Архимеда, согласно которому
«как бы мала ни была разность D, если мы ее повторим
достаточное число раз, она превзойдет любую наперед
заданную величину», Лежандр хотел аналогичными
приемами доказать и предложение, что сумма углов
треугольника не может быть меньше двух прямых. В его
1 См., например, В. Ф. Каган. Строение неевклидовой геометрии
у Лобачевского, Гаусса и Больаи. — «Труды Института истории
естествознания», т. II. М., 1948, стр. 341. Впрочем, в других работах
В. Ф. Кагана такого рода утверждений мы не находим.
2 Н. И. Лобачевский. Поли. собр. соч., т. 2, стр. 70.
139
feoMeTpH4ecknx доказательствах* поэтому нередко фй-
гурировали различные бесконечные последовательности.
Оперируя с ними, Лежандр допускал иногда
поразительные логические ошибки, свидетельствующие о том,
насколько прав был Лобачевский, когда писал о нем:
«...вероятно, предубеждения в пользу принятого всеми
положения заставляли на каждом шагу спешить с
заключением или дополнять тем, чего бы нельзя было
допускать еще в новом предположении»2.
Правда, не все ошибки Лежандра, раскритикованные
Лобачевским, относились к оперированию с
математической бесконечностью и к необоснованным предельным
переходам. О том, насколько все же существенное
внимание пришлось Лобачевскому уделить критике ошибок
именно этого рода и как глубоко он проникал при этом
в сущность соответствующих предельных переходов,
свидетельствуют уже следующие примеры.
Чтобы доказать, что сумма углов треугольника не
может быть меньше двух прямых, Лежандр строил
некоторую последовательность треугольников Тп (с
неограниченно возрастающими сторонами), у которых сумма
углов, S, оставалась постоянной, и угол при вершине
стремился к S. Углы при основании треугольника Тп
при этом становились как угодно малыми, и высота
треугольников все время уменьшалась, почему их боковые
стороны все более и более сближались с основанием.
«Лежандр думал заключить отсюда, — писал
Лобачевский,— что с уменьшением двух углов приближение
противоположных сторон к третьей оканчивается
необходимо превращением остального угла в два прямые, а
потому S = я в начальном и, следовательно, во всяком
треугольнике... Однако ж это рассуждение неверно,
потому что здесь стороны в треугольнике растут
бесконечно, а следовательно, можем предполагать и границу
приближения, покуда угол ЛС'В'<5<я»3 (черт. 6).
Иными словами, Лобачевский упрекает Лежандра в
том, что последний, — не замечая того, — опирается на
допущение, эквивалентное постулату, который требуется
1 О доказательстве, основанном на «принципе однородности»,
которое Лежандр называл «аналитическим» в противоположность
своим «геометрическим» доказательствам, речь уже шла выше.
2 Н. И. Лобачевский. Поли. собр. соч., т. 2, стр. 149.
3 Там же, стр. 150—151.
140
дйк&зать, и состоящее в том, *гго на треугольники с
неограниченно возрастающими сторонами переносятся
свойства треугольников, стороны которых остаются
меньшими некоторого постоянного отрезка. Действительно,
если бы мы имели дело с последовательностью
треугольников, стороны которых не превосходят данного
отрезка а, то углы при основании этих треугольников,
независимо от постулата о параллельных, могли бы
стремиться к нулю только одновременно со стремлением
боковых сторон к совпадению с основанием, т. е. со
стремлением высоты треугольника к нулю. Грубо говоря, Ле-
жандр делает ошибку, аналогичную той, которую делал
Саккери: он переносит на бесконечность свойства,
справедливые в области конечного. Лобачевский же
совершенно точно вскрывает корни этой ошибки Лежандра.
Черт. 6
Черт. 7
Больше того, он не ограничивается критикой логических
ошибок Лежандра, но показывает, как с помощью
формул «воображаемой» геометрии вычисляется предельная
высота треугольников последовательности Тп , с
достижением которой треугольник перестает существовать в
предположении, что S < п (черт. 7).
Еще большей тонкостью отличаются соображения
Лобачевского, с помощью которых он опровергал в тех
же «Новых началах геометрии» (1835), из которых
заимствован предшествующий пример, доказательство
Евклидова постулата о параллельных, принадлежавшее
женевскому математику Луи Бертрану (1731—1812) и с
некоторыми модификациями воспроизведенное Лежанд-
ром в его «Размышлениях» (1833). В связи с критикой
доказательств, опирающихся на рассмотрение отношения
бесконечных площадей, Лобачевский поставил общий
вопрос о том, когда такого рода «площадям» можно
приписывать определенные отношения, т. е.
устанавливать для них способы сравнения по величине. В сущно-
141
стй Лобачевский сумел поставить этот вопрос так, что
помимо изменений, обусловленных различиями в
терминологии и способах выражения, к его возражениям и
сейчас вряд ли можно добавить что-нибудь
существенное. Почти за 100 лет до современных работ,
посвященных выяснению понятия геометрической величины,
Лобачевский сумел сформулировать основные требования,
соблюдение которых необходимо для того, чтобы можно
было со смыслом распространить понятие некоторой
геометрической величины, например площади, на случаи,
для которых эта величина еще не определена. В связи с
«площадью» Лобачевскому, естественно, пришлось
поставить при этом вопрос о различии в характере
предельного перехода для последовательности отношений
интегральных сумм, рассматриваемых на конечном отрезке,
от свойств пределов аналогичных последовательностей
на бесконечном интервале. Если учесть, что молодому
Лобачевскому доказательство Бертрана настолько
нравилось, что он его приводил как «лучшее» в своей
«Геометрии» (1823), и что в той же «Геометрии» он тем не
менее и это доказательство относил только к
пояснениям, которые не «заслуживают быть почтены в полном
смысле Математическими доказательствами», то будет
ясно, насколько большую роль в истории возникновения
неевклидовой геометрии должны были играть
критические размышления Лобачевского над основными
понятиями и методами математического анализа.
Сущность доказательства Бертрана сводилась к
следующему:
Чтобы показать, что всякие две прямые АЕ и BD
(черт. 8) при продолжении обязательно должны
пересечься, если, будучи пересечены третьей АВ, они
образуют с ней внутренние односторонние углы, сумма
которых меньше 2d, Бертран проводил прямую АС так,
чтобы сумма углов CAB и ABD равнялась уже 2d. Если бы
прямая АЕ не пересекала прямой BD, то угол САЕ
оказался бы лежащим ©нутри полосы CABD. Последнее,
однако, невозможно, утверждал Бертран, потому, что в
таком случае угол оказался бы по площади меньше
полосы, внутри которой он весь поместился бы. Но
«площадь» угла, по Бертрану, не может быть меньше
«площади» полосы: чтобы покрыть всю плоскость,
необходимо бесконечное множество полос, конгруэнтных данной
142
(черт. 9), но только конечное число углов, конгруэнтных
данному углу (черт. 10 !). Если отнести ко всей
плоскости число 2л; в качестве меры ее «площади», то мерой
«площади» «угла» (с бесконечно продолженными
сторонами) можно считать отношение длины любой
соответствующей ему дуги к длине ее полной окружности, т. е.
конечное число а; между тем как мерой «площади» по-
Черт. 8 Черт. 9
Черт. 10 Черт. 11
лосы будет —, т. е. нуль. «Полоса», рассматриваемая как
00
площадь, таким образом, есть актуально бесконечно
малое по сравнению с «углом».
Чтобы сделать это доказательство еще более
убедительным, Лежандр заменил «полосу» Бертрана
«двуугольником», образованным двумя перпендикулярами
1 Чтобы избавиться от перекрытий, Лобачевский заменяет в
«Геометрии» данный угол ближайшим (меньшим) к нему углом вк«
да —•, где п — целое число.
143
АС и BD к секущей А В, и демонстрировал (см. черт. И),
что «двуугольник» ABCD бесконечное множество раз
помещается внутри любого угла FOG,
Разоблачая ошибочность этого рода доказательств,
Лобачевский отнюдь не становится .на какую-нибудь
ограничительную точку зрения, запрещающую — так как-
де это чревато трудностями! — сравнивать по величине
«площади» простирающихся в бесконечность фигур. Но
он требует строгого определения этой «величины». Пусть
она будет в некотором смысле бесконечной или,
наоборот, бесконечно малой. Существенно не это. Важно то,
что в таких случаях, которые фигурируют в
доказательстве Бертрана, «площадь» нельзя определить так, чтобы
она не зависела от способа ее измерения. Способ же
измерения площади предполагает выбор того или иного
постулата о параллельных. Больше того, даже
предположив уже Евклидов постулат о параллельных, нельзя
определить «площади» полосы (или двуугольника) и
угла так, чтобы отношения их не зависели от способа их
измерения.
«Что же касается до беспредельных плоскостей, —
пишет Лобачевский, — то здесь, как и везде в
математике, за содержание (т. е. за отношение. — С, Я.) двух
бесконечно великих чисел должно почитать границу
(предел. — С. Я.), к которой оно приходит с непрестанным
возрастанием числителя и знаменателя в дроби» 1. Но в
данном случае этот предел зависит от выбора
последовательностей конечных площадей ап , Ьп> пределом от-
ношения — которых определяется отношение «площа-
дей» угла и полосы. Если в качестве этих
последовательностей, — предположив постулат Е'вклида верным, —
выбрать для двуугольника с основанием АС = а (черт. 12)
последовательность прямоугольников Yп со сторонами
АВ = CD = па, а для прямого угла последовательность
секторов Хп кругов с радиусами CD = па, то искомое
отношение «площадей» прямого угла и двуугольника
представится как предел отношения Уп = па2 к Хп =
1 4
= —яп2а2, т. е. как lim— ~0, как и представлял себе
4 я-»оо ъп
Я, Я, Лобачевский. Поли. собр. соч., т. 2, стр. 152-
144
это отношение Бертран. «Если же вместо того, чтобы
полагать АВ = па, делаем AB=rnCD = n2a, то в этот раз уже
Y 4
находим содержание — = — постоянным для всякого /г,
а следовательно, также для п = со , когда две плоскости
(«площади». — С. Я.) бесконечно велики. Итак,
содержание Y: X всякий раз выходит различное, смотря по
тому, как ограничиваем плоскости в начале, и как они
растут затем до бесконечности» К
Иными словами, отношение рассматриваемых
«площадей» не имеет инвариантного смысла, зависящего
только от самих фигур. Чтобы можно было говорить и в
таких случаях об отношении бесконечных «площадей»,
необходимо специально оговаривать способ, с помощью
Черт. 12
Черт. 13
которого это отношение определяется. Именно на этом
и настаивает Лобачевский, когда он упрекает Бертрана
в том, что его доказательство, «как и все подобные,
далеко не удовлетворяют требованиям, потому что в них не
видим даже способа мерить плоскости («площади».—
С. #.), не говоря о том уже, как плоскости должны быть
ограничены наперед и с расширением границ расти до
бесконечности»2.
6. В связи с последним примером мы уже можем
остановиться на одном весьма существенном моменте,
характерном для понимания Лобачевским задач критики.
Критика у Лобачевского никогда не носит голого от-
1 Я. И. Лобачевский Поли. собр. соч., т. 2, стр. 153—154.
2 Там же, стр. 153. В-последних словах имеется в виду
отсутствие указаний на конкретный способ задания той последовательности
конечных площадей, которая и должна служить определением для
«беспредельной плоскости».
145
рицательного характера. Разоблачив ошибку
противника, Лобачевский не только вскрывает ее корни, но
указывает и способы ее исправления. При этом он считает
необходимым опровергнуть, — если они стоят этого, — и
такие аргументы противника, которые он мог бы
выдвинуть, поостерегшись уже от допущения выявленных у
него ошибок. Так, в частности, в рассматриваемом
случае Бертран или модифицирующий его Лежандр могли
бы согласиться с критикой Лобачевского и оговорить,
например, как наиболее «естественный» какой-нибудь
определенный способ выбора последовательностей
конечных площадей ап , Ъп, пределом отношения — кото-
Ьп
рых должно определяться отношение бесконечных
«площадей» двуугольника и прямого угла.
Лобачевский предлагает даже в качестве такового
сравнение площадей фигур X и Y (см. черт. 13),
ограниченных «дугой FDE, описанной из центра С
полупоперечником CD = па»у где а по-прежнему равно АС.
Однако в таком случае допущенная ими ошибка
стала бы только еще более ясной. Конечные площади
фигур X. и Y определяются по-разному в зависимости от
того, какой именно постулат о параллельных верен.
В то время, как в предположении, что S ^ л; (сумма
углов треугольника равна или больше двух прямых),
«содержание Y: X обращается в нуль для п = *> ..., как
разумел и Бертран», в другом предположении: что 5 <
< я, пределом отношения Y к X будет число
2 . /e»e—i \
— arc sin [ ,
которое не может быть равно нулю, «покуда а > О, и
может быть пренебрежено только за чрезвычайною
малостью а[6]» К
Ошибки в доказательствах V постулата Евклида
обнаруживались, конечно, не одним только Лобачевским.
Лежандр неоднократно менял свои доказательства
именно потому, что, как выразился по поводу одного из них
Лобачевский, хотя и «назвал свое доказательство
совершенно строгим, но сам, вероятно, думал ийаче...»2. Кри-
1 Н. И. Лобачевский. Поли. собр. соч., т. 2, стр. 154.
? Там же, стр. 151.
Щ
тика, однако, была в таких случая* недостаточно
смелой; она не касалась самых основ науки, ее исходных
«начал», коренной ломки которых не убоялся
Лобачевский и которые он считал необходимым перестроить,
исходя из «тех самых понятий, которые... можем поверять
в природе прямо, не прибегая наперед к другим,
искусственным и посторонним» К
Наоборот, Лежандр исходил из того, что постулат
Евклида о параллельных принадлежит к числу тех
«фундаментальных истин, оспаривать которые невозможно и
которые представляют пример неизменно пребывающей
достоверности математических истин; эту достоверность
мы постоянно обнаруживаем при наших изысканиях, и
подобия такой точности нельзя найти ни в какой другой
области человеческого знания»2.
Мы видим, таким образом, что в то время как в
материалистическом понимании Лобачевского
математическая строгость, за которую он боролся с Лежандром,
была орудием революционного переворота в математике, в
обывательском понимании, довлевшем даже над столь
незаурядным математиком, как Лежандр, строгость и
точность математики должны были служить освящением
«неизменно пребывающей» косности не подлежащих
никакому изменению «математических истин».
Бывает критика и «критика». Не всякая критика
действительно связана с творчеством, не всякая борьба за
математическую строгость ведет к прогрессу
математики. На примере великого русского математика
Лобачевского мы и сейчас имеем возможность
продемонстрировать значение материалистического подхода к
требованиям математической строгости и творческую роль
смелой критики устаревающих реакционных установок—
такой критики, которая не ограничивается голым
отрицанием, а заменяет сокрушенное ею старое
положительным и прогрессивным новым.
7. С целью подвести некоторый итог, мы можем
сказать еще раз: вопреки метафизическим концепциям,
противополагающим творческую продуктивность математика
соблюдению им требований строгости, гениальное
творчество Лобачевского было связано у него с бесплощадной
1 Н. И. Лобачевский. Поли. собр. соч., т. 2, стр. 163.
2 В. Ф. Каган. Вступительные статьи к «Геометрическим
исследованиям...» Н. И. Лобачевского. М., 1945, стр. 27.
147
критикой прегрешений против материалистически
понимаемой научной строгости. Не разобравшись критически
в ошибочных доказательствах V постулата,
Лобачевский не пришел бы к своей геометрии. Не удивительно
поэтому, что он неизменно критиковал эти
«доказательства» за отсутствие «должной строгости в суждении» *.
О строгости, с которой он выступал при этом против
такого авторитетного математика, как Лежандр, можно
судить, например, по таким его словам из вступления к
«Новым началам геометрии»:
«Кажется, не нужно много разбирать и ценить такое
суждение, где нет и тени строгого доказательства»2;
«...неосмотрительность Лежандра была так велика, что,
не примечая грубой ошибки, почитал он свое
доказательство весьма простым и совершенно строгим» 3.
Однако борьба за математическую строгость отнюдь
не была самоцелью для Лобачевского. Соблюдение
требований научной строгости необходимо было, по
Лобачевскому, как вспомогательное средство в борьбе за
истину, как орудие критического разоблачения ложных
утверждений. Вопреки широко распространенному
мнению, будто Лобачевский создал свою геометрию лишь
как некую «умственную игру», он пришел к ней, исходя
из задачи выяснить происхождение основных понятий и
положений геометрии из свойств материальных тел
природы. Именно этим материалистическим подходом к
требованиям логической строгости и была обусловлена
несокрушимость аргументации Лобачевского в его горячей
борьбе за строгость против Лежандра. Наоборот,
неудачу попыток своих предшественников разобраться в
теории параллельных Лобачевский как раз и видел в том,
что они подходили к своей задаче чисто логически. Они
«заключили себя в такой тесный круг, что все усилия их
не могли быть вознаграждены успехом»4, между тем
как «надобно было бы прибегать к наблюдениям
астрономическим и к пособию других частей математики»5.
1 Н. И. Лобачевский. Поли. собр. соч., т. 2, стр. 149.
2 Там же, стр. 152. Речь идет об одном из доказательств
Лежандра, основанном на свойствах эквидистанты.
3 Там же, стр. 158.
4 Н. Я. Лобачевский. Поли, собр соч., т. 1, стр. 185.
5 Н. И. Лобачевский. Наставления учителям математики —
«Труды Института истории естествознания», т. II, стр. 557,
148
Утверждения зарубежных математиков и логиков,
будто определяющим мотивом создания неевклидовой
геометрии было не познание материальной
действительности, а «чистая» логика, будто до работ Пуанкаре и
Клейна геометрия Лобачевского была только «пустым
логическим упражнением» (Пуанкаре, «Наука и
гипотеза»), являются действительно пустыми выдумками,
абсолютно не соответствующими действительности.
ИЗ- ИСТОРИИ АКСИОМАТИКИ^
Быть может, одним из наиболее поучительных явлений в
истории математики XX века является история
аксиоматического метода. После выхода в свет «Оснований
геометрии» Гильберта аксиоматический метод быстро стал
не только основным инструментом, используемым в
целях обоснования математики, но и сделался важнейшим
орудием развития самой математики: топологии,
алгебры, теории вероятностей и многих других ее областей.
За волной широкого увлечения аксиоматическим
методом, гребень которой приходится на начало 30-х годов
текущего столетия, последовала, однако, волна реакции.
В литературе теперь нередко можно встретить
высказывания 1в духе того, что «с помощью подходящим
образом выбранных аксиом можно, правда, все что угодно
доказать, но ничего нельзя обосновать» (Лоренцен).
В развитии самого аксиоматического метода в то же
время появились новые черты, заслуживающие внимания не
только математиков и логиков, но и историков
математики и философов, так как в них наглядно сказываются
закономерности развития математики и получают
надежную проверку различные методологические
концепции. С точки зрения такой проверки особенно
интересно, например, перенесение центра тяжести с вопросов,
относящихся к внутренней характеристике системы
аксиом, на вопросы ее отношения к модели — к тому, что она
способна отразить. История аксиоматики становится,
таким образом, увлекательной темой для историка
математики, тем более что материал для обобщений
фактически уже накоплен. Так, в частности, обстоит дело в
1 Доклад, прочитанный на секции истории математики III
Всесоюзного съезда математиков 26 июня 1956 г- Дополнения
вносились автором по преимуществу в виде примечаний, рассчитанных на
читателя, интересующегося более специальными вопросами,
связанными со взглядами Аристотеля на сущность математики как
«доказывающей» науки. (Статья опубликована в книге «Историко-ма-
тематические исследования», вып. XI. М., 1958.)
150
области аксиоматики геометрии, истории которой
посвящено большое число работ.
Этот доклад не претендует, однако, на попытку
нарисовать хотя бы в общих чертах историческую картину
возникновения и развития аксиоматики. Для этого у
меня еще нет возможностей. Я хочу остановиться только
на одном моменте этой истории, заслуживающем
внимания уже потому, что он связан с «Началами» Евклида —
этим столь широко известным и в то же время до сих
пор порождающим столь много спорных историко-мате-
матических вопросов классическим произведением.
§ 1.
Почему в «Началах» Евклида геометрия строится
аксиоматически, арифметика же нет? Почему вообще так
поздно вошла в математический обиход система аксиом
для арифметики натуральных чисел? Известно ведь, что
наиболее распространенная теперь в литературе
система аксиом Пеано была опубликована лишь в 1891 г. \
между тем как система аксиом Евклида стала
общеупотребительной в геометрии со времени древних
греков.
Для ответа на этот вопрос нужно начать издалека: с
трудов первого исследователя вопросов аксиоматики —
Аристотеля 2. Аристотель не оставил сочинения,
относящиеся непосредственно к задачам обоснования
математики. Но теория доказательства, изложенная им во
«Второй Аналитике», в значительной мере основана именно
на анализе структуры математики как «доказывающей»,
дедуктивной, науки. «Аналитики», как, впрочем, и другие
труды Аристотеля, прежде всего «Топика», «Физика» и
«Метафизика», изобилуют примерами, заимствованными
из математики.
1 G. Peano. Sul concetto di numero. — «Rivista di matematico».
Turin, 1891, vol. 1. Несколько отличающаяся от системы аксиом
Пеано система аксиом арифметики Дедекинда, не вошедшая,
по-видимому, в обиход в силу громоздкости формулировок, была опубликована
лишь на 3 года раньше (R. Dedekind. Was sind und was sollen die
Zahlen? 1888).
2 Читатель, которого интересует только формулировка предла*
гаемого нами ответа на этот вопрос, может ограничиться
последним, седьмым, параграфом настоящей статьи.
151
Взглядам Аристотеля на вопросы математики и ее
обоснования посвящена в настоящее время довольно
значительная литература. Здесь нужно назвать прежде
всего книгу Хиса «Математика у Аристотеля»1; затем
книгу Эпосла «Аристотелева философия математики»2.
Взгляды Аристотеля на математику освещены также в
книге Беккера «Основания математики в историческом
развитии»3.
Аристотелевой теории аксиоматики специально
посвящены статьи Шольца «Аксиоматика древних»4 и
Бета «Предыстория исследований в области оснований»5.
Взгляды Бета на теорию аксиоматики у Аристотеля
изложены им также в книге «Логические основания
математики»6, где можно найти и ряд дальнейших указаний
на литературу вопроса.
Особо следует отметить статью М. Я- Выгодского
««Начала» Евклида»7, в которой выясняются связи
аксиоматики Евклида со взглядами Аристотеля на
аксиоматику;8.
Здесь не будет поэтому излагаться в деталях Аристо-
телева теория аксиоматики. Поскольку, однако, в из-
1 Th. Heath. Mathematics in Aristotle. Oxford, 1949.
2 H. G. Apostle. Aristotle's Philosophy of Mathematics». Chicago,
1952.
3 0. Becker. Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Ent-
wicklung. Freiburg—Munchen, 1954; выдержки из сочинений
Аристотеля приводятся здесь наряду с выдержками из других греческих
авторов (математиков, философов и их комментаторов, таких,
например, как Симпликий или Прокл.).
4 Н. Scholz. Die Axiomatik der Alten. — «Blatter fur deutsche
Philosophies Bd. 4, H. 3/4, 1930, S. 259—278.
6 E. W. Beth. The Prehistory of Research-into Foundations.—
«British Journal for the Philosophy of Science», Mav 1952, vol. Ill,
N 9, p. 58—87.
6 E. W. Beth. Les fondements logiques des mathematiques. Paris—
Louvain, 1950.
7 Cm. M. #. Выгодский. «Начала» Евклида. — «Историко-матема-
тические исследования», вып. I. M., 1948, стр. 217—295.
8 Большой интерес в этой связи представляют также
комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского к русскому изданию «Начал»
Евклида. Здесь читатель может найти не только освещение точки
зрения древних авторами XIX и XX столетий, но и подробные
указания на историю вопросов аксиоматики в XVII и XVIII вв.
Из более старых работ, указания на которые приводятся
Д. Д. Мордухай-Болтовским, следует упомянуть: Gorland. Aristoteles
und Mathematik. Marburg, 1899; Michaud. Aristoteles et les
mathematiques. — «Archiv der Philosophic», vol. 16, 1913; P. Tannery. Sur Гац-
thentieite des axiomes d'Euclide.
152
бестной мне литературе нет прямого ответа на постаЁ-
ленный выше вопрос, придется остановиться на
некоторых моментах этой теории, насчет которых я хочу
высказать гипотезу, представляющуюся мне
убедительной.
§2.
В своей упомянутой выше статье Шольц представляет
теорию аксиоматики у Аристотеля, отличающейся от
соответствующей теории Гильберта по существу только
отсутствием у Аристотеля требования
непротиворечивости системы аксиом. (Такое требование не нужно
Аристотелю, так как аксиомы носят у него характер
абсолютных—безусловных—истин.) Все предложения
дедуктивной науки Аристотель подразделяет, по Шольцу, на
доказываемые (теоремы) и недоказываемые (аксиомы),
все понятия — на определяемые и неопределяемые.
Система недоказываемых предложений и неопределяемых
понятий каждой данной дедуктивной науки, относящейся
к одному определенному роду вещей, должна
удовлетворять при этом требованию полноты, т. е. все свойства
вещей данного рода, присущие им, как таковым (как
предметам арифметики или геометрии, например),
должны быть выводимы при помощи определений из
аксиом системы К
1 Точку зрения Шольца полностью разделяет и Бет. Бет
представляет Аристотелево определение «дедуктивной» науки так.
Дедуктивная наука, по Аристотелю, это система S терминов и
предложений, такая, что:
1) все предложения системы S относятся к одной и той же
области реальных объектов;
2) всякое предложение системы S истинно;
3) если какие-нибудь предложения принадлежат к S, то всякое
логическое следствие из этих предложений также принадлежит к S;
4) в S имеется конечное число терминов, таких, что:
а) значение этих терминов не нуждается в объяснении;
б) значение всякого другого термина, встречающегося в S,
может быть определено с помощью этих терминов;
5) в S имеется конечное число предложений, таких, что:
а) истинность этих предложений очевидна;
б) всякое другое предложение из S является логическим
следствием этих предложений (Е. W. Beth. Les fondements logiques des
mathematiques). Возражения Бета, направленные против Аристотеля,
относятся только к исключению Аристотелем вопросов обоснования
«начал» науки из ведения самой этой науки.
153
В Подтверждение наличия у Аристотеля такого
требования полноты Шольц ссылается прежде всего на
известный постулат однородности Аристотеля, согласно
которому свойства вещей одного рода не должны
доказываться, опираясь на начала, относящиеся к другому роду:
«Нельзя, следовательно, вести доказательство так,
чтобы из одного рода переходить в другой, как, например,
нельзя геометрическое положение доказать при помощи
арифметики» 1. Шольц заключает из этого, что «начал»
(аксиом и неопределяемых понятий) в каждом роде
должно быть достаточно для определения всех понятий и
доказательства всех теорем, относящихся к вещам
этого рода 2.
На вопросе о том, в какой мере эта трактовка
Аристотелева понятия «дедуктивной (доказывающей)» науки
может считаться достаточно оправданной, нам еще
придется остановиться ниже. Пока же заметим только, что
из «постулата однородности» Аристотеля заключение о
полноте системы начал в каждом отдельном роде,
рассматриваемом изолированно от остальных, во всяком
случае, вряд ли следует. С трактовкой этого постулата
связаны вообще некоторые трудности и, быть может,
даже недоразумения.
В этом постулате идет речь (см. «Вторая
Аналитика», гл. VII) о таких предложениях, которые
высказываются о вещах двух разных родов, но звучат при этом
одинаково и, больше того, которые выводятся из
одинаково же звучащих основных положений (аксиом, т. е.
«начал», науки). Но если бы в доказательстве участво-
1 Аристотель. Аналитики. М., 1952, стр. 195.
2 В пользу того, что и арифметику Аристотель считал
«доказывающей наукой», строящейся исходя из некоторых «начал», можно
привести уже здесь такой пример: «математические числа»
(единица, по Аристотелю, — не число), «два», «три» и т. д. Аристотель
считает производными понятиями. «...Два и три, — говорит он,—
производные имена (паронимы), так же как всякое другое число»
(«Физика». М., 1937, стр. 66). В «Метафизике» (М., 1934, стр. 226)
он, ссылаясь на математиков, приводит и определения этих чисел:
«...после одного идет два —помимо первой единицы имеем
другую,— потом три — рядом с этими двумя единицами имеем еще
одну,— и в дальнейшем числа идут таким же путем...». Однако,
говоря о бесконечности не «по прибавлению» (как в арифметике), а
«по делению» (как в геометрии, где мы имеем дело с
непрерывными величинами), он указывает и другой способ порождения все
больших чисел — дихотомию (см. «Физика», XIII, 7).
154
вали только эти — общие для обоих родов — начала, то
непонятно, почему доказательство нельзя было бы
обобщить, проведя его сразу для вещей того рода, подрода-
ми (видами) которого являются оба рассматриваемых
рода. Тем более что сам Аристотель рассматривает
такое обобщение как существенный прогресс науки. Так, в
V главе книги «Второй Аналитики» он пишет, что было
время, когда предложение о том, что члены пропорции
можно взаимно переставлять, доказывалось по-особому
для каждого из родов: чисел, линий (отрезков), тел и
интервалов времени. Теперь же доказательство касается
того, что есть общее в них, и поскольку рассматриваемое
свойство присуще предметам не как числам, линиям
и т. д., но как отличающимся особым характером,
который предполагается имеющимся у них всех. Речь идет о
введении общего понятия, под которое подпадают как
числа, так и отрезки, тела и временные интервалы. Ван-
дер-Варден * считает, что этим общим понятием — мы
бы сказали, родом — является понятие величины; другие
авторы — Хис, например, — полагают, что Аристотель не
считал (дискретные) числа величинами, поскольку с
«величиной» связывал всегда свойство непрерывности 2.
Как бы там ни было, во ©сяком случае ясно, что, по
Аристотелю, существует некоторый общий род вещей,
включающий как числа, так и геометрические и
физические величины. Теоремы о вещах этого (обобщенного)
рода относятся одновременно и к арифметическим, и к
геометрическим, и к другим объектам 3. Таким образом,
в «постулате однородности» вряд ли имеются в виду
такие теоремы.
К чему именно этот постулат относится, ясно,
впрочем, уже из того, что4 Аристотель запрещает арифмети-
1 В. L. Van der Waerden. Erwachende Wissenschaft. Basel und
Stuttgart, 1956, S. 289.
2 «...Всякая величина непрерывна...» (Аристотель. Физика,
стр. 126).
3 На необходимости такого рода теорем (о вещах разных
родов) в геометрии Аристотель особенно настаивал. Так, он считал,
что лишь введение общего понятия пропорции позволило доказать
теорему о том, что прямая, параллельная одной стороне
параллелограмма, делит другую сторону и площадь в одном и том же
отношении («Топика», 158 в.). Ведь для этого существенно знать, что
хотя отрезки и площади — разные вещи, но отношения отрезков и
площадей могут быть одними и теми же.
155
ческие доказательства лишь для случайных (а не
необходимых) свойств величин (когда последние не
являются числами). Действительно, он пишет: «Следовательно,
<положения>, на основании которых ведется
доказательство (аксиома. — С. #.), могут быть одними и теми
же, но в <науках>, род которых различен, как,
например, <род> арифметики и геометрии, не годится
арифметическое доказательство для случайных 1 <свойств>
величин, если только <эти> величины не являются
числами» 2. Иными словами, в доказательстве фигурируют
не только общие (для обоих родов) исходные
положения, но и не вытекающие из них («случайные») свойства
тех или иных «величин». Ситуацию, очевидно, можно
представлять себе так. Пусть имеем общую для
«величин» обоих родов систему аксиом & и общее же
«случайное» их свойство S, подлежащее доказательству. Так
как свойство 5 не вытекает (логически) из одной только
системы аксиом & (оно «случайное» в ней), то в
доказательстве его в науке р участвуют «случайные» же
свойства Ри Р% . . ., Pk объектов, изучаемых в этой науке,
между тем как в науке Одля этого могут служить
совсем другие свойства Qb Q2, . . ., Q/ объектов науки D
Ясно, что такое доказательство действительно нельзя
переносить автоматически из одной науки в другую, что
свойство 5 нуждается в специальном доказательстве в
каждой из них. Но такое требование является вполне
оправданным и во всякой строгой математической
теории всегда соблюдается. Соблюдается оно и Евклидом в
его «Началах».
Так, например, мы теперь знаем (это убедительно
показала И. Г. Башмакова3), что в «Началах» имеются
числа двух родов: отвлеченные (скалярные) числа и
числа-меры (или числа-отрезки). Предполагая теорию
отвлеченных чисел уже известной, Евклид строит в
«Началах» теорию чисел-мер. В арифметике отвлеченных
1 Поскольку речь идет о том, какие доказательства годятся для
«случайных» свойств величин, ясно, что имеются в виду лишь
относительно (данных исходных положений) случайные свойства, так
как об (абсолютно) случайном, по Аристотелю, вообще не может
быть доказательства.
2 Аристотель. Аналитики, стр. 195—196.
3 См И. Г. Башмакова. Арифметические книги «Начал»
Евклида. — «Историко-математические исследования», вып. I, стр. 296—
328.
№
чисел умножение коммутативно, но из этого не следует
еще коммутативность умножения чисел-мер К
Последнюю нужно доказать особо, опираясь на специфические
свойства чисел-мер (на определения их и операции с
ними). Но так как в этих определениях фигурируют и
отвлеченные числа, то в доказательствах свойств чисел-мер
приходится пользоваться аналогичными свойствами
отвлеченных чисел, однако только в применении к ним, а
не к числам-мерам.
Но если числа могут появиться и в геометрии 2, то в
геометрических доказательствах могут понадобиться и
теоремы арифметики (применяемые, однако, только к
тем объектам, для которых они уже установлены, а не
переносимые просто на геометрические объекты на том
основании, что они уже доказаны в арифметике). А в
таком случае ясно, что и арифметика может
понадобиться в геометрии, как и, наоборот, геометрия в арифметике
(для чиоел-отрезков, например), т. е. что самих по себе
«начал» данной доказывающей науки может оказаться
и недостаточно для доказательства всех ее
предложений3.
Другое положение, в отношении которого
большинство исследователей теории доказательства Аристотеля и
«Начал» Евклида единодушно сходятся, состоит в том,
что, согласно Аристотелю, аксиомы, положенные в
основу науки, должны быть совершенно необходимыми,
простейшими, непосредственно очевидными, первыми по
порядку в науке и поэтому даже принципиально
недоказуемыми .истинами. Шольц к этому добавляет только, что
и первые, т. е. неопределяемые, понятия науки должны
быть непосредственно понятными. В подтверждение
правильности такой трактовки можно привести достаточное
1 Даваемое Евклидом определение умножения чисел-мер
(«Начала», VII, определение 15) несимметрично, почему Евклиду и
приходится доказывать коммутативность этой операции (VII,
предложение 16) (см. И. Г. Башмакова. Арифметические книги «Начал»
Евклида. — «Историко-математические исследования», вып. 1,
стр. 301 и 308).
2 Вспомним, что теория пропорций (и связанное с иен
отношение подобия) строится у Евклида в V и VI книгах «Начал»
арифметически (через числа-кратности, предполагающие возможность
прибавить величину к самой себе любое число (>0) раз).
3 О том, что могут понадобиться и некоторые общие (для
вещей разных родов) определения и предложения, у нас уже шла
речь выше.
157
число мест из сочинений Аристотеля, прежде всего из
«Второй Аналитики» и «Метафизики»1.
Но хотя, таким образом, оба утверждения и (1) о
трактовке Аристотелем «доказывающей» науки как,
конечно, аксиоматизируемой дедуктивной теории, и (2) о
понимании им «начал» доказывающей науки как
состоящих из первых, непосредственно необходимых,
самоочевидных истин и непосредственно (без объяснения)
понятных, первичных, понятий, представляются вполне
обоснованными, они нуждаются тем не менее, на мой
взгляд, в существенном уточнении.
Известно2, что, по Аристотелю, исследование самых
общих «начал» науки не является вообще задачей
самой этой науки. Начала физики исследуются не в
физике, а в метафизике и подлежат, по Аристотелю, ведению
не физика, а философа.
Начала математики, по крайней мере поскольку они
относятся к используемым в ней общим категориям
(материи, формы, вещи, количества, величины,
непрерывности, дискретности и т. п.) и к логическим средствам
вывода («общим понятиям», т. е. необходимым аксиомам
всякой «доказывающей» науки3), также принадлежат к
1 Вот, например, одно из них:
— «Тому, кто намерен приобрести знание посредством
доказательства, следует не только больше знать начала и считать их
более достоверными, чем доказываемое <из них>, но-для него ничто
другое не должно быть более несомненным и более известным, чем
то, что противоположно началам, из которых получится силлогизм
с ошибкой, противной Доказательству>, если только тот, кто
безусловно знает, должен быть непоколебимым <в своем
убеждении^. (Аристотель. Аналитики, стр. 184).
Конечно, под «очевидностью» Аристотель здесь не имел в виду
какую-то особую способность нашего духа в смысле, например,
наглядного созерцания Канта. Речь шла просто о вещах, практически
проверенных огромное число раз и поэтому настолько привычных,
что они представлялись даже самоочевидными. Наука (и практика)
должна достичь высокой ступени развития, чтобы она могла
обнаружить трудности в вещах, казавшихся очень простыми и
привычными. Не удивительно поэтому, что, как правильно отмечает
Д. Д. Мордухай-Болтовский, «при развитии геометрии аксиомы
высокой степени очевидности выплывают только постепенно; можно
даже сказать, что чем более очевидной являлась аксиома, тем
позднее она включалась в систему геометрии» (Евклид. Начала. I—VI,
стр. 239).
2 Е. W. Beth. Les fondements logiques des mathematiques, p. 2.
3 Доказывать нужно не то, что и без того ясно, а для того,
чтобы заставить признать истину. «...Ставить вопросы следует не
158
компетенции философа, а не математика. Математику
«<к доказательству^ следует приступать, уже будучи
анакомым с этими аксиомами, а не заниматься <только
еще> их установлением, услышав про них» 1. Ведь
«изучаемое некоторым образом знают, а некоторым — нет» 2.
Так вот, задача математика состоит не в
установлении того, что знают и без него, а в получении на этой
основе нового знания. Поэтому он может
формулировать из начал науки только то, что ему действительно
понадобится при доказательстве истин, о которых не
имеют безусловного знания 3.
'К тому же большинство доказательств являются на
самом деле энтимемами, т. е. содержат посылки,
которые молча подразумеваются, так как не вызывают
сомнений ни у самого доказывающего, ни у его ученика или
человека, спорящего с ним. А то, что не вызывает
сомнений, не нужно и оговаривать.
Аналогично, определяя свои понятия, математик не
обязан доходить до последних категорий бытия,
количества, материи, формы, вещи, причины и других, а
может удовлетвориться такой формулировкой, которая
сделает его определение понятным.
Различая три стороны дедуктивной науки: ее
предмет («то, относительно чего доказывается»), ее теоремы
так, чтобы <заключение> было необходимым через <положения,
данные в виде> вопросов, но <так>, чтобы его необходимо
признали, если признают эти <положения>, и <притом> как нечто
истинное, если эти <положения> истинны». (Аристотель.
Аналитики, стр. 194). В этом отношении Лейбниц занимает уже другую
позицию: он считает, что доказательство должно не только
убеждать в истинности чего-либо, но и раскрывать связи между
вещами, разлагая их (анализируя) вплоть до самых общих категорий и
законов, под которыми имеет в виду, однако, только законы
логики. Поэтому, с его точки зрения, нужно доказывать (исходя из
определений) не только такие истины, как 2 + 2 = 4, но и аксиомы
математики (сводя их к логике). В современных
(формализованных) дедуктивных теориях аксиомы принимаются за
непосредственно доказанные, все же другие положения теории выводятся из
аксиом по правилам вывода, принятым в данной
(формализованной) теории. Наиболее интересными в связи с такой теорией
являются поэтому вопросы ее содержательного истолкования, т. е.
вопросы о том, что именно она выявляет и уточняет (и в какой мере
ей это удается).
1 Аристотель. Метафизика, стр. 62.
2 Аристотель. Аналитики, стр. 181.
3 См. там же, стр. 180.
159
(«to, чтб доказывается») и ее аксиомы й правила
вывода («то, на основании чего доказывается»),
Аристотель замечает: «Ничто не мешает, чтобы некоторые
науки не обращали внимания на некоторые из <этих сто-
рон>, как, например, не предполагать, что род
существует, если очевидно, что он существует (ибо не в
одинаковой мере ясно, что есть число и что есть
холодное и теплое), и не рассматривать обозначения свойств,
если они ясны, и точно так же не рассматривать
обозначения общих <положений>, как, например, что значит
отнять равное от равного, ибо это известно» 1.
На анализе этого места нам еще придется
остановиться.
Пока же заметим только, что из него, во всяком
случае, ясно, что, несмотря на постулат однородности, у
Аристотеля нет требования явной формулировки всех
«начал» специальной «доказывающей» науки, в том
числе даже такой, как арифметика или геометрия, т. е. нет
требования полного перечисления (и, следовательно,
выявления) в самой науке всех нужных ей для
доказательства аксиом2.
Но и требование необходимости в смысле
безусловной, абсолютной, истинности относится у Аристотеля не
ко всем исходным, т. е. принимаемым без
доказательства, предложениям специальной математической науки, а
только к аксиомам, имеющим общефилософский
характер, которые он называет иногда также «общими
понятиями» 3.
Дело в том, что, хотя, говоря о «доказывающей»
науке, Аристотель всегда имеет в виду прежде всего
математику, он не считает тем не менее последнюю
идеальной дедуктивной наукой. Это ясно уже из того, что ариф-
1 Аристотель. Аналитики, стр. 200.
2 Говоря о том, что он не решается делать из приведенного
нами места из «Второй Аналитики» вывод, сделанный Таннери в
упомянутой в примечании 10 статье: «...что древние (до Евклида? —
С. Я.) не имели обыкновения ставить аксиомы в начале
изложения», — Д. Д. Мордухай-Болтовский замечает: «Я только
заключаю отсюда, что они позволяли себе выставлять не все
употреблявшиеся ими положения, но только те, про которые можно было
сказать, что они должны быть признаваемыми, но могли и не
признаваться при софистическом настроении того времени». (Евклид.
Начала, I—^VI, стр. 246).
3 Общими для всех наук определенного рода, а не только для
ряда разных объектов данной науки.
160
метику он считает более совершенной наукой, чем
геометрию: «...наука, не имеющая дела с <материальной>
основой, точнее и выше науки, имеющей с ней дело, как,
например, арифметика по сравнению с гармонией.
Далее, наука, исходящая из меньшего <числа начал>,
точнее и выше науки, <требующей некоторого>
добавления, например арифметика по сравнению с
геометрией. Под требующим добавления я понимаю то, что,
например, единица есть сущность без положения <в
пространстве^ точка же — сущность, имеющая положение
<в пространстве>; это <последнее> и есть
добавление» 1.
Это увеличение числа начал сказывается на
понижении точности науки потому, что, говоря о «началах»
специальной науки, Аристотель имеет в виду не только
неопределяемые простые понятия и необходимые
первичные истины (аксиомы), но и «тезисы или положения».
Последние тоже носят неопосредованный характер, т. е.
не обосновываются чем-нибудь другим, хотя и
используются в доказательствах. Однако в отличие от аксиом
они не являются необходимыми. Такие «положения» з
свою очередь подразделяются Аристотелем на: 1)
определения (которые вообще не являются суждениями,
почему по самой своей сущности не могут доказываться,
хотя и полагаются в основу доказательства) и 2)
предположения.
Общее понятие «предположения», т. е. такого
суждения, истинность которого не является необходимой,
хотя и принимается без доказательства, введенное
Аристотелем во II главе I книги «Второй Аналитики»,
подвергается им >в X главе дальнейшему уточнению: оно
подразделяется на предположения лишь в относительном
смысле слова и на постулаты.
«То, что необходимо существует через само себя или
должно казаться <таким> (т. е. аксиома. — С. Я.), не
есть ни предположение, ни постулат... — говорит здесь
Аристотель. — Итак, все то, что, хотя и доказуемо, но
сам <доказывающий> принимает, не доказывая, и
учащемуся это кажется <правильным>, — это есть
предположение, и <притом> предположение не безусловное,
1 Аристотель. Аналитики, стр. 239—240. Таким образом,
увеличение числа начал есть не просто количественное увеличение их
списка, а некоторое усложнение исходных понятий и предложений.
6 С. А. Яновская 161
а лишь для этого <учащегося>. Но если принимают
<что-то>, в то время, как <учащийся> не имеет
никакого мнения <об этом> или имеет мнение, противное
<этому>, то постулируют <это>. И в этом-то и
заключается различие между предположением и
постулатом. Ибо постулат есть нечто противное мнению
учащегося или <нечто> такое, что, будучи доказуемым,
принимается и применяется недоказанным» *.
Итак, постулат это не только не простая, очевидная
и необходимая или хотя бы представляющаяся такой
истина, но вообще нечто такое, что может даже быть
«противным мнению учащегося».
Нетрудно показать, что постулаты Евклида по
существу все именно таковы. Ибо, хотя, например, М. Я.
Выгодский полагает, что «такое предложение, как «через
две точки можно провести прямую линию», вряд ли
могло вызвать не только возражение, но и какое-либо
сомнение у античного мыслителя»2, хотя, по свидетельству
Прокла, эту точку зрения разделял уже Спевзип
(ссылаясь, правда, на равномерное движение без
отклонений вправо или влево, каковой ссылки не могло быть у
Евклида, не допускавшего — в явной форме —
движения в геометрии), однако всякому геодезисту хорошо
известно, насколько трудно на самом деле соединить две
точки, даже на открытой местности, прямой линией. Еще
труднее соединить две точки, разделенные горой или
находящиеся одна на земле, а другая на той стороне
Луны, которую мы никогда не видим. Тем не менее мы
постулируем, что это всегда возможно (I постулат
Евклида), равно как постулируем и возможность продолжить
дальше любой отрезок (II постулат Евклида), и притом
продолжить однозначно (IV постулат о равенстве
между собой всех прямых углов).
0 неочевидности V постулата написано так много,
что здесь на этом можно не останавливаться. Однако и
III постулат (о том, что из всякого центра и всяким
радиусом можно описать окружность) также не является,
на мой взгляд, само собой разумеющимся3.
1 Аристотель. Аналитики, стр. 201.
2 М. #. Выгодский. «Начала» Евклида. — «Историко-математиче-
ские исследования», вып. I, стр. 250.
3 Особенно если учесть, что, как явствует из применения этого
постулата Евклидом, практическим источником его является даже
162
Иногда видят разногласие между Евклидом и
Аристотелем в том, что у Евклида нет вообще никаких
предположений1. На мой взгляд, здесь никакого
разногласия нет; ибо предположения — это, по Аристотелю,
нечто не вызывающее сомнений у учащегося и поэтому не
доказываемое, т. е. нечто такое, что можно
предполагать молча, на чем можно не останавливаться. Другое
дело постулат. Его нельзя предполагать молча, потому
что с ним можно не соглашаться. На его счет следует
договориться прежде, чем приступать к доказательству,
и поэтому его нужно формулировать явно.
§з.
Но 1в таком случае, естественно, встает вопрос: если
тривиальные истины можно пропускать, то почему же у
Евклида имеются аксиомы («общие понятия»), такие,
например, как «равные одному и тому же равны друг
другу» или «если от равных отнять равные, то остатки
равны»? Ведь в приведенной нами выше цитате из
Аристотеля речь даже шла как будто о том, что вторую из
этих аксиом заведомо можно опускать- «как известную».
На этот счет мне представляется весьма
естественным объяснение, основанное на трактовке этих аксиом
как логических правил вывода 2. И действительно,
возвращаясь опять к Аристотелю, мы еще раз должны
напомнить, что он предлагает различать в дедуктивной
науке три стороны: ее предмет («то, относительно чего
ведется доказательство»), ее предложения («то, что
доказывается») и ее средства вывода («то, на основании
чего доказывается»). И предмет науки, и ее
предложения являются специфическими именно для данной
науки. Не так обстоит дело для ее средств вывода. Они
являются общими для всех наук, или для всех наук оп-
не циркуль, а веревка, «с помощью которой описывается
окружность радиусом, равным всей веревке или только ее части»
(Д. Д. Мордухай-Болтовский. Комментарии к «Началам» Евклида,
I—VI, стр. 242), т. е. заведомо не сколь угодно большим и не
измеряемым в микронах радиусом.
1 См., например, М. Я. Выгодский. «Начала» Евклида. — «Исто-
рико-математические исследования», вып. I, стр. 250.
2 Так трактует, например, аксиомы Евклида в своей
вышеупомянутой статье Шольц. Его мотивировка, впрочем, не совпадает с
нашей.
6*
163
ределенного рода. Однако помимо общелогических
«начал», таких, как принцип противоречия или
исключенного третьего, есть еще и такие средства вывода («общие
понятия»), которые, хотя и общи всем наукам, но в
каждой науке приобретают свой особый смысл. Таковы
прежде всего свойства равенства и отношений
«больше», «меньше», которые имеют, конечно, общий
характер во всех науках, занимающихся количеством, однако
в каждой из них применяются по-своему. Правильность
этого изложения точки зрения Аристотеля явствует уже
из следующих мест из «Второй Аналитики» и
«Метафизики»:
«Связаны же все науки между собой <чем-то>
общим <всем им>. Общим же <всем> я называю то,
чем пользуются для того, чтобы из него (т. е. пользуясь
им. — С. Я.) вести доказательства, а не то, относительно
чего ведется доказательство, и не то, что
доказывается» 1.
«Положение — «если от равных величин отнять
равные, остатки <будут> равны» — является общим по
отношению ко всем количествам, а математика, выделив
<одну область>^ делает предметом своего
рассмотрения ту или иную часть относящегося к ней материала,
например линии или углы, или числа, или какую-нибудь
из других количественно определенных величин...»2
В соответствии с этим те принципы вывода, которые
являются общими для всех наук, но по-особому
применяются в каждой науке, надо и особо для нее
сформулировать. Так, в частности, нужно указать, когда два
геометрических объекта будут считаться равными (IV
аксиома Евклида: «Налагающиеся равны»)3. Понятие
«больше» в применении к углам, отрезкам и другим
геометрическим объектам также нуждается в определении,
позволяющем установить наличие этого соотношения,
почему и для него нужно сформулировать общее
правило: «целое больше части» (V аксиома Евклида), —
означающее, по-видимому, что если при наложении один
1 Аристотель. Аналитики, стр. 203.
2 Аристотель. Метафизика, стр. 186.
3 Аксиомы, помещенные в русском издании «Начал» Евклида в
квадратные скобки (поскольку их принадлежность Евклиду
заведомо не установлена), не включены мной в общую нумерацию
аксиом, число которых, таким образом,* сводится к пяти.
164
объект оказался частью другого (поместился в нем, не
исчерпав его), то мы можем сделать заключение, что
первый меньше второго.
С другой стороны, принцип противоречия
применяется к математическим предложениям так же, как к
любым другим предложениям, почему и не подлежит
какой-нибудь особой формулировке в геометрии.
Известно, что Евклид свои аксиомы называет
«общими понятиями». Мы видим, что это полностью
соответствует тому, что говорит об «общих понятиях»
Аристотель. На мой взгляд, это соответствие распространяется
вплоть до деталей, состоящих, например, в том, что,
формулируя правило, гласящее, что если от равных
отнять равные, то и остатки будут равны, можно не
останавливаться на объяснении того, что значит «отнять» или
«остаток», так как это можно считать известным. Ведь
если при наложении геометрических величин одна
оказалась правильной частью другой, то ясно, что такое
«остаток».
В системе «Начал» Евклида аксиомы, таким
образом, играют роль не посылок, а правил вывода 1,
подлежащих явной формулировке, потому что они по-особому
должны применяться в геометрии.
§4.
Почему же все-таки в геометрии у Евклида имеются
постулаты и аксиомы, а в арифметических книгах «Начал»
есть только определения? И почему это положение
сохранялось в науке вплоть до конца XIX века? На этот
счет вполне удовлетворительным ответом, на первый
взгляд, может показаться следующий. Мы уже
приводили место из Аристотеля, свидетельствующее о том, что
он считал арифметику более совершенной наукой, чем
геометрию2. В арифметике древних греков, включавшей
1 Ср. термин «несиллогистические выводы», связанный с этого
рода аксиомами.
2 Число таких мест можно было бы увеличить. Так, в
«Метафизике» мы читаем: «...те науки, которые исходят от меньшего
числа элементов, более точны, нежели те, которые получаются в
результате прибавления новых свойств, например, арифметика точнее
геометрии» (Аристотель. Метафизика, стр. 21). Объяснение причины
большей точности арифметики по сравнению с геометрией
Аристотель дает и в следующем месте из «Метафизики». «И чем более
165
в себя только арифметику натуральных чисел, нет
никаких несоизмеримостей, ее операции выполняются всегда
лишь над конечными объектами; в ней нет особого
понятия равенства, отличного от тождества (два числа
равны, если оба они суть «то же самое» число), и ей не
нужны поэтому особые правила, позволяющие
установить равенство двух разных чисел; ее единственным
принципом, представляющим собой необходимую
истину, является, по Аристотелю, существование единицы, но
этот принцип носит общефилософский характер и не
применяется по-особому в арифметике. Ее понятия
«единица», «число», «простое число» и др. достаточно
поэтому определить, чтобы о них можно было доказывать
теоремы, в частности, доказывать (опираясь на
существование единицы) существование предметов,
удовлетворяющих этим определениям. Больше того, если не у
Аристотеля, то в арифметических книгах «Начал» Евклида
по существу нет не только каких-нибудь арифметических
аксиом, но нет и определений отвлеченных натуральных
чисел (их арифметика предполагается известной) и все
определения и теоремы формулируются только для
чисел-мер (т. е. чисел, измеряющих — после выбора
какого-либо отрезка за единицу — некоторые геометрические
отрезки) 1.
Поскольку эти числа-меры относятся к геометрии, на
них распространяются и общие геометрические
постулаты и аксиомы. В арифметических книгах так же
достаточно поэтому одних только определений, как их
достаточно во всех остальных книгах «Начал», за
исключением первой.
Объяснение того, почему у древних геометрия
строилась аксиоматически, арифметика же нет, таким
образом, представляется состоящим в следующем:
мы имеем дело с тем, что с логической точки зрения идет раньше
и что более просто, тем в большей мере <нашему познанию>
присуща точность <а точность эта — в простоте>; поэтому
рассмотрение, которое отвлекается от величины, точнее, чем то,
которое включает величину» (там же, стр. 222). (Здесь, очевидно,
Аристотель считает непрерывность необходимым свойством величины,
почему и не относит числа к величинам. Дискретными числами
занимается, по Аристотелю, арифметика. В геометрии мы имеем дело
уже с непрерывными величинами.)
1 См. Я. Г. Башмакова. Арифметические книги «Начала»
Евклида.— «Историко-математические исследования», вып. 1.
166
а) арифметика отвлеченных натуральных чисел
казалась древним более простой и поэтому более
совершенной наукой, чем геометрия; в исходных принципах этой
арифметики нельзя было сомневаться и поэтому о них не
приходилось спорить, а раз не о чем было спорить, то
незачем было и договариваться о постулатах, «могущих
быть противными мнению учащегося», — таких попросту
не существовало.
б) арифметика же чисел-мер есть часть геометрии и
поэтому не нуждается в особой аксиоматике. Все ее
теоремы должны доказываться исходя из постулатов и
аксиом геометрии и опираясь на определения чисел-мер
или их видов: простых и составных чисел, плоскостных
и телесных чисел, совершенных чисел и т. п.
в) вокруг начал (принципов) геометрии велись
ожесточенные споры уже в античной древности. В Древней
Греции существовали фактически по меньшей мере три
разных подхода к геометрии, мы сказали бы три разные
системы геометрии:
1) система Демокрита, в которой все фигуры строи-*
лись, по-видимому, из конечного числа «неделимых»
(атомов), имеющих конечные же размеры; в этой
геометрии не могло быть поэтому такой фигуры, как
идеально точный квадрат.
2) система Анаксагора, в которой никаких
«неделимых», по-видимому, не существовало, поскольку
Анаксагор, с одной стороны, признает, что в малом не
существует наименьшего, но всегда имеется еще меньшее.
Ибо то, что существует, не может исчезнуть, как бы
далеко не было продолжено деление1; с другой стороны,
утверждает, что любая из частиц есть смесь, подобная
целому...2 В такой геометрии фигуры вообще (т. е. ни в
каком смысле) не могли состоять из неделимых далее
точек.
3) система Евклида, в которой «неделимые» (точки)
существовали, но не имели никаких измерений: «Точка
есть то, что не имеет частей» (Евклид, «Начала», первое
определение); в этой геометрии фигуры содержат в себе
(потенциально) точки (являются их геометрическими
местами), но не состоят из них как из частей: если по-
1 См. Аристотель. Физика, стр. 55—57.
2 См. там же, стр. 56.
167
зволить себе отождествить геометрическое место точек
с множеством * их, то мощность множества (точек) надо
отличать от его меры. (Отрезок есть множество точек, но
1 На том основании, что «поскольку нечто может
существовать в потенции, постольку возможна и актуальность» (Аристотель.
Физика, стр. 67). Подробнее это место гласит так: «Надо признать
логичным и то положение, что путем прибавления бесконечное не
является таким, чтобы могло превосходить всякую величину, а
бесконечное от деления может... так как непрерывное делится до
бесконечности, а в направлении к большему бесконечного нет. Ибо
поскольку нечто может существовать в потенции, постольку
возможна и актуальность». (Там же, стр. 66—67.)
Вообще Аристотелево понимание потенциальной бесконечности
«согласно делению» заставляет иногда думать, что его можно
совместить и с теоретико-множественной трактовкой непрерывного
множества. Так, опровергая апории Зенона, Аристотель пишет:
«...ошибочно рассуждение Зенона, что невозможно пройти
бесконечное, т. е. коснуться бесконечного множества отдельных частей в
ограниченное время... бесконечного в количественном отношении
нельзя коснуться в ограниченное время, бесконечного согласно
делению — возможно, так как само время в этом смысле бесконечно.
Следовательно, приходится проходить бесконечность в бесконечное,
а не в ограниченное время и касаться бесконечного множества
частей бесконечным, а не ограниченным множеством». (Там же,
стр. 128—129).
Правда, в другом месте, возвращаясь к этому же вопросу,
Аристотель замечает^ «...мы разрешили этот вопрос, исходя из того,
что время заключает в себе бесконечное число частей; ибо нет
ничего странного, если в бесконечное время кто-нибудь пройдет
бесконечное множество; подобным же образом бесконечность присуща
и длине, как и времени. Но такое разрешение достаточно для
ответа тому, кто так поставил вопрос (спрашивалось ведь, можно ли в
ограниченное время пройти или сосчитать бесконечно многое), а
для сути дела и для истины недостаточно... Кто делит
непрерывную линию на две половины, тот пользуется одной точкой как
двумя, так как он делает ее началом и концом... а в непрерывном
заключается бесконечное число половин, но только не актуально, а
потенциально. Если же их сделать действительными, то движение
не будет непрерывным, а будет останавливаться... Таким образом,
на вопрос, можно ли пройти бесконечное множество частей во
времени или по длине, следует ответить, что в одном отношении
можно, а в другом нет. Если они будут актуально — нельзя, если в
потенции— возможно...» (Аристотель. Физика, стр. 197—198).
Еще яснее о том, что для бесконечности, которая существует
всегда только в потенции, актуальность — вопреки приведенной
выше цитате — все же невозможна, Аристотель пишет в следующем
месте той же «Физики»: «Не следует, однако, брать здесь
потенциальное бытие в том смысле, что как возможная статуя будет
статуей, так и бесконечное будет актуальным... Вообще говоря,
бесконечное существует таким образом, что всегда берется иное и иное,
и взятое всегда бывает конечным, но всегда разным и разным».
(Там же, стр. 63.)
168
не есть их сумма. «...Время не слагается из неделимых
«теперь», а также и никакая другая величина»1.
Думается, что смело можно сказать, что Аристотель,
соответствующие взгляды которого разделяет и Евклид,
отличает уже в каком-то смысле отношение
принадлежности элемента множеству от отношения части к целому.)
Но раз возможны столь различные точки зрения, то
в геометрии должны были быть (и были) постулаты,
«могущие быть противными мнению» (не только)
учащегося, и о них нужно было сначала договориться. Ведь
«геометр не должен возражать тому, кто отрицает его
начала, — это дело другой науки или общей всем...»2.
В таком объяснении необходимости аксиоматики для
геометрии есть, конечно, доля истины, поскольку
фактически оно относится к трудностям, связанным с
математическим выражением непрерывности. Мне
представляется однако: а) что оно еще нуждается в уточнении,
которое должно объяснить, в частности, ту специальную
форму аксиоматики, которая избрана Евклидом в его
«Началах»; б) что такое уточнение действительно вполне
возможно, и притом по существу давно известно и до
тривиальности просто.
§5.
Заметим прежде всего, что в «Началах» Евклида есть не
только теоремы, но и задачи. Больше того, венцом
«Начал» является построение пяти правильных
многогранников, т. е. решение некоторых задач на построение.
«Начала» содержат алгоритм решения (с помощью построе->
иия, а не вычисления) любого квадратного уравнения.
А вершиной арифметических книг «Начал» является, как
это убедительно показано в литературе, в том числе й
статье А. Е. Раик «Десятая книга «Начал» Евклида»3,
доведение решения квадратного уравнения в особом
1 Аристотель. Физика, стр. 143. «А «теперь» не есть часть, так
как часть измеряет целое, и из частей оно должно слагаться, время
же, по всей видимости, не слагается из «теперь»» (там же, стр. 92).
«...Ни время не слагается из «теперь», ни линия из точек, ни
движение из моментальных перемещений» (там же, стр. 147).
2 Там же, стр. 8.
3 См. А. Е. Раик. Десятая книга «Начал» Евклида. — «Истори-
ко-математические исследования», вып. I, стр. 343—384.
169
смысле до числа, ибо классификация иррациональностей,
которой посвящена последняя арифметическая книга
«Начал» (десятая), основана на приведении их к
каноническим видам и отнесении к каждой иррациональности
наименования ее вида и числа (или группы чисел
натуральных!) в качестве ее индивидуального имени
(«бином», т. е. «двойное имя», пара чисел как имя). Таким
образом, с помощью построения задача, приводящаяся к
цепочке квадратных уравнений, получает каноническое
решение, доведенное (принципиально) при численном
задании коэффициентов уравнения до номера вида
дайной иррациональности и ее индивидуального имени —
простого или сложного: ряда имен (мы сказали бы:
фамилии, имени и отчества). В применении к
квадратичным иррациональностям трудности, связанные с
проблемой несоизмеримости, оказываются действительно
преодоленными. Однако за счет чего?
Чтобы ответить на этот вопрос, заметим прежде
всего, что математика не есть только теоретическая
дедуктивная наука в смысле Аристотеля. И непосредственно
и опосредованно (через другие науки, прежде всего
физику) математика связана с практикой. И ее связь с
практикой проявляется в особенности в построении
алгоритмов, решающих, как говорит в таких случаях
А. А. Марков, массовые проблемы: каждый алгоритм
свою массовую проблему.
В соответствии с этим исторически построение алго-'
ритмов предшествовало созданию математических
теорий. Но для построения алгоритмов, уже самых древних,
связанных, например, с оперированием с целыми
числами и с дробями, с решением различных классов
арифметических и геометрических задач, оказалось
необходимым введение новых понятий, таких, как понятия числа,
дроби, площади, объема, сложения, умножения и многих
других, а также выяснение свойств и законов операций
с числами и многих других вопросов познавательного
характера, образующих элементы научного знания,
научной теории, для которой прежде всего характерна
возможность использовать одни знания (непосредственно
данные нам посылки) для получения из них других —
заключений. Нетрудно показать, что вопреки
распространенному на этот счет мнению с такого рода
элементами научной теории мы встречаемся уже у древние
170
египтян и вавилонян. Роль же древних греков состояла,
скорее, в том, что они построили теорию таких теорий—
теорию доказательства, в соответствии с которой и
создавали уже стройные математические системы. Однако
первенство правила (алгоритма) над теоремой
сохранялось в математике еще очень долго. Достаточно открыть,
например, сочинения Декарта, Ньютона и даже
такого «чистого» логика, как Лейбниц, чтобы убедиться в
этом.
Вот, например, «Анализ с помощью уравнений с
бесконечным числом членов» Ньютона. Из чего он состоит?
Сначала излагается Правило I: «Квадратура простых
кривых» (т. е. степенной функции с рациональным
показателем). Затем Правило II: «Квадратура сложных
кривых с помощью простых» (т. е. интеграл суммы). Далее,
Правило III: «Квадратура всех других кривых» (через
разложение функции в степенной ряд, для чего дается
ряд приемов, в том числе знаменитый «параллелограмм
Ньютона» в связи с задачей «оборачивания» степенного
ряда или, как говорил Ньютон, «решения неявных
уравнений»).
Каждое правило поясняется большим числом
примеров. Затем следуют применения правил к решению самых
разнообразных и трудных задач, и лишь в заключение,
на двух страничках, приводятся: «Доказательство
квадратуры простых кривых по первому правилу» и
«Доказательство решения неявных уравнений».
Таких примеров можно было бы привести множество.
Не думаю, чтобы в этом была нужда.
§6.
Но алгоритмы («правила») в математике бывают
разные.
Такие алгоритмы, как, например, решето Эратосфена
для получения всех простых чисел, не превосходящих
данного числа N, или алгоритм Евклида для нахождения
общего наибольшего делителя двух чисел, носят, так
сказать, абсолютный характер: они доводят решение
задачи до числа или до конечной последовательности
чисел.
Другие же алгоритмы не дают ответа, как такового,
171
а лишь сводят решение данной задачи к решению других
задач, принятых за решенные. По существу в этом и
состоит, например, решение задач на построение. Решить
такую задачу — значит либо просто принять ее за
решенную (такова, например, у Евклида задача описать из
данного центра данным радиусом окружность), либо
свести ее решение к последовательности шагов,
состоящих каждый в предполагаемом решении одной из задач,
принятых за решенные (так, в частности, решаются
у Евклида задачи на приложение площадей,
соответствующие решению квадратного уравнения построением).
Я не буду здесь останавливаться подробнее на вопросе
о том, что следует понимать под словом «свести». Отмечу
лишь, что сведение должно носить алгоритмический
характер, т. е. состоять, как говорил в таких случаях
Маркс, в «стратегеме действия» — совокупности
предписаний, составленных так, чтобы в случае, когда задачи,
принятые за решенные, действительно могут быть
решены, было ясно: 1) с решения какой из них нужно
начинать после того, как заданы параметры, выделяющие
данную индивидуальную задачу из класса задач,
входящих в «массовую проблему»; 2) к какой переходить
после того, как данное предписание решить такую-то из
принятых за решенные задач выполнено; 3) когда
прекратить дальнейшие операции, т. е. когда ответ следует
считать полученным.
В сущности говоря, и в арифметике мы имеем дело с
алгоритмами, программы которых также состоят в
совокупности предписаний, сводящихся к выполнению
некоторых операций, предполагаемых осуществимыми. И в
арифметике мы прибегаем при этом к идеализации,
состоящей, например, в том, что мы считаем осуществимой
операцию прибавления единицы к любому сколь угодно
большому числу. И различие арифметики от геометрии
в конечном счете сведется действительно к
подмеченному уже в античной древности — и глубоко
проанализированному Аристотелем — различию дискретного и
непрерывного. Но только теперь сущность этого различия
можно сформулировать более точно. Так, в частности, в
настоящее время на основе анализа всех фактически
существующих в математике алгоритмов можно считать
установленным, например, что для решения любой
вычислительной массовой проблемы, допускающей решение
172
(алгоритм), достаточно умения осуществлять следующие
операции, предложенные как достаточные Э. Постом1.
Имея неограниченно продолжаемую в обе стороны
ленту, разделенную на клеточки («ящики»), и
представляя себе рабочего, который может находиться в «ящике»:
1) отметить каким-нибудь знаком (например,
крестом) ящик, в котором он находится (если ящик не
отмечен) ;
2) стереть отметку на ящике (если он отмечен);
3) перейти в соседний ящик справа;
4) перейти в соседний ящик слева;
5) находясь в ящике, установить, отмечен он или
нет.
Предположение, что такого рода операции могут
быть осуществлены машиной, встречается на практике с
значительно меньшими трудностями, чем, например,
предположение, что мы умеем начертить окружность
сколь угодно малого радиуса: ведь последнее даже
находится в противоречии с атомистическим строением листа
бумаги и инструмента, с помощью которого мы
попытаемся решать эту задачу. Поэтому если мы собираемся
принять такого рода задачу за решенную, то нам
придется специально договориться на этот счет. Однако это
будет не условное соглашение, а только некоторое
обобщение, «идеализация» того, с чем мы имеем дело на
практике, оперируя с такими инструментами, как
циркуль и линейка. Но тогда и алгоритмы наши приобретут
в известном смысле условный (обусловленный чем-то,
относительный) характер: они будут практически
решать задачу только в тех случаях, когда практически
окажутся разрешимыми задачи, принятые за решенные.
У Евклида нет упоминания о циркуле и линейке в его
«Началах».
Теория черчения, как и вычислительная математика,
с его точки зрения, весьма характерная для
господствующего класса рабовладельческого общества, есть лишь
второстепенная — «производственная» наука. Тем не
менее, как это хорошо известно всем, геометрия «Начал»
1 Е. L. Post Finite Combinatory Processes-Formulation. — «The
Journal of Symbolic Logic», 1936, vol. 1, N 3, p. 103. Общее
исследование совокупностей операций, достаточных для осуществления
любого «вычислительного алгоритма», выполнено в последнее время
(1957 г.) молодым советрким математиком А. П. Ершовым.
173
Евклида есть геометрия циркуля и линейки, но только
«идеализированных» циркуля и линейки — таких, с
помощью которых можно, например, удвоить любой сколь
угодно большой отрезок или разделить пополам сколь
угодно малый. На значении такого рода «идеализации»
для математики нам еще придется немного
остановиться. Здесь для нас существенно только, что причиной
того, что в «Началах» Евклида постулаты относятся
именно к геометрии, а не к арифметике, является не просто
большая сложность геометрии по сравнению с
арифметикой, а именно то обстоятельства, что геометрия у
Евклида есть геометрия идеализированных циркуля и линейки,
алгоритмы которой носят не абсолютный, как в
арифметике, а относительный характер: являются так
называемыми алгоритмами сводимости.
§7.
О том, как постулаты Евклида связаны с его задачами,
прекрасно рассказал С. О. Шатуновский (см., например,
его комментарии к «Геометрическим построениям»
Адлера).
Само по себе это обстоятельство было подмечено уже
очень давно. Что постулаты Евклида, хотя бы частично
(первые три), связаны именно с его задачами,
подчеркивал уже Прокл, считавший, правда, что за решенные
принимаются только такие задачи, разрешимость
которых сама собой разумеется: «Общим для аксиом и для
постулатов является то, что они не требуют обоснования
и геометрического доказательства, но принимаются за
известные и служат началами для последующего. Но они
отличаются друг от друга так же, как теоремы от
задач» 1.
Так как IV и особенно V постулат Евклида
требованию очевидности явно не удовлетворяли, Прокл считал
эти предложения ошибочно отнесенными к числу
постулатов:
«Разве не смешно причислять к недоказуемым
предложения, обратные для которых являются доказуемыми
теоремами?» — спрашивал он. Между тем нетрудно
убедиться в том, что все постулаты Евклида относятся к
формулировкам задач, принятых им за решенные.
1 Цит. по: О. Becker. Grundlagen der Mathematik in geschichtli-
cher Entwicklung, S. 102.
17
Из того, что было уже сказано выше о постулатах
Евклида, ясно, что в III постулате обеспечивается
возможность отыскать все те и только те точки, которые
находятся на данном расстоянии от данной точки1;
I принимается за решенную задача построить
прямолинейный отрезок по заданным его концам; II — задача
продолжить уже построенный отрезок; IV
обеспечивается однозначность такого продолжения. Здесь мы отметим
только, что всеми тремя последними постулатами вместе
не обеспечивается возможность построить всю бесконеч1
ную прямую, проходящую через две данные точки.
Евклид считает только возможным сколь угодно далеко
продолжить соединяющий эти точки отрезок.
Но и с V постулатом дело обстоит достаточно просто.
Если бы мы умели построить полностью всю
(бесконечную) прямую, то задача отыскать точку пересечения
двух прямых, заданных каждая парой ее точек, должна
была бы также считаться решенной, и притом как в
смысле построения этой точки, если она существует, так и в
смысле обнаружения ее несуществования в противном
случае. Но, по Евклиду, мы не можем построить всю
бесконечную прямую. Правда, имея два заданных
отрезка, мы можем их неограниченно продолжать.
Однако на этом пути вопрос об отыскании точки
пересечения продолжающих их прямых нельзя считать
в общем случае решенным, поскольку такой точки может
и не быть. Ведь Евклиду известно (теорема 1,28), что
существуют непересекающиеся прямые. Таким образом,
нужно сформулировать особо, когда нам разрешается
считать решенной задачу отыскать точку пересечения
двух прямых. V постулат, необходимость которого как
соответствующего особой задаче обусловливается именно
тем, что обратная ему теорема (1,28) оказывается
доказанной 2, в точности это и делает: он содержит такой кри-
1 В действительности у Евклида принимается за решенную
даже более скромная задача: имея точку и «привязанный к ней»
радиус («веревку»), описать окружность.
2 Наличие трудностей, связанных во времена Аристотеля (т. е.
до Евклида) с вопросом о существовании параллельных прямых,
достаточно ясно уже из того, что Аристотель упрекал математиков
своего времени, занимавшихся теорией параллельных, в порочном
круге, поскольку те, «кто думает, что <они> проводят параллели»,
неосознанно допускают вещи, которые невозможно доказать, если
параллельных (т. е. непересекающихся. — С. Я.) не существует (см.
175
терий того, когда задача отыскать точку пересечения двух
прямых должна считаться решенной, для проверки
выполнения которого достаточно только уметь решать другие
задачи, принятые Евклидом за решенные, и притом
решать их, не выходя за пределы заранее ограниченной
части плоскости. Действительно, требуется только
соединить прямой [х любую точку одного из двух заданных нам
отрезков прямых с точкой другого, построить суммы pi
и р2 внутренних односторонних углов, образованных
прямой [х с обеими заданными прямыми, распознать,
лежат ли обе стороны угла pi (или рг) на одной прямой1,
и если нет, то выяснить, какой из двух углов pi и рг
меньше другого (может образовать — в произвольной
окрестности общей вершины — часть другого). Именно
этим и объясняется, на мой взгляд, то, что V постулат
имеет у Евклида столь своеобразную форму, а не
сформулирован по Плейферу:
«Через каждую точку плоскости, не лежащую на
данной (в этой же плоскости) прямой, можно провести
только одну прямую, не пересекающую данную».
Евклидов постулат непосредственно отвечает на
вопрос о том, когда задача отыскать точку пересечения
двух прямых (лежащих на одной плоскости) должна
считаться решенной2.
Аристотель. Аналитики, стр. 154, 155). Что порочный круг состоит
именно в том, что доказывают существование параллельных
прямых («думают, что проводят параллели»), опираясь на теоремы, в
доказательстве которых это существование уже предполагается,
ясно и из заключительных слов Аристотеля: «Поэтому выходит, что
те, кто таким образом выводит заключение, утверждает, что
каждая <вещь> существует, если она существует». (Там же, стр. 155.)
1 Вспомним, что в силу IV постулата всякий отрезок в
некотором смысле однозначно определяет свое продолжение, поэтому если
вторая сторона угла р не является продолжением первой, то мы
должны уметь распознать это. (Можно сказать, что задача такого
распознания IV постулатом («Все прямые углы равны между
собой») принимается за решенную. Ведь прямым углом, по Евклиду,
называется один из двух равных смежных углов. Если бы отрезок
можно было продолжить неоднозначно, то существовали бы такие
прямые углы d\ и d2, что мы имели бы 2 d\ ф 2 d2, почему и d\ ф
4=d2. Про «Начала» же Евклида можно сказать, что в них
принимается за решенную задачу однозначно продолжить данный
отрезок.)
2 Само собой разумеется, что когда, например, точка
пересечения двух отрезков непосредственно задана вместе с ними (как их
общая точка), то и, согласно критерию, устанавливаемому постула-
176
Ответ на поставленный нами вопрос после этого
естественно Сформулировать так.
Трудности, связанные с математическим выражением
непрерывности, были известны древним грекам еще со
времен Анаксагора и Зенона. Открытие
иррациональности (несоизмеримости длины диагонали квадрата с его
стороной и других несоизмеримых отношений) еще
усугубили их.
Но это открытие не явилось следствием
аксиоматического построения геометрии. Наоборот, оно
предшествовало последнему. В основе этого открытия лежали
эмпирически обнаруженная с помощью оперирования с
циркулем и линейкой теорема Пифагора и основанное
на идеализации этого же оперирования допущение о
существовании идеально точного квадрата. Однако из
этого открытия напрашивался вывод, что
геометрические задачи, может быть, лучше решать не вычислением,
а построением.
Дело в том, что, как и арифметика, геометрия нужна
была прежде всего как руководство к действию, как
оперативная наука, разрабатывающая конструктивные
общие методы (алгоритмы) решения целых классов
однородных геометрических задач (или соответствующей
каждому такому классу «массовой задачи», такой,
например, как «разделить (произвольный) отрезок
пополам». Алгоритм (приближенного) извлечения
квадратного корня был известен еще древним вавилонянам.
Знали его и древние греки (такой алгоритм имелся не
только у Архимеда; в несколько замаскированной форме
он присутствует, как известно, ив «Началах» Евклида
(9-е предложение II книги «Начал»). Но этот алгоритм
не давал «точного» значения квадратного корня, между
тем как (идеальными) циркулем и линейкой может быть
точно построен отрезок, служащий стороной квадрата
равновеликого данной (ограниченной прямыми линиями)
фигуре.
том, задача отыскать точку пересечения соответствующих прямых
должна оказаться уже решенной. Вряд ли есть необходимость
напоминать, что, несмотря на такого рода ограничения, в геометрии
циркуля и линейки возможны все-таки разные ответы на вопрос о
том, когда следует считать решенной задачу об отыскании точки
пересечения двух прямых (независимость V постулата от остальных
постулатов геометрии Евклида).
177
Алгоритмам построения, естественно, могло
отдаваться поэтому предпочтение перед алгоритмами
вычисления, особенно если учесть, что у древних греков
вычислительная работа считалась, по-видимому, недостаточно
«благородным» для свободного человека занятием.
Но в отличие от алгоритмов арифметики, где всегда
предполагается только потенциальная осуществимость
любого натурального числа, алгоритмы, решающие
массовую задачу построением, зависят от того, •какие
именно инструменты допускаются. Программу решения
задачи построением нельзя даже сформулировать, если не
договориться о том, какими инструментами можно
пользоваться: какие операции предполагаются
непосредственно осуществимыми, хотя практически, может быть, и не
всегда являются таковыми. Решение задачи состоит,
таким образом, в сведении ее к задачам, принятым за
решенные, а алгоритм, решающий массовую
геометрическую задачу построением, есть уже в отличие от
алгоритмов арифметики натуральных чисел алгоритм
сводимости. Постулаты Евклида, как мы здесь пытались
показать, формулируют точно задачи, которые
принимаются им за уже решенные.
Но после того как постулаты были уже
сформулированы, и притом так, что с них должно было начинаться
изложение геометрии, превращение последней в
дедуктивную аксиоматическую теорию должно было стать, и
стало, естественным следующим этапом истории
геометрии.
Не всякую задачу ведь можно принять за уже
решенную: так, если, например, в обычной арифметике принять
за решенную задачу отыскать число, большее трех, но
меньшее двух, то всякая арифметическая задача (в том
числе и просто бессмысленная) окажется уже
решенной.
В том обстоятельстве, что именно такие-то задачи
принимаются за уже решенные, содержится фактически
гипотеза о непротиворечивости соответствующей
системы постулатов, равносильная по существу
предположению об осуществимости этой системы. А такое
предположение имеет уже не просто оперативный, но и
онтологический и познавательный теоретический характер.
В исходном пункте этого теоретического познания
лежит, однако, не предложение, а задача.
178
Не случайно именно с решения задач и началось
развитие математики как науки.
Возникновение геометрии как дедуктивной науки в
отличие от арифметики, оставшейся по преимуществу
оперативной наукой, таким образом, обусловлено
особым, оперативным же характером геометрии: тем
обстоятельством, что алгоритмы «Начал» Евклида являются не
абсолютными, а алгоритмами сводимости.
Не разве с такого рода алгоритмами люди не имеют
дела и в арифметике? Разве и в арифметике люди не
принимали за решенные такие задачи, которые в
некоторой данной числовой области заведомо даже не имели
решения?
В арифметике натуральных чисел этого, конечно, не
было. Но ведь при всяком расширении понятия числа
именно это и приходилось делать.
В этой связи нужно прежде всего сказать, что
расширение понятия числа и операций с числами исторически
было сопряжено с большими трудностями, над
которыми математики бьются в применении к арифметике
действительных чисел вплоть до наших дней (и которые и
привели в конечном счете к тому, что пришлось и в
арифметике заняться аксиоматикой). В ряде случаев, когда,
например, речь шла о дробных, отрицательных или
комплексных числах, введение постулатов, обеспечивающих
существование этих чисел, заменялось указанием такой
интерпретации для понятия числа и операций с числами,
в которой эти понятия оказывались отражающими
соотношения, в реальном смысле которых не приходилось
сомневаться.
Конечно, тут существенную роль играло и то
обстоятельство, что геометрия Евклида оказалась хорошо
проверенной практикой, почему геометрические
интерпретации, обладающие к тому же большой наглядностью,
казались особенно убедительными.
Большую роль играло также и то, что введение новых
чисел сопровождалось созданием для них специальных
обозначений.
Роль такого рода обозначений в дифференциальном
исчислении, и притом именно в связи с разработкой про-»
граммы алгоритма — «стратегемы действия», особенно
подчеркнул Маркс в своих «Математических рукописях».
За таким обозначением, как, например, 3/s, —5,/"2,/"—3
179
и другие, естественно скрывается постулат, которым
обеспечивается разрешимость соответствующей задачи:
разделить 3 на 5, вычесть из какого-нибудь числа число,
больше его на 5, отыскать такое число, квадрат которого
равен двум или минус трем, и т. п.
Развитие науки приводило к тому, что такого рода
постулаты приобретали и явную формулировку, как
было, например, с известным признаком сходимости Коши.
Но наиболее существенно при этом все же то, что в
практических вопросах, связанных всегда только с
приближенными измерениями и вычислениями, оперировать
в конечном счете приходится только с натуральными
числами, почему и все арифметические алгоритмы могут
быть отнесены только к натуральным числам.
Ясно, таким образом, почему геометрия строилась
уже со времен древних греков аксиоматически,
арифметика же нет.
Краткий ответ на этот вопрос может быть
сформулирован в заключение так: суть дела прежде всего в том,
что в арифметике натуральных чисел алгоритмы носят
абсолютный характер, в геометрии же мы имеем дело с
алгоритмами сводимости.
О НЕКОТОРЫХ ЧЕРТАХ РАЗВИТИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ОТНОШЕНИИ ЕЕ
К ТЕХНИЧЕСКИМ ПРИЛОЖЕНИЯМ»
§ 1. Развитие математической логики и область ее
технических приложений нельзя обрисовать, хотя бы в
самых общих чертах, в кратком докладе. Я попытаюсь
здесь поэтому наметить только некоторые основные
черты этого развития, имея в виду осветить, насколько это
мне удастся, два следующих круга вопросов.
Зарождение математической логики относится к
тому же времени, что и возникновение дифференциального
и интегрального исчисления2. Лейбниц, которому
принадлежит общепринятая теперь символика этого
исчисления и первые его алгоритмы, был творцом и первых
логических исчислений. Однако подлинное развитие
последних, как и вообще всей математической логики,
происходит только в последние 100 лет. Более того, оно
становится особенно характерным для математики XX в.,
когда темпы развития математической логики настолько
убыстряются, что обзор, например, работ и результатов,
полученных в СССР за последние 10 лет, значительно
превосходит и по объему и по содержанию аналогичный
обзор за предыдущие 30 лет.
В чем состоят причины этого? Почему именно в наше
время математическая логика и ее значение для
математики и техники столь быстро растут? Не связано ли
оно само с созданием новой техники, машин нового типа,
с широким развитием автоматики?
Второй круг вопросов, связанный с первым, носит
более специальный характер. Известно, что в технике, в
частности в устройствах релейного действия,
применяется прежде всего алгебра логики, или, как иначе говорят,
1 Доклад, прочитанный на Всесоюзном совещании по теории
релейных устройств 3 октября 1957 г. Опубликован в книге
«Применение логики в науке и технике». М., 1960.
2 Именно как исчисления, оперирующего с характерными для
него символами дифференциалов, интегралов и др.
181
булева алгебра, которая является вовсе и не логикой,
а некоторой алгеброй. Этой алгебры часто бывает
недостаточно и ее заменяют другими алгебрами. Может быть,
в современной технике или хотя бы в устройствах
релейного действия вообще не нужна математическая логика?
Может быть, правомерно говорить только о технических
приложениях алгебры, а не логики?
§ 2. На первый взгляд быстрота темпов развития
математической логики в XX в. не имеет как будто
никакого отношения к машинной технике и вообще к машинам.
Нетрудно убедиться в том, что уже в самом начале века
развитие математической логики было связано с
трудными задачами обоснования математики.
При помощи развитой к этому времени теории
множеств задачу обоснования математического анализа
удалось свести к задаче обоснования арифметики
натуральных чисел, трактуемой в свете теории множеств, то есть
с допущением построений любых множеств натуральных
чисел, множеств множеств таких чисел и т. д.
К этой же проблематике привело и начавшееся с
трудов Лобачевского, Бойяи, Гаусса и Римана развитие
неевклидовых геометрий. Как известно, вопрос о
непротиворечивости этих геометрий был сведен к вопросу о
непротиворечивости Евклидовой геометрии, который в свою
очередь оказался тем же вопросом о непротиворечивости
математического анализа, т. е. арифметики
действительных чисел или теоретико-множественно трактуемой
арифметики натуральных чисел. Последнюю при этом стали
уже излагать по образцу геометрии, т. е. аксиоматически,
содержательно трактуя в аксиомах, вводящих основные
понятия арифметики («число», «нуль» и «следующее» в
системе аксиом Пеано), только термины из области
логики и теории множеств. Аксиоматический метод, в той
именно его форме, в которой он был столь успешно
применен Гильбертом в его «Основаниях геометрии», с
характерными для этого метода проблемами
непротиворечивости, полноты и независимости аксиом, становится
вообще рабочим инструментом математика, а связанная
с ним, неявно предполагаемая при этом в каждой
системе аксиом, теория, множеств в 20-х годах текущего
столетия проникает буквально во все разделы математики,
которые она при этом творчески оплодотворяет.
Возвращаясь к началу XX в., мы можем констатиро-
182
вать, что трудная задача обоснования математики
представляется математикам того времени окончательно
решенной: оставалось-то ведь «только» обосновать не
математический анализ, а арифметику натуральных чисел,
трактуемую в свете такой, казалось бы, естественной,
«наивной», как ее теперь называют, теории множеств.
Со всей серьезностью и убеждением в непростоте задачи
этим занялся, однако, создатель первой
логико-математической системы Готтлоб Фреге, работу которого
вначале никто из математиков не оценил: зачем, казалось,
было осложнять столь трудным логико-математические
аппаратом (аппарат у Фреге требует весьма громоздких
формальных выкладок с символами) такие простые, всем
понятные вещи, как натуральные числа и операции с
ними? Но в это самое время, точнее в конце XIX — начале
XX в., в теории множеств — в той самой теории
множеств, с помощью которой и в самой математике и в ее
обосновании были достигнуты столь значительные
успехи, — были обнаружены противоречия.
Как можно было думать о доказательстве
непротиворечивости теоретико-множественной арифметики, если в
последней заведомо получались противоречия? Не
следовало ли поставить крест над всеми уже полученными
доказательствами непротиворечивости, сводящими
исследуемый вопрос к вопросу о непротиворечивости
арифметики? Не вытекало ли из этого заключение о
неправомерности самой классической математики?
Такое заключение и было сделано интуиционистами
(Брауэром и Вейлем), которые со всей остротой
поставили вопрос о неправомерности не только канторовской
теории множеств, но и классического математического
анализа и даже элементарной геометрии Евклида,
использовав при этом действительные трудности в
обосновании математики для своих идеалистических
философских выводов.
Но подавляющее большинство математиков
отказалось от такого заключения, надеясь все же доказать
непротиворечивость математики и так уточнить
(исправить) наивную (канторовскую) теорию множеств, чтобы
она оказалась непротиворечивой и в то же время
достаточной для всех нужд математики. Так и возникли d
XX в. основные труды по математической логике.
Именно этому посвящены знаменитые «Principia Mathemati-
133
са» Рассела и Уайтхеда1. Этим же занимаются Гильберт
и Бернайс в своих «Основаниях математики»2, Куайн в
«Новых основаниях математической логики»3, Г. Ген-
цен4 и П. С. Новиков5 в доказательствах
непротиворечивости арифметики (рациональных чисел), К. Гёдель
в работе «Совместимость аксиомы выбора и обобщенной
континуум-гипотезы с аксиомами теории множества»6
и многие другие.
Но задача оказалась исключительно трудной. Более
того, было обнаружено, что эти трудности носят
принципиальный характер, связанный с самим существом
дела. В 1931 г. К. Гёдель в своей знаменитой работе
«О формально неразрешимых предложениях Principia
Mathematica и родственных систем»7 строго доказал, что
в логико-математических системах типа Principia
Mathematica приниипиально нельзя формализовать всю
содержательную арифметику (теорема Гёделя о неполноте),
что вообще непротиворечивость достаточно богатой
средствами вывода формальной системы нельзя доказать
средствами этой же формальной системы (теорема
Гёделя о непротиворечивости).
К чести математиков и математических логиков,
прежде всего самого К. Гёделя, нужно сказать, что они не
сложили оружия после этих открытий, что последние
заставили их только глубже задуматься над сущностью
математической бесконечности и операций с
бесконечными множествами, в том числе и операций логического
характера (закон исключенного третьего).
Заметим, что еще в 20 —начале 30-х годов советские
1 Л. N. Whitehead, В. Russell. Principia Mathematica, Ed. 2, vol. 1,
1925; vol. 2, 1927.
2 D. Hilbert, P. Bernays. Grundlagen der Mathematik, Bd. 1.
Berlin, 1934; Bd. 2, 1939.
3 W. V. Quine. New Foundations for Mathematical Logic.—
«Mathematic Monthly», vol. 44, 1937, p. 70—80; его же. Mathematical
Logic. Harvard University Press, 1955.
4 G. Gentzen. Die Widerspruchsfreiheit der Zahlentheorie. — «Ma-
thematischen Annalen», vol. 112, 1936, S. 493—565.
1 П. С. Новиков. On the Consistency of Certain Logical
Calculus. — «Математический сб.», 12(54), стр. 231—261.
e Русский перевод см.: «Успехи математических наук», 1948,
т. III, вып. 1, стр. 96—149.
7 /С. Godel. Ober formal unentscheidbare Satze der «Principia
Mathematica» und verwandeter Systeme. — «Mathematic. Physik», vol. 38,
1931, S. 173—198.
184
математики А. Н. Колмогоров и В. И. Гливенко, исходя
из диалектико-материалистических представлений о
сущности математики, обнаружили рациональное ядро в
проблематике, связанной с вопросом о применимости
закона исключенного третьего в математике. Уже в 1925 г.
А. Н. Колмогоров показал, что классическая арифметика
может быть вложена в интуиционистскую (переведена1
на ее язык), последняя должна трактоваться не как
опровергающая первую, а, наоборот, как
обосновывающая ее. Через 7 лет после А. Н. Колмогорова это же,
в несколько более полном виде, было сделано К. Гёде-
лем. В наши дни круг вопросов, связанных с наиболее
рациональным вложением классической арифметики в
«интуиционистскую», которую, как было обнаружено к
этому времени, естественнее называть «конструктивной»,
был исследован особенно полно Н. А. Шаниным*.
В 1932 г. А. Н. Колмогоров показал, что, независимо от
философских установок Брауэра, «интуиционистская»
логика может быть истолкована как исчисление задач
(поскольку в задаче речь идет не об (объективной)
истинности или ложности предложения, а о построении
объекта, уже это дает некоторое основание говорить о
«конструктивной» логике).
Другой способ конструктивного истолкования
«интуиционистской логики» был предложен в 1945 г. Клини
(«реализация» Клини). Убедительную критику
некоторых недостатков «реализации» Клини и новый способ
конструктивного истолкования математических
суждений предложил недавно Н. А. Шанин2. В основе этих
способов лежит отнюдь не понимаемая в смысле Канта
ираинтуиция — они исходят из имеющих
материалистический смысл понятий нормального алгорифма (по
А. А. Маркову)3 и вычислимой функции (по С. К. Кли-
1 См. Я. А. Шанин. О некоторых логических проблемах
арифметики.— «Труды Математического ин-та АН СССР», 1955, т. 43.
2 См. Я. А. Шанин. О конструктивном понимании
математических суждений. — «Труды Математического ин-та АН СССР», 1958,
т. 52, стр. 226—311; об алгорифме конструктивной расшифровки
математических суждений см.: «Zeitschrift fur mathematische Logik
und Grundlagen der Mathematib, Bd. 4, S. 293—303.
3 Когда будет идти речь о нормальных алгоритмах (специально
или по преимуществу), мы будем писать, следуя А. А. Маркову,
«алгорифм»; в других случаях будем употреблять более привычный
для многих математиков термин «алгоритм».
185
ни), т. е. из основных понятий, относящихся к области
конструктивных объектов и методов математики.
В связи с теоремами Гёделя вопрос о соотношении
конструктивных и неконструктивных элементов в
математике выплыл вообще на первый план. Важнейшее
место в математической логике стала занимать
проблематика теории вычислимых функций и операторов (Клини,
Пост) и связанные с нею понятия
примитивно-рекурсивных, обще-рекурсивных и частично-рекурсивных
функций и операторов. Другим аспектом той же
проблематики оказалась теория алгоритмов. А при помощи теории
алгоритмов можно было по-новому поставить вопрос и
об основаниях математики, выделяя в ней наиболее
легко поддающиеся обоснованию конструктивные теории:
разные виды конструктивного математического анализа
в смыслах Гудстейна, Маркова или Шанина, для
которых ряд теорем классического математического анализа
неверен; более близкие к классическому
математическому анализу, строящиеся как последовательно
расширяющиеся («пухнущие»), системы математического
анализа Лоренцена и Хао Вана, где конструктивно строятся не
самые математические объекты, а их имена или
определения; аксиоматические системы математического
анализа с правилом бесконечной индукции (вплоть до
некоторого трансфинитного числа) Аккермана и Шютте,
непротиворечивость которых доказана; иерархия
формальных систем Клини—Мостовского; арифметика с
конструктивным (в определенном смысле) правилом
бесконечной индукции, для которой, как показал А. В.
Кузнецов, теорема Гёделя о неполноте уже не имеет места; и
другие результаты и теории, явно ставящие вопрос о
соотношении конструктивных и неконструктивных
моментов математики.
Конечно, было бы преувеличением отождествлять
конструктивный математический анализ — хотя бы й
смысле Гудстейна, Маркова или Шанина — с таким
анализом, который особенно удобен в практических
приложениях.
Однако связь этой проблематики с общей
теорией машин (автоматов) нетрудно показать. Тот характер
развития математической логики, который это развитие
приобрело даже в самой абстрактной области
обоснования математики, невольно заставляет задуматься над
186
вопросами о связи этих абстрактных проблем с теорией
автоматов. Но об этом еще впереди.
§ 3. Другой круг вопросов (тесно связанный с
первым, но имеющий и самостоятельное значение),
обусловивший развитие математической логики в нашем веке,
связан с некоторыми трудными, упорно не
поддававшимися усилиям математиков задачами самой математики.
К их числу принадлежит, например, уже упоминавшаяся
выше в связи с Гёделем проблема континуума (в теории
множеств). Таких трудных задач в дескриптивной
теории множеств оказалось вообще немало. Анализируя их,
советский математик Н. Н. Лузин высказал
предположение, что трудность этих задач обусловлена не тем,
что они требуют какой-либо особой изощренности ума
от математика, а их логической природой; что обычных
средств теории множеств вообще недостаточно для того,
чтобы на соответствующие этим задачам вопросы можно
было дать ответ «да» или «нет», что в этих задачах мы
имеем дело с так называемыми неразрешимыми
предложениями, природа которых может быть вскрыта лишь
средствами математической логики. Ряд важных
результатов на пути выяснения этой природы был получен при
помощи математической логики П. С. Новиковым1 и
его учениками.
Особое значение в связи с развитием математической
логики имеет круг задач, связанных с доказательствами
несуществования алгоритмов. К их числу принадлежит,
например, знаменитая проблема тождества слов в теории
групп, за решение которой П. С. Новикову была
присуждена в 1957 г. Ленинская премия. Ряд других
алгебраических задач того же рода был решен учеником
П. С. Новикова С. И. Адяном. Еще ранее ряд
аналогичных задач для так называемых ассоциативных
исчислений, в том числе известная задача Туэ, были
решены независимо друг от друга советским математиком
А. А. Марковым и американским математиком Э. Постом.
В самом начале 1958 г. А. А. Марков решил трудную
аналогичную проблему из области топологии (проблему
гомеоморфизма полиэдров). Обзор результатов этого
рода, полученных советскими математиками А. А. Мар-
e l См. Я. С. Новиков. О непротиворечивости некоторых
положений дескриптивной теории множеств. — «Труды Математического
ин-та им. В. А. Стеклова», 1951, т. XXXIII, стр. 279—316.
187
ковым, П. С. Новиковым и их учениками, см. в
написанном С. И. Адяном § 9 (стр. 72—80) статьи
«Математическая логика и основания математики» в сб.
«Математика в СССР за 40 лет».
Начиная с глубокой древности, математики строили
алгоритмы («стратагемы действия», как любил в такик
случаях говорить Маркс) для решения целых. классов
задач определенного рода. Таковы, например, всем
известный алгоритм Евклида, представляющий собой
программу действий, которые нужно выполнить, чтобы, имея
любые два целых числа а и й, отыскать их общий
наибольший делитель; алгоритм Штурма, позволяющий по-
заданию коэффициентов многочлена отделить его корни;
многие другие алгоритмы алгебры, теории чисел, теории
дифференциальных уравнений и многие, многие другие.
Когда какой-нибудь алгоритм отыскан, то всем ясно,
что он уже есть: его существование не приходится
доказывать. Но если алгоритм упорно ищут и не находят, то
естественно возникает вопрос: возможен ли он вообще?
Разве обязательно должен существрвать единый прием,
позволяющий механически решить (по одной и той же
# программе) любую из всего класса задач, отличающихся
друг от друга значениями каких-либо параметров? Не
как доказать несуществование алгоритма, его
принципиальную невозможность?
Для этого нужно знать, что, собственно, ищут; нужно
иметь четкое определение алгоритма, позволяющее
оперировать с этим понятием, как с математическим
объектом. Такое определение алгоритма и было дано в
математической логике. Вообще говоря, был даже дан ряд
таких определений, которые, однако, все в определенном
смысле оказались эквивалентными между собой. Особое
место среди этих определений — по легкости их
применения, наглядности и простоте — принадлежит так
называемой машине Тьюринга и понятию нормального
алгорифма, введенному А. А. Марковым1. При помощи
определения нормального алгорифма А. А. Марков и получил
свои многочисленные результаты, относящиеся к
доказательствам несуществования тех или иных алгорифмов.
1 Очень интересное топологическое определение алгоритма,
теория которого более детально разработана В. А. Успенским,
принадлежит А. Н. Колмогорову.
188
Само собой разумеется, что результаты и Новикова,
и Адяна, опирающиеся, кстати сказать, на некоторые
результаты Маркова, стали возможны лишь благодаря
тому, что в математической логике было дано точное
определение алгоритма и разработана — наиболее полно
А. А. Марковым1 — теория алгорифмов.
•Ситуация, аналогичная той, которая имеет место с
определением алгоритма, возникает и в ряде других
случаев. Когда теорема доказана, никто не сомневается в
том, что соответствующее предложение есть теорема. Но
если предложение упорно не удается доказать, то встает
вопрос о его доказуемости, о его праве вообще
называться «теоремой». А для ответа на такой вопрос
нужно иметь четкое определение понятия «теорема». Нужно
знать, что такое «теорема» вообще, что вообще значит
«доказать теорему». Попытки дать удовлетворительный
ответ на эти вопросы содержатся в работах многих
современных представителей математической логики (Тар-
ского, Клини и др.).
Аналогично обстоит дело с вопросами о том, что такое
«задача», что значит «решить задачу».
Все эти вопросы относятся к математической логике
и возникают в последней, когда речь идет о трудных
вопросах или задачах самой математики или ее
обоснования, когда приходится задумываться над причиной
упорных неудач в их решении. В таких случаях к
рассмотрению привлекаются не только те предметы, к
которым эти вопросы относятся, но и те средства обращения
с этими предметами, которыми располагает математика:
предметом изучения становится структура самой
математической теории.
Теория, предметом изучения которой является
некоторая другая теория, называется метатеорией. В
развитии математической логики важнейшее значение
принадлежит именно проблемам метаматематики — одной из
наиболее развитых к настоящему времени метатеорий.
Но какое отношение эти проблемы могут иметь к
вопросам техники или теории машин?
§ 4. Чтобы ответить на этот вопрос, мне придется
начать издалека, с глубокой древности.
1 См. А. Л. Марков. Теория алгорифмов. — «Труды
Математического ин-та им. В. А. Стеклова», 1954, т. XLII.
189
Уже на самой заре своего возникновения и развития
математика имела дело с вещами особого рода: с
зарубками, палочками, костями — вообще с объектами, из
которых можно эффективно образовывать множества и
оперировать с этими множествами: складывать,
вычитать из одних другие, подразделять на части и т. п.
И притом оперировать так, что эти операции могут быть
выполнены всегда по одному и тому же плану
(программе), т. е., что они носят алгоритмический характер.
Поэтому для облегчения их выполнения люди еще в давнее
время смогли придумать разные вспомогательные
инструменты: абак, китайские и русские счеты и многие
другие. Этого рода объекты по праву могут быть названы
конструктивными объектами. И сами они и их множества
легко порождаются на практике, и операции с этими
множествами носят также эффективный характер.
В геометрии положение обстоит несколько более
сложно. Однако и здесь мы имеем дело с объектами,
которые порождаются эффективно при помощи некоторых
инструментов. Вспомним, что геометрия Евклида, как
она изложена им в «Началах», есть, как известно,
геометрия циркуля и линейки — геометрия задач на
построение при помощи циркуля и линейки. Задачи,
которыми занимается Евклид, суть, так же как и в арифметике,
массовые задачи в том смысле, что ищется общий метод,
позволяющий решить по одному и тому же плану
(программе) любую из задач некоторого рода (некоторого
класса задач). Так, в «Началах» Евклида требуется,
например, найти прием (программу действий, алгоритм),
который позволил бы разделить любой отрезок пополам,
провести (на плоскости) из любой точки, лежащей вне
данной окружности, касательные к этой окружности,
и т. д., и т. п. Для облегчения задачи составить такую —
совершенно общую — программу действий производится
некоторая идеализация. Предполагается, например, что
мы имеем дело не с каким-нибудь данным куском
плоскости, а с таким, который всегда можно по произволу
увеличить (так именно обстоит дело у самого Евклида);
что точка вообще не имеет никаких измерений, что
циркуль и линейка — это идеальные циркуль и линейка, при
помощи которых можно соединить прямой линией любые
две точки пространства или описать окружность сколь
угодно большого или сколь угодно малого радиуса. Но
190
в таком случае алгоритм решения массовой задачи,
например какой-нибудь из упомянутых нами выше,
приобретает уже не абсолютный, а относительный характер:
он решает данную задачу эффективно, если эффективно
решаются задачи, принятые с самого начала за
решенные нашим допущением о существовании идеальных
циркуля и линейки. Он является так называемым
алгоритмом сводимости. «Решить задачу» теперь означает
свести ее решение к (конечной) последовательности
шагов, каждый из которых представляет одну из задач,
принятых за решенные.
Напомним еще раз, что допущение о существовании
идеальных циркуля и линейки могло быть сделано
(непосредственно) в целях облегчения и обобщения задачи,
для того чтобы не надо было для каждых данных
циркуля, линейки и куска плоскости составлять особую
геометрию и особые правила решения задач1. Но со всякой
такой идеализацией неизбежно связаны трудности,
которые не замедлили обнаружиться уже в античной
древности в виде парадоксов Зенона или открытия
несоизмеримости диагонали идеально точного квадрата2 с его
стороной: трудности связаны с математической
бесконечностью, в том или ином виде неизбежно входящей в
математику вместе со всяким общим (с абстракцией) и с
идеализацией. Именно этими трудностями и
обусловлена, начиная еще с античной древности, т. е. с момента
возникновения первых математических теорий, задача
обоснования математики. Уже в этих первых теориях
математика выступает как некоторое единство
конструктивных (эффективных) и неконструктивных (эффективно
не всегда осуществимых) предметов и операций с ними.
Такой характер она сохраняет на протяжении всей своей
истории. В самой абстрактной теории множеств, где
принимается за решенную — в применении к
бесконечному множеству — любая задача, которую можно было бы
решить путем (заведомо неосуществимого) перебора всех
элементов множества. Даже в этой теории множеств то-
1 С этим уже связано, однако, то обстоятельство, что таким
образом лучше выявляется более глубоко лежащее математическое
существо дела.
2 Такой квадрат обязательно существует при наличии
идеальных циркуля и линейки, соответствующих требованиям геометрии
Евклида, сформулированным еще самим Евклидом в виде
постулатов в его «Началах».
19И
же есть некоторые конструктивные моменты. Теоремы, в
доказательстве которых употребляются и столь
неэффективные предложения, как, например, пресловутая
аксиома выбора, тем не менее эффективно проверяемы: если
эта аксиома верна, то должно быть верно и вытекающее
из нее следствие. Само доказательство при этом
является конструктивным предметом, настолько поддающимся
проверке, что, когда математик утверждает, что теорема
им доказана, никто не сомневается в том, что можно
либо безапелляционно установить правильность
предложенного доказательства, либо конкретно указать
допущенную в нем ошибку.
Чтобы разобраться в том, что такое математика, как
происходит ее развитие, что значит «решить задачу» или
«доказать теорему», естественно обратиться к сущности >
конструктивных предметов математики и выяснить, как
происходит постепенно—исторически и
логически—внедрение в нее неконструктивных элементов, в чем именно
состоит столь характерное для математики единство
конструктивного и неконструктивного.
§ 5. Наилучшим аппаратом для изучения конструк- .
тивных элементов математики является теория
алгоритмов (как уже было отмечено, в этой теории советским
математикам принадлежит ряд заслуг первостепенной
важности). Но, как известно, самое основное понятие
этой теории — понятие алгоритма — может быть
определено в терминах общей теории машин дискретного
действия как «машина» Тьюринга. В терминах теории
машин определял это понятие и Э. Пост. Я думаю, что это
не случайно. Недаром конструктивные моменты
математики с самого возникновения этой науки были связаны
с теми или иными приборами и инструментами. Не
случайно, на мой взгляд, и то обстоятельство, что теорий1
автоматов (конечных или «машин» Тьюринга)
оказывается тесно связанной и с общей теорией логических
исчислений; что логические исчисления в свою очередь
оказываются применимыми в технике и, наоборот,
техника оплодотворяет проблематику логических
исчислений. Но об этом подробнее впереди. Сейчас для нас
существенно только, что теория алгоритмов органически,
естественно связана с теорий автоматов.
Характерное для математики единство
конструктивного и неконструктивного находит выражение прежде
192
всего в так называемых алгоритмах сводимости.
Изучение последних имеет поэтому особое значение и не
случайно становится одним из самых увлекательных и
трудных разделов современной математической логики.
Заметим, что и здесь советским математикам принадлежит
ряд крупных достижений. Таково прежде всего решение
учеником П. С. Новикова А. А. Мучником очень важной
для всей математической логики знаменитой проблемы
сводимости Поста, упорно не поддававшейся усилиям
математиков. Таков ряд важных результатов Б. А. Трах-
тенброта и А. В. Кузнецова. Такова предложенная
учеником А. Н. Колмогорова Ю. Т. Медведевым теория
степеней трудности массовых задач (в смысле Медведева),
основанная на принадлежащем ему обобщенном
определении термина «массовая задача» и соответствующем
установлении смысла того, что значит «решить массовую
задачу», а также «свести» решение одной массовой
задачи к решению другой (или других). Такова
разработанная В. А. Успенским общая теория вычислимых
операций над множествами.
Перевод теории алгоритмов сводимости на язык
теории машин и связь с последними (хотя бы
идеализированными), естественно, не представляются уже столь
само собой разумеющимися, как это имеет место в
отношении теории алгоритмов или теории рекурсивных
(вычислимых) функций. Однако и здесь существенно
отметить наличие уже сейчас ряда исследований *,
относящихся к так называемым вероятностным машинам, т. е.
машинам со случайными элементами, возможности
которых, по сравнению с машинами Тьюринга, становятся
ясными в свете теории алгоритмов сводимости.
§ 6. Если правильно заключение, которое мне
хотелось бы сделать из уже изложенного и которое состоит
в том, что не случайна органическая связь основной
проблематики математической логики с теорией
автоматов, то становится однозначным и ответ на второй из
поставленных в начале доклада вопросов: правомерно ли
говорить о технических приложениях именно
математической логики, а не алгебры? Ведь из этого заключения
с неизбежностью следует, что правомерно; что, более
того, подлинное существо дела в общей теории машин
вскрывается именно средствами математической логики,
1 См., например, «Автоматы». М., 1956, стр. 242—278.
7 С. А. Яновская
193
Конечно, из этого отнюдь не следует, будто другие
математические науки не имеют отношения к теории
машин. Ведь и сама математическая логика связана со
всеми другими областями математики: и с теорией
множеств, и с алгеброй, и с топологией, и с математическим
анализом, и со многими другими, результаты и методы
которых она использует. Но особое значение для
автоматики имеет все же математическая логика, как
таковая, а не просто как некоторая алгебра. В дополнение
к общим соображениям, приведенным выше, я сейчас
попытаюсь пояснить это на нескольких примерах.
Известно, что задачи анализа и синтеза контактных
схем, содержащих только
параллельно-последовательные соединения, решаются при помощи аппарата
исчисления высказываний. Если, однако, схема
содержит.помимо параллельно-последовательных мостиковые
соединения, то аппарата исчисления высказываний («булевой
алгебры логики») оказывается, как известно,
недостаточно. Естественно, встает вопрос, нельзя ли так усилить эту
алгебру, чтобы она уже была в состоянии охватить как
параллельно-последовательные, так и мостиковые
соединения, чтобы с ее помощью можно было столь же проста
и легко решать задачи анализа и синтеза мостиковых
схем, как это делается с помощью булевой алгебры для
схем с одними только параллельно-последовательными
соединениями. Попытки отыскать такую алгебру были
действительно предприняты. Однако безуспешно. В чем
же дело? В плохом знакомстве техников с алгеброй или
алгебраистов с техникой?
Средствами математической логики А. В. Кузнецов
показал, что дело не в этом, что вообще невозможно так
усовершенствовать обычный булев аппарат алгебры
логики (добавив к нему конечное число операций), чтобы
он стал содержать средства, достаточные для
адекватного описания строения не только
параллельно-последовательных, но и мостиковых схем (адекватного в
определенном смысле, предГюлагающем, что математический
аппарат, описывающий какое-либо устройство, не должен
быть намного сложнее самого этого устройства). Я не
имею возможности более полно осветить здесь результат
А. В. Кузнецова; замечу только, что с его помощью
выявляется конкретная причина неудач поисков простой
алгебры, пригодной и для мостиковых соединений.
194
Второй пример относится к теории конечных
автоматов, развитой в статьях Клини и Медведева в сборнике
«Автоматы». Речь идет о принадлежащем Б. А. Трах-
тенброту усилении (и упрощении) основного результата
этой теории, относящегося к вопросу о реализуемости
операторов посредством конечных автоматов.
Когда автомат уже построен, то его анализ дает
описание реализуемого в нем оператора в виде некоторой
системы уравнений определенного вида. Наоборот,
задача синтеза автомата, реализующего нужный оператор;
немедленно решается заданием такой системы
уравнений. Однако описание, задающее оператор, например
обычное словесное, может быть отнюдь не этой формы.
Если бы можно было придумать алгоритмический прием,
который позволил бы переводить любое задание
оператора в нужную форму, то вопрос о реализуемости
оператора конечным автоматом (задача синтеза последнего)
был бы полностью решен. Ясно, что в общем случае
такого рода алгоритм заведомо не существует. Однако,
если учесть, что при описании конечных автоматов
существенной свободной переменной является только
время, и притом такое, которое можно предполагать для
каждой данной задачи ограниченным сверху (по
существу можно ограничиться даже отрезком времени), то иа
всех возможных описаний оказывается естественным
выделить класс описаний, формализуемых средствами
логического исчисления одноместных предикатов, но уже
не узкого, а расширенного: с кванторами по предикатам,,
но зато лишь с ограниченными кванторами по
предметным переменным. Для формул этого исчисления, как
показал Б. А. Трахтенброт, можно построить алгоритм,
переводящий их в эквивалентную систему уравнений
нужной формы, т. е. решить полностью вопрос о
реализуемости конечным автоматом. Ясно, что здесь именно
логика (а не алгебра) относится к делу по самому существу
его. Ведь речь идет о логическом анализе описания
оператора, высказанного, например, словесно. Формула
логического исчисления, формализующая это описание,
представляет собой не что иное, как результат такогог
логического анализа, выраженный средствами,
приспособленными именно для целей логики, с помощью
логических связок, предикатов и кванторов.
Третий пример (точнее, ряд примеров) я хочу заим-
7*
195
ствовать опять из теории контактных схем. Как
известно, для этой теории, в связи с ее практическими
приложениями, особую роль играет вопрос о контактных
«схемах релейного действия с минимальным числом кон-»
тактов. (Замечу, что в этой области, в разработке
которой — после трудов Шеннона — принимали участие
советские математики Г. Н. Поваров, О. Б. Лупанов и
другие, наиболее сильный результат, окончательно
решивший вопрос, поставленный Шенноном, — асимптотически
точная оценка минимального числа контактов схемы,
реализующей «наихудшую» из булевых функций от п
переменных, — был получен в 1957 г. молодым советским
ученым О. Б. Лупановым). Но в связи с такого рода
задачей возникает и ряд проблем, принадлежащих уже
к собственной области математической логики. Таковы
прежде всего вопросы о сокращенной нормальной форме
для формул исчисления высказываний и способах
получения из нее минимальных (по числу знаков)
выражений, которыми за рубежом занимались Куйан, Нельсон
и другие, а из наших логиков — С. В. Яблонский и его
ученики А. В. Кузнецов, Е. К. Войшвилло; об упрощении
записи условий, которым должна удовлетворять
синтезируемая релейная схема (а следовательно, и об
упрощении структурной формулы схемы) с помощью учета
неиспользуемых состояний (В. Н. Рогинский); а также
связанные с задачами минимизации числа контактов в
схеме вопросы систематики булевых функций и изучения
классов функций, особенно удобных для описания
условий работы релейных схем, наиболее часто
встречающихся на практике, каковы класс функционально
разделимых булевых функций, изученный Шенноном и
Г. Н. Поваровым, класс симметрических булевых
функций (Шеннон, Поваров, В. Н. Рогинский, А. В. Кузнецов
и др.), класс особенных и совершенно особенных
функций (Г. Н. Поваров). Именно так, например, возник ряд
интересных результатов в области исчисления
высказываний, связанных с представлением функций алгебры
логики через симметрические или им подобные (Г. Н.
Поваров, В. Н. Рогинский, А. В. Кузнецов). Таков и вопрос
о минимизации числа отрицаний в формулах исчисления
высказываний, которым занимался А. А. Марков. Таковы
вопросы, возникающие в связи с необходимостью
отразить в описании релейной схемы специфическую роль
196
реле по отношению к контактам (В. Н. Рогинский,
Т. Л. Майстрова). Таков ряд вопросов, связанных с
многозначными логиками (у нас ими занимались В. И. Ше-
стаков, С. В. Яблонский, А. В. Кузнецов и др.).
Заметим, что во всех этих вопросах речь идет прежде
всего о форме некоторого символического выражения
(формулы) логического исчисления; о замене одного
выражения, возникающего непосредственно в результате
логического анализа описания схемы, другим,
удовлетворяющим определенным требованиям, но в то же время
эквивалентным первому логически. Суть дела, таким
образом, именно в логическом анализе описания схемы
(предъявляемых к ее действию требований) и
логических преобразованиях результатов этого анализа.
Мне представляется в связи с этим необходимым
напомнить здесь, что наши заслуженные советские
работники в области теории схем релейного действия,
такие, как М. А. Гаврилов и В. И. Шестаков, не побоялись
связать свои работы с математической логикой еще в те1
времена, когда эта наука отнюдь не пользовалась
популярностью ни у математиков, ни у техников.
§ 7. В заключение 'позволю себе привести еще
некоторые соображения в пользу важности, необходимости
даже, не только алгебры, но и логики для техники.
Именно логики, как таковой, с характерной для логики
проблематикой. Дело в том, что до сих пор мы говорили
только об определенных логических исчислениях:
исчислении высказываний, исчислении предикатов. Но в
современной математической логике есть ряд разделов,
относящихся к общей теории логических исчислений, к
вопросам о предмете и его имени, о знаке — его значении
и смысле, о синонимах, т. е. словах с одинаковым
смыслом, о таких вспомогательных знаках, как, например,
скобки; разделов, относящихся к понятиям истины,
логического следствия, вывода (из посылок) и
доказательства; ко многим другим вопросам, близким к проблемам
общей (философской) логики или языкознания, но,
казалось бы, совсем не имеющим отношения к вопросам
техники. Мне хотелось бы несколько остановиться на
опровержении такого представления.
Семиотика (наука о знаке и его значении) заведомо
относится к области логики. Но вопросы кодирования и
перекодирования имеют самое непосредственное отноше-
197
ние к теории автоматов. Так, программы для автоматов
приходится кодировать и для этого требуется выбирать
систему обозначений. Не говорю уже специально о
машинах, систематизирующих информацию или
осуществляющих перевод с одного языка на другой. Но как
поступить, если машина, например, должна уметь
составить более сложную программу, комбинируя уже
имеющиеся в ней простые программы, с тем чтобы затем
самой же осуществить работу по новой программе? Ведь
ей во всяком случае придется выбрать код для этой
новой программы, а может быть, частично перекодировать
и старые. Как осуществить это наилучшим образом?'
Как вообще взяться за это? Ясно, что тут неизбежно
возникает ряд вопросов, относящихся к области наукц о*
знаках и их значении.
Логические вопросы, в каком-то смысле близкие к
лингвистике не только по терминологии («алфавит»,,
«слово», «язык»), но и по проблематике (вопрос о
смысле «слова», об образовании сложных «слов» из простых,,
о переводе на другой «язык», о частях «слова» и др<),.
могут иметь непосредственное отношение к теории
машин и к способам практического их осуществления. Не
случайно именно в лингвистических терминах
(«алфавит», «слово») формулируется и теория нормальных
алгорифмов Маркова. Правда, с «алфавитом» и «словом»-
мы имеем дело и в современной алгебре. Однако общая*
теория «алфавитов», «букв», «слов» в формализованных,
«языках» относится не к области алгебры, а к
математической логике и связанной с ней математической
лингвистике, которой успешно занимаются А. А. Марков,.
В. А. Успенский, Р. Добрушин и ряд лингвистов,
особенно учеников А. А. Ляпунова.
Тема, о которой мне пришлось здесь говорить,
практически неисчерпаема. Об очень и очень многом, весьма
важном и значительном в развитии математической
логики и ее технических приложениях мне не удалось даже
упомянуть.
Но основные положения, в защиту которых мне здесь
хотелось выступить, представляются мне лично ясными1
до тривиальности. Будем же ратовать за то, чтобы
техники все больше и лучше овладевали математической*
логикой, а математические логики все больше и лучше?
работали в области технических приложений.
О ФИЛОСОФСКИХ ВОПРОСАХ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ *
1. Философские вопросы есть, конечно, во всякой науке.
Однако известно, что специалисты разных областей
знания старательно избегают вопросов этого рода. «Для
того, чтобы заниматься математикой, мне совсем не
требуется знать, что такое математика, — говорит иногда
такой специалист-математик, — ведь этот термин не
фигурирует ни в каких математических теоремах или
определениях, и мне им не приходится пользоваться».
Философские взгляды ученого поэтому нередко
содержатся в его работах лишь неявно. Но и в кругах
философов часто заметно желание отгородиться от
необходимости более специально ознакомиться с конкретными
вопросами другой науки, представить дело так, будто
специальные вопросы других областей знания никак не
могут интересовать философов.
Занимаясь логикой, нельзя, однако, избежать
философских вопросов: не случайно виднейшие специалисты
в области современной, т. е. математической, логики
вербуются как из числа математиков, так и из числа
философов.
Каковы философские вопросы математической
логики? В этой краткой заметке я не собираюсь давать
сколько-нибудь полный обзор философской проблематики,
относящейся к математической логике. Не берусь и
выделять какие-нибудь из вопросов этого рода как особенно
важные или интересные. Я просто хочу показать, что
такая проблематика существует и что нельзя заниматься
математической логикой, не обращаясь к ней. Нашим
философам поэтому нельзя уклоняться от необходимости
готовить кадры таких специалистов, которые могут
квалифицированно, т. е. на основе специальной работы над
вопросами математической логики, разобраться в этой
проблематике с точки зрения диалектического
материализма.
1 Статья опубликована в работе «Проблемы логики». М„ 1963.
199
2. Философские вопросы математической/логики
относятся прежде всего к кругу задач, связанных с
предметом и методом этой науки. Как известно, точность
математики объясняют тем, что математические
доказательства носят строго логический характер. С другой
стороны, задача математической логики состоит как раз в том,
чтобы сделать логику точной наукой, применяя к ней
методы математики. Нет ли тут круга? Вопрос о
соотношении математики и логики представляет вообще
философскую проблему, вокруг которой ведутся горячие споры
как между представителями различных идеалистических
направлений в области философских вопросов
математики (логицизма, интуиционизма, формализма,
конвенционализма и др.), так и прежде всего между
материализмом и идеализмом.
Трудность здесь — как всегда при возникновении
такого рода «кругов» — разрешается при помощи критерия
практики. Суть дела можно коротко изложить так:
в своей практической деятельности люди научаются
подмечать аналогичное, повторяющееся в самых различных
явлениях, вещах и поступках, чтобы сознательно
повторять некоторые операции в целях достижения нужного им
результата. Именно эта миллиарды раз повторяющаяся
практика оперирования с некоторыми объектами и
соответствующими им (их свойствам и отношениям)
понятиями научает людей делать логические
умозаключения, достаточные для нужд исторически возникающих
областей науки, в том числе и математики. Дальнейшее
развитие последних бывает, однако, связано с такими
трудностями, для преодоления которых приходится
возвращаться к началам науки, к самым ее основаниям. Так
были созданы, например, неевклидовы геометрии.
Возвращение происходит, однако, не на пустом месте: при
этом используется все богатство уже достигнутой ступени
в развитии науки, но используется критически — со
строгим анализом тех средств, понятий и методов,
посредством которых оно было приобретено.
Именно так обстоит дело и в отношении логических
средств, используемых в математике. При помощи
средств логики, еще не очень глубоко
проанализированных, были созданы научные методы математики,
оказавшиеся на практике (в том числе и в применении к
теоретическим проблемам самой математики) весьма
200
плодотворными. Дальнейшее развитие математики
потребовало, однако, уточнения (и усиления) средств
логики.
Так, если математику удалось решить какую-нибудь
задачу или доказать теорему, то для проверки
правильности этого решения или доказательства обычно не
требуется уточнения того, что значит «решить задачу» или
«доказать теорему». Но если какое-нибудь предложение-
вроде континуум-гипотезы в теории множеств или
утверждения о непротиворечивости арифметики упорно не
удается ни доказать, ни опровергнуть или какая-нибудь
задача вроде ставшей знаменитой еще в древности
задачи о квадратуре круга, неразрешимость которой была
окончательно установлена лишь в 80-х годах прошлого*
века1, упорно не поддается усилиям математиков, то-
возникает вопрос, разрешима ли вообще эта задача,
можно ли вообще доказать или опровергнуть это
предложение.
Чтобы ответить на эти вопросы с такой же строгостью
и точностью, с какой доказываются математические
теоремы, приходится задумываться над тем, что значит
«решить задачу» (вообще или специально данную), что
значит «доказать теорему», как уточнить эти понятия так,
чтобы на интересующие нас вопросы получить
однозначный ответ «да» или «нет». И притом получить его такг
чтобы правильность этого ответа можно было
материально проверить; так проверить, как проверяется всегда
правильность выполнения математических операций, о
которых Энгельс писал, что они допускают «материальное
доказательство, проверку, — так как они основаны на?
непосредственном материальном созерцании, хотя и
абстрактном», чем и объясняется «положительная
достоверность, присущая математическим действиям...»2.
Приходится, следовательно, пользуясь уже
разработанными средствами математики, уточнять понятия и
методы логики, чтобы при их помощи решать более трудные
задачи математики и логики, и так идти вперед все
далее и далее, совершенствуя математику средствами логи-
1 В 1882 г. Линдеман доказал трансцендентность числа я,
откуда и следовала невозможность построения циркулем и линейкой;
квадрата, равновеликого кругу.
2 К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 20, стр. 631.
201
ки и логику средствами математики (в которой логика
играет столь большую роль).
3. В настоящее время почти нет ни одного понятия (и
термина) логики, анализ и уточнение которого не
оказались бы необходимыми для того, чтобы справиться с
возникающими в математике или логике трудностями,
опираясь на достигаемую при помощи такого уточнения
возможность сделать некоторые утверждения строго
математически проверяемыми.
Таковы прежде всего утверждения о существовании
тех или иных абстрактных объектов математики, вокруг
истолкования которых идут еще более оживленные
дискуссии между представителями различных направлений
в области философских вопросов математики и логики,
чем вокруг более общего вопроса о соотношении
математики и логики. В частности, здесь возродились на новой
основе старые, относящиеся еще к временам
средневековой схоластики споры о природе универсалий, ведущиеся
между современными реалистами (А. Чёрч, К. Гёдель)
и номиналистами (В. Куайн, Н. Гудмен).
Материалистическое решение вопроса о конструктивном истолковании
математических суждений, в формулировку которых
входит квантор существования (в том числе и после
квантора общности, т. е. в виде: «для всякого х существует у
такое, что...»), с исчерпывающей полнотой проведено в
трудах Н. А. Шанина х.
Особые трудности в математике и математической
логике связаны с так называемыми чистыми
доказательствами существования, правомерность которых
отрицается конструктивными направлениями в математике и
математической логике (в том числе и очень успешно
развивающейся советской школой А. А. Маркова и его
учеников — Н. А. Шанина, И. Д. Заславского, Г. С. Цей-
тина и др.).
Не отрицая правомерности сомнений в допустимости
чистых (т. е. не содержащих указаний на способы
построения или вычисления) доказательств существования
абстрактных объектов математики и логики (заведомо
не существующих, как таковые, в окружающем нас
мире), Д. Гильберт, его ученики и последователи направи-
1 См. Н. А. Шанин, О конструктивном понимании
математических суждений. — «Труды Математического ин-та им. В. А. Стекло-
ва», т. LII, 1958, стр 226—311.
202
ли свои усилия на то, чтобы оправдать лежащее в основе
«чистых» доказательств существования применение
закона исключенного третьего к утверждениям о бесконечных
множествах или, что сводится к тому же, применение
абстракции актуальной бесконечности, доказав, что
такое применение никогда не приведет к нелепости,
например, к выводу, что 1 =0. Как известно, эти попытки
Гильберта раз навсегда обосновать математику, доказав ее
непротиворечивость, не увенчались успехом. Больше
того, после известных теорем Гёделя о неполноте
формализованной арифметики и недоказуемости
непротиворечивости формальной системы средствами, которые не
выходят за пределы этой же системы 19 попытки эти
были оставлены вообще как бесперспективные. Однако
«классическая» (т. е. свободно пользующаяся
абстракцией актуальной бесконечности) теория множеств играет
настолько большую и плодотворную роль в современной
математике (в которой она, кстати, практически никогда
не приводит к противоречиям), что большинство
математиков и математических логиков в своих работах
пользуются ею. Предпринимаемые чаще всего
представителями математической логики попытки оправдать
правомерность такого поведения состоят в создании
аксиоматических теорий множеств, где известные противоречия
(антиномии), обнаруженные в этой науке, заведомо не
возникают.
Прежде чем мы перейдем к этому кругу вопросов,
заметим еще, что советская школа математических
логиков, допускающих абстракцию актуальной
бесконечности, возглавляется П. С. Новиковым, учениками которого
являются С. И. Адян, А. А. Мучник, Б. А. Трахтенброт и
многие другие (в известной мере также В. А. Успенский
и А. В. Кузнецов), и что разногласия между школами
А. А. Маркова и П. С. Новикова относятся не к исходным
принципам диалектического материализма, а к
специальному вопросу о том, какими именно абстракциями
(и как?) можно пользоваться в математике и логике.
С точки зрения автора, конструктивные направления
в математике и логике имеют не меньшее значение для
развития этих наук, чем создание неевклидовых
геометрий для развития геометрии. В свете конструктивного
Т. е. средствами, формализуемыми в этой же системе.
203
подхода к понятиям и методам математики и логики в
них обнаруживаются такие черты, которые, иначе
оставались бы неразличимыми. В применении же к
какому-нибудь данному кругу задач вопрос о допустимости тех
или иных видов абстракции (и идеализации) должен
решаться конкретно: путем установления способов,
позволяющих не только вводить те или иные абстрактные
объекты (вообще абстрагироваться от чего-либо), но и
исключать (реализовать, восполнять) введенные для
построения теории абстрактные предметы, их
(«идеализированные») свойства и отношения, без чего применение
теории на практике попросту невозможно (Гегель, как
известно, зло смеялся над теми, кто хотел есть именно
плод, как таковой, а не какие-нибудь конкретные вишни,
яблоки, груши) 1.
4. Круг философских проблем математической
логики, относящийся к аксиоматике формальных систем и
исчислений, имеет значение не только в связи с
обоснованием теории множеств. Если возможны различные
логические исчисления (классическая и конструктивная
логики, которые в свою очередь могут строиться по-разному,
различные исчисления строгой и сильной импликации,
многозначные и модальные логики, комбинаторная
логика Шейнфинкеля-Карри, исчисления Х-конверсии Чёрча
и многие др.), то, естественно, возникает вопрос о том,
как выбираются системы аксиом для этих исчислений.
Представители неопозитивизма на этот вопрос
обычно дают ответ в духе конвенционализма: каждый человек
волен выбирать для себя свою логику (ее аксиомы и
правила вывода), вопроса об оправданности такого выбора
не существует («принцип терпимости» Р. Карнапа,
особенно в его старых формулировках, относящихся к тому
периоду творчества этого ученого, когда он сводил
математическую логику к вопросам синтаксиса некоторого
языка и еще «не замечал» задач, связанных с
проблемами истинности, смысла и значения, — задач семантики).
В кругах других представителей математической логики
такая установка не могла, однако, встретить сочувствия.
Уже создатель первой теории математического доказз-
1 Специально вопросам о способах введения и исключения
абстрактных объектов и понятий был посвящен доклад автора на
международном коллоквиуме по методологии наук в Варшаве
(сентябрь 1961 г.).
204
тельства Гильберт, пришедший к ней, по существу
исходя из потребностей развитого им аксиоматического
метода, писал, что намеченной им программой формализации
математических доказательств был предрешен выбор
аксиом для его теории доказательства, что вообще «при
выборе, трактовке и употреблении аксиом и правил мы
не хотим зависеть только от доброй веры и слепого
доверия» 1.
Наиболее крайнюю позицию в этом вопросе,
состоящую в отказе вообще от аксиоматического построения
логики, занимает немецкий математический логик П. Ло-
ренцен. «С помощью подходящих аксиом, — пишет он,—
можно, правда, все, что угодно, доказать, но ничего
нельзя обосновать»2. Различие между «логиками»
обусловливается не различием в выборе аксиом, а различием
предмета. Предмет силлогистики Аристотеля отличен от
предмета логики диспутов средневековых схоластов, от
предмета оперативной логики Лоренцена,
представляющей собой общую теорию любых исчислений, от
предмета формальной логики как науки о формальном выводе
одних форм высказываний из других. Свойствами
предмета той или иной «логики» определяются некоторые
общие принципы (законы), содержательно верные в
применении к рассматриваемой в ней области объектов
и позволяющие заменить все «аксиомы» определениями
и доказательствами (причем «доказательство»
понимается, конечно, не в смысле «вывода в некоторой
аксиоматической теории») 3.
О том, что содержательный (диалектический) анализ
аксиом Евклида, служащих у него дополнением к
определению величины, выявил бы их необходимость (мог бы
служить их доказательством, обоснованием), еще
задолго до Лоренцена писал Ф. Энгельс4.
Вообще с точки зрения диалектического
материализма «принципы — не исходный пункт исследования, а его
заключительный результат...»5. «Практическая деятель-
1 Д. Гильберт. Основания геометрии. М., 1948, стр. 364.
2 P. Lorenzen. Die Widerspachsfreiheit der klassischen Analysis. —
«Math. Zs.», Bd. 54, Heft 1, 1954, S. 1.
8 A Lorenzen. Einftihrung in die operative Logik und Mathematik.
Berlin—Gottingen—Heidelherg, 1955, S. 28.
4 См. К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 20, стр. 572.
5 Там же, стр. 34.
205
ность человека миллиарды раз должна была приводить
сознание человека к повторению разных логических
фигур, дабы эти фигуры могли получить значение
аксиом»1,— писал В. И. Ленин.
Но после того как аксиомы выявлены, дальнейшее
развитие науки может происходить уже путем
«оборачивания метода» (К. Маркс. «Математические рукописи»),
когда вторичное (аксиоматика) выступает как
первичное, и новая система логики строится путем изменения,
добавления или отбрасывания тех или иных аксиом,
аналогично опять-таки тому, как это имело место при
создании неевклидовых геометрий, к первой из которых
Н. И. Лобачевского привело, как известно, именно
желание разобраться в основах геометрии: освободить
геометрию Евклида от произвольных допущений, от таких
аксиом, выбор которых не является достаточно
обоснованным. Создание различных логических систем, в том
числе и строящихся аксиоматически, и выяснение^ связей
между ними в действительности так же не дает
оснований для «выводов» в духе конвенционализма, как и
создание неевклидовых геометрий.
5. К числу философских проблем, имеющих
непосредственное отношение к выбору систем аксиом для
аксиоматического построения теории множеств, т. е. для
логического обоснования этой науки, принадлежат
прежде всего вопросы, связанные с многочисленными
попытками «решения» (или исключения) антиномий
(«парадоксов») логического или семантического характера.
Природа этих антиномий по существу не отличается от
природы тех противоречий, которые характерны для
всякой формализации и для преодоления которых
требуется дальнейшее развитие науки. Дело в том, что всякое
познание связано с некоторым огрублением, отвлечением,
очерствлением — будем говорить «уточнением» или «кон-
структивизацией» (в смысле придания им жесткой
формы) — изучаемых объектов. Такое обрезывание
расплывающихся границ помогает лучше выявить центральную
часть изучаемого объекта: его сущность, на которой (в
данной связи) необходимо сосредоточить внимание. Но
если контекст меняется и существенным делается как раз
изучение того, что находится на обрезанной ранее гра-
1 В. Я. Ленин. Поли. собр. соч., т. 29, стр. 172.
206
нице, то старое уточнение становится непригодным:
ведет к противоречиям. Приходится вводить новое
уточнение, опираясь, однако, на то, что было уже достигнуто на
предыдущей ступени развивающегося, таким образом,
по спирали процесса познания.
В применении к антиномиям математической логики
этот процесс происходит обычно следующим образом:
А. Если предложение Р из теории Т оказывается
таким, что Р влечет не-Р, (Я-»~] Я), а не-Р— влечет Р9
(~~\Р->Р), т. е. что в этой теории получается
противоречие, то производится содержательный анализ явно
или хотя бы молча подразумеваемых предпосылок, на
которых строится теория Т и которые в связи с
контекстом, в котором предложение Р может представляться
осмысленным, возбуждают подозрения. Если такой
предпосылкой оказывается X, а в теории Т справедлива так
называемая теорема дедукции, то вместо противоречия
((Р->-}Р)&ПР->Р))
мы получаем
1Х->({/*-»-]Р)&ПР-+Р)))9
откуда следует, что посылка X неверна. Так, например,
если такой предпосылкой X является допущение, что
объекты, о которых идет речь в предложении Р,
достаточно жестко фиксированы, чтобы о них можно было
рассуждать по правилу «А есть Л», то таким образом
получается заключение, что к рассматриваемым объектам
закон тождества неприменим (на этом основан способ
устранения антиномий, предложенный польским логиком
Лесьневским). Аналогично, если в теории Т всякое
введение какого-нибудь нового объекта (новой постоянной)
предполагает аксиому о существовании такого объекта,
то антиномия превращается в доказательство
несуществования этого объекта (и притом даже в том случае,
когда новый объект вводится посредством определения его
лишь через такие постоянные, которые являются
логическими, как, например, связки & , V,->,=,~] и кванторы
общности и существования, — способ Д. А. Бочвара).
Так же обстоит дело в случаях, когда, следуя Дж. фон
Нейману, В. Куайну или К. Гёделю, возникновение
антиномий рассматривается как ведущее к заключению, что
некоторые классы сами не могут быть элементами каких-
207
нибудь классов (и к соответствующему' уточнению
понятий множества, класса и др.).
На первый взгляд может показаться, что под эту
схему не подходит случай, когда антиномия трактуется как
свидетельствующая о том, что в логике нельзя
ограничиться рассмотрением объектов только одного рода,
например, считать все объекты одинаково «хорошими», но
приходится вводить разные категории их, например,
различать «хорошие» и «плохие» объекты, осмысленные и
бессмысленные (примерно на такой точке зрения стоит
X. Карри, отстаивающий в своей «Комбинаторной
логике»1 право на существование и для «плохих»
объектов— «парадоксальных комбинаторов», но
рассматривающий их наличие как доказательство необходимости
вводить в логику некоторые условия, ограничивающие
возможность построения логических постоянных как
комбинаторов). Однако в действительности и в этом случае
антиномия возникает лишь после того, как мы наделяем
наши «комбинаторы», например отрицание,
определенным смыслом (и соответствующими свойствами),
благодаря чему «парадоксальный комбинатор» обращается в
бессмыслицу того же рода, которую мы рассматривали
выше, а посйлка X -может рассматриваться как
гласящая, что этот комбинатор осмыслен. Аналогично обстоит
дело, когда из обнаружения противоречия делают более
общие заключения о необходимости различать вообще
предметы (или предикаты) разных ступеней и типов
(теория типов Б. Рассела); различать разные отношения
принадлежности элемента к классу (принцип конкретизации
Д. А. Бочвара); или, наконец, вводить в логику время,
относя высказывания Р, ~~| Р, снова Р к разным
моментам времени (что исключает антиномию, превращая ее
в некоторый аналог звонка).
Последний способ мне представляется особенно
убедительным, поскольку он в наиболее явной форме
связывает возникновение и разрешение противоречия с
движением, происходящим во времени. Возможны, конечно,
другие способы конкретного выбора посылки X,
опровергаемой той или иной антиномией. Этой многозначности
не приходится, однако, опасаться, поскольку, наоборот,
1 Я. Curry, R. Feys. Combinatory Logic. Amsterdam, 1958, p. 258—
262.
208
она гарантирует возможность лучше приспособиться к
условиям данного контекста. Однако осознанный анализ
возможных предположений X, фактически
действительно используемых при выводе данной антиномии,
безусловно желателен (такой анализ выполнен, например, в
«Логике для математиков» Б. Россера в применении к
известному парадоксу Рассела).
Б. Само по себе выявление посылки X, которая
подлежит устранению или модификации, не есть еще,
конечно, разрешение антиномии. Оно ведет, как это, впрочем,
уже было отмечено в ряде приведенных выше случаев,,
к необходимости построить новую теорию, в которой
действительно не используется уже посылка X и
производится соответствующее уточнение тех или иных понятий,,
аксиом и приемов теории Т. Оно ведет, иными словами,,
к развитию теории, осуществляемому, однако, не на
пустом месте, но подготовленному всем предшествующим
развитием науки — путем, как говорят иногда в таких
случаях в марксистской литературе, диалектического
«снятия» прежней ступени развития теории. В этой связи,
следует особо отметить создание ряда логических и
логико-математических систем, не пользующихся так
называемыми непредикативными определениями, состоящими
в том, что новый (абстрактный) объект вводится через,
некоторое множество объектов, членом которого он
является («порочный круг», подмеченный Г. Вейлем во*
многих определениях классического математического
анализа). Такие системы строятся обычно (см.,
например, работы Лоренцена и Хао Вана по обоснованию
математического анализа) в виде некоторой
последовательности или даже упорядоченного по (конструктивным)
трансфинитным числам множества «пухнущих» систем, в.
котором каждая следующая или предельная система
«снимает» и в то же время включает в себя все, ей
предшествующие.
6. С необходимостью логического анализа и
уточнения, в свою очередь связанного с решением ряда
методологических вопросов, математическая логика
встретилась уже по существу в применении ко всем ее основным,
понятиям, таким, как предмет (особенно
конструктивный), его имя, значение и смысл имени, переменная
(содержательная и формальная переменная, свободная и<
связанная, неопределенная постоянная, переменные:
209
предметная, пропозициональная, предикатная и др.)»
постоянная (особенно логические постоянные, такие, как
связка «если.., то», оператор абстракции и др.); предикат
и математическая функция (особенно вычислимая),
алгоритм, множество и класс, вывод (формальный),
логическое следствие, логическое доказательство, определение
(особенно индуктивное), суждение, предложение,
высказывание, утверждение, отрицание, противоречие (абсурд),
аксиома, теорема, формальная система, исчисление, его
непротиворечивость и полнота, синтаксис, семантика,
интерпретация, модель, аналитическое и синтетическое
суждения (приемлемо ли такое различение? имеет ли
•оно значение для логики?), возможность, необходимость
и другие модальности, и многие другие понятия и
относящиеся к ним термины.
7. О философском значении таких важнейших
открытий в математической логике, как теоремы Гёделя (о
неполноте и непротиворечивости), Чёрча (о
неразрешимости проблемы разрешения для формул исчисления
предикатов), как точные определения алгоритма и
вычислимой функции, мы здесь не будем говорить, поскольку о
них уже много написано в нашей литературе.
Мы отметим еще только, что дискуссии, ведущиеся
вокруг затронутых выше, равно как и других,
философских вопросов математической логики, неизменно
свидетельствуют о неудачах попыток обосновать эту науку,
исходя из идеалистических и метафизических концепций,
и, наоборот, о том, что важнейшие конкретные
результаты, содержащиеся в трудах таких видных ученых, как
Д. Гильберт, Л. В^ауэр, К. Гёдель, А. Чёрч, Б. Рассел
и другие, всегда оказываются основанными на таких
идеях, которые являются — пусть даже вопреки
желаниям авторов — диалектико-материалистическими по
существу.
Можно было бы привести немало конкретных
примеров этого рода. Некоторые из них, кстати, уже имеются
в нашей литературе (см., например, работы Б. В.
Бирюкова, посвященные анализу творчества Г. Фреге, или
•статьи в «Философской энциклопедии», относящиеся к
разделу математической логики). Но анализ их требует
детального обсуждения и должен быть поэтому отложен
до какого-нибудь другого случая, когда автор,
чувствующий себя в долгу перед читателем, сумеет — как он на-
210
деется — удовлетворить законные требования, которые
к нему здесь могут быть предъявлены.
8. Большое число конкретных философских вопросов*
связано вообще с приложением математической логики к
другим наукам и технике, особенно с кибернетическими
приложениями. Я не говорю уже о таких очень
волнующих аудиторию и отнюдь не лишенных практического
интереса вопросах, как вопросы о том, может ли машина
мыслить, что следует вообще понимать теперь под
«машиной», как определить человеческое сознание и
мышление, человеческий разум, — и притом определить не столь
словесно, «поэтично», как это сделано, например, в
«Словаре философских понятий» Эйслера, где разум
(Vernunft) «в наиболее общем смысле слова»
определяется как «то же, что дух (Geist), интеллигентность*
принцип мысли в противоположность чувственности», а
«дух», в соответствующем смысле этого слова, как
«интеллект, сила мысли (разум), вся высшая духовная
жизнь, самоосознанная, активно-целеустремленная
деятельная душа, в противоположность чувственному,
инстинктивному, ассоциативному, психике (der Psyche)»,
а так, чтобы этими определениями можно было
воспользоваться для решения конкретных вопросов о том, как
строить машины, которые так же могут усилить
возможности нашего разума, как телефон усиливает
возможности нашего слуха или микроскоп и телескоп —
возможности нашего зрения.
Очень существенное значение имеет решение
вопросов о том, на каких принципах должна строиться логика,
соответствующая потребностям теории конечных
автоматов. Может ли ею оставаться обычная «классическая»
логика с законом исключенного третьего и допущением
абстракции актуальной бесконечности? Или тут следует
пользоваться конструктивной логикой, основанной лишь
на абстракции потенциальной осуществимости? Или,
быть может, и это отвлечение «от реальных границ
наших конструктивных возможностей, обусловленных
ограниченностью нашей жизни в пространстве и во
времени»2, отвлечение, позволяющее нам рассуждать, напри-
1 Другие «смыслы» этих терминов Эйслер «разъясняет» в том
же духе.
2 А. А. Марков. Теория алгорифмов. — «Труды Математического
ин-та им. В. А. Стеклова», 1954, т. XLII, стр. 157.
211
мер, о любых конечных последовательностях (о сколь
угодно длинных «словах» вообще) как о практически
осуществимых, является для такой теории слишком
сильным допущением? Ведь фактически его можно
истолковать как разрешение допускать, что наша жизнь может
длиться сколь угодно долго и в нашем распоряжении
может быть столько бумаги и чернил, сколько заведомо не
уместится на земном шаре или даже во всей нашей
Галактике.
Может быть, поэтому нужно строить логику,
основанную на предложении академика А. Н. Колмогорова
различать как обладающие,существенно разными
качествами три категории чисел: малые, средние и большие,
трактуя проблемы, которые не могут быть решены без
большого перебора, как остающиеся «за пределами
возможностей машины на любой сколь угодно высокой
ступени развития техники и культуры»!.
Возможно, здесь, наконец, имеет смысл разработать
некую «серую» — в отличие от «черно-белой»,
работающей по принципу «да-нет», — логику, за необходимость
которой на симпозиуме по проектированию машин,
имитирующих поведение человеческого мозга, в 1956 г. так
решительно ратовал Отто Г. Шмитт. Он говорил:
«Развивая мое первоначальное утверждение, что современные
цифровые вычислительные машины представляют собой
металлические воплощения элементарной прямолинейной
школьной логики и соответствующих формальных
операций элементарной математики, я должен, по-видимому,
предложить физиологические факты, основываясь на
которых мы могли бы построить другие, менее логичные, но
более умные машины, которые в конце концов расширят
скорость и диапазон наших мыслительных способностей,
подобно тому как современные вычислительные машины
расширяют наши способности механического сложения»2.
И далее: «Я предвижу развитие вычислительных
устройств с «серой» логикой, в которых решения создаются
статистически»3.
Шмитту возражал А. Г. Эттингер, который
спрашивал: зачем строить машины с такими же способностями и
1 А. Н. Колмогоров. Автоматы и жизнь. — «Техника молодежи»,
1961, № 10, стр. 19.
2 «Кибернетический сборник», вып. 1. М, 1960, стр. 73.
3 Там же, стр. 75.
212
ограничениями, как у человеческого мозга? Ему это «не
представляется ни полезным, ни экономичным, если
вспомнить, как много поколений потребовалось, чтобы
мы пришли к современному состоянию знаний»1.
Все эти вопросы приведены здесь мною не потому, что
я хочу предложить сейчас какое-нибудь их решение.
Я недостаточно знакома с вопросом, чтобы позволить
себе сделать это. Но мне хочется подчеркнуть то
обстоятельство, что и в технических приложениях
математической логики, помимо специальных вопросов этой науки,
есть не только вопросы математики и техники. Даже не
только вопросы математики, техники и нейрофизиологии.
Есть и подлинно философские вопросы, для решения
которых нужно быть таким философом, который
разбирается в специальной проблематике математической логики и
владеет способами ее приложения. Такие кадры
философов у нас есть, но число их можно значительно увеличить
и работу сделать значительно более продуктивной.
«Кибернетический сборник», вып. 1, стр. 78.
L
ПРЕОДОЛЕНЫ ЛИ В СОВРЕМЕННОЙ НАУКЕ
ТРУДНОСТИ, ИЗВЕСТНЫЕ ПОД НАЗВАНИЕМ
«АПОРИЙ ЗЕНОНА>?1
1. О Зеноне Элейском и его парадоксах, таких,
например, как известная загадка про быстроногого Ахиллеса,
который не может догнать черепаху, казалось бы,
написано уже так много, что вряд ли еще раз требуется
возвращаться к сформулированным им еще в V в. до н. э*
«трудным вопросам» (апориям), относящимся к
отображению движения в науке и к понятию «множества» (к
соотношению непрерывного и дискретного). С тех пор
апории Зенона не переставали интересовать математиков и
философов. Однако вплоть до наших дней на их счет
существуют самые разнообразные мнения: от совершенно
пренебрежительного отношения к ним до признания того,
что они относятся к наиболее важным и трудным
вопросам обоснования математики и физики.
Так, известному французскому математику Полю Ле-
ви парадокс об Ахиллесе и черепахе представляется
очевидной нелепостью. «Почему воображать себе, — пишет
он, — что время остановит свой ход вследствие того, что
некий философ занимается перечислением членов
сходящегося ряда?» «Признаюсь, я никогда не понимал, как
люди, в других отношениях вполне разумные, могут
оказаться смущенными этим парадоксом, и ответ, который
я только что наметил, есть тот самый ответ, который я
дал, когда мне было одиннадцать лет, старшему,
рассказавшему мне этот парадокс, или, точнее, есть тот самый
ответ, который я резюмировал тогда такой
немногословной формулой: «Этот грек был идиотом». Я знаю теперь,
что нужно выражать свои мысли в более
вежливой'форме и что, быть может, Зенон излагал свои парадоксы
только для того, чтобы проверить разумность своих
учеников. Но мое удивление перед умами, смущаемыми
понятием сходящегося ряда, осталось тем же»2.
1 Статья опубликована в работе «Проблемы логики». М., 1963.
2 P. L'evy. A propos du paradoxe et de la logique.—«Rev. Meta-
phys. Morale», 1957, N 2, p. 130.
214
Вместе с тем, например, в книге известного
специалиста по основаниям теории множеств А. Френкеля
(написанной в сотрудничестве с Бар-Хиллелом) мы читаем:
«В ходе дискуссий, происходивших в последние
десятилетия, все более и более выяснялось, сколь тесна связь
между современными трудностями и теми, которые уже
дважды представлялись преодоленными, именно
загадками пифагорейской и элейской школ, и трудностями,
которые возникли во французском и германском центрах
теории функций. Хотя аргументы изменились, но
пропасть между дискретным и непрерывным опять является
слабым местом, вечной точкой наименьшего
сопротивления и в то же время исключительной научной важности
в математике, философии и даже физике» К
Как же в действительности обстоит теперь дело с
апориями Зенона? Вопрос этот представляется для нас тем
более интересным, что он связан с основными
положениями материалистической диалектики: с проблемами
отображения движения в науке.
История «трудных вопросов» Зенона интересна и тем,
что она относится к «началам» науки. И притом к
«началам» в обоих смыслах этого слова: а) к истории
возникновения основных исходных («начальных») понятий
точной науки, таких, как «тело», его «место», «точка»,
«отрезок», «промежуток времени», «момент»,
«движение», «покой», «множество», его «элемент» и его «мера»,
«число», «конечное и бесконечное» (множества), и многие
другие; б) к истории дискуссий, связанных с уточнением
роли и смысла тех понятий науки, которые в ней
являются исходными (неопределяемыми), — дискуссий,
связанных с обоснованием «начал» науки.
Уже из этого ясно, однако, что написать историю
апорий Зенона — трудная задача, на решение которой
настоящая заметка заведомо не может претендовать.
Автору хотелось бы только высказать некоторые соображения
по поводу этих апорий, связанные с предлагаемым им
ответом на поставленный в заголовке статьи вопрос.
1 A. A. Fraenket, Y. Bdr-HilteL Foundations of Set Theory. Amster->
dam» 1958, p. 260. Под «французским» и «германским» центрами
теории функций тут имеются в виду парижская (Борель, Лебег и др.)
и геттингенская (Гильберт и его ученики) школы математиков первой
четверти XX в.
215
2. Трудности, с которыми встречается всякий
интересующийся историей апорий Зенона, состоят уже в том,
что в нашем распоряжении имеются лишь очень скудные
источники информации о них. Эти апории дошли до нас
только через комментаторов и критиков, прежде всего
через Аристотеля, критикующего их в своей «Физике»
(через 100 лет после их появления), и через
комментарий Симпликия к «Физике» Аристотеля (написанный
почти через тысячу лет после Зенона). И притом дошли в
виде очень кратких отрывков. Поэтому трудно судить о
том, какие из различных предложенных реконструкций
аргументов Зенона (и в какой мере) могут считаться
исторически оправданными. Неясность имеется даже в
вопросе о том, что именно хотел доказать или
опровергнуть Зенон.
Большинство историков философии полагает, что
апории должны были доказать невозможность движения и
существования «многого», с целью отстоять таким
образом философию элеата Парменида — учителя и старшего
друга Зенона. В диалоге Платона «Парменид» (128 А—В)
эту точку зрения высказывает молодой Сократ, который
упрекает Зенона в том, что тот обманывает слушателей,
делая вид, что говорит нечто новое, между тем как в
действительности, если один утверждает бытие Единого, а
другой небытие Многого, то оба говорят одно и то же.
Зенон, однако, возражает против такой трактовки цели
его апорий (там же, С—Д), Он говорит, что его задачей
было показать, что во взглядах противников Парменида,
во всяком случае, не меньше противоречий, чем во
взглядах самого Парменида, согласно которым
действительный мир (в отличие от преходящих иллюзий чувств)
един, неделим и недвижим.
Вопрос о том, против кого именно выступал Зенон, в
литературе не-получил однозначного решения.
Известный французский- историк математики II, Таннери
считает, что Зенон имел в виду пифагорейцев. Другие
исследователи называют современника Зенона Анаксагора или
ионийца Гераклита. То обстоятельство, что еще в
древности элейцев называли «афизиками», т. е. врагами
точкой науки («физики») 1, заставляет думать,-что Зенон
i l См. С. #, Лурье. Теория • бесконечно малых у древних
атомистов. М—Л., 1935, стр. 45.
216
направлял свою критику против всех существовавших в
его время научных теорий движения и «многого».
|Как известно, в*ту пору пифагорейцы уже
обнаружили несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной,
т. е. доказали несовместимость предположения о сущест-
новании точного квадрата (или, что то же самое, о
существовании идеальных циркуля и линейки) с
представлением всякого отрезка в виде суммы конечного числа
«неделимых» (отрезков) одной и той же (отличной от нуля)
величины; Анаксагор же настаивал на том, что никаких
«неделимых» (в том числе и нулевой величины) не
существует («Среди малых величин не существует
наименьшей, но уменьшение идет непрерывно; ибо
существующее <в результате деления > не может перестать
существовать») К Из дошедших до нас апорий Зенона ясно
также, что в его времена существовали уже и теории,
согласно которым конечные величины должны были
состоять из бесконечного множества лишенных величины
«неделимых» (точек, моментов). (По Аристотелю,
согласно пифагорейцам, «точка есть единица, имеющая
положение». Это, по-видимому, можно трактовать как
означающее «имеющая <только> положение <но не имеющая
величины>», так как «...уже во всяком случае единицы
не имеют величины» (Аристотель. «Метафизика», XIII,
1083 в.)). Зенон, таким образом, действительно мог уже
иметь дело с основами всех теорий, относящихся к
соотношению непрерывного и дискретного и к пониманию
движения, которые занимали древнегреческих
математиков и философов на всем протяжении истории их наук
в античности.
3. О впечатлении, которое произвели апории Зенона,
можно судить уже по тому, что, по свидетельству
Диогена Лаэрция и Секста Эмпирика, Аристотель называл
Зенона Элейского «основателем диалектики» и что
вместе с тем он писал об элеатах: «Все это, по-видимому,
логично, но на практике такой взгляд сходен с
помешательством» («О рождении и гибели» 1,8 325а). Начиная
с Аристотеля, Плутарха и Сенеки вплоть до наших дней,
аргументы Зенона порождают все новые и новые
попытки их опровержения (в этой связи я могу назвать, на-
1 Цит. по: О. Becker. Grundlagen der Mathematik in geschichtli-
cher Entwicklung. Freiburg—Munchen, 1954, S. 43.
8 С. А. Яновская
217
пример, интересные статьи К. Айдукевича, А. Грюнбаума,
С. Шираиши, относящиеся к самому последнему
времени). Вместе с тем у ряда философов аргументы Зенона
встречали высокую оценку. В духе этих аргументов
составлены знаменитые антиномии Канта о конечности или
бесконечности мира в пространстве и времени, о
делимости или неделимости субстанции. Гегель видел в Зеноне
«родоначальника диалектики», понимаемой уже не в
аристотелевском смысле этого слова. Руководствуясь
желанием преодолеть аргументы Зенона, Бергсон построил
свою философию интуитивизма, в которой время не
состоит из моментов, а промежуток времени не имеет
четких границ. Мы уже привели в начале статьи пример
таких, все более и более частых и убедительных,
замечаний философов и специалистов по основаниям
математики; эти замечания свидетельствуют о том, что
трудности, нашедшие отражение в апориях Зенона, и в наши
дни нельзя считать преодоленными.
4. По сведениям историков философии, существовало
45 апорий Зенона, из которых до нас дошли только 9.
Поскольку задача адекватной реконструкции
содержания апорий не представляется еще однозначно
разрешимой, трудно оспаривать даже такие попытки истолковать
их, при которых они превращаются в очевидные
нелепости, например в утверждения о том, будто Зенон считал,
что, складывая половину отрезка с половиной оставшейся
его половины и продолжая этот процесс прибавления
половины оставшейся части отрезка все снова и снова,
мы должны будем не только выйти когда-нибудь за
пределы нашего отрезка, но даже получить «отрезок»
бесконечной длины, поскольку-де всякая сумма
неограниченно большого числа «любых», хотя бы и чрезвычайно
малых, протяженных величин обязательно должна быть
бесконечно большой*. Подобное опровержение апорий
Зенона не решает, однако, действительных трудностей,
связанных с той проблематикой, к которой они — и
история порожденных ими дискуссий — относятся. На
таких истолкованиях мы поэтому позволим себе не
останавливаться долго.
Дошедшие до нас апории Зенона подразделяются на
две группы: в одних «опровергается» существование
1 См. С. Я. Лурье. Теория бесконечно малых у древних
атомистов, стр. 31.
218
«многого», причем «многое» понимается как актуально
существующее: заданное всем набором своих элементов,
т. е. некоторая полная, завершенная совокупность, а не
как «одноместный предикат» (свойство),
удовлетворяющий определенным требованиям (как это делается в
основных современных логико-математических теориях);
в других вскрываются противоречия, связанные с
отображением движения в логике понятий. Те и другие, однако,
тесно связаны между собой.
5. К апориям первой группы относятся прежде всего
аргументы, опровергающие существование «многого» на
том основании, что «если их <существующих вещей>
много, то их должно быть столь много, сколько их есть —
не больше и не меньше. А если их столь много, сколько
их есть, то их <число> ограничено. <Но> если
существующих <вещей> много, то их <число>
неограниченно, ибо всегда существуют другие <вещи> между
существующими «вещами» и снова другие между теми.
И так <число> существующих «вещей»
неограниченно» *. (Любая часть промежутка между вещами здесь,
очевидно, также считается вещью2.)
В основе полученного здесь противоречия (что если
в мире есть много вещей, то число их должно быть
одновременно и конечным и бесконечным) лежит
утверждение, что количество вещей в актуально завершенном
множестве их должно быть «ограниченным» (конечным).
Как известно, Г. Кантором в 70-х годах прошлого века
были введены в математику бесконечные кардинальные
(т. е. количественные) числа, или мощности. При их
помощи, казалось бы, полностью разрешается приведенная
выше апория. Неконструктивный характер канторовских
актуально-бесконечных множеств (и соответствующих им
чисел) сделал их, однако, неприемлемыми для
представителей современных конструктивных направлений в ма-
1 Цит. по: М. Bochenski. Formale Logik. Freiburg— Munchen, 1956,
S. 35—36, 522.
2 «Если же оно «существующее» есть, то с необходимостью
каждая (его) часть должна иметь некоторую величину и толщину
и расстояние одна от другой. А для части, предшествующей этой
части, т. е. для части этой части, верно то же утверждение.
Именно, и она будет иметь величину, и другая (часть) будет ей
предшествовать. То же утверждение верно всякий раз». Эти слова
Зенона приводит Симпликий. (Цит. по: О. Becker. Grundlagen der Ma-
thematik in geschichtlicher Entwicklung, S. 42).
8*
219
тематике. (К числу последних относится прежде всего
советская школа А. А. Маркова. Как известно, актуально
бесконечные множества Кантора были подвергнуты
резкой критике голландским математиком Брауэром,
возглавляющим созданное им интуиционистское направление
в математике.)
Аристотель приводит еще одну апорию Зенона этого
же рода: «...именно, если все существующее помещается
в известном месте, то ясно, что будет и место места, и
так идет в бесконечность» *. С этой апорией Аристотель
справляется, замечая, что место само есть уже не вещь,
которая нуждается в некотором «месте», а нечто,
аналогичное тому или иному состоянию вещи, наподобие того,
как одна и та же вещь может быть и теплой и холодной.
Он не возражает, однако, против понятия о «месте
места», но трактует последнее не как «место», т. е. не как
состояние, а как нечто аналогичное свойству данного
состояния, — как, например, теплое (состояние) обладает
свойством «быть полезным для здоровья», — почему
вопрос о «месте места места» уже не возникает с
необходимостью. «Таким образом нет необходимости идти в
бесконечность»2. Однако рассуждения, аналогичные
использованному здесь Зеноном, встречаются и в современных
основаниях математики, когда идущий в бесконечность
натуральный ряд чисел порождается из «ничего» (из
пустого множества) посредством того, что сначала
рассматривается пустое множество, затем множество {0},
единственным элементом которого является пустое
множество; далее множество {0, {01], элементами которого
являются 0 и (0} и т. д. А возражения, которые
выдвигаются против этой процедуры в наши дни, и например
современными номиналистами (Куайн, Гудмен),
родственны возражениям Аристотеля, состоящим в том, что
«место места» само не есть «место», поскольку они
основаны на том, что нельзя и мысленно объединить в
множестве вещи, которые не существуют раздельно друг от
друга (так, нельзя рассматривать как особый объект
пару, состоящую из человека и его руки, пока эта рука
не отделена от человека).
6. Особый интерес представляет апория, относящаяся
к гносеологическим вопросам, связанным с представле-
1 Аристотель. Физика, стр. 71.
2 Там же, стр. 75.
220
нием протяженного тела (соответственно, промежутка
времени) в виде множества (совокупности)
непротяженных неделимых: точек (соответственно моментов
времени). Поскольку лишенная всяких измерений точка
(соответственно момент времени) является идеализированной
математической абстракцией, на практике не уловимой
(никто не имел дела в опыте с лишенной всяких
измерений «точкой»), «построение» (хотя бы теоретическое)
реально существующего тела из абстрактных «точек»,
естественно вызывало возражения как раз у некоторых
материалистически мыслящих математиков и философов.
Так, Н. И. Лобачевский считал необходимым положить
в основу геометрии не точку, а тело и определял точку
как пару тел, определенным образом соприкасающихся
друг с другом г. Соответствующая апория Зенона может
быть истолкована как вопрос о том, как из ничего можно
сложить (построить) что-нибудь: ведь сколько раз ни
повторять ничто, ничего и не получится? «В самом деле,
если что-нибудь, поскольку оно прибавляется <к какой-
нибудь вещи> или отнимается <от нее>, не делает
<эту вещь> <в первом случае> больше или <во
втором^ меньше, тогда, по словам Зенона, оно не
принадлежит к числу существующего, причем существующее,
очевидно, понимается как величина и постольку — как
величина телесная: ведь именно такая величина обладает
бытием в полной мере: ...точка и единица <не создадут
его> ни при каких обстоятельствах»2. Хотя Аристотель
и называет эти рассуждения Зенона грубыми, он
замечает тут же, что «все-таки <остается вопрос>, как из
одного подобного неделимого или нескольких таких
получится величина?».
В современной литературе встречаются попытки3
справиться с этими трудностями, ссылаясь на теоретико-
множественную теорию меры, согласно которой несчетное
множество множеств меры нуль может иметь уже и не-
1 В некотором смысле абстракция «тело» действительно более
низкого уровня, чем абстракция «точка», поскольку можно показать
(конкретное) тело, но нельзя показать непротяженную точку.
2 Аристотель. Метафизика. М.—Л., 1934, стр. 54.
3 Л. Grunbaum. A Consistent Conception of the Extended Linear
Continuum as an Aggregate of Unextended Elements. — «Philosophy of
Science», 1952, N 19, p. 288—306; A. Grunbaum. Modern Science and
Refutation of the Paradoxes of Zeno. — «Scientific Monthly», 1955,
i vol. 81, p. 234—239.
221
i
I
L
нулевую меру, почему существование протяженных тел,
очевидно, следует даже рассматривать как
«доказательство» существования несчетных актуально-бесконечных
множеств. Ясно, однако, что таким образом отнюдь не
решаются гносеологические трудности, связанные с
неконструктивностью «построения» протяженных объектов
в виде актуально-бесконечных (к тому же еще и
несчетных) множеств непротяженных -элементов. В лучшем
случае эти трудности принимаются за решенное для
каких-нибудь исходных объектов, например, для отрезков
вида [0, а], где а <С1, при помощи допущения, что ко
всякой точке отрезка [0, 1] мы умеем отнести действитель-
ное число, отличающее ее от всех других точек этого
отрезка, хотя их и несчетное множество.
7. Наибольшей известностью пользуются апории Зе-
нона, относящиеся к движению. Все они приведены в
«Физике» Аристотеля. Гегель подробно останавливался на
них в своих «Лекциях по истории философии». Значение,
которое им придавал Ленин, видно из его критических
комментариев к ним (и к связанным с ними
дискуссиями) в конспекте лекций Гегеля по истории философии *.
Этих апорий четыре. В литературе они получили
специальные имена. Первые две («Дихотомия» и «Ахиллес»)
относятся к трудностям, связанным с движением в
предположении неограниченной делимости отрезков пути и
времени. Вторые две («Стрела» и «Стадий») — к
трудностям, возникающим, наоборот, в предположении
существования неделимых отрезков пути и атомов времени
(«теперь»).
Апория, называемая «Дихотомией», доказывает, по
Аристотелю, «несуществование движения» «на том
основании, что перемещающееся тело должно прежде дойти до
половины чем до конца»2, почему движение не может
закончиться, так как, прежде чем дойти до конца, нужно
будет еще пройти половину остатка и т. д. (В «Лекциях по
истории философии» Гегель излагает эту апорию как
опровергающую для движения возможность начаться,
поскольку раньше, чем дойти до половины пути, нужно
дойти до половины этой половины, и т. д. К
невозможности закончиться в таком случае будет относиться уже
1 См. В. И. Ленин. Поли. собр. соч., т. 29, стр. 219—278.
2 Аристотель. Физика, стр. 144.
222
foJibKO апория «Ахиллес».) Эта апория чаще всего
трактуется просто как свидетельствующая о том, что Зенон
не располагал еще матема-Гическим понятием «предела»
(не умел суммировать, например, геометрическую
прогрессию V2+V4 + V8...) и думал — мы уже ссылались на
это, — что «сумма бесконечно большого
(неограниченного) числа любых, хотя бы и чрезвычайно малых,
протяженных величин обязательно должна быть бесконечно
большой»1, почему и приходил к заключению, что дви-
жение-де «никогда не закончится и быстроногий Ахиллес
не догонит черепаху».
Между тем аргумент Зенона можно истолковать так:
представим себе, что нам нужно измерить длину
некоторого отрезка АВ и у нас есть две «единицы» измерения,
первоначально неотличимые друг от друга, но такие, что
если первую считать абсолютно жесткой (не
меняющейся в процессе измерения), то вторая оказывается такой,
которая после каждого ее откладывания на измеряемом
отрезке сокращается вдвое. Пусть в результате
измерения первой «единицей» отрезок АВ оказался имеющим
длину 2. Тогда ясно, что в результате измерения второй
«единицей» он окажется бесконечно большим: какое бы
(конечное) число раз мы ни отложили нашу
сокращающуюся «единицу» измерения, нам придется откладывать
ее еще раз, и процесс измерения никогда не закончится:
точка В в этом процессе будет недостижимой —
«бесконечно удаленной» точкой2. (Само собой разумеется,
что аналогичное рассуждение применимо не только к
отрезку, но и к промежутку времени.) Именно такого
рода процесс «измерения» отрезка естественно приходит
на ум в связи с апорией Зенона. Разница состоит в том,
что в апории подчеркивается, что во всяком непрерывном
движении точки по отрезку действительно
осуществляется такой процесс, поскольку, прежде чем пройти весь
отрезок АВ, нужно пройти его половину, прежде чем
пройти оставшуюся половину, нужно пройти ее половину
и т. д. Чтобы достигнуть точки 5, нужно, следовательно,
закончить бесконечный, т. е. не имеющий конца процесс,
в чем и состоит диалектическая трудность — апория. Эту
1 Комментарий Симпликия к «Физике» Аристотеля. (См.
С. #. Лурье. Теория бесконечно малых v древних атомистов,
стр. 31).
2 Хотя в первом процессе она будет достижима в два шага.
223
трудность видит и Аристотель, который пишет: «Если,
взявши от конечной величины определенную часть
(например, половину. — С. #.), снова взять ее в той же
пропорции (от остатка опять взять половину. — С. Я.)... то
конечную величину нельзя пройти до конца» («Физика»,
стр. 64). Но его возражения Зенону, которые обычно
считаются полностью исчерпывающими вопрос х9 в
действительности сводятся к тому, что Аристотель, который
и в ряде других мест определенно высказывается против
завершенной («актуальной») бесконечности, становится
на отвергаемую им же точку зрения. Он сводит задачу,
относящуюся к движению точки по отрезку, к
аналогичной задаче для промежутка времени; последнюю же
просто принимает за решенную.
«...Ошибочно, — пишет Аристотель, — рассуждение
Зенона, что невозможно пройти бесконечное, т. е.
коснуться бесконечного множества отдельных частей в
ограниченное время. Ведь длина и время, как и вообще все
непрерывное, называются бесконечными в двояком
смысле: или в отношении деления или в отношении границ.
И вот, бесконечного в количественном отношении нельзя
коснуться в ограниченное время, бесконечного согласно
делению — возможно, так как само время в этом смысле
бесконечно. Следовательно, приходится проходить
бесконечность в бесконечное, а не в ограниченное время и
касаться бесконечного множества частей бесконечным,
а не ограниченным множеством»2.
Иными словами, поскольку для некоторой
последовательности отрезков времени предел достигается, то он
достигается и для соответствующей последовательности
отрезков пути3. Нетривиальность того обстоятельства,
1 /С Ajdukiewicz. Uber Fragen der Logik. — «Deutsche Zeitschrift
fur Philosophie», 1956, N 3, S. 322—323; B. Russell. Our Knowledge
of the External World, 1914. Цит. по: B. Russell. Unser Wissen von
der Aussenwelt. Leipzig, 1926, S. 230—232.
2 Аристотель. Физика, стр. 128—129.
3 Правда, в другом месте («Физика») Аристотель замечает: «Но
такое разрешение достаточно для ответа тому, кто так поставил
вопрос (спрашивалось ведь, можно ли в ограниченное время
пройти или сосчитать бесконечно многое), а для сути дела и для истины
недостаточно... в непрерывном заключается бесконечное число
половин, но только не актуально, а потенциально». Однако
«потенциально» здесь понимается Аристотелем не в смысле неограниченной
продолжаемости, а в смысле абстрактной мыслимости (в отличие от
актуальной выполнимости). «Ведь пет ничего невозможного даже и
224
однако, что такой предел в процессе последовательного
приближения к нему актуально достигается, хорошо
подчеркнул известный математик Г. Вейль, который писал:
«Если бы, в соответствии с парадоксом Зенона, отрезок
длины I можно было составить из бесконечного
количества отрезков длины 7г, 74, Vs.- взятых каждый как
отдельное целое, то непонятно, почему какая-нибудь
машина, способная пройти эти бесконечно многие отрезки
в конечное время \ не могла бы совершить в конечное
время бесконечное множество актов решения, давая,
скажем, первый результат через 7г минуты, второй —
через lU минуты, после этого третий — через 7з минуты
после второго и т. д. Таким образом, оказалось бы
возможным, в противоречие с самой сущностью
бесконечного, чисто механическим путем рассмотреть весь ряд
натуральных чисел и полностью разрешить все
соответствующие проблемы существования (вроде Большой теоремы
Ферма и других трудных задач теории чисел. — С. Я.)»2.
8. Апория «Стрела» состоит в том, что если время
слагается из неделимых «теперь» и всякое тело всегда
либо покоится, либо движется, то, так как в течение
неделимого «теперь» тело не может двигаться (иначе
«теперь» подразделилось бы на части, соответствующие
различным положениям тела), то в каждом «теперь» оно
должно покоиться. Поскольку же ничего, кроме «теперь»,
во всем промежутке времени нет, то тело вообще не
может двигаться. Начиная с Аристотеля, решения этой
апории всегда состояли в том, что различным образом
уточнялись понятия «движение», «покой». В частности,
еще Аристотель говорил о том, что в применении к
моменту времени нельзя говорить ни о движении, ни о
покое. Эти понятия имеют смысл лишь в применении к
промежутку времени, в течение которого тело может менять
свое место — и тогда оно движется, либо же не менять
его — и тогда оно покоится. Хороший и ясный обзор
различных уточнений понятий движения и покоя, предло-
в том, чтобы оно (тело) было разделено бесконечное число раз,
хотя, пожалуй, оно не могло бы быть разделено вследствие
ограниченности сил производящего деление человека». (Цит. по»:
Л. О. Маковельский. Древнегреческие атомисты. Баку, 1946»
стр. 246.)
1 Как это должно следовать из сделанного допущения. — С. #.
2 Г. Вейльь О философии математики. Л.—М., 1934, стр. 25.
225
женных в целях решения трудностей, вскрытых Зеноном,
содержится в уже упомянутой выше статье К. Айдукеви-
ча. Характерной чертой всех этих решений является,
однако, то обстоятельство, что в целях обоснования
непротиворечивости движения, в осуществимости которого
никто на самом деле ие сомневался !, авторы их пользуются
допущениями об осуществимости вещей, заведомо не
осуществимых: о том, что можно (с абсолютной-точностью)
уловить непротяженный (идеальный) момент времени;
о том, что можно сопоставить с каждым идеальным
моментом времени не менее идеальную, лишенную всяких
измерений и поэтому нематериальную точку пути; о том,
что всякую такую точку можно полностью
индивидуализировать, «задав» ее действительным числом, т. е. не
сгущаясь тем, что при этом должно предполагаться из-
вестным все бесконечное множество десятичных цифр
каждого (из некоторого несчетного множества их)
действительного числа, и др. В действительности такие
допущения не препятствуют научности теории только
потому, что последняя содержит в себе способы ее конечного
приближенного истолкования, отнюдь не при всех
условиях применимого без противоречий. А как раз эти
способы в решениях диалектических трудностей, связанных
с отображением движения, обычно не обсуждаются.
Последняя из апорий движения — апория «Стадий»
довольно трудна для изложения. Мы ограничимся здесь
очень упрощенным освещением ее содержания,
фактически уже использованным нами при освещении апории
«Стрелы»- Пусть время состоит из неделимых протяжеи-
1 В ленинском конспекте лекций Гегеля по истории
философии мы читаем: «Зенон и не думал отрицать движение как
«чувственную достоверность», вопрос стоял лишь... об истинности
движения... И на следующей стр., рассказывая об анекдоте, как
Диоген (циник из Синопа) опровергал движение ходьбой, Гегель
пишет: «...но анекдот продолжают еще и так: когда один ученик
был удовлетворен этим опровержением, Диоген стал его бить
палкой на том основании, что, так как учитель спорил с основаниями,
то он и возражения ему должен был представить также
основательные. Поэтому не следует удовлетворяться чувственной
достоверностью, а необходимо понимать»». И Ленин по этому поводу
замечает: «Недурно». (В. И. Ленин. Поли. собр. соч., т. 29, стр. 230.)
Вероятно, было бы невежливо ответить на манер Диогена нл
возражения Зенону Поля Леви: время-то не остановит свой ход
из-за того, что философ начнет строить его теорию, но теория, в
том числе даже теория сходящихся рядов, может оказаться
несовершенной.
226
ных атомов. Представим себе на противоположных
концах ристалища двух бегунов, настолько быстрых, что на
пробег от одного до другого конца ристалища каждому
из них требуется один только атом времени. И пусть оба
одновременно выбегают с противоположных концов.
Когда произойдет их встреча, неделимый атом времени
разделится пополам, т. е. в атомы времени тела не могут
двигаться, как это было предположено в апории «Стрелы».
9. Более полное освещение содержания этой и других
апорий Зенона, тех предположений, на которых сами они
основаны (которые чаще всего состоят в экстраполяции
на малые отрезки пути и времени соотношений и свойств,
верных лишь для привычной нам обстановки), и в
особенности более чем двух с половиной тысячелетней
истории связанных с ними дискуссий, требует обращения к
литературе по истории философии и философским
основаниям математики, не говоря уже о специальной
литературе, посвященной парадоксам Зенона. Из последних
работ в этой области, содержащих ряд новых идей,
следует отметить седьмую лекцию И. Г. Башмаковой по
истории матехматики в Древней Греции1.
На всех этих вопросах, однако, я позволю себе здесь
не останавливаться. Мне хотелось бы только — в
качестве иллюстрации к тому ответу на поставленный в
заголовке статьи вопрос, который мне представляется
непосредственно следующим из принципов
материалистической диалектики, — осветить более подробно одну из
самых новых попыток справиться с апориями Зенона,
относящимися к теории движения. Речь идет о статье
японского логика С. Шираиши2. В этой статье делается
попытка построить теорию движения, не прибегая к
средствам математического анализа, т. е. не пользуясь такими
понятиями, как понятия предела, действительного числа,
множества и др. Мне представляется также, что
построенная автором теория движения действительно
непротиворечива и что непротиворечивость ее нетрудно доказать.
И тем не менее и эта теория основана на допущениях в
применении к отображаемому в ней движению, равно-
1 См. «Историко-математичсскпе исследования», вып. IX. М,
1958, стр. 324—333.
2 S. Shiraishi. The Structure of the Continuity of Psychological
Experiences and the Physical World. — «The Science of Thought».
Tokyo, 1954, N 1, p. 12—24.
227
Сильных тоМу, чтб неопределенная, расплывчатая,
«нежесткая» движущаяся точка представляется
определенной, «жесткой», «омертвленной», остановленной.
101. К сожалению, с работой Шираиши автор знаком
только по реферату Прайора2.
Как замечает референт, «автор формулирует и
принимает аргументы Зенона против канторовой
непрерывности движения, с одной стороны3, и против просто
дискретного движения — с другой 4, и предлагает аксиомы
для некоторой «неопределенной непрерывности»
пространства, времени и движения, не оставляющие, с его
точки зрения, места для возражений. Независимо от того,
является ли эта претензия оправданной или нет, аксиомы
его интересны и явного противоречия не содержат».
Непротиворечивость аксиоматики Шираиши,
приводимой Прайором, нетрудно доказать. Мы это сделаем
даже для некоторой последовательности систем аксиом
рассматриваемого в статье Шираиши рода. В связи с
предлагаемой им аксиоматикой такое расширение ее
представляется вполне естественным.
Шираиши рассматривает три отношения между
точками Л, В; А<В («Л прежде В»), А>В («А после В»)
и А оо В («А неотличима от В»), для которых вводит
следующие аксиомы.
Аксиома 1. Между любыми двумя точками А, В имеет
место одно, и только одно, из соотношений: А<ВУ А>В,
А (л В.
(Уже в связи с этой аксиомой встает вопрос о том,
разрешается ли говорить когда-нибудь о двух разных
точках А, В как о неотличимых друг от друга. На этом
вопросе, в связи с которым и представляется
естественным предлагаемое нами расширение системы аксиом
Шираиши, мы остановимся ниже.)
Аксиома 2. А<В равнозначно тому, что В>Л.
Аксиомы 3 и 4 говорят о том, что отношения «<» и «>» тран-
зитивны.
Аксиома 5. Лео Л.
1 Читатель, не интересующийся деталями теории Шираиши,
этот пункт может полностью или частично опустить.
2 Л. N. Prior. Symbolic Logic, 1955, vol. 20, p. 169—170.
3 Здесь имеются в виду, очевидно, апории «Дихотомия» и
«Ахиллес». •— С. #.
4 А здесь — «Стрела» и «Стадий». — С. #.
228
Аксиома 6. Если А со В, то В с^ А. (Аксиомы 5 и б
констатируют, иначе говоря, что отношение
«неотличимости» рефлексивно и симметрично.)
Аксиома 7. Существуют точки Л, В, С, такие, что
Лео 5, В со С, но не Л ос С. (Иными словами, отношение
Лея В не транзитивно: точка Л может быть неотличима
от точки В, точка В неотличима от точки С, точка лее Л
отличима от точки С).
Аксиома 8. Если А<С, Л со Б, В со С (Л ^ flco С),
то существует точка £>, такая, которая неотличима от Л,
но уже отличима от В, и притом так, что D<B.
Аксиома 9. Если Л со В, то между Л и В можно
вставить «самую короткую цепочку» (наименьшее число)
неотличимых последовательно друг от друга точек,
соединяющих Л с В. (Иначе говоря, среди цепочек вида
Л со С\ со С2 со С3... со С h со В есть такая, у которой
индекс k наименьший.)
Аксиома 10. То же для А>В.
Аксиома 11. Если Л со С со В, то между Л и В не
существует точки D, такой, что A<D<B.
Аксиома 12. Аналогична предыдущей, но с заменой
«<» на «>». (Аксиомы 11 и 12 говорят, таким образом,
о том, что между двумя точками Л, В, такими, что их
можно соединить цепочкой последовательно неотличимых
точек, содержащей только одну точку С, нельзя вставить
точку, отличимую от обеих точек Л и В.)
Нетранзитивность отношения «неотличимости» можно
истолковать, казалось бы, как ведущую к противоречию.
Например, пусть Л со В со С, но А < С. Здесь точка В
характеризуется тем, что она неотличима от С, между тем
как Л отличима от С (больше того, мы знаем даже, что
А<С). А и В, таким образом, обладают разными
свойствами, при помощи которых мы и можем отличать их
друг от друга, между тем как, по условию, Л неотличима
от В. Поскольку к тому же Л<С, между тем как В со С,
мы заведомо можем сказать, что Л не после В: иначе мы
имели бы В со В со С1 и В<А<СУ что противоречит
аксиоме 11. Но если Л отличима от В и не после В, то в
силу аксиомы 1 Л должна быть прежде В. Л, которая
неотличима от В, таким образом оказалась в
действительности отличимой от В, и притом так, что А<В.
Тут мы воспользовались аксиомой 5.
229
Такое возражение предвидит и Шираиши, который,
однако, справляется с ним, замечая, что из этого
рассуждения следует только необходимость различать разные
«отличимости». Поскольку, соответственно, приходится
различать и разные «неотличимости», естественнорасши-
рить аксиоматику Шираиши, введя в нее «неотличимости»
разных порядков: неотличимость!, неотличимости...
неотличимости ... Иными словами, сделав допущение, что,
например, точки, не отличимые простым глазом, могут
оказаться отличимыми при помощи лупы, не отличимые
при помощи одной лупы могут оказаться отличимыми при
помощи более сильной лупы и т. д. Конечно, это очень
сильное допущение, но, как мы видели, вполне
естественное, и даже, в известной мере, необходимое, поскольку
без «разных» неотличимостей мы просто не можем
обойтись. (Отыскание наименьшей цепочки точек Сь С2... С^
такой, что А<л С\ со С2 со ... ел С Асо В, заведомо
требует умения различать случаи X <s>X и X со У, где У в
каком-то смысле отлично от X.)
Между тем для этой, расширенной даже теории
нетрудно доказать непротиворечивость.
Действительно, истолкуем точки А, В, С, D,.. как
рациональные числа, для которых отношения со я , <л
>п введены при помощи следующих определений:
АЪпВХ\А-В\<}1,«
А<пВ-В-А>Ч2«
Перепишем нашу систему аксиом, заменив в ней
всюду00 , <, > насол , <л, >п соответственно. Тогда
нетрудно убедиться в том, что в этом истолковании все
аксиомы (для каждого п) превращаются в истинные
предложения арифметики рациональных чисел, а так как
последняя непротиворечива, то непротиворечивость всей,
даже таким образом расширенной, системы будет
доказана.
Проверим те из наших аксиом, которые в этом
истолковании не представляются сразу очевидными. Начнем с
аксиомы 1. Впрочем, она достаточно очевидна, поскольку
для любых двух рациональных чисел А и В абсолютная
величина их разности либо<С xkn , либо >1/2/г; в
последнем же случае либо В—Л>72п, либо А—В>1/2п .
230
Проверка истинности (в нашем истолковании) аксиом
2—6 вряд ли может вызвать затруднения.
Чтобы проверить правильность аксиомы 7, достаточно
взять, например, чиЬла Л, В, С, такие, что В=Л + 1/2лн'1?
C=B+V2". I
При условиях, о которых идет речь в аксиоме 8, за
точку D, удовлетворяющую ее требованиям, достаточно
взять А—112п. (Действительно, |(Л—xkn)— Л|< lkn,
т. е. точка (Л—1/2л)неотличимал от точки Л. В то же
время, поскольку В неотличима п от С, мы должны иметь
В>С—xhn, откуда, так как, по условию, С>А + 1/2п,
получаем далее В>А и, значит, В—(А—1/2п)>\12п, т. е.
(Л—1/2п)<пВ, что и требовалось доказать.)
Чтобы получить «самую короткую цепочку», о
которой идет речь в аксиоме 9, достаточно заметить, что если
К есть целая часть числа (В—А) -2п, то между А и В
заведомо нельзя вставить меньше чем k последовательно
неотличимых друг от друга чисел С\9 Сг ... Ck. (В аксио-
В д
ме 10 вместо числа ——нужно только рассмотреть
число ~~п 0 Чтобы проверить аксиому 11, достаточно
заметить, что если
A<nD<nB, то |Я-Л|>»/Л
между тем как, по условию,
АЪпСЪпВ, т. е. |С-А|<72л и |Я-С|<72Л,
откуда
\В-А\<2/2».
Аналогично проверяется аксиома 12.
Непротиворечивость системы аксиом Шираиши, таким
образом, можно считать установленной. Однако и эта
система аксиом основана на очень сильном и отнюдь не
просто (без усилий с нашей стороны) осуществимом
допущении, что мы умеем различать
(индивидуализировать) неразличимые в ходе движения точки, что мы,
иными словами, располагаем инструментом, позволяющим
нам делать «жесткими» (неизменяющимися и
распознаваемыми, как таковые) «нежесткие» (расплывчатые,
текучие) объекты, умеем находить по одним из таких
объектов другие и высказывать о них однозначно определен-
231
ные высказывания, такие, на вопрос об истинности или
ложности которых возможен один, и только один, ответ —
«да» или «нет» х.
Чтобы отобразить движение и при помощи такой
теории, как эта, нам, следовательно, необходимо
позаботиться о том, чтобы рассматриваемыми нами движущимися
объектами мы могли оперировать как равными самим
себе, не изменяющимися, пока мы разговариваем о них,
«остановленными», предметами. В этой необходимости
«остановить» движение, чтобы отобразить его в логике
понятий, и состоит, как мне представляется, то —
диалектическое — противоречие движения, о котором
В. И. Ленин говорит именно в свя ;и с апориями Зенона.
П. Подводя итог, остановимся, хотя бы в самых
общих чертах, на вопросе о том, как диалектический
материализм решает труднюсти, к которым относятся апории
Зенона о движении.
Именно в связи с этими апориями Ленин в своих
«Философских тетрадях» замечает, что задача отобразить
движение в понятиях содержит диалектическое
противоречие, поскольку нельзя отобразить движение, каким-
нибудь образом не остановив (не «омертвив») его, т. е.
не обращаясь к его противоположности — к покою.
«Мы не можем представить, выразить, смерить,
изобразить движения, не прервав непрерывного, не упростив,
угрубив, не разделив, не омертвив живого, — пишет
Ленин. — Изображение движения мыслью есть всегда
огрубление, омертвление, — и не только мыслью, но и
ощущением, и не только движения, но и всякого понятия.
И в этом суть диалектики. Эту-то суть и выражает
формула: единство, тождество противоположностей»2.
Самый обычный прием отображения движения,
которым широко пользуется так называемая классическая
1 Вместе с тем стоит, вероятно, заметить, что наличие у системы
аксиом арифметической интерпретации, отнюдь не связанной
непременно с каким-нибудь движением, можно рассматривать как
свидетельствующее о том, что этой аксиоматикой заведомо не
выявлена еще сущность движения, как такового, как движения, а не как
некоторых отношений, определенных для рациональных чисел.
В этой связи мне представляется естественным предполагать, что
теория движения вообще не может быть
конечно-аксиоматизируемой теорией и что аксиоматические способы построения теории
здесь не по существу.
2 В. И. Ленин. Поли. собр. соч., т. 29, стр. 233.
232
механика, состоит в указании способа, позволяющего
относить к любому моменту времени (из некоторого
промежутка времени) координаты, определяющие место
движущейся точки. Этот прием не ведет, однако, к
формально-логическому противоречию только благодаря
тому, что мы, так сказать, перемещаем одну сторону
противоречия за пределы нашей теории, оставляем в ней
только нужным образом идеализированные
(«огрубленные») допущения и полностью отвлекаемся от
несоответствия их действительному положению вещей. Так, с одной
стороны, мы утверждаем, что нет таких (сколь угодно
малых) промежутков времени, которые нельзя было бы
подразделить на еще более малые (но тем не менее
также протяженные) промежутки времени, в течение
которых тело, о движении которого идет речь, не меняло бы
места; с другой же стороны, мы разрешаем себе считать
«достаточно малые» протяженные промежутки времени
непротяженными «моментами», т. е. позволяем себе
отвлечься (абстрагироваться) от происходящего в течение
этих промежутков времени изменения места тела (от его
движения). Правда, обычно добавляют, что, действуя
так, мы допускаем ошибку, почему и получаем только
приближенные значения интересующих нас
(измеряемых) величин (длины пути, времени движения, его
скорости или ускорения и т. п.). Однако самые эти величины
(в отличие от их «приближенных» значений) обычно
рассматривают при этом как реально существующие
идеально точные объекты, не смущаясь тем, что такое
«существование» основано на допущениях, которые мы заведомо
не считаем осуществимыми: никто ведь не сомневается в
том, что нельзя уловить непротяженный «момент»
времени или построить лишенную каких бы то ни было
размеров точку.
В действительности суть дела состоит в том, что
«идеально точные» величины являются лишь огрубленным,
упрощенным приближением к тому, что нам нужно при
их помощи отобразить, хорошим приближением,
поскольку мы таким образом отвлекаемся от
расплывчатости границ исследуемых объектов или явлений и
выделяем жесткое существо дела: его центральное,
огрубленное и остановленное («омертвленное») ядро. За счет
этого «омертвления» получаются уже однозначные ответы
на интересующие нас вопросы: формально-логического
233
противоречия не возникает, во всяком случае
непосредственно. К последнему мы приходим, однако, как только
выясняется, что огрубление, на котором была основана
наша идеализация, не в состоянии дать нам полной
картины исследуемого явления: как только существенными
оказываются именно те его стороны, от которых мы
отвлекались, огрубив его. Но и это противоречие снова
разрешается посредством некоторой идеализации,
строящейся уже, однако, не на пустом месте, а на основе всего
знания, добытого ранее (в том числе и при помощи тех
идеализации, неправомерность которых в применении к
новым условиям была обнаружена). В разрешении этих
вновь и вновь возникающих противоречий, связанных с
отображением движения (а следовательно, и с самой его
сущностью), и состоит развитие науки, которое само есть
процесс и носит, следовательно, тот же, диалектический,
характер.
Возвращаясь к классической механике, необходимо
отметить еще, что возражение противников диалектики,
которые утверждают, будто движение есть нахождение
тела в данный момент в данном месте, в другой
момент — в другом месте, обходит самое существо дела, в
том числе вопрос о правомерности тех допущений о
«точках» и «моментах», на которых оно основано. Между
тем явная оценка правомерности идеализирующих
предположений, позволяющих, с одной стороны, отрицать
реальное существование непротяженных «точек» и
«моментов», а с другой — отождествлять те или иные реальные,
происходящие во времени события с «моментами»,
те или иные материальные тела (вроде планет и
Солнца в космографии) с «точками», выяснение границ
этой правомерности (границ, различных в разных
условиях) приобретают особое значение в связи с развитием
современных (особенно ядерных) физики и техники.
Приходится, таким образом, на неизмеримо более высоком
уровне развития науки возвращаться снова к
проблематике, связанной с апориями Зеноиа.
ПРОБЛЕМЫ ВВЕДЕНИЯ И ИСКЛЮЧЕНИЯ
АБСТРАКЦИЙ БОЛЕЕ ВЫСОКИХ
(ЧЕМ ПЕРВЫЙ) ПОРЯДКОВ >
1. Проблематика, связанная с вопросами введения и,
наоборот, исключения (реализации или восполнения)
абстракций (абстрактных понятий и объектов), очень
обширна. В применении к такой науке, как математика,
где основную роль играют абстракции от абстракций
(абстракции более высоких порядков), она включает в
себя по существу всю проблематику оснований этой
науки.
2. Чтобы наука могла служить задачам
общественной практики людей, она должна содержать общие
правила и законы, выявляющие повторяющееся в разных
предметах и явлениях жесткое (инвариантное,
спокойное) существо дела. Но чтобы выявить существо дела,
его жесткое ядро, сердцевину, нужно отвлечься от
несущественных деталей. Результатом такого отвлечения
являются абстрактные понятия и объекты, без введения
которых нельзя сформулировать ни одного общего
закона или правила. Но чтобы применить этот закон на
практике, абстрактные объекты нужно заменить их кон-
ретными представителями: нужно их исключить.
Нельзя съесть абстрактный «плод», можно съесть только
конкретный объект, подпадающий под это общее понятие-
Со всяким абстрактным понятием или объектом в науке
поэтому должны быть связаны правила его введения и
исключения.
Для простейших абстрактных понятий типа «плод»
способы их введения и исключения не представляют
трудностей. Трудности связаны с абстрактными понятиями
более высоких порядков (в том числе и допускающими
разные порядки), такими, как «множество», «свойство»,
«функция», «функционал», «оператор» и др.
1 Опубликовано в кн.: «The Foundation of Statements and
Decisions». Warszava, 1965.
235
3. Ё ряде случаев правила введений' и исключений
абстракций непосредственно (или фактически
непосредственно) формулируются, как таковые. Так обстоит
дело, например, в современных теориях определений *, где
фактически различают правила введения новых
абстрактных объектов по определению («определяющие
аксиомы»: the defining axioms) и правило их исключения
(«правило сведения по определению»: rule of definitional
reduction).
В исчислениях Я-конверсии Чёрча некоторые аксиомы
(соотв. правила) вводят функциональные абстракции
(символ К), другие их исключают (операция
приложения: application). В исчислениях типа исчислений
натурального вывода Генцена все правила вывода,
относящиеся к употреблению логических постоянных,
естественно подразделяются на правила введения и правила
исключения знаков логических операций. Аналогично
обстоит дело с оператором абстракции, образующим
абстракцию множества (множества предметов,
выполняющих некоторый предикат), с оператором описания («тот..,
который») и с др. Для всякого такого оператора есть
правила, позволяющие вводить его, и правила,
позволяющие его исключать.
4. Не всякое исключение абстракций должно
происходить, однако, в пределах самой теории (или ее
расширения, например, посредством определений). (Такое
расширение S' системы S, в котором для всякой формулы
Ф\ содержащей знаки для «новых» объектов, существует
эквивалентная формула Ф системы S, т. е. формула, не
содержащая «новых» знаков, обычно называется даже
несущественным2.)
Отыскание модели (или интерпретации) для теории
также представляет собою некоторое (если оно
происходит на другую теорию, то относительное) исключение
абстракций, и притом как раз особенно важное.
К числу способов исключения абстракций более
высоких порядков принадлежат также формализация
теории и приведение поясняющих примеров.
1 Я. Curry, R. Feys. Combinatory Logic. 1958, p. 63.
2 С. Ryll-NardzewskL The Rule of the Axiom of Induction in
Elementary Arithmetic. — «Foundation of Mathematics», XXXIX, 1952,
p. 244.
236
I
Исключение абстракций необязательно Дол&йо пр6л
исходить в абсолютном смысле: оно может носить и
приближенный характер (как это происходит, например,
когда мы применяем геометрию Евклида к решению на
чертеже какой-нибудь задачи на построение циркулем
и линейкой, причем отождествляем абстрактную «точку»,
не имеющую никаких измерений, с некоторым заведомо
трехмерным материальным телом).
Необязательно и исключение всякого отдельного
абстрактного понятия или объекта: исключение может
относиться и ко всему контексту, в который это понятие
(или объект) входит.
5. Абстрактные понятия и объекты более высоких
порядков получаются обычно с помощью так называемой
реификации («овеществления») абстрактных объектов
более низких порядков. Так, например, представляя себе
всякую функцию как некоторый объект (некоторую
«вещь»), мы можем образовать абстрактный объект
более высокого порядка: функционал как функцию,
относящую число к функциям как значениям его аргументов.
Такое образование абстракций более высоких порядков
играет в науке очень большую роль, поскольку
позволяет устанавливать общие законы развития самой науки
(сравни, например, роль современной алгебры — теории
групп, колец, полей, структур, категорий — в
современной математике и физике!).
Поскольку однако, под такие абстракции мы не
умеем подводить непосредственно какие-нибудь
материальные объекты и фактически (физически) осуществимые
операции с ними, с проблемами их исключения могут
быть связаны значительные трудности. По существу эти
проблемы представляют собой задачу выявления
конструктивного содержания неконструктивных теорий.
Действительно, введение абстракций более высоких
порядков бывает сопряжено с не всегда обоснованным
переносом на них свойств некоторых материальных
объектов, с которыми люди непосредственно имеют дело в
жизни, на практике. Это имеет место, например, при
переносе на способы рассуждения, относящиеся к
бесконечным множествам, законов логики, извлеченных из
обращения с конечными множествами вещей (прежде
всего закона исключенного третьего), что ведет к
возникновению «чистых» (неконструктивных) доказательств
237
существования. Всякое же исключение абстракций
носит всегда конструктивный характер. Исключить какой-
нибудь функционал как абстрактный объект заведомо
удается поэтому в тех случаях, когда он носит
конструктивный характер, т. е. когда его значение однозначно
может быть установлено на основании конечной
информации о значениях его функциональных аргументов.
Вообще роль непрерывных функций в математическом
анализе обусловлена прежде всего тем, что для вычисления
приближенного значения такой функции (с
определенной оценкой погрешности) достаточно знать
приближенные значения ее аргументов (с соответствующими
оценками погрешности). Для конкретных непрерывных
функций, с которыми приходится иметь дело на практике,
вопрос об (приближенном) их исключении (как
некоторых абстракций) не представляет поэтому обычно
трудностей. В общем случае, однако, проблемы выявления
конструктивного содержания неконструктивных теорий
весьма трудны. Насколько мне известно, некоторые
интересные новые результаты в этом направлении
получены Г. Крейселем. (По существу можно было бы сказать,
что почти всякое новое продвижение в области
оснований математики связано с выявлением конструктивного
содержания неконструктивных теорий. А в таком случае
здесь следовало бы уже упомянуть по меньшей мере
всех основных представителей современной
математической логики и метаматематики.)
Вопросами исключения абстракций фактически
занимаются семантики. Однако они редко прямо ставят
вопрос именно об исключении абстракций более высоких
порядков и замене их такими абстракциями, которые
допускают материальное истолкование: непосредственно
или с точностью до потенциальной практической
осуществимости. В этой связи представляются особенно
интересными конструктивные истолкования
математических суждений: реализация Клини и особенно
истолкования в терминах нормальных алгорифмов или рекурсив-
ных функций, предложенные Я. А. Шаниным х. Не слу-
1 См. Н. А. Шанин. О конструктивном понимании
математических суждений. — «Труды Математического ин-та им. В. А. Стекло-
ва», 1958, т. LII, стр. 226—311; см. также «Об алгорифме
конструктивной расшифровки математических суждений», «Zeitschrift
fur mathernatische Logik und Grundlagen der Mathematik», Bd. 4,
1958, N 4, S. 298—303.
238
чайно именно с помощью конструктивных истолкований
удается обосновать некоторые классические теории
(например, классическую арифметику натуральных чисел).
Однако следует признать, что ясности насчет того, как
именно исключаются теоретико-множественные
абстракции высоких порядков (например, при применении
математики к естествознанию), у нас еще нет.
6. К проблемам введения и исключения абстракций
относятся и вопросы: формализации теории (ее значения
и границ, недостаточности ее в качестве единственного
способа исключения абстрактных понятий и объектов
содержательной теории); аксиоматического метода как
способа введения абстракций, не содержащего правил их
исключения (почему аксиоматика всегда нуждается в
обоснованьи, например, с помощью интерпретации как
способа исключения абстракций); приема, позволяющего
облегчить обоснование аксиоматически строящейся
теории (отыскание подходящей интерпретации) посредством
включения в систему аксиом таких аксиом (или
правил), которые накладывают ограничения
(соответствующие определенному содержательному истолкованию
теории) на способы введения абстрактных объектов
аксиомами теории; роли примеров для пояснения (для
введения и исключения) исходных понятий
содержательной теории, таких, например, как «конструктивный
объект», «исходная операция», и другие общие
(абстрактные) понятия, с которых начинается содержательная
теория формальных логических систем или исчислений;
роли таких способов введения абстрактных объектов в
теорию, как е — символ Гильберта (и связанных с ним
теорем об исключении этого символа).
Число этих вопросов можно было бы увеличить.
К сожалению, трудно рассчитывать на возможность
остановиться на них сколько-нибудь подробно.
7. В действительности вычислимая функция — это и
есть такая функция, знак которой (в определенном
контексте) может быть исключен. И аналогично тому, как
не всякая вычисляемая функция натуральных чисел
должна быть всюду определенной («общерекурсивной»), по
может быть и частично-рекурсивной, так и правила
исключения не обязательно должны быть всегда
применимыми. Однако должны быть случаи, в которых они
заведомо применимы.
239
Аналогия с вычисляемыми функциями есть не только
аналогия: их значение в математической логике связано,
например, и с тем, что всякое исключение абстракций,
о котором шла речь в пункте 3, может быть
представлено как вычисление значения некоторой
частично-рекурсивной функции («гёделизация»); теория же, некоторой
ни при каких обстоятельствах не могут быть исключены
разумным образом (т. е. без превращения ее в простую
игру с символами) 1 входящие в нее абстракции, не
может вообще претендовать на право называться научной
теорией, так как она на практике неприменима.
8. Марксистско-ленинская методология науки не
боится никаких абстракций (в том числе и очень высоких
порядков), если мы умеем их исключать, т. е. если
содержащая их теория может быть применена на практике.
Само собой разумеется, что это применение теории
на практике может происходить и не непосредственно, а
через другую теорию или последовательность теорий,
основанных на отказе от тех или иных огрубляющих
допущений нашей теории и соответствующем исключении
некоторых абстракций более высоких порядков.
Мы уже отметили выше, что не всякую абстракцию
всегда можно исключить. Ясно, что это связано с тем
обстоятельством, что введение абстракции всегда
представляет собой некоторое огрубление, упрощение,
некоторую идеализацию действительности. Только в
границах правомерности этой идеализации, выделяющей
центральную суть дела, и возможно практическое
исключение абстракций.
Но понятие существа дела само не носит жесткого
(конструктивного) характера: его границы бывают
довольно расплывчаты и могут уточняться по-разному в
разных практических приложениях. Не существует
поэтому «палочки-выручалочки», которую было бы
достаточно приложить, чтобы установить, применима ли
данная абстрактная теория в данных условиях, можно ли
в этих условиях всегда исключить из нее данное
абстрактное понятие, заменив его каким-нибудь его более
конкретным представителем. Нашей аналогии с
вычислимыми функциями и алгорифмами соответствует то об-
1 Которое, кстати, в силу известной теоремы Гёделя, уже в
применении к арифметике натуральных чисел неосуществимо.
240
стоятельство, *1то заведомо существуют такие алгорифмы
(соответственно, такие системы уравнений, задающие
частично-рекурсивную функцию), для которых
неразрешима проблема распознавания их применимости к
объектам некоторого рода (соответственно, проблема
распознавания того, принадлежит ли данная /г-ка
натуральных чисел к области определения данной
частично-рекурсивной функции от п аргументов).
Вопрос о правомерности введения той или иной
абстракции, как и все вообще вопросы, относящиеся к
оправданности научной теории, решается с помощью
критерия практики, включающего в себя всю историю науки
и ее приложений, всю общественную практику людей.
Подчеркивая, что «точка зрения жизни, практики
должна быть первой и основной точкой зрения теории
познания», Ленин добавляет: «Конечно, при этом не надо
забывать, что критерий практики никогда не может по
самой сути дела подтвердить или опровергнуть полностью
какого бы то ни было человеческого представления.
Этот критерий тоже настолько «неопределенен», чтобы
не позволять знаниям человека превратиться в
«абсолют», и в то же время настолько определенен, чтобы
вести беспощадную борьбу со всеми разновидностями
идеализма и агностицизма» К
Этим и объясняется, в частности, то обстоятельство,
что мы отнюдь не всегда умеем исключить всякую
абстракцию. Ведь если бы мы всегда умели сделать это,
в нашем распоряжении были бы только такие понятия,
без введения которых мы по существу не могли бы
обойтись! И в нашей науке вообще не было бы никаких
проблем: не случайно Ленин связывает неограниченные
возможности развития науки с некоторой
«неопределенностью» критерия практики.
Подводя итог, мы можем сказать, что точка зрения
на абстракции как на единство общего и конкретного
означает, что: 1) научный смысл имеют только
абстракции, которые отражают какое-либо существо дела и
поэтому заведомо приложимы к чему-нибудь, т. е. которые
можно исключать; 2) однако не требуется, чтобы это
исключение было в любых контекстах возможно или
было возможно в абсолютном (а не приближенном только)
1 В. И. Ленин. Поли. собр. соч., т. 18, стр. 145—146.
241
смысле; 3) но должны быть случаи — и притом
практически важные, — когда оно (хотя бы приближенно)
возможно.
Это и отличает нашу точку зрения от точек зрения
как номиналистов, которые требуют, чтобы абстракции
более высоких порядков всегда можно было исключить
настолько, чтобы фактически их можно было и не
вводить, так и реалистов («платоников»), которые
полагают, что абстракции достаточно только вводить
(непротиворечивым образом), поскольку они сами по себе (в
таком случае) имеют реальный смысл (существуют в
особом мире реальных идеальных объектов). И те, и
другие фактически лишают абстракции их
познавательного значения в отношении к окружающему нас миру.
О РОЛИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТРОГОСТИ
В ИСТОРИИ ТВОРЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ
МАТЕМАТИКИ И СПЕЦИАЛЬНО О «ГЕОМЕТРИИ»
ДЕКАРТА«
§ 1. Издавна — еще с античной древности —
отличительной чертой математики считалась ее строгость.
Именно математическая строгость — строгая логическая
необходимость математических доказательств и точность
вычислений — делала математику образцом наук и
рассматривалась как обеспечивающая ей высшую
степень достоверности и объективности. Идеалистам
рационалистического толка это представлялось особенно
привлекательным, поскольку, казалось, давало
возможность защищать тезис о том, ^то критерием истины в
математике является не критерий практики, а
формальная строгость.
Но и материалистически мыслившие (в применении
к своей науке) математики, даже в XVIII в., т. е. в
эпоху, когда, как писал Энгельс, «девственное состояние
абсолютной значимости, неопровержимой доказанности
всего математического навсегда ушло в прошлое»2, не
хотели отказаться от претензий на математическую
строгость, и притом понимаемую по-прежнему, т. е. как
гарантирующую абсолютную надежность результатов
математики. В подтверждение достаточно еще раз
упомянуть неоднократно приводившиеся в этой связи
высказывания Л. Эйлера, направленные против таких
аргументов защитников актуально бесконечно малых
Лейбница, которыми пользовался, например, Хр. Вольф.
В своих «Anfangs—Grunde» (1710) Вольф писал:
«Заметьте хорощенько, что бесконечно малая величина
только по сравнению с другой может быть принимаема
за нуль; сама же по себе она не является нулем. В са-
! Статья опубликована в сборнике, посвященном памяти
С. А. Яновской. Сокращенный вариант опубликован в журнале
«Вопросы философии», 1966, № 3.
2 К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 20, стр. 89.
243
мом деле, представьте, что вы желаете измерить высоту
горы и что во время этой работы ветер сдул песчинку с
ее вершины. Итак, гора стала ниже на диаметр
песчинки. Однако, так как измерение горы производится таким
образом, что величина высоты окажется одной и той же,
лежит ли песчинка на ее вершине или сдута ветром, то
можно считать песчинку по сравнению с большой горой
за ничто и таким образом считать ее величину по
сравнению с высотой горы за бесконечно малую»1.
В противоположность этому Эйлер вводил свое
исчисление дифференциалов как нулей («разных» нулей,
нуждающихся и в разных обозначениях, поскольку «два
нуля могут иметь друг к другу любое геометрическое
отношение, хотя с арифметической точки зрения их
отношение есть отношение равенства»2) и писал: «Поэтому
само собой отпадает возражение, ставящее в упрек
анализу бесконечно малых пренебрежение геометрической
строгостью, ибо то, что отбрасывается, есть не что иное,
как подлинный нуль. И потому с полным правом можно
утверждать, что и в этой высшей науке столь же
тщательно соблюдается величайшая геометрическая строгость,
какую мы находим в книгах древних авторов»3.
Именно в этой строгости Эйлер и видел гарантию
надежности математики. «Что чувства часто нас
обманывают, — это, конечно, верно, — писал он, — но такое
возражение меньше чем кому-нибудь другому может
быть сделано математикам. Ведь именно математика в
первую очередь защищает нас от обмана чувств и учит,
что одно дело — как на самом деле устроены предметы,
воспринимаемые чувствами, другое дело — какими они
кажутся; эта наука дает надежнейшие правила; кто им
следует, тому не опасен обман чувств»4.
1 Цит. по: Сб. «Л. Эйлер». М, 1935, стр. 60; см. также:
М. Я. Выгодский. Математическая строгость в XVIII веке. —
«Труды Совещания по истории естествознания, 24—26 декабря 1946 г.*.
М—Л., 1948, стр. 189.
2 Л. Эйлер. Дифференциальное исчисление. М., 1949, стр. 91.
С помощью понятия предела можно уточнить, конечно, и Эйлерово
исчисление нулей разных порядков. Более подробно об этом см.,
например, в статье А. П. Юшкевича «О «Геометрии» Декарта»,
приложенной к книге Ренэ Декарта (Р Декарт. Рассуждение о
методе. С приложениями Диоптрика, Метеоры, Геометрия. М., 1953.)
А. П. Юшкевичу принадлежат и примечания к книге.
3 Л. Эйлер. Дифференциальное исчисление, стр. 92.
4 Там же.
244
Вообще математикам трудно было примириться с
тем, что и в их строгой науке обнаруживалось
неблагополучие. То обстоятельство, что можно быть строгим
математиком и не располагать тем не менее объективным
критерием ценности новых математических открытий и
теорий, очень удивляло их еще в конце прошлого века.
Так, по поводу своей знаменитой «Эрлангенской
программы» (1872) и содержавшихся в ней идей нового
тогда построения основ геометрии Феликс Клейн уже в
начале двадцатых годов нашего века писал: «Эти мои
мысли натолкнулись на жестокое противодействие с
совершенно разных и взаимно противоречащих сторон и
по основаниям самого различного рода; вот прекрасный
пример того, как много приходится затратить труда,
даже в нашей, кажущейся объективной науке для того,
чтобы провести новую идею»1.
§ 2. В своих «Лекциях о развитии математики в
XIX столетии» Клейн высказал ряд соображений,
относящихся к математической строгости. С некоторыми из
них трудно не согласиться. Так, он подчеркнул,
например, что, как это показывает история математики,
понятие «строгости» «развивается лишь постепенно в процессе
общего прогресса науки»; что в ходе его развития
оказываются превзойденными и представлявшиеся
абсолютно безупречными каноны строгости, характерные для
таких математиков, как Евклид, Гаусс и Вейерштрасс,
что «и в этом отношении развитие науки столь же
неограниченно, как и в творческой силе созидания нового»2.
Но в то же время Клейн противополагал логическую
строгость творческой активности и в соответствии с этим
выделял в истории математики периоды творческие и
критические. «В периоды неудержимого роста
творческой продуктивности, — писал он, — требование
строгости часто отступало на задний план, уступая
стремлению к возможно большему и быстрейшему обогащению
научного достояния. В следующие же затем периоды
критики — периоды просеивания и очистки достигнутых
приобретений — стремление к строгости начинало опять
играть доминирующую роль»3. В подтверждение он ссы-
1 Ф. Клейн. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.,
1937. стр. 189.
2 Там же, стр. 84.
3 Там же, стр. 83.
245
лался на эпоху бурного развития дифференциального и
интегрального исчисления в XVIII столетии и создание
теории алгебраических кривых в XIX в., с одной стороны,
и на «эпоху схоластики, сочетавшую незначительную
продуктивность с величайшей остротой критического ума», —
с другой.
Та же история математики, особенно более близкая
к современности, свидетельствует, однако, о том, сколь
важную роль для получения новых результатов в
математике для решения наиболее трудных ее задач, для.
создания новых, революционных, направлений в науке
могут иметь достижения в области, относящейся к
проблематике, связанной с требованиями логической
строгости.
В этой связи достаточно напомнить, что Лобачевский
пришел к неевклидовой геометрии исходя из того, что
«никакая Математическая наука не должна бы
начинаться с таких темных понятий, с каких, повторяя
Евклида, начинаем мы Геометрию, и... нигде в Математике
нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой
принуждены были допустить в теории параллельных
линий» !.
Достаточно заметить, что важнейшие результаты в
области математического анализа в XIX в. были
получены благодаря тому и после того, как в ходе ряда
дискуссий были уточнены основные понятия анализа:
понятия действительного и комплексного числа, предела,
непрерывности, функции. В результате дискуссии о
понятии функции тригонометрические ряды стали играть
роль одного из важнейших средств выражения
функциональной зависимости в математике и математической
физике. «Фундаментальные последовательности» Коши2 не
только вывели — для области действительных чисел —
сначала понятия «предел» и «действительное число» из
того порочного круга, в котором «предел» определялся
через «действительное число», а «действительное число»
через «предел», — позволили, таким образом, точно
определить основные понятия математического анализа:
«непрерывность», «производную», «интеграл» и другие,
1 Н. И. Лобачевский. О началах геометрии. — Поли. собр. соч.,
т. I. М—Л., 1946, стр. 185.
2 Термин «фундаментальные последовательности» принадлежит
Г. Кантору.
246
Чтобы строго доказывать теоремы о них, но и привели
в дальнейшем к новой проблематике, связанной с
необходимостью различения «равномерной» и «неравнохМер-
ной» сходимости и непрерывности, а затем и с более
общими проблемами современных топологии и
функционального анализа.
Не говорю уже о той роли, и притом именно в
творческом развитии математики конца XIX — начала XX в.,
которую сыграло создание теории множеств — этой
науки, заведомо лежащей на границах логики и
математики, о творце которой, Георге Канторе, Ф. Клейн писал,
что он «недаром учился у схоластиков», у которых
воспринял, очевидно, «дух критики, стремление разложить
на* простейшие элементы всякий логический шаг, «идеал
строгости»»1. Хотя Клейн, по-видимому, считал теорию
множеств нужной «только» для целей обоснования
математики, и хотя с этой задачей математика заведомо не
справилась, поскольку в ней были обнаружены
противоречия, значение теории множеств для всей
«классической» современной математики — ее не только
критических, но и творческих направлений — трудно
переоценить. В сущности и современные конструктивные
направления в математике своим возникновением во многом
обязаны теории множеств, развитие которой вскрыло
трудности, связанные с «теоретико-множественным
методом мышления», т. е. по существу с абстракцией
актуальной бесконечности.
Значение логической строгости — и вообще
философских проблем, связанных с логическим уточнением
понятий и методов математики и математической логики,—
для всего развития этих наук наиболее ярко видно,
однако, на современном этапе этого развития. Здесь опять
достаточно ограничиться небольшим числом примеров.
Давно известно, конечно, какую роль сыграло строгое
уточнение постановки задачи для решения знаменитых
задач древности о квадратуре круга, трисекции угла и
удвоении куба. Более двух тысячелетий эти задачи не
удавалось разрешить: неизвестно было даже, можно ли
считать решениями многочисленные способы построения
(с помощью различных 'инструментов) квадрата, равно-
1 Ф. Клейн. Лекции о развитии математики в XIX столетии,
стр. 83.
247
Ёеликого данному кругу, угла, являющегося третьей
частью данного угла или куба, объем которого в двй
раза больше объема данного куба, то и дело
предлагавшиеся разными авторами, также начиная еще с
античной древности. Лишь когда эти задачи были точно
сформулированы как задачи на построение именно циркулем
и линейкой и была полностью выяснена связь таких
построений с решением квадратных уравнений, оказалось
возможным строго доказать, что так поставленные
задачи неразрешимы: циркулем и линейкой требуемые в
них построения нельзя осуществить.
Но особенно яркий пример того, сколь важную роль
для продуктивного творческого развития науки может
играть удовлетворяющее требованиям математической
строгости уточнение понятий, дает история понятия
алгорифма. Начиная с 30-х годов нашего века это понятие
получило даже много таких уточнений. К их числу
принадлежат: «машина Тьюринга», «Л-определимость Чёр-
ча», «конечные комбинаторные процессы Поста»,
«рекурсивные функции Гёделя и Клини», «нормальные
алгорифмы Маркова», «алгорифмы по Колмогорову и
Успенскому», «операторные алгорифмы Ершова», «алгорифмы,
определяемые граф-схемами Калужнина» и много других.
(Как известно, все эти определения эквивалентны:
каждое из них влечет каждое другое. И в силу того, что все
они удовлетворяют требованиям математической
строгости, их эквивалентность может быть строго доказана.)
Достигнутое таким образом уточнение понятия
алгорифма не только позволило впервые доказать
несуществование ряда алгорифмов, над бесплодными поисками
которых крупнейшие математики и логики бились много
лет, не только легло в основу ряда понятий и
предложений теории автоматов, математической лингвистики и
других разделов кибернетики. Оно привело к созданию
и к очень продуктивной творческой разработке, прежде
всего у нас, в Советском Союзе, нового, конструктивного
направления в математике, все понятия и теоремы
которого (часто весьма неожиданные и трудные) всегда
основаны на теории алгорифмов.
Вообще по праву можно сказать, что лицо
современной, прежде всего машинной, математики все более и
более определяется именно тем, что в связи с развитием
философских и логических оснований математики, а так-
248
же логической теории математического доказательства
было уточнено понятие алгорифма (и эквивалентное ему
понятие рекурсивной, или вычислимой, функции).
§ 3. Но если так, то в чем дело? Почему, если верно
утверждение Клейна, что «в очень редкие эпохи дух
критики, стремление разложить на простейшие элементы
всякий логический шаг, «идеал строгости» никогда не
были столь сильны, как во времена схоластики» \ оно
документально подтверждается многочисленными
выдержками из трудов схоластов в «Формальной логике»
Бохенского2 — столь незначительной была
продуктивность «точных» наук в этот период?
Суть дела в том, что математическая, или логическая,
«строгость» сама по себе отнюдь не является еще
гарантией истинности и надежности науки. Нетрудно привести
примеры, где строгая последовательность выводов могла
принести — и действительно принесла — только вред
прогрессивному развитию науки. Именно такой и была
в основном логическая строгость у большинства
схоластов, для которых философия (логика, в том числе) была
призвана играть роль служанки богословия.
Действительно, если «усердие к истине» 1) требует «считать
истинным все то, что содержится в писании», и 2)
запрещает «толковать священное писание вразрез с тем
смыслом, который общепринят святыми отцами», то из того,
что учение Коперника «противоречит многим местам
священного писания, буквальный смысл которых
установлен согласно всеми святыми отцами, свидетельствует о
противном [этому учению]», следует, что нельзя быть
«движимым усердием к истине» и не считать при этом
учение Коперника ложным. В этом рассуждении
священнослужителя доминиканского ордена Фомы Каччини,
заимствованном из протокола его допроса по делу Гали-
1 Ф. Клейн. Лекции о развитии математики в XIX столетии,
стр. 83.
2 /. М. Bochenski. Formale Logik. Freiburg—Munchen, 1956. Труд
Бохенского по истории формальной логики представляет собой
собрание текстуальных выдержек из оригинальных трудов по логике,
снабженных краткими комментариями автора. Не приходится
сомневаться в том, что порочные мировоззренческие установки автора
ведут его к заключениям, искажающим действительную историю
развития логических средств мышления в науке, иногда даже
историю трудов по логике. Но об этом будет сказано ниже.
9 С. А. Яновская 249
лея 1, нарушений логической строгости заведомо нет: по*
сылки, из которых исходит брат Каччини, со всей
строгостью влекут заключение о том, что учение Коперника
ложно. Вряд ли можно считать, однако, такое
заключение содействующим продуктивному развитию науки.
Конечно, и схоласты знали, что из ложных посылок
можно вывести ложное заключение. Однако как
обеспечить истинность посылок, если запрещается сомневаться
в догматах веры? Именно против этого догматического
способа мышления и выступили все прогрессивные
ученые эпохи Возрождения. Больше того, силлогистика
Аристотеля и относящиеся к ней логические труды схоластов
не могли уже удовлетворить потребностям
развивающейся науки в средствах доказательства — в правилах
логики научного мышления. Математика прежде всего
очень нуждалась в таких правилах вывода, которые
давали бы ей возможность доказывать теоремы о любых
объектах какого-нибудь рода, даже если этих объектов
сколь угодно много и теорема может быть доказана
специально для каждого из них, но доказательство для
объекта а отлично от доказательства для объекта Ь, если
Ъ отличен от а. Как проверить, однако, что теорема
действительно может быть доказана для любого объекта
какого-нибудь рода, если это доказательство всякий раз
другое, а объектов бесконечно много? Ведь нельзя
осуществить бесконечное множество доказательств!
Наиболее естественный выход из затруднений такого
рода дает правило полной индукции, позволяющее
сводить — при определенных условиях — доказательства,
которые должны выглядеть по-разному для разных
элементов какого-нибудь бесконечного множества, хотя
доказывают для всех ниходно и то же, к доказательствам,
которые осуществляются по-разному только для
конечного (чаще всего даже только единичного) множества
объектов и совершенно одинаково для всех элементов
некоторого бесконечного множества (чаще всего для всех
натуральных чисел).
§ 4. В пояснение приведу пример, который нам еще
понадобится для дальнейшего. Пусть мы хотим
доказать непротиворечивость некоторой формальной теории Т
1 Этот протокол приведен полностью в книге М. Я. Выгодского
(см. М. Я. Выгодский. Галилей и инквизиция. М., 1934, стр. 144—
149).
250
достаточно простого вида, содержащей лишь конечное
число аксиом и правил вывода, каждое из которых дает
заключение из какого-нибудь конечного множества
посылок, а вывод есть цепочка (ряд) формул (быть может,
и пустой ряд), члены которой суть либо аксиомы, либо
формулы, полученные из каких-нибудь предшествующих
формул цепочки по одному из правил вывода. Если в
языке этой теории есть отрицание и конъюнкция (союз
«и»), то непротиворечивость ее можно понимать как
невыводимость в ней формулы вида 31 и не- 31, где §Г —
формула этой теории 1. Но выводимых формул в Т
бесконечно много (достаточно заметить, что если А —
аксиома, то выводимы и сама Л, и (А &Л), где & — знак
конъюнкции, и
({А&А)&А),к(((А&А)&А)&А\ и т. д.
Выписать их все, чтобы убедиться в том, что среди
них нет формулы вида ( 31 и не-$1), поэтому невозможно,
но естественно поступить так: отыскать такое свойство S,
для которого можно доказать:
(1) что каждая из аксиом обладает этим свойством
S (чаще всего доказать по-разному для каждой из этих
аксиом);
(2) что каждое из правил вывода сохраняет это
свойство, т. е. если посылки обладают (все!) свойством S, то
и заключение, получаемое по этому правилу, также
обладает свойством 5 (здесь опять приходится давать
особое доказательство для каждого из правил в
отдельности) 2;
(3) что никакая фомула вида ( 31 и не-31) не
обладает свойством 5 (это доказательство, которое
относится уже к бесконечному множеству различных формул,
приводится обычно для любой формулы этого вида,
иными словами, одинаково для всех таких формул).
1 В обычных формальных теориях, где из противоречия следует
все, что угодно, достаточно показать существование в языке этой
теории хотя бы одной формулы, не выводимой в ней. Если в языке
теории нет отрицания, то под непротиворечивостью ее и понимают
обычно существование в ее языке формулы, не выводимой в ней.
2 Но здесь не исключена возможность, что доказательство
может потребовать в свою очередь применения правила полной
индукции. Мы будем предполагать, однако, что с этой трудностью
мы уже справились, и пойдем дальше. Из дальнейшего будет
видно, в частности, ЧТО можно делать и в таких случаях.
251
После этого доказать, что никакая формула вида
(St и не-ЭД ) невыводима в Г, уже нетрудно: достаточно
показать, что все формулы, выводимые в Т, обладают
свойством S. Это можно осуществить так: всякому
выводу поставить в соответствие его длину, т. е. число его
шагов (шаг вывода состоит в написании аксиомы или
формулы, получаемой в результате применения одного из
правил вывода), и затем показать, что в каждом выводе
любой длины п (п>\) последняя (заключительная)
формула непременно обладает свойством S. Такая
теорема уже не будет доказана одинаково для любого п. Но
а) для я=1 она уже доказана в силу (1), поскольку
первый шаг вывода может состоять только в написании
аксиомы; Ь) если мы допустим теперь, что наша теорема
доказана для любого вывода, длина которого не больше,
чем некоторое фактическое число /г, то в силу (1) и (2)
она будет доказана и для каждого вывода длины п+\:
ведь формула, которую мы напишем на я+1-ом шагу,
есть либо аксиома (и, значит, обладает свойством S в
силу (1)), либо же она есть формула, полученная по
какому-нибудь правилу вывода из формул, обладающих
свойством S, согласно нашему допущению (почему и она
должна обладать свойством S в силу (2)).
Но в таком случае наша теорема будет уже доказана
для любого вывода любой длины п.
Мы видим, таким образом, что правило полной
математической индукции, которое мы применили здесь,
действительно разрешает сводить доказательства,
осуществляемые по-разному для разных а, к таким
доказательствам, каждое из которых относится только к одному
объекту: вполне определенному (как, например, число 1)
или произвольному (как, например, фиксированное
натуральное число п). Иными словами, оно позволяет
сводить (при определенных условиях) доказательства,
осуществляемые по-разному для разных а, к таким
доказательствам, которые выполняются одинаково для любого
я, если доказывают что-либо для всех п (например,
«наследование» свойства S выводом длины п+\ от всякого
вывода длины п, обладающего этим свойством).
Этот последний способ доказательства общих
предложений, называемый иногда «правилом Локка», и есть
принимаемое обычно в исчислении предикатов правило
«обобщения», или «введения квантора общности», позво-
252
ляющее из доказанности Р (а) сделать заключение о
доказанности у х Р (х) (для всех х Р (х)). (Из того, что
теорема доказана для равнобедренного треугольника
ABC, сделать заключение, что она верна для всех
равнобедренных треугольников.)
§ 5. Употребляемое как правило вывода, т. е.
логическое по своей природе, правило полной
математической индукции прочно вошло в математический обиход
уже в XVII в. В современной логике оно приняло более
общую форму, имеющую ряд подвидов: структурная
индукция, дедуктивная индукция, натуральная (или
математическая) индукция. Значение его трудно переоценить.
Дело в том, что всякая формальная система (исчисление
или дедуктивная теория) строится индуктивно. Это
значит, что индуктивный характер носят как правила
образования ее термов, объектов и формул (высказываний),
так и правила преобразования, выделяющие среди
формул доказанные (теоремы). И те и другие указывают
сначала, в чем состоит базис индукции (какие
элементарные термы и элементарные формулы вводятся
правилами образования и какие аксиомы — правилами
преобразования), а затем, как проделывается индуктивный
шаг (из элементарных термов и формул строятся
сложные термы и формулы; начиная с аксиом, выводятся
теоремы).
Чтобы построить общую теорию таких формальных
систем (т. е. настоящую теоретическую «формальную
логику», а не какую-нибудь специальную формальную
систему, объявляемую «логикой») *, необходимо
располагать прежде всего правилом полной индукции. Именно
это правило позволяет доказывать общие свойства
любых термов, формул или теорем формальной теории,
1) проверив верность их для базиса (элементарных
термов, формул или аксиом) и 2) показав, что каждый шаг
построения сохраняет свойство S (т. е. наследуется
объектом, строящимся на этом шагу, если объекты, из
которых он строится, обладают им).
1 Без обоснования объявить, поскольку таковое — и притом как
раз в случаях, когда система, которую мы хотим обосновать,
достаточно богата средствами выражения, — нуждается уже в правилах
логики, невыразимых в этой системе, т. е. выходящих за ее
пределы.
253
Индуктивный характер всякой точной дедуктивной
науки был, конечно, уже известен в XVII в. и особенно
подчеркивался Декартом, который неустанно говорил о
том, сколь важно в науке расположить все предметы,
нуждающиеся в исследовании, в определенном порядке,
начиная с простейших по ступеням (или «как бы по
ступеням»1), с тем чтобы, «исходя из интуиции простейших,
восходить по тем же ступеням к познанию всех
остальных»2. Такое расположение он даже часто называл при
этом «энумерацией, или индукцией»3 и сравнивал с
цепью, в которой, если она слишком длинная, «мы не
можем различить одним взглядом все кольца», «но тем
не менее если мы видели соединение каждого кольца с
соседним порознь, то этого нам уже будет достаточно,
чтобы сказать, что мы видели связь последнего кольца
с первым»4.
Замечательно, что конструктивный характер такого
построения дедуктивной науки также подчеркивался уже
Декартом. Действительно, говоря о том, как сводить
трудное к простому, Декарт писал: «...не следует с
первого раза приступать к изучению трудных и недоступных
вещей, но необходимо начинать с самых легких и
простых, и главным образом таких, в которых более всего
господствует порядок. Примером последнего может
служить искусство ткачей и обойщиков, искусство женщин
вязать спицами или переплетать нити тканей в
бесконечно разнообразные узоры; таковы все действия над
числами и вообще все, что относится к арифметике, и т. п.»5.
Для сравнения приведу теперь слова, которыми один
из видных представителей современной конструктивной
математики и логики Пауль Лоренцен начинает раздел
«Логика» в своей книге «Введение в оперативную логику
и математику».
1 Третье правило «Рассуждения о методе» требует
«придерживаться определенного порядка мышления, начиная с предметов
наиболее простых и наиболее легко познаваемых и восходя
постепенно к познанию наиболее сложного, предполагая порядок даже и там,
где объекты мышления вовсе не даны в их естественной связи».
(Р. Декарт. Избранные произведения. М., 1950, стр. 272.)
2 Там же, стр. 95.
3 Там же, стр. 102.
4 Там же, стр. 103.
5 Там же, стр. 115,
2М
«Схематическое оперирование с фигурами знакомо
каждому. Например, при построении стены кирпичи
кладутся друг на друга по некоторой схеме. При вязании
спицами схематически делаются и связываются друг с
другом петли. Сложение и умножение натуральных
чисел — это не что иное, как схематические операции.
Вообще в математике все снова и снова выступают и на
высших стадиях ее развития схематические операции>/ *.
Именно общую теорию такого «схематического»
оперирования по некоторым (конструктивным) правилам и
представляет собой «оперативная» логика Лоренцена.
Больше того, именно эти — логические! — идеи
Декарта находятся, так сказать, на подступах к точной
формулировке правила полной индукции (как известно,
последнее в форме полной математической индукции
было точно сформулировано уже Б. Паскалем),
определяют план, следуя которому Декарт построил свою
«Геометрию» — труд, приведший к созданию принятой
нами и теперь буквенной алгебры и аналитической
геометрии и лежащий в основе всего дальнейшего
исторического развития -математики.
Логика Декарта не была еще строго
сформулирована им. Ни «Правила для руководства ума», ни
«Рассуждение о методе» не содержат еще точных формулировок
правил этой логики. Однако она уже. была достаточно
осознана (и достаточно понятно изложена), чтобы дей>
ствительно позволить науке выйти за пределы тех средств
логического вывода, которые были доступны даже
весьма тонким (в логике!) схоластам, прежде всего
позволить это самому Декарту.
Декарт был горячим противником схоластики, об
узах которой он неоднократно говорил. Это отнюдь не
означает, однако, будто его «Рассуждения о методе»
имеют только методологический, а не логический (т. *е.
относящийся непосредственно и к способам логического
вывода) характер. Нетрудно показать, что творческая
продуктивность Декарта в области математики была
обусловлена именно тем, что его «Правила для
руководства ума» содержали и новые правила логического
вывода, в частности, близкие уже к методу полной мате-
1 P. Lorenzen. Einfuhrung in die operative Logik und Mathematik.
Springer—Verlag, 1955, S. 5.
255
матической индукции. Таким образом, и здесь
логическая строгость математики шла не вразрез с творческим
развитием этой науки, а, наоборот, содействовала ему.
Но только другая логическая строгость, такая, в которой
действительно нуждалась наука.
Само собой разумеется, что если «нетрудно показать»
что-то, то нужно хотя бы намекнуть, как именно
делается это. Останавливаться на этом во всех деталях в
настоящей статье вряд ли имеет смысл. Мы позволим себе
поэтому ограничиться некоторыми пояснениями.
§ 6. Как известно, в «Началах» Евклида все задачи
решаются не вычислением, а построением, и притом
именно циркулем и линейкой (правда, не реальными, а
идеальными циркулем и линейкой), т. е. сводятся к
построению прямых и окружностей.
Суть дела в том, что эта геометрия метрическая: в
ней имеются понятия длины отрезка, площади
поверхности, объема тела. Но уже «длина отрезка» приводит к
трудностям: диагональ квадрата оказывается
несоизмеримой с его стороной; и если принять сторону квадрата
за_ единицу, то диагональ должна будет иметь длину
V2, что невыразимо никаким рациональным числом
(как это было широко известно уже во времена
Аристотеля). Между тем построить квадрат (идеальными!)
циркулем и линейкой можно с абсолютной точностью.
А тогда не менее точно будет строиться и его диагональ,
вычислить длину которой можно только приближенно.
Однако уже задача построить куб, объем которого в
два раза больше объема данного куба, приводит к
необходимости построить отрезок, длина которого должна
быть равна J/Jf. Строго доказать, что такая задача
циркулем и линейкой неразрешима, Декарт еще не сумел.
Но он уже пытался доказать это и, главное, знал, что
достаточно допустить помимо окружности и прямой
конические сечения, чтобы задача стала разрешимой.
Какие же инструменты (и соответствующие кривые)
допустимы в геометрии, «если — как это и делают —
почитать геометрическим то, что определенно [precis] и точно
[exact], а механическим то, что не таково...»? !.
1 Р. Декарт. Рассуждение о методе. С приложениями
Диоптрика, Метеоры, Геометрия, стр. 321. Мы будем далее цитировать эту
книгу просто как «Геометрия». Очень существенное значение для
понимания «Геометрии» Декарта имеют приложенные к этому из-
256
Заметим, что и Декарт не допускал в математике
иррациональных чисел, поскольку их нельзя вычислить с
полной точностью. Приближенные вычисления уместны,
правда, с его точки зрения, в механике, но неуместны в
такой «строгой» науке, как математика. Как и Евклид,
Декарт полагал поэтому, что алгебраические задачи
нужно решать не вычислением, а построением. Однако
Евклид ограничивался только задачами, сводящимися
к квадратным уравнениям, а Декарт хотел решать
алгебраические уравнения любого порядка. Свою алгебру
он строил как геометрическое исчисление отрезков, в
котором в отличие от того, как это делал Виётт,
произведение двух отрезков было также отрезком (а не
площадью) и строилось (циркулем и линейкой) на основе
теории пропорций с помощью проведения параллельных
прямых !. Эта алгебра была, таким образом, изоморфна
арифметической алгебре, в которую ее и перевели в
дальнейшем Ньютон и Лейбниц; однако в ней еще уравнения
должны были решаться — и притом не приближенно, а
точно — с помощью построения, а не вычисления. Но
для этого требовалось расширить запас средств
построения. Спрашивается, как?
В ответ на этот вопрос Декарт дает сначала правило
(схему) последовательного построения ряда шарнирных
механизмов (обобщение мезолатии Эратосфена),
позволяющее ему, в частности, считать решенной задачу о
вставлении любого числа средних пропорциональных
между двумя данными отрезками.
Больше того, Декарт знает уже, что с помощью
плоских шарнирных механизмов можно строить дуги любых
плоских алгебраических (и только алгебраических)
кривых (любого порядка). (Доказательство было
предложено в 1876 г. Кемпе, имя которого и носит теперь эта
теорема.) Он особо подчеркивает при этом, что
шарнирный механизм состоит из ряда звеньев, последовательно
соединенных друг с другом так, что движение исходного
данию комментарии А. П. Юшкевича: примечания и статья «О
«Геометрии» Декарта».
1 «Все задачи геометрии можно легко привести к таким
терминам, что для их построения нужно будет затем знать лишь длину
некоторых прямых линий». Этими словами (вслед за
«Предуведомлением») начинается «Геометрия» Декарта (см. Р. Декарт.
Рассуждение о методе. С приложениями Диоптрика, Метеоры, Геометрия,
стр. 301). Под «прямой линией» здесь имеется в виду отрезок.
257
звена определяет последовательно движение всех
остальных. «Геометрические» (алгебраические) кривые он
и характеризует тем, что их «можно представить себе»
описанными «непрерывным движением или же
несколькими такими последовательными движениями, из
которых последующие вполне определяются
предшествующими, — ибо этим путем всегда можно точно узнать их
меру». В отличие от этого такие (трансцендентные)
кривые, как спираль, квадратриса и им подобные,
«действительно принадлежат только механике и не относятся к
тем, которые должны, на мой взгляд, быть здесь
допущены, так как их представляют себе описанными двумя
отдельными движениями, между которыми не
существует никакого отношения, которое можно было бы точно
измерить» 1. (Спираль описывается поступательным
движением точки по прямой, которая при этом вращается2;
точка пересечения двух прямых, из которых одна
движется поступательно, оставаясь параллельной исходному
положению, а другая вращается, описывает квадратрису.
Утверждение, что между двумя движениями, с помощью
которых представляют себе описанными спираль и
квадратрису, «не существует никакого отношения, которое
можно было бы точно измерить», основывается,
по-видимому, у Декарта на том, что равномерное движение
точки по прямой порождает отрезок, а по окружности —
дугу окружности, задача же измерить единичным
отрезком длину окружности или ее дуги конструктивно
неразрешима, по Декарту, так как не сводится к решению
алгебраического уравнения.)
В эпоху Декарта исключение приближенных
вычислений из математики было уже, конечно, анахронизмом.
Математики еще, правда, не умели точно ответить на
вопрос о том, когда можно считать действительное число
вычислимым с любой наперед заданной степенью
точности. Но в их распоряжении была уже теория отношений
Евдокса — Евклида, на которую в противовес Декарту
и ссылался Ньютон, определяя число как отношение.
И хотя вопрос о том, как вычислять эти отношения, еще
не ставился в общем виде, но на примерах с ним благо-
1 Р. Декарт. Рассуждение о методе. С приложениями
Диоптрика, Метеоры, Геометрия, стр. 321.
2 Оба эти движения происходят одновременно, но независимо
одно от другого.
258
получио справлялись. Так, еще в античной древности
был известен алгоритм (антифарейзис), позволявший,
говоря на более близком нам языке, по любому, сколь
угодно малому, положительному числу е вычислять
рациональное число ае, квадрат которого отличался бы
от числа 2 не более чем на е. В этом смысле и можно
было считать V'2 сколь угодно точно вычислимым.
Аналогично обстояло дело — после работы Архимеда «Об
измерении круга» — даже с трансцендентным числом я
(отношением длины окружности к ее диаметру).
Декарту была нужна, однако, строгая общая теория.
По-видимому, именно поэтому он предпочел иметь дело с
решением математических задач не вычислением, а
построением, т. е. аналогично тому, как это делал еще
Евклид1. Но Декарт уже не мог ограничиться циркулем и
линейкой (окружностью и прямой), как это было у
Евклида. Чтобы уметь решать алгебраические уравнения
любой степени, ему нужно было расширить запас средств
построения, и притом так, чтобы решение можно было
получать эффективно.
Дело в том, что, как это явствует из «Правил для
руководства ума», Декарт представлял себе, что всякое,
доступное человеческому уму, решение задачи (с
помощью математики) должно состоять в следующем2:
1) хорошо поняв вопрос и освободив его от всех
излишних представлений, свести его к определению
некоторых неизвестных величин (Правила XIII—XVI);
2) приняв задачу за решенную, т. е., «не обращая
внимания на то, что некоторые из ее терминов известны, а
некоторые неизвестны», выяснить, какие зависимости
должны иметь место между теми и другими (Правило
XVII);
1 Как отмечает А. П. Юшкевич, еще комментатор Декарта
Ф. Дебон (1695 г.) «подчеркивал, что общие отношения величин
нужно рассматривать как отношения отрезков, ибо «этого не дают
числа, которые не в состоянии выразить отношения, имеющиеся
между несоизмеримыми количествами»» (Р. Декарт. Рассуждение о
методе. С приложениями Диоптрика, Метеоры, Геометрия, стр. 547).
2 Аналогичную трактовку «Правил» Декарта мы находим,
например, в кн.: G. Poly a. Mathematical Discovery, vol. I. Ne'w-York-—
London, 1962, p. 26—128. На стр. 22 книги Пойа резюмирует правила
Декарта так: «Во-первых, своди любой род проблем к
математической проблеме», «во-вторых, своди любой род математической
проблемы к проблеме алгебры», «в-третьих, своди любую проблему
алгебры к решению одного только уравнения».
259
3) попытаться выразить эти зависимости в виде
равенств, т. е. отыскать такие величины, выражая которые
(каждую из них) двумя разными способами, получить
столько уравнений, «сколько неизвестных терминов мы
предполагаем известными» (Правило XIX);
4) «если имеется много таких уравнений, то нужно
их привести все к одному» (Правило XXI, последнее).
Так как при этом полагались в основу только четыре
действия: сложение, вычитание, умножение и деление
(Правило XVIII) \ то Декарт оказывался в состоянии
искать решения для таких (и только таких) задач,
которые сводятся к алгебраическим уравнениям (любых
степеней) с одной неизвестной. Это значит, что он
должен был дать еще правила решения таких уравнений.
В «Правилах» Декарта таких правил нет. Это
сочинение осталось недоконченным. Оно обрывается на
Правиле XXI. Предлагаемые Декартом способы решения
алгебраических уравнений содержатся, однако, в его
приложенной к «Рассуждению о методе» «Геометрии»2.
Как известно, уравнения третьей и четвертой степени
в общем случае не решаются уже циркулем и линейкой.
Однако решение их сводится к отысканию точек
пересечения конических сечений, т. е. алгебраических кривых
второго порядка. Достаточно иметь поэтому в качестве
инструментов построения кривые второго порядка, чтобы
можно было — теоретически с абсолютной точностью —
решать любые уравнения третьей и четвертой степени.
Нельзя ли это, однако, обобщить: расположить все
алгебраические кривые как бы по ступеням так, чтобы
лестница начиналась с прямой и окружности и имелся бы
общий способ перехода с одной ступени на следующую,
который позволил бы, таким образом, обозреть всю
совокупность алгебраических кривых, не добавляя к
циркулю и линейке ничего, кроме единого принципа
построения кривых порядка п+\ с помощью уже имеющихся
кривых, не более высоких, чем п порядков?
1 Эти действия должны были выполняться геометрически:
циркулем и линейкой. Но и такое выполнение их Декарт называл
иногда «вычислением». Вообще он считал, что, в отличие от древних, не
нужно бояться «употреблять в геометрии арифметические
термины» (см. Р. Декарт. Рассуждение о методе. С приложениями
Диоптрика, Метерры, Геометрия, стр. 311).
2 См. там же.
260
Именно это Декарт и делает. «...Чтобы охватить
совокупность всех («геометрических», т. е. алгебраических)
встречающихся в природе кривых и распределить их по
порядку по определенным родам» !, он вводит свои
(Декартовы) координаты и замечает, что «все точки линий,
которые можно назвать геометрическими, т. е. которые
подходят под какую-либо точную и определенную меру,
обязательно находятся в некотором отношении ко всем
точкам прямой линии (оси абсцисс, например), которое
может быть выражено некоторым уравнением, одним и
тем же для всех точек данной линии»2. По степени этого
уравнения, инвариантность которой относительно
выбора осей координат уже известна Декарту3, и
определяется затем порядок кривой. Ступени этого порядка
включают, правда, у Декарта кривые с уравнениями
двух (последовательных) степеней: 1-й и 2-й—на первой
ступени, 3-й и 4-й — на второй, 5-й и 6-й — на третьей
и т. д. Суть дела в том, что на первой ступени он должен
поместить не только линейку, но и циркуль, уравнения
же прямой и окружности имеют степени 1 и 2.
Чтобы справиться с этой трудностью, Декарт
рассуждает так: циркулем и линейкой можно решить всякое
квадратное уравнение, т. е. построить (и притом в
принципе одинаково; мы бы сказали: с помощью одного и
того же алгоритма построения) любую точку конического
сечения. (Чтобы по абсциссе точки кривой второго
порядка найти ее ординату, нужно решить квадратное
уравнение с одной неизвестной (ординатой),
получающееся из уравнения кривой при подстановке на место
другой неизвестной данного значения (абсциссы)). Это
1 Р. Декарт. Рассуждение о методе. С приложениями
Диоптрика, Метеоры, Геометрия, стр. 323.
2 Там же.
3 «Я выбираю некоторую прямую, например АВ, чтобы к
различным ее точкам отнести все точки... кривой ЕС, и выбираю на
ней некоторую точку, допустим Л, чтобы начать с нее вычисление.
Я говорю, что выбираю и ту и другую, потому что их можно брать
произвольным образом. Действительно, хотя и существует много
способов сделать уравнение более коротким и удобным, но все же,
какими бы прямую и точку ни взяли, всегда можно сделать так,
чтобы линия оказалась того же самого рода; это легко доказать»
(там же, стр. 324—325). Хотя историки математики сомневаются в
том, что Декарт действительно умел доказать это, существенно,
что он понимал необходимость доказательства инвариантности
порядка кривой.
261
Декарт хочет истолковать как означающее, что если мы
допустили уже прямую и окружность (линейку и
циркуль), но их оказалось недостаточно, то в качестве
новых инструментов построения мы можем ввести теперь
как допустимые конические сечения, и притом именно
потому, что линейкой и циркулем можно построить вся-
кую (безразлично какую) точку конического сечения.
Декарт специально подчеркивает при этом, что
умение построить всякую точку кривой не равносильно
умению построить все ее точки, которое требует введения
новых инструментов, а только делает такое введение
допустимым. Это свое право считать введение (в качестве
инструмента построения) новой алгебраической кривой
допустимым, если с помощью уже имеющихся у нас
кривых мы можем построить единообразным способом
любую точку вводимой кривой, Декарт пытается
обосновать тем, что в таких случаях кривые «могут быть
описаны также правильным и непрерывным движением»
(теория Кемпе), почему и могут быть допущены в геометрии
именно как непрерывные кривые, и притом достаточно
точно определенные.
Действительно, Декарт пишет: «...показав способ
нахождения бесконечного количества точек, через которые
проходят линии, я полагаю, что вместе с тем дал
средства, достаточные для их описания». Но бесконечного
количества точек, хотя бы и строящихся одинаково,
построить все равно нельзя (а поэтому и приходится
расширять запас допустимых средств построения), и Декарт
специально останавливается на том, нельзя ли
ограничиться (в таких случаях) построением ряда отдельных
точек (исследовать график кривой с помощью отыскания
точек максимума, минимума, перегиба и др. Декарт еще
не умеет). В разделе «Какие из кривых, которые
описывают, находя ряд их точек, могут быть допущены в
геометрии», непосредственно следующем за приведенными
словами, он пишет:
«Следует, кстати, заметить, что существует большое
различие между этим способом нахождения ряда точек
для проведения кривой и тем способом, которым
пользуются в случае спирали и подобных ей кривых. При
помощи последнего способа находят не все без различия
точки искомой кривой, а только те, которые могут быть
определены какой-либо более простой мерой, чем та, ко-
262
торая требуется для получения всей линии; при этом,
собственно говоря, не находят ни одной из точек линии,
т. е. ни одной из точек, настолько для нее специфических,
что их нельзя найти иначе, как через нее. Между тем
линий, применяемые в предложенном вопросе, не имеют
ни одной такой точки, которая не могла бы быть
определена по только что изложенному способу. И хотя этот
способ нахождения искомой кривой линии посредством
отыскания нескольких, безразлично каких, ее точек
распространяется только на те линии, которые могут быть
описаны также правильным и непрерывным движением,
его все же не следует целиком исключить из
геометрии» 1.
Иными словами, нельзя вообще заменить построение
кривой построением нескольких отдельных ее точек,
хотя бы и «безразлично каких» 2, но признание
непрерывной кривой, «допустимой в геометрии», если мы умеем
строить любую ее точку, не является только
произвольным допущением; оно может иметь и эффективный смысл
оперативного инструмента построения.
Располагая же этим принципом расширения запаса
средств построения, Декарт уже может индуктивно
построить (и обосновать!) общий способ решения
алгебраических уравнений любых степеней. Действительно, с
помощью линейки и циркуля можно построить любую
точку кривой 2-го (по-нашему) порядка, т. е. можно
считать эти кривые уже имеющимися в нашем
распоряжении. Далее решение всякого уравнения степени п (п>2)
с одной неизвестной может быть сведено к решению
системы двух уравнений с двумя неизвестными, степеней
более низких, чем п.
Это можно осуществить многими- способами. Так,
уравнение
а0хп + аххп^+ ... + алт1* + ая=0
можно представить, например, в виде
х{а0 х"-1 + ах х»-2 +... + ап_2 х + ап_х) + ап = О
1 Р. Декарт. Рассуждение о методе. С приложениями
Диоптрика, Метеоры, Геометрия, стр. 340.
2 По поводу задачи Паппа Декарт пишет: «...так как
поставленным здесь условиям всегда может удовлетворять бесчисленное
количество различных точек, требуется еще узнать и провести
линию, на которой все они должны находиться» (там же, стр. 313).
263
и свести к решению двух уравнений
а0х?-1 + а1х*-2 + ... + ап-2х+ая-1 = у,
*У + я„ = 0,
степеней п — 1 и 2.
Если я>3, то можно сделать и так: представить
исходное уравнение в виде
&(a0x*-2 + a1xn-* + .... + an_zx + an-2)+an-ix+an = O
и свести его к решению двух уравнений
**y+<*n-\X + <*n = Q
степеней п — 2 и 3.
Какую-нибудь аналогичную возможность
ограничиться (при п>3) кривыми порядка не выше, чем п — 2,
Декарт, по-видимому, и имел в виду, помещая на одну
ступень кривые порядка 2п—1 и 2п (п> 1).
Но задача решить два уравнения с двумя
неизвестными равнозначна задаче отыскать точки пересечения
двух кривых, изображаемых этими уравнениями; и если
кривые считаются нами уже построенными, то должны
считаться построенными и точки их пересечения.
Геометрическое отыскание (т. е. построение) корней уравнения
я-ой степени сводится к отысканию точек пересечения
кривых более низких (чем п) порядков.
В силу того же принципа, который позволил Декарту
добавить к циркулю и линейке все вообще кривые
второго порядка, он мог теперь, — считая уже
построенными кривые, порядок которых меньше п (п>2), —
истолковать полученную при этом возможность построить
любую точку кривой порядка п как право считать и эту
кривую допустимой.
Действительно, для построения любой точки кривой
порядка п нужно решить уравнение (с одной
неизвестной) степени не выше, чем п, а это мы умеем делать с
помощью кривых более низких порядков, уже
имеющихся в нашем распоряжении. Мы можем теперь,
следовательно, ввести и кривые порядка п в наш арсенал
геометрических средств построения и, расположив все
алгебраические кривые в порядке их введения (удобнее,
264
конечно, просто по степеням п, хотя бы и начиная с
я>3), формулировать (и доказывать) для них общие
теоремы.
Общий способ геометрического решения алгебраи-
ческщ уравнений (и необходимого для этого
последовательного расширения запаса средств построения) *,
который должен был по плану Декарта завершить
построение универсальной математики, носил у него, таким
образом, индуктивный характер: состоял в построении
базиса индукции и в индуктивном шаге, позволявшем
единообразным способом переходить с каждой уже
построенной ступени на следующую. И притом носил его
не стихийно, а как сознательное использование
некоторого правила по существу логического характера —
правила полной индукции. О том, что Декарт действительно
был уже близок к формулировке этого правила, говорят
и слова, непосредственно предшествующие
заключительной фразе его «Геометрии».
«После того как я дал построение всех плоских
задач2 посредством пересечения прямой линии и
окружности, всех телесных3 — посредством пересечения снова
окружности и параболы и, наконец, всех задач, на одну
степень более сложных4, — посредством пересечения
опять-таки окружности и линии, на одну степень более
сложной, чем парабола, — для построения все более и
более, вплоть до бесконечности, сложных задач, нужно
лишь следовать по тому же пути. Действительно, имея
1 Эту необходимость Декарт не принимал на веру, а пытался
доказывать, сравнивая число точек пересечения уже допущенных
кривых данных порядков (меньших п) с числом корней
неприводимого уравнения степени п. Из того, что прямая и окружность или
две окружности пересекаются не более чем в двух точках, а
кубическое уравнение может иметь три действительных корня, он
делал заключение, которое формулировал, правда, не только для
такого уравнения, что решение неприводимого кубического уравнения
«нельзя построить, не прибегая к более сложным линиям, чем
круговая» (Р. Декарт. Рассуждение о методе. С приложениями
Диоптрика, Метеоры, Геометрия, раздел «Почему телесные задачи нельзя
построить без помощи конических сечений, а более сложные — без
помощи каких-либо других, более сложных линий», стр. 400—401).
2 Т. е. задач, приводящихся к уравнениям первой и второй
степени.
3 Приводящихся к уравнениям третьей и четвертой степени.
4 Приводящихся к уравнениям пятой и шестой степени.
265
два или три первых члена математической прогрессии,
нетрудно найти все остальные» *.
Намеченный Декартом план создания всеобщей
математики потерпел неудачу. (Уже потому, что решение,
хотя бы только алгебраических, уравнений построением
не давало такой возможности индивидуализировать
корни уравнений, какую дает их вычисление.) Тем не менее
уже содержавшееся в письме Декарта к Бекмону от
26 марта 1619 г. сообщение о том, что им
разрабатывается «совершенно новая наука», следует признать
совершенно правильным.
Исторически из всеобщей математики Декарта
действительно выросли, как справедливо писал А. П.
Юшкевич2, две науки: числовая буквенная алгебра и
аналитическая геометрия. И конечно, прав и Г. Пойа, когда он
замечает: «Проект Декарта провалился, но это был
великий проект, и даже в своей неудаче он оказал гораздо
большее влияние на развитие науки, чем тысяча и один
маленький проект, оказавшихся удачными»3.
А новый метод логических рассуждений, который
пришлось при этом разрабатывать Декарту, не только
не мог быть получен им из правил силлогистики
Аристотеля: его Декарт не мог бы найти и в более глубоких
логических трудах схоластов.
§ 7. Не удивительно, что Декарт был невысокого
мнения о логике схоластов, которую он считал пригодной
только «для разрешения тех или иных школьных
трудностей», а не для того, чтобы ум человека «мог
указывать воле выбор действий в житейских случайностях»4,
т. е. не для целей практической деятельности людей.
Декарт не отрицал, конечно, логической корректности
правил силлогистики. Однако он считал, что «диалектики»,
под которыми тогда имели в виду логиков-схоластов, не
могут составить ни одного силлогизма, дающего
правильное заключение, если они для этого не имеют
материала, т. е. если они уже не знают выводимой ими таким
образом истины5.
1 Р. Декарт. Рассуждение о методе. С приложениями
Диоптрика, Метеоры, Геометрия, стр. 408.
2 См. там же, стр. 546.
3 G. Polya. Mathematical Discovery, vol. I, p. 22.
4 P. Декарт. Избранные произведения, стр. 81.
5 См. там же, стр 117.
266
Это обстоятельство очень не нравится, однако,
И. М. Бохенскому, который в своей истории формальной
логики и особенно в статье «Spitzfindigkeit» 1 изображает
Декарта как подлинное «несчастье» для логики. «Этот
большой естествоиспытатель, математик и писатель, —
писал он, — не был логиком; он имел, по-видимому, лишь
смутное представление о логике, несмотря на прилежную
учебу под руководством добрых отцов общества
иезуитов в Ла Флеш. Еще более скверным, чем это незнание,
является у него явно выраженный и подлинно
варварский отказ от формализма в логике, т. е. от того, что
является необходимым инструментом этой науки и без
чего никогда не было возможно ее развитие. Декарт
означает истинную катастрофу в истории логики, возврат
к самому примитивному уровню» 2.
К такому «заключению» Бохенского приводят слова
Декарта, из которых явствует, что он возражает против
претензий логиков «управлять человеческим разумом,
предписывая ему определенные формы рассуждения, с
такой неуклонностью приводящие к заключениям, что
разум, доверившись им, может, даже если он иной раз
и,немного отвлекается от строгой и внимательной
проверки депи доводов, делать благодаря одним только
этим формам правильные заключения»3.
Очевидно, здесь Бохенский имеет в виду то
обстоятельство, что, говоря о «строгой и внимательной
проверке» каждого шага в «цепи доводов», Декарт требовал
«только» интуитивной (содержательной) ясности этого
шага, его конструктивной простоты, аналогичной той
простоте, с которой — при вязании самого сложного
кружева — завязывается каждая отдельная его петля. Но,
таким образом, у Декарта была вполне определенная
(конструктивная) схема индуктивного построения
дедуктивной науки, которая и делала возможным ее обзор в
целом с помощью правил, аналогичных правилу полной
индукции. Конечно, простота каждого отдельного шага
1 /. М. Bochenski. Spitzfindigkeit. — «Festgabe an die Schweizer-
katholiken». Freiburg, 1954. «Spitzfindigkeit» — это абстрактные
сверхрафинированные тонкости, «талмудизм», как говорят иногда у нас.
Наличие их у схоластов И. М. Бохенский считает основной заслугой
последних.
2 Там же, стр. 39.
3 Р. Декарт. Избранные произведения, стр. 116.
267
вывода делала при этом возможной его формализацию,
т. е. выполнение по определенным логическим правилам,
чего не заметил, по-видимому, Декарт, хотя он требовал
самого внимательного изучения наиболее простых вещей
прежде всего. Но, с другой стороны, пока еще не было
электронно-вычислительных машин, которые должны
выполнять и некоторые логические выводы, не было и
подлинной нужды строить эти выводы в точности по
формальным правилам какого-нибудь логического
исчисления. Больше того, Декарт был совершенно прав в том,
что в конечном итоге не формальная правильность
заключения гарантирует его истинность, а, наоборот, то
обстоятельство, что правило корректно, т. е. из истинных
посылок позволяет вывести только истинные же
заключения, гарантирует его формальную правильность.
В соотношении между формой и содержанием
определяющая роль принадлежит содержанию; форма же
тогда хороша, когда она соответствует содержанию.
Даже правило полной индукции не всегда применимо.
Оно хорошо только там, где речь идет о системе
объектов, которая строится индуктивно — сначала строится
базис, а затем выполняется некоторая
последовательность индуктивных шагов построения. (Многочисленные
парадоксы «кучи» относятся как раз к случаям, где
правило полной индукции неприменимо. Так, один волос на
подбородке еще не есть борода. Если несколько волос на
подбородке не образуют еще бороды, то добавление к
ним одного волоса также не дает еще бороды. По
правилу полной математической индукции никакое число
волос на подбородке не дает, следовательно, бороды.)
Таким образом, и здесь в основе формальной
правильности логического правила лежит его содержательная
пригодность: корректность.
Как доказывается, однако, последняя?
В конечном счете всегда не формально, а
содержательно: с помощью критерия истины, т. е. практики.
И справедливость такого утверждения нетрудно
защитить. Нетрудно привести достаточно убедительные
аргументы в его пользу. Но прежде чем браться за это, мне
хотелось бы заметить только, что задачу изобразить
Средневековье начиная с XIII в. как «Эльдорадо
логики», а «Ренессанс, или, точнее, Гуманизм» как «темный
период логического варварства», как «время без логики,
268
гГVilli ,ГМ ■
истинное «Средневековье» между двумя великими
периодами», как «катастрофу» \ кульминационным пунктом
которой является Декарт, Бохенскому облегчило то, что
для него в логике форма довлеет над содержанием,
диктует ему свои непререкаемые законы, не нуждающиеся,
очевидно, в каких-либо содержательных доказательствах
корректности. Не удивительно поэтому, что он просто не
заметил в логике... правила полной индукции.
В его книге «История формальной логики» этого
термина вообще нет, хотя история логики доведена в труде
Бохенского до теоремы Гёделя (1931), которую он,
правда, относит, скорее, к методологии, чем к формальной
логике, но исключительно важного значения которой для
последней не отрицает2. Между тем правило полной
индукции, и притом именно как правило логического
вывода, прочно вошло в науку еще ib эпоху. Декарта и
Паскаля, было предметом острых дискуссий между логици-
стами и Пуанкаре на рубеже XIX и XX вв. и специально
обсуждалось в «Алгебре логики» Шредера как один из
«необходимых мышлению законов (denknotwendigen Ge-
setze)» общей логики. Введение в логику этих, «отнюдь
не чуждых ей» элементов Шредер считал оправданным
уже тем, что логике приходится иметь дело «с буквами
или символами»3.
Точку зрения Бохенского нельзя поэтому
охарактеризовать иначе, чем как заведомо предвзятую и
искажающую подлинную историю логики как науки о способах
рассуждения. Неверной мне представляется в этой связи
и концепция Ф. Клейна, относящаяся к роли
математической строгости в развитии математики.
Действительное творческое развитие математики, в том числе и в
эпоху Декарта, бывает и было связано не с отказом от
требований логической строгости, а с новым — и более
глубоким — пониманием этих требований: с признанием
того, что логическая строгость нужна не сама по себе
и не как служанка веры, а только как вспомогательный
инструмент для критерия практики, т. е. для истины.
1 /. М. BochenskL Spitzfindigkeit. — «Festgabe an die Schweizer-
katholiken», S. 336, 337.
2 I. M. BochenskL Formale Logik. Freiburg—Mtincheri, 1956 S. 472.
3 E. Schroder. Vorlesungen tiber die Algebra der Logik. Leipzig,
1890, S. 615.
269
Пользуясь неопределенностью термина «формальная
логика», можно сказать, конечно, что под «историей фор- •>
мальной логики» И. М. Бохенский имеет в виду только
историю такой проблематики, которая относится к
структуре предложений, аналогичных Аристотелевым
силлогизмам, или к определениям логических
постоянных, вроде «или», «и», «если — то», «всякий» и т. д.
(примерно это он и пишет на стр. 5 своей «Формальной
логики»). Вряд ли требуется доказывать, однако, что
такое понимание формальной логики отнюдь не
соответствует действительной истории той науки о правилах
вывода и способах рассуждения, в истоках которой
действительно лежат силлогистика Аристотеля и дискуссии
мегариков и стоиков о смысле связок «и», «или»,
«если — то», но которая (особенно в последнее время)
настолько далеко ушла уже от этих истоков, что и в
истории проблем силлогистики и логических постоянных
нельзя разобраться теперь, если исключить из нее
вопросы, относящиеся, например, к правилу полной индукции
(тоже связанные к тому же с квантором общности, т. е.
с одной из упоминаемых Бохенским логических
постоянных).
Но и при ограничительной трактовке (по Бохенскому)
истории формальной логики нельзя видеть в Декарте
«несчастье» для логики, в том числе и для развития ее
формальных методов. Ведь именно Декарт является
одним из первых создателей формального языка
математики (буквенной алгебры), которым все мы пользуемся
и теперь и который уже Лейбниц перенес и в логику.
Именно на языке буквенной алгебры Декарта строилась
и алгебра логики Буля, Джевонса, Венна, Шредера/ По-
рецкого и других авторов. Составление и решение
уравнений сам Декарт понимал уже как некоторый способ
вывода логических следствий (определенного рода) из
данных задачи. Создатели же алгебры логики хотели
сначала только распространить эти методы на более
широкий класс задач с тем, чтобы всякую логическую
задачу научиться выражать на языке той же буквенной
алгебры Декарта с помощью уравнений или неравенств;
к решению последних или к исключению неизвестных они
и пытались сводить вывод логических следствий.
§ 8. Еще Аристотель не сомневался в том, что
правила логики нуждаются в обосновании. Но он сводил с
270
этой целью одни модусы силлогизмов к другим,
казавшимся ему, как, например, Barbara, более очевидными.
Для начала нашего века характерны уже попытки
некоторых идеалистических направлений в философских
вопросах математики (и логики) заменить требование
истинности для точных дедуктивных теорий требованием
их непротиворечивости.
Какими средствами доказывать, однако, эту
непротиворечивость?
Способ такого доказательства — с помощью правила
полной индукции — был намечен в § 5. Но как найти
нужное для этого доказательства свойство 5, которым
обладают все аксиомы теории и которое сохраняется всеми
применяемыми в ней логическими правилами вывода?
Естественно, тут же приходит на ум, что такое свойство
заведомо должно существовать: должна иметься такая
область объектов, в которой аксиомы теории должны
быть истинными (иначе зачем может быть нужна
теория?), логические же правила вывода должны быть
корректными, т. е. должны сохранять истинность — из
истинных посылок должны выводить только истинные же
заключения. Иными словами, свойством S заведомо
может быть истинность. Но тогда непротиворечивость
теории оказывается следствием ее истинности, т. е.
подменить требование истинности требованием
непротиворечивости таким образом не удается. (Так, заметим, на
самом деле и проводится в большинстве случаев
доказательство непротиворечивости там, где оно удается.)
Истинность же доказывается — в конечном счете только
с помощью критерия практики.
В качестве примера, призванного иллюстрировать
исключительное творческое значение строгого
математического и логического уточнения понятий для развития
математики и логики, мы приводили в § 2 уточнения
понятия алгорифма (или вычислимой функции). В связи с
этим, равно как и с другими уточнениями
математических (или логических) понятий и предложений, нужно
заметить, однако, следующее.
Всякое такое уточнение заменяет неточное понятие
(или предложение) другим — точным, с которым можно
оперировать по строгим, формальным правилам. Но ведь
при этом мы считаем новое точное понятие
(предложение) равнозначным старому — неточному. Считаем, на-
271
пример, всякую вычислимую «в обычном смысле»
функцию рекурсивной функцией4, по Клини, или формулируем
«принцип нормализации», по Маркову, т. е. утверждаем,
что всякий алгорифм «в обычном смысле этого слова»
может быть представлен в виде нормального алгорифма
Маркова. Как доказать, однако, такое утверждение?
Ведь «алгорифм в обычном смысле слова» это не точное
математическое понятие, о котором можно рассуждать
формально — по точным правилам?
Такие утверждения формулируются поэтому не как
математические теоремы, которые нужно строго
доказывать, а как «тезисы», обоснование которых состоит
прежде всего в том, что на всех примерах, где попытки
«нормализации» действительно предпринимались, они всегда
оканчивались успехом; найти же такой пример, где
«нормализация» не удавалась бы, никто не смог.
Математическая практика, таким образом, подтверждает этот
«тезис». Его подтверждает и то обстоятельство, что — на
этот раз уже с полной математической строгостью —
удается доказать эквивалентность определения
алгоритма (или вычислимой функции) как нормального
алгоритма Маркова всем известным точным определением
алгорифма (или рекурсивной функции). Но особенно
существенно в этой связи, что построенные с помощью
определения «нормального алгорифма» и связанного с
ним «тезиса» математические теории решают ряд
трудных задач разработки новой, конструктивной,
математики, прежде всего конструктивного математического
анализа. Все это означает, однако, что «тезис
нормализации» удовлетворяет критерию практики в математике,
почему им и можно пользоваться в этой науке.
Но если так, если все равно «в конечном счете»
приходится обращаться и в математике к критерию
практики, не претендующему, как известно, на полную
определенность, то зачем нужна вообще эта пресловутая
математическая строгость? Самый строгий вывод из не
абсолютно верных посылок не может ведь сделать
заключение верным в большей мере, чем это имело место
для его посылок.
Суть дела, однако, в том, что математическая
строгость, и вообще логика, расширяет возможности
применения критерия практики, позволяет заменить его
применение в случаях, непосредственно не доступных прак-
272
тической проверке, применением к случаям, доступным
ей. Фактически это нам приходится делать постоянно,
когда, например, мы хотим восстановить прошлое по его
следам в настоящем, доступным опытной, практической,
проверке; хотим узнать химический состав звезды по ее
спектру, или поставить диагноз по рентгенограмме; или...
да в сущности всегда и везде именно логика позволяет
нам заменить применение критерия практики в сложных
и трудных случаях его применением в значительно более
простых. «Простота» при этом и состоит в доступности
непосредственной практической проверки и поэтому
сама зависит от технических возможностей, которыми мы
располагаем (хотя бы, — как в случае, когда мы
допускаем, например, так называемую абстракцию
потенциальной осуществимости, — ив обобщенном,
идеализированном виде) 1. Понятие математической строгости
само меняется в силу этого вместе с развитием техники.
Интересно было бы внимательно проследить
характер этого изменения в революционные эпохи в жизни
человечества, особенно в эпохи, связанные с
промышленными переворотами, такими, как создание паровой
машины или современной электроники.
Роль математики в других науках, вероятно, не в
малой степени связана с тем, что именно она имеет дело
с объектами наиболее простой, и притом конструктивной,
т. е. доступной практической проверке, природы, такими,
например, как, буквы того или иного алфавита. То
обстоятельство, что математика с таким успехом служит
науке и технике, обусловлено, таким образом, тем, что
она существенно расширяет возможности применения
критерия практики.
Из цитат, приведенных выше, мы имели возможность
убедиться в том, что значение сведения сложного к
простому для математики настойчиво подчеркивал уже
Декарт, который — вдобавок к уже приведенному — в
своих «Правилах...» писал, что он «решил в поисках по-
1 Об абстракции потенциальной осуществимости см., например:
A. А. Марков, Теория алгорифмов. — «Труды Математического
института им. В. А. Стеклова», 1954, т. XLII, стр. 15, или: Н. А.
Шанин. О критике классической математики. (Приложение к статье
«Конструктивные вещественные числа и конструктивные
функциональные пространства»). — «Труды Математического института им.
B. А. Стеклова», 1958, т. LII, стр. 284—293.
273
знаний упорно придерживаться такого порядка: всегда
начинать с самых простых и легких вещей и никогда не
переходить к другим до тех пор, пока не увижу, что не
могу больше из них ничего извлечь» 1, и который прежде
всего предъявлял к математике требование, «чтобы у
нее не было недостатка в той высшей ясности и
простоте, которую мы предполагаем необходимой для
истинной математики»2.
Именно эту «высшую ясность и простоту»,
понимаемые уже, однако, не в смысле картезианской интуиции,
а в смысле проверяемости с помощью
материалистического критерия практики (в конечном счете), и должна
обеспечивать математическая строгость.
Пригодность требований такой математической
строгости сама проверяется практикой. Проверяется именно
так, как в применении к правилам логики вообще писал
об этом В. И. Ленин: «...Практическая деятельность
человека миллиарды раз должна была приводить
сознание человека к повторению разных логических фигур,
дабы эти фигуры могли получить значение
аксиом» 3.
Но такая математическая строгость является не
заменой критерия практики в математике, а могучим
вспомогательным средством этого критерия, им же самим и
проверяемым.
1 Р. Декарт. Избранные произведения, стр. 94.
2 Там же, стр. 93.
3 В. И. Ленин. Поли. собр. соч., т. 29, стр. 172.
СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ
С А. ЯНОВСКОЙ
1928
1. «Категория количества у Гегеля и сущность математики».—
«Под знаменем марксизма», № 3, стр. 30—71.
1929
2. «Закон единства противоположностей в математике». —
«Естествознание и марксизм», № 1, стр. 17—32.
1930
3. «Идеализм в современной философии математики». —
«Естествознание и марксизм», № 2—3, стр. 10—31.
4. «Очередные задачи математиков-марксистов». — «Под
знаменем марксизма», № 5, стр. 88—94.
1931
5. «Математика в «БСЭ»». — «Вестник коммунистической
академии», № 2—3, стр. 146—154.
6. «Гегель и математика». — «Под знаменем марксизма», № И—
12, стр. 107—120; см. также сб. «Гегель и диалектический
материализм». М., 1932, 259—275 (совм. с Э. Кольманом).
1933
7. «Математические рукописи Маркса». — «Книга и
пролетарская революция», № 2, стр. 32—41.
8. «О математических рукописях К. Маркса». — «Под знаменем
марксизма», № 1, стр. 74—115, а также в сб. «Марксизм и
естествознание». М., стр. 136—180.
1934
9. «Выступление на сессии Коммунистической академии
Института философии». — «Материалы научной сессии. К
пятидесятилетию со дня смерти Маркса». М.—Л., стр. 369—379.
10. «Проблема учебника математики для втузов еще не
решена». — «Книга и пролетарская революция».
11. «Идеализм и математика». — «Фронт науки и техники»,
№5—6, стр. 43—51.
1935
12. «Современные течения в буржуазной философии
математики». — «Фронт науки и техники», № 3, стр. 37—43.
13. «О так называемых «определениях через абстракцию»».—
«Под знаменем марксизма», № 4, стр. 154—170ч
275
1936
14. «Дифференциал». — БСЭ, изд. 1, т. 22 (совм. с Э. Кольма-
ном), стр. 602—607.
15. «Формально-логическое мышление и математика». —
«Материалы совещания преподавателей средних школ», стр. 8—13.
16. «Формализм (в философии математики)». — БСЭ, изд. 1,
т. 58, стр. 154-460.
17. «Идеализм и математика». — «Сб. статей по философии
математики». М., стр. 55—68.
18. «Современные течения в буржуазной философии
математики».— «Сб. статей по философии математики». М., 84—96.
19. «О так называемых «определениях через абстракцию»». —
«Сб. статей по философии математики». М., стр. 108—136.
1937
20. ««Геометрия» Декарта (к 300-летию со времени выхода в
свет)». — «Фронт науки и техники», № 6, стр. 25—35.
21. «О рядах». — «Математика в школе», № 4, стр. 17—21.
(Поправки см. в № 6, стр. 127).
22. «Как древние вавилоняне четыре тысячи лет назад
вычисляли квадратные корни»- — «Математика в школе», № 6,
стр. 71—73.
23. И. Л. Гейберг. Из истории естествознания и математики.
Естествознание и математика в классической древности. — «Книга и
пролетарская революция» № 3, стр. 132—134.
24. Леонард Эйлер. Введение в анализ бесконечно малых. —
«Книга и пролетарская революция», № 7, стр. 124—127.
1938
25. «Логика математическая». — БСЭ, изд. 1, т. 37 (совм. с
В. И. Гливенко).
26. «Логистика». — БСЭ, изд. 1, т. 37.
1939
27. Декарт. Геометрия. — «Под знаменем марксизма», № 8,
стр. 173—174.
28. «Почему нужно доказывать математические предложе
ния?» — «Школа взрослых», № 2, стр. 17—22.
1941
29. «Бесконечные ряды в математике как иллюстрация к
вопросу о познаваемости мира. Энгельс о противоречиях элементарной
математики». — «В помощь марксистско-ленинскому образованию»,
№ 3, стр. 26—39.
1947
30. «К теории египетских дробей». — «Труды Ин-та истории
естествознания», т. I, стр. 269—282.
31. «Мишель Ролль как критик анализа бесконечно малых». —
«Труды Ин-та истории естествознания», т. I, сгр. 327—346.
32. «Новые издания трудов П. Л. Чебышева и литература, по-
276
священная ему». — «Труды Ин-та истории естествознания», т. I,
стр. 417—425.
33. Предисловие и комментарии к кн. Д. Гильберта и В. Аккер-
маиа «Основы теоретической логики», М., стр. 5—13; 233—296.
1948
34. Предисловие и часть (начиная со стр. 313) послесловия к
кн. А. Тарского «Введение в логику и методологию дедуктивных
наук». М., стр. 5—18, 313—321.
35. «Основания математики и математической логики» —
«Математика в СССР за тридцать лет (1917—1947 гг.)». М.—Л.,
стр. 11—45.
1950
36. «Передовые идеи Н. И. Лобачевского — орудие борьбы
против идеализма в математике». М.—Л., стр. 1—82.
1951
38. «О мировоззрении Н. И. Лобачевского». — «Историко-мате-
матические исследования», вып. IV. М., стр. 173—200,
1952
39. «Два документа из истории Московского университета». —
«Весник МГУ», № 8.
1955
40. «Из истории преподавания математики в Московском
университете (.1804—1860 гг.)». — «История математических
исследований», вып. VIII. М., стр. 127—480 (совм. с И. И. Лихоле-
товым).
41. Разделы о математике в главах V и IX — «История
Московского университета», т. I. M.
1956
42. «Из истории аксиоматического метода». — «Труды III
Всесоюзного математического съезда», т. 2. М., стр. 105.
43. «Об одном применении истории математики». — «Вопросы
истории естествознания и техники», вып. I, стр. 290—293.
44. «Формализм (в философии математики)». — БСЭ, изд. 2,
т. 45.
1957
45. Предисловие к кн. Д. Пойа. Математика и правдоподобные
рассуждения. М., стр. 5—8.
46. «О различных взглядах на современную математическую
логику. Доклад на философских чтениях в институте философии
АН СССР», март 1957 г.; подробно прореферирован Д. Г. Лахути
и Н. И. Стяжкиным в заметке под тем же заголовком в «Вопросах
философии», №3, стр. 208—211.
277
1958
47. «Из истории аксиоматики». — «История математических
исследований», вып. XI. М, стр. 63—96.
48. «Вводная лекция к курсу «История математики»». —
«История математических исследований», вып. XI, стр. 193—208.
49. «Программа по истории математики в Московском
государственном университете (совм. с И. Г. Башмаковой, К. А.
Рыбниковым, А. П. Юшкевичем)». — «История математических
исследований», вып. XI, стр. 185—192.
1959
50. «Математическая логика и основания математики». — «Ма •
тематика в СССР за сорок лет (1917—1957)», т. I. М.,,стр. 13—120.
51. Предисловие к книге Р. Карнапа «Значение и
необходимость». М., стр. 5—21.
1960
52% «О некоторых чертах развития математической логики и
отношении ее к техническим приложениям». — Сб. «Применение
логики в науке и технике». М., стр. 3—21.
53. «Апории Зенона Элейского и современная наука». —
Философская энциклопедия, т. II. М., стр. 170—174.
54. «Исчисление». — Философская энциклопедия, т. II, стр.387—
390.
55. «Количество (в математике)». — Философская энциклопедия,
т II, стр. 560—562.
56. «Логика высказываний». — Философская энциклопедия, т. III.
М., стр. 205—209-
57. «Логика классов». — Философская энциклопедия, т. III,
стр. 224—226.
58. «Логика комбинаторная». — Философская энциклопедия,
т. III, стр,. 226—227.
59. «Логицизм»—Философская энциклопедия, т. III, стр. 228—230.
60. Предисловие к переводу книги А. Тьюринга «Может ли
машина мыслить?». М., стр. 3—18.
1961
61. Предисловие и комментарии (по всей книге) к переводу
книги Р. Л. Гудстейна «Математическая логика». М., стр. 5—8.
62. «Проблемы анализа понятий науки и новейший
неопозитивизм». — «Вопросы философии», № 6, стр. 47—53.
1963
63. «О философских вопросах математической
логики».—«Проблемы логики». М., стр. 3—17.
64. «Преодолены ли в современной науке трудности, известные
под названием «апорий Зенона»»- — «Проблемы логики». М.,
стр. 116—136.
278
1964
65. Бет. Формальные методы. — «Новые книги за рубежом»,
N° 6, стр, 5—П.
1965
66. «Проблемы введения и исключения абстракций более
высоких (чем первый) порядков». Доклад на симпозиуме в Варшаве
(сентябрь 1961). The Foundation of Statement and Decisions.
Варшава, 1965.
1966
67. «О математической строгости». — «Вопросы философии», № 3.
1968
68. К. Маркс. Математические рукописи. Предисловие.
Описание математических рукописей. Приложение и Примечания. М.
1970
69. «О роли математической строгости в истории творческого
развития математики и специально о «Геометрии» Декарта». —
«Исследование логических систем». М.
i
СОДЕРЖАНИЕ
Софья Александровна Яновская 3
Предисловие к «Математическим рукописям» К. Маркса . . 12
О так называемых «определениях через абстракцию» ... 34
Мишель Ролль как критик анализа бесконечно малых ... 76
. О мировоззрении Н. И. Лобачевского 107
v Из истории аксиоматики 150
О некоторых чертах развития математической логики и
отношении ее к техническим приложениям 181
О философских вопросах математической логики 199
Преодолены ли в современной науке трудности, известные под
названием «апорий Зенона»? . 214
Проблемы введения и исключения абстракций более высоких
(чем первый) порядков 235
О роли математической строгости в истории творческого
развития математики и специально о «Геометрии» Декарта . 243
Список печатных работ С. А. Яновской 275
ЯНОВСКАЯ, СОФЬЯ АЛЕКСАНДРОВНА
МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ НАУКИ
Редактор М. А. Рыжова
Младший редактор В. А. Нартикоева
Оформление художника М. О. Бишофса
Художественный редактор А. А. Брантман
Технический редактор Ж. М. Конобеева
Корректор И. В. Равич
Сдано в набор 4 августа 1971 г. Подписано в печать 14 декабря 1971 г.
Формат бумаги 8lXl08y3<f, № 1. Условных печатных листов 14,8 (с вкл.) Учет-
но-издательских листов 14,94 (с вкл.) Тираж 8 500 экз. А13619.
Цена 1 р. 10 к. Заказ № 3633
Издательство «Мысль». Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Московская типография № 8 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР,
Хохловский пер., 7.