Б.А.Аубровин
С.П.Новиков
А.Т.Фоменко
СОВРЕМЕННАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
МЕТОДЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
ТомЗ
ТЕОРИЯ
ГОМОЛОГИИ
Издание второе, исправленное
Эдиториал УРСС Аобросвет
Москва ¦ 2001

ББК 22.151
Настоящее издание осуществлено при финансовой
поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований (проект № 97-01-14028)
Дубровин Борис Анатольевич,
Новиков Сергей Петрович,
Фоменко Анатолий Тимофеевич
Современная геометрия: Методы н приложения. Т. 3: Теория гомология
М.: Эдиториал УРСС, Добросвет, 2001. — 288 с.
ISBN 5-8360-0162-6
Книга содержит доступное изложение методов теории гомологии, освобожден-
освобожденное от утомительного языка абстрактной гомологической алгебры. Более сложная
часть книги содержит введение в современные методы вычисления гомотопических
групп и классификации многообразий.
Для научных работников различных специальностей: математиков, механиков,
физиков-теоретиков.
Группа подготовки издания:
Директор — Доминго Марин Рикой
Заместители директора — Наталья Финогенова, Ирина Макеева
Администратор — Леонид Иосилевич
Компьютерный дизайн — Виктор Романов
Верстка — Михаил Кириллов, Наталия Бекетова
Редакционно-корректурные работы — Елена Кудряшова, Виктория Малышенко
Обработка указателя — Андрей Стулов
Техническая поддержка — Наталья Аринчева
Менеджер по продажам — Алексей Петяев
Издательство «Эдиториал УРСС». 113208, г. Москва, ул. Чертановская, д. 2/11, к. п.
Лицензия ЛР №064418 от 24.01.96 г. Гигиенический сертификат на выпуск книжной
продукции №77.ФЦ.8.953.П.270.3.99 от 30.03.99 г. Подписано к печати 20.10.2000 г.
Формат 70x100/16. Тираж 1000 экз. Печ. л. 18. Зак. № 368.
Отпечатано в ГУЛ «Облиздат». 248640, г. Калуга, пл. Старый торг, 5.
ISBN 5-8360-0159-6 (Полное произведение)
ISBN 5-8360-0162-6 (Том 3)
85836
001629
© Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко, 2000
© Эдиториал УРСС, 2000
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или передана
в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то электронные или
механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель, если на то нет письменного
разрешения Издательства.

Оглавление
Предисловие к первому изданию 5
Глава 1. Гомологии и когомологни. Рецепты их вычисления 7
§ 1. Группы когомологий как классы замкнутых дифференциальных
форм. Их гомотопическая инвариантность 7
§2. Гомологии алгебраических комплексов 18
§3. Симплициальные комплексы. Их гомологии и когомологий.
Классификация двумерных замкнутых поверхностей 23
§ 4. Операция приклейки клетки к топологическому пространству.
Клеточные пространства. Теоремы о приведении клеточных
пространств. Гомологии и фундаментальная группа поверхностей
и некоторых других многообразий 36
§ S. Сингулярные гомологии и когомологий. Их гомотопическая
инвариантность. Точная последовательность пары.
Относительные гомологии 47
§ 6. Сингулярные гомологии клеточных комплексов. Их совпадение
с клеточными гомологиями. Двойственность Пуанкаре
для симллициальных гомологии 57
§ 7. Гомологии прямого произведения. Умножение в когомологиях.
Когомологий .ЕГ-пространств и групп Ли.
Когомологий унитарной группы 64
§8. Гомологии косых произведений (расслоенных пространств) 73
§ 9. Задача о продолжении отображений, гомотопий и сечений.
Препятствующий класс когомологий 83
§ 10. Гомологии и методы вычисления гомотопических групп.
Теорема Картана—Серра. Когомологические операции.
Векторные расслоения 88
§ 11. Гомологии и фундаментальная группа 110
§ 12. Когомологий гиперэллиптических римановых поверхностей.
Торы Якоби. Геодезические на многоосных эллипсоидах.
Связь с конечнозонными потенциалами 116
§ 13. Простейшие свойства кэлеровых многообразий. Абелевы торы 127
§ 14. Гомологии с коэффициентами в пучках 131
Глава 2. Критические точки гладких функций ¦ гомологии 136
§ 15. Функции Морса и клеточные комплексы 136
§ 16. Неравенства Морса 141
§ 17. Правильная функция Морса—Смейла. Ручки. Поверхности 146
§ 18. Двойственность Пуанкаре 155
§ 19. Критические точки гладких функций и категория
Люстерника—Шнирельмана 159
§ 20. Критические многообразия и неравенства Морса.
Функции с симметрией 170

Оглавление
§21. Критические точки функционалов и топология пространства
путей ИМ 176
§22. Применения теоремы об индексе 185
§23. Периодическая задача вариационного исчисления 191
§ 24. Функции Морса на трехмерных многообразиях и диаграммы Хегора . 198
§ 25. Унитарная периодичность Ботта и многомерные
вариационные задачи 202
§ 26. Теория Морса и некоторые движения в плоской задаче п тел 219
Глава 3. Кобордизмы и гладкие структуры 230
§ 27. Характеристические числа. Кобордизмы. Циклы и подмногообразия.
Сигнатура многообразий 230
§ 28. Гладкие структуры на семимерной сфере. Проблема классификации
гладких многообразий (нормальные инварианты). Кручение
Райдемайстера и основная гипотеза комбинаторной топологии 249
Литература 259
Приложение 1. Аналог теории Морса для многозначных функций.
Некоторые свойства скобок Пуассона. С. П. Новиков 262
Приложение 2. Задача Плато, бордизмы и глобально минимальные
поверхности в римановых многообразиях. А Т. Фоменко 273
Предметный указатель 285

Предисловие
Традиционно теория гомологии играет фундаментальную роль в изложении
начал топологии. Начиная с А. Пуанкаре, создавшего основы топологии, теория
гомологии рассматривается как первичная начальная основа методов алгебраичес-
алгебраической топологии. Из теории гомотопий к числу таких начал традиционно относились
только фундаментальная группа и накрытия. Практически все классические на-
начальные учебники по топологии (среди которых наилучшим, по мнению авторов,
является книга Зейферта и Трельфалля «Топология») начинаются с изложения тео-
теории гомологии того или иного класса комплексов. Лишь на более позднем этапе
рассматривается (к тому же с точки зрения теории гомологии) теория расслоенных
пространств и обшая задача о классификации гомотопических классов отображений
(теория гомотопий). Вместе с тем методы топологии дифференцируемых много-
многообразии, начавшие интенсивно развиваться с 30-х годов (Уитни и др.), позволяют
полностью перестроить изложение фундаментальных основ современной тополо-
топологии. С новой точки зрения, более близкой к классическому анализу, первичной
оказывается элементарная теория гладких многообразии и основанная на ней те-
теория гомотопий* и гладких расслоенных пространств. Более того, в течение 70-х
годов выяснилось, что именно этот комплекс топологических идей и методов имеет
фундаментальные приложения в различных разделах современной физики. Вслед-
Вследствие этих причин авторы считают общенеобходимым учебным топологическим
материалом в первую очередь именно основы теории гладких многообразий, теории
гомотопий и расслоенных пространств; этот материал включен в учебное посо-
пособие Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, А. Т.Фоменко, «Современная геометрия», часть II.
В данной книге этот материал предполагается известным.
Решение более сложных задач самой топологии (вычисление гомотопических
групп, классификация гладких многообразии и т.д.), а также многочисленные
приложения алгебро-топологической техники в задачах алгебраической геометрии
и комплексного анализа требует далеко идущего развития методов именно теории
гомологии. В современной топологической литературе полностью отсутствуют книги,
по которым можно было бы освоить комплекс методов теории гомологии в их
внутритопологических приложениях, упомянутых выше. Настоящая книга имеет
своей целью частично восполнить этот пробел.
В изложении теории гомологии авторы старались избежать, по возможности,
абстрактного языка гомологической алгебры, чтобы читатель все время помнил, что
гомологии, циклы и границы — это конкретные геометрические образы. В некото-
некоторых случаях — например в разделе, посвященном спектральной последовательно-
последовательности, — это самоограничение приводит к некоторым трудно истребимым дефектам
изложения. Однако последовательное изложение языка и методов современной го-
гомологической алгебры, как показывает опыт, приводит к еще худшим дефектам,
* По-видимому, первые идеи топологии, восходящи* к Гауссу, Риману и Пуанкаре, возникли также
на этой безе. Однако в те времена такое построение топологии оказалось невозможным. Пуанкаре
открыл теорию гомологии симллициальных комплексов, позволившую дать совершенно другое точное
построение основ алгебраической топологии.

Предисловие
затрудняя понимание геометрического смысла теории гомологии. Некоторые фунда-
фундаментальные методы современной алгебраической топологии (техника спектральных
последовательностей и когомологических операций) изложены без полных обосно-
обоснований, которые потребовали бы кардинального увеличения объема. Напомним, что
использование этих методов базируется лишь на формально-алгебраических свой-
свойствах входящих в них величин и не использует явных конструкций этих величин,
дававшихся в процессе обоснования. В конце книги методы алгебраической то-
топологии применяются к изучению глубоких свойств характеристических классов
и гладких структур на многообразиях. По замыслу авторов данная монография
должна подводить читателя к чтению современной топологической литературы.
Большой вклад в формирование книги внес редактор Виктор Матвеевич Бухшта-
бер. Благодаря ему целый ряд мест был переделан, улучшены многие доказательства.
Авторы благодарят В. М. Бухштабера за эту большую работу.

Глава!
Гомологии и когомологии.
Рецепты их вычисления
§ 1. Группы когомологии как классы замкнутых
дифференциальных форм. Их гомотопическая
инвариантность
Один из важнейших гомотопических инвариантов многообразия — это его
группы гомологии, которые уже использовались в § 19 и §§24, 25 ч. II книги [1],
и к систематическому определению их мы сейчас перейдем.
Имеется несколько способов определить группы гомологии. Мы рассмотрим
первоначально определение гомологии через дифференциальные формы (см. [1],
ч.Н,§25).
Рассмотрим замкнутые дифференциальные формы степени к на многообра-
многообразии М" (напомним, что индекс п обозначает размерность многообразия), имеющие
локально вид:
«= ]С ei,..i»*»'"'А... ЛАв'*, du> = 0. A)
«1 <...<«»
Дифференциальная форма называется точной (или когомологичной нулю), если
ш = дш?, где ш' — форма степени к - 1 (напомним (см. [1), ч. I, §25) что d(du)') = О,
т. е. точная форма является замкнутой).
Определение 1 '*. Группой (линейным пространством) когомологии ?Г*(М"; R)
называется факторгруппа всех замкнутых форм степени к по подгруппе точных
форм. Другими словами, Нк(Мп; R) есть классы эквивалентности замкнутых
форм с точностью до точных:
ш\ ~ ш2, если ш\ - Ш2 = dJ. B)
Простейшим свойством групп когомологии является следующее
Утверждение 1. Для любого многообразия М" группа #°(M";R) есть линейное
пространство размерности q, равной числу связных кусков (компонент), из которых
состоит многообразие.
Доказательство. Формы степени 0 — это скалярные функции f(x) на многообра-
многообразии. Если форма степени 0 замкнута, то df(x) = 0. Это означает, что функция f(x)
локально постоянна, т. е. постоянна на каждом связном куске многообразия. Зам-
Замкнутые формы степени 0 — это просто наборы из q констант, где q — число кусков.
Утверждение доказано, так как точных форм в этом случае нет. ¦
') В дальнейшем нам встретятся различные определения групп гомологии и когомологии с теми или
иными коэффициентами. Учитывая тот факт, что эти определения приводят к одному и тому же результату
(см. ниже §§6, 14), мы сознательно не вводим никаких индексов, указывающих на происхождение тех
или иных гомологии.

8 Глава 1. Гомологии и когомологаи. Рецепты их вычисления
Если имеется гладкое отображение многообразий /: М\ —> М2, то определено
отображение форм ш —» f*(u>) такое, что d(f*w) = f*(du) ([I], ч. I, §25). Поэтому
определено отображение групп когомологаи
/*:Я*(М2;К)-*Я*(МьК)> C)
так как классы эквивалентности переходят друг в друга (при отображении /*
замкнутые формы остаются замкнутыми, а точные — точными). Отображение /*
является гомоморфизмом групп когомологий.
Имеет место следующая
Теорема 1. Если заданы два гладких отображения
/,:М,-*М2 и fr.Mi^Mi,
и эти отображения гомотопны, то отображения групп когомологий /* и /2
совпадают: f* = /2: Hk(M2; Ш) -* Я*(М,; R).
Аоказательство. Пусть задана гладкая гомотопия F: M\ х I —* М2, где J —
отрезок, 1 < J ^ 2, и F(x, 1) = f\(x), F(x, 2) = fi(x). Любая дифференциальная
форма П степени к на М х I имеет вид
П = шх + ш2 A dt, il\t=ta=u>i(to), D)
где ш\ — форма степени к, не содержащая среди дифференциалов it, и w-i — форма
степени к — 1, не содержащая среди дифференциалов dt (локальные координаты
в Afi xl выбираются всегда в виде (х\..., х", t) = (x, t), где (х\..., хп) — локальные
координаты на М\). Пусть и> — любая форма степени к на многообразии М2. Тогда
форма F*(u>) = П = w\ + ш% A dt, где локально мы имеем
ь>2 =
bjt...jk(x, t) dx71 Л... Л dx1*.
Определим на многообразии Mi x I форму DH степени к - 1 следующей формулой
(локально):
2
1'-1 = fw2dt. E)
Имеет место важная
Лемма 1. Верна формула «алгебраической гомотопии» (см. §2):
d(D(F*(u))) ± D(d(F*(u))) = /2(w) - /Г(ш). F)
Аоказательство. Покажем, что для любой формы П на Мi x I верна формула
dD(U) ± D(du) = u\t=2 ~ «lt=i • G)
Вычислим dD(il), где П = ш\ + ш2 A dt. Локально мы имеем, по определению,
2
dDU = ^2 X) ( / -~51Г"'" Л ) da;i л dxh л • • • л <fa'tl>

§1. Группы когомологий как классы замкнутых дифференциальных форм
D du = D(du{) + D(du>2 Л dt) =
= D( X) ?^*
<—<л
Отсюда мы видим, что
(-l)k+lDdU = ±
Формула G) доказана. Если теперь П = F*(oj), то 12|t=2 = /2(w), П|*=| = /*(<•>)•
Лемма доказана. ¦
Вернемся к доказательству теоремы. Пусть задана замкнутая форма ш на М2
(т. е. dw = 0). Тогда имеет место равенство
/гИ - /?(«) = dDF*(w) ± DdF*(w).
Однако dF*(w) = F*(dw) = 0. Поэтому мы имеем /2*(ш) - /*(ш) = dDF*(u), т.е.
разность форм точна. Это и означает, по определению, что гомоморфизмы
/Г: Я*(М2; R) - Я*(М,; 8) и /2*: Я*(М2; К) -» Нк{М^; К)
совпадают на классах эквивалентности (когомологий). Теорема доказана. ¦
Напомним (см. [1], ч. II, § 17), что два многообразия называются гомотопи-
гомотопически эквивалентными, если найдутся такие (гладкие) отображения /: М\ -* М2,
д: М2 -+ М\, что обе суперпозиции fg: M2 -* М2 и gf: M\ -» Мх гомотопны
тождественным отображениям:
Mi -» М] (х I-* х), М2-* М2(у I-* у).
Например, евклидово пространство Ж1 (или диск D" = \ Yl(xaJ ^ R2\) гомо-
топически эквивалентно точке. Доказательство состоит в том, что Ж1 (или D")
деформируется по себе к точке. Точно это значит, что тождественное отображе-
отображение 1: Е" -»If, где х ь+ х, гомотопно постоянному отображению К" -* 0 (в точку).
Теорема 2. Гомотопически эквивалентные многообразия имеют одинаковые группы
когомологий.
Локазательство. Пусть отображения /: Mi —» М2, д: М2 -+ М\ устанавливают
гомотопическую эквивалентность. Рассмотрим отображения /*: Я*(М2) —» Нк(М\)
и д*: Hk(Mi) -* Нк(М2). Так как отображения fg и gf гомотопны тождественным,
то гомоморфизмы (fg)* — д* f* и (gf)* = f*g* в точности являются тождественными
гомоморфизмами групп когомологий по теореме 1:
1 = g*f: Нк(М2) - Я*(М2), 1 = /V: Hk(Mt) -> Hk(Mx).
Отсюда следует, что сами гомоморфизмы /* и д* — это изоморфизмы, причем
взаимно обратные: /* = (д*)~*. Теорема доказана. я

10 Глава 1. Гомологии и когомологий. Рецепты их вычисления
Замечание. Согласно доказанной теореме, мо-
можно определить группы когомологий для всех про-
пространств X, для которых найдется многообразие
М Э X, которое к этому пространству стягивает-
стягивается, полагая
Например, восьмерка — это не многообразие,
рнс | но для нее можно определить группы когомоло-
когомологий — те же, по определению, что и для области
Следствие 1. Группы когомологий евклидова пространства R" или диска Dn me же,
что и у точки, т. е. Я*(К") — тривиальна при к > 0, Н°(Ш?) = R — одномерное
линейное пространство.
Из этого факта следует так называемая «лемма Пуанкаре»: локально, в области
около любой точки на многообразии Мп, всякая замкнутая форма ш (для которой
йЪз = 0) является точной: ш = dw', degw > 0. Действительно, выберем диск Dn
в локальных координатах с центром в точке Q: \ X) {ха - xj J ^ е \ и применим
к диску следствие 1 о том, что Hk(Dn) = 0 при к > 0.
Для * = 1 лемма Пуанкаре хорошо известна из курса анализа. Для 1-форм
р
ш = fkdxb, du/ = 0, мы имеем: ш = dF, где F(P) = J ft dxk по пути, идущему
Q
из точки Q в точку Р в диске D".
Вычислим теперь когомологий окружности S1.
Утверждение 2. Группы когомологий окружности S{ имеют вид
Я*E'; К) = 0, * > 1; Я'E'; R) = Щ H°(SK, R) = R (9)
Локазательство. Очевидно, когомологий 51 тривиальны (равны 0), если * > 1.
Далее, ЯоE]) = R, так как окружность связна. Для вычисления группы Я'(S1) мы
введем координату <р, где <р и tp + 2тгп представляют одну точку окружности при
целых п. Форма степени 1 — это форма вида ш = a(ip) dtp, где a(tp) — периодическая
функция а(<р + 2т) = а(<р). Всегда dw — 0, так как размерность окружности равна
единице. Форма a(tp)d<p точна, если a(ip)d<p = dF, где F(<p) — периодическая
v
функция. Очевидно, F(<p) = / о(^) dtp + const. Итак, функция F((p) периодична
о
2т
тогда и только тогда, когда выполнено условие / а(ф) di/> = 0, или / ш — 0.
о s1
Следовательно, 1-форма ш = а((р) dip на окружности точна тогда и только тогда,
когда выполнено условие J ш = 0. Поэтому две формы Ш\ = а(<р) dip и ш2 = b(<p) dip
s>
определяют один и тот же класс когомологий тогда и только тогда, когда f w\ = / шг-
s> s1
Мы получаем, таким образом, что Я'E*; М) = R Утверждение доказано. ¦
Следствие. Группы когомологий евклидовой плоскости без точки R2 \ {Q} (или
кольца) те же, что и у окружности и имеют вид:
Я*(В2\{д})=0, fc>l; H\tf\{Q})=H°(ve\{Q})=m. A0)

§1. Группы когомологий как классы замкнутых дифференциальных форм 11
Замечание. Укажем еще один способ вычисления когомологий окружности. Каждой
форме ш((р) — а((р) dip сопоставим «усредненную» форму
2т 2т
~ 1 / , if/, .1
ш = — / ш(<р + т) dv = — I / а(ш + т) dT I dip.
2* J 2r[J J
о о
Утверждение 3. Форма ш когомологична форме ш.
Доказательство. Форма ш(<р+т) индуцирована отображением у? н-+ <р+т окружно-
окружности 51 в себя. Это отображение гомотопно тождественному. Поэтому w(<p) ~ ш((р+т).
Интегральная сумма для ш имеет вид
ш(ч>) ¦ ^ 52 Лт<="(?)•
i
i i
Любая такая интегральная сумма, следовательно, когомологична и>. Утверждение
доказано. ¦
Форма ш имеет вид
2»
ш(<р) = a d(p, где a = const = — / а
ZTC J
Действительно:
2т
(Говорят, что форма ш(<р) инвариантна относительно вращений: ш(<р + <р0) = ш(<р).)
Итак, каждому классу когомологий ш мы сопоставили инвариантную (относи-
(относительно вращений) форму ш, т. е. вещественное число. Это соответствие, очевидно,
взаимно однозначно, и мы получаем #'(S') = R
Ниже будет показано, как можно обобщить приведенное рассуждение для
вычисления когомологий компактных однородных пространств.
Утверждение 4. У ориентируемого замкнутого риманоеа многообразия М" группа
когомологий НП(М") нетривиальна.
Доказательство. Рассмотрим элемент объема п, где (локально) имеем: П =
vl^I dxx Л... Adx". Если набор областей локальных координат выбран в соответствии
с ориентацией (т. е. все якобианы функций перехода положительны), то ft — это
дифференциальная форма степени п, причем / ft > 0 (это объем многообразия М").
jf*
Очевидно, dft = 0, так как степень формы ft равна п. Если допустить, что ft = dw,
то применяя формулу Стокса получаем
I ш= Г dw= I п = 0 A2)
ам* и* и*
(так как М" замкнуто и не имеет границы). Приходим к противоречию. Утверждение
доказано. ¦

12 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
Замечание. Если замкнутое многообразие М" неориентируемо (например, М2 = RP2),
то группа Нп{Мп; R) тривиальна — это будет доказано в § 3. В частности, элемент объема
п = у/\д\ dxl Л ... Л dxn при заменах с отрицательным якобианом ведет себя не как
дифференциальная форма,
п
Пусть Н*(Мп) = X) Вк(Мп) — прямая сумма групп когомологии. Введем
*=о
в группе Н*{Мп) структуру кольца.
Утверждение 5. Пусть W\,wi — замкнутые формы. Тогда формы Ш\ Л о>2 и
(wi + da;') Л W2 замкнуты и когомологичны.
Аоказательсгво. Согласно формуле Лейбница (см. [1], ч. I, §25) имеем:
d(w А о>2) = dw' А ш2 ± ш A dw2 = *•>' А Шг- A3)
Поэтому
(a>i + dw') А шг = W| Л a»2 + d(w' Л ш2). A4)
Утверждение доказано. ¦
Согласно этому утверждению внешнее произведение форм корректно задает
умножение в Н*(Мп). Мы получаем, таким образом, кольцо когомологии мно-
многообразия Мп. Если ь>\ (Е ЯР(М"), w2 € ffliM"), то произведение Ш|Ш2 лежит
в пространстве 27p4s(Af"). Это произведение обладает следующим свойством косо-
коммутативности:
^2^1 =(-\)МШ\Ш2. A5)
Поясним геометрический смысл групп гомологии (точные определения см.
в следующих параграфах).
Если М" — произвольное многообразие, и ш — замкнутая форма степени к,
то определены ее «интегралы по циклам». Это можно понимать, например, так.
Пусть Мк — замкнутое ориентируемое fc-мерное многообразие. Под «циклом»
в многообразии М" мы подразумеваем пока гладкое отображение /: М* —¦ ЛГ, т.е.
пару(М*,/).
Определение 2. Периодом формы ш по циклу (Мк, /) назовем интеграл / /*ш.
Пусть JV*+1 — произвольное ориентированное многообразие с краем М* =
dNk+i. Край — это замкнутое ориентированное многообразие (быть может, со-
состоящее из нескольких кусков). Под «пленкой» будем понимать отображение
F: Nk+1 —* М". Имеет место следующая
Теорема 3. а) Для любого цикла (М*, /) период точной формы и = dw' равен
нулю.
б) Если цикл (М*, /) является границей пленки (Nk+\F), где Мк — граница Nk+i
и F\Uk — f, то период любой замкнутой формы по такому циклу (М*, /) равен
нулю.
Аоказательсгво. а) Если и = dw', то по формуле Стокса имеем
V)
V) = о, A6)
if' Uk Mk 8Mk
так как многообразие Mk не имеет границы.

§ 1. Группы когомологай жак классы замкнутых дифференциальных форм 13
б) Если М* — граница Nk+i (с учетом ориентации), и F\ut = /, то по формуле
Стокса имеем:
[/*<»= [ dF*(w) = f F*{du) = 0. A7)
Теорема доказана. ¦
Приведем без доказательства важное
Утверждение. Если периоды замкнутой формы по всем циклам равны нулю, то
форма является точной (см. ниже ?14).
Пример. Если М" = 3я — сфера, то Я*E") = 0 при к ф 0, п.
Аоказательсгво. Если к > п, то утверждение очевидно по определению. Если
0 < к < п и (М*, /) — любой цикл, то по теореме Сарда ([1], ч. II, § 10) образ f(Mk)
не покрывает хотя бы одной точки Q e S". Поэтому цикл (М*,/) фактически
лежит в R" = 5" \ {Q}. Мы уже знаем (лемма Пуанкаре), что в R" любая форма
точна. Поэтому все периоды равны нулю при 0 < к < п. Следовательно, Hk(S") = 0
при 0 < к < п. ш
Другой вывод этого факта можно получить из рассуждения, аналогичного
вычислению когомологий окружности 51 (см. выше). Используя группу движе-
движений SO(n+1) на сфере 5", можно свести любой класс когомологий к инвариантной
относительно SO(n + 1) замкнутой форме на сфере 5". Инвариантная форма ш
определяется своим значением в одной точке сферы, причем в этой точке форма
должна быть инвариантна относительно стационарной группы SO(n) С SO(n + 1).
Таких форм ш не существует, кроме размерностей нуль и п (проверьте!).
Вычислим аналогичным методом когомологий групп Ли и симметрических
пространств.
Напомним (см. [1], ч. II, §6), что однородное пространство М группы G
с группой изотропии Н называется симметрическим, если в группе G задана
«инволюция» — т. е. автоморфизм Г. G —> G, I2 = 1 такой, что 1\в = 1 (точки
подгруппы Н неподвижны относительно автоморфизма /). При этом уравнение
1{х) = х для х близких к единице задает только элементы из подгруппы Н.
На таком однородном многообразии М определяется «симметрия» sx относи-
относительно любой точки х, где s\ — \. Отображение sx многообразия М в себя задается
так: пусть д(х) — любая точка из М; полагаем
д(х) -л зх(д{х)) = 1(д){х)\ 8х(х) = х (при д = 1); A8)
д — любой элемент из группы G, действующей на М.
Отображение sx для любой точки х определено корректно, причем (ах)* являет-
является отражением касательного пространства в точке х относительно начала координат
(см. [1], ч. II, §6). В частности, каждая компактная группа Ли G является сим-
симметрическим пространством группы G x G. Действие группы G x G определяется
так:
Тм(х) = дхЬГ1. A9)
Инволюция Я имеет вид: 1{д, ft) = (h,g). Подгруппа Я — это диагональ {(д,д)}-
Симметрия 8Х относительно единицы группы G, х — е, имеет вид
-.(*)=*-'. A9')
На любом однородном пространстве выделены инвариантные дифференциаль-
дифференциальные формы такие, что д*ш = ш, д — любой элемент из G.

14 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
Дифференциал dw инвариантной формы снова является инвариантной формой:
g*du> = dg*w = dw. B0)
Произведение w\ Л ш2 двух инвариантных форм также инвариантно:
д*(и>\ Л юг) = д*и>\ Л д*Ш2 = W\ Л w-i- B1)
Поэтому определено кольцо инвариантных форм однородного пространства М.
Оказывается, для любого однородного пространства компактной связной группы Ли
кольцо когомологии может быть вычислено только с помощью инвариантных форм.
При этом для симметрических пространств имеет место более сильное утверждение:
Теорема 4. Пусть М — компактное симметрическое пространство связной ком-
компактной группы Ли G. Тогда:
а) любая инвариантная форма на М замкнута;
б) любая замкнутая форма на М когомологична инвариантной;
в) инвариантная (ненулевая) форма никогда не когомологична нулю.
Аоказатльство. а) Пусть ш — инвариантная форма ранга к. Рассмотрим форму
s*xw = ш. Покажем, что форма ш также инвариантна. В силу равенства A8) будем
иметь:
sxTg = TIgsx (Tg «-»g). B2)
Действительно, если у = Th(x), то
TIgsxTh{x) = TIgTIh(x) = TI(gk)(x),
и
sxTgTh(x) = sxTgh(x),
sxTgh(x) = TI{sh){x) «-> sxTg(y) = TIgsx(y).
Тогда
TgS = T* s*xw = (sxTg)*u = s*xT}gw = 2,
т. е. форма ш инвариантна.
Так как sx определяет отражение на касательном пространстве в точке х, то
Так как формы w и ш инвариантны, то последнее равенство выполняется для
любой точки х:
w = (-l)*w. B3)
Поэтому dS = (-\)kdu). Но формы dw и dw ранга к + 1 также инвариантны,
причем sxdw = dw.
Поэтому
dw = (~l)k+xdw B4)
в силу тех же рассуждений, что и выше (ранг этих форм равен fc + 1). Значит dw = 0,
первая часть теоремы доказана.
б) Пусть форма ш на многообразии М замкнута: dw — 0. На группе G в силу
компактности существует инвариантная метрика (метрика Киллинга) (см. [1], ч. I,
§ 24 и ч. II, § 8). Эта метрика определяет инвариантный элемент объема, который
мы будем обозначать через dfi(g):
i = d/iE). B5)

§1. Группы когомологий как классы замкнутых дифференциальных форм 15
Нормируем элемент объема на группе G так, чтобы объем всей группы был равен 1:
dfi(g) = 1. B6)
G
Определим по форме ш форму ш, полагая
ш= I Tjw dfi(g). B7)
G
Проверим, что форма ш инвариантна и когомологична форме ш. Вычислим фор-
форму TjJ5. Будем иметь:
%ш dti(g) = J Т^ш d/i(hg) = J T}w dfi{g') = 5, B8)
G G G
где мы положили д' = hg (такая замена переменных является гладкой и обратимой).
Итак, форма ш инвариантна. Покажем, что формы шиш когомологичны.
Отображение Тд многообразия М в себя гомотопно тождественному. Действительно,
пусть#@ — кривая в группе G, соединяющая точку д с единицей группы (напомним,
что группа G связна). Тогда Тд($ — искомая гомотопия. Поэтому формы Тдш и ш
когомологичны в силу теоремы 1: Тдш ~ ш. Следовательно,
w = J T*w dn{g) ~ А ш dn(g) -ш J dfi(g) = ш. B9)
G G G
Вторая часть теоремы доказана.
в) Докажем теперь, что инвариантная форма на компактном симметрическом
пространстве не может быть когомологичной нулю (если она ненулевая). Вспомним,
что на многообразии М можно ввести риманову метрику (Тц,-), инвариантную отно-
относительно действия группы G (см. [1], ч. II, §8). Риманова метрика на многообразии
определяет скалярное произведение форм на этом многообразии. Скалярный квадрат
формы ш равен
(ш,ш)= I
ш А * ш. C0)
м
Эта величина всегда больше нуля при ш Ф 0. Действительно, если
w= X^ *i,...itdx" A... Adxik,
то
[и>А*и> = f hili>...htdtail..jtajl..ihy/hdxl A... Adxn > 0
(здесь ftu — матрица, обратная к fty-, ft = det (fty), n = dim M).
Пусть ш — инвариантная форма. В силу инвариантности метрики (/»,_,) все
операторы Тд коммутируют с оператором *. Поэтому форма *ш тоже инвариантна
и, следовательно, замкнута: d * ш = 0.

16 Глава 1. Гомологам и когоиологии. Рецепты их вычисления
Допустим, ш = dw'. Тогда й(ш'л*ш) = dw' Л*ш±ш'л<1*ш = шЛ*ш. Поэтому
в силу формулы Стокса получаем
(ш, ш) = I шЛ*ш- I d(w' л * ш) = 0. C1)
и и
Значит, форма ш есть тождественный нуль. Теорема полностью доказана. ¦
Рассмотрим теперь примеры.
Пример 1. Тор Г* = R"/r, где Г — целочисленная решетка в R", порожденная
п линейно независимыми векторами. Тор является компактной абелевой группой Ли.
Пусть хх,..., х* — евклидовы координаты в R". Все формы вида dx'1 Л... Л dx4 — это
инвариантные (относительно сдвигов) формы на R". Поэтому они определяют инвариантные
формы на торе Т*. Если форма ш = a,1...,l(a:)dx'1 Л... Adz'1 на торе инвариантна, то это
означает, что
Oil...it(x + y) = ail..At(x), C2)
т. е. коэффициенты формы ш постоянны:
Oi,...i» = const. C3)
Итак, любая инвариантная форма на Г" есть линейная комбинация с постоянными коэффи-
коэффициентами внешних произведений форм dx1,dx2,...,dx11.
Вывод. Кольцо когомологий тора Н*(Тп) есть внешняя алгебра A(ei,...,en)
с образующими е\,...,еп степени единица. Здесь е< — класс когомологий
формы dx1.
Пример 2. Компактная группа Ли. Инвариантные формы на G — это двусторонне
инвариантные дифференциальные формы на группе (относительно левых и правых сдвигов).
Рассмотрим сначала левоинвариантные формы на группе G. Приведем пример век-
торнозначной левоинвариантной 1-формы, принимающей значение в алгебре Ли д фуп-
пы G: ш(д) = g~ldg. Для матричной группы G, где д = (дц), dg = (dgik) — это матрица
с компонентами dgit, ш — это тоже матрица из 1-форм, w = (wit).
Другая конструкция этой же формы ш не использует матричную реализацию группы
и пригодна поэтому для любой группы G. Пусть вектор { касается группы G в некоторой
ее точке д. Подействовав на ? левым сдвигом (?,-i),, получим вектор из касательного
пространства в единице группы, т. е. из алгебры Ли д.
Каждая компонента формы ш левоинвариантна:
w(ftfl) = g~lh-ld(hg) = g-fdg = w(g). C4)
Пусть в\...,в" — базис в пространстве левоинвариантных 1-форм. Для матричной
группы в качестве форм в' можно взять компоненты формы ш — (шл) = g~*dg, выбирая
среди них линейно независимые. Например, для группы G = SO(n), где матрица (шц,)
кососимметрична, в качестве базиса можно взять формы wik, где t < Аг.
Лемма 2. Размерность пространства левоинвариантных 1 -форм равна размерно-
размерности группы.
Локазательство. Любая левоинвариантная 1-форма в полностью определяется
своим значением на касательном пространстве в единице группы, причем это
значение может быть любым. Лемма доказана. ¦
Следствие. Пространство левоинвариантных 1-форм совпадает с пространст-
пространством д* всех линейных функций на алгебре Ли д группы G.
Здесь алгебра Ли рассматривается как касательное пространство в единице
группы.

§ 1. Группы когомологий как классы замкнутых дифференциальных форм 17
Лемма 3. Любая левоинвариантная к-форма ш имеет вид
о,-,.,У1Л...Лв'\ C5)
где Oi,...it — константы.
Доказательство. В силу леммы 2 в единице группы форму ш можно представить
в виде:
ш{е)= Y, а,,.,У'(е)Л...Л0>). C6)
ti <...<»*
В силу левоинвариантности форм w и 0* равенство C6) справедливо в любой точке
группы. Лемма доказана. ¦
Следствие. Алгебра левоинвариантных форм на группе Ли G изоморфна внешней
алгебре Л(д*) над пространством д* линейных функций на алгебре Ли д. Другими
словами, эта алгебра совпадает с пространством кососимметрических полилиней-
полилинейных функций на алгебре Ли д.
Выясним, какие из левоинвариантных форм являются и правоинвариантными.
Заметим, что при правых сдвигах на Л форма w = g~xdg преобразуется следующим
образом:
ш н* (gh~lyld(gh-1) = huh'1.
Следовательно, справедлива
Лемма 4. Кососимметрическая полилинейная функция у?(Хь..., Xt) из Л(д*)
отвечает правоинвариантной форме тогда и только тогда, когда верно равенство:
фХхЬГ\.... hXkh~l) = <р{Хи - - -, Xt) C7)
для любого элемента h из группы G.
Вывод. Кольцо когомологий связной компактной группы Ли G совпадает с коль-
кольцом Линв(д*) полилинейных кососимметрических функций на алгебре Ли д,
инвариантных относительно внутренних автоморфизмов.
Пусть (,) означает форму Киллинга на алгебре Ли д группы G. Определим 3-
линейную функцию п(Х, У, Z) на алгебре Ли д, полагая
Q(X,Y,Z) = ([X,Y],Z). C8)
Эта форма кососимметрична в силу инвариантности формы Киллинга (см. [1], ч. I,
§24). Кроме того, в силу равенства [hXh~\ ЛУЛ] = h[X, Y]h~l форма П инвари-
инвариантна относительно внутренних автоморфизмов группы G. Поэтому справедливо
Утверждение 6. Группа H3(G) нетривиальна для любой компактной группы Ли G
с невырожденной формой Киллинга (т. е. неабелевой группы).
Пример 3. Пусть М — симметрическое пространство группы G, Н — группа изотропии.
Фиксируя точку х в многообразии М, мы получаем отображение G^*M, где элемент группы g
переходит в р(д) = Т,{х). Вся подгруппа Я (и только она) переходит в точку х. Если ш —
некоторая форма на многообразии М, то определена форма р*ш на группе G. Эта форма
обращается в нуль на касательном пространстве к подгруппе Н. Любой правый смежный
класс {^Я} по подгруппе Я переходит в одну точку при отображении р. Поэтому форма р'ш
инвариантна относительно правых сдвигов на элементы из группы Я.
Пусть ш — инвариантная форма на многообразии М. Тогда форма р'ш на группе G
левоинвариантна.
3 Зек. 368

18 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
Теорема 5. Кольцо инвариантных дифференциальных форм на однородном про-
пространстве М группы G с группой изотропии И изоморфно внешней алге-
алгебре Линв((а/Л)*) (здесь Л — алгебра Ли подгруппы Н), т. е. алгебре кососимме-
трических полилинейных функций на д, обращающихся в нуль на Л, инвариантных
относительно внутренних автоморфизмов на элементы из Н.
Аоказательсгво. Каждой инвариантной форме ш на М сопоставим форму р*ш
на группе G. Форма р*ш левоинвариантна и обращается в нуль на Л, поэтому
определяет некоторый элемент из /\((g/h)*). Форма р*ш инвариантна и относи-
относительно правых сдвигов на элементы из группы Н. В силу левоинвариантности для
этого достаточно, чтобы форма р*ш была инвариантна относительно внутренних
автоморфизмов на элементы из группы Н. Теорема доказана. ¦
Пример 4. Вычислим кольцо когомологии комплексного проективного пространства:
СР" = Щп + 1)/U(\) х Щп). C9)
СРЯ — компактное симметрическое пространство. Группа U(n +1) также связна и компактна.
Поэтому кольцо когомологии СР* определяется через инвариантные дифференциальные
формы.
Пусть (г0,...,г") — однородные координаты на СР", т.е. координаты на Ся+| \ {0},
определенные с точностью до ненулевого комплексного множителя. Рассмотрим в Cn+1
вещественную дифференциальную 2-форму
D0)
п
Ограничение этой формы на сферу S2**1: J^ |z*|2 = I также обозначим через Q. Форма Q
инвариантна относительно группы U(n+1). Покажем, что эта форма получается из некоторой
формы И на СР": П = р'ш, где р: S2*** -* СРп — естественная проекция.
Нужно проверить, что при преобразованиях
z* -* e^z*, dz* -* г" (dzk + izkdp), D1)
DГ)
n
форма ft переходит в себя. На сфере 52п+|, где ^2 **** = 1, мы имеем: 5^zkdzk + J^z"*«fz*=0;
поэтому
ii k Л dzk
Итак, мы получаем инвариантную 2-форму ш на симметрическом пространстве СР". Ее
внешние степени шк все отличны от нуля при к ^ п, так как отличны от нуля соответствующие
степени формы ft (проверьте!).
Вывод. В алгебре когомологии Н*(СРп) комплексного проективного простран-
пространства СР" содержится алгебра многочленов С [ш] от образующей ш размерности 2,
причем w"+1 = 0.
В §4 будет показано, что других элементов в Я*(СР") нет.
§ 2. Гомологии алгебраических комплексов
Определение 1. Аддитивно записанная абелева группа С называется комплексом
(цепей или коцепей), если:

§ 2. Гомологии алгебраических комплексов 19
1) Группа С представлена в виде прямой суммы С = X) С* своих подгрупп Ск
размерности или степени к (говорят, что группа С градуирована).
2) Задан линейный оператор (гомоморфизм) д: Ск —» Ct±i такой, что дд = 0;
гомоморфизм д повышает (или понижает) размерность на единицу одновремен-
одновременно для всех к: 8(Ck) С Ct+1 (или д(Ск) С Ct-i). Если 8Ск С Ск+\, то говорят
о комплексе «коцепей». Если дСк С Cfc-i, то говорят о комплексе «цепей».
Определение 2. к-мерной группой гомологии Нк(С) комплекса цепей С называется
факторгруппа группы fc-мерных циклов Zk = Кетд (т.е. 8Zk = 0) по подгруппе
границ В* = Im д = дСк+х (Вк С Zk):
Hk(C) = Zk/Bk. A)
Группой когомологий комплекса коцепей называется факторгруппа коциклов
Zk = КегЭ по кограницам В* = ВСк-\:
Нк(С) = Zk/Bk. B)
Полной группой гомологии Н*(С) или когомологий Н*(С) называется прямая
сумма: Н.(С) = Е Пк{С), или #*(С) = ? Нк(С).
Пример 1. С каждым многообразием М* связан комплекс дифференциальных форм С =
к на этом многообразии. Здесь Ск — это все (гладкие) Дг-формы на многообразии М";
оператор д: Сь —» Ct+1 — это оператор внешнего дифференцирования d = д. Гомологии
такого комплекса назывались в § 1 когомологиями многообразия.
Пример 2. На группе Ли, или на симметрическом пространстве, определен комплекс
инвариантных дифференциальных форм. Все такие формы замкнуты, поэтому оператор д = d
здесь тривиальный — нулевой. Из теоремы 1.4 вытекает, что гомологии такого комплекса
совпадают (для симметрического пространства) с гомология ми комплекса всех дифференци-
дифференциальных форм.
В следующих параграфах встретится ряд примеров комплексов.
Пусть даны два комплекса (ctl\ 0(l)), (С<2), )
Определение 3. Сохраняющий градуировку гомоморфизм /: С*1* -> С® назы-
называется гомоморфизмом комплексов, если он перестановочен с действием диффе-
дифференциалов:
* = о,1,.... (з)
Имеет место простое
Утверждение 1. Гомоморфизм /: С^ -+ С® алгебраических комплексов индуциру-
индуцирует гомоморфизм f групп гомологии:
f:Hk(C«\dW)^Hk(C<2\dV), * = 0,l,.... D)
Аоказапельство. Гомоморфизм / переводит циклы Zk в циклы Zjj®, и грани-
границы Bj — снова в границы Bj для любого *. Поэтому он корректно определяет
гомоморфизм групп гомологии. Утверждение доказано. ¦
3*

20 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
Например, гладкое отображение многообразий f:M—*N определяет отобра-
отображение /* комплексов дифференциальных форм на этих многообразиях, действующее
в обратную сторону:
/*: C(N) - С(М).
Это отображение линейно и перестановочно с дифференциалом: f*du> = df*u
для любой формы ш. Поэтому /* является гомоморфизмом комплексов дифферен-
дифференциальных форм.
Определение 4. Пусть /: C(I* -» С®, д: С^ -+ С® — два гомоморфизма
алгебраических комплексов. Эти гомоморфизмы называются (алгебраически)
гомотопными, если задан гомоморфизм D: с№ -+ С® такой, что
Dd{1)±d{2)D = f-g. E)
Если операторы д^\ в® повышают (понижают) градуировку, то отображение D
понижает (повышает) градуировку:
*(CJ)CC& (D{Cl) С С&). F)
Утверждение 2. Гомотопные отображения комплексов индуцируют одинаковые
гомоморфизмы групп гомологии:
f = g: tft(C<'>,«<')) -Hk(C<-2\д®). G)
Локазательство. Если ct?C^— цикл, d^ct = 0, то
f(ck) - gic) = DdWct ± d®Dck = ±8B)Dck,
т. е. /(с*) ~ 5(с*) в фуппе гомологии Нь(С®\ д№). Утверждение доказано. ¦
Пример алгебраической гомотопии и был построен при доказательстве гомото-
гомотопической инвариантности когомологии в теореме 1.1. Другие примеры встретятся
в следующих параграфах.
Определение 5. Пусть Ьк — ранг группы Нк(С,д). Альтернированная сумма
вида
Х(С, д) =
называется эйлеровой характеристикой комплекса (С, д).
Утверждение 3. Эйлерова характеристика комплекса (С,д) равна следующему
числу.
) = Х;(-1)* rangC*. (9)
Локазательство. Пусть zk — ранг группы циклов Zk,pk — ранг группы границ В*.
Тогда мы будем иметь для этих рангов соотношения:
h = zk-pk, A0)
fa = rangCk+X - zk+i. A1)
Пусть оператор д понижает градуировку. Тогда
bk = zk + zk+i - rang Ck+\

§2. Гомологии алгебраических комплексов 21
i)*+I nmgc»+1.
Утверждение доказано, так как zq = rang Co (очевидно, доказательство верно и в том
случае, когда оператор 8 повышает градуировку на 1). ¦
Пусть G — произвольная абелева группа (записанная аддитивно). Определен
комплекс C®G = Yl Ct®G — комплекс «цепей с коэффициентами в группе G».
Напомним, что тензорное произведение двух абелевых групп А® В состоит из все-
всевозможных конечных сумм вида X) о,- ® ft,-, <Ч ? ^, Ь« € В, причем операция ®
удовлетворяет следующим условиям:
(о! + о2) ® Ь = а, ® Ь + а2 ® ft,
в ® (J»i + 62) =
Отсюда сразу вытекает полезное соотношение: та ® Ь = а ® тп&, где то — любое
целое число.
Залача 1. Доказать, что для любой группы G: G ® Z = G. Вычислить тензорное
произведение конечных циклических групп Zm ® Zn. Доказать, что тензорное произведение
любой конечной абелевой группы на группу вещественных (или рациональных) чисел равно
нулю.
Оператор дна цепях вида ct®g, с* G Ct, 9 € G, действует так: д(сь<8д) =
На всю группу C®G он продолжается линейно. Справедливость соотношения 88 = О
очевидна. Гомологии комплекса C&G называются также гомологиями комплекса С
с коэффициентами в группе G и обозначаются так:
Пусть G — аддитивно записанная абелева группа и (С, д) — комплекс цепей.
Введем сопряженный комплекс коцепей — линейных форм (гомоморфизмов) С*
со значением в G, обозначаемый в алгебре через Hom(C, G). Имеем естественное
разложение в сумму
ХJ A2)
(Cl — это линейные формы на Ct) и граничный оператор д*, сопряженный к д:
8*: Cl -+ CjJ+i, 8: Ct —* Ct-\,
где
(д*х, с) = (х, дс); с 6 С, хеС*. A3)
Имеем 8*8* = 0. Группы когомологий Нк(С*,д*) обозначаются обычно через
Нк(С; G) и называются когомологиями комплекса С со значением в G.
Пусть G = К — поле (например, действительных чисел К = R, комплексных
К = С, рациональных ЛГ = Q или конечное поле К = Ър из р элементов, где р —
простое) и С — комплекс конечномерных линейных пространств Ск над полем К.
Имеет место
Теорема 1. Линейные пространства Нк(С;К) и Н%(С) взаимно сопряжены;
в частности, они имеют одинаковую размерность.

22 Глава 1. Гомологии и когомологни. Рецепты их вычисления
Локазательство. Будем считать, что оператор д понижает градуировку. Докажем,
что элемент с* из С\ является коциклом в комплексе С*, если и только если
(c*,Bi) = 0, где Вк С С* — подгруппа границ. Действительно, для любого эле-
элемента c]fc+i из группы Сц+1 мы будем иметь: 0 = C*c*,cjt+i) = (c*,0cVn). Обратно,
если (c*,0cjt+i) = 0 для любого элемента ct+\ 6 Cjt+ь то в*с* принимает нулевые
значения на любом таком элементе ск+].
Итак, мы получили, что пространство Z* коциклов комплекса С* совпадает
с пространством линейных форм, обращающихся в нуль на подпространстве гра-
границ Вк. В силу конечномерности каждого пространства С* комплекс (С*)* совпадает
с комплексом С. Поэтому пространство циклов Zk совпадает с пространством ли-
линейных форм на Cl, обращающихся в нуль на подпространстве границ В*к. Другими
словами, Вк — это линейные формы, обращающиеся в нуль на Zk.
По доказанному, каждый элемент с* из С?, где в*с* = 0, определяет линейную
форму на гомологиях Нк(С). Кроме того, размерности пространств Нк(С; К) и Я*(С)
совпадают. Теорема доказана. ¦
Определим операцию тензорного произведения С = С^ ® С® двух комплек-
сов (&х\№) и (<&,№).
Напомним, что тензорным произведением А® В двух линейных пространств А
к В с базисами (ah ... ,аг) и (bh ..., Ьр) называется пространство с базисом <ц ® bj,
i = 1,... ,s, j = 1,... ,р, определяемое условием (А|О1+А2О2)®Ь = AiOi®6+A2a2®b
и а ® (А]Ь| + А2Ьг) = М<* ® 6i.+ А2о ® Ъг, где Ai, A2 — скаляры. (Если речь идет
о любых аддитивно записанных абелевых группах Аи В, тогда А — это только целые
числа (см. с. 21)).
Полагаем С = ]? Съ, где
ск = (с<"> \ X) ^ ^
? (№ф) f 4° ® (№ф). (is)
Легко проверить, что дд = 0.
Теорема 2. Пусть С*1* и С*2* — комплексы линейных пространств над любым
полем К. Для гомологии тензорного произведения имеет место формула
я*(сA) ®сB)) =
{будут важны случаи К — R, С, Q, Zp).
Для доказательства теоремы докажем сначала вспомогательное утверждение.
Лемма. Пусть С = 2 Св — комплекс линейных пространств над полем К. Тогда
в каждом пространстве С„ можно выбрать канонический базис (xni,-, ynj, ftn^)»
в котором действие оператора д имеет вид
0. A7)
Аоказательство. Из формул A7) видно, что векторы ynj- — это границы, векторы
Лп>/ — циклы, не являющиеся границами и тем самым дающие базис в гомологи-
гомологиях Нп(С); наконец, векторы хП),- — базис в пространстве цепей, не являющихся
циклами. Поэтому нужный нам базис легко строится по индукции, начиная с про-
пространства Cq. ¦

§ 3. Симплициалъные комплексы 23
Доказательство теоремы. Выберем канонические базисы (хр, ур, ftp) и
(xq , уя , hq ) во всех пространствах Ср и Ср (индексы, нумерующие базис-
базисные векторы одного пространства, будем опускать). Построим канонический базис
для пространства С* = 52 Q ® С, . Первая группа векторов (не циклы):
\ в «];
(всюду в этих формулах, а также ниже, р + q = k).
Базис границ:
Векторы A8), A9) линейно независимы (проверьте!), и чтобы получить базис
в пространстве Ск, нужно добавить еще векторы вида А,* ® hf\ p+q = к. Вычислим
действие оператора д в построенном базисе. Из формул A5), A7) сразу получаем,
что
dxpq = bn-i, aM = %,_!„ ваи=7р-1„ dppq = 694-X,
дЬп = ду„ = д7„ = д6м = в(Л<'> ® А<2>) = О,
т. е. построенный базис действительно канонический. Таким образом, векторы
ftj,'* ® hf* с р + q = А: дают базис в пространстве Нк(С^^ ® СB)), что и требовалось
доказать. ¦
§ 3. Симплициальные комплексы.
Их гомологии и когомологии.
Классификация двумерных замкнутых поверхностей
Изложим теперь другой подход к определению и изучению групп гомологии
и когомологии, который сильно расширяет возможности их применения.
Определим n-мерный симплекс. 0-мерный симплекс — это точка [оо]; 1-мерный
симплекс — это отрезок [а0О|]; 2-мерный симплекс — это треугольник [a0aia2];
3-мерный симплекс — это тетраэдр [аоа^а^аз] (рис. 2).
а
«о «о «1
а • 6 • • -
А
0-мерный 1-мерный
«о
2-мерный
3-мерный
Рис. 2. Симплексы
По индукции, если n-мерный симплекс <т" = [агоец ... а„] определен и лежит
в n-мерном пространстве К", то для построения (п + 1)-мерного симплекса на-
надо взять новую вершину а„+1 вне этой гиперплоскости R" С K"+I и рассмотреть

24 Глава 1. Гомологии н когомологии. Рецепты их вычисления
совокупность всех точек, лежащих на отрезках, соединяющих эту новую верши-
вершину an+i с точками симплекса [а<>... а„]. Полученное тело и будет (п + 1)-мерным
симплексом [a<j • • • <*n+i] = an+i.
Более общо, n-мерным симплексом будем называть выпуклую оболочку (n-Ь 1)-й
точки (вершины) евклидова пространства.
Грани n-мерного симплекса [а0... а„] — это симплексы, натянутые на вершины
[а0 ... «п_|], [ao«i - • • On-2«nJi • • -»[«1 • • • «»]• Таким образом, t-я грань получается
удалением i-й вершины а,- из набора [а0 ... а„] и противоположна этой вершине;
»-я грань о^Г1 симплекса ап есть
а^х = \а0...сц...а„\ A)
(*-я вершина удалена).
Грани меньшей размерности формально получаются из симплекса [о0... а„]
удалением некоторого числа любых вершин.
Определение 1. Ориентированная граница симплекса а" = [<*о ... а„] есть фор-
формальная линейная комбинация его граней вида:
дап = д[а0 ...ап] = ^(-1)'[а0 ...сЦ...ап\ = Х)(-1)'^'- B)
i=0 t=0
Например, для 0-, 1- и 2-мерных симплексов мы имеем:
C)
D)
[aoa,]. E)
Из рис. 2 видно, что грани входят со знаками, соответствующими естественной
ориентации.
Лемма 1. Для п-мерного симплекса имеет место формула
дд[а0... ап] = 0. F)
Аоказательство состоит в прямом вычислении. Например, для п = 2 мы имеем
d\aoaia2] = [ata2] - [aoa2] + [aoai],
dd[a0aia2] = {[a2] - [a,]} - {[a*) - [a0]} + {[a,] - [a0]} = 0.
Для всех n вычисление аналогично: дда" = д( ?(—l)Vf"' J; в эту сумму грань <т?т.2
^ «=о '
(вершины а,-, а7- удалены) входит дважды — в границу да?{71 и дсг^Т1 — с противо-
положными знаками.
Определение 2. Симплициальный комплекс — это совокупность симплексов про-
произвольной размерности, обладающая свойствами:
1) вместе с любым симплексом его грани всех размерностей принадлежат этой
совокупности;
2) два симплекса могут пересекаться (иметь общие точки) только по целой
грани какой-то размерности, и при этом только по одной грани.

§ 3. Симплициальные комплексы 25
Конечный симплициальный комплекс состоит из конечного числа симплексов.
Перенумеруем некоторым образом все вершины конечного симплициального
комплекса ого, «ь • • • > <*#• Тогда r-мерные симплексы [а<0, а,,,..., а^] определяются
некоторыми подмножествами вершин в данной нумераций.
Пусть G — любая коммутативная группа, где групповой закон записывается как
сложение (+). Цепи размерности к в симплициальном комплексе — это формальные
конечные линейные комбинации вида с* = 53у,-<г,-, где ff« ~~ различные fc-мерные
i
симплексы, записанные в данной нумерации вершин комплекса, <7> — произвольные
элементы фуппы G. Сложение цепей определяется так: если ск = j^ftOt, 4 =
X)g'i^i, то ск + dk = Yj(9i + 9i)<7i- Цепи образуют абелеву группу.
Граница цепи дск — это цепь размерности к - 1, определяемая формулой
Очевидна формула (по лемме 1): ддск = 0.
Циклы — это такие цепи ск, что дск = 0. Циклы также образуют Труппу Zk.
Циклы гомологичные нулю (ограничивающие) — это такие циклы ск, что с* = дск+\.
Эти циклы образуют группу границ Вк.
Определение 3. Группой гомологии Нк(М; G) симплициального комплекса М на-
называется факторгруппа группы Zk всех циклов размерности к по циклам Вк го-
гомологичным нулю (два цикла эквивалентны, если и только если dk — dk = dck+i).
Интересны случаи G = Q (рациональные числа), G = С, G = Z (целые числа),
G = Ъ2 (вычеты по модулю 2) и вообще G = Ът (вычеты по модулю т, особенно
когда то — простое число и Zm — поле). При G = Ш все Я,(М;К) являются
линейными пространствами над полем М. Размерность Ь, пространства Я,(М; М)
называется t-м числом Бетти комплекса М.
Для конечного симплициального комплекса определяется эйлерова характери-
характеристика: если 7» — число симплексов размерности i в комплексе М, то эйлерова
характеристика комплекса М равна
Теорема 1. Пусть Ь,- — размерности пространств Я,(М; Щ {числа Бетти). Тогда
имеет место равенство
(9)
Локазательство. Группа i-мерных цепей С< — это линейное пространство раз-
размерности 7<- Поэтому доказательство вытекает из утверждения 2.3. ¦
Замечание. Эйлерова характеристика х(М) может быть определена (см. [1], ч. II, § 15)
как сумма особенностей векторного поля (или гладкой функции). Мы получили, таким
образом, возможность вычислять х(М) с помощью гомологии.
Определим теперь сопряженные объекты, fc-мерная коцепь с* — это линейная
функция на fc-мерных целочисленных цепях комплекса М со значениями в груп-
группе G. Таким образом, коцепь с* сопоставляет каждому fc-мерному симплексу <т,-
элемент c*(<7j) из группы G, причем
ck(aaix + bai2) = ack(aix) + ock{<Ti2),
2 Зак. 368

26 Глава 1. Гомологии и когомологин. Рецепты их вычисления
а, Ь — целые числа. Сумма таких линейных функций — снова коцепь, поэтому
коцепи образуют группу.
Кограница 6<г любой коцепи с* — это (к + 1)-мерная коцепь, определяемая
равенством
6ск(<п) = ск(д<п) A0)
(или 6 = д* в обозначениях §2), где <г,- — любой симплекс размерности А: + 1.
Заметим, что 66 = 0. Действительно,
66ск{а{) = 6ск(да{) = <*(ддъ) = 0.
Коциклы — это коцепи с* такие, что бс* = 0. Коциклы, эквивалентные (когомоло-
гичные) нулю, имеют вид с* = 0с*.
Определение 4. Группа когомологий Hk(M; G) — это факторгруппа группы коци-
коциклов по подгруппе коциклов, эквивалентных нулю (с*~с* , если <* — <*= йс*").
Комплекс коцепей сопряжен к комплексу симплициальных цепей. Для случая,
когда G — К — поле, из теоремы 2.1 получаем
Следствие. Размерности пространств Щ(М\К) и Н%(М;К), где К — поле,
совпадают.
Рассмотрим случай G = Ът (вычеты mod т). Пусть х € Hq{M;G) и ж —
целочисленная цепь, дающая цикл х = ?(mod го). Имеем
Эх
ах = т«, или и = —
т
в целочисленных цепях. Если элемент х меняется в классе гомологии х 6 НЧ(М; Zm),
х —¦ х + ду + mz, то мы получаем
дх дх дду дх „
> — Н + dz = \-dz = u + dz.
т т т т
При этом ди = 0.
Таким образом, возникает корректно определенный однозначный «гомомор-
«гомоморфизм Бокштейна»:
дх
х^> —, где i"(modm)~i6 НАМ;Zra),
т (и)
Н9(М;Ът)^Щ^{МЛ).
Аналогично, в когомологиях получим гомоморфизм
H"(M;Zm)hH"+](M;Z). A2)
Утверждение 1. Пусть х G Hq(M; Zm). Тогда dtx = 0в НЧ^(М; Z), если и только
если х получается из элемента у 6 HV(M; Z) приведением (modulo m):
х = y(mod m)«-+ dtx = 0.
Аналогично в когомологиях: х = j/(modro) <-> 6,х — 0. (Здесь х € Hq(M;Zm),
у € Hq(M; Z).)
Аоказательство. Если х = y(mod m), то можно выбрать цепь х так, что дх = 0
и д,х = Щ = 0 в Я,_,(М; Z). Обратно, если д,х = 0 в Hg-i(M;Z), то ^ = dz для
некоторой цепи z. Полагаем у = ж - mz, тогда 9у = 0 и y(rnod то) = х. Утверждение
доказано. ¦

§ 3. Снмплициалытые комплексы 27
Таким образом, знание д* и 6t позволяет распознать в гомологиях mod m образы
целочисленных цепей.
Другое применение: образ dtHq(M;Zm) в фуппах НЧ-\(М;Ъ) выделяет эле-
элементы и € .ff?_i(Af;Z) такие, что го« = 0 (кручение). Действительно, dt(mx) =
m(dtx) = 0 по определению. Обратно, если mv = 0 для v € JTg_i(M;Z), то
mv = дх для целочисленной цепи х, и мы имеем элемент х = x(mod m) такой, что
х е Hq{M;Zm) и dtx = v.
Пример. Для М = RP2 имеем х G Н2(ЯР2; Z^ = Z2> х Ф 0. При этом д,х ф 0
Bff,(RP2;Z) = Z2.
Залача 1. Доказать, что для всех неориентируемых многообразий имеется цикл [М"] = а;
в фуппе Ня(Мп; Z2) такой, что 5,а? Ф 0, и элемент З.а; 6 Я„_|(МВ; Z) порядка 2.
Пример. Для когомологий имеем и € ?T'(RP2;Z2), где tf.u /0 и имеет порядок 2
b#2(RP2;Z).
Пусть многообразие М" разбито на симплексы и превращено в симплициальный ком-
комплекс. Тогда у него можно определить и вычислить группы гомологии и когомологий.
Гладкий симплекс <гк размерности it — это дифференцируемое вложение симплекса (вме-
(вместе с некоторой открытой окрестностью симплекса в <г* в пространстве R*) в многообразие М".
Мы будем считать многообразие триангулированным, если оно разбито в симплициальный
комплекс с помощью гладких симплексов.
Сформулируем два важных факта:
A. Группы гомологии и когомологий не зависят от триангуляции многообразия и гомо-
топически инвариантны (см. § 6).
B. Для G = R группы когомологий совпадают с теми, которые вводились через диффе-
дифференциальные формы (см. § 14).
Поясним последнее утверждение. Пусть ак — гладкий fc-мерный симплекс в много-
многообразии М"; шк — дифференциальная форма степени к. Определен интеграл формы шк
по симплексу <гк:
{и>к
,*к)= [Шк. A3)
Если ct = 52 riffi — Цепь с вещественными коэффициентами, то можно определить интеграл
t
формы по цепи ск:
В силу формулы Стокса (см. [1], ч. I, § 26) верно равенство:
{duk,c) = {ш,дс) <-> / dw= / ш. A5)
с ас
Любая замкнутая форма ш, где dw = 0, определяет поэтому линейную функцию на классах
симплициальных гомологии: если С\,сг — гомологичные циклы, С\=сг-\- dd, то
{ш, с,) = (о/, с2) + (dw, с > = {ш, с2).
Любая точная форма ш, где ш = dui', обращается в нуль на любом цикле (проверьте!).
Вывод. Каждый класс когомологий Нк(М; R), определенных через дифферен-
дифференциальные формы, определяет линейную функцию на группе симплициальных
гомологии Нк(М; R).
Сформулированное выше утверждение В означает, что так получается любая
линейная функция на группе Нъ(М; К) и нетривиальная (не точная) замкнутая
форма всегда дает нетривиальную линейную форму на Нк(М; R).
2*

28
Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
Пусть Мп — замкнутое связное многообразие. Легко видеть, что любая его
триангуляция (разбиение на симплексы) обладает следующим свойством: любой
симплекс размерности п - 1 является гранью ровно двух n-мерных симплексов.
Теорема 2. Имеет место равенство
Ип(Мп-Ъ2) = Ъ2
(здесь Z2 — группа из двух элементов — вычеты по модулю 2).
Локазательство. Рассмотрим цепь z = ]j? <т", где суммирование ведется по всем
i
n-мерным симплексам, причем их ориентация произвольная. Над полем Z2 верно
равенство цепей:
i=0
где а" — грани симплекса а". В сумме dz = ^2 да" каждый (п - 1)-мерный
симплекс встретится ровно два раза. Поэтому dz = 0. Ясно, что других ненуле-
ненулевых n-мерных циклов здесь нет. Теорема доказана. . ¦
Пусть теперь многообразие М" ори-
ориентировано.
Утверждение 2. Для замкнутого связно-
связного ориентированного многообразия п-я
группа гомологии Hn(Mn;G) равна G
(G — любая группа).
Локазательство. В каждой точке мно-
многообразия Мп задан класс ориентации ка-
касательных реперов. Ориентируем п-мер-
ные симплексы в соответствии с ориен-
ориентацией этих реперов. Пусть симплексы tr"
и о~\ граничат по симплексу сг* (см. рис. 3
для п = 2). Этот симплекс входит в грани-
границы да" и да" с противоположными зна-
знаками. Следовательно, цепь [Afn] = ?2 °7
i
Рис-3. (сумма по всем n-мерным симплексам)
является циклом. Ясно, что любой дру-
другой n-мерный цикл имеет вид z = g[M"\,
где g — элемент из группы G. Поскольку n-мерных границ не существует, то
утверждение доказано. ¦
Утверждение 3. Пусть G = Z — группа целых чисел. Тогда для неориентируемо-
го п-мерного связного замкнутого многообразия будем иметь:
Нп(Мп; Z) = 0.
Локазательство. Любой n-мерный цикл должен иметь вид z = А
где
i
А ф 0 — целое число, а симплексы <т" подходящим образом ориентированы. Если
симплексы а" и <т" граничат по симплексу ап~], то этот симплекс входит в 0<г" и да"
с разными знаками, если и только если симплексы <г" и <т" в многообразии Мп

§ 3. Симплициалъные комплексы 29
ориентированы одинаково (проверьте!). Поэтому dz — О, если и только если на всех
симплексах а" можно выбрать единую ориентацию, т.е. если многообразие М"
ориентируемо. Утверждение доказано. ¦
Следствие. Пусть \Мп\ = ^2 о? — сумма всех п-мерных симплексов неориенти-
i
руемого многообразия Мп (образующая в группе ffn(M";Z2)). Тогда #*[МП] Ф О
в группе Нп-^М"; Z) и 2dt\M"] = 0.
Перейдем теперь к триангуляции двумерных гладких многообразий и их клас-
классификации с помощью симплициальных комплексов.
Дадим классификацию двумерных гладких компактных связных замкнутых
многообразий. На протяжении всей оставшейся части этого параграфа мы будем
рассматривать только такие многообразия, а поэтому не будем всякий раз оговаривать
перечисленные выше ограничения, наложенные на многообразия.
Лемма 2. Любое двумерное гладкое многообразие М2 можно гладко триангулиро-
триангулировать (т. е. разбить гладкими кривыми на гладкие треугольники такие, что любые
два треугольника этого разбиения либо не пересекаются, либо имеют одну общую
вершину, либо — одну общую сторону).
Локазательство. Вложим М2 в конечномерное евклидово пространство (см. [1],
ч. II, § 9). Тогда на М2 возникает индуцированная риманова метрика. Для доста-
достаточного малого е > 0 любые две точки х,у € М2, для которых р(х, у) < е (где
р — расстояние на М2, порожденное римановой метрикой), соединяются един-
единственной кратчайшей геодезической уху. Покроем М2 конечной системой дисков
радиуса < е/2: D\,D2,... ,Djf. Диск D\ может быть гладко триангулирован с по-
помощью геодезических. Для распространения триангуляции на диски, имеющие
непустое пересечение с D\ (например, на D2), достаточно заметить, что геодезичес-
геодезическая, принадлежащая D\ П D2, построенная ранее в D\, является также геодезической
и с точки зрения диска D2, и потому триангуляцию можно продолжить в диск D2
(быть может, предварительно измельчив триангуляцию на D\). Процесс заканчива-
заканчивается через конечное число шагов. Лемма доказана. ¦
Дадим первоначально описание всех типов двумерных многообразий. Первая
серия — это сфера с g ручками MJ; g — род поверхности. Эти многообразия появля-
появляются, например, при изучении римановых поверхностей алгебраических функций
вида то = ±y/Pn(z) (полином Р„ не имеет кратных корней). Напомним, что MJ
представляют собой совокупности нулей уравнения то2 - P^+iOz) = 0 в CP2(z,w).
Эти многообразия можно гладко реализовать в R3 в виде поверхностей, показанных
на рис. 4 (см. подробнее [1], ч. II, §4).
Вторая серия многообразий (будем обозначать их через М^) получается, если
из сферы S2 выбросить р попарно непересекающихся дисков D2 и на границе
каждого из получившихся отверстий отождествить диаметрально противоположные
точки (см. рис. 5, а). Эта операция называется «заклейкой сферы S2 р пленками
Мёбиуса».
В частности, при р = 1 поверхность AfJ — это вещественная проективная
плоскость RP2 (рис. 5, б), при р = 2 поверхность М% называется бутылкой Клейна.
Отметим, что в [1], ч. II, § 18 бутылка Клейна определялась, как фактор плоскости
по некоторой дискретной группе движений. Совпадение такой ее реализации с М2=2
видно из рис. S, в.

30
Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
Рнс. 4. Сфера с д ручками S2 + (у) = М% (на рисунке д = 3)
Рис. 5. а) Многообразие М^ = S2 + (/i) (на рисунке /i = 4) получено заклейкой
сферы S2 /1 пленками Мёбиуса; б) Af^, = RP2 — вещественная проективная
плоскость; в) М^_2 — бутылка Клейна
Рнс. б.
Apriori могла бы иметь право на независимое существование также и «смешан-
«смешанная» серия: сфера S2, к которой приклеено д ручек и р пленок Мёбиуса. Однако
эта «смешанная» серия полностью содержится в серии М%. Действительно, рассмо-
рассмотрим S2, к которой приклеена одна ручка и одна пленка Мёбиуса (см. рис. 6). Но для
бутылки Клейна имеет место диффеоморфизм, изображенный на рис. 7.
Таким образом, приклейка к S2 одной ручки и одной пленки Мёбиуса экви-
эквивалентна приклейке к S2 трех пленок Мёбиуса (см. рис. 8). Следовательно, в при-

§ 3. Снмплнциалъные комплексы
31
Рис. 7. Сфера 5 с «вывернутой ручкой»
Рис.8.
сутствии хотя бы одной пленки Мёбиуса каждая ручка может быть диффеоморфно
заменена двумя пленками Мёбиуса.
Как мы сейчас строго докажем, многообразия М2 действительно полностью
описываются этими двумя бесконечными сериями: М2 и М2.
Рассмотрим произвольное М2 (см. ограничения в начале раздела) с гладкой
триангуляцией (см. лемму 2). Разрежем М2 вдоль всех ребер этой триангуляции,
поставив предварительно на обеих сторонах каждого разреза одинаковые буквы
(различные для разных разре-
разрезов) и фиксировав на обоих бе-
берегах разреза одинаковую ори-
ориентацию (см. рис. 9).
Тем самым мы преврати-
превратили М2 в набор треугольников,
на сторонах которых отмечены
буквы и задано направление;
каждая буква входит в этот набор ровно два раза, причем две одинаковые буквы все-
всегда принадлежат различным треугольникам. Начнем обратный процесс склейки М2,
требуя, однако, чтобы каждый раз после приклейки к уже полученной области но-
нового треугольника область оставалась бы плоской. Очевидно, что в результате этой
процедуры мы получим (учитывая указанную нумерацию сторон) связный плоский
многоугольник, стороны которого занумерованы буквами и снабжены ориентациями
(каждая буква встречается ровно два раза). Этот многоугольник назовем фундамен-
фундаментальным многоугольником (он определен по данной триангуляции неоднозначно).
Фиксируем на многоугольнике W ориентацию и сопоставим ему слово, которое
естественно возникает при обходе границы W (начиная с любой вершины): после-
последовательно выписываем буквы, нумерующие стороны W, причем в слово помещаем
букву в степени +1, если ориентация стороны совпадает с ориентацией, индуциро-
индуцированной ориентацией W, и в степени -1, в противном случае. См. пример на рис. 10.
Рис. 10.

32
Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
Итак, мы сопоставили каждому М2 (неоднозначно) некоторое «слово» W =
а\\а\\ • ¦ ¦ ас?; к — четное число сторон W; каждая буква аа входит в W ровно два раза.
Эти слова кодируют М2; каждому М2 отвечает бесконечное множество таких кодов.
Будем теперь перестраивать эти коды элементарными операциями (порождающими
гомеоморфизмы М2), чтобы привести их к канонической форме. Оказывается,
существуют только три канонические формы (они и дают классификацию М2).
Лемма 3. Слово W можно перестроить так, что все вершины W (т. е. вершины
многоугольника) склеятся в одну точку.
Аоказательство. Предположим, что существует по крайней мере два непустых
класса эквивалентности вершин: {Р} и {Q}. Можно считать, что существует такое
ребро о € 8W, что его концевые точки принадлежат разным классам: {Р} и {Q}.
Выполним следующую элементарную операцию (см. рис. 11). (Жирными отрезками
обозначены те ребра из 8W, которые нас сейчас не интересуют.)
{Q}
{P}
L—=
Рис.11.
Ясно, что эта операция переклейки многоугольника W соответствует гомео-
гомеоморфизму М2. С другой стороны, эта перестройка уменьшила число вершин —
представителей класса {Р} на единицу и увеличила число вершин — представите-
представителей класса {Q} на единицу: ({Р}, {Q}) —* ({Р} - 1; {Q} + 1). Таким образом, мы
постепенно уничтожаем класс {Р}, «перекачивая» вершины этого класса в другие
классы. Последним шагом будет операция уничтожения последней вершины клас-
класса {Р} (см. рис. 12). (Отметим, что в процессе уничтожения класса {Р}, классы {Q},
в которые перекачиваются вершины класса {Р}, могли меняться.) Многоуголь-
Многоугольник (или слово) W, у которого только один класс вершин, называется обычно
«приведенным». ¦
Лемма 4. Пусть слово W име-
имеет вид W = —аа~х—. Тогда
существует гомеоморфизм, пере-
переводящий слово W в эквивалентное
слово W = —1—.
Аоказательство. См. рис. 12. ¦
Рис12- Лемма 5. W = —a —a— ~
W'= —aa — .
Аоказательство. См. рис. 13. Осталось переобозначить с через о. Лемма дока-
доказана. ¦

§ 3. Симплициалъные комплексы
33
Рис. 13.
Лемма 6. W = — а — Ь—а~х — Ъ~~х — ~ W' = — аЬа~хЬ~х —
Аоказательство. См. рис. 14. Лемма доказана.
Ъ с Ъ=Ъ
W'-dcd~xc~x -
ab
W'-aba-]b4 -
Рис. 14.
Лемма 7. Если W = —а — а —, где множество букв а ф 0, то тогда
х
Ь~х
а:
существует Ь Е а такая, что Ь~
W= —а —Ь— а—б—.
а
Аоказательство. Допустим противное: пусть
для любого Ь € а, Ь~1 ? а. Но тогда в множе- {Р}
стве вершин W возникает по крайней мере два
класса неэквивалентных вершин, так как верши-
вершины € а взаимодействуют (склеиваются) только Рис.15.
с вершинами € а (см. рис. 15). Так как а Ф 0
и W \ {a U a U а~х} ф 0 (см. лемму 4), то получаем противоречие с утверждением
леммы 3, согласно которой мы считаем W приведенным многоугольником. Лемма
доказана. ¦
Лемма 8. W = —аЪа~хЪ~х—се— ~ W' = — а2 — Ь2 — с2.
Аоказательство. См. рис. 16. Лемма 8 окончательно следует из леммы 5. ¦
Итак, нами доказана следующая теорема.
Теорема 3 (о классификации двумерных поверхностей). Любое двумерное гладкое
компактное связное замкнутое многообразие М2 диффеоморфно одному из много-
многообразий, определяемых следующими словами (кодами) W:
2) pp = a,MrV
3) W = c]c\...cl.
j V;

34
Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
Рис. 16.
Любое гладкое двумерное связное компактное многообразие с краем получается
из двумерного диска D2 путем следующих операций:
а) выбрасыванием конечного числа точек (т. е. конечного числа дисков доста-
достаточно малого радиуса);
б) приклейкой конечного числа ручек;
в) приклейкой конечного числа пленок Мёбиуса. При этом перечисленные
операции не должны затрагивать границу исходного диска D2.
Опишем более наглядно структуру многообразий М2 в соответствии с этой
классификацией.
Многообразие типа 1) диффеоморфно сфере S . См. рис. 17.
Многообразие типа 2) диф-
диффеоморфно сфере S2 с д ручка-
ручками (ориентируемые многообра-
многообразия Мд). См. рис. 18.
Многообразие типа 3) диф-
диффеоморфно сфере S2 с fi плен-
пленками Мёбиуса (неориентируемые
многообразия AfjJ). См. рис. 19.
Рис. 17.
Ь
б Крендель (<?=2)
Рис. 18.
Замечание 1. Элементарным упражнением является вычисление групп гомологии мно-
многообразий типа 1), 2), 3) (например, с целыми коэффициентами). Вычисление показывает,
что все перечисленные канонические формы не гомеоморфны между собой.

§ 3. Симплициальные комплексы
35
а
а
Ь
= а
<—
*
а =
S2+(M)
Рис. 19.
Замечание 2. Существуют и другие удобные способы кодировать {М2}. Любое М2
можно представить в следующем виде:
= а,а2 .
1... а^а^, е = ±1,
где е = — 1 тогда и только тогда, когда М2 = М% — ориентируемое многообразие (тогда
N = 2д четно); е = +1 (N любое) тогда и только тогда, когда Af2 = М^ — неориентируемо.
Доказательство. Рассмотрим случай М\: W = ах ... aNaJl... a^l_xajfl; N — 2д.
Приведем W с помощью элементарных преобразований (см. выше леммы 3-8)
к канонической форме Мд (см. предыдущую теорему). Это приведение будем осу-
осуществлять, последовательно отщепляя стандартные ручки вида аЬа~хЪ~х. Рассмотрим
W =
а Ь
Далее см. рис. 20.
а, р
Рис. 20.
Таким образом, мы в явном виде выделим первую ручку: d lcdc ', не изменив
при этом отрезков Р и Q. Продолжая операцию выделения ручек и вспоминая,
что N — 2д четно, приходим к слову W = ajbxaj1^1 ... адЪда^хЪд~х ~ Мд. Таким
образом, мы представили все ориентируемые многообразия. Для «ориентированного
случая» теорема доказана. Для «неориентируемого случая» доказательство совер-
совершенно аналогично (см. леммы 3-8), а потому мы его опустим (проведите это
доказательство самостоятельно!). ¦

36
Глава 1. Гомологии и когомо.тогии. Рецепты их вычисления
§ 4. Операция приклейки клетки к топологическому
пространству. Клеточные пространства.
Теоремы о приведении клеточных пространств.
Гомологии и фундаментальная группа поверхностей
и некоторых других многообразий
Пусть X — топологическое пространство, D" — n-мерный диск; Sn~x = dDn —
его граница — (п - 1)-мерная сфера. Мы считаем фиксированной ориентацию
диска ?>"; эта ориентация индуцирует ориентацию границы Sn~l. Пусть задано
отображение этой сферы в пространство X:
/: 5" -» X. A)
Построим новое пространство D" \Jj X, отождествляя каждую точку х на сфере 5""'
с точкой /(х) в пространстве X. Говорят, что пространство Dn (J/ X получено
из пространства X приклейкой n-мерной клетки (Dn, /).
Топология в пространство Dn |J/ X вводится следующим образом. Множе-
Множество К С Dn (J/ X называется замкнутым, если замкнуто его пересечение К f\ X,
а также полный прообраз пересечения К f~) ?>" замкнут в диске Dn.
Пример 1. Сфера 5я получена из точки * приклейкой n-мерной клетки: S" = D" \Jf *,
где /: S™~' -+ * — отображение в точку.
Пример 2. Вещественное проективное пространство RP" можно рассматривать как
диск D", у которого склеены диаметрально противоположные точки на границе 5". Заметим,
что сфера 5"~' с отождествленными диаметрально противоположными точками есть RP".
Следовательно, RPn можно рассматривать как RPn~' с приклеенной n-мерной клеткой
RPB=D"(J/RPB-I. B)
Здесь отображение /„: 5"~' -* RP" — стандартное накрытие.
Лемма 1. Если отображения f, g: Sn~' —•• X гомотопны, то пространства Dn [J. X
и Dn\Jg X гамотопически эквивалентны.
Локазательство. Пусть отображение F: Sn~l х I —> X задает гомотопию отобра-
отображений / и д, где I — единичный отрезок. Приклеим к пространству X произведе-
произведение D" х I по отображению F части его границы:
X = (DnxI)\JFX. C)
Тогда пространства Dn \Jj X и Dn \Jg X лежат в X:
= ((Dnx0)\JpX)cX,
Dn
Рис.21.
n\JgX = ({Dnxl)\JFX)cX. D)
Пусть (pt — гомотопия, стя-
стягивающая D" х I на D" U 5""' х /
по лучам, проведенным из точки *
Sn~ xl (см. рис. 21). Гомотопия ^ посто-
постоянна на D" U Sn~' х I, поэтому
определяет гомотопическую эк-
эквивалентность X ~ D" \Jj X. Ана-
Аналогично, X ~ U" \Jg X. Лемма
доказана. ¦

§ 4. Клеточные гомологии 37
Определение 1. Пространство X называется клеточным, если оно получено
из конечного набора точек итерированием операции приклеивания клеток
различных размерностей.
Отметим, что первоначальный набор точек также можно считать 0-мерными
клетками.
Замечание. Для клеточных пространств с бесконечным числом клеток мы потребуем,
чтобы они имели конечное число клеток в каждой размерности.
Определение 2. Клеточное пространство X называется клеточным комплексом,
если каждая клетка приклеена к клеткам меньшей размерности.
Объединение всех клеток размерности k < n мы будем называть п-мерным кле-
клеточным остовом комплекса X. Обозначим n-мерный клеточный остов комплекса X
через Хп. Получаем систему вложенных остовов:
Хо С Xi С ... С Хп С ... С X. E)
Замечание. Частным случаем клеточного комплекса является симплициальный ком-
комплекс. n-мерный остов симплициального комплекса — это совокупность всех его симплексов
до размерности п включительно.
Теорема 1. Любое клеточное пространство гомотопически эквивалентно клеточ-
клеточному комплексу.
Локазательство. Достаточно показать, что любое отображение сферы 5* в кле-
клеточный комплекс У гомотопно отображению S* в его Jfe-мерный остов Yk. Тогда
в силу леммы 1 результат каждой приклейки клетки будет гомотопически эквива-
эквивалентен клеточному комплексу.
Итак, пусть У — клеточный комплекс, f:Sk—*Y — отображение. Образ
сферы Sk при отображении / пересекается лишь с конечным числом клеток. Если
образ /E*) пересекается с внутренностью какой-то клетки D", где п > к, то эту часть
образа можно вытеснить на границу. Действитель-
Действительно, отображение / на полном прообразе внутрен-
внутренности клетки /"'(?)") можно заменить гомотопным
ему гладким (см. [1], ч. II, § 12), и по теореме Сарда
этот образ не покрывает хотя бы одной внутренней
точки Р в D". Проектируя Dn \ {Р} из точки Р
на границу, мы и вытесняем часть образа /E*)
на границу, т.е. в остов У„_1 (см. рис. 22).
Повторяя это рассуждение для всех клеток раз-
размерности больше к, мы в конце концов затянем
образ f(Sk) в остов У* комплекса Y. Тем самым
теорема полностью доказана. ¦ с" '
Определение 3. Отображение /: X -> Y клеточных Комплексов называется
клеточным, если оно переводит fc-мерный остов Хк комплекса X в fc-мерный
остов Yt комплекса У (к любое).
Теорема 2. Любое непрерывное отображение клеточных комплексов гомотопно
клеточному отображению.
Аоказательсгво этой теоремы (теоремы о «клеточной аппроксимации») полно-
полностью аналогично доказательству теоремы 1, и мы оставляем его читателю в качестве
задачи. ¦

38 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
Пусть X — клеточный комплекс; Хк-\ и Хк-2 его (к- 1)-мерный и (Л-2)-мерный
остовы. Заметим, что пространство Хк-у/Хк~2, где Хк-2 отождествлено в точку, есть
букет (к - 1)-мерных сфер (по одной для каждой клетки D*~'). Приклейке Л-мерной
клетки (D*, /) отвечает отображение
сферы S*~' в букет (к - 1)-мерных сфер.
Пусть а* = (?>*, /), а* = (Dk~\ /,) — клетки размерности к и (к - 1).
Определим «коэффициент инциденции» — число [о*: 0?"~'] для пары клеток ак
и<7*~' — это степень отображения F) на t-e слагаемое букета Хк-\/Хк-2 (сферу Sk~\
отвечающую клетке «г,*).
Определим теперь комплекс клеточных цепей комплекса X, обозначаемый че-
через С(Х; G) = ^2 Ck(X; G). Клеточная цепь размерности к — это формальная
линейная комбинация клеток: с* = $3д,чг*, r*e °f ~~ клетки размерности Jfe, <fc —
элементы произвольной абелевой группы G, записанной аддитивно. Определим
граничный оператор д формулой
до~ = / \о '. <Ti \o~i , д'. Ск\Х',G) —> Ck—\\X',G). (п\
*—~» V/
t
(На любые цепи оператор д продолжается линейно.)
Замечание 1. Если X — симплициальный комплекс, то определенный здесь оператор д
совпадает с граничным оператором из § 3 (проверьте!).
Замечание 2. Для G = Z (целочисленные цепи) имеем отображение *i(X*, Хи-\) —>
Ск(Х; Z) на всю группу цепей.
Лемма 2. дд = 0.
Аоказательство. Можно считать, что каждая клетка ok: if -* Xk представляет
элемент [<г*] из относительной группы -Кк{Хк,Хк-\) (см. [1], ч. И, §21). Гранич-
Граничный оператор д порожден, как очевидно следует из его определения, граничным
гомоморфизмом точной последовательности пары (Хк, Х*_|)
о. _ / у y \ т {Y \ iSi\
и гомоморфизмом j: irk-\(Xk-\) —> irfc_i(Xjt_i, Хк-г) (см. [1], ч. II, §21). Мы имеем
для G* как цепи из Ск(Х; Z):
д(о*) = a{jd[ak]) e Cfc_,(X;Z). (9)
В силу тождества dj = 0 мы получаем дд = 0 для целочисленных цепей. Клетки ок
дают базис также для цепей с любой группой коэффициентов G. Лемма доказана. ¦
Теперь можно обычным образом определить гомологии и когомологии ком-
комплекса клеточных цепей. Мы получим клеточные гомологии и когомологии. Для
симплициальных комплексов эти гомологии совпадают с симплициальными.
Приведем примеры клеточных комплексов.
Пример 3. Сфера 5я. Мы уже видели, что сфера 5" получается приклейкой од-
одной п-мерной клетки а" к нульмерной <г°. Имеем д<г° = 0, д<тп = 0. Последнее очевидно для

§ 4. Клеточные гомологам
39
всех п > 1. Для п = 1 граница клетки «г1 — это нульмерная сфера S0 (пара точек, причем эти
две точки входят с разными знаками). Отсюда получаем
H0(Sn;G) = G, n>\,
Hn(S*;G) = G, A0)
Hk(S"; G) = 0, к ф 0, п.
Если имеется букет q сфер S?j, п ^ 1, j = 1,2, ...,д, соединенных в одной точке, то
имеется одна вершина <г0 и q п-мерных клеток <т",..., <т?, где 3<т" = 0. К такому букету
стягивается область, полученная из евклидова пространства R"+l выкидыванием набора q
точек. Обозначим этот букет через К?. Имеем
Hn(K^;G)=G + G + ...+G (q штук), A1)
h,(h;-,g)=o, i*o,n.
Пример 4. Клеточное разбиение тора. Здесь имеем клетки: <т°,<г\,<т\,<г2 (см. рис.23),
причем да0 = да\ = да\ = да1 = 0;
H0(T2) = G, Ht(T2) = G + G, H2(T2) = G. A2)
а0
ст'
о\
а1-,
о0
о\
о0
Рис. 23. Тор
Рис.24. Бутылка
Клейна К2
Рис. 25. Проективная
плоскость
Пример 5. Бутылка Клейна имеет следующие клетки: <г°, а\ ,<т\,<т2 (см. рис. 24), причем
д(т° = 8<т\ = 8<г\ = 0, да2 = Ът\
Я/ Tfi. rw\ <у ТХ I V^- • *Ш \ П XT I V^. *Ж\ *#i'7. IT/ v"^- • 'W \ 'W I \1\
О^Л , ?j) — ?tt 112{R , ?s) — U, И\\Л , Ltf—?j + ?л2л H2\A , ?j2f —?j2. \lj)
Пример 6. Проективная плоскость RP2. Здесь име-
имеем 3 клетки: а°,<г\а2; да0 = да1 = 0, да2 = 2ах
(см. рис. 25),
F0(RP2;Z) = Z, ff,(RP2
H2{RP2; Z) = 0.
Пример 7. Ориентируемая поверхность рода д: име- Оо}
ем 4<?-угольник (см. рис. 26 для д = 2). Клетки: «г0, <т{,...,
«rj,, а2. Границы всех клеток нулевые. Имеем гомологии °\
(G = Z): Но = Z, Я, = Z + ... + Z Bд слагаемых).
Пример 8. Проективное пространство RP". Выше
мы видели, что RP" = Dn\JJmRP*~l, где /„: 5""'
A4)
а
о° о\ а0
Рис.26. Крендель
RPn~' — стандартное накрытие. Получаем по одной клетке ак = (Dt, Д) в каждой раз-
размерности к: а°,...,егп. Покажем, что flw2*1 = 0, да2* = 2ап~1. Отображение границы 5™

40
Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
г1
клетки «г1 в m-мерный остов проективного пространства — это стандартное накры-
накрытие 5™ —»RP™. Поэтому нужно вычислить степень отображения
Sn _» Rpm -* RPm/RP"-1 = ST. A5)
Это отображение изображено на рис. 27.
Оно является суммой (в смысле груп-
группы KmiS™)) двух отображений 5™ в 5й.
При нечетном т оба эти отображения
имеют степень +1, поэтому дап+1 = 2ап.
При четном m знаки степеней противо-
положны, и^т+|=0.
Итак, получаем вид гомологии про-
проективного пространства RP" для G = Z
и G = Z2:
т '
- 27
а) Я0(ИР";Z) = Z,
Hk(RP
(
\
0,
Z2,
; Z) =
k = 21,
As = 21 + 1,
О, г» = 2*.
Z, n = 2*+l,
где 0<fc<n.
6) Hk(RP"; Z2) = Z2, к = 0,1,..., n.
A7)
Пример 9. Комплексное проективное пространство СРП. Пусть (z0) ...,г,)- однород-
однородные координаты в СРП. Уравнение г0 = 0 определяет в СР" подмногообразие, совпадающее
с СР"'{. Разность СР" \СР"~' есть n-мерное комплексное пространство С" (с коорди-
координатами zi/zo,...,zn/zo). Поэтому разность СР" ХСР" определяет 2п-мерную клетку «г2".
Продолжая этот процесс, мы получим разбиение комплексного проективного простран-
пространства СР" на четномерньге клетки <г°,о1,...,<г2п. Очевидно, здесь все границы нулевые.
Поэтому ЯгПСР"; G) = G, 0 < к ^ г», Я^^СР"; G) = 0.
Клеточные комплексы удобно использовать и для вычисления гомотопий. На-
Напомним, что пространство X называется n-связным, если оно линейно связно, и все
группы iti(X) = 0 при t < п.
Теорема 3. Всякий п-связный клеточный комплекс К гомотопически эквивалентен
клеточному комплексу К с единственной вершиной а0 и без клеток размерно-
размерностей 1,2,...,п.
Перед тем как мы приступим к доказательству теоремы, разберем два примера.
Пример 10. Пусть п = 0. Линейно связный комплекс К можно привести к одно-
одновершинному К следующим образом: если имеется ребро <т\ A-мерная клетка), у которого
граница да\ = a°u \J <jj, состоит из двух различных вершин <г° / <г?, то мы накладываем
отождествление, стягивая все ребро <г\ в одну точку «г *,- = «Fj,-, которая будет вершиной.
Остальные клетки не меняем. Получается новый комплекс К' с меньшим числом вершин.
Проделываем это преобразование до тех пор, пока не придем к одновершинному комплексу.
Комплексы К и К' гомотопически эквивалентны (доказательство будет ниже). В результате
получаем комплекс К с одной вершиной 7°, 1-клетками а\ и 2-клетками Ъ\. 1-остов К\ яата-
ется букетом окружностей <?): К\ = S\ V ... V S\f, где N — число 1-клеток ?,-, » = 1,..., N.
Группа *i (Х|) свободна с образующими {а\} = в; (см. [1], ч. II, § 19). Клетки Щ приклеи-
приклеиваются с помощью отображения границы S] = 8а* —> Kt, дающего некоторые элементы V}
из свободной группы *\(К\) с образующими au...,aN. Группа *](К) задается тем самым
образующими a\,...,aN и соотношениями Vj = 1 для всех 2-клеток aj в комплексе К
(с одной вершиной). Переходя к группе Я,(A'; Z), мы получим базисные циклы [а,],..., [aN]

§ 4. Клеточные гомологии
41
и соотношения V, = 0 (в аддитивной записи) в коммутированной группе. Тем самым оправда-
оправдано определение группы гомологии Н,(К; Z) = К\(КI \*\(К), Ж\(К)\, данное в [1], ч. II, § 19.
Пример 11. Если п > 0, то группы Яв+1 (К; Z) и xn+i (к) коммутативны. Они заданы
одними и теми же образующими а, — (п+1)-клетками<г*+| ъК (i = \,...,N) и одинаковы ми
соотношениями из границ (п + 2)-клеток а'+2. Получаем:
Следствие (теорема Гуревича). Имеет место равенство *п+\(К) = Hn+\(K;Z)
для п-связного комплекса (п > 0).
Доказательство. Каждое отображение (п + 1)-мерной сферы в клеточный ком-
комплекс К гомотопно отображению в (я + 1)-мерный остов (см. теорему 2). Поэтому
любое такое отображение представляется в виде линейной комбинации с целыми
коэффициентами клеток <г"+| в К (i = 1,..., N). Каждое соотношение ^2 ^»<r"+1 ~ 0
в группе irn+i(Jif) есть отображение диска Dn+2 в комплекс К такое, что его ограни-
ограничение на границу 5"+1 есть линейная комбинация
i
Такое отображение гомотопно отображению, переводящему Dn+2 в остов раз-
размерности п + 2, причем гомотопия постоянна на границе 5n+1 (доказательство
полностью аналогично доказательству теоремы 1). Поэтому каждое соотноше-
соотношение вида «52^»СГГ+1 гомотопно нулю» в группе тп+1(ЛГ) эквивалентно соотно-
соотношению «X) \&"+1 гомологично нулю» в группе Нп+\(К; Z). Следствие доказано. ¦
Задача 1. Докажите обратное утверждение: пусть К — связный односвязный клеточный
комплекс. Если Hk(K; Z) = 0 при 0 < к < п, то хк(К) = 0 при тех же * и гя(К) = НЯ(К; Z).
Доказательство теоремы 3. Фиксируем
одну вершину <7°; соединим ее путями 7«
со всеми остальными вершинами of. Можно
считать, что эти пути целиком лежат в од-
одномерном остове клеточного комплекса К.
Приклеим к комплексу К полукруги по ка-
каждому пути 7t- Получим новый клеточный
комплекс К, который содержит комплекс К
и, кроме того, клетки <т\ и а] (см. рис. 28).
Внутренности клеток а\ не пересекаются,
поэтому их объединение стягиваемо в К.
Значит, факторпространство К = К/ (J о~\,
i
полученное стягиванием всех клеток а\ в а0, гомотопически эквивалентно К.
С другой стороны, комплекс К стягивается на К (полукруг стягивается на диаметр),
поэтому К ~ К ~ К. Комплекс К имеет ровно одну нульмерную клетку (вершину).
Далее, пусть комплекс К имеет одну вершину и уже не содержит клеток размер-
размерности 1,2,..., * -1, к < п. Тогда fc-мерный остов комплекса К — это букет fc-мерных
сфер Sf. Каждая сфера 5* гомотопна нулю в К в силу п-связноети, поэтому ее можно
заклеить диском Df+1 (можно считать, что диск ?)*+| лежит в (к + 1)-мерном остове
комплекса К). Приклеим по отображению диска ?>J+1 диск Р*+2 (по половине
границы). Тем самым мы получим комплекс К, гомотопически эквивалентный К,
Рис. 28.

42
Глава 1. Гомологии ¦ когомолопш. Рецепты их вычисления
содержащий по лишней клетке (г*+1 и <т*+2 на каждую А-мерную клетку в К. Объеди-
Объединение клеток <г*+| стягиваемо в К, поэтому К = К/ \J of+1 ~ К ~ К. Комплекс К
i
гомотопически эквивалентен if и не имеет клеток размерности 1,2, ...,к— \,к.
Теорема 3 доказана. ¦
Теорема классификации замкнутых поверхностей (см. §3) позволяет указать
стандартное представление М2 в виде объединения клеток: Af2 = <r° (J( (J о? J \J a2,
где <г° — точка; к ней приклеен букет окружностей V ^i» а затем к этому букету в со-
а
ответствии со словом W при-
приклеен диск D1 (двумерная клет-
клетка а1) (см. рис. 29).
Частный случай Мд при
д = \ показан на рис. 30.
Таким образом, окружности
{Sa} можно занумеровать бук-
буквами ai,o2, ...,о„ (п = 2д для
Pgc 29. Af/ и п = /х для Af2), а фунда-
фундаментальный многоугольник W
SVS'
о-п
Свобод-
Свободвносит
(П
V
ам
ная с образующими оь...,оп, то приклейка а3 по слову W = а^1 ..
единственное соотношение в т, (М2).
Итак, фундаментальная группа Т](М2) допускает следующее представление
образующими и соотношениями:
{1 для 52;
о1,61)...,о„6,; IK = e,ft,arV...e»W*«l = 1 Д"» Mh A8>
oi,...,^; Wr = a2a2...a2 = l для Af2.
Задача 2. Доказать изоморфизм следующих групп, соответствующих разным представ-
представлениям Х|(М2):
1. а) a,,b,,...,af,bf; W = o^af'ftT1 ...^aj'bj1.
б) аьbi,...,а(,Ьу; ТУ = в, ...o,6i ...Ьда^Ь^1 ...а~хЬ~1.
2. а) аЬ1..,од; W = ^..eJL
б) a,,b,,...,at,bk; W = 5^^% ...а^а^Ь^ к = р/2, ц четно.
в) //любое; ai,...,aM; W = ei ...a^aj ...o~liO^'.

§4. Клеточные гомологии 43
Залача 3. Доказать, что для разных поверхностей группы *i(M2) и даже Н,(М2) =
х,/[х|, эг, ] неизоморфны.
Задача 4. Дать классификацию всех двумерных гладких связных поверхностей (неком-
(некомпактных).
Залача 5. Доказать, что необходимым и достаточным условием реализации двумерного
ориентируемого гладкого связного многообразия М2 (открытого или с границей) в виде
плоской области является равенство нулю индекса пересечения любых двух одномерных
циклов. (Плоское двумерное многообразие автоматически ориентируемо.)
Залача 6. Для того чтобы открытое двумерное многообразие М2 было гомеоморфно
открытой области в компактном замкнутом двумерном многообразии, необходимо и доста-
достаточно, чтобы группа Я,(М2; Z) (или ж,(М7)) имела конечное число образующих. Докажите
это.
Залача 7. Доказать, что любое открытое связное двумерное многообразие М2 имеет сво-
свободную фундаментальную группу и что такое многообразие М2 гомотопически эквивалентно
к оо
либо конечному букету V SJ (к < оо), либо бесконечному букету окружностей V 5/.
s=i t=i
Замечание. На каждом компактном связном гладком замкнутом двумерном много-
многообразии можно ввести риманову метрику постоянной кривизны. При этом на сфере S2
и проективной плоскости RP2 можно ввести метрику постоянной положительной кривизны
(это утверждение очевидно); на торе и на бутылке Клейна можно ввести метрику нулевой
кривизны. Существование такой метрики на торе следует из представления: Т2 = R2/F, где
группа Г = Z(a)® ZF) имеет две образующие а, Ъ, действующие на R2 как трансляции. Ясно,
что группа Г представлена изометриями евклидовой плоскости R2. Аналогичная ситуация
имеет место и в случае бутылки Клейна, допускающей представление вида R2/I\ где группа
движений Г порождена преобразованиями
г, у) = (х,у+ 1), Т2(х, у) = (х + 1-, -у V
связанными соотношением Т^ТуГгГ\ = 1.
На всех остальных двумерных многообразиях (связных компактных гладких замкнутых)
можно ввести риманову метрику постоянной отрицательной кривизны. Для этих много-
многообразий М2 существует представление: М2 = L2/T, где Ьг — плоскость Лобачевского
(снабженная, следовательно, метрикой постоянной отрицательной кривизны), Г — группа,
изоморфная Xi(M2) и действующая на L2 изометриями (движениями) (см. [1], ч. II, §20).
Сделаем полезное дополнение по поводу введенных выше операций приклейки
ручки и приклейки пленки Мёбиуса. Оказывается, эти операции являются част-
частными случаями более общей операции — так называемой «связной суммы двух
многообразий одинаковой размерности». Опишем эту операцию более подробно.
Пусть Mf и М% — два гладких замкнутых многообразия одинаковой размерно-
размерности. Вложим многообразия М," и М" в евклидово пространство R", где N достаточно
велико, и расположим Af? и Af? в R* таким образом, чтобы точки х € AfJ1 и у 6 Щ
оказались друг от друга на расстоянии е, где е > 0 — достаточно мало, причем их
касательные плоскости Тх и Tv параллельны друг другу. При этом можно считать,
что М|* и Щ не пересекаются друг с другом в R*, — например, лежат по разные
стороны от гиперплоскости R^ С К^ (рис. 31).
В силу параллельности касательных плоскостей Тх и Ту эти две п-мерные
плоскости можно включить в (п+ 1)-мерное евклидово подпространство R"+1 С R^,

44
Глава 1. Гомология и когомологии. Рецепты их вычисления
х
J,
т т
[щ
Рис. 31.
|гхм, \тум2
Рис. 32.
М2«
причем можно считать, что отрезок [х,у], соединяющий точки ж и у в К"+1,
ортогонален Тх (в точке х) и Ту (в точке у). Теперь можно рассмотреть цилиндр
достаточно малого радиуса е > 0 с осью [х, у], основания которого — сферы 5**"' —
расположены в Г, и в Г, (центрами сфер являются точки х и у). Построим
новое n-мерное многообразие (обозначим его через М?#М"), вырезав из Aff
и М% диски радиуса е с центром в х и с центром в у и соединив получившиеся
(п — 1)-мерные сферы построенным выше цилиндром (см. рис. 32).
Отметим, что полученное многообразие М?#М" определено однозначно
(если М" и М" связны) в следующем смысле: при замене точек х, у на другие
точки х' € Af{*, у' 6 М", многообразие М"#М% заменяется на диффеоморфное.
Ясно, что операция # ассоциативна: (M#N)#Q » M#(N#Q) (диффеоморфизм).
Кроме того, операция # коммутативна.
Рассмотрим теперь с точки зрения опе-
операции взятия связной суммы введенные ра-
ранее операции приклейки ручки и пленки
Мёбиуса. Ясно, что операция приклейки
стандартной ручки aba'1^1 эквивалентна
взятию связной суммы исходного много-
многообразия М2 и тора Т2. Далее: операция
приклейки пленки Мёбиуса эквивалентна
взятию связной суммы исходного много-
многообразия М2 и проективной плоскости RP2
(см. рис. 33).
22 М2 (диффеомор-
(диффеоморД 2 2
Ручка
RP2
Ясно, что M2#S2
физм);
«М
,|+й;
2
(
#М22 «
S2=1 ss M2#M2=i.
Так, например, бутылка Клейна есть
связная сумма двух проективных плоско-
плоскостей ШР2 (см. выше).
Таким образом, множество классов диф-
Рис*^> феоморфных многообразий М2 (многообра-
(многообразия предполагаются компактными замкну-
замкнутыми связными) превращается в абелеву полугруппу Р с двумя образующими: а
(тор Т2) и Ь (проективная плоскость RP2), между которыми есть одно соотношение:
а#Ь = ЫЬ#Ь. (Докажите, что других соотношений нет.) В качестве нулевого элемента
в полугруппе Р выступает двумерная сфера.

§4. Клеточные гомологии
45
Используя клеточные разбиения поверхностей, полученные выше, не предста-
представляет труда вычислить гомологии всех двумерных замкнутых поверхностей, а также
фундаментальную группу:
1. Сфера S2. Гомологии ее уже были вычислены: H0(S2; Z) = H2(S2; Z) = Z,
Hi = 0. Далее, мы знаем, что *i(S2) = 0 и *2(S2) = ^(S2) = Z.
2. Ориентируемые поверхности М2. В силу ориентируемости имеем: Н2(Мд ;Z)=
H0(Mg\Z) = Z. Фундаментальная группа задается в этом случае 2д образующи-
образующими О],..., as, ft],..., Ьд, и соотношением а^а^'Ь]... адЬдп^Ъд' = 1. В коммути-
коммутированной группе Hi (Afj; Z) = Xi/[ti, ti] это соотношение исчезает, и мы получаем
Hi (М2; Z) = Z +... + Z B5 слагаемых).
3. Неориентируемые поверхности М%. Здесь H0(M^;Z) = Z, H2(M^;Z) = 0
в силу неориентируемости (см. § 3). В фундаментальной группе ъ\ (М%) имеет-
имеется ц образующих oi,...,ац, связанных соотношением а\а\... а2 = 1. В гомологи-
ях Я| (М2; Z) = т1/[я-|, Ti] образующие oi,..., о,, коммутируют и связаны соотно-
соотношением 2(oi + ... + (ty) = 0. Поэтому Щ {М2; Z) .= Z + ... -I- Z +Z2. Здесь образу-
образующие в группах Z — это Oi,..., a,,_i; образующая в группе Z2 — это ах +... +пц.
Рассмотрим теперь так называемое «линзовое пространство» Lp, которое полу-
получается из сферы S3: \zx |2 + |z2|2 = 1 факторизацией по действию группы Zf.
A9)
При р — 2 мы получим трехмерное проективное пространство RP3.
Для построения клеточного разбиения линзового пространства Lp разобьем
сначала сферу S3 следующим образом: пусть q = 0,..., р - 1. Клетки а\ — это такие
точки (zi,z2), что z2 = ре1*, р > 0, ^ < ip < ^^;
а\ — такие точки (z\, z2)y что z2 = petlf, p > 0, <р = Ц*;
<т\ — такие точки (zb0), что zx = eiif, ^* < <р < 2^^-;
<rj — точки (е т ,0j.
Это клеточное разбиение схематически изображено
на рис. 34, где сфера S3 отождествлена с трехмерным
пространством, компактифицированным бесконечно уда-
удаленной точкой (р = 3).
При надлежащей ориентации этих клеток мы будем
иметь:
Рве. 34.
д<тч =
- <r
q,
d<rq =
B0)
(Здесь (q+l) приводится по модулю р.) После отождествления по действию группы Zp
клетки а\, а\, сг\, <г° при разных 9 склеятся в одну. Мы получим клеточное разбиение
линзы Lp, состоящее из четырех клеток: а3,а2,а\а°, причем из формул B0)
вытекает, что да3 = 0, да2 — ра\ да1 = 0.
Отсюда следует:
Z) = Z = HQ(LP;Z), H2(Lp;Z) = 0, H\(Lp;Z) = ZP. B1)

46 Глава 1. Гомологам и когомологий. Рецепты их вычисления
Для коэффициентов Zp будем иметь:
Hi(Lp;Zp) = Zp, 1 = 0,1,2,3,.... B2)
Залача 8. Найти группы когомологий H'(LP; Z).
Общим линзовым многообразием размерности 2п - 1 называется фактор сфе-
сферы 52" по действию группы Zm, где действие образующей имеет вид
(^i.-.-.z,,)!-» [e-zue - z2,...,e - ZnJ . B3)
При этом все числа q\,...,qn-i должны быть взаимно просты с т, чтобы фак-
торпространство было многообразием (проверьте!). Это многообразие обозначается
так:
S2n-l/Zm = L*t-\qu. ..,?„_,). B4)
Очевидно, что Х] (L2n~') = Zm.
Залача 9. Постройте на сфере 52" клеточное разбиение, для которого группа Zm дей-
действует, переставляя клетки свободно (т.е. порождает клеточное разбиение линзы). Вычислите
гомологии линзовых многообразий.
Залача 10. Покажите, что для qt = ф = • • • = Ч%-\ = 1 линзовое пространство является
гладким расслоением с базой — СР"~' и слоем — окружностью S1
, F = S\ B5)
Залача 11. Вычислите кольцо когомологий линзовых пространств (с коэффициентами
в группе G = Zm).
Представляет интерес клеточное разбиение ряда гладких расслоений. Рас-
Рассмотрим здесь простейшие случаи, когда слой F — это сфера S", разбитая
на клетки oF\JoF~] = Sn~'. Важным примером является многообразие линейных
элементов:
М2в~|-^М", слой F-Sn~l.
Если база Af" разбита на клетки <г? то клетки в расслоении Л/2" определяются
из условия
р (*j) =<rjxf = о) x D U *Г'). B6)
так как расслоение над диском тривиально (прямое произведение) — см. [1], ч. II,
§24. Итак, мы имеем клетки в М2"
<т) х ar°F, a) xanf\ B7)
где ffj — любая клетка (размерности q) в базе М". Однако вычислить граничный
оператор от этих клеток трудно. В качестве примера рассмотрим пространство М3
линейных элементов к замкнутой поверхности ЬЦ рода д > 0 со стандартным
клеточным разбиением (см. выше):
MZ = ao\J{*l,j = l,...,2g}\J<T2. B8)
В пространстве Af3 получим клетки размерностей 0, 1, 2, 3
0 0 10 2 0
а х aF, <Tj xaF, ax <rF,
a0 x aF, a) x oF, о2 х oF.

§ S. Сингулярные гомологии 47
Вершина — одна а0 х а%, все одномерные клетки — это циклы. Многообразие М3
ориентируемо. Поэтому трехмерная клетка а2 х а\ — это цикл. Проверьте, что
клетка oj x а\ в слое — это также цикл в гомологиях; однако в тДМ3) грани-
граница д{о) х ар) дает коммутатор путей <т) и ахр. Клетка а2 х <г% уже оказывается
не циклом. Имеет место формула
д(а2 х а%) = [(да2) х 4] UK x WO**]. C0)
Символ ((ТрJ'2* означает, что в границу клетки а2 х а\ одномерный цикл а\
входит, пройденный 2 - 2</ раз (при подходящей ориентации). Для да2 мы имеем,
выбрав одно из разбиений в базе М2,
я
да2 = П^МГ'ЬГ') = W{a, b), C1)
где пути а,- представлены клетками а\, а пути Ь< — клетками axs+i в базе М\.
Задача 12. Докажите формулу C0) для границы клетки a1 x а%, используя векторное
поле на Af/, имеющее ровно одну особу»точку со степенью 2 - 2д (см. [1], ч. II, § IS).
Для группы Х\{Мъ) имеем образующие at,...,ад,b{,...,&,,у (здесь j — слой
F = S1) и соотношения
[о,, 7] = <Ц7аГУ' = 1, [bi, 7] = ЬуЫ1Г* = 1, C2)
, ftj]. C3)
i=\ t=l
Проверьте, что гомологии Щ(М3) имеют вид:
Щ = Z, Я, = Z + ... + Z +Z2,_2, Я2 = Z + ... + Z, Я3 = Z. C4)
2j штук 2д оггук
§ 5. Сингулярные гомолопш и когомологии.
Их гомотопическая инвариантность.
Точная последовательность пары.
Относительные гомологии
Наиболее общий способ гомотопически инвариантного определения гомологии
и когомологии, который мы здесь изложим, не требует ни структуры многообразия,
ни структуры симплициального или клеточного комплекса.
Пусть X — любое топологическое пространство.
Определение 1. Сингулярным к-мерным симплексом называется пара (<т*, /), где
/: <г* —» X — непрерывное отображение fc-мерного стандартного симплекса
а = [а0...а«] в пространство X. Сингулярной k-мерной цепью называется фор-
формальная конечная линейная комбинация с* = SftO^» /•)> гДе ft — элементы
>
аддитивно записанной абелевой группы G, а (о*, /,•) — сингулярные симплексы
размерности Jb.

48 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
Определение 2. Границей к-мерного сингулярного симплекса называется формаль-
формальная линейная комбинация вида
где <т*~' = [а0 ...ая ...ак\ — q-я грань стандартного симплекса,
ограничение отображения / на грань ст*~' (грань сингулярного симплекса, сама
являющаяся сингулярным симплексом). Граница сингулярной цепи имеет вид,
по определению:
Из леммы 3.1 вытекает, что ddct = 0. Сингулярный цикл — это цепь с* такая, что
Set = 0. Сингулярная граница — цепь с% такая, что с* = дсь+\. Сингулярная граница
является циклом. Группы сингулярных (симплициальных) гомологии Щ(Х; G) — это
классы эквивалентности fc-мерных циклов с точностью до границ.
Группы сингулярных когомологии Hk(X;G) определяются как и в §2: коцепи —
это линейные формы на цепях, и оператор 6 сопряжен к д. Удобство использования
сингулярных гомологии состоит в том, что для любого непрерывного отображения
пространств <р: X —» Y индуцированные гомоморфизмы <р„ и <р* групп сингулярных
гомологии и когомологии
<p,:Hk(X;G)->Hk(Y;G), A)
<p*:Hk{Y;G)-+Hk{X;G) (I1)
строятся очевидным образом. Здесь сингулярная цепь ck = X^iftO^i/i) переходит
в сингулярную цепь ^*(с*) = EftKiF/i)' Когомологии отображаются в обрат-
обратную сторону: <р*: Hk(Y;G) —> Hk(X;G), где коцепь с* переходит в у>*(с*), причем
(^*(с*),с*) = (с*, <p*(ty)) по определению. Отображения <pt и <р* на цепях и ко-
коцепях перестановочны с граничным оператором и поэтому определены на классах
гомологии и когомологии.
Из определения сингулярных гомологии (когомологии) очевидно следует, что
топологически эквивалентные (гомеоморфные) пространства имеют одинаковые
гомологии и когомологии. Докажем более сильное утверждение: гомотопическую
инвариантность сингулярных гомологии (для когомологии все рассуждения анало-
аналогичны).
Теорема 1. Пусть <ро'. X —> Y, <pt: X —¦ У — гомотопные отображения. Тогда
индуцированные гомоморфизмы групп гомологии <ра„<Р\*: Ик{Х;Ь) —* Ht(Y;G)
совпадают: ipQt = <р\, (для когомологии ipl = ip\).
Аоказательство. Пусть! — отрезок [0,1]; Ф — гомотопия, связывающая отобра-
отображения <ро и <р\:
Для любого сингулярного симплекса (<т, /) определено отображение цилиндра ax I
в пространство Y:
Ф(/ х 1)(<7, t) = Ф(/(«т), t): а х I -» X х I -» Y. C)

§ 5. Сингулярные гомологии
49
ао=а°о
Рис. 35. Разбиения цилиндров над симплексами
Разобьем цилиндр а х I на симплексы: если а = [а0...ак\, то вершины в ци-
цилиндре а х I будут иметь вид а" (нижнее основание) и а\ (верхнее основание).
Симплексы цилиндра а х I имеют вид
aq=[al..ayqa11+i...alk], q = O,...,
D)
Получаем гомоморфизм групп сингулярных цепей:
D: Ск(Х) - Ck+i(Y).
Лемма 1. Имеет место тождество:
(см. рис. 35 для 4=1,2). Отображение Ф(/ х 1) = / определяет сингулярную
симплициальную (к + 1)-цепь D(a, /):
E)
F)
G)
(8)
(9)
Аоказательсгво. Обозначим через d[a<j... ak] сумму симплексов вида D):
Кроме того,
Тогда
d[a0...«*] = (-!)*-'
d[a0...ak] =
---«X-..ai].
... a,... or*].
i=0
dd[ao... a»] + (- l)"-ldd[a0 ... a»] = [aj ... ai] - [ag... aj]. A0)
Это равенство геометрически очевидно: граница цилиндра [а0... а*] х / состоит
из цилиндра над границей симплекса д[а0 ... ак] и верхнего и нижнего оснований
с учетом знака. Из этого равенства вытекает утверждение леммы. ¦
Из леммы следует (см. §2), что гомоморфизмы групп гомологии <рт, а = 0,1,
совпадают (для любого цикла zk имеем <po*zk - <f\,zk = dD zk). Теорема доказана. ¦
Следствие. Гомотопически эквивалентные пространства имеют изоморфные груп-
группы сингулярных (симплициальных) гомологии {когомологий).
5 Зак. 368

50 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
Пример 1. Любое стягиваемое (по себе) пространство X гомотопически эквивалентно
точке. Найдем сингулярные симплициальные гомологии точки (X = *).
Сингулярные Jk-симплексы точки {*} = X:
/:»•-{•); (и)
мы имеем по одному сингулярному симплексу для каждой размерности к (так как отображе-
отображение / единственно). Граница симплекса (<т*) имеет вид:
Поэтому имеем:
0, если к нечетно или к = 0;
^',/), Счетно. <13>
Отсюда: Но(*; G) = G, Вк(*', G) = 0 при к > 0 (цикл («г*, /) при четных к является границей
цепи (а*, /)).
Пример 2. Если пространство X линейно связно, то Щ(Х; G) = G. Действительно,
все нульмерные цепи являются циклами. Цепь вида ]Г^ gi(<r°, Л), М<г°) = г,- € JT является
•
границей, если и. только если ?3 j, = °- Любые два нульмерных симплекса (<г°, /) и (<г°,д),
/(<г°) — Х|, д(<т°) = хг гомологичны: если <р: [0,1] —* X — кривая, соединяющая точки х,
и хъ то
Поэтому цикл ?) gi(co> ft) гомологичен циклу (^2 ft)("Л /)• Следовательно, По(Х; G) = G.
Аналогично доказывается, что для пространства X, состоящего из п компонент линейной
связности, группа П0(Х; G) является прямой суммой п экземпляров группы G.
Для некоторых целей более удобны сингулярные кубические гомологии и кого-
когомологии. Дадим их определение.
Определение 3. Стандартный единичный n-мерный куб J" — это множество
точек (х],..., хп) в пространстве К", удовлетворяющих соотношению 0 < ж,- < I.
Если п = 0, то 1° — одна точка. Грань куба AfJ™ (t = 1,..., n, e = 0,1) — это
куб J", где Xi = е. Всего куб имеет 2п граней А*/".
Определение 4. Сингулярный n-куб в пространстве X — это пара (/", /), где
/:/"—» X — непрерывное отображение.
Грани сингулярного куба (Iя, /) имеют вид по определению
/), i=h-,n, e = 0,l. A5)
Они называются »-й нижней (е = 0) и t-й верхней гранями сингулярного
куба (I", /). При i< j имеет место простое тождество:
AfA? = A?_,Af, e,t? = 0,l. A6)
Пусть С„(Х; G) — группа сингулярных кубических цепей размерности п с коэф-
коэффициентами в группе G, т. е. группа формальных конечных линейных комбинаций
вида
1>/,). лес. A7)

§5. Сингулярные гомологии 51
Граница сингулярного куба имеет вид
л /)=Ен)' W (/В~'> /) - А°(/П~'. /)] • о»)
Оператор д продолжается на все цепи линейно. Из тождества A6) вытекает, что
ддA", /) = 0. Сингулярный п-куб (/", /) называется вырожденным, если отобра-
отображение /:/"-»! разлагается в суперпозицию проекции на грань 1п —у /""'
и отображения </: /""' —» X.
Линейные комбинации вырожденных n-мерных сингулярных кубов образуют
подгруппу Dn(X; G) в группе цепей С„(Х; G). Так как оператор д переводит вы-
вырожденный куб снова в вырожденный, то можно, факторизуя по вырожденным
сингулярным кубам, определить группу «нормализованных» сингулярных кубичес-
кубических цепей Сп(Х; G), полагая
С„(Х; G) = С„(Х; G)/Dn(X; G), A9)
и определяя новый граничный оператор д: Cn(X;G) —¦ Cn-\(X;G) (который так-
также будет обозначаться буквой д). По-прежнему дд = 0. Поэтому можно опре-
определить группу сингулярных кубических гомологии как группу нормализованных
циклов с точностью до циклов, гомологичных нулю (аналогично определяются
когомологии).
Покажем, что построенные группы гомологии также гомотопически инвари-
инвариантны.
Теорема 2. Гомотопные отображения <ро, (pt: X —» Y топологических пространств
индуцируют одинаковые гомоморфизмы <ро*, <p\t- Ип(Х; G) —* Hn(Y; G) групп син-
сингулярных кубических гомологии и одинаковые гомоморфизмы групп кубических ко-
гомологий <р*0 = <р].
Аоказательство этой теоремы полностью аналогично доказательству теоремы для
симплициального случая (см. выше). Необходимо построить оператор D алгебраи-
алгебраической гомотопии, сопоставляющий каждому n-мерному сингулярному кубу в про-
пространстве X (п+1)-мерный сингулярный куб в пространстве Y. Если Ф: JxX -+ Y —
гомотопия между отображениями щ, ip\, то оператор D определяется так:
D(In,f)= (Г+1,ФAх/)),
так как
Jn+1 = Iх/", 1 х/: /n+1 -»7xl.
Оператор D переводит вырожденные кубы снова в вырожденные (проверьте!).
Поэтому он определен и на группе нормализованных цепей.
Равенство
Dd±dD = 1ри - ро*
доказывается полностью аналогично лемме 1. Доказательство завершается как для
случая сингулярных симплициалъных гомологии. ¦
Пример 3. Вычислим сингулярные кубические гомологии точки X = * (и, тем самым,
гомологии любого стягиваемого пространства).
В каждой размерности п мы имеем ровно по одному кубу (/", Д), где fv(In) — *.
При п > 0 все такие кубы вырождены. Поэтому группы нормализованных кубических цепей
имеют вид
Co(X;G) = G = Ho(X;G), Cn(X;G) = 0 при п > 0.
Значит, кубические гомологии точки такие же, как в построенных выше симплициальных
гомологиях.
5*

52
Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
Замечание. Если построить гомологии Вп(Х; G), исходя из полных групп сингулярных
кубических цепей CU(X; G), то гомологии точки в такой теории будут нетривиальны.
Залача 1. а) Найти группу Ня(*; Z); б) доказать, что НЯ(Х; Z) = ?) Я»-* {Х, #»(*; Z))
для любого пространства X.
Определим теперь относительные сингулярные гомологии. В этом случае опреде-
определения одинаковы и для симплициального и для кубического вариантов.
Пусть X — топологическое пространство иГ- его подпространство. Тогда
группы сингулярных цепей Ck(Y) лежат в группах Ск(Х). Рассмотрим группу
относительных цепей Ск(Х, У) = Ck(X)/Ck(Y) (коэффициентов G мы здесь явно
не пишем, группа G произвольна). Граничный оператор д переводитCi(Y) в Ck-\(Y),
поэтому он определяет некоторый граничный оператор Ск(Х, Y) —> Ck-\(X, Y) для
факторгрупп (этот гомоморфизм также обозначим через д). Получили комплекс
относительных цепей и сопряженный ему комплекс коцепей.
Как и ранее, мы определяем относительные циклы Zk(X,Y), для которых
дск = 0. Относительные границы Bk(X,Y) С Zk(X,Y) имеют вид ск = дск+1.
Факторгруппа Нк(Х, Y) — Zk(X,Y)/Bk(X,Y) называется группой относительных
гомологии (размерности к).
Группа гомологии Нк(Х) имеет естественное отображение в группу относитель-
относительных гомологии: каждый цикл из Щ(Х) можно рассматривать как относительный.
Получаем гомоморфизмы
Hk(X)-^Hk(X,Y), H\X,Y)±H\X). B0)
Кроме того, вложение пространств i : Y—*Х определяет «гомоморфизм вложения»
Hk(Y) -^ Ик(Х), Н\Х) -?-» Hk(Y).
B1)
Построим теперь граничный гомоморфизм д», отображающий
группу Нк(Х, У) в группу Hk-t(Y) (для когомологии — го-
гомоморфизм 6t, отображающий Hk~l(Y) -» Hk(X,Y)). Пусть
с* € Ск(Х, У) — относительный цикл. Можно рассматривать
его как обычную (или «абсолютную») цепь, т. е. как элемент
из Ск(Х), определенный с точностью до произвольной цепи
из Ck(Y). Граница ск-\ = дск — это (Jfc - 1)-мерный цикл в У.
Тогда dt(ck) соответствует классу гомологии цикла ск-\ = дск
по определению (см. рис. 36). Класс гомологии д,с* не зависит
от выбора представителя в классе ск (проверьте!). Получаем
корректно определенный гомоморфизм
Комбинируя гомоморфизмы I,, j и в», получаем последовательность гомоморфизмов
Рис. 36.
Я0(У) -^ Я0(Х) -U Щ(Х, У)
B3)

§ 5. Сингулярные гомологии 53
Теорема 3. Последовательность B3) точна, т. е.
а) Кег», = Irnd*, б) Kerj = Im*«, в) Kerfl» = Imj.
.Доказательство, а) Проверим, что ядро Kert, совпадает с образом Im#,. Пусть
ct-\ € Сц(К) — цикл такой, что it(ck-i) = 0. Это означает, что в пространстве X
найдется цепь с* G С»(Х) такая, что дск = ct_|. Цепь с* является поэтому относи-
относительным циклом, и класс гомологии цикла ct_i совпадает с dt(ct) по определению.
Пункт а) доказан.
б) Пусть с* — цикл в пространстве X такой, что j(ck) = 0. Это означает, что
дск = 0 и найдутся цепь ei+| в пространстве X и цепь c"t в пространстве Y такие,
что
с* + dck+i = ск.
Тогда дск = 9ск = 0, поэтому cj — цикл в пространстве Y, гомологичный циклу ск.
Мы показали, что класс гомологии цикла ск имеет представителя в пространстве Y,
т.е. ск G Imt,.
в) Пусть ск — относительный цикл в Ск(Х, Y), причем dtck = 0 в груп-
группе Hk-\(Y). Это означает, что цикл дск гомологичен нулю в пространстве Y:
дск = 8Ь~к, с~к — цепь в Ck(Y). Тогда цепь ск —с~к является «абсолютным» ци-
циклом в пространстве X и задает элемент, эквивалентный циклу ск в относительной
группе Нк(Х, Y). Таким образом, цикл ск ~ ск - ~ск лежит в образе гомоморфиз-
гомоморфизма j. Для члена Я0(Х, Y) проверьте точность самостоятельно. Теорема полностью
доказана. Для когомологий построение последовательности и проверка точности
проводится аналогично. ¦
Определение 5. Последовательность B3) называется точной {гомологической)
последовательностью пары (X, Y).
Обратим внимание, что если Y — симплициальный (клеточный) подкомплекс
в симплициальном (клеточном) комплексе X, то гомоморфизмы гомологической
(и когомологической) последовательности пары для симплициальных и клеточных
гомологии определяются очевидным образом. Проверку точности получающихся
последовательностей, полностью аналогичную доказательству теоремы 3, оставляем
читателю в виде упражнения.
Следствие. Из точной последовательности пары следует равенство:
*>0,
Я0(Х,*) = 0, * = 0, l ;
где X — линейно связное пространство.
Аоказательство. Действительно, при Jfc > 0 имеем:
± Щ(Х) Л Нк(Х, *) ^ Я*_,(*) h
При Jfc — 1 = 0 вложение Яо(*) -^> Щ(Х) есть изоморфизм, как показывалось ранее.
Поэтому для всех Jfc > 0 имеем точную последовательность
)-0. B5)
Это немедленно дает изоморфизм этих групп, так как Кег j = 0 и Im j = Hk(X, *).

54 Глава 1. Гомологии и когомологий. Рецепты их вычисления
Для Jfc = 0 имеем точную последовательность
Яо(*) Д Я0(Х) -> Щ(Х, *) - О,
II II B6>
G G
где г, — изоморфизм. Поэтому следствие доказано. ¦
Чрезвычайно важным свойством относительных гомологии (когомологий) явля-
является их «естественность»: при непрерывных отображениях пар
(X,X')±(Y,Y'), B7)
где X' С X, Y' С Y и /(X') С Y', имеем отображения
U Нк(Х) - Я*(У), /*: Я*(У) -» Я*(Х), B8)
Д: Я*(Х, X') - Я4(У, У'), /*: Я*(К, У') - Я*(Х, X'), B9)
Л: Я*(Х;) - Я*(У), /*: Я*(У) -» я'(Х'). C0)
Все построения гомоморфизмов точной последовательности были «естественными»,
т. е. коммутировали с непрерывными отображениями. Поэтому имеется гомомор-
гомоморфизм точных последовательностей
i я*(х') h нк(х) Л нк(х, х') Д я*_,(х') -
Д Я*(У) Д Я4(У) ^ Я4(У, У) i ^
Для когомологий имеем аналогично:
^ Я*(Х, X') Л Я*(Х) Д Я*(Х') ^ Я*+1(Х, X') -
Tr Tr U U C2)
^ Я*(У,У) Л Я*(У) Д Я*(У) ^ Я*+1(У,У') -»
Это свойство весьма полезно. Например, имеет место такое
Утверждение 1. Пусть имеется отображение пар
/:(Х,Х')-(У,У), C3)
где гомоморфизм /, является изоморфизмом для
Я4(Х)Дя*(У) и Я*(Х')Дя4(У). C4)
7огда относительные группы Я*(Х, X') и Я»(У, У') также изоморфны, и /»
устанавливает между ними изоморфизм (аналогично для когомологий).
Аоказательство. Рассмотрим диаграмму C1). Если a ? Hk(X, X') и /,а = 0, то
Д0,а = dtf<a = 0. C5)
Поэтому /,@,а) = 0, где dta € Я4-1(Х'). Так как /,: Я*_|(Х') -»Я»_)(У') является
изоморфизмом, то /*(#*а) = 0 => 9,а = 0. Поэтому a = j(fi). Так как /*(а) = 0, то
f*№) = i(/.(/J)) = 0, следовательно Д(/3) = t,G). Рассмотрим 6 = Д-'(т) € Я*(Х').
Тогда р = itF) и а = jitF) = 0. Итак, а = 0, если Д(а) = 0.
Докажем, что любой элемент у из группы Яь(У, У') имеет вид j = f*F). Если
9*7 = 0, то 7 = ]{Р)- Рассмотрим элемент jf7xiP) = «• Мы имеем /«(«) = 7-

§ 5. Сингулярные гомологии
55
Если dty Ф О, то введем элемент /» 1d*(if) = д,р. Тогда образ /*(/?) таков, что
#*(/,(/?) - 7) = 0. Тем самым утверждение доказано. ¦
Замечание. Утверждение и его доказательство остаются верны и в следующей формули-
формулировке: если потребовать изоморфность отображений в гомологиях на любой паре из трех групп
Н,(Х), П,(Х'), Н,(Х, X'), то третье отображение в гомологиях также будет изоморфизмом.
Для когомологий все аналогично.
Далее будет показано, что для клеточных и симплициальных комплексов сингу-
сингулярные гомологии совпадают с клеточными и симплициальными. Для доказательства
нам понадобятся формальные свойства гомологии, установленные выше, и следую-
следующее важное свойство, которое мы сейчас докажем.
Теорема 4. Пусть К — клеточный комплекс, L — его подкомплекс. Тогда верно
равенство
Щ(К, L) = Hk(K/L), к > 0. C6)
Через K/L обозначено факторпространство, полученное стягиванием всего L
в точку. Заметим, что K/L гомотопически эквивалентно клеточному комп-
комплексу К U CL (см. рис. 37), где CL — конус над L, получающийся из L x J
стягиванием верхнего основания в точку.
а
Рис. 37. KUCL
1
Рис. 38.
Доказательство проведем для симплициальных (сингулярных) гомологии. Вве-
Введем оператор барицентрического подразделения. Для этого определим подразделе-
подразделение симплекса [а0 ... at] = о*. Подразделением одномерного симплекса называется
его разбиение на два с новой вершиной в центре. Чтобы подразделить двумерный
симплекс [a0a|a2] (треугольник), подразделим сначала все его одномерные грани.
Возьмем затем новую вершину в центре треугольника и соединим ее со всеми верши-
вершинами на гранях — старыми и новыми (см. рис. 38). Дальше поступаем аналогично:
берем точку в центре fc-мерного симплекса; грани уже подразделены. Совокупность
лучей, соединяющих эту новую вершину с симплексом <т*"' на границе, и дает
новые симплексы of в барицентрическом подразделении.
Пусть (о*, /) — сингулярный симплекс в пространстве X. Пусть <rf,..., а% —
все fc-мерные симплексы барицентрического подразделения симплекса ак. Обозна-
Обозначим через Р(ак, /) цепь вида
C7)
(сумма берется по всем симплексам подразделения о*). Оператор /7 продолжается
линейно на всю группу сингулярных симплициальных цепей Ск(Х):
р: Ск(Х) - Ск(Х), к = 0,1,.... C8)

56
Глава 1. Гомологии я когомологии. Рецепты их вычисления
Имеет место
Лемма 2. Оператор Р коммутирует с граничным гомоморфизмом д и алгебраически
гомотопен тождественному оператору.
Локазательство. Равенство др =
рд очевидно («внутренние» грани
подразделения симплекса входят в
цепь др дважды с разными знака-
знаками). Построим алгебраическую го-
мотопию D такую, что dD ±Dd =
р - 1. Определим для этого триангу-
триангуляцию прямого произведения ak х /
симплекса о~к на отрезок J такую,
что ок х 0 есть один симплекс, а о~к х 1
есть барицентрическое подразделе-
К = 2
Рнс.39.
ние <тк. Для к = 0,1,2 триангу-
триангуляция <тк х I указана на рис. 39.
В общем случае триангуляция ак xl
строится так: пусть построена триангуляция симплекса <тк~х х I; тем самым бо-
боковые грани в ак х I уже триангулированы. Нижнее основание ак х I оставляем
без изменений; на верхнем основании возьмем барицентрическое подразделение.
Теперь уже вся граница 8(ак х I) триангулирована. Соединяя центр верхнего осно-
основания со всеми вершинами триангуляции границы д(<гк х 1), получим триангуля-
триангуляцию «г* х I.
Пусть (ак, /) — сингулярный симплекс в пространстве X. Определено «триви-
«тривиальное» отображение:
/: о* х I -> X, f(x, t) = f(x). C9)
Обозначим через D{ak, f) (к + 1)-мерную цепь («г* х I, J) = D(ak, /), где о~к х I
триангулировано так, как указано выше. Оператор D по построению задает искомую
гомотопию. Лемма доказана. ¦
Локазательство теоремы. В силу гомото-
гомотопической инвариантности гомологии имеем
равенство:
Hk(K U CL, CL) = Hk(K U CL, *),
так как конус CL стягивается в точку. Кроме
того,
Я* (К U CL, *) =Hk(K\J CL) = Hk(K/L)
при Jfe > 0 (см. следствие из теоремы 3).
Достаточно доказать, что
Hk(K U CL, CL) = Hk(K, L). D0)
Пусть с* — любой fc-мерный относи-
относительный цикл в Hk(K\JCL,CL). Постро-
Построим цикл, гомологичный с*, лежащий в груп-
группе Hk(K, L).
Рис. 40.

§ 6. Совпадение разных видов гомологии 57
Разобьем конус CL на две половины C\L и СгЬ (см. рис.40). В силу лем-
леммы 2 можно заменить цикл с* на гомологичный ему цикл /J№c*, у которого
симплексы будут мелки. Увеличивая N (итерируя подразделение), получим, что
симплекс, пересекающийся с C\L, целиком лежит в конусе CL. Выкинем все
симплексы, пересекающиеся с C\L. Этим мы не изменим класса относитель-
относительных (moduloCL) гомологии цикла /Jwc* ~ с*. Полученный цикл с* лежит уже
в группе Ик [К U СгЬ, СгЬ) = Щ(К, L) (так как СгЬ стягивается на L). Тем самым
построен цикл с* в группе Hk(K, L), гомологичный циклу с*.
Если цикл с* для пары (К, L) гомологичен нулю в группе Hk(K\jCL,CL),
то аналогичное рассуждение применяется для того, чтобы «снять» ограничивающую
цепь с верхней вершины конуса, подразделяя с* и ограничивающую его цепь.
Теорема доказана. ¦
§ 6. Сингулярные гомологии клеточных комплексов.
Их совпадение с клеточными гомологиями.
Двойственность Пуанкаре
для симплициальных гомологии
Вычислим сингулярные гомологии сфер S", п= 1, 2,... Всюду в этом парагра-
параграфе в качестве группы коэффициентов будем брать группу целых чисел.
Теорема 1. Имеет место равенство при п > О
Аоказаюльство. Пусть п = 1. Вычислим гомологии окружности S1 с помо-
помощью точной последовательности пары (Dx,dDl), где dDl = S° — две точки,
причем Hk(Dl,S°) = Hk(Sx) в силу теоремы 5.4. Имеем:
Я, (D1) - Я, (D\ 5°) -» ЯоE°) -> Я0(?>') - 0. B)
Но Я] (D1) = 0, Яо (I?1) = Z, Яо E°) = Z ф Z, поскольку 5° состоит из двух связных
компонент. Поэтому последовательность B) принимает вид
+Z-O, C)
откуда Ht(Sl) = Z. При * > 1 имеем
Hk(Dl) - Hk{D\ S°) -> H^S0), D)
где Hk(D]) = Я*-!^0) = 0, значит, Hk(D\S°) = Hk(Sx) = 0. Гомологии окруж-
окружности вычислены.
Пусть для гомологии сферы Sn~' теорема уже доказана. Точная последователь-
последовательности пары (?>", 5") будет иметь вид
... - Hk(Dn) -» Hk(Dn, 5""') -» Я4_,E--1) -» Я4_,(i?n) - ... . E)
4 Зак. 368

58
Глава 1. Гомологии н когомолопш. Рецепта их вычисления
При к > 1 мы получаем точную последовательность вида
О - Hk(Sn) -» Я*_, E"-1) - 0, F)
откуда Hk(Sn) = Ht_iEn~'), к > 1. При к = 1 получаем последовательность
#,(?>") -» Я, (Z>n, 5"-1) -» Я0(Я""') -» Яо(?>") -+ О,
т.е.
О -> Я, (?>", 5") -* Z -* Z -> 0.
В силу точности этой последовательности гомоморфизм Z -» Z является изо-
изоморфизмом, поэтому Hi{Dn,Sn'i) = Hi(S") = 0. Отсюда следует справедливость
утверждения теоремы и для сферы S". Теорема доказана. ¦
Замечание. Отождествим n-мерный симплекс <т" с диском ?>"; тогда тождественное
отображение <т" —> <гв определяет относительный сингулярный цикл в группе Hn(Dn, 5") =
(). Этот цикл — образующая в группе сингулярных гомологии ?()
Залача 1. Пусть а* — [а0 ¦.. а„] — n-мерньгй симплекс; Р — некоторая перестановка
вершин а0... ап. Р определяет отображение <г" —» а". Вычислить соответствующий элемент
в группе Я„E").
Следствие 1. Сингулярные гомологии букета п-мерных сфер S^,... ,S$f имеют вид:
Hk(\/Sf)=0, k*0,n,
Ио( V s?) = z, н„( V s?) =.zg . ez.
Локазательсгво. Рассмотрим пару: (U^? = ^> U^A" = ^)- Очевидно,
t i
Hj(K,L) = Y,Hj(Dn,dD"). При j > 0, согласно теореме, имеем Hj(Dn,dD") =
Hj(Sn). Следствие доказано. ¦
Следствие 2. Отображение f: 5" —» 5" степени deg/ определяет гомоморфизм
ft: Я„E") —» Hn{Sn), являющийся умножением на число deg /.
Аоказательсгво. Отобра-
Отображение / степени k = deg/
сферы Sn в себя можно по-
построить так, как показано на
рис.41 (любое другое отобра-
отображение степени к гомотопно
этому). Все сферы букета ото-
отображаются в одну, тождест-
тождественно на каждом слагаемом.
Отображение сферы в букет к
сфер переводит образующую группы Я„E") = Z в сумму всех образующих букета.
Отображение букета сфер в сферу переводит каждую образующую в п-мерных
гомологиях букета в образующую группы Hn(Sn). Поэтому свозное отображе-
отображение Hn(Sn) -» Hn(Sn) умножает образующую группы Hn(Sn) = Z на fc = deg/.
Отсюда вытекает требуемое следствие. ¦
Sn
-О
5"
О
Рис.41.

§ 6. Совпадение разных видов гомологии 59
Следствие 3. Для клеточного комплекса К имеем
где число слагаемых равно числу п-мерных клеток.
Аоказательство вытекает из следствия 1 и теоремы 1. ¦
Теорема 2. Сингулярные гомологии клеточного комплекса совпадают с клеточными
гомологиями.
Аоказательство. Сначала мы докажем теорему для симплициальных комплексов,
что будет весьма просто, используя уже доказанные факты. Каждый симплекс может
рассматриваться как сингулярный симплекс («г*, /). Это дает вложение комплекса
симплициальных цепей в сингулярные
С°ИМПЛ{К) -»<?™\К), (8)
которое, очевидно, коммутирует с граничным оператором д. Поэтому имеем ото-
отображение гомологии
Н1ИМПЛ(К) -»Н?т(К). (9)
Если L — симплициальный подкомплекс в -К", то имеем отображение относительных
групп
НГ"Л(К, L) - ИГГ{К, L) A0)
и всей точной последовательности пары (К, L). Пусть, по индукции, теорема
доказана для комплексов размерности < п - 1. Для n-мерных комплексов К„ имеем
отображение точных последовательностей
. ггСИМПЛ/егП гг-П— \\ & гтСНМПЛ / ТГП— I\ _•• ЖТСИМПЛ/ Ц'ПЧ
~* ui+\ \к »к ) ~* Hj \к ) ~* ui Ук ) ~*
I I I
п-') Д н?т{кп~х) i щтт{кп) -
Мы знаем следующее: а) по индукции Я,симпл (#""') и Я,си
б) Щ (К ,К )-Hj [К ,К J-|
где число слагаемых равно числу симплексов размерности п (см. следствие 3).
Тогда, используя отображение точных последовательностей A1), мы заключаем, что
отображение
Н?"ПЯ(КП) -»Я;инг(#") A2)
есть изоморфизм для всех j (см. утверждение S.1). Итак, для симплициальных
комплексов теорема доказана.
Пусть теперь К — общий клеточный комплекс, Кп — его п-мерный остов, т. е.
объединение всех клеток размерности не выше п. Тогда КП1КП~Х есть букет п-мерных
4*

60 Глава 1. Гомологии и когомология. Рецепты их вычисления
сфер, по одной сфере на каждую га-мерную клетку. Из теоремы 5.4 и теоремы 1
получаем:
Нп(Кп,Кп-1)=С„(К), Щ{Кп,Кп~')=0, i*n, A3)
(коэффициенты целые), где С„(К) — группа клеточных цепей.
Определен гомоморфизм д = j ¦ dt
Сп(К) « Я„(Г\ *-') Д Я„_,(Кп~\ Кп~2) » С„_,(*) A4)
как суперпозиция
нп{к\ к"-}) h я„_, (jt"-1) Л я„_, (к"-\ кп'2).
Лемма 1. Оператор 8: СП(К) —> Cn_i(iT), задаваемый формулой 8 = jd,, совпа-
совпадает с граничным оператором в комплексе клеточных цепей.
Аоказательство. Пусть оп — n-мерная клетка в комплексе К. Она является
образующей в группе Н„(оп,до4'1) С Нп(Кп,Кп~1) = Сп(К). При граничном
гомоморфизме Нп(оп, д<тп) -» Fn_i(Sn~') on перейдет в образующую фуппы
Я„_, Enl). Ее образ в группе Я„_, {кп~\ Кп'2) = Cn-t(K) имеет вид
A5)
(сумма по всем клеткам размерности п — 1) в силу следствия 2 из теоремы 1.
Здесь [ап : «г"] — коэффициент инцидентности клеток, вычисляемый как сте-
степень отображения до11 —> Кп~*/Кп~2 на t-м слагаемом (см. §5). Формула A5)
совпадает с определенным в § 4 граничным оператором в клеточных цепях. Лемма
доказана. ¦
Клеточные гомологии обладают свойствами:
а) они равны нулю в размерностях больших, чем размерность комплекса, т. е.
Н^(Кп) = 0, j > п.
б) группа Н™"(Кп) изоморфна группе циклов Z™" С Сп(Кп), так как границ
нет.
в) группа Hj""(Kn) зависит только от остова K*+i, т.е. эта группа одна и та
же для К>+\К>+2,.... Я-', JT.
Пусть, по индукции, для комплексов размерности < п-1 совпадение клеточных
и сингулярных гомологии уже доказано. Рассмотрим пару (Кп, Кп~х):
"• ггСЦНГ / ¦&-П—\\ *• ттСИНГ/дгП\ J ттСИНГ/w-fl TfTl—1\ Л л-СИНГ/ w^-П—1\ /1^\
Имеем Я™НГ(ЛГ", ЯГ") = 0 при j ф п. Поэтому из A6) заключаем
Я,- \К. ) = Я,- (iT ) при j Ф п — 1, п. A7)
Отсюда следует
ГО, i^n+1,
Г,- (Я =Я; X ', 1^П-2.

§6. Совпадение разных видов гомологии 61
Осталось доказать теорему для размерностей j = п, п - 1.
Имеем из A6):
II II II II II
-*^n \к )-* С„ {К ) -» Zn_, (Л j -> Я„_, (Л ) -» 0.
Используя лемму 1 о совпадении граничного гомоморфизма д в клеточных цепях
с гомоморфизмом
JO*. Нп [К ,К )-^H^_i\K )-*Нп_х\К ,К ),
приходим к следующему выводу:
а) группа Е?НГ(КЯ) лежит в С™т(Кп) как ядро д, т. е. совпадает с Н™"{Кп).
б) группа Я^н,г(^") совпадает с Z™[/ Im д и, значит, совпадает с H™f(Kn).
Теорема доказана. ¦
Доказательство теоремы для когомологий полностью аналогично.
Следствие 4. Клеточные гомологии гомотопически инвариантны. Симплициальные
гомологии являются частным случаем клеточных и тем самым также совпадают
с сингулярными и гомотопически инвариантны.
Важное замечание. Для приведенного здесь доказательства теоремы о совпадении
клеточных гомологии с сингулярными симплициальными явная конструкция этих гомоло-
гомологии несущественна. Важны лишь формальные свойства этих теорий гомологии. Выделение
этих свойств в чистом виде позволяет дать «аксиоматическое» определение теории гомоло-
гомологии (Стинрод—Эйленберг). Это определение таково.
а) Теория гомологии базируется на «функции» (по-другому, «функторе»), сопоставляю-
сопоставляющей каждому клеточному комплексу К (или каждой паре (К, L), где L С К — подкомплекс)
набор абелевых групп Щ(К) (или Щ(К, L)), i = 0,1,2,..., и каждому непрерывному (можно
считать его клеточным) отображению комплексов /: К —» К' (или /: (К, L) -* (K',L'),
где f(L) С ?') набор гомоморфизмов
Требуется, чтобы суперпозиции отображений соответствовала суперпозиция гомоморфизмов
тождественному отображению должен соответствовать тождественный гомоморфизм: 1, = 1.
б) Введенная теория гомологии должна обладать следующими свойствами («аксиомы
теории гомологии»):
1. Гомотопическая инвариантность. Если отображения /ид гомотопны, то гомомор-
гомоморфизмы /, и д, совпадают:
/ ~ 9 => Л = 9-
2. Определены граничные операторы
д: Нт(К, L) - Hm-t(L), т = 1,2,...,
где L — подкомплекс в комплексе К, коммутирующие с непрерывными отображениями пар
комплексов, т. е.
3/. = f,d; f: (К, L) -»(К1, L'), f(L) С L'.

62
Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
3. Точность. Обозначим через t, j очевидные вложения
L С К С (K,L).
Требуется, чтобы последовательность групп и гомоморфизмов
... -+ Hm+l(K, L) Л Hm(L) ± Hm(K) ± Hm(K, L) Л Ят_,(Ь) -*...
была точной.
4. Вырезание. Нт(К, L) = Hm(K/L, *), где L — подкомплекс в К, K/L — факторком-
плекс, полученный стягиванием L в точку *.
5. Нормировка. Нт(*) = О при т > О (здесь * — одна точка).
Залача 2. Докажите, что перечисленные свойства определяют теорию гомологии одно-
однозначно, если Яо(*) = G — заданная группа.
Замечание. Для клеточных и сингулярных гомологии все эти свойства выполняются
(см. §§ 4,5); именно поэтому они и совпадают между собой. В § 5 обсуждался также пример ку-
кубических сингулярных гомологии (не приведенных), где не выполняется аксиома нормировки
(гомологии точки нетривиальны в положительных размерностях).
Если отбросить в определении теории гомологии условие нормировки, то получится
определение экстраординарной теории гомологии. Кубические сингулярные гомологии — это
«тривиальный» пример экстраординарной теории гомологии (см. задачу в § 5). Другой гораздо
более сложный (и более важный) пример экстраординарной теории гомологии — теория
бордизмов — встретится в гл. 3.
По аналогии с определением теории гомологии дается аксиоматическое определение
теории когомологии (точную формулировку аксиом, а также доказательство теоремы един-
единственности теории когомологии мы оставляем в виде упражнения). На этом пути можно
получить доказательство совпадения когомологии многообразий, определенных в § 1 через
дифференциальные формы, с другими видами когомологии. Нужно лишь превратить любой
комплекс в многообразие, взяв малую окрестность его вложения в евклидово пространство.
Мы не проводим здесь аккуратно таких рассуждений, так как в § 14 будет указан другой более
конструктивный путь доказательства совпадения когомологии, определенных через формы,
с другими видами когомологии.
, Укажем одно приложение оператора барицен-
барицентрического подразделения симплициального ком-
комплекса в случае многообразий — «двойственность
Пуанкаре» (см. также § 18). Пусть гладкое много-
многообразие триангулировано, т. е. превращено в сим-
плициальный комплекс, состоящий из гладких сим-
симплексов. Предположим, что подразделение доста-
достаточно мелко (для этого, если нужно, произведем
несколько раз барицентрическое подразделение).
Пусть о~а — симплекс в М". Определим двойствен-
двойственные многогранники D(o%) = <f?~*> являющиеся
клетками размерности п-к.
а) n-мерному симплексу <т" двойственна вер-
вершина Da^ барицентрического подразделения, ле-
лежащая в центре симплекса <т„;
б) 0-мерному симплексу <% двойственна п-мер-
ная клетка (многогранник) Da®, представляющая
собой сумму всех симплексов барицентрического подразделения с вершиной <г°
(см. рис.42 для п = 2).
Рис. 42. Исходная триангуля-
триангуляция М2 показана сплошными
линиями; двойственное разбие-
разбиение — пунктирными линиями

§ 6. Совпадение разных видов гомологии 63
в) ребру а\ в М" соответствует (п - 1)-мерная клетка Da\, являющаяся суммой
всех симплексов размерности п — 1 барицентрического подразделения, имеющих
центр ребра а\ своей вершиной и подходящие трансверсально к этому ребру;
г) грани a"~J в М" соответствует 1-мерная клетка Da*, состоящая из всех
(на рис. 42 из двух) 1-мерных симплексов барицентрического подразделения, имею-
имеющих центр ст" вершиной и трансверсально подходящих к <т?~'.
д) Дальнейшее обобщение очевидно: симплексу ак в М" двойственна клет-
клетка Da\ размерности п - к, являющаяся суммой всех симплексов подразделения,
имеющих центр а\ своей вершиной и трансверсально подходящих к этому центру.
Клетки Da) разбивают М" в комплекс (многогранников).
Свойства оператора D.
1) Пересечение a) f) Da) есть одна точка (центр а)).
2) С точностью до знаков верно равенство
{да)) ПDak~l = a) n@D<r*-')(mod2). B0)
Свойства 1) и 2) очевидны для размерностей я = 1,2, 3. Легко понять, что они
верны и для всех п > 3.
Свойство 1) позволяет нам определить билинейное скалярное произведение
о о Ь, где a G С^М") — цепь, и о € С%~'(Мп) — коцепь на двойственном комплексе
из клеток Dai, a = X) Aj(t/, b = $3 PkDoi- (В последнем равенстве подразумевается,
; к
что клетке Da^ сопоставлена коцепь, обозначаемая тем же символом, которая имеет
значение 1 на одной этой клетке и 0 на остальных. Такие коцепи Da^ образуют
базис в группе Сд"-7.)
Пусть А и р — вычеты по модулю 2. Полагаем
B1)
а ° b = X) А«/***'*- B2)
i,k
Из свойства 2) следует, что
(да)°Ь = ао(дЬ), B3)
т. е. граничные операторы сопряжены. Из B3) получаем
Hj(Mn; Z2) = Я"-''(М"; Z2), B4)
так как оба комплекса являются клеточными разбиениями одного и того же много-
многообразия М" и имеют одинаковые гомологии в каждой размерности. Это — следствие
теоремы о гомотопической инвариантности клеточных гомологии. Изоморфизм B4)
называется «двойственностью Пуанкаре». Для ориентируемых многообразий B3)
и B4) имеют место над Z. Ниже (см. § 18) двойственность Пуанкаре будет выво-
выводиться несколько иначе.
Мы неоднократно, еще до точного определения групп гомологии, использовали
термины «Л-мерный цикл» и «(* + 1)-мерная пленка» в многообразии М", понимая
под этим следующее:

64 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
«цикл» задается как (М*, /), где М* — ориентированное замкнутое многообра-
многообразие и его отображение /: Мк —* Мп.
«пленка» (Wk+\f) задается как ориентированное компактное многообра-
многообразие Wk+l с краем и отображение /: Wk+i -» М". «Пленка» имеет границу
. B5)
«Группа циклов» — это формальные суммы «циклов»
B6)
Факторизуя по циклам, эквивалентным нулю, т.е. границам B5), получим группы,
похожие на гомологии, именуемые «бордизмами», и обозначаемые через пк(М").
Можно определить бордизмы для любого комплекса пк(Х); также естественно мож-
можно ввести и «относительные бордизмы» пк(Х, У). Для бордизмов верна теорема о го-
гомотопической инвариантности, имеет место точная последовательность пары (X, Y)
и даже свойство п,(Х, Y) = П*(Х/У). Однако для стягиваемых пространств (напри-
(например, точки *) бордизмы оказываются нетривиальными в положительных размерно-
размерностях. Причина очень проста: далеко не каждое замкнутое многообразие Мк является
границей (* + 1)-мерного многообразия с краем. Например, если многообразие МА
является краем пленки W5, то класс j>\ (М4) = 0. В частности, СР2 не является
краем (детали см. в § 27).
Аналогично определяются «бордизмы по модулю 2» или «неориентируемые
бордизмы», где циклы (Мк, /) — это отображения Мк —» X всех замкнутых много-
многообразий (не только ориентированных); пленки также берутся неориентированными.
Они обозначаются через Nk(X).
Залача 3. Докажите, что RP2 не является краем никакого 3-мерного многообразия.
Докажите, что все его прямые произведения на себя RP2 х ... х RP2 также не являются
краями.
Задача 4. Докажите, что если многообразие М* есть край, т. е. Мк = dWk*\ то эйлерова
характеристика х(М*) четна.
Имеются естественные гомоморфизмы
пк(Х) ^ Щ(Х; Z) ^ Нк(Х; Ш), Nk(X) - Hk(X; Z2). B7)
Говорят, что классы гомологии, принадлежащие образу этих гомоморфизмов,
это «циклы, реализуемые в виде непрерывного образа многообразия», т. е. именно
то, что интуитивно мы понимали под циклом раньше. Однако исследование самих
бордизмов и задач, где они используются, более сложно (см. § 27).
§ 7. Гомологии прямого произведения. Умножение
в когомологиях. Когомологии ?Г-пространств
и групп Ли. Когомологии унитарной группы
Пусть Kt и К2 — клеточные комплексы. Их прямое произведение К\ х Кг
снова является. клеточным комплексом, его клетки — это произведения клеток

§ 7. Умножение в когомологиях 65
комплексов К\ и К2. Поэтому группа целочисленных клеточных цепей С„(К\ хК2; Z)
имеет вид
Cn(KlxK2;Z)= J2 Ck(KuZ)®C,(K2;Z).
k+l=n
Граница произведения двух клеток ах х «г* находится по формуле
д{а1 х о>) = (до-') х о> U(-1)V' х (ро>),
где знак (-1)' учитывает ориентацию. Отсюда получаем
Утверждение 1. Комплекс целочисленных цепей прямого произведения К\ х К2
клеточных комплексов является тензорным произведением комплексов С{К\; Z)
иС(Кг;Ъ):
С{КХ х Кг;Z)- C(KX;Z)®C(K2;Z)
{см. §2).
Этот факт верен, очевидно, и в том случае, когда в качестве коэффициентов
берутся не только целые числа, но и произвольное кольцо с единицей, в частности,
поле. Применяя теорему 2.2, получаем:
Следствие. Для гомологии с коэффициентами в поле к верно равенство
Нт{Кх х К2;k)= Yl Bm{Kx;k)®Н,(К2;к).
В общем случае для любого кольца G определен гомоморфизм (не изоморфизм!),
задаваемый тензорным умножением циклов:
Bk(KuG) ® Н,(К2;G) ^ Нт(Кх х К2;G). A)
Jt+J=m
Здесь циклы сх = Yl aiffi> С2 = S bj0lj переходят в цикл сх ® с2 = 5Z ^j (°f x ffj)-
i j ij
Имеем:
d(c, ® c2) = дсх ® c2 + (-l)*ci ® dc2.
Поэтому цепь cx ®c2 является циклом. Изменив С\ на ct +дс, мы заменим цикл с, ®с2
на гомологичный (ct + 9с) ® с2 = сх ® с2 + д(с ® с2). Следовательно, отображе-
отображение A) построено корректно. Если G = к — поле, то тензорное умножение задает
изоморфизм.
Аналогично определяется тензорное умножение в когомологиях с коэффициен-
коэффициентами в кольце:
Вк{К,; G) ® Н\К2; G) - Нт(Кх х К2; G)
k+l=m
(изоморфизм, если G = fc — поле).
Диагональное отображение Д: К —» К х К, где х переходит в (х, х), индуцирует
гомоморфизм когомологий:
H*(KxK;G)^H*(K;G).

66 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
Теорема 1. Пусть G — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Тогда
сквозное отображение
Д> ®Ъ) = ab: Hk(K; G) ® н\К; G) -» Нк+'(К х К; G) ^ Hk+t(K; G)
задает в прямой сумме групп когомологии Н*(К; G) = J2 Bl(K; G) струк-
туру ассоциативного косокоммутативного кольца с единицей, 1 G H°(K;G),
ba = (-l)klab.
Аоказательство. Ассоциативность и косокоммутативность следует из следующих
очевидных свойств тензорного произведения:
а) Ассоциативность. Если с, е Hk(KuG), с2 € H\K2\G), с3 € Hm(Ky,G), то
элементы (ct ® с2) ® с3, ct ® (с2 ® с3) в фуппе Ht+l+m(K\ x K2 х ЛГ3; G) совпадают.
б) Косокоммутативность. Если с € Я*(ЯГ), с' G Н1(К) uf: КхК-*КхК —
отображение f(x,y) = (y,x), переставляющее сомножители, то f*(c®d) = (-1)*V® с.
Для доказательства нужно использовать тот факт, что при перестановке клеток
(г'хо'-кт'х ст* ориентация произведения меняется на множитель (-1)*'.
Единицей в кольце Н*(К; G) будет элемент 1 G G = Я°(*; G). Действительно,
проекция диагонали Л на сомножитель
К^КхК^К, р(х, у) = х
является тождественным отображением. Поэтому Д*(а® 1) = а. Теорема доказана. ¦
Замечание 1. Для дифференциальных форм на многообразиях М, и М2 все аналогично:
если заданы две формы w = ^ /i,...^^'1 Л ... Л da1' и S7 = J^ g^.^dy*1 Л ... Л dy" на Afj
и М2, соответственно, то определено их тензорное произведение п®ш как форма на М, х М2,
,..^1 Л... Adx") Д (Sfti-*^1 Л-
где pi: Af| х Мг —> M|, pj: Afj х Мг —» Мг — проекции. Любая гладкая форма на Mi x Мг
может быть разложена в сходящийся ряд из произведений форм на сомножителях М\ и М2.
Тензорное произведение двух замкнутых форм замкнуто в Af, x Мг; тензорное произведение
замкнутой формы на точную есть точная форма. Определение внешнего умножения форм
можно понимать так: если М\ = Мг, то имеем диагональ Д = {(х, х)} = М\ С М\ х М,
и ограничение на диагональ Д*(а>1 ® ш7) = W| Л а^ (в М|), ь>г Л w\ = (— l)*'^! Л шг.
Замечание 2. Для конечных симплициальных комплексов К умножение симплициаль-
ных коцепей можно определить так: упорядочим все вершины комплекса К: ao,a,,a2,...,aN.
Любой симплекс <тк С К записывается таким образом в виде упорядоченного набора вершин
а" = (а;о... ajk), где j0 < 3\ < ¦ ¦ ¦ < U-
Пусть а — коцепь размерности к и /? — коцепь размерности I (т. е. числовые
функции от симплексов размерностей Ли/ соответственно). Коцепь размерности к+1
определяется следующим образом:
(a~p,*k+t) = (a,<Tk)((},<,2), B)
где ak+l = (akajt ...ahil), <тк = (ahajt ... ajt), o\ = (ajtaJM ...ajitl). Единицей
умножения коцепей a ^ C является коцепь, имеющая значение 1 € G на каждой

§ 7. Умножение в когомологиях 67
вершине (G — коммутативное кольцо с единицей). Очевидно, это — коцикл.
Умножение коцепей не является косокоммутативным.
Задача 1. Проверьте равенство (формула Лейбница):
S(a — /3) = Fа) ^ р + (- 1)**°а ~ Fр).
Задача 2. Докажите, что если а и /3 — коциклы, то следующая разность двух произве-
произведений когомологична нулю: а ^ /3 — (-1)*'/? ^ a = 6f, к = dega, / = deg/3, 6a = бр = 0.
Следовательно, мы получаем, что Я'(.ЙГ; G) = ^ -ff'Cf; G) — косокоммутагивное кольцо
когомологий (с единицей 1 6 Н°(К; G) = G). <>°
Задача 3. Докажите, что умножение ^ в когомологиях совпадает с умножением,
введеным выше.
Умножение целочисленных коцепей позволяет определить важную операцию
высечения. Если Zi+j — цепь из Ck+i(K;Z), аир — коцепи, соответственно,
из Ck(K; Z) и С1 (К; Z), то полагаем, по определению,
(а* - ft, zk+l) = (а* ~ zk+h р1). C)
Формула C) для всех $ при фиксированных а* и zt+i определяет цепь размерности /:
k (EC,(K;Z).
Задача 4. Докажите, что операция высечения ^ из цикла zi+, коциклом а* корректно
определена на группах гомологии
Н\К; Z) - Hk+l(K; Z) С Н,(К; Z).
Задача 5. Докажите, что при непрерывных отображениях комплексов K-*L справедливо
(в гомология*):
f.(f(a)~z) = a~ft(z).
Задача 6. Докажите, что оператор D (см. § 6) задается высечением а н-> a f*)[ilf*J, где
[АР] = г — сумма всех n-мерных симплексов.
В случае, когда группа коэффициентов G — поле, пространства Нк и Щ
сопряжены, и операция высечения выражается через умножение в гомологиях.
Однако для целочисленных гомологии операция высечения оказывается полезной.
Пример. Вычислим кольцо когомологий комплексного проективного пространства СРп
с вещественными коэффициентами. Гомологии СРП нам уже известны (см. § 1), поэтому
имеем: Я2**1 = Ям+, = 0,
ЯМ(СРП; R) = Нп(СРп; R) = R, к < п. D)
В § 1 была указана 2-форма сь порождающая кольцо многочленов от образующей с, ?
Я2(СР*; R), удовлетворяющая условию с"+1 — 0. В силу D) это подкольцо совпадает со всем
кольцом #*(CP";R). Итак, получаем, что для СР" кольцо fi*(CP";R) есть «усеченные
полиномы» от одной образующей С\ размерности 2, т. е.
Я*(СР"; R) = R[c, ]/c?+1 = 0, deg с, = 2. E)
Пусть /: К -* L — непрерывное отображение. Это отображение можно считать
клеточным в силу теоремы 4.2. Оно порождает отображение прямых произведений
F = fxf: KxK-^LxL,

68 Глава 1. Гомологии и когомологий. Рецепты их вычисления
где F(x, у) = (/(ж), f(y)). Отображение F сохраняет диагональ F(A) С Л и перево-
переводит тензорное произведение классов гомологии (когомологий) в тензорное произве-
произведение их образов. Отсюда следует важный вывод: так как умножение в когомалогиях
определено формулой ab = Д*(о® Ь) в обоих комплексах К и L, то непрерывное
отображение / коммутирует с операцией умножения классов когомологий, т. е.
Таким образом, /*: H*(L) —> H*(K) — гомоморфизм колец когомологий.
Применим этот результат к изучению колец когомологий групп Ли (и, более
общо, Я-пространств). Напомним (см. [1], ч. II, §22), что общее Я-пространство X
обладает непрерывным умножением ж о у = i/>(x, у) е X (или ф: X х X —» X)
с «гомотопической единицей» — т.е. выделенным элементом Xq € X таким, что
отображения произведения на жо
¦ф(х0, ж): X -* X,
i/>(x, ж0): X -* X
гомотопны тождественному. Введем полезные алгебраические определения.
Определение 1. Пусть Я = ?) Я* — градуированная косокоммутативная алге-
алгебра с единицей: HkHl С Я*+', ух = (-\)ыху, где ж G Я*, у 6 Я'. Я называется
«алгеброй Хопфа», если задан сохраняющий размерность гомоморфизм
А: Я -» Я ® Я, А(ж) = ж ® 1 + 1 ® ж + ж, <8> у, + .. • + ж* ® у»,
где 0 < degx,-, degt/, < degx. Этот гомоморфизм А часто именуется «диагона-
«диагональю» алгебры Я.
Пример J. Пусть Я = R[x] — алгебра многочленов с вещественными коэффициентами
от образующего х. Будем считать, что размерность элемента х четна и положительна. Получаем
градуированную алгебру, которая, очевидно, удовлетворяет условию косокоммутативности.
Зададим на П структуру алгебры Хопфа, полагая А(х) = х ® 1 + 1 ® х. Тогда, очевидно,
А(х*) = х* ® 1 + 1 ® х* + V* С\х{ ® х*'\
Пример 2. Пусть И = Д[у] — внешняя алгебра от одного образующего у, где раз-
размерность у нечетна и положительна. Это — градуированная косокоммутативная алгебра.
Структура алгебры Хопфа задается формулой А(у) = у ® 1 + 1 ® у.
Пример 3. Свободной косокоммутативной алгеброй называется такая алгебра, где
в подходящем базисе нет никаких нетривиальных соотношений; такими являются алгебра
полиномов и внешняя алгебра из примеров 1 и 2. Общая свободная косокоммутативная
градуированная алгебра Н = ^ Я», где все Щ — конечномерные линейные пространства
и Но — это поле коэффициентов (Яо = R), имеет вид
где размерности degz,- образующих х, четны, а размерности degy,- нечетны. Попросту говоря,
мы имеем образующие (г,, у,), между которыми нет никаких нетривиальных соотношений,
кроме косокоммутативности, откуда следует
У, = -У] = О, У,У; = -У,У,, ViXj = XjyU XiXj = XjXi.

§ 7. Умножение в когомологиях 69
Потребуем, чтобы число образующих данной размерности было хонечно. Тогда в такой
алгебре Н можно определить структуру алгебры Хопфа бесконечным числом способов2':
полагаем для образующих
А(х7) = х,- ® 1 + 1 ® х, + ^ uf <8 vf,
i
Ну,) = у, ® 1 +1 ® у,
где deg «f, degvf, deguf, deg^° > Ondeguf + dcgvf = degx,, degu<°+deg?<° = degy,
(в остальном элементы uj , »j1', «, , wJ произвольны). Так как алгебра Н свободная, то
из условия мультипликативности и аддитивности гомоморфизма А следует, что элементы
А(х), А(у) определяют гомоморфизм Я-»Я®Я.
Теорема 2 (Холф). Алгебра когомологий Н-пространства К является алгеброй
Хопфа, т. е. имеется гомоморфизм
A: H*(K;R) -* H*(K;R) ® H*{K;R),
где
\(х) = х®1 + 1®а: + Х) as® ® j/(l), degxw, degy(l) > О
для любого элемента х € НЧ(К;Щ, q > 0. (Полагаем, что Н-пространство
является клеточным комплексом).
Аоказательство. Так как Я*(ЛГ х К; R) « Я*(ЛГ; R) ® Я*(ЛГ; R), то умножение
V>: ЛГ х ЛГ -» К определяет гомоморфизм
i>*: H*(K, R) -» Я*AГ; R) ® Я*(ЛГ; R).
Положим А = ф* и докажем, что это — гомоморфизм алгебры Хопфа. Имеем:
ф*х = i@) ® 1 + 1 ® у<0) + X) *W ® У(|)» где deg ж(|), deg yw > 0. Рассмотрим вложение
1 х *: К х хо С ЛГ х К. Так как Vfo x0) гомотопно тождественному отображению,
то A х i)*f*x = х = х^ ® 1. Следовательно, х^ = х; аналогично, у^ = х. Теорема
доказана. ¦
Применение доказанной теоремы основано на следующем алгебраическом
утверждении, описывающем структуру алгебр Хопфа над вещественными числами.
Теорема 3. Любая алгебра Хопфа над полем характеристики нуль, т. е. над
полем рациональных, комплексных или вещественных чисел, является свободной
косокоммутативной алгеброй (см. пример 3 выше).
Следствие. Алгебра когомологий любой (конечномерной) группы Ли является внеш-
внешней алгеброй /\\у\ ,...,»„].
Аоказательство следствия. Рассмотрим свободные образующие (х;-, уя). Если есть
хотя бы один четномерный образующий, то в алгебре имеются элементы сколь
угодно большой размерности. Этого не может быть в когомологиях конечномерного
комплекса (многообразия). Следствие доказано. ¦
2) Напомним, что мы не требуем «ассоциативности» диагонального отображения А.

70 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
Пример 4. Окружность 51 есть группа Ли. Имеем:
Пример 5. Вычислим когомологии унитарной группы V(n). Покажем, что имеет место
равенство
H'(U(n); R) = Д[У1, Уз, ¦¦ ¦, !/2«-.], deg У; = »•
Аоказательство. Унитарная группа эквивалентна (как многообразие) прямому произве-
произведению U(n) = 51 х SU(n) (см. [1], ч. II, § 22), поэтому достаточно доказать, что
--.y2n-,]. F)
При п = 2 группа SUB) как многообразие совпадает со сферой 53, поэтому в этом случае
равенство F) очевидно.
SU(n-\)
Рассмотрим стандартное расслоение 5G(п) > 5 , где сфера 5 есть однород-
однородное пространство группы SU(n), а слой SU(n — 1) — группа изотропии.
Построим клеточное разбиение пространства SU(n), исходя из клеточного разбие-
разбиения сферы 52п~' и слоя SU(n - 1). Разберем сначала случай п = 3. Имеем расслое-
расслоение 51/C) + 55. Фиксируем вершину <т° на сфере 55. На полном прообразе этой точки —
слое 517B) = 53 возьмем стандартные клетки 53 = <r° [J о-3. Над дополнением этой точ-
точки 55 \ а0 расслоение тривиально (см. [1], ч. II, §24), т.е. на нем можно ввести координаты
прямого произведения:р~'E5 \ <г°) = E5 \ a") х SUB). Но 55 \ <т° есть пятимерный диск D5,
поэтому p~l(S5 \<т°) = Ds х S3. Это произведение разбивается на клетки следующим образом:
D5 х 53 = «г5 U <78, где о* = D5 x D3. Итак, клеточное разбиение группы 517C) состоит
из четырех клеток: SUC) = <r° \J a3 (J аь |J <т\ Поэтому Ha(SUC); R) = Я3 = Я5 = Я8 = R,
а Я'E1/C); R) = 0 при t ф\, 3,5,8.
Согласно теореме Хопфа, можно выбрать образующие у3€Я3E?7C)^), ysEH5(SUC);R)
такие, что у| = у\ = 0 и у3У5 = ~У$Уз Ф 0 есть образующие в группе Я8E{7C); R).
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть для когомологии H'(SU(n— I); R) равенство F)
уже доказано. Клеточное разбиение группы SU(n) порождено расслоением SU(n) —»52я~'
р
со слоем F = SU(n— 1), разбитым на клетки erf с одной вершиной <т% в слое. Клетки в базе —
это в0 и а2*'1. Так как р~'((т0) = F и р^2") = ff211 x F, то клетки в SU(n) будут иметь
вид
<т? х <т°, <т% х о-2". G)
По индукции получаем, что число клеток в SU(n — 1) равно числу линейно независимых
коциклов, а также:
Я*EС/(п - 1); R) = Д[уз, • • •, У2„-э].
Покажем, что клетки afxtr0 иа-fx а2п~1 являются коциклами. Для (<т? х <г°), представляющих
элементы у,- в слое, это очевидно, так как новая клетка имеет размерность 2п - 1. Остальные
клетки в слое представляют собой их произведения (по индукции).
Пусть у2„_| = {<r°F х о-2") — коцепь, сосредоточенная на этой новой клетке. Если
6уы-\ ^0 в C*(SU(n)), то в алгебре H'(SU(n);R) мы получили бы нетривиальное соот-
соотношение на внешние образующие уз, • • •, Угп-з- Это противоречит теореме Хопфа. Далее,
в силу теоремы Хопфа, алгебра ff*Ei/(n);R) содержит внешнюю алгебру Alife.-iSfen-i]-
Ранг этой алгебры в каждой размерности совпадает с числом клеток G). Тем самым
H'(SU(n);R)=/\[yi,...,y2n-l]. Ш
Аоказательство теоремы 3. Пусть Х\, х2,... — однородные элементы алгебры Н,
Xi € #degI', где 0 < deg a;, ^ deg Xj, i < j; {xj} — минимальная система образующих
алгебры Хопфа Н. Это означает, что любой элемент алгебры Н представляется

§ 7. Умножение в когомологиях 71
в виде многочлена Р(х\, х2, ¦..) от образующих (возможно, не однозначно), причем
никакой из элементов хк нельзя представить в виде многочлена от меньших xf.
хк Ф Р(х\,... ,xt_i). Для образующего х,- рассмотрим его степени х\. Пусть *,• —
минимальное число такое, что ж*' = 0. Например, для любого нечетномерного
элемента Xi имеем s, = 2. Если любая степень образующего аг,- отлична от нуля, то
будем считать, что «,• = оо.
Докажем сначала, что в алгебре Хопфа не может быть других соотношений,
кроме соотношений вида х'' = 0 и соотношений, вытекающих из косокоммутатив-
ности.
Лемма. Одночлены вида xrkxrklz\ ••¦х\\ где 0 < г,- < з,-, линейно независимы
и образуют базис векторного пространства Я.
Аоказатльсгво. Любой одночлен можно привести к виду, указанному в лемме,
в силу косокоммутативности. Такие одночлены будем называть нормальными. Степень
(размерность) нормального одночлена определяется выражением n = rk deg х* +...
Линейную комбинацию нормальных одночленов будем называть нормальным
многочленом. Нужно доказать, что нетривиальный нормальный многочлен не равен
нулю. Доказательство будем вести индукцией по степени многочленов. Допустим,
для степеней меньших, чем п, утверждение о независимости нормальных одночленов
в Я уже доказано. Отсюда следует, в частности, что тензорные произведения
вида а ® Ь в алгебре Я ® Я, где а и b — нормальные одночлены степени меньшей,
чем п, также линейно независимы.
Пусть Р(хк,... ,х\) — нормальный многочлен степени п. Соберем вместе члены
с наибольшей степенью переменного х* и вынесем эту степень за скобку. Получим
P(xk,...,xi) = xrkQ(xk_u...,zl)+R(xk,...,xl), (8)
где в многочлен R переменная хк входит уже в меньшей степени.
Допустим, мы имеем соотношение вида Р(хц,..., Х|) = 0, где г — минимально
возможное. Докажем, что г = 1, Q = const. Пусть Д_| — идеал в алгебре Н,
порожденный элементами хь..., хк-\- Тогда имеем
\(xTkQ(xk-U- ¦ ¦, г.)) =xrk9Q + ХКСг4 ® *Г)A ® Q)(mod/t_, ® Я),
причем \(R(xk,... ,х\)) не содержит членов вида х\а ® x[b, где i + j = г.
Если deg Q > 0, то deg xk и deg Q меньше п, поэтому выражения, входящие
в \(Р(хк,... ,Х|)), линейно независимы по предположению индукции. Значит,
deg Q = 0; можно считать, что Q = 1, г deg хк = п. Если г > 1, то в выражение
г
Чхгк) = J2 С\х\ % хтк\тоА Д_, ® Я)
входят линейно независимые члены, которые не могут ни с чем сократиться
вА(Л(х4,... ,xi)). Значит, г = 1 и соотношение (8) имеет вид хк = -R(xk-b... ,xt),
что невозможно ввиду минимальности системы образующих. Лемма доказана. ¦
Покажем теперь, что если степень degxi четна, то хк Ф 0 при любом s.
Действительно, если уже доказано, что х'к~х Ф 0, то в выражение Х(хк) входят члены
вида С*,хк ® х'к~г, отличные от нуля при 0 < i < s. Эти члены независимы и не могут
сократиться с остальными слагаемыми в A(xJ) (проверьте!).

72 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
Итак, мы доказали, что для минимальной системы образующих в алгебре
Хопфа Н нет других соотношений, кроме антикоммутативности. Четномерные
образующие порождают в Н подалгебру многочленов Щг*,,^,...]; нечетномер-
ные — внешнюю подалгебру /\[х",х". • • • 1- Вся алгебра Н является, очевидно, их
тензорным произведением. Теорема доказана. ¦
Укажем другие примеры Я-пространств.
Пример 6. Если К — комплекс, то можно определить пространство путей ?1{К, xq) = X,
начинающихся и заканчивающихся в точке х0 (см. [1], ч. II, § 22). В нем определено умножение
путей и имеется гомотопическая единица х0- Это умножение «гомотопически ассоциативно»
и обладает «гомотопически обратным элементом» х —* х:
а) отображения (xoy)oz: X х X х X —> X и xo(yoz): X х X х X —>1 гомотопны;
б) отображение х —* х°х: X —* X гомотопно постоянному X —» xq.
Пример 7. Кроме групп Ли, закон умножения с единицей можно ввести на 7-мерной
сфере S1, используя так называемые числа Кэяи. Пространство R* является алгеброй с делением
(но неассоциативной). Билинейное умножение задается так: если (91,42) — пара кватернионов
и (Чл> Чг) — Другая пара, то полагаем
(«I» Чг) ¦ (ч\,Ч2) = Di4\ ~ 9*. «2
{q>'
Кроме групп Ли G и произведений G x S7 х... х S7 не известно других примеров
односвязных конечномерных Я-пространств. Например, если имеется умножение
на сфере 5я с единицей х 6 5"~', то мы имеем отображение умножения:
Далее,
S2" = (Dn х 5"-') \J(Sn~l x Dn)
(склейка по общей границе 5"~' х 5"~'). Отображение V можно продолжить до ото-
отображения
f(i>): Я2" = (Dn x S"-1) U(S"~* x Dn) — S",
где 5"~' — это экватор в S" (проделайте это!).
Рассмотрим комплекс
Kn = S
с клетками а°, <тп, <т2п. Поэтому
;, j = 0, n, 2n.
Пусть «„ G Hn(Kn;Z2), «2n € Я2п(*п) — базисные классы когомологии (mod 2).
Залача 7. Покажите, что и* = и^, если умножение обладает единицей, т.е. ф: Sn~l x
5»-' -> S" имеет степень +1 на каждом сомножителе.
Мы знаем примеры умножения на сферах S" для п = 1,2,4,8 (вещественные
числа К, комплексные С, кватернионы Н и числа Кэли К). Имеется трудная
теорема (Адамса) о том, что для п Ф 1,2,4,8 таких комплексов К„ не существует
(напомним, что JT, = МР2, Кг = СР2, Кл = HP2, К% = КР2).

§ 8. Гомологии косых произведений (расслоенных пространств) 73
Рассмотрим еще один пример применение когомологического умножения. До-
Докажем, что группа T2n-i(Sn) бесконечна для четных п.
Рассмотрим 5" х S", где п четное. В кольце H*(Sn х 5") выберем базис
1, 1 ®и, и® 1, «® и, где и G Hn(S") — базисный элемент. Рассмотрим отображение
букета ip:Sn\/Sn^Sn, S" VS" С S" х Sn,S"vS" = Eя х х0) (J(*o * S"), степени А
на первом слагаемом и степени ц на втором. Имеем <р*(и) = Л(и® 1) + A ® и)ц.
Так как tt2 Ф 0, то при ц, А Ф О отображение tp не продолжается до отображе-
отображения tp: 5" х 5" —» 5", поскольку из условия и2 = 0 следовало бы у?*(и2) = 0. Однако
ф*(и2) = 2А/х« ® и / 0. Клеточное разбиение 5" х 5" таково:
5" х 5я = (^U^U^U^2") = (sn vs") и^2"-
Отображение 52" = ftD2" -* 5" V S" -?• S" не гомотопно нулю при любых р, А Ф 0,
т. к. в противном случае отображение продолжалось бы на диск D2n и тем самым
на все 5" х 5".
Залача 8. Докажите, что число Л/i является аддитивным инвариантом гомотопического
класса построенного отображения S2" —¦ S* для любых четных п.
Залача 9. Постройте отображение ф: 5*~' х 5"~' —» 5" для любых четных п с А = 2,
Залача /О. Пусть 52" -»S* правильно в точках х0, хх € 5" (см. [1], ч. II, § 10) и AfJ1 =
/~'(х0), М* = /~'(х|) — замкнутые подмногообразия. Пусть f = ¦[Af""l,A^'~1} — их
коэффициент зацепления (см. [1], ч. II, § ISK'. Докажите, что для построенных выше
отображений / = f(tp) имеет место равенство f = 2Xft.
Докажите, что для комплекса К = 5* JJ D2", где склейка произведена по отображению
/: 52" -» 5", справедливо и? = 7«2« в кольце Н*(К; Z).
Залача 11. Докажите, что для любого гладкого расслоения
коэффициент 7 = ±1-
§ 8. Гомологии косых произведений
(расслоенных пространств)
Связь гомологии слоя, базы и пространства для расслоения несравнимо более
сложная, чем для прямого произведения. В дальнейшем будем считать коэффици-
коэффициенты полем, не оговаривая этого явно. Пусть имеется расслоение Е^+В со слоем F,
где все Е, В, F являются клеточными комплексами или им гомотопически экви-
эквивалентны. Клеточное разбиение пространства Е уже рассматривалось в §7: если
«jj;. — клетки слоя F и <тчв — клетки базы, то прообраз р~1(<г%) есть прямое
произведение о\ х F, и мы имеем клетки в Е
3) Коэффициент зацепления в [1] был определен лишь для замкнутых кривых в R3. Заметим,
что совершенно аналогично можно определить коэффициент зацепления для подмногообразий Jtff,
Af* в Ra+I (или в 5а+|) как индекс пересечения одного из них с пленкой, натянутой на другое.

74 Глава 1. Гомологии и когомологни. Рецепты их вычисления
Таким образом, клеточное разбиение формально такое же, как и в прямом про-
произведении. Однако граничный оператор устроен гораздо более сложно. Мы уже
приводили пример (см. § 4) пространства линейных элементов к поверхности ро-
рода д, на котором видны эти усложнения. Перечислим простые свойства граничного
оператора в Е.
1) Если <тв — вершина в базе, то для клеток 4 = <твх 4 имеется очевидное
равенство:
2) Если а4^1 = <тв х <рр, то граница имеет вид
О)
где Д — клетки из полного прообраза р 1(дав), причем под дав понимается
топологическое замыкание образа сферы Sq~' — границы дав в базе В. Во всяком
случае, Д С р (В*), где Bq~i — остов базы размерности q — 1.
Залача 1. Пусть база В — односвязна, имеет одну вершину <т% и не имеет клеток
размерности 1. Доказать, что
<4 х @4) + (- О' («»Ь)x 4 + Дм B)
Мы будем предполагать далее, что рассматриваются расслоения Е —> В, где
формула B) верна. Например, эта формула с очевидностью верна в том случае,
когда в базе нет клеток размерности q—\. Это верно если В = S" (п > 1), В = СР",
В — ИР", а также, если В есть комплексное грассманово многообразие, букет сфер,
прямое произведение сфер и в ряде других случаев.
Замечание. Фактически, рассуждения, которые мы проведем, и выводы, которые мы
получим, будут верны (после некоторых усложнений) в более общем случае: группа х,(В)
должна тривиально действовать на группах H,(F). Для расслоений линейных элементов
это означает, например, что база — ориентируемое многообразие (слой сфера). Если слой
сфера, то такое условие будет выполнено для H,(F, Z2), независимо от ориентируемости базы
и расслоения, так как Я,E", Z2) вообще не имеет нетривиальных автоморфизмов. Поправки,
возникающие в том случае, когда *\{В) нетривиально действует на H,(F), будут указаны
в §11 (ниже).
Итак, мы будем изучать класс расслоений, для которых верна формула B).
Разложим границу в ряд по остовам базы:
= a х (до*) + {-l)j(d(TqB) x 4
где dk = X) ^a^a x 4^'' л« "~ числа. состоит из произведений (q - &)-мерных
клеток базы на (j + к — 1)-мерные клетки слоя. По определению, имеем:
d<r%+i = 80 + 81+82 + ..., du = eqBx(doiF), д,=±@4)х4-
Для комплекса цепей получаем
Сп(Е)= J^ Cq(B)®Cj{F).
q+j=n

§ 8. Гомологии косых произведений (расслоенных пространств) 75
Оператор границы имеет вид
дБ(а ®Ь) = а®дрЬ± (два) ® Ъ + ^(а ® Ь) + ..., C)
где
дк(а ® 6) € Cq-k(B) ® C,+t_,(F)
для а € Cq(B), Ъ 6 Cj(F).
Обратим внимание на то, что операторы до и д\ здесь такие же, как и в прямом
произведении Eq — В х F. Операторы дк при к ^ 2 в прямом произведении
равны нулю. Они характеризуют степень «перекашивания» граничного оператора
в комплексе С(Е) по сравнению с прямым произведением Ео = В х F.
Для исследования гомологии Нг(Е) используется «метод просеивания» или «ме-
«метод последовательных приближений» по к = О,1,2,3,... (называемый спектральной
последовательностью Лере). Этот метода состоит в следующем:
Шаг О. Так как до = 0, то мы можем вычислить «гомологии нулевого прибли-
приближения» относительно только этого «оператора границы в нулевом приближении» Ь\.
Получаем:
Н„(С{Е),до)= X) Cq{B)®Hi(F)= Y, El%
Таким образом, Нп(С, do) — это цепи в базе В со значением в гомологиях слоя F:
Шаг 1. На (^-циклах по модулю границ Im do (т. е. на группах Ht(C, do))
корректно определен оператор du который обладает свойством d\ — 0. Имеем
комплекс
При наших гипотезах гомологии в первом приближении — т. е. для комплек-
комплекса (Е^\ d\) — совпадают с гомологиями прямого произведения (см. вид до и д\):
Оператор dt — это граничный оператор на цепях в базе В с коэффициентами
*Ht(F).
Имеется очевидное прямое разложение
где слагаемые представлены d\-циклами z G E^j = Cq(B,Hj(F)) с точностью
до di-границ Imdj. Группы d-гомологий Нп(Е^\ di) обозначаются через
= Е Е%
Для прямого произведения Bj = В х F на этом процедура заканчивается. Для
косого произведения возникают следующие шаги, использующие дг, дз,... .
Шаг 2. Оператор Ь\ порождает граничный оператор d2 на гомологиях «пер-
«первого приближения» Е® = Ht(E^\d\) и обладает свойством д\ = 0. Возникают
гомологии «второго приближения»
q+j=n

76 Глава 1. Гомологии н когомологни. Рецепты их вычисления
Имеем
d2: Е%> - E%J+l, Е% = Я,(Б)
Элементы групп Eqj = Hqj{EP\d2) представлены элементами ((^-циклами) z G
Е j = Hq(B) ® Hj(F) с точностью до йг-границ.
Эта последовательность «просеиваний» продолжается и дальше; возникают
комплексы Е^ = 5^ Eqj с граничным оператором
Очевидно, все фуппы Eqj при q < 0 или при j < 0 равны нулю для всех г > 0.
Поэтому оператор d, = 0 на группах Elj, если g < г.
В этом случае имеем
Эти группы обозначаются через Eqj .
Теорема (ЛереL>. 1) Все дифференциалы d,- корректно определены и d$ = 0.
2) Прямая сумма Е„ = X) ^ij изоморфна группе Н„(Е) для поля коэффици-
q+j=n
ентов.
3) Группы Eqj изоморфны группам Hq(B) ® Hj(F).
Итак, в результате всех просеиваний мы получили циклы в пространстве Е
(как ядра всех гомоморфизмов dr по модулю образов предыдущих) с точностью
до границ.
Следствие. В косом произведении ранги групп гомологии меньше, чем в прямом
(т. е. числа Бетти bk(E) s% bk(EQ) для всех к, Ео = В х F).
Это следует из того, что уже Е„ = Нп{Щ); затем «просеиваем» часть ци-
циклов операторами d2,d3,..., отбирая только их ядра (dr-циклы), факторизуя
по <^-границам, затем переходя к dr+l и т.д.
Определим операторы d2 на группах E.L Так как dg = b\ + д\ + b\ + ...
и дБдБ = 0, то справедливо равенство
О = 0| = д% + (^,9, -1- did0) + (d2i+dod2 + дгдо) +
+ @102 + 0201 + 0003 + 0300) + @2 + 0301 + 0103 + 0004 + 040о) + ¦ • • • D)
Применяя общее равенство D) к группам Cqj(E) по отдельности, получим цепочку
равенств
0 = д0: Cqj -» Cqj-2,
О = 000] + 0i0b: Cqj —> C^-ij-i,
0 = д] + 0002 + 020о: CqJ -^ Cq-2J, E)
0 = 0,02 + 0201 + 0003 + 0J0O,
0 = 8% + 0103 + 0301 + 0004 + 0400-
4) Из приведенного в книге материала эта теорема дает нам первый важный случай, когда доказатель-
доказательство без серьезного использования языка гомологической алгебры невозможно.

§ 8. Гомологии косых произведений (расслоенных пространств) 77
1) Рассмотрим оператор д\ на do-циклах (до = do) mod do-границ, т. е. на do-ro-
мологиях Е„).
40
40
Если 8qx = О, то
0i(x + дох) = 0,х + д&х = дух - дй{д\х).
Тем самым dt корректно определен на do-циклах mod do-границ. Далее из E) имеем
д\ х — —0о0гх — didqx = — д$д2х,
так как дох = 0. Поэтому получаем
0?х = О mod(Imdo), d] = 0 ная!0.
Итак, d\ определен корректно, и d? = 0 на группах ff,(J5@\ do).
2) Построим оператор d2 на группах Я» (Е^, d\) = Е®. Выберем в цепях С„(Е)
представителя х элемента из Е j такого, что
или F)
д\Х = U)J/.
Цепь дгх может не обладать свойством F). Имеем
дхдгх = -дгд^х - дод3х - д3дох = -дгдъу + Im до = д&у + dfy + lmd
ох = 0). Из соотношений G) следует, что элемент
дгх-д\у = d2x
уже удовлетворяет условиям F). Итак, получаем:
d2x = дгх- дхдоХд]Х + [im flb + 0i
При этом
Проверим корректность определения d2x.
Пусть х —¦ х + doz + d\V = x (dov = 0); тогда
= дгх +
- d\z - 0,02» -
d\z л- 0, @о"|0о02г; + 0o020ot;) =
= @2* - 0,0o"'0ix) + lm0o + 0г(Кег0о)
@з0о« = 0i0o '020oi> = 0). Тем самым d2 корректно определен на Ej. Проверим
равенство d2d2 = 0 на Е, •. Если 0qx = 0, 0оу = 0ix, то мы имеем
<L}X = Qjx — 9\9q д\Ху
CL2X — ОтУртХ — u\Oq OjX) — O\Oq С/Цс^Х — O]Oq O\X) =
= — 0O04X — 040oX — 0]0зХ — 030ОУ ~ 0201У ~ ^l@2V ~ 03X) =
03y) = Im 0o

78 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
= 0). Таким образом, оператор d2 = дг - 0|do'#i определен корректно
на группах Eqj и обладает свойством d2d2 = 0.
3) Оператор d3 на группах Eqj = Hqj(E^2\ d2) определяется аналогично, с по-
помощью оператора дз на цепях х ? Cqj(E) таких, что 9qx = 0, д\Х = cfoj/,
&2Х - д\у = 8qz + djw, где 8qw = 0 (<*2-циклы), с точностью до объединения
образов di, t ^ 2, границ всех предыдущих операторов d,-. He проводя вычислений,
укажем сразу, что все операторы d,. можно определить корректно, поправляя опе-
оператор дт, действующий из Cqj в C?_rj+r_i, на добавки из образов до, д\,..., дт-\,
по аналогии с d2. При этом мы будем иметь &,&, = 0 и d,: Е„) —» Е:_.,..,_,
по определению. Точный вид оператора dr нам не важен.
Набросаем идею доказательства теоремы Лере (см. выше) для того частного
случая, когда все di, i ^ 3, тривиальны. В этом случае, не привлекая язы-
языка гомологической алгебры, можно проверить справедливость теоремы прямым
вычислением. Корректность оператора d2 уже доказана. Нужно показать, что го-
гомологии Н,(Е®\ d2) = Щ — Е» совпадут с гомологиями Ht(E) над полем
коэффициентов.
Пусть х — элемент из Н„(Е), представленный циклом — цепью х G С„(Е) =
52 Cqj(E). Будем называть «фильтрацией» элемента х G Н,(Е) такое минимальное
q+j=n
число q, что х может быть реализован циклом х из полного прообраза р~*(В9)
g-мерного остова базы и не может быть реализован цепью из р~] A
x = xq + ж,_, + ... + х0 = xq + А, Дер
где
2qtCqj, Xq-\ € C,_ij+li ••• , Хо € Co>n-
Так как двх = 0, где дв = до + д\ + дг, то имеем разложение двх по группам Сы-:
дБх = дохя + (дххч + dQxq-i) + (d2Xq + d\xq-x + doxq_2) +
+ {diXq-\ + 0|Z,_2 + дохя-г) +... = 0.
Из условия двх = 0 имеем
doxq = 0, d\xq = -
Отсюда делаем вывод, что цепь xq является циклом дифференциалов do, d\,d2, так
как
do = до(хч) = 0, d, = dt (xq) = -do(x9-i),
d2xq = dixq — д\до d\Xq = &2Xq + d\Xq-\ = —doxq-2-
Итак, циклу х фильтрации q соответствует цепь xq ? Cqj(E), определяющая цикл
всех дифференциалов dr, г = 0,1,2,... . Поэтому хя остается в группах Eqj
(в нашем случае Е^ = Е®). Покажем, что xq не является границей ни одного
из дифференциалов ^ (г = 0,1,2) и тем самым дает ненулевой элемент в 25*°?'.
Если хя = dot = doz для z € Cqj+\(E), то фильтрация элемента х = х - dsz меньше,
чем q, так как
х = (х, - дог) + (x,_i - d\z) + ...,

§ 8. Гомологии косых произведений (расслоенных пространств) 79
причем xq-i — 8qZ = 0. Поэтому xq Ф doz, так как по условию q минимально,
и цикл х нельзя снять с остова В4. Пусть xq = d\v, где 8qv = 0 и v E Cj+ij.
Легко проверяется, что цикл х — dgv имеет фильтрацию меньше, чем q, поэтому
xq ф di(Kerdo). Далее, если хя = d2w = t^to-did^'dito для to € Cq+2j-i (где cfoto = 0,
#2t» = flb«), то х можно снять с 4-мерного остова х —* х — dgw. Это противоречие
показывает, что цикл всех дифференциалов xq Е Cqj(E) переходит в Е^ и не равен
нулю в Eqj , если фильтрация класса гомологии г Е Hq+j(E) равна точно q. Имеем,
таким образом, вложение
g+j-n
Обратно, пусть задан цикл всех дифференциалов с^: хч Е Cqj(E), не равный нулю
в E°j . Справедливы следующие соотношения (пусть все 9,- = 0 при t > 3):
dQXq = Q, diXq = dotJ, fyXq - difj = 8qZ + d^W, 8qW = 0,
Z e Cq-2j+2, yECj-ij+i, W E C,_ij+i.
Положим
X = Xq + Ж,-1 + Xq-2 + Х,_з + ... ,
где Xq-\ = -(y + w), Xq-2 = -z,
8БХ = doXq + (d\Xq - d^y - d^w) + {d^Xq - 0^2 - д|У - 8XW) + Д = Д,
где Д ? p-'(.B'~3). Меняя представителя хя, а также у, to, г, мы получим в силу
соотношений D)-E), при условии ф = 0, t ^ 3, цикл х фильтрации q.
Итак, каждый элемент из групп Е„ = ]Г} ?jj представляет элемент
из Н„(Е). Таким образом, для этого частного случа теорема Лере доказана. ¦
Дополнения (без доказательства).
1) Элементы фильтрации q = 0 — это всегда циклы всех &т,т'^\\ группы щ\
изоморфны Нп(Е). Группы Е^ — это факторгруппы; гомоморфизм Hn(F) —>
Нп(Е) совпадает с гомоморфизмом вложения слоя t: F -* Е.
2) Элементы фильтрации n (j — 0) не могут быть границами; здесь Е„ 0 = Н„(В)
Гомоморфизм проектирования на слагаемое j — 0
совпадает с проекцией на базу:
р.: Нп(Е) -* Н„(В).
3) Для когомологий все аналогично. Имеется последовательность (E?J,6r)
такая, что
а) 6r: E?d -> E?+rJ-r+\ 6,6, = 0, E*r+l = Н*(Е„ 6,);
б) ? E\J -Hn{BxF)

80 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
в) ? EqJ = H*{E) (как группа);
w
г) все группы Ег и операторы 6Г сопряжены с (Ei , dr) в гомологиях. Однако
здесь имеется важное новое свойство:
д) все l? = $^.E*J являются косокоммутативными кольцами, причем Н*(В х
F) = Щ как кольцо; если a G &J, р 6 Bfl3, то ар € Е*?"+>, ар = (-^
для 6Г имеет место формула Лейбница
(заметим при этом, что кольцо Е^, не изоморфно кольцу Н*(Е), вообще говоря;
исключением является случай, когда Е& есть свободная косокоммутативная алгебра;
тогда это верно и для Н (Е)).
Мы этих фактов доказывать не будем, хотя и используем (особенно д)) в вычи-
вычислениях ниже.
Разберем несколько примеров применения теоремы Лере. Как будет видно,
конструкция операторов dr, r ^ 2, не играет никакой роли в вычислениях, важны
только их формальные свойства.
Пример 1. Пусть задано стандартное расслоение Е — S2n+1 —» СР" = В со слоем
F — 51 (см. [1], т. II, §24). Вычислим кольцо Я*(СРП), используя информацию об Я*E')
и Я*E2п+|) и условие х,(В) = 0.
В члене Е\ = Н*(В) ® H*(F) — см. рис. 43 (все ненулевые клетки из Щ' имеем
при j = 0,1). Здесь fl'(S') = Д[м], и2 = 0, degu = 1, и Н*(В) неизвестна, кроме условия
Ti = 0. Группы E\J нетривиальны лишь при j = 0,1. Поэтому только <52 / 0, и все в,- = 0,
« ^ 3, по соображениям размерности, так как 6,.J3?J С El)Tli~T*x. Группа Е?'° есть циклы
всех 6Т, г ^ 2. Элемент *2(«) С Я2(СРЯ) = е\° порождает группу Я2(СРП); иначе мы бы
имели либо Н1(Е) = Я'E') Ф 0, либо Н2(Е) Ф 0, что невозможно. Пусть v = 62(u) Ф 0. Для
uv справедливо
62(uv) = v\ S2(uv") = vk+l.
Из условия Н1{Е) = 0 при • < 2п, заключаем, что ЯУ+|(СР") = 0, где Я2>(СР") —
одномерное пространство, порожденное элементом v' при j ^ п. Здесь мы используем
кольцевую структуру дифференциала 62 (см. рис. 43).
0
и
1
0
0
0х
0
и®и
Я2(СР")
0
0
Я3(СР*)
0
0
и®и2
Я4(СР")
х«2
0
0
Я5(СР")
0
0
и®и3
я'(СР")
Здесь п=3
3 4
Рис. 43.
Пример 2. Пусть Е ^* 5" — расслоение Серра со слоем F = ПE", х0) (петли на сфере).
В этом случае Е стягиваемо и Н,(Е) = 0. Для базы В = S* имеем Hois') и ЯпE") —
одномерные пространства; остальные Я,-E") = Q,j ф 0, п. Гомологии слоя F пока неизвестны.

§ 8. Гомологии косых произведений (расслоенных пространств)
81
2п-2
п-\
1
«2
0
0
0
0
0
0
щт
0
0
0
0
0
к 0
0
0
«,®г/
0
V
ко при q = О, п
только при q
0 1
n-l n q
Рис. 44.
— Ед 0 известны и
нетривиальны при q = 0,n
В члене E\j = Щ(В) ® Rj(F) (см. рис. 44) имеем единственный нетривиальный диффе-
дифференциал
ni v ® «1 -» в2,
(8)
Вид дифференциала dn (см. (8)) немедленно следует из теоремы Лере, используя усло-
условие Н,(Е) = 0 и вид гомологии базы В = S". Поэтому для гомологии H,(F) получаем
Я*(п-о(-Р) — одномерное пространство,
Hj(F)=0, }фк(п-\).
Задача 2. Применяя когомологическое умножение, докажите: (коэффициенты — по-
поле R, С, Q).
а) Я*(Г2E")) — кольцо полиномов от одной образующей и размерности п — 1, если
п нечетно;
б) Я*(ПE*)) = Д[«1 ® R[v], deg и = п - 1, deg v = In - 2, я четно.
Залача 3. Докажите, что если из тройки пространств (Е, F, В) любые два обладают
одним из следующих свойств, то третье также обладает этим свойством (предполагается, что
расслоение Е^*В удовлетворяет условиям теоремы Лере):
а) группы гомологии И, с коэффициентами в каком-либо поле равны нулю;
б) группы гомологии Я, имеют конечное число образующих в каждой размерности;
в) все целочисленные группы гомологии являются конечными группами (т. е. гомологии
с коэффициентами в R, Q или С равны нулю);
г) все целочисленные группы гомологии конечны и не имеют элементов порядка р,
где р — простое число (т. е. гомологии с коэффициентами в поле Zp равны нулю).
Залача 4. Исследуйте дифференциалы d,, 6T в следующих расслоениях. Используйте
кольцевую структуру в когомологиях для примеров б)-ж).
а) RP2"+1 -» СР" (слой 5") с коэффициентами в полях Z2, Zptp>2,R или <i
б) SU(n) -* Я2" (слой SU(n - 1));
в) SO(n) -> S" (слой SO(n - 1));
7 Зак. 368

82 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
г) s4"*3 -* HP" (слой 53);
Д) V-S"-1 (слой *;_,,*_,);
е) *? - G?t (слой Щк));
ж) К* - G^ (слой SO(k)).
Задача 5. Докажите следующие факты:
а) Если все гомологии односвязного комплекса К конечны (т. е. Hq(K, R) = 0 для q > 0),
то все гомотопические группы конечны;
б) группы irn+i(Sn) конечны (кроме * = 0и1 = п— 1, если п четно).
Указание. Рассмотрите расслоение Серра Е -А К со слоем il(K, k0), где Е стягиваемо.
Итерируйте это расслоение. Для изучения групп щ(К) используйте равенство ъ(К) =
Wi-i\u(K)) = ... . Для 1-й нетривиальной гомотопической группы используйте следующий
факт: если *,(Х) = 0, q < i, то щ(Х) = Я,(Х, Z). Переходите к универсальному накрытию,
если встретится группа xt (см. задачу 7 ниже).
Имеется процедура «превращения отображения в расслоение», сохраняющая
гомотопические типы:
а) если К С L — вложение, то рассмотрим пространство E(K,L) путей,
начинающихся в К и заканчивающихся где угодно в L. Очевидно, Е(К, L) ~ К
(стягивается к К). Имеем отображение Е(К, L) -^ L, устанавливающее соответствие
между путем и его концом. Получаем расслоение Серра (докажите!);
б) для общего отображения К —»L надо рассмотреть «цилиндр» С/ = (К х
Ф, О) U/ ?> гДе (х, 1) = /(х). Очевидно, С/ ~ L. Далее, С/ Э К х 0 = К.
Применяя к паре (С/, К х 0) конструкцию а), получаем расслоение
K~E(K,L)±>Cf~L.
Легко видеть, что р гомотопно /.
Используя эти конструкции, решите задачи:
Задача 6. Докажите, что если отображение / односвязных комплексов индуцирует
изоморфизм групп гомологии Н,(К, R)-S Я,(Ь, R), то отображение / индуцирует изоморфизм
групп гомотопий
щ(К) в> R и *i(L) ® R.
Примените это к случаю, когда К = S3 x S$ х... х S2" и L = SV(n). Постройте отображение
К —» L, пользуясь умножением в SU(n).
Залача 7. Если X — это Я-пространство (например, X = п(К)), то для всех q > 0
докажите равенство
H4(X,R)=H,(X,R),
где X — универсальное накрытие.
Указание. Пусть D = *,(Х) и K(D, 1) = В — такое пространство, что »i(B) = D
и 5г,(В) = 0, t > 1 (см. § 10 ниже). Рассмотрите отображение X -»В, я-,(Х) » *i(.B) = D.
Превратите его в расслоение. Найдите слой.
Залача 8. Рассмотрите естественное вложение S* V S" -* S* x S*. Превратите его
в расслоение. Найдите гомологии слоя F. Найдите гомотопические группы *i(S* V 5") ® R
Залача 9. Пусть X односвязно и H'(X,R) — свободная алгебра (косокоммутативная).
Найдите группы я<(Х) ® R.
Залача 10. Пусть jtj(X) = 0 при i < п - 1. Докажите, что ff^(X,R) = х,(Х) ® R при
j < 2п - 1.

§ 9. Теория препятствий 83
§ 9. Задача о продолжении отображений, гомотопий
и сечений. Препятствующий класс когомологий
Рассмотрим сначала следующую задачу: пусть заданы клеточный комплекс К
и его подкомплекс L С К (например, L = К'~1 — остов комплекса К). Пусть задано
отображение L-*X. Для упрощения алгебраической стороны предположим, что X —
односвязное пространство (или гомотопически простое, такое что К\ (X) — абелева
группа, тривиально действующая на всех группах эг,(Х)). Можно ли продолжить
отображение f:L-*Xao отображения F: К —» X?
Пусть а* — клетка в К такая, что да* С L. На границе да1 имеется отображе-
отображение /: L —» X. Это отображение определяет элемент а(а*, /) € тг,_|(Х):
Очевидно, что отображение / можно продолжить на клетку а', если и только
если а(а*, /) = 0 в группе t,_i(X). В частности, продолжение всегда возможно,
если т,-_|(Х) = 0. Если a(a\f) Ф 0, то продолжить отображение / на клетку а1
нельзя (а есть «препятствие»).
В общем случае, начав продолжать отображение с некоторой размерности, в
которой имеются клетки в К, не лежащие в L, при некотором t натолкнемся
на нетривиальное «препятствие»:
Это — коцепь в (K,L) или в группе коцепей С*(К,L,iTi-i(X)). Обозначим эту
коцепь через <*/.
Имеет место
Лемма 1. Коцепь а/ является коциклом.
Локазательство. По определению имеем: 6af(at+i) = а/(#<т'+|). Докажем, что
коцепь otf обращается в нуль на dat+1. Напомним, что atf(al) определялось через
отображение до* —> X. Пусть, для простоты, К и L — симплициальные комплексы;
тогда до-г+1 и да' — сферы, лежащие в К, где ая — симплекс размерности q. Возни-
Возникает следующая универсальная ситуация: для симплекса <т'+] имеется отображение
его (i - 1)-мерного остова в X (*i(X) = 0 или Ж\ не действует на группах х,-|).
Пусть ctj € Tj-i(X) представлен отображением границы грани с номером у. если
at+i = @,..., t + 1), то j-я грань есть @,1,..., j,..., i + l) (номер j вычеркнут). ¦
Задача 1. Доказать равенство
i+l
аЛ-1)'=0€ *,_,(Х), V*. A)
Указание. Каждая грань размерности » — 1 входит в сумму A) дважды и при этом
с противоположными знаками (группа т,_|(Х) абелева). Из условия следует, что начальная
точка в определении jtj_j(X) не существенна. Поэтому af — коцикл.
Лемма 2. Если atf = 60 для некоторой коцепи $ € &~х{К,Ь,щ-\(Х)), то
отображение f можно так изменить на (i - 1)-мерном остове К1~\ не изменяя
его на (i — 2)-мерном остове Кг~2 и на всем L, что для нового отображения f
будем выполняться aj = 0.
7*

84 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты ах вычисления
Аоказательство. При условиях леммы мы меняем отображение / на клетке а1 '
на новое отображение /: ах~х —» X так, что они совпадают на 6V~'; при этом пара
отображений /, / клетки а'~] определяют вместе отображение 5' —» X, дающее
элемент -fi{ol~x) в группе ir,_j(X). После такого изменения отображения /, для
нового отображения / получим, что aj = af - 6/3 = 0. Лемма доказана. ¦
Используя леммы 1 и 2, получаем
Вывод. Определено «первое препятствие» а/ € С*(К, Ь;щ-\(Х)) к продолже-
продолжению отображения / с подкомплекса L\jKt~i на комплекс L\jK*. Для про-
продолжения достаточно, чтобы or/ равнялось нулю (см. лемму 2). Продолжение,
очевидно, возможно, если ;г*_|(Х) = 0.
Залача 2. Пусть т,(Х) = 0 при i < q и /: Kq -* X — отображение g-мерного остова.
Пусть X не имеет клеток размерностей 0 < р < q — 1 (приведенный комплекс, см. § 4).
Тогда любая клетка о9 из комплекса К определяет элемент P(aq) 6 ir,(X) отображени-
отображением а4 —» X. Докажите, что препятствие к продолжению этого отображения на остов ЛГ*+| есть
коцепь af = 6р. В частности, отображение / продолжается на К*+\ если /J — коцикл.
Рассмотрим теперь «препятствие к гомотопии» двух отображений /ид: К -> X,
которые уже совпадают на остове Kq~x. На остове К4 на любой клетке <г* С К4 имеем
два отображения f,g: aq -> X, совпадающие на границе: /|eff, = д\8д,. Совместно /
и д дают отображение сферы S4 —* X. Это «различающий элемент» а («г*,/,^) €х,(Х).
Итак, имеем «различающую коцепь»
«(**,/,*) €*,(*).
Залача 3. Покажите, что 6а = 0. Покажите, что для случая а = 6р гомотопию между /
и д можно изменить на остове К1'1, не меняя ее на остове К*~г, так что получим в = 0.
Поэтому различающая коцепь лежит в Hq(K, *q(X)).
Залача 4. Пусть имеется пара (K,L), L С К, и задано отображение /: L -» Г"
в n-мерный тор. Необходимое условие продолжения отображения / с L на К таково:
если 7 6 *|(Ь) и вложение »: L -* К обращает этот элемент в единичный, 1,G) = 1. то
/,G) = 1 в торе Г*. Докажите, что это условие достаточно для продолжения. Докажите, что
для продолжения отображения достаточно также аналогичного условия в гомологиях, т.е.
для 7 € Я|(Ь). Такое условие возникает, например, в теории узлов (см. [1], т. II, §26).
Залача 5. Найдите множество к(К, Тп) гомотопических классов отображений К —» Т"
(в частности, для п = 1 в 51). Более общо: пусть X = K(D,n) — такое пространство
(«комплекс Эйленберга—Маклейна»), что *,(Х) = 0, i Ф п, и *Я(Х) = D — абелева группа.
Докажите, что *(К, X) = H*{K,D). Для п = 1 проверьте, что Hl(K,D) и х(К,Х) опреде-
определяются гомоморфизмами *\(К) -» D. Этот результат о *(К,Х) верен и для неабелевых D
при п = 1. Примеры:
n=l:D = Z,
D = Zx... xZ,
D = x,(Mg), K(D, 1) = Ml (поверхность рода д > 1),
D = Zm, K(D, 1) = S°°/Zm (для m = 2: iT(Z2,1) = RP30 или RP*, N -> 00),
D = F (свободная группа), ЛГ(Р, 1) = 51 V... V S1 (букет окружностей).

§ 9. Теория препятствий 85
Примеров пространств K(D, 1) с разными группами D = xt{X) очень много. Единствен-
Единственным просто стро5пдимся пространством K(D, 2) является (см. [1], т. II, § 24) случай п = 2,
D = Z, K(D, 2) = СР°° = 5°°/5'.
Залача 6. Пусть Кя — комплекс размерности п. Найдите гомотопические классы
отображений Кп —> 5*. Докажите равенство
Совершенно аналогичной является задача о построении и гомотопии сечений
расслоений Е Л В со слоем F, где база В представлена в виде симплициального
или клеточного комплекса. Опять, для простоты, мы предположим, что база В
односвязна (или, что есть более слабое предположение, что xi(B) не действует
на группах *\(F) переносами) и слой F также односвязен или гомотопически прост.
Пусть задано сечение у> на остове В* С В. Над симплексом а4 С Bq имеет-
имеется прямое произведение p~x(oq) = <т* х F. На границе daq = Sq~x имеется сече-
сечение (р: да4 —» d<rqxF, гдеру» = 1. Поэтому определено отображение do-* = Sq~x —> F,
задающее элемент a(aq, <p) € *4-\{F) (препятствующая коцепь).
Залача 7. Докажите, что 6а = 0.
Залача 8. Докажите, что для а = б/З можно изменить сечение на остове В*, не трогая
его на В*, так что а = 0. Тогда а € И*(В, x,_,(F)).
Залача 9. Пусть слой есть сфера 5*~ "= F. Покажите, что препятствие о € НЧ(В, жч_ i (F))
есть «эйлеров класс» расслоения (см. [1], т. II, § 25), который определялся с помощью
связности в расслоениях с группой G = SO(q) при нечетных 9—1 как элемент из Н*(В, R).
Залача 10. Рассмотрите препятствие к гомотопности двух сечений <рх и <р2: В —> Е,
где pipi = ру>2 = 0. Пусть сечения совпадают на остове В* С В. Определите препятствие
к гомотопии и исследуйте его свойства
afri,?,) еЯ«(В,
Пример 1. Пусть слой стягиваем, *,(F) = 0 для всех «; тогда сечение всегда существует,
и все сечения гомотопны. Например:
а) F есть множество положительных римановых метрик (в данной точке) на многообра-
многообразии АР. Мы знаем (см. [1], т. II, §8), что сечение — метрика — всегда существует, и два
сечения (две положительные метрики) гомотопны — их можно соединить путем. Если ме-
метрика индефинитна (например, типа (р, 9)), то этот результат неверен. Каковы группы Tj(F)
для этого случая? Заметим, что F = GL(n, R)/O(p, q), p + q = п.
б) F есть множество «горизонтальных площадок» в данной точке расслоения Е —» В
или связностей (см. [1], т. II, §24, где доказывалось существование связности).
Пример 2. Пусть Е^* В — расслоение с группой G = О(п) и слоем R". Рассмотрим
ассоциированное расслоение fc-реперов (ортонормированных). Et ^* В, слой Fk — Vn<t (мно-
(многообразие Штифеля fc-реперов в R"). В частности, для к = п имеем F% — О(п) и для к = 1
имеем Fj = 5*~'. Сведения о гомотопических группах слоя мы получаем из [1], т. II, §24:
_ f
_ f Z, п-к нечетно,
\ ъъ п-к четно.
Препятствующий класс когомологий для построения сечения этих расслоений имеет вид
(«первое препятствие»)
а4еяв*+1(я,*.
для всех * = 0,1,2,..., т» - 1.

86 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
Определение 1. Класс a* (mod 2) называется классом Штифеля—Уитни расслое-
расслоения и обозначается через
Wq = an_?+,(mod 2) € Н9(В, Z2), q = 1,..., п.
По определению полагают Wo = 1 и составляют «полином Штифеля—Уитни»
где t — формальная переменная. Классами Штифеля—Уитни гладкого много-
многообразия М" называют классы его касательного расслоения.
Залача 11. Докажите, что равенство Wx = 0 необходимо и достаточно для ориентируе-
ориентируемости многообразия АГ. Покажите, что Wn есть эйлерова характеристика (mod 2).
Залача 12. Докажите, что для прямых произведений многообразий (или для прямых
произведений расслоений) выполняется
W(t) = W(t)W(t)
(произведение в кольце когомологии H*(-,Z$ и W,W — полиномы Штифеля—Уитни
соответствующих многообразий).
Залача 13. Докажите, что для стандартного одномерного нетривиального расслоения tf
над RP" («листа Мёбиуса» — см. [1], т. II, §24) справедливо
W(t) = l + Wtt, Wx 6 Я1 (RP", Z2) = Z2, Wx Ф 0.
Вычислите полином Штифеля—Уитни касательного расслоения г над RP", используя следу-
следующий результат: г Ф 1 = t] ф... ф tj (см. задачу 1 из [1J, т. II, § 24).
Залача 14. Рассмотрим к векторных полей i/,,...,i;t на многообразии Af* (в общем
положении). Точки многообразия, где эти поля линейно зависимы, образуют «цикл особенно-
особенностей». Покажите, что это — цикл (mod 2) в группе fft_i(Af", Z2), двойственный по Пуанкаре
классу Штифеля—Уитни Wn_t+i.
Пример 3. Рассмотрим комплексное расслоение Е^*Всо слоем С" и группой G = U(n)
и ассоциированные расслоения унитарных (комплексных) fc-реперов Еь-+В со слоем Ft- = V^.
Мы знаем гомотопические группы (см. [1], т. II, §24):
*.Ю = 0, t<2(n-fc), *2(я-Ч
Первое препятствие к построению сечения расслоения Еь^*В есть элемент из целочисленных
когомологии
с^, ен2"-™^,*^»^)) = h'(b,z).
Определение 2. Класс сч называется «классом Чженя» (q = 1,...) расслое-
расслоения Е -^ В. Если В = М2п — комплексное многообразие, то классы Чженя
касательного расслоения называются классами этого многообразия. Вводится
«полином Чженя»
c(t) = l+c,f + ... + cgt4 +...,
где t — формальная переменная.
Залача 15. Покажите, что для произведения расслоений (или многообразий) справед-
справедлива формула
с@ = с(*)г@,
где с,с — полиномы Чженя сомножителей.

§ 9. Теория препятствий 87
Залача 16. Покажите, что для стандартного U\-расслоения i/ над СР" справедливо
c(t)=l+c{t,
где С\ ? Н2(СР", Z) — базисный элемент.
Найдите полином Чженя касательного расслоения г над СРЯ, пользуясь тем, что
тФ1=»/в... ф»/(см. [1], т.Н, §24).
Залача 17. Покажите, что для комплексных многообразий М2" класс с„ совпадает
с эйлеровой характеристикой. Найдите полиномы Чженя римановых поверхностей.
Залача 18. Покажите, что структурную группу U(n)-расслоения можно свести к SU(n),
если и только если с, = 0.
Залача 19. Для комплексно-сопряженного расслоения ( к расслоению ( с базой В
(см. [1], т. II, §24) докажите равенство
или
Залача 20. Докажите, что классы Чженя cf, рассмотренные в группе H7q(B,R), со-
совпадают с теми, которые определяются через связности в расслоениях (см. [1], т. II, §25).
Особенно просто это проверяется для класса с\. Таким образом, ранее определенные клас-
классы как выражения от тензора кривизны (после нормировки) имеют всегда целочисленные
интегралы по циклам в любом расслоении.
Залача 21. Докажите, что полином Чженя (mod 2) комплексного расслоения ? опреде-
определяет полином Штифеля—Уитни этого же расслоения как вещественного, т. е. расслоения г?,
где г — операция «овеществления» (см. [1], т. II, §24).
Пример 4. Рассмотрим вещественное О (п)-расслоение q. Можно «комплексифициро-
вать» это расслоение (см. [1], т. II, § 24):
?/-»с17 = ?.
Расслоение ? = сц имеет группу G = U(n) и является «самосопряженным». Это означает, что
расслоения ? и I изоморфны: ? и | (проверьте!).
Определение 3. Классы Чженя (- 1)'сд комплексного расслоения f = cq называ-
называются характеристическими классами (Понтрягина) вещественного расслоения t/
и обозначаются через pi{q) € Я4'(В, Z).
Из изоморфизма ? и ? получаем
и тем самым 2с2,+] = 0. Поэтому классы сц+\ не рассматриваются в вещественном
случае.
Залача 22. Вычислите классы р,(СРя).
Залача 23. Найдите класс pi(Af^) для неособого многообразия М4, заданного в СР3
одним уравнением (в конечной области С3 С СР3) степени п.
Залача 24. Докажите совпадение классов р, с классами, определенными через связности
в расслоениях (см. [1], т. II, §25).
Залача 25. Докажите, что если ориентируемое многообразие М* является краем ори-
ориентируемого многообразия, т.е. М* = dW$, то pi(Af4) = 0. Более общо, если Мп = dW*+\
то всякий полином размерности п от классов Wq и р, тривиален (для неориентируемого
случая — только от Wq). Выразите классы (p,mod 2) через Wq.

88 Глава 1. Гомологии и когомолопш. Рецепты их вычисления
§ 10. Гомологии и методы вычисления
гомотопических групп.
Теорема Картана—Серра.
Когомологические операции.
Векторные расслоения
I. Понятие когомологической операции. Примеры. Проблема вычисления го-
гомотопических групп многообразий и конечных комплексов является чрезвычайно
трудной. Для неодносвязных комплексов, где группа тг\ действует на всех ъ, эта
проблема является алгоритмически неразрешимой в самом сильном смысле мате-
математической логики. Даже для наиболее важного и простого случая односвязных
комплексов (например, сферы) конкретное вычисление гомотопических групп ока-
оказывается очень трудной нерешенной проблемой. Прямые геометрические методы
позволяют получить отдельные результаты о гомотопических группах (см. [1], т. II)
в некоторых частных случаях. Регулярные методы вычисления гомотопических групп
удается построить на базе гомологической теории расслоенных пространств вместе
с теорией гомотопий, уже изложенных выше. Мы укажем здесь способ получения
информации о бесконечных частях гомотопических групп ъ(К) ® Q, где Q —
поле рациональных чисел, для односвязных комплексов, который уже частично
обсуждался в задачах к §8. Заметим, что вычисление конечной части (кручения)
гомотопических групп ъ(К), как будет видно ниже, требует развития несравнимо
более сложных методов. В основе всех алгебраических методов вычисления гомото-
гомотопических групп, кроме уже изложенной теории гомологии, лежат так называемые
«когомологические операции», т. е. отображения в: НЧ(К, L; G\) -* НР(К, L; G2),
обладающие такими свойствами:
а) отображение в определено для всех комплексов К, L и гомотопически
инвариантно;
б) отображение в «естественно» (другие термины — «функториально» или
«ковариантно»): это означает, что оно коммутирует с непрерывными отображениями
f:{K,L)^{K',L>)
Of = /*в.
Пример 1. в(х) = хт, где х G H*(K,L;GX). Здесь р = mq. Для G2 = Gt = Ъ^ где
р = т — простое число, мы имеем в(х + у) = х* + у*", в(Хх) = \0(х), так как А* = А. В этом
случае в — это линейное отображение. Для рационального поля Q = G\ = G-i отображение в
не является гомоморфизмом.
Пример 2. в(х) = 6.(х), где х € Я«(ЛГ, L; Zp), 6,(х) € H1+i{K, L; Zp).
Определение гомоморфизма 6, было дано в § 3: если элемент х представлен
целочисленной коцепью х € (^(К, L; Z), х = х mod р, то 6*х = \^6xj mod p.
Имеется естественное обобщение 02) *з, •••>** гомоморфизма 6\ = 6t: если
х G Kertf,, т.е. коцепь (^&&) modp когомологична нулю, то ^6х = ру + 6z.
Поэтому определено соответствие
у modp = 62(х) = - ( -6х - 6z ) .
Р \Р )
Залача 1. Проверьте, что б2 — это корректно определенный гомоморфизм
НЧ(К, L; Zp) С Кег в, -^ Я'и (К, L; Z,)/ Im «,,

§ 10. Вычисление гомотопических групп 89
коммутирующий с непрерывными отображениями, т.е. f'62 = 6-if*. Постройте аналогично
высшие гомоморфизмы
6к: fl Kerft -* Hq+l /U Im «,.
Гомоморфизмы 6ь при к ^ 2 не всюду определены и неоднозначны. Поэтому их
называют «высшими» или «частичными» когомологическими операциями. Значе-
Значение гомоморфизмов 6к таково: если нам известна структура H*(K,L;ZP) и дей-
действие операторов 6к, то мы можем восстановить целочисленную группу когомо-
логий Н (K,L;Zi)/Tp, где Гр — периодическая часть порядка, взаимно простого
ср.
Задача 2. Ядро всех 6к на И* [К; Zy) есть результат приведения mod р целочисленной
группы Н'(К; Z).
Залача 3. Если х = 6ку и х Ф 6чг для q < k, то элемент х представляет образующий
элемент х € И* (К; Z) порядка р*.
Таким образом, знание операторов 6к для всех р в когомологиях Я* (/Г; Zp)
(или в гомологиях H,(K;Zp), где они сопряжены когомологическим) позволяет
восстановить целочисленные гомологии и когомологии.
Операторы 6k обладают следующими свойствами:
а) они определены на группах Н9 для всех q (или на их подгруппах) и являются
гомоморфизмами;
б) они коммутируют с гомоморфизмом 6 точной последовательности пары
(проверьте!)
Н"(К, L; Zp) -U Я«+1 (К, L; Zp),
66к = 6к6.
При jfc = 1 операция 6\ = 6, всюду определена и однозначна.
Определение 1. Операции в, обладающие свойствами а) и б), называются
«стабильными*.
Главной причиной, облегчающей вычисления гомотопических групп Ti(K) ® Q
с помощью «стабильных» операций, является отсутствие нетривиальных (не сводя-
сводящихся к операции возведения в степень) когомологических операций в рациональ-
рациональных когомологиях Н*( ; Q) (это будет доказано ниже). Единственной «стабильной»
когомологической операцией на рациональных (вещественных, комплексных) кого-
когомологиях является операция умножения на число (скаляр):
9(х) = Хх: Н9 -> Щ.
Пример оператора 6t показывает, что в когомологиях Я*( ;ZP) есть нетри-
нетривиальные стабильные когомологические операции. Без доказательства укажем, что
в когомологиях mod p имеется много нетривиальных стабильных операций (см. [45]).
Теорема 1 (Стирол). 1) Пусть р = 2. Для любого числа i ^ 0 имеется стабильная
когомологическая операция в, обозначаемая через Sq1, дающая гомоморфизм
Sq': H9(K, L; Z2) - H9+i(K, L; Z2)
для всех q. Операция Sq* обладает свойствами
а) Sq'(x) = 0, если q<i;
б) Sq° = 1;
6 Зак. 368

90 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
в) Sg'(x) = х2, q = i;
г) Sf(xy) = Е Sq^(x)Sqk(y);
д) Sq\x) = St x.
2) Пусть р > 2. Для любого » ^ 0 определены стабильные операции Stp
StP: Н"(К, L; Zp) -> Ич+ъ{р-х){К, L; Zp)
такие, что
а) Styx) = 0, q < 2t;
б) St°p=l;
в) Styx) = x>, q = 2»;
г) Styxy) = E siWStfry).
Операции Stfq и Stlp называются операциями Стинрода.
Все стабильные операции выражаются через произведения (суперпозицию)
операций Стинрода (это сложная теорема). Между ними имеются нетривиальные
алгебраические соотношения; вся эта структура, как будет ясно далее, создает
сложный процесс вычисления конечной части гомотопических групп. Заметим,
что простейшей иллюстрацией возможности такого применения является структура
двуклеточного комплекса: элемент х € itk+q(S9) определяет двуклеточный комплекс
Kx = Dk+qU\JxSq
такой, что
Hq(Kx;Gx) = Gu Hk+"+l(Kx;G2) = G2
(образующие, соответственно, z и w). Для случая q — п, k + q + I = 2п такой
комплекс обсуждался в § 7.
Лемма 1. Если найдется нетривиальная когомологическая операция в: Hq( ¦; G\) —>
Я'+*+|( •; G2) такая, что 0{z) Ф 0, то элемент х 6 хА+уE') отличен от нуля.
Локазательство. Гомотопический тип комплекса Кх для х = 0 имеет вид буке-
букета Кх ~ s4+k+l V S9. Рассмотрим отображение Кх -^+ 5', тождественное на одном
слагаемом Sq и проектирующее второе слагаемое 5*+*+| в одну точку. Так как
Sq С Кх, мы имеем проекцию Кх -^ Кх такую, что
¦к* = 1: Н" - И",
т* = 0: Я?+*+1 -¦ Hq+k+l.
Так как в(тг*г) = ж*0(г) по определению когомологической операции, то 0 =
0(t*z) = 6(z). Лемма доказана. ¦
Тривиальный пример: q = п, х — это умножение на 2' G Z = ¦xn(Sn); в = 6,:
Hn(K;Z2) - Нп+\К;12).
II. Комплексы Эйлеяберга—Маклейна и операции. В § 9 мы уже рассматривали
«комплексы Эйленберга—Маклейна» K(D, n) = К такие, что
*n(K) = D, *,-(*) = 0, зфп.
Примем как факт, что такие комплексы существуют (см. [45]) для всех {D,n)
и являются клеточными комплексами или им гомотопически эквивалентны.

§ 10. Вычисление гомотопических групп 91
Очевидны следующие соотношения:
K{DX х D2, n) = K(Dun) x K(D2, n),
Чтобы в этом убедиться используем равенство 1Г,-(П(Х)) = x,+i (X) (см. [ 1 ], т. II, § 24).
Имеет место следующая
Теорема 2. Для любого клеточного комплекса X гомотопический класс отображе-
отображения /: X —* K(D, n) полностью определяется некоторым элементом группы кого-
мологий х € Нп(Х; D); верен канонический изоморфизм [X; K(D, п)] « Я"(Х; D).
доказательство, а) Пусть задана коцепь х € С"(Х; D). Зададим отображение
остова X" в одну точку. На остове X" отображение зададим так: клетке оп С X"
поставим в соответствие элемент x(an) e icn(K(D, n)) = D. Граница до* уже отобра-
отображена в точку. Отображаем клетку оп -* K(D, n) в соответствии с элементом х{ап)
из xn(K(D, п)). Продолжим отображение на остов Xn+1. Это возможно, если и толь-
только если 6х = 0 (см. §9). Далее, предположим по индукции, что на остове хп+1+> уже
построено отображение /: xn+I+l -» K(D, n). Так как Xj(K(D, n)) = 0 при j Ф п,
препятствие к продолжению отображения / равно нулю, и мы продолжаем отобра-
отображения по остовам на все X.
б) Пусть заданы два отображения /: X -¦ К', д: X —» К, построенные по двум
когомологичным коциклам х, х, х - х = 6у; можно в соответствии с § 9 изменить
отображение /на остове размерности п - 1 так, что х —у х - 6у. После этого
получим х = х. Из равенства нулю всех групп Kj(K) при j > n следует, что
отображения гомотопны. Теорема 2 доказана. ¦
Теорема 3. Множество всех когомологических операций в: Нп{М, L; D) —* НР(М,
L; G) находится в естественном взаимно однозначном соответствии с элементами
группы Нр(К; G) = HP(K(D, n); G).
Аоказательство. Рассмотрим «канонический» элемент и € Hn(K(D,n);D), оп-
определяемый следующим образом. По теореме Гуревича имеем Hn(K(D,n);Z)=vn=D.
Далее, Нп(К; G\) = Нош (D, G\), где Нот (D, G\) — гомоморфизмы абелевой груп-
группы D в G\. Если D = G\, то в множестве Нот (D, D) имеется «единичный»
элемент и 6 Нот (D, D) — тождественный гомоморфизм. Из доказательства теоре-
теоремы 2 следует, что соответствие Нп(Х, D) и [X, К] устанавливается так: если задано
отображение /, то
[/1«/»ея-A;в).
Если задана когомологическая операция в, то определен элемент в{и) Е
HP(K;G). Имеем соответствие в -* в(и). Пусть задан элемент в(и) € HP(K;G)
и любой комплекс X. Фиксируем элемент х € Я"(Х; D). По теореме 2 определено
отображение /: X -» К, где /*« = х. Полагаем в{х) = 0(f*u) = f*0(v). Теорема 3
доказана. ¦
Теорема 4. Для любой конечно порожденной абелевой группы D кольцо когомологий
H*(K(D,n);Qi) является свободной косокоммутативной алгеброй, порожденной
образующими из линейного пространства D* = Horn (D, Q) = Н"(К; Q).
Аоказательство. Группа D есть прямая сумма циклических групп D = Z х ...
х Z х Zm, х Zmi x .... Для D = Zm мы докажем, что H4(K(D, n); Q) = 0, q > 0. Для
К = K(D; 1) это установлено в § 9, так как
6*

92
Глава 1. Гомологам я когомологии. Рецепты их вычисления
Допустим, что это утверждение уже доказано для р < п. Рассмотрим расслоение
Серра:
*j(E) = О, j > 0. Из спектральной последовательности в когомологиях Я*( ;Q)
мы имеем Е™ = 0, если q > 0, Щ'0 = Я*(В;0). Поэтому все d2 = 0 при
г^2и^ = Е?° = НЦЕ;® = 0. Поэтому Ej'° = Hq(B) = Hq(K(D,n)) = 0.
Для D = Zm и, следовательно, для D — Zm, х ... х Zmt имеем Я'AГ(С, п); Qj) = 0
при всех q > 0.
Пусть D = Z. Рассмотрим расслоение Серра, предполагая по индукции, что
теорема доказана для всех р < п. Имеем два случая:
а) п четно, H*(K(D, п - 1); Q) = AK-ib
б) п нечетно, H*(K(D, п - 1); Q) = QK_, ].
Тогда из условия Hq(E; Q) = 0 при ? > 0 получаем, что спектральная последо-
последовательность выглядит, соответственно, одним из двух способов:
а) п-1
U
1
0
0
0
0
UV
п
0
0
0
uv2
= v;
= 0;
6) In - 2
n-1
0
u
1
0
uv
V
dn(u) = v;
d»(f) = 0.
Здесь существенно используется когомологическое умножение в спектральной
последовательности. После этого нужный результат почти очевиден из указанных
таблиц, поскольку в обоих случаях мы имеем ??'*, = 0 для всех р, q.
Так как D = Zx ... х Z x Zm, х ... х Zmt, теорема 4 доказана. ¦
III. Вычисление гомотопических групп я-$ ® Q.
Теорема 5 (Картава—Серра). Пусть кольцо когомологии односвязного (или гомо-
топически простого) пространства X над Q до размерности к изоморфно сво-
свободной косокоммутативной алгебре со свободными образующими Xj € ffa'(X;Q),
где ci] < k. Тогда верны следующие утверждения:
а) гомоморфизм Гуревича
имеет нулевое ядро для всех i < к — 1;
б) образ Я(т,(Х) <8> Q) имеет нулевое скалярное произведение со всеми элемен-
элементами х ? Я*(Х;0), которые нетривиально разлагаются в произведения х = yz,
degy>0, degz>0;
в) группа 1гДХ) ® Q, i < k - 1, изоморфна (сопряжена) фактору Я'(Х;0)/Г,
где Г состоит из всех элементов, нетривиально разложимых в произведение.

§ 10. Вычисление гомотопических групп 93
Аоказательсгво. В силу теоремы 4 эти утверждения верны для комплексов
K(D, n) и тем самым для любых прямых произведений (к — со):
К = K{DU а,) х K(D2,a2) х ЛГ(?>3) а3)х...,
а, < а2 < аз < • • - •
Зададим отображение X —*К, где if построено в виде (*) для набора свободных
абелевых групп Dj рангов, равных числу свободных образующих х,- в размерности а;.
Отображение / в силу теоремы 2 выберем таким, что /*: Н*(К; Q) -* Н*(Х; Q)
есть изоморфизм до размерности ifc. Согласно процедуре, указанной в § 8, превра-
превратим отображение / в расслоение /: X -* К со слоем F, где X гомотопически
эквивалентно X.
Так как /* — изоморфизм в размерностях меньше к, то из спектральной
последовательности этого расслоения немедленно следует, что H*(F; Q) = 0 в раз-
размерностях, меньших чем к - 1. Для односвязных X можно считать, что группа D\
не свободная абелева, а точно совпадает с первой нетривиальной гомотопической
группой комплекса X. Поэтому /, — изоморфизм на группе т2(Х) —» тг(ЛГ). По-
Поэтому из точной последовательности расслоения следует, что *\{F) = 0 (см. [1],
т. И, §22).
Лемма. Если когомологии Hq(F; Q) односвязного пространства F тривиальны
при q < k - 1, то Xi(F) ® Q = 0 при i < к - 1.
Аоказательсгво леммы. По теореме Гуревича первая нетривиальная группа -каг (F)
конечна. Рассмотрим отображение (расслоение) /: F —> K(xa2(F), 2) со сло-
слоем ^з- Так как H*(K(vai(F), 2);Q) = 0, из спектральной последовательности
видим H*{Fz; Qj) = H*(F; Q). При этом пространство F^ имеет уже нулевую груп-
группу тО2(^з) = 0, *j(F}) = 0, j ^ а2. По индукции сводим лемму к теореме Гуревича.
Лемма доказана. ¦
Аоказательсгво теоремы Картана—Серра. Из леммы получаем, что Vi(F) ® Q = 0
для всех i < k— 1. Изоморфизм групп n"j(X)®Q и Tj(JST)®Q следует теперь из точной
последовательности гомотопических групп расслоения. ¦
Следствие 1. Для любой группы Ли гомотопические группы t,(G) ® Q нетривиальны
только при нечетных i = 2g — 1 и точно соответствуют свободным образующим
кольца H*(G;Q) = /\[х{,,...,xit].
Следствие 2. Для сферы 5" имеем
n = 2k:
Аоказательство следствия 2 вытекает из следующего факта (см. § 7):
/Q[] 2fcl
Следствие 3. Если X — (п - 1)-связный комплекс (m. e. *j(X) = 0 при j < n), то
для всех групп х,(Х) при q < 2п - 1 мы имеем изоморфизм
Н: т,(Х) ® Q -* Я,(Х) ® Q.

94 Глава 1. Гомологии и когомологаи. Рецепты их вычисления
Аоказательство сводится к тому, что произведения когомологий могут возник-
возникнуть лишь в размерности 2п. Поэтому до размерности 2п — 1 кольцо Н*(Х; Q) для
(п - 1)-связного комплекса всегда свободно. . ¦
Залача 4. Вычислите гомотопические группы букетов сфер S*1^^, ir,E* V $*) ® Q.
Во всех случаях вычисление групп *,(Х) ® Q для односвязных комплексов сво-
сводится к вычислению рациональных когомологий H*(Q(X); Q), так как это кольцо —
свободная косокоммутативная алгебра (см. § 7).
Следствие 4. Если X имеет гомотопический тип Н-пространства до размерно-
размерности N, то Н*(Х; Q) — свободная алгебра до размерности N — 1 и имеет место
изоморфизм
где Г состоит из всех нетривиально разложимых в произведения элементов и М* —
сопряженное пространство к М.
IV. Применение к векторным расслоениям. Характеристические классы. Рассмо-
Рассмотрим естественное отображение GktN х G^u —* Gk+tjr+м, порожденное прямой
суммой линейных пространств. Здесь Gkis — вещественное, комплексное или ква-
тернионное грассманово многообразие. Устремляя N —» оо, М —» оо, получим
отображение
<?*,«> х
или (см. [1J, т. II, §24)
где BGn — классифицирующее (универсальное) пространство группы Gn и Gn —
это одна из групп О(п), SO(n), U(n), Sp(n). Заметим теперь, что согласно ре-
результатам [1], т. II, §24 при вложениях О(п) С О(п + 1), SO(n) С SO(n + 1),
U(n) С U(n + 1), Sp(n) С Sp(n + 1) гомотопический тип «стабилизируется». Бо-
Более точно это означает, что для любого комплекса X размерности < N имеется
изоморфизм гомотопических классов отображений [X, BG]
где N = k для G = О(п), SO(n),
N = 2k для G = Щп), SU(n),
N = 4k для G = Sp(n).
Заметим, что в [1], т. II, § 24 это доказывалось для [X, G]. Так как ir,(G) = t,+
то из равенства x,(Gi, G2) = 0 для вложения (группового) G-x С G\ следует
*i+l(BGuBG2) = 0
для тех же значений i. Поэтому вложение BG\ —» BG2 для указанных пар (C?i, G2)
стабилизирует гомотопический тип.

§ 10. Вычисление гомотопических групп 95
Можно ввести «предел» G^, = О, SO, U, SU, Sp:
О = lim ОA)СОB)С. CO(N)C...,
N -оо
SO = lim 50A) С SOB) С ... С SO(N) С ...,
N-oo
U= lim
W->oo
SET = lim Stf(I)CS17B)C... CSU(N)C.,
N-«x>
Sp = Um Sp(l) С SpB) С ... С Sp(W) С ....
JV->oo
Для групп Goo универсальные пространства BGoo уже являются ^-пространствами
Goo х Go, —> Goo (прямая сумма),
ВО х ВО -*-> ВО,
BSO х BSO -^ BSO,
BUxBU^-* BU,
BSU х BSU -^ BSU,
BSp х BSp -^* BSp,
где роль «единицы ^-пространства» х0 € BGoo играет любая фиксированная точка
(проверьте!). Можно сказать иначе: ВО(п) имеет гомотопический тип .ff-прост-
ранства до размерности N = n, BSO(n) — до N = п, BU(n) и BSU(n) —
до размерности N = 2n, BSp(n) — до размерности N = An. Позднее (см. § 25) будет
показано, что BU ? fi(t^), В5р =* fi(Q(ilEO))), B5O ^ П(П(ПEр))).
Мы знаем кольца #*(G;Q) для G = SO,U,SU,Sp (см. §7). Тем самым,
в силу теоремы Картана—Серра, мы знаем группы x,(G) ® Q (см. следствие 1
выше). Следовательно, группы iri+\(BG) ® Q ss t,(G) ® Q нам также известны. При
этом базис сопряженных пространств (-Kj(BG) <8> Q)* до размерности N совпадает
с мультипликативным базисом кольца H*(BG; Q) до размерности N (см. выше), так
как BG имеет гомотопический тип Я-пространства в этих размерностях.
Впрочем, кольца H*(BG;Q) во всех размерностях оказываются свободными
косокоммутативными алгебрами, даже если BG и не является Я-пространством. Это
следует из такой задачи (теорема Бореля):
Залача 5. Пусть задано расслоение Серра Е —* В, слой F = tt(B), где Е стягиваемо
и В односвязно. Если H*(F;Q) — внешняя алгебра, то H'(B;Q) — алгебра многочленов.
Для случая H*(F; Q) = Д[ж] эта теорема была доказана выше. Докажите сначала этот факт
для H*(F; Q) = Л1*|. хг], затем для Л1*1» *2, *з] и т.д.
Для групп G имеем:
H*(BSOBk); Q) = Q[pi, • • •, Pt-ь х), degp, = 4t,
H*(BSOBk + 1); Q) = Qbi, • • •, Pk], degp, = 4»;
H*(BU(k); Q) = Q[e,,..., ck], deg c, = 2t;
H*(BSU(k); Q) = Q[c2,..., ct], deg c, = 2t;
H*(BSp(k); Q = Qfo',..., 7t], deg 7,- = 4t.

96 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
Из явной конструкции характеристических классов Чженя с, (и вытекающей из нее
явной конструкции всех остальных классов — см. §9) мы знаем, что классы с,-, х>
Pi, 7i целочисленны, т. е. принадлежат образу B*(BG; Z) —* H*(BG; Q). Следуя
гомологическому аналогу обычной техники теории групп Ли, связанной с кар-
тановской (максимальной коммутативной) подгруппой, рассмотрим также случай
максимального тора Г" С G:
Т* С SOBk),
Тк С SOBk + 1),
т'сЩк),
I*'1 С SU(k),
Т* С Sp(k).
Для Gn = Т" мы имеем (см. §7):
BGn = BTn = CP°° х...хСР°° и
В*(ВТп, Q) = Q[t,,..., tn], ti € В2(ВТп; Z).
Залача 6. Докажите, что отображение
H*(BG; Q) -^ H'(BTn; Q)
не имеет ядра (мономорфизм), и образ Im i* состоит в точности из многочленов, инвариантных
относительно группы Вейля.
Указание. Для U(n) группа Вейля состоит из всех перестановок образующих ({.
Для SOBn) группа Вейля содержит также еще отражения пар (t,-, tj) i-> (—ti, —tj). Для
SOBn + 1) группа Вейля содержит также все отражения tf н-» —t,-.
Для Sp(n) группа Вейля такая же, как и для SOBn + 1).
Итак, образ Im i*(B*(BG; Qj)) С Я*(ВТ";(® имеет вид:
а) SOBk), i*(pq) = Е «?,..- Ач, ?(х*) = *i...**;
б) 5OB* +1), i*(pq) =
в) f(*), .-(C>) = _ E tj,'... tj],
r) sP(k), ?
(Сравните эти формулы с [1], т. II, §25, где выбирался базис «полиномов Ньютона»:
Е«Г = ^-)
За&ача 7. Выведите формулы связи между классами с, и с„. Найдите формулы для
классов р,(г?) для овеществления 17-расслоения ( через классы с,(?).
Залача 8. Выведите приведенные факты о когомологиях H*(BG;Q) из спектральных
последовательностей, подобрав нужные расслоения.
Залача 9. Докажите, что для комплекса X размерности < N, гомотопические классы
отображений [X, BGn] — или классы эквивалентности «стабильных» векторных расслоений
со слоем R", Ся, ЕГ (Н — кватернионы) — образуют абелевы группы, так как BG —
это Я-пространство (N — п для О, SO; N = 2п для U, SU; N = An для Sp). Сложение

§ 10. Вычисление гомотопических групп 97
отображений X -» BG порождается умножением i> в BG (или прямой суммой расслоений —
см. выше).
Докажите гомоморфизмы колец
[X, BG.] ® Q » Иот(Н'(В6я; Q), H'(X; Q»
или, что то же самое, что с точностью до элементов порядка в группе [X, BGn] векторные
расслоения полностью определяются характеристическими классами.
Прямая сумма расслоений определяется блочным вложением:
U(m)xU(n)CU(m + n)
(аналогично для групп О, SO, SU, Sp). При этом максимальные торы прямо пе-
перемножаются. Наборы образующих t\,...,fme Н2(ВТт; Q) для U(m) и t",..., t? €
Я2(ВТ";0) для U(n) составляют набор образующих tu...,tm+n E #2(BTm+n;Q)
для группы U(m + п). Здесь ?,¦ = t\ для 1 < t < m и tj+m = t'j для 1 ^ j ^ п.
Разлагая элементарный симметрический полином с, (f |,... ,tn+m) через Cj{t\,...,
t'm) = c'j и c« = C9('i') • • • i O> получаем формулы сложения, указанные в § 9 без
доказательства:
Cjcq.
Или, для величины c(z) = X) с»2'» tf'(z) = S cjz;> с'Ч2) = 52 Cj2*» со = 1, имеем:
ф) = с'(г)с"(г). A)
Рассмотрим теперь «характер Чженя» (G = U(n)):
i=l 1=1 Nm=0
Для суммы ? Ф i/ мы имеем
ch (? +17) = ch f + ch tj. B)
Задача 10. Выведите формально B) из A) и наоборот, не прибегая к образующим t,
в максимальном торе.
Тензорное произведение расслоений ? ® q определяется вложением
Щт) х U(n) -* U(mn)
(аналогично для О, SO). При этом максимальные торы связаны более сложно:
имеется отображение торов
rwiTtl у грП jP грТПП
такое, что
*»*(',-*) = «;• + «», C)
где
tjk € H2(BTmn; Q), «j ? H^Bt; Q), fjj 6 H2(BTn; Q).
Формула (З) немедленно следует из явной формулы для отображения <р на диаго-
диагональных матрицах (проверьте!).

98 Глава 1. Гомологам и когомолопш. Рецепты их вычисления
Из формулы C) вытекает
ch(^t]) = ch^chV, D)
поскольку
1=1 > j j
Для комплексных проективных пространств СР" имеем (см. задачу в [1], т. II, §24)
т(СР")е 1 = I?®.-- ФД E)
п +1 слагаемое
где с\(т)) = t е Я2(СРП; Z), г(СРп) — касательное расслоение. Из формул E) и A)
получаем
C(z) = (l+«t)"+1 = l+C12 + + CZn
+ ....
Здесь <| = *2 = ••• = *n+i = * Для расслоения тф1 и р,(т) = (-1)'си(т фт);
по определению классов Pi(i) = (-\)хс-ц(еу); однако для у = г? имеем су = сг? =
^ ф | (см. [1], т. II, §24). Так как cj(?) = (-l)'c(O, то получаем:
Pi(v) = ~c2(v ®V) = t\ Pi(v) = 0, • > 1-
Отсюда следует
A -z?)n+1 =Р(СР«). (?)
Задача 11. Найдите характер Чженя симметрических степеней 5*{ и внешних степеней
Л'? [/-расслоения ?.
Залача 12. Найдите классы и характер Чженя для прямых произведений СРП| ж...
хСР"'.
Залача 13. Исследуйте класс сх для многообразий ХЦ~\ заданных в СР" одним алгебра-
алгебраическим (неособым) уравнением степени к. Докажите, что условие С|(Х?~') = 0 равносильно
к = п+1.
Залача 14. Найдите эйлерову характеристику x(-^t') и число (с", [-Х»])-
Залача 15. Исследуйте случай к = 4, к = 3. Найдите гомологии X}.
Залача 16. Докажите, что гиперповерхности, заданные неособым уравнением в СР",
односвязны.
V. Классификация операций Стинрода в малых размерностях. Мы попытаемся
продемонстрировать метод вычисления гомотопических групп сфер, опирающийся
на факт существования спектральной последовательности с ее формальными свой-
свойствами (см. теорему Лере), существование и формальные свойства операций Стин-
Стинрода Sql и Stp, а также комплексов Эйленберга—Маклейна К(п, п) для х = Z, Zp.

§ 10. Вычисление гомотопических групп 99
(и тем самым для всех абелевых групп с конечным числом образующих). Для этой
цели необходимо сначала вычислить все когомологические операции mod р. По-
Построим комплекс К — К(-к, п) для любой абелевой группы по следующей схеме:
а) имеется одна клетка а0 € К(тг, п);
б) нет клеток размерностей г, где 1 < t < п - 1;
в) клетки а" находятся во взаимно однозначном соответствии с образующи-
образующими Xj 6 т;
г) клетки <т?+1 приклеиваются к уже построенному остову К" согласно соотно-
соотношениям 7i на образующие Xj группы т,
7* = | X) ^jkxj = 0. bjk — целые числа >, 7»: da%+1 —* Kn. Для остова Кп+1 полу-
чаем
*
j(Kn+l)=0, j<n,
Выберем какой-либо базис образующих элементов or,- € irn+](Kn+1) и приклеим
клетку (см. § 4)
Получим остов Ки+2. Из общих теорем клеточной аппроксимации мы имеем (см. § 4):
0 = т„+1 (Кп+2) = хп+1 (Кп+1)/(аи а2,...).
Итерируя эту конструкцию, мы обнуляем группы жп+2(Кп+2), переходя к Кп+3;
затем обнуляем тгп+з (ЛГП+3), переходя к Кп+А, и т. д. В пределе n + q—юо получаем
бесконечный клеточный комплекс К {к, п).
Однако само построение К{ж, п) для нас не важно; важно только, что этот
комплекс существует. Мы знаем, что справедливы следующие соотношения:
а) К(Ъ,2) = СР00, Я*(СР°°;Zp) = Zp[t], t G H2(CP°°;Zp) для всех р ^ 2.
б) К{Ъ?, 1) = S°°/Z,> = lim L^+l(l, 1,.... 1).
N-юо r
Имеем расслоение (см. §4)
^^ (8)
которое получается из обобщенного расслоения Хопфа ([1], т. II, §2)

100
Глава 1. Гомологии и когомологыи. Рецепты нх вычисления
факторизацией сферы 52У+| = jzo,...,zN, J2\zj\2 = 1} по группе Zp»: (zq,.. .,zN)>-*
(exp [2irt/p*] zq,..., exp [2яг*/рл] гц J. Вычисляя когомологии расслоения (8) из спек-
спектральной последовательности над Z, получаем
и
1
0
0
0
1
XIV
V
2
0
0
3
и»2
v2
4
0
0
и -> р v, v -» О,
ш> —»рл»2,
Поэтому
Над полем Zp справедливо
д= 1,2,3,...;
= 0,
= 0,
Имеем следующее кольцо
где алгебра Н*(К; Zp) — свободна (так как свободна присоединенная алгебра Е^)-
Из информации о целочисленных когомологиях мы имеем в Н* (К; Zp):
6j(uvk) =0, j < h, 6q(vk) = 0, для всех q,
6hu = v, 6h(uvk)=vk+x.
Заметим, что
6h(uv) = Fhu)v ± uFhv),
если оба 6h(u), 6h(v) определены. Это свойство немедленно следует из определения 6h
через граничный оператор на целочисленных коцепях.
Залача 17. Используя приведенную информацию, докажите, что Я* (A"(Zp*,n),Z,) =0,
если р и q взимно просты.
В спектральной последовательности любого расслоения с односвязной базой
(см. § 8) в когомологиях имеем
Ef=Hq{B), E°2'9 = Hq(F).
Имеем отображения р: Е -» В, i: F -» Е,
р*\ Н9(В) -» Hq{E,F) — «проекция»,
t*: Я'(^) -* Hq(F) — «офаничение».
Можно определить многозначное отображение — трансгрессию
Hq(F) D Aq
Hq+i(B),

§10. Вычисление гомотопических групп . 101
где 6: Hq(F) -* Н*И(Е, F) и А9 = 6~l (p*Ht+l(B) f) Im б) есть область определения
многозначного и не всюду определенного гомоморфизма т. Очевидно, A4 D Im i*
и при этом r(Im »*) = 0. Определение трансгрессии через дифференциалы d, таково:
т = d,+i на фуппе А4.
Так как все операции Sq*, Stp, 6, 6h коммутируют с непрерывными отображения-
отображениями р*в = вр*, а также с гомоморфизмом 6: Hq(F) —» Hq+1(E, F) в Z^-KoroMonoraHx,
то мы получаем, что все стабильные операции 6, 6ь, Sq*, St'p коммутируют с транс-
трансгрессией тв = 9т. Это означает, что для элементов х 6 А4, где определена транс-
трансгрессия (или «трансгрессивных» элементов), их образы вх G Aq+* также находятся
в области определения трансгрессии («трансгрессивны»), и при этом верно равен-
равенство:
вт - тв,
¦ ¦ (9)
в = 6, 6h, Sq1, Stp. '
Вычислим теперь некоторые «стабильные» когомологии комплексов K(Z,n)
1. Случай K = K(Z,n),p = 2.
Для п = 1,2 ответ известен: H*(K(Z,2);Z^ = Z2(w], degu = 2. Рассмотрим
спектральную последовательность расслоения Е —» JT(Z,3), F = п(В) = JST(Z,2).
В члене E%q мы имеем Е^я = H*{F; Z2). Очевидно, элемент и € H2(F; Z2) трансгрес-
трансгрессивен по тривиальным причинам, и при этом r(u) = d3(u) = v € Н3(В; Z2) = Z2.
В силу свойств операций Sq* (см. п. I § 10 и свойства трансгрессии) элементы
^) — и2, SqiSq2(u) = (u2J = м4 трансгрессивны, и при этом
r(»4) = Sq2(v) e HS(B;Z2),
Отсюда немедленно следует, что алгебра Н*(В; Z2) имеет вид алгебры многочленов
от образующих т(«2'):
Н*(В; Z2) = Z2[w, Sq\ SqASq\...],
B3 = B = K(Z,3), 6hv
Перейдем теперь к следующим расслоениям:
= 0, Sq3v = v2.
-l), Bn = K(Z,n).
При переходе от F = K(Z,3) к В = В4 = K(Z,4) получим уже рассмотренные
трансгрессивные элементы в Е2'9 = Hq(F; Z2):
v, Stfv, ..., Sq^Sq** ... Sq2v,

102
Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
а также новые, получающиеся из них возведением в степень вида 2*: v2 = Sq3v,
v4 = Sq6Sq3v,.... Итерируя эту процедуру, получим первые когомологии
Hn+9(K(Z,n); Z2) для q < n (указаны образующие):
12°
и
q = 5
1
0
6
Sq6u
Sq4Sq2u
2
S^u
7
Sq7u
3
Sq\
8
Sq8u
Sq6Sq2u
4
Sq4u
9
Sq9u
Sq7Sq2u
Sq6Sq3u
2. Случай К = K(Z2, n).
Здесь рассуждения полностью аналогичны, но начинаем с расслоения
Е^В = K(Z2,2), F = K(Z2,1) = КР00.
Здесь трансгрессивны элементы
u?H\F;Z2), Sqlu = 6tu = u2, Sq2Sq1u = (u2J, ....
Sq^Sq2i"...Sq2Sq\=((UTJ...J.
Рассуждая по аналогии, получим таблицу «стабильных» групп Hn+q(K(Z2,n);Z2),
q <n:
0
u
1
Sqlu
2
Sq2u
3
Sq3u
S^Sg'tt
4
Sq*u
5
Sqsu
Sq4Sqlu
6
Sq6u
Sg5Sg'u
Sq4Sq2u
Замечание. В дальнейших вычислениях мы используем только группы Нп*ч(К; Z2)
при q < 7, поэтому доказательства деталей приведенных утверждений нам не нужны:
при q < 7 все эти утверждения проверяются элементарным рассмотрением спектральных
последовательностей (см. выше).
3. Случай К = K^Z^n), q<n.
Для Hn+q{K{Z2i,n);Z2),q< n, имеем:
1
и
g
Sq26hu
Sq4u
4. Случай К = K{bjt,n) полностью аналогичен. Мы не приводим рассмотре-
рассмотрение когомологии Н* (К; Zp). Сразу укажем ответ,
а) Для К = К(Ъ,п) имеем Ha+q(K;Zp), q<n,
q = 0
и
1
0
2
0
0
2р-2
St]pu
2p-l
6,Stpu

§ 10. Вычисление гомотопических групп
103
б) Для К = К(Ъ?, п) имеем Hn+q(K; Zp),q< n,
и
1
6hu
2
0
...
0
2р-2
Stpu
6.Stpu
Stp6hu
(для ft = 1 имеем 6\ = 6,).
Итак, мы видим, что все «стабильные» когомологические операции в в ука-
указанных размерностях сводятся к итерациям квадратов и степеней Sq1, Stp, 6t,
где
в: Нп(К, L;Z,) -» Нп+я(К, L,Z,),
и коммутируют с кограничным гомоморфизмом. Что же касается стабильных опе-
операций вида
в: Нп(К, L, Z) - Я"+«(ЛГ, L; Z,),
в: Я" (К, L; Z?) - Яп+* (К, L; Z,),
то все они сводятся к операциям Stp, Sq\ 6t (после приведения по модулю р) и,
кроме того, к операциям того же вида, примененным к элементу 6hu.
Говорят, что стабильная операция в: Я"(Х; Zp) —» ЯП+*(Х; Zp) имеет «размер-
«размерность» q:
deg $ = q.
Все стабильные операции образуют градуированную «алгебру Стинрода» Ар
9=0
где А0 — скаляры и А4 состоит из всех операций степени q.
Из таблиц, построенных выше, получаем базис алгебр Ар = А в малых размер-
размерностях q:
\Р_=2\
q = 0
1
1
2
3
8Я3
Sq2Sql
4
SfSq1
5
Sq5
Sq4Sql
6
Sq6
SfSq1
Sq4Sq2
Sq6Sql
^2
^q
Sq4Sq2Sqi
р>2
q = 0
1
1
б.
2
0
0
2р-2
stp
2pll
6<Stlp
Stlp6t

104 Глава 1. Гомологии н когомолопш. Рецепты их вычисления
Обратим внимание на любопытный факт, следующий из полученных результатов
и уже весьма существенный для р = 2: базис операций меньше, чем всевозможные
произведения (суперпозиции) операций Стинрода Sqf'Sqt2... 5g''. Это означает, что
между произведениями операций Sq' имеются нетривиальные соотношения. Идея
нахождения этих соотношений такова. Рассмотрим произведения RPf* х ... х Rf?°
и элемент
и = t,... tn € F"(RPT x ... х RP~; Z2),
0*ti€Hl(*PF;Z3)=Z3r
Для элемента t,- имеем SqlU = t2, Sq°ti = U, Sq^U = 0 при j Ф 0,1. Отсюда
следует, что любую операцию вида Sq%x ... Sq'k(ii) можно вычислить, исходя лишь
из формальных свойств операций Стинрода Sq*(xy) = 52 5^(жMд*(у). При этом
окажется, что все базисные операции в € Hn+q(K(Z2, n); Z2) при q < n нетривиально
действуют на элемент и: 0(и) Ф 0, если в Ф 0.
Проверим это непосредственно для ? < 9:
«7=1: Sq\
g = 2: V«
q = 3: Sq\ = (j2 Ъ?ь)и> Sq2SqXu = fe A fe Mj) « =
(Пусть «г, = 5Z U, ¦¦¦ Uj — элементарный симметрический многочлен.)
«7 = 4: Sq4u=l ^2 Utjhh )« = CT4«, SqiSqiu =
^ i<j<k<l '
q = 5: Sq5u = <т5и,
= 6: Sg6u = «Тб«, Sq5Sqlu = o^iti, Sq 11 = a^a%u;
= l: Sq1u = aju, Sq6Sq[u =
SqsSq2u = 05<72u, Sq4Sq2Sq*tt =
= 8: 5g8« = <Tg«, Sq7Sqlu =
Sq6Sq2u = <7602«, Sq5Sq2Sqiu =
Как видно из приведенной таблицы, все базисные операции в € А4 = А\
при 9^8 линейно независимо действуют на элемент и:
в(и) = 0*-*в-0.
Таким образом, что для базиса в алгебре Стинрода А = А2 достаточно произведений
вида
S«/*...S<7\ A2)
где и > 2»»_,, »i_, > 2ik-2,.. ¦, »2 ^ 2^.

§ 10. Вычисление гомотопических групп
105
Все произведения вида A2) линейно независимы и дают полный аддитивный
базис в алгебре Аг-
Будем искать соотношения вида
где О 26, 0 < t < 2j.
Залача 18. Найдите коэффициенты А^ для всех q.
Для q < 8 прямым вычислением из таблицы A1) получаем
верно всегда). Итак, имеем таблицу соотношений
CjZttx (эгю
Sq'Sq2 = Sq\
A3)
Sq2Sq2 = Sq^Sq1, Sq2Sq4 =
VI. Вычисление первых ветривиальных стабильных гомотопических групл сфер.
Рассмотрим отображение 5" —»K(Z,n) = К. Превратим это отображение в рассло-
расслоение, не меняя гомотопических типов; здесь /* — изоморфизм между Hn(Sn; Z)
и Hn(K(Z,n);Zi) = Z. Для слоя F = JF*i получим из точной последовательности:
Xi(F) = 0, i < n, *i(F) = iri(S"), i > n + 1. В размерности п + q < 2n спектральная
последовательность расслоения сведется к точной последовательности (т — это
трансгрессия)
0-+Hn+9(F)^Hn+<l+i(K;Zp)^0 при q > 0,
так как ? Щ'4 = Ё?'° + В%т для р + q < 2п и Hn+q(Sn) = 0 при g > 0,
Я"E") и
Итак, имеем:
Е>о|
где rSg1' = SgV,
n.
Из таблицы групп ЯП+*(||Г; Zp) следует результат для Нп+я(Р; Zp):
р>
0
2
)
1
0
0
2р-
t»
3
2р-2

106
Глава 1. Гомологии и когомологни. Рецепты их вычисления
Вывод. Для всех р>2в группах irn+q(F) = т„+?E") при 0<g<2p-3<n нет
нетривиальных р-компонент; группа
'SVsW = *nl2p-3(S") Ф 0,
так как 6,v Ф 0; в размерности 2р - 3 мы имеем
И%2Р-з(Р; Z) = Z, = *й*-з(«")-
Для р = 2 аналогично получаем ?» = 5д' (при 2р — 3= 1):
T<2IE") = Z2 = Tn+IE")) «-«,=0, р>2.
Получаем когомологии #*(.F; Z2) вместе с действием операций Стинрода:
; Z2) = Hn+q+i(K(Z2, n); Z2) = A9+I.
Sq]w =
2
2Sq1
Sq2Sq1v
Sq*v
Sq2
w
Sq3w
Sq5v
A4)
Здесь t(v) = Sq2u, t(w) = Sq4u. Используя соотношение Sq2Sq2 = Sq3Sql и
условие Sg'u = 0, получаем
Stfv = 0.
Так как Sq2Sq4 = 5g55g' + Sq6, то верно соотношение
Sq2w = Sq6u.
Из равенства Sq2Sq3 = Sq5 + Sq^Sq1 вытекает
Sq^w = Sq2Sqiv.
Перейдем к следующему шагу. Рассмотрим отображение (расслоение)
A5)
A6)
A7)
где Д: Tn+i(F) —» т„+|AГB2, п + 1)) есть изоморфизм. Получаем
Спектральную последовательность и трансгрессию т удобно в стабильном случае
изобразить в виде точной последовательности
Hn+9(F; Ъг) A Hn+"(F2; Z2) ^ A9 ^ Hn+q+l(F; Z2) -С ffn+?+l(F2; Z2),
причем и »* и т коммутируют с операциями Стинрода, А9 = Нп+Я+1(КСЕ2, п+1); Z2).
При отображении /* фундаментальный класс и G Hn+l(K(Z2, п + 1); Z2) переходит
в v, т. е.
f*(u) = v.

§ 10. Вычисление гомотопических групп
107
Поэтому образ /*А состоит из операций Стинрода, примененных к элементу v,
f*Aq = Aq(v).
Используя таблицу H*(F; Z2) (см. выше), получаем таблицу гомологии H*(F2; Z2)
w
Sq'x
Sq*w = 0
Sq2x = 62W
Sq^w
Sq^x = O
A8)
Sq*x
Здесь w = i*(w) их = ^'(S^u) (так как Sq2v = 0 и v = /*(u), то /'(S^u) = 0).
Поэтому Sg^u = т(ж), х € Нп+2(^2; Z2). Далее, Sq2(Sq2u) = Sq3Sqlu ф 0, следова-
следовательно,
f(Sq2Sq2u) = T(Sq2x), Sq2x €
2; Z2).
Соотношение Sg'w = 0 в таблице A8) следует из соотношения Sg'w = 5g2Sg'«
в таблице A4), так как Sq^Sq^ = f*(Sq2Sqlu).
Пусть а = Sq2Sq*v = Sqlw = 6lw,b = Sq2x = т~" (Sq2Sq2u) = T^Sq1 (Sq2Sqlu).
Имеет место следующее общее утверждение:
Лемма 2. Если а = /*(а) = tfftto и Ь = т~'бЛ(а), то элементы b, w = t*to
в ?Г*(/; Z2) таковы, что b —
Локазательсгво леммы следует из элементарных свойств кограничного гомомор-
гомоморфизма в комплексе цепей С*(Е; Z); мы оставляем детали читателю.
Опираясь на лемму 2, получаем: Sq] = б» — 6\, а = Sq1w, b = Sq2x, Sq2x = tf2to.
Поэтому, в частности, имеем Sq3x = й«й2й; = 0.
Вывод. Так как Sq*x = 6\х Ф 0, то (учтем, что irn+2(F2) = Яп+2(-Р2; Z)):
х„+2E") = *®2(Sn) = *%(F2) = Z2.
Перейдем теперь к третьему шагу. Рассмотрим отображение (расслоение)
F2 -^ K(Z2, п + 2), со слоем -F3.
Отображение /» \% ,р. есть изоморфизм. Для F3 из точной последовательности
гомотопических групп "вытекает:
rs(F3) = *,-(^2) = ^En), j ^ n + 3.
В стабильном случае q < n спектральная последовательность опять сведется к точной
Hn+q(F2; Z2) -С Hn+»(F3; Zj) ^ Aq~l ^ Hn+q+\F2; Z2) -С ,
где Л'-1 = Hn+q+*(K(Z2,n + 2); Z2).

108
Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
По определению х = /*(«), где « — фундаментальный класс в когомологиях
Hn+2(K(Z2, к + 2); Z2). Следовательно, получаем
Для когомологии Hn+4(Fy, Z2) получим таблицу
о
W
Здесь w = i*w и 6$w = т 'tf2to согласно лемме 2 (см. выше).
Вывод. Группа
2 2 Я2,№; Z) = Zg,
так как 63w ф 0. Так как х„|3(^) = Z3,
получаем следующий результат:
= ® ПРИ Р > 3, то окончательно
Теорема 6. Стабильные гомотопические группы тп+9Eп) при q < n - 1 имеют
следующие значения (для q^2 см. также [1], т. II, §23):
xnEn) = Z, Tn+IE") = Z2, тп+2E") = Z2> *n+3(Sn) = Z24.
Заляча 19. Вычислите группы irn+q(Sn) для д ^ 9.
Заметим, что при q ^ 10 возникают более серьезные затруднения, которые, однако,
можно преодолеть. С помощью трудоемких вычислений получены все группы т„+,(.!>")
для q < 30 (примерно). Однако общий ответ для всех q вряд ли возможен в хорошем виде,
хотя в настоящее время в литературе можно найти много качественных сведений о высших
гомотопических группах.
VII. Стабильные гомотопические классы отображений клеточных комплексов. Не-
Нередко возникает такая ситуация: задан (п- 1)-связный клеточный комплекс К. Пусть
комплекс К не имеет клеток размерностей l<t<n— 1. В таком случае говорят, что
требуется вычислить стабильные гомотопические классы отображений комплекса X
в К, если dim X < 2п - 1.
Другой вопрос: исследовать препятствие a(f) к продолжению отображения
/: Хп+Ч —» К на (n + q + 1)-мерный остов при q < п - 2. Ранее было уже доказано,
что для расслоений Е -^ В, где слой F и база В (п - 1)-связны, спектральная
последовательность в гомологиях до размерности 2п - 2 сводится к точной
Н\Е) ^ H*(F) i H*(B) ^ Н*(Е).
Мы видим, что сложность теории гомологии косого произведения в «стабильных»
размерностях такая же, как и для групп гомотетий. Можно сказать, что в размер-
размерностях к < 2п - 2 теория гомологии расслоения Е^+В такая же, как и пары (Е, F),
причем В ~ E/F, так как нетривиальные клетки в Е, не лежащие в В или F,
впервые могут появиться в размерности 2п (произведение клеток базы и слоя).
Таким образом, в стабильных размерностях рассмотрение упрощается.

§ 10. Вычисление гомотопических групп 109
Лемма 3. Стабильные гомотопические классы отображений образуют абелеву
группу [X, К].
Аоказательство. Рассмотрим два отображения /, д
f:X-+K, д:Х-+К,
и их прямое произведение
/ х д: X -> К х К,
Комплекс КхК является (п - 1)-связным; он не имеет клеток размерностей 1 <
t < n-1, и образ (fxg)(X) лежит при клеточном отображении в остове размерности
k < dim X. При jfe ^ 2п - 2 образ (/ х д)(Х) попадает в букет К V К С К х К, так
как «лишние» клетки в К х К, не лежащие в К V К, появляются в размерности 2п.
Заметим, что образ в К х К любой гомотопий отображений лежит в К V К. Имеется
очевидное отображение «складки»
к: KvK->K,
тождественное на каждом слагаемом.
Определим сумму гомотопических классов
f,gt[X,K], f + g = y(fxg),
считая / и д клеточными и dim X < 2п - 2. Групповые свойства и абелевость этой
операции очевидны (проверьте!). ¦
Лемма 4. Пусть задано стабильное отображение /: Хп+Я —> К и препят-
препятствие к продолжению отображения a(f) € C"+9hl(Xn+4+\irn+q(K)) (см. §9)
на остов Xn+J+l. Тогда препятствие a(f) аддитивно зависит от элемента
f?[X,K]ua{\f) = \a(f).
Аоказательство. Препятствие а(/) имеет значение на <тп+?+1, определяемое ото-
отображением
д<тп+яи = Sn+4 - К.
При сложении отображений / + g = х(/ х д) гомотопические классы отображений
00-"+?и -» К, порожденные / и д, также складываются, по определению сложе-
сложения в группах itj (здесь, в стабильной ситуации, заботиться о начальной точке
и действии X] не нужно). . ¦
Мы уже построили отображение /: К —> П K(Piinj)* порождающее изомор-
изоморфизм Q-когомологий и групп гомотопий Kj(K)®Q до размерности 2п —2 (см. выше
п. III). Здесь группы Dj свободные абелевы.
Построим «обратное» отображение остова
/ 2n-l v 2п-2
д: П*(Л,,п,)) -+К
так, что /»5* = А Ф 0 в Q-когомологиях и гомотопиях -Kj ® Q при j < 2n - 2,
т. е. f»g*(x) = Ax, g*f,(y) = Ay. Будем строить такое «обратное» отображение д

110 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
индукцией по остову. Допустим (гипотеза индукции), что возникающее препят-
препятствие к продолжению уже построенного отображения дп+я с (п + о)-мерного остова
на (п + q + 1)-мерный остов является классом когомологии конечного порядка р.
После этого, пользуясь леммами 3 и 4, переходим к отображению ц - gn+q и, из-
изменив его на (п + <7)-мерном остове, придем к нулевому препятствию (см. § 9.)
Продолжая отображение класса (/ign+q) на остов размерности п + q + 1, полу-
получим отображение <fa+?+i и т. д. В итоге придем к отображению д. Докажем ко-
конечность порядка класса когомологии препятствия а на остове п + q для ото-
бражения д„+д. Остов I Yl K\Pjinj)) гомотопически эквивалентен остову
букета V (K{Dj>nj)) " • Каждый комплекс (jf(.Dj,nj)) " имеет элементы
бесконечного порядка только в когомологиях первой нетривиальной размерности не-
несогласно результатам п. V о рациональных когомологиях комплексов типа K(ir, n).
При построении обратного отображения дп+я мы строим его отдельно на каждом
слагаемом букете \/(K(Dj,nj)) " . Поэтому мы встретим лишь препятствие ко-
j
нечного порядка.
Отсюда следует
Теорема 7. Для любого комплекса X стабильные гомотопические классы ото-
отображений X в (п — \)-связный комплекс К (dim X < 2п - 2) образуют абелеву
группу \Х, К], для которой справедливо
[X, К] ® Q и Нот(Я*AГ; Q) - Н*(Х; Q)).
Это означает, что с точностью до элементов конечного порядка гомотопический
класс определяется гомоморфизмом Q-когомологии; при этом любой чисто алге-
алгебраический гомоморфизм а*: Н*(К; Z) -+ Н*(Х; Z) или а,: Н,(Х; Z) -» Ht(K; Z)
можно умножить на ненулевое число А Ф 0, а* н+ Аа*, о, •-¦ Ав, так, что
гомоморфизм Аа* (или Аа,) реализуется непрерывным отображением /: X —* К.
§ 11. Гомологии и фундаментальная группа
Пусть имеется неодносвязный комплекс (клеточный или симплициальный) К
с фундаментальной группой D = Ъ\(К). Рассмотрим универсальное накрытие
К-у К,
где группа D свободно и дискретно действует на К, переводя клетки (симплексы)
друг в друга. Каждой клетке а\ в К соответствует набор клеток
в числе, равном числу элементов из D = *\(К). Группа D, действуя на р
определяет перестановку клеток а1^. Выберем в прообразе р~'(«г^) одну клетку
и обозначим ее через с'7.
Все клетки из К будут иметь вид

§11. Гомологии и фундаментальная группа 111
причем все клетки д(Щ) различны. Любая цепь в К имеет вид
A)
где Xjj — целые числа.
Граничный оператор д в К коммутирует с действием группы D на клетки
и умножением на числа А;; естественно ввести «групповое кольцо» Г = Z[?>],
элементами которого являются конечные суммы ]?А,ф, Л? ~ числа, gj € D,
и умножение имеет вид
Из вида цепей A) в комплексе К видно, что это — цепи с коэффициентами
в кольце Г (возможно, некоммутативном, если группа D некоммутативна).
Гомоморфизм р: Г —» Г1 в любое кольцо Г* позволяет рассмотреть комплекс
цепей с коэффициентами в Г1 для К:
есть цепь с коэффициентами в Г1. Далее, разрешается умножать цепи р(а) на любые
элементы из Г*; это умножение коммутирует с д. Гомологии этого комплекса назы-
называются гомологиями с коэффициентами в представлении р: Г —» Г1, Г = Z []
и обозначаются через Н?(К).
Пример 1. Если Т1 = Г и р= 1, то по определению имеем
Пример 2. Если Z = r/Hp: Г —» Z имеет вид
то (проверьте!)
Пример 3. Если ЛГ — неориентируемое многообразие, А" = Af", то можно ввести
понятие «ориентации пути», т.е. гомоморфизм -К\{К)^*Ъг = {±1} (см. [1], т. II, §17);
возникает гомоморфизм
/>:r-*Z,
где
Гомологии Н?(К) называются «гомологиями с локальными коэффициентами». Когомоло-
гии Нр(К) определяются очевидным образом через сопряженный комплекс.
Задача 1. Докажите, что для замкнутого многообразия Мп справедливо ff?(M") = Z.
Пусть имеется расслоение Е -^ В со слоем F и *i(B) = D действует по груп-
группе Hq(F) переносами g: Hq(F) —> Hq(F), g G D. Тем самым мы вводим действие

112 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
кольца Г = Z[Z>] на Hq(F) = Мя. Более общо: пусть элементы действие кольца Г
действуют как операторы в линейном пространстве М (или задано представле-
представление р кольца Г в виде линейных преобразований М —* М). Определим гомоло-
гомологии Н?(В, М). Пусть В = К и задан комплекс Г-цепей К (см. выше). Формально
определяются цепи со значением в М:
а = ^2 тп-е), го, 6 М,
i
и действие кольца Г на этих цепях
где д(тп) определено в силу представления р. Это действие коммутирует с границей 8,
которая определяется естественно.
Возникают гомологии, обозначаемые через Н?(В, М), где Г действует на М
представлением р (или, как говорят, М есть Г-модуль). Когомологии Н1р(В,М)
определяются, как всегда, через сопряженный комплекс коцепей.
Для расслоений Е ^* В со слоем F группы Hj(F) являются Г-модулями
в силу действия 1С\(В) на слое параллельными переносами. Имеем гомологии
>()
Замечание. В теореме Лере (см. §8) для неодносвязной базы Efj Ф
Следует изменить это на E^J = Bq(B,Hj(F)^). Представление р измеряет «перекашивание»
оператора d,. Все остальное остается верным.
Пример. Для накрытия Е Д В со слоем из к точек F = Р\ [J... [JPk имеем
B4(F)=0, q*0,
B~q{F) = Af имеет ранг к. Группа X|(JB) действует на слое F и на группах М = Ho(F).
Задача 2. Докажите равенства
Я; (В, H0(F)) = Ht(E), И} (В, H°(F)) = НЦЕ).
Залача 3. Вычислите группы НЦ(В,М) и Н^(В,М), где р — любое представление Г
в автоморфизмы линейного пространства.
Залача 4. Вычислите гомологии линзового пространства (см. §4) L%~'(q\,...,qn-\) для
представления р: K\(L) = Zm -» (корни m-й степени из единицы, действующие на С = Af).
Указание. Постройте такие линейные представления
p:Zm-+GL(k,C),
что
я; (z?-'(ei,-••,*.-!))= о
для всех q = 0,1,2 Сделайте это первоначально для п = 2 (трехмерные линзы).
Залача 5. Найдите явно клеточное разбиение сферы 52", инвариантное относительно
действия группы Zm, где базисное преобразование Т действует так:
^-г,,е - z2,...

§ 11. Гомологии и фундаментальная группа 113
(см. §4). Для п = 2 это клеточное разбиение имеет клетки
TV0, Т*а\ TV2, TV; j = 0,l,...,m-\,
и граничный оператор
да0 = 0, д<тх = A - 2>°,
даг = A + Т +... + I"")*1, до* = A - Т*У.
Используя такие линейные представления группы х\, что все Я^(М", С") = О,
построим интересный топологический инвариант — «кручение Райдемайстера». Рас-
Рассмотрим комплекс цепей представления р. Группы цепей — это комплексные линей-
линейные пространства с отмеченными базисами (клетками Щ). В силу условия Щ = О,
q^O, имеем точную последовательность цепей
где в каждом С? есть отмеченный базис е$' = {Щ}, определенный с точностью
до Щ -> ±д{Эу),д G *\. Выберем теперь в С?_, другой базис, первую часть которого
будет составлять базис в группе дС„, полученный из а", а вторая часть выбирается
произвольно в пространстве С?_,/ Im д.
Обозначим новый базис в С?_, через ё"~'. Имеется детерминант перехо-
перехода det(eJ,ё-7) от одного базиса к другому. Базис ё* во второй части С%_2/1тд
переходит в С?_2 с помощью д; там этот базис дополняется до полного базиса в С'_2
выбором базиса в C?_2/Im0. Возникает базис ёп~2 в С?_2. Имеем детерминант
перехода det (en~2, eJ) от старого базиса в С?_2 к новому («старый» базис в Cq фик-
фиксирован клетками!). Далее, переходим к С?_3 и т.д. Получаем базисы ё* во всех С?
и набор чисел det (e*, ёк).
Рассмотрим число
Это число называется «кручением Райдемайстера» R. Произвол в выборе базис-
базисных клеток и их ориентации ведет к изменению R —> АД, где А = ± det p(*\).
Оказывается, что кручением Райдемайстера не зависит (с точностью до умноже-
умножений R —> АД, А = ± det p(v\)) от триангуляции и является топологическим (кусочно-
линейным) инвариантом комплекса и инвариантом диффеоморфизма многообразия.
Мы этого не доказываем (см. [63]).
Залача 6. Вычислите кручение R для трехмерных линз L\{q), где q — вычет (modp),
если р: Z, -> Vi, M = С с действием Zr в виде умножения на VI.
Кольцо когомологий линзы L\(q) при нечетном р и любом q имеет две образу-
образующие « € Я1, t; € Я2:
H°(L-ZP) = ZP,
H2(L; Zp) = Zj{v = 6tu modp),
{±w приведенная modp образующая группы H3(L; Z) = Z).
9 Зак. 368

114 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
Залача 7. Докажите, что произведение в H'(L; Zp) имеет вид:
uv = qw. B)
Напомним, что линза L = I?p(q) строилась как L = 53/Zp, где образующая q € Zp
действует на сфере 53 следующим образом (см. § 4):
(zuz2) -» (eTzu e*9z2) , |-z,|2 + \z2\2 = 1.
Так как 6tu = v и w определен однозначно с точностью до знака, то произвол
в выборе числа q возникает из-за преобразований и —> Ли, w -» ±w (А взаимно
просто с р). При этом из B) получим:
« -¦ Аи, v —» At/, w —* ±to, и» —» ±X2qw.
Вывод. Поскольку кольцо когомологии и операторы 6+, д* гомотопически ин-
инвариантны, вычеты q и q = ±A2g эквивалентны, если рассматривать гомотопи-
гомотопические инварианты линз. Например:
а) р = 3, q = 1 или ? = 2; вычеты вида ±А2 — это 1 и 2 в Ър (А ^ 0);
б) р = 5, д= 1,2,3,4; А2 = A,4,9 = 4,42 = 16^ 1); вычеты вида ±А2 — это 1
и 4 в Zs, поэтому L\{\) и ^B) гомотопически не эквивалентны;
в) р=1, q= 1,2,3,4,5,6; А2 = 1,4, 2,2,4,1;-А2 = 6,3,5,5,3,6;
здесь гомотопический инвариант ±\2q не дает новой информации, так как
±А2 — это все вычеты (mod 7), не равные нулю.
Залача 8. Выясните, какие из линз для р = 7 топологически различны, используя
кручение R.
Замечание. Интересно, что здесь впервые появляются топологически различные замк-
замкнутые гомотопически эквивалентные многообразия. Для односвязных многообразий этот
вопрос сложнее.
Гомологии и когомологии с коэффициентами в представлении р для Г =
появляются также в задачах о продолжении отображений с подкомплекса L -* X
на комплекс К Э L, если ~К\{Х) действует на тгп(Х) и при продолжении сечений
расслоений — см. § 9, где эти задачи рассматривались в односвязном случае.
В качестве интересного примера рассмотрим вопрос о построении на п-мерном
(например, на 4-мерном многообразии М ) метрики сигнатуры (н ). Так
как гомотопически внутренность светового конуса в пространстве Минковского К^з
стягивается к одномерной временной оси канонической деформацией, то множество
возможных световых конусов (т. е. форм двъ типа (н )) в К4 гомотопически
эквивалентно множеству направлений RP3 (для If имеем RP"~'). Поэтому наша
задача эквивалентна задаче о построении поля одномерных направлений на М4, т. е.
сечения касательного расслоения
Е-^М*, слой F = UP3.
Так как особенности типичного векторного поля сосредоточены в изолированных
точках (т. е. для векторных полей препятствие возникает лишь при продолжении
поля на 4-мерный остов с 3-мерного), то это же верно и для полей направлений.

§ 11. Гомологии и фундаментальная группа 115
Мы имеем препятствующую коцепь а (см. §9), а € C*(M*,-ki(F)) = C*{M*,Z),
так как ^(RP3) = язE3) = Z. Заметим, что эту коцепь правильно рассматривать
как класс когомологий из группы Н*{М*, x3(.F)), где *i (М4) действует на *з(Р).
Залача 9. Покажите, что если a ~ 0 в группе Н*(МА,ху(Р)), то можно изменить
сечение (поле направлений) на 3-мерном остове базы так, что a = 0 и сечение можно
построить на всем М4.
Далее имеем два случая.
1) Многообразие М4 ориентируемо и компактно. Здесь действие
на ^(RP3) = Z тривиально, Я^АГ4; Z) = Z.
Залача 10. Докажите, что a = *(АП) — эйлерова характеристика (как и для векторных
полей).
2) Многообразие М4 неориентируемо. Здесь мы имеем а е Hp(M4;Z) = Z,
где р — нетривиальное представление х( (Af4) на r3(F) = Z.
Залача 11. Докажите, что и в этом случае в = х((М*)).
Итак, в обоих случаях построение поля направлений (метрики сигнатуры
(Н )) равносильно условию х{М*) = О-
Для незамкнутых многообразий можно построить на Af4 метрику д^,, которая
вне компактного множества близка к метрике Минковского. Тем самым открытое
многообразие М4 (топологически) допускает компактификацию одной точкой оо
до многообразия Af4 Э Af4. В самой точке оо е А?4, в силу свойств метрики Мин-
Минковского, имеем особую точку степени 2 искомого поля направлений (докажите!).
Возникает вопрос, можно ли построить на М4 поле направлений, имеющее только
одну особую точку степени 2? Эта задача сводится к предыдущей, но требует-
требуется x(Af4) = 2 или ^(Af4) = 1.
Залача 12. Докажите, что гомо-
гомотопические классы полей направле-
направлений (или метрик типа (и, 1)) на мно-
многообразии М"+| определяются гомо-
гомоморфизмами Ti(Af"+l) -» Z2 = (±1)
(замкнутые пути, обход вдоль кото-
которых меняет направление стрелок, да-
дают —1), а также еще одним классом _
когомологий * 2 х
7 € Я?(М"+\ xn(RP")). Рис.45. Действие: х >-> х + 1
Пример. Пусть из R3 удалены прямая и точка. Оставшаяся область U С R3 имеет
гомотопический тип S2 V S1 (букет). Пусть задано поле направлений в области U
Гомотопический класс [/] определяется гомоморфизмом iri(l7) = Z —^* Хг = Ti(
классом когомологий (±7)
±7 € НЦР; x2(RP2)) = Bj(S2 V S1; Z) ? Z,
где ifi(CO = Z действует на ^(RP2) в силу того, что /,(xi(l/)) С ir^RP2). В данном случае
происходит обращение ориентации (действие р нетривиально). Накрытие К над К = S2V S1
имеет вид, показанный на рис. 45. Все 2-коцепи — коциклы, некогомологичные нулю.
С](К) = НЦк) = Z (проверьте!).
9*

116 Глава 1. Гомологии и жогомологии. Рецепты их вычисления
Рассмотрим в качестве полезного примера задачу о гомотопических классах
отображений тора Г2 в проективную плоскость RP2:
Простейшим гомотопическим инвариантом отображения / является индуцирован-
индуцированный гомоморфизм фундаментальных групп
/.: *, (Т2) = Z + Z - ж, (RP2) = Z2.
Если гомоморфизм /, тривиален, то отображение / на одномерном остове может
быть стянуто в точку. Гомотопические классы таких отображений (где /*(*i) = 0)
сводятся к гомотопическим классам отображений сферы S2 в RP2 и определяются
однозначно степенью отображения (проверьте!). Более интересен тот случай, когда
гомоморфизм /, нетривиален. Без ограничения общности можно считать, что
/»(а) = 1, /,(Ь) = 0, где а и b — параллель и меридиан тора. Рассмотрим два
отображения / и д: Т2 —»• RP2 такие, что /, = д,. Считая, что на торе задано
стандартное клеточное разбиение
а , а\ = а, <г2 = b, a ,
мы, исходя из условия /» = д,, преобразовываем с помощью гомотопии отобра-
отображения / и д так, чтобы они совпали на одномерном остове. Пара отображений /
и д на клетке а2, совпадающих на границе да2, определяет «различающий эле-
элемент» из группы *2(RP2) = Z, обозначаемый через а — a(<r2, f,g) € Z = 2
который представляет собой элемент группы когомологий
C)
Здесь р = /» = 5*-
Залача 13. Докажите, что группа C) равна Z2) если р нетривиален.
Таким образом, мы имеем не более двух различных гомотопических классов
отображений /: Т2 -+ RP2 при фиксированном гомоморфизме /« фундаментальных
групп.
§ 12. Когомологий гиперэллиптических
римановых поверхностей. Торы Якоби.
Геодезические на многоосных эллипсоидах.
Связь с конечнозонными потенциалами
Гиперэллиптическая риманова поверхность рода g задается уравнением
W2 - P2j+l(z) = 0 ИЛИ W2 - P2j+2(z) = 0,
где P2j+i(z), P2g+2(z) — многочлены без кратных корней (см. [1], т. II, §4).
На любой римановой поверхности R определены голоморфные дифференциа-
дифференциалы ш (дифференциалы первого рода), имеющие в локальных координатах z = и + iv
вид
u> = f(z)dz,
где f(z) — комплексно-аналитическая функция от z. Возможный вид f(z) мы
выясним ниже.

§12. Когомологаи римановых поверхностей 117
В важном примере гиперэллиптических римановых поверхностей Rg рода д > О
голоморфные дифференциалы имеют вид:
zk~l zk~l
d ==dz, k = l,2,...,g, A)
k
w
g
где поверхность задана многочленом Pjj+iC2) = П (z ~ *<) степени 2д + 1.
i=i
Проверим голоморфность этих дифференциалов. Вне точек z = z,- (нулей
многочлена P^+i) и z = оо голоморфность очевидна. В окрестности точки z = z,-
за локальный параметр можно принять ( = y/z^- z\. Тогда z = B + zt, dz = 2(d?,
и выражения A) принимают вид
C
«-**)
СО
поэтому дифференциалы а^ при z = z,- также голоморфны. В бесконечно удаленной
точке z = оо локальным параметром служит ? = -т-, z = 4j, dz = — т?» откуда
C)
и шк также голоморфны при к ^д.
Любой голоморфный дифференциал ш является локально точным: w = /(z) dz =
df(z), где f(z) — первообразная функции /(z) — также комплексно-аналитичес-
комплексно-аналитическая функция. Поэтому 1-форма ш на поверхности R является замкнутой: dw = 0.
Ненулевая форма ш никогда не является точной, поскольку на компактной поверх-
поверхности R нет нетривиальных голоморфных функций (см. [1], т. II, §4). Аналогично,
форма ш = f(z) dz также замкнута и не является точной.
Формы Ш\,..., Wj для гиперэллиптической поверхности Rg линейно независимы
(над комплексными числами). Поэтому формы Reu>t = \(u)k+u>k), 1тшк = ^(шк-шк)
образуют базис в группе когомологий Я'(Я,; R) = R + ... + R.
2д слагаемых
Замечание. Группа когомологий H'(R;R) любой римановой поверхности R опре-
определяется через голоморфные дифференциалы. Факт их существование является трудной
теоремой (см. [19]).
Задача 1. Докажите, что любые g + 1 голоморфных дифференциалов на римановой
поверхности рода g линейно зависимы.
Выберем базис циклов а<, bt, i = 1,..., g, в гомалогиях Н\(Rg, Z) такой, чтобы
их попарные индексы пересечений имели вид (см. [1], т. II, § 15):
OjOOj; = ft,obj; = 0, OiObj = 6ij, t,j=l,...,0. D)
Разрезав поверхность Rg по этим циклам, превратим ее в 4^-утольник Rg (см. § 3).
Определены периоды любого замкнутого дифференциала по циклам о,, Ь{:
Ф ш = А{, <Ь ш = В{, i = l,...,g. E)

118 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
Пусть ш' — другой замкнутый дифференциал, А\, В[ — его А- и В-периоды.
Лемма 1. Справедливо соотношение:
F)
"I
Аоказательство. В 45-угольнике Rg замкнутая форма ш является точной: ш = df.
Поэтому w Л ш' = d(fiv'), и в силу формулы Стокса
/ w Л ш' = I /ш.
Д» dR,
Пусть Q и Q* — точки на ребрах <ц и о, 4д-утоль-
ника Rg, переходящие в одну на поверхности Rg.
a. Тогда QQ' — это цикл на поверхности Rg, гомоло-
гомологичный циклу bi (см. рис.46), поэтому имеем:
/ » = /(<?') - № = /" = ^.
Рис6"
Аналогично, для точек R, R1, склеивающихся на берегах Ь,-, Ь,, получим:
f(R!) - f(R) = -U
Отсюда вытекает равенство
f fw' = J fw' + JV - /(/ + Bi)J - J(f - Ai)J = AiB'i - Bi4,
что и доказывает лемму. ¦
Теорема 1. Для периодов (Ai,Bi) и (А\,В\) голоморфных дифференциалов ш, из'
выполняются следующие соотношения (билинейные соотношения Римана):
я
t=i
1 3
0, (8)
если дифференциал ш не равен нулю.
Аоказательство. Если (локально) w = f(z)dz, w' = g(z)dz — голоморфные
дифференциалы, то ш Л ш' = fg dz Л dz = 0. Поэтому в силу леммы
*=i
Первое соотношение доказано.

§ 12. Когомологин римановых поверхностей 119
Рассмотрим теперь интеграл — ^ / шЛй. Поскольку шЛш = -2i\f\2dxЛ dy, где
л.
ш = /(г) dz, этот интеграл положителен при ш Ф 0. Поэтому будем иметь, применяя
лемму к случаю из' = ш:
0<--/о;Лш = у |/|2 dx Л dy = -— ]Г(Л*Дь - ВкАк)
R, R,
Теорема доказана. ¦
Пусть а>1,... ,шд — базис голоморфных дифференциалов на гиперэллиптической
римановой поверхности Rg. Пусть
ij=<bui,
(9)
Из доказанной теоремы вытекает
Следствие 1. Матрица Ajj невырождена.
Локаззтельсгво. Из формулы (8) следует, что голоморфный дифференциал с ну-
нулевыми ^-периодами тождественно равен нулю. Если бы матрица (Aij) была
вырождена, то можно было бы построить ненулевой голоморфный дифференциал
с нулевыми периодами. Следствие доказано. ¦
Согласно следствию 1 можно выбрать новый базис
2-j k = l,...,g, A0)
такой, что .А-периоды имеют вид
= 6ij, i,j = l,...,n. A1)
Пусть Bij = J (pi — матрица В-периодов, построенная по этому базису. Из теоремы 1
»;
вытекает
Следствие 2. Матрица В^ симметрическая с положительно определенной мнимой
частью.
Аокаэательство. Симметрия Д; вытекает из G) при ш = ipt, w' = ipj. Применим
теперь неравенство (8) к голоморфному дифференциалу ш = х^ + ... + xgipg,
где x/t — действительные числа. Для этого дифференциала периоды Ак имеют
вид Ак = хк и периоды Вк имеют вид Вк = Х]Вц + ... + xgBgk. Отсюда следует
неравенство:
Я
0 < \ ? [**(XlBl* + • • • + Ж*В**) " **(XlBl* + • • • + хавяЛ = ? «j** Im Bfr
k=l kj=l
что и доказывает положительную определенность матрицы (imB,-*). Следствие
доказано. ¦

120 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
Построим по матрице (Ву) целочисленную решетку Г в пространстве С,
порожденную линейно независимыми векторами еь ..., е2д, где (et)' = бн, (ед+ьI =
Bik,k = l,2,...,g.
Решетка / определяет 20-мерный тор Т*3 = Ся/Т (см. [1], т. II, §4), называемый
тором Якоби (или многообразием Якоби) римановой поверхности Rg.
Вывод. Тор Якоби Т2д является абеле-
вым тором (см. [1], т. II, §4).
Разберем в виде примера случай поверх-
поверхностей рода 1 («эллиптических кривых»):
w2 = Р3(г) = (z - z\)(z - z2)(z - z3). В этом
Рис. 47. Циклы на эллиптической рима- случае имеется два цикла а\, Ь\ (см. рис. 47).
новой поверхности Здесь имеется один голоморфный диф-
R,: ш2 = (z - z,)(z - z2)(z - гг). ференциал <р = cdz/y/P}(z), где число с
Пунктиром обозначена часть цикла Ьи выбирается из условия § <р = 1. Положим
лежащая на втором листе "¦
т = Вц = / V, где 1тт > 0. Векторы 1, г
определяют двумерный тор Якоби Т2 римановой поверхности R\. Сама поверх-
поверхность Л] эквивалентна тору (как многообразие; (см. [1], т. II, §4).
Указанная эквивалентность строится так. Фиксируем точку Pq на поверхно-
поверхности R\. Для произвольной точки Р на Rt определим величину А(Р), полагая
A2)
Путь интегрирования, ведущий на римановой поверхности из точки Pq в точ-
точку Р, определен неоднозначно, с точностью до прибавления любого цикла. Поэтому
величина А(Р) определена лишь с точностью до целочисленной линейной комби-
комбинации А- и В-периодов дифференциала (р:
А(Р)~А(Р) + п1+гпт, m,n —целые. A3)
Таким образом, определено отображение А(Р) эллиптической римановой поверхно-
поверхности Rt в ее тор Якоби Г2.
Утверждение 1. Отображение А(Р) всюду регулярно, т. е. его дифференциал нигде
не обращается в нуль.
Доказательство очевидно.
Следствие. Отображение А(Р) является (комплексно-аналитическим) изоморфиз-
изоморфизмом.
Локазательство. Из предыдущего утверждения следует, что А(Р) — накрытие.
Ясно, что А(Р) переводит образующие oi, bi группы ¦jrJ(-RI) в образующие груп-
группы Х](Т2). Поэтому накрытие А(Р) тривиально (см. [1], т. II, § 19). Следствие
доказано. ¦
Замечание. В теории комплексно-аналитических функций доказывается, что любой
комплексный тор Т2 является тором Якоби эллиптической римановой поверхности.

§ 12. Когомологии римановых поверхностей 121
Для случая гиперэллиптических поверхностей Щ, где д > 1, для любого набора
точек Q\,...,Qg поверхности Щ определен вектор A(QX,...,Qg) = (А1,...,А9),
где
о.. <?,
f J<pk, k=l,...,g. A4)
Здесь <р\,..., <рд — стандартный базис голоморфных дифференциалов, норми-
нормированных условием f <Рк — бцс. Пути интегрирования от фиксированной точки Qo
«•
до точек Qi,..., Qg выбираются согласованно. Эти пути определены лишь с точно-
точностью до целочисленной линейной комбинации циклов
я я
QoQk ~ QoQk + X) "Ч* + 2 nJbi-
,=1
Поэтому величины Ak(Q\,..., Qg) определены с точностью до периодов голоморф-
голоморфных дифференциалов:
Ak(Qu ¦.., Qa) ~ Ak(Qu..., Qs) + X) "Ч*» + X) *,**,, A6)
или
Я 9
AQl, ¦ ¦ ¦, Qg)
где e\,...,ejg — построенные выше векторы — образующие решетки Г. Поэто-
Поэтому вектор-функция A(QU... ,Qg) принимает значения в торе Якоби Т2я = С/Г
римановой поверхности Щ. Это отображение называется отображением Абеля.
Утверждение 2. Отображение Абеля обратимо (локально), если среди точек
Qi,-tQg нет совпадающих.
Аоказательсгво. Для простоты вычислений будем считать, что среди точек
Q\,..., Qg нет точек ветвления. Тогда в окрестности точки Qk в качестве локально-
локального параметра можно взять координату z = z*. Вычислим якобиан преобразования
MQ\, ¦¦-,Qg), т.е. det (dA*(Q\,...,Qg)/dzk). Вычисление удобно произвести в ба-
базисе ши ..., ш9 (формула A)). Имеем:
dzk ' *=--'-*> **-»>-,*•
Для искомого якобиана получим отсюда:
, (дА'\ 1 *
det I -— = det
\dzkJ
П
9-1
П
(Мы использовали известное из алгебры выражение для «детерминанта Вандер-
монда».) Видно, что этот якобиан отличен от нуля, если числа Z\,... ,zg попарно
различны. Утверждение доказано. ¦
8 Зак. 368

122 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
Замечание. Задача обращения отображения Абеля известна в геометрии римановых по-
поверхностей как «задача обращения Якоби». Эта задача допускает явное решение: любая сим-
симметрическая функция от координат zu... ,zg точек Qt,..., Qg выражается через 0-функцию
Якоби— Римана (см. [1], т. II, §4), построенную по (абелеву) тору Якоби Т2'. Не выписывая
здесь общих формул, приведем формулу для вычисления суммы координат zx + ... + гд
точек Qit...,Qg:
A8)
где оператор jj имеет вид
причем
Vk=clt, k=\,...,g B0)
(величины Cjk определены формулами A0)), с — константа.
Точки Qu... ,Qg определяются из уравнений A(Qt,..., Qg) = у однозначно с точностью
до перестановки.
Применим преобразование Абеля к интегрированию уравнений Ковалевской
для движения тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. Уравнения задачи
Ковалевской имеют вид (см. [31])
2г = qr, -у, = П2 ~ «7з,
2q = -pr- цЪ, 72 = Р7з " Пх,
* = /*72, 7з = 971 - Р72,
ц = const.
Уравнения B1) могут быть записаны в гамильтоновой форме (см. ниже Приложе-
Приложение 1). Эти уравнения имеют следующие интегралы:
Я = 2(р2 + q2) +r2- 2цЪ (энергия), B2)
L = 2(p7i + 97г) + Г7з (момент), B3)
К = (р2 - q2 + /*7i) + Bр<7 + А*7гJ (интефал Ковалевской). B4)
Кроме того, выполнено условие связи 7? + 7г + 7з = 1-
Рассмотрим совместную поверхность уровня этих интегралов: Н = 6ft, L = 21,
К = к2, где ft, l, к2 — константы.
При выполнении условия связи 7? + 7г + 7з = ' уравнения B2)-B4) задают
двумерную поверхность (инвариантное многообразие динамической системы B1)).
Введем координаты зь 8г на этой поверхности (переменные Ковалевской),
полагая
R(xux2) T у/Щх'дЩрд
«1,2 = 3ft + ". г^ ,
(х, - х2J
где 1]^ = р ± iq, R(z) = -z* + 6ftz2 + 4plz + p2 - ft2, R(xlt x2) = -x\x\ + 6hx{x2 +
2ц1(хх + х2) + p2- ft2.
Задача 2. Докажите, что в переменных 5,, Si уравнения B1) запишутся в виде

§ 12. Когомологии римановых поверхностей
123
где Ф(г) — многочлен пятой степени, имеющий вид
Ф(г) = {г [(г - 3hJ + tf- к2] - 2/А2}(* - ЗЛ - k)(z - ЗЛ + *).
B6)
Замечание. Уравнение BS) совпадает с указанным в [1], т. II, § 30 уравнением комму-
коммутативности на поверхности уровня двух интегралов.
Правые части уравнений BS) являются однозначными функциями на гипер-
гиперэллиптической римановой поверхности рода 2, задаваемой уравнением w2 = Ф(г).
Поэтому получаем движения пары точек (Pi,Рг) по этой римановой поверхности.
Пусть, например, все корни мно-
многочлена Ф(г) вещественны и различ-
различны. Обозначим их через ао < а\ <
а2 < оз < а4. Если начальные данные
для системы B5) выбрать веществен-
вещественными и такими, что at < 8\ < о2,
вз < «2 ^ <*4> то в любой момент вре-
времени t Si(t) будут вещественными
и удовлетворять таким же неравен-
неравенствам. Точки Pi = Pi(t), P2 = P2(t)
будут двигаться на римановой поверхности по циклам, лежащим над отрезка-
отрезками [d], а2] и [аз, <ц] (см. рис. 48). Эти циклы склеены из двух экземпляров [<ц, а2]+
и [аиа2)~, [а3, а*]+ и [аз,а4]~ по концам соответствующих отрезков. «Фазовая
точка» (Pi, P2) движется по двумерному (вещественному) тору. Для интегрирования
уравнений B5) применим к ним преобразование Абеля, построенное по гиперэлли-
гиперэллиптической кривой рода 2, задаваемой уравнением w2 = $(z). В этом случае имеем
два независимых голоморфных дифференциала —р~= и -т==. Положим
Рис. 48.
Р,
B7)
A4PuP2) = f^L + f^
(Po — любая точка римановой поверхности).
Утверждение 3. После преобразования B7) уравнения Ковалевской B5) переходят
в линейную систему с постоянными коэффициентами следующего вида:
-A\P,(t),P2{t)) = 0,
B8)
Локазательство. Будем считать, что точки Pi (t), P2(t) отличны от точек ветвления
о,..., о4. Тогда локальные параметры в окрестности этих точек — это S\,s2. Поэтому
8*

124 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты нх вычисления
в силу уравнений B5) будем иметь:
Утверждение доказано.
Задача 3. Докажите, что система вида
._
dt S\ — *j dt *i~i
при преобразовании Абеля также переходит в систему с постоянными коэффициентами.
В силу утверждения 3 мы имеем:
), P2(t)) = А1 (Р, (t0), Р2(к)),
2 - - C0)
Таким образом, после перехода на многообразие Якоби система уравнений Ко-
Ковалевской полностью решается. Чтобы получить явную зависимость от времени t
переменных зь з2, нужно обратить замену переменных B7), т.е. решить задачу
обращения Якоби.
Вывод. Инвариантное многообразие {Н = 6ft, L = 21, К = к2, 72 = 1}
задачи Ковалевской является (при продолжении в комплексную область) тором
Якоби Г4 римановой поверхности {го2 = Ф(г)}.
Приведем теперь другие примеры гамильтоновых систем, допускающих инте-
интегрирование с помощью преобразования Абеля, т. е. таких систем, инвариантные
торы которых при продолжении в комплексную область являются торами Якоби
римановых поверхностей.
Пример 1. Напомним (см. [1], т. II, §30), что «уравнение коммутативности»
где С = —d2/dx2 + u(x) — оператор Штурма—Лиувилля, Aq, А1г А2 — дифференциальные
операторы по х первого, третьего и пятого порядков, сис2 — константы, может быть записано
в лагранжевом виде
с лагранжианом
и 5 5 fun \
L = L(u, и', «") = — - -uV + -и4 + с, f — + «3 J + с2и2 + с3«; с3 = const. C3)
Решения системы C2) — это конечноэонные (двухзонные) периодические и почти периоди-
периодические потенциалы оператора С (см. [1], т. II, §30). Соответствующая гамильтонова система
с двумя степенями имеет два независимых интеграла J\,J2b инволюции, т. е. является вполне
интегрируемой. Явные координаты 7ь 72 на поверхностях уровня этих интегралов имеют вид
(для случая С| = 0)
u =-2Gi+72),
8

§ 12. Когомологин римановых поверхностей 125
где Ао,..., А» — корни многочлена Р$(\) = 0; выражение коэффициентов многочлена Ps(A)
через константы сь с2, с3 и интегралы Jb J2 дано в формулах C0.30) т. II, книги [1]. В этих
координатах уравнение C2) запишется в виде, совпадающем с B5) после переобозначе-
переобозначения *,- —»7;> ' —* * ([1]. т. II, уравнения C0, 33)), и поэтому также интегрируется с помощью
замены Абеля. (Риманова поверхность рода 2 задается в этом случае многочленом Pi(X):)
Обратим внимание, что формулы B9) описывают временную зависимость и(х, t) решений
уравнения КдФ (см. [1], т. II, § 30), где в,- -* гц (проверьте!).
Замечание. Уравнения коммутативности высших порядков также интегрируются с по-
помощью преобразования Абеля и тем самым имеют инвариантными многообразиями (в ком-
комплексной области) торы Якоби гиперэллиптических римановых поверхностей высших родов.
Пример 2. В задаче Неймана о движении частицы на двумерной сфере
*2 = ХХ = 1 C5)
•=о
под действием квадратичного потенциала
Щх) = -^2ъхЪ а< = const, C6)
•=о
уравнения движения имеют вид
ii = -OiXi + \(t)xh i = 0,1,2, C7)
¦>*?•? «1, C7')
где X(t) — множитель Лагранжа, возникающий из-за наложения связи C5). Система C7),
C7') может быть получена из гамильтонова потока на R6 с гамильтонианом
*=4Х>*.Ц(*У-(*У)г) C8)
ограничением на сферу х2 = 1.
Залача 4. Докажите, что функции
fc = 0,l,2, C9)
являются системой независимых интегралов в инволюции для системы с гамильтонианом C8).
Гамильтониан Я имеет вид
1
i=0
Залача 5. Проверьте, что преобразование
переводит построенный гамильтонов поток в геодезический поток на трехосном эллипсоиде
(«задача Якоби»)
D2)
,=о *
(геодезические на трехосном эллипсоиде найдены Якоби).

126 Глава 1. Гомологии и когомолопш. Рецепты их вычисления
Покажем, что задача Неймана (а значит, и задача Якоби) интегрируется пре-
преобразованием Абеля. Сведем задачу Неймана, следуя современным работам, к уже
разобранной задаче о двухзонных потенциалах («уравнения коммутативности» C2)).
Пусть ^о, ip\,i>2 — собственные функции оператора С = -d2/dx2 + и(х) с соб-
собственными значениями ао, аи а2 соответственно, т.е. решения дифференциальных
уравнений
ЗД- = o,V,-, t = 0,1, 2. D3)
Уравнения D3) переписываются в виде
*? = -<ц*+ «(»)*, < = 0,1,2, D4)
совпадающем с уравнениями C7) задачи Неймана после переобозначения х —* t,
V>, -» Xi, u(x) -> X(t) (множитель Лагранжа). Осталось удовлетворить уравнению
связи 53 Х1 = 1- Для этого выберем потенциал и(х) двухзонным, причем так, чтобы
нули Ао,..., Л4 соответствующего многочлена Ps(A) (см. выше) имели вид:
Ао = ао < Ai < А2 = О] < Аз < А4 = а2,
i=0
(«правые концы лакун» в спектре оператора С см. [1], т. II, § 30). Оказывается,
нужные нам решения уравнений D3) просто выражаются через переменные 7ь 72,
определенные равенствами C4).
Залача 6. Докажите, что функции вида
*(*) = а1Л/(а|-7|(*))(«Ч-»(«)), 1 = 0,1,2, D6)
4
где a,- — константы, удовлетворяют уравнениям D3), если и = — 2Gi + 7г) + X) ^*>
Залача 7. Докажите, что если выбрать константы а0, аь а2 в виде
L j# J
то для функций ipi вида D6) выполняется условие связи
^o+W + ^2 = l- D8)
Формулы D6), D7) дают полное сведение задачи Неймана (а значит, и задачи
Якоби) к задаче обращения Якоби для римановой поверхности рода 2 с точками
ветвления D5).
Любопытно отметить, что, несмотря на совпадение инвариантных торов и по-
потоков на них (даже в комплексной области!) для уравнения C2) двухзонных потен-
потенциалов, а также для задач Неймана и Якоби, все эти три гамильтоновы системы
не являются канонически эквивалентными (проверьте!).
Разобранные нами детально системы Неймана и Якоби с двумя степенями
свободы почти автоматически переписываются для больших размерностей. Инте-
Интегрирование этих систем всегда может быть сведено к конечнозонным потенциалам.

§ 13. Свойства кэлеровых многообразий 127
§ 13. Простейшие свойства кэлеровых многообразий.
Абелевы торы
Определение 1. Комплексное многообразие М2" с эрмитовой метрикой ds2 =
дар dzadz^, где дар = дра, называется кэперовым, если соответствующая веще-
вещественная 2-форма П = | J3 9apdz" Л dzp замкнута: dft = 0.
<*<р
Имеет место утверждение (см. [1], т. I, §27): для кэлеровой метрики форма
ft" = ft Л... Л П (п сомножителей) является ненулевым кратным элементом объема:
П" = cdV = Cy/detgaP~dz] Л ... Л dzn Л dz1 Л... Л dzn, cjiQ. A)
Следствие. Формы ft', i = 1,..., п, на компактном кэлеровом многообразии не ко-
гомологичны нулю. Поэтому группы Я^М2", R) нетривиальны.
Аоказательство. Если форма И точная, ft = dw, то и форма ft" точная, ft" =
d(w Л ft Л ... Л ft). Но на компактном многообразии имеем:
Значит, форма ft не является точной. Следствие доказано. ¦
Пример 1. Любая риманова поверхность является кэлеровым многообразием по сообра-
соображениям размерности.
Пример 2. Эрмитова метрика на СР" получается из формы
*=0 ^ *=0 ' ^ j=O '
(
*=0 ^ *=0 j
в пространстве С+|, которую будем рассматривать как форму на сфере S2**1: |г°|2 +...
+ |г"|2 = 1. Проверим, что форма ds2 инвариантна относительно преобразований
z* >-+ е'^г", zk -> e"^z*.
При указанных преобразованиях будем иметь:
dzk н-> e<v(dzk + izkd<p), dzk •-» e^dl* - izkdip),
так что
^kk ^2k" (Y^{kk k"\ d<p + dV\
^dzkdzk » ^2dzkdz" + i(Y^{zkdzk - zkdz")\
k i ^ * '
z;+*d<p-
t t , ,¦
Следовательно:
Таким образом, форму ds2 можно рассматривать как метрику на СР". Определяемая этой
метрикой форма п имеет вид:
* — — C)

128 Глава 1. Гомологии и когомолопш. Рецепты их вычисления
На сфере 52я+1 имеем ^2 zkzk = 1, откуда 53 *kdzk + J^ zkdzk = 0. Поэтому ограничение
формы п на сферу дает
u='-^2dztAdzk. D)
Эта форма замкнута (она рассматривалась в § 1 при изучении кольца когомологий простран-
пространства СР"), поэтому многообразие СРП кэлерово.
Пример 3. Приведем теперь пример компактного комплексного многообразия, не до-
допускающего кэлеровой структуры — многообразия Хопфа. Обозначим через Г группу, дей-
действующую на пространстве С* \ {0}, порожденную преобразованием г и 2z. Ясно, что
фактор (С \ {0})/Г по этому действию является компактным комплексным многообразием,
гомеоморфным прямому произведению S1 x S2". Тогда H7(Sl х 5b"',R) = 0 (п > 1),
и на этом многообразии нельзя ввести кэлеровой структуры при п > 1.
На кэлеровом многообразии определены периоды формы П — ее интегралы
по двумерным циклам из Иг (М2", Z). Говорят, что многообразие М2п ходжево, если
все периоды формы П целые (или становятся целыми после умножения на одно и то
же число, ft -!» Aft).
Например, для многообразия СР" мы знаем, что fl2(CP",Z) = Z, поэтому
можно умножить метрику ds2 на подходящее число, чтобы единственный период
формы ft стал целым числом.
Залача 1. Образующая в группе Нг(СРл,Х) — это подмногообразие СР1, задаваемое
я
в СР" уравнениями z2 = ... = zn = 0. Вычислите период формы Q = 5 Y2 ^z* Л ^* * по ЭТОМУ
4=0
циклу (нормировочный множитель).
Утверждение 1. Комплексно-аналитическое подмногообразие N2m кэлерова много-
многообразия М2" кэлерово. Если М2п — ходжево, то и JV2 ходжево.
Аоказательство. Пусть /: N2m —» М2" — вложение, ds2 — эрмитова метрика,
задающая на М2п кэлерову структуру, П — связанная с ней замкнутая форма.
Тогда ds2 индуцирует эрмитову метрику f*ds2 на N2m, и связанная с ней форма
равна /*П и также замкнута. Поэтому многообразие N2 — кэлерово. Если с —
любой двумерный цикл на многообразии JV2, то верно равенство
с f.e
Лия целочисленного цикла с цикл /,с также целочисленный, поэтому / ft —
f.c
целое число для ходжева многообразия М2п. Отсюда вытекает ходжевость N2.
Утверждение доказано. ¦
В многообразии СР" выделены компактные комплексные и алгебраические
подмногообразия. Простейший класс таких многообразий задается набором уравне-
уравнений («полные пересечения»)
\
)
где все функции F\,... ,Ft — однородные многочлены:

§13. Свойства кэлеровых многообразий 129
Следствие. Все неособые комплексные подмногообразия в СР1** являются многообра-
многообразиями Ходжа.
Замечание. Каждое такое подмногообразие определяет цикл N2n С СРа. Для ком-
компактных алгебраических подмногообразий этот цикл никогда не когомологичен нулю. Дей-
Действительно, пусть /: JV2f* —* СР* вложение; П — стандартная форма на СР". Тогда f'il —
2-форма на N2™, связанная с индуцированной кэлеровой метрикой. Поэтому (/*П)" —
ненулевое кратное элемента объема на JV2". Ввиду компактности будем иметь:
откуда J Пте Ф 0. Цикл /.JV2** не является границей в СРа, т.к. форма Пт замкнута,
и интеграл ее по любой границе равен нулю по формуле Стокса.
Разберем теперь вопрос о ходжевости комплексных торов Т2* = С /Г, где
решетка Г порождена 2п линейно независимыми векторами elt... ,е2п- Кэлерова
метрика на торе Т2" получается, если взять в С" любую эрмитову метрику с по-
постоянными коэффициентами. Если на Т2п задана какая-то кэлерова метрика, то ее
можно усреднить (проинтегрировать) по тору Т2" и получить метрику с постоянными
коэффициентами.
Задача 2. Докажите, что если первоначальная метрика была ходжевой, то и после
усреднения получится метрика Ходжа с теми же периодами (мы считаем, что объем тора Т2п
равен 1).
Итак, достаточно рассмотреть случай метрик с постоянными коэффициентами.
Каждая такая метрика определяется некоторым эрмитовым скалярным произведе-
произведением в С" = R2n:
hPa = hap. F)
0,0=1
Н(х,у) можно рассматривать как комплекснозначную билинейную функцию на
R2" х К2", удовлетворяющую соотношениям:
) = Щх^), H(ix,y) = iH(x,y). G)
Если Н(х, у) = F(x, у) + iG(x, у), где F(x, у) и G(x, у) вещественны, то из ра-
равенств G) следует, что F{x, у) = F(y, x), G(x, у) = -G(y, x), F(x, у) = G(ix, у).
Поэтому форма F(x, у) положительно определена, и форма Н(х, у) определяется
мнимой частью G(x, у).
Утверждение 2. Тор Т2" = С"/Г является ходжевым тогда и только тогда, когда
существует вещественная кососимметричная форма G(x, у) = -G(y, x) такая,
что:
1) форма F(x, у) = G(ix, у) симметрична и положительно определена;
2) G(ea, ер) есть целое число для любых двух векторов решетки Г.
Эти условия называют соотношениями Фробениуса.
Локазательство. В силу приведенных выше рассуждений достаточно доказать,
что условие 2) эквивалентно ходжевости метрики на торе Г2", определенной эрми-
эрмитовой формой Н(х, у) = G(ix, у) + iG(x, у). Мы знаем, что ранг группы Яг^2", Z)
равен С\п = пBп - 1) (число сочетаний), где базис двумерных циклов в Т2" имеет

130 Глава 1. Гомологии и когомологин. Рецепты их вычисления
вид сар — {Хеа + цер}, 0 < А, ц < 1 (а < /9). Форма G — это форма, связанная
с кэлеровой метрикой, поэтому тор Т2п является ходжевым тогда и только тогда,
когда интегралы формы G по всем циклам сар целые.
Ограничение формы G на цикл сар равно G(ea, ер) d\Adp, и интеграл по этому
циклу равен G(ea, ер). Утверждение доказано. ¦
В §4 т. II книги [1] был введен важный класс абелевых комплексных торов.
п
Если мы определим матрицу (Bkj) равенствами еп+к = ?) Вце^, 1 ^к ^п, то для
абелева тора матрица (Btj) должна быть симметрической и иметь положительную
мнимую часть. В частности, в предыдущем параграфе было показано, что торы
Якоби римановых поверхностей абелевы. Имеет место
Утверждение 3. Любой абелев тор является ходжевым.
Аоказательство. Зададим эрмитову форму Н(х, у) равенством
Здесь матрица (/?*,) обратная к положительно определенной матрице ImB.
Мнимая часть формы Н(х, у) имеет вид
G(x, у) = ImН(х, у) = —pkj(zkz% - 4*л) (9)
в силу симметрии матрицы (ftkj). Проверим, что кососимметрическая форма G(x, у)
принимает целые значения на базисе е{,... ,е2п решетки Г. Имеем при m,l < п:
1 ¦
G(em, е,) = -AtjOUtf/ - 6J,6Z,) = 0,
G(em,en+j) = 2_\ ^r.Pk}{6mBij -Btj6m) =
T^ it
j
ij(Im B)ji = -6m6ki = -6„а = -<7(en+j, em),
i
G(en+m, en+i) = 2_^ ^Pkj{BmkBtj - BijBmk) =
kj *
= 2^, Pkj(b'mkKj - tinkb'l'j) = b'tm - Ъ'ы = О,
где введены обозначения b'jk = ReBjk, b'jk = ImBjjt. Итак, форма G(x, у) це-
лочисленна на торе Т2п = С"/Г. Очевидно, эрмитова метрика (8) положительно
определена. Утверждение доказано. ¦
Залача 3. Доказать справедливость обратного утверждения: любой ходжев тор является
абелевым.
В заключение отметим, что важность класса ходжевых (или абелевых) торов
заключается в том, что любой абелев тор может быть явно, с помощью 0-функций,
реализован как неособое алгебраическое подмногообразие в комплексном проек-
проективном пространстве (Лефшец). Эта теорема верна для всех ходжевых многообразий
(Кодаира; см. [21]).

§14. Гомологии с коэффициентами в пучках 131
§ 14. Гомологам с коэффициентами в пучках
Уместно описать еще один вид гомологии, который имеет существенное значе-
значение в различных областях математики (но не в рамках материала данной книги).
Пусть X — пространство, покрытое открытыми областями Ua,\JUa = X.
а
Будем требовать, чтобы покрытие {Ua} было «локально конечным» (т. е. пере-
пересекаться могут только конечные наборы областей Ua).
Определение 1. Предпучком F называется соответствие, которое каждой обла-
области U С X сопоставляет абелеву группу (кольцо, поле) Fy; требуется, чтобы
вложению U CV соответствовал гомоморфизм «ограничения»
iuv: FY-*FV. A)
Если U С V С W, то ipw = iuvWw- Предпучок F определяет предпучок F\p
на любой области U С X.
Предпучок F называется пучком, если он обладает следующими свойствами:
1) Пусть область U представлена в виде объединения областей Ua:
V = \JUa.
а
Тогда если iuav(f) = О для всех а, то элемент / 6 Fp должен быть нулем.
2) У любой точки имеется некоторая достаточно малая окрестность U такая, что
набор «согласованных» элементов /„ € Fjja представляет собой совокупность
ограничений одного общего элемента / € Fv. Здесь
= \jua,
а
= iu^uja («согласованность»),
*aauf = fa-
Пустому множеству 0 всегда соответствует нуль: F0 = 0.
С покрытием {Ua} связывается симплициальный комплекс — «нерв покрытия»,
обозначаемый через N{Ua}:
1) вершины а„ соответствуют областям Ua;
2) ребра а*ар соответствуют парам (Ua, Up), если пересечение этих пар непусто,
С
Р
3) треугольники о^ соответствуют тройкам (Ua, Up, U7), где пересечение
непусто, Ua П Up П Щ Ф 0;
4) симплекс <^ах...аь соответствует набору областей (U^,..., Uat) таких, что
пересечение U^ П • • • П Uat непусто.
Возникают «когомологии покрытия» с коэффициентами в предпучке F: fc-мер-
ные коцепи — это линейные функции на симплексах <*•?,. Oi размерности к
в нерве N{Ua} со значением в группах F{Uaa П • • • П Uat). Здесь у коцепей на ка-
каждом симплексе своя область значений. Коцепи с* соответствует ее кограница

132 Глава 1. Гомологии и когомологни. Рецепты их вычисления
где
*»^...s€...eitI) лежит в группе FVf,
иси^и^Г)..
(область Ua, вычеркнута из пересечения).
Когомологиями покрытия называются фактор-группы коциклов по кограницам:
H"(N{Ua}, F) = KerS/ Ы6 = Zq/Bq.
Пусть покрытие {Vp} «вписано» в {Ua}: если пересечение Vp f) Ua непусто, то Vp
целиком лежит в Ua. Легко проверить, что возникает симплициальное (симплекс
переходит в симплекс) отображение нервов этих покрытий:
Тем самым, используя A), имеем отображение коцепей и когомологий:
H*(N{Ua),F) ?kH*{N{Vp},F).
Вся эта структура (для достаточно «мелких» покрытий) описывает когомологий
с коэффициентами в пучке: Н*(Х, F) — это «предел спектра» (ipbv) всех покрытий
пространства X.
Элементы х указанного «предела спектра» представлены всевозможными эле-
элементами xv G H9(N{Ua}, F) для всевозможных покрытий {Ua}.
Элементы xv G Hf(N{Ua}t F) и xw € H9(N{Wy}, F) представляют один
и тот же элемент из НЧ(Х, F), если и только если для некоторого более мелкого
покрытия V, вписанного bUhbW, имеем
<Pvv*u = Vwvxw = xv€ H*(N{Vp},F).
Пример 1. Постоянный пучок. Пусть Fv = G (абелева группа, одна и та же для
всех U Ф 0); отображения iuv тождественны
iuv = 1: G к G.
Если X = М" — многообразие, и покрытие таково, что все множества
Ua0 П • • • П Uak стягиваемы (например, Ua — малые по размеру выпуклые фи-
фигуры в метрике М"), то верно равенство
H*(N{Ua},G)=H*(Mn,G).
Залача 1. Докажите, что нерв в этом случае — комплекс, гомологически эквивалент-
эквивалентный АГ.
Пример 2. Непрерывные (функциональные) пучки. Здесь Fjj — это кольцо (линейное
пространство) функций какого-то класса: непрерывных, гладких, голоморфных, алгебраиче-
алгебраических и т.д. в области V С X.
Задача 2. Докажите, что Н°(Х, F) — функции того же класса, что и функции из
кольца Fa, определенные глобально на всем многообразии X = М* и Fv = H°(U, F\a).
Обшсе определение. Пучком F, определяемым предпучком F, называется новый
предпучок такой, что Fv = H°(U, F\v) для любой области U.

§ 14. Гомологии с коэффициентами в пучках 133
Группа Я'(Х, F) возникает, например, в такой задаче: пусть задан набор «глав-
«главных частей» fa функции / в областях Ua, где \JUa = X. Здесь X = М2" —
а
комплексное многообразие. Главные части fa — это, например, лорановские части
неизвестной функции / около полюсов. Нужно найти мероморфную функцию /
на X такую, что функции (f-fa) голоморфны в областях Ua. Разумеется, необходима
«согласованность» — т. е. fa-fp = дар голоморфны в пересечениях Uaf\Up. Укажи-
Укажите связь этой задачи с когомологиями Hl(X, F) в пучке, где F(U) = H°(U, F) — это
линейное пространство голоморфных функций в области U. Докажите, что задача
разрешима, если Я*(Х, F) = 0.
Пример 3. (Еще один пример пучка.) Пусть X —> Y — непрерывное отображение.
Области U С Y соответствует f~l(U) С X. Полагаем
Возникают когомологии Hq(Y, F'), j ^ 0, q ^ 0. В наиболее общем варианте теоремы Лере
(см. § 8) следует Е^ заменить на Я*(У, F'). Все остальное остается верным. Если X -?-* Y
есть расслоение, где база — клеточный комплекс и односвязна, то мы имеем
где F = р~\у) — слой (докажите это!).
Пример 4. Пример пучка (вообще говоря, некоммутативных групп) дает задача о клас-
классификации расслоения с базой X и структурной группой G, обсуждавшаяся в §23 т. II
книги [1] с другой точки зрения. Пусть задано расслоение Е -?-» X с группой G и слоем F.
Если {Ua} — покрытие X, где p~l(Ua) = Ua x F, то структура расслоения определяется
«отображениями склейки» (см. [1], т. II, §24)
А^ = А^: Ua П Up - G. B)
При этом для Ua pi Up П177 имеем
= 1. C)
Условие C) означает, что набор (А„^) есть 1-мерный коцикл в покрытии {Ua} со значением
в пучке F, F(Ua) — непрерывные функции на Ua со значением в G. Если расслоение — прямое,
то найдется (возможно, надо сначала измельчить покрытие) набор функций <ра: Ua~* G такой,
что А,,^ = <Ра1(Рр- Тем самым классы расслоения — это элементы из Hl(X, F). Это не группа,
если G неабелева.
Залача 3. Вычислить Я'(Х, F), если G — абелева группа.
Залача 4. Докажите, что пучок F над гладким многообразием, где Fv — линейное про-
пространство гладких функций в области U (более точно — гладких в замкнутой области U Э U),
имеет тривиальные когомологии при q > 0: Я*(АР,Р) = 0, q > 0; Я°(АР, F) = С*(Мп) —
кольцо функций на М". Над комплексными многообразиями имеется голоморфный пучок,
для которого этот факт неверен.
Залача 5. Пусть задано векторное расслоение с базой В = М* и пусть Fv — это гладкие
сечения расслоения над областью U. Докажите равенство (в голоморфном варианте это будет
неверно):
Я*(ЛГ\ *¦) = <), д>0,
Я°(М", F) — пространство сечений расслоения.
Указание. Воспользуйтесь тем, что гладкую функцию можно с области U продолжить
на все многообразие М°.

134 Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
Залача 6. Пусть F®\ J^1', F^ — три пучка, где для всех достаточно малых шаровидных
областей U имеем точную последовательность групп:
причем все ay и fa коммутируют с отображениями ivy: Fj?' -* F}, к = О,1,2. Постройте
«точную» последовательность когомологии
я1 (м»,f<2)) -i*я2
Пример 5. Пусть Fp — гладкие вещественные функции в области 17, F^ — постоянный
пучок F^ = Z и i^2) — функции со значением в G = S1 = R/Z. Вычислите Я1 (jlf", J^4);
используя задачи (см. выше), дайте классификацию расслоений с группой Gi = 51.
Пример 6. Пусть щ — линейное пространство голоморфных функций в области U,
?ц = Z — постоянный пучок, щ — группа по умножению голоморфных функций в U,
не обращающихся в нуль. Отображение a: Z —> F§ — вложение констант, отображение
р: Щ} —» Щ? имеет вид / —> exp Bxi/), запись пучка F^ мультипликативна.
Залача 7. Докажите, что группа Я'(м*, F®) классифицирует голоморфные 1-рассло-
ения (см. [1], т. II, §25). Какова связь группы Я1 (Мп, F(l)) с классификацией голоморфных
расслоений, являющихся топологически (т. е. без комплексной структуры) прямыми произ-
произведениями?
Пример 7. Тензоры — это, по определению, сечения различных тензорных степеней
касательного расслоения векторов и ковекторов. С тензорами связаны пучки, где Fv — это
гладкие тензорные поля над областью V С М" в базе АР. В том случае, когда берутся
кососимметрические тензоры (с нижними индексами), т. е. дифференциальные формы, мы
можем определить пучки F1, где Fjj — формы над областью U С АР. Возникает «точная
последовательность пучков» (т. е. групп Fp для всех малых шаровидных областей U С М"):
О—»Л->F°-^F'-^...-^.Fn— 0. D)
Здесь R — постоянный пучок (константы), и оператор d в любой области U переводит
формы степени t в формы степени * + 1. Точность последовательности пучков D) вытекает
из следствия 1 теоремы 1.2, утверждающего, что для малых шаровидных областей U каждая
замкнутая форма ш с deg ш > 0 локально точна, т. е. из dw = 0 и deg ш > 0 следует
ш = бы'. Выделим пучок замкнутых форм Z}j С Рц, где Z\j - Кег d (замкнутые 1-формы
в области V С М"). Имеем точную последовательность пучков, по определению:
0 —» R —» Fi0) -i-* ZK —> 0.
Рассмотрим точную последовательность когомологии этих пучков:
(,) () Д я^м-.г1) Л я'(мп,я) -» ex(m*,f°)
_IL_ JJ!II II
R
(«константы»'
L_ _JJ . _!_.._ II
C(M') I I замкнутые I «обычные I
нты») функции на М* I-формы на if* когомологии»
Используя результат задачи 4 (см. выше), имеем Нх{Мп, F0) = 0. Поэтому получаем
отображение на («эпиморфизм»):
h°(m;z1) -Ля'(л/в,д) —»о.
Ядро отображения 6 имеет вид df, f — гладкая функция. Отсюда заключаем
Я1 (М", Я) = Кег d/lmd = Я0 (М", Я1) /(df)
(т. е. классы замкнутых форм по точным).

§ 14. Гомологам с коэффициентами в пучках 135
Усложняя это рассуждение, можно получить уже упоминавшуюся «теорему
де Рама» (см. § 6): группы когомологий, определенные через дифференциальные
формы, совпадают с симплициальными Нч(Мп, R) для всех q. Продемонстрируем
это для я < 2.
Рассмотрим пучки
a) F$/R = F^; б) Z}, = d(i^) — замкнутые 2-формы.
Имеем две последовательности пучков
а) 0 -у R -> F* -* Fa/R -» 0;
б) 0 —» FO/R-^F1 —*Z2-^0.
Из точной последовательности когомологий для а) заключаем, используя ре-
результат задачи 4 (см. выше):
а) Я1 (AT, F^/R) = ^(М", R).
Из точной последовательности б) имеем:
б) Н°(Мп, Z2)/(df) Si Я1 (М", Р°/Д).
Так как Я°(Л/", Z2) есть замкнутые формы, то окончательно получаем:
Z2(Mn)/(df)*H2(Mn,R).

Критические точки гладких функций
и гомологии
§ 15. Функции Морса и клеточные комплексы
Предположим, что на гладком компактном многообразии М задана функция
Морса (т. е. все ее критические точки невырождены). Изучим структуру поверхностей
уровня /с = {/(х) = с} и областей меньших значений Мс = {f(x) < с}.
Лемма 1 (М. Морс). Пусть f(x) — гладкая функция на М, хо — невырожденная
стационарная или критическая точка для /. Можно найти такие локальные
координаты у1,..., у" в окрестности точки х0, что в этих координатах функция f
запишется в виде: /(»',..., уп) = -(у1J-.. - -(уАJ+(уА+1J+. • - +(упJ. (Число А
называется индексом критической точки.)
Аоказательсгво. Докажем лемму сначала для я = 2 (для больших п рассуждения
совершенно аналогичны).
В силу локального характера утверждения леммы, можно считать, что f(x\, xj)
задана в диске D*@) радиуса е > 0, /@) = 0, где 0 — критическая точка для /.
Существуют гладкие функции </ь Яг такие, что / = x'^i + х2дг\ <?«@) =
В самом деле, имеет место равенство:
о
Далее,
i
Г d
1
где
9а(х) =
О
Ясно, что да@) = 0, так как grad /@) = 0. Следовательно, существуют гладкие
функции hap(x) такие, что да(х) = zPhap(x). Итак: f(x) = хаяРнар(х), где можно
считать, что hap = hpa. Далее: Л@) = ||ЛЛ/5@)|| = ||»i/J^ ||- Действительно,

§ IS. Функции Морса и клеточные комплексы 137
it it
о о
Отсюда
Доказываем лемму для п = 2. В локальных координатах (х\х2) функция /
имеет вид:
/ = (ж'JЛ„ + 2xxx2hn + (x2Jh22.
Можно считать, что Лц@) ф 0. В самом деле, матрица ||Ла/з(О)|| симметрична
и невырождена, а потому линейной заменой координат ее можно привести (в одной
точке — 0) к диагональному виду. Так как с самого начала можно было бы считать
координаты (х\х2) такими, что ||fte/j@)!l диагональна, то положим йц@) ф 0. Тогда
Ли (ж) ф 0 и в некоторой открытой окрестности точки 0. В этой окрестности имеем
Так как ЛцЛа - ft?2 # ° в некоторой окрестности точки 0 (матрица ||Aa/j(O)||
невырождена), то, делая замену
получаем:
Так как замена координат, очевидно, локально невырождена, то лемма для данного
случая доказана.
Приведем теперь доказательство леммы Морса в случае произвольного п.
Напомним, что введенная выше матрица ||/t<^@)|| симметрична. Далее дока-
доказательство будем вести по индукции. Пусть функция / в координатах у\ у2..., у"
имеет вид:
= ±(у'J±... ±(у*-'J+ ]Г
где функции Рар(у) образуют симметричную и невырожденную в точке 0 матрицу.
Ясно, что при к = 1 это предположение индукции выполнено (см. построение
матрицы Hhq^ll, играющей роль матрицы \\Рсф\\ при к = 1). Перепишем функцию
/(у) в следующем виде:
ПУ) = ±(У1J±... ±(yk-lJ+Pkk(y)(ykJ+ ? ^Papist)
{афр при р = к),
(п х п)-матрица ||РадЫН изображена на рис. 49. Так как \\Р„р\\ симметрична и не-
невырождена, то существует линейная замена переменных у*, у*+|,..., у" такая, что

138
Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
в одной точке (в начале координат) матрица ||-Ра/?@)|| приведется к диагональному
виду; в частности, можно считать, что координаты ук,... ,уп выбраны именно
таким образом и, следовательно, Р**@) ф 0. Рассмотрим функцию q(y) = у/\Ркк(у)\
и сделаем замену переменных: (у1) '—* (zl) по формулам
z* = у1 при 1 < t < * - 1, к + 1
n;
8**
Найдем якобиан замены (у) -* (z) в точке 0 (см. рис. 50). Ясно, что щ
9@) = \/\Ркк(Щ Ф 0, т. е. det J(z, у) = |4 Ф 0. По теореме о неявных функциях
функции (z1,. ¦ ¦ >z") являются локальными координатами в некоторой достаточно
малой окрестности точки 0 (что следует также из треугольное™ матрицы замены
координат). Итак, получаем:
±±1 °
0
0
ш
Рис.49.
Раа=±\ при
J(z,y) =
1
к.
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
Рис. 50.
= ±(zlJ±...±(zkJ+
zaz?Pc
aft-
Шаг индукции завершен, что и доказывает требуемое утверждение при произволь-
произвольном п. ¦
Замечание. Доказанная лемма, впрочем, не очень существенна при изучении поверх-
поверхностей уровня функции f(x) в окрестности критической точки. Заранее ясно, что топология
уровней определяется формой d2f в силу ее невырожденности.
Лемма 2. Пусть f(x) — гладкая функция на компактном, замкнутом многообра-
многообразии М™ и пусть отрезок [а, Ь] (где а < Ь) не содержит критических значений
функции f (т. е. в множестве /"' [о, Ь] нет критических точек). Тогда многообра-
многообразие fa диффеоморфно /ь и многообразие (с краем) Ма диффеоморфно Мь.
Аоказательство. В силу компактности М существует е > 0 такое, что отрезок
[а - е, Ъ + е] также не содержит критических значений функции /(х). Можно
считать, что на М задана положительная риманова метрика; тогда рассмотрим
векторное поле grad f(x) = v(x). На многообразии (с краем) f~1[a-e,b+e] это поле

§ 15. Функции Морса и клеточные комплексы
139
не имеет особенностей и v(x) ортогонально к гиперповерхностям уровня / '(а),
а^а ^Ь. Рассмотрим интегральные траектории поля v(x), начинающиеся на f~\b)
и заканчивающиеся на /~'(о), см. рис.51.
Г1(Ь+е)
Г1(а-е)-
Г\Ъ)
Рис.51.
В силу компактности М, можно осуществить гладкую деформацию поверхности
/~'(Ь) вдоль интегральных траекторий поля v(x) на поверхность /~'(а)- Диффео-
морфность /~'(&) и /~'(а) очевидна. Аналогично устанавливается диффеоморфизм
между Ма и Мъ, так как полный прообраз f~x\a, Ь] диффеоморфен /о х I, где J —
отрезок. Лемма доказана. ¦
Теперь рассмотрим поведение поверхностей уровня около критических точек
функции /(ж).
Пусть хо € М1* — невырожденная критическая точка для f(x), где /(жо) = О-
Тогда в силу леммы 1 (Морса), в достаточно малой окрестности U(x0) точки х0 можно
ввести криволинейные координаты х1,..., ж" такие, что/(ж) = -(ж1J-... -(жАJ+
(жА+1J + ... + (ж1*J. Мы считаем, что центр 0 окрестности U(xq) помещен в ж0
и /@) = 0. Рассмотрим три гиперповерхности: /о, Л, f-e, где е > 0 достаточно мало.
Они задаются уравнениями (в области 17)
Здесь А — индекс критической точки. Ясно, что в координатах (х1,..., ж") поверх-
поверхность /о является конусом с вершиной в 0, а обе поверхности f±e — гиперболоидами
(см. рис. 52).
Лемма 3. В том случае, когда /"'[-?, е] = М+с \ М_? содержит только одну
критическую точку индекса Л, многообразие М+е имеет гомотопический тип
клеточного комплекса, получающегося из М_? путем приклейки к М-е одной
клетки а {размерности Л, где Л — индекс критической точки хо) к границе
Аоказательство. Построим деформацию <pt- М+е —» М+Е, где <ро = 1 и ^ь М+с —*
M-e\Jox, тождественную на М_Е; существование такой деформации доказывает
лемму. Рассмотрим векторное поле v(x) = - grad /(ж) и в качестве ipt рассмотрим
деформацию точек ж вне М-е и вне окрестности U вдоль интегральных траекторий
поля v(x). В окрестности U в качестве <pt рассмотрим деформацию, показанную
на рис.53. Здесь отрезок АВ условно изображает диск иА(ж',... ,жА), граница
которого (сфера 5А~') гладко вложена в край /_f области М_? (на рисунке А = 1

140
Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
М,
Ряс. 53.
и граница — сфера S0 есть пара точек А и В). Результат деформации показан
на рис. 54. Лемма доказана. ¦
Теорема 1. Любое гладкое компактное связное за-
замкнутое многообразие Мп имеет гомотопический
тип клеточного комплекса, в котором каждой кри-
критической точке Р\ индекса А соответствует клет-
клетка размерности А, где {Р\} — критические точки
„ ел некоторой функции Морса на М.
Локазательство. Рассмотрим на М функцию Морса, где на каждом критическом
уровне / находится ровно одна критическая точка. Таких функций достаточно много
(см. [1], т. II, § 10). Таким образом, теорема следует из предыдущих лемм и теоремы 5
из §10 т. II книги [1]. ¦
В ряде случаев дополнительные аналитические свойства функции / накладыва-
накладывают ограничения на индексы критических точек.
Залача 1. Если / = ReF(zl,...,z") — вещественная часть комплексно-аналитической
функции в С", то в любой невырожденной критической точке (zo,...,.?J) = *о индекс
равен п.
Залача 2. Если / — гармоническая функция в R", то индекс невырожденной критиче-
критической точки не может быть равен 0 или п (принцип максимума).
На компактном многообразии, однако, не существует комплексно-анали-
комплексно-аналитических и гармонических функций. Укажем одно топологическое применение
результата задачи 1: пусть М2" — компактное комплексное подмногообразие
* * U ^'2 N
ру у др
в СР* = С* U О^~'. Тогда «конечная часть» V многообразия М2п лежит в CN.
Пересечение W = Ср?~1 П А^2" tCTb «гиперплоское сечение». Вещественная часть
одной из комплексных координат в С* дает функцию Морса / на конечной части V
многообразия М2". Все критические точки для / имеют индекс п. Отсюда и из тео-
теоремы легко извлечь, что многообразие М2" гомотопически эквивалентно клеточному
комплексу [W U a" (J... (J ctJJ \J a2", где k — число критических точек функции /
в конечной части V С CN. (Докажите аккуратно!) Отсюда следуют равенства:
t <П- 1,
-l или n<i<2n.
Вложение Hn^(W) -»В„-\(М ) есть гомоморфизм на (эпиморфизм).

§ 16. Неравенства Морса 141
§ 16. Неравенства Морса
Существует тесная связь между числом стационарных (критических) точек функ-
функции f(x) на гладком замкнутом многообразии Af" и топологическими инвариантами
многообразия — группами гомологии, эйлеровой характеристикой и др.
В § 15 т. II книги [1] была установлена теорема о том, что число V
не зависит от функции Морса / на Af" и совпадает с эйлеровой характеристикой.
Здесь цх(/) — число критических точек индекса А для /. Используя результаты § 15,
получим следующее утверждение.
Теорема 1. Если &i(Af") — ранги групп гомологии многообразия М" (с любым
полем коэффициентов), то имеют место неравенства (Морса) для любой функции
(Морса) f на Af" (т. е. имеющей лишь невырожденные критические точки):
для всех А = 0,1,..., п.
Аокаэатльство. Согласно теореме 15.1 этой главы, функция / порождает на мно-
многообразии Af" структуру клеточного пространства. Это означает, что многообра-
многообразие Af гомотопически эквивалентно клеточному пространству К, получаемому
последовательным приклеиванием клеток Ki+\ = Ki Uff . причем суммарное чи-
число клеток данной размерности А точно равно числу (i\(f) критических точек /
индекса А. Как уже доказывалось в §4 (см. теорему 4.1), такое клеточное простран-
пространство гомотопически эквивалентно клеточному комплексу К с числом клеток (i\(f)
размерности А. Тем самым К гомотопически эквивалентно Af" и Ht(K) = Hq(Mn)
для всех q и всех коэффициентов G. Так как ранг группы гомологии Н\(К) всегда
не превосходит число клеток размерности А, то теорема доказана. ¦
Эта теорема, однако, не дает полного набора связей между числами /i\(f),
идентифицируемыми просто с числами клеток комплекса К ~ Af", и числами Бетти
Ь\(Мп) = (ранг #д(М")). Мы знаем еще одно соотношение (см. § 2)
(о
Полный набор таких связей удобно алгебраически выразить так. Составим про-
производящие функции P(Af",f) = Х^л** (полином Пуанкаре многообразия Af)
и Q(Mn, /, t) = X) /*а(/)*А (полином Пуанкаре функции /), определяемый для лю-
любого клеточного комплекса К, где fix — число клеток размерности А. Тогда, полагая
t = -1, из A) следует, что разность Q — Р делится на A +1). Оказывается, отноше-
отношение ^-^ имеет неотрицательные (целые) коэффициенты. Доказательство будет, дано
ниже в более общем виде. Удобно также обобщить неравенства Морса на функции
с вырожденными критическими точками.
Пусть /(х) — бесконечно дифференцируемая функция.
Определение 1. Точка х0 ? М называется топологически регулярной точкой
для функции f(x), если существует открытая окрестность U = U(xo), гомео-
морфная прямому произведению (см. рис. 55) поверхности уровня на отрезок
{/"'(а)} х /[-?, е] (где о = f(x0)). При этом требуется «послойность» этого го-
гомеоморфизма, чтобы поверхности (/~'(в)> 0 совпадали с поверхностями уровня
/~'(а +1) в окрестности U.

142
Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
U.
«» а+е
Рис. 55.
Рис. 56.
Определение 2. Точка х0 Е М называется бифуркационной точкой (точкой би-
бифуркации) для функции /, если х0 не является топологически регулярной
точкой.
Рассмотрим примеры. Если х0 ? М — невырожденная критическая точка
функции Морса /(х) на М, то, очевидно, хо — бифуркационная точка (см. рис. 56).
Однако вырожденная критическая точка х0 гладкой функции / не всегда
является бифуркационной точкой.
Пример. Рассмотрим М = R'(x), f(x) = х3, х0 = 0 € R1. Тогда х0 — вырожденная
критическая точка для /, однако, в то же время, Хо — топологически регулярная (не бифур-
бифуркационная) точка для / (см. рис. 57).
Пусть М" — гладкое компакт-
компактное замкнутое многообразие и гладкая
функция /(х) допустима, т. е. имеет
конечное число бифуркационных то-
'~J\xo) чек (например, / — функция Морса
наМ).
Пусть cuc2,...,cN (N < оо) —
критические значения для функции /
Рнс- 57- (т. е. /"' (са) содержит по крайней мере
одну бифуркационную точку). Так как / имеет только конечное число бифуркаци-
бифуркационных точек, то все они — изолированы. Пусть {х}а множество бифуркационных
точек на уровне {/(х) = со}. Рассмотрим М^ = {/(х) < с}. Относительные группы
гомологии HtiM^, М^ \ {х)а) представляют собой важнейшие инварианты бифур-
бифуркационных точек функции /. (Под группой HtiM^, М^ \ {х}а) можно понимать,
в силу изолированности точек {х}а, группу Я^М^,М^ \U{x}a), где U{x}a —
набор достаточно малых открытых окрестностей точек {х}„.)
Определение 3. Полиномом Пуанкаре функции /: М -* R1 назовем полином
N п
Q(M, f, t) = / } j bidMc^, M^ \ {x}a)t ,
где bk(X, Y) = dim Hk(X, Y).
Теорема 2. Пусть P(M, f, t) и Q(M, f, t) — введенные выше полиномы Пуанкаре.
Тогда разность Q-P делится na\+t,u отношение ^? имеет неотрицательные
целые коэффициенты.

§ 16. Неравенства Морса 143
Лемма 1. Пусть а <Ь — два такие числа из области значений функции /: М —» R1,
что на отрезке [а, Ь] нет критических значений /. Тогда Ма стягивается к Мь,
иН,(Ма,Мь) = 0.
Доказательство леммы было дано в § 15 для функций Морса. Общее доказатель-
доказательство мы опускаем.
Лемма 2. Имеет место равенство
hiM^Mc. \ {*}„) = ЫМс+с, м^)
для некоторого достаточно малого е > 0.
Аоказательство. Достаточно доказать, что изоморфны сами группы Нк(Мс, М^ \
{х}а) и ff^Af^+e, Mc-e). Это утверждение следует из определения группы
HiiM^M^Xix}^ и из предыдущей леммы. ¦
Рассмотрим теперь три полинома типа Пуанкаре специального вида: Р(Ма) =
?Ьк(М„)**; Р(Мь,Ма) = ЕЬк(МЬ)Мв)^; где а < Ь (т.е. Mb D Ма); РAтд) =
(*) (*)
^2 dim (Im фь+1)?*, где оператор Ь\+\: Щ+\(Мь, Ма) -+ Щ(Ма) является граничным
(*)
оператором в точной последовательности пары (Мь, Ма) — см. § 5.
Лемма 3. Имеет место равенство
Р(МЬ, Ма) - {Р(МЬ) - Р(Ма)} = A + t)P(lm д).
Аоказательство. Рассмотрим точную гомологическую последовательность пары
(Мь,Ма):
Hk+i(Mb, Ма) ^ Нк(Ма) ± Нк(Мь) Л Нк(Мь, Ма) ^ Я*_,(Мв).
Из точности последовательности следует следующая система соотношений:
Ьк(Мь, Ма) = dim (Im (j)) + dim (im (дк));
dim (Im (j)) = bk(Mb) - dim (im (t)) = 6*^») - {h(Ma) - dim (im (ai+1)) } =
= {bk(Mb) - bk(Ma)} + dim (Im (dk+i));
bk(Mb,Ma)-dim (Im0)) = h(Mb,Me)-{bk(Mb)-bk(Ma)}-dim (im (dk+i)) =
= Rk- dim (im (9t+i)) = dim (im (dkj),
где Rk = bk(Mb, Ma) - {h(Mb) - bk(Ma)}.
Итак:
Rk = dim (Im (dk+l)) + dim (im (b\)),
tkRk = tk dim (Im (o\+l)) + t(tk~l dim (im (dk))),
т. e. X) **Я* = A + t)P(lm д), что и доказывает лемму. ¦
(*)
Переходим теперь непосредственно к доказательству теоремы. Рассмотрим все
критические значения Ci,c2,... ,сц (N < об) для функции f(x) (т.е. такие, что
среди /~'(cj) имеется хотя бы одна точка бифуркации функции /). Рассмотрим
далее числа ао,аи... ,aN,aff+i такие, что во < си<ц < c,+i < a,-+i; cN < aN+l
(т. е. некритические значения {а*} разделяют критические значения {с,}; см. рис. 58).

144 Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
-О в —о О- --•-
«о ci °<-i ci ai ci+i cn алг+1
Рис. 58.
Из предыдущих лемм получаем:
PiM^Mj - {P(MOi+1) - Р(А^)} = A +«)РAшв
Суммируя эти равенства по i от 0 до N + 1, очевидно, получаем:
где полином K(t) имеет неотрицательные коэффициенты. При этом мы воспользо-
воспользовались тем фактом, что
^„ Мщ) = Р(М^ М„ \ {*},-)
(это следует из предыдущих лемм). Заметим теперь, что Р(Мая+1) = Р(М), так как
можно считать настолько большим, что ац+] > max f(x), а поэтому Мах+1 = М;
далее: Р(Мв0) = 0, так как во можно считать выбранным так, что а© < m\nf{x),
М
т. е. Мао = 0, а в определении полинома Пуанкаре суммирование по Jfc начиналось
с к = 0. Итак, окончательно, Q(M, f) - Р(М) = A + f)^@> ч70 и доказывает
теорему. ¦
Теперь рассмотрим следствия из этой теоремы. Пусть в качестве группы ко-
коэффициентов G взята группа R вещественных чисел. Тогда числа Ьк = ранг (Я*)
называются числами Бетти пространства М. Пусть теперь / — допустимая глад-
гладкая функция на многообразии М\ запишем полином Пуанкаре для /(х) в виде
Q(M, f) = J2 /****> а полином Пуанкаре для М в виде Р(М) = J2 ht*. Числа цк
будем называть «числами Морса» гладкой функции /; (особенно наглядная интер-
интерпретация этих чисел возникает в том случае, когда / — функция Морса на Af).
Тогда, в силу доказанной выше теоремы, получаем:
Q(M, f) - Р(М) = ?>* - bk)tk = A + tyK(t).
(*)
Отсюда получаем, что полином $3(/i* ~ **)'* имеет неотрицательные коэффици-
(*)
енты, т. е. fit > bk. Таким образом, числа Бетти bt многообразия М оценивают
снизу числа Морса /i*. Далее, ? /**** = 52 ^t^* + A + 0^@J ПРИ ' = — 1 получаем
(*) (*)
52(-1)*М* = 5^(—1)*Ь*> где справа стоит эйлерова характеристика многообразия М
(*) (»)
(альтернированная сумма чисел Бетти: хОЮ = 5_)(~0*&*- Таким образом, альтер-
()
нированная сумма чисел Морса для произвольной допустимой функции / на М
оказывается гомотопическим инвариантом многообразия М (в частности, она одна
и та же для произвольной гладкой функции /).
Далее, разложим A + t)~l в ряд по t:

§ 16. Неравенства Морса 145
тогда
(?(/**-M*)E(-i)a'e> о,
4 (к) ' о=0
т. е. ряд слева имеет своими коэффициентами (после приведения подобных членов)
неотрицательные числа. Отсюда, фиксировав какое-нибудь Л, получаем систему
следующих неравенств:
)А~2 + • • • + (Ма - *д) > О,
т.е.
Ьх-ЬХ-\+ Ьд-2 - -. ±V
Пусть теперь /(х) — функция Морса на компактном многообразии М. В этом
случае числа {/**} приобретают особенно прозрачный геометрический смысл.
Пусть хо — критическая невырожденная (а следовательно, и бифуркационная)
точка для функции f(x), и пусть (индекс хо) = А. Найдем размерности групп
Н,(Ме,Ме\ {х0}) = Н,{Ме+е,Мс-?), где е > О достаточно мало, с = /(«о) —
критическое значение; кроме того, пусть xq — единственная критическая точка
на критическом уровне /"'(с)-
Так как для пары клеточных комплексов (X, Y) (где Y — подкомплекс ком-
комплекса X) выполнено тождество Н,(Х, Y) = Ht(X/Y, *), то
ff,(Mc+f, Ме-С) * #,(Мс
В силу изученной ранее гомотопической эквивалентности Мс+е ~ Afc_e \J <тх
(где 0х — клетка размерности А), получаем, что
Я,(Мс+?/Мс_?) *) S Н.(<тх/д<тх, *) * ff,(SA, *),
где Vх/д^ = Sx — сфера размерности А. Итак,
* = А,
Я*(Ме, Ме \ {х0}) * Hk(Sx, *) = { J*
Рассмотрим несколько поучительных примеров, когда хй — вырожденная кри-
критическая точка для /(х). Пусть, например, /(х, у) = Re (z"), где z = х+»у. На рис. 59
показано поведение уровней /. Таким образом, Ме+?/Ме-е = Si \J S1.
М
Ж.
Рис. 59.
Как мы уже доказали выше, вырожденные критические точки можно путем
малых возмущений функции / превращать в объединение невырожденных критиче-
критических точек. В разобранном примере точка 0 для Re (zn) распадается в объединение
п - 1 невырожденных особенностей (см. подробности выше). Это наблюдение
11 Зак. 368

146
Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
М.
М.
У,*
следует из общего утверждения: поли-
полином Q(M,f) не меняется при доста-
достаточно малом возмущении функции /.
В самом деле, Q(M, f) выражен в тер-
терминах групп относительных гомоло-
гомологии Н,(Ме+е, Ме-е), которые, очевид-
очевидно, не меняются при достаточно малом
возмущении функции /. Таким обра-
образом, полином Q(M, /) несет информацию о том, какое количество невырожденных
точек каждого индекса А появляется при распаде вырожденных особенностей функ-
функции / (при ее достаточно малом возмущении).
Рассмотрим в заключение еще один пример вырожденной особенности /. Пусть
f(x, у, z) = х3 - Ъх(у2 + z2). Предоставляем читателю убедиться, используя рис. 60,
что для этого случая Мс+е/Ме-? ~ S1 V &2> и вычислить гомологии Ht(Me+e, Mc-t).
Рас. 60.
о:
о:
о:
Х=2
I:
§ 17. Правильная функция Морса—Смейла.
Ручки. Поверхности
Можно доказать, что на любом компактном гладком связном замкнутом много-
многообразии всегда существует функция Морса, имеющая только один минимум и только
один максимум.
Например, для двумерных ориентируемых
многообразий Мд такую функцию можно обна-
обнаружить среди функций высоты для «хороших»
вложений поверхности в R3 (см. рис. 61).
Можно показать, что на многообразии все-
всегда существуют, функции Морса, у которых
критические значения упорядочены относитель-
относительно индексов, т. е. /(яд) = f(x/i), гДе А = /»
и f(x\) > /(хр), где А > fi; А, ц — индексы
точек агд и х^ соответственно. Эти функции ино-
иногда называют «правильными» функциями (или
функциями Смейла). Такие функции Морса уже
не будут всюду плотны в пространстве всех гладких функций на М в отличие
от общих функций Морса.
Теорема 1. На любом компактном гладком замкнутом многообразии всегда суще-
существует правильная функция Морса, имеющая ровно одну точку максимума (тонка
индекса А = n = dim M) и ровно одну точку минимума (тонка индекса 0).
Если теперь, согласно теореме из § 15, восстановить по правильной функции
Морса клеточное разбиение М", то на каждом шаге будут приклеиваться клетки
размерности большей, чем размерность предыдущих клеток.
Аоказательство теоремы. Введем полезное вспомогательное понятие градиентно-
подобного поля для гладкой функции f(x) на М". Через ?(/) будем обозначать
производную функции / вдоль поля ?.
Рнс.61.

§ 17. Правильная функция Морса—Смейла. Ручки. Поверхности
147
Определение 1. Гладкое векторное поле ? на М называется градиентно-подобным,
если: 1) ?(/) ф 0 на множестве М \ {хь..., 1ц}, где {xi} критические точки
для функции Морса /; 2) для любой точки х,- существует открытая окрестность
U(х.) такая, что в любой системе координат, в которой
*=1
*=А+1
поле ( имеет вид
,*")•
Dn-l(xM,...,xn)
Рис. 62.
,..., xA); выходящие — диск
Ясно, что такие поля ? существуют для
любой функции Морса / на М (например,
? = grad/ относительно некоторой метрики
наМ).
Пусть х,- € М — критическая точка для /,
(индекс х,) = А и f — градиентно-подобное
поле для /. Рассмотрим так называемую сепа-
ратрисную диаграмму точки х,-, т. е. совокуп-
совокупность всех интегральных траекторий поля ?,
входящих или выходящих из точки х,-. Тогда
в окрестности Ufa) эта диаграмма имеет вид,
показанный на рис.62.
Входящие траектории заполняют диск
Dn~xirx+1 гп\
\ > * * • > /*
Рассмотрим две сферы: 5A-I =DxCi{f(x) = ffa) -e}; S"^'1 = Dn~x f]{f(x) =
ffa)+e} для достаточно малого е. Можно считать, что SA~' = dD*, S"~x~x = dDn~x
в окрестности U(xi); см. рис. 63.
Рассмотрим «раздувание» дисков I^fa) и D"~xfa) вдоль интегральных тра-
траекторий поля & тогда сферы 5А~'(х<) и 5п~А~'(х,) также будут каким-то образом
гладко деформироваться, двигаясь вдоль траекторий поля ? без самопересечения
до тех пор, пока они не встретят какую-нибудь другую критическую точку Xj. (Ясно,
что траектории поля ? могут пересекаться только в критических точках функции /.)
Лемма 1. Пусть в слое Mv \ Mj = /"' [о', Ь'] есть две критические точки х<> и у0
функции /, причем а' < а = /(х0) < /(jfo) = Ь < b'; пусть ? — градиентно-по-
градиентно-подобное поле для /. Предположим, что в слое /~'[а', Ъ'] выполнено соотношение
Рис.63.
Рис. 64.

148
Глава 2. Критические точки гладких функций в гомологии
°п Чхо) П D* (Уо) = # (здесь А = ind (х0); А' = ind (y0)). Тогда на многообра-
многообразии М" существует новая функция Морса g такая, что S — 9 вне /~'[а'» &']» при
этом g имеет те же критические точки на М, что и функция /; поле ? является
градиентно-подобным и для функции д; д(хо) > д(уо)', д = /+const в окрестностях
Щхо), Щуо).
Доказательство. Из условий леммы вытекает, что в слое /~' [а', Ь'] сепаратрисные
диаграммы точек xq и уь не пересекаются (см. рис.64), т.е. (.Dn~A(xo) ^)
'' = 0- Обозначим:
W = /"'[a', б']; А = Dn-X(xo) (J D*^); В = Dn-X'(yo) U #А'Ы-
Тогда, очевидно,
W\(A\JB)* (/"'(б') \ {(A U В) П Г\Ь'))) x I[a\ Ь1] Й
Это же соотношение можно записать так: дополнение W \ (A \J В) диффеоморфно
прямому произведению
(ГУ) \ E"-А'-'(Уо) U Sn-x-\x0))) х I[a', ft'] <*
= (/"'
*) \ {Sx'-\y0) U
I[a', Ъ'1
где /[о', 6'] — отрезок. (Для простоты будем считать, что а' = 0; Ь' = 1.) В част-
частности, диффеоморфизм между многообразием /"'(*') \ '*
и многообразием /~'(а') \ (^А ~'
(xo)j осуществляется вдоль интегральных
траекторий 7 поля ?. Рассмотрим глад-
гладкую функцию о(х) на /~' (а1) такую, что
а(х) = 0 в достаточно малой окрестно-
окрестности A f] f~l(a') и а(х) = 1 в достаточно
малой окрестности В f]f~'(а'). Такая
функция существует, так как A f) В = 0.
По функции а, заданной на /"'(о'),
построим гладкую функцию а(х) на
всем W, продолжая а постоянными
значениями вдоль интегральных траек-
траекторий поля ? (эти траектории не пересе-
пересекаются вне А У В). Полученная функ-
функция а(х) на W постоянна вдоль любой
траектории j, не входящей в откры-
открытую окрестность A f\ В, а = О в 17(^4)
и а = 1 в U(B).
Рассмотрим гладкую функцию р(х, у) = z, задаваемую графиком на рис. 65.
На рис. 66 показана эволюция линий пересечения графика z = p(x,y) с плос-
плоскостью у = t (const) при изменении t от 0 до 1.
Формальные условия, наложенные на функцию р, запишем в следующем виде:
1) Ш (р(*» У)) > О ПРИ всех (*i У) и р(я> V) возрастает от 0 до 1, когда х возрастает
от 0 до 1;
Рис. 65.

§ 17. Правильная функция Морса—Смейла. Ручки. Поверхности
149
р(а,0) ¦
Р(ЪЛ) -
Ряс. 66.
(а,0) F,1)
Рис. 67.
3) ъг(й(х,0)) = 1 для всех х в окрестности о; J=(p(s, 1)) = 1 для всех х
в окрестности Ъ (см. рис. 67).
Определим теперь искомую функцию д(х) = p(f(x), a(x)), x?W. Тогда д(х0) =
p(f(x0), а(х0)) = р(о,0) > р(Ь, 1) = р(/Ы,а(уо)) = »Ы- Итак, д(х0) > д(Уо)-
Из условий 1)-3) на функцию р следует, что функция д(х) удовлетворяет всем
требованиям, сформулированным в условии леммы. Лемма доказана. ¦
Лемма 2. Рассмотрим W = f~l[a', Ь']. Пустьж0, Jfo 6 W; f(x0) < f(yo) и Х(х0) =
(индекс / в точке Хо) ^ А(у0) = (индекс / в точке уо)- ТогА/ существует функция
Морса д на М такая, что д(х0) > д(уо); д имеет те же критические точки, что
и /; функция д(х) удовлетворяет всем другим условиям предыдущей леммы.
Доказательство. В случае, когда А(~\В = 0, лемма доказана (см. предыдущую
лемму). В общем случае Af]B ф 0. Редуцируем этот случай к ситуации: Af)B = 0.
Рассмотрим поверхность {/(а?) = ^} = V (мы считаем а' = 0; Ъ' = \; 0 < f(x0) <
5 < /(»>) < !)• Положим А = Х(х0), А' = А(уь). Пусть A f] В ф 0. Это означает,
что на поверхности V Sn~x~1(xo)f\Sx'~l(yo) Ф 0 (см. рис.68). В самом деле, если
это пересечение пусто, то A f] В = 0. Так как \ € [а1, Ь'] не критическое значение,
то у*-' _ (п - 1)-мерное гладкое многообразие, а сферы Sa'x~l(x0) и Sx~i(yo) —
гладкие подмногообразия на V.
Рис. 68.
Так как
+ dimSA'~1(sb) = и - А - 1 + А1 - 1 = n - (А - А1) -2 < n - 1,
то из общей теоремы о ^-регулярности (см. [1], т. II, § 10) следует, что существует
сколь угодно малая изотопия вложения »:5
[]
Ув близкое вложение, которое

150
Глава 2. Критические точки падких функций и гомологии
уже будет иметь пустое пересечение со сферой Sn А '(хо)- Ясно, что эту изото-
изотопию можно продолжить в малую окрестность поверхности V, сделав ее (изотопию)
тождественной вне этой окрестности. Подвергнув искомой изотопии градиентно-по-
добное поле ?, мы получим уже две непересекающиеся сепаратрисные диаграммы А
и В (см. рис. 69). Мы редуцировали ситуацию к случаю Af]B = 0. Лемма доказана.
Рис. 69.
Таким образом, утверждение теоремы о существовании правильной функции
Морса полностью доказано*. Вторую часть утверждения теоремы (о существовании
правильной функции Морса с одним максимумом и с одним минимумом) мы
оставляем читателю в качестве полезного (и довольно простого, особенно для
двумерных многообразий) упражнения. ¦
Рассмотрим теперь более подробно процесс приклейки клетки ах к границе
многообразия М-? (см. выше). Выясним, что происходит с многообразием М-с после
«подъема за критическую точку хх» с дифференциальной точки зрения, т. е. как ме-
меняется многообразие М_? с точки зрения так называемой операции приклейки ручек.
Рассмотрим прямое произведение Я" =
0х х Dn~x, где Dq — диск размерности q.
Многообразие (с краем) Я" называется руч-
ручкой индекса А. Ясно, что граница dH" имеет
rTe(Sx~l) вид йЩ = (91^) х Dn~x U0х х (dDn'x) =
Г*~А~|). Определим опе-
операцию приклейки ручки Я" к многообра-
п-х
Рис.70.
ру р
зию Кп с краем V"'1 = дКп. Пусть Sx~l С F" — гладко вложенная сфера
такая, что достаточно малая трубчатая окрестность Т?EА~') (радиуса е > 0) пред-
представляется в виде прямого произведения Te(Sx~]) = Sx~* x Dn~x, где {* х Dn~x\,
difT
difT
s G SA~', — нормальные диски (радиуса е) к сфере Sx~x (см. рис. 70).
Тогда можно построить новое гладкое многообразие Кп с краем V" = дКп,
рассмотрев склейку Кп с Щ по отображению \' 5А~' х Dn~x -у Те(Зх~*) = SA"' x
diff
Dn~x, являющемуся диффеоморфизмом 5А~' х Dn~x (части границы дН%) на труб-
трубчатую окрестность Г?EА~'). На рис. 71 показана опершим приклейки ручки Я,2
при п = 2.
Сглаживая «углы», возникшие в точках х G dTe(Sx~]) = 5А~' х S"~A~1, получаем
гладкое многообразие К" с гладким краем V". (На рис. 72 это сглаживание
показано пунктиром.)
На рис. 72 показана операция приклейки ручки Н\ к К3.
На рис. 73 показана операция приклейки ручки Н\ к К3.

§ 17. Правильная функция Морса—Смейла. Ручки. Поверхности
50=Х-!
151
Рис. 73.
Теорема 2. Любое гладкое компактное связное замкнутое многообразие М" диф-
феоморфно объединению ручек {Я"}, где Р\ — критические точки некоторой
функции Морса на М„; А — индекс Р\, и каждой точке Р\ соответствует
ручка Я".
Аоказательсгво. Так как М„ диффеоморфно Мь при а<Ь, если на отрезке [а, Ь]
нет критических значений функции f(x), то достаточно изучить изменение М_? при
переходе через критическую точку Рд- Рассмотрим гладкую деформацию М? —¦ М_Е
(см. лемму 15.3), но теперь изменим ее так, как показано на рис. 74.
Результат деформации показан на рис. 75.
Рис. 74.
Рис.75.
Ясно, что «осью» ручки Я" является диск ^(z1,... ,a;A), состоящий из ин-
интегральных траекторий поля v(x) = - grad f(x), выходящих из особой точки поля
v(x). Теорема доказана. ¦

152
Глава 2. Критические точки гладких функций н гомологии
Если, наоборот, задано разложение многообразия М в сумму ручек {Яд}, то
можно восстановить некоторую функцию Морса /(х) на М" такую, что ассоции-
ассоциированное с ней разложение М в сумму ручек совпадает с исходным разбиением М
в объединение ручек {Я"}. Доказательство производится индукцией по числу ручек
и их индексу. Ручки {Щ} можно отождествить с дисками Z>", центры которых
можно объявить критическими точками индекса 0. Функцию /(х) будем строить,
предъявляя ее гладкие поверхности уровня /с (функция /(ж) будет определена не-
неоднозначно). Тогда в качестве поверхностей {/с} в дисках {Dn} = {Щ} возьмем
концентрические сферы с центром в локальных минимумах функций /(х). Пусть
/(ж) уже построена на гладком многообразии {/ < а} с краем F" — {/ = о}
и пусть ручка Я" приклеена к краю V". Требуется продолжить /(ж) на ручку Я".
Продолжение показано на рис. 76.
f=t<a
Прежняя f(x)
Pec. 76.
Полученная функция д(х) снова является постоянной на крае многообразия
{/ < a} (J Я", поэтому процесс можно продолжить.
Рассмотрим двумерные многообразия {М2} и их разложения в суммы ручек
{Яд} в соответствии с доказанными выше теоремами. Попутно мы еще раз докажем
теорему классификации двумерных поверхностей (см. § 3).
Рассмотрим на М2 правильную функцию Морса /(х); пусть хо — точка
минимума (единственная точка индекса 0); х\,..., хя — точки индекса 1; xN+\ —
точка максимума (единственная точка индекса 2), причем f(xi) < /(x*+i), 0 < » < N.
Будем считать, что 0 < /(ж) < N + 1 и /(ж,-) = t. Тогда множество 0 < / < е < 1
является ручкой Hq (гомотопически эквивалентной точке ст0 — нульмерной клетке).
При переходе через критическое значение f(x\) = 1 возникает приклейка ручки Я,2
(см. рис. 77).
При п = 2 существуют только два способа приклейки ручки Я2 к Hq (см. рис. 78).
Рис.77.
Рис. 78.
Гомотопически оба способа приклейки эквивалентны, однако они различ-
различны, если рассматривать диффеоморфизмы полученных многообразий с краем:

§ 17. Правильная функция Морса—Смейла. Ручки. Поверхности
153
Hq\JH\ = S1 х ?>' (цилиндр); Hq \JH2 (лист Мёбиуса). В первом случае по-
/ diff //
лучается ориентируемая поверхность (с краем), во втором — неориентируемая.
Продолжая процесс и переходя к точкам хг.хз,... ,хц, мы на каждом шаге
приклеиваем одномерную клетку а\, 1 ^ t < N; а в терминах ручек — либо при-
приклеиваем S1 xfl1, либо приклеиваем лист Мёбиуса. После перехода через точку
xtr(f(x/f) = N) с гомотопической точки зрения мы получаем букет окружно-
стей: V &1 '> каждая окружность S/ = а\ U <т° соответствует критической точке Xi
(индекса 1). Последний шаг заключается в приклейке ручки Н\ = D2, т. е. дву-
двумерной клетки а2, гомеоморфной диску D2. Таким образом, М2 гомотопичес-
ки эквивалентно клеточному комплексу <r° U a\ \J ¦ ¦ ¦ U о1ц U о1 и диффеоморфно
В1\\В\\Л... \\Е\\\и\. Приклейка клетки (ручки) D2 = Я| к полученному
N
на (N + 1)-м шаге многообразию К2 с краем 51 = дК2 может быть осуществлена
уже только одним способом: по тождественному отображению l$i: 8D1 -» дК2.
Клетка а1 = D2 может быть отождествлена с фундаментальным многоугольни-
многоугольником W, полученным нами ранее при доказательстве теоремы классификации {М1},
N
а букет V S} можно отождествить с границей многоугольника W, на которой все
i=i
вершины уже отождествлены в одну вершину.
На рис. 79 показан последовательный процесс восстановления тора Т2 = М2=х
для стандартного его вложения в R3 такого, что /(Р) = z (функция высоты) является
функцией Морса с 4 критическими точками: xo(min); xu х2 (седла индекса 1);
хз(тах). Для g > 1 аналогичная функция высоты на Мд имеет 2д+2 невырожденных
критических точек: zo(min); Х\, ... , Х2, (седла); X2j+i(max).
Рис. 79.
На любом Мд можно построить гладкую функцию высоты /(х) в R3 с 4
критическими точками (min, max и два седла). Эти седла будут вырождены при
д > 1. Искомое вложение Мд —> В3 показано на рис. 80.
Седла Х\,х2 вырождены при д > 1, и функция высоты в окрестности точек Х|, х2
устроена как функция Re (x+iyI+s (см. рис. 80). Далее, на любом М2 (М2>0 или М2)
существует гладкая функция f(x) с тремя критическими точками: min, max, седло
(вырожденное). (Докажите, что эта функция для Мд>0 не может быть реализована
как функция высоты при некотором вложении Мд —> R3.) В самом деле, рассмотрим
ЮЗак. 368

154
Глава 2. Критические точки гладких функций в гомологии
.2
Рис. 80.
симметричную каноническую форму Мд (или М^): W — а\ ...aNa^1 ...aN-]u%1
(см. о существовании такой формы §3). Искомая функция /(z) задана на рис.81
своими линиями уровня (неоднозначно): слева от ой — max, справа — min, вы-
вырожденное седло — в вершине фундаментального многоугольника. Функция f(x)
имеет в малой окрестности этого вырожденного седла вид Re (х + iy)k (найдите к
как функцию от д или /i). Распад этой вырожденной особой точки в объединение
невырожденных особенностей показан на рис. 82. Распад определим в терминах
соответствующего векторного поля grad /; критические точки / совпадают с осо-
особенностями поля grad /.
Положим f(x,y) = Re (г*) (где z = х + iy). Тогда точка 0 € К2 (ж, у) —
вырожденная критическая точка / (и вырожденная особенность для поля v(x, у) =
grad Re (zk) ). На рис. 82 показана картина интегральных траекторий поля v.
<h
aN-l
Линия вырожденных
особенностей
Рис. 83.

§ 18. Двойственность Пуанкаре 155
*
Рассмотрим малое возмущение f(x, у) -* Re Ц (z - еа), где е,- Ф Zj при % Ф j.
0=1
На рис. 82 показан распад вырожденной особенности в объединение fc - 1 невыро-
невырожденных особых точек.
Замечание. При построении на многообразии М2 гладкой функции / с тремя критичес-
критическими точками мы воспользовались следующим представлением М2: W = Oia2... аца^а^ -..
aJt-\aV и разбили многоугольник If отрезком (аЪ) так, что по одну сторону от (ab) не было
пары сторон, занумерованных одной и той же буквой а,. Это нам было необходимо для того,
чтобы избежать (при построении функции) появления непрерывного множества вырожденных
критических точек (см. рис. 83).
§ 18. Двойственность Пуанкаре
В топологии, алгебраической геометрии и гомологической алгебре под одним
общим термином «двойственность Пуанкаре» понимают совокупность утверждений
об изоморфизме гомологии и когомологий дополнительных размерностей в раз-
различных ситуациях. Простейшая теорема (Пуанкаре) утверждает, что для замкнутого
компактного гладкого связного многообразия Af имеет место изоморфизм:
где Н„(М; R) — группы гомологии с вещественными коэффициентами, n = dim Af.
Этот изоморфизм, очевидно, эквивалентен условию bk(M) = bn-t(M) на числа Бетти
многообразия М. Если многообразие М неориентируемо, то тогда двойственность
Пуанкаре имеет место для гомологии по модулю 2:
Мы будем рассматривать ориентируемые многообразия. Неориентируемый случай
исследуется аналогично.
В основе двойственности лежит следующее^
Построим два клеточных разбиения К и К многообразия Af", двойственных
друг другу. Более точно, мы сопоставим каждой клетке а1 ? К (с помощью не-
некоторого соответствия D: К —» К) некоторую (п — г)-мерную клетку D(ax) = <г"~*
(т.е. клетку дополнительной размерности), причем соответствие D должно удовле-
удовлетворять следующим условиям:
1. D — взаимно однозначное соответствие между клетками комплекса К и клет-
клетками комплекса К.
2. Для любых двух клеток а',а*~1 € ЛГ их коэффициент инцидентности [а : а' ~' J
с точностью до знака, зависящего только от размерности t, равен коэффициенту
инцидентности клеток У"', an~l+l, соответствующих исходным клеткам посред-
посредством D; т. е. [а* : о*~х] = ±[of*~l+1 : о*]. Напомним, что мы рассматриваем
ориентируемый случай. В случае же неориентируемого многообразия коэффициент
инцидентности следует брать по модулю 2, т. е. в неориентируемом случае будет
выполнятся равенство [«rf :<rl~l] = [У~'+1: ^"'Jmod 2.
Рассмотрим на Af" правильную функцию Морса f(x), критические точки
которой упорядочены относительно своих индексов, т. е. /(х<) ^ f(xj)> если А* > Aj.
Существование такой «правильной» функции Морса было доказано нами выше.
ю*

156
Глава 2. Критические точки сладких функций в гомологам
Зададим на М" ориентацию и рассмотрим наряду с функцией / функцию
-/ = д. Ясно, что если х* — критическая точка для / индекса Aj, то х* —
критическая точка и для п - А,-.
Возьмем в качестве клеточного разбиения К многообразия М разбиение, по-
порожденное функцией / (см. выше), а в качестве К — разбиение, порожденное
функцией -/. Рассмотрим более внимательно связь между комплексами К и К.
Имеем малую окрестность Ufa) точки х<, и ее разложение с помощью функций /
и -/ (см. рис. 84).
Построим теперь искомое соответствие (отображение клеток) D, где D: К —> К.
Положим D(ax) = У~А (см. рис. 85). Клетки <гА для функции / и «У""* для функции
д = -/ были определены в § 15.
Изучим теперь связь между коэффициентами инцидентности: [<тА : <тх~х]
и [У-А+1 : У-А].
Рассмотрим клетку <т? (t — номер клетки) и клетку а$~1; число [of : <тА~'] есть,
по определению, степень отображения р^-: 5А~' -¦ 5А~', где SA~' = d(af) (т.е. гра-
граница клетки of); р^ совпадает с композицией характеристического отображения
до* -»Кх~\ ограниченного с ах на ее границу да}, и проекции фактор-комплекса
j| VSy на j-e слагаемое 5^"' этого букета (см. рис.86).
Полученное число (см. [1], т. II, § 15) совпадает с индексом пересечения сферы
' = да} с клеткой 5?~А+1 (см. рис. 87).
Dx=aXi
Рис.84.
Рис. 85.
Рис. 86.

§ 18. Двойственность Пуанкаре
157
x~*
Ясно, что индекс пересечения сферы Sx
с клеткой 5?~А+| равен коэффициенту зацепления
=п-Д+1
Ряс. 87.
сферы Sx~l со сферой SJ?~A = dcf]~x+1 (мы опу-
опустили здесь обозначение характеристического ото-
отображения). Обозначим этот коэффициент зацепле-
зацепления через v>(Sx~*;Sj~x). Итак, доказано, что [ах :
o-j'1] = toEA"';5y~A). Совершенно аналогично по-
получаем, что [Ъ*}~ш :a^~x]=w(Sj~x;Sx~l). Сравнивая
две последние формулы, получаем окончательно, что
комплексы К я К двойственны, т.е. [0^:0^"'] =
j.jjn-A-l.y.-A]
Таким образом, оператор двойственности D: К —* К обладает тем свойством,
что клетки ах и S^~' = D<Tj пересекаются только в одной внутренней точке
и при этом трансверсально (для ориентируемых многообразий Мп при выбранной
ориентации клеток этот индекс пересечения равен +1). Остальные пары клеток
вообще не пересекаются. Клетки дают базис целочисленных (и других) групп цепей
С\(К) и Сц(К). Тем самым между группами цепей установлено невырожденное
билинейное скалярное произведение а о Ь, называемое «индексом пересечения»:
если a G С\(К) и Ь G С„-\(К), то
(в неориентированном случае по модулю 2); здесь
Было доказано свойство сопряженности
(да) о Ь = а о (дЬ),
где а € СХ(К), Ь б Cn_A-i(?), поскольку [ах : of1] = [Dax : Dof1].
дует:
Тем самым комплекс (С(К), д) сопряжен к комплексу (С(К), 8). Отсюда сле-
сле:
Теорема 1. Имеет место канонический «изоморфизм двойственности Пуанкаре»:
Нк(Мп) ^ Нп~к(Мп),
где Мп — замкнутое ориентируемое гладкое многообразие. В частности, для чисел
Бетти имеем
(ранги Щ, Н„-к совпадают). Между гомологиями дополнительных размерно-
размерностей Щ и Нп-ъ построена невырожденная (для целочисленных гомологии унимоду-
лярная) билинейная форма, именуемая «индексом пересечения циклов». Если п = 2*,
то п — к = к и мы имеем невырожденную форму на Щ(М):
аоЬ = (-1)кЪоа.

158 Глава 2. Критические точке гладких функций и гомологии
Аоказательство теоремы немедленно следует из предыдущего вывода с допол-
дополнительным замечанием, что оба комплекса К и К гомотопически эквивалентны М"
и имеют поэтому одинаковые гомологии и когомологии согласно результатам § 5. ¦
Пример 1. Для любого ориентируемого связного многообразия Af* имеем Яо = Z =
Я„(АГ).
Для неориентируемого многообразия имеем Я0(ЛГ"; Z) = Z (всегда), но ЯЯ(ЛГ*; Z) = 0.
По модулю 2 имеем Я0(АГ*; Z$ = Z2 = #»(М"; Zj).
Пример 2. Пусть п = 2 и Af2 — ориентируемо. Группа Ш,(М2; Z) имеет невырожденную
кососимметрическую форму — индекс пересечения. Поэтому размерность bt четна и имеется
канонический базис циклов аь..., а,, 6Ь..., ftf, где
а, о ау = ft,- о 6у = 0, а,- о fc;- = 6ц.
Группа Н\(Мг\ Z) не имеет кручения, и все циклы ait 6< можно выбрать целочисленными.
Пример 3. Пусть М2 = RP2 (неориентируемо). Группа ff)(RP2;Z2) = Z2 с одной
образующей х (проективная прямая RP1 С RP2). Из невырожденности формы а о ft (mod 2)
на группе #i(Af2; Z2) получаем
х о х = 1 (mod 2).
Пример 4. Пусть М* ориентируемо. В многообразии Af* х Af" имеем цикл Д = (х, ж) —
диагональ, Д е Я„(Л/" х Мп). Индекс нересечения Д о Д равен эйлеровой характеристике, так
как это число Д о Д совпадает с суммарной особенностью векторного поля (см. [1], т. II, § 15).
В группах Я»(АГ1 х АР; R) = ]? Я,(ЛР) Фffj(Af") имеется базис циклов z, ® zjy где {z{} —
базис в группе Я,(АГ*). Индекс пересечения здесь имеет вид
(z{ ® Zj) о (z'k ® z',) = (zi о z'k)Bj о z't);
он нетривиален, только если dim zt + dim z'k = n, dim z, + dim z{ = n (проверьте!).
Залача 1. Пусть задано отображение /: AT1 —> Af" и известны все отображения
Л,«: ¦в»(-М1>;К) ~* Я»(АГ*;К). Вычислите индекс пересечения Д о Д/ в Af* x Af*, гае
и
Д/ = (*> /(*)) — график. Докажите формулу (Лефшеца) Д о Д, = 5^(-l)*Sp/ti,. (Для не-
ориентируемых многообразий нужно заменить R на Z2.) Число ДоД/ дает алгебраическое
число неподвижных точек отображения / (см. [1], т. II, § IS).
Указание. Рассмотрите сначала более простые случаи: Af* = 5", Af* = Т", Af* = RPn,
Af* = Мд. В частности, если / гомотопно отображению в точку, то Д, = 0 при к > О
и /о, тождественно. В этом случае Д о Д^ = 1 = Sp/o,, что совпадает с результатом § 13 т. II
книги [1].
Залача 2. Докажите, что двойственность Пуанкаре в когомологиях Я*(АГ*) задается
когомологическим умножением. Точно это означает, что форма
(ab,[Af"]) = (a,ft)
невырождена; здесь a G Я*(М"), Ь € ff"~*(Af"), коэффициенты — поле. Если речь идет
о целочисленных гомологиях и когомологиях Н*(Мп; Z) и Н,(МЯ; Z), где есть кручение, то
здесь закон двойственности Пуанкаре удобно записывать с помощью «оператора высечения»
(см. §7)
Da = a~ [AT], @
где а е Я*(М*; Z), а о ^ [Af"] € ffB_t(Af*; Z). Для полей коэффициентов в силу формулы
B)
и взаимной сопряженности Я, и Ня формула A) не дает ничего содержательно нового.

§ 19. Критические точки гладких функций 159
Залача 3. Пусть М Э К, причем М и К — конечные клеточные комплексы и М \ К —
открытое гладкое ориентируемое многообразие. Доказать равенства:
Н((М, К; Z) ё Щ(М/К; Z) S Hni(M \ К; Z), » > О,
Н{(М, К; Z) S Н'{М/К; Z) ? Я„_,(М \ X"; Z), t > О
(двойственность Лефшеца). Разобрать специальный случай t = 0.
Залача 4. Пусть К™ С 5* (т < п) — вложение конечного клеточного комплекса ЛГ™
в сферу 5". Доказать равенства
Hi{Km;Z)^H"~i~\sr\Km;Z), t > 0,
Я^ЛГ"; Z) ё ffn_i_,(S" \ ЛГ"; Z), i > 0
(двойственность Апександера). Разобрать специальный случай t = 0.
Залача 5. Пусть Мп — гладкое компактное замкнутое многообразие -fft(Af";Z) =
Rt®Tk — разложение групп Щ в прямую сумму свободных абелевых групп Я* и абелевых
групп конечного порядка Тк. Тогда имеют место следующие изоморфизмы: Rk = Д,.»,
Замечание. Соотношения Rt ^ Л*, Т* = Т1+| выполнены для любого конечного
клеточного комплекса.
Напомним, что эйлеровой характеристикой многообразия М" называется сле-
следующая альтернированная сумма:
>0'A = *<""),
i=0
где n = dimM"; Д = dim Hj(Af"; Z2) — числа Бетти (mod 2) многообразия Af.
Из двойственности Пуанкаре (для замкнутых многообразий) получаем: /3, = /3„_,,
а потому для нечетномерных многообразий М2* имеем:
2*+1
t=0
(для ориентируемых М" можно пользоваться числами Бетти для группы G = R).
§ 19. Критические точки гладких функций
и категория Люстерника—Шнирельмана
Если / — функция Морса, т.е. критические точки невырождены на много-
многообразии М, то число критических точек функции /, как мы уже знаем из § 16,
оценивается снизу:
Рк ^ h,
где fit — число критических точек индекса к и 6» — число Бетти: Ъъ = dim Hk(M; G),
где G = R, либо G = Z2 (или Zp, p — простое). Так, например, на любой двумерной
поверхности типа Мд любая функция Морса имеет не менее Bд+2) критических то-
точек. Однако ситуация резко усложняется, если мы попытаемся оценить снизу число
критических точек для произвольной гладкой функции /, которая уже не обязана
быть функцией Морса. Как показывают простейшие примеры, число вырожденных
особенностей может быть значительно меньше. Как было отмечено ранее, при де-
деформации функции / в пространстве гладких функций невырожденные особенности

160 Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
могут сливаться друг с другом, образуя вырожденные особенности. Такие взаимные
слияния уменьшают число критических точек. В то время как функция Морса
на Мд имеет не менее 2д + 2 критических точек, на любом Мд существует гладкая
функция с тремя критическими точками, из которых одна вырождена (и распадается
в 2д невырожденных при подходящем возмущении), а две другие являются точками
минимума и максимума. Неравенства типа $3 pt ^ X) ** остаются страведливыми
(*) <*)
(см. § 16) и в том случае, когда / не является функцией Морса; однако теперь
числа /х» не имеют того смысла, какой они приобретали в невырожденном случае
(т.е. числа невырожденных особенностей индекса к). Теперь числа Цъ описыва-
описывают «степень сложности» критических точек, которая уже не связана прямо с их
количеством. Более того, как было показано ранее, не каждая критическая точка
(вырожденная) обязана быть точкой бифуркации (см. § 16 выше), а потому нера-
неравенства J2 /** ^ Z) ** могут не учитывать некоторых вырожденных особенностей.
(*) <*)
Таким образом, эти неравенства не дают возможности произвести оценку снизу чи-
числа особенностей произвольной гладкой функции / на заданном многообразии М".
Оказывается, существует некоторый топологический инвариант многообразия М"
(называемый категорией Люстерника—Шнирельмана) — cat (М") — оценивающий
снизу число критических точек функции /. Перейдем к описанию этого инварианта.
Пусть X — топологическое (хаусдорфово) пространство, АС X — произвольное
замкнутое подмножество в X.
Определение 1. Категорией cat x (А) замкнутого подмножества А относительно
пространства X называется минимальное число к, для которого существуют
замкнутые подмножества А\,..., At в X такие, что
А = U *,
и каждое подмножество А{ стягивается по пространству X в точку.
Замечание. Связность подмножеств {.4,} не предполагается. Пространство X будем,
для простоты, предполагать связным. Если А = X, то будем (по определению) считать,
что catx(X) = cat(X). Это число и называется категорией Люстерника—Шнирельмана.
Категория cat х(А) может принимать значения: 1,2,3,... .
Перечислим и докажем основные свойства cat j(A).
Лемма 1. Если А С В С X, то cat X(A) < catx(B).
Аоказательство. Пусть q = catj(B), т.е. существуют замкнутые подмноже-
подмножества В{, 1 < i'.^. q, такие, что
в = и в,
»=1
и каждое В,- стягивается по X в точку. Рассмотрим замкнутые подмножества
Ai; = А П Bi, I ^ t < q. Тогда, очевидно,
t=i
и каждое из j4, стягивается по X в точку. Следовательно, cat x(.A) ^ q = catjr(B),
что и требовалось доказать. ¦

§ 19. Критические точки падких функций
161
Лемма 2. Пусть Аи В — два произвольных замкнутых подмножества в X. Тогда
cat Х(А U В) < cat Х(А) + catX(B).
Аоказательсгво. Пусть
B=\jBj,
J=l
тогда
A\jB=\JCa,
где Ca = Aa при l<a<fcnCo = Ba_t при Jfe+1 ^ a < fc + p. Так как А{
и Bj стягивались по X в точку, то Са стягиваются в точку и catj(C) < * + р =
cat х {А) + cat х (В). Лемма доказана. ¦
Лемма 3. Пусть А С В — замкнутые подмножества в X. Тогда cat x(B\A) ^
cat х(В) - cat х(А), где через В\А обозначено замыкание множества В\Ав X.
Аоказательство. Так как В = A (J (В \ А), то, в силу леммы 2, получаем
cat х{В) < cat х(А) + cat x(В \ А). Лемма доказана. ¦
Лемма 4. Пусть А С В — два замкнутых подмножества в X и пусть под-
подмножество В непрерывно деформируется в подмножество А {т. е. существует
гомотопия ipt отображения вложения»: В —» X в такое отображение tpt: В —* X,
при котором <р\(В) С А). Тогда cat X(A) ^ catx(-B). (Множество ч>\{В) С X мо-
может быть не гомеоморфно В.)
Локазательсгво. Пусть catx(^) = *. Рассмотрим покрытие
л = U Л,
где все А, стягиваются по X в точку. Так как <fi\{B) С А, то можно рассмотреть
Rj = <p1(B)f)Aj, I ^ j ^ fc. В силу условия леммы существует непрерывное
отображение a: i(B) —» <pi{B), где подмножество i(B) гомеоморфно В. Положим
Bj = ct~\Rj), I < ji ^ *. Ясно, что
Далее, применив к Bj гомотопию ipt, мы продеформируем Bj по X в подмножество
ipi(Bj) — Rj С Aj, т. е. Rj стягивается по X в точку; тем самым каждое Bj стягивается
в точку по X; следовательно, cat х(В) < к (см. рис. 88). Лемма доказана. ¦
Рис. 88.
Лемма 5. Пусть А С X, А — компакт и X — многообразие. Тогда существует
е > 0 такое, что catx(UcA) = catj(A), где через UeA обозначена замкну-
замкнутая е-окрестность подмножества А С X. Число е зависит от А.

162
Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
Аоказательство. Так как А С UcА, то по лемме 1 полу-
получаем: catx(A) < catx(UeA). Докажем обратное неравенство.
к
Пусть catx(A) = к и А = (J А{, где каждое Ai стягивается
«=!
но X в точку. Так как X — многообразие, то, очевидно,
существует е > 0 такое, что UtА стягивается (вслед за At)
к
в точку по I (I < i < Jfc). Так как UeA = \J UeAi, то
catx(UeA) ^ к =
. Лемма доказана.
Рис. 89.
Замечание. Если X — не многообразие, то лемма S не верна
(см. рис.89).
Лемма 6. Предположим, что X — многообразие. Пусть А, Вп (п = 1,2,...) —
замкнутые подмножества в X и А = lim В„, т. е. р(А,Вп) -* О при п —» оо,
п—>оо
где X предполагается метрическим пространством, р(С, D) = sup(inf p(x, у)) +
sup(inf р(х, у)); р(х, у) — расстояние в X между точками х и у. Предположим,
»ei> zee
что catx(Bn) ^ к, тогда и cat x{A) > к.
Аоказательство. В силу леммы 5 существует е > 0 такое, что
cat х(Л). Так как р(А, В„) -» 0, то существует номер JV такой, что Вп С 17ЕА для всех
п> N. Тогда fc < cat x(Bn) < cat x(UcA) = cat j(A). Лемма доказана. ¦
Теорема 1. Пусть М" — гладкое компактное связное замкнутое многообразие
и f(x) — гладкая функция на М". 7огда выполнено неравенство k ^ cat (Mn),
где ft — число различных критических точек функции /. (В частности, к может
равняться бесконечности.)
Фактически теорема верна для точек бифуркации функции /, т.е. р^ cat (Af),
где р равно числу различных бифуркационных точек функции /. Обсудим сначала
одну аналогию, имеющуюся между поведением категории множества критических
точек функции / и поведением собственных чисел билинейной формы в №.
Рассмотрим стандартное вложение сферы 5" в ЯП1 (х*,... ,хп), т.е. й*1 =
{х eW;\x\ = 1}. Пусть В(х,у) — симметричная билинейная вещественная форма
в !". Рассмотрим ассоциированную с ней гладкую функцию /(ж) на сфере 5"~',
задаваемую формулой /(х) = В(х,х), \х\ = 1. Найдем все критические точки
функции /. Пусть i G Sn~\ а 6 ^E""'); рассмотрим производную Ц* функции /
в точке х по направлению а. Пусть x(t) — любая гладкая кривая на сфере 5п-|
такая, что х@) = х, ж@) = а; тогда
da
t=o
=-B(x(t),x(t))
= -(Bx(t)M*))
t=o m
<=o
где через В: IF-tlf обозначен симметричный (относительно евклидова скалярного
произведения (,}) оператор, ассоциированный с формой В. Далее
da
= -{Bx(t),x(t))
dt
= {Вх, х) + (Вх, х) = 2(Бх, о).
«=о

§ 19. Критические точки гладких функций 163
Следовательно, точка хо € S" ' является критической тогда и только тогда, когда
(Вх0, а) = О для любого вектора о G ГЯвEп~'). Это условие эквивалентно следу-
следующему: вектор Вхо ортогонален плоскости TXo(Sn~'), т. е. Bxq = Ааго, где А —
вещественное число.
Пусть е0, ei,e2,... ,е„_| — собственные векторы формы В, и Aq, ...,An_i —
соответствующие собственные числа. В силу симметрии оператора В все векто-
векторы во, elt..., en_i попарно ортогональны (будем считать их единичными), а числа
Ло,А1,...,Л„-1 вещественны. Напомним, что f(ea) = (Веа,еа) = (А„ео,еа) =
Ха(еа, еа) = Ха. Будем считать, что числа А„ (и векторы еа) упорядочены по возра-
возрастанию, т. е. Ао ^ Aj <...< А„_!.
Рассмотрим в сфере S"~l всевозможные t-мерные экваторы S*, т.е. сечения
сферы 5"~' плоскостями размерности t + 1, проходящими через начало координат.
Обозначим множество всех этих «экваторов» через Af,- (т.е. Af,- = {S1}). Фиксируем
произвольный экватор 5* С S*1 и рассмотрим max f(x). Из теории квадратичных
форм хорошо известно, что имеет место равенство А, = inf(max/(x)); 0 < »
п - 1. (Предлагаем читателю самостоятельно доказать это соотношение.) Ясно,
что приведенная выше формула согласована с фиксированным упорядочением:
Ао < Ai ^ ... < А„_1. Отметим, что группа SO(n) транзитивно действует на каждом
классе М,- (любой экватор 5* получается из фиксированного экватора S%0 путем
некоторого вращения д € SO(n)).
Предложение 1. Число различных критических точек функции f(x) = (Вх,х)
на сфере 5"~' не меньше удвоенного числа классов {Mi}, т. е. числа 2п.
Аоказательство. Если все собственные числа {А„} формы В различны, то крити-
критическими точками функции / являются в точности точки {±ео} (т. е. концы векторов
±е„, 0 ^ a ^ n - 1). Так как число таких точек равно 2п, то п равно числу классов
{Mi}, 0 ^ i < n - 1. Если же нашлась такая пара индексов » < j, что А,- = Xj, то
тогда сфера S*~' целиком состоит из вырожденных критических точек функции /
и так как этих точек — континуум, то искомое утверждение, очевидно, выполнено.!
Замечание. Так как функция f(x) = {Вх, х) инвариантна относительно отражения
х -* —х, то f(x) является фактически функцией / на проективном пространстве ИР";
для функции / доказанное выше предложение переформулируется так: число различных
критических точек функции / на RP" не меньше числа классов {Mi}, т.е. числа п.
После этих предварительных замечаний перейдем к изучению критических
точек гладкой функции / на произвольном гладком компактном замкнутом много-
многообразии Мп. Сделаем следующие замены в изложенной выше конструкции.
Сферу 5" заменим на многообразие М; форму В(х, х) заменим на произволь-
произвольную гладкую функцию f(x), x G М; вместо вращений g G SO(n), сохранявших
каждый класс М, (см. выше), рассмотрим непрерывные гомотопии, которые, как
будет показано, сохраняют некоторые классы замкнутых подмножеств — аналоги
классов М,; вместо собственных чисел А< формы В мы рассмотрим некоторые их
аналоги, строящиеся по классам замкнутых подмножеств. Перейдем к подробному
изложению.
Пусть Af" — гладкое компактное связное замкнутое многообразие. Через Mi
обозначим класс всех замкнутых подмножеств X С М" таких, что cat м(Х) ^ »•

164 Глава 2. Критические точки гладких функций в гомологии
Ясно, что Mi Э А1,+). Обозначим через в(М") пространство всех замкнутых под-
подмножеств в многообразии М". Пространство в(АР) превращается в метрическое
пространство путем введения метрики
р(Х, У) = sup (inf p(x, у)) + sup (inf p(x, у)),
iex y€Y »er хех
где р — расстояние на М". Будем говорить, что У = lim Хр, если lim р(У, Хр) = 0;
р—>эо р-*оо
у,хяее.
Лемма 7. Каждый класс подмножеств Af,- С 6(ЛР) является замкнутым относи-
относительно операции предельного перехода lim и относительно гомотопии подмножеств
по многообразию М.
Локазательство. Пусть Хр 6 А?; р = 1,2,3,...; X = lim Xp; catjf«(Xp) > t
(по определению класса Af,). Требуется доказать, что cat jf«(X) ^ ». Это немедленно
следует из леммы 6. Далее: пусть X € М<; и У = <р\Х С АГ* — подмножество,
полученное из X путем непрерывной деформации y>t:X—>Af™. TaKKaKcatjf>(X)>t,
то в силу леммы 4 cat jf(y) ^ t, т. е. У € М,-, что и требовалось доказать. Лемма
доказана. ¦
Таким образом, Mj — замкнутые подмножества в 0(М").
Пусть фиксирован класс Mt и пусть X € М,-. Рассмотрим число А< =
inf (max f(x)). Это определение чисел А,- воспроизводит соответствующую теорему
M Х
из теории квадратичных форм (см. выше).
Обозначим через N категорию М": cat(Af") = N. Ясно, что ЛГ < со.
Из определения классов Mi получаем: 9 = Mq = M\ D Мг Э ... Э Мц- Здесь
в = Мо = {X G 6;catAf»(X) > 0}; ясно, что catif.(X) ^ 0 для любого X € в.
Совпадение классов Мо и М\ очевидно; в частности, Ао = А]. Класс Мц содержит
многообразие М". На классе Мц цепочка подмножеств {Mi} обрывается.
Каждая гладкая функция / на многообразии Af" определяет набор функций
/oi /ь • • • i /w. где функция /j @ < i ^ N) определена на множестве Af,- и задается
формулой: /t(X) = max /(х), где X G Afj. Тогда Aj = inf (/j(X)). Так как М,- Э Afj+],
то с ростом t числа А,- могут только возрастать: Ао = Ai ^ Аг ^ ... < Xjf здесь
N = cat(Af). Поскольку классы М, С в замкнуты относительно предельного
перехода (см. лемму 7), то в каждом Mi @ ^ t ^ N) существует элемент Xf такой,
что fi(Xi) = Aj. Иными словами, Х° — такое замкнутое подмножество в Мп, что
Aj = max Jf(x).
zex?
Лемма 8. Рассмотрим поверхность уровня /\ = {х€ Мп | /(ж) = Aj}. Тогда
на поверхности Д. существует по крайней мере одна критическая точка функции /.
Аоказательство. Допустим противное: пусть на поверхности Д нет критичес-
критических точек функции /. Рассмотрим класс Mi и пусть X? 6 Mi — такое замкнутое
подмножество в Af", что тах(/(ж)) = А,-, т.е. /i(X°) = Aj. Ввиду замкнутости X?
xexf
существует точка х° € Х° такая, что /(х°) = А,-, т.е. х° G Д. Так как, по предполо-
предположению, grad /(х) Ф 0 для любого х G Д., то (в силу компактности АР) существует

§ 19. Критические точки гладких функций
165
достаточно малая деформация поверхности /^ вдоль интегральных траекторий век-
векторного поля (- grad /) (мы считаем, что на Af" задана риманова метрика) в область
меньших, чем Л;, значений функции / (см. рис.90).
Рис. 90.
Так как Af" — компактное гладкое многообразие, то существует гладкая изо-
изотопия Af" по себе, постоянная вне малой окрестности слоя: А* - е ^ /(ж) < А,-
и переводящая {/ = А,} в {/ = А,- - е}. Пусть Xf — образ подмножества Xf при
этой деформации. Так как X? получено из X? гомотопией по Af", то, в силу леммы,
cat w(Xf) ^ cat jp(X?) (в действительности имеет место равенство). Следователь-
Следовательно, catu'(Xi) > i, т.е. Xf G Afj. Отсюда получаем, что sup /(х) < А,- - е < А*,
sup /(x) < A,- - e < А,-, что невозможно
а это означает, что inf (sup /(ж))
по определению А,. Лемма доказана.
Лемма 9. Предположим, что Aj = Aj+P, где р > 0. Обозначим через S множе-
множество критических точек функции на поверхности уровня fXi={f = А,}. Тогда
catjf.(S)^p+l.
Замечание. Прежде чем мы перейдем к доказательству леммы, отметим аналогию
с поведением критических точек функции (Вх, х) на сфере S" : если А,- = Aj+P, то эллипсоид
формы В, являясь эллипсоидом вращения вдоль собственных направлений е,,е,+ь...,е,+Р,
порождает множество критических точек функции /, гомеоморфное сфере ST.
Локазательсгво. Так как S замкнуто, то су-
существует е > 0 такое, что cat м• (S) = cat м* (UeS)
(см. лемму 5). Допустим противное: что cat mm(S)
^ р. Рассмотрим цепочку классов Afj Э Afj+] D
... D Mi+p. Пусть Xf+Jl € Mi+P — такое замк-
замкнутое подмножество, что sup /(ж) = Aj+P =
Рассмотрим замкнутое множество Х° =
x°
Xf+p
cat U.
П UCS) (см. рис. 91). Тогда
l,) ~ cat м.(Х?+р f\ UeS)
Рис.91.
- cat „.(S)
> cat w(Xi+P) ~ cat *• (U?S) = cat *.(
Таким образом, cat м*(Х°) ^ *, т.е. X° € Mi. Далее,
A, = A,+p = sup f(x) > sup f(x) > A, = Xi+P = sup /(ж).

166 Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
Таким образом, доказано, что sup f(x) = А,-, поэтому множество Х° можно считать
одним из компактов Х° в классе Mt. С другой стороны, Х° f| S = 0 (где Х° = JT?)
по построению Х°. Это противоречит лемме 8, согласно которой множество X,-
должно содержать по крайней мере одну критическую точку г-е5 (т. е. на поверх-
поверхности Д). Полученное противоречие доказывает лемму. ¦
Аоказательство георемы 1. Итак, пусть /(ж) — гладкая функция на компактном
гладком многообразии М". Требуется доказать, что число различных критичес-
критических точек функции / не меньше, чем cat(M"). Рассмотрим цепочку классов:
в = Afo = Mi D Мг D ... D Мц, где N = cat (AT). Сначала рассмотрим случай,
когда Ао = Ai < Аг < ... < AN, т. е. А, ф А, при * Ф j, 1 < i, j < N. Тогда,
в силу леммы 8, на каждом критическом уровне Д, 1 ^ t ^ JV, имеется по крайней
мере одна критическая точка функции /(х); следовательно (поскольку критические
поверхности Д различны при 1 < » < N), число различных критических точек
не меньше, чем N = cat(M"). Итак, в предположении: А< Ф Aj A < t, j ^ N),
теорема доказана.
Рассмотрим теперь общий случай: пусть среди {А,} есть совпадающие числа;
например, А,- = А,+р. Сколько критических точек (различных) можно выбрать
на поверхности Д = Д+,? Из леммы 9 получаем, что catM.(S) ^ р + 1, где S —
множество критических точек на поверхности /д.. Так как catjf>E) ^ р+ 1, то
в S можно выбрать по крайней мере р + 1 различных точек E = {J Sa, где
о=1
каждое Sa стягивается по М" в точку; достаточно выбрать по одной точке в каждом
множестве Sa). Тем самым «однократное» значение Aj (т.е. такое, что Ay_i <
А; < Aj+i) дает вклад в виде по крайней мере одной критической точки, а каждое
*(Р + 1)-кратное» значение А< (т.е. Aj_i < Aj = A,+i = ... = Ai+P < Aj+pM) Дзет вклад
в виде по крайней мере (р + 1)-й критической точки. Это и доказывает теорему
в общем случае. ¦
Как видно из доказательства, аналогичное утверждение справедливо и для би-
бифуркационных точек гладкой функции / на М". Детальное проведение рассуждений
мы оставляем читателю.
Перейдем к рассмотрению конкретных примеров. Первый вопрос, который
следует изучить, — является ли полученная выше оценка наилучшей (в общем
случае), т. е. существуют ли такие функции / и такие многообразия М™, для которых
число критических точек равно категории cat(Af"). Уже простейшие примеры
показывают, что такие пары (М™, /) существуют.
Предложение 2. Пусть М2 — двумерное гладкое контактное замкнутое много-
многообразие. Тогда cat (М2) = 2, если М2 гомеоморфно S2, и cat (М2) = 3, если М2
не гомеоморфно сфере.
Локазательство. Если М2 гомеоморфно сфере, то утверждение очевидно. Пусть
теперь М2 не гомеоморфно сфере. Рассмотрим клеточное разбиение М2 в виде
a° LK Г) °e) U °'2> т- е- к букету окружностей V -Й приклеена одна клетка о2.
а=1 а=1
Обозначим через U?(\/ в„) достаточно малую е-окрестность одномерного остова
V S^ в многообразии М2 и пусть D = M2\Ue(\/ Si) — замкнутый диск (см. рис. 92).

§ 19. Критические точки гладких функций
167
Представим Мг в виде объединения трех замкнутых подмножеств: М2 =
-Ai U М U Аз> гле -^l = D2 (стягивается по себе в точку), а множества Аг и Аз
показаны на рис. 93. Здесь А2 = Ue(\/ S},) f] Wn{a°), где W4(a°) — диск радиуса t)
с центром в точке <т° (число tj предполагается достаточно малым); Аз = Сг(\/ ?<i) \ M.
(замыкание).
Ясно, что Аг стягивается по себе в точку, а Аз стягивается по себе в набор q
точек, а потому стягивается в точку по Af 2. Итак, утверждение доказано. ¦
Рнс.92.
Рнс.93.
Легко проверить, что если cat (M2) = 2, то Мг гомеоморфно сфере.
Теперь рассмотрим гладкие функции / на Af2. Для сферы S2 стандартная
функция высоты имеет ровно две критические точки, что равно категории сферы.
Если М2 не гомеоморфно сфере, то, как было показано выше, на Мг существует
гладкая функция / с тремя критическими точками, что равно категории cat (Af 2).
Итак, мы доказали, что нижняя грань — cat (Af2) — достигается.
Вычисление cat (Af") является нетривиальной задачей; этот инвариант с боль-
большим трудом поддается точному вычислению. Получение оценок сверху на cat (Af")
обычно не представляет труда для конкретного многообразия М2 — достаточно
иг
предъявить какое-либо конкретное стягиваемое покрытие Af" = U >*«• Более слож-
i=i
ным вопросом является получение нижних оценок на cat (Af"). Сейчас мы предъявим
один такой способ оценки снизу cat (Af").
Рассмотрим кольцо когомологий Н*(Мп; Z) (все нижеследующие конструкции
дословно повторяются для кольца Н*(Мп; Zp)). Число к называется «когомоло-
«когомологической длиной многообразия Af"», если fc есть максимальное из всех чисел р
со следующим свойством: существуют элементы oi,.... ар 6 ff*(Af"; Z) такие, что
произведение <*i •... • ар отлично от нуля в H*(Af";Z). Под «произведением» мы
понимаем здесь обычное умножение в кольце когомологий.
Предложение 3. Имеет место неравенство: cat (Af") > к + 1, где к — когомоло-
когомологическая длина многообразия Af".
Аоказательство. Пусть D: Hk(Mn,Z) -» #n_t(Af";Z) — двойственность Пу-
Пуанкаре, устанавливающая изоморфизм между указанными группами. Напомним,
что если а, р € H*(Af"; Z) — два коцикла и а • /3 — их произведение в коль-
кольце #*(Af;Z), то D(a-P) = D(a)f)D(p), где через D(a)f)D(p) обозначено
пересечение циклов D(a) и D(p) (операция пересечения двойственна когомологи-
когомологическому умножению). Для наглядности можно представлять, что циклы 71 = D(a)
и 72 = D(J}) реализованы в Af" в виде подмногообразий (или подмногообразий

168 Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
с особенностями); тогда цикл 7i П 72 получается у
как пересечение этих двух подмногообразий (после
приведения их в общее положение; см. рис. 94). Рас-
Рассмотрим произведение а\ ¦ а2-... • а* Ф О длины к
в Н*(Мп; Z) и пусть 7. = #(<*,). 1 ^ » < *• Тогда
D(avar... а*) = 7i ГНг П • • • Г\Ъ = 7, где цикл 7
не гомологичен нулю (напомним, что D — изомор- рНСр 94.
физм). Предположим теперь, что cat (Af") < к. Это
означает, что существуют такие замкнутые подмножества Аи..., A, (s ^ fe) в Af",
что Af" = (J Ai, и каждое At стягивается по М11 в точку. Без ограничения общности
i=i *
можно считать, что Af" = U Ai, где все Ai стягиваются в точку по Af". Достаточно
в качестве А,+\,..., Ак (если з < к) взять произвольные (к - з) точек в Af". Далее
считаем, что з = к. Сопоставим каждому циклу 7i A ^ t ^ fc) подмножество At.
Так как Ai стягивается в точку по Af", то ff»(Af"; Z) вкладывается в #,(Af" \ At; Z)
(где * > 0).
Отсюда получаем, что каждый цикл 7< гомологичен циклу 7«- С Af \ Ai, I < t < к
к _
(т. е. цикл 7< можно «снять» с подмножества j4, С М). Но в таком случае f) 71,
t к к |=1
с одной стороны, гомологичен П 7» = 7> а с Другой стороны, П 7i С П i№ \ ^«) —
(к Ч '='* '=' '='
Af \ I U А{Л =0, так как Af = U j4j. Это означает, что 7 гомологичен нулю, что
\t=i / \=\
противоречит условию теоремы. Доказательство окончено. ¦
Применим доказанное утверждение к вычислению cat (Af"). Так, например,
если двумерное замкнутое компактное многообразие Af2 не гомеоморфно сфере, то
cat (Af ) > 3. Доказательство немедленно следует из уже известной нам информации
о строении Я*(М2; Z) и Я*(М2; Z2).
Докажем, что cat (RP") = п+ 1. Получим сначала верхнюю оценку: cat (RP") <
n+l
n + 1. Рассмотрим стандартное разложение RP" = \J А\, где А\ — откры-
открытые n-мерные диски, определяемые так: А\ = {\(х\... ,х1,... ,ж"+1);а;' Ф 0},
где {ха}, 1<а<п+1, — однородные координаты на RP" (см. [1], т. II, §2).
Так как {А[} — открытое покрытие RP", то в каждое множество А\ можно вписать
такой замкнутый диск Ai, что их объединение будет по-прежнему образовывать
покрытие RP" (достаточно немного уменьшить диски А\). Так как каждый диск А,
по себе стягивается в точку, то мы получили искомую верхнюю оценку.
Докажем теперь, что cat(RP") ^ n+ 1. Для этого достаточно доказать, что
когомологическая длина RP" (с коэффициентами в Z2) равна п. В самом деле,
Н*(Щ"п; Z2) = Z2[xi ]/(ж"+1), т. е. кольцо когомологий изоморфно кольцу усеченных
полиномов от образующей Х\ (степень Х\ равна единице); через (ж"+|) обозначен
идеал, порожденный элементом х"+1. Тем самым, произведение х" = Х\ •... • Х\
(п множителей) отлично от нуля. Итак, cat (RP") = n + 1.
Докажем, что cat (T") = п + 1, где Т" — n-мерный тор. Так как Я*(ГП; Z) =
Д(ж|,ж2,... ,х„) — внешняя алгебра от одномерных образующих ж<, 1 < t < п,
то произведение Х\ ¦ ж2 •... • хп отлично от нуля и, следовательно, cat (T") ^ n + 1.

§ 19. Критические точки гладких функций
169
Докажем, что cat (Tn) < п + 1. Так как Т" = S1 х Г", то Т" можно представить
в виде Т" = E1 yTn-l)\Jan. Общее утверждение: cat(XV5") = cat(X), если
cat (X) ^2, где X V S" — «букет» сферы S" и произвольного линейно связного
клеточного комплекса X. В самом деле, пусть cat (X) = к и X = (J А{, где каждое Л,
стягивается по X в точку. Пусть аго 6 X — точка, в которой произведена склейка
букета: Х\/ S*.
Представим S" в виде объединения двух замкнутых дисков: 5" = D" U Щ., где
хо € .D?; хо $ D". Рассмотрим _4,-0 такое, что х0 € jij,; положим Ва = Аа, где а Ф to
иа/ jo, где jo — любой фиксированный индекс, отличный от »о: В,-о = А^ (J D";
Bj0 = Aj0 UI?"¦ Отметим, что Aje f\D% = 0 (см. рис. 95).
Таким образом, X V &" = U ^«. ГДС каждое В,- стягивается по X V &"
t=i
в точку. Итак, cat (X V Sn) = cat (X). В качестве элементарного упражнения
мы оставляем читателю доказательство следующего более общего утверждения:
cat (XV У) = max (cat (X), cat (У)), где X и У — произвольные линейно связ-
связные пространства. Формула cat (X V S1*) = cat (X) (если cat (X) ^ 2) есть частный
случай этого утверждения. Возвращаясь к подсчету cat (Tn), получаем: cat (Tn) =
cat ((Т"-' V Sl) U о*) < cat (Т" V S1) + 1. Так как cat (Tn~l V Sl) = cat (T»),
и cat (Г2) = 3, то, по индукции, получаем: cat(T"+1) ^ n + 1, что и требовалось
доказать.
Пусть р: Е —» В — расслоение со слоем F в смысле Серра, т. е. выполнена
аксиома о существовании накрывающей гомотопии.
Предложение 4. Имеет место неравенство: cat (Е) < cat g(F) ¦ cat (В), где
F С Е — слой расслоения р: Е -»В.
Аоказательсгво. Требуемое утверждение мы получим как частный случай более
общего утверждения: пусть У С В — замкнутое подмножество в базе В,р~1 (У) С Е —
его полный прообраз в Е; тогда выполнено неравенство: catg(p~'(y)) ^ cat^(JP) •
са1в(У). Ясно, что положив В = У, получаем искомое утверждение.
Рассмотрим сначала случай, когда cata(y) = 1. Следует проверить неравенство
catj(p~'(y)) ^ catB(F). Стягивая У по базе В в точку, мы можем (по аксиоме
о накрывающей гомотопии) накрьпъ эту деформацию деформацией подмножества
р~'(У) по Е в слой F. В силу леммы 4 получаем cat^(p~'(У)) < cat«(F), что
и требовалось.
к
Теперь рассмотрим общий случай: пусть catp(y) = к. Тогда У = \J Ai, где

170 Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
_ *-'
каждое Ai стягивается по В в точку. Положим Y = \J А& А = А^\ тогда
_ -_ '=;
У = Y\JA, где catB(?) < к - 1, catB(.A) = 1. Требуется проверить неравенство:
cat в (p-x(Y U А)) ^ cat S(F) ¦ cat B(Y (J А). Имеем:
Искомое неравенство будет следовать из следующего неравенства:
catB(p-\Y)) + сгХв(р~\А)) < cat B(F) • cat B(Y \jA) = kcatB(F).
Так как cat B (p~' (A)) < cat B(F) (А стягивается по В в точку), то достаточно доказать
более сильное неравенство
cat B(p~l(Y)) + cat B(F) < duB(F) ¦ к,
т.е. _
catB(p-\Y)) ^ catB(F)- (k - 1).
Это неравенство, в свою очередь, следует из еще более сильного неравенства:
cat в (р-1 (У)) < cat B(F) ¦ cat B(Y),
так как cat в (У) < к -1. Однако последнее неравенство можно считать выполненным
в силу предположения индукции, где индукция ведется по catB(y) (первый шаг
индукции cat в (У) = 1 был разобран ранее). Утверждение доказано. ¦
Существуют расслоения р: Е -* В, для которых неравенство cat (E) <
cat B(F)cat (В) превращается в равенство. Например, рассмотрим расслоение Хопфа:
р: S3 ^+ 52. В этом случае 2 = 1 ¦ 2, так как cat (S3) = 2, cat (S2) = 2, cat &(Sl) = 1
(слой S1 стягивается по S3 в точку).
§ 20. Критические многообразия и неравенства Морса.
Функции с симметрией
Важным случаем вырожденных критических точек гладких функций / на много-
многообразии М" являются так называемые «невырожденные критические многообразия».
Это означает следующее: а) уравнение grad / = 0 должно задавать набор гладких
подмногообразий Wt С М" размерностей а*; б) требуется дополнительно, чтобы
дифференциал d2f в любой точке подмногообразия Wk был квадратичной формой
ранга п — at, т.е. форма d2f должна быть невырождена на линейном пространстве
векторов, нормальных к^в М" в некоторой римановой (положительной) метрике.
Функции такого типа естественно возникают в случае, если на многообразии
действует группа Ли, и функция инвариантна относительно преобразований группы.
Другой пример дают функции /, полученные из многообразий меньших размерно-
размерностей при отображении АР -> М11'9, как функции вида f(x) = ^(^(а;)) для функций
Морса д(х) на многообразии АР~*, если ранг ф = п - 1.
Определение 1. Индексом связного критического многообразия Wk называется
число Л отрицательных квадратов формы d2f (которое не зависит от точки
из Wk в силу невырожденности формы d2f на нормальной плоскости).

§20. Критические многообразия и неравенства Морса 171
Как и в § 16 этой главы, основными инвариантами критического многообразия
являются (предполагая, что на одном уровне находится лишь одно связное крити-
критическое многообразие) локальные числа Бетти — ранги относительных гомологии
bk(Maj,Maj \ Wj) = ранг Hk(Maj, Maj \ Wj),
где Ма — область меньших значений f(x) < a; Wj — критическое многообразие
на уровне f(x) = о,. Как и в § 16, мы имеем
Ьк(Мь+с, М„,_?) = Ь»(Мв), М„. \ Wj),
если в интервале значений [о,- - е, а,- + е] нет других критических точек, кроме Wj.
Неравенство типа Морса уже выводились в § 16:
в,._г) > ьк(мп).
В случае невырожденных критических многообразий эти неравенства становятся
эффективными, если известна топология самих критических многообразий Wj и их
индексы \j.
Теорема 1. а) Имеет место равенство
bk(Wj) = bk+Xi(Maj+e, Me,_?) A)
(берутся числа Бетти по модулю 2).
б) Если многообразие М" ориентируемо и критическое многообразие Wj односвязно,
то равенство A) верно для чисел Бетти с вещественными коэффициентами R.
Для доказательства теоремы следует более четко представить топологическую
картину, отвечающую критическому многообразию Wj С М". Достаточно ма-
малая е-окрестность многообразия Wj, обозначаемая через U(Wj), диффеоморфна
нормальному расслоению над
со слоем — диск Dn~a> (радиуса е) (см. [1], II, §7). В каждом слое — нормальной
плоскости Л? "' к любой точке х G Wj — квадратичная форма d2f имеет поло-
положительное подпространство R^ размерности а и отрицательное Щ размерности 6,
где b = Xj и а + 6 = п - Oj. Мы имеем разложения нормального расслоения к Wj
в прямую сумму
Объединение областей радиуса е вокруг нуля в каждом слое расслоения со сло-
слоем Щ мы обозначим через U~(Wj), а в расслоении со слоем R$ — через U+(Wj).
Имеем естественное вложение
U~(Wj) С U+(Wj) С Мп.
Ограничение функции / на U~(Wj) имеет максимум на самом Wj С U~(Wj),
вложенном как нулевое сечение @ в каждом слое Щ). Совершенно аналогично
теореме из § 15 этой главы доказывается
Лемма 1. Для малого б > 0 многообразие Mai+t стягивается к комплексу Mai-t U
U~ (Wj) в предположении, что на уровнях [aj — 6, uj + 6] нет других критических
точек, кроме Wj. Склейка производится по отображению ц>: dU~(Wj) -* Maj-i-

172 Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
Аоказательство леммы повторяет рассуждение из § 15. Вместо приклейки од-
одной клетки <тх> в изолированной невырожденной критической точке Xj индекса Л,
здесь приклеивается целое многообразие U~(Wj), представляющее, по определе-
определению, aj-параметрическое (параметр — точка из Wj) семейство клеток ах>, где Xj —
индекс критического многообразия Wj. Лемма 1 из § 15 о возможности точного
приведения (локально) функции / к квадратичному виду несущественна для ре-
результатов § 15. Более важно то, что в силу невырожденности формы d2f топология
поверхностей уровня функции / около критической точки определяется формой d2f,
что очевидно. В данном случае невырожденность формы d2f на всех нормальных
плоскостях к Wj обеспечивает все топологические свойства уровней функции /
в области U(Wj) полностью аналогично. ¦
Граница dU~(Wj) представляет собой расслоение со слоем — сфера Sx'~l.
Это — семейство границ клеток о~х', зависящее от параметра, где параметр про-
пробегает все точки из Wj. Расслоения V и 8U~ со слоями Dx> и Sx'~l могут быть
нетривиальны. Если база Wj односвязна, то эти расслоения — ориентируемы (и са-
само Wj ориентируемо в силу односвязности). Именно это и будет использовано
при доказательстве пункта б).
Замечание. Фактически можно просто в формулировке теоремы заменить требования
пункта б) на требование ориентируемости Wj и U~(Wj).
Докажем следующее утверждение.
Лемма 2. IIycmbU~(Wj) — расслоение со слоем Dx' и базой Wj. Для относительных
гомологии (U~, dU~) имеют место равенства
Wj)
Если U~ и Wj ориентируемы, то равенства B) верны и для G = R, Z.
Аоказательство. Мы имеем следующие изоморфизмы двойственности Пуанкаре
(см. § 18):
1) DV: Я«A/-) а ffaj+Ay_,(ir, аи') (см. задачу 4);
2) Dw: Ht(Wj) = Ha'~q(Wj) (см. теорему 18.1) (размерность Wj есть ctj, раз-
размерность U~ есть aj + Xj).
Рассмотрим суперпозицию DyD^. Получаем изоморфизм
DVDW:
Так как Ht(U~) = H,(Wj), то лемма доказана. ¦
Из теоремы 4 § 5 мы получаем («теорема факторизации» или «вырезания»):
Ммъ-1 U и~, Щ-t) = н,(и-, air).
v
Так как Я»(Мау+$, Majs) = Ht(U~, dU~), мы из лемм 1 и 2 получаем и доказатель-
доказательство теоремы. ¦

§20. Критические многообразия н неравенства Морса 173
Пример 1. Пусть задана поверхность Af2 врашения в R3 вокруг оси г и / —функция
высоты (координата z на Af2). Критические многообразия Wj — это окружности S1, где а,- = 1.
Число А,- либо 0 (локальный минимум), либо 1 (локальный максимум). Могут быть также
изолированные критические точки (локальные минимумы или максимумы), если они лежат
на самой оси г.
Пример 2. Рассмотрим расслоения с базой — сферой S* вида (см. [1], т. II, § 24):
1) SO(n +l)I*S* (слой SO(n));
2) Щп) ±> 52"-1 (слой Щп - 1));
3) Sp(n) Д Я4" (слой Sp(n - 1)).
На сферах 5", 52*, S*~~] возьмем функцию д(х) с одним минимумом х0 и одним
максимумом Х\. На пространствах расслоений 1), 2), 3) возникает функция
f(x)=g(p(x)).
Мы будем иметь два критических многообразия для / вида Wo = Р~'(хо) и Wt = р~у(х\)
индексов Ai = n (или 2л — 1, Лп — 1 соответственно) и Ао = 0 (максимум). Из теоремы 1
получаем:
6, (SO(n + 1)) ^ ft,.. EO(n)) + bj (SO(n));
6, (Щп)) ^ 6,_B._0(tf(n - 1)) + 6, (U(n - 1)); C)
bj (Sp(n)) ^ Ь,_Dп_0 (Sp{n - 1)) + Ь, (Sp(n - 1)).
Проверьте, что здесь все Wj и U~l(Wj) ориентируемы (см. замечания к доказательству теоремы
выше), и неравенства C) справедливы не только для G = Z2, но и для G = Z,R.
Задача /. Докажите, что неравенства C) являются равенствами при j < п для SO(n + 1),
j < 2n — 1 для U{n) и j < 4n — 1 для 5р(п).
Из более точных результатов § 7 следует, что для U и Sp неравенства C) являются равен-
равенствами для всех j. Более трудной задачей является доказательство того, что неравенства C)
являются равенствами для 50 при G = Z2 (всегда) и при G = R (для нечетных п).
Пример 3. Рассмотрим однородное риманово пространство Мя с группой движений D,
где Мя = D/H, И — стационарная подгруппа точки х0 ? Af", Нх0 = Хо.
Рассмотрим функцию /(х) = p2(z, хс), где р(г, х0) — риманово расстояние от точки х
до точки х0. Очевидно, функция f(x) инвариантна относительно группы Я: f(Hx) = f(x).
Залача 2. Изучите критические многообразия функции f(x) = р2(х, 1) для Af" = SO(n),
или U(n), Sp(n).
Указание. Здесь метрика р является двусторонне инвариантной и группа движений
есть D = SO(n) х SO(n):
D.x-* gix?\ {дьЯг) € D.
Функция /(*) инвариантна относительно преобразований подгруппы Н = SO(n) = {g,g) С D,
так как при х0 = 1 имеем gxag~l — х0. Тем самым функция р2(х, 1) = f(x) инвариантна
относительно внутренних автоморфизмов f(gxg~l) = f(x).
Пример 4. Пусть Q — группа Ли и Т: Q —» GL(n, R) — ее матричное представление.
Характер представления определяется следующим образом Хт(*) = Sp{Tx), x ? Q. Отме-
Отметим, что характер Хт(*) = /(*) дает другой пример функции, инвариантной относительно
внутренних автоморфизмов f(gxg~l) = f(x).
Залача 3. Изучить критические многообразия функции f(x) для Q = S0(n) или
U(n), SP(n) и их неприводимых представлений. Рассмотрите случаи Q = 5OC), SOD), SUC).
Для группы 50B) все нетривиальные вещественные неприводимые представления двумерны
и имеют вид
T(u>\-\\ ««("P). sin(nv)
¦MW ~ || _ sin (mp), cos\n<p)
/«(*>) = Хт(<р) = 2 cos (n<p).

174
Глава 2. Критические точки гладких функций ¦ гомологии
Рассматривая задачи из примеров 3 и 4, полезно сначала разобраться, какие
орбиты имеет группа внутренних автоморфизмов для SO(n), U(n), SU(n). Для
группы SOC) и групп SUB) = Sp(l) дело обстоит просто.
Залача 4. Докажите, что все орбиты группы внутренних автоморфизмов есть S1 кроме
центра (центр равен 1 для 5ОC) и равен A, -1) для 51/B) = Sp(l)). Орбита точки из центра
одноточечна.
Для группы U(n) каждая матрица А € U(n) внутренним автоморфизмом А —>
] U(n) может быть диагонализована. Для диагональных матриц все
зависит, очевидно, от количества различных совпадающих собственных значений.
Пусть матрица разложена на блоки вида
Д
дАд~] для д
А =
А,
О
о
О
о
D)
где А7- = exp Bwi<pj) и Aj встречается lj раз, 1\ +... +1к = п.
Залача5. Докажите, что орбита дАд~1 матрицы А вида D) есть U(n)/(U(li)x... х17A»)).
Орбиту общего положения мы получим, когда все собственные числа различны:
\хф\2Ф ... Ф А„. В этом случае U(lj) = U(\) = Sl, и орбита имеет вид
U(n)/(U(l)x... xU(l))=U(n)/Tn.
Таким образом, в этих примерах мы имеем функции с непрерывной симметри-
симметрией — группой Q преобразований М" -* М", оставляющей функцию / неизменной:
/: f(gx) = f(x). Различные орбиты группы недиффеоморфны друг другу; поэтому
факторпространство М ? M/Q не является многообразием. Хотя функция f(x)
и получается как f(x) = <р(рх) из некоторой функции <р на M/Q, но пользо-
пользоваться неравенствами типа Морса на M/Q нельзя, поскольку это пространство —
не многообразие.
Пример 5. Интересный класс примеров такого рода с дискретной группой Q мы
получаем из так называемых кристаллографических групп — см. [1], т. I, § 20. Пусть К — не-
некоторая дискретная подгруппа связной части группы движений Gn евклидова пространства RR
(кристаллографическая группа для п = 3). Согласно известной теореме (см. [1], т. I, §20),
в группе К имеется нормальный делитель N конечного индекса, состоящий из трансляций.
Группа Gn есть полупрямое произведение SO(n) на R", причем трансляции R" С Gn есть
нормальный делитель, a SO(n) = G./R* (см. [1], т. I, §4). Дискретная подгруппа К С G»
и ее нормальный делитель JV С R", где N = Kf)Rn, определяют конечную факторгруп-
факторгруппу Dk = K/N, представляющую все вращения вокруг разных точек из R", имеющиеся в К.

§20. Критические многообразия в неравенства Морса 175
Мы имеем компактное многообразие — тор Т" = R°/N (N — свободная абелева ранга п)
и действие конечной группы Dt на торе Xя: д(х) = дхд~](mod N) для д g К.
Любой функции / на R", инвариантной относительно кристаллографической груп-
группы if С G«, соответствует (та же самая) функция, рассматриваемая на торе 2й* = R"/JV,
обозначаемая через /(у), у € Xя. При этом функция /(у) на торе Т" инвариантна относи-
относительно преобразований из конечной группы Dk. Мы приходим к следующей задаче: имеется
компактное риманово пространство М", конечная группа движений D: Мш —» М" и функция
Морса /(х) на М", инвариантная относительно группы D. Как можно уточнить неравенства
Морса для данной ситуации?
Лемма 3. Пусть Wi С М" — многообразие в АГ1, состоящее из целой связной ком-
компоненты множества всех неподвижных точек элемента d € D, d Ф 1. Ограничим
функцию f на Wi. Если точка хо G Wi является критической для f на Wi, то
эта же точка является критической и для f на всем Af".
Локазательство. Рассмотрим ?(х) = grad/(x) как вектор в Af", используя
метрику. Из инвариантности метрики относительно движений группы D сле-
следует, что преобразование d € D переводит вектор f(x) = grad/(x) в вектор
grad f(dx): f (x) -» ?(dx). Если х G Wi, то х = dx. Разложим вектор ^(х) в сум-
му Ci + 6 = $, где ^i касателен к Wi и ^2 нормален к Wi. Очевидно, d: ?\ -* ?\.
Напротив, d(H) Ф ?2, если ^2 Ф 0. Иначе многообразие Wd не исчерпывало бы всей
связной компоненты множества неподвижных точек элемента d e D — оно расши-
расширялось бы по направлению вектора &• Тем самым вектор ?(х) = ?i (х) = grad f(x)
касателен к Wd. Лемма доказана. ¦
Уточнение неравенств Морса при исследовании конкретного многообразия
(Af, D) и функции / требует знания неподвижных многообразий элементов d€ D,
взаимоотношения этих многообразий для разных d и гомоморфизма вложения их
гомологии в М". В частности, если х0 — изолированная неподвижная точка элемента
d 6 D, то точка х0 является критической точкой функции /(х) на Af".
Рассматривая один элемент d e D, d Ф 1, получаем неподвижное многообра-
многообразие Wi. В силу неравенств Морса для Wi мы имеем для fat =
Заметим, что индексы критической точки на Wd и на М" могут не совпадать. Даже
для циклической группы D порядка m с образующей d неравенства Морса могут
быть улучшены, если знать вложения
Wd С Wfi С ... С М" = Wg., (Г = 1.
Особый пример мы получим в случае, если D = Z2 и неподвижное многообра-
многообразие Wi элемента dф\ имеет размерность п - 1 и разделяет многообразие Af" на две
диффеоморфные части, Af" = М\ Q М2, где дМ\ ~ дМ2 = Wi. Действие элемента d
таково:
d: Mi -* Af2,
? = *!.
Рассмотрим точную последовательность пары (Af, W):
Дя,+1(мь w) A Hq(w) h нч{мх) h щ{ми w)

176 Глава 2. Критические точки гладких функций в гомологии
Определим числа
Ък(М,, W) = Ък{М2) + ранг (Нк(Мь W)/Im j,).
Залача 6. Докажите, что число критических точек функции / индекса * на Mt
(включая W) не менее, чем Ък(М,, W).
§21. Критические точки функционалов
и топология пространства путей ПМ
Естественный аналог теории Морса и Люстерника—Шнирельмана возникает
на бесконечномерных гладких многообразиях М°°. Одним из таких «многообра-
«многообразий» является, например, пространство кусочно-гладких путей U(M,p, q), идущих
на конечномерном многообразии М от точки р до точки q. На многообразии М°°
можно рассмотреть функцию F{y), где 7 € М°°. Такие функции обычно называются
функционалами. Понятие «критической точки» -уо Для Fif) естественно, но «индекс
критической точки» нуждается в обосновании.
Мы не будем здесь знакомиться с теорией бесконечномерных многообразий
и ограничимся пространством путей П(М, р, д) из точки р в точку q.
Пусть p,q ? М — две фиксированные точки, у. [0,1] —» М — кусочно-гладкий
путь, 7@) = р, 7A) = 9, т. е. существует подразделение 0 = *о < *i < • • • < t* = 1 от-
отрезка [0,1] такое, что 7([*«> t{+\\) @ ^ t < jfc - 1) — гладкое отображение, а в целом у
непрерывно. Множество всех таких путей обозначим через il(M, p, q). Кусочная
гладкость (а не гладкость) рассматриваемых траекторий j(t), 7@) = р, 7@ = q ока-
оказывается технически полезной при доказательстве теоремы о разложении простран-
пространства П в сумму «клеток», по аналогии с тем, как это происходило в конечномерном
случае. С каждой точкой 7 € ЩМ, р, q) мы свяжем некоторое бесконечномерное
линейное пространство Т7П, которое можно естественно представлять себе как
«касательное пространство» kQb «точке» 7 6 П.
Определение 1. Касательным пространствам Т7П/сПв точке 7 назовем линейное
пространство всех кусочно-гладких векторных полей v вдоль пути j, для
которых ю@) = 0, v(l) = 0.
Вариацией по параметру «, -е < « < е, пути у, оставляющей точки р и q
неподвижными, назовем отображение отрезка а: (-е, +е) —» Q (е > 0 — достаточно
мало) такое, что 2@) = у; существует подразделение 0 = t0 < t\ < ... < tk = 1,
для которого а(и, t), определенное формулой а(«, t) = a(u)(t), на каждой полосе
U < t < ?,>i является гладким отображением в М (см. рис. 96).
Так кяк при каждом фиксированном и(-е < и < е) мы получаем кусочно-
гладкий путь а(«) (t), то а можно рассматривать как траекторию в пространстве fi
(см. рис. 97). Поэтому можно рассмотреть вектор скорости траектории 5(и) в точ-
точке 7 = «@). По определению, положим: v = §^@,*), поле v = v(t) является
кусочно-гладким векторным полем вдоль 7(*) и, следовательно (по определению
касательного пространства Г7П), принадлежит Т7п. Легко проверить и обратное:
если задано произвольное поле v 6 Г7П (т. е. поле v(t) вдоль 7@)> то всегда суще-
существует траектория 5(«) G П такая, что ^5@, t) = v(t). Поле v(t) в вариационном
исчислении обычно обозначается через #7-

§21. Критические точки функционалов 177
а{и,у)
Рис.97.
Пусть F(t) — вещественнозначная функция на П. Рассмотрим путь f 6 П и по-
поле w = 6у е T7Q. Рассмотрим производную J^FE(u)) , предположив, что эта
производная существует. В тех конкретных примерах функционалов FG), с кото-
которыми мы будем иметь дело, существование производной будет очевидно. Отметим,
что данное выше определение производной j^F(a(u)) в точности скопированно
с «конечномерного» определения производной по направлению от гладкой функции
на конечномерном многообразии. Следуя и далее этой аналогии, дадим определение
критического пути для F{i). Будем говорить, что путь 7о € ^ критический для F(i),
если ~j-F(a(u))\ — О для любой вариации 5(и) пути 7о (или вариационная
"" !и=о
производная Щ = 0 равна нулю).
Сейчас нас будут интересовать совершенно конкретные функционалы на П.
Это — действие пути: Е{у) = /| §j dt и длина пути: Ь(у) = /|^| dt, уже изучав-
о о
шиеся в книге [1] (см. [1], т. I, гл. 5). При этом мы считаем, что М — риманово
многообразие. Между функционалами L и Е существует следующая связь: I? < Е,
причем равенство достигается тогда и только тогда когда \i\ ~ const, т. е. параметр t
(на 7@) пропорционален длине дуги (натуральному параметру).
Напомним теперь некоторые сведения о вариационных производных функ-
функционалов LG) и i2G). Пусть 5(«) — вариация пути у; v — v(t) = f^@, t) —
векторное поле #у вариации 5(и) (вдоль 7@); 7@ — вектор скорости траекто-
траектории 7@; а@ = V-id) — вектор ускорения траектории, A-y@ = t('+) - 7('~). т-е-
скачок вектора скорости в точке t. Справедлива следующая теорема (формула первой
вариации) — см. [1], т. I, §31.
Теорема 1. Имеет место равенство:
~Е(а(и))
и=0
(О о
где a(t) — вариационная производная функционала Е — гладкая функция.
В силу кусочной гладкости пути 7@ имеем: Д7@ = 0 Д™ всех *> кроме
конечного числа значений t (точек разрыва производной).
Как мы уже отмечали ранее, из формулы первой вариации следует утверждение.
Теорема 2. 7о € П является критической точкой для функционала Е(у) тогда
и только тогда, когда 7о — геодезическая.
Аоказательство. Если 7о(О ~ геодезическая, то А7@ = 0; «@ = 0, т. е.
^2?(a(u))|u=0 = 0. Обратно: пусть ?-#("(«)) |и=0 = 0 Для любой вариации 5(и)
13 Зак. 368

178
Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
пути 7о(')- Рассмотрим вдоль 7о(О векторное поле v(t) = g(t)a(t), где функция
g(t) > 0, причем g(t) = 0 только в тех точках tt 6 [0,1], в которых A-y(ti) Ф 0. Итак:
~в
1
= - f(a(t),a(t))g(t)dt,
«=0 J
т. е. a(t) = 0 вдоль 7о(О- Так как a(t) = V^Go), то это означает, что каждых гладкий
отрезок траектории 7о(О является геодезической. Выберем теперь й(а) так, чтобы
v(U) = &i(U); тогда
о=0
т. е. Д7(*») = 0 для всех t, поэтому 7о(О — гладкая траектория (не имеет точек
излома). Теорема доказана. ¦
Напомним теперь формулу второй вариации (см. [1], т. I, §36) для функциона-
функционала Е. Пусть V\, V2 € Т7П — два векторных поля.
Рассмотрим двупараметрическую вариацию a: Ux
[0,1] —» М, где U(uu «г) — открытая окрестность
точки @,0) € Я?(щ,и2); t е [0,1]; а@,0,0 = i(t);
g@,0, t) = v,(t); g@,0, t) = v2(t). Легко проверить,
что для любой пары полей vt,v2 € T7il такая вариация
существует (см. рис. 98).
Гессианом функционала Е в критической точ-
точке 7о(О € П назовем выражение вида:
Здесь 5(«i,tt2)(f) = a(«i,«2,0- Справедлива следующая формула второй вариации
функционала Е (см. [1], т. I, §36).
Теорема 3. Пусть 7о € ^ — геодезическая (т. е. критическая точка для Е(-у))
и 5(«ь «г) — двупарамертическая вариация пути jo- »i = 5^(®> ®)» * = '»
(t) + ДGо,
Л,
где A(V^,»i(f)) = V^t;i(*+) - V^*|(< ) — скачок производной V^V\{t) в одной
из ее точек разрыва; R — тензор кривизны.
Выше было показано, что геодезические 7о(О не имеют точек излома, поэтому
можно ограничиться вариациями а, для которых v\(t) и 1^@ не имеют точек излома.
Тогда:
l&Eia) f.
О

§21. Критические точки функционалов 179
Напомним, что векторное поле v(t) вдоль геодезической 7о называется якобие-
вым, если оно удовлетворяет дифференциальному уравнению Якоби:
(см. [1], т. I, §36). Это уравнение удобно записывать в координатах в следующем
базисе: выберем вдоль 7о(О я ортонормальных (для каждого t) параллельных вдоль 7о
векторных полей: ex(t),...,е„(*) (т.е. V-joee(<) = 0). Тогда v(t) = v'e^t), и мы
получим:
^ ? = 0 ЩЦ) = (ДGо, ej)j0, ei).
Таким образом, якобиево поле (как решение этой системы) однозначно опреде-
определяется следующими начальными данными: v@), Vj0v@) € Т7о(О)(Мп). Напомним
теперь определение сопряженных точек вдоль геодезической 7о(О- Пусть для па-
пары точек А, В е 7о@ существует ненулевое якобиево поле v(t) вдоль 7оС) такое,
что v\A = v\B = 0 (т. е. поле v(t) обращается в нуль в точках А и В). Тогда точки А
и В называются сопряженными вдоль геодезической 7о- Кратностью пары сопря-
сопряженных точек А, В € 7о (вдоль 7о) называется размерность линейного пространства
всех таких якобиевых полей (вдоль 7о)-
Рассмотрим d2E(v\, vi); пусть Wj, С Т7оП — линейное подпространство в ТЪП,
состоящее из всех векторных полей v\ таких, что d2E(v\ ,щ) = 0 для любого «2 € Тъп.
Подпространство WJt иногда называется нулевым подпространством гессиана d?E
в точке 7о € Я или ядром гессиана d2E. Степенью вырождения гессиана d2E
называется dim W^ (в критической точке 7о € Г2).
Теорема 4. Пусть 7о — геодезическая на М из точки р в точку q; тогда v € Wltl
(т. е. принадлежит ядру гессиана d2E) в том и только в том случае, когда v —
якобиево поле вдоль 7о (в частности v\p = v\q = 0).
Таким образом, ядро W7t гессиана d2E отлично от нуля тогда и только тогда,
когда концы р и q геодезической 7о сопряжены вдоль 7о- Размерность ядра Wyo
(т. е. степень вырождения гессиана d2E) равна кратности сопряженных точек р
и q вдоль 7о-
Локазательство. Пусть v — якобиево поле вдоль 7о такое, что v\p = v\9 = 0.
Тогда v G T-fcft. Так как 7о — гладкая траектория, то A(Vjev(t)) = 0 (нет изломов).
Так как v(t) — якобиево поле, то (Vjj2v(t) + ДG<ь »Oо = 0 и, следовательно,
из формулы второй вариации функционала Е получаем:
i
d2E(v, v) = Х)<»(*). 0) + /<»(*), 0) dt = 0.
(«) о
Итак, v G Т?ъ (ядру d2E). Обратно: пусть v € Wlt. Требуется доказать, что v(t) —
якобиево поле вдоль 7о(О- Так как поле v(t) кусочно-гладкое, то отрезок [0,1] можно
разбить конечным числом точек 0 = t0 < i\ < ... < tk = 1 на интервалы (*,-_ь <<),
на которых поле v(t) гладко. Как и раньше, построим гладкую функцию f(t) на [0,1],
равную нулю в точках {<,, 0 < t ^ fc} и положительную во всех остальных точках.
13*

180 Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
Рассмотрим поле q = /((V^,,J» + ДGо> »Oо)- Подставляя его в d2E, получаем:
}__
2 дщди2
u,=«2=o
1
= d2E(v,q) = -?>, A(V*,t»)> -f
Так как q(U) = 0, 0 < t < к, то первое слагаемое равно нулю, и поскольку f(t) > 0
при t Ф U, 0 < » < к, то (V^0Jt;4-ДGо, »Oо = 0 на каждом интервале [tj-i> *<]• Таким
образом, v — якобиево поле вдоль каждого интервала [f,-_),<<]. Докажем, что v —
якобиево поле вдоль всей траектории 7о- Для этого достаточно показать, что V^,(v)
не имеет точек разрыва на отрезке [0,1]. В самом деле, допустим противное: пусть
A(Vro> v)ti = V-jot>(f+) - V^,»(f,~) — скачки в точках f,-: тогда можно рассматривать
векторное поле #@ вдоль yo(t) такое, чтобы д(Ь) = Ыу^)ц. Тогда получаем:
-d2E(v, д) = X) I A(V-ftw)'. I' + / («. (v-hJ» + *Go, «Oо> Л = 0,
i=i 0
в силу того, что v € Кег (d2E). Второе слагаемое в этой сумме равно нулю (см. выше),
а потому
2
т. е. Д(У^«)^ = 0 при всех *. Итак, V^i» не имеет точек разрыва, и, следовательно,
v — якобиево поле вдоль всей траектории 7о- ¦
Замечание. Размерность ядра гессиана d2E всегда конечна, так как она равна числу
линейно независимых якобиевых полей вдоль 7о (аннулирующихся в точках р и q).
Среди различных вариаций траекторий у0 выделен класс так называемых геоде-
геодезических вариаций, т.е. таких гладких отображений а: (-е, +е) х [0,1] -> М", при
которых а@, t) = 7о(О и каждая траектория 5(и) (напомним, что a(u)(t) = a(«, t))
является геодезической (т. е. в процессе возмущения геодезической 7 возмущенные
траектории по-прежнему остаются геодезическими). Рассмотрим «вектор скорости»
таких траекторий а в пространстве П, т. е. — векторное поле $^ вдоль 7о- Мы
утверждаем, что это поле якобиево вдоль 7о-
Действительно, так как все траектории ог(«) — геодезические, то V* (§^) = 0;
следовательно, равно нулю следующее выражение:
да да\ да
)
т. е. поле |? — якобиево поле.
Верно и обратное: любое якобиево поле вдоль геодезической 7о можно полу-
получить с помощью некоторой геодезической вариации. В самом деле, предположим
сначала, что геодезическая 7о соединяет две достаточно близкие точки р' и q1,
расположенные в некотором диске ?>" С М" достаточно малого радиуса е > 0. Тогда

§21. Критические точки функционалов 181
можно считать, что любая пара точек a, (i e Dn соединяется единственной геоде-
геодезической, содержащейся в области D". Докажем сначала существование якобиева
поля вдоль 7о (от р' до cf), имеющего в точках р' и 4 произвольные заданные
значения (см. рис. 99). Рассмотрим в точках р' и 4 произвольные касательные
к М векторы а и Ь и построим якобиево поле вдоль 7о с начальными данными:
а в точке р' и b — в точке 4- Через точку р' проведем гладкую кривую в(«) такую,
что ^р = а; аналогично — через точку 4 проведем траекторию Ци) такую, чтобы
^ЩЬ = Ь. Искомое семейство геодезических мы получим, соединив геодезическими
точки а(и) и Ь(ь) (такая геодезическая единственна). Меняя и, получаем искомое
возмущение геодезической 7о от точки р' до точки q' с заданными начальными зна-
значениями а и b (см. рис. 100). Искомое якобиево поле вдоль 7о от р' до 4 получается
дифференцированием по параметру и построенной выше геодезической вариации.
Так как якобиево поле однозначно определяется своими значениями в точках р' и q1,
то любое якобиево поле вдоль 7о от точки р' до точки q1 можно получить указанным
способом. Отметим, что линейное пространство всех якобиевых полей вдоль 7о
от р' до 4 изоморфно 2п-мерному линейному пространству: Tj(M*) х T^(Af").
Верно и более общее утверждение: якобиево поле вдоль геодезической 7о от точки р
до точки q (где р и q — не обязательно близки) однозначно определяется своими
двумя значениями в двух несопряженных (вдоль 7о) точках.
Рис. 99. Рис. 100.
Докажем теперь существование геодезической вариации, порождающей задан-
заданное якобиево поле v уже на всей геодезической 7о от р до q. Для этого рассмотрим
пару точек р\ 4 € 7о> расположенных внутри достаточно малого шара D", и зададим
в точках р' и q' следующие векторы: а = v\j, Ь = ь\#. Далее: строим геодезическую
вариацию, порождающую якобиево поле v вдоль 7о от точки р' до точки 4 (см. по-
построение выше), и продолжаем построенное семейство геодезических за пределы
диска ?)", что и дает искомую геодезическую вариацию уже вдоль всей геодезичес-
геодезической 7о-
Изучим связь между сопряженными точками вдоль 7о и свойствами гессиа-
гессиана d2E. Напомним, что индекс Л гессиан» d2E есть максимальная размерность
подпространств в Тъп, на которых форма <?Е отрицательно определена. Имеет
место следующее важное утверждение.
Теорема 5. Индекс квадратичной формы d2E в критической точке 7о ? ^ равен
числу точек на геодезической 7о(О> 0 < * < 1. сопряженных вдоль 7о(*) с начальной
точкой р = 7о@) (каждая точка 7о(*)> сопряженная с 7о(О) = Р. учитывается
столько раз, какова ее кратность). Индекс А = ЛGо) всегда конечен.

182
Глава 2. Критические точка сладких функций н гомологии
Замечание. Если точки р и q не сопряжены вдоль 7о> то тогда можно рассматривать
всю траекторию 7о(О> 0 < f < 1. В этом случае Ker(d2J5) = 0 и 70 € П — невырожденная
критическая точка индекса Л.
Из теоремы, в частности, вытекает, что каждый отрезок геодезической 7о
содержит только конечное число точек, сопряженных с точкой р — 7о(О).
Прежде чем переходить к формальному доказательству теоремы, дадим нагляд-
наглядное пояснение, показывающее, что сопряженные точки определяют такие вари-
вариации 5?(и) в пространстве П, вдоль которых квадратичная часть функционала Е
убывает. Будем считать, что на многообразии М задана положительно определенная
риманова метрика и V — риманова связность, согласованная с этой метрикой.
Пусть х0 € 7о — точка, сопряженная с р = 7о(О) вдоль 7о(О- Тогда вдоль от-
отрезка \р, xq] геодезической 7о существует индекс А(х0) якобиевых полей (А(х0) ^ 1),
аннулирующихся в точках р и х0. (Эти поля могут, конечно, обращаться в нуль
и в некоторых внутренних точках отрезка [р, х0]). Рассмотрим геодезическую вари-
вариацию 5(и) отрезка [р, х0] в направлении какого-либо якобиева поля вдоль [р, хо],
аннулирующегося в р и х0. Это означает, что существует бесконечно малое «враще-
«вращение» геодезической [р, х0], оставляющее неподвижными точки р и х0 (см. рис. 101).
Рассмотрим геодезические a(u)(t), определяющие эту геодезическую вариа-
вариацию, 0 < t < tQ, где t0 соответствует точке хо € 7о- Тогда можно рассмотреть
следующий гладкий путь <р{и) в пространстве П: <p{u)(t) = a(u)(t) при 0 < t ^ to;
ip(u)(t) = 7о(О при t0 < < ^ 1 (см. рис. 102).
Yo(t)
Ркс. 101.
Рис. 102.
В силу выбора ip(v) можно считать, в первом приближении, что длина 7о
от р до q равна длине a(u)(t) от р до х0 плюс длина 7о от х0 до q, т. е. можно
считать, что функционал Е не меняется при достаточно малом смещении вдоль
траектории <р(и), 0 < и ^ е.
Так как якобиево поле полностью определяется своими начальными данными,
то в точке хо угол между векторами скоростей траектории 7о и траектории a(v)(t)
отличен от нуля (см. рис. 103).
Теперь мы построим новую траекторию ф(и) в пространстве п, выходящую
из точки 7о. вдоль которой квадратичная часть функционала Е будет строго убывать,
т. е. вектор скорости ^(«)|о=0 будет принадлежать подпространству, на котором гес-
гессиан d2E отрицательно определен. Построение вариации ip(v) показано на рис. 104.
Рис. 103.
Рис. 104.

§21. Критические точки функционалов 183
Так как в достаточно малом треугольнике xoyz выполнено строгое неравенство:
длина (хо, у) + длина (х<>, z) > длина (z, у), то и длина траектории V(u)@ (гДе i> =
(pz) + (zy) + (yq)) строго меньше длины <p(u)(t), т. е. длины 7о (от р до q). Здесь
мы, конечно, использовали положительную определенность римановой метрики.
Итак, каждое якобиево поле на отрезке рх0, аннулирующееся в точках р и х0 дает
единичный вклад в индекс гессиана d2E в точке у0.
Доказательство теоремы. Рассмотрим такое (достаточное мелкое) разбиение от-
отрезка [0,1] точками O = to<t\ < ... < tk = 1, чтобы каждый отрезок [7o('i-i), 1o(U)]
геодезической 7о был минимальным геодезическим отрезком, соединяющим точ-
точки 7о(*»-|) и 7о(?|) в достаточно малом шаре, содержащем эти точки.
Пусть Тъ{и) С Т7о — векторное подпространство в Тъ, состоящее из всех
векторных полей v(t) вдоль 7о(*) со следующими свойствами: а) поле v(t) якобиево
вдоль 7о на каждом отрезке [U-\, ?,], I ^ t < Jb; б) v@) = 0, v(l) = 0 (см. рис. 105).
«(*)
Рис. 105.
Иными словами, Т7о{?,} — пространство всех ломаных якобиевых полей вдоль
траектории 7о(О (точки излома — {U}). Наряду с подпространством Т7о{*,-} мы
рассмотрим в Ту,п еще одно подпространство, Q7o, состоящее из всех полей v(t),
для которых v(t{) = 0, 0 < i < k.
Лемма. Касательное пространство Г7оП распадается в прямую сумму двух своих
подпространств:
причем подпространства Т7о{1,-} и Ql0 ортогональны относительно скалярного
произведения, задаваемого в Т7оП гессианом d2E (т.е. d2E(vt,v2) = 0, если
t»j € T7a{ti}, v2 € Qjo)- Ограничение гессиана d2E на подпространстве Q1e поло-
положительно определено, т. е. индекс d2E в Тъправен индексу d2E в Тъ{<,}. Так как
Тъ {t{} — конечномерное линейное пространство, то индекс гессиана d2E всегда
конечен.
Доказательство. Пусть t; G Г7о; рассмотрим векторы «(*,-), 1 < »' ^ к; тогда
существует и единственно такое ломаное якобиево поле v', что v(ti) = »'(<t).
1 ^ » < jk; следовательно, (v — v')(ti) = 0, т. е. v" = v - v' = Q^. Итак, для любого
v € Г7всуществует и единственно разложение вида v = v' + v", где v' € T7o{t,},
a v" 6 (?7o. Итак, Т7о разлагается в прямую сумму двух подпространств: T7e{t,} и Q7o.
Докажем их ортогональность. Из формулы второй вариации имеем:
@
что и требовалось доказать.
&% V») = - 52« Д(^ть«')) - /V, 0) dt = 0,
@

184 Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
Докажем теперь, что ограничение d2E на Q70 — положительно определенная
форма, т.е. d2E(v,v) > 0, если v € Qyo, причем равенство нулю имеет место тогда
и только тогда, когда v — 0. Рассмотрим вариацию а(и) пути 7<ь порождающую
поле v ? QlQ. Так как поле v(t) аннулируется в точках tit I < i ^ к, то, очевидно,
можно считать, что 5(и)($.) = 0 для любого и, 1 < t ^ к (см. рис. 106).
a(u)(t)
Yo(t)
Рис. 106.
Так как каждый отрезок геодезической 7о от точки 70&-1) До точки yo(U)
A ^ i < к) минимален, то для соответствующего отрезка пути a(u)(t) от значения i,-_i
до значения U выполнено неравенство: я?1, (<*(«)(*)) ^ -^-|Gо(<)); следовательно:
E(a(u)(t)) < ЯGо(О) = Я(<5(°)@)- Так как значение d2J5(», t/) можно понимать как
вторую производную от E(a(u)(t)) в точке « = 0, то тем самым наличие локального
минимума для E(a(u)(t)) означает, что d2E(v, v)^0.
Осталось доказать, что d2E(v,v) > 0, если v Ф 0 и v € Ql0. Предположим,
что d2E(v,v) — 0. Докажем, что тогда d2E(<p,v) = 0 при любом <р G Тъ. Так
как if = <р' + <р", где <р' € Т7о{*,-}, а <р" € <?7о, то
d2E(ip' + /, t») = d2E{ip\ v) + d2E(<p", v) = d2E(ip", v),
так как d2E(<p', v) = 0 (напомним, что подпространства Т7о{?<} и Qlt ортогональ-
ортогональны относительно формы d2E). Так как (aip" + v) € <?7о для любого веществен-
вещественного а, то имеем: d2E(a<p" + г, а^>" + ») ^ 0, т. е. a2d2E(ip", ip") + d2E(v, v) +
2ad2E((p", v) = a2d2E(tp", ip") + 2ad2E((p", v) > 0, т. е. в силу произвольности а
получаем: diE(tp", v) = 0. Итак, d2E{<p, v) = 0 при любом <р € T7o, т. e. t; G Ker (d2E).
В то же время Кег (d2E) состоит только из якобиевых полей, а так как подпростран-
подпространство Q7o содержит только нулевое якобиево поле, то окончательно получаем, что
d2E(v, v) > 0 на Qlfj. Лемма доказана. ¦
Доказанная лемма позволяет ограничиться при подсчете индекса d2E вдоль 7о
только ломаными якобиевыми полями, отвечающими достаточно мелкому разбие-
разбиению {U} отрезка [0,1]. Рассмотрим геодезическую 7о(О на интервале от 0 до t0, где
0 ^ tо ^ 1. Обозначим через X(t0) индекс гессиана d2E вдоль отрезка геодезичес-
геодезической [0, to]. Ясно, что А(*о) — монотонная функция, т. е. A(f<j) ^ ^(*о), если to < t'o. Это
следует из того, что любое якобиево поле на [0, to] аннулируется в точке t = 0 и в точ-
точке t = а, где а ^ to, а потому каждое такое поле продолжается до якобиева поля вдоль
отрезка [0, t'o], если положить его равным нулю на отрезке [a, t'o] (см. рис. 107). Далее,
из локальной минимальности геодезической 7о(О следует, что А(?о) = 0 при доста-
достаточно малых t0. Если to — не сопряженная точка на 7о(О>то функция X(t) локально
постоянна в достаточно малой окрестности to, так как множество не сопряженных
точек вдоль 7о(О — открытое множество. Таким образом, скачки функции \(t) могут
происходить только в тех точках t0, которые сопряжены точке 7о(О) = Р- Характер
этого скачка мы фактически уже изучили ранее. Этот скачок равен числу линейно
независимых якобиевых полей, аннулирующихся в точках 7о(О) и 7о(*о) (т. е. индексу

§22. Применения теоремы об индексе 185
сопряженной точки 7о(*о))- В самом деле, каждое такое якобиево поле определяет
вариацию 5(«) траектории 7о(О в пространстве П, вдоль которой гессиан d2E отри-
отрицательно определен. Этот эффект мы уже демонстрировали ранее; здесь мы только
напомним его (см. рис. 108). Тем самым, проходя через каждую сопряженную точ-
точку tQ, мы добавляем к функции A(i) индекс этой сопряженной точки и, следователь-
следовательно, дойдя до точки q = 7оО) (которая предполагается не сопряженной с р = 7о@)),
окончательно получаем, что значение АA) равно сумме индексов (т.е. кратностей)
всех точек, сопряженных с точкой р = 7о(О) вдоль геодезической 7о(О-
Вариация а(и)
О
Рис. 107.
Теорема об индексе функционала Е доказана. ¦
§ 22. Применения теоремы об индексе
Используя теперь доказанную в §21 теорему (об индексе) для изучения то-
топологической структуры пространства петель fi(Af), где М — гладкое компактное
многообразие. Мы будем поступать по аналогии с конечномерной теорией, которая
позволяет по заданной функции Морса на конечномерном многообразии построить
клеточное разбиение этого многообразия. Теперь вместо конечномерного много-
многообразия мы возьмем «бесконечномерное многообразие» И(М) = ft(M, p, q) кусочно-
гладких путей из точки р в точку q.
Рассмотрим функционал действия E{i), где 7 € ИМ; этот функционал будет
«функцией Морса», если все его критические точки (т. е. геодезические из точки р
в точку q) будут невырожденны. Как мы уже выясняли, это будет в том и только
в том случае, когда точки р и q не сопряжены друг другу (вдоль любой геодезической,
соединяющей р и q). Далее, в каждой критической точке 70 G ИМ функционала Е
возникает целое число — индекс этой критической точки, т. е. индекс геодезиче-
геодезической 7о (от точки р до точки д). Следовательно, по аналогии с конечномерным
случаем, можно ожидать, что на каждой критической точке (т. е. геодезичес-
геодезической 7о) «повиснет» одна клетка размерности, равной индексу этой критической
точки (т. е. индексу геодезической 7о)- Тем самым возникает клеточное разбиение
пространства ИМ на клетки, число и размерность которых определяется числом
и индексами геодезических, соединяющих точки р и q (если р и q не сопряжены).
Так как мы рассматриваем римановы многообразия Мп, то между любыми
двумя путями 7i. 7г 6 ПМ" можно определить расстояние
<*Gi,72) = max
Л
f (dsx{t) ds2(t)\2
где 8\(t), s2(t) — длины дуг вдоль 7i(t) и 7г@; Р(х> У) — расстояние на АР между
точками х и у (в заданной римановой метрике). Для каждого а > 0 рассмотрим
12 Зак. 368

186 Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
область П" С ИМ, т. е. множество всех точек у 6 ПМ, для которых Е(-у) < а.
Оказывается, множество П" можно (в некотором точном смысле) аппроксимировать
гладким конечномерным многообразием.
Фиксируем некоторое разбиение отрезка [0,1] точками 0 = to < t\ < ... < <* = 1
и обозначим через П(?о, ¦ • • ,h) подпространство в ИМ, состоящее из всех кусочно-
гладких геодезических, имеющих точки излома только при значениях параметра t,
равных*о* *i» - - -»**- Через П°(*о> *ii • • • i **) обозначим пересечениеП" р| il(to, • ¦ • > tk)\
т. е. точками ua(to,... ,h) являются все кусочно-гладкие геодезические линии, вдоль
которых Е ^ а.
Лемма 1. Пусть Мп — компактное многообразие и па Ф 0. Тогда для всех доста-
достаточно мелких разбиений (t0,... ,tt) отрезка [0,1] множество il(to,...,tt)f](E< a)
можно снабдить структурой гладкого конечномерного многообразия.
Аоказательство. Пусть е > 0 — такое достаточно малое число, что для лю-
любой пары точек, отстоящих друг от друга на расстояние, не превосходящее е,
существует единственная геодезическая, соединяющая их в шаре радиуса е. Раз-
Разбиение (foi-.-,**) выберем так, чтобы для всех i: f,- — *«—1 < 7- Тогда каждая
геодезическая j e ?l"(to, ...,<*) однозначно определяется набором из к - 1 точек:
y(t]),... ,7(?*-i). Отображение 7 ~» G(*i)>--- >7(**-i)) устанавливает гомеомор-
гомеоморфизм между fi(f0,... ,tk) Г\(Е < a) и открытым подмножеством прямого произведе-
произведения М х ... х М ((к - 1) раз). Лемма доказана. ¦
Рассмотрим функцию Е1 — ограничения функционала Е с пространства П*
на гладкое конечномерное многообразие il(to, ¦•-,<*) ПС^ < <*)•
Лемма 2. Функция Е' является гладкой функцией Морса на конечномерном много-
многообразии il(to,... ,tk) C\(E < а). Критическими точками этой функции являются
в точности критические точки функционала Е на П(?о> • ¦ •, *i) П(-^ < а)> т-е-
геодезические (без изломов), идущие из р в q и имеющие длину, меньшую, чем у/а.
Индекс критической точки функции в точности равен индексу соответствующей
геодезической. Для любого Ь < а многообразие fi(t<j, •••>**) П(^ ^ &) является
деформационным ретрактом множества пь = (Е < Ь).
Аоказательство. Предъявим деформацию г: (Е < Ь) -* П(*о,¦¦¦ >
Пусть 7 € (Е ^ Ъ) и (t0,..., <*) — фиксированное выше (достаточно мелкое) раз-
разбиение [0,1]; рассмотрим точки 7('оЬ • • • > 7(**)> и пусть г(у) — единственная
кусочно-гладкая геодезическая, принадлежащая U(t0,... ,tt) f](E < b), определя-
определяемая точками y(to),..., f(tk). Построение искомой деформационной ретракции
показано на рис. 109. Далее, утверждение о том, что критическими точками Е1
на П(*о, ¦¦¦ ,tk) f\(E ^ I») являются в точности геодезические (без изломов), идущие
из р в q, следует из формулы первой вариации. Совпадение индексов для Е1 и Е
вытекает из локального характера определения якобиева поля вдоль геодезической:
Рис. 109.

§22. Применения теоремы об индексе 187
пространства якобиевых полей для функции Bf и функционала Е совпадают. Лемма
доказана. ¦
Таким образом, получаем следующее утверждение.
Следствие. Пусть М" — компактное многообразие {впрочем, вместо компактно-
компактности можно было бы предположить только полноту многообразия Мп); р, q € Af" —
пара точек, не сопряженных вдаль геодезической длины, не превосходящей у/а.
Тогда множество Я" = (Е < а) гомотопически эквивалентно конечному клеточ-
клеточному комплексу, в котором каждая клетка размерности А взаимно однозначно
соответствует геодезической (длины, не превосходящей у/а) индекса А.
Устремляя а —» оо (к бесконечности), получаем, что все пространство п гомо-
гомотопически эквивалентно клеточному комплексу, в котором каждая клетка взаимно
однозначно соответствует геодезической изр в q, а размерность клетки равна индексу
этой геодезической.
Замечание. Мы не будем здесь обсуждать более формально предельный переход а —> оо,
поскольку это обсуждение потребовало бы введение такого топологического понятия, как
прямой предел расширяющихся пространств.
Теперь мы рассмотрим пространство П*(М,р, q) всех непрерывных путей
на многообразии Af", идущих из точки р в точку q. Оказывается, что простран-
пространства П*М и ИМ гомотопически эквивалентны, а потому клеточное разбиение Q.M
порождает также и клеточное разбиение пространства fi*Af. Рассмотрим естествен-
естественное вложение г (I —» П*. Будем считать, что топология в пространстве п* вводится
с помощью метрики max />Gi@i72(*))» гДе 7i>72 ? ft*, ар — расстояние на ри-
мановом многообразии Af". (Иногда эту топологию называют компактно-открытой
топологией.) Из сравнения топологий на ft и ft* (см. выше) легко следует, что
отображение вложения i непрерывно.
Лемма 3. Пространства ft и ft* гомотопически эквивалентны.
Аоказательство. Построим непрерывную функцию g на ft*, 0 < g(j) ^ 1, такую,
что из неравенства \t-t'\ < 2g(i) следует: точки 7@ и f(t') соединены единственной
минимальной геодезической. Пусть /: Af" —» [0,1] — произвольная непрерывная
функция на компактном многообразии Af", принимающая значения от 0 до 1.
Через ?i(r) (где г € [0,1]) обозначим наибольшее действительное число такое, что
любая пара точек из /~' [0, г], расположенных друг от друга на расстоянии, не превос-
превосходящем ?\(г), соединены единственной минимальной геодезической. Ясно, что при
возростающих г функция е\ (г) является монотонно невозрастающей. Рассмотрим
функцию ег(г) такую, что 0 < е2(г) < ?i(r). Положим еG) = ?2(max /7@); получаем
W
непрерывное отображение е: п* —* R. По построению функции ег мы имеем, что лю-
любая пара точек на кривой у С Af", расстояние между которыми не превосходит е{у),
соединена единственной минимальной геодезической. Рассмотрим новую функцию:
тG)а) = (а-1)еG)+ max
здесь т: П* х [0,1] —> R. Функция т строго монотонно возрастает при изменении
аргумента а от 0 до 1 и тG,0) < 0 < т{у, 1). Следовательно, для каждого -у ? п*
существует единственное а<> € @,1] такое, что тG, оо) = 0. Окончательно, поло-
положим сс0 = 2дG). Если а = \t -1'\ ^ а0 = 2g(j), то тG, а) < t(j, a0) = 0, т. е.
12*

188
Глава 2. Критические точки сладких функций и гомологии
тG, «) = («- ОФ) + max pG(i), 7@) < 0, т. е. pfr(t), 7@) < 0 - <*
Ф),
следовательно, 7@ и 7@ соединены единственной минимальной геодезической
(см. выше определение еG)). Построение функции g(j) закончено. Определим
непрерывное отображение г: $7* —» П, положив: г(-у) — однозначно определенный
путь такой, что r(j) совпадает с у при значениях параметра t = О, g(j), 2g(j),...,
к ¦ д{ч) и при t = 1; здесь к = [^] (целая часть); траектория гG) является гео-
геодезической на каждом интервале [р • д(-у), (р + 1M(т)], 0 < р ^ к - 1. Как и выше,
непосредственно проверяется, что отображения ir и ri гомотопны тождественным
отображениями (см. рис. ПО). Лемма доказана. ¦
Рис. НО.
Рнс. 111. Индекс Л = 3. Этой геодезической 7о
соответствует трехмерная клетка <г3
Итак, доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусть М" — компактное (или полное) риманово многообразие; р и q —
пара точек на Af", не сопряженные вдоль никакой геодезической. Тогда простран-
пространство непрерывных путей O*(Af",p, q) (гомотопически эквивалентное простран-
пространству fi(M",p, g)) имеет гомотопический тип счетного клеточного комплекса,
в котором каждой геодезической из точки р в точку q с индексом Л соответству-
соответствует в точности одна клетка размерности А.
Замечание. Если фиксирована геодезическая 7о> то соответствующая клетка <тх (Л —
индекс 7о) возникает как множество траекторий, получающихся из 7о путем возмущения 7о
в направлении всех якобиевых полей вдоль 7о (см. рис. 111).
Продемонстрируем некоторые приложения доказанной
теоремы. Применим эту теорему к задаче о вычислении групп
целочисленных гомологии (и когомологий) пространства пе-
петель П5", где 5" — n-мерная сфера. Введем на сфере Sn
стандартную риманову метрику, и пусть р и q — две достаточ-
достаточно близкие точки на сфере 5". Тогда можно считать, что р и q
не сопряжены вдоль никакой геодезической на 5" (например,
с точкой р сопряжена только одна точка на сфере — это диа-
диаметрально противоположная ей точка -р). Тогда точки р и q
соединены счетным числом геодезических 7<ь7ь72>---. где 7о — кратчайшая дуга
большого круга, на котором лежат точки р и q (см. рис. 112). Обозначим окружность
большого круга через d; тогда 7i = d+y0; 72 = d+d+y0; 7з = d+d+d+-y0 и т.д. Ясно,
что индекс AGt) геодезической 7* равен k(n-1). Здесь мы использовали тот факт, что
точки р и -р сопряжены с кратностью п-1: существует п-1 геодезических вариаций
(поворотов) дуги большого круга, соединяющих точки р и -р. Из доказанной ранее
Рис.112.

§22. Применения теоремы об индексе 189
теоремы вытекает, что пространство петель US" имеет гомотопический тип клеточ-
клеточного комплекса, у которого в каждой из размерностей 0, п — 1,2(п — 1), 3(п - 1),...
имеется ровно по одной клетке (в других размерностях клеток нет). Отсюда мы
можем получить информацию о гомологиях ff»(nS";Z). Предположим сначала,
что п > 2; тогда каждая из указанных выше клеток {<тк^п~1Ц, к = 0,1,2,... является
(ко)циклом (поскольку две соседние размерности вообще не содержат клеток), т. е.
;, если p = k{n-l), * = 0,1,2,3,...;
I, при всех других значениях р.
В частности, HpiQS"; Z) ~ Hp(QSn; Z). При п = 2 рассуждения несколько услож-
усложняются. В этом случае в каждой размерности 0,1,2,3,4,... имеется ровно по одной
клетке, поэтому тривиальность граничного оператора д: Ср —> Ср^\ уже не вытекает
из приведенных ранее соображений. Изучим более подробно структуру трехмерного
остова (п)® пространства петель US2. Из доказанного выше получаем: (fiS2)C* =
°° U °X U °г U °Ъ- Напомним, что из стандартного расслоения Е -* S2 (где Е —
пространство путей на S2, выходящих из фиксированной точки на S2) вытекает
соотношение: *i(S2) = *j_i(fl), t ^ 1. Как показано в §21 т. II книги [1J, *2(S2) = Z,
т.е. Ti(fi) = Z. Далее (см. [1], т.II, §22), я-3E2) = Z (т.е. ж2(п) = Z). Так как
H\(Q;Z) = {прокоммутированная группа *i(fi)}, то Hi(u;Z) = Z. Следовательно,
граница клетки а2 стягивается по 51 = cr° \J ax в точку, т. е. двумерный остов (П)^
гомотопически эквивалентен букету S'V^2 (см. §4). Так как тг(П) = Z, то
трехмерная клетка а3 при приклейке к S] \/ S2 должна уничтожить действие фунда-
фундаментальной группы iti(Sl) на я"гE2 V S1) = Z, следовательно, (П)^ гомотопически
эквивалентен произведению Si x S2. Так как двумерные (ко)гомологии QS2 полно-
полностью определяются трехмерным остовом (ns2)^, то получаем, что H2(US2; Z) = Z
и Я2(П, Z) = Z. Обозначим образующие групп когомологий #'(?); Z) и H2(il;Z)
через а и b соответственно (deg(a) = 1; deg(b) = 2). Ясно, что а2 = 0 в кольце
H*(U;Z).
Напомним определение Я-пространсгва. Топологическое пространство Y назы-
называется Я-пространством, если в нем определена операция умножения ц: Y x Y —* Y,
обладающая «гомотопической» единицей (см. § 7). Рассмотрим отображения
Y Д У х Y Д Y.
Здесь jt(y) = (у,уо), ji(y) = (уо,у), Уо G Y — «гомотопическая единица». Отобра-
Отображения /I о ja гомотопны тождественному отображению У —» Y.
Напомним также, что пространство петель пМ является Я-пространством.
Отображение р: ИМ х ?1М —> QM задается произведением путей (см. § 7)
f°9 = /*(/, 9),
т. е. двум петлям ставится в соответствие петля, получаемая последовательным
прохождением обеих петель.
Согласно теореме Хопфа (см. § 7) алгебра когомологий любого Я-пространства
над полем рациональных чисел изоморфна тензорному произведению Л(х),..., xt)<8
Q[y\> • • • >У*]» где Л(жь ... ,xt) — внешняя алгебра от нечетномерных образующих

190 Глава 2. Критические точки сладких функций в гомологии
Х|,... ,xt; Q[yi, ••• ,Уж] — алгебра полиномов от четномерных образующих yi,... ,у,.
В частности, если Д-пространство конечномерно, то его алгебра когомологий изо-
изоморфна внешней алгебре a(xi, ..., х().
Так как пространство US2 является Д-пространством, то H*(SIS2) =
A(xi,..., xt)®Q[yi,..., у,]. Мы уже предъявили две образующие: х\ = a(deg (a) = 1),
yi = 6(dcg (b) = 2); следовательно, все степени Ьк, к = 1,2,3,..., отличны от ну-
нуля в алгебре H*(ilS2) и, следовательно, Д*(П52) содержит следующую подалге-
подалгебру: Л(о) ® Q[b]. Мы утверждаем, что эта подалгебра полностью исчерпывает всю
алгебру Д*(П52). В самом деле, подалгебра Л(о) ® Q[b] содержит в каждой размер-
размерности по одной аддитивной образующей: bq (в размерностях вида 2q, q = 1,2,3,...)
или ab4 (в размерностях вида 2д + 1, q = 0,1,2,3,...). С другой стороны, ранее
было показано, что клеточное разбиение пространства SIS2 содержит ровно по од-
одной клетке в каждой размерности; следовательно, предъявленные выше коциклы
полностью исчерпывают всю алгебру H*(SIS2). Отсюда следует, в частности, для
целочисленных гомологии: HP(SIS2; Z) = Z при любом р = 0,1,2,3,..., поскольку
все клетки а1 — циклы.
Окончательный ответ:
1) Hp(SlSnZ)= /Z> если Р = *("-!). fc = 0,1,2,3,...;
' ^ ' ' \ 0, при всех других р;
2)
H*(ilS2n; Q) = Aia^-i) ® Q [ft*,_2
Продемонстрируем также, как информация о гомотопиях и гомологиях много-
многообразия М позволяет делать вполне определенные высказывания о поведении (и су-
существовании) геодезических на римановом многообразии М". Используем, напри-
например, полученную выше информацию о гомологиях пространства петель QSn; n > 2.
Предложение 1. Пусть М" — римаиово многообразие, гомотопически эквивалент-
эквивалентное сфере S", n ^ 2. Тогда любые две несопряженные точки р, q G М" соединены
бесконечным числом геодезических.
Это предложение немедленно следует из доказанной выше основной теоре-
теоремы о структуре пространства петель пМп и из информации о гомологиях этого
пространства.
Замечание. Геодезические, существование которых установлено в теореме 1, являются
различными точками функционального пространства ИМ", однако геометрически (после
их реализации в виде гладких кривых на М") некоторые из них могут совпадать (см., на-
например, геодезические на сфере 5я). Вопрос о выяснении числа геометрически различных
геодезических требует, вообще говоря, дополнительного исследования.
Пусть М" — компактное гладкое многообразие и пусть t > 0 — первый
номер группы *j(Afn) такой, что я",-(Мп) Ф 0. Тогда для любых двух несопряженных
точек p,q € Мп существует соединяющая их геодезическая индекса t. В самом
деле: так как т<(М") = iTj_i(nM"), то и группа F,_i(fiMn) отлична от нуля;
следовательно, по теореме о клеточном разложении пространства петель получаем,
что функционал Е на ПМ" должен иметь по крайней мере одну критическую точку
(т. е. геодезическую) индекса г. Утверждение доказано.

§23. Периодическая задача вариационного исчисления 191
Если многообразие имеет отрицательную (неположительную) кривизну по всем
двумерным направлениям, то (как будет показано в §23) все критические точки
функционала Е на Q(M", p, q) имеют индекс 0 (локальные минимумы).
Залача 1. Выведите отсюда, что геодезические, соединяющие точки р и q, находятся
в естественном взаимно однозначном соответствии с элементами группы ж1(Мя).
§ 23. Периодическая задача вариационного исчисления
Ранее мы подробно рассмотрели одномерную вариационную задачу на римано-
вом многообразии М", связанную с функционалами длины L(i) и действия Е{у),
где 7 С О(Л^">Р>9)» Р> 9 — фиксированные точки на М". Эта вариационная за-
задача называется «задачей с закрепленными концами», так как 7@) = р, 7@ — 4>
7 € il(M",p,q). Важное значение имеют так называемые «замкнутые экстремумы»,
к изучению которых мы сейчас и переходим. Изучение этой задачи несколько
отличается от «задачи с фиксированными концами».
Периодическая задача ставится следующим образом. Рассмотрим компактное
гладкое риманово многообразие М"; через П(М") мы обозначим пространство всех
замкнутых гладких кривых на М", т. е. точка пространства П(М") есть гладкое
отображение j: Sl —» Мп, где Si = S](t), 0 ^ t < 2x, — окружность, отнесенная
к стандартной угловой координате t, при этом начальная точка не фиксируется.
Замечание. Пространство П(АГЛ) (топология в нем вводится точно так же, как и в про-
пространстве fl(Af",p,q), см. выше), отличается от пространства (Jft(Af*;p,p) = П(М"), т.е.
г
р = q; имеется отображение (не расслоение!) ЩЯ^ур^) -» П(М"), где прообразом точки
является окружность. Множество линейно связных компонент пространства П(М") — это,
по определению, множество «свободных» гомотопических классов отображений 51 —» М".
Согласно § 17 т. II книги [1] гомотопические классы определяются классами сопряженных
элементов в группе т,(ЛР).
Вывод. Допустимые функционалы на путях многообразия Мп имеют обязатель-
обязательно минимумы в каждой линейно связной компоненте пространства П(М"). Сле-
Следовательно, число минимумов не менее числа классов сопряженности в группе
В настоящем параграфе мы будем широко использовать разработанный выше
аппарат изучения экстремалей на пространстве il(Mn,p,q), а потому не будем
повторять построение аналогичных конструкций.
Пространство П(М"), как и пространство n(Af",p, q), может быть естествен-
естественным путем превращено в «бесконечномерное многообразие»; если j G П(М") —
замкнутая траектория (напомним, что под термином «траектория» мы понимаем тра-
траекторию с параметризацией; т. е. траектории с разными параметризациями являются
разными точками пространства П(М")), то «касательное пространство» Г7П(М")
к «многообразию» П(М) в точке у € П(М") состоит из всех гладких векторных
полей вдоль 7 (т. е. периодических векторных полей). На пространстве П(М") оба
функционала: L("y) и ^G) (длина пути и действие пути) определены точно так же,
как и в случае пространства п(Мп, р, q). Изучим экстремали функционалов Е и L.
Лемма 1. Если 7о € П(М") — замкнутая экстремаль функционала Е, то 7о —
замкнутая геодезическая, отнесенная к параметру, пропорциональному натураль-
натуральному.

192 Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
Доказательство немедленно вытекает из соответствующих теорем для экстре-
экстремалей из пространства u(Af",p,q). Если j(t) — периодическая экстремаль для
функционала длины L, то все траектории j(t'), получаемые из y(t) с помощью
гладких замен параметра t —> t', также является экстремалями функционала дли-
длины L. Следовательно, «критические точки» функционала длины L не являются
изолированными в пространстве ЩМп); в частности, они ни в каком смысле
не могут быть «изолированными и невырожденными» критическими точками для
функционала Е. ¦
Поэтому (как в случае пространства п(М", р, q)) основное
внимание мы сосредоточим на изучении экстремалей функци-
функционала Е. Отметим, что замкнутая геодезическая 7о(О € ЩАГ1)
может быть кратной, в том смысле, что с изменением t от О
до 1 множество {т@) с ^"» являющееся гладкой кривой,
пробегается несколько раз; см. рис. 113. Геодезические j(t),
Рис. 113. Двукратная изображаемые в Мп гладкой кривой, пробегаемой один раз,
геодезическая называются простыми (однократными) геодезическими.
Обратно, если задана некоторая простая замкнутая геоде-
геодезическая, то она определяет бесконечную дискретную последовательность замкнутых
геодезических, получающихся из исходной многократным пробеганием (с большими
скоростями, чем скорость пробегания исходной геодезической). Все эти траектории
являются различными точками пространства П(М). Если, например, исходная тра-
траектория 7о(*) определяла ненулевой элемент фундаментальной группы тг\(М) (более
точно: ее класс сопряженности отличен от единичного элемента), то описанные вы-
выше кратные ей траектории принадлежат уже другим классам сопряженности группы
Как и в случае геодезических с фиксированными концами, с каждой замкнутой
геодезической можно естественно связать некоторое целое число, которое по анало-
аналогии с предыдущим случаем мы также назовем степенью вырождения геодезической.
Определение будет дано ниже; если же степень вырождения будет равна нулю, то
тогда геодезическая будет называться невырожденной.
Для того, чтобы корректно определить степень вырождения замкнутой гео-
геодезической, рассмотрим гессиан d2M (см. его определение и свойства выше —
в параграфе, посвященном изучению геодезических с фиксированными концами).
Нами была доказана ранее так называемая «формула второй вариации», имеющая
следующий вид:
1 д2Е{а)
2дщди2
= - / («2, Vto
»,=«2=о
где R — тензор кривизны Римана, 7о — вектор скорости геодезической 7о, а вектор-
векторные поля V\ и «2 описывают двупараметрическую вариацию, т. е. пару «касательных
векторов» к бесконечномерному многообразию ЩМ) в точке 7о- Как было отмечено
выше, векторные поля vt и щ определены вдоль всей траектории 7о, являются
гладкими и периодическими. Поскольку гессиан d2E определяет билинейную сим-
симметричную форму на касательном пространстве Г7оП(М), то, следовательно, эту
форму можно однозначно задавать соответствующим ей линейным дифференциаль-
дифференциальным оператором, который, очевидно, имеет следующий вид: D = -(V^oJ - ДGоOо-

§23. Периодическая задача вариационного исчисления 193
Здесь мы поступаем по аналогии с конечномерным случаем, когда задать билиней-
билинейную функцию означает задать линейный оператор D, с помощью которого искомая
форма В определяется формулой В(х, у) = (х, Dy).
В нашем случае действие оператора D на «касательные векторы» v € Tj0U(M)
(т. е. на гладкие периодические векторные поля, определенные вдоль замкнутой
геодезической 7о) осуществляется по следующей формуле:
D(v) = -(V*J» - ДGо, «Oо = - [(V%J + ДG0) )то] («)•
Напомним, что «касательный вектор» v (т. е. периодическое векторное поле) на-
называется якобиевым, если это поле аннулируется оператором D, т. е. является реше-
решением следующего дифференциального уравнения: D(v) = -(V^oJ» - R(jo, v)jo = 0.
Ясно, что это определение полностью копирует ситуацию геодезических с фик-
фиксированными концами. Таким образом, якобиевы поля (якобиевы «касательные
векторы») являются элементами ядра линейного оператора D, действующего на ка-
касательном пространстве Т^ЩМ).
Определение 1. Степенью вырождения замкнутой геодезической 7о назовем раз-
размерность ядра оператора D.
Точно так же, как в случае геодезических с закрепленными концами, доказыва-
доказывается, что это число конечно (см. выше).
Определение 2. Замкнутую геодезическую будем называть невырожденной, если
ее степень вырождения равна нулю.
Для простоты ограничимся в дальнейшем рассмотрением, в основном, замкну-
замкнутых невырожденных геодезических. Оказывается, с каждой геодезической естествен-
естественно связано целое число, называемое «индексом геодезической». Для его определения
снова обратимся к оператору D. Индекс может быть определен несколько иным
образом. В самом деле, поскольку индекс был равен числу отрицательных квадратов
после приведения гессиана d2E к каноническому виду на касательной плоскости
Т7оП(М), то, следовательно, вдоль каждого «касательного вектора» v € ТЪЩМ),
отвечающего одному из отрицательных квадратов формы d2E, эта форма отрица-
отрицательно определена, следовательно, этот «касательный вектор» является собственным
вектором оператора D с собственным значением Л < 0. Таким образом, индекс
гессиана d2E можно было бы определить просто как число линейно независимых
решений следующего дифференциального уравнения: D(v) = А», А < 0 (это систе-
система дифференциальных уравнений с параметром А, который является собственным
числом). Таким образом, решениями уравнения D(v) — А», А < 0, являются гладкие
периодические векторные поля вдоль геодезической 7о (если, конечно, эти решения
вообще существуют). Ситуация здесь отлична от случая якобиевых «касательных
векторов» — там всегда существует хотя бы нулевое решение однородной системы;
в случае же А < 0 решение может не существовать: в этом случае мы будем говорить,
что индекс замкнутой геодезической равен нулю.
Определение 3. Индексом невырожденной замкнутой геодезической называется
число линейно независимых решений системы дифференциальных уравнений
D(v) = -{Vifv - ДGо, t7Oo = 0.
В случае геодезических с закрепленными концами это определение также
применимо.

194 Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
Важное замечание. Конечно, определенный нами выше индекс замкнутой геодезичес-
геодезической также связан с распределением вдоль этой геодезической точек, сопряженных к выбранной
начальной точке на геодезической, однако эта взаимосвязь носит более сложный характер,
чем в случае геодезических с закрепленными концами, а потому мы не будем здесь вдаваться
в эти детали.
Залача 1. Докажите, что индекс не меньше числа сопряженных точек (но может быть
не равен).
В некотором смысле изучение «периодической задачи вариационного исчисле-
исчисления» более сложно, чем изучение геодезических с закрепленными концами. Характер
возникающих трудностей в достаточной степени иллюстрируется наличием кратных
геодезических; например, задача о нахождении количества простых (т. е. некратных)
замкнутых геодезических далеко не тривиальна.
Для того, чтобы упростить задачу изучения замкнутых геодезических, мы раз-
разберем здесь только один пример: случай римановых многообразий отрицательной
кривизны, т. е. таких многообразий, на которых все кривизны по всем двумерным
направлениям отрицательны. Примеры таких многообразий нам известны: плос-
плоскость Лобачевского, снабженная стандартной метрикой постоянной отрицательной
кривизны; двумерные гладкие замкнутые многообразия, получающиеся путем фак-
факторизации плоскости Лобачевского по действию дискретных групп, действующих
изометриями на плоскости Лобачевского и изоморфных фундаментальным группам
поверхностей (см. [1], т. II, §20 о кристаллографических группах на плоскости Ло-
Лобачевского). Для простоты мы будем предполагать иногда компактность изучаемого
многообразия.
Теорема 1. Пусть М — компактное риманово гладкое многообразие отрица-
отрицательной кривизны. Тогда в каждом свободном гомотопическом одномерном классе
существует единственная замкнутая геодезическая.
Локазательство. Рассмотрим какой-либо фиксированный класс свободных за-
замкнутых петель, гомотопных друг другу. Будем считать, что мы рассматриваем только
гладкие замкнутые траектории; сопоставим каждой траектории значение функцио-
функционала на этой траектории; рассмотрим число с, равное нижней грани всех этих значе-
значений; тогда существует, вообще говоря, бесконечная последовательность замкнутых
петель, длины которых сходятся к числу с. В силу компактности многообразия
из этой последовательности можно выбрать последовательность кривых, которые
поточечно сходятся к некоторой гладкой кривой 7<ь которая, как легко проверить,
будет замкнутой геодезической, и значение функционала Е на этой геодезической
будет равно числу с. Осталось доказать единственность этой геодезической. Для
этого нам потребуется важная лемма, значение которой не исчерпывается только
доказательством нашей теоремы.
Лемма 2. Пусть 7о — замкнутая геодезическая на многообразии М отрицательной
кривизны (здесь многообразие М можно не предполагать компактным). Тогда
эта геодезическая невырождена и ее индекс равен нулю, т. е. иными словами,
дифференциальные уравнения D(v) = Aw, A < 0, не имеют ни одного решения,
а уравнение D(v) = 0 имеет только нулевое решение.
Локазательство. Рассмотрим сначала случай уравнения D(v) = 0. Надо дока-
доказать, что оно не имеет ненулевых решений. Пусть v — ненулевое решение. Тогда
имеем: (V^J» + R(jQ, v)-y0 = 0, отсюда ((V^0Jt;, v) = -(ДGо, v}jo, v) > 0, так как

§23. Периодическая задача вариационного исчисления 195
величина (R(jo, ")То> v) как раз и является кривизной по двумерному направлению,
задаваемому в каждой точке траектории 7о двумя векторами: 7о и v. Отсюда
\2 > О,
т. е. функция (V^,», v) строго монотонно возрастает с ростом t вдоль 7о(О-
Рассмотрим на траектории 7о(О произвольную фиксированную точку, например,
точку 7о(О). Решение v(t) является функцией параметра t; изучим поведение этого
решения с изменением t. Первый случай: в точке 7о(О) выполнено неравенство
(V^w,«)|t_0 ^ 0. Тогда имеем
при всех t > 0, так как (V^w, v) — строго монотонно возрастающая функция. Второй
случай: в точке 7о(О) выполнено неравенство (V^,t>, v) ||=0 < 0. Тогда рассмотрим
вместо траектории 7о(О траекторию 7о(~О> заменив параметр t; при этом в каждой
точке вектор скорости 7о заменится на противоположный, --уо! следовательно,
dt
_t)t», v) - 2(Vitv, v)>0
при всех t > 0. Таким образом, можно считать, что либо вдоль траектории 7о(О
(т. е. с положительным направлением параметра), либо вдоль траектории 7о(~О
(т. е. с отрицательным направлением параметра) модуль вектора v монотонно возра-
возрастает; но так как траектория замкнута, то через некоторое время мы снова вернемся
в исходную точку, но с возросшим модулем вектора v; поскольку функция v
предполагалась гладкой вдоль 7о, то получили противоречие. Лемма доказана для
уравнения D(v) = 0. Теперь рассмотрим уравнение: D(v) = А», А < 0. Так как
?>(«) = -(VioJv - ДGо, »Oо = А«> то
-fcJt>, v) = -(R{j0, »Oo,») - A(», v) > 0,
так как А < 0. Именно здесь мы использовали то обстоятельство, что А < 0.
Дальнейшие рассуждения в точности повторяют предыдущие; отсюда следует, что
уравнение Dv = Xv не имеет решений. Лемма полностью доказана. ¦
Вернемся к доказательству теоремы. Рассмотрим замкнутую геодезическую 7о
в данном свободном гомотопическом классе (см. доказательство выше). Из до-
доказанной леммы следует, что эта геодезическая невырождена; в частности, она
изолирована. Так как, в силу леммы, ее индекс равен нулю, то, следовательно,
функционал Е, рассматриваемый как функция на пространстве замкнутых кривых,
имеет в точке 7о локальный минимум. Допустим, что в данном гомотопическом
классе есть несколько таких локальных минимумов (т. е. несколько замкнутых гео-
геодезических). Выберем любые две замкнутые геодезические: 7о и 7о- Поскольку обе
они невырождены, то они изолированы, и функционал Е имеет в них строгий ло-
локальный минимум (см. рис. 114). Поскольку 7о и 7о принадлежат одному свободному

196
Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
Минимум
Рис. 114.
Рис. 115.
гомотопическому классу, то существует траектория т, соединяющая эти две точки
в пространстве П(М), т. е. существует гомотетия, переводящая 7о в 7о- Рассмотрим
поведение функционала Е, ограниченного на траекторию т. Поступая по аналогии
с конечномерным случаем, получаем, что существует такая траектория т, вдоль ко-
которой функционал Е имеет между точками 7о и у'о еще одну критическую седловую
точку — а; см. рис. 115. Однако эта точка уже не может быть точкой локального
минимума, что противоречит доказанной выше лемме. Следовательно, точки 7о и 7о
совпадают. Тем самым в свободном гомотопическом классе имеется только один ло-
локальный минимум; он же — и абсолютный минимум, причем других геодезических
(кроме кратных) нет. Теорема доказана. ¦
Из доказанной выше леммы вытекают полезные следствия и для некомпактных
многообразий отрицательной кривизны.
Теорема 2. Пусть М — гладкое многообразие, имеющие отрицательную кривизну
по всем двумерным направлениям. Тогда никакие две точки многообразия М
не сопряжены вдоль никакой геодезической.
Локазательство. Следует доказать, что уравнение D(v) = О не имеет никаких
решений, кроме нулевого. Это мгновенно вытекает из леммы, что и завершает
доказательство. ¦
Теорема 3. Предположим, что М — односвязное гладкое многообразие отрица-
отрицательной кривизны (по всем двумерным направлениям), любые две точки которого
могут быть соединены геодезической. Тогда любая пара точек многообразия М со-
соединена единственной минимальной геодезической. Многообразие М диффеоморфно
евклидову пространству.
Локазательство. Поскольку М односвязно, то пространство il(M,p,q) связ-
связно. Ввиду отсутствия сопряженных точек (см. выше), каждая геодезическая имеет
индекс, равный нулю. Из теоремы Морса следует, что пространство п(М, р, q) име-
имеет гомотопический тип клеточного комплекса, размерность которого равна нулю,
и каждой геодезической отвечает одна нульмерная клетка (точка). В силу связ-
связности u(M,p,q) имеется только одна вершина, а потому точки р и q соединены
единственной геодезической. Следовательно, экспоненциальное отображение каса-
касательного пространства на многообразие — взаимнооднозначно, что и доказывает
теорему. ¦

§23. Периодическая задача вариационного исчисления 197
Оказывается, тот факт, что некоторая группа является фундаментальной группой
многообразия отрицательной кривизны, накладывает довольно сильные ограниче-
ограничения на эту группу (напомним, что любая конечно порожденная группа может быть
реализована как фундаментальная группа компактного четырехмерного многообра-
многообразия; в то же время, далеко не каждая группа может быть фундаментальной группой
трехмерного компактного многообразия, например, группа Z Ф Z ф Z © Z). Имеет
место следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть М — многообразие отрицательной кривизны. Если два эле-
элемента фундаментальной группы *\(М) коммутируют между собой, то оба они
принадлежат к одной циклической подгруппе в группе *\{М).
Аоказательсгво. Пусть а и Ь — два коммутирующих элемента. Если они при-
принадлежат к одной циклической подгруппе, то утверждение доказано. Пусть они
не принадлежат к одной циклической подгруппе. Тогда можно построить глад-
гладкое отображение в многообразие М двумерного тора Т2, реализующего условие
коммутирования указанных двух элементов а и ft. Действительно, условие коммута-
коммутативности, записанное в виде aba~xb~x = 1, и определяет отображение тора Г2 в М
(см. рис. 116). При этом коммутирующие элементы а и Ь оказываются меридиа-
меридианом и параллелью этого тора (стандартно вложенными в этот тор). Оказывается,
что условие отрицательности кривизны позволяет осуществить гладкую деформацию
этого тора в такой тор, который будет вложен в М как вполне геодезическое подмно-
подмногообразие. Для этого следует рассмотреть такое положение тора в М, при котором
он имеет минимальную площадь. Эту теорему существования минимального тора
мы принимаем без доказательства, поскольку факт существования минимального
решения достаточно нетривиален и составляет содержание известной задачи Плато.
Указанное выше минимальное положение будет задавать тор как двумерное мини-
минимальное подмногообразие в М; поскольку тор — двумерен, то на нем можно выбрать
конформные координаты, относительно которых отображение вложения тора в М
станет гармоническим отображением (это — специфика двумерных многообразий,
для которых имеет место теорема униформизации). Отсюда уже довольно легко
усмотреть, что тор будет вложен в М как вполне геодезическое подмногообразие,
т. е. как такое подмногообразие, каждая геодезическая на котором (в индуцирован-
индуцированной римановой метрике) является, в то же время, геодезической и в объемлющем
римановом многообразии. Поскольку объемлющее многообразие имело отрицатель-
отрицательную кривизну, и так как тор — вполне геодезичен, то, следовательно, мы получили
на двумерном торе индуцированную риманову метрику отрицательной гауссовой
кривизны (напомним, что гауссова кривизна двумерной поверхности является вну-
внутренним инвариантом и совпадает с ее скалярной кривизной, т. е. в данном случае —
с кривизной по двумерному направлению, совпадающему с касательным направле-
направлением к этому тору). Но на двумерном торе нельзя ввести такой метрики, поскольку
м
Рве. 116.

198 Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
тогда интеграл гауссовой кривизны по тору был бы отличен от нуля, что противоре-
противоречит формуле Гаусса—Бонне, согласно которой этот интеграл совпадает с эйлеровой
характеристикой тора (после деления интеграла на 2ir), равной нулю. Полученное
противоречие и доказывает теорему. ¦
§ 24. Функции Морса на трехмерных многообразиях
и диаграммы Хегора
Рассмотрим трехмерное гладкое компактное связное замкнутое многообра-
многообразие М3 (для простоты предположим ориентируемость многообразия М3); пусть / —
гладкая функция Морса на этом многообразии, имеющая ровно один минимум
(он же — абсолютный), один максимум (он же — абсолютный) и некоторое коли-
количество точек индексов 1 и 2. Как было доказано выше, среди всех таких функций
Морса можно выбрать такую, что ее критические точки будут упорядочены в том
смысле, что значения функции / на М пробегают отрезок [0,1]; /(р) = 0, /(р') = 1,
где р и р' — точки минимума и максимума соответственно; далее, все критические
точки индекса 1 расположены на поверхности уровня / = j; все критические точки
индекса 2 расположены на поверхности уровня / = |- Обозначим критические точки
индекса 1 через хх,... ,xqi, а точки индекса 2 — через у\,... ,уй. Из двойственности
Пуанкаре (для целых коэффициентов в случае ориентируемого многообразия) сразу
следует, что q\ = q2, т. е. число критических точек индекса 1 равно числу точек
индекса 2.
Рассмотрим поверхность уровня М2 = {/ = ^ }; так как на ней нет критических
точек и ее размерность равна 2, то М2 диффеоморфно двумерному гладкому компакт-
компактному связному замкнутому многообразию. Так как М2 является поверхностью уровня
и краем трехмерного многообразия, задаваемого неравенством \ < / < 1, то М2 —
ориентируемая поверхность, т. е. гомеоморфна сфере с некоторым количеством ру-
ручек. Пусть г — род (т. е. число ручек) поверхности М2. По построению, М2 —
это многообразие, являющееся одновременно краем двух трехмерных многообразий:
{^</<1}и{0</^|}, которые обозначим соответственно через П] и П2.
Для наглядности можно рассматривать каждое из П, (кстати, они гомеоморфны) как
трехмерное заполнение двумерной поверхности М2 (рода г), стандартно вложенной
в трехмерное евклидово пространство. Итак, мы доказали следующее утверждение.
Теорема 1. Любое трехмерное гладкое компактное связное замкнутое многообра-
многообразие может быть (неоднозначно) представлено в виде «склейки* двух трехмерных
многообразий П,-, » = 1,2, с краем, каждое из которых гомеоморфно стандартному
трехмерному многообразию П — области, ограниченной в трехмерном евклидовом
пространстве стандартно вложенной в него поверхностью рода г (для некото-
некоторого г). При этом склейка многообразий Hi и Щ производится по некоторому
диффеоморфизму а границы (границей является поверхность рода г).
Указанное представление многообразия М3 в виде склейки П] и П2,
М3 = П] (J Пг, где а: М2 —* М2, конечно, неоднозначно и, кроме того, число г
а
также зависит от выбора функции Морса на М3. Это представление М3 в ви-
виде склейки двух заполненных поверхностей рода г часто называется «диаграммой

§ 24. Функции Морса на трехмерных многообразиях я диаграммы Хегора 199
Хегора» многообразия М3; поскольку описанная выше склейка задается диффео-
диффеоморфизмом а: М2 —» М2, то иногда говорят, что задана диаграмма Хегора, если
задан диффеоморфизм а. Ясно, что если два диффеоморфизма ац и а2 гомотопны
в классе диффеоморфизмов, то соответствующие трехмерные многообразия M3(at)
и М3(а2) (полученные склейкой по а\ и а2) диффеоморфны.
Обратно, пусть задана некоторая диаграмма Хегора и М3(а) — соответствующее
ей трехмерное многообразие. Тогда на этом многообразии М3(а) можно построить
правильную функцию Морса /, которая определит (см. выше) разбиение М3(а)
в объединение двух многообразий П] и П2, совпадающее с исходной диаграммой
Хегора. В самом деле, поскольку М3(аг) = Hi U П2, то достаточно построить на П]
а
и на П2 стандартные функции Морса /i и /2 с критическими точками индексов 1 и 2,
соответственно, одной критической точкой индекса 0 для функции j\ и одной
критической точкой индекса 3 для функции /2; при этом функции ft и /2 следует
выбрать так, чтобы они были постоянны на краях П| и П2. Склеив П] и П2
по заданному диффеоморфизму, мы и получаем на М3 гладкую функцию Морса
со всеми требуемыми свойствами.
Число г (род поверхности М2) называется родом диаграммы Хегора.
Доказанная выше теорема может быть переформулирована следующим образом.
Утверждение. Любое трехмерное связное гладкое компактное многообразие мо-
может быть представлено в виде объединения двух трехмерных шаров с ручками,
поверхности которых отождествлены посредством некоторого гомеоморфизма
(диффеоморфизма).
Связь с предыдущей формулировкой осуществляется так: каждое из многообра-
многообразий П, и П2 гомеоморфно шару с г ручками.
В том случае, когда г = 0, многообразие М3(а) получается склейкой двух
трехмерных шаров по диффеоморфизму а их границ, т. е. по диффеоморфизму
двумерной сферы на себя. Ясно, что тогда М3(а) диффеоморфно стандартной
трехмерной сфере. Рассмотрим более нетривиальной случай и опишем все диаграммы
Хегора рода 1, т. е. опишем все те трехмерные многообразия, которые получаются
путем склейки двух полных торов: П1 = 5' х D2, П2 = S1 x D2 по некоторому
диффеоморфизму их границ, т. е. по диффеоморфизму а: Т2 —» Т2, где Т2 —
двумерный тор.
Теорема 2. Любое трехмерное гладкое компактное связное замкнутое многообра-
многообразие, допускающее диаграмму Хегора рода I, гомеоморфно (и, следовательно, диффео-
диффеоморфно) одному из следующий трехмерных многообразий: 1) стандартной сфере S3;
2) S1 х S2; 3) линзовым пространствам L3(l, k), где многообразие 1?(\, к) полу-
получается из трехмерной сферы S3 путем ее факторизации по гладкому действию
группы Ър, задаваемому следующей формулой:
'.~r z,e~
здесь (z, to) — комплексные координаты в С2 ~ К4; S3 = {\z\2 + |t»|2 = l}. Лин-
Линза L3(l, 1) = 53/Z2 диффеоморфна проективному пространству RP3 (при р = 2).
Аоказательство. В силу предыдущей теоремы достаточно дать классификацию
всех классов изотопии диффеморфизмов двумерного тора на себя. Поскольку тор

200
Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
является пространством типа К(ж, 1), то гомотопическая классификация непре-
непрерывных отображений на себя дается множеством гомомофизмов фундаментальной
группы Х!E' xSl) в себя; так как мы хотим ограничится только диффеоморфизмами,
то достаточно описать все изоморфизмы группы Ti(S' х S1) на себя. Так как груп-
группа xi (Г2) изоморфна Z ф Z, то, следовательно, множество всех диффеоморфизмов а
тора на себя (сохраняющих его ориентацию) задается унимодулярными целочислен-
целочисленными матрицами , 11, ad-bc = 1; если же диффеоморфизм меняет ориентацию,
то ad- be = — 1. Будем считать, что на торе фиксированы стандартные параллель
и меридиан, образующие базис в фундаментальной группе (она же — группа го-
а Ь
мологий), относительно которого и выписывается матрица а* =
фундаментальную группу многообразий М3(а), где а» = а
с d
Найдем
ad - be = 1. Так
как М3 представлено в виде склейки двух полноторий (полных торов), каждое
из которых гомотопически эквивалентно окружности, то фундаментальная груп-
группа М3 получается так: нужно рассмотреть образующие 7i и 72 и задать соотношение
между 7i и 72, имеющие в данном конкретном случае вид tf = 7! = 1 (запись
группы — мультипликативная). Отсюда следует, что Xi(M3(a)) = Zc. Так, например,
, то соответствующее многообразие М3
если матрица
имеет вид
гомеоморфно прямому произведению S] x 52; если же
I 0 -1
|l 0
, тоМ1
гомеоморфно сфере S3. В первом случае Xi(M3) = Z, во втором — Х](М3) = 0.
Приведенные сейчас два гомеоморфизма геометрически очевидны: в первом слу-
случае окружность 51 соответствует оси одного из полных торов, а двумерная сфера
возникает в результате отождествления двух двумерных дисков по тождественному
отображению их границ (см. матрицу склейки); во втором случае два полных тора
склеиваются так, что параллель и меридиан меняются местами (с сохранением ори-
ориентации тора); соответствующее разбиение трехмерной сферы в сумму двух полных
торов может быть задано так:
п, = 53 П{И > И}, п2 = s3 п{|*| < Н},
существует ортогональное преобразование сферы, переводящее П] в Пг (и наоборот)
и задающееся формулой (z, w) —»(w, z). Итак, мы нашли фундаментальную группу
многообразий М3(а), где а задает диаграмму Хегора рода 1. Если группа Х| (М3(а))
тривиальна, то М3(а) — гомотопическая сфера (что сразу следует из двойствен-
двойственности Пуанкаре), которая будучи представлена в виде склейки двух полных торов,
гомеоморфна стандартной сфере.
Если Xi(M3(a)) = Z, то с = 0, т.е. ad = 1; отсюда либо a = d = 1, либо a =
d = — 1 (значение b — несущественно). Ясно, что многообразие М3(а), задаваемое
ь[
целочисленной матрицей
0
- ||, гомеоморфно S1 x S2.
Если же Xi(M3(a)) нетривиальна и изоморфна Zc, где с Ф 0,1, то, переходя
к накрытию М3(а), получаем, что оно также допускает диаграмму Хегора рода 1,
поскольку накрытие над тором регулярно и является снова тором; так как, кроме

§ 24. Функции Морса на трехмерных многообразиях и диаграммы Хегора 201
того, Мъ{а) имеет тривиальную фундаментальную группу, то в силу предыдущего
рассуждения М3(а) гомеоморфно стандартной сфере. Отсюда следует, что исход-
исходное многообразие М3(а) получается из стандартной трехмерной сферы путем ее
факторизации по действию группы Zc (действие было описано выше). Теорема
доказана. ¦
Такой простой ответ может быть получен только для диаграммы Хегора рода 1;
если же многообразие М3 не допускает ни одной диаграммы Хегора рода 1, то
описание М3 резко усложняется.
Дополним информацию о линзовых многообразиях L3{\, к). Как видно из опре-
определения гладкого действия Zc на S3, факторпространство является многообразием,
а проекция S3 —* L3(l, к) — накрытием (действие группы ZcHa S3 свободно и эффек-
эффективно). Ясно, что все линзовые многообразия допускают диаграмму Хегора рода 1.
В самом деле, уравнение \z\ = |и>| задает разбиение S3 в сумму двух стандартных пол-
ноторий (см. описание выше): S3 = П] Г)Пг- При действии (г, to) —¦ (e~z, e~w)
группы Zc тор \z\ = \w\ переходит в себя, а потому при факторизации 53 по дей-
действию Ъс тор \z\ = \w\ проектируется на тор, являющийся тором диаграммы Хегора
многообразия L3(l, к). Ясно, что возникающее отображение тора на себя (накрытие)
II а Ь
может быть записано в терминах матрицы
Легко показать, что линзовые многообразия L2n~'(pi,
задаваемые действием группы Ъс на S2n~l по формуле:
,рп)нь2п Vi> •••>?',>).
zue ' z2,.
,е «
гомеоморфны, если для каждого t сумма р,- -I- р[ или разность pi - p\ кратна с
Задача классификации всех трехмерных многообразий не только не решена,
но неизвестно даже, является ли она в некотором точном смысле алгоритмически
разрешимой (наподобие того, как алгоритмически разрешима задача классификации
двумерных многообразий).
Как было показано выше, для создания списка, содержащего заведомо все
трехмерные многообразия (эта задача не совпадает с проблемой классификации,
являясь более простым вопросом), достаточно составить список классов изотоп-
изотопных диффеоморфизмов поверхности рода г на себя. Оказывается, такой список
может быть построен. На рис. 117 изображена двумерная поверхность рода г с тре-
тремя ориентированными семействами окружностей Cj,e,,/,. Операцией Tf(e = ±1),
соответствующей окружности s на поверхности Мг2, назовем следующий диффеомор-
диффеоморфизм Т*,: At? -* Af2. Обозначим через U, замкнутую А-окрестность окружности *,
т. е. U, диффеоморфно S1 х [0,1]. Определим Iе, тождественным отображением
Рис. 117.

202 Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
на Mr \ U,, а диффеоморфизм Т\: U, —» U, строим, поворачивая окружность Sx x t
на угол ЪЛ, причем знак е зависит от направления вращения. Имеет место следую-
следующий весьма важный и нетривиальный факт (доказательство которого мы опускаем):
всякий класс изотопных диффеоморфизмов двумерной поверхности Мг2 на себя
содержит представителя, разлагающегося в произведение (композицию) операций
вида 7J, где s — любые из окружностей трех систем: cj, e,-, /,-. Отсюда вытекает след-
следствие: можно составить список классов изотопных диффеоморфизмов двумерной
поверхности М}, рассматривая всевозможные конечные произведения вида ПТ//,
где «j €({<%}, {е,-},Ш)-
§ 25. Унитарная периодичность Ботта
и многомерные вариационные задачи
В этом параграфе мы докажем важный топологический факт, обычно на-
называемый «периодичностью Ботта»; для простоты остановимся только на теореме
периодичности для унитарной группы (так называемая ортогональная периодичность
Ботта доказывается по той же схеме, что и унитарная периодичность, но с большими
техническими сложностями).
I. Теорема унитарной периодичности. Теорему периодичности мы докажем в ее
классическом варианте в виде периодичности гомотопических групп стабильной
унитарной группы, не вникая здесь в роль теоремы периодичности в теории вектор-
векторных расслоений.
Теорема унитарной периодичности. Имеет место изоморфизм: -Ki
) при 1 ^ * < 2т. Если U = liml/m (где Um С Um+i — стандартное
вложение), то Щ-\{Ц) = щ+iiJJ) при t ^ 1 и *2n(U) = 0,
Рассмотрим специальную унитарную группу 5{/2т и через il(SU2m, Hh.m, —
(где Е2т € SUim — тождественное преобразование) обозначим функциональное про-
пространство кусочно-гладких путей, идущих в группе 51А2т из точки Е^т в точку —Егт.
Через Q*(SU2m, E^, -2^) обозначим полное пространство всех непрерывных путей
из Е%т в —Eim', тогда вложение П —» п* является гомотопической эквивалентно-
эквивалентностью (см. выше элементы общей теории Морса для пространства петель на гладком
многообразии).
В пространстве fi(Sl/2m» Егт, -Егт) рассмотрим подпространство Q, образо-
образованное всеми минимальными геодезическими 7 (т. е. геодезическими наименьшей
длины), идущими из точки Е^п в точку -Ещ.
Лемма 1. Пространство П гомеоморфно комплексному многообразию Гроссмана
<??„„,, т. е. многообразию т-мерных комплексных плоскостей в комплексном
линейном пространстве С2т.
Аоказательство. Как было доказано в т. I книги [1], геодезическими на груп-
группе Ли (относительно римановой связности, согласованной с инвариантной метрикой
на группе) являются все однопараметрические подгруппы и их сдвиги с помощью
какого-либо произвольного элемента группы. Поэтому для того, чтобы описать
все геодезические, соединяющие на группе Stym точки Eim и -Егт, достаточно

§ 25. Унитарная периодичность Ботта ¦ многомерные вариационные задача 203
описать все однопараметрические подгруппы, выходящие из точки Еъп и заканчи-
заканчивающиеся в точке -Eim. Так как любая такая одномерная подгруппа j(t) в
имеет вид ехр tX, где матрица X косоэрмитова (т. е. принадлежит алгебре Ли
группы SUim), то, считая, что параметр t изменяется от 0 до 1, получаем условие:
7@) = Ejm, 7A) = ехрХ = —Rim. Рассмотрим присоединенное действие Ad груп-
группы SU-ьп на ее алгебре Ли. Хорошо известно (хотя бы из классического процесса
ортогонализации в унитарном случае), что существует такое унитарное преобразо-
преобразование до е SUbn, что д^Хдп' = Хо, где
0
Хо =
iipi
0
иръп
Другими словами, матрица Хо принадлежит так называемой картановской подалге-
подалгебре алгебры зи2т (т. е. максимальной коммутативной подалгебре в Одт). Применяя
преобразование Ad^ к геодезической j(t), получаем:
-1ч
О
0
-1
Отсюда <pi = *ki,ki = 2i,-+l, 1 < * < 2m,li € Z;Jfej+... +fc2m = 0. Тем самым мы опи-
описали все геодезические, соединяющие точки Еут и —thm в SUjm. Осталось выбрать
из них геодезические наименьшей длины. Так как отображение ехр осуществляет
изометрию при отображении прямой tX на геодезическую ехр (tX), то достаточно
найти длину соответствующего отрезка в алгебре Ли, чтобы подсчитать расстояние
от Еъп до -Еъп вдоль геодезической ехр (tX). Форма Киллинга на алгебре Ли ,
имеет вид SpXF = (X, Y); следовательно, длина геодезической ехр(*Х) от
до —Еъп равна
1т
Отсюда ясно, что наименьшая длина геодезической равна xV2m, т.е. когда fc, = ±1.
2т
Так как, кроме того, SpX = яг^*,- = 0, то матрица X имеет на диагонали
равное число +1 и -1. Таким образом, мы доказали, что все матрицы X такие,
что ехр X = -Ет и ехр tX — минимальная геодезическая — получаются из одной
фиксированной матрицы
t 0
t
Хо =
0
—*
0
0 -iEm
путем применения к ней внутренних автоморфизмов вида: Хо —» дХцд , где эле-
элемент д пробегает всю группу SU2m- Следовательно, мы установили гомеоморфизм

204 Глава 2. Критические точки гладких функций в гомологии
между множеством всех минимальных геодезических и множеством матриц ви-
вида дХод~\ где д (Е SUm- С другой стороны, это множество матриц, очевидно,
гомеоморфно однородному пространству SUim/CXo, где через СХ0 обозначена ста-
стационарная подфуппа матрицы Хо (т. е. подфуппа, оставляющая матрицу Хо на месте
при присоединенном действии фуплы SUim)- Так как, очевидно, имеется изомор-
изоморфизм: CXq = S(Um x Um), то пространство SUjm/СХц гомеоморфно комплексному
многообразию Грассмана G^mm. Лемма доказана. ¦
Лемма 2. Каждая минимальная геодезическая 7@ > соединяющая точку Etm с точ-
точкой -Eim, однозначно задается своей серединой, те- точкой j(^). Таким образом,
множество минимальных геодезических, т. е. множество их середин, гомеоморфно
многообразию Грассмана и, с другой стороны, совпадает с пересечением груп-
группы SUim с ее алгеброй Ли sit2m. При этом мы считаем, что как группа SUim, так
и алгебра Ли зи2т реализованы как подмножества в евклидовом пространстве R7
комплексных матриц размера т х т.
Аокэзательство. Первая часть утверждения, а именно, то, что каждая мини-
минимальная геодезическая однозначно задается своей серединой, вытекает из форму-
формулы: exp (tX) = (cos itt)E2m + (sin tt)X. При t = О получаем E^m, при t = 1 получаем
точку -Eim, а при t = | — матрицу Х. Таким образом, середина геодезической
7(<) совпадает с матрицей X. Ясно, что множество матриц X вида gX$g~x совпадает
с множеством тех косоэмитированных матриц, которые являются еще и унитарными,
т. е. являются решениями матричного уравнения X2 = -Е2т. Отсюда, в частности,
видно, что фассманово многообразие G?n>m может рассматриваться как множество
всех унитарных комплексных структур в пространстве С2"*. Ясно также, что пе-
пересечение унитарной фуппы SUim с линейным подпространством зи^ совпадает
с множеством матриц X таких, что X1 = -Щт. Лемма доказана. Ш
Лемма 3. Каждая неминимальная геодезическая j, соединяющая точку Е-^ с точ-
точкой —Eim на группе SUbn, имеет индекс не меньший, чем 2т + 2.
Локазательство. Исходя из определения индекса геодезической, мы должны со-
сосчитать число точек, сопряженных с точкой Е2т вдоль геодезической у (на ее
отрезке от Е^п ДО —Elm)- Из явной формулы для уравнения Якоби (решениями
которого являются якобиевы поля вдоль геодезической), получаем, что все сопря-
сопряженные точки определяются положительными собственными числами линейного
преобразования Кх: sujm -» e«2m» где оператор KX(Y) = R(X, Y)X = ± [[X, Y], X]
порожден оператором римановой кривизны (сводящимся для случая фуппы к трой-
тройному коммутатору см. [1], т. I, §§ 30, 36). Как было показано выше, можно считать,
что матрица X диагональна и имеет вид
йг&, 0
0
где *,->*,•+,.
Из явной формулы для коммутатора получаем: [X, У] = || «*¦(*;¦ -
т.е. Kx(Y) = х(*; - *»Jy>i • Прямое вычисление показывает, что значения
параметра t, при которых точка 7@ является сопряженной с точкой Е2т (вдоль 7),
задаются следующими формулами: t = ]~щ, jzj^, t~T) • • • (для каждой пары i,j).

§ 25. Унитарная периодичность Ботта я многомерные вариационные задачи 205
На интервале @,1) число сопряженных точек (при фиксированных i,j) рав-
равно -ij- — 1. Считая, что kj > Л,-, получаем, что индекс геодезической 7 задается
формулой
!>;-*<-2)-
Из этой явной формулы видим, что для минимальной геодезической индекс равен 0.
Пусть теперь геодезическая неминимальна. Рассмотрим два случая: а) среди чисел fc,-
по крайней мере т + 1 число имеет один знак; б) среди чисел Л,- есть ровно т
положительных чисел и т отрицательных, но не все они равны ±1. Получаем,
что ft ^ 2т + 2. Лемма доказана. ¦
Переходим к доказательству теоремы унитарной периодичности, а именно:
стабильные гомотопические группы т,(G) периодичны с периодом 2. Группыто({7) =
ic2(U) = it^(U) =... тривиальны, а группы х( (U) = *з(и) = *s(U) — ¦ ¦ ¦ изоморфны
группе Z.
Лемма 4. Рассмотрим вложение множества минимальных геодезических (гомео-
морфного комплексному грассманову многообразию С^тгт) в пространство путей
il(SU2m} Eim> —Eim). Тогда это вложение индуцирует изоморфизм гомотопических
групп во всех размерностях, не превосходящих 2т. Так как имеет место равенство
5г,(ПХ) = ij+i(X), то получаем окончательно, что хДС^т) = х,+)E1/2т)-
Локазательство. Рассмотрим на пространстве путей Q(SU2m, Ehm, -Ejm) функ-
функционал действия; его критические точки (на которых функционал достигает наи-
наименьшего значения) являются минимальными геодезическими, соединяющими точ-
точки Еъп и -Ejm на SUim', следовательно, это множество минимумов функционала
гомеоморфно многообразию G^mm. В то же время, как было доказано выше, индекс
всех других критических точек функционала (отличных от минимальных геодези-
геодезических) не меньше, чем 2тп + 2. Применяя к этому функционалу теорию Морса
(для случая вырожденных критических точек, заполняющих невырожденные кри-
критические подмногообразия), получаем, что пространство путей u(SU2m, E^n, —^m)
(рассматриваемое как бесконечный клеточный комплекс) получается из много-
многообразия абсолютных минимумов функционала действия путем приклейки к этому
многообразию (гомеоморфному C^nm) клеток размерностей не меньших, чем 2тп+2.
Отсюда следует, что гомотопические группы пространства Sl{SUim, E2m, —E^n) раз-
размерностей » ^ 2m совпадают с гомотопическими группами многообразия абсолют-
абсолютных минимумов функционала действия. Лемма доказана. ¦
Лемма 5. Имеет место изоморфизм: Щ-\(ит) = *-,-(G2mjfn) при i ^ 2т.
Локазательсгво (см. [1], т. II, §24). Рассмотрим стандартное расслоение Um+\ -5
52m+I; из его точной гомотопической последовательности сразу получаем, что
*i-i(Um) = *i-\(Um+\) при i < 2m. С другой стороны, из точной гомотопической
последовательности расслоения Vim -^ U2m/Um получаем, что tiWbnlUm) = 0 при
t < 2m, что эквивалентно утверждению леммы. Доказательство закончено. ¦
Собирая теперь вместе все эти утверждения, мы и получаем, наконец, теорему
унитарной периодичности:

206 Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
Выпишем в явном виде эту цепочку изоморфизмов. Пусть /,_]: S* ' —» Um —
непрерывное отображение, представляющее гомотопический класс [/] € *i-](Um).
Построим по этому отображению отображение fi+]: S*+i —» St^,. Для этого пред-
представим группу SU2 как группу матриц {р}, где р = 1^ L. , \а\2 + \р\2 = 1,
и выделим в группе Sty подмножество — двумерный диск 'D2, задаваемый следу-
следующим условием: р G 'D2, Р G R, Р > 0. Затем вложим этот двумерный диск 'D2
в группу SUim с помощью формулы
-1-й.
Далее, на диске 'D2 рассмотрим гладкую кривую 'т/(/3) = {р(а, /?) | а = *т, т € R,
т > О}; положим 7CS) = ji'lifi))- Точки грассманова многообразия С^т>т будем изо-
изображать инвариантными плоскостями, отвечающими собственному значению А = i
операторов д: С2 -> С2™, д G SU^*,, д2 = -Щщ. Тогда для точки 7 € 7@) мы
имеем: 72 = -Въп, т.е. 7СЗ) G G^,^ С 5%» при 0 ^ /3 < 1. Рассмотрим в <??„„,
множество элементов д следующего вида:
д = д(а, хт, р) = [Ет ф &М)] ¦ [р(^. J9) Ф Ет] ¦ [Ет Ф /,_,(а)],
где «г G S*', /,-_i(<t) 6 t^m. При ^9 = 1 мы получаем отображение сферы S*~x
Л-iH II
а при 0 ^ р < 1 множество {5(^1 *тH)} представляется в виде образа сферы 5*,
причем {g(a,iT,p)} G Gg,iTn, 0[S'] = [Л] (где d: x,(GL>m) -^ x,_,(J7ra)).
Теорема 1 (Фоменко). Пусть /,-_i: 51 —»t/m представляет какой-либо элемент
гомотопической группы т,_,({/„,). Я силу теоремы периодичности, группы *i-i(Um)
и *i+i(Um) изоморфны. Явная формула этого изоморфизма имеет следующий
вид: /,_1 -»/г+ь где
/|+1: 5i+1 -»t^, fi+i: Si+l - {g(a, a,0)} С SU^;
II ~PIi-\\<T) atjm ||
m. e. соответствие /,_i —» /i+ь сопоставляющее элементу гомотопической груп-
группы iCi-](Um) некоторый элемент гомотопической группы *{+\{U2m), и задает
изоморфизм периодичности.
Доказательство. Рассмотрим множество {g(a,a,p)},
g(a, a, p) = [Em Ф /Г_',(а)] [p(a, Д) ф Ет] [Ет Ф /,_,(а)],
тогда g(a, a, p) можно, очевидно, представить как образ сферы S*+l при непрерывном
отображении fi+i: St+1 -* {g(a, a,p)} С SU^n. Таким образом, если fi-\(<r) G Um
представляет собой некоторый элемент гомотопической группы x,-i(l7ro), то
/i+i^1 С SUim, и из описанной выше явной конструкции (с учетом классиче-
классических изоморфизмов периодичности) сразу следует, что соответствие /,_i —» /,+i

§ 25. Унитарная периодичность Ботта и многомерные вариационные задачи 207
и порождает изоморфизм унитарной периодичности. Явная формула:
аЕт Pfi-i{<r
PU.\(a) аЕт
получается путем комбинирования граничного оператора (см. его явную запись
выше) с отображением, сопоставляющим каждому «сфероиду» (т. е. отображению
сферы), образованному пучком минимальных геодезических, идущих из точки Е^п
в точку —Еъп, сфероид, составленный из всех середин геодезических этого пучка;
этот сфероид расположен в многообразии Грассмана. Теорема доказана. ¦
Таким образом, с геометрической, наглядной точки зрения изоморфизм перио-
периодичности устроен достаточно просто.
Шаг 1. Нужно взять сфероид /j_i из группы Um и путем рассмотрения гра-
граничного оператора д: Tj(G?nm) —» *i-\(Um) перевести этот сфероид в сфероид,
вложенный в многообразие Грассмана (явную формулу см. выше).
Шаг 2. Нужно взять получившийся сфероид в многообразии Грассмана, пред-
представить это многообразие как пересечение группы SUjm с ее алгеброй Ли su^n (при
их вложении в линейное пространство всех комплексных матриц размера 2го х 2т),
воспользоваться тем, что это пересечение в точности совпадает с множеством
середин всех минимальных геодезических, идущих на группе SU2m из точки Егт
в точку —Егт, и рассмотрев все геодезические, середины которых заполняют сфероид
в грассмановом многообразии, получить сфероид (на единицу большей размерности)
уже в группе SU^n. Этот сфероид и является образом исходного сфероида /j_i при
изоморфизме периодичности. Доказанная выше теорема задает этот изоморфизм
явной формулой.
Если т = 2, то за исходное отображение /3: S3 —> S{72 можно взять тожде-
тождественное отображение /з(<т) = \\ Х- }L , \х\2 + \у\2 = 1; тогда [М = 1 € т3E?Г2).
II » II
Переходя теперь к го = 22,23,24, получаем отображение /2*+i: S2*+l —» SU#, где
[/tt+i] = 1 € Kue+iiSUjk), к ^ 1. Отметим, наконец, что отображение /a+i совпадает
с известным в теории клиффордовых алгебр и спинорных представлений ортого-
ортогональной группы отображением «двойственности» а^+ь если только в определении
этого отображения заменить поле коэффициентов С на поле вещественных чисел R
Мы приведем это сопоставление, так как это дает еще одну явную форму-
формулу для изоморфизма унитарной периодичности, еще более упрощая геометричес-
геометрическую картину. Отображение att+i построим следующим образом. Пусть /: 5^"' -»
GL(N;C), g: S -> GL(M;Q — два непрерывных отображения. Так как
S" С К", S С Iff", то отображения / и g можно продолжить (по однородно-
однородности) на евклидовы пространства R" и R™ соответственно. Определим отображение
ш: 1Г+ГО \ {0} -» GLBMN; Q положив
где /* = JT, g* = ~f\ (x, у) С К1 х tT, (х, у) ф @,0). Так как ш = / * g определено
на If+m \ {0}, то возникает отображение s"+m~l -* GL{2MN; С). Если a: 51 -»
GL(\; С), a(z) = z, \z\ = 1, то 'a^+i = o*a*... *aBfc-fl раз). Если в качестве
(*2к+\ взять отображение S2* —» SUp, соответствующее отображению 'ощ+х, то,
очевидно, получим тождество ota+i = /24+1-

208 Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
II. Унитарная периодичность с точки зрения многомерных вариационных задач.
Описанная выше теорема периодичности основана на теории одномерных функци-
функционалов (а именно, функционала действия, определенного на траекториях в унитар-
унитарной группе). Оказывается, более естественным образом изоморфизм периодичности
возникает при рассмотрении многомерной (в данном случае — двумерной) вариа-
вариационной задачи.
При классическом подходе изоморфизм унитарной периодичности распадается
в композицию двух изоморфизмов, каждый из которых повышает размерность го-
гомотопической группы на единицу. Тот факт, что требуемое повышение размерности
на две единицы получается в результате выполнения этих двух шагов (см. их описание
в предыдущем пункте), вполне соответствует методу классического доказательства,
использующего одномерные функционалы действия и длины, определенные на про-
пространствах отображений одномерного диска D1 (отрезка). Рассмотрим этот процесс
более подробно. Пусть фиксирован одномерный диск ?>'; dDx = S° (нульмерная
сфера); тогда П) = Q.*(SU2m, E^n, -Егт) есть пространство непрерывных отображе-
отображений / диска ?>' в группу Sl^m, при которых /(jo = tolso, где i0S° = (Ehm, -Егт),
т. е. граница диска все время переходит в одну и ту же пару фиксированных точек.
Функционал действия Е на пространстве П, = u(St/2m, Eim, -Егт) определяется так:
-dt dt'
о
где ш@) = Ejm, w(l) = —Eim. С этим функционалом естественно связан функционал
длины
i
\Лы
dt.
\dt
о
Как было показано в т. I книги [1], изучение критических точек (экстремалей)
функционала L сводится к изучению свойств и экстремалей функционала Е. Мно-
Множество точек (траекторий), на которых функционал действия Е (а, следовательно,
и функционал длины L) достигает абсолютного минимума, есть некоторые под-
подпространство в пространстве П',, гомеоморфное многообразию Грассмана Gfmm,
а потому (как это следует из одномерной теории Морса) 2т-мерный остов про-
пространства П] гомотопически эквивалентен 2тп-мерному остову пространства G^m>m.
Иными словами, можно сказать, что аналитическая часть изоморфизма унитарной
периодичности заключена в изоморфизме
поскольку следующий шаг: 5r,(Gfmm) = x,_i(J7m) является следствием уже чисто
гомотопического факта, не имеющего какого-либо отношения к функционалу Е.
Описанный выше геометрический механизм изоморфизма периодичности на-
наводит на мысль о возможности получить этот изоморфизм не в два шага, а в один
шаг, если использовать вместо одномерной вариационной задачи — двумерную,
т.е. подобрать подходящий двумерный функционал. Оказывается, эта возможность
действительно имеется; в частности, это еще более упростит геометрическую карти-
картину изоморфизма периодичности. Перейдем к изучению многомерной вариационной
задачи.

§ 25. Унитарная периодичность Ботта н многомерные вариационные задачи 209
Мы получим изоморфизм периодичности, рассматривая двумерные функцио-
функционалы на специально подобранном пространстве отображений. Рассмотрим в группе
вложенную окружность
являющуюся однопараметрической подгруппой, и зафиксируем ее. Здесь мы по-
поступаем по аналогии с одномерным случаем, когда в группе SUjm фиксировалась
нульмерная сфера S° = {Ehm, -E^m}. Пусть D2 есть двумерный диск с границей S1
в своей стандартной евклидовой метрике; фиксируем отображение jo: $' -+ SU^,
переводящее окружность 51 изометрично на окружность Sq.
Через Пг обозначим топологическое пространство всех непрерывных отображе-
отображений fiD2-* SUim таких, что /|$i = jo- Пространство Пг имеет гомотопический тип
клеточного комплекса. Рассмотрим подпространство П'2 С Пг, образованное все-
всеми отображениями / из функционального пространства H^D1), где пространство
Я,2(Р2) определено ниже (для аккуратности и точной постановки задачи).
Пусть G есть область в евклидовом пространстве If (ж1,..., xv). Мы скажем,
что функция и: G —> R принадлежит классу функций H&(G), если и только если:
1) и € LP(G), т. е. суммируема в р-й степени; 2) существуют «обобщенные произ-
производные» D°«, т. е. такие функции га € LP(G), а = (оц,..., а„), О < \а\ < т, что для
любой бесконечно гладкой финитной функции д верно тождество:
J g(x)ra(x) dx = J\Dag(x)\u(x) dx.
Здесь |а| = а, + а2 + ... + а„; Dag = щгуч-Цдх'У*'• Ест "» = 1, то |а| = 1.
Если /: D2 —» SU2m, то / G H^D1) в том и только в том случае, когда порожден-
порожденные этим отображением координатные функции принадлежат 2Г,2A?2). Требованием
принадлежности отображения / к классу H^D2) мы заменяем требование кусоч-
кусочной гладкости отображения / в одномерном случае (необходимым для построения
одномерной теории Морса).
Определим на пространстве П'2 функционал Дирихле D: I\!2 —* R, сопоставля-
сопоставляющий каждому отображению / € П'2 значение интеграла Дирихле D[f] на отобра-
отображении / (см. определение ниже). Этот функционал Дирихле является двумерным
аналогом одномерного функционала действия, в то время как функционал дву-
двумерной площади — аналог одномерного функционала длины (см. [1], т. II, §32).
Напомним определение функционала Дирихле. Функции га(х), а — (ot\,... ,а„),
называются производными функции и и обозначаются Da(u) или и,а; если а = 0,
то и>а = «. Пусть теперь МиУ суть римановы многообразия с метрическими
тензорами gtj(x), х € М\ 1jap{v), v € V. С каждым отображением f:V—* M,
где / € H2[V, М\, связываются тензоры смешанного типа: так, например, х„ = х*^,
где Xх — локальные координаты точки х = f(v) ? М, а дифференцирование
понимается в указанном выше смысле. Через Va будем обозначать полную ковари-
антную производную от смешанного тензора. Определим скалярное произведение
двух тензоров х1а и у?, положив (х1а, у*р) = gapgijXlatfp. Пусть теперь / € Я,"[У, М];
15 Зэк. 368

210 Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
положим
V
где dv есть элемент риманова объема на римановом многообразии V, a n = dim V.
Отображение / € Я^У.М] называется гармоническим, если 6D[f;t)] = О для
любого векторного поля rj(f) класса И", определенного на f(V). Соответствующее
уравнение Эйлера для функционала D[f] имеет следующий вид: VaVoarf = 0. Этот
факт проверяется прямым вычислением.
В нашем случае в качестве многообразия V мы возьмем двумерный диск D2;
тогда ? aP(v) = 6°р, и функционал Дирихле (двумерный аналог функционала дей-
действия) D[f] принимает вид
D[f] = - I [{х\,х\) + (хг2,xJ2)]dv=-J 9ij(x\x\ + х\х§dv,
Г V
где gtj — метрика группы SU^n.
При этом группа реализована в пространстве SN~l и метрика gtj есть огра-
ограничение евклидовой. Первая вариация SD функционала D имеет вид 6D[f;t]\ =
') dv. Если двумерный диск D2 параметризован с помощью евклидовых
v
координат и и v, то получаем:
J[() (xv,xv)]dudv, x = (x\...,xp), p = dimM;
На пространстве отображений П'2 рассмотрим еще один функционал A[f], сопоста-
сопоставляющий каждому отображению / € П^ значение следующего интеграла:
'detududv, где Q = п , к , »
т. е. функционал A[f] является функционалом двумерной площади. Хорошо извест-
известно (см. [1], с. 363), что имеет место неравенство A[f] ^ D[f], причем равенство
достигается в том и только в том случае, когда отображение / обобщенно-конформ-
обобщенно-конформное. Например, для случая двумерных минимальных поверхностей в трехмерном
евклидовом пространстве это означает, что минимальный радиус-вектор поверх-
поверхности всегда гармоничен в конформных координатах (т. е. в таких, в которых
индуцированная риманова метрика имеет диагональный вид). Отметим, что здесь
также наблюдается аналогия с одномерным случаем (см. выше пространство путей
с фиксированными концами), а именно: функционалы действия Е и длины L связа-
связаны аналогичным соотношением: L2(w) < Е(ш), причем равенство достигается в том
и только в том случае, когда отображение ш задает минимальную геодезическую
(отнесенную к натуральному параметру), идущую из точки ш@) в точку шA).
Точно так же, как и функционал действия Е, двумерный функционал Дирихле D
позволяет отбросить все те отображения /, которые отличаются от гармонического

§ 25. Унитарная периодичность Ботта и многомерные вариационные задачи 211
отображения /0 только непрерывной заменой параметров в диске D2, что не меняет
значения функционала площади, но меняет, вообще говоря, значение функционала
Дирихле.
Отметим (это нам понадобится в дальнейшем), что имеет место изоморфизм
/%: тДПг) — its+iiSUim) и что пространство П2 гомотопически эквивалентно про-
пространству П2 всех непрерывных отображений S2 —» SU-im с фиксированной точкой.
Первое утверждение является очевидным следствием точной последовательности
расслоения двукратных петель.
Теорема 2 (Фоменко). Рассмотрим группу SU^m и функциональные простран-
пространства Пг и П2. В пространстве Л!2 рассмотрим подмножество W, состоящее
из всех точек (т. е. непрерывных отображений) /, на которых функционал Ди-
Дирихле D[f] достигает абсолютного минимума. Тогда выполняются следующие
утверждения:
а) множество W гомеоморфно (как топологическое пространство) группе Um;
б) вложение i: W —* П] —у Иг индуцирует изоморфизм гомотопических групп
it: ir,(Um) —» т,(П2) при s ^ 2т; поэтому Bт)-мерный остов пространства Пг
гомотопически эквивалентен Bт)-мерному остову группы Um, и композиция
Рг ° «*: *.(Um) -^ *.+2(SU2m)
является изоморфизмом унитарной периодичности при в ^ 2т.
Замечание. Таким образом, использование двумерного функционала Дирихле и рас-
рассмотрение множества его абсолютных минимумов позволяет получить изоморфизм унитарной
периодичности в один шаг (сразу с повышением размерности гомотопических групп на две
единицы), в отличии от «двух шагов» при использовании одномерных функционалов действия
и длины.
Аоказательство теоремы проведем в виде цепочки следующих лемм. Сначала
рассмотрим в группе Sf/^m двумерную сферу, задаваемую формулой:
„2 _ aEm fiEm
Ь°-\\-рЕт аЕт\\
Одна из ее полусфер, а именно, полусфера, задаваемая неравенством /? > 0, совпа-
совпадает с двумерным диском ?jj, вложение которого в группу 5G^ было осуществлено
выше. Экватором {/9 = 0} сферы 5q является окружность Sq. Поскольку вложение
сферы S$ -* SUbn продолжается до вложения БЩ -» SUbn, то сфера 5q является
вполне геодезическим подмногообразием в группе SUim, и тем более — мини-
минимальным подмногообразием. Напомним, что подмногообразие называется вполне
геодезическим, если любая геодезическая, касающаяся в этого подмногообразия в
некоторой точке, целиком в нем лежит. То, что любое вполне геодезическое подмно-
подмногообразие локально минимально, следует из явного вида тензора кривизны Римана,
ограниченного на вполне геодезическое подмногообразие. В группе Ли тензор кри-
кривизны Римана на вполне геодезическом подмногообразии является частью тензора
Римана в объемлющей группе, распадающегося в прямую сумму.
Таким образом, диск D\ также является вполне геодезическим подмного-
подмногообразием в группе SUim- Рассмотрим множество W вполне геодезических дис-
дисков D2(x) С SUjm, имеющих вид D2(x) = xD\x~x, где х € SU^n и xsaT1 = s при
любом 8 ? Sq.
15*

212 Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
Лемма 6. Множество W' гомеоморфно пространству Um.
Аоказательство. Пусть D2(x) € W; тогда xs = sx для любого а € Sq. Так
как Sq = {aEm + aEm, \a\ = 1}, то отсюда следует, что х = А ф D, где j4, D € Е7„„
т.е. х = (??т Ф DA~])(A ®A) = Xi(A® A), X\ =Em® DA~K Поскольку i
d ¦ (А Ф А) при любом d ? щ и любом А € 17т, то
сг^Ц' С
Так как ^ ^ 0, то этим условием матрица С определяется однозначно. Итак, каждому
диску U2(x) мы сопоставили элемент С € Um, где С = С[1>2(х)]. Пусть С[Ь*{х)\ =
С[1?2(х')]; тогда очевидно, что х'х € {А ф А}, а потому диски D^x) и D (х1)
совпадают. Обратно, если С € Um, то С — C[.D2(x)], где х = Ет<ВС, т. е. построенное
соответствие U2(x) —» C[D2(x)J и является требуемым гомеоморфизмом между 1У'
и I7m. Лемма доказана. ¦
Построим теперь вложение *: Um -* П2. Пусть д €Um; тогда по этому элементу
однозначно строится двумерный диск
аЕт
аЕт
причем, если д} Ф д2, то D2(Em ®д\)Г\ D2(Em ф д2) = JSg. Пусть t0: D2 -*¦ D\ есть
фиксированное отображение. Положим i(g)? = (Em®g)-iu(?)(Em®g~{), где f e D2.
Ясно, что »: д —»t^) есть искомое вложение J7ro —»И!2. Из доказанной выше леммы
следует, что множество отображений i(Um) С П'2 совпадает с множеством отображе-
отображений вида Adx о to, где элемент х пробегает всю группу G = {А ф А} С C/imJ G = Um,
т. е. множество i(f/m) является орбитой точки t0 € П2 при присоединенном действии
группы G на множестве отображений П2.
Лемма 7. Гомоморфизм ftoi,: irs(Um) —> »J+2Et/2m) совпадает с изоморфизмом
унитарной периодичности.
Аоказательство. Пусть /: 5' ->?/„,,/€ [/] € т,(С/,„), a G 5'. Тогда
Из предыдущего параграфа и из одномерной теории Морса немедленно следует,
что гомоморфизм Рг° ** совпадает с изоморфизмом унитарной периодичности,
если s ^ 2тп. Поскольку ft является изомомрфизмом в любой размерности, то отсюда
следует, что гомоморфизм t«: ic,(Um) —» »f(n2) тоже является изоморфизмом при
s < 2ш, а потому Bтп)-мерный остов П2 гомотопически эквивалентен Bтп)-мерному
остову i(Um). Лемма доказана. ¦
Итак, вложение »: Um -> П2 удовлетворяет всем необходимым требованиям.
Осталось показать, что выполнено равенство: i(Um) = W.
Рассмотрим евклидово пространство R8"* , отождествляемое с комплексным
пространством С4га всех комплексных матриц размера 2m x 2т, снабженным би-
билинейной формой <р(А, В) = Re (SpAB*), В* = В . Тогда группа SUbn изометрично
вкладывается в сферу S8m "' радиуса V^m как гладкое подмногообразие, на котором

§25. Унитарная периодичность Ботта н многомерные вариационные задачи 213
индуцируется специальная риманова метрика, инвариантная по отношению к пра-
правым и левым сдвигам на группе SU-ьп. Эта метрика, очевидно, совпадает с метрикой
Киллинга. Поэтому многие метрические соотношения в группе SU2m выгодно рас-
рассматривать с точки зрения объемлющей сферы S9m "'. Извлечем первое следствие
из существования такого изометричного вложения группы в сферу. Так, например,
в группе SUjm не существует бесконечно малых вариаций (возмущений) двумерного
диска D\, оставляющих границу этого диска S\ = ftDjj неподвижной, таких, чтобы
возмущенный диск D\ был бы минимальным диском в группе SUjm, но не вполне
геодезическим. В самом деле, пусть такая вариация существует. Заметим, что окруж-
окружность S\ С SUzm С SSm""' является окружностью большого круга в сфере SSm "',
а диск Dq является центральным плоским сечением сферы 58т "' трехмерной плос-
плоскостью, проходящей через начало координат в R8 . Так как диск D% не является
(по предположению) вполне геодезическим в группе SU^m, то он не вполне гео-
геодезический и в сфере S8m "', т.е. он не получается из диска D\ путем поворота
вокруг окружности Sq. Из этого следует, что его площадь строго больше площади
диска Dq в линейном приближении, т. е. 6А > 0. Поэтому диск Dq не является
минимальным диском, что противоречит предположению. Итак, любая вариация
любого диска D2(x) G W либо оставляет диск D2(x) вполне геодезическим (и то-
тогда эта вариация сводится к повороту диска вокруг его граничной окружности Sq
с помощью какого-то внутреннего автоморфизма объемлющей группы SUbn), либо
разрушает его локальную минимальность (по крайней мере, в одной внутренней
точке).
Лемма 8. Имеет место включение: i(Um) С W.
Аоказательство. Поскольку каждое отображение / € i(Um) имеет вид / = Adxio,
х € G, то достаточно проверить, что точка t0 является точкой абсолютного минимума
для функционала Дирихле D. Так как SU^n С S*m ~\ и диск D% есть центральное
плоское сечение сферы SSm "', то отображение t0 является точкой абсолютного ми-
минимума для функционала площади А. Так как любой минимальный вектор является
и гармоническим (в соответствующих локальных координатах), то это отображе-
отображение to является критической точкой и для функционала Дирихле D (отметим также,
что обобщенная гармоничность отображения t0 следует и из явной конструкции
отображения to; см. выше). Так как всегда выполнено неравенство A[f] < D[f\, то
ясно, что отображение to является точкой абсолютного минимума для функционала
Дирихле D. Лемма доказана. ¦
Лемма 9. Имеет место равенство i(Um) = W, где W есть множество точгк
абсолютного минимума функционала Дирихле D.
Аоказательство. Пусть /: D2 —» SU-ъп, /Is1 = Jo есть точка абсолютного мини-
минимума функционала Дирихле D. В предыдущей лемме было доказано, что значение
функционала D в точках абсолютного минимума равно D[i<j], и что это значение
равно il[to]. Так как A[f] ^ D[f] = D[i0] = A[io], то A[f] < A[io], но поскольку
это соотношение можно рассматривать в стандартной метрике сферы 58 "', то
очевидно, что A[f] = A[i0], а тогда /(D2) С SSm ~l является центральным плоским
сечением; кроме того, отображение / гармонично. Продолжим вполне геодезиче-
геодезический диск /(D2) до сферы S2, являющейся вполне геодезической сферой в сфере

214 Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
S8m ' (и тем более — вполне геодезической в группе SU2m)- Мы получили в груп-
группе SU2m две вполне геодезические сферы: 5q и S2, причем Sq^S2 D Sq Э Егт.
Минимальными подгруппами, содержащими эти сферы Sq и S2, являются подгруп-
пы G\ и G2, изоморфные группе SU2. Два вложения щ: G\ -* SU^n', сс2: G2 —* SUjm
определяют два точных представления группы SU2 в группу SUim. Так как ранг
(SU2) = 1, то можно считать, что окружность Sn является образом максимального
тора Т1 = S1 С SU2, причем Sq С Г2, где Т2т~х — максимальный тор в груп-
группе SU2m- Так как два представления j\ и j2 совпадают на торе Т1 (Г1 является
максимальной подгруппой в группе SU2; в данном случае этот тор одномерен и го-
меоморфен окружности), то они эквивалентны, т.е. существует элемент х G SUim
такой, что выполнено равенство: j\ = Adx о j2. Две сферы 5q и xS2!*1, вложен-
вложенные в группу G\, можно совместить еще одним внутренним автоморфизмом AdXl;
тогда в сфере S2 мы получаем две геодезические: Sq и XxxSqX'1!^1. Следовательно,
существует элемент х2 € G\ такой, что S\ = x2x\xSqX~xx^xX21. Поэтому автомор-
автоморфизм Ady, где у = х2х\х, переводит отображение / в отображение to, оставляя
на месте окружность 5<J, т. е. / 6 i(Um). Лемма доказана. ¦
Тем самым доказательство теоремы полностью закончено. ¦
Отметим, что все точки множества W являются не просто минимальными
точками для обоих функционалов А и D, но и «вполне геодезическими» точка-
точками (т. е. вполне геодезическими отображениями). Это обстоятельство имело место
и в одномерном случае, но там минимальность какой-либо траектории автомати-
автоматически влечет за собой ее геодезичность; в двумерном же случае из минимальности
двумерного диска D2 вовсе не следует его полная геодезичность в объемлющей груп-
группе. Более того, единственными вполне геодезическими дисками D2 с границей Sq
являются диски множества W'; иными словами, если отображение / € Tl!2 является
критической точкой для функционала D и если, кроме того, диск /(D2) — вполне
геодезический, то имеем: f €W.
III. Ортогональная периодичность с точки зрения многомерных вариационных
задач. Теорема, аналогичная доказанной выше теореме унитарной периодичности,
имеет место и для ортогональной группы (и называется, соответственно, теоремой
ортогональной периодичности) Ботга.
Теорема 3. Имеет место изоморфизм т<(О) = щ+%{О), где О — стабильная
ортогональная группа: О = lim О„; О„ С Оп+\ — стандартные вложения. Кроме
п->оо
того, стабильные гомотопические группы ортогональной группы имеют следующий
вид:
1Г0 = Z2, Ti = Z2, Т2 =0, *з = Z, Я4 = *5 = *6 — 0, *7 = Z, "К{
Локазательсгво. Мы докажем только первую часть этого результата, причем сра-
сразу применим аппарат многомерных вариационных задач. Дело в том, что стандартное
доказательство теоремы ортогональной периодичности, использующее одномерную
теорию Морса, состоит из восьми шагов (по аналогии с тем, как из двух шагов
состояло стандартное доказательство унитарной периодичности), в то время как
применение функционала Дирихле, определенного на пространстве отображений
восьмимерных дисков (вместо двумерных дисков унитарной периодичности), по-
позволит нам сразу, т. е. в один шаг, получить изоморфизм: щ(О) = iri+g(O) (хотя
и несколько нестрого).

§ 25. Унитарная периодичность Ботта н многомерные вариационные задачи 215
Рассмотрим евклидово пространство к вещественных матриц размера р хр;
евклидово скалярное произведение может быть записано в виде: <р(А, В) = Sp(AB ).
Тогда группа SOP изометрично вкладывается в стандартную сферу S'~l радиуса у/р
(с центром в точке 0) как гладкое подмногообразие, на котором евклидова метри-
метрика <р(А, В) индуцирует двусторонне инвариантную риманову метрику, совпадающую
с формой Киплинга. Алгебра Ли зор группы SOP вложена в пространство RT
как подпространство матриц X таких, что Хт = —X, и пересечение ао9 Г) SOP
является компактным симметрическим пространством SOp/U^), если р четно.
Обозначим пересечение sopf]SOp через fii(p); тогда очевидно, что многообра-
многообразие fti(p) состоит в точности из тех элементов д G SOP, для которых выполнено
равенство д2 = -Е, т.е. п\{р) совпадает с множеством комплексных структур
в Rp. Положим теперь р = 16г; тогда группе SO\6r существуют восемь анти-
коммутирующих «комплексных структур», т. е. операторов, которые мы обозначим
через J,, J2,..., J8; З1, = -Е; J,Jt + JkJ, = 0, к Ф 8. Все векторы J, A < я ^ 8)
лежат в плоскости sol6r и, в силу условия антикоммутативности, все они попарно ор-
ортогональны. Кроме того, каждый вектор JT ортогонален вектору Е € SOur, поэтому
сфера5^ = {хе SO]6r \x = a°E + a1Ji +... + a*Jt; (о0J +... + (о8J = 1} являет-
является плоским сечением сферы S4 (где q = 256r2 — 1), проходящим через начало коорди-
координат, и, следовательно, вполне геодезична в сфере 5* и в группе SO\6r С S9. Ясно, что
выполнено равенство So П3°1бг = Sofl^iO^r) = So, где So — вполне геодезический
экватор, задаваемый уравнением а0 = 0. Фиксируем в группе SO\br вполне геоде-
геодезическую сферу Si = {х = а°Е + а1 Ji + ... + o7J7; (о0J +... + (а7J = 1}; сфера
Sq является границей вполне геодезического восьмимерного диска D\ С S\, D\ =
{х G S*; е& ^ 0}. Пусть D8 — стандартный восьмимерный диск в евклидовой
метрике, 5 — dDs, i" — стандартное отображение D* на полусферу, тождествен-
тождественное на границе dDs, i' — единственное изометричное вложение полусферы t"(D8)
в группу SO\6r, совпадающее на сфере i"S7 с фиксированным изометричным вложе-
вложением jo: S7 —» Sq. Положим to = t'ot", to: D% -* SOi^. Рассмотрим пространство Ilg
всех непрерывных отображений /: Ds -* SO\fr таких, что J\gi = j0. Пусть ni С Пв —
подпространство, состоящее из всех отображений / класса Я8(D8) диска D* в груп-
группу SO\d,. На пространстве Ilg рассмотрим два функционала: A[f] — функционал
площади А [/] = / y/detil dv и функционал Дирихле
о»
=J [J(*i, 4)]4dt,=J [i J
J [ ]J [
Тогда A[f] < D[f] при любом / 6 П'8. ¦
Через Р% обозначим стандартный изоморфизм гомотопических групп т,(П8) =
EО16г).
Теорема 4 (Фоменко). Рассмотрим группу SO\6r « функциональные простран-
пространства Ilg и Kg отображений восьмимерных дисков в ортогональную группу. В про-
пространстве Pig рассмотрим подмножество W, состоящее из всех тех точек (ото-
(отображений) /, на которых функционал Дирихле D[f] достигает абсолютного
минимума. Тогда имеем:

216 Глава 2. Критические точки падких функций и гомологии
а) множество W гомеоморфно ортогональной группе Ог;
б) вложение »: W -* П8 —> Ug индуцирует изоморфизм гомотопических групп
t,: ж,(Ог) —»ir,(IIg) при s < г - 2; поэтому (г - 2)-мерный остов пространства Ilg
гомотопически эквивалентен (г — 2)-мерному остову группы Ог и композиция
Pi°i*'- *$(Or)—>ic,+s(SOi(r) является изоморфизмом ортогональной периодичности
при 8 ^ г -.2.
.Доказательство теоремы. Так как группа т2A^т) тривиальна, то пространство П2
связно. Так как Tg(SO\6r) = Z2, то пространство Jig несвязно и состоит из двух
связных компонент; как будет видно ниже из доказательства, множество W также
состоит из двух связных компонент, причем каждая компонента пространства Ilg
содержит ровно по одной компоненте множества W и стягивается при г —> со
именно на эту компоненту связности.
Рассмотрим теперь в группе SO\^ подмножество fig, состоящее из всех ком-
комплексных структур J, которые антикоммутируют со структурами Jt, J2,..., Jy (см. их
описание выше), т.е. антикоммутируют, тем самым, с каждой точкой шестимерной
стандартной сферы S% С S\, задаваемой уравнением а0 = 0. Так, например, ясно,
что 3% € П8. Прямое алгебраическое вычисление показывает, что пространство fig
состоит из двух компонент связности и, кроме того, гомеоморфно группе От. Далее,
пространство fig содержится целиком в плоскости, ортогональной ко всем векто-
векторам Е, J\,..., Jf. Ясно, что Sq f] П8 = {Jg; - Jg}, а потому пересечение Dq f\ fig = J%
есть одна точка.
Поставим в соответствие каждой точке х е Qg вполне геодезическую сфе-
сферу 58(х), имеющую своим экватором стандартную сферу Sq. Если х € fig, то
вектор х ортогонален векторам E,Ji,...,Jy (xJ, = -J,x, 1 < a < 7, а вектор Е
ортогонален всем комплексным структурам). Поэтому сфера, натянутая на базисные
векторы {E,Ju...,Jy,x}, является центральным плоским сечением в сфере 5*
и вполне геодезична в группе SOi6r. В сфере 58(z) рассмотрим диск
D*(x) = {у G S*(x); у = у°Е + ... + y7j7 + у*х; у8 ^ 0}.
Тогда каждому вектору х ? п% однозначно соответствует вполне геодезический
диск Х>8(х) такой, что &D8(x) = 5q, и если хх Ф х2, то D8(xi) f| D8(x2) = Sj. Точно
так же, как и в случае унитарной периодичности, можно определить вложение
»: От -^ fig -* П8 -» Ilg, так как для каждого диска D%(x), x 6 fig, существует
единственная изометрия w(x)oi": D% —» D8(x), w(x)oi"\g7 = j0; тогда t(x) = w(x)o»".
Лемма 10. Вложение i: OT -* П8 индуцирует изоморфизм гомотопических групп
до размерности г — 2.
Локазательство. Пусть отображение /: S' -» Ог представляет элемент гомо-
гомотопической группы: [/] € я-,(Ог); тогда в группе 50^ мы получаем множе-
множество {D8(x)}, х € /E7); U'g Э t(x). Так как сфера Sq фиксирована, то в груп-
группе 5Oi6r возникает подмножество S — (J D (х), которое определяет отображе-
ние F: Sa+S -» SOi6r такое, что F\s> = f (сфера S' — экватор в сфере S'+s). Теперь
рассмотрим последовательность нульмерных сфер 5° = {Л,—Л}» 1 < Jfe ^ 7. Фикси-
Фиксировав сферу Sj, мы можем построить соответствие f7: х -* Dx(x), где точка х 6 ug,
траектория D1 (х) есть минимальная геодезическая из точки Jy в точку —Jj, середина

§25. Унитарная периодичность Ботта и многомерные вариационные задачи 217
которой есть точка х. Тогда Dl(x) е Ну, и существует отображение F7: S'+1 —» ily
такое, что имеет место соотношение:
1)= U D\x), Fy\s, = f,
)
причем из одной одномерной теории Морса следует, что соответствие / ¦-» Fy опреде-
определяет изоморфизм гомотопических групп T5(J2g) —nrt+l(ily). Фиксировав нульмерную
сферу 5б, получаем соответствие: 7в: У -* #Чу)> у G Пу; ясно, что существует
отображение
F6: S'+2 - Об, F6(S'+2) = U Л'(у), ^1^,=^.
Продолжая этот процесс, мы получаем соответствия: jy,y6,... ,7i,7o> где 25 = Jo;
отображение Fo: S*48 -» По = SO|6r, причем отображение FQ соответству-
соответствует отображению / при изоморфизме периодичности; Fo(S'+i) = F(S'+i), так
как U [то ° 7i ° ¦ ¦ • ° 7т(х)] = &¦ Поэтому можно считать, что Fo = F. Это
завершает доказательство леммы, поскольку я-,(П8) = 7r,+gEOi6r)- ¦
Тем самым для подпространства i(OT) С П» выполнены все утверждения
пункта б) доказываемой нами теоремы. Осталось доказать, что выполнено ра-
равенство W = i(Or).
Лемма 11. Имеет место соотношение: i(Or) С W.
Аоказательсгво. Поскольку диск i(x){D%) является центральным плоским се-
сечением, то утверждение настоящей леммы доказывается точно так же, как со-
соответствующее утверждение в теореме об унитарной периодичности, т. е. следует
из неравенства A[f] < D[f\. ¦
Лемма 12. Верно соотношение: i(Or) = W.
Локазательство. Пусть / 6 W, т. е. функционал D принимает на отображе-
отображении / свое наименьшее значение. Пусть t0: D8 -» D% (см. выше); тогда очевидно,
что A[i0] = D[i0]. Так как A[f] ^ D[f] = D[io] = A[i0], то точно так же, как
и при доказательстве соответствующей леммы унитарной периодичности, устана-
устанавливается, что диск /(D8) является центральным плоским сечением, содержащим
сферу Si в качестве своей границы. Пусть х ? f{D%) и пусть вектор х ортогона-
ортогонален всем векторам E,Ji,..., J7; тогда имеем: х = j E), где 7 есть геодезическая
на диске /С°8),7@) = ^>70) = ~Е- Длина ?G) равна L(-y'), где геодезическая j'
содержится в диске /(D8) и такова, что 7'(°) = -®. 7*0) = ~~-®> 7* C) = ^i- По-
Поэтому 7 — минимальная геодезическая из точки Е в точку -Е в группе SOi^r-
Отсюда имеем: х = j E) ? П|, т.е. х2 = -Е. Так как вектор х ортогонален всем
векторам J,(\ < s ^ 7), то -j*(x + J,) € Пь т.е. \(х + J,J = -Е. Следователь-
Следовательно, хЗ, + 3,х = 0, т.е. х € fig. Поэтому / € *(ОГ), так как f(Ds) = D*(x). Лемма
доказана. ¦
Тем самым мы доказали ортогональную периодичность, хотя и нестрого, не
используя «одномерную» теорию Морса. ¦
14 Зак. 368

218 Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
Ясно, что совершенно аналогичная теорема имеет место и в случае симплекси-
ческой группы Spn. Мы опускаем формулировки и доказательство, предоставляя их
читателю в качестве полезного упражнения на технику многомерных вариационных
задач.
Задача 1. Выведите следующие гомотопические эквивалентности:
a) BSp = UUUSO; б) ВО = itiluSp тем же методом. Получите из этих равенств первые
восемь гомотопических групп: Z2, Z2,0, Z, 0,0,0, Z.
В случае унитарной периодичности мы имели следующее полезное утверждение:
множество i(Um) С П2 является орбитой точки »0 G П2 при присоединенном действии
группы G С Vim, где G = Um, на множестве отображений Л2. В случае ортогональной
периодичности аналогичное утверждение справедливо для i(Or), хотя этот факт мы
и не использовали при доказательстве теоремы.
Утверждение 1. Множество W — i(OT), вложенное в пространство IIg, явля-
является орбитой точки i0 С П8 при присоединенном действии группы G С 5О|бг
на множестве всех отображений Щ, где G = Jgfig ~ Ог.
Аоказательсгво. Достаточно установить, что для любого вполне геодезического
диска D*(x), где х G fig, существует элемент g € SO^ такой, что выполнены
равенства: gJ, = J,g (I < s < 7) и gxg~* = Js. Рассмотрим g G SO\^, gJ, = J,g
A ^ s < 7); тогда gusg~l с П8 и 0/^о5"')П«8 = gJta~\ т.е. gDs(x)g~1 =
D*(gxg~x). Пусть R есть подгруппа всех элементов g G SO\(,T таких, что gJ, = J,g
A < s < 7), и пусть p(g) = gJ%g~x — естественная проекция р: R —» П8. Рассмотрим
в группе SO\6r сдвиг g -» Jtg. Пусть g € R, g = exp A, A G ТВЛ. Так как gJ, = J,0,
то AJ, = J,j4. Тогда легко видеть, что J%g антикоммутирует с J, A ^ а < 7),
т. е. J.5 6 J2g, Jgii С fig. Обратно, пусть Jg exp A G fig; тогда AJ, = J,j4 A < s < 7),
или gJ, = J,<7, где g = exp j4 (t. e. g G Д, Jg.R D ftg). Отсюда получаем: fig = J%R.
Поэтому проекция р является диффеоморфизмом и для любого х € fig существует
элемент g G R такой, что х = gJ%g~*. Удтверждение доказано. ¦
Вывод. Из теорем, доказанных выше, следует, что механизм возникновения как
унитарной, так и ортогональной периодичности — один и тот же, а окончатель-
окончательный результат зависит только от того, на каком пространстве мы рассматриваем
многомерный функционал Дирихле; в случае пространства отображений дву-
двумерных дисков мы получаем унитарную периодичность, а в случае пространства
отображений восьмимерных дисков — ортогональную.
Было бы интересно получить прямое доказательство этих двух теорем, не ис-
использующее никакой информации, связанной с одномерными функционалами дей-
действия и длины. Прямое доказательство немедленно следовало бы из факта стяги-
стягиваемости Bтп)-мерного остова пространства Пг (соответственно, (г - 2)-мерного
остова пространства П8) на подпространство t({7m) (соответственно t(Or)), являю-
являющееся множеством точек абсолютного минимума функционала Дирихле. Именно
соответствующая теорема стягиваемости для функционала действия (см. класси-
классическую теорию Морса на пространстве петель) и позволяет осуществить переход:
T,_i(G^njm) = т<_|(П|). Аналогичное утверждение для многомерных вариационных
задач пока отсутствует. Это связано с типичными трудностями, возникающими при
изучении многомерных задач «типа Плато», когда многомерный функционал мо-
может вырождаться на некоторых подмножествах положительной меры, содержащихся
в экстремальных подмногообразиях.

§ 26 Теория Морса и некоторые движения в плоской задаче п тел 219
§ 26. Теория Морса и некоторые движения
в плоской задаче п тел
В этом параграфе мы рассмотрим с точки зрения Морса некоторые движения
плоской задачи п тел. Как известно, в первом приближении можно считать, что
реальные планеты солнечной системы движутся в одной плоскости, называемой
плоскостью эклиптики. Центр масс всей этой системы можно с большой степенью
точности считать совмещенным с положением Солнца. Движение системы управ-
управляется ньютоновским потенциалом согласно законам классической механики. Как
обычно, движение системы определяется начальными данными: надо задать поло-
положения гравитирующих масс и их скорости в начальный момент времени. Хорошо
известно, что общие решения этой системы весьма сложны (например, соглас-
согласно классической теореме Брунса—Пуанкаре система не допускает дополнительных
аналитических интегралов движения).
Однако, несмотря на сложность общей задачи, можно выделить некоторые
естественные подклассы в множестве всех решений, которые допускают достаточно
простое описание. Одним из таких подклассов являются так называемые «твердо-
«твердотельные решения», т. е. такие частные решения, при которых движение всей системы
тел изображается как одновременный поворот всех масс системы на один и тот же
угол в плоскости эклиптики. Другими словами, вся система как твердое тело пово-
поворачивается вокруг своего центра масс; в этом частном случае взаимные положения
всех тел системы не меняются, не зависят от времени. Такие периодические решения
системы иногда называют в литературе «круговыми траекториями». Замечательным
фактом оказывается то обстоятельство, что описание таких «твердотельных решений»
задачи п тел сводится к описанию критических точек некоторой функции Морса,
причем топологическая информация, естественно связанная с функциями Морса
на гладких многообразиях (см. выше), позволяет сделать важные качественные вы-
высказывания о геометрической структуре этих круговых решений. Например, весьма
интересен вопрос: какова конфигурация, образованная в двумерной плоскости п те-
телами системы, движущимися в соответствии с «твердотельным решением» системы.
Ясно, что далеко не каждая конфигурация из п точек на плоскости способна поро-
породить круговые траектории системы. Как оказывается, такие особые конфигурации
определяются набором масс тел системы, и в том случае, когда все массы, кроме
одной, равны, задаются некоторыми дискретными группами симметрии.
Такие конфигурации иногда называются относительными равновесиями
системы.
Перейдем теперь к точной постановке задачи. Плоская задача п тел небесной
механики полностью определяется набором п вещественных положительных чи-
чисел mi, Ш2, ¦-., тпп. Будем считать, что все п тел изображаются п точками двумерной
евклидовой плоскости. Пусть начало координат — точка 0 — совмещена с центром
масс системы п тел. Положение каждой j'-й точки на плоскости заладим одной
комплексной координатой Zj = Xj + iyy, поскольку 0 — центр масс системы, то име-
ем соотношение: 5Z mjzj = О- Следовательно, конфигурационным пространством
;=¦
системы является линейное подпространство М2п~2 (комплексная гиперплоскость)
в евклидовом пространстве С" = R2n:
14*

220 Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
М2п =((*,,...,*„)€!
п л
?>,¦*,• = о}.
Фазовым пространством системы является касательное расслоение Т(М) = М х М
(прямое произведение).
Кинетическая энергия системы К задается по формуле
2,=,
где v — вектор скорости, X) "Ч»,- = 0, |»,| — евклидова длина вектора в плоскости R2,
«=i
М2п = К2 х ... х М2 (п множителей).
В конфигурационном пространстве системы рассмотрим особое подмножество,
состоящее из набора «биссекторных» гиперплоскостей, а именно:
До- = {(г,,..., z») 6 С" | Zi = zj} , Д = 1)Ло-
Потенциальная энергия системы задается как функция на конфигурационном про-
пространстве М \ А, где
Классические уравнения Ньютона задают, тем самым, векторное поле X на кокаса-
тельном расслоении Т* = Т*(М \ Д). Конфигурационное пространство системы —
(М \ Д), а фазовое - Т*(М \ Д).
Полная энергия ?: Т —> Е1 задается по формуле: Е = К + V. В координа-
координатах (z, v) имеем: E(z, v) = K(v) + V(z); функция E(z, v), определенная на Т*(М\А),
является первым интефалом потока X, т. е. функция E(z, v) постоянна на каждой
интефальной траектории (z(t), v(t)) системы X. Наряду с этим интефалом систе-
система X допускает и еще один интефал (функционально не зависящий от интеграла Е
в точках общего положения на Т*(М \ Д)) — момент импульса, обозначаемый
через 3 и задаваемый по формуле:
п
J(z, v) = ^2 mfci Л г;,],
где через [г,- Л Wj] обозначено векторное произведение (или внешнее произведение
двух 1-форм):
[ZiAVi] = zlvi-zjVi,
где Z{ = (z\,z}) и Vi = (vl, vf) — декартовы координаты векторов г, и v, в плоско-
плоскости R2.
Рассмотрим на Ж2 стандартное действие фуппы G = 51 (вращения вокруг
центра масс); тогда это действие порождает очевидное покоординатное действие
на М С Ж2" = К2 х ... х К2 (п раз) и на касательном расслоении Т(М). При этом
фуппа G сохраняет (переводит в себя) «биссекторные» плоскости Д,7- = (z,- = Zj);
следовательно, фуппа G оставляет инвариантными М\А, Т(М \ А), К, J, V, Е, X.

§ 26. Теория Морса и некоторые движения в плоской задаче п тел 221
Таким образом, поток X естественно определяет динамическую систему на фак-
торпространстве: Т(М \ A)/G = Т((М \ A)/G). Так как можно еще дополнительно
профакторизировать по действию группы растяжений z >-* Xz в С"^ то, оконча-
окончательно, мы можем редуцировать систему к системе на Т(СР"~' \ Д), где Д —
фактор Д по двум указанным выше действиям групп: вращений и растяжений. Этой
факторизацией мы воспользуемся позже, а сейчас вернемся к исходной системе
на Т(М \ Д).
Наличие двух интегралов Е и J позволяет определить отображение J: Т -¦
R2 = R1 x R1 по формуле: Щ) = (Е(?), J($) € R2, где ? = {z, v) ? Т(М \ Д) = Т.
Отображение Г. Т -* R2 является гладким; рассмотрим расслоение многообразия Т
на прообразы 1^р = Г1(с,р), где (с,р) е R2; Е(?) = с, J(?) = р. Прообразы 1СуР
являются (для почти всех точек (с,р) € R2) гладкими подмногообразиями кораз-
коразмерности 2 в многообразии Т = Т(М \ Д). Из определения / следует, что все
поверхности /С)Р являются совместными поверхностями уровня двух интегралов Е
и J и имеют (в точках общего положения) размерность 4п - 4 - 2 = 4п - 6, так как
dim T = Лп - 4.
Лемма 1. Многообразия I^p инвариантны относительно действия группы G = 51
и относительно потока X.
Аоказательство сразу следует из описания действия S1 на С" \ Д и на Г(С" \ Д). ¦
Так как /С;Р (т. е. поверхность постоянной энергии Е = с и постоянного
момента импульса J = p) инвариантна при действии S1, то корректно определено
факторпространство 1СгР = ICtP/Sl.
Одна из задач, решаемых в рамках классической небесной механики, заключа-
заключается в том, чтобы дать описание топологической структуры поверхностей ICtP и ICiP.
Теперь рассмотрим круговые траектории в задаче п тел.
Пусть фиксированы массы тпи...,тпп; тогда конфигурация z = (zx,...,zn)
(задаваемая положением точек z\,..., г„, где ^rnizi — 0) называется относитель-
относительным равновесием (совокупность таких конфигураций обозначается через Re), если
стандартное действие S1 на R2 (и, следовательно, на С") индуцирует движение
z(t) = (z\(t),...,Zj,(t)), удовлетворяющее уравнениям движения Ньютона. Другими
словами, каждая точка z,- описывает окружность z,(f), причем взаимные расположе-
расположения точек z\,..., zn сохраняются.
Множество Re С М \ Д, очевидно, инвариантно относительно действия S]
и умножения на скаляр (т.е. относительно преобразования z н» Аг,А ^ 0), по-
поэтому корректно определено множество Ф„ классов эквивалентности в Re (две
конфигурации z и z' считаются эквивалентными, если их можно совместить путем
ортогонального поворота и умножения на скаляр).
Оказывается, при малых п множество Ф„ может быть эффективно описано
(см. ниже).
Перейдем теперь к описанию относительных равновесий через критические
точки функции V (потенциала).
Рассмотрим в М С С" = R2n скалярное произведение (,), задаваемое сим-
симметричной формой К(?, у) = X)mi?V (К кинетическая энергия системы); обо-
обозначим через Sk = S}?~} единичную сферу в М относительно этого скалярного
произведения (,): SK = {z € М \ K(z,z) = l}. При этом мы пользуемся тем,
что М изометрично каждому своему касательному пространству (мы используем то,

222 Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
что М\А — 2п-мерная область в линейном пространстве R2n). Через Sk\ А обозна-
обозначим дополнение в SK к биссекторным плоскостям Д, т. е. Sk \ A = Sk \ (Sk П А)-
Отметим, что в терминах многообразий SK \ А можно описывать поверхности уров-
уровня 1С,Р- В самом деле, рассмотрим для примера частный случай: движение системы
по поверхности уровня /Cio, отвечающей нулевому значению момента количества
движения. Если J(z, v) = 0, то имеем: X)m,[zj Л vi] — Ylmi{zlvi ~ zfvl) = 0.
Отсюда вытекает следующее геометрическое утверждение.
Предложение 1. В плоской задаче п тел с массами т\,... ,тп движение ди-
динамической системы с нулевым моментом импульса происходит по поверхности
уровня двух первых интегралов Е = с = const, J = р = 0, т.е. по интегральной
поверхности JC)o, имеющей следующую топологическую структуру.
а) если энергия Е = с неотрицательна, то 1с,о диффеоморфно прямому произведе-
произведению S2"~4 х (SK \ А) х R1; размерность I^q равна Bп - 4) + Bп - 2 -1) +1 = 4п - 6;
б) если энергия Е = с отрицательна, то поверхность 7С)о диффеоморфна прямому
произведению R2n~3 х EЯ\Д); размерность 1С$ равна Bп-3)+Bп-2-1) = 4п-6.
Поверхности /с>р отвечающие постоянным значениям энергии и момента (уже
при произвольных значениях сир), также могут быть довольно просто описаны
в терминах некоторых римановых расслоений над пространством Sk \ А. Поскольку
топологическая структура 1С,Р не будет использоваться в дальнейших конструкциях,
то это описание мы опускаем.
Теперь сформулируем основную теорему настоящего параграфа.
Теорема 1 (Смейл). Пусть задан произвольной набор масс т\,... ,т„, опре-
определяющий плоскую задачу п тел. Рассмотрим многообразие Sk' {K(z) — 1},
dim Sk = 2n - 3, и рассмотрим на многообразии Sk \ А гладкую функцию Vs, явля-
являющуюся ограничением на Sk \ А С М\ А потенциала V, заданного на М\ А; пусть
точка z € М \ А такова, что K(z) = \, т.е. можно считать, что z G S# \ A.
Тогда точка (конфигурация п тел) z является относительным равновесием тогда
и только тогда, когда z является критической точкой для функции Vs на Sk \ А.
Так как относительные равновесия z и z' = Xz мы считаем эквивалентными, то
в каждом классе из Ф„ обязательно имеется точка z такая, что K(z) = 1, по-
поэтому критические точки функции Vs на многообразии Sk \ А описывают все Ф„,
т. е. классы эквивалентных относительных равновесий.
Доказательство этой теоремы будет дано ниже. Сейчас мы (без доказатель-
доказательства) предъявим некоторые результаты классификационного характера о классах
эквивалентных относительных равновесий.
В случае задачи двух тел (п = 2) имеется только один класс эквивалентных
относительных равновесий. Для трех тел (п = 3) имеется пять классов эквивалент-
эквивалентных относительных равновесий. Два класса отличаются друг от друга ориентацией
и геометрически изображаются вершинами равностороннего треугольника (так на-
называемый случай Лагранжа). Три других класса образованы так называемыми кол-
линеарными относительными равновесиями (случай Эйлера). Это означает, что все
три точки z\,z2, z$ расположены на одной прямой, и имеется три различных способа
расположения точек z\,zi,z-$ на прямой, удовлетворяющих уравнениям движения
Ньютона.
Нерешенный вопрос: для любого ли набора масс т,],...,т„ множество Ф„
(т. е. множество различных классов эквивалентных относительных равновесий)

§ 26. Теория Морса и некоторые движения в плоской задаче п тел 223
конечно? Во всех известных примерах (до конца исследованных) множество Ф„
конечно.
Перейдем к доказательству основной теоремы. Отметим, что эта теорема явля-
является следствием одного общего результата из теории гамильтоновых систем.
Пусть М — гладкое многообразие — конфигурационное пространство некото-
некоторой механической системы, Т = Т(М) — фазовое пространство системы; кинетичес-
кинетическую энергию К можно интерпретировать как риманову метрику на многообразии М,
т. е. форму Кг можно понимать как скалярное произведение в касательном простран-
пространстве Тг(М). Полную энергию Е запишем в виде Е = К+V. Считая все определенные
выше величины заданными, мы можем с помощью уравнений Гамильтона (или Ла-
гранжа) определить обыкновенные дифференциальные уравнения на касательном
(или кокасательном) расслоении, т. е. гладкое векторное поле на Т = T(V). Эти
же уравнения можно интерпретировать как дифференциальные уравнения второго
порядка на многообразии М (см. [1], т. I, гл. 5).
Предположим теперь, что эта лагранжева система обладает некоторой конфи-
конфигурационной группой симметрии. Это означает, что на многообразии М гладко
действует некоторая группа Ли G, сохраняющая риманову метрику К и потен-
потенциальную энергию V (заданную «почти всюду» на многообразии М). Другими
словами, G — подгруппа группы изометрий римановой метрики К; описанные
выше условия означают, что группа G сохраняет и соответствующую гамильтонову
систему (порожденную К, V). В частности, потенциал V постоянен на орбитах
группы G.
Утверждение 1. Пусть М, К, V, G механическая система с группой симметрии G,
М — конфигурационное пространство, К — кинетическая энергия {она же —
риманова метрика), V — потенциал на М\ А, где то1(Д) = 0; К и V инвариантны
относительно G. Пусть X € 0, где g — алгебра Ли группы G. Элемент X можно
интерпретировать как гладкое векторное поле X на многообразии М; через ipt
обозначим интегральные траектории потока X, т. е. решения системы z = X(z).
Через <ft обозначим интегральные траектории исходной механической системы,
т. е. решения на многообразии М уравнения второго порядка, определяемого полной
энергией Е = К + V. Тогда решение ^»(^) совпадает с решением <Pt(z) (т. е. для
всех t: i-'t(z) — lfit(z)) тогда и только тогда, когда начальная точка z является
критической точкой функции f на многообразии М, которая задается формулой
f(z) = V(z) - K(X(z)). При V = 0 мы получаем описание тех геодезических
(метрики К), которые совпадают с орбитами действия некоторой однопараме-
трической подгруппы изометрий.
Доказательство этого факта элементарно следует из того, что сформултрованное
условие — это просто условие касания гамильтонова потока на Т(М) с потоком X,
поднятым в Т(М).
Продемонстрируем теперь, как отсюда следует основная теорема этого пара-
параграфа. Наряду с функцией V на М рассмотрим новую функцию Vp, определенную
на множестве М \ Д и задаваемую формулой Vp(z) = V(z) + p2/4K(z), где р —
момент импульса.
Мы ввели выше пространство Sk = {K(z) = 1}; из определения М следует,
что М \ {0} диффеоморфно R+ x Sk, где через КГ1" обозначена положительная
вещественная полуось; искомый диффеоморфизм /: М \ {0} —> 5^ х R+ задается

224 Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
формулой:
f(z)=(y/K(z);z/y/K(*)),
Ясно, что ограничение отображения / на пространство М \ Д переводит М \ Д
диффеоморфно в К+ х (Sg \ Д). Рассмотрим функцию Vg на SK \ Д как ограничение
потенциала V на подмногообразие Sk \ Д С М\ Д; обозначим через <r(d) множество
критических точек отображения d. Докажем следующие соотношения:
О *(Vp) = {('. *) е (М \ Д) к R+ х E, \ Д) | х € a(V8), t = -j^y},
где * е К+, z € SK \ Д, 2 = (t,x),
2) a(F { /^}
Отметим, что выполняются следующие очевидные равенства K(z) = t2
(см. представление точки z в виде (t, x)), V(z) — V(t, x) = ^^ (см. явную формулу
для потенциала V(z) в плоской задаче п тел).
Докажем соотношение 1). Точка z — (t, x) является критической для функции Vp
тогда и только тогда, когда равны нулю частные производные: dtVp = 0, dxVp = О
(где dt = ^, дх = ^). Отсюда получаем:
т.е. имеем: t = -jvTxy Лялсе, вычисляя dxVp(t,x), получаем:
^j = \dxv{x).
Итак, gradVJ,(?,x) = 0 тогда и только тогда, когда dxV(x) = 0 и t = — jyLy» что
и доказывает соотношение 1).
Докажем соотношение 2). Ясно, что
(V - K(X))(z) = V(t, x) - K(X(t, x));
отсюда получаем:
dt(V(t, х) - K(X(t, х))) = д, (^]- - t2K(X(l, *))) = -^ - 2tK(X(x)) = О,
где Х(х) = Х(\, х). Поскольку t 6 Е+, т. е. t > 0, то отсюда следует:
,з = V(x)
2К(Х(х)У
Вычисляя далее dx(V - K(X))(t,x), получаем:
~ *2к(х(х))) = \°>у(') ~ t2dx{K{x{x))) = о.
Так как векторное поле X порождено элементом X алгебры Ли группы изометрий,
то поле X сохраняет (с точностью до скалярного множителя) риманову метрику К.
Отсюда следует дх(К(Х(х))) = 0. Итак, окончательно, 8xV(x) = 0.

§ 26. Теория Морса и некоторые движения в плоской задаче п тел 225
Условие grad (V - K(X))(t, x) = 0 выполняется в том и только том случае, ко-
коt3 = / v <М^(Ж)) = 0- Последнее условие означает, что gradxV(x) = О,
гда
\()
где V(a:) = %(z) — ограничение потенциала V с многообразия М \ А на подмно-
подмногообразие Sir \ А.
Итак, оба соотношения 1) и 2) доказаны.
Аоказательство теоремы 1. Пусть z = (t,x) и K(z) = 1. Тогда точка z является
в силу утверждения 1 точкой, через которую проходит орбита некоторой однопара-
метрической подгруппы группы изометрий, совпадающая с некоторой интегральной
траекторией динамической системы, в том и только в том случае, когда точка z —
критическая для функции V(z) - K(X(z)). В силу равенства В множество критиче-
критических точек функции V — К(Х) (где K(z) = 1) совпадает с множеством критических
точек функции Vs на SK \ Д. Но критические точки, описанные в утверждении 1,
порождают проходящие через них орбиты (окружности) однопараметрических групп
изометрий. В случае плоской задачи п тел эти орбиты, являясь интегральными тра-
траекториями динамической системы, задают множество положений относительного
равновесия системы. Собирая, наконец, вместе всю полученную информацию, мы
видим, что точка z 6 М \ A, K(z) = 1, является относительным равновесием в том
и только в том случае, когда она есть критическая точка ограничения Vs на Sk \ A
потенциала V. Теорема 1 доказана полностью. ¦
Теперь мы можем перейти к изучению специального класса относительных
равновесий — так называемым коллинеарным относительным равновесиям, т. е.
таким, когда все п тел расположены в плоскости на одной прямой. Мы вычислим
точное число таких специальных положений равновесия для произвольного п,
используя полученную выше информацию о критических точках потенциальной
энергии.
Теорема 2 (Мультон). Для любого заданного набора масс тп\,..., тп в плоской
задаче п тел всегда существуют в точности у классов коллинеарных относитель-
относительных равновесий системы, т.е. существуют у классов относительного равновесия,
когда все точки Zi (задающие положения тел системы) расположены на одной
прямой, проходящей через центр масс, и в процессе движения эта прямая враща-
вращается вокруг центра масс {начала координат); при этом каждая точка описывает
круговую траекторию (окружность с центром в начале координат).
Пусть в плоскости системы R2 выбрана некоторая прямая I. Она однозначно
определяет подмножество М/ С М тех точек z = (z\,... ,г„), для которых все
координаты Z{ принадлежат прямой I. Как и раньше, выделим подмножество А
биссекторных плоскостей и построим следующие подмножества: Sj = SK f| Afj,
Si \ A = Si \ (Si П А). Рассмотрим действие окружности Sl на множестве S#; ясно,
что множество Si остается на месте только при повороте плоскости на угол -к.
Следовательно, на множестве S\ естественно действует группа второго порядка Z^.
Рассмотрим факторпространство Si/Zi, где I — фиксированная ранее прямая в дву-
двумерной плоскости. Так как фиксация такой прямой однозначно определяет в каждой
комплексной прямой (т.е. двумерной вещественной плоскости) в С", проходящей
через начало координат, некоторую вещественную прямую, то множество всех таких
вещественных прямых (возникающих при рассмотрении всех комплексных прямых)
естественно отождествляется с вещественным проективным пространством, что дает

226 Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
следующий диффеоморфизм: St/Ъг = ШРп~2. При этом описанное вложение ка-
каждой вещественной прямой в соответствующую ей комплексную прямую можно
рассматривать как комплексификацию этой вещественной прямой, т. е. вложение
S1/Z2 = RP"~2 -* СРп~2, возникающее при переходе от прямой I к плоскости R2,
совпадает со стандартным вложением вещественного проективного пространства
в комплексное проективное пространство. Следовательно, возникает индуцирован-
индуцированное вложение !Р"~2 \ (Д fl RP") -» СР"~2 \ Д. На СР"~2 \ Д мы рассмотрим
гладкую функцию V: СРП~2\Д -» R1, индуцированную потенциалом V: М\А -* R1,
где Д = Д/5'.
Лемма 2. Число классов относительного равновесия в точности равно числу кри-
критических точек гладкой функции V: СР"~2 \ Д —» R1.
Аоказательство. Из определения класса (см. выше) следует, что каждый класс
относительных равновесий однозначно определяется содержащимся в нем нор-
нормированным относительным равновесием, а эти равновесия, в силу теоремы 1,
однозначно соответствуют критическим точкам функции V. При этом мы исполь-
используем тот факт, что при повороте двумерной плоскости относительное равновесие
переходит снова в относительное равновесие, т. е. ортогональные преобразования
переводят класс таких равновесий в себя. ¦
Утверждение 2 (Смейл). Классы коллинеарных относительных равновесий находят-
находятся во взаимнооднозначном соответствии с критическими точками гладкой функции
V: СРп~2_\ А -> R1, которые лежат на подмногообразии RPn~2 \ (Д f) RP"~2) С
СР"~2 \ДС СР"~г (стандартное вложение было описано выше).
Аоказательство. Если относительное равновесие (т.е. конфигурация), задавае-
задаваемое набором чисел z = (z\,..., zn) коллинеарно, то все эти комплексные числа
расположены на одной прямой, и путем ортогонального преобразования дву-
двумерной плоскости их можно перевести на выделенную (и фиксированную) пря-
прямую I € R2 = С1. При этом, с одной стороны, мы не вышли из пределов одного
класса коллинеарных относительных равновесий, а с другой стороны, оказались
в критической точке^зграничения потенциальной энергии на вещественное подмно-
подмногообразие RP"~2 \ (Д П RPn~2), стандартно вложенное в СР"~2 \ Д. Утверждение
доказано. ¦
Таким образом, для описания коллинеарных равновесий достаточно описать
все те критические точки потенциала, которые оказались расположенными на ве-
вещественном подмногообразии — вещественном проективном подпространстве. Для
описания таких точек удобно изучить все критические точки ограничения потенци-
потенциала на это вещественное подмногообразие. В общем случае, конечно, критическая
точка ограничения функции на подмногообразие отнюдь не обязана быть и кри-
критической точкой самой функции на всем объемлющем многообразии (обратное,
конечно, верно). Однако, как мы сейчас докажем, в данном конкретном случае име-
имеется взаимно однозначное соответствие между критическими точками ограничения
потенциала на вещественное подпространство и критическими точками «полного»
потенциала, расположенными на этом вещественном подпространстве.
Утверждение 3. Если z € ЖРп~2 \ (Д ("") RP"~2) — критическая точка ограничения
потенциала V на подмногообразие UP"'2 \ (Д П RP") С СР"~2 \ Д, то эта
точка z является критической и для «полного» потенциала V: СР" \ Д —> R1.

§ 26. Теория Морса и некоторые движения в плоской задаче п тел 227
Локазательство. Рассмотрим фиксированные массы тпь...,тпп и потенциал
V(z) = - Y^ |™!!^| • Тогда имеют место следующие формулы:
1) первый дифференциал функции V равен
{*i-*j,*i-Vi), где veM;
2) второй дифференциал функции V имеет вид
= Qz(v,w), где v,w€M.
Здесь через (,) обозначено евклидово скалярное произведение векторов на плоско-
плоскости R2;
3) второй дифференциал сужения функции V на Sk \ А равен
Здесь через К обозначена кинетическая энергия системы, рассматриваемая как
скалярное произведение, определяемое заданными массами ти... ,1щ,. Все эти
формулы получаются прямым вычислением, сводящимся к последовательному диф-
дифференцированию в локальных декартовых координатах, поэтому мы опустим по-
подробности, предоставляя проверку указанных формул читателю.
Для каждого V{ € К2 положим »,- = (»,-, ю"), где »,' 6 / и v" € /х в плоскости R2.
Тогда для вектора «можно записать разложение:» = (г,«"),где«' = (v\,... ,v'n). Ука-
Указанное разложение имеет место для любого вектора v € М. Если z 6 5j С 5у, z ? А,
то Тг5я = {ю € М; t; ± z}; Tz5j = {v' G Afj; t;' ± z}, где на многообразии М фикси-
фиксировано скалярное произведение К, определяемое заданными массами точек системы.
Если v € TzSg и v = (»',»"), то v' 6 I^S;, так как K(v, z) = ЛГ(ю', z). Из полученных
выше формул 1)-3) следует, что если z ? 5/\ Д, v ? Tz(Sk), to dV(z)(v) = dV(z)(v').
Но тогда из равенства dV(z)(v') = 0 получаем, что dV(z)(v) = 0. Это последнее
равенство и доказывает наше утверждение. ¦
Лемма 3. Многообразие RP"~2 \ (Д П RP") имеет у компонент линейной связ-
связности.
Локазательство. Это геометрическое утверждение следует из определения бис-
секторных плоскостей. В самом деле, фиксируем точку z = (zb... ,*„) 6 Si \ Д
и будем считать, что z\ < ... < z,,,^ € R, (при этом мы пользуемся тем, что
среди этих координат нет ни одной пары совпадающих чисел). Пусть теперь задана
произвольная перестановка <г = («|,..., »'„) чисел A,2,..., п). Применяя эту переста-
перестановку к координатам исходного вектора z, мы переводим его в другую компоненту
линейной связности, очевидно, однозначно определяемую данной перестановкой
(поскольку для всех векторов, принадлежащих одной компоненте связности, упо-
упорядочивание координат вектора по их величине — одно и то же и определяется
данной перестановкой). Таким образом, множество 5/ \ А состоит из п! компонент
связности, следовательно, факторпространство RPn~2 \ (А П RP"~2) состоит из у
компонент. Лемма доказана. ¦

228 Глава 2. Критические точки гладких функций и гомологии
Лемма 4. Если точка z G ШР"~ \ (Д (~) ЖРп~2) является критической точкой
ограничения потенциала V на ЖР"~2 \ (Д р| ШРп~2), то точка z является невы-
невырожденным максимумом.
Локазательство. Воспользуемся формулой 2), полученной выше. Тогда, очевид-
очевидно, из этой формулы следует, что для функции V: 5/ \ Д —> R второй дифференциал
d2V|($,\дHг) является отрицательно определенной формой, что и доказывает лемму. ¦
Локазательство теоремы о коллинсарных равновесиях. Из явной формулы, опре-
определяющей потенциал V, следует, что эта функция стремится к -со, когда точка z
стремится к множеству Д; это означает^ что на границе каждой компоненты ли-
линейной связности множества RP"~2 \ (Д П И№"~2) функция V стремится к -оо,
а потому на каждой компоненте имеет максимум. Из теории Морса немедленно
следует, что двух критических точек на каждой компоненте линейной связности
быть не может, поскольку каждая такая точка была бы невырожденным максиму-
максимумом, и это породило бы по крайней мере еще одну седловую критическую точку,
не являющуюся локальным максимумом. Полученное противоречие доказывает, что
на каждой компоненте имеется ровно один невырожденный максимум (и больше
никаких других критических точек нет). Поскольку число компонент нам известно
и равно у, то это и завершает доказательство теоремы. ¦
Из доказанной теоремы отчетливо видно, что предположение о коллинеарности
всех тел системы (расположение их на одной прямой) было очень существенно
в нескольких узловых местах доказательства; именно это и позволило нам полностью
подсчитать число всех таких положений равновесия.
Если же мы вернемся к более общей задаче о подсчете числа классов относи-
относительных равновесий (без условий коллинеарности), то мы должны уметь описывать
индексы и количество критических точек потенциала уже не на вещественном про-
проективном пространстве, а на комплексном, что является уже значительно более
трудной задачей.
Группа вращений 51 действует на SK, оставляя инвариантным особое мно-
множество Д и потенциал V (см. об этом выше). Как мы уже видели, факторпро-
странство Sg/Sl естественно отождествляется с комплексным проективным про-
пространством СРп~2, а особое множество Д = Д/51 можно рассматривать (в СРп~2)
как объединение комплексных проективных подпространств. Снова рассмотрим
функцию V: СРп~2 \ Д -+ К, индуцированную исходным потенциалом V.
Гипотеза. Для почти всех значений масс (mi,..., тп„) в плоской задаче п тел по-
потенциал V, индуцированный исходным потенциалом V, является функцией Морса,
т. е. все критические точки этой гладкой функции невырожденны.
Эта гипотеза пока что не доказана и не опровергнута. Она возникла при
попытке ответить на вопрос конечно ли число классов относительного равновесия
(для почти всех наборов масс). Можно доказать (мы опускаем доказательство), что
функция V не имеет_никаких критических точек в некоторой открытой окрестности
особого множества Д в многообразии СР"~2. Отсюда, если сформулированная выше
гипотеза верна, сразу следует, что число критических точек функции V, т. е. число
классов относительных равновесий, конечно (для почти всех наборов масс).
Укажем на еще одно следствие из гипотезы. Если гипотеза верна, то для почти
всех наборов масс число классов относительных равновесий можно оценить следу-
следующим образом. Сопоставим каждому относительному равновесию неотрицательное

§ 26. Теория Морса и некоторые движения в плоской задаче п тел 229
число — индекс критической точки (индуцированного потенциала V), соответству-
соответствующей этому классу относительных равновесий (см. теорему выше). Тогда количества
классов относительных равновесий, имеющих данный индекс, связаны соответству-
соответствующими неравенствами Морса (см. элементарную теорию выше) с числами Бетти
(т. е. с рангами групп вещественных гомологии) пространства СР"~2 \ Д. В частности,
достаточно богатые группы гомологии пространства СР"~2\Д позволяют доказывать
существование нетривиальных классов относительных равновесий. Кольцо когомо-
когомологий пространства СРп~2 \ Д можно вычислить в явном виде (Арнольд), а именно,
это кольцо изоморфно кольцу когомологий достаточно простого топологического
пространства X — прямого произведения букета двух окружностей на букет трех
окружностей на букет четырех окружностей и т. д. на букет п — 1 окружностей.
В явном виде полином Пуанкаре пространства СР" \ Д выглядит так: П A + at),
а=2
т.е. _
Я*(СР"-2 \ Д) = Я'(E' ys1) х E1 VS' V<S') x •••)•

Г л а в а 3
Кобордизмы
и гладкие структуры
§ 27. Характеристические числа.
Кобордизмы. Циклы и подмногообразия.
Сигнатура многообразий
I. Постановка задачи. Простейшие сведения о кобордизмах. Сигнатура. Исполь-
Используя разработанный в предыдущих главах аппарат, мы рассмотрим здесь некоторые
задачи теории гладких многообразий.
1. Задача о кобордизме. Пусть задано замкнутое гладкое многообразие Af".
В каком случае оно является границей гладкого компактного многообразия с кра-
краем М" = dWn+i? Аналогичный вопрос, если оба М" и Wn+l предполагаются
ориентируемыми.
2. Задача о реализации циклов подмногообразиями. Пусть х € Я,(ЛГ*; Z) или
у € #,(М"; Z2). В каком случае найдется замкнутое подмногообразие М1 С Af",
представляющее цикл у (или х, если М1 ориентировано)?
3. Задача о реализации циклов непрерывными образами многообразий. Пусть
х € Hi(X;Z) или у € ^(X;Z2) — элементы гомологии какого-либо клеточного
комплекса X. В каком случае найдется «сингулярный бордизм» (Af1, /) — т. е. мно-
многообразие М1 и отображение /: Af* —> X такое, что /»[М*] = у (или /»[М*] = х для
ориентируемого многообразия М')? Аналогичные вопросы ставятся в относительном
случае.
Пусть х е Щ(Х, Y; Z) или у € Щ(Х, Y; Z2). Нужно найти многообразие М*
с краем W*'1 и отображение пар /: (Af1', W1) -»(X, Y) такое что /„[Af1', W*'1] = у
(или х в ориентируемом случае).
Естественно определяются группы «сингулярных бордизмов»: сингулярный бор-
бордизм — это пара (Af',/), как описано выше, где М* — замкнутое многообразие.
Цикл — это формальная линейная комбинация сингулярных бордизмов.
Сингулярная пленка — это пара (W',f), где Wj — многообразие с кра-
краем. Граница сингулярной пленки — это сингулярный цикл. Факторгруппа группы
всех t-мерных циклов (сингулярных бордизмов) по границам (t + 1)-мерных пленок
является «группой бордизмов» и обозначается через п?(X). Группы ilf(X, Y) опре-
определяются аналогично: циклы — это отображения многообразий с краем, где образ
границы лежит в У С X, а пленки вводятся естественно.
Исходя из класса ориентируемых многообразий и пленок, строят аналогично
«ориентируемые бордизмы», которые обозначаются через ilf°(X) и ilf°(X,Y).

§ 27. Характеристические числа и кобордизмы 231
Имеются очевидные отображения
ufo(X,Y)-*Hi(X,Y;Z2).
По определению группы ftp и ftf° гомотопически инвариантны. Для стягивае-
стягиваемого пространства X (или точки) группы uf и fif ° могут оказаться нетривиальными.
Эти группы ilf и ftf° называются классическими группами кобордизмов. Прямое
произведение многообразий вводит в них структуру косокоммутативных колец:
В группах ft° = ?H? верно тождество
2х = 0.
Это, очевидно, следует из равенства
8(М{ х J) = М' U М1 = 2М\
При учете ориентации мы получим в П5° = ^ ^f°
Это означает, что многообразие с противоположной ориентацией дает обрат-
обратный элемент в группах П5°, так как сумма дается формальным объединением
многообразий.
Элементарные сведения:
а) U° = Z2,Sli° = Z;
б) Qf = fif° = 0;
в) П|° = 0 (из классификации поверхностей видим, что все ориентируемые
многообразия М2 лежат в R3 и ограничивают область W3).
Вычислим группы Of.
Лемма 1. Если замкнутое многообразие М* является краем, т.е. М* = dWt+l,
то его эйлерова характеристика четна: x(^f) = 2т.
Локазательство. а) Пусть i = 2k + 1. Тогда х(м%) = 0 силу двойственности
Пуанкаре в гомологиях.
б) Пусть t = 2k. Рассмотрим удвоение
y2i+l _ w2k+\ у jp2Jb+l
Из определения х через триангуляцию комплекса следует:

232 Глава 3. Кобордизмы и гладкие структуры
Получаем:
Лемма доказана. ¦
Так как x(RP2) = 1, то
ЕР2 ф dW3, fi? ф 0.
Легко строится пленка W3 такая, что 8W3 = К2 (бутылка Клейна). (Найди-
(Найдите эту пленку!) Из классификации поверхностей (см. § 3) мы знаем, что любое
неориентируемое двумерное замкнутое многообразие есть либо RP2 + (ручки), ли-
либо К2 + (ручки). Отсюда получается результат:
nf = Z2 (базисный элемент [КР2]).
Используя геометрическую технику, можно доказать, что fif = ^з° = 0 и
ilf° = Z (Рохлин). Мы получим как эти результаты, так и много других из тео-
теории (Тома), использующей гомологические методы, изложенные выше. Развитием
леммы 1 является следующая
Лемма 2 (Понтрягин). а) Если замкнутое многообразие М' является краем в тео-
теории О-бордизмов П,, то все его стабильные характеристические числа (т. е. ста-
стабильные характеристические классы размерности i) равны нулю mod 2.
б) Если замкнутое ориентируемое многообразие М1 является краем в теории
SO-бордизмов {т.е. краем ориентируемого многообразия Wt+l), то дополнитель-
дополнительно все его стабильные характеристические числа (от. е. классы размерности i)
в когомологиях над полем рациональных чисел Q равны нулю.
Доказательство. Касательное расслоение (определенное, например, вложением
М* С м^, N —¦ оо) получается тангенциальным отображением в базу универсального
расслоения (обобщенное гауссово отображение M'^+Giv = BOi). Характеристичес-
Характеристический класс mod 2 определяется любым элементом w € Я (Gf)JV; Zj) (ср. [1J, т. Н, § 25).
По определению, полагаем:
w(Af') = t*(w).
«Стабильные» характеристические классы w € Я*(ВО,) получаются ограниче-
ограничением
to = A*to,
где to € H*(BOi+\), A: BO(i) -* BO(i + 1). Аналогично определяется понятие
стабильного характеристического класса для BSOi, BUi, BSpt.
Если М* = dWi+\ то мы имеем «»(мО = -ri(to) = т^Х*(Ш); w(Wi+1) = t^{w).
Обозначим вложение М' —> Wt+X через j. Ограничение расслоения имеет вид
< = 3*rw = Tjf ф 1. Пусть dim to = t. Тогда
to(M') = Т?Л*(ТО) = j*Tff(w).
Так как J«[M*J = 0, поскольку М' = dWt+1, мы для скалярных произведений
получаем:
(А*(«0, [л**]) = (*(«), j.[a*4) = о.
Тем самым пункт а) доказан.

§ 27. Характеристические числа ¦ кобордизмы 233
Доказательство пункта б) полностью аналогично предыдущему с заменой
гггомологий на гомологии над Q и учетом факта, что в ориентируемом случае
равенство j'*[M*] = 0 в Hi(Wl+i) верно в рациональных гомологиях. Лемма 2
доказана. ¦
Примером нестабильного характеристического класса является х(М*)- Классы
Штифеля—Уитни wq 6 Я*(М*;г) и все полиномы от них размерности t, а так-
также классы Понтрягина рч € Я4*(АГ,О) и все полиномы от них размерности »
(если t = 4к) дают нам полный набор стабильных характеристических чисел для fif
Пример 1. М1 =RP2; здесьЦг) = (l+ztK = l+wiz+wjz2, где t € J
Поэтому to2 Ф 0 и и>г Ф 0 (mod 2). Однако группа П2 = Z2. Поэтому имеем: ю2 - w2 = О
(mod 2).
Пример 2. М* = СР2, ориентация естественна; здесь p(z) = A + z2*2K = 1 +piz2.
Поэтому pi(CP2) = 3 (полином Понтрягинаp(z) указан в §9 для СР"), t € Я2(СР2;О) —
базисный элемент группы Я2(СР2; Z).
Пример 3. a) Aff = СР4, ориентация естественна. Здесь p(z) = 1 +P1Z2 +ргг4 =
A + tVM = 1 + 5tV + 10t4z4, * — базисный элемент группы Я2(СР4; Z).
Для характеристических чисел получаем:
б) М\ = СР? хСР2. Здесь p(z) = l+p,z2+piZ4 = (l+t2z2K(l+t2z2K = l + 3(t2+t2)z2 +
9*2ф\ где tt € Я2(СР2; Z) — базисные элементы.
Далее имеем: (*2J = 0, (f2.J = 0, (t] + <2J = 2t2t|. Характеристические числа имеют вид
Кроме характеристических чисел имеется еще один интересный инвариант
SO-кобордизма для ориентируемых многообразий размерности 4к, называемый
«сигнатурой» многообразия. В силу двойственности Пуанкаре (см. § 15), на груп-
группе гомологии средней размерности определена билинейная унимодулярная цело-
целочисленная форма, симметричная для размерностей 4А; и кососимметричная для
размерностей 4к + 2 (например, для ориентируемых поверхностей при к = 0).
Эта форма порождена «индексом пересечения» циклов на группе гомологии
*; Qj) или умножением коциклов на группе HVt(M4k; Q) « Н^М4*; Q),
х,уен
или (что эквивалентно)
{х, у) = х о у (индекс пересечения), х, у € На(^а ; Q).
Определение 1. Разность числа положительных и отрицательных квадратов
указанной формы на группе Нцс{МАк; Z) называется «сигнатурой» многообразия.
При изменении ориентации М4*^ — М4к форма и сигнатура меняют знак.
Сигнатура обозначается через т^АГ44].
Лемма 3 (Рохлин). Сигнатура ограничивающего многообразия равна нулю и опре-
определяет корректно линейную форму

234 Глава 3. Кобордизмы я падкие структуры
Залача 1. Доказать, что сигнатура прямого произведения многообразий равна произве-
произведению сигнатур.
Тем самым мы получаем гомоморфизм колец
где тA) = 1, fif° -^» 0, если t не делится на 4.
Аоказательсгво леммы 3. Очевидно, сигнатура несвязного объединения много-
многообразий есть сумма сигнатур. Докажем, что сигнатура ограничивающего многообра-
многообразия равна нулю. Пусть Af4* = dW4k+1. Обозначим через j вложение Af4* Л W***1.
Мы имеем jtfAf4*] = 0 в группе Я4л(И^4*+1;О). Если два коцикла х, у получа-
получаются ограничением коциклов х, у € Я2*^4*4;^, то (х,у) = 0. Действительно,
если х = j*(x), у = j*{y), то
(х, у) = («у, [Af44]) = (j*(xy), [Af4*]) = (ху, j.fAf4*]) = 0.
(Для циклов х, у это означает наглядный факт, если оба цикла гомологичны
нулю в W4k+l, то их индекс пересечения равен нулю.) Докажем, что размер-
размерность подгруппы j*H2k(W4k+1;Q) С H2k(MAk;{$ равна половине размерности
группы H2k(MAk;QI). НапиШем две точные последовательности пары (Af4*; W4t+1)
в рациональных когомологиях и гомологиях, двойственные друг другу по Пуанкаре:
) , Af4*)
Hi» II»
В силу оператора двойственности Пуанкаре гомоморфизм j* переходит в д
и гомоморфизм 6 переходит в j,. Поэтому операторы j* и 6 сопряжены друг другу,
где группа Я2**1^4**1,^4*) сопряжена к Я2*(Ж4*+1), и Я2*(АГ1*) изоморфно
своему сопряженному (Я2*(АГ4*))* = Я2*(М4*) с помощью невырожденной фор-
формы (х, у). Отсюда из чисто алгебраических рассуждений вытекает совпадение рангов
групп lmj* и Imtf. В силу точности последовательностей ранг образа Imj* равен
половине ранга группы Я2*(М4*;О). Из невырожденности формы (х,у) и фак-
факта существования нульпространства lmj* половинной размерности мы заключаем,
что т = 0. Лемма 3 доказана. ¦
Уже упоминалось выше, что П|° = Z (будет позднее доказано, что Sl$°®Q = Q).
В примере 2 вычислялось число pi[CP2] = 3/0. Заметим, что т(СР2) = 1, так как
форма (х, у) на группе Я2(СР2; Qj) = Q имеет вид (х, х) = 1 (это очевидно следует
из структуры кольца Я*(СР2, Q) — см. § 7). Так как т = 1, элемент [СР2] не является
ничьим кратным в группе п$° = Z и любой элемент х € fif0 имеет вид х = AfCP2].
Из этого немедленно вытекает такое следствие (формула Тома—Рохлина): для любого
ориентируемого многообразия верна формула
Действительно, для СР2 мы имеем
3, г[СР2] =

§ 27. Характеристические числа ¦ кобордизмы 235
Величина р\ — Ът тривиальна для СР2 и тем самым для всех элементов х С fif0»
так как х = А[СР2]. Достаточно доказать, что О$° ® Q « Q. Позднее мы вычислим
группы fif ° ® Q и получим обобщение формулы (*) — формулу Хирцебруха.
Подобно эйлеровой характеристике, сигнатуру можно определить и для неза-
незамкнутых многообразий. Действительно, если М = М4* — гладкое ориентированное
многообразие с краем V = У™4*"' = Vj (J--- \JVm, то определена, вообще гово-
говоря, вырожденная форма пересечений на группе циклов Н2к(М4к,^- Сигнатура
этой формы и называется сигнатурой многообразия т(МА). Имеет место следующее
«свойство аддитивности» (Новиков—Рохлин).
Аллитивность сигнатуры. Пусть Mfk и М24* — гладкие многообразия с краями
3
и VJ** = W*k~\ Имеет место равенство
т{М? U *?)
v,=w,
Таким образом, сигнатура аддитивна при склейке двух многообразий вдоль
целой компоненты границы. Аналогичный факт верен для эйлеровой характеристики
четномерных многообразий: действительно,
х(л? U м?) = х(м?) + х№) - xOU
V,
где x(V]) = 0, так как Vj — нечетномерное замкнутое многообразие.
Аоказательство. Докажем аддитивность сигнатуры. Группы гомологии Нтъ{М*к)
и Яа(М2*) представляются в виде Яа(А<^*) — А,®В„ В, = Imi,,, где tf: V\ =
Wt -у М?*, а = 1,2.
Форма пересечений сосредоточена целиком на подпространстве А,. Таким
образом, т(М?) = т(А,). Группа Нп^М^ U Afj*) представляется в виде
В2к(М{ U М2) = At ф А2 0 Сх в С2 Ф D ф F,
где
Вх = С\ Ф D = Im »i,:
В2 = С2 ФD = Imгг.:
Я = Кег»|. П Kertj, С
Z? = Im {ЯаМ - Яа(М, U М2)}.
Подгруппа F изоморфна пересечению
F1 = Кем,. П Кег»2. С ЯМ_,(У,) = Я»
причем две пленки в Mi и Af2, натянутые на один и тот же цикл из F1 С ()
дают вместе цикл из группы F С Я24(М1 (J М2). Форма пересечений на груп-
группе Нгк(М\ U Af2) имеет вид блочной матрицы, где а) С\ ф С2 — аннулятор формы;
б) на всех пространствах Ct, C2, D, F форма по отдельности тривиальна, но про-
пространства F и D сопряжены друг другу; в) подпространства Аи А2 ортогональны

236 Глава 3. Кобордизмы и гладкие структуры
в силу этой формы друг другу и всем остальным. (Проверьте эти простые факты!)
Отсюда вытекает
t(M1\JM2)=t(A1) + t(A2).
v,
Утверждение доказано. ¦
II. Комплексы Тома. Вычисление кобордизмов (по модулю вручения). Форма сигна-
сигнатуры. Реализация циклов подмногообразиями. Рассмотрим связное замкнутое гладкое
многообразие В и векторное расслоение ? с базой В, слоем К" и группой G = О(п),
SO(n), U(n/2) и др.
?:Е-+В, F = R".
р
Рассмотрим в слоях векторы длины ^ 1. Их совокупность образует расслоение
Ё -»В со слоем F1 = Dn С R". Граница дЕ есть расслоение со слоем 5".
Определение 2. Комплексом Тома М(?) расслоения ? называется факторкомплекс
-ю-я-
где дЕ стянуто в одну точку.
Лемма 4. Имеется естественный изоморфизм
где t > 0 — любое и п = dim F. Этот изоморфизм верен для гомологии mod 2,
если G = О(п), и для гомологии над Z, Q, Zp, если G = SO(n). {Наглядно
изоморфизм <р очевиден: для любого цикла z в базе В цикл <p(z) определяется как
полный прообраз <р(г) — p~l(z) mod 8E.)
Доказательство леммы 4 уже было дано в § 17 (см. лемму 2 для эффекти-
визации неравенств Морса в случае критических многообразий). Напомним, что
изоморфизм <р есть суперпозиция двух операторов двойственности Пуанкаре
Ч> = DSDB,
где
DB: Hq(B) -»Ят~*(В), т = dim В,
DS: Я™ фЁ
(заметим, что Е имеет гомотопический тип В и Hq(M(Q) = Hq(E, дЕ), q > 0.)
В когомологиях комплекса Тома М(?) есть «фундаментальный класс» <рA) €
ЯП(М(?)). Кроме того, в комплексе М(?) лежит сама база В С М(?) как нулевое
сечение расслоения ?. Нормальное расслоение к Я в М(?) есть точно ?, а дополнение
М@ \ В стягивается к одной точке {*} G M(Q.
Первым применением комплексов Тома является установление связи классов
Штифеля—Уитни to,- 6 Я*(Я; Z2) для любого векторного расслоения ? с базой В
с квадратами Стинрода Sq*.

§ 27. Характеристические числа и кобордизмы 237
Определение 3. Классом w,- Е H'(B; Z2) называется элемент ip~xSqly(\), где
Для установления связи этого определения с тем, которое было дано ра-
ранее, следует проделать некоторые вычисления в когомологиях классифицирующих
пространств H*(BSO(n); Z2) и Н*(ВО(п); Z$. В группе О(п) имеется подгруппа
диагональных матриц D(n) С О(п), имеющих вид
±1 О
±1
О ±1
D(n) = Z2 х ... х Z2. Тем самым имеется отображение классифицирующих про-
пространств
BD{n) = RP°° x ... х RP°° Д ВО(п)
и отображение когомологий
Н* (ВО(п); Z2) А Я* (BD(n); Z2).
Ззлзча 2. По аналогии с группой # (я) докажите такие факты: образ Im •* в точности
совпадает с симметрическими многочленами от хи...,хп, где О Ф ж,- € ff'QRifjZj). При
этом t* не имеет ядра (мономорфизм).
Классы Штифеля—Уитни получаются как элементарные симметрические мно-
многочлены
Залача 3. Докажите, что при отображении BSO(n)-^*BO(n) образ Im j* есть эпиморфизм
(«отображение на») в г2-когомологиях, и ядро порождается как идеал элементом tc, 6
Hl(BO(n);Z2).
Залача 4. Рассмотрим комплексы Тома универсального расслоения ? над ВО(п) и вло-
вложение ВО(п) С М(?). Докажите, что отображение
/¦: И' (M(i); Z2) -» И* (ВО(п); Z2).
не имеет ядра и образ Im /* состоит из всех полиномов от классов to,-, делящихся на wa С
Ня{ВО(п);Ъг), где »'ю„ = xt... хи. Докажите, что /*у>A) = ю, и f*<p(wi) = Sq'(wK) =
Вообще, верна формула
fip(x) = хю.
(докажите!).
Получите аналогичные результаты для Я* (S50(n); Z2). Вычислите операции
в Я*(МО(п); Z2), аналогично § 10. Исследуйте гомотопические группы
используя результаты § 10.
Залача 5. Исходя из формулы to,- = y>~'5gV(l)» докажите, что классы to, e H'(M"; Zj)
гомотопически инвариантны для замкнутых многообразий. Используйте для этого связь
касательного расслоения с окрестностью диагонали в Мп х М".

238 Глава 3. Кобордизмы и сладкие структуры
Залача 6. Для класса wu который обращается в нуль тогда и только тогда, когда
многообразие ориентируемо, имеет место формула
Dwx = 6.[МЯ), 6,: ЯВ(М"; Z2) - ЯП_,(М"; Z2),
где 6t — оператор в гомологиях, описанный в § 3. Докажите эту формулу независимо
от задачи 5.
Для базы В = BG для G = О(п), SO(n), U(n/2), SU(n/2), Sp(n/4) и уни-
универсального расслоения ? со слоем К" комплекс Тома М(?) обозначается обычно
через МО(п), MSO(n), MU(n/2), MSU(n/2), MSp(n/4).
Если G = e (единичная группа), то универсальное расслоение ? тривиально,
база BG = {¦} (одна точка), но слой есть R". Мы получаем
Me = 5".
В частности, SO(l) = е и MSO(\) = Sl. Далее: ОA) = {±1}, ВО{\) = RP°°
(или ШР1* при большом N); универсальное расслоение 17 с группой О(\) имеет вид
нормального расслоения к RP* в RP*:
Е^Ш*", слой F = R\
Пространство Е расслоения со слоем D1 = I (векторы длины ^ 1) есть «лист
Мёбиуса» (см. [1], т. II, § 2). Граница дЕ есть сфера SN', накрывающая RP*. Поэтому
пространство Тома M{q) имеет вид
= МО{\) = Д= = RP*+I D RP* = В.
дЕ
Для G = SOB) мы имеем аналогично
MSOB) = CP*+I D CP* = В, N-юо
II
MU(\)
Фундаментальный класс в этих случаях есть базисный элемент групп
u = <p(l)?Hl(SK,Z) для MSO(l) = Sl;
u = ip(l)eHl(RP<x>;Z2) для MOA) = RP°°;
2Z2) для М SOB) = CP00.
Эти пространства являются комплексами типа ЛГ(т, п) для п = 1,2, тс = Z, Z2;
элемент и = у»A) совпадает с фундаментальным элементом комплекса K(ic,n) —
см. § 10.
Имеет место простая
Лемма 5. Комплексы Тома М($ односвязны при п> 1. Их простейшие гомотопи-
гомотопические группы имеют ви&.
(M(f\\ — i ^2) Р°СС/10Йше неориентируемо,
n\ \s)) ~ \ z, расслоение ориентируемо.
Аокззательство. Клеточное разбиение M(Q получается из клеточного разбиения
базы В умножением на одну клетку (слой)
BCff'n >р{о>) = р~ V) = o-"+i-

§ 27. Характеристические числа и кобордизмы 239
Кроме того, имеется одна нульмерная клетка <г° С М(?), полученная из дЕ
стягиванием в точку. Поэтому ту(М(?)) = 0 для j < n (в этих размерностях нет
клеток). Пусть В имеет только одну нульмерную клетку (для связного В к этому
случаю всегда можно свести, как показано в § 4); тогда в М(?) имеется всего одна
клетка размерности п (это — слой над одной точкой). Итак, группа т„(М(?))
циклическая. Для неориентируемого расслоения в базе найдется замкнутый путь
(его можно считать одной клеткой <т ), который обращает ориентацию слоя. Для
такой клетки ах ее прообраз р^') = Ф^) = ff"+1 есть клетка в М(?) такая, что
д<тп+х=2<гп.
Это геометрически очевидно в расслоении над S1. Если расслоение ориентируемо,
то границы всех клеток р~х{а\) в комплексе М(?) равны нулю. Поэтому цикл [<тп]
бесконечного порядка. Лемма доказана, так как Н„ (М(?)) = т„ (М(?)). ¦
Имеет место следующая важная
Теорема 1. Группы кобордизмое ilf, fif° канонически изоморфны стабильным
гомотопическим группам
для i < п — 1 (см. [1], т. II, §23, где была установлена связь между группами
xn+i(Sn) = *n+i(Me) и кобордизмами оснащенных многообразии).
Доказательство, а) Рассмотрим замкнутое многообразиеМ* С R"+',raet < n—1.
Все вложения М1 С ^"+I изотопны (см. [1], т. II, §11), и нормальное расслоение
к АГ в Rn+t не зависит от вложения. Обозначим его через v. Возникает отображение
в универсальное расслоение
М{ -»ВО{п),
где ^ — универсальное расслоение со слоем К". Пространство расслоения v — это
окрестность М* в К"+| С S"+t, а ее образ покрывает все тело Е. Продолжим это
отображение на все дополнение к окрестности так, чтобы это дополнение переходило
в одну клетку <т° ? М(?), полученную стягиванием дЕ. Мы получаем отображение
сферы
Это отображение трансверсально регулярно на подмногообразии ВО(п) С )
и /~'(В0(п)) = М*. Понятие трансверсальной регулярности вдоль подмного-
подмногообразия ВО(п) С М(?) состоит в следующем: в любой точке х 6 /~'(ВО(п))
образ касательного пространства RjJ+t при линейном отображении df трансверсален
к касательной плоскости подмногообразия ВО(п) С М(?), т.е. линейные простран-
пространства d/(i^+>) и Tj(x){BO{n)) совместно порождают все касательное пространство
к М(?) в точке f(x) (см. [1], т. II, § 10).
Кобордизм (пленку) Wt+i, где 8W'+l = M\ (J Ml, мы расположим в произведе-
произведении Rn+< х I, где J = [0,1], так, что Aff С K"+t х 0, MJ С R"+' x 1 и Wi+X нормально
подходит к краям. Повторив предыдущую конструкцию для нормального пучка v
к Wt+l С R"+l х I, мы получаем гомотопию
Sn+i xJ- M (?).

240 Глава 3. Коборднзмы и гладкие структуры
Итак, построено соответствие (гомоморфизм)
П?-»*п+|(МО(п)), «
Аналогично строится гомоморфизм
< (MSO(n)), i
б) Покажем, что построенное соответствие есть изоморфизм. Пусть дан элемент
а € т„+,- (М0(п)), представленный отображением
/: Sn+i -> MO(n).
Можно считать, сделав малое возмущение (см. [1], т. II, § 10), что отображение /
трансверсально регулярно вдоль подмногообразия ВО(п) С МО(п). Полный про-
прообраз /"' (ВО(п)) = М1 есть гладкое неособое подмногообразие М* С R"+1 С S"+t.
Образ нормальных п-плоскостей к М* в К?+| при отображении df трансверсален
к ВО(п). Элементарной деформацией отображения этот образ всюду вдоль ВО(п)
может быть сделан нормальным к ВО(п), а все дополнение к окрестности много-
многообразия М* в Sn+t можно стянуть в точку ст0, полученную из дЕ в МО(п). Отсюда
получаем доказательство теоремы 1 для п?. Для Qf° доказательство аналогично.
Теорема доказана. Ш
Теорема 2. а) Цикл х € ЯДМ"+1; Z2) тогда и только тогда реализуется замкну-
замкнутым подмногообразием М* С М"+|, когда найдется отображение /: М"+' —»
М0(п) такое, что f*u = Dx,zdeu€ Hn(MO(n); Z2) — фундаментальный класс
и D — оператор двойственности Пуанкаре.
б) Пусть М"+* — ориентированное многообразие. Цикл х 6 fi,(Afn+';Z) то-
тогда и только тогда реализуется замкнутым ориентированным подмногообра-
подмногообразием № С Af"+I, когда найдется отображение /: М"+' -* MSO(n) такое,
что /*« = D х.
в) Цикл х G Hj(Af"+l; Z) тогда и только тогда реализуется замкнутым ориенти-
ориентированным подмногообразием с тривиальным нормальным расслоением М* С M"+t
(т. е. заданным набором неособых уравнений ф\ = 0,..., У>„ = 0 в Мп+1), когда
найдется отображение /: Affl+I —» Me = S" такое, что /*« = D х.
Замечание. Аналогичная теорема верна для возможности реализации цикла подмного-
подмногообразием с предписанным нормальным расслоением со структурной группой U(n/2), SU(n/2),
Sp{n/4) и т.д. Отображение многообразия Afi в MU(n/2), MSU(n/2), MSp(n/4) и т.д.
порождает такую реализацию.
Группы xn+i(MU(n/2)) = flf, *^(MSU{n/2)) = flf, T,+,(Af5p(n/4)) = Ц* есте-
естественно можно понимать как комплексные (унитарные), специально комплексные и ква-
тернионные кобордизмы Пр, fl5P, ilSf. Особенно важны унитарные кобордизмы. Каждое
комплексное и квазикомплексное многообразие имеет класс кобордизмов в группах П^.
доказательство теоремы 2 лля G = О(п). Пусть задано подмногообразие
М* С Af+\ Нормальное расслоение определяет уже изложенной конструкцией
отображение /: Af+'-»M0(n), где NT -+ BO(n); все дополнение к окрестности
многообразия М* в Af+> переходит в точку ст0, полученную стягиванием дЕ при
построении М(?). Легко видеть, что
/*« = D[M'].

§ 27. Характеристические числа и коборднзмы 241
= о,
= о,
= о,
j
j
j
>
>
1,
1,
2.
Обратно: если задано трасверсально регулярное вдоль ВО(п) С МО(п) ото-
отображение /: М"+| -» МО(п), то полный прообраз М* = f~l(BO(n)) таков,
что /*и = 1)[АГ]. Для G = SO(n) и др. рассуждения аналогичны. Теорема до-
доказана. ¦
В некоторых случаях комплексы MO(i), MSO(i) являются комплексами типа
К{-к, п). Это случаи:
М5ОA) = Me = 51 = K(Z, 1),
MO(l) = RP00 = K{Z2, I),
MSOB) = CP00 = K{Z, 2),
При этом элемент ip(l) = « 6 Hn(MG) совпадает с фундаментальным классом
комплекса K(v,n) в этих трех случаях 'К Используя теорему из § 10 мы получаем
набор следствий из теоремы 2.
Следствие 1. о) Любой цикл х € ffn(M"+l; Z2) при всех п реализуется замкнутым
подмногообразием.
б) Любой цикл х € Hn(Mn+l;Z2) и х € #n(Af"+2;Z) при всех п реализуется
замкнутым ориентируемым подмногообразием.
Вывод этого следствия из теоремы 2 сводится к тому, что коцикл Dx = у
для этих случаев представляется в виде образа f*u, согласно основному свойству
К(тг, п), так как МО{\), MSO{\), MSO{2) — это комплексы K(v, n).
Следствие 2. Если i < j,mo для любого цикла х € Щ(М"; Z) найдется число А ф 0
такое, что цикл Ах представляется подмногообразием М* С М"+\
Это следствие извлекается из теоремы 2 с помощью результатов § 10: было
установлено, что в стабильных размерностях любой комплекс (здесь — MSO(n))
«устроен так же, как тензорное произведение комплексов типа К{я, т), где т^п,
если все умножить тензорно на поле Q».
Следствие 3. Для любого цикла х € Щ(Х; Z) найдется число А / 0 такое, что
цикл Хх есть образ многообразия М*,
<р: М{ •-» X,
Ч>,\М •'] = х.
Доказательство состоит во вложении X С Кяг+| и в рассмотрении многообразия
с краем U D X, которое стягивается к X: U ~ X. После этого цикл Ах €
Щ(и) » Я,-(Х) реализуется на основе следствия 2 как подмногообразие с помощью
отображения (U, dU) -^ MSO(N), где 8U переходит в точку и /* = D[M'].
Следствие 4. Естественный гомоморфизм
групп бордизмов в гомологии является «эпиморфизмом» {отображением на).
') Более сложная теорема (Тома) утверждает, что все комплексы М0(п) до размерности 2п - 1
гомотопически эквивалентны прямому произвелению комплексов типа К(Хг, mj), где trij ^ п.
17 3ак. 368

242 Глава 3. Коборднзмы н гладкие структуры
Для комплексов без нечетного кручения в гомологиях Ht(X, Y; Z) верна тео-
теорема (Новиков), устанавливающая аналогичный факт без тензорного умножения
на поле Q, т. е. циклы реализуются образами многообразий без кратностей.
Перейдем теперь к следствиям теоремы 1 и теоремы Картана—Серра (см. § 10).
Кольцо H*(?5O(n);Qj) порождается характеристическими классами и является
кольцом полиномов от элементов (классы Понтрягина и класс Эйлера—Пуанкаре):
При этом для j < n и j фАк имеем:
Hn+i(MSO(n);Q) =0.
Ранг стабильных групп
H4k(BSO(n); Q) &Hn+Ak(MSO(n);Q)
для 4к < п равен числу разбиений числа к на слагаемые, fc = mt + ... + тд,
поскольку базис состоит из одночленов z = рт,ртг ...рщ„(совпадения пц = тпу
возможны), degz = 4(т.\ + ... + mq).
Для размерностей 4к = 4,8 мы выписали выше (см. п. I) характеристические
числа многообразий [СР2] ? П%° и [СР2]2, [СР4] G fif°.
Из теоремы 1 и теоремы Картана—Серра следует
Теорема 3. Группы ilj° ® Q = 0 для j Ф 4к; fifi? ® Q — это группа ранга,
равного числу возможных линейно независимых векторов — характеристических
чисел многообразий М4*. Для 4fc = 4,8 из вычислений (см. выше) следует, что
набор характеристических чисел в Q-когомологиях полностью определяет класс
кобордизмов х € П4* с точностью до кручения^.
Залача 7. Проведите вычисление векторов характеристических чисел произведений
Cff"' х ... х СР^™1 и покажите, что все эти векторы линейно независимы.
Следствие. Сигнатура т(М ) является линейной формой от векторов характери-
характеристических чисел.
Локазательство. Мы знаем, что т — это линейная форма nf/P <8> Q, согласно
лемме 3 (см. выше), в то время как характеристические числа дают полный базис
форм. Следствие доказано. ¦
Для 4& = 4,8 мы имеем:
fe = l:p,[CP2] = 3, т(СР2)=1; fif
Вывод:
1
т = ~~р\>
Для к — 2 мы уже получили матрицу (см. п. I):
V2
т
[СР2]
X
18
9
1
[СР2)
[СР4]
25'
10
1
2* Полную информацию о структуре колец П5°, if читатель может найти в обзоре [60].

§ 27. Характеристические числа и кобордизмы 243
Вывод: Имеет место формула
1 ,
т=— GР2~Р\)- B)
45
Можно получить общую формулу для всех к в удобной аналитической форме
(Хирцебрух).
Уместно поставить более общую задачу: пусть задана произвольная числовая
характеристика на кобордизмах fi? = Y, ®? Для G = U, SO
В: fi?-C
такая, что ВA) = 1, B(Mf \JM%) = B(M,n) + B(M2n), B(AfJ* x M2n) = B(M,")B(M2"),
т. е. аддитивная и мультипликативная (относительно прямого произведения мно-
многообразий). Фактически, нам интересно только кольцо fi? <8> Q, которое опре-
определяется характеристическими числами — полиномами от с, или р,. Для любой
четной размерности n = 2fc в случае G = U мы имеем полином В>к(си...,ск)
такой, что BfM2*] = (Bjtfa,... , с*), [М2*]), где М2к — «унитарное» многообра-
многообразие (т. е. многообразие, в стабильное нормальное расслоение которого при вло-
вложении М' С R2" введена структура ?7-расслоения; в частности, U-структура
получается как слабое отображение комплексной (или квазикомплексной) структу-
структуры многообразий, «помнящее» характеристические классы). Для G = SO мы имеем
полиномы В*(pi,... ,Рк) Для всех размерностей п = 4к такие, что
Случай G = SO сводится к G = U дополнительным требованием B2*+i (ct,...,
C2t+i) = 0, как будет видно далее.
Последовательность многочленов (Во = 1,В|,Вг,... ,В*,...) не произвольна,
а сильно связана требованием мультипликативности В(М2* х М27) = В(М2*)В(М2/).
Будем искать ответ в следующем виде: задан формальный ряд
B(zt) = 1 + aizt + a2z2t2 + ... = Y^Mv)zk, t € Я2(СР°°;Z),
с числовым коэффициентами, определяющий характеристический класс В для
одномерных СГ-расслоений. Полагаем
Bt(c,,...lct)=ff[B(zt1)B(zf2)...B(ztn)l = *(*,,..., «г»),
где <Т\,...,ак — элементарные симметрические полиномы от t\,... ,tn-
Для случая G = SO ряд B(zt) следует брать в виде b(zt) — P(zH2), классы рк
имеют вид pt ¦-» <Tk(t2,... tt2,) — см. выше.
Согласно формуле Коши мы можем написать
1 t n A
Bjt(ci,... ,ск) — —: Ф TTBB^i)...B(zin)-r-T (n ^ к).
2xt J -^_х z"+l
Для СР" мы имеем, согласно формулам характеристических классов касатель-
касательного расслоения,
*,=*2 = ... =tn+l=teH2(CPn;Z),
тер» ф1 = 1/©...ф»7 (п+1 слагаемое),
17'

244
Глава 3. Кобордизмы и гладкие структуры
Для числа В[СР"] мы имеем
\п+1
dz
(n-я компонента ряда по z).
Пример 4. В[СР2*] = 1,
с сигнатурой г:
В = т, В» =2*(р, ,...,/>»).
Это дает общую формулу для полиномов Хирцебруха
r=(Lk(p,,...,pt),lM4k]).
Пример 5. В(СР") = I для всех п. Здесь
J = 0. Здесь B(zt) = щщ. В этом случае В совпадает
= -с„
= —с,с2.
Это — так называемый «род Толпа» TfAf2*] алгебраических (комплексных) многообразий:
согласно теореме (Хирцебруха) T[Af2"] = $^(-1)'г<, где г4 — размерности пространств
голоморфных дифференциальных форм на многообразии Мь;
1 _ 1 2 _ 1
И(с,+с2),
Выведем общую формулу для ряда B(z) в случае произвольной характери-
характеристики В: ftf —» С Введем каждый формальный ряд 5Z[CP"]z" и его «интеграл»
^О2) = X) ^T^n+1- Сопоставим этому ряду значение характеристики В:
В(СР") п+,
Мы имеем
1 / B(to)/w I / dw
— г~т Ф _. . . dw = -—: ф —- , . ,
2irt / 1 - za(w)/w 2ki J w[n(w) — z
|»|=e |»|=e
Поэтому
Интегрируя по ю, находим:
dw dv
-, и<
zB(w)
< 1.

§ 27. Характеристические числа и кобордизмы 245
так как этот интеграл определяет обратную функцию. Итак, мы получили общий
ответ (Новиков):
¦w-Рй- C)
III. Некоторые применения формулы сигнатуры. Сигнатура ¦ проблема инвариант-
инвариантности классов. Покажем, что на базе понятия сигнатуры могут быть определены
и сами характеристические классы р* в Q когомологиях.
Рассмотрим цикл х € Я^М") и вычислим скалярное произведение (рь,х)
только через сигнатуру. Можно считать, что 4* < j - 1 (если это не так, перейдем
от многообразия Af* к М" х SN). Коцикл у = D(x) € iP'^Af") можно, умножая
на А Ф 0, реализовать в виде образа при отображении
/: Af"-> 5"~4*=Afe,
/*(») = Ay.
Это следует из результатов п. II. Полный прообраз /"'(х0) правильной (ре-
(регулярной) точки х0 ? S"* есть подмногообразие с тривиальным нормальным
расслоением
»: Af4* х R* С Af",
где ЦМ4*) = Ах € Я^АГ).
Для ifc = 1 мы полагаем:
на основании формулы A) и тривиальности нормального расслоения к М4* С
Это дает новое определение класса j>\. Аналогично для класса pi из B) имеем:
(рг, х) = ifo, Ах) = ^D5т(М4*) + (р?, \х)).
Из общей формулы Хирцебруха можно извлечь, что для всех к класс ри можно
выразить через r(Af4i) и произведение классов низших размерностей. Это дает новое
определение классов рь. «Сигнатурное» определение позволяет без труда доказать
инвариантность рациональных классов р* при кусочно-линейных (кусочно-гладких)
гомеоморфизмах (идею см. ниже) и играет важную роль в доказательстве инвариант-
инвариантности классов pt относительно любых непрерывных гомеоморфизмов. Сигнатурное
определение, как видно, существенно рационально: в нем содержатся «необходи-
«необходимые» знаменатели, например, \ для класса р^. Следствием этого является то, что
целочисленные классы р» € Я4*(М"; Z), которые, по определению, суть инварианты
диффеоморфизма, могут быть элементами конечного порядка; 7-кручение класса рг
оказывается неинвариантным относительно непрерывных гомеоморфизмов.
Рассмотрим кусочно-линейное (триангулированное) многообразие Мп и его
симплициальное отображение в сферу: Af" -¦ 5"-4*. Тогда полный прообраз вну-
внутренней части симплекса а"* С S" имеет вид (проверьте!)
Р
'Чуо) = /"'(ff"*) = ff"'4* x Af4* С Af",

246 Глава 3. Кобордиэмы и гладкие структуры
где М4к — это также триангулированное многообразие или хотя бы комплекс, для
любой точки которого хо € М4к мы имеем «локальные гомологии сферы»
Hi(M4k,M4k\{x0})=0, гф4к,
H4k(M4k,M4k\{x0})=Z.
Задача 8. Докажите, что для гомологических многообразий D) верна двойственность
Пуанкаре в гомологиях, определена сигнатура rfAf4*) с обычными свойствами: если М4* =
dW4*и, где М4к и 8W4t+l — гомологические многообразия, то г = 0.
Эти свойства позволяют дать чисто симплициональное (и комбинаторно-ин-
комбинаторно-инвариантное) определение классов рк € ff*(A/;Q) (Том, Рохлин—Шварц) на базе
формулы сигнатуры. Класс р2 6 Н*(М; Z) не допускает комбинаторного определе-
определения и комбинаторно (топологически) неинвариантен (Милнор, Кервер).
Переходя к проблеме топологической инвариантности классов рк € Н4к(М; Q),
можно без ограничения общности считать все многообразия М4к х If* С М"*4*
односвязными. Пусть п ^ 2. Рассмотрим вложение тора Г" xRcRfn открытую
область в изучаемом многообразии:
М4" х Г" х К С М4* х К" С Мп+4к.
В любой гладкой структуре область
М4* х Т" х R с М44 х К" С Мп+4к
есть гладкое многообразие. Используя более сложную технику классификационной
теории гладких односвязных многообразий, распространенную на случай много-
многообразий со свободными абелевыми группами эг| = Z х ... х Z, доказывается такое
утверждение (простейший вариант): если тс\{М4к) = 0, то гладкое универсальное
накрытие над открытым гладким многообразием М4* х T"~l x R (заданным в лю-
любой гладкой структуре) диффеоморфно М4к х ]R" —> М4к х T"~l x R, где М4к —
р
гладкое многообразие. Отсюда индукцией по Jfc выводится утверждение, что величи-
величина т(М4к) = т{М4к) определяет характеристические классы j>\,..., рк топологически
инвариантным образом (Новиков). До сих пор неизвестны никакие доказательства
этой теоремы, где удалось бы избавится от, казалось бы, искусственного исполь-
использования областей со свободной абелевой группой Т| в этой «чисто односвязной»
проблеме, по постановке не связанной с Ъ\.
Отметим, что уже класс р\ € Н4(Мк; Q), в отличие от гомологии и классов
Штифеля—Уитни, не является гомотопическим инвариантом (Дольд). Рассмотрим
расслоения (пусть х = 0 при п = 4) над сферой S4 со слоем 5"~', группой G = SO(n)
и всевозможными классами pi(?) G #4(S4;Z). Пространство такого расслоения
Е -* 54, F = 5" имеет клетки а0, а4, ап~\ ап+3, где да4 = дап~х = 0, дап+г ф 0.
Поэтому Е имеет вид
4x\
Залача 9. Докажите, что элемент а имеет вид
a = [a4)aB_i]+6,
где 6 е 5rn+2E"''). fa.bl — произведение Уайтхеда (см. [1], т. II, §22), о4 G rA(S*) и ая_, е
1 — образующие. Если п = 5, то 6 € ^(S4) = Z© (конечная группа) и лежит
й
в конечной части.

§ 27. Характеристические числа и кобордюмы 247
Далее, мы знаем из § 10 (следствие теоремы Картана—Серра), что группа
*n+2(Snl) при п Ф 5 конечна. (Более того, в § 10 эта группа была вычислена для
п > 5, где мы получили irn+2E"~') = Z24). Итак, имеется не более конечного числа
замкнутых многообразий Е с точностью до гомотопического типа (при п > 5 их
не более, чем 24). Эти многообразия имеют размерность п > 6. Что же касается
диффеоморфизма, то класс р\(?) является инвариантом многообразия Е, поскольку
Pi(E) = p*pt(O (проверьте!).
Итак, уже класс р\ гомотопически неинвариантен для многообразий размер-
размерности > 6. Для многообразий М4 этот класс гомотопически инвариантен в силу
формулы (см. выше)
Рассмотрим случай п = 5. Базисный цикл ж € Н^{М5; Z) может быть в соответ-
соответствии со следствием 1 из п. II представлен в виде ориентируемого подмногообразия,
локально разделяющего ориентируемое многообразие М на две части (глобально
не разделяющего). Рассмотрим минимальное накрытие
такое, что {j>t-K\(Ms),Dx) = 0, и эта формула определяет накрытие гомотопи-
гомотопически инвариантна Геометрически это накрытие строится так: многообразие М5
разрезается вдоль М4; получается пленка W такая, что
(две компоненты края). Накрытие получается следующим образом (см. рис. 118):
берется бесконечное количество экземпляров W5, обозначаемых через W*. Далее,
полагаем
м5 = ... UwfU^U^5----
и* и* м;
Группа монодромии накрытия равна Z и действует так:
T(W?) = W}+u
Вложение М* —» M5 обозначим через t. Мы имеем цикл х = i*[M*] G
Очевидно, мы имеем Т,ж = х. Пусть о, 6 G Н2(М5; Q). Введем форму
'«+2
•4+1
Ряс. 118.

248
Глава 3. Кобордизмы в гладкие структуры
Лемма 6. Форма (а, Ь)$ сосредоточена на некотором конечномерном подпростран-
подпространстве А С Н2(МЪ); это означает, что H2(MS) = А + В и (В, Ь)х = 0 для любого
Ь G H\MS).
Аокэзательство немедленно следует из компактности многообразия М4 (цик-
(цикла х), так как (ab, х) = ((i*a)(i*b), [Af4]). ¦
Определение 4. Сигнатура формы (а, 6)? на конечномерном пространстве А
называется сигнатурой цикла т(х).
Теорема 4 (Новиков). Имеет место формула
Аоказательство теоремы. Цикл Af4 С Afs делит на две части М5 = М\ (J М2.
Имеем два вложения: t'i: Af4 -» М\, i2: Af* -» Af2. Сигнатура цикла т(х) совпа-
совпадает с сигнатурой формы на H2(M*;Q), ограниченной на подпространство Imt*,
поскольку (ab, х) = 0, если i*a = 0 или i*b = 0. Очевидно, мы имеем
Im »* = Im t* П Im i\.
В гомологиях Я2(М4; Q) имеются следующие подгруппы;
Lo = Kert»,
L\ = Ker ti, = Lq + N\,
Ьг = Ker t2, = Lo + N2,
Индекс пересечения обращается в нуль на подпространствах L\ и L2 (циклы,
гомологичные нулю в пленке, имеют нулевое пересечение). Поэтому в базисе
форма имеет матрицу вида (блочную):
N2
Lq
0
0
0
X*
Ni
0
0
Q*
Y*
N2
0
Q
0
z*
X
Y
Z
W
где W = W*. Сигнатура такой формы совпадает с сигнатурой формы на подпро-
подпространстве Ь^ (т. е. для матрицы W).
Далее, сигнатура формы на пространстве Lj С Н2(М4; Q) совпадает с сигна-
сигнатурой формы (ab, [Af4]) на подпространстве Im t* (H2(M5)) и тем самым совпадает
с сигнатурой т(х). Теорема доказана. ¦
Следствие. Класс j»i(Af5) € #4(Af5;Q) гомотопически инвариантен.
Таким образом, в неодносвязных замкнутых многообразиях между рациональ-
рациональными характеристическими классами и фундаментальной группой возникает глубо-
глубокая связь, исследование которой к настоящему времени далеко не является завершен-
завершенным. Наиболее общая «гипотеза о высших сигнатурах» состоит в следующем: имеется
запас классов когомологий, связанных с фундаментальной группой Ti(Af") = x; этот

§ 28. Гладкие структуры на многообразиях 249
класс получается как образ Imj*, где у. М" —» К(г, 1) — каноническое отобра-
отображение. Если х 6 Я"~4*(тг, <QK), то предполагается, что скалярное произведение
полинома Хирцебруха от характеристических классов Понтрягина с циклом Dj*(x)
гомотопически инвариантно: (?*(pi, ¦ ¦ • ,Рк), Dj*(x)), где D — двойственность Пу-
Пуанкаре. Для свободных абелевых групп — т. е. если х есть произведение одномерных
классов — эта гипотеза доказана (Новиков, Рохлин, Каспаров, Чанг, Фарелл). Она
доказана также, когда it есть фундаментальная группа компактного риманова мно-
многообразия отрицательной кривизны (Люстиг, Мищенко), а также в ряде случаев или
алгебраическим образом сводящихся к этим, или в некотором смысле аналогичных
этим (Кеппелл, Соловьев). Никаких других гомотопических инвариантов замкнутых
многообразий из рациональных (вещественных) характеристических классов — т. е.
тензора кривизны — составить невозможно.
§ 28. Гладкие структуры на семимерной сфере.
Проблема классификации гладких многообразий
(нормальные инварианты).
Кручение Райдемайстера
и основная гипотеза комбинаторной топологии
Мы рассматриваем бесконечно дифференцируемые многообразия. Известно,
что многообразие класса гладкости * ^ 1 эквивалентно (и при этом единственному)
бесконечно дифференцируемому вещественно аналитическому многообразию (Уит-
ни). Формально можно определить также непрерывные многообразия, где замены
координат при переходе от одной координатной карты к другой негладки. Можно
рассматривать также (что встречается гораздо чаще) непрерывные гомеоморфизмы
гладких многообразий. До 50-х годов считалось «ясным», что на любом непре-
непрерывном многообразии можно ввести структуру гладкого многообразия и что два
непрерывно гомеоморфных гладких многообразия на самом деле диффеоморфны.
Это очевидно для п = 1, без труда доказывается для п = 2 и с большими затруд-
затруднениями, но прямыми элементарными методами эти факты удается установить для
трехмерных многообразий (Мойс).
Одно из самых удивительных следствий изложенного выше аппарата алгебра-
алгебраической топологии состоит в обнаружении среди довольно простых многообразий
такого, которое непрерывно гомеоморфно обычной семимерной гладкой сфере 57,
но не диффеоморфно ей (Милнор). Как будет видно далее, этот эффект приводит
к открытию многообразий, не допускающих введения никакой структуры диффе-
дифференцируемого многообразия.
Напомним, что с помощью кватернионов (см. [1], т. §24) мы строили «кватер-
нионное расслоение Хопфа».
S7 Д S*, слой F = S3.
Это — главное расслоение с группой 53 = SUB), состоящей из кватернионов q,
\q\ = 1, действующих так на сфере
S1 = {(qu 92), Ы2 + Ш2 = 1}, (9ь 9г) -»(«
3' В алгебре когомологии комплекса К(ж, 1) называются когомологиями группы ж и обозначаются
через Я*(ж,0)-
16 Зэк. 368

250 Глава 3. Кобордизмы и гладкие структуры
где q\, q2, q — кватернионы. Так как 51/B) С S0D) = SUB) x (SUB)/{~\, 1}, то
можно говорить о классах (х, Р\)- Мы будем изучать аналогичные расслоения с груп-
группой 50D). Такие расслоения мы будем реализовывать как расслоения со слоем D4
и базой 54:
E-+S4, F = D4, G = 50D). A)
Число х равно, по определению, индексу самопересечения 54 о S*, где 54 С Е
как нулевое сечение (см. [1], т. II, §24). (Точнее, х — класс когомологий базы 5*,
X € H\SA; Z) такой, что (х, [54]) = S4 о 54).
Лемма 1. Пространство дЕ расслоения A) со слоем 53 гомеоморфно сфере S1
тогда и только тогда, когда х — 1-
Аоказательство. Докажем, что дЕ имеет гомотопический тип сферы S1 тогда
и только тогда, когда х — 1- Рассмотрим точную последовательность
Для t = 4 гомоморфизм д: *ч(?4) —» *зE3) вычисляется так: будем строить нулевое
сечение расслоения A) со слоем D4. Теперь ясно, что индекс самопересечения 54о5*
совпадает с кратностью, с которой цикл 53 (слой) входит в границу д[о~л] в дЕ.
Итак, 0[54] = х[53] (см. [1], т. II, §22). Если х Ф 1, то мы имеем
О ->¦ Ъх — *3(дЕ) -*
Поэтому тз(дЕ) = Ъх. Если х = 1. то Tj{dE) = 0 при j < 4, как следует из точной
последовательности. Так как дЕ имеет только клетки а0, а3, аА, а1 и -Kj = 0
при j < 4, то имеем
Н,(дЕ) = *0Е) = 0, j < 7, *7@Я) = Z.
Базисный элемент а € -к^дЕ) = Z представляется отображением а: 57 —> &Е,
которое и индуцирует изоморфизм групп гомологии (и, следовательно, гомотопиче-
гомотопических групп). Итак, дЕ ~ 57. ¦
Имеется общая теорема (Смейл, Столлингс, Уоллес), что при п ^ 5 многообра-
многообразие гомотопического типа 5" гомеоморфно 5". Из этого, конечно, следует лемма 1.
Можно, не используя этой теоремы, конкретно построить некоторые из расслое-
расслоений через кватернионы и непосредственно указать гомеоморфизм дЕ и 57, явно
предъявив функцию Морса, которая имеет только один минимум и один макси-
максимум (см. ниже). При фиксированном х — 1 мы имеем расслоения с различными
классами pt.
Лемма 2. Для любого к существует расслоение ? такое, что pt = 2k, x — 1
(точнее, р( = 2ки, х = «, где и € Я4E4; Z) — базисный элемент).
Перед доказательством леммы 2 мы продемонстрируем механизм, приводящий
к возникновению нетривиальных гладких структур на сфере 57.
Рассмотрим класс Р\(Е) = р*Р\(О, так как тБ — т^ фр*(?). Поэтому

§ 28. Гладкие структуры на многообразиях 251
где v = р*и € Н4(Е; Z) — базисный элемент. Для цикла 54 С Е мы имеем
Поэтому сигнатура т(Е) = 1.
Будем рассуждать от противного. Если край дЕ — обычная сфера 57 = 8D*
(как гладкое многообразие), то мы имеем гладкое многообразие
J, где 8E
Далее, Щ(Ё*) = Щ{Е) при t a? 7,
pl(E*)=pl(E) = 2kv,
т(Ш*) = 1 = т(Е).
Для замкнутого гладкого многообразия Е" гомотопического типа ИР2 (ква-
тернионной проективной плоскости) мы можем применить формулу сигнатуры
(см. §27):
рг =-D5т + р]).
При этом число (р2, [Е ]) должно быть целым! В нашем случае
т=1, pi = 4k% р2 =
Для jfc = 1 мы имеем: рг = 7 для обычной кватернионной проективной плос-
плоскости HP2. Для fc = 0,2,3,4,... и т. д. имеем: рг — число не целое! Противоречие
с гладкостью Е .
Вывод. При всех fc, когда рг — дробно, многообразие дЕ не диффеоморфно
сфере S1 (хотя и гомеоморфно S1).
Известно, что классы pq € Н*ч(Мп; Qj) — инварианты непрерывных гомеомор-
гомеоморфизмов (Новиков). Отсюда, конечно, следует, что многообразие Е при к = 0,2
не допускает введения гладкой структуры. Действительно, наличие гладкой струк-
структуры для Е противоречило бы инвариантности класса Р\(Е), так как г, очевидно,
инвариантно. Впрочем, детальный анализ показывает, что для некоторых других
примеров можно обойтись и более простыми средствами, чем использование топо-
топологической инвариантности классов pq (Кервер).
Приступим теперь к доказательству леммы 2.
Локазательство. Рассмотрим сначала SOC) — расслоение над 54. Так как
5ОC) = SUB)/Ii2, мы имеем отображение (превращенное в расслоение)
BSOC) -> K(Z2,2); F = BSUB),
16*

252
Глава 3. Кобордизмы и гладкие структуры
причем *\{В) = 0. Спектральная последовательность в Z-гомологиях имеет вид
Е\л = НР(В; Hq(F))=
4
0
u
0
1
0
0
0
0
1
«1
0
t»
2
0
0
0
3
«2
0
w
4
из
0
X
5
dsx = 0, так как 2« Ф 0, 2x = 0, откуда следует, что jt4(BSOC)) -* Я4(В5ОC); Z)
не является отображением «на», Сокег Н = Z2.
Класс pi € H*(BSO{1),Q) таков, что
где и — базисный элемент группы Ят4 С H4(BSOC);Z). Таким образом, для
G — SOC) число (pi, [S4]) пробегает все четные значения для расслоений ? над 5*.
Вкладывая 50C) в 50D), мы переходим от ? к ? Ф 1, где р\(? © 1) = ()
0
ние)
©0 .
Рассмотрим теперь 50D) = (SUB) x 51/B)) /{1, -1} и отображение (расслое-
(расслое)
В5ОD)
,2), F = BSUB) x BSUB).
В спектральной последовательности для Z-гомологии, учитывая, что *\(В) = 0,
имеем:
4
4
0
It
У
0
1
0
0
0
0
1
«1
X\
0
t;
2
0
0
0
3
«2
хг
0
to
4
0
X
5
Здесь 2х = 2v = 2w = 0, d5x = 0, так как 2и ф 0, 2у ^ 0. Отображение
Я: т4(В50D)) -» Я4(В50D); Z) не является изоморфизмом, Сокег Я = Z2.
Вывод. Так как р\, X ~ базис в сопряженном пространстве Нот (Я4,Z), то х
может принимать любые целые значения для расслоений над 54, а р\ — четные.
Лемма доказана. ¦
Прямое построение расслоений (Милнор). Вспомним (см. [1], т. II, § 24),
что 50D)-расслоения над сферой «нумеруются» элементами группы язE0D)) =
Z + Z, т. е. парами целых чисел (A, j). Явная конструкция соответствующих отобра-
отображений fhj' 53 —» 50D) задается кватернионами:
fhj(v)v = «hwaJ,
где и, v € Н = R4, |«| = 1 (т.е. и G 53). Через &,• обозначим соответствующее
расслоение над 54.

§ 28. Гладкие структуры на многообразиях
253
Залача 1. Докажите, что
Пусть числа Ли j таковы, что Л + j = 1, ft - j = к. Обозначим через М*
пространство расслоения &;- (где в слое — сфера S3). Это многообразие может
быть склеено из двух экземпляров R4 х S3 склейкой подмножеств (R4 \ {0}) х 53
по диффеоморфизму
(проверьте!).
Залача 2. Проверьте, что функция / вида
/(«,„)=—'
Rev
Reu"
1 + Ы ) A +1" I j
где «" = «'(»')"' имеет на Ml ровно 2 критические точки (и, v) = @, ± 1), и они невырождены.
Отсюда вытекает, что все многообразия М\ гомеоморфны сфере S1. Из за-
задачи 1 и рассуждений этого параграфа (выше) следует, что при fc2 ? 1 (mod 7)
многообразие М[ не диффеоморфно S7.
Итак, мы видим, что существуют нетривиальные многообразия гомотопического
типа сферы («гомотопические сферы»). Совокупность многообразий гомотопичес-
гомотопического типа S" замкнуто относительно операции «связной суммы» многообразий
(см. §4):
М?#М? ~ 5".
Определение 1. Два замкнутых многообразия Aff1 и М% (любого гомотопическо-
гомотопического типа) называются h-кобордантными (или J-эквивалентными), если найдется
пленка Wn+l, dW+l = MJ1 (J JWJ, причем пленка Wn+l стягивается к каждому
из своих краев.
Лемма 3. Классы h-кобордизма гомотопических сфер образуют группу 0".
Локазательство. Отметим, что связная сумма всегда ас-
ассоциативна (не только для гомотопических сфер). Рассмо-
Рассмотрим сумму ориентированной гомотопической сферы М"
и ее же с противоположной ориентацией (М+)#(М?) —
Mq. Многообразие AfJ — граница следующего многообра-
многообразия Wn+] (см. рис. 119).
Из произведения Af? х I удалено произведение D" х I,
где D" С М" — малый открытый шар радиуса е. Сгладив
= Щ#М2 и Wn+1 стягиваемо.
углы, заметим, что
Удалив из Wn+l малый открытый шар ?>[>, полу-
получим Л-кобордизм между dWn+i и обычной сферой 5".
Лемма доказана. ¦
Введем следующие обозначения: dPn+i — подгруппа
в 0", состоящая из границ параллелизуемых (п + 1)-мерных многообразий;
Л С VN+n(SN), п < N - 1 — подгруппа, состоящая из оснащений на обычной
сфере S" С КЛГ+П (см. [1], т. II, §23). Имеет место такой факт:

254
Глава 3. Кобордизмы и гладкие структуры
Любая гомотопическая сфера М" при вложении в R2*4"" имеет тривиальное
нормальное расслоение (для п = 4к это следует из периодичности Ботга — см. § 22,
и формулы сигнатуры для рь, учитывая, что r(Sn) = 0; для п Ф 4к, 8fc + 1, 8Jfe + 2
это следствие того, что гомотопические группы itn(SO) = 0; при n = 8Jfe + 1, 8* + 2
это — теорема Адамса, вытекающая из более современной техники алгебраической
топологии).
Поэтому, учитывая произвол в выборе оснащения на М" С R""", мы по-
получаем гомоморфизм вп —>• x"jm -. Ядро этого гомоморфизма есть группа дРп+1
(проверьте!).
Для группы дР"+1 имеются следующие результаты:
а) #Р"+| = 0, если п четно;
ГО, п = 2,4,6,
б) дРп+1 = < Z2) п=10,
{. 0 или Z2, если п = 4к + 1;
в) дРп+1 равна циклической группе некоторого конечного порядка, равного 28
для п = 7 (в сущности, мы уже построили выше нетривиальный гомоморфизм
в7 -v Z7). Особый случай п = 3 не рассматривается. Группы Г„ = '"*$ ^ и 0" имеют
вид:
п =
Г„ =
1
0
0
2
Z2
0
3
0
?
4
0
0
5
0
0
6
0
0
7
0
Z28
8
Z2
(Z2J
9
(Z2J
(Z2K
10
z2
z2
Таковы факты (Милнор, Кервер) о группах гомотопических сфер 0". Имеет ме-
место теорема (Смейл): для односвязных многообразий размерности п ^ 5 лю-
любой Л-кобордизм Wn+l тривиален, Wn+l = Af" x /. Поэтому группы вп дают
классификацию гладких структур на сферах, исключая размерности п = 3,4.
Гладкие структуры на сфере и классификации многообразий гомотопического
типа сферы — это одна и та же задача при п Ф 3,4. Группа в3 неизвестна,
но нетривиальных гладких структур на S3 нет. Группа 04 = 0 известна, но неизвестно,
имеются ли нетривиальные гладкости на 54.
Изложим теперь классификационную теорию гладких замкнутых односвязных
многообразий размерности п > 5 (Новиков, БраудерL). Естественно возникает
вопрос: какими инвариантами, кроме гомотопического типа и класса эквивалент-
эквивалентности касательного расслоения, определяется гладкое замкнутое многообразие? Для
частного случая гомотопических сфер мы указали теорию (Милнора—Кервера), ре-
решающую эту задачу. Подход к этой задаче для общих многообразий таков: будем
работать со стабильным нормальным расслоением Vs при вложении М" С К"+",
которое однозначно определяется касательным расслоением т" при N > п+1 в силу
равенства
vN
т" ф v
0.
Гладкие многообразия любого несферического гомотопического типа, разуме-
разумеется, не образуют группы. Оказывается чрезвычайно полезным рассмотрение ком-
комплекса Тома Miy11). Имеется естественное вложение Af* С М(^) и отображение
4*Для п = 4 из этой теории вытекает только утверждение, что гомотопически эквивалентные
многообразия являются Л-кобордантными.

§ 28. Епадкие структуры на многообразиях 255
окрестности U многообразия Af" в Ry+" С SN+n:
где 8U переходит в одну точку. Окрестность U — это и есть пространство рас-
расслоения Vя'. Отображение пар (U, 8U) -* (Af(Vs), *) продолжается естественным
образом до отображения сферы, переводя дополнение к области U в сфере SN+n
в точку {*}:
Для отображения ф = гри- имеем
Итак, цикл a[Af] сферический. Далее, группа Hn+ff(M(vN); Z) равна Z, n < N +1.
В качестве следствия результатов § 10 мы имеем:
где D — конечная абелева группа.
Многообразию М" в силу этой конструкции отвечает элемент фиш е
*ff+n(Af (»/*)) такой, что $.[SN+n] = y)[Af"]. Поэтому фи* = 1 + а, а е D. Имеет
место следующее
Утверждение 1 (Новиков), а) Каждому многообразиям?, для которого задана со-
сохраняющая нормальное расслоение и ориентацию гомотопическая эквивалентность
Af{* i-+ Af" (deg/ = +1, f*Vjjf. = ищ), отвечает элемент i>u* G 'jv+п (M(i^))
вида 1 + а, а ? В (хотя, вообще говоря, и не один). Для п Ф 4fc + 2 верно
к обратное утверждение._Дяя п = 4fe + 2 ^реализуемые» элементы 1 + а могут
пробегать подгруппу а? D С D, где либо D — D, либо D имеет индекс 2.
6) ?Ъш два таких многообразия Aff u Mj* попали в один класс 1 + а €
тп+дг(М(i/*)), то найдется сфера Мшнора в € tfP2"^ давдсая, адяо AfJ1*^ = Af?.
Следствие. При фиксированном гомотопическом типе и касательном расслоении
(или его инвариантах — классах pt ? H*(Af";Q) ) может существовать толь-
только конечное число попарно недиффеоморфных гладких односвязных многообразий
размерности п ^ 5 (все построенные инварианты диффеоморфизма принимают
значение в конечных абелевых группах).
Другая теорема (Браудер, Новиков) показывает, какие векторные расслоения ?
над гладким многообразием М" могут быть реализованы как нормальные расслое-
расслоения М" С №+N некоторого многообразия AfJ гомотопического типа Af}1:
а) Для этого необходимо, а при п = 6,14 и всех нечетных n = 2fc + 1 ^ 5 и доста-
достаточно, чтобы цикл v>[Af|*] G Нц+п(М@) был сферическим (образом сферы SN+n).
б) При n = 4k для достаточности надо добавить условие, чтобы полином
Хирцебруха от классов р\ (?), ¦•-,?*(?) совпадал с сигнатурой г[AfC]. Необходимость
этого условия очевидна — см. выше формулу сигнатуры.
Эта теорема, может быть сформулирована более общим образом (Браудер):
можно предполагать, что Aff — это не многообразие, а только комплекс, в це-
целочисленных когомологиях которого (не локальных, а только глобальных) имеется
двойственность Пуанкаре. Спрашивается — когда комплекс Af}1 имеет гомотопичес-
гомотопический тип гладкого замкнутого многообразия AfJ? Для этого необходимо и достаточно,

256 Глава 3. Кобордизмы и гладкие структуры
чтобы нашлось стабильное расслоение ? над Aff, где цикл у(М") — сферический
и выполнены условия а) и б).
При п = 4& + 2 варианты всех этих теорем также верны, но они более сложно
формулируются; мы их не приводим здесь.
Задача 3. Докажите, что для случая сферы АР = 5* мы имеем:
= S* V 5*+я,
Для вычисления степени неоднозначности «нормального инварианта» Vif« ?
(M(i^)) нужно рассмотреть группу гомотопических классов отображений
нормального расслоения, имеющих степень +1 на базе:
Мп±М\ vNlvN.
Эта группа действует на комплексе Тома Af(i/*), орбиты действия на допусти-
допустимых элементах вида 1 + а из тсц+п{М{1^)) точно соответствуют многообразиям
с точностью до прибавления сфер Милнора из подгрупп dPn+1: Af" —» M?#dPn+l.
Задача 4. Докажите, что для М" = 5" степень неоднозначности сводится к факто-
ризации -B±jk -¦ Вычислите группу гомотопических классов автоморфизмов многообразия
с нормальным расслоением для М*, Х\(МЛ) = 0; покажите, что она транзитивно действует
на множестве элементов вида 1 + а. Вычислите эти группы для СР" и S* x S1.
Обратим внимание на такое весьма любопытное (и элементарно устанавлива-
устанавливаемое) свойство гомотопических эквивалентностей, сохраняющих стабильное нор-
нормальное расслоение.
Теорема 1 (Мазур). Если /: Aff —+ AfJ гомотопическая эквивалентность такая,
что f*i>2 = и?, то пространства Е\ и Ег расслоений i^ и v^ со слоем 18^
диффеоморфны (односвязность здесь не предполагается), N > п + 2.
Аоказательаво. Рассмотрим аппроксимацию отображения /: Aff —* At" С Ег
с помощью гладкого вложения /: Af" С Щ и аппроксимацию "g: AfJ С Е\ «обрат-
«обратного» отображения д: Af" -+ Aff С Е\, где fg ~ 1 и gf ~ 1. Считаем, что N > п + 2.
Нормальные расслоения к образам /(Aff) С Ег и s(AfJ) С J?i есть и^ и v^
по условию. Поэтому имеется диффеомофизм областей D\ и D\ , образованных
векторами длины < I в обоих расслоениях Ег, Е\ на е-окрестности U\ и U2
вложений /(Aff) С Ег и д{М2п) С Ех:
Заметим, что U, С DJ2), U2 С D{*\ Определены отображения: GF: d\1) -» ijj0,
FG: Dj —* D\ . Можно считать, что окрестность U\ содержит Af" и окрестность U2
содержит Aff вместе с их ^-окрестностями Df и Df соответственно, при доста-
достаточно малых 6. В самом деле, обратим внимание, что окрестность U2 содержит
диффеоморфный образ GF(D\ ). При этом образ нулевого сечения гомотопен ему
самому. Поэтому диффеоморфизмом всего многообразия Е\, неподвижным для всех
векторов длины ^ j и изотопным тождественному, этот образ можно совместить

§ 28. Гладкие структуры на многообразиях 257
с окрестностью нулевого сечения (см. [1], т. II, § 10). Здесь существенную роль играет
условие стабильности N > п + 2, позволяющее применить теорему Уитни. (Впро-
(Впрочем, читатель легко увидит, что это утверждение вытекает из сформулированной
выше теоремы Смейла в односвязном случае. Однако мы приводим доказатель-
доказательство теоремы Мазура и для неодносвязных многообразий.) Мы имеем диаграмму
диффеоморфизмов и вложений
и
Однако Df каноническим растяжением Ei —* Ei в 6~l раз диффеоморфно D\ ,
причем размер 17,- также увеличивается в 6~х раз. Мы получаем, итерируя растяжение
многократно:
Так как (J U2ts-i = E\ — U^J-'> то распухающая последовательность диффео-
j ' i
морфизмов Fg.]: U2if-i -* Df]j в пределе дает диффеоморфизм Е\ —* Е^. Теорема
доказана. ¦
Следствие 1. Комплексы Тома расслоений i/f', v% над многообразиями Aff1 и М"
непрерывно гомеомофны:
М{и?) и М(i^).
Локазательство очевидно. ¦
Залача 5. Если п = 3, то все ориентируемые многообразия параллелизуемы (докажите!).
Следствие 2. Линзовые многообразия Lp(qj) (j = 1,2), если они гомошопически
эквивалентны (т. е. q\ = A2g2, где gi, qi, А ненулевые вычеты modulo p, p простое)
имеют диффеоморфные прямые произведения на Rn, n ^ 5 (см. § 11) R5 x L3p{q\) =
l^2

258 Глава 3. Кобордизмы и гладкие структуры
Комплексы Тома тривиальных расслоений M(v{) и М{уг) гомеоморфны.
Важный факт (Милнор): в комплексе Тома М{и) имеется особая точка
{*} С M{v), которая комбинаторно устроена (при симплициальном разбиении)
как конус над фаницей «звезды» — пространством расслоения Vj со слоем 5"~';
комбинаторные инварианты границы звезды являются инвариантами самого ком-
комплекса. Если сфера S" четна, и расслоение Vj — прямое произведение, то кручение
Райдемайстера имеет вид
R(L3p(q) х S*-1) = R(L3p(q)) x rfS-1),
где х — эйлерова характеристика (проверьте!). В частности, возможна ситуация,
например, для р = 7:
ДA>(«1)) х ХE°-') Ф R(L3p(q2)) х x(Sn~l),
где х(^"~') = 2. Поэтому комплексы Тома M(v\) и М(i/г) комбинаторно не эквива-
эквивалентны, хотя и гомеоморфны.

Литература
1. Дубровин Б. А., Новиков С. П. Фоменко Л. Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.
2. Рашевскии П. К. Курс дифференциальной геометрии М.: Гостехиздат, 1956.
3. Рашевскии П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967.
4. Погорелое А. В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1974.
5. Погорелое А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М.: Наука, 1969.
6. Александров Л. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.—Л.: Пэстехиз-
дат, 1948.
7. Ефимов И. В. Высшая геометрия. М.: Наука, 1971.
8. Норден А. П. Теория поверхностен. М.: Гостехиздат, 1956.
9. Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии. М.: 1Ъстехиздат, 1952.
10. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981.
11. Зейферт Т., Трельфалль В. Топология. М.—Л.: ГОНТИ, 1938.
12. Зейферт Т., Трельфалль В. Вариационное исчисление в целом. М.: ИЛ, 1947.
13. МилнорДж, Теория Морса. М.: Мир, 1965.
14. МилнорДж. Особые точки комплексных гиперповерхностей. М.: Мир, 1971.
15. МилнорДж. Теорема об Л-кобордизме. М.: Мир, 1969.
16. Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. М.: Нау-
Наука, 1976.
17. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973.
18. Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1969.
19. Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей. М.: ИЛ, 1960.
20. Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. М.: ИЛ, 1960.
21. Чжень Шэн-шэнь. Комплексные многообразия. М.: ИЛ, 1961.
22. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М.: Мир, 1967.
23. ГромолД., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М.: Мир, 1971.
24. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.
25. Стинрод Н. Топология косых произведений. М.: ИЛ, 1953.
26. РохндорнЭ.Р. Задачи по дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1971.
27. Новиков С. П., Мищенко А. С, Соловьев Ю. П., Фоменко А. Т. Задачи по геометрии. М.: Изд-
во МГУ, 1978.
28. Гильберт Д., Коп Фоссен С. Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981.
29. Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М.: Наука, 1977.
30. Лефшец С. Алгебраическая топология. М.: ИЛ, 1949.
31. Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела
около неподвижной точки. М.: Гостехиздат, 1953.
32. Ху Сы-цзян. Теория гомотопий. М.: Мир, 1964.
33. Дояьд А. Лекции по алгебраической топологии. М.: Мир, 1976.
34. Спеньер Э. Алгебраическая топология. М.: Мир, 1971.
35. Хилтон П., Уайли С. Теория гомологии. М.: Мир, 1966.
36. МилнорДж., СташефДж. Характеристические классы. М.: Мир, 1979. (См. также лекции
Милнора в сб. переводов Математика 3, № 4, с. 3-53; 9, № 4, с. 3-40.)
37. Стонг Р. Заметки по теории кобордизмов. М.: Мир, 1973.

260 Литература
38. Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии. М.: Мир, 1973.
39. Расслоенные пространства и их приложения. Сб. переводов. М.: ИЛ, 1958.
40. Фукс Д. Б., Фоменко А. Т., Гутенмахер В. Л. Пэмотопическая топология. М.: Изд-во
МГУ, 1969.
41. ХьюэмоляерД. Расслоенные пространства. М.: Мир, 1970.
42. Мошер Р., Тангора М. Когомологические операции и их приложения в теории гомотопий.
М.: Мир, 1976.
43. Be иль А. Введение в теорию кэлеровых многообразий. М.: ИЛ, 1961.
44. Мищенко А С, Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: Изд-во
МГУ, 1971.
45. Стинрод Н., ЭпстейнД. Когомологические операции. М.: Наука, 1982.
46. Теория голитонов / Под. ред. Новикова С. П. М.: Наука, 1979.
47. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических. М.: Мир, 1982.
48. Гриффите П., ХаррисДж. Принципы алгебраической геометрии. М.: Мир, 1982.
49. Атья М. Лекции по .йГ-теории. М.: Мир, 1967.
50. Браудер У. Перестройки односвязных многообразий. М.: Наука, 1983.
51. Болтянский В. Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. М.: Наука, 1982.
52. Тода М. Композиционные методы в теории гомотопий. М.: Наука, 1982.
53. Adam's J. F. Stable Homotopy Theory. Berlin, Springer Verlag, 1966 (Lect. Notes, №3).
54. Morse M. The calculus of variations in the large // Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 18,
N.Y., 1934.
55. Аяьбер С. И. О периодической задаче вариационного исчисления в целом // УМН, 1957,
12, №4, с. 57-124.
56. Люстерник Л. А., Шнирельман Л. Г. Топологические методы в вариационных задачах //
Труды научно исследовательского института математики и механики М., 1930.
57. Люстерник Л. А., Шнирельман Л. Г. Применение топологии к экстремальным задачам //
Труды 2-го Всесоюзного математического съезда, 1935, т. I, с. 224-237.
58. Новиков С. П. Гомотопически эквивалентные гладкие многообразия, I // ИАН СССР, сер.
матем., 1964, 28, с. 365-475.
59. Новиков С. П. О многообразиях со свободной абелевой фундаментальной группой и их
применениях // ИАН СССР, сер. матем., 1966, 30, с. 207-246.
60. Новиков С. П. Новые идеи в алгебраической топологии // УМН, 1965, 20, № 3, с.41-66.
61. Фоменко А. Т. Периодичность Ботта с точки зрения многомерного функционала Дирихле //
ИАН СССР, сер. матем., 1971, 35, с. 667-681.
62. Фоменко А. Т. Многомерная задача Плато в римановых многообразиях // Матем. сб., 1972,
89, №3, с. 475-520.
63. Милнор Дж. Кручение Уайтхеда// Математика (сб. переводов), 1967, 11, № 1, с. 3-42.
64. Милнор Дж. О многообразиях, гомеоморфных семимерной сфере // Математика (сб.
переводов), 1957, 1, №3, с. 35-42.
65. Мищенко А. С. Эрмитова ЛГ-теория. Теория характеристических классов, методы функци-
функционального анализа // УМН, 1976, 31, №2, с. 69-134.
66. Бухштабер В. М., Мищенко Л. С, Новиков С. П. Формальные группы и их роль в аппарате
алгебраической топологии // УМН, 1971, 26, №2, с. 131-154.
67. Рохлин В.А. Теория внутренних гомологии // УМН, 1959, 14, №4, с. 3-20.
68. Рохлин В.А. 3-мерное многообразие — граница 4-мерного//ДАН СССР, 1951, 81, №3,
с. 355-357.
69. Атья М. Ф. Пространства Тома // Математика (сб. переводов), 1966, 10, № 5, с. 48-69.
70. Милнор Дж. Дифференциальная топология // УМН, 1965, 20, №6, с.41-54.
71. Смет С. О строении многообразий // Математика (сб. переводов), 1964, 8, № 4, с. 95-108.
72. Смет С. Топология и механика // УМН, 1972, 27, № 2, с. 77-133.

Литература 261
73. Лекции на математическом семинаре по гомотопической топологии // УМН, 1966, 21,
№5, с. 117-248.
74. Kervaire М.А. A manifold which does not admit any diflerentiable structure // Comment. Math.
Helv., 1960, 34, №4, p. 257-270.
75. Kervaire M. A., MilnorJ. Groups of homotopy spheres, 1 //Ann. Math., 1963, 77, p. 504-537.
76. Milnor J. Two complexes which are homeomorphic but combinatorially distinct // Алл.
Math, 1961,74, p. 575-590.
77. Serre J. P. Cohomology modulo 2 des complexes d'Eilenbeig— McLane // Comment. Math.
Helv., 1953, 27, p. 198-231.
78. Cartan H. Algebres d'Eilenbetg—McLane et homotopie. Seminaire H. Cartan, Ecole Norm.
Super. Ge annee), 1954/1955.
79. MilnorJ. A survey of cobordism theory // Enseign. Math., 1962, 8, № 1-2, p. 16-23.
80. Novikov S. P. Fontrjagin classes, the fundamental groups and some problems of stable algebra.
Ess. on topology and rel. topics. Memories dedies a Georges de Rham. Berlin—Heidelberg—New
York; Springer Verlag, 1970.
81. Adams J. F. Stable homotopy and generalised homology. Chicago Lect. Notes in Math., 1974.

С. П. Новиков
Приложение 1
Аналог теории Морса для многозначных функций.
Некоторые свойства скобок Пуассона
Пусть М — гладкое замкнутое многообразие конечного или бесконечного числа
измерений (например, какое-либо пространство путей, соединяющих две точки х0
и х\ гладкого многообразия Wm, или пространство замкнутых направленных кри-
кривых — гладких отображений окружности в Wm). На многообразии М зададим
замкнутую 1-форму ш; найдется (бесконечнолистное) накрытие МнМ такое, что
форма р*ш является дифференциалом функции (простейший пример — это ш = dtp
на R2 \ {0} = М, где М — это риманова поверхность логарифма):
р*ш = dS. A)
Мы будем называть величину S «многозначной функцией» на многообразии М.
В бесконечномерном случае мы будем предполагать, что в критических (стацио-
(стационарных) точках (dS = 0 или ш = 0) функция 5 имеет второй дифференциал d2S,
обладающий конечным числом отрицательных квадратов («индекс Морса») и ко-
конечной степенью вырождения. Фактически мы будем рассматривать только случай,
когда все критические точки либо невырождены, либо образуют невырожденные
критические многообразия (см. § 3). Мы будем предполагать также, что величина S
обладает корректно определенным «градиентным спуском» — т.е. на многообра-
многообразии М любое компактное множество при спуске по градиенту S либо повисает
на критической точке, либо проходит последовательно все уровни функции S
«вниз».
Задача — построить аналог теории Морса для оценки числа стационарных точек
многозначной функции S (т.е. замкнутой 1-формы ш) любого индекса Морса ». Мы
обозначим число стационарных точек индекса Морса * через тД5) или т^ш),
р*(ш) = dS.
В группе Ht (M, Z) можно выбрать такой базис G1, • • •, 7*. 7*+i > •• •. 7n), что
O, j^k + l,
B)
ъ
причем все числа к, при j = 1,..., к линейно независимы с рациональными (или
целыми) коэффициентами. Число к — 1 называется «степенью иррациональности»
формы ш. Группа монодромии минимального накрытия р: М —> М, превращающе-
превращающего ш в дифференциал однозначной функции dS = р*ш, точно равна Z* — свободной
абелевой группе с к образующими t\,... ,tky действующими как сдвиги наМ:
tj: M-+M

Теория Морса для многозначных функции 263
Фактически показателем иррациональности является точка проективного про-
пространства
х = (х, : х2 : х3 :... : х*) € RP*.
Особо простым и интересным случаем является к = 1, когда форма ш дает эле-
элемент целочисленной группы когомологий [ш] € -ff'(M, Z). В этом случае вели-
величина exp {2xt'5} является однозначной комплекснозначной функцией, по модулю
равной единице, — т. е. отображением
/ = exp {2viS}: М -+ S1. C)
Задача 6 построении аналога теории Морса для критических точек таких ото-
отображений, безусловно, выглядит как классическая, однако эта задача никогда
не рассматривалась в литературе до самого последнего времени (до 1981 г.).
Рассмотрим бесконечномерные примеры «многозначных функционалов», ко-
которые естественно приводят к поставленным выше задачам. Пусть Wm — ри-
маново многообразие с полной метрикой gij(x), на котором задана замкнутая
2-форма П, du = 0. Зададим покрытие Wm = {JUa таким семейством областей, что
а
а) форма п точна на любом Ua:
Si\K=di/>a; D)
б) для любого гладкого отображения у отрезка / или окружности S1 в Wm
найдется такая область Ua, что f целиком лежит в Ua.
Рассмотрим многообразие М = u(Wm, x0, Х\) путей, соединяющих две точки,
или М = il+(Wm) замкнутых направленных кривых и покроем его областями
М = U Na, где Na состоит из всех кривых 7 С Ua. Каждое пересечение Na П Щ
а
представляется в виде Na ПNp = \JN^p, где q — номер класса гомологии кривой
я
в H\{Ua P| Up, R), замкнутой или с двумя концами го, хх. На каждом множестве Na
зададим однозначный функционал
' Ч-Фа). E)
Лемма 1. В пересечениях N^p для каждого q разность функционалов S^
S {7} является константой.
доказательство. Действительно, разность функционалов представляется в виде
,p-i>a), F)
7
где drpa = йфъ. Поэтому для каждого класса гомологии q этот интеграл есть константа.
Лемма доказана. ¦
Тем самым набор функционалов 5^ определяет «многозначный функционал» S
такой, что 6S есть глобально определенная 1-форма на бесконечном многообра-
многообразии М.
Этот пример естественно обобщается: пусть задан какой-либо достаточно ре-
регулярный однозначный функционал Soij} для гладких отображений 7: V1 —> Wm

264 Приложение 1
двух полных римановых многообразий, пусть задана замкнутая (/ + 1)-форма
на Wm, <*П = 0 и покрытие Wm = (J Ua такое, что
\Ua
б) Для любого 7 найдется номер а такой, что образ j лежит целиком в обла-
области Ua.
Полностью аналогично предыдущему на многообразии М всех отображений
Vх —¦ Wm («киральных полей») возникает «многозначный функционал» 5 = So+J i/>a
Вернемся к случаю / = 1, когда для полных римановых метрик <7,7 на много-
многообразии Wm и любой 2-формы П индексы Морса всех стационарных точек конечны,
и поток градиентного спуска на М корректно определен. Такая ситуация возникает
для аналога так называемого «функционала Мопертюи—Ферма»: траектории дви-
движения заряженной частицы в потенциальном поле сил и(х) и магнитном поле П
на римановом многообразии W™ (здесь т = 2 или 3) при фиксированной энергии Е
определяются как экстремумы функционала
= J(dTB-Ajdxi), G)
где
(dlEJ = 2m(E-u(x))gijdxldx}, d(Ajdx}) = Q (8)
(см. [1], т. I, § 33). Магнитное поле Q считается здесь точной 2-формой. Для
неточных 2-форм П мы приходим к многозначным функционалам. Требование
полноты метрики 1Е мы всегда будем предполагать выполненным в дальнейшем.
На компактном многообразии Wm это эквивалентно условию
Е > max и(х). (9)
w
Для неодносвязных многообразий Wm (например, для тора Wm = Г1™) возможна
такая ситуация: несмотря на все предыдущие построения и неточность формы П,
a posteriori 1-форма 6S окажется точной потому, что само пространство путей М
односвязно. Для точности 1-формы 6S и однозначности функционала 5 достаточно,
чтобы форма П на универсальном накрытии стала точной q: Wm —> Wm, q*il = dip.
Это верно, если класс когомологий формы [П] € H2(Wm, R) содержится в подгруппе,
связанной только с фундаментальной группой:
[П]€ Я20п.К) С H2(Wm,R).
Задача 1. Найти достаточное условие того, что функционал S на пространстве замкнутых
кривых принимает сколь угодно большие отрицательные значения (условие на группу К\
и класс гомологии [П] € Н2(тгиК) ).
Для односвязных многообразий Wm такого быть не может. Интегралы от 1-фор-
1-формы (dS) по базисным циклам в М и степень иррациональности формы ш = FS)
определяются набором интегралов 2-формы П по базисным 2-циклам в Нг(№т, Z)
и совпадают с ними.
К экстремалям функционалов вида G) сводятся некоторые важные системы
классической механики (Новиков—Шмельцер):
1. Задача Кирхгофа о движении твердого тела в идеальной жидкости, движение
которой потенциально и которая покоится на бесконечности.

Теория Морса для многозначных функций 265
2. Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки в осесимме-
тричном — в частности, постоянном — гравитационном поле (волчок, гироскоп
и др.).
Обе эти задачи описываются уравнениями, представляющими собой после
некоторых преобразований гамильтоновы системы на алгебре Ли L = Е(Ъ) группы
движений евклидова трехмерного пространства, где фазовым пространством является
сопряженное пространство L*. Выбрав базис (ер в L*, мы представляем любой
элемент в виде
!><' (Ю)
причем li € L — линейные формы на L*, L = (?*)*. По определению, скобка
Пуассона для любых функций f(l*) на L* определяется, исходя из следующих
требований.
1. Скобка Пуассона двух линейных функций на L* — т. е. элементов алгебры Ли
L — совпадает с их коммутатором в L:
{«»*/} = <&*• 00
2. Скобка Пуассона любых функций на L* определяется требованием 1 вместе
с общими аксиомами, которым удовлетворяет скобка: билинейность, кососимме-
кососимметричность, тождество Якоби и формула Лейбница для произведения функций
{f9,h} = {f,h}g + {g,h}f. A2)
Вообще говоря, скобка Пуассона любых функций на многообразии Nq с локаль-
локальными координатами (г1,..., х*) определяется тензором fty(x) = -feJt(x) по формуле
Требование, чтобы формула A3) задавала скобку Пуассона, т.е. было верно тожде-
тождество Якоби, накладывает ограничения на тензор Ли(х): если det Ли Ф О, то обратная
к тензору ftu 2-форма h = ftydar1 Л dx* должна быть замкнутой: dh = 0, ftyfc'* = Я*.
Простейший случай Л4 = const появлялся в классическом гамильтоновом фор-
формализме, возникающем из вариационного исчисления (см. [1], т. I, § 33). Следующий
случай ftu — линейной функции от х — интенсивно обсуждался в литературе в тече-
течение последних 15 лет, так как Ли(х) = cjf **, где cj? оказывается набором структурных
констант алгебры Ли (это следует из тождества Якоби для скобки).
По-видимому, случай квадратичных по х скобок ft4 = СуХ*х' оказался также
весьма интересен и начал сейчас изучаться (Склянин, Фаддеев).
Нам важен «линейный по х» случай алгебр Ли, более узко — алгебры L = ЕC).
Выберем стандартный базис генераторов этой алгебры (Мь Af2, Мз,рьр2,рз), где
генераторы р, отвечают трансляциям и М< — вращениям. Скобка Пуассона A1),
согласно определению, имеет вид коммутаторов в L = ЕC):
„. „> ^ .. (\ 2 3\
{Mi, Mj) = > EijkMk, Eijk = Sgn I . . . I ,
j V* •* */
A4)

266 Приложение 1
Гамильтониан системы Н(М, р) в задаче Кирхгофа совпадает с энергией системы
тело—жидкость и является положительной квадратичной формой от переменных
(М,р) на пространстве L* (возможны линейные члены в Н, если твердое тело
неодносвязно):
Для движения твердого тела (волчка, гороскопа) в осесимметричном гравитационном
поле U(z) вокруг неподвижной точки гамильтониан на пространстве L* имеет вид
A6)
где dt — константы, определяемые положением центра масс и точки закрепления.
Квадратичная форма Y^OijMiMj всегда предполагается положительной. В слу-
случае A6) имеются офаничения типа неравенств на эту форму, которых нет в задаче
Кирхгофа A5). .
Уравнения движения имеют вид
A7)
Кроме энергии Н = Е сохраняющимися величинами (интегралами) общего вида
для систем A7) являются такие функции //(М,р), что
{ft,Mi} = {fhPi} = 0 A8)
для всех i = 1,2,3 (т.е. аннулятор скобки Пуассона). Эти величины, лежащие,
как оказывается, в центре так называемой «обертывающей алгебры» алгебры Ли,
в данном случае сводится к двум величинам («интегралам Кирхгофа»);
A9)
(проверьте A9) элементарным вычислением!).
В задаче о волчке (гироскопе) величины р4 таковы, что /i = 1 всегда. Инте-
Интеграл f2 называется в этом случае «константой площадей». На поверхностях уров-
уровня /2 = const = ps скобки Пуассона задаются формулами A4), и матрица Ли(х)
на этом четырехмерном многообразии при р Ф О невырождена: det ft*' ф 0. Поэтому
определена «симплектическая» 2-форма ft = ftyda:' Л dx1, AyftJ* = sf, где dh = 0.
Форма ft зависит от величины уровней /i = р2, /2 = ps. Имеет место следующая
важная
Лемма 2. Замена переменных
у1 = в, у2 = ip, ?i = pt, & =PV, 7 = -.
¦к x
p sin в = рз, М3 - 7Рз = -р».,
М2 - 7Рг = Pptg в sin ip + рв cos y>,
р cos в sin у> = pi, М 1 - 7Pi = Pptg ^ cos (р — рв sin у?,
приводит скобку Пуассона на поверхностях уровня f\ —р2 Ф 0, f2 = ps к виду
B1)

Теория Морса для многозначных функций 267
При этом симплектическая 2-форма приобретает вид
2
ft = У) dy" Л d?0 + s cos в dO Л d<p = ftp + ft,
0=1
где ft — замкнутая форма на S2.
Топологически поверхность уровня f\ —р2 Ф 0, /г = рз диффеоморфна T*(S2) —
касательному расслоению над сферой S2. Интеграл от форм h и п по базисному
циклу [S2] € H2(T*(S2)) = Z имеет вид
1 = 4*8 = 4тт/2/Г1/2.
Доказательство этой леммы получается прямым вычислением. Топологическая
структура орбит f\=p2, h= Vs почти очевидна из вида интегралов j\, f2. ¦
Мы сталкиваемся со скобками Пуассона на Т*(М") вида ft = /ц> + П, где П —
замкнутая 2-форма в базисе М". Такая скобка Пуассона эквивалентна включению
в систему формального магнитного поля П. Таким образом, траектории движе-
движения в задачах Кирхгофа и волчка (гироскопа) могут быть получены из принципа
«Мопертюи—Ферма», т. е. из функционала вида G), который является многознач-
многозначным при s Ф 0 или /г Ф 0 (для классического гироскопа «константа площадей»
отлична от нуля). Гамильтониан Н на поверхностях /i = р2 Ф 0, /г = рз в перемен-
переменных B0) имеет вид
В = \g(y)Ub + Аа(у)Ь + Щу),
и скобка Пуассона определяется формулами B1). Эта система эквивалентна в обла-
области Ua = S2 \ (P\ U Pi) {P\ и Pi — верхний и нижний полюса) лагранжевой системе,
определяемой функционалом механического действия
S(a){j} = f ()раьУауЬ - Щу) - Аа(у)уа - s sin 9^) dt, B2)
7
где
9^ = 61, А^^А', у1=в, у2 = <р, U = V-i-AaAbgab.
Функционал 5 имеет вид функционала действия заряженной частицы на сфере S2
с метрикой gab в потенциальном поле U(x) и в магнитном поле Пю = д\А2 — Ь\А\
нетривиального «монополя», поскольку при з Ф 0 «магнитное поле» топологически
нетривиально. Роль номера а для области Ua на сфере S2 играет пара противопо-
противоположных полюсов
a = (Pl\JP2).
Для покрытия S2 = U Ua выполнены те требования (см. выше), с помощью которых
а
определялся многозначный функционал. Итак, в нашем случае 5 — это многознач-
многозначный при s^O функционал действия этой системы, зависящий от уровня (р, з).

268 Приложение 1
При фиксированной энергии Е траектории движения можно получить из функ-
функционала Мопертюи—Ферма, тоже многозначного, где 6S — замкнутая бесконечно-
бесконечномерная 1-форма
B3)
Для Е > max U(y) метрика 1Е полна.
Выведем явно важное свойство однозначного или многозначного функционала
вида G). На пространстве замкнутых направленных кривых М = il+(S2) одно-
одноточечные кривые образуют невырожденное критическое многообразие локальных
минимумов. Мы будем нормировать функционал S на бесконечнолистной накрыва-
накрывающей р: М —»М (где S — однозначна) таким образом: на одной компоненте (пусть
нулевой) из полного прообраза р~'(^2) = U ^» многообразия одноточечных кривых
функционал равен нулю, "
SE02) = О,
ff B4)
[Я
Обобщение этого свойства на любые многообразия Wm очевидно.
Используем эти свойства пространства замкнутых кривых. Соединим отрезком
I = [0,1] две компоненты локальных минимумов на накрывающей М так, что
точка 0 лежит в 502 и точка 1 лежит в S\ С М. Начнем монотонно сдвигать этот
отрезок «вниз» по градиенту 5, получая отрезок 1Т, т ^ 0, /о = /. Мы видим
следующее:
а) края неподвижны при всех т;
б) max S(IT) ^ Ак8, так как на краях — локальный минимум.
r=const
Из этого вместе с известным принципом минимакса следует существование
седловой критической точки, имеющей индекс 1 в невырожденном случае.
Итак, верна следующая
Теорема 1 (Новиков). Для всех значений параметров (Е, р, в) при условии (9)
существует траектория в задаче Кирхгофа и движения волчка {гироскопа), пери-
периодическая в системе, связанной с телом.
Замечания, а) Ряд механиков методами теории возмущений получали более явно такие
семейства вблизи интегрируемых случаев. Возможность продолжения этих семейств на значе-
значения параметров, далекие от интегрируемых случаев, оставалась недоказанной; б) для нулевой
константы площадей s = 0 в задаче о гироскопе возникает однозначный функционал на S2,
эквивалентный метрике в силу принципа Мопертюи—Ферма. Этот результат другим методом
был получен ранее (Козлов, Харламов). Здесь для Е > max U(x) можно использовать уже
известные теоремы Люстерника—Шнирельмана; для Е ^ max U(x) исследование проведено
Козловым.
Обратимся теперь к чисто топологической задаче о построении аналога теории
Морса для замкнутых 1-форм ш на гладких замкнутых конечномерных многообра-
многообразиях М = Af™. В простейшем случае, если форма ш представляет целочисленный

Теория Морса для многозначных функций 269
класс когомологий [w\ G Hl(Mn, R), мы приходим к отображению в окружность
/ = expB*iS): Мп-+S\ S - f: M -» R.
Рассмотрим этот случай. Если критических точек нет, то отображение / опре-
определяет гладкое расслоение с базой В = S1. Циклическое Z-накрытие М А М" стро-
строится таким образом: реализуем подмногообразием iV цикл D[w] € Hn-i(Mn,Z),
где D — оператор двойственности Пуанкаре. Разрезав многообразие Af" по цик-
циклу JV", мы получим пленку Wn с двумя краями dWn = JV<J*~ \JN?~[, диффео-
морфными JV"-' (см. также §27). Возьмем бесконечное число экземпляров этой
пленки Wn я Wi с границами dW? = N^]\JN^1, диффеоморфными ЛГ".
Склеим их друг с другом вдоль краев согласно указанным номерам компонент
границы
М= UC, ЯД'о = <Г\ -oo<t<oo.
oo>i>—oo
Можно считать, что многообразие .ЛГ" = Nq~1 выбрано как поверхность уровня
функции S (или полный прообраз точки при отображении / = ехр Bт»5)). Оператор
монодромии действует так:
t: W? ~ W?+u Щ1-> N^ = Nuuo,
М->М.
В соответствии с общими принципами, функция 5 должна порождать кле-
клеточный комплекс (см. § 15). Однако в нашем случае не выполнено важнейшее
требование, на котором основывалась обычная теория Морса: в этой теории всегда
требовалось, чтобы области меньших значений S ^ а были относительно ком-
компактными — в конечномерном или бесконечномерном случае. В нашем случае это
неверно. Однако и в нашем случае из каждой критической точки индекса » выходит
«вниз» по уровням «поверхность наискорейшего спуска», которую (или ее малое
шевеление, если необходимо) естественно считать «клеткой». Однако эта «клетка»
может тянуться по уровням S до -со; в ее алгебраическую границу может входить
бесконечное число таких же «клеток» размерности t - 1. При сдвиге t: М —> М
функция S переходит в себя с добавлением константы, переводя критические точки
в критические точки. Итак, мы приходим к выводам:
а) каждая критическая точка определяет свободную образующую в интересую-
интересующем нас комплексе;
б) граница клетки может быть бесконечной линейной комбинацией клеток
этого комплекса, лежащих «ниже» по уровням функции 5, т. е. уходящих в со только
в одну сторону в М;
в) все «клетки» получаются из конечного числа базисных всевозможными
сдвигами на элементы ?"> группы Z, действующей на М.
Введем кольцо, состоящее из лорановских рядов вида
/. B6)
—cxXconsKj
с целыми коэффициентами щ, обращающимися в нуль для всех достаточно боль-
больших отрицательных j. Обозначим это кольцо через Z+[t, <"'] = К. Клеточный
комплекс, порожденный многозначной функцией на многообразии М", или функ-
функцией 5 на накрытии М -+ Af", мы будем рассматривать как свободный комплекс

270 Приложение 1
АГ-модулей С с конечным числом образующих (так как число критических точек
конечно). Комплекс С имеет вид
0 —* Сп -^С„_, — ... —» С, -^Со —» 0,
где д — гомоморфизм ЛГ-модулей. Заметим, что в отличие от обычной теории
Морса здесь возможна ситуация Со = 0, Сп = 0. Более того, на любом многообра-
многообразии М" существует замкнутая Кформа любого нетривиального класса когомологий
[w] € Я'(М", Z) такая, что локальных минимумов и максимумов вообще нет
(т.е. С0 = С„ = 0).
Для косых произведений М" с базой 51 существует форма ш без критических
точек, т. е. С„ = Cn_j = ... = Со = 0.
Имеет место следующая
Лемма 3. Гомологии комплекса К-модулей С, порожденного любой гладкой замкну-
замкнутой Х-формой и>, гомотопически инвариантны.
Не доказывая эту простую лемму, мы видим, что инварианты этих групп
гомологии могут быть использованы для получения аналогов неравенств Морса
в случае многозначных функций, порождающих отображение в окружность
expBxtS): Mn-*SX.
Кольцо К является гомологически одномерным (если коэффициенты рядов B6)
являются элементами поля, то К также является полем). Следовательно, подмодули
свободных модулей являются всегда свободными. Это позволяет выбрать свободные
базисы в группах (модулях) «циклов» Zk = Кег д С Сп и «границ» Bt С Z^. Разность
рангов этих модулей мы назовем «числом Бетти» и обозначим через Ь*(М", о),
где о = [ш].
bk(Mn, a) = rank Zk - rank Bk.
Аналоги чисел кручения ft(Jlf*, о) определяются так: можно выбрать свободные
базисы (е'|,..., е^) модуля Zk и (е'ь..., а'ь), подмодуля Вк, где N - L = Ьк с такими
свойствами:
*>1 i>L
причем: 1) число п7 делится на число п,+ь 2) степени всех членов рядов qij(t)
неотрицательны; 3) числа <frj@) Ф 0 и делятся на п_, для всех i, j (если ряд g,y
не обращается в нуль тождественно).
Общее число индексов 7 таких, что nj Ф \ называется числом кручения
и обозначается через <?*(М", ш). Число qk + 6( совпадает с минимальным числом
образующих модуля Нк — Zk/Bk.
Теорема 2. Имеют место следующие аналоги неравенств Морса для чисел го<E)
или пц(ш) критических точек индекса i для отображения в окружность exp BiriS)
или замкнутой l-формы ш, где [ш] € #'(Af", Z):
пцE) > Ь{ (Мя, [и,]) + «(М», [о;]) - ф_, (М, М). B7)
Доказательство этой теоремы несложно получить из предыдущего.
Заметим, что полученные нами аналоги неравенств Морса аналогичны клас-
классическим, но входящие в них топологические инварианты имеют более сложный
геометрический смысл.

Теория Морса для многозначных функций 271
Для многообразий с ъ\ (Af) = Z имеет смысл вопрос о точности неравенств B7),
аналогичный известной теореме Смейла об однозначных функциях на односвязных
многообразиях. Можно построить без труда одну поверхность уровня Nn~i С Af,
которая дуальна классу [ш] ? Я1 (Af", Z) и является связной и односвязной (во всяком
случае, для п ^ 5). Далее, используя функцию Смейла на пленке Wn с двумя кра-
краями dW" = N"~* {JN"~\ полученной из Af" разрезанием, можно «минимальным»
образом продолжить поверхность уровня Nn~i на все многообразие Af" и получить
форму w на Af" и функцию S на накрытии Af —> Af". Однако эта форма (или
многозначная функция) может быть далеко не минимальной по числу критических
точек. Построение минимальной 1-формы ш требует выбора в некотором смысле
«минимального» начального многообразия N71'1 С Af", если этот выбор вообще
возможен. Было бы интересно разобрать этот вопрос до конца для многообразий
с группой T|(Af") = Z. (Эта задача решена Фарбером в 1983 г.)
Сделаем несколько замечаний, относящихся к более сложному случаю к > 1,
т. е. когда форма ш имеет по меньшей мере два рационально независимых интеграла
по одномерным циклам,
и, = Ф w,
7ii • •• ,7*,7*+ь • ¦ ¦ ,7лг - базис
гщ — любые числа. Возникает накрытие Af -^+ Af", где р*ш = dS и группа
монодромии — свободная абелева. Введем кольцо Кх, состоящее из рядов b 6 Кх
с целыми коэффициентами
ъ=
т
таких, что
1. Ьт = 0, если X) rni><i достаточно велико по модулю и отрицательно.
2. «Устойчивость» по х — т. е. для любого ряда b найдутся такие числа е > О
и N, что Ът = 0, если выполнены условия
где ^ |«* - ъ\ < ?¦
Замкнутая 1-форма ш определяет клеточный комплекс, рассматриваемый как
комплекс ЛГх-модулей. Гомологии этого комплекса гомотопически инвариантны,
и могут служить базой для построения неравенств типа Морса. Интересно исследо-
исследовать зависимость возникающих здесь комплексов и гомологии от н, если форма ш
мало меняется, и критические точки, по существу, остаются прежними.
Если форма ш совсем не имеет критических точек, то многообразие Af" имеет
вид
Af NxR
М ~Z*~~Z*~'
где N — типичный слой слоения ш = 0. Все слои в данном случае одинаковы.
Из аппроксимации формы ш замкнутыми формами Wj -* w с рациональными инте-
интегралами по циклам, без критических точек, видно, что многообразие Af" есть косое
произведение с базой — окружностью. Слои этих косых произведений представляют
собой компактные многообразия Щ~х, которые являются факторами N,
N -»N?-\
т.е. N является регулярным накрытием над JV" с группой монодромии Z*~'.

272 Приложение 1
Литература к приложению 1
1. Новиков С. П., Шмелщер И. Функи. анализ. 1981, 15, № 3, с. 54.
2. Новиков С. П. Функи. анализ. 1981, 15, №4, с. 37-52.
3. Новиков С. П. ДАН СССР, 1981, 260, № 1, с. 31.
4. Новиков С. П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса // УМН,
1982, 37, №5, с. 3-49.
5. Новиков СП., Тайманов И.А. ДАН СССР, 1984, 274, № 1, с.26. (Работа [5j содержит
исправление некоторых неточностей обзора [4].)

А. Т. Фоменко
Приложение 2
Задача Плато, бордизмы
и глобально минимальные поверхности
в римановых многообразиях
I. Локально минимальные поверхности. Как отмечалось в [1], т. I, § 37, хорошей
наглядной физической моделью двумерных минимальных поверхностей являются
мыльные пленки, затягивающие фиксированный проволочный контур в трехмер-
трехмерном евклидовом пространстве. Напомним определение функционала многомерного
объема. Пусть V* — гладкое компактное подмногообразие в римановом многообра-
многообразии Af", пусть D С Vk — компактная область на этом подмногообразии и gij —
индуцированная на Vk риманова метрика. Тогда определено число voliD, называ-
называемое Jfc-мерным объемом области на подмногообразии относительно метрики д^.
Если подмногообразие компактно, то получаем соответствие V* —> vol^F*, задающее
функционал риманова объема на классе Jb-мерных подмногообразий. Экстремали
этого функционала и называются локально минимальными поверхностями. Напри-
Например, для случая гиперповерхности V, вложенной в евклидово пространство R",
уравнение Эйлера—Лагранжа для этого функционала, решениями которого явля-
являются локально минимальные поверхности, было выведено в [1], т. I, §37. Условие
локальной минимальности гиперповерхности V в R" можно записать на языке
локальных инвариантов вложения этой поверхности в евклидово пространство.
Напомним классический результат (доказательство см., например [1], в т. I, §37):
Предложение 1. Пусть Vn~x С R" — гладкая гиперповерхность (возможно, с не-
непустым краем). Средняя кривизна Н этой гиперповерхности равна тождественно
нулю тогда и только тогда, когда эту поверхность можно представить в окрест-
окрестности каждой ее внутренней точки в виде графика экстремальной функции для
функционала объема (т. е. в виде решения уравнения минимальной гиперповерх-
гиперповерхности).
Двумерные минимальные поверхности в трехмерном пространстве допуска-
допускают довольно простое аналитическое описание. Предположим, что поверхность V2
задается радиус-вектором г: D(u,v) -* R3, г = г(и, v), где D — область на плос-
плоскости, отнесенной к декартовым координатам (u, v). Легко проверить, что если и
и v являются конформными координатами на поверхности (т. е. индуцированная
на поверхности риманова метрика имеет вид A(tt, v)(du2 + dv2)), то радиус-вектор
будет гармоническим, т. е. его координаты являются гармоническими функциями
-2 «2
(относительно оператора ^г + ^г)- Подробности см. в [1], т. I, § 37. Обратное, вооб-
вообще говоря, неверно, т. е. поверхность, заметаемая гармоническим радиус-вектором,
не обязана быть минимальной. Топологическая структура двумерных минимальных
18 3ак. 368

274 Приложение 2
поверхностей достаточно сложна, в частности (несмотря на существование мини-
минимальной поверхности, затягивающей любой кусочно-гладкий замкнутый контур),
нет теоремы единственности минимальной поверхности с заданным фиксированным
граничным контуром (краем поверхности). Кроме того, минимальные пленки могут
иметь особенности.
«Задача Плато» — это термин, объединяющий серию задач, связанных с изу-
изучением экстремалей и абсолютных минимумов функционала Jfc-мерного объема,
определенного на классе Аг-мерных поверхностей, вложенных в объемлющее ри-
маново многообразие и удовлетворяющих тем или иным граничным условиям.
В богатой истории развития вариационных задач этого вида естественно выделя-
выделяются несколько периодов, характеризующихся существенно различными подходами
к самим понятиям «поверхности», «границы», «минимизации» и, соответственно, —
различными методами получения минимальных решений. Исторически первой была
поставлена и решена задача Плато для двумерной поверхности с краем в К3 (а затем
и в Ж1). В параметрическом виде эта задача может быть сформулирована так.
Пусть г (и, v) — радиус-вектор поверхности V2 в R", т. е. /: D -» Н" задает (ло-
(локально) регулярное отображение двумерной области D С К2 в пространство К". Тогда
voh/CD) = f VEG — F2dudv. Вопрос: можно ли найти поверхность Xq = fo(D)
D
(и отображение /о) такую, чтобы она имела в качестве границы заданный кон-
контур А, т. е. систему вложенных в К" непересекающихся окружностей, причем чтобы
площадь этой искомой поверхности была наименьшей по сравнению с площадя-
площадями всех других поверхностей вида X2 = f(D), ограниченных этим же контуром
(т. е. имеющих тот же край)? Кроме этой задачи о нахождении абсолютного ми-
минимума (в классе всех поверхностей с заданной границей), рассматривалась также
и задача о нахождении минимума в данном гомотопическом классе, т. е. в классе
поверхностей (с фиксированной границей), задаваемыми гомотопными друг другу
отображениями. Оказывается, в двумерном случае эти задачи решаются в положи-
положительном смысле (см., например, обзоры в [1*], [2*]). Отметим, что минимальная
пленка Х% = fo(D) может иметь самопересечения и другие сингулярные точки (в за-
зависимости от конфигурации граничного контура). Литература по этой двумерной
задаче и по связанным с ней вопросам огромна, но поскольку нашей основной
целью является обзор многомерной проблемы Плато, то мы отсылаем читателя,
интересующегося «двумерной тематикой», к обзорам [5*], [6*].
Для того чтобы перейти к анализу многомерной задачи, нам потребуются
некоторые понятия, связанные со второй фундаментальной формой риманова мно-
многообразия.
Пусть /: М* -+ Wn — гладкое вложение гладкого многообразия Мк в глад-
гладкое ориентируемое связное замкнутое риманово многообразие Wn. Через Т(М)
обозначим касательное расслоение многообразия М. Пусть Тт{М) — касательная
плоскость к М в точке т € М. Через (х,у) обозначим скалярное произведение
векторов х, у € Тт(М), индуцированное заданной на W римановой метрикой.
Пусть V — симметричная риманова связность на T(W), согласованная с этой
метрикой. Как обычно, для произвольного тензорного поля Р через VjP обозна-
обозначим ковариантыую производную вдоль векторного поля X на W для связности V.
Если х — значение векторного поля X в точке т (т. е. вектор из плоскости Tm(W) ),
то ковариантную производную поля Р вдоль направления х обозначим через VXP.
Для краткости обозначим подмногообразие f(Mk) С Wn снова через Мк, тогда
одновременно с касательным расслоением Т(М) определено нормальное расслое-

Задача Плато и бордизмы 275
_••"- *"'М), поскольку в каждой точке т ? М определена плоскость N^ k, ортого-
нальн- к "чоскости Тт(М). Вложение М ~* W порождает естественные римановы
связнссти г; Т{М) и на N(M). Пусть Y — гладкое векторное поле на под-
подмногообразии itf и х ? Тт(М) — произвольный касательный вектор. Положим,
по определению, VXY = (VXY)T, где через V обозначена риманова симметричная
связность, заданная на объемлющем многообразии W, а {-)Т — ортогональное про-
проектирование на касательную плоскость Тт(М). Легко проверяется, что эта операция
является римановой связностью без кручения на Т(М), однозначно определяемой
римановой метрикой на М, индуцированной вложением М -+ W. Точно так же
определяется связность на нормальном расслоении N(M). Рассмотрим произволь-
произвольное гладкое сечение V расслоения N(M), т.е. зададим в каждой точке m ? М
нормальный вектор V(m) ? Nm(M). Мы получаем гладкое векторное поле V, опре-
определенное на подмногообразии М. Если х ? Тт(М), то положим VXV = (V^V)*,
где (•)*" — ортогональная проекция на плоскость Nm(M). Эта операция является
римановой связностью без кручения на N(M). Перейдем к построению второй
квадратичной формы подмногообразия М (произвольной коразмерности).
Определение 1. Пусть х ? Тт(М), v ? Nm(M). Включим вектор о в произ-
произвольное гладкое векторное поле V на многообразии W так, чтобы поле V
было ортогонально к подмногообразию М в некоторой окрестности точ-
точки го € М. Определим линейное отображение Q": Тт(М) —> Тт(М) по формуле:
Qv(x) = —(V»F)W. Это отображение оказывается симметричным и, следова-
следовательно, определяет некоторую билинейную форму {Q"}, которая и называется
второй фундаментальной формой подмногообразия М С W.
В действительности мы определили целое семейство Q форм Q", в котором
вектор v ? Nm(M) играет роль параметра, Q = {Qv}. Оказывается, Q коррект-
корректно определена, т. е. не зависит от способа включения вектора v в векторное
поле V на многообразии W и гладко зависит от всех своих аргументов. Экви-
Эквивалентным образом Q может интерпретироваться как билинейная симметричная
форма на касательном пространстве Тт(М) со значениями в нормальном про-
пространстве Nm(M). В самом деле, если х,у ? Тт(М), то можно определить фор-
форму Q{x, у) ? Nm(M) равенством: {Q(x, у), v) = {Q*x, у). Включим вектор у в гладкое
векторное поле У_на многообразии W, касательное к подмногообразию М. Тогда
имеем: Q(x, у) = (S7XY)N. С помощью формы Q можно теперь определить среднюю
кривизну подмногообразия М.
Определение 2. Рассмотрим вторую фундаментальную форму, представленную
в виде формы Q на касательном пространстве Тт(М). Так как на Тт(М)
определено скалярное произведение, то можно рассмотреть след формы Q,
являющийся (в каждой точке т) некоторым вектором из Nm(M). Итак, след
формы Q является гладким сечением Н нормального расслоения N(M). Это
сечение и называется средней кривизной вложенного подмногообразия М С W.
Если М — гиперповерхность в многообразии W, то получаем скалярную сред-
среднюю кривизну Н = Sp RQ, где R и Q — матрицы первой и второй квадратичных
форм соответственно.
Определение 3. Подмногообразие М С W называется локально минимальным,
если его средняя кривизна Н тождественно равна нулю (во всех точках этого
многообразия).
18*

276 Приложение 2
Существует тесная связь между обращением в нуль средней кривизны подмно-
подмногообразия и обращением в нуль первой производной функционала объема. Пусть
задана гладкая гомотопия ft: М -» W, О < t ^ 1 такая, что каждое отображение ft
является вложением, причем /Ь = /, где / — исходное вложение. Такие гомотопии
иногда называются изотопическими вариациями. Известно следующее утверждение.
Предложение 2. Пусть М — компактное подмногообразие eW и »»(*) = volj/tM.
Подмногообразие М локально минимально тогда и. только тогда, когда ^р = О
для любой изотопической вариации подмногообразия М, обращающейся в нуль
на границе дМ.
Таким образом, подмногообразия нулевой средней кривизны — это экстремали
функционала объема. Термин «локальная минимальность» означает, что объем под-
подмногообразия «не изменяется в первом приложении» (т. е. первая его производная
равна нулю) при бесконечно малых по амплитуде и по носителю вариациях. Если
вариация имеет конечную величину, то объем может уменьшиться. Например, это
имеет место для экватора в стандартной сфере, который, конечно, локально ми-
минимален (он даже вполне геодезическое подмногообразие), но стягивается в точку
по сфере, а потому не является глобально минимальным подмногообразием. На-
Напомним, что любое вполне геодезическое подмногообразие локально минимально,
поскольку в этом случае вторая фундаментальная форма тождественно равна нулю.
Понятие глобальной минимальности само по себе нетривиально, поскольку требует
рассмотрения «больших вариаций». Дадим одно из определений таких «больших
вариаций».
Определение 4. Пусть М* С W* — компактное ориентируемое замкнутое под-
подмногообразие. Мы скажем, что задана его бордизм-деформация, если задано
(к + 1)-мерное гладкое компактное ориентируемое замкнутое подмногообразие
zk+\ с wn с краем qz = M \J(-P), где (-Р) — это подмногообразие Р с про-
противоположной ориентацией. При этом многообразие Рк мы назовем бордизм-
вариацией многообразия Мк. В случае некомпактного подмногообразия М С W
будем говорить, что задана его бордизм-деформация, если в W определено
подмногообразие Рк, совпадающее с М* вне некоторой компактной области
и, кроме того, задано (к + 1)-мерное подмногообразие Z с кусочно-гладким
краем dZCM \J(-P).
В [ 1 ], т. I, § 37 мы привели пример глобально минимальных поверхностей; это —
комплексные подмногообразия в кэлеровом многообразии.
II. Многомерные вариационные задачи ¦ теория бордизмов. Рассмотрим класси-
классические постановки задач о нахождении абсолютных и относительных минимумов
в классе поверхностей определенного топологического типа. Выделим в многообра-
многообразии М" фиксированное (к - 1)-мерное гладкое компактное замкнутое подмного-
подмногообразие Ак~\ которое будем в дальнейшем для кратности называть «контуром».
Рассмотрим всевозможные пары вида (W, /), где W — гладкое компактное подмно-
подмногообразие размерности fc с краем 8W, гомеоморфным контуру А, а /: W —* М —
непрерывное (или кусочно-гладкое) отображение, тождественное на крае 8W.
Залача 1. Можно ли среди пар вида (W, /), где W — всевозможные многообразия
с краем А, а /: W —* М — отображения W в М, тождественные на крае А, найти пару (Wo, /о)
такую, чтобы отображение /о или пленка Хо = /o(Wb)> являющаяся образом многообразия Wo
в М, обладали разумными свойствами минимальности? В частности, должно выполняться
неравенство: vol*X0 ^ уоЦХ, где X = f(W) — любая пленка из указанного выше класса,
a volt — либо риманов объем, либо стандартная мера Хаусдорфа.

Задача Плато и бордизмы 277
Под «разумными свойствами минимальности» пленки Хо = /о(^о) в многообразии М,
в дополнение к неравенству vol Хо ^ vol X, можно, например, понимать следующее: суще-
существует нигде не плотное в пленке Хо подмножество Z особых (сингулярных) точек такое,
что каждая неособая точка Р ? X0\Z обладает окрестностью V в М, для которой пересече-
пересечение (Хо\Z)f}U состоит из гладких подмногообразий Va размерностей, не превосходящих
числа к, причем все Va являются минимальными подмногообразиями в смысле классической
дифференциальной геометрии т.е. их средняя кривизна равна нулю.
Залача 2. Пусть (V,g) — пара, где V = V* — компактное ориентируемое замкну-
замкнутое fc-мерное многообразие, д: V —* М — его непрерывное (или кусочно-гладкое) отобра-
отображение в многообразие Af", а X = g(V) — образ V в Af. Мы скажем, что пара (V',g')
является бордизм-вариацией пары (V,g), если существует компактное многообразие Z с кра-
краем dZ = V[J(-V') и непрерывное отображение F: Z -» М такое, что F \y= g,F 1^= д1.
Можно ли среди всех nap (V,g) указанного вида найти пару (У0,до) такую, чтобы
образ Хо = flte(^o). обладал разумными свойствами минимальности, в частности, чтобы
выполнялось неравенство: vo\tX0 ^ то1*Х, где X = g(V) — любая пленка (поверхность)
из указанного класса?
Задача 2 ставит вопрос о нахождении абсолютного минимума функционала
объема в классе всех бордизм-вариаций заданной пары (V, д).
Наряду с этими двумя задачами о нахождении абсолютного минимума есте-
естественно формулируются две задачи о нахождении относительных минимумов.
Залача /'. Можно ли среди пар вида (W, /), где W — некоторое фиксированное (!)
многообразие с краем Л, я /: W -* М — всевозможные непрерывные (или кусочно-гладкие)
отображения, гомотопные некоторому фиксированному отображению f и тождественные
на крае А (т.е. совпадающие с фиксированным гомеоморфизмом края), найти такую па-
РУ (Щ /о), чтобы отображение /0 или пленка Хо = fo(W), являющаяся образом W в Af,
обладали бы свойствами минимальности, т.е. чтобы тоЦХо < тоЦХ, где X = f(W) — любая
пленка из данного гомотопического класса?
Это — задача о нахождении минимума функционала объема в каждом гомото-
гомотопическом классе, т. е. задача об относительных минимумах, в отличие от предыдущей
задачи о нахождении абсолютного минимума — по всем гомотопическим классам.
Залача 21. Можно ли среди отображений д: V* -» М" (где V* — фиксированное
замкнутое многообразие), гомотопных некоторому исходному отображению /: V* -¦ Af",
найти такое отображение до, которое обладало бы свойством минимальности, т. е. что-
чтобы Ц(У) < U()
Мы начнем описание результатов с задач о нахождении абсолютного минимума.
Задачи 1 и 1' мы будем называть для краткости задачами «заклейки контура»,
а задачи 2 и 2* — задачами реализации (циклов). Минимальные поверхности
таких типов (если они существуют) назовем глобально минимальными. Теоремы их
существования будут приведены ниже.
Опишем теперь эффект появления неустранимых стратов малых размерностей
при минимизации многомерного функционала объема. Этот эффект не влияет
на процесс минимизации функционала двумерного объема vol2, но играет суще-
существенную роль в больших размерностях. На рис. 120 изображен контур А и плен-
пленка Xt = ftiW)y стремящаяся занять в R3 положение, отвечающее наименьшей
ее площади. Ясно, что в некоторый момент времени происходит «схлопывание»
(склейка) пленки. При этом вместо тонкой трубки Т на рисунке появится отрезок 5.
В двумерном случае от него легко избавится, непрерывно отобразив его в двумер-
двумерный диск, заклеивающий данный контур. При этом (что важно) мы не утрачиваем
параметризации пленки: получившаяся пленка по-прежнему является образом не-
некоторого двумерного многообразия с краем.

278
Приложение 2
§i О
Рис. 120.
Ясно, что в больших размерностях при к > 2 возникновение ситуации, аналогич-
аналогичной описанной, резко усложняет задачу минимизации. По мере того как fc-мерный
объем деформирующейся пленки Xt = ft(W) стремится к минимуму, в этой пленке
начинаются склейки, т.е..отображение f\:W~* M, гомотопное исходному отобра-
отображению / = /о, уже не только не обязано быть вложением или погружением, но даже
может понижать размерность образа на некоторых открытых в W подмножествах.
Это приводит к появлению в образе Х\ = f\(W) кусков (стратов) S размерно-
размерностей в, где s < к — 1. В отличие от двумерного случая такие «маломерные страты»
нельзя, вообще говоря, ни отбросить, ни непрерывно отобразить в «массивную
часть» (т. е. в fe-мерную часть) Х^ пленки X, поскольку при этих операциях может
быть утрачено основное свойство пленки — быть непрерывным образом некоторого
гладкого многообразия W с краем А. Так как наша цель — найти минимум в классе
пленок вида X = f(W), т. е. допускающих непрерывную параметризацию с помо-
помощью многообразия W, то при любом варианте устранения «маломерных стратов»
мы должны были бы гарантировать, чтобы пленка X, получившаяся в результате
такой перестройки, по-прежнему допускала такую параметризацию (быть может,
с помощью другого многообразия). Однако, как показывают простые примеры,
ни отбрасывание маломерных стратов, ни попытки отобразить их в массивную
часть Х^ пленки X (с помощью какого-либо непрерывного отображения, опреде-
определенного на всей пленке) не сохраняют в общем случае свойство пленки допускать
непрерывную параметризацию. Можно было бы в целях упрощения задачи временно
игнорировать страты малой размерности, ограничившись пока лишь рассмотрением
функционала volt, с точки зрения которого все маломерные страты несущественны
(их fc-мерная мера равна нулю). Однако, как оказывается (см. детали в [7*]-[9*]),
даже в этом упрощенном случае нахождение минимума требует получения обшир-
обширной информации о поведении маломерных стратов, гарантирующих параметризацию
пленки.
Опишем постановку задачи Плато на языке обычных гомологии. Вследствие
указанных выше трудностей минимизации многомерных пленок возникла необ-
необходимость в разработке нового, более грубого языка, который позволил бы уста-
установить влияние стратов малых размерностей. Необходимые шаги были предпри-
предприняты в серии работ, обзор которых см. в A*]-[4*]. Пусть Ht-\(A) — группа
спектральных (* - 1)-мерных гомологии (с коэффициентами в группе G) замкну-
замкнутого (к - 1)-мерного многообразия — контура А в римановом многообразии М.
Пусть А С X С М, где X — произвольная fc-мерная поверхность в М. В даль-
дальнейшем в качестве «поверхностей» мы будем все время рассматривать измеримые
(по Хаусдорфу) компакты в римановом многообразии. Пусть {X} — класс всех таких
поверхностей X, для которых гомоморфизм »«: Щ-\(А) -у Нк-\(Х), индуцирован-
индуцированный вложением t: А -* X, аннулирует всю группу гомологии Нк-\(А). Положим
А» = inf voU-У, где \6lkX обозначает, как и выше, Jb-мерную меру Хаусдорфа или
Х€{Х}

Задача Плато и бордизмы 279
риманов объем (если он определен). Тогда оказывается (см., например, [1*]-[4*]), что
всегда существует минимальная поверхность (в указанном вьпие смысле), т. е. всегда
существует fc-мерный компакт Хо € {X} такой, что voltXo = А*. В рамках этого
подхода выделилось два направления: более геометрическое (см. [2*], [3*]) и более
функциональное (см. [1*], [4*]). В результате были доказаны замечательные теоремы
существования абсолютного минимума в классе обычных гомологии, а также —
почти всюду регулярность минимальных решений (Федерер, Флеминг, Альмгрен,
Райфенберг и др.).
При таком подходе существенно использовалось то обстоятельство, что если
X D У = У, где dim X~\Y < к, то Нк(Х) = Hk(Y) и voltX = \o\kY. Это означает, что
не возникает проблемы неустранимых маломерных стратов — они несущественны
как с топологической, так и с метрической точек зрения. Однако это использование
обычных гомологии для определения понятий «границы» и «заклейки контура» уда-
удалило нас от описанной ранее классической постановки, поскольку, если контур А
является (к - 1)-мерным подмногообразием в М и Хо — минимальная поверхность,
гомологически заклеивающая контур А, то, вообще говоря, не существует такого
многообразия W с краем А, чтобы поверхность Хо, имела вид Хо = f(W). Дру-
Другими словами, поверхность Хо может не допускать непрерывной параметризации
многообразием. Подробности см. в [7*]-[9*].
Вернемся теперь к классическому пониманию задачи Плато в классе поверх-
поверхностей-пленок, параметризованных многообразиями. Мы изучим поведение таких
пленок во всех размерностях, а не только в максимальной. Для реализации этой
программы нужен язык более гибкий, чем язык обычных гомологии. В связи с этим
напомним некоторые определения, использующиеся при создании такого языка.
Пусть Y D Z — пара топологических компактных пространств.
Определение 5. Ориентированным (к — I)-мерным сингулярным многообразием па-
пары (У, Z), назовем пару (V*,/), где У* — компактное ориентированное
многообразие с краем 8V, а / — непрерывное отображение (V, dV) -* (У, Z),
т. е. f(V) С Y, f(8V) С Z. Если Z = 0, то полагаем 8V = 0. Сингулярное
многообразие (V, /) называется бордантным нулю (эквивалентным нулю), если
существуют компактное ориентированное многообразие Wk и непрерывное
отображение F: W -+ У такие, что: а) многообразие V является регулярным
подмногообразием края 8W и б) ориентация V совпадает с ориентацией,
индуцированной на нем ориентацией W, причем F \у= /, F(8W \V) С Z.
Операция несвязного объединения многообразий индуцирует операцию не-
несвязного объединения сингулярных многообразий. Два сингулярных многообра-
многообразия (Vj,/i) и (Уг,/г) называются бордантными, если их несвязное объединение
(Vi U fii /i U /г) бордантно нулю.
Множество классов бордизмов (к — 1)-мерных сингулярных ориентированных
многообразий пары (У, Z) образует абелеву группу fi*_i(y, Z). При отказе от усло-
условия ориентируемости аналогичная конструкция приводит к группам Nk~\(Y,Z)
неориентированных бордизмов. Описанные выше задачи 1 и 2 могут быть теперь
переформулированы так. Пусть Ак~х — компактное замкнутое ориентированное
подмногообразие в М и t: А —* X — вложение, где X — поверхность в М.
Залача 1. Можно ли среди поверхностей X, содержащих А и таких, что сингулярный
бордизм (A, i) эквивалентен нулю в X, найти такую поверхность Хо, которая обладала бы
свойствами минимальности?

280 Приложение 2
Тождественное отображение е: А —> А определяет элемент а € Qt-\(A). Ясно,
что введенный выше класс поверхностей X характеризуется тем, что t«<r = 0, где
t«: fii_i(A) -* ilt-\(X) — гомоморфизм, индуцированный вложением t: А —> X.
Задача 2. Можно ли среди всех сингулярных многообразий (V,g), g: V —» М, бор-
дантных (эквивалентных) данному сингулярному многообразию (V',g'), g1: V —* М, найти
такое сингулярное многообразие (Vo, go), чтобы поверхность Хо = gc(V0) обладала свойствами
минимальности?
Наряду с группами ilt-\ и JVJt_i мы будем использовать группы П?_, сингулярных
бордизмов по модулю р. Группы П„ Nt, Of, удовлетворяют шести (из семи)
аксиомам Стинрода—Эйленберга, т. е. являются экстраординарными, обобщенными
теориями гомологии. Но, в отличие от обычной теории гомологии, группы бордизмов
точки, вообще говоря, нетривиальны в положительных размерностях. В этом —
существенное отличие от обычной теории гомологии, поскольку обычные гомологии
точки равны нулю во всех размерностях кроме нулевой.
Поскольку минимальные поверхности обладают, вообще говоря, особенностями
(и эти особенности могут быть чрезвычайно сложны), то для использования теории
бордизмов в вариационных задачах потребовалось расширить область определения
этой теории с класса клеточных комплексов на класс поверхностей (т. е. измери-
измеримых компактов в римановом многообразии). Этот процесс аналогичен построению
спектральных гомологии в случае обычной теории гомологии.
В дальнейшем, говоря о бордазмах поверхностей, мы будем постоянно иметь
в виду именно спектральные бордизмы. Так как группы JV* и ftj являются компакт-
компактными группами (в случае конечных клеточных комплексов), то их распространение
на класс поверхностей не встречает препятствий. С теорией бордизмов П, нужно
поступить более осторожно, а именно, следует рассмотреть группы рПг = П, ®z Qp,
где Qp — группа целых р-адических чисел. Подробности см. в [11*].
III. Формулировка теоремы существования глобально минимальных поверхностей,
реализующих абсолютный минимум функционала многомерного объема. Пусть М —
компактное гладкое замкнутое риманово многообразие, h — одна из перечисленных
выше теорий бордизмов, А — фиксированная поверхность — контур в теорий мно-
многообразии М. Рассмотрим класс поверхностей X в многообразии М, определенных
выше в задачах 1 и 2. Этот класс назовем вариационным и обозначим через В. В слу-
случае задачи 1 поверхности из класса В заклеивают контур А в смысле бордизмов;
в случае задачи 2 поверхности из класса В реализуют некоторый нетривиальный
элемент группы бордизмов многообразия М. Тогда в каждом таком вариационном
классе возникает задача нахождения минимальной поверхности. Для каждой по-
поверхности X из класса В построим ее стратификацию X = A (J Sk (J 5*~' (J...,
где Sk — максимальное подмножество в множестве X \ А, имеющее в каждой
своей точке размерность fc; затем 5* — максимальное подмножество в X \ А \ 5*,
имеющее в каждой своей точке размерность к — 1, и т. д. (см. [7*], [8*], [11*]).
Подмножества 5* мы назовем стратами. Если они измеримы, то определен стра-
стратифицированный объем SV(X) = (voljS*, voljk_i5*~',...), изображаемый векто-
вектором с к координатами. Варьируя поверхность X в классе допустимых вариаций,
т. е. оставаясь все время в вариационном классе В, мы изменяем вектор стратифи-
стратифицированного объема поверхности. Задача заключается в нахождении поверхности
с наименьшим стратифицированным объемом в заданном классе В. Наименьший
вектор объема SVb = (d*, djt-i, • • •) мы понимаем в следующем лексикографическом
смысле. Сначала минимизируем первую координату SV(X), т. е. ищем в классе В

Задача Плато и борднзмы 281
поверхность Хк, для которой выполнялось бы неравенство:
volt5* = vol4X \ A = dk = inf vo\kY\A.
Если такие поверхности Хк существуют, то приступим к минимизации второй
координаты вектора обьема SV(X). Для этого будем искать в классе поверхностей Хи
с уже минимальной первой координатой (т. е. таких, что voUX \ A = dt) такую
поверхность Х*_1, для которой
voljt-,**-, \ A \ Sk = dt_, = inf voU_,Xt \ A \ 5*.
Эта поверхность имеет минимальными уже две первые координаты вектора объема.
И так далее. Каждый раз мы минимизируем следующую координату стратифици-
стратифицированного объема при условии, что все предыдущие его координаты уже мини-
минимизированы и фиксированы. Если этот процесс корректно определен (а именно
это и утверждается теоремой существования, см. ниже), то тогда он завершит-
завершится на некоторой поверхности, стратифицированный объем которой уже глобально
минимален в классе всех стратифицированных поверхностей из данного вариаци-
вариационного класса В. Числа а\ = сЦ(В) зависят, конечно, от класса В. Центральным
моментом этой постановки и решения задачи Плато в терминах бордизмов является
введение автором настоящего Приложения понятия стратифицированного объема
и разработка методов его минимизации во всех размерностях (см. [7*]-[9*], [11*]).
В частности, дальнейшее развитие этой идеи позволило затем доказать суще-
существование глобально минимальных поверхностей в каждом гомотопическом классе
(см. [12*] Дао Чонг Тхи).
Теорема 1 (основная теорема; см. [7*]-[9*], [II*]). Пусть М" — компактное глад-
гладкое замкнутое многообразие такое, чтож\(М) = яг(М) = 0, «tex,(Af) — гомото-
гомотопические группы М и Ас М — фиксированный контур — поверхность. Рассмотрим
произвольный непустой вариационный класс В, определенный с помощью бордизмов
(см. выше). Тогда в классе В всегда существует глобально минимальная поверх-
поверхность Хо, стратифицированный объем которой SV(Xo) = (dt, djt_i,...) = SVg
является наименьшим. Эта поверхность имеет однозначно определенную стра-
стратификацию (т. е. разбиение на страты) Хо = A \J Sk (J S*~' (J..., где каждое
подмножество S* является, за исключением, быть может, множества %-мерной
меры нуль, состоящего из особых точек, гладким минимальным i-мерным под-
подмногообразием в многообразии М (т. е. средняя кривизна равна нулю). При этом
Следствие 1. Пусть выполнены предположения теоремы 1 и пусть В — вари-
вариационный класс из задач I и 2 (см. выше). Тогда в этом классе существует
глобально минимальная поверхность (быть может, с особенностями, заполняю-
заполняющими множество меры нуль в каждом страте), являющаяся решением задачи
Плато: а) в случае задачи 1 эта поверхность минимальна среди всех поверхностей,
заклеивающих контур А в смысле бордизмов, т. е. допускающих непрерывную па-
параметризацию с помощью серии многообразий с краем А; б) в случае задачи 2 эта
поверхность минимальна среди всех поверхностей, реализующих данный элемент
группы бордизмов объемлющего многообразия.
Эти результаты являются в действительности следствиями из существенно более
общей теоремы существования глобально минимальных поверхностей, доказанной

282 Приложение 2
в [7*], [8*], [11*] для случая так называемых экстраординарных (обобщенных) тео-
теорий (ко)гомологий. Мы не будем здесь на этом останавливаться, так как описание
экстраординарных теорий потребовало бы привлечения дополнительного материала.
Приведем здесь только один пример многомерной вариационной задачи, сформу-
сформулированной в терминах экстраординарных когомологий.
Пусть на многообразии М задано стабильно нетривиальное векторное рас-
расслоение ?. Рассмотрим вариационный класс всех поверхностей X С М таких,
что ограничение ? на X по-прежнему стабильно нетривиально. Тогда среди таких
поверхностей обязательно найдется глобально минимальная (в смысле стратифици-
стратифицированного объема).
Выше мы рассматривали две отдельные задачи: заклейки контура и реализации
циклов. Однако наиболее естественной является смешанная задача, в которой ищется
минимальная поверхность, одновременно заклеивающая контур и реализующая
некоторые циклы в объемлющем многообразии. Опишем вкратце решение этой
смешанной задачи Плато.
Пусть А — одна из теорий бордизмов (см. выше) и пусть L = {Lp} — фиксиро-
фиксированный набор подгрупп Lf С hp(A), где р — целые числа. Пусть, далее, L' = {L'q} —
фиксированный набор подгрупп L'q С Л,(М).
Определение 6. Через В(А, L, L') обозначим класс всех поверхностей X в мно-
многообразии М таких, что 1) А С X С М, 2) L С Кег»», 3) 2/ С Imj,, где
»: А —»X и у. X —у М — вложения.
Ясно, что классы В@,0, L') и В(А, L, 0) совпадают с вариационными класса-
классами В, введенными нами выше в задачах 1 и 2. Оказывается, в каждом из классов
В(А> L, L') всегда имеется глобально минимальная поверхность, стратифицирован-
стратифицированный объем которой является наименьшим в лексикографическом смысле.
Поскольку эта теорема (см. [7*], [8*], [11*]) утверждает существование поверх-
поверхности, минимизирующей стратифицированный объем, составленный из последова-
последовательности объемов стратов поверхности, то мы сформулируем этот результат также
в виде последовательности утверждений о минимальности этих стратов.
Пусть выполнены предположения теоремы 1 и пусть В(А, L, L') = В — про-
произвольный непустой вариационный класс, состоящий из поверхностей указанного
топологического типа. Пусть fc — наименьшее из целых чисел a, s < n, для которых
d, = d,(B) < oo, 3 < fc < п. Тогда выполняются следующие последовательные
утверждения.
1) Существуют поверхности, старший объем которых (т.е. объем volt) гло-
глобально минимален. Более точно, если {X*} — класс всех поверхностей X таких,
что X € В и voltX \A = dk= inf уоЦУ \ А, то мы утверждаем, что этот класс
Y€{B]
непуст и что d* < со. В этом случае, когда dt > 0, каждая поверхность X из вариа-
вариационного класса {Xt} содержит однозначно определенное fc-мерное (т. е. имеющее
размерность к в каждой своей точке) подмножество S* С X \ А такое, что A (J 5* —
компакт в объемлющем многообразии. При этом k-мерный страт поверхности X,
т. е. множество 5* содержит подмножество Zt (возможно, пустое), где volfcZfc = 0
и S* \ Zu — гладкое fc-мерное подмногообразие в М, без края и всюду плотное в S*.
Множество Zk является множеством всех fc-мерных сингулярных особых точек по-
поверхности X. При этом vol*S* = voUX\j1 = dt. Если же dk = 0, то положим S* = 0.
В этом случае поверхность не имеет страта размерности fc.
2) Существуют поверхности, у которых глобально минимальными является
не только старший объем, но и следующий за ним объем на единицу меньшей

Задача Плато и бордизмы 283
размерности. Этот следующий объем подсчитывается для страта соответствующей
размерности, содержащегося в поверхности. Более точно, если {Х*_]} С {X*} есть
класс всех таких X, что X ? В, voltX \ А = d*, т. е. X G {Xj} и, кроме того,
тоЦ_,Х\А\5* = dt_, = inf \o\k-lY\A\Sk,
{}
то мы утверждаем, что этот класс {Х*_|} непуст и dt-\ < оо. В этом случае, когда
dt_] > 0, каждая поверхность из этого класса содержит однозначно определенное
(к - 1)-мерное подмножество 5*~' С X \ А \ Sk такое, что A\J Sk \J 5*"' — ком-
компакт в объемлющем многообразии. Множество 5*~' содержит подмножество Zk~\
(возможно, пустое) меры нуль, т. е. \olk-\Zu-i = 0 и, кроме того, дополнение к Zjs-.]
в S*-', т.е. подмножество S* \ Zt-i является гладким (ife — 1)-мерным подмного-
подмногообразием в объемлющем многообразии, не имеющим края и всюду плотным в Sk~l.
При этом выполнено неравенство volt_i5*~' = volt_iX \ A \ Sk = dt_i > 0. Если
же dt-i = 0, то положим S* = 0.
И так далее вниз по размерностям. На следующем шаге обнаруживается, что
существует поверхности, у которых минимальны не только два первых их объема
(т. е. старший и следующий за ним по размерности вниз), но и третий объем размер-
размерности к - 2, подсчитанный для соответствующего страта размерности к —2. Другими
словами, каждый следующий объем оказывается минимальным при условии фикса-
фиксации всех предыдущих минимальных объемов. Наконец, поверхности, составляющие
класс {Xi}, являются уже глобально минимальными во всех размерностях, т. е. объ-
объемы всех их стратов минимальны. Более того, каждый страт 5*, за исключением, быть
может, множества особых точек меры нуль, является в действительности гладким
минимальным подмногообразием размерности ».
В заключение сообщим о теореме существования глобально минимальных
поверхностей в каждом гомотопическом классе. Введение нового понятия страти-
стратифицированного объема и разработанная в [7*], [8*], [11*] методика его минимизации
позволили затем решить задачу Плато в каждом вариационном классе поверхностей,
получающихся гомотопией какого-то фиксированного отображения /: V —» М. Ока-
Оказывается, в каждом таком классе есть глобально минимальная поверхность (см. [12*]).
При этом понятия стратифицированной поверхности и стратифицированного объ-
объема были реализованы на функциональном языке варифолдов, в терминах которого
и получена теорема существования и почти всюду регулярности минимальных ре-
решений. Таким образом, в настоящий момент установлено не только существование
абсолютных минимумов, но и относительных (в каждом гомотопическом классе).
Литература к приложению 2
1*. Federer H. Geometric measure theory. Berlin: Sprinder, 1969.
2*. Money Ch. B. Multiple integrals in the calculus of variations. Berlin: Sprinder, 1966.
3*. Reinfenberg E. Я Solution of the Plateau problem, for m-dimensional surfaces of varying
topological type // Acta Math., 1960, 104, № 1, p. 1-92.
4*. Almgren F. J. Existence and regularity almost every where of solutions to elliptic variational
problem among surfaces of varying topological and singularity structure // Ann. Math., Ser. 2,
1968, 87, №2, p. 321-391.
5*. Оссерман Р. Минимальные поверхности // УМН, 1967, 22, №4.
6*. Osserman Я Global properties of minimal surfaces in E3 and E" // Ann. Math., 1964, 80, № 2,
p. 340-364.

284 Приложение 2
7*. Фоменко А. Т. Многомерная задача Плато в римановых многообразиях // Матем. сб.,
1972, 89 A31), № 3, с.475-520.
8*. Фоменко А. Т. Минимальные компакты в римановых многообразиях и гипотеза Райфен-
берга // ИАН СССР, 1972, 36, №5, с. 1049-1080.
9*. Фоменко А. Т. Многомерные вариационные методы в топологии экстремалей // УМН,
1981,36, №6, с. 105-135.
10*. Фоменко А. Т. Периодичность Бола с точки фения многомерного функционала Ди-
Дирихле // ИАН СССР, 1971, 35, № 3, с. 667-681.
11*. Фоменко А. Т. Многомерные задачи Плато на римановых многообразиях и экстраорди-
экстраординарные теории гомологии и когомологий. Часть I. — В кн.: Труды семинара по вект.
и тенз. анализу, 17. М.: Изд-во МГУ, 1974, с. 3-176; Часть II. — В кн.: Труды семинара
по вект. и тенз. анализу, 18. М.: Изд-во МГУ, 1978, с. 4-93.
12*. Дао Чоиг Тхи. Мультиварифолды и классические многомерные задачи Плато // ИАН
СССР, 1980, №5, с. 1031-1065.
13*. Фоменко А. Т. О минимальных объемах топологических глобально минимальных поверх-
поверхностей в кобордизмах // ИАН СССР, 1981, 45. № 1, с. 187-212.

Предметный указатель
Аддитивность сигнатуры 235
Алгебра свободная косокоммугативная 68
— Сгннрода 103
-Хопфа68
Барицентрическое подразделение SS
Билинейные соотношения Римана 118
Бордизм 64
— неориентируемый 64
— сингулярный 230
Бордизм-вариация 276
Бордизм-деформация 276
Букет сфер 38, 74
Вариация геодезическая 180
— по параметру 176
Вполне геодезическое подмногообразие 197, 211
Вторая фундаментальная форма 275
Вырезание 62
Высечение 67,158
Геодезическая замкнутая невырожденная 193
Гомологии (когомолопш) комплекса
симплициального 25
сингулярные кубические 50
симплициальные 48
— комплекса цепей 19
с коэффициентами в группе 21
— относительные сингулярные 52
— с коэффициентами в представлении 111, 114
— с локальными коэффициентами III
Гомологии полная группа 19
Гомологическое многообразие 246
Гомоморфизм Боиптейна 26
— комплексов 19, 20
Гомотопия алгебраическая 8, 20
Градиентно-подобное поле 147
1раннца симплекса ориентированная 24
— сингулярного симплекса 48
Границы 19
Циничный оператор 38
Грань куба 50
Ipynna бордизмов 230
— когомологий 7, 26
— циклов 64
1рупповое кольцо 111
Ipynim кобордизмов классические 231
— сингулярных когомологий 48
Двойственность Александера 159
— Лефшеца 159
— Пуанкаре 62, 155
Диаграмма Хегора 198
Дифференциал голоморфный 116
Задача Кирхгофа 264
— Ковалевской 122
— Неймана 125
— обращения Якоби 122
— Плато 274
— Якоби (геодезические на эллипсоиде) 125
Инвариантность гомотопическая 61
Индекс замкнутой геодезической 193
— критической точки 136, 176
— пересечения 43
циклов 157
— связного критического многообразия 170
Интегралы Кирхгофа 266
Касательное пространство в точке 176
Категория замкнутого подмножества
относительно пространства 160
— Люстерника—Шнирельмана 160
Кватернионы 72
Класс 237
— Понтрятина 87
— Чженявб
— Штифеля—Умтни 86
Клеточная цепь размерности к 38
Клеточное отображение 37
— пространство 37
Когомологий комплекса коцепей 19
цепей со значениями в группе 21
— определенные через дифференциальные
формы 27, 62
— с коэффициентами в пучке 132
Когомологий полная группа 19
Когомологическая длина многообразия 167
— операция 88
стабильная 89
частичная 89
Кограница 19, 26
Кольцо когомологий 12
Комплекс алгебраический 19
— дифференциальных форы 19
— клеточный 37
п-связный 40
— клеточных цепей 38
— коцепей 18
— симплициальный 24
— сингулярных цепей 48
— Тома 236
— Эйленберга—Маклейна 84, 90
Константа площадей 266

286
Предметный указатель
Коцикл 19, 26
Коэффициент инциденции 3S
Кручение Райдемайстера 113
Куб n-мерный единичный SO
Кэлерово многообразие 127
Лемма Морса 136
— Пуанкаре 10, 13
Линзовое пространство 45
Лист Мёбиуса 86, 153, 238
Локально минимальное подмногообразие 211, 275
Многообразие Грассмана 202
— триангулированное 27
— Хопфа 128
— Якоби 120
Многообразия гомотопически эквивалентные 9,
114
— Л-кобордантные 253
— /-эквивалентные 253
Неравенства Морса 141
Нерв покрытия 131
Нормальные одночлены 71
Нормальный инвариант 256
Операции Стинрода 90, 98
Остов клеточного комплекса 41
Отображение Абеля 121
Период формы по циклу 12
Периодичность Ботта ортогональная 202
унитарная 202
Подразделение одномерного симплекса 55
Полином Пуанкаре многообразия 141
функции 142
— Членя 86
— Штифеля—Уитни 86
Предпучок 131
Пучок 131
— определяемый предпучком 132
Род диаграммы Хегора 199
-Тодда244
Связная сумма 43
Сепаратрисная диаграмма 147
Сечение гиперплоское 140
Сигнатура 233
— цикла 248
Симплекс 23
— сингулярный 47
Сингулярная *-мерная цепь 47
— граница 48
— пленка 230
Сингулярное многообразие ориентированное 279
Сингулярный п-куб 50
— цикл 48
Скобка Пуассона 265
Соотношения Фробениуса 129
Спектральная последовательность Лере 75
Средняя кривизна 275
Стабильные операции 89
Степень вырождения замкнутой геодезической 193
— иррациональности 262
Сфера гомотопическая 200, 253
Тензорное произведение абелевых групп 21
комплексов 22, 241
Теорема Гуревича 41
— Картана—Серра 92
-Лере 76
— об индексе 181
— Стинрода 89
— Хопфа 69
Теории гомологии аксиомы 61
Тор Якоби 120
Точка бифуркационная 142
— топологически регулярная 141
Точная последовательность пары
гомологическая (когомологическая) 53,143
пучков 134
Трансгрессивные элементы 101
Трансгрессия 100
Умножение коцепей 66
Уравнения коммутативности 124-126
Фазовая точка 123
Формула сигнатуры (Хирцебруха) 235, 244
Функционал Дирихле 209
— многозначный 263
— Мопертюи—Ферма 264, 268
Функция высоты 146, 153
— Морса 185
— Морса—Смейла 146
Характер Чженя 97
Характеристические классы стабильные 232
— числа стабильные 232
Ходжево многообразие 128
Цепи 25
Цикл 12, 19
— особенностей 86
Числа Бетти 25
-Кэли72
— Морса 144
Эйлеров класс расслоения 85
Эйлерова характеристика комплекса 20, 25
Экстраординарная теория гомологии 62
fc-кобордизм 253
Я-пространство 68
n-куб вырожденный сингулярный 51