/
Author: Прессли Э. Сигал Г.
Tags: алгебра математика топология дискретная математика естественные науки точные науки
ISBN: 5-03-001331-8
Year: 1990
Text
Oxford Mathematical Monographs
Loop Groups
Andrew Pressley
King's College London
and
Graeme Segal
University of Oxford
Clarendon Press • Oxford
Э. Прессли, Г. Сигал
Группы петель
Перевод с английского
А. В. Зелевинского и А. О. Радула
Москва «Мир» 1990
ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчиков 5
Предисловие к русскому изданию 6
Глава 1. Введение . . - 7
ЧАСТЬ I 16
Глава 2. Конечномерные группы Ли .16
2.1. Алгебра Ли '. 16
2.2. Комплексные группы 18
2.3. Компактные группы Ли 19
2.4. Система корней .20
2.5. Группы с простыми связями 23
2.6. Группа Вейля и камеры Вейля; положительные корни 24
2.7. Неприводимые представления и антидоминантные веса 25
2.8. Комплексные однородные пространства 25
2.9. Теорема Бореля — Вейля . 28
Глава 3. Группы гладких отображений 31
3.1. Бесконечномерные многообразия 31
3.2. Группы отображений как бесконечномерные группы Ли 33
3.3. Группы диффеоморфизмов 36
3.4. Некоторые теоретико- групповые свойства группы
Мар(^; G) 38
3.5. Подгруппы в LG: полиномиальные петли 41
3.6. Максимальные абелевы подгруппы в LG 43
3.7. Скрученные группы петель 45
Глава 4. Центральные расширения 47
4.1. Введение 47
4.2. Расширения алгебр Ли . 48
4.3. Коприсоединенное действие группы LG на (?g)* и его
орбиты 54
4.4. Групповые расширения в случае односвязной груп-
группы G 56
4.5. Расслоения со слоем окружность, связности и кривиз-
кривизна 62
4.6. Групповые расширения в случае полупростой, но не
односвязной группы G 67
4.7. Основное центральное расширение группы LUn . . 70
4.8. Ограничение расширения на подгруппу LT 73
454
Оглавление
Оглавление
455
4.9. Скалярное произведение на R ф L% 7S-
4.10. Расширения группы Мар(Х; G) 7$
4.11. Дополнение: когомологни группы LG и ее алгебры Ли 82
Глава 5. Система корней: алгебры Каца — Муди 85
5.1. Система корней и аффинная группа Вейля 85>
5.2. Образующие и соотношения 89-
5.3. Алгебры Каца—Муди . . . ., 92:
Глава 6. Группы петель как группы операторов в гильбертовом про-
пространстве . 95-
6.1. Петли как операторы умножения 95
6.2. Ограниченная полная линейная группа гильбертова
пространства 96-
6.3. Отображение LGLn (С) -* GLres (Жп)) 98-
6.4. Периодичность Ботта 102
6.5. Изоморфизм H(n)s*H и вложение LJ->LUn . . . 102:
6.6. Центральное расширение группы GLTes{H) ¦ • • .103»
6.7. Центральное расширение группы LGLn(,C) .... 107
6.8. Вложение группы Diff+(S») в Ures(H) 109'
6.9. Другие поляризации пространства Н: замена окружно-
окружности прямой и введение «массы» 111
6.10. Обобщения на другие группы отображений 117"
Глава 7. Грассмаииан гильбертова пространства и детермииантное ли-
нейиое расслоение 121
7.1. Определение грассмаииана Gr(#) 121
7.2. Некоторые плотные подмногообразия в Gr(ff) . . . .125'
7.3. Стратификация многообразия Gr(#) 127"
7.4. Клеточное разбиение пространства Gro(#) 129'
7.5. Плюккерово вложение 131
7.6. Действие полугруппы C^j 133-
7.7. Детерминантное расслоение 135-
7.8. Пространство Gr(#) как кэлерово многообразие и сим-
плектическое многообразие 139'
Глава 8. Основное однородное пространство 143-
8.1. Введение: теоремы о разложении 143-
8.2. Два приложения разложения Биркгофа 147
8.3. Грассманово описание QUn 1|2
8.4. Стратификация Gr<;l): разложения Биркгофа и Брюа 155
8.5. Грассманово описание для других классических групп 163-
8 6. Грассманово описание для общей компактной группы
Ли 165-
8.7. Однородное пространство LG/T и многообразие перио-
периодических флагов утл,
8.8- Периодичность Ботта . J7*"
8.9. QG как кэлерово многообразие: поток энергии . . . 17а
8.10. QG и голоморфные расслоения 182'
8.11. Однородное пространство, связанное с римаиовой по-
поверхностью: пространства модулей векторных расслое-
расслоений }°*
8.12. Дополнение: теория рассеяния 1Э1>
ЧАСТЬ II 195
Глава 9. Теория представлений ........ 195
9.1. Общие замечания о представлениях 198
9.2. Условие положительности энергии . 202
9.3. Классификация и основные свойства представлений с
положительной энергией .'.... 208
9.4. Оператор Казимира и инфинитезимальное действие
группы диффеоморфизмов 216
9.5. Группы Гейзенберга и их стандартные представления 222
Глава 10. Фундаментальное представление .......... 231
10.1. Г как внешняя алгебра: фермионное пространство
Фока . . 232
10.2. Структура гильбертова пространства 237
10.3. Кольцо симметрических многочленов 239
10.4. Г как сумма симметрических алгебр 243
10.5. Тройное тождество Якоби 247
10.6. Базисные представления групп LUn и LSU« . . . 250
10.7. Двумерная квантовая теория поля 254
Глава 11. Теория Бореля — Вейля 256
11.1. Пространство голоморфных сечений однородного ли-
линейного расслоения 256
11.2. Разложение представлений: полная приводимость . . 262
11.3. Существование голоморфных сечений 265
11.4. Условие гладкости 269
Глава 12. Сшшорное представление . 272
12.1. Алгебра Клиффорда 272
12.2. Вторая конструкция спинорного представления . . . 276
12.3. Спинорное представление как сечения голоморфного
линейного расслоения 286
12.4. Бесконечномерное спинорное представление 288
12.5. Базисное представление группы LOin 291
12.6. Аналогия: экстра-специальная 2-группа 292
Глава 13. Блипы, или вертексные операторы 295
13.1. Фермионные операторы на Ж 296
13.2. Действие UT&S (Я) и Ores (#R) на Ж 308
13.3. Представления уровня 1 группы LG, когда G — груп-
группа с простыми связями 311
13.4. Действие Diff+(S1) на представлениях групп петель с
положительной энергией 317
13.5. Общие замечания: случай общей максимальной абеле-
вой подгруппы в LG 319
Глава 14. Формула Каца для характеров и резольвента Бериштейна —
Гельфанда — Гельфанда . 321
14.1. Общие замечания о характерах 321
14.2. Мотивировка формулы для характеров: формула Вей-
Вейля для компактной группы • 324
14.3. Формула для характера 328
14.4. Алгебраическое доказательство формулы для харак-
характеров - ¦ 336
456 Оглавление
14.5. Резольвента Бернштейна — Гельфанда — Гельфанда . 341
14.6. Приложения резольвенты: когомологии ?g ¦ ¦ ... . 351
Добавление А. Разложение петель: образующие и соотношения для
Qpoi Un 358
Добавление В. Гармонические отображения в Un и СР" .... 362
Литература . . .371
Дополнение. Группа петель и уравнения типа КдФ- Сагал Г., Виль- 379*
сон Дж,
1. Введение 379
3. Детерминантиое расслоение и т-функция 385
4. Обобщенные уравнения КдФ и формальная функция
Бейкера 393
5. Функция Бейкера 398
6. Алгебраические кривые: конструкция Кричевера . . . 407
7. Рациональные кривые 418
8. Функция Шура и т-функция 424
9. Тэта-функция и т-функция 429
10. Приложение: теория представлений групп петель . . . 438
Литература 440
Указатель обозначений 443
Предметный указатель 447
Научное издание
Эндрью Прессли, Грэм Снгал
ГРУППЫ ПЕТЕЛЬ
Зав. редакцией чл.-корр. АН СССР В. И. Арнольд
Зам. зав. редакцией А. С. Попов
Ст. научный редактор Г. М. Цукерман
Мл. научный редактор И. В. Герасимова
Художник О. С. Василькова
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор 3. И. Резиик
Корректор Т. И. Стнфеева
ИБ № 7159
Сдано в набор 4.07.89. Подписано к печати 8.02.90. Формат 60Х90'/и. Бумага типограф-
типографская № 1. Печать высокая. Гарнитура латинская. Объем 14,25 бум. л. Усл. печ. л. 28,5.
Усл. кр.-от. 28,5. Уч.-изд л. 25,29. Изд. jNs 1/6612. Тираж 3 800 экз. Зак. 230. Цеиа 2 р. 90 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» 129820, ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский пер., 2
Набрано в Ленинградской типографии № 2 головном предприятии ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Со-
Соколовой Государственного комитета СССР по печати. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измай-
Измайловский проспект, 29. Отпечатано в Ленинградской типографии № 4 ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» иы. Евгении Соко-
Соколовой Государствеииого комитета СССР по печати. 190000. Ленинград, Прачечный
переулок, 6.
ББК 22.144
П71
УДК 512.547
Прессли Э., Сигал Г.
П71 Группы петель: Пер. с англ. —М.: Мир, 1990.— 456 с.
ISBN 5-03-001331-8
Книга английских математиков, содержащая первое системати-
систематическое и достаточно полное изложение теории групп петель. Важнейшие
факты теории представлений групп петель были обнаружены физиками,
и весь подход в книге, вдохновлен квантовой теорией поля. Изложение
доведено до современного уровня, особое внимание уделено глобаль-
глобальным вопросам (структура групп петель, геометрия их однородных про-
пространств, приложения в теории нелинейных уравнений). В русское изда-
издание включен дополнительный материал.
Для математиков и физиков-теоретиков разных специальностей,
аспирантов и студентов университетов.
Редакция литературы по математическим н аукам
ISBN 5-03-001331-8 (русск.)
ISBN 0-19-853561-9 (англ.)
© Andrew Pressley and Graeme Segal,
1986
© перевод на русский язык, с добавле-
добавлениями, А. В. Зелевииский, А. О. Ра-
Радул, 1990
ОТ ПЕРЕВОДЧИКОВ
Мы рады представить советскому читателю перевод книги
3. Прессли и Г. Сигала «Группы петель». С момента ее выхода
в 1986 г. она пользуется широкой популярностью; об этом сви-
свидетельствует появление в 1988 г. второго (исправленного) изда-
издания книги, с которого и сделан настоящий перевод. Поскольку о
содержании книги подробно сказано во введении авторов, мы от-
отметим лишь, что теория представлений групп петель и близких к
ним групп и алгебр Ли переживает сейчас период очень актив-
активного развития. Это объясняется как богатством математических
идей, лежащих в основе теории, так и разнообразием ее прило-
приложений в различных областях математики и теоретической физи-
физики. Одному из таких приложений — к теории дифференциальных
уравнений — посвящена статья Г. Сигала и Дж. Вильсона «Груп-
«Группы петель и уравнения типа КдФ», сокращенный перевод кото-
которой включен в качестве дополнения в настоящее издание. Кроме
того, для русского издания авторы прислали два добавления, от-
отражающие совсем новые результаты. Пользуемся случаем выра-
выразить им свою благодарность.
Книга Прессли и Сигала написана с большим педагогическим
мастерством. Авторы приложили много усилий для того, чтобы
сделать ее интересной не только для специалистов. Основное
содержание книги вполне доступно аспирантам-математикам и
студентам старших курсов. Мы надеемся, что книга будет с ин-
интересом встречена советскими читателями.
Главы 1—7 перевел А. В. Зелевинский, остальное — А. О. Ра-
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Мы очень польщены тем, что наша книга выходит на рус-
русском языке. В последние несколько лет изучаемая в ней область-
математики развивалась крайне активно, но мы надеемся, что
эта книга все еще является полезным введением в предмет.
Если бы мы начинали ее сейчас, она была бы написана не-
несколько иначе. Так, мы уделили бы значительно больше внима-
внимания теории представлений группы Diff(S1) и алгебры Вирасоро..
Мы бы также несколько изменили перспективу: изложенная.
в книге теория может рассматриваться как «гамильтонов» под-
подход к двумерной конформно-инвариантной квантовой теории:
поля, а после того, как книга была написана, стало ясно, что*
«лагранжева» точка зрения приводит к многим важным новым
идеям. В частности, свойства модулярности характеров, едва за-
затронутые в книге, заняли бы свое место и лишились таинствен-
таинственности. Наконец, мы сожалеем о двух конкретных пробелах,,
а именно, об отсутствии некоторого варианта теоремы Петера —
Вейля для групп петель (см. доклад Френкеля на Международ-
Международном конгрессе математиков в Беркли в 1986 г.) и формулы Каца
для детерминанта.
Теория представлений группы Diff (Sl) еще не вполне понята,,
однако в известной работе Б. Л. Фейгина и Д. Б. Фукса (Функ-
(Функциональный анализ, 1982, т. 16, с. 47—63) имеется ее превосход-
превосходное изложение с точки зрения алгебр Ли. Эта же работа содер-
содержит единственное существующее изложение формулы для детер-
детерминанта. По двумерной конформной теории поля имеется
обширная литература, где предмет трактуется с самых разных:
позиций; мы не будем пытаться перечислять их.
Нам казалось непрактичным делать в русском издании ко-
коренные изменения или дополнения. Мы ограничились двумя до-
добавлениями, которые, взятые вместе, описывают одно из недав-
недавних применений развитой в книге техники — принадлежащую'
Уленбек теорию гармонических отображений из римановой
поверхности в компактную группу и аналогичный результат'
Иллса — Вуда для отображений в комплексное проективное про-
пространство. Первое добавление дает описание группы полиноми-
полиномиальных петель группы Un в терминах образующих и соотноше-
соотношений. Оно используется в теореме Уленбек, но представляет и
самостоятельный интерес.
3 мая 1989 г. э. Прессли, Г. Сигал-
Глава 1
Введение
Группа петель LG — это группа параметризованных петель
в другой группе G, т. е. группа отображений окружности S1 в G.
Закон умножения в ней происходит из поэлементного умноже-
умножения в G. В этой книге G всегда будет либо компактной группой
.Ли, либо ее комплексификацией. Имеется несколько точек зре-
зрения, приводящих к изучению групп петель.
С чисто математических позиций естественно спросить, мож-
ло ли обобщить на бесконечномерные группы богатую и глубоко
разработанную теорию конечномерных групп Ли. В этой связи
группы Map (X; G) отображений из компактного пространства X
в группу Ли G являются, вероятно, наиболее очевидными при-
примерами бесконечномерных групп Ли. Их поведение нетипично
своей простотой. Например, экспоненциальное отображение g->-G
из алгебры Ли g группы G индуцирует экспоненциальное ото-
отображение Мар(Х; g)-vMap(X; G), являющееся локально биек-
биективным; это не то свойство, которого можно ожидать от общих
бесконечномерных групп Ли.
В квантовой теории поля группы вида Map(X;G) (где X
обычно является физическим пространством 'R3) возникают
двумя слегка различными способами — как калибровочные груп-
группы и как группы токов. Группы петель, таким образом, появ-
появляются в упрощенной модели квантовой теории поля, в которой
пространство берется одномерным, а также в «струнных» моде-
моделях элементарных частиц, где частицы представляются одномер-
одномерными протяженными объектами. Некоторые важные факты в
теории представлений групп петель были впервые открыты фи-
физиками, и весь наш подход к предмету в этой книге носит на себе
отпечаток квантовой теории поля.
Хотя внутренне это очень простая и естественная группа, мы
удивительно мало знаем о Map (X; G) (особенно о ее представ-
.лениях), за исключением случая, когда X — окружность. В этом
случае ситуация чрезвычайно упрощается и исследована очень
полно. Оказывается, что группы петель в замечательно широких
пределах ведут себя так же, как компактные группы Ли. Цель
Гл. 1. Введение
этой книги — дать общее изложение того, что о них известно,,
сконцентрированное вокруг глобальных и аналитических, а не
алгебраических аспектов теории. Это необычный подход к пред-
предмету, поэтому его стоит прокомментировать. Обычно группы пе-
петель изучают с помощью их алгебр Ли, по существу являющихся
примерами так называемых алгебр Каца — Муди. Это алгебры:
Ли, которые можно задать образующими и соотношениями та-
таким же образом, как конечномерные полупростые алгебры..
Классическая теория Картана и Киллинга показывает, как стро-
строить алгебру по каждой целочисленной матрице, удовлетворяю-
удовлетворяющей некоторым условиям, включающим ее положительную опре-
определенность. Опуская условие положительности, мы приходим к,
алгебрам Каца — Муди. Если ослабить «положительность» до.
«неотрицательности», мы получим подкласс алгебр Каца — Муди,..
обычно называемых аффинными алгебрами. Они являются (с-
точностью до одномерного центрального расширения) алгебрами
Ли групп петель и их скрученных вариантов, которые мы позд-
позднее опишем. Для алгебр Каца — Муди, не являющихся аффин-
аффинными, известно лишь их описание в терминах образующих и:
соотношений, и совершенно непонятно, в каких контекстах мо-
могут возникнуть соответствующие группы. Это определенно не-
негруппы вида M.ap(X;G) с dimZ>l. С другой стороны, если
развивать теорию алгебр Каца — Муди алгебраически, то нет-
большой разницы (по крайней мере для многих целей), является
алгебра аффинной или нет.
Значительный стимул к развитию теории алгебр Каца —
Муди общего вида был дан открытием в 1972 г. Макдональдом
[107] класса тождеств с формальными степенными рядами,,
аналогичных формуле Вейля для знаменателя и сводящихся;
в частных случаях к таким результатам, как тождество Якоби
для тройного произведения. Кац заметил, что тождества Макдо-
нальда немедленно вытекают из обобщения формулы характе-
характеров Вейля на алгебры Каца — Муди, и с тех пор формула ха-
характеров интенсивно изучалась с различных точек зрения. Ха-
Характеры оказываются в определенном смысле модулярными-
функциями, хотя, почему это должно быть так, остается еще од-
одной из загадок предмета.
Из всего сказанного совершенно разумно сделать вывод, что
изучаемые нами группы интересны не потому, что они являются
группами петель, а потому, что они обладают некоторой очень-
специальной комбинаторной структурой. С такой точки зрения
эта книга, совершенно игнорирующая все алгебры Каца — Муди,,.
за исключением «аффинных», может показаться довольно извра-
извращенной. Мотивировка нашего подхода частично является эсте-
эстетической. При изучении групп петель мы занимаемся скорее гео-
Гл. 1. Введение
:метрией и анализом, чем алгеброй и комбинаторикой, а геомет-
геометрическая картина для некоторых более прозрачна и привлека-
привлекательна. С другой стороны, несмотря на признание того факта,
что было бы очень опрометчиво и оптимистично считать, что
теория групп петель прямо скажет нам что-либо о более общих
труппах вида Map(J; G), ясно, что используемые нами методы
и конструкции очень фундаментальны и лежат в основном русле
математики, особенно в связи с квантовой теорий поля. Кажется
вполне разумным предположить, что они найдут приложения.
Первая характерная черта нашего подхода состоит в том, что-
гбы представлять себе группы петель как группы операторов в
гильбертовом пространстве. Мы рассматриваем элемент группы
LG как оператор умножения в гильбертовом пространстве Н =
= L2(SX; V) функций класса L2 на окружности со значениями
в некотором конечномерном представлении V группы G. Мы
представляем Я как #+. Ф #_, где Н+ (соответственно #_) со-
состоит из функций, у которых обращаются в нуль все отрицатель-
отрицательные (соответственно положительные) коэффициенты Фурье, и мы
изучаем, как ведут себя операторы умножения по отношению
к этому разложению. Эта идея происходит из квантовой теории
поля, в которой Н есть пространство решений релятивистского
волнового уравнения, а #+ и Я_ — решения с положительной
и отрицательной энергией; мы изучаем, как оператор на Н пе-
перемещает частицы из состояний с положительной энергией в со-
состояния с отрицательной энергией и обратно.
Вторая характерная особенность состоит в геометрическом
изучении «основного однородного пространства» X группы LG.
:Это пространство LG/G, где G рассматривается как подгруппа
в LG, состоящая из постоянных петель. Оно может быть отожде-
отождествлено с пространством QG петель с отмеченной точкой в G.
У него есть два важнейших свойства. Во-первых, оно является
комплексным многообразием, поскольку может быть отожде-
отождествлено с однородным пространством LGc/L+Gc, где Gc есть
¦комплексификация группы G, a L+Gc состоит из петель, hbj
. ляющихся граничными значениями голоморфных отображений
Во-вторых, X обладает стратификацией комплексными мно-
многообразиями конечной коразмерности, нумерующимися классами
сопряженности гомоморфизмов S1—>-G. Это в точности анало-
аналогично разбиению грассманова многообразия на клетки Шуберта,
а также разложению Брюа комплексной полупростой группы.
Оба свойства вместе сводятся к переформулировке теоремы
*о разложении Биркгофа 1909 г., утверждающей, что каждая
10
Гл. 1. Введение
петля у в Gc может быть представлена в виде у = у_-Л-у+, где-
У± — петля, продолжающаяся голоморфно внутрь (соответствен-
(соответственно наружу) единичного диска, а X: S1 -*¦ G — некоторый гомо-
гомоморфизм.
Стратификацию пространства X = QG можно представить,
себе более геометрически в терминах функции энергии &:
"" *¦ R, определяемой формулой
2л
Критические точки функции & — это гомоморфизмы у: S1^>~G,.
а их компоненты связности — это классы сопряженности. Страт,,
соответствующий некоторому классу сопряженности, состоит из.
всех петель, стремящихся к нему при движении против гради-
градиентного потока функции S".
Соединяя указанные две идеи, заметим, что, поскольку груп-
группа LG действует на гильбертовом пространстве Я, она действует
и на грассмановом многообразии замкнутых подпространств в Я.
Орбита подпространства Я+ при этом действии есть экземпляр
однородного пространства X. Мы будем постоянно пользоваться,
этим вложением пространства X в грассманиан в качестве под-
подмногообразия.
Геометрия пространства X в теории групп петель важна час-
частично как средство доказательства структурных теорем, таких,,
как сама теорема о разложении Биркгофа, но более фундамен-
фундаментальная причина состоит в том, что неприводимые представле-
представления группы LG возникают как пространства голоморфных сече-
сечений линейных расслоений на X. (Строго говоря, здесь требуется
тесно связанное с X пространство Y = LG/T, где Т — макси-
максимальный тор в G.)
Настоящая книга распадается на две половины: в первых,
восьми главах речь идет о группах, а в остальных — об их пред-
представлениях. С введением в теорию представлений читатель мо-
может ознакомиться в начале гл. 9. На самом деле можно начать
чтение книги оттуда, возвращаясь к предыдущим главам по мере-
надобности: в частности, ряд деталей гл. 8 вряд ли будет инте-
интересен многим читателям.
Первоначально мы собирались посвятить часть книги прило-
приложениям групп петель, но в конце концов стали чувствовать себя
недостаточно компетентными или энергичными для этого. Как
уже отмечалось, группы петель возникают в двумерной кванто-
квантовой теории поля; позже они нашли обширные приложения:
Гл. 1. Введение
11
в связи с так называемыми вполне интегрируемыми системами
дифференциальных уравнений в частных производных. Более
комбинаторные аспекты теории связаны с классификацией раз-
различного рода особенностей в алгебраической геометрии — это
обобщение классического соответствия между простыми особен-
особенностями и конечномерными простыми алгебрами Ли ([22],
[140], [ 105]). Такого же типа соответствие, обобщающее теоре-
теорему Габриеля [53], имеется в классификации систем подпро-
подпространств в линейной алгебре. Наконец, формула характеров для
представлений групп петель может быть использована как пло-
плодотворный источник комбинаторных тождеств; это было впервые
отмечено Макдональдом в [107].
Из всех этих приложений лишь первые два (к квантовой тео-
теории поля и дифференциальным уравнениям) опираются на сами
группы, а не на их комбинаторное представление. Приложения
к квантовой теории поля трудно поддаются обзору, поскольку
они состоят из рассеянных примеров ряда различных типов. Мы
отсылаем заинтересованного читателя к работам [80], [38],
,[26], [155]. Приложение к дифференциальным уравнениям имеет
более непосредственный характер. Оно было впервые разрабо-
разработано Сато ([35], [126]), хотя идеи неявно содержались в более
ранних работах (см. в особенности статью Захарова и Шабата
[156]). В настоящее время опубликован ряд изложений этого
предмета. Изложение с точки зрения настоящей книги дано в
¦статье [132] '). Остальные приложения не отражены в нашем
списке литературы, но мы отсылаем к [141] по поводу класси-
классификации особенностей и к [85] по поводу обобщений теории
Габриеля (иногда называемой теорией колчанов). Наиболее об-
обширная работа в связи с комбинаторными тождествами была
проделана Леповским (см. [43], [101], [ЮЗ]).
Кроме приложений в строгом смысле слова следует отметить
ряд тем, связанных с нашей. Одной из центральных идей во всей
теории является теорема о разложении Биркгофа, которая была
найдена в ходе классификации особенностей обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений (см. ниже разд. 8.2). Связанная с
этим проблема Римана— Гильберта нахождения мероморфной
функции с заданной монодромией вокруг заданных полюсов не-
недавно получила конструктивное решение с помощью разновидно-
разновидности метода, описанного в этой книге, — так называемых вертекс-
ных операторов (см. [127]). Совершенно другому направлению
посвящена недавняя статья [50], связанная с группой «монстр»,
в которой также центральную роль играют вертексные опера-
:) Ее сокращенный перевод на русский язык включен в настоящее из-
.дгние. — Прим. перев.
12
Гл. 1. Введение
торы. Те же вертексные операторы лежат в основе бозон-фер-
мионного соответствия, играющего важную роль в двумерной,
квантовой теории поля (см. [29], [111], [45], а также разд. 10.7"
ниже).
Целью этой книги является изложение теории, и мы не де-
делали попытки проследить эволюцию описываемых нами идей,
и теорем. В любом случае было бы довольно трудно сделать это»
объективно, поскольку многие идеи были разработаны незави-
независимо рядом авторов в различных контекстах, а также часто в те-
течение некоторого времени оставались «хорошо известными спе-
специалистам», не будучи опубликованы. Наилучшим выходом для,
нас представляется дать весьма представительную выборку раз-
различных подходов к предмету. Определяющая трактовка теории.,
алгебр Ли дана в книге Каца [86], содержащей обширную биб-
библиографию. Другой алгебраический подход развит Гарландом:
и Леповским [54], [55], [56]. Гудман и Уоллех [64] подходят-
к предмету с точки зрения банаховых групп Ли, а в статье Френ-
Френкеля [47] теория характеров изучается с помощью винеровского
интегрирования по орбитам. Следует отметить также важные-
работы [49], [87], [100] и [88].
Теория представлений групп петель тесно связана с теорией
представлений группы Diff(S') диффеоморфизмов окружности,,
действующей как группа автоморфизмов каждой из групп пе-
петель. Оказывается, что группа Diff+(S') диффеоморфизмов, со-
сохраняющих ориентацию, проективно действует на всех рассмат-
рассматриваемых нами представлениях групп петель и что таким обра-
образом получаются все известные представления группы Diff+fS1) —
см. [131], [64], [61]. В этой книге мы не будем систематически-
изучать группу Diff+(S'), но докажем ключевое свойство согла-
согласованности.
Мы уже упоминали скрученные группы петель. Если а — ав-
автоморфизм группы G, то соответствующая скрученная группа,
петель L{a)G состоит из отображений у: R-+-G, таких, что
для всех 8. Теория групп петель по существу без изменений пе-
переносится на скрученные группы. Мы делаем несколько отдель-
отдельных замечаний по поводу скрученного случая, но большей ча-
частью он не содержит ничего нового, и мы им не занимаемся.
Очертим теперь систематически содержание книги.
Глава 2 — это обзор результатов о конечномерных группах:.
Ли, которыми мы будем пользоваться. Она включена просто дляз
Гл. 1. Введение
13
того, чтобы сделать книгу более независимой и, как мы наде-
надеемся, более доступной для читателей с различной подготовкой.
Глава 3 вводит бесконечномерные группы Ли и выясняет, что
можно сказать о группах петель и некоторых связанных с ними
группах с этой точки зрения, не обращаясь к их более специаль-
специальным и характеристическим свойствам.
Глава 4, с другой стороны, посвящена одной из наиболее
важных и характерных черт групп петель — существованию ес-
естественного класса центральных расширений с помощью группы-
окружности "f или, эквивалентно, тому факту, что группы пе-
петель допускают нетривиальные проективные представления. Рас-
Расширенные группы петель играют большую роль в теории, чем
сами группы петель, и все представления, которые мы будем
строить, являются проективными. В этой главе расширения
строятся с помощью дифференциально-геометрических методов.
В действительности мы находим все возможные расширения
группы Мар(Х; G) для любого компактного многообразия X,
хотя результат показывает, что важен только случай X — S1.
Отметим, что расширения существуют только для групп гладких
(а не просто непрерывных) петель.
Глава 5 есть краткое изложение теории алгебр Ли групп пе-
петель, о которых мы сообщаем лишь то, что понадобится для на-
наших целей. Мы даем определение алгебр Каца — Муди и объ-
объясняем, как группы петель доставляют их примеры; но мы не ка-
касаемся вопроса об их классификации.
В гл. 6 группы петель рассматриваются как группы опера-
операторов в гильбертовом пространстве. Мы вводим ограниченную
полную линейную группу GLTe.s(H) гильбертова пространства Н
с поляризацией, т. е. с разложением Н = Н+@ #_. Эта группа,
состоящая из тех обратимых операторов на Н, внедиагональные
блоки Я±->Ят которых являются операторами Гильберта —
Шмидта, играет центральную роль в оставшейся части книги.
Если Н+ и Н- — подпространства решений релятивистского вол-
волнового уравнения с положительной и отрицательной энергией,
то элементы группы GLT&S(H) — это в точности преобразования
пространства Н, «выполнимые» в соответствующем пространстве
Фока (см. [136]).
Группа GLres(H) обладает основным центральным расшире-
расширением с помощью Сх, из которого выводятся все центральные
расширения групп петель. Грубо говоря, это расширение изме-
измеряет, насколько отличается от гомоморфизма отображение, со-
сопоставляющее каждому оператору в Н его компоненту, дей-
14
Гл. 1. Введение
ствующую из Н+ в Н+. В этом месте, мы надеемся, становится
ясно, что направление, по которому нужно следовать при изуче-
изучении группы Мар(Х; G), когда dim(Z)>l, задается теорией
Конна [32]. Мы немного говорим об этом в разд. 6.10.
В гл. 7 вводится грассманиан Qtv(H) в поляризованном гиль-
гильбертовом пространстве — это другое фундаментальное понятие
при нашем подходе. Его наиболее важное свойство состоит в
том, что на нем можно определить детерминантное линейное
расслоение. Это голоморфное расслоение, однородное относи-
относительно центрального расширения группы GLre3 (H); на самом
деле это задает определение центрального расширения. Введен-
Введенный грассманиан обладает разложением на многообразия Шу-
Шуберта совершенно аналогично конечномерному грассманиану: точ-
точнее, у него есть стратификация многообразиями конечной кораз-
коразмерности и двойственное разложение на конечномерные клетки.
Глава 8 посвящена геометрии основного однородного про-
пространства X группы LG и получаемым из нее теоремам о струк-
структуре группы LG. Как уже было сказано, нашим основным ору-
орудием является вложение пространства X в грассманиан Gr(#),
из наличия которого мы заключаем, что X есть комплексное
кэлерово многообразие. Мы выведем разложение простран-
пространства X и тем самым, в частности теоремы о разложении Бирк-
гофа, из разложения Шуберта пространства Gr(#) (нам ка-
кажется, что эта геометрическая точка зрения более прозрачна,
чем обычная трактовка теоремы Бйркгофа с помощью инте-
интегральных уравнений [63]). Наша процедура реализуется сна-
сначала на примере группы петель группы Un, откуда выводится
общий случай. Получив разложение такими методами, мы мо-
можем затем (в разд. 8.9) рассмотреть ситуацию заново в свете
градиентного потока функции энергии. Мы показываем, что это
разложение есть в точности соответствующее разложение Морса
пространства X. В частности, мы получаем очень полное и при-
привлекательное описание потока функции энергии (предложе-
(предложение (8.9.8)).
В разд. 8.10 мы рассмотрим некоторые свойства, которыми
X обладает просто как комплексное многообразие. Хотя это бес-
бесконечномерное однородное пространство, у него есть много «ко-
«конечномерных» свойств. Не только каждая голоморфная функция
на нем постоянна на каждой связной компоненте, но и все связ-
связные компоненты пространства отображений (с отмеченной точ-
точкой) произвольного компактного комплексного многообразия
в X конечномерны. Наше изложение здесь следует [5].
Мы увидим, что наряду с однородным пространством X =
= QG группы LG имеется похожее пространство Хм, сопостав-
Гл. 1. Введение
15
ляемое каждой замкнутой римановой поверхности М. Оно имеет
гомотопический тип пространства главных G-расслоений на М.
Взаимосвязь между QG и грассманианом была впервые за-
замечена в теории рассеяния в смысле работы [99]; это будет
объяснено в разд. 8.12. Она также лежит в основе теоремы пе-
периодичности Ботта (см. разд. 8.8).
Остаток книги после гл. 8 посвящен теории представлений,
и мы отсылаем к гл. 9 за обзором его содержания. Наш подход
состоит в том, чтобы, с одной стороны, имитировать конечномер-
конечномерную теорию Бореля — Вейля, а с другой — воспользоваться ес-
естественными представлениями, известными из квантовой теории
поля. Формула характеров отложена до последней главы, где
мы показываем также, как описанное в гл. 8 разложение про-
пространства X непосредственно приводит к резольвенте Бернштей-
на — Гельфанда — Гельфанда представления группы LG моду-
модулями Верма. Это основа всего более тонкого алгебраического и
когомологического анализа представлений, от которого мы воз-
воздержимся.
Написание этой книги потребовало много времени. Она на-
началась с лекций, прочитанных вторым автором в Беркли в на-
начале 1982 г. Первоначальный вариант книги был написан пер-
первым автором, основываясь на этих лекциях, после чего он был
сильно расширен вторым автором, что и составило настоящую
работу. Очевидно, что нам было чрезвычайно полезно влияние
многих людей, и мы стараемся выразить нашу признательность
им в различных местах текста. Но нам хотелось бы выразить
здесь особенную благодарность сэру Майклу Атье, который
предложил весь проект и постоянно помогал нам своим ободре-
ободрением и советами, а также Дэниелу Квиллену, который сформи-
сформировал наш подход к предмету в 1978 г., познакомив нас с грасс-
мановой моделью пространства QG и разъяснив ее важность,
и с тех пор оказывал на нас постоянное влияние.
Мы надеемся, что по крайней мере некоторые части этой
книги будут интересны читателям, не занимающимся непосред-
непосредственно группами петель. Некоторые разделы, такие, как изло-
изложение спинорного представления, были написаны специально
с такой целью. Мы старались сделать разделы книги в разумных
пределах независимыми, даже ценой некоторых повторений, с
тем, чтобы поощрить читателей сразу же обращаться к заинтере-
заинтересовавшим их местам. Мы также намеренно написали разные раз-
разделы на разных уровнях математической сложности. Мы при-
приложили большие старания для того, чтобы изучение централь-
центральных частей теории требовало очень немногого.
ЧАСТЬ I
Глава 2
Конечномерные группы Ли
Цель этой главы — собрать вместе и изложить основные фак-
факты о конечномерных группах Ли, которые будут использованы
далее, и ввести обозначения и терминологию. Мы не приводим
доказательств, отсылая читателя к любому из ряда стандартных
руководств, из которых ближе всего по духу к нашему подходу,
вероятно, [1]. (Ср. также [20], [72], [76].) Мы обращаем осо-
особое внимание на комплексные однородные пространства и тео-
теорему Бореля — Вейля (см. ниже разд. 2.8 и 2.9), так как они
лежат в основе нашего подхода к группам петель.
2.1. Алгебра Ли
Группа Ли G — это топологическая группа, локально устро-
устроенная так же, как евклидово пространство R". Тогда она автома-
автоматически является дифференцируемым многообразием; иными
словами, она может быть покрыта семейством координатных
карт, все функции перехода между которыми дифференцируемы
(в действительности даже класса С°°).
Касательное пространство g к группе G в единичном эле-
элементе 1 называется алгеброй Ли группы G. Для каждого век-
вектора ? в g имеется единственная однопараметрическая подгруппа
fe},eR в G, касательный вектор к которой в единице
dt
равен g. Групповой элемент gt обозначается exp(^g); отображе-
отображение |ь-s-exp(|) из g в G называется экспоненциальным отобра-
отображением. Оно устанавливает взаимно однозначное соответствие
между окрестностью точки 0 в g и окрестностью точки 1 в G
и является одной из предпочтительных координатных карт.
Центральное место в книге будет занимать унитарная груп-
группа Uп., состоящая из всех комплексных п X n-матриц и, таких,
что и*и = 1. (Здесь и* обозначает матрицу, транспонированную
к комплексно сопряженной к и.) Алгебра Ли группы ?/„ —
это векторное пространство ц„ косоэрмитовых матриц (т. е. та-
2.1. Алгебра Ли
17
ких, что I* =—Е). а экспоненциальное отображение задается
¦обычным экспоненцированием матриц.
Для каждой группы Ли G с алгеброй Ли g имеется операция
дХ9^9> обозначаемая (|,"п)"—>[|,"Л] и называемая скобкой.
Она определяется формулой
[Е, т]]= Нт —
S,
(— sE)exp(
Мы видим, что она в определенном смысле измеряет отклонение
группы от коммутативной. Скобка билинейна и обладает свой-
свойствами
В, Т|] = - [Т|, 1}
[Е, to, Ш + [ть К. Ш + К, R, чП = о
(последнее свойство называется тождеством Якоби). В случае
группы ?/„, а в действительности и в случае любой другой мат-
матричной группы, легко видеть, что скобка выражается через мат-
матричное умножение формулой
[I, Ц\ = 1ц — ¦Ф-
Другим способом алгебру Ли g можно описать как простран-
пространство левоинвариантных векторных полей на группе G. В самом
деле, касательный вектор к G в единице с помощью левых сдви-
сдвигов определяет касательный вектор в каждой точке группы G,
а значит, гладкое векторное поле. Обратно, левоинвариантное
векторное поле вполне определяется его значением в leG.
С этой точки зрения операция скобки gXfl-*-fl есть обычная
¦скобка векторных полей: если | и ц записаны в некоторой ло-
локальной координатной карте как
д
лг и ч
то в той же карте [g, tj] задается формулой
д
i.i
Иными словами, если g и ц рассматривать как дифференциаль-
дифференциальные операторы, действующие на гладкие функции на G, то
Если группа G связна, то ее алгебра Ли д вместе с операцией
скобки полностью определяет G, с точностью до возможности
ее замены локально изоморфной группой. Например, группа Un.
2 Зак. 230
18
Гл. 2. Конечномерные группы Ли
имеет ту же алгебру Ли, что и ее односвязная накрывающая
группа On, являющаяся подгруппой в произведении ?/„Х R, со-
состоящей из таких пар (u,t), что det(«)=e" (иными словами,,
элемент группы Он— это элемент группы ?/„ вместе с выбором
значения логарифма его определителя). Для каждой конечно-
конечномерной алгебры Ли g всегда имеется односвязная группа G, ал-
алгеброй Ли которой является д; кроме того, каждый гомоморфизм
алгебр Ли g-^g', где д' — алгебра Ли группы G', происходит из-,
гомоморфизма групп G-+-G'.
2.2. Комплексные группы
Если группа Ли G является комплексным многообразием,,
а закон умножения GX G—>- G — голоморфное отображение, то
G называется комплексной группой Ли. Наиболее очевидным
примером является группа GLn{C) всех обратимых комплекс-
комплексных л X л-матриц. Алгебра Ли комплексной группы Ли есть ком-
комплексное векторное пространство, а скобка gXg->-9 является
комплексно-билинейной. Обратно, каждая такая комплексная
алгебра Ли всегда возникает из комплексной группы Ли.
Каждая алгебра Ли й обладает комплексификацией дс =
= д0кС.Если д — алгебра Ли группы G, то комплексная груп-
группа Gc, соответствующая дс и содержащая G как подгруппу, на-
называется комплексификацией группы G. Такая комплексифика-
ция не обязана существовать.
Пример. Группа SL2('IR) вещественных 2Х2-матриц с опре-
определителем единица имеет в качестве комплексификации группу
SL2(C). Но группа SL2(C) односвязна, в то время как у 5L2(|R)
фундаментальная группа есть Z (каждая петля в SL2(R) обла-
обладает числом вращения, которое определяется как число враще-
вращения ее первого столбца, являющегося ненулевым вектором в R2)..
Поэтому у SL2(R) есть односвязная накрывающая группа G,.
такая, что ядро проекции G—>-SZ,2(R) равно Z. Если бы у G
была комплексификация, она обязательно была бы накрываю-
накрывающей группой группы SL2(C), что невозможно, поскольку 5L2(Ci)
односвязна. Мы можем выразить тот же факт по-другому, ска-
сказав, что ядро любого гомоморфизма из G в комплексную группу
должно содержать подгруппу Z (в частности, у G нет точных
конечномерных представлений G—>-GLn(C)).
Однако если G — компактная группа, то у нее обязательно
есть комплексификация Gc- В самом деле, G может быть вло-
вложена в унитарную группу Un, поэтому Gc можно реализовать,
как подгруппу в комплексификации GLn(C) группы Un- Эта.
2.3. Компактные группы Ли
19
группа Gc единственна с точностью до изоморфизма, и мы бу-
будем именно ее называть комплексификацией группы G. Таким
образом, под комплексификацией группы Т мы всегда будем
лонимать группу Сх; другие возможные комплексификации, та-
.кие, как C/Z2 = TXT, не могут возникать как комплексные
подгруппы полной линейной группы.
2.3. Компактные группы Ли
Самым важным фактом о компактных группах Ли является
теорема Петера — Вейля, которая по существу утверждает, что
каждая компактная группа Ли изоморфна подгруппе некоторой
унитарной группы ?/„. Это очень легко выводится из наиболее
фундаментального свойства компактных групп — существования
меры Хаара, т. е. вероятностной меры на группе, инвариантной
относительно левых и правых сдвигов.
Более очевидным приложением существования меры Хаара
является следующий факт: если компактная группа G линейно
действует в конечномерном векторном пространстве V, то всегда
существует положительно определенное скалярное произведение
¦на V, инвариантное относительно G (произвольное скалярное
произведение на V можно сделать инвариантным, усреднив его
по отношению к действию группы G). Из существования инва-
инвариантного скалярного произведения в свою очередь вытекает,
что V есть ортогональная прямая сумма подпространств, на каж-
каждом из которых G действует неприводимо.
Применим предыдущее замечание к случаю, когда V есть ал-
алгебра Ли g группы Ли G. Группа G действует на g с помощью
присоединенного представления: присоединенное действие эле-
элемента g^G определяется как производная отображения х>—>
в единичном элементе х=1. Мы получаем, что
9 = 01 © • • • © в».
B.3.1)
где действие G на каждом д,- неприводимо. Очевидно, что все
д,- являются подалгебрами Ли, и [д,-, д,] = 0, если i Ф \. Если
Gt — подгруппа в G, соответствующая алгебре Ли д,-, то G ло-
локально изоморфна произведению G\ X • • • X Gj..
Группы Gi, в произведение которых мы разложили G, оче-
очевидно, не имеют нетривиальных связных нормальных подгрупп.
Такие группы, за исключением группы окружности Т, обычно
называют простыми группами, хотя эта терминология не идеаль-
идеальна, поскольку у этих групп могут быть конечные нормальные
подгруппы (обязательно содержащиеся в центре). Таким обра-
.зом, каждая компактная группа Ли локально изоморфна произ-
20
Гл. 2. Конечномерные группы Ли
ведению окружностей и простых групп. Если в этом разложении,
отсутствуют окружности, то группа называется полупростой.
Все простые компактные группы классифицированы. Это спе-
специальные унитарные группы SUn, специальные ортогональные
группы SOn, симплектические группы Spn и пять исключитель-
исключительных групп, а также, разумеется, группы, локально изоморфные
им. Традиционное обозначение для алгебр Ли: 0Пп = An-i,-
0O2n+i = Вп, ?рп = Сп и зогл = Dn. Исключительные группы обо-
обозначаются G2, Fit E6, Е7 и Е&. Во всех случаях индекс указывает
ранг (см. разд. 2.4).
В гл. 4 нам понадобится следующий простой результат, до-
доказательство которого удобно дать здесь.
Предложение B.3.2). Если g— алгебра Ли компактной полу-
полупростой группы Ли G, то любое "С-билинейное G-инвариантное
отображение
S:gcXgc-+C
обязательно симметрично.
Доказательство. Каждое такое отображение В можно эквива-
эквивалентным образом представлять себе как С-линейное отображе-
отображение В из дс в двойственное пространство §*с, коммутирующее
с действием группы G.
Сначала предположим, что группа G проста. Тогда простран-
пространство дс неприводимо как комплексное представление группы Gr
поэтому по лемме Шура ([1, 3.22]) любые два выбора В отли-
отличаются только умножением на комплексное число. С другой сто-
стороны, поскольку g обладает инвариантным скалярным произве-
произведением, имеется выбор В, соответствующий симметричному ото-
отображению В. Отсюда следует, что любой выбор В симметричен..
В общем случае мы можем разложить g как в B.3.1). Оче-
Очевидно, что все множители gt- неизоморфны как представления,
группы G, и это же верно для их комплексификаций. Поэтому
по лемме Шура отображение
должно иметь вид ф В{, где Bt: g{ c-> q*{ c- В силу предшествую-
предшествующих рассуждений каждое 5; должно быть симметрично, а зна-
значит, и В симметрично.
2.4. Система корней
Изучение структуры компактной связной группы Ли G начи-
начинается с выбора максимального тора Т. Каждая максимальная-
связная абелева подгруппа в G обязательно является тором, т. е_
2.4. Система корней
21'
произведением Т' окружностей, и любые две такие подгруппы
сопряжены в G (см. [1, 2.32, 4.22]). Размерность / максималь-
максимального тора называется рангом группы G. В случае унитарной'
группы Un диагональные матрицы образуют максимальный^
тор Т". В этом случае тот факт, что любые два максимальных
тора сопряжены, элементарен, поскольку любое множество ком-
коммутирующих унитарных матриц одновременно диагонализуется.
Общий случай, однако, менее прост.
Группа G линейно действует на своей алгебре Ли g с по-
помощью присоединенного представления; это действие, разумеет-
разумеется, индуцирует комплексно-линейное действие группы G на дс._
Решающий шаг в анализе структуры группы G состоит в разло-
разложении векторного пространства дс относительно действия мак-
максимального тора Т. Каждое комплексное представление ком-
компактной абелевой группы, такой, как Т, распадается в прямую-
сумму одномерных представлений, на каждом из которых Т дей-
действует с помощью гомоморфизма
а: Г-^Тс=Сх.
Разумеется, Т тривиально действует на своей собственной комп-
лексифицированной алгебре Ли tc, но других векторов в дс>.
неподвижных относительно Т, нет, поскольку Г является макси-
максимальной абелевой подгруппой. Можно записать
9с = *сеФз"а, B.4.1>
а
где да есть векторное подпространство в дс, на котором Т дей-
действует с помощью гомоморфизма а: Г-*-Т. Гомоморфизмы а,,
встречающиеся в этом разложении, называются корнями груп-
группы G. Они образуют конечное подмножество в группе характе-
характеров Т группы Т. Гомоморфизм а: Т-^1 определяется своей про-
производной в единице а, лежащей в векторном пространстве t*~
линейных форм t—>-R, а именно
а (ехр I) = ei& <».
Обычно Т представляют себе как решетку в t* и записывают ее
аддитивно. Иными словами, мы обычно не будем различать
в обозначениях а и &. Заметим, что если а — корень, то и —а —
также корень, поскольку д_а = да- Решетка Т называется решет-
решеткой весов группы G.
В случае унитарной группы ?/„ алгебра Ли дс состоит из-
всех комплексных п X л-матриц, а корни а,7 нумеруются упоря-
упорядоченными парами (i, /), такими, что 1Ф\ и 1 ^ i, } ^ п.
22
Гл. 2. Конечномерные группы Ли
Пространство %aij состоит из матриц, все элементы которых, кроме
(i, /)-го, равны 0, причем а«/ отображает диагональную матрицу
с элементами (ы,, . .., ип) в и^г1 еТ и отождествляется с ли-
линейным отображением (|ь ..., InI—*?»¦— S/ на Rn.
Центр группы G содержится в каждом максимальном торе
и является, очевидно, пересечением ядер всех корней а: Г—*-Т-
Отсюда следует, что если группа G полупроста, а значит, имеет
конечный центр, то корни порождают векторное пространство t*.
Оказывается (см. [1, 5.5]), что подпространства да в B.4.1)
всегда одномерны. Этот факт позволяет дать простое описание
алгебры Ли дс в терминах образующих и соотношений.
Выберем для каждого корня а ненулевой вектор еа в да. Мы
будем предполагать, что е_а = ёа- Легко видеть, что скобка
ha = — i [ea, е-а]
лежит в t и отлична от нуля.
Отсюда вытекает, что три вектора {еа, е_а, ha} порождают
подалгебру Ли в дс, изоморфную комплексификации алгебры
Ли группы SU2- Если нормировать еа так, что соотношения при-
принимают вид
[ha, ea] = 2iea, [ha, e-a] — — 2ie_a, [ea, е-а] = iha,
такой же, как для матриц
/О 1\ / 0 0\ (i 0\
— (о о)' '-(-1 о)' *-(о -«)¦
то ha канонически определяется корнем а, причем 2я/га лежит
в ядре экспоненциального отображения exp: t-*-T.
Элемент ha называется кокорнем, соответствующим корню а.
.Для каждого корня р": t-*-R число Р(/г«) является целым, по-
поскольку ехрBя/га) — 1, причем а(/га) = 2. Кокорень ha опреде-
определяет гомоморфизм т]а: Т -*- Т, действующий по формуле
; B.4.2)
он каноническим образом продолжается до гомоморфизма ia:
SU2^>-G. Мы будем обычно представлять себе решетку Т всех
гомоморфизмов Т-^-Т содержащейся в векторном простран-
пространстве t, подобно тому, как решетка Т ^Нот(Г;Т) считается
лежащей в t*; иными словами, мы обычно не будем различать
между собой кокорень ha и гомоморфизм г\а. Решетка Т кано-
канонически двойственна к Т над целыми числами, причем эта двой-
2.5. Группы с простыми связями
23-
ственность осуществляется композицией
ТХ? ^Hom(T; T) = Z.
Важным является тот факт, что для односвязной группы G ко-
корни ha порождают решетку Т ([1, 5.47]).
Ясно, что алгебра Ли дс порождена как векторное простран-
пространство корневыми векторами еа и элементами подалгебры t, а со-
соотношения обязаны иметь вид
если а + Р — корень,
(еа> е&] — \ iha если а + Р = 0,
О в остальных случаях;
[h, еа] = m (Л) еа, heEt.
B.4.3>
До сих пор элементы еа были фиксированы лишь с точностью
до умножения на комплексные числа, по модулю равные еди-
единице. Оказывается, их можно выбрать так, чтобы все числа па$.
были целыми; в действительности все па$ отличны от нуля_
См. [20, гл. VIII, §.2п°4].
2.5. Группы с простыми связями
Имеется класс групп, для которых соотношения B.4.3) при-
принимают особенна простой вид: они называются группами с про-
простыми связями. Группа G называется группой с простыми свя-
связями, если на g есть G-инвариантное скалярное произведение
< , >, относительно которого все кокорни ha имеют одинаковую
длину. В этом случае мы нормируем скалярное произведение
так, чтобы <.ha, hay=2. Соответствующее отождествление t^t*
переводит ha в а. Унитарная группа Un и ортогональная груп-
группа SO2n имеют простые связи; выбранное скалярное произведе-
произведение имеет вид
(Л, В)=-Ъ(АВ)
для Un и
(A, B)=-±tr(AB)
для 50гл, где алгебры Ли отождествляются с алгебрами косо-
эрмитовых (соотв. кососимметрических) матриц. Исключитель-
Исключительные группы типа Е также имеют простые связи. Вообще ком-
компактная группа имеет простые связи, если ее алгебра Ли не со-
содержит простых множителей типов В, С, F или G.
Для группы с простыми связями скалярное произведение на t
индуцирует скалярное произведение на t*, целочисленное
24
Гл. 2. Конечномерные группы Ли
на решетке Т:
Более того, число <Х, X} четно для всех J,e?. Выберем билиней-
билинейную форму
В: f X?-*Z/B),
такую, что
В (X, Я) га -!¦ {X, X) (mod 2)
(такая форма В не может быть симметричной). Тогда
(i) корни группы G— это в точности те векторы а из Т, для
:которых <а, а>— 2;
(И) первое соотношение среди соотношений B.4.3) может
быть выбрано в виде
[еа, ep] = (-l)fl(a'PW B-5.1)
Легко видеть, что различные выборы формы В сводятся просто
к замене знаков некоторых из векторов еа-
2.6. Группа Вейля и камеры Вейля: положительные корни
Группой Вейля W компактной группы Ли G с максимальным
тором Т называется группа автоморфизмов тора Т, получаемых
с помощью сопряжения элементами группы G. Таким образом,
W ^ N(T)/T, где N(T)—нормализатор подгруппы Т в G. Для
унитарной группы ?/„ группа Вейля—-это симметрическая груп-
группа Sn, действующая на диагональные матрицы перестановками
элементов.
Группа Вейля является конечной группой изометрий про-
пространства t; она сохраняет решетку Т и множество корней в Т.
Для каждого корня а в ней содержится элемент sa порядка два,
представляемый элементом ехрA/2)я(еа + е-а) в N{T). Дей-
Действие элемента sa на t дается формулой
sa(g)=g-o(g)V, B.6.1)
это отражение относительно гиперплоскости На в t, имеющей
уравнение a(g) = 0. Отражения sa порождают группу W.
Элементы пространства t, не лежащие ни на одной из корне-
корневых гиперплоскостей Яа, называются регулярными. Они распа-
распадаются на несколько связных компонент, называемых камерами
Вейля; камеры просто транзитивно переставляются группой W.
Обычно выбирают одну из камер С и называют ее положитель-
положительной камерой Вейля. Тогда корни разбиваются на положитель-
2.7. Неприводимые представления и антидоминантные веса
25.
ные и отрицательные в соответствии с тем, принимают они поло-
положительные или отрицательные значения на С; положительный:
корень а называется простым, если гиперплоскость На является
стенкой камеры С. Для полупростой группы ранга I имеется:
/ простых корней аь ..., а;, причем 3/ элементов еа., е-ч, пас
порождают алгебру Ли дс.
В случае группы Un в качестве положительных корней можно*
взять а,-/ с i <z j, а в качестве простых корней — все a*, (+i
с 1 s^ i < п.
2.7. Неприводимые представления и антидоминантные веса
Каждое неприводимое представление компактной группы ко-
конечномерно. Если G действует на конечномерном комплексном:
векторном пространстве У, то в У имеется базис {ti}, в котором:
действие максимального тора Т диагонально. Тогда тор дей-
действует на ег- с помощью характера Я«: Г—*-Т. называемого ве-
весом вектора в/. Множество весов есть конечное подмножество»
в Т, инвариантное относительно W.
Если представление V неприводимо, то оно обладает един-
единственным базисным вектором ei, вес Xi которого доминируете»
остальными весами Xi (говорят, что X доминирует ц, если X — ц
принимает положительные значения на положительной камере)..
Сопоставляя представлению V вес Х\, мы получим взаимно од-
однозначное соответствие между классами эквивалентности не-
неприводимых представлений группы G и множеством Т- антидо-
антидоминантных весов (вес 1е? называется антидоминантным, если
X доминируется всеми wk для до е W, или, эквивалентным обра-
образом (из B.6.1)), если X(ha)^.O для всех положительных кор-
корней а). Мы можем отождествить f_ с множеством T/W орбит
группы W на Т.
Лишь после значительных колебаний мы решились (имея*
в виду группы петель) описывать представления в терминах
младших весов, а не старших, как это обычно принято. Это вы-
вынудило нас использовать непривлекательный компромиссный'
термин «антидоминантный». Разумеется, вес X антидоминантен-
тогда и только тогда, когда —-X доминантен в обычным смысле.
Один из способов построения неприводимого представле-
представления V*. по весу 1е?_ описан в разд. 2.9.
2.8. Комплексные однородные пространства
Наше изучение групп петель будет во многом основано на
рассмотрении их комплексных однородных пространств. Мыв
вкратце изложим сейчас основные факты о комплексных одно-
26
Гл. 2. Конечномерные группы Ли
родных пространствах компактных групп, начиная с унитарной
группы Un-
Комплексные алгебраические однородные пространства для
Un — это грассманианы и флаговые многообразия. Для каж-
каждого упорядоченного разбиения к числа л (т. е. к =
= (ki, k2, ..., kr) с kt > 0 и 2^< = л) определим флаговое мно-
многообразие Flk как пространство наборов Е=(?ь ..., Ег) из
г подпространств в .С", таких, что fiCfiC ... с?, и
dim(?i) = k\ + • ¦ ¦ + fa- Если k ={k, л — k), то Flk — это грасс-
маниан Grfe(C") всех ^-мерных подпространств в С. Если к =
= A,1, ... , 1), то вместо Flk мы будем писать F1(C").
Пространство Flk однородно относительно действия груп-
группы Uп, причем стационарной подгруппой естественной отмечен-
отмеченной точки (флага Е, такого, что ?,• — подпространство
C-1+""+ft', натянутое на первые k\ + ... + kt векторов стан-
стандартного базиса в С") является группа f/k = Ukt X • • • X Ukr <^
<и ип. Таким образом, Flk можно отождествить с UJUk-
С другой стороны, Flk есть также комплексное алгебраическое
многообразие и однородное пространство комплексной группы
GLn(C). Итак,
Flk = UJUb = GLn (С)/Рк,
где Pk — группа верхних блочно-треугольных матриц типа к.
В частности, Fl(.G")s Un/T s; GLn(C)/B+, где Т — стандартный
тор в ?/„, а В+— группа верхних треугольных матриц.
Пространствами Flk с точностью до изоморфизма исчерпы-
исчерпываются однородные пространства группы Un, являющиеся комп-
комплексными алгебраическими многообразиями, а также компакт-
компактные однородные пространства группы GLn(C). ПодгруппыРк —
это все подгруппы в GLn(C), содержащие В+. Одно из важных
свойств многообразия Flk состоит в том, что оно обладает кано-
каноническим разложением на комплексные клетки, т. е. подпро-
подпространства, изоморфные некоторому С. Эти клетки — просто
орбиты группы В+ на Flt. Их замыкания обычно называют
многообразиями Шуберта ([116, § 6], [68, с. 214]). Например,
/ л \
Grfc(Cn) есть объединение I , 1 клеток Ст, нумеруемых после-
последовательностями m=(mi, ..., тк), такими, что 1 ^ т\ <
< т.2 < ... < rtik ^ л. В действительности
Ст = {W с С": dim(W[)Ck) = i, когда m?</<m,+,}, B.8.1)
причем Cm имеет размерность ? (тг — /).
2.8. Комплексные однородные пространства
Только что описанная ситуация имеет точный аналог для
всех компактных групп Ли G. Подгруппа в комплексификации
Gc, играющая роль группы верхних треугольных матриц, — это>
стандартная борелевская подгруппа В+, алгебра Ли которой
порождена tc и корневыми векторами еа, соответствующими
положительным корням а. При этом B+(]G = T и G/T ^
Предложение B.8.2). Имеется взаимно однозначное соответ-
соответствие между
(i) комплексными алгебраическими однородными простран-
пространствами группы G,
(п) компактными кэлеровыми однородными пространствами:
группы Gc,
(iii) подгруппами в Gc, содержащими В+, и
(iv) подмножествами множества простых корней группы G.
Доказательство см. в [152] и [133], а также в [20, гл. IV,
§ 2, п° 5]. Каждому подмножеству А множества простых кор-
корней соответствует однородное пространство GC/PA, где Ра —
подгруппа в Gc, алгебра Ли которой порождена алгеброй Ли.
группы В+ и элементами е_а для ае!
Подгруппы в Gc, сопряженные какой-либо из подгрупп Ра,.
называются параболическими. Имеем GC/PA = G/(PA f] G), при-
причем каждое такое пространство обладает каноническим разло-
разложением на комплексные клетки, являющиеся орбитами груп-
группы В+; оно называется разложением Брюа ([20, гл. VI, § 2],
[72, ch. 9, § 1]).
В случае пространства Gc/B+ = G/T группу Вейля W —
= N {Т) /Т можно считать подмножеством в G/T, причем в каж-
каждой клетке имеется ровно один элемент из W; иными словами,
клеточное разложение пространства G/T есть {Cw}w^w, где-
Cw = B+w. Размерность клетки Cw равна длине элемента w,
определяемой как число положительных корней а, таких, что>
w-a отрицателен. Имеется также двойственное клеточное раз-
разложение пространства G/T, задаваемое орбитами противопо-
противоположной борелевской подгруппы В~, комплексно сопряженной-
к В+1). Клетки B+w и B~~w имеют дополнительные размерности
и пересекаются трансверсально в единственной точке до.
*) «Комплексное сопряжение» здесь означает инволюцию группы Gc
с множеством неподвижных точек G; таким образом, для GLn (С) это инво-
инволюция Ль->(At)~1,
Гл. 2. Конечномерные группы Ли
Для G = SO2n пространство G/T можно описать как флаго-
флаговое многообразие аналогично случаю Un/T. Оно состоит из всех
флагов ?ic?2c ... cz Еп с: С2", таких, что dim(?;) = i, и каж-
каждое Ei изотропно по отношению к стандартной билинейной фор-
;ме на ?,2п.
2.9. Теорема Бореля — Вейля
Важность комплексных однородных пространств группы G
¦обусловлена их ролью в построении неприводимых представле-
представлений. Для этого на самом деле нужно лишь наибольшее из них
<j/T?*Gc/B + . Всякий гомоморфизм Я: Т-^Т однозначно про-
продолжается до голоморфного гомоморфизма Я: ??+->-С . По-
Поэтому он определяет однородное голоморфное линейное расслое-
расслоение LX = GCXB+C% Ha Gc/B+ (°сХв+Ся обозначает фактор-
пространство пространства Gc X С по отношению эквивалент-
эквивалентности, отождествляющему (gb,?,) с (g, ЯF)|) для всех &е?+).
Группа Gc действует на линейном расслоении L\, а значит, дей-
действует на его голоморфных сечениях.
Теоремой Бореля—Вейля (см. Ботт [15]) называется
Теорема B.9.1). (i) Линейное расслоение Lx не имеет нену-
ненулевых голоморфных сечений, если % не является антидоминант-
антидоминантным весом.
(а) Если % — антидоминантный вес, то пространство голо-
голоморфных сечений расслоения L% есть неприводимое представле-
представление группы G с младшим весом X.
Возможно, стоит кратко объяснить, почему пространство Гя,
голоморфных сечений расслоения L*, есть неприводимое пред-
предоставление. Заметим сначала, что если 1\ разложено в сумму
неприводимых представлений, то каждая компонента содержит
элемент младшего веса. Далее, каждый элемент младшего веса
инвариантен относительно подгруппы N~, алгебра Ли которой
натянута на векторы еа с а < 0 (поскольку действие такого еа
на наш элемент дало бы элемент еще меньшего веса). Поэтому
достаточно показать, что у Lx не может быть двух линейно неза-
независимых ^--инвариантных сечений. Но группа N~ действует на
базе Gc/B+ с открытой плотной орбитой, а именно орбитой от-
отмеченной точки. Поэтому, если бы si и s2 были двумя Л/^-инва-
риантными сечениями, то их отношение должно было быть по-
постоянным на открытой орбите, а значит, постоянным на всем
acjB\
Следует также упомянуть взаимосвязь между голоморфными
линейными расслоениями на многообразии X и голоморфными
2.9. Теорема Бореля—Вейля
29
-отображениями из X в комплексное проективное простран-
пространство.
В одну сторону, пусть у нас есть голоморфное отображение f:
X-)-P(V), где P(V) обозначает проективное пространство лучей
в векторном пространстве V. Тогда можно определить голоморф-
голоморфное линейное расслоение Lf на X, слоем которого над точкой х
является прямая f(x) в пространстве V. Таким образом, Lf есть
подпространство в IX F, причем имеется отображение я:
Lf-i-V, линейное на каждом слое. Значит, каждая линейная
-форма a: V-»-C. определяет при помощи композиции с я сече-
сечение двойственного линейного расслоения Щ, слой которого над
точкой х сопряжен к слою расслоения Lf в х, и, тем самым,
у нас есть линейное отображение V* -> Г (Ц), где Г (LJ) обозна-
обозначает пространство голоморфных сечений расслоения L\.
В другую сторону, предположим, что L — линейное расслое-
;ние на X и что для каждой точки хе! имеется сечение рас-
расслоения L, не обращающееся в нуль в точке х. Тогда имеется
каноническое отображение fL: Х-*-Р(Т*), где Г — пространство
•сечений расслоения L. По определению /z.(x) есть отображение
Г—*-С:, задаваемое вычислением сечений в точке х — для этого
нужно выбрать отождествление слоя расслоения L в точке х
¦с С., но этот выбор влияет на /z.(x) лишь с точностью до умно-
умножения на элемент группы Сх-
В свете этой переформулировки доказательство второй ча-
части теоремы Бореля — Вейля почти очевидно. Чтобы доказать,
что каждое неприводимое представление группы Gc в простран-
пространстве V возникает как сечения линейного расслоения на Gc/B+,
достаточно показать, что имеется прямая Q в V*, устойчивая
•относительно В+. В самом деле, рассматривая орбиту прямой Q,
мы получим эквивариантное отображение /: GCIB+ -+P(V*),
а значит, линейное расслоение Lf и отображение V ->¦ Г (L*f).
Но каждый вектор старшего веса в V* определяет прямую,
устойчивую относительно В+.
Пример. Как пример теоремы Бореля — Вейля рассмотрим
.неприводимое представление группы Un в k-я внешней степени
Л* (С.п).
По-видимому, наиболее очевидным из всех голоморфных ли-
линейных расслоений является детерминантное расслоение Det на
грассманиане Grs(F) ^-мерных подпространств конечномерного
векторного пространства V. Это расслоение, слой которого над
подпространством W сг V есть старшая внешняя степень Ak(W),
У него нет ненулевых голоморфных сечений, но двойственное
30
Гл. 2. Конечномерные группы Ли
расслоение Det*, слой которого над W есть сопряженная прямая
Ak(W*), обладает сечениями. Следующий известный факт бу-
будет играть решающую роль в гл. 10, поэтому мы приведем здесь
его доказательство.
Предложение B.9.2). Пространство голоморфных сечений
расслоения Det* на Grh(V) естественно изоморфно Ah(V*).
Доказательство. Голоморфное сечение расслоения Det* —
это то же самое, что голоморфное отображение s: Det—>-C', ли-
линейное на каждом слое. Типичная точка расслоения Det мо-
может быть представлена в виде Xvx л ...Avk, где IeC, a
{v\, ..., Vk} — базис в некотором ^ейц(У). Поэтому мы мо-
можем определить отображение
Л*(У*)-*Г(ОеГ) B.9.3)
[Xvi Л . . . Л vk ¦1-^-(а1 Л . . . Л ak, Xvi Л ... Л vk)},
формулой
cti Л ... Л aft i
где (ct! л ... л ak, v{ л ... л vk) есть определитель матрицы ({ah Vj))~
Ясно, что отображение B.9.3) инъективно. Для доказатель-
доказательства сюръективности обозначим через U открытое подпростран-
подпространство в У*, состоящее из наборов по k линейно независимых век-
векторов. Имеется естественное отображение я: С/-*-Det. Если s:
Det—>-C: есть сечение расслоения Det*, то мы должны устано-
установить, что композиция s ° я продолжается до полилинейного ото-
отображения У*->- С. Для доказательства рассмотрим s(m(vi, v2, ...
..., Vk)) как функцию от v\ при фиксированных v2, ¦-., Vk-
Получающаяся голоморфная функция / определена на дополне-
дополнении к подпространству <у2, ..., и*> в У и удовлетворяет усло-
условию f(Xvi) = Kf(ui) для всех 1еСх. Подпространство
<и2, • ¦ •, Vk} имеет коразмерность больше 1 (поскольку мы мо-
можем считать, что k < п) и, значит, по теореме Хартогса (,[68,
с. 17]) / продолжается до голоморфной функции на всем У. Мы
можем теперь разложить f в ряд Тейлора в начале координат
и благодаря условию f(Xvi) = Xf(vi) получим, что f должна
быть линейной функцией на У. Рассматривая таким же образом
остальные переменные, мы покажем, что отображение s °л по-
полилинейно.
Глава 3
Группы гладких отображений
3.1. Бесконечномерные многообразия
Перед обсуждением бесконечномерных групп Ли мы должны
прояснить, что мы понимаем под бесконечномерным гладким
многообразием, хотя бы для того, чтобы подчеркнуть, что в этом
понятии нет ничего таинственного. Мы отсылаем читателя к ра-
работе [115] за превосходным кратким изложением этого пред-
предмета. Мы будем близко следовать тому же подходу. Более по-
подробное изложение дано в [70].
Рассматриваемые нами многообразия будут паракомпактны-
ми топологическими пространствами X, «моделируемыми» неко-
некоторым топологическим векторным пространством Е, в том смы-
смысле, что X покрывается атласом открытых множеств {Ua}, каж-
каждое из которых гомеоморфно открытому подмножеству Еа в Е,
причем соответствующий гомеоморфизм <ра: Ua^* Ea зафикси-
зафиксирован. Векторное пространство Е всегда будет локально вы-
выпуклым и полным. Функции перехода между картами
Фа (?/« Л
/« Л
/« Л tf„)
предполагаются гладкими, т. е. бесконечно дифференцируемыми.
Бесконечная дифференцируемость понимается в следующем
смысле.
По определению отображение /-. U-*-E, где U — открытое
множество в Е, непрерывно дифференцируемо (или является
отображением класса С1), если предел
Df {и; v) = lim Г1 (/ {и + tv)-f (и))
*о
существует для всех и е U и v e E и непрерывен как отобра-
отображение Df: Uy^E-^-E (разумеется, Df линейно по второму пе-
переменному) . Тогда вторая производная, если она существует,
является отображением
Я2/: UXEXE-^E,
30
Гл. 2. Конечномерные группы Ли
расслоение Det*, слой которого над W есть сопряженная прямая
Ak(W*), обладает сечениями. Следующий известный факт бу-
будет играть решающую роль в гл. 10, поэтому мы приведем здесь
его доказательство.
Предложение B.9.2). Пространство голоморфных сечений
расслоения Det* на Grh(V) естественно изоморфно Ah(V*).
Доказательство. Голоморфное сечение расслоения Det* —
это то же самое, что голоморфное отображение s: Det—*-С1, ли-
линейное на каждом слое. Типичная точка расслоения Det мо-
может быть представлена в виде Xvl л ... л оь где 1еС, а
{ии ..., vk) — базис в некотором W ^GTk(V). Поэтому мы мо-
можем определить отображение
A*(V)-»-r(Def) B.9.3)
Xui Л . . . Л vk •¦—>(а, Л...Лаь Xv{ Л ... л vk)},
формулой
СС] Л .. . Aafe I
где (а[ л ... л аА, У[ л . .. л v^) есть определитель матрицы ((a,-, Vj))~
Ясно, что отображение B.9.3) инъективно. Для доказатель-
доказательства сюръективности обозначим через U открытое подпростран-
подпространство в У*, состоящее из наборов по k линейно независимых век-
векторов. Имеется естественное отображение я: С/-*-Det. Если s:
Det—>-C; есть сечение расслоения Det*, то мы должны устано-
установить, что композиция s ° я продолжается до полилинейного ото-
отображения У* —>-С. Для доказательства рассмотрим s(n(vi, vi, ...
..., vk)) как функцию от v\ при фиксированных и2, ..., и*.
Получающаяся голоморфная функция / определена на дополне-
дополнении к подпространству <у2, • • •, ?>*> в У и удовлетворяет усло-
условию f(Xvl) = Xf(v\) для всех 1,еСх. Подпространство
<и2. • ¦ •. Vk} имеет коразмерность больше 1 (поскольку мы мо-
можем считать, что k < п) и, значит, по теореме Хартогса (,[68,
с. 17]) / продолжается до голоморфной функции на всем У. Мы
можем теперь разложить f в ряд Тейлора в начале координат
и благодаря условию f(Xvi) — Xf(vi) получим, что f должна
быть линейной функцией на У. Рассматривая таким же образом
остальные переменные, мы покажем, что отображение s ° я по-
полилинейно.
Глава 3
Группы гладких отображений
3.1. Бесконечномерные многообразия
Перед обсуждением бесконечномерных групп Ли мы должны
прояснить, что мы понимаем под бесконечномерным гладким
многообразием, хотя бы для того, чтобы подчеркнуть, что в этом
понятии нет ничего таинственного. Мы отсылаем читателя к ра-
работе [115] за превосходным кратким изложением этого пред-
предмета. Мы будем близко следовать тому же подходу. Более по-
подробное изложение дано в [70].
Рассматриваемые нами многообразия будут паракомпактны-
ми топологическими пространствами X, «моделируемыми» неко-
некоторым топологическим векторным пространством Е, в том смы-
смысле, что X покрывается атласом открытых множеств {Ua}, каж-
каждое из которых гомеоморфно открытому подмножеству Еа в Е,
причем соответствующий гомеоморфизм <ра: Ua^+ Ea зафикси-
зафиксирован. Векторное пространство Е всегда будет локально вы-
выпуклым и полным. Функции перехода между картами
Фа (?/« Л
/« Л
« Л
предполагаются гладкими, т. е. бесконечно дифференцируемыми.
Бесконечная дифференцируемость понимается в следующем
смысле.
По определению отображение /: U~*-E, где U — открытое
множество в Е, непрерывно дифференцируемо (или является
отображением класса С1), если предел
Df(u; v) = \il
существует для всех и^ U и v e E и непрерывен как отобра-
отображение Df: Uy^E-^-E (разумеется, Df линейно по второму пе-
переменному). Тогда вторая производная, если она существует,
является отображением
D2f: UXEXE-^E,
32
Гл. 3. Группы гладких отображений
3.2. Группы отображений как бесконечномерные группы Лн
33
определяемым формулой
D2f (и; v, w) = Ига Г1 (Df (и + tw; v) — Df {и; v)),
и так далее.
Сделаем ряд замечаний об анализе на бесконечномерных
многообразиях.
Комплексные многообразия
Комплексное многообразие получается, когда Е является
комплексным топологическим векторным пространством, а функ-
функции перехода голоморфны. Голоморфность отображения f:
U-*-E, где U — открытое множество в Е, означает, что / глад-
гладкое, а отображение Df: UXE-+E комплексно-линейно по вто-
второму переменному.
Дифференциальные формы
Если U — открытое множество в Е, то дифференциальная фор-
форма степени р на U есть гладкое отображение
полилинейное и знакопеременное по последним р переменным.
Дифференциальные формы на гладком многообразии можно
теперь определить обычным образом, причем обычное определе-
определение внешней производной и доказательство леммы Пуанкаре
проходят без изменений.
Однако для серьезного использования дифференциальных
форм необходимо знать, что для каждого открытого покрытия
нашего многообразия имеется подчиненное ему гладкое разбие-
разбиение единицы. Это обеспечивается выполнением следующих двух
условий.
(I) Векторное пространство Е обладает достаточным запа-
запасом гладких функций в том смысле, что для каждого открытого
множества V в Е имеется ненулевая гладкая функция ?—>-R,
равная нулю вне U.
(II) Рассматриваемое многообразие линделёфово, т. е. лю-
любое открытое покрытие обладает счетным измельчением.
Оба этих условия выполняются для всех многообразий, ко-
которые мы будем рассматривать.
Теорема Де Рама справедлива для любого многообразия X,
обладающего гладкими разбиениями единицы. Проходит обыч-
обычное доказательство. В частности, если класс когомологий с е
^Нр(Х; IR) представляется коциклом Чеха {сао...аЛ по отно-
отношению к открытому покрытию {Ua} многообразия X, то с пред-
представляется также дифференциальной формой
Z с%... аЛа.аЛХа Л ... Л dXa C.1.1)
ао ар Р
где {ha}—разбиение единицы, подчиненное покрытию {?/а}.
Векторные поля
Определение гладких векторных полей и скобки двух вектор-
векторных полей не вызывает затруднений; при этом векторные поля
обычным образом действуют на функции как дифференциаль-
дифференциальные операторы. Нужно, однако, иметь в виду, что векторные
поля на бесконечномерных многообразиях, вообще говоря, не
имеют траекторий. С интересным примером этого явления мы
встретимся в гл. 8 при обсуждении градиентного потока функ-
функции энергии на пространстве петель.
3.2. Группы отображений как бесконечномерные группы Ли
Бесконечномерная группа Ли — это группа Г, являющаяся
в то же время бесконечномерным гладким многообразием и та-
такая, что закон умножения ГХГ->-Г и взятие обратного эле-
элемента Г->Г задаются гладкими отображениями. Ее алгебра
Ли — это касательное пространство к Г в единице, а скобка
определяется при помощи отождествления касательных векто-
векторов в единице с левоинвариантными векторными полями на Г.
Экспоненциальное отображение определено, если для каждого
элемента | алгебры Ли имеется единственная однопараметри-
ческая подгруппа у^: R -*- Г, такая, что Yg @) = I. Это так во
всех известных примерах.
Для бесконечномерных групп Ли, моделируемых банаховыми
пространствами, имеется развитая теория ([20, гл. III]), во
многом параллельная теории конечномерных групп Ли. Для
групп, моделируемых более общими топологическими вектор-
векторными пространствами, такой теории нет, и большинство стан-
стандартных теорем о группах Ли не выполняется. Нам встретятся
интересные примеры алгебр Ли, не соответствующих никакой
группе Ли, и групп Ли, в которых экспоненциальное отображе-
отображение не является локально биективным. Мы надеемся тем не ме-
менее продемонстрировать полезность понятия общей бесконечно-
бесконечномерной группы Ли.
По-видимому, простейшим и самым напрашивающимся при-
примером бесконечномерной группы Ли является группа
3 Зак. 230
34
Гл. 3. Группы гладких отображений
3.2. Группы отображений как бесконечномерные группы Ли
35
psC-X'; G) всех непрерывных отображений компактного про-
пространства X в конечномерную группу Ли G (групповой закон,
разумеется, есть поточечное умножение в G). Естественной то-
топологией на Mapcts№ G) является топология равномерной схо-
сходимости. Структура гладкого многообразия получается следую-
следующим образом.
Если U — открытая окрестность единичного элемента в груп-
группе G, гомеоморфная (гомеоморфизм осуществляется экспоненци-
экспоненциальным отображением) открытому множеству О в алгебре Ли g
группы G, то / = Mapcts {X; U) есть открытая окрестность еди-
единицы в Mapcts (X; G), гомеоморфная открытому множеству
°U = Mapcts (X; О) в банаховом пространстве Mapcts№ 9)- Если
f — произвольный элемент группы Mapcts (X; G), то 4lf = cU-f
есть окрестность элемента f, также гомеоморфиая ЧС. Множе-
Множества 4if образуют атлас, превращающий М.арси{Х; G) в глад-
гладкое многообразие и в группу Ли: проверка того, что функции
перехода гладкие или что умножение и взятие обратного —
гладкие отображения, не вызывает затруднений.
В этой книге, однако, мы будем заниматься группами глад-
гладких, а не непрерывных отображений.
Предположим теперь, что X — конечномерное компактное
гладкое многообразие, и обозначим через Map (X; G) группу
всех гладких отображений X—*- G. Нас в основном интересует
случай, когда X — это окружность 51; в этом случае Мар(Х; G)
есть группа петель группы G, обозначаемая LG. Мы будем пред-
представлять себе окружность состоящей из вещественных чисел 9,
взятых по модулю 2я, или, взаимозаменяемым образом, из комп-
комплексных чисел 2 = е'е с модулем один.
Определив атлас {Qlf} в Мар(Х; G) так же, как в непрерыв-
непрерывном случае, мы получим, что множество 41 открыто в векторном
пространстве Е = Map (X; g) всех гладких отображений Х-*-$.
Простейший способ ввести топологию на Map {X; G) состоит
в том, чтобы потребовать, чтобы все множества Щ^ были откры-
открытыми и гомеоморфными открытому множеству Щ в Е. Стан-
Стандартная топология на Е — это топология равномерной сходимо-
сходимости функций и их частных производных всех порядков [70].
Она превращает Е в полное сепарабельное метризуемое топо-
топологическое векторное пространство, но не в банахово простран-
пространство. Мы не будем здесь описывать его подробней. В случае
когда X — окружность, сходимость последовательности {/*} в Е
к / означает, что последовательность (dnfk/dQn) равномерно
сходится к dnf/dQn для всех п. Проверка того, что Map (X; G)
является бесконечномерной группой Ли, снова не вызывает за-
затруднений.
Для большинства целей этой книги не было бы разницы,
если бы вместо гладких отображений мы рассматривали ото-
отображения данного конечного порядка г дифференцируемости.
В этом случае Map (X; G) была бы банаховой группой Ли (нам
пришлось бы интерпретировать С-отображения по Соболеву
[144], иначе на нашем многообразии не нашлось бы достаточ-
достаточного количества гладких функций). Эта замена, однако, не
дала бы никаких практических преимуществ, поэтому мы будем
держаться гладких отображений, что кажется более эстетиче-
эстетически привлекательным. Таким образом, Мар(Х; G) всегда будет
обозначать гладкие отображения, a LG — группу гладких петель.
В случае групп диффеоморфизмов, как мы увидим, не остается
другого выбора помимо работы с гладкими отображениями.
Алгебра Ли группы Map(X;G), очевидно, есть Мар(Х;д),
причем экспоненциальное отображение
exp: Map (X; д) ~+ Map (X; G)
определено и является локальным гомеоморфизмом вблизи еди-
единицы. Один из наших лейтмотивов — то что группа петель ком-
компактной группы ведет себя удивительно похоже на саму ком-
компактную группу, но сначала мы укажем незначительное отли-
отличие. В компактной группе G каждый элемент из компоненты
единицы G0 лежит в некоторой однопараметрической подгруппе,
т. е. экспоненциальное отображение д—»- G0 сюръективно. Это
свойство не наследуется группой Map (X; G).
Пример. Рассмотрим группу LG для G = SU2. Тогда G одно-
связна, так что LG связна. Элемент у группы LG, определенный
формулой
U г-
не лежит ни в какой однопараметрической подгруппе. В самом
деле, если бы у равнялся exp(g) для некоторого | е Lg, то ?
должен был бы коммутировать с у, а значит, быть диагональ-
диагональным, но на окружности не существует гладкой функции 9, та-
такой, что е'9 = 2. Отметим, что этот пример в точности аналоги-
аналогичен несюръективности экспоненты для конечномерных неком-
некомпактных групп: элемент
/-2 0ч
I о -А)
группы SL2(R) не лежит ни в какой однопараметрической под-
подгруппе. Легко видеть, однако, что если группа G компактна, то
3*
36
Гл. 3. Группы гладких отображений
образ экспоненциального отображения плотен в компоненте
единицы в LG. Это неверно в группах типа 5L2(R).
Другое очевидное, но важное замечание о группах отображе-
отображений состоит в том, что если G имеет комплексификацию Gc, то
Map(X;G) имеет комплексификацию Мар(Х; Gc). Ясно, что
последняя группа является комплексной группой Ли.
3.3. Группы диффеоморфизмов
Группа диффеоморфизмов окружности будет играть второ-
второстепенную роль в этой книге, но она является очень интересным
примером бесконечномерной группы Ли.
Во-первых, заметим, что для каждого конечномерного ком-
компактного гладкого многообразия X группа Diff (X) всех гладких
диффеоморфизмов X—*-Х есть группа Ли (см. [70], [115]). Ее
алгебра Ли — это векторное пространство Vect(X) всех гладких
векторных полей на X с обычной операцией скобки, а экспонен-
экспоненциальное отображение
exp: Vect(X) -* Diff(Z)
сопоставляет векторному полю единственный порождаемый им
поток. Для конечного k, однако, группа k раз непрерывно диф-
дифференцируемых диффеоморфизмов, очевидно, не является груп-
группой Ли, так как левый сдвиг не есть дифференцируемое отобра-
отображение (еще более очевидно, что скобка двух векторных полей
класса С* принадлежит лишь классу Ck~l.
Хотя экспоненциальное отображение для Diff(X) и опреде-
определено, оно совсем не похоже на локальный гомеоморфизм. Име-
Имеются сколь угодно близкие к единичному диффеоморфизмы, не
лежащие ни в какой однопараметрической подгруппе, в то время
как другие лежат во многих однопараметрических подгруппах.
Следующее обсуждение основано на [120] (см. также [115]).
Предложение C.3.1). Отображение exp: VectEI)->-Diff (Sl)
не является ни локально взаимно однозначным, ни локально
сюръективным.
Доказательство, (i) Рассмотрим поворот R2n/n на угол 2п/п.
Он принадлежит подгруппе Т всех поворотов в Diff(S'). Цен-
Централизатором элемента R2n/n является подгруппа Я всех перио-
периодических диффеоморфизмов с периодом 2п/п. Поэтому R2n/n ле-
лежит во всех однопараметрических подгруппах фТф для ф<=#.
Это показывает, что экспонента не является локально взаимно
однозначной.
3.3. Группы диффеоморфизмов
37
(ii) Существенное место в доказательстве того, что экспонен-
экспонента не является локально сюръективной, занимает тот факт, что
любая однопараметрическая подгруппа в Diff (S1), не имеющая
неподвижных точек, сопряжена с подгруппой Т. Принимая это
на веру и замечая, что диффеоморфизм, сопряженный к пово-
повороту и отличный от тождественного, не имеет неподвижных то-
точек, мы видим, что диффеоморфизм, удовлетворяющий следую-
следующим трем условиям, не может лежать ни в какой однопарамет-
однопараметрической подгруппе:
(a) он не имеет неподвижных точек,
(b) у него есть точка конечного порядка п, и
(c) он сам не является элементом порядка п.
Имеется масса таких диффеоморфизмов ф, причем сколь
угодно близких к тождественному. Например, можно положить
¦Ф (в) = 0 + я для 0 sg; 9 sg: я и продолжить ф на остальную
часть окружности совершенно произвольным образом, отличным
¦от ф = Rn. По-другому, можно положить
ф (9) = 9 + ¦— + 8 sin пв>
где е мало. Тогда ф"@) = 0, но диффеоморфизм ф" отличен от
тождественного, поскольку его производная в нуле равна
A + ле)п.
Для доказательства того, что любая однопараметрическая
подгруппа без неподвижных точек сопряжена подгруппе поворо-
поворотов, достаточно заметить, что любое векторное поле v(Q)d/dQ,
нигде не обращающееся в нуль, переводится сопряжением в по-
постоянное векторное поле. Сопрягающий диффеоморфизм г|з да-
дается формулой
в
тде число k выбрано так, что г|з Bя) — 2я.
Перед тем как оставить группы диффеоморфизмов, отметим
другое их отличие от групп петель. Комплексификация алгебры
Ли Vect(X) не соответствует никакой группе Ли. Интуитивно
это неудивительно, поскольку комплексные векторные поля на
S1 порождают пути в пространстве отображений 51—>С, а они
не образуют группу. Доказательство того, что нет группы Ли,
соответствующей Vectc(S'), можно провести следующим об-
образом.
Предложение C.3.2). Любой гомоморфизм группы Diff+(S1)
¦в комплексную группу Ли тривиален.
38
Гл. 3. Группы гладких отображений
Доказательство. Группа PSL2(R) содержится в t)
поскольку S1 можно рассматривать как вещественную проектив-
проективную прямую. Рассмотрим л-листное накрывающее отображе-
отображение я: Sl — S\ заданное формулой 2i—>zn. Обозначим через Gn.
группу диффеоморфизмов ф, являющихся гс-листными накрываю-
накрывающими элементов -ф e PSL2{R), т. е. таких ф, что я°ф = 1M°я.
Легко видеть, что Gn изоморфна n-листной накрывающей группе-
для PSL^iR); ее центр состоит из поворотов R2nk/n для k==
= 0, 1, ..., п—1. Но мы отмечали в разд. 2.2, что любой го-
гомоморфизм из Gn в комплексную группу Ли должен пропу-
пропускаться через 5La(R) или PSL2(R). Поэтому ядро любого гомо-
гомоморфизма из Diff+(S') в комплексную группу должно содержать
все повороты на углы 2nk/n с нечетным п, а значит, все вообще^
повороты. Так как это ядро является нормальной подгруппой,,
оно совпадает со всей группой Diff+E1) в силу следующего
результата.
Предложение C.3.3). Группа Diff^S1) проста.
Доказательство этого результата, принадлежащее Эрману
[74], на удивление сложно, и мы его здесь не приводим.
3.4. Некоторые теоретико-групповые свойства
группы Map (Я; G)
В этом разделе G будет компактной связной группой Ли,.,
а X—компактным гладким многообразием. Для краткости груп-
группу гладких отображений Мар(Х; G) будем обозначать MG.
Если группа G полупроста, то она совершенна, т. е. совпа-
совпадает со своим коммутантом [G, G]. Мы покажем, что тогда
компонента единицы M0G также совершенна (мы не можем:
ожидать, что сама группа MG будет совершенной; например,,
в случае LG группа связных компонент есть фундаментальная;
группа m(G), являющаяся абелевой).
Предложение C.4.1). Если группа G полупроста, то M0G со-
совершенна, и, более того, [G, MQG] = MqG.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай G = SU2. Если
/ 0 1\ /0 А ft 0\
ei=4_i о> б2Ч; о)- ез = 1о -i)
— обычный базис в алгебре Ли группы G, a Ti, T2, Т3 — порож-
порождаемые элементами базиса подгруппы-окружности, то умноже-
умножение Tj X Т2 X Т3 -»- G сюръективно. Поэтому умножение
X ЛЛГ2 X MT3-+MG
3.4. Некоторые теоретико-групповые свойства
39
сюръективно в окрестности единицы; значит, достаточно дока-
.зать (поскольку подгруппы Т1; Т2, Т3 сопряжены между собой),
•что каждый элемент компоненты единицы в ЛПГ3 лежит в
[G, M0G]. Но это последнее утверждение справедливо, по-
поскольку
/Ф 0 \_Г/ 0 1\ /<р-«/2 0 \1
U ф-»у Lv—1 о> U Ф'/2л
(скобка здесь обозначает теоретико-групповой коммутатор
[х,у] = хухг-1у-1, а не скобку в алгебре Ли; степень ф1/2 опре-
.делена, поскольку ф имеет число вращения нуль).
Требуемый результат для произвольной полупростой груп-
группы G сразу вытекает из частного случая группы SU2. В самом
.деле, как было объяснено в разд. 2.4, можно найти конечное
число гомоморфизмов iu ..., in: SU2^>-G, соответствующих по-
положительным корням группы G, таких, что отображение умно-
умножения
ША: (SU2)n-+G,
а значит, и индуцированное отображение (MSU2)n—>-MG ло-
локально сюръективно.
Обсудим теперь группу автоморфизмов группы MG.
Группа диффеоморфизмов многообразия X действует на MG
;как группа автоморфизмов. Кроме этого, имеются очевидные
поточечные автоморфизмы группы MG, возникающие из глад-
гладких отображений Х-^-А, где А — группа автоморфизмов груп-
группы G. Если группа G проста, то других автоморфизмов по су-
существу нет.
Предложение C.4.2). Если группа G проста, то группа авто-
.морфизмов группы, MaG есть полупрямое произведение Diff (Х)Х
ХМА.
Доказательство. Предположим, что a: MoG^>-MoG есть авто-
автоморфизм. Его композиция с отображением ех: MG-+G вычисле-
вычисления в точке х е X задает гомоморфизм ах: M0G ->- G. Ограниче-
Ограничение гомоморфизма ах на подгруппу G постоянных отображений
в MG должно быть автоморфизмом ах группы б,так как если бы
¦оно было тривиальным, то и ах было бы тривиальным, поскольку
M0G = [G, M0G]. Ясно, что отображение х<-^*ах задает элемент а
группы МА; заменяя а на а~1°а, мы можем считать, что ах
тождествен для всех х. Решающий шаг теперь состоит в том,
чтобы показать, что ах = ех о а = &у для некоторого у е X. Для
этого достаточно рассмотреть производную гомоморфизма ах,
¦являющуюся гомоморфизмом алгебр Ли ах: М% —> д.
40
Гл. 3. Группы гладких отображений
Для открытого множества U в X обозначим через Ми$ идеал:
в Afg, состоящий из элементов с носителем в U. Поскольку ал-
алгебра g проста, а гомоморфизм ах сюръективен, ограничение-
«ж1Л1у8 должно быть либо тривиально, либо сюръективно. От-
Отсюда следует, что если ах рассматривать как распределение-
на X, то его носитель состоит ровно из одной точки у; в самом
деле, если бы у и у' были двумя различными точками в носи-
носителе, а (/ и U' — непересекающимися окрестностями точек у и:
у', то каждый из коммутирующих между собой идеалов Mug я
Mw§ отображался бы сюръективно на неабелеву алгебру д,
что невозможно. Таким образом, ядро гомоморфизма ах содер-
содержит идеал Jy, k всех элементов из Afg, обращающихся в точке у
в нуль вплоть до порядка k. Но
[ • • • lUff, 1> Jy, l]. Iy, lL • • • > Jy> l\ — Jg> k
(где Jy, i слева встречается k раз), так что ядро должно содер-
содержать Jy, \. Так как M$/J,y, i ^g, это доказывает, что ах есть вьь
числение в точке у.
Если отображение ф: Х^>-Х определено посредством ах =
= гх о а = бср(»), то a: M0G ->- M0G задается формулой a (f) (х) =
= f(<р(х)) = (ф*/) (х). Отображение ф должно быть гладким, по-
поскольку ф* переводит гладкие функции в гладкие функции, и оно-
должно быть диффеоморфизмом, поскольку а — автоморфизм.
Замечания, (i) Предшествующий результат, очевидно, не вы-
выполняется, если группа G не проста, но приведенный метод по-
позволяет описать все автоморфизмы группы MG в случае, когда^
G полупроста. Если у G в качестве сомножителя есть тор, то
MG содержит в качестве сомножителя большое векторное про-
пространство, полная линейная группа которого содержится в груп-
группе автоморфизмов.
(ii) Как указал нам П. де ла Гарп, доказательство предло-
предложения C.4.2) фактически доказывает следующий результат.
Предложение C.4.3). Если группа G проста, то максималь-
максимальные нормальные подгруппы в M0G — это в точности ядра ото-
отображений вычисления M0G -»- G в точках многообразия X.
В завершение этого раздела вернемся вкратце к группам пе-
петель. Компонента единицы А0 группы А автоморфизмов груп-
группы G состоит из внутренних автоморфизмов, и ло(Л) = Л/Л0'
есть конечная группа классов внешних автоморфизмов. Груп-
Группа LA действует как группа автоморфизмов группы LG, и ее*
компонента единицы (LAH снова состоит из внутренних авто-
автоморфизмов, поскольку каждая гомотопная нулю петля в Л мо-
может быть поднята в G. Б действительности петля может быть-,
3.5. Подгруппы в LG: полиномиальные петли
41
поднята в точности, когда ее гомотопический класс принадлежит
образу отображения n\{G)-^>~n\ (Л). Коядро этого гомоморфизма
-есть центр Z группы G, поэтому мы получаем
Предложение C.4.4). Полупрямое произведение
-есть подгруппа в группе классов внешних автоморфизмов груп-
группы LG.
Действие центра Z имеет важное значение. Для каждого
geZ можно выбрать гладкое отображение r\: R —>-G, такое,
что т](9 + 2я) = ?-т]@); тогда сопряжение с помощью ц и есть
соответствующий внешний автоморфизм группы LG.
3.5. Подгруппы в LG: полиномиальные петли
Время от времени нам будут требоваться подгруппы из LG.
Наиболее очевидной из них является группа LanG вещественно-
аналитических петель. Если G вложена в унитарную группу Un,
так что петля у в G есть матричнозначная функция и может
«быть разложена в ряд Фурье
C.5.1)
то вещественно-аналитические петли — это те, для которых этот
ряд сходится в некотором кольце г sg: | z | sg: г4 сг<1, т. е. та-
такие, что |1уаг~'йМ1 Для некоторого г <с 1 ограничено по всем к.
Естественная топология на LanG получается, если рассматривать
ее как прямой предел банаховых групп Ли Lan,rG, состоящих
из функций, голоморфных в кольце г ^ \z\ =g: r~l; группа L&n,rG
имеет топологию равномерной сходимости. Нетрудно убедиться
в том, что LanG есть группа Ли с алгеброй Ли Lang (выбор вло-
вложения G cUn не имел значения и в действительности не был
реально использован; он был введен лишь для конкретности).
Чуть меньшей подгруппой является подгруппа LratG рацио-
рациональных петель, т. е. петель, значения которых как матрично-
:значных функций являются рациональными функциями от z,
не имеющими полюсов при |г|= 1 (рациональная функция озна-
означает отношение двух многочленов). Мы не будем углубляться
в вопрос выбора подходящей топологии на LratG; отметим толь-
только, что она является плотной подгруппой в LG.
Наименьшая из подгрупп, которые мы будем рассматри-
рассматривать,— это группа LpoiG петель, матричные значения которых
являются конечными многочленами Лорана от г и z~l, т. е. пе-
петель вида C.5.1), у которых лишь конечное число матриц yk
42
Гл. 3. Группы гладких отображений
отлично от нуля. Эта группа есть объединение подмножеств^
Lvo\,nG, состоящих из петель C.5.1), для которых ук = 0 при:
| k | > N. Каждое из этих подмножеств естественно является
компактным пространством, и мы снабжаем LpoiG топологией
прямого предела. Эта группа соответствует алгебре Ли Lpoiff.
всех конечных рядов
? l*z*. C.5.2>
где \k принадлежит комплексифицированной алгебре Ли дс и7
I-* = I*. Как векторное пространство она есть прямой предел?
своих конечномерных подпространств Lpoi, лгд, и она снабжается
топологией прямого предела. Разумеется, экспоненциального»
отображения Lpoig—*-Lpo\G не существует, так как экспоненциал
конечного ряда C.5.2), как правило, не является конечным:
рядом.
Группа LpoiG обладает комплексификацией LpolGc, состоящей
из тех петель в Gc, которые вместе со своими обратными за-
задаются конечными многочленами Лорана C.5.1) (в случае груп-
группы LpoiG нам не нужно было говорить «вместе со своими обрат-
обратными», так как для y^LG имеем у~1 = у*, так что обратная
к полиномиальной петле автоматически полиномиальна). Если"
G = Un, то ?polGc есть в точности GLn{C\[z, z~l]). В общем
случае, если G представлять себе как алгебраическую группу,,
то ?poIGc есть группа «точек группы G со значениями в-
C,[z, z~1]» в смысле алгебраической геометрии.
Группа LpoiG не всегда плотна в LG. Например, если G =Т\-
то LpoiG состоит лишь из петель uzk с меТ, т. е. компонента"
единицы в LpoiG — это просто постоянные петли (так как обра-
обращение непостоянного многочлена не может быть многочленом).
Поэтому следующий результат вызывает некоторое удивление-
Предложение C.5.3). Если группа G полупроста, то LpoiG
плотна в LG.
Доказательство. Пусть Н — замыкание подгруппы LpoiG »
LG, a V — подмножество в Lg, образованное касательными век-
векторами |, такими, что соответствующая однопараметрическая*
подгруппа ys лежит в Н. Важное наблюдение состоит в том, что-
V — векторное пространство. Чтобы убедиться в том, что оно>
замкнуто относительно сложения, достаточно воспользоваться
формулой t
Ye+t, (f) = Ит (Yj {tin) Y4 (t/n))n;
3.6. Максимальные абелевы подгруппы в LG
43
это верно в LG, поскольку для подходящей окрестности еди-
единицы U в G последовательность отображений /„: Uy^U-^-G,
заданных формулой
¦сходится в С°°-топологии.
Ясно, что V — замкнутое подпространство в Lg. Для доказа-
доказательства предложения C.5.3) достаточно показать, что V = L$
(поскольку экспоненциальное отображение в LG локально
«сюръективно).
Сначала рассмотрим случай G = SU2- Тогда элементы
/О 2Л\ /0 ?z
Ь.=Ч_г- О J И ^U- 0
.лежат в V, так как соответствующие однопараметрические под-
подгруппы лежат в LpolG (поскольку g^ = tj^ = — I). По линейности
¦ж в силу своей замкнутости V содержит все элементы вида
( 0 14 @ i \
4-1 о) + *(/ о>
•где f и g — гладкие вещественнозначные функции на окружно-
-сти. Но V инвариантно относительно сопряжения постоянными
элементами из SU2, поэтому мы должны иметь 1/ —Lg.
Общий случай получается обычным образом, поскольку для
любой полупростой группы G имеется конечное число гомомор-
гомоморфизмов 5f/2-> G, для которых образы алгебры Ли зиг в g порож-
порождают g (это доказывает, что замыкание подгруппы LpoiG со-
содержит компоненту единицы в LG; доказательство завершается
^наблюдением, что LVO\G содержит по крайней мере по одному
элементу из каждой связной компоненты в LG).
3.6. Максимальные абелевы подгруппы в LG
Мы покажем, что каждому классу сопряженности в группе
Вейля группы G естественно соответствует класс сопряженно-
сопряженности максимальных абелевых подгрупп в LG.
Если А — произвольная абелева подгруппа в LG, то для
каждой точки 8 окружности подгруппа А (9) в G, получаемая
вычислением петель из Л в точке 0, абелева, а значит, содер-
содержится в некотором максимальном торе в G. Таким образом,
.наиболее очевидная максимальная абелева подгруппа ъ LG есть
LT, где Т — максимальный тор в G. Более общо, если X — ото-
отображение, гладким образом сопоставляющее каждой точке 0
44
Гл. 3. Группы гладких отображений
в G, то под-
подокружности некоторый максимальный тор Т
группа
Ai = {ye LG: у (8) е 7\ (9) для всех 9}
является максимальной абелевой подгруппой. Поскольку все-
максимальные торы сопряжены, пространство максимальных,
торов можно отождествить с G/N, где N — нормализатор фик-
фиксированного тора Т. Таким образом, X есть гладкое отображе-
отображение X: Sl^G/N.
Класс сопряженности подгруппы Ах зависит только от гомо-
гомотопического класса отображения X. Это легко вытекает из свой-
свойства накрывающей гомотопии для расслоения N^-G^-G/Ni
например, если X стягиваемо, то оно может быть поднято до<
отображения Я: Sl->G, и тогда 7\(9) = Л(е) • Т ¦ Х(в)~1 и Ах —
—X ¦ LT • Х~1. Фундаментальная группа пространства G/N есть
группа Вейля W — N/T, так как W свободно действует на одно-
связном пространстве G/T, и G/N = (G/T)/W. Множество го~
мотопических классов отображений 51—*G/N (без отмеченных
точек) есть, таким образом, множество классов сопряженности!
в W (см. [143, с. 494]), и мы будем рассматривать X как пред-
представитель такого класса. Каждый элемент до е W с помощью-
сопряжения определяет автоморфизм aw тора Т, и соответствую-
соответствующая подгруппа Ах может быть описана следующим образом.
Предложение C.6.1). Если X соответствует элементу дое W,.
то подгруппа Ах изоморфна группе гладких отображений у::
R —*- Т, таких, что
уф + 2я) = а-*(у(в)) C.6.2>
для всех OeR.
Доказательство. Пусть до представляется элементом п^. М,
а со — элемент алгебры Ли группы G, такой, что ехр Bгаа) = п.
Тогда мы можем взять
Лмв) = ехр (Эю) • Т • ехр (— 9<в).
Если у принадлежит подгруппе Ах, то отображение у. R->7\.
определенное формулой
Y (в) = ехр (— вш) Y (9) ехр (вш),
удовлетворяет C.6.2), и обратно.
Используя описание C.6.1) подгруппы Ах и рассматривая;
точную последовательность групп
где А%-*-Т есть вычисление значения в точке 0 = 0, легко дока-
доказать
3.7. Скрученные группы петель
45
Предложение C.6.3). Группа связных компонент ло(Ах) груп-
группы Ах и ее фундаментальная группа щ (Ах) являются коядром
и ядром гомоморфизма
до.-1: Т-+Т,
где Т — это решетка щ(Т), а до» — действие элемента до на Т.
Помимо описанных нами максимальных абелевых под-
подгрупп А% имеются и другие: например, если То и Т\ — два раз-
различных максимальных тора в G, то подгруппа, состоящая из
петель у, таких, что y(Q) е То при 0 ^ 9 ^я и у(&) е Тх при
л sg: 8 ^ 2я, очевидно, максимальна. Кажется вероятным, одна-
однако, что подгруппами Ах исчерпываются все максимальные абе-
левы подгруппы в группе вещественно-аналитических петель.
Во второй части этой книги значительную роль будет играть
подгруппа Ах в LUn, соответствующая элементу Коксетера w
группы Вейля. Группа Вейля группы Un есть симметрическая
группа 5„, переставляющая элементы диагональных матриц, из
которых состоит максимальный тор Т в Un. Элемент Коксете-
Коксетера— это циклическая перестановка A2 ... п).
Предложение C.6.4). Максимальная абелева подгруппа в
LUn, соответствующая элементу Коксетера, изоморфна LT-
Доказательство. Требуемое утверждение вытекает из C.6.1).
В самом деле, если до — элемент Коксетера и отображение у:
R-»-T удовлетворяет C.6.2), то каждый диагональный элемент
отображения v есть периодическая функция у г. 'R->-T с перио-
периодом 2яга, и разные ус отличаются друг от друга только сдвигами
на кратные 2я.
Мы опишем это вложение группы LT в LUn в разд. 6.5
несколько другим способом. Его важность была впервые обна-
обнаружена Леповским и Вилсоном [102] (см. также [87]). Алгебру
Ли подгруппы LT (а точнее, ее центральное расширение) ино-
иногда называют основной подалгеброй Гейзенберга алгебры Liln.
Замечание. Абелева подгруппа, соответствующая общему эле-
элементу до группы 5п, есть, как легко видеть, произведение не-
нескольких экземпляров группы LT, по одной для каждого цикла
перестановки до.
3.7. Скрученные группы петель
Абелевы подгруппы Ах группы LG, которые мы только что
описали, являются примерами так называемых скрученных
групп петель. Для произвольного автоморфизма а группы G
положим
L(a)G = {y: R->G, такие, что y(Q + 2я) = а(у(Щ. C.7.1)
46
Гл. 3. Группы гладких отображений
Группа L(a.)G зависит (с точностью до изоморфизма) только от
класса автоморфизма а по модулю внутренних автоморфизмов.
В самом деле, если
для некоторого с<= G, то можно выбрать гладкое отображение
Я: 'R —*- G, такое, что Я,@ +2л) = с-а (Я, F)), и тогда отображе-
отображение у*—>у, где
задает изоморфизм L(a)G->L(p)G. Это значит, что если группа G
полупроста, то можно считать, что а принадлежит конечной
группе классов внешних автоморфизмов группы G; в частности,
можно считать, что а имеет конечный порядок.
Иным способом L(a)G можно описать как группу сечений не-
некоторого главного расслоения на S1 со слоем G. Это расслоение
есть факторпространство пространства G X R по отношению эк-
эквивалентности, отождествляющему (g,Q) с (a(g), 9 + 2я).
Теория скрученных групп петель в точности аналогична тео-
теории групп петель, но в этой книге мы не будем ею заниматься
(см. разд. 5.3). Наша позиция была бы другой, если бы мы
могли сказать что-нибудь важное о группах вида Мар(Х; G)
для пространств X, отличных от окружности: в этом случае ана-
аналоги скрученных групп включали бы группы автоморфизмов
главных расслоений на X со структурной группой G — так на-
называемые калибровочные группы.
Глава 4
Центральные расширения
До конца книги G всегда будет компактной связной груп-
группой Ли.
4.1. Введение
Фундаментальным свойством группы петель LG является су-
существование интересных центральных расширений
T-+LG-+LG
группы LG с помощью окружности Т (иными словами, LG —
это группа, содержащая Т в своем центре и такая, что фактор-
факторгруппа LG/Y есть LG). Группы LG аналогичны конечнолистным
накрывающим группам конечномерной группы Ли в том, что
любое проективное унитарное представление группы LG проис-
происходит из настоящего представления некоторой группы LG; на-
напомним, что проективное унитарное представление группы L
в гильбертовом пространстве Н есть сопоставление каждому
А,е? унитарного оператора U%: H-+H так, что для всех X, A/eL
выполняется равенство
C/xf/v = с (Я, X')Uxx>,
где с {к, X')—комплексное число, равное по модулю 1. Функ-
Функция с: Z-XL->T называется проективным мультипликатором
или коциклом представления.
Как топологические пространства группы LG являются глав-
главными расслоенными пространствами над LG со слоем окруж-
окружность. За исключением произведения LGXT, все эти расслое-
расслоения нетривиальны, т. е. LG не гомеоморфно декартовому произ-
произведению Z.GXT и не существует непрерывных глобальных се-
сечений LG-^-LG. В действительности групповое расширение LG
полностью определяется своим топологическим типом как рас-
расслоенного пространства, причем каждое расслоение над LG со
слоем окружность может быть сделано групповым расшире-
расширением. Интересно, что группы Мар(Х; G) при dim(X)> 1 ведут
себя совершенно по-другому. Над Мар(Х; G) часто имеются
нетривиальные расслоения со слоем окружность, но если X
46
Гл. 3. Группы гладких отображений
Группа L(a)G зависит (с точностью до изоморфизма) только от
класса автоморфизма а по модулю внутренних автоморфизмов.
В самом деле, если
для некоторого се. G, то можно выбрать гладкое отображение
X: R->G, такое, что Х(в + 2я) = с-а(А,@)), и тогда отображе-
отображение 7«—*Y» гДе
задает изоморфизм L(a)G^>-L($)G. Это значит, что если группа G
полупроста, то можно считать, что а принадлежит конечной
группе классов внешних автоморфизмов группы G; в частности,
можно считать, что а имеет конечный порядок.
Иным способом L(a)G можно описать как группу сечений не-
некоторого главного расслоения на S1 со слоем G. Это расслоение
есть факторпространство пространства G X R по отношению эк-
эквивалентности, отождествляющему (g, 9) с (a (g), в + 2я).
Теория скрученных групп петель в точности аналогична тео-
теории групп петель, но в этой книге мы не будем ею заниматься
(см. разд. 5.3). Наша позиция была бы другой, если бы мы
могли сказать что-нибудь важное о группах вида Мар(Х; G)
для пространств X, отличных от окружности: в этом случае ана-
аналоги скрученных групп включали бы группы автоморфизмов
главных расслоений на X со структурной группой G — так на-
называемые калибровочные группы.
Глава 4
Центральные расширения
До конца книги G всегда будет компактной связной груп-
группой Ли.
4.1. Введение
Фундаментальным свойством группы петель LG является су-
существование интересных центральных расширений
T-+LG-+LG
группы LG с помощью окружности Т (иными словами, LG —
это группа, содержащая Т в своем центре и такая, что фактор-
факторгруппа ?G/T есть LG). Группы LG аналогичны конечнолистным
накрывающим группам конечномерной группы Ли в том, что
любое проективное унитарное представление группы LG проис-
происходит из настоящего представления некоторой группы ?G; на-
напомним, что проективное унитарное представление группы L
в гильбертовом пространстве Я есть сопоставление каждому
X^L унитарного оператора LV. Я—>-Я так, что для всех X, X'^L
выполняется равенство
где с(Х, X')—комплексное число, равное по модулю 1. Функ-
Функция с: LX?-»-T называется проективным мультипликатором
или коциклом представления.
Как топологические пространства группы LG являются глав-
главными расслоенными пространствами над LG со слоем окруж-
окружность. За исключением произведения LGXT, все эти расслое-
расслоения нетривиальны, т. е. LG не гомеоморфно декартовому произ-
произведению LGXT и не существует непрерывных глобальных се-
сечений LG^-LG. В действительности групповое расширение LG
полностью определяется своим топологическим типом как рас-
расслоенного пространства, причем каждое расслоение над LG со
слоем окружность может быть сделано групповым расшире-
расширением. Интересно, что группы Мар(Х; G) при dim(X)> 1 ведут
себя совершенно по-другому. Над Map(X;G) часто имеются
нетривиальные расслоения со слоем окружность, но если X
48
Гл. 4. Центральные расширения
односвязно, то лишь плоские такие расслоения могут быть сде-
сделаны группами (это вытекает из предложений D.2.8) и D.5.6)
ниже).
Если группа G проста и односвязна, то среди групп LG
имеется универсальное центральное расширение, т. е. такое, что
все остальные являются его факторгруппами. Оно аналогично
универсальной накрывающей группе конечномерной группы.
Каждое центральное расширение Е группы LG с помощью про-
произвольной абелевой группы А возникает из универсального рас-
расширения EG с помощью гомоморфизма 0>: Т-*-А, в том смысле,
что Е = LG Хт А (последнее выражение означает факторгруппу
группы LG X А по подгруппе, состоящей из всех элементов
{(г, -"—б(г)): геТ}). Когда группа G односвязна, но не про-
проста, универсальное центральное расширение по-прежнему име-
имеется, но, как мы увидим, оно является расширением группы LG
с помощью группы гомологии H3(G;~T), которая есть тор раз-
размерности, равной числу простых множителей в G.
Группа LG обладает комплексификацией LGC. Расшире-
Расширения LG также имеют комплексификации ЪОС, являющиеся рас-
расширениями группы LQC с помощью Сх. Однако мы отложим
конструкцию комплексификации до гл. 6.
Стоит отметить, что центральные расширения группы LG
тесно связаны с ее естественным аффинным действием на про-
пространстве связностей в тривиальном главном G-расслоении над
окружностью (см. D.3.3)).
Эта глава заканчивается приложением, в котором обсуж-
обсуждаются когомологии пространства LG и алгебры Ли Lg.
4.2. Расширения алгебр Ли
На уровне алгебр Ли расширения можно очень просто опре-
определить и классифицировать: они соответствуют в точности инва-
инвариантным симметрическим билинейным формам на д. Как век-
векторное пространство ?д есть Lg© R, а скобка задается формулой
[(I, Ц, (л, И)] = ([1, тг], «И, Л» D.2.1)
для ^, rjelg и Я, [ieR, где а>:
отображение
есть билинейное
2я
D.2.2)
а < , > — симметрическая инвариантная форма на алгебре Ли д.
4.2. Расширения алгебр Ли
49
Напомним, что если g полупроста, то все инвариантные билиней-
билинейные формы на g симметричны (см. B.3.2)).
Для того чтобы формула D.2.1) определяла алгебру Ли,
форма fi> должна быть кососимметричной (это ясно из интегри-
интегрирования по частям в D.2.2)) и удовлетворять условию коцикла
®(К, Л], 5) + «>([Л, Я, S)+ »(R, I], Л) = О. D.2.3)
Это условие вытекает из тождества Якоби в алгебре Ли Lg и
того факта, что скалярное произведение на g инвариантно:
<Е, л]. ?>=<?, h. Я>.
В качестве одного из первых свойств коцикла а> упомянем
тот факт, что он инвариантен относительно действия группы
Diff+(S1) диффеоморфизмов окружности, сохраняющих ориен-
ориентацию, т. е.
«>(fi, Г Л) = «>(?> Л)
для feDiff+(S1) (здесь /*|(8) обозначает |(/(8))). Это озна-
означает, что Diff+(S1) действует как группа автоморфизмов расши-
расширенной алгебры Ли. Мы увидим далее, что она действует также
на групповом расширении. Важно, что наше расширение выде-
выделяет специальную ориентацию на S1: диффеоморфизмы, обра-
обращающие ориентацию, могут действовать на ?д, лишь обращая
ядро R.
По существу кроме коцикла со, задаваемого D.2.2), на Lg нет
других коциклов. Чтобы сделать это утверждение точным, заме-
заметим, что со инвариантен относительно сопряжения постоянными
петлями, т. е. ©(?, ц) = G>(g?, ^л) для g^G, где g|, g-ц—это
присоединенное действие элемента g на 1, г\. Нет необходимо-
необходимости рассматривать коциклы, не инвариантные в этом смысле.
В самом деле, для любого коцикла а коцикл g-a определяет
то же расширение, что и а, где g-a определяется формулой
?•«(?, r\) = a(g-% ?Г'л)- Поэтому расширение, определяемое
с помощью а, задается также инвариантным коциклом
g-adg,
получаемым усреднением а по компактной группе G (заметим,
что тождество коцикла D.2.3) выражает в точности тот факт,
что класс когомологии коцикла не меняется под действием ин-
финитезимального сопряжения).
Таким образом,справедливо
Предложение D.2.4). Если алгебра Ли g полупроста, то все
непрерывные G-инвариантные коциклы на алгебре Ли Lg за-
задаются формулой D.2.2).
4 Зак. 230
50
Гл. 4. Центральные расширения
Замечание. Условие полупростоты здесь нельзя опустить. На-
Например, если G=T, то любая кососимметричная билинейная
форма на векторном пространстве Lg = LR является коциклом..
Однако, если потребовать, чтобы коциклы были инвариантными,
относительно группы Diff+(S'), то полупростоты не требуется,,
так как LR/R есть неприводимое представление группы
Diff+E1), и потому легко видеть, что единственная билинейная
форма на L'R, инвариантная относительно Diff+(SI), с точ-
точностью до скалярного множителя есть
(I, Л)
Доказательство D.2.4). Каждый коцикл a: LgX L$-*~R мож-
можно продолжить до комплексного билинейного отображения
а: ?8СХ ?8с-»-С. Элемент ? е Lgc раскладывается в ряд Фурье-
zL?fe2*, r*e ?fcs9c. По непрерывности а полностью опре-
определяется своими значениями на элементах вида \kZh. Для*
\, т] е дс будем писать ар, q (?, ц) = a (?2?, х\&). Тогда ар,, есть-
G-инвариантное билинейное отображение дсХ8с~~*"С, таким
образом, обязательно симметричное, причем ap,q =—aq, p.
Тождество коцикла D.2.3) превращается в утверждение
а
p+q,
D.2.5>
для всех р, q, г. Полагая q = г = О, получим, что ар, о = 0 для;
всех р. Полагая г = —р—q, получим
откуда
, —p—q ар, -Р "Г аЯ, —Я
ар, -р — рай -!•
Полагая в D.2.5) г = п — р — q, получим
Cin—p—q, p+q = Q*n—p, p ~T an—q, qi
откуда
an-k, k = kan-\. i.
Отсюда вытекает, что ар, q = 0 при р + q ф 0, поскольку
4.2. Расширения алгебр Ли
51
возвращаясь к элементам i=
о F. л) =
2Л
и т)=2т1<?2*. имеем
л'(в))йв,
т. е. коцикл вида D.2.2).
Универсальное центральное расширение алгебры Lg опреде-
определяется предложением D.2.4). Его можно переформулировать
следующим образом. Для каждой конечномерной алгебры Ли $
имеется универсальная инвариантная симметрическая билиней-
билинейная форма
< , )к- ЗХЗ-^К, D.2.6)
из которой любая такая R-значная форма получается с помощью
единственного линейного отображения K-^-'R (разумеется, К
есть просто двойственное пространство к пространству всех
•R-значных форм). Коцикл ык, задаваемый формулой
2л
о
D.2.7)
¦определяет расширение алгебры Ли Lg с помощью К, которое
по предложению D.2.4) является универсальным центральным
расширением для L%, если g полупроста. Для полупростых групп
пространство К можно отождествить с //з(й; R), поскольку би-
билинейная форма < , > на g порождает инвариантную кососим-
метричную 3-форму
(I, л, ?)¦->?, Гл. Я>,
причем так получаются все элементы пространства Я3(д; R).
Если g проста, то K = 'R.
Расширения алгебры Ли Map (X; g)
Перед тем как оставить тему расширений алгебр Ли, стоит
отметить, что нахождение всех центральных расширений ал-
алгебры Ли Map(Z;g) для произвольного гладкого многообразия X
требует лишь очень немногих дополнительных усилий. Наметим
вкратце доказательство следующего результата, являющегося
очень простым частным случаем общей теории Лодей и Квил-
лена [104], связывающей когомологии алгебр Ли с когомоло-
52
Гл. 4. Центральные расширения
гиями Конна [33]. Ограничимся случаем простой алгебры д..
Тогда скалярное произведение < , > по существу единственно..
Предложение D.2.8). Если алгебра Ли g проста, то ядро уни-
универсального центрального расширения алгебры Ли Мар(Х;д)
есть пространство K = Ql(X)/dQ°(X) l-форм на X по модулю-
точных l-форм. Это расширение задается коциклом
Эквивалентным образом, расширения алгебры Ли Мар(Х; %)
с помощью IR соответствуют одномерным замкнутым потокам С
на X, причем коцикл задается интегрированием выражения:
D.2.9) по С.
Перед тем, как доказывать это предложение, заметим, что-
с некоторой точки зрения это разочаровывающий результат,,
поскольку он говорит нам, что при dim(X)>- 1 у Мар(Х;д) нет
«интересных» расширений. Точнее, по произвольной гладкой
петле f: Sl-*-X в X всегда можно построить расширение алгебры
Ли Мар(Х;д), беря обратный образ универсального расширения
алгебры Lg под действием f. Предложение D.2.8) утверждает,,
что любое расширение есть взвешенная линейная комбинация
расширений такого вида. Первый «интересный» класс когомоло-
гий алгебры Ли Мар(Х;д) для компактного (п—1)-мерного
многообразия X лежит в размерности п; он определяется коцик-
коциклом
(Si, ...,SJ-*^(Si, dl2, .... dln),
где Р — инвариантный многочлен степени п на д.
Доказательство D.2.8). Запишем алгебру Мар(Х;д) как
А <8> д, где А — кольцо гладких функций на X. Каждая E-инва-
риантная вещественнозначная билинейная форма на А <8> д;
должна иметь вид
(f<8>l, g®T))^a(f®g)(Z, л),
где а: А <8> А -»- R — линейная форма. Такие формы а отожде-
отождествляются с распределениями на XX X с компактным носителем.
Условие коцикла превращается в утверждение о том, что а,
обращается в нуль на функциях вида
D.2.10>
гДе f> g> h — гладкие функции на X. Это означает, что а(/<8>
<8> g) = 0, если носители функций / и g не пересекаются, так как
тогда fg = 0 и можно подобрать такую функцию h, что fh = f
и gh = 0. Таким образом, носитель распределения а лежит на
4.2. Расширения алгебр Ли
диагонали. Предложение D.2.8) утверждает, что a(f<8>g) зави-
зависит только от 1-формы fdg. Это в свою очередь сводится к двум:
фактам:
(i) a (f <8> 1) = 0 для всех f и
(и) а|/2 = 0, где / — идеал функций из А<8>А, равных нулн>
на диагонали.
Оба этих факта непосредственно вытекают из D.2.10), по-
поскольку идеал / аддитивно порожден функциями вида f<8>g —
— fg® I-
Расширения алгебры Ли VectE1)
В этом месте очень естественно привести другое вычисление,
относящееся к алгебре Ли VectE1) гладких векторных полей
на окружности, т. е. к алгебре Ли группы Diff (S1)- Комплексно-
линейный 2-коцикл
a: Vectc (S1) X Vectc (S1) -> С,
где Vectc (S1) = Vect (S1) <8> С, определяется числами а =
= a(Lp, Lq), где Ln = ein6(d/dQ). Ясно, что "'"
[Ln, Lm] = i(m — n)L
n+m.
Тождество коцикла для (Lo, Lp, Lq) показывает, что класс кого-
мологий коцикла а не меняется при поворотах, поэтому (с по-
помощью усреднения) мы можем считать, что сам а инвариантен.
Тогда ар, q = 0 при р -\- q Ф 0. Если записать щ>, -р = аР и заме-
заметить, что a-р = —ар, то тождество коцикла дает
Это позволяет выразить все ар через ai и а2. Общее решение
имеет вид ар = Яр3 + \лр. Но аР — р есть кограница, так что зна-
значение (л несущественно. Мы доказали
Предложение D.2.11). Наиболее общее центральное расши-
расширение алгебры Ли Vect^1) с помощью <R задается коциклом а,.,
где
г2—1) при /г + /п = 0,
при п + гп=фО,
Указанный коцикл характеризуется тем, что он инвариантен.'
относительно поворотов и равен нулю на подалгебре 5l2(lR>>
flVectE1).
-'54
Гл. 4. Центральные расширения
4.3. Коприсоединенное действие группы LG на
и его орбиты
В этом разделе L"g обозначает расширение алгебры Ли Lg
с помощью R, соответствующее по формуле D.2.2) инвариант-
зюй билинейной форме < , > на д. С помощью формы < , > мы
определим форму на Lg, также обозначаемую < , >, формулой
2Я
(I, л>=-^
Поскольку мы имеем дело с центральным расширением, при-
присоединенное действие алгебры Ли L"g на себе фактически есть
„действие алгебры Lg, задаваемое формулой
Л-A, А.) = ([л, S], «»(Л, !))• D-3.1)
Предложение D.3.2). Присоединенное действие алгебры Ли
.Lg на Lg возникает из действия группы LG, задаваемого формулой
V(i, Я) = (у|, k-(y-V, I».
Здесь y-| обозначает присоединенное действие элемента
Y ^ LG на | е Lg.
Доказательство. Нужно лишь проверить, что указанная фор-
формула действительно определяет групповое действие и что его
производная в у= 1 задается формулой D.3.1). Оба этих факта
проверяются непосредственно.
Рассмотрим теперь двойственное пространство (Lg)* к Lg.
Оно входит в точную последовательность
(Lg)*->(Lg)*->R,
на которой действует группа LG. Если отождествить {La)*
с (Lg)*®R и отобразить Lg в (Lg)* с помощью формы < , >
на Lg, то мы получим
Предложение D.3.3). Коприсоединенное действие группы LG
на (La)* задается формулой
У ¦ (Ф, А.) = (У ¦ Ф + aVV, *).
Интерес к этому коприсоединенному действию обусловлен
эвристическим принципом Кириллова [92], утверждающим, что
неприводимые унитарные представления группы Г, грубо говоря,
соответствуют орбитам в ее коприсоединенном действии. Не-
Немного точнее, соответствие имеется с орбитами, удовлетворяю-
удовлетворяющими описываемому ниже условию целочисленности (С).
4.3. Коприсоединенное действие группы LG
55
Предположим, что скалярное произведение на g положитель-
положительно определено. Тогда Lg отождествляется с плотным подпро-
подпространством в (Lg)*, которое мы будем называть «гладкой
частью» двойственного пространства. Орбиты действия на ней1,
группы LG можно описать следующим образом.
Для каждого гладкого элемента (<р, Х)е(?д)* с X ф 0 име-
имеется единственный гладкий путь f: R -»- G, удовлетворяющий,
дифференциальному уравнению
ГГ1 = - Я.~!Ф D.3.4).
с начальным условием /@)= 1. Поскольку функция ф перио-
периодична по 6, мы получаем
где -Мф = /Bя). Если (<рД) преобразуется под действием эле-
элемента у е LG, то / заменяется на f, где
1(8) = у(в)!(в)у@Г1. D.3.5>
Таким образом, ЛГФ меняется на y(Q)M<f,y@)-1. В действитель-
действительности формула D.3.4) задает биекцию между Lg X {^} и про-
пространством отображений /, таких, что f@)=l и /(9 + 2я) =
= /F)-М для некоторого M^G. Отсюда мы заключаем, что-
справедливо
Предложение D.3.6). (i) Если группа G односвязна и ХФ0„
то орбиты группы LG на гладкой части пространства (Lg)*X
X {Я,} с:(?д)* соответствуют в точности классам сопряженности:
группы G под действием отображения (<р, Я)г—>М<р.
(и) Соответствие у1—*-Y@) устанавливает изоморфизм стаби-
стабилизатора элемента (<р, X) в группе LG и централизатора Zq
элемента 7ИФ в группе G; при этом у стабилизирует (<р, X) тогда
и только тогда, когда y(e) = f(d)y(O)f(Q)-1.
Согласно идее А. А. Кириллова, унитарные неприводимые-
представления группы Г соответствуют коприсоединенным орби-
орбитам Q, удовлетворяющим условию
(С) если стабилизатор элемента Фей есть подгруппа Н
в Г, то Ф является производной некоторого характера компо-
компоненты единицы в Н.
Чтобы применить этот принцип в нашем случае, нам нужно-
знать, что ?д есть алгебра Ли расширения LG группы LG с по-
помощью группы окружности Т. Условия, обеспечивающие суще-
существование LG, будут найдены в дальнейших разделах. Принимая
пока его существование на веру, мы сразу же видим, что если
Г56
Гл. 4. Центральные расширения
¦орбита, лежащая в (Lg)*X {!}, допустима, то X должно быть
целым числом. Тогда орбита в гладкой части двойственного про-
пространства соответствует классу сопряженности элемента g^G,
который мы можем считать лежащим в данном максимальном
торе Т. Если выбрать элемент
S e= t cz g cz Lq cz (Lg)*
так, чтобы exp(X~1|) = g', то элемент (|, X) принадлежит соот-
соответствующей орбите. Для достаточно общего g его централиза-
централизатор в G есть Т, и условие (С), очевидно, сводится к требованию,
что getcrt* лежит в решетке Т. В действительности нетрудно
проверить, что это так в любом случае. С другой стороны, эле-
элементы (|,1) и (?, 1)^лежат на одной орбите, если ? = w • | + Хг\
для некоторых t\ e f и w из группы Вейля W группы G. Таким
образом, получаем
Предложение D.3.7). Если X — ненулевое целое число, то ко-
присоединенные орбиты в гладкой части пространства (Lg)*X
Х.{Х}, удовлетворяющие условию (С), соответствуют орбитам
аффинной группы Вейля l) W^a — WS(.T на решетке Т, где эле-
элемент (w, ri)e Waff действует на Т по формуле
11—»¦ w • ^ -\- Хг\.
Мы увидим ниже (в гл. 9 и 11), что при X > 0 эти орбиты
соответствуют в точности представлениям группы LG с положи-
положительной энергией. Стоит заметить, далее, что орбита лежит
в гладкой части пространства (?д)*, если она устойчива относи-
относительно действия группы Т поворотами на (?д)*: в самом деле,
если (ф, X) принадлежит такой устойчивой орбите, то должно
выполняться равенство
для некоторого r\ <= Lg, откуда вытекает, что элемент ф гладкий.
-Это хорошо согласуется с точкой зрения Кириллова, поскольку
представления с положительной энергией устойчивы относитель-
относительно поворотов.
4.4. Групповые расширения в случае односвязной группы G
Не все из описанных нами расширений алгебр Ли соответ-
соответствуют группам Ли. Для того чтобы это было так, должно вы-
выполняться некоторое условие целочисленности. Коцикл ш на ал-
') Обсуждение аффинной группы Вейля будет дано в разд. 5.1.
4.4. Групповые расширения в случае односвязной группы G
57*
гебре Ли есть кососимметрическая форма на касательном про-
пространстве к iff в единице; поэтому она определяет левоинва-
риантную 2-форму ш на LG, причем условие коцикла D.2.3) пре-
превращается в утверждение, что эта дифференциальная форма-
замкнута.
Теорема D.4.1). (i) Если группа G односвязна, то расшире-
расширение алгебр Ли
определяемое коциклом со, соответствует групповому расши-
расширению
T-+LG-+LG
тогда и только тогда, когда дифференциальная форма ш/2л
представляет целочисленный класс когомологий на LG, т. е. ее
интеграл по любому 2^циклу в LG является целым числом.
(ii) В этом случае групповое расширение LG полностью
определяется по ш, причем имеется единственное действие груп-
группы Diff+(S1) на LG, накрывающее ее действие на LG.
(ш) Если форма Хой не является целочисленной ни для ка-
какого ненулевого вещественного числа X, то ?% не соответствует
никакой группе Ли.
(iv) Коцикл ш, определяемый формулой D.2.2), удовлетво-
удовлетворяет условию целочисленности тогда и только тогда, когда
(ha,hay есть четное целое число для всех кокорней ha в G (см.-
разд. 2.4).
Замечание. Часть расширения LG над подгруппой G посто-
постоянных петель канонически изоморфна G X Т ввиду отсутствия
нетривиальных гомоморфизмов б-»-Т. Поэтому мы будем часто
представлять себе группу G как подгруппу в LG.
Сразу же отметим, что D.4.1) (Ш) непосредственно вытекает
из D.4.1) (i). В самом деле, если вообще имеется группа Ли,,
соответствующая алгебре Ли ?%, то она будет расширением
группы LG либо с помощью R, либо с помощью Т, причем рас-
расширение с помощью IR порождает расширение с помощью Т-
Мультипликатор X соответствует различным способам отожде-
отождествления алгебры Ли группы Т с R. Этот результат вместе
с теоремой D.4.1) (iv) дает нам класс алгебр Ли, не соответ-
соответствующих никакой группе Ли; в самом деле, если у группы G
более одного простого множителя, то общее инвариантное ска-
скалярное произведение на g не кратно скалярному произведению,,
удовлетворяющему условиям целочисленности.
<58
Гл. 4. Центральные расширения
Часть «тогда» теоремы D.4.1) (i) выводится из следующего
весьма общего результата, который будет доказан в разд. 4.5.
К части «только тогда» мы вернемся в предложении D,5.6).
Предложение D.4.2). Пусть группа Ли Г гладко действует
на связном и односвязном многообразии X, оставляя инвариант-
инвариантной целочисленную замкнутую 2-форму <в/2я на X (и Г, и X
могут быть бесконечномерными). Тогда с (X, со) канонически
¦связывается расширение Г группы Г с помощью Т, причем для
любой точки хе! соответствующее расширение алгебр Ли мо-
может быть представлено коциклом
(I, "Л)«—э- о» AХ, г\х),
где %х обозначает касательный вектор в точке хеХ, соответ-
соответствующий действию инфинитезимального элемента | группы Г.
Группу Г из этого предложения можно описать весьма явно.
Целочисленная замкнутая 2-форма ш позволяет сопоставить
каждой кусочно-гладкой петле I в X элемент СA) группы Т
по формуле
С (I) = exp i \ ш,
а
<где а — кусок поверхности в X, ограничиваемый петлей / (если
а и а' — две такие поверхности, то \ ш и \ю отличаются на
4.4. Групповые расширения в случае односвязной группы G
59-
а'
а а
кратное 2я, поскольку форма со/2я целочисленна, поэтому СA)
определен корректно). Сопоставление h—>СA) обладает следую-
следующими тремя свойствами:
(HI) независимость от параметризации, т. е. СA)= С(/оср),
если ср: S1-^-S1 — произвольное кусочно-гладкое отображение
степени 1;
(Н2) аддитивность, т. е. С(р*г—1) = С (p*q~l) С (qvr-1), где
р, q, г — три пути из хо в х\, a p*q~l обозначает петлю, получае-
получаемую прохождением р, а затем обратного к q;
(НЗ) Г'-инвариантность, т. е. С(уГ) = СA) для всех у е Г.
Каждое отображение U—>СA) с этими тремя свойствами сле-
следующим образом определяет центральное расширение Г груп-
группы Г с помощью Т- Выберем отмеченную точку х0 в X. Тогда
элементы группы Г представляются тройками (у, р, и), где у е Г,
йёТ, а р — путь в X из хо в у-х0- Две тройки (у,р,и) и
{у', Р', и') считаются эквивалентными, если у = у' и и =
= С{р'*р~1)и'. Композиция в Г задается формулой
(Yi, Ри Щ) ¦ (Y2, р2, «2) = (YiY2, Pi * Yi • А>, «i«2>-
Легко проверить, что группа Г определена корректно.
Только что данное описание группы Г очень удобно, и мьг
в этой главе будем им часто пользоваться. Однако, это не луч-
лучший способ увидеть, что Г есть группа Ли, или понять ее гло-
глобальную топологию; по этой причине в следующем разделе мы
дадим другое доказательство D.4.2).
Для построения требуемых центральных расширений груп-
группы LG можно применить предложение D.4.2) к Г =Х = LGy
поскольку если G односвязана, то LG также односвязна. В самом
деле, как пространство LG есть произведение GX.QG, где G —
подгруппа постоянных петель, a QG — подгруппа петель у, та-
таких, что yA)= 1. Таким образом,
я, (LG) О? щ (G) © я, (QG) ss я, (G) 0 я2 (G).
Тот факт, что я2(<5)—0 для любой компактной группы Ли, яв-
является классической теоремой; сейчас мы примем его на веру,,
а доказательство будет дано в разд. 8.6.
Из явной конструкции группы EG ясно, что на ней действует
группа Diff-^S1), так как Diff+E1) действует на X = LG, сохра-
сохраняя 2-форму со и оставляя единичный элемент неподвижным. Это
доказывает часть утверждения D.4.1) (ii). Доказательство того,,
что других расширений группы LG, индуцируемых коциклом о>
на алгебре Ли, нет, отложим до следующего раздела.
Займемся теперь утверждением D.4.1) (iv). Имеется так на-
называемый гомоморфизм трансгрессии
т: Я3 (G) -> Я2 (QG)
D.4.3)*
(где когомологии имеют либо вещественные, либо целые коэф-
коэффициенты), определяемый как композиция
Я3 (G) -> Я3 (S1 X QG) -> Я2 (QG),
где первое отображение индуцировано отображением вычисле-
вычисления Siy,QG-^-G, а второе есть интегрирование по S1 (ср. [18,
р. 247]). Если G односвязна, то трансгрессия т является изомор-
изоморфизмом: с помощью изоморфизмов Гуревича яг(й(?)^ H2(QG)
и яз(<5)= H%(G) она сводится к изоморфизму, сопряженному
к очевидному изоморфизму я2(й(?) ->¦ яз((?). Таким образом,
D.4.1) (iv) получается сопоставлением следующих двух резуль-
результатов.
«60
Гл. 4. Центральные расширения
Предложение D.4.4). Пусть а обозначает левоинвариантную
Ъ-форму на G, значение которой в единичном элементе задается
¦формулой
*«, л. 0 = <R, nl. ?>•
Тогда трансгрессия т(сг) когомологична инвариантной форме
со/2я naQG.
Предложение D.4.5). Кососимметричная форма а из предло-
предложения D.4.4) определяет целочисленный класс когомологий на
односвязной группе G тогда и только тогда, когда фа, паУ^ 2Z
для всех кокорней ha в G.
Доказательство D.4.5). Для каждого корня а имеется гомо-
гморфизм ia: S?/2-*-G, индуцирующий на диагональных матрицах
в SU2 кокорень ha— см. разд. 2.4. При взятии обратного образа
формы 0 на SU2 = S3 относительно ia получается форма
A/2)фа, fiaya0, где 0О — инвариантная 3-форма на SU2 с инте-
тралом 1. Поэтому D.4.5) вытекает из того факта, что отобра-
отображения ia порождают группу яз(С)- Достаточно доказать это для
простых групп G, причем можно также заменить G любой ло-
локально изоморфной группой. После этого нужно показать, что
для подходящего корня а однородное пространство G/ia(SU2)
является 3-связным. Это очевидно для классических групп. Мы
отсылаем к [14] за простым доказательством средствами теории
Морса, работающим во всех случаях. На самом деле в качестве
•а всегда можно взять старший корень.
Доказательство D.4.4). При взятии обратного образа фор-
формы 2яст на S1'XQG ее значение в точке @, у) на тройке каса-
касательных векторов F0, 6iy, бгу) есть
где b(Q) =y(Q)~l&iy(Q)- Это выражение надо проинтегрировать
по S1 и сравнить с
2Я
Рассмотрим 1-форму |3 на QG, заданную формулой
2л
=4F$ <v(erV(e),
Простое вычисление показывает, что d$=xBno)—со.
Если g— простая алгебра, то все инвариантные скалярные
произведения на ней пропорциональны, так что имеется наимень-
4.4. Групповые расширения в случае односвязной группы G 61
шее из них, удовлетворяющее условию целочисленности D.4.5).
Назовем его основным скалярным произведением, а соответ-
соответствующее центральное расширение — основным центральным
расширением группы LG. Для группы G с простыми связями
основное скалярное произведение обсуждалось в разд. 2.5; для
него фа, ha}=2 для всех кокорней. В общем случае оно харак-
характеризуется свойством, что фа, Ла>= 2 для старшего корня а.
Форма Киллинга на g (см. [1]) удовлетворяет условию цело-
целочисленности, так что она является целочисленным кратным
¦основной формы. Формула для коэффициента пропорционально-
пропорциональности будет получена в разд. 14.5. Если G — группа с простыми
связями, то он равен числу Коксетера (,[20, гл. VI, § 1, п° 11])
группы G.
Основное центральное расширение является универсальным.
Предложение D.4.6). Если группа G односвязна и проста,
то расширение LG, соответствующее основному скалярному про-
произведению, также односвязно. Оно является единственным одно-
связным расширением группы LG с помощью f" и универсаль-
универсальным центральным расширением в категории групп Ли. Кроме
того, я2 (LG) = 0.
Доказательство. Вычислим nx(LG) и n2(LG) из точной гомо-
гомотопической последовательности расслоения T~>-?G~>-LG. Она
дает
0 -> щ (LG) -> щ (LG) -> щ (Т) -> щ (LG) -> 0.
Отображение tt2(Z.G)->tti(T)= ^ по определению есть вычисле-
вычисление первого класса Чженя нашего расслоения на 2-сферах в LG;
по определению основного расширения первый класс Чженя по-
порождает группу Н2 2-сферы, соответствующей старшему корню.
Поэтому m(LG)=0, а так как мы знаем, что %2{LG)^nz{G)^kZ,
то и n2(LG) = 0.
Для доказательства универсальности рассмотрим произволь-
произвольное центральное расширение A-*-E-*-LG. Соответствующее рас-
расширение алгебр Ли может быть определено с помощью кососим-
метричной формы
(йА: LgX?9->a,
где а — алгебра Ли группы А. Поскольку ?д универсально (см.
D.2.4)), мы получаем, что ©л = фосй, где © — основной коцикл,
а ф: R->a — некоторое отображение. Отсюда следует, что если
мы поднимем Е на LG, т. е. рассмотрим подгруппу Е = LGX.LaE
в LG X Е, состоящую из пар (х, у), таких, что х и у имеют
один и тот же образ в LG, то возникающее расширение
алгебры Ли Гд с помощью а будет тривиальным. Но мы пока-
62
Гл. 4. Центральные расширения
жем в следующем разделе, что тривиальность расширения одно-
связной группы, такой, как LG, вытекает из тривиальности соот-
соответствующего коцикла на алгебре Ли. Поэтому Ё есть тривиаль-
тривиальное расширение группы LG, и его расщепляющее отображение
дает искомый гомоморфизм LG-*-E.
Отметим, что индуцированный гомоморфизм ~Y-*-A может
быть определен как образ в п\(А) образующей группы n2(LG)>.
поскольку т(А)^ Нот(Т; Л).
4.5. Расслоения со слоем окружность, связности и кривизна
Главной целью этого раздела является доказательство пред-
предложения D.4.2), но мы начнем с того, что соберем вместе тре-
требующиеся нам факты о расслоениях со слоем окружность, связ-
ностях и кривизне. Весь этот материал хорошо известен (см.
[27], [68]), по крайней мере в конечномерном случае. В конце
этого обзора мы дадим краткие доказательства существенных:
пунктов.
Пусть я: У->-Х есть гладкое главное расслоение со слоем-
окружность, база X которого может быть бесконечномерным
многообразием. Это означает, что группа Т свободно действует
на У, орбиты совпадают со слоями и X есть пространство ор-
орбит У/Т- Связностью в таком расслоении называется задание-
для всех точек jey разложения касательного пространства ТУТ
в прямую сумму
где R — касательное пространство к слою, a T^ovizY («горизон-
(«горизонтальные» касательные векторы) есть копия пространства:
ТП(У)Х. От разложения требуется инвариантность относительно»
действия группы Т на У.
Связность позволяет поднять путь в X до горизонтального-
пути в У с предписанной начальной точкой. Путь в У, получаю-
получающийся поднятием замкнутого пути в X, вообще говоря, не будет
замкнут. Промежуток между его концами соответствует эле-
элементу группы Т, называемому голономшй вдоль пути. Кри-
Кривизна связности измеряет голономию вдоль бесконечно малых
замкнутых путей: она есть замкнутая 2-форма © на X, значение
которой на паре касательных векторов |, ц в точке простран-
пространства X — это инфинитезимальная голономия вдоль параллело-
параллелограмма, порожденного | и ц. Кривизна определяет элемент груп-
группы когомологий Н2(Х; R), зависящий лишь от топологического
типа нашего расслоения. Более того, ш/2л; есть целочисленный
класс (т. е. его интеграл по любому 2-циклу в X является це-
целым числом), и он происходит из корректно определенного эле-
4.5. Расслоения со слоем окружность
63
мента группы H2(X;Z), называемого (первым) классом Чженя
расслоения. Топологический тип расслоения со слоем окруж-
окружность полностью описывается классом Чженя, причем каждый
-элемент группы H2(X;Z) происходит из некоторого расслоения.
Если X односвязно, то естественное отображение
i: H2(X; Z)-+H2(X; R)
инъективно и топологический тип полностью определяется клас-
классом формы ш/2я. В общем случае ядро отображения i соответ-
соответствует плоским расслоениям, т. е. тем, которые могут быть снаб-
снабжены связностью с кривизной нуль.
Есть три аналитических способа описания связности.
(i) Можно задать отображение !¦—>%, сопоставляющее каж-
каждому векторному полю | на X соответствующее горизонтальное
Т-инвариантное векторное поле | на У. С этой точки зрения
кривизна задается формулой
юA, Л) = [1, п]-[1. Л]~ D-5.1)
(правая часть этого равенства есть Т-инвариантное вертикаль-
вертикальное векторное поле на У, но мы можем отождествить его с ве-
.тдественнозначной функцией на X).
(ii) Можно задать Т-инвариантную 1-форму а на У, сопо-
сопоставляющую каждому касательному вектору к У его вертикаль-
вертикальную компоненту, т. е. вещественное число. Ограничение формы а
на каждый слой есть стандартная 1-форма dQ. Производная da
Т-инвариантна и обращается в нуль на вертикальных векторах,
так что da = л.*со для единственной замкнутой 2-формы со на X,
которая и есть кривизна.
(iii) Можно ввести на У локальные тривиализации, т. е. X
покрывается открытыми множествами {Ua}, и часть У, лежащая
над Ua, отождествляется с Ua X Т- Тогда связность в Ua опи-
описывается 1-формой aa = s*a, получаемой переносом описанной
выше формы а с помощью любого сечения sa: Ua-^~Y, постоян-
постоянного при локальной тривиализации Ua X Т- Кривизна со в Ua
описывается формулой daa = со. Если функции перехода нашего
расслоения равны
fab- UaUUb->T
(т. е. точка (х, p)ef/oXT совпадает с точкой (х, \аь(х)р) е
е^ХТ),то
ab = aa~\-if-bldfab. D.5.2)
Это завершает наш обзор. Докажем теперь существенный ре-
результат.
64
Гл. 4. Центральные расширения
Предложение D.5.3). Пусть X — связное и односвязное мно-
многообразие.
(i) Любая замкнутая 2-форма © на X, такая, что со/2я пред-
представляет целочисленный класс когомологий, является кривизной
некоторой связности на некотором расслоении над X со слоем
окружность.
(и) Если У и У — расслоения над X со слоем окружность,,
со связностями а и а', имеющими одинаковую кривизну со, то
имеется изоморфизм -ф: У->У, такой, что ¦ф!*а' = а. Более того,
¦ф единствен с точностью до композиции с действием некоторого
элемента группы Т-
Доказательство, (i) Один из способов выразить условие це-
лочисленности формы ш/2я состоит в том, что имеется целочис-
целочисленный коцикл Чеха {уаьс}, определяемый по отношению к не-
некоторому открытому покрытию {Uа} пространства X, такой, что
о = с?р + 2лл> для некоторой 1-формы р, где v — это 2-форма,
получающаяся из {vo&c} с помощью гладкого разбиения еди-
единицы {Ха}, подчиненного покрытию {Ua} (см. C.1.1)) (таким
образом, Уаьс есть целое число, определенное, когда Ua f| Ub П Ue
непусто, причем можно считать, что оно кососимметрично по от-
отношению к перестановкам индексов а, Ъ, с).
Построим расслоение У над X посредством функций пере-
перехода {fab}, где
fab (х) = ехр 2яг ? vabcXe.
с
Согласованность функций fab вытекает из условия коцикла
У bed — Vacd + Vabd ~ ^abc = 0.
Связность в этом расслоении определяется с помощью 1-форм
аа = 2я ? vabcXb dXc,
6, с
а ее кривизна есть 2-форма 2jev:
2jiv==2ji ? vabcXadXbAdXc.
a, b, с
Для получения связности с кривизной ш мы просто добавим
1-форму р ко всем аа.
(п) Предположим, что У и У определены с помощью функ-
функций перехода {/a6j и {f'ab} по отношению к одному и тому же
открытому покрытию {11 а) пространства X. Тогда отображе-
отображение т]з: Y-^Y' будет локально задаваться функциями i|)a: Ua->-Y,
такими, что
% М fab М = fab « Ъа (*) ДЛЯ X S Ua П Uь. D.5.4)
4.5. Расслоения со слоем окружность
65
Условие ^а' = а выражается формулой
D.5.5)
Можно считать, что все множества Ua стягиваемы, а все пере-
пересечения Uafl Ub связны. Тогда можно найти функцию cpa: Ua-*-R,
такую, что й?фа = а^ — аа. Из D.5.2) мы получим, что
на Uа П Ub- Иными словами,
где Цаь s R есть константа. Так как X односвязно (а {ц^ь} есть
1-коцикл Чеха), мы можем найти такие числа та, что \1аь =
= ть — та. Но тогда функции i|)a = e~l ^а+та) удовлетворяют
и D.5.4), и D.5.5),
Что касается единственности i|), или, эквивалентно, единствен-
единственности функций ifia, то из D.5.4) вытекает, что любые два воз-
возможных выбора отличаются умножением на глобальную функ-
функцию g: Х-*-Т. Но тогда равенства D.5.5) показывают, что g
постоянна.
Доказательство D.4.2). Теперь мы в состоянии очень просто
доказать D.4.2). Прежде всего, построим расслоение У над X
со слоем окружность, имеющее связность а с кривизной ш. Для
каждого т?Г рассмотрим обратный образ расслоения У при
отображении y: X-*-X. Получающееся расслоение y*^ имеет
связность aY, кривизной которой является у*а> = ш. Определим
теперь f как группу всех пар (у, "Ф), где уеГ, а i|k Y-*y*Y
есть изоморфизм, такой, что \|)*aY = a. По предложению D.5.3)
для каждого y возможные выборы -ф параметризуются окруж-
окружностью. Изоморфизм -ф можно также представлять себе как ото-
отображение г|з: Y^-Y, накрывающее действие y на X и удовлетво-
удовлетворяющее условию г|з*а = а. Иными словами, Г есть просто группа
всех сохраняющих слои отображений ф: Y-^-Y, сохраняющих a
и накрывающих некоторый элемент y группы Г. Такое отобра-
отображение полностью определяется по y и яр (г/о), где г/о — произволь-
произвольная отмеченная точка в У. Таким образом, как многообразие Г
есть расслоенное произведение ГХхУ, т. е. обратный образ
расслоения У при отображении Г->Х, переводящем y в у(л(у0)).
Чтобы отождествить только что данное описание группы Г
с описанием при помощи троек (у,р,и), данным после форму-
формулировки D.4.2), мы сопоставим тройке (у,р,и) единственный
автоморфизм пространства У, сохраняющий а и переводящий уа
5 Зак. 230
66
Гл. 4. Центральные расширения
в точку получаемую из г/о параллельным переносом вдоль
пути р (мы предполагаем, что п(уо) = хо)- Мы оставляем чита-
читателю проверку того, что так получается групповой изоморфизм.
Предложение D.4.2) доказывает половину утверждения
D.4.1) (i). Другая половина, утверждающая, что если коцикл ш
на L% соответствует групповому расширению, то со/2я целочис-
ленна, теперь совершенно очевидна, но мы переформулируем
ее в следующем виде:
Предложение D.5.6). Если расширение групп Ли
Т_>г->г
соответствует коциклу со на алгебре Ли группы Г, то о>/2я,
рассматриваемая как левоинвариантная 2-форма на Г, пред-
представляет класс Чженя расслоения Г и, таким образом, цело-
численна.
Доказательство. Утверждение сразу вытекает из первого ме-
метода описания связности. Для получения коцикла со_мы долж-
должны выбрать разложение алгебры Ли Lie (f) группы Г (как век-
векторного пространства)
Lie (f) ^R® Lie (Г).
Оно индуцирует разложение касательного пространства во всех
точках группы Г, т. е. связность в расслоении Г-»-Г. Расщепляю-
Расщепляющее отображение Lie (Г)-*-Lie (Г) отождествляется с горизон-
горизонтальным подъемом |i—>? левоинвариантных векторных полей;
поэтому по формуле D.5.1) кривизна ш задается тем же выра-
выражением
что и коцикл на алгебре Ли.
Приведенное рассуждение позволяет также завершить два
оставшиеся доказательства (утверждений D.4.6) и D.4.1) (И)),
отложенные в предыдущем разделе. Прежде всего, центральное
расширение А -*-?->¦ Г односвязной группы Г тривиально, если
тривиально индуцированное расширение алгебр Ли. В самом
деле, тогда у главного расслоения Е имеется плоская связность
и мы можем определить отображение Г->?, переводящее у
в концевую точку горизонтального подъема любого пути в Г,
соединяющего единичный элемент с у. Это отображение явля-
является гомоморфизмом, поскольку связность ^-инвариантна. Это
завершает доказательство D.4.6).
4.6. Групповые расширения в случае полупростой группы G
67
Для завершения D.4.1) (и) мы должны показать, что два
расширения ?'. и Е' группы LG с помощью Т изоморфны, если
совпадают соответствующие коциклы на алгебре Ли. Для этого
образуем «разностное» расширение Т -*-Е"-*¦ LG, т. е. возьмем
обратный образ Е' над Е и перейдем к фактору по образу гомо-
гомоморфизма T-+EycLGE', переводящего и в («,«-'). Расширение
алгебр Ли, соответствующее Е", тривиально, так что и само Е"
тривиально, откуда Е sg E'.
4.6. Групповые расширения в случае полупростой,
но не односвязной группы G
Полупростую группу G можно записать в виде G = G/Z,
где G — односвязная накрывающая группа группы G, a Zs
^ n\(G) — конечная подгруппа в центре группы G.
Как мы знаем, целочисленная билинейная форма < , > на
g порождает единственное центральное расширение LG группы
LG_. Поскольку G канонически отождествляется с подгруппой
в LG, мы можем считать Z подгруппой в LG. В действительно-
действительности Z лежит в центре группы LG, поскольку ее присоединенное
действие на ?д тривиально (это вытекает из предложения
D.3.2)). Таким образом, получаем расширение
T-+(W)/Z->(LGf,
D.6.1)
где (LG)°^(LG)/Z есть компонента единицы в LG. Но расши-
расширение D.6.1), как правило, не является ограничением расшире-
расширения всей группы LG. Чтобы понять это, заметим, что форма < , >
над следующим образом индуцирует спаривание:
с: ZXZ-^T. D.6.2)
Пусть Т — максимальный тор группы G. Для данных zu z2<=Z
выберем ?ь ?2 в алгебре Ли группы Т так, чтобы ехрBя?г) = z/>
Положим по определению
с{гъ г2) = е2я'-«"Ч
Это спаривание не зависит от сделанных выборов.
Лемма D.6.3). Если спаривание с нетривиально, то расши-
расширение D.6.1) не является ограничением никакого расширения
группы LG.
Доказательство. Рассмотрим автоморфизм Ах алгебры Ли Lg,
индуцируемый сопряжением с помощью элемента X группы LGr
не лежащего в компоненте единицы. Мы можем единственным
образом поднять Ах до автоморфизма Ах алгебры Ли ?д: простой
5*
68
Гл. 4. Центральные расширения
вычисление (ср. D.3.2)) показывает, что
\ (|, а) = (А?, а - (Х~ V, ?». D.6.4)
Применим эту формулу, когда get и expBng)eZ, а А, есть
петля Э и-* ехр (9?) в G для некоторого g e t, такого, что
ехрBя?)gZ=iii(G). Мы получим
Л(|, 0) = (|,-(!,?».
Поскольку экспоненциальное отображение группы (?G)° пере-
переводит Bя?, 0) в 1, мы видим, что А\ может индуцировать авто-
автоморфизм группы (L"G)°, лишь если <?, ?>eZ. Это доказывает
D.6.3).
В обратную сторону, однако, справедлива
Лемма D.6.5). Действие группы LG на LG сопряжением од-
однозначно поднимается до действия на LG, и при этом действие
группы Z^nx(G) на центре ZXT группы LG задается спари-
спариванием D.6.2).
Доказательство. Сначала заметим, что подъем, если он суще-
существует, должен быть единственным. В_самом деле, Aut(LG) отож-
отождествляется с подгруппой в Aut(LG), поскольку LG является
совершенной группой (см. C.4.1)) и нет нетривиальных гомомор-
гомоморфизмов LG-+T.
Расширение LG определяется по 2-форме © на LG. То же
вычисление, которое дало нам D.6.4), показывает, что если с%
обозначает сопряжение с помощью А, е LG, то
с*ш = о)-<ф, D.6.6)
где C — левоинвариантная 1-форма, задаваемая формулой
P(S) = <A.-V, !>• D.6.7)
Будем представлять себе элементы группы LG тройками (у, р, и),
как в разд. 4.4. Тогда автоморфизм с*,: LG —> LG накрывается
автоморфизмом
е*-ри), D.6.8)
где р-р обозначает интеграл формы р по пути р.
Теперь мы можем описать класс расширений группы LG для
полупростых групп G.
Предложение D.6.9). Для каждого целочисленного скаляр-
скалярного произведения < , > на g существует группа LG, компонентой
единицы которой является LG, а группой компонент — группа
4.6. Групповые расширения в случае полупростой группы G
69
.Z^ni(G). Она является расширением группы LG с помощью
Т X Z, причем действие группы компонент сопряжением на
TXZ задается с помощью D.6.2).
Расширение LG не определяется однозначно формой < , >,
но оно единственно с точностью до добавления произвольного
расширения группы n\(G) с помощью Т-
Замечание. Расширение группы n.i(G) с помощью Т, очевид-
очевидно, задает расширение группы LG с помощью Т, и его можно
.добавить (в обычном смысле сложения групповых расширений)
.к LG, не меняя компоненты единицы.
Доказательство. Выберем максимальный тор Т в G и поло-
положим Л = Т = Hom(T; T). Таким образом, Л есть подгруппа
ъ LG. Часть Ло подгруппы Л, содержащаяся в компоненте еди-
единицы группы LG, может быть отождествлена с подгруппой в LG.
'Пусть Ло — расширение группы Ло с помощью Т, индуцируемое
расширением LG. Предположим, что Ло продолжается до рас-
расширения Л группы Л. Тогда мы можем образовать полупрямое
-произведение ЛХЙ, где Л действует на LG с помощью проек-
;ции на Л, a LG действует на LG в силу леммы D.6.5). Но анти-
антидиагональное отображение Л0->ЛХ-^ (т- е. Х\—>(Х,Х~1))
•вкладывает Ло как нормальную подгруппу, и мы можем опре-
.делить LG как факторгруппу (Л X LG)/A0.
Возвращаясь к существованию Л, заметим, что расширение Л
свободной абелевой группы Л с помощью Т полностью опреде-
определяется коммутаторным отображением (х, у)\—->хух-1у-х, являю-
являющимся кососимметричным биаддитивным отображением ЛХ
ХЛ->Т. Оно может быть поднято до кососимметричного би-
аддитивного отображения ЛХЛ-^-R. Обратно, каждое такое
отображение Ь: ЛХЛ->К определяет расширение группы Л
с помощью Т посредством коцикла
(Я.,
а/2) ib (к
Таким образом, Л может быть получено произвольным продол-
продолжением кососимметричного отображения, определяющего Ло;
неопределенность состоит в выборе произвольного расширения
группы A/A0 = tti(G).
Замечание. Расширение LG наиболее привлекательно, когда
G — группа с простыми связями, а < , > — основное скалярное
произведение. Тогда спаривание с из D.6.2) невырожденно,
а центр группы LG есть в точности Т- Индуцированное расши-
расширение группы Ло в этом случае мы вычислим в разд. 4.8.
70
Гл. 4. Центральные расширения
4.7. Основное центральное расширение группы LUn
Мы не будем обсуждать расширения группы LG, если G не
полупроста, за исключением частного случая G = Un. Расшире-
Расширение группы Ьи„, которое мы сейчас опишем, играет централь-
центральную роль во всей теории.
Предложение D.7.1). (i) Имеется каноническое расширение
LUn группы LUn с помощью Т, такое, что соответствующий ко-
коцикл на алгебре Ли задается формулой D.2.2), где < , > — основ-
основное скалярное произведение на пп-
(и) Подгруппа Un постоянных петель канонически отожде-
отождествляется с подгруппой в LUn-
(Hi) Центр компоненты единицы в LUn есть ТХТ, где пер-
первый множитель Т — это ядро расширения, а второй — центр ка-
канонической копии подгруппы Un- Сопряжение петлей с числом:
вращения k преобразует ТХТ^о формуле
(и, v) I—^{uv~k, v).
(iv) Естественное действие группы Diff+(S') на Lun происхо-
происходит из единственного действия двойного накрытия группы:
Diff+CS1) на LUn (см., однако, замечание D.7.2) ниже).
Замечание. Расширение LUn полностью определяется расши-
расширением алгебр Ли, но с точностью до неканонического изомор-
изоморфизма (для каждой группы Г группа ее автоморфизмов, тожде-
тождественных на Г° и Г/Г°, есть Hom(r/r°;Z), где Z —центр Г°).
Кроме того, имеется бесконечномерное пространство (а именно
Hom(Lun;R)) автоморфизмов алгебры Lun, индуцирующих тож-
тождественный автоморфизм на Lun. Эти факты сильно запутывают
изучение LUn, особенно в вопросах, связанных с действием
iff1)
Доказательство. Мы будем кратки, поскольку детали дока-
доказательства во многом совпадают с теми, с которыми мы стал-
сталкивались в предыдущих разделах.
Мы построим требуемое расширение компоненты единицы
(LUn)°, применяя предложение D.4.2) к односвязному простран-
пространству X = (LUn)°/T, где Т — стандартный максимальный тор в Un-
Заметим теперь, что LUn есть полупрямое произведение Z X
X (LUnf, где подгруппа Z порождена любой петлей X с числом
вращения 1. Если нам удастся поднять действие элемента X
сопряжением на (LUn)° до автоморфизма группы (LUn)°, то мы
сможем положить по определению LUn = Z X (LUn)°. Рассужде-
Рассуждения из D.6.5) показывают возможность подъема, а также до-
доказывают утверждение A11). Существенный момент здесь состоит
4.7. Основное центральное расширение группы LUn
71
>в том, что мы можем выбрать в качестве Х- петлю в абелевой
подгруппе Т, так что сопряжение посредством X действует на X.
.Эта конструкция зависит от выбора петли X, однако существует
канонический выбор.
Для исследования действия группы Diff+(S1) на LUn введем
односвязную накрывающую группу 20 группы Diff+E1). Она
может быть реализована как группа диффеоморфизмов <р:
¦R-*-R, таких, что ф(9 + 2я) = ср(9)+ 2л. Для доказательства
того, что действие группы SD на LUn поднимается до действия
чна LUn, достаточно построить расширение полупрямого произве-
.дения 2t> X LUn с помощью Т, сводящееся к LUn над LUn и
тривиальное над 3). Для этого сначала построим расширение
над связной компонентой 3>S<(LUnH, применяя нашу стаидарт-
шую процедуру к однородному пространству Y = 3)X(LUn)°/T,
на котором обычный 2-коцикл на алгебре Lnn определяет инвари-
инвариантную целочисленную 2-форму. Затем нужно поднять сопряже-
сопряжение с помощью X на 3>X(LUn)°. Равенство D.6.6) по-прежнему
выполняется в этом большем пространстве, где р теперь есть
.инвариантная форма, определяемая линейным отображением
О Ж-
на алгебре Ли группы 2>X(LUn)°. Таким образом, проходят
те же рассуждения, что выше.
Наконец, нужно вычислить действие на LUn центрального
гэлемента т группы 2>, определяемого равенством t(9) = 9-f 2я.
.Достаточно вычислить действие сопряжением с помощью X на
элемент (х, р, 1) расширения группы 3) X (LUn)°, где р — оче-
очевидный путь в Y из отмеченной точки в х. Если принять, что X
есть гомоморфизм Т~*-Т, то путь р инвариантен относительно
сопряжения, так что формула D.6.8) показывает, что (х, р, 1)
умножается на элемент центра е'р'р. Поскольку <Я,/Я-1Д/А,-1>=1,
мы видим, что е< р = —1. Это означает, что х действует на ком-
компоненты в LUn с нечетным числом вращения умножением на
— 1. Это завершает доказательство D.7.1).
Замечание D.7.2). Действие группы 2) на LUn полностью
определяется ее действием на алгебре Ли Lun (так как ядро го-
гомоморфизма Aut (LUn\~* Aut ((LUп)°) абелево). Но имеются авто-
автоморфизмы алгебры Lun, не продолжающиеся на LUn, так что
действие группы 3) на LUn можно изменить, не оказывая влия-
влияния на действие на Lun, рассматриваемое с точностью до изо-
.морфизма. Таким образом, несмотря на предложение D.7.1) (iv),
72
Гл. 4. Центральные расширения
действие группы Diff+EJ) на LUn можно поднять на Шп. Один-
из способов состоит в том, чтобы задать действие элемента
фей) на элемент у е LUn, лежащий над y<^LUn, формулой
(Ф,
где
2Я
D.7.3),
D.7.4>
а Лф есть действие элемента ф е 2D, описанное в предложении;
D.7.1). Если ф есть сдвиг в •—s* 9 + os, то
а (ф. /) = — ~2 °Af.
где А/ — число вращения петли dety. Это означает, что дей-
действие центрального элемента те2) тривиально.
Мы оставляем читателю проверку того, что это действие
группы Diff-^S1) единственно с точностью до автоморфизма
группы LUn. В разд. 6.8 мы увидим, что специальный выбор,
D.7.3) возникает естественным образом.
Случай п = 1
Основное центральное расширение группы LUi = LT можно»
описать, явно задавая коцикл, который мы укажем здесь для
дальнейших ссылок. Заметим сначала, что любой элемент груп-
группы LT может быть записан в виде eif, где f — гладкая функция,,
такая, что
для некоторого целого числа Af, а именно числа вращения,
петли eif. Мы будем обозначать через f среднее значение функ-
функции / на интервале [0, 2я], т. е.
2Я
Предложение D.7.5). Основное центральное
группы LJ определяется коциклом с, где
расширение-
c(e
if
4.8. Ограничение расширения на подгруппу LT
73
и
2я
S(f, Я) =45"$
Действие на ?Т диффеоморфизма фeDiff+(SI) может быть
¦&ыбрано в виде
(eif, u)^*{elTo9~\ «в'<АГ1)««*»),
где а(ф, /)—из D.7.4), а ?Т как множество отождествлено
с LT X Т- В частности, поворот Ra на угол а действует по фор-
формуле
Доказательство. Мы оставляем читателю проверку того, что
¦с (являющийся коциклом в силу билинейности 5) действительно
определяет расширение группы LJ со свойствами, описанными
в предложении D.7.1).
4.8. Ограничение расширения на подгруппу LT
Если Т—максимальный тор в G, то решетка Л=Нот(Т; Т),
обычно обозначаемая нами через Т, есть подгруппа в LG, и мы
можем рассматривать ограничения на нее расширений LG. Мы
.знаем описание возникающего расширения Л группы Л с по-
помощью Т лишь в случае, когда С? — группа с простыми свя-
связями, но в этом случае результат весьма удивителен, причем он
является основой конструкции фундаментального представле-
представления группы LG с помощью «вертексных операторов» (см.
хл. 13). Выберем в Л представителей е\ элементов ХеЛ, так
что общий элемент группы Л может быть записан в виде и&х
•сиеТ.
Предложение D.8.1). Если G — односвязная группа с про-
простыми связями, то представители ед, могут быть выбраны так,
что умножение в Л задается формулой
¦где Ь: ЛХЛ—>-Z/2— произвольная билинейная форма, такая,
что
Ь(Х, Х)=-^(Х, X) (mod 2),
,а < , > — форма на д, определяющая расширение LG.
74
Гл. 4. Центральные расширения
Замечание. Если < , > — основная форма на д, то формула-
умножения очень напоминает соотношения скобки B.5.1) для:
образующих алгебры дс:
Доказательство. Поскольку любое абелево расширение груп-
группы Л с помощью Т тривиально, то расширение полностью опре-
определяется своим коммутаторным отображением (Я, fi) \—*~
i—э- 8л8^егГ е^1, являющимся кососимметричным биаддитивньш.
отображением
лхл->т.
Таким образом, мы должны показать, что e^e^e^'е,!1 = (—1)Л>|г>"
Выбирая пути рх и р^ в LG из единицы в X и ц и используя
описание группы LG, данное в разд. 4.4, мы видим, что задача
состоит в доказательстве того, что
\со = я(А, fi) (mod 2я),
D.8.2>
где а — произвольный кусок поверхности, ограниченный двумя:
путями рт,*Х-р^ и p^ii-px, ведущими из 1 в Х-\-ц. Поскольку
группа А порождена кокорнями, эту формулу достаточно дока-
доказать для случая, когда X и ц — положительные кокорни. Мы
также можем считать, что < , > есть основное скалярное про-
произведение на д.
Для каждого кокорня X имеется канонический гомоморфизм
it.: SU2-+G, ограничение которого на диагональные матрицы-
есть X. Определим путь рх из единицы в X как i\ ° р, где р:
[О, я] -+LSU2 задается формулами
cos t sin
-(
-sin t cos t
—z cos t sin t
— sin t —z~
Рассмотрим теперь кусок поверхности в LG, задаваемый ото-
отображением
Р: {(s, t):
где P(s, t) = pt.(t)p]3.(s). Замечая, что
р@р'@ = (_1 о), когда 0
4.8. Ограничение расширения на подгруппу LT
75
U 1Г
мы видим, что Р*(и = 0. Поскольку Р ограничен путями
и Рг-Р\>., мы видим, что достаточно проинтегрировать <а по куску
поверхности, ограниченному рь-р». и р^-рх- Если <Х, ц>=0, то
Pp.
Рис. 1.
¦рх-р^ = р^-рх, так что в этом случае формула D.8.2) выпол-
выполняется.
Рассмотрим теперь поверхность
Q: {{s, t): O^s <^<!я} ->LG,
задаваемую отображением Q(s,t)= pb(s)pn(t)pt,(t — s). До-
Довольно утомительная проверка снова показывает, что Q*oi = 0.
Поверхность Q ограничена путями р\-рц, р^-рх и путем
s^-P*. (s) Рц (л) Ра, (я — s).
Но сопряжение посредством
¦•Г °-.)
76
Гл. 4. Центральные расширения
нормализует подгруппу ix{SU2) и соответствует отображению
(a
{с
a
«)
группы SU2. Поэтому
Ра. («) Рц
(я — s) =
.(n)h(q(s)),
где q — некоторая петля в SU2. Интерес представляет лишь,
случай <Х, ц>=—1. Тогда
sin 2s
при
q(s) =
z cos 2s
— sin 2s
z cos 2s
sin 2s
\
KZ CO!
z cos 2s
—z sin 2s
z~ ^os 2s
^-<5<Я.
Поскольку г*<а есть стандартная 2-форма ш на LSU2, нам оста-
осталось лишь доказать, что интеграл формы <а по куску поверхно-
поверхности в LSU2, ограниченному петлей q, равен ±л. Подходящаяз
поверхность задается отображением
где
, ?) =
^«Н-ий
"'
С
?
•l(?-ft
для ?>0.
для S<0.
Вычисление требуемого интеграла не составляет проблемы.
Теперь мы можем выписать явно коцикл, задающий ограни-
ограничение расширения LG на LT. Элементы группы LT имеют вид,
ехр /, где /: R —>-1 — отображение, такое, что величина
постоянна и лежит в решетке Л. Будем обозначать через f e t:
среднее значение отображения / на отрезке [0, 2я].
Предложение D.8.3). Если G — односвязная группа с про-
простыми связями, то расширение группы LT, индуцируемое расши-
расширением LG, задается коциклом с, где
4.8. Ограничение расширения иа подгруппу LT
77
и
2л
S(f, ff) = ij (/(9).
Здесь билинейная форма Ъ на Л та же, что и в D.8.1).
Доказательство. Заметим сначала, что с есть корректно
определенное отображение LTX.LT-+T- Оно является коцик-
коциклом в силу своей бимультипликативности, поэтому оно опреде-
определяет некоторое расширение группы LT.
Над компонентой единицы в LT наше расширение полностью
определяется соответствующим коциклом на алгебре Ли (см. об-
обсуждение LUn в разд. 4.7). Ясно, что коцикл с индуцирует пра-
правильный коцикл на алгебре Ли. Далее, в силу предложения
D.8.1) с описывает правильное расширение решетки Л с= LTt
хотя представители классов смежности е*. заменены теперь на
еA/4)<я<я. *»е^ для завершения доказательства достаточно прове-
проверить, что с задает правильное присоединенное действие груп-
группы Л на алгебре Ли L\. Но присоединенное действие было вы-
вычислено в предложении D.3.2); легко видеть, что оно совпадает
с действием, задаваемым с помощью с.
Замечание. Коцикл из предложения D.8.3) не инвариантен
относительно действия группы Diff+E1) на LT, причем его
нельзя сделать инвариантным никаким выбором представителей
классов смежности. Если представитель е (/) е LT отображе-
отображения /: R—*-t выбран так, что выполняется D.8.3), то для q>e
€=Diff+(S') имеем
D.8.4)
где
2я
а(ф, f) =
В частности, если ф — поворот на угол а, то
D.8.5)
Сложно выглядящее выражение из предложения D.8.3) было
выбрано из всех коциклов, описывающих то же расширение LT
группы LT, для того чтобы сделать формулу D.8.5) наиболее
простой.
78
Гл. 4. Центральные расширения
4.9. Скалярное произведение на R®Lg
Невырожденная инвариантная билинейная форма < , > на g
индуцирует такую же форму на L% по формуле
2я
= -2г5<?(в), Ti(9)>d8.
D.9.1)
Однако на расширенной алгебре ?jj (по крайней мере, когда jj
полупроста) не может быть невырожденной инвариантной фор-
формы, поскольку [Lg, Lg] = Lg, а центр алгебры Ли ортогонален
ее коммутанту относительно любой инвариантной формы. Ввиду
этого часто оказывается полезным замечание, что алгебра Ли
полупрямого произведения Т X LG (где Т — группа поворотов
окружности 51, естественно действующая на LG) обладает ка-
канонической невырожденной инвариантной билинейной формой
всякий раз, когда форма < , > на $, определяющая расшире-
расширение LG, невырожденна.
Если отождествить алгебру Ли L% с Lg© R, как в разд. 4.2,
а алгебру Ли группы Т отождествить с R посредством а -«-»-
-«->¦ a(d/dt), то алгебра Ли группы Т XLG есть R Ф
скобкой, задаваемой формулой
{(*!• 6р Уг)> (Х2> %> У2)] = @. [6р У + Х&-Х&, <
Здесь (lu Q — из D.9.1), т. е. это коцикл ©(I,, ?2)
лим билинейную форму на этой алгебре формулой
h, У\), (х2, %2
g Ф R со
D.9.2)
Опреде-
ОпредеD.9.3)
Эта форма, очевидно, инвариантна относительно присоединен-
присоединенного действия алгебры Ли на себе, а значит, и относительно
присоединенного действия компоненты единицы группы LG. От-
Отсюда вытекает очень полезное вычислительное следствие, кото-
которое нельзя столь же просто получить другими средствами.
Предложение D.9.4). Если у лежит в компоненте единицы
группы LG, то присоединенное действие элемента у на R©Lg
задается формулой
У ¦ (х, I, У) = (х, у ¦ ё-xvV, 0-
r, Y~V>) ¦
Доказательство. Из предложения D.3.2) мы знаем, что эта
формула справедлива для х = 0. Нам также заранее известно,
что правая часть должна иметь вид (х, ..., ...). Но тогда легко
4.10. Расширения группы Мар(Х; G)
79
видеть, что приведенная формула — единственная возможная
формула, сохраняющая билинейную форму D.9.3).
На практике мы часто более заинтересованы в коприсоеди-
ненном действии элемента у на двойственном пространстве
(Lg)*®R.
Важнее всего случай, когда у есть гомоморфизм Qt—>ехр(9'п),
определяемый посредством элемента r\^Tczt, представляю-
представляющего элемент подгруппы сдвигов в аффинной группе Вейля.
Предложение D.9.5). Элемент r\^fcWatt действует на
R Ф t* Ф R по формуле
(п, К, А)н->(Л + <Я, T,) + 4-ANI!2, A + /IT,, Л),
где мы. отождествили X ut* с помощью скалярного произведения.
Замечание. Если у не лежит в компоненте единицы груп-
группы LG, то, как мы видели в разд. 4.7, его действие на R ф LS
допускает произвол. В этом случае действие не обязательно со-
сохраняет скалярное произведение. Так, для LUn, если очевидным
образом отождествить Т с Z", то формула, соответствующая
D.9.5), имеет вид
(п, X, К) >-> (л + {%, т,) + i- h ? r\t ft, - 1), К + йть h) , D.9.6)
это не ортогональное преобразование. Доказательство D.9.6)
будет дано ниже в предложении F.8.7).
4.10. Расширения группы Map (X; G)
Для общего компактного многообразия X группа Мар(Х; G)
не является ни связной, ни односвязной (если G = Un и п >
> A/2) dim X, то группа компонент группы Мар(Х; G) есть
группа К~1(х) Атьи и Хирцебруха [3], а ее фундаментальная
группа есть К°(Х)). Обозначим через m(X; G) односвязную на-
накрывающую группу группы Map(X;G); следует представлять
себе, что ее получают из Мар(Х; G), последовательно убивая
ГруППЫ Яо И Я|.
Предложение D.10.1). (i) Вели группа G односвязна, то
имеется каноническое центральное расширение fh(X; G) груп-
группы m(X; G), такое, что П2(т.(Х; G)) = 0.
(ii) Группа m(X; G) есть универсальное центральное расши-
расширение группы m{X;G), а ее алгебра Ли — это универсальное
80
Гл. 4. Центральные расширения
центральное расширение алгебры Ли Map (X; g), описанное
в разд. 4.2.
(ш) Если группа G проста, то ядро этого расширения есть
пространство Ql (X)/Qlz (X) l-форм на X по модулю 1-форм
с целочисленными периодами.
Доказательство. Мы можем считать группу G простой. Обо-
Обозначим через А требуемое ядро Ql(X)/Qz(X). Заметим, что ал-
алгебра Ли группы А есть векторное пространство Q1 (X) /dQ° (X)
из предложения D.2.8). Используя D.4.2), нам достаточно за-
задать замкнутую 2-форму ю на m(X; G) со значениями в
Ql(X)/dQ°(X), такую, что интеграл от <а по любому 2-циклу
в т(Х; G) принадлежит Qlz(X). Такая форма на т(Х; G) за-
задается 2-коциклом <а на алгебре Ли Map (X; g), определяемым
формулой (йA,г])= <|, dr\} (см. D.2.9)). Условие целочисленно-
сти выполняется, поскольку для каждого гладкого отображения у.
Si-^X вещественнозначная 2-форма L на m(X;G) является
Y
обратным образом целочисленной формы на LG.
Универсальность расширения т(Х; G) и обращение в нуль
группы л2 доказываются точно так же, как для групп петель.
Расширение Микельссона — Фаддеева
Помимо центральных расширений у группы Мар(Х; G) есть
другое, в принципе более элементарное, расширение, недавно
привлекшее к себе внимание в квантовой теории поля. Оно было
введено Микельссоном [112], Фаддеевым [41] и другими (см.
также [138] и [157]).
Заметим сначала, что если Г — произвольная группа Ли,
a CGff(r;Z)—произвольный класс когомологий, инвариант-
инвариантный относительно левых сдвигов на элементы группы Г (это
автоматически так, если Г связна), то имеется единственное
гладкое расслоение У над Г со слоем окружность, классом
Чженя которого является с. С У связывается расширение Г
группы Г с помощью абелевой группы гладких отображений
Г-»-Т. Элементы группы Г — это гладкие Т-эквивариантные
отображения у: Y-+Y, накрывающие левые сдвиги y: Г-»-Г
на элементы у е Г. Если ю — замкнутая 2-форма на Г, пред-
представляющая класс с, то расширение алгебр Ли, соответствую-
соответствующее Г, определяется коциклом
(I,
<*>(?,
4.10. Расширенигруппы Мар(Х; G)
81
со значениями в векторном пространстве гладких вещественно-
значных функций на Г (здесь элементы g, r\ алгебры Ли груп-
группы Г рассматриваются как левоинвариантные векторные поля
на Г). Так определенное расширение группы Г не является цен-
центральным расширением: группа Г естественным образом дей-
действует на ядре Map (Г; Т).
Когда группа Г есть Мар(Х; G) для некоторого л-мерного
многообразия X, мы можем получить расширение такого вида,
выбирая произвольный элемент в Hn+2{G; Z), беря его обратный
-образ на ХХМар(Х; G) и интегрируя его по X.
Предположим теперь, что задано произвольное главное Г-рас-
слоение Р. Для каждого левоинвариантного се Я2(Г; Z) можно
найти 2-форму <а на Р, ограничение которой на каждый слой
расслоения Р замкнуто и представляет класс с. Предшествую-
Предшествующее обсуждение можно обобщить, что дает
Предложение D.10.2). Предположим, что группа Г связна
и односвязна. Тогда с классом с естественно ассоциируется
расширение группы Г с помощью Мар(Р;Т). Соответствующее
расширение алгебр Ли определяется коциклом (|, х\)ь—><й(|р,т)р),
¦где ер и х\р — векторные поля на Р, соответствующие элемен-
элементам |, У] алгебры Ли группы Г.
Доказательство. Следуя методу разд. 4.4, нам достаточно
•определить отображение
С: (петли в Г) -»¦ Map (Р; Т),
обладающее свойствами (HI) и (Н2) из разд. 4.4 и эквивари-
антное относительно Г. Для каждой петли I в Г и точки р е Р
определим Ср(/)еТ какехрм \<о), где а — произвольный ку-
кусок поверхности в слое Т-р, границей которой является
петля 1-р.
Замечания, (i) Предположение об односвязности Г в пред-
предложении D.10.2) излишне, если с является трансгрессией неко-
некоторого элемента группы H3(BT;Z), где ВТ — классифицирую-
классифицирующее пространство группы Г.
(ii) Если Р связно и односвязно, то ядро Мар(Р;Т) имеет
гомотопический тип окружности, и наше расширение гомотопи-
чески есть просто расслоение со слоем окружность, соответствую-
соответствующее классу сеЯ2(Г;7).
В квантовой теории поля интерес представляет случай, ко-
когда Р есть стягиваемое пространство связностей в главном
G-расслоении на ориентируемом 3-многообразии X, а Г =
6 Зак. 230
82
Гл. 4. Центральные расширения
= Мар(Х; G). Класс с <= Я2 (Г; Z) строится, исходя из элемента
группы Я5(С?; Z), определяемого с помощью инвариантной три-
трилинейной формы F на д. Если G-расслоение на X тривиально,,
т. е. Р = й1 (X; д), то соответствующий коцикл на алгебре Ли со-
сопоставляет элементам |, у\ еМар(Х; д) функцию
dl,
на P.
4.11. Дополнение: когомологии группы LG и ее алгебры Ли
Для компактной группы G когомологии H*(G;'R) с веще-
вещественными коэффициентами могут быть вычислены по теореме
де Рама. Если обозначить через g-a левый сдвиг замкнутой:
формы <а на G с помощью элемента get?, то усредненная
форма \g-(odg представляет тот же класс когомологии, что
о
и ш, поскольку класс когомологии не меняется при сдвигах. От-
Отсюда следует, что когомологии можно вычислить с помощью»
коцепного комплекса левоинвариантных форм на G, т. е. с по-
помощью коцепного комплекса алгебры Ли д. Иными словами,
Я* (G; R) <~ Я* (д; R).
Известно, что эти когомологии образуют внешнюю алгебру
с I образующими нечетных степеней, где /—ранг группы G.
Эти образующие следующим образом соответствуют образую-
образующим алгебры инвариантных полиномиальных функций на д (ко-
(которая сама является алгеброй многочленов от I образующих
([20, гл. V, § 5, пс 3])). По каждому многочлену Р степени /г,.
рассматриваемому как симметрическая полилинейная функция.
9Х ••• X9->R.
строится кососимметрическая полилинейная функция 5 от*
2k— 1 переменных по формуле
D.11.1>
где сумма берется по всем перестановкам я множества {1, 2, ...
..., 2k-l}.
Если G = Un, то в качестве образующих кольца инвариант-
инвариантных многочленов можно взять Pi,Pi, ..., Рп, где Рк(А) = tr(Ак)~
4.11. Дополнение когомологии группы LG и ее алгебры Ли
83
Очень легким результатом в алгебраической топологии [16]
является тот факт, что когомологии Я*(фб; R) пространства от-
отмеченных петель на односвязной группе G образуют алгебру
многочленов от четномерных классов, получаемых из образую-
образующих алгебры H*(G;R) трансгрессией, т. е. взятием обратного
образа на SlX.QG при отображении вычисления, с последую-
последующим интегрированием по S1. Класс, получаемый таким образом
из D.11.1), есть Bk — 2)-форма на QG, значение которой на
касательных векторах в точке y^QG, представляемых элемен-
элементами |ь ..., l2k-2 e Qg, равно
2л
^ \ 5A, (9), ?,(8),
D.11.2)
Эта форма естественно определена на LG. Когомологии
H*(LG) — это просто тензорное произведение Я*(С)® H*(QG),
поскольку как пространство LG ^ G X &G-
Дифференциальная форма D.11.2), очевидно, не является ле-
воинвариантной, и у нас нет оснований ожидать, что когомоло-
тии пространства LG могут быть представлены левоинвариант-
ными формами. Тем не менее справедливо
Предложение D.11.3). Bk — 2)-форма D.11.2) на LG кого-
.мологична рациональному кратному левоинвариантной формы,
получаемой кососимметризацией отображения
'(up ¦ • • ,
2я
0
Следствие D.11.4). Естественное отображение
Н'(Ш R)-+H*(LG; R)
сюръективно.
Замечания. На самом деле отображение из D.11.4) есть изо-
изоморфизм. Мы докажем это в разд. 14.6 (ср. также [97]). Этот
результат следует противопоставить нашему открытию в
разд. 4.2 того факта, что при dim(X)> 1 группа Я2(Мар(Х;д))
намного больше, чем Я2(Мар(Х; G)). Квиллен указал нам, что
класс в H2k~d-1 (Map(X; G)), получаемый взятием обратного
юбраза класса D.11.1) при отображении вычисления XX
X Мар(Х; G)—*- G и интегрированием его по циклу размерно-
размерности d в X, при k > d представляется левоинвариантной формой,
но в остальных случаях, как правило, нет.
Доказательство D.11.3). Введем еще некоторые удобные обо-
обозначения. Беря обратный образ 1-формы Маурера — Картана
•6*
84
Гл. 4. Центральные расширения
gg на G (со значениями в д) при отображении вычисления
SlX.LG-+G, мы будем записывать получающуюся форму как
| _|_ Tj) где | обращается в нуль на касательных векторах в на-
направлении S1, а т) равна нулю вдоль LG (таким образом, в точке
(9, yi^S^LG форма т) есть у (д)~У (В) dQ). В этих обозначе-
обозначениях формы из D.11.2) и D.11.3) получаются (с точностью да
рациональных множителей) интегрированием по S1 форм
е = Р([?, а, • ••, [I, ?], л)
Ф = Р([?, ?], .... IE. -SI, ?, <*'?)
на 5'X^-G (через <f и d" обозначается дифференцирование
форм в направлениях S1 и LG соответственно).
Поскольку d{g~ldg) = — ^[g~ldg, g~ldg] на G, мы полу-
получаем
Рассмотрим теперь форму ЧГ = Р([|, ?], .... [1,1]»?, ц) на
S1 X LG. Ясно, что d" [?, |] = 0, поэтому
erv=- 4-р (в. а, • • •. [?. а. л)+р (Е. а. • • •. е. а. ?. ^) +
+р(Е, а. •••. к. а. ?» к» ¦л])-
Используя инвариантность многочлена Р и тот факт, что в силу
тождества Якоби [[?,?], ?] = 0, мы видим, что третий члев
в правой части равен в, откуда
Требуемый результат получается интегрированием этого соотно-
соотношения по S1.
Глава 5
Система корней: алгебры Каца—Муди
Общая особенность нашего подхода к группам петель со-
состоит в том, что он не включает в себя детального анализа
структуры алгебр Ли этих групп. Эти алгебры Ли являются
примерами так называемых алгебр Каца — Муди1) и их изуче-
изучению посвящена очень обширная литература (см. [86], [109],
[72]). В этой главе мы пытаемся очень кратко объяснить место
групп петель в этом контексте. Материал разд. 5.1 и 5.2 будет
использован позднее при классификации представлений групп
петель, но собственно теория Каца — Муди, намеченная в
разд. 5.3, далее упоминаться не будет.
5.1. Система корней и аффинная группа Вейля
В гл. 2 мы объяснили, что решающий шаг в изучении ал-
алгебры Ли й компактной группы Ли С? состоит в разложении ее
комплексификации дс относительно присоединенного действия
максимального тора Т группы С?. Имеем
где tc — комплексифицированная алгебра Ли тора Т, а ga — од-
одномерное подпространство в дс, на котором Т действует с по-
помощью гомоморфизма а: Т-*-Т. Гомоморфизмы а, входящие
в это разложение, называются корнями группы G. Они обра-
образуют конечное подмножество в решетке ? = Нот(Т;Т)-
Наиболее очевидным разложением комплексифицированной
алгебры Lqc группы петель является разложение по компонен-
компонентам Фурье:
Это разложение в сумму собственных подпространств для дей-
действия группы окружности Т, целиком поворачивающей петли.
*) Эти алгебры впервые были почти одновременно изучены Кантором
[89], Кацом [82] и Муди [117].
84
Гл. 4. Центральные расширения
g~ldg на G (со значениями в д) при отображении вычисления
SlY.LG-+G, мы будем записывать получающуюся форму как
g-J-т), Где | обращается в нуль на касательных векторах в на-
направлении S1, a Ti равна нулю вдоль LG (таким образом, в точке
(Q,y)e=S1XLG форма т) есть v(9)~V(9)^9)- в этих обозначе-
обозначениях формы из D.11.2) и D.11.3) получаются (с точностью до-
рациональных множителей) интегрированием по S1 форм
е = Р([1, 6], .... Е, ?1. л)
?],••-, [?.?]. ?. <*'?)
на SlXLG (через <f и d" обозначается дифференцирование
форм в направлениях S1 и LG соответственно).
Поскольку d{g~ldg) = — \[g~ldg, g~ldg] на G, мы полу-
получаем
d'g + <Гл = - [?, л]-
Рассмотрим теперь форму ЧГ = Р([|, |], ..., [I, ?], ?, л) на
S1 X LG. Ясно, что d" [?, ?] = 0, поэтому
<TW = _|р ([|, |], ..., [|, g], т,)
+ Р([1, ?],..., Е. ?1, ?. К. л])-
Используя инвариантность многочлена Р и тот факт, что в силу
тождества Якоби ¦[[?,?], ?] = 0, мы видим, что третий члев
в правой части равен в, откуда
Требуемый результат получается интегрированием этого соотно-
соотношения по 51.
Глава 5
Система корней: алгебры Каца—Муди
Общая особенность нашего подхода к группам петель со-
состоит в том, что он не включает в себя детального анализа
структуры алгебр Ли этих групп. Эти алгебры Ли являются
примерами так называемых алгебр Каца — Муди1) и их изуче-
изучению посвящена очень обширная литература (см. [86], [109],
[72]). В этой главе мы пытаемся очень кратко объяснить место
групп петель в этом контексте. Материал разд. 5.1 и 5.2 будет
использован позднее при классификации представлений групп
петель, но собственно теория Каца — Муди, намеченная в
разд. 5.3, далее упоминаться не будет.
5.1. Система корней и аффинная группа Вейля
В гл. 2 мы объяснили, что решающий шаг в изучении ал-
алгебры Ли й компактной группы Ли G состоит в разложении ее
комплексификации дс относительно присоединенного действия
максимального тора Т группы G. Имеем
где tc — комплексифицированная алгебра Ли тора Т, а ga — од-
одномерное подпространство в дс, на котором Т действует с по-
помощью гомоморфизма a: T—>-Т- Гомоморфизмы а, входящие
в это разложение, называются корнями группы G. Они обра-
образуют конечное подмножество в решетке ?=Нот(Г;Т).
Наиболее очевидным разложением комплексифицированной
алгебры Z.gc группы петель является разложение по компонен-
компонентам Фурье:
Ьдс=фI flc-2*-
Это разложение в сумму собственных подпространств для дей-
действия группы окружности Т, целиком поворачивающей петли.
*) Эти алгебры впервые были почти одновременно изучены Кантором
[89], Кацом [82] н Муди [117].
•:86
Гл. 5. Система корней: алгебры Каца — Муди
Это действие коммутирует с присоединенным действием посто-
постоянных петель, так что мы можем дальше разложить Lgc отно-
относительно действия.максимального тора Т группы G:
3 © 9с/. E.1.1)
Слагаемые в этом разложении индексированы гомоморфизмами
ТХ Т-+Т, т. е. элементами группы ZXT. Встречающиеся при
этом гомоморфизмы (k, а) (возможно, с нулевым а) снова на-
называются корнями группы LG.
Мы можем переформулировать только что сказанное, вводя
полупрямое произведение Т X LG группы Т на группу LG, на
которой Т действует поворотами петель. Централизатором под-
труппы Т в Т XLG является Т X G, так что Т X Т есть макси-
максимальная абелева подгруппа в Т X LG. Комплексифицирован-
шая алгебра Ли группы ТХ LG разлагается в сумму
по характерам группы ТХ^-
В конечномерном случае корни группы G переставляются
между собой группой Вейля. Это группа автоморфизмов
тора Т, индуцируемых сопряжением в G, т. е. W = N(T)/T, где
N(Г) = {ле G: пТп~1 = Т}—нормализатор подгруппы Т в G.
Если п — элемент группы N(T), то /г-да = 8ла, где гомоморфизм
па: Т-+-Т задается формулой na(t) = а(п~Чп).
Точно таким же образом, бесконечное множество корней
в LG переставляется группой Wau== N(TX T)/(TX T), где
iV(TX^) — это нормализатор в TXLG. Группа Waff назы-
называется аффинной группой Вейля (по причинам, которые мы
вскоре объясним). Ее структура описывается следующим пред-
предложением. Будем обозначать решетку «ковесов» группы G че-
через Т; это решетка всех гомоморфизмов Т-*-Т (см. разд. 2.4).
Предложение E.1.2). Группа Watt есть полупрямое произве-
произведение группы Т на группу Вейля W группы G.
Доказательство. Решетка Т является подгруппой в LG и
очевидным образом централизует подгруппу Т. С другой сто-
стороны, если Ru есть_операция поворота, соответствующего неТ
'(т. е. ^„еТсТХ LG), то для каждой петли f e LG
f-Ru-f-l = Ru-V, E.1.3)
5.1. Система корней и аффинная группа Вейля
87
где y(z) = f(uz)f(z)-1. Если / есть гомоморфизм Т-э-Г, то
Ф(г) — это константа f(u)<=T, поэтому ТczN(TXT). Обратно
если /seLG лежит в N(JXT), то f(uz)f(z)~l как функция от z
при каждом и должна быть постоянной, откуда вытекает, что
отображение zt->f(z)f(l)-i есть гомоморфизм Т-»-7\ Далее,
f A) должно принадлежать нормализатору N группы Т в G; от-
отсюда следует, что N (ТХ Т) лежит в G, и это доказывает E.1.2).
В конечномерном случае элементы решетки Т, а значит, и
все корни, обычно представляют себе лежащими в веществен-
вещественном векторном пространстве t*, отождествляя гомоморфизм а:
Т-+Т с линейным отображением a: t-*-R, таким, что а = еш\.
Аналогично, корни группы LG можно представлять себе как
линейные формы на алгебре Ли R X t группы Т X Т. Удобнее,,
однако, рассматривать их как аффинно-линейные функции на t,
отождествляя t с аффинной гиперплоскостью 1 X t в R X *• По-
этой причине, а также для того, чтобы отличать их от корней
группы G, корни группы LG часто называют аффинными кор-
корнями. Группа Waff линейно действует на R X t: действие груп-
группы W очевидно, а действие элемента lef в силу E.1.3) за-
задается формулой
Я • (х, |) = (х, I + х%).
Таким образом, группа Waff сохраняет гиперплоскость lXt, a
элемент lef действует на ней сдвигом на вектор Xefct.
При а Ф 0 аффинный корень (k, а), рассматриваемый как
аффинно-линейная функция на t, с точностью до знака опреде-
определяется аффинной гиперплоскостью
Hk>a = {Z<=t: (a, l) = -k)
в t, на которой он обращается в нуль. Набор этих гиперплоско-
гиперплоскостей называется диаграммой группы LG. Картина для E=5<7з;
показана на рис. 2.
Связные компоненты дополнения к гиперплоскостям Hk, a.
в t называются альковами этой диаграммы. Напомним, что ком-
компоненты дополнения к гиперплоскостям Но, а (образующим диа-
диаграмму группы G) называются камерами. В каждой камере С
содержится единственный альков Со, замыкание которого содер-
содержит начало координат. Если фиксировать камеру С, то корни
группы G называются положительными или отрицательны-
отрицательными в зависимости от их знака на С. Соответствующий альков Со
есть множество
{let: 0 < а (|) < 1 для всех положительных корней а}.
Аффинный корень называется положительным или отрицатель-
отрицательным в зависимости от его знака на Со. Положительные аффин-
Гл. 5. Система корней: алгебры Каца — Муди
ные корни, соответствующие стенкам алькова Со, называются
простыми аффинными корнями.
Если группа G полупроста, то известно, что каждая камера С
является симплициальным конусом, ограниченным I гиперпло-
гиперплоскостями Но, о,, ..-, Но,ар соответствующими простым корням
«1, ..., а; группы G. Здесь I — размерность пространства t, на-
называемая рангом группы G. Если G — простая группа, то у нее
•есть старший корень ai+i (старший вес присоединенного пред-
Я,
ставления), доминирующий все остальные положительные кор-
щи. В этом случае альков Со есть /-мерный симплекс, ограни-
ограниченный гиперплоскостями Но, а,, • •., Но, а[ и Hi, -a[+l, и у груп-
группы LG имеется 1-\- 1 простых корней @, ai), @, а2), ...
..., (О, а;), A,—аг+i). В общем случае Со есть произведение
q симплексов, по одному на каждый простой сомножитель груп-
группы G, и у LG есть l-\-q простых корней, а именно @, а*) для
1=1, ..., / и A,—а,) для i = l+l, ..., l + q, где аг+ь ...
..., «;+„ — старшие веса, входящие в присоединенное представ-
представление.
Известно, что конечная группа W порождена отражениями
относительно гиперплоскостей Но, а и действует просто транзи-
тивно на множестве камер. Соответствующие утверждения спра-
справедливы и для Waff-
Предложение E.1.4). Если группа G односвязна, то
(i) группа Wait порождена отражениями относительно ги-
гиперплоскостей Hk.a,
5.2. Образующие и соотношения
89'
(ii) Wan действует просто транзитивно на множестве аль-
альковов.
Доказательство, (i) Мы знаем, что отражение sa относитель-
относительно гиперплоскости Но, а лежит в W. Оно задается формулой
где ha — кокорень, соответствующий корню а (см. разд. 2.4)...
Имеем а(Ла) =2, так что точка —(l/2)kha лежит в #*,а. По-
Поэтому отражение sk>a относительно гиперплоскости Hk,a имеет
вид
Но ha принадлежит решетке ^Г, так что skya s W X f = au
Обратно, достаточно показать, что сдвиг ta на вектор A«et
принадлежит группе, порожденной отражениями Sk, а', в самом,
деле, кокорни па порождают решетку Т. Но в силу E.1.5)
'a== sl, — os0, a-
(ii) (См. [20, гл. V, § 3, п°1].) Пусть А—произвольный"
альков. Мы должны показать, что v-<4 = Со для некоторого 7 ^
е Wan. Выберем в А точку а. Орбита точки а относительно Wan
есть локально конечное подмножество 5 в t Мы должны пока-
показать, что S пересекается с Со. Выберем точку с ^ Со, а затем
точку 6eS с минимальным расстоянием до с. Если Ъ ф. Со, то
Ъ должна быть отделена от с по крайней мере одной стен-
стенкой Я алькова Со. Отражая Ъ относительно Н, мы получим
точку орбиты 5, более близкую к с, чем Ь—противоречие. Итак,.
Waff действует на альковах транзитивно. Обратно, элемент груп-
группы Waff полностью определяется альковом, в который он пере-
переводит альков Со: это сразу вытекает из соответствующего факта1
о действии группы W на камерах.
Замечание E.1.6). Доказательство (ii) фактически показы-
показывает, что Waff порождена отражениями относительно гиперпло-
гиперплоскостей, соответствующих простым аффинным корням.
5.2. Образующие и соотношения
Теперь мы можем описать алгебру Ли Lgc, а точнее, ее уни-
универсальное центральное расширение, с помощью образующих
и соотношений. Если g — конечномерная полупростая алгебра»,
и если для каждого корня а в корневом пространстве йо выбран
Гл. 5. Система корней: алгебры Каца — Муди
ненулевой элемент еа (см. разд. 2.4), то алгебра дс порождена
элементами еа; более того, она порождена элементами е, = eaj
= e-a. для,/=1, ..., /,'где а/ — простые корни. Скобка
и
[е7-, /у] пропорциональна кокорню hj = ha s t, и, если норма-
нормализовать е,- и /у так, что [es, fj] = ihj, то следующие соотношения
образуют полное множество соотношений, определяющих ал-
алгебру дс:
[в/, f/] = i
[A/, ek] = i
(ad e,)l-ai*-ek = 0,
[в/, fA) = 0 при у
(ad f/I-0/* fk = 0.
E.2.1)
Здесь adx обозначает операцию у*—>[x, у], a ayA — некоторые
целые числа, образующие /X /-матрицу, называемую матрицей
Картана алгебры д. Эта матрица полностью определяет струк-
структуру алгебры д. Доказательство см. в [134].
Перейдем теперь к группам петель. Выберем элементы е7-, fj
в Lgc, соответствующие простым аффинным корням. В обозна-
обозначениях разд. 5.1 при 1 ^ / ^ / в качестве еу- и /; можно взять
обычные элементы в gcc Lgc, а при / < у ^ / + q положить
= ze-a.,
)
~l
= z~leaj (здесь q есть число простых сомножителей
Предложение E.2.2). Если g полупроста, то алгебра Ли
L olgc порождена элементами elt fj, соответствующими простым
аффинным корням.
Доказательство. Мы можем считать, что д проста. Тогда эле-
элементы б/ и fj для у =sC / порождают алгебру дс. Но ei+\ = ze-a-,
где a — старший корень в д. Поскольку присоединенное пред-
представление неприводимо, применяя элементы алгебры дс к ze_a,
мы получим все пространство zgc, так что zgc содержится в ал-
алгебре, порожденной элементами е, и /у. Далее, элемент z2e_a
пропорционален [zhj, ze-a], где ihj = [е/, //], а индекс у ^ / вы-
выбран так, чтобы а(А/)=И=0. Это дает нам пространство г2дс,
и так далее.
Теперь мы можем сразу же проверить, что в Lgc выпол-
выполняются все соотношения E.2.1), где / и k пробегают значения
от 1 до / + q. Матрица Картана (размера (/ + q)\(l + q)) за-
задается формулой
5.2. Образующие и соотношения
где Р/ = а/ при у ^ / и Р/ = —щ при у > I. Поскольку лишь I
из векторов Р/ линейно независимы, мы видим, что ранг мат-
матрицы Картана равен /.
Хотя соотношения E.2.1) выполняются в Lpolgc, они не обра-
образуют ее системы определяющих соотношений. Теорема Габбера
и Каца [52], которую мы не будем доказывать в этой книге,,
утверждает, что эти соотношения задают универсальное цен-
центральное расширение L olgc алгебры Lpolgc с помощью КС=С?
описываемое коциклом о>к из D.2.7). Мы ограничимся здесь тем
фактом, что соотношения E.2.1) выполняются в алгебре
Zpolgc. Для этого отождествим Ipolgc с LpOlJc®i(c и опреде-
определим элементы ё}, fj, hf алгебры Lpolgc формулами
ё, = (е„ 0), fj = (fj, 0),
¦j, 0) для /=1, . .., /,
hj, —j(hj, /*,)*) для y=/ + l, ..., l + q.
Легко проверить, что элементы ё;, fj, hj удовлетворяют соотно-
соотношениям E.2.1). Кроме того, эти элементы порождают алгебру
L olgc> поскольку скалярные произведения <А/, hj)K с / < / ^
^ / + q порождают пространство Кс.
Имея в виду предшествующие формулы, при изучении цен-
центрального расширения LG группы LG, определяемого билиней-
билинейной формой < , > на д, естественно сопоставить каждому аффин-
аффинному корню а=(А, а) с а Ф 0 аффинный кокорень ha B ?g,,
определяемый формулой
E.2.3>
Беря элемент ha вместе с е« = (zkea, 0) и е~а = {г~ е~а, О), мы
получим тогда копию алгебры Ли группы SU2, вложенную
в Lgc; экспоненцируя, мы приходим к гомоморфизму
L: SU2-+LG. E.2.4>
Из рассуждений в доказательстве C.5.3), очевидно, вытекает
Предложение E.2.5). Если группа G односвязна, то l + q-
подгрупп ia(SU2), соответствующих простым аффинным корнямf
порождают группу LpoiG.
¦92
Гл. 5. Система корней: алгебры Каца — Муди
Пример. Группа LVO\SU2 порождена подгруппой SU2 постоян-
постоянных петель и копией группы SU2, состоящей из элементов
- /г)
—bz a J
с |а|2 + |6|2=1. Вторая подгруппа получается из первой внеш-
внешним автоморфизмом группы LSU2, соответствующим нетриви-
нетривиальному элементу центра группы SU2 (см. C.4.4)).
5.3. Алгебры Каца —Муди
Известно, что матрица Картана A=(aij) произвольной по-
полупростой алгебры Ли дс удовлетворяет следующим двум усло-
условиям (см. [20, гл. V], где ац записано в виде n(ai, а,)).
(Cl) a,-/eZ для всех i, у, аи = 2 для всех i; если 1ф\,
то ац =s^ 0; если ац = 0, то ад = 0.
(С2) Матрица А положительно определена, т. е. все ее глав-
главные миноры больше нуля.
Обратно, для любой /X /-матрицы А, удовлетворяющей (С1),
соотношения E.2.1) определяют абстрактную комплексную ал-
алгебру Ли в'(А); по существу это и есть алгебра Каца — Муди,
определяемая матрицей Картана А. Если А удовлетворяет так-
также и (С2), то алгебра д'(Л) будет конечномерной и полупро-
полупростой; если же (С2) не выполняется, то д'(Л) бесконечномерна.
Естественно спросить, что может быть сказано об алгебре д'(Л)
в этом бесконечномерном случае. Оказывается, слегка модифи-
модифицируя алгебру д'(Л) способом, соответствующим переходу от
группы LG к полупрямому произведению Т 5<LG, мы получим
алгебру, на которую переносится большая часть конечномерной
структурной теории. Поскольку систематическое изложение тео-
теории алгебр Каца — Муди не является целью этой книги, мы опи-
опишем лишь начала этой теории, отсылая читателя за дальней-
дальнейшими подробностями к превосходной обзорной статье [109]
или книге [86].
Прежде всего заметим, что элементы hi линейно независи-
независимы и порождают максимальную абелеву подалгебру $ в д'(Л).
Аналогия с конечномерным случаем подсказывает, что следует
определить простые корни с^ е= У* алгебры д'(Л) формулой
a'j(ht) = aij. К сожалению, если матрица А необратима, то по<
лучающиеся простые корни будут линейно зависимы. Эту труд-
трудность можно преодолеть, переходя к полупрямому произведению
(Л) = ЬФд'(Л), где Ь — некоторое пространство дифференциро-
5.3. Алгебры Каца — Муди
93
ваний алгебры д'(Л), определяемое следующим образом. Пусть
пространство Ь' порождено дифференцированиями dt, i=l, ..., iy
определяемыми формулами di(e,) = буе/ и di(fj) =—б(;/;. Тогда'
ad($0 есть подпространство в Ь', так как ad (hi) = ? a^dji
пусть Ь — дополнительное подпространство, так что dimb =
= согапкЛ. Алгеброй Каца — Муди с матрицей Картана А на-
называется алгебра Ли д(Л) = ЬФд'(Л); с точностью до изомор-
изоморфизма она не зависит от выбора Ь.
С учетом этой модификации пространство Ь = Ь Ф У есть
•максимальная абелева подалгебра в д(Л), а простые корни а,-
могут быть определены так, что [h, ei\ = ai(h)ei для всех h el).
Тогда ai(hi)— ац, причем корни а,- линейно независимы. Осталь-
Остальные корни определяются очевидным образом.
Для дальнейшего продвижения нам нужна комплекснознач-
ная инвариантная симметрическая билинейная форма на $(А).
К сожалению, у д(Л) может не быть такой формы; в действи-
действительности необходимым и достаточным условием для этого яв-
-ляется симметризуемость матрицы Картана, означающая, что
найдется обратимая диагональная матрица D, такая, что DA
симметрична. Когда это так, наша форма невырожденна, при-
причем она единственна с точностью до постоянного множителя,
если матрица А неразложима, т. е. не может быть записана
как нетривиальная прямая сумма двух других матриц (если
матрица А разложима, то $(А) есть прямое произведение соот-
соответствующих подалгебр).
Если на д(Л) есть инвариантная форма < , >, то ее ограни-
ограничение на $ невырожденно. Относительно соответствующей сим-
симметрической билинейной формы на $* имеем <а(-, а«> > 0 для
всех L Вообще, скалярное произведение <а, а> вещественно для
всех корней а, но если Q(A) бесконечномерна, то оно не всегда
положительно; корни а, для которых <а, а>> 0, называются
вещественными, а остальные — мнимыми.
Группу Вейля W алгебры д(Л) можно теперь определить как
труппу изометрий пространства $, порожденную отражениями
относительно плоскостей #аг = кегаг. Очевидно, что W перево-
переводит вещественные корни в вещественные корни; в действитель-
действительности вещественные корни — это в точности lF-орбиты простых
корней.
Мы должны теперь объяснить, какое место в этой картине
занимают алгебры петель. Матрица Картана алгебры Ли Lgc
удовлетворяет (С1) и условию
(С2') det^ = O, а все собственные главные миноры мат-
матрицы А положительны.
Гл. 5. Система корней: алгебры Каца — Мудн
(См. [86].) Алгебры Каца — Муди, соответствующие матрицам
Картана, удовлетворяющим (С1) и (С2'), обычно называют-
аффинными алгебрами Ли. Таким образом, Ъ%с, а точнее, полу-
полупрямое произведение С ф Lgc, является аффинной алгеброй Ли...
где q — число простых сомножителей в дс (если дс = gt с ф ...
• • • Ф % с то С* ф Zgc обозначает произведение алгебр С ф
© La)i с, где сомножитель С порожден очевидным дифференци-
дифференцированием —id/dQ = zd/dz алгебры L%t c).
Таким путем возникает лишь около половины аффинных ал-
алгебр Ли. Остаток составляют алгебры Ли скрученных групп пе-
петель, введенных в разд. 3.7. В алгебраическом контексте выби-
выбирается внешний автоморфизм а алгебры дс конечного порядка к
(так что k= 1,2 или 3) и алгебра Lgc заменяется своей под-
подалгеброй L.a)%c, состоящей из эквивариантных петель f e Lgc:
f{z-lz)=a{f{z)), E.3.1)-
где е — примитивный корень из единицы степени k.
Аффинные алгебры Ли допускают инвариантную симметрич-
симметричную билинейную форму, и их системы корней хорошо изуче-
изучены (см. [72, гл. X, § 5]). В предыдущем разделе мы уже обсу-
обсудили систему корней алгебры Lgc; случай скрученных алгебр
почти не доставляет дополнительных затруднений.
Если Gc — односвязная группа Ли с алгеброй Ли дс, то<
любой автоморфизм алгебры дс однозначно поднимается до ав-
автоморфизма группы Gc, и скрученную группу петель L(a)Gc
можно определить той же формулой E.3.1), где f теперь интер-
интерпретируется как элемент группы LGC. Таким образом, каждая;
аффинная алгебра Ли происходит из группы Ли. До какой сте-
степени это верно для произвольной алгебры Каца — Муди, являет-
является открытым вопросом. Конкретная реализация соответствующих;
групп до сих пор не известна (современное состояние дел в этом;
вопросе см. в [145], [146]).
Глава 6
Группы петель как группы операторов
в гильбертовом пространстве
В этой главе мы изучим естественное вложение группы пе-
петель группы GLn(€:) в ограниченную полную линейную группу
гильбертова пространства. Это вложение будет играть фунда-
фундаментальную роль на протяжении оставшейся части книги.
6.1. Петли как операторы умножения
Обозначим через #("> гильбертово пространство L2E1;C")
квадратично интегрируемых функций на окружности со значе-
значениями в С". Группа LctsGLn(C) непрерывных отображений
S1-*-GLn(C) действует на #(«> при помощи операторов умноже-
умножения; для каждой матричнозначиой функции у на окружности
•обозначим через Му соответствующий оператор умножения.
Норма ||Му|| оператора Mv равна ||yH» — супремуму ||у@)||
по 8eS'. Отсюда следует, что соответствие yt—>My есть вло-
вложение банаховой группы Ли LctsGLn(C) в качестве замкнутой
подгруппы (с индуцированной топологией) в банахову группу
Ли GL(Hin)) всех обратимых ограниченных операторов в #<">,
снабженную топологией операторной нормы. Напомним, что
GL(H<-n)) есть открытое подмножество в банаховой алгебре
JM (//<">) всех ограниченных операторов в //<"> [34].
Все операторы Му коммутируют с оператором Mz умножения
на скалярнозначную функцию z = е'в на окружности. В дей-
действительности группа LctsGLn(C) близка к коммутанту опера-
оператора Mz в GL(HW)
Теорема F.1.1). Коммутант оператора Мг в GL(H^) есть
.группа LineasGLn(C) ограниченных измеримых отображений
S'GL (С)
и Hy@)~MI огра-
ограЗдесь ограниченность у означает, что ||у(9)|
ничены вне множества меры нуль.
Доказательство. Пусть Ле GL(HW) коммутирует с Мг; по-
положим фг = Asi е Н^п\ где е,- есть i-й базисный вектор простран-
пространства С", отождествляемый с соответствующей постоянной функ-
Гл. 5. Система корней: алгебры Каца — Муди
(См. [86].) Алгебры Каца — Муди, соответствующие матрицам
Картана, удовлетворяющим (С1) и (С2'), обычно называют"
аффинными алгебрами Ли. Таким образом, Zgc, а точнее, полу-
полупрямое произведение С ф Lgc, является аффинной алгеброй Ли...
где q — число простых сомножителей в дс (если дс = д^ с ф ...
• • • Ф 8 с т0 ^Ч Ф ^8с обозначает произведение алгебр С ф
© Lg, c, где сомножитель С порожден очевидным дифференци-
дифференцированием -—id/dQ = zd/dz алгебры Lg,-t c).
Таким путем возникает лишь около половины аффинных ал-
алгебр Ли. Остаток составляют алгебры Ли скрученных групп пе-
петель, введенных в разд. 3.7. В алгебраическом контексте выби-
выбирается внешний автоморфизм а алгебры дс конечного порядка k
(так что ? = 1,2 или 3) и алгебра Lgc заменяется своей под-
подалгеброй L.a)%c, состоящей из эквивариантных петель f e Lgc-~
е z) = а(/ (z)), (O.O.I}
где е — примитивный корень из единицы степени k.
Аффинные алгебры Ли допускают инвариантную симметрич-
симметричную билинейную форму, и их системы корней хорошо изуче-
изучены (см. [72, гл. X, § 5]). В предыдущем разделе мы уже обсу-
обсудили систему корней алгебры Zgc; случай скрученных алгебр
почти не доставляет дополнительных затруднений.
Если Gc — односвязная группа Ли с алгеброй Ли дс, то*
любой автоморфизм алгебры дс однозначно поднимается до ав-
автоморфизма группы Gc, и скрученную группу петель L{a)Gc
можно определить той же формулой E.3.1), где f теперь интер-
интерпретируется как элемент группы LGC* Таким образом, каждая;
аффинная алгебра Ли происходит из группы Ли. До какой сте-
степени это верно для произвольной алгебры Каца — Муди, являет-
является открытым вопросом. Конкретная реализация соответствующих
групп до сих пор не известна (современное состояние дел в этом;
вопросе см. в [145], [146]).
Глава 6
Группы петель как группы операторов
в гильбертовом пространстве
В этой главе мы изучим естественное вложение группы пе-
петель группы GLn(C) в ограниченную полную линейную группу
гильбертова пространства. Это вложение будет играть фунда-
фундаментальную роль на протяжении оставшейся части книги.
6.1. Петли как операторы умножения
Обозначим через //(п) гильбертово пространство L2(Sl;Cn)
квадратично интегрируемых функций на окружности со значе-
значениями в С". Группа LctsGLn(C) непрерывных отображений
5'-vGLn(C) действует на #<я> при помощи операторов умноже-
умножения; для каждой матричнозначной функции у на окружности
•обозначим через Му соответствующий оператор умножения.
Норма \\My\\ оператора Му равна НуИ» — супремуму ||у@)||
по 0 е S1. Отсюда следует, что соответствие yi—>МУ есть вло-
вложение банаховой группы Ли LctsGLn(C:) в качестве замкнутой
подгруппы (с индуцированной топологией) в банахову группу
Ли GL(H<-n)) всех обратимых ограниченных операторов в Шп\
снабженную топологией операторной нормы. Напомним, что
GLiHW) есть открытое подмножество в банаховой алгебре
^? (#<">) всех ограниченных операторов в #("> [34].
Все операторы AfY коммутируют с оператором Мг умножения
на скалярнозначную функцию z = e'e на окружности. В дей-
действительности группа LctsGLn(C) близка к коммутанту опера-
оператора Мг в GL(H^)
Теорема F.1.1). Коммутант оператора Мг в GL(H^) есть
группа LmeasGLn(C;) ограниченных измеримых отображений
S'GL^C)
и
огра-
ограЗдесь ограниченность у означает, что Hy(9)I
ничены вне множества меры нуль.
Доказательство. Пусть А ^ GL(H(ni) коммутирует с Мг; по-
положим ф,-=Леге Н(п\ где ег- есть г-й базисный вектор простран-
•ства С, отождествляемый с соответствующей постоянной функ-
96
Гл. 6. Группы петель
цией в #(">. Представляя себе ф,- как функцию, значения кото-
которой являются я-компонентными векторами-столбцами, мы обра-
образуем из столбцов фь фг, ..., фя измеримую матричнозначную-
функцию ф. Тогда А = Мф. В самом деле, каждая функция
f s fjw может быть аппроксимирована элементами вид»
^Pi(z)z{, где все р;— многочлены от z и z~l\ так как А комму-
коммутирует с Mz, то
Pi (z)e,).
Л (ЦPi (г) ej) = ?Pi (z) q>i =
Отсюда следует, что Л=Л1(), и что ||ф(9)|| и [^(Э)-1!! почти
всюду ограничены.
6.2. Ограниченная полная линейная группа
гильбертова пространства
Для получения более тонких результатов мы должны ввести
ограниченную полную линейную группу (эта группа была впер-
впервые изучена Шейлом [136]). Она определяется для гильбертова
пространства Я, снабженного поляризацией, т. е. разложением
Я = Н+ Ф Я_ в ортогональную сумму двух замкнутых подпро-
подпространств. Такое разложение удобно задавать с помощью уни-
унитарного оператора /: Н-*-Н, равного + 1 на Я+ и —1 на Я_.
Ограниченная полная линейная группа состоит из операторов,
очень близких к тому, чтобы сохранять разложение Я=Я+ФЯ_.
Определение F.2.1). Группа GLIes(H) — это подгруппа в
GL(H), состоящая из операторов А, таких, что коммутатор
[/, А] является оператором Гильберта — Шмидта.
Напомним (см. [125]), что оператор Т: #i-*-#2 есть опера-
оператор Гильберта — Шмидта, если для некоторой (а значит, н для
любой) полной ортонормированной последовательности {е,} в
Н\ ряд ?||Гег||2 сходится. Тогда норма Гильберта — Шмидта
\\Т\\2 равна (?||Тег||2I/2. Операторы Гильберта — Шмидта в Я
образуют двусторонний идеал 3"г(Н) в &(Н) (отсюда следует,
что GLTes(H) действительно есть группа) и сами образуют гиль-
гильбертово пространство относительно нормы || Us-
Определение группы GLTes(ff) может быть переформулиро-
переформулировано следующим образом. Если элемент А группы GL(H) за-
записан как 2Х2-матрица
A =
F.2.2)
6.2. Ограниченная полная линейная группа
97
по отношению к разложению Я = Я+ Ф Я_, то А лежит в
GLIf>s(H) тогда и только тогда, когда Ь и с являются операто-
операторами Гильберта — Шмидта.
Чтобы дать еще одну формулировку, введем банахову ал-
алгебру &j(H) всех ограниченных операторов А: Н-*-Н, таких,
что [J,A] есть оператор Гильберта — Шмидта. Норма || |Ь
определяется формулой
Группа GLTes(H) есть группа обратимых элементов в <%j(H);
мы снабжаем ее топологией, определяемой нормой || ||/, и тогда
она является комплексной банаховой группой Ли.
Мы определим также ограниченную унитарную группу.
Определение F.2.3). Группа UTes(H) есть подгруппа в
GLres(H), состоящая из унитарных операторов.
Группа UTes(H) является вещественной банаховой группой
Ли. Стандартное полярное разложение (см. [125]) операторов
в гильбертовом пространстве показывает, что GLTes(H) есть то-
топологическое произведение UTes(H) и стягиваемого простран-
пространства положительно определенных элементов1). Группа GLIes(H)
является комплексификацией группы UTes(H)-
Если оператор А вида F.2.2) принадлежит GLies = GLIes(H),
то его компоненты and являются операторами Фредгольма,
т. е. имеют конечномерные ядра и коядра. В самом деле, опе-
оператор является фредгольмовым, если он обратим по модулю
компактных операторов; но из обратимости оператора А выте-
вытекает, что and обратимы по модулю операторов Гильберта —
Шмидта, являющихся компактными. (Обзор операторов Фред-
Фредгольма с точки зрения тополога дан в приложении к [3]. В [40]
имеется подробное обсуждение с точки зрения теории операто-
операторов.) Оператор Фредгольма а обладает целочисленным инва-
инвариантом %(а), называемым индексом; он определяется фор-
формулой
X (а) = dim ker (а) — dim coker (а).
Индекс инвариантен относительно непрерывной деформации и
разбивает пространство операторов Фредгольма на связные ком-
компоненты. Отсюда следует, что группа GLves распадается в не-
несвязное объединение кусков, характеризуемых целым числом
х(а) (заметим, что %(а)= —%(d), поскольку оператор a@d мо-
может быть линейно продеформирован в обратимый оператор А
4) Нужно проверить, что взятие положительного квадратного корня из
положительных элементов в 3Si{H) корректно определено н непрерывно.
7 Зак. 230
98
Гл. 6. Группы петель
в классе операторов Фредгольма). В действительности два эле-
элемента А\ и А2 лежат в одной и той же связной компоненте, если
X(#i) — Х(аг): это вытекает из следующего, значительно более
точного результата, показывающего, что GLres имеет гомотопи-
гомотопический тип пространства, которое топологи обозначают Z X BU.
Предложение F.2.4). Отображение Л»—>а из GLIes{H) в про-
пространство Fred(#-f.) операторов Фредгольма в Н+ является го-
гомотопической эквивалентностью.
Доказательство. Рассмотрим отображение
сопоставляющее элементу группы GLIes его первый столбец. Об-
Образ этого отображения есть открытое подмножество 2Г в
Fred(#+)X-3r2(#+; #_), где У2{Н+', Н-) — пространство операто-
операторов Гильберта — Шмидта Н+-*-Н— С другой стороны, ST есть
также однородное пространство GLT*s/3$, где !М — подгруппа
элементов вида
\0 d)
Эта подгруппа стягиваема, поскольку она есть полупрямое про-
произведение группы GL(H-) и векторного пространства Ъъ(Н-\ Я+)
(напомним (см. [96]), что полная линейная группа гильбер-
гильбертова пространства стягиваема). Поэтому отображение GLres—*-ST
есть гомотопическая эквивалентность.
Но проекция #~->-Fred(#+) также является гомотопической
эквивалентностью, поскольку прообраз элемента а есть стяги-
стягиваемое открытое множество в 2Г<2.{Н+; #_), состоящее из всех
операторов с, таких, что c|ker(a) инъективно (отображение со
С1ягиваемыми слоями является гомотопической эквивалент-
эквивалентностью при выполнении некоторых локальных условий (см.
[39]); эти условия автоматически выполняются для проекции
из открытого множества в банаховом пространстве).
6.3. Отображение LGLn(C)-+ GZ,res (#(я))
Вернемся к группам петель. Мы показали, что непрерывные
петли в GLn(C) могут рассматриваться как подгруппа в
GL(H(-n)). Гладкие петли содержатся в GLies(H^). Определяя
ограниченную группу, мы будем всегда разлагать Я(п) =
6.3. Отображение LGLn (С) -> GLTes (Я(я))
99
= L2(Sl;Cn) в прямую сумму Я'+'еЯ1-', где
#+' = {функции, у которых все отрицательные коэффициенты
Фурье равны нулю} =
е#("): / есть граничное значение функции,
голоморфной при |г|<1},
=Z fkeike).
s<o J
Иными словами, пространство Жп) по существу разложено на
положительное и отрицательное собственные подпространства
оператора инфинитезимального поворота —id/dQ.
Предложение F.3.1). Если петля у. S1 -> GLn(C) непрерывно
дифференцируема, то оператор умножения Му лежит в
GLres (#<«>).
Мы дадим два доказательства этого факта, поскольку оба
они поучительны.
Первое доказательство. Запишем у как ряд Фурье
где все ук являются п X я-матрицами. По отношению к очевид-
очевидному ортонормированному базису пространства #(л> опера-
оператор Му представляется Z X Z-матрицей {Мрч), элементы кото-
которой суть п X л-матрицы. В действительности Mpq = yp-q. Мы
должны показать, что (Я'+'-^Я'-О- и (Н<1 > -* Я(+ ^-компоненты
оператора AfY являются операторами Гильберта — Шмидта, т. е.,
иными словами, что
р>0,
Это эквивалентно неравенству
которое, очевидно, вытекает из дифференцируемости у, посколь-
поскольку квадрат L2-HopMu производной у' равен EA2||Yftlf-
7*
100
Гл. 6. Группы петель
Второе доказательство. Оператор /, определяющий разложе-
разложение Н(+<8>Н{~, есть сингулярный интегральный оператор
2л
ядро К которого задается формулой
К (в, Ф) = ? &k »-») - ? e'fe (в"ф) =
Здесь
-j (9 - Ф)- F-3-2)
обозначает интеграл в смысле главного значения, т. е.
/-9—8
Hm( J -
(оператор / есть аналог для случая окружности преобразования
Гильберта J функций на прямой (см. [158, т. 2]), определяе-
определяемого формулой
\ Т^
Отсюда следует, что коммутатор [Му, J] описывается ядром
КF, ф)(уF) — т(ф)) и является оператором Гильберта — Шмид-
Шмидта, если это ядро квадратично интегрируемо, т. е. если
2я 2л
llY(e)-Y(cp)li2
о о
1
0J sin2—(9-ф)
Но это, очевидно, верно, если у непрерывно дифференцируема,
так как в этом случае подынтегральное выражение есть непре-
непрерывная функция на S1 X S1.
Разумеется, группа петель LGLn(C) не является топологиче-
топологической подгруппой в GLres(H): она имеет значительно более тон-
тонкую топологию, чем ее образ. В действительности топология на
LGLn{C), индуцированная с GLres(#), может быть описана сле-
следующим образом.
Если у^Лу^ есть матричнозначная функция на 51, то
норма Гильберта — Шмидта коммутатора [AfY, /] равна
Она известна как норма Соболева, соответствующая «A/2)-диф-
«A/2)-дифференцируемым» функциям [144]. Обозначим через А банахову
6.3. Отображение LGLn (С)
101
алгебру измеримых матричнозначных функций у на 51, таких,
что
(здесь ЦуЦоо обозначает L°°-HopMy). Группа GLn(A) будет обо-
обозначаться Li/2GLn(C). Она является банаховой группой Ли.
Очевидно, что справедливо
Предложение F.3.3). Группа Li/2GLn(C) является коммутан-
коммутантом оператора умножения Мг в GLres(#(n)).
Группа Li/2GLn(C) интересна нам потому, что она является
наибольшей группой петель, в которой применима большая
часть теории этой книги: в частности, это наибольшая группа,
для которой может быть построено ключевое центральное рас-
расширение и определено фундаментальное неприводимое пред-
представление. С другой стороны, ее элементы трудно описать явно.
Она содержит все петли класса С<-1\ но не содержит и не содер-
содержится в группе непрерывных петель, а гладкие петли не плотны
в ней. Проиллюстрируем эти факты рядом примеров.
Примеры
(i) Кусочно-гладкие петли лежат в Li/2 тогда и только то-
тогда, когда они непрерывны: типичным разрывным примером яв-
является
I
о<е<2я.
(ii) Функция
cos ^8
k>\
удовлетворяет условию \\f||2,1/2 < oo, но неограничена вблизи
в = 0 (потому что 2 Щ log k = oo; см. [158, гл. 5, § 1]), а зна-
значит, разрывна,
(ш) Функция
sin &6
непрерывна, но ||g||2, i/2 = 00.
(iv) Функция e'f, где / из примера (ii), лежит в Li/2T,хотя
она и разрывна. Чтобы показать, что e'f лежит в Li/гТ, мы нач-
начнем с еа, где
E
102
Гл. 6. Группы петель
Функция а ограничена, непрерывна и лежит в банаховой ал-
алгебре А, так что еа лежит в Li/2<CX. Но еа допускает единствен-
единственное разложение
= eif-eh
eh, где h(z) = — i
к
к> 1
|
есть гранич-
ное значение функции, голоморфной при |г|< 1. Ниже мы уви-
увидим (из предложения (8.3.5)), что отсюда вытекает принадлеж-
принадлежность eif к Li/2T-
6.4. Периодичность Ботта
Вложение LGLn(C)-vGLres(^'l)) по существу есть отобра-
отображение, известное специалистам по алгебраической топологии как
обратное к отображению периодичности Ботта. Теорема Ботта
утверждает, что его ограничение на подгруппу QGLn{*C) отме-
отмеченных петель, т. е. таких петель, что уф)= 1, индуцирует изо-
изоморфизм гомотопических групп я,- для i <Z 2я — 1. Поскольку
mQGLn(C) ?ё ni+iGLn(C) и, как мы увидим в разд. 6.6,
при i < 2п + 1, это означает, что
при i <2п — 2. Мы вернемся к этой теме в разд. 8.8. Отметим,,
между прочим, тот интересный факт, что обратное отображение-
Ботта (обычно определяемое лишь с точностью до гомотопии)
реализуется как гомоморфизм бесконечномерных групп Ли.
6.5. Изоморфизм #<"> ^Яи вложение LJ ->¦ LUn
Хотя на первый взгляд это кажется очень неестественным,,
нам будет на удивление полезно отождествление гильбертова
пространства Я(я) = L2(S1; С") со стандартным гильбертовым1
пространством Я = Я'1) = L2(SU, С) с помощью очевидного лек-
лексикографического соответствия между их ортонормированными
базисами: если {гг. 1 ^ i ^ п}—стандартный базис в С", ТО'
мы сопоставляем элемент zizh е Я(и) элементу znk+i~l е Я. Бо-
Более инвариантно, мы сопоставляем векторнозначной функции
с компонентами (fu f2, ¦ ¦ ¦, /я) скалярнозначную функцию f,
заданную формулой
f B) = /, (г") + zf2 (zn) +...+ zn~lfn (г*)- F.5.1а>
Обратно, набор (/,-)е Я(п) восстанавливается по ^еЯ с по-
помощью формулы
4 Z ?"?(?> F-5ЛЬ>
где t, пробегает корни степени п из z.
6.6. Центральное расширение группы GL!lts(H)
103
Этот изоморфизм #<"> ^ Я является изометрией. Он перево-
переводит непрерывные функции в непрерывные, а также сохраняет
все остальные разумные классы функций, например гладкие,
вещественно-аналитические, рациональные, полиномиальные. Бо-
Более того, разложение Н(П) = Я+'^® Н{~ соответствует разложе-
разложению Я = Н+®Н-.
Оператор умножения Mz на Я<я> соответствует оператору М2я
на Я. Отождествляя коммутант оператора уИ2я на Я с
?measGLn(C) посредством F.1.1) и замечая, что он должен
содержать коммутант оператора Мг на Я, мы получаем вло-
вложение
индуцирующее вложения
LCX <= LGLn (С), LT <= LUn,
и т. д. Последнее вложение было уже описано в предложе-
предложении C.6.4).
6.6. Центральное расширение группы GLT&S(H)
Мы определим теперь центральное расширение группы GLres
-с помощью мультипликативной группы Сх ненулевых комплекс-
комплексных чисел. Мотивировка этого определения выяснится в гл. 7.
Для начала напомним некоторые факты о следах и опреде-
определителях операторов в гильбертовом пространстве. За доказа-
доказательствами и дальнейшими подробностями мы отсылаем чита-
читателя к [137].
(i) Оператор Т: Hi-^-H2, где Hi и Я2 — гильбертовы про-
пространства, называется оператором со следом, если он имеет вид
Tv = ^lk{uk, v)wk,
где {uft} и {wk} — ортонормированные семейства в Я] и Я2 и
Xl ЯА | < оо. Тогда следовая норма \\T\\i оператора Т определяет-
определяется как?|А,А|, а след Т, определенный при Нх = Я2, задается
формулой
tr (?-)=? А* <цъ wk).
(И) Операторы со следом в М{Н) образуют двусторонний
идеал Ji(H), содержащийся в идеале ЗГ2{Н) операторов Гиль-
Гильберта— Шмидта. Произведение двух операторов Гильберта —
Шмидта есть оператор со следом.
104
Гл. 6. Группы петель
(ш) По определению оператор А: Н-+-Н имеет определи-
определитель, если и только если А — 1 —оператор со следом1). Если А
имеет определитель, то он обратим тогда и только тогда, когда
detW)^=0. Если А\ и А2 имеют определители, то этим же свой-
свойством обладает и AiA2, причем det(.AiA2) = det(^!)det(^2).
Чтобы получить центральное расширение группы GLies, мы
начнем с построения расширения
X F.6.1)
компоненты единицы группы GLTes с помощью группы 2Г всех
обратимых операторов q: #+-»-#+, имеющих определитель (то-
(топология в 3~ определяется с помощью метрики, задаваемой сле-
следовой нормой). Расширение & представляет самостоятельный
интерес. Мы увидим, что оно является стягиваемой банаховой
группой Ли. Точная последовательность гомотопических групп,,
связанная с расслоением F.6.1), показывает, что
Как известно, последняя группа при i— 1 < 2я совпадает
с m-i(GLn(C)) (см. например [121]); это дает нам уже упоми-
упоминавшийся изоморфизм F.4.1).
Расширение & определяется очень просто. Компонента еди-
единицы в GLres состоит из операторов
(а Ь\
— \с а)'
таких, что фредгольмов оператор а имеет индекс нуль. По-
Поскольку а имеет индекс нуль, к нему можно добавить оператор t
конечного ранга так, чтобы оператор q = а +1 был обратим.
Определим & как следующую подгруппу в GLres X GL(#+):
& = {(A, q) e GLres X GL (H+): a — q — оператор со следом}.
Мы снабдим ее, однако, не топологией подгруппы, а топологией,
индуцированной ее вложением
(А, <7)н-»(Д a — q)
в качестве открытого множества в GLresX-3ri(^+)- Она является
тогда банаховой группой Ли. Как мы уже говорили, мотиви-
мотивировка этого определения группы & будет дана в гл. 7, но, во
всяком случае, ясно, что & есть расширение группы GL°es с по-
помощью &~.
') По определению det A + 71) = ^ *г (ЛкТ), где Л*Г — внешние сте-
к 3*0
пени оператора Т. — Прим. перев.
6.6. Центральное расширение группы GLTes (H)
105
Предложение F.6.2). Группа <? стягиваема.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
4-
GLres'
•Fred°(#+)
в которой верхнее горизонтальное отображение есть (A, q)<—>
*—>(q,aq~x — 1), нижнее горизонтальное отображение есть
А\—>а, правое вертикальное отображение есть (q,t)\—>{l -\-t)q,
a Fred°(/f+) обозначает операторы Фредгольма в Н+ с индек-
индексом 0. Оба вертикальных отображения являются расслоениями
с группой 0~ в качестве слоя, причем наша диаграмма декар-
декартова (т. е. левое расслоение есть обратный образ правого).
В силу F.2.4) нижнее горизонтальное отображение является
гомотопической эквивалентностью; отсюда вытекает, что это же
верно и для верхнего отображения. Но пространство GL(H+)y^
X 2f\ (H) стягиваемо.
Используя гомоморфизм det: ^"->CX взятия определителя,
мы можем получить из & расширение (очевидно, центральное)
группы GLr'es с помощью Сх. Это расширение есть просто
S"/&~i, где 0~\ — ядро гомоморфизма det. Мы хотим, однако, по-
получить расширение всей группы GLres, а не только ее компо-
компоненты единицы. Но GLres есть полупрямое произведение своей
компоненты единицы на Z, где в качестве Z можно взять под-
подгруппу, порожденную любым элементом из ±1-компонент, на-
например оператором сдвига 0: Н-^-Н, вкладывающим Н+ в свое
подпространство коразмерности один. Автоморфизм A t—*•
*—*• аАа~х группы GL°es накрывается эндоморфизмом а груп-
группы «if, определяемым формулой
(A, q)
\ qa),
где
Яа =
на
1 на Я+00(Я+).
Эндоморфизм а индуцирует на нормальной подгруппе 3~ в &
отображение qi—> qa и не является автоморфизмом. На самом
деле, хотя мы не будем здесь этого доказывать, не существует
автоморфизма группы &', накрывающего автоморфизм А >—>
i—хуАа-1, а значит, не существует расширения группы GLres
с помощью 3~, продолжающего расширение <%. С другой сто-
стороны, поскольку det(<7<r)= det(<7). наш эндоморфизм группы &
106
Гл. 6. Группы петель
индуцирует автоморфизм группы <В' /2Г\, и мы можем получить
центральное расширение GL^s группы GLies с помощью Сх как
полупрямое произведение Zx {^}0~\\. Это и есть искомое расши-
расширение.
Замечание F.6.3). Легко проверить, что если а — произволь-
произвольный элемент в GLies, такой, что a(H+)cz Н+, а а е GL^S —
представитель элемента а, то в GL^s всегда выполняется при-
приведенная выше формула
a -(A, q)-a-l = (oAo-1, qa).
У расслоения GLr^s—>GLres нет непрерывных сечений (в са-
самом деле, из F.6.2) вытекает, что его класс Чженя есть универ-
универсальный первый класс Чженя в H2(Zy( BU)), так что это рас-
расширение не может быть описано с помощью непрерывного ко-
коцикла. Но у расслоения З"-* GLres есть сечение, определенное
на подмножестве U в GLres, на котором элемент а обратим; оно
задается формулой А*—>А = (А, а). В этой области, являющейся
плотным открытым подмножеством в компоненте единицы
в GLres, справедливо
Предложение F.6.4). Если AiA2 — A3 в GLres, причем Аи А2у
Аз лежат в U, то в GL^S
А1А2 = с(А1, А2)А3,
где
c{Av Л2) = с1е1(а1а2а3->).
Отметим, что определитель имеется лишь у комбинации
а{а2а^1, а не у самих операторов а\, а2, а3-
Главная практическая польза предложения F.6.4) состоит
в том, что оно позволяет вычислить соответствующий коцикл на
алгебре Ли для расширения GL~es. Если расширение группы Ли
Г определяется гладким коциклом с: Г X Г —»- К, то соответствую-
соответствующий коцикл на алгебре Ли есть
(g, ri).->Z),D2c(i, т|)-AZV(ti, I),
где D\Dic обозначает смешанную вторую частную производную
отображения с в единице. Алгебра Ли группы GLTes состоит из
всех ограниченных операторов А, таких, что [/, А] есть опера-
оператор Гильберта — Шмидта. Как обычно, мы записываем их в виде
Га Ь\
где Ъ и с — операторы Гильберта — Шмидта. Мы получаем
6.7. Центральное расширение группы LGLn (С)
107
Предложение F.6.5). Коцикл на алгебре Ли, соответствующий
расширению GL^S, задается формулой
(Аи AJt-*-tr([au a2] — a3) = tr(c1b2 — b1c2) =
^ ДНУ, А2]), F.6.6)
где А3 = [АиА2].
В заключение этого раздела отметим, что естественно опре-
определить U^s как пересечение GL^s с U (Я) X U Ш+)- Тогда UZs
есть расширение группы Uies = UTes(H) с помощьюТ, a GLJ^s —
его комплексификация.
6.7. Центральное расширение группы LGLn(C)
Рассмотрим обратный образ расширения GLZs под действием
гомоморфизма М: LGLn(C)-vGLres- Мы получим центральное
расширение Lc группы LGLn (С) с помощью Сх. Оно является
комплексной группой Ли, поскольку гомоморфизм М голомор-
голоморфен. Подгруппа LUn в LGLn(,C) отображается в унитарную
группу Uies, так что обратный образ расширения группы f/res
•с помощью Т есть расширение L группы LUn с помощью Т; оче-
очевидно, что Lc — комплексификация группы L.
Предложение F.7.1). Расширение L группы LUn, индуциро-
индуцированное расширением U^s, есть основное расширение, построен-
построенное в разд. 4.7.
Доказательство. В разд. 4.7 мы показали, что основное рас-
расширение группы LUn характеризуется своим коциклом на алгеб-
алгебре Ли. Вычислим коцикл на алгебре Ли для расширения L.
Пусть | и т] — элементы алгебры Ли Lnn, а А\, А2, Аз — опе-
операторы на //(">, соответствующие g,r\ и [?,г\]. Ввиду F.6.5) мы
должны показать, что
tr{[a1; a2] — Оз) = ш (I, т]),
F.7.2)
где
2я
а < , > — стандартное скалярное произведение на un, задавае-
задаваемое формулой (X, Y}= —tr(XY).
По линейности мы можем считать, что | = Xzk и ¦ц — Yzm
с X, Уе=д1„(С). Если k + пгфО, то левая часть F.7.2) равна
нулю, так как у матриц [аи а2] и а3 нет ненулевых диагональ-
108
Гл. 6. Группы петель
ных элементов; имеем также ю(|, т)) = 0. С другой стороны, при
m = —k оба оператора [ci, a2] и а3 сохраняют каждое из под-
подпространств С"-2?, суммой которых (по q^O) является про-
пространство Н(+. Если q ^ k, то [аи а2] и а3 совпадают на
Cn-zq. Если же q <c k, то |[аь а2] действует на C-z' как —УХ,
а а3 — хак [X,Y]. Таким образом, левая часть F.7.2) равна
—&tr(X, У), т. е. k <Х, У>. Правая часть равна тому же.
Замечание. Хотя для доказательства предложения F.7.1)
это не нужно, поучительно использовать замечание F.6.3) для
явного вычисления действия петли 7 с числом вращения т со-
сопряжением на центре компоненты единицы L0 группы L. Центр
группы L0 канонически изоморфен ТХТ, где первый сомно-
сомножитель Т — это скалярные матрицы в Un<zzLUn, а второй со-
сомножитель Т принадлежит расширению. Элемент и первого Т
может быть представлен элементом (и, и)^ё" <zz GLresXGL(#+).
Мы можем считать, что оператор Му отображает Н+ в свое под-
подпространство коразмерности т. Тогда автоморфизм группы <%*
соответствующий Му, переводит (и, и) в (и, v), где v: #+->¦ #+
есть умножение на и на подпространстве МУН+ и тождествен-
тождественный оператор на m-мерном пространстве H+QMyH + . Поэтому
det(vu-l) = u~m, что и требуется.
Теперь мы в состоянии доказать, что все расширения
рассмотренные в гл. 4, обладают комплексификациями
Достаточно рассмотреть случай, когда группа G односвязна и
проста. Если выбрать унитарное представление р группы G в Сл,
то, беря обратный образ найденного выше расширения Lc
группы LGLn (С), мы получим расширение LpGc, соответствую-
соответствующее форме следа < , >р представления р на д:
(ё. л>Р tr(p(S)p(ri)).
Но каждая целочисленная инвариантная форма на g есть цело-
целочисленное кратное основной формы < , > (см. разд. 4.4). Рас-
Расширение LGc, соответствующее форме < , >, может быть по-
построено как односвязная накрывающая группа LGc группы LpGc\
группы, соответствующие другим формам, являются факторгруп-
факторгруппами группы LGc по конечным подгруппам из ее центра.
6.8. Вложение группы Diff+E') в Ur<.s(H)
109
6.8. Вложение группы Diff+CS1) в UIts(H)
Группа диффеоморфизмов окружности действз^ет на #(">=
= L2(S1; ,С:П). На самом деле действие может быть введено
по-разному. Мы выберем унитарное действие, т. е. будем рас-
рассматривать элементы пространства Н(п) как 1/2-плотности на 51.
Таким образом, диффеоморфизм f: S1-*S1 действует на функ-
функции |: S'-^C" посредством gi—»/-g, где
(М) F) = |(?F)) -|/(9) Г, F.8.1)
a g — диффеоморфизм, обратный к f.
Предложение F.8.2). Diff+E!)c: Utes{HW).
Доказательство. Это утверждение может быть доказано лю-
любым из методов предложения F.3.1). Первым методом это сде-
сделано в [131], поэтому здесь мы наметим второй способ доказа-
доказательства. Представим оператор / ядром К из F.3.2). В силу
F.8.1) ядро, представляющее действие диффеоморфизма /, есть
§(^@)_ф)^(9I/2) Где б —это б-функция Дирака. Поэтому
ядро коммутатора [/, /] равно
5 {б (g (в) - Ч>) g' (вI/2 К (Ч>, Ф) - К F, ф) б (g (г|з) - Ф) / (г|зI/2} d%
о
Оно приводится к виду
g' ФI'2 к (g @). ф) - а: @> f (ф)) Г (фI/2- F-8-3)
В силу F.3.2) К есть гладкая функция от обоих своих аргу-
аргументов, за исключением диагонали, где
д-F, ф) = 2/Д6 — ф) + (гладкая функция).
Подставляя это в F.8.3), мы получаем, что ядро оператора
[/,/] всюду непрерывно (более того, гладко), откуда следует,
что [f, J] есть оператор Гильберта — Шмидта.
Имеется, однако, важное различие между поведением групп
LGLn{С) и Diff+E!) по отношению к GLres- Первая группа
отображается в GLres гладко, в то время как вложение группы
Diff+E!) даже не является непрерывным. В самом деле, топо-
топология нормы на GL(H^), а значит, тем более, топология груп-
группы GLres индуцирует на Diff+(S!) дискретную топологию (что-
(чтобы убедиться в этом, заметим, что для каждого диффеоморфиз-
диффеоморфизма /, за исключением тождественного, найдется единичный век-
вектор ls=H^ = L2{Sl;Cn), такой, что <|, /*|>=0: выберем |
с носителем в малой окрестности точки из 51, сдвигаемой диф-
по
Гл. 6. Группы петель
феоморфизмом f). Если попытаться формально вычислить гомо-
гомоморфизм алгебр Ли, индуцированный вложением Diff+(S1)->-
-»- GLres, то векторные поля на 51 будут соответствовать неогра-
неограниченным операторам в Я(/г): достаточно рассмотреть, например,
поле d/dQ.
Несмотря на это, центральное расширение группы Diff+E1),
рассматриваемой как абстрактная группа, индуцированное рас-
расширением GZres. все же является группой Ли, а его коцикл на
алгебре Ли можно явно вычислить точно так же, как выше в
предложении F.7.1), игнорируя неограниченность операторов.
Формальное вычисление проделано в [131]; его обоснование со-
состоит в том, что композиция
Diff+ (S1) -+ f/res -+ ?W(?/+ X U-), F.8.4)
где U-i-УС U~ = ?/(#+) X U(H-) есть коммутант оператора /
в Ures, является гладким отображением, а 2-коцикл алгебры itre.s,
рассматриваемый как инвариантная форма на UTSS, фактически
происходит из f/res/(?/+X U-)- Чтобы убедиться в гладкости
отображения F.8.4), мы заметим, во-первых, что отображение
At—>[A,J]A~l определяет гладкую иммерсию окрестности отме-
отмеченной точки в ?/res/(?/+X U-) в пространство операторов Гиль-
Гильберта— Шмидта, а во-вторых, что если f — диффеоморфизм, то
коммутатор [/, /] представляется гладким ядром, гладко зави-
зависящим от f.
Приведем здесь полученный результат.
Предложение F.8.5). Центральное расширение группы
Diff+(S!), индуцированное расширением GL^S (#<л)), тривиально
над SL2(R) и соответствующий коцикл на алгебре Ли имеет вид
где t, = l(Q)d/dQ, r\ = r\(Q)d/dQ \e Vect(S!).
Поскольку группа Diff+E!) содержится в Ures, она действует
сопряжением на расширении UZs, а значит, и на подгруппе LUn,
накрывающей группу LUn<zz GLres. Этот подход к действию
Diff+^S1) на LUn проще и естественней подхода, примененного
в разд. 4.7.
Предложение F.8.6). Действие группы Diff+E') на Шп,
индуцированное вложением последней группы в GL^3 (H{n)), за-
задается формулой D.7.3).
Доказательство. Из обсуждения в разд. 4.7 мы знаем, что
достаточно проверить действие на алгебре Ли Lnn, а значит,
6.9. Другие поляризации пространства Я
111
достаточно найти действие элемента |sVectE1) на f\eZ
В обозначениях, соответствующих обозначениям F.7.2), u
нужно показать, что
нам
2я
tr {[аи о,,] - а3} = - -L J I F) tr г]' F)
Это доказывается точно таким же вычислением, как в доказа-
доказательстве F.7.2): если действие векторного поля | = X \ь?1кЬ за"
писать в виде Z X Z-матрицы, состоящей из п X «-блоков, то
(р, <7)-й блок есть — A/2) i (р + q) lP-q^n, где И„ — это единичная
«X п-матрица.
Мы можем также доказать следующую явную формулу, ко-
которая будет полезна в дальнейшем (при п = 1 она согласуется
с D.7.5)).
Предложение F.8.7). Если у: Sl-+Un есть гомоморфизм
0i—з»ехр@|), а у —представитель петли у в LUn, то поворот Ra
на угол а, действует на у по формуле
где пг — число вращения петли у.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда
yH+czH+, а тогда для вычисления yl^ay~l в GL~es можно вос-
воспользоваться замечанием F.6.3). Мы получим
где и есть определитель действия Ra на H+QyH+. При вычис-
вычислении и можно считать, что 7 — диагональная петля zt»
\ } -,&„)_ тогда
и = ехр (- га X Т*/ &1 ~~ !)) = ехр (~ Тia ('• ^"' ~ т0 '
6.9. Другие поляризации пространства Я:
замена окружности прямой и введение «массы»
В двумерной квантовой теории поля основной интерес пред-
представляют функции не на окружности, а на прямой R, изобра-
изображающей физическое пространство. Пространство R U'°° отожде-
отождествляется с 51 посредством стереографической проекции, т. е.
e?9e=S1-^2tg_i 6<=:R, F.9.1)
112
Гл. 6. Группы петель
где мы выбираем 0 <= (—л, л]. Таким образом, гильбертово про-
пространство Н = L2(SU,C) изометрически изоморфно простран-
пространству //R = L2(R; С), причем изоморфизм задается соответствием
где
F.9.2)
Естественная поляризация пространства Я задается положи-
положительным и отрицательным собственными подпространствами
оператора — id/dx на R, т. е. ЯВ = Я+фЯ-, где Я+ состоит
из функций /, преобразование Фурье f которых, определяемое
формулой
равно нулю при
соответствие
0. Изоморфизм Я eg Я из F.9.2) задает
ё
,A/2) 1в
Я.
где еО/2)*6 есть 1°°-функция на окружности с разрывом в 0 =
= ±я. Ряд Фурье функции etl/2) 'е — это J] akeika, где
Поскольку ряд ?|&alj расходится, подпространство Я+ не
входит в Gr(HI). Поэтому сопряжение с помощью еA/2)'6 не
определяет автоморфизма группы GLves(H), и группы GLTes(H)
и GZ.res (Я ), определяемые естественными поляризациями, не
отображаются друг в друга с помощью изоморфизма Я^ Як из
F.9.2), хотя и являются изоморфными группами.
Группа LT действует на Якпри помощи соответствия F.9.1)
и, аналогично, LUn действует на ЯК'(П) = ?2(К; С"). Но полу-
получаемое при этом вложение /.?/„->¦ GZ.res (Як> <л)) несущественно
отличается от стандартного вложения LUn-+ GLres(HW), так
как сопряжение посредством е<1/2>'9 индуцирует тождественное
преобразование на образе группы LUn.
Более интересной является поляризация пространства ЯЛ =
= L2(R; С2) в соответствии с положительной и отрицательной
') Определение Gr (Я) дано ниже в разд. 7.1. — Прим. перев.
6.9. Другие поляризации пространства Н
113
частями спектра оператора
о
/О т\
где т — некоторое положительное число. Пространство Яд сле-
следует представлять себе как пространство решений -ф уравнения
Дирака с массой т
0 1\ д ( 0
на функции г|з: R2-^-C2; тогда разложение НА = Н^,®Н^ есть
разложение в соответствии со спектром оператора «энергии»
— i(d/dt). Как обычно, мы можем образовать тензорное произ-
произведение ЯЛ> (п) = НА <8>СП, на котором группа петель LUn дей-
действует операторами умножения (мы снова используем отожде-
отождествление F.9.1)).
Предложение F.9.4). Действие группы LUn на ЯЛ>(Л) инду-
индуцирует влоокение im: LUn -*- GLres (Ял> <n)).
Доказательство. Если заменить функции на R их преобразо-
преобразованиями Фурье, то Dm превратится в оператор умножения
в ЯЛ ® С" на матричнозначную функцию
(
-
Поэтому оператор /, соответствующий поляризации, есть умно-
умножение на функцию 7(|)® I, где
и Е(|) = + Vi2 + т2 (отметим, что 7(|J=1). Если у. R-»-?/„
есть элемент группы LUn, то нам достаточно показать, что ком-
коммутатор [Му-^оо), /] является оператором Гильберта — Шмидта.
Пусть у — преобразование Фурье функции у — y(°°)- Коммута-
Коммутатор представляется ядром
5 Y (S — Л) F-9-5)
(см. вторую часть доказательства предложения F.3.1)). Далее,
след матрицы (/(§)—/(л)J есть
,«. . 4 (Е (I) Е (т)) — 1ц — т.2)
а &, ц)— Е (|) Е {ц)
8 Зак, 230
114
Гл. 6. Группы петель
и легко показать, что
F.9.6>
где С—некоторая константа, зависящая только от т. Поэтому
норма Гильберта — Шмидта коммутатора F.9.5) мажорируется
что и требуется.
При т = 0 вложение im не дает нам ничего нового, поскольку
тогда пространство НА распадается на два независимых экзем-
экземпляра пространства #R, на которых используется стандартная
поляризация и противоположная к ней. Отсюда следует, что
ограничение центрального расширения группы GLres Ha LU№
тривиально. Это верно и в общем случае.
Предложение F.9.7). Центральное расширение группы,
GLres(НА-(Л>) тривиально над im(LUn).
Доказательство. Воспользуемся формулой F.6.6) для вычис-
вычисления коцикла на алгебре Ли. Предположим, что два элемента
алгебры Litre представляются матричнозначными функциями f
и g на R. Мы можем считать, что f и g квадратично интегри-
интегрируемы, поскольку значение коцикла не меняется при их замене
на / — f(°°) и g — g(°°)- Тогда коцикл равен
±\\tr{J(l)(J(l)-J(rl))?(l-r])(J(r])-JQ>))gD-l)}dld4 =
=т S Str {/ (|) (/ (|) ~J (ti)J} ^(| ~л)> ё (| ~'
Но это равно нулю, так как
/ (I) (/ © - / (л)J = 2/ (I) - / (Л) ~ / (I) J
что имеет след 0.
Перед упоминанием нашего последнего варианта в этом
направлении следует отметить, что основное значение поляриза-
поляризации Дирака пространства НА относится не к построению пред-
представлений группы LUn. Более важно, что она приводит к но-
новому представлению так называемых канонических коммута-
коммутационных соотношений. Мы докажем здесь основной результат»
но отложим обсуждение его значения до гл. 10.
6.9. Другие поляризации пространства Я
115
Обозначим через Mf оператор в НА = L2 (R; С2), задаваемый
умножением на
U fj-
тде /: R ->- С — гладкая функция, локально постоянная вне не-
хоторого конечного интервала (но, быть может, принимающая
различные значения при х-^±оо). Коммутатор [J,Mf] являет-
является оператором Гильберта — Шмидта (выше мы доказали это
при /(-f-'oo) = f(—,oo), но наше рассуждение проходит в общем
случае). Таким образом, операторы Mf образуют абелеву под-
подалгебру W в алгебре Лид1гез(#А), причем центральное расшире-
расширение алгебры glres тривиально при ограничении на ST.
Обозначим теперь через Nf оператор в НА, задаваемый
умножением на
(
f °
О -f
где /: R -»- С — гладкая функция с компактным носителем. Ком-
Коммутатор [I,Nf] снова есть оператор Гильберта — Шмидта: его
ядром является
где
Л =
-\
и проходит по существу то же вычисление, что и раньше, за
исключением того, что, так как разность У(|)Л—АЦц) не
равна тождественно нулю при | = т|, то требуется, чтобы f
¦обращалась в нуль в ±оо. (Оценка F.9.6) заменяется оценкой
tr
A -
Операторы Nf образуют абелеву подалгебру ?Г' в gtres(//A)»
причем ограничение на нее нашего центрального расширения
тривиально.
Будем теперь представлять себе ST и &" как подалгебры
в расширении gfreS, и введем для каждой гладкой функции f
с компактным носителем обозначения
116
Гл. 6. Группы петель
что
где F(x)— \ f(y)dy. Эти обозначения мотивированы тем,
— оо
F.9.8)
как операторы в ЯЛ. Замечательным результатом является
Предложение F.9.9). Операторы Ф(/) и Ф(/) из алгебры
gtres удовлетворяют каноническим коммутационным соотноше-
соотношениям, т. е.
ФФ, Ф(?)] = ~' \f(x)g(x)dx.
Доказательство. Из формулы F.6.6) для коцикла вытекает,
что [Ф (f), Ф (g) ] задается формулой
4- \ \ tr {/ (|) (/ (|) Л - Л/ (л)) (/ (т,) - / (|)) f (I - Л) G (Л ~
Но
tr {/ (S) / (S) Л - AJ (т))) (У (п) - / (S))} = 2tr Л (/ (п) - / (Ю) =
JT |
обозначим последнее выражение через 4&(?,
1/ЕA)-+±1 при |-^±-оо, ясно, что
. Поскольку
так что наш коммутатор равен
G (- 0 d? = - / J / (дс
R
В заключение этого раздела рассмотрим еще одну послед-
последнюю подгруппу в 6ггез(ЯЛ). Это группа ЛТ гладких отображе-
отображений у: R->T с компактным носителем (т. е. y(*)=1 пРи
больших |*|). Определим ее действие на НА, сопоставляя у
оператор умножения
6.10. Обобщения на другие группы отображений
ИГ
Из предшествующего обсуждения вытекает, что этот оператор
лежит в UTes ША) и что индуцированное центральное расшире-
расширение группы ЛТ является основным (т. е. оно происходит из
вложения ЛТ с= Z.T).
Обобщая, можно точно таким же образом вложить группу
AUn в UTSS (#Ai (л))- Значение этих вложений состоит в том, что,
как показано в [24], при пг > 0 ограничение стандартного пред-
представления группы UTes на подгруппу AUn дает факторпредстав-
ление типа III (см. разд. 10.7).
6.10. Обобщения на другие группы отображений
В определении F.2.1) группы GLres идеал Э2=Зг{Н) опе-
операторов Гильберта — Шмидта можно заменить произвольным
симметрически нормированным двусторонним идеалом 3 (см,
[137]). Обозначим получающуюся группу через GLj. Наиболь-
Наибольшим таким идеалом & является идеал Ж компактных операто-
операторов; кроме того, для каждого р ^ 1 имеется идеал Sfp, состоя-
состоящий из таких операторов Т, что (Т*Т)р'2 е Уу. Все группы GL?
по своим свойствам очень похожи на GLTes. Их гомотопический
тип не зависит от & (см. [121]) и имеется расширение
где группа &у стягиваема, a Wy* — это группа обратимых
операторов, принадлежащих 1+^2. Однако гомоморфизм оп-
определителя &~у*->Сх, позволяющий построить центральное рас-
расширение с помощью Сх, существует, лишь если ?f2cz?7\, т. е.
«Зг с: ^2- Иными словами, если 3 ф. &2, то основной двумерный
класс когомологий пространства GLy не может быть представ-
представлен левоинвариантной дифференциальной формой.
Посмотрим теперь, насколько далеко может быть обобщена
теория этой главы при замене группы петель LGLn на группу
Map (X;GLn), где X—некоторое компактное гладкое многооб-
многообразие.
Легко строится ряд вложений
их классификация есть интересный вопрос из алгебраической то-
топологии. Если X нечетной размерности d = 2tn— 1 и является
«спинорным многообразием» (т. е. оно ориентируемо и удов-
удовлетворяет слабому дополнительному глобальному ограничению,
что его второй класс Штифеля — Уитни равен нулю), то на нем
имеется комплексное векторное расслоение Е, называемое рас-
расслоением спиноров. Слои Е имеют размерность 2m~l. Имеется
118
Гл. 6. Группы петель
также самосопряженный дифференциальный оператор D пер-
первого порядка (оператор Дирака), действующий в пространстве
сечений расслоения Е. Если Я— пространство /Лсечений рас-
расслоения Е, то мы можем записать его в виде Я = Я+ Ф Я_, где
Я+ (соответственно Я_) порождено собственными функциями
оператора D с положительными (соответственно отрицатель-
отрицательными) собственными значениями. Группа Map (X; Сх) дей-
действует на Я операторами умножения; аналогично, группа
Map (X; GLn) действует на пространстве Я ® С" сечений рас-
расслоения ?® С". Это действие определяет вложение группы
Map (X; GLn) в GLX (Я <g> С").
Более общим образом, имеется вложение
Wr MaPcts(*-> GLn)^GLx(H ® С"),
F.10.1)
соответствующее произвольной паре (E,J), где Е — векторное
расслоение на X, а / — самосопряженный оператор в гильбер-
гильбертовом пространстве Я 1Асечений расслоения Е, такой, что
(i) Я = 1 и
(ii) для каждой непрерывной функции f на X оператор
[/, Mf] компактен.
Если n > (l/2)dimX, то группа связных компонент группы
Map (X; GLn) почти по определению есть обобщенная группа
когомологий К~1 (X) Атьи и Хирцебруха [3]. Эта группа тесно
связана с классическими когомологиями
Я odd /у г-». /Т\ Tjk jY. ^V
k нечетно
будучи тензорно умноженной на рациональные числа, она ста-
становится изоморфной им. Переход к связным компонентам
в F.10.1) дает гомоморфизм
ind(?,/): K~l(X)-*Z. F.10.2)
Проявляя несколько большее усердие, несложно показать,
что пара (Е, J) определяет элемент ст(?, /} обобщенной группы
гомологии К-\ (X) и что ind(?, /> — это естественное спаривание
с О(е, jy Более того, таким образом получаются все элементы
группы К~\ (X).
Вложение, определяемое оператором Дирака, является ос-
основным среди вложений i.{E,jy его класс а(я, /> есть фундамен-
фундаментальный класс многообразия X, а соответствующее отображение
F.10.2) является «отображением Гизина» в /С-теории. Если X —
сфера, то цЕ, /> есть отображение периодичности Ботта.
Предшествующие утверждения кратко резюмируют легкую
часть обширной теории, развитой Атьей [4], Каспаровым [90]
6.10. Обобщения на другие группы отображений
119»
и Конном [32]. Слегка отличающийся подход к тому же мате-
материалу развит в [23], где доказано, что элементы группы K-i(X)
можно отождествить с классами изоморфизма расширений
алгебр
ЖА
где С(Х)—алгебра непрерывных комплекснозначных функций
на X. Такое расширение алгебр, очевидно, определяет групповое
расширение
*Гж-> GLn (Л) -» GLn(С (X)) = Mapcts (X; GLn).
Это расширение получается взятием обратного образа расшире-
расширения fg-x под действием вложения цв, />•
Однако с точки зрения настоящей книги от группы GL?c не
слишком много прока, поскольку о ее представлениях ничего не-
неизвестно. Для того чтобы вложить Map (X; GLn) в GLy,, нам
нужно использовать такие пары {E,J), что оператор [/, Mf]
есть оператор Гильберта — Шмидта для всех гладких функций
/. На языке Брауна, Дугласа и Филлмора нам нужно изучить
расширения
^1_>Л->2)(Х)
алгебры гладких функций с помощью идеала операторов со сле-
следом. Эти расширения изучались в [73]. Они соответствуют эле-
элементам группы Hi (X; Z), являющейся канонической подгруп-
подгруппой в K-i(X). Соответствующие расширения — это те «неинте-
«неинтересные» расширения, которые мы нашли в гл. 4.
Вероятно, лучше всего представлять себе ситуацию, поль-
пользуясь языком псевдодифференциальных операторов [144]. На
практике / будет задаваться псевдодифференциальным опера-
оператором нулевого порядка. Тогда коммутатор [/, Mf], где f — глад-
гладкая функция, будет оператором порядка —1. На многообразии
размерности d такой оператор принадлежит идеалу Зг при r>d.
Таким образом, при d> l он, как правило, не будет операто-
оператором Гильберта — Шмидта.
Пример. Рассмотрим поляризацию, соответствующую опера-
оператору Дирака, на торе X нечетной размерности d = 2т— 1, т. е.
X=Rd/2nZd. Спинорное расслоение на X есть тривиальное
расслоение, слой А^С'^ которого (где N = 2т~1) является не-
неприводимым модулем над алгеброй Клиффорда d, порожден-
порожденной элементами е\, ..., ed, такими, что ef==l и е^{ = — eje{
при i Ф \. Оператор Дирака в пространстве Я отображений
Х-»-А есть
120
Гл. 6. Группы петель
Если разложить функции в ряды Фурье, так что пространство
Я отождествится с l2(Zd; А), то D превратится в оператор умно-
умножения
(здесь peZd, a pfp е Д получается действием элемента ре
¦G^cCj на /><=Д). Соответствующий оператор поляризации
/ есть умножение на р/||р||. Коммутатор [J,Mf], где Mf — умно-
умножение на скалярнозначную функцию / = 2 fPei <р'6) > представ-
представляется ядром
(р, q) --> fP-q • {р/1! р II - ?/11 <71!} (бло.з)
на ZdY^Zd. Разность р/||р||—q/\\q\\ есть самосопряженный опе-
оператор на Д, квадрат которого равен
^ V IIPIIII9II "~ 2 '
где ф — угол между р я q. Если поддерживать р — <7 фиксиро-
фиксированным, то при p->-ico величина 4зт2(ф/2) убывает как ||р||~2.
Поэтому ядро F.10.3) квадратично суммируемо, лишь если
>dim(X)=l. В общем случае оно принадлежит классу Шаттена
.Sfr, когда г > dim (X).
Глава 7
Грассманиан гильбертова пространства
и детерминантное линейное расслоение
Поскольку мы изучаем группы петель, рассматривая их как
группы операторов в гильбертовом пространстве, нам понадо-
понадобится довольно детальная информация о структуре грассма-
ниана гильбертова пространства. Этому предмету посвящена
настоящая глава. Наиболее важной ее частью является кон-
конструкция детерминантного линейного расслоения в разд. 7.7;
читатель, заинтересованный в ней, может опустить все между
разд. 7.1 и 7.7, за исключением определения допустимого базиса,
из разд. 7.5.
7.1. Определение грассманиана Gr(H)
Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство с задан-
заданной поляризацией Я = Я+ФЯ_; мы предполагаем, что Н+ и
Н-—бесконечномерные ортогональные замкнутые подпростран-
подпространства. Будем изучать грассманиан замкнутых подпространств
в Н, «сравнимых» по размеру с Н+. Прежде чем давать фор-
формальное определение этого класса подпространств, разъясним,,
что они образуют пополнение класса подпространств W, соизме-
соизмеримых с Я+, т. е. таких, что W П Я+ имеет конечную коразмер-
коразмерность как в W, так и в Н+. Они могут, однако, иметь нулевое
пересечение с Я+: например, в их число входит график Wr про-
произвольного оператора Гильберта — Шмидта Т: Н+-+Н-, хотя
WT соизмеримо с Я+, лишь если Т имеет конечный ранг.
Определение G.1.1). Gr(H) есть множество всех замкнутых
подпространств W в Я, таких, что
(i) ортогональная проекция pr+: W—»-Я+ является операто-
оператором Фредгольма и
(И) ортогональная проекция pr_: W-+H- является операто-
оператором Гильберта — Шмидта.
Операторы Фредгольма и Гильберта — Шмидта уже обсуж-
обсуждались в разд. 6.2. Напомним, что ограниченный оператор яв-
является фредгольмовым, если его ядро и коядро конечномерны..
120
Гл. 6. Группы петель
Если разложить функции в ряды Фурье, так что пространство
Я отождествится с l2(Zd; А), то D превратится в оператор умно-
умножения
(здесь peZd, a р/> е Д получается действием элемента ре
¦е^с Cd на /ре А). Соответствующий оператор поляризации
/ есть умножение на р/||р||. Коммутатор [J,Mf], где Mf — умно-
умножение на скалярнозначную функцию f = X fре''<р-6), представ-
представляется ядром
(Р, Я) --> U-я ¦ Ы\ РII - Я/\\ ЯII} FЛ0.3)
на ZdXZd. Разность р/\\р\\—q/\\q\\ есть самосопряженный опе-
оператор на Д, квадрат которого равен
(р, д) . . 2 Ф
где ф — угол между р и q. Если поддерживать р — q фиксиро-
фиксированным, то при р->-<со величина 4з1п2(ф/2) убывает как ||р||~2.
Поэтому ядро F.10.3) квадратично суммируемо, лишь если
dim(X)=l. В общем случае оно принадлежит классу Шаттена
^г, когда т > dim (X).
Глава 7
Грассманиан гильбертова пространства
и детерминантное линейное расслоение
Поскольку мы изучаем группы петель, рассматривая их как
группы операторов в гильбертовом пространстве, нам понадо-
понадобится довольно детальная информация о структуре грассма-
ниана гильбертова пространства. Этому предмету посвящена,
настоящая глава. Наиболее важной ее частью является кон-
конструкция детерминантного линейного расслоения в разд. 7.7;
читатель, заинтересованный в ней, может опустить все между
разд. 7.1 и 7.7, за исключением определения допустимого базиса,
из разд. 7.5.
7.1. Определение грассманиана Gr(H)
Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство с задан-
заданной поляризацией Я = Я+ФЯ_; мы предполагаем, что Н+ и
Н-—бесконечномерные ортогональные замкнутые подпростран-
подпространства. Будем изучать грассманиан замкнутых подпространств
в Н, «сравнимых» по размеру с Н+. Прежде чем давать фор-
формальное определение этого класса подпространств, разъясним,,
что они образуют пополнение класса подпространств W, соизме-
соизмеримых с Н+, т. е. таких, что W[\H+ имеет конечную коразмер-
коразмерность как в W, так и в Н+. Они могут, однако, иметь нулевое-
пересечение с Н+: например, в их число входит график Wt про-
произвольного оператора Гильберта — Шмидта Т: Н+—*-Н-, хотя
WT соизмеримо с Н+, лишь если Т имеет конечный ранг.
Определение G.1.1). Gr(#) есть множество всех замкнутых
подпространств W в Н, таких, что
(i) ортогональная проекция pr+: W—*-H+ является операто-
оператором Фредгольма и
(И) ортогональная проекция рг_: №—»-//_ является операто-
оператором Гильберта — Шмидта.
Операторы Фредгольма и Гильберта — Шмидта уже обсуж-
обсуждались в разд. 6.2. Напомним, что ограниченный оператор яв-
является фредгольмовым, если его ядро и коядро конечномерны..
122
Гл. 7. Грассманиан гильбертова пространства
Иным образом определение G.1.1) можно сформулировать
так: W принадлежит Gr(#), если оно является образом опера-
оператора w: #+->#, такого, что рг+ о ш — оператор Фредгольма,
а рг_одо — оператор Гильберта — Шмидта. Так как сумма опе-
оператора Фредгольма и оператора Гильберта — Шмидта является
оператором Фредгольма, мы получаем, что если W лежит в
Gr(#), то график каждого оператора Гильберта—Шмидта
W~^WX также принадлежит Gr(#). Эти графики образуют
подмножество U,w в Gx (H), состоящее из всех W', для которых
ортогональная проекция W-+W является изоморфизмом; оно
находится во взаимно однозначном соответствии с гильберто-
гильбертовым пространством y2{W; W1-) операторов Гильберта — Шмидта
W~>- W1-. В действительности имеет место
Предложение G.1.2). Gr(#) является гильбертовым много-
многообразием, моделируемым пространством 3^2(Н+; //_).
Для доказательства нам понадобится еще одно наблюдение.
Группа GLves(H), введенная в разд. 6.2, действует на множестве
Qt(H). Справедлив такой результат.
Предложение G.1.3). Подгруппа UTes{H) группы GLres{H)
действует на Gr(#) транзитивно, причем стабилизатор подпро-
подпространства Н+ есть U(H+)X U(H-).
Доказательство G.1.3). Пусть FeGr(//); мы найдем Л е
еУге8(Я), такой, что А{Н+)= W. Пусть w: Н+~^Н — изомет-
рия с образом W, a wx: H--^H — изометрия с образом W1-.
Тогда
есть унитарное преобразование А, такое, что Л (//+) = W. Запи-
Запишем его в виде
' w
и , аи
W W
Поскольку W принадлежит Gr(#), мы знаем, что w+ — опера-
оператор Фредгольма, а хю- — оператор Гильберта — Шмидта. Но из
унитарности А вытекает, что w^. — также оператор Гильберта —
Шмидта (так как w*+w^. + w*_wjz = 0), и поэтому А лежит в
Ures(H).
Утверждение о стабилизаторе подпространства //+ очевидно.
Доказательство G.1.2). Пусть Uwa и Uw,— описанные выше
подмножества в Gr (H), соответствующие гильбертовым про-
пространствам /о == ^2 (Wо; Wi) и /i = y2(Wu Wi). Пусть UczU
7.1. Определение грассманиана Gr(#)
соответствует подмножеству /oi в /о и подмножеству /,0 в 1\. Мы
должны показать, что /Oi и /10 — открытые множества и что «за-
«замена координат» /01 —*¦ /ю является гладкой.
Пусть матрица тождественного преобразования
w I
имеет вид
с d
G.1.4)
(т. е. а есть отображение Wo—>-Wi и т. д.). Из доказательства
G.1.3) мы знаем, что а и d — операторы Фредгольма, а & и с —
операторы Гильберта — Шмидта. Предположим, что подпро-
подпространство f ебг(Я) одновременно является графиком опера-
операторов 7V Wo-^-Wo и 7*1: Wi-^-Wi. Тогда операторы
fa
(
из Wo в W\ © W\~ должны совпадать, где q — некоторый изо-
изоморфизм Wo—*- W\. Отсюда вытекает, что
Таким образом, Т\ является голоморфной функцией от То на
открытом множестве
/01 = {То е /0: а + ЬТ0 обратим}.
Для подпространства W в Н, соизмеримого с Я+, естественно-
определить его виртуальную размерность относительно Н+ как
dim (W/W Л Н+) — dim (HJW Л Я+).
Обобщением этого для произвольного W ^Gr(H) является ин-
индекс перпендикулярной проекции pr+: W-+H+, т. е.
virt.dim W = dim(kerpr+) — dim(cokerpr+).
Эквивалентным образом,
virt. dim W == dim (W Л Я_) — dim (W^ f\H+).
Очевидно, что пространства разной виртуальной размерности
лежат в различных связных компонентах Gr(#). На самом деле
подпространства данной виртуальной размерности образуют связ-
связное множество; например, мы вскоре увидим, что подпростран-
подпространства виртуальной размерности нуль образуют замыкание коор-
124
Гл. 7. Грассманиан гильбертова пространства
динатной окрестности, состоящей из графиков всех операторов
Гильберта — Шмидта Н+-+Н-. Отметим также, что если
( а Ь\
лежит в GLTes(H), то
virt. dim A {W) = virt. dim W + % (a),
где х(а) — индекс оператора Фредгольма а.
Для дальнейшего продвижения введем в Н ортонормирован-
ный базис. Это сводится к отождествлению Н с пространством
L2(S1;C), обладающим естественным базисом {z }AeEZ (как
обычно, г = eie). Тогда в Gr(#) есть семейство специальных то-
точек {Hs}: Hs — это замкнутое подпространство, порожденное
элементами zs при s^S, где S — подмножество в Z, отличаю-
отличающееся от множества натуральных чисел N на конечное подмно-
подмножество (т. е. S ограничено снизу и содержит все достаточно
большие целые числа). Семейство всех таких множеств S будем
обозначать через 9*. Отметим, что
virt. dim Hs = card E — N) — card (N — S).
Мы будем называть это число виртуальной мощностью множе-
множества S.
Предложение G.1.6). Для каждого W<=Gr(H) имеется мно-
множество Sg^, такое, что ортогональная проекция W —>-Hs есть
изоморфизм. Иными словами, множества {Us}s^^, sde Us = Uhs,
образуют открытое покрытие пространства Gr (H).
Доказательство. Поскольку проекция W-+H+ имеет конеч-
конечномерное ядро, существует So <= &, такое, что проекция W -> #s0
инъективна. Если она не сюръективна, то ее образ не содержит
элемента zs для некоторого s е So. Тогда проекция W —»> #s,,
где Si = So—{s}, по-прежнему инъективна. Повторяя это конеч-
конечное число раз, мы получим требуемое множество 5.
У нас есть теперь весьма явные координатные карты на
Gr(#), нумерующиеся с помощью 9*. Точка карты Us — это гра-
график оператора Гильберта — Шмидта Hs-^-Hs; она представ-
представляется S X 5-матрицей, где 3 = Z—S. Переходы между кар-
картами даются формулой G.1.5), где матрица G.1.4) есть мат-
матрица перестановки; в частности, у компонент & и с лишь конеч-
конечное число ненулевых элементов.
7.2. Некоторые плотные подмногообразия в Gr(#)
125
7.2. Некоторые плотные подмногообразия в Gr(H)
В терминах только что введенных координатных карт мы опи-
опишем четыре важных плотных подмногообразия в Gr(#). При-
Причина интереса к ним выяснится позднее.
(i) Gro(#) состоит из всех подпространств W, таких, что
zkH+czW czz~kH+ для некоторого k. Такие подпространства
можно отождествить с подпространствами в H~k, k — z~kH+/zkH+,
так что Gro(#) есть объединение классических конечномерных
грассманианов Qr(H-k, и)- В терминах координатных карт
Gro(#) состоит из графиков операторов Hs-^-Hs, имеющих
лишь конечное число ненулевых матричных элементов; такие
операторы плотны в &2 (Hs; Hs).
(ii) Gr! (H) состоит из всех подпространств W, соизмеримых
с Н+. Это графики всевозможных операторов Hs-^-Hs конечного
ранга.
(in) Grm(#) состоит из графиков всех операторов Т: Hs-^-
->Hs, матричные элементы TPq которых (для ре S, qe S) та-
таковы, что величины гР-^Трд ограничены для некоторого гсО<
<г < 1.
(iv) GrM(#) состоит из графиков всех операторов Т: Hs~+
-»¦ Hs, матричные элементы Tpq которых быстро убывают, т. е.
таких, что величины \р — q\mTpq ограничены для каждого т.
Не вдаваясь слишком глубоко в мотивировку введения этих
подпространств, отметим, что если W лежит в Groo(#), то у него
есть плотное подпространство, состоящее из гладких функций:
это так, поскольку конечные линейные комбинации гладких
функций
плотны в W. Аналогично, если W лежит в Gr<o(#), то в W
плотны вещественно-аналитические функции, а если W лежит
в Gro(#), то в IF плотны тригонометрические многочлены. Эти
условия, однако, не характеризуют Gr0, Grm и Gr.oo. Так, график
WT оператора Т: Н+—*- Н-, где
iz z
не принадлежит ни одному из этих подмногообразий, хотя
в нем, очевидно, плотны тригонометрические многочлены (что
касается другого крайнего случая, нетрудно показать, что об-
общее подпространство W <= Gr(#) совсем не содержит ненулевых
гладких функций).
126
Гл. 7. Грассманиан гильбертова пространства
Подпространство Groo (Я) можно описать следующим об-
образом.
Предложение G.2.1). Gr<x,(H) состоит в точности из тех под-
подпространств WeGr(Я), для которых образы обеих ортогональ-
ортогональных проекций
рг_: IF-^tf_ и pr+: WX-^H+
состоят из гладких функций.
Доказательство. Тот факт, что образы состоят из гладких:
функций, если W лежит в Gr<x>, сразу вытекает из определений
(заметим, что если W — график оператора Г: Hs-^-Hs, то W —
график оператора —Tm: Hs^-Hs)- Обратно, если W — гра-
график оператора Т: #s—*-#s и образ проекции рг_ состоит из--
гладких функций, то это же верно и для образа оператора Т.
Таким образом, Т определяет отображение из Hs в пространство^
гладких функций на окружности. По теореме о замкнутом гра-
графике оно должно быть непрерывным; его можно представлять
себе как гладкое отображение окружности в пространство, двой-
двойственное к Hs. Его гладкость эквивалентна условию, что для
каждого m величина
ограничена при р->-оо. Аналогично, гладкость образа проекции
рг+: WL-+H+ эквивалентна ограниченности для всех m вели-
величины
при q-f-oo; из двух этих условий вытекает, что W лежит в Groo..
Совершенно аналогичное описание может быть дано для
Gro(#) и Gr<o(#): для первого пространства доказательство-
тривиально.
Наши четыре подпространства могут сами рассматриваться
как многообразия. Важнейшим для нас будет Groo (Я), которое
мы будем называть гладким грассманианом. Данное выше опи-
описание показывает, что это многообразие, моделируемое метри-
зуемым ядерным пространством (см. [60]) матриц T={Tpq:
р <: 0,g ^ 0}, топология в котором определяется последова-
последовательностью полунорм рт, где
р. я
7.3. Стратификация многообразия Gr(#)
127
Можно также описать Groo (Я) непосредственно в терминах про-
пространства С°° гладких функций на окружности (с обычной топо-
топологией) : оно состоит из всех замкнутых подпространств W в С°°,
таких, что проекция W —»¦ С+ фредгольмова, а проекция W—>C-
жомпактна (здесь С±=С°° ПЯ±). Доказательство этого мы, од-
однако, опустим.
В завершение этого раздела дадим очень простое приложе-
приложение существования плотного подмногообразия Gro = (#)
Предложение G.2.2). Каждая голоморфная функция f:
Gr(H)-*-C постоянна на всех связных компонентах.
Доказательство. Достаточно показать, что f локально по-
постоянна на Gro. Но Gr0 есть объединение конечномерных грасс-
манианов Gr(H-n, n). Поскольку они являются компактными
алгебраическими многообразиями, каждая голоморфная функ-
функция на них локально постоянна.
7.3. Стратификация многообразия Gr(#)
Общий элемент W пространства Gr(H), имеющий виртуаль-
виртуальную размерность нуль, трансверсален к Я_, т. е. W Г)#_ = 0 и
W + Я- = Н. Эти общие элементы образуют плотное открытое
подмножество в своей связной компоненте. Другие элементы W
из той же компоненты пересекаются с Я_ нетривиально: из сле-
следующего далее обсуждения вытекает, что те подпространства,
для которых dim(W f| Я_) ^ k, образуют замкнутое подмноже-
подмножество коразмерности k2. Наиболее очевидной стратификацией про-
пространства Gr(H) была бы стратификация по размерности пере-
пересечения W(]H- (всегда конечной). Нам понадобится, однако,
более тонкая стратификация, учитывающая размерности пересе-
пересечений W П 2тЯ_ для всех т.
Скажем, что элемент f пространства Н = L2(Sl; С) имеет
конечный порядок s, если он имеет вид
Е
k=—ao
G.3.1)
с fs Ф 0. Иными словами, f есть граничное значение функции f,
голоморфной в полусфере |г|> 1, за исключением полюса по-
порядка s в точке 2= ос. Для каждого f ебг(Я) обозначим че-
через Wlin множество элементов конечного порядка в W. Посколь-
Поскольку элементы конечного порядка плотны в каждом Hs, а проек-
проекция W-+Hs является изоморфизмом для подходящего S, мы по-
получаем
128
Гл. 7. Грассманнан гильбертова пространства
Предложение G.3.2). Множество WUn плотно в W.
Элементы в W порядка ^т образуют конечномерное про-
пространство Wm = W П гт+хН-. Для данного W положим
Sw = {seZ: W содержит элемент порядка s}.
Множество Sw принадлежит 91, причем его виртуальная мощ-
мощность равна виртуальной размерности d пространства W, так
как число элементов множества Sw, не превосходящих т, есть
dim Wm, что равно т + d + 1 для достаточно больших т, та-
таких, что проекция W-+zm+1H+ сюръективна.
Для каждого s^Sw пусть ws — некоторый элемент из W
вида G.3.1) с fs= 1. Очевидно, что {ws} есть базис простран-
пространства WUn в алгебраическом смысле и проекция W^>Hsw яв-
является изоморфизмом. Мы можем сделать выбор ws однознач-
однозначным, потребовав, чтобы он проектировался в zs; этот базис
будем называть каноническим базисом пространства W (наш вы-
выбор — это в точности процесс построения базиса в подпростран-
подпространстве, известный из элементарной линейной алгебры).
Для данного S <= 3s будем называть стратом пространства
Gr(#), соответствующим S, множество
Иными словами, 2s состоит из всех W, таких, что dim(Wm) =
= dm(S) для всех т, где dm(S) — число элементов множества S,
не превосходящих т.
Индексирующее множество S виртуальной мощности d кано-
канонически записывается в виде
S = {S-d, S-d+U S-d+2, •-•},
где s-d < s_d+i < S-a+2 < • ¦ • и sk = k для больших k. Мы упо-
упорядочим множества одинаковой виртуальной мощности, полагая
по определению
S < 5' -<=> sk ^ s'k для всех k <=>• dm (S) < dm (S') для всех т.
Определим также длину l(S) множества 5 формулой
l(S)= E (k-sk).
й>0
Тогда из отношения S < S' вытекает, что l(S) < l(S').
Наконец, будет удобным ввести «строго нижнюю треуголь-
треугольную» подгруппу Ж- в GLres, состоящую из всех элементов А, та-
таких, что A(zkH-) = zkH- и (Л — 1) (zkH-) <= zk~lЯ_ для всех k.
7.4. Клеточное разбиение пространства Gro(#)
129
Нашу стратификацию описывает
Предложение G.3.3). (i) Страт Из является стягиваемым
замкнутым подмногообразием в открытом множестве Us кораз-
коразмерности l(S).
(ii) 2s есть орбита элемента Hs под действием группы, Jf—
(Hi) Если W €= Us, то S ^ 5^.
(iv) Замыкание страта 2s есть объединение стратов 2s' no
всем S'^S.
Доказательство, (i) Мы уже показали, что 2s содержится
в Us. Далее, если W e Us, то проекция W-+Hs есть изомор-
изоморфизм, так что W имеет единственный базис {ws}, проектирую-
проектирующийся в базис {zs}. В силу единственности W лежит в 2s тогда
и только тогда, когда для всех s элемент ws имеет порядок s.
Если подпространство W задано как график оператора Т: Hs—>
—>Hs, т. е. ws = zs + Tzs, то W лежит в 2s в точности тогда,
когда матричные элементы Tpq равны нулю при р> q. Число
пар (р, q) в SXS, таких, что p>q, равно длине /E). Таким
образом, 2s соответствует гильбертову подпространству кораз-
коразмерности l(S).
(ii) Предположим, что IFgSs есть график оператора
Т: Hs-^Hs- Пусть pi\s: H^-Hs— ортогональная проекция.
Тогда оператор А — 1 + Горг5 лежит в JC- и A(HS)= W.
(iii) Перпендикулярная проекция на Hs может лишь пони-
понижать порядок элементов, поэтому если проекция W-+Hs есть
изоморфизм, то у Hs должно быть не меньше линейно незави-
независимых элементов порядка ^т, чем у W, т. е.
card {s e S: s^m}~^ card {seSff:
для всех т. Это эквивалентно утверждению 5 ^ Sw-
(iv) Из (iii) вытекает, что замыкание страта 2s содержится
в объединении стратов 2s' с S' ^ S. Но для Sf > S пусть Wt —
подпространство, порожденное элементами
с А> —d. При 0 sg: t < 1 пространство Wt лежит в 2s; если же
t= 1, то Wt = Hs'^^s'- Это доказывает, что замыкание страта
2s пересекается с 2$'. Но тогда это замыкание должно содер-
содержать 2s', поскольку 2s' является орбитой группы Jf~
7.4. Клеточное разбиение пространства Gro(#)
Грассманиан конечномерного векторного пространства обла-
обладает классическим разбиением на клетки Шуберта (см. [68] или
[116]). Наш грассманиан Ог0(Я) есть объединение конечномер-
9 Зак. 230
130
Гл. 7. Грассманиан гильбертова пространства
ных грассманианов Gr(H-n, n), и он также может быть разбит
на клетки Шуберта. Это разбиение в следующем смысле двой-
двойственно к стратификации пространства Gr(#), описанной в пре-
предыдущем разделе:
(i) клетки {Cs} и страты {2S} нумеруются одним и тем же
множеством 91;
(ii) размерность клетки Cs равна коразмерности страта 2s;
(Hi) Cs пересекает 2s трансверсально в единственной точке
и не пересекается с другими стратами той же коразмерности.
Для описания Cs определим сначала копорядок полиноми-
полиномиального элемента
пространства Н как наименьшее число k, такое, что fk Ф 0.
Тогда для We Gro(#) множество
5^ = {s gZ: W содержит элемент копорядка s]
лежит в 9*; для Se^ мы положим
Cs = {W е Gr0 (Я): SW = S}.
Предложение G.4.1). (i) Cs является замкнутым подмного-
подмногообразием в открытом множестве Us пространства Gr(H), диф-
феоморфным ;C/fS).
(ii) Os есть орбита подпространства H,s под действием
«строго верхней треугольной» подгруппы JP+ группы GLT&s.
(Hi) Если ГеОго(Я) лежит в Us, то S < Sw.
(iv) Замыкание пространства Cs есть объединение всех Cs' с
5'
(v) Пространство Cs пересекается с 2s' тогда и только
тогда, когда S^S', причем Cs пересекается с 2 s трансвер-
сально в единственной точке Hs-
Здесь строго верхняя треугольная подгруппа Jf+ состоит из
всех таких А, что A (zkH+) = zkH+ и (Л — 1) (zkH+) cz zk+1H+ для
всех k.
Доказательство. Наше предложение совершенно аналогично
G.3.3). Существенным является наблюдение, что Cs состоит из
графиков всех операторов 7": Hs^-Hs, матричные элементы Tptr
которых равны нулю при р > q.
7.5. Плюккерово вложение
13!
7.5. Плюккерово вложение
Точки конечномерного грассманиана традиционно описы-
описываются плюккеровыми координатами. В точности то же можно
сделать с Gr(Я).
В разд. 7.3 мы отмечали, что каждое W ^ Gr(H) обладает
каноническим базисом. Однако для нас будет полезно ввести
класс «допустимых базисов» в W. Предположим, что W имеет
виртуальную размерность d.
Определение G.5.1). Последовательность {wk}k>_d в W на-
называется допустимым базисом для W, если
(i) линейное отображение w: z~dH+-+ W, переводящее zk
в wk, является непрерывным изоморфизмом и
(ii) композиция рг°о>, где рг: W-*-z-dH+ — ортогональная
проекция, есть оператор с определителем.
Замечания
(i) Напомним, что оператор с определителем — это опера-
оператор, отличающийся от тождественного на оператор со следом
(см. разд. 6.6).
(ii) Мы обычно не будем различать между собой базис {wk}
и соответствующее линейное отображение w.
(Hi) Канонический базис в W допустим: для него компози-
композиция рг°ш отличается от тождественного оператора на оператор
конечного ранга.
Из определений ясно, что любые два допустимых базиса для
одного и того же пространства W связаны друг с другом мат-
матрицей, имеющей определитель. Кроме того, если w — допусти-
допустимый базис для W, множество SeP1 имеет виртуальную мощ-
мощность d, a prs: W-+H,s — проекция, то prs°ay также есть опера-
оператор с определителем. Определим плюккерову координату ns(w)
базиса w как определитель det(prs °да). Если виртуальная мощ-
мощность множества Se? отлична от d, то мы полагаем ns(w) =
= 0. Если w' — другой допустимый базис для W, то
где ДШа;' — определитель матрицы, связывающей а/ и w; поэтому
если считать {ns}se & проективными координатами, то они зави-
зависят только от W.
Предложение G.5,2). Плюккеровы координаты.
ределяют голоморфное вложение
on~
я:
9*
132
Гл. 7. Грассманиаи гильбертова пространства
в проективное пространство гильбертова пространства ?6 =
1(9>
Замечание. В разд. 7.7 мы дадим более инвариантное описа-
описание пространства Ж.
Доказательство. Сначала мы должны показать, что
< oo
для
что
любого допустимого базиса w. Фактически мы докажем,
Е I «s(»)P = det (w'w)
s
G.5.3)
(правая часть определена, поскольку, если записать оператор
w: zrdH+-+H в виде w+@w- по отношению к разложению
Н = z~dH+@ z~dH_, то w"w = w*+w+ + w*_w_ и этот оператор
имеет определитель, поскольку w+ имеет определитель, а ш- —
оператор Гильберта — Шмидта).
Для каждого подпространства W равенство G.5.3) доста-
достаточно доказать для какого-нибудь одного допустимого базиса
до. По непрерывности его достаточно доказать, когда W лежит
в Gtq(H). Поэтому мы можем считать, что w+ отличается от еди-
единичной матрицы лишь в конечном числе мест, а ау_ имеет лишь
конечное число ненулевых матричных элементов. В этом случае
G.5.3) сводится к следующему утверждению: если Р и Q суть
nXm- и тХя-матрицы, причем п ^ пг, то
det (PQ) = Z det (Ps) det (Qs),
где 5 пробегает л-элементные подмножества в {1,2, ..., пг},
a Ps, Qs — соответствующие яХ я-подматрицы в Р и Q. Но это
утверждение просто выражает функториальность п-й внешней
степени: Л" (P°Q) = (Л*Р) о (AnQ).
Для доказательства того, что л — вложение, рассмотрим сна-
сначала случай, когда подпространство W есть график оператора
Т: Н+-+Н-. Канонический базис {wk}k>0 для W задается фор-
формулой
р<0
Предположим, что Se^ имеет виртуальную мощность 0, и по-
положим A=S — ,N, B = N — S. Это два конечных множества
одинакового размера. Легко видеть, что ns(w) есть определи-
определитель конечной подматрицы в (Tpq), образованной строками А
7.6. Действие полугруппы
133
м столбцами В. В частности, в число плюккеровых координат
входят все матричные элементы Tpq. Поэтому ограничение л на
координатную окрестность UN является вложением.
Остальные координатные окрестности рассматриваются точно
так же. В завершение заметим, что W принадлежит к Us тогда
и только тогда, когда its (w) фО.
Стратификация грассманиана Gr(H), а также три его плот-
зшх подпространства Gr0, Gra и Groo допускают следующее
очень простое описание в терминах плюккеровых координат.
Предложение G.5.4). (i) W (= Us<=>jis(W) =#=0;
(ii) W 6= 2S<=> ns (W) Ф 0 и jtS'(W) = 0 при S' < S;
(iii) №<=С3<=>л3(У?)ф0 и jiS'(W)=0, если S'^S;
(iv) W e Gr0 <=> jts (W) = 0 для всех S, кроме конечного
числа;
(v) We Gra -ф^>- величина i—'^ns(W) ограничена при S e 5"
для некоторого г < 1;
(vi) W (= G^ <=>величина l(S)mits(W) ограничена при
S ^ 9* для каждого m.
Все эти утверждения очевидны, за исключением, быть мо-
может, последних двух, справедливость которых выяснится в сле-
.дующем разделе.
7.6. Действие полугруппы С< i
Окружность Т унитарно действует на Н — L2(Sl; С) пово-
поворотами S1, причем это действие сохраняет поляризацию Н =
= Н+ ф //_. Это означает, что Т действует на пространстве
Gr(H). Легко видеть, что неподвижные точки этого действия —
это в точности подпространства Hs при S е 9>. Будем обозна-
обозначать через Ra: Gr(H)-+Gr(H) действие элемента иеТ.
Отображение ТХ Gr(H)-+Gr(H), задающее это действие,
непрерывно, но не дифференцируемо. В координатной карте
Us = &2(Hs; Hs) действие преобразования Ru на оператор
Т: Hs—>Hs умножает матричный элемент Tpq на и"~р. Отсюда
вытекает
Предложение G.6.1). Т-орбита точки W(=Gr(H) является
гладкой (т. е. гладко отображение и\—>RuW) тогда и только
тогда, когда W лежит в Gvoo(H). Эта орбита вещественно-ана-
.литична тогда и только тогда, когда W лежит в Gra(H). Кроме
того, Т гладко действует на многообразии Gvoo{H), снабженном
.его собственной С°°-топологией.
134
Гл. 7. Грассмаииан гильбертова пространства
Описание в терминах координатных карт показывает, что.
действие группы f продолжается до действия
С& XGt(H)^ Gt (Я) G.6-2>
полугруппы C<i ненулевых комплексных чисел, по модулю не
превосходящих 1. Отображение G.6.2) голоморфно иа откры-
открытом множестве C<i XGr (Я). Если 1«1<1, то Ru отображает
Gr(H) в Grm(#). На подмногообразии Gro(#) действие группы;
Т продолжается до голоморфного действия всей группы С .
Описанное действие полугруппы С< i очень тесно связано со>
стратификацией пространства (Зг(Я).
Предложение G.6.3). (i) Страт 2s состоит в точности из тех
точек W<= Gt(H), для которых RUW стремится к H.s при и-+0.
(ii) Подпространство Cs состоит в точности из тех точек.
W<= иго(Я), для которых RUW стремится к Hs при и->~оо.
Если мы ограничимся вещественными значениями и, то си-
ситуация, описанная в предложении G.6.3), очень напоминает тео-
теорию Морса. Если бы траектории u^-^-RuW были градиентным
потоком функции F на Ог(Я), то точки Hs были бы критиче-
критическими точками функции F, а 25 и Cs устойчивым и неустойчи-
неустойчивым многообразиями в точке Я5 в смысле теории Морса [142].
Эта картина по существу верна; единственное уточнение со-
состоит в том, что функция F определена только на гладком грасс-
маниане Groo, где траектории гладкие. Мы найдем функцию F
в разд. 7.8.
Предложение G.6.3) сразу вытекает из поведения плюккеро-
вых координат по отношению к Т-Действию.
Предложение G.6.4). Имеем
где X отлично от нуля и не зависит от S. Иными словами, плюк-
керово вложение
л: Gr(H)-+PC%)
эквивариантно относительно С<1( где Ru действует наЖ = 1 E")
по формуле
Замечание. В следующем разделе это предложение будет пе-
перекрыто более точным результатом G.7.5).
Доказательство. Если w: z-dH+-*- W — допустимый базис
для W, то в качестве базиса для RUW можно взять Ru°w°Ru -
7.7. Детермннантное расслоение
135
По непрерывности наш результат достаточно доказать для не-
некоторого плотного множества базисов w. Поэтому для компо-
компоненты виртуальной размерности нуль мы можем считать, что
Wq Z Т Zi ' pqz •
Если S—N=A={a1 ak) и N — S = B={bu .... bk), то
•1{S) = 2j (bt — at). Плюккерова координата zis{w) есть опреде-
определитель подматрицы в 7", образованной строками А и столбцами
В. Сопряжение с помощью Ru умножает этот определитель на
z l ' = z • Остальные связные компоненты рассматри-
рассматриваются аналогично.
Замечание. Стоит отметить, что если Ж™ и Жа> — гладкие и
вещественно-аналитические векторы в^в смысле теории пред-
представлений [153], т. е. векторы, Т-орбиты которых являются
.гладкими или вещественно-аналитическими, то
7.7. Детерминантное расслоение
В этом разделе мы построим голоморфное линейное расслое-
расслоение Det на грассманиане Gr(H). Его слой Det(W) в точке W<=
'е'йг(Я) нужно представлять себе как «старшую внешнюю сте-
степень» пространства W. Мы можем придать этому смысл при
•помощи понятия допустимого базиса, введенного в разд. 7.5.
Элемент пространства Det(W) по определению представляется
¦формальным выражением
-d Л W-d+i Л W-d+2 Л . . . ,
G.7.1)
где Х<=.С, a w ={wk} — допустимый базис в W. Выражение
G.7.1) будем обозначать просто через ,[Я,, w]. Если w' — другой
допустимый базис в W, то [X, w] отождествляется с [Xdet(t),
w'], где t — (tiS)—матрица, связывающая w и w':
;Ясно, что Det(W) — одномерное комплексное векторное про-
пространство, причем объединение пространств DetClF) no We
еОг(Я) есть линейное расслоение Det. Мы должны, однако,
объяснить, как превратить Det в комплексное многообразие и
почему расслоение локально тривиально.
Для каждого множества Se^1 у нас есть открытое множе-
множество Us в Gr(H), отождествляемое с графиками операторов
136
Гл. 7. Грассманиан гильбертова пространства
Гильберта — Шмидта Т: Hs^-Hs- График WT оператора Г
имеет допустимый базис {wi}, где
pqzp G.7.2)
с q = Si и S ={s-a, s-d+i, ...}. Отождествим часть пространства
Det над Us с С X Us посредством соответствия
(X,
IK
Det,
где w задается формулой G.7.2). Переход между этими локаль-
локальными тривиализациями устроен следующим образом. Предпо-
Предположим, что WT лежит bUsuUs' и Wt = WT', где Т: #S'-*#s'-
Из G.1.5) мы знаем, что
где
с d
где
матрица перестановки, связывающая S и S'. Тогда
(X, Wr)eCXt/s- (Xf, Wt>) gCX Us-,
Х' = Х det (a + bT).
Это голоморфная функция от (Я,, Г), что и требуется (для пол-
полной конкретности, det(a + &T) — это просто конечномерный оп-
определитель, образованный строками А и столбцами В матрицы
Т, где А = S' — 5 и В = S — 5').
Грассманиан Gr(#) является однородным пространством от-
относительно действия ограниченной полной линейной группы
CLres (Я). Естественно было бы ожидать, что это действие груп-
группы GLtes поднимается до действия на линейном расслоении Det.
Это, однако, не совсем так, поскольку если w есть допустимый
базис для W^Gt(H), а A^GLres, то Aw, вообще говоря, не
является допустимым базисом в A (W). Расширение GL~SS группы
GLres с помощью Сх, описанное в гл. 6, было построено как
раз для того, чтобы справиться с этой ситуацией.
Теорема G.7.3). Действие группы GLTes на Gr(#) накры-
накрывается действием группы GLZs на линейном расслоении Det.
Доказательство. Сначала рассмотрим связную компоненту
Gr°, состоящую из пространств W виртуальной размерности 0.
7.7. Детерминантное расслоение
137
Допустимый базис для такого W есть изоморфизм w: H+
который мы можем записать в виде Z X N-матрицы
W,
w
\w_J
такой, что оператор w+: H+—*-Н+ имеет определитель. Напом-
Напомним, что подгруппа <1Г в GLres, о X GL (Я+) определяется как
множество пар (A,q), таких, что aq~l имеет определитель, где
А =
с d
Определим действие группы <1Г на множестве допустимых бази-
базисов, полагая
{A, q) ¦ w — Awq~l
Это определение корректно, поскольку оператор (Awq-1)+ —
= aw+q~l + bw-.q~l имеет определитель. Тогда <1Г действует на
Det по формуле
(A, q)-[X,w) = [K(A,q)w).
Подгруппа 3~\ в $", состоящая из пар A,^) с det(^)== 1, дей-
действует на Det тривиально, а значит, мы определили действие
группы &/3~\. Но это компонента единицы GL^s, о группы GLZs-
Чтобы заставить группу GLZs, о действовать на части расслое-
расслоения Det над множеством Qrd подпространств W виртуальной
размерности d, напомним, что мы определяли автоморфизм а
группы GLres,о, накрывающий автоморфизм А\—>аАа~1 группы
GLres, о- Здесь а: Н—*- Н — отображение сдвига, задаваемое умно-
умножением на 2. Мы определим действие элемента А е GL^s, о на
Det | Grd как действие о~а о 5й (А) о ad, где
a: Det-*Det
определяется формулой а- [X, w] = [X, aw]. Поскольку GL^S
есть полупрямое произведение GLres, о и циклической подгруппы,
лорожденной а, мы получили действие группы GLJ^s на Det.
Замечания, (i) Групповое расширение GL^s, о можно по-
построить непосредственно из линейного расслоения Det. В самом
деле, GL^s,о—это группа всех голоморфных автоморфизмов
расслоения Det|Gr°, накрывающих действия элементов группы
GLres, о на Gr° (если Ло и Ах — автоморфизмы расслоения
Det|Gr°, накрывающие одно и то же отображение на Gr°, то
Ао~1А\ должен быть операцией умножения на голоморфную
138
Гл. 7. Грассманиан гильбертова пространства
функцию на Gr°, нигде не обращающуюся в нуль, но все такие
функции постоянны (см. предложение G.2.2)).
(и) Линейное расслоение Det обладает естественной эрмито-
эрмитовой метрикой, для которой
|| [Я, w]f = | А |2 det (w*w).
Она сохраняется под действием группы UZs- Поэтому расслое-
расслоение на единичные окружности в Det можно отождествить с
Utts/U (H+) X U Ш-), а его класс Чженя представляется инва-
инвариантной формой, определенной в F.6.5).
Вернемся к плюккерову вложению, определенному в разд. 7.5..
Плюккеровы координаты n,s могут рассматриваться как голо-
голоморфные сечения линейного расслоения Det*, двойственного
к Det. В самом деле, голоморфное сечение расслоения Det* —
это голоморфная функция Det—НС, линейная на слоях. Коор-
Координата us определяет такую функцию посредством соответствия
[X, w] t—> Хл5 (w).
Поэтому гильбертово пространство Ж из предложения G.5.2)'
содержится в пространстве, двойственном к пространству всех:
голоморфных сечений расслоения Det*. В гл. 10 мы увидим, что-
оно является плотным подпространством в этом двойственном
пространстве. Пока же просто заметим, что вложение я: Gt(H)-*-
Р{Ж) возникает из голоморфного отображения
л: Det^^, G.7.4}
линейного на слоях. Таким образом, линейное расслоение Det
является обратным образом тавтологического линейного рас-
расслоения на Р (Ж) (см. разд. 2.9).
Отображение я: Det->-«5^ сохраняет норму, что видно из фор-
формулы G.5.3).
Предложение G.7.5). Отображение л: Det->5# эквива-
риантно относительно полугруппы C<i, если преобразование
Ru s C<i действует на
по формуле
Здесь
d(d+l)/2, где d = card(S).
Доказательство. Достаточно соединить доказательство G.6.4)
с тем фактом, что действие преобразования Ru на элемент
[X, w] <= Det, где w: z~dH+-+H — допустимый базис, задаете»
формулой
RU[K w]=[lu
d(d+1)'2
7.8. Пространство Gr(ff) как кэлерово многообразие
139
Более общие детерминантные расслоения
Детерминантное расслоение в действительности может быть
определено на большем пространстве, чем Gr(#). Обозначим
через GrcPt(#) множество замкнутых подпространств W в Я, та-
таких, что проекция W-+-H+ есть оператор Фредгольма, а проек-
проекция W-+H- — компактный оператор. Тогда наша конструкция
применима без всяких изменений и задает голоморфное линей-
линейное расслоение Det на Grcpt(H). Ключевое различие, однако,
состоит в том, что это расслоение на Grcpt(#) не является одно-
однородным: на нем действует лишь подгруппа из GLZS(H), состоя-
состоящая из элементов, внедиагональные блоки которых являются
операторами со следом.
Линейное расслоение Det на Grcpt(#) по существу совпадает
с детерминантным расслоением на пространстве Fred(#+) фред-
гольмовых операторов в Я+, введенным Квилленом [124]. Слой
расслоения Квиллена в точке Т: Н+-+Н+ равен
det (ker T)" <g> det (coker T).
Эти два расслоения связаны следующим образом. Обозначим че-
через J? пространство инъективных отображений w: H+-+H, та-
тсих, что w(H+) лежит в GrCpt(#). Тогда имеются голоморфные
¦отображения
- Я -»- Fred (H+).
Оба этих отображения имеют стягиваемые слои. Обратные об-
образы на 39 детерминантных расслоений на Grcpt(#) и Fred(#+)
дают одно и то же расслоение, причем расслоение на Fred(#+)
есть фактор расслоения на 3$ по очевидному свободному дей-
действию группы GL(H+).
7.8. Пространство Gr(#) как кэлерово многообразие
и симплектическое многообразие
Поскольку группа ?/res транзитивно действует на Gr(#), на
пространстве Gr(#) можно определить эрмитову метрику, за-
задавая на его касательном пространстве в отмеченной точке Н+
эрмитову форму, инвариантную относительно действия под-
подгруппы изотропии U(H+)XU(H-). Касательное пространство
в точке Я+ есть пространство ^2(Я+;Я_) операторов Гильбер-
Гильберта—Шмидта Н+-+Н„ (на котором группа изотропии действует
взятием композиции слева и справа), а единственное с точностью
до скалярного множителя инвариантное скалярное произведе-
;яие на нем — это
(X, У).-»-2 tr (.ГУ).
140
Гл. 7. Грассманиан гильбертова пространства
Это скалярное произведение определяет на Gr(H) кэлерову
структуру. В самом деле, его мнимая часть
¦со (X, У) = - / tr (X*Y - Y*X)
G.8.1).
есть замкнутая 2-форма,с которой мы уже сталкивались в пред-
предложении F.6.5) как с формой на алгебре Ли ures, задающей
центральное расширение u^s (напомним, что инвариантная диф-
дифференциальная форма на однородном пространстве ?/res/(?/+X
X UJ)—это то же самое, что и кососимметричная форма со на
Ures, инвариантная относительно присоединенного действия груп-
группы ?/+Х U- и удовлетворяющая дополнительному условию, чт
ю(ё, т]) = 0, когда g или ц лежит в u+©u_). Чтобы убедиться
в том, что форма G.8.1) совпадает с формой из предложения
F.6.5), мы отобразим &2(Н+\ Я_) в ures посредством соответ-
соответствия
X
х о
В конце последнего раздела (см. замечание (ii) после тео-
теоремы G.7.3)) мы указывали, что форма со представляет класс
Чженя линейного расслоения Det на Gv(H). Эквивалентное
утверждение состоит в том, что кэлерова структура на Gr(H)
индуцирована стандартной структурой на проективном про-
пространстве Р(Ж) с помощью плюккерова вложения.
На односвязном симплектическом многообразии X (даже
если оно бесконечномерно) всякое векторное поле |, сохраняю-
сохраняющее 2-форму со, происходит из так называемого гамильтониана
F: X—*-'R в том смысле, что градиент dF есть 1-форма <в(?, •)
на X. На Gr(H) векторное поле, определяемое произвольным
элементом алгебры Ли ures, сохраняет форму ю, и мы можем
спросить о соответствующей функции.
Предложение G.8.2). Гамильтониан F: <Gr(H)—*-R, опреде-
определяющий поток на Gr(H), соответствующий элементу ^eures,
задается формулой
= -itrt(Jw-J).
Здесь / и Jw — операторы с квадратом 1, задающие разло-
разложения Н = Н+ Ф Я_ и Я = W © Wx. Мы оставляем читателю-
проверку того, что оператор t(Jw — /) обязательно имеет след..
Доказательство. Градиент функции F в точке W вдоль каса-
касательного вектора, соответствующего элементу ri s ures, равен
dF{W; Ti) / tr g [л, Jwl
7.8. Пространство Gr (H) как кэлерово многообразие
141
Предположим, что W = ,gH+, где g^Ures- Тогда Jw = gg
а значение инвариантной формы со на касательных векторах
в точке W, определяемых элементами |, т], есть
<o(W; I, r]) = (u(g~1lg, g~1r\g) =
= — i tr g~llg [g'^g, J] = — itr% [r\, Jw] =
= dF(W; r\) G.8.3)
(здесь G.8.3) получается из F.6.5) с помощью наблюдения,
что tr (db2 — bic2) = tr Ai [A2, J]) ¦
Предложение G.8.2) нельзя прямо применить к действию
группы Т на Gr(H) поворотами, так как мы видели в разд. 7.6,
что это действие гладко лишь на подмногообразии Gr«>(H). Это
соответствует тому факту, что инфинитезимальная образующая
—d/dQ есть неограниченный оператор в Я и не принадлежит
алгебре Ли ures. Тем не менее предложение G.8.2) справедливо
для потока группы поворотов на ОГоо(Я). Будем называть соот-
соответствующий гамильтониан энергией Ж: Groo(H)-*-'R. Таким об-
образом,
(^) G-8.4)
Критические точки функции $ суть стационарные точки дей-
действия поворотов, т. е. точки Hs для Sg?1. Заметим, что
где d = card(S) (см. G.7.5)). Более общим образом, справед-
справедливо
Предложение G.8.5).
где {jis(W)} — плюккеровы координаты, точки W, нормализо-
нормализованные так, что Л | %S{W)\2= I, a Qw — соответствующий еди-
единичный вектор в Ж.
Таким образом, функция & принимает только положитель-
положительные значения.
На языке квантовой механики Gr(/i) можно рассматривать
как пространство состояний классической системы, а Р(Ж) —
как соответствующее пространство квантовых состояний. Тогда
Qw представляет квантовое состояние, соответствующее W, а
Гл. 7. Грассмаииан гильбертова пространства
предложение G.8.5) утверждает, что классическая энергия
S" (W) есть среднее значение квантового оператора энергии
i(d/dQ) в состоянии Qw- Этот результат вытекает из того факта,
что Gr(H) обладает кэлеровой структурой, индуцированной
с Р{36). В самом деле, если Т—произвольный кососопряжен-
ный оператор на Эё, то гамильтониан, соответствующий индуци-
индуцированному им потоку на РCё), есть
Довольно легко показать, что разложение Морса простран-
пространства Gr(H) на возрастающие и убывающие устойчивые много-
многообразия стационарных точек градиентного потока функции <8 —
это в точности стратификация и клеточное разбиение, найден-
найденные в разд. 7.3 и 7.4. Мы не будем дальше продолжать обсуж-
обсуждение этого вопроса — см., однако, разд. 8.9.
Глава 8
Основное однородное пространство
8.1. Введение: теоремы о разложении
Наиболее важные результаты, доказанные в этой главе —
это три теоремы о разложении. Мы установим их для группы
петель полной линейной группы GLn(.C), однако сами теоремы
остаются справедливыми и для групп LGC при произвольной
компактной группе G. Первая теорема касается подгруппы
L+GLn(C) в LGLn(iC), состоящей из петель у, которые являются
граничными значениями голоморфных отображений
у: {2бС: |z|<l}-GL
Теорема (8.1.1). Любая петля у ^ LGLn(,C) может быть
единственным образом представлена в виде
QUn, a у+^ L+GLn(\C). Более того, отображение умно-
умногде у и
жения
является диффеоморфизмом.
Здесь QUn обозначает петли из LUn, сохраняющие отмечен-
отмеченную точку, т. е. петли, для которых уA)= 1. Предложение (8.1.1)
будет доказано в разд. 8.3.
Во второй теореме, восходящей к Биркгофу [11], [12], уча-
участвует также подгруппа L~GLn(,C), состоящая из петель Vе
eLGLn(LC), которые являются граничными значениями голо-
голоморфных отображений
Y: {геСиН \z\> l
Теорема (8.1.2). Любая петля у
представлена в виде
LGLn(LC) может быть
где y-(=L-GLn(iC.), y+ e L+GLn(.С), а Х<=Т — это петля, ко-
которая является гомоморфизмом из S1 в группу диагональных
Гл. 7. Грассманиан гильбертова пространства
предложение G.8.5) утверждает, что классическая энергия
3" (W) есть среднее значение квантового оператора энергии
i(d/dQ) в состоянии Qw- Этот результат вытекает из того факта,
что Gv(H) обладает кэлеровой структурой, индуцированной
с Р{Ж). В самом деле, если Т — произвольный кососопряжен-
ный оператор на Зё, то гамильтониан, соответствующий индуци-
индуцированному им потоку на Р(Эё), есть
Довольно легко показать, что разложение Морса простран-
пространства Gr(H) на возрастающие и убывающие устойчивые много-
многообразия стационарных точек градиентного потока функции $* —
это в точности стратификация и клеточное разбиение, найден-
найденные в разд. 7.3 и 7.4. Мы не будем дальше продолжать обсуж-
обсуждение этого вопроса — см., однако, разд. 8.9.
Глава 8
Основное однородное пространство
8.1. Введение: теоремы о разложении
Наиболее важные результаты, доказанные в этой главе —
это три теоремы о разложении. Мы установим их для группы
петель полной линейной группы GLn(C), однако сами теоремы
остаются справедливыми и для групп LGC при произвольной
компактной группе G. Первая теорема касается подгруппы
L+GLn(C) в LGLn(i-C), состоящей из петель у, которые являются
граничными значениями голоморфных отображений
у: {геС: \г\< 1}- GLn(Q.
Теорема (8.1.1). Любая петля y^LGLn(,C) может быть
единственным образом представлена в виде
где уи i
жения
QUn, a
L+GLn(,C). Более того, отображение умно-
является диффеоморфизмом.
Здесь QUn обозначает петли из LUn, сохраняющие отмечен-
отмеченную точку, т. е. петли, для которых 7A)= 1- Предложение (8.1.1)
будет доказано в разд. 8.3.
Во второй теореме, восходящей к Биркгофу [11], [12], уча-
участвует также подгруппа L~GLn(,C), состоящая из петель уе
eLGLn(tC), которые являются граничными значениями голо-
голоморфных отображений
еСиИ: \г \ > l}->GLn(C).
у: {2SlU{«
Теорема (8.1.2). Любая петля у
представлена в виде
LGLn (С) может быть
где y-(=L-GLn(iC.), у+ <= L+GLn(С), а 'k^.f — это петля, ко-
которая является гомоморфизмом из S1 в группу диагональных
144
Гл. 8. Основное однородное пространство
матриц из GLn ((С), т. е. X имеет вид
Сомножитель X определяется по у с точностью до сопряжения
в GLn(iC), т. е. с точностью до перестановки чисел {аи ..., ап}.
Петли, для которых X = 1, составляют плотное открытое множе-
множество в связной компоненте единицы группы LGLn{\C), о. отобра-
отображение умножения
где L~ = {y_sL~: у_(°о)==1}, является диффеоморфизмом на
это множество.
В следующем разделе мы опишем два важных приложения
теоремы Биркгофа. Сама теорема будет доказана в разд. 8.4.
Буквальные переформулировки теорем (8.1.1) и (8.1.2) верны
для групп вещественно-аналитических, рациональных и полино-
полиномиальных петель, однако не верны для непрерывных петель.
Третья же теорема применима только к группе полиномиальных
петель. Мы будем называть ее теоремой о разложении Брюа
(ср. [79]).
Теорема (8.1.3). Любая полиномиальная петля ^е
е LpoiGLn(C) может быть представлена в виде
у = ум . х ¦ Y(|),
где у(" и у™ принадлежат L+oI, a k является гомоморфизмом
из S1 в группу диагональных матриц.
Сформулированные теоремы являются непосредственными
аналогами следующих трех хорошо известных фактов, касаю-
касающихся GLn(C).
(i) Любая матрица A^GLn(C) может быть представлена
как произведение двух матриц: унитарной и верхней треугольной.
(ii) Любая матрица А е GLn (iC.) может быть представлена
в виде
А = PnQ,
где Р — нижняя треугольная матрица, Q — верхняя треугольная
матрица, а я— матрица перестановки. Более того, п опреде-
8.1. Введение: теоремы о разложении
145
.ляется по Л однозначным образом и я = 1 для открытого плот-
плотного множества в GLnO-C), а именно, для всех А с ненулевыми
главными минорами.
(ш) То же утверждение, что и в п. (ii), только матрицы Р
и Q — обе верхние треугольные и я является антидиагональной
матрицей для плотного открытого множества.
Конечно, (ii) и (Ш) тривиальным образом эквивалентны;
•они называются разложением Брюа для GLnAС.).
Теоремы для групп петель доказываются точно так же, как
и конечномерные результаты. Разложение на унитарную и верх-
люю треугольную матрицы (i) — это просто процесс Грама —
Шмидта для замены произвольного базиса в [С/1 — столбцов
матрицы А — ортонормированным базисом. Более геометрически,
это утверждение о том, что любой флаг в [С/1 содержит ортонор-
мированный базис, т. е. что Un транзитивно действует на много-
многообразии флагов GLn(?>)/B. (В обозначает подгруппу верхних
треугольных матриц.) Аналогично, разложение Брюа — это раз-
разбиение многообразия флагов на клетки Шуберта.
Для группы петель LG роль многообразия флагов играет
комплексное однородное пространство Х== LGc/L+Gc- Теорема
(8.1.1) — это утверждение о том, что LG транзитивно действует
на X, т. е. что XgsiLG/G. Мы будем называть X основным одно-
однородным пространством для LG. Между X и многообразием фла-
флагов имеется далеко идущая аналогия. В частности:
(i) X является комплексным проективным алгебраическим
многообразием;
(ii) X обладает каноническими стратификацией и клеточным
разбиением;
(iii) неприводимые представления группы LG можно реали-
реализовать как пространства голоморфных сечений линейных рас-
расслоений на X.
В разд. 8.3 мы покажем, что для случая G = Un имеется кра-
красивое описание пространства LG/G как некоторого грассма-
ниана; из этого описания мы выведем теоремы о разложении.
Подобным же образом можно описать LG/G и для других клас-
классических групп. Случай произвольной компактной группы Ли
незначительно сложнее.
Идея грассманова описания проистекает из «теории рассея-
рассеяния» в смысле Лакса и Филлипса [99]. Мы кратко изложим эту
точку зрения в разд. 8.12 — дополнении к этой главе. С совер-
совершенно иной точки зрения грассманово описание представляется
проявлением периодичности Ботта; теорема Ботта о периодич-
периодичности уже упоминалась в разд. 6.4, однако мы еще вернемся
ж ней в разд. 8.8.
Ю Зак. 230
146
Гл. 8. Основное однородное пространство
Грассманово описание сводит изучение пространства LG/G
к линейной алгебре. Интересно также рассматривать LG/G как
кэлерово многообразие и заниматься теорией Морса для функ-
функции энергии. Этому подходу посвящен разд. 8.9. Еще одна со-
совершенно независимая точка зрения состоит в том, чтобы непо-
непосредственно рассматривать LG/G как пространство голоморф-
голоморфных векторных расслоений на сфере Римана.
Пространство LG/G является не единственным комплексным
однородным пространством для LG. Действительно, L+Gc сле-
следует представлять себе как максимальную параболическую под-
подгруппу в LGc в смысле алгебраических групп; поэтому LGc/L+Gc
соответствует скорее грассманиану GLn(.C.)/P, где Р — это*
группа ступенчатых матриц
(
а не многообразию флагов GLn{\C)/B. Разница, впрочем, не
очень существенна: подгруппа В+ в L+GLn(C), состоящая из
петель у, таких, что y@)— верхняя треугольная матрица, яв-
является минимальной параболической подгруппой, и, как мы уви-
увидим в разд. 8.7, пространство LGLn(jC)/B+ можно рассматри-
рассматривать как пространство «периодических флагов» в гильбертовом-
пространстве. Гораздо интереснее существование абсолютно дру-
других комплексных однородных пространств для LGLn{C), свя-
связанных с римановой поверхностью. Этим вопросам посвящен
разд. 8.11.
Мы закончим этот раздел техническим замечанием. Группа
Ли LG является полупрямым произведением подгруппы G по-
постоянных петель и нормальной подгруппы QG, состоящей из пе-
петель у, для которых уA)= 1. (G действует на QG сопряжением.)
В частности, LG = G X &G как многообразие, и однородное
пространство LG/G можно отождествить с QG. Мы будем часто
производить это отождествление без дополнительных пояснений
и будем считать QG однородным пространством группы LG.
Действие у ^ LG на QG задается отображением tt>^—э-ё, где
-1
а поворот Ra окружности 51 на угол а действует на QG следую-
следующим образом:
8.2. Два приложения разложения Бнркгофа
147
8.2. Два приложения разложения Биркгофа
'Особенности обыкновенных дифференциальных уравнений
Теорема, которую мы назвали теоремой о разложении Бирк-
Биркгофа, была установлена Биркгофом [11] в 1S09 г., когда он изу-
изучал особенности дифференциальных уравнений вида
^- = A{z)v(z) (8.2.1)
.для :С.л-значной функции v(z), где Л является заданной функ-
функцией со значениями в матрицах размера п~Х.п, которая опреде-
определена и голоморфна в проколотой окрестности нуля U, а в нуле
имеет простой полюс. Задача состоит в том, чтобы «заменами
координат», т. е. умножением v на голоморфную в U GLn(C)-
значную функцию Т, v*—>v = Tv, привести уравнение (8.2.1)
к простейшему виду. Мы используем разложение Биркгофа,
чтобы доказать
Предложение (8.2.2). Общее уравнение (8.2.1) можно при-
привести к виду
(8.2.3)
¦§¦-*-'*»¦
где К — постоянная матрица.
Точное значение слова «общее» — это выполнение такого
условия: вычет А при 2 = 0 является матрицей, у которой нет
различных собственных значений, отличающихся на целое чис-
число. Неверно, что любое уравнение вида (8.2.1) можно привести
к виду (8.2.3).
Доказательство. Рассмотрим некоторую фундаментальную
матрицу X для уравнения (8.2.1), т. е. многозначную аналитиче-
аналитическую функцию, определенную в U— {0}, со значениями в
GLn(iC), удовлетворяющую уравнению dX/dz = АХ. Единствен-
Единственное решение уравнения (8.2.1) с начальным условием v(zo)=vo
выражается с помощью X формулой
v(z) = X(z)X(zo)~lvo.
Фундаментальная матрица единственна с точностью до умноже-
умножения справа на постоянную обратимую матрицу. Ее многознач-
многозначность можно описать следующим образом: при обходе z вокруг
нуля против часовой стрелки X(z) умножается справа на мат-
матрицу MeGLn(iC), которая называется матрицей монодромии.
Более точное утверждение состоит в следующем: существует
10*
148
Гл. 8. Основное однородное пространство
единственная голоморфная функция X, определенная на множе-
множестве
такая, что X(z) = X(log z) и
Заметим, что решение уравнения (8.2.3) дается формулой
X(z) = zK = eK1°sz.
Итак, зафиксируем некоторую матрицу X для (8.2.1), а за-
затем выберем К, такое, что e2ltiA' = М. Функция
является однозначной и голоморфной функцией U—{0}->-
-»- GLn(C). Ее ограничение на малую окружность |.г| = 8, ле-
лежащую в U, определяет петлю со значениями в GLn(C). Бирк-
гоф доказал, правда, не вполне корректно, что в случае общей
матрицы А при подходящем выборе матрицы К эта петля допу-
допускает разложение У = У+У_, где У+ голоморфна в U, а У_ голо-
голоморфна на всей римановой сфере, за исключением нуля. (Изна-
(Изначально можно считать, что У+ и У_ голоморфны для |z|< e и
для |z|>8 соответственно; но тогда они оказываются автома-
автоматически голоморфными в области голоморфности У.) Мы можем
считать также, что У_(оо)= 1.
Положим v = Y+1v. Тогда v удовлетворяет уравнению
dvjdz = Av, где
A = YZ1AY+ - У;1 • dY+/dz.
Поэтому матрица А является голоморфной в U—{0} и имеет
полюс первого порядка в нуле. Но Yll = Y-zKX~1 и, следова-
следовательно,
A = z~lY-KYZ1 + dY-ldz ¦ YZ\
Это показывает, что А голоморфна на всей римановой сфере, за
исключением нуля. Матрица Y-(z) имеет вид 1 + y\zrl -f- ... ;
поэтому Y- (z) = О {z~2) при 2->-оо и гЛ{г)-+К при z-*-oo.
Теорема Лиувилля оставляет для А единственную возможность:
A(z) = z~lK. (Фактически это доказывает также, что Y-(z)=l
для всех z.)
Не имеет смысла пытаться подправить рассуждение Бирк-
гофа, имеющее лишь исторический интерес. Простейший способ
доказательства предложения (8.2.2) не использует теоремы
о разложении: лучше прямо доказать, что при подходящем вы-
8.2. Два приложения разложения Биркгофа
149>
боре К отображение У: U — {0}—>- GLn(C) голоморфно продол-
продолжается на U. Полное обсуждение этого вопроса содержится
в статье [148].
Классификация голоморфных векторных расслоений на рима-
римановой сфере
Лучшее из известных приложений — в действительности ра-
разумнее было бы назвать его переформулировкой—теоремы
Биркгофа состоит в классификации голоморфных векторных рас-
расслоений на римановой сфере 52. Впервые это приложение было'
отмечено Гротендиком [69].
Представим S2 в виде Uo U ?/«>, где Uo = S2—{оо}, а ?/«, =
= S2—{0}. Самое очевидное расслоение на 52 — это линейное
расслоение L, полученное склеиванием С/о X [С] и ?/«= X Cj с по-
помощью отображения
(г, Я.) i->B, гХ).
Имеются также тензорные степени Lk для любого k
цией переклейки
(z, X) ь-> (z, zkX).
Z с функ-
(Если рассматривать 52 как комплексное проективное простран-
пространство Р(С2), точками которого являются прямые в .С2, то L —
это «расслоение Хопфа», слоем которого в точке geP(LC;2)-
является сама прямая g^C2.) Следующее утверждение экви-
эквивалентно теореме Биркгофа.
Предложение (8.2.4). Любое векторное расслоение Е на S2
изоморфно прямой сумме L°l ф . .. ф La", где набор целых чи-
чисел а={аь ..., ап} определен однозначно с точностью до пере-
перестановки.
Доказательство. Ограничения Е на Uo и на ?/«, тривиальны,,
так как Uo и U<x> являются многообразиями Штейна [66]. По-
Поэтому Е получается склеиванием (/оХС" и U<x> X С.п с по-
помощью голоморфной функции
Y: UonU^GLniC).
По теореме Биркгофа (8.1.2) мы можем разложить у в произ-
произведение у--Х-у+, где 7+ и У- голоморфны в Uo и [/<» соответ-
соответственно, а X = za является гомоморфизмом. Изменив коорди-
координаты в С/о X .С." с помощью y+ и в ?^°° X ,СЯ с помощью YZ1, мы<
видим, что Е можно получить, выбирая X в качестве функции
переклейки. А расслоение, определяемое с помощью X, совпа-
совпадает с Lai0 . .. ф/>.
150
Гл. 8. Основное однородное пространство
8.3. Грассманово описание QUn
Группа LGLn(C) действует на гильбертовом пространстве
) = L2(S1-, С") и, следовательно, согласно предложению
F.3.1), на грассманиане Gr (#<")). Подпространства W вида
¦уН+ для у е LGLn(,C) обладают свойством zW cr W, и действие
7 коммутирует с умножением на скалярную функцию z. Оказы-
Оказывается, что орбита Н+ относительно действия LGLn(C) по су-
существу характеризуется этим свойством. (Мы обычно будем
писать уН+ вместо МУ{Н+) и zW вместо MZ(W), когда не нужно
лодчеркивать, что у и z являются операторами.)
Определение (8.3.1). Gr(/1> обозначает замкнутое подмноже-
подмножество в Gr(#(">), состоящее из подпространств W, для которых
zW c= W.
Это и есть грассманово описание пространства петель. Его
основное свойство состоит в следующем.
Теорема (8.3.2). Группа L\/2Un транзитивно действует на
(), а группа Un, состоящая из постоянных петель, совпадает
хю стабилизатором подпространства #+.
Напомним (см. предложение F.3.3)), что Li/2Un — это ком-
коммутант оператора умножения Мг в Ur(H^)
Очевидно, что уН+ = Н+, если и только если у <= L+GLn (iC),
поэтому утверждение теоремы (8.3.2) о стабилизаторе для Н+ —
это вариант теоремы о «максимуме модуля». При п = 1 это
утверждение о том, что отображение 51 —>-Т, которое продол-
продолжается до не обращающейся в нуль голоморфной функции в
диске, является постоянной функцией.
Доказательство (8.3.2). Сначала докажем следующее утверж-
утверждение: если W лежит в Gr(">, то коразмерность zW в W равна п.
Рассмотрим коммутативную диаграмму
zW
4
w
в которой горизонтальные стрелки обозначают включения, а вер-
вертикальные— ортогональные проекции. Два вертикальных ото-
отображения фредгольмовы и, очевидно, имеют равные индексы
(совпадающие с виртуальной размерностью W). Кроме того,
включение zH+-*-H+ также фредгольмово с индексом —п. От-
Отсюда следует, что вложение zW —*-W также фредгольмово, и его
8.3. Грассманово описание QUn
15Ь
индекс должен быть равен —я в силу формулы %(АБ) — %(Л)-}-
+ %B?) для индекса произведения [34]. Итак, dim(W/zW) = п..
Пусть {w\, ..., wn}—ортонормированный базис для ортого-
ортогонального дополнения к zW в W, которое мы обозначим WQzW.
Так же как и при доказательстве F.1.1), мы составим из век-
торнозначных функций wi (n X я)-матричнозначную функцию-
у на S1. Значения у (8) оказываются унитарными матрицами для
почти всех Be 51, т. е. у принадлежит LmeasUn. Чтобы убедиться
в этом, напишем
S
где wkm s JC!". Тогда
(wk F), wi (9)) = ? {wkm, wlr) e*
r
где временно мы обозначим через < , >я скалярное произведение
в Я("\ чтобы отличать его от скалярного произведения в JC".
Таким образом, мы получили, что оператор умножения MY —
унитарный оператор в //("), и, кроме того, по построению он удов-
удовлетворяет условию
для всех k. Для доказательства того, что MY (#+)== W, нужно
доказать, что П zkW = 0. Предположим, что до лежит в П 2*^
и что ||до|| = 1. Тогда z~kw лежит в W для всех k. Так как проек-
проекция pr_: W->-#_— компактный оператор, то из {pT-(z-kw)}
можно выбрать сходящуюся последовательность, которая схо-
сходится, скажем, к v^H. Очевидно, что ||о||= 1, так как
2йрг_B-йш)-)-ш. Однако \\v\\2 = \im(v, z-hw}, a <o, z-fetw>-)-0-
для любых v, w <= //<") при ?->-оо; полученное противоречие по-
показывает, что П 2*^ = 0-
Для доказательства того, что оператор iVfY лежит в СЛ-es, за-
заметим, что его (Н+->-Н-) -компонента разлагается:
РГ_
и, следовательно, является оператором Гильберта — Шмидта;
(#_ -*- Н+) -компонента также является оператором Гильберта —
Шмидта в силу унитарности Му.
Итак, мы доказали, что Li/2Un транзитивно действует на Gr(n)..
Далее, любой оператор у е Li^Un, такой, что y#+ = H+> должен
сохранять л-мерное подпространство H+QzH+ и полностью оп-
152
Гл. 8. Основное однородное пространство
дзеделяться своим действием на этом пространстве. Следова-
Следовательно, он принадлежит Un-
Теорема (8.3.2) показывает, что Qi^Un = Li/zUn/Un можно
-отождествлять с Gr(n) как множество, что оправдывает слова
«грассманово описание». Позже мы вернемся к топологическому
аспекту этого отождествления. А сейчас мы определим, какие
подмножества Qi^Un соответствуют четырем пространствам
Gr^, Gr'r', GrLn), Gr^, где Gr^обозначает Gr<"> П Gra(#<">), и до-
докажем теоремы о разложении из разд. 8.1.
Предложение (8.3.3). При отождествлении Gr("> ч->-Й1/2?/„
(i) Gro*' соответствует QpoiUn,
(ii) Grin) соответствует QTatUn,
(iii) Ст(а} соответствует QanUn,
(iv) Gr»' соответствует QUn.
Напомним, что группы полиномиальных, рациональных, ве-
вещественно-аналитических и гладких петель упоминались в
.разд. 3.5, а соответствующие подпространства грассманиана бы-
были определены в разд. 7.2.
Доказательство. Для доказательства соответствий из пред-
предложения (8.3.3) в одну сторону необходимо показать, что если
W e GrlT', где а. = О, 1, ш или оо, то W © zW состоит из функций
соответствующего класса. Рассмотрим бесконечно дифференци-
дифференцируемый случай. Если W лежит в Gr», то, согласно предложению
G.2.1), образы обеих проекций №->-Я_ и {zW)x->-H+ состоят
из гладких функций. Поэтому функция из WQzW, имея глад-
гладкие проекции на Н+ и #-, сама является гладкой. Точно такие
же аргументы справедливы для Gro и для Grffl.
Для случая Gri утверждение, что образ проекции W—*-Н-
состоит из рациональных функций, равносильно утверждению
о существовании многочлена p{z), такого, что p(z)W cz H+. Это
не всегда верно для W e Gri, но становится верным при выпол-
выполнении дополнительного условия zW cr W. В качестве р можно
использовать минимальный многочлен преобразования, индуци-
индуцированного Мг на конечномерном пространстве W/W П Н+. Ана-
Аналогично, для доказательства того, что образ {zW)x-*-H+ со-
состоит из рациональных функций, необходим многочлен q{z~x),
такой, что ^(г-1) W1- а #_. Это эквивалентно условию q{z)H+ cz
cz W, и в качестве Ц можно выбрать минимальный многочлен для
Мг, действующего на H+/W П Н+.
Для доказательства соотношений из предложения (8.3.3) в
.другую сторону заметим, что, очевидно, действие LpoiUn coxpa-
8.3. Грассманово описание ?3?/„
153"»
няет Gr0, a LratUn сохраняет Grb так как существуют многочле-
многочлены p(z) и q{z), обладающие свойством
р (г) W <= Я+ и q (г) H+czW,
которое в свою очередь характеризует пространства W, лежа-
лежащие в Gr'n>. Группа гладких петель LUn сохраняет Gr» в силу
предложения G.2.1), и по аналогичным причинам LanUn сохра-
сохраняет Gra. Доказательство предложения (8.3.3) закончено.
Замечания, (i) Причина, по которой нет простой модели для'
пространства непрерывных петель QctsUn, состоит в том, что по-
ложительночастотные и отрицательночастотные части непрерыв-
непрерывной функции оказываются разрывными. Другими словами, в от-
отличие от четырех классов функций, которые обсуждались выше,,
для пространства С, состоящего из непрерывных функций на S1,,
неверно, что С = С+ Ф С_, где С± = С |"| #±. Пусть, например,
f — это функция, которая уже упоминалась в разд. 6.3,
-E
sin
(8.3.4>
Функция f непрерывна. Однако f = f+ + /-, где
JkQ
k log k '
ft>l
и f+@) неограничена в окрестности 6 = 0.
(ii) Gro" не является плотным в Gr(n>, несмотря на то что-
Qto(H) плотен в Gr(#). Как мы видели в разд. 3.5, петля в и„,
может быть полиномиальной, только если ее определитель ра-
равен zk. В разд. 8.10 мы увидим, что тем не менее гомотопические
типы Gro*' и Gr'n> совпадают.
Грассманово описание QUn тотчас же дает первую из трех-
трехосновных теорем разложения для петель. Действительно, комп-
комплексная группа Li/2GLn(C) действует на Gr(n) так же, как и
Li/2Un,a. стабилизатор Н+ в Li/2GLn(C), очевидно, является:
замкнутой подгруппой Lt!2GLn(C), состоящей из петель у, кото-
которые являются граничными значениями голоморфных отображе-
отображений
154
Гл. 8. Основное однородное пространство
Так как LmUn транзитивно действует на Gr(">, справедливо
Предложение (8.3.5). Группа Li/2GLn(C) разлагается в про-
произведение
LudJn ¦ U12GU (С).
Более того, в точности такое же разложение имеет место для
гладких, вещественно-аналитических, рациональных и полино-
полиномиальных петель.
Замечание. Это предложение неверно для группы непрерыв-
непрерывных петель, что легко усмотреть из единственного разложения
ef = ef-~f+e2f+ для функции f, определенной формулой (8.3.4).
Мы еще не полностью доказали теорему (8.1.1). Осталось
показать, что отображение умножения ?2?/„Х L+-»-LGZ,n(G)
является диффеоморфизмом. Для этого достаточно доказать
гладкость отображения
и: LGLn(C)^QUn,
которое сопоставляет петле ее унитарную компоненту. Отобра-
Отображение и пред ставимо в виде 7 >—*¦ Y |~н* " (?) > гДе
(i) yt—>у —это по определению проектирование столбцов
Оуь •¦•, "Yn)> составляющих у е LGLn (С), на (zW)L, W = уН+;
(и) у i—>и(у)—это по определению отображение ортогона-
лизации и нормирования базиса (уь ..., \п) для WQzW.
Второе из этих отображений, очевидно, гладкое. Первое отобра-
отображение является гладким, потому что LGLn(.C) гладко дейст-
действует на гладком грассманиане, топология которого в свою оче-
очередь определена так, чтобы гарантировать гладкость отображе-
отображения
(Г X СГоо (Я) -> СГ,
(f, W)^fw,
которое сопоставляет гладкой функции f на окружности и под-
подпространству WeGr«x>(#) проекцию fw функции f на простран-
пространство W.
Заметим, что предшествующие аргументы не применимы к
группе Li/2<3Ln(AC). Снова воспользовавшись функцией /, опре-
определенной формулой (8.3.4), заметим, что для любого t^ R петля
^f e Li/2 разлагается следующим образом: ех ( ~ +^е2 +. Ото-
Отображение t*-*-e'f гладкое, однако множество {У ^f~~f+^}f <=R дис-
дискретно в топологии Li/2Un, потому что функция f- — f+ неогра-
ничена.
8.4. Стратификация Gr<"': разложения Биркгофа и Брюа
15Ь
8.4. Стратификация Gr(n): разложения Биркгофа и Брюа
До конца этой главы, за исключением приложения, мы будем.
работать только с гладким грассманианом Gi\x> и с его подпро-
подпространством GrS', не используя гильбертова многообразия
Gr(H{n>). Поэтому мы изменим обозначения: символы Gr (Я<п>) и.
Qr(n) без нижнего индекса теперь означают гладкие простран-
пространства.
Так как Gr("> можно отождествить с LGLn(?L)/L+GLn(C)>
теорема Биркгофа (8.1.2) дает описание орбит действия
L-GLn^C) на Gr<">: она утверждает, что на каждой ?--орбите
имеется точка вида z*H{+\ единственная с точностью до переста-
перестановки множества {аи ..., ап}. Мы докажем чуть более точное
утверждение. Пусть N~ = N-GLn(.C.)—подгруппа в L~, состоя-
состоящая из петель у, для которых y(°°) —верхняя треугольная мат-
матрица с единицами на главной диагонали; тогда мы покажем,,
что любая орбита действия N~ на Gr(n) содержит единственную
точку вида z^H^+K Фактически мы покажем, что орбиты дейст-
действия Ы- — это пересечения Gr(n) со стратами пространства Gr(H)r
которые были определены в гл. 7.
Рассуждения, которые мы собираемся излагать, совершенно-
элементарны и непосредственны, однако довольно утомительны.
Поэтому мы сначала отметим следующую геометрическую интер-
интерпретацию того, что будет доказано впоследствии. Неподвижные
точки действия Т на QG с помощью поворотов (см. (8.1.4)) —
это, как легко видеть, гомоморфизмы X: S1-*-Un, соответствую-
соответствующие подпространствам J,^+GGr(">. Однако действие Т про-
продолжается до действия полугруппы C<i (см. разд. 7.6), и для
любого W e Gr("> точка RUW стремится к неподвижной точке
относительно действия Т при и->-0 в С^ь Оказывается, если
RuW^>-X-H+, то W лежит в Ь~-орбите Я-Я+. (Заметим, что если
у ^ L~, то Ruy стремится к постоянной петле y(°°) пРи U-+-0.)
Стратификация пространства Gr(H) была определена для
H = L2(SU, 1С), а в этой главе мы работаем с Н^ =L2(SU, С).
По существу, все, что необходимо, — это гильбертово простран-
пространство с ортонормированным базисом, занумерованным целыми
числами. Однако удивительно удобно отождествить Я(л) с Я спо-
способом, описанным в разд. 6.5, и воспринимать элементы этого
пространства иногда как векторнозначные функции от г, а ино-
иногда как скалярные функции от ?, которые связаны между собой
формулами F.5.1). Итак, в Н = Н^ имеется ортонормирован-
156
Гл. 8. Основное однородное пространство
ный базис {?ft}ftesZ' и определение Gr(n) можно переписать в виде
Gr(n) = {feGr (Я):
W}.
Напомним, что Gr (Я) представимо как объединение непере-
непересекающихся стратов 2s, где W лежит в 2s, если S — множество
целых чисел s, таких, что W содержит элемент порядка s. Если
W e Gr(n) лежит в 2s, то очевидно, что
S + nczS.
Множества Se^, удовлетворяющие этому условию, полностью
определяются дополнением S* для 5 + я в 5, которое должно
состоять из п элементов, по одному из каждого класса смежно-
смежности по модулю я. Они в точности соответствуют гомоморфизмам
из Т в максимальный тор группы Un: гомоморфизму za соответ-
соответствует множество 5а, такое, что
5* = {nav па2 + 1, паг + 2, ..., яал + я — 1}.
Подпространство Я5а, порожденное {? }k^s ,—это
Таким образом, страты пространства Ог(Я), которые пересека-
пересекаются с Gr'"*, можно занумеровать гомоморфизмами г». Мы
будем писать 2а вместо Gr(re>n2sa и Яа вместо Я5а.
Отметим, что как группа операторов подгруппа N~ в
LGLn{C) является пересечением LGLn(C) с нижней треуголь-
треугольной подгруппой Jf~ из G.3.3) ').
Предложение (8.4.1). Орбита подпространства Яа относи-
относительно действия N~ совпадает с 2а. Ее можно отождествить с
подгруппой LZ в N~, где LZ = N~ f] ^L\z~a'.
Доказательство. Страты пространства Gr(H)—это орбиты
под действием группы /С- согласно предложению G.3.3). Так
как группа N- содержится в /С~, любая орбита действия N- ле-
лежит в некотором 2а.
Если W = 2a, то проекция 1Г->Яа является изоморфизмом.
Пусть Wi — прообраз zaielt где {ei 8Л}—стандартный ба-
базис в С". Функции Wi гладкие; кроме того, множество {zkwt:
\ ^.i^n и k I^s 0} образует базис для Wnn, так как его проек-
4) Наша терминология относительно верхних и нижних треугольных мат-
матриц несколько беспорядочна, так как, обсуждая бесконечные матрицы раз-
размера Z X Z, мы считаем, что t-й ряд стоит выше, чем /-й, при i > /, в то
время как для конечных матриц традиция прямо противоположная. Мы ре-
решили примириться с тем фактом, что положительная борелевская подгруппа
в GLn (С) состоит из нижних треугольных матриц в этой главе и из верхних
треугольных матриц в остальной части книги.
8.4. Стратификация Gr<">: разложения Биркгофа н Брюа
157
ция образует базис для Яап; Whn плотно в пространстве Wsm,
состоящем из гладких функций в W, потому что #ап плотно в
#аш. Из (8.3.3) мы знаем, что отображение вычисления
Wsm->-Cm, сопоставляющее функции ее значение в точке z,
сюръективно для любой точки z e S1, ибо Wsm содержит я функ-
функций, которые образуют столбцы гладкого отображения S1 ->¦ Un-
Поэтому Wi(z), .. ., wn(z) линейно независимы в С" для любого
z eS1, ш = (шь .. ., ш„) лежит в LGLn(C-) и w(H+) = W.
Далее,
= zai&i + (меньшие члены), (8.4.2)
где «меньшие члены» относится к лексикографическому упоря-
упорядочению элементов базиса {zksj} = {?"*} в Я("> = Я. Итак,
wz-^ifii) = &i + (меньшие члены).
Другими словами, y = wz~a- является граничным значением го-
голоморфного отображения полусферы \z\ > 1 в яX «-матрицы, и
у(оо)—верхняя треугольная матрица. Далее, y(Ha) = W. Но
•определитель петли у не может обращаться в нуль при |г| > 1,
ибо в противном случае число вращения det (у) на S1 также бы-
было бы ненулевым в противоречие с тем, что виртуальные раз-
размерности Яа и W совпадают.
Наконец, петля у лежит и в z*LTz~*, и в N-. Поэтому ба-
базисные элементы, встречающиеся в «меньших членах» из (8.4.2)
ле только меньше, чем zulsit но и лежат в Н& =z*H-. Это оз-
означает, что, применяя оператор z~* к (8.4.2), мы получим
z~*yz* (е{) = st + (элемент из Я_).
Таким образом, мы доказали предложение (8.4.1); для до-
доказательства теоремы о разложении Биркгофа (8.1.2) нам оста-
осталось показать, что отображение умножения Lf X ^-i -+LGLn(C)
является диффеоморфизмом на открытое плотное подмножество
связной компоненты единицы. Это очень легко. Отображение
yt-^yH+ из LGLn{?,_) в гладкий грассманиан гладко. На откры-
открытом подмножестве в LGLn(C), для которого уН+ лежит в коор-
координатной карте Un, т. е. когда y#+ является графиком операто-
оператора Г НН {+
n, т. е. д y+ рф р
-, имеем y=Y-Y+> где столбцы у- — это {е,+
)
у +, yYY
7\,е(-}. Итак, у- (а следовательно, и у+) гладко зависит от у.
Предыдущие рассуждения показывают, что Gr<">, снабжен-
снабженный топологией, индуцированной с Gr(H), локально гомеомор-
фен Lf, и следовательно, является гладким многообразием.
Более того, Gr(ra) является подмногообразием в Qr(H): легко
158
Гл. 8. Основное однородное пространство
видеть, что в координатной окрестности UN для Gr(#), ко-
которая отождествляется с пространством 2D(H+; Я_) линейных
отображений Н+-+Н-, имеется открытое подмножество, кото-
которое является произведением UN fl Gr(n) ^ ЬГ и линейного про-
пространства ЯО (zH+; H-).
Доказательство предложения (8.4.1) показывает, что группа
LZ диффеоморфна однородному пространству N~/^N~, где
JV~ — это N~ Г) zaL+z~a, т. е. конечномерная подгруппа, являю-
являющаяся стабилизатором Яа в N~. Это означает, что отображение
умножения
LIX.N-^N- (8.4.3)
является диффеоморфизмом.
Разложение (8.4.3), очевидно, возникает из разложения ба-
базиса алгебры Ли группы N~ на два подмножества, которые по-
порождают две подгруппы, стоящие слева. Тот факт, что подоб-
подобное разложение алгебры Ли порождает разложение группы, хо-
хорошо известен и является элементарным фактом для конечно-
конечномерной односвязной нильпотентной группы ([20, гл. III, § 9,.
п°5]); (8.4.3) — по существу конечномерный результат, ибо для
больших q группа L1 содержит нормальную подгруппу Щ груп-
группы N-, которая состоит из петель 7, таких, что y(z) — 1 имеет
нуль порядка q при z — oo, a N"JN^ конечномерна. {N~/N^
нильпотентна, потому что N7JN7+\ абелева для г > о.) В дан-
данный момент нам интереснее другое разложение, модификация
(8.4.3):
L7XLI
(8.4.4)
где Lt = N+ П zaLi z a, a N+ — подгруппа L+, состоящая из
петель у, таких, что у@) —нижняя треугольная матрица с еди-
единицами по диагонали.
Теорема (8.4.5). (i) Отображение у н-э- уЯа задает диффео-
диффеоморфизм между z*L~\ z~* и некоторой стягиваемой открытой ок-
окрестностью Ua. подпространства Яа в Gr(">.
(ii) Страт 2а является стягиваемым замкнутым подмногооб-
подмногообразием в ил комплексной коразмерности
-a/I — v(a),
где v (a) — число пар i, j, таких, что i < /, но а; > а/.
8.4. Стратификация Gr*™': разложения Биркгофа и Брюа
159
A Ii) Орбита На. относительно N+ образует комплексную
клетку Сл комплексной размерности d (а), которая трансверсально
пересекается с 2а в единственной точке Яа. Разложение (8.4.4)
дает диффеоморфизм
SXCf/
(iv) Объединение клеток Са образует Grj,"'; в действительности
¦Сл — это пересечение Gr(rt> с клеткой CSa из Gr0.
Замечания. {[) Мы будем называть клетки Са клетками.
Брюа для Gr<n). Отметим, что из ч. (iv) теоремы (8.4.5) следует
¦теорема Брюа (8.1.3).
(ii) Страт 2а является стягиваемым и диффеомор.фен LZ.
Но мы не можем утверждать, как в аналогичной конечномерной
теореме, что группа LZ диффеоморфна своей алгебре Ли отно-
относительно экспоненциального отображения, потому что экспонен-
экспоненциальное отображение для LJ не сюръективно. Гудман и Уол-
лех привели пример элемента у из N-SL2(C), который не лежит
в образе ехр:
+ 2z~2 4z~l
~3
Этот элемент не может быть равен ехр (
—1 —
( 0
не лежит в образе ехр для SL2(D,).
потому что
—4г\
-1 )
Доказательство (8.4.5). Несколько предварительных замеча-
замечаний. Стягиваемость ?/а и 2а следует из стягиваемости групп
L\ и 7Va, которые состоят из голоморфных функций в диске
\z\ > 1 и могут быть стянуты с помощью гомоморфизмов
7 \~> yt @ ^ t ^ 1), где yt (z) = у {t~lz).
Орбита Са стягиваема по тем же соображениям (применен-
(примененным к диску \z\ <C 1). Она является клеткой, потому что экс-
экспоненциальное отображение для нильпотентной группы Lt яв-
является диффеоморфизмом.
Доказательство того, что Са — пересечение Сг(л) и CSa,
в точности повторяет доказательство предложения (8.4.1)—ср.
G.4.1).
Остается вычислить размерность d(&) группы Lt. Так как
сопряжение с помощью z* умножает (t, /)-й элемент матрицы
160
Гл. 8. Основное однородное пространство
на za' ai, мы получаем, что Lt — открытое подмножество мат-
ричнозначных функций (/<•/), таких, что
/«==1,
fit лежит в zH+ П zai~a>H_ для i < /,
ftl лежит в Я+ Л zai~am_ для i > /.
Отсюда немедленно следует формула для й{а).
В теореме (8.4.5) по сравнению с предложениями G.3.3) ~я
G.4.1) отсутствует описание замыканий стратов 2а и клеток Са.
Мы удовлетворимся более слабым утверждением, которое сфор-
сформулируем в предложении (8.4.6).
В начале нашего обсуждения нас интересовали орбиты от-
относительно действия L~ и L+ на Gr(/1), а не орбитами относитель-
относительно N~ и N+. Ясно, что орбита подпространства Яа относительно
L~ содержит Нал Для любой перестановки а множества {1, ...
. .., я}, где аа = (aO(i), .. ., aO(«>). Она не содержит Нъ ни для
какого другого Ь, что можно усмотреть из того факта, что дей-
действие Lr на W не меняет размерности W [\ zkH~. Таким образом,
эта орбита является объединением стратов 2аа; мы обозначим
ее 2|а|. Аналогичным образом, орбита Яа относительно L+ со-
состоит из объединения клеток Соа и будет обозначаться С|а|- За-
Заметим, что если а,\ ^ а.2 ^ ... ^ ап, то 2а образует плотное от-
открытое подмножество в 2| а|, и если а,\ ^ а2 ^ .. . ^ ап, то Са —
плотное открытое подмножество в С\&\.
Множество мультииндексов а, таких, что ai ^ а^ ^ ... ^ ап,
можно отождествить с множеством классов сопряженности гомо-
гомоморфизмов S1 ->¦ Un. Мы упорядочим такие мультииндексы по
следующему правилу: а ^ Ь, если
#1 + «2 + • • • + Я
а2
а„ =
Расположение множеств 2|а, и С\л\ описано в следующем
предложении; предполагается, что все индексы а записаны в
убывающем порядке: а,\ 5г а2 ^ . . . ^ ап.
Предложение (8.4.6). (i) Орбиты {2\л\} относительно группы
L- в Gr(n> нумеруются классами сопряженности гомоморфизмов
51 -*- Uп. Множество 2|а[ является локально замкнутым подмно-
подмногообразием в Gr(rt) коразмерности d(a). Кроме того, 2]а| лежит
в замыкании 2ц,|, если и только если а ^ Ъ.
8.4. Стратификация Gr<">: разложения Биркгофа н Брюа
161
(ii) Орбиты {С|а|} относительно группы L+ в Grj,"» нуме-
нумеруются точно так же, и С\Л\ является локально замкнутым под-
подмногообразием в Gr<"> размерности й(г), где а= (ал, а„_ь
..., ах). Замыкание орбиты С\Ъ\ содержит С.а(, если и только
если а sg: b.
(iii) Qai пересекается с 2(ы, если и только если а^Ъ, и Cjaf
пересекается с 2|aj трансверсально по множеству Ла гомоморфиз-
гомоморфизмов S1 -> [/„, которые сопряжены к z*.
Замечание. Ла — это обобщенное многообразие флагов вида
UniX ••¦ XUnr размерности v(a) в обозначениях тео-
теоремы (8.4.5).
Доказательство. Нужно доказать лишь утверждения об упо-
упорядочении и о пересечении С|а С 2|а|.
Для любого убывающего мультииндекса а и для любого це-
целого р положим
п
Ma)=S (P —«*)+.
где а+ обозначает а, если а ^ 0, и нуль в противном случае.
Легко проверить, что если X ai = 2 ^ь т0
а<b<??-бр(а)<бр(Ь) для любого р
а также
W
2, а| <=> dim (W П 2рЯ_) = бр (а) для всех р,
dim
П
= бр (а) для всех р.
С, а;| <=> dim (W/W П ^Я+) = бр
Отсюда следует, что а<Ь, если 2!Ь| лежит в замыкания мно-
множества 2|а| или С|а| лежит в замыкании множества С\ъ\, или
С|ы пересекается с 2|а|.
Если же WeC|ain2|a(, то, кроме того,
W = (W П
для всех р, и, следовательно,
(=1
где С " = Лj 0 ... 0ЛГ — некоторое ортогональное разложение
пространства „Ся. Отсюда следует, что W — XH+, где Я,: 51 ->-
"*" ^п — гомоморфизм, определенный формулой
Я.B)=2*'Ф ... ©A
И Зак. 230
162
Гл. 8. Основное однородное пространство
относительно разложения Л] ф .. . ф Аг. Итак, С|а| |~| 2|а| = Ла.
Это пересечение трансверсально, ибо касательное пространство
к Gr<n) в На. можно отождествить с алгеброй Ли Qa группы Ли
zaLTz~a, а тогда касательные пространства к 2|ai, C\a\ и Ла
соответствуют пересечению Qa со слагаемыми разложения
Lgc = Lrgc©L+gc®gc. (Здесь дс = д1„(С).)
Мы доказали часть «только если» трех утверждений предло-
предложения (8.4.6). Для доказательства обратных утверждений рас-
рассмотрим сначала некоторую пару а <; Ь, где b = a -f- tpq для не-
некоторых р < q, причем
ем = @, ..., О, 1, 0, ..., О, -1, 0, ..., 0),
а 1 и —1 стоят на местах р и q соответственно. Мы покажем,
что На можно соединить с Нъ' (где W получается из b переста-
перестановкой р-го и q-то элементов) комплексной проективной прямой
С.U °о в GrC), которая, за исключением концевых точек {0, оо},
лежит в 2|а| П С| ь |-
Существует вложение ipq группы SL2(.C.) в группу LGLn(C),
которое переводит
(а Ъ
\с d
в матрицу (/,-,•), отличающуюся от единичной только в р-х и ^-х
столбцах и строках; при этом
Ipp h
(
qp
U.
Рассмотрим орбиту подпространства Яа под действием группы
SL2(C), которое индуцировано вложением ipq. Ее стабилизатор
состоит из нижних треугольных матриц; значит, эта орбита яв-
является обычной проективной прямой: 52 ^ С.(J°°- Все точки
этой орбиты, кроме бесконечности, образуют орбиту относитель-
относительно строго верхних треугольных матриц из 5?г(С). Эти матрицы
отображаются в LT; следовательно, S2— {оо} лежит в S|ai.
Точка, соответствующая бесконечности, — это ipq (A) • На., где
0 1
т. е. пространство Нъ', которое лежит в 2|Ы- Итак, замыкание
множества S|a| содержит S|b|. С другой стороны, 52 —{0} —
это орбита пространства Нъг относительно действия строго
нижних треугольных матриц, которая лежит в Cjbi- Значит, за-
8.5. Грассманово описание для других классических групп 163
мыкание орбиты С\ъ\ содержит С,аI, и С\ъ\ пересека-
пересекается С 2|а|.
Доказательство в случае b = а + epq закончено. В общем слу-
случае первые два утверждения об упорядочении следуют из того,
что любой мультииндекс b > а можно получить, добавляя к а
некоторое количество мультииндексов вида tpq (см. [1081
A.15)). Третье утверждение мы оставляем читателю.
8.5. Грассманово описание для других классических групп
Грассманово описание пространства петель для Un легко мо-
модифицируется для ортогональной и симплектической групп.
Ортогональная группа
Группа On состоит из вещественных матриц из Un, поэтому
n является подмногообразием в QUn-
Предложение (8.5.1). Подпространство W <= Gr(n) соответст-
соответствует петле в Оп, если, и только если оно лежит в
Все подпространства W e Gr^>имеют виртуальную размер-
размерность нуль, но из (8.5.1) следует, что Gr^' состоит из двух связ-
связных компонент, которые отличаются четностью размерности
ядра проекции W—> Н+. (Мы еще вернемся к этому в гл. 12:
пространство / (Н) из разд. 12.4 тесно связано с Gr^*.)
Прежде чем доказывать предложение (8.5.1), заметим, что
'jf* — комплексное подмногообразие в Gr(n), ибо отображение
Wi—*-z~lWx является комплексной инволюцией на Gr(HW): в
координатной окрестности, состоящей из графиков операторов Т:
Л+ ->¦ Н-, она представляется комплексно-линейным отображе-
отображением 71-)—z~lT*. Посылка предложения (8.5.1) утверждает,
что W очень близко к изотропному подпространству в Я(л) от-
относительно комплексной билинейной формы В на //<">, опреде-
определенной соотношением Б(?, г|) = <|, г|>: точнее, радикал про-
пространства W относительно В равен zW.
Заметим, что сейчас нам следует избегать отождествления
W с ЯA>, потому что оно не согласовано с вещественностью.
Доказательство (8.5.1). Предположим сначала, что у — петля
со значениями в комплексной ортогональной группе On(iC:)- Тог-
Тогда оператор MY сохраняет комплексную билинейную форму В на
//(">; следовательно, он коммутирует с операцией wy—W^
и*
164
Гл. 8. Основное однородное пространство
взятия ортогонального дополнения относительно В. Так как //+
удовлетворяет соотношению Н+ = zH+, то же верно и для уН+.
Обратно, если WL = zW, то W & zW = W ftW; значит,
W 0 zW является комплексификацией вещественного л-мерного
подпространства в L2(SU, Rn), и мы можем найти для него орто-
ортогональный базис, состоящий из вещественных функций. Следо-
Следовательно, W = уН± для некоторой петли у со значениями в Оп.
Предложение (8.5.1) непосредственно дает две теоремы о
разложении: Gr(Rn> является однородным пространством группы
LOn(C), на котором транзитивно действует QOn, что дает
Предложение (8.5.2). Отображение умножения
является диффеоморфизмом. Здесь L+On(C) обозначает петли,
являющиеся граничными значениями голоморфных отображений
Далее, любой элемент W из Gr?> в подходящей окрестности
подпространства Н+ трансверсален Н-, т. е. W [)Н- = 0 и W -4-
-j- Я_ = Я(л>. Для таких пространств W пересечение W (] zH-
я-мерно и W = (W[}zH-) Ф zW. Мы знаем (см. доказательство
предложения (8.4.1)), что любой базис {шь ..., ш„} для W П
ЛгЯ_ образует столбцы петли у- <= L~GLn(C), такой, что 7 =
= 7-7+ и 7+ s L+GLn(C). Если базис выбран ортогональным
относительно В— это возможно, ибо ограничение В на Wf)zH-
обязательно невырожденно, — то 7 лежит в L~On(C)t потому
что (см. доказательство теоремы (8.3.2))
Р. <7<0
Это дает
Предложение (8.5.3). Отображение умножения
LiOn (С) X L+On {C)^LOn (С)
является диффеоморфизмом на открытое подмножество в
LOn{CI).
1) Это открытое множество плотно в группе петель со значениями
в Оп (С), гомотопных нулю. Такие петли составляют две из четырех связных
компонент группы LOn(C).
8.6. Грассманово описание для произвольной компактной группы Ли 165
Мы могли бы сейчас перейти к выводу разложений Бирк-
гофа и Брюа, но отложим это до следующего раздела.
Симплектическая группа
Группа Spn — это подгруппа всех элементов и из U2n, кото-
которые сохраняют невырожденную кососимметричную форму на
С2". Эквивалентным образом, она состоит из унитарных кватер-
нионно-линейных преобразований и (при отождествлении С2"
с Н"). Если /: С2"->-.С.2л — антилинейное отображение, пред-
представляющее умножение на кватернион /, то и лежит в Spn, если
я только если Ju = uJ. Комплексификация группы Spn — это
подгруппа Spn (С) всех элементов из GL2n (С), сохраняющих ко-
кососимметричную комплексно-билинейную форму S, определен-
определенную соотношением 5(|, г\) = </|, г\}.
По аналогии с (8.5.1) имеем
Предложение (8.5.4). Подпространство W e GrBn) соответ-
соответствует петле со значениями в Spn, если и только если оно ле-
лежит в
Grg"» = {W e= Gr<2n>: (JWI- == zW}.
Доказательство повторяет доказательство предложения
(8.5.1); из этого результата следуют две теоремы о разложении,
в точности аналогичные предложениям (8.5.2) и (8.5.3).
8.6. Грассманово описание для произвольной компактной
группы Ли
Изучая QG для компактной полупростой группы G, можно
считать центр этой группы тривиальным. Действительно, если
группа G — накрытие G, то многообразие QQ — это объединение
нескольких связных компонент пространства QG. Если центр
тривиален, то G является связной компонентой единицы в группе
автоморфизмов своей алгебры Ли д.
Самое очевидное гильбертово пространство, на котором дей-
действует LG, — пространство Нъ = L2[Sl; 9C). Это, в сущности,
присоединенное представление. Мы отождествим Я3 с Я(п>, где
л—размерность G. Таким образом, мы отождествляем LG с
подгруппой группы LUn с помощью присоединенного представле-
представления группы G на .С". Пространство петель QG является под-
подмногообразием в QUn и, следовательно, может быть отождест-
отождествлено с подмногообразием в Gr (я9).
Определение (8.6.1). Gr3— это подмногообразие в Gr(/-/3),
состоящее из подпространств W, таких, что
166
Гл. 8. Основное однородное пространство
(i)
(u) w^ = ,
(iii) Wsm является алгеброй Ли.
Здесь Wsm обозначает подпространство гладких функций из
W, которое, как нам известно, плотно. Тот факт, что оно являет-
является алгеброй Ли, означает, что Wsm замкнуто относительно по-
поточечного коммутатора дс-значных функций.
Теорема (8.6.2). Действие группы LGc на Gr (#3) сохраняет
Gr3, и, если центр G тривиален, соответствие у—>уН+ опре-
определяет диффеоморфизм QG—>Gr3.
Доказательство. Первое утверждение очевидно, так как лю-
любая группа действует на своей алгебре Ли автоморфизмами (ал-
(алгебр Ли). (Условие (и) возникает, как и в (8.5.1), из-за того,
что присоединенное действие сохраняет форму Киллинга, так что
Gc лежит в ортогональной группе О (9с)-)
Обратно, пусть W удовлетворяет условиям определения:
(8.6.1). Из (и) получаем WGzW = W[)W. Мы знаем, что-
WQzW состоит из гладких функций. Для любой точки z на
окружности отображение вычисления^: W {\W -+%с, сопостав-
сопоставляющее функции ее значение в точке z, является изоморфизмом
не только линейных пространств, но и алгебр Ли. Оно комму-
коммутирует также с комплексным сопряжением. Если петля у опре-
определена формулой y(z) = eze~i, то она является петлей со зна-
значениями в группе автоморфизмов алгебры Ли g. Для группы с
тривиальным центром это означает, что у принадлежит QG. По
уже знакомым соображениям yti+ = W.
Как и в предыдущем разделе, из теоремы (8.6.2) можно по-
получить, что умножение QG X L+Gc-+LGc является диффеомор-
диффеоморфизмом, а умножение LfGc X L+Gc-+ LGc— диффеоморфизмом,
на плотное открытое подмножество связной компоненты еди-
единицы. Сейчас мы определим стратификацию и клеточное раз-
разбиение для QG по аналогии с теоремами, доказанными ранее
для Uп.
Выберем максимальный тор Т в G и систему положительных-
корней. Тогда мы можем определить нильпотентные подгруппы
Aff в Gc, алгебры Ли которых порождены корневыми векто-
векторами из дс, связанными с положительными (отрицательными)
корнями. Мы определим также подгруппы Л/^ в L± = L±Gc: JV*1'
состоит из петель у <= L-, таких, что y@)g^ (y(°°) <= Wo")-
Таким образом, Lf cr N± c= L~.
8.6. Грассманово описание для произвольной компактной группы Ли 167
Сформулируем результат, который мы хотим доказать.
Теорема (8.6.3). (i) Gr3 ^ QG является объединением стра-
тов 2Х, которые занумерованы решеткой Т, состоящей из гомо-
гомоморфизмов К: Т^-Т.
(ii) Страт 2Х является орбитой точки Х-Н+ относительно
действия N~~ и представляет собой локально замкнутое стягивае-
стягиваемое комплексное подмногообразие в Gr3 конечной коразмерности
dx, диффеоморфное Щ = N~ [}X ¦ ЬГ ¦ А,.
(iii) Орбита точки Х-Н+ относительно действия N+ является
комплексной клеткой Сх размерности d\, которая диффеоморфна
bt = N+ П ^ • Lf • А-" и трансверсально пересекается с 2*. в
единственной точке Х-Н+.
(iv) Орбита точки Х-Н+ относительно действия X • Ц~ • Х~х
.является открытым подмножеством Ь\ в Gr3. Умножение L.t X
X L% ->А. • L\ • ЪГХ задает диффеоморфизм СХХ 2х-> U\.
(v) Объединение клеток С^ совпадает с Gr$ ^ ^pofi-
Вновь стратификация подмножества Gr3 оказывается инду-
индуцированной стратификацией грассманиана Gr(//3). Для опре-
определения последней мы должны выбрать ортонормированный ба-
базис {5*} в Hs, занумерованный целыми числами. Мы сделаем это
таким образом, чтобы подпространство Н+ оказалось порожден-
порожденным множеством {?&} при А^Ои чтобы zt,k = tk+n. Отсюда сле-
.дует, что {?о, . - •, ?n-i} — базис для дс. Мы выберем его так,
чтобы он состоял из собственных векторов относительно дей-
действия группы Т. Каждый вектор 5/ (для 0 ^ i < n) является ве-
весовым относительно действия Т: это корневой вектор группы G
или вектор веса нуль. Мы выберем нумерацию для ?/ так, чтобы
вектор ?« предшествовал вектору 5/ всякий раз, когда разность
между весом вектора 5/ и весом вектора ?,• является суммой по-
положительных корней. В частности, набор {5о, . . ., 5m-i}, где m =
= (п — 0/2. а / — ранг группы G, состоит из всех отрицатель-
отрицательных корневых векторов и порождает алгебру Ли N^; {Zm+i, ¦¦¦
..., Zn-\} порождает алгебру Ли N^.
В базисе {t,k} группа N- действует на Н3 нижними треуголь-
треугольными матрицами из подгруппы JC~\ см. G.3.3).
Страты и клетки для Gr(#3) нумеруются подмножествами S
-множества Z. Среди них встречаются множества S%, соответ-
соответствующие решетке Т гомоморфизмов Т-^71; эти множества оп-
определяются соотношением
168
Гл. 8. Основное однородное пространство
Мы будем писать Я^ вместо Hs.. В нашем доказательстве тео-
ремы (8.6.3) используется следующая
Лемма (8.6.4). Страты 2S и клетки Cs для Gr(//3), пересе-
пересекающиеся с Gr3, совпадают с 2S, и Cs. для ief.
Мы отложим доказательство этой леммы до конца раздела, а.
сейчас займемся доказательством теоремы (8.6.3).
Доказательство теоремы (8.6.3). Положим
Лемма (8.6.4) показывает, что Gr3 является объединением
стратов 2V Так как N~ лежит в Jf~, ясно, что орбита точки Я^
относительно N~ лежит в 2Х. Поэтому основное — это доказать,
что L\ транзитивно действует на 2*,. Из предложения (8.4.1)
мы знаем, что любое lFe2^ единственным образом представ-
представляется в виде уН%, где у принадлежит L^GLn (С). Так как L-
является пересечением L^GLn(C) и LGc, достаточно показать,,
что у принадлежит LGc. Конструкция у из (8.4.1) может быть
сформулирована следующим образом. Если W лежит в 2j,, то<
размерность Wf\zH? равна п, и отображение вычисления
ег: W П zH? -> gc является изоморфизмом для любой точки
2SS1. Ортогональная проекция pr: W П zHfc -> Нх Q zHx также
является изоморфизмом. Само y(z) разлагается в композицию
Каждое из трех встречающихся здесь линейных пространств яв-
является алгеброй Ли— для Wf]zH\ заметим, что (zH\)s =
= ХН3^1. Более того, каждое отображение является гомо-
гомоморфизмом алгебр Ли, ибо отображение рг индуцировано проек-
проекцией (zH^)sm на zH^ © Я?, a (#^)sm — идеал в (г#^)Sm. Итак,
у {г)—гомоморфизм алгебр Ли и, следовательно, лежит в Gc,
как и хотелось.
Остаток доказательства повторяет аналогичные рассуждения
для GLn(C), и мы не будем останавливаться на нем подробнее.
Орбиты действия L~ и L+ на Gr3 и Grg получаются, как иг
раньше, объединением 2*, и С\ в2| ц и С|*,|, которые нумеруют-
нумеруются классами сопряженности гомоморфизмов T->G или, эквива-
эквивалентно, множеством орбит T/W группы Вейля W группы G, дей-
8.6. Трассманово описание для произвольной компактной группы Ли 169
ствующей на решетке Т. Это множество T/W можно упорядо-
упорядочить по правилу: |Я| ^ \ц\, если выпуклая оболочка орбиты
W-X содержится в выпуклой оболочке орбиты W-\a. (Здесь Т
рассматривается как решетка в векторном пространстве t.) He
продолжая обсуждения, мы сформулируем
Предложение (8.6.5). (i) 2ja,| трансверсально пересекает
С\\\ по множеству Л*,, состоящему из гомоморфизмов Т—*~G,
которые сопряжены к К.
(И) 2|х,| содержится в замыкании множества ^{^.i л если и
Ciui содержится в замыкании множества С\\\ К только
IHi| r 1 если
С\х\ пересекается с 2,\ц\ ) | я |^| ц |
Так как имеется клеточное разбиение множества Gr-j на клет-
клетки четной размерности, фундаментальная группа nl (Gr3) долж-
должна быть тривиальной. Теперь рассмотрим Grg как пространство
полиномиальных петель QpoiG. Фундаментальная группа про-
пространства QG равна второй гомотопической группе n2G. Если
мы покажем, что пространство QpoiG гомотопически эквивалент-
эквивалентно QG, то получим доказательство хорошо известного, но важ-
важного факта: it2(G) равна нулю для любой компактной группы
Ли G. По существу это доказательство совпадает с доказатель-
доказательством Ботта, основанным на теории Морса [14].
Предложение (8.6.6). Включение Grg-^Gr3 или, эквивалент-
эквивалентно, QPolG-*-QG является гомотопической эквивалентностью.
Следствие (8.6.7). Гомотопическая группа n2(G) равна нулю.
Доказательство (8.6.6). Идея доказательства состоит в том,
что(Эг3 и Gr3 обладают согласованными стратификациями с по-
помощью гомотопически эквивалентных подмножеств.
Расположим элементы решетки Т в виде последовательности,
начинающейся с нуля, так, чтобы Я, предшествовало ц, если 2^
содержится в замыкании страта 2Х (мы будем выражать это
•формулой K^[i). Пусть Gr<*- обозначает объединение всех от-
открытых множеств f/p, в Gr3, для которых ц ^ К, a Gr<x— объ-
объединение f/p,, таких, что [л < Я,. Мы будем писать также Gr^*1
и Grgf^ для соответствующих частей множества Gr§. Нам до-
достаточно показать, что Gr^x—> Gr<x является гомотопической
эквивалентностью для всех X (ср. [114, приложение]).
Итак, Gr<*- — это объединение U^ и Gr<x, а пересечение
этих множеств равно Ux — 2*,. (Тот факт, что все точки Ux
лежат в стратах =S^A., следует из аналогичного факта для
170
Гл. 8. Основное однородное пространство
Gr(#), доказанного в G.3.3).) Множество U% стягиваемо^.
a U^—2Х диффеоморфно 2ХХ(С*—{Н%}) и, следовательно,.,
гомотопически эквивалентно С\— {Н-^.
Аналогично, пространство Gr§*A является объединением мно--
жеств Uk0 и Gr<\ пересечение которых равно Ux, о — 2Л,о- В то-
время как Ux диффеоморфно Я • LT • Я~ , множество U^ о гомео-
морфно Я • L^poi • Я — мы не знаем, является ли Gi"o многооб-
многообразием — и, следовательно, UXi 0 гомеоморфно 2^, о X С%. Далее,
Ux, о и 2Л> о стягиваемы по тем же причинам, что и ?/*,, а про-
пространство f/^, о — 2Я, о гомотопически эквивалентно пространству
?/Л — 2v По индукции мы можем получить, что пространство'
Gr^*- гомотопически эквивалентно Gr<x. (Мы использовали
следующий факт: если X = U [} V и X' = U' U V, где U, V,.
U', V' — открытые подмножества, и отображение /: Х-*-Х' инду-
индуцирует гомотопические эквивалентности U-*¦ U', V —*¦ V и
U П V —*• U' П V, то оно является гомотопической эквивалент-
эквивалентностью. Ср. [67, A6.24)].)
Доказательство (8.6.4). Мы закончим этот раздел отложен-
отложенным доказательством леммы (8.6.4).
Определим действие окружности Т на L§ следующим обра-
образом. Выберем некоторый гомоморфизм р = ехр р: Т-*-7", такой,,
что рлежит в положительной камере Вейля в t, т. е. <а, р> > О
для любого корня а. Для любого достаточно большого целого q
Т совпадает с централизатором элемента р (e2ni/q) в G. Действие
Т, которое мы хотим определить, получается одновременным,
вращением со скоростью q я сопряжением с помощью (р:
при этом (и, I) переходит в Su?, где
Sul(z) = p(u)l(u~"z)p(ur1.
Это действие распространяется на все гильбертово пространство-
Я8 и диагонально в базисе {t,k}. А именно, Sag& = «m*?A, где
числа Ши монотонно возрастают с ростом k для достаточно боль-
больших q. Далее, Т действует и на Gr(#3), и это действие распро-
распространяется до действия C<i (см. разд. 7.6). Кроме того, это дей-
действие сохраняет подмногообразие Grs, а также страты 2S. Для:
любого W e Gr (/У3) точка SUW стремится к некоторому пределу-
при ц->-0; этот предел, очевидно, является неподвижной точкой
относительно действия Т и содержится в том же страте, что и:
W. (Это происходит потому, что страты характеризуются пред-
предложением G.5.4), a Su просто умножает плюккерову координату-
ns(W) на um(-s\ где m(S) монотонно возрастает с ростом 5 ж
8.7. Однородное пространство LG/T
171
^стремится к оо при l(S) —»-oo.) Однако неподвижные точки дей-
действия Т на Gr3 — это только подпространства Я//+ для Я е Т.
В самом деле, если подпространство уН+ неподвижно для неко-
некоторого у е QG, то
р (и) у (и-"г) у (и-")~1 р (и) = у (z) (8.6.8)
для всех и, z е Т. Положив и = е2я11я, мы обнаружим, что у (z)
коммутирует с р(е2я11ч), так что у (г) лежит в Т. Равенство
(8.6.8) сводится теперь к условию, что отображение у. Т->-Г яв-
является гомоморфизмом. Итак, любой страт содержит точку КН+,
а значит, имеет вид 2Sv
Рассуждения для клеток Cs по существу такие же: рассмат-
рассматривается SuW при и—>-оо.
8.7. Однородное пространство LG/T
и многообразие периодических флагов
В разд. 2.8 мы видели, что наиболее важное однородное про-
пространство для компактной группы G — это G/T, где Т — ее мак-
.симальный тор. Мы уже отмечали, что аналогом G/T для груп-
группы петель является пространство LG/T, а не более естественное
лространство QG = LG/G, которое мы уже хорошо изучили в
этой главе. Ниже мы сделаем краткий обзор основных фактов
о LG/T.
Мы уже знаем, что пространство LG/T является комплекс-
лым многообразием, ибо его можно отождествить с LGc/B+, где
В+ состоит из элементов vo + Vi2 + ¦ • • из L+Gc, таких, что уо
.принадлежит положительной борелевской подгруппе В? груп-
группы Gc. Основное свойство многообразия LG/T состоит в том,
что его можно стратифицировать орбитами действия М~ и стра-
страты нумеруются аффинной группой Вейля Waff, эта группа была
определена в разд. 5.1. Она является полупрямым произведе-
произведением W X Т, где W — это группа Вейля группы G, а Т — решет-
решетка гомоморфизмов ~Т-*-Т. Мы можем рассматривать Wan как
подмножество в LG/T, ибо Waff = (Мт-Т)/Т, где Мт — нормали-
нормализатор Т в G. Следующее предложение является в сущности пере-
переформулировкой доказательства предложения E.1.2).
Предложение (8.7.1). Множество неподвижных точек дейст-
действия Т на LG/T совпадает с Wau.
Свойства стратификации пространства LG/T описывает
Теорема (8.7.2). (i) Комплексное многообразие Y = LG/T =
= LGc/B+ является объединением стратов 2Ш, занумерованных
элементами до
172
Гл. 8. Основное однородное пространство
(ii) Страт 2Ш совпадает с орбитой элемента до относительно-
действия N~ и является локально замкнутым стягиваемым ком-
комплексным подмногообразием в Y, коразмерность которого равна
длине /(до) элемента w. Он диффеоморфен многообразию N& =--
= ЛГ~ [\wN~w~1.
(ш) 2Ш является, замкнутым подмножеством открытого мно-
множества Uw в Y, где Uw = до-Hi. Действие Aw = N+ f\ wN~w~l за-
задает диффеоморфизм
**-w Л 2иуц ** ^w
(iv) Орбита элемента до под действием Aw является комп-
комплексной клеткой Cw размерности /(до), которая трансверсально
пересекается с 2Ш в до. Объединение клеток Cw совпадает а
' poi = LpoiG/T.
(v) Если I (до') — / (w) + 1, то 2да' содержится в замыкании,
страта 2Ш, если ы только если до' = ays, где s e Waff — отраже-
отражение, соответствующее простому аффинному корню.
Здесь длина l(w) определяется как размерность группы АШу
т. е. как число положительных аффинных корней а, таких, что
до-а — отрицательный корень.
Наиболее важная часть теоремы (8.7.2) — это две теоремы'
о разложении:
LGC= U
(8.7.3а>
(8.7.3b>
Они следуют из теоремы (8.6.3) и из разложения Брюа конечно-
конечномерной группы
Gc= U МГдо?о~= U NtwBt. {8.7Л}
wesW wmW
Считая (8.7.4) справедливым, мы не обнаружим ничего нового
в доказательстве (8.7.2), которое, видимо, и не заслуживает
дальнейшей детализации. За доказательством (8.7.4) мы отсы-
отсылаем читателя к [20, гл. VI, § 6, п° 2]. Мы, однако, напомним
ключевой момент в доказательстве п. (v) (8.7.2), хотя он и не
отличается от соответствующего конечномерного результата.
Пусть а — простой аффинный корень группы LG; ему соот-
соответствует (см. E.2.4)) гомоморфизм U: SZ-2 (С)—> LGc, который
отображает тор Т для SL2(C) в Т. Это дает отображение ia:
S2-*Y, где S2 = C U°° есть SL2(D)/T. Если w' = wsa в W3ilt,
8.7. Однородное пространство LG/T
173
где sa — отражение, соответствующее а, и /(до') = /(до)+ 1, то
отображение
z i—> ia (z) • до
из S2 в У задает голоморфную кривую в У, которая соединяет до
и w'. Эта кривая лежит в 2Ш, за исключением точкиia{°°) • до =
— до', и поэтому замыкание страта 2Ш содержит 2Ш'.
В случае Un имеется геометрическое описание LUa/T, кото-
которое мы сейчас приведем: оно аналогично описанию QUn как
грассманиана.
Определение (8.7.5). Fl(n> состоит из всех последовательно-
последовательностей {Wk}k<=-z подпространств в Я(л), таких, что
(i) каждое Wk лежит в Gr(#(">),
(ii) WVh cr Wk для любого k и dim(W*/WVh) = 1,
(Hi) zWk=Wh+n.
Естественно называть точки из FHn> периодическими фла-
флагами. Мы будем также рассматривать подпространство Fl(on> в
Fl(n>, состоящее из флагов, для которых все Wk лежат в Gr0.
В этом разделе удобно вновь отождествить //<"> с Н = L2(Sl;
iC). Тогда флаг {?*//+} является канонической отмеченной точ-
точкой в Fl(re); ее стабилизатор в LGLn(C) совпадает с B+GLn(?,j).
Можно доказать непосредственно или вывести из (8.3.2)
Предложение (8.7.6). Группа LUn транзитивно действует на
Fl(">, а стабилизатор флага {?*//+} совпадает с максимальным
тором Т группы Un-
Другими словами, Fl<n> =* LUn/T ^ LGLn(C)/B+. Очевидно,
что Fl(n) является расслоением над Gr("> относительно отображе-
отображения {Wk} i—>Wo. Слой этого расслоения изоморфен конечномер-
конечномерному многообразию флагов Un/T = Fl(iQ").
Орбиты групп N~ и N+ дают стратификацию для Fl(n) и кле-
клеточное разбиение для Flo. Мы не будем продолжать обсужде-
обсуждение этой темы, однако объясним все же, каким образом страты
и клетки нумеруются элементами аффинной группы Вейля
Waff для LUn- В этом случае Waff является полупрямым произ-
произведением симметрической группы Sn и решетки f^Zn, на ко-
которой Sn действует перестановкой компонент. Когда группа Waff
отождествляется с подгруппой в LUn, она действует на //(п> пе-
перестановками базисных элементов {?*}• Ее можно отождествить
также с группой всех перестановок л; на Z, удовлетворяющих
174
Гл. 8. Основное однородное пространство
условию
для любого k.
л (k + п) = я {k) + п
(8.7.7)
Предложение (8.7.8). Страты и клетки множества Fl<"> нуме-
нумеруются элементами аффинной группы Вейля Wzu для LUn.
Доказательство. Нам предстоит показать, что любой флаг
} лежит в орбите флага n{Hk}, где Hk = t,kH+, для некото-
некоторой перестановки я, удовлетворяющей (8.7.7). Нам известно, что
любое Wk лежит в некотором страте 2Sfe грассманиана и что
Sk — Sb+i состоит из ровно одного элемента; обозначим этот эле-
элемент sk. Искомая перестановка задается условием n(k) =sft.
Для k =0, 1, 2, . .., п—1 мы выберем вектор шй е #(п), поро-
порождающий Wb/Wk+u порядок wk равен sk. Как и в доказатель-
доказательстве (8.3.2), получим, что {w0, . .., wn-{} образуют столбцы пет-
петли у, такой, что y{Hk} = {Wk} и что уп~1 лежит в М~.
Рассуждения для клеток в точности такие же.
8.8. Периодичность Ботта
Мы уже упоминали в разд. 6.4 теорему периодичности Ботта,
которая утверждает, что бесконечная унитарная группа U =
= U Un гомотопически эквивалентна своему второму простран-
п
ству петель Q2U. Другая формулировка этой теоремы состоит в
том, что пространство QU гомотопически эквивалентно
Сго(Я) = U Gr (ZPHJZ"H+).
(Эта формулировка хорошо известна [17]: Gro(#) является
стандартной реализацией пространства, которое специалисты по
алгебраической топологии обозначают ZX-Sf/.) Теория, кото-
которую мы построили, содержит доказательство этой теоремы, так
как идентификация QUn с подпространством в Gr(H) совпадает
с отображением Ботта.
Перед тем как разъяснять доказательство, напомним, что в
предложении (8.6.6) мы доказали гомотопическую эквивалент-
эквивалентность группы полиномиальных петель Qpoif/n группе гладких пе-
петель QUn и, следовательно, что абсолютно стандартно, группе
непрерывных петель QcuUn. Гораздо более элементарный факт,
который можно доказать теми же рассуждениями, что и в
(8.6.6), состоит в том, что пространство Gro(#) гомотопически
эквивалентно Gr(//). Поэтому для доказательства теоремы Бот-
Ботта достаточно доказать
8.8. Периодичность Ботта
175
Предложение (8.8.1). Включение
индуцирует изоморфизм гомотопических групп до размерности
2л—2.
Доказательство. Достаточно рассмотреть связные компонен-
компоненты единицы обоих пространств.
Gro(#) является объединением клеток Cs, занумерованных
подмножествами 5 в Z. Если S удовлетворяет условию
n+k + H<=S<=k + H (8.8.2)
для некоторого k, то любое f eCs расположено между t,k+nH+
и ?fe#4- Отсюда вытекает, что t,nW cz W, и, значит, W лежит в
Gr^>. Клетка Cs, следовательно, целиком лежит в Gr^">. (Хотя
нам и не нужен этот факт, возможно, стоит отметить, что в обо-
обозначениях (8.4.5) множество клеток Са из Gr'0">, которые полу-
получаются таким способом, совпадает с множеством клеток, для
которых
at = ± 1 или 0 для любого i
и
если at = 1 и #/ = —1, то с < /.)
Для доказательства предложения (8.8.1) мы должны показать,
что комплексная размерность любой клетки Cs из Gr0, для кото-
которой 5 не удовлетворяет (8.8.2), больше либо равна п и, кроме
того, что комплексная размерность любой клетки C(sn)= Cs П Gr(ora)
из Gr(on), для которой п + 5 cr S, но 5 не удовлетворяет (8.8.2),
также не меньше л.
Размерность Cs равна (как следует из предложения G.4.1),
если виртуальное число множества 5 равно нулю)
l(S)=Z^k-sk). (8.8.3)
Условие (8.8.2), как легко видеть, эквивалентно условию
sm = m, если m = s0 + п.
И если (8.8.2) не верно, то k — sk ^= 1 для k ^ s0 + n и
как нам и хотелось.
Аналогичное рассуждение применимо и к клеткам С^К Мы
оставляем читателю проверку того, что формулу из теоремы
176
Гл. 8. Основное однородное пространство
(8.4.5) для размерности можно переписать так же, как и (8.8.3),
только для С^га> сумма распространяется лишь на те п значений
k, для которых Sk не лежит в п + 5. При этом возникает два
случая. Если s0 ^—п, результат ясен. Если нет, то s* не лежит
в п + S, если k ^ s0 + п, потому что Sk < k, и можно применить
уже изложенные аргументы.
Замечание. Тот факт, что теорему Ботта можно доказать опи-
описанным выше методом, был впервые отмечен в анонсе [57].
8.9. QG как кэлерово многообразие: поток энергии
В этом разделе мы рассмотрим QG с другой, более геомет-
ричной точки зрения.
Выберем некоторое положительно определенное инвариант-
инвариантное скалярное произведение < , > на алгебре Ли g. В гл. 4 мы
определили кососимметричную форму а» на Lg:
2л
<*>& Л) = -5Г$ {I (9). vf№dB,
о
которая является левоинвариантной замкнутой 2-формой на LG.
Эта форма инвариантна относительно сопряжения постоянными
петлями, обращается в нуль, если 5 или ц постоянны, и, значит,
определяет инвариантную замкнутую 2-форму а» на однородном
пространстве QG = LG/G. Если | — ненулевой элемент каса-
касательного пространства Qg = Lg/g к QG в отмеченной точке, то
всегда существует некоторый вектор г\ <= Щ, такой, что со(|,
г\) Ф 0. (Можно положить ц = %',) Поэтому следует считать, что
со определяет симплектическую структуру на QG.
Если X — конечномерное симплектическое многообразие с
симплектической формой со, то всякой гладкой функции F:
X-+-R соответствует так называемое гамильтоново векторное
поле If на X, определяемое из соотношения
<*x(b(x),r\) = dF(x;rd, (8.9.1)
где ^el, а г\ — произвольный касательный вектор к X в х.
В бесконечномерном случае существование ?/> не очевидно, но
очевидна единственность. С другой стороны, легко видеть, что в
случае односвязного X всякое сохраняющее форму со векторное
поле | можно представить в виде § = g/г для некоторой гладкой
функции F. (Это следует из теоремы де Рама, так как (х; Tj)t—»
|—*-<o*(|(jc),tj) является замкнутой 1-формой на X.) Мы будем
использовать два частных случая этой конструкции.
8.9. QG как кэлерово многообразие: поток энергии
177
Рассмотрим сначала функцию энергии <%: QG—>-R:
2я
(8.9.2)
(Здесь и везде мы используем такие обозначения, как если бы
петля у(®) являлась матричнозначной функцией. А именно,
7(в)-17/('Э) обозначает элемент из %, полученный левым сдви-
сдвигом в отмеченную точку касательного вектора tfdQ) к G в точке
7@). Формула (8.9.2) написана для y^LG, однако является
инвариантной относительно левого и правого умножения на эле-
элементы из G.)
Предложение (8.9.3). Гамильтоново векторное поле на QG,
соответствующее ё?, является генератором потока, отвечающего
вращению петель.
Замечание. В этом предложении QG рассматривается как од-
однородное пространство LG/G, а не как подмножество в LG. Как
лодмножество оно не сохраняется при повороте. Если рассма-
рассматривать QG как подмножество в LG, то действие поворота Ra на
угол а на петлю у е QG следует определить соотношением
(/?«Y)(e) = Y(e-a)Y(-a)-1. (8.9.4)
Доказательство (8.9.3). При инфинитезимальном изменении
бу петли у изменение 3" равно
С другой стороны, у' — значение векторного поля, соответствую-
соответствующего повороту, в точке у (по модулю действия постоянного эле-
элемента из з). Мы должны показать, что
¦Это так, потому что
<Y~V. [Y~V,
. Y"V],
Следствие (8.9.5). Критические точки функции энергии <S на
— это петли у, которые являются гомоморфизмами у: S1 ->¦ G.
12 Зак. 230
178
Гл. 8. Основное однородное пространство
Доказательство. Критические точки функции — это в точно-
точности неподвижные точки соответствующего гамильтонова вектор-
векторного поля. Из формулы (8.9.4) видно, что Ray = у для всех а,,
если и только если у — гомоморфизм.
Наш следующий пример гамильтонова потока еще проще.
Предложение (8.9.6). Поток на QG, порожденный элементом:
leg, соответствует гамильтоновой функции F\: QG->-R, зада-
задаваемой формулой
2л
Доказательство этого факта проводится непосредственно..
Ср. [8].
Замечание (8.9.7). Комбинируя (8.9.3) и (8.9.6), мы видим,
что гамильтонова функция, соответствующая скрученному полю»
вращения на QG, которое рассматривалось в доказательстве.
(8.6.4), является скрученной энергией:
2л
Критические точки этой функции изолированы, они являются
гомоморфизмами у: Si -*- Т.
Наша цель — применить теорию Морса к функции энергии на
QG, т. е. исследовать траектории градиента функции энергии <8'..
Чтобы придать этому смысл, необходимо снабдить QG римано-
вой структурой. Имеется очень много инвариантных римановых
метрик на QG, однако естественный выбор метрики фиксируется
тем, что QG является комплексным многообразием: в разд. 8.6
мы доказали, что пространство QG изоморфно LGc/L+Gc и что.
оно локально диффеоморфно LfGo
Предложение (8.9.8). Комплексная и симплектическая струк-
структуры на QG согласованы, и снабженное этими структурами QG
является кэлеровым многообразием.
Это означает следующее: пусть Ту—вещественное касатель-
касательное пространство к QG в точке у, a Jy — его автоморфизм, соот-
соответствующий умножению на i в терминах комплексной струк-
структуры для QG; тогда
(i) <oY(/Yg, Vi) = <М§, ц) для всех |, ц <= Ту,
8.9. QG как кэлерово многообразие: поток энергии
179
(ii) (?. Л) •—>gy(Z, Ц) =©у(Б> Л»1!) является положительно
определенным скалярным произведением на Г?.
Кэлерова форма на Ту задается формулой
E, л) ¦-> gY (Б, Л) + «Ч E. Л).
Доказательство. В силу инвариантности комплексной струк-
структуры и формы со достаточно рассмотреть случай у = 1. Пусть |
разлагается в ряд |= X! 5&26, где lk e gc; тогда действие J\ на
i состоит в умножении g* на t при k < 0 и на —t при & > 0.
(Постоянный член |0 не следует рассматривать, так как мы
реально работаем с Lg/g.) Далее,
где скалярное произведение продолжено до комплексной били-
лейной формы на дс. Это дает нам (i) и (ii), так как
Для функции i7 на кэлеровом многообразии ее градиент свя-
связан с ее гамильтоновым векторным полем просто применением
¦операторов /Y в касательном расслоении; по существу эти век-
векторные поля являются вещественной и мнимой частями распре-
распределения, параметризованного с помощью ,С. Как мы уже ви-
видели в разд. 7.6 и 8.6, действие группы Т поворотами на Gr(#)
и на QG продолжается до голоморфного действия полугруппы
С<1. (Заметим, что мы уже рассматривали три различных дей-
действия Т на Н. Действие из разд. 7.6 происходит из отождествле-
отождествления Н с L2(Si; LC.). To действие, которое мы рассматриваем сей-
сейчас, происходит из изоморфизмов Н se Я3 S? L2(Sl; gc). Имеется
также скрученный вариант этого действия, который использо-
использовался в разд. 8.6, когда поворот сопровождался сопряжением
с помощью элементов однопараметрической подгруппы из G. Все
эти действия диагональны в стандартном ортонормированном
базисе для И и для элемента ^ef состоят в умножении &-го
базисного вектора на степень элемента и, которая возрастает с
ростом k и стремится к оо при &->-оо.) Теперь мы можем по-
другому интерпретировать рассуждения разд. 7.6 и 8.6 и, в част-
частности, доказательство (8.6.4).
Напомним прежде всего [115], что векторное поле на бес-
бесконечном многообразии может и не иметь траекторий, а если эти
траектории существуют, они могут не быть единственными. Раз-
Развитую нами теорию можно подытожить следующим образом.
12*
180
Гл. 8. Основное однородное пространство
Теорема (8.9.9). (i) Для любой точки veQG имеется нисхо-
нисходящая траектория градиента энергии, которая задается отобра-
отображением
для t 52 0.
(и) Петля yt является вещественно-аналитической при t>0
и сходится к гомоморфизму у«>: S1-*- G при t-*-oo.
(iii) Восходящая траектория t)—>yt, определенная для нену-
ненулевого t, е < t ^ 0, существует, если и только если у — вещест-
вещественно-аналитическая петля. Она определена для всех t ^ 0, если
и только если у — полиномиальная петля, и в этом случае yt схо-
сходится к гомоморфизму y-«, при t-* 00.
(iv) Множества 2, х\ и С\%\из предложения (8.6.5) являются
восходящим и нисходящим многообразиями критического уровня
Лх для энергии, т. е.
;X,,«-v.->v^gA, при t-+°o.
V
¦Ъ
при
при
t
ОО.
Интересно рассмотреть частный случай G = Т. Связную ком-
компоненту единицы для QT можно отождествить с векторным про-
пространством гладких функций /: Sl-*-R. При этом
2л
Нисходящая траектория {ft} градиента функции <S получается
решением параболического псевдодифференциального уравнения
где Д = (<3/<39J. Пусть f=J^akeike; тогда
(8.9.10)
Утверждения (i), (ii) и (iii) из теоремы (8.9.9) в этом случае
абсолютно прозрачны. Однако для произвольной группы аналог
уравнения (8.9.10) нелинеен; и хотя наши результаты выглядят
весьма правдоподобно, вероятно, нелегко доказать их непосред-
непосредственно.
Классическая и квантовомеханическая энергия
Комбинируя изоморфизм QG ^ Gr3 и вложение Плюккера
для грассманиана (см. разд. 7.5 и 7.7), мы получаем голоморф-
голоморфное вложение
я: )
8.9. QG как кэлерово многообразие: поток энергии
181
Действие окружности на Я3 поворотами индуцирует действие
на d6, порожденное неограниченным эрмитовым оператором
id/аЪ. Мы будем представлять себе QG классическим простран-
пространством состояний, а Р{Ж)—соответствующим квантовым про-
пространством состояний. Для любой петли у выберем единичный
вектор QY, лежащий на прямой я (у) в Ж.
Предложение (8.9.11).
где классическая энергия 3" (у) определена с помощью формы
Киллинга на д.
Заметим, что правая часть является средним значением кван-
квантового оператора энергии id/аЪ в состоянии Qy.
Доказательство. Этот результат следует из того, что канони-
каноническая кэлерова структура на Р (Ж) индуцирует кэлерову струк-
структуру на QG, соответствующую форме Киллинга на g. Это в свою
очередь справедливо в силу того, что кэлерова форма на Р{Ж),
ограниченная на Gr (Я3), является стандартной ?/гез(Яв)-инва-
?/гез(Яв)-инвариантной формой, которая соответствует основному 2-коциклу на
алгебре Ли группы итез(Н3). Этот коцикл ограничивается до
основного коцикла на fiun и, следовательно, в силу вложения G
в Un с помощью присоединенного действия до 2-коцикла на QG,
связанного с формой Киллинга.
Замечание. Поучительно вывести предложение (8.9.11) непо-
непосредственно из формулы G.8.4), т. е; доказать, что
S (у) = trace {i -^ ¦ {yJy~l — /)},
где / является преобразованием Гильберта (см. F.3.2)). Легко
проверить, что оператор справа имеет ядро
для F, ф)
5'Х 51. При 6 = q> оно сводится к
Ф)Г№
Отсюда (8.9.11) получается взятием следа и интегрированием
частям.
182
Гл. 8. Основное однородное пространство
8.10. QG и голоморфные расслоения
Теоремы о разложении для петель дают нам описание точек
из QG как голоморфных расслоений на сфере Римана S2 = С U
LJoo. (Мы будем писать S2 = Do{] Doc, где Do — {z: \z\ ^ 1} и
?оо= {г: \z\ ^ 1}.)
Предложение (8.10.1). Точка из QG — это класс изоморфизма
пар (Р, х), где Р — голоморфное главное Gc-расслоение на S2,
а х — его тривиализация над Doc. Страт, которому принадлежит
(Р, х) — в смысле (8.6.5), — это класс изоморфизма расслоения Р.
Слова «тривиализация над Doc» означают здесь гладкое сече-
сечение ограничения P\Doc, голоморфное над внутренностью множе-
множества Dx.
Доказательство (8.10.1). Пусть дана пара (Р, х); выберем
тривиализацию а для P\D0. Функция перехода между а и х
над S1 = Do П D°° задает петлю из LGc. Произвол в выборе а —
это умножение на элемент из L+Gc, что дает нам элемент
из LGc/L+Gc = QG.
Обратно, мы можем разложить y^LG в произведение у~-
¦X-у+, где X: S1 ->¦ G — гомоморфизм. Так как отображение X
продолжается до голоморфного отображения Cx—>Gc, оно оп-
определяет голоморфное расслоение Рх на S2 (см. разд. 8.2), кото-
которое канонически тривиализовано над S2—{оо} и над S2—{0}.
-Мы сопоставим у пару (Рх, х), где х = у+-Хк„ а т«> — канониче-
каноническая тривиализация для РЛ|?>оо.
Комплексное многообразие X однозначно определяется, если
для любого комплексного многообразия М известно множество
голоморфных отображений М-*-Х. В частности, слегка обобщая
предложение (8.10.1), можно получить следующее описание ком-
комплексного многообразия QG (наше внимание к этому описанию
привлек Атья (см. [5])).
Предложение (8.10.2). Голоморфное отображение M
для любого комплексного многообразия М — это класс изомор-
изоморфизма пар (Р, х), где Р — голоморфное главное Ge- расслоение
на vW X 52, ах — тривиализация ограничения Р | М X Dx.
Доказательство. Пусть задана пара (Р, т). Согласно (8.10.1),
:мы знаем, что пи—*, (Р, т)|(тХ52) определяет отображение f:
М —>-QG. Мы должны показать, что f голоморфно. В самом деле,
для любого m е М Р можно считать тривиальным над некото-
некоторым множеством вида V X А), где V — некоторая окрестность
точки m в М, a Do — множество {ге S2: \z\ ^r} для некоторого
т > 1. Тогда f | V можно представить как функцию перехода ме-
8.10. QG и голоморфные расслоения
183-
o. Она является гладким ото-
отожду х и тривиализацией над
бражением
VX{
которое голоморфно для 1 < \г\ <Lr. Ограничение этого ото-
отображения на FXS1 дает голоморфное отображение V-+LGcr
которое мы и хотели построить.
Обратно, чтобы получить пару (Р,х) из отображения /: М—*•-
-*~QG, достаточно определить пару (Р, х) над QGy(S2. Опреде-
Определение Р в категории гладких расслоений очевидно: оно полу-
получается склеиванием тривиальных расслоений на QGX,D0 к
QGXA» с помощью склеивающей функции, которая задается
отображением вычисления е: QGX51—>¦ G. Полученное расслое-
расслоение канонически тривиализовано над QG y^Dx. Если считать QG
пространством вещественно-аналитических петель, то ясно, что.
Р — голоморфное расслоение, и доказательство завершается, ибо
в этом случае е можно продолжить до голоморфного отображе-
отображения Wo Л Wo —*¦ Ос, где Wo и W«> — подходящие открытые ок-
окрестности для QGX^o и QGy^Dao в QGX52. Случай гладких
петель требует дополнительной работы.
Напомним (см. (8.6.3)), что QG покрыто открытыми множе-
множествами Ux, такими, что Ux = Sx X Сх как комплексное
многообразие, и CxczQvo\G. Следовательно, Сх состоит
из голоморфных отображений Сх—*Gc. Композиция проекции
Ux^-Cx и отображения вычисления дает голоморфное отобра-
отображение U% X Cx-*Gc, которое определяет голоморфное расслое-
расслоение Р% над Ux X S2. Из предложения (8.6.3) следует, что Рк ка-
канонически изоморфно P|?/a,X«S2 в категории гладких расслое-
расслоений. Кроме того, набор расслоений Р% определяет голоморфное
расслоение на QGX52, потому что, как легко видеть, канони-
канонический гладкий изоморфизм между Р\ и Р^, ограниченными на
(С/хП ^ц)Х52, голоморфен для \z\ < 1 и для \г\ > 1, а значит,,
и для всех z.
Если М компактно, то тривиализация х ограничения Р|уИХ
X D<x единственна с точностью до действия элементов из L+Gc,.
ибо любое голоморфное отображение M-+L+Gc—константа..
Таким образом, мы получили
Предложение (8.10.3). Пусть М — компактное комплексное
многообразие с отмеченной точкой то. Тогда множество голо-
голоморфных отображений M—>-QG, переводящих пго в 1, можно ото-
отождествить с множеством классов изоморфизма Gc~расслоений
Р на МУС S2, тривиальных над т0 X S2 и над М X Dx.
Этот результат является отправной точкой для серии инте-
интересных идей, за которыми мы отсылаем читателя к статье Атьи
184
Гл. 8. Основное однородное пространство
[5]. Здесь же мы ограничимся тем, что отметим одно непосред-
непосредственное следствие.
Предложение (8.10.4). Пусть М — компактное многообразие
с отмеченной точкой. Тогда каждая связная компонента про-
пространства голоморфных отображений M-+-QG, сохраняющих от-
отмеченную точку, конечномерна.
Это следует из предложения (8.10.3), так как пространство
голоморфных расслоений фиксированного топологического типа
на компактном многообразии конечномерно (см. [119]).
Предложение (8.10.4) демонстрирует удивительное различие
между пространствами QG или Gr(n)(#) и более привычными бес-
бесконечномерными комплексными многообразиями, такими, как
проективное пространство Р(Н) или грассманиан Gr(#) из гл. 7.
Например, если оеЯ представляет отмеченную точку в Р(Н),
то
(z0, z{) н-> [zov + z{w]
является семейством сохраняющих отмеченную точку голоморф-
голоморфных отображений S2-+P(H), которое параметризуется про-
пространством ненулевых векторов w, ортогональных к v. Аналогич-
Аналогичное семейство можно определить и для Gr (Я).
8.11. Однородное пространство, связанное
с римановой поверхностью: пространства модулей
векторных расслоений
В трех предыдущих главах мы всегда выбирали поляризацию
гильбертова пространства Н = L2(Sl; С) в виде Я+ФЯ-, где
Я+ — пространство граничных значений голоморфных функций в
диске |z|< 1. Естественное обобщение этого состоит в замене
диска другой римановой поверхностью, для которой границей
является окружность.
Итак, пусть X — компактная риманова поверхность с отме-
отмеченной точкой Хоо и фиксированным локальным параметром в ок-
окрестности Хсо. Мы будем обозначать локальный параметр сим-
символом zrx и считать, что z — голоморфное отображение окрест-
окрестности точки Xvo в окрестность точки оо сферы Римана. Мы будем
считать, что г(лг«.) = оо и что z является изоморфизмом между
окрестностью точки *<*, и областью \z\ > 1/2 на сфере Римана.
Стандартную окружность S1 можно идентифицировать с окруж-
окружностью \z\ =1 вокруг ^е! Обозначим часть поверхности X,
где \z\ > 1, символом X», а дополнение к области, где \z\ ^
8.11. Однородное пространство
185
1^ 1, — символом Хо. Отсюда
Хо 0X^ = 5'.
С этими данными связано подпространство Нф в Нм = L2 (S1; Сп)у
аналогичное Н^К Это замкнутое подпространство в Я(л>, состоя-
состоящее из граничных значений голоморфных отображений Хо-+ С.
Предложение (8.11.1). Пространство Я<?> лежит в Gr, и его
виртуальная размерность равна —ng, где g — род поверхности X.
Мы отложим доказательство этого предложения и займемся
описанием орбиты точки Я<?} под действием комплексной груп-
группы петель LGLn(C) по аналогии с описанием Gr<"> в (8.3.1) как
{W<=Gr(H^): zWczW}.
Пусть Ах обозначает кольцо рациональных функций на X,
которые голоморфны везде, кроме *<*,, где имеют полюс произ-
произвольного порядка. Используя локальный параметр z, можно счи-
считать Ах некоторым кольцом функций от z. В этом качестве оно
действует операторами умножения на гильбертовом простран-
пространстве Я<"\ а значит, на Ог(Я<">).
Определение (8.11.2). Gr<">. х = {W e= Gr(#<»>): Ax-WczW}.
Если X — сфера Римана, то Ах — это кольцо многочленов
iC..[z], и Gr(">' х совпадает с Gr<">. Мы докажем, что Gr(n)' x все-
всегда является однородным пространством для LGLn(C).
Напомним для начала, что Ах является конечно порожденной,
алгеброй с фильтрацией, задаваемой порядком полюса в хх.
Она содержит единственный, с точностью до умножения на кон-
константу, элемент каждой достаточно большой степени. Точнее,
если А^ — векторное пространство функций из Ах с порядком
полюса ^ d, то теорема Вейерштрасса «о пробелах» [68] утвер-
утверждает, что размерность А^} равна d + 1 — g при d ^ 2g; здесь
g — род поверхности X.
Предложение (8.11.3). Gr<">' х является орбитой точки Я<?х
под действием LGLn(C).
Доказательство. Пусть W лежит в Gr<ra>> x. Подпространство
Wlin в W, состоящее из функций конечного порядка, плотно в W,
согласно предложению G.3.2), и является модулем над Ах. Как
и Ах, модуль WUn обладает возрастающей фильтрацией {Ww}
по порядку полюса в я». Мы знаем, что dim{W{k)/W^k~1^) = п,
начиная с достаточно большого k, откуда следует, что Wiin —
конечно порожденный А*-модуль. Очевидно, что это модуль без
;186
Гл. 8. Основное однородное пространство
кручения, а значит, он проективен (ибо Ах— дедекиндово коль-
кольцо) . Это означает, что он является модулем сечений некоторого
алгебраического векторного расслоения Е на X— {хх} со слоем
Ех в х, который равен Wnn/axWiin, где ах = {/ е= Ах: f{x) = 0}.
Как голоморфное расслоение Е тривиально, ибо на аффинной
кривой не бывает нетривиальных голоморфных расслоений. По-
Поэтому можно выбрать голоморфные сечения wu . . ., wn для W,
значения которых в любой точке j;el — {х^} порождают слой
Ех. В частности, матрица (w\(z), ..., wn(z)) обратима в каж-
каждой точке z окружности и определяет петлю у: S1 —*- GLn(C), та-
такую, что yH^W
¦сов
Стабилизатор точки Н%> в LGLn (С), очевидно, совпадает
-с группой L^GLn (С) петель, которые являются граничными
значениями голоморфных отображений Хо -*- GLn (.С), и преды-
предыдущее предложение дает
Gr<">-x s* LGLn (C)/L+GLn (С). (8.11.4)
Доказательство этого предложения показывает, кроме того, что
точка Gr(n)>* отождествляется с классом изоморфизма пар (Е,
а), где Е — голоморфное векторное расслоение на X,_a a — три-
виализация ?|.Хоо, которая гладко продолжается на 1М. Естест-
Естественное действие L-GLn(C) на Gr<">' x транзитивно действует на
тривиализациях; это доказывает следующее обобщение теоремы
о разложении Биркгофа.
Предложение (8.11.5). Пространство двойных смежных клас-
L'GU (C)\LGLn (Q/LiGLn (С)
совпадает с пространством классов изоморфизма п-мерных го-
голоморфных векторных расслоений на X.
В действительности удобнее и привычнее рассматривать дру-
другое пространство двойных смежных классов: L^\L/Lx. Это про-
пространство классов изоморфизма расслоений Е вместе с фикси-
фиксированным изоморфизмом слоя в х<х> и С". Это пространство луч-
лучше, чем L~\L/Lx, потому что Lf свободно действует на от-
открытом плотном множестве Щ из L/Lx = Gr^) и является стя-
стягиваемой группой. Факторпространство L^\°U, гомотопически
эквивалентное Ш, является пространством модулей /г-мерных
векторных расслоений в смысле [119]. (Ср. также [7].)
Интересно рассмотреть гомотопический тип группы L+ и од-
однородного пространства Gr^. Любая петля у из L? имеет ну-
8.11. Однородное пространство
187
левое число вращения, т. е. стягивается к точке, потому что, если
ее определитель det (у) является граничным значением голо-
голоморфной функции в Хо, то число вращения петли у равно числу
нулей функции det (у) в Хо. С другой стороны, группа L\ не яв-
является связной, ибо det (у) имеет корректно определенное число
вращения вдоль любой нетривиальной петли в Хо. В действи-
действительности группа связных компонент Z-J равна
; Z) ^ Я1 (X; Z),
я0 (L+) я* Z2* s Нот (я, (Хо)
где g — род поверхности X. Она совпадает с группой гомотопи-
гомотопических классов отображений ХО->СХ или, эквивалентно, клас-
классов отображений X0—>-GLn{C). Справедлив даже более сильный,
результат.
Предложение (8.11.6). (i) Группа LxGLn(C) гомотопически:
эквивалентна группе непрерывных отображений X0-^GLn(C)^
(ii) Пространство Gr^1 гомотопически эквивалентно про-
пространству отображений X-*-BGLn{C), сохраняющих отмечен-
отмеченную точку, т. е. пространству топологических \Сп-расслоений на
X (вместе с изоморфизмом между слоем в хх и С).
В п. (ii) этого предложения BGLn(C) обозначает классифи-
классифицирующее пространство для группы GLn(C). Справедливость
восприятия пространства отображений X -*- BGLn(<C) как «про-
«пространства» векторных расслоений на X можно обосновать с раз-
разных точек зрения. В сущности, дело в том, что для заданного
расслоения Е па X пространство пар (/, а), где f: X-*-BGLn(C),
а а: Е -*- f*Eumv — некоторый изоморфизм между Е и обратным
образом универсального расслоения Euniv на BGLn(C), является,
стягиваемым. Отсюда следует, что пространство отображений
Мар(Х; BGLn) гомотопически эквивалентно «пространству» или
«реализации» категории векторных расслоений на X в смысле
[128]. Точнее, пространство отображений имеет по одной связ-
связной компоненте для каждого класса изоморфизма расслоений
на X, и компонента, соответствующая расслоению Е, имеет го-
гомотопический тип пространства BAut(E), классифицирующего
пространства для «калибровочной группы» Aut(?) всех автомор-
автоморфизмов расслоения Е. За дальнейшей информацией об этом
пространстве мы отсылаем читателя к статье [7].
Утверждение (ii) предложения (8.11.6) непосредственно сле-
следует из утверждения (i). Действительно, L/Lx гомотопически эк-
эквивалентно слою расслоения SLJ —> BL, т. е. слою отображения
Мар(Х0; BGLn)^ Map (S1; BGLn).
188
Гл. 8. Основное однородное пространство
Последовательность корасслоений S1 —*-Х0-*-Х показывает, что
этот слой совпадает с Мар(Х; BGLn).
Доказательство (i). Чтобы не отвлекаться в сторону, мы ог-
ограничимся тем, что покажем, как наше утверждение легко вы-
вывести из результатов статьи [130].
Доказательство проводится индукцией по п. Рассмотрим сна-
сначала случай п = 1. Мы уже доказали, что Hoi (Хо; Сх) гомото-
пически эквивалентно пространству Map {Хо; С ), где Hoi обо-
обозначает пространство голоморфных отображений, которые глад-
гладко продолжаются на Хо, a Map обозначает непрерывные отобра-
отображения^ (Допустимо, и это удобнее, заменить Map (XQ; Cx) на
Map (Xo; С ).) Точная последовательность групп
0^Z->Hol(X0; С) —*Но1(ДГ0; Сх)->Я1(Хо; Z) (8.11.7)
показывает, что каждая связная компонента Hoi (XQ; Cx) имеет
гомотопический тип окружности; то же верно и для непрерыв-
непрерывных отображений. Поэтому достаточно доказать, что правое ото-
отображение в (8.11.7) является сюръективным. Это так, ибо его
коядро равно Я1 (Хо; О), где О — это пучок ростков голоморф-
голоморфных функций на Хо. Эта группа равна нулю, потому что XQ —
штейново многообразие.
Переходя к шагу индукции, рассмотрим голоморфное рас-
расслоение
где GLn-i,i — группа ступенчатых матриц, равная стабилизатору
одномерного подпространства в С, а Рп~1 есть (п—1)-мерное
комплексное проективное пространство. Чтобы доказать гомо-
гомотопическую эквивалентность Hol(X0; GLn) и Мар(Х0; GLn), до-
достаточно показать, что последовательность
Hol(X0;
Hol(X0; GLa)-+Hol(X0; Р11'') (8.11.8)
является расслоением (т. е. показать, что имеются локальные
сечения), а также что включения
Hol(X0; GLn_lyl)^Map (Xo; GLn_ltl)
Hol(X0;
(8.11.9)
являются гомотопическими эквивалентностями. То, что последо-
последовательность непрерывных отображений, аналогичная (8.11.8),
является расслоением, тривиально. Далее, GLn-\, i как комплекс-
8.11. Однородное пространство
189
ное многообразие изоморфно GL,,_i X Сх X С" '; значит,
Hoi (Xo; GLn-\, i) гомотопически эквивалентно произведению
Hol(Z0; GL^) X Hoi (Хо; Сх)
и, следовательно, пространству Мгр(Х0; GLn-\, i) в силу предпо-
предположения индукции. С другой стороны, как доказано в [130],
отображение (8.11.9) является гомотопической эквивалент-
эквивалентностью. (Строго говоря, доказательство из [130] приложимо к
голоморфным отображениям /: Хо -*- Рп-\ которые вещественно-
аналитически продолжаются на ^о, потому что в нем предпола-
предполагается, что однородные координаты /ь . .., fn отображения f
имеют лишь конечное число нулей. Однако, как легко видеть,
пространство всевозможных наборов Si, ..., Sn по п из попарно
непересекающихся подмножеств из ^о без точек накопления в
Хо гомотопически эквивалентно пространству Q(n>(Z0) из [130],
причем гомотопическая эквивалентность устанавливается с по-
помощью отображения St i—> 5; П ^о. гДе ^о получается из Хо уда-
удалением приграничной полоски малой ширины 8.)
Осталось объяснить, почему (8.11.8)—расслоение. Второе
отображение сюръективно, ибо голоморфное отображение ^о -*-
—> Рп~1 — это все равно, что голоморфное линейное подрасслое-
ние L в X X .С". Чтобы поднять это отображение в GLn, необхо-
необходимо установить некоторый изоморфизм между двумя точными
последовательностями
Это можно осуществить в силу штейновости Хо. С учетом сюръ-
ективности и того, что тотальное пространство Hoi (Xo; GLn) яв-
является группой, достаточно доказать существование локальных
сечений для (8.11.8) вблизи постоянного отображения Хо—>-
—*• Р"—1. А это очевидно, потому что отображение GLn-*~ Рп~1
имеет голоморфные сечения.
Доказательство (8.11.1). Мы закончим этот раздел опущен-
опущенным ранее доказательством предложения (8.11.1). Фактически
мы докажем чуть более общий результат.
Предложение (8.11.10). Пусть Е есть п-мерное голоморфное
векторное расслоение на X с фиксированной тривиализацией в
окрестности Хх. Пусть W — замкнутое подпространство в #<"' =
— L2(Sl; ..С"), состоящее из граничных значений голоморфных
190
Гл. 8. Основное однородное пространство
сечений расслоения Е над Хо. Тогда W лежит в Огш(Я(">), и его
виртуальная размерность равна
dimH°(X; 8) — dim Я1 (X; Ш) — п,
где <S — пучок голоморфных сечений расслоения Е. В действи-
действительности Н°(Х; 3S) и НХ{Х; <8) совпадают с ядром и коядром
ортогональной проекции W-*-zH+.
Доказательство. Заметим сначала, что проекция pr: W-*-H—
допускает представление
-^Я_
для некоторого р, такого, что 0 < р < 1. Здесь Rp — оператор
из разд. 7.6, такой, что Rpzk = p~kzk; оператор Rp-r. W -> Н{п>
ограничен, потому что ставит в соответствие граничному значе-
значению голоморфного сечения <р расслоения Е над Хо функцию
zi—»ф(рг), т. е. значение <р на окружности, слегка сдвинутой or
границы внутрь Хо. Оператор Rp: #_-*-#_ компактен, а значит,.
и проекция pr: W-*- Я_ компактна. Отсюда следует замкнутость
образа проекции W-*-H+.
Пусть теперь ?/0 и ?/<*,— открытые множества, которые чуть
больше, чем Хо и Хо. Так как Uo и Uo — штейновы многообра-
многообразия, ядро и коядро отображения
переводящего (фо, ф°о) в ф0 —Ф°о, можно отождествить с Н°(Х;.
<8) и Н1(Х; <?). Переходя к прямому пределу, когда Uo и ?/<*>.
стремятся к!«и Хо, мы получаем, что эти же группы являются:
ядром и коядром отображения
а значит, и отображения
pr: W*
(8.11.11)
(Здесь Wzn обозначает множество вещественно-аналитических
функций из W и т. д.) Ядро отображения (8.11.11) совпадает
с ядром проекции pr: W-*zH+, потому что элемент ядра послед-
последнего отображения является общим граничным значением длят
двух функций, голоморфных в Хо и Хоо. Кроме того, нам извест-
известно, что отображение W -*¦ zH+ имеет замкнутый образ и, значит,,
его коядро должно совпадать с коядром отображения (8.11.11)..
По существу это завершает доказательство: осталось только за-
8.12. Дополнение: теория рассеяния
191
метить, что W лежит в Grffl, ибо имеет вид RPW для некоторого
р < 1, где fi? определено аналогично W по окружности \г\ =р
в X.
8.12. Дополнение: теория рассеяния
Грассманова интерпретация групп петель возникает в теории
рассеяния, развитой Лаксом и Филлипсом [99]. Далее мы очень
кратко опишем ее результаты.
Итак, мы собираемся изучать решения волнового уравнения
здесь яр — комплекснозначная функция от х и t, a p — неотрица-
неотрицательная вещественнозначная функция, не зависящая от t, кото-
которая обращается в нуль вне некоторого конечного интервала. На-
Наше уравнение описывает волны, рассеивающиеся препятствием,
которое описывается функцией р. Интуитивно кажется правдо-
правдоподобным, что если решение яр достаточно хорошо локализовано
в пространстве при t = 0, то через большое время решение будет
в основном (в смысле его энергии, которая скоро будет опреде-
определена) сосредоточено в области, где р = 0. То есть мы ожидаем,
"что любое решение уравнения (8.12.1а) для больших положи-
положительных t будет близко к некоторому решению «невозмущенного
уравнения»
(8.12.1b)
dt*
дхг
Мы ожидаем, что аналогичный факт справедлив и для боль-
больших (по абсолютной величине) отрицательных t.
Пусть теперь V — линейное пространство решений уравнения
(8.12.1а) и Vo — пространство решений уравнения (8.12.1Ь) —
для начала мы ограничимся решениями с компактным носите-
носителем по х для любого t. Мы ожидаем, что имеется два изомор-
изоморфизма Т±: V~*-Vq, которые сопоставляют решению я|) те решения
невозмущенного уравнения, к которым яр стремится при?->-±оо.
Композиция
S = T+°TZl: Vo^Fo
называется матрицей рассеяния исходного уравнения; с опреде-
определенной точки зрения она хорошо описывает поведение решений.
(Неразумно было бы ожидать, что Г+ и Г_ окажутся изоморфиз-
изоморфизмами, если уравнение (8.12.1а) допускает «ограниченные состоя-
состояния», т. е. если оператор —д2/дх2 + р имеет отрицательные соб-
собственные значения; этот случай исключается условием положи-
положительности р.)
192
Гл. 8. Основное однородное пространство
Так как р не зависит от времени, имеется однопараметриче-
ская группа {Ut} преобразований пространства V, определяемая
сдвигом по времени. Эти преобразования сохраняют энергетиче-
энергетическую норму
¦¦*-т !{(?)'+(•&)'+»¦¦}*¦
— оо
где интеграл берется вдоль прямой t = константа. Мы можем:
пополнить V по этой норме и получить гильбертово пространства
Я с унитарной группой преобразований; аналогично, Vo после
пополнения дает Яо. Преобразования Т±—изометрии, и оче-
очевидно, что они коммутируют со сдвигами по времени; итак, 5 —
унитарное преобразование, коммутирующее со сдвигами по вре-
времени.
Решение уравнения (8.12.1Ь) можно анализировать, совер-
совершив преобразование Фурье по t:
Х)=
(8.12.2)
Здесь \р<в принадлежит двумерному пространству решений урав-
уравнения
которое можно отождествить с С2, отображая tya в (t|)ffl @), г|з^ @)),
Таким образом, Яо можно отождествить с гильбертовым про-
пространством L2(R; wG,2) так, что сдвиг по времени U.f в Яо пред-
представляется умножением на функцию еш, где со — координата в
R. Согласно простому варианту предложения F.1.1), мы знаем,
что унитарные преобразования Яо, коммутирующие со всеми ?//,
составляют группу измеримых отображений Mapmeas(R; U2).
Матрица рассеяния, следовательно, является элементом этой
группы, которая в свою очередь является вариантом группы пе-
петель. (Если S соответствует отображению a: R-> ?/г, то ст(со)
описывает рассеяние волн частоты со. С ростом частоты влияние
потенциала р уменьшается, т. е. сг(со) —>~ 1 при со—v+oo, что оп-
оправдывает восприятие а как петли.)
Связь этого обсуждения с грассмановым описанием петель
основана на теореме, которая утверждает, что задать изомор-
изоморфизм между некоторым гильбертовым пространством Я с дей-
действием унитарной группы {Ut} и стандартным пространством
L2(R;K) с группой умножения на {еш}—это все равно, что
8.12. Дополнение: теория рассеяния
193
задать так называемое уходящее подпространство в Я. (Здесь
К — некоторое дополнительное гильбертово пространство.) Стан-
Стандартное уходящее подпространство Я* в Яо состоит из замыка-
замыкания решений г|), таких, что г|) (t, 0) = 0 для t <c 0. Когда Яо после
преобразования Фурье отождествляется с 5С2-значными функ-
функциями от со, Яо" переходит в пространство граничных значений
функций, голоморфных в полуплоскости Im (со) < 0.
Определение (8.12.3). Уходящим подпространством в гильбер-
гильбертовом пространстве Я с действием однопараметрической унитар-
унитарной группы {Ut} называется замкнутое подпространство W в Н,
такое, что
(i) Ut (W)
(И) n ut
W при t > 0,
(iii) U Ut(W) плотно в Я.
Основная теорема теории рассеяния Лакса — Филлипса [99]
состоит в том, что по тройке (Я, {Ut}, W) можно построить
гильбертово пространство К и канонический изоморфизм задан-
заданной тройки со стандартной тройкой (Ho = L2(R; К), {еш}, Яо").
Другими словами, задать два отображения Т±: Я—>-Яо — это
все равно, что задать два подпространства W± в Я. На интуи-
интуитивном уровне W+, которое отображается оператором Т+ на
Я^; состоит из «уходящих волн», a W- состоит из «приходящих
волн» и отображается на (Яо~) оператором Г_.
Мы не будем доказывать здесь эту теорему. Ее вариант, не-
непосредственно связанный с группами петель, состоит в замене
непрерывной группы {Ut}t sR дискретной {и }йе z- Его очень лег-
легко доказать. Стандартной моделью является пространство Яо =
= L2(Sl; К), соответствующая группа порождается умножением
на z, а Яо" имеет обычный смысл, принятый в этой книге. По
заданным {Я, и, W} можно определить К как W Qu{W). По су-
существу эта теорема сводится к следующему утверждению.
Предложение (8.12.4). Пусть К — гильбертово пространство,
a U (К) —его унитарная группа. Тогда группу измеримых петель
QmeasU (К) = LmeasU (К) /U (К) МОЖНО ОТОЖдвСТвиТЬ С МНОЖвСТ-
вом замкнутых подпространств W в L2(SU, К), таких, что
(i) zW с W,
(И) П
13 Зак. 230
}94
Гл. 8. Основное однородное пространство
(Ш) U ZkW ПЛОТНО в Н.
?<0
В доказательстве теоремы (8.3.2) содержится доказатель-
доказательство этого результата. Фактически наиболее тяжелый шаг в до-
доказательстве (8.3.2) состоял в обосновании того, что подпро-
подпространство W eGr(#(/I)) удовлетворяет условиям предложения
(8.12.4).
Замечание. Как мы уже отмечали, нет простого описания для
QctsUn- Настоящий результат, однако, показывает, что есть —
хотя и не очень явное — описание пространства измеримых пе-
петель.
ЧАСТЬ II
Глава 9
Теория представлений
В этой главе мы начинаем изложение теории представлений
групп петель, которой посвящена оставшаяся часть книги.
У этой теории есть два аспекта. С одной стороны, мы хотим до-
добиться единообразного описания множества неприводимых пред-
представлений произвольной группы петель — к настоящему времени
это можно сделать только для представлений положительной
энергии, — а с другой стороны, нам хотелось бы иметь интерес-
интересные представления конкретных групп. Такая дихотомия хорошо-
известна для компактных групп. Неприводимые представления
компактной группы параметризуются характерами ее макси-
максимального тора по модулю действия группы Вейля, и теорема
Бореля — Вейля (см. разд. 2.9) утверждает, что все эти пред-
представления можно единообразно реализовать как пространства
голоморфных сечений линейных расслоений. С другой стороны,
для конкретной группы Un имеется п фундаментальных пред-
представлений, которые получаются действием на внешних степенях
Aft (..С") и, как мы знаем, всякое представление может быть по-
построено из фундаментальных. (Еще точнее, можно сказать, что
все неприводимые представления реализуются в пространстве
тензоров на ,С;", удовлетворяющих подходящим условиям симме-
симметрии, или, эквивалентно, что они получаются разложением тен-
тензорных произведений С п <8> С " <8>. .. <8> ?)„" относительно дей-
действия симметрической группы. Ср. Вейль [154].) Для ортого-
ортогональной группы On наряду с тензорными представлениями
необходимо построить спинорные представления, чтобы получить
все (проективные) неприводимые представления. Все эти утвер-
утверждения и даже связь между унитарной и симметрической груп-
группами (см. далее предложение A0.6.4)) имеют аналоги для групп
петель.
Настоящая глава, которая представляет собой обзор изло-
изложенного далее, является введением в теорию представлений.
Для того чтобы обрисовать статус последующей теории, эту
главу мы начинаем с короткого перечисления некоторых пред-
представлений группы Map(Z; G) для многообразия X размерности
13*
194
Гл. 8. Основное однородное пространство
(iii) U
плотно в Н.
у
(8.3.2) состоял в обосновании того, что подпро-
подпро<= Gr (#<">) удовлетворяет условиям предложения
В доказательстве теоремы (8.3.2) содержится доказатель-
доказательство этого результата. Фактически наиболее тяжелый шаг в до-
доказательстве (832)
странство fl!7
(8.12.4).
Замечание. Как мы уже отмечали, нет простого описания для
U Настоящий результат, однако, показывает, что есть —
хотя и не очень явное — описание пространства измеримых пе-
петель.
ЧАСТЬ II
Глава 9
Теория представлений
В этой главе мы начинаем изложение теории представлений
групп петель, которой посвящена оставшаяся часть книги.
У этой теории есть два аспекта. С одной стороны, мы хотим до-
добиться единообразного описания множества неприводимых пред-
представлений произвольной группы петель — к настоящему времени
это можно сделать только для представлений положительной
энергии, — а с другой стороны, нам хотелось бы иметь интерес-
интересные представления конкретных групп. Такая дихотомия хорошо
известна для компактных групп. Неприводимые представления
компактной группы параметризуются характерами ее макси-
максимального тора по модулю действия группы Вейля, и теорема
Бореля — Вейля (см. разд. 2.9) утверждает, что все эти пред-
представления можно единообразно реализовать как пространства
голоморфных сечений линейных расслоений. С другой стороны,,
для конкретной группы Un имеется п фундаментальных пред-
представлений, которые получаются действием на внешних степенях
Ай (..С") и, как мы знаем, всякое представление может быть по-
построено из фундаментальных. (Еще точнее, можно сказать, что
все неприводимые представления реализуются в пространстве
тензоров на ,С.", удовлетворяющих подходящим условиям симме-
симметрии, или, эквивалентно, что они получаются разложением тен-
тензорных произведений С " <8> С " <8>. .. <8> ,Gn относительно дей-
действия симметрической группы. Ср. Вейль [154].) Для ортого-
ортогональной группы Оп наряду с тензорными представлениями
необходимо построить спинорные представления, чтобы получить
все (проективные) неприводимые представления. Все эти утвер-
утверждения и даже связь между унитарной и симметрической груп-
группами (см. далее предложение A0.6.4)) имеют аналоги для групп
петель.
Настоящая глава, которая представляет собой обзор изло-
изложенного далее, является введением в теорию представлений.
Для того чтобы обрисовать статус последующей теории, эту
главу мы начинаем с короткого перечисления некоторых пред-
представлений группы Мар(Х; G) для многообразия X размерности
13*
196
Гл. 9. Теория представлений
больше единицы, а также некоторых представлений группы LG,
не лежащих в классе, который мы собираемся рассматривать.
Перейдем теперь к содержанию следующих глав.
В гл. 10 мы очень явно описываем проективное представле-
представление группы GLves(H), которая была определена в гл. 6. При
ограничении на LUn получается неприводимое представление по-
последней, которое называется базисным. Его можно считать ана-
аналогом представлений групп Un в пространствах ЛА(С"). Про-
Пространство представления можно описать тремя разными спосо-
способами:
(i) как пространство голоморфных сечений;
(ii) как внешнюю алгебру;
(ш) как сумму симметрических алгебр.
Эквивалентность двух последних описаний — это соответствие
между бозонами и фермионами, которое привлекло внимание в
двумерной квантовой теории поля — ср. [29], [111], [45], [155]
и разд. 10.7.
В гл. 11 мы возвращаемся к единообразной теории и описы-
описываем теорию Бореля — Вейля для групп петель, в значительной
степени аналогичную известной теории для компактных групп.
Здесь доказано большинство утверждений гл. 9.
Глава 12 — это продолжение гл. 10. Построенное в гл. 10
представление группы GLres (#) в этой главе продолжается до
представления ограниченной ортогональной группы веществен-
вещественного гильбертова пространства, полученного из Я: оно оказы-
оказывается спинорным представлением этой группы. Чтобы объяс-
объяснить это, мы начинаем с весьма детализированного описания
спинорного представления в конечномерном случае, сравнивая
классические конструкции. Мы надеемся, что это описание и
само по себе представляет некоторый интерес; в частности, при-
приводим явное описание спинорной группы A2.2.10), которое, как
нам кажется, ранее не упоминалось. Но что касается групп пе-
петель, то основной результат этой главы — конструкция базисного
представления группы ?О2п.
Глава 13 посвящена объектам, которые стали известны как
«вертексные операторы», хотя мы предпочитаем термин «бли-
пы». Они возникли в квантовой теории поля [80];, откуда и про-
происходит их название, и у них нет аналогов в конечномерной тео-
теории представлений. Они обеспечивают очень интересную кон-
конструкцию базисного представления группы LG для группы G
Гл. 9. Теория представлений
197
с простыми связями (ср. разд. 2.5). Вообще они позволяют
лам доказать, что представления групп петель с положительной
энергией допускают проективное действие группы диффеомор-
диффеоморфизмов окружности, согласованное с действиями диффеоморфиз-
диффеоморфизмов на группе петель.
В заключительной четырнадцатой главе обсуждается фор-
формула Каца для характеров и резольвенты Бернштейна — Гель-
фанда — Гельфанда. Наш текст — это не то, что нам бы хоте-
хотелось. В имеющейся литературе изложение этих тем ведется
исключительно в формально-алгебраическом стиле, который, по
нашему мнению, не позволяет передать их простой геометриче-
геометрический смысл и красоту. Однако для того, чтобы проводить рассуж-
рассуждения на языке геометрии, необходим комплексный анализ на ос-
основном однородном пространстве из разд. 8, который все еще не
;развит, хотя мы практически не сомневаемся, что это можно сде-
сделать. В результате мы остановились на компромиссе: описываем
то, что известно, и то, что, по-видимому, верно, и в то же время
приводим стандартное алгебраическое доказательство формулы
для характеров, принадлежащее Кацу. Мы очень мало сказали
о комбинаторных следствиях из формулы для характеров (то-
(тождество Макдональда и т. д.), хотя они в значительной степени
мотивировали современный интерес к группам петель и широко
освещены в литературе.
Заканчивая это введение, мы опишем содержание настоящей
главы. После подготовительной дискуссии в разд. 9.1 мы вво-
вводим фундаментальное понятие представлений положительной
энергии в разд. 9.2. Основные свойства таких представлений и их
классификация с помощью характеров максимального тора при-
приведены в разд. 9.3. Вообще, мы предпочитаем, по возможности,
работать глобальными методами, хотя, конечно, нельзя избе-
избежать использования теории алгебр Ли, и наиболее важное сред-
средство этой теории — это оператор Казимира, описанный в
разд. 9.4. Одновременно мы можем увидеть, приложив очень
небольшие дополнительные усилия, как алгебра Ли группы диф-
диффеоморфизмов окружности (называемая физиками «алгеброй
Вирасоро») автоматически действует в пространстве представ-
представления группы петель положительной энергии. Фактически это
действие можно проинтегрировать до действия самой группы
диффеоморфизмов, но мы докажем это в разд. 13.4 совершенно
иными методами. Глава заканчивается приложением, в котором
описаны классические и широко известные факты о представле-
представлениях конечномерной и бесконечномерной групп Гейзенберга.
На них существенно опирается теория групп петель.
198
Гл. 9. Теория представлений
9.1. Общие замечания о представлениях
Терминология
Представлением топологической группы G мы всегда будем
называть полное локально выпуклое комплексное топологиче-
топологическое векторное пространство Е, на котором G непрерывно дей-
действует С.-линейными отображениями. Непрерывность действия
означает, что сопоставление (g, E) i—>g-l задает непрерывное'
отображение топологических пространств G ~Х.Е-*~Е. В первую»
очередь нас интересуют унитарные представления в гильберто-
гильбертовых пространствах, однако удобно работать в более общей си-
ситуации. Например, естественное действие окружности Т на ок-
окружности S1 поворотами дает представление этой группы Т в.
любом из следующих векторных пространств:
в пространстве гладких функций S1 -*- С,
в пространстве непрерывных функций S1 -*-С,
в любом из банаховых пространств Lp(Sl; С) для 1 ^jo <
< оо,
в пространстве распределений на S1,
но в L°°(Sl; С) представления не возникает.
Мы не хотим рассматривать эти представления группы Т как-
существенно различные, и поэтому по определению называем'
представления Е и Ег группы G существенно эквивалентными,
если существует непрерывное линейное отображение Е-*-Е', ко-
которое инъективно, обладает плотным образом и эквивариантно<
относительно действия G ').
Представление называется неприводимым, если оно не со-
содержит ни одного замкнутого инвариантного подпространства.
Пусть Е — представление группы Ли G; вектор ? е Е назы-
называется гладким, если отображение G-+E, заданное соответст-
соответствием gt—>g-l, является гладким. Гладкие векторы образуют
G-инвариантное подпространство Esm в Е, на котором действует
алгебра Ли группы Ли G. Вообще говоря, нельзя надеяться, что-
все векторы в Е окажутся гладкими, и мы будем называть пред-
представление Е гладким, если Esm плотно в Е.
Иногда мы будем рассматривать двойственное представление
Е* к представлению Е с контрагредиентным действием G: если:
') Понятие существенной эквивалентности следует использовать с осто-
осторожностью. При нашем определении оно не является отношением эквива-
эквивалентности. Еще хуже то, что приводимое представление может оказаться
существенно эквивалентным неприводимому. Например, бесконечная симмет-
симметрическая группа Soo = U Sn действует на пространствах последовательностей
21 н I2 перестановками координат. Включение Z1-»-/2 является существенной
эквивалентностью. Однако I2 неприводимо, в то время как в I1 последова-
последовательности с суммой нуль образуют инвариантное подпространство.
9.1. Общие замечания о представлениях
199
элемент g действует в Е матрицей Т, то он же действует в Е*
матрицей (J')~'» обратной к транспонированной. Мы всегда бу-
будем наделять Е* топологией равномерной сходимости на ком-
компактных подмножествах. Тогда Е* оказывается локально выпук-
выпуклым и полным топологическим векторным пространством, а
(?¦*)* канонически изоморфно Е (см. [19, ch. 4, § 2, п. 3]). Анти-
¦двойственное пространство Е* — это комплексно сопряженное к
Е*, т. е. пространство непрерывных антилинейных отображений
?С
Представления группы Map (X; G)
Хотя эта книга посвящена группам петель, мы сделаем не-
несколько общих вводных замечаний о теории представлений
групп отображений Мар(Х; G), где X— компактное многооб-
многообразие. Если -dim(Z) >> 1, то по существу известно только одно
интересное неприводимое представление этой группы.
Пусть 5= {хи ..., Хр}—конечное подмножество в X. Рас-
Рассматривая значения функций в точках из 5, мы получаем гомо-
гомоморфизм
es: Map(X; G)^GP.
Для набора неприводимых представлений Еи .. ., Ер группы G
мы можем задать неприводимое действие группы Map (X; G) на
пространстве Ех <8> .. . <8> Ер с помощью es. Более общо, так как
группа Map(X;G)— это своего рода произведение семейства
экземпляров группы G, занумерованных точками из X, то можно
ожидать, что неприводимые представления группы Мар(Х; G)
юкажутся «непрерывными тензорными произведениями»
семейств неприводимых представлений группы G. Теория пред-
представлений для Map (X; G) с такой точки зрения была развита в
работах Гельфанда и его соавторов [59], [151]. (Короткий об-
обзор этих работ можно найти в [58].) Здесь мы лишь вскользь
коснемся этого.
Пусть V—представление группы G; тогда F* = Map(X; V) —
представление группы Map (X; G). Конечно, оно в высшей сте-
степени приводимо, ибо отображения X—*V, обращающиеся в нуль
на произвольном замкнутом подмногообразии У в X, образуют
инвариантное подпространство. Заметим, что функторы взятия
симметрической и внешней алгебр линейного пространства
200
Гл. 9. Теория представлений
обладают «экспоненциальным» свойством:
и если представлять себе Vх как «сумму» экземпляров простран-
пространства V, занумерованных точками X, то резонно рассматривать
S(VX) и A(VX) как непрерывные тензорные произведения же-
желаемого типа. К сожалению, эти представления еще более при-
приводимы, чем Vх. Однако в некоторых случаях можно модифици-
модифицировать действие Map (X; G) на этих пространствах так, чтобы
получить неприводимое представление.
Симметрическую алгебру 5 {Е) можно отождествить с коль-
кольцом полиномиальных функций на двойственном к Е простран-
пространстве Е*. В этом свете становится ясно, что линейные преобразо-
преобразования пространства 5 (Е) индуцируются не только линейными,
но и аффинными преобразованиями пространства Е*. Оказывает-
Оказывается, что, комбинируя изначальное линейное действие группы
Мар(Х; G) на Е = Vх с подходящими аффинными сдвигами,
иногда удается найти аффинное действие на Е*, индуцирующее
неприводимое представление группы Мар(Х; G) на S{E). Точ-
Точнее, необходимо предположить, что V — унитарное представле-
представление и выбрать некоторую меру на X; в результате на Е возни-
возникает /Лскалярное произведение. Гильбертово пополнение 5(Е)
симметрической алгебры S(E) —см. далее разд. 9.5 — состоит из
квадратично-суммируемых голоморфных функций на Е* отно-
относительно гауссовой меры, определенной скалярным произведе-
произведением на Е. Мы определим унитарное действие аффинного преоб-
преобразования /(?) = А%, -\- Ь пространства Е* на 3(Е), полагая
Очень важный частный случай этой конструкции возникает,,
когда G — компактная группа Ли, X—компактное многообра-
многообразие, a?' = Q1(X; gc) — пространство гладких 1-форм на X со
значениями в алгебре Ли группы Ли G. Эквивалентно, Е — это
пространство связностей тривиального главного G-расслоения на
X. В этом случае имеется аффинное действие группы М.ар(Х; G)
на Е:
(g, a)^gag-l + dg-g~l. (9.1.1)
Это действие можно перенести на Е*, и индуцированное уни-
унитарное действие группы Map (X; G) на 5 (?), как известно [59],.
оказывается неприводимым для dim(X) ^4. Мы будем назы-
называть его представлением Гельфанда. Похоже, что это единствен-
единственное неприводимое представление группы Мар(Х; G) для ком-
9.1. Общие замечания о представлениях
201
пактной группы Ли G и для dim(Z) > 1, за исключением пред-
представлений, вырожденных в том смысле, что они пропускаются
через отображение ограничения Мар(^; G)->-Map(Y; G) для
некоторого собственного подмножества Y в X.
Естественно искать представления Мар(Х; G), в которых
симметрично участвуют все точки из X. Это свойство можно
сформулировать следующим образом. Пусть qp: X-+X — некото-
некоторый диффеоморфизм; тогда для любого представления Е группы
Map(X;G) можно определить новое представление q>*E, ком-
компонуя старое действие с автоморфизмом группы Map(Z; G), ин-
индуцированным диффеоморфизмом ср. Можно спросить, изоморф-
изоморфно ли представление (р*Е представлению Е для некоторой
транзитивной группы диффеоморфизмов qp многообразия X.
Представление Гельфанда обладает свойством ср*Е^Е для всех
диффеоморфизмов qp, сохраняющих меру. Представления групп
петель, которые мы будем изучать, инвариантны относительно
всех диффеоморфизмов окружности. Для dim (X) > 1 аналогич-
аналогичные представления неизвестны.
В случае группы петель LG представление Гельфанда ока-
оказывается приводимым. Френкель [47] привел следующее очень
интересное эквивалентное описание этого представления, кото-
которое устанавливает его связь с «регулярным представлением»
группы LG.
Пусть PctsG обозначает пространство непрерывных путей [0,
2я] ->- G, начинающихся в единице группы G. Для любого X > 0
на PctsG имеется мера цл, которая называется мерой Винера.
Она характеризуется следующим свойством: отображение вы-
вычисления гг. PctsG—»- G в момент времени t превращает \х\ в меру
на G, плотность которой — это фундаментальное решение урав-
уравнения теплопроводности на G в момент времени Xt. Группа не-
непрерывных петель LctsG действует на PctsG по правилу (у, п) \—>
. гДе (ср. D.3.5))
\ (9.1.2)
Мера ixx квазиинвариантна относительно группы LG, которая,
тем самым, унитарно действует на гильбертовом пространстве
L2(PctsG; ^a.). Орбиты действия LctsG на PctsG соответствуют
классам сопряженности в G: классу сопряженности со соответ-
соответствует множество PctsG путей, которые кончаются в со. Пред-
Представление L2(PctsG; [ij,) разлагается, таким образом, в прямой
интеграл семейства представлений L2(PctsG; цх). Член этого се-
семейства с со = 1 можно назвать регулярным представлением.
Легко видеть, что компоненты L2 (P^tsG; ц\) в свою очередь очень
приводимы.
202
Гл. 9. Теория представлений
Как мы заметили в разд. 4.3, диффеоморфизм между Q'(«S4
g) и PG, который задается неопределенным интегралом, т. е. со-
соответствием 11—> я, где я'я-1 = |, зквивариантен относительно,
аффинного действия (9.1.1) группы LG на Q1^1; fl) и относи-
относительно действия (9.1.2) на PG. Формально мера Винера ця, на
PctsG ЭТО
где
— энергия, пути я. Поэтому формально ix\ соответствует естест-
естественной гауссовой мере на Q1 (S'; д) с вариацией Я. Наблюдение
Френкеля состоит в том, что это утверждение можно сделать точ-
точным, так что представление Гельфанда группы LG на S (Q1 (S1*
дс)) фактически эквивалентно ее действию на L2(PctsG; \ij,).
На этом мы закончим общий обзор и перейдем к замеча-
замечательному классу представлений группы петель, который будем,
изучать в дальнейшем; мы называем этот класс представления-
представлениями с положительной энергией. Критический момент состоит в
том, что однородные пространства PaG ^ LG./Za, упоминавшие-
упоминавшиеся выше, обладают естественной структурой комплексных мно-
многообразий. (Здесь Za — централизатор в G некоторого элемента
из класса <о.) Вместо пространства непрерывных функций на.
этих многообразиях мы можем рассматривать пространства го-
голоморфных сечений различных линейных расслоений, что дает
нам широкий класс неприводимых проективных представлений,
группы LG.
9.2. Условие положительности энергии
Сейчас мы определим класс представлений Е групп петель
LG, который будем изучать в дальнейшем. Прежде всего, эти
представления окажутся симметричными относительно жестких
поворотов окружности, т. е. в обозначениях предыдущего раз-
раздела ф*? ^ Е, если ф — некоторый поворот. Мы наложим более
сильное условие: будем считать, что группа Т поворотов дейст-
действует на Е операторами Re, согласованными с действием группы:
LG в следующем смысле:
e'^U^y, (9.2.1)
где Uy — действие элемента у s LG на Е, a R$y обозначает эле-
элемент у, повернутый на угол 9, т. е. Rev(Q') =тF^ — 6).
9.2. Условие положительности энергии
203
Фактически нам необходимо изучать проективные представ-
представления группы LG, т. е. такие представления, что
UyUr=c(y,
для у, у' s LG, с (у, у') е Сх, или, точнее, представления цен-
центральных расширений LG группы LG с помощью Сх. Как мы
видели в гл. 4, действие Т на LG поднимается (по существу
единственным способом) до действия на LG. Свойство (9.2.1)
наилучшим образом выражается словами: Е является представ-
представлением полупрямого произведения Т X LG. Мы часто будем
сталкиваться с ним, называя его, однако, просто симметричным
представлением группы LG.
Действие окружности Т на топологическом векторном про-
пространстве Е, грубо говоря, эквивалентно Z-градуировке Е. Дей-
Действительно, если E(k) —это замкнутое подпространство в Е, на
котором Re действует умножением на e~ike, то алгебраическая
лрямая сумма
Ё= © E(k) (9.2.2)
Z
образует плотное подпространство в Е, которое мы будем назы-
называть подпространством векторов конечной энергии. Мы будем
говорить, что действие группы Т на Е обладает положительной
энергией, если E(k) = 0 при k < 0, или, эквивалентно, если Rq
представим в виде ехр(—iAQ), где спектр оператора А положи-
положителен. Соответственно будем говорить, что симметричное пред-
представление группы LG обладает положительной энергией, если
положительной энергией обладает ассоциированное действие
труппы Т. (Возможно, было бы лучше понимать под «положи-
«положительностью энергии» условие E(k) = 0 при k < k0 для некоторого
¦k0; это различие несущественно, ибо всегда можно умножить
действие группы Т на Е на характер этой группы.)
Наиболее очевидные симметричные представления групп пе-
петель, например, естественное действие группы LUn на гильбер-
гильбертовом пространстве L2(SU, С"), не являются представлениями с
положительной энергией. С другой стороны, кажется, не извест-
известно явной конструкции неприводимых симметричных представле-
представлений группы петель, которые не обладали бы положительной или
отрицательной энергией. (Комплексно сопряженное к представле-
представлению с положительной энергией является представлением с отри-
отрицательной энергией.)
Условие положительности энергии подразумевает канониче-
каноническую параметризацию окружности. Если ф — диффеоморфизм
204
Гл. 9. Теория представлений
окружности и Е — представление с положительной энергией, то
естественно спросить, обладает ли (р*Е положительной энергией..
Оказывается, это верно, хотя и не вполне очевидно. Действи-
Действительно, как мы увидим далее (разд. 13.4), действие Т на пред-
представлении с положительной энергией всегда канонически продол-
продолжается до проективного действия группы Diff+E1), состоящей
из диффеоморфизмов окружности, сохраняющих ориентацию.
Это представление продолжается даже до действия связной
компоненты единицы группы автоморфизмов группы LG, что
является сильным вариантом того факта, что представления об-
образуют дискретное множество.
Другое технически полезное замечание того же рода, кото-
которое весьма просто доказать, состоит в следующем. Выберем го-
гомоморфизм и-*- Gi X G2 X • • • X Gp, являющийся конечным на-
накрытием, где G\ — тор, а остальные G,- — простые группы. Тогда
LG является конечным накрытием подгруппы конечного индекса
в TLLGi, и на LG имеется действие Тр, согласованное с произ-
произведением действий на сомножителях, которое поворачивает каж-
каждый сомножитель по отдельности. Мы увидим (см. замечание
A1.1.5) (i)), что Тр действует на любом представлении Е груп-
группы LG с положительной энергией и что, следовательно, градуи-
градуированное векторное пространство Е фактически допускает более
тонкую мультиградуировку с помощью Z".
Представление группы петель LG с положительной энергией
по определению является представлением группы Ty^LG. Од-
Однако справедливо
Предложение (9.2.3). Неприводимое унитарное представле-
представление группы Т х LG с положительной энергией является непри-
неприводимым представлением группы LG.
Замечание. Предположение об унитарности фактически из-
излишне, так как в дальнейшем мы увидим, что все представле-
представления с положительной энергией по существу унитарны.
Доказательство. Пусть Е—неприводимое унитарное пред-
представление группы Т х LG. Если оно приводимо относительно
LG, то мы можем найти ограниченный самосопряженный опера-
оператор Т: Е^-Е, коммутирующий с действием LG и не коммути-
коммутирующий с действием Т.
Определим Tq: E^E, полагая
2я
9.2. Условие положительности энергии
205
Оператор Tq является ограниченным и коммутирует с действием
LG; кроме того, T-q = Tq. Он отображает E(k) в E{k-\-q) для
любого k. Так как Т не коммутирует с действием Т, то найдется
Tq =? 0 по крайней мере для одного q < 0. Пусть m — минималь-
минимальное значение энергии, которое встречается в Е, т. е. наименьшее
ш, для которого Е(пг) =/=0. Тогда Tq должен обращаться в нуль
на Е(т). Но Е(т) порождает Е относительно действия LG, ибо
Е неприводимо относительно Т у/ LG и подпространство Е(т)
является Т-инвариантным. Поэтому Tq обращается в нуль на
всем Е — противоречие.
Хотя действие Т на представлении с положительной энергией
предполагается заданным, из леммы Шура следует, что для не-
неприводимого представления группы LG действие Т определяется
действием LG с точностью до умножения на характер группы Т.
Можно описать представления с положительной энергией в тер-
терминах действия LG следующим образом.
Предложение (9.2.4). Представление группы LG является не-
неприводимым представлением с положительной энергией, если и
только если оно порождено гладким циклическим вектором %,
который является собственным для алгебры Ли В~<$с-
Здесь B~qc обозначает подалгебру в Lgc, состоящую из всех
элементов вида J) akz~k Для ак е 9с и ао е К> гДе К ~ П°Д"
алгебра Бореля в дс, соответствующая отрицательным корням.
Вектор | из (9.2.4) обычно называется вектором младшего
веса. Предложение (9.2.4) будет доказано в гл. 11 (ср. A1.2.4)),
а сейчас мы приведем его переформулировку:
Предложение (9.2.4'). Представление Е группы LG неприво-
неприводимо и обладает положительной энергией, если и только если
оно порождается Т-инвариантной прямой, орбита которой под
действием LG в проективном пространстве Р(Е) определяет го-
голоморфное отображение LG/T^ Р(Е).
Имеется интересная связь между понятием энергии в кван-
товомеханическом смысле, которое использовалось в этом раз-
разделе, т. е. как собственного значения инфинитезимального по-
поворота i(d/d&), и классической энергией ё?(у) петли у, опреде-
определенной (ср. (8.9.2)) формулой
2JI
206
Гл. 9. Теория представлений
Предложение (9.2.5). Пусть Эё — неприводимое унитарное
представление группы LG с положительной энергией уровня h.
Пусть Qe5^ — вектор младшего веса и единичной длины. По-
Положим Qy = y-Q для у е LG. Тогда
Другими словами, среднее значение оператора i(d/d&) в состоя-
состоянии Qy равно hg> (у).
Определение термина «уровень» можно найти в разд. 9.3.
Скалярное произведение на д, использованное в определении
JT(y), совпадает со скалярным произведением, которое исполь-
использовалось в определении центрального расширения LG. Заметим,
что (Qy, i(d/dQ)Qy} зависит лишь от образа петли у в LG.
Предложение (9.2.5)—это просто переформулировка пред-
предложения D.9.4). Его частный случай — предложение (8.9.11).
Варианты условия положительности энергии
(i) Замена окружности прямой (ср. разд. 6.9)
Группу AG гладких отображений R->-G с компактным но-
носителем можно рассматривать как подгруппу в LG, отождест-
отождествляя S1 и R U {оо} с помощью стереографической проекции (т. е.
em e S1 •*-*¦ 2tg9/2 e 'R). Естественное определение положи-
положительной энергии для представления Е группы AG состоит в том,
что наряду с действием AG рассматривается согласованное с ним
действие t\—>Tt группы сдвигов на R, причем 7\ = ехр(—it А),
где А ¦— оператор с положительным спектром.
Предложение (9.2.6). Любое представление с положительной
энергией группы LG ограничивается до представления с поло-
положительной энергией группы AG.
Замечание. Нам не известно, верно ли, что всякое представ-
представление с положительной энергией группы AG возникает из пред-
представления с положительной энергией группыLG; впрочем, нам не
известно также ни одного контрпримера (ср. замечание в конце
разд. 10.7).
Доказательство. Группа PSL2(R) автоморфизмов веществен-
вещественной проективной прямой, рассматриваемая как группа диффео-
диффеоморфизмов окружности S1, содержит как группу поворотов Т,
так и группу сдвигов R. Любое представление группы LG с по-
положительной энергией согласовано с действием Diff+(S1) и, в
частности, с действием P5L2(R). (Этот результат только для
9.2. Условие положительности энергии
207
PSL2(}R) гораздо проще — см. замечание A1.1.5)(ii)). Однако
все неприводимые представления группы PSL2(R) с положи-
положительной энергией реализуются как ее действия на пространствах
голоморфных дифференциалов различных степеней на верхней
полуплоскости. Подгруппа сдвигов в PSL2(R), очевидно, дейст-
действует на этих пространствах «положительно». Чуть точнее, мы
увидим, что любое представление с положительной энергией для
LG является суммой неприводимых. Каждое неприводимое пред-
представление, в свою очередь, можно отождествить (см. A1.1.2)) с
подпространством пополнения симметрической алгебры S(N~<?\
с тем же действием PSL2{R). Но сдвиги пространства 'R «поло-
«положительно» действуют на S^N'a^.
(и) Скрученные действия и скрученные группы петель
В разд. 8.6 мы видели, как иногда бывает полезно заменить
естественное действие Т на LG поворотами «скрученным» дей-
действием Т = R/2nqZ, полученным одновременным поворотом и
сопряжением: для аеТ и yeLG мы определим
RaV (9) = ехр (аЛ) у F — а) ехр (— аЛ),
где Лед таково, что ехрBя^Л) = 1. Если А принадлежит фун-
фундаментальной камере в t, что мы будем предполагать, то положи-
положительные и отрицателные собственные подпространства скручен-
скрученного действия Т на Lgc — это Af+gc и N~$c. Понятие положи-
положительной энергии можно определить и относительно скрученного
действия. Однако имеется
Предложение (9.2.7). Представление обладает положитель-
положительной энергией относительно скрученного действия, если и только
если оно является представлением с положительной энергией в
обычном смысле.
Это будет доказано ниже.
Одно из применений предложения (9.2.7) связано со скру-
скрученными группами петель. Мы напомним (см. разд. 3.7), что
если р — автоморфизм G конечного порядка q, то скрученная
группа петель ?<p)G состоит из гладких отображений у: 'R —*~ G,
таких, что y(9 + 2я) = P(yF)). Очевидно, что группа Т =
= 'R/2jft/Z действует на L<p)G, и это позволяет нам определить
представления с положительной энергией. Мы не станем их сей-
сейчас изучать, но отметим, что для внутреннего автоморфизма Р,
для которого L(p)G^Z.G, естественное действие Т на L^G по-
поворотами соответствует скрученному действию на LG. Если р —
208
Гл. 9. Теория представлений
не внутренний автоморфизм, но становится внутренним в боль-
большей (связной) группе G', содержащей G, то, пользуясь предло-
предложением (9.2.7), мы получаем, что представление с положитель-
положительной энергией для группы LG' при ограничении дает представле-
представление с положительной энергией для L($)G.
Нам интересен также один частный случай. Мы часто исполь-
используем вложение LJ в LUn в качестве максимальной абелевой
подгруппы (см. разд. 3.6 и 6.5), которое не согласовано с оче-
очевидным действием Т поворотами. Действие поворотами на Z.T
соответствует действию поворотами на изоморфной группе
Ар)Т", где р — автоморфизм группы Тп, задаваемый цикличе-
циклической перестановкой сомножителей. Так как C является внутрен-
внутренним для Un, мы получаем, что представления с положительной
энергией группы LUn ограничиваются до представлений с поло-
положительной энергией группы LT.
Доказательство (9.2.7). Теорема о полной приводимости для
представлений с положительной энергией применима с тем же
доказательством (см. разд. 11.2) к представлениям с положи-
положительной энергией в скрученном смысле. Поэтому достаточно
рассмотреть неприводимые представления. А для таких пред-
представлений критерий (9.2.4) справедлив в обоих случаях.
9.3. Классификация и основные свойства представлений
с положительной энергией
До конца этой главы мы принимаем соглашение, что «пред-
«представление» означает «гладкое представление с положительной
энергией». Ограничение положительности энергии существенно
для нашего подхода. Требование гладкости, т. е. плотности мно-
множества гладких векторов, является почти наверняка излишним,
так как оно удовлетворяется автоматически, однако мы умеем
доказать это только для LUn с помощью непрямых рассужде-
рассуждений, которые кратко описаны в разд. 11.4.
Теперь мы приведем список наиболее важных свойств пред-
представлений. Доказательства в основном будут приведены в гл. 11.
Теорема (9.3.1). С точностью до существенной эквивалентно-
эквивалентности любое представление группы LG
(i) проективно,
(ii) вполне приводимо, т. е. является дискретеной прямой
суммой неприводимых представлений,
(iii) унитарно,
(iv) продолжается до голоморфного проективного представ-
представления группы LGc,
9.3. Классификация и основные свойства представлений
209
(v) допускает (проективное) действие Diff+(S1), согласован-
согласованное с действиями диффеоморфизмов на LG
Свойства (ii), (iii) и (iv) хорошо известны как свойства пред-
представлений компактных групп, которыми не обладают представ-
представления некомпактной локально компактной группы, такой, как
5Z,2(iR), например. То, что они все же выполняются в нашей
ситуации, в высшей степени замечательно.
Более явно, выражение «с точностью до существенной экви-
эквивалентности» означает следующее: утверждение (ii) состоит в
том, что для любого представления Е имеется такой набор замк-
замкнутых неприводимых подпространств Еа, что естественное ото-
отображение
является инъективным и образ его плотен, (iii) означает, что в
Е найдется плотное инвариантное подпространство, на котором
имеется положительно определенная инвариантная эрмитова
форма; более точная формулировка (iv) утверждает, что Е ка-
канонически располагается между голоморфными представления-
представлениями группы L Gc на антидвойственных пространствах:
В силу (9.3.1) (ii) описание всех представлений с положи-
положительной энергией сводится к классификации неприводимых пред-
представлений. Эти представления параметризуются своими млад-
младшими весами так же, как и представления компактных групп.
Фиксируем центральное расширение LG, и пусть TiX^XTo —
максимальный тор для Т у^ LG. (Здесь Ti — группа поворотов,
Т — максимальный тор в G и То — ядро центрального расшире-
расширения.) Любое представление Е группы Ty?LG можно с точ-
точностью до существенной эквивалентности разложить в сумму
©?<!..*.*>, (9.3.2)
Е(п,к,н) — это часть Е, где TiX^XTo действует характе-
характером (п, X, h) eZXTXZ. Характеры, которые встречаются в
этом разложении, называются весами представления Е. Если Е
неприводимо, то тор То должен действовать умножением на ска-
скаляры (по лемме Шура), и значит, может встретиться лишь одно
значение h. Оно называется уровнем представления. На веса
любого представления, очевидно, действует нормализатор груп-
группы TiX^XTo и, следовательно, аффинная группа Вейля
lFaff = JV(TiX;rXTo)/(TiX:rXTo) (см. разд. 5.1). Мы на-
14 Зак. 230
210
Гл. 9. Теория представлений
помним, что Wan является полупрямым произведением группы
Вейля W для G и решетки Т = Hom(T; T). Из формулы D.9.5)
мы получаем, что элемент % е Т действует на вес (п, X, h) сле-
следующим образом:
1-{п, X, h) = {n+U&) + \h\\lf, *• + №, Л). (9-3.3)
9.3. Классификация и основные свойства представлений
211
где ЩИ2 определено с помощью скалярного произведения, по ко-
которому построено расширение LG, а %* — образ % при отображе-
отображении Г—>-7\ определенном с помощью этого же скалярного про-
произведения.
Разложение (9.3.2) является измельчением разложения от-
относительно действия Ть т. е. разложения по энергиям:
которое обсуждалось в разд. 9.2. Мы докажем
Предложение (9.3.4). Любое неприводимое представление
является представлением конечного типа, т. е. любое Е(п) ко-
конечномерно.
A fortiori любое весовое подпространство ?(П, я,, щ также ко-
конечномерно.
Напомним (см. разд. 5.1), что характеры а группы Ti X Ту
возникающие из разложения присоединенного представления
группы LG, называются корнями этой группы. Мы можем рас-
рассматривать их как характеры группы Ti X T'XTo, тривиальные
на То- Как обычно, мы часто будем представлять себе корни и
веса как линейные формы на алгебре Ли R Ф t©IR группы Ti X
X Т X То- Корень называется положительным или отрицатель-
отрицательным в соответствии со своим значением на фиксированной «ка-
«камере» в алгебре Ли группы Ли Ti X Т. Мы напомним, что корни
а имеют вид (п, а), где п <= Z и а является нулем или корнем
группы G. Для любого корня а= (я, а), для которого а ф 0„
имеется кокорень ha в t®Rc=;R®t© R, a именно
где скалярное произведение то же, что использовалось в опре-
определении центрального расширения LG.
Если G односвязна — ср. замечание (vi) ниже,— то класси-
классификация неприводимых представлений такова:
Теорема (9.3.5). (i) Любое неприводимое представление Е
содержит единственный вектор «младшего веса» X = (я, X, h) r
характеризующийся свойством, что X — а не является весом этого
представления ни для какого положительного корня а.
(и) Младший вес X является антидоминантным, т. е.
k(ha) ^0 для любого положительного двойственного корня ha,
(iii) Классы изоморфизма неприводимых представлений
группы Ty^LG параметризуются в точности множеством анти-
антидоминантных весов.
Замечания, (i) Как уже упоминалось в разд. 2.7, мы рабо-
работаем с антидоминантными весами вместо более традиционных
доминантных весов, так как в наших представлениях имеются
векторы младшего веса, а не старшего веса, как обычно.
(И) Условие, что (я, X, h) антидоминантен, можно явно за-
записать как
(9.3.6)
для любого положительного корня а, где || ||2 определено отно-
относительно скалярного произведения, определяющего расширение
LG. Так как ha порождают t, это показывает, что имеется лишь
конечное число неприводимых представлений для фиксирован-
фиксированного уровня. Отсюда также следует, что единственное представ-
представление с h — 0 тривиально, т. е. что все представления группы LG
являются проективными представлениями положительного
уровня.
(iii) Условие, что (п, X, К) антидоминантен, не содержит п.
Однако неприводимые представления с антидоминантными ве-
весами (п, X, h) и (т,X, h) эквивалентны как представления груп-
группы LG и отличаются умножением на характер Ra]—>ei(m-n)a ок-
окружности поворотов. Поэтому можно ограничиться антидоми-
антидоминантными весами вида @, X, К).
(iv) Если /г>0 и скалярное произведение ( , >положитель-
>положительно определено, то характеры ЯеГ, такие, что @, X, К) — анти-
антидоминантный вес, образуют фундаментальную область для аф-
аффинного действия Waff на Т, при котором % <= Т cz Waff дейст-
действует сдвигом на /i|*. (Это можно вывести теми же рассужде-
рассуждениями, как и в E.1.4) (ii), где доказано, что камера является
фундаментальной областью действия Waff на t.)
(v) Если G — простая группа, то антидоминантные веса мо-
можно описать более явно. Условие (9.3.6) сводится к условию, что
—X принадлежит части симплициального конуса доминантных
весов (в обычном конечномерном смысле, см. разд. 2.7), лежа-
лежащей над гиперплоскостью {ц: <щ ао> =h}, где а0 — старший ко-
корень. Фиксируем также скалярное произведение, как в разд. 4.4.
14*
212
Гл. 9. Теория представлений
9.3. Классификация и основные свойства представлений
213
Тогда, написав
©0 = @, 0, 1),
<»1 = @, —&1, (щ, а0» A </</),
где at — фундаментальные веса группы G (т. е. аа(к,) =6,/),.
легко получить, что антидоминантные веса — это линейные ком-
комбинации юо, . . ., g»z с целыми неотрицательными коэффициента-
коэффициентами. Мы назовем ©о, • ¦ •, ю/ фундаментальными весами груп-
группы LG.
(vi) Требование односвязности группы G в теореме (9.3.5)
не очень существенно. Теорема (9.3.5) и ее доказательство
остаются справедливыми для связной компоненты единицы в LG,
и обычно бывает несложно распространить представления на всю-
группу. В случае LUn представления любого уровня все равно
соответствуют орбитам группы Wait в Т; ср. пример (ii) ниже.
Как мы докажем в предложении (9.5.11), это остается верным
и для случая, когда G является тором.
Примеры, (i) Если
мального тора в виде
= SUn, мы запишем характеры макси-
максигде fa целые и мультииндекс (Яь . . ., Я„) определен с точностью'
до целого кратного мультииндекса A, 1, ..., 1).
Мы получаем, что @; Хи ¦ ¦ ¦, kn, h) — антидоминантный вес,,
если и только если Хг ^ Я2 ^ ... sg Х„ иЯ„ — Ki ^ h. Фундамен-
Фундаментальные веса — это п антидоминантных весов уровня 1:
= @, — щ,
для 0 s^ i < n, где
— ©, = @, ..., 0, 1, ..., 1)
сп — i нулями.
(ii) Если G = Un, мы запишем характеры максимального то-
тора так же, как для SUn, однако без неопределенности в мульти-
индексе Я = (Яь . . ., Хп). Представления уровня k связной ком-
компоненты единицы (LUn)° тоже соответствуют таким весам Я, что
Я] ^ ... ^ Хп и Хп — Xi ^ h. Но теперь стандартное скалярное
произведение задает изоморфизм 7->Г. Из этого следует^ что
представления уровня h параметризуются с помощью (TjhT)jSn,
где Sn — симметрическая группа, или, другими словами, с по-
помощью таких Я, что
В частности, есть лишь одно представление уровня 1.
(ш) Возможно, в этом месте стоит дать явный пример мно-
множества всех весов какого-нибудь неприводимого представления
группы петель. Для представления уровня h веса лежат в ги-
гиперплоскости Z X ?XW в Z X Т XZ. Рассмотрим универсаль-
универсальное расширение для LSU2. Тогда Т = Z и ц е Z соответствует
характеру
diag{M, и} i—>и&.
Фундаментальные антидоминантные веса — это
®о = (О, 0, 1)
«, = @, -1, 1).
Веса представления, соответствующего to0, которое называется
базисным, состоят из всех (т, (л, 1), таких, что \х четно и \а2 *?i
\*
\.
У
\
\ ,
\ ,
\ <
\ ;
\:
\.
•
к
ft
1
V
к
к *
ь t
i <
\
\ ,
\ <
\ •
> 20-|
» 15-
> 10-
i i
> 5-
I i
> 1
\ 1
<
>
-
¦
*
i
i
I
t
» •/
4
' /
) /
, /
/
7
, /
1 /
t /
* /
У
1 ^^
-6 -4
0 2
Рис. 3.
^ 2т. Представление, соответствующее ом, содержит все (т, ц*.
1), такие, что ц нечетно и ц2^2т-|- 1. Кратность веса (т, ц,
1), т. е. размерность подпространства ?(т, ц, о — это число раз-
разбиений для т — fi2/2 в случае базисного представления и для
m — jx2/2 + 1/2 в случае ом.
Обоснование этих утверждений появится позже, когда мы
явно построим эти представления. Эти примеры типичны в сле-
следующем смысле: во всех случаях орбита вектора младшего ве-
¦214
Гл. 9. Теория представлений
9.3. Классификация и основные свойства представлений
21S
са X под действием аффинной группы Вейля состоит из точек
решетки fx = (m, \x, h) на параболоиде
|Ш|2 (9-3.7)
в гиперплоскости Z X ?Х {h}, а оставшиеся веса лежат внутри
параболоида, т. е. удовлетворяют условию
(9.3.8)
(Скалярное произведение в (9.3.7) и (9.3.8) индуцировано ска-
скалярным произведением из разд. 4.9.) Доказательство неравен-
неравенства (9.3.8) очень просто. Можно считать, что \а—антидоми-
\а—антидоминантный вес, как и X, так как его можно сделать таким, дей-
действуя группой Вейля, которая не меняет ||(л||2. Но тогда
ибо fx + X — антидоминантный вес,
жительных корней (ср. A1.1.1)).
Базисное представление
a fx — к равно сумме поло-
полоЕсли скалярное произведение на $, задающее расширение
LG, положительно полуопределено, то вес ©о = @, 0, 1) являет-
является антидоминантным. Соответствующее неприводимое представ-
представление называется базисным представлением группы LG. Это на-
название реально подтверждается только в случае групп с про-
простыми связями, для которых имеется
Предложение (9.3.9). Пусть G — односвязная группа с про-
простыми связями, a LG — универсальное центральное расширение
группы LG, описанное в разд. 4.4. Пусть Е— базисное представ-
представление для LG. Тогда
(i) неприводимые представления группы EG уровня один
совпадают с сопряженными а*Е к представлению Е внешними
автоморфизмами а группы LG;
(ii) любое неприводимое представление группы LG встре-
встречается в разложении на неприводимые компоненты некоторого
представления вида i*E, где i: LG -> LG — некоторый автомор-
автоморфизм.
Замечания, (i) Мы напомним, что кроме автоморфизмов са-
самой группы G, которые тривиально действуют на ©о и, значит,
на Е, внешние автоморфизмы группы LG соответствуют элемен-
элементам центра Z группы G (см. разд. 3.4). Для любого ^feZ имеет-
имеется автоморфизм ag группы LG, полученный «сопряжением» с по-
помощью пути в G из единицы в g.
(ii) Более точный вариант второго утверждения: любое не-
неприводимое представление уровня h является прямым слагае-
слагаемым в i*hF, где F — представление уровня 1, а 4: LG^-LG ин-
индуцировано произвольным отображением S1—>~Sl степени п.
Доказательство (9.3.9). (i) Неприводимые представления
уровня 1 соответствуют (по замечанию (iv) после теоремы
(9.3.5)) орбитам группы Wait в решетке Т относительно дейст-
действия, при котором подгруппа сдвигов Т в Wzti действует на Т в
силу вложения Т—>Т, которое задается каноническим скаляр-
скалярным произведением. Образ подгруппы Т в Т — это решетка кор-
корней, и потому Т/Т можно отождествить с пространством 2, двой-
двойственным к центру G (см. разд. 2.4). Группа W тривиально дей-
действует на Т/Т, и потому представления параметризуются с
помощью Z. Далее, Z содержится в центре группы LG и, следо-
следовательно, действует характером на любом неприводимом пред-
представлении этой группы. Мы показали, что неприводимое пред-
представление уровня единица, на котором Z действует заданным
характером, существует и единственно. Тот факт, что внешние
автоморфизмы группы LG транзитивно действуют на характе-
характерах группы Z, был доказан в D.6.5).
(ii) Рассмотрим вложение zV LGc —*¦ LGc, индуцированное
отображением z*-^zh окружности S1. Алгебра Ли подгруппы
ih{N ), где N =N~Gc, порождена корневыми векторами в
JLgc, которые соответствуют отрицательным корням (л, а) с я,
делящимся на h. Для каждой петли т), принадлежащей решетке
Т в LGc, имеется операция сопряжения с помощью г\
сч: LGc—*¦ LGc.
Если же рассматривать Т как подгруппу в Т, как раньше, то мы
можем считать элементы из Т путями в Г из единицы в точки
из Z и определить таким способом автоморфизм с^ для всех ц е
е Т. Этот автоморфизм переводит корневой вектор, соответ-
соответствующий корню (л, а), в корневой вектор, соответствующий
корню (п + <а, т]>, а), и, следовательно, отображает ih(N~) в.
L~Gc, если
> (9.3.10)
для всех положительных корней а группы G. Если т) удовлетво-
удовлетворяет этому условию, то все еще может оказаться, что с^ (ik(N-))
не лежит в N-, но так как N- нильпотентна, мы можем выбрать,
элемент шп из конечной группы Вейля W, такой, что
cw cnik (N~) cz N~.
:216
Гл. 9. Теория представлений
9.4. Оператор Казимира
217'
Вектор младшего веса для базисного представления Е будет
также вектором младшего веса и для i\c\f*w Е. Его вес в послед-
последнем представлении равен (A/2)/i||t]||2, r\, h). Для любого пред-
представления уровня h младший вес имеет такой вид при некото-
некотором г), удовлетворяющем условию (9.3.10), — действие поворотов
окружности 51 не существенно — и это заканчивает доказатель-
доказательство.
Выпишем явно результат первой части изложенного доказа-
доказательства.
Предложение (9.3.11). Если G— односвязная группа с про-
простыми связями, то представления уровня 1 группы EG пол-
полностью характеризуются действием центра Z группы G, которое
может задаваться произвольным характером.
Мы напомним (см. разд. 4.4), что G и, следовательно, Z яв-
являются подгруппами в EG.
9.4. Оператор Казимира и инфииитезимальное действие
группы диффеоморфизмов
В теории конечномерных полупростых алгебр Ли важную
роль играет оператор Казимира. Он строится по алгебре дс с не-
невырожденной инвариантной С-билинейной формой < , >. Если
V — векторное пространство, на котором действует Зс, то опера-
оператор Казимира на V — это эндоморфизм Д пространства V, опре-
определяемый формулой
"" (9.4.1)
где {е\ — базис в дс, а \е*Х — двойственный базис относительно
( , ), т. е. (e*jy еЛ = 6jk. Легко проверить, что А не зависит от
выбора базиса {е;}. Основное свойство оператора Д состоит в
том, что он коммутирует с действием элементов алгебры Ли д.
Это непосредственно следует из инвариантности < , >: если
leg и
[I, в/] = S xjkek,
то
[I, е)\ = - ? xkie\,
откуда вытекает, что [|, Д] = 0.
Из этого в свою очередь следует, что А действует умноже-
умножением на скаляр в любом неприводимом представлении V алгеб-
алгебры Ли д. Напомним, что справедливо
Предложение (9.4.2). Пусть V — неприводимое представле-
представление алгебры Ли g с младшим весом X е t*; тогда
на V, где р — это полусумма положительных корней алгебры Ли-
д, а норма на X* индуцирована скалярным произведением на д..
Доказательство. Пусть еа — стандартный корневой вектор в;
дс, соответствующий корню а. Выберем в качестве базиса в дс
векторы еа и ортонормированный базис {п,} в tc. Тогда е" ==-
= kae_a, где k (е еУ~1 2/||/i||2 Т [ ]
= iha, то
ррр {,} в c Тгда е
= kae_a, где ka =(еа, е_аУ~1 = 2/||/ia||2. Так как [еа, е-а] =
е-аеа) = еае_а — -^
- U h
a>0
Aa IP-
a>0
Применяя Д к вектору младшего веса | в V, который удовлетво-
удовлетворяет равенствам <?_а| = 0 и h% = ik(h)l, мы получаем
а>0
Когда мы отождествляем t с t* с помощью скалярного произве-
произведения, оказывается, что 2ha/\\ha\\2 соответствует а, и потому
а>0
В случае групп петель на алгебре Ли L$c имеется инва-
инвариантная билинейная форма — ср. разд. 4.9. С другой стороны,
выражение (9.4.1) становится бесконечной суммой и поэтому
может не иметь смысла. Зафиксировав невырожденное инва-
инвариантное скалярное произведение ( , ) на д, выберем ортонор-
ортонормированный базис {еа} для g и будем писать е? вместо eazn в
L%c. Двойственным к е^ является е~п. Если теперь на векторном
пространстве V действует центральное расширение Lgc, опре-
218
Гл. 9. Теория представлений
деленное с помощью < , >, то для операторов на V имеем
W + К"
Т 2 (еПае
где N — размерность д, а / — образующая центрального расши-
расширения. Если V обладает положительной энергией, то оператор
До— ? e«er-lZKJ <9-4-3)
a; n>0 a
корректно определен по крайней мере на подпространстве 9, со-
состоящем из векторов конечной энергии в V, ибо любой вектор
конечной энергии аннулируется оператором е^е~п для почти
всех га. Таким образом, До отличается от формального оператора
Казимира «вычитанием бесконечной константы» (//2) N 2_, п —
л >0
идея, знакомая из квантовой теории поля. С другой стороны, До
не коммутирует с элементами из Zgc.
Вычислим коммутатор [\zm, До] для некоторого % е дс. На-
Напишем
где х<хь — кососимметрическая матрица. Тогда
если т
1 ~ I
лп+т — лпу
Хпл.т — Х„ ?л
, если т = ± я,
(9.4.4)
где
Отсюда
, До] = { i-
Однако для 0 ^ k ^ m имеем
= Z[B, ea],
9.4. Оператор Казимира
219
где Дд: gc-»-gc —оператор Казимира алгебры Ли дс, действую-
действующий в присоединенном представлении. Итак,
[&z"\ \]^mm-\l)^. (9.4.5)
В этом месте теория становится несколько проще, если ал-
алгебра Ли g простая. Тогда Д действует на дс умножением на
скаляр с, и мы получаем
[lzm, A0] = (/ + /c)-^-
(9.4.6)
Это делает естественным
Определение (9.4.7). Для простой алгебры Ли q определим.
оператор Казимира Д на Lgc, полагая
где До определен формулой (9.4.3).
Здесь d/dQ рассматривается как элемент алгебры Ли группы
Т х LG и, следовательно, действует на любом представлении с
положительной энергией. Кроме нормального упорядочения, вхо-
входящего в определение До, выражение для Д отличается от наив-
наивного оператора Казимира, ассоциированного с инвариантным
скалярным произведением D.9.3) на алгебре Ли группы Ли
Ty^LG, добавлением члена ic {d/йЩ.
Если g не проста, то g = %х Ф ... Ф д*:, где gi абелева, а осталь-
остальные д< просты. Мы знаем, что на LG есть действие группы ТР,
поворачивающее каждый сомножитель в отдельности. Пусть со-
соответствующие элементы алгебры Ли группы Tk X LG обозна-
обозначаются д/двч, ..., д/ддк, и пусть с,- — это скаляры, которыми
действует Дд на дл с. (В частности, сх = 0.)
Определение (9.4.8). Оператор Казимира для Lgc —это
0+Е(
Этот оператор корректно определен для любого представле-
представления с положительной энергией и коммутирует с действием "Z,gc.
Мы будем использовать оператор Казимира для доказатель-
доказательства унитарности и полной приводимости представлений групп
220
Гл. 9. Теория представлений
петель, а также для алгебраического доказательства формулы
Каца для характера. Аналогично (9.4.2) справедливо
Предложение (9.4.9). Пусть V — циклическое представление
группы Lqc, порожденное вектором младшего веса, и пусть оно
допускает согласованное действие "IP, как и выше. Тогда опера-
оператор Казимира действует на V умножением на скаляр
с* = 4"И*• II2~<я- р>-?<Л +с/)я/.
где младший вес как линейная функция на R*XtX"R равен
Х= ({га,}, Я, h).
Предыдущую формулу легче всего понять, когда g проста.
Если мы напишем Х= (п, Я, К) и р= @, р, —с), то (9.4.9) пре-
превратится в
c, = ±{\\k-pt-\\p\\2} (9.4.10)
в полной аналогии с конечномерным случаем. Фактически фор-
формула (9.4.10) имеет смысл и верна также в общей ситуации,
если рассматривать V как представление алгебры !К*Ф?д, где
?д— универсальное центральное расширение группы Lg с по-
помощью R*, описанное в разд. 4.2. Тогда Х= ({fy}, X, {/i/}) с
hi = ... — hk = h и р = @, р, {—Cj}) лежат в двойственном
пространстве к \Rk Ф t Ф Rk со скалярным произведением
(9.4.11)
где Д9 — оператор Казимира алгебры Ли д. Нам нужно вычис-
вычислить Д?, где | — вектор младшего веса для V. Но X e2ea"" анну-
аннулирует |, и действие Д9 на | задается формулой (9.4.2). Нако-
Наконец, II = ihl и д|/д&/ = ш/|.
Инфинитезимальное действие Diff E1)
Имея в своем распоряжении оператор Казимира, мы можем
очень легко показать, что алгебра Ли Vect(S!) группы диффео-
диффеоморфизмов окружности действует на любом представлении Е
с положительной энергией группы петель LG. В последующем
обсуждении мы будем считать, что алгебра Ли g проста. Если
<({»/}. я> (я/». (К).Л'>
Доказательство (9.4.9). Мы имеем
Д=Д9- Z ^r+Z
9.4. Оператор Казимира
221
это не так, мы разложим ее в сумму gi Ф ... ф д_, как раньше,
и получим р различных коммутирующих действий VectE!) на
Е, соответствующих естественному действию DiffE')p на LG,
которое независимо действует на сомножители. Мы можем так-
также ограничиться представлениями Е фиксированного уровня
Л>0
В комплексификации алгебры Ли векторных полей имеется
базис, состоящий из элементов einB(d/dQ) для neZ. Мы дол-
должны показать, что для любого п имеется оператор Ln: Е^Е
с плотной областью определения, такой, что
[Ln, l] = l(n), (9.4.12)
где ?<=Z,gc и |(л) = е1пд • dl/dQ. Фактически Ln будет определен
на пространстве гладких векторов с конечной энергией в Е. Если
п -Ф 0, мы полагаем (в наших предыдущих обозначениях)
1
п 2
Этот оператор корректно определен на векторах с конечной
энергией, ибо для любого k имеем
д = L У ря-kpk L V
an,k 2 Zj ea ea ~ 2 Zj
и поэтому Д„, k аннулирует векторы энергии т, если т не удо-
удовлетворяет условию —т ^ k ^ т + га.
Вычисление, аналогичное (9.4.5), дает
[Д„, е*] = k (h + с) е*+/\ (9.4.13)
как и для п = 0. Операторы Ln, определенные формулой
, i .
L" ~ А + с а«'
нужным образом коммутируют с е*. Из (9.4.13) легко вывести,
что
при л + т=7^=0 в соответствии с коммутационным соотношением
[fine "¦ plmQ " 1 / z^, и\ pltm+n) 9 °
de ' e dQ]~ll<m п)е dQ
для векторных полей. Сложнее вычислить коммутатор [Ln, L-n].
Вот результат:
\Ln, L_n] = - 2inL0
c)
n(n2-l). (9.4.14)
222
Гл. 9. Теория представлений
Наличие скаляра в правой части этого уравнения показывает,
что алгебра Ли Vect^1) проективно действует на пространстве
представления. Вид равенства (9.4.14) не очень нас удивляет.
В предложении D.2.11) мы видели, что общего вида централь-
центральное расширение алгебры VectE') с помощью R определяется
соотношением
[Ln, L_n] = -2mL0 + Я/г (я2 - 1)
для некоторого leR.
Тот факт, что векторные поля на окружности действуют
проективным образом на представлениях групп петель, служит
веским указанием на то, что на этих представлениях имеется
действие группы Diff+E1). Мы исследуем этот вопрос в разд. 13.4
другим методом. (Гудман и Уоллех [64] экспоненцируют ин-
финитезимальное действие.)
9.5. Группы Гейзенберга и их стандартные представления
Пусть V — это вещественное топологическое векторное про-
пространство с кососимметрической билинейной формой 5: V X
X V-HR. Предположим, что 5 непрерывна и невырожденна,.
т. е. для любого вектора |eV найдется вектор т] е V, такой,,
что 5A, л) ~Ф 0- Группа Гейзенберга 9— это центральное рас-
расширение пространства V с помощью окружности, определенное
формой 5. Другими словами:
Определение (9.5.1). Группой Гейзенберга 9, ассоциирован-
ассоциированной с парой V, S, называется множество FXT с законом умно-
умножения
(о, X)-(v', X') = (v + v', AXVs<°-°'>).
Мы будем рассматривать V и Т как подмножества FX 1 и
ОХТ в R Центр 9 — это Т. Есть очевидная комплексификация
Vc, которая получается расширением Vc с помощью С .
Цель этого раздела — описать стандартное неприводимое
унитарное представление группы 9. Его конструкция зависит от
выбора комплексной структуры /: V-*-V (т. е. оператора, та-
такого, что Я = — 1), которая совместима с 5 и положительна, т. е.
(i) S(Jv, Jv') =S(v, v') для всех v, t>'<= V,
(ii) S{Jv, v) > О для любого ненулевого вектора v <= V.
Пользуясь /, мы можем написать Vc = Л © А, где А и А — соб-
собственные подпространства оператора _/, отвечающие собствен-
собственным значениям i и —?. Как А, так и А изотропны относительна
5. Обратно, разложение Vc = А® А на комплексно сопряжен-
9.5. Группы Гейзенберга и их стандартные представления
223
ные изотропные подпространства определяет подходящий опе-
оператор /, если эрмитова форма < , > на А, определенная соотно-
соотношением
, r,),
(9.5.2)
положительно определена.
Стандартное представление группы Гейзенберга 9, связан-
связанное с /, реализуется в гильбертовом пространстве S(A), полу-
полученном пополнением симметрической алгебры S(A) относитель-
относительно скалярного произведения (9.5.2), которое распространяется
с Л на S(A) по формуле
{аха2
ап, а[а'2
4) (а2, а^) .. . (ап, а^),
(9.5.3)
где суммирование идет по всем перестановкам {t'i, ..., /„} мно-
множества {1, ..., п). Чтобы описать представление, мы опишем
сначала действие комплексифицированной группы Ус на про-
пространстве Но1(Л) голоморфных функций на А. (Но1(Л) снаб-
снабжено топологией равномерной сходимости на компактных мно-
множествах.) Симметрическую алгебру 5(Л) можно рассматривать
как подалгебру в Hoi (Л), отождествляя а е А с голоморфной
функцией xt—>(x, a> на Л.
Векторные_ пространства Л и Л можно рассматривать как
подгруппы в Vc, отождествляя а с (а, 1) и а" с (а, 1). Они поро-
порождают Vc и удовлетворяют соотношению
а это_ позволяет нам_ определить представление группы Vc на
Но1(Л), считая, что Л действует сдвигами, т. е.
(a1-f)(a2) = f(a2 — a1), (9.5.4а)
а А — умножением на функцию, т. е.
(а, ¦ f) (а2) = е<*>. *->f (a2), (9.5.4b)
Действие Vc на НоЦА) определено гладким отображением
Vc X Но1_(Л) —> Hoi (Л); поэтому имеется действие алгебры Ли
группы Vc, которое после взятия экспоненты приводит к форму-
формулам (9.5.4). Мы будем записывать элементы группы в виде
«хр ia(v), где oeFcc Vc. Операторы
<ф): Hoi (A) -> Hoi (Л)
224
Гл. 9. Теория представлений
удовлетворяют коммутационным соотношениям
b v2).
(9.5.5)
Сейчас мы покажем, что действие Ус на Но1(Л) индуцирует
унитарное представление группы V на гильбертовом простран-
пространстве S(A), полученном пополнением алгебры 5(Л)._Мы начнем
с того, что для любого |еЛ функция е&еНо1(Л) лежит в
5(Л); легко проверить, что
Легко сосчитать, что действие v e V сг V переводит е% в элемент
¦и . е* = е~ш- °>/2-<а- 1>е1+а (9.5.6)
из 5(Л), где у = а + а для аеА Мы видим, что
{v -e*, v ¦ е*) = (е\ е%
Из следующей леммы вытекает, что V унитарно действует на
подпространстве 5 (Л) в Но1(Л).
Лемма (9.5.7). Пусть Е— комплексное векторное простран-
пространство с базисом 8|, взаимно однозначно соответствующим элемен-
элементам |еЛ. Определим эрмитово скалярное произведение на Е,
полагая
Тогда это скалярное произведение положительно определено и
пополнение Е относительно соответствующей нормы канониче-
канонически изоморфно S (Л).
Доказательство. Отобразим Е в 5(Л), полагая е^'—*е$. Это
отображение сохраняет скалярное произведение, и осталось по-
показать только, что элементы е^ порождают плотное подпростран-
подпространство в 5(Л). Пусть F — замыкание порожденного ими подпро-
подпространства. Последовательно дифференцируя е*$ (для f &R) по
t и полагая t = О, мы получим, что |" е F для всех п. Но и
gi?2 ••¦inef для всех |ь ... , |„ е Л, ибо
ЛЛп-\а\
О'"
где а пробегает все подмножества в {1, 2, ..., л}, а \а\ обозна-
обозначает число элементов в а. Поэтому F совпадает с S(A),
Замечание. Гильбертово пространство_5(Л) —это в сущности
пространство голоморфных функций на А, которые квадратично
интегрируемы относительно естественной гауссовой меры, опре-
9.5. Группы Гейзеиберга и их стандартные представления
225
деляемой по норме на Л .Трудность, связанная с этим описанием,
состоит в том, что если А не конечномерно, то гауссова мера со-
сосредоточена только на расширении пространства Л. Ср. [60,
разд. IV: 3] и [98].
Лемма (9.5.7) показывает, что V унитарно действует на
5(Л), так как мы можем определить действие V на векторном
пространстве Е, полагая
v . е6 = e-w. «>/2-<а. 1>8|+а
для v = а + а (ср. (9.5.6)), которое сохраняет скалярное про-
произведение.
Инфинитезимальные образующие a (v) действия V не сохра-
сохраняют подпространство S(A) в Но1(Л). Их можно, впрочем, рас-
рассматривать как неограниченные самосопряженные операторы с
плотной областью определения в 5(Л).
Предложение (9.5.8). Унитарное представление группы Гей-
зенберга 9наЗ(А) неприводимо.
Доказательство. Можно считать, что V сепарабельно. Более
того, можно также полагать, что Л полно относительно формы
< , >. В этом случае можно считать, что V — это пространство
вещественнозначных ?2-функций на окружности с нулевым сред-
средним и что Л порождено zk при k > 0. Тогда группа Т поворотов
окружности действует автоморфизмами на и и согласованным
образом действует на 5(Л), которое является представлением
группы V с положительной энергией в смысле разд. 9.2. В этой
ситуации мы знаем из предложения (9.2.3), что любое разложе-
разложение 5(Л) =P©Q, инвариантное относительно V, инвариантно
относительно поворотов, т. е 5(Л) (k) =P(k) ф Q(k). Тогда еди-
единичный элемент 1 е§(Л), который является с точностью до ска-
скалярного множителя единственным элементом энергии нуль, дол-
должен лежать либо в Р, либо в Q. С другой стороны, элемент 1
является циклическим вектором относительно действия 9 на
5(Л), потому что — как видно из (9.5.6)—групповой элемент
v = а + а переводит 1 в кратное вектора еа, а векторы еа поро-
порождают 5(Л). Поэтому нетривиальное разложение невозможно и
представление неприводимо.
Если векторное пространство V конечномерно, то представ-
представления группы V, соответствующие различным положительным
комплексным структурам /, эквивалентны. В этом случае сим-
плектическая группа Sp(V)—группа всех автоморфизмов про-
пространства V, сохраняющих кососимметрическую форму, — проек-
тивно действует на 5(Л) согласовано с ее действием на V. По-
15 Зак. 230
226
Гл. 9. Теория представлений
лучающееся проективное представление Sp(V) называется мета-
плектическим представлением. Если V не конечномерно, имеется
следующий результат, принадлежащий Шейлу [136].
Предложение (9.5.9). (i) Представления группы Гейзенберга
V, которые соответствуют двум комплексным структурам /0 и /i
на V, эквивалентны, если и только если Jx — /0 — оператор Гиль-
Гильберта — Шмидта.
(И) Для заданной комплексной структуры J на V подгруппа
Spves(V) в Sp(V), состоящая из автоморфизмов Т, таких, что
[Т, J]—оператор Гильберта—Шмидта, проективно действует
на гильбертовом пространстве S(A), соответствующем J, согла-
согласованно с действием V.
Мы не будем здесь этого доказывать, потому что симплекти-
ческая теория в точности аналогична соответствующей теории
спинорного представления, которое будет детально рассматри-
рассматриваться в гл. 12, и даже проще нее. Доказательство в духе этой
книги есть в [131]; в литературе можно встретить много других.
Ср. [136], [150].
Отметим, впрочем, что часть «только если» утверждения (i)
доказывается очень легко. Пусть /0 и /i соответствуют разложе-
разложениям
мы_можем считать А\ графиком симметрического оператора
а: А0—>А0. Если 5(Л0) и S(.<4i) эквивалентны, то в 5(Л0) най-
найдется вектор, инвариантный относительно действия подгруппы
Ai в Vc- Простое вычисление показывает, что единственным
возможным кандидатом на эту роль может быть вектор еа/2, где
а. — элемент из 52(Л0). Но а лежит в S2(A0), только если он за-
задается оператором Гильберта — Шмидта, и потому J\— /о —
также оператор Гильберта — Шмидта.
Группы Гейзенберга, появляющиеся в этой книге, возникают
при центральных расширениях группы петель торов. Если Т —
тор с алгеброй Ли t, мы можем написать LT ^ Т X Т X V, где
Т = Нот(Т; Т), Т — подгруппа постоянных петель, а V—век-
V—векторное пространство отображений /: S1—*-t с нулевым средним,
которое рассматривается как подгруппа в LT относительно экс-
экспоненциального отображения. Расширения LT, которые нас инте-
интересуют, обладают следующим свойством: связная компонента
единицы (LTH канонически изоморфна произведению TX.V, где
Р— это группа Гейзенберга, связанная с некоторой кососимме-
9.5. Группы Гейзенберга и нх стандартные представления 227
трической формой 5 на V. Имеется гомоморфизм
s:f-*f,
связанный с LT: он определен тем фактом, что действие |ef
сопряжением на центре Г XT группы (ЕТ)° всегда имеет вид
В наших примерах гомоморфизм $ индуцирован скалярным про-
произведением на алгебре Ли t и, следовательно, инъективен.
Остановимся на классификации неприводимых представлений
группы LT с положительной энергией. Имеется каноническое
разложение Vc = А ф А на пространства с положительной и от-
отрицательной энергией относительно действия Т поворотами, и
эрмитова форма (9.5.2) на А положительно определена. По-
Поэтому S(A)—представление группы V с положительной энер-
энергией. Основное утверждение, необходимое для классификации,
состоит в следующем.
Предложение (9.5.10). 3(А)—единственное неприводимое
унитарное представление группы V с положительной энергией,
точное на центре. Более общо, для любого h z> 0 единственное
неприводимое унитарное представление группы V уровня h с по-
положительной энергией — это каноническое представление (так-
(также на S(А)) группы Гейзенберга, построенной по кососимметри-
ческой форме hS на V.
Отложив ненадолго доказательство этого предложения, пе-
перейдем к классификации. Все неприводимые представления связ-
связной компоненты единицы (LT)°^? TY^V соответствуют парам (Я,
А), где lef—характер, которым действует Т, a h >0 — уро-
уровень представления группы 9. Для любого такого представле-
представления 36%, п группы (?Т)° имеется соответствующее индуцированное
представление группы LT. Сопряжение с помощью ?ef пере-
переводит 36%, н в 36%+h-S{\), h, поэтому ограничение на (ЕТ)° пред-
представления 36\%\, h группы LT, индуцированного из 36%, н, равно
© 36%+h-s{\), ft-
Отсюда следует, что если h > 0 и гомоморфизм s'.f-*f инъ-
инъективен, то представление 36\%\, н неприводимо, и любое пред-
представление положительного уровня должно иметь такой вид.
Итак, мы доказали
Предложение (9.5.11). Если гомоморфизм s:f—*-f, ассоции-
ассоциированный с расширением LT, инъективен, то все неприводимые
15*
228
Гл. 9. Теория представлений
унитарные представления группы LT положительной энергии —
это уже построенные представления Жщ, ь.- Такие представления
уровня h соответствуют элементам из T/h • Т.
Это означает, что такие представления соответствуют орби-
орбитам действия группы Waff = f на двойственном к максималь-
максимальному тору группы LT пространстве.
Вернемся теперь к (9.5.10). Это предложение доказывается
переходом к действию алгебры Ли группы 9. Если Ж— произ-
произвольное унитарное представление группы V, то для любого v e
е V существует неограниченный самосопряженный оператор
а (у) с плотной областью определения в Ж, такой, что ое^с
сг V действует на Ж оператором expia(y). Мы определим а (у)
для оеУс по комплексной линейности.
Предложение (9.5.12). Если Ж— представление с положи-
положительной энергией и у принадлежит множеству векторов конеч-
конечной энергии Vc в Vc, то область определения <x(v) содержит Ж.
Кроме того, а (р) ¦ Ж сг Ж и соотношения
[(фО, <ф2)] = — 2/5 (у 1; v2)
справедливы на Ж для уь у2 ^ Vc-
Доказательство. Мы можем предполагать, что центр группы
V точно действует на Ж.
Пусть v <= V = V П Vc- Положим v = а + а для а ^ А. То-
Тогда v лежит в трехмерной группе Гейзенберга Г, порожденной у,
и Jv = i(a — а). Мы можем считать, что а обладает определен-
определенной энергией, т. е. является собственным вектором для Т. Тогда
Г инвариантна относительно поворотов. Мы предполагаем из-
известным, что Г имеет единственное точное представление, кото-
которое можно реализовать в пополнении полиномиальной алгебры
С [а]. Это означает, что<?# = С [а]" <§)Х,где Ж — гильбертово
пространство, на котором Г действует тривиально и на котором
действует также группа поворотов. Очевидно, что
Ж = С [a] <g> Ж.
Но а (о) действует на С [а]" как —ia + id/da, и, значит, o6j
ласть определения а (у) содержит С [а] <8> Ж, т. е. содержит Ж.
Очевидно также, что а (у) сохраняет Ж.
Доказательство коммутационных соотношений теперь элемен-
элементарно, ибо достаточно рассмотреть три случая: (i) Уэ = v\,
(и) у2 = /у1 и (in) S(vu y2) =S(/ui, u2) =0.
9.5. Группы Гейзенберга и их стандартные представления
229
Доказательство (9.5.10). Мы рассмотрим лишь случай, когда
центр действует точно: общий случай по существу совпадает с
этим.
Пусть Ж — неприводимое представление с положительной
энергией, и пусть Q — единичный вектор минимальной энергии
в Ж. Определим отображение
F:
полагая
0,02 ... ak »-» а (а,)а (ajj) ... a (ak) Q.
Легко проверить, что F сохраняет скалярные произведения: на-
например,
(a (ax) Q, a (a,) Q) = (Q, a (a,)* a (oj) Q) =
= <Q, a(a1)a(a2)Q) =
= <Q, [a (a,), a(a2)]Q> =
= -2/5 (a,, aa) =<а„ а2).
(9.5.13)
(Здесь, получая (9.5.13), мы использовали, что a(ai)Q = 0, так
как a(ai) понижает энергию.) Отсюда следует, что F продол-
продолжается до изометрического изоморфизма между S(A) и замкну-
замкнутым подпространством в Ж. Легко также проверить, что F со-
согласовано с действием а (о) для любого у е V, и, значит, 3(А)
¦отождествляется с подпредставлением в Ж. Так как Ж неприво-
димо, это завершает доказательство.
Теперь мы знаем все неприводимые представления группы
LT с положительной энергией и можем сформулировать
Предложение (9.5.14). Любое представление группы LT с по-
положительной энергией допускает проективное согласованное дей-
действие Diff+E1).
Доказательство. Достаточно показать, что Diff+(S1) дейст-
действует на представление S(A) группы (?7)°. Действие Diff+E1)
на (LTH индуцирует действие на V = (LT)°/T, и по предложе-
предложению F.8.2) мы знаем, что Diff+E') czSpves(V). Поэтому
Diff+E1) проективно действует на S(A) с помощью метаплекти-
ческого представления из предложения (9.5.9).
В разд. 13.4 мы используем предложение (9.5.14), чтобы
установить соответствующий результат для произвольной груп-
группы петель.
В заключение этого раздела сформулируем следующий ре-
результат, который понадобится нам в гл. 13.
230
Гл. 9. Теория представлений
Предложение (9.5.15). Пусть Ж— представление группы LT
с положительной энергией; тогда векторы конечной энергии в Ж
являются гладкими. (То есть если %^.Ж, то 71—*¦?•! — гладкое-
отображение ЕТ-+Ж.)
Доказательство. Как обычно, достаточно показать, что век-
векторы конечной энергии в S(A) гладкие относительно действия
V. Но 1 е5(Л) является гладким вектором, так как есть явная:
формула
v ¦ 1 = е~ш- а>12еа
для v = а -\- а. Любой иной вектор конечной энергии является;
линейной комбинацией векторов вида
afajafoa) ••• a (a*) • 1»
где ai еЛ, и является гладким, ибо
о -a(a) • v-1 = a (a) + 25 (о, a).
Глава 10
Фундаментальное представление
Рассмотрим поляризованное гильбертово пространство Н ==
¦=Н+® Н-. Как мы видели в гл. 7, на голоморфном линейном
расслоении Det на грассманиане Gr = Gr(#) действует цен-
центральное расширение GL~es(H) группы GLTSS(H). У расслоения
Det нет ненулевых голоморфных сечений, а пространство Г голо-
голоморфных сечений двойственного расслоения Det* (слой которого
в точке Gr двойствен слою расслоения Det) бесконечномерно.
Это пространство и есть фундаментальное представление груп-
группы GL~es (Н). Мы снабдим пространство Г топологией равномер-
равномерной сходимости на компактных подмножествах из Gr; оно ста-
становится полным локально выпуклым топологическим векторным
пространством (ср. [75]), на котором непрерывно действует
группа GL7es(H)- (Пространство Gr в этой главе обозначает
гильбертово многообразие, определенное в гл. 7; но фактиче-
фактически почти ничего не требуется менять, если рассматривать вме-
вместо него гладкий грассманиан.)
В этой главе мы дадим два разных явных описания про-
пространства Г. Первое — в виде пополнений внешней алгебры или
«фермионного пространства Фока» на Я+ФЯ_'). Второе опи-
описание— в виде суммы симметрических алгебр или «бозонных
пространств Фока». Эти симметрические алгебры можно ото-
отождествить с классическим кольцом универсальных симметриче-
симметрических многочленов. Второе описание возникает из интерпретации
Г как стандартного представления группы Гейзенберга LT. Оно
делает очевидным неприводимость Г. Мы покажем также, что Г
содержит в качестве плотного подпространства гильбертово про-
пространство Ж, на котором унитарными операторами действует
группа UZs(H): Ж следует рассматривать как пространство
квадратично интегрируемых голоморфных сечений расслоения
4) Мы хотим подчеркнуть, что Я_ обозначает абстрактное векторное
пространство, комплексно сопряженное к #_. Это — копия Я_ с сопряжен-
сопряженным действием скаляров: \-\ = (\-Ъ,)~. В частности, оно не пересекается
с Я; мы не предполагаем, что имеется операция сопряжения, определенная
на гильбертовом пространстве Н.
230
Гл. 9. Теория представлений
Предложение (9.5.15). Пусть Ж— представление группы LT
с положительной энергией; тогда векторы конечной энергии в Ж
являются гладкими. (То есть если \^.Ж, то yt—s-vl— гладкое-
отображение LT-^-Ж.)
Доказательство. Как обычно, достаточно показать, что век-
векторы конечной энергии в S(A) гладкие относительно действия
V. Но 1 е5(Л) является гладким вектором, так как есть явная:
формула
v • 1 = е-<а- аI2еа
для v = а + а- Любой иной вектор конечной энергии является;
линейной комбинацией векторов вида
.. . a(ak) • 1,
где а,-
, и является гладким, ибо
v ¦ а. (а) ¦ v~l = a (a) + 25 (о, a).
Глава 10
Фундаментальное представление
Рассмотрим поляризованное гильбертово пространство Н =
¦= Н+ ф Н-. Как мы видели в гл. 7, на голоморфном линейном
расслоении Det на грассманиане Gr = Gr(#) действует цен-
центральное расширение GL7es(H) группы GLTes(H). У расслоения
Det нет ненулевых голоморфных сечений, а пространство Г голо-
голоморфных сечений двойственного расслоения Det* (слой которого
в точке Gr двойствен слою расслоения Det) бесконечномерно.
Это пространство и есть фундаментальное представление груп-
группы GL~es (Н). Мы снабдим пространство Г топологией равномер-
равномерной сходимости на компактных подмножествах из Gr; оно ста-
становится полным локально выпуклым топологическим векторным
пространством (ср. [75]), на котором непрерывно действует
группа GL~es(H). (Пространство Gr в этой главе обозначает
гильбертово многообразие, определенное в гл. 7; но фактиче-
фактически почти ничего не требуется менять, если рассматривать вме-
вместо него гладкий грассманиан.)
В этой главе мы дадим два разных явных описания про-
пространства Г. Первое — в виде пополнений внешней алгебры или
«фермионного пространства Фока» на Н+(& Н-1). Второе опи-
описание— в виде суммы симметрических алгебр или «бозонных
пространств Фока». Эти симметрические алгебры можно ото-
отождествить с классическим кольцом универсальных симметриче-
симметрических многочленов. Второе описание возникает из интерпретации
Г как стандартного представления группы Гейзенберга ГТ. Оно
делает очевидным неприводимость Г. Мы покажем также, что Г
содержит в качестве плотного подпространства гильбертово про-
пространство Ж, на котором унитарными операторами действует
группа UZs(ff)' Ж следует рассматривать как пространство
квадратично интегрируемых голоморфных сечений расслоения
1) Мы хотнм подчеркнуть, что Я_ обозначает абстрактное векторное
пространство, комплексно сопр_яженное к Я_. Это — копия Я_ с сопряжен-
сопряженным действием скаляров: Х-1 = (А,-?)~. В частности, оно не пересекается
с Я; мы не предполагаем, что имеется операция сопряжения, определенная
яа гильбертовом пространстве Я.
232
Гл. 10. Фундаментальное представление
Det*. (Термин «квадратично интегрируемые» был обоснован Пи-
креллем [122].)
Мы увидим, что Г является неприводимым представлением
не только для GLTis (Я), но что оно остается неприводимым:
представлением с положительной энергией и для всех групп пе-
петель LUn- В разд. 10.6 мы опишем его разложение относительно-
действия LSUn-
Представление Г описывается также как спинорное предста-
представление ограниченной ортогональной группы вещественного гиль-
гильбертова пространства, в которое можно превратить Я. Эта точ-
точка зрения будет объяснена в следующей главе.
В разд. 10.7 мы опишем, каким образом эквивалентность ме-
между бозонным и фермионным пространствами Фока проявляет-
проявляется в двумерной квантовой теории поля.
10.1. Г как внешняя алгебра: фермионное пространство Фока
В этом разделе мы объясним, каким образом Г можно ото-
отождествить с пополнением внешней алгебры А(Я+ФЯ_). Прежде
чем делать это, отметим, что переход от Я к Л(Я+ Ф Я_) хорошо
известен в квантовой теории поля как процесс «вторичного кван-
квантования». Если Н — пространство решений релятивистского поле-
полевого уравнения и оно представлено в виде Я — Я+ ф Я_, где Я+-
и Я_ — состояния с положительной и отрицательной энергией, то-
Л(Я+Ф Я_)—это пространство состояний ансамбля из неогра-
неограниченного числа свободных фермионных частиц и античастиц,
типа Я. Заметим, что
Л (Н+ © Я_) = Л (Я+) ® Л (Н_) = ® Ар (Я+) <8> А" (Я_).
р. ч
Подпространство Л?(Н+)® Aq{H~)— это состояния, в которых
имеется р частиц и q античастиц, все с положительной энергией.
Мы вернемся к этой картине в замечании (iv) после предложе-
предложения 10.1.5.
Чтобы отождествить Г с внешней алгеброй, мы сначала на-
напомним (см. разд. 2.9), что если V — конечномерное векторное'
пространство, то пространство голоморфных сечений расслоения
Det* на грассманиане Qrk(V) ^-мерных подпространств в V —
это в точности внешняя степень Ak(V*). Собирая вместе все
связные компоненты Gr(F), получаем, что пространство сечений
расслоения Det* на Gr(F)—это вся внешняя алгебра A(V*).,
Как и в гл. 7, отождествим гильбертово пространство Я с
L2(Sl; С) с помощью ортонормированного базиса {zk}ks=z так*
10.1. Г как внешняя алгебра
233
чтобы Я+ оказалось порожденным множеством {zk}k>Q. Имеется
фильтрация
... с= Я2 cz Hi <= Но с= Я_! cz Н_2 <=. ... czH,
где Hk = zkH+. Подпространства в Н, расположенные между
Нп и Н-п, соответствуют подпространствам в Н-п, п = Н-п/Нп, и,
следовательно, конечномерные грассманианы Gr(H-n,n) обра-
образуют возрастающую последовательность подпространств в Gr.
Из разд. 7.2 мы знаем, что их объединение плотно. Детерминант-
Детерминантное расслоение на Gr дает детерминантное расслоение при огра-
ограничении на Gr (Н-п, п) ¦ Ограничение сечений задает отображение
Г-+ПтА(Н*_ПгП), A0.1.1)
п
которое инъективно, так как объединение грассманианов
Gr(H-n, n) плотно. Мы покажем, что правую часть A0.1.1) мож-
можно естественным образом отождествить с пополнением внешней
алгебры не пространства Я*, a H*_®H+t или, эквивалентно
Н_ 0 Н+.
Вложение Gr (#_„, п) ->-Gv(H-n-i,n+i) переводит р-ю связную
компоненту в (р + 1)-ю, и поэтому соответствующее отображе-
отображение ограничения
Л (JT_e_lie+1)» Л (*•_„,„)
понижает степень на 1. Фактически это производная Dzn, ассо-
ассоциированная с базисным элементом гп из Hn/Hn+i. Далее,
Н-п, п = Н-п, о Ф Но, п и потому
Отождествляя Л(ЯОп) с Л (Яд „) с помощью отображения
6,Л ... л?рн-»./)в1/)б1 ... ?>6рAлгл ... Л2"-1),
которое переводит Лр в Ап~р, мы получаем коммутативную диа-
диаграмму
Л (Я1„_ь 0) ® Л (Яо,
Л (/Г „_lf
A0.1.2)
где вертикальное отображение справа происходит из обратной
системы A0.1.1), а вертикальное отображение слева индуциро-
индуцировано вложением Н-п, о—>¦ Я_л-1, о и проекцией Яо, n+i -*-Но, п. Это
234
Гл. 10. Фундаментальное представление
означает, что обратный предел, в сущности, можно отожде-
отождествить с
Л (Я*_) ® Л (Н+) = Л (HI © Н+).
Чтобы объяснить слова «в сущности», разложим все рассма-
рассматриваемые векторные пространства относительно действия ок-
окружности Т на Н = U (S1; С) поворотами. Пусть V— комплекс-
комплексное векторное пространство с действием Т. Напомним (см.
разд. 9.2), что V(k) обозначает подпространство, на котором
е'9 ^ Т действует умножением на e~ike, и что оно называется
подпространством энергии k. Так, в Яо, п встречаются энергии 0,
1, .... п— 1, а в Н*_п 0 энергии 1, 2, .. ., п. Вертикальное ото-
отображение в A0.1.2) слева индуцирует изоморфизм подпро-
подпространств энергии k при k < п. Отсюда следует, что обратный
предел равен
A0.1.3)
как топологическое векторное пространство. Заметим, что в этом
разложении встречаются только положительные энергии и что
подпространство с фиксированной энергией конечномерно.
Предложение A0.1.4). (i) lim Л (Я1„ „) ss А (Н*_ © Я+).
(ii) отображение Г —> Л (Н*_ © Я+) инъективно и обладает
плотным образом.
(iii) Г (k) && Л (#*_ © Я+) (*) для любого k.
Доказательство. Утверждение (i) уже доказано, a (ii) —
следствие утверждения (iii). Для доказательства (iii) достаточ-
достаточно доказать, что отображение
сюръективно при любом п. Если мы рассмотрим Л (Н*_п п) как
двойственное к Л(Я_„, „), то в нем возникает стандартный базис
{соа}, занумерованный подмножествами а из {—п, —я+1, ...
..., п—1}, который является двойственным к базису {za} в
Л (Н-п, п); здесь
za = 2а. Л ... kzup
для а= {а\, . . ., ар}. Такие подмножества а соответствуют под-
подмножествам Scz'Z, таким, что [п, оо) cSc [—п, оо). Для лю-
любого такого 5 имеется координата Плюккера ns, которая была
10.1. Г как внешняя алгебра
235
определена в разд. 7.5. Это элемент из Г, который отображается
в соа.
Наше рассуждение устанавливает также следующее
Предложение A0.1.5). Координаты Плюккера ns образуют
алгебраический базис для плотного подпространства Г в Г, со-
состоящего из элементов конечной энергии.
Замечания, (i) Заметим, что если 5 с= Z — некоторое индекс-
индексное множество обычного типа, полученное из N выбрасыванием
некоторых положительных чисел аи ..., ар и добавлением неко-
некоторых отрицательных чисел Ьи .. ., Ьа, то л^еГ соответствует
базисному элементу
л гьч л z л
Л zap
в Л (Я_ © Я+) энергии Г E) = S at — S bt l).
На языке квантовой теории поля — это состояние с р части-
частицами и q античастицами; индексация множествами 5 соответ-
соответствует описанию дираковскими «дырками», где существуют
только античастицы, а вакуумное состояние — это состояние, где
все состояния с отрицательной энергией заполнены античасти-
античастицами.
(ii) Грассманиан Gr — это объединение связных компонент
.dGr, где dGr — множество подпространств виртуальной размер-
размерности d. Пространство сечений Г распадается в прямое произ-
произведение Г= Пг<*. В терминах Л(Я_ФЯ+) сомножитель Yd
соответствует
© Ap(H+)®Aq(H_), A0.1.6)
q—p=*d
т. е. «состояниям заряда —d». Можно характеризовать Yd как
часть Г, на которой скаляры кеТс ?/газ(Я) действуют умно-
умножением на и~а.
(iii) Наше использование стандартного базиса {zk} и ассо-
ассоциированного действия поворотов окружности может затемнить
естественность связи между Г и Л (Н*_ ф Я+), которая зависит
только от выбора разложения Я=Я+ФЯ_. Поэтому мы опи-
опишем ситуацию чисто алгебраически.
Пусть Я — произвольное векторное пространство с фиксиро-
фиксированным подпространством Я+. Пусть Gr временно обозначает
множество всех подпространств W в Я, соизмеримых с Я+ (см.
4) В терминах длины l(S) множества S, определенной в разд. 7.3, мы
имеем l*(S) = l(S) +d(d+ 1)/2, где d = q — p = card(S). Ср. G.8.5).
236
Гл. 10. Фундаментальное представление
разд. 7.1); пусть Г обозначает пространство алгебраических се-
сечений расслоения, двойственного к детерминантному расслоению
на грассманиане Gr. Пусть А и В — подпространства в Я, такие,
что
ВаН+с А,
и dim А /В < сю. Если W — любое подпространство, расположен-
расположенное между А и В, то слой детерминантного расслоения в W ка-
канонически изоморфен
det(r/B)<g)det(tf+/.g)',
поэтому ограничение Det* на Gr (А/В) равно
A0.1.7)
где DetA/s —это детерминантное расслоение на Gr (А/В), а од-
одномерное векторное пространство det(H+/B) рассматривается
как тривиальное линейное расслоение. Пространство сечений
A0.1.7) равно
А ((А/В)') ® det (HJВ) *±
as Л ((А/Н+У © (HJBY) ® det (HJB) as
ав Л ((А/Н+У) ® Л ((HJB)*) ® det (HJB) si
A0.1.8)
^A((A/H+)*®HJB)
и все изоморфизмы в этой цепочке являются каноническими').
Поэтому Г канонически отображается в обратный предел внеш-
внешних алгебр A0.1.8), которые образуют обратную систему при
увеличении А и уменьшении В. Предел этой системы — попол-
пополнение векторного пространства Л ((Н/Н+) * Ф Я+) в топологии,
для которой окрестности нуля являются подпространствами ко-
конечной коразмерности. Стоит отметить, что в этом обсуждении
мы нигде не пользовались скалярным произведением в Я.
(iv) В квантовой теории поля очень важно, что (если Я—
гильбертово пространство) проективное пространство прямых в
Ж = Л(Я_ Ф Я+) зависит от разложения Я = Я+ Ф Я_ только
с точностью до соизмеримости — т. е. Р (Ж) не меняется, если
конечномерное подпространство переместится из Н+ в Я_. Что-
Чтобы убедиться в этом, положим
*) Первый нзоморофзм в A0.1.8) зависит от разложения Я = Н+ ф Я_„
так что, хотя как Г, так н Л((Я/Я+)* Ф Н+) зависят только от Я+, отобра-
отображение между ними зависит от выбора разложения.
10.2. Структура гильбертова пространства
237
где
и Я_ = Я'_ © N,
и dim (N) < оо. Тогда
Л (Я_ © Н+) = Л (Я'_) ® Л (N) ® Л (Я+)
и _ _
Л (Я'_ © Я+) = Л (я'_) ® Л (N) ® Л (Я+).
Но Л (Л?) канонически изоморфно A(iV) с точностью до скаляр-
скалярного множителя: выбор некоторого элемента в_одномерном про-
пространстве Л"(М) задает изоморфизм АР(N) ->Л"~р(N) для
всех р.
Следствием этого является тот факт, что Р(Ж) может быть
построено из Я и (возможно, неограниченного) самосопряжен-
самосопряженного оператора Фредгольма А: Н-*-Н, даже если нуль является
собственным значением оператора А конечной кратности. Мы
выберем любое вещественное Я, не лежащее в спектре оператора
А, и определим Я+ как максимальное пространство, на котором
А — X положителен. Если Я и А непрерывно зависят от пара-
параметров из некоторого пространства $Г, то ассоциированные про-
проективные пространства Р C6) образуют расслоение на 9Г. Ин-
Интересный частный случай этой конструкции возникает, если ST —
пространство классов калибровочно эквивалентных связностей
на векторном расслоении на нечетномерном многообразии X, а
А — ассоциированный со связностью оператор Дирака. Тополо-
Топологический тип расслоения на проективные пространства на базе
SF полностью описывается классом когомологий в Н3(&~, Z).
Этот класс равен нулю, если и только если расслоение произо-
произошло из расслоения на гильбертовы пространства на У. Этот
класс называется неабелевой аномалией в квантовой теории
поля. (Ср. [112], [41] и [157]. Соответствующая ситуация для
четномерных многообразий описана в работе [138].)
10.2. Структура гильбертова пространства
Сейчас мы покажем, что в Г имеется гильбертово простран-
пространство Ж, являющееся плотным подпространством и снабженное
более тонкой топологией, и что группа U7es (Я) сохраняет Ж и
действует на нем унитарными преобразованиями. Конечно,
Л(Я_ФЯ+)—предгильбертово пространство: если V — произ-
произвольное пространство со скалярным произведением, то мы опре-
определим скалярное произведение на A(V), полагая
vt, v'})) для k = m,
в противном случае.
f
(v, Л ... Л vb, v'.h ... л v'b) = <
41 ' к
0
238
Гл. 10. Фундаментальное представление
Мы увидим, что 36— это гильбертово пополнение Л(Я_ ® Н+),
но пока еще не знаем, действует ли на нем t/«s.
Наш метод состоит в следующем. Пусть Г* — пространство,
двойственное к Г, с топологией равномерной сходимости на ком-
компактных множествах. Мы определим непрерывное линейное ото-
отображение
Р: Г'->Г,
эквивариантное относительно U7es- Это дает нам спаривание
< , ): Г® Г*-*С, A0.2.1)
определенное формулой
которое непрерывно по каждой переменной. Покажем, что оно
эрмитово и положительно определено, а значит, превращает Г*
в предгильбертово пространство. Эквивариантность отображе-
отображения р означает, что < , > сохраняется группой U^s- Гильбертово
пополнение Г* обозначается через 36. Его можно автоматиче-
автоматически отождествить с подпространством, антидвойственным к Г*,
т. е. с подпространством в Г. (Напомним, что если двойственное
пространство к произвольному полному локально выпуклому то-
топологическому векторному пространству Г снабдить топологией
равномерной сходимости на компактных множествах, то Г**^Г
(ср. [19, гл. 4, § 2, п. 3])). Итак, мы пришли к ситуации
где оба вложения непрерывны, а их композиция равна р.
Так как элемент из Г — это голоморфное oTo6pajKeHHe_Det—»¦
->-С, линейное на слоях, то, чтобы задать отображение Г*-*-Г,
достаточно задать голоморфное отображение Det—*-T, линей-
линейное на слоях, а это в свою очередь равносильно заданию экви-
вариантного отображения
80: Det X
С,
голоморфного по второй переменной и антиголоморфного по пер-
первой и линейного и антилинейного на соответствующих слоях.
Определим р0, полагая
u w
A0.2.2)
10.3. Кольцо симметрических многочленов
239
где w и w — допустимые базисы (ср. разд. 7.5) для пространств
в Gr одинаковой виртуальной размерности и
Ро(ау, ш) = 0
в противном случае. (Заметим, что A0.2.2) имеет смысл, ибо
для двух допустимых базисов матрица ((wi, ш»/>) отличается от
единичной на матрицу со следом.) Так как
Ро(ш, ау) = Ро(ау, w)~,
спаривание A0.2.1) эрмитово.
Для любого индексного множества Se? имеется подпро-
подпространство ffseGr с каноническим базисом <?. Значения сече-
сечений Det* на 2s дают нам элемент из Г* или Г*, который снова
обозначается 2s. Из определения р: Г'->Г мы видим, что
PBS) —плюккерова координата ns. С другой стороны,
1, если S = Sf,
0, если S*S\
Итак, {zs}s^cp образуют ортонормированное семейство в Г*. Как
мы уже знаем, плюккеровы координаты образуют алгебраиче-
алгебраический базис плотного подпространства Г в Г, откуда следует, что
Р задает изоморфизм (Г*)~ —> Г и что скалярное произведение
A0.2.1) положительно определено. Итак, мы доказали
Предложение A0.2.3). Плюккеровы координаты ns образуют
ортонормированный базис в гильбертовом пространстве 36, ко-
которое является плотным подпространством в Г.
Пространство 36, конечно, совпадает с пространством, фор-
формально введенным в разд. 7.5. Предложение 10.2.3 показывает
одновременно, что 36 является гильбертовым пополнением
л(я.ея+).
10.3. Кольцо симметрических многочленов
Следующая наша цель — показать, что Г можно представить
как сумму полиномиальных алгебр, каждая из которых изо-
изоморфна кольцу универсальных симметрических многочленов.
Это будет сделано в разд. 10.4. В этом разделе мы кратко на-
напомним основные моменты классической теории симметриче-
симметрических многочленов, следуя блестящему изложению Макдональ-
да [108].
Как известно, подкольцо Rn в кольце многочленов от N пе-
переменных Z [ui, .. ., un] , состоящее из многочленов, симметрич-
240
Гл. 10. Фундаментальное представление
ных по ии ..., им, само является кольцом многочленов
которое порождено элементарными симметрическими функциями
0ь .. ., он от ии . .., un- Многочлен ак определяется как коэф-
фициент при tk в ЦA + u-it). Заметим, что при N ^ N' имеется
естественное отображение ограничения
Z[щ, ..., uN]->Z[щ, uN\,
N', а индуцированное ото-
отопри t < F и oj в нуль при
которое переводит в нуль ut при i
бражение RN-^-RN' переводит стг- в
i > N'.
Кольцо универсальных симметрических многочленов R опре-
определяется как абстрактное кольцо многочленов Z [сть ст2. . . .] от
последовательности переменных {ы}. Оно отображается в любое
Rh, и поэтому его элементы можно рассматривать, допуская не-
небольшую вольность, как «симметрические многочлены от беско-
бесконечного числа переменных». Наиболее важная теорема о сим-
симметрических функциях состоит в том, что функции Шура <DV, за-
занумерованные разбиениями v, образуют целочисленный базис в
R. Здесь разбиение означает последовательность v = {V(}?5sl це-
целых чисел, лишь конечное число которых отлично от нуля, таких,
что
Vi ^ V2 ^ V3 ^ . • • ¦
Мы дадим определение функций Фу ниже; их традиционное обо-
обозначение Sv. За доказательством этой теоремы отсылаем чита-
читателя к работе [108].
Мы должны отметить основную причину, по которой важны
функции Шура, хотя сейчас это и не станет вполне очевидным.
Функции <DV, соответствующие разбиениям v с не более чем N
частями, т. е. те, для которых v,- = 0 при i > N, образуют базис
в Rh- Их можно считать функциями на унитарной группе Uh:
если А^им и «ь ..., иы— собственные значения матрицы А,
то функции Шура от щ, . . ., и^— это характеры всех неприво-
неприводимых представлений группы SUn- Точнее, <DV — характер пред-
представления группы Um со старшим весом
(и,
¦«>?
где «1, ..., un — элементы диагональной матрицы из Un- (Лю-
(Любое неприводимое представление группы U№ получается из та-
такого умножением на отрицательную степень det(A).) Как функ-
10.3. Кольцо симметрических многочленов
241
ция от «ь • • ¦, un Фу равна A (v)/А @), где A(v) —определитель
A(v) =
и
... иТ
До того как дать определение Фч в виде многочлена от ak,
необходимо сделать еще два замечания. Прежде всего, кольцо
Rn = Z [аи ..., ом] совпадает с полиномиальным кольцом
Z [Ль ..., hit], где hk — «полные симметрические функции», т. е.
hk — это сумма всех одночленов степени k по и\, . .., un, каж-
каждый с коэффициентом 1. Дело в том, что Л*—это коэффициент
при tk в 11A —utt)~l, и, значит, hk и Ok выражаются друг через
друга соотношением
\
где мы считаем, что Л0 = сто= 1. Поэтому, используя соотноше-
соотношение A0.3.1), можно отождествить и кольцо R с Z [Ль Лг, ...].
Второе замечание состоит в том, что разбиения взаимно од-
однозначно соответствуют индексирующим множествам Se7 с
виртуальным числом элементов, равным нулю: разбиение v, со-
соответствующее S = {sk}, определяется как \k — k — sk. Мы бу-
будем обозначать функцию Шура Фу также и через <Ds-
Вот определение <bs. Рассмотрим Z X N-матрицу
2 =
.. А,
.. А2
• • А3
.. А4
• • Л5
.. л6
1
л,
к
А5
0
1
л,
л2
Аз
Л4
0
0
1
hx
Аз
A0.3.2)
(p, q) -й элемент которой равен hp~q. (Мы считаем, что Ло = 0 и
hk = 0 при k < 0.)
Определение A0.3.3). Функция Шура <bs — это определитель,
составленный из строк матрицы A0.3.2), принадлежащих S.
16 Зак. 230
242
Гл. 10. Фундаментальное представление
Замечание. Если 5 удовлетворяет условию sk=k для k > N,.
т. е. если ассоциированное разбиение v имеет не более N частей,,
то матрица Es, определитель которой равен CDs, имеет вид
где А — нижняя треугольная матрица с единицами на диаго-
диагонали, a D есть N X W-матрица. Мы считаем определителем мат-
матрицы Es определитель конечной матрицы D.
Примеры. Если v
=A ... 1 0 0 ...), то
(п 0 0...), то Ф, = АЛ, а если v =
Другие симметрические функции, которые заслуживают упо-
упоминания,— это степенные суммы рк. В Rn мы полагаем
Pk = 2 «?;
в универсальном кольце R рц определяются как целочисленные
многочлены от hk соотношением
log (? ****)= ЕтлЛ (Ю.3.4)
Это же соотношение позволяет выразить hk через pk, но уже с
рациональными коэффициентами. Таким образом,
аъ ст3, . . .]=<Qbi, P2, Рз> • ••]•
Используя степенные суммы, мы можем ввести скалярное про-
произведение на Rq. Пусть Р — абстрактное векторное простран-
пространство над Q с символами pk в качестве базиса. Определим ска-
скалярное произведение на Р, полагая
и {pk, Pm> = 0, если кфтп. Кольцо Rq — это симметрическая
алгебра S(P) векторного пространства Р, и скалярное произве-
произведение на Р естественным образом распространяется до скаляр-
скалярного произведения на S(P):
хп, ухуг ... уп)=
(хя, ytn),
где суммирование ведется по всем перестановкам
множества {1, ..., п}.
A0.3.5)
10.4. Г как сумма симметрических алгебр
243
Предложение A0.3.6). Функции Шура образуют ортонорми-
рованный базис в Rq относительно такого скалярного произве-
произведения.
Мы отсылаем читателя к [108] за доказательством.
Упомянем в заключение, что если считать pk координатными
функциями на С°°, так что Rq становится кольцом комплексно-
значных функций на С°°, то определенное выше скалярное про-
произведение— это обычное скалярное произведение в L2 относи-
относительно гауссовой меры
'Е
2nik
A0.3.7)
10.4. Г как сумма симметрических алгебр
Как мы уже видели (ср. A0.1.6)), пространство сечений Г
является прямым произведением пространств Yd, которые соот-
соответствуют различным связным компонентам грассманиана. Каж-
Каждое Та — это представление связной компоненты единицы группы
^GZ-ras (H), а элементы k-и компоненты группы GL^S отображают
Td в Td+fe. В этом разделе мы покажем, что пространство Го мо-
может быть отождествлено с пополнением симметрической алгеб-
алгебры и что это стандартное представление Гейзенберга подгруппы
{/ЛГ)° в Uks(H). Существенный момент состоит в том, что про-
пространство Г голоморфных сечений расслоения Det* над Gr сов-
совпадает с пространством голоморфных сечений ограничения этого
расслоения на подпространство GrA) из разд. 8.3.
Группа LCX действует на H = L2(SX; С) операторами умно-
умноX
жения. Пусть N~ обозначает подгруппу в LCX
элементов вида
состоящую из
A0.4.1)
следующий результат, хотя мы и не
где й;еС.
Имеет смысл отметить
будем его использовать.
Предложение A0.4.2). Группа N~ свободно действует на Gr.
Доказательство. Предположим, что r\-W= W для r\ e N~ и
f eGr. Пусть w — элемент из W минимального порядка (см.
разд. 7.3). Тогда он определен однозначно, если он нормализо-
нормализован так, что
k<s
16*
244
Гл. 10. Фундаментальное представление
а поскольку ц • w имеет тот же вид, мы имеем г\ ¦ w = w. Отсюда
следует, что г\ = 1.
Рассмотрим орбиту отмеченной точки #+ в Gr относительно'
действия ЛГ". Точки W этой орбиты не пересекаются с подпро-
подпространством #_ (которое инвариантно относительно N~) и, зна-
значит, изоморфно проектируются на Н+. Ограничение расслоения
Det на эту орбиту можно канонически тривиализовать, отожде-
отождествляя Det (IF) с Det(#+) с помощью проекции. Это означает,
что голоморфные сечения расслоения_Det* при ограничении дают
обычные голоморфные функции на N :
Г0-+Но1(ЛГ).
Если мы запишем произвольный элемент группы АГ~ в виде
A0.4.1), то полиномиальное кольцо #c = C[Ai, Ы, .. .], очевид-
очевидно, содержится в Но1(Л/~) как плотное подмножество, фактиче-
фактически как множество элементов конечной энергии. Мы имеем
Предложение A0.4.3). Плюккерова координата zis для S е 9*
при ограничении на орбиту действия N~ превращается в функ-
функцию Шура Os в Rc<= Hoi (M~).
Следствие A0.4.4). Ограничение Го -»- Hoi (N~) инъективно,
и его образ плотен. Оно индуцирует изоморфизм Го -> Re под-
подпространств элементов конечной энергии.
Доказательство A0.4.3). Мы должны вычислить значение
плюккеровой координаты its на пространстве W = г\-Н+, где
г)—элемент вида A0.4.1) из N-. Столбцы ZXN-матрицы S
A0.3.2) образуют базис для W, но он не является канониче-
каноническим. Канонический базис — это 3 • 3+1, где 3+ есть верхний
N X N-блок в S. Координата ns равна поэтому det(C3+ )s), где
нижний индекс 5, как обычно, обозначает квадратную подмат-
подматрицу, образованную строками из 5. Формально этот определи-
определитель равен
который равен det 5s = <Ds, как нам и хотелось. Мы оставляем
читателю обоснование формального вычисления с помощью за-
замечания после определения A0.3.3).
Орбита й подпространства Я+eGr под действием ЛГ~ —это
связная компонента пространства, которое мы обозначали Gr^
в гл. 8, т. е. наша грассманова модель пространства петель QT.
Это однородное пространство относительно действия связной
10.4. Г как сумма симметрических алгебр
245
компоненты единицы (LCX)° группы LCX. Поэтому на про-
пространстве сечений расслоения Det* Q, которое мы отождествили
с Но1(ЛГ~), естественно действует (LCX) . В очевидных обозна-
обозначениях имеем
Подгруппа N~ действует на Но1(Л/~) сдвигами. Подгруппа N+
тривиально действует на орбите Q и тривиально действует на
слое расслоения Det в Н+; таким образом, элемент 5еЛ+ дей-
действует на слое расслоения Det в ц-Н+ умножением на с(|, ц)г
где с (|, i))eCx — коммутатор в LCX представителей элемен-
элементов | и ц. Итак, g e N+ действует на Hol(iV-) умножением на
голоморфную функцию с(|, •)-'.
Мы попали в ситуацию, описанную в разд. 9.5. Группа ?Т —
это, в сущности, группа Гейзенберга. Фактически мы можем за-
записать связную компоненту единицы (LTH в LT как ТХ V, где
Т — постоянные петли, a V — векторное пространство голоморф-
голоморф5'IR
ных отображений 5'
с нулевым средним, отождествленное
б
р у р
с подгруппой в LT с помощью экспоненциального отображения.
Кососимметрическая билинейная форма 5 D.7.5), задающая
расширение ?Т, невырожденна на V, и связная компонента еди-
единицы (LTH —это TXV, где V — группа Гейзенберга, ассо-
ассоциированная с (V, S). Мы имеем Vc = A Q) А, где Л — алгебра
Ли группы N~, a A — алгебра Ли группы N+. Экспоненциальное
отображение A-*-N~ является голоморфным _изоморфизмом, и
поэтому Hol(Af-) можно отождествить с Но1(Л). Когда это сде-
сделано, действие V cz LT превращается в стандартное представ-
представление, описанное в разд. 9.5. Итак,
Предложение A0.4.5). Действие (?Т)° на Го и, следователь-
следовательно, LT на Г неприводимо.
Следствие A0.4.6). Действие GLZs(H) на Г неприводимо.
Итак, мы получили, что Г оказалось представлением группы
LT, индуцированным из представления Го группы (?Т)°. Все
пространства Та неразличимы как представления группы V, но
постоянные петли меТс (?Т)° действуют на Yd умножением
на u~d. Заметим также, что F-эквивариантное отображение
Го-^-Td (единственное, с точностью до умножения на скаляр),
полученное действием петли еш е LT, увеличивает энергию на
d(d-\- l)/2, так как переводит плюккерову координату ns в rts-d.
(ср. G.7.5)). Итак,
() A0.4.7)
246
Гл. 10. Фундаментальное представление
Рассмотрим теперь унитарную структуру. Мы знаем из пред-
предложения A0.4.3), что гильбертово пространство ДсГ0 изо-
изоморфно пополнению полиномиального кольца Re относительно
скалярного произведения, алгебраически определенного в
разд. 10.3. Оно совпадает со скалярным произведением на сим-
симметрической алгебре S(A) с Hoi (Л), где А снабжено естествен-
естественным скалярным произведением
(I, Ti>=-2fS(I, Л). (Ю.4.8)
Действительно, определим координатные функции
ставляя общий элемент т|е!в виде
на А, пред-
пред(Ср. A0.3.4).) Тогда {k~1/2pk}—это базис в А*, двойственный
'К базису {k-xi2zrk} в А. Эти базисы ортонормированны относи-
относительно формы A0.4.8), и
(Pk, Pm) = kbkm,
как и в разд. 10.3. Мы доказали
Предложение A0.4.9). Гильбертово пространство Зё0, содер-
содержащееся в Го, может быть канонически отождествлено с гиль-
гильбертовым пополнением симметрической алгебры S(A) относи-
относительно скалярного произведения A0.4.8).
Замечание. Мы могли бы при желании рассматривать 36й
как пространство голоморфных функций на подходящем пополне-
пополнении пространства А, которые квадратично интегрируемы относи-
относительно естественной гауссовой меры. Одно из подходящих по-
пополнений пространства А — это двойственное к А пространство
А*, состоящее из всех голоморфных отображений
г): {z: |2|>1}->С,
граничные значения которых на окружности \г\ = 1 являются
обобщенными функциями и которые удовлетворяют условию
Л(оо) =0.
Заканчивая этот раздел, мы должны упомянуть действие
Diff+E!) на Г. Имеется очевидное действие Diff+E1) на Я =
= Z,2(S1; С), которое определено следующим образом: (ф-1,/1)-.-
*-»qp*f для ф eDiff+E!) и f <= Я, где cp*fF) = f(q>(Q)). Для лю-
любого комплексного числа Я, есть также действие, которое полу-
получается, если считать элементы из Я «Я-плотностями», т. е. дей-
действие
(ф-1, Яь-* ф7-(ф')я-
10.5. Тройное тождество Якоби
247
Давайте временно обозначать Я с таким действием через Я*,.
Это действие унитарно, если и только если X = 1/2. В любом
случае Diff+(S') содержится в GLr^{H%), и поэтому имеется
индуцированное проективное представление группы Diff+(S1) на
Г, согласованное с действием LCX.
Подпространство Gr*1) в Qr(H\) не сохраняется группой
Diff(S') ни для какого К, и поэтому нет причин ожидать, что
описание Го как S(A) будет согласовано с действием Diff+E1).
Однако Diff+E!) — это группа автоморфизмов группы /ЛГ и
группы Гейзенберга V, и она действует на S(A) с помощью ме-
таплектического представления. В гл. 13 мы увидим, что это
действие согласовано с действием, происходящим из Нц2.
10.5. Тройное тождество Якоби
В этой главе мы уже установили изоморфизм гильбертовых
пространств _
0 S(A)d~A{H+®H_), A0.5.1)
d s=Z
где S (A)(d) — копия 5 (А), соответствующая d-й связной компо-
компоненте грассманиана. По построению этот изоморфизм согласо-
согласован с действием ?Т на этих двух пространствах, а также с дей-
действием Т, определенным вращением функций на окружности.
Рассмотрим разложение пространств A0.5.1) под действием
абелевой подгруппы ТХТв T)<ZT. (Левая буква Т — это
группа поворотов S1, а правая буква Т обозначает постоянные
петли со значениями в группе Т, которая рассматривается
как подгруппа LT-)
Мы отмечали в гл. 2, что если компактная группа К непре-
непрерывно действует на полном топологическом векторном простран-
пространстве Е и ?р обозначает подпространство в Е, на котором К дей-
действует неприводимым представлением р, то алгебраическая пря-
прямая сумма 0?р образует плотное подпространство в Е. Если
р
размерность Ер конечна для любого р, то формальная сумма
2 гарР. гДе пр — кратность р в Е, называется (формальным) ха-
р
рактером пространства Е. Если К абелева, то неприводимые
представления одномерны и пр = dim E9.
Напишем формальный характер для левой и правой частей
A0.5.1). Мы будем обозначать представление (Ri, u)y-^>~%-pui
группы TXT через zpw". Тогда характер пространства Я+, оче-
очевидно, равен u(l + z + z2+ ...), а характер пространства Я_
равен u~l(z + z2 + z3 + • • •)• Для вычисления характеров внеш-
248
Гл. 10. Фундаментальное представление
ней и симметрической алгебр мы имеем следующий очевидный
результат.
Предложение A0.5.2). Если векторное пространство Е яв-
является конечной суммой одномерных представлений р( группы К,
то характер пространства А(Е) равенXI A + Рг)> а характер про-
пространства S(E) равен ПA — р,-)".
Это утверждение верно и в случае, когда Е бесконечномерно,
если выражения для характеров имеют смысл. Пусть К — тор,
характеры которого образуют решетку R; тогда это предложение
справедливо, если характеры р», встречающиеся в Е, принадле-
принадлежат положительному выпуклому конусу в R. Именно этот случай
^реализуется в наших примерах.
Итак, характер пространства Л (#+ Ф Я_) равен
+ ^ПО+Л
k>0
<С другой стороны, окружность, состоящая из постоянных петель,
действует на S(A)(d) умножением на u~d, а окружность поворо-
поворотов действует на А как z + z2 + zz + • • ¦ (имеется в виду харак-
характер действия группы поворотов на А. — Перев.) и, следова-
следовательно, на 5(Л)@) — как П 0 — zk)~\ а на S(A)(d) — как (см.
.A0.4.7))
П
k>0
— г*).
Изоморфизм A0.5.1) дает
X u-
П A - г*)'1 = П A + uzk) П A + u~lzk),
fe>0 fe>0 *>0
A0.5.3)
:или, что эквивалентно, если заменить а на —и,
~~ 1—И2*)A—;
d>
:или
где
A0.5.4)
), A0.5.5)
— характер Bd+ 1)-мерного представления группы SO3.
10.5. Тройное тождество Якоби
243i
Тождество A0.5.4), или A0.5.5), называют тройным тожде-
тождеством Якоби. Его несложно доказать непосредственно (см. [71,.
19.9]). Формула, которая получается при и — 1, заслуживает от-
отдельного упоминания:
d>0
{~\f{2d+ iJd(d+1)/2= Д A -z*K. A0.5.6)
ft>0
Д
ft>0
Тождество A0.5.5) — это простейший случай более общей фор-
формулы, называемой тождеством Макдональда [107], которую мы
будем обсуждать в гл. 14. Общая формула связана с компакт-
компактной полупростой группой G, а A0.5.5) соответствует случаю-
G = SO3; обобщение формулы A0.5.6) имеет вид
р й>0
где суммирование ведется по всем неприводимым представле-
представлениям р группы G и
п-—размерность G,
dp — размерность р,
Яр ¦—значение подходящим образом нормализованного опера-
оператора Казимира в представлении р,
8Р = ±1 или 0.
С современной точки зрения роль SO3 в A0.5.5) остается зага-
загадочной.
Если мы рассмотрим подпространство в A0.5.1), на котором
постоянные петли действуют тривиально, то получим изомор-
изоморфизм _
S (А) е* ф А" (Я+) ® А" (#_). A0.5.7>
>°
Характер пространства ЛР(Я+) как представления группы по-
поворотов равен
где сумма распространяется на все наборы из р чисел, такие,
что 0 sg; k\ < k2 < ... < ftp. Как легко убедиться индукцией по
р, эта сумма равна
ZHP-W/A — z)(l — Z2) ... A — ZP).
Аналогично, характер пространства ЛР(Я_) равен
2Р(Р+1)/2Д1 _ z) A _ z2) ... A — Z").
250
Гл. 10. Фундаментальное представление
Таким образом, из A0.5.7) можно извлечь другое хорошо изве-
известное, но не вполне очевидное тождество (ср. [71, 19.7]):
П A -zk)~l = Z г?/A -zf{\ -22J . . . A -z'f. A0.5.8)
fe0
Функция в левой части называется функцией разбиений, так как
может быть записана в виде ? Рп2", где рп— число разбиений
числа л. Комбинаторная интерпретация тождества A0.5.8), как
объясняется в [71], — это просто тот факт, который мы уже от-
отмечали, а именно, что разбиения взаимно однозначно соответ-
соответствуют парам конечных последовательностей
0
... <ар; 0
Ър.
10.6. Базисные представления групп LUn и LSUn
Группа петель LUn действует на гильбертовом пространстве
_//("> = L2(SX; С") операторами умножения, и мы видели в
разд. 6.3, что она содержится в Uv&&{H^). Кроме того (ср. 6.7.1),
центральное расширение UZs индуцирует базисное расширение
LUn группы LUn. Мы можем ограничить фундаментальное пред-
представление группы UZs так, чтобы получить унитарное представ-
представление группы LUn на Ж уровня 1. Оно называется базисным
представлением группы LUn и неприводимо, так как мы видели,
что оно неприводимо даже как представление группы ?Т, где
LT обозначает максимальную абелеву подгруппу в LUn, полу-
полученную, как в разд. 6.5, отождествлением Я<"> с Я'1'. Базисное
представление — это единственное представление группы LUn
уровня 1 — ср. разд. 9.3.
В этом разделе мы будем писать Шп) вместо Ж, когда мы
рассматриваем Ж как базисное представление группы LUn-
Рассмотрим разложение 5$(") относительно подгруппы LSUn-
Мы знаем, что относительно связной компоненты единицы груп-
группы UZs пространство Ж^ распадается в сумму ф Ж1а в со-
ответствии с разложением грассманиана на связные компоненты.
Петли с числом вращения k в Un отображают Ж{? в Жа+k- Да-
Далее, л-кратное накрытие
где Т — центр Un, индуцирует л-кратное накрытие связных ком-
компонент единицы
10.6. Базисные представления групп LUn и LSUn
25Г
(Отметим, что это отображение LT ->LUn — совсем другое ото-
отображение, чем вложение Z.T в LUn в качестве максимальной абе-
левой подгруппы, которое упоминалось выше.)
Предложение A0.6.1). Каждое подпространство 2$!? — это
неприводимое представление группы (LT)° X LSUп, и оно распа-
распадается в тензорное произведение:
где У?B) — неприводимое представление группы LSUn уровня Г,..
которое зависит лишь от класса вычетов числа d no модулю п,
а 0Г<'2) — неприводимое представление группы (?Т)° уровня п, на.
Тс Cf действуют умножением на и-4..
^^ а
котором константы и
Центр
LSUn также действует на
умножением на и
~а
Мы ненадолго отложим доказательство этого предложения
и обсудим вместо этого его значение. Группа (LTH может быть
записана как Т X V (см. разд. 10.4), где V — векторное про-
пространство. Расширение (LTH — это ТХ^- Группа Гейзенберга
V обладает единственным представлением #-<"> с положительной
энергией для любого уровня п (см. (9.5.10)), и 9^^ — это 3^п
со следующим действием Т: «•—>и~Ч Представления всей груп-
группы LT индуцированы представлениями (Т)°: есть п представле-
~{{d\
ний @~{{d\ уровня п, где
= 0
k = dmod я
Мы можем переформулировать A0.6.1) следующим образом.
Предложение A0.6.2). Под действием LT X LSUn базис-
базисное представление Ж^ разлагается на п частей
где S^idl — неприводимые представления spynnbi LT уровня п,.
a %*d] — неприводимые представления группы LSUn уровня 1.
В этой формулировке предложение A0.6.2) допускает очень-
красивое обобщение, которое сообщил нам Френкель. Мы сфор-
сформулируем его без доказательства. Напомним сначала (см.
/ п + m — 1 \ . „,
разд. 9.3), что у LSUn есть I I представлении Жк.
уровня 1, занумерованные последовательностями 'k = (ki, ....
..., %п), такими, что
0 =
т.
¦252
Гл. 10. Фундаментальное представление
У группы Шт имеется такое же число
п + т— 1
т
не-
лриводимых представлений 3^$. уровня п, которые занумерованы
последовательностями ц = (ць ..., ^т), такими, что
0<Ц:<Ц2< • • • <fAm <"¦¦ A0.6.3)
Последовательности |iHii переходят друг в друга при известной
операции сопряжения разбиений [108].
Рассмотрим теперь гомоморфизм
полученный поточечным тензорным умножением матриц. Спра-
Справедливо
Предложение A0.6.4). Под действием LUmXLSUn базисное
лредставление группы LUmn распадается в сумму
где &~„, — представления группы LUm уровня п, а Ж^ — пред-
представления группы LSUn уровня т.
Эта теорема, доказанная Френкелем ([46], [48]) с помощью
-формулы для характера, делается более интересной в свете сле-
следующего элементарного наблюдения. Пусть рп: LUm->LUmn —
гомоморфизм А>—>А <8> 1„ и
qn: LUm-+LUm
— гомоморфизм «/г-кратного повторения петель», т. е. компози-
композиция петли с отображением S1-^-S1, переводящим z в zm.
Предложение A0.6.5).
.где Bё(т))® " обозначает п-кратное тензорное произведение
на себя.
Доказательство. Это утверждение легко вывести из того, что
#<т) © ... © #(т) ^
как представления группы LUm.
Комбинируя предложения A0.6.4) и A0.6.5), мы получаем
рецепт для разложения тензорных степеней базисного представ-
10.6. Базисные представления групп LUn и LSUn
253
ления группы LUm. Результат очень похож на разложение Вейля
представления (Cm)® n под действием Um X Sn] но роль симмет-
симметрической группы Sn выполняет теперь группа LSUn.
Мы возвратимся теперь к предложению A0.6.1).
Доказательство A0.6.1). Будем писать Tz вместо Т, когда
нам понадобится подчеркнуть, что мы имеем в виду центр Un-
Тот факт, что Ж?'неприводимо относительно действия связ-
связной компоненты единицы (CUn)° и, значит, относительно
X LSUn, очевиден.
Пусть
i
— вложение LT в качестве максимальной абелевой подгруппы
в LUn, как в разд. 6.5. Заметим, что для у е LT
dett(Y)(z)=IlY(a A0.6.6)
где ? пробегает корни га-й степени из г. Запишем (LTH =Т X V,
как в разд. 10.4, где V — пространство функций f: S1->R с ну-
нулевым средним. Мы имеем
где Vi—подпространство периодических функций с периодом
2п/п, a Y% состоит из функций f, удовлетворяющих условию
п-\
2
k=0
(z
= 0.
LSUn, и формулы разд. 6.5
Из A0.6.6) мы получаем, что /(Уг
показывают, что t(T X Vi)cz LTz-
Так как Ж(п) неприводимо относительно i (LT), мы знаем,
что S^S) неприводимо относительно i((LT)°), т. е. фактически
относительно i(V). Мы даже знаем (см. разд. 10.4), что
Ж^ = § (А) относительно i(V), где Vc = A®A. Разложение
V = Vi X V2 дает разложение А = Ах © Л2 и, значит, разложе-
разложение
согласовано с действием i^JX'W' Это означает, что
(LTzf <= (LUnH неприводимо действует на S(AX) и тривиально
на S(A2). Из этого вытекает, что любой ^эндоморфизм 5 (Л,) О
<§>$(А2), коммутирующий с действием (LTZ)°, имеет вид (еди-
(единица) <8> Т. Так как LSUn коммутирует с (ГГ2)° в (LUn)°, то по-
254
Гл. 10. Фундаментальное представление
лучаем, что группа LSUn действует на §(А2) и тривиально дей-
действует на 5(Л0. Пространство 5 (Л2) неприводимо относительно
этого действия, ибо оно неприводимо даже относительно под-
подгруппы i(V2).
Доказательство предложения A0.6.1) закончено.
10.7. Двумерная квантовая теория поля
Если ЯА, как в разд. 6.9, — пространство решений уравнение
Дирака1) ^
для функций т|): R2->,C2, поляризованное с помощью оператора:
энергии —id/dt, то гильбертово пространство
— это пространство, прямые в котором являются состояниями-
ансамбля фермионных частиц и античастиц, эволюция которых
описывается уравнением A0.7.1).
Алгебра Ли^дС5(яА) действует на ЭёА. В F.9.9) мы ви-
видели, что в этой алгебре Ли можно найти элементы, удовлетво-
удовлетворяющие «каноническим коммутационным соотношениям», т. е.
элементы Ф(/), Ф(/), которые для любой гладкой функции /
с компактным носителем на R удовлетворяют F.9.9). Мы можем
рассматривать их как операторы, действующие в 3>ё\ Символи-
Символически их принято записывать в виде
где определенные таким образом ф и ф — это «операторнознач-
ные распределения» на R. В этих обозначениях соотношения
F.9.9) принимают вид
[ф (х), Ф (у)] = [ф (х), ф (у)] = 0,
[ф (х), ф (у)] = — id (х — у).
A0.7.2)
') Здесь Yo и -yi суть 2 X 2-матрицы
10.7. Двумерная квантовая теория поля
255
Кроме того, соотношение F.9.8) показывает, чтоф (х) — это про-
производная по времени распределения (р(х) при естественной эво-
эволюции по времени элементов из ЗёА.
Операторы ф(х) и ф (х), как и ожидалось, действуют на про-
пространстве состояний ансамбля бозонов. Легко видеть, что они
сохраняют «заряд», т. е. разложение ЖА на «зарядовые сек-
секторы»
= 0 Ap{Hi)®Aq(HA-).
Кроме того, можно показать [24], что нейтральный сектор Жо
порождается последовательным применением ф (х) и ф (х) к ва-
вакуумному вектору 1 е Л°(Я+ © Н-). Этот факт обычно выра-
выражается словами «нейтральный сектор в теории свободных мас-
массивных фермионов, удовлетворяющих уравнению A0.7.1), экви-
эквивалентен некоторой теории бозонов».
Математически один из интересных фактов, касающихся
представления соотношений A0.7.2) на ЗёА, состоит в том, что
они не соответствуют теории «свободных полей»; фактически это
представление никак нельзя получить из некоторого представле-
представления Гейзенберга группы, алгебра Ли которой порождена опе-
операторами Ф(/), <b(f). Похоже, что это единственное известное
представление этих коммутационных соотношений, нетривиаль-
нетривиальное в описанном выше смысле.
Еще более удивительный факт состоит в том, что физики
верят, что стандартная эволюция по времени элементов из ЖА
дает в высшей степени нелинейную эволюцию полей ф (х) и ф (х)
согласно уравнению sin-Гордона
"-- <Э2<р , .
—¦ я 2 = k sin ф.
dt2
Этот факт был впервые замечен Коулмэном [29] и более явно
продемонстрирован Мандельштамом [Ш]. Математически ясная
формулировка этого результата, кажется, все еще не найдена.
Ср. [24].
В конце разд. 6.9 мы отмечали, что группа ЛТ отображений
¦R-»-T с компактным носителем может рассматриваться как под-
труппа в Сгез(ЯА). Следовательно, она проективно действует на
Ж^. В работе [24] показано, что при т>0 это дает факторное
представление ЛТ типа III. Так же обстоит дело и с аналогич-
аналогичным действием AUn на 5&д' <">. Это единственные известные нам
примеры представлений группы AG, которые не возникают из
.представлений группы LG.
Глава 11
Теория Бореля—Вейля
В этой главе описывается подход Бореля — Вейля к теории
представлений групп петель. Он позволяет систематически
строить все неприводимые представления как пространства го-
голоморфных сечений линейных расслоений на однородном про-
пространстве У = LG/T и доказать, что все представления вполне
приводимы. Эти результаты в точности соответствуют результа-
результатам о компактных группах, которые были приведены в гл. 2.
Стоит заметить, однако, что этот метод не проясняет, почему
Diff+CS1) действует на представлениях групп петель, так как
диффеоморфизмы не действуют на У голоморфными преобразо-
преобразованиями, ибо не сохраняют подгруппу B+Gc в LGc.
Как обычно, если противное не оговорено, мы говорим «пред-
«представление», подразумевая «гладкое представление с положитель-
положительной энергией». Кроме того, мы предполагаем, что G односвязна.
11.1. Пространство голоморфных сечений
однородного линейного расслоения
В этом разделе мы будем заниматься пространствами голо-
голоморфных сечений линейных расслоений на Y=LG/T=LGc/B+Gc-
Напомним, что B+Gc состоит из граничных значений голо-
голоморфных отображений
у: {z: |z|<l}->Gc,
таких, что у @) лежит в борелевской подгруппе группы Gc, со-
соответствующей положительным корням.
Фиксируем центральное расширение LG группы LG,~
позволяет представить У в виде
Y = LG/f=LGc/B+Gc.
Каждый характер X группы Т канонически продолжается до го-
голоморфного гомоморфизма
X:
чХ
11.1. Пространство голоморфных сечеиий расслоения
257
ибо B+Gc/N+Gc^fc- Это позволяет нам определить голоморф-
голоморфное линейное расслоение
U = (LGcXC)/B+Gc
на Y, задавая действие B+Gc на С с помощью X. (Другими
словами, Lx получается из LGc X С отождествлением (yb, g)
с (y. ЬЪ) для всех Ъ е B+Gc.) Расслоение Lx по построению
однородно относительно LGc в том смысле, что LGc действует
на нем согласованно с действием иа базе У. Действие на У груп-
группы поворотов окружности можно поднять до действия этой
группы на Lx.
Мы будем обозначать пространство голоморфных сечений
расслоения Lx, снабженное компактно-открытой топологией,
символом Гх. Очевидно, что пространство 1\ является голо-
голоморфным представлением группы LGc l), но оно, конечно, может
состоять лишь из нуля. На самом деле мы докажем в разд. 11.3,
что это пространство отлично от нуля, если и только если вес X
антидоминантный. Основная цель этого раздела — доказать, что
верна
Теорема A1.1.1). Если представление Гх ненулевое, то X
антидоминантен и это представление
(i) обладает положительной энергией,
(и) является представлением конечного типа,
(Hi) существенно унитарно,
(iv) неприводимо с младшим весом X, где X рассматривается
как характер группы Т X Т, тривиальный на Т.
Кроме того, если \i — любой другой вес представления Гх, то
ц — X равно сумме положительных корней группы EG.
Доказательство (i) и (ii). Заметим сначала, что действие Т
поворотами на Lx и У индуцирует действие на пространстве се-
сечений Г = Гх, согласованное с действием LGc.
В пространстве У есть плотное открытое множество U, кото-
которое можно отождествить с группой N~Gc (см. разд. 8.7). Дей-
Действие N~Gc определяет тривиализацию линейного расслоения L*
на U. Поэтому ограничение голоморфного сечения расслоения
Lx на U можно рассматривать как голоморфную функцию на
N~Gc и, применяя экспоненциальное отображение, поднять до
голоморфной функции на алгебре Ли N~qc. Сопоставляя каж-
каждому сечению его разложение Тейлора в отмеченной точке, мы
') В частности, любой элемент из Гх—гладкий вектор в смысле разд. 9.1,
17 Зак. 230
258
-. Гл. 11. Теория Бореля—Вейля
получаем инъективное отображение
A1.1.2)
где Sp(F)* обозначает пространство непрерывных симметриче-
симметрических р-мультилинейных отображений VXVX ••• XV->.C.
Отображение A1.1.2) эквивариантно относительно поворотов ок-
окружности, и пространство справа обладает положительной энер-
энергией; поэтому Г также обладает положительной энергией. Тот
факт, что правая часть A1.1.2) является пространством конеч-
конечного типа, неверен, ибо W~gc содержит максимальную нильпо-
тентную подалгебру п~ алгебры Ли дс в качестве подпростран-
подпространства нулевой энергии, и поэтому часть с нулевой энергией в
Ц Sp (М~ЙС)* — это бесконечномерное пространство Ц Sp (njr)\
Но чтобы доказать конечномерность части T(k) с энергией k
в Г, достаточно показать, что часть пространства Г, аннулируе-
аннулируемая п~, конечномерна: действительно, T(k) — это представление
компактной группы G, а любое неприводимое представление
этой группы конечномерно и содержит единственную прямую, ко-
которая аннулируется п~. Так как Л^~9с==по" ©-^о"9с то подпро-
подпространство в правой части A1.1.2), которое аннулируется п^г
равно
П
а это пространство конечного типа.
Прежде чем двинуться дальше, можно установить еще один
факт. Это отображение эквивариантно относительно ТХ?\ если
умножить естественное действие на правой части на характер А,
(т. е. на действие Т X ? на слой Lx в отмеченной точке). Веса
группы Т X Т, которые встречаются в (Af~gc)\ — это положи-
положительные корни группы LG. Отсюда следует, что любой вес из Г
отличается от X на сумму положительных корней, и, значит, X
антидоминантен. (Если (К, Ла) = т>0для некоторого положи-
положительного корня а, то отражение из Waa, соответствующее а, пе-
переведет X в X — та.)
Доказательство (Ш). Естественный способ определить ска-
скалярное произведение на Г — это рассмотреть /Лскалярное про-
произведение относительно некоторой инвариантной меры на У.
К сожалению, ни одной такой меры на бесконечномерном про-
пространстве У пока еще не построено: мы вернемся к этому во-
вопросу в разд. 14.5. Поэтому мы поступим иначе.
11.1. Пространство голоморфных сечений расслоения
259
Начнем с того, что Г обязано содержать хотя бы одно нену-
ненулевое сечение, инвариантное относительно N~Gc, или, эквива-
эквивалентно, которое аннулируется Af~gc. Действительно, простран-
пространство векторов минимальной энергии аннулируется алгеброй Ли
L^~gc и в то же время является представлением группы Gc- лю-
любой вектор младшего веса для Gc в этом представлении аннули-
аннулируется алгеброй Ли По" и, значит, алгеброй Ли ЛГ~дс,
С другой стороны, сечение, инвариантное относительно N~ =
= N~Gc, полностью определяется своим значением в отмечен-
отмеченной точке У. Действительно, два таких сечения, совпадающие
в отмеченной точке, должны совпадать на орбите N~b У, а эта
орбита плотна в У. Пространство ЛГ"-инвариантных сечений по-
поэтому одномерно и, очевидно, инвариантно относительно группы
В~ = B~Gc, которая действует на нем с помощью голоморфного
гомоморфизма к: В~—>СХ.
Пусть <геГ обозначает единственное ЛГ~-инвариантное сече-
сечение, которое равно 1 в отмеченной точке. Вспоминая, что сече-
сечения s расслоения Lx — это то же самое, что голоморфные отобра-
отображения s: LGc —> С, удовлетворяющие условию
для всех b e B+, мы можем, используя а, определить комп-
комплексно-линейное отображение , .-.,-••
Р: Г'-* Г,
полагая р(е) -у = &(у-о) для ееГ и yg LGc- (Проверяя,, что
e(yb~l-s) = k(b)e(ys) для бе В+, нужно заметить, что так как
к: Гс—>СХ — комплексификация гомоморфизма X: Т-*-Т, то
справедливо соотношение X(t) — X(i)~l.) Легко видеть, что ото-
отображение р эквивариантно относительно LG, хотя и не эквива-
эквивариантно относительно LGc. Оно коммутирует также с поворо-
поворотами окружности, т. е. сохраняет уровни энергии.
Отображение р определяет полуторалинейное скалярное про-
произведение < , > на Г*:
A1.1.4)
Это скалярное произведение эрмитово, т. е.
Достаточно доказать A1.1.4) для элементов Г* вида eY, где для
уе?(? по определению e.Y(s) = s(y-l)~. Для них справедливо
17*
260
Гл. 11. Теория Бореля—Вейля
соотношение
а эрмитовость вытекает из тождества
о (у ') == о (у),
которое выполняется, потому что у<—э-ст^)"— это А/~-инва-
риантный элемент из Г и поэтому обязан совпадать с ст. (Эле-
(Элементы еу порождают плотное подпространство в Г*, так как если
Ey(s) = 0 для всех у, то s = 0.)
Форма A1.1.3) rG-инвариантна, и подпространства фикси-
фиксированной энергии Г* (k) для k ^ 0 взаимно ортогональны. Теперь
мы докажем, используя оператор Казимира — следуя аргу-
аргументам Гэрленда [54], — что эта форма положительно опреде-
определена. Из этого следует, что р отображает каждое конечномер-
конечномерное пространство Г*(&) изоморфно на Г(&), а потому простран-
пространство векторов конечной энергии в Г приобретает положительно
определенное скалярное произведение. По непрерывности это
скалярное произведение окажется положительно определенным
на Г*. Это завершит доказательство A1.1.1) (iii).
Оператор Казимира А из разд. 9.4 действует на Г*, ибо все
векторы в Г гладкие, и действие Т на Г поворотами, очевидно,
расширяется до "IP-действия, если g разлагается в произведение
р простых или абелевых алгебр Ли.
Элемент ei e Г*, который задается значением сечения в от-
отмеченной точке,— это циклический вектор для Г*, так как vei =
= eY, а векторы eY порождают Г*. Он аннулируется также ал-
алгеброй Ли N~qc, инвариантен относительно поворотов, а отно-
относительно действия Т имеет вес А. = (А-, /г). Как и в (9.4.9), мы по-
получаем, что А действует на Г* умножением на
Заметим, что р (в[) = ст, а значит, <еь ei> = 1.
Мы хотим доказать, что <е, е> > 0 для любого ненулевого
элемента е из T*(k). Проведем индукцию по k — результат спра-
справедлив при k = Q, ибо пространство Г@) не содержит векторов
младшего веса для G, отличных от а, а потому является непри-
неприводимым представлением группы G, и, значит, на нем есть по су-
существу единственное G-инвариантное скалярное произведение.
Мы можем также считать, что е — весовой вектор относи-
относительно действия ~f" X Т с весом р =.(k. \\.h). (Здесь к =(&ь • - -
11.1. Пространство голоморфных сечений расслоения
261
_.., kp) — это «мультиэнергия» и ?&, = &.) Мы можем считать
также, что ft антидоминантен, ибо этого можно добиться дей-
•ствием на в элемента из Wa.n. Тогда мы получаем
Напомним (см. разд. 9.4), что
Поэтому
а. л>0
Ае> =
- S (Л + с,) к,) <е, е> -
- S (h + с,) к,) <е, е> +
(б,
•ибо (е~пе, е~пе\ ^0 по предположению индукции. Чтобы полу-
получить, что <е, е> > 0, и закончить доказательство, нам нужно
знать, что
с*. > Сц — Z (Л + с,) кг
3 обозначениях (9.4.10) мы имеем
Зто выражение строго положительно, так как ft — к — сумма по-
положительных корней, и (h-{- ii — 2р, а,-> < 0 для любого про-
простого корня а,-, ибо к и ii — антидоминантные веса, а <р, а;> = I.
Доказательство A1.1.1) (iv). Мы знаем теперь, что р: Г*->Г
индуцирует изоморфизм частей конечной энергии. Мы знаем
также, что пространство Г* циклично и порождено вектором
младшего веса ei и что Г не содержит векторов младшего веса
(т. е. ЛА--инвариантных векторов), отличных от скалярных крат-
кратных o = P(ei). Отсюда следует, что Г неприводимо как пред-
представление группы Т X LG, так как любое представление должно
¦ содержать вектор младшего веса по тем же причинам, что и
само Г. Используя (9.2.3), мы можем заключить, что Г непри-
неприводимо и как представление группы LG.
262
Гл. 11. Теория Бореля—Вейля
Замечания A1.1.5). (i) Мы отмечали в процессе доказатель-
доказательства, что действие Т на Г продолжается до действия Тр, если д.;
разложено в сумму (ji Ф ... Ф др. Принимая во внимание ре-
результат следующего раздела о том, что все представления груп-
группы LG существенно эквивалентны суммам представлений вида Г,.
мы получаем, что Т-Действие на любом представлении всегда
продолжается до Тр-действия.
(ii) Подгруппа B+Gc не инвариантна относительно действия
диффеоморфизмов окружности. Она, правда, инвариантна отно-
относительно подгруппы PSL2('R), состоящей из диффеоморфизмов,,
продолжающихся до голоморфных автоморфизмов единичного
диска. Таким образом, действие Т на любом представлении:
всегда продолжается до действия PSL2(R).
11.2. Разложение представлений: полная приводимость
В этом разделе мы докажем, что все представления групп,
петель являются по существу суммами представлений того типа,
который обсуждался в предыдущем разделе.
Начнем с произвольного гладкого представления Е положи-
положительной энергии. Если гладкий вектор |е? разлагается как.
|= Yj lit в соответствии с «энергией», так что |* е E(k), то каж-
каждая компонента |ft — тоже гладкий вектор, так как ее можно»
представить в виде
2я
и так как производная yRel no ^e -CG непрерывна по 7 и 6-
Из этого следует, что гладкие векторы плотны в каждом под-
подпространстве E(k).
Антидвойственное представление Е* также обладает положи-
положительной энергией; фактически Е* (к) антидвойственно к E(k).
Мы можем также предполагать, что минимальная энергия, встре-
встречающаяся в Е, равна нулю. Тогда ?*@) — представление ком-
компактной группы G. Выберем вектор младшего веса е для G
в Е* @); он будет обладать определенным весом i, относительно
тора Т в LG. Используя е, мы можем определить отображение
из ? в пространство непрерывных сечений линейного расслоения
Lx = LG Xf С на Y = LG/T, которое изучалось в предыдущем раз-
разделе. Элементу |е? мы сопоставляем S|: ?G->.G, заданное
как
S (y) =
11.2. Разложение представлений: полная приводимость 263
Лемма A1.2.2). Сечение sg является голоморфным сечением
Доказательство. Предположим сначала, что | — гладкий век-
вектор. Тогда сечение s6 гладко. Мы утверждаем, что его производ-
производная комплексно-линейна. Из формулы A1.2.1) и однородности
комплексной структуры на Y следует, что достаточно рассмот-
рассмотреть производную в отмеченной точке. Это отображение
Zg/t — C,
переводящее v в —e(v-g). Мы должны показать, что когда оно
продолжается до комплексно-линейного отображения
-.то обращается в нуль на iV+gc = n+ 0 L?%c. Но е обращается
в нуль на E{k) при k > 0; поэтому e(v •?) — (), если veL0+jc.
А если v е п+, то е (v ¦ i) = —r (v • е) • (|) = 0, так как е — вектор
младшего веса для G и потому аннулируется элементами
-vene". Поэтому s, голоморфно, если | — гладкий вектор.
Наконец, заметим, что 1>—^si — 3to непрерывное отображе-
отображение из Е в пространство непрерывных сечений с компактно-от-
компактно-открытой топологией. А голоморфные сечения образуют в этом
.пространстве.замкнутое подпространство, и потому из голоморф-
.ности $i при |, принадлежащем плотному подмножеству гладких
векторов, следует, что s^ голоморфно при всех |.
Для любого вектора младшего веса е е Е* с весом к мы по-
получили непрерывное отображение яе: ?->1\. Но мы знаем из
разд. 11.1, что Гх неприводимо, а значит, по лемме Шура полу-
получаем, что справедлива
Теорема A1.2.3). Любое неприводимое представление группы
. LG существенно эквивалентно некоторому Гх.
Чтобы разложить представление Е, которое не является не-
неприводимым, мы хотели бы определить отображения из наших
стандартных неприводимых представлений в Е. Это легко сде-
сделать. Мы знаем, что гладкие векторы в ?"@) образуют плотное
.подпространство, инвариантное относительно действия G. Выбе-
Выберем гладкий вектор |, который является вектором младшего
веса для G. Тогда можно определить отображение ?*->I\ та-
.кой же формулой, как A1.2.1), т. е. ei—>sE, где se(y)= e(v-1-i)-
(Теперь, впрочем, % — это вес ?.) Доказательство того, что se
.голоморфно, в этом случае чуть легче, так как. ?_е,' очевидно,
гладко для всех е. Двойственное к отображению Е*~>Тх — это
264
Гл. 11. Теория Бореля—Вейля
отображение
щ: К~>Е.
Если ei — канонический циклический вектор в Г^ (см. разд. 11.1),.
To©?(ei)=i.
Замечание A1.2.4). Сейчас мы доказали предложение (9.2.4),.
так как если | — циклический вектор для Е, то щ должно быть,
существенной эквивалентностью по лемме Шура, и в конструк-
конструкции cog мы не использовали никаких свойств Е или |, кроме тогок.
что | — гладкий вектор, аннулируемый iV~gc.
Если рассмотреть композицию coj и яе, то результирующее-
отображение 1\ —*¦ 1\ должно переводить ei в ^"-инвариантное
сечение. Беря его значение в отмеченной точке, получаем, что-
e'i отображается в е(|)ст, где а—каноническое сечение 1*. (Мы?
предполагаем здесь, что | и е имеют одинаковый вес.) Если на-
начать с вектора младшего веса | е Е, то всегда можно выбрать-
вектор младшего веса ее?*с тем же весом, такой, что е(?) =
= 1. Тогда композиция яе ° щ — это существенная эквивалент-
эквивалентность, описанная в разд. 11.1. Если Ее — замкнутое подпростран-
подпространство в Е, порожденное \, а Е^ — ядро яе, то Е^ существенно*
эквивалентно Тх, а Е~ ф ?V- плотно в Е. (Фактически, так как
Е% — пространство конечного типа, то Е^ (k) ф Е? (k) = Е (k}
для всех k.) Выбирая вектор младшего веса в Е? и повторяя'
те же рассуждения, мы получаем
Предложение A1.2.5). Любое представление группы LG ко-
конечного типа существенно эквивалентно сумме неприводимых
представлений вида 1\.
Для доказательства (9.3.1) (и) — откуда остаток теоремы/
(9.3.1) немедленно следует с учетом известных свойств Гх —
мы должны только избавиться от ограничения, что представле-
представление в предложении A1.2.5) должно быть представлением конеч-
конечного типа. Сейчас мы объясним, как это можно проделать.
Самое главное—заметить, что если Я,— младший вес, встре-
встречающийся в Е, то от Е можно отщепить изотипическую часть
типа 1\. Этого достаточно, так как можно предполагать, что
представление Е имеет фиксированный уровень h, а значит, воз-
возможные значения Я- образуют счетное множество, в котором для
любой энергии k имеется лишь конечное число Я,, таких, что
Пусть Я, обладает минимальной — скажем, нулевой — энергией'
в ? и является вектором младшего веса для G. Пусть А с: ?@) —
11.3. Существование голоморфных сечений
265
соответствующее весовое пространство. Имеется естественный
Т X f-инвариантный оператор проектирования а: Е-*-А, кото-
который можно считать также антилинейным отображением а: Е-+-
—*-Л. Пусть Ьд обозначает^ однородное голоморфное векторное
расслоение на У со слоем А, и пусть Та обозначает его простран-
пространство голоморфных сечений. Тогда наша стандартная формула
I1—*-sg, где st(y)= a(Y-1i), определяет отображение яд: Е-*-Та-
Обратно, для любого гладкого вектора |еЛ мы имеем ото-
отображение щ: Ту.->Е. Оно антилинейно зависит от |, и мы мо-
можем, собирая все отображения ©^ вместе, определить
©л: А ® И -> Е.
.Доказательство заканчивается, как раньше, если мы покажем,
что композиция _
ялоа,л: А ® ГХ-^ТА
инъективна и имеет плотный образ. Инъективность очевидна,
так как ее необходимо проверить только для конечномерных
подпространств в А. Плотность образа следует аналогичным об-
образом из стандартного замечания, состоящего в том, что U Гв
плотно в Та, если В пробегает все конечномерные подпростран-
подпространства в А.
11.3. Существование голоморфных сечений
В этом разделе мы докажем
Предложение A1.3.1). Линейное расслоение Ь%. на Y обла-
обладает ненулевыми голоморфными сечениями, если и только если
вес X антидоминантен.
Напомним, что Я, антидоминантен, если X(ha)^0 для всех
положительных кокорней ha в LG.
Необходимость условия антидоминантности устанавливается
очень легко1). Для любого положительного корня а —(л, а)
с а.Ф 0 существует гомоморфизм и: SL2(C)-*LGc (см. разд,
5.2), ограничение которого на диагональные матрицы в SL2(,C) —
жокорень ha: Сх-*?с- (В этом обсуждении мы будем
рассматривать ha и как гомоморфизм Сх->Гс, и ^сак эле-
элемент из tc. Аналогично X — это как гомоморфизм Гс->С ,
так и элемент из 1с. Композиция Я. ° ha: Cx—>-Cx отождеств-
отождествляется с целым числом Х,(/г,д).) Положительность а влечет за со-
4) Фактически это уже было доказано в A1.1.1), но мы приведем аргу-
аргументы другого характера, которые тоже поучительны.
266
Гл. 11. Теория Бореля—Вейля
бой включение i,(B+)cB+Gc, где В+— совокупность верхних
треугольных матриц из 5L2(C). Таким образом, /о индуцирует
голоморфное отображение из сферы Римана в У
».: S2 = SL2 (Q/B+ -> У, A1.3.2)*
и обратный образ La на S2—линейное расслоение, ассоциирован-
ассоциированное с характером %°ha тора в SL2(C). Это линейное расслое-
расслоение обладает ненулевыми голоморфными сечениями, если ю
только если целое число k°ha = k(h«) меньше или равно 0..
С другой стороны, если Lx обладает ненулевыми голоморфными,
сечениями, то по однородности Lx обладает голоморфным сече-
сечением, не обращающимся в нуль в отмеченной точке. Отмечен-
Отмеченная точка принадлежит ia(S2); поэтому TLX имеет ненулевые се-
сечения И к (fla) ^0.
Обратно, мы докажем, что если к — антидоминантный вес,,
то у расслоения Lx есть сечение а, инвариантное относительно!
N~ = N~Gc и равное 1 в отмеченной точке. Мы напомним (см..
разд. 8.7), что орбита отмеченной точки относительно действия
N образует открытое плотное подмножество U в связной ком-
компоненте этой отмеченной точки в У и что У покрывается сдви-
сдвигами wU множества U с помощью элементов аффинной группы
Вейля Waff. (Мы предполагаем, что для каждого элемента w e
е Watt выбран представитель дое LG.) ДействиеN~ определяете
голоморфную тривиализацию Lx IU, относительно которой сече-
сечение 0 — это постоянная функция 1. Аналогично wU — это орбита
точки yw e У под действием wN~w~l, и действие последней груп-
группы определяет тривиализацию расслоения Lx | wU. В терминах
этих тривиализаций сечение 0 расслоения Lx — это согласован-
согласованный набор голоморфных функций фи,: wN~w~l —*- С.
Далее (см. разд. 8.7),
wN~w~l — Nw ¦ Aw,
где Nw = N~ [\wN~w~1 и Aw — N+ f\ wN~w~\ Если сечение а
^/--инвариантно, то фш инвариантно относительно левого дей-
действия iV^, и поэтому фш фактически является функцией на ко-
конечномерной группе Aw, размерность l(w) которой равна кораз-
коразмерности страта 2ш = N~yw = N~yw многообразия У, соот-
соответствующего до, т. е. числу отрицательных корней, которые ста-
становятся положительными при действии до. Мы построим функ-
функции фш индукцией по l(w), начиная с q>i = 1.
Единственный элемент до, для которого /(до) = 0, — это еди-
единица. Из разд. 8.7 мы знаем, что пересечение wU с объедине-
объединением w'U при l(w') < l(w) — это wU — 2W, и в качестве пред-
11.3. Существование голоморфных сечений
267
положения индукции мы можем полагать, что функция фш уже
¦определена и ^"-инвариантна на N^ • (Aw — О}'-
Разберем теперь два случая. Если l(w)— dimЛш > 1, то по
теореме Хартогса любая голоморфная функция на Aw—{1} ав-
- тематически продолжается до голоморфной функции на всем
Aw. С другой стороны, если l(w)= 1, то до — это отражение от-
относительно простого аффинного корня а, и мы можем проделать
явное вычисление. Подгруппа Aw — это однопараметрическая
подгруппа, порожденная корневым вектором еа, и точка
ехр(л:ео) • г/шиз wU принадлежит U, если х?=0. Действительно,
\из соотношения
/1 х\( 0 1\/1 0\/-* О 4/1 -Г'\
U l/V-i oJ^U 1Д о -х-1 До i /
в SL2(C) мы получаем, применяя гомоморфизм ia, что
ехр (хеа) • до = ехр (х~1е-*) ¦ Л» (— х) ехр (— х~1еа).
Это означает, что точка
(ехр (хеа) ¦ до, |)
совпадает с
(ехр (x~le-a), A- (ha (— х)) I),
откуда мы получаем, что
еа)) = к (ha (— х))~1 = (— х)
Поэтому фа> голоморфно продолжается в точку х = 0, если и
только если Я,(/га)^О, т. е. если и только если вес к антидоми-
нантен. Это заканчивает доказательство существования голо-
голоморфного сечения 0.
Переформулировка в терминах биинвариантных функций на LGc
ЛГ"-инвариантное сечение а расслоения Lx — это то же са-
самое, что голоморфная функция a: LGc-*С, удовлетворяющая
¦соотношениям
o(yb-l) = k(b)o(y) для 6ей+,
а (пу) = а (у) для n^N~.
:Если G односвязна, так что N~ ¦ fc ¦ N+ образует плотное под-
подмножество в LGc, то мы можем сказать также, что а — это го-
-ломорфная функция LGc->C, инвариантная относительно ле-
268
Гл. 11. Теория Бореля—Вейля
вого действия N~ и правого действия N+, ограничение которой
на Тс совпадает с к. Заметим, что а(у) — это «вакуумное среднее,-
значение» у в унитарном представлении группы LG, соответ-
соответствующем X, т. е.
где Q — по существу единственный ^--инвариантный вектор в.
этом представлении. Стоит еще раз сформулировать то, что мы.
уже доказали, в терминах алгебры F таких -/V~X ^-инвариант-
^-инвариантных функций.
Точнее, мы определим F как градуированную алгебру. Центр-
Т группы LG действует на LGc, коммутируя с левым и правым
умножениями, а потому действует на Лг~ХЛ^+-инвариантных:
функциях. Пусть Fh обозначает подпространство N~ X N+-инва-
N+-инвариантных голоморфных функций на LGc. на котором иеТ дей-
действует как uh\ пусть F=0 f/,. Тогда F — это плотная подал-
гебра в алгебре всех N~ X Л^+-инвариантных голоморфных функ-
функций. Мы можем теперь сформулировать
Предложение A1.3.3). Если G односвязна, то
(i) любой доминантный вес к: Т-»-Т единственным образом:
продолжается до голоморфной функции ах е F;
(п) ах образуют базис алгебры F как векторного простран-
пространства.
Этот результат в точности совпадает со своим конечномер-
конечномерным аналогом. Рассмотрим, например, группу SLn(C). Если iV^,.
как обычно, обозначают группы строго верхних и нижних тре-
треугольных матриц, то на 5Ln(;C) есть п—1 базисных N~y^N+--
инвариантных функций сть ..., Стп-ь Для А е SLn(C) имеем:
Ok(A) = det(Ak), где Ak — главная k X ^-подматрица в А, т. е..
Ok — матричный элемент базисного неприводимого представле-
представления в Л*(С"). Полиномиальная алгебра lC [<у\, ¦¦-, оп] плотна*
в алгебре iV~X iV+-инвариантных голоморфных функций на
SLn(.C) и, очевидно, как векторное пространство обладает бази-
базисом, занумерованным положительными весами.
Случай LSUn
В случае базисного представления LSUn мы можем записать,
голоморфную функцию а более явно, так как LSUn. — это (ср.
разд. 6.7) подгруппа в связной компоненте единицы группы GLZ*.,
и а продолжается на большую группу.
Н.4. Условие гладкости
269
Напомним, что элемент из GLZs, о— это класс эквивалент-
эквивалентности пар (A, q), где
л =
GLt
а оператор q e GL(H+) таков, что aq~l — 1 — оператор со сле-
следом. Мы можем определить голоморфное сечение a: GLZs.o—>C,
полагая
a (A, q) = det(aq-1);
оно обращается в нуль в точности тогда, когда матрица с необ-
необратима. Инвариантность этой функции относительно левого дей-
действия GL~ и правого действия GL+ очевидна. Здесь GLr — под-
подгруппа в GL~es, состоящая из элементов вида
/fa 0\ \
\Хс d)'a)'
и GL+ определено аналогичным образом. Отсюда следует, что
ограничение а на LSUn — это именно та функция, которая нас
интересовала.
11.4. Условие гладкости
Мы ограничились представлениями групп петель положитель-
положительной энергии, которые являются гладкими. Предположение о глад-
гладкости, возможно, излишне: известно, что это так, если G = SUn-
Мы дадим набросок доказательства этого факта окольным путем.
Начнем с односвязной группы G. Тогда в однородном про-
пространстве Y = LG/T есть плотное подпространство УРО1, которое
является орбитой отмеченной точки у\ относительно действия
группы полиномиальных петель LpoiG (см. разд. 3.5). Мы видели
в гл. 8, что Ypoi есть объединение семейства конечномерных кле-
клеток Cw, занумерованных элементами аффинной группы Вейля
Watt. Замыкание Cw — это компактное комплексное алгебраиче-
алгебраическое пространство, как правило, имеющее особенности.
Фиксируем однородное линейное расслоение Ly. на У и обо-
обозначим символом Taig пространство сечений расслоения Ljjypoi,
алгебраических на Cw для каждого га. Снабдим Taig топологией
равномерной сходимости на Cw для любого га. Имеется непре-
непрерывное отображение Г->Г31е, где Г — пространство голоморф-
голоморфных сечений расслоения Lx, так как любая голоморфная функ-
функция на компактном алгебраическом многообразии является ал-
алгебраической. Группа полиномиальных петель ZpoiGc действует
На T
270
Гл. II. Теория Бореля—Вейля
Предложение A1.4.1). Отображение Г-^Faig инъективно, и
его образ плотен.
Доказательство. Инъективность следует из того, что Ypoi
плотно в У, и потому достаточно показать, что Faig — неприводи-
неприводимое представление группы Lpo\G. Это утверждение доказывается
точно так же, как и неприводимость Г; оно следует из трех на-
наблюдений:
(i) пространство Faig обладает положительной энергией,
(П) полиномиальная часть группы N~Gc действует на Ypoi
с плотными орбитами и
(iii) полиномиальная алгебра Ли ?ро19с действует на про-
пространстве Faig, а следовательно, на нем действует и оператор
Казимира.
Для доказательства того, что у LG нет других представле-
представлений, кроме тех, которые мы уже изучали, т. е. для доказатель-
доказательства того, что все представления с положительной энергией глад-
гладкие, достаточно, согласно методу разд. 11.2, доказать, что для
любого представления Е можно построить отображения
щ: E*-*Ta\g,
аналогичные отображениям в Г, построенным в гладком слу-
случае1). Если элемент w из Watt записан в виде произведения
w = р р Р отражеий
w = ра ро
12
att де произведения
Ра отражений, соответствующих простым корням
к
р р
ai группы LG, то замкнутая клетка Сш — это образ отображения
SU2X ... XSU2~>Y,
заданного формулой
k
Отображение A1.4.2), очевидно, пропускается через простран-
пространство
Zw = SU2 Хт SU2 Хт .. • Хт SU2/T,
которое является итерацией расслоения на 2-сферы на 52. (За-
(Заметим, что Zw зависит от выбора разложения элемента w.) Да-
') Это покажет нам, что как представление группы ?poiG Е существен-
существенно эквивалентно произведению пространств вида Faig. Но тогда плотное
подпространство Е в Е изоморфно произведению подпространств ralg = Г.
Отсюда следует, что у Е имеется единственное гильбертово пополнение, кото-
которое является гильбертовой суммой стандартных представлений, которые нам
уже известны как представления группы Z,poiG, а по непрерывности — и как
представления группы LG.
11.4. Условие гладкости
271
лее, Zw обладает естественной структурой комплексного много-
многообразия, так как его можно описать и в виде
XB+PaJB+,
где
at = ia. (SL2 (С)) • B+ с LGC.
Сюръекция q: Zw ->• Cw является бирациональной эквивалент-
эквивалентностью алгебраических многообразий, и имеется также сюръек-
тивное голоморфное отображение
р: SL2(C)X...XSL2(Q->Zm.
Чтобы определить яе: ?->-raig, мы должны показать, что
формула A1.2.1) для S| определяет элемент из Faig. В силу не-
непрерывности и линейности мы можем предполагать, что | яв-
является весовым вектором относительно действия тора Т из LG.
Но тогда | преобразуется как вектор конечномерного представ-
представления каждой из групп Ц {SU2), и то же самое справедливо и
для 7-| при любом 7 e ?G- Так как любое конечномерное пред-
представление группы SU2 голоморфно продолжается до представ-
представления SL2(C), из этого следует, что обратный образ ограниче-
ограничения S? на Cw относительно
qp: SL2(C)X .-. XSL2(C)~>ZW~>CW
голоморфен. Сечение s% голоморфно или, что эквивалентно, ал-
гебраично и на Zw, так как р — голоморфное слоение. Чтобы
получить алгебраичность s^\Cw, мы должны знать, что простран-
пространство Cw нормально в смысле алгебраической геометрии. Если
это верно, то доказательство завершается, так как точно такие
же рассуждения позволяют построить отображение со^: E*-*-Taig.
Вообще говоря, не известно, являются ли замкнутые клетки
Брюа Cw нормальными. Для G = SUn нормальность была дока-
доказана Люстигом (ср. работу [106], результаты которой надо объ-
объединить с результатами из [95]), что позволяет нам сформули-
сформулировать
Предложение A1.4.3). Любое представление группы LSUn
положительной энергии существенно эквивалентно гладкому
представлению.
Глава 12
Спинорное представление
Ортогональная группа О2п имеет очень интересное неприво-
неприводимое проективное унитарное представление размерности 2", ко-
которое называется спинорным представлением. В первых двух
разделах этой главы мы опишем его настолько явно, насколько
это возможно, а потом перейдем к обсуждению бесконечномер-
бесконечномерного случая, который в числе прочего дает конструкцию базис-
базисного неприводимого представления группы петель LO2n.
12.1. Алгебра Клиффорда
Если мы отождествим пространство R2", на котором действует
О2п, с С, то можно считать унитарную группу Un подгруппой
в О2п. Группа Un естественно действует на .С", и ее действие на
внешних степенях Л*(С"), 0 < k < n, неприводимо. Эти пред-
представления, конечно, не продолжаются до представлений группы
О2п, но если рассмотреть их вместе, то действие Un на 2"-мер-
П
ном пространстве Л (С") = 0 Л* (С") продолжается до проек-
тивного представления группы 02п. Это и есть спинорное пред-
представление.
Простейший и наиболее традиционный способ описать дей-
действие О2п на внешней алгебре Л (С") использует алгебру Клиф-
Клиффорда. Пусть V — вещественное векторное пространство со ска-
скалярным произведением В. Алгебра Клиффорда C(V) простран-
пространства V — это алгебра над полем вещественных чисел, которая
содержит V как векторное подпространство и порождается его
элементами, причем любые два элемента оь v2 e V подчиняются
единственному соотношению
= 2B(t>[, v2).
A2.1.1)
То есть если {ег, ..., ет} —ортонормированный базис в V, то е,-
антикоммутируют в C(V) и е\ = 1. Далее, 2т элементов е-не1% . ..
. . . eik для ix < i2 < ... < ik образуют базис для С(V) как век-
векторного пространства.
12.1. Алгебра Клиффорда
273
Алгебра Клиффорда (по крайней мере для конечномер-
конечномерных V) содержит алгебру Ли o(F) ортогональной группы O(V)
в качестве подалгебры, т. е. как векторное подпространство, зам-
замкнутое относительно коммутатора [а, Ь] = аЬ — Ьа. Действи-
Действительно, в ортонормированном базисе алгебра Ли o(V) состоит
из вещественных кососимметричных т X m-матриц. Матрицы
Ец — Ец для i < /, где в матрице Ец на (г, /) месте стоит еди-
единица, а на остальных — нули, образуют базис ортогональной
алгебры Ли; легко проверить, что элементы е,е//2 в C(V) удов-
удовлетворяют точно тем же коммутационным соотношениям, что и
Ец — Ец. (Для более элегантного и инвариантного описания
этого изоморфизма можно было бы сначала отождествить ал-
алгебру Ли o(V) с A2(V), а затем отобразить A2(V) в C(V), по-
полагая Vi A v2 ¦—* (viv2 — v2vl)/2.) Вложение о(V) в C(V) характе-
характеризуется соотношением
[a, v] = A(v)
A2.1.2)
в C(V), где а — элемент из C(V), соответствующий А ео(У).
Из предыдущих замечаний следует, что алгебра Ли группы
О(V) действует на любом векторном пространстве М, на кото-
котором действует алгебра C(V); и если М конечномерно, мы мо-
можем взять экспоненту и получить (возможно, многозначное)
представление связной компоненты единицы SO(V) группы
O(V). Фактически любое представление группы SO(V), полу-
полученное таким способом, двузначно, поскольку, в то время как
ехр2я(?г7 — Ец)= 1, (е,е//2J= — 1/4 в C(V) и, следовательно,
ехр 2я(егб//2) = —1.
Элементы алгебры Ли группы O(V) можно экспоненциро-
вать в конечномерной алгебре C(V). Эти экспоненты порождают
подгруппу Spin(V) в группе обратимых элементов из C(V).
Если g e Spin(F) и и е У, то
= Tg(v) A2.1.3)
в C(V), где Tg — элемент из SO(V), соответствующий g. (Это
непосредственно следует из A2.1.2).)
Хорошо известно, что ортогональная группа O(V) порож-
порождена отражениями относительно гиперплоскостей в V. Но если
не V не равен нулю, то uvu~l = —pu(v) в C(V), где ри — отра-
отражение в гиперплоскости, перпендикулярной к и. И. если dim V
четна и мы определим Pin(F) как подгруппу, порожденную еди-
единичными векторами из V в подгруппе обратимых элементов
C(V), то получим сюръективный гомоморфизм Pin(V)->O(V),
который характеризуется свойством A2.1.3). Несложно пока-
показать, что группы Pin(V) — это двулистное накрытие группы O(V)
и что Spin(V) является связной компонентой единицы в Pin(V).
18 Зак. 230
274
Гл. 12. Спинорное представление
Мы не будем, однако, развивать этот подход, так как он не очень
полезен в бесконечномерной ситуации.
Сейчас мы должны описать, как C(R2n) действует на Л(С")'..
Пусть /: V->- V — отображение, такое, что J2 = —1, которое оп-
определяет комплексную структуру на V = R2". Мы можем про-
продолжить / до комплексно-линейного отображения Vc—*-Ус. Комп-
лексифицированное пространство распадается в сумму
VC = W ®W A2.1.4)!
собственных пространств для /, соответствующих собственным1
значениям I и —/. Комплексное векторное пространство, опре-
определяемое парой (V,/), отождествляется с W, т. е. удобнее рас-
рассматривать его как комплексное подпространство в Vc, з. не
отождествлять его как множество с V. Мы будем предполагать,,
что / сохраняет скалярное произведение В на У и продолжим
это скалярное произведение до комплексной билинейной формы
на Vc — она не эрмитова. Ясно, как следует определять алгебру
Клиффорда C(Vc) для комплексного векторного пространства;
Vc' Vc содержится в C(Vc) как комплексное подпространство,,
порождает ее и любые элементы vi, v2 e Vc удовлетворяют со-
соотношениям A2.1.1). Эта алгебра совпадает с комплексифика-
цией исходной алгебры C(V). Мы докажем
Предложение A2.1.5). Внешняя алгебра A(W) является мо-
модулем над C(Vc). Фактически C(Vc) можно отождествить с ал-
алгеброй 2" X 2п-матриц всех комплексно-линейных преобразова-
преобразований алгебры A(W).
Доказательство. Заметим сначала, что W—изотропное под-
подпространство в Vc, т. е. что B(wu ay2) = 0 для всех шь w2 e W..
(Действительно, В (wu w2) = В (Jwu_Jw2) = В (iw\, iw2) — —В (wi,
w2).) Сопряженное пространство W также изотропно. Поэтому
C(Vc) содержит внешние алгебры A(W) и Л (IF) в качестве
подалгебр. Кроме того, алгебра С (Vc) порождена W и W, кото-
которые удовлетворяют антикоммутационным соотношениям
, w2)
A2.1.6)
для всех Ш[ е W, w2 e W.
Алгебра A(W) действует на себе левым умножением. С дру-
другой стороны, для любого а из двойственного пространства W*
имеется антидифференцирование
Da: A(W)->A(W),
12.1. Алгебра Клиффорда
275
которое понижает степень на единицу и характеризуется двумя
свойствами
(i) Da (g л л) = Da (g) л л + (- Ddeg(yi л Ал,
(ii) Da (w) = a (w) для w s W.
A2.1.7)
Легко проверить, что Da и Dg антикоммутируют для всех а, ре
е W*. Билинейная форма на Vc отождествляет W с W*. Мы
¦определим действие A{W) на Л (IF) так: w действует как Da,
где a=2B(w, •)• Тогда соотношение A2Л.7) превращается
в A2.1.6), и, значит, действия A(W) иА(?) определяют дей-
действие C(Vc). (Действие элементов из W и W на A(W) в кванто-
квантовой теории поля называют действием «операторов рождения и
уничтожения».)
Чтобы убедиться в том, что С (Vc) — алгебра всех эндомор-
эндоморфизмов алгебры A(W), заметим, что C(Vc) и End (Л (W)) имеют
•одинаковые размерности как векторные пространства и что
2" X 2" элементов
W\W2
... W}q
в C(Vc), где {wi, ..., wn)—базис в W, такой, что 2B(wi,ws) =
— 8ij, a {k, ..., ip} и {/ь ..., jq} пробегают подмножества из
{I, ..., «}, соответствуют естественному базису в En&A(W).
Из A2.1.5) почти сразу следует, что представление группы
Pin(F) на A(W) неприводимо (ср. разд. 12.5); мы дадим совер-
совершенно иное доказательство неприводимости в разд. 12.3. Если
мы разделим четные и нечетные степени, записывая
Л (W) = Aeven (W) 0 Aodd (W),
то связная группа Spin(V) сохраняет это разложение, a Aeven(lF)
ъ AOUU(W) — неэквивалентные неприводимые представления
группы Spin(V): они неэквивалентны даже как проективные
представления подгруппы U(W) в O(V).
Замечание. Двулистное накрытие группы U(W), которое по-
получается ограничением накрытия Spin(F) на U(W), можно опи-
описать явно как
U{W)~ = {(A, u)t=U(W)XT: u2 = detA}.
•Оно действует на A(W), сохраняя все Ak(W),a (А, и) действует
на Ak(W) оператором u~lAk(A). Разумеется, при действии на
проективном пространстве это стандартное действие U(W) на
A(W).
В заключение этого раздела заметим, что A(W) обладает
естественным эрмитовым произведением и является относитель-
18*
276
Гл. 12. Спинорное представление
но него (конечномерным) комплексным гильбертовым простран-
пространством. Для wu w2 e W мы положим
(wu w2) = 2B(wu w2) A2.1.8>
и вообще
(wl A w2 А .. . Л wk, w[ Л ... Л w'k) = det ((w{, w'j)).
^W и ш е IF на Л(№) сопряжены относительно-
Действия
(Л.
для l,t\^A(W). Из этого следует, что элементы из V действуют-
самосопряженными операторами и что элементы алгебры Ли;
о (У) кососимметричны. Поэтому спинорное представление уни-
унитарно.
12.2. Вторая конструкция спинорного представления
Наша следующая цель — описать глобальную, а не инфини-
тезимальную конструкцию спинорного представления, которая-
будет обобщаться на бесконечномерный случай. В предыдущем-
разделе, вводя комплексную структуру на V = R2n, мы предста-
представили Vc в виде W®W, где W—изотропное подпространство-
в Vc, и реализовали спинорное представление на внешней алгебре
A(W). В этом пространстве есть каноническая прямая Р%, со-
состоящая из кратных единицы во внешней алгебре, т. е. Р%"
= Л° (W). (Обоснования обозначения Р% будут приведены в
разд. 12.3.) Если рассматривать пространство представления
S^A(W) как модуль над алгеброй Клиффорда С (Vc), то Р%
можно описать как единственное «вакуумное состояние» отно-
относительно W, т. е. __
Pif = {ie5: ш| = 0 для всех wf=W). A2.2.1)
Мы могли бы построить 5, отправляясь от любой комплексной
структуры на V: это пространство содержит выделенную пря-
прямую для любой комплексной структуры. Конструкция, которую-
мы сейчас опишем, использует существование прямых Р% в ка-
качестве отправного пункта.
Начнем с описания основных фактов о пространстве ? (V)
комплексных структур на V. Точкой в f(V) по определению яв-
является ортогональное преобразование /: V->- V, такое, что-
Я = —1. Любые два оператора / можно перевести друг в друга
действием ортогональной группы O(V)^O2n, и поэтому f(V)
можно отождествить с однородным пространством O2n/Un. С дру-
12.2. Вторая конструкция спинорного представления
27Г
гой стороны, задание J эквивалентно заданию изотропного комп-
комплексного n-мерного подпространства W в Vc (ср. A2.1.4)). Это-
означает, что f (V) можно рассматривать как комплексное ал-
алгебраическое подмногообразие в грассманиане G.vn(Vc) всех
л-мерных комплексных подпространств в Vc и что на ?"(V) дей-
действует комплексифицированная ортогональная группа О2п(С)~
Мы будем обычно представлять себе точки из f (V) как изо-
изотропные подпространства, а не как операторы /. Пространство"
? (У) имеет комплексную размерность п(п—1)/2 и состоит из
двух связных компонент ?±{V): комплексная структура на V*
определяет ориентацию на V, и эти компоненты соответствуют'
двум выборам ориентации.
Если W^.f{V), то график Ws линейного отображения 5:
W-+W принадлежит ?(V) (т. е. изотропен), если и только если:
5 кососимметрично:
, w')
B(w, Sw') = —
для всех w, w' e W. Эти графики образуют открытое плотное*
множество Uw в связной компоненте многообразия f(V), содер-
содержащей W, и Uw образуют атлас для ?{V): элемент Уе/A/)
лежит в Uw, если и только если У Г) W — 0. Вообще при задан-
заданном W^f(V) мы можем представить У в виде Y0-{-Wu где
W x = Y [\W, а Уо — график кососимметричного отображения
Wo-+Wo, где Wo=WC\^±. (Таким образом, 1Г = WoФ ^ь)
Очевидно, что пространство У можно связать непрерывной кри-
кривой cW0@Wi в f{V), a WotBWi принадлежит той же связной;
компоненте многообразия ^"(V), что и W, если и только если.
dim(lFi) четна. Таким образом, справедливо
Предложение A2.2.2). Два пространства W и Y лежат в од-
одной связной компоненте ^"(V), если и только если dim (У Г) ^)
четна.
Пусть элемент А комплексной ортогональной группы О (Vc)*
записан в виде 2 X 2-матрицы
-CD
относительно разложения Vc==^©^. (Мы будем писать сла-
слагаемое W в этом разделе первым, так как вакуумный вектор-
в A(W) соответствует W, а не W.) Предложение A2.2.2) пока-
показывает, что А принадлежит связной компоненте единицы в;
О (Vc), если и только если размерность ядра матрицы а. четна-
278
Гл. 12. Спинорное представление
Если lF5ef/f- график отображения 5: W-*- W, то A(WS)
лежит в 11ф, если и только если а -\-bS — обратимый оператор,
и в этом случае A (Ws) = WT, где
Т = (с + dS) (a + bS)~l
— обязательно кососимметричный оператор. Чтобы убедиться
:в этом, заметим, что Ws — это образ отображения
G>
.а значит, A (Ws)— образ отображения.
' с + bS \
. с + dS )
:или
С
\
.Мы увидим, и в любом случае это легко следует из формулы
A2.2.1), что если спинорное представление реализуется как
A(W), прямая, соответствующая графику Ws кососимметричного
«оператора S^W-*-W, порождена вектором es/2. Здесь мы отож-
отождествляем W с двойственным пространством к W, а потому 5
можно рассматривать как элемент из A2(W): если {wi, ...
..., wn} — ортонормированный базис в W относительно скаляр-
скалярного произведения < , >, заданного формулой A2.1.8), и 5: W-+-
—>• W представлено матрицей (s,/) в базисах wi, Wi, то 5 отожде-
отождествляется с Yj sitw{ AW/ в A2(W). Нам необходимо следующее
важное вычисление.
Предложение 12.2.3. Если SJe A2(W), то
(е*2, eT'2) = det(l - ST)m.
Здесь необходимо выбрать ветвь квадратного корня, кото-
которая равна +1 при 5 или Т, равном нулю. Мы можем уточнить
этот результат, используя понятие пфаффиана, которое сейчас
кратко напомним.
Детерминант кососимметричной я X «-матрицы 5= (s«/) ра-
равен квадрату многочлена с целыми коэффициентами от элемен-
элементов матрицы 5. Этот многочлен называется пфаффианом мат-
матрицы 5 и обозначается PfE). Если п нечетно, пфаффиан равен
12.2. Вторая конструкция спинорного представления
279?
нулю, а при п — 2г
где сумма берется по всем перестановкам i=(tlt ... ,/„) мно-
множества A, ..., п). Если 5 отождествить с X sijwi A Wj е Л2 (W),
то
-2?77-5л . . . AS = Pf(S)wlAw2A ... Awn. A2.2.4У
Менее известно, что если 5 и Т — кососимметричные я X «-мат-
«-матрицы, то det A—ST) также равен квадрату многочлена с це-
целыми коэффициентами от элементов матриц S и Т, который мы
опять обозначим через Pf A—ST). Кроме того,
Pf (I _ ST) = ? Pf (Sa) Pf (Ta), A2.2.5)*
a
где а пробегает подмножества множества {1, 2, ..., n}, a Sao6o-
значает кососимметричную подматрицу, составленную из строк
и столбцов матрицы 5 с номерами, принадлежащими подмноже-
подмножеству а. Мы докажем эти результаты о пфаффианах в приложе-
приложении в конце настоящего раздела.
Доказательство A2.2.3). Из определения A2.2.4) непосред-
непосредственно следует, что
es/2=ZW(Sa)Wa, A2.2.6)
о
где а пробегает подмножества из {1, 2, .. ., п}, а wa = wt1 Л ...
... Л wtk при 0= {ib ..., /и}. Поэтому предложение A2.2.3) сле-
следует из формулы A2.2.5).
Мы можем теперь реконструировать четную часть спинорного
представления из прямых, соответствующих точкам Ws в про-
пространстве ?(V), которые являются графиками кососимметрич-
ных операторов 5: W-*- W. Пусть F обозначает абстрактное ком-
комплексное векторное пространство с базисом, образованным на-
набором символов {Qs}, которые занумерованы операторами S.
Мы определим на F скалярное произведение, полагая
= Pf(l—ST).
A2.2.7)
Имеется линейное отображение F-*-A(W), переводящее &s в;
es/2. Оно сохраняет скалярное произведение; в частности, из это-
этого следует, что скалярное произведение на F положительно по-
полуопределено. Гильбертово пространство Р, получающееся по-
•:280
Гл. 12. Спинорное представление
полнением F относительно полунормы, определенной этим ска-
. лярным произведением, можно автоматически отождествить с под-
подпространством в A(W). В действительности оно совпадает с
Aeven(W), так как элементы es/2 лежат в Aeven(W) и порождают
его: если k четно, то
/ Л wt + ••• +vi. Лч.
¦ * к-1 k=
wtl\ ... лwik + (младшие члены).
Если уменьшить F, используя только те элементы Qs, для
которых 5 пробегает некоторое открытое множество U косо-
асимметричных матриц, то пополнение Р не меняется, ибо век-
векторы esi2 для S е ?/ продолжают порождать Леуеп(№). Это оче-
очевидно, если U содержит точку S = 0; это верно также и в слу-
случае, если LJ содержит окрестность любой точки So, так как
.Леуеп(№)—коммутативная алгебра, в которой ^+s^ = ^^eSll%
ж eSo/2 — обратимый элемент.
Однако, чтобы построить спинорное представление, нам не-
необходимо не только векторное пространство Р, но и проективное
действие ортогональной группы на нем. Чтобы задать его, мы
начнем с явного описания элементов комплексной спинорной
труппы Spin(Vc) — единственной двулистной накрывающей
группы SO (Vc). _
Выберем разложение Vc = W ф W и обычным образом за-
запишем элементы из О (Vc) как 2Х 2-матрицы
л =
A2.2.8)
Если А е SO (Vc) и матрица а обратима, то два элемента груп-
группы Spin (Vc), лежащие над А, соответствуют двум ветвям квад-
квадратного корня из det(а). Но так как det(a) может обращаться
в нуль, полное описание Spin(Vc) требует большей аккурат-
аккуратности.
Фиксируем Ле О (Vc) и рассмотрим функцию Si-^det(a +
+ bS) на пространстве кососимметричных операторов S: W-+W.
Если мы выберем ортонормированный базис в W и рассмотрим
S как кососимметричную л X «-матрицу, то det (a + bS) поли-
полиномиален как функция элементов матрицы S. Мы знаем, что
этот_ определитель обращается в нуль в точности тогда, когда
A(Ws) не лежит в открытом множестве U-^ из f(V), т. е. он
тождественно равен нулю, если det(^) =—1 и не тождественно
:.равен нулю для A<=SO(Vc)- Если Л[Л2 = Лз в О (Vc) и
12.2. Вторая конструкция спинориого представления
281.1
ТО
a3 + b3S = (а, + b{S') (a2 + b2S),
A2.2.9).
где S'= (c2 + d2S) (a2 + b2S)~l, при условии, что det(a2 +
+ b2S) Ф- 0- Основной факт для конструкции Spin (Vc) — это
Предложение A2.2.10). Для A^SO(VC) вида A2.2.8) функ-
функция S I—s- det (a + bS), рассматриваемая как элемент кольца
O[s«v] многочленов от элементов матрицы S, является полным
квадратом.
Мы перенесем доказательство в приложение к этому раз-
разделу. Оно позволяет нам дать новое конкретное определение
спинорной группы.
Определение A2.2.11). Элементом группы Spin(Vc) является
пара (Л, /), где А принадлежит О (Vc), а f — полиномиальная
функция на пространстве кососимметричных отображений S:.
W-+-W, такая, что
Умножение определяется
Здесь использованы обозначения из A2.2.9). (Заметим, что.
/i(S') —рациональная функция элементов матрицы S.)
Замечания, (i) Если матрица а обратима, то / определяется:
выбором ветви квадратного корня из det (a).
(и) Стоит отметить, что приведенное выше описание группы;
Spin Vc чисто алгебраическое и имеет смысл для ортогональных,
групп над любым полем характеристики р ф- 2.
После всей подготовки мы можем, наконец, описать спинор-
спинорное представление. Пусть (A, f) принадлежит компактной группе-
Spin (V)= {(Л, f) see Spin (Vc): A<=O(V)}. Мы определим дей-
действие (Л, f) на базисных элементах Qs векторного пространства.
F, полагая
(Л, f)>Qs
правилом (Аг, ft) (Л2, /г) = 04з,
где S'= (с-\-dS) (a-\-bS)-K (Это определение имеет смысл,
только если оператор (а + bS) обратим.) Если мы проверим,
что
(f(S)QS',
A2.2.12),
282
Гл. 12. Спинорное представление
то немедленно получим, что (A, f) задает унитарное преобразо-
преобразование пополнения Р, которое, как мы знаем, изоморфно
Aeven(W). Тот факт, что (А, /) -Qs определено не для всех S, не
играет роли, так как мы видели, что если ограничиться матри-
матрицами S из некоторого открытого подмножества, то пополнением
получается то же пространство Р.
Для доказательства A2.2.12) мы должны показать, что
/ (S) / (Т) Pf A - ST) = Pf A - ST).
A2.2.13)
С точностью до множителя ±1, который не может зависеть от S
или Г, так как обе части равенства A2.2.13)—рациональные
-функции элементов матриц S и Т, это следует из соотношения
det A - ST) = det A - ST) det (a + bS)~l det (a + bT)~\
которое в свою очередь следует из цепочки равенств
= det{
-i
= det (a + bS)~' det A - ST) det (a + bT)
(Здесь * обозначает переход к комплексно сопряженной транс-
транспонированной матрице, и мы используем то, что А*А = 1 для
.Л е O(V).)
Возвращаясь к вопросу о знаке в A2.2.13), заметим, что
чрормула A2.2.13) справедлива, если матрица а обратима, так
как обе ее части равны + 1 при S = Т = 0. Но элементы А из
SO(V), для которых справедливо A2.2.13), образуют подгруппу,
и эта подгруппа должна совпадать со всей группой, так как эле-
элементы с обратимой матрицей а образуют окрестность единицы.
Мы закончили построение спинорного представления группы
¦SO(V) на четной части внешней алгебры максимального изо-
изотропного подпространства W. Осталось задать действие всей
группы O(V) на A(W) так, чтобы элементы с определителем —1
меняли четные и нечетные части. Это несложно, но, как легко
заметить, есть два различных способа сделать это в соответ-
соответствии с тем, что имеется два различных двулистных накрытия
группы O(V), которые дают накрытие Spin(F) для SO(V), и
можно выбрать любое из них в качестве Pin(F). Различие ме-
12.2. Вторая конструкция спинориого представления
283
жду ними состоит в том, какой порядок, 2 или 4, имеют эле-
элементы из Pin(V), накрывающие отражения относительно гипер-
гиперплоскости в V, но два разных способа задать действие нечетных
элементов из O(V) на A(W) отличаются только умножением на
±t. Простейший способ распространить это представление на
O(V) состоит в том, чтобы вложить O(V) в S0(V©R2) с по-
помощью соответствия
¦А
det (А)
1
и заметить, что SO(V©'R2) действует на Aeven(№ ® ,С), кото-
которое канонически изоморфно A(W).
Замечание. Конструкция спинорного представления, которую
мы описали, не была чисто алгебраической, так как в ней участ-
участвовало пополнение пространства F. Приведем также чисто ал-
алгебраический вариант этой конструкции, который имеет то пре-
преимущество, что дает действие всей комплексной группы
Spin(Fc).
Построим наряду с F векторное пространство г с базисом,.
состоящим из символов Qs, которые соответствуют кососимме-
тричным отображениям 5: W-*- W. Определим комплексную би-
билинейную форму р: FyC. F-*¦'&, полагая
Эта форма инвариантна относительно Spin(Fc). Положим F =
= F/Fo, где F0 = {?g F: р(т), g) = 0 для всех чеР}.
Мы закончим этот раздел, возвратившись к отображению
f (V) ^-P(A(W)), которое ставит в соответствие изотропному
подпространству Y в Vc прямую Pfy в A(W). Почти по опреде-
определению это соответствие на открытом множестве U^ в ? (V) за-
задается отображением Ws*-^es!2. Его можно единственным об-
образом продолжить на все f (V) эквивариантно относительно
O(V). Для произвольного подпространства Уе/A0 положим
Y f\W = Wi, и пусть W2 — это ортогональное дополнение к Wi
в W (относительно скалярного произведения < , >). Легко ви-
видеть, что У имеет вид W\ © (W2)s, где (W2)s — график кососим-
метричного отображения S: W2-> W2. Пусть {wu ..., wk) — ба-
базис для W\. Справедливо
Предложение A2.2.14). Прямая Pfr e A{W),ассоциирован-
A{W),ассоциированная с изотропным подпространством Y — W\ © (W2) s, содержит
•584
Гл. 12. Спинорное представление
вектор
Л ...
. es'2.
Доказательство. Можно предполагать, что векторы {w\, ...
..., wk) ортонормировании. Пусть и, = о>,- + до*. Тогда {и\, ...
..., Uk) ортонормировании в V. Пространство Y получается из
Y=Wi(B(W2)s последовательными отражениями ра,, ..., pUfe.
Подпространство ? соответствует прямой ,'Ci-es/2, а отражение
фи{ соответствует клиффордову умножению на ш. Отсюда не-
непосредственно следует предложение A2.2.14).
Из A2.2.14) вытекает, что голоморфное отображение У->
—»-Pfy является вложением f (V) в проективное пространство
P(A(W)), состоящее из прямых в A(W); чтобы убедиться в его
взаимной однозначности,__достаточно в силу эквивариантности
.проверить, что если Y Ф W, то Pfy ф Р%.
В качестве частного случая предложения A2.2.14) получим
¦следующее. Грассманиан Gr(W) всех комплексных подпро-
подпространств в W можно рассматривать как подмножество в f{V),
сопоставляя подпространству W\ cz W изотропное подпростран-
подпространство W\ © {Wt) в W © W = Vc. Имеется очевидное вложение
Плюккера Gr(W) <=•¦ Р (А (W)), которое сопоставляет подпро-
подпространству W\ с базисом W\, ..., wk прямую, содержащую
яю\ Л ... Л Wk-
Предложение A2.2.15). Вложение f (V) в P(A(W)) при ог-
ограничении на Gr(W) совпадает с вложением Плюккера.
.Приложение: пфаффианы
Чтобы доказать, что Pf (SJ = detE) для кососимметричной
«X «-матрицы S = (su), мы начнем с того факта, что сущест-
существует обратимая матрица Р, такая, что PSP1 имеет вид / Ф / Ф ...
... ® / © 0, где
/==
—i о
¦Отсюда мы получаем, что если Р~1 — Q = {qu) и 5=? si7-ay,- л wl
(в этом приложении будет удобно различать S и 5), то
-j S = <7i Л q2 + <7з Л qA + • • - + 9V-1 Л gy,
12.2. Вторая конструкция спинорного представления
285
где r — ранг 5 и #,• =
при г < п и
1 ^п
2т/и!
qki^k- Поэтому, если п = 2т, то S"*=0
= qxAq2A ... A qn = det (Q) • wl л ... Лш„
при г = л. Значит, Pf(S) =det(Q). Но det (PSP') = 1, если r =
.=«, поэтому det (S) = det (QJ = Pf EJ.
Перейдем теперь к определению Pf A—ST), где S и Г — ко-
сосимметричные л X л-матрицы. Достаточно рассмотреть случай
четного л, ибо при нечетном л мы можем рассматривать S и Т
как (л + 1) X (л + 1)-матрицы, добавив строку и столбец ну-
нулей. Будем считать элементы 5 и Т переменными, так что
det A—57")—элемент кольца многочленов Z[Si,-, Uj]. Чтобы
доказать, что он является полным квадратом, достаточно дока-
доказать это в кольце частных кольца многочленов, ибо оно является
областью с однозначным разложением на множители. Но в
кольце частных мы имеем
det(l — ST) = det (S) det (S — f),
и как S, так и S~x — T кососимметричны. Квадратный корень из
*det(l — ST), равный единице при 5 = Г = 0, обозначается
Pf(l — ST). Мы имеем
Pf A — ST) = Pf E) Pf (S — T); A2.2.16)
«чтобы доказать, что
pf(i-sr)=?pf(so)Pf(ro),
A2.2.17)
мы покажем сначала, что для кососимметричных S и Т
Pi(R + T)=Z еа Pf (Л»') Pf (Та), A2.2.18)
а
где а' — дополнение к а в {1, ..., п}, а еа — знак перестановки
(<f, а). Формула A2.2.18) справедлива, так как
2n~k (« - k)!
1—T A ... AT i =
=L Pf (
a
Pf (Т„) Wo.
286
Гл. 12. Спинорное представление
Для получения A2.2.17) мы применяем A2.2.18) при R =—5~L
и используем A2.2.16). Мы должны установить, что
Pf (S~l)a- = (— l)n~k га Pf (Sa) Pf (S)~K A2.2.19>.
если а содержит 2k элементов. Соответствующий результат для
определителей хорошо известен ([147, sect. V. 3]), он просто
выражает в координатах естественность изоморфизма
Л" (W) ® An~k (W) -+ Ak (W).
Знак в A2.2.19) проверяется сначала для о= {1, 2, ..., 2k) на:
примере 5 = /Ф/Ф...Ф/; общий случай сводится к этому за-
заменой S на PSP1, где Р — матрица перестановки: мы замечаем,,
что Pf (PSP') =PfE)-det(P).
Наша последняя задача в этом приложении — доказать пред-
предложение A2.2.10), т. е. установить, что многочлен det(a-\
является квадратом в LC. [s,/], если
\с dj
— комплексная ортогональная матрица с определителем еди-
единица. Ортогональность А влечет за собой кососимметричность
аЦ*. Как и раньше, мы предполагаем, что п четно. Тогда, если а
обратима, то а~хЪ кососимметрична и det(a + &S) =
= det(a)det(l + a~lbS), что, как уже доказано, является пол-
полным квадратом. Но из A2.2.9) мы видим, что элементы из
SO (Vc), для которых det(a + &5)—полный квадрат, образуют
подгруппу в SO (Vc)', по обычным соображениям она должна
совпадать со всей 50 (Vc).
12.3. Спинорное представление как сечения
голоморфного линейного расслоения
Голоморфное вложение У-^-Pfy пространства f (V) в проек-
проективное пространство P(A(W)) определяет голоморфное линей-
линейное расслоение Pf на f (V): это подрасслоение тривиального
расслоения f (V) XA(W), слой которого в У— это Pfy. Так как
f( V) является подмногообразием в грассманиане Gr(Vc), наибо-
наиболее очевидное проективное вложение f(V)—это вложение Плюк-
кера в P(A(Vc)), которое соответствует детерминантному ли-
линейному расслоению Det на Gr(Vc). Связь между Pf и Det и
объяснение обозначения Pf даются следующим предложением.
Предложение A2.3.1). Линейное расслоение Pf — это квад-
квадратный корень из Det | f (V).
12.3. Спинорное представление
287
Это означает, что имеется голоморфное отображение sq:
Pf->-Det, сохраняющее слои, такое, что sq(X|) ==A-2sq(?) для
XeJC и S e= Pf.
Доказательство. Выберем ортонормированный базис {к>ь ...
..., wn} в W. Если У е f (V) —график оператора 5: W-+W,
то Pfr — прямая, содержащая
в обозначениях формулы A2.2.6). Далее, Pf (Sa) —это квадрат-
квадратный корень нз detE(j), который является определителем пХл-
.матрицы, составленной из строк 2«Х«-матрицы
A2.3.2)
которые соответствуют набору a —a'ljtf, где о' — дополнение
к а в {1, 2, . . ., п}. (Здесь_мы считаем, что строки A2.3.2) зану-
занумерованы с помощью {1, 2, . . ., Я; 1,2, ..., л) ио'={4: Ае
^=a'}-) Другими словами, detEa)—это д-я координата Плюк-
кера подпространства У. Поэтому, определяя отображение
sq: P (A (W)) -*¦ Р(A (Vc)) как возведение в квадрат координат,
т. е.
sq
Х>о •
получаем коммутативную диаграмму
sq
где нижнее отображение — это вложение Плюккера. Это дока-
доказывает A2.3.1).
Если расслоение Pf ограничено на подпространство Gi(W)
в f (V), то, как мы знаем из предложения A2.3.1), оно оказы-
оказывается детерминантным расслоением для Gr(№).
Мы видели в разд. 2.9, что голоморфное вложение ?(V) -*-
-*-P(A(W)) определяет линейное отображение из двойственного
пространства A(W)* в пространство F(Pf*) голоморфных сече-
сечений линейного расслоения, двойственного к Pf. По построению
Pf на нем действует группа Pin(F) и отображение Л(№)*->-
~>r(Pf*) эквивариантно.
288
Гл. 12. Спинорное представление
Предложение A2.3.3). Отображение Л(№)*-э- T(Pf*) являет-
является изоморфизмом.
Доказательство. Так как Pf*|Gr(W) = Det*, а пространства
голоморфных сечений этого расслоения совпадает с A{W*) со-
согласно B.9.2), ограничение сечений на Gr(№) дает отображение
r(Pf*) ->Л(№*) = A(W)* и композиция Л(№)«-> Г->Л(№)*
является тождественным отображением. С другой стороны, мы
a priori знаем (ср. B.9.1)), что Г(Pf*)—неприводимое пред-
представление группы Pin(F); поэтому отображение A(W)*-+ Г дол-
должно быть сюръективным.
Следствие A2.3.4). (i) Спинорное представление неприво-
димо.
(и) Оно продолжается до голоморфного представления
группы Pin (Fc).
Голоморфное линейное расслоение Pf на f (V) однозначно
определяется условием Pf®2 = Det, так как пространство
f(V)^O2n/Un односвязно. Поэтому, если непосредственно ус-
установить, что Det на f (V) обладает квадратным корнем, то мы
можем определить спинорное расслоение как двойственное к
T(Pf*). Ограничение его сечений на Gr(W) дает отображение в
A(W)*. Недостаток этого подхода состоит в том, что неочевидно,
является ли это ограничение изоморфизмом. Существование
квадратного корня Pf можно установить по крайней мере тремя
различными способами.
(i) Можно показать, что первый класс Чженя расслоения
Det делится на 2 в H2(f(V); Z). Это легко, так как S2 =
= /+(!R4) -*• f+(V) индуцирует изоморфизм Н2.
(И) Можно показать, что ni(SO(V)) состоит из двух эле-
элементов. Тогда Spin(F) определяется как универсальное накры-
накрытие группы SO (V) и Pf \f+(V) определяется какЭртООХг/^С,
где
U (W) = {(A, u)e=U (W) X Сх: и2 = det Л>
— индуцированное двулистное накрытие группы U(W), которое
действует на ICJ с помощью гомоморфизма (А, и) i—>и.
(ш) Можно заметить, что функции перехода для Det обла-
обладают каноническими квадратными корнями. Этот подход по су-
существу сводится к предложению A2.2.10).
12.4. Бесконечномерное спинорное представление
Конструкция спинорного представления в разд. 12.2 была
оформлена таким образом, чтобы ее без существенных измене-
изменений можно было провести для ограниченной ортогональной
12.4. Бесконечномерное спинорное представление
289
группы бесконечномерного гильбертова пространства. Нам не-
необходимо сделать чуть больше, чем дать подходящие опреде-
определения: мы не будем доказывать те факты об ортогональной груп-
группе, которые в точности параллельны фактам об унитарной груп-
группе, обсуждавшимся в гл. 6.
В этом разделе Н — вещественное гильбертово пространство
с комплексификацией Не- Эрмитово скалярное произведение
в Не обозначается < , >. Комплексная ортогональная группа
О (Не) — это группа обратимых С-линейных отображений
Нс^-Нс, которые сохраняют билинейную форму В, определен-
определенную соотношением
2ВA, п) = <|, ц);
эта группа содержит также обычную ортогональную группу
О(Н). Мы предполагаем, что на Н зафиксирована некоторая
комплексная структура / и потому Hc = W ®W для некото-
некоторого изотропного пространства W. Ограниченная ортогональная
группа OreS (He) определяется как подгруппа в О (Не), состоя-
состоящая из элементов А, таких, что [A, J] является оператором Гиль-
Гильберта — Шмидта, т. е. имеющих вид
A =
относительно разложения W @ W, где операторы b и с — опера-
операторы Гильберта — Шмидта. Другими словами, Ores (Нс)=О (Не) П
f\GLTes(Hc). Аналогично мы определим ОТе*(Н) как О(Н)[\
Л Ores (#с). МЫ СНабДИМ Ores (Я) И Ores (He) ТОПОЛОГИеЙ, ИНДуЦИ-
рованной из GLres (He).
Спинорное представление — это проективное унитарное пред-
представление Ores (Я) на гильбертовом пополнении внешней алгеб-
алгебры A(W). В гл. 10 мы построили неприводимое представление
ограниченной унитарной группы UTes(H) комплексного гильбер-
гильбертова пространства Н, снабженного поляризацией Н = Н+(В Н„
Пусть /: Н-^Н равен i на Н+ и —i на #_; забывая о собствен-
собственной комплексной структуре Н, мы определим Ores (Ни), исполь-
используя комплексную структуру /: здесь Ни — это Н, рассматривае-
рассматриваемое как вещественное векторное пространство, — тогда UTes(H)
окажется подгруппой в Ores(#R), а представление из гл. 10 —
ограничением спинорного представления ОГевШк)- Заметим, что
комплексификация (Ни)с канонически изоморфна Н ® Н отно-
относительно отображения
я
A2.4.1)
19 Зак. 230
290
Гл. 12. Спинорное представление
= U
для 1еС, ^е Як; относительно этого изоморфизма W соот-
соответствует Я+ © Я_.
Возвращаясь к вещественному гильбертову пространству Я,
мы определим пространство f (H) комплексных структур, рас-
рассматривая все комплексные структуры /', такие, что [/',/] —
оператор Гильберта — Шмидта, или, эквивалентно, полагая
f(H) = {Y<^ Gr(Hc)- Y изотропно относительно В, У©У = Яс}.
Здесь грассманиан Сг(Яс) определен, как в гл. 7, с использова-
использованием поляризации Яс= W® W. Очевидно, что любое_У е= / (Я)
имеет виртуальную размерность нуль (относительно W). Далее,
так как Gr (He) имеет тот же гомотопический тип, что и его
плотное подпространство LJnGr (Сп), то f (H) имеет тот же го-
гомотопический тип, что и
и
В частности, у f (Н) есть две__связные компоненты f±(H). Гиль-
Гильбертово пространство 9"k(W) кососимметричных операторов
Гильберта — Шмидта S: W^-W можно отождествить с плот-
плотным открытым множеством в ?+(Н), сопоставляя 5 его график.
Группа Ores (Я) транзитивно действует на f (H) и группа
изотропии W совпадает с U(W). Эта группа стягиваема, и по-
потому справедливо
Предложение A2.4.2). Группа Ores (Я) имеет тот же гомо-
гомотопический тип, что и f (Я) или Ooo/f/oo. У нее есть две связные
компоненты, и каждая из них односвязна.
Спинорное представление — это проективное представление
Ores (Я), но важное отличие от конечномерного случая состоит
в том, что его нельзя нормализовать так, чтобы оно стало дву-
двузначным. Мы построим расширение Spinc(#) связной компо-
компоненты SOres (Я) с помощью Сх, на котором это представление
корректно определено. Фактически это определение имеет смысл
И ДЛЯ КОМПЛеКСНОЙ ПОДГруППЫ В SOres (Не)
Определение A2.4.3) (ср. A2.2.11)). Элемент из Spinc(#c) —
это пара (A,f), где Ле=5Огев(Яс) и f: 9>k{W)^C- голоморф-
голоморфная функция, такая, что / пропорционально функции Sb->Pf(a +
+ bS).
Это определение следует пояснить, так как а + bS, вообще
говоря, не является оператором, обладающим определителем, и,
тем более, пфаффианом. Можно выбрать So e 9>k(W) так, что
12.5. Базисное представление группы LO2n
291
a-\-bS0 обратим. Условие ортогональности А влечет за собой
кососимметричность оператора (а + frSo)^. Поэтому
(а + bSoyl (а + 65) = 1 + (а + bSo)'1 6 • E — So), A2.4.4)
а этот оператор обладает определителем, так как имеет вид
1—PQ для кососимметричных операторов Гильберта — Шмидта
Р, Q. Однако у такого оператора есть и пфаффиан, который за-
задается формулой
Pf(l-PQ)=EPf(Pa)Pf(Qa), A2.4.5)
а
где а проб_егает конечные подмножества ортонормированного ба-
базиса для W, а Ра и Qa—соответствующие конечные кососиммет-
ричные подматрицы в Р и Q. Формула A2.4.5) получается из
A2.2.5), если записать Р и Q как последовательности операто-
операторов конечного ранга: сначала доказывается, что
? I Pf {Ра) I2— Pf A + Р*Р) A2.4.6)
а
и аналогичная формула справедлива для Q.
Поэтому в определении A2.4.3) мы интерпретируем Pf(a-f-
+ bS) как значение пфаффиана A2.4.4) для подходящего So: с
точностью до умножения на постоянное число выбор So несуще-
несуществен.
Начиная с этого места, конструкция спинорного представле-
представления идет точно так же, как и в конечномерном случае, и мы
больше не будем говорить о ней. Интерпретацию представления
как пространства голоморфных сечений линейного расслоения
Pf на f (H) тоже можно без изменений перенести из разд. 12.3,
кроме, конечно, необходимости различать пространство Г сече-
сечений, его антидвойственное пространство Г* и гильбертово про-
пространство, которое лежит между ними, что мы полностью обсу-
обсудили в гл. 10. Полученное представление неприводимо, ибо, как
мы видели в гл. 10, оно неприводимо даже как представление
ПОДГРУППЫ Ures(H).
12.5. Базисное представление группы LO2n
Группа петель LO2n действует ортогональными преобразова-
преобразованиями на вещественном гильбертовом пространстве Я ^-функ-
^-функций на окружности со значениями в R2n. Если {е\, ..., е2п} —
обычный базис в R2" и е4=(е2и + Ы/2еС", то элементы
Ekzm и zkzm для k = 1, 2, ..., п и m^Z образуют базис в Не-
Мы определим комплексную структуру на Я, записывая Яс =
19*
292
Гл. 12. Спинорное представление
= W © №\где W порождено элементами ekzm для т^Ои e*zm
для m >¦ 0. Рассуждения из F.3.1) доказывают
Предложение A2.5.1). Группы LO2n и LO2n(C) являются
подгруппами в Ores (#) и Ores (Яс) соответственно.
Спинорное представление OTes(H) можно поэтому ограничить
и получить проективное представление LO2n на A(W). Мы будем
называть его базисным представлением LO2n. Оно ограничивается
до базисного представления LUn и потому неприводимо. Под-
Подгруппа LSO2n также неприводимо действует на A(W). У нее есть
две связные компоненты, соответствующие элементам ni(SO2n).
Связная компонента единицы действует на Aeven(W) и Aodd(W')
двумя неэквивалентными неприводимыми представлениями.
В разд. 6.4 и 8.8 мы упоминали теорему Ботта о периодич-
периодичности, которая утверждает, что вложение QUn в ?/res(#) инду-
индуцирует изоморфизм гомотопических групп до размерности 2п— 2.
Теми же рассуждениями можно доказать
Предложение A2.5.2). Вложение QO2«->- Ores(#) индуцирует
изоморфизм гомотопических групп до размерности 2п— 3.
Мы не будем здесь этого доказывать. Заметим, однако, что
с учетом предложения A2.4.2) получается утверждение о том,
что пространство QOM гомотопически эквивалентно Oac/Uoo. Оно
является важной частью теоремы Ботта о периодичности для
ортогональной группы; фактически ортогональная теорема о
периодичности следует из этого утверждения и из унитарной тео-
теоремы о периодичности. Ср. [2].
12.6. Аналогия: экстра-специальная 2-группа
В гл. 10 мы построили изоморфизм между внешней алгеброй
и суммой симметрических алгебр, реализуя единственное непри-
неприводимое проективное представление абелевой группы LT (с ее
базисным коциклом) двумя способами: во-первых, как спинор-
спинорное представление, во-вторых, как, грубо говоря, пространство
голоморфных функций на самой группе. Мы опишем теперь ко-
конечномерный аналог этого изоморфизма.
В группе О2п есть максимальная абелева подгруппа А по-
порядка 22", состоящая из диагональных матриц с элементами ±1.
Двулистное накрытие Рт2л->-Огл ограничивается до централь-
центрального расширения А группы А двумя элементами. Это расшире-
расширение иногда' называется экстра-специальной 2-группой ([65,
разд. 5.3], [123]).
293
12.6. Аналогия: экстра-спецнальная 2-группа
Предложение A2.6.1). Ограничение спинорного представле-
представления Л (С") на А неприводимо.
Доказательство. Группу А можно отождествить с мультипли-
мультипликативной подгруппой алгебры Клиффорда C(R2n), которая по-
порождена элементами ±е; для i = 1, 2, ..., 2п. (Векторы е(- об-
образуют стандартный базис в R2".) Поэтому линейные комбина-
комбинации элементов А порождают C(R2") и по предложению A2.1.5)
полное кольцо эндоморфизмов Л (С"). Из этого следует непри-
неприводимость представления А.
Замечание. Предложение A2.6.1) дает нам, конечно, новое
доказательство неприводимости спинорного представления.
Следствие A2.6.2). Представление в Л (С")— это единствен-
единственное неприводимое представление группы А, за исключением 22п
одномерных представлений группы. А.
Доказательство. Сумма квадратов размерностей неприводи-
неприводимых представлений конечной группы равна порядку этой группы.
Теперь рассмотрим спинорное представление как простран-
пространство голоморфных сечений линейного расслоения Pf* на f(R2n).
Пусть X — орбита отмеченной точки в f (R2") относительно А.
Она состоит из 2п точек, и ее можно отождествить с А/В, где
В = А П Uп. Ограничение Pf* на X, очевидно, тривиально, и про-
пространство сечений F(Pf*|X) можно отождествить с простран-
пространством комплекснозначных функций на X = А/В. Но расслоение
Pf*|X нетривиально как однородное расслоение относительно
действия А, и Г(РР|Х) можно более точно определить как пред-
представление группы А, индуцированное любым одномерным пред-
представлением К группы В, таким, что Х\С нетривиально. (Здесь
С — ядро отображения А —*¦ А, а В — подгруппа в А, такая, что
В/С = В.)
Чтобы лучше понять r(Pf*!X), мы должны уточнить струк-
структуру группы А. Запишем группу А аддитивно: это векторное про-
пространство над полем F2 из двух элементов. Расширение
полностью описывается заданием отображения q: Л-^-Сз^Гг,
такого, что q(a)—a2, где а — некоторый подъем а в А. Факти-
Фактически q является квадратичной формой, и ассоциированная би-
билинейная форма Ъ: Ау^А-*- IF2 задается формулой
Ъ (а, а') = q (а + а') - q (а) - q (а'),
294
Гл. 12. Спннорное представление
которая характеризуется соотношением
а-а' = {—
и, как легко видеть, невырожденна. (Это эквивалентно утверж-
утверждению о том, что центр К совпадает с С, что очевидно, если рас-
рассматривать А как подмножество в алгебре Клиффорда.) Поло-
Положим теперь В = А Л ?Л»; это максимальное изотропное подпро-
подпространство в А относительно формы Ъ; оно изотропно, так как со-
содержится в торе SO2n, который накрывается тором в Spin2/».
Поэтому мы можем написать А = В © В', где В' — другое изо-
изотропное подпространство в А. Как проективное представление
группы А пространство F(Pf*|X) можно рассматривать как про-
пространство комплекснозначных функций на В', на котором эле-
элементы из В' действуют сдвигами, а элементы а ^ В —
умножением на функцию (— iN(a>-); ЧТо в точности ана-
аналогично ситуации из разд. 9.5. Действительно, если
V—группа Гейзенберга, ассоциированная с вещественным век-
векторным пространством V с кососимметричной билинейной фор-
формой S, то стандартное представление группы V можно реализо-
реализовать либо в пространстве голоморфных функций на А, где А —
это V с фиксированной комплексной структурой, или, эквива-
эквивалентно, на пространстве L? функций на Vu где V = V\ © V2 —
разложение на двойственные изотропные подпространства и V\
действует на L2{V\) сдвигами, а»е V2 — умножением Hae('s'°- •>..
Глава 13
Блипы, или вертексные операторы
В гл. 10 мы видели, что неприводимое проективное представ-
представление 06 группы LJ может быть реализовано как пополненная
внешняя алгебра A(W). В этой главе мы получим ту же реа-
реализацию совершенно иным и более прямым способом. Идея со-
состоит в том, что для проективного действия группы LT на под-
подходящем гильбертовом пространстве 0ё можно определить син-
сингулярный «блип», или вертексный оператор, гре для каждой точки
0 на окружности. Этот оператор получается «в пределе» из эле-
элемента группы LT, который быстро обходит Т в инфинитезималь-
ной окрестности точки 9 и равен единице в остальных точках.
Операторы гре антикоммутируют между собой. «Сглаживая» про-
произведения 1^9^92 • ¦ • ipen (в смысле квантовой теории поля) и
применяя их к вакуумному вектору в 06, мы получаем отобра-
отображение K{W)^06. (Точнее, мы получаем Действие бесконечной
алгебры Клиффорда на 06.)
Идея получения фермионных операторов, таких, как гре, из
проективного представления коммутативной группы LT, т. е. из
бозонных полей, рассматривая представителей элементов, кото-
которые локализованы, но топологически нетривиальны, восходит,
видимо, к работе Скирма [139] (ср. [44]), который назвал эти
представители «kinks». Те операторы, которые мы будем рас-
рассматривать, были введены в «дуальной резонансной» теории
[80] по совершенно иным, негеометрическим соображениям.
В теории представлений групп петель блипы исполь-
используются и в несколько иных целях. Их можно использовать для
построения представлений группы LG уровня 1 для любой груп-
группы G с простыми связями, что описано в разд. 13.3. Это прило-
приложение важно по крайней мере по двум причинам. Во-первых,
конструкция представлений получается очень явной и проливает
свет на их структуру, что позволяет, например, написать очень
удобную формулу для их характеров, которая совершенно отли-
отличается от формулы Каца для характеров. Мы приведем обе фор-
формулы в разд. 14.3. Во-вторых, конструкция блипов естественна
по отношению к диффеоморфизмам окружности и позволяет до-
доказать, что любое представление группы петель с положитель-
294
Гл. 12. Спинорное представление
которая характеризуется соотношением
а-а' = {-\)На'а')а'а
и, как легко видеть, невырожденна. (Это эквивалентно утверж-
утверждению о том, что центр К совпадает с С, что очевидно, если рас-
рассматривать А как подмножество в алгебре Клиффорда.) Поло-
Положим теперь В = A Л Un, это максимальное изотропное подпро-
подпространство в А относительно формы Ь; оно изотропно, так как со-
содержится в торе SO2n, который накрывается тором в Spin2n.
Поэтому мы можем написать А = В Ф В', где В' — другое изо-
изотропное подпространство в А. Как проективное представление-
группы А пространство Г(Pf*|X) можно рассматривать как про-
пространство комплекснозначных функций на В', на котором эле-
элементы из В' действуют сдвигами, а элементы а ^ В —
умножением на функцию (— \)Ь{а''\ что в точности ана-
аналогично ситуации из разд. 9.5. Действительно, если
V — группа Гейзенберга, ассоциированная с вещественным век-
векторным пространством V с кососимметричной_билинейной фор-
формой 5, то стандартное представление группы V можно реализо-
реализовать либо в пространстве голоморфных функций на А, где А —
это V с фиксированной комплексной структурой, или, эквива-
эквивалентно, на пространстве L2 функций на V\, где V = V\ @ V2 —
разложение на двойственные изотропные подпространства и V\
действует на L2(Vi) сдвигами, aye V2 — умножением Hae'S(D> ~K
Глава 13
Блипы, или вертексные операторы
В гл. 10 мы видели, что неприводимое проективное представ-
представление 06 группы LT может быть реализовано как пополненная
внешняя алгебра \{W). В этой главе мы получим ту же реа-
реализацию совершенно иным и более прямым способом. Идея со-
состоит в том, что для проективного действия группы LT на под-
подходящем гильбертовом пространстве 0ё можно определить син-
сингулярный «блип», или вертексный оператор, гре для каждой точки
8 на окружности. Этот оператор получается «в пределе» из эле-
элемента группы LT. который быстро обходит Т в инфинитезималь-
ной окрестности точки 8 и равен единице в остальных точках.
Операторы тре антикоммутируют между собой. «Сглаживая» про-
произведения 'Фв1'фв2 • • ¦ tpen (в смысле квантовой теории поля) и
применяя их к вакуумному вектору в 06, мы получаем отобра-
отображение K(W)-^-a№. (Точнее, мы получаем действие бесконечной
алгебры Клиффорда на 06.)
Идея получения фермионных операторов, таких, как аре, из
проективного представления коммутативной группы LT, т. е. из
бозонных полей, рассматривая представителей элементов, кото-
которые локализованы, но топологически нетривиальны, восходит,
видимо, к работе Скирма [139] (ср. [44]), который назвал эти
представители «kinks». Те операторы, которые мы будем рас-
рассматривать, были введены в «дуальной резонансной» теории
[80] по совершенно иным, негеометрическим соображениям.
В теории представлений групп петель блипы исполь-
используются и в несколько иных целях. Их можно использовать для
построения представлений группы LG уровня 1 для любой груп-
группы G с простыми связями, что описано в разд. 13.3. Это прило-
приложение важно по крайней мере по двум причинам. Во-первых,
конструкция представлений получается очень явной и проливает
свет на их структуру, что позволяет, например, написать очень
удобную формулу для их характеров, которая совершенно отли-
отличается от формулы Каца для характеров. Мы приведем обе фор-
формулы в разд. 14.3. Во-вторых, конструкция блипов естественна
по отношению к диффеоморфизмам окружности и позволяет до-
доказать, что любое представление группы петель с положитель-
296
Гл. 13. Блнпы, или вертексные операторы
ной энергией допускает согласованное действие Diff+(S1). Это
рассуждение будет проведено в разд. 13.4.
В разд. 13.5 мы объясним связь между двумя различными
типами блипов, которые используются в разд. 13.1 и 13.3.
13.1. Фермионные операторы на 36
Базисное центральное расширение группы LT определяется
коциклом
С(е", e") = els<f' «, A3.1.1)
где (см. разд. 4.7)*)
2л
S(f, g) = -&
Здесь f и g— гладкие функции
, такие, что
где А/ и Ag — числа вращения для e'f и eig, f и g обозначают
средние значения для f и g на [0, 2я], т. е.
2л
2л
и i =
В этом разделе мы будем предполагать, что задано проектив-
проективное унитарное представление группы LT с коциклом A3.1.1) на
гильбертовом пространстве 36. Мы будем предполагать, что это-
представление обладает положительной энергией в смысле
разд. 9.2. Оператор, представляющий op e L'T, будет обозначаться
Ф)
Наиболее важное свойство коцикла A3.1.1) для наших ны-
нынешних целей состоит в следующем. Мы будем говорить, что<
у двух элементов ф и гр из LT носители не пересекаются, если
для любого 9eS' либо ор(9)= 1, либо гр (9)= 1.
') Часть формулы A3.1.2), содержащая числа вращения, выглядит слож-
сложной и неестественной. При описании расширения коциклом имеется значи-
значительная свобода, и наиболее простой коцикл мог бы иметь вид (l/2)f @)Дв..
Выбор A3.1.2) делает S «наиболее инвариантным относительно поворотов»:,
если f и g поворачиваются на угол a, S(f, g) меняется на AA
13.1. Фермионные операторы на
297
Предложение A3.1.3). Если носители элементов ор и гр не пе-
пересекаются, то
U (Ф) U (ф) = (- 1)афа* U W U (ф),
где Аф и А^ — числа вращения для ф и гр.
Это немедленно следует из формулы A3.1.2). Заметим, в ча-
частности, что ?/(ф) и ?/(ip) антикоммутируют, если ф и гр имеют
числа вращения, равные ±1.
Коцикл A3.1.1) не инвариантен относительно поворотов
окружности. Это отражает тот факт, что представитель U(q>)
для ф не может быть выбран эквивариантным относительно пово-
поворотов S1 — выбору A3.1.2) соответствует следующий закон пре-
преобразования:
RaU (eif) RZl =
<-]/2)iaA
')f/ (Raeif),
где Ra представляет поворот на угол а. В частности,
если число вращения для ф равно 0 или 1.
A3.1.4)
Рассмотрим теперь последовательность {фй} элементов груп-
группы LT, которые стремятся к блипу в точке а е 51. Другими сло-
словами, число вращения каждого оператора ф? равно единице и
¦Ф*(9)-> 1 при k—>-оо и 9 =?¦ а. Кроме того, мы будем предпола-
предполагать, что фй = elfk и функции fk равномерно ограничены на
[О, 2л]. Мы увидим, что последовательность унитарных операто-
операторов {U(q>k)} стремится к нулю в том смысле, что <г), G(фА)|> —>-0
для любых г), ^е 36.
Оператор гра — это ренормализованный предел ?/(фй): мы по-
полагаем
фв= Ипгв^С/(ФЛ), A3.1.5)
где е^ — это «ширина» приближения ф*., которая будет опреде-
определена ниже, а предел понимается как поточечный в пространстве
операторов36^>96, где 36 = H36(k). (Мы напомним, что 36(k)
k ^
обозначает векторы с энергией k в 36 и что 36 обозначает век-
векторы с конечной энергией, т. е. алгебраическую прямую сумму
пространств 36(&).) Это определение требует некоторых ком-
комментариев.
Наша цель состоит в том, чтобы определить «операторно-
значное распределение», т. е. мы хотим придать смысл сглажен-
298
Гл. 13. Б липы, или вертексные операторы
ному оператору
2Я
"Ф (р) = -2S"
а не самому оператору т(за. (Здесь р— гладкая вещественнознач-
ная функция на S1.) Но даже ty(p)— потенциально неограничен-
неограниченный оператор и потому не везде определен. Мы построим era
таким образом, что его область определения всегда будет со-
содержать пространство 36 векторов с конечной энергией. Факти-
Фактически для начала мы ограничимся определением -ф (р), если р—
тригонометрический многочлен. Для этого достаточно опреде-
определить операторы i|)a: Ж^>-§ё так, чтобы
Ra^Ral = ^a+f, A3.1.6)
и тогда сглаженный оператор будет отображать Ж в Ж. (Из
A3.1.6) следует, что для р(8) = е'п8 оператор ф(р) отображает
3@(k) в Ж{к-\-п).) Мы увидим позднее (после предложения
A3.1.13)), что -ф (р): Ж-+Ж можно определить для любой глад-
гладкой функции р и что он ограничен.
Следующая задача — объяснить, что понимается под шири-
шириной аппроксимаций q>fe. Запишем ф = e'f и разложим / обычным
образом:
f (в) = Э + а + f+ (в) + Г (в) = в +
е"*
A3.1.7)
где а = а0, а f+ и /~— положительная и отрицательная части
в разложении Фурье периодической функции /F)—8. Мы опре-
определим ширину е(ф) следующим способом:
==е
A3.1.8)
На языке квантовой теории поля [78] это означает, что опера-
оператор фа определяется ренормализацией ?/(ф*) с помощью нор-
нормального упорядочения, так как
) A3.1.9)
Оператор U {eif+) U (etf~) называется нормальным упорядоче-
упорядочением оператора i/(ei(-f++f~)) и обычно обозначается через
((+))
:?/(e):.
Сейчас мы увидим причину называть е(ф) «шириной» ф.
В то же время мы приведем пример и предложение, которые
поясняют такую терминологию.
13.1. Фермиоиные операторы на Ж
299
Пример. Обычный подход к блипам использует специальное
-аппроксимирующее семейство {фа,}, заданное формулой
где Х-»-1—. Геометрически фа, (8)— это угол в точке Р = еш
окружности, определяемый точками 9в
А = Хе'а и В = \-leia. (См. рис. 4.)
Интуитивно это, конечно, блип ши-
ширины около 2A — X). С другой стороны,
п>0
и поэтому
п<0
Рис. 4.
= 1 —Я,2— 2A —А,).
Более убедительная причина считать е(ф) шириной ф состоит
в следующем. Пусть {ф*} — это последовательность в LT, кото-
которая стремится к блипу в точке а в том смысле, который мы уже
описали. Пусть h — диффеоморфизм окружности; тогда мы опре-
определяем h^q>k e Z.TT как фА ° h~l. Ясно, что последовательность
{/г*ф*} стремится к блипу в точке h(a).
Предложение A3.1.10). lim е(/г,фА)/е(фА) = /1'(а).
Мы отложим доказательство этого результата, без которого
пока можно обойтись, до конца раздела.
Сейчас наша задача — показать, что предел A3.1.5) суще-
существует. Для этого мы должны рассмотреть оператор
U (e{f+) U (е"~)
более внимательно. Во-первых, заметим, что eif и e'f лежат
в LCX, а не в LT, и потому операторы U (eif±) отображают
^ не в Ж, а в большее пространство, скажем в 5^hoi (см.
разд. 9.5). В таком пространстве операторов имеет смысл и спра-
справедливо равенство A3.1.9). Мы знаем также, что
когда / — вещественная функция, где а(/) линейно зависит от /
и может рассматриваться как оператор, действующий в ^hoi или
300
Гл. 13. Блипы, или вертексиые операторы
как неограниченный оператор в Ж. Если / — (комплексный) три-
тригонометрический многочлен, то а(/) определен как оператор
Ж^>-Ж, и А.п = &(еш) увеличивает энергию на п. Поэтому
а
А±т =
(Г)
т>0
±тА±т
где Вп (f*): Ж —*¦ Ж увеличивает энергию на л и полиномиально
зависит от коэффициентов Фурье ат функции /± для |т|^|л|.
Это означает, что оператор U (eif~) отображает Ж в Ж, а
U(elf+) отображает Ж в Ж.
Если теперь ф = e'f пробегает последовательность, стремя-
стремящуюся к блипу в точке а, то / сходится в /Лтопологии к ступен-
ступенчатой функции sa, где
@ при 0<9<а,
U при а<9<2я. <13ЛЛ2>
Разложение Фурье функции sa имеет вид
sa F) = 9 + (п - а) + 2 ±- ё« <9~Ч
Поэтому коэффициент ап для f стремится к (l/in)e-ina, и Sn(f±)
в A3.1.11) стремится к корректно определенному оператору
Вп, а' Ж^>Ж. Это означает, что о множителях в правой части
A3.1.9) можно сказать следующее: U (eif~) поточечно сходится
как оператор Ж->Ж, а U (eif+) — как оператор Ж->Ж. Ос-
Оставшийся множитель ?/(е''(9+а)) не причиняет хлопот. Он уни-
унитарен, сохраняет Ж и при /->sa стремится к U (е'(в-о+«)).
Так заканчивается доказательство существования оператора
¦фа: Ж->Ж. Свойство эквивариантности A3.1.6) этого опера-
оператора непосредственно следует из A3.1.4).
Наряду с блипом if>a имеется его формально сопряженный
оператор Фа• Он равен пределу операторов e.~k1/2U (q>k) и соот-
соответствует петле с числом вращения —1 в инфинитезимальной
окрестности а. Основное свойство этих операторовантиком
мутационные соотношения.
^их антиком-
антикомПредложение A3.1.13).
а = 0,
13.1. Фермионные операторы на
301
Конечно, эти соотношения следует понимать в смысле распре-
распределений. Эти выражения имеют смысл после сглаживания с по-
помощью тригонометрического многочлена от а и р. Так, третье
соотношение означает, что
2Я
Ш A3.1.14)
для любых тригонометрических многочленов р я q.
Полагая р — q в A3.1.14), мы получаем, что оператор |(р)
ограничен и что ||г|)(р)||^||р||, где ||р|| обозначает /Анорму. Из
этого следует, что оператор г|э(р) в действительности отображает
3@ ъ Ж к что его можно определить для любой /Лфункции р.
Доказательство A3.1.13). Мы докажем третье соотношение.
Два других доказываются аналогично, но проще. Итак,
фв = litn U И+) U (е'Г) U (е{ <в~а+я))
-1
¦фр = lim U (е1
Р
Мы можем использовать любые удобные аппроксимации / и g,
но разумно считать, что / — функция от F — a), a g — функция
от (8 — Р), потому что тогда можно проделать сглаживание по
а и р до перехода к пределам f-*-sa, g->-s$. Поэтому
+ U (е~'е+) U 0-<О U И+) U (е'Г)} и (е~1 (а~Р)) =
= F if, ё) U (У (f+-«+>) U (е< (Г-в-)) и (е~1 (а~^),
A3.1.15)
где
e~2is
~2iS
F (f, g) = e
Считается, что эти уравнения будут иметь смысл лишь после
сглаживания по а и р. Однако произведение
и (у (f+-«+)) и & (г-2~)) и (е-г<а-р))
в правой части формулы A3.1.15) стремится к пределу
^^
который как оператор Ж->Ж гладко зависит от а и р и ра-
равен 1 при a = р. Для доказательства предложения A3.1.13)
302
Гл. 13. Б липы, нли вертексяые операторы
осталось показать, что выражение F(f,g) в A3.1.15), которое
является гладкой функцией от а и |3, стремится к 2яб(а — |3).
Пусть разложения Фурье функций / и g равны
9-a)
Тогда
л>0
и поэтому e
Р
~2iS
можно разложить по положительным сте-
стеу
пеням е»(«-Р) с коэффициентами, полиномиально зависящими от
Jngn. Так как f-*~sa и g-^sp, коэффициенты fn и gn стремятся
к 1 и коэффициенты e-2's(f. g+) стремятся к коэффициентам ряда
exp
п>0
Рассматривая аналогичным образом вторую половину выраже-
выражения F(f,g), мы получаем, что все выражение сходится покоэф-
фициентно к
Это именно тот тип сходимости, который мы требовали для до-
доказательства предложения A3.1.13), так как мы всегда исполь-
используем сглаживание с помощью тригонометрических многочленов.
Кроме антикоммутационных соотношений и совместности
с поворотами окружности A3.1.6) нам нужно знать, как опера-
операторы ifia взаимодействуют с представлением группы LT, с кото-
которого все началось.
Предложение A3.1.16). Для любого q> <= LT справедливы,
формулы
U (Ф) ФсД (ФГ1 = (-1)Лфф(а)Фа,
Г
=(-1) ф
Замечание. Дифференцируя эти уравнения по ф, мы получаем
Ир, -фа] = 2пб (р — а) г^а,
13.1. Фермионные операторы на 36
303
где Лр обозначает операторнозначное распределение, определен-
определенное формулой
2л
Доказательство A3.1.16). Рассмотрим соотношение
U (e'"«) U (e'O U (е'еу1 = eis^- f>-*s<f- 2) и (eif). A3.1.17)
Если g — гладкая функция и f стремится к ступенчатой функ-
функции sa, то
S(g, f)-S(f, g)^g(a)-nAg.
Сравнивая A3.1.17)" с определением -фа> получаем A3.1.16).
Теперь мы проделали всю работу, необходимую, чтобы опи-
описать действие алгебры Клиффорда C(Hf>) на ,Ж Здесь Н — это
обычное гильбертово пространство комплекснозначных ?2-функ-
ций на S1 и Яр — оно же, но как вещественное векторное про-
пространство. Для f e H положим
С (f) = *(/) + *(«•
Этот оператор вещественно-линейно зависит от f. Тогда соотно-
соотношения из предложения A3.1.13) приобретают вид
Комплексификация Яр обычным образом отождествляется (ср.
A2.4.1)) с ЯФЯ. Комплексная алгебра Клиффорда простран-
пространства Я® Н действует на Ж операторами
Она содержит внешние алгебры пространств Я и Я в качестве
подалгебр.
Из соотношения эквивариантности A3.1.6) следует, что опе-
оператор ifi(/) повышает энергию на п, если энергия / равна п. За-
Запишем теперь Я = Я+ Ф Я_, где Я+, как обычно, порождено
функциями е'"е при л ^ 0. Пусть Т — подпространство в Ж, со-
состоящее из всех векторов, которые аннулируются всеми пони-
понижающими энергию операторами ty(f) для |еЯ. и ip(f)* для
f e ешН+. Это пространство ненулевое, поскольку содержит все
векторы с минимальной энергией. Оно сохраняется комплексной
алгеброй Клиффорда, порожденной операторами -фA) и т|зA)*
304
Гл. 13. Блипы, или вертексные операторы
которая изоморфна алгебре 2 X 2-матриц. Фактически мы можем
написать
где Т&— собственное подпространство оператора i|)A)i|jA)*, ко-
который является идемпотентом, с собственным значением е. Век-
Векторы из То аннулируются операторами ij)(/) для [еЯ_ и опе-
операторами if>(/)* для / е #+•
Выберем вектор Q е То, такой, что ||Q||=1, и определим
отображение
полагая
f 1 Л . . . Л fk Л §г Л . . . Л §т
. . . ф (/й
* Q.
Простое вычисление с использованием коммутационных соотно-
соотношений показывает, что это отображение сохраняет скалярные
произведения. (См. разд. 10.2 по поводу определения скаляр-
скалярного произведения для Л(#+Ф#_).) Например,
(/О*
Q, ф (/2) Q)
Отсюда следует, что га продолжается до изометрического вло-
вложения гильбертова пополнения Л(#+ © #_) в <Ж Но наши рас-
рассуждения доказывают больше. Если объединить отображения га
для Q е То, то получается изометрия
\tl + KV "—) 49 г о — о&. \\о. 1,1о)
Предложение A3.1.19). Отображение A3.1.18) продолжает-
продолжается до изометрического изоморфизма
Л (Н + © ti_) <S> Vо ~* Ж. (loA.zv)
(Здесь <8> обозначает тензорное произведение гильбертовых про-
пространств.)
Доказательство. Единственное, что следует показать, — это
сюръективность этого отображения. Пусть 3 — его образ. Если
^4^«5^, то Э1- не равно нулю, а значит, содержит вектор мини-
минимальной энергии, ибо 3'^ сохраняется под действием поворотов
окружности. Такой вектор лежит в Т и, значит, в & — противо-
противоречие. (Заметим, что Т\ = ' " w^ ч
Замечание. Из гл. 10 мы, конечно, знаем, что То — С, если
Зё неприводимо.
13.1. Фермионные операторы на
305
В заключение этого раздела мы снова вернемся к действию
Diff+EJ). Изоморфизм между гейзенберговской и спинорной
конструкциями базисного неприводимого представления группы
LT, найденный в гл. 10, должен по лемме Шура быть согласо-
согласованным с действием диффеоморфизмов окружности. Явная кон-
конструкция из гл. 10 с этой точки зрения совершенно неестествен-
неестественна: в ней используется фиксированная параметризация окруж-
окружности. Интересное свойство конструкции с использованием блипов
состоит в том, что она ясно показывает природу гильбертова-
пространства Н, по которому строится алгебра Клиффорда, дей-
действующая на Ж: оказывается, это пространство полуплотностей
на S1. Действительно, оператор г|эа строился ренормализацией
оператора ?/(<р), который делился на квадратный корень из ши-
ширины <р, а так как U(<p) ведет себя как функция относительно
диффеоморфизмов, г|эа преобразуется как полуплотность.
К сожалению, чтобы сделать предыдущие рассуждения абсо-
абсолютно точными, требуются дополнительные рассуждения. Дело
в том, что 1|за — это оператор из Ж в Ж, a Diff+E!) не дей-
действует ни на 36, ни на Ж. Мы видели, что оператор -ф (/): Ж-+Ж
можно определить для любой функции / из L2, и мы хотим по-
показать, что для любого h e Diff+EX)
Тн,
A3.1.21)
где h*f = f°h, а Тц — оператор, представляющий действие h на
Ж. (Как мы знаем из (9.5.14), группа Diff+EJ) проективно дей-
действует на любом представлении ?Т с положительной энергией:
поэтому оператор Th определен с точностью до скалярного мно-
множителя.) Формула A3.1.21) следует из A3.1.10), если считать
доказанным, что
2л
Hm
A3.1.22)
для всех гладких функций f на 51 и для всех |, лежащих в не-
некотором плотном Diff+E1)-инвариантном подпространстве в Ж,
где {ф&} — последовательность, стремящаяся к блипу в 0, а
q>fe, а(9) = ф*(8 — а). Наше определение г|з(/) гарантирует, что
равенство A3.1.22) справедливо, если / — тригонометрический
многочлен, а | — вектор конечной энергии. Сейчас мы объясним,
как можно избавиться от этих ограничений.
Пусть 8F обозначает пространство распределений на 51 вида
/= ]Г akeim, для которых ак быстро убывают при ?->-оо. Дру-
Другими словами, f = f+ + f, где часть с положительной энергией
20 Зак. 230
306
Гл. 13. Блипы, или вертексные операторы
f+ — гладкая функция. Мы определим топологию на -дг, исполь-
используя С°°-топологию на /+ и топологию распределений на f~.
Лемма A3.1.23). Действие Diff+EX) сохраняет W.
Доказательство. Пусть Р обозначает оператор проектирова-
проектирования /i—>f+. Как мы видели в доказательстве F.8.2), если h —
диффеоморфизм, то оператор
имеет гладкое ядро, которое отображает распределения в глад-
гладкие функции. Фактически действие Diff+E1)X ?Г^>-$Г является:
гладким отображением.
Определение A3.1.24). Пусть 3^Smooth обозначает подпро-
подпространство векторов \ ^36, таких, что /<—» Uie'f) • g продолжается
до голоморфного отображения '&"-*¦ Ж.
(Заметим, что t/(e'f)-g определено, вообще говоря, лишь для
гладких вещественных функций / на S1.)
Лемма A3.1.23) показывает, что ^smooth сохраняется под
действием группы Diff+E1).
Замечание. Определенное нами пространство ^smooth содер-
содержится в подпространстве векторов %^Ж, которые являются
гладкими относительно действия Щ~. Возможно, эти два подпро-
подпространства совпадают между собой и с подпространством век-
векторов, гладких относительно действия Т на Ж, т. е. векторов g,
таких, что {?(&)} быстро убывает. (Здесь l(k) — это компонента
g энергии k.) Но нам нет нужды решать все эти вопросы. В лю-
любом случае справедлива
Лемма A3.1.25). Ж a Smooth.
Доказательство. Это следует из результата (9.5.15) о том, что
векторы конечной энергии являются гладкими для LT, вместе
с наблюдением, что если ?еД то U (ф~)-? зависит лишь от
конечного числа коэффициентов Фурье функции ф~.
Вопрос о поведении блипов при диффеоморфизмах обосно-
обосновывает
Предложение A3.1.26). Соотношение A3.1.22) справедливо
для всех g e ^smooth и для всех гладких f.
Доказательство. Основной момент состоит в том, чтобы дока-
доказать существование предела левой части A3.1.22). Последова-
13.1. Фермионные операторы на
307
тельность {?*} в гильбертовом пространстве сходится, если <?&,
|т> сходится при k, m->oo. Поэтому достаточно показать, что
(еА8тГ1/2<<У(Ф,.а) • |, гУ(Фт>р) • I) A3.1.27)
сходится как распределение по а, р при k, пг^-оо. Для доказа-
доказательства этого мы используем рассуждение, подобное приме-
примененному при доказательстве предложения A3.1.13). Если за-
записать ф*, а = e'f и фт, g = eis, то A3.1.27) можно переписать
жак
e-ns (г, «+) ф (е« (r-g-)) . g> и (е* («-W) и (e-t (f--«~)
Здесь e~2iS ^~« s+>> сходится как распределение к 2
п >0
а скалярное произведение сходится к гладкой функции от (а, C),
так как (f~ — g~) сходится к пределу в Ф~, который гладко зави-
зависит от (а, р).
Чтобы доказать A3.1.26), нам необходимо знать, что предел
A3.1.27) не только существует, но и непрерывен по \. Но, со-
согласно A3.1.13), этот предел мажорируется с помощью И/112-ЩИ2.
Вернемся, наконец, к опущенному доказательству предложе-
предложения A3.1.10).
Доказательство A3.1.10). Если ф = е1! и / = 8 + с + f" + f~,
то е(ф) определяется как e~2iS (f+> f~\ Если / — преобразование
Гильберта вида F.3.2), т. е. It± = ±f±, то S(f+, /~)=—A/2) •
- 5 (f, //), где f = /+ + /~. Небольшое вычисление дает
2л
- 2iS (f+, /") = ~г J /' F) Г (Ф) log | 2 sin i- (9 - Ф) | Ж dy=F (/).
о
A3.1.28)
Мы хотим доказать, что если /?.—диффеоморфизм S1 (мы счи-
считаем h отображением IR-^-R, таким, что h(B + 2я) =Л(в>) +
+ 2я), то
F(/о Л)-/Ч/)-"log A'(a)
при f, стремящемся к блипу в точке а. Из A3.1.28) мы полу-
получаем, что
F (f о /Г1) - F (!) = ^г \ Г (б) Г (Ф) * (б. Ф) dQ dy,
о
где k(Q, ф) —гладкая функция на SlXS\ и что если f стремит-
20*
308
Гл. 13. Блипы, или вертексные операторы
ся к блипу в точке а, то ff^-2n8a в смысле распределений. По-
Поэтому
F (./ о /Г1) -F(f)^k (a, a) = log Ы (а).
13.2. Действие ите*(Н) и OTes(HR) на Ж
Так как у группы LT имеется единственное неприводимое
представление с коциклом A3.1.1), из результатов гл. 10 кос-
косвенно следует, что действие LJ на Ж можно продолжить до
действия UTes(H). Было бы, конечно, интересно явно указать,,
как действуют элементы из UTes(H). Операторы, соответствую-
соответствующие блипам, построенные в предыдущем разделе, дают частич-
частичный ответ на этот вопрос, определяя представителей по край-
крайней мере для некоторого класса элементов алгебры Ли группы
C/res (Я) .
Группа GLres (H) содержит подгруппу всех обратимых опера-
операторов в Н вида 1 + К, где К—оператор с гладким ядром, т. е.
2л
k(B,
A3.2.1)
для ?еЯ, где k — гладкая функция на S1 X 51. Алгебра Ли
SPm(H) этой подгруппы состоит из всех операторов вида A3.2.1).
Поставим в соответствие такому оператору К оператор Ак в Жг
определенный формулой
\ \ A3.2.2)
Заметим, что Ак— корректно определенный оператор в 36, если
первым выполняется интегрирование по 8Л Из коммутационных
соотношений A3.1.13) мы получаем
[AKi> Ак\ —
:i. Кг]'
и поэтому алгебра Ли 9"т(Н) действует на Ж. Нетрудно видеть,
что, ограничиваясь унитарной подалгеброй, это действие можно
экспоненцировать и получить действие подгруппы из Ures(H).
В формуле A3.2.2) можно было бы заменить ^Фв' на
— ¦Фв'^в или> более общо, на
для любого К. Если мы проделаем это, то Ак превратится в
Ак + Я trace (К), и ассоциированное действие группы умножится
на характер det\
13.2. Действие Ures{H) и Ores(HR) на
309'
Мы знаем (ср. разд. 12.4), что действие UTes(H) на Ж про-
продолжается даже до действия ортогональной группы Ores (Hr)
для Н, которое рассматривается как вещественное векторное
пространство. Элементы Q алгебры Ли этой группы с гладкими,
ядрами можно записать в виде
2л
(Qi) (б) = -5Г S {«(е> е') ' W) &
о
где мы требуем, чтобы
а (В', 9) = — а (9, 97), Ъ (97, 9) = - Ь F, G').
Если сопоставить Q оператор AQ на Ж, определяемый формулой
AQ = TSF S И Т а ®' 9') (¦elk - ¦W +
+ b (в, 9') (ф9ф9, + *>;) } dB dQrr
то получим представление гладкой части алгебры Ли группы
Конструкции, которые мы описали, представляют ограничен-
ограниченный интерес, так как они применимы только к небольшим под-
подгруппам в Ures(H) и Ores(#r)- С другой стороны, общий опера-
оператор в Н можно записать в виде A3.2.1) с достаточно сингуляр-
сингулярным ядром k, и во многих случаях можно придать смысл выра-
выражению A3.2.2) даже при сингулярном k. Рассмотрим, например,
алгебру Ли самой группы LT, которая задается обычными опе-
операторами
2Я
Ядро для а(/) —это 2л/(8')б (9 —9'), и действительно, на пиквик-
ском (но наводящем на размышления) языке квантовой тео-
теории поля имеется
Предложение A3.2.3). Л9 =: %^*в'.
Здесь «нормально упорядоченное» произведение справа сле-
следует интерпретировать как предел выражения
2я
310
Гл. 13. Б липы, или вертексные операторы
где / стремится к дельта-функции бе в 8, а 5F' — в') —«вакуум-
гное среднее» для i|>94v> которое равно
s(e-e')= Z ein^-Q'K
т. е. 5(8— 6') —это часть антикоммутатора
с положительной энергией. (В этом случае нормальное упорядо-
упорядочение обозначает, что мы вычитаем вакуумное среднее из Ф^в"
а при определении -ф0 мы делили на вакуумное среднее.) Фор-
Формула A3.2.3) выглядит более удивительной, если мы вспомним,
¦что в тех же обозначениях
/ 9 \
ф9 = :ц(eise): = :ехр 11 jj AQ,d#\\. A3.2.4)
Для физика формула из предложения A3.2.3) весьма есте-
естественна и вызывает много ассоциаций. Действительно, Ле — ло-
локальная инфинитезимальная образующая «калибровочной груп-
лы» LT, как это видно из коммутационных соотношений
[Ав, if>Q,] = 2лб (8 — 8') -фв,, a %ty*Q — образующая, соответствую-
соответствующая «зарядовой плотности» фермионного поля. Поэтому пред-
предложение A3.2.3) утверждает, что зарядовая плотность генери-
генерирует калибровочные преобразования.
Доказательство A3.2.3). Справедлива формула
фф'=е' <*-fVa (St) eia (sa) e~ia ('?) e~ia ('») g
= 5 (a
Поэтому
фвф; - 5 (a - p) = 5 (a - p) { e" (*« ""*» ) e" ^~^
Все три предыдущих равенства имеют смысл и справедливы
только после умножения на гладкую функцию /(р) и интегри-
интегрирования по р. Когда все это проделано, все выражения оказы-
оказываются операторами 36'-> Ж. Но правая часть последнего ра-
равенства гладко зависит от а и р, и так как
5(cz-
i/(cz-p)
13.3. Представления уровня 1 группы LG
311
при а-*--р, ее значение при а-*-р равно
— -^ a (sa + «a — a) = a Bяба) = Аа.
Умножая на f, интегрируя и устремляя / к дельта-функции в
точке а, мы получаем A3.2.3).
Можно было бы выписать формулы, аналогичные A3.2.3),
для действия LUn и LO2n, но похоже, что в этом нет особого-
смысла. Как правило, такие «явные» формулы в терминах ре-
нормализованных комбинаций операторов поля включают столь-
столько ad hoc интерпретаций, что они фактически не являются яв-
явными и не помогают понять природу операторов, существование
которых следует из весьма простых общих соображений.
13.3. Представления уровня 1 группы LG
для группы G с простыми связями
В этом разделе мы покажем, как можно использовать блипы
для явной конструкции наиболее важных неприводимых пред-
представлений группы петель для группы G с простыми связями.
Пусть Т — максимальный тор группы G. Мы начнем суточного-
унитарного представления у>—>U(y) для подгруппы LT в LG
в гильбертовом пространстве Ж, где LG — базисное центральное
расширение группы LG, описанное в гл. 4. Мы используем бли-
блипы, чтобы определить действие комплексифицированной алгебры
Ли Lgc группы LG на Ж, продолжая заданное действие ал-
алгебры Ли группы LT. Наконец, представление С§ после экспо-
ненцирования дает представление группы LG.
Если Ж — неприводимое представление группы LT, то мы,
очевидно, получаем неприводимое представление группы ГС
Точные неприводимые представления группы LT были классифи-
классифицированы в разд. 9.5, и мы уже знаем, что они взаимно одно-
однозначно соответствуют представлениям LG уровня 1.
Чтобы задать действие Lgc на Ж, мы должны связать с каж-
каждым вектором % е Lgc некоторый (неограниченный) оператор
/(?) в Ж, такой, что J{1) =/(?)• и
[/©,/(*!)] = -*/( [5, т,] )-**(?, 1). _ A3.3.1)
где со — коцикл D.2.2), определяющий расширение Lgc. Если
{ei} — базис вдс, то мы можем написать |=Л?«ег, где Ъ —
гладкие комплекснозначные функции на окружности, и
:312
Гл. 13. Блипы, или вертексные операторы
где /'(/) = ^(fe<)- Тогда J1— это операторнозначное распределе-
распределение, которое мы символически запишем в виде
2Я
'Соотношение A3.3.1) превращается в
[/в, С] = ~ 2м Z Ckmrb (9 - Ф) /в - 2mgkm б' (в - ф), A3.3.2)
где ckmr — структурные константы для g (т. е. [ek, ет] = zlckmrer
я gkm = {ek, em)). k
Мы хотим, иными словами, сопоставить «оператор поля» /6
каждой точке 6 на окружности и каждому базисному вектору еь.
из дс. Заданное проективное представление группы LX в Ж дает
¦операторы А% для всех Aet, а потому нам осталось построить
только операторы J\ для элементов из Sc/tc. Естественный вы-
выбор базиса в этом пространстве — это набор корневых векторов
еа, которые соответствуют корням а группы G (см. разд. 2.4).
Для любого корня а имеется кокорень, который можно ин-
интерпретировать как гомоморфизм Tia: Т-*-Т. Используя
его, мы можем определить /е как блип, представляющий эле-
элемент из LT, равный единице везде, кроме инфинитезимальной
¦окрестности 9, где он проходит петлю ч\а в Т с бесконечной ско-
скоростью.
Основное свойство группы G с простыми связями — это суще-
существование инвариантного скалярного произведения < , > на д,
такого, что
(i) <Я, |j)eZ, если X и ц принадлежат решетке f —
= Hom(T; T);
(ii) {X, X} <= 2Z для Aef;
(ш) (Я, X} = 2, если и только если X — кокорень. (Здесь ко-
кокорень рассматривается как элемент из t. Поэтому он обозна-
обозначается ha. Гомоморфизм r\a(eiQ) равен ехр(е/га)-)
Коцикл на LT, соответствующий базисному центральному
расширению LG, задается, как мы видели в разд. 4.8, формулой
c(expg, ехртО = (— IN'
где Ь:
— билинейная форма, а
A3.3.3)
2Я
5 (I, т|) = -^ \ <| (9),
¦ i-<i, д„>+4-<д6, *!
A3.3.4)
13.3. Представления уровня 1 группы LG
313;
Здесь \ и у\ обозначают средние значения ? и г\ на [0, 2я]. Мы
хотели бы, однако, подчеркнуть, что довольно сложные вычисле-
вычисления в разд. 4.8, которыми был получен коцикл A3.3.3), не суще-
существенны для описываемой конструкции. Если просто угадать-
формулу A3.3.3), то можно убедиться, что она приводит к про-
проективному представлению группы LG с желаемым коциклом на
алгебре Ли; отсюда следует, что все угадано правильно. Этот
коцикл был действительно открыт таким способом в [49] и
[131], и, что удивительно, элегантное описание B.5.1) алгебры
Ли группы с простыми связями было открыто в то же время.
Поэтому разд. 4.8 является только дополнительной проверкой.
Операция поворота на угол 9 согласована (ср. D.8.5)) с опе-
оператором U(у), представляющим у е LT, а именно
п Г 7 D~^ л —A/2) 10 (Av> Av) т т { Г>п\Л /1 Q Q К\
Для любого кокорня г\а: Т^-Т расширение подгруппы
(LT)a = f\a.(LT) группы LT, индуцированное коциклом A3.3.3),.
определяется формулой
2я
~g @)). A3.3.6>
По существу этот коцикл в два раза больше коцикла, который
рассматривался ранее в этой главе. Новое расширение обладает
тем свойством, что представители петель с числами вращения
±1 и непересекающимися носителями коммутируют, а не анти-
коммутируют.
Блип /е типа а в точке BeS1 определяется как предел
e~t9ek1U (у\а ° Фи), где {фд>}—некоторая последовательность ап-
аппроксимирующих элементов из LT, как в разд. 13.1. Степень гк
равна —1, а не —1/2, так как удвоился коцикл. Это означает,
что относительно диффеоморфизмов окружности Je ведут себя
как плотности, а не как полуплотности; поэтому оператор
2я
JedQ A3.3.7)
естественно определен, если f — функция на S1, как мы и надея-
надеялись. Множитель егш включается в определение /в, чтобы ком-
компенсировать неинвариантность коцикла (ср. A3.3.5)) относи-
314
Гл. 13. Б липы, или вертексные операторы
тельно поворотов, т. е. чтобы выполнялось соотношение
Существование такого блипа доказывается точно так же, как
и в разд. 13.1, и не требует дальнейшего обсуждения. Мы долж-
должны, однако, проверить соотношения вида A3.3.2), необходимые
для доказательства того, что получилось представление группы
Zgc. Вот эти соотношения (см. разд. 2.5):
Предложение A3.3.8). Справедливы формулы
(i) Me, /ф] = 2я6 (9 — ф) a (h) /ф (для любого корня a; h <= t);
(ii) [ft, /ф e] = 2яб (9 - Ф) Лф - 2яй' (9 - <р);
(ill) [/в, /ф] = 0, если а + |3 не равно нулю или не корень;
(iv) [ft, /§] = (-1N (a> P> 2яй (9 - Ф) /?+f\ если a + p -
Замечание. В правой части (ii) мы отождествили корень a
с элементом из t, используя квадратичную форму < , >.
Доказательство. Доказательство п. (i) совпадает с доказа-
доказательством A3.1.16) и не требует дальнейшего обсуждения. Мы
будем доказывать (ii), (iii), (iv) одновременно. Необходимые
рассуждения параллельны рассуждениям из предложения
A3.1.13), поэтому мы будем кратки. Аппроксимируем блипы в
точках 9 и ф с помощью e'f и е'8, где
и где qe @') =©' — В + я и 0 < А, < 1. Напишем ца ° е'7 ==
= exp(/a) и щ °eia = exp(gP), где мы снова рассматриваем а и
j3 как элементы из t Теперь вычисляем
-i <e+q»e
где
* (в, Ф) = С/ (ехр
@, ф) = е-1
1 {и (Ца
+
, Ф), A3-3.9)
(Га + g~fi)) X
X
I)
6 (а>
13.3. Представления уровня 1 группы TG
315
Получаем
в)
Теперь разберем три случая. Если C = —а, то (а, р) = —2
/(9 ф) равно ряду
AT2 Z яЯ2|п
и
который стремится к —2шб'(9 — ф) при Х-»-1. Оператор
Ф) в A3.3.9) стремится к пределу U(Q, ф), который является:
гладкой функцией по 0 и ф. Если мы используем соотношение
б' F — ф) U F, ф) = б' F — Ф) U F, в) — б F — ф) ^д-
и заметим, что ?/х('8, 9) = 1, а
в=ф
e=q
-^ при
то получим A3.3.8) (ii).
Если а + Р — не нуль и не корень, то <а, р> = 0, и поэтому
F\(&, ф) = 0, что доказывает A3.3.8) (iii).
Наконец, если а + р — корень, то <а, р> = —1 и 6(р, а) =.
= 6 (а, Р) + 1. В этом случае
? Я,21" е'п(9~ф _|_ ,? а,2""
<0 л>0
что стремится к (—lN(a>pJme~'96(9 — ф) при Я,->1, доказывая:
A3.3.8) (iv).
Мы построили действие алгебры Ли ?ро1Зс на %%¦ (Это пред-
представление полиномиальных петель, ибо конструкция блипов до-
допускает сглаживание только тригонометрическими многочле-
многочленами.) Мы должны продолжить это представление на все Zgc
и доказать, что экспоненциированием получается представление
группы LG. Оба этих шага можно сделать, используя одно про-
простое наблюдение.
Очевидно, что представление LpoiQ на Ж унитарно. Если огра-
ограничить его на постоянные петли % a ?poi8, то оно, конечно, экспо-
ненциируется до представления группы G, как и любое пред-
представление алгебры Ли компактной группы. (Фактически нам до-
достаточно пользоваться этим лишь для конечномерных представ-
представлений, так как если Ж — неприводимое представление группы
LT, то каждое из подпространств Ж (к) конечномерно и они ин-
инвариантны относительно действия д.) Заметим теперь, что &
316
Гл. 13. Блипы, или вертексные операторы
Zpoifi элемент /а(/) +/а(/)* можно перевести в оператор Ла(/ +
+ f) присоединенным действием группы G. Последний оператор
можно определить как неограниченный оператор для любой глад-
гладкой функции f, так как мы начинали с представления группы
гладких петель LT. Отсюда следует, что /а(/) + /а(/)*, а значит,
и /а(/) определены для любой гладкой функции f, что дает нам
представление Lgc.
Кроме того, мы знаем, что Aa(f + f) можно экспоненциро-
вать. Отсюда следует, что можно экспоненцировать также
^а(/) +^а.(/)*- Однопараметрические подгруппы, получаемые та-
таким образом, порождают LG. Нам необходимо еще знать, что
экспоненцированные операторы удовлетворяют всем соотноше-
соотношениям, которые имеются в LG. Это так, потому что по построению
эти операторы должным образом коммутируют с операторами
представления L%z. Другими словами, если
ехр A0 ехр (У .. . ехр (У = 1
в LG, то
П = ехр И Aг) ехр U (|2) ... ехр U (Ъг)
коммутируют со всеми операторами, представляющими Lgc. По-
Поэтому такое произведение действует как скаляр на каждой не-
лриводимой компоненте Жо в Ж. Итак, получается проективное
представление группы LG на Жа. Проективный множитель, од-
однако, тривиален на алгебре Ли, а потому тривиален глобально.
Поэтому IX = 1 на Жо, а значит (так как Жй — произвольная
неприводимая компонента), и на всем Ж.
Мы должны также описать поведение блипов /в и сглажен-
сглаженных операторов /<*(/) относительно Diff+E1). Повторяя рассу-
рассуждения из конца разд. 13.1, мы можем определить операторы
/Ct /г\ sup *ч/>
(f). cflBsmooth —*¦ <>&
для любого /e?F предельной формулой, подобной A3.1.22).
При этом определении естественность относительно Diff+E1)
становится ясной. Но как бы ни определялся оператор Ja (/), он
удовлетворяет соотношению
для операторов, представляющих LT (ср. A3.1.16) и A3.3.8)
(i)), и это свойство однозначно его характеризует.
Стоит отметить, что «бозонные» блипы /е приводят к неог-
неограниченным операторам, даже если они сглаживаются гладкими
функциями. Сглаженные «фермионные» операторы из разд. 13.1
ограничены. Мы еще вернемся к этому в разд. 13.5.
13.4. Действие Diff+(S') на представлениях групп петель
317
13.4. Действие Diff+(S1) на представлениях групп петель
с положительной энергией
Как мы уже отмечали в предыдущем разделе, группа
Diff+(S1) проективно действует на гильбертовом пространстве Ж
представления группы LT с положительной энергией с помощью
метаплектического представления. (Ср. разд. 9.5.) Мы уже отме-
отмечали, что конструкция блипов естественна относительно диффео-
диффеоморфизмов, т. е. если / — гладкая функция на S1 и ф — диффео-
диффеоморфизм, действующий на Ж оператором 7\-f, то оператор Ja (/)
из A3.3.7) удовлетворяет соотношению
r-Va(f)r«p = r(/o9). A3.4.1)
Из A3.4.1) следует, что действие Diff+EJ) на Ж согласовано
с действием LG, которое мы уже построили. Другими словами,
мы доказали, что если G — группа с простыми связями, то пред-
представление группы LG уровня 1 допускает согласованное дей-
действие группы Diff+E1). Оказывается, этого достаточно, чтобы
доказать следующую весьма общую теорему:
Теорема A3.4.2). Если Е — представление группы петель LG
с положительной энергией, то оно допускает согласованное про-
проективное действие группы Diff+E').
Согласно теореме (9.3.1), достаточно доказать это, если Е
неприводимо. Доказательство основано на следующей лемме:
Лемма A3.4.3). Пусть Е и F — представления группы LG
с положительной энергией, и пусть Е неприводимо. Если Е ф F
допускает проективное согласованное действие Diff+EJ), то та-
такое действие имеется и на самом Е.
Доказательство. Пусть D — центральное расширение группы
Diff+E1), действующее на Е Ф F, и пусть
Гф:
— действие ф
отображение
. Заметим, что Тю — это LG-эквивариантное
где ц>*Е обозначает Е с действием LG, подкрученным на авто-
автоморфизм ф. Определим 5Ф: Е—^-Е, полагая
где i и р — включение и проекция прямого слагаемого Е в Е Ф F.
Отображение 5Ф — это iG-эквивариантное отображение Е -*•
318
Гл. 13. Б липы, или вертексные операторы
->Ф*?, а, как мы знаем из леммы Шура, оно является нулевым
или изоморфизмом, ибо Е и ф*? неприводимы. Если ор доста-
достаточно близко к единице, то 5Ф должно быть изоморфизмом, так
как предполагается, что действие Б на Е Ф F непрерывно. Для
такого ф мы можем умножить 5Ф на скаляр и получить унитар-
унитарный оператор R;!, на Е.
Если теперь ф! и ф2 из D таковы, что RVl, ./?<p, и R<p2<p. опре-
определены, то /?ф2ф, и ^ф1^ф, могут отличаться лишь умножением
на скаляр, равный единице по модулю, так как оба этих опера-
оператора задают изоморфизм Е и Ф*Ф2.Е- Поскольку D связна и по-
потому порождается любой окрестностью единицы, мы заключаем,
что фь->/?ф продолжается до проективного представления груп-
группы D (а значит, и Diff+(S1)) на Е.
Доказательство теоремы A3.4.2). Предположим сначала, что-
G — группа с простыми связями. Тогда мы видели в предложе-
предложении (9.3.9), что любое неприводимое представление группы
LG— это прямое слагаемое в некотором представлении rn*nF,.
где F — представление уровня 1, а пгп — эндоморфизм группы
LG, индуцированный композицией петель S1 ->¦ G с отобра-
отображением nn:S1-+S\ z\-^zn. Конструкция блипов показы-
показывает, что группа Diff+(S1) проективно действует на F. Отсюда
следует, что она проективно действует и на rn*nF, ибо если ф s
eDiff+fS1), yeLG, то
mn (ф. (v)) = Ф, (mn (у)),
где ifeDiff+E1) определяется из соотношения яп ° ч|> = Ф ° яп..
(Для заданного ф есть п выборов i|), которые отличаются поворо-
поворотами на углы 2nk/n.) Лемма A3.4.3) заканчивает доказатель-
доказательство теоремы A3.4.2) для случая группы G с простыми связями-
В общем случае эта теорема вытекает из доказательства для:
случая группы с простыми связями в силу следующей леммы.
Лемма A3.4.4). Для любой односвязной группы G и для лю-
любого неприводимого представления группы LG с положительной
энергией имеются вложение i: LG-^>LGf, где G' — группа с про-
простыми связями, и неприводимое представление Е' группы LG'',,
такие, что Е — прямое слагаемое в i*E'.
Доказательство. Поскольку неприводимые представления со-
соответствуют антидоминантным весам (ср. (9.3.5)), достаточно
показать, что любой антидоминантный вес группы LG получает-
получается ограничением антидоминантного веса группы LG'. Доста-
Достаточно также рассмотреть случай простой группы G, т. е. случаи
G = Spin2n+b Spn, G2, F4.
13.5. Общие замечания
319
В стандартном описании максимального тора Т для Spin2n+i
(ср. [20, гл. VI, табл. II]) решетку весов Т можно отождествить
с подмножеством в !R", состоящим из точек Х = (Хи ..., Хп), та-
таких, что все Ki целые или все Ki полуцелые; %,— антидоминант-
антидоминантный вес, если
Х2 < Х2 < . . . < %п < 0.
Антидоминантные веса группы ?Spin2n+i уровня h соответствуют
таким X, что Xi + Х2 ^ —h. Рассмотрим вложение Spin2n+i в
группу Spin2n+2 с простыми связями. Решетка весов Т' группы
5pin2f!+2 лежит в Rn+l, причем ограничение Г'—»•? получается
забыванием последней координаты. Элемент (Хи . . ., Xn+i) из
f антидоминантен, если
/Ц<Х2<...<Х„+1 и Хп + Хп+1^0.
Антидоминантные веса для ?Spin2f!+2 уровня h снова выделяются
условием Xi + Х2 ^ —п. Поэтому антидоминантный вес для
LSpin2n+i продолжается до антидоминантного веса для ?Spin2n+2
с Xn+i = 0.
Случай группы Spn очень похож на предыдущий: она вкла-
вкладывается в SU2n- Исключительная группа G2 вкладывается в
Spin8. Единственный тонкий случай — это группа F4. Ее можно
вложить в Е6, но, чтобы получить все антидоминантные веса
группы LFi, видимо, необходимо подкрутить вложение LF^^-ЬЕЪ
с помощью внешнего автоморфизма группы LEb. Однако, ве-
вероятно, не имеет смысла приводить здесь все детали. Есть на-
надежда, что можно найти более удовлетворительное доказатель-
доказательство теоремы A3.4.2).
13.5. Общие замечания: случай общей максимальной
абелевой подгруппы в LG
В разд. 12.2 мы построили представление группы OTes(H) и,
следовательно, представление LUn из представления группы LT.
В разд. 13.3 мы построили представление LG из представления
LT для любой группы G с простыми связями. Группа Un яв-
является группой с простыми связями, и как LT, так и LT являют-
являются максимальными абелевыми подгруппами в LUn, поэтому есте-
естественно спросить, не являются ли эти две конструкции частными
случаями более общей процедуры. Фактически это обобщение
довольно очевидно.
Напомним (см. разд. 3.6), что максимальная абелева под-
подгруппа А в LG получается следующим образом: выберем для лю-
любого SeS1 некоторый максимальный тор Т9 в G, гладко зави-
зависящий от 9, и положим
A = {Y<=LG: y(Q)(=Te для всех 8}.
320
Гл. 13. Блипы, или вертексные операторы
Подгруппа LT в LUn получается при Ге = к(в)Тк($)-\ где К —
путь в Uп из единицы в матрицу, соответствующую циклической,
перестановке A, 2, ..., п).
Конструкция блипов для продолжения проективного пред-
представления группы LT до представления группы LG локальна по
окружности. Но для петель с носителем в собственном подмно-
подмножестве окружности S1 любая максимальная абелева подгруппа.
А выглядит точно так же, как LT !). Поэтому та же конструкция
применима для продолжения представлений с А на LG. Рассмо-
Рассмотрим случай А = LT cz LUn с этой точки зрения.
Пусть ем есть (р, q)-H корневой вектор в gin (.С), т. е. («X
X и)-матрица с +1 на месте (р, q), —1 на месте (q, p) и нулями
в остальных местах. Соответствующий двойственный корень —
это гомоморфизм Т->-71 = Тп степени +1 на р-м сомножителе и
—1 на q-м. Пусть {орА} —последовательность в А, которая стре-
стремится к блипу в 9 типа (р, q) относительно тора Тв. Используя
формулы F.5.1), мы можем рассматривать ор*. как элементы из
Z.T, и тогда фй стремится к произведению блипов ife в точках
ер = (в + 2я(р—1))/я и г|>; в 9,= (9 +2я(<7—1 )")/«• Рассу-
Рассуждение, подобное проведенному для доказательства предложе-
предложения A3.2.3), показывает, что B%q = tye i|j9 в действительности
имеет смысл как распределение по 0 и что получающиеся опера-
операторы задают действие Lgtra (С). (Так как ор9 и г})9 антикомму-
тируют, поначалу кажется, что имеется произвол в знаке, свя-
связанный с порядком, в котором записаны if9 и afg . Однако, за-
заменяя двойной блип на ч|>9 if>9 , мы опустили множитель, равный
знаку q — р.) Фактически, если (г, s) ф (q, p), нужное соотно-
соотношение
следует из предложения A3.1.13); случай (г, s) = (q, р) требует
большей аккуратности.
Выражение образующих «группы токов» как билинейных
комбинаций фермионных операторов еще раз объясняет, почему
оператор В^4 — это плотность, а ые полуплотность и почему он
«более сингулярен», чем г))9.
') Как мы видели в разд. 9.2, имеет смысл говорить о представлениях А
с «положительной энергией». Чтобы сделать эти замечания абсолютно точ-
точными, необходимо проверить, что это свойство представлений превращается
в «нескрученное» на подгруппе петель с носителем в интервале. Ср. (9.2.6).
Глава 14
Формула Каца для характеров и резольвента
Бернштейна — Гельфанда — Гельфанда
Эта глава посвящена формуле Каца для характеров предста-
представлений групп петель с положительной энергией. Эта формула —
точный аналог формулы Вейля для характеров компактных
групп, которую мы описали в разд. 14.2 в качестве введения
и мотивировки. В разд. 14.3 методом Каца выписывается и об-
обсуждается формула Каца, а доказывается она в разд. 14.4 мето-
методом Каца в варианте, который мы узнали из работы Макдо-
нальда [ПО].
Видимо, есть два способа «понять» эту формулу. Первый —
как формулу «о неподвижных точках», эта точка зрения исполь-
используется в разд. 14.2. Другой способ, который внешне более сло-
сложен, но в конечном счете гораздо плодотворнее, — как выраже-
выражение для стратификации комплексного однородного пространства
LG/T выпуклыми множествами, которые нумеруются элемен-
элементами аффинной группы Вейля. Это приводит к так называемой
резольвенте Бернштейна — Гельфанда — Гельфанда, из которой
немедленно получается формула Каца. В разд. 14.5 мы приво-
приводим общее описание этой резольвенты и одно-два следствия, ко-
которые из нее вытекают, но не доказываем, что она точна. Мы
надеемся, что этот компромисс окажется полезным: в сущест-
существующей литературе, похоже, трудно найти доступное описание
аналогичной теоремы даже для компактных групп, а наше изло-
изложение полностью содержит этот случай. Мы следовали работе
Кемпфа [91], пытаясь упростить ее, насколько возможно.
В разд. 14.6 мы описали еще несколько приложений резольвенты
Бернштейна — Гельфанда—Гельфанда. В частности, мы вычис-
вычисляем когомологии алгебры Ли Lg.
14.1. Общие замечания о характерах
Характер %v конечномерного представления V группы G —
это функция на G, определенная следующим образом: %v(g) =
= trace (Tg), где Tg — оператор в V, соответствующий g. Хорошо
известно, что для компактной группы G характер определяет
представление с точностью до эквивалентности. Характер — это
21 Зак. 230
320
Гл. 13. Блипы, или вертексные операторы
Подгруппа LT в LUn получается при Ге = Х(8)ГХ(9)~\ где К —
путь в Un из единицы в матрицу, соответствующую циклической
перестановке A, 2, . .., п).
Конструкция блипов для продолжения проективного пред-
представления группы LT до представления группы LG локальна по
окружности. Но для петель с носителем в собственном подмно-
подмножестве окружности S1 любая максимальная абелева подгруппа
А выглядит точно так же, как LT !). Поэтому та же конструкция
применима для продолжения представлений с А на LG. Рассмо-
Рассмотрим случай А = LT cz LUn с этой точки зрения.
Пусть epq есть (р, q) -й корневой вектор в gln (..С.), т. е. (п X
X и)-матрица с +1 на месте (р, q), —1 на месте (q, p) и нулями
в остальных местах. Соответствующий двойственный корень—¦
это гомоморфизм 'Y—>-T = Tn степени +1 на р-м сомножителе и
— 1 на <?-м. Пусть {фй} —последовательность в А, которая стре-
стремится к блипу в 9 типа (р, q) относительно тора Ге. Используя
формулы F.5.1), мы можем рассматривать ор*. как элементы из
LT, и тогда op* стремится к произведению блипов ife в точках
ер = (в + 2я(р-1))/я и о|^ в 9,= (9+ 2я(9-1)Р)/«- Рассу-
Рассуждение, подобное проведенному для доказательства предложе-
предложения A3.2.3), показывает, что В^ = ^в ipg в действительности
имеет смысл как распределение по 9 и что получающиеся опера-
операторы задают действие Lgtra (С). (Так как г))е и орд антикомму-
тируют, поначалу кажется, что имеется произвол в знаке, свя-
связанный с порядком, в котором записаны яре и -фд . Однако, за-
заменяя двойной блип на ife
е фд
e ф@ , мы опустили множитель, равный
знаку q — р.) Фактически, если (г, s) Ф (q, p), нужное соотно-
соотношение
\ Brvs] = б (Э - Ф
следует из предложения A3.1.13); случай (г, s) = (q, p) требует
большей аккуратности.
Выражение образующих «группы токов» как билинейных
комбинаций фермионных операторов еще раз объясняет, почему
оператор B%q — это плотность, а не полуплотность и почему он
«более сингулярен», чем if>e.
>) Как мы видели в разд. 9.2, имеет смысл говорить о представлениях А
с «положительной энергией». Чтобы сделать эти замечания абсолютно точ-
точными, необходимо проверить, что это свойство представлений превращается
в «нескрученное» на подгруппе петель с носителем в интервале. Ср. (9.2.6).
Глава 14
Формула Каца для характеров и резольвента
Бернштейна— Гельфанда— Гельфанда
Эта глава посвящена формуле Каца для характеров предста-
представлений групп петель с положительной энергией. Эта формула —
точный аналог формулы Вейля для характеров компактных
групп, которую мы описали в разд. 14.2 в качестве введения
и мотивировки. В разд. 14.3 методом Каца выписывается и об-
обсуждается формула Каца, а доказывается она в разд. 14.4 мето-
методом Каца в варианте, который мы узнали из работы Макдо-
нальда [ПО].
Видимо, есть два способа «понять» эту формулу. Первый —
как формулу «о неподвижных точках», эта точка зрения исполь-
используется в разд. 14.2. Другой способ, который внешне более сло-
сложен, но в конечном счете гораздо плодотворнее, — как выраже-
выражение для стратификации комплексного однородного пространства
LG/T выпуклыми множествами, которые нумеруются элемен-
элементами аффинной группы Вейля. Это приводит к так называемой
резольвенте Бернштейна — Гельфанда — Гельфанда, из которой
немедленно получается формула Каца. В разд. 14.5 мы приво-
приводим общее описание этой резольвенты и одно-два следствия, ко-
которые из нее вытекают, но не доказываем, что она точна. Мы
надеемся, что этот компромисс окажется полезным: в сущест-
существующей литературе, похоже, трудно найти доступное описание
аналогичной теоремы даже для компактных групп, а наше изло-
изложение полностью содержит этот случай. Мы следовали работе
Кемпфа [91], пытаясь упростить ее, насколько возможно.
В разд. 14.6 мы описали еще несколько приложений резольвенты
Бернштейна — Гельфанда — Гельфанда. В частности, мы вычис-
вычисляем когомологии алгебры Ли Lq.
14.1. Общие замечания о характерах
Характер %v конечномерного представления V группы G —
это функция на G, определенная следующим образом: Xv(g) =
= trace (Tg), где Tg — оператор в V, соответствующий g. Хорошо
известно, что для компактной группы G характер определяет
представление с точностью до эквивалентности. Характер — это
21 Зак. 230
322
Гл. 14. Формула Каца для характеров
функция классов на G, т. е. %v{g) зависит только от класса со-
сопряженности элемента g. Если G — компактная группа Ли, то
каждый ее элемент сопряжен некоторому элементу из макси-
максимального тора Г, и потому %у полностью описывается своим ог-
ограничением на Т, которое является функцией, инвариантной от-
относительно действия группы Вейля W на Т.
Для представлений групп петель с положительной энергией
имеется (хотя это может удивить) теория характеров, столь же
простая и удобная, как и теория характеров компактных групп.
Рассмотрим представления группы Т X LG, где LG — произ-
произвольное центральное расширение группы ^LG с помощью Т.
У этой группы есть максимальный тор ТХ^> где Т — это про-
прообраз в bG максимального тора Т в подгруппе G постоянных пе-
петель. Конечно, совершенно неверно, что все элементы из Т X LG
сопряжены с элементами из Т X Т- Тем не менее представления
группы Т X LG с положительной энергией с точностью до экви-
эквивалентности определяются своим ограничением на Т X ?'• это
непосредственно следует из того, что любое неприводимое пред-
представление 1\ содержит единственный, с точностью до умножения
на скаляр, вектор младшего веса, преобразующийся в соот-
соответствии с характером % группы Т X ?, который однозначно оп-
определяет 1\. Если Е — представление конечного типа, т. е. каж-
каждый его уровень энергии E(k) конечномерен, то в его разложе-
разложении по характерам группы у X Т любой характер X встречается
с конечной кратностью dx, и потому следующее определение
весьма естественно.
Определение A4.1.1). Характер представления Е — это фор-
формальная сумма
В этой формуле мы отошли от нашей традиции и различаем
линейную форму X: R ©t->-iR и гомоморфизм еи: ТХ Т—*-Т.
Такой характер %е определяет Е с точностью до эквивалент-
эквивалентности.
Формальный характер приобретает аналитический смысл при
соответствующей интерпретации. Его можно рассматривать с
двух точек зрения. Первая соответствует теории характеров ло-
локально компактных групп. Если G — локально компактная груп-
группа, действующая унитарными операторами {Ug} в гильбертовом
пространстве Н, то, как обычно, можно сопоставить сглаженный
14.1. Общие замечания о характерах
323
оператор каждой гладкой функции р с компактным носителем
на G:
где интеграл берется относительно меры Хаара на G. Если Н —
неприводимое представление, то U(p) оказывается оператором
со следом, а линейное отображение р»—»¦trace ?/(p) — распреде-
распределением на G, которое называется характером-распределением
представления Н.
Такое определение характера как распределения не имеет
буквального смысла для групп петель, ибо на них нет меры
Хаара. Можно попробовать применить это определение к огра-
ограничению представления на максимальный тор. Тогда оказы-
оказывается, что оператор U(p) не является оператором со следом для
любой гладкой сглаживающей функции р, но оказывается опера-
оператором со следом для вещественно-аналитической р. Другими сло-
словами, характер является не распределением, а некоторой гипер-
гиперфункцией. Типичный пример характера базисного представления
группы Т X LT изучен в гл. 10. Мы видели, что как формаль-
формальная сумма характер базисного представления равен
% (z, и, а) = а A + и) П A + иг*) A + и-»г*) =
fe>0
= аПA-г*
u>0
Г!
где (z, и, а)—элементы тора ТХТХТ (см. A0.5.3)). Если
проинтегрировать х по второму экземпляру Т, т. е. выделить ко-
коэффициент при и0, то мы получим an(z), где
— функция разбиений и коэффициент при zn — это число раз-
разбиений числа «.Эта функция голоморфна при \г\ < 1, но ги-
гиперфункция, которая является ее граничным значением при
|z| = 1, ведет себя очень плохо, имея «полюс» в каждой рацио-
рациональной точке окружности.
Более интересный способ рассматривать характер аналити-
аналитически основан на следующем наблюдении: на однородном про-
пространстве LG/T, а значит, и на представлениях с положитель-
положительной энергией действует не только комплексифицированная группа
LGc, но и полугруппа C^j x LGC. (Это объяснялось в разд. 7.6 и
8.6.) Унитарные представления группы TX^G с положитель-
положительной энергией оказываются, таким образом, «граничными значе-
21*
324
Гл. 14. Формула Каца для характеров
y
Коши.
ниями» голоморфных представлений полугруппы C<i 5<
Операторы, представляющие элементы полугруппы, оказываются
операторами со следом, а потому имеется характер — голоморф-
голоморфная функция на C<iy^LGc. Формальный след из определения
A4.1.1)—это граничное значение этой голоморфной функции.
Мы заметим, что если |z|< 1, то оператор Uziy, представляю-
представляющий (z, v) ^ C<i >< LGc, получается сглаживанием операторов
t/y для |?|= 1 относительно вещественно-аналитической меры
1 dt
2ш ? — z
на окружности.
Мы не будем развивать далее ни один из аналитических под-
подходов к теории характеров. Одна из причин этого состоит в том,
что формальный характер, кажется, пригоден для решения всех
практических вопросов. Более серьезная причина — существова-
существование аналитического характера в настоящее время выводится из
аналитических свойств формального характера. Если бы можно
было a priori знать, что операторы Uz,y Для |2|< 1 имеют след,
то аналитическая теория стала бы гораздо интереснее.
Заканчивая эти общие замечания, мы отметим один интри-
интригующий и таинственный факт. Функция разбиений является мо-
модулярной функцией в следующем смысле (ср. разд. 14.3): если
то
Из формулы Каца для характеров следует, что все характеры
представлений с положительной энергией групп петель строятся
в определенном смысле из модулярных функций. Похоже, что
сейчас не известно никакого объяснения этого феномена.
14.2. Мотивировка формулы для характеров:
формула Вейля для компактной группы
Наиболее важный результат о характерах — это формула для
характера %^ неприводимого представления с младшим весом
X, принадлежащая Кацу. Она является точным аналогом фор-
формулы Вейля для компактных групп.
Один из способов мотивировать этот результат — теория не-
неподвижных точек. Рассмотрим сначала действие конечной груп-
группы G на векторном пространстве Г сечений линейного расслое-
14.2. Мотивировка формулы для характеров
325
ния L на конечном множестве X. Мы предполагаем, что действия
G на L и на X согласованы. Пространство Г — это, конечно, пря-
амая сумма © Lx слоев Lx расслоения L. Так как g e G ото-
бражает Lx в Lgx, то в матрице действия g на Г диагональные
элементы могут быть не равны нулю, только если gx = х, и след
этой матрицы равен
? trace (g\Lx),
где F={j:g^: gx = x} — это множество неподвижных точек
действия g на X.
Рассмотрим теперь более общую группу G, которая действует
голоморфными преобразованиями голоморфного линейного рас-
расслоения L на комплексном многообразии X. Разумно надеяться,
что если g e G действует на X с изолированными неподвиж-
неподвижными точками, то след действия g на пространстве Г голоморф-
голоморфных сечений L — если его можно определить — связан с суммой
•следов действия g на пространствах CX(L) ростков голоморф-
голоморфных сечений расслоения L в изолированных точках х действия
;g на X. Другими словами, вклад в след вносят только инфини-
тезимальные окрестности неподвижных точек. Далее, росток го-
голоморфного сечения в точке х — это просто «ряд Тейлора» в х,
•а поэтому Ox (L) можно отождествить с Lx 0 S (Т*х), где Тх —
двойственное к касательному пространству к X в х (с его комп-
комплексной структурой), a S обозначает симметрическую алгебру.
(Более инвариантно, векторное пространство ростков (УХ(Е) об-
обладает фильтрацией по порядку нуля в х, и ассоциированное
градуированное векторное пространство — это Lx <8> SG^); раз-
различие между этими пространствами, впрочем, не существенно
для вычисления следа.) Если {cti, ..., ап} — собственные числа
действия g на Т*х,то след действия g h&S(T*x)— ср. A0.5.2) —
формально равен Ц (I—а*), т. е. 1/det A — g \T*x). Поэтому
ожидаемая формула для следа действия g на Г имеет вид
trace (g | L
A4.2.1)
Формула Вейля для характера — это утверждение о том, что
A4.2.1) справедливо для действия компактной группы Ли G на
комплексном однородном пространстве X — G/T — Gc/B+, по
крайней мере для положительного линейного расслоения L (т. е.
¦расслоения с ненулевыми голоморфными сечениями). Формула
Каца — это то же утверждение о действии максимального тора
326
Гл. 14. Формула Каца для характеров
группы T><LG на Y = LGjT = LGc/B+Gc- (Ср. разд. 8.7). Мы,,
сделаем сейчас эти формулы более явными, начиная с конечно-
конечномерного случая. .
Мы хотим вычислить след действия общего элемента g иа-
тора Т, когда L — однородное линейное расслоение,, связанное
с характером А, тора Т. Мы будем предполагать, что g — доста-
достаточно общий элемент и что его степени плотны в Т. Множества
неподвижных точек F для g можно в этом случае отождествить
с группой Вейля W = N(T)/T. Действительно, если смежный^
класс hT неподвижен, то ghT = hT, а значит, h~lgh e T, т. е. к
лежит в нормализаторе N(T) тора Т.
Если n^N(T), то действие п изоморфно отображает Lh и?
Т*а в ^-пн и Т*п11 так, что действие g на второй паре соответ-
соответствует действию n~lgn на первой паре. Действие Т на слое Lh
расслоения L в отмеченной точке задается характером X, а ка-
касательное пространство Тн можно отождествить с подпростран-
подпространством п- в дс, которое порождено отрицательными корневыми
векторами. Поэтому характеры группы Т, которые встречаются:
в двойственном пространстве (п~)*, — это положительные корни.
Предложение A4.2.2). (Первая форма формулы Вейля дляа
характеров.) Характер yj, неприводимого представления G с-
младшим весом X равен
Здесь а пробегает положительные корни группы G, и мы в;
наших обозначениях снова различаем линейные формы а, Я:
t-HR и соответствующие гомоморфизмы eia, еа: Т-*-~Т. Для же
е W и для любой функции f на Т мы обозначаем через w-f
функцию (w-f) (g) =f{ti~~lgti), где n^N(T)—какой-нибудь,
-представитель w.
Пример. Пусть G—SU2, и пусть максимальный тор Т ото-
(и 0 \
ждествляется с Т с помощью отображения и ь-> I _, I.
Пусть X (и) = и~п. Однородное пространство X = Gc/B+ — это»
комплексная проективная прямая Рс=52, на которой Т дейст-
действует поворотами, оставляющими полюсы неподвижными. Эле-
Элемент lief действует на касательное пространство [С; в отмечен-
отмеченной точке как и~2, а нетривиальный элемент группы Вейля дей-
14.2. Мотивировка формулы для характеров
327
ствует на Т, переводя и в и~1. Тогда
л—2
л—4
Если п ^ 0, это, конечно, характер действия G на однородных
многочленах степени п в однородных координатах на Рс-
Формулу A4.2.2) можно переписать чуть иначе. Каждый эле-
элемент w e W переставляет корни группы G и переводит некото-
некоторое число l(w) положительных корней в отрицательные. По-
Поскольку 1 — е~'а == —e~da A — eia), то
w.. ПA -eia) = (-l)l(w)e-is(w) П A ~eia), A4.2.3)
а>0 а>0
тде s(w) — сумма всех положительных корней а, таких, что
w~la — отрицательный корень. Это дает нам
Предложение A4.2.4). (Вторая форма формулы Вейля для
характеров.)
Xv= П A -е'Т1 ? (_i)'"-Y<•*+'<•».
а>0 wsW
Замечание. Если, как обычно, р — полусумма положительных
¦корней, то s.(w) — р—ш-р, и мы можем переписать нашу фор-
формулу в виде
Ъ=П(<Г'в'2-е'в/2)-1- S (_1)"«V-»-p>.
а>0 meV
Ирименяя эту формулу к тривиальному представлению, т. е. при
.X = 0 и %}, = 1, получаем знаменитое тождество — формулу
¦Вейля .для знаменателя
а>0
A4.2.5)
Пример. Пусть G = SUn, тогда W — симметрическая группа
:Sn и (—1 )'(«"> — знак w. Характер е'Р переводит u = diag{ui, ...
..., ип} в uf~]u"~2 ... ип_и а положительные корни — это
ш^—ъ-щиу1 при i < /. Формула A4.2.5) превращается в разло-
разложение определителя Вандермонда
... ипп
щ
1
и2
1
П!
328
Гл. 14. Формула Каца для характеров
Доказательство формулы Вейля для характера с современ-
современной точки зрения вытекает из теоремы Атьи — Ботта — Лефшеца
о неподвижных точках [6]. Эта теорема утверждает, что если
уАя) — характер представления G на Hq(X;0L), где Ol — пучок
голоморфных сечений линейного расслоения L, то левая часть*
формулы из предложения A4.2.2) равна "Z, (—1)" %(<}). Известно,,
впрочем, что если расслоение L возникает из антидоминантного-
веса X и мы напишем О\ = Ol, to H"(X;Cx) = Q при q > 0, а по-
потому знакопеременная сумма сведется к нужному характеру
х@) _ ^
Отметим, что известно по крайней мере четыре совершенно*
различных метода для доказательства того, что Нч(X; <Ух) = О
при q > 0 и антидоминантном весе X. Один из них состоит в том,
чтобы заметить, что L% — «положительное» линейное расслоение,.,
т. е. его кривизна в определенном смысле положительна, а тогда
можно воспользоваться теоремой Кодаиры об обращении в нуль,,
которая основана на теории Ходжа. Другой путь — доказать, что<
если Я — антидоминантный вес, то
Н"(Х; Ox)^
A4.2.6>
где w * К = w•% + s(w) для всех q и всех даеУ: если w — эле-
элемент максимальной длины, то Нч+'С) обращается в нуль при
q > 0 по соображениям размерности. Ботт дал очень простое-
прямое доказательство формулы A4.2.6) в [15, A0.5)]. Два дру-
других доказательства утверждения об обращении когомологийг
в нуль будут упомянуты в разд. 14.5.
Известные аналитические доказательства формулы Вейля<
для характеров — одно уже описанное и второе, которое будет
описано в разд. 14.5, — очень интересны и поучительны, но сле-
следует признать, что они гораздо длиннее и зависят от гораздо-
более глубоких результатов, чем простые алгебраические рас-
рассуждения, которые мы приведем в разд. 14.4 и которые работают-
также в бесконечномерном случае.
14.3. Формула для характера
В этом разделе будем предполагать, что группа G полупроста.-
Мы хотели бы вычислить характер неприводимого представ-
представления T><?g на пространстве 1\ голоморфных сечений линей-
линейного расслоения U на У = LG/T = Т х LG/<J X Т). Комплекс-
Комплексная структура на У ясна из представления У в виде LGc/B Gc
(см. разд. 8.7). Формально все в точности повторяет случай?
компактных групп, рассмотренный в предыдущем разделе. Непо-
14.3. Формула для характера
329
движные точки действия тора ТХ? на У можно отождествить
с элементами аффинной группы Вейля Wau, а касательное про-
пространство к У в отмеченной точке — с W~gc, на котором ТХ^
действует отрицательными аффинными корнями. Мы напишем
.¦формулу, совпадающую с A4.2.4).
Теорема A4.3.1). (Формула Каца для характера.)
П
<Х>0
-е{аГ S (-1
Здесь s(w) — сумма всех положительных корней о группы
XG, для которых w~la отрицателен, а произведение берется по
всем положительным корням, взятым с определенными кратно-
•стями. (В конечномерном случае каждый корень имеет крат-
кратность единица, а для группы петель Т X Т действует на все
•zktc cr Lgc одним и тем же характером (k, 0).)
В написанном виде формула для характера применима к лю-
любой полупростой группе G. (В действительности она справедлива
для любой компактной группы, если уровень веса 1 строго по-
положителен.) Эта формула принимает несколько более привыч-
привычный вид для случая простой односвязной группы G и ее универ-
универсального центрального расширения LG. В этом случае мы, ко-
конечно, не можем просуммировать все положительные корни груп-
лы LG, но можем определить
р = @, р, -
A4.3.2)
:где р — это полусумма положительных корней группы G, а с —
значение оператора Казимира для g в присоединенном представ-
представлении. (Целое число с равно <p,ao>-f-l, где а0 — старший ко-
корень группы G, а скалярное произведение нормализовано так,
что <а0, ао>=2. Если G — группа с простыми связями, то с —
число Коксетера ([20, гл. VI, § 1, п°11]) для G.)
Предложение A4.3.3). Для любого w e Wan
Р — W ¦ Q =
.где s{w) — сумма положительных корней о, таких, что корень
и;-1 о отрицателен.
Доказательство. Так как Wau порождается отражениями s«
относительно простых корней о (см. предложение E.1.4)), до-
достаточно проверить нашу формулу для w = sa. Но тогда s(w) =
= а, а р — w ¦ р = р(Л„)а. Определение р, однако, подобрано
330
Гл. 14. Формула Каца для характеров
именно так, чтобы р (па) равнялось единице для любого простого
аффинного корня о.
Теперь мы можем переписать формулу для характера.
Предложение A4.3.4). Если G — односвязная простая группа^
то
Пример. Если G = SU2 с максимальным тором Т, мы можем
отождествить Т с Z так, что ^eZ соответствует
(
« 0
о .-
Тогда решетка весов группы "Ty^LG— это Z* а корни — эле-
элементы (п,К,0) при ^eZ, Я = ±2 или 0. Положительным кор-
корням соответствует л>0 или элемент @,2,0). Получаем р =
= @,1,—2). Если совокупность сдвигов Т в W&u записать как
K}neZ' то их действие на веса имеет вид
wm '
hm2, % — 2hm, ft)
(см. (9.3.3)). Оставшиеся элементы ш~ = у-ог+, где 5 — нетри-
нетривиальный элемент группы Вейля для 5/72, действуют следующими
образом:
wm'(n> ^> h) = (п — Xm + hm2, —X-\-2hm, h).
Применяя формулу A4.3.4) для характеров базисного, представ-
представления и другого представления уровня 1 с младшими весами,
©о = @,0, 1) и ©1 =@,—1, 1) соответственно, получаем
и, а) =
zm{3m+l)D6m+1(u)
1
где
(г, и, а) = а- Г
П = П {A - «22ft) A - zk) A - u~2zk)l,
k>0
A4.3.6>
т. е. это характер л-мерного неприводимого представление
группы SU2 при п ^ 0 (и Z?_n = —Dn).
14.3. Формула для характера
331
В предыдущих главах мы нашли две различные явные кон-
конструкции базисного представления группы LSU2. В разд. 13.3
мы реализовали его в пространстве Е неприводимого представ-
представления группы СТ. Это представление в свою очередь было инду-
индуцировано из представления Гейзенберга связной компоненты
единицы
Где у — векторное пространство отображений 51 -*- R с нулевым
г.пртшим. Фактически
где V вектор
'¦средним. Фактически
Е =
n,
где Е„ идентичны как представления группы V, но и^Т дей-
действует как и3™ на Еп. Из этого описания мы получаем
° k>0 neZ
Сравнение с A4.3.5) дает абсолютно не очевидное тождество,
'-которое при и — 1 превращается в следующую формулу:
П A - zkY2 = Б Fт + 1) zmCm+1)l ?- zm\ A4.3.7)
ft>0 m<=Z / meZ
В другой нашей конструкции из разд. 10.6 базисное пред-
представление группы LU2 реализуется во внешней алгебре. Его ха-
характер равен
„а
в2)
) П
k>0
u2z
lzk),
«2 z
A4.3.8)
где элемент тора из U2 записан как diag{ui, u2).
Формула Каца для характера в форме теоремы A4.3.1) при-
применима к базисному представлению группы LU2, которое соот-
соответствует l = @,0,l)eZXfXZ. Аффинная группа Вейля
W\?r равна 52><Z2. Если а — положительный корень A,—1)
для U2, то w =(p,q)<=T преобразует аффинные корни следую-
следующим образом (см. D.9.5)):
(я, а, 0)^(л + р — q, а, 0),
{п., —а, 0) н-* (п — р + q, —а, 0),
(п, 0, 0)^->(я, 0, 0).
Далее, s(w) = ((p — q) [p — q— l)/2, (p —^)a,0), и
ш-@, 0, 1) = ((р2 + <72 —р —?)/2, (р, <7), 1).
332
Гл. 14. Формула Каца для характеров
Собирая все это вместе, получаем следующую формулу для ха-
характера:
X(z; щ, и,; а) = а-ТГ1-
где
k>0
(р,
p-q, 2G—р + 1
A4.3.9>
= П {(l-
И снова тот факт, что формулы A4.3.8) и A4.3.9) согласованы,,
совершенно не очевиден. Теперь у нас имеются три совершенна»
разные формулы для характера.
Общий вид характера
Чтобы лучше понять, что выражает формула для характера,,
заметим, что любой элемент w аффинной группы Вейля можно-
единственным образом представить в виде w — azvg, где ш0 при-
принадлежит конечной группе Вейля W для G, a ?— решетке У..
В формуле из теоремы A4.3.1) мы можем суммировать по W^n
в два приема. Сначала просуммируем по шое Й7 с помощью»
формулы Вейля A4.2.4) для характера группы G. Если к =
= @, Я, ft), то
, t, a) =
Г
1
где
A4.3.1
П=П i(\-
k>0 (
(здесь / = rankG и произведение берется по всем корням а,
группы G), хц задается формулой Вейля A4.2.4), хотя jx не обя-
обязательно антидоминантен, a j] обозначает сумму по всем р е Т~
вида |j.^ Я +(ft + с) 5, где ^gJ и Г вложено в Г с помощью-
стандартного скалярного произведения.
Заметим, что обе части равенства A4.3.10) являются степен-
степенными рядами от 2 с коэффициентами — функциями классов на
14.3. Формула для характера
333
G. Выражение A4.3.11) можно записать более понятно:
П = ПB, g)= П det(l -2*ad(g)), A4.3.12)
fe>0
где ad(g) обозначает присоединенное действие элемента g e G.
Для любого цейшб^мы имеем%wt^ = (—1)'(<в)Хц, где
ш * ц = w ¦ (ц — р) + р. Для любого |л можно найти такое w, что
хю-{\1 — p)=w*\n — р — доминантный вес, и мы можем перепи-
переписать A4.3.10) следующим образом.
Предложение A4.3.13). Если G — простая односвязная
группа, то
h
\ (z, U a) =
• Г
1
(t),
где сумма берется по неприводимым представлениям V группы G,
П = ПB, t) задано формулой A4.3.12),
cv—значение оператора Казимира Д8 на V,
Nv — целое число,
h — уровень веса %,
( I
Удивительное свойство формулы из A4.3.13) состоит в том,
что степень z при каждом конечномерном характере %v не за-
зависит от X (только от его уровня) и пропорциональна значению
оператора Казимира на V. Было бы весьма интересно получить
объяснение этого факта.
Вернемся теперь к конструкции представлений уровня 1 для
групп с простыми связями из разд. 13.3. Как мы объясняли ра-
ранее, в случае SU2 эта конструкция непосредственно приводит
к формуле для характера. Для представления с младшим весом
ю = @,—со, 1) она дает
Хш = а. n(zI ¦ S em-a) • г<1-&2-тЪ\ A4.3.14)
где
п
k>0
обозначает функцию разбиений. Эта формула абсолютно не по-
похожа на формулу Каца и практически оказывается наиболее
удобной формулой для характера. Приравнивая A4.3.14) и
A4.3.13) при ю = 0, получаем замечательное тождество
Zy^>'2, A4.3.15)
П
a, ft g(=r l
которое обобщает A4.3.7) (ср. [83, C.38)]).
334
Гл. 14. Формула Каца для характеров
Макдональд [131, F.8)] показал, что A4.3.14) можно пе-
переписать в виде суммы по неприводимым представлениям G:
%а = а ¦ я (z)' ¦ X Xvfv (г),
A4.3.16)
где V пробегает представления с младшими весами, которые
конгруэнтны со относительно действия Т, и
а>0
где X — младший вес для V.
Тождество Макдональда
Если мы применим формулу для характера к тривиальному
представлению, т. е. ^, = 0 и х>.== 1> т0 получим тождество Мак-
Макдональда [107]
ТТ ( ¦. ia\ V1 / , \l (oj) is (W)
а>0 ajs!Tafj
A4.3.17)
Для простой односвязной группы G мы снова можем сделать
эту формулу более явной, записывая ш = шо>1. как выше, и
суммируя по w0 e W. Получается
Предложение A4.3.18).
ПB, g) = E Z^^ig),
Is?
где П задано формулой A4.3.12), cl^T рассматривается как
вес с помощью стандартного скалярного произведения на t и
Как мы уже напоминали в разд. 10.5, для G = SU2 тождество
Макдональда превращается в тройное тождество Якоби.
В разд. 10.5, однако, оно возникало при сравнении представле-
представлений группы ?Т, которые не продолжались на LSU2.
Стоит отметить два несколько различных способа записать
тождество Макдональда. Форма Киллинга ( , ) на g в 2с раз
больше стандартного скалярного произведения < , >, которое
мы используем, и «странная формула» Фрейденталя (ср. [51,
р. 243]) дает
(р, р) =-^ dim G,
14.3. Формула для характера
33S
и мы можем переписать A4.3.18) в виде
A4-3.19)
где L — подрешетка в Т, которая является образом Т относи-
относительно отображения f-^-f, определенного с помощью половины
формы Киллинга. При g = 1 в левой части A4.3.19) получается
является ^-функцией Дедекинда, а также модулярной формой
веса 1/2 (ср. Серр [135, гл. 8]).
Второй способ принадлежит Костанту [93], который заме-
заметил, что A4.3.18) можно переписать в виде
:~1су, A4.3.20)
П (z, g)=Z%y (go) Xv (§)
где сумма берется по неприводимым представлениям V группы
G, a go^G — некоторый элемент из определенного класса со-
сопряженности. (Фактически это класс сопряженности ехр4яр*,
где p*et соответствует р относительно формы Киллинга.) Эта
формула очень интересна из-за связи с «ядром теплопроводно-
теплопроводности» на группе G, что мы сейчас покажем.
Уравнение теплопроводности на G имеет вид
где f — вещественнозначная функция на R+ X G, а Д,- опера-
оператор Казимира на д, который отождествляется с оператором Лап-
Лапласа на G. Решение задачи Коши для уравнения теплопровод-
теплопроводности получается сверткой с ядром теплопроводности Н:
f(t, g)=\H(t,
a'
h)dh.
То есть Н — решение уравнения теплопроводности, где началь-
начальными данными является дельта-функция в единице. Так как
гильбертово пространство L2{G) распадается следующим обра-
образом под действием G X G:
где V пробегает неприводимые представления группы G, легко
видеть, что
H(t, ё)=Тс'
336
Гл. 14. Формула Каца для характеров
Поэтому A4.3.20) дает
Н (t, go) = U(e-ct, 1).
Более общим образом, Феган [42] отметил, что A4.3.20) дает
равенство
Hit, ё) = П(е-°К g),
где R(t,g) — решение уравнения теплопроводности с дельта-
функцией, сосредоточенной на классе сопряженности g0, в каче-
качестве начальных данных. Связь уравнения теплопроводности на
G с представлениями группы LG остается тем не менее таин-
таинственной (ср., однако, с работой Френкеля [47]).
14.4. Алгебраическое доказательство формулы
для характеров
В этом разделе мы сменим аналитическую и глобальную
точку зрения на чисто алгебраическую. Хотя нас по-прежнему
интересуют представления группы петель LG, мы введем в каче-
качестве технического средства гораздо более широкий класс Т комп-
комплексных векторных пространств V со следующей дополнительной
структурой:
(i) действие алгебры Ли LpoIgc полиномиальных петель,
(ii) действие группы Т, согласованное с действием Т на
Zpolgc вращениями,
которая удовлетворяет следующим условиям:
(a) V является алгебраической прямой суммой (тЭ V (k), где
V(k) — часть V, на которой е'ее=Т действует как e~iM, т. е.
«часть с энергией к».
(b) V обладает положительной энергией, т. е.
V(k) = 0 при k<0.
(c) Действие tc на V происходит из диагонализуемого дей-
действия тора Т, и характеры f встречаются в каждом V(k) с ко-
конечной кратностью.
Из гл. 11 мы знаем, что подпространство Ё векторов конеч-
конечной энергии в любом неприводимом представлении Е группы
LG (с положительной энергией) лежит в классе Т. С другой
стороны, большинство пространств из Т не происходит из пред-
представлений группы LG. Типичный пример —это векторы конечной
энергии из пространства T(U\U) голоморфных сечений ограни-
ограничения линейного расслоения Lx из разд. 11.1 на открытое плот-
плотное множество U однородного пространства У. Так как U не
14.4. Алгебраическое доказательство
337
инвариантно под действием LG, наша группа не действует на
Г (Lt | U)', однако имеет смысл операция дифференцирования се-
сечений вдоль касательных векторов, которые соответствуют эле-
элементам из Lgc.
Вероятно, стоит отметить, хотя нам это и не понадобится, что
имеется простой критерий того, что пространство V из Т проис-
происходит из представления группы LG; он состоит в следующем:
каждая трехмерная подалгебра ia(el2(Q), соответствующая про-
простым корням группы LG, действует на V суммой конечномер-
конечномерных представлений. Кац [86] называет такие V интегрируемыми.
В этом разделе мы будем изредка пользоваться понятием
универсальной обертывающей алгебры 41 (а) алгебры Ли а (ср.
[20, гл. I, § 2], [37]). Задать действие а на V — это все равно,
что задать действие ^(а). Теорема Пуанкаре — Биркгофа —
Витта [20, гл. I, § 2, п°7] утверждает, что <Ща) изоморфна как
векторное пространство симметрической алгебре S(a).
Будем писать <2/ вместо ^(?ро19с) и> используя несиммет-
несимметричные обозначения, °U+ вместо °U (iV^>Igc) и °U_ вместо
^(?-olgc)- Так как ?poi9c = ^p+oi9c©?p-oi8c теорема Пуанкаре-
Биркгофа—Витта показывает, что 01+ ¦ Ш^ — Щ и, более того,
что умножение
U
дает изоморфизм векторных пространств.
Основной объект в доказательстве формулы для харак-
характера — это модуль Верма.
Определение A4.4.1). Модуль Верма Vx— это пространство
из класса У, порожденное вектором §х, таким, что
(i) ?х аннулируется алгеброй N~ol$c,
(ii) ^ — собственный вектор для ТХТ, соответствующий
характеру к,
(ш) ^ — «максимально свободный» модуль, удовлетворя-
удовлетворяющий (i) и (ii), т. е. отображение
которое переводит а <8> х в ха ¦ \х, является изоморфизмом. (Здесь
<21- действует на С. характером X.)
22 Зак. 230
338
Гл. 14. Формула Каца для характеров
Очевидно, что если пространство V из У содержит вектор ?,
удовлетворяющий условиям (i) и (ii) из A4.4.1), то имеется
единственный гомоморфизм Ух —*-V, переводящий |х в §.
Предложение A4.4.2).
(i) Если Vy — модуль Верма, то отображение <U+-*Vi.) пере-
переводящее а в а ¦ ?х, является изоморфизмом.
,(Н) Если ц — произвольный вес из V%., то р,— к — сумма по-
положительных корней группы LG, и младший вес % входит в V
с кратностью единица.
Доказательство. Первое утверждение следует из определения
A4.4.1) (Hi) и изоморфизма ^и+ФЩ-^Ш. Второе утвержде-
утверждение непосредственно вытекает из первого.
Пример. Часть с конечной энергией пространства, антидвой-
антидвойственного к T(Li.\U), является модулем Верма Vx.Циклический
вектору— это взятие значения е^ Г (Z.x I U\ —> С в отмеченной
точке. В самом деле, si — циклический вектор, ибо сечение Lx\U
равно нулю, если равны нулю все его производные в отмечен-
отмеченной точке, а с другой стороны (см. A1.1.2)), Г (Z-x | U) суще-
существенно изоморфно пространству 5 (Л^~о1дс) , антидвойственное
к которому равно 5 (N*o1 gc)> изоморфному <Ы+ по теореме Пуан-
Пуанкаре— Биркгофа — Витта.
Заметим, что каноническое отображение V\—»-Гх, где Гх —
неприводимое унитарное представление с младшим весом %,
антидвойственно к отображению ограничения Г (Lx) -»¦ Г (Z-x I U).
Любое пространство из У имеет формальный характер. Мо-
Модуль Верма Vx изоморфен Cx<g>S(iV+olgc) как представление
группы ТХ?, где Сд, обозначает С с действием ТХ? с по-
помощью характера %. Поэтому справедливо (ср. предложение.
A0.5.2))
Предложение A4.4.3). Характер <рх модуля Верма Vx равен
Ф =е1Х • Ц (l — е'"),
х о>о
где произведение берется по всем положительным корням груп-
группы LG с соответствующими кратностями.
Наш следующий шаг — связать характеры неприводимых
представлений Гх с характерами модулей Верма. До конца этого
раздела мы будем предполагать, что алгебра Ли g проста. Это
предположение делается только для упрощения изложения:
14.4. Алгебраическое доказательство
339
чтобы охватить общий случай, когда д равна произведению k
простых алгебр, надо заменить У на класс модулей для универ-
универсального центрального расширения ?д алгебры L% с помощью
'Rft, которые допускают согласованное действие Tft (и являются
модулями конечного типа с положительной энергией); далее
можно пользоваться скалярным произведением (9.4.11) на
Шку^Ь%, и последующее обсуждение останется справедливым
без каких-либо изменений.
Предложение A4.4.4). Характер %^ неприводимого представ-
представления Гх равен счетной сумме вида X %%> г^е «ц е Z и ц про-
'бегает такие веса, что ,и ^ %. и || ц — р ||2 = || X — р ||2.
В этом предложении ц ^ X означает, что ц — Я, — сумма по-
положительных корней группы LG. Определение р — это формула
A4.3.2). Сумма для характера формально сходится, ибо для
.любого уровня энергии k есть лишь конечное число весов ц ^ X
*с энергией, не превосходящей k.
Доказательство A4.4.4). Пусть пространство V принадлежит
классу У, и пусть п — минимальная энергия, которая встре-
встречается в V. Выберем весовые векторы gi, ..., \г в V(n), кото-
которые являются базисом пространства векторов младшего веса
относительно действия д на V(n). Пусть |,- имеет вес %i относи-
относительно LG и вес Ki относительно G. Тогда имеется отображение
Vx -*-V, переводящее образующую модуля Верма в |г, а потому
возникает точная последовательность в У
•О.
A4.4.5)
Среднее отображение индуцирует изоморфизм на уровне энер-
тии п, — действительно, Vxt{n) — неприводимое представление
труппы G с младшим весом А,,-. Поэтому минимальная энергия,
встречающаяся в ядре V и коядре V", больше п. Так как ха-
характеры аддитивны по отношению к точным последовательно-
последовательностям, мы получаем, что
%v = Z %. + %v ~ V
-
Применяя это рассуждение к V = Гх, а затем к V и V" и так
далее по индукции мы, очевидно, получим желаемое выражение
для характера. Из A4.4.2) следует, что если все веса в У не
меньше чем "к, то все веса в V и V" также не меньше X; по-
поэтому в разложении хх встречаются <рц только cn>)i.
Чтобы доказать утверждение о ||р—р||2, мы воспользуемся
оператором Казимира Д из разд. 9.4. Из (9.4.10) мы знаем, что
22*
340
Гл. 14. Формула Каца для характеров
Д действует на Уц как умножение на скаляр сц = (||ц — р ||2 —
—II Р 112)/2. Из A4.4.5) следует, что если Д действует умножением
на скаляр на V, то он действует умножением на тот же скаляр
на V и V". Но на Г», он действует умножением на скаляр с*.;
поэтому Сх = с„, для всех встречающихся jx.
Теперь очень просто завершить доказательство формулы для
характеров. Нам понадобятся две леммы.
Лемма A4.4.6). Для любого веса X и любого да <= Waff спра-
справедлива формула
где w*X=w-X-\- s(w)— w-(X — р) + р.
Лемма A4.4.7). Если X — антидоминантный вес, a v — вес,
удовлетворяющий трем условиям
(i) v^Jw
(ii) v — р антидоминантен,
(iii) ||v — р||2=||Х, — р||2,
то v = X.
Закончим доказательство, предполагая эти леммы справед-
справедливыми. Пусть %х= ? /ур"! тогда w • %li = (—l)t{w ? "цФа>*ц по"
лемме A4.4.6). Но характер \ должен быть инвариантен отно-
относительно Wafi; поэтому nw t ^ = (—\I{W % Для всех ц и да, так
как формальные ряды <рц, очевидно, линейно независимы.
Предположим теперь, что п^ ф 0. Выберем да так, чтобы
да • (ц — р) был антидоминантным. Пусть да • (р, — р) = v — р, т. е.
у=да*ц. Тогда п^Ф 0, поэтому v ^ X и ||v — р|| = ||^ — р||. Из
леммы A4.4.7) получаем, что v = X. Но мы знаем, что «^=1;.
поэтому мы доказали формулу для характера в виде
X, = ?(-iy<ai)qW A4.4.8)
W
Доказательство A4.4.6). Это просто комбинация предложе-
предложения A4.4.3), формулы A4.2.3) и предложения A4.3.3).
Доказательство A4.4.7). Запишем
14.5. Резольвента Бернштейна—Гельфаида—Гельфанда
34 F
Далее, v — X — сумма положительных корней, a v + k — 2р не
только антидоминантный, но и строго антидоминантный вес в
том смысле, что <v + X — 2р, <х> < 0 для любого положительного
корня а, ибо <р, а,-> == 1 для любого простого корня а,-. Поэтому
единственная возможность состоит в том, что v — Х = 0.
Стоит заметить, что только в этом месте мы использовали
предположение о полупростоте д; оно излишне, если уровень веса.
X больше 0.
14.5. Резольвента Бернштейна — Гельфанда — Гельфанда
В этом разделе мы предполагаем, что группа G односвязнз.
и что X—антидоминантный вес.
Формулу для характера A4.4.8)
где w*X обозначает w-X-{- s(w), можно было бы естественно»
объяснить, если установить существование точной последова-
последовательности или «резольвенты»
О«-Гх<-Ух«- ф Vwtx<- © Кш.х«-... A4.5.1>
1{хи)= 1 /(ш)=2
для неприводимого представления Гх с помощью модулей Вер-
ма. И действительно, такая резольвента существует: она отра-
отражает стратификацию основного однородного пространства У =
= LG/T, которое мы изучали в разд. 8.7, и называется резоль-
резольвентой Бернштейна — Гельфанда — Гельфанда (ср. [10]). Она:
важна и интересна и сама по себе. В этом разделе, который
непосредственно продолжает гл. 11, мы попытаемся описать эту
резольвенту, объяснить, почему она существует, и привести одно-
два приложения; мы не приводим полного доказательства ее-
точности.
Геометрически естественнее обсудить последовательность^,
антидвойственную к A4.5.1); конечно, они эквивалентны. Перед
тем как непосредственно приступать к БГГ-резольвенте, мы, сле-
следуя оригинальной работе [10], опишем более очевидную резоль-
резольвенту, которую будем называть слабой БГГ'-резольвентой. Она
может заменить последовательность A4.5.1) при объяснении
формулы для характера и во многих других приложениях. Для1
групп петель она впервые получена Гэрлэндом и Леповским":
в [56].
Начнем с ^ = 0. Комплекс де Рама
i (U)
(U)
(U)
A4.5.2).'
голоморфных дифференциальных форм на открытом плотном:
подмножестве U в Y = LGc/B+ ацикличен, так как U голоморф-
голоморфно стягиваемо. Поэтому A4.5.2) дает резольвенту для С,-
342
Гл. 14. Формула Каца для характеров
•состоящую из ?дс-модулей конечного типа с положительной
энергией. Оператор Казимира Д для Zgc действует на A4.5.2).
Так как Д коммутирует с d, мы получаем
Qhoi (U) = Qhoi (f/)@) © Qhoi (и)(Ф0),
где первое слагаемое справа обозначает нулевое собственное под-
лространетво оператора Д, а второе — сумму остальных корне-
корневых подпространств. (В конечномерном случае с-корневое под-
лространство линейного оператора Т — это множество векторов,
которые аннулируются степенью Т — с. Б нашей ситуации опе-
оператор Д сохраняет разложение Qi,oi(f/) по энергии, и мы опре-
определяем Qhoi (?0@) как замыкание 0-корневых подпространств
для Д при каждом уровне энергии.) Поскольку Д аннулирует
постоянные функции в Qhoi (U), Qhoi (?/)((» является резольвентой
для С.
Чтобы описать Q^oi (?/)<о> более явно, мы заметим, что
^hoi (U) — пространство голоморфных сечений над U однород-
однородного векторного расслоения на У = LGcjB+ со слоем
Ap(Z.gc/?+gc)*, который является представлением группы ?+.
Это представление обладает такой фильтрацией
состоящей из ??+-инвариантных подпространств, что каждый
фактор Fk/Fk+i одномерен и соответствует характеру группы
В+, который равен сумме р положительных корней группы LGc-
Фильтрация слоя дает фильтрацию однородного векторного рас-
расслоения и, значит, композиционный ряд для пространства Qhoi(?/),
последовательные факторы которого имеют вид Т {L^ \ U), т. е.
антидвойственны модулям Верма V^., таким, что вес ц пробе-
пробегает суммы р положительных корней. Слагаемое Qhoi (U)@)
имеет композиционный ряд, факторы которого — это те модули
Уц> для которых собственное значение Сц оператора Казимира
равно нулю. Из леммы A4.4.7) и последующего обсуждения
следует, что единственно возможные веса ц — это ii = s(w), где
-w пробегает элементы длины р в аффинной группе Вейля.
Комплекс Qhoi (^)(о> — это слабая БГГ-резольвента триви-
тривиального модуля С. Она отличается от БГГ-резольвенты тем,
что ее члены — не суммы антидвойственных модулей к модулям
Берма, а лишь обладают композиционными рядами с факто-
факторами, которые являются антидвойственными к модулям Верма.
14.5. Резольвента Бернштейна—Гельфанда—Гельфанда
343*
Слабая БГГ-резольвента общего представления Гх — это*
Ci,- корневое подпространство оператора Казимира на голоморф-
голоморфном комплексе де Рама Q'hoi(U; Tx) на U с коэффициентами
в Гх. Здесь следует отметить, что голоморфные р-формы на:
Y = LGcJB+ со значениями в Гх можно отождествить с голо-
голоморфными сечениями однородного векторного расслоения на У"
со слоем Нот (Лр (Z,gc/?+gc); Гх), который является представ-
представлением группы В+.
Теперь мы возвращаемся к БГГ-резольвенте. Мы уже видели,,
что если Гх реализовать как пространство голоморфных сече-
сечений линейного расслоения Lx на однородном пространстве У, то
антидвойственное отображение к канонической сюръекции"
J/\—»-Гх из A4.5.1) можно отождествить с отображением огра-
ограничения сечений
A4.5.3>
где U — открытый плотный страт пространства У. Начиная
с этого места, мы зафиксируем линейное расслоение Lx и для
любого открытого подмножества W в У будем писать Г(И?)
вместо Г (Li. \W). Например, отображение A4.5.3) превращает-
превращается в Г(У)-»-Г(?/).
Сечение расслоения Lx \ U происходит из сечения расслое-
расслоения Lx.\Y, если и только если оно продолжается на страты 2аг
коразмерности один: действительно, в этом случае оно продол-
продолжается и на все остальные страты по теореме Хартогса (ср:.
разд. 11.3). Далее, 2Ш содержится в открытом множестве Uw =
=w ¦ U, которое изоморфно С1™ X 2™. Положим U*w = Um — 2шГ
Если коразмерность страта 2» равна единице, т. е. /(ш)=1,.
то Uf]Uw = U*w, и потому seT([/) при ограничении даег
sw е Г (U*w). Поэтому s лежит в Г(У), если и только если каж-
каждое sw продолжается на Uw; возникает точная последователь-
последовательность
0-г(У)-Г(С/)-* © Г(?/;)/Г(?/ш). A4.5.4)*
I (w)=l
Фактор пространство Г (U*w)/T (Uw) — это пространство глав-
главных частей мероморфных сечений Lx с полюсом вдоль стратам
2ТО. Последовательность A4.5.4) —это начало нужной резоль-
резольвенты, так как справедлива
Лемма A4.5.5). Если l(w)=l, то пространство Г (U*m)/T (?/„)>
является естественно двойственным к модулю Верма Vw*%.-
:;344
Гл. 14. Формула Каца для характеров
Доказательство. Мы должны показать, что имеется изомор-
изоморфизм
как модулей над Af~gc и ТХ?> где Hoi (iV~) обозначает про-
пространство голоморфных функций на N~ — N~Gc, а Cw*i. обо-
обозначает G с действием ТХ ?, которое задано характером w *k.
Элементы длины единица в Wan — это отражения, связан-
связанные с простыми аффинными корнями. Открытое множество Uw,
соответствующее простому корню а, — это свободная орбита ух
.под действием группы wN~w~l = Nw • Аш, где Nw=N~ f] wN~w~l,
a Aw — однопараметрическая подгруппа в N+, порожден-
порожденная еа (ср. разд. 11.3). Если мы тривиалнзуем Lx\Ua совместно
с Nw, то Г (U*w)/T (Uw) можно отождествить с пространством
голоморфных функций на N~ со значениями в Г (Cm)/T (Cw),
.где Cw = Aw-ywKCl, = Cw — {yw}. Поэтому (так как N~ = N~ •
• A.J) наша задача — показать, что
Г (С;)/Г (Сш) ss С»,х ® Hoi (Л.)
совместима с Txf и Aw.
Отождествим сферу Римана S2 = JC; |J{o°} с ее образом в У
• относительно отображения, индуцированного L: SL2(C)^-LGc
(ср. A1.3.2)). Тогда 0е52 — это отмеченная точка в У, оо— это
.Ут, Cw — это S2—{0}. Элемент ехр(ае_а) из Aw действует на S2
сдвигами t>—>t-\-a. Расслоение LjJS2 можно тривиализовать
над S2 —{оо} так, чтобы это было совместимо с Aw. Тогда Г (C*w)
превращается в Hol(S2—{0, оо}), T(CW) — подпространство
функций с полюсом порядка ^« в бесконечности, где п =
—— Я (&о) — степень LX\S2. Факторпространство T{C*W)/T (Cw)
можно отождествить с подпространством голоморфных функций
на S2— {°°}, которые имеют нуль порядка больше п в нуле; они
отождествляются с Но1(,С) = Но1(Л«,) с помощью (я + ^-крат-
^-кратного дифференцирования.
Наконец, мы возвращаемся к действию Т X Т. Тривиализо-
вав ^|E2 —{оо}), мы должны отождествить Г (С*т) с
Сх ® Hoi (S2 — {0, оо}). Но (п~\- 1)-кратное дифференцирование
переводит нас в Cj, + (n+i)a ®Но1(Лш). А это то, что нужно, так
осак w ¦ % = % — % (И.*) а = % + па и s {w) = p — шр = «.
Замечание. Вектор младшего веса в модуле Верма, антидвой-
- ственном к Г (U*m)/T (?/„,) — это комплексно сопряженное к ото-
14.5. Резольвента Бернштейна—Гельфаида—Гельфанда
345-
бражению
где второе отображение — это вычет в yw.
Тот прямолинейный подход, которому мы следовали, оче-
очевидно, не пригоден для продолжения последовательности A4.5.4)
с помощью изучения стратов более высоких коразмерностей. Не-
Необходимо использовать более изощренную технику. По причи-
причинам, которые мы скоро объясним, мы бы хотели иметь возмож-
возможность заменять Y «утолщенным» пространством Z, которое со-
содержит У в качестве плотного подпространства. Чтобы проде-
проделать все с максимально достижимыми общностью и ясностью,,,
мы будем действовать аксиоматически, потребовав от Z следую-
следующих свойств.
(I) Z является комплексным многообразием с действием-
Ty^LGc, действие LGc голоморфно.
(II) В Z имеется отмеченная точка z\, орбита которой плот-
плотна, а стабилизатор равен ~Ty^B+Gc.
(III) Z стратифицировано стратами Zw, которые соответ-
соответствуют элементам из Wan- Страты инвариантны относительно
действия N~, и страт Z\ = U открыт.
(IV) Для любого w действие Aw — N~ f| wN-w~l индуцирует-
изоморфизм комплексных многообразий
Пусть zw — это w-zu a Cw = AwZw Из предшествующих
предположений следует, что отображение y1—>y-zw вкладывает
Nw =N~ {\wN~w~1 в Zw как плотное подпространство. Мы.
предполагаем, что
(V) Естественное вложение Hoi (Zw) -»¦ Hoi (NZ) имеет плот-
плотный образ.
Все предыдущие предположения справедливы при Z = Y. Мы
добавим еще одно, утверждающее, грубо говоря, что страты.'
Zw голоморфно выпуклы. Неизвестно, верно ли это для Z =Y~
(VI) Для любого w и любого конечномерного многообразия
Штейна Р группы H«(ZWY,P\O) равны нулю при q > 0. Здесь
0 — пучок голоморфных функций на Zw X Р-
Из предположений (I) — (IV) следует, что голоморфное ли-
линейное расслоение L% на У канонически продолжается на Z:
фактически Lx является канонически Л^Ш"ЭквиваРиантН0 три-
тривиальным на любом открытом множестве ?/ш в Z, и его функции
перехода зависят лишь от конечного числа переменных, транс-
версальных к страту, которые одинаковы и для У, и для Z. Мы?
:346
Гл. 14. Формула Каца для характеров
«будем обозначать через О% пучок голоморфных сечений Lx на Z,
и в дальнейшем обсуждении будет подразумеваться, что все
группы когомологий вычисляются с коэффициентами в подходя-
.щем ограничении пучка Ох.
Мы должны решить, что будет играть роль Г (?/^)/Г (Uw) при
d(w)= 1 для общего страта Zw. Нужная нам группа — это груп-
группа Hz^iUJ) когомологий пучка Ox\Uw с носителями в замкну-
замкнутом подмножестве Zw. Мы напомним, что Hzw (Uw) определяется
>с помощью выбора вялой резольвенты ([21] ,[91])
О -+ Ох | Uv
щучка Ох | Uw и взятия когомологий коцепного комплекса Ггт
где Tz {^"q) обозначает сечения пучка &"" с носителями в Zw.
Если /(ш)= 1, то Hzw (?/») ^ Г (U*w)/r(Uw) в силу длинной точ-
точной последовательности, связанной с короткой точной после-
последовательностью коцепных комплексов
О
Г О")
0.
.В общей ситуации справедливо
Предложение A4.5.6). Группа Hlz(™\Uw; Ох) естественно анти-
>двойственна модулю Верна Vw. х, и Hiw (Uw; Oi) = 0 при
Мы на время отложим доказательство этого предложения.
Чтобы получить БГГ-резольвенту, рассмотрим вопрос о вы-
вычислении Я* (Za,; Oi). Пусть &" — вялая резольвента пучка О%. на
Z, и пусть Г* обозначает пространство сечений 2Fq. Тогда H*{Z)
по определению — это когомологий коцепного комплекса Г'.
Пусть Zp обозначает объединение стратов пространства Z ко-
коразмерности ~^р. Это замкнутое подмножество в Z. Мы можем
задать фильтрацию коцепного комплекса Г' подкомплексами
Г(р), где Г(Р) обозначает сечения пучка &~q с носителями в Z".
Эта фильтрация приводит стандартным образом [62] к спек-
спектральной последовательности с пределом H*(Z), которая начи-
.¦яается с
+1(/) (н.5.7)
Лемма A4.5.8).
Цт)=р
14.5. Резольвента Бернштейна—Гельфанда—Гельфанда
347*
Доказательство. Так как пучок &~ч вялый, то фактор»
Ffpj/rfp+i)— это пространство сечений STi\{Z — Zp+1) с носите-
носителями в Zp — Zp+1. Но в Z — Zp+1 подмножество Zp — Zp+l — это-
объединение непересекающихся замкнутых множеств Zw при
l(w) = p. Сечения с носителем в Zp—Z?+1 — это, таким образом,
суммы сечений с носителями в Zw. Так как Uw является окре-
окрестностью Zw в Z — Zp+l, мы получаем, что
откуда уже следует лемма.
Лемма A4.5.8) вместе с предложением A4.5.6) дает
Предложение A4.5.9). Группы Я*(Z; Ох)— это когомологий
коцепного комплекса
где
l(w)=p
Hlw(fJw).
w
Доказательство. Мы показали, что в спектральной последо-
последовательности ??*=> Я* (Z) группы ??* равны 0 при цфО. Это»
означает, что спектральная последовательность превращается
в коцепной комплекс A4.5.9). Проверим, что эта спектральная;
последовательность сходится. Заметим, что если заменить Z на
Z — Z" для некоторого п, то фильтрация коцепного комплекса
T(&~\Z — Zn) имеет лишь п членов и, очевидно, приводит к схо-
сходящейся последовательности. Это показывает, что H*(Z—Zn)
можно вычислять с помощью обрезанного комплекса
С[п1 = С —> С —>...—»¦ С
Однако Z — это объединение открытых множеств Z — Zn, и, так
как пучки '&~4 вялые, мы получаем
r=limr(>-|Z-Zn).
я
Это приводит к короткой точной последовательности [113] ')•
О -* R1 lim Я" (Z - Zn) ^ Я* (Z) ^ lim Я« (Z - Zn) -* 0.
J) Такая последовательность для когомологий lim Cjrtj имеется для лю-
любой сюръективной системы {С]„]| коцепных комплексов.
348
Гл. 14. Формула Каца для характеров
В этой последовательности член Rl lim исчезает, так как
Н"-1 (Z — Zn) не зависит от л при п> q; поэтому Hq{Z) =
= H"(Z — Zn) прил><7+1.
Коцепнои комплекс С* из предложения A4.5.9)—это и есть
БГГ-резольвента. Мы показали, что точность этого комплекса
эквивалентна обращению в нуль Нч (Z; (Ух) при q > 0. К сожа-
сожалению, прямое доказательство этой теоремы об обращении в
нуль нам неизвестно: ни одно из двух доказательств ее конечно-
конечномерных аналогов, которые мы упоминали в разд. 14.2, не прило-
жимо в нашем случае. С другой стороны, комбинаторная кон-
конструкция БГГ-резольвенты из [10] применима и к алгебрам
Каца — Муди, из чего можно вывести теорему об обращении
в нуль. (В конечномерном случае это третье доказательство
теоремы об обращении в нуль.)
Теперь мы приведем отложенное доказательство A4.5.6).
Доказательство предложения A4.5.6). Докажем следующее
утверждение индукцией по р = l{w).
Если Z'w — голоморфно выпуклое открытое подмножество в
.Zm и мы определяем U'm как Aw • Z'w и Ur = w~1-U/m, то
н\.
w
=*0 при ЯФр,
Г; Оя.х);
кроме того, этот изоморфизм перестановочен с действием Lgc.
Здесь слова «голоморфно выпуклое» означают, что Z'w обла-
обладает свойством (VI), которым обладает Zw. Предложение
A4.5.6) получается при Z'w = Zw.
Пусть w =s-v, где s — отражение, связанное с простым кор-
:лем a, a l(v) =p—1. Тогда Uw = s-Uv и Zw cz s-Zv: фактиче-
фактически
As У\ Z,w *¦ sZ v.
(Легко проверить, что Aw = As- sAvs и что N^ = As • sNwS.)
Пусть Z'v = s-{As-Z'w) и ?/;=^.z; = s-?/;. Ограничение
сечений с U'w на U'm — Z'w приводит к точной последователь-
последовательности
Я», (?/;)-.... A4.5.10)
14.5. Резольвента Бернштейна—Гельфанда—Гельфанда
349
Первые две группы в этой последовательности изоморфны соот-
соответственно группам
Н171 (U'«)~* Hz7-sz' (Uo — sZw)> A4.5.11)
V О W
во 1$с-действие на них подкручено сопряжением с помощью s.
Далее, Z" = Z'o — sZ'w = s ¦ (Л5 — {1}) • Z'm является голоморфно
выпуклым открытым множеством в Zv (так как оно является до-
дополнением к неособой гиперповерхности bZ^), a ?/?' = av • Z"v —
открытая окрестность Z" в У^ — sZ'w. Поэтому вторая группа в
A4.5.11) совпадает с Н^т1 (U'^), и по нашему предположению
о
индукции обе группы в A4.5.11) равны нулю при q ф,р, а при
q = р соответствующий гомоморфизм совпадает с отображением
¦ограничения
T{U'\ (yv,x)-+T(U"; Ov.t).
¦Соответствующий гомоморфизм в предложении A4.5.9) при q =
¦= р — это, следовательно, отображение
г(^: <Jv*x)-+r(u"' ^о.х)» A4.5.12)
где U's = s -U' и U" = s • U". Поскольку он инъективен, полу-
получаем, что Н", (?/j) = 0 при q^p и HP, (U'w) является его
Ш W
коядром.
Но U's — As-Vs, где Vs = sv~lAvsZ'w — открытое множество
страта Zs, a U" = (As — {1}) • Vs. Рассуждения из доказатель-
доказательства леммы A4.5.5) теперь показывают, что коядро A4.5.12) —
это Т (As • s • Vs; <ys*vx). Так как As-s- Vs = U' и s * v * к —
= w*k, это заканчивает доказательство предложения A4.5.6).
(В лемме A4.5.5) вес к предполагался антидоминантным. Но
все, что там использовалось, — это то, что к (ha.) < 0. В нашем
случае (о * к) (ha) < 0, так как это в точности условие l(s-v) >
-«Утолщение» однородного пространства Y
Обычный подход к группам типа HqJiZ; (Ух) использует тео-
теорему Дольбо [15]. Если мы знаем, что E-лемма Пуанкаре [68]
локально справедлива на комплексном многообразии Z, то
H*(Z; Ox) — это когомологии (Э-комплекса А\ где А" — про-
пространство гладких форм типа @, q) с коэффициентами в Lx.
Мы могли бы тогда конкретизировать предыдущую дискуссию.
350
Гл. 14. Формула Каца для характеров
14.6. Приложения резольвенты: когомологии
351
Вместо выбора вялой резольвенты пучка Ох мы могли бы проста
профильтровать комплекс Ат подкомплексами Л(р), состоящими'
из форм, обращающихся в нуль в некоторой окрестности объ-
объединения клеток размерности <рв многообразии Z.
К сожалению, в настоящее время неизвестно, для_какого>
класса бесконечномерных многообразий справедлива E-лемма
Пуанкаре. (Известно, что она неверна для С^-форм на гильбер-
гильбертовом пространстве [28].) Наиболее правдоподобная гипотеза —
она справедлива для многообразий, которые моделируются век-
векторными пространствами, двойственными к ядерным простран-
пространствам Фреше (ср. [31], а также [36], [30]).
Мы уже отмечали ранее, что было бы весьма интересно найти
инвариантную меру на однородном пространстве Y. Однако-
очень маловероятно, что такая мера имеется на самом У. Если
мы рассмотрим более или менее эквивалентное пространство-
X = LG/G, т. е. пространство гладких петель для G, то имеется
хорошо известная мера Винера на пространстве непрерывных
петель [81]. Эта мера квазиинвариантна относительно LG, но-
гладкие петли имеют меру нуль относительно этой меры1).
Поэтому разумно предположить, что существует «утолщение»
Z пространства Y, такое, что
(i) Z— комплексное многообразие, которое моделируется;
двойственным к касательному пространству iV~gc многообра-
многообразия Y,
(ii) Z обладает свойствами (I) — (VI), перечисленным»
выше,
(ш) для любого антидоминантного веса "к яг Z имеется мера
\i\ с коэффициентами в линейном расслоении 2*®?.»., инвариант-
инвариантная относительно LG,
(iv) любое голоморфное сечение расслоения L%.\Y конечной
энергии продолжается на Z и квадратично интегрируемо отно-
относительно (Хх.
Можно было бы надеяться, что и (Э-лемма локально выпол-
выполняется на Z.
Если гипотеза об утолщении справедлива, то теория пред-
представлений групп петель окажется значительно яснее. Аналоги
этой гипотезы для групп вещественно-аналитических и полино-
полиномиальных петель довольно просты в доказательстве. По крайней
мере ясны кандидаты на роль Z. В вещественно-аналитическом1
случае мы положим Z = LbyvGc/B*nGc, где Z-hypGc— это группа
4) Наиболее близкая к этой теме работа по мерам на бесконечномерных
однородных пространствах — это работа Пикреля [122].
всех голоморфных отображений некоторого переменного кольца
Ае= {z: 1 — е< \г\ < 1} в Gc, т. е.
i-hypGc = lim Hoi (Ле; Gc),
е->0
a BanGc — подгруппа отображений, продолжающихся на полу-
полусферу \z\ ^ 1. В полиномиальном случае Z-hypGc заменяется
группой всех «петель» со значениями в Gc, матричные элементы
которых лежат в поле частных кольца ?2[[z]] формальных сте-
этенных рядов.
14.6. Приложения резольвенты: когомологии 2,д
Модуль Верма Vx для L%c— это свободный модуль над
•обертывающей алгеброй °и+ алгебры Ли N+ol$c. Это позволяет
нам использовать БГГ-резольвенту для вычисления когомологии
алгебры Ли N~$c с коэффициентами в любом представлении Е
труппы LG с положительной энергией. Здесь когомологии опре-
определяются с помощью комплекса непрерывных коцепей на ал-
алгебре Ли. Заметим, что тор ТХ? в Т>< LG естественно дей-
действует на Н* (N~$c; ?)
Предложение A4.6.1). Если 1\— неприводимое представле-
представление группы LG с младшим весом X, то
l{w)=q W*k
лак представления группы Т X Т.
Доказательство. Коцепной комплекс, определяющий когомо-
когомологии, состоит из векторных пространств положительной энергии
ш конечного типа; поэтому мы можем рассматривать каждый
уровень энергии в отдельности и можем доказывать антидвойст-
антидвойственный результат
Группы гомологии можно вычислять с помощью цепного комп-
комплекса С <8><^+С., где С. — любая резольвента представления 1\,
состоящая из свободных ^+-модулей, например БГГ-резоль-
квента
ф Vw.t*-... ¦
A4.6.2)
352
Гл. 14. Формула Каца для характеров
Но С <8><^+VV ?=? CV, а дифференциалы в С <%><и+С. равны
нулю в силу Т X Г-инвариантности.
Замечание. Мы получили предложение A4.6.1) из БГГ-ре-
зольвенты; но все, что требуется от резольвенты A4.6.2), — это
поведение относительно °U+ и относительно ТХ Т. Для этого до-
достаточно знать, что у Г\ имеется резольвента С, такая, что CQ
лежит в классе У и обладает композиционным рядом Cq=Cq =э
=эСУ)=э •••. Для которого факторы С(?1>/С(</+1> являются моду-
модулями Верма Vw * t. с l(w) = q. Другими словами, нам достаточно-
слабой БГГ-резольвенты, описанной в начале разд. 14.5.
Предложение A4.6.1)—это ключевой шаг в вычислении ко-
гомологий алгебры Ли L%. Эти когомологии отображаются в ко-
гомологии топологического пространства LG, и мы хотели бы
доказать, что справедлива следующая
Теорема A4.6.3). Естественное отображение
H*{L%; R)^H'(LG; R)
является изоморфизмом.
Мы уже доказали в разд. 4.11, что это отображение сюръек-
тивно.
Фактически достаточно доказать
Предложение A4.6.4). Естественное отображение
t; R)-*H*(LG/T; R)
является изоморфизмом.
Здесь относительные когомологии вычисляются с помощью
комплекса LG-инвариантных дифференциальных форм на одно-
однородном пространстве LG/T. (Формальное определение можно
найти в [94] или [13, ch. 1].) За доказательством того, что из
предложения A4.6.4) вытекает теорема A4.6.3), которое зависит
лишь от того факта, что группа Т компактна и связна, мы от-
отсылаем читателя к [94, 15.3]. Когомологии пространства LG/T,
конечно, известны из его явной стратификации и клеточного раз-
разложения. Они равны нулю в нечетных размерностях, и в размер-
размерности 2р являются свободной абелевой группой, порожденной
стратами коразмерности р, которые соответствуют элементам
длины р в группе Вейля.
Чтобы доказать A4.6.4), мы сначала комплексифицируем
это равенство и заметим, что Н* (Lg, t; R) <g>R С з* Я (L%c, *с»
С). (Последняя группа определяется с помощью непрерывных
14.6. Приложения резольвенты: когомологни
353
кол«га./гек:сно-мультилинейных коцепей). Затем мы выписываем
для iC! слабую БГГ-резольвенту C-*Q', где ?2' = Ц,о1(?%>г ^та
резольвента является разложимой точной последовательностью
топологических векторных пространств (так как U голоморфно
стягиваемо), а поэтому двойной комплекс
А-(ЦС, tc; Q-)
коцепей для (Z,gc, tc) с коэффициентами в Q* точен по Q'-на-
правлению. Отсюда получается спектральная последователь-
последовательность с
которая сходится к Н* (Lgc, tc; С). Теперь с учетом предложе-
предложения A4.6.1) осталось доказать, что справедлива
Лемма A4.6.5). Группа E\q равна 0 при р ф q, а размерность
Е\р равна числу элементов длины р в Waff.
Использование леммы A4.6.5) завершает доказательство
предложения A4.6.4). Так как спектральная последовательность
вырождается, то
5
=0, если п нечетно.
Поэтому размерности групп Я" (Lgc, tc; С) и Hn(LG/T;H) рав-
равны, а значит, и группы изоморфны. (Из разд. 4.11 мы знаем, что
отображение между ними сюръективно.)
Доказательство A4.6.5). Композиционный ряд ?дс-модуля
Qp имеет конечную_длину, факторы этого ряда антидвойственны
к модулям Верма F*(a)), где w пробегает элементы длины р в
Waff. Поэтому достаточно показать, что Нч(L%c, tc; V*s(w)) = 0
при q=^=l(w) и что размерность этой группы равна 1 при q =
= l(w). Но поскольку V*s(w) «индуцировано» из представления
С5(ш) для S+gc, мы докажем, что
Н" (Цс, tc; V*sm) я Я" C+gc, tc; С.(ш)). A4.6.6)
Последняя группа (по определению) —это Г-инвариантная часть
в Я?(Л^+дс; С) ®Cs(ai), которая, согласно предложению A4.6.1),
или, точнее, согласно комплексно сопряженному к равенству из
предложения A4.6.1) равенству, имеет размерность 1 или 0 в за-
зависимости от того, равны q и l(w) или нет.
23 Зак. 230
354
Гл. 14. Формула Каца для характеров
Изоморфизм A4.6.6) является с чисто алгебраической точки
зрения формальной тривиальностью (ср. [25, гл. XIII, 4.2.2а]).
В нашей ситуации, где V* (а1) — это пространство голоморфных
сечений линейного расслоения на U сг У, 'этот изоморфизм мо-
можно обосновать следующим образом. Пусть О — прообраз U в
LGC; тогда U = N~ ¦ В+, и мы можем отождествить V*s(w) с про-
пространством голоморфных отображений f* O-*-'Cs(W), удовлетво-
удовлетворяющих условию f(ub~l) =b-f(u) для Ъ е В+. Поэтому коцеп-
ной комплекс для Я* (Lgc, tc; V*(a)))— это в точности /^-инва-
/^-инвариантная часть голоморфного комплекса де Рама для Тс IU с
коэффициентами в Cs(a,). Но Тс IU В+-эквивариантно голо-
голоморфно стягивается к Тс \В+, а ?+-инвариантная часть послед-
последнего комплекса — это и есть комплекс, определяющий Я*(В+дс,
Когомологий голоморфных линейных расслоений на Y
В конечномерном случае мы можем вычислить H*(G/T;
прямо из аналога предложения A4.6.1), т. е. из равенства
Я*(п"; ГО as © С..*. A4.6.7)
Это последнее из четырех доказательств основной теоремы об
обращении в нуль, которую мы упоминали в разд. 14.2. Стоит
кратко напомнить эти рассуждения. _
Группы H*(G/T; 0x) можно вычислить с помощью <3-комп-
лекса Л#, где Aq обозначает гладкие формы типа @, q) на G\/T
с коэффициентами в L\. Мы можем разложить А' по неприводи-
неприводимым представлениям компактной группы G:
где Л^ = (А' ® ГцH есть G-инвариантная часть А' <8> TJ,. Соот-
Соответственно
H*(G/T; ^)^фЯ*(Л№)®Гц. A4.6.8)
Но
(л- ® г;)« ^ {л (п+у ® q ® г;}^,
и поэтому Hq (А') — это (—к) -весовое подпространство дей-
действия Г на Hq (n+; Г^). По A4.6.7) оно равно нулю, если А, не
равно w * ц для некоторого w e W длины q\ в противном случае
14.6. Приложения резольвенты: когомологий
355
это пространство одномерно. В частности, Hq(G/T; 0%) =0 при
q > 0 и антидоминантном весе К.
В сущности, причина того, что мы не можем вычислять H*(Z;
0х) в случае групп петель с помощью предложения A4.6.1), со-
состоит в том, что E-комплекс для Z не состоит из пространств по-
положительной энергии. Мы, однако, можем обратить рассужде-
рассуждения и получить другой результат.
Для любой группы Ли 2? и любого представления Е группы
'З можно определить «гладкие коцепные» когомологий Я* с (&
Е) как когомологий комплекса гладких коцепей Эйленберга —
Маклейна для ^ с коэффициентами в Е (ср. [77], ;[13]). Тогда
Я^ с (^; Е) — это группа классов гладких скрещенных гомомор-
гомоморфизмов ^->-?¦, а Н\ с (^; Е) классифицирует расширения групп
Ли
Удивительное свойство компактных групп, которое не верно
для некомпактных полупростых групп, для 5L2(IR), например,
состоит в том, что Яз. с. (G; Е) = 0 для любого представления Е
группы G и при q > 0. В сущности, это связано с тем, что
имеется операция усреднения по G: возможность усреднения
влечет за собой точность функтора взятия неподвижных точек
Е\—>Е°, а это эквивалентно обращению в нуль когомологий. Еще
один аспект удивительного сходства между компактными груп-
группами и группами петель — это
Теорема A4.6.9). Если представление Е группы LG обладает
положительной энергией, то
HldLGl .?¦) = <>
при q > 0.
Доказательство. Мы можем предполагать, что Е—Тх, где
к—антидоминантный вес. Сначала мы приведем эвристические
аргументы в пользу справедливости_нашей теоремы, предпола-
предполагая, что для Y = LG/T справедлива (Э-лемма и что Я1 (К; (Уу) = 0
при q > 0. Тогда «^-комплекс
0->Г^Л* A4.6.10)
является резольвентой. С другой стороны, Hi. c. (LG; Ар) = 0 при
q > 0. Это так, потому что А? есть Г-инвариантная часть, а зна-
значит, прямое слагаемое в векторном пространстве Fp гладких ото-
отображений LG->Ap(gc/^+)*, а для такого «индуцированного
23*
356
Гл. 14. Формула Каца для характеров
модуля» по элементарным формальным причинам [77] имеет ме-
место равенство Hic.(LG, Fp) = 0 при q > 0. Значит, объекты в
резольвенте A4.6.10) ацикличны относительно ?G, и когомоло-
гии Я* c (JLG; FJ — это когомологии rG-инвариантной части
(А') .Как и в A4.6.8), мы получаем, что Hqs C(LG; I\)— это
(—%) -весовая часть действия 7" на Hq(N+a,c; С), или, эквива-
эквивалентно, ^-весовое пространство в Нч (N~gc; С). При q > 0 оно
равно нулю по A4.6.1).
Предыдущие рассуждения являются лишь эвристическими.
Настоящее доказательство можно провести совершенно иными
путями, используя спектральную последовательность ван Эста
[149], [13]. Мы приведем только его набросок.
Предложение A4.6.11). Для любого представления Е группы
LG имеется спектральная последовательность с
; H"(LG;
которая сходится к непрерывным когомологиям алгебры Ли
H*(L$; E). Здесь H*(LG; E) обозначает когомологии комплекса
де Рама гладких форм на LG с коэффициентами в Е.
Перед тем как доказывать существование такой спектраль-
спектральной последовательности, отметим, как она позволяет доказать
теорему A4.6.9). Пусть ? — тривиальное представление С. Тогда
крайний вертикальный гомоморфизм в спектральной последова-
последовательности — это отображение
#• аз;
; С),
A4.6.12)
которое возникает, если рассматривать коцепи на алгебре Ли
как левоинвариантные формы на LG. Теория спектральных по-
последовательностей показывает, что A4.6.12) является изомор-
изоморфизмом, если и только если Я', с (LG; С) = 0 при q > 0. Но мы
уже знаем, что A4.6.12) —изоморфизм; поэтому теорема A4.6.9)
справедлива при Е = iC.
С другой стороны, если Е — нетривиальное неприводимое
представление с положительной энергией, то когомологии
Я* с {LG; Е) равны нулю по элементарным причинам, так как
действие центра группы LG на Е должно давать тождественное
отображение когомологии, а с другой стороны, центр действует
на Е нетривиальным характером.
14.6. Приложения резольвенты: когомологии
357
Доказательство предложения A4.6.11). Наша спектральная
последовательность возникает из двойного комплекса С", где
Cpq = Cps.c.(LG; Q"(LG; ?))
обозначает гладкие р-коцепи на LG со значениями в простран-
пространстве ?-значных ?-форм на LG. Поскольку Hi c. {LG; Qq (LG; Е)) =
= 0 при р > 0 (по тем же причинам, что объяснялись выше
для Яз. с. (Л')), когомологии тотального комплекса С" совпа-
совпадают с когомологиями LG-инвариантной части Q' (LG; E), т. е.
равны Я* (Zg.; E). С другой стороны,
; H"(LG;
Зто так, ибо комплекс де Рама Q*(?G; E) разложим, т. е.
Q"(LG; Е)& (точные ?-формы) © Н" (LG; ?)©
0 (точные (q + 1)-формы).
(Это верно для комплекса де Рама любого многообразия с ко-
вечно порожденными группами когомологии [9].) Доказатель-
Доказательство закончено.
Добавление А. Разложение петель: образующие
и соотношения для Qpol Un
Грассманово описание группы LUn (см. гл. 8) немедленно
приводит к элегантному описанию группы QpoiUn полиномиаль-
полиномиальных петель, сохраняющих отмеченную точку, с помощью обра-
образующих и соотношений. Это описание, являясь в сущности клас-
классической теорией «факторов Бляшке», в последнее время оказа-
оказалось полезным в теории гармонических отображений (см. при-
приложение В), в теории интегрируемых систем, а также при ана-
анализе гомотопического типа группы QUn.
Для любого векторного пространства V из SC," определим Xv>
как элемент из QUn по формуле
где матричные блоки относятся к разложению Сга= V© VL.
Очевидно, что
^ (A.Yf
для ортогональных подпространств V и W.
Теорема (А.2). Элементы Xv порождают Qpo\Un. Все соотно-
соотношения между Ху в группе ?2poi?/« следуют из соотношений (А.1).
Конечно, из этой теоремы вытекает, что элементы kv с
dim V= 1 также порождают группу QpoiUn- Множество этих об-
образующих составляет проективное пространство Р = '&Рп~1 в-
группе QUn.
Теорему (А.2) можно уточнить. Введем подполугруппу Q в~
группе QUn, состоящую из петель, в которые входят лишь поло-
положительные степени z. Любой элемент у е QpoiUn можно очевид-
очевидным образом представить в виде у = z~№yo для некоторого N w
для некоторого vo ^ Q- Далее,
Q= П О*.
й>0
где пространство Й* состоит из петель с числом вращения &.-
Теорема (А.2) выводится из следующих фактов:
Разложение петель
359
Предложение (А.З). (i) Qi = P.
(ii) Умножение P X • • • У^Р—^^k является сюръективным
-К'— я — ^
•отображением, а в общей точке оно биективно.
(ш) Любой элемент ^ей допускает разложение
причем l/?LlTJ/i+i = O для всех L (В частности, dim(l/i) ^
^ dim(V2) 3== • • • S3= dim(Vm)-) Это разложение единственно.
Доказательство. Вспомним, что отображение yt—^-yH+ (мы
пользуемся обозначениями и результатами разд. 8.3) отожде-
отождествляет Qpoit/n с множеством Grora) всех подпространств W в #<">,
-которые удовлетворяют двум условиям
(i) zW cr W;
(ii) zNH+ cWcz~NH+ для некоторого АЛ
Элементы Xv из ?ШП в точности соответствуют тем подпро-
подпространствам f e Gr(iJ), для которых гЯ+cr W с Я+. Более общо,
«ели элементы у\, Y2S fit/ra соответствуют подпространствам W\,
TF2sGr, то 7г ==Yi^v Для некоторого УсС", если и только
?СЛИ
Поэтому разложение у = Яу, ... Xvm — это все равно, что
^фильтрация
" ~ - " , (А.4)
,для которой zWi cr Wi+i. Такая фильтрация, очевидно, сущест-
существует для любого у е Q, и единственный выбор, приводящий к
условию У* П У*+1 —0> состоит в том, чтобы пространства Wt
"были как можно меньше, т. е. Wi = W + z'H+.
Чтобы доказать утверждение (А.З) (ii) о взаимной однознач-
однозначности в общей точке, заметим, что если у^ Q*, то H+/Wm — это
^-мерное векторное пространство, а также i.G[z]-модуль с ниль-
потентным действием z. Оператор zk должен быть нулевым, но
оператор zk~\ вообще говоря, ненулевой. (В качестве примера
можно рассмотреть петлю y = zk®\). Поэтому для случая об-
общего положения имеется изоморфим LCj[z] -модулей H+/Wm =
— i.C_[z]/(z*), и нет произвола в выборе фильтрации (А.4).
Из предыдущих рассуждений можно извлечь еще немного ин-
информации. Отождествление QUn?? Gr(ra> задает комплексную
структуру на QUn, и Qk оказывается компактным комплексным
алгебраическим многообразием с особенностями. Однако ото-
отображение умножения Р X • • • X P-*-Qk не голоморфно, ибо QUn
360
Добавление А
не является комплексной группой Ли. Эту ситуацию можно опи-
описать следующим образом.
Для любого мультииндекса а = (аь ..., ат) обозначим
символом F& пространство последовательностей
Н+ = Wo гэ Wi => ... => Wm, (А.б>
для которых zWiczWi+\ и dim (Wi-\/Wt) = at. Тогда F& яв-
является неособым алгебраическим многообразием; фактически;
Fa. представляется как последовательность расслоений с грасс-
манианами в качестве слоев. Как гладкое многообразие
ибо W{_iQW{ отображается в [С,п с помощью отображения вы-
вычисления в точке г== 1. (См. доказательство 8.3.2.) Однако в го-
голоморфной категории эти расслоения нетривиальны. Естествен-
Естественное голоморфное отображение F& -> Gr, переводящее флаг (А.5)
в Wm, можно отождествить с умножением в полугруппе Q.
Наиболее важный случай — это а = I* = A, 1, ..., 1) и>
Fa. ^ Р X • • • X Р как гладкое многообразие. Легко проверить,,
что F\,\ — расслоение проективных пространств на Р, происхо-
происходящее из векторного расслоения ТР ф О, где ТР — комплексное-
касательное расслоение к Р, a SG обозначает тривиальное линей-
линейное расслоение. Таким образом, Fi,i — это «проективная компак-
компактификация» касательного расслоения Тр. Более общо, Fxk — это-
компактификация пространства (k -f- 1)-струй голоморфных ото-
отображений [Ci-^P (в точке 0 <= 1С.).
Если Fa [обозначает образ Fa. в ОЮп, то, очевидно^ справед^
ливо
Предложение (А.6). (i) Fa.
ностей,
¦ Fa является разрешением особен-
особенQk, где k=Yuau u> более общо,
Fb, если и только если Ь является измельчением а.
(iii) РЛ
(iv) Fa
В заключение этого раздела мы коротко остановимся на сле-
следующем вопросе.
Разложение QSUn в стабильной теории гомотопий
Пусть Я обозначает Xv, где V — первая координатная ось в
С". Пространство Qk можно отождествить с подпространством
Х% — Х~ Qk в QSUn. Пространства Х? для k = 0, 1, 2 ... обра-
образуют возрастающую последовательность; их объединение плотно
Разложение петель
361
в пространстве непрерывных петель группы SUn и имеет тот же
гомотопический тип (см. (8.6.6)). Митчелл [163] использовал
эту фильтрацию для анализа стабильного гомотопического типа
пространства QSUn- Заметим, что Qk, состоящее из подпро-
подпространств W в Н+ коразмерности k, является естественным под-
подпространством в грассманиане Grft(//+), который имеет гомото-
гомотопический тип BUk- В частности, на Qk есть естественное iC/-pac-
слоение со слоем H+/W в точке W.
Предложение А.7. Пространство Х% — Xl-i гомеоморфно то-
тотальному пространству естественного С,к-расслоения на Хь~1-
Другими словами, Xl/Xl-i — это пространство Тома для iC*-
:расслоения на Х1~х. Митчелл, Рихтер и Крэбб доказали (см.
[159*], [163*]), что вложение Xl-i -+Xl стабильно разложимо,
т. е. что пространство QSUn стабильно гомотопически эквива-
эквивалентно пространству V Х\1Х\-\. При /г->оо и фиксированном
й>0
•k пространство XI превращается в BUk, что уточняет стабиль-
стабильную гомотопическую эквивалентность Снейса
BU ~ V MUk.
Доказательство (А.7). Пусть A~C[z]. Отождествим Х% с
пространством Л-подмодулей W в Ап, таких, что dim (An/W) =
= &. Тогда Xfe-i состоит из тех W, которые лежат, скажем, в
zA 0 Ап'х = zA 0 М. Если Feli- Xnk-u то W + М = Ап, так
¦что M/W П М ^ Aa/W и W/(W f\M) является графиком гомо-
гомоморфизма Л-модулей ф: А —>M/W Г\М. Подмодуль W полностью
определяется по подмодулю W{\M из Х1~1, и фе
е=Нотл(Л; M/(W П Щ ^ M/(W П Щ. Пара (W(]M, ф) является
точкой естественного Сй-расслоения на Хи~1-
Добавление В. Гармонические отображения в Un
Гармонические отображения в Un и СР"
363
Карен Уленбек [164] дала красивое описание гармонических:
отображений сферы Римана в Un в терминах комплексной струк-
структуры на QUn. Как мы увидим, это описание включает в себя к
обобщает описание Иллса —Вуда [3] гармонических отображе-
отображений S2 в СР"-. В этом приложении мы опишем идеи Уленбек-
Приведем некоторые работы по близким темам: [160*}, [161*],,
[165*], [166*], [167*].
Вот основной результат:
Теорема (В.1). Любое гармоническое отображение f: 52
допускает каноническое разложение
Um
где отображение J голоморфно, а отображение е является ото-
отображением вычисления: Y^-^Y(—!)• Фактически имеется взаим-
взаимно однозначное соответствие между гармоническими отображе-
отображениями S2 -> Un, сохраняющими отмеченную точку, и нормализо-
нормализованными горизонтальными голоморфными отображениями S2-+-
->Qpoi?/n. Более того, для любого гармонического отображения
f имеется канонический мультииндекс а= (ai ^ а2^. ... ^ ат)'
с т < п, для которого f поднимается до горизонтального голо-
голоморфного отображения в обобщенное многообразие флагов Fai
из предложения (А.6).
Замечания, (i) Слова «горизонтальное» и «нормализованное»
объясняются ниже.
(ii) Разложение, указанное в теореме, в некотором смысле
хорошо известно в русской литературе по интегрируемым урав-
уравнениям, однако вариант Уленбек более точен, явен и полезен.
(ш) Если отождествить грассманиан Gr(,Cra) с элементами
порядка 2 в Un, то утверждение о Fa означает, что гармониче-
гармоническое отображение f канонически разлагается в произведение
f\ =/1/2- • -fm относительно поточечного умножения в Un,, где f4:
S2 -> Gra. (Сп); но отображения ft не голоморфны.
(iv) Из теоремы (В.1) следует, что пространство гармониче-
гармонических отображений S2->-Un имеет естественную структуру комп-
комплексного алгебраического многообразия. Это многообразие раз-
разлагается на (пересекающиеся) компоненты, нумеруемые муль-
тииндексом а.
(v) Так как H2(QUn) = Z, отображение f: S2->-?2?/ra имеет
некоторую целую степень. В связи с этим имеет место
Предложение (В.2). Энергия
- 4" $ trace (Г
l df)
гармонического отображения f: S2-*-Un всегда равна четному
целому числу и в два раза больше степени ассоциированного го-
голоморфного отображения f: S2-*-QUn.
Мы начнем с построения голоморфного отображения f.
Если X — односвязная риманова поверхность и /: X-*-Un —
гладкое отображение, то можно написать
тде х — голоморфная локальная координата на X. Отображение
/ гармонично, если и только если
dAi , dAl. — §
дх "•" дх '
т. е. если и только если матричнозначная 1-форма *f~ldf замк-
замкнута.
Конформная структура на X позволяет определить поворот
I-формы на угол 6. При повороте формы a = f-1df на угол 0 по-
получается 1-форма
az = z~lAx dx + zA2 dx = cos 0 • a —• sin 0 • *ct.
Здесь z = eie. Рассмотрим окружность
P2 = 4"(a - a*) = ~r A - z) A,dx + ^-(l- z) A2dx (B.3)
в пространстве 1-форм, которая проходит через точки Pi=0 и
Р_, =а. Матричнозначная 1-форма р имеет вид g~ldg для неко-
некоторого g: X-^-GLn^Ci), если и только если она является пло-
плоской, т. е. сф + Р Л р = 0.
364
Добавление В
Немедленно проверяется
Предложение (В.4). Отображение f гармонично, если и толь-
только если l-форма рг плоская для всех z e Сх.
Итак, если отображение f гармонично, то для любого г e Сх
можно найти отображение fz: Х-*- GLn(?X), такое, что fz dfz =
— Pz и fz единственно с точностью до умножения слева на по-
постоянный элемент из GLn (jC). Мы можем считать, что /i — 1„
f-i == f и что fz принимает значения в Un при \z\ = 1. Другими
словами, получается окружность отображений X—*-Un, которая
связывает / с постоянным отображением 1, или, эквивалентно»
отображение f: X-*-QUn, где QUn — группа гладких петель S1-»-
-> Un, сохраняющих отмеченную точку. Отображение f един-
единственно с точностью до умножения слева на любую петлю у, та-
такую, что y(—1) = 1- Эту петлю можно зафиксировать значением
в отмеченной точке поверхности X.
Лемма (В.5). Отображение f: X-*-QUn голоморфно.
Доказательство. Комплексная структура пространства QU^
происходит из его представления в виде QG/Q+G, где G =
= GLn(iC) и Q+ обозначает петли, голоморфно продолжающие-
продолжающиеся в область \z\ < 1. Поэтому отображение f голоморфно, есла
отображения f~1df/dx и f~ldf/dx лежат в Q~g и Q+g соответст-
соответственно; и они действительно лежат в этих подмногообразиях в
силу формулы (В.З).
Предположим, с другой стороны, что имеется голоморфное
отображение f: X-*-QSmUn. Если в терминах локальной коорди-
координаты х
f-ldf/dx = ±(i-z-l)Al (в.б>
для некоторой матричнозначной функции А\ от х, то f~ df
имеет вид (В.З), и потому f происходит из гармонического ото-
отображения. Уравнение (В.6) просто выражает тот факт, что ка-
касательные векторы к голоморфной кривой f: X-*-QUn лежат в
я2-мерном комплексном подрасслоении Ф касательного расслое-
расслоения к комплексному однородному пространству QUn, которое со-
соответствует подпространству
Определение (В.7). Голоморфная кривая в Q,Un горизонталь-
горизонтальна, если ее касательное пространство лежит в Ф.
К этому моменту мы доказали, что имеется взаимно одно-
однозначное соответствие между гармоническими отображениями ft
Гармонические отображения в Un и СРга
365
л -> ип, сохраняющими отмеченную точку, и горизонтальными
голоморфными отображениями f: X-*-QUn, сохраняющими отме-
отмеченную точку. Очень легко привести
Доказательство (В.2). Энергия <8 (/) для f: S2->-Un опреде-
определяется как
S (/) = - ± J trace (df A*df) =
= \{AxA2)dx.
С другой стороны, образующая в H2(QUn) представляется лево-
инвариантной 2-формой со, которая на алгебре Ли ппп опреде-
определяется как
® (i. 4) = jf \ trace (i dr\).
S'
Обратный образ ш на S2 относительно f равен
-= —- trace (Л^а) 2лг res {A — z~l) d A — z) — A — z) d A — z~l)}=
= y trace {A{ A2) dx Adx.
Поэтому &1 (/) вдвое больше степени f.
Чтобы завершить доказательство (В.1) мы должны пока-
показать, что для X = S2 образ f(S2) лежит в группе петель, являю-
являющихся многочленами Лорана и, кроме того, что f можно сдви-
сдвинуть на канонический элемент из QUn так, что f (S2) лежит в не-
некотором обобщенном многообразии флагов Fa длины, меньшей и.
Мы будем пользоваться грассмановым описанием QUn- Го-
Голоморфное отображение f: S2-*-QUn превращается в отобра-
отображение 52->Gr'ra), которое будет записываться как х>—> Wx. Усло-
Условие горизонтальности превращается в условие')
dWx/dx
(В.8)
*) Если Wx и Ух — два переменных подпространства векторного про-
пространства Н, параметризованных точками кеХ, то dWx/dx cz Vх обозначает,
что для любого отображения w: X—>-H, такого, что w(x) e Wz для всех х,
имеем dw/дх е Vx.
366
Добавление В
Нам необходим следующий результат.
Предложение (В.9). Пусть X — компактное комплексное мно-
многообразие. Если XI—> Wx — голоморфное отображение X—»-Gr(ra),
то существует подпространство U e Gr<ra), такое, что Wx a U
для всех х.
Отложив на время доказательство, мы покажем, как из пред-
предложения (В.9) следует часть теоремы (В. 1).
Во-первых, справедливо
Следствие (В. 10). Голоморфное отображение f: S2-*-QUn
можно канонически нормализовать таким образом, что \J Wхдля
jgS2 порождает Н+.
Это так называемая нормализация Уленбек. Начиная с этого
места, мы будем считать наши отображения нормализованными
именно таким способом, что заменяет условие о сохранении от-
отмеченной точки.
Лемма (В.11). Для некоторого целого m справедливо вклю-
включение zmH+ с Wx для всех х е S2.
Наименьшее такое m называется унитонным числом для f.
Из леммы (В.11) следует, что f(S2) состоит из петель — много-
многочленов Лорана.
Доказательство (В.11). Для любого х векторное простран-
пространство Vx = H+/Wx конечномерно. Умножение на z определяет его
эндоморфизм. Пусть его характеристический многочлен равен
рх^.С [г]. Так как рх голоморфно зависит от х, то фактически
он не зависит от х. Итак, получился многочлен рЕС[г], такой,
что рН+а Wx Для всех х. Из этого следует, что петля f(x), со-
соответствующая Wx, является рациональной функцией от г с по-
полюсами, расположенными в точности в нулях многочлена р. Но
f(x) по определению продолжается до голоморфного отображе-
отображения Сх->GLn(C). Поэтому p = zm для некоторого т.
Предложение В.12. Унитонное число пг меньше п.
Доказательство. Итак, имеется фильтрация
Я+ = ^,оэ?г]1з...э?^ = ^, (В.13)
где Wx, m-i = z-'Wx П Я+. Каждое из этих подпространств голо-
голоморфно зависит от х везде, кроме, возможно, конечного числа
точек (где происходит скачок размерности). Положим Wx j =
= Wx t + гЯ+ и получим новую фильтрацию
W х.2
X,m
zH,
(В. 14)
Гармонические отображения в Un и СР
п-\
367
Так как dWJdx с z~lWx, то dWх< {/дх с: W^ у_, и dJF^ , с W^ ,_,.
Но пространства W'x ; не могут быть неподвижными (кроме Я+),
ибо №^ ] гэ Wx, а Т^ж порождают Я+. Поэтому все включения
в (В. 14) строгие и, значит, т < n = dim(H+/zH+).
Теперь мы доказали все, что хотели, ибо отображение, пере-
переводящее х в канонический флаг (В. 13), является голоморфным
отображением S2—>--Fa, где щ = d\m.(Wx, i/Wx, t+i). Оно горизон-
горизонтально, т. е. dWx, i/dxcz Wx, i-i для всех i. (Хотя это отображе-
отображение было сначала не определено в конечном числе точек, его
можно продолжить на все S2, так как оно алгебраично и много-
многообразие Рл полно. Это отображение алгебраично, так как полу-
получается алгебраически из голоморфного отображения f из S2 в
конечномерный грассманиан Gr(H+/zmH+).)
Осталось привести отложенное доказательство (В.9).
Лемма (В.15). Пусть X — компактное комплексное многооб-
многообразие, Е — локально выпуклое топологическое векторное про-
пространство, а
— голоморфное отображение. Тогда <р (х) cr P (F), где F — неко-
некоторое конечномерное подпространство в Е.
Доказательство. Пусть Lx = <fL, где L — каноническое ли-
линейное расслоение на Р(Е). Отображение qp полностью описы-
описывается двойственным отображением ф*: E*-*-T(Lx), и <р(Х) со-
содержится в P{F), где F — аннулятор ядра <р*. Но F конечно-
конечномерно, так как T(LX) конечномерно.
Следствие (В.16). В ситуации (В.15), если яр: X-*-Grk(E) —
голоморфное отображение в грассманиан k-мерных плоскостей
в Е, то яр(Х)с Grk(F) для некоторого конечномерного подпро-
подпространства F cr E.
Доказательство. Применяем лемму (В.15) к <р: У->Р(?),где
У—компактное многообразие пар (х, X), причем х^Х, а X —
прямая в tp(x), и ф(х, X) = 'k.
Доказательство (В.9). Пусть Н„ = г"Н+а #<*>.
Для любого q подмножество Gt%\ состоящее из таких под-
подпространств W, что W + Н^ = Я(га), открыто. Так как X ком-
компактно, можно найти такое q, что Wx ^ GTq для всех ^еХ
Тогда х |—> Wx П Н^ —голоморфное отображение в Gr*. (Я^) для
некоторого конечного k, и по B.16) имеется некоторое конечно-
368
Добавление В
мерное подпространство F в Hjj", такое, что WxuHf cz F для
всех х. Пусть К = Ях Q F. Тогда пространство Wx + F лежит
в Gr для любого х и трансверсально к К, ибо (Wx + F) + К =
= W x + Hjf = Я, а с другой стороны,
(IF* + П П * = (IF, + 0 Г) Я ? П * с
Итак, Wx-\-F — это график компактного оператора из Кх в К-
Этот оператор голоморфно зависит от х, а значит, вовсе не за-
зависит от х. Итак, U = Wx-\- F не зависит от л: и содержит Wx.
Гармонические отображения в С Рп-1
Теорема Иллса — Вуда [162*] описывает гармонические ото-
отображения /: S2-*-P следующим образом. Пусть <р: S2-*-P— го-
голоморфная кривая. Для любого k, I ^ k ^ п — 2, имеется ин-
индуцированное голоморфное отображение ф&: S2 -> Grft (С п), ко-
которое характеризуется тем, что q>i =<p и ф2(х) с: фй+1 (х). (Дру-
(Другими словами, q>k(x) — это соприкасающаяся плоскость порядка
k— 1 к кривой ф в точке ф(х).) Определим яр*: S2-*- Р, полагая
¦фй (х) = q>k (x) © фй_! (х). Тогда отображение -ф^ гармонично, и все
гармонические отображения получаются таким образом. Мы
покажем, каким образом эта теорема следует из теоремы Улен-
бек (В.1).
Множество элементов порядка 2 в У„ можно отождествить
с грассманианом Gr (Сга)== Ц GrA(C"). Этот грассманиан со-
впадает с множеством неподвижных точек инволюции g>—> g~l
и потому является вполне геодезическим подмногообразием
в ип', значит, гармоническое отображение в Gr(C") — это все
равно, что гармоническое отображение в Un, образ которого ле-
лежит в Gr(C.ra). В терминах предложения (В.12) теорема Илл-
Иллса — Вуда следует из такого утверждения.
Теорема (В.17). Пусть /: S2
жение, образ которого лежит в P
ное число
->-Un — гармоническое отобра-
отобра= GrI(Cra). Тогда его унитон-
Далее мы объясним, как теорема (В.17) приводит к форму-
формулировке Иллса — Вуда, но сначала мы выведем (В.17) из (В.1).
Пусть гармоническое отображение / соответствует голоморф-
голоморфному отображению лл—>IF* в Gr<n> в нормализации Уленбек.
На Gr(ra) имеется голоморфная инволюция Т, индуцированная
отображением z->—z на Sl. Она соответствует отображению
QUn в себя v^Y. гДе Y(z) = у(—z)y(— 1)- Отображение вы-
Гармонические отображения в Un и СРЯ
369
числения е: Gr(ra)->-?/„ является эквивариантным отображением
в следующем смысле: e(T-W)== s{W)~x.
Из того, что XI—> Wx канонически ассоциировано с /, сле-
следует, что подпространство Wx инвариантно относительно Т при
всех х. Поэтому
где слова «even» и «odd» означают, что Т действует на соответ-
соответствующем подпространстве умножением на +1 или на —1. Если
WxQzWx отождествляется с LC.ra с помощью отображения вы-
вычисления в точке 2=1, то элементы порядка 2 в Un, соответ-
соответствующие подпространствам Wx, задаются разложением
wx Э zwz - (wx 9 zwxrea е (wx е zwx)odd.
Так как /(S2)c=P, мы получаем, что dim (Wx Q zWx)odd = 1.
Если унитонное число f равно m, то Но ^> Wx ^> Hm, где Hi =
= z'H+. Фильтрация Wx с помощью подпространств Wx[\Hi
дает разложение
l@ ... @Ат,
где At = (Wxr\Ht)Q((zWxr[Ht)-\-(Wxr\Ht+l)). Это разложение
сохраняется при действии Т, и Т действует на Лг умножением на
( — 1)'. Значит,
? dim(Al)=l.
iodd
Чтобы завершить доказательство того, что m ^ 2, достаточно
показать, что dim (Л,) > 0 для i ^ m. Но
А{ s (z~*Wx П HMz-i+xWx П Но) + (z~lWx Л Я,)) ss
^ ((z-'Wx П Яо) + HMz~i+1Wx П Яо) + ЯО «
в обозначениях (В. 14). Однако мы доказали, что это простран-
пространство ненулевое.
В терминах (В.1) мы доказали, что отображение f: S2-*-Q,Un
поднимается в многообразие флагов Fr, r+i Для некоторого г.
Так как оно Г-инвариантно, флаг
Но =з W
из (В. 13) должен иметь вид
Xt
Wx =э Я2
= AX<$ zBx © На,
24 Зак. 230
370
Добавление В
где Ах и Вх— подпространства в [Сп размерностей п— г и п —
— г+ 1» такие, что АхаВх. Как Ах, так и Вх голоморфно, за-
зависят от х, и отображение /: S2-*-P задается формулой / (л:) =
=ВХ 0 Ах. Для получения оригинальной формулировки теоремы
Иллса — Вуда достаточно доказать
Предложение (В.18). Пусть 2— замкнутая риманова поверх-
поверхность. Если х\—>АХ — голоморфное отображение 2->Gr?(C"),.
такое, что дАх/дх имеет размерность k-\-l, то Ах равно (fk(x)r
т. е. k-му соприкасающемуся пространству к голоморфной кри-
кривой <р: 2-»- Р.
Это предложение в свою очередь будет получено из такого
утверждения.
Лемма (В.19). Пусть в условиях (В. 18) Ах не лежит в неко-
некотором подпространстве из Сп размерности, меньшей чем k + П
тогда dim (дгАх/дхг) ^ k + r, и это неравенство строгое лишь в
конечном числе точек xeS.
Доказательство (В.19). Выберем открытое множество U в S
и набор голоморфных функций ?ь ..., %k, r\: U~>Cn, таких,
что {!,, .... lk} порождают Ах, а {1х(х), ..., 1к(х), ц(х)} поро-
порождают А'х = dAJdx. Тогда А" порождается набором
{?,(*), ..., lk{x), т\(х), т\'(х)} и т. д. Если Л<?+»> с= 4'} Дл* бес-
бесконечного множества точек х, то А<*> перестает зависеть от х
и является (k + г)-мерным подпространством в С\ которое
содержит все Ах.
Доказательство (В.18). В двойственном пространстве к С*
лежит подпространство Л*пп — аннулятор Ах. Пусть {ctj (х), ...
..., аг(х), р (х)} — его базис, такой, что {а, (х), ..., аг(х)} —
базис для (Л;)апп (отсюда г = п — /г — 1). Тогда а\ (х) е= Afп,
и потому пространство (Л*™)' порождено векторами {at (х), . ..
..., аг(х), Р(х), р'(х)} и его размерность равна n — k+ 1. При-
Применяя лемму (В.19) к Ахпа, мы можем считать, что dim (Л*"")'*—
= л—1. Пусть Lx — аннулятор (Axan){k~l). Тогда dimLx= 1 и
x*-^>-Lx — голоморфная кривая ф: 2->Р. Но если Lx аннули-
аннулирует (ЛГУ*', то 4*"° аннулирует ЛГ- Поэтому L^~1) = AX,
как и хотелось.
ЛИТЕРАТУРА
1. Adams J. F. Lectures on Lie groups. — Benjamin, New York, 1969.
[Имеется перевод: Адаме Дж. Лекции по группам Ли. — М..: Наука,
1979.]
:2. Atiyah M. F. Д'-Шеогу and reality. — Quart. J. Math., Oxford, 17, 1966,
367—386 (reprinted as an appendix to [3]). {Имеется перевод в рус-
русском издании книги [3].]
'3. Atiyah M. F. JC-theory. — Benjamin, New York, 1967. [Имеется перевод:
М. Атья. Лекции по К-теорни. — М.: Мир, 1967.]
4. Atiyah M. F. Global theory of elliptic operators. — Proc. Int. Conf. on
Func. Anal, and related topics. Tokyo, 1969.
5. Atiyah M. F. Instantons jn two and four dimensions. — Commun. Math.
Phys., 93 A984), 437—451.
6. Atiyah M. F., Bott R. A Lefschetz fixed point formula for elliptic com-
complexes: II Applications. — Ann. of Math., 88 A968), 451—491.
7. Atiyah M. F., Bott R. The Yang — Mills equations over Riemann sur-
surfaces. — Philos. Trans. R. Soc. Lond., 308A A982), 523—615.
8. Atiyah M. F., Pressley A. N. Convexity and loop groups. — In: Arithmetic
and Geometry: papers dedicated to I. R. Shafarevich on the occasion of
his sixtieth birthaday, Volume II: Geometry, Birkhauser, 1983.
9. Beggs E. De Rham's theorem for infinite dimensional manifolds. — Quart.
J. Math., Oxford 38 A987), 131—154.
30. Bernstein I. N.. Gelfand I. M., Gelfand S. I. Differential operators on
the base affine space and a study of g-modules. — In: Lie groups and
their representations, Summer School of the Bolyai Janos Math. Soc,
edited by I. M. Gelfand. Wiley, New York, 1975.
11. Birkhoff G. D. Singular points of ordinary differential equations.—
Trans. Amer. Math. Soc, 10 A909), 436—470.
12. Birkhoff G. D. Equivalent singular points of ordinary linear differential
equations. — Math. Ann., 74 A913), 134—139.
13. Borel A., Wallach N. Continuous cohomology, discrete subgroups, and
representations of reductive groups. — Ann. of Math. Studies, 94, Prince-
Princeton University Press, Princeton, 1980.
14. Bott R. An application of Morse theory to the topology of Lie groups.—
Bull. Soc. Math. France, 84 A956), 251—281.
15. Bott R. Homogeneous vector bundles. — Ann. of Math., 66 A957), 203—
248.
16. Bott R. The space of loops on a Lie group. — Michigan Math. J., 5
A958), 35—61.
17. Bott R. The stable homotopy of the classical groups. — Ann. of Math.,
70 A959), 313—337.
*) В случае, когда работа переведена на русский язык, страницы при
ссылках указываются по русскому переводу. «Звездочкой» помечены работы,
добавленные авторами к русскому изданию. — Прим. перев.
24*
370
Добавление В
где Ах и Вх— подпространства в [Сп размерностей п — г и п —
— г-)- 1, такие, что Ах с: Вх. Как Ах, так и Вх голоморфно за-
зависят от х, и отображение /: S2-*-P задается формулой / (х) =
=ВХ 0 Л*. Для получения оригинальной формулировки теоремы
Иллса — Вуда достаточно доказать
Предложение (В.18). Пусть 2— замкнутая риманова поверх-
поверхность. Если xi—>АХ — голоморфное отображение 2->Gr?(>Cra),.
такое, что дАх/дх имеет размерность k-\-\, то Ах равно ф*(х),
т. е. k-му соприкасающемуся пространству к голоморфной кри-
кривой ф: 2-»-Р.
Это предложение в свою очередь будет получено из такого1
утверждения.
Лемма (В.19). Пусть в условиях (В.18) Ах не лежит в неко-
некотором подпространстве из С" размерности, меньшей чем k + r;
тогда <Цтп(дгАх/дхг)^ k-\- r, и это неравенство строгое лишь в
конечном числе точек леИ.
Доказательство (В.19). Выберем открытое множество U в S
и набор голоморфных функций ?,, ..., lk, r\: С/-»-С", таких,
что {![, ..., lk} порождают Ах, а {?i (х), ..., lk{x), ц(х)} поро-
порождают А'х = dAJdx. Тогда А'? порождается набором
{?,(*), .... ?*W, i\{x), Vf (х)} и т. д. Если 4'+1)cf для бес-
бесконечного множества точек х, то Л^ перестает зависеть от х
и является (k + 1>мерным подпространством в С", которое
содержит все Ах.
Доказательство (В.18). В двойственном пространстве к С*
лежит подпространство Л*пп — аннулятор Ах. Пусть {а1 (х), . ..
..., аг(х), р (х)} — его базис, такой, что {а, (х), ..., о.г{хЦ —
базис для (Л^)апп (отсюда т = п — k — 1). Тогда a't(x) е= Л*пп,
и потому пространство (Ахап)' порождено векторами {ctj (х), . ..
..., аг(х), Р(х), Р'(х)} и его размерность равна п — &+ 1. При-
Применяя лемму (В.19) к Ахпа, мы можем считать, что dim (Axnxi)(k~u=
= n—1. Пусть L* — аннулятор (Л^™1)'*. Тогда dimLx= 1 и
х к-»¦ L^ — голоморфная кривая ф: 2->Р. Но если Lx аннули-
аннулирует (ЛГУ*, то Li? аннулирует ЛГ. Поэтому L(^~1) = AX,
как и хотелось.
ЛИТЕРАТУРА
1. Adams J. F. Lectures on Lie groups. — Benjamin, New York, 1969.
[Имеется перевод: Адаме Дж. Лекции по группам Ли. — М..: Наука,
1979.]
2. Atiyah M. F. JjT-theory and reality. — Quart. J. Math., Oxford, 17, 1966,
367—386 (reprinted as an appendix to [3]). [Имеется перевод в рус-
русском издании книги [3].]
3. Atiyah M. F. /C-theory. — Benjamin, New York, 1967. [Имеется перевод:
М. Атья. Лекции по ^-теории. — М.: Мир, 1967.]
4. Atiyah M. F. Global theory of elliptic operators. — Proc. Int. Conf. on
Func. Anal, and related topics. Tokyo, 1969.
5. Atiyah M. F. Instantons jn two and four dimensions. — Commun. Math.
Phys., 93 A984), 437—451.
6. Atiyah M. F., Bott R. A Lefschetz fixed point formula for elliptic com-
complexes: II Applications. — Ann. of Math., 88 A968), 451—491.
7. Atiyah M. F., Bott R. The Yang — Mills equations over Riemann sur-
surfaces. — Philos. Trans. R. Soc. Lond., 308A A982), 523—615.
8. Atiyah M. F., Pressley A. N. Convexity and loop groups. — In: Arithmetic
and Geometry: papers dedicated to I. R. Shafarevich on the occasion of
his sixtieth birthaday, Volume II: Geometry, Birkhauser, 1983.
9. Beggs E. De Rham's theorem for infinite dimensional manifolds. — Quart.
J. Math., Oxford 38 A987), 131—154.
10. Bernstein I. N., Gelfand I. M., Gelfand S. I. Differential operators on
the base affine space and a study of g-modules. — In: Lie groups and
their representations, Summer School of the Bolyai Janos Math. Soc,
edited by I. M. Gelfand. Wiley, New York, 1975.
11. Birkhoff G. D. Singular points of ordinary differential equations.—
Trans. Amer. Math. Soc, 10 A909), 436—470.
12. Birkhoff G. D. Equivalent singular points of ordinary linear differential
equations. — Math. Ann., 74 A913), 134—139.
13. Borel A., Wallach N. Continuous cohomology, discrete subgroups, and
representations of reductive groups. — Ann. of Math. Studies, 94, Prince-
Princeton University Press, Princeton, 1980.
14. Bott R. An application of Morse theory to the topology of Lie groups.—
Bull. Soc. Math. France, 84 A956), 251—281.
15. Bott R. Homogeneous vector bundles.— Ann. of Math., 66 A957), 203—
248.
16. Bott R. The space of loops on a Lie group. — Michigan Math. J., 5
A958), 35—61.
17. Bott R. The stable homotopy of the classical groups. — Ann. of Math.,
70 A959), 313—337.
*) В случае, когда работа переведена на русский язык, страницы при
ссылках указываются по русскому переводу. «Звездочкой» помечены работы,
добавленные авторами к русскому изданию. — Прим. перев.
24*
372
Литература
18. Bott R., Tu L. W. Differential forms in algebraic topology. — Springer-
Verlag, New York, 1982.
19. Bourbaki N. Espaces Vectoriels Topologiques. — Hermann, Paris, 1964.
[Имеется перевод предыдущего издания: Бурбаки Н. Топологические
векторное пространства. — М.: ИЛ, 1959.]
20. Bourbaki N. Groupes et algebres de Lie — Ch. 1, Hermann, Paris, 1960;
Ch. 2 et 3, Hermann, Paris, 1972; Ch. 4, 5, 6, Hermann, Paris, 1968;
Ch. 7 et 8, Hermann, Paris, 1975; Ch. 9, Masson, Paris, 1982. [Имеется:
перевод: Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли, гл. I—III. — М.: Мир, 1976;
гл. IV—VI. — М.: Мир, 1972; гл. VII, VIII. —М.: Мир, 1978; гл. IX.—
М.: Мир, 1986.]
21. Bredon G. E. Sheaf theory. — McGraw-Hill, New York, 1967. [Имеется!
перевод: Бредоя Г. Э. Теория пучков. — М.: Наука, 1988.]
22. Brieskorn E. Singular elements of semi-simple algebraic groups. — In:
Actes du Congres International des Mathematiciens, 1970, 279—284,.
Gauthier-Villars, Paris, 1971.
23. Brown L. G., Douglas R. G., Fillmore P. A. Extensions of C*-algebras.
and tf-homology. — Ann. of Math., 105 A977), 265—324.
24. Carey A. L., Ruijsenaars S. N. M. On fermion gauge groups, current
algebras, and Kac — Moody algebras. — Preprint, A. N. U., Canberra,
1985.
25. Cartan H., Eilenberg S. Homological algebra. — Princeton University
Press, 1956. [Имеется перевод: Картан А., Эйленберг С. Гомологическая
алгебра. — М.: ИЛ, I960.]
26. Chau L. L., Ge M. L., Sinha A., Wu Y. S. Hidden symmetry algebra for
the self-dual Yang—Mills equation. — Phys. Lett., 121B A983), 391—396.
27. Chern S. S. Complex manifolds without potential theory. Second edi-
edition.— Springer, New York, 1979.
28. Coeure G. L'equation (du = f)* en dimension infinie. — Journees Bruxel-
les — Lille — Mons d'Analyse Fonctionelle et Equations aux Derivees Par-
tielles, Universite de Lille, Publications Internes, 131 A978), 6—9.
29. Coleman S. Quantum sine-Gordon equation as the massive Thirring mo-
model.—Phys. Rev., 11D A975), 2088—2097.
30. Colombeau J.-F. Differential calculus and holomorphy. — North-Holland,
Amsterdam, 1982. _
31. Colombeau J.-F., Perrot B. The d-equation in DFN spaces. — J. Math.
Anal. Appl., 78 A980), 466—487.
32. Connes A. Non-commutative differential geometry. — Publ. Math.
I. H. E. S., 62 A986), 257—360.
33. Connes A. Cohomologie cyclique et foncteurs Ext". — С R. Acad. Sci.,
Ser. A, Paris B96) A983), 953—958.
34. Conway J. B. A course in functional analysis. — Springer-Verlag, New
York, 1984.
35. Date E., Jimbo M., Kashiwara M., Miwa T. Transformation groups for
soliton equations. — I: Proc. Japan Acad., 57A A981), 342—347; II:
Ibid., 387—392; III: J. Phys. Soc. Japan, 50 A981), 3806—3812; IV: Phy-
sica, 4D A982), 343—365; V: Publ. RIMS, Kyoto Univ., 18 A982),
1111—1119; VI: J. Phys. Soc. Japan, 50 A981), 3813—3818; VII: Publ.
RIMS, Kyoto Univ., 18 A982), 1077—1110.
36. Dineen S. Complex analysis in locally convex spaces. — Mathematics
Studies No. 57, North-Holland, Amsterdam, 1981.
37. Dixmier J. Enveloping algebras. — North-Holland, Amsterdam, 1974.
[Имеется перевод: Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгеб-
алгебры. — М.: Мир, 1978].
38. Dolan L. Kac — Moody algebra is hidden symmetry of chiral models. —
Phys. Rev. Lett, 47 A981), 1371—1374.
Литература
373=
39. Dold A. Partitions of unity in the theory of fibrations. — Ann. of Math.,
78 A963), 223—255.
40. Douglas R. G. Banach algebra techniques in operator theory. — Academic
Press, New York, 1972.
41. Faddeev L. Operator anomaly for the Gauss law. — Phys. Lett., 145B<
A984), 81—84.
42. Fegan H. D. The heat equation and modular forms. — J. Differential
Geom., 13 A978), 589—602.
43. Feingold A. J., Lepowsky J. The Weyl — Kac character formula and
power series identities. — Adv. in Math., 29 A978), 271—309.
44. Finkelstein D., Rubinstein J. Connections between spin, statistics and'
kinks. —J. Math. Phys., 9 A968), 1762—1779.
45. Frenkel I. B. Two constructions of affine Lie algebra representations and
boson-fermion correspondence in quantum field theory. — J. Funct. Anal.,,
44 A981), 259—327.
46. Frenkel I. B. Representations of affine Lie algebras, Hecke modular forms
and Korteweg — de Vries type equations, pp. 71—110. In: Lie algebras
and related topics, Proceedings of a Conference held at New Brunswick,
New Jersey, May 29—31, 1981. — Lecture Notes in Mathematics, v. 933,.
Springer-Verlag, New York, 1982.
47. Frenkel I. B. Orbital theory for affine Lie algebras. — Invent. Math., 77"
A984), 301—352.
48. Frenkel I. B. Representations of Kac — Moody algebras and dual reso-
resonance models. — Lectures in Applied Mathematics, v. 21, 325—353, Ame-
American Mathematical Society, 1985.
49. Frenkel I. В., Kac V. G. Basic representations of affine Lie algebras and1
dual resonance models. — Invent. Math., 62 A981), 23—66.
50. Frenkel I. В., Lepowsky J., Meurman A. A natural representation of the
Fischer — Griess Monster with the modular function / as character.—
Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 81 A984), 3256—3260.
51. Freudenthal H., de Vries H. Linear Lie groups. — Academic Press, New-
York, 1969.
52. Gabber O., Kac V. G. On defining relations of certain infinite dimen-
dimensional Lie algebras. — Bull. Amer. Math. Soc, 5 A981), 185—189.
53. Gabriel P. Representations indecomposables. — Sem. Bourbaki, 26e annee,
1973/74, Exp. 444. Lecture Notes in Mathematics, v. 431. Springer-Ver-
Springer-Verlag, Berlin, 1975.
54. Garland H. The arithmetic theory of loop algebras. — J. Algebra, 53.
A978), 480—551.
55. Garland H. The arithmetic theory of loop groups. — Publ. Math..
I.H. E. S., 52 A980), 5—136.
56. Garland H., Lepowsky J. Lie algebra homology and the Macdonald —
Kac formulas. — Invent. Math., 34 A976), 37—76.
57. Galand H., Raghunathan M. S. A Bruhat decomposition for the loop'
space of a compact group: a new approach to results of Bott. — Proc.
Nat. Acad. Sci. USA, 72 A975), 4716—4717.
58. Gelfand I. M. (ed.). Representation theory. — London Mathematical So-
Society Lecture Note Series, v. 69, Cambridge University Press, Cambridge,
1982.
59. Gelfand I. M., Graev M. I., Vershik A. M. Representations of the group
of smeoth mappings of a manifold into a compact Lie group. — Compo-
sitio Math., 35 A977), 299—334.
60. Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я. Обобщенные функции, т. 4. Некоторые
применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы простран-
пространства.— М.: Физматгиз, 1961.
374
Литература
61
62,
63.
64.
65.
66.
67.
68.
¦69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
'76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
Goddard P., Olive D. Kac — Moody algebras, conformal symmetry, and
critical exponents. — Nuclear Phys., 257B A985), 226—252.
Godement R. Theorie des faisceaux. — Hermann, Paris, 1964.
Gohberg I. C, Krein M. G. Systems of integral equations on a half-line
with kernels depending on the difference of the arguments. — Amer. Math.
Soc. Trans., 14 B) A960), 217—284.
Goodman R., Wallach N. R. Structure and unitary cocycle representations
of loop groups and the group of diffeomorphisms of the circle. — J. Reine
Angew. Math., 347 A984), 69—133.
Gorenstein D. Finite Groups. — Harper and Row, New York, 1968.
Grauert H. Analytische Faserungen fiber holomorph-vollstandigen Rau-
men. —Math. Ann., 135 A958), 268—273.
Gray B. Homotopy theory.—Academic Press, New York, 1975.
Griffiths P., Harris J. Principles of algebraic geometry. — Wiley, New
York, 1978. [Имеется перевод: Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы ал-
алгебраической геометрии. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1982.1
Grothendieck A. Sur la classification des fibres holomorphes sur la
sphere de Riemann. — Amer. J. Math., 79 A957), 121—138.
Hamilton R. The inverse function theorem of Nash and Moser. — Bull.
Am. Math. Soc, 7 A982), 65—222.
Hardy G. H., Wright E. M. An introduction to the theory of numbers
Dth edition). — Oxford University Press, Oxford, 1960.
Helgason S. Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces. —
Academic Press, New York, 1978.
Helton J. W., Howe R. E. Integral operators: commutators, traces, index
and homology. — In: Proceedings of a Conference on Operator Theory
(Dalhousie Univ., Halifax, N. S., 1973), Lecture Notes in Math., v. 345,
141—209, Springer-Verlag, Berlin, 1973.
Herman M.-R. Simplicity du groupe des diffeomorphismes de classe C°°,
isotopes a l'identite, du tore de dimension n. — C. R. Acad. Sci. Paris,
Ser. A, 273 A971), 232—234.
Herve M. Analytic and plurisubharmonic functions in finite and infinite
dimensional spaces. — Lecture Notes in Math., v. 198, Springer-Verlag,
Berlin, 1971.
Hochschild G. The structure of Lie groups. — Holden-Day, San Francisco,
1965.
Hochschild G., Mostow G. D. Cohomology of groups. — Illinois J. Math.,
6 A962), 367—401.
Itzykson C, Zuber J. B. Quantum field theory. — McGraw-Hill, New
York, 1980. [Имеется перевод: Ициксон К-, Зубер Ж. Б. Квантовая
теория поля.—М.: Мир, 1984.]
Iwahori N., Matsumoto H. On some Bruhat decompositions and the
structure of Hecke rings of p-adic Chevalley groups. — Pub. Math.
I. H. E. S., 25 A965), 5—48.
Jacob M. (ed.). Dual theory. — North-Holland, Amsterdam, 1974.
Kac M. Probability and related topics in the physical sciences. — Inter-
science, New York, 1959.
Кац В. Г. Простые неприводимые градуированные алгебры Ли конеч-
конечного роста. —ИАН СССР, Сер. матем., т. 32, 1968, с. 1323—1367.
Kac V. G. Infinite-dimensional algebras, Dedekind's ti-function, classical
Mobius function and the very strange formula. — Adv. in Math., 30
A978), 85—136.
Kac V. G. An elucidation of «Infinite-dimensional algebras... and the
very strange formula.» E^ and the cube root of the modular invari-
invariant j. —Adv. in Math., 35 A980), 264—273.
Литература
375
85. Kac V. G. Infinite root systems, representations of graphs and invariant
theory, I: Invent. Math., 56 A980), 57—92; II: J. Algebra, 78 A982),,
141—162.
86. Kac V. G. Infinite dimensional Lie algebras. — Birkhauser, Boston, 1983..
87. Kac V. G., Kazhdan D. A., Lepowsky J., Wilson R. L. Realization of the-
basic representations of the Euclidean Lie algebras. — Adv. in Math., 42
A981), 83—112.
88. Kac V. G., Peterson D. H. Spin and wedge representations of infinite
dimensional Lie algebras and groups. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA 78-
A981), 3308—3312.
89. Кантор И. Л. О бесконечномерных простых градуированных алгебрах.
Ли. —ДАН СССР, т. 179, № 3, 1968, с. 534—537.
90. Каспаров Г. Г. Операторный /(-функтор и расширения С*-алгебр. —Изв*^
АН СССР, сер, Матем., т. 44, № 3, 1980, с. 571—635.
91. Kempf G. R. The Grothendieck — Cousin complex of an induced represen-
representation. — Adv. in Math., 29 A978), 310—396.
92. Кириллов А. А. Элементы теории представлений.—M.: Наука, 1978.
93. Kostant В. Lie algebra cohomology and the generalized Borel — Weir
theorem. — Ann. of Math., 74 A961), 329—387.
94. Koszul J.-L. Homologie et cohomologie des algebres de Lie. — Bull. Soc.
Math. France, 78 A950), 65—127.
95. Kraft H., Procesi С Minimal singularities in GLn. — Invent Math., 62
A981), 503—515.
96. Kuiper N. H. The homotopy type of the unitary group of Hilbert space.—
Topology, 3 A965), 19—30.
97. Kumar S. Rational homotopy theory of flag varieties associated to Kac —
Moody groups. — In Infinite dimensional groups with applications),
ed. by V. Kac, MSRI Publications, v. 4, Springer-Verlag, New York, 1985.
98. Kuo H.-H. Gaussian measures in Banach spaces. — Lecture Notes in Math.,
v. 463, Springer-Verlag, Berlin, 1975.
99. Lax P. D., Phillips R. S. Scattering theory. — Academic Press, New York,
1967. [Имеется перевод: Лаке П., Филлипс Р. Теория рассеяния. — М.:
Мир, 1971.1
100. Lepowsky J. Generalized Verma modules, loop space cohomology and*
Macdonald type identities. — Ann. Sci. Ёс. Norm. Sup., 13 D) A979),
169—234.
101. Lepowsky J., Milne С Lie algebraic approaches to classical partition
identities. — Adv. in Math., 29 A978), 15—59.
102. Lepowsky J., Wilson R. L. Construction of the affine Lie algebra A, . —
Commun. Math. Phys., 62 A978), 45—53.
103. Lepowsky J., Wilson R. L. A Lie theoretic interpretation and proof of
the Rogers —Ramanujan identities. — Adv. in Math., 45 A982), 21—72.
104. Loday J.-L., Quillen D. Cyclic homology and the Lie algebra homology
of matrices. — Comment. Math. Helvetia, 59 A984), 565—591.
105. Looijenga E. Root systems and elliptic curves. — Invent. Math., 38-
A976), 17—32.
106. Lusztig G. Green polynomials and singularities of unipotent classes. —
Adv. in Math., 42 A981), 169—178.
107. Macdonald I. G. Affine root systems and Dedekind's T]-function. — Invent.
Math., 15 A972), 91—143.
108. Macdonald I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. — Oxford
University Press, Oxford, 1979. [Имеется перевод: Макдональд И. Сим-
Симметрические функции и многочлены Холла.—М.: Мир, 1985.]
109. Macdonald I. G. Affine Lie algebras and modular forms. — Sem. Bour-
baki, Exp. 577, Lecture Notes in Math., v. 901, 258—265, Springer-Ver-
Springer-Verlag, New York, 1981.
Литература
110. Macdonald I. G. Kac — Moody algebras. — In: Lie algebras and related
topics, R. V. Moody (ed.), Conference Proceedings of the Canadian
Math. Soc, v. 5, Amer. Math. Soc, 1986.
111. Mandelstam S. .Soliton operators for the quantized sine-Gordon equa-
equation.—Phys. Rev., 11D A975), 3026—3030.
112. Mickelsson J. On a relation between massive Yang—Mills theories and
dual string models. — Lett. Math. Phys., 7 A983), 45—50.
113. Milnor J. W. Axiomatic homology theory. — Pacific J. Math., 12 A962),
337—341.
114. Milnor J. W. Morse theory. — Ann. of Math. Studies, 51, Princeton Uni-
University Press, Princeton, 1963. [Имеется переврд: Милнор Дж. Теория
Морса. — М.: Мир, 1965.]
115. Milnor J. W. Remarks on infinite dimensional Lie groups. — In: Relati-
Relativity, Groups and Topology II, Les Houches Session XL, 1983, ed. by B. S.
de Witt and R. Stora. North-Holland, Amsterdam, 1984.
116. Milnor J. W., Stasheff J. D. Characteristic classes. — Ann. of Math. Stu-
Studies, 76, Princeton University Press, 1974. [Имеется перевод: Мил-
Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. — М.: Мир, 1979.]
117. Moody R. V. A new class of Lie algebras. — J. Algebra, 10 A968),
211—230.
118. Moody R. V. Euclidean Lie algebras. — Canadian J. Math., 21 A969),
1432—1454.
119. Mumford D., Fogarty J. Geometric invariant theory. (Second edition.) —
Springer-Verlag, New York, 1982.
120. Omori H. On the group of diffeomorphisms of a compact manifold. —
Proc. Symp. Pure Math., 15, 167—183, Amer. Math. Soc, 1970.
121. Palais R S On the homotopy type of certain groups of operators. — To-
Topology, 3 A965), 271—279.
122. Pickrell D. Measures on infinite dimensional Grassmann manifolds. — J.
Funct Anal., 70 A987), 323—356.
123 Quillen D. G The mod 2 cohomology rings of extra special 2-groups and
the spinor groups . — Math. Ann., 194 A971), 197—212.
124. Квиллен Д. Детерминанты операторов Коши — Римана на римановых
поверхностях. — Функц. анализ и его прилож., т. 19, вып. 1, 1985,
с. 37—41.
125. Reed M., Simon В. Methods of modern mathematical physics, Vol. 1:
Functional analysis. — Academic Press, London, 1980. [Имеется перевод
предыдущего издания: Рид М., Саймон Б. Методы современной матема-
математической физики. Т. 1. Функциональный анализ.—М.: Мир, 1977.]
126. Sato M. Soliton equations as dynamical systems on infinite dimensional
Grassmann manifolds. — RIMS Kokyuroku, 439 A981), 30—40.
127. Sato M., Miwa J., Jimbo M. Holonomic quantum fields II: The Rie-
mann —Hilbert problem. — Publ. RIMS, Kyoto Univ., 15 A979), 201 —
278.
128. Segal G. B. Classifying spaces and spectral sequences. — Publ. Math.
I. H. E. S., 34 A968), 105—112.
129. Segal G. B. Cohomology of topological groups. — Symposia Math., v. II
(INDAM, Rome, 1968/69), 377—387. Academic Press, London, 1970.
130. Segal G. B. The topology of spaces of rational functions. — Acta Math.,
143 A979), 39—72.
131. Segal G. B. Unitary representations of some infinite dimensional
groups. — Commun. Math. Phys., 80 A981), 301—342.
-132 Segal G. В., Wilson G. Loop groups and equations of KdV type.—
Pub. Math. I. H. E. S., 61 A985), 5—65. [Перевод включен в настоящее
издание.]
Литература
37Т
133. Serre J.-P. Representations lineaires et espaces homogenes Kahleriens des
groupes de Lie compacts. — Sem. Bourbaki, 1953/54, Exp. 100, Paris.
1959.
134. Serre J.-P. Algebres de Lie semi-simples complexes. — Benjamin, New
York, 1966. [Имеется перевод: В кн.: Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы-
Ли. —М.: Мир, 1969.]
135. Serre J.-P. A course in arithmetic. — Springer-Verlag, New York, 1973.
[Имеется перевод предыдущего издания: Серр Ж.-П. Курс арифмети-
арифметики. — М.: Мир, 1972.]
136. Shale D. Linear symmetries of free Boson fields. — Trans. Amer. Math.
Soc, 103 A962), 149—167.
137. Simon B. Trace ideals and their applications. — London Math. Soc. Lec-
Lecture Notes, v. 35. Cambridge University Press, Cambridge, 1979.
138. Singer I. M. Families of Dirac operators with applications to physics.—
Elie Cartan et les Mathematiques d'aujourd'hui; Arterisque, Special
Issue, June 1986.
139. Skyrme T. H. R. Kinks and the Dirac equation. —J. Math. Phys., 12'
A971), 1735—1742.
140. Slodowy P. Simple singularities and simple algebraic groups. — Lecture-
Notes in Math., v. 815, Springer-Verlag, Berlin, 1980.
141. Slodowy P. Habilitationschrift. — Universitat Bonn, 1984.
142. Smale S. Differentiable dynamical systems. — Bull. Am. Math. Soc, 7#
A967), 747—817.
143. Spanier E. H. Algebraic Topology. — McGraw-Hill, New York, 1966.
[Имеется перевод: Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир,
1971.]
144. Taylor M. E. Pseudodifferential operators.— Princeton University Press,
Princeton, 1981. [Имеется перевод: Тейлор М. Псевдодифференциальные-
операторы. — М.: Мир, 1985.]
145. Tits J, Theorie des groupes.—Annuaire du College de France (resume des
cours et travaux), Paris 1980—81 and 1981—82.
146. Tits J. Groups and group functors attached to Kac — Moody data.—
Arbeitstagung Bonn, 1984. Lecture Notes in Math., v. 1111, Springer-
Verlag, Berlin, 1985.
147. Turnbull H. W. The theory of determinants, matrices and invarians. —
Blackie and Son Ltd., London and Glasgow, 1929.
148. Turrettin H. L. Reduction of ordinary differential equations to the Birk-
hoff canonical form.— Trans. Amer. Math. Soc, 107 A963), 485—507.
149. van Est W. T. On the algebraic concepts in Lie Groups I, II. — Proc.
Koninkl. Ned. Ak. v. Wet. Amsterdam, 58A 2A055), 225—233, 286—
294.
150. Vergne M. Seconde quantification et groupe symplectique. — С R. Acad.
Sci. Ser. A, Paris, 285 A977), 191—194.
151. Вершик А. М., Гельфаид И. М., Граев М. И. Представления группы1
SLB,R), где Я — кольцо функций. — Успехи матем. наук, т. 28, № 5,..
1973, s. 83—128.
152. Wang H.-C. Closed manifolds with homogeneous complex structure.—
Amer. J. Math., 76 A954), 1—32.
153. Warner G. Harmonic analysis on semi-simple Lie groups I. — Springer-
Verlag, Berlin, 1972.
154. Weyl H. The classical groups. — Princeton University Press, Princeton,.
1939. [Имеется перевод: Вейль Г. Классические группы. Их инварианты-1
и представления.—М.: ИЛ, 1947.]
155. Witten E. Non-abelian bosonization in two dimensions. — Comm. Math-
Phys., 92 A984), 455—472.
378
Литература
.156. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Интегрирование нелинейных уравнений ма-
математической физики методом обратной задачи рассеяния. II. — Функц.
анализ и его прил., т. 19, вып. 3 ,1979, с. 13—22.
157. Zumino В. Cohomology of gauge groups: cocycles, and Schwinger
terms. — Nucl. Phys., 253B A985), 477—493.
158. Zygmund A. Trigonometric series. Second edition. — Cambridge Univer-
University Press, Cambridge, 1977. [Имеется перевод первого издания: Зиг-
Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1965.]
159*. Crabb М. С, Mitchell S. A. The loops on U(n)/O(n) and UBn)/Sp(n).—
Math. Proc. Camb. Phil. Soc, 104 A988), 95—103.
160*. Din A. M., Zakrzewski W. J. General classical solutions of the SR"-1 mo-
model. — Nucl. Phys. В174 A980), 397—406..
161*. Eells J., Lemaire L. Another report on harmonic maps. — Bull. London
Math. Soc, 20 A988), 385—524.
162*. Eells J., Wood J. С Harmonic maps from surfaces to complex projective
spaces. —Adv. in Math., 49 A983), 217—263.
.163*. Mutchell S. A. The filtration of the loops on SU(n) by Schubert varie-
varieties.—Math. Z, 193 A986), 347—362.
164*. Uhlenbeck K- Harmonic maps into Lie groups (Classical solutions of the
chiral model). — Preprint, University of Chicago, 1985.
165*. Valli G. On the energy spectrum of harmonic 2-spheres in unitary
groups. — Topology, 27 A988), 129—136.
166*. Wolf son J. G. Harmonic sequences and harmonic maps of surfaces into
complex Grassmann manifolds. — J. Diff. Ceom., 27 A988), 161—178.
367*. Wood J. C. Explicit construction and parametrization of harmonic two-
spheres in the unitary group. — To appear in Proc. London Math. Soc.
Дополнение
Группы петель и уравнения типа КдФ 1)
Г. Сигал, Дж. Вильсон
Цель этой статьи — разработать некоторые следствия недав-
недавних идей М. и Я. Сато об уравнении Кортевега—де Фриза
(КдФ) и о связанных с ним нелинейных дифференциальных
уравнениях в частных производных. Мы узнали об этих идеях
из работ [5] Дэйта, Джимбо, Касивары и Мивы (оригинальная,
работа М. и Я. Сато имеется, видимо, только на японском язы-
языке). Мы опишем конструкцию, которая сопоставляет решение
уравнения КдФ каждой точке некоторого бесконечномерного
грассманиана. Для класса решений, которые получаются таким1
образом, в [5] используется обманчивое название «общее реше-
решение». Он включает в себя явные алгебро-геометрические реше-
решения Кричевера [10], [11] (см. также [36] и содержащиеся там
ссылки), среди которых находятся хорошо известные «п-соли-
тонные» и рациональные решения.
Основные наши цели — это определить, какой класс решений:
получается описанным методом, детально проиллюстрировать,
как геометрия грассманиана отражается на свойствах решений,,
показать, как включаются в эту картину алгебро-геометриче-
алгебро-геометрические решения. Мы попытались объяснить также геометрический
смысл «т-функции», которая играет основную роль в работах
[5]. Кроме того, мы попытались дать ясный и замкнутый обзор'
этой теории, и надеемся, что смогли прояснить многие факты,,,
не освещенные в литературе.
Уравнение КдФ
1. Введение
ди
at
дх
описывает эволюцию по времени функции и, зависящей от х~
геометрически это уравнение задает поток на подходящем про-
пространстве функций и. Хорошо известно, что теория этого урав-
') Segal G., Wilson G. Loop Groups and Equations of KdV Type. — Publ.
Math. IHES, n° 61, 1985, pp. 5—65.
© Institut des hautes etudes scientifiques, France, 1985-
378
Литература
.156. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Интегрирование нелинейных уравнений ма-
математической физики методом обратной задачи рассеяния. II. — Функц.
анализ и его прил., т. 19, вып. 3 ,1979, с. 13—22.
157. Zumino В. Cohomology of gauge groups: cocycles, and Schwinger
terms. — Nucl. Phys., 253B A985), 477—493.
158. Zygmund A. Trigonometric series. Second edition. — Cambridge Univer-
University Press, Cambridge, 1977. [Имеется перевод первого издания: Зиг-
Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1, 2.—М.: Мир, 1965.]
159*. Crabb М. С, Mitchell S. A. The loops on U(n)/O(n) and UBn)/Sp(n).—
Math. Proc. Camb. Phil. Soc, 104 A988), 95—103.
160*. Din A. M., Zakrzewski W. J. General classical solutions of the SR" mo-
model.—Nucl. Phys. B174 A980), 397—406.,
161*. Eells J., Lemaire L. Another report on harmonic maps. — Bull. London
Math. Soc, 20 A988), 385—524.
162*. Eells J., Wood J. С Harmonic maps from surfaces to complex projective
spaces. —Adv. in Math., 49 A983), 217—263.
163*. Mutchell S. A. The filtration of the loops on SU(n) by Schubert varie-
varieties.—Math. Z, 193 A986), 347—362.
164*. Uhlenbeck K. Harmonic maps into Lie groups (Classical solutions of the
chiral model). — Preprint, University of Chicago, 1985.
165*. Valli G. On the energy spectrum of harmonic 2-spheres in unitary
groups. — Topology, 27 A988), 129—136.
166*. Wolfson J. G. Harmonic sequences and harmonic maps of surfaces into
complex Grassmann manifolds. — J. Diff. Ceom., 27 A988), 161—178.
167*. Wood J. С Explicit construction and parametrization of harmonic two-
spheres in the unitary group. — To appear in Proc. London Math. Soc.
Дополнение
Группы петель и уравнения типа КдФ 1)
Г. Сигал, Дж. Вильсон
Цель этой статьи — разработать некоторые следствия недав-
недавних идей М. и Я. Сато об уравнении Кортевега— де Фриза
(КдФ) и о связанных с ним нелинейных дифференциальных
уравнениях в частных производных. Мы узнали об этих идеях
из работ [5] Дэйта, Джимбо, Касивары и Мивы (оригинальная.,
работа М. и Я. Сато имеется, видимо, только на японском язы-
языке). Мы опишем конструкцию, которая сопоставляет решение
уравнения КдФ каждой точке некоторого бесконечномерного
грассманиана. Для класса решений, которые получаются таким-
образом, в [5] используется обманчивое название «общее реше-
решение». Он включает в себя явные алгебро-геометрические реше-
решения Кричевера [10], [11] (см. также [36] и содержащиеся там
ссылки), среди которых находятся хорошо известные «я-соли-
тонные» и рациональные решения.
Основные наши цели — это определить, какой класс решений"
получается описанным методом, детально проиллюстрировать,
как геометрия грассманиана отражается на свойствах решений,,
показать, как включаются в эту картину алгебро-геометриче-
алгебро-геометрические решения. Мы попытались объяснить также геометрический
смысл «т-функции», которая играет основную роль в работах:
[5]. Кроме того, мы попытались дать ясный и замкнутый обзор*
этой теории, и надеемся, что смогли прояснить многие факты,,
не освещенные в литературе.
Уравнение КдФ
ди
dt
1. Введение
д3и , „ ди
описывает эволюцию по времени функции и, зависящей от xz
геометрически это уравнение задает поток на подходящем про-
пространстве функций и. Хорошо известно, что теория этого урав-
Ч Segal G., Wilson G. Loop Groups and Equations of KdV Type. — Publ.
Math. IHES, n° 61, 1985, pp. 5—65.
© Institut des hautes etudes scientifiques, France, 1985
,380
Группы петель и уравнения типа КдФ
нения тесно связана с теорией линейного дифференциального
оператора Lu=D2+«, где D = d/dx; он рассматривается как
оператор на пространстве функций от х, которые меняются со
временем. Фактически уравнение КдФ можно записать в «лак-
совой форме»:
д^ц л \р т 1
где Ри — это оператор D3 + C/4) (uD + Du).
Оператор Ри почти характеризуется тем, что для любой функ-
функции и коммутатор [Ри, Lu] является оператором умножения на
функцию. Точнее, для заданного Lu имеется каноническая после-
последовательность операторов
такая, что все [Р{к), Lu] являются операторами умножения на
функцию и что любой оператор Р, обладающий этим свойством,
является линейной комбинацией с постоянными коэффициен-
коэффициентами операторов Р(ц&). Оказывается, что коэффициенты такого
оператора Р должны быть дифференциальными многочленами
от и, т. е. многочленами от функции и и ее х-производных
д'и/дх1. Для любого k уравнение
U A.1)
-определяет поток на пространстве функций от х. Эти потоки на-
называются иерархией КдФ. Случай k=3 — это само уравнение
КдФ (с точностью до множителя 4). При k = 1 имеем Яв° = D,
и соответствующий поток — это просто сдвиг аргумента функции
и. При четном k Р{к) = {Ьа)к12 и правая часть уравнения A.1)
равна нулю. Одна из фундаментальных теорем состоит в том,
что потоки, заданные уравнением A.1), при различных k комму-
коммутируют.
В этой работе мы опишем КдФ-потоки на некотором классе
<g><2) функций и. Наш подход связан с геометрией бесконечно-
бесконечномерного многообразия, которое весьма интересно и само по
себе. У него есть два различных описания. Первое: это про-
пространство QU2 петель унитарной группы U2. Второе, более по-
полезное для наших целей описание: это грассманиан Gr<2> всех
замкнутых подпространств W в гильбертовом пространстве Я =
= L2(S1) квадратично интегрируемых комплекснозначных функ-
функций на окружности S' = {2 6=;C: \z\=l}, которые удовлетво-
удовлетворяют двум условиям:
(\\ ?2V/7 г— W
\l> ~ w — w '
(ii) W сравнимо с Я+.
1. Введение
381
Здесь г обозначает оператор Н^-Н, который задается умно-
умножением на функцию z, #+ — замкнутое подпространство в Я,
порожденное {zk} для k ^ 0, т. е. граничные значения голо-
голоморфных функций в области |z|< 1. Смысл слова «сравнимо»
объясняется в [17, гл. 7].
Наша основная конструкция сопоставляет любой точке W
из связной компоненты пространства Н+ в GrB) мероморфную
функцию uw на прямой из класса <ё'<-2\ Группа Г+ голоморфных
отображений ?>0-а>Сх, где Do — это диск {геС: |z|<: 1}, дей-
действует на Я операторами умножения, а значит, действует и на
Gr<2>. Действие Г+ индуцирует КдФ-потоки на ^<2> в следующем
смысле: если
где (t\, t2, ...) — вещественные числа, почти все равные нулю, то
ugW — это функция, полученная из uw сдвигом на время tk вдоль
?-го потока КдФ при всех k. (Эта операция корректна, так как
КдФ-потоки коммутируют.)
Мероморфная функция иР получается из так называемой
тг-функции xw для W по формуле
logxw(x);
tw(x) — это определитель ортогональной проекции e-xzW-+H+.
Конечно, определитель необходимо подходящим образом интер-
интерпретировать. Чтобы задать его, необходимо выбрать базисы в W
и Н+, и поэтому x.w(x) определена лишь с точностью до не за-
зависящего от х множителя. Определитель xw(x) обращается в
нуль, а значит, у функции utw(x) имеется полюс в точности
тогда, когда e~xzW пересекает Я^.
Для некоторых подпространств W из грассманиана т-функ-
ция оказывается функцией Шура. Это было обнаружено Сато,
и, как нам говорили, это наблюдение и побудило его развить
свою теорию. Общая точка грассманиана может быть описана
своими плюккеровыми координатами, и (как мы докажем в § 8)
соответствующая т-функция — это бесконечная линейная комби-
комбинация функций Шура с плюккеровыми координатами в качестве
коэффициентов.
При разработке этой теории оказывается удобным перехо-
переходить от т-функции не прямо к Uw, а ввести промежуточный
объект, функцию Бейкера -фи?. Это собственная функция опера-
оператора D2 -f uw:
(D2 + г%) ijv (х, z) == 22ilv (x, г);
382
Группы петель и уравнения типа КдФ
с другой стороны при каждом фиксированном х— это единствен-
единственный элемент из W вида
Формула (E.14) ниже) для функции Бейкера в терминах т-функ-
ции — одно из наиболее важных достижений японской школы.
Эта формула является точным аналогом ранее известной фор-
формулы для решений, возникающих из алгебраической кривой, ко-
которая выражает функцию Бейкера через Э-функции.
Теперь мы скажем несколько слов о классе <g'<2> решений иуг
который получили. Предположим, что мы начинаем с С°°-функ-
ции и, определенной на интервале из >R. Тогда задача на соб-
собственные значения Lui|3 = z2ty имеет формальное решение вида
A.2). Коэффициенты щ формального ряда — это С°°-функции,.
рекуррентно определяемые из уравнения
где ао=1. Каждое последующее с,- содержит новую константу
интегрирования; это означает, что л|э определена с точностью-
до умножения на произвольный степенной ряд по zrl с постоян-
постоянными коэффициентами. Ряд A.2) обычно не сходится для лю-
любых z. Класс <&{2), грубо говоря, состоит из таких функций, что>
этот ряд можно выбрать сходящимся в некоторой окрестности
2 = оо. Чтобы оценить, насколько сильно это ограничение, рас-
рассмотрим случай быстро убывающих при х-*-±оо функций и.
Тогда имеются реальные решения yjp+(x,z) и ip-(x, z) для задачи
Хы"ф =z2i|3, которые определены и голоморфны по z при Re (г) >
>0 и ReB)<0 соответственно и однозначно определяются
свойствами
¦ф+ (х, z) ~ ехг при х-*—оо,
¦ф_ (х> z) ~ e*z ПРИ х^- + оо.
Эти решения продолжаются и на ось Re (г) = 0, но если и не при-
принадлежит исключительному классу так называемых «безотра-
«безотражательных» или «многосолитонных» потенциалов, функции ip-t-
и 1|з_ будут линейно независимыми функциями от х, и, значит*
реального решения вида A.2) не существует. Аналогичная си-
ситуация наблюдается и для вещественной С°°-гладкой периоди-
периодической функции и: из этих функций в классе && содержатся
лишь «конечнозонные» потенциалы. Периодические КдФ-потоки
были описаны Маккином и Трубовицом [25] в терминах рима-
новых поверхностей, вообще говоря, бесконечного рода: конеч-
конечнозонные потенциалы — это в точности те, для которых род ри-
мановой поверхности конечен. Решения иерархии КдФ в этом
случае получаются методом Кричевера.
1. Введение
383
Объясним теперь, как конструкция Кричевера включается
в нашу. Кричевер сопоставляет функцию от х, скажем их х, ал-
алгебраической кривой X с отмеченной точкой Хоо и линейному
расслоению 2? на ней (требуются также некоторые дополни-
дополнительные данные, которые мы опустим в этом введении). Реше-
Решение уравнения КдФ получается при движении S по прямой
в якобиане кривой X. Мы увидим, что по данным Кричевера
естественным образом строится подпространство W в Gr<2). Это
делается так. Окружность S1 рассматривается как маленькая
окружность вокруг точки Хоо на X; подпространство W состоит
из функций на S1, которые являются граничными значениями
голоморфных сечений расслоения 2? вне S1 (мы предполагаем,
что 3? тривиализовано в окрестности Хоо). Решения Кричевера
&х, я— это просто uw. Если кривая X неособая, то, как мы по-
покажем в § 9, т-функция xw по существу совпадает с 6-функцией
кривой X.
Алгебро-геометрические решения и — это в точности те, для
которых оператор Lu коммутирует с оператором нечетного по-
порядка. Есть очень элегантная теория, принадлежащая в сущ-
сущности Бурхналлу и Чаунди [4], которая связывает коммутатив-
коммутативные кольца дифференциальных операторов с алгебраическими
кривыми. Современное изложение предмета можно найти у Мам-
форда [16]; так как эта теория естественно связана с темой на-
нашей работы, мы привели ее короткий замкнутый обзор в § 6.
Мы детально опишем потоки КдФ на двух плотных подпро-
подпространствах Gr@2) и Grf в грассманиане, которые соответствуют
полиномиальным и рациональным петлям в ?/г. Первое простран-
пространство в точности соответствует рациональным решениям уравне-
уравнения КдФ, которые равны нулю в оо. Красивый факт: оказы-
оказывается, орбиты группы Г+ потоков КдФ на Gr@2> дают клеточное
разбиение Gr{,2), по одной клетке в каждой комплексной раз-
размерности. (Орбита функции —п(п-\- 1)/х2 образует я-ю клетку.)
Точки из Gr(j2) соответствуют решениям Кричевера, возни-
возникающим из рациональных кривых с особенностями. Для любого
W e Gr(,2) орбита элемента W под действием Г+ отождествляется
с якобианом соответствующей кривой.
У иерархии КдФ есть совершенно очевидное обобщение, при
котором оператор D2 + и заменяется оператором порядка п; эти
иерархии связаны с пространством петель группы Un так же,
как уравнения КдФ связаны с QU2- Для простоты мы ограничи-
ограничились во введении случаем п = 2, но в тексте работы мы будем
всегда рассматривать общий случай, который не доставляет до-
дополнительных сложностей. Фактически мы рассматриваем еще
йолее общую иерархию, иерархию уравнений Кадомцева — Пет-
384
Группы петель и уравнения типа КдФ
виашвили (КП); упомянутые иерархии получаются редукцией
иерархии КП. Менее очевидны обобщения иерархии КдФ, опи-
описанные Дринфельдом и Соколовым [6], где, грубо говоря, Un
заменяется произвольной компактной группой; точнее, Дрин-
фельд и Соколов ассоциируют несколько иерархий «КдФ» с каж-
каждой аффинной алгеброй Каца — Муди. Некоторые из этих иерар-
иерархий обсуждаются в [5], хотя там не развивается никакой общей
теории. Ключевой шаг в [6], пропущенный в [5], состоит в том,
чтобы рассматривать КдФ-потоки как редукцию более простых
«модифицированных Кдф»-потоков [12], [20]: обобщение по-
последних вполне очевидно. Мы отсылаем читателя к работе [35]
по поводу краткого обзора того, как настоящая теория обоб-
обобщается на уравнения Дринфельда и Соколова, здесь мы упомя-
упомянем только, что с этой точки зрения наша основная конструкция
возникает как частный случай хорошо известной конструкции
(«одевания») Захарова и Шабата [23].
Мы закончим техническим замечанием. Во введении мы рас-
рассматривали uw и xw как функции одной переменной х. В тексте
работы будет, однако, удобнее рассматривать их как функции
бесконечного числа переменных (х, t2, t$, ...) или, иначе, как
функции элемента
группы Г+. Для этого мы положим
uw(x, t2, t3, ...)=ug-iw@),
tw(x, t2, t3, ...) = xg~lw@).
Тогда и = uw — это решение иерархии A.1) в том смысле, что
k
Замечание, добавленное в июле 1984. Мы обращаем внимание
читателя на несколько работ и препринтов [26] — [33] японской
школы, связанных с нашей работой, которые мы увидели после
ее окончания.
Содержание работы
В § 2 описан грассманиан гильбертова пространства и его
связь с группами петель. (Этот параграф опущен при переводе,
так как он повторяет материал гл. 7 книги [17]. — Перев.)
В § 3 описано детерминантное линейное расслоение на грасс-
маниане и его связь с центральным расширением группы петель.
Мы определяем т-функцию и явно вычисляем ее для подпро-
подпространств, соответствующих многосолитонным решениям.
3. Детерминантное расслоение и т-функция
385
В § 4 описана основная формальная теория обобщенных урав-
уравнений типа КдФ.
В § 5 описывается соответствие между точками грассма-
ниана, функциями Бейкера и дифференциальными операторами,
рассматриваются простейшие примеры. Мы даем также характе-
ризацию класса ffl"K
В § 6 показано, как конструкция Кричевера соответствует
конструкциям из § 2—5. Там же содержится обсуждение колец
коммутирующих дифференциальных операторов и свойства Пен-
леве для стационарных решений уравнений КдФ.
§ 7 посвящен подпространствам Gr(on) и Gr(,n> грассманиана,
которые упоминались выше.
В § 8 получено разложение общей т-функции в последова-
последовательность функций Шура.
В § 9 показано, что если W происходит из алгебраической
кривой, то т-функцию -cw можно явно выразить через 6-функцию,
связанную с этой кривой.
§ 10 — это приложение, объясняющее связи теории, развитой
в работе, с теорией представлений групп петель. (Этот параграф
сокращен при переводе: опущен материал, уже изложенный в
[17]. —Перев.)
3. Детерминантное расслоение и т-функция
В этом разделе мы построим голоморфное линейное расслое-
расслоение Det на Gr. Для простоты ограничимся связной компонентой
грассманиана, состоящей из подпространств виртуальной раз-
размерности нуль: символ Gr будет обозначать теперь именно эту
компоненту. Мы рассматриваем Det как детерминантное рас-
расслоение, т. е. расслоение, слой которого над IFeGr — это мак-
максимальная внешняя степень подпространства W. Наша первая
задача — объяснить, как придать этому смысл.
На грассманиане Gr^iC") А-мерных подпространств в С"
слоем детерминантного расслоения в W является det(W) = AkW.
Типичный элемент из Ak(W) записывается в виде Xwx A w2 А ¦•¦
... Лдой,где Я<=С, a {w{} — базис в W. Аналогично, элемент из
det(W) при №eGr — это бесконечное выражение Яш0 Л wx A
Aw2A ..., где {wi} — так называемый допустимый базис для W.
Основное свойство допустимых базисов состоит в следующем:
бесконечная матрица t перехода между двумя допустимыми ба-
базисами {а;,.} и {ш;} имеет определитель, ибо мы хотим, чтобы
Xw0 л до, Л w2 Л ... = Я det (/) w'q Л w\ Л wr2 A ...
при wt =
25 Зак. 230
tijw..
386
Группы петель и уравнения типа КдФ
Напомним (см., например, [19]), что оператор имеет опреде-
определитель, если и только если он отличается от единичного на опера-
оператор со следом. Подпространства W, которые мы рассматриваем,
обладают тем свойством, что проекция pr: W-*-H+ — фредголь-
мов оператор с индексом нуль. Это означает, что в W содержат-
содержатся последовательности {wi}, такие, что
(i) линейное отображение w: H+^-H, переводящее г1 в wi,
непрерывно, инъективно и его образ совпадает с W, и
(ii) матрица, связывающая {рг(ш>;)} с {z{}, отличается от
единичной на оператор со следом.
Такая последовательность {wi} будет называться допусти-
допустимым базисом. (Возможный выбор для {wi}—это обратный об-
образ {z?}S!sS относительно проекции W^-Hs, которая является
изоморфизмом (см. [17, G.1.17)].)
Мы будем рассматривать w: #+—>-# как Z X N-матрицу
w =
со столбцами wi, где w+— 1—оператор со следом; блок w- ав-
автоматически является компактным оператором. Базис w опре-
определяется по W с точностью до умножения справа на N X N-мат-
N-матрицу (или на оператор Н+-*-Н+), которая принадлежит группе
ST всех обратимых матриц t, таких, что t— 1 — матрица со сле-
следом. (Топология на 3~ определяется следовой нормой.) Так как
операторы из Э~ обладают определителями, мы можем задать
элемент из Det (да) как пару [w, X), где АеС, a w — это неко-
некоторый допустимый базис в W\ (w, X) отождествляется с (w't X'),
если ш' = шН и X' = Xdet(t) для некоторой матрицы t^&~.
(Мы можем записывать также (w, X) в виде Xw0 A wx А ... .)
Совсем точно, пространство 3* матриц w снабжается тополо-
топологией операторной нормы на w_ и следовой нормы на w+— 1.
Тогда & превращается в главное ^"-расслоение на Gr = 0>/0~,
а тотальное пространство Det — это & Х.&- С, где 3~ действует на
С. с помощью det: ^~-*Cx.
Теперь мы пришли к основному различию между конечно-
конечномерным и бесконечномерным случаем. Группа GLn(C) дейст-
действует на Grft^C") и на тотальном пространстве детерминантного
линейного расслоения: если g e GLn (С) и w\ А ... л su^det (W),
то g • (г»1 л ... л wk) определяется как gwi A ... Л gwk в
det(gW). Мы видели, что соответствующая группа для Gr — это
не полная линейная группа Н, а связная компонента единицы
меньшей группы GLres(#) обратимых операторов в Н вида
S =
d
C.1)
3. Детерминантное расслоение и т-функция
387
(относительно разложения Н = Н+ Ф Я_), где бис компактны.
Но это действие на Gr не индуцирует автоматически действия
на Det, так как если {wi) —допустимый базис для W, то {gwi}
обычно не является допустимым базисом для gW. Чтобы спра-
справиться с этой трудностью, мы введем чуть меньшую группу
GL\(H), состоящую из обратимых операторов g вида C.1), у
которых блоки Ъ и с обладают следом. Топология на GL\ (H)
определяется операторной нормой на а и d и следовой нормой
на & и с. Мы увидим, что действие связной компоненты единицы
группы GL\(H)° на Gr поднимается до проективного действия
на Det. Другими словами, имеется центральное расширение
GL\" группы GLi(H) с помощью Сх, которое действует на Det,
накрывая действие GL\ (#)° на Gr.
Чтобы получить преобразование Det, мы должны задать не
только преобразование g в Я, но и некоторую информацию о
том, как заменить недопустимый базис {gwi} в gW допустимым
Для этого мы введем подгруппу S" в GL\ (#)°X GL(H+), со-
состоящую из пар (g, q), таких, что aq~l — 1—оператор со сле-
следом, где а определено в C.1). (Мы снабдим & топологией, инду-
индуцированной вложением (g, q) i—^ (g, q, aq~l—1) в GL\ (H) X
X GL(#+) X {операторы со следом}.) Определение группы ё
сконструировано таким образом, чтобы она действовала на про-
пространстве ?Р допустимых базисов следующим образом:
(g, q)-w = gwq~x
и, значит, действовала и на Det: (g, q) (w, X) = (gwq-1, X).
У группы S есть гомоморфизм (g, q)>-^g на GLi(HH. Его
ядро, очевидно, отождествляется с ЗГ. Поэтому возникает рас-
расширение
Но подгруппа 3~ъ в %Г, состоящая из операторов с определите-
определителем 1, тривиально действует на Det, и потому фактически на Det
действует группа GLv =l?/i7~o. Эта группа является централь-
центральным расширением группы GL\(H)° с помощью &~/&~о = Сх.
Расширение
является нетривиальным расслоением: не существует непрерыв-
непрерывного сечения GL\ (Я)Р—>GL^, и это расширение нельзя описать
непрерывным коциклом. Но на плотном открытом множестве
GL\ee в GL\ (Я) , где оператор а обратим, есть сечение s:
25*
388
Группы петель и уравнения типа КдФ
-^<?f, а именно s(g) = (g, а); соответствующий коцикл
равен
( )
где ?,- = (! ^) и g3 = gig2- Мы всегда будем считать, что
элементы из GLies действуют на Det с помощью сечения s.
Конечно, GL\es — не группа и отображение s не мультиплика-
мультипликативно. Однако рассмотрим GL\ — подгруппу элементов из GL\ee
вида (о d)- Тогда ограничение s на GLt является вложением
групп GLi+->^, и мы можем рассматривать действие GLt на
расслоении Del Аналогичные замечания справедливы и для
подгруппы GL^ в GL\eg, состоящей из элементов вида ("<*)•
В частности, подгруппы Г+ и Г_ в группе отображений
S1 —> Сх действуют на Det, поскольку Г± cz GLf.
%-функция
Мы добрались, наконец, до нашей основной цели в этом раз-
разделе, до определения т-функции.
Кроме уже рассмотренного детерминантного расслоения Det
имеется двойственное расслоение Det*, слои которого двойст-
двойственны к слоям Det. Точкой Det* над if'sGr можно считать
пару (w, А,), где w — допустимый базис в W, ^еС, и (w, К)
отождествляется с (w\ А/), если т' = wt и А/= A, det @ для не-
некоторого te0~. Действие GL\" на Det индуцирует действие на
Det*. Линейное расслоение Det* имеет каноническое глобальное
голоморфное сечение а, определенное формулой
= (w, detay+),
где W e Gr, aw — допустимый базис для W. Мы можем считать
o(W) определителем ортогональной проекции №—>-#+; заметим,
что o(w) = О, если и только если W не трансверсально #-. Се-
Сечение о не эквивариантно относительно действия Г+ на Det*. Для
любого We Gr назовем х-функцией подпространства W голомор-
голоморфную функцию %w: Г+-»-С, определенную соотношением
где 8W — некоторый ненулевой элемент в слое Det* над W. Во-
Вообще говоря, канонического выбора 6^ не существует, поэтому
функция xw определена лишь с точностью до постоянного мно-
множителя. Однако, если W трансверсально #_, естественно вы-
3. Детермииантиое расслоение и т-фуикция
389
брать 8v = <j(W) и, значит, т-функция задается соотношением
twig) ¦ g~l<y(W)=o(g~lW) (для W, трансверсального #_). C.2)
Легко привести явную формулу для xv в виде бесконечного оп-
определителя.
Предложение C.3). Пусть g~x <= Г+ имеет вид
=(а ь)
\0 d)
относительно разложения Н = Н+ФН^; тогда для Wf=Gr
имеем
xw (g) = det (w+ + erlbw_), C.4)
где w —некоторый допустимый базис в W. В частности, если
W трансверсально Н~ и xw нормализовано, как в C.2), то'
fr(ff) = det(l+a-IM), C.5)
где А: Н+-+Н- — отображение, графиком которого является W.
Это предложение непосредственно следует из определений.
Пример
Интересный пример пространства W из Gif> связан, как мы
увидим, с m-солитонным решением уравнения КдФ.
Пусть ри ..., рт — ненулевые комплексные числа, такие, что
\pi\ < 1 и все р2{ различны; пусть Хь ..., А,т —набор ненуле-
ненулевых чисел. Тогда W = Wp, x обозначает замыкание пространства
функций /, голоморфных в единичном диске, за исключением по-
полюса порядка ^ т в нуле, которые удовлетворяют условиям
/(—Pi) —W(Pi) при i= I, .. ., т. Для вычисления xv мы сна-
сначала вычислим отображение А: Н+-+Н- с графиком Wv x. Оно
сопоставляет элементу /eff+ многочлен
такой, что / + А (/) лежит в WP, *. Ясно, что щ (/) является ли-
линейной комбинацией .01 (/),..., $m(f), где
чтобы A(f) равнялось нулю, если р,-(/) обращается в нуль. Фак-
Фактически Р2 == Z Mtjait где
и Wp, х трансверсально #_ в точности тогда, когда det (Мц) Ф 0.
390
Группы петель и уравнения типа КдФ
Чтобы применить C.5), мы должны также вычислить отобра-
отображение a~lb: #_—>-#+, соответствующее элементу g~l из Г+. Мы
запишем g в виде ехр ( 2 tk^\.
Пусть а~хЪ переводит zrk в fk s H+. Прежде чем определить
fk, отметим, что бесконечный определитель вида
сводится к определителю тХт-матрицы с (i, /)-элементом
Поэтому xw (t) = det MT/1 (det Mi} + p? (/,)).
Для /& имеется выражение
= 2"* {1 - e2'** A + c,z + с2г
здесь pr — проекция Н на #+, а
e i ; поэтому
—это разложение
Детерминант этой матрицы после очевидных операций со столб-
столбцами сводится к
X;) X
Xdet
где ф» = ch для нечетного i и sh для четного,
fc нечетно
Постоянный множитель (—l)mdet(Mi/)-1 в xw можно игнориро-
игнорировать.
В § 5 мы увидим, что 2(d/dtiJlogxw является решением
уравнения КдФ. Оно обычно называется m-солитонным реше-
решением.
3. Детермииантное расслоение и т-функция
391
Проективные множители на Г+ и Г_.
Результаты этого раздела будут использоваться только в § 9.
Действия групп Г+ и Г_ на Gr, очевидно, коммутируют друг
с другом. Однако их действия на Det* не коммутируют между
собой, и нам необходимо знать связь между ними. Заметим, что,
так как диски Do и 2?» односвязны, элементы |[еГ+ и |еГ-
можно единственным образом представить в виде? = е?, § = еК
где /: A)-»-!CJ и f: A»->Ci — голоморфные отображения, такие,
что /@) =/(оо) =0. Если у — элемент из Г+ или Г_, мы будем
писать @>{у) вместо соответствующего автоморфизма расслое-
расслоения Det*.
Предложение C.6). Пусть geT+ и g<=T— Тогда
= c (g, g) ?> (g) 2) (g),
где, если, как и раньше, g =
и
= ef, то
c(g, g) =
а
&
Доказательство. Из определения действий Г± на Det* непо-
непосредственно следует, что имеется формула такого вида, причем
с(ё, g) = det(aaa~la~l),
где а и а — это #+-»-#+-блоки для g и g. (У выписанного ком-
коммутатора есть определитель, так как из того, что g и g комму-
коммутируют, следует, что он равен 1 — Ъса-Хагх, где Ъ и с — внедиа-
гональные блоки для g и g, являющиеся операторами со сле-
следом.) Отображение с является гомоморфизмом из Г-ХГ+ в 1С;
легко получить, что оно имеет желаемый вид с
S(f, /) = trace[a, a],
где а и a — это #+->#+-блоки для / и f. Теперь, если
/= 2 aiz% и f — 2 biZ'1, то матричный (k, А)-элемент комму-
коммутатора [а, а] равен
ambm—
Z mbm— J) ambm.
m—l m — 1
392
Группы петель и уравнения типа КдФ
Поэтому след равен
m=l
=-±-r \f'(z)f(z)dz,
как и утверждалось.
Лемма C.7). Сечение а расслоения Det* эквивариантно отно-
относительно действия Г-, т. е.
о (gW) = ga (W) для g<=T_.
Лемма C.8). Для g<=T-
где, как и раньше, g = ef и g — eK
Обе леммы непосредственно следуют из определений.
Общие замечания
В теории групп петель, таких, как группа L гладких отобра-
отображений 51 -*- GLn(.jC), важную роль играет существование цен-
центрального расширения
С
х
L.
Это расширение (по крайней мере над связной компонентой еди-
единицы группы L) является ограничением центрального расшире-
расширения GZ,f\ построенного в этом разделе, когда L обычным спосо-
способом вкладывается в GL\(H).
На уровне алгебр Ли это расширение можно очень просто
описать для группы петель LG любой редуктивной группы G.
Алгебра Ли группы LG — это векторное пространство Lfl петель
со значениями в алгебре Ли группы G, а расширение опреде-
определяется коциклом
р: C
где
2П
a < , > — это подходящим образом нормированная инвариант-
инвариантная билинейная форма на д.
Существование соответствующего расширения групп менее
очевидно (ср. [18]) отчасти потому, что оно нетривиально как
топологическое расслоение. Обсуждение в этом разделе дает
4. Обобщенные уравнения КдФ и формальная функция Бейкера 393
конкретную реализацию L как группы голоморфных автомор-
автоморфизмов линейного расслоения Det в случае G = GLn(C), так
как элементы из ?, отображающиеся в у ^ L,— это в точности
голоморфные отображения расслоения y: Det-*-Det, которые на-
накрывают у на Gr. (Для фиксированного у возможные выборы у
•отличаются на константу в соответствии с тем, что любая голо-
-морфная функция на Gr постоянна.)
Соответствующее центральное расширение группы петель для
любой комплексной редуктивной группы (характеризуемое сво-
своим коциклом на алгебре Ли) можно построить подобным же
образом как группу голоморфных автоморфизмов некоторого
комплексного линейного расслоения, и наоборот, голоморфное
-линейное расслоение определяется этим центральным расшире-
расширением. Это объяснено в [17]. В общем случае линейное расслое-
расслоение не имеет такого простого описания.
4. Обобщенные уравнения КдФ
и формальная функция Бейкера
п-я обобщенная иерархия КдФ состоит из всех эволюционных
^уравнений для га—1 неизвестных функций щ(х, t), ..., ип-г{х,
t), которые можно записать в виде dL/dt = [P, L], где L — диф-
дифференциальный оператор га-го порядка
;.а Р — другой дифференциальный оператор. (Как обычно, D обо-
обозначает д/дх.) Допустимые операторы Р по существу опреде-
определяются условием, чтобы [Р, L] имел порядок не более чем
п—2. Эти операторы можно очень просто описать, если вос-
воспользоваться алгеброй формальных псевдодифференциальных
^операторов, которую мы обозначаем Psd.
Формальный псевдодифференциальный оператор — это по оп-
определению формальный ряд вида
.для некоторого N a Z. Предполагается, что коэффициенты гг(лг)
лежат в некоторой алгебре гладких функций от х. Чтобы пере-
перемножить два таких оператора, необходимо знать, как перемно-
-жаются D-1 и функция г(х): соответствующая формула
D-1r=Z(-l)'rU)D-
394
Группы петель и уравнения типа КдФ
легко следует из правила
= rD+dr/dx,
определяющего умножение дифференциальных операторов. Не-
Нетрудно проверить, что Psd является ассоциативной алгеброй.
Предложение D.2). В алгебре Psd оператор L имеет един-
единственный корень п-й степени вида
Коэффициенты qi являются универсальными дифференциальны-
дифференциальными многочленами от иг, если определить вес и[]) как п—(+/,.
то qi оказываются однородными веса f + 1.
Доказательство. Приравнивая коэффициенты при степенях 12я
в уравнении Q" = L, мы получаем
где a,i — некоторый дифференциальный многочлен от q\, ..., <7<-u
(здесь мы считаем, что щ = О при j < 0). Мы утверждаем, что-
если вес q\!) равен i + /+ 1, то а* однородны веса i + 1. Считая:
это утверждение справедливым, получаем что уравнения для q&
имеют желаемый вид и однозначно разрешимы.
Легче всего убедиться в однородности а, следующим обра-
образом. Рассмотрим алгебру формальных псевдодифференциальных:
операторов с коэффициентами — дифференциальными многочле-
многочленами от <7< (которые мы сейчас рассматриваем как абстрактные-
символы, а не как фиксированные функции от х). Назовем та-
такой оператор однородным веса г, если коэффициент при D1 од-
однороден веса г—i (так, D имеет вес 1). Из однородности фор-
формулы D.1) следует, что произведение двух однородных операто-
операторов с весами г и s имеет вес г + s. Так как оператор Q одноро-
однороден веса 1, то Q" должен быть однороден веса п.
Пусть /?= X rfi1 —формальный псевдодифференциальныш
оператор; мы будем обозначать символом R+ «дифференциаль-
«дифференциальR R X Вг R X D1 Т
ную часть» оператора R: R+ =
образом, /?=/?+ + R-.
Предложение D.3). Уравнение
ггВг, a R_ =
г<о
dLldt=[Lrin, L]
Таким:
D.4»
4. Обобщенные уравнения КдФ и формальная функция Бейкера 395
.эквивалентно системе эволюционных уравнений
да
dt
i
= ft
* для коэффициентов и0, ..., ип-2 оператора L; f, являются одно-
сродными дифференциальными многочленами от Uj веса га + г — i.
Доказательство. Заметим сначала, что L+" обозначает (Lr/n)+;
- Lr/n определяется как Qr. Единственная неочевидная часть пред-
.ложения — почему коммутатор D.4) является оператором по-
..рядка не более чем га — 2. Но это непосредственно следует из
тождества
[Lrin, L] = [- Lin, Ll <
(Конечно, Lr/n и L коммутируют, являясь степенями Q = Ll/n.)
Уравнение D.4) называется r-м уравнением в п-й иерархии
КдФ. Оно тривиально, если г кратно га, так как в этом случае
„L+" равно Lrln, являясь целой степенью L.
Будем рассматривать уравнения D.4) как потоки на некото-
- ром пространстве функций {ио(х), ..., ып_2(лг)}; основной факт
i состоит в том, что эти потоки при разных г коммутируют между
' собой. Чтобы придать смысл этому утверждению, надо опреде-
. лить некоторый класс функций, для которого можно было бы
доказать теоремы существования и единственности для решений
-уравнений D.4). Однако аналитические вопросы, которые здесь
возникают, в некотором смысле несущественны: основное «инфи-
нитезимальное» утверждение о коммутативности можно сформу-
. лировать чисто алгебраически. Мы отсылаем читателя к [22] за
очень простым доказательством этого алгебраического варианта
коммутативности. В настоящей работе мы не занимаемся подоб-
подобными вопросами, так как для специального класса решений, ко-
который нас интересует, существование и коммутативность потоков
ясны из построения.
Формальная функция Бейкера
Основная идея при изучении решений уравнения D.4) со-
состоит в следующем: поскольку L меняется со временем, мы пы-
пытаемся проследить эволюцию собственных функций этого опера-
оператора, сравнивая их с собственными функциями постоянного опе-
оператора Dn. Для этого мы находим оператор К, такой, что
K~lLK = Dn; тогда если -ф0 — собственная функция оператора
Dn, то i|3 = /Ci|3o — собственная функция оператора L. Один из
способов реализовать эту идею связан с алгеброй Psd.
S96
Группы петель и уравнения типа КдФ
Предложение D.5). Существует оператор К^ Psd вида
1
для которого K~lLK — Dn. Такой оператор К определяется одно-
однозначно с точностью до умножения справа на оператор вида 1 +
+ CiD-1 + ... с постоянными коэффициентами.
Доказательство. С D" коммутируют только операторы с по-
постоянными коэффициентами, а потому утверждение о единствен-
единственности тривиально. Для доказательства существования мы срав-
сравним коэффициенты при степенях D в уравнении LK = KDn; эта»
дает уравнения вида dai/dx = .. ., где правая часть зависит
лишь от а/ при / < i\ это позволяет последовательно решить этш
уравнения. Предложение D.5) можно переформулировать сле-
следующим образом:
Предложение D.7). Уравнение Lit>=2"\|j имеет решение е-
пространстве формальных рядов вида
Это решение единственно с точностью до умножения на ряд вида:
1 + c\zrx + .. . с постоянными коэффициентами.
Ряд if в D.8) называется формальной функцией Бейкера для ¦
L. Решения уравнений КдФ, которые мы собираемся строить,,
характеризуются тем свойством, что этот формальный ряд схо-
сходится для достаточно больших |г|. Как мы упоминали во вве-
введении, среди этих решений имеются алгебро-геометрические ре-
решения Кричевера ранга 1: в этом контексте существенно, что-
функция if первоначально была введена Бейкером [3].
Интуитивная причина эквивалентности предложений D.5) и
D.7) объяснялась ранее: поскольку K~1LK = Dn, мы ожидаем,,
что решения уравнения Lif = zr-§ имеют вид if = /0фо, где ifo —
решение уравнения D^o = 2Я|фо. Если взять -фо = exz> то фор-
формально ясно, что -ф = /0ф0 имеет вид D.8). Мы можем сделать
это рассуждение строгим следующим способом. Пусть М —
пространство всех формальных выражений f = exzf, где f —
формальный ряд
f =
N
(для некоторого N).
Дифференциальные операторы очевидным образом действуют?
на М:
4. Обобщенные уравнения КдФ и формальная функция Бейкера 397
Определим действие D~l на М, полагая
тде (D + z)~l понимается как формальный ряд z~l — Dzr2 + ...;
легко проверить, что М превращается в модуль над алгеброй
Psd. Если R == Z rt (x) Dl e= Psd, то
т. е. М оказывается свободным Psd-модулем ранга 1 с образую-
образующей ехг е М.
Уравнения КП
Нам часто будет удобно рассматривать га-ю иерархию КдФ
(для любого п) как редукцию некоторой «универсальной иерар-
иерархии КдФ» эволюционных уравнений от бесконечного числа пере-
переменных; для краткости, мы, следуя [5], будем называть эти урав-
шения иерархией Кадомцева — Петвиашвили (КП). Уравнения
КП определяются следующим образом. Пусть Q — общий фор-
формальный псевдодифференциальный оператор первого порядка
.вида
¦>-*
(в общем случае такой оператор Q не является корнем га-й сте-
лени из дифференциального оператора ни для какого п.)
Предложение D.10). Уравнение
dQ/dt=[Qr+,Q] D.11)
.эквивалентно системе эволюционных уравнений
¦для бесконечного числа функций qt(x, t), i^sl. Правые части
этих уравнений fi являются однородными универсальными диф-
дифференциальными многочленами от qi веса г -\-i-\-\, если вес q\^
равен i + / + 1 •
Доказательство не отличается от доказательства предложе-
предложения D.3). Мы называем D.11) r-м уравнением иерархии КП.
Предложение D.12). Отображение Lt-^L1/n==Q устанавли-
устанавливает взаимно однозначное соответствие между решениями п-й
.иерархии КдФ и решениями Q иерархии КП, такими, что Qn —
¦дифференциальный оператор.
398
Группы петель и уравнения типа КдФ
Доказательство. Очевидно, что если Q удовлетворяет D.11),.
то L =Qn удовлетворяет D.4). Установить обратное утвержде-
утверждение лишь немногим труднее, мы отсылаем читателя к [22] за
его доказательством.
~l
Скейлинговые преобразования
Предложение D.13). Пусть Q = Z)+ X 4iD~l — решение г-гв»
уравнения D.11). Для любого ненулевого комплексного числа %.
положим RXQ = D+ ? q^]D~\ где коэффициенты а^ равны
kx, Xrt).
Тогда R\Q — другое решение для D.11).
Доказательство. Это тривиально следует из утверждения
D.10) об однородности Д-.
Мы называем оператор R}, скейлинговым преобразованием
решения иерархии К.П. Заметим, что каждая переменная умно-
умножается на степень А, соответствующую ее весу. Скейлинговые^
преобразования, очевидно, действуют и на решениях га-й иерар-
иерархии КдФ для любого п.
Замечание о литературе. Наше построение уравнения КдФ*
близко следует обзору [14]. Основная идея использовать дроб-
дробные степени L впервые появилась в 1976 г. в работе Гельфанда
и Дикого [9], а затем широко использовалась в различных ра-
работах. В [5] эта идея приписывается Сато A981 г.).
5. Функция Бейкера
В этом параграфе Gr и Gr(n> будут обозначать компоненты-
соответствующих грассманианов виртуальной размерности нуль.
Мы сопоставим каждому WeGr функцию Бейкера tyw, а также
набор дифференциальных операторов, определенных в терми-
терминах tj;^.
Напомним ([17, гл. 7]), что на Gr действует группа Г+, со-
состоящая из голоморфных отображений g: Z)O->CX, для которых:.
g@)=l. Пусть W = Gr; положим
Г^ = {?<=Г+: g~lW трансверсально #_}.
Начиная с этого места, мы будем называть подпространства,.,
трансверсальные к #_, просто трансверсальными. Из § 3 сле-
следует, что ГJ — дополнение к множеству нулей т-функции xW'-
Г+-*-,С; в частности, это плотное открытое подмножество в Г+_
5. Функция Бейкера
399
(Мы временно считаем, что Г^ непусто, т. е. что голоморфная
«функция Ttr не равна тождественно нулю — это будет доказано
в § 8.)
Предложение E.1). Для любого yeGr существует един-
единственная функция tyw{g,z), определенная для §еГ^[ и z^S1,
этакая, что
(i) $w(g, -)<^W для любого ?еГ^,
(ii) ySpw имеет вид
Фу
= S B) (l + Е a, (g) 2-
E.2)
^Коэффициенты а,- — аналитические функции на Г^, они продол-
.жаются до мероморфных функций на всем Г+.
Доказательство последнего утверждения зависит от свойств
т-функции и будет приведено в этом параграфе позднее. Осталь-
лая часть предложения тривиальна: бесконечный ряд в E.2) —
единственная функция этого вида, которая лежит в трансвер-
сальном пространстве g~lW, т. е. это прообраз 1 относительно
«¦ортогональной проекции g-lW-*• Н+.
Мы называем -фтр- функцией Бейкера для W.
Далее, каждый элемент g из Г+ может быть единственным
-образом записан в виде
z + ^2z2 + ^+ ...) E.3)
:для х, fce'C. Когда g представлено таким образом, мы будем
писать y\>w(x,t,z) вместо i>w(g, z). Здесь t обозначает (t2, U, ...).
,В таких обозначениях ifw—-это «функция от бесконечного числа
переменных» вида
ф„ (x, t, г) == exp (xz + t2z2 + .. .) (^ 1 + Е at (x, t) z~l). E.4)
Предложение E.5). Для любого целого r^z2 имеется един-
единственный дифференциальный оператор Рг вида
:такой, что
E.6)
(Здесь, как обычно, D = д/дх.) Коэффициенты рн являются уни-
универсальными дифференциальными многочленами от функций at
мз E.4).
400
Группы петель и уравнения типа КдФ
Доказательство. Из E.4) мы получаем
-^- = g(z) (*r + alZ^ + О (Zr-2)).
С другой стороны, Drtyw имеет тот же вид и вообще
4r g()( ())
Сравнивая коэффициенты, мы непосредственно получаем, что
существует единственный оператор Рг требуемого вида, такой,.,
что
что
E.7>
Далее, поскольку -tyw лежит в W для всех (х, t), то d^/
и Dq^w также лежат в W. Значит, левая часть E.7) лежит
в W для всех (x,t), для которых она определена, т. е. для та-
таких (х, t), что соответствующий элемент g лежит вГ^. Но пра-
правая часть E.7) лежит в gH_. Поскольку g~lW — трансверсаль-
ное подпространство, обе части E.7) должны быть равны нулю.-.
Пусть теперь
, t)D
-i
— формальный интегральный оператор, соответствующий
(см. § 4). Уравнение E.6) можно переписать в виде
dtr
откуда, в частности, получаем, что
E.8>
где мы положили Q = KDKrl\ Q — это формальный псевдодиф-
ференциальный оператор вида Q = D+ X qt (x, t)D~l.
i
Предложение E.9). Коэффициенты qt оператора Q удовлет-
удовлетворяют уравнениям иерархии КП, т. е.
dtr — [Ui+> ч\-
Каждая функция qt мероморфна по переменным (х, t).
5. Функция Бейкера
401
Доказательство. Дифференцируя соотношение, определяю-
определяющее Q, мы получаем
С другой стороны, из E.8) следует, что
-fg- K~l = РГ- KDrK~l = (Qr)+ - Qr,
отсюда уже вытекает наше предложение.
Напомним ([17, разд. 7.6]), что растяжение z приводит к
действию W>—>R\W полугруппы комплексных чисел К с \Х\^ I
на Gr.
Предложение E.10). Функция Бейкера, соответствующая про-
пространству RbW, равна
Если Q — решение уравнений КП, соответствующее W, то реше-
решение, соответствующее RkW, равно RkQ (cm. предложение D.13)).
Доказательство тривиально.
Теперь мы рассмотрим подпространства W из Gr(n).
Предложение E.11). Пусть WeCrC); тогда
Кроме того, функции а,-, и, следовательно, операторы Рг, не за-
зависят от tn, hm hn, ¦ ¦ ¦ ¦
Доказательство. Из E.4) и E.6) мы получаем, что
Если feGr1"', то левая часть этого выражения лежит в W
для всех (x,t); поэтому она равна нулю по тем же причинам,
что и левая часть E.7). Это доказывает первое утверждение
предложения и независимость щ от tn. Так как, очевидно, Gr(/1) cz
cz Gr(r/l) для всех г ^ 1, а,- не зависят и от trn.
Поскольку at не зависят от tn, то от /„ не зависит и оператор
К; таким образом, из E.8) следует, что
Значит, если WeGr'"», то Q" — дифференциальный оператор.
26 Зак. 230
402
Группы петель и уравнения типа КдФ
Напишем L вместо Рп = Q"; тогда L имеет вид Dn +
+ un_2?>"~2+ ... +"о- Сопоставляя предложения E.9) и D.12),
мы получаем основной результат этого параграфа:
Следствие E.12). Если W^ Gr("\ то коэффициенты опера-
оператора L удовлетворяют уравнениям п-й иерархии /СдФ, т. е.
3L
dtr
L).
Слегка переформулируем это утверждение. Пусть Lw для лю-
любого W e Gr(/!> обозначает оператор L при t2 = t3 = ... =0.
Коэффициенты ы0, ..., ип-г оператора Lw являются функциями
одной переменной х: это «начальные данные» для потоков КдФ.
Пусть ^?(л) — пространство таких Lw для f e Gr("'. Отображе-
Отображение iGr(n'^-'®'('!) не является взаимно однозначным, однако из
D.7) следует, что LW = LW>, если и только если W=yW, где
7 — это функция вида 1 + c^z-1 + • • • • Так как умножение на у
коммутирует с действием Г+, мы можем переформулировать
следствие E.12) следующим образом:
Предложение E.13). Действие Т+ на Gr("> индуцирует
действие на пространстве "g?(n>. Поток W >~*-exp(trzr) Wn на Gr<n'
индуцирует г-й поток КдФ на *&<¦"¦).
Поскольку Г+. коммутативна, очевидно, что различные по-
потоки КдФ на З^") коммутируют.
Примеры
Простейший интересный пример подпространства в GrB) по-
получается следующим образом. Выберем число реС, такое, что
0 < \р\ <С 1, и X е Сх; пусть Wp,x есть /Азамыкание простран-
пространства функций /, голоморфных при \z\ ^ 1, кроме, возможно, про-
простого полюса при 2 = 0, которые удовлетворяют соотношению
f() lf()
)
Функция Бейкера для Wp,% должна иметь вид
(Мы пишем t = (t\, h, ...), где t\ отождествляется с х.) Из усло-
условия if)(/,—р)=Яг|з(<, р) получаем
где 9=
и е2а^
k нечетное
5. Функция Бейкера-
403
Дифференциальный оператор L второго порядка, для кото-
которого Lift = 22г{>, равен D2 — 2а', т. е.
D2 + 2р2 sh2 (в + а).
Это известное односолитонное решение уравнения КдФ.
Более общо, пусть Wv,%. — подпространство, введенное в § 3,
которое зависит от тп точек р\, ..., рт в диске \z\< 1 и от т
параметров Яь ..., 1шеСх. Соответствующее решение урав-
уравнения КдФ называется т-солитонным. Ниже мы приведем фор-
формулу для этого решения в терминах т-функции, вычисленной
в § 3, а сейчас отметим лишь тот очевидный факт, что оно за-
зависит от t лишь через е8*""», где 6,-= 2) р*^ и е2а« = Яг.
к нечетно
Это так, ибо орбита подпространства Wp, j. под действием Г+
изоморфна (Сх)т: действительно, если у: DO->CX — элемент
из Г
то
= Wp, „, где [х, = у (Pi) у (-
Функция Бейкера и х-фунщия
Теперь мы возвращаемся к доказательству последней части
предложения E.1) относительно свойств функций at. Оно осно-
основано на формуле E.14), которая связывает функцию Бейкера
с т-функцией; во введении мы отметили центральный характер
этой формулы. Вернемся к случаю произвольного подпростран-
подпространства f eGr (оно, вообще говоря, не лежит ни в каком Gr(/l)).
Напишем
(g, z) = 1 +
(g)
для обозначения бесконечного ряда из E.2). Очевидно, чтофу
продолжается до аналитической функции по z при |г:|>- 1. Для
^еСмы обозначим через q^ отображение
Ясно, что
при
1.
T+
Предложение E.14). Для g
W (g, 0 = tw
Доказательство. Из C.2) легко следует, что правая часть
этой формулы равна tg-v^g)- Левая часть нашей формулы ха-
характеризуется как единственная функция вида 1 + zl a&> >
граничное значение которой лежит в трансверсальном простран-
26*
404
Группы петель и уравнения типа КдФ
стве g~lW. Поэтому предложение будет доказано, если мы при-
применим к g~xW следующую лемму.
Лемма E.15). Пусть подпространство W^Gr трансвер-
сально, и пусть /0 — это единственный элемент из #_, такой,
что 1 + /о 6= W. Тогда для \1\ > 1
Доказательство. Мы используем формулу C.5). Если qjr1
записать в виде (о *)> отображение Ь: Н_-*-Н+ переводит
z~ в ?~ q^1; поэтому а~хЪ — отображение ранга один, которое
переводит / е #_ в постоянную функцию f(?). Отображение
а~1ЬА также имеет ранг 1, и бесконечный определитель
равен
1 + trace (a~lbA).
Так как А отображает 1 в fo(z), доказательство леммы закан-
заканчивается.
Если мы запишем g в виде E.3) и <7с в виде
<7; B) = exp log A - z/E) = ехр (- ? zk/kt^,
то E.14) примет вид
$w(x, t, Z,) = xw(x - \Ц, t2 - \\2l\ .. .)/xw(x, t). E.16)
Тот факт, что функции ac(x,t) мероморфны, непосредственно
следует из этой формулы: действительно, разлагая числитель
E.16) в ряд Тейлора, мы получаем, что щ имеют вид
а,- = Ptx/x,
где Pi — полиномиальный дифференциальный оператор от д/дх,
d/dt2, .... d/dti. Например,
ах = — (дх/дх)/х,
a2 = ±-(d2x/dx2-dx/dt2)/x.
Доказательство предложения E.1) теперь закончено.
Мы можем сформулировать более точное утверждение: опи-
описать порядки полюсов функций ai. Зафиксируем переменные
t2, h, .-., положив tk = t°k, и будем рассматривать at как меро-
морфные функции от одной переменной х.
5. Функция Бейкера
405
Предложение E.17). Порядок полюсов функции ai(x,t°) не
превышает I.
Для п\ это непосредственно следует из формулы, приведен-
приведенной выше, и того факта, что х — аналитическая функция. Для
i > 1 это уже не так просто; например, если бы оказалось, что
т = хя + h, то соответствующая функция а2 (х, 0) имела бы
в нуле полюс л-го порядка. Наше доказательство предложения
E.17) использует разложение т-функции на функции Шура: оно
¦будет приведено в § 8.
Следствие E.18). Для IF e Gr<"' дифференциальные опера-
операторы 1ц-е?("' имеют лишь регулярные особые точки (кроме
бесконечности), т. е. коэффициент щ при D1 имеет полюсы, не
более чем (п — 1)-го порядка.
Доказательство. Напомним, что Lw = KDnK~x, где /С=1 +
-Ь Zl ai M D~l- Поэтому, снабдив a*J весом k + j, мы получим,
¦что щ(х) — однородный дифференциальный многочлен от а&
веса (п — i) (ср. доказательство предложения D.2)). Поэтому
следствие непосредственно вытекает из предложения E.17).
Наконец, заметим, что коэффициенты щ оператора L выра-
выражаются непосредственно через т-функцию. При я=2 он имеет
вид D2 + uw, где
^ё- <5л9>
Однако при п > 2 явные формулы становятся очень сложными.
построить
E.20)
Класс ¦'
Мы показали, как по подпространству
дифференциальный оператор /г-го порядка
Lw = Dn + ия_2 М ^"~2 + • • •
•с мероморфными коэффициентами и только регулярными осо-
особыми точками. Теперь мы опишем обратный процесс построения
пространства W по дифференциальному оператору L. Произволь-
Произвольный дифференциальный оператор для этой цели не годится, даже
если его коэффициенты мероморфны, а особые точки регулярны.
Мы не знаем вполне удовлетворительного описания класса <ё>(-п>;
грубо говоря, он состоит из тех операторов, для которых фор-
формальная функция Бейкера сходится при больших z.
Пусть L имеет вид E.20) с гладкими коэффициентами, оп-
определенными в открытом интервале, содержащем нуль. Фор-
406
Группы петель и уравнения типа КдФ
мальная функция Бейкера
для L была введена в § 4. Она является формальным рядом,,
коэффициенты а,- которого являются гладкими функциями на
интервале /; $(x,z) однозначно определяется по L, если потре-
потребовать нормализации -ф@, z) = 1. Если п формальных рядов
Ц>@, z), Zht>@, z), ...,
, z)
E.21>
(которые лежат в поле C((z~1))) сходятся для больших z, то
скеилинговым преобразованием мы можем получить из них ряды*,
сходящиеся при 1г|>-1 — в., которые определят п элементов;
Фо, i|3i, . ¦ •, ifn—1 нашего гильбертова пространства Н. Мы хо-
хотели бы определить соответствующее 1^-= Gr("> как замкнутое*
2я-инвариантное пространство в Н, порожденное функциями
¦фо, ..., Tt>n_i, т. е. как уН+, где у — это п X п-матричнозначная
функция (-фо, $и • • -, ¦фге-О на окружности. (Рассматривая у
как матричнозначную функцию, мы используем отождествление-
#se#(;i>, описанное в [17, разд. 6.5]). Чтобы это оказалось,
возможным, необходимо проверить, что петля у имеет нулевое-
число вращения в GLra(C) — иначе Wtin окажется больше,,
чем пространство, алгебраически порожденное элементами"
{2nN|)f}ft>0 0<1<п- Выписывая у явно в соответствии с фор-
формулами F.5.1) из [17], мы получаем
-1
е„ • • • е:
¦п-\
п
ME»)
2fe при
где ^i ... X>n — корни га-й степени из z. Но г(?&(г)
Поэтому у голоморфна при |г|>- 1— г и y(z)-*-l при
Дополнительным растяжением можно добиться, чтобы y(z)
стало обратимой матрицей при 1г[> 1—г, к чему мы и стре-
стремимся.
Заметим, что ряды /Nф@, z) зависят лишь от струй (т. е..
рядов Тейлора) в нуле коэффициентов щ оператора L, и наобо-
наоборот, ряды ?>6г|з(О, z) определяют струи щ в нуле. Подпростран-
Подпространство W, которое мы построили, имеет свою функцию Бейкера-
¦фиг, которая определяет оператор Lw с коэффициентами, меро-
морфными на всей комплексной плоскости. (Для краткости мы
будем писать tyw(x,z), обозначая функцию Бейкера при fa =
6. Алгебраические кривые: конструкция Кричевера
407
= ^з= •¦• =0.) Так как ВЧрф, z) и Dktyw{0,z) лежат в W и
имеют вид zk + (меньшие члены), то индукция по k доказы-
доказывает, что они совпадают. Струи коэффициентов операторов L и
Lw в нуле также должны совпадать. Таким образом, мы полу-
получаем первую половину следующего результата.
Предложение E.22). (i) Если ряд E.21) сходится в окре-
окрестности z— оо, то найдутся мероморфные функции й0, ..., п„_2,
-определенные на всей комплексной плоскости, такие, что ы,- и Hi
имеют одинаковые ряды Тейлора в нуле.
(ii) Если ряд у!р(х, z) сходится при \z\> R для всех х в I,
.то ш совпадают еще!.
Чтобы доказать второе утверждение, мы определим <$i(x,zn)
как решение уравнения Lqp = г"ф с начальными условиями
Diyi @, z") = 6,7. Все срг являются целыми функциями от zn для
-х из /. Если z фиксировано и \z\ > R, то ty(x,z) и
j 0
, z)
являются решениями уравнения /,ф = znqp с одинаковыми на-
начальными условиями. Поэтому они совпадают, а значит, -§(х, ¦)
лежит в W при всех 1б/, Так как -ф(лг, •) лежит также
в ехг{\ + HJ), то у^(х, z) = tyw(x, z) при всех x^I, и поэтому L
и Lw совпадают на /.
6. Алгебраические кривые: конструкция Кричевера
Конструкция Кричевера решений уравнения КдФ начинается
с набора данных, среди которых наиболее важными являются
компактная риманова поверхность X и голоморфное линейное
расслоение 3? на ней. Мамфорд [16] отметил, что эта конструк-
конструкция без особых изменений проходит, если X — любая полная не-
неприводимая комплексная алгебраическая кривая (возможно,
¦особая), и что в этом случае естественно рассматривать в каче-
качестве 3? свободный когерентный пучок ранга 1 на X. (Если^ кри-
кривая X неособая, любой такой пучок происходит из линейного
расслоения.) Рассмотрение особых кривых имеет смысл, так как
га-солитонные решения соответствуют рациональным кривым с п
двойными точками; кроме того, решения, возникающие из пуч-
пучков без кручения, которые не являются линейными расслое-
расслоениями, по-видимому, ведут себя не экзотически (мы приведем
примеры в § 7). Пучки без кручения не вызывают дополнитель-
дополнительных трудностей, но окажутся существенными при доказатель-
доказательстве теоремы F.10) ниже.
408
Группы петель и уравнения типа КдФ
Кроме X и 2 в конструкции требуется еще набор данных
(хсо, 2,ф). Здесь Хоо — это неособая точка на X, a zrx — локаль-
локальный параметр на X вблизи Хсо. Мы будем предполагать, что z-
дает изоморфизм некоторой замкнутой окрестности X» точки лгоо.
в X и диска Z)oo =={|z|^ 1} на сфере Римана. Этого всегда
можно добиться растяжением z (см. замечание F.5) ниже). На-
Наконец, ф — это тривиализация 2 над X». Мы будем использо-
использовать ф для отождествления сечений расслоения 3? над подмно-
подмножествами из X» с комплекснозначными функциями. Мы отож-
отождествим также единичную окружность 51 с ее прообразом в X
относительно z. Мы обозначим через Хо дополнение к внутрен-
внутренности X»: т. е. замкнутые множества Хо и X» покрывают X, ш
их пересечение равно S1.
По всем этим данным строится следующее подпространство-
W в Я = L2(Sl;C): W — это замыкание пространства аналити-
аналитических функций на S1, которые продолжаются до сечений рас-
расслоения 3? над Х>
Предложение F.1). Подпространство W лежит в Gr. Вир-
Виртуальная размерность пространства W равна %B)— 1, где, как
обычно, %C?) обозначает эйлерову характеристику
°(X 3?)-dimHl(X; 3?).
Доказательство. Заметим сначала, что проекцию
можно представить в виде цепочки отображений
*V
для подходящего Я, такого, что 0 < Ж 1 (здесь Rx— это скей-
линговое преобразование, которое обсуждалось в [17, разд. 7.6]),
Для К, достаточно близкого к 1, отображение R%-r. W -*¦ Н огра-
ограничено: действительно, каждая функция / <= W является гранич-
граничным значением голоморфного сечения 3? над Х\Хаа, и (по пред-
предположению) тривиализация ф продолжается на некоторое от-
открытое множество, содержащее X». Таким образом, Rx~' просто
сопоставляет функции / е= W функцию z>->f(Xz), т. е. значения
f на окружности, слегка сдвинутой от границы множества Х>
Так как Rx: H_-*-H_ является компактным оператором, проек-
проекция №->#_ также компактна. Легко получить теперь, что про-
проекция W-+H+ имеет замкнутый образ.
Осталось показать, что проекция №->- Я+ является фредголь-
мовым оператором указанного индекса. Мы докажем более точ-
точное утверждение: ядро и коядро ортогональной проекции
W-+ZH+--это Н°{Х;3?) и Н1(Х;2) соответственно. Пусть Ua
и их — открытые множества в X, содержащие Хо и X» и Uo<*> =
6. Алгебраические кривые: конструкция Кричевера
40Ш
= Uo П Uoo. Так как Uo, Uco и ?/о<х> являются пространствами
Штейна, мы можем вычислять когомологии поверхности X'
с коэффициентами в любом когерентном пучке по покрытию^
{Uo, Uj); в частности, имеется точная последовательность
0^Н°(Х; 27)^2?{UQ)®2?(UJ-+2?(UQoo)-^Hl (X; Z)-+Qt
где 3? (U) обозначает сечения расслоения 3? над открытым под-
подмножеством U в X. Переходя к прямому пределу, когда Uo и
?/<*, стремятся к Хо и X», получаем точную последовательность»
0->Я°(Х 2)^
Поскольку 3? — пучок без кручения, его сечения над Хо и над:.
X» определяются своими ограничениями на S1, т. е. мы можем
отождествить 2! (Хо) и 3?(Х«>) с подпространствами в простран-
пространстве 3? (S1) вещественно-аналитических функций на 51. Два сред-
средних члена в написанной точной последовательности превра-
превращаются в
где отображение является вложением для первого слагаемого ш
вложением с обратным знаком для второго (мы обозначаем че-
через Van пространство аналитических функций из подпростран-
подпространства V в Я). Ядро и коядро этого отображения совпадают с
ядром и коядром проекции Wan -*¦ zHa+, и осталось только убе-
убедиться, что эти ядро и коядро не меняются при переходе к по-
пополнениям W -*-zH+. Но функция из ядра последней проекции —
это общее граничное значение в смысле L2 функций, голоморф-
голоморфных вне и внутри S1; значит, эта функция должна быть анали-
аналитической: ядра совпадают. Совпадение коядер легко следует из;
того, что проекция W-+-H+ имеет замкнутый образ.
Те же рассуждения показывают, что ядро и коядро ортого-
ортогональной проекции W~>-H+ можно отождествить с Н°(Х; 3?*,) и;
Я1 (X; 3?«>), где 3?^ = 3? <8> [—*«,] — пучок, сечения которого —
это сечения расслоения 3?, обращающиеся в нуль в лгоо. В ча-
частности, W трансверсально, если и только если Я°(X; 2'«>) =
= Я1 (X 3?^) = 0. Для читателей работ [16], [21] отметим, что>
в них рассматривается пучок 3?*>, а не 2'.
Мы в основном интересуемся подпространствами виртуальной:
размерности нуль; по предложению F.1) они возникают из-
пучков с %B)— 1. Если 2 — линейное расслоение, теорема Ри-
Римана— Роха показывает, что его степень должна быть равна
арифметическому роду X.
Итак, по набору данных (X *», г, 2, ф) с %B)=1 строится;
подпространство в грассманиане, а ему, согласно § 5, соответ--
410
Группы петель н уравнения типа КдФ
ствует решение уравнений КП. В сущности, эта конструкция
совпадает с конструкцией Кричевера [10], [11]. Точнее, Криче-
вер рассматривает случай, когда X— неособая кривая, и начи-
начинает с положительного дивизора &={Ри ..., Ре}, где Pi^X,
-степени g, равной роду кривой X. Он предполагает, что Pt от-
отличны от Хоо и что 3) неспециален. Неспециальность означает,
что линейное расслоение 2, соответствующее 3), имеет един-
единственное (с точностью до умножения на константу) голоморф-
-ное сечение, которое обращается в нуль в точности в точках /V,
это сечение определяет тривиализацию 2 над дополнением к
{Pi}, в частности над окрестностью точки Хоо. Если все точки Pi
.лежат вне диска X», мы можем использовать эту тривиализа-
тривиализацию; наша конструкция в этом случае превращается в конструк-
конструкцию Кричевера.
Описанное нами соответствие между алгебро-геометрическими
данными и подпространствами в Н, очевидно, не взаимно одно-
однозначно по следующей причине: пусть отображение it: X' -*-X яв-
является бирациональной эквивалентностью (т. е., интуитивно, кри-
кривая X получается из X' «увеличением ее особенности»). Тогда
из пучка 2" на X' и из его прямого образа 2 = я* {2') на X
получается одно и то же подпространство W. Мы будем избе-
избегать этой неоднозначности, рассматривая только максимальные
пучки без кручения на X, т. е. те, которые не являются прямым
образом некоторого пучка на менее особой кривой. Возможно,
следующее описание таких пучков будет более прозрачным. На-
Напомним (см. [7]), что пучки без кручения ранга 1 на X фик-
фиксированной эйлеровой характеристики образуют компактное про-
пространство модулей М, на котором обобщенный якобиан кривой
X (линейные расслоения степени нуль) действует тензорным
умножением. Мы утверждаем, что максимальные пучки без кру-
кручения образуют в точности ту часть пространства М, на которой
якобиан действует свободно. Действительно, если 2 — любой пу-
пучок без кручения ранга 1 на X и L — линейное расслоение сте-
степени нуль, то задание изоморфизма L <8> 2 =ё 2 эквивалентно
заданию изоморфизма L =ё Hom(i?, 2); но НотB, 2) — это и
есть структурный пучок «минимально особой» кривой X', такой,
что 2 — прямой образ пучка на Х'\ следовательно, это пучок
Ох, в точности когда 2 максимален. Очевидно, что любое ли-
лилейное расслоение является максимальным пучком без кручения,
и если все особенности кривой X являются плоскими, то и все
максимальные пучки без кручения являются линейными рас-
расслоениями, так как в этом (и только в этом) случае М является
неприводимым пространством, которое содержит линейные рас-
расслоения как открытое по Зарисскому подмножество (см. [34]).
Однако в общей ситуации есть много максимальных пучков без
6. Алгебраические кривые: конструкция Кричевера
41И
кручения, которые не являются линейными расслоениями; мы.
приведем некоторые примеры в § 7.
Предложение F.2). Описанная выше конструкция устанав-
устанавливает взаимно однозначное соответствие между классами изо-
изоморфизма данных (X, 2, *со, z, qp), где пучок 2 максимален, и
некоторыми подпространствами W e Gr.
Доказательство. Пусть W — подпространство, построенное по-
поданным (X, 2, x<x, z, ф), где пучок 2 максимален. Мы покажем,
как восстановить все эти данные (с точностью до изоморфизма)
по подпространству W. Напомним (см. [17, разд. 7.3]) опреде-
определение WUn — плотного подпространства в W, состоящего из эле-
элементов конечного порядка. Очевидно, что WUn можно отожде-
отождествить с пространством алгебраических сечений пучка 2 над:
Х\{лгоо}. Если А — координатное кольцо аффинной кривой.
^\{лгсо}, то WUn — это Л-модуль ранга 1 без кручения, соот-
соответствующий пучку 2, ограниченному на JT\{xoo}. С другой-
стороны, пусть Aw — кольцо аналитических функций f на S1, та-
таких, что /¦ WUn cz WUn. Ясно, что алгебра Aw содержит А (если
отождествить функции из Л с их ограничениями на S1) и Wnn'
является точным Ляг-мрдулем. Так как W является модулем без;
кручения ранга 1 над Л, отсюда следует, что Aw можно отожде-
отождествить с целым подкольцом в поле частных кольца А. Это озна-
означает, что Spec (Л w) является кривой вида Х/\{лг<х.} (где X' — пол-
полная кривая), которая бирационально проектируется на Х\{лг«>};
но поскольку по условию пучок 2 максимален, мы получаем, что^
Aw —А. Итак, мы построили по W кривую X, точку хж и огра-
ограничение пучка 2 на X\{x<»}. Наконец, включение Wtin czC[z](B*
Ф//_ определит тривиализацию пучка 2 над Х»\{*оо} (а зна-
значит, продолжение 2 на X), так как для |?|> 1 значение в ?;
определяет отображение Wtin->-C, которое определяет изомор-
изоморфизм слоя 2 в ^ с С. (Это очевидно, поскольку слой канонически-
отождествляется с Wnn/mWUn, где rn.czAw — идеал функций, ко-
которые обращаются в нуль в ?.)
Замечание F.3). Определение кольца Aw имеет смысл для
любого W e Gr. Однако, вообще говоря, AW = C (Это ясно, на-
например, для подпространства W коразмерности 1 в #+, которое-
определяется как ядро линейного отображения F: Я+-+-С, где
Подпространства W e Gr, возникающие из алгебро-геометриче-
ских данных, — это в точности те подпространства, для которых.
Aw содержит элемент любого достаточно высокого порядка, илиг.
эквивалентно, такие подпространства, что Лягмодуль WUn имеет*
-412
Группы петель и уравнения типа КдФ
ранг 1. Это непосредственно следует из предыдущего обсужде-
обсуждения ввиду того, что координатные кольца А неприводимых кри-
кривых вида Х\{хоо} (где X — полная кривая, а *«> — неособая
точка) можно охарактеризовать как области целостности с филь-
фильтрацией
C = A)Cj4|C^c...Cj4
такой, что
(i) Ai-A,cz Ai+I;
(и) dim(Ak/Ak-i) ^ 1 для всех k,
(Hi) dlm(Ak/Ak-i)= 1 для всех больших k.
Замечание F.4). Отметим, что для любого IFeGr конструк-
конструкция § 5 дает реализацию Aw как коммутативного кольца диффе-
гренциальных операторов. Точнее, доказательство предложения
E.11) показывает, что для любой функции /<= Aw имеется един-
единственный дифференциальный оператор L(f), такой, что
Если WeGrW, то г'еЛуи L(zn) = Lw. В частности, порядок
оператора L(f) равен порядку функции /.
Замечание F.5). Как мы видели в § 5, растяжение локаль-
локального параметра z*—>cz (где с — ненулевая постоянная) соответ-
соответствует действию скейлинговых преобразований на решение
иерархии КП. Поэтому условие, что z является локальным па-
параметром вплоть до |zl=l, не является серьезным ограниче-
ограничением в нашей теории.
Замечание F.6). Решение иерархии КП не зависит от вы-
выбора тривиализации ф: при другом выборе ф W умножается на
¦функцию вида с0 + cxz~l + ... (ссо^0), что, как мы знаем, не
меняет решения. Даже подпространство W не меняется при за-
замене ф на Сф, где с — ненулевая константа; это не противоречит
предложению F.2), так как пятерки данных (X, хх, z, 2, Сф) для
различных с Ф 0, очевидно, изоморфны.
Замечание F.7). Мы получаем решение п-й иерархии КдФ
(т. е. FeGr(/I)), если и только если 2"ёЛ«г, т. е. если локаль-
локальный параметр z таков, что zn продолжается до мероморфной
- функции на X, не имеющей иных особенностей, кроме полюса
п-го порядка в *«,. Для фиксированного п это, конечно, налагает
ограничение на допустимые пары (X, Хоо): например, при п — 2
кривая X должна быть гиперэллиптической, а точка %<х> — точ-
точкой Вейерштрасса.
Замечание F.8). Важная часть теории Кричевера состоит
ж наблюдении, что потоки КдФ или КП соответствуют прямоли-
прямоли6. Алгебраические кривые: конструкция Кричевера
нейному движению по якобиану кривой X. Это легко усмотреть
и с нашей точки зрения. Действительно, пусть для любого-
§еГ+ Lg обозначает линейное расслоение, полученное из три-
тривиальных расслоений на Хо и Х» склеиванием с помощью функ-
функции перехода g (в открытой окрестности S1). Расслоение Ls
снабжено тривиализацией фг над Х». Естественное действие IV
на Gr соответствует следующему действию на (X, *«>, z, 2, ф):
§еГ+ действует тривиально на первых трех компонентах, а
B, ф) тензорно умножает на (Lg-, щ). Действие Г+ на решениях,
иерархии КП соответствует просто отображению 2 •—*2 ® Le.
Утверждение о прямолинейном движении становится теперь-
ясным в силу следующего результата:
Предложение F.9). Отображение g*—^Lg определяет сюръ-
ективный гомоморфизм Г+ на обобщенный якобиан кривой X
(который состоит из всех голоморфных линейных расслоений на:
X степени нуль).
Доказательство. Если L — линейное расслоение на X, то Ь\Х&
и Ь\ХХ тривиальны, так как все расслоения на аффинных кри-
кривых аналитически тривиальны, а!ои Хх, содержатся в аффин-
аффинных открытых подмножествах кривой X. Поэтому L — Lg для
некоторой голоморфной функции S1—>- Сх, число вращения кото-
которой равно степени L. Мы можем изменить g на элемент из Г-, не
меняя Lg; поэтому, если число вращения для g равно нулю, нам:
достаточно выбирать g только из Г+.
Пример
Вернемся ненадолго к подпространству W = WPl x в Gr(j2), ко-
которое было введено в § 3 и обсуждалось в § 5. В этом случае
Aw состоит из всех многочленов / от переменной z, таких, что
/(—рд = fi.Pi) Для всех i- Это координатное кольцо аффинной
кривой, пополнение Хр которой получается из сферы Римана
отождествлением точек pi и —р,- для всех i: Хр — рациональная
кривая с тп двойными точками. Если взять ? = z2 и t\ = z(z2 —
— pf\ ... (z2 — p2m) в качестве образующих в Aw, то уравнение
для Хр имеет вид
В § 5 мы отмечали, что орбита Wp, x относительно Г+ со-
содержит все Wp, ц, где ц пробегает (Сх)т. Это согласуется
с F.9), так как (Сх)т — обобщенный якобиан кривой Хр.
-414
Группы петель и уравнения типа КдФ
Коммутирующие дифференциальные операторы
Последняя наша цель в этом параграфе—отметить, что наши
результаты непосредственно приводят к доказательству так на-
называемого свойства Пенлеве для стационарных уравнений КдФ.
Так как стационарные уравнения имеют вид [P,L] = 0, этот
•результат можно сформулировать как утверждение о коммути-
коммутирующих операторах.
Теорема F.10). Пусть L = Dn+ un-2Dn-2 + • • • + «о — диф-
.ференциальный оператор, коэффициенты которого определены
и являются гладкими функциями в окрестности I нуля в R.
Пусть существует дифференциальный оператор Р порядка т,
взаимно простого с п, который коммутирует с L. Тогда функции
:ш продолжаются до мероморфных функций на всей комплекс-
комплексной плоскости с полюсами порядка не более чем п — i, и все ко-
конечные особые точки из L регулярны.
Заметим, что условие о взаимной простоте порядков опера-
операторов L и Р существенно: если оно не выполняется, то возникают
тривиальные контрпримеры, скажем, L = Р или, чуть более об-
лций пример, L и Р — многочлены от некоторого оператора мень-
.шего порядка.
Легко видеть (например, переводя L в Dn сопряжением с по-
помощью формального интегрального оператора, как в § 4), что
.любой оператор Р, коммутирующий с L, имеет вид
-т. е. является линейной комбинацией операторов Рт из я-й иерар-
иерархии КдФ. Для любой последовательности чисел {сг} стационар-
стационарное уравнение КдФ [Р, Ц = 0 есть система обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений на коэффициенты {ио, ¦ ¦ ¦, un-2) опе-
оператора L. Назовем такое уравнение (или соответствующий опе-
оператор Р) допустимым, если имеется индекс г, взаимно простой
с п, для которого сгф0. Например, для простого п все нетри-
нетривиальные стационарные уравнения КдФ допустимы. Если Р до-
допустим, то алгебра, порожденная L и Р, содержит операторы
порядка, взаимно простого с п. Поэтому теорему F.10) можно
сформулировать следующим образом: любое решение {т} до-
допустимого стационарного уравнения КдФ имеет вид, который,
-описан в теореме F.10).
Теорема F.10) будет следовать из E.18), если мы покажем,
что любой оператор L, удовлетворяющий ее условию, имеет вид
Lw для некоторого пространства W e= Gr<»>, возникающего из
.алгебраической кривой. Это хорошо известно и доказано в [Ibj
6. Алгебраические кривые: конструкция Кричевера
41S
[21], но для полноты мы дадим независимое доказательство,.,
следуя подходу Бурхнала и Чаунди [4].
Предложение F.11). Пусть L и Р — коммутирующие диффе-
дифференциальные операторы, удовлетворяющие условиям F.10);»
тогда
(i) существует неприводимый многочлен F <= С [%, ц] вида
F = Ёт 4- -4- п"
такой, что F (L, Р) = 0.
(ii) для всех, кроме конечного числа, точек (А,, ц) аффинной-
кривой Xf с уравнением F(X, ц) = 0 имеется единственная общая
собственная функция щ ^ операторов L и Р, такая, что-
@I
Для любого х <= I щг ц, (х) — мероморфная функция на кри-
кривой Хр.
(ш) Для х<^1 формальные функции Бейкера if>i(%, z) и:
<рР(х, z) для L и Р сходятся при больших z и
M?L О, Я1/я) = МрР Ос, itUm) = Фх> № (дс).
(Заметим, что Х1/п и ц1/т — это локальные параметры на XF-
в бесконечности.)
Мы начнем с доказательства утверждения (i). Для любого
1еС определим Va\ как л-мерное векторное пространство ре-
решений уравнения Lq> = Jup на /. Базис для Vk образуют функции'
Фг(х,К) для 0 sg: i < п, такие, что ф|;)@. Ц = Ь1Г Заметим, что»
для любого ср е V\ и для любого k
где Рб»(Я)— многочлены, не зависящие от ф.
Оператор Р отображает V% в себя. В базисе {ф*} действие
оператора Р на Vx задается п X n-матрицей Рх, полиномиальна
зависящей от X. Пусть Р(к,ц) — характеристический многочлен
det(|x — Р\). Легко видеть, что ^(А,, |х) — это многочлен степени
m по К: фактически можно показать, что (с точностью до знака)
он совпадает с многочленом, полученным, если в описанной кон-
конструкции поменять Р и L местами. Поэтому F имеет вид, опи-
описанный в (i). Рассмотрим дифференциальный оператор F(L,P).
Уравнение F(L, Р)ср =0 имеет по крайней мере одно решение
в каждом Vk- Так как у дифференциального оператора может
быть лишь конечное число решений, отсюда следует, что-.
-416
Группы петель и уравнения типа КдФ
F(L, Р) = 0. Те же рассуждения показывают, что если G(L,P) —
•сомножитель F, то G {L, Р) = 0, поэтому F должен быть степенью
.неприводимого многочлена. Поскольку F содержит одночлены
Хт и |х", то эта степень должна делить т и п. Но т и п взаимно
просты, а значит, многочлен F неприводим.
Докажем теперь утверждение (П). Так как многочлен F не-
неприводим, для всех, кроме конечного числа, значений X есть п
различных решений уравнения F(X, |х) = 0 относительно неиз-
неизвестной |х. Для каждого из этих значений |х имеется единствен-
единственный с точностью до умножения на скаляр собственный вектор
<рх, A для оператора Рх, действующего в V\, с собственным зна-
значением ц. Мы можем выбрать его так, чтобы его координаты
относительно базиса {ф,} в V% (т. е. производные в нуле) были
-бы многочленами по X и ц: например, можно взять в качестве
координат алгебраические дополнения любой строки в матрице
ц — Р\. Значение щ, № в нуле не может быть тождественным ну-
нулем, поскольку собственные векторы i\ должны порождать V\
для почти всех X. Это позволяет нам нормализовать фх, п усло-
условием Фя,,ц@)= 1 для всех, кроме конечного числа, точек (X, ц).
Производные Ф^рДО) будут рациональными функциями от X и ji.
Чтобы убедиться в мероморфности функции щ, р, на ХР, пред-
представим ее в виде
6. Алгебраические кривые: конструкция Кричевера
417
(Заметим, что ц>ц(х, X) — целая функция от X.)
Для доказательства (ш) заметим, что не только LiJjl =
(по определению z), но и PiSpL = |x(z)%, где |x(z) — формальный
-степенной ряд, лежащий в поле C((z~1)) формальных рядов
N
вида ^ щг1. Чтобы убедиться в этом, выберем К, как в § 4,
« ——оо
так, чтобы K~lLK = Dn. Тогда К~{РК коммутирует с Dn, а зна-
значит, является формальным псевдодифференциальным операто-
оператором n{D) с постоянными коэффициентами, т. е. РК:= Kii(D).
.Применяя обе части этого равенства к ехг, получаем P^l =
=\i.(z)\lpL, так как Кехг = i|u.
Теперь мы принимаем следующую точку зрения. Можно счи-
считать, что операторы L и Р действуют на векторном пространстве
струй функций от л; в нуле: другими словами, мы заменяем функ-
функции ф последовательностями {ф(/)(О)}/>о- Рассмотрим вектор-
векторное пространство / формальных струй, компоненты ф^>@) кото-
которых лежат в поле СЦг-1)) формальных рядов. Оператор
L — zn действует на / и имеет n-мерное ядро Jl, порожденное
струями функций ф;(х, zn), о которых уже говорилось. (Напом-
шим, что ф*/* @, 2я) является многочленом по z). Формальные
ряды вида exz X akix)z~k определяют струи в /, и струя if>L ле-
лежит в JL. Далее, Р сохраняет JL и P^L = \i{z)^L. С другой сто-
стороны, мы уже знаем, что единственными собственными векто-
векторами оператора Р в пространстве Jl, нормализованными в нуле,
являются струи фа,, ц, где X = z", а ц пробегает п корней урав-
уравнения F{X, |л) = 0, которые различны при больших X. Это дока-
доказывает, что ^(О, ,г) = ф(г„) @) для некоторой точки (zn, n(z))e
elf, а значит, что ряды ^(О, z) и \x,{z) сходятся при боль-
больших Z.
В предыдущем рассуждении роль нуля может играть лю-
<бая точка х0 е /. Поэтому, если формальная функция Бейкера
вычисляется в точке xq, to
*?!* (^0, 2) = <)^ (ХО) в*^ п (хо)-\
(Сомножитель e^zcpx ^(^o) справа возникает потому, что tyLyXa
нормализована условием tyLtX<l(x0> z) = е**2.) Пространство Wм е
•е Gr(ra), определенное по if»L Xo, связано с пространством W,
построенным по ^fL, следующим образом:
*VU(*)<
~lw.
Но е~*°гфгп уцг)(х0) не равно нулю при больших z и поэтому (по-
¦сле растяжения, если это понадобится) определяет элемент у
группы Г_. Значит, WXa и W определяют один и тот же меро-
люрфный дифференциальный оператор. Струи его коэффициен-
коэффициентов совпадают со струями оператора L в х0 и в нуле соответст-
соответственно. Это доказывает (Hi).
Замечание F.12). Мы доказали, что L возникает, согласно
конструкции Кричевера, из кривой Xf и пучка без кручения 3?,
пространство сечений которого над .ХУХ'{оо}—это простран-
пространство Wfin, порожденное Ф^*@). В частности, это доказывает
F.10). Несложно показать, что слой пучка 9? в любой точке
(X, |х) канонически изоморфен общему (X, [l)-собственному под-
подпространству операторов L и Р.
Замечание F.13). Мы верим, что теорема F.10) «хорошо из-
известна» (кроме, возможно, утверждения о порядке полюсов), но,
как нам кажется, наше доказательство является первым полным
•опубликованным доказательством. Кричевер [10] отмечает, что
«большинство» решений (т. е. решения, возникающие из неосо-
^бых кривых X) стационарных уравнений КдФ глобально меро-
27 Зак. 230
418
Группы петель н уравнения типа КдФ
морфны; наше доказательство в сущности такое же, за исклю-
исключением того, что он использует тэта-функции кривой X, а мы ис-
используем более общий объект—т-функцию (см. § 9 далее). Воз-
Возможно, было бы интересно дать прямое алгебро-геометрическое-
доказательство этой теоремы, например с помощью подходящих;
«тэта-функций» для особых кривых. Однако мы отметим, что не-
необходимо определять тэта-функции не просто для любой особой:
кривой, но для каждой орбиты действия якобиана этой кривой;
на пространстве максимальных пучков без кручения.
7. Рациональные кривые
Мы будем использовать в этом параграфе следующее под-
подпространство Gri (Я) с: Gr (Я). Оно состоит из всех W <= Gr, та-
таких, что
рН+ cr W с q~1H+
для некоторых многочленов р и q от z. Заметим, что достаточно
пользоваться лишь такими р и q, корни которых лежат в обла-
области \z\ < 1, так как для |с| > 1 умножение на z— с является'
обратимым оператором Н+-+Н+.
Легко убедиться, что для W e Gr(n) следующие условия эк-
эквивалентны (ср. [17, предложение (8.3.3)]):
(i) W = Wy для некоторой рациональной петли у (т. е. для:
такой петли, каждый матричный элемент которой — рациональ-
рациональная функция от z без полюсов на S1).
(И) Существуют такие многочлены р и q от z, что
7. Рациональные кривые
419
(iii) W соизмеримо с Я+, т. е. W П Я+ имеет конечную кораз-
коразмерность в Н+ и в W.
Для W e Gr(H) из условия (iii) не следует (ii). Вот примера
Рассмотрим в качестве W ядро отображения F: Я+-КС, кото-
которое определено следующим образом:
Очевидно, не существует такого многочлена Р, что рН+ с: W..
(В [17, разд. 7.2] для определения Grj(#) использовалось свой-
свойство (iii).)
Удобство нашего определения подтверждается следующим
образом:
Предложение G.1). Конструкция, описанная в предыдущем
параграфе, устанавливает взаимно однозначное соответствие ме-
.жду подпространствами IFeGri и классами изоморфизма дан-
данных (X, 2?, х™, г, ф), как в F.2), таких, что
(i) X — рациональная кривая,
(ii) z— рациональный параметр на X,
(iii) ф продолжается до алгебраической тривиализации пуч-
пучка !? на некотором открытом по Зарисскому множестве, содер-
лкащем диск Хх,
Прежде чем приступать к доказательству, мы поясним тер-
термин «рациональный параметр». Рациональность кривой X озна-
означает, что имеется алгебраическое отображение / сферы Римана
в X, которое является изоморфизмом вне прообраза особого мно-
множества в X. Можно выбрать / так, что /(со) = хаа. Рациональ-
Рациональным параметром z на X мы называем обратное отображение к
любому из описанных выше отображений f в некоторой окрест-
окрестности точки Хсо; отметим, что эта окрестность фактически рас-
расширяется до всей неособой части X. Заметим также, что рацио-
рациональный параметр единствен с точностью до линейных замен
z>—>az-\-b, ибо любые два рациональных параметра отличают-
отличаются на бирациональный автоморфизм сферы Римана, который,
конечно, является обычным автоморфизмом. Кроме того, этот ав-
автоморфизм должен сохранять со, а значит, он линеен.
Доказательство G.1). (i) Пусть feGrb a p и q — соответ-
соответствующие многочлены. Пусть Wfln к Aw обозначает то же, что и
в доказательстве предложения F.2). Очевидно, что
G.2>
pC[z]czWn»czq-lC[z],
¦откуда легко следует, что pq'D±[z] c:Avcz (pq)~xCi[z]. Так как
-Aw — кольцо, фактически
pqC [z]
С [г].
Поэтому имеется изоморфизм между полями частных колец
¦С [z] и Aw, т. е. кривая Хсч {хх} = Spec Aw рациональна иг —
рациональный параметр на X. Из G.2) ясно, что Л^-модуль
Wfln и, следовательно, соответствующий пучок ? на X имеют
ранг 1. Осталось доказать (iii). Пусть zQ e С'; тогда вычисление
значения в z0 дает отображение e(zo): Wfin-KCi, которое опреде-
определено, если z0 не является корнем многочлена q, и является нену-
ненулевым, если zo — не корень многочлена р. Пусть Ро — точка в X,
соответствующая Zo, и пусть исЛц? — соответствующий макси-
максимальный идеал. Отображение e(zo) определяет отображение
слоя WUn/taWiin пучка 3? в точке Ро в ,С, которое является изо-
изоморфизмом, если Zo удовлетворяет двум перечисленным выше
условиям и если Ро лежит в открытом множестве из X, на кото-
27*
420
Группы петель и уравнения типа КдФ
ром 3? является линейным расслоением. Доказательство того,
что W дает набор алгебро-геометрических данных, на этом за-
заканчивается.
(ii) Обратно, пусть нам заданы (X, 3?, х«., z, ф), удовлетво-
удовлетворяющие описанным выше условиям. Нам нужно проверить, что
W лежит в Grb Пусть ВсХ — конечный набор точек, где ф не
определено. Если потребуется, мы увеличим В, включив особые
точки кривой X. Пусть {zi, ..., zr) cr.C; — это прообраз В отно-
относительно отображения f: S2^-X, обратное к которому — это па-
параметр z. Тогда мы можем отождествить сечения пучка 3? над
X \ В с сечениями тривиализованного линейного расслоения над
52Х Bь ..., zr}. Поэтому WUn — пространство сечений пучка 3?
над Х\ {Хсо} —отождествляется с некоторым подпространством
в F{z\, ..., zr; —vi, ..., —vr) рациональных функций от 2 с
предписанными порядками полюсов vi в точках zi. Точнее,
Wiln — это подпространство в F{zi, —vi), состоящее из всех
функций, которые удовлетворяют некоторому конечному числу
линейных условий на коэффициенты их разложений Лорана в
точках Zi. Эти условия заведомо выполняются для всех много-
многочленов с нулями достаточно высоких порядков |хг в zi. Поэтому,
если положить p = TL(z — г^1 и q = Ц (z — zt-)Vi, то
рС [z] cz Wiin с q-'С [г].
Переходя к ?2-замыканиям, получаем, что pH+czW a q~1H+,
как и требовалось.
Напомним, что Gr0 обозначает подпространство в Grb со-
состоящее из таких W, что многочлены р и q можно считать сте-
степенями z (см. [17, разд. 7.2]). Буквально повторяя уже прове-
проведенное доказательство, мы получаем
Предложение G.3). Конструкция, описанная в § 6, дает вза-
взаимно однозначное соответствие между подпространствами W е
е Gro и классами изоморфизма данных (X, Хоо, z, 3?, ф), как в
F.2), таких, что
(i) X — рациональная кривая лишь с одной неприводимой
особой точкой,
(ii) 2 — рациональный параметр на X, такой, что особая
точка х0 соответствует 2 = 0,
(ш) ф продолжается до алгебраической тривиализации пуч-
пучка 3? над всей неособой частью Х\ {%«,} кривой X.
Термин «неприводимая» в (i) означает, что после разреше-
разрешения особенности мы все равно получим одну точку, т. е. факти-
фактически z задает биекцию между X и сферой Римана. Заметим, что
7. Рациональные кривые
421
z и ф теперь определены однозначно с точностью до умножения
на ненулевые константы. Тот факт, что ф единственна, означает,
что соответствие между пространствами из Gr0 и решениями КП
взаимно однозначно. Действительно, легко проверить непосред-
непосредственно, что если W е Gr0 и 7 — функция вида 1 + cxz~l + ...,
то yW лежит в Gr0 только при у = 1.
Подпространства W e Gr0 дают много простых примеров
максимальных пучков без кручения, которые не являются ли-
линейными расслоениями. Положим, например, W = Hs, где 5 с
a Z — множество виртуальной размерности нуль. Тогда W е=
е Gr0, и мы утверждаем, что соответствующий максимальный
пучок без кручения редко оказывается линейным расслоением.
Набор {zs}s!=s образует базис для Wtia как векторного про-
пространства. Пусть R — полугруппа строго положительных чисел
г, для которых S -\- r cz S. Тогда Aw — это алгебра, порожден-
порожденная 1 и {zr}r(=R> а максимальный идеал га в Aw, соответствую-
соответствующий особой точке 2 = 0, порожден {zr}rl=R. Поэтому размерность
слоя Wfin/m.WUn пучка 5? в особой точке равна числу элементов
bS\S', где
5/= U (S + r).
Если это число не равно единице, максимальный пучок без кру-
кручения 3? не является линейным расслоением. Простейший при-
пример такого S — это S == {—1, 0, 2, 3, ...}; тогда R={3, 4,
5, ...}, a S' = {2, 3, ...}. В этом случае размерность особого
слоя пучка 3? равна 2. Заметим, что, так как алгебра Aw— С [z3,
z4, z5] не порождается двумя образующими, особенность в нуле
не плоская; это подтверждает наше наблюдение в § 6 о том, что
в плоском случае любой максимальный пучок без кручения яв-
является линейным расслоением.
Случай п — 2
Вообще говоря, классы изоморфизма данных, перечисленных
в предложении G.3), трудно классифицировать. Однако, если
ограничиться случаем пространства Gro , происходит много уп-
упрощений; возможно, наиболее важное из них состоит в том, что
орбиты группы Г+ в Gro совпадают с клетками его клеточного
разбиения (см. [17, разд. 7.4]). Мы кратко опишем эту ситуа-
ситуацию, оставляя большинство легких доказательств читателю. Для
простоты все последующее относится лишь к компоненте, состоя-
состоящей из пространств нулевой виртуальной размерности.
Напомним, что клетки клеточного разбиения пространства
Gr(o2) нумеруются множествами Se?, такими, что S-\-2czS
422
Группы петель и уравнения типа КдФ
(ср. [17, разд. 8.4]). Легко убедиться, что все 5 имеют вид
Sk = {-k, -k + 2, -k + 4, ..., k, k+l, k + % ...}.
Мы обозначаем символом Ск соответствующую клетку в Gr@2;
ее комплексная размерность равна k, и состоит она из всех W
виртуальной размерности нуль, таких, что zkH+cz Wczz~kH+ и
k — минимальное число, обладающее этим свойством. Легко ви-
видеть непосредственно, что такие W образуют ^-мерную клетку:
такое подпространство W содержит элемент w вида
и {w, z2w, ..., z2k~2w] образуют базис в W/zkH+. Поэтому w
однозначно определяет W. Обратное неверно; впрочем, коэффи-
коэффициенты ос, можно различными способами нормализовать. Мы вы-
выберем следующий:
Лемма <7.4). Любое пространство W^Ck содержит единст-
единственный элемент w вида
w
= г~к exp {axz + а2г3
ak
z2
k~l)
Соответствие W -«-*- (аь ..., а*) дает явный изоморфизм
клетки Ck и C,ft; центр клетки (соответствующий началу коор-
координат в wC,ft) образует подпространство Hsk, которое мы будем
обозначать просто Hk. Из леммы G.4) ясно, что подгруппа
{exp(tz2r~1)} в Г+ действует на Ск сдвигом r-й координаты аг.
В частности, мы видим, что С*, совпадает с орбитой элемента Hk
относительно Г+.
Интересно сравнить это описание орбит действия Г+ с неяв-
неявным алгебро-геометрическим описанием из предложения G.3).
Вот основные моменты. Во-первых, если W = Hk, то Aw = tb [z2,
z2k+{]; обозначим это кольцо просто Ак. Пусть Z = Spec/lftU
U {Хм} — соответствующая полная кривая и Jk — якобиан кри-
кривой Хк (параметризующий линейные расслоения степени нуль).
Если, пользуясь точкой Хоо, отождествить линейные расслоения
различных степеней, то пучок без кручения на Хк, соответствую-
соответствующий Hk, оказывается нулевым элементом в /*; в самом деле,
ясно, что #йш = z~kAk. Значит, орбита элемента Hk под дейст-
действием Г+, т. е. клетка Ck, отождествляется с якобианом /*. Тот
факт, что клетки Ск покрывают Gro2), показывает, что из Fg
е Grii2) возникают лишь кривые Хк и что всякий максимальный
пучок без кручения на Хк является линейным расслоением. Оба
этих факта можно усмотреть непосредственно: легко показать,
что любое подкольцо в JC. [z], содержащее z2 и некоторую нечет-
нечетную степень z, должно совпадать с одним из колец Ak и, как мы
7. Рациональные кривые
423
отмечали ранее, утверждение о пучках справедливо для любой
кривой с плоскими особенностями (простое доказательство, со-
содержащее наш случай (вырожденная гиперэллиптическая кри-
кривая X), можно найти в [8]; фактически это утверждение об осо-
особенностях типа уп — хт неявно содержится в [4(с)]). Для непо-
непосредственной проверки того, что /«•— это ^-мерная клетка, мы
можем использовать экспоненциальную точную последователь-
последовательность для пучков: так как Я1 (X*, Z) =0, получается изомор-
изоморфизм Нх (Хк, О) ^ Jk- Размерность k векторного пространства
Я1 (Хк, О) можно вычислить как число «пробелов» в кольце Ак,
т. е. число положительных целых г, таких, что Ак не содержит
многочлена порядка г. Алгебры Ak инвариантны относительно
21—>cz, что влечет за собой изоморфизм пар (Хк, cz) для раз-
различных с ф 0; поэтому скейлинговые преобразования можно рас-
рассматривать как потоки на якобианах /&. В самом деле, из лем-
леммы G.4) мы видим, что скейлинговый поток на клетке Ск имеет
вид
Наконец, интересно рассмотреть замыкание Ск клетки С*: это
объединение всех клеток СТ при г ^ k. С другой стороны, Ск со-
состоит из всех W e Gro2), таких, что AkW cz W. Значит, каждая
точка из Ск определяет пучок без кручения (вообще говоря, не
максимальный) на Xk; фактически получается биективное ото-
отображение Ck—t-Mk, где Мк — пространство модулей пучков без
кручения ранга 1 с фиксированной эйлеровой характеристикой
на Xk (см. [7]). Замкнутая клетка Ск будет алгебраическим про-
пространством, так как она является алгебраическим подмножест-
подмножеством (заданным уравнением z2W czW) в грассманиане ^-мерных
подпространств в z~kH+/zkH+, и совершенно ясно, что описанная
конструкция дает алгебраическое семейство пучков на Xk; от-
отсюда следует, что Ck-*-Mk — алгебраическое отображение. К со-
сожалению, мы не можем утверждать, что это изоморфизм алгеб-
алгебраических пространств: например, С\ — одномерное проективное
пространство (значит, неособое), a Mi изоморфно кривой Хи у
которой есть особая точка. (Мы не знаем точной ссылки на этот
факт, однако Делинь и Экедал любезно указали нам, что это
легко_следует из B.6.1) в [24].) Мы надеемся, что в общем слу-
случае Сй является нормализацией Мк. Включение Ak cz Ак-\ дает
отображение Xk-i-*-Xk, и, значит (беря прямой образ пучков),
отобр_ажение_М/г_. -*-Mk. Это отображение соответствует включе-
включению Ck-i czCk n отождествляет Mk-\ с границей пространства
Мк,т. е. с пространством пучков без кручения на Х&, которые не
являются линейными расслоениями.
424
Группы петель и уравнения типа КдФ
Решения уравнений КдФ, соответствующие точкам Gro', по-
подробно изучались (см. [1], [2]): клетка Ск соответствует реше-
решениям иерархии КдФ, возникающим из начального условия
и(х, О, 0, ...) = -k(k+l)/x2.
(Это начальное значение соответствует пространству Hk, как
станет ясно в § 8, когда мы опишем т-функции пространств Hs-)
Известно, что рациональные решения иерархии КдФ, обращаю-
обращающиеся в нуль при х = оо, исчерпываются уже описанными.
8. Функции Шура и т-функция
Мы уже приводили явные формулы C.4) и C.5) для т-функ-
т-функции как бесконечного определителя. Для некоторых целей по-
полезно сделать эту формулу более явной, раскладывая эти детер-
детерминанты специальным образом; результат следующий: х-функ-
ция может быть записана как бесконечная линейная комбина-
комбинация функций Шура.
Мы начнем с обзора основных определений, касающихся раз-
разбиений и функций Шура (более подробное изложение есть, на-
например, в [13]; ср. [17, разд. 10.3]). Под разбиением мы пони-
понимаем бесконечную последовательность v= (v0, vb v2, ...) неот-
неотрицательных целых чисел, таких, что v0 ^ Vi ^ v2 ^ . . . и лишь
конечное число v; отлично от нуля. Число I v | = 2V*называется
весом v. Любому разбиению v соответствует функция Шура Fv.
Это многочлен с целыми коэффициентами от переменных (Ль Л2,
Л3, ...), однородный веса |v[, если вес Л« равен i, который мож-
можно задать как определитель
8. Функции Шура н т-функция
425
Fv (h) = det
@ < i, j < r - 1),
где r — любое достаточно большое число, такое, что vt = 0 для
i ^ г. Здесь мы считаем, что Ло = 1 и Л,- = 0 для i < 0; ясно, что
значение определителя не зависит от выбора г. Одна из причин,
по которой важны функции Шура, состоит в том, что они яв-
являются характерами общих линейных групп GLN(C): каждому
разбиению v соответствует неприводимое представление группы
GLn(C) (для достаточно большого N) и его характер Xv равен
%V(A) =Fv(h), где
1 + ? M' = (det (l-Az)}~1,
i
т. е. hi — это «полные однородные симметрические функции» от
собственных значений матрицы А. В нашем контексте, впрочем,
функции Шура возникают совершенно формальным образом, и
представления групп GLN(_C), кажется, для нас не существенны.
Пусть З'о обозначает множество всех подмножеств S czZ
виртуальной мощности нуль (см. [17, разд. 7.1]), т. е. 9>а состоит
из всех строго возрастающих последовательностей 5 = {s0, su
s2, .. .} целых чисел, таких, что Si = i для всех i, кроме конеч-
конечного числа.
Лемма (8.1). Имеется взаимно однозначное соответствие ме-
между элементами из 9*0 и разбиениями, которое задается отобра-
отображением S ¦«->- v, vi = i — Si.
Доказательство тривиально. Заметим, что вес |v| разбиения
v равен длине /E) соответствующего S, т. е. коразмерности
страта 2S в Gr. Далее мы будем писать Fs, обозначая этим
функцию Шура для разбиения, соответствующего элементу 5 е
Напомним ([17, разд. 7.1]), что #seGr — это замкнутое
подпространство в И, порожденное {zs}seS.
'0; тогда х-функ-
Предложение (8.2). Пусть W = Hs, где
ция для W равна
где мы положили
g~l =
Доказательство. Мы используем формулу C.4). В качестве
допустимого базиса для Hs выберем wt=zSi, где 5= {s0, sb
s2, ...}• Отображение (a, b): H^-H+ переводит функцию f в
{fS~ )+, где + обозначает ортогональную проекцию на Н+. Если
g~* разложить описанным выше образом, то матрица отображе-
отображения aw+-\- bw-\ H+^-H+ принимает вид
Поскольку Si = i при больших i, эта матрица является строго
верхней треугольной (т. е. с единицами на главной диагонали),
за исключением конечного блока в верхнем левом углу. Мат-
Матрица отображения а: Н+^-Н+ — строго верхняя треугольная,
откуда следует, что т-функция
det (да+ + a~{bw_) = det a (aw+ + bw_)
равна определителю этого конечного блока. Доказательство
предложения этим заканчивается.
426
Группы петель и уравнения типа КдФ
8. Функции Шура и т-функцня
427
Рассмотрим теперь произвольное подпространство IFeGr
нулевой виртуальной размерности. Фиксируем допустимый базис
w= (w0, wu ...) для W. Как и в § 3, мы представляем w как
Z X N-матрицу в естественном базисе {zk} для Н. Для любого
Se^o обозначим символом ws определитель N X N-матрицы,
образованной строками из w, занумерованными числами s <= S,
т. е. если w} = Yjsouzl, мы полагаем
Мы называем числа {ws} плюккеровыми координатами про-
пространства W; они являются однородными координатами, так как
другой выбор допустимого базиса для W одновременно умно-
умножает все ws на общую ненулевую константу. Как и в конечно-
конечномерном случае, можно считать, что плюккеровы координаты за-
задают вложение грассманиана в проективное пространство (см.
приложение к § 10). Заметим, что ws не равно нулю, в точности
когда W трансверсально Hs'- действительно, ws — это опреде-
определитель ортогональной проекции пространства W на Hs в бази-
базисах {w,} для W и {zs: s <= 5} для Hs. В частности, согласно [17,
G.1.6)], существует такое'5, что ws ф 0; кроме того, легко ви-
видеть, что среди возможных подмножеств 5 имеется единствен-
единственное подмножество минимальной длины. Если выбрать w так,
чтобы w+ имело вид 1 + (оператор конечного ранга), то ws сво-
сводится к конечным определителям. Например, для трансверсаль-
ных W можно добиться того, чтобы хю+ равнялось единице, и,
положив S \ N = Л hJV\5 = B, мы получаем
Предложение (8.3). Для подпространства W х-функция равна
где {ws} -— плюккеровы координаты для W, суммирование идет
по всем S <= 5?о и переменные Ы связаны с g так же, как и в
предложении (8.2).
Доказательство. Заметим сначала, что если v и w — это пг X
Xi-ипХ m-матрицы и п ^ гп, то
det vw = X vsws,
где суммирование идет по всем подмножествам S а {1, 2, ..., п}
из m элементов, vs — определитель из столбцов из у с номерами
из 5, ws — определитель из соответствующих строк w. (Это то-
тождество выражает просто функториальность m-й внешней сте-
степени.) Несложно увидеть, что такое же тождество справедливо
и для произведения бесконечных матриц, занумерованных с по-
помощью N X Z и Z X N вида
К, v_)
w_
где v+—1, w+—1, v- и w- являются операторами со следом,
а 5 пробегает подмножества из Z виртуальной мощности нуль.
Мы применим это к определителю C.4) для х-функции, где
Тогда ws — плюккеровы координаты, определенные выше, а
vs — это х-функция для Hs, которая была вычислена в предло-
предложении (8.2). Это заканчивает доказательство.
Как мы видели в '§ 5, для приложений к дифференциальным
уравнениям следует записывать элементы Г+ в виде
g(z)=exp
(мы пишем tx вместо х, как в § 5). Мы будем писать xw(t), от-
отражая зависимость т-функции от этих «координат» на Г+: чтобы
вычислить xw(t), используя предложения (8.2) или (8.3), необ-
необходимо лишь выразить Ы через tt, пользуясь соотношением
= 1 + Z he1. (8.4)
Каждое tk является однородным многочленом от Л,- степени k,
если считать вес Ы равным L Если рассматривать hi как симме-
симметрические функции собственных значений {А,/} переменной мат-
матрицы, как выше, то tk принимает вид
(это отличается знаком от соглашения, принятого в [5]).
Пример. Пусть 5= {—1, 0, 2, 3, .. .}. Соответствующее раз-
разбиение—это v= A, 1, 0, ...), и функция Шура равна
— t2, и по (8.2) т-функ-
Из (8.4) мы имеем hl = ~tl, h2 =
ция W — Hs равна
428
Группы петель и уравнения типа КдФ
Мы закончим этот раздел некоторыми примерами использо-
использования предложения (8.3). Во-первых, заметим, что у W лишь
конечное число плюккеровых координат отлично от нуля, если
и только если W <= Gr0; значит, из предложения (8.3) следует
Предложение (8.5). Функция xw(t) полиномиально зависит
от (конечного числа) переменных (t{, t2, ...), если и только если
W лежит в Gr0.
В качестве более существенного приложения предложения
(8.3) мы докажем утверждение E.17) о порядке полюсов функ-
функций ai(x, t°). Мы будем все же писать t\ вместо х. Основной
факт в доказательстве — то, что ограничение т-функции на одно-
параметрическую подгруппу ехр(^г) в Г+ не может тождест-
тождественно равняться нулю. Точнее, справедливо
Предложение (8.6). Для любого FsGr
xw(tu О, 0, . ..) = ct\ -f {старшие члены).
где сфО и I — коразмерность страта Gr, содержащего W 1).
В частности, это предложение показывает, что х-функция не
обращается тождественно в нуль, что мы неявно использовали
в §5.
Доказательство (8.6). Мы рассмотрим сначала поведение
функции Шура Fs при t2 = t3 = • • • = 0. Так как Fs — это одно-
однородный многочлен веса /E) по ti, ясно, что
Fs(tu0, 0, ...) = dstllS),
где ds — некоторое рациональное число. Мы утверждаем что оно
не равно нулю. В самом деле, ds равно (—1)'(S), умноженному
на обратное к некоторому положительному целому числу, «про-
«произведению длин крюков» разбиения, ассоциированного с 5 (см.
[13]). Вот явная формула:
П (/
где п — любое достаточно большое число, начиная с которого
+ = п + 1, и где, как обычно, 5 = {s0, su .. .} (см. [13]). Мы
уже отмечали, что для любого feGr имеется единственное 5
минимальной длины /, скажем, такое, что плюккерова коорди-
') Фэй (J. Fay) независимо доказал эквивалентный результат для слу-
случая, когда W возникает из рнмановой поверхности, в работе «On the even-
order vanishing of Jacobian theta functions» (Duke Math. J. 51 A984), 109—
132, thra. A.2)).
9. Тэта-функция и т-функция
429
ната ws не равна нулю; такое 5 — это индекс страта, содержа-
содержащего W, а / — коразмерность этого страта. Это означает, что в
разложении из предложения (8.3) для xw все члены имеют вес
ле меньше /, а член минимального веса кратен функции Шура
Fs с ненулевым коэффициентом. Поэтому наше предложение не-
немедленно следует из предложения (8.3) и из того, что ds?=b.
Доказательство предложения E.17). Заменяя W на gW для
подходящего g <= Г+, мы видим, что достаточно рассмотреть слу-
случай полюсов при t = 0. Мы уже видели в § 5, что функции а{
имеют вид
где Pi — полиномиальный дифференциальный оператор от
{d/dtk}; действительно, Р« — это коэффициент при z~l в фор-
формальном разложении выражения
Из этого непосредственно следует, что оператор Pi понижает
вес на i (где, как обычно, вес tk равен k). Поэтому разложение
числителя Pix в степенной ряд по tt состоит из членов веса не
менее / — I. (Если / — i <_ 0, это утверждение бессодержатель-
бессодержательно.) Поэтому при t2 = tz = ¦ ¦. = 0 минимальная степень ^ в
числителе может быть равной /—I (члены, содержащие мень-
меньшую степень tu должны содержать одно из tk при k ;=г 2, а зна-
значит, равны нулю при *2=... = 0). Предложение E.17) непо-
непосредственно следует теперь из предложения (8.6). Фактически
наши рассуждения показывают также, что порядок полюса лю-
€ой функции не превосходит /').
9. Тэта-функция и т-функция
Пусть X — компактная риманова поверхность рода g и / —
якобиан этой поверхности, т. е. связная компонента единицы
группы Я1 (X; Ох), где О — пучок голоморфных функций на X.
Мы положим U = H1(X; О) и A = Hl(X; Z). Отображение
!>—>е! индуцирует гомоморфизм пучков О в СрХ с ядром 2niZ,
откуда получается точная последовательность
*) Согласно частному сообщению Ломона (G. Laumon), этот порядок
яе превосходит —s0.
430
Группы петель и уравнения типа КдФ
(фактически ядро равно Hl(X; 2niZ), но мы отождествим его
с Hl(X, Z) очевидным образом). Напомним, что U — это g-мер-
ное комплексное пространство, Л — решетка в U и / = U/A —
комплексный тор.
Мы обозначим через В: UXU->~C; единственную эрмитову
форму, мнимая часть которой является R-билинейным расшире-
расширением спаривания ЛХЛ^-Z, которое задается индексом пере-
пересечения. Мы фиксируем некоторую квадратичную форму q:.
Л->- Z/2Z, такую, что
|i)-?(»,)-?(|i) = ^H (mod 2),
где A,-fi — индекс пересечения. Тогда тэта-функция поверхности
X (см. например, [15])—это голоморфная функция 6: ?/-кС„.
определенная как
9(«)= ? (—1)*(Х><
Она характеризуется (с точностью до постоянного множителя)
функциональным уравнением
е (и)
(для ке(/Д
е(и + \) = (-1)д{»еяВ(К'к+2иI2'
= Л). Отсюда легко следует, что
яВ (X, и)
(9.1)
(здесь С = 6@)~1). Мы будем использовать то, что это соотно-
соотношение также характеризует тэта-функцию с точностью до неко-
некоторых простых преобразований. Точнее, справедлива
Лемма (9.2). Пусть 6: U-*-,С. — голоморфная функция, та-
такая, что
' - ~ пВ{\, и)
для всех и<= U, К<= А и для некоторой (ненулевой) константы:
С. Тогда существуют константа А, ?,.-линейное отображение аи
С/-»- С и точка pet/, такие, что
Доказательство. Положим
С8(и)
т
Тогда G(u + k) = G(u)G(k), и ограничение G на Л дает гомо-
гомоморфизм Л-^Сх. Выберем R-линейное отображение у: U^-C,,.
такое, что G(K) = е?<*> для Л, <= Л. Разлагая у на .С-линейную ж
9. Тэта-функция и т-функция
431
С-антилинейную части и используя невырожденность формы В,
мы получаем, что существуют аир, удовлетворяющие заключе-
заключению леммы, такие, что
для 1еЛ. Положив Н(и) = е~а(-иЩ(и-\- р)/0(и), мы получим
Н (и -\- А,) = Н (и) для всех 1еЛ; значит, голоморфная функция
удовлетворяет функциональному уравнению (9.1), как и тэта-
функция, а потому должна получаться из нее умножением на
константу. Лемма доказана.
Замечание (9.3). Очевидно, что константа А однозначно оп-
определяется по 6. Что касается а и р, то они определены не впол-
вполне однозначно, ибо отображение у в доказательстве леммы оп-
определено с точностью до прибавления отображения Yo, такого,
что 7о(Л) cz2niZ. Однако легко проверить, что это изменяет р
лишь на элемент решетки, т. е. образ р в якобиане U/A опреде-
определен однозначно. Выбор р однозначно определяет а.
т-функция — это функция на группе Г+; наша следующая за-
задача— объяснить, каким образом мы можем считать, что и тэта-
функция зависит от элемента из Г+, а потом сравнить их. Мы
фиксируем точку хме1 и локальный параметр z, как в § 6.
¦Отождествим, пользуясь параметром z, X^czXc диском Deo =
— {\z\ s> 1} на сфере Римана. Мы обозначим символом V про-
пространство голоморфных отображений f: Do—*-,C, таких, что
/@) =0. Как и в § 5, мы отождествим V с Г+ с помощью ото-
отображения ft—^-ef и будем рассматривать т-функцию как функ-
функцию на V. Далее, любую функцию feV (как, впрочем, любую
голоморфную функцию на 51) можно рассматривать как коцикл
в когомологиях Чеха Hl(X; °U), где °U={Uo, ?/«>}—открытое
покрытие поверхности X, описанное в доказательстве F.1). Сно-
Снова пользуясь тем, что когомологии поверхности X можно вычис-
вычислять по любому такому покрытию, получаем сюръективный го-
гомоморфизм
VHl(X O) U
Если теперь Ко — ядро этого отображения, мы можем рассма-
рассматривать тэта-функцию как К0-инвариантную функцию на V. Да-
Далее, Ко — это линейное подпространство в V, состоящее из всех
функций AgF, которые можно записать в виде k=ko-\- &«>, где
-feo и &оо голоморфны на ^о и X» соответственно; такое разложе-
разложение единственно, если нормализовать &<*> условием &оо(оо)=0.
Мы обозначим через V векторное пространство всех таких &<*.
432
Группы петель и уравнения типа КдФ
Пусть К— ядро композиции F-»-?/-»-/; оно состоит из всех
функций AeF, таких, что существует разложение (не обяза-
обязательно единственное)
* *, (9.4)
где 4»еР, афй — ненулевая голоморфная функция на Хо. Ясно„
что К/Ко = Л; значит, фактически Ко — это связная компонента
единицы в К, как, собственно, и подобраны обозначения. Далее,
в доказательстве предложения (9.10) мы приведем явное опи-
описание целочисленного класса когомологий, который соответст-
соответствует элементу АеХ.
Теперь мы зафиксируем линейное расслоение 3? степени g на
X и тривиализацию <р, как в § 6; пусть W^ Gr — соответствую-
соответствующее подпространство. Для простоты мы считаем, что W транс-
версально и что функция x = xw: V-KCJ нормализована, как
обычно, условием т@) =1. Обычно т-функция не является /Co-
инвариантной; однако далее мы покажем, что ее простая моди-
модификация приобретает такую инвариантность. Мы определим ото-
отображение a: K-*~V, полагая a (k) =k00, где k^ определено в
(9.4). Очевидно, что а — гомоморфизм, а его ограничение на Ко-
является tC-линейным отображением.
Лемма (9.5). Пусть f e V, k e К; тогда
где S — множитель, связывающий действия Т+ и Г_ на расслое-
расслоении Det* (см. C.6)).
Доказательство. По определению т-функции (см. C.2))
x(f + k) e-f~*o (W) = a (e~f'kW). (9.6)
Из определения W ясно, что q>kW — W, поэтому e~kW = e~aww
для k e К. Используя это вместе с Г_-эквивариантностью а (см.
C.7)), мы получаем
x{k)e-ka{W) = e~a^a{W). (9.7)
Правая часть формулы (9.6) равна
Подставляя (9.7) в эту формулу и сокращая ненулевой вектор»
e-?-ko(W), мы получаем доказательство леммы.
Если применить (9.5) при f и k из К, то получается, что
S(a(k), l)-
), k)e=2niZ
9. Тэта-функция и т-функция
433
при всех k, l^K. Продолжим а до R-линейного отображения
V -*• V, учитывая, что К порождает V над R; получаем единст-
единственность продолжения и соотношение
S(a(f), g)-S(a(g), /)е=Ж (9.8)
для всех f, g <^V. Запишем a = b -j-с, где Ь LG-линейно, а с ан-
тилинейно. Тогда (9.8) дает
S(b(f), g) = S(b(g), f),
S(c(f), g) = S(c(g), f)
для всех /, g e F. Так как а\Ко С-линейно, мы получаем
с(Кй) =0; поэтому с, а значит, и эрмитова форма (/, g) у->
^->S(c(f), g) определены на U — V/Ko. Положим Xi(f) =
= x(f)eS{b(f)-m. Тогда из (9.5) мы получаем
В частности, ограничение Ti на Ко дает гомоморфизм Ко-*О •
Выберем LCI-линейное отображение r\: V-»~C, такое, что xi(k) ==
= еп(*> при АеКо; положим т2(/) =Xi(f)e~1M\ Тогда t2(/ +
-j- k) =x2 (f) для k е Ко- Поэтому Т2 определено на U и удовле-
удовлетворяет уравнению
Т2(Ц + Я) = т2 (и) х2 (Я) eSicW-u) (9.9)
для 1еЛ = К/Ко- Кроме того, справедлив следующий важный
результат:
Предложение (9.10). Для всех k, I e К
S(c(k), t) — S(c(l), k) = 2ni[k]-[l],
где [k], [1] — это классы элементов k, I в группе К/Ко == Л =
Это предложение показывает, что эрмитова форма, встречаю-
встречающаяся в показателе экспоненты в (9.9), в л раз больше формы
В, участвовавшей в определении тэта-функции. Мы можем по-
поэтому применить (9.2) для получения основного результата это-
этого параграфа.
Теорема (9.11). х-функция xw: V->-C связана с тэта-функ-
тэта-функцией следующим образом:
где А — константа, aw: V-*-.C — линейная форма, $w —точка в
U, a f — проекция f на U = V/Ko.
28 Зак. 230
434
Группы петель и уравнения типа КдФ
Замечания, (i) Заметим, что квадратичная форма S(b(f)?
f) /2 зависит только от X и z.
(ii) Согласно (9.3), проекция $w в якобиан / однозначно оп-
определяется по W. Если W движется под действием одного из по-
потоков КП, [W движется по соответствующей прямой линии в /.
(Hi) Похоже, что нет смысла пытаться определить отображе-
отображение а более явно, ибо оно зависит от выбора тривиализации ф
(см. C.8)).
Осталось доказать предложение (9.10). Для этого мы зафик-
зафиксируем стандартный базис А= {оц, f}y}> 1 ^ * ^ g, в Н\(Х; Z)y
т. е. такой базис, что «,¦•{*,¦ = 1, а остальные индексы пересече-
пересечения равны нулю. Теперь мы можем рассматривать риманову по-
поверхность X классическим образом, т. е. как факторпространство
многоугольника У с 4g ребрами, расположенными четверками
(агР(аГ'РГ ) (мы получаем X из У, отождествляя два ребра, со-
соответствующие одному элементу из А). Предположим, что У вы-
выбран так, что диск X» в X соответствует малому диску У» во-
внутренности У; пусть Уо — это дополнение к внутренности У«>.
Если k е К, то k=kQ-\-kaa, гДе ^о и ?оо — функции на Уо и Y«>
соответственно. Далее, е ° = q>k — функция на X; это означает,
что значения k0 в отождествляемых точках двух ребер много-
многоугольника, соответствующих образующей у е А, отличаются на
целое кратное 2ni, скажем, на 2nin(k, у). Когомологический
класс элемента k равен поэтому
[?]= ? n(k, y)y\
где у*—базис в Hl{X; Z) =Л, двойственный к А.
Далее,
S(c(k),
= S{a{k), l)-
После короткого вычисления мы получаем, что это выражение
равно
яг \ kol'v
Так как k0 я k — голоморфные функции на Уо, мы можем заме-
заменить 51 в этом интеграле границей У. Вклад в интеграл типич-
9. Тэта-функция и т-функция
435
ного множества из четырех ребер
«/ fit
„-1
fit
-1
можно свести к интегралу по средней паре (Рг, а^1); мы получаем
n(k, р() <\l'0 + n(k, a.) J/o =
= 2га {-п (k, p.) n (I, at) + п (k, at) n (I, рг)}.
Суммируя по i и пользуясь тем, что матрица пересечений в ба-
базисе {ai; $*Л совпадает с матрицей пересечений в базисе {аг,
Р«-}, мы видим, что наш интеграл, как и требовалось, равен
[l]
Функция Бейкера и тэта-функция
Если сопоставить теорему (9.11) и предложение E.14), по-
подучается формула для функции Бейкера (для подпространства
W, происходящего из римановой поверхности) в терминах тэта-
функций. Как мы упоминали во введении, такая формула хо-
хорошо известна в русской литературе (см., например, [10], [11],
[36]). Однако, возможно, не вполне очевидно, что японская фор-
формула E.14) совпадает с русской; по предложению рецензента
мы закончим этот параграф детальным сравнением этих формул.
Русская формула использует классическую тэта-функцию Ри-
мана, определение которой зависит от выбора канонического ба-
базиса {а,, р,-} в когомологиях, как в доказательстве предложения
(9.10); мы предполагаем в дальнейшем, что такой базис зафикси-
зафиксирован. Классическая тэта-функция — это функция на двойствен-
двойственном пространстве R* к пространству R, состоящему из глобаль-
глобальных голоморфных дифференциалов на X; обычно R* отождест-
отождествляется с (С г с помощью базиса
(в
й.
С другой стороны, имеется естественное спаривание
где Q — пучок голоморфных дифференциалов на X, что позво-
позволяет канонически отождествить R* с пространством U = Н1 (X;
О), на котором была определена тэта-функция. В дальнейшем
мы будем использовать эти отождествления U з^ R* s .?)/ без до-
28*
436
Группы петель и уравнения типа КдФ
полнительных комментариев. Выбор базиса {ai, f}2} в гомологиях
дает естественный выбор формы q: A-»-Z/2Z, необходимый при
нашем определении тэта-функции, а именно, мы можем считать,
что q равно нулю на элементах базиса вА^Я1 (X; Z), двой-
двойственного к {ai, [}(•}. Легко проверить, что наша тэта-функция от-
отличается от классической на множитель expQ(«, и), где Q —
симметрическая R-билинейная форма на U. Поэтому, если мы
пользуемся классической тэта-функцией, теорема (9.11) остает-
остается справедливой, только изменится квадратичная форма. Начи-
Начиная с этого места, будем через 8 обозначать классическую тэта-
функцию.
Теперь мы готовы объяснить, как русская формула связы-
связывает функцию Бейкера с тэта-функцией. Мы следуем обзору
[36], к которому и отсылаем читателя, интересующегося допол-
дополнительными деталями. Следуя Кричеверу, фиксируем неспе-
неспециальный положительный дивизор 2) — {Pi, ..., Ps} на X; не
теряя общности (см. F.5)), можно считать, что точки Pi лежат
вне диска D&, с X. Мы хотим выписать функцию Бейкера трг,
где W — замыкание пространства аналитических функций на S\
продолжающихся до мероморфных функций на Хо, которые ре-
регулярны везде, кроме, возможно, точек Pi, где допускаются про-
простые полюсы. Мы фиксируем базисную точку Ро Ф Хх, в X и обо-
обозначим через A: X—>-R*^.Cs соответствующее отображение
Абеля:
р
Л(Р)(со)=\© (Р^Х, сое=Я).
Отображение А определено лишь по модулю решетки периодов
Л (из-за произвола в выборе пути интегрирования). Пусть Се
eiC,g—постоянный вектор, такой, что функция (многознач-
(многозначная. — Перев.) 9(Л(р) — С) (на X) обращается в нуль в точно-
точности при Р = Pi, ..., Pg. Для п=1, 2, 3, ... определим <оп как
дифференциал второго рода с нулевыми а-периодами, регуляр-
регулярный везде, кроме х*,, где он имеет главную часть d(zn). Пусть
Wnе,CS — вектор р-периодов ©„. Рассмотрим выражение
ехр
е(л
в(А(Р)-С)
(9.12)
Путь интегрирования в показателе экспоненты тот же, что и для
отображения Абеля; легко проверить (см. [36, гл. 3, § 1]), что
(9.12)—корректно определенная функция точки Pel Оче-
Очевидно, что при ограничении на окружность Sl cz X функция
9. Тэта-функция и т-функция
437
(9.12) принадлежит W при всех t и имеет вид
Чтобы получить функцию Бейкера, осталось разделить (9.12)
на ao(t), что приводит к окончательной формуле
= ехр | ]Г tt ^ <вг \ ехр {—^Ью} X
6 (А (Р) + X UWt - С) 9 (А (х,) - С)
Х
Х Q(A(P)-C)Q(A(xoo)+'?tiWi-C) '
где константы Ь;о определяются из разложения
(9.13)
Ра О
При Z, бЛИЗКИХ К Хоо.
Формула (9.13) является глобальной (т. е. Р может пробе-
¦ гать всю риманову поверхность X). Ограничимся теперь точками
Р из ?>оо, и будем писать z вместо Р. Мы утверждаем, что (9.13)
можно отождествить с формулой, получаемой подстановкой
(9.11) в E.14). Заметим сначала, что частное
9(Л(х0О)-с)/е(Л(г)-с)
в (9.13) является функцией вида I-\-CiZ~l-\-...; она происхо-
происходит из неинтересного линейного члена в формуле из теоремы
(9.11). Экспоненциальные члены в (9.13) можно переписать как
и второй сомножитель вносит вклад в (9.13), происходящий из
квадратичной формы в (9.11). Чтобы закончить нашу проверку
согласованности формул E.14) и (9.13), осталось проверить две
вещи: (i) что векторы Wi^.Ce, соответствующие различным U,
согласуются с векторами в (9.11) (полученными при рассмотре-
рассмотрении г' как коциклов из Я1 (л; О)); (И) что разность аргументов
двух оставшихся в (9.13) тэта-функций согласована с <7С в
E.14). Для проверки (i) мы используем то, что каноническое
спаривание ?/X#-*-LCi можно получить из спаривания УХ
X R —КС, которое определяется формулой
438
Группы петель и уравнения типа КдФ
и нужное соотношение сводится теперь к известному факту (см.,
например, [36, B.1.21)]). Относительно (И) заметим, что инте-
интересующая нас разность равна
где Лоо — это отображение Абеля, связанное с базисной точкой
Хоо. Поэтому нам необходим следующий результат.
Лемма (9.14). Пусть Г+ -»- U-> / = U/A— это отображение,
которое использовалось уже в этом разделе (оно получается, ес-
если элемент Г+ рассматривать как функцию переклейки и для ли-
линейного расслоения на X). Тогда для |?| > 1 образ q% относи-
относительно этого отображения равен Л<„ (?).
Доказательство. Мы запишем q$ в виде
)
Два сомножителя в этом выражении — это функции переклейки
для линейных расслоений, соответствующих дивизорам [?] и
[—Хоо]. Поэтому образ </; в якобиане равен [%] — [хоо], т. е. Л<»(?)'.
Наконец, мы отметим, что можно обратить некоторые из
приведенных рассуждений и доказать теорему (9.11) сравнением
формул E.14) и (9.13). Эти соображения отмечены в [5] и фак-
фактически являются там единственно возможными рассуждениями,
ибо в [5] т-функция определяется в терминах функции Бейкера
формулой E.14). В нашем контексте имеется независимое опре-
определение тг-функции, и нам казалось весьма уместным привести
прямое доказательство теоремы (9.11), не использующее функ-
функцию Бейкера.
10. Приложение: теория представлений групп петель
В нашей работе мы не касались теории представлений груп-
группы LGLn(C), в то время как в японских работах [5] эта тео-
теория положена в основу всех рассмотрений. Это различие скорее
кажущееся, чем действительное, и мы это сейчас объясним. Мы
лишь опишем ситуацию, опуская все обоснования, которые ча-
частично можно найти в [17, гл. 10, 12].
В этом параграфе будет удобно считать, что Gr обозначает
«гильбертов — шмидтов» грассманиан Н, состоящий из замкну-
замкнутых подпространств W в Н, таких, что проекция W^>-H+ — фред-
гольмов оператор, а проекция W-*-H- — оператор Гильберта —
Шмидта. Эквивалентно можно считать, что Gr состоит из графи-
графиков всех операторов Гильберта — Шмидта Hs —> Hs ¦ Очевидно,
что Gr является гильбертовым многообразием. Мы будем обо-
обозначать через LGLn (С) группу гладких петель.
10. Приложение: теория представлений групп петель
439
Как мы видели (см. [17, разд. 7.7]), центральное расширение
группы LGLn(C) с помощью Сх действует на голоморфном ли-
линейном расслоении Detx на Gr. Это означает, что LGLn(>C)
проективно действует на пространстве Г (Det*) голоморфных се-
сечений расслоения Det*; Г (Det*) с топологией равномерной схо-
сходимости на компактах превращается в топологическое вектор-
векторное пространство. Это так называемое «базисное» неприводимое
проективное представление группы LGLn(C).
Для любого идексирующего множества Se^ «плюккерова
координата» W<—>ws (введенная в § 8) является элементом из
Г (Det*). Мы обозначаем ее ns. Фактически ns порождают в
Г (Det* ) плотное подпространство; имеется естественное гильбер-
гильбертово пространство Ж в Г (Det*) — грубо говоря, это «квадратич-
«квадратично интегрируемые» голоморфные сечения; ns образуют в нем
ортонормированный базис. Подгруппа LUn в LGLn(C) дейст-
действует на Ж проективными унитарными преобразованиями.
Геометрически важность пространства 36 состоит в том, что
имеется естественное антиголоморфное вложение
Q: (лт
бесконечномерного комплексного многообразия Gr в проектив-
проективное пространство, связанное с 36. Элементу W из Gr соответ-
соответствует прямая в Ж, проходящая через сечение Qw расслоения
Det*, которое определяется соотношением
Q(') dt{ %
где w' — допустимый базис в W. (Здесь <а>, и/> обозначает мат-
матрицу, (i, j)-& элемент которой равен (wt, w'^\ мы считаем сече-
сечение Det* 'Э'-эквивариантным отображением 5*->- С.) Вложение
Q эквивариантно относительно LUn.
Вектор в 36, соответствующий #+ со стандартным выбором
базиса, т. е. каноническое сечение сг расслоения Det* (ср. § 3),
называется вакуумным вектором Q0-
Если считать, что задано представление Ж, а не многооб-
многообразие Gr, то рассуждения § 3 и 5 легко переводятся на новый
язык. Основная формула, определение т-функции, приобретает
вид
() (Q
где g е Г+, aw — допустимый базис в W. Это определение из
работ [5], хотя их авторы, видимо, имели в виду группу поли-
полиномиальных петель, соответствующую нашему пространству Gro.
Еще одна реализация Ж связана с внешней алгеброй Л(#+Ф
Ф Я_) и «фермионными полями», действующими в Ж. Фермион-
440
Группы петель и уравнения типа КдФ
ные поля— это операторнозначные распределения 9i-^-qp(9) на
окружности, удовлетворяющие антикоммутационным соотноше-
соотношениям
[Ф* (8,), <р* (82)] = [Ф (9,), Ф (82)]+ = 0,
), ф*(82)]+=б(81-82).
Отображение
переводит
2П
где
Весьма сингулярный «вертексный оператор» фF) строится
ло действию Г = Z.C х на Зё как предел при р —»-1 + действия
, где ? — рет, а
. = 1 - trh
(Ср. [17, гл. 13].)
Важную формулу E.15) для единственного элемента из W {)
П A + Н-) можно переписать в виде
4V@, е*) = (Оо, ф(9)О.).
Это эквивалентно E.15), так как
<Qo, Ф(9H.>=11т<0о,
= Нт (р'Ц,,
= lim<Q0» 4i
ЛИТЕРАТУРА
!. Airault Н., МсКеап Н. P., Moser J. Rational and elliptic solutions of the
Korteweg — de Vries equation and a related many-body prbolem. — Comm.
Pure. Appl. Math., 30 A977), 95—148.
2. Adler M., Moser J. On a class of polynomials connected with the Korte-
Korteweg—de Vries equation. — Comm. Math. Phys., 61 A978), 1—30.
3. Baker H. F. Note on the foregoing paper «Commutative ordinary differen-
differential operators», by Burchnall J. L. and Chaundy T. W. — Proc. Royal Soc.
London, (A) 118 A928), 584—593.
4. Burchnall J. L, Chaundy T. W. a) Commutative ordinary differential oper-
operators. — Proc. London Math. Soc, 21 A923), 420—440; b) Commutative
ordinary differential operators.— Proc. Royal Soc. London, (A) 118 A928),
Литература
441
557—583; с) Commutative ordinary differential operators II. The identity
P" = Q«. — Proc. Royal Soc. London, (A) 134 A932), 471—485.
5. Date E., Jimbo M., Kashiwara M., Miwa T. Transformation groups for so-
liton equations. I. — Proc. Japan Acad., 57A A981), 342—347; II —Ibid.,
387—392; III. —J. Phys. Soc. Japan, 50 A981), 3806—3812; IV —Physics,
4D A982), 343—365; V. — Publ. RIMS, Kyoto Univ., 18 A982), 1111—
1119; VI. —J. Phys. Soc. Japan, 50 A981), 3813—3818; VII. —Publ.
RIMS, Kyoto Univ., 18 A982), 1077—1110.
6. Дрннфельд В. Г., Соколов В. В. Уравнения типа Кортевега — де Фриза
и простые алгебры Ли. — Докл. Акад. Наук СССР, т. 258 A), 1981,
с. 11—16; Совр. пробл. матем., т. 24 (ВИНИТИ), с. 81—180 A984).
7. D'Souza С. Compactification of generalized Jacobians. — Proc. Ind. Acad.
Sci., 88A A979), 421—457.
8. Ehlers F., Knorrer H. An algebro-geometric interpretation of the Backlund
transformation for the Korteweg—de Vries equation. — Comment. Math.
Helvetici, 57 A982), 1—10.
9. Гельфанд И. М., Дикий Л. А. Дробные степени операторов и гамильто-
новы системы. — Функц. анализ и его прилож., т. 10 D), 1976, с. 15—29.
10. Кричевер И. М. Интегрирование нелинейных уравнений методами алге-
алгебраической геометрии. — Функц. анализ и его прилож., т. 11 A), 1977,
с. 15—31.
11. Кричевер И. М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных
уравнений. — Успехи матем. наук, т. 32 F), 1977, с. 183—208.
12. Kuperschmidt В. A., Wilson G. Modifying Lax equations and the second
Hamiltonian structure. — Inventiones Math., 62 A981), 403—436.
13. Macdonald I. G. Symmetric functions and Hall polynomials, Oxford Uni-
University Press, 1979. [Имеется перевод: Макдональд И. Симметрические
функции и многочлены Холла. —М.: Мир, 1985.]
14. Манин Ю. И. Алгебраические аспекты нелинейных дифференциальных урав-
уравнений.— Итоги науки и техники. Совр. пробл. математики, т. 11, 1978,
с. 5—152.
15. Mumford D. Abelian varieties. — Oxford University Press, 1974. [Имеется
перевод 1 изд.: Мамфорд Д. Абелевы многообразия. — М.: Мир, 1971.]
16. Mumford D. An algebro-geometric construction of commuting operators
and of solutions to the Toda lattice equation, Korteweg — de Vries equa-
equation and related поп-linear equations. — Proceedings of Symposium on Al-
Algebraic Geometry (M. Nagata,ed.), Kinokuniya, Tokyo, 1978.
17. Pressley A., Segal G. Loop groups. — Clarendon Press, Oxford, 1988.
[Имеется перевод: См. настоящую книгу.]
18. Segal G. Unitary representations of some infinite dimensional groups.—
Comraun. Math. Phys., 80 A981), 301—342.
19 Simon В Notes on infinite determinants of Hilbert space operators. — Adv.
in Math., 24 A977), 244—273.
20. Соколов В. В., Шабат А. Б. (L, Л)-пары и подстановки типа Риккати.—
Функц. анализ и его прилож., т. 14B) 1980, с. 79—80.
21. Verdier J.-L. Equations differentielles algebriques.— Seminaire Bourbaki
A977—1978), Expose 512 = Lecture notes in Math. 710, 101—122.
22. Wilson G. Commuting flows and conservation laws for Lax equations.—
Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 86 A979), 131—143.
23. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Интегрирование нелинейных уравнений ма-
математической физики методом обратной задачи. — Функц. анализ и его
прилож., т. 13 C), 1979, с. 13—22.
24. Deligne P., Rapoport M. Les schemas de modules de courbes elhptiques,
in Modular functions of one variable, II (Deligne P. and Kuyk W., eds.).—
Lecture Notes in Math. 349, Springer, 1973.
442
Группы петель и уравнения типа КдФ
25. МсКеап Н. P., Trubowitz E., Hill's operator and hyperelliptic function
theory in the presence of infinitely many branch points. — Comm. Pure
Appl. Math., 29 A976), 143—226.
26. Mulase M. Geometry of soliton equations. — MSRI preprint 035-83, Ber-
Berkeley A983).
27. Mulase M. Algebraic geometry of soliton equations I. — MSRI preprint
040-83, Berkeley A983).
28. Mulase M., Structure of the solution space of soliton equations. — MSRT
preprint 041-83, Berkeley A983).
29. Mulase M. Complete integrability of the Kadomtsev — Petviashvili equa-
equation.—MSRI preprint 053-83, Berkeley A983).
30. Mulase M. Algebraic geometry of soliton equations. — Proc. Japan Acad_
59, Ser. (A) A983), 285—288.
31. Mulase M. Cohomological structure of solitions of soliton equations, iso-
spectral deformation of ordinary differential operators and a characteriza-
characterization of Jacobian varieties. — MSRI preprint 003-84-7, Berkeley A984).
32. Sato M., Sato Y. Soliton equations as dynamical systems on infinite di-
dimensional Grassmann manifold. — Preprint.
33. Shiota T. Characterization of Jacobian varieties in terms of soliton equa-
equations. — Harvard University, 1984.
34. Rego С J. The compactified Jacobian. — Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 13;
A980), 211—223.
35. Wilson G. Habillage et fonctions t. — C. R. Acad. Sc. Paris, 299, Ser. I,.
n° 13 A984), 587—590.
36. Дубровин Б. А. Тэта-функции и нелинейные уравнения. — Успехи матем..
наук, т. 36 B), 1981, с. 11—80.
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИИ
Латинские
буквы
ad*
а(ф, /)
К
Aw
\
Ъо
В+
в~
0
в 8с
Вп
с
ск
сх
С (У)
Сп
/"»•
Cw
ca
и готические
90
72
299
20
172
303
312
205
27
27
171
205
20
329
217
220 •
272
20
172
344
159
160
cs
с*.
С|Я.|
d(a)
&>
Diiff E1),
Diff (X)
el
Ё
E'
Esm
E(k)
E6, E7, E
f
r
Fl (Cn)
Flk
Fl(«)
1 ОЛ
130
167
168 -
158
167
71
20
Diff + (S1) 12
36
22
96
104, 141, 177
203
198
198
203
:8 20
72
298
20
26
26
173
442
Группы петель и уравнения типа КдФ
25. McKean H. P., Trubowitz E., Hill's operator and hyperelliptic function
theory in the presence of infinitely many branch points. — Comm. Pure
Appl. Math., 29 A976), 143—226.
26. Mulase M. Geometry of soliton equations. — MSRI preprint 035-83, Ber-
Berkeley A983).
27. Mulase M. Algebraic geometry of soliton equations I. — MSRI preprint
040-83, Berkeley A983).
28. Mulase M., Structure of the solution space of soliton equations. — MSRI
preprint 041-83, Berkeley A983).
29. Mulase M. Complete integrability of the Kadomtsev — Petviashvili equa-
equation.—MSRI preprint 053-83, Berkeley A983).
30. Mulase M. Algebraic geometry of soliton equations. — Proc. Japan Acad-
59, Ser. (A) A983), 285—288.
31. Mulase M. Cohomological structure of solitions of soliton equations, iso-
spectral deformation of ordinary differential operators and a characteriza-
characterization of Jacobian varieties. — MSRI preprint 003-84-7, Berkeley A984).
32. Sato M., Sato Y. Soliton equations as dynamical systems on infinite di-
dimensional Grassmann manifold. — Preprint.
33. Shiota T. Characterization of Jacobian varieties in terms of soliton equa-
equations.— Harvard University, 1984.
34. Rego С J. The compactified Jacobian. — Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 13;
A980), 211—223.
35. Wilson G. Habillage et functions т. —С R. Acad. Sc. Paris, 299, Ser. I,.
n° 13 A984), 587—590.
36. Дубровин Б. А. Тэта-функции и нелинейные уравнения. — Успехи матем..
наук, т. 36 B), 1981, с. 11—80.
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИИ
Латинские
буквы
ad*
а(ф, /)
К
к
Ав
о
Ьо
В+
¦в~
В 9С
вп
с
с\
сх
C(V)
Сп
/-»*
Cw
?|а|
и готические
90
72
299
20
172
303
312
205
27
27
171
205
20
329
217
220 •
272
20
172
344
159
160
cs
С|Я.|
d(a)
d%
2>
Dn
Diff(S'),
Diff (X)
ea
&
Ё
E*
ESm
E(k)
E* E7, E
f
r
Fl (C)
Flk
Fl<ra>
Diff + E1)
104, 141,
;8
1 О/Л
130
167
168
158
167
71
20
12
36
22
96
177
203
198
198
203
20
72
298
20
26
26
173
444
Указатель обозначений
Указатель обозначений
445
Fred (Я+)
9
9a
9c
8'И)
8 (A)
G
Ge
G°
G2
GLtes (Я)
GLn(Q
GL (Я")
GLy
GLr~s
Gr*(Cn)
Gr(#)
Сго(Я), Сг,(Я),
Grjf), Gr<»),
Gr<R">
173
98
16
21
18
92
92
16
16
35
20
96
18
95
117
106
26
119
125
150
Gr<"> 152
oo
163
165— 166
ha
H
91
Я8
22
210
102
95
99
124
156
165
168
и
3T2(H)
^2(Я+
l(S)
LG
L*GLn(C)
ЬГ
LI
Ll
L(a)G
LG
и
I, Ic
112
239
297
297
22
91
103
96
9&
117
218
276, 28&
312
311
117
128
172
34
28
257
143
144
15&
158
41
41
45-
47
48
107
m{X, G)
MG, M0G
O(V), o(V)
Ores
Pf
PfE)
Pin (V)
Ra
s(w)
s
9>
SL2 (C)
Spin (V)
155,
158,
73,
73, 77,
79
38
95
128
130
258
166
166
166
172
158
163
273
289
346
286
276
279
282
133
297
327
24
124
124
156
167
18
Spin (Ус)
Spinc
T
T, t
f
f
f_
T
и
Un
uw
K'
Us
f/a
ux
Ures (H)
f/rTs
Щ
virt dim W
Vect (X)
VK
W
raff
H7fin
yw
Y
, <Ui
273
281
290
19
21
21
22:
25
104
33S
16
18
175
343
124
158
167
97
107
297
337
124
36
337
24
86
127
266
256
269
446
Указатель обозначений
предметный указатель
z
zp
Греческие буквы
a
a
*(ф)
Ла
к
144
345
345
346
21
91, 210
231
235
28
257
216, 219
72
298
22
210
Ла
AG
П B, ft)
ns
p
p
2s
2Ш
2а
2|а|
2x
ф5
¦ (Р)
щ
QG
161
206
333
131
217
220
128
171
156
160
168
168
241
298
297
212
59
Алгебра Вирасоро (Virasoro algebra)
197 .
— Каца — Муди (Кае—Moody Lie~)
92, 93
— Клиффорда (Clifford~) 272—276
— Ли (Lie~) 16
— — аффинная (affine ~ ~) 94
— универсальная обертывающая (uni-
(universal enveloping ~) 337
Альков (alcove) 87
Антидвойствениое пространство (anti-
dual space) 199
Антидоминаитиый вес (antidominant
weight) 25, 210
Антикоммутационные соотношения
(anti-commutation relations) 300
Аффиииая алгебра Ли (affine Lie al-
algebra) 94
— группа Вейля (~ Weyl group) 86
Аффинно-линейная функция (affine-
linear function) 87
Аффинный кокорень (affine coroot) 91
— корень (~ root) 87
• отрицательный (negative ~ ~)
87
— — положительный (positive ~ ~)
87
простой (simple ~ ~) 88
Базисное представление (basic repre-
representation) 213, 214, 250, 292
Банахова группа Ли (Banach Lie
group) 33—35, 95—96
Бесконечномерная группа Ли (infinite
dimensional Lie group) 33
Биинвариаитные функции (bi-inva-
riant functions) 267, 269
Блип (blip) 295
Бозон-фермионное соответствие (bo-
son-fermion correspondence) 12, 196,
255
Борелевская подгруппа (Borel sub-
subgroup) 27
Быстро убывающие матричные эле-
элементы (rapidly decreasing matrix en-
entries) 125
Вакуумный вектор (vacuum vector)
439
Вектор младшего веса (lowest weight
vector) 205
— конечной энергии (~ of finite
energy) 203
Вертексный оператор (vertex opera-
operator) 295
Bee (weight) 25, 209
— аитидоминантный (antidominant ~)
25, 210
— доминантный (dominant ~) 25
— доминирующий (dominating ~) 25
— младший (lowest ~) 25
— строго антидоминантный (strictly
antidominant ~) 340
— разбиения (~ of partition) 424
— фундаментальный (fundamental ~)
212
Вещественный корень (real root) 93
Виртуальная мощность (virtual car-
cardinal) 124
— размерность (~ dimension) 123
Вполне приводимое представление
(completely reducible representation)
208
Вторичное квантование (second quan-
quantization) 232
Вычет (residue) 345
Гамильтониан (Hamiltonian function)
140
Гамильтоново векторное поле (Hamil-
(Hamiltonian vector field) 176
Гладкий вектор (smooth vector) 135,
198
— грассманиан (~ Grassmannian)
126
448
Предметный указатель
Гладкое отображение (smooth map)
31
— представление (~ representation)
198, 208
Голономия (holonomy) 62
Голоморфное отображение (holomorp-
hic map) 32
Гомоморфизм трансгрессии (trans-
(transgression homomorphism) 59
Горизонтальная кривая (horizontal
curve) 368
Горизонтальное векторное поле (hori-
(horizontal vector field) 63
Градуировка (grading) 203
Грассманиан (Grassmannian) 26, 121
Грассманово описание (Grassmannian
model) 150—154, 163—171, 193—
194
Группа Вейля (Weyl group) 24, 86,
93
аффинная (affine ~ ~) 86
— вещественно-аналитических петель
(~ of real-analytic loops) 41
— Гейзенберга, ассоциированная с па-
парой V, S (Heisenberg ~, associated
to (V, S)) 222
— гладких отображений (~ of
smooth maps) 34
петель (smooth loop ~) 35
— диффеоморфизмов (diffeomophism
~) 36—38
— калибровочная (gauge ~) 46
— Ли (Lie ~) 16
банахова (Banach ~ ~) 33—
35, 95—96
бесконечномерная (infinite di-
dimensional /*» ~) 33
комплексная (complex ~ ~) 18
— — конечномерная (finite dimensio-
dimensional ) 16
— ограниченная ортогональная (rest-
(restricted orthogonal ~) 289
полная линейная (~ general
linear ~) 96
унитарная (~ unitary ~) 97
— петель (loop ~) 34
скрученная (twisted loop ~)
45, 46
— полиномиальных петель (~ of po-
polynomial loop) 41
— полупростая (semisimple ~) 20
— простая (simple ~) 14
— рациональных петель (~ of ratio-
rational loop) 41
— симплектическая (symplectic ~)
20
— совершенная (perfect ~) 38
— специальная ортогональная (spe-
(special orthogonal ~) 20
унитарная (~ unitary ~) 20
— спинорная (spin ~) 281
— с простыми связями (simply laced
group) 23
— токов (current ~) 7
— унитарная (unitary ~) 16
Группы автоморфизмов (groups of
automorphisms) 39—40
—- диффеоморфизмов (diffeomorp-
hism ~) 36—38
Двойственное представление (dual
representation) 198
Действие с положительной энергией
(action of positive energy) 203
Детерминаитное расслоение (determi-
(determinant bundle) 29, 135
Диаграмма группы (diagram of a
group) 87
Дифференциальная форма (differen-
(differential form) 32
Дифференцирование (derivation) 92—
93
Длина элемента группы Вейля (length
of element of Weyl group) 27
из <%M of <%0
Доминантный вес (dominant weight)
25,
Доминирование (domination) 25
Допустимое уравнение (admissible
equation) 414
Допустимый базис (admissible basis)
131, 386
— оператор (~ operator) 414
Дырки (holes) 235
Заряд (charge) 235, 255
Зарядовая плотность (charge density)
310
Иерархия КдФ (KdV hierarchy) 380
обобщенная (generalized ~ ~)
393
— Кадомцева — Петвиашвили (КЛ-
иерархия) (Kadomtsev — Petviash-
vily ~) 397
Изотропное подпространство (isotro-
pic subspace) 28
Индекс оператора Фредгольма (index
of Fredholm onepator) 97
Предметный указатель
449»
— перпендикулярной проекции (~ ~
the perpendicular projection) 123
Интегрируемое представление (integ-
rable representation) 337
Калибровочная группа (gauge gro-
group) 46
Камера Вейля (Weyl chamber) 24,87
Канонические коммутационные соот-
соотношения (canonical commutation re-
relations) 114—116, 254
Канонический базис (canonical basis)
128
Квантовая теория поля (quantum field
theory) 7, 10, 11, 81, 111—117,
236—237, 254—255
Класс Чженя (Chern class) 63
Клетка Брюа (Bruhat cell) 159
Кокорень (coroot) 22
Коммутант (commutator subqroup) 38
Коммутатор (commutator) 39
Комплексная группа Ли (complex Lie
group) 18
Комплексное многообразие (complex
manifold) 32
Комплексификация (complexification)
18
Конечномерная группа Ли (finite di-
dimensional Lie group) 16
Копорядок (co-order) 130
Коприсоединеииое действие (coadjoint
action) 54—56
Корень (root) 21, 85, 86, 210
— аффинный (affine ~) 87
— вещественный (real ~) 93
— мнимый (imaginary ~) 93
— отрицательный (negative ~) 25,87,
210
— положительный (positive ~) 24—
25, 210
— простой (simple ~) 25
Косоэрмитова матрица (skew-Hermi-
tian matrix) 16
Коцикл (cocycle) 47, 56, 57
Кривизна связности (curvature of the
connection) 62
Линделёфово многообразие (Lindelof
manifold) 32
Максимальная абелева подгруппа
(maximal abelian subgroup) 43—45
— нормальная подгруппа (~normal
subgroup) 40
Матрица Картана (Cartan matrix)
— монодромии (rnonodromy ~) 147"
— рассеяния (scattering ~) 191
Мера Винера (Wiener measure) 201
— Xaapa (Haar ~) 19
Метаплектическое представление (me-
taplectic representation) 226
Младший вес (lowest weight) 25
210—211
Мнимый корень (imaginary root)
93
Многообразие Шуберта (Schubert va-
variety) 26
Модуль Верша (Verma module) 337
Модулярная функция (modular func-
function) 324
Неабелева аномалия (non-abeliarr
anomaly) 237
Неприводимое представление (irredu-
(irreducible representation) 198
Норма Гильберта — Шмидта (Hil-
bert ~ Schmidt norm) 96
Нормализация Уленбек (Uhlenbeck.
normalization) 366
Нормальное упорядочение (normal
ordering) 298
Однопараметрическая подгруппа (one-
parameter subgroup) 16
Однородное пространство (homoge-
(homogeneous space) 25—28
Ограниченная ортогональная группа
(restricted orthogonal group) 289
— полная линейная группа (~ gene-
general linear group) 96
— унитарная группа (~ unitary-
group) 97
Оператор Гильберта — Шмидта (Hil-
bert — Schmidt operator) 96
— Дирака (Dirac ~) 118
— Казимира (Casimir ~) 216~219
— поля (field ~) 312
— со следом (~ of trace class) 103"
— Фредгольма (Fredholm ~) 97
Определитель (determinant) 104
Основная подалгебра Гейзенберга-
(principal Heisenberg subalgebra)'
45
29 Зак. 230
450
Предметный указатель
¦Основное однородное пространство
(fundamental homogeneous space)
145
— скалярное произведение (basic in-
inner product) 61
— центральное расширение (~ cent-
central extension) 61
Отрицательный аффинный корень
(negative affine root) 87
— корень (~ root) 25, 87, 210
Параболическая подгруппа (parabo-
(parabolic subgroup) 27
Периодический флаг (periodic flag)
173
Периодичность Ботта (Bott periodi-
periodicity) 102, 118, 145, 174—176, 292
Плоское расслоение (flat bundle) 63
Плюккерова координата (Plucker co-
coordinate) 131, 426
Подпространство энергии к (part of
energy к) 234
Положительная камера Вейля (posi-
(positive Weyl chamber) 24
Положительный аффинный корень
(positive affine root) 87
— корень (~ root) 24—25, 210
Полупростая группа (semisimple
group) 20
Поляризация (polarization) 96
Представление (representation) 198
— базисное (basic ~) 213, 214, 250,
292
— вполне приводимое представление
(completely reducible ~) 208
— Гельфанда (Gelfand ~) 200
— гладкое (smooth ~) 198, 208
— двойственное (dual ~) 198
— интегрируемое (integrable ~) 337
— конечного типа (~ of finite type)
210
— присоединенное (adjoint ~) 19
— проективное (projective ~) 203
— регулярное (regular ~) 201
— симметричное (symmetric ~) 203
— с отрицательной энергией (~of ne-
negative energy) 203
положительной энергией (~ of
positive energy) 203
— спинорное (spin ~) 272, 281
— фундаментальное (fundamental ~)
231
Преобразование Гильберта (Hilbert
transform) 100
Принцип Кириллова (Kirillov's prin-
principle) 54
Присоединенное действие (adjoint ac-
action) 78
— представление (~ representation)
19
Проективное представление (projec-
(projective represention) -203
Проективный мультипликатор (projec-
(projective multiplier) 47
Простая группа (simple group) 14
Простой аффинный корень (simple
affine root) 88
—¦ корень (.— root) 25
Пространство комплексных структур
(space of complex structures) 276,
290
— модулей (moduli ~) 186
Пфаффиан (Pfaffian) 278
Разбиение (partition) 240, 424
Разложение Брюа (Bruhat decomposi-
decomposition) 27, 145
— no энергиям (energy ~) 210
Ранг группы Ли (rank of Lie group)
21, 88
Расслоение спиноров (bundle of spi-
nors) 117
Регулярное представление (regular
representation) 203
Регулярный элемент (regular ele-
element) 24
Резольвента Бернштейна — Гельфан-
Гельфанда—Гельфанда (БГГ-резольвента)
(Bernstein — Gelfand — Gelfand re-
resolution) 341
— — слабая (weak ~ ~ ~ ~)
345
Решетка ковесов (coweight lattice)
86
— весов (~ of weights) 21
Связность (connection) 62
Симметризуемая матрица Картина
(symmetrizable Cartan matrix) 93
Симметричное представление (sym-
(symmetric representation) 203
Симплектическая группа (symplectic
group) 20
— структура (~ structure) 176
Скейлинговое преобразование (sca-
(scaling transformation) 398
Скобка (bracket) 17
Предметный указатель
451
Скрученная группа петель (twisted
loop group) 45, 46
— энергия (tilted energy) 178
Скрученное действие (twisted action)
207
Слабая БГГ-резольвента (weak BGG
resolution) 345
След оператора (trace of operator)
103
Следовая норма оператора (trace
norm of operator) 103
Соизмеримые подпространства (com-
mesurable subspaces) 121
Солитонное решение (soliton solution)
390, 403
Спектральная последовательность
ван Эста (van Est spectral sequen-
sequence) 356
Специальная ортогональная группа
(special orthogonal group) 20
— унитарная группа (~ unitary
group) 20
Спинорное представление (spin rep-
representation) 272, 281
Степенные суммы (power sums) 242
Странная формула Фрейденталя
(Freudenthal's strange formula) 334
Страт (stratum) 128
Строго антидоминаитный вес (strictly
anti dominant weight) 340
Существенно эквивалентные представ-
представления (essentially equivalent repre-
representations) 198
Теорема Биркгофа о разложении
(Birkhoff's factorisation (decompo-
(decomposition) theorem) 143, 147—149
— Бореля — Вейля (Borel — Weil ~)
28
— Брюа о разложении (Bruhat fac-
factorisation ~) 144
Теория рассеяния (scattering theory)
191—194
Тождество Макдональда (Macdonald
identity) 249, 334
— Якоб и (Jacobi ~) 17
Трансверсальное подпространство
(transverse subspace) 398
Тройное тождество Якоби (Jacobi's
triple product) 249
Тэта-функция (theta function) 430
Универсальная обертывающая алгеб-
алгебра (universal enveloping algebra)
337
Универсальное центральное расшире-
расширение (universal central extension) 48,
52, 61
Унитарная группа (unitary group)
16
Унитонное число (uniton number)
366
Уравнение в п-и иерархии КдФ (equ-
(equation of the n-th KdV hierarchy)
395
Уровень представления (level of rep-
representation) 209
Условие коцикла (cocycle condition)
49
Устойчивое многообразие (stable ma-
manifold) 134
Утолщенное однородное пространство
(thickened homogeneous space) 345,
349—351
Уходящее подпространство (outgoing
subspace) 193
Флаговое многообразие (flag mani-
manifold) 26
Формальная функция Бейкера (for-
(formal Baker function) 396
Формальный псевдодифференциаль-
псевдодифференциальный оператор (formal pseudo-dif-
pseudo-differential operator) 393
— характер (~ character) 247
Формула Вейля для знаменателей:
(Weyl denominator formula) 327
характеров (~ character ~)
326, 327
— Каца для характера (Кае charac-
character formula) 329—334
Фундаментальное представление (fun-
(fundamental representation) 231
Фундаментальный вес (fundamental
weight) 212
Функция Бейкера (Baker function)
399
— классов (class ~) 322
— разбиения (partition ~) 250
— Шура (Schur ~) 240, 241, 424
— энергии (energy ~) 141, 177
т]-функция Дедекинда (Dedekind's
¦n -function) 335
т-функция (т-function) 388
Характер (character) 321—324
— -распределение (distributional ~)
323
29*
452
Предметный указатель
^Целочисленный класс когомологнй
(integral cohomology class) 57
Центральное расширение (central ex-
extension) 47
Число Коксетера (Coxeter number)
329
Экспоненциальное отображение (ех-
ponental map) 16
Экстра-специальная 2-группа (extra-
special 2-group) 292
Элемент Коксетера (Coxeter element)
45
— конечного порядка (~of finite or-
order) 127
Энергия (energy) 141
Ширина (width) 298