Термопрочность деталей машин. Теория. Экспериментальные исследования. Расчет - Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Демьянушко И.В., Дульнев Р.А., Сизова Р.Н.

Author: Биргер И.А. Шорр Б.Ф. Демьянушко И.В. Дульнев Р.А. Сизова Р.Н.
Tags: испытания материалов товароведение силовые станции общая энергетика машиностроение деформация детали машин прочность теория упругости
Year: 1975
Similar
Неупругость. Варианты теории
Малоцикловая усталость при неизотермическом нагружении
Прочность, устойчивость, колебания. Справочник. Том 1
Проектирование спецмашин. Часть 1. Книга 1. Артиллерийские стволы. Учебник
Text
                    ТЕРМОПРОЧНОСТЬ
ДЕТАЛЕЙ МАШИН
Теория
Экспериментальные исследования
Расчет
Под общей редакцией
д-ра техн, наук проф. И. А. БИРГЕРА
и д-ра техн, наук проф. Б. Ф. ШОРРА
Москва
“МАШИНОСТРОЕНИЕ”
1975
6П5.1
Т35
УДК 620.172.251.224
Т35 Термопрочность деталей машин. Под ред. И. А. Биргера
и Б. Ф. Шорра. М., «Машиностроение».
455 с. с ил. 1975.
На обороте тит. л. авт: И. А. Биргер, Б. Ф. Шорр,
И. В. Демьянушко и др.
В книге рассмотрены вопросы, связанные с обеспечением прочности деталей
машин, работающих при повышенных температурах. Приведены экспериментальные
данные по механическим свойствам, в том числе при нестационарных и циклических
нагружениях и нагревах. Изложена теория упругопластического деформирования
материалов при произвольно меняющихся и циклических условиях нагружения и
нагрева и методы расчета термопрочности типичных конструктивных элементов н
ответственных деталей машин (стержни, пластины, оболочки вращения, лопатки
и диски турбин и др.).
Книга предназначена для специалистов конструкторских и проектных органи-
заций, заводских лабораторий н научно-исследовательских институтов, а также для
аспирантов и студентов, занимающихся расчетами и исследованиями теплонапря-
женных элементов конструкций и деталей машин.
31301-005
1 038 (01)-75
005-74
6П5.1
Авторы: И. А. Биргер, Б. Ф. Шорр, И. В. Демьяиушко, Р. А. Дульйв,
Р. Н. Сизова.
Рецензенты: д-р техн, наук проф. Малииин Н. Н.
и канд. техн, наук Хажинский Г. М.
.© Издательство «Машиностроение», 1975 г.
Предисловие
Повышение рабочих температур деталей транспортных и стацио-
нарных силовых установок и многих других машин в различных
отраслях промышленности, являющееся одним из генеральных на-
правлений развития современной техники, выдвинуло обширный
круг проблем по обеспечению прочности и долговечности. Эти
проблемы, имеющие металлургические, конструкторские, технологи-
ческие, экономические и другие аспекты, охватываются понятием
термопрочности в широком смысле.
Целью настоящей монографии является комплексное рассмотре-
ние вопросов, необходимых для расчета термопрочности деталей
машин на стадии их проектирования.
В книге представлены наиболее важные экспериментальные дан-
ные по механическим свойствам современных жаропрочных мате-
риалов при высоких температурах, в том числе при циклических
нагружениях и нагревах, упругопластических деформациях и пол-
зучести. Рассмотрены методы оценки термопрочности деталей, вклю-
чая многорежимные и нестационарные условия работы.
Изложены элементы общей теории упругопластического дефор-
мирования материалов при высоких температурах для произвольно
меняющихся н циклических условий нагружения и нагрева. Осо-
бое внимание уделено экспериментальному обоснованию и четкой
постановке задач, простоте, завершенности и удобству расчетных
методов. Выделены также упрощенные варианты теории, предназ-
наченные для быстрого получения предварительных оценок.
На многочисленных примерах типичных конструктивных эле-
ментов (стержней, пластин, оболочек) показано применение рас-
четных методов и выявлены основные особенности работы деталей
в условиях повышенных температур. Специально рассмотрены полу-
чившие практическое применение методы расчета термопрочности
наиболее ответственных и нагруженных деталей машин, работаю-
щих при высоких температурах — рабочих лопаток и дисков газо-
вых и паровых турбин.
Многие расчетные методы опираются на широкое использование
современных электронных вычислительных машин, в связи с чем
приведено описание некоторых алгоритмов с примерами расчетов.
Упрощенные оценки термопрочноетн, важные в конструкторской
практике, могут быть выполнены и при ручном счете.
3
В книге отражены некоторые результаты теоретических и экс-
периментальных работ авторов и обобщен отечественный и иностран-
ный опыт по проблеме термопрочности.
Авторы благодарны Н. Н. Малинину и Г. М. Хажинскому за
рецензирование рукописи и ценные замечания.
Глава 1 написана канд. техн, наук Р. Н. Сизовой, глава 2—канд.
техн, наук Р. А. Дульневым, глава 3 — д-ром техн, наук
Б. Ф. Шорром и Р. А. Дульневым, главы 4, 6 и 7 — д-ром техн, наук
И. А. Биргером и Б. Ф. Шорром, глава 5 — Б. Ф. Шорром, главы
8 и 10 — И. А. Биргером и канд. техн, наук И. В. Демьянушко,
глава 9 — И. В. Демьянушко.
ГЛАВА 1
Свойства материалов
при повышенной температуре
1. Ползучесть и длительная прочность
при постоянном напряжении
Ползучесть. Для материалов в условиях действия постоянного
напряжения при повышенной температуре характерно развитие со
временем необратимой деформации, получившей название ползу-
чести.
Ползучесть материала изучается в опытах на растяжение при
постоянных напряжениях и температуре. Получаемая при таких
экспериментах кривая, построенная после вычитания упругопласти-
ческой деформации, соответствующей мгновенному нагружению,
представляет собой зависимость деформации ползучести от времени
(рис. 1.1).
Принято различать три стадии (участка) кривой ползучести:
/ — неустановившаяся ползучесть с затухающей во времени ско-
ростью; II — установившаяся — с постоянной скоростью; III —
ползучесть с быстро нарастающей скоростью, заканчивающаяся
статическим разрушением.
Рядом авторов предложено описание первых двух участков кри-
вых ползучести с помощью аналитических выражений
е‘= f(o) Ф (0 + F (а)*,	(1.1)
где функции / (о) и F (о), характеризующие соответственно первую
и вторую стадии ползучести, могут быть выражены различными за-
висимостями. Наиболее часто используют степенные зависимости
/(о) =5^-;	(1.2)
Г(о) = В2(Т%	(1.3)
где постоянные Bt, nL, В2, п2 зависят от температуры.
Подобные соотношения являются условной аппроксимацией,
в основном применяемой для анализа общих закономерностей и иногда
в практических расчетах для определения характеристик ползу-
чести при требуемых уровнях напряжений и длительностях по ре-
зультатам испытаний при других режимах.
При численных расчетах, особенно с применением электронно-
вычислительных машин, использование аналитических аппрокси-
маций не является необходимым, но может быть иногда полезным
для уменьшения объема вводимой в память машины информации.
Переход к III стадии ползучести, характеризуемый нарастаю-
щими скоростями, связан с возникновением пор и трещин в металле,
5
Рис. 1.1. Кривые ползучести сплава
ХН56ВМКЮ при Т =~- 900°'С
приводящих к уменьшению эф-
фективного сечения образца, и
с разупрочнением металла, про-
исходящим вследствие измене-
ния структуры.
Работа материала на этой
стадии ползучести обычно счи-
тается недопустимой. Однако
в ряде случаев ее продолжи-
тельность может достигать бо-
лее 50% от времени до разру-
шения, а темп нарастания ско-
рости ползучести, за исключе-
нием участка, непосредственно
предшествующего разрушению,
может быть небольшим. Это позволяет при необходимости вклю-
чать в ресурс детали частично работу материала в условиях 111
стадии ползучести.
В практических исследованиях в зависимости от принятого уровня
напряжений и времени испытаний указанные три стадии ползуче-
сти могут и не иметь четких разграничений.
На кривых ползучести, представленных на рис. 1.1, все три
участка можно различить лишь при некоторых уровнях напряжений.
Выше этого уровня кривые состоят из участка с затухающей ско-
ростью, сразу сменяющегося участком с возрастающей скоростью.
При очень высоких уровнях напряжений, близких к пределу теку-
чести материала, кривые состоят из участка небольшой продолжи-
тельности с постоянной скоростью, сменяющегося участком с воз-
растающей скоростью. При более низких напряжениях относитель-
ная продолжительность третьего периода ползучести значительно
сокращается, а в некоторых случаях (при очень малых напряжениях''
он практически отсутствует. Кривые при очень высоких напряже-
Рис. 1.2. Кривые кратковременной ползучести сплавов ХН77ТЮР при
800° С (а), ХН70ВМТЮ при 900° С (6) и ХН62МВКЮ при 850° С (в)
6
ниях, получившие название кривых кратковременной ползучести,
можно обычно считать подобными и представить произведением
функции напряжения и времени [16]
8е = F (а)/ (/),	(1.4)
где F (а) и f (/) могут быть выражены степенными зависимостями
соответственно от напряжения и времени.
Результаты испытаний па кратковременную ползучесть никеле-
вого сплава ХН77ТЮР при 800° С, ХН70ВМТЮ при 900° С и
ХН62МВКЮ при 850° С представлены на рис. 1.2 [22].
Каждое из аналитических выражений достаточно хорошо опи-
сывает ползучесть только в определенном диапазоне температур,
напряжений и времени. Поэтому часто константы уравнений, опре-
деленные по кривым для одних напряжений, не дают удовлетвори-
тельных результатов при других напряжениях. Справедливость при-
менения известных гипотез ползучести также зависит от рассматри-
ваемого диапазона напряжений. Так, например, использование ги-
потезы упрочнения, принимающей за меру ползучести накоплен-
ную деформацию (см. раздел 5, гл. 4), не может дать удовлетвори-
тельных результатов при очень высоких напряжениях, при которых
практически отсутствует область неустановившейся ползучести с за-
тухающей скоростью, свидетельствующей об упрочнении материала.
Соответствие действительного поведения технических сплавов
той или иной гипотезе ползучести, а также возможность экстраполя-
ции в различные температурно-временные области иногда проверяют
по результатам испытаний небольшого числа образцов (по 1—3 на
один уровень напряжений). Результаты испытаний на ползучесть
сплавов ЖС6К при 900° С и двух напряжениях 30 и 40 кге/мм2,
полученные по 10 образцам на каждом напряжении, приведены на
рис. 1.3, на котором видно, что кривые ползучести, полученные при
испытании 1—3 образцов, могут носить случайный характер. По-
этому усложнение уравнений, описывающих ползучесть с целью
Рис. 1.3. Рассеяние кривых ползучести
(сплав ЖС6К, Т = 900° С, <т= 30 кге/мм2
и 40 кге/мм2)
Рис. 1.4. Изохронные кривые (сплав
ЖС6К, Т = 900° С)
7
введения уточнений, отражающих «тонкие» особенности нагруже-
ния, теряет смысл, если эти уточнения проверяют по результатам
единичных испытаний.
Простой способ представления характеристик ползучести для
фиксированного времени кривыми зависимости напряжения от
деформации, получившими название изохронных кривых, широко
распространен в практике инженерных расчетов на ползучесть [17].
Расчет на ползучесть с помощью изохронных кривых сводится к ре-
шению задач деформационной теории пластичности (см. гл. 4). При
плавно изменяющихся напряжениях возможность такого представле-
ния и отсутствие необходимости его усложнения подтверждены
экспериментально. Типичные изохронные кривые, используемые при
расчете на ползучесть,- представлены на рис. 1.4.
Однако пределы применимости таких изохронных кривых для
расчетов на ползучесть должны быть разумно ограничены. При пере-
ходе к качественно другим условиям работы, например, к повтор-
ным нагружениям с изменением знака напряжения, представление
результатов испытаний на ползучесть в более общем и возможно
более сложном виде с учетом дополнительных экспериментальных
характеристик и их статистического подтверждения совершенно
необходимо.
Длительная прочность. Повреждение материала, развивающееся
в процессе ползучести, приводит к разрушению, сопротивление ко-
торому носит название длительной прочности. Основной характе-
ристикой, принимаемой при расчете деталей, работающих в условиях
длительного действия статических напряжений, являются пределы
длительной прочности одл, характеризуемые напряжением, вызы-
вающим разрушение через заданное время при постоянной темпе-
ратуре. Значения пределов длительной прочности, приводимые в спра-
вочной литературе [30, 31], обычно определяют опытами на растя-
жение при постоянно действующих нагрузках (табл. 1.1).
Зависимость предела длительной прочности от времени носит
название кривой длительной прочности. Эту кривую аппроксими-
руют различными функциями, каждая из которых достаточно хо-
рошо описывает поведение материала в определенных температурно-
временных интервалах, например, экспоненциальной зависимостью
еаа/ — ft,	(1.5)
которая выражается прямой линией в полулогарифмических коор-
динатах. Наиболее распространенным способом аппроксимации кри-
вой является степенная функция
(Jmt = А.	(1.6)
В логарифмических координатах эта зависимость выражается
прямой линией. Чем меньше показатель степени иг, тем интенсивнее
разупрочнение материала во времени.
Прямая, выражающая степенную функцию в двойных логарифми-
ческих координатах, обычно имеет один, а иногда и несколько пере-
ломов, перемещающихся в ту или иную сторону по времени в зави-
8
симости от температуры испытания. Так, например, для сплава
ХН70ВМТЮ (рис. 1.5) при 700° С перелом относился ко времени до
разрушения 10—20 ч, при 800° С — 4—6 ч, при 900° С — 1ч. Под-
робное исследование этого сплава при 600° С и длительности до раз-
рушения от 5—10 мин до 500—1000 ч показало, что переломы на
кривой длительной прочности перемещаются в область больших
длительностей.
Каждый участок кривой длительной прочности при наличии пере-
ломов можно аппроксимировать степенными уравнениями со своим
показателем степени т.
Значения показателей степени в уравнениях первого и второго
участков кривых длительной прочности некоторых жаропрочных
сплавов представлены в табл. 1.2, из которой следует, что т1 при-
мерно в 2 раза больше, чем т2.
Исследования микроструктуры разрушившихся образцов пока-
зывают заметное отличие в характере разрушения образцов, испы-
танных при напряжении левой и правой ветвей кривой. При высоких
напряжениях, свойственных левой ветви кривой, для микрострук-
туры материала в зоне разрушения характерна вытянутость зерен,
искривление блоков двойникования, вызванных внутризеренным
Рис. 1.5. Кривые длительной прочности сплава ХН70ВМТЮ (□ — значения пре-
делов прочности, полученных при разрушении монотонно возрастающим напря-
жением)
9
Материал	Марка	Основной химический состав, а/9	Термическая обработка
Алюми- ниевые сплавы	АК4-1	Си 1,9—2,5; Mg 1,4—1,8; Ni 0,3—0,8; Ti 0,015; Al — основа	Закалка при 515° С в воду. Старение при 185° С 8—12 ч
	ВД-17	Си 2,6—3,2; Mg 2—2,4; Мп 0,45—0,7; Fe 0,3; Al — основа	Закалка при 515° С в воду. Старение при 170°С16 ч
Титановые сплавы	ВТ-9	A 16,5; Mo 3,5; Si 0,25; Zr 2,0; Ti — основа	Закалка при 900° С в воду. Старение при 500-600° С 1—6 ч
	ВТЗ-1	Al 5,5; Mo 2,0; Cr 2,0; Fe 1,0; Ti — основа	Закалка при 880° С в воду. Старение при 550° С 3—10 ч
Конструк- ционные стали	ЭИ415	C 0,2; Mn 0,4; Cr 2,8; Ni 0,45; W 0,4; Fe — основа	Нормализация при 1150° С. Закалка при 1050° С в масло (700° С)
Коррозион- но-стойкие (нержавею- щие) стали	12Х18Н9Т	C^ 0,12; Mn 1—2; Cr 18; Ni 10; Ti 0,8; Fe — основа	Закалка при 1050° С в воду
Жаро- прочные стали	37Х12Н8Т8МФБ (ЭИ481)	C 0,35; Mn 8,5; Cr 12,5; Ni 8,0; Mo 1,3; Fe — основа	Закалка при 1150° С 1,5 ч в воду. Старение при 670° С 16 ч и при 790° С 16 ч, охлаждение на воздухе
10
Таблица 1.1
ть.	%	% 2	б	4)	1 00	01000	а0._’ 100	Область применения
ё g.								
	кгс/.м	м2	%			кгс/.мм		
20	45	38	18	26							Лопатки осевых ком-
150	40	36	12,5	26,5	29	—	28	прессоров, крыльчатки,
200	34	30	11	23	17	—	16	диски, кольца и другие
250	24	19	6	30	10	—	8	кованые детали, работаю-
300	17	14	8	34,5	4	—	3	щие при температурах до 250° С
20	50	33	13	21							
200	38	—	16	33	19	—	16	
230	—	—	—	—	13	—	9	
250	24	—	16	66	10			7,5	
300	18	—	21	75	5,5	—	3,2	
20	115	103	6	—	—	—	—	Диски, лопатки, кор-
400	85	72	7	—	—	—	—	пуса компрессоров., кре-
450	—	—	—	—	—	—	—	нежные детали, работаю-
500	80	66	7	—	65	—	28	щие при температурах
550	78	62	8	—	45	—	12	до 450—500° С
600	72	55	9	—	23	—	—	
20	100	95	12	25	—						Диски, лопатки ком-
400	76	63	8	—	65	55	30	прессоров, работающие
450	—	—	—X-	—	55	50	16	при температурах до
500	70	56	10	—	36	27	5	350—400° С
550	—-	—	—	—	—					
600	53	25	18	—	—	—	—	
20	85	74	13,4	58,5						Поковки турбинных ро-
450	65	59	13,1	60	52	50	—	торов, дисков, крепежные
500	64	60	Г5	59	49	42	—	детали, работающие при
550	57	54,4	1 Ь,5	65	35	32	—	температурах до 500—
600	44	42,3	10,5	49	25	17	—	550° С
20	62	28	41	63								Детали коммуникаций
600	40	18	25	61	—	25	—	горячих паров, коллекто-
700	28	16	26	59	—	13	—	ры, патрубки, реактии-
800	18	10	35	69	—	5	—	ные сопла и другие сиар- ные детали, работающие
								во влажиых средах и при повышенных температу- рах
20	94	60	16	36							Диски турбии, силоиые
450	72	50	13	37	—	—	—	кольца и крепежные дета-
600	60	45	12	—	—	—	—	ли газовых турбии, рабо-
650	56	43	12	—	—	—	—	тающие при температурах
700	—	38	13	—	—	—	—	до 600° С
11
Материал	Марка	Основной химический состав, %	Термическая обработка
Жаро- прочные стали	ХН35ВТ (ЭИ612)	С 0,1; Мп 1,5; Сг 15; Ni 35; Fe — основа	Закалка при 1180° С в воду. Старение при 780° С 8—10 ч и при 730° С 25 ч, охлаждение на воздухе
	ЭИ257 (с титаном)	С 0,10; Si 0,8; Мп 0,7; Сг 14; Ni 14; W 2,3; Мо 0,5; Ti 0,5; Fe — основа	Нормализация	прн 1100° С 2 ч
Никелевые сплавы	ХН77ТЮР (ЭИ437Б)	0,07; Сг 20; Ti 2,7; Al 0,6—1,0; Fes£ 1,0; Ni — основа	Закалка при 1080° С 8 ч на воздухе. Старение при 750° С 16 ч, охлажде- ние на воздухе
	ХН80ТБЮ (ЭИ607)	С 0,08; Сг 15—17; Nb 1,0—1,5; Ti 1,8—2,3; Al 0,15; Fe 3,0; Ni — основа	Закалка при 1100° С 5 ч в воду. Тройное ступенчатое старение
	ЖС6КП	—	Закалка при 1220° С 4 ч на воздухе. Отжиг при 1950° С 2 ч, охла- ждение на воздухе
	Уднмет 700	C 0,15; Cr 15; Co 18; Ti 3,5; Al 4,0; Mo 5,0; Fe^r 1,0; Ni — основа	Закалка при 1180° С 2 ч на воздухе. Закалка при 1080° С 4 ч на воз- духе. Старение при 840° С 24 ч, охлаждение иа воз- духе. Старение 760° С 16 ч, охлаждение на воз- духе
12
Продолжение табл. 1.1
Юра- Т °C	°а	°0,2	б	4	01 оо	(Лоэо	°0,2/100	Область применения
। Темг тура	кгс/мм2			/о		кгс/мм		
20	83	50	24	40						Диски цельнокованых
630	67	44	21	27	30	23	—	и сварных роторов. Л о-
650	57	42	15	24	30	—	—	патки, крепежные детали,
700	48	41	10	15				работающие при темпера- турах до 650° С
20	59	28	51	74	31	25		Трубные элементы, де-
600	38	18,3	29	62	29	20	—	тали котлов, работающие
625	36	18,2	38	71	22	17	—	при температурах до
650	33	17,8	41	66	—	—	—	550—600° С
20	110—115	70	17	18							Диски, дефлекторы, си-
550	88—93	60	22	26	80	71	58—59	ловые кольца, лопатки.
600	85—90	57	22	23	70	55—58	55—58	валы, крепежные детали
700	82—84	56	16	21	44	30—32	40	турбин, работающие при
750	67	—	14	29	32	—	25	температурах до 700° С
800	55	44	16	36	22	10—12	17	
20	105-	65	30	35							Лопатки, крепежные
650	70—75	55	10	12	—	40	—	детали, работающие при
700	68	50	7	6	43	30		температурах до 700° С
20	125—140	80—85	15	20				Рабочие и сопловые
800	100—105	75—80	11	17	47	35	41	лопатки турбины, рабо-
900	75—80	45—50	11	17	28'	14	15	тающие при температу-
950	55—70	33—40	7	12	19	9	8	рах до 900—950° С
1000	47—50	25—30	10	17	10—11				
1050	33—40	—	—	16	—	—	—	
20	141	99	18	20				Лопатки турбин, рабо-
815	94	80	33	42	41	30	—	тающие при температу-
870	70	64	33	45	29	19,6	—	рах до 900° С
980	35	30	28	28	11,2			
13
Материал	Марка	Основной химический состав, %	Термическая обработка	
Никелевые сплавы	Уаспалой	С 0,07; Сг 19; Со 14; Ti 3,0; Al 1,3; Mo 4,3; Fe 1,0; Ni — основа	Закалка при 1080° С 4 ч на воздухе. Старение при 840° С 24 ч, охла- ждение на воздухе. Ста- рение при 760° С 16 ч, охлаждение на воздухе	
	ЖС6К	С 0,16; Сг 9,5; Ti 2,5; Al 5; Co 4,5; W 5,0; Mo 4; Ni — основа	Закалка при 1220° С 4 ч на воздухе	
	MAR 246	C 0,15; Cr 9; Ti 1,5; Al 5,5; Co 10; Mo 2,5; Ta 1,5; Ni — основа	Закалка при 1180— 1200° С 2—4 ч на воз- духе	
Сплавы туго- плавких металлов	Сплав на основе молибдена ВМ-2	Ti 0,8—1,3; Zr 0,36; Nb 0,25—0,5; C 1 — 1,8; Mo — основа	Отжиг для снятия на- пряжений при 900— 950° С, рекристаллиза- ционный отжиг при 1200—2000° С	
	Сплав на основе ниобия ВН-4	Mo 8,5—10,5; Zr 1—2; C 0,25—0,4; La 0,Ol- О.45; Nb — основа		
	Сплав на основе вольфрама	ThO2 2,0; W — основа		
14
Продолжение табл. 1.1
iepa- Т °C	%	2	б	4>	О’11)0	0 : о ) о		.Область применения
>- я S О. ф >,	кгс/мм2		%			кгс 'мм		
20 650 730 815 870	132 120 90 70 55	80 72 70 60 54	30 33 30 32 34	28 33 38 45 54	77 50 28 16	60 37 17 12	1 1 1 1 1	Диски, лопатки тур- бин, работающие при тем- пературах до 750—800° С
20 800 900 1000 1030	90—100 90—94 75—80 50—57 40—47	85 85 52 32 26	3 2,5 1 3 3	11 10 6 7 7	51—53 32 15-16 12	38 16 6,5	38 20 6	Лопатки сопловых ап- паратов, работающие при температурах до 1050— 1100° С. Рабочие ло- патки турбин
760 815 871 982 1038	—	—	—	1 1 1 1 1	70 53 43 19 13,4	62 46 30 13	1 1 1 1 1	
20 800 1000 1100 1200 1300 1400	75 57 52 45	68	10 13 10 13	30 60 60 70	37 26 15 7,5 5	34 21 9—10 4,5	1 1 1 1 1 1 1	Детали, длительно ра- ботающие в вакууме или нейтральной среде и в других средах с за- щитными	покрытиями при температурах до 1100° С
20 1050 1100 1150 1200	81 54	73 45—50	16 15	33 47	28 22	23	1 1 1 1 1	
20 1370 1650 1912 2190	20, б' 18,5 12,3	—	—	—	16,1 8,0	—	—	
15
Таблица 1.2
Сплав	Т, °C		гп2	m, Ш,
	600	21			
ХН77ТЮР	700	15,8	7,2	2,2
(ЭИ437)	800	12,8	5,7	2,1
	900	10	4,5	2,2
	700			14,7		
ХН55ВМТФКЮ	850	14	6,9	2,0
(ЭИ929)	900	—	6,2	—
	950	10,8	5,4	2,0
	700	21,3		. 	
	800	10,9				
ЖС6К	900	10,3	5,9	1,8
	1000	—	5,0	—
	1050	—	4,1	—
	600	20				
ХН70ВМТЮ	700	17	8,5	2,0
(ЭИ617)	800	12,5	6	2,08
	900	9,2	4,8	1,92
скольжением, связанным с большой деформацией ползучести, на-
капливаемой до разрушения.
Неравномерность деформирования различных элементов струк-
туры (зерен, границ зерен, двойников) приводит к возникновению
высоких напряжений в микрообъемах металла, особенно в местах
стыков зерен, и образованию трещин (клиновидного характера) по
границам зерен и двойников, предшествующих разрушению образца
[19]. Развитие трещины при более низких напряжениях, свойствен-
ных правой ветви кривой длительной прочности, связано с разупроч-
нением границ зерен, с появлением на границе микропор, число и
размеры которых возрастают по мере увеличения длительности дей-
ствия температуры и напряжения.
При температурно-временнь!х условиях, соответствующих пере-
ходу от одного вида разрушения к другому, изменяются соотноше-
ния между вкладом различных механизмов деформирования в об-
щую деформацию, что проявляется также в изменении форм кри-
вых ползучести. Для напряжений, соответствующих первому уча-
стку кривой длительной прочности, кривые ползучести имеют ха-
рактер, представленный на рис. 1.2. Быстрое нарастание ползуче-
сти во времени и отсутствие участка с затухающей скоростью свя-
заны с преобладанием механизма скольжения, свойственного кратко-
временным испытаниям при высоких напряжениях. Тот факт, что
значения пределов кратковременной прочности аь при соответствую-
16
щих температурах хорошо укладываются на продолжение первых
участков кривых длительной прочности в области от 0,01 до 0,02 ч
(см. рис. 1.5), подтверждает общность механизма разрушения при
кратковременном и длительном статическом нагружении относительно
высокими напряжениями.
Способы приближенного определения характеристик длительной
прочности. Как правило, испытания на длительную прочность
проводят при двух-трех уровнях температуры. Для определения за-
висимости между пределом длительной прочности сгдл и временем до
разрушения tp при промежуточных уровнях температуры Т исполь-
зуют различные способы интерполяции.
Так, анализируя экспериментальные данные по пределам дли-
тельной прочности в зависимости от температуры, Мэнсон и Хэфферд
пришли к выводу, что отношение [37]
(где Т — температура испытания, °C;	— время до разрушения;
Та, 1g ta — постоянные) представляет собой параметр, зависящий
только от напряжения.
Обобщенная кривая длительной прочности, построенная по па-
раметру Мэнсона—Хэфферда по результатам испытаний при различ-
ных температурах сплава ХН70ВМТЮ, представлена на рис. 1.6, а.
На приведенном графике точки, соответствующие большим зна-
чениям напряжений, не лежат на общей кривой. Намечаются три
ветви отклонений от общей кривой: к первой относятся напряжения
от 58 до 72 кгс/мм2, ко второй — от 48 до 68 кгс/мм2, к третьей —
от 28 до 38 кгс/мм2.
Если обратиться к первичным кривым длительной прочности
сплава ХН70ВМТЮ (см. рис. 1.5), то можно видеть, что первая
группа напряжений относится к левому участку кривой длительной
прочности при 700° С, вторая группа — к левому участку кривой
при 800° С и третья группа — к левому участку при 900° С.
Используя значения постоянных в параметре Мэнсона—Хэф-
ферда, одинаковых для всех напряжений независимо от наличия
переломов на кривых длительной прочности, невозможно предста-
вить результаты всех испытаний единой кривой в зависимости от
параметра Рм.
Таким образом, применение параметрической зависимости Мэн-
сона—Хэфферда ограничено температурно-временнь!ми интерва-
лами, в которых кривые длительной прочности в двойных логариф-
мических координатах описываются одним участком без перелома.
Экстраполяционное определение характеристик длительной проч-
ности за пределами этих интервалов приводит к существенным по-
грешностям. Их можно избежать, построив раздельные параметри-
ческие зависимости для разных видов разрушения, каждый из ко-
торых описывается своим участком кривой длительной прочности
(рис. 1.6, б).
17
b. л гс/iw'
Рис. 1.6. Обобщенная кривая длительной прочности сплава ХН70ВМТЮ, построен-
ная по параметру Мэнсона—Хэфферда:
а — общему для всех температур и времени,	; б — зависящему от темпе-
*g 4” 2,5
ратуры и длительности, и выбираемому для кривых I и 2 согласно таблице:
Т, °C	t, ч	Кривая	рм.
600	До 1000	/	„ Т - 1000 Р' " IgtpH- 5
700	До Ю	/	т — юсо 1	lgtp + 5
	10—1000	2	Т — 1040 11 1g tp <2,5
800	До 5	I	Pl
	5—1000	2	Pll
900	До 1	I	Pl
	1-1000	2	Pll
Для нахождения параметрических зависимостей для различных
участков кривой длительной прочности требуется большое число
дополнительных построений. Кроме того, для получения представле-
ния о наличии и точке перелома на кривых длительной прочности
необходимо провести подробные испытания при разных темпера-
турах.
Более распространенной и простой является зависимость, пред-
ложенная Ларсоном—Миллером [36]
^ = ^(a) = T(lg/p + C),	(1.8)
где Т — абсолютная температура испытаний, К; /р — время до
разрушения; С — постоянная.
Испытания большого числа сплавов показали, что в действитель-
ности значение С зависит от температуры и меняется от 15 до 30,
однако приближенно можно считать С — const.
Статистическая оценка ошибки, получаемой при определении ха-
рактеристик длительной прочности по параметрической кривой
Ларсона—Миллера, была сделана по результатам испытаний боль-
шого числа образцов (до 300 на один уровень напряжений) из жаро-
прочного никелевого сплава ХН56ВМКЮ и нержавеющей стали
1Х12Н2ВМФ [1, 26].
Распределение логарифмов долговечностей (1g /р) на одном уровне
напряжения подчиняется нормальному закону, среднеквадратич-
ное отклонение логарифмов долговечностей, характеризующее ди-
сперсию, в диапазоне от 10 до 1000 ч для сплава ХН56ВМКЮ равно
0,09—0,18; для сплава 1Х12Н2В1ЧФ — 0,18—0,36.
Расхождение между экспериментальными значениями долговеч-
ностей и полученными по параметрическим кривым с постоянным
значением С — 20 не выходит за пределы дисперсии характеристик
длительной прочности.
В качестве примера, иллюстрирующего возможное рассеяние
характеристик длительной прочности и учет его при экстраполяцион-
ных подходах, ниже приводятся результаты испытаний на длитель-
ную прочность литого сплава для лопаток турбин ЖС6К- Средние
значения логарифмов долговечностей, определенных при двух
уровнях напряжений (30 и 40 кгс/мм2) и 900° С, а также значения
средних квадратичных отклонений логарифмов этих долговечно-
стей даны в табл. 1.3.
Кривая длительной прочности, построенная по результатам
испытаний всех исследованных плавок сплава ЖС6К при различных
Таблица 1.3
а, кгс/мм2	Число образцов	Число плавок	(IS *р)ср	SIS /р
30	33	5	1,88	0,20
40	28	3	0,94	0,26
19
Рис. 1.7. Кривая Ларсоаа—Миллера для раз-
ных вероятностей разрушения (сплав ЖС6К)
температурах по пара-
метру Ларсона—Миллера,
представлена на рис. 1.7.
При этом в уравнении па-
раметра постоянная С бы-
ла выбрана равной 20,
что было подтверждено
расчетом по ряду экспе-
риментальных точек.
В правом верхнем углу
графика приведены кри-
вые распределения лога
рифмов долговечностей
в соответствующих веро-
ятностных координатах.
По оси абсцисс этого гра-
фика отложены логарифмы
долговечностей 1g tp, по
оси ординат — вероят-
ность разрушения, вычи-
Ph
= —гт >
п -J- 1
где k — порядковый номер
образца в ряду значений
долговечностей, составлен-
ном в порядке возраста-
ния; п — число образцов,
испытанных при постоян-
ном уровне напряжений.
По кризым распределения долговечностей для напряжений ст,,
о2 и т. д. были найдены значения времени, соответствующие задан-
ной вероятности, и вычислены значения параметра Ларсона—Мил-
лера. Кривые распределения вычисленных по этим значениям долго-
вечностей величин параметра приведены в нижнем левом углу гра-
фика. Параметрические кривые, построенные с помощью рассмо-
тренных кривых распределения, дали возможность с заданной ве-
роятностью определить пределы длительной прочности сплава ЖС6К
для требуемых времени и температуры.
Значения пределов длительной прочности сплава ЖС6К, опреде-
ленные по параметрической кривой, приведенной на рис. 1.7, удо-
влетворительно совпали с экспериментальными, полученными при
температурах от 800 до 1000° С.
Поскольку приближенные способы основаны на феноменологи-
ческом описании результатов экспериментов, применять эти методы
с достаточной надежностью можно лишь в экспериментально прове-
ренном диапазоне параметров. Экстраполяция за рамки проверен-
ного диапазона параметров требует большой осторожности и допу-
стима по длительности испытаний не более чем на один порядок,
а по температуре (особенно в область повышения) не рекомендуется.
20
Способы приближенного определения характеристик ползучести.
В практических расчетах необходимо иметь характеристики ползу-
чести материала в широких интервалах температуры и времени.
Так как экспериментальные данные охватывают весьма ограничен-
ный диапазон указанных параметров, то возникает проблема эк-
страполяции и интерполяции характеристик ползучести.
Для этой цели можно использовать перечисленные выше темпе-
ратурно-временные параметры, например, параметр Ларсона—Мил-
лера, в зависимости от которого можно построить пределы пол-
зучести по заданному допуску деформации. При таком представле-
нии результатов испытаний на ползучесть используется ограничен-
ное число точек каждой кривой ползучести, например ес = 0,1;
0,5; 1%, по которым можно приблизительно восстановить полную
кривую ползучести для недостающих значений температур и напря-
жений. Возможны способы экстраполяционного определения ха-
рактеристик ползучести с помощью уравнений, учитывающих фи-
зические особенности микромеханизмов, определяющих развитие
пластических деформаций и накопление повреждений во времени
[28]. Примером такого уравнения, описывающего связь между ско-
ростью ползучести ес, температурой Т и действующим напряжением о,
является следующее:
*	пгг<— ft П / d   \
ес = ВТ о ехр (------,
где В, a, d, k, п — параметры, отражающие особенности поведе-
ния материала в условиях длительного статического нагружения.
Необходимость определения большого числа параметров затруд-
няет возможность практического использования уравнений подоб-
ного типа. Кроме того, в связи с тем, что значения параметров со-
храняются постоянными лишь в некотором интервале температур
и времени, характеризуемом определенным механизмом разрушения,
для установления границ этого интервала необходимо проведение
большого числа испытаний на ползучесть, сопровождающихся ис-
следованием микроструктурных особенностей разрушения.
Ниже рассматриваются способы описания ползучести с помощью
характеристик длительного разрушения, основанные на общности
процессов, лежащих в основе ползучести и длительного разрушения.
Время до разрушения tp является функцией скорости ползуче-
сти на установившемся участке [39]. Установлено, что произведе-
ние скорости установившейся ползучести на время до разрушения
является величиной примерно постоянной для данного материала,
т. е.
= const.	(1.9)
Эти зависимости дают возможность по скорости ползучести при-
ближенно оценить время до разрушения .или по результатам испы-
таний на одних уровнях напряжений оценить ползучесть на дру-
гих. Связь времени до разрушения со скоростью ползучести допол-
21
Рис. 1.8. Кривые распределения
долговечностей и времени до на-
копления заданной деформации
ползучести сплава ЖС6К (Т =
= 900° С):
I - ес = 0,2%; 2 - ес = 0,5%; 3 -
ес = 0.8%;	4 — разрушение; —
о = 30 кгс/мм2: О — Ч = 40 кгс/мма
нительно подтверждают эксперимен-
ты, проведенные с целью статисти-
ческой оценки характеристик ползу-
чести [23, 25].
В процессе опытов, описанных
в работе [23], было испытано на пол-
зучесть по 10—12 образцов на одном
уровне напряжений. Результаты
испытаний на ползучесть сплава
ЖС6К при 900° С с доведением об-
разцов до разрушения, представ-
ленные на рис. 1.3, свидетельствуют
о том, что образцы, характеризуе-
мые быстрым накоплением ползуче-
сти, имели меньшее время до разру-
шения (при о = 30 кгс/мм2 /р = 44 ч;
при о = 40 кгс/мм2 = 3 ч) и, на-
оборот, при медленном накоплении
ползучести образцы разрушались
через более длительное время (при
о = 30 кгс/мм2
— 40 кгс/мм2
кривым ползучести
цам определено время до накопления заданной
мации ползучести ес = 0,2; 0,5; 0,8%.
Распределение вероятностей логарифмов этих
ное на нормально-вероятностной бумаге, показано на рис. 1.8. На
этом же графике приведены кривые распределения логарифмов вре-
мени до разрушения, построенные на основании испытаний на дли-
тельную прочность тех же образцов, по которым были получены кри-
= 80 ч; а =
11 ч). По таким
по 10—12 образ-
величины дефор-
времен, нанесен-
вые ползучести.
Линейная аппроксимация зависимости Р—1g /, построенной на
нормально-вероятностной бумаге, свидетельствующая о нормальном
законе распределения долговечностей, оказалась возможной как
для времени до разрушения, так и для времени до накопления задан-
ной деформации ползучести. Поэтому принятый ранее закон нормаль-
ного распределения логарифмов долговечностей, подтвержденный
результатами испытаний большого числа образцов (до 300 на уровень
напряжения), был распространен и на распределение логарифмов
времени до накопления заданной величины ползучести.
Результаты проведенных испытаний позволили определить пара-
метры нормального распределения (средние значения lg tp и средние
квадратические отклонения логарифмов времени до накопления за-
данной деформации ползучести). Последние составили для отдельных
плавок литого сплава ЖС6К SIg < = 0,15=0,25, для марки в целом
5ig z = 0,3=0,45.
Приведенный статистический анализ результатов испытаний на
ползучесть показывает, что дисперсия логарифма времени до нако-
22
пления заданной величины деформации мало зависит от величины
деформации и внутри плавки примерно равна дисперсии времени
до разрушения.
Так как при обработке результатов испытаний на ползучесть
сплава ЖС6К использовали данные, полученные на разных плавках
в разное время и в различных организациях, то повышенный раз-
брос характеристик ползучести объясняется не только различиями
в плавках, но и различиями в условиях испытаний. Отметим, что
скорость ползучести, особенно на начальных участках, в большей
степени зависит от условий испытаний, чем от времени до разру-
шения.
Поэтому, несмотря на несколько повышенное рассеяние характе-
ристик ползучести для сплава ЖС6К, проведенное исследование
позволяет сделать вывод о том, что о дисперсии долговечности до
разрушения можно судить по результатам испытаний на ползучесть,
и, наоборот, испытания на длительную прочность (достаточного для
оценки рассеяния долговечности
количества образцов) могут дать
представление о дисперсии вре-
мени до накопления любой задан-
ной величины деформации ползу-
чести. Такие же результаты
получены при испытании спла-
вов ЖС6КП, ХН56ВМКЮ,
ХН70ВМТЮФ.
Полученные данные, статисти-
чески подтверждающие связь ме-
жду скоростями ползучести и вре-
менем до разрушения, позволяют
проверить возможность представ-
ления результатов испытаний на
ползучесть в зависимости от функ-
ции времени до разрушения /р.
Такой функцией, характеризую-
щей ползучесть, может быть, со-
гласно предложению Мэнсона, от-
носительная долговечность tltp [38].
На рис. 1.9 представлены кри-
вые ес ==	, построенные по
X *р /
средним результатам испытаний
сплава ЖС6К различных плавок
при 900° С и при различных зна-
чениях напряжений. Штриховыми
линиями на этом графике показа-
ны линии границы области, полу-
ченной при построении в выбран-
ной системе координат всех кривых
ползучести при о = 16—40 кгс/мм2.
Рис. 1.9. Зависимость ес от относитель-
ной долговечности сплава ЖС6К (Т =
= 900° С):
Точка	•	▼	О	□	X	А	о		О
Условный номер плавки	1			2		3		4	
а, кгс/мм2	40	39	40	30	30	20	16	29	20
?Р ср- 4	6,5	59	19	125	90	600	1300	120	600
23
Из приведенных данных следует, что представление результатов
испытаний при всех уровнях напряжений единой зависимостью
£c = f(-pi	(1-Ю)
fp /
дает возможность определять деформацию ползучести для данного
времени t и напряжения, для которого известно значение долговеч-
ности tp по кривой длительной прочности, с ошибкой 20—50%. Эта
ошибка при t gz (0 7ч-0 8) tp вписывается в рассеяние, свойственное
сплаву данной марки.
Единая для постоянной температуры зависимость между дефор-
мацией ползучести и отношением t/tp, характеризующим повреждае-
мость от длительного нагружения, экспериментально проверена
для ряда жаропрочных сплавов при относительно высоком уровне
напряжений, вызывающих разрушение через 50—100 ч. Использо-
вание такой зависимости при более низких напряжениях, как пока-
зывают отдельные экспериментальные данные, может привести к су-
щественной погрешности. Поэтому рассмотренный способ предста-
вления ползучести в зависимости от повреждаемости может служить,
как и большинство других, для приближенного определения характе-
ристик ползучести в ограниченном температурно-временном интер-
вале.
2.	Ползучесть и длительная прочность
при различных напряженных состояниях
Характеристики ползучести и длительной прочности обычно опре-
деляют в опытах на растяжение. Экспериментальные данные для
других напряженных состояний имеются в весьма ограниченном
объеме, однако они важны для инженерных расчетов.
Сжатие. Ввиду больших методических трудностей проведения
испытаний на сжатие характеристики ползучести при этом виде
нагружения, как правило, отсутствуют в справочной литературе,
и при расчетах на ползучесть при сжатии пользуются кривыми пол-
зучести, полученными при растяжении, предполагая, что они сов-
падают с кривыми при сжатии.
Ряд опытов подтверждает справедливость этого предположения.
Известны результаты испытаний Салли, Торшенова и других иссле-
дователей, показавших на изотропных материалах различного класса,
что кривые ползучести при одинаковых по величине напряжениях
сжатия и растяжения практически совпадают [20, 27].
Наблюдаемое иногда ускорение на первых стадиях нагружения
сжатием может быть связано с неточностями измерения деформации
малых величин или с рассеянием, свойственным характеристикам
ползучести как при растяжении, так и при сжатии.
Результаты статистической обработки кривых ползучести, полу-
ченных при испытаниях на сжатие и растяжение образцов из литого
сплава ЖС6К при 900° С, свидетельствуют о том, что дисперсия вре-
мени до накопления заданной относительно малой деформации пол-
24
зучести (0,2 и 0,5%) практически одинакова. Кривые ползучести
при сжатии (штриховые линии) и растяжении (сплошные линии) и
кривые распределения логарифмов времени до накопления дефор-
мации 0,2% приведены на рис. 2.1.
Одинаковость дисперсии характеристик ползучести при сжатии
и растяжении свидетельствует о том, что метод испытаний на ползу-
честь при сжатии не вносит существенных отклонений в результаты
испытаний по сравнению с испытаниями на растяжение.
Испытания проводили на машинах длительной прочности, осна-
щенных реверсом нагрузки. Диаметр рабочей части образцов для
испытаний на сжатие 10 мм, рабочая длина 30 мм.
Результаты таких же испытаний при 900° С деформированного
сплава ХН56ВМКЮ на образцах, вырезанных из прутка в продоль-
ном направлении, представлены также на рис. 2.1, из которого
следует, что и для деформированного сплава до деформаций ползу-
чести 0,3—0,5% возможно считать одинаковыми кривые ползучести
при сжатии и растяжении.
Подобные же результаты были получены при испытании на сжа-
тие деформированного сплава ХН77ТЮР при различных темпера-
турах и напряжениях [3]. Кривые ползучести при сжатии этого
сплава практически совпали с кривыми ползучести при растяжении.
При больших деформациях кривые ползучести при сжатии и
растяжении существенно расходятся.
Во избежание неравномерного деформирования образца при сжа-
тии, следует испытывать образцы или с коническими головками,
или с заплечиками для устранения возможного искривления образца,
а также необходимо применять меры, устраняющие эксцентриситет
нагружения, и ограничивать отношение длины к диаметру (не более
3: 1).
Достоверное определение разрушающих характеристик при сжа-
тии, особенно тех материалов, у которых разрушению предшествует
накопление значительной деформации ползучести, вызывает боль-
шие затруднения. Как правило, такие характеристики описывают
не свойства материала, а поведение образца как детали, зависящее
от сочетания свойств материала с формой и размерами образца.
Рис. 2. 1. Кривые ползучести при
растяжении и сжатии:
/, 2 — ЖС6К. 900° С; а = 40 кгс/мм2;
3,4 — ЖС6К. 900° С; а = 30 кгс/мм2; 5,
6 — ХН56ВМКЮ, 900° С; а = 40 кгс/мм2;
7, 8 — ХН56ВМКЮ, 900° С; а = 27кгс/мм2;
/ — сжатие S]g g= 0,26; // — растя-
жение S|g ia = 0,25
Рис. 2.2. Кривые длительной прочно-
сти при растяжении и сжатии сплавов
ЖС6К (/) и ХН56ВМКЮ (2), Т - 900° С
Работоспособность пластичного
материала, работающего в усло-
виях ползучести при сжатии, сле-
дует считать исчерпанной в стадии,
близкой к моменту интенсивного
сдвигообразования.
Наблюдения за структурой ма-
териала и внешним видом образца,
подвергнутого длительному нагру-
жению сжатием, позволили опре-
делить момент такого интенсивно-
го сдвигообразования и построить
кривые длительной прочности при
сжатии (штриховые линии), ко-
торые для сплавов ЖС6К и
ХН56ВМКЮ в сопоставлении
с кривыми длительной прочности при растяжении (сплошные ли-
нии) представлены на рис. 2.2. Судя по этим кривым, пределы дли-
тельной прочности при нагружении одноосным сжатием можно
принимать на 40—50% выше пределов длительной прочности при
растяжении.
Кручение. Испытания на ползучесть при кручении распростра-
нены в значительно меньшей степени, чем при растяжении, что свя-
зано с необходимостью использования специальных способов изме-
рения деформаций, средств создания напряженного состояния на
образце и изготовления образцов, отличных по форме от используе-
мых при растяжении. Однако в ряде случаев испытания на круче-
ние предпочтительней в связи с тем, что дают возможность выявить
способность малопластичных материалов к деформированию, не
обнаруживаемую испытаниями на растяжение. Особенностью испы-
тания на кручение' является сохранение постоянства размера попе-
речного сечения в процессе длительных испытаний на кручение,
а следовательно, испытания в условиях постоянного во времени на-
пряжения при постоянном крутящем моменте.
Нагружение круглых стержней крутящим моментом позволяет
воспроизвести условия чистого сдвига — состояния, при котором
в плоскостях, перпендикулярных и параллельных оси стержня, дей-
ствуют только касательные напряжения. В случае тонкостенного
полого цилиндра, толщина стенки которого б 0,05/?, эти напря-
жения можно считать постоянными по толщине.
Для сопоставления ползучести при кручении и растяжении ре-
зультаты испытаний в виде зависимости интенсивности скоростей
установившейся ползучести от интенсивности касательных напря-
жений тх. представлены на рис. 2.3 для стали 12Х18Н9Т при 600° С [13].
Предположение о существовании единой обобщенной зависимости
или V; = f (а;) (см. гл. 4) подтверждается эксперимен-
тально, хотя нз приведенных данных следует, что точки, соответ-
ствующие чистому растяжению, расположены несколько ниже, чем
26
полученные нри кручении. В опытах, проведенных Джонсоном на
большом числе образцов из различных материалов, такого расхо-
ждения не наблюдалось [34].
Следует иметь в виду, что сопоставление результатов испытаний
при растяжении и кручении, полученных на различных по форме
образцах (полом, тонкостенном и сплошном), может привести к не-
точным выводам в связи с различными свойствами таких образцов,
вызванными технологическими особенностями их изготовления [14,
18 и др. 1.
Сочетание различных видов нагружения. При проведении опытов
на ползучесть при сложном напряженном состоянии необходимо
оценивать возможные отклонения, связанные с особенностью нагру-
жения, формой образцов, анизотропией упрочнения и разупрочне-
ния, структурными изменениями в процессе действия высоких тем-
ператур и напряжений.
Только после тщательного анализа влияния каждого из упомя-
нутых факторов на результаты испытаний можно делать выводы
о значимости полученных особенностей поведения материалов для
описания общих закономерностей ползучести в условиях сложного
напряженного состояния.
Испытания на ползучесть, проведенные на трубчатых образцах
из различных материалов, в основном при сочетании кручения и ра-
стяжения показали возможность описания всех результатов испы-
таний, полученных при различных отношениях т/ст, единой зависи-
мостью интенсивности напряжений от интенсивности сдвиговых де-
формаций [13,34,401. Однако в отдельных случаях наблюдались
некоторые отклонения результатов, полученных при чистом кру-
чении от общей кривой (рис. 2.3)
Испытания на растяжение в сочетании с кручением дают воз-
можность реализовать плоское напряженное состояние, при котором
отношение главных нормальных напряжений изменяется от 0
(чистое растяжение) до —1 (чистое кручение), т. е. главные напря-
жения всегда противоположны по знаку.
Для получения любых сочетаний главных напряжений, в том
числе и таких, при которых оба главных напряжения одинакового
знака (что характерно для условий работы таких деталей, как пло-
Рис. 2.3. Кривая зависимости интенсивности
касательных напряжений от интенсивности
скорости ползучести сплава 12X18Н9Т,
Т = 600° С — растяжение; о — круче-
ние)
Точка	□	А	V	+	О	О
T/J	2	1	0,6	0.5	0,4	0,3
27
ские вращающиеся диски, сосуды под внутренним давлением и др.),
проводят испытания при сочетании растяжения (сжатия) с внутрен-
ним давлением. Такие установки сложны по конструкции; для изме-
рения деформации в окружном направлении требуются специаль-
ные приспособления. Из работ, проведенных при действии только
внутреннего давления, позволяющего осуществлять нагружение при
О] — 2а, (^(>0, а,>0), известен ряд исследований [6,331.
При этих опытах выявлено отсутствие осевой ползучести и
показано, что в случае отсутствия анизотропии свойств равным ин-
тенсивностям напряжений соответствуют равные интенсивности ско-
ростей ползучести.
В испытаниях, проведенных Кеннеди и другими исследователями
на никелевом сплаве инконель при 815° С, действие внутреннего да-
вления сочеталось с действием осевой нагрузки [351. Полученные
результаты испытаний, как и большинства исследований ползуче-
сти при относительно низких уровнях напряжений, проведенных на
различных материалах и при разных сочетаниях напряженных со-
стояний, подтвердили возможность описания результатов испытаний
на ползучесть зависимостями между интенсивностью скоростей де-
формаций и интенсивностью напряжений, аналогичными на разных
участках кривой ползучести соответствующим зависимостям между
напряжениями и скоростями при одноосном напряженном со-
стоянии.
В опытах Наместникова на нержавеющей аустенитной стали
ЭИ 257 и алюминиевом сплаве Д16Т кривые ползучести, полученные
при различных отношениях т/а, но при одинаковом значении интен-
сивности напряжения, расходятся и располагаются между кривыми,
полученными при чистом растяжении и чистом кручении, причем
при растяжении ползучесть накапливается быстрее, чем при круче-
нии [10]. Для описания всех результатов испытаний на ползучесть
единой кривой автор предложил комбинированную функцию от аг
И I Тщах I в виде
moi । 1ттах!	,\
°экв = —д--1---
где т, А, До — постоянные, определяемые из опыта при простых
видах напряженного состояния.
При определении этих постоянных следует учитывать анизотро-
пию свойств, которая оказалась существенной на испытанных мате-
риалах, и возможное различие в свойствах сплошных и трубчатых
образцов. В проведенных опытах скорость ползучести при растяже-
нии, оцененная на трубчатых образцах, была в 2—3 раза больше,
чем на сплошных.
Закономерности длительного разрушения с целью установления
определяющего критерия изучали многие авторы. Большая серия
опытов Джонсона, проведенных на молибденовой стали при 500° С,
меди при 250° С, никелевом сплаве при 650° С, позволила установить,
что определяющим время до разрушения, независимо от значений
других компонент действующих напряжений, является максималь-
28
ное главное напряжение сд, равенство которого пределу длительной
прочности при растяжении можно для этих материалов считать
критерием разрушения при сложном напряженном состоянии [34].
Испытания, проведенные в ЦНИИТМАШе, показали также, что
разрушение дисков из различных материалов, работающих при
плоском напряженном состоянии, происходит при равенстве пределу
длительной прочности одного из действующих главных напряжений
(подсчитанного с учетом ползучести), т. е. в соответствии с гипотезой
Джонсона [15].
Длительное разрушение, которому предшествует существенная
остаточная деформация, происходит в соответствии с критерием
интенсивности напряжений или максимального касательного на-
пряжения [6, 40]. Результаты испытаний на длительную прочность,
проведенных на сложнолегированном сплаве ЭП238ВД при нагру-
жении различными сочетаниями растяжения и кручения, приведены
на рис. 2.4. Испытания проводили при Т — 850° С на круглых труб-
чатых образцах с наружным диаметром 16 мм и толщиной стенки
0,5 мм.
Верхняя кривая получена при растяжении сплошных круглых
образцов диаметром 8,0 мм. Получено существенное расхождение
в результатах испытаний сплошных и трубчатых образцов, особенно
сильное при времени более 100 ч, при котором на кривой длительной
прочности трубчатых образцов обнаруживается резкий перелом,
связанный с интенсивным окислением тонкой стенки образца с вну-
тренней и наружной поверхности, как и в работах [10, 21].
Представление результатов всех испытаний зависимостью д =
= f (f) показывает, что за критерий разрушения испытанного сплава
с относительно малой пластичностью (6Р1ОО = 2—3%; фр]00 ~
— 3-?-4%) можно принять также интенсивность напряжения

60
so
6ft), кгс/мм2
70
Рис. 2.4. Длительная
прочность	сплава д/
ЭП238ВД при плоском
напряженном состоянии
(Т = 850° С):
1 — чистое Растяжение: а — 20
сплошные образцы; б —
трубчатые образцы: 2 — ра-
стяжение + кручение (г =
= 8,5 кгс/мм2); 3 — растя-
жение 4- кручение (г —
в 20 кгс/мм2; 4 — чистое
кручение; 5 — О — Д = f (/)
(построена по кривым /б-
2. 3, 4)
10
29
Соответствие поведения материалов в условиях ползучести при
сложном напряженном состоянии тому или иному критерию разру-
шения зависит от особенностей накопления деформации ползучести
на третьем участке кривой и характера трещинообразования. В слу-
чае, если разрушению предшествует накопление значительной де-
формации, то разрушение, как и ползучесть, определяется интенсив-
ностью напряжений <т; или максимальными касательными напряже-
ниями. В случае образования большого числа трещин перед
разрушением и относительно хрупкого излома за критерий раз-
рушения может быть принято максимальное главное напряжение
[34].
При наличии переломов на кривой длительной прочности, сви-
детельствующих о переходе от одного вида разрушения к другому,
один и тот же материал в зависимости от уровня действую-
щего напряжения, длительности до разрушения и температуры
испытаний может подчиняться различным критериям разруше-
ния.
В подавляющем большинстве случаев разрушение деталей на-
чинается с поверхности, где имеет место плоское напряженное со-
стояние, для которого интенсивность напряжения связана с глав-
ными напряжениями Стх = сгтах и сг2 (при сг3 = 0) формулой
= V CTf -— СГЩ2 +	(2.2)
Из формулы (2.2) следует, что для деталей, работающих при по-
ложительных значениях обоих главных напряжений, <тг > 0 и
а2 > 0 (вращающиеся диски — равномерно нагретые, а при дли-
тельной работе после релаксации температурных напряжений и
неравномерно нагретые; сосуды под внутренним давлением; детали
с кольцевыми выточками и др.), наибольшая разница между зна-
чениями crz и не превышает 13%, что не выходит за пределы есте-
ственного разброса данных по пределам длительной прочности.
Так как при этом 5» оу, то определяющим критерием длительного
статического разрушения в этих условиях целесообразно всегда
считать
Для деталей, в которых главные напряжения имеют разные знаки
(неравномерно нагретые вращающиеся диски при не очень большом
времени работы, элементы корпусов и др.), су может значительно
превосходить су, и в этом случае в качестве определяющего крите-
рия целесообразно принимать су. .
В некоторых работах рассмотрены возможности введения обоб-
щенных критериев, представляющих собой некоторые комбинации
су и су иногда в сочетании с дополнительными экспериментальными
константами. Так, по Сдобыреву В. П. [21]
®экв — 2	(2'3)
за
Согласно выражению (2.3) отношение предела прочности при рас-
тяжении к пределу прочности при сжатии для всех материалов со-
^Д.1. Р П £
ставляет  ---= и,о.
''дл. сж
А. А. Лебедевым предложено выражение, являющееся также
функцией интенсивности напряжений и максимального нормального
напряжения, в более общей форме описывающее роль касательного
п нормального напряжения в разрушении с помощью постоянной,
равной отношению *?дл-р , определяемой из опыта для каждого ма-
териала [14].
В выражение, предложенное Труниным И. И., кроме большого
числа постоянных, отражающих влияние нормальных и касатель-
ных напряжений, входит величина, являющаяся функцией интен-
сивности напряжений и среднего напряжения [29].
Использование обобщенных критериев позволяет в принципе
более полно описать условия разрушения с учетом особенностей
каждого материала. Для нахождения входящих в обобщенные кри-
терии постоянных требуется проведение испытаний при разных ви-
дах напряженного состояния (например, кручение, растяжение и
сжатие).
Сведения о длительной прочности при разных видах напряжен-
ного состояния для широкого круга материалов отсутствуют, ввиду
чего для определения постоянных необходимо провести специаль-
ные испытания по нестандартной методике. Достоверность результа-
тов, полученных при этом, и соответствие их данным, определяемым
на стандартных образцах, необходимо подтвердить большим числом
испытаний.
Для практического расчета на длительную прочность по обоб-
щенным критериям деталей, работающих при сложном напряженном
состоянии, необходимы дополнительные экспериментальные данные
и характеристики их рассеяния.
3.	Кратковременная прочность
«Мгновенная» кривая деформирования. Накопление деформаций
в процессе монотонного возрастания напряжений характеризуется
«мгновенной» кривой деформирования, под которой подразумевается
связь между напряжением и упругопластической деформацией,
полученной при таких температурах и скоростях нагружения, при
которых влиянием ползучести можно пренебречь.
Чем выше температура испытаний и ниже скорость нагружения,
тем с меньшей достоверностью экспериментальная кривая о — f (в)
описывает процесс мгновенного упругопластического деформирова-
ния. Деформация ползучести, накапливаемая в процессе монотон-
ного возрастания нагрузки, приводит к существенному отклонению
диаграммы деформирования от мгновенной. Поэтому приводимые
в справочной литературе значения пределов текучести при высоких
температурах представляют собой напряжения, вызывающие задан-
ную остаточную деформацию, включающую обычно как мгновенную
31
Рис. 3.1. Кривые деформирова-
ния в зависимости от скорости
нагружения:
1 — сталь ЭИ415: Т = 20° С; 2 —
сталь ЭИ415, Т — 500° С; а —
сталь 37Х12Н8Т8МФВ, Т = 20° С;
4 — сталь 37Х12Н8Т8МФБ, Т =
= 500° С
пластическую деформацию, так и пол-
зучесть. Значений пределов прочности,
используемые при расчетах, также не
всегда характеризуют разрушение
только от действия монотонно возра-
стающего напряжения: временные эф-
фекты, проявляющиеся при высокой
температуре даже за малые интервалы
времени, приводят к накоплению пол-
зучести. Примерно таков же механизм
разрушения от так называемой крат-
ковременной ползучести, происходящей
под действием высоких напряжений,
приводящих к накоплению как упру-
гопластических деформаций, так и пол-
зучести. Общность механизмов разру-
шения от ползучести под действием
высоких кратковременно действующих
постоянных напряжений и от моно-
тонно возрастающих напряжений под-
тверждается приведенными выше кри-
выми длительной прочности (рис. 1.5),
на которых указаны пределы кратко-
временной прочности, полученные при
испытании на разрыв при скоростях
деформирования I • 10~ 2—5-10" 2%/с,
что соответствует стандартным испы-
таниям на разрыв.
Изменение протекания кривых деформирования в зависимости от
скорости деформации представлены на рис. 3.1 для аустенитной стали
37Х12Н8Т8МФБ и перлитной стали ЭИ415 разной твердости, испы-
танных при 500° С и двух значениях скорости деформирования:
е = 8,5-10"2%/с (штриховые линии) и е = 4-10~4%/с (сплошные
линии).
Из приведенных кривых и данных табл. 3.1 следует, что увели-
чение скорости деформирования в 200 раз приводит к незначитель-
ному изменению основных характеристик материала, оцениваемых
испытаниями на разрыв при монотонно возрастающих напряжениях:
пределы прочности несколько возрастают, пределы текучести воз-
растают более заметно; значения модулей упругости, характеризую-
щих наклон кривых деформирования в упругой области, не изме-
няются; характеристики пластичности при разрушении (5, ф) почти
не меняются.
Резкое увеличение скоростей деформирования, создаваемое с по-
мощью ударных нагружений, дает возможность получить динами-
ческую кривую деформирования и существенное возрастание харак-
теристик кратковременной прочности. Однако такая скорость де-
формирования характерна для работы детали в особых условиях
ударного нагружения. Для оценки кривых деформирования, которые
32
Таблица 3.1
Сталь	Твер- дость	сд = 4.10— %/с					V =8,5.10-			%/С	
		%		S к	Ф	б		%,2		ф	б
		кгс/мм2			%		кгс/мм-‘			%	
37Х12Н8Т8МФБ	3,8	62	32	90	40,5	13,5	62	39,5	91	40	12
	3,2	80	67	108	36,5	8,2	82	72	112	37	7
ЭИ415	3,8	60	46	102	74	8	62	52	116	74	8,5
	3,2	88	70	128	54	6	89	77	130	55	6,8
могут быть приняты за «мгновенные», для обычного статического
расчета в рабочем диапазоне температур достаточно, чтобы скорость
деформирования составляла 1 -10-1—5-10~2%/с.
Получаемый при такой скорости нагружения модуль упругости
также обычно используют для упругопластического расчета, хотя
модуль упругости, определенный при измерении частот собственных
колебаний, является более точным. Значения модуля упругости, по-
лученные при высоких температурах с обычными скоростями де-
формирования (1-Ю'1—5- 10-2%/с), как правило, занижены по
сравнению с динамическими модулями, так как в значения деформа-
ций, измеряемых при статических испытаниях, неминуемо входят
деформации ползучести. Значения модулей упругости для ряда жаро-
прочных материалов, определенные на образцах-камертонах по от-
носительному изменению частот собственных колебаний, даны
в табл. 3.2. Здесь указаны значения модулей упругости, определен-
ные при статических испытаниях.
При упругопластических расчетах используют кривые деформи-
рования при растяжении. При этом значения- модулей упругости
принимают одинаковыми как при монотонно возрастающем (на-
грузка), так и убывающем (разгрузка) напряжениях, хотя резуль-
таты специально поставленных испытаний показывают, что у не-
которых материалов значения модуля при разгрузке несколько сни-
жаются по сравнению с модулем при нагрузке [32, 8].
Большим числом исследований показано, что в условиях слож-
ного напряженного состояния при относительно небольших упруго-
пластических деформациях (до 0,5—1,0%) зависимости между интен-
сивностью напряжений и интенсивностью деформаций одинаковы
для любого вида напряженного состояния. При более высоких уров-
нях пластических деформаций в поведении метастабильных и ани-
зотропных материалов нарушается единственность кривых деформи-
рования для разных напряженных состояний [18].
Условия разрушения при сложном напряженном состоянии под
Действием возрастающей нагрузки, как и в случае длительно дей-
33
Таблица 3.2
£-10~4, кгс/мм- при Т °C
материала	200	300	400	500	SCO	700	750	800	850	900
XH77TIO	1,9	—		1,7	1,6	1,45		1,3		—
	2,1	1,98	1,93	1,85	1,76	1,68		1,6		1,45
37Х12Н8Т8МФБ	. 1,9	1,5	1,43	1,36	1,28	1.18	1,12"	—		—
	1,98	—	—	—	1,54	1,45	—	1,37		1,29
ХН70МВТЮБ	2,0				1,65	1,5	—	1,35	1,23	1,15
	2,1				1,77	1,7	1,64	1,58	1,52	—
ХН70ВМТЮ	2,0				1,65	1,5	—	1,45	1,4	1,3
	2,12				1,85	1,77	1,72	—	—	—
Примечание. В числителе указано значение модуля упругости, получениое при
статических испытаниях, в знаменателе — при динамических.
ствующей, определяют максимальным главным напряжением
или интенсивностью напряжений ст в зависимости от материала.
При оценке прочности конкретной детали критерий следует вы-
бирать в соответствии с рекомендациями, данными в разделе 2.
Взаимодействие ползучести и пластической деформации. Для усло-
вий работы ряда деталей характерно чередование накопления пла-
стической деформации в результате кратковременного возрастания
напряжения с деформацией ползучести, накапливаемой в результате
длительного действия напряжения.
Пластические деформации в деталях, в зависимости от их назна-
чения и конструкции, могут достигать различных величин. Так, до-
пускаемые суммарные вытяжки дисков турбин не превышают 0,02—
0,05%; местные пластические деформации в зонах концентрации
напряжений могут достигать значений, превышающих 1—2%.
Источником пластической деформации в поверхностных-слоях
деталей, подвергаемых механической обработке, может служить
нагрев и усилия при операциях резания или шлифования. Пласти-
ческие деформации, накапливаемые в этом случае, могут быть зна-
чительно больше, чем деформации, вызванные нагружением в про-
цессе эксплуатации.
Исследования, посвященные оценке влияния предварительной
пластической деформации на последующее поведение материала при
длительном статическом нагружении и предварительного длительного
действия статической нагрузки на последующее нагружение при воз-
растающем напряжении, позволяют оценить лишь изменение конеч-
ных характеристик разрушения (пределы длительной прочности,
кратковременной прочности и пластичность).
Такие испытания показывают, что в большинстве случаев вы-
держка в условиях ползучести при высоких температурах приводит
к понижению пластичности при дальнейших испытаниях на кратко-
34
временную прочность (охрупчивание). Величина охрупчивания за-
висит от длительности действия напряжения и, следовательно, накоп-
ленной деформации ползучести, а также от температуры испытания.
Кривые изменения коэффициента сужения поперечного сеченияф,
характеризующего пластичность при кратковременном разрыве,
в зависимости от относительной длительности выдержки при постоян-
ном напряжении (рис. 3.2), свидетельствуют о существенном охруп-
чивании материала как при нормальной, так и при высоких темпе-
ратурах. Изхменение свойств при длительном нагружении связано
как со структурными превращениями в материале в процессе вы-
держки под напряжением при высокой температуре, так и с образо-
ванием трещин в поверхностном слое [4].
При испытаниях на разрыв сплава ХН77ТЮР на образцах со
снятым поверхностным слоем толщиной 0,5 мм после длительной вы-
держки под напряжением до образования трещины удалось отделить
влияние трещин от влияния структурных изменений в сплаве. При
этом значения предела прочности сгв и истинного сопротивления раз-
рушению для образцов с трещинами и без них совпали. Это дало
основание полагать, что основным фактором, влияющим на состоя-
ние материала после длительного действия температуры и нагрузки,
являются не поверхностные трещины, а изменение состояния мате-
риала по всему сечению. Роль трещины более существенна в изме-
нении пластичности материала; на образцах со снятым поверхност-
ным слоем охрупчивание проявлялось меньше.
Результаты испытаний до разрушения при возрастающем напря-
жении последействия ползучести характеризуют суммарно как влия-
ние накопленной' в процессе пол-
зучести деформации, так и тех струк-
турных изменений, которые происхо-
дят в сплаве в результате его неста-
бильности при высокой температуре.
Влияние предварительного крат-
ковременного пластического дефор-
мирования на последующее поведение
материала в условиях длительного
статического нагружения чаще всего
оценивается по результатам испы-
таний на длительную прочность.
Рис. 3.2. Охрупчивание жаропрочных ни-
келевых сплавов от предварительно накоп-
ленной деформации ползучести:
1—4 — сплав ХН77ТЮР, Т — 20° С. выдержка
при а = 39 кгс/мм2 и Т — 700° С; • — после
снятия поверхностного слоя; 5 — сплав
ХН70ВМТЮ, Т — 800° С, выдержка при О =
= 34 кгс/мм2 и Т = 800° С; 6 — сплав
ХН70ВМТЮ, Т = 900° С, выдержка при а =
= 17 кгс/мм1 и Т = 900° С; 7 — сплав ХН77ТЮР,
Т = 700° С, выдержка при О = 49 кгс/мм2 и
Т = 700° С; в — сплав ХН77ТЮР, Г = 800’С,
выдержка при О = 25 кгс/мм’ и Т => 800° С
6. кгс/мм1
35
3*
Рис. 3.3. Кривые длительной проч-
ности сплава ХН70ВМТЮ в зависи-
мости от степени наклепа
рительной деформации. Малая
Кривые длительной прочности
никелевого сплава ХН70ВМТЮ
при 700, 800 и 900° С, получен-
ные на образцах, подвергнутых
пластическому деформированию
до разных значений остаточной
деформации, представлены на
рис. 3.3. С увеличением степени
предварительного наклепа сопро-
тивление длительному статичес-
кому разрушению при выбран-
ных температурах испытания
уменьшается. Исследования изме-
нения структуры сплава, подверг-
нутого испытаниям на ползучесть,
показывают, что в образцах с пред-
варительным наклепом под дейст-
вием высокой температуры и на-
пряжения происходит рекристал-
лизация материала и в тем боль-
шей степени, чем выше темпера-
тура испытаний и степень предва-
предварительная пластическая
деформация 0,2—0,5% не оказывает существенного влияния на
длительную прочность и ползучесть никелевых сплавов при темпе-
ратурах до 900° С, с повышением степени наклепа до 2% умень-
шается длительная прочность и ускоряется ползучесть при 800 и
900° С, а при дальнейшем увеличении наклепа длительная проч-
ность снижается, начиная с 700° С.
Таким образом, несмотря на то, что влияние предварительной
деформации индивидуально и зависит от сплава и температурно-
временнйх условий, для материалов реальных конструкций, рабо-
тающих при малых упругопластических деформациях (до 0,2—0,5%),
возможно принимать кривые ползучести и характеристики длитель-
ной прочности, не зависящими от предварительного пластического
деформирования, а мгновенные диаграммы растяжения и характе-
ристики кратковременной прочности, не зависящими от предвари-
тельно накопленной деформации ползучести. Большие степени хо-
лодных пластических деформаций, возникающие на поврежденных
слоях при механической обработке, оказывают значительное влия-
ние на характеристики прочности и пластичности при длительном
статическом разрушении. Снижение сопротивления длительному
статическому разрушению и способности к пластическому деформи- -
рованию материала, наклепанного при механической обработке
(фрезерование, шлифование абразивом), являются в ряде случаев
причиной образования статических трещин в поверхностных слоях
деталей, работающих при высоких температурах.
В зависимости от условий работы деталей, ее статической и ди-
намической напряженности, эти трещины могут получить дальней-
36.
шее развитие или инициировать усталостное разрушение. Поэтому
для обработки ответственных деталей следует применять методы
поверхностной обработки (ленточное шлифование, электрохимиче-
ская обработка), не приводящие к наклепу поверхности, понижаю-
щему работоспособность материала в условиях ползучести при вы-
соких температурах.
4.	Ползучесть и длительная прочность
при ступенчатом изменении напряжения.
Суммирование повреждений
На практике многорежимность работы большинства конструкций
обусловливает нестационарность нагружения деталей, приводящую
к резкому изменению температуры и напряжения. Кроме того, не-
равномерно нагретым деталям свойственны медленные изменения
напряжений вследствие ползучести на длительных стационарных
режимах.
Изучению закономерностей влияния нестационарности нагруже-
ния на сопротивление как статическому разрушению, так и ползу-
чести посвящено значительное число работ, в большей части которых
исследовано сопротивление длительному статическому разрушению,
в меньшей части — ползучесть [2, 5].
Ниже приведены результаты, выбранные из большого много-
образия известных испытаний сложнолегированных никелевых
сплавов, получивших наибольшее распространение в деталях, ра-
ботающих при высоких температурах. Рассмотрены режимы, наибо-
лее характерные для работы реальных деталей, в порядке их услож-
нения, от однократного ступенчатого изменения напряжений без
перемены знака до циклического нагружения с переменой знака [241.
Однократное ступенчатое изменение напряжений. Ползучесть.
При работе силовых установок пусковые режимы, характеризуемые
кратковременным возрастанием температуры и напряженности дета-
лей, сменяются длительными режимами с более умеренными темпе-
ратурами и напряжениями. Для оценки влияния предварительных
нагрузок проводят испытания, при которых действие начального
напряжения он в течение времени сменяется действием напряже-
ния ок вплоть до разрушения. Затем оценивают изменение кривых
ползучести и времени до разрушения /к при ок вследствие действия он
по сравнению с кривыми ползучести и временем до разрушения tK„
при ок без предварительного действия он. Влияние предваритель-
ных нагрузок на последующее поведение материала оказывается
различным в зависимости от уровня начального напряжения сгк.
Результаты исследования влияния на ползучесть перехода
с меньшего напряжения на большие, проведенного на сплаве
ЖС6КП при Т = 900° С и ступенчатом изменении напряжения
с =27 кгс/мм2 до о2 = 34 кгс/мм2,.а затем до о3 = 40 кгс/мм2,
представлены на рис. 4.1 в виде соответствующих участков кривых
ползучести. При ступенчатом увеличении напряжений скорость
ползучести в первый момент после перехода на новый (больший) уро-
37
Рис. 4.1. Кривые ползучести сплава ЖС6КП при трехкратном изменении напря-
жений о = 27 -> 34 -> 40 кгс/мм2 (/) и о = 40 -> 34 -> 27 кгс/мм2 (2) при Т —
= 900° С;
X — <7 = 40 кгс/мм2; О — Я = 34 кгс/мм2; д — а = 27 кгс/мм2; сплошные линии полу-
чены экспериментально, штриховые — построены по гипотезе упрочнения, штрих-
V Ж
пунктирные — построены по параметру У I — 1
\ к; /
вень напряжений существенно возрастает (кривая 1 сплошная)
по сравнению с предсказываемой гипотезой упрочнения (кривая 1
штриховая). При .переходе на меньший уровень напряжений при
испытании того же никелевого сплава наблюдалось как повышение
скорости ползучести (о^ =40 кгс/мм2—=34 кгс/мм2), так
и понижение (сг2 = 34 кгс/мм2 —> о3 = 27 кгс/мм2; кривая 2 сплош-
ная) по сравнению с кривыми, построенными в соответствии с ги-
потезой упрочнения (кривая 2 штриховая).
Результаты испытаний сплава ХН70ВМТЮ при Т — 900° С
(после предварительного действия в течение различного времени
большего напряжения сгн — 28 кгс/мм2) при меньшем напряжении
(сгк — 18 кгс/мм2) представлены на рис. 4.2. Кривые 1 и 5 — пер-
вичные кривые ползучести при ок = 18 кгс/мм2 и сгн = 28 кгс/мм2;
кривые 2, 3, 4 получены при напряжении сгк после предварительного
действия он. По оси абсцисс отложено суммарное время действия
напряжений о„ и сгк. Из кривых, приведенных на рис. 4.2, следует,
что после перехода от большего к меньшему уровню напряжений
характерно замедление ползучести по сравнению с оцененной по
гипотезе упрочнения (кривые 2', 3', 4’).
Подобное же торможение ползучести подтверждается результа-
тами испытаний сплава ХН62МВКЮ при 850° С после ступенчатого
перехода от сгн = 42 кгс/мм2 к ок = 32 кгс/мм2.
На рис. 4.3 кривые 1 и 4 — первичные кривые ползучести при
выбранных уровнях напряжений; кривая 2 получена при ок —
38
= 32 кгс/мм'2 после действия в течение 2,5 ч ан = 42 кгс/мм2; кри-
вая 2' построена по гипотезе упрочнения.
Таким образом, опыты с однократным изменением нагрузки
(рис. 4.2 и 4.3) показывают, что при переходе от меньшего к боль-
шему напряжению практически всегда увеличивается скорость пол-
зучести на новой ступени нагрузки; переход к меньшему напряже-
нию, как правило, приводит к некоторому торможению ползучести.
Многорежимное ступёнчатое нагружение по сравнению с одно-
кратным не вносит принципиальных изменений в поведение мате-
риалов в условиях ползучести. Так, представленные на рис. 4.1
кривые ползучести сплава ЖС6КП свидетельствуют о том, что на
каждой ступени нагружения сплав проявляет особенности поведе-
ния, которые могут быть выявлены при однократном изменении напря-
жений: ускорение ползучести при переходе к большему уровню на-
пряжений и возможное замедление при переходе к меньшему уровню.
Аналогичные результаты были получены в опытах Наместникова
и Хвостункова на сплаве Д16Т при Т — 200° С [11]. В соответствии
с этими результатами трехступенчатое изменение напряжения с мень-
шего на большее сг = 4 —» 8 — 12 кгс/мм2 приводило к существен-
ному ускорению ползучести. Это ускорение достигало особенно
большой величины при переходе на третью ступень нагружения.
Длительная прочность и суммирование повреждений. В основу
оценки запасов прочности длительно работающих многорежимных
конструкций, установления эквивалентных режимов и разработки
программ ускоренных испытаний положены закономерности накоп-
ления повреждений. Наибольшее распространение получило линей-
ное суммирование относительных долговечностей.
Рис. 4.2. Кривые ползучести сплава
ХН70ВМТЮ при Т = 900° С, ок =
= 13 кгс/мм2 после предварительной
выдержки /н при ои = 18 кгс/мм2:
1 — кривая ползучести при <ти =
= 13 кгс/мм2; 2 - <н = Зч; 3 — /н = 5 ч;
4 —	= 8 ч; 5 — кривая ползучести
при <7К = 18 кгс/ммг
При однократном ступенчатом
изменении напряжений закон ли-
нейного суммирования выражает-
ся как
at =	+ -А_ = 1,	(4.1)
/н.	/к,	к
ХН62МВКЮ при 850° С после однократ-
ного и многократного изменения нагрузки:
1 — <тк = 32 кгс/мм2; 2 — <тк = 32 кгс/мм2 по-
сле действия <тн = 42 кгс/мм2 в течение 2,5 ч;
3 — <гк = 32 кгс/мм2 после действия напряже-
ний, изменяющихся по режиму а = 32 ->
-> 42-> 32 кгс/мм2, 5 мин -> 25 мни -л 5 мин
39
где /н и tK — длительность действия напряжений сгн и сгк на первой
и второй ступенях соответственно; tlln и /Хо — время до разруше-
ния при напряжениях а„ и <тк.
Представление результатов испытаний при однократном изме-
нении напряжений в виде кривых повреждаемости, характеризую-
щих зависимость относительного изменения долговечности
— tx	„
—2----- при напряжении <тк от относительной длительности ——
^к0	Но
действия напряжения позволяет оценить соответствие эксперимен-
тальных результатов закону линейного суммирования поврежде-
ний. Так, совпадение результатов испытаний с линией, проходящей
под углом 45° к осям координат, соответствует изменению долго-
вечности, пропорциональному относительной длительности дей-
ствия <тн, т. е. линейному накоплению повреждаемостей. Прохожде-
ние кривой повреждаемости выше этой линии характеризует уско-
ренное повреждение, а ниже — замедленное — по сравнению с за-
ZK — ZK
коном линейного суммирования; отрицательное значение —---------
указывает на существенное упрочнение.
Испытания сплава ХН70ВМТЮ (рис. 4.4), проведенные при тем-
пературах 700 , 800 и 900° С и сгн > ок, показали, что наблюдаются
отклонения от выражения (4.1) в обе стороны. При 700° С предвари-
тельная нагрузка приводит к существенному снижению долговечности;
при 900° С действие он в течение некоторого времени (-— 0,5)
вызывает увеличение долговечности. Увеличение уровня начального
напряжения от сгн = 38 кгс/мм2 до ок = 48 кгс/мм2 при 800° С не
привело к существенному изменению влияния предварительного
нагружения. Аналогичные результаты были получены для сплава
ХН77ТЮР при 700 и 800° С.
На сплаве ХН62МВКЮ при 850° С увеличение предварительной
нагрузки он от 42 до 52 кгс/мм2 привело.к значительному разупроч-
нению сплава: вся кривая при он — 52 кгс/мм2 расположилась выше
линии равной повреждаемости, независимо от длительности дей-
ствия начального напряжения (рис. 4.5).
По результатам испытаний на длительную прочность при сту-
пенчатом нагружении с замером деформаций ползучести на разных
ступенях нагружения по аналогии с суммированием накопленных
повреждений можно просуммировать накопленные деформации по
формуле
где 5Ко и 5Ко — относительные удлинения, получаемые при поломке
при начальном он и конечном пк напряжениях соответственно;
ен — деформация ползучести,, накапливаемая^ в течение времени
действия начального напряжения он; ек — относительное удли-
нение, получаемое при поломке при ок последействия перегрузки он.
40
Результаты оценки величин а6 сплавов ХН70ВМТЮ при 700
к 900° С и ХН62МВКЮ при 850° С и сопоставление этой величины
с at представлены в табл. 4.1. Отклонение суммы относительных
долговечностей от простого линейного суммирования (at 1) при-
водит и к отклонению а6 от единицы. Это свидетельствует об изме-
нении конечных характеристик пластичности сплава вследствие
предварительного действия начального напряжения и об определен-
ной связи характеристик прочности и пластичности.
Представленные в табл. 4.1 и на рис. 4.1—4.5 результаты испы-
таний на длительную прочность и ползучесть в условиях однократ-
ных перегрузок показывают, что поведение как сплавов разных
марок (хотя и одного класса), так и одного сплава при разных тем-
пературах, может оказаться различным. Однако, несмотря на до-
вольно большую пестроту полученных результатов, можно выявить
некоторые особенности в поведении сплавов при нестационарном
нагружении.
Для никелевых жаропрочных сплавов в основном характерно
уменьшение долговечности и конечной пластичности при напряже-
нии ок в результате действия предварительного начального напряже-
ния сг„ > ок. Степень изменения этих характеристик зависит от
особенностей сплава при данной температуре. Мерой относительного
Рис. 4.4. Кривые повреждаемости спла-
ва ХН70ВМТЮ:
1 — Т = 900° С, <JH = 18 кгс/мм2, ак =
= 13 кгс/мм2; А — испытаиия при ок после
многократного изменения напряжения по
циклу о=18 кгс/мм2 (2 ч) -> а =
= 13 кгс/мм2 (2 ч); 2 — Г = 800° С; О —
®н = 88 кгс/мм2, ак = 28 кгс/мм2, • —
ан ~ 48 кгс/мм2; ак = 28 кгс/мм2; 3 —
(X) — Т = 700° С; а = 58 кгс/мм2, <7 =
= 48 кгс/мм2
Рис. 4.5. Кривые повреждаемости спла-
ва ХН62МВКЮ, Т - 850° С:
ч. I — о„ = 42 кгс/мм2, ок = 32 кгс/мм2; 2
он = 52 кгс/мм2, ок = 32 кгс/мм2; ▲ —
испытания при ок = 32 кгс/мм2 после дей-
ствия многократных изменений напряжений
по циклу; о = 42 кгс/мм2 — '5 мни -> о =
= 32 кгс/мм2 — 25 мин (всего 20 циклов);
А — многократное изменение напряжений
вплоть до поломки по режиму: о —
= 42 кгс/мм2 — 5 мии -> о = 32 кгс/мм2 —
25 мин (всего 132 цикла); ▼ — многократное
изменение напряжений вплоть до поломки
по режиму; о = 42 кгс/мм2 — 5 мни ->,о =
= 32 кгс/мм2 10 ч (всего 3 цикла)
Сплав, температура		4		Р ен> /0	£н
		<тн =	58 кгс/мм2, г11() — 21,8 ч, 6п0 = 0,9%		
ХН70ВМ1Ю, 700°	С	4 10 15 20	0,18 0,46 0,69 0,92	0,11 0,19 0,31 0,52	0,12 0,21 0,34 0,58
		<тн =-	18 кгс/мм2, /Н() = 11,5 ч, 6„0 = 13,2%		
ХН70ВМТЮ, 900°	С	3 5 8	0,26 0,43 0,7	0,69 1,65 2,8	0,052 0,125 0,15
		он =	= 52 кгс/мм2, tHo ~ 6ни = 3,8%		1,8 ч,
ХН62МВКЮ, 850°	С	0,25 0,5 1,0 1,25	0,14 0,27 0,55 0,68	0,75 2,1 2,4 2,85	0,2 0,57 0,63 0,75
Таблица 4.1
t ч к»	.к	v	о-’ '°	ек	Gl : Нц	
			°ко	+ V гк0	-1 —
<тк — 48 кгс/мм-, /Ко 145 '*>	~
73 58 40 25	0,5 0,4 0,27 0,17	0,6 0,33 0,21 0,5	0,66 0,37 0,23 0,55	0,68 0,86 0,96 1,09		0,78 0,58 0,57 1,13
	1 JK = 13 кгс/мм3, /1(		- 68 ч, 6К()		- 9,3%	
84,5	1,24	9,5	1,05		1,50	1,1
38	0,56	6,3	0,68 		0,99	0,81
35	0,51	8,1	0,87		1,21	1,02
<тк — 32 кгс/мм3, /к			- 71 ч, 61(0		- 2,9%	
43	0,61	1,4	0,48		0,75	0,68
24	0,34	0,95	0,33		0,61	0,9
18	0,24	1,2	0,41		0,79	1,04
10,7	0,15	0,85	0,29		0,83	1,04
уменьшения пластичности может служить величина а6, которая
достаточно хорошо коррелирует с величиной at, являющейся мерой
изменения долговечности. На сплавах, обладающих малой началь-
ной пластичностью или охрупчивающихся в процессе испытаний
(ХН62МВКЮ при Т = 850° С, ХН70ВМТЮ при 700° С, 6К,„О =
= 2 = 3%), замечено существенное уменьшение at по сравнению
с единицей. На сплавах, обладающих высокой пластичностью, не
уменьшающейся вследствие нестационарности нагружения (аб = 1),
уменьшения долговечности по сравнению с расчетной не обнаружено
\at = 1).
Многократное циклическое нагружение. Ползучесть. Результаты
испытаний на ползучесть при ступенчатом циклическом изменении
напряжений, полученные разными авторами на разных материалах,
свидетельствуют о существенном ускорении ползучести вследствие
действия повторных нагрузок.
Испытания алюминиевого сплава Д16Т при 200 и 250° С при двух-
ступенчатом нагружении приводят к значительному увеличению
скорости ползучести [9]. При циклическом нагружении, сменяю-
щемся разгрузками до очень незначительного напряжения, никеле-
вого сплава нимоник 90 при 800° С и алюминиевого сплава (с 4% Си)
при 150° С увеличивается средняя скорость ползучести за цикл
более чем в 3 раза; в момент действия максимального напряжения
скорость увеличивается в 5—10 раз [2, 7]. При этих опытах обна-
ружен некоторый возврат ползучести при действии минимального
(близкого к нулю).. напряжения.
Приведенные на рис. 4.6 кривые ползучести, полученные при
испытании сплава ЖС6КП при 900° С с периодически повторяю-
щимися разгрузками-и охлаждениями через каждые 2 ч, свидетель-
ствуют о существенном увеличении скорости накопления деформа-
ций ползучести вследствие нестационарности нагружения. Свиде-
тельством значительно большего влияния на ползучесть много-
кратного изменения напряжений, чем однократного, являются также
кривые, приведенные на рис. 4.3. Кривая 3, полученная для сплава
ХН62МВКЮ при 850° С и о =
= 32 кгс/мм2, после предваритель- 0
ного циклического действия на-
пряжений (25 мин — 32 кгс/мм2 и
5 мин — 42 кгс/мм2) в течение
20 циклов (суммарное время дей-
ствия сг = 42 кгс/мм2—1,6 ч),
сопоставляется с кривой 2, полу-
ченной также при о = 32 кгс/мм2,
но после стационарного действия
аи = 42 кгс/мм2 в течение 2,5 ч.
Если переход на меньший уровень
напряжения после стационарного
действия перегрузки приводит
к торможению ползучести на новом
уровне напряжений, то переход
Рис.' 4.6. Кривые ползучести сплава
ЖС6КП при многократных цикличе-
ских изменениях напряжений от
а = 0 до о= am,Y1 Т = 900° С
43
Рис. 4.7. Кривые ползучести
сплава ХН62МВКЮ, Т =
= 850° С:
1 — полученная при многократ-
ном двухступенчатом изменении
напряжений; <*т1п = 32 кгс/мм2
(25 мин) -> атах = 42 кгс/мм2
(5 мин); 2 — построенная по кри-
вым ползучести при О = 32 кгс/мм2
и а — 42 кгс/мм2 по гипотезе
упрочнения
после циклического действия перена-
пряжения приводит к существенному
ускорению ползучести (по сравнению
с оцененной по гипотезе упрочнения
кривой 5').
Кривые ползучести сплава
ХН62МВКЮ при 850° С, полученные
при действии многократных перегру-
зок, в сопоставлении с кривыми при
постоянных напряжениях представлены
на рис. 4.7. Деформации ползучести
измеряли в середине периода действия
минимального напряжения, т. е. кри-
вые, приведенные на рис. 4.7, пред-
ставляют собой зависимость от суммар-
ного времени осредненной в пределах
цикла деформации ползучести. Значе-
ния напряжений, нанесенные на кри-
вые, соответствуют минимальному на-
пряжению цикла.
На рис. 4.7 даны также расчет-
ные кривые ползучести в соответствии
с гипотезой упрочнения.
Ускорение ползучести, наблюдаемое как при повторных нагруже-
ниях после отдыха, так и при переходах от меньшего уровня напря-
жений к большим, связано с тем, что всякое повышение нагрузки
приводит к появлению неустановившегося участка ползучести
с более интенсивным накоплением деформации, чем последующий
установившийся участок. Такое возникновение неустановившегося
участка ползучести наблюдалось и на сплаве ЖС6КП при однократ-
ном переходе от  — 27 кгс/мм1 2 к <т2 — 34 кгс/мм2 при 900° С
(см. рис. 4.3).
Многократное повторение нагрузок приводит к тому, что огиба-
ющие начальных участков проходят намного выше кривых, построен-
Рис. 4.8. Кривые ползучести алюминиевого сплава при
Т = 150° С и циклически изменяющихся напряжениях
от = 0 до аг = 28 кгс/мм2 [8]:
1 — построена по полному времени испытания; 2 — построе-
на по времени пребывания образца при Оа = 28 кгс/мм2
44
них по гипотезам стационарной ползучести, т. е. суммарная деформа-
ция ползучести, накопленная за одинаковые промежутки времени,
а следовательно, и средние скорости значительно выше, чем при ста-
ционарном нагружении. Особенно существенно такое ускорение
при циклах малой длительности, при которых основная доля пол-
зучести, накопленной за цикл, определяется неустановившимися
участками [24].
Значительную роль в эффекте ускорения ползучести при неста-
ционарном нагружении играет уровень напряжений, определяющих
форму кривой ползучести: при очень высоких напряжениях, при
которых практически отсутствуют участки неустановившейся пол-
зучести, ползучесть не может значительно ускориться вследствие
повторности нагружения.
Важной особенностью ползучести при циклическом изменении
напряжений является то, что при относительно умеренном уровне
напряжений и температур, используемых для длительно работаю-
щих высокотемпературных деталей, циклы изменения деформаций
в течение большей части времени испытаний носят практически ста-
бильный характер. При этом участок неустановившейся ползучести
с мгновенными скоростями повторяется циклически, накопленная
за цикл деформация ползучести имеет постоянное для любого цикла
значение, и огибающая накопленной деформации становится прямой
линией, т. е. процесс нестационарной ползучести становится уста-
новившимся, хотя и с существенно большей скоростью, чем при
постоянном напряжении. В нескольких первых циклах и на заклю-
чительном этапе испытания перед разрушением такой стабиль-
ности не наблюдается (рис. 4.8).
Имеются результаты, свидетельствующие о возможности замед-
ления ползучести вследствие повторного нагружения и о прояв-
лении обратной ползучести при разгрузке или при переходе на мень-
ший уровень напряжений. Так, например, при испытании стали
18-8 (0,03% Nb) установлено, что при 595° С циклическое измене-
ние температуры и нагрузки приводит к уменьшению скорости
ползучести и увеличению времени до разрушения, в то время как
при 815° С скорость ползучести возрастает, а время до разрушения
уменьшается [7].
Уменьшение скорости ползучести при циклическом нагружении
с отдыхом отмечено также на стали ЭИ257 при 600° С, на титане
ВС-130 при 420° С [2]. Однако при последних испытаниях суще-
ственную роль в полученных результатах может играть выдержка
при температуре без действия нагрузки, искажающая влияние не-
посредственно фактора повторности нагружения за счет структур-
ных изменений в материале, приводящих к процессам старения или
разупрочнения.
Длительная прочность и суммирование повреждений. Оценка
повреждаемости при многократных нагрузках иногда возможна
по результатам испытаний при однократном изменении нагрузки.
Так, результаты испытаний на длительную прочность после одно-
кратного и многократного ступенчатого нагружения показывают, что
45
сплав ХН70ВМТЮ при 900° С,
малоповреждаемый действием
однократной нагрузки, оказался
малочувствительным и к действию
многократных перегрузок (at =
= 1; см. рис. 4.4), в то время
как у сплава ХН62МВКЮ при
850° С (см. рис. 4.5), проявившего
чувствительность к однократной
перегрузке (at < 1), чувствитель-
ность к многократным пере-
грузкам оказалась еще боль-
шей.
При исследованиях длительной
прочности и ползучести никеле-
вых жаропрочных сплавов в усло-
виях нагружения двухступенча-
тыми циклами, многократно по-
вторяющимися вплоть до разруше-
ния, проверено влияние числа и
Рис. 4.9. Влияние многократного из-
менения нагрузок на длительную
прочность сплава ХН70ВМТЮ:
I — О — const; 2 — Да — 20 кгс/мм2;
аш1п -* 25 мип- °тах ->• 5 мии: 3 - Да =
= 21 кгс/мм2, ат(п -> 15 мни; afflax ->
-> 15 мин; Г — а ~ const; 2' — ДО =
= 5 кгс/мм2; ат1п -> 25 мин; Отах->
-> 5 мин; 3' — Да = 5 кгс/мм2, ->
-> 15 мин; a__v -> 15 мин; 4' — Да-
ГПДХ
= 5 кгс/мм2, а -> 5 мнн; а„.„ -> 25 мин
111111	<П ал
частоты повторения циклов, отно-
сительного уровня нагрузки и
перегрузки, соотношения между
длительностью действия различ-
ных уровней нагрузки в цикле,
температуры испытаний и др. [241.
Испытаниям были подвергнуты
никелевые деформированные
сплавы ХН77ТЮР, ХН70ВМТЮ,
ХН56ВМКЮ, ХН55ВМТФКЮ,
ЭИ661, ХН75ВМЮ и литой сплав
ЖС6. За меру повреждаемости сплавов повторными нагрузками при-
нималось отклонение от единицы суммы относительных долговечно-
стей at = У1 . При испытаниях выявлено существенное раз-
«рг
личие в поведении как разных материалов, так и одного материала
при разных температурах испытания. Однако, как правило, повре-
ждаемость сплава при одной температуре, выявленная при одном
из режимов многократного нагружения, проявлялась и при других
режимах.
На рис. 4.9 приведены результаты испытаний сплава ХН70ВМТЮ
при 900° С. По оси абсцисс этого графика отложено суммарное время
действия обоих уровней напряжений в цикле; по оси ординат — зна-
чение меньшего из двух напряжений в цикле. Значения суммы от-
носительных долговечностей, определенных по кривым длительной
прочности при нестационарном нагружении, представлены в табл. 4.2,
из которой следует, что чувствительность к нестационарности сплава
ХН70ВМТЮ при разных температурах разная, но практически не
зависит от характеристик цикла нагружения.
46
Таблица 4.2
Сплав	Т. °C	Характеристика цикла		Длитель- ность цикла, ч	ai	
		zmax	До , кгс/мм3		50 ч	100 ч
						
	700	0,2	20	0,5	0,75	0,78
ХН70ВМТЮ		1	21	0,5	0,57	0,45
						
		0,2	5	0.5	1,07	1,03
						
	900	1	15	0,5	0,99	0,98
		1	10	0,5	0,95	1,0
ХН62МВКЮ	850	0,2	10	0,5	0,47	0,42
		0,08	10	10,1	0,5	0,4
Результаты испытаний сплава ХН62МВКЮ при разных длитель-
ностях цикла двухступенчатого нагружения показали, что незави-
симо от характеристик цикла нагружения этот-сплав при Т = 850° С
чувствителен к нестационарности (at = 0,4-^0,5; табл. 4.2).
Эти результаты и ряд других показывают, что температура бо-
лее, чем характеристика цикла, оказывает влияние на чувствитель-
ность материала к повторному нагружению [3]. Иногда это влия-
ние удается связать с процессами упрочнения и разупрочнения,
происходящими в материале в зависимости от температуры; если
повторное нагружение происходит при температурах, вызывающих
разупрочнение, поведение материала не описывается законом про-
стого линейного суммирования долговечностей.
Значительно лучшая корреляция получается между повреждае-
мостью и пластичностью материала; высокий уровень пластичности
при длительном разрушении 5-i-6%) и сохранение его в про-
цессе нестационарного нагружения (отсутствие охрупчивания)
обусловливают возможность суммирования повреждаемостей с по-
мощью линейного закона.
Приведенные в табл. 4.3 результаты испытаний при многократ-
ном ступенчатом нагружении большого числа сплавов подтверждают
связь чувствительности к повторности нагружения с пластичностью.
Чувствительность к повторности нагружения оценивалась по
сумме относительных долговечностей at, пластичность — по по-
перечному сужению ф, измеряемому на разрушенных через 100 ч.
образцах, или соответствующему относительному удлинению 6 -при
испытаниях в стационарных условиях нагружения. Значения £тах
и £fflln характеризуют время выдержки в цикле на напряжениях сгтах
и crmln соответственно.
Из табл. 4.3 следует, что все сплавы, имевшие пониженную
пластичность при стационарном нагружении (-ф <5-<-6%), прояв-
47
Таблица 4.3
Сплав	Т. °C	Режим перегрузки		at	Фюо. %
		* min	— amax — ат1п		
ВТЗ-1	500	1	15,5	1.7	35
ХН77ТЮР	800	1	8	1,0	10
ХН70ВМТЮ:	700	0,2	20	0.78	4,1
без наклепа	800	1	10	0,85	6,0
	900	1	5	0,98	22,0
с наклепом 5%	700	0,2	21	0,66	2
	800	1	6	0,6	3
	900	1	5	0,84	6
ХН75ВМЮ	900	0,2	10,5	0.4	3-4
ЭИ661	900	0,2	11	0,5	10
ХН62МВКЮ	850	0,2	10	0,42	4—5
ЖС6	900	1	10	0,5	1-2
N155	730	1	ffmln — Q °тах = 19	0,83	9—10
					
	815	1	^тш “ 0	1	15—17
					
			^тах == Ю		
	600	6	G тт ~ 0	1,62	23
18-8 (0,03% С)			#тах = Ю,5		
					
	815	6	^min ~ 0	1,03	5
					
			#тах =2,1		
Инконель X	982	1	1,05	0,65	14
			1,05	0,3	3,5
ляют чувствительность к повторному нагружению (at = 0,4ч-0,5),
а сплавы с высокой пластичностью (ф > 10%) в большинстве слу-
чаев не проявляют чувствительности к нестационарности. Исключе-
ние составляет сплав ЭИ661 при 900° С, который несмотря на вы-
сокую пластичность (ф >10%) при стационарном нагружении,
также чувствителен к повторному нагружению. При измерении по-
перечного сужения на образцах, испытанных при нестационарном
нагружении, выяснилось, что действие повторных нагрузок при-
водит к охрупчиванию сплава ЭИ661, выражающемуся в снижении
пластичности до ф — £>ч-6%, с чем, видимо, и связана его чувстви-
тельность к повторному нагружению.
Таким образом, большинство приведенных данных по испыта-
ниям на длительную прочность при нестационарном нагружении
свидетельствует о зависимости чувствительности к повторному
48
нагружению испытываемого сплава как от пластичности, обнаружи-
ваемой при действии постоянной нагрузки, так и от характера изме-
нения пластичности под действием повторного нагружения. При
этом пластичность, определенная при нестационарном нагружении,
более достоверно, чем определенная при обычных испытаниях на
длительную прочность при постоянных нагрузках, характеризует
поведение сплава при нестационарном нагружении
Влияние пластичности на сопротивление повторным нагрузкам
проявляется независимо от характера процесса, обсуловливающего
изменение пластичности. Так, например, работа при температуре,
приводящей к упрочнению сплава и уменьшению пластичности,
вызывает увеличение чувствительности к повторному нагружению.
Холодный наклеп от механической обработки, обусловливающий
снижение сопротивления длительному статическому разрушению
и уменьшение длительной пластичности, приводит к таким же по-
следствиям (табл. 4.3). При наличии концентрации напряжений,
создающей объемное или плоское напряженное состояние, тормозя-
щее накопление пластической деформации и ползучести, также воз-
растает опасность преждевременных (по сравнению с предсказан-
ным из условия at — 1) разрушений. При выборе сплава для рабо-
чих условий необходимо принимать во внимание конструктивно-
технологические факторы, приводящие к снижению пластичности,
следствием которого, как правило, является повышение чувстви-
тельности к повторному нагружению.
Для того чтобы представить, как влияет на несущую способность
детали отклонение суммы относительных долговечностей at от еди-
ницы, ниже приводятся результаты испытаний сплавов ХН70ВМТЮ
при 700° С и ХН75ВМЮ при 900°С, значения суммы относительных
долговечностей at для которых составляют соответственно 0,5 и 0,4.
Испытания проводили по двухступенчатой схеме; цикл нагружения
составлял 0,5 ч. В течение цикла длительность действия максималь-
ной нагрузки crmax составляла 15 мин для сплава ХН70ВМТЮ и
5 мин для сплава ХН75ВМЮ. На рис. 4.10 кривые длительной проч-
ности, полученные экспериментально при нестационарном нагруже-
нии, сопоставляются с кривыми, полученными расчетом (штрихо-
вые линии).
Расчетным путем определяли кривые по результатам испытаний,
при постоянной нагрузке в предположении равенства суммы отно-
сительных долговечностей at единице.
Как следует из приведенных на рис. 4.10 кривых, отличие пре-
дела длительной прочности (на базе 100 ч) от определенного расчет-
ным путем (at — 1) может достигать 15—30% (at =0,5). При этом
легко показать (см. гл. 3), что если кривая длительной прочности
аппроксимируется степенным уравнением amt — const, то снижение
пределов длительной прочности по сравнению с расчетным про-
порционально ——. Поэтому для относительно низких темпе-
у^
ратур, при которых кривые длительной прочности имеют малый
наклон к оси абсцисс (т = 18=20), снижение невелико, и опреде-
49
Рис. 4.10. Кривые длительной прочно-
сти при многократном изменении на-
пряжений, полученные расчетным
(штриховые линии) при а/ = 1 и экс-
периментальным путем (сплошные
линии):
/ — сплав ХН70ВМТЮ, Т = 700° С; 2 —
сплав ХН75ВМЮ, Т = 900° С
ление запаса прочности без су-
щественных погрешностей можно
производить с помощью линейного
суммирования (at =1) и не учи-
тывать влияние повторности. При
высоких температурах, при кото-
рых значение tn составляет 5—8,
следует учитывать отклонение at
от единицы, если оно обнаружено
для данного сплава и температуры.
Так как показано, что чувстви-
тельность к повторности нагруже-
ния мало зависит от характери-
стики цикла, то значения для
рабочих температур можно опре-
делить по результатам простей-
ших экспериментов, например, при
двухступенчатом нагружении цик-
лами, число которых соответст-
вует условиям эксплуатации. Так
как цикл работы многих деталей
высокотемпературных установок
можно упрощенно представить как
«запуск — работа на стационар-
ном режиме — останов», то влия-
ние повторности и величину at можно оценивать по результатам
испытаний при циклическом нагруженйи с полной разгрузкой и
охлаждением после выдержки под напряжением и использовать
такие значения at для получения расчетной кривой длительной
прочности при любых сложных циклах повторного нагружения.
5.	Знакопеременное нагружение
Однократное ступенчатое изменение напряжений. Вопрос об учете
изменения знака напряжения освещен очень мало. Опыты при зна-
копеременном кручении показывают, что предварительное нагруже-
ние напряжением одного знака приводит к ускорению ползучести
при напряжении другого знака [7].
Результаты испытаний литого никелевого жаропрочного сплава
ЖС6К и деформированного ХН56МКЮ при 900° С и однократном
ступенчатом изменении знака напряжений приведены на рис. 5.1
и 5.2. При этих испытаниях образец (d = 10 мм; I = 30 мм), на-
гретый до 900° С, нагружали напряжением сжатия и выдерживали
под нагрузкой в течение (и, после чего разгружали, давали возмож-
ность остыть до комнатной температуры. Затем вновь нагревали
до Т = 900° С, нагружали растягивающим напряжением, по вели-
чине равным напряжению сжатия, и доводили до разрушения. В про-
цессе действия напряжений (как сжатия, так и растяжения) изме-
ряли деформацию ползучести.
50
Из рис. 5.1. следует, что влияние предварительной выдержки
при сжатии на последующую ползучесть при растяжении зависит
от времени выдержки. В том случае, когда длительность выдержки
соответствует участкам с изменяющимися скоростями ползучести
(начальный или конечный участок кривой), при последующем рас-
тяжении (ст == 30 кгс/мм3) наблюдается ускорение ползучести. После
выдержки, при которой ползучесть при сжатии характеризуется
постоянной скоростью, ускорения ползучести в процессе последую-
щего растяжения не обнаружено.
При напряжении ст = 40 кгс/мм2 выдержка под действием сжи-
мающего напряжения составила 30 ч, что соответствует участку
ускоренной ползучести. При испытаниях на растяжение после вы-
держки кривые ползучести также переместились влево от первичной
кривой.
Испытания сплава ХН56МКЮ (рис. 5.2) проводили при напряже-
ниях 27 и 40 кгс/мм2, долговечность при которых в условиях рас-
тяжения составила соответственно /к.р = 115 и 17 ч (по результатам
испытаний 5—8 образцов). Выдержка при сжатии под этими напря-
жениями составляла от 0,83 до 2,3/к р, что выше, чем относительная
долговечность при сжатии образцов из сплава ЖС6К. Такая дли-
тельная выдержка при сжатии привела к существенному ускорению
ползучести при растяжении, возрастающему по мере увеличения
длительности действия сжатия.
Для оценки влияния изменения знака напряжения на характе-
ристики разрушения большинство образцов при испытаниях на рас-
тяжение после предварительного сжатия были доведены до поломки.
Отношение времени до разрушения при растяжении после сжатия
ко времени до поломки при растяжении без предварительной вы-
держки /К//Ко условно принято за повреждаемость вследствие такой
выдержки.
Длительная выдержка при сжатии приводит к уменьшению вре-
мени до разрушения при последующем растяжении, тем большему,
Рис. 5.1. Влияние пред-
варительного действия
сжатия на ползучесть
при растяжении спла-
ва ЖС6К (Т = 900° С):
/. 2, 3 — ползучесть
при а = 30 кгс/мм2 без
предварительной вы-
держки, после выдерж-
ки при сжатии о =
= 30 кгс/мм2 в течение 60
и 220 ч; 4, 5 — ползу-
честь при о = 40 кгс/мм2
беа предварительной вы-
держки и после выдерж-
ки при сжатии о =
= 40 кгс/мм2 в течение
30 ч; 6,7 — кривые
ползучести при сжатии
(О = 30 кгс/мм2 и С =
= 40 кгс/мм2)
Рис. 5.2. Влияние предвари-
тельного действия сжатия на
ползучесть при растяжении
сплава ХН56МКЮ (Т = 900° С):
1,2	3 — ползучесть при <7 —
= 27 кгс/мм2 без предварительной
выдержки и после выдержки при
сжатии о = 27 кгс/мм2 в течение
100 и 250 ч; 4, 5, 6 — ползучесть
при о = 40 кгс/мм2 без предвари-
тельной выдержки и после вы-
держки при сжатии 0 = 40 кгс/мм2
в течение 20 и 30 ч; 7,3 — кривые
ползучести при сжатии (о =
= 40 и 27 кгс/мм2)
чем продолжительнее действие сжатия. Зависимость потери долго-
вечности при растяжении от относительной длительности действия
напряжения сжатия t* сж/7КоР представлена на рис. 5.3. Эта зави-
симость дает возможность считать, что предварительное сжатие в те-
чение времени, приближающегося к удвоенной долговечности при
растяжении -”-££ =2, приводит к уменьшению долговечности при
гкор
растяжении почти в 10 раз по сравнению с начальной.
Результаты испытания на растяжение после сжатия можно
использовать для оценки исчерпания работоспособности материала:
если приложение растягивающего напряжения после нагружения
сжатием приводит почти к мгновенному разрушению, то длитель-
ность действия такого нагружения следует считать предельной дол-
говечностью при сжатии. Такая долговечность, как и упоминалось
выше, в 2,5—3,0 раза больше времени до разрушения при растяже-
нии.
Рис. 5.3. Относительное уменьшение вре-
мени до разрушения при растяжении
в зависимости от относительной длитель-
ности предварительного действия сжатия
(Г = 900° С):
1 — сплав Ж6К, а = 30 кгс/мм’ и а =
= 40 кгс/мм2; 2 — сплав ХН56МКЮ, а =>
= 27 кгс/мм2 и а = 40 кгс/мм’
52
Циклическое изменение напряжений. При изотермическом нагреве
и циклически изменяющихся напряжениях примерно по прямоуголь-
ному симметричному циклу для сплавов ХН70ВМЮТ и
ХН70ВМТЮФ показано, что чередование знака напряжения при-
водит к увеличению накопленной за цикл деформации ползучести
в течение начальных циклов, после чего наступает стабилизация
участков кривых ползучести. Момент стабилизации зависит от
структурного состояния сплава при данной температуре и от ча-
стоты изменения нагрузки [1].
Результаты испытаний на ползучесть в условиях циклического
реверсирования нагрузки сплавов — литого ЖС6К и деформиро-
ванного ХН56МКЮ — приведены на рис. 5.4—5.6. Испытания были
проведены по прямоугольному циклу нагружения. Абсолютные зна-
чения напряжений в полуциклах сжатия и растяжения и время вы-
держки были одинаковыми. Все испытания начинались с полуцикла
сжатия. По окончании выдержки при сжатии, разгрузке образца и
остывании его с печью образец снимали с приспособления для испы-
тания на сжатие, устанавливали в захваты для растяжения и после
нагрева подвергали действию растягивающего напряжения в тече-
ние заданной выдержки. Затем цикл повторяли.
Рис. 5.4. Кривые ползучести сплава ЖС6К при циклическом реверси-
ровании нагрузки при Т — 900° С:
а, б — а = +30 кгс/мм1, длительность цикла 40 ч (X — поломка одного из
четырех образцов); в — о = ±40 кгс/мм2, длительность цикла 4 ч
53
Рис. 5.5. Кривые ползучести сплава ЖС6К
при циклическом реверсировании нагрузки
(верхние кривые при каждом значении а) и
при постоянном напряжении (Т 900° С)
В верхней части рис.
5.4, а приведены участки
кривых ползучести за каж-
дый полуцикл при испыта-
ниях сплава ЖС6К (900° С).
Испытания были проведены
на четырех образцах при
напряжении 30 кгс/мм2.
Участки кривых ползучести
в каждом полуцикле условно
построены от нулевого зна-
чения деформации. Кривая,
характеризующая суммарно
накопленную деформацию
ползучести в процессе цик-
лического реверсирования
нагрузки при напряжении
30 кгс/мм2, осредненная по
результатам испытаний че-
тырех образцов, представ-
лена на рис. 5.4, б, а при
о = 40 кгс/мм2 (осредненная
по результатам испытаний двух образцов) показана на рис. 5.4, в.
В течение первых нескольких циклов накапливается примерно
одинаковая деформация ползучести за полуцикл как при сжатии,
так и при растяжении. Участки кривых ползучести за каждый по-
луцикл приблизительно повторяют начальные участки кривых пол-
зучести при соответствующих начальных напряжениях за время, рав-
ное длительности -полуцикла.
По мере увеличения числа циклов и суммарной наработки до
времени, соответствующего переходу к ускоренному участку ползу-
чести при постоянном напряжении, накопленная за полуцикл де-
формация начинает возрастать, что свидетельствует о повреждении,
предшествующем разрушению. Такое возрастание накопленной де-
Рис. 5.6. Кривые
ползучести сплава
ХН56МКЮ при цикли-
ческом реверсировании
нагрузки (/) и при
постоянном (2) напря-
жении (Т = 900° С)
54
формации наблюдалось на сплаве ЖС6К па третьем—четвертом
цикле как при о = 30 кгс/мм2 (при длительности цикла 40 ч), так
и при о — 40 кгс/мм2 (при длительности цикла 4 ч).
На образцах из сплава ХН56МКЮ, испытанных при напряжении
40 кгс/мм2, при котором, как при сжатии, так и при растяжении
(см. рис. 2.1), ползучесть с момента нагружения протекает с воз-
растающей скоростью, первый полуцикл нагружения сжатием при-
водит к ускорению ползучести в следующем цикле растяжения.
Такое возрастание от цикла к циклу продолжается вплоть до поломки.
Сопоставление характера накопления ползучести в полуциклах
растяжения и сжатия при реверсивном нагружении с соответствую-
щими кривыми ползучести при постоянно действующих напряже-
ниях представлено на рис. 5.5—5.6 для сплавов ЖС6К и
ХН56МКЮ. Штриховые кривые описывают ползучесть при постоян-
ном сжатии (/) и ползучесть, суммарно накопленную за полуциклы
сжатия, а сплошные линии — ползучесть при растяжении.
Реверсирование нагрузки приводит к ускоренному накоплению
деформации ползучести по сравнению с действием постоянного на-
пряжения. На сплаве ХН56МКЮ ускорение в полуциклах растяже-
ния несколько больше, чем в полуциклах сжатия, что ведет к одно-
стороннему накоплению деформации ползучести растяжения.
На сплаве ЖС6К, на котором деформация ползучести в полу-
циклах сжатия и растяжения была примерно одинаковой, односто-
роннего накопления деформации ползучести не проявилось.
Ускорение ползучести, наблюдаемое при циклическом реверси-
ровании нагрузки, является следствием нестационарности нагру-
жения, влияние которой без изменения знака напряжения рассмо-
трено в предыдущем разделе. Изменение знака напряжения приво-
дит к усилению эффекта ускорения ползучести по сравнению
с эффектом циклического нагружения в области растяжения.
Изменение времени до разрушения вследствие реверсирования
нагрузки может быть оценено с помощью суммы относительных
долговечностей at, значение которой при учете действия только
растягивающей нагрузки вычисляется как at = V и равно
ЛшшА ‘Кр
0,4—0,6, что свидетельствует об уменьшении времени до разруше-
ния при растяжении при реверсивном цикле нагружения по сравне-
нию как со стационарным нагружением, так и нестационарным
без перемены знака. Учет действия сжимающей нагрузки при работе
материала в условиях реверсирования возможен с помощью сум-
мирования относительных долговечностей как при растяжении, так
и при сжатии V (ф- ) . Если в соответствии с приведен-
ними выше данными время до разрушения при сжатии принять
равным 2,5/кв, то —-£?*- составит 0,15—0,25, а суммарная повреждае-
мость при циклическом реверсировании будет характеризоваться
величиной at = V ( 4^- +	4 = 0,5 -г- 0,85, что соответствует
\ ‘кр	‘К СЖ /
примерно нижнему уровню значений at, получаемых при цикли-
55
Рис. 5.7. Накопление ползучести сплава
ХН56МКЮ при о = —18 кгс/мм2 и Т =
= 950° С для разных циклов нагружения
терны условия работы, при которых
ческом нагружении без пере-
мены знака никелевых спла-
вов, подобных рассмотрен-
ным. Вывод об интенсивном
влиянии реверсивного цик-
лического нагружения на
характеристики разрушения
требует подтверждения экс-
периментальными исследова-
ниями на большем числе
материалов при более раз-
нообразных температурно-
временных и силовых ре-
жимах.
Циклическое взаимодей-
ствие ползучести и упруго-
пластического деформирова-
ния противоположных знаков.
Для ряда деталей харак-
нагружение растяжением при
относительно невысоких температурах, вызывающем упругопласти-
ческое деформирование, сменяется длительным действием постоян-
ных напряжений сжатия при высоких температурах, приводящих
к накоплению деформаций ползучести. С целью оценки особенно-
стей поведения материала при взаимодействии таких процессов про-
водили испытания по схеме, в соответствии с которой образец из
жаропрочного сплава ХН56МКЮ после 2-часовой выдержки при
сжатии и Т = 950° С подвергался растяжению в условиях моно-
тонно возрастающей нагрузки до напряжения, составляющего 1,05—
1,1ст0,3 при комнатной температуре.
На рис. 5.7 кривая 1 показывает суммарную накопленную де-
формацию ползучести, осредненную по четырем образцам, испытан-
ным при чередовании ползучести (при о = —18 кгс/мм2) и пласти-
ческой деформации при нагружении до о = 100 кгс/мм2 при 20° С;
кривая 2 — при циклической нагрузке от о = 0 до а = —18 кгс/мм2,
кривая 3 — при постоянном сжатии о = —18 кгс/мм2. Из приведен-
ных кривых следует, что ни один из рассмотренных режимов не
приводит к такому интенсивному нарастанию ползучести, как режим,
включающий чередование ползучести с упругопластической дефор-
мацией противоположного знака. Накопленная деформация ползу-
чести при сжатии стационарным напряжением (кривая 3) за 22 ч
составляла 0,5%, а при циклическом сжатии без перемены знака
(кривая 2) (11 двухчасовых циклов) — 0,9%. При испытаниях по ре-
жиму, включающему чередование ползучести с упругопластическим
деформированием, накопленная за это же время деформация ползу-
чести достигала 5—7%.
Действие сжимающей деформации ползучести не проходило бес-
следно и для упругопластических характеристик сплава ХН56МКЮ.
Изменение кривых деформирования при 20° С свидетельствовало
56
о разупрочнении сплава по мере накопления числа циклов нагру-
жения. Из представленных на рис. 5.8 кривых деформирования для
одного образца, разрушившегося через 16 циклов, видно, что пла-
стическая деформация, накапливаемая после предварительного дей-
ствия ползучести при сжатии за каждый полуцикл, возрастает от
цикла к циклу. Одновременно уменьшается и предел текучести,
составивший на 16-м цикле нагружения 73 кгс/мм2, что составляет
0,78 начального значения предела текучести (92 кгс/мм2).
Сплав ХН56МКЮ при упругопластическом деформировании, чере-
дующемся с действием ползучести противоположного знака, проявил
себя как разупрочняющийся материал.
Циклическое упругопластнческое деформирование без чередова-
ния с ползучестью обратного знака приводило к упрочнению сплава
ХН56МКЮ, как н подавляющего большинства конструкционных
материалов: в течение первых нескольких циклов нагружения по
«мягкому» циклу от 0 до 100 кгс/мм2 предел текучести сплава повы-
шался; пластическая деформация, накапливаемая за цикл, умень-
шалась; после 10—15 циклов прекращалось практически накопление
пластической деформации. При циклических испытаниях по режиму
без чередования с ползучестью обратного знака число циклов на-
гружения без разрушения составило более 2000.
Таким образом, чередование упругопластического нагружения
с ползучестью противоположного знака при высокой температуре
приводит к разупрочнению испытанного сплава, выражающемуся
как в уменьшении сопротивления упругопластическому нагруже-
нию, так и в уменьшении сопротивления ползучести.
Полученный результат показывает, что взаимодействие двух
процессов (ползучесть и упругопластическое деформирование) может
приводить к таким изменениям свойств материала, которые невоз-
можно предсказать по результатам испытаний при стационарном
нагружении. Поэтому для получения более общих закономерностей
поведения материалов в условиях циклического реверсирования
Рис. 5.8. Кривые деформирования сплава ХН56МКЮ, полученные при
упругопластическом нагружении до а = 100 кгс/мм2 и Т = 20° С,
чередующимся с ползучестью при о =—18 кгс/мм2 и Т = 950° С
57
нагрузок и разработки расчетных способов определения ползучести
и длительной прочности, подобных тем, которые применяются для
оценки работоспособности в условиях растяжения (например, спо-
собы суммирования повреждений, гипотезы ползучести и др.), необ-
ходимо дальнейшее накопление экспериментальных данных при
разных температурно-силовых режимах испытаний материалов раз-
личного класса.
6.	Длительная прочность
при ступенчатом изменении температур
Чередование длительного действия температур различного уровня
может приводить к процессам упрочнения и разупрочнения в спла-
вах, оценить влияние которых можно лишь с помощью специальных
экспериментов [2, 5]. В результате таких исследований, как пра-
вило, оцениваются изменения в структуре материала, происходящие
под действием только нагрева при постоянной температуре. Для
оценки влияния этих изменений используют или твердость материала,
или характеристики кратковременного разрыва.
Однако пластическое деформирование, охрупчивание и обра-
зование трещин в процессе длительного нагружения приводят к тому,
что закономерности разрушения не всегда определяются только
структурой материала, изменяющейся вследствие действия нагрева.
Поэтому ниже рассматривается влияние изменения температуры
непосредственно на сопротивление длительному статическому раз-
рушению.
Однократное изменение температуры. На рис. 6.1 и 6.2 приве-
дены результаты испытаний сплавов ХН70ВМТЮ и ХН62МВКЮ
по режиму, в соответствии с которым образцы после выдержки при
Тя и некотором уровне напряжения испытывали на длительную
прочность при рабочей температуре Тк < Тя. .
Результаты испытаний сплава ХН70ВМТЮ (рис. 6.1) показы-
вают, что 6-часовой перегрев не влияет на последующее поведение
сплава при 800° С; кривая длительной прочности для образцов, про-
шедших выдержку в течение 20 ч, в левой части значительно откло-
няется от первичной кривой. По мере увеличения длительности
испытаний кривая после выдержки 20 ч приближается к первичной
кривой, что свидетельствует об уменьшении повреждаемости, вызван-
ной действием перегрева. Уменьшение повреждаемости, связанное
с восстановлением свойств сплава ХН70ВМТЮ при выдержке при
800° С, происходит независимо от того, что повреждение материала
вследствие выдержки при Т — 900° С в течение 20 ч = 0,8)
 \ гк<,	1
велико и иа поверхности всех испытанных образцов имеются большие
трещины.
Количественным выражением повреждаемости при нестационар-
ном нагреве, как и при нестационарном нагружении, может служить
сумма относительных долговечностей at, определяемая формулой
(4.1). В случае сплава ХН70ВМТЮ, испытанного при 800° С после
58
перегрева при 900° С, величина at после выдержки в течение 6 ч
равна 1,16, а при 20 ч — 1,34. Такие значения at свидетельствуют
о том, что накопление повреждений при выбранных сочетаниях тем-
ператур носит замедленный характер по сравнению с тем, который
описывается законом линейного суммирования. Возможно, такой
характер повреждения связан с тем, что выбранная температура
800° С, соответствующая температуре старения, способствовала
упрочнению сплава, благодаря чему накопленное в процессе пере-
грева повреждение не проявлялось.
Испытания сплава ХН62МВКЮ при 850° С после перегрева
до 950° С в течение 5 и 10 ч (рис. 6.2) показали результаты, отличные
от рассмотренных для сплава ХН70ВМТЮ: средние значения суммы
относительных долговечностей at при 5-часовом перегреве составили
0,9; при 10-часовом — 0,8. Таким образом, перегрев сплава
ХН62МВКЮ до 950° С приводит к повреждению, возрастающему
по мере увеличения длительности выдержки при температуре пере-
грева, несмотря на то, что как при 950, так и 850° С происходит
старение сплава.
Приведенные примеры показывают, что структурные изменения,
происходящие в метастабильных сплавах в связи с повышением
или понижением температуры,- могут способствовать повреждению
или тормозить его, но не являются единственным процессом, опре-
деляющим закономерности повреждения.
Многократное изменение температуры. На рис. 6.2, кроме кри-
вых, полученных при 850° С для сплава ХН62МВКЮ после непре-
Рис. 6.2. Кривые длительной прочности
сплава ХН62МВКЮ при Г = 850° С
после выдержки при Т — 950° С и о —
— 18 кгс/мм2
Рис. 6.1. Кривые длительной прочно-
сти сплава ХН70ВМТЮ при Т =
= 800° С после выдержки при Т =
~ 900° С и о = 16 кгс/мм2:
1 — Т = 800° С, без предварительной вы-
держки; 2 —  — после выдержки в те-
чение 6 ч; 3 — после выдержки в тече-
ние 20 ч; 4 — Т = 900° С
1 — Т = 850° С, без предварительной выдерж-
ки; 2 — после выдержки в течение 5 ч; 3 —
после выдержки в течение 10 ч; 4 — после
выдержки при о = 18 кгс/мм’ и цикли-
чески изменяющихся температурах от 850
до 950° С в течение 45 ч (850° С —2 ч,
950° С — 10 мии); 5 - Г = 950° С
ДО
6, кгс/мм?
Рис. 6.3. Кривые длительной прочности
сплава ХН70ВМ.ТЮ при циклических
перегревах от 800 до 900° С в зависимо-
сти от частоты повторения перегревов:
1 — Т — 800° С: 2 — выдержка при Т =
= 800° С в течение 4 ч; длительность дей-
ствия перегрева при Т = 900° С — I ч. 3 —
выдержка при Т — 800° С в течение 1 ч;
длительность действия перегрева при Т в
= 900° С — 0,25; ч; 4 — Т = 900° С = const
рывного действия перегрева при 950° С, приведена кривая, харак-
теризующая влияние циклического нагрева от 850 до 950° С в те-
чение 45 ч. Суммарная длительность действия температуры 950° С
при таком режиме составила всего Около 3 ч, т. е. меньше, чем рас-
смотренные выше выдержки при стационарном перегреве (кривые 2
и 3). Однако сумма относительных долговечностей для случая пред-
варительного действия нестационарного нагрева оказалась значи-
тельно меньше (at = 0,6), чем при действии стационарного перегрева
даже существенно большей длительности.
Свидетельством увеличения повреждаемости при увеличении
числа повторений перегревов могут служить также результаты испы-
таний двух партий образцов из сплава ХН70ВМТЮ, проведенных
специально с целью оценки влияния частоты изменения температуры.
Температура при этих испытаниях изменялась от 800 до 900° С.
Относительная длительность действия перегрева при испытаниях
обоих партий образцов оставалась постоянной, равной 0,25,. дли-
тельность цикла для одной партии составляла 1,25 ч, для другой —
5 ч, т. е. частота повторения перегревов уменьшилась в 4 раза. При
таком режиме испытаний суммарное время действия максимальной
и минимальной температуры было одинаковым для равных длитель-
ностей испытаний. Поэтому в случае отсутствия влияния частоты
повторения перегревов результаты испытания на длительную проч-
ность для всех выбранных режимов должны были бы характеризо-
ваться общей кривой длительной прочности.
Однако, как показывает рис. 6.3, наблюдается различие в сопро-
тивлении длительному статическому разрушению, что и характери-
зуется кривыми 2 и 3. Значения at, характеризующие относительное
сопротивление длительному разрушению, также отличаются для
разных частот, уменьшаясь от 1,2 при длительности цикла 5.ч до
0,78 при длительности цикла 1,25 ч.
Приведенные результаты показывают, что независимо от уровней
температур, используемых при испытаниях с перегревами, для
исследованных материалов характерно, как и в случае испытаний
при нестационарном нагружении, ускорение процесса повреждения
60
при действии многократных изменений температур по сравнению
с однократными.
Такое увеличение повреждаемости связано с особенностями де-
формирования сплава в условиях ползучести и изменением их в про-
цессе повторного нагружения [24].
Для сплавов, характеризуемых одинаковой способностью к та-
кому деформированию, повреждаемость одинакова как при много-
кратных нагрузках, так и при повторных нагревах, если структурные
изменения при последних не настолько значительны, чтобы вызвать
существенное упрочнение или разупрочнение в сплаве. На рис. 6.4
показаны результаты испытаний сплава ХН55ВМТФКЮ на длитель-
ную прочность при периодически изменяющихся нагрузках (кривая 2)
и'изменяющихся температурах (кривая 3). Значения До = сттах —
— omin при испытаниях с перегрузками и ДТ = Ттах — Тт1а при
испытаниях с изменяющимися температурами были выбраны из
условий эквивалентности повреждаемости (см. гл. 3). В обоих циклах
нагрузка и температура изменялись по двухступенчатой схеме;
длительность действия минимальной температуры в цикле с изме-
няющейся температурой или минимальной нагрузки в цикле с изме-
няющимся напряжением составляла 2 ч. Длительность действия пере-
грузки (перегрева) в обоих циклах составляла 10 мин. Определение
суммы относительных долговечностей at для обоих режимов испыта-
ний показало, что повреждаемость как многократными перегревами,
так и многократными перегрузками велика и примерно одинакова
(at 0,3).
Такая же аналогия между накоплением длительного статического
повреждения при повторных нагревах и нагрузках при соответству-
ющих температурах следует из данных, приведенных в табл. 6.1
для других никелевых сплавов. Если циклическое ступенчатое изме-
Рис. 6.4. Влияние много-
кратных 10-минутных пе-
регрузок и перегревов,
на длительную прочность
сплава ХН55ВМТФКЮ:
I - Т .= 850° C = const;
0 — const; 2 — Т — 850° С=
= const; о =var; а, = <Г;
а, = а + 18 кгс/мм2. Вре-
мя действия а, в цикле —
2 ч. Время действия а3
в цикле — 0,16 ч; 3 — Т =
= var. Г, = 850° С; Т2 =
= 950° С; а = const. Время
Действия Г, в цикле — 2 ч.
Время действия Тг в цик-
ле — 0,16 ч. 4 — Т = 950° =
•= const
Таблица 6.1
Сплав	Т — const; о — var			a const; Т = var			
	Т, °C	Д0. кгс/мм* 1 2 3	в1Н	т	°C 1 min* u	Лпах» °C	zmln ^max	I 03
ХН77ТЮР	800	8	1,0	700	800	2/1 2/6	1,0 1,0
ХН70ВМТЮ	800 900	10 5	0,85 0,98	800	900	2/1 2/0,16	1,1 0,98
ЭИ 661	900	10	0,5	850	950	2/1 2/0,16	0,45 0,4
ХН62МВКЮ	850	10	0,42	850	950	2/1 2/0,16	0,66 0,41
ХН55ВМТФКЮ	850	18	0,35	850	950	2/0,16	0,3
Примечание. <m)n, <max — время выдержки при минимальной или максималь-
ной температуре (или напряжении) в цикле, ч.
некие температуры материала, находящегося под действием стати-
ческого напряжения, рассматривать как циклическое чередование
ползучести с меньшей и большей скоростью, то такой процесс изме-
нения температур можно уподобить циклическому нагружению,
особенности которого рассматривались в разделе 4. Тогда аналогия
в повреждении нестационарными нагревами и нагрузками может
быть объяснена связью этих обоих процессов с сопротивляемостью
сплава повторному деформированию в процессе ползучести и с ха-
рактеристиками пластичности при длительном разрушении.
Полученная аналогия, основанная на описании любого неста-
ционарного процесса нагружения или нагрева деформационными
характеристиками, подтвержденная испытаниями ряда сплавов,
позволяет особенности повреждения и накопления ползучести,
выявленные при нестационарном нагружении, считать характерными
и для условий работы сплава при нестационарном нагреве, если тем-
пературные режимы при этом не приводят к резким структурным
изменениям в материале.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гецов Л. Б. К вопросу о циклической ползучести и релаксации жаропроч,
ных сплавов. — «Проблемы прочности», 1969, № 5, с. 34—38.
2. Жаропрочные сплавы при' изменяющихся температурах и напряжениях.
Сборник статей под редакцией Л. Б. Гецова и М..Г. Таубиной. М.—Л., Госэнерго-
издат, 1960, 288 с.
3. Дубинин В. П., Лукашов В. К-, Осасюк В. В. Исследование ползучести
сплава ЭИ437Б при сжатии. — В кн.: Термопрочность материалов и конструктив-
ных элементов. Вып. 4. Киев, «Наукова думка», 1967, с. 217—220.
' 62
4.	Захарова Т. П., Сизова Р. Н. О методике определения длительного стати-
ческого повреждения жаропрочных сплавов в связи с их растрескиванием. — «За-
водская лаборатория», 1962, № 11, с. 1356—1360.
5.	Иванова Г. М. Ползучесть сплава ЭИ437Б при переменных температурах. —
«Пзв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение», 1958, № 4, с. 98—99.
6.	Кац Ш. Н. Ползучесть и разрушение труб под действием внутреннего дав-
ления. — «Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение», 1957, № 10,
с. 86—89.
7.	Кеннеди А. Д, Ползучесть и усталость в металлах. М., «Металлургия»,
1965, 310 с.
8.	Москвитин В. В. Пластичность при переменных нагружениях. Изд. МГУ,
1965, 263 с.
9.	Мошкии Н. А., Кузнецов А. П. Ползучесть листового дуралюмина Д16ТАТ
при постоянных и циклических нагрузках. — В кн.: Ползучесть и длительная
прочность. Изд. Сибирского отделения АН СССР, Новосибирск, 1963, с.
[75-177.
10.	Наместников В. С. О ползучести при сложном напряженном состоянии. —
В кн.: Ползучесть и длительная прочность. Изд. Сибирского отделения АН СССР,
Новосибирск, 1963, с. 100—109.
11.	Наместников В. С., Хвостунков А. А. Ползучесть Дуралюмина при постоян-
ных и переменных нагрузках. — «ПМТФ», 1960, № 4, с. 90—95.
12.	Наместников В. С. Прямое и обратное кручение в условиях ползучести. —
«ПМТФ», 1960, № 1, С. 121—122.
13.	Одииг И. А., Туляков Г. А. Ползучесть аустенитной стали при сложном
напряженном состоянии.—«Изв. АН СССР. ОТН», 1958, № 1, с. 3—10.
14.	Писаренко Г. С., Лебедев А. А. Сопротивление материалов деформированию
п разрушению при сложном напряженном состоянии. Киев, «Наукова думка»,
1969, 198 с.
15.	Рабинович. В. П. Прочность турбинных дисков. М., «Машинностроение»,
1966, 144 с.
16.	Работиов Ю. Н., Милейко С. Т. Кратковременная ползучесть. М., «Наука»,
1970, 219 с.<
17.	Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М., «Наука», 1966,
745 с.
18.	Ратиер С. И. Прочность и пластичность материалов. М., Оборонгиз, 1949,
152 с.
19.	Розенберг В. М. Ползучесть металлов. М., «Металлургиздат», 1967, 265 с.
20.	Салли А. Н. Ползучесть металлов и жаропрочных сплавов. М., Обороигиз,
1953, 289 с.
21.	Сдобырев В. П. Критерий длительной прочности для некоторых жаропроч-
ных сплавов прн сложном напряженном состоянии. — «Изв. АН СССР. ОТН. Ме-
ханика и машиностроение», 1959, № 6, с. 93—99.
22.	Сизова Р. Н. Некоторые особенности длительного статического разрушения
жаропрочных сплавов. — В кн.: Вопросы высокотемпературной прочности в ма-
шиностроении. Изд. АН УССР, Киев, 1965, с. 126—139.
23.	Сизова Р. Н. Приближенные способы получения расчетных характеристик
ползучести. — В кн.: Тепловые напряжения в элементах конструкций. Вып. 10.
Киев, «Науковая думка», 1971, с. 136—145.
24.	Сизова Р. Н. Некоторые закономерности нестационарной ползучести и влия-
ние их на напряженное состояние. — В кн.: Термопрочность материалов и кон-
структивных элементов. Киев, «Наукова думка», 1969, с. 35—41.
25.	Сорокин О. В., Самарии. Ю. П. Ползучесть деталей машин и сооружений.
Куйбышевское книжное издательство, 1968, 139 с.
26.	Статистическая оценка характеристик жаропрочности материалов для
газотурбинных двигателей. — «Проблемы прочности», 1970, № 7, с. 75—81. Авт.:
И. П. Булыгин, В. А. Доронин, И. И. Захаров, В. А. Зубрилова, Н. И. Парфенова,
Р. Н. Сизова, Л. Н. Тимофеева, И. И. Трунин.
27.	Торшевов Н. Г. Ползучесть алюминиевого сплава Д-16Т при~сжатии.—
«ПМТФ», 1961, № 6, с. 158—160.
28.	Трунин И. И., Логинов Э. А. Метод прогнозирования длительной прочности
металлов н сплавов. —«Машиноведение», 1971, № 2, с. 66—74.
63
29.	Трунин И. И. Обобщенный критерий сопротивления разрушению материа-
лов при сложном напряженном состоянии. —«Изв. вузов. Машиностроение», 1968,
№ 8, с. 50—55.
30.	Конструкционные материалы. Под ред. А. Т. Туманова В 2-х т. М., «Со-
ветская энциклопедия», 1966, т. I, 416 с.; т. 2, 407 с; т. 3, 528 с.
31.	Химушнн Ф. Ф. Жаропрочные стали и сплавы. М., «Металлургия», 1969,
654 с.
32.	Шнейдерович Р. М. Прочность при статическом н повторно-статическом
нагружениях. М., «Машиностроение», 1969,- 342 с.
33.	Baily R. W. Steam Piping for High Pressures and High Temperatures. Pro-
ceeding Institute of Mechanical Engineers., V. 164 1951, p. 324—335.
34.	Johnon A. E. Complex — Stress Creep of Metals. Metallurgical Reviues,
V. 5, № 20, p. 447—506, 1960.
35.	Kennedy C, R., Harms W. O., Douglas D. A. Multiaxial Creep Studies on
Jnconel at 1500° F. ASME paper № 58A, 1958, p. 231—239.
36.	Larson F. R., Miller J. A Time—Temperature Relationship for Rupture and
Creep Stresses. Transaction ASME, V. 74, 1952, p. 765—775.
37.	Manson. S. S., Succep G., Brown W. F. The Applications of Time—Relationship
Parameters to Accelerated Creep Rupture Testing. Trans. ASM., V. 11, 1959,
p. 911—934.
38.	Manson S. S. Thermal Stress and Low—Cycle Fatigue; Copyright, 1966, 404 p.
39.	Monkman F. C., Grant N. J. An onempirical Relationship between Rupture
Life and minimum Creep Rate in Creep—Rupture Tests. Proceedings ASTM, V 56,
1956, p. 593—620.
40.	Nishihara, Tanaka, Shima. Creep under Tension and Torsion. 5 th Japan
Congr. for Applied Mechanics, Tokio, 1955, p. 203—206.
ГЛАВА 2
Свойства материалов при циклическом изменении
температуры и нагрузки
1.	Сопротивление материалов
циклическому термическому нагружению
Особенности процесса нагружения материала при циклическом изме-
нении нагрузки и температуры. Для некоторых деталей важное
значение имеет сопротивление материала малоцикловому нагруже-
нию — до 103—104 циклов, которое сопровождается в каждом цикле
изменением температуры. Нередко нагрузка является следствием
изменения температуры, как это наблюдается в жестко закреплен-
ном стержне при его нагреве и охлаждении. Разрушение материала,
работающего в таких условиях, характеризуют как «термическую
усталость».
Основной особенностью малоциклового нагружения как при
изотермическом (малоцикловая усталость), так и при неизотерми-
ческом (термическая усталость) нагружении являются значительные
величины циклических деформаций. Этим обстоятельством опреде-
ляются основные закономерности накопления повреждений и раз-
рушения. В обоих случаях — при постоянной или циклически ме-
няющейся температуре — нагружение элемента тела может быть
произведено двумя способами; при постоянной амплитуде напря-
жений, как при обычных испытаниях на усталость, и при постоян-
ной амплитуде деформаций.
В первом случае нагружение называют мягким, во втором —
жестким. В реальных деталях элементы тела чаще всего нагружаются
промежуточным образом — в процессе нагружения не остается
постоянной ни амплитуда напряжений, ни амплитуда деформаций.
Для анализа реальных нагружений необходимо, однако, исследо-
вать оба предельных случая мягкого и жесткого нагружения. Основ-
ные особенности этих нагружений удобно рассмотреть на примере
малоцикловой усталости 114].
Характер изменения петель гистерезиса при мягком и жестком
нагружениях сплава ХН77ТЮР показан на рис. 1.1. Изменение
ширины петли гистерезиса и ее положения относительно начальной
точки деформирования при мягком нагружении дано на рис. 1.1, а.
Ширина петли гистерезиса для различных материалов может уве-
личиваться, уменьшаться или оставаться неизменной с увеличением
числа циклов. Соответственно материалы обычно называют цикли-
чески разупрочняющимися, упрочняющимися и стабильными. По-
следняя группа является условной, потому что при изменении усло-
вий нагружения и нагрева, как правило, нарушается стабильность
65
6,кгс!мм2
Рис. 1.1. Кривые цикличе-
ского деформирования спла-
ва ХН77Т1ОР при мягком и
жестком нагружении, полу-
ченные при постоянной тем-
пературе:
а — мягкое нагружение, 800° С;
б — жесткое нагружение, 700° С
петли гистерезиса. Примером циклически упрочняющихся материа-
лов являются жаропрочные хромоникелевые сплавы, аустенитные
стали; к циклически разупрочняющимся относятся чугун, некоторые
теплостойкие стали. Однако нередко один и тот же материал на раз-
личных стадиях нагружения может попеременно циклически упроч-
няться и разупрочняться.
В случае циклически упрочняющихся материалов накопленная
пластическая деформация обычно Невелика, для разупрочняющихся
материалов процесс пластического деформирования, наоборот, раз-
вивается с каждым циклом.
В случае жесткого нагружения (рис. 1.1, б) накопления остаточ-
ной пластической деформации происходить не может, однако вслед-
ствие изменения значений предела пропорциональности изменяется
величина максимальных напряжений цикла в области растяжения
и сжатия. Для циклически упрочняющихся материалов амплитуда
напряжений увеличивается, для разупрочняющихся — умень-
шается. При этом может значительно изменяться и асимметрия
цикла.
Если циклические нагрузки действуют в неизотермических усло-
виях, то картина накопления повреждений существенно усложняется.
Рассмотрим наиболее простой случай одновременного действия цик-
лических нагрузок и температур, когда циклы нагружения и нагрева
совпадают. Примером такого нагружения, автоматически обеспечи-
вающего синхронность приложения нагрузки и нагрева, является
нагружение температурными напряжениями, возникающими при
неравномерном нагреве детали по ее объему, или равномерный нагрев
детали, жестко закрепленной по контуру.
Естественно, что более высокие-температурные напряжения воз-
никают в деталях, изготовленных из материалов с большими значе-
ниями коэффициента линейного расширения и модуля упругости,
а в случае внешнего нагрева детали должны также учитываться
условия теплоподвода и теплопередачи.
66
В сравнении с малоцикловым усталостным нагружением при
постоянной температуре испытания на термическую усталость имеют
ряд особенностей.
В существующих установках не удается сохранить при испыта-
ниях постоянными циклические термические напряжения при неиз-
менном диапазоне изменения температуры.. Обычно испытания про-
водят при сохранении постоянной величины размаха деформаций
на установках типа Коффина, модифицированных для различных
условий нагружения [4, 7, 12, 18].
На рис. 1.2 показаны принципиальные схемы одной из таких уста-
новок. Образец помещен между жесткими неподвижными плоско-
стями и подвергается нагреву пропусканием через него тока. Заменой
опорных шайб можно изменять возникающие в образце температур-
ные напряжения.
На рис. 1.3 показано изменение напряжений в образце из сплава
ХН62МВКЮ, испытываемом на термоусталость в диапазоне темпе-
ратур 100—800° С. Материал пластически деформируется в области
растяжения при низкой (100° С) температуре, а затем — в области
сжатия при высокой (800° С) температуре (пределы текучести соот-
ветственно составляют 75—85 и 65—75 кгс/мм2). Если деталь или
образец при высокой температуре находятся некоторое время под
нагрузкой, то, как видно на рис. 1.3, происходит релаксация на-
пряжений и пластические деформации развиваются за счет ползу-
чести. Эти обстоятельства в значительной мере усложняют процесс
накопления деформаций при термической усталости, а при оценке
условий разрушения возникает- необходимость учета длительного
повреждения, связанного с ползучестью [3].
Существенная особенность термоусталостных испытаний — неизо-
термичность нагружения. Одновременное изменение нагрузки и тем-
пературы оказывает определенное влияние на кривые деформирова-
ния даже при статическом нагружении, что иллюстрируется следу-
ющими опытами. Два жаропрочных сплава — ХН77ТЮР и ЖС6К —
испытаны „по режимам:
1)	постоянное напряжение и изменяющаяся (повышающаяся)
температура;
2)	увеличивающееся напряжение и понижающаяся температура.
Рис. 1.2. Принципиальные j
схемы установки для испы-
тания на термическую уста-
лость;	4
а — без эластичной связи; б —
с эластичной связью; 1 ~ рабо-
чая часть образца; 2 — пере-
ходные части образца; 3 — шай- J
ба или мембрана; 4 — соедини- '
тельные стержни-динамометры;
6 — обойма для мембраны
а)
67
Рис. 1.3. Изменение напря-
жений в течение цикла в об-
разце из сплава ХН62МВКЮ
при испытаниях на термичес-
кую усталость с выдержками
на максимальной темпера-
туре цикла:
О — цикл №	1; □ — цикл
№2; X — цикл № 3; Д —
цикл № 4 и следующие
При нагружении по первому режиму получены кривые темпера-
турной податливости, пример которых для сплава ХН77ТЮР при-
веден иа рис. 1.4. Для сравнения показана кривая, полученная по
диаграммам деформирования в изотермических условиях.
При построении кривых были определены заранее и исклю-
чены из расчета деформации ползучести, проявляющиеся при
700—800° С. Данные рис. 1.4 свидетельствуют о возрастании
деформационной способности материала в случае неизотермического
нагружения.
При испытаний по второму режиму было отмечено увеличение
остаточной деформации при разрушении в случае неизотермического
нагружения (табл. 1.. 1).
На рис. 1.5 приведены диаграммы деформирования, полученные
в изотермических условиях (сплошные кривые, каждая кривая по-
строена по результатам испытания трех образцов; эксперименталь-
ные точки на них не показаны). На эти кривые нанесены экспери-
ментальные точки, полученные при неизотермическом нагружении
по второму режиму, численная характеристика которого приведена
в первых двух графах табл. 1.1.
Рис. 1.4. Сопротивление
деформированию сплава
ХН77ТЮР при изотермиче-
ском (•) и неизотермиче-
ском (Д) нагружении (о =
= 45 кгс/мм2)
68
Наблюдаемый при этом сущест-
Таблица 1.1
венный разброс результатов связан, - вероятно, с приближенной оцен- кой поправки иа нестационарную кратковременную ползучесть, учи-	Т, ’С	а. кгс/мм2	Среднее значение е, %, по 9 образцам
тываемую в данных исиьнаниях. Как видно на рис. 1.5, в упру-	900	41	0 3
гой области деформирования точки,	800	56	0,45
полученные при неизотермическом	700	67	0,55
нагружении, достаточно хорошо	600 500	73 78—91	0,6 1,95
согласуются с кривыми, получен- ними при соответствующем значе- -			
или постоянной температуры.
Различие в величине деформаций при изотермическом и неизотер-
мическом нагружении начинается с величины еост « 0,1%. При этом
точки, полученные при испытании с уменьшающейся температурой
от 900 до 600° С при сг = 73 кгс/мм2, расположены правее диаграммы
деформирования, построенной при постоянной температуре 600° С.
Однако это различие невелико и в расчетах может не учитываться.,
Более существенная разница получается при разрушении: деформи-
рование с постоянной температурой 500° С дает еост = 0,8%, а
разрыв девяти образцов при понижении температуры от 900 до 500° С
(с моментом разрушения при 500° С) показал Вост = 1,35%, т. е.
остаточная деформация при неизотермическом нагружении увели-
чилась более чем в Г,5 раза. Характерно, что значение сгв при этом
почти не изменилось: сгв — 86 кгс/мм2 при Т = 500° С = const и
дер = 85,5 кгс/мм2 при Т — var 900 —» 500° С.
6, кгс/мм2
WO i-----
Рис. 1.5. Диаграммы деформирования сплава ЖС6К, полу-
чение при изотермическом нагружении по схеме а (сплош-
ные линии без экспериментальных точек) и неизотермиче-
ском нагружении по схеме б (экспериментальные точки)
69
Рис. 1.6. Изменение напряжений в зави-
симости от числа циклов при испыта-
ниях на термическую усталость стали
37Х12Н8Г8МФБ в температурном диапа-
зоне 100—700° С (.¥р = 12 184 цикла)
Из приведенных данных сле-
дует, что в пластической об-
ласти в подобных условиях ис-
пытания может быть повышен-
ная деформация .материала
при неизотермическом нагру-
жении.
Особенностью, термоустало-
стного нагружения является
также непостоянство темпера-
туры в цикле. При анализе ре-
зультатов термоусталостных
испытаний следует учитывать,
что при наибольших значениях
растягивающей и сжимающей
нагрузок температура мате-
риала отличается на сотни
градусов, и соответственно раз-
лична способность материала к пластическому деформированию.
В связи с этим значительно перераспределяются напряжения
и изменяется асимметрия цикла. Так, при испытаниях стали
37Х12Н8Г8МФБ в температурном диапазоне 100—700° С среднее
напряжение цикла егсР с увеличением числа циклов изменяет знак
(рис. 1.6) и наибольшее по абсолютной величине напряжение цикла
становится растягивающим.
Существенная особенность работы деталей, подвергающихся тер-
моусталостным нагрузкам, состоит в том, что в реальных условиях
этим нагрузкам сопутствуют обычно воздействие • газовой среды и
связанная с этим коррозия и • уменьшение в поверхностном слое
количества легирующих элементов, влияние поверхностно-активной
среды, облучения и другие явления, связанные с особенностями
создания тепловых потоков большой интенсивности.
Сопротивление термической усталости жаропрочных сплавов и
сталей. Обычным способом испытания материалов на термическую
усталось является испытание образцов в условиях жесткого нагру-
жения при пилообразном изменении температуры [1, 9, 19].
В этих условиях вследствие малого времени пребывания образца
при максимальной нагрузке и температуре ползучесть материала
и обусловливаемая ею релаксация напряжений проявляются слабо.
Термические циклические напряжения определяются разностью
температуры в цикле (7'mln и Ттах).
Результаты экспериментов могут быть представлены в виде за-
висимости
T'max = / (N), либо До = f (N), Де = f (N).
Последние две зависимости дают более полное представление
о связи основных экспериментальных величин, но для их построения
необходимы замеры размаха деформаций или запись напряжений
в течение всего, испытания.
70
Кривую, выраженную зависимостью Де = f (N), обычно назы-
вают кривой термической усталости.
Кривые Тшах = f (N), построенные для ряда жаропрочных мате-
риалов, приведены на рис. 1.7. В полулогарифмических коорди-
натах эти кривые могут быть представлены в виде прямых и, следо-
вательно, описываются уравнением
Тт* = С - k lg;N,
(1.1)
где N — число циклов до разрушения; k и С — постоянные мате-
риала; Ттах — максимальная температура цикла, °C.
Значения постоянных k и С для некоторых материалов приведены
в табл. 1.2.
Экспериментальные зависимо-
сти Tmax = f (N) могут быть при-
менены для оценки термоуста-
лости детали не во всех случаях.
Эти зависимости объединяют, в сущ-
ности, три величины: темпера-
туру, напряжение (деформацию)
и число циклов. Поэтому каждое
значение одной величины, напри-
мер, числа циклов, соответствует
некоторому сочетанию двух дру-
гих. Для расчетов часто необхо-
димо для одного и того же значения
Таблица 1.2
Материал	k	с
12Х18Н9Т	250	1320
37Х12Н8Г8МФБ	225	1215
ХН77ТЮР	89	1010
ХН70ВМТЮ	71	935
ХН62МВКЮ	100	ИЗО
ХН56ВМКЮ	150	1300
Инконель 550	73	1000
Нимоник 75	235	1400
Рис. 1.7. Кривые зависимости числа циклов до разрушения от максимальной тем-
пературы, построенные для различных максимальных температур Ттах (Т’днп =
100° С = const):
О - ХН77ТЮР; X - ХН70ВМТЮ; • - ХН62МВКЮ; Д — ХН56ВМКЮ: V - 12X18H9T;
О — 37Х12Н8Г8МФБ;  — Нимоник 75; ▼ — Инконель 550
71
Рис. 1.8. Зависимость числа циклов до разрушения от размаха
деформаций при постоянной максимальной температуре цикла
(Tmln = 100° С = const):
X - 12Х18Н9Т, Гтах = 700° С; О - 37Х12Н8Г8МФБ, 700° С; • -
ХН70ВМТЮ, 850° С; А — ХН62МВКЮ, 850° С; □ - ХН77ТЮР;
800’ С
температуры иметь зависимость амплитуды напряжения или де-
формации от числа циклов. Поэтому наряду с зависимостями Ттах=
— f(N) используют кривые термической усталости, построенные
в координатах «размах упругопластической деформации Де — число
циклов до разрушения N» по параметру температуры. Для построе-
ния кривых требуется сохранить постоянным температурный режим
цикла при варьировании амплитуды деформации.
Для области умеренных значений Тшах (650—700° С) Коффин
предложил зависимость [18]
Дер;уо.5 = С,	(1.2)
где Де*’ — размах пластических деформаций; С — постоянная,
зависящая от истинного удлинения при разрыве.
На рис. 1.8 для некоторых жаропрочных материалов, испытанных
в области более высоких значений Ттю, приведены зависимости
размаха полной деформации Де, включающей упругую и пласти-
ческую составляющие, от числа циклов до разрушения ДГ. Эта за-
висимость может быть представлена в виде
Де" = С,	(1.3)
где п и С — константы материала, зависящие от температурного
режима в цикле (см. табл. 1.3).
Для описания изотермической малоцикловой усталости иногда
используют зависимость Мэйсона [22]
Де = £)о.б^_о,б +	(1.4)
£
72
Таблица 1.3
Материал	’max «икла. °C	п	с
12Х18Н9Т	700 750 800	1,79 1,67 1,22	1360 833 500
37Х12Н8Г8МФБ	700	2,44	2950
ХН77ТЮР	750 800 850	1,22 1,09 1,90	4900 1995 1540
ХН70ВМТЮ	850	1,56	1700
ХН62МВКЮ	850 900	1,85 1,45	2420 834
ЖС6К	900 950	16,7 20,0	4680 1585
где Де — размах полной деформации;
D=ln
ств — предел прочности; Е — модуль упругости; ф — поперечное
сужение при разрыве (обычно ф = 0,14-0,4).
Результаты испытаний на термоусталость также, могут быть обоб-
щены для разных материалов и разных значений Ттах в форме за-
висимости (рис. 1.9)
Д е
d°’6+£
с.
(1-5)

где характеристики материала соответствуют температуре Ттт.
Достаточно хорошее описание экспериментов дает зависимость
Де№’7 = 3,5	+
(1-6)
73
ние термоусталости некоторых жаропрочных материалов:
X - ХН77ТЮР, 800’С; О — ХН77ТЮР, 850’С. V—ХН62МВКЮ,
900’С; • - ХН70ВМТЮ, 850’ С; -А - 37Х12Н8Г8МФБ, 700’ С
2.	Сопротивление термической усталости
жаропрочных сплавов и сталей
Длительное действие термических напряжений. Температурные на-
пряжения, возникающие в деталях машин при высоких температу-
рах, обычно действуют в каждом цикле в течение некоторого вре-
мени. Длительность и форма температурного цикла являются одним
из основных факторов, определяющих сопротивление материала
термической усталости, поскольку с увеличением длительности
действия температурных напряжений изменяется процесс накопле-
ния повреждений [15].
Для изучения длительной термоусталости * проводят исследова-
ния сопротивления термической усталости при постоянных, но раз-
личных значениях максимальной температуры и длительности тем-
пературного цикла [8, 11, 13, 23]. Такие испытания осуществляют
на установках, принципиальная схема которых была показана на
рис. 1.2, оснащенных устройствами для изменения температуры-
образца по трапецеидальному циклу и измерения деформаций [1, 10].
На рис. 1.3 был приведен пример такого цикла изменения темпера-
туры в рабочей части жестко закрепленного по концам образца..
Там же показан характер изменения температурных напряжений.
Максимум напряжения в цикле может быть достигнут ранее
максимальной температуры, что особенно характерно для первого
цикла нагружения. На участке с постоянной температурой происхо-
дит интенсивное уменьшение напряжений из-за развития деформа-
ций ползучести.
Охлаждение приводит к появлению растягивающих напряжений.
Второй и последующие циклы начинаются с нагрева и, следовательно,
с уменьшения растягивающих напряжений.
* Под условным термином «длительная термоусталость» в дальнейшем пони-
маем сопротивление термоусталости при действии циклов различной длительности
с выдержкой при максимальной температуре цикла.
74
Таблица 2.1
Материал	Температура испытания, °C	п	С	Длительность цикла, мин
	700	1,04	305	2,8
	700	0,42	160	12,0
12Х18Н9Т	750	1,38	285	2,8
	750	1,20	123	12,0
	800	1,17	271	2,8
	800	1,05	186	12,0
	700	1,67	700	2,8
37Х12Н8Г8МФБ	700	1,62	422	12,0
	700	1,69	290	120,0
ХН77ТЮР	800 800	1,01 1,70	403 194	2,8 12,0
На рис. 2.1 приведены кривые термической усталости теплостой-
ких сталей 12Х18Н9Т и 37Х12Н8Г8МФБ, полученные при изме-
нении температуры в цикле от .100 до 700° С и изменении дли-
тельности цикла соответственно в 10 и 100 раз. Эти кривые являются
достаточно характерными для жаропрочных материалов. Здесь
Де — размах полной деформации, включающей и развивающуюся
в течение цикла деформацию ползучести.
Кривые термической усталости при действии циклов с выдержкой
могут быть также описаны уравнением (1.2), однако значения по-
стоянных п и С будут иными. Эти значения для некоторых материалов
приведены в табл. 2.1. В данном случае постоянная С определяется
Рис. 2.1. Кривые термической усталости сталей 12Х18Н9Т (а) и
37Х12Н8Г8МФБ (б) при Т — 700“ С и различной длительности
цикла:
О, Д —	= 1,3 мин; X,  —	= 2,8 мин; •, □ —	= 12 мин;
Д —	= 120 мин
75
Рис. 2.2. Зависимость термоусталости
сплава ХН77ТЮР при различных
максимальных температурах от дли-
тельности температурного цикла:
О - ’'max = 750° с' X - ттах = 800° С'
• - ’’max = 850° с
не только пластическими свойствами материала при кратковременном
нагружении, но и его сопротивлением ползучести.
Данные табл. 2.1 показывают, что значения показателя п в случае
длительных испытаний на термоусталость могут значительно отли-
чаться от рекомендованных ранее для расчета величин п — 2—3
[18, 22].
С увеличением длительности температурного цикла резко умень-
шается число циклов до разрушения. Зависимость числа циклов от
деформации с увеличением длительности цикла становится менее
выраженной, т. е. число циклов до разрушения при этом перестает
быть характерной величиной для оценки сопротивления разрушению.
Это иллюстрируют кривые рис. 2.2, построенные по результатам
испытания сплава ХН77ТЮР. Повреждающее влияние выдержки
проявляется уже при небольших ее значениях: в данном случае
выдержка в 10—12 с в 3—5 раз уменьшала число циклов до разруше-
ния по сравнению с испытаниями по пилообразному циклу. Однако
дальнейшее увеличение длительности цикла влияет на число циклов
слабее. Это свидетельствует о наибольшем повреждении материала;
в первые секунды после начала развития деформаций ползучести.
На кривых зависимости 1g —lg N можно отметить две области:
результаты всех испытаний с выдержками’ на максимальной темпе-
ратуре, начиная от длительности выдержки 10—12 с, что соответ-
ствует длительности цикла 1,54-2,0 мин, располагаются при-
близительно на прямой линии; результаты испытаний, в которых
выдержки не было, существенно отклоняются от этой прямой.
Подобные данные были получены и для других материалов,
а также при увеличении длительности цикла до 120 мин, т. е. при
изменении ее на два порядка. На рис. 2.3 приведены кривые для не-
которых материалов. Следует отметить, что с уменьшением темпера-
туры испытания обычно увеличивается наклон кривых —N. т. е.
при низких значениях максимальной температуры цикла число цик-
лов до разрушения в малой степени зависит от длительности цикла.
Поскольку кривые, показанные на рис. 2.3, выражаются прямыми,
они могут быть описаны уравнением
Nt^ = C,	(2.1)
где /ц — длительность одного цикла.
76
Таблица 2.2
Материал	’"min цикла' °с	р	с
37Х12Н8Г8МФБ	700	0,29	371
ХН62МВКЮ	800	0,76	851
ХН70ВМТЮ	850	0,90	338
ХН77ТЮР	800	1,15	602
12Х18Н9Т (плавка А)	700	0,54	389
Нимоник 90	920	0,85	77
347	500	0,14	7586
12Х18Н9Т (плавка Б)	700	0,36	537
Х18Н22В2Т2	700	0,53	407
ХН60В	950	0,08	52
Значения коэффициента р, характеризующего наклон кривых,
как показано в табл. 2.2, могут изменяться в широких пределах
(р =0,08-4-1,15).
Долговечность детали, подвергаемой действию термоциклических
нагрузок, может быть определена как числом циклов, так и временем
до разрушения.
Исходя из диапазона изменения р, рассмотрим следующие воз-
можные значения:
а) р > 1; б) р = 1; в) 1 > р > 0.
Для наглядности представим уравнение (2.1) в следующем виде:
tp~' (NQ = С,	(2.2)
где — долговечность (время до разрушения).
Значениям р > 1 соответствуют кривые, свидетельствующие
о непрерывном уменьшении времени до разрушения с увеличением
Рис. 2.3. Зависимость со-
противления термоустало-
сти от длительности цик-
ла для различных мате-
риалов:
•	—	37Х12Н8Г8МФБ,
’"max = 700° С;
□ —ХН62МВКЮ, 800° С;
▼ — ХН70ВМТЮ, 850° С:
 — ХН77ТЮР, 800° С;
А — 12Х18Н9Т (плавка Л),
700» С; О — Х18Н22В2Т2,
700» С; V — Ннмоиик-90,
920» С; -J----12Х18Н9Т
(плавка Б), 700° С
мин
11
торых жаропрочных материалов /ЦЛ/ от
длительности температурного цикла /ц:
1 - Нимоник-90, Тгаах = 920° С; 2 — XH60B,
950° С; 3 — 37Х12Н8Г8МФБ,	700° С; 4 —
ХН77ТЮР, 800° С; 5 — ХН70ВМТЮ, 850° С
длительности цикла. При
значениях р 1 зависи-
мость времени до разруше-
ния от длительности цикла
становится несущественной.
В случае 1 > р > 0 время
до разрушения материала
должно увеличиваться с уве-
личением длительности
цикла.
Кривые, иллюстрирую-
щие зависимость времени
до разрушения от длитель-
ности цикла, приведены на
рис. 2.4. Как видно, экспе-
риментальные данные под-
тверждают наличие различ-
ных зависимостей.
Изменение длительности
температурного цикла раз-
личным образом влияет на
время до разрушения, в зави-
симости от свойств материала
и уровня температур, что
определяет величину пара-
метра р.
С увеличением длительности цикла долговечность убывает (при
малых значениях £ц) и возрастает при /ц >2-^3 мин.
Даже при возрастании долговечности число циклов до разруше-
ния с увеличением всегда уменьшается. Это в особенности прояв-
ляется при более высоких максимальных температурах цикла.
В случае 1 и р > 1 увеличение длительности цикла при-
водит лишь к незначительному изменению суммарного времени до
разрушения, в то время как число циклов до разрушения изменяется
при этом довольно значительно. Так, например, для сплава
ХН62МВКЮ при испытании на термическую усталость с максималь-
ной температурой цикла Ттах — 800° С увеличение длительности
цикла с (ц = 2,8 мин до = 12 мин приводит к уменьшению числа
циклов до разрушения примерно в 3 раза, тогда как время работы
до разрушения материала почти не изменяется. Аналогичные данные
получаются и для других материалов (см., например, кривые 1 я4
на рис. 2.4).
С увеличением максимальной температуры цикла и длительности
цикла до 7—12 мин и более зависимость времени до разрушения от
длительности цикла для ряда жаропрочных сплавов (ХН62МВКЮ,
ХН70ВМТЮ, ХН77ТЮР и др.) изменяется, и на соответствующих
кривых можно наблюдать минимум по оси времени до разрушения.
Примером такой зависимости являются кривые 4 и 5 на рис. 2.4.
Для ряда других материалов этот минимум выражен еще больше
78
(рис. 2.5). Точка, соответствующая минимальному значению сум-
марного времени до разрушения, характеризует такой цикл, испы-
тания по которому приводят к наибольшему повреждению материала.
Для исследованных жаропрочных материалов длительность этого
цикла составляла /ц = 2,8=7,0 мин (длительность выдержки
в цикле 1,5—5,7 мин).
Наличие такого цикла следует иметь в виду при назначении ре-
жима работы детали. Это обстоятельство может быть использовано
также при проведении ускоренных испытаний материала или деталей.
Рассматривая зависимости долговечно'сти от длительности термо-
цикла, можно сделать вывод о критерии разрушения при дли-
тельной термоусталости: число циклов до разрушения становится
недостаточным для оценки сопротивления разрушению и необходимо
учитывать суммарное время до разрушения.
Факторы, влияющие на сопротивление термической усталости.
Статическая нагрузка. Термоциклическое воздействие на детали
обычно сочетается с постоянной нагрузкой: в дисках и лопатках
турбин — от центробежных сил, в паропровода-х — от внутреннего
давления и т. д. Как и при обычной усталости, статическая нагрузка
может значительно уменьшить время до разрушения детали.
На рис. 2.6 приведены некоторые данные по влиянию, статической
нагрузки на сопротивление термоусталости стали 37Х12Н8Г8МФБ
[2]. Размах термических напряжений был одинаковым во всех
испытаниях при выбранном значении Tmsx, а статическая на-
грузка изменялась от нуля до стст =37 кгс/мм2. Данные, полу-
ченные для двух значений максимальных температур, показывают,
что при малых значениях статической нагрузки (5—10 кгс/мм2)
число циклов до разрушения не уменьшается, а иногда даже увели-
Рис. 2.5. Кривые, характери-
зующие наличие цикла, наиболее
повреждающего материал при
испытаниях ла термоусталость:
V - 12X18Н9Т, Tfflax =
X — ХН56ВМКЮ, 800° С;
ХН62МВКЮ, 900° С;
ХН77ТЮР, 850° С
700° С;
А —
Рис. 2.6. Влияние статической нагрузки на
сопротивление термоусталости стали
37Х12Н8Г8МФБ (4, = 1,3 мин):
О “ Ттах = 700» С; X - Ттах = 750° С
74
Рис. 2.7. Временная зависимость
сопротивления термической уста-
лости стали 12Х18Н9 при тем-
пературном цикле 650—450° С:
• — аст = 0; О — <JCT = 5,4 кгс/мм2
Рис. 2.8. Влияние холодного наклепа на
сопротивление термической усталости стали
347:
X — без наклепа; □ — наклеп кручением на
180°; д — наклеп кручением на 360°
чивается, а при значениях стст > 124-15 кгс/мм2, в особенности при
повышении максимальной температуры, число циклов до разруше-
ния значительно сокращается.
Отмеченные тенденции наблюдались в ряде работ; в них показано,
что небольшая статическая нагрузка не уменьшает число циклов
до разрушения. При увеличении статической нагрузки и приближе-
нии цикла к пульсирующему влияние растягивающих напряжений
существенно возрастает [1, 23]. Для стали 347 при переходе от сим-
метричного цикла к пульсирующему при сохранении размаха термо-
напряжений число циклов уменьшалось в 20 раз 1231. В нашем
случае для стали 37Х12Н8Г8МФБ соответствующие числа циклов
уменьшались также в 15—20 раз.
Сопротивление длительной термической усталости при совместном
действии статической и циклической термической нагрузки также
уменьшается [1, 2]. На рис. 2.7 для стали 12Х18Н9 приведены зави-
симости числа циклов от длительности цикла при действии статиче-
ской нагрузки и без нее. Подобные кривые были получены-для сталей
Х16Н9М2, Х15Н14В2М2 и некоторых других. Из этих данных сле-
дует, что угол наклона зависимостей /ц—N при испытаниях со
статической нагрузкой изменяется несущественно.
Наклеп и структурные факторы. Влияние холодного наклепа
растяжением и кручением на сопротивление термической усталости
было исследовано в работе [18]. Соответствующие данные для стали
347, наклепанной кручением, приведены на рис. 2.8.
. Характерная особенность состоит в том, что при малых значениях
амплитуды деформации наклеп увеличивает сопротивление^термиче-
ской усталости, а при больших — уменьшает.
Наклеп отрицательно влияет и на длительную термическую уста-
лость сталей 12Х18Н9Т и Х18Н22В2Т2. Поскольку при этом виде
80
нагружения разрушение во многом определяется длительной пла-
стичностью, а наклеп ее уменьшает, то отрицательное влияние на-
клепа в этом случае закономерно [1 1.
Влияние уменьшения пластичности при длительном нагружении
оценивалось в работе [171. Образцы из кобальтового сплава S-816
подвергали выдержке в нагретом и нагруженном состоянии при
а — 28 кгс/мм2, Т — 730° С. Сопротивление термической усталости
после выдержки в течение 50 ч уменьшалось в 2 раза, а после вы-
держки в течение 75 ч сплав почти полностью утратил способность
сопротивляться термоциклическим нагрузкам.
Правка листового материала в горячем состоянии и вызываемый
ею наклеп также уменьшают сопротивление термической усталости.
Имеются некоторые данные об отрицательном влиянии поверх-
ностного наклепа. Так, для сплава на никелевой основе показано,
что наклеп при обдувке дробью уменьшает в 2 раза число циклов
до разрушения при испытании на термическую усталость.
Влияние структуры на сопротивление термической усталости
проявляется при изменении размеров зерна. В большинстве случаев
оно уменьшается с увеличением размеров зерна (сплавы типа нимо-
ник). Указанное обстоятельство существенно в связи с тем, что дей-
ствие термоциклов может быть связано с местными перегревами
и укрупнением зерна (например, в деталях камеры сгорания газо-
турбинных двигателей). Выдержка в течение 1 —1,5 ч образцов из
сплава ЭИ435 при 1000° С приводила к изменению балла зерна с 10
до 3—4. Это, в свою очередь, на 30% уменьшало число циклов до
разрушения при испытании на термическую' усталость. '
При исследовании сопротивления термоусталости клиновидных
образцов из стали ЭИ388, имеющих зерна различных размеров, пока-
зано, что зоны крупного зерна более чувствительны к термоусталост-
ному повреждению.
Химический состав материала оказывает решающее влияние на
сопротивление циклическому нагружению. В основном повышение
термоусталости по материалам происходит в том же порядке, как
и жаропрочности, однако имеется и несоответствие, в связи с тем,
что на сопротивление термоусталости деталей влияют такие харак-
теристики, как коэффициенты линейного расширения и теплопровод-
ности, не имеющие значения для жаропрочности. Примерное распо-
ложение материалов по степени возрастания их сопротивления термо-
усталости следующее: стали перлитного, ферритного и мартенсит-
ного класса, титан, стали аустенитного класса, хромоникелевые
сплавы, кобальтовые сплавы, молибденовые сплавы. Необходимо
отметить, что в каждом частном случае сочетания температур и на-
грузок выбор материала должен производиться по конкретным усло-
виям работы детали, однако можно указать на некоторые общие
положения. В случае нагружения с большими амплитудами пласти-
ческих деформаций в каждом цикле (Де > 1-^-2%) для обеспечения
достаточного числа циклов необходимым является высокая пластич-
ность материала как при верхней, так и при нижней температуре
цикла. Если же амплитуды деформаций таковы, что пластическая
81
составляющая мала (ер = 0,05-ь0,2%) или вообще отсутствует,
пластичность материала имеет второстепенное значение в сравнении
с его прочностными свойствами.
Эти положения иллюстрируют, например, данные испытаний
сплавов ЖС6К и ХН77ТЮР, приведенные в конце главы.
Состояние поверхности, жаростойкие покрытия и среда. Влияние
чистоты поверхности на сопротивление термической усталости суще-
ственно, хотя и проявляется в меньшей степени, чем при обычной
усталости. Так, для сплава на никелевой основе при максимальной
температуре цикла 900° С повышение чистоты поверхности с V8
до V10—V11 приводит к увеличению числа циклов до разрушения
на 45%. Примерно в такой же степени повышается сопротивление
термоусталости стали ХН78Т при введении электролитического и
механического полирования. Для сравнения следует указать, что
сопротивление механической усталости при этом возрастает по числу
циклов в 2,5 раза при электролитическом полировании и в 4 раза
при механическом полировании. Сопротивление термоусталости
повышается в 2 раза при введении электрополирования хромонике-
левых сталей типа 20Х23Н18. Литые полированные образцы из
кобальтового сплава S-816 при испытании по режиму (98025° С)
выдерживают вдвое большее число циклов до разрушения, чем такие
же образцы до полировки.
Для деталей, работающих в условиях циклических теплосмен,
применяют различные защитные покрытия, наносимые на поверх-
ность детали. Защитные свойства этих покрытий зависят от несколь-
ких факторов. Так, при нанесении жаропрочных эмалевых покрытий
необходимо производить обжиг эмалей при температурах, которые
могут вызвать рост зерна основного металла. Кроме этого, для надеж-
ного сцепления эмалей с металлом его поверхность подвергают
пескоструйной обработке, что вызывает наклеп поверхности, также
уменьшающий сопротивление термоусталости.
Наносимое покрытие (эмалирование, меднение, никелирование,
хромирование) или специальная обработка поверхностного слоя
(алитирование и т. п.) может выполнять две противоположные функ-
ции: способствовать уменьшению температурных градиентов у по-
верхности материала вследствие высокой теплопроводности или,
наоборот, уменьшать скорость нагрева и охлаждения всего объема
детали. Покрытия первого рода — пластичные материалы, облада-.
ющие малой прочностью (медь, никель), покрытия второго рода —
достаточно прочные пленки (окиси, керамика, эмали), теплопровод-
ность которых должна быть невысокой. В обоих случаях к покрытию
предъявляется требование пластичности, достаточной для сохранения
неразрывности на всей поверхности.
В связи с тем, что это требование (как и ряд других, например,
достаточное соответствие коэффициентов температурного расширения
покрытия и металла и пр.) часто не выполняется, получены противо-
речивые результаты исследования влияния покрытий. Так, инко-
нель, плакированный никелем, выдерживает число циклов, в 3 раза
большее, чем без покрытия; алитирование лопаток турбины из
82
кобальтового сплава вдвое повышает термостойкость; в несколько
раз возрастает термостойкость при алитировании лопаток турбины
„з никелевого сплава. Вместе с тем известны данные о том, что нике-
лирование и меднение обычной углеродистой стали не увеличивает
ее термостойкость, а алитирование стали 12Х18Н9Т даже уменьшает
число теплосмен до разрушения. Приведенные данные показывают,
что для определения эффективности покрытия необходимы экспери-
ментальные исследования детали или образцов с покрытием.
Влияние среды, в которой работает материал при воздействии .
термоциклов, обычно проявляется в изменении поверхностного слоя
.материала. Так, например, при нагреве детали горячими газами про-
исходит выгорание легирующих элементов в поверхностном слое.
Концентрация напряжений, сложное напряженное состояние.
Как и в испытаниях на механическую усталость, отмечается значи-
тельное влияние концентрации напряжений при действии цикличе-
'ских термических нагрузок.
Необходимо учитывать некоторые особенности концентрации
напряжений в этом случае. Во-первых, наличие отверстий, выкружек
или надрезов приводит к изменению температурного поля в детали,
что изменяет величину термических напряжений и деформаций.
Во-вторых, поскольку термическая усталость характеризуется ве-
личиной переменной деформации в цикле, с большими основаниями
можно говорить не о концентрации напряжений, а о концентрации
деформаций. В пластической же области деформирования, как
известно, концентрация' напряжений уменьшается по сравнению
с упругой областью, а концентрация деформаций увеличивается.
В опытах с трубчатыми образцами из нержавеющей стали аусте-
нитного класса, имеющими радиальное отверстие диаметром 1 мм,
получено значительное уменьшение числа циклов до разрушения
по сравнению с результатами испытания образцов без концен-
траторов [18]. Эти данные показаны на рис. 2.9. Число
циклов уменьшалось в 5—8
раз.
Испытания проводили при
постоянной средней темпе-
ратуре Тср — 350° С и варьи-
ровании разности Т'тах—
— Т'тш - Такие же данные по-
лучены авторами в опытах
с образцами из стали 38ХА.
Роль концентрации де-
формаций наглядно показана
при испытании наклепанных
образцов, у которых изме-
нялась протяженность отож-
женного участка в середине
рабочей длины [18]. С умень-
шением этого участка на его
длине все более концентриро-
О — гладкий образец; V — образец с радиаль-
ным отверстием диаметром 1 мм
83
6*
валась деформация и уменьшалось число циклов до разруше-
ния.
Испытания листовых образцов с отверстием, перфорированных
листовых образцов и другие исследования приводят к аналогичным
результатам, показывающим, что число циклов до разрушения в слу-
чае концентраторов (отверстий) уменьшается в 5—10 раз. Часто при
таких испытаниях, проводимых обычно с нагревом в газовом потоке,
суммируются эффекты концентрации напряжений и воздействия
коррозионной среды.
. Влияние концентрации напряжений иногда оценивают по изме-
нению числа циклов до разрушения образцов с различными радиу-
сами надреза. Так, например, при испытании стали ХН35ВТ по
режиму 900—20—900° С образцы с радиусом надреза R =1,0 мм
выдерживали до разрушения в 2 раза большее число циклов, чем
образцы с радиусом R = 0,25 мм (при глубине развития трещин
1,5 мм) [1 ]. Характерно, что в этих испытаниях, как и в некоторых
других по исследованию концентрации, с повышением температуры
уменьшается влияние концентрации напряжений.
Влияние сложного напряженного состояния на сопротивление'
термической усталости исследовано лишь в единичных работах [5, 6,
211. Большинство результатов свидетельствует о том, что различные
напряженные состояния можно привести к эквивалентному, если
(для плоского напряженного состояния) использовать уравнение
энергетической теории прочности типа
Оэкв —}/"Щ — ЩО2 Ч-	(2-3)
где <у1, а2 — главные напряжения.
Энергетическая теория получила экспериментальное подтвер-
ждение и при сравнении результатов испытаний, проведенных при
растяжении—сжатии и циклическом кручении 14].
Температурные характеристики цикла. К температурным харак-
теристикам относятся: максимальная и минимальная температура
Ттах и Тт1п, их разность АТ и средняя температура
гр __Т’шах Ч~ УггНп
ср	2
Влияние различных температурных параметров на сопротивление
термической усталости часто рассматривается на примере опытов
с одновременным изменением амплитуды деформации и одного из
параметров температурного цикла. Так, первые опыты по исследова-
нию влияния средней и максимальной температуры цикла прово-
дили на установках, в которых изменение амплитуды деформации
и разности АТ были взаимосвязаны [1, 18, 22]. Поэтому относитель-
ное значение того или другого фактора часто оставалось неопределен-
ным.
На рнс. 2.10 приведены кривые термической усталости сплава
ХН70ВМТЮ, полученные при постоянных для каждой кривой пара-
метрах температурного цикла. Представление кривых в подобной
форме позволяет раздельно оценить влияние амплитуды деформаций
. 84
и температурных параметров. Зависимость между деформацией и
числом циклов, как было показано, хорошо описывается уравнением
(1.2). Влияние максимальной температуры цикла, как следует из
рис. 2.10, проявляется в перемещении кривой термической усталости
влево; наклон ее при этом может изменяться произвольно, но в боль-
шинстве случаев увеличивается (12Х18Н9Т, ХН62МВКЮ и др.).
Примеры зависимости числа циклов от температурных параметров
цикла при одновременном изменении Ттах и ДТ приведены на
рис. 1.7.
Нестационарность нагружения при действии термоусталостных
нагрузок .может быть по нагрузке (уровню амплитуд), максимальной
температуре, длительности цикла. В ряде работ анализируется воз-
можность использования для определения повреждаемости линей-
ного закона суммирования [8, 10, 131
k
(2.4)
(=1
Рис. 2.10. Кривые термической уста-
лости сплава ХН70ВМТЮ при раз-
личных значениях максимальной тем-
пературы цикла:
° ~ Гтах = 800° с; X - 850° С; • —
900° С
где Ni — долговечность на i-м режиме; п{ — число циклов работы
на этом же режиме.
Степень отклонения значения а от единицы зависит от вида
перегрузки.
Сталь 08Х18Н10Т испытывали при одновременном изменении
максимальной температуры и амплитуды деформации. Многократный
переход с одного режима на другой (7"maxi — 550° С, Tmsx2 —
— 600° С) вызвал суммарное повреждение, характеризуемое вели-
чиной а — 0,5-j- 1,2. Однократное изменение режима привело к упроч-
нению при переходе от «слабого» режима к «сильному» и к разупроч-
нению — при обратном переходе. Это обстоятельство является до-
статочно общим и при других видах перегрузок, в частности, при
изменении амплитуды деформа-
ции [8].
Нестационарное нагружение,
создаваемое изменением длитель-
ности температурного цикла (по-
вреждение вызвалось повторя-
ющейся группой циклов увели-
ченной длительности) на примере
сплава ХН56ВМКЮ, показано на
рис. 2.11.
Группа- циклов при максималь-
ной температуре 800° С длитель-
ностью /ц = 12 мин каждый распо-
лагалась при испытаниях в начале,
середине и конце общего числа
циклов до разрушения, остальные
циклы были пилообразными.
В каждом случае число циклов
в группе пя изменялось 3 раза.
85
Рис. 2.11. Кривые повреждаемости
сплава ХН56ВМКЮ при Ттах = 800°С
и нестационарном нагружении:
• — п — 0; X — п = 500 циклов;
На рис. 2.11 показаны точки,
характеризующие выбранные соот-
ношения n„//Vh, и кривые, описы-
вающие процессы накопления по-
вреждений, при этом пк = п'к
Ч- п'к, NB и Л/к— числа циклов до
разрушения при стационарном
нагружении. Перегрузка в на-
чале процесса (точки с п'к = 0)
приводит к существенному повреж-
дению материала, а если вначале
прикладывается нагрузка меньшей
интенсивности (п'к = 500 циклов
и Пк ~ ЮОО циклов), то материал
А — пк — 1000 циклов
упрочняется.
В'другом случае при испыта-
нии сплава ХН56ВМКЮ нестацио-
нарность нагружения заключалась
в изменении максимальной темпе-
ратуры цикла по режимам:
а) Ттах = 800° С/0,5 ч — 900° С/2
ч -> 800° С/0,5 ч и т. д.; б) 800° С/1 ч — 900° С/1 ч^ 800° С/1 ч и
т. д.; в) 800° С/2 ч -> 900° С/2,54 - 800° С/2 ч и т. д.
Во всех случаях коэффициент а в уравнении (2.4) меньше еди-
ницы: ах — 0,840; а2 — 0,584; а3 = 0,580.
3.	Циклическая релаксация температурных напряжений
Нагружение деталей термоциклическими нагрузками связано с ре-
лаксацией термических напряжений. Экспериментальные данные по
циклической релаксации могут быть использованы как для проверки
теорий расчета на циклическую ползучесть, так и для непосредствен-
ного изучения термоциклических характеристик материалов. На
рис. 3.1 на примере жестко закрепленного по концам стержня пока-
зано, в какой степени может происходить уменьшение температурных
напряжений при выдержке на максимальной температуре в цикле.
Релаксация напряжений, наблюдаемая в каждом цикле, по-раз-
личному происходит на разных стадиях нагружения.
Процесс релаксации в пределах каждого цикла при термоцикли-
ческом нагружении можно аппроксимировать уравнением
(j = (joe-^d,	(3.1)
где о0 — исходный уровень напряжения; td — функция времени;
k и d — постоянные, зависящие от температуры.
Изменение напряжений по числу циклов при термоциклическом
нагружении показано на рис. 3.1 на примере сплава ХН77ТЮР
при различных максимальных температурах цикла. Линия 1 харак-
теризует максимальные температурные напряжения, возникающие
в момент нагрева и начала выдержки при' Ттах, линия 2 — напряже-
86
пня в конце выдержки после релаксации, а линия 3 — напряжения
в конце цикла при охлаждении образца. Следовательно, разность
между кривыми 1 и 2 характеризует величину релаксации напряже-
ний в течение каждого цикла.
Релаксация термических напряжений может достигать значи-
тельных величин, составляющих более половины исходного напря-
жения. С увеличением максимальной температуры цикла релакса-
ция возрастает. Наибольшая. релаксация наблюдается в первом
цикле, затем скорость релаксации уменьшается с каждым циклом
н к 8—15-му циклу стабилизируется. Начиная примерно с половины
общей длительности до разрушения, релаксация усиливается и воз-
растает до разрушения. В этот период формируется начало разруше-
ния и происходит постепенное накопление повреждений.
На рис. 3.2 приведены кривые релаксации сплава ХН77ТЮР
при различных максимальных температурах цикла и результаты
расчета по уравнению (3.1). Уравнение (3.1) с достаточной точностью
может быть использовано для описания процесса циклической ре-
лаксации. Показатель степени d увеличивается с уменьшением тем-
пературы. С повышением температуры значение d, стабилизируется,
а общий диапазон ее изменения, как будет показано далее, для всех
исследованных материалов ограничен.
Кривые релаксации других исследованных материалов
(37Х12Н8Г8МФБ, ХН62МВКЮ, ХН70ВМТЮ, ХН60В, ХН56ВМКЮ,
12Х18Н9Т, ЖС6К) аналогичны кривым релаксации Сплава
ХН77ТЮР. Они подтверждают характер влияния температуры на
релаксацию напряжений..
Уравнение (3.1) описывает более мягкий процесс релаксации,
чем уравнение о = аое_А/, обычно хорошо отражающее одноцикло-
вое нагружение. Тенденция к уменьшению скорости релаксации при
Рис. 3.1. Изменение напряжений в цикле нагрев—охлаждение
в жестко закрепленном стержне из сплава ХН77ТЮР в зависи-
мости от номера цикла:
а> - Гтах = 750’С; б - Ттах = 800“ С; • - Ттах = 850“ С
87
Рис. 3.2. Кривые релаксации термических напря-
жений в цикле нагрев—охлаждение (а) жестко за-
крепленного стержня из сплава ХН77ТЮР и значе-
ния коэффициентов d и k в уравнении (3.1) (б)
(длительность цикла 12 мин):
1 - Гтах = 750° с'- 2 - Ттах = 8°0° * 3 ~ Гтах =
=850° С
циклическом нагружении (без деформирования в том же цикле на-
грузками противоположного знака) отмечена в ряде работ.
Так, например, периодическое нагружение образца из стали
ХН10К до исходного уровня нагрузки каждый раз приводило к умень-
шению скорости релаксации, и после третьего нагружения средняя
скорость релаксации за одинаковое время уменьшилась в 3,5 раза.
Эти данные относятся к статическому нагружению; а в условиях
действия циклических температурных нагрузок в каждом цикле
происходит перемена знака напряжений, что в случае упрочня-
ющегося материала сопровождается сокращением ширины петли
и уменьшением скорости релаксации.
Таблица 3.1
• Материал	Лпах «икла- °с	k	d	Длительность температурного цикла	мии
ХН77ТЮР	750 800 850	0,14 0,33 0,53	0,50 0,31 0,28	12
ХН70ВМТЮ	800 850 900 .	0,22 0,26 0,55	0,27 0,22 0,21	2,8
ХН60В . *	950 950	0,75 0,91	0,34 0,33	12 2,8
37Х12Н8Г8МФБ	750 750	0,15 0,13	0,22 0,38	2,8 12
12Х18Н9Т	700 700 750 800	0,22 0,29 0,39 0,80	0,46 0,25 0,27 0,22	12 2,8 12 12
88
Таблица 3.2
Материал	Статические свойства				Сопротивление термо- усталости			
	о		X Е -э-	т °10ПаХ’ кгс/мм2	О о >« ь?	Длительность цикла, мин	Время наработки пр*1 Лпах. 4	Число циклов до разрушения N
ХН56ВМКЮ	110—130	11—20	7—15	58	800	2,8 7,0	- 4,9 11,4	197 120
ХН62МВКЮ	110—125	15—25	7—15	55—56	800	2,8 7,0	10'.. 21,5	400 226
	110—125	15—25	8—22	29—30	900	2,8 7,0	1,1 2,1	45 22
ХН77ТЮР	95—110	15—30	20—45	31	800	• 2,8 7,0	3,75 6,3	150 . 66
В табл. 3.1 приведены значения постоянных d и k для некоторых
жаропрочных материалов при действии термоциклов различной дли-
тельности. Интервал, значений величины d составляет 0,2—0,5.
Кривые релаксации, приведенные на рис. 3.2, показывают, что
наиболее интенсивно напряжения уменьшаются в течение первых
1,5—2 мин выдержки.
Сопротивление длительной термической усталости, при которой
происходит релаксация напряжений, в существенной степени опре-
деляется пластичностью материала.
Данные для двух сплавов — ХН56ВМКЮ и ХН62МВКЮ,— кото-
рые отличаются в основном пластичностью при нормальной темпе-
ратуре, показывают, что ввиду меньшей пластичности число цик-
лов до разрушения первого сплава в 2 раза меньше, чем для
второго.
Сравнение двух материалов с различными свойствами —
ХН77ТЮР и ХН62МВКЮ — при соответствующих температурах
также показывает, что лучшим оказывается первый сплав, .у кото-
рого в этих условиях лучше пластичность как при верхней, так
и при нижней температуре цикла.
В табл. 3.2 приведены данные по исследованию влияния пластич-
ности, характеризуемой поперечным сужением при 20° С, на сопро-
тивление термической усталости, свидетельствующие о повышении
сопротивления термической усталости с увеличением пластичности.
Однако необходимо учитывать и величину действующей амплитуды
деформаций.
Если предел текучести материала низкий, а пластичность зна-
чительна (мягкие стали, жаропрочные сплавы типа ХН77ТЮР при
89
Рис. 3.3. Относительное
расположение кривых тер-
мической усталости сплавов
ЖС6К при ' Гтах = 900° С
(О) И ХН77ТЮР при
800° С (•)
высоких температурах), то в каждом цикле развиваются значитель-
ные пластические деформации, пластичность материала исчерпы-
вается и это обстоятельство определяет момент разрушения. При
высоком пределе текучести вообще может не быть пластической
составляющей, однако термоусталостное разрушение происходит
и разрушение определяется прочностными свойствами материала.
В частном случае пластическая составляющая в общей величине
амплитуды вообще может отсутствовать (например, для сплава
ХН62МВКЮ) при Т — 800° С до значений еа = 0,5-ь 0,6 %. Однако
и в этом случае через ограниченное число циклов материал разру-
шается.
Следовательно, при таких условиях испытания пластичность
материала имеет подчиненное значение, а разрушение определяется
прочностными свойствами материала.
Различные сочетания действующих амплитуд деформаций и меха-
нических свойств влияют на сопротивление разрушению при цикли-
ческом нагружении различно, а иногда противоположно, что видно
на примере двух жаропрочных сплавов: ХН77ТЮР и ЖС6К. Эти
материалы существенно отличаются по своим свойствам: сплав
ХН77ТЮР достаточно пластичен (6 = 15-ь 30%, ф = 15-ь 30%)
и имеет предел текучести а0>2 = 62-ь70 кгс/мм2. У сплава ЖС6К
предел текучести выше: а0>2 = 83-ь85 кгс/мм2, а пластичность зна-
чительно ниже (6 = 1,5-ь2,0%; ф = 6,5.%) *.
На рис. 3.3 приведены кривые термической усталости этих мате-
риалов при характерных для них максимальных температурах
цикла — 900° С для ЖС6К и 800° С для ХН77ТЮР. При больших
значениях амплитуды более прочным при испытании на термоуста-
лость оказывается сплав ХН77ТЮР, а при значениях амплитуды,
меньших 1,1%,— лучше сплав ЖС6К- Рассмотрим характер петель
гистерезиса этих сплавов при двух уровнях амплитуд деформации.
* Эти данные получены при температуре испытания 20° С.
90
Согласно схеме а значение амплитуды деформации Де =
= 1,4% обусловливает почти одинаковые значения размахов на-
пряжений До и амплитуды пластических деформаций у рассматри-
ваемых .материалов: для ЖС6К. оа = 50 кгс/мм2; для ХН77ТЮР
<та = 47 кгс/мм2. Такое различие амплитуд напряжений не могло бы
вызвать значительного уменьшения числа циклов до разрушения
сплава ЖС6К-
Отношение ширины петли гистерезиса к остаточной пластичности
при разрушении значительно больше для сплава ЖС6К:
( S	= 0,32 (ЖС6К); -
/ 6 \	07% = 0)043 (ХН77ТЮР),
\ и0ст /	*6%
Следовательно, накопление пластических деформаций для сплава
ЖС6К происходит значительно быстрее, что и обусловливает его
быстрое разрушение. При Де = 0,85% (схема б) сплав ЖС6К
деформируется почти упруго, ширина петли гистерезиса составляет
0,03%, а в сплаве ХН77ТЮР возникают пластические деформации
величиной 0,35%.
Амплитуды напряжений равны для ЖС6К 48 кгс/мм2, для
ХН77ТЮР 43 кгс/мм2, т. е. напряжения меньше для сплава
ХН77ТЮР. Однако относительное накопление пластических дефор-
маций в этом случае происходит быстрее в сплаве ХН77ТЮР:
f ® \ = ДО?. = 0,015 (ЖС6К);
\ VQCT /	*
( ~= 0,022 (ХН77ТЮР),
\Оост/	16
что и обусловливает его меньшую термостойкость.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Баландин. Ю. Ф. Термическая усталость в судовом энергомашиностроении.
Л., «Судостроение», 1967, 272 с.
2.	Бычков Н. Г., Дульнев Р. А. Испытание материалов на термическую уста-
лость при действии статической нагрузки. — «Заводская лаборатория», № 5, 1970,
XXXVI, с. 591—595.	- -
3.	Дульиев Р. А. Суммирование повреждений и условие прочности при термо-
циклическом нагружении. — «Проблемы прочности», 1971, № 10, с. 101—104.
4.	Егоров В. И., Соболев Н. Д. Исследования сопротивления разрушению при
термической усталости для различных напряженных состояний. В сб. научных
докладов по теории жаропрочности. М., АН СССР, 1961, с. 94—102.
5.	Кузнецов В. Н. О термической усталости металлов. — «Теплоэнергетика»,
1957, № 12, с. 32—35.
6.	Можаровский'Н. С., Василенко Н. В. Необратимое поглощение энергии
при резких теплосменах. — В кн.: Тепловые напряжения в элементах конструк-
ций. Вып. 4. Киев, «Наукова Думка», 1964, с. 302—306.
7.	Писаренко Г. С., Руденко В. Н., Третьяченко Г. Н., Трощенко В. Т. Проч-
ность материалов при высоких температурах. Киев, «Наукова Думка», 1966, 795.с.
8.	Прочность при малом числе циклов нагружения. Под ред. С. В. Серей-
сена. М., «Наука», 1969, 257 с.
О1
9.	Прочность и деформация в неравномерных температурных полях. Под
ред. Я. Б. Фридмана. Вып. I. М., Госатомиздат, 1962, 255 с.
10.	Прочность и деформации материалов в неравномерных физических полях.
Под ред. Я. Б. Фридмана. Вып. II. М., Атомиздат, 1968, 276 с.
11.	Сервисен С. В,, Дульнев Р. А., Бычков Н. Г. К оценке сопротивления разру-
шению при термической усталости. «Проблемы прочности», 1969, Xs 1, с. 12—19.
12.	Сервисен С. В., Котов П. И. О процессе упругопластического деформиро-
вания сплава ЭИ437Б в связи с термической усталостью. «Теплоэнергетика», 1960,
№ 8, с. 60—66.
13.	Филатов В. М., Шнейдерович Р. М. Сопротивление малоцикловому разру-
шению при повышенных температурах. «Проблемы прочности», 1971, № 2, с. 74—78.
14.	Шнейдерович Р. М. Прочность при статическом и повторно-статическом
нагружениях. М., «Машиностроение», 1968 , 343 с.
15.	Шорр Б. Ф., Дульнев Р. А. Исследование температурных напряжений и
ползучести при переменных температурах. «Заводская лаборатория», 1964, XXX,
№ 3, с. 340—347.
16.	Benham Р. Р. High — temperature Low—Cycle Fatigue Survey of British
Work, Experimental Mechanics, 1968, N 7, v 8, p 309—318.
17.	Clauss F. 1., Freeman J. W. Thermal Fatigue of Ductill Materials, Part I,
NaCA Tech. Rep. 4160 Sept., 1958.
18.	Coffin L. F. A Study of the Effects of Cyclic Thermal stresses on a Ductill
Metals, Transaction of the ASME, 1954, v. 76, pp. 931—950.
19.	Glenny E., Taylor T. A. The Thermal Fatigue Behavior of Metals, Journal
of the Institute of Metals, 1960, N 7, v. 88, pp. 449—452.
20.	Kennedy A. J. Process of Creep and Fatigue in Metals, Edinburg and London,
1962, 480 p.
21.	Langer B. F. Design Values for Thermal Stress in Ductill Materials, Wel-
ding Journal Research Supplement, vol. 37, Sept. 1958, p. 411. Transactions of the
ASME, 1964, N 4, v 86, pp. 403—411.
22.	Manson S. S. Thermal Stress and Low—Cycle Fatigue, N—Y, 1966, 404 p.
23.	Taira S. Thermal Fatigue and its Relation to Creep Rupture and Mechanical
Fatigue. В сб. «High—Temperature Structures and Materials», N—Y, 1964, pp. 187—
213.
24.	Joichi O., Firyo S. Cumulative Damage in the Low—Cycle Fatigue, Trans-
actions JSME, 1970, N 289, v. 36, p. 1452—1462.	' '
г Л А В А 3
Методы оценки термопрочности деталей машин
1. Оценка термопрочности
Общие принципы оценки термопрочности. Основной целью проч-
ностного расчета является обеспечение надежной работы машины
в эксплуатации в течение требуемого ресурса. С учетом случайного
характера действующих нагрузок, свойств материала, допусков на
изготовление и других факторов оценка надежности должна носить
вероятностный характер. Статистическим методам оценки прочности
и надежности работы деталей машин посвящен ряд исследова-
ний [3—5, 15, 191. Однако из-за больших трудностей получения ста-
тистической информации практические методы оценки прочности
базируются пока на детерминистском представлении о запасах
прочности.
Чтобы оценить работоспособность детали на режиме с напряже-
нием о, температурой Т, временем работы t и соответствующими
прочностными характеристиками материала (напряжение и темпе-
ратура могут быть как постоянными, так и циклически меняющи-
мися), следует рассмотреть возможные пути отклонения этих пара-
метров от расчетных значений[2]. Такими отклонениями могут быть
превышение постоянными или переменными напряжениями расчет-
ных из-за неточного определения максимальной нагрузки, отклоне-
ние температуры из-за ухудшений условий охлаждения, увеличение
продолжительности работы, снижение механических свойств мате-
риала из-за технологических отклонений или из-за особенностей
условий эксплуатации (усиленная коррозия) и др. Считая каждое
из возможных отклонений независимым, можно установить то зна-
чение параметра режима, при котором произойдет разрушение де-
тали, если остальные параметры останутся неизменными. Запасом
прочности по данному параметру называют отношение его разру-
шающей величины к действующей при неизменных значениях других
параметров.
На рис. I.I показаны три возможных пути отклонения параме-
тров режима от расчетных, приводящие к разрушению в трех раз-
личных точках. Запас прочности по напряжению (путь А) опреде-
ляется как
^ = -£. ' (1.1)
03
Рис. 1.1. к определению путей
достижения точек разрушения
Запас прочности по времени ра-
боты, обычно называемый запасом
по долговечности (путь Б), равен
=	(1.2)
Запас прочности по температуре
(путь В) удобнее определять как
разность температур:
пт=Тр-Т,	(1.3)
так как для деталей высокотемпе-
ратурных машин отношение темпе-
ратур
=	(1.4)
обычно мало отличается от единицы.
В общем случае опасность разрушения при исчерпании запаса
прочности по каждому из указанных параметров может быть разной
для различных режимов и условий работы. На практике обычно
вычисляют запасы прочности по напряжениям и долговечности.
Наряду с запасом прочности по напряжению может рассматри-
ваться запас прочности по несущей способности
п =
пр — р
(1-5)
где Рр, Р — разрушающая и действующая на данном режиме на-
грузка (сила, изгибающий момент и пр.).
В некоторых условиях более вероятным может быть одновременное
отклонение двух или нескольких параметров (путь. Г на рис. 1.1),
В этом случае запас прочности
па = ^ '	(1.6)
или температурный запас
Пт = Тр.г~Т	(1.7)
с учетом зависимости между <тр и Тр.
Разрушающие значения <тр, Тр, tp в общем случае зависят от
истории нагружения. Обычно приближенно считают, что существует
единая поверхность разрушения f (<тр, Тр, £р) = 0 (рис. 1.1).
Если напряжения и температура меняются циклически, то в за-
висимости от того, рассматриваются их постоянные или переменные
составляющие, ' оценивают запасы статической (кратковременной
или длительной) прочности и запасы термоусталостной прочности.
Деталь считается прочной, если все расчетные запасы удовле-
творяют условиям
n In],	(1.8)
94
где допускаемые запасы [п] устанавливаются на основании опыта
эксплуатации.
В некоторых случаях работоспособность узла определяется вели-
чиной взаимных перемещений его частей; тогда вычисляют запасы
по деформациям, которые также сравнивают с допустимыми.
Запасы прочности по несущей способности. Наиболее полное
представление о разрушающей нагрузке дает ее экспериментальное
определение на натурной детали. Иногда испытывают модели или
проводят эквивалентные испытания. Однако трудно всесторонне
воспроизвести эксплуатационные условия. Поэтому в расчетах не-
редко используют приближенные способы оценки разрушающей
нагрузки.
На рис. 1.2, а показана стержневая система, растягиваемая усилием Р при
условии, что силовые удлинения всех стержней е0 = е/—аТ/ и их поперечные
сечения /у одинаковы. Каждый стержень имеет температуру T-f, принятые кривые
деформирования прн этих температурах показаны на рис. 1.2, б.. Пока нн одни
стержень не разрушен (е0 < вр1)
fe
w
? /=1
где k — общее число стержней (в примере k = 5).
Первым разорвется стержень, имеющий наименьшее удлинение при разрыве.
В момент разрыва несущая способность системы упадет от Рг до Р2> но затем бла-
годаря быстрому догружению остальных стержней восстановится до Р'2 = Рг и
нагрузка может увеличиваться дальше. Аналогичное явление будет прн разруше-
нии второго стержня (точка 3),н только после разрушения третьего стержня (точка 5)
дальнейшее повышение нагрузки станет невозможным. Прн е0 = е5 = ер разру-
шающая нагрузка системы Рр — Р5, ее легко найтн по рис. 1.2, б, как
РР	У Г X
-р- = —-р— = 2j а/ (ер),	(б)
*	Г	j=szk—4
где I — число ранее разорвавшихся
стержней.
В приведенном примере
при расчете разрушающей
нагрузки были учтены два
разных явления: перерас-
пределение напряжений в
элементах системы благодаря-
пластической деформации и
возможность работы системы
после разрушения некото-
рых ее элементов. Если в ка-
честве разрушающей нагруз-
ки принять нагрузку в мо-
мент разрушения слабейшего
элемента, то для условий
кратковременного нагруже-
ния прн постоянном по вре-
мени температурном поле
разрушающая нагрузка мо-
жет быть найдена изложен-
Рнс. 1.2. к расчету разрушающей нагрузки
системы стержней:
а — схема нагружения; б — диаграмма деформи-
рования
05
Рис. 1.3. К расчету разрушающей нагрузки
системы идеально пластичных стержней
ними ниже шаговыми ме-
тодами расчета упругопла-
стических напряжений и
деформаций, когда в какой-
либо точке тела напряже-
ния достигнут предела проч-
ности при соответствующей
температуре. Для пластич-
ных материалов расчет дол-
жен вестись с учетом изме-
нения размеров и формы
тела.
Для приближенной оцен-
ки разрушающей нагрузки
при кратковременном нагру-
жении материалов с высо-
кими пластическими свой-
ствами получил распростра-
нение простой метод, являющийся развитием теории предельного
равновесия идеально пластичных тел [13, 15].
На рис. 1.3 показан порядок решения такой же задачи, как на рис. 1.2, но при
идеально пластическом поведении материала стержней. К моменту исчерпания не-
сущей способности'системы напряжения во всех стержнях достигают предела те-
кучести при соответствующей температуре (если ни один стержень до этого момента
еще не разорвется), так что	,
р k
-j- = Д ОТ (Tj).	(в)
Для упрочняющихся материалов формула типа (в) обычно дает нижнюю оценку
разрушающей нагрузки, так как к моменту разрушения напряжения во всех стерж-
нях будут находиться в пределах ат (Г/) ст/ < ав (Г/). Верхнюю оценку разру-
шающей нагрузки получим, приняв, что напряжения во всех стержнях достигли
предела прочности при соответствующей температуре:
,	ft
р шах V « it \
р — 2j ств (Тj).
j=i
(г)
Разрушающая нагрузка, определенная по формуле (г), на рис. 1.2 показана
в том же масштабе штриховой линией.
В расчетах на длительную прочность по аналогии считают, что к моменту раз-
рушения напряжения во всех элементах тела (в данном примере — во всех стерж-
нях) достигают предела длительной прочности при соответствующей температуре:
Р *
р ~ СТДЛ (Тj) 	(д)
Этот принцип впервые был применен для расчета разрушающих
оборотов дисков турбин [31.
Эксперименты подтверждают, что расчеты по формулам типа (г)
и (д) обычно дают несколько завышенные значения разрушающей
нагрузки. Расхождение возрастает с уменьшением пластичности
материала.
96
Запасы местной длительной прочности. Запасами местной проч-
ности оценивают прочность детали по наиболее напряженным точкам.
Местные напряжения должны определяться с учетом их концентра-
ции, но для сравнительных оценок расчет нередко ведут по номиналь-
ным напряжениям.
Запас длительной прочности по напряжениям
______ СТДЛ
11<з дл _ст ,
(1-9)
где <тдл — предел длительной прочности за время работы t при
местной температуре Т-, о — напряжение, действующее в данной
точке в течение времени t.
Поскольку зависимость предела длительной прочности адл от
времени t при постоянной температуре в определенных пределах
обычно хорошо аппроксимируется в двойных логарифмических
координатах прямой линией (рис. 1.4), то
omtp —	= const,	(1-Ю)
так как точки Ах и А2 находятся на общей линии разрушения.
Запас по долговечности nt связан с запасом по напряжениям
иадл зависимостью
(стдл \т т	,. . ..
И; — — —	-)	—Па дл •	(1-11)
Для жаропрочных, материалов обычно показатель степени т =
— 4-7-15 (см. гл. 1) и запас nt получается во много раз больше,
чем иадл. Например, при иадл =1,4 и т = 7 запас по долго-
вечности nt =1,4’ > 10.
Если на рис. 1.4 через точку А провести прямую, параллельную
линии = const, то легко показать, что для любой другой точки Б,
лежащей на этой прямой, подл и п( будут иметь те же значения
С повышением температуры значения показателя т обычно умень-
шаются, поэтому одной и той же величине запаса прочности по на-
пряжениям при большей температуре соответствуют меньшие запасы
по долговечности (рис. 1.4).
Чтобы определить запас
прочности по температуре
иГдл =	— Л показывающий,
на сколько градусов должна
повыситься температура детали
в данной точке, чтобы при дей-
ствующем . напряжении а раз-
рушение наступило к концу
времени, работы t, надо найти
температуру Тр, при которой
линия длительной прочности
пройдет через точку A (a, i)
(рис. 1.4). Практически значе-
ние Тр определяется интерпо-
97
7 Заказ № 1156
Рис. 1.5. Определение запасов ладл и
«Тдл по кривым Ларсена—Миллера
ляцией по имеющейся сетке кри-
вых длительной прочности при
разных температурах.
Сетку кривых длительной проч-
ности можно перестроить в
обобщенную зависимость одл =
=f[Pn(T, /)], где РЛ = Т(1§/ +
4-С) —параметр Ларсена—Мил-
лера (см. гл. 1); Т — абсолют-
ная температура, К; t — время, ч;
С — постоянная (для многих ма-
териалов С 20). Тогда запас
длительной прочности по напря-
жениям
«адл- Рдл{У^1, (1.12)
и птдЛ определяются по фор-
мулам (1.2) и (1.3), где
1 — рлр ~
р —	?	>
рр _ ^Лр (о)
Р~ Igz+c •
(1.13)
На рис. 1.5 видно, что если кривую 1g одл = / (Рл) эквидистантно
сместить по вертикали (штриховая линия), то получается линия
постоянных запасов прочности по напряжениям [18], а при смеще-
нии по горизонтали (штрих-пуиктирная линия) при одинаковом
времени — линия постоянных запасов прочности по температуре.
Запасы термоусталостной прочности. Термоусталость, прояв-
ляющаяся при одновременном циклическом изменении напряжения
и температуры, представляет собой сложное и недостаточно изучен-
ное явление, поэтому расчетные методы оценки запасов термоуста-
лостной прочности приближенные.
Для более простого случая — малоцикловой усталости при
постоянной температуре — определяют запас по циклической дол-
говечности
Ап
nN=~^,	(1.14)
где N — число циклов нагружения за время работы; N? — число -
циклов, при котором происходит разрушение при заданном постоян-
ном размахе напряжений До или деформаций Де.
При работе в упругой области связь между До и Де однозначна;
в пластической области очень небольшому увеличению размаха До
может соответствовать значительное увеличение размаха Де и замет-
98
ное уменьшение числа циклов Np. Поэтому для пластичных материа-
лов число циклов до разрушения обычно представляется в зависимо-
сти от размаха деформаций
Ae*JVp = С,	(1.15)
где k и С — коэффициенты, зависящие от температуры испытания.
Для жаропрочных материалов, не имеющих площадки текучести,
результаты испытаний можно представлять также в виде
Да^р = С,	(1.16)
где k и С — коэффициенты.
Иногда вместо размахов До используют амплитуды колебания
оа = 0,5До.
Зависимости (1.15) и (1.16) позволяют ввести запасы малоцикло-
вой усталостной прочности по переменным напряжениям
i 1
(1-18)
или по переменным деформациям
1 1
Авр I Л/р \ k
Пв = "дГ “ VAU ~~ nN
Пример. Охлаждаемая сопловая лопатка турбины из сплава ХН77ТЮР подвер-
гается повторным нагревам при каждом запуске до максимальной температуры Ттах.
По температурным полям на нестационарном режиме определены значения разма-
хов полных деформаций в характерных точках сечения Де.
За время работы турбина должна выдержать 500 запусков.
Так как с увеличением максимальной температуры цикла термостойкость мате-
риала уменьшается, число циклов до разрушения необходимо определить для всех
трех характерных точек.
Результаты расчета приведены в таблице.
Расчетная точка сечения	Лпах’ °C	Де, %	циклы
Выходная кромка	850	0,6	1590
Зона у охлаждающего канала	750	0,8	6760
Входная кромка	800	0,7	2600
Таким образом, в данном случае опасной является выходная кромка сечения,
хотя амплитуда деформации в ней не максимальна.
Запас по циклической долговечности

1590
500
= 3,18,
а по переменным деформациям
Ле = 3,18°>78 = 2,47.
при = 0,78
7*
99
Рис. 1.6. Сопротивление термической усталости сплавов
ЭИ852 (а) и Х12Н22ТЗМР (б) по данным испытаний иа рас-
тяжение—сжатие (точки X) и на чистый сдвиг (точки □)[16]
Запасы прочности при сложном напряженном состоянии. Напря-
женное состояние в отдельных точках детали и его влияние на термо-
прочность наиболее надежно учитываются при экспериментальном
определении разрушающей нагрузки. Приближенная расчетная
оценка запасов прочности при сложном напряженном состоянии
ведется по тем же формулам, что и при одноосном состоянии, но под
действующими напряжениями и деформациями (или их размахами)
понимаются некоторые приведенные характеристики, вытекающие
из соответствующей теории прочности.
При разрушениях,- связанных с исчерпанием длительной проч-
ности, когда пластичность материала в значительной степени
уменьшается, в качестве приведенной характеристики можно
принимать наибольшее растягивающее главное напряжение атах,
если атах 5= а£, или интенсивность напряжения а£, если а£ amax
(см. гл. 1).
При кратковременных статических разрушениях и при оценке
сопротивления термоусталости в качестве приведенной характери-
стики соответственно используют интенсивности напряжения а£
или интенсивности их размахов До’ (см. раздел 5.2) [10, 16, 20].
В случае сжатия следует пользоваться соответствующими экспери-
ментальными данными (см. гл. 1).
На рис. 1.6 приведены зависимости числа циклов до разрушения-
от интенсивности размахов напряжений Np = f (Да*), построенные
по результатам испытаний на термическую усталость двух сталей
в условиях растяжения — сжатия и чистого сдвига при одинаковых
температурных условиях, откуда видно, что Да* достаточно хорошо
характеризует условия термоусталостного разрушения.
2. Миогорежимная работа
Общие положения. Детали машин
личных режимах, отличающихся
длительностью. Чтобы на стадии
100
работают, как правило, на раз-
напряжением, температурой и
проектирования машин оценить
работоспособность детали в таких условиях, определяют эквивалент-
ные запасы прочности, нахождение которых основывается на пред-
ставлении о повреждаемости материала и возможности суммирования
степени повреждения.
Повреждаемость материала наряду с пластическим течением
и ползучестью представляет собой процесс, протекающий в мате-
риале под действием напряжений и температур и приводящий,
в конечном счете, к разрушению. В настоящее время еще не
найдены прямые способы измерения и оценки степени поврежде-
ния Л в процессе работы. Условно принимают, что для начального
неповрежденного состояния П = 0, а в момент разрушения /7=1,
т. е. степень повреждения может меняться в пределах от 0 до 1.
Величина
=	(2-1)
характеризует запас прочности по степени повреждения.
В процессе работы значение П увеличивается, возрастая на
каждом /-м режиме на величину А/7;. При последовательной работе
на нескольких режимах повреждения суммируются, так что общая
степень повреждения
k
П =2 АЛ/,	(2.2)
а запас прочности по общей степени повреждения
=	.	(2.3).
S М/
/=1
Исследования показывают, что повреждение на данном режиме
в определенной степени зависит от предыстории, т. е. от характера
и продолжительности предшествовавших режимов (см. гл. 1 и 2),.
Однако при большом числе различных режимов порядок их .чередо-
вания перестает играть заметную роль, что позволяет принять допу-
щение о независимости накопления повреждения на данном режиме
от предыдущих и определять общую степень повреждения без учета
порядка чередования отдельных режимов.
Режимы А и Б считаются эквивалентными, если.материал полу-
чает одинаковое повреждение	.
А/7а = Д77Б.	(2.4)
Накопление повреждений на нескольких последовательных ре-
жимах может быть заменено накоплением повреждений на одном
эквивалентном им 'режиме приведения
k
(2.5)
ioi-
Запас прочности на эквивалентном режиме, соответствующий
суммарному повреждению, называют эквивалентным запасом проч-
ности.
Эквивалентные режимы по долговечности. Простейшее допуще-
ние, получившее широкое распространение, заключается в том,
что повреждение Л/7, в течение времени tt работы на режиме оу =
— const, Tj — const считают равным относительной продолжитель-
ности работы на этом режиме * [3, 9, 21 ]:
=	(2.6)
‘/р
где tjp — время до разрушения при данных значениях в, и Tj.
Общая степень повреждения
П=1И	W
i=i
равна повреждению на эквивалентном режиме при постоянных на-
пряжениях и температуре
П^ ='	(2.8)
‘экв. р
откуда
к
1 '•	(2.9)
‘Эка. р	‘/р
/=1
где t3K3— время работы на эквивалентном режиме; 4КВ. р — время
до разрушения при напряжении <тэкв и температуре Т^.
Так как отношения
n<z = -7r	(2Л0)
и
=	(2-11)
представляют собой запасы по долговечности (см. раздел 1) на
j-м и эквивалентном режимах, то эквивалентный запас по долговёч-
ности п<экв находят по формуле
k
—— = У —.	(2.12)
л/экв AJ n.tj
i=l
* Аналогично оценке повреждаемости прн действии переменных напряжений.
102
Для степенного закона длительной прочности om^T'>tp = С (Т)
запас по долговечности nt и запас прочности по напряжению пд —
= (Тр/сг связаны зависимостью (1.11), откуда для /-го режима
(2.13)
Для эквивалентного режима
=	(2.14)
где тэка = т (Тжв), так что пСТэкв находят по формуле
(2.15)
Эту формулу обычно используют в расчетах, принимая в качестве
режима приведения режим с минимальным значением запаса проч-
ности. Например, если таким режимом является первый, то при-
нимают /пэкв = /п1. Если температуры на всех режимах одинаковы
или не сильно различаются, так что trij <=& тжв = tn, то
(2.16)
Приведенные формулы позволяют решать ряд практических
задач, из которых, помимо определения эквивалентного запаса
прочности, наиболее типичны следующие [3]:
1.	Определить эквивалентное напряжение оэкв при приведении
всех режимов к температуре 7\ и длительности tt какого-либо
одного режима.
Приняв £экВ = tlt Тжв — 7\ (т. е. /п9кВ = /пх), из формулы
(2.15) найдем
_ сгр (Л, £г) _
°ЭКВ „	°р (71! ‘1)
'4J Экв
(2-17)
где ор (Т\, У <тэкв р.
Если температуры на всех режимах одинаковы или не сильно
различаются, то из формулы (2.17) получаем
так как в этом случае /п,	m и о^- о"в. Р4.
Очевидно, что при k > 1 эквивалентное напряжение всегда больше,
чем напряжение <тх.
103
2.	Определить эквивалентное напряжение за все время работы
(за ресурс), отнесенное к температуре Тх, какого-либо одного режима.
Заменив в формулах (2.17) и (2.18) время /экв = tx на i3KU —	=
/г
= 2 получим при изменяющихся по режимам температурах
/=1
а при одинаковых температурах
(2-19)
О^экв
(2.20)
3.	Определить эквивалентное время работы £экв при приведении
всех режимов к температуре 7\ и напряжению какого-либо одного
режима. Приняв оэкВ = alt Тжв — 7\, по формулам (2.14) и (2.15)
найдем
,	___ °i)
^кв “ П/экв
При одинаковых температурах
При нескольких режимах /жв всегда больше, чем время tv Если
при Т = const в качестве режима приведения используется режим
с минимальным запасом прочности, то /экв < ts, что позволяет
проводить сокращенные испытания деталей на длительную проч-
ность.
При плавно меняющихся напряжениях и температурах за время
dt степень повреждаемости' увеличивается на
dn
dt
(2.23)
где текущее значение времени до разрушения tp (t) определяется
температурой Т (t) и напряжением о (1), действующими в данный
момент времени. Общая степень повреждения за время t
r de
J М01
(2.24)
104
где 0 с 0 t — переменная интегрирования. Эквивалентный запас
> по долговечности, совпадающий при условиях (2.6) и (2.23) с запасом
прочности по степени повреждения,
— <2-25>
г de
J /р[0]
С учетом выражения (2.14) эквивалентный запас прочности по
напряжениям
»«„ =-------- 1=^.-.	(2.26)
ОТэкв/ d0
у 1 мч
С помощью выражений (2.25) и (2.26) приведенные выше формулы
для частных задач могут быть легко преобразованы для случая плавно
меняющихся напряжений-и температур. Например, по формуле
(2.20) эквивалентное напряжение за время I при постоянной темпе-
ратуре	f
I г
-Е- [	(0) de .	(2.27)
о
Эквивалентные режимы по запасу прочности. Если предполо-
жить, что степень повреждения однозначно определяется запасом
прочности по напряжению, то режимы А и Б будут эквивалентны,
если запасы прочности по напряжениям на них одинаковы [9]:
паА — пав-	(2.28)
При постоянной температуре запасы прочности по напряжениям па
и по долговечности nt связаны формулой (1.11), и условие (2.28)'
приводит к тем же соотношениям, что и условие эквивалентности по
относительной долговечности. При переменной температуре эти
условия приводят, вообще говоря, не к одинаковым результатам.
На рис. 2.1 видно, что режиму с напря-
жением dj, температурой Tj и длитель-
ностью tj, при котором запас прочности
= ~	(2.29)
соответствует приведенный к температуре
= ТЭкВ и напряжению ох — азкв ре-
жим с длительностью /Х/- и запасом проч-
ности
«41/ =
ар 1/
V’
(2.30) Рис. 2.1. Приведение режи-
мов по запасу прочности-
105
Рис. 2.2. к определению эквивалентных
режимов при постоянной температуре
Приравняв nai = nalj и ис-
пользовав соотношение
оГ'^р,	(2.31)
найдем приведенную к режиму 1
длительность /-го режима
=	(2-32)
X /
где tlp = tp (7\, 04) — время до
разрушения на режиме приве-
дения.
Определив значения для
всех режимов, можно их про-
суммировать, поскольку напряжение и температура для всех приве-
денных режимов одинаковы. Суммарное время является эквива-
лентным временем работы на режиме 1
(2.33)
С учетом выражений (2.11) и (2.12) формулу (2.33) можно записать
в виде
k
Выражение (2.34) при т, = тэкв (т. е. при Т = const) совпадает
с формулой (2.12).
В соответствии с формулами (2.34), (2.13) и (2.14) эквивалентный
запас прочности по напряжениям
(2.35)
Из сопоставления формул (2.15) и (2.35) видно, что они разли-
чаются показателями при пст/-. При использовании формулы (2.35)
в качестве эквивалентного режима целесообразно выбирать режим
максимальной температуры. Тогда тэкв пг} и вычисления по фор-
муле (2.35) приводят к меньшим значениям эквивалентного запаса
прочности пСТ9кв.
При анализе различных вариантов нагружения деталей иногда
удобно пользоваться графоаналитическими методами нахождения
эквивалентных режимов.
На рис. 2.2 приведена зависимость <тр / = const для постоянной
температуры и точками А, Б, В отмечены характеристики трех
режимов работы.
106
Очевидно, что А — это режим с минимальным запасом прочности.
Чтобы привести к нему остальные режимы, достаточно через точки 5
ц В провести прямые, параллельные линии ст™t = const (см. раз-
дел 1), до пересечения с линией <тА = const. Определяя соответ-
ствующие значения t's и t'%, вычисляем время эквивалентной
работы ^экв —	+ & + ^в и по /экв находим положение экви-
валентного режима (звездочка) и эквивалентные запасы проч-
ности.
При переменной по режимам температуре порядок расчета в прин-
ципе остается таким же, но линии постоянных запасов прочности
проводим для каждой температуры параллельно своей линии
от (Г)/ _ с (7). Приведенные режимы оказываются различными
в зависимости от способа определения эквивалентности.
Определение эквивалентных режимов с использованием зависи-
мости Ларсена—Миллера. Чтобы привести режим Б с запасом
прочности паБ к эквивалентному по запасу прочности режиму А
(рис. 2.3), находим по кривой РЛр (о) величину Рлб- (паБоА) и
приведенное время /Б" из соотношения
lg t&’ =
рлъ" — СТА
ТА
Просуммировав приведенные времена для всех режимов, по
величине Чкв = определим РЛэкв = TA (lg £кв -j- С) и экви-
валентный запас прочности [18]
Рис. 2.3. К определению эквивалентных
режимов по диаграмме Ларсена—Миллера
„	___°дл 1?Л экв (ТА, <экв)]	/о
пв экв — ----------------- >	\Z.OOJ
Положение точки эквивалентного режима показано на рис. 2.3
звездочкой.
При определении эквива-
лентности по долговечности при-
веденное время /б' —
где
lg^Ap =
_ Тлар(Да) ~ СТД
Та
При приведении режимов
к максимальной температуре по-
ложение приведенной точки Б'
отклоняется от эквидистанты
по горизонтали БВ в сторону
меньших значений параметра
Рд (см. рис. 2.3).
107
Если в качестве условия эквивалентности режимов принять
равенство запасов по температуре пт, то
ЛпАр(Од) — С(Тд + nTS)
' Та 4- «ГБ
1g /Б«	=
(2.37)
откуда находим значение tw.
Выбор способа приведения к эквивалентным режимам должен
основываться на конкретном анализе наиболее вероятных и потому
наиболее опасных для данной детали или узла машины путей откло-
нения параметров режима от расчетных. Целесообразно оценивать
эквивалентные запасы несколькими способами, выбирая в качестве
окончательной оценки минимальное из полученных значений.
Эквивалентные запасы при циклических и нестационарных на-
гружениях. Определение эквивалентных режимов и запасов проч-
ности при циклических нагружениях может быть приближенно вы-
полнено по тем же формулам, что и при постоянных напряжениях,
если учесть идентичность выражений amtP — const и AakNP =
= const. Очевидно, что в случае циклического нагружения следует
заменить о на До и / на N. Приведение режимов можно осуществлять
также из условия равенства запасов по размаху деформаций.
Экспериментальная проверка теории линейного суммирования
повреждений показала, что условием суммирования повреждений
(2.7) можно пользоваться при плавно меняющихся напряжениях
и температурах [171. В случае повторных резких изменений напря-
жений и температур накопление повреждений обычно происходит
быстрее, чем по формуле (2.7). Представим общую степень повре-
ждения в виде суммы
П=Пе+Пя.с,	(2.38)
где относительной долговечностью определяется только часть сте-
пени повреждения
k
‘ (2'39>
/=1
а na.z—дополнительное повреждение в связи с нестационарным
нагружением. По-прежнему считая, что в момент разрушения /7=1,
получим условие разрушения в виде
k
УЛ.-Г-Л,..	(2.40)
или в общепринятой форме
k
(2.41)
ЧР
/=1
108
где
fl — 1	П н с
(2.42)
представляет собой суммарную относительную долговечность при
разрушении. В большинстве случаев asjl.
Значение а для данного материала зависит от режимов испытания,
особенно от диапазона изменения температур и напряжений, мень-
шее влияние оказывает конкретный характер циклов, что позволяет
для определенного диапазона изменения о и Т считать величину а =
= const и использовать ее для расчета эквивалентных режимов.
Запас прочности по долговечности на эквивалентном режиме
__ а
nt экв /7Z
или
k	k
i__= 1 V z/_ 1	1
nt экв а Ар а	ntj
/=1 /=1
(2-43)
(2.44)
Запас прочности по напряжениям
(2-45)
При а < 1 расчеты запасов прочности по формулам (2.44) и (2.45)
дают меньшие значения, чем при а = 1.
3. Комбинированные нагружения
Приведенные выше методы оценки запасов прочности относились
к отдельным видам нагружения: кратковременному, длительному
статическому и термоциклическому. В действительных условиях
работы эти виды нагружения обычно сочетаются между собой. Наи-
большее практическое значение .для высокотемпературных деталей
имеет термоциклическое нагружение с выдержками на отдельных
участках цикла. При синхронном изменении напряжений и темпе-
ратуры режимы , их максимальных значений нередко совпадают;
в этом случае решающую роль играет время выдержки при макси-
мальной температуре цикла. Лабораторные эксперименты относятся
в основном именно к таким условиям нагружения [6]. Для более
сложных взаимодействий приходится вводить дополнительные упро-
щающие предположения. Для ответственных деталей машин их
109
термопрочность при сложно комбинированных нагружениях и на-
греве должна проверяться экспериментальным путем в условиях,
максимально приближенных к рабочим.
К комбинированным нагружениям относится также взаимодей-
ствие постоянных или медленно меняющихся напряжений с вибра-
ционными. Поскольку на стадии проектирования вибронапряжения
обычно не известны, их влияние на запасы длительной или мало-
цикловой прочности косвенно учитывается величиной допустимых
запасов.
Вследствие ограниченности экспериментальных, данных расчет-
ные оценки запасов прочности при комбинированных нагружениях
имеют значение главным образом как сравнительные характеристики.
Запасы прочности при термоциклическом нагружении с выдерж-
ками. При циклическом нагружении и нагреве деталей машин
на отдельных наиболее высокотемпературных и напряженных уча-
стках цикла происходит накопление статического повреждения, за-
висящее от времени выдержки на этих участках. Простейшая модель
такого процесса представляется в виде симметричного циклического
нагружения с постоянной амплитудой напряжения оа = 0,5Ло и
с временем выдержки 4 под напряжением оа при максимальной
температуре цикла Ттах. Для простоты анализа время переходных
процессов — нагрева и охлаждения — отдельно не учитывается.
Если это время соизмеримо с временем tB, его влияние может быть
учтено согласно разделу 2 путем пересчета 4 на время эквивалент-
ного режима. Фактическое время цикла 4, которое может включать
и время паузы между нагружениями, при таком подходе роли не
играет.
Общее время пребывания материала под напряжением оа при
температуре Ттах	......
t0 = taN,.	.	(3.1)
где N — общее число циклов нагружения;, очевидно, что t0 /2,
здесь 4 — общее время работы с учетом пауз.
Чисто термоциклическому нагружению соответствуют значения
4 = 0 и 4 = 0. В этом случае разрушающая’ амплитуда напряже-
ния оар зависит только от числа циклов N. Длительное статическое
нагружение соответствует одному выходу на режим Ттах, т. е.
N = 1 и 4=4- Тогда разрушающее напряжение оар, совпадаю-
щее с пределом длительной прочности <4,, зависит только от вре-
мени 4- В общем случае оар является функцией как числа циклов N,~
так и времени t0. Зависимость оар = f (N, t9) при Tmax = const
описывает поверхность длительного термоциклического разрушения,
показанную на рис. 3.1 в координатах N, t0, аа. Заштрихованные
сечения N = const, t9 — const и = const дают частные зависи-
мости между двумя параметрами при фиксированных значениях
третьего.
Для режима, характеризующегося точкой А (рис. 3.1), разру-
шающие значения одр, top и N'p могут быть найдены путем увеличе-
ния соответствующего параметра при неизменных значениях двух
110
Рис. 3.1. Поверхность длительного термоцнклического разру-
шения при Гшах = const
других до выхода на поверхность разрушения, как показано стрел-
ками. Запасы прочности по напряжению па, по числу циклов nN
и по долговечности при Тшах — nt равны отношениям
®ар
° а
(3-2)
(3.3)
(3.4)
Для деталей, работающих при длительном термоциклическом на-
гружении, помимо возможности раздельного отклонения того или
иного параметра, весьма вероятным является одновременное и про-
порциональное изменение числа циклов N и длительности t0 = tBN
при fo = const, что соответствует увеличению продолжительности
работы при сохранении характеристик каждого цикла неизменными.
Таким же путем испытывают лабораторные образцы. В этом случае
разрушение наступает в точке Б при Np < Afp и fop < fop- Запас
по термоциклической долговечности
• <3-5)
где Nv — разрушающее число циклов;
fop — общая длительность работы при до разрушения.
111
a)
Рис. 3.2. Сечейие <та = const поверхности длительного тер-
моциклического разрушения (й) и построение зависимостей
^>р = f (*в) (б) и Np = f (tB) (в)
Рис. 3\3. Зависимость /ор =
= f (<в) (FCD — для стали
37Х12Н8Г8МФБ при Гтах —
= 700° С и <Та=
= 26=29 кгс/мм2;
линия FA В—преде-
лы длительной ста-'
тической прочности
при тех же значе-
ниях Гист)
При малых выдержках пы, при малом числе циклов
ntN nt, а в общем случае ntN всегда меньше минимального из зна-
чений nN или nt.
Проведя ряд лучей ta — const, каждый из которых соответ-
ствует циклу определенного характера, можно построить зависи-
мости /Ор = /(/а) и Л/р = f (tB) (рис. 3.2). В действительности, эти
зависимости строят непосредственно по экспериментальным данным
(рис. 3.3 и 2.5), а общая поверхность разрушения может быть
образована путем их перестроения.
На рис. 3.3 линия CD построена по результатам термоцикличе-
ских испытаний при постоянном диапазоне изменения температур,
т. е. при постоянном значении амплитуды полной деформации.
Максимальное напряжение в цикле без выдержки составляло
29 кгс/мм2, с увеличением времени выдержки оно уменьшалось и
при tB = 2 ч составляло 25,5 кгс/мм2, вследствие чего линия ЛВ,
соответствующая времени до разрушения при постоянных напря-
жениях, несколько отклоняется от вертикали.
Так как сопротивление длительной прочности при растяжении и
сжатии нередко бывает различным (см. гл. 1), то-и поверхности дли-
тельного термоциклического разрушения могут различаться в зави-
112
симости от того, происходит ли в момент выдержки при Тгаах растя-
жение или сжатие. При построении кривых рис. 3.3 разница между
характеристиками при растяжении (линия FAB) и при сжатии
(линия FCD) не учитывалась.
Для расчетов запасов прочности при термоциклическом нагру-
жении с выдержками необходимо иметь экспериментальные данные,
характеризующие положение поверхности разрушения или некото-
рых ее сечений.
Согласно рис. 3.3 время до разрушения tOp при данных Тгаах, аа
(или Ае )и может быть определено как
^)р =Т^дл,	(3-6)
гДе (дл — время до разрушения при постоянных значениях Тиа
(при растяжении или сжатии); у — коэффициент влияния термо-
циклического нагружения, зависящий от Тшах, аа и t3 и определяе-
мый по диаграммам типа тех, которые показаны на рис. 3.3. Вели-
чина у меняется в пределах от 0 до 1.
В табл. 3.1 приведены значения коэффициента у для стали
12Х18Н9Т при Тшах — 700° С и различных As, а в табл. 3.2 —для
сплава ХН77ТЮР при различных Тгаах, откуда видно, что в основ-
ном величина у определяется значениями Тт!а и ta, а уровень на-
гружения аа (или As) влияет слабее.
Как и в случае малоцикловой усталости, кривую разрушения
при термоциклическом нагружении с выдержками при Тшах =
-= const и аа = const (линия Np0 — Б — t№ на рис. 3.2, а) можно
аппроксимировать уравнением
Таблица 3.1
Де, %	Значения f при tB, мин				
	1	2	3	5	10
0,7	. 0,17	0,21	' 0,24	0,30	0,37
1,0	‘ 0,19	0,23	0,29	0,33	0,40
2,0	0,13	0,16	0,25	0,31	0,41
Таблица 3.2
Значения у при tB, мин
Т	°C 1 шах’	1	2	3	5	10
750	0,13	0,17	0,28	0,36	0,60
800	0,07	0,13	0,20	0,32	0,59
850	0,04	0,07	0,10	0,20	0,59
113
Таблица 3.3
Материал	т. °с	а	ь	Материал	Т, °C	а	ь
ХН77ТЮР	700 750 800 850	1/в 4/в */з	*4 4/з	37Х12Н8Г8МФБ	600 700 750	1	1/2 1
				ХН60В	950		
	700	v3	1			1	
1Х19Н9Т	750 800	v3 1	*/2 1	ЖС6К	900	1	v3
ХН70ВМТЮ	800 850 900	*/з %	1 */2 ч3	ХН62МВКЮ	800 950	*/5	
Рис. 3.4. Аппроксимация экспериментальных
данных по длительному термоциклическому
разрушению уравнением (3.7)
где Npo — число'циклов до разрушения при термоциклических испы-
таниях без выдержки (практически определяется по испытаниям
с треугольным циклом) при тех же значениях Ттт и сга; а, Ь — неко-
торые характеристики материала, зависящие от Tmsx и са.
Эксперименты показывают, что значения а и b в основном зави-
сят от Ттах. а амплитуды напряжения в определенном диапазоне
- их значений влияют сравнительно слабо.
Осредненные значения показателей а и b уравнения (3.7) для
некоторых материалов при диапазонах изменения напряжений оа ~
= 11-г-60 кгс/мм2 и числа
циклов А/р0 = 1024- Ю4 при-
ведены в табл. 3.3. *
В координатах .х=
__ / /VP У ______ / ^ОР \а
\ tfpo / ’ у \ 'дл /
уравнение (3.7) имеет вид
у + х — 1, т. е. предста-
вляет прямую линию. На
рис. 3.4 в указанных ко-
ординатах нанесены экспе-
риментальные точки для
материалов, представлен-
ных в табл. 3.3. Эти точки
группируются около пря-
мой У 4- х = 1, хотя и
с довольно большим раз-
бросом. Поэтому при ис-
пользовании уравнения
(3.7), как и вообще при
оценках долговечности,
можно говорить не о рас-
11
чете фактического времени или числа циклов до разрушения, а лишь
об оценке порядка этих величин, в связи с чем запасы по долговеч-
ности назначаются всегда значительными (порядка 3 и более).
Запасы прочности при термоциклическом нагружении с выдерж-
ками могут быть определены с помощью как соотношения (3.6), так
и уравнения (3.7). Согласно данным табл. 3.1 коэффициент у мало
зависит от .уровня напряжения, поэтому для определенного диапа-
зона напряжений этой зависимостью можно пренебречь, считая
у = у (T’max, ta). Тогда по первому способу запас по термоцикличе-
ской долговечности ntN определится как
«лу = 7^ = 7 (Тгаах, Q	,	(3.8)
‘о	‘о
а соответствующий запас прочности по напряжению
1
па = ^=	.	(3.9)
''а
Для определения запасов прочности с помощью уравнения (3.7)
используем,обозначения
(з.ю)
[0
=	(3.11)
где nt0 — запас по долговечности при постоянном значении напря-
жения ст = ста; пм0 — запас по числу циклов до разрушения • при
термоциклических испытаниях без выдержки при Ттах для тех же
значений Тшах и ста.
Подставив в уравнение (3.7) с учетом выражения (3.5) и значе-
НИЯ	и	Получим УР^нение [/ 1
=	(3.12)
\ nto J ,	\	к ’
связывающее пщ с nt0 и nNa.
Можно показать, что запас термоусталостной прочности по на-
пряжению па = -У—- определяется уравнением
"а
+	(3.13)
rlt0 nN0
где ах = am, = bk, т, k — показатели зависимостей ст"1 (цЛ =
= const и CTaMno = const. Величины ntN и па можно найти, решив
уравнения (3.12) или (3.13) графически или подбором.
Запасы прочности при асимметричном- термоциклическом нагру-
жении. Для многих деталей высокотемпературных машин харак-
терны асимметричные циклы изменения напряжений. При термо-
циклических испытаниях обычно также имеется некоторая степень
8*	115
Рис. 3.5. Влияние среднего на-
пряжения цикла па сопроти-
вление те о мо устал ости ста л и
12Х18Н9 пр/ = 650° С;
/ _ .у = 100 циклов, t3 = 60 мин;
2 — Л' ~ 100 циклов, /в — 600 мин;
3 — д/ = 1000 циклов, /в — 6 .мин;
4 — N = 1000 циклов, 2^ — 60 мин
асимметрии, которая в процессе испытания может меняться. Работ
по исследованию влияния степени асимметрии на термопрочность .
мало (см., например, [11), и расчетные методы довольно условны.
При испытаниях без выдержки, когда влиянием длительности на-
гружения можно пренебречь, учет асимметрии может производиться-
по аналогии с обычной (многоцикловой) усталостью. Если среднее
напряжение равно нулю, разрушение при данном числе циклов N
произойдет при амплитуде симметричного цикла (crflp)_i. При боль-
ших значениях среднего растягивающего напряжения разрушающая
амплитуда оар будет уменьшаться и при от = одл станет равной
нулю. Если максимальной температуре Ттах соответствует растя-
жение, то одл равно пределу длительной прочности, если сжа-
тие, то в качестве следует принимать предел прочности на сжа-
тие при Ттах. По аналогии с условиями усталостного разрушения
при асимметричных циклах принимают
0аР = (%)-1(1 —(3-14)
\ идл /
Считая, что при асимметричных циклах связь амплитуды напря-
жений оа с числом циклов до разрушения .'Vp0 будет иметь вид
<jaNp0 = const, где показатель ~k не зависит от степени асимметрии,
получим, что число циклов до разрушения асимметричного цикла 7Vp0
связано с числом циклов до разрушения симметричного цикла
(TVpo)-i при той же амплитуде напряжения соотношением
. (3.15)
Влияние асимметрии неодинаково в области положительных и
отрицательных значений ат вследствие различной повреждаемости
материала при разных температурах. Небольшая положительная
статическая нагрузка не сокращает долговечность, поскольку при
этой асимметрии уменьшаются напряжения при Ттах и цикл на-
гружения оказывается менее повреждающим, чем при от = 0.
Это обстоятельство можно учесть в расчетах, если для оценки-влия-
ния асимметрии использовать экспериментальные зависимости
<зт — N [8].
116
При циклах с выдержкой достаточно надежное влияние асимме-
трии может быть выявлено только специальными экспериментами
по термоциклическому нагружению с постоянной составляющей, ре-
зультаты которых иногда обрабатывают в форме зависимости раз-
рушающего размаха деформаций Дер от среднего напряжения
цикла ат при различных значениях числа циклов N и выдержки tB
(рис. 3.5) [1, 14, 16].
Из-за крайней ограниченности подобных экспериментов в прибли-
женной расчетной оценке прочности при циклах с выдержкой можно
исходить из следующих соображений. Чтобы использовать уравне-
ния (3.12) или (3.13), входящие в них запасы nta и nNf) должны быть
скорректированы на влияние асимметрии.. Значение nNa, соответ-
ствующее работе без выдержки, определяется по формулам (3.11)
и (3.15). Для расчета nt0 при циклах с выдержкой время до разру-
шения t0 должно определяться по полному напряжению от -f- оа,
действующему на участках Ттах.
Если nta и nNQ определены по формулам (3.10) и (3.15) с учетом
влияния асимметрии циклов, то запасы по термоциклической долго-
вечности и прочности можно найти по формулам для симметричного
цикла.
Выше время выдержки tB отнесено к участку действия макси-
мальной температуры Ттах, так что для пилообразного цикла' tB =
= 0. В действительности некоторое накопление длительного повре-
ждения происходит и при более низких температурах. Поэтому
в расчетах под tB следует понимать не фактическое время пребы-
вания при максимальной температуре, а эквивалентную выдержку
при Тгаах, приводящую за W циклов (за время t0 = tBN) при ампли-
тудном значении напряжения оа к такой же степени длительного
статического повреждения, что и фактически действующее в течение
цикла меняющееся напряжение о (0 при меняющейся темпера-
туре Т (0 за полное время работы ts = t^N. Используя понятие
об эквивалентной выдержке, можно проводить оценочные расчеты
на термоциклическую долговечность и при несинхронном изменении
напряжений и температур, заменяя действительный цикл условно
эквивалентным синхронным циклом с выдержкой.
При оценке повреждаемости по относительной долговечности
эквивалентную выдержку tB находят из условия
Ч
/ tp[T (0,<Т(01 = ip (T’max, (Та) ’	(3‘16)
откуда, разбив цикл на k участков, где можно принять Т, const,
О/ const, получим
k
— tp (Tmx, oa) (T'	,	(3.17)
а запас по долговечности при стационарном действии напряжения оа
k
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Баландин Ю. Ф. Оценка прочности материалов при совместном действии
циклических термических напряжений и постоянной механической нагрузки. —
В кн.: Термопрочность материалов и конструктивных элементов. Вып. IV. Киев,
«Наукова думка», 1967, с. 333—342.
2.	Биргер И. А. Запасы прочности при переменных напряжениях. — «Вестник
машиностроения», 1948, № 6, с. 5—14.
3.	Биргер И. А., Шорр Б. Ф., Шнейдерович Р. М. Расчет на прочность деталей
машин. Изд. 2-е. М., «Машиностроение», 1966, 616 с.
4.	Биргер И. А. Вероятность разрушения, запасы прочности и диагностика.—
В кн.: Проблемы механики твердого деформированного тела. Л., «Судостроение»,
1970.
5.	Болотии В. В. Статистические методы в строительной механике. М.,Строй-
издат, 1965, 279 с.
6.	Дульнев Р. А. Сопротивление жаропрочных сплавов термической уста-
лости в связи с формой температурного цикла. — В кн.: Прочность при малом числе
циклов нагружения. М., «Наука», 1969, с. 151 —161.
7.	Дульнев Р. А. Суммирование повреждений и условие прочности при термо-
циклическом нагружении.—«Проблемы прочности», 1971, № 10, с. 101—104.
8.	Дульнев Р. А., Бычков Н. Г., Джамай В. В. Накопление повреждений
и критерии термоциклической прочности материалов и лопаток авиационных ГТД.
Материалы Всесоюзного симпозиума по малоцикловой усталости при повышенных
температурах. Вып. 2. Челябинск, 1974, с 17—18.
9.	Журков С. Н., Томашевский Э. Е. Временная зависимость прочности при
различных режимах нагружения. — В кн.: Некоторые проблемы прочности твердого
тела. Изд. АН СССР, М., 1959, с. 68—75.
10.	Кинасошвили Р. С. Определение запасов прочности при нестационарной
температуре и нестационарной напряженности. — «Изв. АН СССР. ОТН. Меха-
ника и машиностроение», 1959, № 3, с. 126—128.
11.	Кузнецов В. Н. О термической усталости металлов. — «Теплоэнергетика»,
1957, № 12, с. 32—35.
12.	Рабинович В. П. Прочность турбинных дисков. М., «Машиностроение»,
1966, 151 с.
13.	Ржаницыи А. Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств ма-
териалов. М., Госстройиздат, 1954, 288 с.
14.	Серенсеи С. В., Дульнев Р. А., Бычков Н. Г. К оценке сопротивления разру-
шению при термической усталости. — «Проблемы прочности», 1969, № 1, с. 12—19.
15.	Серенсеи С. В., Когаев В. П., Шнейдерович Р. М. Несущая способность
и расчет деталей машин на прочность. М., Машгиз, 1963, 451 с.
16.	Соболев Н. Д., Егоров В. И. О критерии прочности при термической уста-
лости. — «ДАН СССР», 1962, № 2, т. 147, с. 350—352.
17.	Шорр Б. Ф., Дульнев Р. А. Исследования температурных напряжений
и ползучести при переменных температурах (обзор).—«Заводская лаборатория»,
1964, № 3, т. XXX, с. 340—347.
18.	Шорр Б. Ф., Кочуков Н. С., Портер М. А. Ускоренные эквивалентные испы-
тания эксплуатационной надежности сварных узлов. — «Проблемы прочности»,
1970, № 2, с. 63—67.
19.	Шорр Б. Ф., Локштаиов Е. А., Халатов Ю. М. Об одном возможном
подходе к вероятностной оценке вибрационной прочности деталей турбомашии —
«Проблемы прочности», 1972, № II, с. 11—14.
20.	Manson S. S. Thermal Stress and Low—Cycle Fatigue. Me Graw—Hill Book
Comp., N.—J, 1966, 404 p.
21.	Robinson E. L. Trans ASME, 1952, N 5, v. 74, p. 777—782.
22.	Wood D. S. The Effect of Creep on the High Strain Fatigue Behavior of
a Pressure Vessel Steel. Welding Journal, 1966, N 2.
ГЛАВА 4
Основы теории неизотермической упругости, пластичности,
ползучести
1, Термоупругость
Общие положения. Если стержень, имевший при температуре То
длину /0, нагреть до температуры Т, он получит температурное рас-
ширение
8г =4£^а(Т-Т0),	.	(1.1)
го
где а — коэффициент линейного температурного расширения, 1/°С.
Коэффициент а является физической характеристикой материала,
зависящей от абсолютной температуры тела, и для металлов, как
правило, увеличивается с повышением температуры. При небольшом
изменении температуры (на 50—100°) можно считать а const.
Значение а при температуре Т определяется по эксперименталь-
ной зависимости ег — f (Т — То) как
Яр Г
а(Т)=^--	(1-2)
Для диапазона температур Т2—7\ среднее значение коэффи-
циента
Зависимость гт = f (Т — То), получаемую из опытов по темпе-
ратурному расширению тел, можно непосредственно использовать
в расчетах. В справочниках обычно приводят средние значения аср
для ряда диапазонов температур Т2—7\. Величину аср можно
принимать в качестве текущего значения а при средней температуре
Т = 0,5 (Л + Т2).
В шаговых методах расчета, где рассматриваются малые прира-
щения температуры АТ, величина Аег определяется по известной
зависимости а(Т)
Аег = а (Т) АТ.	(1.4)
В методах расчета по конечным соотношениям температурное
расширение &т при изменении температуры от То, соответствующей
и
sT = 0, до Т = Т + ДТ определяется интегрированием уравне-
ния (1.4):
т
er=ja(6)d6, T0^Q^T	(1.5)
т„
или по среднему значению коэффициента аср в диапазоне температур
от То до Т
ег=асрД7’.	(1.6)
В дальнейшем индексы при а будем опускать.
Теория термоупругости базируется на двух основных допуще-
ниях, опирающихся на опыт:
1. Температурное поле тела практически не зависит от его на-
пряженно-деформированного состояния и может считаться заданным
иа основании экспериментальных измерений или расчетов по урав-
нениям теплопроводности *.
2. Упругая силовая деформация от действующих в теле напряже-
ний е0 и температурное расширение &т суммируются (так называемый
принцип суперпозиции).
Для одноосного растяжения-сжатия
=	(1-7)
где Е — модуль упругости материала, так что полная деформа-
ция 80S в направлении действия напряжения о0
ео^^ + аДЛ	(1.8)
а с учетом обозначения температурного расширения (1.6)
(1-9)
Для большинства конструкционных материалов температурное
расширение одинаково во всех направлениях — изотропна. Дефор-
мации в поперечных направлениях
8П = - р 4- &т,	(1.10)
где р — коэффициент Пауссона, а деформации сдвига при темпера-
турном расширении не возникают.
Относительное изменение объема
% = ео2+28п = -^4-38Г,	(1.11)
где модуль объемного сжатия
<1|2>
* О связи теплового и напряженного состояний тела см. раздел б,
120
На основе тех же предпосылок составляют уравнения термоупру-
гости для общего случая сложного напряженного состояния, кото-
рые принимают вид
sx — [сгЛ — р (ру + crz)] аДТ;
£ \°у И (^г Н“	“Ь аДГ,
ez = -g- [crz — р (ffx + ffj,)] + аДТ;
_ 1 _ 1 . _ 1
Уху — q Xxyi Ууг — Q xyz> Угх — q Тгх>
(1.13)
где crx, Gy, gz — нормальные напряжения; rxy, xyz, xu — касатель-
ные напряжения; ex, &y, ez — удлинения; yxy, yyz, y^ — сдвиги;
G — E/2 (1 + p) — модуль сдвига.
Выражения (1.13) можно записать и в другом виде, замениваДТ
на ег,
ех =-%-[(! +р)^х—Зрст]4-ег,	(1.14)
где среднее напряжение в данной точке тела
<t=^-(ctx + ct^+ctz).	(1.15)
В некоторых случаях (при наличии пластических деформаций)
удобно использовать вытекающее из формулы (1.14) соотношение
8х = -^-(ах-<7) + -^ + 8Л	(1.16)
Аналогичные выражения получаются и для компонент еу и ez.
Уравнения (1.14) или (1.16) легко разрешаются относительно
напряжений, если среднее напряжение сг выразить через среднюю
деформацию
е =	+ +	’ П-17)
Для этого достаточно просуммировать выражения типа (1.16),
откуда
а = /С(е_ет)=т^_(е_ет).	(1Л8)
- Подставив это значение в уравнения (1.14) и (1.-16), получим
. (1Л9)
или
~ 2G (ех — е) (е — 8^).	(1.20)
Аналогичные выражения получаются и для компонент напряже-
ния иу и <Т£.
В теории термоупругости постоянно приходится иметь дело
с группами уравнений, отличающихся только индексами при соот-
ветствующих компонентах. Эти выражения можно записать значи-
тельно компактнее. Обозначив любое из трех взаимно перпендику-
лярных координатных направлений через (i = 1, 2, 3), можно
представить вектор / с компонентами f3, f3 в виде Д (например,
вектор перемещения ы(), а тензор второго ранга, каким является,
например, тензор напряжения с компонентами Ojf, о12, о13, о21, <т,2,
о,3, CT3i> азз> стзз> — в виде <т17, где i = 1, 2, 3 и j — 1, 2, 3. Анало-
гично, тензор деформации можно записать в виде et7, причем е1;- =
= 0,5yl7 при i =f= j. Напряжение и деформация являются симметрич-
ными тензорами, поэтому = uti и е(7 = е/7.
Для сокращения записи в индексном обозначении используют
следующие правила:
1..	Наличие в одночлене повторяющихся индексов указывает на
суммирование по всем значениям 1, 2, 3. Так, изменение объема
Ёа = еп + 822 + е33 — 8П;
среднее напряжение
1 . , . .	1
— ~ЭГ • а22 + а3з)   -д- °Ц,
работа внутренних сил в единице объема
= -2-(<TU6ll+<T12e12 + • • • -f- О32£32 + аз3е3з) =	°iflii
и т. д. Повторяющийся индекс называется немым и его можно заме-
нить любой другой латинской буквой, например, вместо ии пи-
сать ukk.
2. Частная производная функции Д по координате X/ обозна-
чается с помощью запятой и индекса /, например,
дх/ I ’1' i‘
Подобным образом
d2fi _ t
dXjdxk ' 'lk’
3. Символ Кронекера 6t7 определяется соотношениями
[ 1 при i = /,
о,.- ={ Л
'	( 0 при i =/= j.
Уравнения термоупругости. Приведем основные уравнения тер-
моупругости, используя индексные (тензорные) обозначения.
122
Физические уравнения. Соотношения (1.14) или (1.16) для любых
компонент а(/- и ег/ запишем как
е(.;- = 4"((1 + Н) - ЗИМ + 6(.^	(1.21)
или
— б;/ст) + бо (-^-геГ) •	(1-22)
Обратные соотношения:
<>,7 = тЬЬ + т^8--''~1^М	с-23’
а„ = 2О(8,;-в„.8) + 6,;К(Е-е’).	(1.24)
Всестороннее равномерное растяжение или сжатие и касательные
напряжения по-разному влияют на условия пластического течения
и разрушения материала. Поэтому в ряде случаев тензоры напряже-
ния <т;/ и деформации ei;- целесообразно представлять в виде сумм
шаровых тензоров, соответствующих средним напряжениям а и
деформациям е, и девиаторов s(7, etj, характеризующих касательные
напряжения и деформации сдвига:
<^ = V + V’	;	(1.25)
gi/ = 6.7g + eG-’	 Ч	•	. (1-26)
Для касательных компонент 67 = 0 и cls = s12, е12 = е12 и т. д.;
для нормальных компонент su = ou — а, е;1 = ец — вит. д. Вели-
чины сие связаны между собой соотношением (1.18), а из соотно-
шений (1.21)—(1.26) найдем
s(/=2Geu.	(1.27)
Уравнение (1.27) указывает на пропорциональность девиаторов
напряжения и деформации, которая не зависит от температурного
расширения. Величина е — ег, представляющая собой среднюю
упругую деформацию, пропорциональна среднему напряжению о.
Уравнения движения и равновесия. Суммируя все силы, действую-
щие на элемент тела, включая объемную нагрузку F[t получим три
уравнения движения
+	z О-28)
где точками обозначены производные по времени; р — плотность
матёриала. Для статических задач уравнение (1.28) переходит
в уравнение равновесия
fft7./ + ^=0.	(1.29)
У поверхности тела внутренние напряжения должны уравнове-
шивать внешнюю нагрузку pt. Если п — единичный вектор нормали
к поверхностной площадке тела, то его составляющие равны
123
направляющим косинусам нормали. Условие равновесия внешних и
внутренних сил на границе тела:
А =	(1.30)
Уравнения деформаций. Деформации s;;- связаны с компонентами
перемещения tz(- соотношением
е,7 = 4"	(L31)
На границе тела перемещения должны удовлетворять кинемати-
ческим граничным условиям
ы£ =«(").	(1.32)
Уравнения движения и уравнения деформаций не зависят от фи-
зико-механических свойств'тела и условий его нагрева. Группы
уравнений (1.21), (1.28), (1.31) с неизвестными oz/, ег/, и(. вместе
с граничными условиями (1.30) и (1.32) при заданных поверхно-
стных pt и объемных Ft нагрузках и температурном поле ДТ образуют
полную систему уравнений термоупругости, которая имеет един-
ственное решение ПО, 16, 17]. Входящие в эти уравнения модуль
упругости Е, коэффициент Пауссона р. и температурное расшире-
ние ет могут быть произвольными функциями температуры Т и из-
меняться при переходе от одной точки тела к другой, но в каждой
точке они не зависят от направления — тело изотропно.
Уравнения термоупругости для анизотропного тела. Для тела
с упругими свойствами, различными в разных направлениях, напри-
мер для стеклопластиковых материалов, обобщенный закон Гука
записывают как
’	= Сi jkiOki + «ip	'	(1  33)
где Si, = a,ljST, C[jkl— тензор коэффициентов податливости мате-
риала; а(7 — тензор коэффициентов температурного искажения по
соответствующим направлениям. Из условия симметричности тен-
зоров ое/- и ег,- и существования упругого потенциала при ДТ = 0
следует, что Cijkl = Cjikl = Cij!k = CkUj и a£/ ~ a/lt так что число
различных коэффициентов Cijk[ может быть равным 21, a az/ = 6.
Для тел с плоскостями упругой симметрии число различных коэф-
фициентов сокращается, например, для ортотропного тела число
Cljkl до 9, а аг/ до 3. Для изотропного тела
С,-/и = -g-[( 1 + и) k^jt — рД0-34)
и а(/- = 6£/а. Здесь 8ik, 8ц, 8ijt 8Ы — символы Кронекера относи-
тельно соответствующих индексов.
Разрешив уравнение (1.33) относительно напряжений, получим
== TCi/AZ	.
где Kljkl — тензор коэффициентов упругости материала.
124
В расчетных методах физические уравнения термоупругости
удобнее представлять не в форме связи между 9-компонентными.
тензорами <тг/ и si;-, а в матричном виде
[е7] — [С/й] [ст*] 4-[еЛ >	(1.35)
где каждый из векторов [е;- ] и [ст& ] определяется шестью компо-
нентами:
Уху
Ууг
Угх
(1.36)

Хху
Xyz
Xzx
(1.37)
Матрица коэффициентов упругости для изотропного тела
	1	—и	—и	0	0	0	
	—Р	1	—и	0	0	0	
_	1	—Iх	—и	1	0	0 0	(1.38)
iclk]=4-	0	0	0	2(1+р)	0	0	
	0	0	0	0 2(1	+ р.) 0	
	0	0	0	0	о 2(1+ц) _	
а вектор температурного расширения						
1
[вЛ
1
1
О
(1.39)
О
о
125
Приращения термоупругих деформаций. Продифференцировав
выражение (1.9), получим при растяжении
+ <|Л0)
где второй- член описывает приращение деформации из-за измене-
ния температурного расширения и модуля упругости материала.
В общем случае
А-/ = Cljkl dokl + <р./ dT.	(1.41)
Для изотропного тела Cijkl определяется выражением (1.34), а
<Рг/=^/ i - f-Kl+H)	-г • > (36,.Д- aiZ). (1.42)
В матричной форме
[dej - [С/А] [d<5k] + [Ф/] dT,	(1.43)
где [C/ft] определяется выражением (1.38), а
1^=17	" 1“ 1 1	1 dE	’ Ох — и (^ + а2) Gy ~- И (°Z + ах) ffz — И	+ ffy)	1 dp.	°у ~Г °z °г + °х СХ + °у	
	0 0 о	Е2 dT	2 (1 —р) ч-ху 2(1 +p)tw 2(1 ~4~ р.)	_	Е dT	—2% —2тгд; (1	.44)
В практических расчетах рассматривают конечные приращения
напряжений, деформаций и температуры. Так как приращение упру-
гой деформации не зависит от последовательности изменения напря-
жения и температуры, а определяется только значениями напряже-
ния и температуры в начальной 1
и конечной 2точках пути (рис. 1.1),
то изменение упругой деформа-
ции при растяжении
„(2)	л(1’
Др _ ________gQ
Z-ib0 £(2>	£(1). >
Рис. 1.1. Независимость упругих де-
формаций от порядка нагружения и
нагрева
ИЛИ
дР   I п(1) Г 1_______* 1
ддь0	£(2) I и0 I £(2)	£(1) J •
(1-45)
В общем случае
Де.-^С^/Дан + Де^ .	(1.46)
где
Де^Де^ + аЩС^-С^]
(1-47)
126
представляет собой приращение дополнительной деформации от тем-
пературного расширения и изменения параметров упругости мате-
риала по температуре.
В матричной форме
[Де,] = [С‘Г] [ДстЛ[ + [Де}],	(1.48)
где для изотропного тела матрица [С*Г] определяется выраже-
нием (1.38) по температуре конца этапа, а
(Ае-1=
1
1
1	 I 1 + ^<2)
О	Ц £<2’
О
о
(ст”’+ ст”’+ ст”’) X
п(1)
°у
2^
2^
2т”’
(1-49)
Очевидно, что конечные приращения можно получить также ин-
тегрированием соотношений (1.40)—(1.44) по пути нагружения, как
это делается в расчетах по теории пластического течения (см. раз-
дел 3).
Инварианты напряжений и деформаций. При деформировании
элемента материала на величину de(/- напряжения-совершают в еди-
нице объема работу
dA = ai:: d&a,	(1.50)
а при конечном изменении деформаций между состояниями 1 и 2
„(2)
eti .
А-2= J
Подставив в уравнение (1.50) значения ctZ/- и de,c, выраженные
через их средние значения и девиаторы, получим
d Л = (6Z/ct + sz/) (6Z/ de + dez/) = Зст de + sz/ deit.
Работа деформирования dA складывается из работы изменения
объема
dЛ0 = Зст de = ст de0	(1.51).
и работы изменения формы
<*Лф = st7 delf.	(1.52)
Выразив напряжения а и si;- через деформации е и eit, согласно
формулам (1.18) и (1.27) найдем
<*4 = (е - ds = тДг К4) - еГ dg] ;	(1-53)
йЛф = 2Ge;/ den = Gd (еиеи')-	0-54)
Очевидно, что работа не может зависеть от выбора системы коор-
динат, т. е. средняя деформация е и величина е(1ец являются инва-
риантами. Аналогично, выразив работу через напряжения о и s(7,
придем к выводу, что среднее напряжение о и величина также
инвариантны к системам координат *. Первые инварианты о и s
связаны между собой соотношением (1.18), а вторые, как следует
из выражения (1.27), соотношением
]/~^ = 2G]/~^-.	(1.55)
Исключив из уравнений (1.54) и (1.55) величину G, найдем
=	=	(1-56)
Z V etjeij
т. е. работа формоизменения полностью определяется вторыми инва-
риантами напряжения и деформации.
При одноосном растяжении	•
12	о0 , >---Г 2 .
-- "з СТо1 S11 -	S22-- S33 -	з"ИГ5|/5е/ - У У a0i
где о0—напряжение растяжения.
Величину
= jZ-l-Sf/S,/,	-	(1.57)
совпадающую при растяжении с напряжением ст0, называют интен-
сивностью-нормальных напряжений, а соответствующий инвариант
деформации
И = ецСц	(1-58)
—-^интенсивностью деформаций. При чистом сдвиге стп = —ст33 =
= т0, ст23 = 0, где toj—величина напряжения сдвига; ст = О,.
s17 = ст0- и /se./se7 = V2 т0. Величину
Т.-Кт-Мв,—(I-S9)
* В теории упругости показано, что инвариантность величии ст, е, si/si;',
ецец, а также Si/SjkSki и	определяется тензорными свойствами напря-
жений и деформаций и ие связана с физико-мехаиическими свойствами материала.
128
совпадающую при чистом сдвиге с напряжением т0, называют интен-
сивностью касательных напряжений, а соответствующий инвариант
деформации
=	=	(1.60)
— интенсивностью деформаций сдвига.
Множители в формулах для е(- и yt- выбирают так, чтобы работа
формоизменения выражалась через любую пару инвариантов со-
гласно формуле (1.56) без дополнительных коэффициентов:
бЫф = о^е£. =те. dyt.	(1.61)
В развернутом виде
ui — j/"-у Уsii + S22 + S33 + 2 (sb -j- sb -j- sji)	(1.62)
или в обычных обозначениях напряжений
Ст(. = ру У(Ох — Оу)2 + (в у	ог)" 4- (°z — °х)3 + 6 (tXy + Xyz -ф- Х2гх).
(1.63)
Аналогичйо
ez = j/”y Vе\\ + eb + sb + 2 (sb + eb + eh)	(1.64)
или
]/\ех — еУ + (.еу — е2)2 + (е2 — ех)г + (yly -}- у2г + у2х).'
(1.65)
Из формулы (1.60) следует, что
о, == 3Gez	(1.66)
и
tz = GVz.	(1.67)-
При р, = 0,30-7-0,33	= -—у-= 0,874-0,89,	поэтому
Приближенно можно считать ai Ее^.
Из выражений (1.27) и (1.66) следует, что
3 8/
—	'	(1-68)
*
. Выражения'для инвариантов и их связь используются главным
рбразом при формулировании законов пластического течения и раз-
рушения при сложном напряженном состоянии.
Решение задач термоупругости при переменных упругих харак-
теристиках. Методы решения задач термоупругости для изотроп-
ного тела при постоянных значениях £ и ц детально разработаны и
190
изложены во многих работах [10, 15, 17, 20, 22]. Однако для дета-
лей машин часто характерны такие диапазоны изменения темпера-
туры, что необходимо считаться с изменением значения модуля упру-
гости Е. При произвольной зависимости Е (Т) расчеты ведут числен-
ными методами, причем для ряда задач решения получены в замкну-
том виде [5]. В тех случаях, когда замкнутое решение с переменным
модулем получить трудно, можно использовать следующий общий
способ решения задач термоупругости при переменном модуле Е (Г)
и коэффициенте Пуассона р.(Т’) путем приведения к задачам с по-
стоянным модулем и с дополнительными деформациями [33].
Наряду с действительными деформациями е;/- рассмотрим дефор-
мации г*. которые были бы в некотором расчетном упругом теле
с постоянными значениями Е* и р,* при тех же действительных
напряжениях а Разность
=	‘	(1-69)
представляет собой дополнительную деформацию. Записав выраже-
ния (1.21) для действительного и расчетного тела, получим
е:.= ( А+й _	з	8о	(1.70)
Исключив из выражений (1.70) и (1.21) напряжение с учетом
уравнения (1.18), выразим дополнительную деформацию е’;. через
действительную ег/:
Еч~ Г £*(! 4-ц) J 'е*'	Я* (1 — 2р.) J (е 6 '•
(1.71)
Обычно изменением коэффициента Пуассона можно пренебре-
гать (р,	р.*), тогда
3НМ1	(1.72)
или
е%-=(1	(1.73)
Предположим, что деформация e°z известна. Тогда, решив задачу
термоупругости для расчетного тела с постоянными значениями Е*,
р,* при заданных внешних нагрузках, температурном поле и допол-
нительных деформациях е’;., найдем напряжения а., и деформации е?.?
удовлетворяющие уравнениям равновесия, уравнениям деформации,
граничным условиям и физическим уравнениям:
ео = тМ1 +	° а - 3Н*М + V + е°г	- (1-74)
130
Если дополнительная деформация е,. удовлетворяет уравнениям
(1.70) или (1.71), то из выражения (1.74) следует, что 8?. = е.;., т. е.
полученное решение совпадает с решением задачи термоупругости
при переменных упругих характеристиках.
Дополнительную деформацию находят методом последователь-
ных приближений, причем для обеспечения быстрой сходимости
целесообразно выбирать Е* так, чтобы Е (Г) Е*, и определять е°.
через 8(/ по формулам, вытекающим из формул (1.71) или (1.73),
например,
/ F \
е’<п> = 0 — ~ЁГ) НГ0
5..8Г].
(1.75)
Так как напряжения и деформация от внешних нагрузок и тем-
пературного расширения во всех приближениях остаются неизмен-
ными, их расчет проводится один раз. Обозначив их через <Уц,
получим
огИ) = <у.. 4- ст('?);
ч ч ' ч
gl?) = g.. 4- gpj)
И ч' ч ’
(1.76)
(1.77)
где ст,-/, 8,/ — самоуравновешенные внутренние напряжения и соот-
ветствующие им деформации в расчетном упругом теле с постоянными
значениями £*, р* от поля дополнительных деформаций s°{j. В исход-
ном приближении 8<о> соответствует значению е°. = 0, т. е. eVP = е,,.
Аналогичным путем можно
найти решение для анизотроп-
ного тела, если принять
ei/ — (Cijki — Cijki) Oki +
+ (а{1-8ца)ЬТ, '	(Г.78)
где коэффициенты податливости
определяются по формулам
(1.34).
Решение задачи для случая
растяжения, когда o(Qn^ = <yg =
= const, ст<"> = 0, е<"> == е’<">, по-
казано на рис. 1.2, где 8д(1> —
дополнительная деформация в пер-
вом приближении, а 8о —ее окон-
чательное значение.
. 9*
Рис. 1.2. Последовательность расчета
при- переменном модуле упругости по
методу дополнительных деформаций
(растяжение при Op = const)
131'
2. Термопластичиость. Деформационная теория
Общие положения. Когда действующие напряжения превышают
некоторый уровень, зависящий от абсолютной температуры, то после
разгрузки деформация снимается не полностью. Восстанавливаю-
щуюся часть деформации называют упругой ее, а ту часть деформа-
ции, которая остается после разгрузки, — остаточной
8ост = 8—8е-	(2.1)
В общем случае остаточная деформация зависит от напряжения,
температуры и времени действия напряжения. При относительно
низких температурах (Т/Тпл <0,3, где Тпл — температура плав-
ления) зависимость остаточной деформации от времени очень слабая,
при более высоких температурах она усиливается.
Величину еост, теоретически соответствующую моменту вре-
мени t — 0, называют пластической деформацией ер, а изменение
остаточной деформации с течением’ времени — деформацией ползу-
чести 8е. Разделение остаточной деформации на пластическую часть
и на деформацию ползучести, вообще говоря, является условным,
так как в действительности для получения любой остаточной дефор-
мации напряжение какое-то время должно действовать. Поэтому
для определения 80СТ деталей, кратковременно нагружаемых при
высоких температурах, приходится использовать прямые экспери-
ментальные зависимости еост от меняющихся напряжений и темпе-
ратур. Однако для большинства деталей машин длительного действия
время нагружения и перехода с режима на режим обычно суще-
ственно меньше времени эксплуатации на рабочих режимах. Разви-
тие пластических деформаций в процессе быстрого (в пределе —
мгновенного) нагружения и нарастание деформаций ползучести
с течением времени-связаны с различными физическими процессами,
описываются особыми (хотя и имеющими общие моменты) зависимо-
стями и поэтому могут рассматриваться раздельно. Для каждого
материала существует область температур и напряжений, ниже кото-
рых ползучесть вообще не играет роли, так что 8ОСТ «=< ер независимо
от времени действия напряжений.
При растяжении образца в условиях постоянной температуры
получают кривые упругопластического деформирования. Темпера-
турное расширение исключается путем тарировки, и кривые строят
в координатах напряжение ст0 — силовая деформация е0 (рис. 2.1,' а),
откуда можно получить зависимости напряжение ст0 — пластическая
деформация 8g. Наибольшее напряжение при eg — 0 равно пре-
делу пропорциональности стпЦ. Испытания при различных постоян-
ных температурах позволяют получить серию кривых деформиро-
вания, на основе которых рассчитывают термопластические де-
формации.
При расчетах в условиях сложного напряженного состояния
используют дополнительные зависимости, также вытекающие из экс-
периментальных исследований свойств материалов при пластических
деформациях.
132
Рис. 2.1. Кривые упругопластического деформирования:
а — при растяжении; б — обобщенная кривая
В теории термопластичности, задачей которой является опреде-
ление напряжений и деформаций в неравномерно нагретом теле при
наличии в нем пластических деформаций, рассматриваются более
сложные и разнообразные явления, чем в теории термоупругости.
Охватить все термопластические свойства конструкционных материа-
лов, проявляющиеся в различных условиях работы, в рамках еди-
ной теории — задача пока неосуществимая. Поэтому для решения
технических задач различного типа целесообразно пользоваться
некоторыми частными вариантами теории термопластичности, позво-
ляющими решить задачу наиболее простыми средствами и вместе
с тем достаточно полно и правильно описать важнейшие стороны
данного явления.
Технические задачи, связанные с расчетом пластических напря-
жений и деформаций, можно подразделить на несколько характер-
ных типов в зависимости от условий нагружения и нагрева.
К первому типу относятся задачи одноразового нагружения де-
тали, происходящего при одновременном увеличении всех нагрузок
и постоянном температурном поле или при плавном увеличении
температуры тела во всех точках. Например, при исследовании-несу-
щей способности диска его прогревают на малых оборотах и после
того, как установится стационарное температурное поле, раскручи-
вают до заданных оборотов или до разрушения. Общей чертой таких
задач является «активное» и «однонаправленное» нагружение, т. е.
монотонный рост пластических деформаций во всей детали или не-
которых ее частях и постоянный характер действующих нагрузок
В процессе всего нагружения. В этом случае с успехом может приме-
няться самая простая теория — деформационная теория пластич-
ности, которая рассматривается в настоящем разделе.
Ко второму типу относятся более сложные задачи, когда в про-
цессе нагружения и работы детали различные нагрузки и темпера-
тура изменяются не одновременно и не только увеличиваются, но и
133
уменьшаются. Так, для ряда энергетических узлов характерно вна-
чале быстрое нагружение внутренним давлением, затем постепенный
прогрев; при нагрузке — быстрое снятие давления и постепенное
охлаждение. Этапы нагружения и разгрузки могут повторяться.
Общей чертой таких задач является возможное чередование актив-
ного нагружения с частичными разгрузками и изменения на разных
этапах нагружения преобладающего типа нагрузки. Однако, как
и в первом случае, преимущественно развиваются пластические де-
формации в одном направлении (вытяжка дисков турбин, увеличе-
ние диаметра трубок теплообменника и т. п.). Для расчета таких
процессов с достаточной для практики точностью можно применять
теорию пластического течения или деформационную теорию в при-
ращениях при условии изотропного упрочнения (разделы 3 и 4).
К третьему типу относятся задачи, в которых возникает необхо-
димость учета пластических деформаций противоположного направ-
ления (растяжение-сжатие, знакопеременное кручение и пр.). Теории
изотропного упрочнения позволяют решать и эти задачи, однако при
развитых пластических деформациях упрочнение приобретает ани-
зотропный характер. Теория пластического течения при анизотроп-
ном упрочнении изложена в разделе 1 гл. 5.
Четвертый тип задач — многократные нагружения и нагревы
с накоплением относительно небольших пластических деформаций
в каждом цикле — решается методами теории циклического термо-
пластического деформирования, обсуждаемой в разделе 2 гл. 5.
Деформационная теория термопластичности. Для активного на-
гружения при постоянном температурном поле кривые деформиро-
вания (рис. 2.1) дают однозначную зависимость достигнутой дефор-
мации от температуры и конечного значения напряжения е0 =
= / (ст0, Т), что позволяет вести расчеты при одноосном напряжен-
ном состоянии по конечным соотношениям ст0 и е0.
По аналогии с законом Гука можно записать
8о = -^>	<2.2)
где Ес— так называемый секущий модуль. В отличие от модуля
упругости Е, зависящего для данного материала только от темпера-
туры, секущий модуль Ес зависит как от температуры, так и от
достигнутой деформации Ес = Ес (е0, Т). Эта зависимость может
быть также представлена в форме £с (ст0, Т) или £с (ео, Т), где
пластическая деформация
=	(2-3)
С учетом выражения (2.2)
(2-4)
В упругом состоянии Ес = Е, при развитой пластической де-
формации Ес < Е.
134
В условиях сложного напряженного состояния расчеты ведут
пои следующих предположениях, основанных на эксперименталь-
ных данных [8, 11, 14, 18]:
1.	Полная деформация может быть представлена в виде суммы
упругой и пластической частей и температурного расширения
+	(2.5)
Температурное расширение является обратимым, так же как
упругая часть деформации.
2.	Изменение объема носит практически упругий характер
во всем диапазоне изменения напряжений, вплоть до разрушения,
т. с. между средним напряжением ст и средней деформацией е сохра-
няется зависимость (1.18):
р
ст = к (е - ег) = -ПТ27 (8 - 8Г).	(2.6)
Поэтому средняя пластическая деформация
8Р = О
и компоненты пластической деформации совпадают с компонентами
девиатора
=	(2.7)
Пластическая деформация, вызываемая внешними нагрузками,
может существенно превышать упругую, что позволяет в расчетах
при ДТ = О и сильно развитых пластических деформациях считать
материал несжимаемым (ц = 0,5). В задачах -по термопластичности,
где источником напряжений служит температурное расширение,
учет сжимаемости материала имеет большее значение. Однако для
некоторых деталей и при термопластических деформациях р, влияет
слабо (диски) или совсем не влияет (стержни) на величину напря-
жений.
3.	Девиаторные компоненты деформации е(/- = е0- — 6ое пропор-
циональны девиаторным компонентам напряжения
б</== 2g’s</>	(2-8)
или в развернутом виде (уравнения Генки)
ex —е = ^(ст, —ст), уху = ~^т:Ху и т. д.,
где ф — скалярная величина (параметр пластичности); G — модуль
сдвига.
Согласно формуле (1.63) интенсивность деформаций
8'==	=	(2-9)
следовательно [11],
еЧ =	__ (2-Ю)
где ст, — интенсивность напряжений, ст, — у ^-Зц-Зц.
ЮК
Компоненты пластической деформаций
efz = еч — е	sijt	(2.11)
а интенсивность пластической деформации
«?=]/4'?,«?,=¥»»	<2-12>
так что
е'='?+-ё='?+11тш-г-	(2J3>
Для растяжения
а. = Сто; 8? = е?; так чт°
+	' (2.14)
или с учетом выражения (2.3) [6]
е. = 80—(2.15)
4.	При данной температуре Т интенсивность напряжений ож-
ивляется функцией интенсивности деформаций ег, причем эта зави-
симость одинакова для всех напряженных состояний. Зависимость
ai — f (ei) называют обобщенной кривой деформирования. Соотно-
шения (2.14)—(2.15) позволяют построить для различных темпера-
тур Т обобщенные кривые деформирования ст(- = f Т) по обыч-
ным кривым изотермического растяжения о0 = f (е0, Т) (рис. 2.1, б).
Согласно формуле (2.9) секущий модуль обобщенной кривой
Е . =А =	=_____________1_	(2.16)
с‘ 8(.	1|>	2(1 +ц)	'
поэтому
/1	1 \ Г 1	2(1 4- и.) 1
е<- — ( Ezi 3G ) а‘ - [ Ес{ ЗЕ J СТ‘ -
(2-17)
Так как при растяжении <rf = о0 и ef = eft, то секущие модули
а.	а	'
£С(-= — и Ес ~ — связаны вытекающим из выражения (2.15)
8(.	80
соотношением
1 _ 1 _ 1 —2ц
Ес( Ес ЗЕ ’
откуда
1 _ 2(1 +ц)	_1____1_
Eci 3£ Ес Е '
(2-18)
136
Выражение (2.18) позволяет представить формулу (2.17), в виде,
совпадающем с уравнением (2.4):
I 1	1
(2.19)
и связать параметр пластичности ф с Ez
3G __j ।	3	7 Е
1	2(1^ И) (. Ес
(2.20)
Таким образом, и при сложных напряженных состояниях дефор-
мации могут быть выражены через секущий модуль диаграммы растя-
жения Ес. Это позволяет в практических расчетах не строить обоб-
щенную зависимость a, = f (е(., Т), а пользоваться непосредственно
экспериментальными кривыми растяжения. Из выражений (2.8)—
(2.11) получаем
(2.21)
3s/y /	1 — 2ц ' Eq \ 4
еЧ =	1	3 Т )’
(2.22)
и
о — q‘ ( 1 ’	1 ~ 2И-. gc \
®£ — Eq V 3 Е Г
Приближенно можно считать
£ — £
е. ~ Сс
и
(2.23)
(2.24)
(2.25)
•Физические уравнения деформационной теории термопластично-
сти согласно выражениям (2.6) и (2.8) записываются в виде
ег/ = Jq (ffi/ — 5,/ff) + б17-	-j- ег^	(2.26)
или
= 4" К1 + И) Ф^г/ —1(1 + Р) Ф — (1 — 2|х)]60<у} + 61-/£г.
(2.27)
Выразив ф через £с, получим
К1 + Нс) ° и — ЗрД/О] + 61/е7’,
(2.28)
137
где
1г	Fl
fxc = 2	•	(2-29)
Легко показать, что ре — коэффициент поперечного сжатия при
одноосном упругопластическом растяжении. При ф — 1 или Ес — Е
выражения (2.26)—(2.28) совпадают с обычным уравнением термо-
упругости (1.21).
Существует несколько общих методов решения задач деформа-
ционной теории пластичности [3,11]. Рассмотрим лишь те методы;
которые наиболее удобны для решения задач в случае неравномер-
ного температурного поля.
Метод переменных параметров упругости. В основе метода лежит
представление уравнений термо пластичности как уравнений термо-
упругости, в которых параметры упругости зависят не только от тем-
пературы, но и от напряженно-деформированного состояния мате-
риала в данной точке тела.
Записав уравнения (2.28) в форме уравнений термоупр.угости (1.21)
е</ =	[(1 + И*) °7/ - Зр*6/;а] +	(2.30)
где индекс (*) указывает на принадлежность параметровж упругому
телу, увидим, что эти уравнения совпадут, если принять '
Е* = ЕС;	(2.31)
1 г	F “I
’ <2-32)
Переменные параметры упругости можно выразить через параметр
пластичности ф
р*_________________
“ 2 (1 4-ЮФ+ 1 -2|х ’	-
(1 +ЮФ- 1 + 2ц	. (2,33)
Г ~ 2(1+И)ф+1-2И '
Так как параметр ф или секущий модуль Ес неизвестны, расчет
ведем методом последовательных приближений. В исходном прибли-
жении принимаем Е* (0) = Е, где модуль упругости Е в каждой .
точке соответствует ее температуре. Решая упругую задачу с пере- ?
менным модулем упругости Е (Т), находят интенсивность напряже- J
ний а*<1) в каждой расчетной точке. В плоскости о0 — е0 (рис. 2.2, а)
состояние первого приближения изображается точкой 1, лежащей '
на пересечении линии ст*(1) = ст*(1> и луча, тангенс угла наклона
которого равен Е*<°> = Е. Этому состоянию соответствует деформа- (
138	-
Рис. 2.2. Последовательность расчета по методу переменных пара-
метров упругости:
а — общий случай; 5 — растяжение при о0 = const
цня e(i) = <y*(V/E. Найдя по кривым растяжения при тех же зна-
чениях деформации и температуры новые значения напряжения
сг(1) = [ (ер, Т), определяем новый модуль
„(1)	о!1’
£™=£!1>=Jn. = £_ir	(2.34)
t-o	ио
и по формуле (2.29) новое значение р,* (1). Решив ту же упругую
задачу, но с переменными параметрами упругости	р,* (1>,
находим новое состояние 2, причем
р* (2) _ щ(2) _	_ но go2)	(2.35)
£	~ в'2> с о?2’ •
И т. д.
При использовании обобщенной диаграммы деформирования по
az*tl) находим
ер =-2(3^И) <(1),	(2.36)
• определяем огр = f (ер, Т) и
or	g(l)
- 2(TTrt • #> 	<2'37>
 а затем по формулам (2.33) — новые значения	и т. д.
Расчеты несколько упрощаются, если считать р,* = const И,
в частности, р* = и = 0,5. При заданных нагрузках и температу-
рах расчет продолжается до тех пор, пока во всех расчетных точках
разность между напряжениями а* и сг(.п) не станет меньше задан-
ной малой величины.
Порядок расчета стержня на растяжение при о*0 = const виден
на рис. 2.2, б. Если требуется проследить процесс увеличения дефор-
маций и перераспределения напряжений по мере изменения нагру-
зок и температур, то- проводят серию подобных расчетов. При этом
в качестве исходных значений параметров упругости для нового
этапа можно брать их окончательные значения для предыдущего-
этапа нагружения.
Метод дополнительных деформаций. Для некоторых задач ока-
зывается удобным другой метод решения, согласно которому задача
деформационной теории термопластичности приводится к задаче
термоупругости с дополнительными деформациями [3, 6, 31].
Как и в предыдущем разделе, под дополнительными деформа-
циями понимаем разность
87 = 8.7~</	(2.38)
между действительными упругопластическими деформациями sit- и
деформациями е*. упругого расчетного тела при одинаковых (дей-
ствительных) напряжениях сг17-.
При параметрах упругости, совпадающих с упругими харак-
теристиками действительного тела, дополнительные деформации
s°. совпадают с пластическими е^. и определяются формулами (2.11)
или (2.22):
е»7 = -Чг^- Шу - М.	(2-39)
илн
^ = 4(Х--^ЧСТ6--М)-	(2.40)
Исключив с помощью соотношений (2.26) — (2.28) из выражений
(2.39) и (2.40) напряжения, получим
=	(87-678)	(2.41)
и
1 _
87- = j _2ц	(2.42)
1 з Г
или с вполне достаточной точностью
87 = (l-^)(87-6,7e).	(2.43)
140
Рис. 2.3. Последовательность расчета по методу дополнительных Дефор-
маций:
а — общий случай; б — растяжение при а0 = const
Решение задачи термоупругости при заданных внешних нагруз-
ках, температурном поле и дополнительных деформациях е°;., опре-
деляемых по одной из формул (2.39) — (2.43), совпадает с реше-
нием задачи деформационной теории термопластичности.
Дополнительную деформацию определяем методом последователь-
ных приближений. В исходном приближении принимаем e’J°) = О,
т. е. решаем обычную упругую задачу, откуда находим напряже-
ния а’р, деформации е(9 и величину ст*!1) в каждой расчетной точке.
В плоскости ст0 и е<) (рис. 2.3, а) состоянию первого приближения
соответствует точка 1 и деформация е!1) =	Определив по
кривым растяжения новые значения напряжения ст^1’ = f [е^>, Т]
и новый секущий модуль Д!1) = ст^/в^1), находим по формуле
(2.43) и деформациям е<9 дополнительные деформации первого
приближения:
/	51!1) \
—г-	(2-44)
Решая упругую задачу с дополнительными деформациями е?!.1),
находим новое состояние ст’!2>, е!.2.), которому в плоскости ст0 и е0
соответствует точка 2, лежащая на пересечении горизонтальной
линии ctJ!2) = ст*.!2) и наклонной линии 2я—2, параллельной линии
упругого нагружения Iя—1, но сдвинутой на величину дополни-
тельной деформации е°<0 = (-gny — стр. Далее определяем
значения е<2) =	---(- е°(1), о<,2) — f [е£2), Т], Е(сг>=^~, дополни-
тельные деформации второго приближения 8° <2> и т. д.
При использовании обобщенной диаграммы деформирования
по ст*.(1) и формулам (2.36)—(2.37) находим 8р и фб) и затем по фор-
муле (2.41)—дополнительные деформации первого приближения
=0 -	S^(l’)-	(2-45)
Значения е<?> определяем по формуле
8<2) = 2О+Ц)_ (2, е(! >	(2.46)
или непосредственно по деформациям е^’ как 8?’ = jZ~	,
а дальнейший расчет ведем в том же порядке.
Дополнительные деформации п-го приближения 8°<.п> можно оп-
ределить через известные из предыдущего приближения напряже-
ния (гИ
ч
=-Чг~ (^п) - О «Г	(2-47)'
где берутся из решения упругой задачи предыдущего прибли-
жения с дополнительными деформациями В этом случае тре-
буется меньшее число приближений, но при . больших пластиче-
ских деформациях сходимость решения ухудшается.
Порядок расчета стержня на растяжение при о0 = const виден
на рис. 2.3, б.
Для задач, допускающих точное упругое решение с дополнитель-
ными деформациями при Е* = const, р* = const, можно принимать
параметры расчетного упругого тела постоянными, определяя допол-
нительную деформацию как
е’. — h _ g t1 + м-*) ~l /„_§ ,е\ _i_ § . П _ £ (1 — 2н*) 1 / _ т\
ф£* (1 + Ц) J	+	£*(1— 2ц) J 8
(2.48)
или при |Л |Л* И £c
г'ч ~ (1 - ЙО <г</ - ад+8<< (1 - £) <г - гГ>- <2-49)
Расчет упругих напряжений и деформаций от внешних нагрузок
и температурного расширения, выполняемый в первом приближе-
нии ст£/- = ст*/1’, si;- = 8*}1’, можно в дальнейшем не повторять,
решая в последующих приближениях только задачу о внутренних
напряжениях ст(/- и соответствующих им деформациях et-z- от поля
t ло
дополнительных деформаций г... Общее решение получается как
сумма решений этих задач по формулам (1.76)—(1.77).
Метод дополнительных объемных деформаций. При развитых
пластических зонах расчет по методу упругих решений приводит
к значительному числу последовательных приближений. Относи-
тельно простые решения некоторых задач можно получить, если счи-
тать материал несжимаемым [11, 27]. Однако в задачах термопла-
стичности, особенно если рассматриваются только напряжения, свя-
занные с неравномерным нагревом, в теле остаются участки, где
деформации имеют умеренную величину, поэтому желательно учесть
сжимаемость.
Если решение задачи термопластичности для несжимаемого мате-
риала известно, сжимаемость может быть учтена методом дополни-
тельных объемных деформаций путем последовательных приближе-
ний 131 ]. Определим приведенное температурное расширение, как
^р==ег + ^а.	• (2.50)
В исходном приближении считаем материал несжимаемым. Тогда
епр!) ~ &Т и объемная деформация определяется только термическим
расширением. Решив задачу термопластичности для несжимаемого
материала, найдем в каждой точке и среднее напряжение
,после чего по формуле (2.50) вычислим новое значение
8?Ф(2, = 8Г4-Ц^(Т(1>.	(2.51)
Далее вновь проведем расчет для несжимаемого материала, но
с приведенным температурным расширением (которое соответствует
некоторому приведенному температурному полю) и т. д. Метод рас-
чета обычно хорошо сходится.
3. Теория течения при изотропном упрочнении
Теория течения наряду с деформационной принадлежит к основным
теориям пластичности, получившим наибольшее практическое при-
менение. Ее принципиальной особенностью является установление
связи не между напряжениями и полными деформациями в данный
момент нагружения, как в деформационной теории, а между прира-
щениями пластических деформаций и напряжений. Дифференциаль-
ная форма теории пластического течения позволяет более полно
отразить историю нагружения, что особенно важно в задачах термо-
пластичности.
Общие положения. Условия нагружения и разгрузки. Рассмотрим
сначала закономерности деформации материала, обнаруживаемые
143
Рис. 3.1. Кривые деформирования при растяжении с постоянной тем-
пературой (а) и с постоянным напряжением (б)
в опытах при простом растяжении. Приращение полной деформа-
ции d80S можно представить в виде суммы
cteoj = cfeo + d&o de7,	(3.1)
где
\ Ct / Ct С U1
—	приращение упругой части деформации;
der = ^P-dT
—	приращение температурного расширения; deft — приращение пла-
стической части деформации, которая в процессе растяжения является
неубывающей величиной:
(3.2)
Для изучения процесса развития пластической деформации при
растяжении могут быть поставлены две серии опытов.
При постоянной температуре Т и возрастающем напряжении ст0
получают обычные кривые деформирования (рис. 3.1, а). В коорди-
натах напряжение ст0 — силовая деформация 80 =	-f- 8q эти кри-
вые описываются уравнениями f (ст0, 80, Т) = 0, а в координатах
напряжение ст0 — пластическая деформация eft — уравнениями
f (<То> 8о, Т) = 0, в которые температура Т входит в качестве пара'
метра. Приращение пластической деформации
dtf = ds0 — de.‘ = (—--do0,	(3.3)
где
р ____ 3^0
к ~ дг0
144
(3-4)
__ касательный модуль (тангенс угла наклона касательной к кривой
сформирования). Величина Ек зависит от температуры и напряже-
ния £к = f (ff0, Т) или пластической деформации Ек = f (е§, Т).
Если же провести растяжение образца при постоянном напря-
жении, по возрастающей температуре, то после исключения меняю-
щегося температурного расширения получатся кривые е0 = / (о0, Т),
показанные на рис. 3.1,6. Обозначим
(3.5)
Величина Р представляет собой коэффициент температурной по-
датливости и зависит от напряжения и температуры р = f (ст0, Т).
В упругой области при о0 — const
и
<3-6)
Начиная с некоторых значений ст0, Т, появляется пластическая
деформация, приращение которой при ст0 = const и нагреве на dT
равно
- dz<- = (р + >  dT.	(3.7)
Обобщая формулы (3.3) и (3.7) для случая одновременного уве-
личения напряжения и температуры, примем
dep = (J___L^ff() + (p+|o..^.^T.	(3.8)
Проинтегрировав уравнение (3.8) для различных законов изме-
нения напряжения и температуры, в том числе при Т = const и
<f0 = const, можно получить для одних и тех же конечных значений Т
и ст0 различные пластические деформации 8о. Однако эксперименты
показывают, что в широкой области температур и напряжений это
различие обычно оказывается не слишком большим, что позволяет
в большинстве практических расчетов считать 8о не зависящей
от последовательности увеличения напряжения и температуры при
активном нагружении. Тогда конечным значениям Т и ст0 будет
соответствовать вполне определенная величина 8», удовлетворяю-
щая уравнению поверхности неизотермического пластического де-
формирования (рис. 3.2)
F (ст0, 8?, Т) = 0.	(3.9)
Пересечения этой поверхности с плоскостями Т = const должны
совпадать с экспериментальными кривыми изотермического дефор-
мирования f (ст0, 8^, Т) = 0, что позволяет приближенно строить
поверхность деформирования только по этим кривым. Проведение
145
опытов по растяжению с повы-
шающейся температурой дает
возможность выбрать коорди-
наты поверхности деформиро-
вания, лучше аппроксимиру-
ющие экспериментальные дан-
ные *.
Назовем ординаты поверх-
ности деформирования мгно-
венными пределами текучести
оТ(ео, Т). Тогда уравнение (3.9)
можно представить в виде
=	(3.10)
Рис. 3.2. Поверхность неизотермического Значения от (Т) при е? = 0
пластического деформирования	совпадают с пределами пропор-
циональности о11Ц (Т). В коор-
динатах oQ, 80, Т уравнение поверхности деформирования имеет вид
СТ0 = от (80, Т).
(З.Н)
В 'общем случае изображающая точка может находиться на по-
верхности деформирования (точка А, рис. 3.2) или внутри нее (точка
В), т. е.
г)^стт(С Т).
(3.12)
При о0 <от материал деформируется упруго. При о0 = от по-
ведение материала зависит от знака и величины приращения напря- 
жения do0. Если изображающая точка перемещается по поверх- :
ности деформирования, то rfo0 = doT, где doT — полный диффе-
ренциал,
(3-13) :
Частная
производная —- вычисляется как обычная произвол- ;
dsg
плоской кривой Т — const, а — вдоль линии
лежащей на поверхности деформирования. Согласно
ная вдоль
eg = const,
формуле (3.3)
дот___	1
де$ J------L ’
£к	Е
(3-14)
причем при растяжений конструкционных материалов всегда—^*>0.
deg
* Более общая теория неизотермического пластического течения, без допуще-
ния о существовании поверхности деформирования, изложена в разделе 4.
146
Производная	характеризует изменение мгновен-
ного предела текучести с увеличением температуры при постоянной
пластической деформации (линии АС на рис. 3.3, а, б). Для кон-
струкционных материалов при повышении температуры предел те-
да, г\
кучести уменьшается, т. е. всегда ^<0.
При daQ <5 daT изображающая точка отходит от поверхности де-
формирования, чему соответствует упругая разгрузка.
Таким образом, развитие пластической деформации (de% > 0)
означает следующее:
1) точка, изображающая состояние материала, находится в дан-
ный момент на поверхности пластического деформирования
ц0 = стт;	(3.15)
2) при изменении напряжения и температуры изображающая
точка остается на этой поверхности
da0 = duT.	(3.16)
После упругой разгрузки дальнейшее увеличение пластической
деформации становится возможным только при выполнении условий
(3.15) — (3.16). При def >0 и > 0 произведение
§-<Н>0.	(3.17)
 Тогда из формул (3.13) и (3.16) следует, что
dffo-^?d7’>0,	(3.18)
так что условием увеличения пластической деформации deg >• 0
(активного нагружения) является одновременное выполнение двух
требований [9]:
o0 = aT(eg, Т);	(3.19)
do0>^(ef, T)dT.	(3.20)
Если точка находится на поверхности деформирования, то при
одновременном изменении напряжения do0 и температуры dT воз-
можны следующие варианты изменения деформации:
при dff0 >,0 и dT > 0 всегда dCT0>|^r dT (нагрузка, deg > 0,
рис. 3.3, а);
при do0<0 и dT < 0 всегда daQ<i~dT (разгрузка, deg = 0,
рис. 3.3, б);
147
Рис. 3.3. Изменение деформации при различных условиях нагру-
жения и нагрева
приМо0 <0 и dT >>0 (рис. 3.3, в):
da0 >^~dT (нагрузка, deg >0, линия АВ');
do<)<.ffirdT (разгрузка, deg = 0, линия АВ");
при daQ > 0 и dT <0 (рис. 3.3, а):
da0>|^ dT (нагрузка, deg > 0, линия АВ'); "
da0<.^dT (разгрузка, deg = 0, линия АВ");
при da0 = ^rdT всегда deg = 0 (нейтральное нагружение,
линии АС на рис. 3.3, в, г).
Подставив в формулу (ЗПЗ) выражение (3.14) при da0 = dar,
получим соотношение
Равенство (3.21), определяющее приращение пластической де-
формации, используется при построении уравнений для общего
148
случая деформирования. Сравнивая выражения (3.21) и (3.8), ви-
дим, что они совпадают, если при ст0 = стт
( 1	1 \	_5г_ ^Е	/О ПС)\
₽ = ~~ \£к	Е ) дТ	£2 dT •
Формулу (3.22) можно использовать для приближенной оценки
коэффициента температурной податливости по кривой деформиро-
вания при различных постоянных температурах.
Основные уравнения теории пластического течения. Теория
пластического неизотермического течения базируется на следующих
основных положениях:
1.	Приращение полной деформации представляется в виде суммы
d&ij — de.tj -{- de.ij -{- 6iZde ,	(3.23)
где 61Z — символ Кронекера.
Приращение упругой деформации и температурного расширения
можно найти из соотношений упругости, учитывая изменение напря-
жений, температуры и параметров упругости (см. раздел 1);
+ 6zZder = 4- [(1 + р) dazZ - 3p6iZda] + { 8^ -
- p- HF К1 + H) a./ ~ 3p6zZa] + (azz - 3p6iZa)} dT.	(3.24)
2.	Приращения пластической деформации пропорциональны со-
ставляющим девиатора напряжений
defz = szZdX.	(3.25)
Скалярная величина dX одинакова для всех направлений. Под-
ставляя соотношение (3.25) в формулу интенсивности приращений
пластической деформации
def. = У -у defzdefz = X
X У(dep — defy -J- (depy — def) -[- (def — def)2 -J-
+ 4 [(^) + Wyfy2 + (dyfv)2],	(3.26)
получим
def. = ~ Oidk.	(3.27)
В общем случае def, ие равна приращению интенсивности пла-
стической деформации
de? = d ( У A efzefz)	def,.	(3.28)
149
Равенство возможно только при простом нагружении, когда
соотношение между приращениями деформаций в разных направле-
ниях остается неизменным для всего процесса деформации. При про-
стом нагружении теория пластического течения совпадает с деформа-
ционной теорией.
Величины А и dept связаны с приращением работы пластичес-
кого формоизменения
dAp* = s^dtfi.	(3.29)
Умножая обе части уравнения (3.25) на slZ- и учитывая равенство
S£/SZ/- = ~з“ °т> получим
о
(3.30)
Из этого соотношения и равенства (3.27) вытекает, что
=	(3.31)
Работа пластического формоизменения за всю историю нагру-
жения получается интегрированием выражения (3.31):
= J	(3.32)
о
где
t
i* I dsP
< = I <= I -^dt.	(3.33)
о
Интегрирование ведется по времени t или по другому параметру,
определяющему развитие процесса нагружения. Величина е£
называется накопленной пластической деформацией (параметром
Одквиста).
3.	Накопленная пластическая деформация е£ при активном
нагружении и постоянной температуре для любых напряженных
состояний определяется одной и той же функцией интенсивности
деформаций ст£ и температуры Т
=	(3.34)
При растяжении ст£ = ст0, ef„ = 8о и зависимость (3.34) при
постоянной температуре Т совпадает с уравнением обычных кривых
растяжения /(о0, е£, Т) — 0, что позволяет использовать эти кривые
для построения обобщенной функции (3.34), заменив ст0 на и е?
150
на ef». В силу равенств(3.27) и (3.34) скалярная величина А при
Т = const* зависит только от интенсивности напряжений щ-.
4.	При меняющейся температуре скалярная величина А зави-
сит от сг£ и Т и может быть представлена в виде
А — Fa (<V Т) + Fr(az, T)dT.	'(3.35)
Из соотношений (3.25) и (3.35) вытекает основное уравнение тео-
рии неизотермического пластического течения [7, 9]
dtf,- = [Л, (ao Т) dot + FT (<тг> T) dT] S[j.	(3-36)
Применив его к случаю простого растяжения, когда сг£ = <т0,
2
Sn — -3- сг0,	= А₽, получим
^ = |[Гв(а0,Т)(1а0 + Гт(а0,Т)(1Т]а0.	(3.37)
Сопоставив выражения (3.37) и (3.8), найдем, что
(3.39)
Обобщив эти соотношения для случая сложных напряженных
состояний, получим .
(зло)
РН<О,Л=й7(Р+>'зг).	(3.41)
где касательный модуль Ек (az, Т) определяется по обычным кривым
растяжения при <т0 = сг£. и Т = const, а коэффициент температур-
ной податливости |3 (р{,Т) — по'кривым растяжения при <т0 = о\- =
= const и повышающейся температур .
По соотношениям. (3.36) и (3.40) — (3.41) не предполагается су-
ществование поверхности неизотермического пластического дефор-
мирования, что позволяет использовать их для построения более
общей теории (см. раздел 4). Но, как указывалось выше, в большин-
стве инженерных задач можно считать, что при активном нагружении
пластическая деформация не зависит от последовательности увели-
чения напряжения и температуры. Применительно к сложному
* При Т = const между и г?* существует однозначная зависимость, и ис-
пользование их в качестве меры накопленной пластической деформации приводит
к одинаковым результатам. При меняющейся температуре оценка упрочнения полу-
чается несколько различной. Экспериментальных данных в пользу одной из этих
величин недостаточно, поэтому ниже в качестве определяющей принята более про.
стая оценка по е?*.
151
напряженному состоянию это означает, что существует единая обоб-
щенная поверхность неизотермического пластического деформиро-
вания
F (<jlt Т) = 0	(3.42)
или
<jz = <jT(e?., Т),	(3.43)
сечения которой при Т = const совпадают с обобщенными кривыми
деформирования / (07, ef,, Т) — 0.
При растяжении поверхность о; = сгт (е?., Т) совпадает с поверх-
ностью <т0 = <тт (ej, Т), а уравнение (3.37) должно совпасть с урав-
нением (3.21), откуда находим, что функция Fa, (сг0, Т) определяется
прежним выражением (3.38), а функция FT (сг0, Д) — формулой
= <3-44)
Для общего случая деформирования
(3.45)
Fr (<т„ О = - Фг (-ф - ф)	(«,. 0	.	(3.46)
Таким образом, основное уравнение теории течения (3.36) при-
нимает вид
<3-47)
Так как из формул (3.25) и (3.27) следует, что
=		(3-48)
то
*Мф-Ф)('г'’-~^г‘гг)-	(3-49>
Из последнего выражения видно, что условия активного нагру-
жения (def* > О) следующие:
or(. = <гт
и
do^^-dT.
(3.50)
Условия разгрузки или чисто упругого деформирования:
или
(3.51)
af = сгт, но d^i < dT.
152
Условия нейтрального нагружения, при котором пластическая
деформация также остается постоянной:
ст, = от и dOi = dT.	(3.52)
Отметим, что понятие об обобщенной поверхности деформирова-
ния вводится для построения теории, а в практических расчетах
непосредственно используются обычные кривые растяжения, по
которым находят касательный модуль Ек и производную
приняв eft = ef„, как показано на рис. 3.1 и 3.3.
Перейдем к изложению общих методов решения задач теории
неизотермического пластического течения.
Метод переменных параметров упругости. При решении задач
этим методом соотношения, связывающие приращения деформаций и
напряжений, записываем в виде уравнений для анизотропного
упругого тела, параметры упругости которого зависят от напряжен-
ного состояния. Для составления Таких уравнений учтем, что
^^(/фТффф-Д^ф. <»«-^> й,„	(3.53)
так как = 0.
В развернутом виде
<to =	[(07 — о) dax ф- (ау — a) day + (07 — о) do2 ф-
+ 2 (тАу dxxy ф- xyz dxyz 4- хы dx^)].
Приращение пластических деформаций по уравнению (3.36)
можно записать теперь так:
d^j = -^-Fa to, Т) Skl dakl + FT (ст,, T) Sij dT.	(3.54)
Подставив это значение в уравнение (3.23), запишем его в форме
deu = С цы. daki ф- dT,	(3.55)
где тензор коэффициентов податливости
Cijki = Cftjki ф- CPijki	(3.56)
состоит из тензора коэффициентов упругости (1.34):
C‘iki = 4- и1 + И) М// - nW
и тензора коэффициентов пластичности.
CliM = -±--Ра^,Т)8и8к1.	(3.57)
153
Тензор температурного расширения и температурной податливости
Ф</ = Фо- 4- ф;?/
также состоит из упругой части (1-42)
Ф*/ = б‘7 Т К1 + И) <Д- 3g60a] +4-	~ 3М (3-58)
и пластической части
^ = Рт(^,Т)зи.	(3.59)
Для технических расчетов основное уравнение (3.55) удобно
представить в матричной форме (1.43):
[de,] = [С/Л] [dcrft] + [фу] dT,	(3.60)
где векторы приращений деформаций и напряжений
[de,] =	dez dyXy	;	(3.61)
	~ dax~ d<jy doz	(3.62)
[dcrj =	dxXy dXyZ _dxzX __	
Симметричная шестимерная матрица
[с/Л] = [с^] + [с&],	(3.63)
где матрица коэффициентов упругости [С**] определена ранее фор-
мулой (1.38), а матрица коэффициентов пластичности
И = ^гГа(а--;Г)><
(ax—a)2	(ax — a) (ay — a)	(Стх — ст) (az - a) ~
(Oy — a) (a, — a)	~ ст)2	(ay — a) (az — a)
(a2 —a) (ax—a)	(ctz — ст) (ay — a)	(az — a)2
2?Xy(ax — a)	2tXy (ay a)	2^Xy (az — a)
2^z(ox — a)	2iyz (CTj/ a)	(ctz — ст)
2‘czX(^x ст)	2^zx (9y	2'CXX (ctz — ст)
154
2 (ах — оЛх'/
2 {су — с) хху
2 (а2 - a) txj,
4 т2
ху
4 xyz хху
4хгх хху
2 {сх — а) т„2
2 {су — с)хуг
2 {сг — а) xyz
4хху хуг
^уг
^XZXXyz
2 (<jx ff) xzx
2(av — a) %zX
2 (g2 — g) Xzx
^xyxzx
^xyzxzx
(3.64)
Вектор
[ф/1 = [ф/] + [ф/] •
Упругая часть этого вектора [<р*]
(1.44), а его пластическая часть
	СГд. —сг
	U- N
[фе]=Гг(^ Л	^xy 2xyz _ 2^ _
определена ранее формулой
(3.65)
Уравнения (3.60) представляют собой уравнения для анизотроп-
ного тела с переменными параметрами упругости (матрица [С^]).
Они содержат дополнительные температурные деформации (вектор
[<p] dT), включающие обычное температурное расширение и дефор-
мации, возникающие из-за влияния температуры на механические
свойства материала.
При расчетах по теории пластического течения программа на-
гружения разбивается на ряд малых этапов, которые рассчитывают
последовательно. На n-м этапе при заданных приращениях внешних
нагрузок и температурного поля приращения напряжений
деформаций Ae(j") и перемещений должны удовлетворять системе
уравнений, включающей как уравнения равновесия, деформации и
граничные условия, но записанные в приращениях, так и уравне-
ния пластического течения. При этом, чтобы перейти к расчету ко-
нечных' этапов нагружения, дифференциальные соотношения тео-
рии течения должны быть проинтегрированы в пределах n-го этапа.
Интегрируя уравнение (3.60) и используя теорему о среднем, полу-
чим
+
+ (М)(П),	(3.66)
где матрица дополнительной деформации
(М )(п) = ([<р/])(п!АТ (п).	(3.67)
155
Угловые скобки означают некоторое среднее за этап значение
матрицы [Су&] и вектора [<ру- ], зависящее от условий деформации на
этом этапе (упругой или пластической).
При малых этапах нагружения можно определить средние пара-
метры упругости и проверять первое условие текучести = сгт
для n-го этапа по известным значениям интенсивности напряжения
накопленной пластической деформации ер^'г~1} и'температуре
T’ffi-i) конца предыдущего (п,— 1)-го этапа. Для точек, где с заданной
в расчете точностью удовлетворяется условие
crj-"-° =crт[ef/"-1,,	°],	(3.68)
предполагается пластическое течение, а для остальных — упругая
деформация. При этих условиях определяем [С/А](,г_1)и [<р/]('г~1), при-
чем значения Ек и находим по кривым деформирования в точке
ep(n-i) и	Положив
(ЫЯМФ/Р-1’,	(3.69)
решим задачу об изменении напряжений Дет;/’ и деформаций Де;я)
в упругом анизотропном теле с дополнительными деформациями.
Найдя значения До/”’, проверяем в пластических точках выполне-
ние второго условия текучести
Да|я>>(^У"'1) ДТ(«).	(3.70)
Если для части точек оно не выполняется, что означает упругую
разгрузку, то для них надо принять Fa = FT = 0, пересчитать
[С/*]'"-1’ и и произвести перерасчет этапа. Затем определяем
начения напряжений и деформаций конца n-го этапа
<#) = <#“1)+Д<#);	(3-71)
и интенсивность напряжений сг;я), а для пластических точек — при-
ращение накопленной пластической деформации
(3.72)
и значения efj”’ = e,pi*n~v> AefJ”-'1’. Если в пластических точках
с заданной точностью удовлетворяется условие
п|я) = ат [е?,(я), т(я)],	(3.73)
а в упругих точках — условие
а?,^ат[<(п,,7’(п)],	(3.74)
то переходим к следующему этапу расчета. В противном случае этап
нагружения следует уменьшить.
156
Чтобы использовать более крупные этапы, средние параметры
упругости должны быть уточнены. Расчеты показывают, что условия
(3.73) и (3.74) лучше выполняются, если касательный модуль Ек
определять по температуре конца этапа Р"’. В качестве средних
значений можно принимать
аМ(п)«4(1С/А11л_1) + (С^(Л))	<3-75)
и аналогично для ([фу])(,1), определяя [C7Jln> и [<р7](п> по значениям
ep(«)j 7('г> и уточняя их последовательными приближениями. Дру-
гой способ расчета при укрупненных этапах изложен ниже.
Метод дополнительных деформаций. Если методом переменных
параметров упругости задача решалась для упругого анизотропного
тела, то методом дополнительных деформаций достаточно решать
задачу с параметрами упругости для изотропного тела, однако само
решение нужно вести путем последовательных приближений.
Представим уравнение (3.23) в форме
± [(1 + р) daif - Зц§;/ da] + dT + de’7,	(3.76)
где <Pi/ определяем из выражения (3.58), de,ij — deft, — дополни-
тельная деформация. Предположим, что величина dst и связан-
ные с ней соотношением (3.48) компоненты
(з.77)
известны. Решив упругую задачу с дополнительными деформациями,
найдем da*/ и da*,. На диаграмме растяжения соответствующее
этой упругой задаче приращение полной деформации
’ deo^-^^dT + dei.	(3.78)
Но при упругопластической деформации с учетом формулы
(3.49)
rip _dai at dE .
ae0 —-g-- ^di +
E ) (da‘ dTdT)’
(3.79)
Где da{ ~ daT. Так как деформации в упругом теле с дополнитель-
ными деформациями и в упругопластическом теле одинаковые,
приравняв выражения (3.78) и (3.79), получим
d<Jl;=^dai + (l -^^dT+EKdelf •	(3.80)
157
Рис. 3.4. Расчет ио ме-
тоду дополнительных де-
формаций при малых (а) и
укрупненных (б) этапах на-
гружения'

а подставив в формулу
(3.49), найдем
*?.=О-т) [4-х
х (da*-^Tdr) +
4- de-] .	(3.81)
В действительности, до-
полнительные деформа-
ции de,ij заранее неиз-
вестны, но их можно
найти из соотношений
(3.76), (3.77) и (3.81) путем последовательных приближений. Про-
интегрировав указанные соотношения для n-го этапа и определив
при малых этапах средние значения параметров по их известным
начальным значениям, расчет ведем в следующем порядке.
Приняв в исходном приближении &е{-п'0) = 0, решаем упру-
гую задачу, откуда находим приращения Ла*/”'1’, значения
gf/n,1) = Qi-/-1* + До*/"'п и величину сг’.(п,1) ==
1/" 3	• (п, 1) * (n, 1)	„	.
== у ~2su sti , которой соответствует точка 1 на диаграмме
растяжения (рис. 3.4, а), где для простоты показан случай Е — const.
Для пластических точек при
=	Г*-1’]
проверяем условие текучести на n-м этапе:
Д-(П. 1)>^уп-1>д?(п)>
158
где	1}—а*(п'1}—<Т/Л 1J. Если оно не удовлетворяется (разгрузка),
то принимаем о[л’ *’= щ(л’ *’ и Aef/"’!) = 0. Если оно удовлетво-
ряется, то по формуле (3.81) находим значение
М(л’ *’
4Л"1}\ 1 Гдсг*(л’11 —
£(П — 1) ] £(П — 1) L	'	1
соответствующее напряжению сг)л’11 на кривой деформирования.
Далее определяем
Л „Р («. 1) _ 3 . Д/_л рр («• »
Ль‘7 — 2 ст(.п —О '*
и решаем упругую задачу с дополнительными деформациями &е(^п’1} =,
= ДеГ/л’1), откуда находим сг?л,2) (точка 2), затем
/ р(л —1)\
М?.1-2’= (1	X
X {[to! ” - (^)'“ " ” ЛГ«] + де?.'- ’)
и т. д., как показано на рис. 3.4, а. Если для упругих точек, где'
в начале этапа <H”“I)<<Tr[ef4('1-I), 7,(л“1)], разность сг*(л) -г
— сгг[е;ж(л-1),Т(л)] в конце этапа превысит допустимую точность,™ этап
нагружения следует ’уменьшить или использовать изложенный
ниже способ расчета для укрупненных этапов.
Расчеты при укрупненных этапах нагружения. Рассмотрим спо-
соб, позволяющий получить достаточно точные решения при моно-
тонных, но относительно больших изменениях напряжения и темпе-
ратуры в пределах этапа.
Если при изменении напряжения от с4п~Л)до сг-л) и температуры
от Т^-Рдо Т(п) в пределах всего этапа происходит активное нагру-
жение, то приращение накопленной пластической деформации
будет одинаковым при любом протекании процесса изменения сг£
и Т. В частности, величину Де?,(л) можно определить при условии,
что температура меняется от Т^-Чдо Л") в первый момент этапа при
= const, а затем остается постоянной. На рис. 3.5 видно, что
в этом случае
=	(3-82)
или
= (гй-^) М”-М?-«!“-”)].	(3.83)
где Ото* — предел текучести при начальном значении 8?Jn-I) и ко-
159
Рис. 3.5. Приращение пластической деформа-
ции при укрупненных этапах нагружения
нечной температуре
ЕхП} — хордовый модуль
n-го этапа по диаграмме
растяжения;
Дегр’ = а<"> - о)"'1’.
Выражение (3.82) мож-
но также получить, про-
интегрировав уравнение
(3.49) при Т = const и
учтя, что
dot f ~ Чо’
£к(а;)" L (а/)
Формулы (3.82) — (3.83) применимы, если удовлетворяются ус-
ловия текучести в конце этапа
^п) = ат\^(п), Т(я)]
(3.85)
_(«) \ гг(п)
<Т/ > <Тт0
(3.86)
или
Да?0 >(<$’-аГ“’О-
(3.87)
На рис. 3.5 видно, что при этом начальное значение оУ-1> может
быть произвольным (точка о;-"-15).
Чтобы использовать метод переменных параметров упругости,
проинтегрируем выражения (3.48) и (3.53) в пределах этапа
де?/л) = А/^\(я)де^
(3.88)
До'-"> = -|_/^-\(я)Да//п),
(3.89)
где	—среднее за этап значение отношения "^д’-
Из соотношений (3.83), (3.88) и (3.89) следует, что для конечного
активного этапа нагружения
дср W__ 3 / Sij
~ 2 \ Т7
Е(.п)
У- w -я1"' "И 
f*\,4 11“ у. Uj /	I
(3.90)
160
Просуммировав (3.90) с конечными приращениями упругих де-
формаций и температурного расширения по формуле (1.46), придем
к матричному уравнению (3.66), в котором
<[СМ]>(Я) = <[C^]>(n)-h<[C^]>(n)	(3.91)
и
<tAe}]><«) = <[Де}Г)(я) + <[Ae7-R><«>.	(3.92)
Матрица ([СД ] )(л) и вектор ([AeJ)<n> определяются по формулам
(1.38) и (1.49): матрица ([СД]>(л)—из выражения типа (3.64), в котором
множитель 2I7 Лт надо заменить на —	j ’ а КОЭФФИ’
цненты s(/% — на \	/	\ — / [например, (ах — а) (ау — а)
на \	\(n) / у(л)и т. д.]. Вектор ([Де) ]р)(я) определяем по
1	3/1
формуле (3.65), в которой множитель FT заменяем на —2~(~Тп)~~
_ (ajo* — о;л-1)) И коэффициенты s(i — на	•
Определив по и Т(п) значение <№, предполагаем вна-
чале, что пластическое течение произойдет в точках, где or/1-0 с4о* •
Для упругих точек Д£л)= Д(л), а в качестве значения модуля Е^
для пластических точек в первом приближении можно принять
,	. ,	„(п— 1)
Е^'= Ек , Т(л)]. Приняв \	, вычислим
О’/
([С^])(я> Ч и ([Де} ])(я> и, решив упругую анизотропную задачу, нахо-
дим Д<т|л' °,аг/’ 1)=а17~1)Н-Дог(7’!) и значения сг*(п’ °= Пзч’ ° •
Для упругих точек должно удовлетворяться условие а*(л’
Сто', а для пластических а*(л,1)^ а|о), в противном случае про-
изводим перерасчет.
Далее находим для пластических точек
До? (п. О __ / 1	1 \ / «<п, о «ору
Л~ { 1 т0
и по диаграмме растяжения а<п’ <тт [е?/я’, Т(л>]. Обычно уже
в первом приближении (п'	но при необходимости можно
выполнить второе приближение, определив по формуле (3.82) уточ-
ненное значение:
1	1	_ ДеР(п- г>
2	)	ар’ ^ - а^) '
161
Для расчета по методу дополнительных, деформаций в начале
каждого этапа решаем упругую задачу при значениях £(п) и р<п>,
соответствующих конечной температуре Т(п> (см. раздел 1), и нахо-
дим ст*(п'11 (точка 1 на диаграмме растяжения, см. рис. 3.4, б).
В точках Г, где	^о1, принимаем Де^(л’= 0; в точках,
где ог(л’ Т)>> Ото\ определяем силовую деформацию
а по диаграмме растяжения находим
т(л’]
и
, СТ’(П.	I)
АВР (п. I) _
‘‘	“ EW
Определив по формуле (3.88) пластическую деформацию
приближения
Дп-1)
первого
АВР (Л. 1) _ 3 ,®Ч_ АВР (" Ч
цаЧ — 2 _(n —1)	1*	’
решаем упругую задачу с дополнительными деформациями Де(-/Л’J) =
= Aefz-("‘!), находим О7(л,2)—точку 2, новые значения

ст:(л.2)
2) = ат [е^-2), Т<л>];
Aef(n- 2) = Де?{п’ ‘Ч
** <•* ‘
а«(п.2)_а(п,2)
и так далее до совпадения с нужной точностью значений <уЦп)п щ-л).
В выражения для дополнительных деформаций могут быть также
включены члены, связанные с изменением модуля упругости за этап
или ^вообще с изменением модуля упругости по температуре (см.
раздел 1). В этих случаях упругая задача решается при постоянном
за этап или за все нагружение модуле упругости.
В технических задачах изменение Ьтношений — в пределах
этапа обычно бывает незначительным, но при необходимости можно
уточнить среднее за этап значение, приняв
/ Si/ \(«. 2)
\-57Z
2
—	s(n’ Ч '
ч_________I Ч_____
jj(.n ~ Ч	a)."’4 _
162
4. Обобщенные теории неизотермического течения
По теории пластического течения для многих практических задач
получают удовлетворительные результаты. Однако при больших
диапазонах изменения температуры и резких изменениях характера
нагружения целесообразно использовать более общие теории.
Изменение мгновенного предела текучести в зависимости от
пути нагружения. Как показано в разделе 3, непосредственно из
опытов на растяжение (см. рис. 3.1) могут быть получены:
1. Зависимость мгновенного предела текучести от и касатель-
ного модуля Ек от возрастающей пластической деформации ef при
постоянной температуре Т:-
cT = f(^,T = const);	(4.1)
Ек = f « т = const)-	(4-2)
2. Зависимость коэффициента температурной податливости (3
от повышающейся температуры Т при постоянном напряжении о0:
₽ = f (<*0 = const, Т).	(4.3)
Приращения пластической деформации определяем по формулам:
при Т — const
= (ё7 “ 4) dCT»;	'
при о0 = const
def = (₽+>-g-)dT.	(4.5)
При одновременном независимом повышении напряжения и тем-
пературы
Sef	Sef
= да7	~&г dT
или с учетом выражений (4.4) и (4.5)
= (г7 £*)	.+ (3 “Ь £2"' ЗГ) ’	(4’^
В качестве простейшего допущения примем, что зависимости
Ек (eg, Т) и Р (о0, Г) при любом пути активного нагружения
остаются такими же, как при их опытном определении, т. е.
ЕК^,Т) = Е^,Т= const);	(4.8)
3 Т) = ₽ (а0 = const, Т),	(4.9)
следовательно, полностью определяются достигнутой к данному
моменту температурой Т, пластической деформацией ef и напряже-
11*	.	163
нием о0. При активном нагружении все время от = о0. Формула
(4.7) справедлива только при таких изменениях о0 и Т, ко:да
deP>0	(4.10)
или
д , _dE
Р । £2 (IT	/Л 1 1 X
daQ >------j----j— dT.	(4.И)
Если условие (4.11) не удовлетворяется, происходит разгрузка,
при которой пластическая деформация ие меняется:
de’ = 0.	(4.12)
Границей между активным нагружением и разгрузкой является
нейтральное нагружение, — такое изменение напряжения и темпе-
ратуры, когда еще о0 = ат, но значение deg по формуле (4.7) обра-
щается в нуль и, следовательно,
О ! gT , dE
Р "1” /72 НТ
d^ =-------1 "" Г" dT >	(4-13)
Ек Е
где	’	.
₽ =	EK = /(eg, Т); E = f(T).
При дальнейшей разгрузке напряжение о0 становится меньше,
чем ат, и уже не влияет на величину мгновенного предела текучести
от, которая изменяется только в соответствии с изменением темпе-
ратуры. Поэтому на участках разгрузки зависимость ат = f (Т)
остается такой же, как при нейтральном нагружении, и может быть
найдена путем численного интегрирования выражения (4.13):
т
<’ЛТ) = ат(Т1) + JdaT,	(4.14)
Л
где Тх—температура момента начала разрузки.
Пластическое течение возобновляется, если напряжение снова
станет равным мгновенному пределу текучести
о о = <гт»	(4-15)
а дальнейшие изменения do0 и dT будут удовлетворять условию
(4.11), которое можно записать в виде
da0>-^(a0,e₽,T)dT,	(4.16)
--------}. - (Л ~.	(4.17)
где
^-К,е?,Т)х=-
164
Отличие условий (4.15) — (4.16) от (3.19) — (3.20) в том, что
без использования гипотезы о существовании поверхности
F (о0> so’ Л = 0 мгновенные значения от приходится определять
в процессе расчета в зависимости от программы нагружения и нагрева,
применяя соотношения (4.13)—(4.17). Для частных случаев нагру-
жения при Т = const и нагрева при cr0 = const эти соотношения
приводят к соответствующим экспериментальным зависимостям.
Обобщенная теория неизотермического пластического течения.
Соотношения (3.36), (3.40) и (3.41), записанные в виде [7]
def;- = [F а (orz, sf., Т) da, + FT (or., T) dT\ Sii-	(4.18)
(4.19)
Гг (°o T) = 2a, (p 4- -gr ’Зт^) ’	(4-20)
где E (T), EK	T), (3 (ff(-, T) не предполагают существования еди-
ной поверхности F (сгг, е^Г) = 0 и остаются в силе, так же как
выражение (3.48);
d8f.=-gid8f,,	(4.21)
причем накопленная пластическая деформация
ef. = J def. = J У -^deptid^i .	(4-22)
Из выражений (4.18) — (4.21) следует, что-
*f. = (^-4)<(a(+(p+>-g-)rf7-.	(4.23)
Для случая растяжения выражение (4.23) переходит в выраже-
ние (4.7).
Условия пластического течения (def. >> 0) запишем в виде
с£ = от (0;	(4.24)
dat>^(plt^,T)dT,	(4.25)
где
да , х 0(а‘-Г) + Ж7п’J (г)
(о,, ef., Т) =-----__Е_(Щ7-------.	(4.26)
(ef., Т) WF
Обозначение сгт (i) указывает на зависимость от от конкретного
вида пути нагружения. На участках разгрузки, когда
(4.27)
166
изменение мгновенного предела текучести определяем по формуле
(4.14), где
doT =--------------------------------1 L (T)—t---------------------------dT.
(4.28)
Технические расчеты по обобщенной теории пластического те-
чения могут выполняться методом переменных параметров упругости
(см. раздел 3) со следующими уточнениями: функция FT (а,., Т)
определяется по формуле (4.20); значение находится в про-
цессе расчета (п. — 1)-го этапа; для пластических точек величина
I j определяется по формуле (4.26) по значениям ,
p(n-l)
для упругих точек
Аа'п) =
+ [£(П-1>Р W )
.	-	а; ,
£<л - 1)	£(« - 1)
где
и
|( Л —
(4.29)
(430)
приращение накопленной пластической деформации определяется по
формуле (4.23):
а'."-1)
[£(«- !)]2
ДЛ").
Дальнейшие обобщения теории. В изложенной выше теории
пластического течения предполагается, что при а(- = сгт и Т =
= const развитие пластической деформации связано только с из-
менением величины интенсивности напряжений а,- и происходит^
при 0. Влияние происходящего при изменении тензора на-
пряжений перестроения компонент девиатора dsz/- (поворота глав-
ных направлений) не учитывается. Поэтому, в частности, при так
называемом нейтральном нагружении, когда при dsz/- #= 0 величина
dai = 0, пластическая деформация считается постоянной. Однако
по имеющимся экспериментальным данным [28], возрастание отдель-
ных компонент пластической деформации может происходить и
при dcr£ = 0.
166
Для описания этого явления основное уравнение пластического
течения (3.25) следут представить в более общем виде:
d^j = Sf/dAi X2dsih
(4.31)
где и Л2 — скалярные функции.
Основное уравнение обычной теории пластического течения
(3.25) получается при — 0J в другом частном случае при 1Д =
= %2 = % приходим к деформационной теории в приращениях [8],
которая подробнее рассмотрена ниже.
В общем случае функции и Х2 могут быть найдены из опытов
при двух различных напряженных состояниях, одно из которых
должно включать поворот главных направлений тензора <yij.
Умножив обе части равенства (4.31) на dsijt получим
9	9	—г»
ds и dzptj = -у а; dor(- d\ 4- -j-12 do(,	(4.32)
где

(4-33)
— приращение интенсивности напряжений, a
(4.34)
— интенсивность приращений напряжений’ В общем случае dcr£- #=
=£ dor(. В частности, при нейтральном нагружении dcr£ = 0, но
do,- #= 0, если dsi;- #= 0, и из формулы (4.32) следует, что
2
(4.35)
откуда может быть определена функция 12, а функцию dlx можно
найти, используя кривые растяжения.
Экспериментальных' данных для определения функции недо-
статочно. Для ее приближенной оценки воспользуемся результатами
более многочисленных опытов по активному нагружению при слож-
ных напряженных состояниях. Известно, что при первом активном
нагружении деформационная теория дает достаточно хорошие ре-
зультаты не только при простом, но и при сложных нагружениях
плавного характера. Чтобы получить из выражения (4.31) уравне-
ния деформационной теории в приращениях, следует принять %2 =
=	т. е.
def,-== d (%s£/),	(4.36)
откуда
е?/ — (е?/)н = Ц/ — (Ч/)н.	(4-37)
167
где (ef;)„ и (Ц/)„ относятся к моменту начала очередного этапа пла-
стического течения. В общем случае (ef/)„ =/= (Xs£/)H. Для первого
активного нагружения (ef;)H = (Xs[;)H = 0 и уравнение
е?/ =	(4.38)
совпадает с уравнением деформационной теории
!>=т(г-т)!«	<4-39>
при
- <«»)
где Ес — секущий модуль диаграммы растяжения.
Учтя, что
И _	<4(4.41)
\ ао / °о \4<Го То /	<г0 \£К £С /	7
где Ек — касательный модуль диаграммы растяжения, и подста-
вив формулы (4.40) и (4.41) при <т0 = <т£ в уравнение (4.36), получим
<4-42>.
или в другой форме
+(й--4)(*«-^“'’<)]	. <443>
Для этапов простого нагружения, когда уЁ = ~~ = const,
в уравнении (4.43) остается только первый член, совпадающий с вы-
ражением обычной теории пластического течения и обращающийся
в нуль при = 0. При нейтральном нагружении из уравнения
(4.43) следует, что
<4-44>
На этапах сложного нагружения второй член уравнения (4.43)
описывает приращения компонент пластической деформации, свя-
занные с поворотом главных направлений тензора напряжений.
В соответствии с выражением (4.37), для каждого этапа актив-
ного нагружения получается конечное соотношение
8</ = (ef/)H + у — /г) s‘i ~	~ т) (s6')h] »	(4-45)
168
совпадающее для первого нагружения с уравнением деформацион-
ной теории, но в отличие от него сохраняющее силу после разгру-
зок при последующих нагружениях с любым законом изменения
сложных напряженных состояний.
При неизотермическом нагружении скалярная величина % за-
висит также от температуры, что позволяет представить основное
уравнение обобщенной деформационной теории в виде [9]
defy = (F<sdQi -ф- Fт dT) -ф- Xds^,	(4.46)
где % определяется по формуле (4.40), а функции Fa = и FT=
можно найти, записав (4.46) для случая растяжения, откуда*
Г.(о„.Г.,7-) = ^-(Л-—^);	(4.47)
Frfe П =	(₽ + >#)	(М8)
Чтобы найти выражение для накопленной пластической деформа-
ции ef,, определяющей на диаграмме растяжения значения £к
и £с при eg = ef,, приравняем приращение работы пластического
формоизменения при сложных напряженных состояниях
d4=si/def/	(4.49)
и при растяжении
dA$o = ао deg = щ def,,	(4.50)
откуда
def, = ^i-,	(4.51)
а накопленная пластическая деформация ef, = J def,.
Подставив выражение (4.46), убедимся, что с учетом формул
для Fo, FT и % приращение def, определяется по-прежнему форму-
лой (4.23). При простом нагружении выражение (4.51) совпадает с ис-
пользуемой в теории пластического течения формулой
def = ”|А|- defz defy,
однако в общем случае def =£ def. Так, согласно выражению (4.44)
при нейтральном нагружении def, = 0 и dA$ = 0, но def =£ О
(если de^j 0). Для первого активного нагружения ef, = ef =
= у	но при последующих нагружениях в общем случае
ef.¥=ef-
* В работе [9 ] аналогичные выражения для Fe, Ft и На= X были выражены
через величину секущего модуля обобщенной диаграммы Eci = <тi/ei.
169
Условия пластического течения (def > 0) записываем в виде
оь = сгт (0;	(4.52)
da^^-(aGef.,7’)d7’,
причем^! и dcrT (при сг; <сгт) определяем по формулам (4.26)
и (4.28).
Технические расчеты проводим, как указано выше (см. стр. 166)
(или более приближенно согласно разделу 3). Функцию Fa опреде-
ляем по формуле (4.47), а член Xdsf/- учитываем в выражении (3.63)
дополнительной матрицей
4Gb-4
'dax — da~
da:у — da
daz — da
‘2dxxy
2dxyz
2dxzx
(4.53)
Поскольку теория пластического течения в обычной форме совер-
шенно не учитывает приращений def; при повороте главных напра-
влений тензора sljt а обобщенная деформационная теория предпо-
лагает, что тензор depij «следит» за тензором sti, эксперименталь-
ные данные обычно оказываются близкими к средним значениям,
полученным при расчетах по указанным теориям.
. Векторное представление интенсивностей напряжений, деформа-
ций и их приращений. Особенности пластического течения при
сложных напряженных состояниях наглядно иллюстрируются с по-
мощью некоторых векторных представлений. Если ввести девяти-
мерный вектор о*; с компонентами	то его величина
Ы = V^-siisH
(4.54)
совпадает, по определению, с интенсивностью напряжений
’Н4	(4-55)
Аналогично, величина вектора е( с компонентами eti
совпадает с интенсивностью деформаций
S; = |ej= У^еиеи.	(4.56)
В частности, для упругих деформаций
ef = |ef|=	(4-57)-
170
Закон Гука efz = —st/, который можно записать в виде
( т М = 36 (УТ s6') ’	(4.58)
указывает на пропорциональность соответственных компонент век-
торов е* и ст, и означает, что эти векторы параллельны (коллинеарны)
е! II сть	(4.59)
а их величины связаны соотношением
(4-60)
Для пластических деформаций
е? = |1?|=	(4.61)
По деформационной теории пластичности ef/ = XsiZ векторы
параллельны
ef II ас.		(4.62)
По принципу суперпозиции деформаций е£/ = ef;- -f- ef;-, т. е.
lt.=lf+lf.	(4.63)
Если компоненты напряжения Уsit- получат приращения
У^-dSij, то им будет соответствовать вектор dcr£, величина кото-
рого
35. = |	| = '|/-|-3si/dsi/,	(4.64)
а направление в общем случае не совпадает с направлением вектора
crz (рис. 4,1, а). Проекция вектора da£ на направление сг£ равна
,	-т—	3sijdsij
= do( cosх„ = —,	(4.65)
где для нахождения cos xa использована формула скалярного произ-
ведения векторов
(о, do.) = ( У S.	У Я. ds. = а. d5. COS Ха-	(4.66)
Так как приращение интенсивности напряжения
=	=	.	(4.67)
171
то из выражений (4.65) и (4.67)
следует равенство
do, = det*-	(4.68)
Аналогично, по прираще-
ниям компонентов деформации
~2~
-^-de,,- могут быть найдены
величина вектора de;
de, = | de, | = у -у- de;/ de£1,
приращение величины
(4.69)
leijdeij
Зе г
(4.70)
и проекция вектора de; на направление вектора интенсивности на-
пряжений аг (рис. 4.1, б)
~ —	S i j d £ £ f
d&i* = de, cos Xe =  -a..- •	(4.71)
Величина deI# определяет приращение работы формоизменения
при любых законах пластического течения, так как всегда
dA4, = si/de(,= o(de^.	(4.72)
Точно так же приращение накопленной пластической деформа-
ции dept, связанное с приращением работы пластического формоиз-
менения формулой
бАф = Si j dep-, — а,- def,,
(4.73)
представляет собой в общем случае проекцию вектора def величи-
ной
def = | de? | = jZ-y de?,- ds?j 
(4-74)
на направление вектора cr£. В теории пластического течения при изо-
тропном упрочнении de?, = s^dX, или defy || а;, угол Xs = 0 и
значения def, и de? совпадают, что позволяет пользоваться фор-
мулой
def. = def = de?/ de?,-.
172
(4-75)
При более общих предположениях о характере пластического
течения (см. выше, а также гл. 5) приходится пользоваться вытекаю-
щим из формулы (4.73) более общим соотношением
sads^i
=	(4.76)
Векторные соотношения будут далее использоваться для неко-
торых пояснений.
Дополнительные замечания. В некоторых работах по термо-
пластичности вместо поверхности пластического деформирования
в трехмерном пространстве F (о£, е£, Т) — 0 рассматривается по-
верхность текучести* / (зг/, ef,, Т) = 0 в многомерном простран-
стве з;/, е.рц, Т [10, 23 и др. ]. Так как в процессе текучести изображаю-
щая точка остается на поверхности текучести, то должно удовлетво-
ряться уравнение совместимости
# = Д + Дd^' + 1Г dT = °-	.	(4.77)
Кроме того, при текучести должны соблюдаться условия необ-
ратимости
Si/def/>0,	(4.78)
так как работа пластического деформирования всегда положительна
(происходит рассеяние энергии) и условие устойчивости
dsn de,?, > 0,	(4.79)
указывающее на совпадение знаков приращений def/ и ds17.
Можно показать, что с учетом условий (4.77) — (4.79) выраже-
ния для компонентов приращения пластической деформации def;
должны в общем случае иметь вид [10}
df
dePj = —	dski + -pf-dT} 8T,	(4.80)
dSkl ‘ d^ki
где
1 при / = 0 и dskl ^L-dT > 0;
6Т = {	(4.81)
0 при f < 0 или f = 0 и -Д- dsk[ 4- dT 0.
(	oSki	дТ
* Иногда термин «поверхность текучести» сохраняют за уравнением f (s;/) = 0,
относящимся к предельному случаю идеальной изотермической пластичности [14],
а к уравнениям типа в?-, Т) =0 или f (зц, ef, Т)=0 относят термин
«поверхность нагружения».
173
По формуле для интенсивности приращения пластической дефор-
мации
de-i, = jZ~ й?,рц de^j
и выражению (4.80) получим
def/ = —7==f=r def ,
df . df lt
r dsfei dsfei
(4.82)
откуда
(4.83)
d$ki de%i '	3 dgP f dski дам
Подставив выражение (4.83) в уравнение (4.80), приведем формулу
для def/ к виду
1ZA.JL	 
def/ =---------2... dSii.. (4Ldskl + dT\ 6Т,	(4.84)
df 1/ df df \ dskt 1 dT )	v 1
дгр V dsk[ dski
где поверхность текучести f(s,/, eft, T) = 0 рассматривается в си-
стеме координат Sij, ept, Т.
Для частного вида поверхности текучести
/(Si/, ef*, Т) =4 siiSii - о? «, Т) = О-
имеем
df
dsij
df
дг?
9rr	д? _______9rs
T deP ’ dT	T dT
и с учетом того, что dai
3 s^t dski dor	1
2 a/	de? 1	1
, p 3s‘7 /1	1 \ / , daT я
dei> ~ 2aT \EK~T) \dGi dT dT) St’
где
1 при of = от и dof — dT > 0;
St=
0 при a, < от или a, = от и do,-dT sg 0,
получим
(4.85)
(4.86)
что полностью совпадает с приведенными в разделе 3 результатами.
174
5.	Ползучесть
Основы теории. Как указывалось, остаточная деформация еост (/),
возникающая в материале под действием некоторого напряжения
в течение времени t, может быть разделена на пластическую
деформацию ео, развивающуюся практически одновременно с при-
ложением напряжения, и на деформацию ползучести ео (0. нара-
стающую с течением времени. Для каждого материала существует
область относительно высоких температур и умеренных напряжений,
где пластическая деформация не проявляется, так что еост ео-
Поэтому ниже рассматривается ползучесть как в сочетании только
с упругими деформациями, так и общий случай одновременного
развития и пластической деформации и ползучести.
Из опытов по растяжению образцов при постоянном напряжении
и постоянной температуре получают кривые е0 = f (t) (рис. 5.1, а),
по которым устанавливают деформацию ползучести е£(/) = e0(i) —
— ео(О). В области относительно умеренных напряжений и темпе-
ратур, как правило, выделяется участок II, где скорость ползучести
с deo • с	п
и°==дг:=ео	(5J)
практически постоянна. Ползучесть с постоянной скоростью назы-
вают установившейся. Теория установившейся ползучести позволяет
находить предельное распределение напряжений и скоростей дефор-
маций при длительном действии постоянных нагрузок как при
равномерном, так и при неравномерном стационарном температур-
ном поле, когда начальное перераспределение напряжений в связи
с ползучестью практически завершилось. Эта же теория удовле-
творительно описывает кратковременную ползучесть материалов при
больших напряжениях [26].
Ползучесть с изменяющейся скоростью накопления остаточной
деформации называют неустановившейся. При постоянных напря-
жении и температуре неустановившейся ползучести соответствует
Рис. 5.1. Кривая ползучести (а) и построение диаграммы скоростей уста-
новившейся ползучести (б)
175
начальный участок I кривых ползучести. При меняющихся напря-
жениях и температуре ползучесть остается неустановившейся.
К простейшим теориям неустановившейся ползучести относятся
теории старения и течения, обычно достаточно хорошо описываю-
щие развитие деформаций ползучести при постоянных или мало
меняющихся нагрузках и температуре. Если внешние нагрузки
и неравномерное температурное поле плавно меняются в широких
пределах, но так, что напряжения сохраняют постоянный знак,
может использоваться теория изотропного упрочнения.
Для описания более сложных явлений — однократных или мно-
гократных ступенчатых нагружений и разгрузок, знакопеременной
и циклической ползучести — приходится прибегать к более слож-
ным теориям, которые рассмотрены в гл. 5.
Общие положения теории ползучести при сложных напряженных
состояниях близки к общим положениям теории термопластичности:
1.	Полная деформация представляется в виде суммы упругой и
пластической части, деформации ползучести и температурного рас-
ширения:
ei/= е>/Н-8?/Н-8;/(5.2)
2.	Изменение объема при ползучести носит практически упру-
гий характер, т. е. средняя деформация ползучести равна нулю:
8е = 4-8^ = 0	, (5.3)
и, компоненты деформации ползучести совпадают с компонентами
девиатора
8?/=8?/.	(5.4)
Дифференцируя по времени соотношения (5.2) — (5.4), полу-
чим соответствующие общие соотношения для скоростей деформа-
ций:
8t; = 8ij	Vij -)- SiftT>	(5-5)
Vе = 0;	(5.6)
(5.7)
3.	Компоненты скорости ползучести vij пропорциональны де-
виаторным компонентам напряжения si;-:
vlj^^j	(5.8)
и, следовательно,
<S-9)
где интенсивность скорости деформаций ползучести
<5Л0)
176
В некоторых случаях наблюдается более сложное протекание
процесса ползучести, связанное с неизотропным характером упроч-
нения.
4.	В соответствии с принятой теорией ползучести должна быть
задана зависимость между интенсивностью скорости ползучести,
напряжениями и температурой, которая может включать также де-
формативные, временные и другие структурные параметры [25].
Установившаяся ползучесть. Скорость установившейся ползу-
чести Vo для данных значений сг0 и Т находим по кривой ползучести
(5.1, а):
vco=	(5.11)
*2	11
ИЛИ
vc9 = е^т:.е»(0). t	(5.12)
*2
Определив ио для различных значений <т0 и Т, получим диаграмму
скоростей установившейся ползучести (рис. 5.1, б)
vco = f(Go,T).	(5.13)
Для аналитического решения некоторых простейших задач за-
висимость (5.13) обычно аппроксимируют степенной или показа-
тельной функциями, например,
vco = Aitf, .	..	(5.14)
где 4Х, п — функции температуры,
или
_ JL
uj = 4(e*a« — 1)е т,	(5.15)
где A, k, Р — постоянные.
При постоянном напряжении и постоянной температуре ско-
рость общей деформации совпадает со скоростью ползучести:
ёо=ео = ио. '	(5.16)
Если кинематический закон распределения общих деформаций
по детали известен, как, например, при растяжении и изгибе стерж-
ней, изгибе пластин, то в условиях установившейся ползучести, как
это следует из уравнения (5.16), тем же кинематическим законом
устанавливается характер распределения по детали скорости пол-
зучести [29].
Разрешив зависимость (5.13) относительно напряжения
(?o=<₽« Т)	(5.17)
и выразив скорость ползучести и® в соответствии с кинематическим
законом определенной функцией с некоторыми неизвестными., по-
стоянными, подставляем выражение (5.17) в уравнения равно-
весия, откуда и находим .указанные постоянные.
12 Заказ № 1156	,	177
Пример. Найти закон распределения на-
пряжений в растягиваемом неравномерно на-
гретом по сечению стержне в условиях устано-
вившейся ползучести. Сеченне стержня и поле
температур — двусимметрнчно.
В соответствии с кинематической гипотезой
плоских сечений величина е0 должна быть по-
стоянной во всех точках сечения, поэтому
Vq = const.
(а)
Величину Vg найдем из уравнения равно-
весия
j VgdF = J ф (pj, Т) dF = Р,
F	F
(б)
где Р — растягивающая сила; интегрируем по
всему сечению F; температура Т — заданная
функция координат.
Использовав выражение (5.15), получим
1	/ vc —	\
a»=-inUer+0-
(в)
Тогда из выражений (б) и (в) следует, что
Рис. 5.2. к примеру расчета на
установившуюся ползучесть рас-
тянутого неравномерно нагре-
того стержня:
О, 1,2,3— номера приближений
по методу переменных параметров
упругости,	=
,	'-Р
/“ У ,,
где Я—половина ширины
стержня; у — расстояние от оси)
। Г ( tf -£-	\
I	И) Т	1
“FJ 1п \~/Ге + 1) dF = Р'
F
(Г)
Величину ъ* из уравнения (г) легко найти
методом последовательных приближений.
Результаты расчета напряжений показаны
на рис. 5.2 штриховой линией [32 ].
С 3
~Т
всему сечеиию-^е 3> 1, из уравнений (г) и (в)
В частном случае, когда по
следует, что
(Д)
Р	1
где аср = -%--среднее по сечению растягивающее напряжение, а •=— =
.	?	* ср
_ 1 ( dF
F j Т •
Согласно формуле (д) в условиях ползучести равномерное распределение напря-
жений при растяжении возможно только при постоянной по сечению температуре
(Т = 7ср); при неравномерном нагреве напряжения увеличиваются в более холод-
ных точках (Т <д Тер) и уменьшаются- в более горячих точках (Т^> Тср).
Если внешней нагрузки нет, то vcg = 0 и ад = 0.
Последний результат примера имеет принципиальное значение,
так как показывает, что собственно температурные напряжения
в условиях установившейся, ползучести должны полностью исчез-
178
путь (релаксировать). Теоретически время полной релаксации тем-
пературных напряжений бесконечно велико, однако практически
всегда может быть установлено некоторое конечное значение времени,
начиная с которого оставшиеся температурные напряжения можно
не принимать во внимание. После этого ползучесть неравномерно
нагретого тела становится практически установившейся; распреде-
ление напряжений зависит при этом не от различного температур-
ного расширения точек тела, а от поля абсолютной температуры,
определяющего интенсивность процесса ползучести в разных точках.
Для расчета на установившуюся ползучесть тела, находящегося
в сложнонапряженном состоянии используется обобщенная зави-
симость
= Ж Т),	(5.18)
при растяжении совпадающая с экспериментальной зависимостью
(5.13).
В обратной форме
=	Т).	(5.19)
Дифференцируя по времени кинематические уравнения (1.31),
получим
ё// = 4" (“ь/+ “/')’	(5-20)
где ы(. — вектор скорости перемещения.
Поскольку при установившейся ползучести аг7= О, Т — 0 (т. е.
ёг = 0), то из уравнения (5.5) следует, что
8ц=^/..	(5.21)
и интенсивность скорости деформации ползучести согласно'фор-
муле (5.10) определится непосредственно через скорости компонен-
тов общей деформации как
• (8-22)
Добавив к выражениям (5.18) — (5.22) соотношения (5.9), урав-
нения равновесия (1.29), силовые граничные условия (1.30) и кине-
матические граничные условия, выраженные в скоростях переме-
щений
= и^,	(5.23)
получим полную систему уравнений теории установившейся ползу-
части.
Для статически определимых задач, когда задано поле напря-
жений сгц, приведенные соотношения позволяют найти все компо-
ненты скорости ползучести, а значит, и Скорости деформации. При
смешанных граничных условиях, если .в каждой точке тела может
быть найдена непосредственно из граничных силовых условий и урав-
нений равновесия хотя бы одна нормальная компонента напряжения,
12*	179
Рис. 5.3. Определение секущего модуля
скорости ползучести
то все другие компоненты на-
пряжения могут быть также
определены однозначно. Если
же в статически неопределимой
задаче ни одна из нормальных
компонент напряжений непо-
средственно не определяется, то
из решения уравнений устано-
вившейся ползучести находятся
только компоненты девиатора
напряжения si7, а величина
среднего напряжения остается
неопределенной.
Во многих технических за-
дачах распределение перемеще-
ний может быть найдено на
основании некоторых кинематических гипотез, не зависящих от фи-
зических свойств тела. Те же самые кинематические гипотезы
определяют при установившейся ползучести вид функций распре-
деления скоростей ползучести, что позволяет решить задачу относи-
тельно простым путем. Много решений различных задач на уста-
новившуюся ползучесть, главным образом в равномерном темпе-
ратурном поле, описано в литературе ([13, 25] и др.).
Сопоставление уравнений установившейся ползучести с уравне-
ниями деформационной теории термопластичности показывает их
большое сходство. Формально уравнения установившейся ползу-
чести можно получить из уравнений пластичности, если в последних
принять ef/ 4- б/;-8Г < 8?/, т. е. пренебречь упругой и термиче-
ской деформацией по сравнению с пластической и заменить компо-
ненты деформации пластичности ef/ компонентами скорости дефор-
мации ползучести uf/. Поэтому общие методы решения задач термо-
пластичности могут быть применены и для решения задач устано-
вившейся ползучести неравномерно нагретых тел [19].
Из рис. 5.3 видно, что по аналогии с обычным секущим модулем
можно ввести секущий модуль скорости ползучести
(5-24)
_ Нио> т) _
~ ~ <₽(а»’ Т) ’
С помощью модуля Ес выражение (5.9) записывается в виде
=	(5.25)
" 2Е°С	v ’
т. е. в форме соотношений упругости для несжимаемого тела с пере-
менным модулем. Это позволяет использовать метод переменных
параметров упругости для нахождения решения задач установив-
шейся ползучести путем последовательных приближений.
Пусть величина в (н— 1)-м приближении известна в каж-
дой точке тела. Заменив кинематические граничные условия (5.23)
180
в скоростях на такие же условия в перемещениях (т. е. вместо и;п),
см/ч, принять и^, см) и решив соответствующую упругую задачу для
несжимаемого тела с переменным по объему модулем Ес<п-1), полу-
чим значения в n-м приближении напряжений и скоростей пол-
зучести vCijn); последние будут численно равны компонентам дефор-
мации.
Найдя по формуле (5.22) в каждой точке значения интенсивности
скорости ползучести ис/п> и по кривой ползучести — значение о? —
= f (i^, Т), определим новое значение модуля Ес<п), после чего
перейдем к следующему приближению.
Исходные значения модуля Е“ <0) можно определить по формуле
со (0)
<₽(«;, п *
где с} — напряжения, соответствующие, упругому решению для
р, = 0,5 при заданных силовых и приведенных к перемещениям
(как было указано выше) кинематических граничных условиях.
Сходимость можно ускорить, если для определения исходных зна-
чений напряжений использовать результаты расчета идеально пла-
стичного тела.
На рис. 5.2 приведены результаты расчета по методу переменных
параметров упругости задачи предыдущего примера, откуда видна
быстрая сходимость метода.
Теории старения' и течения. Теория старения [25]. На кривых
ползучести (рис. 5.1 и 5.4) величина 80 (0) соответствует в общем
случае сумме упругой 8q и пластической 8о'деформаций, а раз-
ность 80 (/) — 80 (0) — деформации ползучести 8о (f) в момент
времени t. Откладывая значения 80 (0) в зависимости от соответ-
ствующих им напряжений о0, получим обычную кривую упруго-
Рие. 5.4. Перестроение кривых ползучести в диаграмму
«о = f (ао) Для фиксированных моментов времени
181
пластического деформирования (кривая t — 0 на  левой части
рис. 5.4). Если такие же построения провести для нескольких фикси-
рованных моментов времени tlt и т. д., отложив значения полных
деформаций е0 (4), е0 (/2) против соответствующих напряжений,
то для каждого момента времени получится своя изохронная кривая
е0 = f (о„), имеющая такой же вид, как кривая упругопластичес-
кого деформирования, но неравномерно сдвинутая в сторону боль-
ших деформаций. Чем больше время испытаний, тем значительнее
этот сдвиг.
Перестроив кривые ползучести е0 (О в кривые е0 = f (о0) при
нескольких температурах испытания, получим для каждого мо-
мента времени семейство кривых е0 = f (ой, Т).В теории старения
предполагается, что указанная зависимость приближенно может
быть использована для расчетов напряжений и деформаций в момент
времени t и в том случае, когда в течение предыдущего промежутка
времени напряжение и температура претерпевали некоторое изме-
нение. По теории старения получают практически приемлемые
результаты при расчетах равномерно нагретых деталей, нагруженных
длительно действующими постоянными внешними нагрузками. Про-
исходящее в таких условиях перераспределение напряжений обычно
не превышает 15—20%, после чего напряжения практически стаби-
лизируются, так что различия в деформации ползучести по сравне-
нию с деформацией при о0 — const с течением времени становятся
малозаметными (штриховая кривая на рис. 5.4).
К расчету на ползучесть неравномерно нагретых деталей тео-
рию старения можно приближенно применять в тех случаях, когда
температурные напряжения или вообще не возникают, или суще-
ственно меньше напряжений от внешних сил.
Расчеты для произвольно фиксированного момента времени t
ведутся по формулам деформационной теории термопластичности,
но вместо кривых деформирования используется семейство кривых
8„ = f (о„, Т, t).
Теория течения. По кривым ползучести могут быть построены
зависимости скорости ползучести от времени при постоянных на-
пряжениях и температурах Vo = f(o9, Т, t). В теории течения [13]
предполагается, что указанная зависимость может быть приближенно
использована и в случае меняющихся напряжений и температур.
Расчет сводится к включению в уравнения пластического тече-
ния (см. раздел 3) дополнительных деформаций ползучести
de'i = 0^(11,	(5.26)
где согласно уравнению (5.9)
причем О; (Qp Т, t) = vo (р0,Т , t).
.182
Теория изотропного уп-
рочнения. В теории изотроп-
ного упрочнения предпола-
гается, что скорость ползу-
чести в момент времени t
как при постоянных, так и
при плавно изменяющихся
температурах и напряжениях
определяется мгновенными
значениями о0, Т и накоп-
ленной за все предшествую-
щее время деформацией пол-
зучести 8Qt, т. е.
vco = f(ao, Т, 8Й,).	(5.27)
Рис. 5.5. Характер изменения скорости пол-
зучести по теории изотропного упрочнения
прн изменении напряжения
При растяжении 8§ = &са, поэтому согласно теории упрочне-
ния при увеличении напряжения в точке А (рис. 5.5) от о0 до о0 4-
4- Йо0 скорость ползучести увеличится и станет равной скорости пол-
зучести в точке Б на кривой о0 4- da0, так что дальнейшее измене-
ние деформации ползучести пойдет по линии АБ'; при уменьшении
напряжения от о0 до о0 — do0 скорость ползучести примет значе-
ние, соответствующее точке В на кривой о0 — rfc0, и деформация
ползучести будет нарастать по кривой АВ'. Совершенно аналогично
производится пересчет скорости ползучести при изменении темпе-
ратуры от Т до Т dT. В общем случае при одноосном напряжен-
ном состоянии накопленная деформация ползучести
t
8o. = f |vo(0)|d0; 0^9^f	'	(5.28)
o'
в отличие от мгновенной деформации ползучести, равной
80 =
t
J Vo (9) dQ.
о
(5.29)
В случае сложного напряженного состояния зависимость (5.27)
представляется в форме
= т, 8t),	(5.30)
где
8^ = J v£ (9) dQ.
о
(5.31)
Функция (5.30) получается по кривым ползучести при о£ = о0 —
= const, Т = const И в'-, = 8q.
183
Рис. 5.6. Определение приращения Де»»с(л^
непосредственно по кривым ползучести
Полагая, что развитие процессов
Согласно выражениям (5.9)
и (5.30) приращение компо-
нентов деформации ползуче-
сти за время dt
deit — Vcijdt =
T’^dt’ (5.32)
или
del] = FtSij dt,	(5.33)
где
Л =	Т, <). (5.34)
ползучести и пластического
деформирования протекает независимо, просуммируем приращения
деформации ползучести dz^ и упругопластических деформаций
d&q ф- de^, определяемых в теории изотропного пластического
течения по формуле (3.55), что дает для приращения полной дефор-
мации выражение
dg(/- = dakl ф- <р;/- dT ф- ф,-/ dt,	(5.35)
где '
Фо = Ft^u — 5(/о).	'	(5.36)
Выражения (5.35) — (5.36) позволяют провести поэтапный рас-
чет произвольного процесса нагружения с учетом развития пласти-
ческих деформаций и ползучести методами, рассмотренными в раз-
деле 3 [8]. Значения ф*л) для расчета n-го этапа нагружения опре-
деляются по известным значениям напряжений о*/-1’, температуры
ytn-i) и накопленной деформации ползучести в конце пре-
дыдущего этапа, и величина Де^л> = ф(.у)Д/(л) включается в до-
полнительные деформации.
В отличие от поверхности пластического деформирования F (oz,
Т, гр) = 0, которая определяется непосредственно эксперимен-
тальными кривыми, для построения поверхности ползучести
F (гф, о(., Т, 8?,) — 0 требуется предварительно определить ско-
рость ползучести как производную по экспериментальным кривым,
что вносит значительные погрешности и усложняет подготовку
расчета. Чтобы в расчетах использовать непосредственно экспери-
ментальные кривые ползучести, дающие зависимость F (во, о0>
Т, t) =0, которая может быть введена в ЭВМ,, используем сле-
дующий прием. По заданным значениям 8о(л-1) =	Оо-1. =
= 0£П~1), Т""1 найдем соответствующее значение (рис. 5.6) и
184
далее при тех же значениях оо" 1) и7'1'1 определим величину ео<,!)
отвечающую значению Л'1-1’ -f-Тогда
де?/л’ = ес0<л>-ес0<л-1)
(5.37)
и
AeV"’
<2.
За!'1-1’
Д<">.
(5.38)
В общем случае используемый здесь параметр 1<п **> не совпадает
с фактическим значением времени, а служит лишь для нахождения
на поверхности F(е§, о0, Т, t) =0 начала участка, где скорость
ползучести v] имеет нужную величину.
Использование аппроксимирующих формул и упрощенный расчет
неустановившейся стадии ползучести. В теории ползучести широкое
распространение получили различные аппроксимирующие формулы
типа (5.14) — (5.15), позволяющие анализировать основные явле-
ния, связанные с ползучестью, аналитическим путем. Хотя при ра-
счетах на ЭВМ нет прямой необходимости использовать эти формулы,
однако они могут оказаться полезными, так как уменьшают вводи-
мый в машину объем информации о свойствах материала.
Для описания ползучести по теории упрочнения можно исполь-
зовать зависимость (5.30) в следующем виде [24, 30]:
__L
о'= Ле т (e*ff‘ - 1) Ф(р),	(5.39)
где в определенном диапазоне температур можно считать Л, (3, k
постоянными и для простоты записи обозначено р — в',.
В качестве функции упрочнения Ф (р) принимаем
ф(Р) = (^")"в’	(5Л0)
где
а =
а(Т, ог) при ^-< 1,
0 при —	1.
р*
(5-41)
Согласно выражению (5.40) упрочнение прекращается, когда
накопленная пластическая деформация р достигает значения р* =
= Р*(Т> о,-).
Зависимость (5.39) позволяет оценить погрешность, получаю-
щуюся при расчете Де', по значениям о; и Т в начале этапа. Так,
для стадии прекратившегося упрочнения	пользоваться
приближением Де?<л’ = vc( [Z(n-1)] Д£(п’ допустимо при
4(р^+'4о'“’)«1-	(S-42)
185
Допустимые значения ДЛ'1’ и Да(.л) значительно увеличиваются,
если в расчет вводить средние за этап значения температуры и на-
пряжения (последние могут быть определены в процессе последова-
тельных приближений).
Зависимости (5.39) и (5.40) позволяют учесть при интегрирова-
нии изменение накопленной деформации р = г.с. в пределах п-го
этапа нагружения. Так как по определению
dp
dt ’
(5.43)
то, учтя, что при а = const
„ dp d / ра+1 \
n« —t— = - Л----
" dt dt\a+\ Г
после интегрирования уравнения (5.39) в пределах от (<л~1> до ((л) =
= рп~л'> ф-Д(<л> получим
—— Г йа(л) 1
АХЛ(Р)=Х(Р(Л))-Х(Р(П-1)) = ^Р> r(n4e ‘ - 1J Д/(л>,	(5.44)
где
Х(Р) =
ра+!
а -j- 1
(5.45)
Зная Д%(л>, можно найти Др<л>:
1 <
Др<л> = р(п) — р^-1) = ([р(л~1)]а+1 (а -j- 4) Д%(л)|а+1.	(5.46) |
Используя формулы (5.44) — (5.46), можно существенно сокра- ;
тить число расчетных этапов [30].	[
Пример. В соответствии с условиями примера по ползучести растянутого стержня, ]
результаты расчета которого на установившуюся ползучесть приведены на рис. 5.2, ]
найти распределение напряжений в различные моменты времени для следующих i
вариантов:	]
1) прн отсутствии	температурных	напряжений (температурное расширение j
принято равным нулю);	]
2) с учетом температурных	напряжений.	:
Результаты расчета с использованием формул (5.44)—(5.46) приведены на 1
рис. 5.7, откуда видно, что кривые напряжений, имеющие в первый момент времени а
различный характер в зависимости от того, учитываются или не учитываются тем- 1
пе'ратурные напряжения, затем перестраиваются, приближаясь, хотя и с разных 1
сторон, но к одной и той же кривой установившейся ползучести о (<х>).	i
При постоянных нагрузках и температурном поле напряжения
при ползучести меняются, как правило, монотонно от начального
значения о (0), соответствующего данным упругопластического ра-
счета, до значения о (оо) в предельных условиях установившейся
ползучести. Так как наиболее сильное перестроение напряжений
происходит в первые часы работы, то зависимость о (() носит экспо-
186
ненциальный характер и может
быть аппроксимирована функ-
цией
о (/) = о (°)+
-ра(оо)(1— е-^),	(5.47)
удовлетворяющей условиям
а (0 = о (0) при t = 0;
а (/) = о (со) при t — со.
Величина %, характеризую-
щая темп перестроения напря-
жений, может быть опреде-
лена, если известно значение
напряжения о (t) в некоторый
промежуточный момент вре-
мени t:
1 [па(°)~ вС00)
~t о (t) — cs (oo)
(5.48)
Расчеты распределения на-
пряжений в детали при t = 0
и t = со могут быть проведены
Рис. 5.7. К примеру расчета на неуста-
новившуюся ползучесть растянутого не-
равномерно нагретого стержня:
а — без учета температурных напряжений;
б — с учетом температурных напряжений (1,
10, 100, 500 — время, ч; обозначения см.
рис. 5.2)
указанными в предыдущих раз-
делах способами достаточно просто, а главное, по наиболее изве-
стным и достоверным характеристикам материала'. Величину о (/)
можно оценить, проведя расчет по теории упрочнения (а в более
приближенной постановке — и по теории старения) для начальной
стадии работы.
Для приближенной оценки величины % можно использовать
также результаты опытов на релаксацию напряжений (см. гл. 2),
считая
4-1пЛг,
t o(t)
(5.49)
где о (0) — начальное) а о (/) — промежуточное значение напря-
жения в момент времени t в опытах на релаксацию при соответ-
ствующей постоянной температуре.
Для некоторых задач значения А, могут быть оценены вариацион-
ными методами [13, 25].
6. Связанная задача термоупругости
и энергетические уравнения
Уравнения связанной задачи термоупругости. Основные соот-
ношения теории термоупругости базируются на предположении,
что температурное поле может быть рассчитано или определено экспе-
187
риментально независимо от напряженно-деформированного состоя-
ния тела. Для подавляющего большинства технических задач это
приводит к вполне приемлемым результатам. Однако для понимания
основных закономерностей термоупругости, в особенности энерге-
тических уравнений и вариационных принципов, полезно рассмот-
реть термодинамическую взаимосвязь теорий термоупругости и теп-
лопроводности. Теорию, требующую одновременного определения
температур и деформаций, называют связанной теорией термоупру-
гости [10].
Рассмотрим два состояния материала при постоянных значениях
Е, а, р. В исходном состоянии абсолютная температура материала
в данной точке тела То, а напряжения и деформации отсутствуют
ц.у = 0, 8i7 = 0. В деформированно-нагретом состоянии темпера-
тура равна Т — TQ 4- ДТ, а тензоры напряжения ог;- и деформации
8г-/ связаны между собой и с температурным расширением 8Г = ъЛТ
соотношениями (1.21). Если заданы температура Т и тензор дефор-
мации е^, то тензор напряжения ог;- можно рассматривать как функ-
цию этих параметров состояния [2]. Функциями состояния являются
также внутренняя энергия U = U (Т, гц) и энтропия S = S (Т, 8,/).
Отнесенные к единице объема функцйи U и S равны плотностям
соответствующих функций.
Когда параметры состояния Т и 8(7 получают произвольные
малые приращения dT и deijt функции состояния увеличиваются
на	.	.	.
+	(6.1)
Приращения dU и dS не зависят от того, в какой последователь-
ности изменяются компоненты деформации и температуры, т. е
являются полными дифференциалами. Тогда
W _ d2U	zfi
дТдгч~ дгчдТ’	(	'
d*S - 923	Гб 4)
&Гд&ч~ dsijdT'	l	’
По первому закону термодинамики внутренняя энергия тела dU
увеличивается за счет подведения работы dA и теплоты dQ:
dU = dA + dQ,	(6.5)
где работа приложенных к единице объема сил
dA = oij den.	(6.6) •
По второму закону термодинамики приращение энтропии dS
связано с подведенной теплотой dQ соотношением
=	(6-7)
188
Из выражений (6.1), (6.5) — (6.7) следует, что
„	1 ди . 1 / ди Л .	1е. о,
dS^" дТ dT + т oZ/J d&ij.	(6.8)
Сравнивая уравнения (6.8) и (6.2), видим, что
dS = 1 ди
дТ Т ’ дТ ’	(6.9)
dS	.
Т \дгц °'‘Г>
Согласно выражению (6.4)
1 d2U _ 1 / dU \ I 1 f д2и	да‘!' 'j
'T"drd8i/~ Т2 [det/ °‘') + Т\дгчдТ дТ )’
что с учетом формулы (6.3) дает
*. = <,„.-7-^..	(6.10)
Из уравнения (1.23) следует, что частная производная 
при постоянной деформации ds,-/ = 0 равна 
d°‘i    Eccdij	/д 1
дТ ~	1— 2(г ’	1	'
следовательно,
= ^7 + T3T2JT 8ir	<6Л2)
Частную производную (при = 0) найдем из уравнений
(6.8) и (6.7):
&U _	_ dQ ___	(6 131
дТ dT dT Се’
где се — объемная теплоемкость материала при постоянной дефор-
мации.
Приводимую в справочниках теплоемкость материала с обычно
определяют для ненапряженного состояния при свободном темпера-
турном расширении, она несколько отличается от значения с&.
Из выражений (6.12) и (6.13) следует, что приращение внутрен-
ней энергии при изменении температуры и деформации тела
dU = caT + <hid^^^dtkk.	(6.14)
Совершенная работа определяется по формуле (6.6), поэтому
подведенная теплота
dQ = CedT + ^_d8ftA>	.	(6.15)
189
а изменение энтропии
dS = ^dT+T^rd8AA = d(cElnT+T|^r8Aft).	(6.16)
Подставив в уравнение (6.14) значение из выражения (1.23),
получим
dU = cedT + р-ру (ги йец + -yzr^T	+
+ T^- = 4C-T + lira (e»e" + -rap) +
где учтено, что е'г = а (Т — Т0) = аДТ.
Изменение внутренней энергии нагреваемого и деформируемого
тела по отношению к исходному ненапряженному состоянию при То
равно
= С.Л7-+ 2-^	4. ) +	•	(6.17)
Выразив 8;/ через напряжения, получим
Д^7 = сДТ++aToAfe,	(6.18)
где с — объемная теплоемкость материала в ненапряженном со-
стоянии, равная
с = се
, 3£а2Та
+ 1 — 2ц '
(6.19)
Первый член в формулах (6.17) и (6.18) дает увеличение внутрен-
ней энергии от нагрева при oi;- = 0, второй равен потенциальной
энергии упругой деформации, а третий отражает дополнительное
изменение внутренней энергии, равное количеству теплоты, которое
надо подвести к телу при увеличении его объема (8feft *> 0) или от-
вести от тела при уменьшении объема {&kk <0), чтобы сохранить
в процессе деформации температуру тела постоянной. Если тепло-
обмена нет (dQ — 0), то из выражения (6.15) следует, что темпера-
тура тела изменяется на величину
dT =----^^-dx,
се (1—2ц)
•kk-
После интегрирования
_ Еа
Т = Тое ^~2^Skk,	(6.20)
Из формулы (6.20) следует, что адиабатическое (при dQ — 0)
увеличение объема всегда ведет к уменьшению температуры тела
(и наоборот), а при одинаковых по значению, но противоположных
190
по знаку изменениях объема, увеличение температуры при сжатии
всегда больше, чем ее уменьшение при расширении.
После интегрирования из формулы (6.16) следует, что изменение
энтропии элементарного объема тела при неизотермической дефор-
мации равно
AS = celn^ + -r^rsWl	(6.21)
т. е. также связано только с изменением объема. В малом диапазоне
изменения температуры
д5^Сг^+_^_еАА	(6.22)
или
„ „ дт I
AS «с-™—апАА.
1 о
Из условия теплового баланса подведенная за время dt теплота dQ
должна равняться алгебраической сумме всех тепловых потоков qL,
входящих и выходящих из данного объема тела, и теплоте q*, вы-
деляющейся внутренними источниками тепла. Тогда
Q = -^- = -<7(U + <7*,	 	(6-23)
где
п   d<h । ^2 |_
» дхх ' дх2 ' дх3
В соответствии с законом теплопроводности Фурье тепловой
поток д(. связан с градиентом температуры в том же направлении
Т: — соотношением
дхс
q^ — KT,.,	(6.24)
где % — коэффициент теплопроводности.
Введя это значение в уравнение (6.23), получим
<2 = ^,^ + ?*,	(6.25)
где
т _ д*т . д2т сРТ
dxj ' дх% ~г" дх%
Разделив.обе части равенства (6.15) на dt и подставив в него
значение Q согласно выражению (6.25), получим уравнение тепло-
проводности связанной теории термоупругости
1Т„.,.-Се7’-п^г^ + <7* = 0	(6.26)
или	.
*Т,и-сТ-аТо« + <7* = 0.
191
Третий член в уравнении (6.26) нелинейный, так как содержит
произведение Te,kk или Токк. В большинстве задач можно считать
Тгкк Тое.кк, однако для задачи о внутреннем рассеянии энергии
при упругой деформации нелинейность имеет принципиальное зна-
чение.
Системой физических уравнений (6.26) и (1.21) описывается свя-
занная задача термоупругости, позволяющая учесть взаимное влия-
ние упругих деформаций и теплового поля.
Примеры использования связанной теории термоупругости. Для стержня в одно-
осном напряженном и тепловом состоянии система физических уравнений принимает
ВИД
8о2 = -т- + аДГ;
. д2Т	дТ	Wo , *	„
А. -д-5--с -д-----аТ -5^- + q* — О,
ах2	at	at
(6-27)
причем в значение q* можно включать приток тепла через боковые поверхности
стержня.
Пример 1. Сравнить деформацию стержня постоянного сечения при изотерми-
ческом и адиабатическом растяжении.
В первом случае (ДТ =0)
8 -А
os Е ’
а для поддержания постоянной температуры к единице объема стержня должно
быть подведено тепло
t	(То
= j q* dt = аТ0 J da0 = аТ0<т0.
о	о
Считая температуру по длине стержня постоянной, во втором случае (q* — 0)
получим из второго выражения (6.27)
_ а<7<*
Т = Тое с
или
с '	•
Деформация растяжения
в - g0 I gAT- qo (1	Еа2Т°
во2 “ ~£-+	I/ с	)'
Результаты расчета для стали при То = 1000 К и а0= 104 кгс/см2 сведены
в табл. 6.1, откуда видно, что влияние деформации на изменение температуры и ее
обратное влияние на деформацию мало. Это позволяет для подавляющего большин-
ства технических задач вести расчет температурных полей независимо от условий
нагружения, а при расчетах термоупругих напряжений считать температуру за-
данной.
192
Таблица 6.1
Параметр	Условия растяжения	
	ДТ = 0	q* =0
Деформация е02, %	0,500	0,496
Увеличение объема е0, %	0,200	0,190
Изменение температуры ДТ, К	0	—2,8
Подведенная работа А, кгсм/см3	25,0	24,8
Подведенная теплота	кгсм/см3	120	0
Увеличение внутренней энергии Д(/, кгсм/см3	145	24,8
Пример 2. Определить изменение температуры н количество подводимого или
отводимого тепла при знакопеременном изменении напряжения (по закону, пока-
занному на рис. 6.1, а) за полный цикл 0 t 4/0. Стержень находится в среде
с постоянной температурой То, теплоподвод от которой описывается формулой
q* = h (То — Г),	(а)
где Л — коэффициент теплоотдачи, отнесенный к единице объема стержня. Изме-
нением температуры по сечению и длине стержня пренебрегаем.
Введя выражение (а) во вторую формулу (6.27), получим дифференциальное
уравнение
dT
С dt
^(аЧГ + 1г} T = hT<>’
решение которого при
Т (0) = Та имеет вид
dva _ а0
dt t9
= const
н начальном условии
Т = Тне“	AL- [1 _ е~ <Л + а)7 1.
/i-f- а
0^7<^2,
где
i = A 5 = ^-1,
с	с	t®	Т$
При < 0 перед членами о надо изме-
нить знак. Ограничившись случаем а« 1,Л«1,
получим следующие значения температур во
всех характерных точках цикла:
Л= 1-а +Аа2;
•О
Т2= 1+4аа +4-/1ст;
Т3=1+а+Аа2;
О
^=1+45з-4-й5-
Рис. 6.1. К примеру об изме-
нении температуры (б) при цик-
лическом изменении напряже-
ния (а) в упругом теле в усло-
виях теплоотвода
а
т
193
Характер изменения температуры показан на рис. 6.1, б. Средняя температура
материала за цикл
Тер = 1 -)—д- а2.
Превышение средней температуры тела над температурой среды приводит к тому,
что в рассматриваемых условиях происходит отвод тепла от упругодеформируемого
тела к среде. Теплоотвод за цикл
4{°
Q= J =---------
о
Так как после каждого цикла напряжение и температура, а значит деформация,
внутренняя энергия и энтропия стержня возвращаются к исходным значениям, то
отвод тепла в окружающую среду и рост энтропии среды могут происходить только
за счет совершения внешней работы.
Если запас внешней энергии, за счет которой совершается ра-
бота, ограничен, то с каждым циклом эта энергия будет убывать..
Так, если упругую систему вывести из положения равновесия и от-
пустить, то начавшиеся свободные колебания постепенно будут
уменьшаться. Это явление называют термоупругим рассеянием
энергии.
Энергетические соотношения термоупругости. Основное энерге-
тическое уравнение связывает мощность всех внешних сил с мощ-
ностью внутренних напряжений [14 j;
jp£v(. dS + j F.v^V = dV,	(6.28)
s	v	v
где pt, FL —векторы поверхностных и объемных сил; v( —вектор
скорости; интегралы берутся по поверхности S и объему V тела.
Важной особенностью уравнения (6.28) является то, что при
его выводе используются только условия сплошности материала и
равновесия, т. е. оно справедливо независимо от физических свойств
материала.
Справедливо также уравнение
f р^ dS + j FiUi dV = J dV,	(6.29)
S	V	V
где — вектор перемещения.
В теории изотермической упругости рассматриваются два типа
вариаций уравнения (6.29).
Согласно началу возможных перемещений варьируются кинема-
тически возможные, т. е. совместимые с граничными условиями
перемещения 6и£ и деформации 6el7, а внешние силы и напряжения
остаются фиксированными. Тогда
j pi but dS + J Ffiut dV = J dV.	(6.30)
s	v	v
194
Левая часть уравнения (6.30) представляет собой вариацию ра-
боты внешних сил 6Л2. правая — вариацию работы внутренних сил.
Для изотермического упругого тела последняя величина равна
вариации потенциальной энергии деформации' б/Д, выраженной
через деформацию
6/7s = f 6/7 dV =	A, dV = б J	ejft) dV.
(6.31)
Таким образом,
6Л2 =б/72
или
6 (/7S — Л2) = 0,	(6.32)
т. е. среди кинематически возможных перемещений точек тела дей-
ствительные перемещения соответствуют минимуму полной потен-
циальной энергии системы Z7S — Л2.
Так как 17 — функция состояния, то
6/7 “ =
откуда
-	(6-33)
Согласно началу возможных изменений напряженного состояния
варьируются статически возможные, т. е. совместимые с уравне-
ниями равновесия и граничными условиями напряжения бо(;-. и
внешние нагрузки бр(-, б/7,-, а перемещения и деформации остаются
фиксированными. Тогда
j u;6p1 dS + J ufiF.^V = j e/;6o/Z dV.	(6.34)
s	v	v
Левая часть уравнения (6.34) представляет собой вариацию до-
полнительной работы внешних сил [(14]— 6Л2, правая — вариа-
цию дополнительной работы внутренних сил.
Для изотермического упругого тела вариация дополнительной
работы внутренних сил также равна вариации потенциальной энергии
деформации 6Z7S, выраженной через напряжения
' (6.35)
Таким образом,
6Д2 = б/72,	(6.36)
13*	195
т. е.' среди статически возможных напряжений действительные на-
пряжения соответствуют равенству вариаций потенциальной энергии
и дополнительной работы внешних сил.
Так как П — функция состояния, то
8П = ^7 б(Т1/ = е‘/6ст"’
откуда
<6-37)
Для неизотермической задачи теории упругости вариации работы
внутренних сил | dV и дополнительной работы j 8,/бсг,./ dV
v	v
не равны вариации потенциальной энергии деформации б/72. В об-
щем случае при выводе вариационных уравнений связанной теории
термоупругости .необходимо учитывать вариации температуры [1].
В несвязанной теории термоупругости температурное поле считается
заданным, т. е. температура не варьируется. При этом с помощью
уравнений термодинамики (6.5) и (6.7) можно установить, что изо-
термические вариации работы внутренних сил и дополнительной
работы равны вариациям двух других функций состояния.
Так,
6Л = ОцЪгц — 8U — 8Q = 8U — T8S = 8 (U — TS) + S8T
и прн 8Т — О
6Л = 6Ф,	(6.38)
где функция состояния
ф = и — TS	(6.39)
носит название свободной энергии. Из выражений (6.17) и (6.22)
следует, что изменение функции ДФ, выраженной через деформации,
по отношению к исходному состоянию равно
Е (	. ц, з \ ЕаДТ	&.Т2 ,с
ЛФ— 2(1 +ц) (,еОе// + b—2ц ~ 1 — 2ц —	(6-40)
а ее изотермическая вариация
«Ф=-тфг ('»ве« +	- т^г ,б'41'
Тогда начало возможных перемещений для неизотермической за-
дачи принимает вид
б (Ф2 - Л2) = 0,	(6,42)
где
Ф2=[дф^К	. (6.43)
196
Вариация дополнительной работы
б/1* = е./ба,,. = б (о,- а;/б8г/ = б - U + TS) - S6T
и при 8Т = О
6А* = 6Ф*,	(6.44)
где функция состояния *
ф* = аг/ег/ — U -\-TS =	— Ф.	(6.45)
Для ДФ* получаем выражение (в напряжениях)
дф* = 1+рЦст..а.; _	.	(6.46)
а ее изотермическая вариация
6Ф* =	(М°7/ -ТТ? °^kk) + ^T6akk.	(6.47)
Начало возможных изменений напряженного состояния приг
нимает вид
б As = 6Фх>	(6.48)
(6.49)
(6.50)
(6.51)
где
Фх — J ДФх^К
v
Так как и Ф, и Ф* — функции состояния, то при 6Т = 0
бф=^б80 ==М8Ф '	•
откуда
_ ЭФ
°l/ ~ дв[/ '	'
Аналогично
бФ*=^^7 = 8А’
откуда
ЭФ*
е«/-э^‘' 4
В приведенных уравнениях для ДФ и ДФ* чисто температурный
(последний) член не варьируется и его можно не учитывать, считая
формально с = се = 0. В этом случае функции ДФ и ДФ* могут
соответственно рассматриваться как потенциальные функции де-
формации и напряжения [4].
* Функцию Ф* иногда называют термодинамическим потенциалом Гиббса [15].
. 197
В случае чисто термического нагружения вариации = 6Л2 =
= 0, поэтому
Ж = 0 ]
•' 6Ф- = 0. 1	<6-52>
Для одноосного напряженного состояния
(Snv
---аДТе^
ДФ* = ^ + аДТо0.
(6.53)
(6.54)
Энергетические уравнения теорий термопластичности и ползу-
чести выводятся так же, как и для упругого тела. Отличия будут
лишь в выражениях вариаций работ 6Л и 6Л* внутренних сил [4, 14].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Балабух Л. И., Шаповалов Л. А. О вариационных уравнениях термоупру-
гости. — «ППМ», 1960, № 4, т. 24, с. 703—707.
2.	Био М. Термоупругость н термодинамика необратимых процессов. — В кн.:
Механика. М., Изд. иностр, лит., 1957, № 3, с. 68—92.
3.	Биргер И. А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности.—
«ППМ», 1951, т. 15, № 6, с. 765—770.
4.	Биргер И. А. Вариационные методы в строительной механике турбомашнн.
М., Оборонгиз, 1959, 28 с.
5.	Биргер И. А. Неравномерно нагретые стержни с переменными параметрами
упругости — В кн.: Расчеты на прочность. Вып. 7, М., Машгиз, 1961, с. 76—109.
6.	Биргер И. А. Метод дополнительных деформаций в задачах теории пла-
стичности. — «Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение», 1963, № 1,
с. 47—56.
7.	Биргер И. А. Теория пластического течения при нензоте'рмнческом нагру-
жении.— «Изв. АН СССР. Механика н машиностроение», 1964, № 1, с. 193—196.
8.	Биргер И. А. Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести. —
«Изв. АН СССР. Механика», 1965, №2, с. ИЗ—119.
9.	Биргер И. А., Демьянушко И. В. Теории пластичности прн нензотермнче-
ском нагруженнн. — «Механика твердого тела», 1968, № 6, с. 70—77.
10.	Б. Боли, Дж. Уэйнер. Теория температурных напряжений. М., «Мнр»,
1964, 517 с.
И. Ильюшин А. А. Пластичность. М.—Л., Гостехнздат, 1948, 376 с.
12.	Качанов Л. М. Основы механнкн разрушения. «Наука», 1974, 250 с.
13.	Качанов Л. М. Теория ползучести. М., Фнзматгнз, 1960, 455 с.
14.	Качанов Л. М. Основы теории пластичности. Изд. 2-е, М., «Наука», 1969,
420 с.
15.	Коваленко А. Д. Основы термоупругости. Киев, «Наукова думка», 1970,
307 с.
16.	Лебедев Н. Н. Температурные напряжения в теории упругости. Лг,—М.,
ГИТТЛ, 1937, ПО с.
17.	Мамзель В. М. Температурная задача теории упругости. Изд. АН УССР.
Киев, 1951, 152 с>
18.	Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М,, «Ма-
шиностроение», 1968, 400 с.
19.	Малииии Н. Н. Ползучесть элементов машин. — В кн.: Расчеты на проч-
ность. Вып. 14. М.г «Машиностроение», 1969, с. 217—267.,
198
20.	Мелан Э., Паркус Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными
температурными полями. М., Физматгиз, 1958, 167 с.
21.	Моррисон Д. и Шепферд В. Опытное исследование соотношений между
напряжениями и деформациями за пределом упругости. В кн.: Механика. Вып. 1.
М., Изд. иностр, лит. 1952, с. 107—124.
22.	Паркус Г. Неустаиовившиеся температурные напряжения. М., Физмат-
гиз, 1963, 252 с.
23.	Прагер В. Неизотермическое пластическое деформирование. — В кн.:
Механика. М., Изд. иностр, лит. Ха 5, 1959, с. 95—101.
24.	Работной Ю. Н. О некоторых возможностях описания неустановившейся
ползучести с приложением к исследованию ползучести роторов. — «Изв. АН СССР.
ОТН», 1957, № 5, с. 30—41.
25.	Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М., «Наука», 1966,
752 с.
26.	Работнов Ю. Н., Милейко С. Т. Кратковременная ползучесть. М., «Наука»,
1970, 222 с.
27.	Соколовский В. В. Теория пластичности. Изд. 3-е, М., «Высшая школа»,
1969, 608 с.
28.	Христиаиович С. А., Шемякин Е. И. О плоской деформации пластического
материала при сложном нагружении. — «Механика твердого тела», 1969, № 5,
с. 138—149.
29.	Шорр Б. Ф. Влияние неравномерного нагрева в условиях ползучести на
изменение напряженного состояния. — «ДАН СССР», 1958, т. 123, Хе 5, с. 809—812.
30.	Шорр Б. Ф. К расчету на неустановившуюся ползучесть неравномерно
нагретых стержней произвольного поперечного сечения. — «Изв. АН СССР. ОТН.
Механика и машиностроение», 1959, № 1, с. 89—96.
31.	Шорр Б. Ф. К расчету неравномерно нагретых цилин/фов в упругопласти-
ческой области. — «Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение», 1960,
№ 6, с. 57—62.	1
32.	Шорр Б. Ф. Основы расчета на ползучесть неравномерно нагретых дета-
лей. — В кн.: Прочность и деформация в неравномерных температурных полях.
Под ред. проф. Я. Б. Фридмана. М., Госатомнздат, 1962, с. 183—239.
33.	Шорр Б. Ф. Метод дополнительных функций в задачах механики неизо-
термически деформируемых тел. — В кн. Тепловые напряжения в элементах кон-
струкций. Вып. 14. Киев, «Наукова думка», 1974, с. 13—18.
ГЛАВА 5
Основы теории знакопеременной и циклической
термопластичности и ползучести
1. Знакопеременная термопластичность
Основные положения. Для более полного описания развития пла-
стических деформаций противоположного знака по теории течения
необходимы дополнительные опытные данные.
Рассмотрим вначале упругопластическое растяжение-сжатие при
постоянной температуре. Растянув образец до величины пластиче-
ской деформации е^, а затем разгрузив и подвергнув его сжатию,
получим кривую деформирования Ь123, показанную на рис. 1.1.
Проведя подобные испытания для серии образцов, растянутыхУдо
разных значений е^, а также использовав опыт при сжатии без
предварительного растяжения, можно наряду с кривой деформиро-
.вания АА получить кривую начала пластического деформирования
при изменении знака напряжения—линию ББ. Между этими
кривыми заключена упругая область. Средняя линия этой области,
равноудаленная от кривых прямого и .обратного деформирования,
показана штриховой линией ОВ.
Обозначив координаты кривой АА — мгновенные пределы те-
кучести при прямом деформировании — через а координаты
кривой ББ — мгновенные пределы текучести при обратном дефор-
мировании — через а?, найдем координаты средней л^нии
*«=	о-1)
и мгновенную ширину упругой области
2сг’ = сг+ — а~,	(1.2)
где От — величина возможного изменения упругого напряжения
в ту или другую сторону от средней линии.
Понятие о мгновенной ширине упругой области позволяет от-
делить общее (изотропное) упрочнение от направленного (анизо-
тропного). Изотропным упрочнением материала будем называть воз-
растание ширины упругой области с увеличением пластической де-
формации, изотропным разупрочнением — убывание ширины упругой
области и, наконец, стабильно пластичным состоянием (или просто
стабильным) — сохранение постоянной ширины упругой области
2<Тт = const.	(1.3)
200
Для большинства конструкцион-
ных материалов изотропное упроч-
нение или разупрочнение прояв-
ляется в начальной стадии пласти-
ческого деформирования, а затем,
обычно, устанавливается стабильно
пластичное состояние с постоянной
шириной упругой области.
Что касается смещения упругой
области в целом, характеризующееся
функцией оа (eg), то оно отражает
анизотропное упрочнение материала
в направлении действия напряже-
ний. При прямом нагружении оба
типа упрочнения действуют в одном
направлении, при обратном — в про-
тивоположном, что приводит к умень-
шению величины | оф" | по сравнению
с а+, т. е. к так называемому эф-
Рис. 1.1. Схема знакопеременного
упругопластнческого нагружения
фекту Баушингера.
В соответствии с данными рис. 1.1 при достигнутой пластической
деформации eg действующее напряжение о0 представляется в виде
суммы
°0 = °0 + ста>
(1-4)
где сто иногда называют активными напряжениями, а <та — оста-
точными микронапряжениями, так как анизотропное упрочнение
может быть объяснено наведением в теле системы внутренних микро-
напряжений [13, 20].
Е'сли абсолютная величина активных напряжений о’ достигает
значения сгт, соответствующего деформации eg, и напряжение а0
продолжает изменяться в том же направлении, в котором действует
активное напряжение о^, то будет происходить упругопластическое
деформирование, т. е. условия текучести имеют вид
|ао| = 0т (eg);	(1.5)
орс(сг0>0.	(1.6)
Текучесть наступает как при Oq = оу (в точке 1 на рис. 1.1),
таки при (То =—оу (в точке 2). В обоих случаях изменение пласти-
ческой деформации deg совпадает с направлением активного на-
пряжения ст*, т. е.
oodeg>0,	(1.7)
но темп дальнейшего развития пластического течения оказывается
различным.
При догружении в том же направлении пластическая деформация
развивается по кривой 1А, являющейся продолжением начальной
201
кривой Al, а после изменения знака напряжения — по кривой 23,
имеющей вид, близкий к участку начальной пластической дефор-
мации А1.
При дальнейшем знакопеременном нагружении кривые зависи-
мостей со — f (£S) и аа = f (ео) приобретают сложный петлеобраз-
ный вид-(рис. 1.2). Если изменение пластической деформации на
участках 12 и 13 по величине одинаково, то изменение ширины упру-
гой зоны на этих участках тоже примерно одинаково, так что аТ2 «=
оуз- Следовательно, изменение ширины упругой области 2ат
по мере развития пластической деформации, в том числе и при пере-
мене знака, т. е. изотропное упрочнение, представляет собой необра-
тимый, хотя и не обязательно монотонный процесс, зависящий от
накопленной пластической деформации:
a; = /(eg.),	~	(1.8)
где
< = f Ы\.
(1-9)
Совершенно иначе меняются координаты средней линии упру-
гой зоны аа, описывающие процесс анизотропного упрочнения. На
рис. 1.2 видно, что при .каждом изменении направления пластиче-
ского деформирования они меняются по величине, следуя по направ-
лению за изменением пластической деформации, так что производная
£а = -^-	(1.10)
всегда положительная. При значительном развитии пластической
деформации противоположного направления микронапряжения аа
меняют знак (на рис. 1.2 сга1 > 0, а ста2 <0). Это-указывает на
хотя бы частично обратимый характер анизотропного упрочнения.
При каждом изменении направления пластической деформации ани-
зотропное упрочнение начинает развиваться как бы заново.
202
Рис. 1.3. Диаграмма деформирования при линейном анизотропном упроч-
нении:
а — а’ = const; б — ат — f (eg*).
Простейшую идеализацию свойств материала при знакоперемен-
ной нагрузке дает стабильно пластичный материал (о*т — const)
с линейным анизотропным упрочнением, диаграмма деформирования
которого показана на рис. 1.3, а [12, 21 ]. В этом случае между мгно-
венным значением пластической деформации и остаточными микро-
напряжениями аа имеется однозначная связь
aa = Easg,	'	(1-11)
так что активное напряжение
а; = а0-Еае§.	(1.12)
При удовлетворении условий (1.5)—(1.6) приращение пласти-
ческой деформации
deS=(J-_-L)dao,’	~ (1.13)
где Ек — обычный касательный модуль. В данном случае
deo = 1 _ 1 _ 1	-	(1.14)
da0 Ек Е Еа '
Учет произвольного изотропного упрочнения не вносит прин-
ципиальных усложнений, если анизотропное упрочнение остается
линейным (рис. 1.3, б), так как при этом между eg и аа сохраняется
однозначная зависимость (1.11). Теперь
deg 1	1	1.’
^о’ = £к«)~”ёг=: £а + £'М) ’	(1Л5)
203
так как при Сто = сг* (ео,)
deg _ deg _____________________1
do0 <foa + <foo £a + £’(8o.)
где
£ (eo.) — —7- «)•
dso.
Первое условие текучести (1.5) принимает вид
1ао| = ат«)>
и при удовлетворении условий (1.17) и (1.6)
deg =--------.
и	Г' .	Г'* / П \
(1.16)
(1-17)
(1-18)
В общем случае произвольного анизотропного упрочнения
doa = EadeS,	ч	(1-19)
где значения Еа зависят не только от напряжения и деформации
в данный момент нагружения, но и от предыстории (см. рис. 1.2).
Для приближенного учета переменных нагружений можно исполь-
зовать деформационную теорию в приращениях (см. раздел 4 и ра-
боту [31 ]).
Знакопеременное нагружение при меняющейся температуре *.
Характеристики неизотермического деформирования получают из
двух серий опытов на растяжение-сжатие [4]:
а)	При различных постоянных температурах определяют кри-
вые прямого и обратного с? пластического деформирования,
по которым устанавливают зависимости сгт (eg,, Т), Е (eg,, Т)
и оа (е§, Т).
б)	При различных постоянных напряжениях <т0 и возрастающей
температуре определяют зависимости е0 = f (о0, 7) и р =	=
= f Т). Проведя при разных температурах разгрузку от напря-
жения <?+ = <т0 до нуля и затем нагружение противоположного знака,
можно найти значения фГ и определить по формулам (1.1)—(1.2)
функции
доа до* 1 до~
* Сравнение диаграмм деформирования при различных температурах О/=
= f (8л Т) показывает, что в некоторых случаях они могут быть приближенно
представлены в виде одной зависимости 07 = f (е(), где о — о/оа^, е = Ее/аПц>
а влияние температуры учитывается функциями от нее предела пропорциональ-
ности аПц (7) и модуля упругости Е (Т). В некоторых работах относительные
напряжения о и деформации е используются для приближенного решения неизо-
термических задач (15, 29].
204
Экспериментальные данные по значениям ат при возрастающей
температуре еще отсутствуют. Приближенные значения производ-
ила <4
ных -37- и можно наити, если предположить, что существуют
поверхности неизотермического прямого и обратного пластического
деформирования F+ (сг0, eg, Т) = 0 и F~ (<т0, eg, Т} = 0, сечения
которых при Т — const совпадают с экспериментальными кривыми.
В этом случае зависимости оу (eg,, Т) и <за (sg, Т) будут справед-
ливы и при меняющейся температуре. Тогда
. da* „ da*	„ „	da*	
daT— p dto* 4- d.T E de0, -	dT	(1.21)
daa = deg + ^-dT = £adeg (»/	-^-dT. dT	(1-22)
Ограничимся случаем линейного анизотропного упрочнения,
когда при меняющейся температуре
ffa = £a(T)8g,	(1.23)
так что
1г<1-24)
и	..
doa = Eadtf + tf^dT.	(1.25)
Для развития, пластической деформации необходимо, чтобы аб-
солютная величина активных напряжений | ф, | достигла и осталась
равной значению ат (eg,, Т) при изменении eg, и Т, т. е.
sign ао-ао = <£ И*» 71);	(1.26)
signag. dag — da*.	(1-27)
Так как с учетом выражения (1.25)
dog = dff0 — dva = da0 — Eadsg — sg ^-dT,	(1.28)
то, подставив в уравнение (1.27) значения da*o и do? по форму-
лам (1.28) и (1.21), найдем
. Г da* , dEa 1
signa0-da0—	+ sign a0-8g——- dT
<ч - —<‘ »)
и
^®g = sign ф-deg..
;	205
Величина deft может иметь произвольный знак, но приращение
величины deSt в соответствии с выражением (1.7) положительно, что
возможно, если
Г	dEa "I
sign сг’-cfcr0> + signoj-^-J dT.	(1.30)
dE	^ат
Значения  ^д~, как и обычно отрицательны. Возрастание
пластической деформации при нагреве и сг0 = const в направлении
ранее достигнутой деформации, когда signo^-eg > 0, и в обратном
направлении, когда sign og-eg <0, оказывается различным, что
.связано с уменьшением остаточных микронапряжений при нагреве.
Теория неизотермического пластического течения с линейным
анизотропным упрочнением. При сложном напряженном состоянии
компоненты девиатора напряжений st7- представляются в виде суммы
компонентов активных напряжений st/- и остаточных микронапря-
жений at/-
sij — sij +	(1-31)
а компоненты девиатора деформаций et/, как-обычно, в виде суммы
упругой eq и пластической ef, = ef,- части
= +	(1-32).
Обобщая предыдущие результаты на.неизотермическое нагруже-
ние при сложном напряженном состоянии, примем следующие до-
пущения [12,21,4]:
1.	Приращения def/ пропорциональны компонентам з*ц:
dePi} = s*/dX’,	(1.33)
где А* — скалярная функция температуры Т и накопленной пла-
стической деформации ef, = J def,, причем
def, =	A def,-def/ =	'	0 -34)
где
а’ =	z	(-1.35)
/
— интенсивность активных напряжений. Из выражений (1.33) и
(1.34) следует, что
3 s*.
=	(1.36)
Z (У.
206
2.	Компоненты ац, характеризующие смещение центра упругой
области вследствие пластической деформации, пропорциональны
компонентам грц (гипотеза кинематического упрочнения [12, 21]):
=	(1.37)
где при линейно-анизотропном упрочнении Ха — скалярная функ-
ция только температуры Т. Интенсивность остаточных микрона-
пряжений
= У^аиаи= 4-М?.	(1.38)
Из выражений (1.37) и (1.38) следует
2а.
^-4е?Р	<1-39)
причем
3.	Условия развития пластической деформации требуют, чтобы
интенсивность активных напряжений о? достигла значения оу (s^, Т)
и осталась равной от при изменении значений 8?ж и Т, т. е.
а? = а;К, Т);	'	(1.40)
=	Г),	(1.41)
где
<!’'=‘‘(У45‘Л)=^!-.	(l42)
На основании формул (1.31) и (1.37) получим
da? =Л- (dSii - datl) = ГdSil - Kd^ - ef; dT] (1.43)
или с учетом-выражений (1.36), (1.35) и (1.37)
do* = da:--- oia У^-dT,	(1.44)
z	Ла ai	.
где
, -	3s* ds,,
Z = (h45)
(1.46)
207
Величины da'i и ст;а могут рассматриваться как проекции векто-
ров doi и <yia на направление вектора <jj (см. раздел 4 гл. 4).
При простом нагружении значение da'i совпадает с dot, a u'ia —
с сггд. При s"a dSif. = 0 (или dot I ст*), что для постоянной темпера-
туры соответствует нейтральному нагружению, dtj't — 0. При —
= 0 (или (jja I ст*) (jja = 0. В общем случае 0	(dui | da/ и
0 | СТ/а | ИСа*
Так как doT является полным дифференциалом, то
, да*	да*
da^ =dtf -------— dT.
де? *~ дТ
(1.47)
Приравняв в соответствии с формулой (1.41) выражения (1.44)
и (1.47), найдем
, '	/ до* ' 1 dk \
“% — -----------------
да^ ч
т-у + ~2~^а
Выражение (1.48) справедливо при любом напряженном состоя-
нии, в том числе при растяжении, когда
да* да*
y=#=£('s'T)
и
Z7 /'ТП
_=_=е£о(п,
(1-48).
(1.49)
(1.50)
т. е.

Основная формула для приращения накопленной пластической
деформации принимает вид
л,;-
d. _	 (аг + е. д- /
f’	Е* 4- Еа /
(1-51)
где
£’ = £*(е?ф,Т), Еа = Еа(Т).
В частном случае, когда Еа = 0 и а(1- = 0, выражение (1.51)
переходит в формулу (3.49) гл. 4 теории изотропного течения.
Однако из выражения (1.51) видно, что пластическое течение
с анизотропным упрочнением возможно и для стабильно пластичных
материалов при постоянной ширине упругой зоны (стг = const.
Е* = 0).
В соответствии с выражением (1.51) условие необратимого раз-
вития пластической деформации (def, >> 0 при <т£ = сгт) принимает
вид’
do-;
(1.52)
дТ Еа dTJ
При постоянной температуре это условие сводится к требованию
d<>0	(1.53)
или с учетом выражения (1.45) к
(1-54)
Подставив формулу (1.51) в выражение (1.36), получим основное
уравнение теории неизотермического знакопеременного пластиче-
ского течения
def^^d^ + ^dTK-,	(1.55)
где при линейно-анизотропном упрочнении
3	1
р„ = —г —•-----;
2< Е ±Еа
, _	, Oil dEa
г — дТ “г Еа dT г
(1-56)
(1-57)
Уравнение (1.55) может быть также представлено в виде [4]
<^8f/ — (Fо d°i Н- Рт ) Si/>
где
а 2о* \£к	Е/1—е
Р __ р
р—
ctoo *
(1.58)
(1-59)
(1.60)
(1-61)
При этом в случае стабильно пластичных материалов, когда
е = 1 и do* = 0, требуется специальный предельный переход.
Определив dsf/, по формуле (1.39) с учетом выражения (1.50)
находим
da4 = ld(Ea^i') = ^{Eadzpii + eii^dT')t	(1.62)
209
а затем по формуле (1.31) — значения
dsn = ds^ — dan-	(1.63)
Рассмотренные в разделе 3 гл. 4 методы расчета применимы
с некоторыми поправками и к расчетам при знакопеременных нагру-
жениях.
В методе переменных параметров упругости значение с/сг/ со-
гласно выражению (1.45) представляется в виде
3s), do,,
do,- = -F ,	(1.64)
2af
так как
= б ijSi j = 0.
По формуле (1.55) приращение пластических деформаций
d^j = F„ (ef Т)sii doki + Т, aia)s’fdT. (1.65)
2	°i
Сопоставив выражения (1.65) и (3.54) гл. 4, видим, что расчет
можно вести по формулам раздела 4 гл. 4, если заменить в иих ком-
поненты Sij — aif — 6t;a на st/-, а параметры Fa и FT соответ-
ственно на F*a и F*T.
При малых этапах нагружения определяются средние параметры
упругости за n-й этап и проверяется первое условие текучести о; —
= о) по значениям efj"-1’,	и Gialn~l> конца преды-
дущего этапа. Для точек, где с заданной точностью удовлетворяется
условие
„*(«—!) __Г 1)	1)
Uj	— UT	, 1
(1.66)
предполагается пластическое течение, а для остальных — упругая
деформация. Решив задачу об изменении напряжений Дсг;"’ и де-'
формаций Ае(-;’ в упругом анизотропном теле с дополнительными
деформациями, находят значения
До) («) =
к i	*• /
2a)(n—
(1-67)
Затем проверяют выполнение второго условия текучести в пла-
стических точках
До: <">
I
дТ J ' р(п—О
!	с а
/ dEa
\ dT )
&TW-
(1-68)
210
и, если оно не выполняется, производят перерасчет при F*a = F* = 0.
Если оно выполняется, то находят
‘	\ дт /	' £•<«—о \ dT ;
—	£* (п-d , £(л-1)	‘>	(1 -69)
с т па
М/',, = ^=ТГД^<',);	(1-70)
Да^=4 [Е^ Де?/',) + е?/'’~1)	;	(1.71)
Аз!И = As('‘> —Да<ю,	(1.72)
что позволяет найти новые значения тензоров , aijn}, atf, е*"’,
ef/<"> и величин ef/"’, 07 <rt>, и перейти к следующему этапу
расчета.
Аналогичные поправки должны быть внесены в решение методом
дополнительных деформаций.'
Теория неизотермического пластического течения с нелинейным
анизотропным упрочнением. Основная трудность теории произволь-
ного анизотропного упрочнения связана с принципиальной необхо-
димостью учета неоднозначного поведения материала в зависимости
от истории и направления нагружения [1 ]. Поэтому предложенные
в ряде работ однозначные зависимости величины Еа = от ка-
кого-либо одного параметра оказались справедливыми лишь для
частных видов нагружения: нелинейная зависимость вида Еа (сгд)
[13] — при однократном активном нагружении; зависимость
Еа (оо)— [2] — при симметричном циклическом нагружении. Не-
которые авторы уточняют условия начала пластической деформации
в зависимости от истории нагружения, но не учитывают различия
в темпах дальнейшего развития пластической деформации по раз-
ным направлениям' [10]. Расчеты при чисто циклическом нагруже-
нии можно вести по экспериментальным кривым с учетом их пере-
строения от цикла к циклу [32], но для расчетов при произвольных
путях нагружения этих данных недостаточно.
Ниже кратко изложен возможный способ построения теории пла-
стического течения с учетом истории и направления нагружения.
Из экспериментальных данных, схематизированных на рис. 1.2,
видно, что при каждом изменении направления нагружения кривая
остаточных микронапряжений сго вначале резко меняется, а затем
приближается к прямой линии с тем же наклоном Еа — ^г,
“еб
что и при первом нагружении. Для первого нагружения (рис. 1.4)
211
Рис. 1.4. К определению параметров
<та, Ет, р по кривой аа (eg)
такой характер зависимости аа (ео)
описывается при Т = const- диф-
ференциальным соотношением
dOg __ с __ с ।
— ‘-а — Т-аО ।
+ ₽[(Та — (0Га — Еа08?)],	(1-73)
где Еа0, р, £га — положительные
константы. В первый момент eg —
= 0, ста = 0 и Еа = Еа0 + Р(та >
> Еа0. По мере увеличения е₽
увеличивается и сга, причем бы-
стрее, чем величина EMsg. Когда
разность сга — EaOeg достигает зна-
чений, близких К (Та, производ-
dOa
ная —— принимает постоянное
deg
значение Еа = Еа0. Постоянные Еа0, р, аа определяются по кри-
вым сга = f (eg, Т) при различных постоянных температурах.
Проинтегрировав выражение (1.73) при Еа0, Р, cra = const и
начальном условии (Та = 0 при eg = 0, получим
оа — ЕаОе§ -j- сга V1 — е
По предельной касательной к кривой cra (eg) найдем Еа0 =
= да— Оа (см рИс. 14), а по значению е₽ , соответствующему точке
eg
(Та = <Та, — величину
J-ln-2^.
8о ^а0е0
(1.74)-
Чтобы обобщить зависимость (1.73) на случай напряжений раз-
ного знака, примем
= Еа = Еа0 4- р [fffl — sign (То ((Та — ЕаО^У]-	(1-75)
deg
Проинтегрировав выражение (1.75) при Еа0, р, са = const и
начальном условии аа = при eg = egH, получим
(Та = Еа0 (el) — е§н) + (Тан + [sign (ТО • Ста — ((Тан —
(1.76)
212
При значительном развитии пластической деформации в том или
другом направлении <т„ асимптотически приближается к соответ-
ствующей прямой sign оо-Оа + ЕаОео- При перемене знака сто в пер-
вый момент Еа — Еа0 + 2|3(та, затем значение Еа постепенно умень-
шается до Еа0, а аа приближается к противоположной предельной
прямой. Таким образом, дифференциальное соотношение (1.75) опи-
сывает различное поведение материала в зависимости от соотноше-
ния знаков и величин оа, eg и ctq. На рис. 1.5 показаны некоторые
процессы знакопеременного нагружения, описываемые зависи-
мостью (1.75) и хорошо согласующиеся с экспериментальными кри-
выми [1, 32]. В общем случае интеграл выражения (1.75) имеет вид
еР
ео
(Уа = Еаоео + j₽ [<т0 — sign (То (ца — Еаоео)] deo,	(1.77)
о
т. е. остаточные микронапряжения иа представляются в виде суммы
«упругой» части EaosS, определяющейся конечным значением eg,
и «неупругой» части, зависящей от истории нагружения, что соответ-
ствует теоретическим представлениям, изложенным в работе [19].
Определив Еао, па и (3 при разных температурах и осреднив 0
в нужном диапазоне температур, для каждой температуры найдем
положение предельных прямых sign (То-сга (Г) ф-fao (Т) eg. Если
(та соответствует предельным значениям, то при eg = const
5Т SIgnCTo dT ‘ е° dT 
Рис. 1.5. Некоторые процессы знакопеременного нагружения,
описываемые зависимостью (1.75):
а — при <7Т — const; б — для изотропно упрочняющегося материала
213
Чтобы найти значение производной в общем случае, пред-
ка — £а080	.
положим, что отношение ----=--, меняющееся в пределах от—1 до
+1 и характеризующее положение точки между предельными пря-
мыми, при изменении температуры не меняется. Тогда
д [°а~ЕаОъ%\ п
дТ 1	~	— U

и
два _ aa~EaOeS d<Ja । „п dEm
дТ — ~Qa ' dT  0 dT •
(1.78)
Полное приращение остаточных микронапряжений
doa = Еа deg +	<ya]dT, (1.79)
где Еа определяется по формуле (1.75).
Для сложного напряженного состояния в соответствии с выра-
жениями (1.62) и (1.79) примем
da„ = j Е.dzl, + [4 (^ -	+ 4-.^a^dT.	(1.80)
Подставив dctij в формулу (1.42) для dcr*, получим
d„-=- еа d^ - Г(^ -	 ф) (t?)- + 4- 	1 <17-,
L\	иа '	иа	J
(1.81)
где da'i определяется по формуле (1.45); щ-а — по формуле (1.46), a
S* ₽р
= (L82)
Величина (ef) представляет собой проекцию вектора в? на на-
правление вектора ст*. При Еа = Еао справедливо соотношение Uia =
= Еа (epi) , но в общем случае эти величины не равны.
Приравняв выражения (1.81) и (1.47), с учетом формулы (1.49)
найдем, что
Е* + Еа
(1.83)
214
где Е* = f Т). Для определения Еа следует учесть, что для
одноосного напряженного состояния
(к84)
I ff0 |
(sf)'=-р^г = sign<TQ-eg,	(1.85)
I сто|
так что при сложном напряженном состоянии формула (1.75) при-
нимает вид
Еа = Еа0 + ₽ {Д. ~ [<а “	(eg)']).	(1.86)
Общий порядок расчета остается таким же, как было изложено
выше.
Уравнение (1.80) при определении Еа согласно формуле (1.86)
представляет собой разновидность более общего уравнения [4]
daij = Aijkideki + Bijkidki d^i А-Сцы (c>ki — aki) dXi,	(1-87)
где тензорные величины А, В, С и скалярные функции Л2 зависят
от инвариантов напряженного и деформированного состояний.
2.	Циклическая термопластичность
Основные положения. Для деталей машин наиболее типичными
условиями работы являются многократно повторяющиеся нагру-
жения и нагревы.
Обычно в расчет могут быть введены некоторые эквивалентные
циклы, которые позволяют приближенно описать поведение детали,
как подвергающейся строго периодическому воздействию определен-
ных нагрузок и температуры. Применительно к таким процессам
можно использовать термины циклическая термоупругость — при на-
личии только упругих деформаций, циклическая термопластич-
ность— в случае пластического течения, циклическая ползучесть —
при развитии деформаций ползучести.
Расчет циклических термоупругих деформаций не связан- с ка-
кими-либо принципиальными особенностями и может быть проведён
обычными методами термоупругости (см. гл. 4). Циклическая пол-
зучесть рассмотрена в разделе 4, а этот раздел посвящен изложению
теории циклической термопластичности.
Так как циклические процессы представляют собой частный слу-
чай процессов при меняющихся внешних воздействиях, в том числе
и знакопеременных, то их анализ можно вести путем последователь-
ного расчета, переходя от цикла к циклу и используя те же методы,
что при произвольно меняющихся нагрузках и температурах. Такой
215
подход позволяет детально проследить закономерности перестроения
картины напряжений и развития пластических деформаций в детали,
но наталкивается на определенную трудность. Дело в том, что в на-
чальный период нагружения, охватывающий несколько первых цик-
лов, характеристики изотропного и анизотропного упрочнения мате-
риала обычно меняются наиболее сильно [32, 35). Но эксперимен-
тальных данных мало, поэтому в расчетах приходится пользоваться
теми или иными допущениями о свойствах материала (например,
считать упругую область постоянной, т. е. 2<Тт = const). При этом
расчет последовательных циклов становится математическим при-
емом, а не исследованием физики явления. Однако цикличность на-
гружения приводит к проявлению новых, специфических явлений,
таких как приспособляемость и периодичность некоторых характери-
стик. Поэтому применительно к циклическим процессам с большим
числом циклов целесообразно применять особые методы экспери-
ментального исследования и расчетного анализа.
Если образец подвергается многократным повторным нагруже-
ниям и нагревам, то его деформация после нескольких первых циклов
обычно приобретает стабильно повторяющийся характер, который
при умеренных изменениях внешних нагрузок' может сохраняться
в течение многих циклов. При заданных изменениях деформаций
такая стабилизация циклов обычно наступает для напряжений. В не-
которых случаях деформация при стабильных циклах становится
полностью упругой, что позволяет говорить о полной приспособляе-
мости. В других случаях пластическая деформация продолжает на-
капливаться, но так, что ее изменение в каждом цикле становится
одинаковым — это характеризует частичную приспособляемость.
При частичной приспособляемости размеры детали могут колебаться
в неизменных пределах или меняться с каждым циклом в определен-
ном направлении, что ведет к циклическому формоизменению [7, 9].
Стабилизация свойств материала имеет важное практическое зна-
чение, так как благодаря этому многие ответственные конструкции
выдерживают большое число циклов повторных нагружений и на-
гревов.
Если деталь подвергается относительно небольшому числу ци-
клических воздействий, приходится считаться с изменением харак-
теристик цикла в зависимости от его номера, что требует непосред-
ственного экспериментального изучения. Некоторые данные по этому
вопросу для нагружений при неизменной температуре приведены
в работе [32]. Перестроение циклов при меняющейся температуре
изучалось в работе [35],‘ но этих данных недостаточно для исполь-
зования в расчетной практике. Дальнейший анализ в основном от-
носится к нагружению детали большим числом циклов, когда влия-
нием начальных нестабильных циклов можно пренебречь.
Изотермические циклы при одноосном напряженном состоянии.
На рис. 2.1 показан изотермический стабильный цикл при одноос-
ном напряженном состоянии, который может быть охарактеризован
шириной петли гистерезиса — AeJ, равной абсолютной величине
пластической деформации каждого полуцикла нагружения.
216
Полный размах деформаций Де0 свя-
зан с размахом напряжений Дст0 и вели-
чиной Asp соотношением
Д80 = Де? + ^.	(2.1)
При стабилизации свойств материала
после большого числа циклов нагружения
или деформирования одним и тем же зна-
чениям ст0 max и (То га1п должны соответство-
вать вполне определенные значения ши-
рины петли Дер; и размаха полных дефор-
маций Де0, хотя положение петли вдоль
оси s0 (средняя деформация еОот) может
быть различным. Вместо (т0 Ш1П, стОгаах
можно использовать размах напряжений
Д(т0 и их среднее значение о0т.
Проведя серию опытов на повторное
нагружение или деформирование и полу-
чив стабильные циклы, можно установить
висимость
Де0 — f (Д^0> °0т).
Рнс. 2.1. Характеристики
стабильного цикла
экспериментальную за-
(2.2)
Опыты показывают, что влияние стОот на форму и размеры петли
гистерезиса невелико, что позволяет представить выражение (2.2)
в виде
Де0 « f (Да0).
(2.3)
Зависимость (2.3), или в обратном виде Дст0 «=* ф (Де0), которая
может быть названа диаграммой циклического деформирования, от-
ражает особые циклические свойства материала [37].
При стабильных циклах ширина упругой зоны 2стт, начиная
с некоторого значения накопленной пластической деформации &ор
становится постоянной и не зависящей от е^, т. е.
«	. 4от
ст„ = const или Е =-----= 0.
т	<4
(2-4)
Условие (2.4) позволяет указать некоторые приближенные спо-
собы построения диаграммы циклического деформирования.
1.	Если пренебречь изотропным упрочнением и считать стт
«=! стпц == const, то кривая растяжения ст0 = f (е0) перестраивается
в кривую Дст0 = f (Двд) путем смещения начала координат, как
показано на рис. 2.2.
217
(2.5)
(2-6)
2.	С учетом начального изотропного упрочнения, когда сгт. >
> сгпц при линейном анизотропном упрочнении (см. раздел 1), для
стабильного цикла справедливо соотношение (рис. 2.3)
До,п = Е„ Де₽ 4- 2сг*
откуда с учетом выражения (2.1)
Део — — (Дао — 2<Тт) +	•
3.	При произвольном анизотропном упрочнении зависимость (2.3)
может быть построена по кривой cra = f (ео) путем интегрирования
соотношений (1.75).
Использовав зависимость (2.3) и записав уравнения равновесия,
сплошности и граничные условия в размахах внешних нагрузок,
напряжений, перемещений и деформаций, придем к задаче о цикли-
ческом деформировании детали. Методы решения такой задачи пол-
ностью совпадают с расчетом упругопластических деформаций по
деформационной теории (см. гл. 4), если все величины в формулах
заменить на их размахи и, в частности, вместо кривой упругопласти-
ческого деформирования сг0 = Де0) использовать кривую цикли-
ческого деформирования Да0 = /(Де0). Введя секущий модуль диа-
граммы циклического деформирования (см. рис. 2.2)
р ____
с-ц“ Де0 ’
можно определять - размахи пластической деформации по формуле
(2.7)
'С. ц
(2-8)
218
Для нахождения о0т и епт в общем случае необходим последова-
тельный расчет напряжений от цикла к циклу. Приближенно можно
ограничиться расчетом первого цикла, так как именно он оказывает
основное влияние на положение петли в координатах ст0, е0.
Изотермические циклы при сложном напряженном состоянии.
Простое циклическое нагружение. Пусть в результате начальных
циклов деформации в теле возникли остаточные микронапряже-
ния aijm, равные компонентам девиатора средних напряжений цик-
ла sijm. Если дальнейшие циклические нагружения будут проис-
ходить таким образом, что соотношения между компонентами де-
виатора активного напряжения s*;- останутся неизменными (вектор щ
сохраняет постоянное направление или поворачивается на 180°)
з* ds*.
=	= const,	(2.9)
а£ d<Ji
то такое циклическое нагружение назовем простым. В данном случае
значения
(2.Ю)
и
совпадают.
На участках упругой деформации (при о*{ < <тт) остаточные
микронапряжения не меняются, daif = 0 и dsij = dsij, так что
/ ds ,
-4 = =^ = const,	(2.12)
<т. d<r£ -
где
=	(2-13)
В отличие от da} значение da£ при простом циклическом нагру-
жении и произвольных значениях среднего напряжения цикла sijm
может отличаться отз г1ст£ =	j/-|-s(/s£/j.
На участках пластического течения при стабильных циклах
(<т£ = о* = const) активные напряжения не меняются, dsi£ = 0 и
dslS — daLj, или с учетом формул (1.80) и (1.36)
dSii — ~Еа dS?/ = EaS-4- dtf ,	(2.14)
<	a.
219
откуда		
da,. =	-Eadepit\	(2.15)
d5,.;	s. •	
t /	= —r = const	(2.16)
da;		
и	3ds,..	
de?. =	= —=^- dee,	(2-17)
11	2d<j£	‘‘	
где, как обычно, de? = 1/ 4 de? .de?.,
f о Ч *7
Интегрируя выражения (2.16) и (2.17) в пределах полуцикла,
получим
- Aat-	S-. —= const	(2-18)
и	3As,,	
Де?. — И	од— Де?  2 Да,.	(2.19)
Под величинами Де?, и Дз£/ понимают алгебраические разности
вида
Де?. = е?.<2) — e?J!),
ч ч ч ’
где индекс 2 относится к концу полуцикла, а индекс 1 — к началу.
Значения Де£;- и Дз£/ могут быть как положительными, так и отри-
цательными. Для следующего полуцикла их знаки меняются на
противоположные, а под размахом понимается абсолютное значение
соответствующей величины. Разности Де?/ и Д$£;- имеют те же свой-
ства, что и величины ef/ и s£/-. Так, их средние значения равны нулю,
а интенсивности
Д^= J/<|-As£/As£/	(2.20)
и
Де?. =	<2-21)
Однако, если Де?* = е?,(2> — е?*(1>, то величина Да£ не равна
разности а£2>—ар. Например, при симметричном цикле средние на-
пряжения Sijn = 0 и значения а£2) = ар, но Да£ =f= 0. При растя-
жении-сжатии Да£ = Да0, Де?* = Де§ и с учетом выражения (2.8)
формула (2.19) принимает вид
Де?/ = y f ~~ё)	(2.22)
220
Она полностью совпадает с соответствующей формулой (2.22)
гл. 4 деформационной теории пластичности, если заменить £с на Ес ц,
а е?/, St, на разности Де?,, Дз(-/. Таким образом, и при сложном на-
пряженном состоянии в случае простого циклического нагружения
можно применять метод решения задач деформационной теории
пластичности, если использовать разности функций Aef/, Дз,/ и
кривую До0 = f (Де0).
При сложном циклическом нагружении переменный вектор Дог
может отклоняться от прямолинейного направления. Если это откло-
нение не очень велико (т. е. преобладает переменная нагрузка од-
ного вида), то для расчета размахов напряжений и деформаций в пер-
вом приближении также можно пользоваться изложенной выше тео-
рией — подобно тому, как деформационную теорию пластичности
с успехом применяют для расчетов процессов сложного нагружения
при каком-либо преобладающем виде нагрузки (см. гл. 4).
Если имеются экспериментальные данные по изменению кривой
деформирования в зависимости от номера цикла, то, применив ука-
занный метод расчета последовательно к каждому полуциклу, можно
получить более полную картину изменения напряжений и дефор-
маций от цикла к циклу [32].
Неизотермические циклы. Пусть в некоторой точке тела, нахо-
дящейся в одноосном напряженном состоянии, известны законы из-
менения напряжения о0 (?) и температуры Т (t) с периодом ta, т. е.
при условиях
о0 (/ + t0) = <т0 (/);	(2.23)
T(t +t0) = T(t).	(2.24)
Как всегда, в задачах термопластичности величина t может
означать не только время, но любой параметр, определяющий про-
текание' процесса.
На рис. 2.4, а приведены графики изменения напряжения <т0
между двумя уровнями — о01 и о03, причем изменение знака напря-
жения сопровождается ступенчатым изменением температуры от 7\
до Т2 и обратно (сплошная линия). На рис. 2.4, б показано протека-
ние соответствующего стабильного цикла упругопластического де-
формирования в координатах аа, е0 для линейно-анизотропного мате-
риала с шириной упругой зоны 2aj> зависящей только от темпера-
туры. Соответственные точки на рис. 2.4, а и б обозначены одинако-
выми числами.
Если построение цикла начать с крайних точек 1 или 4, где ве-
личина деформации максимальна, то сразу получается замкнутый
цикл /—3—4—6—7; если же в качестве начальной выбрать какую-
либо случайную точку, например 8 или 10, то цикл может замкнуться
не на этой, а на другой точке (соответственно 9 или 11). Это свой-
ство циклов в дальнейшем будет использовано.
Аналогичное построение замкнутого цикла может быть выпол-
нено, если задан график изменения полной е02 (?) или силовой 80 (0 —
221
Рис. 2.4. Неизотермический цикл при двухступенча-
том изменении температуры
— eos (0 — еТ (0 деформации. По результатам расчета строят график
изменения пластической деформации eg (t), который также имеет •
циклический характер (см. рис. 2.4, а).
Если характеристики материала Еа и ст? зависят только от тем- I
пературы, как это принято в приведенном примере, то стабильный '
цикл eg (t 4- у = eg (I) устанавливается при первом же цикличе-
ском изменении напряжения или деформации. При более сложных
характеристиках материала, учитывающих необратимое упрочнение,
первые циклы носят нестабильный характер и приводят к некоторому
смещению последующих стабильных циклов вдоль оси е0 (если задан
график изменения о0) или вдоль оси а0 (если задан график изме-
нения е0). В полной мере все эти воздействия могут бытв учтены
лишь последовательным расчетом от цикла к циклу до их стабили-
зации.
222
При постоянной температуре среднее напряжение о0т не ока-
зывает заметного влияния на форму стабильного цикла*. При
переменной температуре из-за ее влияния на характеристики мате-
риала форма цикла зависит не только от величины размаха До0,
но и от значения о0т и взаимного расположения кривых о0 (t) и
Т (t). Так, при смещении графика Т (/) на полуцикл (рис. 2.4, а,
штриховая линия) накопленная за цикл пластическая деформация
возрастает.
Построение стабильного цикла изменения силовой £0 (О и пла-
стической eg (t) деформаций при заданных законах о0 (0 и Т (t)
удобно начинать с одной из крайних (по деформации) точек цикла,
которую можно считать расположенной на кривой активного нагру-
жения при соответствующей постоянной температуре (точки I и 4
на рис. 2.4). Тем самым определяется и общее положение цикла.
При дальнейшем изменении напряжений и температуры от этой
точки всегда будет происходить разгрузка. Если выбор такой край-
ней точки не очевиден, ее можно найти, вычислив значения |е0|тах
для нескольких наиболее вероятных точек при активном нагружении
и соответствующих постоянных температурах. При заданных зако-
нах е0 (/) и Т (/) расчет удобно начинать с одной из крайних по на-
пряжению точек, которая находится аналогичным путем. Дальней-
ший расчет ведется согласно формул предыдущего раздела при усло-
вии, что величины от (Т) соответствуют стабильному состоянию,
т. е. не зависят от значения е^.
Для статически неопределимых задач при циклическом изме-
нении известных внешних нагрузок, условий закрепления и поля
температур (с одинаковым периодом t0) расчет стабильных циклов
изменения напряжения и деформации может быть выполнен двумя
способами: 1) путем расчета развития упругопластических дефор-
маций при стабильных характеристиках материала; 2) непосред-
ственным нахождением периодических функций о0 (/) и е0 (/) с ис-
пользованием метода дополнительных деформаций.
По первому методу расчет упругопластических деформаций ведут
по общим уравнениям знакопеременной теории пластического те-
чения, изложенной в разделе 1, однако в расчет вводят характери-
стики материала, относящиеся к стабильному состоянию (т. е. ве-
личину от считают зависящей только от температуры, но не от на-
копленной пластической деформации). При циклическом изменении
внешних нагрузок, условий закрепления и температуры и стабиль-
ных характеристиках материала функции изменения напряже-
ния о0 (t), силовой е0 (0 и пластической eg (t) деформаций начинают
повторяться после одного-полутора периодов. Хотя по форме
такой порядок расчета напоминает последовательно поэтапный рас-
* Это утверждение справедливо в том случае, если стабильный цикл устанав-
ливается. Но могут быть случаи, особенно при значительной асимметрии нагруже-
ния, когда происходит интенсивное увеличение деформации в направлении действия
среднего напряжения и разрушение наступает без образования стабильного
цикла.
223
чет процесса нагружения, очевидно, что он является лишь матема-
тическим приемом расчета стабильного цикла, так как не учитывает
изотропного упрочнения при первых циклах нагружения.
По второму методу вначале рассчитывают упругие напряже-
ния и деформации о0 и е0, соответствующие заданным внеш-
ним нагрузкам, условиям закрепления и полю температур. Полу-
ченные функции о0 (/) и е0 (/) будут периодическими с тем же перио-
дом t0, что и внешние нагрузки. В качестве исходной функции для
общей деформации принимают упругую деформацию
<’(/)= ?,(/).	(2.25)
В каждой точке тела по известным функциям еоО) (/) и Т (t) опре-
деляют изменение пластической деформации в течение цикла (1) (t).
При этом для различных точек тела момент начала отсчета пара-
метра t в цикле вначале может быть выбран разным (в соответствии
с данными выше рекомендациями), однако затем выбирают хотя и
произвольный, но общий для всего тела начальный момент цикла,
по отношению к которому пересчитывают значения ео(1)(/). При
этом во всех точках тела удовлетворяется условие периодичности
е?{1) (О) = е§0) (t0).	(2.26)-
После этого для каждого момента времени решают вторую упру-
гую задачу — определение самоуравновешенных * напряжении ао
и соответствующих им силовых деформаций ео1’ по заданному пцлю
дополнительных деформаций ео(1). Сумма решений обеих упругих
задач дает первое приближение для функций изменения напряжений
и деформаций стабильного упругопластического цикла:
„(1) __ । —(!)•	/9 97^
Оо — 0*0	°0 >	(^-^')
еР = е0 + ер.	.	(2.28)
( По функции ер (0 определяют новые значения пластической
деформации ео(2' (t) и расчет продолжают в том же порядке, пока
относительная разность напряжений и деформаций двух последова-
тельных приближений не станет меньше заданной погрешности.
Целесообразность применения того или другого метода расчета
определяется сложностью решения конкретной упругопластической
задачи. Для относительно несложных алгоритмов или в случае,
когда могут быть использованы графические приемы, первый метод
приводит к более быстрому решению. Сложные задачи удобнее ре-
шать вторым методом, в котором процесс последовательных прибли-
* В понятие «самоуравиовешеиности» здесь входят и упругие реакции, вызван-
ные полем деформаций е^. Поэтому нзмеиеиия условий закрепления или темпера-
турного поля, соответствующего ненапряженному состоянию, оказывают влияние
иа решения не только первой, но и второй упругой задачи.
224
жений относится к периоду в целом, а не к отдельным элементарным
этапам нагружения.
Оба указанных в предыдущем пункте метода могут быть распро-
странены на сложное напряженное состояние при произвольных
циклических законах изменения напряжений, деформаций и тем-
пературы.
Расчет по первому способу ведется по общим уравнениям для
сложного напряженного состояния знакопеременного пластического
течения (см. раздел 1), но при стабильных значениях характеристик
материала. При расчете непосредственно стабильного цикла вна-
чале для каждого момента цикла t определяют упругие напряже-
ния al7- (/) и деформации (/) в зависимости от заданных внешних
нагрузок, условий закрепления и температуры. В качестве исходной
функции для компонентов девиатора общей деформации принимают
соответствующий упругий компонент
(2.29)
Чтобы определить в каждой точке тела функцию изменения пла-
стической деформации е?/1’ (f) по заданной функции 4®’ (/), пред-
варительно целесообразно найти один из крайних моментов цикла,
от которого в данной точке тела будет происходить разгрузка. Если
положение такого момента не очевидно, его можно найти, проведя
расчет накопленной пластической деформации ef, для нескольких
наиболее вероятных моментов при простом активном нагружении
и соответствующих постоянных температурах, т. е. по формулам
деформационной теории при заданных значениях е{$ и Т. Момент
цикла, в котором величина максимальна, принимают за на-
чальный. Дальнейшее изменение пластической деформации в дан-
ной точке тела определяют по формулам раздела 1 при условии,
что параметры материала Еао и от соответствуют стабильному со-
стоянию, т. е. зависят только от температуры тела. Если для раз-
личных точек тела момент начала отсчета'параметра t был выбран
различным, то затем один из моментов принимают в качестве общего
начала отсчета, к которому и приводят значения е?/1’ (f).
Затем, для каждого момента времени t решают вторую упругую
задачу — по заданному полю дополнительных деформаций ef/1’ (/)
находят самоуравновешенные напряжения с4р (/) и соответствую-
щие им силовые деформации ejp (t). Сумма решений обеих упругих
задач дает первое приближение для функций стабильного упруго-
пластического цикла:
+	(2.30)
= ег/-+~4?.	(2.31)
Далее определяют компоненты девиатора и расчет про-
должают в том же порядке.
225 /
Формоизменение при термических циклах. Известен ряд экспе*
риментов, показывающих, что при повторных нагревах и охлажде-
ниях образцы из некоторых материалов в определенных условиях
постепенно меняют свои размеры и форму, причем иногда в значи-
тельной степени. В основе этого явления могут лежать, например,
фазовые превращения и другие причины, рассмотренные в специаль-
ной литературе [5, 9]. Однако и для первоначально изотропных
материалов с обычными упругими свойствами в некоторых условиях
также возможно направленное изменение формы тела при чисто тер-
мических циклах.
Из предыдущего очевидно, что в стабильном состоянии материала
за каждый цикл нагружения (в том числе чисто термический) полное
изменение пластической деформации равно нулю, т. е. деталь вос-
станавливает свои размеры и форму. Для деталей машин и энерге-
тических установок требуемое число циклов нагружения, как пра-
вило, весьма велико и стабильное состояние занимает большую
часть «жизни» конструкции. Однако в специальных опытах и в не-
которых технологических процессах реализуются настолько боль-
шие теплосмены, что поведение детали в течение нескольких первых
циклов играет решающую роль. Для достаточно пластичных мате-
риалов, тем более с выраженной площадкой текучести, эффект упроч-
нения при этом не успевает в достаточной мере проявиться, что позво-
ляет в первом приближении считать материал идеально пластич-
ным (Еа = £* = 0) с пределом текучести, зависящим только от
температуры Т. При повторных нагревах и охлаждениях детали из
такого материала становится возможным его направленное формо-
изменение. Это явление, более подробно рассмотренное в! работах
Д. А. Гохфельда [7, 8] и других исследователей, может быть проил-
люстрировано следующими простыми примерами.
Пример 1. Два стержня единичной длины из одинакового материала, но разного
поперечного сечения Лт связаны между собой так, что их длины все время
одинаковы, т. е. ej = ец (рис. 2.5, а). Стержень / с большим, поперечным сечением
периодически нагревают и охлаждают ьв диапазоне. температур —7TJ, а темпе-
ратуру второго стержня поддерживают постоянной = -i- (Т{ + 7TJ) = const
(рис. 2.5, б). Для простоты расчета изменение предела текучести от по температуре
аппроксимируется двухступенчатой функцией (рис. 2.5, в), а модуль упругости
считается постоянным. Проанализировать изменение деформаций стержней в тече-
ние нескольких первых циклов.
Так как из условия равновесия следует Р[ Рц = 0, где Pj — СцРц Рц =
— оцРп> то решение удобно строить графически в координатах (—Pi = Рц; е0).
- На рис. 2.5, г в правом верхнем квадранте показаны принятые диаграммы деформи-
рования при температурах T'v Т\ и Хотя от (Т{) =» <тт(Тп), но соответствующие
значения усилий в стержнях отличаются из-за различия в площадях. Изменение
усилия и деформации в стержне I с меняющейся температурой показано сплошной
линией, а в стержне II с постоянной температурой—штриховой.
При первом иагреве усилия в стержнях меняются^ по линиям 01. Текучесть
наступает в более толстом сжатом стержне из-за снижения предела текучести с по-
вышением температуры. Когда температурное расширение стержня I достигает
в точке 1 наибольшего значения е^, в нем возникает пластическая деформация
сжатия ef. При охлаждении усилия в обоих стержнях вначале уменьшаются до нуля,
226

а при выравнивании температуры в них появляются остаточные усилия противо-
положного знака (точка 2), и общая длина стержней уменьшается на величину е2.
Дальнейшее охлаждение стержня / ведет к росту этих усилий и, так как пределы
текучести материала стержней становятся одинаковыми, текучесть наступает в бо-
лее тонком, но опять-таки сжатом стержне, где выше напряжения. Когда темпера-
турное сжатие стержня I достигает в точке 3 наибольшего значения &тт, в стержне II
возникает пластическая деформация сжатия е£. После выравнивания температуры
(точка 4) в стержнях остаются некоторые остаточные усилия, а общая длина стерж-
ней еще уменьшается. Таким образом, за полный цикл изменения температуры
01234 система стержней (образец в целом) укоротилась на величину деформации
сжатия е4. Следующий температурный цикл 45678 приводит аналогичным образом
к дальнейшему укорочению системы стержней (на величину е8) и далее процесс
укорочения развиваетси с той же интенсивностью.
Пример 2. Два одинаковых, жестко связанных между собой стержня единичной
длины поочередно нагревают от температуры Т' до Т" (рис. 2.6, б), что соответствует
модели циклически перемещающегося температурного поля. Диаграммы деформи-
рования материала стержней в этом диапазоне температур приведены в верхнем
правом квадранте рис. 2.6, в.
Порядок графического расчета остается тем же, что в предыдущем примере,
но так как теперь F\ = Кц> то решение строят в координатах (—щ = ац; ев).
Изменение напряжения и деформации в первом стержне показано сплошной
линией, во втором — штриховой.
✓
Общим для приведенных примеров является, то, что в разные
моменты цикла пластическое течение одного знака развивается в раз-
личных точках системы, что. и ведет к направленному формоизме-
нению.
Наряду с вредными последствиями от формоизменения некоторых
деталей, это явление может использоваться как технологическая
операция обжатия трубок, получения гофров на оболочках и т. п. [8],
3.	Ползучесть при произвольно меняющихся
напряжениях и температурах
Общие положения. Данные по ползучести даже при постоянных
напряжениях и температурах отличаются значительным разбросом.
Тем более трудно получить надежные экспериментальные данные при
переменных условиях. Однако из опытов можно вывести некоторые
типичные свойства нестационарной ползучести, которые должны
найти отражение в теории:
1.	После резкого увеличения напряжения или температуры ско-
рость ползучести в первый момент времени достигает значительно
большей величины, чем при постоянных (новых) значениях этих
параметров и чем это предсказывается теорией упрочнения
(рис. 3.1, а).
2.	После резкого уменьшения напряжения или температуры ско-
рость ползучести в первый момент времени становится равной.или
меньшей, чем при постоянных (новых) значениях этих параметров
(рис. 3.1, б).
3.	После некоторой выдержки при постоянном напряжении и
температуре скорость ползучести принимает соответствующее этим
параметрам постоянное значение.
228
Рис. 3.1. Типичные свойства материалов при нестационарной
ползучести; штриховой линией показано протекание ползучести
по теории упрочнения, жирной линией — действительный ха-
рактер процесса
I
4.	После снятия напряжения (полной разгрузки), но при сохра-
нении температуры на достаточно высоком уровне наблюдается в той
или иной степени явление «возврата» — частичного уменьшения
остаточной деформации ползучести за счет появления в первый мо-
мент после разгрузки скорости деформации противоположного знака';
спустя некоторое время обратная' деформация прекращается
(рис. 3.1, в).	' '
5	При изменении знака (реверсировании) нагрузки в первый
момент резко увеличивается скорость ползучести в новом направле-
нии; она может даже превзойти скорость ползучести в начальный
момент нагружения при том же напряжении (рис. 3.1, г).
. 6. Как и прн пластической деформации, после накопления не-
которой начальной деформации ползучести свойства материала, как
правило, стабилизируются. Это означает, что реакция материала
(какой бы сложной она не была) на одни и те же силовые или темпера-
турные воздействия становится в любой момент времени одинаковой;
в частности, при повторных ступенчатых нагружениях характер
229
изменения деформации после нескольких первых нагружений ста-
новится идентичным [35].
Указанные свойства устанавливаются специальными опытами
нестационарного характера и полностью не могут быть выявлены
испытаниями на ползучесть при постоянных напряжениях и темпера-
турах. Однако поскольку испытание при постоянном напряжении
начинается с внезапного приложения нагрузки, то начальный (не-
установившийся) участок кривых ползучести несет определенную
информацию и о нестационарных свойствах материала.
На последней стадии ползучести, прогрессирующее повреждение
материала ведет к возрастающему увеличению скорости ползучести
даже при постоянных напряжениях и температурах. В этой области
обычно не допускается работа деталей машин.
Как и в задачах термопластичности, для решения задач неста-
ционарной ползучести целесообразно использовать несколько теорий
частного характера, не усложняя без необходимости методы расчета.
Многорежимная установившаяся ползучесть. Нередко условия
работы можно приближенно представить в виде нескольких после-
довательных длительных режимов нагружения и нагрева. В каждом
из режимов нагрузки и температурное поле постоянны, так что спустя
некоторое время после начала режима ползучесть приобретает уста-
новившийся характер или близкий к нему. Но при смене режима
напряжения и температура могут значительно меняться. Изменение
напряжения в подобных условиях (при одноосном напряженном
состоянии и постоянной температуре) показано на рис. 3.2, а, -где
для простоты анализа выделено два уровня напряжения ст01 и ст02,
а также режим при ст03 — —стоа. На рис. 3.2, б приведены кривые
ползучести при ст01 и ст02 = const.
Продлив прямолинейный участок кривых ползучести до пересе-
чения с осью ординат, найдем значения е^> = Ф (сто, Т). Если время
работы на первом режиме больше длительности неустановившейся
стадии, то можно считать
ео(О = <о + ^,	(3.1)
где v\ = f (ст0, Г) — скорость установившейся ползучести, опре-
деляемая по прямолинейным участкам кривых ползучести (см. гл. 4).
Значения е£о = ф (сто, Т) показывают конечный эффект от развития
нестационарной ползучести еса, проявляющейся при внезапном уве-
личении напряжения от нуля до ст0 (см. рис. 3.2). При увеличении
напряжения от ctw до ст02 деформация е£о изменяется (как правило,
увеличивается) на величину
ДбаО = 6а0 (сМ — SaO (^01).	(3.2)
Предположим, что изменение есао согласно зависимости (3.2)
происходит и в тех случаях, когда напряжение увеличивается в про-
извольный момент времени. Тогда переход от режима ст01 — const
на режим стоа = const (от точки-2 к точке 3, рис. 3.2) должен спустя
230
Рис. 3.2. К расчету многорежимной установившейся ползуче-
сти: Xе = 1 (сплошная линия), Xе = О (штриховая линия) и
Xе = 0,5 (штрих-пунктирная)
некоторое время привести к увеличению нестационарной части де-
формации ползучести на величину Двао(2_3>. Если время работы на
каждом режиме достаточно для выхода на установившуюся ползу-
честь, то для вычисления деформации ползучести на п-ы. режиме
получим формулу
во (0 = eg (/„_!) + Двс (л -1’ л> + sign 4Л) • (л) (t - tn-i),	(3.3)
где eg (fn-i)—деформация ползучести, достигнутая к концу
(п—1)-го режима,
Д8г(л-1/л) = 51ёПстГ-Д8са0(л_1’л);	-	.	, (3.4)
Де^"-1’ л) = 8а0 [| ПоЛ> |, 7<Л>] - 8д0 [14"-1’ I,  Т(л-!) ].	(3.5)
231
Момент изменения знака напряжений (точка 7) соответствует
переходу к следующему режиму. Рассчитанная по формулам
(3.3)—(3.5) деформация показана на рис. 3.2, б сплошной ломаной
линией 0—Ц.
Согласно выражению (3.4) предполагается полный возврат не-
стационарной части ползучести при разгрузке, что характерно лишь
для полимеров. В другом крайнем случае, если пренебречь возвра-
том при разгрузке, получим ломаную линию, показанную на
рис. 3.2, б штрихами. Явление возврата изучено слабо. Для жаро-
прочных материалов возврат обычно невелик [22], в то время как
для такого материала, как Д16Т, наблюдался значительный воз-
врат [22, 26].
Поскольку возвращающаяся часть деформации ползучести гсь
также связана с нестационарностью, а ее конечное значение гьд
(см. рис. 3.1, в); как правило, не
превышает по величине е^о, поло-
жим, что
6а. хгс/нм1
16
С	Л с~с
8&0 — "““Л 8ао,
(3.6;
Рис. 3.3. Экспериментальные (сплош-
ная линия) и расчетные (заштрихован-
ное поле) значения полной деформа-
ции е0 при повторном нагружении
с отдыхом сплава ХН77ТЮР при Т =
— 800° С (штриховой линией пока-
заны средние расчетные значения)
где функция = f [|а0|, Т], ме-
няющаяся в пределах от Xе = О
(без возврата) до V = 1 (полный
возврат), может быть найдена из
опытов по ползучести с разгруз-
ками. В определенном диапазоне
напряжений и температур Xе ==«
const.
При неполном возврате расчет
деформации ползучести на n-м ре-
жиме ведется по формуле (3.3),
где
«> = Xsigna^’-Ae^"-1' п).
(3.7)
При сохранении знака напря-
жений
X =
' 1 при п> ^0;
. V при Д^о"-1’ л) < 0.
(3.8)
После изменения знака напря-
жений от (п—1)-го к n-му ре-
жиму 1=1. Изменение деформа-
ции ползучести при Xе = 0,5 пока-
зано на рис. 3.2, б штрих-пунк-
тирной ломаной линией.
232
Расчет многорежимной установившейся ползучести при одно-
осном напряженном состоянии удобно вести графически аналогично
примеру, показанному на рис. 3.2. При достаточной длительности
режимов результаты расчетов обычно удовлетворительно совпадают
с экспериментами.
На рис. 3.3 приведены результаты сравнения расчетных дефор-
маций ползучести образцов из сплава ХН77ТЮР при повторном
нагружении с разгрузками с экспериментальными данными [24].
Поля расчетных значений получены с учетом разброса первич-
ных кривых ползучести по испытаниям нескольких десятков образ-
цов. Расчеты проводили по теории многорежимной установившейся
ползучести (рис. 3.3, а) и по теории нестационарной ползуче-
сти, изложенной ниже (рис. 3.3, б). Второй метод расчета передает
более точно характер процесса ползучести, но для приближенной
оценки накопления остаточной деформации пригоден и более про-
стой, первый способ.
Из ограниченных опытов при сложном напряженном состоянии
следует, что, по крайней мере, для пропорционально меняющихся
нагрузок остаются справедливыми те же особенности изменения ско-
рости ползучести при резко меняющейся величине напряжений, что
и при одноосном напряженном состоянии [17].
Если обобщить функции гса0 — ф (Go, Т) и vc, — f (Go, Т) на слож-
ное напряженное состояние
е£о = ф (о;, Т),	(3.9)
< =	. (3.10)
и при переходе от режима к режиму вычислить
Де^ = (р[0'л>) Т(л)] —ф[о(гп-1),	(3.11)
то при slj/ai const деформация ползучести на n-м режиме опре-
делится как
3s(«)
^•(O = e!/(Zn_i) + ^r[A^(n-1- n> +vt(n)(^-^-i)]>	(3-12)
где si; (Zn-i) — деформация, достигнутая к концу (п — 1)-го ре-
жима;
=ХДееаОи .	(3.13)
здесь
f 1 при Деао/>О;
А, — . ‘	'
Xе при Дбао; < О-
Нестационарная ползучесть. Плавные нагружения. Чтобы неста-
ционарная часть ползучести гса при изменении напряжения до-
стигла бы своего конечного значения гсао, требуется некоторое.
233.
(3-14)
конечное время. Полагая, что значение е,сао достигается мгновенно,
будем получать несколько завышенные значения приращений дефор-
мации ползучести, однако теория нестационарной ползучести при
этом допущении существенно упрощается и может успешно при-
меняться в расчетах при плавно меняющихся по произвольным за-
конам напряжениях и температурах.
Согласно принятому допущению при изменении за время dt на-
пряжения на da0 и температуры на dT приращение деформации пол-
зучести для одноосного напряженного состояния составит
d&o = sign его • vct (| do |, T) dt + ds,ca,
где
d&ca= A.signcro-deao;
^0 = ^(|а0|, T)d|a0| +kcT (|ff0|, T)dT
и
X =
1 при йбдоЗгО;
V при d8a0<0.
Здесь
kc —
«or ---
3gn0 .	hc _ dea0
dca ’	Rt ~ dT
(3.15)
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(3.19)
Практически расчеты ведутся шаговым методом в конечных при-
ращениях. При этом, нет необходимости вычислять частные произ-
водные kg и kr, так как Де£о можно определять прямо по заданным
значениям функции е^о = Ф (|<?о Т) по формуле (3.5).
Приращения напряжения должны удовлетворять условию
Так как по уравнениям (3.16) — (3.19) увеличение нестационар-
ной части деформации ползучести протекает не во времени, а одно-
временно с изменением напряжения и температуры, то этими урав-
нениями по существу описывается процесс некоторого квазипласти-
ческого течения с особыми свойствами *.
Изменение компонентов de^.., характеризующих конечный эффект
от нестационарной ползучести, должно быть связано с изменением
как значения, так и направления действия напряжений, а также
с изменением температуры. Поэтому при сложном напряженном со-
* Зависимость типа (3.15) при Т = const и Xе = О рассматривалась Одквистом
[22] в предположении, что увеличение нестационарной части деформации ползу-
чести при повторных нагружениях происходит только после превышения наиболь-
шего ранее достигнутого напряжения, что не соответствует опытам на ползучесть.
234
стояний следует использовать уравнение (4.31) общего типа (гл. 4)
cteai/ =	4~ Msi/	(3.20)
или в эквивалентной форме
^(7 = 5/уА + А^(-^-).	.	(3.21)
При простом нагружении, в частности, при одноосном напряжен-
ном состоянии, второй член в формуле (3.21) обращается в нуль, и
сравнивая ее с формулой (3.16), устанавливаем, что
3 , . teca0 з dscQ
d\ =	X sign а0 —— = — X ——,
VQ	4t	l>£
где с учетом выражений (3.17)—(3.19)
d&aO= k<j (°7> Т) d(Ji -ф kj- (о,, T) dT
и
(3.22)
(3.23)
% =
'(3.24)
1 при dead 0;
при dSaO < 0.
При изменении только направления действия напряжения, когда
dai = 0, dT — 0, из выражения (3.21) получим
ui
(3.25)
откуда
d&c • — 1/-*' de? — 2 > tej
ae^~ У 3 a&aijabaij — 3 Qi ’
где
ds fids и
и в общем случае do, =# doz.
Так как при растяжении
teal	teca0 
-j='=-TF = «» Ро , Т),
dat	<Эст§
то
А,2 =	(<7(-, Т).
Таким образом, уравнение теории нестационарной
при плавных нагружениях имеет вид
d£c4 = [F'di — (1 — %)	+ KF'dT] Sli + F^ds^,
где
T)',	
(3.26)
(3.27)
(3.28)
(3.29)
ползучести
(3.30)
(3.31)
235
Рис. 3.4. К выводу соотношений для нестационарной ползу-
чести
\
Просуммировав de?/ и приращения упругопластических де-
формаций, изложенными в гл. 4 методами проведем поэтапный рас-
чет при одновременном развитии пластической деформации и неста-
ционарной ползучести.
Нестационарная ползучесть. Модифицированная теория наслед-
ственного влияния. При существенно меняющихся напряжениях
необходимо более точно учитывать нестационарность ползучести.
На рис. 3.4, а видно, что если считать деформацию ползучести so
состоящей из стационарной е? и нестационарной га частей
еос=е:4-4	(3.32)
то после внезапного увеличения напряжения скорость нестационар-
ной части еса в первый момент имеет наибольшее значение, а затем,
по мере приближения текущего значения ед (0 к есао, убывает до
нуля. Простейшее допущение, позволяющее описать подобный про-
цесс, заключается в том, чтобы принять скорость нестационарной
ползучести в любой момент времени пропорциональной разности
между предельным значением нестационарной части деформации
ползучести “е“от, которая останется в материале, если в дальнейшем
напряжение и температура будут постоянными, и текущим зна-
чением е,са-
ёса (о = ₽ (0 [еосга (0 - & (/)].	(3.33)
При активном нагружении гсас0 = е£о. В общем случае величина
баи =#= Вдо определяется предшествовавшим процессом ползучести,
т. е. представляет собой структурный параметр, и может быть
найдена, как указано ниже, интегрированием уравнений (3.16)—
(3.17), в которых принято &са гсак [22].
236
Общее решение уравнения
8'И0 + ₽(0еа(0 = Р(0еа»(0		(3.34)
при произвольном начале отсчета t = ta, когда е,са (tH) = е^, имеет
вид
t	t	t
-j ₽(9)d9 f	- Г 3 (8i) </8i
еса(0 = еаие +J ₽(в)(9)e 9 dQ,	(3.35)
91
где
0sS9j.sSf.
Введя для данного диапазона значений а0, Т средние значенияр,
получим
га (/) = е^не“0 + ₽ f (9) dQ,	(3.36)
1Н
а подставив выражение (3.36) в формулу (3.33), найдем
8$(0 = ₽
Saco (0 - е'не-*5 ('-'«) _ Р J е'аа> (0) е~₽ (^0) dQ
1в
(3.37)
Чтобы определить значение J3, применим формулу (3.36) к слу-
чаю внезапного приложения при Т — const в момент времени /н = О
напряжения а0, которое затем остается постоянным (начальное на-
гружение или нагружение после достаточного времени отдыха).
В этом случае гсат — Sao = const, еси = 0 и
t
£ (/)•?= Ко j е“Р(/“в)й0 = есйО(1 -е~₽/).	(3.38)
Зная из опытов на ползучесть величину е,са0 и выбрав момент вре-
мени /так, чтобы деформация ползучести eo(f) равнялась величине е^о
(см. рис. 3.1, в), найдем
p=_Lin2k..	(3.39)
t vc*t
Согласно формуле (3.38) скорость изменения нестационарной пол-
зучести после внезапного приложения напряжения
ёса(/)=Кое-Л ,	(3.40)
т. е. величина
Fo = p8*o = eCa.(O)	.	(3-41)
представляет собой скорость неустановившейся части ' ползучести
в первый момент нагружения.
237
Функция Fo (о0, 7") полностью определяется формулами (3.41)
и (3.39) по обычным диаграммам ползучести.
Просуммировав = е° = f (о0, Т) и е£ и введя обозначения
^о(О = ^М/)Л(О1;|
^о(0 = КО(0,	(3.43)
из формулы (3.37) для скорости ползучести при е£н = 0 и гса^ =
= е^о получим выражение
ёо (0 = ИО + Fo (0 ~ ₽ (0 f Fo (9)	('~9> dQ.	(3.44)
о
Уравнение в форме (3.44) пригодно для описания нестационарной
ползучести только при активном нагружении или при полном возв-
рате. Общее уравнение (3.37) при достаточном удалении от начала
отсчета времени, когда Р (/— /н)	1, можно привести к виду
& (о = Но (/) — Р J Р [еега (0) - есаоо (/) + 8е0 (/)] е45 de. (3.45)
Использовав обозначение
F (t, 0) = р [eSoo (9) -	(f) + 8й0 (()],	(3.46)
получим для скорости ползучести при любых условиях нагружения
и разгрузки выражение [35, 36]
t
(/) = f (f) + Fo (t) - p J F (t, 0) e"p ('-9) de.	(3.47)
Уравнения (3.45) или (3.47) показывают, что скорость ползу-
чести зависит не только от значений действующих в тот же момент
напряжений о0 (() и температуры Т (t), но также от предыдущей
истории нагружения, т. е. по теории нестационарной ползучести
требуется учитывать наследственное влияние предшествовавших со-
стояний. Это влияние носит затухающий со временем характер и не
зависит от начала отсчета времени.
Пример. В момент времени tx напряжение уменьшается от длительно действо-
вавшего значения а01 до напряжения o02<aoi (рис. 3.4,6). В этом случае
согласно формулам (3.7)—(3.8)
('<'1) = 8‘0(1>;
геаа> ii) = е‘0(1> + Ueco0(1' 2) = (1 -Xе) е‘0(1) + Хсе^2),
238
откуда по формуле (3.46)
F (<> h, 9 < М = ₽ [Vso (1) + 0 - вао(2)].
F (<>0, fi^0^9 = ₽ecJ2).
Согласно формуле (3.47) скорость неустановившейся части ползучести после
частичной разгрузки
8са 0) = ₽ (е^2) - 1>Чо(1) + (1 - V) есТ] [е-Р	-
По условию ₽/	1, поэтому, обозначив t* — t— tlt получим
scaG‘>o) = -₽v[8;p-^2)]e^’(
гса > о) = - {V [в^ -	(1 - е“^‘) - е'Г’Ь
При р/* > 3 величина е' -> лсе'0(2) + (1 — Xе) е£0(1) = е^2).
При многорежимной установившейся ползучести значения
могут быть определены последовательным расчетом. При sign o0=const
функцию е£га (0 вычисляем поэтапным интегрированием по фор-
мулам
Деага = А,Деао,	(3.48)
где
1 ПРИ ДбаО^О или Де£о < 0, но e^^ea;
А =	(3.49)
А. при Двао < 0 И 8ас0 < &а-
Поскольку исходное уравнение (3,33) является приближенным,
то при использовании уравнения (3.47) важно знать не конкретный
вид функции F (t, 0), а характер соотношений между F (t, 0), Fo (0
иМ).
Для приближенного нахождения функции F (t, 0) можно опреде-
лять &саа) из условия, что в момент 0=0 напряжение а (0) ме-
няется на а (0. Тогда
Г#(9) при
F(t, 0)=	()
| VFO(0) + (1-X0FO(0 при v§->l-
(3.50)
В работе [35] непосредственно из анализа типичных свойств
нестационарной ползучести выведено уравнение типа (3.47), а функ-
ция' F(t, 0) определена как
Р (Л 9) =
F С/Г-НЁк ппи q(9)	1 •
?о(0 ПРИ а(/)
F, (О +	(S) [1 - пр» > 1.
(3.51)
239
Выражения (3.50) и (3.51) совпадают, если кривые ползучести
подобны.
В отличие от обычно используемых уравнений теории наследствен-
ного влияния [6, 22, 23, 30] в уравнении (3.47) функция F (t, 0)
зависит не только от значений а0 (0), Т (0), но и от о0 (/), Т (f), что
позволяет характеризовать чувствительность материала к предысто-
рии в зависимости от его текущего состояния и описать явление непол-
ного возврата. Интегральная зависимость (3.47) удобна для анализа
общих закономерностей и решения в замкнутом виде некоторых про-
стейших задач.
Для сложных путей нагружения целесообразно вести расчет шаго-
вым методом, используя исходное дифференциальное уравнение
(3.33) и определяя приращение нестационарной части деформации
ползучести за время /г-го этапа Д/(п> по формуле
tecaw = р[е^п-1) - еа(п-1)] Д/(п’.	(3.52)
Приращение Aeain) с учетом неполного возврата определяем по
формулам (3.48) и (3.49), а приращение полной деформации ползу-
чести
AeS(n) = ^(^I)A^) + Aeca(n).
(3.53)
Результаты расчета по теории нестационарной ползучести и экс-
периментов даны на рис. 3.3, б.
Нестационарная ползучесть при знакопеременных напряжениях
и сложном напряженном состоянии. Чтобы распространить модифи-
цированную теорию наследственного влияния на знакопеременное
нагружение при одноосном напряженном состоянии, в уравнении
(3.47) функции f (t) -и Fo (t) следует брать со знаком напряжения
о0 (I), а при определении функции F (t, 0) считать
F(Z, 0) = ₽[е^(0) —е'ет(0 +sign со(0-6^(0].	(3.54)
Приращения
= Sign а0 • *“Деа0.
(3.55)
где
1 при Абаи 5= о ИЛИ ДбаО < 0, HO sign О0
V при ДбаО < 0 и sign а0 (eJL — еса) < 0;
еа)>°, (3 56)
Момент изменения знака сг0 рассматривается как переход к новому
этапу расчета,
240
Приближенные условия (3.50) для определения функции F (t, 9)
запишем в виде
F (t, 9) = sign о0 (0) •
Fo(O) при	1;
*СЛ) (9) + (1 - Fо (0 при > 1; (3.57)
%CFO(9) при -J^-<0.
Расчеты с использованием выражений (3.57) показывают, что
вследствие возврата обратная ползучесть после снятия напряжения
одного знака суммируется с прямой ползучестью от напряжений про-
тивоположного знака. Это ведет к увеличению скорости нестацио-
нарной части ползучести по сравнению с начальной скоростью при
первом нагружении, что подтверждается некоторыми эксперимен-
тами [16].
При расчете шаговым методом уравнение (3.52) остается в силе,
но приращение AsaiT’следует вычислять с учетом знака напряжения:
Де^п> = A, sign g^1; • Де‘о(п),	(3.58)
где Деао"* определяется по формуле (3.5), а/.— по формуле (3.56).
Для сложного напряженного состояния целесообразнее исполь-
зовать шаговые методы расчета. Теория нестационарной ползучести
с учетом наследственного влияния может быть описана следующей
системой уравнений: -
dejj = deFif -f- decai/;	(3.59)
<^ч = ^^Л<Ч, T)dt^FciSiidt-	(3.60)
decat]'=^[ecmii(t)-scaii(t)]dt.	(3.61)
В соответствии с формулой (3.30)
decra£/ = [№cTdT — (1 — Л) F^at-]s£/ + F^a^j,	(3.62)
где
1 при deCao^O или dECaO < 0, HO Stjd&aij 0;
Xе при tfea0<0 И S^dEaij <.0-
(3.63)
Функции Fct, FCT и Fca определяем по формулам (3.31), а прира-
щение d%ao — по формуле (3.23). При расчетах методами, описан-
ными в гл. 4, приращения de£;- включаем в дополнительные дефор-
мации.
241.
Возможность построения теории неизотермической ползучести
с анизотропным упрочнением, использующей представление о доба-
вочных напряжениях, связанных с деформацией ползучести, рас-
смотрена в работах [15, 29].
4. Циклическая ползучесть
Общие положения. Для большинства деталей машин, работающих
при повышенной температуре в условиях ползучести, типичным явля-
ется воздействие нагрузок и температур, меняющихся с течением
времени по определенным циклам. По теории нестационарной пол-
зучести такие детали можно рассчитывать, последовательно переходя
от одного цикла к другому. Если нагрузка и температурные поля
циклически повторяются, а свойства материала стабильны (или ста-
билизируются после некоторой начальной деформации), то циклы
изменения напряжений и скоростей деформаций также быстро ста-
билизируются.
При расчете изменения напряжений и деформаций в течение уста-
новившегося стабильного цикла можно получить необходимые дан-
ные для оценки термоусталостной прочности детали и изменения ее
размеров за время работы. Влияние первых, нестабильных циклов
также может быть учтено, но при их расчете исходят из представле-
ния о том, что до первого эксплуатационного нагружения деталь
находилась в ненапряженном состоянии, что не всегда отвечает дей-
ствительности. В отличие от этого, параметры стабильного цикла
зависят только от типичных рабочих условий нагружения и нагрева
и тем самым дают в известной мере более объективную оценку работе
детали.
Расчет стабильного цикла основан на условии периодичности [34]
для напряжений
<тг/(^ + Q = <Т,7 (0,	(4.1)
где /0 — период цикла.
При известном циклическом законе изменения напряжения могут
быть найдены законы изменения скоростей деформаций и деформа-
ции (см. раздел 3). Если свойства материала стабильны, то скорость
деформации также изменяется циклически [34], а изменение дефор-
маций за цикл будет постоянным и, в частности, может равняться
нулю.
В общем случае, когда заданы циклически меняющиеся внешние
нагрузки и температурное поле, изменение напряжений и деформаций
в течение стабильного цикла может быть найдено из решения соот-
ветствующей задачи с использованием условий периодичности (4.1).
При этом простейшие задачи решают аналитически, а более слож-
ные — методом последовательных приближений.
На циклическую ползучесть рассчитывают детали, испытываю1
щие большое число- нагружений, что возможно, если пластическая
деформация не проявляется или прекращается вследствие упрочне-
242
Рис. 4.1. Двухступенчатый цикл
изменения напряжений
ния после первых циклов. Поэтому
будем считать, что полная дефор-
мация равна сумме упругой части,
деформации ползучести и термиче-
ского расширения:
8// = е*;- -j- 8t-; -j-	(4.2)
Циклическая ползучесть при сту-
пенчатом изменении напряжений. На
рис. 4.1 показаны двухступенчатый
многократный цикл изменения на-
пряжений и приближенная картина
изменения деформации ползучести
в течение любого цикла, если про-
должительность каждого участка,
где о0 = const, достаточно велика по
сравнению с зоной нестационарной
ползучести. Приращение деформации ползучести за один цикл
десц = ^(1’Л4-дега04-ос.(Ч-Хсдеса0.	(4.3)
Приведенная скорость ползучести
t£p = ±1«	+ <£ <2>/2 + Де‘о,	(4.4)
‘о	*0
где
4 = -^-; ?2==-т---относительная продолжительность каждого из
*0	?0
участков.
Формула (4.4) легко обобщается в случае п участков с ау = const
(/ =1,2,..., п):
п —	1 1с т
Упр = S -------------1	X (Asao)/>	(4.5)
/=1	‘о	;=1
где т — число ступеней возрастания напряжения (1 ==$ т п — 1).
При знакопеременном многоступенчатом циклическом изменении
напряжений
^пР = X signg/- of/?/-j--1-~-X- signoz(A8ao)/.	(4.6)
j=l	’	. f0 j=l
Пример. Определить vcnp для показанной на рис. 4.2, а программы изменения
напряжений при следующих условиях:
^(0) = ^; 8^(о) = 04^; ±L = const. ±k = Const и Xе = 0,5.
0	0 da ’da
По формуле (4.6) имеем	'
°пр = (2с’о у + Т + 4о» Т ~ 2о° т) +
+ (1-------g-) (2р0 + Зо0 — 2оо) = 2,9р0.
243
Рис. 4.2. Пример многоступенчатого цикла
изменения напряжений
Поэтапный характер изменения
деформации ползучести показан на
рис. 4.2, б.
Для расчета циклов с не-
стационарной ползучестью
удобно использовать уравне-
ние (3.47), определяя функ-
ции f, Fa и F с учетом зна-
ков напряжений. Если о(/) и
Т (0 — периодические функ-
ции времени,то определяемая
уравнением (3.47) скорость
ползучести ео (/) будет также
периодической функцией вре-
мени независимо от конкрет-
ного вида функции F (t, 0).
При расчете циклической
ползучести уравнение (3.47)
интегрируют в пределах од-
ного цикла, что значительно
упрощает вычисления [34, 35].
Для определения по формуле (3.47) скорости ползучести в про-
извольный момент времени i = t* введем переменную = t — t*
и границами одного периода /0 будет считать tx = 0 и = t0.
Тогда в функции переменной tx момент времени t = t* соответствует
моменту tx = 0, т. е.
/о
80 (0) = (/о) = f (/0) 4- FО Оо) - ₽ J F (t0, 0j) е~3 {t’~9l) dQi
(4-7)
Можно показать [34], что
. to	t<j.
J F(t0,	= --..02)e-p(Z»-92) d02
j	1 —e p ° л
—co	и
(0<e2</0),	(4.8)
поэтому при tn —♦ — OO
^0
eS (0) = Ж) + Oo) - J F Oo, 02) de2. (4.9)
1 —— P*O J
1 c 0
Формула (4.9) практически применима при конечном, но доста-
точно большом числе предшествующих циклов.
Возвращаясь к основному отсчету времени, который является
вполне произвольным, получаем
8о(0=/(04-^(0-т-Лй7 р(Л0)е-₽(/’-9)<я . (4.10)
1 е Г-t, 
244
где (t* — t0) <: 6 sc t*, t. e. для каждого момента времени t = t*
интегрирование ведется в границах периода, предшествовавшего
данному моменту.
Применим формулу (4.10) к расчету циклической ползучести при
ступенчатом изменении напряжений между двумя уровнями напря-
жений crmln = Gj и ошах = о2 с относительным временем работы
на режиме о2, равным а = /2^о- Для определенности будем считать
п2 > 0, а напряжение ох может быть как положительным, так и отри-
цательным. Функцию F (t, 9) определим по формуле (3.57). В зави-
симости от знаков ох и о2 получим следующие результаты.
Напряжения ох и о2 одного знака
j_e — ₽(1 — а)/о
ео2 — А + (F 02 — F01)-1 _'ё-рь— е ~
(Os^/sga/n при о = о2);
(4.11)
1—е~₽а<»
8oi = А —	(F02 — Foi) —--_в<  е *
I — е р 9
[0 t(1 — a) t0 при 0 = 0!].
Проинтегрировав выражения (4.11) в соответствующих пределах,
найдем приращение деформации ползучести за цикл As„ и среднюю
скорость ползучести
2>пр — — ц —^1(1 a) -J-
(1-1»)(FO1-F„) (I-
"Г р/,	'	l-.-W.	'	1	'
Рассмотрим типичные частные случаи:
1. Цикл большой продолжительности, (Ио 1- С учетом того,
что F02— Fqi = ₽Д8ао(1~2>, выражение (4.12) переходит в формулу (4.4).
21 Циклы малой продолжительности, е-^»	1 —РА- Имеем
ипР Mi (1 - а) + Да + (1 - Xе) (Fq2 - Foi) а (1 - а),	(4.13)
откуда, в частности, для частого нагружения с разгрузками
(А = F01 - 0) при V = 0 и а = 0,5
<=0,5f2-|-0,25F02,
что указывает на значительное повышение скорости ползучести
(обычно /%>/)•
3.	Редкие перегрузки, а 1:
^р^А + сс[/2 + (1-Х-с)(^02-М- .	(4-14)
Если а = 0, то ползучесть протекает с постоянной скоростью А,
соответствующей минимальному напряжению <тх. Но даже при крат-
245
ковременных перегрузках i>nP может очень быстро возрастать, так
как отношения f2/fr и особенно F02//1 резко увеличиваются с увели-
чением значения a2^Gi- Расчеты показывают, что даже при а = 0,01
величина «пр может на порядок превышать значение /у [351.
4.	Работа на режиме о3 с кратковременными разгрузками,
а —> 1;
^г,Р /2 + (1 — ^) (^02 —^oi) (1 -а)~/2.	(4.15)
Кратковременные неполные или полные разгрузки не оказывают
заметного влияния на развитие ползучести.
5.	Небольшие равномерные колебания напряжения с большой
частотой около среднего значения о^. Полагая а = 0,5;	1,
CTi = °'m(l—G), °2 — ат (1 4- а)> гДе а К и считая для опре-
деленности f = kon, Fo = Bf, получим
fi -fm (1 — G)n « fm (1 — «G);
Л =	+ o)n™fm(l 4-«G)
и	_
^ip = [14-0,5(1-Г) Впо].	(4.16)
Величина Bn > 1 и поэтому даже небольшая составляющая
переменных напряжений, особенно при отсутствии возврата (V — 0),
может существенно увеличивать скорость ползучести, что подтвер-
ждается опытами. 	•	.	
Напряжения и о2 разного знака.
Скорости ползучести на участках о2 >0 и Oj < 0 соответственно
равны
1 — е~Р О-а)
бог = fi 4- (Л)2 4" ЛСГИ)-j _е-р<, е *’
1 — е-₽<*»
1 _е-₽<»
ем — — fi 4~ (^01 4~
e-₽*
(4-17)
а средняя скорость ползучести
= /2а - (1 - а) +	-/>) х
(1 е-За*о ) [1 е Р(1~а) <•]
(4.18)
В этих формулах функции f и Fo считаются существенно поло-
жительными.
При симметричном цикле (o-t = —о2, а — 0,5; / = Л =/а,
F01 — Р02 = Fo) средняя скорость ползучести г£р равна нулю,
но в пределах каждого полуцикла средняя скорость
П — е-0-5₽Ч2
= f 4- Ро (1 4-	Wo(1_e-3b) ’
246
а при циклах малой продолжительности
?пр«^ + 0,5(1+О Л,
т. е. значительно превышает скорость установившейся ползучести,
что способствует более быстрому накоплению повреждаемости.
Упрощенные методы расчета деталей на циклическую ползу-
честь. Для многих деталей типично периодическое нагружение
до расчетной нагрузки с последующим перерывом в работе («отдыхом»).
Предположим, что на рабочем участке af0 действует напряжение о0,
а на остальном участке (1 —a) tQ напряжение равно нулю. Для
таких условий формулу (4.12) можно представить в виде
v‘p=af(o0,T) + (l-V)F0(o0, Т)Ш R-	(4.19)
В частности, для циклов малой (по сравнению с временем разви-
тия нестационарной ползучести) продолжительности
(а, 0/о) а (1 — а).	(4.20)
Для расчета приращение деформации ползучести за цикл удоб-
нее относить к времени только рабочего участка at0. Тогда средняя
скорость нестационарной ползучести
Vе	—
= W-Wo-W. ^о),	(4-21)
где
ф(«, р/0)	-	(4.22)
При расчете конкретных деталей продолжительность цикла /0
и перерывов в работе (1 —a) tQ является заданной величиной, что
позволяет для рассматриваемых условий работы представить зависи-
мость (4.21) в виде
vc=Ko0,T),	(4.23)
по форме полностью соответствующем теории установившейся пол-
зучести, и свести расчет нестационарной циклической ползучести
к расчету на установившуюся ползучесть, но с измененными ха-
рактеристиками.
Представив зависимость
(4.23) в обобщенном виде
=	Т),	(4.24)
можно проводить упрощенные
расчеты на циклическую пол-
зучесть при сложном напряжен-
ном состоянии по методам, из-
ложенным в гл. 4.
t
Рис. 4.3. к построению огибающей кри-
вой циклической ползучести
247
Зависимость типа (4.23) может быть
получена и непосредственно из экспери-
ментов на ползучесть с периодиче-
скими нагружениями и разгрузками,
если провести огибающую кривой дефор-
мации ползучести [25] (рис. 4.3). При
наличии экспериментальной огибающей
расчеты могут охватывать и начальные
циклы нагружения, где свойства мате-
риала носят еще нестабильный харак-
тер. В этом случае, в частности, можно
успешно применить метод перестроения
кривых ползучести в изохронные кри-
вые и использовать элементарную тео-
рию старения (см. гл. 4).
Другой приближенный метод расчета
установившихся циклов ползучести,
применимый при многоступенчатом из-
менении нагрузок и температуры, зак-
лючается в следующем (35]. Вначале для
каждого /-го режима Проводят расчет
установившейся ползучести, в резуль-
тате которого определяют напряже-
ния а, (со). Если продолжительность
режима достаточно велика, то к его
концу действительное распределение на-
пряжений становится близким к 07 (оо).
При быстром изменении /-го режима
на (/ + 1)-й происходит упругая или
упругопластическая деформация, ра-
счет которой дает значение Д<г;+1, так
что в начале (/ + 1)-го режима
а/+1 (0) = а, (оо) 4- Д<т/+1.	(4.25)
Рис. 4.4. к аналитическому
решению задачи циклической В общем случае <Т;- (0)4=С/ (°°) и в на'
ползучести	чальный период каждого режима напря-
жения изменяются от о;- (0) до о;- (оо).
Приближенно можно принять, что
о/ (0 = о, (0) + [а, (оо) - а,- (0)] (1 - еН»).
(4-26)
При наличии экспериментальных данных по релаксации нап-
ряжений (см. гл. 2) используют аппроксимирующие выражения
типа-1 —е~3*а и др. Условие периодичности удовлетворяется авто-
матически, поскольку повторяющимся нагрузкам и температурам ,
соответствует одно и то же значение о, (оо).
Пример аналитического решения задачи циклической ползу-
чести [35]. Найдем изменение по времени напряжения о0 в стержне,
жестко закрепленном по концам, при циклическом ступенчатом изме-
248
нении температуры между уровнями Т' и Т" (рис. 4.4, а) с периодом
^0, если ползучесть описывается зависимостью
ео = Ле“₽ !Г) [e&fff»l — l]signo0,	(4.27)
где A, k — постоянные; Р (7)— некоторая функция, убывающая
при повышении температуры.
При жестком закреплении
so = -g- 4- ёо 4- at = 0,	(4.28)
где для простоты принято Е, а — const.
Из выражений (4.27) и (4.28) следует, что
о0 4* Е [еА1ст»1 — 1] sign сг0} 4~ Eat = 0.	(4.29)
Введя новую переменную
z —_ eA|<Jol _ gAaoSigna,.,	(4.30)
приведем уравнение (4.29) к виду
Z+ ф(^)2 + ф(/)22 = 0,	(4.31)
где
Ф (0 = kE [at sign о0 — Ле-3 <П];
ф (/) = ^£Ле_Р(Г>.
Поскольку для каждого участка цикла Т — 0, функции ф и ф
принимают постоянные значения' ф', ф' при Т = Т и ф", ф* при
Т — Т", а отношение ф/ф = —1. Решением уравнения (4.31) для
каждого участка цикла будет
(«3>
где отсчет времени ведется отдельно при Т' и Т”. Возвращаясь со-
гласно выражению (4.30) к напряжению, получим
4 (?) = sig"g° [kI о0 (0) | + ф/ — In [1 — e*l’« <°)l (1 — е^)]}.	(4.34)
rZ
Выбрав за начальную точку 1 (начало участка с максимальной
температурой цикла Т"), из уравнения (4.34) для этого участка полу-
чим значение напряжения в точке 2-
а(2) = a(D _j_ -L {_	+ in [1 — е*1^ <01 (1 — eW'(»)]},	(4.35)
где ^ = t'7t0 — относительная продолжительность участка при Т”.
Так как при внезапном изменении температуры.деформация пол-
зучести в принятом приближении не меняется, то
<^3) = о(2)4-£а(Г —Г).	(4.36)
\	«	249
Для участка при Т7 аналогично найдем, что
- т {- (! - ё) фЧ + In [ 1 - еИ3’ (1 _ е<1-5> *'<»)]} (4.37)
и
rf) = <jp — Ea(T'' — T).	(4.38)
Удовлетворяя условию периодичности (4.1), положим
и^ = (У^,	(4.39)
что приводит к соотношению между напряжениями сг<3) и oj1):
й М1))	[	^«(3)	1
1 __ е । о I ц „е^ф'7о) —	[1 _ е о (1 _ еП-^то)].
(4.40)
Если бы скорость ползучести при температурах Т' и Т" была
одинаковой, то ф' = ф" и из выражения (4.40) при § = 0,5 следо-
вало бы, что | cf<0 | = oj3>, т. е. цикл изменения напряжений был бы
симметричным. В действительности ф' =т=ф", и для определения на-
пряжений приходится совместно решать уравнения (4.40), (4.35)
и (4.36), что приводит к квадратному уравнению
ах2 + Ьх с — 0,	(4.41)
где
х = е*1°» О» (х 5» 1);
а = 6" —1;
’	(4.42)
причем
5х = еО—•
6" =	;
«у —— g£fecc(7'/—Г*)
Найдя по уравнению (4.41) значение | с^1* I = 4" In*, по формул
лам (4.35)—(4.38) определим значения напряжений во всех осталь-
ных характерных точках цикла. Результаты одного из расчетов [33]
приведены на рис. 4.4, б.
Аналитическое решение позволяет проанализировать некоторые
частные случаи.
1.	Если нижний уровень температуры Т' таков, Что ползучесть
практически отсутствует (ф' = 0, 6' = 1), то с = 0, b = 1 —.8"
и корни уравнения (4.41) примут значения хх = 0 и хг = I, из кото-
рых с условием х 1 совместимо лишь второе, так что aj1* =	®
и о^3) — о<4> = Еа (Г— Т'). Установившийся цикл показан на
рис. 4.4, в.
250
2.	Если материал не имеет термического расширения (а = О,
у = 1), то х = 1. В данном случае при отсутствии внешних усилий
не возникнут напряжения и деформация ползучести.
3.	Если длительность периода настолько велика, что 6'	1
и 6" 1, то а 8", b —у8", с —у и х —♦ у. Напряжения
в характерных точках цикла становятся равными сф3) =—	=
= ЕаЛТ"— Т'), сф2) = сф4) = 0, так что при каждом уровне темпе-
ратуры происходит полная релаксация температурных напряжений,
а при изменении температуры возникают термоупругие напряже-
ния— такие же, как при первом нагружении (рис. 4.4, г).
Общие методы расчета, на циклическую ползучесть. Используя
общие методы расчета на нестационарную ползучесть (см. раздел 3),
можно найти параметры установившегося цикла путем последова-
тельного расчета нескольких периодов нагружения и нагрева при
условии, что материал достиг стабильного состояния.
Установившийся цикл ползучести может быть рассчитан непо-
средственно. Без учета мгновенной пластической деформации
Sf/ = ef; si/ -J- 8ijZT.	(4-43)
Действительной скорости изменения напряжения <3ц при упругом
расчете соответствовала бы скорость деформации е£/-. Под скоростью
дополнительной деформации будем понимать разность
Sq—Sij —	(4.44)
Можно показать, что истинным скоростям изменения напряжений
о£;- и деформации е£;- соответствует равенство
8’/ = 8;г	(4-45)
Для произвольного процесса изменение напряжений Да£;- и де-
формаций Де£;- за время найдем путем суммирования решений
двух упругих задач: в первой вычислим приращения До££ и Де£7-
по заданным приращениям'нагрузок и температурного поля, во
второй — приращения
Да£;- = а£'.Д/	(4.46)
и
Де/;=8;уД/,	(4.47)
где Ci, и е(7 определяются полем скорости ползучести е£/,
зависящей в общем случае от предыстории нагружения.
Обозначив напряжение и деформацию в некоторый момент вре-
мени tr, .принимаемый за начало отсчета, через о£/- (/х) и е£/- (fx),
для произвольного момента времени получим
t
+	. (4.48)
251
и
t
tii (0 = 8;/ (Q + (t - /J + J 8(.; dt,	(4.49)
tl
где Да17- (t — /j) и Asf/ (/ — Zj) — изменения напряжений и дефор-
мации от внешних нагрузок и температурного поля при упругом
расчете за время от tx до t.
Для циклического процесса в силу условия периодичности внеш-
них нагрузок и температурного поля при t = t± + tQ имеем
&аИ (^>)= 0;	(4.50)
Д8(/(/„) = 0.
Из условия периодичности для напряжений при установившемся
цикле
а(/ & +10) = &)	(4-51)
следует, что
G-Ио
J a;,d/ = 0.	(4.52)
При этом изменение деформации за цикл
ti + to
+ W —8г/(О= J sijdt,	(4.53)
t,.
может отличаться от нуля, оставаясь одинаковым для всех устано-
вившихся циклов.
С учетом условия (4.51) выражение (4.48) можно представить
также, в виде
о И (t) = ° а & + to) +	(.t — /Д + J o-j dt.	(4.54)
ti
Для расчета можно использовать любые выражения для закона пол-
зучести, в том числе уравнение (3.47), не решая их относительно
напряжений.
Скорость изменения дополнительных ^напряжений а£/ можно,
представить в виде линейного оператора от поля скоростей, ползу-
чести:
- a;z(0 = b [И/(0]-	(4-55)
В данной точке тела в определенный момент времени вц опре-
деляется- полем е?/ во всем объеме тела в тот же момент времени,
а величина есц — периодическими функциями а£/- и Т в данной точке
тела за период времени 10, предшествовавший данному моменту:
й(0 = Ф[М<Э). ПОД (t-t0<Q^t).	(4.56)
252
Система уравнений (4.54)—4.56) решается методом последователь-
ных приближений.
Ввиду сильной зависимости скорости ползучести от напряжения
для обеспечения сходимости процесса решения по формуле (4.54)
приходится использовать специальные приемы сложной итерации [3,
33].
5. Динамические задачи
При исследовании термопрочности деталей в тех случаях, когда
скорость изменения температуры очень велика или действуют удар-'
ные нагрузки, следует учитывать динамические эффекты, обусловлен-
ные движением частиц тела.
Обычно на основе физических законов и кинематических соотно-
шений выводят дифференциальные или интегральные уравнения,
которые затем решают аналитически или численно [18]. Наличие
поверхностей разрыва напряжений, учет изменения физико-меха-
нических характеристик материала с температурой и нелинейной
зависимости между напряжениями и деформациями приводят к зна-
чительным трудностям при решении.
Перспективным является метод математического моделирования
процесса распространения механических возмущений в системе,
состоящей из большого числа элементарных блоков. Этот мето^при-
менен для исследования волновых процессов и динамических напря-
жений и деформаций в стержнях, цилиндрах и сферах из упругого,
упругопластического  и упруговязкого материала [28, 38, 39].
Он удобен для решения задач с помощью ЭВМ. Этим методом можно
рассчитать напряженно-деформированное состояние тел с произволь-
ными граничными условиями, со сложными реологическими свой-
ствами, анизотропными и неоднородными по объему, с учетом тем-
пературных, наследственных и других эффектов. Решение стати-
ческих задач может быть получено как предельный случай реше-
ния соответствующих динамических задач после затухания коле-
баний.
Метод математического моделирования процесса распространения
механических возмущений. Постановка задачи. Основная идея
метода заключается в следующем. Деформируемое тело разбивается
на конечное число элементарных блоков в системе координат хг
(i — 1, 2, 3) с расстояниями между узлами Дх(-. Масса каждого блока
сосредотачивается в узлах, к которым приложены внешние массо-
вые силы интенсивностью Fit а область тела, заключенная между уз-
лами, считается находящейся в однородном напряженно-дефор ми-
рованном состоянии, описываемом тензорами напряжений аг/- и де-
формаций ег/.
Параметры блока, соседнего по отношению к данному со
стороны возрастающей координаты хг, обозначают индексом (+0,
а со стороны убывающей координаты — индексом (—г). Пусть
параметры всех блоков в момент времени t известны. Тогда основные
уравнения механики деформируемых тел для каждого блока, отне-
253
сенные к малому приращению времени Д£, могут быть записаны сле-
дующим образом.
Изменение количества движения блока за время St
( V;;	vT.i ДV-1	„ \
рДи, = -г1- — JL-------VPi\^,	(5.1)
и 1	ДХ-'ДУ I
где р — плотность материала; Ди,- — изменение вектора скорости
узла и,-, ДУ = SxlSx2Sx3 — объем блока. Всюду используется
правило суммирования по повторяющимся нижним индексам.
Кинематические соотношения, определяющие перемещения узла
за время St,
Su^^St.	.	(5.2)
Соотношения неразрывности деформаций в приращениях
1 / t^uft —Ьщ biif1 —ДиД
Де«7=т\------(5.3)
Физические соотношения, позволяющие найти приращения на-
пряжений Доо- за время St,
Sotj = Kijki (Seki — Seki),	(5.4)
где Kijki — тензор коэффициентов жесткости; Se°j — тензор изме-
нения дополнительных деформаций; оба тензора могут зависеть
от температуры, истории нагружения и других факторов (см. гл. 4).
На границах тела должны
удовлетворяться кинематиче-
ские и силовые граничные
условия.
После выполнения расче-
тов по приведенным соотно-
шениям для всех блоков и
суммирования приращений
функций с их значениями
в момент времени *t опреде-
Рис. 5.1. К применению метода математического моделирования
254
Ляют значения функций при t + At и переходят к следующему
этапу расчета. Для обеспечения устойчивости вычислительного про-
цесса между размерами блоков и интервалом времени At должно
выдерживаться определенное соотношение [38].
Рассмотрим более подробно решение этим методом задачи об упру-
гом стержне постоянного поперечного сечения (рис. 5.1, а), один
конец которого жестко закреплен, а к другому в момент времени
t = 0 внезапно прикладывается сила р0, которая затем сохраняет
постоянное значение, т. е. р (f) = р0Н (t),
где
#(/) = {
при
при
/<0;
t^Q.
(5-5)
О
1
Для упрощения расчета площадь поперечного сечения стержня
принята равной единице, а стержень разбит натри равных блока.
Для t < 0 скорости и перемещения всех блоков стержня и напря-
жения равны нулю. Так как при t = 0 на первый блок слева начинает
действовать сила р0, то за время tr = At он приобретает скорость,
которая согласно формуле (5.1) равна
Vi = Д&! = (oj — о0) At/pAx = p0At/pAx.
Если выбрать промежуток времени At — Ах!с, где с — скорость
распространения упругой волны, равная для стержня VE/р, то
= р3/ср. За счет различия в скоростях первого и второго блоков
первый блок деформируется, и согласно соотношениям (5.2) и (5.3)
в момент времени tr его деформация
gj — Aej = (w2 — Wj) At/Ax = —pjpc‘i,
а напряжение в первом блоке по формуле (5.4) достигнет значения
Ох = Aoj = Ее1 = —Ер Jac? = —р0.
Для остальных блоков v( = ег = ог = О для i > I.
В течение следующего интервала времени от tr = At до t3 = 2А/
на первую массу слева и справа действуют одинаковые противопо-
ложно направленные силы р0, так что изменение скорости этого
блока равно нулю и он продолжает двигаться по инерции со скоростью
Vi = Ро/ф, а его деформация и напряжения сохраняют постоянные
значения.
’ Так как в момент времени tr второй блок находится в условиях,
совпадающих с условиями первого блока при t — 0, то к моменту
времени /2 = 2А/ второй блок также приобретает скорость ц2 =
= t>i = рй/са и за счет различия в скоростях между вторым и третьим
блоком деформируется на 83 = 8!= —р3/рс\ а напряжение во вто-
ром блоке становится равным о2 = (5г = —р0. Для третьего блока
v3 = 83 = о3 = 0.
Вдоль первоначально недеформированного стержня движется
волна сжатия, что согласуется с аналитическим решением задачи [14].
К моменту времени t3 = ЗА/ волна сжатия достигнет конца
стержня х = 1 и при />ЗА/ от правого конца стержня пойдет
отраженная волна сжатия.
255
Напряжения во всех сечениях стержня в моменты времени tm —
= т kt (т = 0, 1,2,...,) показаны на рис. 5.1, б (t = t!kt).
Стрелками указано направление движения фронта волны. Без учета
рассеяния энергии колебания около положения статического равно-
весия аст = —р0 будут носить незатухающий характер.
Из примера видно, что методом математического моделирования
автоматически учитывается отражение волн от границ с заданными
краевыми условиями и можно вычислить динамические напряжения
при наличии скачков напряжения.
При проведении расчетов с помощью этого метода на ЭВМ тело
следует разбивать на такое количество блоков, чтобы дальнейшее
увеличение их числа практически не влияло на результаты рас-
четов.
Тепловой удар в стержне. Пример I*. Поверхностный (торцовый) тепловой удар
в полубесконечном стержне.
В сеченни стержня х = 0 температура в момент времени t = 0 повышается
до значения Та и затем сохраняет постоянное значение
Т (0, t) = То Н (Z).	(5.6)
Зависимость температуры от времени и координаты имеет вид
СО
т = то~ f e-uldu,	(5.7)
I(W«)
где а — коэффициент температуропроводности.
Аналитическое решение задачи без учета изменения свойств материала при по-
вышении температуры получено в работе [11].
На рис. 5.2 представлено распределение напряжений по длине стержня из
эпоксидной смолы в момент времени t = 1 (t — с-it а, § = сх/а — безразмерные
переменные), сплошной линией показаны результаты аналитического решения,
* Расчеты выполнены М. М. Стратоновой.
ftJ				 в-^'.	 I -w		 				 Рис. 5.2. Распределение напряжений в полубесконечном стержне для t — 1 при поверхностном (торцовом) тепло- вом ударе	6/ЕаТа 		'-г	г-]			 	5 $ -0.5	 -wL——_!			L-— Рис. 5.3. Распределение напряже- ний в стержне в различные мо- менты времени при объемном теп- ловом ударе
256
кружочками и штриховой линией — решения, полученного на ЭВМ методом
моделирования без учета и с учетом изменения свойств материала при повышении
температуры. В связи с уменьшением скорости распространения упругих волн при
повышенной температуре, разрыв напряжений смещается влево по длине стержня.
Решение аналогичной задачи для стержня с закрепленным концом х = 0 при-
ведено в работе [27 ].
Пример 2. Объемный тепловой удар в стержне в условиях ползучести. Темпе-
ратура полубесконечного стержня в момент времени t = 0 скачком повышается
от 0 до То:
Т (х, 0 = ТаН (0,
Конец стержня х = 0 свободен, о (0, /) = 0.
Предполагается, что зависимость между напряжением и деформацией для
материала стержня имеет вид
. ds _ 1	до о дТ
dt ~ Е	dt ' ц ' а dt ‘
где коэффициент вязкости материала
(5.8)
(5.9)
const.
(5.10)
На рис. 5.3 показано распределение напряжений по длине стержня для не-
скольких моментов времени (t = tE/i\, £ = хЕ/сх\ — безразмерные переменные).
Сплошной линией обозначены результаты [27] аналитического решения, кружоч-
ками — решения, полученного методом моделирования.
Осесимметричные задачи. Рассмотрим распространение радиальных волн в ци-
линдре в условиях плоской деформации. Напряжения, деформации и перемещения
являются функцией времени и радиуса.
Пример 3. Виезапиое приложение внутреннего давления к цилиндру.
На длинный цилиндр действует внутреннее давление по закону
р (0 = 0 (/<()), р(0 = ро(/>О).	(5.11)
Предполагаем, что материал цилиндра имеет чисто упругие объемные деформа-
ции, а скорости деформаций ползучести связаны с напряжениями зависимостью
teg	3 8//
dt	2	ц
где
(5.12)
11 = 0/
= const.
(5.13)

Рис. 5.4. Изменение окружных напряжений
с течением времени в цилиндре при внезап-
ном приложении внутреннего давления для
внутреннего (/) и среднего (2) радиусов
На рис. 5.4 представлена зависимость окружного напряжения ар от времени
для двух радиусов. Изменение напряжений носит характер затухающих колебаний,
причем при /->со напряжения
стремятся к предельным значениям
(штриховые линии) соответствую-
щей статической задачи, решение
которой не зависит от свойств ма-
териала.
Пример 4. Внезапное приложе-
ние внутреннего давления к ци-
линдру с упругой оболочкой.
Рассматривается полый
цилиндр с надетой на него
тонкой упругой оболочкой.
Внутреннее давление в ци-
линдре меняется по закону
(5.11).
257
6gfPo
5)
Рис. 5.5. Изменение окружных напряжений
с течением времени в цилиндре с оболочкой на
внутреннем (/) и среднем (2) радиусах
с модулем
На рис. 5.5 представ-
лена зависимость окруж-
ного напряжения о9 от
времени в цилиндрах, ма-
териал которых имеет раз-
личные характеристики
ползучести: а) тот же, что
и материал в примере 3
(рис. 5.5, а); б) скорости
деформаций ползучести
меняются по закону (рис.
5.5, б)
<4-	1 Г3 < р ° 1
_ЭГ==1’ и 5ч“£«8ч] ’
(5-14)
где принято Е& = Е.
Изменение напряжений
во времени носит также
характер затухающих ко-
лебаний, причем при t—»оо
в цилиндре устанавли-
вается распределение на-
пряжений, совпадающее
при соответствующих свой-
ствах материала с рас-
пределением напряжений в
статических задачах тео-
рии ползучести (штрихо-
вые линии на рис. 5.5). В случае а материал цилиндра при t —> оо
испытывает всестороннее равномерное сжатие, а в случае б реше-
ние динамической задачи стремится к решению статической задачи
Е* = EEJ(E + Б.»).
(5.15)
В данном примере Е* — 0,5£.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Артюияи Р. А. О циклическом нагружении упругопластической среды. —
«Изв. АН СССР. Механика и машиностроение», 1964, № 4, с. 89—91.
2.	Арутюнян Р. А., Вакуленко А. А. О многократном нагружении упруго-
пластической среды. — «Изв. АН СССР. Механика», 1965, № 4, с. 53—61..
3.	Биргер И. А. Некоторые математические методы решения инженерных
задач. М., Оборонгиз, 1956, 151 с.
4.	Биргер И. А., Демьяиушко И. В. Теория пластичности при иеизотермическом
нагружении. — «Механика твердого тела», 1968, № 6, с. 70—77.
5.	Бочвар А. А. и др. Влияние циклических нагревов и охлаждений на раз-
мерную и структурную стабильность различных материалов и сплавов. — В кн.
Ядериое горючее и реакторные материалы. Труды II Межд. конференции по мирному
258
использованию атомной энергии, докл. советских ученых. Т. 3. М., Атомиздат,
1959, с. 554—572.
6.	Бугаков И. И. Замечания о наследственной теории ползучести металлов. —
«Прикладная математика и техническая физика», 1965, № 1, с. 131—133.
7.	Гохфельд Д. А. О возможности нарастания пластических деформаций в ре-
зультате циклических температурных воздействий. — В кн.: Расчеты на прочность.
Вып. 7. М., Машгиз, 1961, с. 64—75.
8.	Гохфельд Д. А., Лаптевский А. Г. Формоизменение при теплосменах и
некоторые технологические приложения. — В кн.: Вопросы прочности машино-
строительных конструкций. Вып. 45. Изд. Челябинского политехнического инсти-
тута. Челябинск, 1968, с. 102—116.
9.	Давиденков Н. Н., Лихачев В. А. Необратимое формоизменение металлов
при циклическом тепловом воздействии. М.—Л., Машгиз, 1962, 223 с.
10.	Данилов В. Л. К формулировке закона деформационного упрочнения. —
«Механика твердого тела», 1971, № 6, с. 146—150.
11.	Даниловская В. И. Температурные напряжения в упругом полупростран-
стве, возникающие вследствие внезапного нагрева его границы. — «Прикладная
математика и механика», 1950, т. 14, вып: 3, с. 316—318.
12.	Ишлииский А. Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением. —
«Украинский математический журнал», 1954, т. VI, № 3, с. 314—325.
13.	Кадашевич Ю. И., Новожилов В. В. Теория пластичности, учитывающая
остаточные микронапряжения.—«ПММ», 1958, т. 22, вып. 1, с. 78—89.
14.	Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. М., Изд. иностр, лит.,
1955, 192 с.
15.	Малинин Н. Н., Хажииский Г. М. К построению теории ползучести с ани-
зотропным упрочнением — «Изв. АН СССР. МТТ», 1969, № 3, с. 148—152.
16.	Наместников В. С. Прямое и обратное кручение в условиях ползучести. —
«Прикладная математика и техническая физика», 1960, № 1, с. 121—122.
17.	• Наместников В. С. О ползучести при сложном напряженном состоянии. —
В ки.: Ползучесть и длительная прочность. Изд. Сиб. отд. АН СССР, Новосибирск,
1963 с. 100—109.
18.	Новацкий В. Вопросы термоупругости. Изд. АН СССР. М., 1962, 363 с.
19.	Новожилов В. В. О сложном нагружении и перспективах феноменологи-
ческого подхода к исследованию микроиапряжеиий. — «ПММ», 1964, т. 28, вып. 3,
с. 393—400.
20.	Паллей И. 3. Приложение теории остаточных микроиапряжеиий к неизо-
термическому деформированию. —«Изв. АН СССР. Механика», 1965, № 2, с. 110—
113.
21.	Прагер В. Неизотермическое пластическое деформирование. В ки.: Меха-
ника, № 5 (57). М., Изд. иностр, лит., 1959, с. 95—101.
22.	Работиов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М., Физматгиз, 1966,
752 с-
23.	Ржаиицыи А. Р. Общий нелинейный закон наследственной ползучести. —
«Механика твердого тела», № 6, 1966, с. 150—154.
24.	Самарии Ю. П., Сорокин О. В. О построении стохастических уравнений
ползучести. Тезисы докладов на иаучио-техиической конференции Куйбышевского
политехнического института, 20—25 V 1969. Куйбышев, 1969, с. 31.
25.	Сизова Р. Н. Приближенные способы получения расчетных характеристик
ползучести. — В ки.: Тепловые напряжения в элементах конструкций. Киев,
«Наукова думка», 1971, вып. 10, с. 136—145.
26.	Сорокин О. В., Самарин Ю. П. Ползучесть деталей машин и сооружений.
Куйбышевское книжное изд. 1968, 144 с.
27.	Стратоиова М. М. Исследование динамических температурных напряжений
с учетом изменения свойств материала с температурой. — «Известия вузов. Ма-
шиностроение», 1967, № 5, с. 39—42.
28.	Стратоиова М. М., Шорр Б. Ф. Динамические шаговые методы расчета
напряжений н деформаций в телах с произвольными реологическими характери-
стиками. Третий Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Анно-
тации докладов. Изд. АН СССР. М., «Наука», 1968, с. 287.
29.	Хажииский Г. М. О теории ползучести и длительной прочности металлов. —
*Изв. АН СССР». МТТ, 1971, № 6, с. 29—36.
269
30.	Хейн Е. А. Об описании ползучести металлов с учетом упругого последей-
ствия. — «Механика твердого тела», 1966, № 2, с. 103—105.
31.	Шевчеико Ю. Н. Термопластичность при переменных нагружениях. Киев,
«Наукова думка», 1970, 287 с.
32.	Шнейдерович Р. М. Прочность при статическом и повторно-статическом
нагружениях. М., «Машиностроение», 1968, 343 с.
33.	Шорр Б. Ф., Нафиков Р. М. Расчеты на циклическую ползучесть. — В кн.:
Ползучесть и длительная прочность. Новосибирск, 1963, с. 47—62.
34.	Шорр Б. Ф. Периодические процессы и приспособляемость при ползуче-
сти. — В кн.: Прочность и динамика авиационных двигателей. Вып. 4. М., «Ма-
шиностроение», 1966, с. 188—194.
35.	Шорр Б. Ф., Дульнев Р. А. Циклическая ползучесть. — В кн.: Прочность
и деформация материалов в неравномерных физических полях. Под ред. Я. Б. Фрид-
мана. М., Атомиздат, 1968, вып. П, с. 34—96.
36.	Шорр Б. Ф. Расчеты на нестационарную ползучесть. — В ки.: Тепло-
вые напряжения в элементах конструкций. Вып. 9. Киев. «Наукова думка»,
1970, с. 165—173.
37.	Manson S. S. Thermal Stress and Low—Cycle Fatigue. Me—Graw. Hill B.
Comp., N—J., 1966, 404 p.
38.	Mechta P. K-, Davids N. A Direct Numerical Analysis Method for Cylindrical
and Spherical Elastic Waves. Al AA Journal, 1966, vol. 4, NI,' p. 112—117. (Cm.
«Ракетная техника и космонавтика», № 1, с. 144—151).
39.	Mechta Р. К- Cylindrical andjSpherical Elastoplastic Stress Waves by a Uni-
fied Direct Analysis Method. AIAA Journal. 1967, vol. 5, N 12, p. 2242—2248 (cm.
«Ракетная техника и космонавтика», 1967, № 12, стр. 160—167).
ГЛАВА 6
Расчеты на термопрочность стержней
При расчете на прочность валы, лопатки и многие другие детали
машин рассматривают как стержни. В технической теории растяже-
ния и изгиба стержней используется гипотеза плоских сечений,
что существенно упрощает расчеты. Эта гипотеза относится к кине-
матическим соотношениям и позволяет рассчитывать стержни
в стадии пластичности и ползучести.
1. Растяжение и сжатие стержней
Общие зависимости. Рассмотрим стержни с прямолинейной осью г
и нагрузками q (z), действующими вдоль оси (рис. 1.1). Предполо-
жим, что при нагружении и нагреве стержня его сечения остаются
плоскими и перпендикулярными к оси, т. е. их перемещения w —
= w (z). В неравномерно. нагретом стержне такая деформация воз-
можна, если сечение имеет ось симметрии, а распределение темпера-
тур относительно этой оси также симметрично.
В соответствии с гипотезой плоских сечений деформация в стержне
8 = ^- = 8(z)	(1.1)
одинакова для всех точек поперечного сечения. Считая напряженное,
состояние одноосным, используем уравнение упругости в виде
о
8 = т
(1.2)
где о — напряжение в текущей точке поперечного сечения; Е — мо-
дуль упругости; 8Г = а ДТ — температурное расширение. Допол-
нительная деформация 8° введена для описания работы стержня
в стадии пластичности и ползучести
по методу дополнительных деформа-
ций (см. гл. 4). Из равенства (1.2)
следует, что -
СТ = Е (8 — 8Г—- 8°).	(1.3)
Величины 8Г, 8°, Е, а значит и ст,
могут изменяться не только по длине
стержня, но и в пределах попереч-
261
ного сечения: &т = ег (х, у, z), (F = е* (х, у, z), Е = Е (х, у, z),
а = о(х, у, z). Из условия равновесия отсеченной части стержня
имеем, что
j о dF = /V,
(1-4)
где N = N (z) —растягивающая сила в сечении z, связанная в ста-
тически определимом стержне только с внешними нагрузками. Под-
ставив значение о из выражения (1.3), получим [2]
j £ег dF J £е° dF

(1-5)
F	F	F
Теперь из выражения (1.3) вытекает, что
/ j Еет dF \ /J Ее dF
а = Е ~— + £ А=----------------------^~еГ +£ Рт---------------------е’ .	(1.6)

Первый член выражает напряжения от внешних сил, второй —
температурные напряжения, третий — напряжения от дополнитель-
ной деформации. Рассмотрим сначала напряжения от внешних сил.
Если модуль упругости во всех точках сечения одинаков, то
т. е. напряжения распределяются равномерно по поперечному сече-
нию. Для стержня с переменным модулем упругости напряжения от
внешних сил
(1-8)
где Еср = J Е dF.
В точках сечения, где модуль упругости имеет меньшее значение,
соответственно и меньше будет напряжение.
При симметричном температурном поле температурные напря-
жения в стержне
—:-------aAT I.
J EdF	I
262
Рассмотрим стержень прямоуголь-
ного сечения с постоянным модулем
упругости и коэффициентом линейного
расширения при распределении темпе-
ратуры (рис. 1.2):
ЛТ (х) = Т(х)-Т0 = (Та - То) 4-
+ (7’6-Ta)(-f-)n.	(1.10)
Из равенства (1.9) получим
(1.11)
На оси стержня
о = £а(Ть-Та)—Ц-,	(1.12)
на внешних кромках
о^-Еа^-Т,)-^..	(1.13)
Рис. 1.2. К определению темпе-
ратурных напряжений в стержне
Температурные напряжения возрастают при увеличении модуля
упругости, коэффициента линейного расширения и разности темпе-
ратур в детали. Если Ть > Та (края сечения нагреты больше), то
у оси стержня напряжения — растягивающие, а в более нагретых,
областях сечения — сжимающие (см. рис. 1.2, где принято п. — 3).
Чем более резко меняется температура по сечению, тем больше сжи-
мающие напряжения. При п 1 напряжения в крайних волокнах
приближаются к значению о = —Еа (Ть — Та), соответствующему
условиям полного стеснения температурного расширения.
Формула (1.9) может быть записана в виде
о = Е (вер — ег)>
где
рт —
сСр --
J £er dF
F______
j EdF
F
(1-14)
(1-15)
— среднее по сечению «приведенное» значение гг. Температурные
напряжения равны нулю в точках, где 8Г = 8сР.
В статически неопределимом стержне температурные напряжения
и напряжения от внешней нагрузки q (z) при переменном модуле
упругости Е (х, у, z) и переменном сечении F (z) могут быть найдены
263
методом начальных параметров. Растягивающая сила в произволь-
ном сечении
N (z) = /V (0) — J q (zj dzx,
о
(1-16)
где /V (0)—сила в сечении z — 0. Записав выражение (1.5) при
е° = 0 в виде
8 = ..
где
Nr = J E&TdF\
. F
Ez, = ^\EdFt
F
получим
8 & = £cp(z) F (z)
N W-jq^dz^N* (z)
0
(1-17)
(1-18)
(.1.19)
Проинтегрируем уравнение (1.1) с учетом выражения (1.19):
2	z	zl	.
ш И = ® (0) + N (0) ]'	- J -£l„(Z1‘)f(Z1) J
z
+J Аий)’	(h2°)
J £cp {ZJ Г JZjJ
где w (0) — осевое перемещение в сечении z = 0.
Значения начальных параметров определяются граничными усло-
виями. Например, для стержня, закрепленного в сечениях z = 0
и z = I, граничные условия:
w (0) = 0;
w (/) = 0.
(1-21)
В этом случае при q — 0
#(z) = W(0) =
f NT dz
J EcpF
o '
i
f dz
J ECpF
о
(1-22)
264
Согласно формуле (1.6) температурные напряжения
о (х, у, z) = Е (х, у, z) [	~ &т У’ 	о -23)
Напряжения от дополнительных деформаций в статически не-
определимых стержнях находятся аналогичным образом.
Однократное растяжение и нагрев. Пусть стержень прямоуголь-
ного сечения из стали 12Х18Н9Т, характеристики которой приведены
на рис. 1.3, подвергается одновременному действию постепенно воз-
растающей растягивающей силы N и постепенному нагреву так,
что температурное поле по ширине стержня становится неравномер-
ным. Нагружение и нагрев прекращаются, когда среднее растяги-
вающее напряжение достигает значения оср = 20 кгс/мм3, а неравно-
мерность поля температур по ширине сечения становится равной
200° С (рис. 1.4, а). Нагружение и нагрев происходят достаточно
быстро, так что ползучестью можно пренебречь. Найдем распределе-
ние напряжений и деформаций по сечению в конце нагружения и на-
грева, а также выясним возможность появления остаточных напря-
жений и деформаций после разгрузки и охлаждения всего стержня
до нормальной температуры.
По формуле (1.6) при 8° = 0 проводим упругий расчет с целью
оценки возможности чисто упругого нагружения.
На рис. 1.4 видно, что упругий расчет (кривая 0) дает значения
напряжений, значительно превосходящие пределы пропорциональ-
ности, поэтому необходимо учитывать пластические деформации.
При одновременном постепенном нагружении и повышении тем-
пературы в большинстве точек детали обычно происходит активное
нагружение, что позволяет использовать простейшую деформацион-
ную теорию термопластичности (см. гл. 4). Для расчета по методу
переменных параметров упругости в каждой точке сечения 0 х
sg 1 в качестве модуля упругости в n-м приближении Е*^ прини-
маем секущий модуль, определяемый в соответствии с кривой дефор-
мирования при температуре Т (х) по значениям напряжения а* (п~1'>
и силовой деформации предыдущего приближения
(п-1)
(1.24)
8о
где 80 = 8 — 8Г.
Затем находим Ecpn), slp(n), о(п) и по той же кривой деформирования
а’(л) =/(8^>).
Кривые деформирования при промежуточных температурах Т (х)
построены линейным интерполированием при s0 = const, как пока-
зано на рис. 1.2.
Расчет заканчиваем, когда во всех точках разность п<п> —
становится пренебрежимо малой.
На рис. 1.4. б видно, что пластическая деформация привела к вы-
равниванию напряжений по сечению. Максимальное напряжение
265
Рис. 1.3. Характеристики хромоникелевой стали
12Х18Н9Т [1] и пример определения переменного
модуля упругости Е при Т = 300° С
Рис. 1.4. К анализу напряжений в неравномерно
нагретом растянутом стержне:
а —'распределение температуры по ширине стержня
(О < х < 1, где иа оси х == 0, на. краю х — 1); б — рас-
пределение напряжений (0 ~ по упругому расчету;
1, 2, . .	7 — номера последовательных приближений
с учетом пластических деформаций по методу перемен-
ных параметров упругости)
°max = 22 кгс/мм2 всего на 10% превышает среднее. Так как в*диа-
пазоне температур 300—500° С пределы прочности стали 12Х18Н9Т
меняются мало, то минимальный местный-запас прочности п = ов/о,
получаемый в центре стержня и равный nmln = 2,23, мало отличается
как от среднего по сечению значения местных запасов прочности
пср = 2,45, так и от запаса прочности по несущей способности, кото-
рый определяется при растяжении как
пр = ^Т I ^(T'>dF>	U-25)
СР р
в данном случае пр = 2,44.
Практически ту же оценку среднего разрушающего напряжения
и запаса прочности по несущей способности дает их определение по
средней температуре сечения.
Малое различие местных и средних запасов прочности указывает
на то, что неравномерное поле температур и вызванные им темпера-
турные напряжения и деформации почти не влияют на условия раз-
рушения деталей из пластичных материалов при однократном нагру-
жении. Экспериментами подтверждается, что несущая способность
при растяжении определяется в основном средним напряжением
и средней температурой детали.
Для оценки остаточных напряжений после разгрузки и охлажде-
ния стержня до нормальной температуры предположим, что эти
напряжения упругие. При Е = const
о:ст = £ (е?р-Ер), -	(1.26)
где
8р = 8_8г_Д_	.	(1.27)
и
epp = \spdF.	.	(1.28)
F
Значения остаточных напряжений по упругому расчету на рис. 1.4,6
показаны штриховой линией. Так как они значительно превосходят
предел пропорциональности при нормальной температуре и имеют
другой знак, чем при нагружении, то для их более правильной оценки
следует использовать теорию знакопеременной пластичности.
Многократные нагружения и нагревы. Для исходных данных
предыдущей задачи определим размахи напряжений До и деформа-
ций Де по сечению стержня при многократных одновременных на-
гружениях-разгрузках. (до оср = 20" кгс/мм2) и нагреваниях-
охлаждениях (рис. 1.4, а).
Так как температура и напряжения изменяются одновременно,
то расчет должен базироваться на теории неизотермических циклов.
Однако в первом, приближении целесообразно использовать более
простой метод решения с помощью диаграмм циклического деформи-
рования при некоторой постоянной по времени для каждой точки
267
Рис. 1.5. Приближенная диаграмма
циклического деформирования стали
12Х18Н9Т, полученная перестроением
диаграммы однократного деформиро-
вания (см. рис. 1.3)
тела температуре (см. гл. 5). По-
строим диаграммы пластического
деформирования приближенным
способом как показано на рис. 2.2
гл. 5. На рис. 1.5 приведена прибли-
женная диаграмма циклического
деформирования стали 12Х18Н9Т
при различных постоянных темпе-
ратурах. Для оценки размахов
деформаций с запасом примем в
качестве характерной темпера-
туры в каждой точке тела макси-
мальную для нее температуру
цикла (рнс. 1.4, а).
Дальнейший расчет с помощью
диаграммы циклического дефор-
мирования при заданном раз-
махе среднего напряжения аср —
= 20 кгс/мм2 и заданном размахе
температурного расширения Дег
проведем по деформационной тео-
рии термопластичности.
Результаты расчетов размахов
напряжений и деформаций при-
ведены на рис. 1.6. Благодаря
тому, что ширина упругой зоны 2ат
в 2 раза больше начального предела пропорциональности материала,
область пластического повторного деформирования по сравнению
с оценкой по Пост (см. рис. 1.4) значительно сузилась, а распределе-
ние размахов напряжений по ширине стержня, связанное с темпера-
турными деформациями, более неравномерно, чем при однократном
нагружении. Из расчета размахи напряжений и деформаций полу-
чаются со знаками;-указывающими на то, что максимальные значе-
ния данной величины в точках, где она положительна, возникают
одновременно с ее минимальными значениями в тех точках, где она
отрицательна.
Для оценки прочности при циклическом нагружении необходимо
знать не только размахи напряжений или деформаций, но и средние
за цикл значения напряжений ат, определяющие степень асимметрии
цикла. Приближенные значения ат можно найти, приняв в качестве
крайней точки цикла значение напряжения для первого нагружения.
Результаты расчета положения средней линии циклов для разных
точек сечения показаны иа рис. 1.4 штрих-пунктирной линией, а
область циклического изменения напряжений заштрихована. С уче-
том эффекта Баушингера и появления пластических деформаций
при разгрузке наибольшие остаточные напряжения в конце каждого
цикла аост оказываются значительно меньшими, чем по упругому
расчету Пост.
268
В центральной более холодной части стержня, где размах Пласти-
ческих деформаций достигает значений Дер 0,09% (рис. 1.6, б),
циклы напряжений почти симметричные. При средней температуре
симметричного цикла Тср 400° С образцы из стали 12Х18Н9Т
выдерживали в среднем N =2600 циклов при Дер = 0,21% и N =
= 1000 циклов при Дер = 0,37% [5]. Приняв (см. гл. 2)
Aei _ / Nt \т
Ле£ \	’
(1-29)
найдем т <=& 0,6, откуда ожидаемое число циклов до разрушения
в условиях рассматриваемой задачи N 10 600.
В более горячей части стержня циклические напряжения меня-
ются еще в упругих пределах (см. рис. 1.6), что позволяет материалу
выдерживать большое число циклов. При больших нагрузках или
большей неравномерности температурного поля в этой части стержня
также появятся размахи пластической деформации с большой асим-
метрией цикла напряжений и повышенным диапазоном температур
цикла, что может сделать эту часть стержня опасной.
На рис. 1.6, а видно, что средний размах напряжений Даср не
выходит за границы упругой зоны, т. е. при равномерном нагреве
стержня циклические деформации были бы во всех точках упругими.
Таким образом, в отличие от случая однократного нагружения,
при циклическом воздействии неравномерных температурных полей
Рис. 1.6. К анализу циклического нагружения стержня:
а — распределение размахов напряжений прн тёплосменах до и при постоянной тем.
пературе ДчСр: 2ат — зона упругих напряжений; б — распределение размахов дефор-
маций
269
Рис. 1.7. Циклическое измене-
ние напряжений (б) в закреп-
ленном по концам стержне при
циклически линейном измене-
нии температуры (а):
О — упругие напряжения первого
цикла; 1 — цикл с периодом 1» =
= 10 ч; 2 — цикл с периодом —
= 100 ч
термопрочность деталей из пластичных
материалов может заметно ухудшаться.
Нестационарная и циклическая пол-
зучесть. На рис. 5.7, гл. 4 видно, что
при однократном нагружении с после-
дующей длительной выдержкой в усло-
виях ползучести температурные напря-
жения релаксируют и распределение
напряжений по сечению стержня ста-
новится более равномерным, чем по ра-
счету упругих температурных напряже-
ний. Обычно это ведет к повышению
запаса местной длительной прочности,
который при меняющихся напряжениях
в момент времени t с начала работы
(см. гл. 3) может определяться как
где ада (t) — предел длительной проч-
ности материала за время t при тем-
пературе Т рассматриваемой точки
тела; аэкв (t) — эквивалентное напря-
жение за время t:
где m — показатель степени уравнения длительной прочности =
= const.
При а = const n(f) = g^~ = па (t). Обычно п (t) > п0 (О-
При разгрузке и повторных нагружениях в условиях ползучести
в стержне возникают циклически меняющиеся напряжения и дефор-
мации, которые могут быть рассчитаны методами, описанными в гл. 5.
Рассмотрим следующую задачу. Температура закрепленного по кон-
цам стержня меняется периодически во времени с постоянной по
величине скоростью (рис. 1.7, а). По длине и сечению стержня тем-
пература распределяется равномерно. Найти циклически изменяю-
щееся напряжение в стержне.
Так как температура, а следовательно, и напряжение меняются
без скачков, зависимость скорости ползучести от напряжения а0
и температуры Т можно приближенно принять в виде
eg = F (оо, Т) sign а0-
(1-32)
Пусть в (п — 1)-м приближении функция (t) в пределах
одного периода t0 известна. Определив по формуле (1.32) функцию
=	7’(0]signal-1’, .	\ (1.33)
270
найдем скорость изменения дополнительных напряжений
а£п)(/) = —Е(0еос(п)(О,	(1.34)
и затем по формуле (4.54) гл. 5 при tx = О
£
(/) =	(t0) + До0 (t) + J 50‘ (rt) (0) de,	(1.35)
о
где
Да0 (0 = —[£ (t) &т (?) — Е (0) ег (0)].	(1.36)
Для обеспечения сходимости решения напряжение в n-м прибли-
жении определяем по формуле [11]
4Л) (0 = 4л-1) (/) + ₽ [ё()п) (0 -	(/)],	(1.37)
где
Р=тфг.	(1-38)
аоп-1) |
(1.39)
В качестве исходного приближения взято упругое решение и ввиду
небольшого изменения температур в течение- цикла принято Е «=
?=« const, так что
4°> (/) = а0 (/) = — Еег (/) = — Еатср [Т (0 — Т(0)].	(1.40)
Результаты расчета приведены на рис. 1.7, б. При небольшом
периоде цикла различие между циклическими напряжениями с уче-
том ползучести и упругими напряжениями сводится в основном к изме-
нению асимметрии цикла, а при большом йериоде функция о0 (/)
претерпевает определенные изменения. По размаху напряжения за
цикл можно оценить число циклов до разрушения.
В рассмотренном примере развитие знакопеременной ползучести
происходит в основном в зонах, где напряжения достигают макси-
мального значения как при TmssL, так и при ТпНп! при закрепленных
концах стержня цикличность полной деформации обеспечивается
за счет того, что остаточные деформации ползучести, накапливаемые
при повышении и понижении температуры, компенсируют друг друга.
Если нижний уровень температуры таков, что практически не
происходит ползучести, то, как показано в гл. 5, при упругом раз-
махе деформаций напряжения на горячих участках цикла становятся
весьма малыми, ползучесть в цикле прекращается, т. е. наступает
полная приспособляемость материала. Однако если при резком изме-
нении температуры происходит не только упругая, но и мгновенная
пластическая деформация, то изменение остаточной деформации в те-
чение одного горячего полуцикла за счет ползучести компенсируется
 271
щих деформации за цикл при теплосменах жестко закреп-
ленного образца:
а - Е — const и Де^4_| = А®(3_4) — 0; б — общий случай
ее изменением в противоположном направлении в течение второго
холодного полуцикла из-за пластического течения, и установившийся
цикл может характеризоваться знакопеременным.напряжением и сме-
шанной петлей гистерезиса (рис. 1.8, а). На участке 1—2 происхо-
дит накопление деформации ползучести Де(1_2) , сопровождающееся
релаксацией напряжений при постоянной максимальной температуре
цикла. При охлаждении стержня напряжения меняют знак и раз-
вивается обратная пластическая деформация Де(2-з), равная Дец-г).
На рис. 1.8, б показан более общий случай, когда пластическая де-
формация и ползучесть развиваются как при Ттлх, так и при Тт<„
и учитывается зависимость Е (Т).
2. Изгиб и кручение стержней
Плоский изгиб. Общие зависимости. Рассмотрим стержни с прямо-
линейной осью z, имеющие, плоскость симметрии уг (рис. 2.1, а),
в которой действуют поперечные нагрузки *. Распределение темпе-
ратуры симметрично относительно этой плоскости. На основании
* Общий случай изгиба в двух плоскостях с растяжением рассмотрен в гл. 7.
в связи с расчетом турбинных лопаток.
272
гипотезы плоских сечении перемещение произвольной точки сече-
ния А (х, у) вдоль оси г
w = ауо 4- фхг/,	(2.1)
где ау0 — осевое перемещение точки О (начало координат); —
угол поворота сечения.
Относительная деформация
е =	= е0 иху,	(2.2)
где
__ dw0 .
Из выражения (2.2) и уравнения термоупругости для одноосного
напряженного состояния
е=-|- + ег + 8’,	(2.4)
получим
о = Е (е0 + кху — е? — е°).	(2.5)
Вначале рассмотрим решение упругой задачи (е° = 0). Подста-
вим значение (2.5) в условия равновесия
j adF = 0;
F
J aydF = Mx,
F
(2.6)
273
где /Ид. — изгибающий момент в сечении, связанный в статически
определимом стержне только с внешними нагрузками. Тогда получим
е0 f EdF j EydF — j Ее,г dF = 0;
F	F	F
e0 f EydF +. Xx j Ey2dF — j E&TydF = Mx.
F	F	F
(2.7)
Положение приведенного центра тяжести сечения О определим
из условия
\EydF = Q.	(2.8)
F
Тогда
JcdF'
F
(2.9)
F
dF

Из выражения (2.5) следует, что [2]
Мху
Ey2dF
(2.Ю)
Первый член выражает напряжения от внешних нагрузок, вто-
рой— температурные напряжения. При равномерной температуре

(2.П)
где Jx = j y2dF — момент инерции сечения относительно оси х.
р
Если температурное расширение меняется по высоте сечения по
линейному закону ег = A -f- By, то в свободном .стержне темпера-
турные напряжения не возникают.
Расчет статически неопределимых стержней на изгиб может быть
проведен методом начальных параметров. Запишем второе выраже-
ние (2.9) в виде
Мх + МТХ
х пр
(2-12)
274
где
Мтх = \ EsTУ dF-,
F
Jxnp = J-$Ey*dF-
£cp Jp
Ecp=±\EdF.
F
(2-13)
Так как угол поворота сечения (рис. 2.1, а)
dv
dz '
(2.14)
где v — прогиб стержня в данном сечении, то с учетом выражений
(2.3) и (2.12) получим
d?o ___d^_ ______	___мх	(2.15)
dz2 dz	x £cpAcnp
Предположим, что в начале координат z — 0 и в произвольных
точках z = а и z = b на стержень действуют сосредоточенные силы
Р (0), Ра и моменты Мх (0), Мь, направленные, как показано на
рис. 2.1, б. Тогда
МДг) = Л!ж(0) + Р(0)г-Mb8(b, z) — Pa(z-a)8(a, z),	(2.16)
где
(0 при z < Ь-
6(b, z) —	,
х ’	>	1 пптл -г п
(2-17)
и аналогично для 6 (a, z).
С учетом известной зависимости, вытекающей из условий стати-
ческого равновесия
/-> _dMx
dz
(2.18)
получим
Qp (z) = Р (0) — Ра8 (a, z).
Дважды проинтегрировав уравнение (2.15) с учетом
(2.16), найдем
J C'CpJX Пр
(2-19)
выражения
dv ___
dz
г
С zdz
J х пр
z	z s	2
I ЛЛ А /А \ С	IDA/ \ f (Z—'a)dz	С’ ^х^г
J ^-ср^хпр	J ^-ср^хпр <J ccpJxnp
‘ b	а	0
(2.20)
275
V И = » (0) + г > (0) - М, (0) j j - Р (0) J j +
0 0	0 0
z z	z z	z z т о
, s \ Г f dz2 . г, о , , С f (г — a)dz2 С f Мх /о оП
Ч-	(b, z) I j -р -j |- Ра8 (a, z) 1 j —р j j j с j • (2.21)
»7 J £ср**хпр	J и ^ср^хпр J и сср,/хпр
b b	а а	0 0
Формулы (2.16)—(2.21) легко обобщаются в случае произволь-
ного числа неизвестных сил Ра и моментов Мь, а также распределен-
ной поперечной нагрузки. Начальные параметры определяются из
граничных условий. Например, для консольного стержня, заделан-
ного при z — 0 и свободного при z = I,
v(0)=-g-(0) = 0;	'	(2.22)
Мх (/) =?(/)= 0,
тогда температурный прогиб
z z то
ИМ? dz2
ЁП—-~
сср*х пр
(2.23)
(2.24)
Для стержня, опертого по концам z = 0 и z = I,
v (0) = Мх (0) = 0;	(2.25)
v(l) = Mx(l) = Q.	(2.26)
Тогда температурный прогиб
=	<2-27>
* J J сср tz2/ Jxnp 1г2/ J J rcp kz2/ Jxnp
00	00
Согласно формуле (2.10) с учетом выражения (2.13) и первой
формулы (1.18) температурные напряжения
/ хи/ . Гмх (г) + ^1 (z) .	(г) т, /
а (X, у, Z) = E (Х, у, Z) -р—т-г-7-7- у 4- _—. ,	; — 8Г (х, у, Z) .
v ’	! к	7 L £ср(г)Апр(г) 1 £ср(г)Т(г) v	_
(2Д8)
На оси стержня (при у = 0) температурные напряжения в общем
случае не равны нулю. Температурное расширение еГ может рас-
сматриваться как частный случай дополнительных деформаций е°,
и формулы, учитывающие их влияние, получаются для одноосного
напряженного состояния одинаковыми [см. выражение (1.6)]. По-
этому для учета дополнительных деформаций, связанных с пласти-
ческим'течением или ползучестью, достаточно в полученных форму-
лах заменить ег на е°.
Установившаяся ползучесть при изгибе неравномерно нагретого,
стержня. Для частного вида сечений и законов установившейся
ползучести могут быть получены аналитические решения как
276
для равномерного [4, 7], так
и для неравномерных тем-
пературных полей [8]. Для
стержня произвольного попе-
речного сечения при произ-
вольном виде функции if ~
— f (с, Т) решение находится
методом последовательных при-
ближений (см. гл. 4).
В качестве примера найдем
распределение напряжений в
условиях установившейся пол-
зучести в стержне прямоуголь-
ного поперечного сечения ши-
риной В =.1 см и высотой
Н — 6 см, на который дейст-
вует изгибающий момент Мх —
= 15 тс-м. Материал — жаро-
прочный сплав ХН77ТЮ, уста-
новившаяся ползучесть кото-
рого может быть описана урав-
нением
__В_
vc = sign о Де г(е*|ст|— 1),
(2-29)
где в диапазоне температур
600—800° С
₽ = 5,34-10* К, k =
= 0,2854 мм2/кгс,
Рис. 2.2. К расчету установившейся пол-
зучести при изгибе неравномерно нагре-
того стержня: -
а — поле температур; б — распределение на-
пряжений: ое — по упругому расчету; а' (со)
при Т = Гср; а (оо) при Т = Т (у)
а значение константы А при расчете напряжений установившейся
ползучести не играет роли.
Распределение температуры по высоте сечения — линейное.
По упругому расчету Отах = 25 кгс/мм2, а температурные на-
пряжения для стержня со свободными концами равны нулю.
Для расчета напряжений установившейся ползучести методом
последовательных приближений с переменным модулем (см. раздел 5
гл. 4), найдем в исходном приближении скорость ползучести if (0)
по формуле (2.29), приняв <т(0> (у) — се (у).
Определив в каждой точке сечения значение
- <23°)
решим упругую задачу с переменным модулем Дс(1> (у), далее най-
дем новые значения сг<1>, tfW, и.т. д.
Результаты расчета установившихся напряжений изгиба при
неравномерном поле температур показаны на рис. 2.2, б в виде кри-
277
вой о (оо). Нейтральная линия сдвигается в область пониженной тем-
пературы, a I Omax (оо) | При Tmin бОЛЬШе Отах.
При равномерном по сечению температурном поле [см. кривую
о' (оо) на рис. 2.2, б] ползучесть ведет к снижению максимальных
напряжений, причем положение нейтральной линии не меняется.
Циклическая ползучесть при изгибе стержней. Рассмотрим случай
плоского изгиба статически определимой балки двусимметричного
сечения, когда в любом сечении можно считать заданным периоди-
ческое изменение изгибающего момента от внешних сил:
Мх (t — t0) = Мх (t),	.	(2.31)
где t0 — период цикла.
Для упрощения расчета ограничимся случаем, когда температура
постоянная. В точке у любого сечения скорость изменения полной
деформации
< У) — ^^-+ес(Л У)-	(2.32)
Согласно формуле (2.10) при замене ег на ес после дифференци-
рования по времени получим
J ес(/, y)ydF ~ &(t, у) .
а(/,
Jx
(2.33)
Обозначив напряжения в произвольный начальный момент цикла
t = 0 через о (0, у), представим интеграл выражения (2.33) в виде
o(t, ^) = п(0, z/)-+-Ao(Z, y)-\-o(t, у),
где
у) = - -	у\
J X
а(/, z/) = £j у-|ес(9> у) у dF — ес (0, у) dQ.
* F
(2-34)
(2.35)
(2.36)
0
В соответствии с общей теорией, изложенной в разделе 4 гл. 5,
зависимость скорости ползучести ес (/) от напряжения в данный
и предшествовавшие моменты времени о (0), где t — t0 <:0 t,
примем в виде
ec(O = f(O + Fo(O__i__ J £(0, f)e-0U-e>de;	(2.37)
t—to
здесь
f(0 = f Iff (01 = si<n O (t)-f [| a (OH; t
Fo (0 = Fo [a (i)l = signa (t)-F0 [| a (0|l;
F (0, 0 = F [a (0), a (/)].
278
Функции / [| а | ] и Fo [| а| ] и постоянную (3 определяем непосред-
ственно по экспериментальным кривым ползучести, а функцию
F [о (9), о (0] вычисляем в зависимости от соотношения между на-
пряжениями о (9) и о (0 по формулам типа (3.5) гл. 5-, обобщен-
ным по аналогии с формулами (3.57) гл. 5 на случай возможного
изменения знака напряжения:
F[o(9), о(0] =
г- г f (0)] л а (0)	,
Fо (0] + ^0 [о (9)] (1 - ПРИ П77Г > 1 ;
UF кт (ГН Ип(9)] прп а (0)
А rol°(0l ПРИ
Система уравнений (2.34)—(2.38) решается методом последователь-
ных приближений.
На рис. 2.3,а приведены кривые ползучести алюминиевого сплава
Д16Тпри 200° С, а на рис. 2.3, б—экспериментальная кривая про-
гиба при 200° С конца кон-
сольной балки из этого мате-
риала прямоугольного сече-
ния В = 20 мм, Н — 32 мм,
длиной L = 1000 мм при
циклически двухступенчатом
нагружении силой на конце
(Р = 60 кгс и Р = 90 кгс
в течение 4 ч на каждом
уровне нагрузки)*. Упругая
часть прогиба не показана.
Ввиду отсутствия данных по
ползучести сплава Д16Т
при повторных нагружениях
с- полной разгрузкой, для
приближенной оценки ха-
рактеристик нестационарной
ползучести использованы
кривые ползучести при одно-
кратном нагружении.
Так как изгибающий мо-
мент в каждом сечении
балки известен, расчет на-
пряжений и деформаций
* Экспериментальные данные
по циклической ползучести балок
предоставлены автору С. А. Носо-
вым. Расчеты выполнены ннж.
ГЛ;Б. Лавровской н Г. С. Сидо-
ренко.
Рис. 2.3. К анализу циклической ползуче-
сти стержней из сплава Д16Т при Т =
= 200° С:
а — кривые ползучести образцов; б — цикличе-
ское изменение неупругой части прогиба кон-
сольной балки
279
Рис. 2.4. Изменение напряжений по вре-
мени в крайних волокнах (у = 1) различ-
ных сечений стержня (г = г/L) при цик-
лически двухступенчатом нагружении
Рис. 2.5. Распределение напряжений в различных сечениях балки
(г = z/L) при циклически двухступенчатом нагружении:
а — Р = 90 кгс; б — Р — 60 кгс
Рис. 2.6. Изменение в пределах одного цикла
неупругой часта прогиба конца консольной
балки:
• — 2-й цикл; □	3-й; А — 4-й; V — 5-й; О — 6-й
(см. рис. 2.3)
Рис. 2.7. Схема кручения стержня
в каждом сечении z — const при циклической ползучести ведется
независимо.
Результаты расчета изменения напряжений в условиях развития
циклической ползучести приведены на рис. 2.4 и 2.5 [11]. Тонкая
линия относится к упругому расчету, жирная — к расчету с учетом
циклической ползучести. На рис. 2.5 штриховой линией приведены
также кривые распределения напряжений при установившейся пол-
зучести для соответствующих постоянных усилий *. Изменение на-
пряжений по времени в пределах каждого полуцикла невелико;
при переходе с одного режима нагрузки на другой напряжение ме-
няется на величину размаха Да, практически не отличающуюся
от упругого. Роль ползучести сводится главным образом к измене-
нию среднего за цикл напряжения, т. е. асимметрии цикла.
Проведя расчеты циклического изменения скорости ползучести
для нескольких сечений балки, найдем в соответствии со второй фор-
мулой (2.9) при замене ег на ес приращение кривизны в данном се-
чении в момент времени t:
Дх'(0=4;/ J ес(0, y)ydFdQ,
OF
а затем интегрированием выражения (2.15) — изменение прогиба
конца балки
L z
Дис (i) = | | Ах* (t, -z) dz\
оо
На рис. 2.6 показано расчетное изменение прогиба балки в тече-
ние любого стабильного цикла (сплошная линия), а также нанесены
* Установившуюся ползучесть можно рассчитать по программе расчета цикли-
ческой ползучести, приняв нагрузку постоянной в пределах всего цикла.
281
экспериментальные точки, соответствующие кривой Vе рис. 2.3, б
для нескольких циклов нагружения. Результаты расчета подтвер-
ждают сложный характер изменения прогиба в течение цикла, а при
количественной оценке получаются значения прогиба, которые укла-
дываются в разброс экспериментальных данных.
Кручение. Рассмотрим стержень постоянного сечения, закру-
чиваемый постоянным моментом Мк (рис. 2.7). Кинематические соот-
ношения обычной теории кручения справедливы и для стержней
с переменными параметрами упругости. Сечение как жесткое целое
поворачивается на угол ф (z) и, кроме того, точки сечения получают
перемещения w (х, у, z) вдоль оси z («депланация» сечения). Угол
поворота сечения
ф (z) = 9z,	•	(2.39)
где 9 =	— угол поворота сечения на единицу длины.
Компоненты перемещения точки А (х, у, z) выражаются равен-
ствами
и = — Qyz-,
v = dxz:
w = 9<р (х, у),.
где q> (х, у) — функция кручения..
Деформация сдвига
„ —	_i_ ди _ и ( Э<Р ,Л .
dw	, dv л / Э<р	,	\
Vzu	л----—5— == 9 ( “5-----Ь	% ) •'
ду	1 dz \ ду	'	/
(2.40)
(2.41)
Остальные компоненты деформации обращаются в нуль. В соот-
ветствии с соотношениями упругости
= G (угх — у») = G9 ( & — у Y— GyZ/,
,	о }	(2.42).
Ъу = G (yzy —	= G9 (Л. + х) — Gy^,
где угх, Ъу — компоненты дополнительной- деформации сдвига;
G = 2ц — модуль сдвига, переменный для точек сечения.
Из условия равновесия
-^ + ^0=0	(2.43)
дх'ду	' '
и соотношений (2.42) получаем уравнение для функции кручения
дх \ дх ! 1 ду \ ду )	3 дх ду 1
<2-44)
282
Граничные условия для касательных напряжений:
тг% cos р + тад sin Р = О,	(2.45)
где Р — угол между нормалью к контуру п и осью х.
Из соотношений (2.42) и (2.45) получаем граничные условия для
функции кручения
Эф о . Оф . а Оф /	.	1	« \ о
-4- COS Р 4- -г3- Sin Р = -д-2- — (у + -д- у2Х ) cos р —
дх г 1 ду r дп V 1 9 ( г
~\х------rv^)sin^'	(2.46)
Крутящий момент в поперечном сечении
Мк = — J (хгХу — хгух) dF
F
или с учетом соотношений (2.42)
. Мк = 9 [ G (	—^2- у + х2 -|- у*\ dF —
к J \ ду дх а 1	1	/
F -
— J G (угуХ — УгхУ) dF.	(2.47)
' F
При постоянном модуле сдвига и у°у = угх — О
Мк = 9GJK,	'	’	(2.48)
где
=	+ +	 <2-49>
F
— геометрическая жесткость при кручении. Введем обозначения:
М°к = j G (y°zyX — угхУ) dF-, F F	(2.50)
» + Х?+У')iF- F	
тогда по формуле (2.48) найдем
что позволяет по соотношениям (2.42) определить компоненты напря-
жений.
283 ’
В качестве примера рассмотрим кручение круглого вала с осе-
симметричным распределением модуля сдвига G (г). В этом случае
dG __ dG х _ dG ____ dG у	rm
Допустим, что дополнительная деформация сдвига является также
осесимметричной, т. е. возникла в результате различного поворота
цилиндрических слоев при отсутствии осевых деформаций. Тогда
дополнительные перемещения
и° = -9° {f)yz\
v° = 9° (r)xz;	(2.53)
w° = О,
где 9° (г) — дополнительный относительный угол закрутки на ра-
диусе г. Дополнительная деформация сдвига
Ъх = — 9° (г) у,	'	(2.54)
= 9° (г) х.
Подставив значения (2.52) и (2.54) в уравнение (2.44), получим
(2.55)'
дх \ дх / ' ду \ ду J ’	.	.'	'
так как	.	. "
д (п! - д [ое° ('>1 ху • д — д tG0° <г>1 ху
17 [^2Х> - :	1	7 ’ 17	------1Г~ Т ’
причем граничное условие (2.46) примет вид
^ = 0-	. (2-56)
Уравнение (2.55) и условие (2.56) будут удовлетворены при Ф =-
= 0, т. е. депланация сечения при осесимметричном распределении
модуля сдвига и дополнительных деформаций отсутствует. В этом
случае согласно .выражениям (2.50) приведенная геометрическая
жесткость при кручении равна
4np = -^-J G(r)r2dF-,	(2.57)
ср F
Л4к = j G (г)9° (г) г2 dF.
F
По формуле (2.51) угол закрутки на единицу длины
j G (г) е° (г) г* dF
9=J--------------.	(2.58)
]G(r)radF JG(r)radF
284
Из уравнений (2.42) находим
— G(r)y
Мк
| G(r)r2dF
F
| G (г) 9° (г) г2 dF
£_____________________
| G (г) г* dF
F
Мк
| G (г) г2 dF
F
| G (г) 0° (г) г2 dF
+ -^-7---------------------9° W
I G (г) г2 dF
F
(2.59)
Из последних формул следует, что вектор касательных напряже-
ний направлен перпендикулярно радиусу и равен
x(r) = G(r)r	| G (г) 0° (г) г2 dF Мк	1 F
	Г	1	Г	V V/ 1 G (г) г2 dF	1 G (г) г2 dF _F	F
(2.60)
тад = G (г) х
-9'W
Если подставить значение дополнительной деформации сдвига
в окружном направлении для слоя г, соответствующей величине
0°(г),
У° (г) = 0° (г)г,	(2.61)
то равенство (2.60) запишется в окончательном виде
т (г) = G (г)
Мкг
J G (г) г2 dF
F
г J G (г) у0 (г) г dF
F	о / \
-----------------------у (Г)
J G (г) r2dF
F
(2.62)
Если дополнительные деформации меняются по радиусу линейно
у° = Аг, то дополнительные напряжения не возникают.
Температурное расширение изотропных тел непосредственно
не вызывает сдвиговых деформаций. Однако неравномерный нагрев
стержней некруглого сечения, приводящий к депланации плоских
сечений, может явиться причиной крутильной деформации.
3. Изогнутые и закрученные стержни
Изогнутые стержни большой кривизны. Рассмотрим стержень боль-
шой кривизны, сечение которого имеет ось симметрии (рис. 3.1),
а ось стержня, проходящая через некоторую точку О, имеет радиус
кривизны г.	-
Относительное удлинение волокна ds на расстоянии у от оси стерж-
ня равно
Ads
ds
(3.1)
286
У
Учитывая, что	
ds = (г + у) dtp = d-^JL ds0	(3.2)
и в соответствии с гипотезой плоских сечений	
Ads = Ads0 + у Adcp, получим	.	(3.3)
	(3-4)
где Adse е0 = —г2- 0	ds0	(3.5)
— удлинение оси стержня;	
х	dsa	(3.6)
— упругое изменение кривизны стержня. Из выражения (3.4) и уравнения упругости с учетом температур- ного расширения	
	(3-7)
получим	
0 = Е'(	£	Ео Н	^—их—ът\ . \ с-Ь у 0 1 г 4- у	J	(3.8)
Подставим это значение в условия равновесия	
J<rdF = .V; F	(3.9)
\vydF = Mx.	. -(3.10).
2?б
Тогда при переменном модуле^упругости [6]
60r f —4— dF 4- xcr f - dF — [ EeT dF = AT,
0 J r+y 1 x J r+у J
F	F	F
W j T^dF + x*r j dF - f E&TydF =
F	F	F
(3.11)
(3.12)
Положение начала координат (точки О, через которую проходит
ось стержня) определим из условия
Тогда из уравнений (3.11)—(3.13) следует, что
F
Мх + j EsrydF
Использовав обозначения
£"Р ~ F I г + у. dF’
F
j — г f Еу2. clF-
^np-q г+у
F
NT = ^EzTdF-t
F
MJ = J EtfydF,
F	' .
запишем выражения (3.14)—(3.15) в виде
W + JV7”
Б°“ £пр£ ’
Мг + М.т
хх = х F F .
£пр**х пр
(3.13)
(3.14)
(3.15)
.(3-16)
(3-17)
(3.18)
Подставив значения (3.17)—(3.18) в формулу (3.4), получим вы-
ражение для продольной деформации
N + NT г ..	4-	# гу
EnpF г у 5ПрУХпр г 4* У ’
(3-19)
287
а из формулы (3.8) — выражение для нормальных напряжений в по-
перечном сечении
__ с ( N ~ NT _ г мх + мх _ гу
\ EnpF г + У ^прДпр г + У
(ЗДО)
Заменив ег на е°, получим формулы, учитывающие дополнитель-
ные деформации.
Для нахождения величины г запишем формулу (3.13) в виде
Е(у + г — г)
г —У
F	F
откуда
JtdF
(3.21)
где Гх = г + у — расстояние от текущей точки сечения до центра
кривизны (см. рис. 3.1).
Дальнейший порядок расчета упругопластических деформаций
и ползучести остается таким же, как для стержней малой кривизны.
Закрученные стержни. Для начально закрученных стержней
удлиненного симметричного относительно оси я поперечного сече-
ния (рис. 3.2) продольная деформация [6, 9]
е = е0 + Х^Т) + 00о/?2,	'	(3.22)
где е0 — удлинение; xg
за-
Рис. 3.2. Схема начально
крученного стержня
288

— упругая кривизна оси стержня при изгибе
относительно оси %, т)' — главные (
приведенные оси текущего поперечного
сечения стержня; 0 — относительный
угол поворота сечений из-за дефор ма-
цни; 0О — относительный угол пово-
рота сечений (на единицу длины)
из-за начальной закрученности; R —
расстояние от точки до оси стержня
(R
Формула (3.22) получена из кине-
матических соотношений, что позво-
ляет применять ее и при неупругих
деформациях. Подставив значение (3.22)
в уравнение упругости с дополнитель-
ными деформациями е°, получим
ст = Е (е0 + Х£Т) + 00о/?2 — е°).
(3.23)
С учетом уравнений равновесия (3.9)—(3.10), отнесенных к осям
т], имеем
6о J EdF + EYidF + ER2dF— j Ee°dF = N- (3.24)
F	F	F	F
e0 j Ei\ dF + j Erf dF	99O j ERh\ dF — j Еб°т] dF =	.	(3.25)
F	F	F	F
' Определив положение приведенного центра тяжести сечения в на-
правлении оси т| из условия
J Ет| dF = 0,	.	(3.26)
F
найдем
JV-eeJ ER2dF + jEe°dE
е0 =---------F—-----—;	(3.27)
fEtf
F
— ee0 f ER2t\dF + f £e°r]dF
=----------F—--------F--------	(3.28)
I EtfdF
F
Использовав обозначения
F
F
~ F	F
. <3'29)
F	F
№ = jEe°dE;'
F
Af’ = jE&°ndE,
F
представим выражения (3.27)—(3.28) в виде
е0==^ + ^-990А^;	(3.30)
£*Ср"	г
= м^ + м^ _ 00 JpSnp 4
5 Ec(,j£np 0 7jnp
(3.31)
289
Продольные деформации стержня равны
6~ EcpF £cpAnp П + 9М„
(3.32)
где
R; = /?---W n.	(3.33)
**	*4np
Величина R2, представляющая собой обобщенную координату
точки, может быть как положительной, так и отрицательной.
Нормальные напряжения
я = 4^ + Мл+еад!-4 (М4)
Гср"	£-Ср’'§Лр
Для нахождения угла деформационной закрученности 9 учтем,
что в закрученных лопатках крутящий момент в сечении Мк уравно-
вешивается не только моментом касательных напряжений Мт, но
и моментом проекций нормальных напряжений в наклонных, волок-
нах на плоскость поперечного сечения ст90^ (рис. 3.2):
Мт + 90 j aR2 dF- = Мк.	(3.35)
F
При упругих деформациях и постоянном по сечению модуле
сдвига .
Мх = GJK9,	(3.36)
где JK — геометрическая жесткость сечения на кручение.
При переменном модуле упругости
MT = Gcp/Knp9,	(3.37)
где
Gcp = -yjGdF,	(3-38)
* F ' .
а приведенная жесткость на кручение зависит от распределения по
сечению функции G (см. раздел 2 и работу [21). Для слабо изогнутых
удлиненных сечений можно считать [6], что
7-<np--^-jG(B)63(B)^	,	(3.39)
гр s
где б (|) — текущая толщина сечения, а интегрирование ведется
вдоль средней линии профиля.
При наличии дополнительных сдвиговых деформаций ygz и пере-
менном модуле упругости уравнение (3.35) принимает вид
GcP4 пР9 + 90 J oR2 dF = MK + М °.	(3.40)
F
290
Можно показать, что для слабоизогнутого удлиненного сечения
+6/2
/VT^2j J G(Е,л)у:г(5,n)ndt
S -6/2
(3.41)
Подставив в уравнение (3.40) выражение (3.34) для ст, после инте-
грирования получим
0	9°
^ср^к пр ^ср^к пр
Л' + Л'0 ,
р ‘'рпр
/И* 4- М'.
<3'42)
где
р л2 /	т2	г 2
т* ____ г I дср°о ( Т	Jpnp	Jplnp
JKnp - J к пр	\JrPP F
J'-pp = f ERi
F
B° = J EeaR*dF.
(3.43)
Определив по формуле (3.42) угол 0, затем по формуле (3.34) можно
найти нормальное напряжение ст, а по формуле (6]
т5г = G ®6	(3-44)
— касательное напряжение на контуре.
Приняв N =	= Мк = 0, Yjz = 0 и е’ = ег, найдем темпе-
ратурные напряжения в свободном закрученном стержне.
В качестве простейшего примера рассмотрим задачу о неравно-
мерно нагретом закрученном стержне удлиненного прямоугольного
сечения 6x6, имеющем параболическое распределение температуры
по ширине Ь‘.
Т = 7’СР[1+ДТ	-4-)] ,
(3.45)
где
Будем считать параметры упругости, как и коэффициент линей-
ного расширения а, постоянными, концы стержня — свободными
(N = Л15 = МА = 0), а Т равным Т — То.
Согласно формулам (3.29) при е° = ет — аТ
NT = EF&,
Л4[ = 0,
где
8ср = Я Тер.
291
Величина
Вт = Jfe^2 dF = -1-E^Fb2 (1 + -i- Ат) .
F
Деформации стержня при нагреве характеризуются удлинением
£0 &ср	1——. 3	2 2 1 «Г V2	(3-46)
		1 _j_ JL у2 45 7 j	
и относительным		углом поворота	
т =		8б1рУ /	2	Я 1	(3.47)
156			
где			
боб2	f		(3.48)
а
G/£ = 3/8 (|x = 4-V
Распределение нормальных напряжений определяется формулой
_ Ее[р(1- з» ду
“	1 I 2	2	' 3 ’
отношение максимальных касательных и нормальных напряжений
(3.49)
а
а
равно
(Tgz)max _ У
Стах Ю
(3.50)
Из приведенных формул видно, что при усиленном нагреве кро-
мок начально закрученного стержня (АТ > 0) увеличивается его
закрученность, а при охлаждении кромок (АТ < 0) — уменьшается.
Закрученность ведет к уменьшению нормальных температурных на-
пряжений и к появлению касательных температурных напряжений,
величина которых может быть того же порядка, что и нормальных.
При равномерном нагреве (АТ = 0) напряжения не возникают. Вли-
яние начальной закрученности следует учитывать, если у > 1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Безухов Н. И., Бажанов В. Л., Гольденблат И. П. Расчеты на прочность,
устойчивость и колебания в условиях высоких температур. М., «Машиностроение»,
1965, 567 с.
2.	Биргер И. А. Неравномерно нагретые стержни с переменными параметрами
упругости. — В кн.: Расчеты на прочность. Вып. 7. М., Машгиз, 1961, с. 76—109.
3.	Биргер И. А., Шорр Б. Ф., Шнейдерович Р. М. Расчет на прочность деталей
машин. Изд. 2-е. М., «Машиностроение», 1966, 616 с.
292
4.	Малиннн Н. Н. Прикладная теория пластичности н ползучести. М., «Ма-
шиностроение». 1968, 400 с.
5.	Пирогов Н. Е. Изучение накопления повреждаемости прн термоусталостном
нагруженнн с учетом рассеивания числа циклов до разрушения материала. —
В кн.: Прочность н деформация материалов в неравномерных физических полях.
Вып. 2. М., Атомиздат, 1968, с. 14—25.
6.	Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник под ред. И. А. Бнргера
н Я. Г. Пановко. Т. I. М., «Машиностроение», 1968, 831 с.
7.	Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М., «Наука», 1966,
752 с.
8.	Шорр Б. Ф. К расчету на неустановнвшуюся ползучесть неравномерно на-
гретых стержней произвольного поперечного сечения. — «Изв. АН СССР. ОТН.
Механика и машиностроение», 1959, № 1, с. 89—96.
9.	Шорр Б. Ф. К теории закрученных неравномерно нагретых стержней. —
«Изв. АН СССР. ОТН. Механика н машиностроение», 1960, № 1, с. 141—151.
10.	Шорр Б. Ф., Нафиков Р. М. Расчеты на циклическую ползучесть. — В кн.:
Ползучесть н длительная прочность. Изд. Сибирского отделения АН СССР, Ново-
сибирск, 1963, с. 47—62.
11.	Шорр Б. Ф. Расчет балок на циклическую ползучесть по модифицирован-
ной теории наследственного влияния. В кн.: Тепловые напряжения в элементах
конструкций. Вып. 10. Киев, «Наукова думка», 1970, с. 152—159.
/
ГЛАВА 7
Лопатки турбин
1.. Условия работы лопаток
Особенности работы лопаток турбин. Как известно, одним из важ-
нейших путей улучшения параметров газотурбинных стационарных
и транспортных двигателей является повышение температуры газа
перед турбиной [15]. При этом возникает большое число проблем,
связанных с обеспечением длительной и надежной работы элементов
конструкции турбин и прежде всего рабочих лопаток [7, 10, 18].
Ниже рассмотрены только вопросы, связанные с термопрочностью
лопаток турбин, на основе которых могут быть рассчитаны напряже-
ния и деформации и оценена прочность лопаток на стадии проектиро-
вания турбины.
На напряжения и деформации рабочих лопаток турбины влияют
вращение ротора, действие газовых нагрузок и температурное поле ло-
патки.
На стадии прочностного расчета обороты ротора и их изменение
по режимам обычно известны, поэтому можно достаточно точно рас-
считать нагрузки от центробежных сил. Средние (расчетные) для дан-
ного режима газовые нагрузки также можно определить по данным
газодинамического расчета турбины. Однако пока не представляется
возможным надежно рассчитать переменные составляющие газовых
нагрузок. Поэтому при проектировании лопаток приходится ограни-
чиваться определением напряжений от расчетных газовых нагрузок,
а переменные вибрационные напряжения определять эксперимен-
тально (тензометрированием) после изготовления опытных образцов
изделия. Температурное поле лопатки и его изменение по режимам
можно предварительно приближенно рассчитать [8]. Это позволяет
определять температурные напряжения.
Расчетная прочность лопаток оценивается по опасности кратко-
временного и длительного статического разрушения или малоцикло-
вой усталости. Необходимые запасы прочности, обеспечивающие
надежную работу лопаток, устанавливаются по опыту эксплуатации
аналогичных изделий. Оценивается также удлинение (вытяжка) пера
лопатки от действия центробежных сил и нагрева, что необходимо
для расчета радиальных зазоров между рабочим колесом и корпусом
турбины, а при наличии бандажных полок — для оценки натягов
между полками.
Расчетная схема лопатки. Рабочая лопатка турбины представ-
ляет собой сложное тело. В расчетах профильная часть лопатки рас-
сматривается как стержень,
и его основные размеры
определяются путем некото-
рой схематизации чертежа.
Расчетная схема лопатки
приведена на рис. 1.1. Здесь
х, у, z — неподвижная отно-
сительно вращающегося ди-
ска система координат; ось z
направлена по радиусу, про-
ходящему через центр тяже-
сти корневого сечения О; ось
х — параллельна оси враще-
ния в направлении осевого
движения потока газа; ось у
расположена в плоскости
вращения и вместе с осями х,
z образует правую систему
координат;
х1, l/i’ г1 ~ подвижные
оси, соответственно парал-
лельные осям х, у, г, с нача-
лом в центре тяжести О± те-
кущего сечения пера ло-
патки;
£, ц, £ — главная подвижная система координат, причем ось £' на-
правлена по оси большей жесткости;	'
а — угол между осями £ и хг (угол установки текущего се-
чения).
Величины х0, у0 характеризуют начальное отклонение оси лопатки
от радиального направления; иногда их называют выносами оси.
Значения г0, R, I, z даны на рис. 1.1.
Координаты точек профиля сечений на нескольких радиусах
обычно задаются в виде таблицы. В настоящее время исходные таблич-
ные данные с чертежа вводят в ЭВМ и все геометрические характери-
стики сечения рассчитывают по специальным программам с выдачей
на печать окончательных результатов: площади F, положения цен-
тра тяжести сечения х0, y0, направления главной оси £ (угла а), глав-
ных моментов инерции а в случае необходимости — и других,
более сложных характеристик. Иногда используют графо-аналити-
ческие методы [4, 10].	;
Расчетные характеристики материала. Для проведения расчетов
на термопрочность необходимо иметь достаточно подробные характе-
ристики упругопЯастических и прочностных свойств материалов
в рабочем диапазоне температур. Получение таких характеристик
связано с определенными трудностями как из-за недостаточности
сведений, обычно приводимых в справочниках по материалам, так
и из-за неизбежного разброса свойств материалов. Поэтому в расчетах
следует "по возможности использовать характеристики наиболее
 295
Рис. 1.3. Кривые [кратковременного деформирования и изохронные кривые
ползучести сплава ЖС6К:
а - Т = 800» С; б - 900° С
Рис. 1.4. Диаграммы ползучести сплава ЖС6К: а—Т — 900° С; б — 800° С
достоверные, полученные осредне-
нием результатов опытов, или
же учитывать их наиболее вероят-
ный разброс.
В качестве примера ниже
приведены некоторые расчетные
характеристики жаропрочного
сплава ЖС6К, широко применяе-
мого в качестве материала рабо-
чих и сопловых лопаток. Харак-
теристики получены обобщением
опубликованных в литературе
данных [16, 171, а также резуль-
татов исследований авторов.
Изменение по температуре мо-
дуля упругости Е (Т), темпера-
турного расширения ег (Т) =
— а.(Т)(Т—То) при нагреве от То =
= 20° С до текущей темпера-
туры Т приведено на рис. 1.2, а,
а изменение предела кратковре-
менной прочности ав, условного
предела текучести сг0,2 и предела
пропорциональности апц, прини-
маемого в расчетах за начальный
предел текучести ат (0), — на
рис. 1.2, б.
Рис. 1.5. Зависимости предела дли-
тельной прочности Одд от времени и
температуры для сплава ЖС6К
На рис. 1.3 приведены кривые
кратковременного деформирова-
ния сплава ЖС6К при Т — 800 и 900° С (кривые t = 0) и изохрон-
ные кривые ползучести для ряда моментов времени t, полученные
перестроением диаграмм ползучести (рис. 1.4).
Зависимость предела длительной прочности Од, от времени и
температуры показана на рис. 1.5.
Данных по циклической прочности сплава ЖС6К, пригодных для
расчетных оценок, крайне мало. На рис. 1.6 приведена зависимость
числа циклов до разрушения от размаха напряжений, построенная
по весьма ограниченному числу опытов и поэтому позволяющая ориен-
тировочно оценить циклическую прочность.
Расчетные нагрузки и режимы работы. Расчетный режим харак-
теризуется частотой вращения п, расчетными газовыми нагрузками,
составляющие которых в осевом и окружном направлениях равны
qrx (z) и qry (z) (см. рис. 1.1) и температурным полем по длине и по сече-
ниям лопатки.
Центробежная сила, действующая на элемент лопатки площадью
F и длины dr = dz на радиусе r = r04~z, равна
dN^ = paFrF (z) dz,
(1.1)
где p — плотность материала лопатки; а> — угловая скорость.
297
Рис. 1.6. Ориентировочная за-
висимость числа циклов до раз-
рушения Мц от размаха напряже-
ний Ла сплава ЖС6К:+,*—
по испытаниям на выносливость
при 7 = 20 и 900° С; □, X,
О — по термоциклическим ис-
пытаниям с верхней температу-
рой цикла 800, 900 и 950° С без
выдержки (/); Д, V — тоже,
с выдержками: tB— 1.5 мин (2)
и tB = 10,7 мин (3)
Полная центробежная сила, растягивающая сечение на радиусе г
i
^(z) = p©2{ (ro + 2i)F(Zj)dzb	(1.2)
z
где 0 zt I.
При наличии выносов оси лопатки х0, уй центробежная сила эле-
мента лопатки dNv направленная по радиусу, вызывает в сечении
г = г0 z изгибающие моменты [1], с учетом принятых обозначений,
равные
AC, (z) = Р©2 J [,0	— Уо (z)] (г0 4- Zj) F (Zi) dzf,
г
I
Мд. (z) = —pco2 J [xq (zx) — xo (z)] (r0 + Ti) F (zj dzt.
z
(1-3)
Эффектом кручения от центробежных сил в турбинных лопатках
обычно можно пренебрегать, за исключением вопросов, связанных
с анализом натяга по бандажным полкам.
Рис. 1.7. Температурное поле в среднем сечении'охлаждаемой воздухом
лопатки на режиме длительной работы
298
Изгибающие моменты от газовых нагрузок равны
i i
М*, (?) = — J J Яу&г) dzi dzr,
г z,
I I
M^(z) = f J Я* (Z2)dz2dzl.
z
(1.4/
Кручением от газовых нагрузок, как правило, пренебрегают.
Изгибающие моменты относительно главных осей q равны
= Mucosa.-J- Musina;	1
Мл =—Afnsin a -J- Mucosa. )
При проектировании рабочих лопаток выносы центров тяжести
подбирают так, чтобы изгиб от газовых сил полностью или час-
тично разгружался изгибом от центробежных сил.
Температурное поле по радиусу обычно неравномерно и имеет мак-
симум в средней части лопатки (см. ниже на рис. 2.1). Температура
на стационарном режиме обычно равномерная по сечению неохлаж-
даемой лопатки, неравномерная — по охлаждаемой. На рис. 1.7 при-
ведены изотермы расчетного поля температур в среднем сечеиии
299
шестиканальной охлаждаемой воздухом турбинной лопатки *.
Числами указана температура в °C.
Режимы работы газотурбинных двигателей транспортного типа
разнообразны. Однако можно выделить некоторую характерную пе-
риодичность изменения режимов, которая затем многократно повто-
ряется в процессе эксплуатации машины. В качестве примера на
рис. 1.8 показано изменение частоты вращения турбины на режимах
запуска /, малого газа II, быстрого выхода на рабочий режим (так
называемый режим «приемистости») III, максимальной мощности IV,
промежуточного уменьшения частоты вращения V, длительного наи-
более экономичного режима VI и, наконец, остановки VII. После
некоторой паузы подобный цикл изменения частоты вращения много-
кратно повторяется. Такие же графики изменения по режимам могут
быть построены для газовых нагрузок и температурных полей.
На нестационарных режимах значительная неравномерность тем-
ператур в поперечном сечении возникает не только в охлаждаемых,
но и в неохлаждаемых лопатках.
На рис. 1.8 приведены также характерные графики изменения
по режимам температур некоторых точек поперечного сечения охла-
ждаемой лопатки, температурное поле которой на длительном режиме
показано на рис. 1.7. Наибольшая неравномерность температур воз-
никает на нестационарных режимах. При уменьшении частоты враще-
ния температура кромок понижается быстрее, чем в центре сечения,
вследствие чего разность температур по сечению меняет знак. Эти
особенности нестационарных температурных полей следует учитывать
при оценке термопрочности лопаток.
2. Расчет лопаток на растяжение
от центробежных сил
Средние напряжения и запасы прочности. Основной нагрузкой,
определяющей длительную статическую прочность рабочей лопатки
турбины, являются растягивающие центробежные силы (z), опре-
деляемые по формуле (1.2).
Напряжение в сечении на радиусе г — г0 + z с учетом выражения
(1.2) равно
Р®2 ( (гв + zJF (z^dzi
Для лопатки постоянного сечения
a(z) =4-Р®2(^-^).	(2-2)
и максимальные напряжения действуют в корневом сечении лопатки.
* Распределение температуры в лопатках для примеров этой главы полу'
чеио В. П. Почуевым.
300
Рабочие лопатки турбин обычно
выполняют с переменным по длине
сечением, что позволяет на 30—50%
снизить максимальные растягиваю-
щие напряжения и повысить вибро-
стойкость лопатки.
Зная для стационарного режима
распределение температуры по длине
лопатки Т (г), можно найти пределы
длительной прочности материала и
рассчитать распределение по длине
пера лопатки запасов длительной
прочности по напряжениям
na(Z) = СТдла((Гг)(г)1- 	(2.3)
На рис. 2.1 сплошными линиями
приведены кривые распределения по
длине турбинной лопатки значений
F (z), Т (г), о (г), Од, (г) и па (z) при
следующих исходных данных: п =
= 10 000 об/мин, R = 470 мм, I =
= 140 мм, материал лопатки — сплав
ЖС6К, характеристики которого
приведены в разделе 1, р = 8,2 X
X 10~6 кгс-с2/см4; значения соот-
ветствуют t = 2000 ч. Минимальный
запас прочности получился в сече-
ниях, удаленных от корневого на
40—45% длины пера, что является
Рис. 2.1. Схема расчета на растя-
жение турбинной лопатки
достаточно типичным.
Запас длительной статической прочности по напряжениям в ло-
патках обычно бывает не менее 1,5.
Запас по долговечности nt, показывающий, во сколько раз время
до разрушения при рабочей температуре Т и действующем напряже-
нии о больше полного времени работы, однозначно связан с запасом
по напряжениям (см. гл. 3)
tlf ---- tig .
(2.4)
Для материалов турбинных лопаток значение m меняется от 4 до
15 [13 J, поэтому запас по долговечности обычно бывает не менее 5.
Для лопаток турбин важно знать также запас по температуре пт,
показывающий, на сколько градусов должна повыситься температура
лопатки, чтобы при действующем напряжении о за время работы t
могло произойти ее разрушение. Значение пт определяют по формуле
nr=Tv-T.	(2.5)
Между запасом по температуре пт и запасами па или nt прямой
связи нет и величину пт следует определять отдельно. Для приведен-
301
кого на рис. 2.1 примера минимальное значение пт = 72° (в сече-
нии z = 0,6).
Эквивалентные запасы длительной прочности при работе на
разных режимах. Турбины энергетических и транспортных уста-
новок обычно работают не на одном, а на нескольких режимах, раз-
личающихся уровнем напряжения, температурой и длительностью.
Минимальный запас прочности на различных режимах может полу-
чаться в разных сечениях лопатки, однако обычно можно выделить
опасное сечение, в котором запасы прочности на всех режимах близки
к минимальным, и определить для него эквивалентный запас длитель-
ной прочности.
Поскольку надежность лопатки, опирающаяся на опыт эксплуа-
тации, оценивается, как правило, запасами прочности, эквивалент-
ными режимами для лопатки считают режимы с одинаковыми запа-
сами длительной прочности, а режимом приведения — режим макси-
мальной температуры (см. [6] и гл. 3).
Обозначим напряжение, температуру и длительность /-го режима
соответственно через оу, Tj и tj. Если известна экспериментальная
зависимость предела длительной прочности материала лопатки
от времени t для различных температур Т
Сдл = f (Т, t),	(2.6)
то запас длительной прочности на /-м режиме
п = £дл/ = fJTbJi)	(2.7)
Значение определяем для всех k режимов. Параметры режима
максимальной температуры обозначим через оэкв, Тэкв.
Обычно зависимость (2.6) достаточно хорошо аппроксимируется
логарифмической функцией
а^ = С(Т).	(2.8)
В этом случае (см. гл. 3) эквивалентный запас длительной проч-
ности равен
где тжв = т (Тэкв).
Пример 1. Найти эквивалентный запас прочности лопатки газовой турбины
из сплава ХН70ВМТЮ при работе на двух режимах.
Результаты расчета
Исходные данные						Расчет	
/	<ч, кгс/мм2	Т/. °C	1/, Ч	”4	кгс/мм8	адл /’. кгс/мм2	Л/
1	18	700	2000	12 .	50	39	2,17
2	18	800	50	7	29	32	1,78
302
Значения показателя т и пределов 100-часовой длительной прочности при
разных температурах этого сплава приведены в работе [13].
Согласно зависимости (2.8) при Т — const
Стдл/ _ / ЮР \1 !mj
°дл/(ЮО) \ tj )
откуда находим значения одл/ и п, =	приведенные в последних двух графах
таблицы. Эквивалентный запас прочности на режиме 2
ЭКВ V/ 1 \7 , / 1	7
V \ 2,17 ) + \ 1,78 )
Для анализа работы на нескольких режимах с различной темпе-
ратурой удобен графоаналитический способ определения эквивалент-
ного запаса прочности лопатки с помощью обобщенной зависимости
Одл = f (Рл), изложенный в гл. 3 и в работе [20].
Проектирование рабочих лопаток минимального веса. Так как
центробежная сила рабочих лопаток является основной нагрузкой,
передающейся на диск, облегчение лопаток приводит к снижению на-
пряженности и повышению надежности или уменьшению веса всей
турбины. Поэтому проектирование рабочих лопаток минимального
веса, удовлетворяющих всем требованиям по запасам прочности,
является важной практической задачей [4, 10]. Считая определяю-
щим запас длительной прочности по напряжениям па и полагая, что
материал и распределение температуры лопатки подлине пера Т (z)
являются заданными, потребуем; чтобы распределение площадей
поперечного сечения F (z) и средние по сечению напряжения о (z)
удовлетворяли во всех точках следующим условиям:
1.	Запас длительной прочности пв (z) не должен быть меньше
допустимого
па(г)^[па]. .	(2.10)
Очевидно, что для уменьшения веса желательно выполнять ра-
венство па (z) = [па]; неравенство пв (z) > [па] следует использо-
вать лишь в той мере, в какой это необходимо для выполнения других
условий.
2.	Функция
= (2Л1>
где F (0) — площадь корневого сечения лопатки, должна быть поло-
жительной и неубывающей при продвижении от свободного конца ло-
патки к ее заделке, т. е.
F(z)>0;	(2.12)
^'(4 = -^(4^0.	(2-13)
Условие (2.13) исключает возможность уменьшения площади сече-
ния в холодных зонах, что недопустимо по условиям обеспечения
вибрационной прочности лопатки,
303
6 *d6
F+dF
(r^zjdr
Рис. 2.2. Схема элемента
лопатки
Согласно формуле (2.1) абсолютный раз-
мер сечений не влияет на величину напря-
жений от центробежных сил, т. е. оптималь-
ное профилирование лопатки минимального
веса .заключается в нахождении функции
F (z). Абсолютные размеры сечений лопатки
выбирают из других условий (минимально
допустимая толщина периферийного сечения
может определяться технологическими фак-
торами и вибропрочностью лопатки по отно-
шению к высокочастотным формам колеба-
ний; толщина корневого сечения — изгибной
прочностью лопатки и т. д.).
Из условия равновесия элемента лопатки (рис. 2.2) следует
(pF) + рсо2 (r0 + z) F = 0.
F
6
(2-14)
Обозначив напряжения в лопатке постоянного сечения, имеющей
те же значения рсо2 (r0 -|- z), что и проектируемая лопатка, через <тс, из
уравнения (2.2) и (2.14) получим при F = const
^.+ рСй2(Го+2) = О.
(2.15)
Тогда уравнение (2.14) можно записать в виде
dF . / do    doe \ ~р л
dz ‘ \ dz	dz)
(2-16)
Так как напряжение от центробежных сил всегда положительно,
то из условий (2.12)—(2.13) следует, что
do	doq
dz -— dz
(2-17)
Интегрируя выражение (2.17) при условии о (/) = ос (/) = О,
найдем, что
(2.18)
Физический смысл условий (2.17)—(2.18) заключается в том, что
при ограничениях (2.12)—(2.13) напряжения в равнопрочной лопатке
не могут превышать напряжений в лопатке постоянного сечения,
а темп их возрастания при приближении к корневому сечению (вели-
do \
чина----^-1 не должен превышать темпа возрастания напряжении
в лопатке F = const.
Оптимальный закон распределения напряжений о (z) по длине ло-
патки, удовлетворяющий всем указанным требованиям, можно найти
следующим образом.	•
304
Построим кривую допускаемых
напряжений (рис. 2.3)
1^1=^
(2-19)
и напряжений ос (z) в лопатке по-
стоянного сечения [по формуле (2.2)].
Если во всех точках ос (z) sg; [о (z) ],
то в качестве оптимальной может
быть принята лопатка постоянного
сечения. Однако, как правило, это
условие выполняется только вблизи
свободного конца лопатки' при
zc^z^l, где можно принять
о (z) = nc(z), что позволяет наибо-
Рис. 2.3. К проектированию ло-
патки минимального веса
лее быстро приблизить напряжение к предельно допускаемому
уровню (участок I на рис. 2.3).
На участке II в сечениях zd z zc напряжения ос (z) > [о (z) ],
но	d Условия (2.10) и (2.17) будут удовлетворены,
если принять о (г) = [о (z) ], т. е. обеспечить постоянство запаса
длительной прочности.
При относительно низкой температуре корневых сечений может
существовать также участок III, где при сохранении запаса
Па = [па] площадь сечений должна была бы уменьшиться, так
. d [о (г)1 т>	do dar
как	> —!-->—Ц-. Во избежание этого примем -г- = -j-£- и
dz dz	l dz dz
a (z) = a (zd) + -у- p<o2 (г2 — г2),
(2.20)
где rd = r0 + zd.
Положение точки zd определяется условием
dcTg (zd) _ d. [ст (z^)]	(9 21)
dz	dz ’	' ’ '
откуда значение zd может быть найдено численным или графическим
путем [4].
После того как установлен оптимальный закон о (z), распределе-
ние площадей находим путем интегрирования уравнения (2.16). Для
первого и третьего участков
Ё, (z) = 7 (zc) = 7 (/) = х,
(2.22)
F (Z)
(2.23)
— коэффициент уменьшения площади поперечных сечений.
305
Для второго участка
_рш! Г
J о <гО
р (?) — ст е	2d
rllW— е
и, следовательно,
I=fuW=> "
(2.24)
(2.25)
На рис. 2.1 штриховыми линиями нанесены кривые [о (г)],
<тс (z), Fopt (z), [па] и «appt (z), где индекс opt относится к величинам,
полученным указанным способом при [na] = 1,5 и F (/) = 1,1 см2,
кривая <Topt (z) показана штрих-пунктирной линией.
Окончательный закон распределения площадей может быть скор-
ректирован с учетом дополнительных конструкторских, технологи-
ческих и других требований, но полученный теоретический закон
оптимального распределения площадей сечений по длине лопатки
существенно облегчает ее дальнейшее проектирование.
Кривая допускаемых - напряжений [a (z) ] может быть выбрана
также из условия обеспечения минимально необходимых запасов по
температуре или долговечности. Задача может быть распростра-
нена и на оптимизацию распределения температуры по длине лопатки.
Удлинение лопаток. Под действием центробежной силы и нагрева
рабочие лопатки удлиняются. Удлинение (вытяжка) лопаток имеет
важное значение при анализе условий обеспечения радиального
зазора между вращающимся ротором турбины и неподвижным корпу-
сом. Полное удлинение лопатки Д/ складывается из упругого удлине-
ния от действия растягивающей центробежной силы Д/е, температур-
ного удлинения Д1Г и деформаций ползучести Д/с. В лопатках, как
правило, не допускают кратковременную общую пластическую дефор-
мацию.
Упругое удлинение
i
A/e=fw-dz’	(2.26)
о
или с учетом формулы (2.1)
t	i
дГ = р(й2|—_ J(r04_z1)F(z1)dz1.	.	(2.27)
О	z
В частности, для лопатки постоянного сечения при Е = const
2
д/е = -^-(1-^)(1+0’5^. • (2-28)
306
где
uR = w/?;
* __ ^0
bo — £ •
Удлинение от температурного расширения при нагреве от нор-
мальной температуры до Т° С равно
i
Мт = f ег (z) dz,	(2.29)
о
где
(г) = а[Т (г)] [Т (г) — 20];	(2.30)
а [Г (z) ] — средний коэффициент линейного расширения в диапазоне
температур от 20 до Т° С (см. кривую ег (Т) на рис. 1.2).
Для задачи, результаты расчета которой приведены на рис. 2.1,
удлинения лопатки имеют следующие значения: AZe = 0,142 мм и
АД = 1,58 мм. Для турбинных лопаток большее значение имеет темпе-
ратурное расширение.
При длительной работе лопатка удлиняется также от деформаций
ползучести
i
А/с = je^z) dz.	(2.31)
Для указанного,выше примера при t — 2000 ч А/с = 0,35 мм.
При меньших, чем в примере, запасах по температуре роль деформа-
ций ползучести становится более заметной.
Расчет ползучести при циклических изменениях нагрузки и тем-
ператур может быть выполнен по методам, изложенным в гл. 5.
3.	Распределение напряжений по сечению лопатки
Распределение напряжений по сечению неравномерно нагретой
лопатки. Как указывалось в разделе 1, рабочие лопатки турбин
рассчитывают на растяжение и изгиб в двух плоскостях. На основании
гипотезы плоских сечений полная продольная деформация произ-
вольной точки сечения
е (5, и) = 80 —	+ XjY],	(3.1)
где — составляющие упругой кривизны оси лопатки (£, q —
координаты точки в приведенных главных осях сечения,, положение
которых будет определено ниже).
При упругих деформациях неравномерно нагретой лопатки
е = ^- + ег,	(3.2)
откуда •	‘
ст = £(е —ег) = £(е0——8Г).	(3.3)
307
Подставив выражение (3.3) в условия равновесия
J odF = N-
F
j <rr\dF =
F
получим
s0 J E dF — xn j EcdF 4~ J Er^dF — J EsT dF = ДГ;
Ft	F	F
s0 J Ec, dF —	J Eg2 dF + x6 J £gr] dF — J E&Tc dF = —
F	F	F	F
s0 j Er\dF — хл J £gr] dF 4- x6 j Eq2 dF — J £err] dF = M^.
F	F	. F	F
Положение приведенного центра тяжести сечения О± определяют
из условий
. J EgrfF = 0;
F
J £т] dF = О,
(3.4)
(3-5)
(3.6)
а направление приведенных главных осей — из условия
j£§r]dF = O.
F
С учетом условий (3.6) — (3.7) из уравнений (3.5) имеем
с	>
N+\Ee.TdF
₽.=______£_______;
EdF
F
Mq — J £er| dF
_____F_______.
F
Afg -f- J £егт] dF
_____F
j £r]2 dF
F
(3.7)
(3.8)
308
Подставив выражения (3.8) в уравнение (3.3), получим формулу
для упругих напряжений в неравномерно нагретой лопатке
_JV ЯЛ
F	F
F________
j £|2 dF
F
T] j E&Tr\ dF
F__________
j £t]2 dF
F
(3.9)
Введем обозначения:
F
a,.p=3’J£P‘",;
F	F
NT=^EsTdF-,
F
EeTi\dF;
F
M^ = — ^E&^dF
F
и запишем формулу (3.9) в более компактном виде
_ __ р ( N + NT _ ^ч + ^ч е । М1
\ EcpF адвр 5Ф ^ср^ пр
(3.10)
(3.U)
Первая группа членов в выражении (3.9) дает значения напряже-
ний от внешних нагрузок, вторая — значения температурных напря-
жении.
При постоянном по сечению лопатки модуле упругости пр =
Апр = А> где — главные моменты инерции сечения, и фор-
мула (3.11) принимает вид
N + NT ^ч + ^ч t !	+ ^5 роТ
а=-----------
(3.12)
Заменив в выражениях (3.10)—(3.12) температурное расширение
ег на дополнительную деформацию е° и приняв N = М^ =	— 0,
получим формулу для дополнительных'' напряжений, связанных
с пластической деформацией и ползучестью.
309
Если профиль лопатки задан в произвольной системе прямоуголь-
ных координат Г}1 (рис. 3.1, а), то координаты приведенного
центра тяжести равны:
U =	1 dF- mo = f £m dF,	(3ДЗ)
F	F
а угол (3 между осями § и s21| определяется из формулы
2 J £ (51 — Sio) (111 — 1lio) dE
tg 2р = ----£-----------------------.	(3.14)
j Е (gx - U)2 dF - j Е (тц - Лю)2^
F	F
При определении изгибающих моментов от центробежных сил
(см. раздел 1) в качестве точки приведения используется центр
тяжести сечения. Обозначим смещения приведенного центра тяжести
О по отношению к действительному О0 по направлениям главных
осей через Д§0 и Дг]0, а угол поворота приведенных главных осей %,
т] относительно действительных £0, г]0 через Др (рис. 3.1, б). Тогда
изгибающие моменты относительно главных приведенных осей будут
отличаться от изгибающих моментов относительно действительных
осей на величины
ДЛ4£ = —(Дт]0 cos Др — Д|о sin ДР) — '
—	(1 — cos ДР) + sin ДР;
Д Мц =	(Д'По sin ДР + Д£о cos ДР) ~	15)
—	Л4г sin Др — Л4П (1 — cos Др)
или приближенно с учетом малости величин Д|о, Дт]0, Др
ДЛ4^л^—УУц Дт]о ~j~	ДР; 1
ДЛГп~ЛГцД£0-М6Др. J	(3-16)
Рис. 3.1. К определению положения приведенного центра тя-
жести О и главных приведенных осей g, т] (а) и поправок
к изгибающим моментам (б)
310
Рис. 3.2. Изменение температурных напряжений в различных
точках неохлаждаемой турбинной лопатки при нагреве (а) и
охлаждении (б)
При использовании формул (3.9) в расчетах по методу перемен-
ных параметров упругости положение главных приведенных осей
координаты точек в этих осях и изгибающие моменты с учетом попра-
вок (3.16) следует определять на каждом этапе расчета.
Термоупругие напряжения в лопатках. В неохлаждаемых лопатках
температурные напряжения возникают на.нестационарных режимах—
при запуске, при переходе с режима на режим, при остановке. На
рис. 3.2 приведены результаты расчета изменения температурных на-
пряжений в турбинной лопатке в процессе нагрева и охлаждения.
При нагреве наиболее быстро прогреваются кромки лопатки, осо-
бенно наиболее тонкая выходная кромка,_что вызывает в них большие
сжимающие напряжения. При охлаждении имеет место обратная кар-
тина. По мере выравнивания температурного поля упругие темпера-
турные напряжения убывают до нуля. Расчеты показывают, что мо-
мент достижения максимальных температурных напряжений не сов-
падает с моментом, когда неравномерность температурного поля наи-
большая.
В охлаждаемых лопатках температурные напряжения сохра-
няются также и на стационарных- режимах, суммируясь с напряже-
ниями от внешних сил. На рис. 3.3 приведено поле суммарных напря-
жений в шестиканальной охлаждаемой лопатке при оср = 16 кгс/мм2
и температурном поле, показанном на рис. 1.7. Числами указаны
напряжения в кгс/мм2. Из-за изогнутости средней линии профиля и
несимметричности температурного поля распределение напряжений
довольно сложное. При этом точки с максимальными температур-
ными напряжениями и максимальными и минимальными температу-
рами не совпадают, хотя в целом, область наибольших растягиваю-
щих напряжений соответствует наиболее холодной центральной ча-
сти сечения, а область, где отрицательные температурные напряже-
ния разгружавэт материал от растяжения центробежной силой —
ЗП
Рис. 3.3. Суммарные напряжения в охлаждаемой лопатке на режиме IV (см.
рис. 1.7 и 1.8)
более горячим зонам у кромок. В примерах принято, что изгибающие
моменты от газовых и центробежных сил уравновешены *.
Проведя расчеты напряжений на различных режимах работы ло-
патки, можно построить графики изменения напряжений в характер-
ных точках сечения. На рис. 3.4 приведены результаты расчета сум-
марных напряжений на входной В, выходной А кромках и в наиболее
холодной точке Г вогнутой стороны охлаждаемой лопатки из сплава
ЖС6К при изменении оборотов ротора и температуры в соответствии
с кривыми, приведенными на рис. 1.8. Там же показано изменение
по режимам средних напряжений, характеризующих нагруженность
только от центробежных сил. Максимальная неравномерность темпе-
ратур и максимальные растягивающие напряжения возникают на
нестационарном режиме при выходе'на максимальный режим.
На стационарных режимах напряжения несколько выравниваются.
При сбросе оборотов из-за более интенсивного охлаждения кромок
температурные напряжения меняют знак.
На рис. 3.4 видно, что как центральная часть сечения, так и
кромки (в данном примере — входная) испытывают знакопеременные
напряжения с положительной асимметрией цикла.
Распределение напряжений вдоль средней линии профиля и по
контуру сечения лопатки из сплава ХН70ВМТЮ и ее температурное
поле изображены на рис. 3.5. При среднем напряжении от центро-
бежных сил сгср = 10 кгс/мм2 суммарные максимальные напряжения
достигают 63 кгс/мм2. Отмечается резкая неравномерность распреде-
ления напряжений по сечению.
В приведенных примерах суммарные напряжения не выходили
за пределы упругой области, что для рабочих лопаток турбин боль-
шого ресурса является типичным. Однако могут быть случаи, когда
местные суммарные напряжения превышают предел текучести мате-
риала [11]. С течением времени напряжения в лопатке меняются
вследствие развития ползучести. Ниже рассмотрены особенности
расчета лопаток турбин с учетом пластических деформаций и ползу-
чести.'
* Расчеты выполнены В. В. Джамаем.
312
Рис. 3.4. Изменение среднего <тср и суммарных напряжений в
ная линия), по вогнутой (штрих-пунктирная линия) и по выпуклой (штри-
ховая линия) части контура теплонапряженной охлаждаемой лопатки (тем-
пература у отверстий бОСг С)
Упрощенный расчет лопаток с учетом пластических деформаций
и ползучести. Приближенная оценка напряжений с учетом пласти-
ческих деформаций в лопатках может быть проведена по деформацион-
ной теории термопластичности (см. гл. 4). По этой теории можно рас-
считать напряжения с учетом ползучести, используя гипотезу старе-
ния и изохронные кривые ползучести, приведенные для сплава
ЖС6К на рис. 1.3.
При расчете по методу переменных параметров упругости в каж-
дом приближении необходимо определять положение приведенного
центра тяжести, главных приведенных осей, координаты точек
в этих осях и по формулам (3.16) вносить поправки в значения изги-
бающих моментов.
При расчете по методу дополнительных деформаций модуль упру-
гости целесообразно считать постоянным, что существенно упрощает
алгоритм расчета. Дополнительная деформация в n-м приближении
е’(л> определяется по кривой деформирования через полную силовую
деформацию (/г — 1)-го приближения е^-1) и о*,"-1) — f (е(,п-1))
по формуле

Е
(3-17)
Как было показано в гл. 4, деформационная теория термопластич-
ности легко распространяется на теорию установившейся ползучести.
Расчет лопатки на установившуюся ползучесть представляет большой
интерес, так как показывает предельно возможное перераспределение
напряжений в процессе ползучести.
Имея для некоторых значений температуры кривые зависимости
между скоростью установившейся ползучести Vе и напряжением о0,
находим переменный «секущий модуль» ползучести в n-м приближе-
нии по соответствующей кривой <т0 = f (ос), как
pv (п)   °0
С	Vе (п— ’
(3.18)
где
Напряжение о<п> определяется формулами (3.10)—(3.11) при ег =
= 0 и замене Е на Е°(п>.	;
В качестве начальных значений' напряжений принимаем
результаты упругого расчета по внешним нагрузкам (так как терми-
ческие напряжения к моменту наступления установившейся ползу-
чести должны полностью релаксировать), а в качестве значений ос(0>
принимаем скорости ползучести по кривым о0 ~ f (^) при °о — ао0>-
Для облегчения расчета целесообразно во всех точках сечения
принимать Е° =f= со, т. е. считать, что ползучесть имеет место при
любой температуре, хотя и протекает при пониженной температуре
с очень малой скоростью. Аналогичным путем расчет лопаток на уста-
314
Рис. 3.6. Изменение напряжений из-за
ползучести в характерных точках
охлаждаемой лопатки (см. рис. 3.4). по
упрощенному расчету
новившуюся ползучесть может
быть выполнен по методу допол-
нительных деформаций.
На рис. 3.6 показано перерас-
пределение напряжений с тече-
нием времени в характерных точ-
ках сечения шестиканальной охла-
ждаемой лопатки при длительной
работе на режиме IV (см. рис.
1.8). Рассчитаны напряжения:
начальные, в момент времени
I — 100 ч и при установив-
шейся ползучести. Кривые из-
менения напряжений для проме-
жуточных моментов времени по-
строены по приближенной экспо-
ненциальной зависимости <т (/).
На рис. 3.6 видно, что ползу-
честь ведет к постепенной релак-
сации температурных напряжений
и к уменьшению неравномерности распределения напряжений
по сравнению с упругим состоянием.
Уточненный расчет лопаток с учетом пластических деформаций
и ползучести. При существенно меняющихся напряжениях, тем
более с изменением знака, расчет перераспределения напряжений
в лопатках более точно может быть выполнен шаговым методом на
основе теорий неизотермического пластического течения и нестацио-
нарной ползучести. Поскольку пластические деформации в лопатках
обычно не меняют знака, их можно рассчитать по теории изотропного
течения (см. гл. 4). На режимах длительной работы ползучесть можно
рассчитывать по теории упрочнения, для учета нестационарных
эффектов при изменениях режима следует использовать приемы
расчета, изложенные в гл. 5.
Считая все параметры напряженно-деформированного состояния
в начале я-го этапа расчета известными и равными их значениям
в конце (п — 1)-го этапа и учитывая выражения типа (3.1) для прира-
щений деформаций	,
Де„ — Деоп — Дня^п_х + Дх^Пп-х.
(3.19)
имеем
ДОп = Еа—1 (ДвОп — ДХцп^п—1 4“ Дх£пТ|п—1	Д^п — ДВд)	(3.20)
— для этапов упругого нагружения и разгрузки, и
Д(Тл = Ек, п—1 (Двоп — Дхцл^п—14~ Дх|лт]п_ 1 - Двп) (3.21)
— для этапов активной пластической деформации.
315
При расчете методом переменных параметров упругости прира-
щение деформации Де^ включает температурные составляющие сило-
вой деформации и деформацию ползучести.
Подставив значения (3.20)—(3.21) в уравнения равновесия (3.4),
записанные для приращений нагрузок &Nn,	получим
формулы типа (3.9)—(3.11), но для приращений соответствующих
параметров.
Порядок расчета с использованием приведенных формул подробно
изложен в гл. 4.
На рис. 3.7 показано полученное шаговым методом по теории
упрочнения распределение напряжений при t = 10 ч в охлаждаемой
лопатке и дано сравнение с напряжениями при t = 0 и при t —* оо
(на режиме установившейся ползучести). Аналогичные примеры рас-
чета шаговым методом перераспределения напряжений в лопатках
приведены в работах [5, 14].
Остановы и охлаждение турбины и последующие повторные мно-
гократные запуски и прогревы приводят к увеличению скорости пол-
зучести и к более быстрому перераспределению напряжений. Это
явление может быть приближенно учтено путем изменения характе-
ристик ползучести (см. гл. 5).
Запасы местной прочности в лопатке. Имея расчетные значения
напряжений и температуры в различных точках сечения и их изме-
нение по режимам, а в пределах каждого режима — по времени,
31fi
можно произвести оценку прочности лопатки в данной точке по
местным запасам прочности.
В связи с тем, что лопатка в течение длительного времени нахо-
дится под напряжением при высокой температуре и периодически
нагружается и разгружается, для нее характерны два типа разруше-
ния — от исчерпания длительной статической прочности и от мало-
цикловой усталости. Запасы прочности по этим типам разрушения
обычно оценивают раздельно, хотя определенное взаимное влияние
их имеет место (см. главы 2 и 3).
Запас местной длительной прочности по напряжениям опреде-
ляется как
„ ___ °ДЛ. Экв
“а — ~2
°ЭКВ
(3.22)
где сГдл экв — предел длительной прочности материала лопатки в дан-
ной точке сечения на эквивалентном режиме Тэкв за эквивалентное
время работы на этом режиме /экв; <тэкв — эквивалентное напряжение
в данной точке сечения.
Метод определения эквивалентных параметров для режимов с по-
стоянными значениями а и Т был изложен в разделе 2 при расчете
лопатки на растяжение. При непрерывно меняющемся на /-м режиме
напряжении эквивалентное напряжение этого режима вычисляется
по формуле линейного суммирования повреждения
’-’экв (^/)
(3.23)
где tf — длительность /-го режима; Ш/ = m (Tj).
Так, по данным рис. 3.6 для центральной части лопатки (точка Г,
Т — 780° С) эквивалентное напряжение при работе на режиме IV
в течение 100 ч составляет оэкв (100) = 40,1 кгс/мм2 при а (0) =
~ 43,4 кгс/мм2 и <т (100) = 36,7 кгс/мм2, а соответствующий запас
длительной прочности паэка — 1,43 вместо па = 1,32 при расчете
по сг (0). Для наиболее горячей выходной кромки (точка А, Т —
= 990° С) учет снижения напряжений из-за ползучести приводит
к‘ более существенной поправке значения эквивалентного напряже-
ния и запаса длительной прочности: при о (0) = 14,6 кгс/мм2
стэкп (ЮО) — 8,2 кгс/мм2 и вместо = 1,28 при расчете по о (0) полу-
чаем пОэкй — 2,27. Вместе с.тем, ползучесть может приводить к уве-
личению напряжений в некоторых точках сечения (входная кромка,
точка В на рис. 3.6) и к снижению запаса прочности.
Определив запас длительной прочности каждого режима
=	(3.24)
°ЭКВ /
по формуле (2.9) можно найти эквивалентный запас длительной проч-
ности для всех режимов.
317
Большое значение для обеспечения прочности наиболее нагретых
кромок лопаток имеют местные запасы по температуре. В приведен-
ном примере для выходной кромки на режиме IV запас по температуре
за t = 10 ч составляет ДТ « 50° С при его оценке по а ( 0) и АТ
70° С при оценке по аэкв.
Опасность разрушения от малоцикловой усталости можно оце-
нить, определив наибольшие размахи напряжений До, получающиеся
при каждом цикле запуск—работа—останов турбины с учетом не-
стационарных режимов, где обычно наблюдаются наибольшие темпе-
ратурные напряжения. Согласно рис. 3.4 размахи напряжений в цен-
тральной части лопатки, на входной и выходной кромках соответ-
ственно равны Дог — 66 кгс/мм3, Дав — 24 кгс/мм3 и Дод =
— 19,5 кгс/мм3. Сравнивая полученные значения размахов До с дан-
ными по характеристикам малоцикловой усталости, можно найти
число циклов до разрушения. Так, по данным рис. 1.6 для сплава
ЖС6К при До = 66 кгс/мм3 число циклов до разрушения (при цик-
лах, близких к симметричным) составляет Np 4-103 циклов.
Указанную методику расчета можно использовать для сравни-
тельной оценки сопротивляемости лопаток термоусталостному раз-
рушению.
Для получения более надежной оценки числа циклов до разруше-
ния необходимо учесть ряд важных факторов:
1)	асимметрию цикла, которая вследствие ползучести меняется
по времени. Проведя расчет на ползучесть, можно определить асим-
метрию эквивалентного цикла, который при большой длительности
работы практически совпадает со стабильным циклом, методы расчета
которого изложены в гл. 5;
2)	изменения температуры на разных участках цикла. Хотя для
сплава ЖС6К температурный диапазон цикла при Т < 900° С не
оказывает сильного влияния на зависимость Л/р от Дет (см. рис. 1.6),
для других материалов это влияние может быть существенным;
3)	влияние времени работы лопатки при верхней температуре,
цикла на число циклов до разрушения.
В настоящее время нет экспериментальных данных, которые
позволили бы полностью учесть влияние указанных факторов. Дей-
ствительное число циклов до разрушения лопаток турбин обычно
проверяют экспериментально.
4. Пространственное напряженное состояние
в охлаждаемых лопатках турбин
При расчете на прочность охлаждаемых, лопаток методом, изложен-
ным в разделе 3, используется одномерная (дгержневая) теория, в со-
ответствии с которой определяются нормальные напряжения в пло-
скости поперечного сечения [2]. В настоящем разделе рассмотрим
приближенную теорию, учитывающую пространственное напряжен-
ное состояние.
Направим ось г вдоль оси лопатки (см. рис. 1.1) и рассмотрим
напряженное состояние, используя основные уравнения теории тер-
318
моупругости (см. гл. 4), для удобства обозначая, как обычно, (J17- —
= а/, е,7 = 8/ при i = j и о(7 = т(7, 2е,7 = у(1 при i Г, 1 = х, у, г.
Уравнения равновесия:
4-_L оХ = 0,...	(4.1)
дх ' ду dz 1 •	1
(Х, у, Z).
Уравнения упругости с дополнительными деформациями ъх, ухи и
температурным расширением ег:
8.г = fe — И (<fy + CTz)] -|- еГ -|- ех, .. .;
1	। ’	(4.2)
Уху = -Q- Хху -|- Уху, ...	7
(х, у, Z).
Уравнения совместности деформации:
д2е.х . д2еу __ д2уху
ду2 ' дх2 дхду ’	’
о д2гх	_ Э Г	дууг	.	ду^ . духу~1	(4-3)
ду дг дх [.	Эх	'	ду ' dz J	’
(х, у, г).
Символ х, у, z означает, что недостающие уравнения выписываются
по правилу-круговой перестановки индексов.
Рассмотрим сначала неравномерно нагретую лопатку как стержень
с цилиндрической (призматической) боковой поверхностью. Поле
температур и дополнительных деформаций принимаем постоянным
вдоль оси z. Внешние силовые факторы (изгибающие моменты и рас-
тягивающее усилие) приложены по торцам стержня.
На боковую поверхность в плоскости поперечного сечения дей-
ствует распределенная нагрузка, постоянная по длине стержня. Так
как по торцам стержня отсутствуют перерезывающие силы и крутя-
щие моменты, то распределенные усилия предполагаются самоурав-
новешенными. При указанных условиях можно считать, что дефор-
мации (и напряжения) не изменяются вдоль оси стержня (оси z) и из
уравнений совместности деформаций следует, что
d2gz _ л- -2Sz — О- d2gz — о	(4 41
дх2 ’ ду2 —и’ дхду ~
Из последних уравнений получаем линейный закон для осевых
деформаций
8г = 80 — кух + %ху,	•	(4.5)
где е0, пи — постоянные величины.
319
Таким образом, и при пространственном напряженном состоянии
оказывается справедливой гипотеза плоских сечений.
Соотношение упругости запишем в такой форме:
е2 —
f- Ет 8г----------g'-(crx + аг/)-
(4-6)
Е
В соответствии с уравнениями (4.5) и (4.6) и условиями равнове-
сия всего стержня [ср. с формулой (3.9) при х = 2, у = q 1
+ У
F
Ey2dF

[£Jf
F
— __________
jErMF
F
(4.7)
—
Если e2 = 0 (случай плоской деформации), то из уравнения (.4.6)
или (4.7) следует, что
а2 = р (ах ф- оу) — Еег — E&z.
(4.8)
Так как напряжения не зависят от г и составляющие массовых сил
по осям х и у отсутствуют, первые два уравнения равновесия (4.1)
будут удовлетворены, если принять, что .
____ д-F „	d2F
СТлду2 ’	дх2 ’	дхду ’
(4.9)
где F = F (х, у) — функция напряжений.
320
Из соотношений упругости (4.2) и первого уравнения совместности
(4.3) получаем следующее дифференциальное уравнение для функции
напряжений: _
52	/	1	d2F	\ ,	а2	(	1 a2F	\ ,	Q	а2	/1	+ и	а2г	\
дх-	\	Е	'	ах2	/	dt/2	\	Е	 ду2	)	“	дх ду	\.	Е ' дх ду	/
a2	t	н .	a2f	\	(	.	d*F\	2
дх2	\	Е	ду2	)	ду2	\ Е	дх*	)
,2 ° а2 ° а2 °
---+	+	(4.10)
Эх2 Зг/2 1 дх ду 1	\ Е /	х 1
Крутящие моменты и перерезывающие силы в сечении стержня от-
сутствуют, поэтому касательные напряжения в поперечном сечении и
соответствующие сдвиги можно принять равными нулю:
*	« = 0; тад = 0; yzV = 0; уад = 0.	(4.11)
Третье уравнение равновесия будет удовлетворено (напряжение
<	у2 постоянно по длине стержня, массовые силы отсутствуют); условия
совместности деформации также будут выполняться.
Таким образом, напряженно-деформированное состояние стержня
при постоянном температурном поле по длине, постоянной (самоурав-
новешенной) поперечной нагрузке и при действии изгибающих мо-
ментов и осевой силы по торцам описывается системой уравнений
(4.7) и (4.10).	•	-
Первое уравнение представляет напряжения растяжения и из-
гиба в поперечном сечении стержня при наличии дополнительной _
деформации. Второе уравнение соответствует плоской задаче при
переменных параметрах упругости и дополнительной деформации.
Ф-ункция напряжений F (х, у) удовлетворяет следующим крае-
вым условиям:
dzF	d2F
<	ух cos (n, х) 4- хху cos (п, у) = cos (л, х) — cos (и, у) — qx\
;	(4-12)
Оу cos (п, у) 4- хХу cos (п, х) = 4^- cos (л, у) — cos (п, х) = qy,
		(4.13)
где qx и qy — составляющие распределенного поверхностного усилия
по осям х и у (рис. 4.1). Условия (4.12) и (4.13) должны выполняться
на всех контурах сечения, в том числе и внутренних.
Реальные лопатки турбин представляют собой стержни перемен-
ного сечения, причем силовые факторы (изгибающие моменты и рас-
тягивающее усилие) изменяются по длине лопатки. Подобно тому, как-
это делается в инженерной теории стержней, можно принять, что
система уравнений (4.7) и (4.10) приближенно описывает напряжен-
. ное и деформированное состояние лопатки переменного сечения.
321
Рис. 4.1. К выводу краевых условий для
функции напряжений
Напряжения кручения
определяются независимо от
напряжений растяжения и
изгиба, для чего следует
ввести в расчет уравнения
кручения для переменных
параметров упругости (см.
гл. 6). Можно точно опреде-
лить и касательные напряже-
ния изгиба, но в практиче-
ских задачах вполне допу-
стимо использовать обычный
приближенный метод, по ко-
торому касательные напряжения находятся из условий равновесия.
Рассматриваемое решение удовлетворяет уравнениям теории
упругости при условиях Сен-Венана (т. е. краевые условия на торцах
стержня выполняются только для главного усилия-и главного мо-
мента). Поэтому в концевых областях температурные напряжения
ниже расчетных.
Остановимся на решении системы уравнений (4.7) и (4.10) и сна-
чала рассмотрим случай, когда параметры упругости постоянные.
Если подставить значение о2 из уравнения (4.7) в формулу (4.10),
то получим
d*F , о М7 , d*F _ Е
' ,дх* + Лдхгдуг + ду* ~	1—Х
(	Я2р,°	Л2р°	Я2М0 .	ч
X {(1 + rt VV+ +	).	(4.14)
При отсутствии дополнительных деформаций (чисто упругая задача),
уравнение (4.14) имеет вид
V4F = _	£—v2er,
(4-15)
что соответствует случаю обобщенного плоского деформированного
состояния (е2 — линейная функция координат).
При обычном плоском деформированном состоянии е2 =13 и ст2
определяется из равенства (4.8). При обобщенном плоском деформи-
рованном состоянии напряжение ст2 находим из соотношения (4.7),
однако значения и ау в обоих случаях (е2 = 0 и е2 0).одинаковы.
При постоянных параметрах упругости напряжения <ух и опре-
деляем из уравнения (4.15) при краевых условиях (4.12) и (4.13), на-
пряжение ст2 находим по обычной теории стержней (уравнение (4.7) J,
где величины ох и являются известными. Подобная последователь-
ность справедлива и в случае, когда модуль упругости зависит от
координат Е = Е (х, у), но коэффициент Пуассона р остается вели-
чиной постоянной. В большинстве практических задач' указанное
322
ограничение несущественно, так как изменение значений ц обычно
невелико.
Уравнение для функции напряжений при р — const и переменном
Е имеет вид
62 / 1	d2F \	I	d2 / 1	d2F \
дх2 \ Е	дх2 J	1	ду2 \ Е	ду2 )	+
2 д2 t 1	d2F
1 — и дхду \ Е	дхду
р.	Г д2	/ 1	d2F \	t	д2	/_1_	d2F \1	__
1 — р	[ дх2	\ Е	ду2 J	1	ду2	\ Е	дх2 J J
1
1 — Р

- 1 рх,
1 — р2 дх2
52е°
дхду
Vq о
“е2
(4.16)
Краевые условия остаются прежними [уравнения (4.12) и (4.13)].
Приближенная трехмерная теория для упругих лопаток служит
основой для построения расчета с учетом деформации пластичности и
ползучести. В этом случае может быть использован метод дополни-
тельных деформаций и общие алгоритмы решения задач теории пла-
стичности и ползучести [3].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Биргер И. А. Некоторые математические методы решения инженерных
задач. М., Оборонгнз, 1956, 151 с.
2.	Биргер И. А. Неравномерно нагретые стержни с переменными параметрами ,
упругости. — В кн.: Расчеты на прочность. М., Машгиз, 1961, вып. 7, с. 76—109.
3.	Биргер И. А. Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести.
«Изв. АН СССР. Механика». 1965, №2, с. 113—119.
4.	Биргер И. А., Шорр Б. Ф., Шнейдерович Р. М. Расчет на прочность деталей
машин. Изд. 2-е. М., «Машиностроение», 1966, 616 с.
5.	Бнргер И. А., Джамай В. В., Селифонова Л. П. Напряжения в охлаждае-
'мых лопатках турбин. — «Проблемы прочности», 1971, № 6, с. 3—6.
6.	Кинасошвили Р. С. Определение запасов прочности при нестационарной
температуре и нестационарной напряженности. — «Изв. АН СССР. ОТН. Механика
и машиностроение», 1959, № 3, с. 126—128.
7.	Левин А. В. Рабочие лопатки и диски паровых турбин. М.—Л., Госэнер-
гоиздат, 1953, 624 с.
8.	Литвинов М. М. Определение стационарных температурных полей в охлаж-
даемых турбинных лопатках и дисках методом электроаналогии. — «Изв. АН СССР.
ОТН» 1956,. № 5, с. 12—22.
9.	Малинин Н. Н. Изгиб турбинных лопаток. — «Изв. АН СССР. ОТН», 1954,
№ 4, с. 23—46.
10.	Малинин Н. Н. Прочность турбомашин. М., Машгиз, 1962, 291 с.
II.	Плоткин Е. Р., Молчанов Е. И. Экспериментальное исследование темпе-
ратурного поля и оценка напряженного состояния лопаток при переходных режимах
действующей газотурбинной установки. — В кн.: Тепловые напряжения в элемен-
тах конструкций. Изд. АН УССР. Вып. III. Киев, 1963, с. 181—192.
12.	Скубачевский Г. С. Авиационные газотурбинные двигатели. Изд. 3-е. М.,
«Машиностроение», 1969, 543 с.
13.	Сизова Р. Н. Некоторые особенности длительного статического разрушения
жаропрочных сплавов. — В кн.: Вопросы высокотемпературной прочности в ма-
шиностроении. Изд. АН УССР, Киев, 1963, с. 126—139.
14.	Влияние ползучести на напряженное состояние охлаждаемых лопаток. —
В кн.: Тепловые напряжения в элементах конструкций. Вып. 9. Киев, «Наукова
323
думка», 1970, с. 173—183. Авт.: Р. Н. Сизова, Г. И. Дикман, Л. П. Селифонова,
В. В. Джамай.
15.	Уваров В. В., Чернобровкин А. П. Газовые турбины. М., Машгиз, 1960,
142 с.
16.	Хазанов М. С., Макаров Е. Ф. Влияние циклического изменения темпера-
туры на длительную прочность сплава ЖС6К- — В кн.: Вопросы высокотемпера-
турной прочности в машиностроении. Изд. АН УССР, Киев, 1963, с. 106—109.
17-	Химушин Ф. Ф. Жаропрочные стали и сплавы. Изд. 2-е. М., «Металлур-
гия», 1969, 749 с.
18.	Хроннн Д. В. Теория и расчет колебаний в двигателях летательных аппа-
ратов. М., «Машиностроение», 1970 , 412 с.
19.	Шорр Б. Ф. К расчету на неустановившуюся ползучесть неравномерно
нагретых стержней произвольного поперечного сечения. — «Изв. АН СССР. ОТН.
Механика и машиностроение», 1959, № 1, с. 89—96.
20.	Шорр Б. Ф., Кочуков Н. С., Портер М. А. Ускоренные эквивалентные испы-
тания эксплуатационной надежности сварных узлов. — «Проблемы прочности»
№ 2, 1970, с. 63—67.
ГЛАВА 8
Пластинки
1. Круглые пластинки
при осесимметричной деформации
Основные уравнения термоупругости для круглых пластинок. Инже-
нерная теория круглых пластинок основана на гипотезе жесткой
нормали (гипотеза Кирхгоффа—Лява), согласно которой нормаль
к срединной плоскости пластинки (поверхности) остается нормальной
к ней после деформации.
В тех случаях, когда модуль упругости изменяется по толщине
пластинки, вводится понятие основной поверхности (рис. 1.1). Осе-
вую координату z будем отсчитывать от этой поверхности [1]. При
постоянных параметрах упругости эта поверхность совпадает со
срединной. Толщина h предполагается малой по сравнению с наруж-
ным радиусом г — Ь, прогибы пластины малы w << h.
В соответствии с принятой гипотезой жесткой нормали произ-
вольная точка пластинки, находящаяся на расстоянии z от основной
поверхности, в результате деформации получит радиальное смещение
и ( г) +	(г), где и (г) — радиальное смещение основной поверх-
ности на радиусе г; О-(г)—угол _ упругого поворота нормали
(рис. 1.2).
Относительные деформации в радиальном и окружном направле-
-ниях равны
„ _ du (г) (	<£& (г) .
r	dr 1 dr ’
„	“W I , О (г) I
Б --- -----L_Z --- .
Рис. 1.1. Схема нагрузок, действующих на круглую пластинку (а),
и выбор основной поверхности (б)
325
Рис. 1.2. Схема деформации
основной поверхности круглой
пластинки
Рис. 1.3. К выводу уравнений равновесия
круглой пластинки
Уравнения упругости для пластинки имеют следующий вид:
«Цг) = 4- (г) ~ !^е (И! +
Мг) = 4" W “ и<7' (г)1 + «Т(г).	С1-2)
В общем случае Т = Т (г, z).
Из выражений (1.2) и (1.1) следует, что
Е f du , и \ . Ег I . ft \ Е (1 -f- р) „
’-=Н7-(^ + |‘7) + ы?(т+1‘т)--------Г^Г~аТ'
(1.3)
Е / и- , du \ . Ег ' / & . ' d& \	Е (1 -f- р) т
ъ = т=^П— + »~) + т=^-(~
Обозначим усилия, приходящиеся на единицу длины сечения в ра-
диальном и окружном направлениях Nr и NQ, где
6,	е, '
Nr = f ardz, Ne= f o0dz;	(1.4)
-4,
здесь 6X и 62 — расстояния от основной поверхности до наружных
плоскостей пластинки (6j + б2 = ft) (см. рис. Г.1). Обозначим через
Мг и Мв моменты в окружном и радиальном сечениях, приходящиеся
на единицу длины этих сечений и действующие соответственно в ра-
диальных и нормальных к ним плоскостях.
Положительные направления усилий и моментов показаны на
рис. 1.3.
Выражения для моментов через напряжения имеют вид
а,	а	.
Мг = —( orzdz; Мв ——j aQzdz.	'	(1.5)
-4	-a
326
Подставив в выражения (1.4) и (1.5) значения напряжений из фор-
мул (1.3), получим
~	N + -И +
№
6j	6j
fs = ( tzzt zdz\ = f  zdz;
J •	JI J*
-6,	-6t
fs = ( z2dz- ft = J z2dz;
4, и ’4
iir> izr — температурные члены, имеющие вид
6g
£*Г= J M.gT(fe;
—6,
6,
= j 4'^' aTzdz- '
—6»
В большинстве практических задач коэффициент Пуассона можно
считать постоянным по толщине пластинки
р = const.	(110)
За основную примем поверхность, выбранную из условия
Е
1 — ра
zdz = 0.
(1-11)
При переменном модуле упругости по толщине пластинки ее поло-
жение легко найти, введя вспомогательную координату z1( отсчитывае-
мую от нижней плоскости:
z=z1-61.	•	(1.12)
327
Из уравнения (1.11) находим
Л
j Ezldzl
------•	(1.13)
j Edz,
о
С учетом выражения (1.10) обозначим
(1.14)
бг
j Ez4z.
—6i
Температурные члены
е3
Sir — [ J EaTdz',
-61
(1.15)
б.
t,T =	— [ EaTzdz.
1—р. J-
-61
С учетом вышесказанного формулы (1.6) и (1.7) при выборе основ-
ной поверхности по формуле (1.11) и р — const' существенно упро-
щаются:
кг = а (т + нт)-^;	.	(1-16)
,г Л ( и , du \	-
^8 — А (v +	— ^1Г’’
=	+ )+^;
ЛЛ D ( ® JL_ \ _1_Г	'	17^
Мв —— &	+ Iх“dr-) “1“ ^2Г‘
Из выражений (1.16) и (1.17) вытекают следующие равенства:
4-=(т=Ьм {N~ ^а)+u
V == (Г-да	(1 + н) А-,
(1-18)
dr ~	(1 — |i2)D	Н^в) + ^2Т (1 4-|i)D ’
~ = = (1 — |i2)D	~	+ C2r (1 _}_ И) Z? •
(1-19)
При выводе уравнений равновесия пластинки полагаем, что основ-
ную поверхность можно считать плоской.
Рассмотрим равновесие элемента пластинки (рис. 1.3). Звездочкой
обозначены параметры, относящиеся к радиусу г + dr, например,
(#/)* * = #/+А (АГ/) dr.	(1.20)
Спроектировав все усилия на координатные направления, полу-
чим два уравнения
и уравнение для моментов
---М9 — Qr = 0.
dr	в —
(1-21)
(1-22)
(1-23)
В этих уравнениях qr н qe — внешние радиальная и осевая на-
грузки, распределенные на единицу длины. Если на пластинку дей-
ствует внешнее давление, то qz = р\ для вращающейся пластинки
qr = ti)2rp/i, где р — плотность материала.
Имея систему уравнений (соотношения упругости, деформаций •
и равновесия), можно решить задачу.
Рассмотрим случай, когда упругие и геометрические параметры
пластинки можно считать постоянными вдоль радиуса *, например,
основной температурный градиент направлен по толщине пластинки. .
В этом случае можно получить замкнутое решение.
Растяжение пластинки. Подставив в уравнение (1.21). выраже-
ния (1.16), легко получить основное дефференциальное уравнение
растяжения круглой пластинки
j 1 d (Sir)	и 94 V
dr2 r dr r2 ~ A A dr ' '	'
Совершенно очевидно, что при сделанных предположениях дефор-
мации растяжения и изгиба независимы.
* Растяжение и изгиб круглых пластинок (дисков) с переменными парамет-
*рамн вдоль радиуса рассмотрены в гд. 9,
Представим уравнение (1.24) в виде
<*-25)
Проинтегрировав уравнение (1.25) в пределах от а до г, получим
(ги)== — 4" рЛ1 + -^~ + 2сй	О-26)
а
здесь 2ct — произвольная постоянная интегрирования. Повторное
интегрирование от а до г дает
“ (г) = ~ ТГ I r J (?Adr14--^-jr$irdr + c1r + ~-	(1-27)
а а	а
Из выражений (1.26) и (1.27) следует, что
-5Г = -41 <?-'dr + ^dr2dn + J r'^dr + с'~
а	а а	а
-4-	(1-28)
Подставив выражения (1.27)	и (1.28) в равенства (1.16) и обозначив
с* = Ci (1 4- p) Л и c* = c2 (1	— р) А, получим
Nr== Cl- fi	2 J q.dr a	Г	г r^rdr- (1.29) а	а
,	Cn	1 4- U. ( ^e = ci4- f2 2	+ a	г J ^rdr 4- а
4-(I—p) j rt,irdr—£ir . a	(1.30)
-Для пластинки с центральным отверстием радиуса г — а (рис. 1.5)
краевые условия на внешнем и внутреннем контуре могут быть за-
даны в усилиях
ад = д^, ди&)==^-	(1-31)
Подставив эти равенства в уравнения (1.29), получим выражения
для с* и c*t:
с* = Nга 4“ ^2_а2 ' {NГЬ — Nra 4" F116 4“ F 126 4" ^"1Гб}I
с2 ~ {^rb — Nra 4" Fill, 4“ F12b 4“ FlTb],
330
где
Fu (И = -ЦЛ j Qfdr;
а
Л2 (/)=• J г2?Л;
а
Fu (b) = Fllh; ^12 (^) == Fl2b-,
Fit (r) = - f2 | r^dr; FtT (b) — F1Tb.
a
С учетом выражений (1.32) равенства (1.29) и (1.30) запишем в сле-
дующем виде:
Ь2 (, а2 \	а2 (,	62 \ .
г — N,ь b2_a-i	J ra b2 _ а2 1	у +
+ (Fub + Fi2b) gl _дТ (1-—Fn — F12
+ F1Tb-^~,^-^)-F1T-	'	(1.33)-
+ (Fnb + F1Zb) b2 —a2 0	7r) —	+ ^12 +
+ Fm ( 1 + тг) + F1T(r) — (1 — p)Sir-
Когда перемещения на внешнем контуре ограниченные или равны
нулю, значения произвольных постоянных найдем из формулы (1.27)
при условиях
и(Ь) = ць; и(а) = иа.	(1.34)
Для сплошной пластинки (без центрального отверстия) из усло-
вия осевой симметрии в центре
Nr (0) = Ne (0) или и (0) = 0.	'	(1.35)
Условия на внешнем контуре могут быть аналогичными условиям
(L31) или (1.34). Из выражений (1.35) следует, что с*2 = 0, иначе ра-
диальные перемещения в центре диска были бы бесконечно большими.-
’ При а (Ь) = ог6 из уравнения (1.29) найдем, что
Ci == Nrb -j- Fiib ~}~ F 12ь -f- FiTb~	(1 -36)
’	331
Согласно выражениям (1.29) и (1.30)
Nr = Nгь + Fllb 4* Fn F12 + F1Tb F1T-,
' Ne = Nrb + Fиь + ?i2b — ^ii 4* F12 + F1Tb 4- Fir — (1 — p) £ir.
В отличие от пластинки с отверстием здесь
Fu W =	j Яг dr, Fn (г) = j r2qr dr,
о	о
F1T('')=^L\r^Tdr.
0
В центре пластинки Fu (0) — 0, F12 (0) = 0, и путем предельного
перехода г —» 0 находим F1T(Q) = -Ц[-~ £1Г(0).
Формула для радиальных перемещений в пластинке имеет вид
“ = Л(1 — pi2) d2 — a2 [1 ~114-(1 4-Н)7г] —
— N1 ~ Н 4- О 4~ Ютг] 4- [f иь 4- F12b]	x
x [ 1 — p- 4- U 4- н) тг] — О — м) ^ii 4~ 0 4~ p) f12 4-
4" ^1Го'р~^2_ [1 — l14- (1 4-11) -yr] 4-(l 4- rt^irj •	(1.38)
Согласно формулам (1.1) при отсутствии изгиба деформации
в пластинке равны
'- = 17-	(1;39)
где и (г), и (г) определятся из выражений (1.38) и (1.28).
Из формул (1.33) легко видеть, что если величина <хТ постоянна
вдоль радиуса, то растягивающие температурные усилия в пла-
стинке не возникают.
Изгиб пластинки. Подставив значения Мг и Мв из выраже-
ний (1.17) в уравнение равновесия (1.23), получим
>*+Л.«_4=_4+	(1.40)
dr г dr г D 1 D dr	'	'
Величина Q (г) — перерезывающая сила в сечении г, определяется
.из условий равновесия.
332
Проинтегрировав уравнение (1.22) в пределах от а до г, получим,
что для пластинки с центральным отверстием
Г
<2 =---~\qzrdr + ^Q.a.
а
(1-41)
Решая уравнение (1.40)_так же, как уравнение для растяжения
пластинки, последовательным интегрированием, получим выражения
для произвольных постоянных интегрирования при соответствующих
граничных условиях и выражения для моментов в сечениях.
Для пластинки с центральным отверстием
Мг(а) = Мга, Mr(b) = Mrb.	(1.42)
Выражения для моментов имеют-вид
М = М   - (1 — \ — М  — (1 — — \ 
1,1г—£Vlro 1,2_а2 \ г2 J l ir^i}2____а2 \ г2 )
~ (^216 + ^22&) £2 _ а2 у 1	^2~J 4" ^21 + ^22
(^216 + ^22&) 1,2 — а2 ( । 4 Т" ) + ^21	^22
"—Р,ть.	_'а2" 1 + фГ)— ^2т + П—нКгт-	-	(1-44)
В этих формулах
г	b
F216==l+ijQdr,
а	а
г	b
а	.	ц,
И
г	Ь
F2T— ---^2~^r^rdr, FiTb — ---fyT-^r^2rdr.
а	а
333
Для сплошной пластинки без центрального отверстия
Mf(O) = M0(O), Mr(b) = Mrb.		(1.45)
Выражения для моментов имеют вид
— M.rb	^22Й 4" ^21 4" ^22 ^2ТЬ 4"	. ._.
(1.46)
Л40 = Mrb F ,lb F22b -j- F21 F22 F2Tb — F2T -j- (1 — p) £2T.
В этих выражениях F21, F22, F2T определяются так же, как
в формуле (1.44) при а — 0.
Для г — 0 F21 (0) = 0; F22 (0) = 0.
Значение FaJ- (0) находится путем предельного перехода при г —» 0:
Far (0) = —£2Г (0).
Зная Мг и М0 из выражений (1.43) и (1.44), определим из формулы
(1-19)
г	(	А2 г	/т2 1
= D(l — р2) ( ^гЬ Ь2 — а2 Р	И + (1 4" Ц) 7г] +
4~ ^ra [1 Н 4" П 4" и) 7?] +
4~ 1^216 4" F22й1 ~ЦГ~а2 [ 1 — Н 4“ П 4" Iх) Т?] —
(1 Iх) ^21 4" U 4" Н) ^22 4" ^2Tb а2 X
х[1 — р 4- (1 4- Ю тг] 4- О 4- н) ^2rj •	(1-47)
Для других краевых условий, например, заделки на внутреннем
и внешнем радиусах
(а) = 0, •»(&).= 0.	(1.48)
Из формулы (1.47) находим значения моментов Мга и МгЬ.
Для определения прогибов пластинки w (г) следует воспользо-
ваться очевидным соотношением
'	(1-49)
откуда
г*
w(r) = w (г*) — j d dr,	(1.50)
Г
где г* — радиус опирания.
334	.
Если пластинка оперта по внутреннему контуру, то выражение
для w (г) имеет следующий вид:
w (г) = wa- -sfl L	j-Mrb [LzA(r2_a2) +
+ (1 4- JX) In4-] + Mral^ [-ЦР (r* - a2) +
+ (1 ~r p) 62 in — J 4- (F21b 4- F22b) x
X (f2~a2) + 0 + H) aa In -g] —
— (1 — H) j F^dr 4- (1 4- Ji) J F22dr 4-
a	a
+ F*Tb [-ЦР - fl2) + (J + н) In 4-] 4- (1 4- JX) j F2T dr.
a
(1-51)
Подставив значения перемещений из соотношений (1.6) и (1.7),
из равенств (1.3) найдем напряжения в виде
’< = -г^ [-Т-гТГ+ (т +ZT-+ И)•
(1-52)
ае = Т^Т [^Г 2 ПТ + (^Т + 2ТГ ~ t1 + а?)] •
Выражения, стоящие в круглых скобках, обращаются в нуль при
линейном распределений аТ по толщине пластинки.
Пример расчета 1. Распределение температуры по радиусу свободной пластинки
принято по закону .	•
/ г \v
Т (г) ~ Ть\
Расчеты проведены для ^= l-i-4. На рис. 1.4 показано распределение окружных
и радиальных напряжений в свободной пластинке с отверстием. По Оси ординат гра-
фика отложены относительные величины напряжений
- _ Зо	.
На рис. 1.5 представлены эпюры напряжений в пластинке без центрального
отверстия.
• Пример расчета 2. На рис. 1.6, в показаны напряжения в свободной круглой
пластинке постоянной толщины при нелинейном изменении температуры и модуля
.к зз§.
Рис. 1.4. Распределение окружных
и радиальных напряжений в пла-
стинке с центральным отверстием
при неравномерном нагреве по ра-
диусу
по радиусу
Рис. 1.6. Распределение а£ и наприжений
в сплошной круглой пластинке, неравномер-
но нагретой по толщине
336
упругости по толщине. На рис. 1.6 показано распределение аЕ по координате го
отсчитываемой от нижней торцовой плоскости, при соответствующем изменении
температуры.
В этом случае напряженное состояние однородное (ffr = с0), краевые условия
на границах пластинки выполняются интегрально, т. е. в ноль обращаются усилия
б,	6;
и моменты J ог dz = 0 и I orz dz = 0.
-б,	-б,
Использование деформационной теории пластичности при рас-
чете круглых пластин. В большинстве работ, посвященных пласти-
ческому состоянию пластин, материал предполагается жестко-пла-
стичным и несущая способность определяется при использовании кри-
териев пластичности Мизеса или Треска—Сен-Венана [4, 5, 7].
Решение для предельного состояния круглых пластинок на основе
теории приспособляемости изложено в работе 15]. Ниже рассматри-
вается задача определения напряженно-деформированного'состояния
пластинок в упругопластической области на основе деформационной
теории пластичности (см. гл. 4).
Наиболее эффективным методом расчета пластинок является метод
дополнительных деформаций, который позволяет использовать алго-
ритм упругого расчета, т. е. полное замкнутое аналитическое реше-
ние. Представим полные деформации в пластинке в форме
ег = ег 4- ег,
ее = ее + е0
где е® и е9 — упругие деформации, определяемые по формулам (1.2);
е’, е9 — дополнительные деформации. '	.
Для решения используем метод последовательных приближений.
В первом приближении решаем упругую задачу при е^ = 0, е9 = О
в соответствии с формулами, приведенными выше. Вычисляем напря-
жения ffgti) и деформации er(i), е9(1) по формулам (1.2) и значе-
ния
ег(1) = — 4-^Дг)-4ра0(г)1 + аТ(/-).	(1.54)
(1.53)
Определив интенсивность деформаций e^j) первого приближения
е. (и =	V(ег (1) — е0 (1))2 + (е0 (1) — ez (t))2 -f- (ez (i, — er (i))2	(1.55)
и по обобщенной диаграмме соответствующую ей интенсивность на-,
пряжений ощ) (см. рис. 2.1, б), находим параметр пластичности
Т(1)	2(1 +И)
sid)
аЦ1)
,ззт
и дополнительные деформации, которые согласно формулам (2.41)
гл. 4 равны
er(i) = ^l — ^yef(i) —б(п);
8е(1) = (1— з:—^(ё0(1) — е(1));	(1.56)
\	™<1> /
£z(i) =(1 —тй—'Uez(i) — 6(10,
\	™<1>/
где
£(i) = -y (6r (I) + £е (I) H-e?(i)).	(1-57)
Во втором приближении решаем упругую задачу с дополнитель-
ными деформациями (1.56), поэтому деформации второго приближе-
ния определяем по формулам:
ег (2) = “g" [Ф- (2) — р<>0 (2)1 -j- 6Г (I),
е0 (2) = ~g" [°0 (2) — РФ- (2)1 + аТ 60 (1)5	(1-58)
1	'	о
ez (2) = -£-[—№г (2) — Р^0 (2)1 -f- «Г -j- f.z (1)•
В этом случае расчетные формулы несколько отличаются от фор-
мул термоупругого решения, что связана с анизотропностью допол-
нительных деформаций.
Представим соотношения упругости (1.58) в следующей форме:
ег =	(аг—ро©) 4-
1	,	(1.59)
£0 = -ц- (а© — РФ) 4-аТ 4- ее-
Величина ez не является независимой и легко определяется при
известных ег и е0 в соответствии с формулой (1.54). Формулы для на-
пряжений отличаются от выражений (1.3) наличием дополнительных
членов:	-
Е (du	.	и	\ , Ег (dft	.• ф \
ar— 1- — р,2 ( dr	+ I* 1	Г	) + 1 — fX2 \ dr	+ I1 Г ) ~
о-60)
Е ( и	.	du	\ . Ег (	.	</(} \
1 — pPXr'^dr/*! — |x2\r*~lidry
----hrpF аТ —	(е0 4- цег).
33§
Выражения для усилий (1.6)—(1.8) также будут содержать допол-
нительные усилия и моменты:
^ = ^-А+^/2+-7-^ + н7^-^~ЛГ9 J
й4г = ^-Л+-^-/2 + ^-/:з + -7‘^ + ^27’ + м°;
М 9 = Л + f 2 4- 4	f 4 4- & т + К
которые представляют собой
вг р
N°r = I 1—-2 (е° + рве) dz;
-б.
б2
#е = J (8э + И8') dz'>
-в
бг
Mr = J i~r£2 (8' + Н8°в) Z dz’
-6i
6» Е
Me = J узтр (ее + pee) z dz.
-6i
(1.63)
Принимая p = const по толщине пластинки и выбирая основную
поверхность из условия (1.11), получим более простые выражения
для усилий:
^=x(4+p4)-tIr-#;;
^ = д(4 + н4)-?и-^0;
(1-64)
Mz=—D ^4 + н	+ Сг? 4- мг;
Л49 = — £>^-у- + ~Ь Сгт + Ме!
(1.65)
339
и
dF = (l-u2)A	+ (I+^JA + А(1 +|х) :
О-66)
~ = (1- ц2)А	+ (1 +н)А + А (1 + ц) ’
— ~_________!__(Д4  ц/Vf ) 4- ——I Mf 
dr D(l-|x2)(M'	+	+о(1 + |х) ’
(1.0/)
V ~ ~ 0(1 —p.2)	+ (I ^10 D + 0(1 + p) •
Уравнения равновесия (1.21)—(1.23) справедливы и для пластиче-
ского состояния материала.
Как и для упругого решения, подставив выражения (1.61) и урав-
нения (1.21) и (1.62) в формулу (1.23), получим дифференциальные
уравнения растяжения и изгиба пластинки с дополнительными де-
формациями:
d2u	1 du	и _	1	.	1	d (£1Г) .
dr2 . ’	г ’ dr	г2 ~~	А	Чг'	А	' dr '
1 dN° 1 , о	а \	'
+ -Т-^Г + -7Г^-^’	(L68>
d*0	1 dO	#_______Q 1	d (?2Г)	,
dr2' '	r ‘ dr	r2	~ D	' D	' dr
Решение полученных уравнений аналогично описанному для тер-
моупругой задачи.	-
Интегрируя уравнения (1.68) и подставляя значения и (г),
в формулы (1.64), получим выражения для усилий, в которые входят
произвольные постоянные интегрирования:
Nr = cl — -р---L±2L J _
а
— dr — j tirdr —
a	a
а	к. a
X (tfr--N°Q)dr + ±=^ [r(N°r~N°e)dr,	(1.70)
340
*	г	г
^0 = c* —--L+h_ J qrdr H- —Jr2?fdr4-(1 — pjx
a	a
+ -LTf- fv<jV’-re>dr---ЦтН^-^Иг.
a	a
Аналогичные равенства имеем для моментов из формул (1.69) и
(1.65). Учитывая краевые условия при г — b и в центре пластинки и
определяя постоянные интегрирования, получаем выражения для
усилий и моментов и далее для напряжений аналогично описанному
выше. В частности, для пластинки без центрального отверстия
Nr (г) = Мгь 4~ Fllb 4~ ^126 —	— Ла 4~ F1Tb — Fit 4-
4~ Fub — Гц -j- Fi2& — F12—Fl3b -f~ Fi3;
77© (r) = Nrb -f- F иг, 4~Fi26 — Fii 4~ Fi2 4- FlTb 4- FiT 4- Л16 — Л1 4~
4-Л26—F12 — (I — p) Sit 4~ ^Nr—Nel	(1.71)
Afr = Mrb — F216 — F'nb 4~ F21 4~ F22 — F3Tb 4- F2T — F2\b 4* Л1 —
--p22b 4~ F22 + Лзб -F23,	(1.72)
Me — Mrb — F3ib — 226 4" F21 — F22 — F3Tb —	— F3ib — F21 —
— F 22b—F22 4~ (1 — и) ^>2t-^Mr 4~ Me',
здесь функции нагрузки и температурные функции те же, что и
в формулах (1.37) и (1.46), функции, связанные с дополнительными
деформациями, выражаются следующим образом:
F!,	=	г (,Nr — Ni)dr-,	' (1.73)
б	о
О	о
Напряжения в пластинке равны
[-Т -	+ (т- +-^-+ И)+
+т^[4+^-«+и4'
341
Рис. 1.7. Напряжения в сплошной круглой
пластинке при неравномерном нагреве
по толщине пластинки:
1 — упругопластический; 2 — упругий расчет
— Е	Г 'Ve — 7 ^9 I ( £1Г I
1 — ц2 3 * L я А	'г
+ z^-(14-|x)aTj] +
. Е К , м°в , о J.
+ Т—~А~^~г~А--(so + fxs'')J
(1-74)
Значения №г, tf9, М'г, Alg опре-
деляем по формулам (1.63).
Это решение может быть успешно
использовано при рассмотрении пол-
зучести круглой пластины по дефор-
Расчет аналогичен упругопластиче-
скому расчету, однако вместо кривых деформирования используются
изохронные кривые ползучести.
Пример расчета. Методом дополнительных деформаций определяем упруго-
пластическое напряженное -состояние круглой пластинки, неравномерно нагре-
той по толщине, упругий расчет которой представлен выше в примере 2.
Упругопластическое напряженное состояние здесь также однородное, в связи
с чем значения интенсивности напряжений и интенсивности деформаций совпадают
со значениями главных напряжений н соответственно деформаций в окружном и
радиальном направлениях.
Результаты расчета представлены на рис. 1.7. Штриховыми линиями пока-
заны упругие напряжения, сплошными — напряжения по упругопластическому
расчету.
2. Прямоугольные пластинки
Деформации и напряжения. Теория расчета тонких прямоугольных
пластинок основана на тех же гипотезах, что и теория расчета круг-
лых пластин [6, 8].
Положение основной .плоскости определяется в дальнейшем, от-
счет координаты z (рис. 2.1) будем вести от основной плоскости.'
После деформации точка А (х, у) основной плоскости получает прогиб
w (х, у) и переходит в точку А*, нормаль к основной плоскости п --
образует в результате деформации углы поворота <р (в плоскости
гу) и ф (в плоскости zx).
' 342	.
Перемещения точки, от-
стоящей на расстоянии г от
основной поверхности, равны
и2 = и0 + 2<р;	(2.1)
V2 = Vn + гф;	(2.2)
wz = w0,	(2.3)
где u0, v0, w0 — упругие
смещения точки, лежащей
на основной плоскости (z —-
= 0). Последнее равенство
Рис. 2.1. Схема перемещений в прямоуголь-
ной пластинке в результате деформиро-
вания
вытекает из предположения,
что деформациями растяже-
ния в направлении оси можно
пренебречь.
В соответствии с общими
линейные и угловая деформации в слое г равны
уравнениями деформаций (см. гл. 4)
о _	_	duQ	,	дф	_	,	дф	.
7 ~	дх	~	дх	дх	—	еох "Г z	9х	,
~	ду	~	ду	~^Z	ду	~~т~г	ду	’
v _ (	\ _ „ I f дф , дф \
~ \ дх ду	\ дх ду ) ’
(2-4)
(2.5)
(2-6)
где ем, е0!, и уоху — линейные и угловая деформации в основной пло-
скости.
Если учесть очевидные соотношения
dw .	dw	.л ...
(0 = • ф —-—	(2.7)
т . дх т ду ’	'	'
то равенства (2.4)—(2.6) будут иметь следующий вид:
ех=еОг-(2-8)
е» = ео»-2-§г;	(2.9)
Уху — Ъху 2z .	(2.10)
Используя уравнения упругости
= j (ех + |хе?)-------аТ;
ау =	+ Нвх) - T=7- аТ>
Хху — 2 (1 4. р.) Уч
(2.Н)
(2.12)
(2.13)
343
z
и соотношения (2.8)—(2.10), получим
следующие зависимости:
(2-15)
Рис. 2.2. Элемент прямоуголь-	£	£ gzw
влечениях ЯИКИ ° усилиями =	“ 2 ~Т+Г ‘	‘
(2-16)
Для дальнейшего расчета необходимо иметь выражения для сило-
вых факторов в сечении пластинки (на единицу длины сечения,
рис. 2.2):
в,	в,
Nx = J о* dz- Ny= J ау dz-
-в,	-в,
б2
Nxy — j rxydz-,	(2.17)
-б,
62	62
Мх —— j zsxdz; Му — — J ztiydz-, Мху — — J ztxydz,
-б,	-в,	-в,
где Nx, Ny и NXy — растягивающие и сдвигающие усилия; Мх, Му
и Мху — изгибающий и крутящий моменты.
Согласно равенствам (2.14)—(2.16) получим
Nx = Ае0< + U,	(2.18)
N+	----^’4^’ — &т’	(2-19)
NXy-=f^xy~^^	(2.20)
Мх — — f3e0x — ^еОу -j-	4~ fe + Car!	(2-21)
My = — f3eQy f4eox -f- /5	F fe dx2 + £ar'>	(2.22)
MXy = — f^oxy 4~ /5? QXQy »	(2.23)
344
где упругогеометрические характеристики:
63	бз
j	1 — р.2 z2 ^Z’	j	1 — p3 z2 ^z'
-6,	-6,
6a	62
Av=_2~ f	i p, dz;	J	i+p	zdz>
—6t	—et
(2.24)
температурные члены:
E
1-p.
Ez
1—1*
aT dz;
a.T dz.
(2.25)
(2.26)
В большинстве практических расчетов коэффициент Пуассона р
по толщине пластинки принимается постоянным, поэтому соотноше-
ния (2.18)—(2.23) можно существенно упростить, специально выбрав
основную плоскость.
Определим 6Х таким образом, чтобы
б2
J Ezdz = 0.	(2.27)
-б,
Теперь из равенства (2.27) следует, что
л
j zrE (zj dz1
о
“ ь
J E (zi)
0
(2.28)
Условие (2.27) при p = const по координате z приводит к следую-
щим равенствам:
fa = 0;	= 0,	(2.29)
345
а соотношения (2.18)—(2.23) принимают вид — 1	^3 (е0.г 4“ Иеог/) ?1Т,	(2.30)
А Ny— 1—.р2 (е<>у 4~ НеОх) Sir.	(2-31)
д, _	А ™ху 2(l+u)Voxs'’	(2.32)
ЛЛ	п(	1	\ I 7- . Мх ~ D \ дх2 '	ду2 )	(2.33)
гл/ 32И> , д2ш \ , <. му= D \ ~W +	) + ^т'	(2.34)
ху v	дхду ’	(2.35)
где жесткость пластинки на растяжение	М
в,	
A — f Edz-, -в,	(2.36)
цилиндрическая жесткость пластинки на изгиб	
D — .	Г £2а д[2 4	(2.37)
Зависимости (2.30)—(2.35) являются основными	уравнениями
упругости, используемыми для расчетов пластинок.	
Для дальнейшего расчета необходимы следующие соотношения:
e(W =	= 4(^-^) + (l-g)-^-;	(2.38)
е0У —	.4(^-^) + ('1-{л)^;	(2.39)
У Оху '	_ . 2(1+ц) л/ . -	А	”ху,	(2.40)
Э2® ~дх?~	~ (1 — (J.2)D (М*	£) (1 JJ.) ?2Т.	"(2.41)
д^ ~дх2~	— (1 — |J.2)D (Л^	D(I+n)^’	(2.42)
Э2а> дхду	=	1 м	(2.43)
346
Интересно отметить, что
а,
j EaT dz
(1 - И) Jf- =	-----= (аТ)Ср	(2.44)
J Edz '
-61
представляет собой «среднюю температурную деформацию».
Если температурная-деформация изменяется линейно по толщине
пластинки
аТ — (аТ)0 + kz,
то
0(1 +ц) ~2Г = k'	(2’45^
Формулы, которые позволяют определять напряжения, если изве-
стны силовые факторы и распределение температуры по толщине пла-
стинки, можно получить из равенств (2.14)—(2.16), если внести в
них соотношения (2.38)—(2.43) и (2.25), (2.26):
62
( EzaT dz ’
-j- Z—------------
I Ez2 dz
, -Si
( е2
J EaTdz
-6,
6.
J Edz
-61
6,-
J EzaT dz
' 6,
f EaT dz
+t=v At—
Je*
—8'
aT
(2.46)
J Ez2 dz
-Si
Mxy
62
J Ez2dz
(2.47)
(2-48)
347
Рис, 2.3. К выводу уравнений равновесия
для прямоугольной пластинки
Напряжение в слое z про-
порционально модулю упру-
гости в этом слое.
Формулы (2.46)—(2.48)
справедливы при постоян-
ном коэффициенте Пуассона у,
по толщине пластинки. Они
пригодны и для пластинок
переменной толщины.
Уравнения равновесия и
разрешающие уравнения. На
рис. 2.3 показаны силовые
факторы, действующие на
элемент пластинки.
Условия равновесия сил в плоскости пластинки:
dNx	,	dNxy	__	n-
дх	'	ду	'
3Nу	।	„
ду дх
(2.49)
(2.50)
Массовые силы и касательные усилия на внешних поверхностях
пластинки считаются отсутствующими.
Условия равновесия сил в направлении оси z и равновесия мо*
ментов приводят к следующим зависимостям:
дх 1 ду 1	1
_ Q = 0;
дх ду	’
дМу . дМху __________л
~ду~дх	-
(2.51)
(2.52)
(2.53)
где q — распределенное давление на поверхности пластинки.
Уравнения (2.51)—(2.53) составлены для • недеформированного
элемента пластинки, что справедливо для достаточно жестких пла-
стинок.
Рассмотрим практически наиболее важный случай, когда коэф-
фициент Пуассона у. можно считать постоянным по толщине пла-
стинки. Тогда из уравнений (2.30)—(2.35) и (2:49)—(2.53) следует,
что усилия в основной плоскости пластинки (Nx, Ny и Мху) и изги-
бающие и крутящий моменты (Мх, Му и Л4ХЭ) определяются неза-
висимо.	'	•
Первая задача состоит в определении усилий в основной плоско-
сти пластинки и представляет известную в теории упругости задачу
о плоском напряженном состоянии.
348
Для решения обычно вводится функция напряжений F (х, у),
так что
N =^L. N = ^F_-
х ду2 ’ V дх2 ’
— дхду'
(2-54)
Тогда уравнения (2.49) и (2.50) удовлетворяются, а для нахож-
дения F (х, у) используется уравнение совместности деформаций
для основной плоскости
d2spx I д2еоу __	.	<2 gg\
ду2 ‘ дх2 дхду	' ’ '
Используя соотношения (2.38)—(2.40) и равенства (2.54), полу-
чаем
д2 Г 1 / d2F	d2F \ 1 , д2 Г 1 / d2F	d2F \ ] ,
дх2 [ А \ дх2	ду2 JJ + ду2 [ А \ ду2	дх2 ‘
+ 2-^J- Г-Ц±.-^-1 = — v2 Г(1 — y)^l ,	(2.56)
1 дхду L А дхду J	|/ A J	4 ’
д2 д2
где V2 —	+ -^2 — оператор Лапласа.
При А = const и у, — const уравнение (2.56) имеет вид
V4F = — V2(aT)eP.	(2-57)
d4 д4 д*
где V4 = -^ + 2	+ ~д^~ бигармонический оператор.
Решая уравнения (2.56) или (2.57), удовлетворяющие краевым
условиям, можно найти усилия Nx, Ny и Nxy и соответствующие им
деформации.
Для определения изгибающих и крутящего моментов удобно со-
ставить разрешающее уравнение относительно прогиба срединной по-
верхности. Сначала из соотношений (2.51)—(2.53) получим уравне-
ние, не содержащее перерезывающие усилия и Qg. Для этого про-
дифференцируем уравнение (2.52) по х, уравнение (2.53) по у и после
сложения, с учетом равенства (2.53), найдем
-К-+ 2 -JL_Mxy + ^- = — q.	(2.58)
дх2 1 дх ду ху 1 ду2 7	х '
С учетом зависимостей (2.33)—(2.35) получим уравнение относи-
тельно прогиба основной плоскости пластинки
дх2 L \ |5х2 ‘ ‘ ду2 /] ду2 L \ ду2 ‘ ‘ дх2
+	[(* -rtС^-]	(2-69)
349
Если D — const и u. = const, то уравнение упрощается
W = _JL_±-V2^.	(2-60)
Рассмотрим краевые условия при решении уравнения (2.59). Если
край пластинки шарнирно оперт, то краевые условия имеют вид
W = 0,	=	+	(2.61)
Если один из краев, например, х = 0 жестко заделан, то здесь
должно быть
® = 0, ^ = 0.	(2.62)
Более сложны условия для свободного края. Пусть край х = 0
свободен от закрепления. Тогда на этом крае
Мх = 0, Qx = 0, МХ1, = 0.
Однако приближенная теория пластинок, использующая гипотезу
жесткой нормали, не позволяет удовлетворить сразу двум последним
условиям. Рассматривая распределенный крутящий момент Мху как
момент, создаваемый парой вертикальных (перерезывающих) сил,
получим следующее выражение для обобщенной перерезывающей
силы:
Vx^Qx-hd-^f.	(2.63)
В соответствии с равенством (2.52)
17 __ дМх | О дМху
Vx~ дх	ду •
।
Учитывая соотношения (2.33) и (2.35), находим, что
I,	3 Гг./Э2а) , д2ш \ ,«.1,0/, ,n d3w
V* ~ дх L \ дх2 ду2 )	~27 J + 2 (	дх ду2 ’	(2.64)
Условия на свободном крае х = 0 будут следующие:
Мх = 0, Vx == 0.
Для ПОСТОЯННЫХ О И [Л
п / д2ш .	д2& \ > «. п
D \ дх2 “l” ду2 )	^2Г — 0;
(2.65)
пГ-^-нг-ц) ajLl 4-^ = о.
L дх3 1 ' г/ дх ду2 J 1 дх
Для пластинок с постоянными параметрами упругости по коорди-
натам х, у разработаны решения для различных условий опирания
350
(2, 6, 81. Они могут быть перенесены и на пластинки, модуль упру-
гости которых меняется по толщине пластинки.
В общем случае решение проводится численными методами,
обычно с помощью замены уравнения (2.59) конечно-разностным.
Пластинка с изменением температуры и параметров упругости
по толщине. Во многих технических задачах необходимо определить
температурные напряжения в пластинке при потоке тепла, нормаль-
ном к ее плоскости (стенки, разделяющие среды с разным уровнем
температур и т. п.). Предполагается, что в плоскости пластинки
(координаты х и у) температурное поле остается постоянным.
Рассмотрим сначала пластинку, свободную от закрепления. На
краях пластинки усилия и моменты отсутствуют, и так как они не
должны зависеть от координат х и у, то можно принять
Мх = 0; Na - 0; Nxu = 0;
Мх = 0; Му = 0; Мху = 0.
Уравнения равновесия будут удовлетворены (внешняя нагрузка а	
отсутствует), а из формул (2.46) и (2.47) получим б2 Г EaTdz	] EzaTdz а (z\ — а	(*)	-6-	। 2 ~6’	аТ	(2.66)
1-1 Uy 1-1	1 _ |1	б2	1 “ б2	aj J Е dz	J Ez* dz -б,	-б.	
Например, при постоянных £ и а и температуре, изменяющейся
по закону
Т (z) = а0 + ajz + • • • = 2 aiz>,	(2.67)
/=о
из равенства (2.66) найдем
m
, .	, . аЕ VT (	1 Г/ Л \/+l	( h М’+И г
(z) — (Jy (z) — j ai\h(j+ 1) L\ 2 )	\	2 ) J +
/=0
. ,	12	[ 1' h \/+2	/ h \/+21 Д
+ 2 Л3 (/ _|_ 2) Lxl") —\	2”) J~2j‘	(2’68)
Допустим, что края пластинки не могут смещаться в плоскости
пластинки. Тогда деформации в плоскости пластинки
бох == 0, &Qy — 0
и равенства (2.30) и (2.31) дают
1
=	=	paTdz.	(2.69)
.Изгибающие моменты не возникают; так как отсутствует стесне-
ние деформации по углам поворота.
351
Из уравнений (2.46) и (2.47) находим
^(2)= Mz) =
( б2
f EzaT dz
..JL. z-=h___________
1-|Л	6
J Ez2 dz
-6i
1
аТ
(2.70)
Если края пластинки жестко заделаны и температурное поле из-
меняется только по толщине, то на краях пластинки и в других
точках возникают усилия и моменты
N. = Ny^-^T = -T^- \EaTdz-
-в,
Мх = Му = ?2Г = у— j EaTz dz.
Из соотношений (2.46) и (2.47) получаем
ax(z) = atf(z) = -1^r.	(2.71)
Пластинка остается плоской и каждый слой пластинки «работает»
при полном стеснении имеющейся в нем температурной деформации.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Биргер И. А. Круглые пластинки и оболочки вращения. М., Оборонгиз,
1961, 368 с. '
2.	Боли Б., Уэйнер Д. Теория температурных напряжений. М., «Мнр», 1964,
517 с.
3.	Гохфельд Д. А. Несущая способность конструкций в условиях теплосмен.
М., «Машиностроение», 1970, 260 с.
4.	Ильюшин А. А. Пластичность. М., Гостехиздат, 1948, 376 с.
5.	Качанов Л. М. Основы теории пластичности. М., «Наука», 1969, 420 с.
6.	Мел ан Э., Паркус Г. Термоупругие напряжения. М., Физматгиз, 1958, 167 с.
7.	Соколовский В. В. Теория пластичности. М.—Л., «Высшая школа», 1969,
608 с.
8.	Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М., Физ-
матгиз, 1963, 635 с.
ГЛАВА 9
Диски турбин
1. Особенности работы дисков турбин
Расчетные методы теорий термопластичности и термопрочности,
описанные в предыдущих разделах, находят широкое применение для
оценки прочности дисков паровых и газовых турбин.
Турбинные диски подвергаются неравномерному, часто нестацио-
нарному нагреву.
На рис. 1.1 показано распределение температур в диске стацио-
нарной охлаждаемой газовой турбины на пусковом (а) и на устано-
вившемся тепловом режиме (б) [13]. Неравномерное температурное
поле приводит к возникновению температурных напряжений, кото-
рые дополнительно к напряжениям от центробежных сил нагружают
диск.
Диски стационарных установок имеют ресурс несколько десятков
тысяч часов. Поэтому при оценке их прочности и долговечности необ-
ходимо учитывать эффекты, связанные с ползучестью материала.
Особые требования предъявляются к дискам турбин двигателей
летательных аппаратов и транспортных газотурбинных двигателей.
Тенденция к повышению рабочих параметров двигателей и увели-
чению ресурсов работы наряду с требованиями уменьшения веса.при-
водит к необходимости более полного учета процессов, происходящих
в материале диска во время
работы.
На рис. 1.2 показан диск
турбины транспортного газо-
турбинного двигателя. Рас-
пределение температур по
радиусу диска' на одном
из нестационарных режимов
(штриховая линия) и на ста-
ционарном (сплошная линия)
приведено на рис. 1.2 в.
Во время работы диски
испытывают целый ряд после-
довательных нагружений —
циклов от запуска до оста-
нова двигателя, В течение
каждого, цикла поле темпе-
ратур и внешние нагрузки
а)	5)
Рис. 1.1. Распределение температур в °C
в диске стационарной газовой турбины:
а •» пусковой режим; б =* установившийся режим
23 заказ № 1156
353
a)
Рис. 1.2. Сечение диска
турбины (а) транспорт-
ного газотурбинного дви-
гателя и распределение
температур по радиусу (б)
также изменяются (пуск, нестационарные режимы, установившийся
режим, останов и др.; см., например, рис. 3.1).
На нестационарных режимах возникают значительные температур-
ные напряжения, дополнительно нагружающие диск и связанные
с большими перепадами температуры по радиусу. Например, при так
называемом «холодном запуске» двигателя горячий газ, поступающий
на лопатки турбины, нагревает обод диска, в то время как его массив-
ная центральная часть еще остается относительно холодной. При
сбросе оборотов после продолжительной работы на максимальном
режиме на обод поступают массы холодного воздуха, а центральная
часть диска еще сильно нагрета. Температурные напряжения в про-
цессе эксплуатации неоднократно изменяются не только по величине,
но и по знаку. Таким образом, имеет место термоциклическое нагру-
жение, способствующее повреждаемости материала.
На стационарных режимах поле температур и нагрузок сохра-
няется на постоянном, но достаточно высоком уровне, что приводит
к ползучести и накоплению повреждений.
Общие подходы к использованию упрощенных или более совер-
шенных теорий термопрочности изложены в гл. 4 и 5. При расчете
дисков учет истории нагружения довольно сложен из-за необходимо-
сти получения исчерпывающей информации по нагрузкам на диск за
весь период эксплуатации и, особенно, определения механических
свойств материала диска в условиях, подобных рабочим. При этом
требуется большая машинная память, что вызывает затруднения при
реализации программы на малых и средних ЭВМ. Поэтому такие
расчеты проводят для дисков турбин в ответственных случаях или
при специальных исследованиях.
Для дисков стационарных машин, дисков с большими запа-
сами прочности, а также для предварительной оценки и выбора
размеров обычно проводят упрощенные расчеты. При этом пластич-
ность и ползучесть учитываются на основе теорий деформационного
типа.
354
Рассмотрим методы расчета дисков, основанные на представлении
разрешающей системы уравнений в интегральной форме с последую-
щим решением методом последовательных приближений. Этот метод
Достаточно просто реализуется на ЭВМ и широко применяется в ин-
женерной практике (J, 2, 7, 8, 9). Алгоритм упругого расчета диска
с переменными параметрами упругости легко используется как основ-
ной блок при проведении упругопластических расчетов, основанных
на деформационных теориях пластичности и ползучести, а также при
учете истории нагружения.
2. Растяжение и изгиб дисков
Диск рассмотрим как круглую вращающуюся тонкую пластинку
переменной толщины с плоской или слабоизогнутой срединной по-
верхностью, неравномерно нагретую как вдоль образующей, так и по
толщине, осесимметрично нагруженную растягивающими и изгибаю-
щими усилиями и моментами (рис. 2.1).
Для тонких слабоизогнутых пластинок при малых прогибах
можно считать, что ds dr, sin <р tg <р <р (рис. 2.2), где <р —
угол подъема.
Исходные соотношения термоупругости для дисков. Соотноше-
ния между напряжениями и деформациями в направлении образую-
щей ss и в окружном направлении ев имеют вид
es =	—	+«Т;
е0 = 4". (°0 ~	+ аГ>	(2.1)
где Е — модуль упругости, изменяющийся вдоль образующее и по
толщине; а,Т — температурная деформация *.
Выражения для относительных деформаций в направлениях s и 9
принимаем как для круглых пластинок малого прогиба в виде (рис. 2.3)
es = и' -ф- ?&', е0— — (и z^)
 ч (2-2)
* Здесь Т означает разность темпе-
ратур Т — То.
Рис. 2.1. К расчетной схеме вра-
щающегося диска
Рис. 2.2. Схема деформации
основной поверхности диска
23*
355
(штрих означает дифференциро-
вание по ^радиусу г). Коорди-
нату z отсчитываем от основной
поверхности, которую выбираем
из условия (см. рис. 2.3)
j Ezdz = 0,	(2.3)
-б,
и и Ф — перемещение вдоль
Рис. 2.3. К определению положения радиуса и угол поворота нормали
основной поверхности	к основной поверхности в^резуль-
тате деформации.
Из выражений (2.1) и (2.2) находим
3	1 —112\	1 г г /1 — |Х2\ 1 г г )	1 — |Х
£ / 1	\ £г ( 1	ч £	(2-4)
ае=Т^(-« + ^9 + Т^(-^ + ^')-145Га?-
Радиальные окружные усилия и моменты, отнесенные к единице
длиньГцилиндрического сечения (рис. 2.3):
<5 2	б2
AfsJ= f <3i&z\ Nq — j oe dz:
'«*	~S1	(2.5)
$2	^2
Ms = — j o3z dz:	= — j rjQzdz .
-St	-6,
Подставив выражения для напряжений (2.4) и обозначив через
б.	ба
*= 1т=р“г»1,=	М
-б,	-6,
цилиндрические жесткости на растяжение и изгиб, получим, приняв
|х (z) = const, „
Ws = 4 (и' -j- р —	— Si/,
/Г \	(27)
Ne = А	) — Sir
Af3 = -D(^ + p4-^) + S2r;
Л10 = D д -j-	£gr,
(2.8)
356
где
б2	б2
kr = /	Ът = \~~aTzdz. '	(2.9)
-61	-в,
7
Уравнения равновесия диска (рис. 2.4) можно пред-
ставить в следующем виде: ~ (Nsr cos ф) — Nq 4- q.r 4- (Qr sin <p) = 0;	(2.Ю)
(Qr cos ф) 4- ~ (Nsr sin Ф) 4- qj- = 0;	(2Л1)
4r (^M — cos Ф — Qr 4- = o,	(2-12)
где qr, qz и ms—распределенные усилия и момент на единицу
площади основной поверхности.
Для быстровращающихся дисков турбомашин при изгибе сле-
дует учитывать влияние растягивающих усилий (так называемый
восстанавливающий эффект центробежных сил), для достаточно тон-
ких дисков — влияние упругого прогиба. Уравнения (2.10)—(2.12)
также справедливы, если вместо угла <р ввести сумму (<р 4- Ф). При-
ближенно диск можно считать жестким, т. е. не учитывать в рас-
чете влияние упругого прогиба на восстанавливающий эффект, если
(2.13)'
где /гср — средняя толщина полотна диска; b — наружный радиус
диска; OsP, — средние значения радиальных напряжений и мо-
дуля упругости в полотне диска.
Для слабоизогнутых пластинок
величиной -j~~(Qr sin <р) в уравнении
(2.10), выражающей влияние перере-
зывающих сил на распределение рас-
тягивающих усилий, обычно можно
пренебречь. С учетом влияния упру-
гого прогиба уравнения (2.10)—(2.12)
для диска с пологой основной поверх-
ностью имеют вид:
^-(ад-^е + 7/ = 0;	(2.14)
^7(Q/-) + 4'^(,p+^ + <7Z = 0;
(2.15)
*-(Mtr)-M0-Qr + mtr~Q. (2,16)

Рис. 2.4. К выводу уравнений рав-
новесия (элемент диска)
357
Уравнения совместности деформаций
запишем в виде тождеств
du d ( и \ dft d / О \	,о
Из уравнений (2.7) и (2.8) получим
и' — А (1 _ р.2)' (^3 —	+ д (1 + (Л) £1Т> .	(2-18)
~и ~ 4(1 —р.2)	+ 4(1 + р)	(2-19)
и
~	0(1 — р.2)	— Н^е) + D	(2.20)
—	— р(1_иг) (М9 —pMs) + D	(2.21)
С учетом этих выражений уравнения совместности деформации
представляются в виде
4(1 -ц2)	~	+ 4(1 +g) ~1Т =
= 17 [ А (1 — р2)	— ^s) + 4 (1 + р.) ^1Г] ’	(2‘22)
— D(l — р.3)	— ^е) + щ! д-ц) ?2Т =
= d7[— 0(1—g3) ^0 —	+ 0(1 +(i) ^2Г] •	(2-23)
Решая уравнения (2.22) и (2.23). как дифференциальные уравне-
ния первого порядка относительно -гтт—®-5г и 1— на-
ходим
Х^-^за);	/	(2.24)
М8 - pMs =	= j х dr + ф2Г+
a	f
+ тЕЙ--^- ^-(М0а-рвМзв),	. '	(2.25)
1 г'д ЛХ
358
где
Г
% = exp J -т-Л’’
а
д —начальный радиус диска.
При р, — const (часто принимается при расчете дисков из изо-
тропных материалов)
Нижний индекс а и дальше будет означать, что берется значение
переменных на соответствующем радиусе.
Температурные функции:
Ф17 = Л (1ГуЛ-! J "ГSirX dr — jJrrjncCir + йУ+Х)};
' X IJ л	A U т I*/	Ae T t*<vI
la	)
(2.26)

dr D (1 + и) aC2r 4- Da
a
Растяжение диска. Для дисков с плоской срединной поверх-
ностью деформации растяжения и изгиба можно рассматривать
раздельно.
В большинстве случаев расчет дисков на растяжение является
основным и часто’применяется в инженерной практике.
Проинтегрировав уравнение (2.14) и подставив значение
ЛГв—Ns, которое легко найти из выражения (2.23), получим раз-
решающее^уравненне растяжения диска в интегральной форме
Vs = LXNS 4-	4- NsaF12 4- Flq + F1T,	(2.27)
где интегральная операция от Ns (г)
г	г	f\
LtNs = L.Ns(r) = - JNs dr 4- Ц J (1 -!?) X dr2 dr,,
a	a	a
Функции при начальных параметрах Ftj (i, j = 1,2) равны
a
F^=Fa(r}=i-^\-^dr,
(2.28)
359
а функции, зависящие от нагрузки и нагревй,
Рц = Fi4 (r) = — f Я,dr = —Р “2frAdr;
(2.29)
F1T = F1T (r) = j ~ Ф1Т
a
где p, и и h — плотность материала, угловая скорость вращения и
толщина диска.
Уравнение (2.27) линейное, решение его ищем в форме
= ^0аФц ~Ь Nsa®12 ~Ь Уф	(2.30)
где фи (г) и ф12 (г) — фундаментальные функции — решения
однородного уравнения, соответствующего уравнению (2.27);
Ух(г) — частное решение.
Однородные решения легко находим методом простой итерации
[1, 2, 7] по следующей схеме:
Ф$/+П (г) = L&tf (г) + Л/(г) (/ = 1,2),!	(2.31)
причем за нулевое приближение принимается
Ф^ = Г1;(г).	,	'	(2.32)
Аналогично определяем и частное решение
У<?+1) (г)	(г) + Flq (г) + FiT 0,
где
УГ(г) = Л,(г) + Р1т(г).
Обычно при целесообразном выборе расчетных сечений процесс
является быстросходящимся (4—5 приближений с достаточной
точностью). При расчете на ЭВМ все решения находятся по одной
процедуре.
Начальные параметры и Nsa определяем из граничных
условий.
Усилие на внутреннем контуре Msa у диска с отверстием обычно
известно из условий закрепления.
Значение определяем из. уравнения (2.30)
#ва=^[#16-Л^Фи(Ь)-Ух (*>)],	(2.33)
где Nst) — известная величина (растягивающее усилие от’лопаток
и замковых частей диска).
Для сплошного диска (без центрального отверстия) на очень
малом радиусе г = а Добычно ~ =0,1-5-0,05)
360
Тогда согласно формуле (2.30)
^so = Nea —	(6) _|_ф12(&) l^s6 (&)1-	(2-34)
Растяжение диска постоянной толщины.
Для нахождения напряжений и деформаций в диске постоянной
толщины (а также в дисках конического, гиперболического профи-
лей) имеется точное решение (см. гл. 8). Для диска с отверстием
напряжения растяжения в радиальному и окружном у направлениях
определяем из следующих формул:
_	62 f 1	«2 \ а2 /,	62 \ ,
&2 _ ц2 \ 1	г2 )	а'а Ь3 — а2 \1	г2 ) '
+ ЦЬ р«.! (> - а1 -- г»)+
+ В п 4^? (1 - Я - г];	(2-35)
Ь3 (. а3 \	а3 (- . Ь3 \ .
°0 — °rb ^ ZlTt2 V + 7^) ~ °га Ь2ТГ^2 1 + 7Г ) +
. 3 + IX 2 { 1.2 ,	2 1 Ч2&2	1 + 3|Х	,
+ -рр® + а + ~з--------------пдгr j +
+ Е [^Гб &2^'а2	+^т~~ аг] >
где обозначено
Ет = уг\ raTdr FTb= ^raTdr.
а	°
Для диска без центрального отверстия
у = уь ф-	рсо2 (&2 — г2) -j- £ [FTb — FrJ;
(2.36)
а0 = сгь + ^Р®2 (*2-г2) + Е [Fn 4- FT-a.T],
где
г	b
Ft = -i- f raTdr, FTb	dr.
о . . о
На рис. 2.5, а дано распределение напряжений в диске постоян-
ной толщины (Л = const) с центральным отверстием. Наружный
Рис. 2.5. Распределение напряжений в диске постоянной тол-
щины с центральным отверстием
радиус диска г — 10 см, внутренний г = 4 см. Сплошными линиями
показаны напряжения от центробежных сил и пунктирными —
температурные напряжения. Распределение температуры принято
зависящим линейно от радиуса (Та = 400° С, Ть — 600° С). На
рис. 2.5, б приведены аналогичные результаты для диска без отвер-
стия при То = 400° С, Ть = 600° С. Угловая скорость вращения
диска со2 =	Материал диска—сплав ХН77ТЮР (ЭИ437Б),
сгЬ — 1000 кгс/см2.
Изгиб диска. Проинтегрировав уравнение (2.15) в пределах от
а до г, получим
Q =	+	(2.37)
где
Г
Q* = 4 J q2r dr + Qa - Msq> +	.	(2.38)
a
Далее, проинтегрировав таким же образом уравнение (2.16) и
подставив в него выражение для Q* и для О' из формулы (2.21), по-
лучим
= J [-Г + D(i-V)]	~ Л) dr - J	M, dr -
a	a
r	r	r
- J W) dr + f Q* dr - J ms dr + aNs A In	+ Msa. (2.39)
e	a	a
Равенство (2.25) запишем в другом виде, с учетом выражения
(2.21) для Оа:
J-g-M +	,	(2.40)
• Л • *	'it
362
где
ф2Т =
0(1-и2)
а
f v dr__г	\
J D Г D 1-ц)‘
а
Подставив значение (2.40) в формулу (2.39), получим уравнение
изгиба диска в интегральной форме, аналогичной уравнению рас-
тяжения
Л13 — L2MS Фа521-j-MsaF22-j-F2(?-j-F2r,	(2-41)
где
L2Ms = L3MS (г) = j [gH-n + ^] J Мs dr2 drt -
 a	a
_jLzEMsdr	(2.42)
a
И .
psi=p2i (r)=- J + v]dr+ aN°a ln V;
a
P22 = 1; Ргч = p2q (г) = j Q*dr — jmsdr,
a	a
F2t = F2T (r) = j [4- +	Ьт dr - j Л// dr-
a a
В результате принятых допущений величина Nt входит в урав-
нение (2.41) как параметр, известный из решения уравнения рас-
тяжения, и уравнение (2.41) становится линейным. Его решение,
как и уравнение (2.30), можно представить в виде
Ms = 'O'a^i (г) + М. 5оФ22(г) + У2,	(2.44)
где ф21 (г) и ф22 (г) — фундаментальные функции — решения
однородного уравнения, соответствующего (2.41), и У2 (г) — ча-
стное решение, которые определяются методом итерации по той же
схеме, что и при решении задачи растяжения диска.
Начальные параметры $а и Msa определяем из граничных усло-
вий.	,
Для диска с отверстием Msa обычно равно нулю или, в некото-
рых частных случаях, известно из условий закрепления. Величина
угла поворота в начальном сечении й’а-находится из граничного
условия иа наружном контуре.
363
Согласно выражению (2.44)
W	<245)
^21 \°)
Моменты Msb на наружном контуре обычно известны и возни-
кают из-за воздействия газодинамических усилий на лопатки.
Ввиду симметрии в центре сплошного диска
М$а — Мда
при достаточно малом г — а. Тогда по формуле (2.21)
=	+	(2.46)
где
f —----------,
Da (1 + и) ’
а по формулам (2.46) и (2.44) при известном значении Msb
sa = ф22 (&)—Ф21 (b)fa —	at2Ta®21 (^)l-	(2-47)
Общие замечания о напряженном состоянии в дисках. Уравне-
ния (2.27) и (2.41) получены для гибкого диска со слабоизогнутой
срединной поверхностью (рис. 2.2).
Для жестких дисков с плоской срединной поверхностью напряже-
ния изгиба не зависят от напряжений растяжения (в пределах ма-
лых упругих деформаций).
В этом случае уравнение (2.41) имеет тот же вид, однако функции
F21 (г) и F2T и Q* определяются иначе:
а
г
FiT — j ~ фгт dr',
а
г
Q* = ~\glrdr + ~rQa.
а
(2.48)
Для дисков с искривленной основной поверхностью и существен-
ным влиянием усилий в срединной поверхности на изгиб следует
использовать полное уравнение (2.41).
На практике могут встретиться тонкие диски, несущие значи-
тельную поперечную нагрузку. Для таких дисков следует исполь-
зовать уравнения, полученные в гл. 10 для круглых пластинок
с большими прогибами.
364
Вращающиеся слабоискрявленные диски при
больших прогибах можно рассчитывать как по-
логие оболочки по формулам гл. 10.
Для обычных (жестких) дисков уравнения
(2.27) и (2.41) являются линейными, и для них
справедлив принцип суммирования. Напряжения
и деформации от внешних сил и температуры
можно определять раздельно и потом суммиро-
вать. При раздельном определении напряжений
и деформаций от внешних сил влияние темпера-
туры «на параметры упругости должно учиты-
ваться.
Примеры расчета*. На рис. 2.6 показан диск газовой
турбины. Диск имеет центральное отверстие. Посадка на
вал — свободная. Профиль диска несимметричный относи-
тельно плоскости, нормальной к осн вращения. Действие
лопаток, расположенных иа наружном контуре диска, заме-
Рис. 2.6. Диск га-
зовой турбины
ияется усилием н моментом на радиусе г — Ь, равномерно
распределенными по окружности. Материал диска — сплав ЭИ415. Удельный вес
материала у = 7,8 г/см?.
Расчет на растяжение. Расчет диска на растяже-
ние проведен в соответствии с формулами (2.27)—(2.34). Исходные
данные для расчета приведены в табл. 2.1—2.3. Нагрузка на внеш-
нем контуре принята равной Grb = 1440 кгс/см2 при частоте враще-
ния п = 15 600 об/мин.
Таблица 2.1
г, см	h, см	-гТ, °C	Г, см	Л, см	Т, °C
2,3	8,84	280	7,0	1,9	312
3,75	8,84	291	7,5	1,8	315
4,0	8,84	293	9,8	1,6	328
4,5	4,6	296	 15,7 *	1,2	355
5,0	3,6	300	16,2	W	361
5,5	2,8	303	16,8	3,0	368
6,0	2,3	306	17,0	3,0	370
6,5	2,0	309	17,24	3,0	372
Таблица 2.2	Таблица 2.3
°в, кгс/см2	и	а-Ю° 1 °C	т, °C	Значения О при 8							
				0,001	0,002	0,0029	0,00365	0,00475	0,006	0,0135	0,03
9200	0,3	9,4	20	2045	4150	6050	7350	8050	8300	8350	9200
8300	0,3	10,51	300	1830	3700	5400	6500	7150	7400	7450	8300
. 7800	0,3 ’	11,51	400	1750	3500	5150	6050	6600	6800	6850	7500
* Расчеты выполнены В. И. Венедиктовым.
365
Рис. 2.7. Результаты расчета диска газовой турбины на растяжение
На рис. 2.7, а показано изменение температуры по радиусу
диска и предела прочности материала ав(г) с учетом разброса свойств.
На рис. 2.7, б—г приведены эпюры температурных напряжений,
напряжений от центробежных сил и действия лопаток, а также сум-
марные напряжения of и oj. ,
Температурные напряжения в окружном направлении, сжимаю-
щие в периферийной части диска и растягивающие в центральной.
Напряжения во всем сечении в радиальном направлении, а также
от центробежных сил растягивающие.
Расчет на изгиб от действия момента на
внешнем контуре. Начальной изогнутостью срединной
поверхности пренебрегаем. Диск считаем жестким и проводим рас-
чет на изгиб от действия только изгибающего момента AfS6 =
— 60 кгс на внешнем контуре. На рис. 2.8 показано распределение
изгибающих моментов Ms, Мв и напряжений oH3rs, аизг9 в радиаль-
ном и окружном направлениях.
Рис. 2.8. Изгибающие моменты и напряже- Рис. 2.9. Распределение суммар-
ная в диске турбины от распределенного из- ных напряжений в диске
гибающего момента на радиусе г = b
366
Рис. 2.10. Изгибающие моменты и на-
пряжения в диске при неравномерном
нагреве по толщине
Рис. 2.11. Расчет диска с учетом на-
чального искривления срединной поверх-
ности
На рис. 2.9 штриховыми линиями показано распределение сум-
марных напряжений от центробежных сил, неравномерного нагрева
по радиусу и изгибающих моментов на внешнем радиусе ers2, а02
по сравнению с напряжениями растяжения as, сг0.
Расчет на изгиб от неравномерного рас-
пределения температуры по толщине диска.
С учетом предположений, принятых в предыдущем расчете, проведем
расчет на изгиб прн неравномерном распределении температуры
по толщине диска. Перепад по толщине принимаем равным
ДТХ (г) = Т2 (г) — 7\ (г) = const = 70° С.
Такой градиент по толщине дает существенные изгибающие мо-
менты, которыми нельзя пренебречь. На рис. 2.10 показано рас-
пределение изгибающих моментов по радиусу диска.
Расчет дискасучетом начального искрив-
ления срединной поверхности. Тот же диск рас-
считаем с учетом начального искривления срединной поверхности
в результате несимметрии меридионального сечения. Начальный
угол подъема срединной поверхности постоянен и составляет
Ф — —0,0005 рад. Растягивающая нагрузка от лопаток и моменты
на внешнем радиусе принимались, как и в предыдущих примерах,
огЬ — 1440 кгс/см2, МгЬ = 60 кгс. Таким образом, искривление
полотна диска направлено в сторону действия момента от лопаток.
На рис. 2.11 представлены эпюры изгибающих моментов в диске
без учета начального искривления срединной поверхности (сплош-
ные линии) и с учетом его (штриховые линии). В случае искривления
срединной поверхности при наличии изгибающей нагрузки в сторону
действия этой нагрузки напряжения изгиба могут существенно умень-
шиться за счет восстанавливающего влияния центробежных усилий-
3. Расчет дисков с учетом пластичности и ползучести
Рассмотрим напряженно-деформированное состояние диска, рабо-
тающего в условиях пластичности и ползучести. Выбор расчетной
схемы зависит от условий работы диска, нагрузок и поля темпера-
367
Рис. 3.1. Изменение частоты вра-
щения и температурного состояния
диска осевой турбины транспорт-
ного газотурбинного двигателя за
один пуск:
I — XII — этапы нагружения
туры, длительности режимов работы, повторности нагружения
и т. п.
На рис. 3.1 приведен типичный график изменения частоты
вращения и температурного поля диска осевой турбины транспорт-
ного газотурбинного двигателя за один пуск. Перепад температур
по радиусу диска (Та °C — температура центра, Ть °C — темпе-
ратура обода) меняется за цикл; в ряде случаев может иметь
место реверс температур.
Расчет дисков с учетом пластичности по деформационной теории.
Для определения напряженно-деформированного состояния в дисках
в упругопластической области на основе деформационной теории
пластичности используем «метод переменных параметров упругости»
и процесс последовательных приближений, подробно описанный
в главе 4 [1, 3, 9]. Расчет диска целесообразно проводить
на ЭВМ.
Кроме геометрических размеров диска и нагрузки, задаются
кривые деформирования, соответствующие расчетному диапазону
температур. Значения кривых для промежуточных температур опре-
деляются линейной интерполяцией. Расчет строим следующим
образом.
Проводим упругий расчет диска, при этом модули упругости
для различных точек диска,, имеющих различную температуру, опре-
.368
деляем по упругим (линейным) участкам кривых деформиро-
вания:
ьо
(3.1)
где Oq ^пц*
Этот участок первоначально находим по известным (из физико-
механических характеристик материала) значениям модуля упру-
гости и предела пропорциональности <тпц. Однако для сокращения
объема информации в память машины значения модуля Е обычно не
вводятся отдельно.
В результате упругого расчета — первого приближения для
упругопластического расчета — получаем поле деформаций и на-
пряжений в диске. Далее, для всех расчетных точек находим «упру-
гие» значения интенсивности напряжений:
(1) =
=	+ 4 — о**).
После определения 07(1) находим значение интенсивности дефор-
маций:
„(1) _ 21___
1 ~
(3.2)
(3.3)
(3.4)
и соответствующее значение ор и Е^ по диаграмме
.£(2) __
с - .
Затем расчет повторяем с новыми значениями модуля £12) и на-
ходим напряжения второго приближения о!(2) и
е <2> = or* (2>/£<Д	’	(3.5)
£<3> = аДе(Д	(3.6)
Расчет заканчиваем, когда все точки пространства <тг, е(, Т,
отображающие состояние материала в каждой расчетной точке
диска, будут достаточно близки к соответствующим кривым дефор-
мирования.’ Практически близость обычно определяется по модулю,
т, е. задается точность расчета б и требуется выполнить условие
(3.7)
в каждой точке.
На рис. 3.2 показана блок-схема упругопластического расчета
‘при использовании деформационной теории пластичности. По этой
схеме легко проследить последовательность расчета и принцип ор-
ганизации программы.
369
Ция/г ло ptrtuyty
Рис. 3.2. Блок-схема программы расчета диска на растяжение и изгиб при использовании деформационных
теорий пластичности и ползучести
Г. CM
г см г
Рис. 3.3. Распределение напряжений в диске турбины при повы-
шении скорости вращения (упругий и упругопластический расчет)
' Пример расчета. Расчет проведен для того же диска турбины, что и в разделе 2.
Координаты кривых деформирования материала ЭИ415 в табличной форме приве-
дены в табл. 2.1. При упругом расчете принято ц = 0,3. В пластической области
материал считаем несжимаемым и р, = 0,5. При частоте вращения диска п =
= 15 600 об/мин, ранее принятой в примерах, материал диска находится еще в упру-
гой области (стта3[ < <тпц); см. рис. 2.7.
С увеличением частоты вращения до п = 21 000 об/мин (кривые 1 на рнс. 3.3)
появляются пластические деформации и перераспределяются напряжения по сеченню
диска (см. на рис. 3.3, а и б штриховые линии). Уровень радиальных напряжений сни-
жается по сравнению со значениями, полученными в результате упругого расчета.
Окружные напряжения уменьшаются в центральной области диска и возрастают в
периферийной части полотна и в ободе.
В этом примере при увеличении частоты вращения до п = 23 000 об/мии (кри-
вые 2) интенсивно изменяются эпюры упругопластических (штриховые линии) на-
пряжений по сравнению с данными упругого расчета (сплошные линии).
Расчет диска с учетом ползучести по деформационной теории.
Учет ползучести на основе деформационной теории ползучести
(теории старения) производим аналогично описанному в преды-
дущем разделе. Используем ту же процедуру упругопластического
расчета методом переменных параметров упругости (см. гл. 4). Кри-
вые ползучести материала перестраиваем в изохронные кривые в
координатах а—е. Кривые ползучести в исходной информации за-
даем аналогично обычным кривым деформирования, например, в
виде таблиц о—е для различных значений температур.
Пример расчета. Рассчитаем вращающийся диск постоянной толщины h — 4,5 см
без отверстия, с наружным радиусом = 40 см. Число оборотов п = 7000 об/мин.
Материал диска — жаропрочный сплав. В табл. 3.1 приведены распределение тем-
пературы по радиусу диска и физико-механические данные материала.
На рис. 3.4 сплошными линиями показаны эпюры напряжений, определенных
без учета ползучести. Материал диска работает в упругой области. Штриховыми
линиями показаны результаты расчета при длительности работы иа стационарном
режиме t — 500 ч. Наиболее заметно уровень напряжений снижается (релаксация
напряжений) в центре диска и в периферийной области. Особенно сильно умень-
шаются по абсолютной величине напряжения сжатия на внешнем контуре диска..
Расчет на установившуюся -ползучесть. При расчетах дисков
стационарных газовых турбин обычно рассматривают весьма боль-
24*	371
Рис. 3.4. Эпюры напряжений в [диске постоян-
ной толщины (упругий расчет'и расчет по тео-
рии старения, расчет на установившуюся пол-
зучесть)
шиё ресурсы 'работы прй
отсутствии пластических
деформаций, когда дефор-
мации ползучести разви-
ваются с постоянной ско-
ростью, зависящей от на-
пряжений и температуры.
Для учета предельного
состояния процессов пол-
зучести в некоторых слу-
чаях можно использовать
теорию установившейся
ползучести. Перестроив
кривые установившейся
ползучести в координатах
(a, vc) (см. гл. 4) и обоб-
щив закон установившейся
ползучести на плоское на-
пряженное состояние, можно определить напряженное состояние
диска, используя- алгоритм упругопластического расчета методом
переменных параметров упругости. Вместо кривых деформирования
в табличной форме задаются кривые (ст, Vе).
Таблица 3.1
Г, см	Т, ’С	Т, °C	£.10~® кгс/см!	а-10« 1/’С
2,0	705	20	2,0	12,1
10,0	720	500	1,81	14,17
18,0	736	700	1,77	15,67
24,0	750	800	1,66	16,28
28,0	762	' 900	1,65	17,25.
32,0	778			
36,0	803			
39,0	850			
40,0	899			
Пример расчета. На рис. 3.4 штрих-пуиктириыми линиями показаны резуль-
таты расчета установившейся ползучести диска постоянной толщины, расчет
которого по теории старения приведен выше. Распределение температур и
частота вращения диска приняты такими же, как в предыдущем примере. При
установившейся ползучести температурные напряжения полностью снимаются.
Расчет дает предельное напряженное состояние в диске при условиях, когда де-
формации ползучести превышают упругие температурные деформации и в то
же время диск еще не разрушился (не наступила третья стадия ползучести).
Учет истории нагружения. - Деформации в диске.
При необходимости проследить напряженность диска в процессе
его работы, учитывая историю нагружения и ее влияние на состоя-
ние материала, используются не конечные соотношения между на-
пряжениями и деформациями, а выражения для их приращений.
372
Для определения полных деформаций, возникающих в диске S3
бесконечно малый этап нагружения, воспользуемся допущением
о суммировании деформаций упругости, пластичности и ползучести *:
d&s = d&es d&s + def;
de,& = d&e + deg 4~ dee;	(3.8)
d&z — d&z 4~ d&z 4- d&z-
В соответствии с законом упругости получаем приращения
упругих деформаций
def = (das — |л dcre) —	~ (а, — рсг9) —
____L. dp j/Tt_ [ d (аТ)
dsg = (do^ И dcrs)	(®0 P^s)
—T’^dT^+^dT-,	(3.9)
de‘ = — -£- (da3 4- doQ) — ±	(—на, — щт9) —
-rPT^±^dT-
Приращения пластических деформаций в диске имеют место при
выполнении следующих условий нагружения (см. гл. 4) [4, 10]:
о£ = от, do/> ^(ef.; T)dT.	(3.10)
В соответствии с теорией пластического течения при изотроп-
ном упрочнении выражения для def и def могут быть записаны в сле-
дующем виде:
def — (------Г ) А (ст® “ Va ds)2 das 4-
+(-jj - 4) 4 ~1/1	—1/1	+
+(₽+4-f
* Величина def, как будет ясно из дальнейшего, не влияет на распределе-
ние напряжений, но оказывается необходимой- для вычисления интенсивности
деформаций.	’
373
dsg =	---Ц -4- (crs — х/2 о0) (ов — Чг <>з) dos +
+ (/Г’----£*)	(°9 — г/г CTs)2 d^e +
+ (Р + /к ‘ S а<) v ~1/2 a^dT’
/1	'1 ч 1 1	(3’Н)
d£ ~ \Ё~& ~ ~Ё )	~ 112	tfs — % СТб) <fos +
+ (i" ~ “г) (сте ~1/2 as>1/2as ~1/2 ае) dae +
+ (Р + Ж • ст0 ^7 (~1/2 а> - dT>
где £к — касательный модуль кривых деформирования.
Коэффициент температурной податливости £ находим по диаграм-
мам деформирования материала для различных температур, как
р = (312)
где в—ег — силовая деформация.
Приращения деформаций ползучести при использовании теории
течения представляем в виде (см. раздел 5 гл. 4)
d8s — -1- V( (f) (as — x/2 00) d t;
dzce =^vci (0 (ff0 - V2 ffs) dt;	(3.13)
d 8z =	(t) (—Vt crs — J/2 ere) dt;
здесь Vi (f) — скорость деформации ползучести, которая опреде-
ляется по кривым .ползучести для данного времени, напряжений сгг
и температуры.
В соответствии с теорией упрочнения при использовании опыт-
ных результатов приращения деформаций ползучести вычисляем
по формулам, аналогичным выражениям (3.13):
d&cs = ~ vci (есг,) (as —	cr0) dt;
<0$ =-Lvei (8?.) (a9 - V2 as) dt;	(3.14)
d£ = -1 vci (ecJ (-V2 as - V2 <re) dt,
374
где скорость ползучести vl (scit) определяем для данной температуры
и напряжений по кривой ползучести в зависимости от накопленной
к началу этапа нагружения деформации ползучести ecit.
Общие соотношения между деформациями
и напряжениями. Все соотношения этого раздела даны
в такой форме, чтобы ими можно было пользоваться как при расчете
методом переменных параметров упругости, так и методом дополни-
тельных деформаций.
Первых два уравнения связи между напряжениями и деформа-
циями в диске в приращениях представлены в форме
des = Си d(js Ci2d<jg des>	(3.15)
deg — С-21 dos -f- C^dag -j- deg.	(3.16)
Параметры C;;- (t, / = 1,2) и дополнительные деформации de*,
' deg зависят от выбранных соотношений для учета пластичности
и ползучести. Выражения для параметров Cif и дополнительных
деформаций для различных расчетных схем приведены ниже.
Время работы диска (весь цикл работы от запуска до останова)
разбиваем на этапы. На рис. 3.1, а показано такое разбиение, &Т(П}
и Ап(п) — соответствующие приращения температуры и частоты вра-
щения на n-м этапе нагружения.
Проинтегрировав выражения (3.15)—(3.16) по времени для этапа,
с учетом - непрерывности подынтегральных функций запишем
Aes = (Сц) Acrs	(Си)’ Асе + Ае/,
Абд = (Сц) Ao’s 4" (С22) Ащ) 4" Аве-
В угловых скобках условно показаны средние значения пара-
метров на данном этапе нагружения.
При дальнейшем изложении угловые скобки опускаем, подразу-
мевая под Сц постоянные значения, принятые для рассматриваемого
этапа. Величины До, Ае представляют собой соответствующие при-
ращения на данном малом этапе.
Соотношения (3.17) удобно представить в матричной форме
А8 = СД04-Ае,	(3.18)
где С — квадратная матрица второго порядка параметров Сг/
— столбец-вектор соответствующих до-
Aes
,Д80.
(Z, / = 1,2) и А6 =
полнительных деформаций.
Согласно выражению (3.18) напряжения в диске
Аа = G-1 (А8 — А8),	(3.19)
где С~1=б — обратная матрица С.
Рассмотрим совместное действие растяжения и изгиба, анало-
гично представленному в разделе 2 этой главы.
375
Приращения деформаций выразим через приращения перемеще-
ний на этапе нагружения следующим образом:
Д85==А(Ди) + 2^_(ДГр);
Дв0 == -i- Ди 4~ z Д<р.	(3.20)
Приращения усилий в сечениях диска в радиальном и окружном
направлениях равны
Л/2	Л/2
ДА/, = j Да, dz; = J Да0 dz;
—h/2	—h/2
h/2	h/2
&MS — — j &<jszdz; ДМ0 = — j Aa0zdz.	(3.21)
—h/2	—Л/2
Приращения усилий и моментов можно выразить через прираще-
ния перемещений с учетом уравнений (3.19)—(3.21) в виде
RS — AV \~BV-R}',
RS==BV +~DV~R°e,						(3.22)
где						
Rs-	’ ДА7/ AMS.		 М/ -A^0.	; V —	' Ди' _Дф_	»
R°s —	’ дМ'	; /?; =	д^' дмё.			(3.23)
Штрих в верхнем индексе в системе (3.22) для V означает диф-
ференцирование элементов матрицы по г. Матрицы А, В, D — сим-
метричные, их элементы:
Л/2 Лц = J Оц dz; —h/2 h/2 Вц= J Gjg dz; -h/2	h/2	h/2 Л12= Л21 = j Guzdz; A22= j Gnz2dz; (3.24) —h/2	-h/2 h/2	h/2 Вц = В21= j G^zdz;	j Guz2dz;	(3.25) -h/2.	-1/2
Л/2	Л/2	Л/2
= j dz; Pig = D21 = j G22 z dz; D22 — j G22z2 dz. (3.26)
-Л/2- "	-4/?	-4/?
376
Элементы столбцов дополнительных усилий:
Л/2	Л/2	
Д^s = | Gu Де’ dz +	J G12 Две dz\	(3.27)
-Л/2	-Л/2	
Л/2	Л/2	
Д/Vls = j Gu Де’ z dz +	J Ой Две z dz\	(3.28)
—Л/2	-h/2	
Л/2	h/2	
ДУе = j G21 Дв5 dz +	j G22A80dz;	(3.29)
—Л/2	-Л/2	
Л/2	Л/2	
ДЛ4е J G22 Д^з2 dz —	j G22 ДввЗ dz.	(3.30)
-Л/2	-h/2	
Уравнения равновесия в приращениях усилий для элемента
диска аналогичны уравнениям (2.14)—(2.16) [17]:
^^--ДУе + Д^ = 0;	(3.31)
-^1 + [AA7sr<p] + Д<7/ = 0;	(3.32)
— Д ме — Д Qr = 0.	(3.33)
Проинтегрировав равенства (3.32) в пределах от г — а до г и
подставив значение Д<2 в выражение (3.33), из уравнений (3.31) и
(3.33) получим следующее матричное равенство:
d	Г 0 1
— #е + гФ ____Д1\7	+ Sg = 0,	(3.34)
где Sq — столбец функций нагрузки, элементы которого
S?1 — г &qr\	(3.35)
Sga = — j dr — aq>aSNsa-j-a SQa.	(3.36)
a
Подставив в уравнение (3.34) выражения для усилий (3.22),
получим дифференциальное уравнение растяжения и изгиба диска
^.{rAV') + -^(BV)-KV'-PV + Sq + So = Q,	(3.37)
где
Г 0 0 I	i	Г 0 0 1
К — В+гфо д д ;	+	’	(3.38)
.Л11 Л12 J	'	L °11 °12 .
5’ = -+ & + гфо[ .	(3.39)
377
Разрешающее интегральное уравнение, соответствующее урав-
нению (3.37), с учетом зависимости
V= j V'(r)dr+Va
а
будет иметь следующий вид:
V (г) = L V' (г) + X(r) V (а) + F (г) V (а) + V, (г) +	(г).
где LV (г) — интегральная операция от V’ (г):
L V (г) = 1А -1 (г) - В (г) f V (г) dr. + J К (г) V' (г) dr +
а
г	rt
+ \P(r1)jv’(ri)dridr1
а	а
(3.40)
(3.41)
(3-42)
X и Y — матрицы коэффициентов при начальных параметрах
Х(г) = |Л“1(г)UP(r)dr + B(a)-B(r) ;
(а	J	(3.43)
Y (г) = А Л-1 (г) А (а).
Матрицы-столбцы функций, зависящих от внешней нагрузки и
дополнительных деформаций:
4rq = — A1 j S4 (г) dr, = — 1 Л'1 j S° (г) dr.
а	а
Решение линейного интегрального уравнения (3.41) представим
в следующем виде:
V (г) = Ф (г) V' (а) + F (г) V (а) + Z (г),	(3.44)
где Ф (г), F (г) — матрицы фундаментальных функций-решений одно-
родного уравнения, соответствующего уравнению (3.41); Z (г) —
столбец частных решений, отвечающих нулевым начальным усло-
виям: V (а) = 0 и V (а) = 0. Решения уравнения — столбцы
матриц Ф, F и Z могут быть найдены известными методами, в ча-
стности, методом последовательных приближений [2].
Ниже кратко изложен алгоритм последовательных приближе-
ний для решения матричного уравнения.
Для определения матрицы-столбца фундаментальных функций-
решений, например
378
применим метод последовательных приближений, с помощью кото-
рого следует решить уравнение
У’(г) = £У'(г) + Гг	(3-45)
Это уравнение получим, если в выражении (3.41) начальные па-
раметры и (а), <р (а) и ф' (а) примем равными нулю, а в'(а) = 1.
Нулевое, первое и второе приближения решения имеют вид
У'(0) = 0, И('1) = Г1(г), У(2)= £Г1(г) + Гь
В общем случае
Vw =£У(,_1)(г)4-Г1.
Процесс считается законченным, если какое-либо т-е приближе-
ние отличается от (т — 1)-го менее чем на заданное б. Решение
имеет вид V[m) Фр
Краевые условия. На внешних контурах диска обычно
задают краевые условия в усилиях, т. е. радиальные силы и моменты
при г = а и г = Ь:
Rs (а) = А (а) V' (а) + ±В (а) V (а) - R°s(a);	(3.46)
Rs (b) = A (b) V' (Ь) + ± В (&) У (б) - (б).	(3.47)
ь
ь
(3.48)
(3-49)
а
а
. . Из уравнения (3.44) имеем
V' (Ь) = Ф(б) V (a) + F(b)V (a) -f- Z (Ь)-
(ь
J Ф (г) dr У' (а) 4- J F(r) dr + Е У (a) + jz(r) dr,
а
где Е — единичная матрица второго порядка.
Подставив в уравнения (3.47) равенства (3.48) и (3.49), получим
ъ
- Rs(b)= Л(&)Ф(б)+1д(б)|ф(г)аг У'(а) +
а
• ъ
+ \A(b)F(b) + ^B(b) jF(r)dr + E У(а) +
(3.50)
_а
Яз(&).
Для диска с отверстием решение алгебраической системы двух
матричных уравнений (3.46) и (3.50) при известных усилиях на кон-
турах при г = а и г\ — b дает возможность определить начальные
параметры V (а) и У'(а).
Для диска без отверстия в центре
*,(0)-яв(0).
: ••• (3.51)
379
В практических расчетах считаем равенство (3,51) справедливым
на некотором малом радиусе г = а. Обычно принимают г — а —
= (0,14-0,05) Ь.
Условие (3.51) с учетом выражения (3.22) имеет следующий вид:
[Л (а) - В (а)] V (а) +1 [5 (а) - D (а)] V (а) - [£ (а) -	(а)] = 0.
(3.52)
Равенства (3.50) и (3.52) позволяют определить V (а) и V (а)
для диска без внутреннего отверстия.
Определение параметров С17 и дополни-
тельных деформаций. Ниже приведены формулы для
определения параметров С/;- в уравнениях связи между напряже-
ниями и деформациями и для дополнительных деформаций. В связи
с этим рассмотрим два метода расчета — метод дополнительных де-
формаций и метод переменных параметров упругости.
Процесс расчета методом дополнительных деформаций описан
в гл. 4.
Для нахождения соответствующих характеристик по обобщен-
ным кривым деформирования в координатах (сгг, вг) и кривым пол-
зучести (vci, t) необходимо определить значения в, и вг на каждом
этапе нагружения. В связи с этим в процессе расчета необходимо вы-
числить третью составляющую деформаций 8Z и ее приращение
в соответствии с формулами (3.8).
Для дисков переменной толщины не удается получить замкну-
того решения в упругой области. Поэтому метод дополнительных де-
формаций не имеет особых преимуществ при построении алгоритма
расчета по сравнению с методом переменных параметров и исполь-
зование этих двух методов представляется равноценным.
Метод переменных параметров. Коэффициенты
С0(г, / = 1, 2) представим в виде суммы параметров
+	(i, / = 1, 2),	(3.53)
связанных с упругими и пластическими деформациями, где
=	С?2 = С‘, = — 4;	=	(3.54)
. Использовав формулы (3.11), получим
(~£7 ~ т) ~ г/2<19)2;
Cf2 =	1/2<Ts)'.	(3,55)
^2—	— -£ ) "^2 (CT9 Va^s)2*
380
Дополнительные температурные деформации найдем из формул
(3.11). Дополнительные деформации ползучести определим из .вы-
ражений (3.13)—(3.14).
Суммарную полную деформацию в конце расчетного этапа вы-
числим по формулам:-
es = es (n—i) + Ass („j;	(3.56)
бе = se <n—i) + Ase (n>;
ez = 6Z(n_i)	Дб2(П),
где es{n_i), Sg(n—i), eZ(„_i) — значения деформаций в точке
диска до начала этапа нагружения. Соответствующая накопленная
пластическая деформация за этап
dtf, = -р/3 V (Де, - Дв9)2 + (Дв9 - As,)2 + (Дв2 - Aes)2.
Аналогичным образом
os = Qs (n—i) 4~ Д°з (п); Сто = Пэ (л—1)	Дсте (П)	(3.57)
и интенсивность напряжений
(Тг ==	— os(T0.	(3.58)
Расчет на растяжение. Во многих практических
случаях нет необходимости проводить сложный расчет дисков на
совместное действие изгиба и растяжения и достаточно рассчитать
их только на растяжение.
Рассмотрим расчет дисков на растяжение с учетом истории на-
гружения на основе тех же предположений, что и при рассмотрении
совместного действия растяжения и изгиба.
gs Приращения деформаций при растяжении в радиальном и окруж-
ном направлениях (так как изогнутость срединной поверхности
не учитывается, индекс s заменяем иа г)
Дег ==	(Ди); Две = — Ди.	(3.59}
Не применяя матричной записи, из уравнений (3.15)—(3.16)
получаем
Дог = -g- Ди'-------------- С12 Ди — (С22 Двг — С12 Две) j
I Г1	7	•	«41	(3’60)
Дое = I — Си Ди — С21 Ди' — (Си Две — С21 Дег) j ,
где Ci; (i, j = 1, 2)—элементы матрицы С; В — С^Сг2— С12С^.
Согласно формулам (3.21) имеем
А#, = Да,/г(г), Д^ = ДавЛ(г),	(3.61)
381
Подставим в выражение (3.61) равенства (3.60), тогда
&Nr =	~ &uf 12 — Nn
[	.	(3.62)
ДУ0 = Ди'Дц + — Attfii — Ne,
где
k = fi2 = k = --%-/i;
Nr = ^ (Cw&Sr — Ci2 Де0);
Nq — -jg- (СцДе0 — C21 Дет).
Из соотношений (3.62) следует, что
Ди'= -£-(ДМ,. —£0ДМ0) +Де/,
1	1	'	(3-63)
±Ди = 4-(Д^-^Д^) + Д8’е,	-
Г	Л0
где
&r ~ ~ (fufsz fizfzi) —	5
11	Л	(3-64)
Д0 —	fiJn)— с^’.
а   fit    £12 . _  hi  С 21
ёв~ hi	Си 1	f22	С4г *
Уравнение совместности деформаций
Дег = (Деег)'
или
4 [г [А. (ДУ0 - gf ДУу) + Де0] J =
= ^(hNr — ge hNe) 4-Де;.	(3.65)
Известным приемом (см. гл. 9) это уравнение приводим к виду
Д«е - AN, + J	!. &N, dr +
+ *‘+^-^(AN«-S„.AN,J,	.	(3.66),
382
где
ф° =jk
Y а
j ( Де° + Ле®) ^dr — lr Де°ех — а Де’0а)
• а
x = rapj^b*.
а
Как и в предыдущих разделах, индекс а означает, что имеется
в виду значение функции при г — а.
Уравнение равновесия при растяжении имеет вид
^£1 _ 1 (Д^ _ д^) + Д(7г = о,	(3.67)
где Д<7Г— приращение внешних растягивающих сил. Если рас-
сматриваются только центробежные нагрузки, то
Lqr = Д (со2) phr,	(3.68)
где со — угловая скорость вращения; р — плотность материала
диска.
Проинтегрировав уравнение (3.67) по радиусу, получим
&Nr = j 1 (ДУ9 — &Nr) dr — j Д(?г dr + &Nra.	(3.69)
a	a
После подстановки выражения для ДМе — &Nr из (3.66) полу-
чим интегральное уравнение растяжения диска
М, = - J	Mrdr + J m'j ^-х
а	а а
r / г \
X X Д^г dr2 dri + ДУ0а — J т dr + JVrJ 1 — J т dr I —
-~\bgrdr+'\^°dr,	(3.70)
а	а
где
m = m(r) = -^-.
В более краткой форме оно имеет вид
Д^ (г) = L &Nr (г) + Дад (г) + ДУГЛ (г) 4- Fq (г) + F° (г),	(3.71)
где :L\Nt (г) — интегральная операция над ^Nr,
LANr(r) = - j±=&L^dr+ jm	. (3.72)
a	a a
383
и функции
f‘« = i;JOTdr; '’.w=i—J«*-,
a	a
Fo (r) = — J	dr-, F° (r) = j 1Ф0 dr.
a	a
Интегральное уравнение для диска с от-
верстием. При г = b из уравнения (3.72) получаем равенство
М1Г (&) = L kNr (&) + Д^аГ1 (&) 4- &NraF, (&) 4- Fq (ft) + F° (&), (3.73)
откуда находим выражение для ^Nqo, которое подставляем в урав-
нение (3.71):
&Nr (г) = &Nf (г) +	+ МгаФ2 + Ф1д + ф;,	(3.74)
где &Nr (&) = &Ntb-,
Ki (г) = L ANr (г) - L &N, (&);
Ф — F1^  Ф — F (r\ — F (h\-
%=г,«г» - 4#f«w-. ф;=f- и -4$ г и.
Для сплошного диска. На малом радиусе а в сплош- •
ном диске
ДУ,а = ДМва.
Преобразуя равенство (3.71), получаем
Д^г = К2 &Nr (г) + Д^ЬФ (г) + Ф^ + Фг,	(3.75)
где
К, лад - L 4W, -	Ь Atf, (4);
{ )	Fi(&) + Fa0) ’
®2q = F4(r)— ®(r)Fg(b)-
Ф^Г(г)-Ф(г)Г(Ь).
Уравнения (3.73) и (3.75) решаем методом последовательных
приближений.
Последовательностьи особенности расчета
на ЭВМ. На рис. 3.5 приведена блок-схема программы численного
расчета дисков на растяжение с учетом истории нагружения. Как
384
Рис. 3-5. Блок-схема программы расчета дисков на растяжение с учетом истории нагружения
уже указывалось при описании алгоритма расчета, счет ведем эта-
пами. Цикл работы двигателя разбиваем на ряд этапов по времени.
В конце каждого расчетного этапа фиксируем частоту вращения,
температуру диска на ободе и в центре п об/мин, ТЬ{п} °C, Та (П) °C.
Задаем температурное поле (обычно в табличной форме) в конце каж-
дого n-го расчетного этапа Т(П) = Т(п) (г), а также растягивающие
усилия на внутреннем и внешнем контурах Nrbw кгс/см и
Nrai.n) кгс/см, характеристики материала; геометрические размеры
диска.
Порядок работы программы. В качестве примера
рассмотрим расчет диска на растяжение методом переменных пара-
метров упругости.
Вводится вышеперечисленный числовой материал. Открывается
цикл по этапам, и на отведенное место в оперативную память ма-
шины вводится числовой материал /г-го этапа нагружения. •
Вычисляются коэффициенты С(/, температурные параметры и
параметры ползучести по напряженному состоянию начала /г-го
или конца (и — 1)-го этапа. Эти параметры в блок-схеме имеют
индекс (и— 1), C£/(n_i). С помощью линейной интерполяции вы-
г dE d (аГ)
числяются текущие значения Е,	<-.
Для вычисления температурных составляющих необходимо под-
считать Р—коэффициент температурной податливости. Эта величина
определяется по кривым деформирования также линейной интер-
поляцией по двум параметрам и Т.
Для вычисления Делг и Aegc определяется of (efj — скорость
ползучести по кривым ползучести также с помощью линейной
интерполяции по трем параметрам: Т, ст(, t. Из-за недостатка опыт-
ных данных по ползучести, материала до 500—600° С обычно счи-
тают, что of = 0 До определенной температуры, например, 550° С
для ХН77ТЮР. Это значение температуры также задается в исходной
информации. После вычисления коэффициентов Ctj (г, / — 1,2),
Дегс, Де0с расчет ведется по формулам предыдущего раздела. Инте-
гральное уравнение растяжения диска решается методом последова-
тельных приближений. Точность расчета задается. После нахожде-
ния ДЛ/Г (г) из решения интегрального уравнения (3.71) определяются
значения Д/Уе(г),;а затем по формулам (3.61) вычисляются прира-
щения напряжений /г-го этапа Дстгл и Дсг0„, интенсивность прира-
щений напряжений Дст;„ и zpit. Далее по формулам (3.10) проверяются
условия нагружения. При этом мгновенный предел текучести <тг =
— f (ef; Т) определяется по кривым деформирования методом линей-
ной интерполяции.
В случае разгрузки или нейтрального нагружения расчет сле-
дует повторить, положив пластические составляющие коэффи-
циентов равными Cq = 0 и температурные пластические деформа-
ции е?г, е§г = 0, Простым суммированием вычисляются значения
напряжений в конце п-го этапа:.
Ф (п) = о? (п~ 1)	(п)’,	(n) — Щ (п—1) 4"	(«>•	(3.76)
386
Далее вычисляется интенсивность напряжений в конце /г-го
этапа по формуле (3.2).
Приращения деформаций определяются в соответствии с форму-
лами (3.9) и в конце /г-го этапа находятся полные деформации
6г (п> = 8г (п—1) 4" Дег (Л>; ед (П> = ед (П—1> 4" Aeg («)‘>
п
ez (п) — 82 (n—1) 4“ Аб2 (п) И ef# (п) — 2 Asf* (л) •
п-1
По окончании расчета в запоминающем устройстве ЭВМ запоми-
наются величины, характеризующие напряженио-деформированное
состояние точки в конце /г-го этапа нагружения и начинается расчет
следующего (п 4- 1)-го этапа. В программе должна быть предусмо-
трена передача управления на ввод исходных данных для нового
этапа и повторение счета.
По окончании расчета полного цикла нагружения диска преду-
сматривается выдача на печать результатов расчета (напряжений,
полной деформации, накопленной пластической деформации, пе-
ремещений).
Таким образом, расчет сводится к определению напряженно-
деформированного состояния малого этапа нагружения с после-
дующим суммированием приращений напряжений и деформаций на
всех этапах.
По окончании счета первого полного цикла нагружения произ-
водится запоминание необходимых величин, в частности, напряже-
ний и деформаций в диске и ввод исходной информации для счета
второго цикла нагружения и т. д.
Пример расчета 1.
На рис. 3.7 показан диск турбины транспортного газотурбинного двига-
теля. Материал диска сплав ХН77ТЮР (ЭИ437Б). Расчет проведен с учетом
пластичности и ползучести. Для учета пластичности использована теория те-
чения с изотропным упрочнением. Учет ползучести производился в соответствии
с теорией упрочнения. График нагрузки иа диск (изменение частоты вращения и
температуры в центре и на ободе во времени) показан на рис. 3.6. Это распределение
соответствует полному циклу работы двигателя от запуска до останова. Весь цикл
работы (1,5 ч) разбит на 12 расчетных этапов равной длительности. Номера этапов
обозначены римскими цифрами. На рис. 3.7 показано распределение температуры
по радиусу диска в конце этих этапов. В процессе счета каждый из них был разделен
на подэтапы равной длительности. Изменение нагрузки и температуры в пределах
расчетного этапа следует линейному закону.
Рис. 3.6. Измене-
ние частоты враще-
ния (верхняя кри-
вая) и температуры
обода (средняя кри-
вая) и центра диска
(нижняя кривая) за
один цикл работы:
1—XV — этапы на-
гружения
25*
П,
об/мин
12000
10000
8000
6000
0000
2000
т,°сг
700 
500 
300 
100
О
Рис. 3.7. Распределение температуры
по радиусу диска на расчетных эта-
пах
Рис. 3.8. Распределение ради-
альных напряжений по радиусу
диска на расчетных этапах
1-го цикла нагружения
Рис. 3.9. Распределение окруж-
ных напряжений по радиусу
диска на расчетных этапах
1-го цикла нагружения
Рис. 3.10. Изменеине напряжений в трех точках диска в процессе
1-го цикла нагружения
Разбиение на подэтапы проведено следующим образом:
I — длительность этапа выбрана таким образом, чтобы полученные деформа-
ции были заведомо упругими;
II	—этап разбит на 5 коротких подэтапов равной длительности;
III	— иа 10 подэтапов;
IV	— на 4 подэтапа;
V	— на 9 подэтапов.
Этапы, начиная с VI, не делили на более короткие интервалы.
Практически частота разбиения на расчетные интервалы по времени на этапах
с резким изменением нагрузки и температуры должна быть больше.
На рис. 3.8 и 3.9 показаны эпюры радиальных и окружных напряжений в диске,
полученные в результате расчета в конце основных расчетных этапов. Здесь этапы
также обозначены римскими цифрами.
Появление деформаций ползучести приводит к перераспределению напряжений,
что особенно заметно на VIII расчетном этапе (стационарный режим, длительность
1 ч), когда при отсутствии изменения центробежной нагрузки и температурного
поля имеет место релаксация напряжений.
Изменение напряжений по времени показано на графиках, построенных для
трех характерных точек: центра га, обода гь и середины полотна диска гср (рис. 3.10).
На ободе диска тангенциальные напряжения в момент запуска при наличии
большого температурного градиента отрицательные, затем при выравнивании тем-
пературы они меняют знак, становятся положительными. На XI расчетном этапе
заметно влияние обратного температурного градиента, с чем связано увеличение
растягивающих тангенциальных напряжений. Остаточные напряжения соответ-
ствуют XII расчетному этапу.
При повторяющихся циклах- нагружения расчет не отличается принципиально
от описанного для одного цикла. Значение остаточных напряжений и деформаций,
полученные в результате расчета I-го цикла, характеризуют состояние материала
в начале первого шага нового приближения и т. п. На рис. 3.11, а и б сплошными
линиями показано распределение напряжений в этом диске на VII режиме в после-
довательных циклах: 1, 2, 5-м. Номера циклов здесь обозначены арабскими циф-
рами. Напряженное состояние во всех последующих циклах не отличается от 5-го.
Аналогичная картина имеет место и для других режимов. Эпюра остаточных напря-
жений также стабилизируется после 4—5 циклов.
Наблюдаемый эффект стабилизации напряженного состояния представляет
интерес уже с той точки зрения, что не может быть получен при использовании
деформационных теорий для описания процессов пластичности и ползучести.
Пример расчета 2.
Рассмотрим результаты упругопластического циклического расчета на не-
сколько упрощенном примере — для диска постоянной толщины без учета ползу-
чести.
В табл. 3.2., 3.3 приведены характеристики материала, принятые в расчет.
Размеры диска: гь = 40 см; h = 5 см. Удельный вес у = 8,2 кгс/см3; огь =
= 2257 кгс/см2 при п = 7035 об/мин.
Рис. 3.11. Распределение напряжений по радиусу диска на VII режиме
в последовательных циклах нагружения
1156	389
Рис. 3.12. Программа нагружения диска постоянной толщины
(к примеру 2)
Таблица 3 2
Т, °C £•10'®, кгс/см3 а-10® 1/°С	20 2,07 12,5	200 2,07 13,5	300 1,99 14,1	400 1,87 14,7	500 1,82 15,1	600 1,72 15,6	700 1,62 16,1	800 1,44 16,6
Таблица 3.3
Значения а при 8
т, °C	0.25	0,275	0,3	0,325	0,35	0,375	0,4	0,5	0,5	0,8	8,0
20	5175	5550	5900	6030	6170	6270	6330	6400	6470	6520	10 500
200	5175	5550	5900	6030	6170	6270	6330	6400	6470	6520	10 500
300	4600	5000	5270	5450	5600	5750	5850	6050	6220	6400	10 000
400	4350	4750	5050	5250	5450	 5600	5700	5950	6100	6250	9 500
500	4100	4430	4850	5070	5280	5430	5530	5800	5930	6100	9 000
600	3830	4150	4570	4880	5100	5230	5420	5700	5830	5920	8 500
700	3600	3900	4300	4600	4870	5120	5250	5580	5700	5780	8 000
Диск иагружеи центробежными силами и усилием на наружном контуре при
изменении частоты вращения по пульсирующему циклу (рис. 3.12). Распределение
температуры по радиусу при nmax принято в соответствии с рис. 3.13.
На рис. 3.14, а я б показано распределение окружных и радиальных напря-
жений по радиусу в различных расчетных точках 1-го цикла нагружения.
Изменение напряженного состояния в процессе циклического нагружения в раз-
расчетных точках яа режиме: нагрузка, п = 0,5nniax в последовательных
личных
Рис. 3.13. Изменение темпера-
туры по радиусу диска (к при-
меру 2)
циклах показано на рис. 3.15. Здесь расчетная
стабилизация напряжений в ' диске начинается
практически с 7-го цикла нагружения. Те же
результаты приведены на рис. 3.16, а и б для
п = пшах. На рис. 3.17, а и б показано рас-
пределение остаточных иаприжеиий.
В предыдущих примерах для описаняя
пластического течения использована гипотеза
изотропного упрочнения.
Стабилизация напряжений, насту-
пающая после первых циклов нагру-
жения в результате учета только
390
Рис. 3.14. Распределение • радиальных и окружных напряжений в диске
в 1-м цикле нагружения (к примеру 2) (римские цифры — номера этапов)
Рис. 3.16. Напряжения в диске в последовательных
циклах на режиме я = «max-' •
1—5 — номера циклов
Рис. 3.17. Остаточные напряжения в диске в последовательных циклах
нагружения:
1—4 — номера циклов
6,кгс!мн2
		20-200°C 500 400 500 600 70O°C		
		\	ИД-	O—
				
				
	J(t)			
		7	/*'		
				
	//"'Л			
	У			
	//W			
	.1/			
/	z			
// Ц				
!'т				
6Г, кгс/см^
Рис. 3.19. Путь нагружения для
г = 6 см в процессе циклического
деформирования
Рис. 3.18. ‘Изменение
маций в центре диска
ского нагружения
напряжений и дефор-
в процессе цикличе-
упругой и пластической составляющих деформаций, естественна при
использовании гипотезы изотропного упрочнения, если кривая
деформирования соответствует материалу с упрочнением.
При одноосном напряженном состоянии и одинаковом уровне
нагрузок в цикле одинаковые напряжения устанавливаются после
1-го цикла нагружения. При двуосном напряженном состоянии за
счет некоторого перераспределения напряжений стабилизация на-
ступает после нескольких (3—4) циклов. Учет деформаций ползу-
чести, вызывающих дополнительное перераспределение напряжений
при развитой ползучести, может несколько замедлить этот про-
цесс.
Если использовать гипотезу трансляционного упрочнения, рас-
четный эффект стабилизации напряжений не является обязатель-
ным следствием.	/
На рис. 3.18 показаны кривые деформирования материала диска,
которые приняты в расчете в качестве исходных. На этой сетке
наглядно показан процесс расчета в виде изменения напряжений
ог0 = <т0о и деформаций ег0 — е0О в центре диска в процессе на-
гружения. Расчетные точки, соответствующие режимам, отмечены
кружочком, цифрой указан номер режима. Цифра, стоящая в скоб-
ках, означает номер цикла. В центре диска пластические деформа-
ции возникают только в 1-м цикле нагружения. После разгрузки
при повторном нагружении пластическая деформация не увеличи-
вается.
На рис. 3.19 в координатах вг, о0 даны значения напряжений на
радиусе г = 6 см, а на рис. 3.20 — то же для г = 24 см.
.На графиках видно, что даже при выбранной программе нагру-
жения, предусматривающей' пропорциональный рост нагрузки и
температуры в области пластического деформирования, имеем дело
не с простым нагружением в диске. Отличие напряженного
состояния в диске от простого
приводит к различию резуль-
татов расчета по деформацион-
ной теории и по теории тече-
ния.
На рис. 3.19 и 3.20 штрихо-
вой линией показаны резуль-
таты расчета по деформацион-
ной теории для первого цикла
нагружения. Особенно сильно
отличаются значения напряже-
ний, полученные расчетом по
обычной деформационной тео-
рии (не в приращениях) мето-
дом переменных параметров уп-
ругости и по теории течения.
Для диска турбины, рас-
смотренного в первом примере,
результаты расчета по дефор-
Рис. 3.20. Путь нагружения для г =
= 24 см в процессе циклического дефор-
мирования
393
мационной теории нанесены на графиках с эпюрами напряжений
в последовательных циклах (см. рис. 3.11). При произвольной про-
грамме нагружения результаты расчетов существенно отличаются.
4. Оценка прочности дисков турбин
Конечной целью расчета является не определение напряжений и
деформаций в дисках, а оценка прочности и несущей способности.
При этом определяющими являются следующие величины: запас
статической прочности по напряжениям и запас по разрушающей
частоте вращения.
Запас статической прочности по напряжениям. Запас местной
статической прочности диска турбины по напряжениям пт опреде-
ляют как отношение
(4.1)
V3KB
В качестве предельного напряжения опред принимают при крат-
ковременной работе предел прочности материала ов, соответствую-
щий температуре в расчетном сечении диска. Для дисков, которые
эксплуатируются длительное время, например для дисков транс-
портных и стационарных двигателей, в качестве предельных на-
пряжений принимают предел длительной прочности. Если по ка-
ким-либо соображениям (при необходимости сохранения зазоров,
посадок и т. п.) в диске недопустимы пластические деформации,
то в приближенном расчете опред равно пределу текучести или пре-
делу ползучести. В формуле оэкв — эквивалентные напряжения
в расчетном сечении диска. Обычно это максимальные напряжения
(радиальное или окружное) озкв = ошах. В ряде случаев запас проч-
ности оценивают по интенсивности напряжений озкв = ог в расчет-
ном сечении. Наконец, с учетом различия характеристик материала
при растяжении и сжатии можно приближенно считать, что [5]
идЛ» СЖ
В инженерной практике наиболее распространено определение
оэкв на основании упругопластического расчета с учетом пластич-
ности и ползучести по соответствующим деформационным теориям.
Величина пт оценивается для каждого из «тяжелых» режимов..
Это обычно режимы с максимальными температурными градиентами
и внешними нагрузками или большой длительности. В частности,
для дисков стационарных машин запас прочности при кратковре-
менном нестационарном режиме—запуске — благодаря большим
перепадам температуры по радиусу и толщине может иметь то же
значение, что и запас по напряжениям стационарного режима с бо-
лее равномерным распределением температуры, несмотря на его
большую длительность.
394
Наряду с таким упрощенным способом значение пт можно опре-
делить методом линейного суммирования повреждаемости (см. гл. 3)
по формуле
Пт= "г~п	т 1/т ’	(4-3)
где П; — максимальные напряжения на j-м режиме; — предел
длительной прочности для температуры и длительности работы на
этом режиме; m.j — показатель кривой длительной прочности. Вели-
чина т обычно принимается соответствующей максимальной тем-
пературе в данной точке диска. Определяемый запас прочности
соответствует некоторому эквивалентному режиму.
При учете истории нагружения в расчете напряжений и деформа-
ций можно уточнить величины запаса и оценить запас прочности
с учетом непрерывного накопления статического повреждения по
формуле
1
п
т —
I/m ’
di
i* (<Ъкв)
(4.4)
где /р — ресурс работы диска; it (пэкв) — время до разрушения,
определяемое по кривой длительной прочности, соответствующей
температуре и эквивалентному напряжению в рассматриваемой
точке в данный момент времени. Подсчет входит в общий алго-
ритм расчета. Значения подынтегрального выражения определяют
на каждом шаге и последовательно  суммируют в процессе счета.
Если после расчета некоторого числа циклов нагружения напряжен-
ное состояние-стабилизируется (назовем эти циклы определяющими),
то обычно не имеет смысла продолжать циклический расчет. В этом
случае запас прочности [10]
(4-5)
где ts и Ns — время работы и число циклов нагружения до наступ-
ления стабильного напряженного состояния; Np — общее число
циклов за ресурс.
Первое слагаемое знаменателя определяется в шаговом расчете,
а второе — по значениям напряжений установившегося цикла <тэкв s;-
и времени до конца ресурса, / — номер режима установившегося
цикла.
Таким способом определяют запас. местной статической проч-
ности диска турбины, расчет которого представление примере 1
395
раздела 3. Минимальный запас статической прочности Пт, вычис-
ленный по программе шагового расчета в соответствии с форму-
лой (4.5), составляет 2,56 на радиусе г = 235 мм при расчете
на общее время работы. Для сравнительной расчетной оценки tp
принято равным 2000 ч.
Значение пп, определенное по напряжениям первого цикла
при расчете на основе деформационной теории по длительности
тяжелых режимов за tp = 2000 ч, равно 1,6.
Расчет с учетом истории нагружения обычно дает большее зна-
чение запаса местной статической прочности по сравнению с рас-
четом по деформационной теории для конечного состояния. Такое
увеличение запаса связано с существенной релаксацией и пере-
распределением напряжений при циклическом нагружении. При
оценке запаса шаговым методом определяющими являются напря-
жения • установившегося цикла, которые существенно перераспре-
деляются по сравнению с максимальными напряжениями первого
цикла, близкими к напряжениям, получаемым с использованием де-
формационных теорий пластичности и ползучести. (Однако условия
разрушения, которые приняты при оценке прочности дисков, изу-
чены недостаточно, особенно в связи с неоднородностью напряжен-
ного состояния и неизотермическим нагружением. При оценке запаса
не учитывается влияние малоцикловой усталости, перерывов в
работе. Расчет долговечности дисков с учетом повреждаемости из-
за ползучести и малоцикловой усталости может быть проведен по
формулам главы 2. При этом амплитуды деформаций в каждой точ-
ке диска (или напряжений) легко рассчитать по формулам этого
раздела.
Расчетное определение разрушающей частоты вращения дисков
турбин. Разрушающая частота вращения диска является важной
характеристикой, позволяющей оценить возможность дальнейшего
увеличения частоты вращения ротора, допустимость кратковремен-
ных перегрузок и т. п. В инженерной практике чаще используется
приближенный метод определения пр, основанный на теории пре-
дельного равновесия (см. гл. 3).
Рассмотрим диски обычного профиля, не имеющие резких изме-
нений толщины, в которых
аа 3= аг 0.	(4.6)
Для нахождения разрушающей частоты вращения пОр диска
рассмотрим условие равновесия его половины в момент достижения
предельной частоты вращения (рис. 4.1). Усилия на внешнем
контуре г = b в момент непосредственно перед разрушением
а'ь ~ вгь ,	(4.7)
где п — частота вращения.
Напряжение на внутреннем контуре от натяга пга обычно к мо-
менту разрушения полностью снимается и можно считать пга = 0.
396
Рис. 4.1. Схема уси-
лий, действующих на
половину диска
Проектируя все усилия, действующие на половину диска на
вертикальное направление (рис. 4.1), получаем
П2„	2-1г	9	с
2агь	bhb + ~ pn,pJ =2 jooh dr,	(4.8)
а
где J — момент инерции половины меридионального сечения,
ь
J=\r*hdr.	(4.9)
а
Для диска, неравномерно нагретого по радиусу, ав является
величиной переменной и зависит от температуры в сечении.
Из равенства (4.8)- следует, что
-
J aBhdr .
______а____________ (4.10)
Зг) PJ + -^arbbhb
При расчете длительно работающих дисков следует учитывать,
что перераспределение напряжений происходит в результате ползу-
чести. В этом случае в формулу (4.10) вместо ав подставляем одл [14 ],
получим
j / f Wdr
Пар=г ..............1..bh-	(4J1)
Диск турбины, разрушившийся по меридиональному сечению при
предельной частоте вращения, показан на рис. 4;2.
Разрушение дисков сложного ступенчатого профиля, имеющих
резкие сужения, может происходить по цилиндрическому сечению
16]. В области шейки или других местных сужений при рабочей
частоте вращения радиальные напряжения могут значительно пре-
рышать окружные.
397
При увеличении частоты вращения
радиальные напряжения первыми до-
стигнут предельного значения на неко-
тором радиусе и при дальнейшем ее
увеличении все периферийное сечение
будет находиться в пластической обла-
сти. При этом ступица может нахо-
диться в упругом или упругопласти-
ческом состоянии.
В этом случае разрушающая частота
вращения может быть определена из
рассмотрения равновесия сектора ди-
ска с внутренним радиусом г = г,
(рис. 4.3):
здесь звездочкой обозначены величины,
соответствующие радиусу г*;
ь
J* = J hr2 dr.
t „	Часто причиной разрушения по ци-
тспй™,.' В”д	,диска линдрическому сечению служат отвер-
туроины по меридиональному	r	}	j	г
сечению	стия Для охлаждающего воздуха или
крепления, число которых может быть
слишком велико. Они ослабляют сече-
ние, вызывая также местное увеличение радиальных напряжений.
Учитывая влияние отверстий, формулу (4.12) запишем в следую-
щем виде:
"И / j rsBhdr-[-aBh	2л)
F (-зо) PJ*+-^^bbhb
(4.13)
где z — число отверстий на данном радиусе; d — диаметр отверстий.
Окончательную разрушающую частоту вращения принимаем
равной минимальной из этих двух
np = min (пОр; п1р).
398
Рис. 4.3. Схема уси-
лий, действующих на
сегмент диска
Запас прочности по разрушающей частоте вращения оценивается
как отношение
(4.14)
где Пр — определяется с помощью вышеприведенных формул.
Более точно разрушающую частоту вращения можно определить
расчетом, моделирующим действительное перераспределение напря-
жений в диске в процессе разгона до предельных значений.
Наиболее обоснован этот способ для дисков краткоресурсных
турбин, при расчете которых можно не учитывать длительность на-
гружения.
Расчет пв состоит в следующем. При использовании деформа-
ционной теории для учета пластичности проводят серию упруго-
Рис. 4.4. Вид разрушения диска турбины по цилиндриче-
скому сечению
399
пластических расчетов диска при нарастающей угловой скорости.
Для каждого значения угловой скорости определяют максимальные
напряжения и сравнивают с предельной величиной (например, ов).
Используя теорию пластического течения, можно рассматривать
непосредственно режим раскрутки диска, в том числе и по темпе-
ратуре.
На каждом расчетном этапе нагружения определяют остаточную
деформацию и соответствующие перемещения. По этим данным вно-
сят поправки на геометрические размеры диска и рассчитывают сле-
дующий этап. Окончание счета предусматривается при выполнении
условий ошах = ов. Частота вращения, соответствующая этим усло-
виям, считается предельной.
В разделе 2 этой главы рассматривается расчет диска газовой
турбины из материала ЭИ415 (см. рис. 2.8). Показано распределение
температуры и предела прочности по радиусу. На рис. 2.7 представ-
лены эпюры радиальных и окружных суммарных напряжений от
неравномерного нагрева и центробежных сил. Ниже показаны ре-
зультаты оценки запасов прочности этого диска по формулам на-
стоящего параграфа:
ив0 = 1,577 ]
__ . __ } пв = 1,35
^в! mln	* До J
при т = 7,5 см.
Наименьшее значение соответствует запасу прочности по раз-
рушающей частоте вращения пв1, которая практически постоянна
по полотну диска. Это указывает на возможность разрушения по
цилиндрическому сечению в полотне диска. Характер разрушения
этого диска при разгонных испытаниях с подогревом до заданных
температур показан на рис. 4.4.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Биргер И. А. Круглые пластинки и оболочки вращения. М., Оборонгиз,
1961, 368 с.
2.	Биргер И. А. Некоторые математические методы решения инженерных
задач. М., Оборонгиз, 1956, 152 с.
3.	Биргер И. А. Некоторые общие методы решения задач теории пластично-
сти.— «Прикладная математика и механика», 1951, № 6, т. 15, с. 765—770.
4.	Биргер И. А., Демьяиушко И. В» Теория пластичности при неизотерми-
ческом нагружении. — «МТТ», 1968, № 6, с. 70—77.
5.	Биргер И. А., Шорр Б. Ф., Шнейдерович Р. М. Расчет иа прочность деталей
машин. М., «Машиностроение», 1967, 616 с.
6.	Гохфельд Д. А. К расчету вращающихся дисков по предельному состоя-
нию. — «Машиноведение», 1965, № 5, с. 78—82.
7.	Демьяиушко И. В. Расчет диска с несимметричным ободом и ступицей. —
В кн.: Прочность и динамика авиационных двигателей. Вып. 3. М., «Машино-
строение», 1966, с. 114—134.
8.	Демьяиушко И. В. Расчетные исследования прочности дисков турбома-
шин. — «Проблемы прочности». Изд. АН УССР, № 2, Киев, «Наукова думка»,
1969, с. 18-23.
400
9.	Демьянушко Й. В. Пластичность и ползучесть пологих оболочек вращения,—
«Изв. АН СССР. МТТ», 1970, № 2, с. 109—120.
10.	К расчету дисковых элементов турбомашип с учетом пластичности и ползу-
чести на основе феноменологической модели материала. — В* кн.: Тепловые напря-
жении в элементах конструкций. Вып. 10. Киев, «Наукова думка», 1970, с. 122—
135. Авт.: И. В. Демьянушко, Р. А. Дульнев, Е. П. Бильковская, Н. Г. Бычков.
11.	Качанов Л. М. Основы теории пластичности. М., «Наука», 1969, 420 с.
12.	Кинасошвили Р. С. Расчет на прочность дисков турбомашин. М., Оборои-
гиз, 1954, 144 с..
13.	Молчанов Е. И. Исследование температурных полей, возникающих в охлаж-
даемом роторе газовой турбины. — «Теплоэнергетика», 1960, № 4, с. 53—56.
14.	Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник. В 3-х т. Под ред.
И. А. Биргера, Я. Г. Пановко. М., «Машиностроение», 1968.
15.	Работное Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М., «Наука», 1966,
752 с.
16.	Сервисен С. В-, Когаев В. П., Шнейдерович Р. М. Несущая способность
и расчеты деталей машин на прочность. М., Машгиз, 1963, 451 с.
17.	Теория гибких круглых пластинок. Сб. переводов. М., Изд. иностр, лит.,
1957, 207 с.
ГЛАВА 10
Трубы и оболочки
В современной технике часто встречаются трубы, сосуды и обо-
лочки, работающие под большим внутренним давлением и в условиях
теплового воздействия. В большинстве случаев они являются эле-
ментами ответственных конструкций, поэтому их необходимо тща-
тельно рассчитывать на прочность.
1. Толстостенные трубы
Основные уравнения для толстостенных труб (цилиндров) и расчет
в упругой области при постоянных параметрах упругости. Рас-
смотрим наиболее простой и, вместе с тем, практически наиболее
важный случай осесимметричного напряженного и деформирован-
ного состояния. Предполагаем, что внешние нагрузки и темпера-
турное поле осесимметричные и постоянные по длине цилиндра.
При расчете толстостенную трубу рассматриваем как толстостен-
ный цилиндр (рис. 1.1). Если толщина стенки мала
то достаточно точные результаты можно получить при расчете трубы
как цилиндрической оболочки.
Рассмотрим цилиндр большой длины. На некотором удалении
от торцов можно считать, что сечения, перпендикулярные оси ци-
линдра, остаются плоскими и в деформированном состоянии (усло-
вие плоской деформации).
На элемент цилиндра (рис. 1.2) действуют только нормальные
напряжения аг, ав и аг.
Условие равновесия элемента цилиндра при наличии массовых
сил от вращения относительно оси г имеет следующий вид:
^ + 4^-ae) + Pw2r==0’	<1Л)
где р — плотность материала цилиндра; <в — угловая скорость вра-
щения.
402
Рис. 1.1 Толстостенная труба (ци-
линдр)
.6,
Рис. 1.2. Распределение
напряжений в цилиндре

Деформации в цилиндре определяются равенствами:
du	и	,
=	s8 = ~; е2 = е = const,	(1.2)
где и — радиальное перемещение.
Соотношения упругости для изотропного материала:
ег = -g- — И (о0 + oz)l + аТ-
s9 =	— И (ог + °г)1 + аТ;
(1-3)
е2 = -g- [о2 — р, (ог + о0)1 + аТ,
где Е и р, — модуль упругости и коэффициент Пуассона; а — коэф-
фициент линейного расширения; Т — температура.
Для расчетов оказывается необходимым использовать уравне-
ния упругости и в другой эквивалентной форме:
ог =	£ 1 + нсг 1	Зц£	аГ; 1 —2р.	’	(1-4)
		(1 + ц)(1~2Ю		
	Е	Зр.£		(1-5)
°е —	i + и с° 1	(1 + 1*)(1-2|х)		
	£	8-4-	Зц£	Е ™ 1-2ц аТ’	(1.6)
	1+|Х	1	(14-|х)(1-2|х)		
где е =	(е2 + е9 + е2) — средняя деформация.
Уравнения (1.3) и (1.4)—(1.6) справедливы и в том случае, когда
параметры упругости являются переменными вдоль радиуса (на-
пример, вследствие влияния температуры). Наиболее просто полу-
чается решение задачи для случая, когда параметры упругости Е
и |х постоянны. Это решение хорошо известно [19], поэтому ограни-
чимся краткими указаниями и приведем окончательные результаты.
403
Если подставить~значения стг и о0 из соотношений (1.4) и (1.5)
в уравнение (1.1), то, учитывая равенства (1.2), получим дифферен-
циальное уравнение второго порядка относительно и (г). Две про-
извольные постоянные, входящие в решение уравнения, определяются
из краевых условий, которые обычно задаются для радиальных
напряжений на внешнем и внутреннем радиусах цилиндра:
ог (а) = е>,а',
(^) =
(1-7)
(1-8)
где ага, <угь — заданные значения радиальных напряжений.
Например, если цилиндр подвергается внутреннему давлению р,
а внешняя поверхность свободна от напряжений, то
= —Р',
Огь = 0.	4
В решение входит еще неизвестная величина е. = е, которую
находим из условия
ь
2л j гаг dr = (V,	(1.9)
а
где N — заданная растягивающая сила на торцах цилиндра.
Напряжения в полом цилиндре определяем из следующих ра-
венств:
=	(1	-фг) +
,	3 — 2ц.	, ( 2 , . 2	а262
+ -о71-----а + b-------------------5-----г
1 8(1 — ц)г \	г2 /
	
aQV) = °rb bz_ai (J + r2 ) а	'а	(1 + г2 ) +
. 3—2ц 2 / 2 1 1.2 : fl262 + -г-н—Р® л + “ 1	2	 1 8 (1 — |л)r \ j	1 г2	1 + 2ц 2\ . 3 —2ц /г
_1_	Г F/М &2	( 1 1 1	1 —ц	W 6а_а2/ -1- Г2 )	) +F(r)— а?] ;
(1-10)
(1.11)
р®2 + Ь2~	+
+ 1- - ГF (Ь)	— ат! ,
1 — Н L х 7 &2 —а2 J
404
(1-12)
где
Г
F (г) — raT dr,	(1.13)
F(b) = 32- J raTdr.	(1.14)
a
Последние группы членов в формулах (1.10)—(1.12) выражают
температурные напряжения. Если сопоставить их с аналогичными
зависимостями для круглой пластинки (гл. 8), то легко установить,
что при одинаковом температурном поле Т (г) напряжения в ци-
линдре больше в — раз (приблизительно на 40%).
I р.
На внешнем радиусе цилиндра окружные и осевые температур-
ные напряжения равны
аг (6) = о9 (b) =	[F (£>) -^-2 - аТ] .	(1.15)
Краевые условия на торцах цилиндра выполняются поСен-Венану.
Осевые напряжения от центробежных сил и неравномерного нагрева
являются самоуравновешенными.
При постоянной температуре температурные напряжения в ци-
линдре отсутствуют (торцы цилиндра свободны от закрепления).
Для сплошного цилиндра краевые условия имеют вид
(&)	= агЬ\ (0) = (0)-
Напряжения определяем по следующим формулам:
<7, (г) = + 87Г=^Р“2^2 -r2) + Т=7 № - F ’ о •16)
°* W + 8-^ (*2 - ^>'2) +
+ ^[F(b) + F(r)-aT]-,	(1.17)
°.(Г) -	Р»’ (0s - 2г2) + r~l2f (Я - an (1-18)
где
F(r) = ±.\mTdr.
о
Отметим, что
F(0)= limF(r) =4-aT(0).
г->0	*
405
По формулам (1.10)—(1.12) и (1.16)—(1.18) можно определить
напряжения в полом и сплошном цилиндрах. В соответствии с ра-
венствами (1.2) и (1.3) радиальное перемещение
u (г) = -J- [<тв — р (ог 4- о2)] + гаТ.
Обычно основная часть радиального перемещения определяется
температурной деформацией.
Приведенные формулы даны для случая, когда усилие У на
торцах цилиндра известно. Если заданы условия относительно сме-
щений торцов (например, е = 0), то N находим из условия
ег = е = е0,
где е0 — заданная деформация.
Цилиндр с переменными по радиусу параметрами упругости.
В тех случаях, когда температура оказывает существенное влияние
на величину модуля упругости, а также для расчета в упругопласти-
ческой области необходимо построить решение при произвольном
изменении параметров упругости вдоль радиуса.
Для решения, кроме уравнения равновесия (1.1), потребуется
уравнение совместности деформации
=	(1.19)
Запишем выражения для ег и е9 в таком виде:
ег = 4- — Но^е) 4-	— ре;	(1.20)
ъ0
е9 = 4-(<79 —Роаг) + аоТ-ре,	(1.21)
со
где
£0 = Т-~р*~ •> Ho=f“; а0 = (1+и)а	(1.22)
и ег — е — осевая деформация.
Согласно уравнениям (1.19)—(1.21)
[4; “ W) + а«т — не] = —	(а9—аг).
Проинтегрировав обе части равенства в пределах от а до г, по-
лучим
= — (1 — Но) °г — £о j ~£д° (о9—<4) drt —
а
До(ао7' а) 4” (О9а Раога) 4” (Н — На)	(1'23)
А-оа
406
где индекс а указывает, что значение параметра относится к радиусу
г = а. Уравнение (1.23) представляет собой уравнение совместности
деформаций относительно напряжений, выраженное в интеграль-
ной форме.
Второе уравнение относительно а0 и получим из уравнения
равновесия (1.1)
= f -^-(сг0 — crr) drt — 4- Р“3 (г* — а2) + ага.	(1.24)
а
Если подставить стг из последнего соотношения в правую часть
уравнения (1.23) и обозначить
а0 — ог = у,	(1.25)
то относительно у получим следующее интегральное уравнение:
У — Ly 4- fr 4- fa + №ra 4“ 1г°9а 4“	(1-26)
где интегральный оператор
Ly = — (1 - р0) j У (гг) drx — Eq j Цо у (rj) dru
а функции
fr — Eq (<ZqT GLoaTa)j
fe = -L=^P«>2(r3-a2);
(1-27)
f __ Eq .
12 — ~~p	»
roa
/з = H — Но-
Уравнение (1.26) — нормальное интегральное уравнение — мо-
жет быть решено методом последовательных приближений по схеме
Уа+Ъ — Lya) 4- Л	(1.28)
где уа> и исходное и последующее приближения (i/(o) = /)•
В результате получим решение в виде сходящегося ряда
у = f 4- Lf 4- L (Lf) 4- • • •
Таким же образом строится решение от каждой функции f, вхо-
дящей в правую часть уравнения (1.26).
Тогда решение уравнения (1.26) будет иметь следующий вид:
У — Ft 4-	4" 1ага 4" ^2a0a 4" ^зе,	(1.29)
407
где
Fi = fl + Lfi + L(Lfi)+-:>
(j = t, а>,	2, 3)
Подставив решение (1.29) в уравнение (1.24), получим
’= j	Ft drt 4- о0а j -i- F2 dr-L + e j -±- F3 drt + j	F& drx —
a	a	a	a
1 / r. 1 \
— -2~pco3(r2 — а2)+ о J 1 + J — Fj.drJ.	(1.30)
\ a	/
Для определения напряжений oe и <Jr имеем зависимости
ой = аг + У^	(L3l>
ог = E.(e — aT) 4- g (у + 2or).	(1.32)
Равенства (1.30)—(1.32) содержат два неизвестных параметра:
окружное напряжение на внутреннем радиусе о0а и осевую дефор-
мацию е (величина ога обычно бывает заданной).
Для их определения имеем два краевых условия:
аг(Ь)=агй;	.	(1.33)
ь
2л j roz(r) dr = N,	(1.34)
a
где N — заданная осевая сила на торцах цилиндра.
Учитывая соотношения (1.29), (1.30) и (1.32), получаем из урав-
нений (1.33) и (1.34) систему линейных (алгебраических) уравнений
относительно о0а и е. После их определения становятся известными
все расчетные величины.
. Решение уравнения (1.26) не является громоздким и вполне
возможно с помощью обычных вычислительных средств.
Замкнутое решение для цилиндра с переменными параметрами
упругости при условии несжимаемости материала. В практических
расчетах часто используется предположение-, о несжимаемости ма-
териала (ц = 0,5). Это предположение позволяет построить замкну-
тое решение при произвольном изменении модуля упругости и тем-
пературы вдоль радиуса.
В рассматриваемом случае средняя деформация равна темпера-
турной:
е = ~5~ (е 4- е0 4- е) = аТ.	(1.35)
О
Учитывая уравнение совместности (1.19) и уравнение (1.35), по-
лучаем следующее уравнение для е9:
j>- + 7-s» = -7- + J7L-	,<L36)
.408
Как легко проверить непосредственной подстановкой, его общим
решением будет
с 1	• 3 г ™ ,
es = уг — Te + 7^ J Г^Т dri’
а
где с — произвольная постоянная.
В соответствии с условием (1.35)
г 1 Ч С
₽г =-----Та------dri + 3аТ-
а
(1-37)
(1.38)
Таким образом, для несжимаемого тела условие совместности де-
формаций устанавливает характер • распределения деформации по
радиусу, независимо от свойств материала. Однако в рассматривае-
мом случае деформации определяют напряжения с точностью
до гидростатического давления.
Уравнения упругости используем в следующем виде:
О, ——е); »s— <* =	— «У. o, — o =
--Г^-в).	(1-39)
где а — (ог 4- о9 4- су) — среднее напряжение. ' •
Из этих уравнений следует, что
р
°8 — CTr = T+7(e9~ A)-	(L4°)
В равенствах (1.39) и (1.40) ц, = 0,5, но имея в виду построение
других приближенных решений, сохраним значение коэффициента
Пуассона в общем виде.'
Подставив соотношение (1.40) в уравнение равновесия (1.24),
получим
Г
(т-£(ее — Er)drx — -|-pto2(r2 — а2)4-агя.	(1.41)
* “Р f* J / 1
Теперь, учитывая зависимости (1.37) и (1.38), найдем
г	г	г
„	2 „С Е . ’ .	6 С Е е, . ,	3 С ЕаТ ,
<гг = -т—:— с I -г- dr, 4- т-:— I — г (г,) dr, —г-;— |	— агх —
1 +и J 'i +и J Г1	1 + И J й
а	а	'	а	*
— Р“2 (f2 ~~ «2) +	(I-42)
409
где
г
F (r) = 7Г J rPT d/\.
а
(1.43)
С учетом краевого условия
огг(г’) = агй	(1-44)
находим следующее значение произвольной постоянной:
ь	ь
Orb — -г-гт, — F (ri) drl + Т-, -- -т—	+ -у Р&>2 (b- — а-) — ara
i т I* J ri	J T r J 4
Л	a	a
(1.45)
Значение напряжения or известно, перейдем к определению на-
пряжений о9 и о2.
Согласно уравнению (1.40)
аэ = ar + T+jI (еэ &г^'
Учитывая зависимости (1.37) и (1.38), получаем
а9 = аг+Т^Г[-^ + 6Г(г)-Зат],
(1-46)
где с определяем из равенства (1.45). Отметим, что распределение
напряжений ог и о9 не зависит от осевой деформации е и потому
остается одинаковым при свободных торцах цилиндра и при стесне-
нии осевой деформации (е = 0).
Из уравнений (1.39) следует, что
£
*г = ^ + т+7(е-ег)
или
(1.47)
= +	[^ + 3/?(r)-3a7, + dH-
Величину е можно найти из краевого условия (1.34):
1	Ь N 2(1 + И)	2 f 2л	3	3 J *	в	Е . — dr,— ri
е— ь J riEdrl		
ь	ь	b 1
— 2 j rxEF (г а	1) di\ 4- 2 j ггЕаТ drr — а	2 I1 + И) [ о 3	J Г1°Г аг1 а
410
Вычислив е, значения а2 найдем из равенства (1.47).
Приведенное решение справедливо при ц = 0,5, но оно может
быть использовано как приближенное для постоянных значений
ц #= 0,5. Решение для неравномерно нагретого цилиндра из несжи-
маемого упругопластичного материала при произвольном изменении
по радиусу параметров упругости и диаграммы деформирования
приведено в работе [25].
Расчет цилиндра с учетом дополнительных деформаций. Рас-
смотрим осесимметричную деформацию полых и сплошных цилин-
дров при постоянных параметрах упругости и наличии дополни-
тельных деформаций.
Простейшим примером дополнительной деформации является
изотропная температурная деформация, одинаковая во всех на-
правлениях. Тогда дополнительные деформации
Е° == Е0 = Ez = О.Т.	(1.48)
В общем случае уравнения упругости (1.3) имеют вид
1 °
8г = ~Ё [Or ~ Ц (<Т0 + Ог)] + 8о .
eg = -g-[ag — ц (<тг + CTz)] + eq',	(1-49)
1 ®
8г = - [аг — ц (<тг 4- а0)] 4- ez.
Решение для упругого цилиндра с дополнительными деформа-
циями необходимо знать при расчете с учетом пластичности и пол-
зучести. В некоторых случаях такое решение имеет и самостоятель-
ное значение (например, при расчете остаточных напряжений после
структурных превращений и т. п.).
Из уравнений (1.49) получим следующие зависимости, аналогич-
ные уравнениям (1.4)—(1.6):
* ТТН ~ & + п+ДИ(Т=2^) (Е ~ е°);
== ТГ7 (ее “е^) +	(е ~Е°);	°’50)
= ТТ7(Ez - + n+w-ад (е -6’}’
где е\=	(8г + Eg + ez) —дополнительная объемная деформация.
Деформации ег, е0 и е2 связаны с упругими перемещениями равен-
ствами (1.2).
Подставляя значения ог и а0 из соотношений (1.50) в уравнение
равновесия (1.1), учитывая зависимости (1.2), получаем
dau . 1 du и 1 — 2u 1 / °	.
dr2 + ~	~ 7* nrjr' ~ V-' — ее) +
+ -^7 ^8Г 4- -J~— (eg 4- Ez) j .	(1.51)
411
В силу линейности уравнений расчет можно вести, принимая во
внимание только действие дополнительных деформаций, а напряже-
ния от центробежных сил учесть при окончательном решении. Это
замечание в равной степени относится к нагрузкам (давлениям) по
цилиндрическим поверхностям. Температурные напряжения учиты-
ваются соотношением (1.48).
Уравнение (1.51) представим в следующем виде:
d г 1 d , . 1	1 —2u 1/’
-г------- (ru) = —i— ------(er — Sn)4-
dr L r dr ' 7 J 1 — p	r 4 T 0/1
+ [8r + tzj +6z)] •
Интегрируя обе части уравнения от а до г (где а — внутренний
радиус цилиндра; для сплошного цилиндра а = 0), находим
(ги) = -т=^гГф + С1Г’
(1-52)
где
г
Ф0 = j _L (е; _ е°) dry
а
f 0 = Е, + уЛ- (ее + е°).
- г
(1.53)
(1.54)
Интегрируя снова в тех же пределах, имеем
Г	,	г
и =	-4~ fri(p(rMi+4'f rJ(ri')dri + ci^- + 'T-	(L55)
а	а
Подставив значения ег и
в уравнения (1.50), получим
Ед, выраженные через и (г)
следующие равенства:
и
’du
dr ’
Е , .
^=т+4ф(г)
г	” г
yr J Г1Ф 0) dri ~ тг f dri
а	а
+ (1-56)
= тгк [г=тг<₽<г> + IГ1Ф (Г1)	+
а
+ ~^a J(ri) dri 4~^г — Eg 4-ci4--^-c2;	(1-57)
а
= т|1Г [т^{7 ф (г) — / 0 + е’ — Е° J + 2|ЛС1’ 4- Ее,	(1.58)
41?
где с* с* — новые произвольные постоянные, определяемые из
краевых условий.
Для полого цилиндра (трубы) краевые условия имеют вид
ar(a)=0; аг(Ь) = 0.	(1.59)
Используя их, получаем
».=тг7 МЫ1 -4) (f да+® и-»('))-
-fW-п—-фи + фи];	(1.60)
= тт)Г [-^ (1 + 4) (f W	® W » W) +
+ 'Ч')+тЕ^ф(г) + т^<р('')-/(',)+^-«Ч :	(1-61)
’. = T^ir	(f W + т^фИ - ф W) -/« +
+ r±—<p('j + e'~ е*1 +£е>	(I-62)
1	J
ГДв
F (Г) = ~~2- J rJ (Г1) drl-	(1 -63)
а
ф W = 7Г j /-1Ф (/-1) dri-	(1-64)
а
Напряжения ог и сг8 не зависят от величины осевой деформа-
ции е, а напряжение <JZ зависит от нее в значительной степени. Если
осевая деформация отсутствует (цилиндр зажат по торцам абсолют-
но жесткими, неподвижными стенками), то е = 0 и равенством (1.62)
выражается окончательный результат.
Рассмотрим случай, когда торцы цилиндра свободны от закреп-
ления. Тогда должно выполняться условие
ь
2л j rxoz d/\ = 0,	(1.65)
а
из которого определяем значение е.
Подставив полученное значение е в формулу (1.62), найдем
»•=тт7	(F да —г^г ф да) -кЬ- х
ь
X Jr (е° — ez)dr — f (г) +Ф (г) + е’— е°2 .
(1.66)
413
Теперь рассмотрим сплошной цилиндр (а = 0). В равенствах
(1.56) и (1.57) следует принять с* = 0, так как иначе напряжения
на оси цилиндра (г —> 0) обращаются в бесконечность. Постоянную
с[ определяем из условия
ог (&) - 0
и в результате получаем
(1-67)
<т0 = -ПЛ? [F (Ь) + F (r) ~f (г) + (ф (Ь) + ф )) +
+ т~ Ф (г) — <₽ (6) 4- 8° — ее 1;	(1.68)
1 г	-»
’ тт? [2ц/? (6) ~Пг)+ ф (ь) +
+ т=7ГТ(Н — 2р,ф(&)4-е’ — 8°г1 +Ее,	(1-69)
1 р» •	J
где
= J riftrJdri,
о	(1.70)
Ф (г) = 4- J ЛФ (Ti) di\.
г о
Для оси цилиндра -
F (0) = lim-1- f rj(rj drt = -1-f (°);
r^o г J
Ф (0) = 1 im 4- J Ti Ф (Ti) drj, = Ф (0) •
Если торцы цилиндра свободны от закрепления, то осевая дефор-
мация определяется из условия (1.65) и равенство (1.69) приводит
к следующему виду:
^ = Т^Г 2Е(Ь)-/(г)—г^(2Ф(й)—ф(г)) +
ъ
4-ег— ег— | где, — 8z)dri .
(1.71)
414
По формулам (1.60), (1.61) и (1.66) для полого цилиндра и (1.67)
(1.68) и (1.71) для сплошного цилиндра можно вычислить напряже-
ния при наличии дополнительных деформаций. При условии (1.48)
они дают возможность определить температурные напряжения.
Ортотропный цилиндр. Рассмотрим толстостенные трубы (ци-
линдры), выполненные из ортотропного материала. Расчет относится
к цилиндрам из стеклопластиков или других композитных материа-
лов. В некоторых случаях анизотропия свойств связана с конструк-
цией цилиндра (например, слои намотки или других подкреплений).
Решение для ортотропного цилиндра в упругой области может
быть использовано для расчета в упругопластической области по
теории пластического течения.
Так как рассматривается осесимметричная задача, то остаются
справедливыми уравнения (1.2) и условие равновесия
^ + _L(CTf_CT9) = 0.	'	(1.72)
Уравнения упругости имеют следующий вид:
+	(1-73)
8е = ~	Per	+	g-	- Рвг	+ *дТ;	(1.74)
+	+	(1.75)
где Ег,	Ед и Ег	—	модули упругости в направлении г, 0 и z; цг9,
р.г2 и т. д. — коэффициенты Пуассона (первый индекс указывает
направление поперечной деформации,, второй индекс—направле-
ние основной продольной); аг, а9 и az — коэффициенты линейного
расширения по соответствующим направлениям. Из условия, что
потенциальная энергия упругой деформации не зависит от пути на-
гружения (теорема взаимности), получаем-следующие зависимости: 
И Гб   Рбг . H8z   Hzg . Prz   Pzr	/1 7(?\
Eg~ Er' Ez~ Eg' Ez~ Er •	{ L
Уравнения (1.73)—(1.75) содержат шесть независимых упругих
констант.
Из соотношений (1.73)—(1.75) можно получить уравнения упру-
гости и в другой форме:
— -КцЕ, А^2е9 -j- K13sz — f>rT;	(1.77)
С9 = K2lEr -f- K^Zg + ^23ez — $gT 1	0 -73)
°z — ^3iEr 4" ^328е + Лзз8г — PzT’,	(1-79)
415
где
#	11 = ~j) (1 ИегИге); #12 ~ #21 = "£7 (Р-г9 + ИггИгв);
#	13 = #31 — ~q (Нгг "+" РтеНвг); #22 —	(1 — P-rz^zr);
#	23 = #32 ~	(И02 + ИегИгг); Кзз —	(1 — НгвНег)',
D — I 2ргвр0гр2г РгеНвг РдгР-гЭ Р-ггИгг-
Коэффициенты Рг, ₽9 и ₽2 выразим через коэффициенты линей-
ного расширения
Рг = К11аг + #12а0 + #13а/>
Ре = #21+ + #22а0 + #гз+;	(1 -80)
Рг = Кз1аг + #32а9 + #33аг-
Если учесть равенства
du	и
е. = -т-, ев == — ,	8, = е
r dr ° г г
и подставить значения и, и <т9 в уравнение равновесия, то получим
следующее уравнение:
ft + (Яц + г-^-\ — # - (К22-г =
11 dr2 ' \ 11 ‘	dr ) г dr . \ 22 dr / г2
= —(#23 #13 Г “dr3 ) 6 +
+ ^(P7) + v^-^T-	(L8i)
Для численного интегрирования удобно вместо уравнения (1.81)
решать систему двух уравнений первого порядка,' составленную
- для функций и1 и и2, причем
«1 = «;
и2 = <Уг = Кп^ + ^^ + ^е-^т:	,(1.82)
Эта система имеет следующий вид:
’ #12 Ц1 । “а ___#13./, I Р>~ 'Г.
dr~ Кп' Г	ки ‘+'#и ;
__ (/с #1г\ “i г / #12	11 “а ।	.	(1.83)
17 - (#22	1 J — +
416
Система (1.83) не содержит производных параметров упругости,
поэтому увеличивается точность расчета.
Для постоянных (по радиусу) параметров упругости уравнение
(1.81) упрощается:
dr2 г dr Лц г2 v f г
(1-84)
где
ф W = [4- + 4- - ₽е)Т] ’	(1 -85)
Л _ *13 — ^23
Кн •
Общий интеграл уравнения (1.84) имеет следующий вид:
и — cirn + с2г"" 4-	J ?ГПФ dn —
а
---Т~?~ (г1+"ф dr — т~~2 г,	(1.86)
2n J .	1 — п2 '	4	7
а
где
п = 1/^2 =	ИгД •	(!,87).
V Кп г £г(1 —HezHze)	-	’
Подставив значения и в выражения для ег и е9 и, затем, в урав-
нение (1.77), получим	-
°r = ci (пКц + Кц) fn 4~ (Ki2 —	r 4~ 
+ -к- (пКи + Кп) гл 1 I” г} ”Ф dri +	(пК-и — КЪ) г ” 1 х
J	Zll	-
а
г	*
X |Н+пФс1г1~(^1 + К12)г^ + ^зе-₽гТ.	'(1.88)
а	\
Формулы для сге и oz находим аналогичным образом, причем
симметричное построение уравнений (1.77)—(1.79) позволяет, на-
пример, получить' зависимость для tr9 из-соотношения (1.88), если
заменить в нем/Ct j на К21, К12 на л22 и ^13 на Кзд.
417
В общем виде можно записать
а/ — ci + ^/2)r>l + С2 (Кц nKjr) г п 14-
+ -L (nKjl + Kft) г"-1 J гГФ dr + А. (пКц - К/2) х
X г""-1 J Г[+пФ dn + [- (Кд + К/2)	+ К/3] е - ₽;Т,	(1.89)
а
где / = 1, 2, 3.
Для напряжений и параметра § приняты следующие обозна-
чения:
о^о/, <т2 = <т0; сг3 = сг2; ₽i = ₽r; ₽2 = ₽9; ₽3 = ₽2,
т. е. индексы j = 1, 2, 3 в формуле (1.89) соответствуют г, 0, г.
Уравнение (1.89) в более краткой записи имеет следующий вид:
= сЛ/г"-1 + c^r-n-1 + fj (г) + т,е - frT (7 = 1, 2, 3),	(.1.90)
где
^1/ — ПК)1 + Куа',	riKjx,
Г
M0 = i V'
a
mi ~	~ fin + ^/2) 1 _пз •
— %2/-n_3f rl+WlJ
a
Теперь определим осевую деформацию е из условия (1.65):
2%13	1 Ьп+1 — ап+1
р ==  Г.  —— • -— • ————— - ——
1 т3 n -j-1 Ь2 — а2
2Х»3	1	&1~л — а1-п	2 f г / ч л .
С2 т3 ‘1— п‘ b2~a2	,m3(&2 —a2) J Г^3	+
ь '	‘ .
+	(‘-И)
После подстановки е в уравнение (1.90), запишем его в следую-
щем виде:
a/ = ^i/(r) + ^2/(r) + n/(r) (/ = 1,2,3), .	(1.92)
где
t м —1 г"-1	2%1зт/	1	&n+I-a'l+1.
V ) — Al/Г —	•	Ь3_а3	,
t /л — 1 S-1 2Хгз/п' 1 Ь1-п-аг~п
Sa/ (О - Аг/Г	— •	;
П/(г)=//(г)
418
Определив произвольные постоянные сх и с2 из краевых условий
ог(а) = ога; аг(Л) = аг6,
получим формулу для напряжений
Hi (Ь. г)	Н> (а, г)
al (г) = (т (а) - Ъа) нааГьТ ~	H'JaTb) + (г)
(/ = 1,2,3), (1.93)
где для краткости обозначений введена функция
Hj (х, У) = In (х) |2/ (у) —121 (х)	(у) (/ = 1, 2, 3).
В соответствии с этим обозначением
Hr (a, b) = |u (а)	(b) - g21 (а) |и (Ь).	(1.94)
Полученные формулы справедливы и при отсутствии осевой де-
формации (е = 0). В этом случае в уравнении (1.90) отсутствует
член гп/е и в уравнении (1.92) в выражениях для £2/- и т/, следует
принять tn, — 0.
Рассмотрим простейший частный случай, когда на полый ци-
линдр действуют только поверхностные напряжения стга и ozS, и
осевая деформация и нагрев отсутствуют.
В этом случае
5i/(r) = Vl; Ыг) = ^г~п~1-, п/(г) = о.
Из равенств (1.93) получаем
_	г-"-1 - б-"-1 rn~l	а"-1 г~п~1 — а~п-1 г""1
ОДП- Ога аП^ь_п_г __а_п^ьП-1 +ОГЬ	_а-п-1ьп_г >
^зз f.n—1 г—п— 1 . ^ча l—п—1 п—1
ов (г) - <Уга	а-п~1Ьп-1
^22 „П—1	П— 1	^13	П—1 П—1
....; <1-95)
^23 1П—1 П— 1	^13 h—n—1 JI—1
r~° r ~“T~b r
a (г\ —__a hk______________!hl_________
a2 (r) - crfa b_n_t _	&л_1
+ arb
^23 „П—1 ,П—1	^*13	П—1 П—1
л C* •	л С*’ Г
^21_________________Л11_____________
an-l b-n-i __ д_п_1 й„-1
419
Иг0
Для изотропного цилиндра п = 1, Ёг ~ Ед = Ez = Ё,
= u9z = • • - р., ис помощью формул для Х(/- и Кц находим
Из равенств (1.95) получаем формулы, совпадающие с выраже-
ниями (1.Ю)—(1.12).
Остановимся на одной существенной особенности температур-
ных напряжений в ортотропном цилиндре, и вообще, в анизотроп-
ных телах. В таких телах возникают температурные напряжения
при постоянной равномерно распределенной температуре, что свя-
зано с различием коэффициентов линейного расширения по различ-
ным направлениям. ч В связи с этим важна не только разность тем-
ператур, но и начало отсчета температуры, которое должно быть
совмещено с температурой тела в первоначальном, ненапряженном
состоянии.
Упругопластическое состояние толстостенных труб (цилиндров).
Определение напряжений и деформаций в толстостенных трубах
при осесимметричной деформации принадлежит к числу классиче-
ских задач теории пластичности и рассматривалось неоднократно.
Решения получены на основе деформационной теории при отсут-
ствии упрочнения, при линейном упрочнении и в некоторых других
случаях [10, 11, 14, 25].
Расчет упругопластического состояния толстостенной трубы
при произвольном (осесимметричном) температурном поле с учетом
влияния температуры на механические свойства материала может
Рис. 1.3. Распределение напряжений
по радиусу цилиндра
быть проведен на основе общих
методов, указанных в гл. 4 и 5.
Расчет по деформационной теории
можно выполнить как с помощью.,
метода переменных параметров
упругости, так и по методу до-
полнительных деформаций, ис-
пользуя. точное решение при
постоянных параметрах упругости
(см. гл. 4).
Пример. Определить температурные
напряжения в цилиндре при а/b — 0,5,
ат = 22 кгс/мм2 (сталь); установившаяся
разность температур между холодной
наружной и горячей внутренней поверх-
ностями 250° С. При этих условиях в ци-
линдре появляются две пластические
зоны. На рис. 1.3 показано распределе-
ние упругих (штриховые линии) и упру-
гопластических (сплошные линии) напря-
жений при М = 0 [25].
Прн сложном нагружении удов-
летворительное решение можно
получить с помощью теории пла-
стического течения.
420
Расчет толстостенных труб (цилиндров) с учетом деформации
ползучести. Задаче о расчете толстостенных труб при осесимметрич-
ной деформации в условиях ползучести посвящено значительное ко-
личество работ [13, 14, 20, 26].
Напряжения и деформации в стадии ползучести при общих усло-
виях нагружения с учетом изменения температуры, параметров упру-
гости и ползучести вдоль радиуса определяем с помощью методов,
описанных в предыдущих разделах.
В реальных задачах часто бывает необходимо учесть ползучесть
в тех случаях, когда пластические деформации отсутствуют. Тогда
целесообразно использовать метод дополнительных деформаций.
Нагружение разбивается по времени на ряд достаточно малых эта-
пов, в пределах которых влияние изменения напряжения на ско-
рость деформации ползучести оказывается несущественным. Расчет
проводится для упругого цилиндра при наличии дополнительных
деформаций по формулам (1.60)—(1.66). Циклическая ползучесть не-
равномерно нагретых цилиндров рассмотрена в работе [27].
2. Цилиндрические оболочки
Основные уравнения для деформаций, напряжений и силовых фак-
торов. Рассмотрим деформации цилиндрической оболочки под дей-
ствием осесимметричных нагрузок и температурного поля, изме-
няющегося по длине (координате х, рис. 2.1). Если толщина обо-
лочки h мала по сравнению с радиусом основной (срединной) по-
верхности (Л 0,1г0), то для расчета используется гипотеза жесткой
нормали (см. гл. 8). В соответствии с этой гипотезой смещения
точки А, отстоящей на расстоянии гот основной поверхности, равны
и — иа — гф;
W = юй,
(2-1)
(2.2)
где и0, wQ — смещение точки основной поверхности (рис. 2.2).
Деформации в слое г определяются следующими равенствами:
ди	dtp
€х~ дх ~Ёх<,~’г1х’
(2-3)
 — w
(2.4)
где 8х0 =	— деформация _в основной поверхности.
Угол поворота нормали
dw0 __dw
dr dr '
(2-5)
421
Рис. 1.2 Цилиндрическая обо- Рис. 2.2. Схема деформации оболочки:
ЛОЧКЭ	t — основная поверхность; 1* — основная
поверхность после деформации
Так как величина г мала по сравнению с г0, то равенства (2.3)
и (2.4) запишем в следующем виде:
®х ~ ех0 2 ^2 >
(2-6)
Радиус основной поверхности г0 будет установлен в дальнейшем.
Основная поверхность оболочки с постоянными параметрами упру-
гости совпадает со срединной.
На основании уравнений упругости имеем
р	Р
= a fe + иее) - аГ;	<2-8>
1 р	1 р-
р	F
ав = nfp (е9 + Ибх) - аТ-	(2-9)
Рис. 2.3. Сечения оболочки и дей-
ствующие усилия ’
Рис. 2.4. К выводу усло-
вий равновесия элемента -
оболочки
422
Силовые факторы на единицу длины выражаются (рис. 2.3,
2.4) так:
а,	б,		
JV, = J ах dz\ Nq— J o9 dz-,		(2.Ю)
-б,	-б,		
а,	б2		
Мх = — J zax dz-, Мв = — J zoe dz.		(2.П)
-б(	-б.		
Подставив соотношения (2.8) и (2. (2.7), получим	9) с учетом	равенств (2.6) и
.	£	1	£	гр NX 	 exOI 1 Н JT" /2	J^2 /3		(2-12)
M — P f I ^3. f 	d2w x 	rp .		(2.13)
Mx = - W3 - h + g- f5 + T2;		(2.14)
Л19 =	+ S-N + T2,		(2-15)
где		
«,	в, fi~ J i_pd2> As— J i-^dz’ —6i	—61 5г	62 f.=	f.= —61	—61 62	.	62 /.=	f.= )t^*;	•	(2.16)
—61	-б!		
62	62 Г EaT , m	f zEaT . ^1= J 1_и	T2= j	dz. -at	-6,	1	(2.17Г
Рассмотрим оболочку с постоянным коэффициентом Пуассона
по толщине оболочки и выберем радиус основной поверхности из
условия
а.
J zEdz = Q.	(2.18)
-б,
423.
Пусть на радиусе г модуль упругости материала Е (г). Учитывая,
что z = г — г0, из условия (2.18) имеем
J(r —ro)£(r)dr = O,	(2.19)
где и ra — внутренний и наружный радиусы поверхности обо-
лочки.
Из соотношения (2.19) следует, что
j rE (г) dr
г. = 4;-------•	(2-2°)
Г\
При условии (2.18) и ц = const (по толщине оболочки)
Nx= A -pi-r (ег0 + Ну-) - Л;	(2.21)
= + <2-22)
* г \ т а	'
=	+	(2.23)
M0 = |iD-^ + T2>	(2.24)
где
с,
А= \ Edz	(2.25)
— жесткость (единицы длины сечения). оболочки на растяжение;
6g
О = -г^г рЕйг	(2.26)
—	цилиндрическая жесткость (единицы сечения) на изгиб.
Согласно формулам (21)—(24)
+ - <2-27)
-	^ = е9О = 4-(Уе-|1^) + ±=^Т1;	(2.28)
-	$-=4-^-4-^	<2-29>
424
Если эти соотношения подставить в равенства (2.8) и (2.9),
учесть выражения для А и D, то получим
„ - - Е Z'W-H2)
* “ 1—ц- \	А
' 6,
J Еа.Т dz
-б,_______
^2
J Edz
-б.
б.
J zEa.T dz
-------------
J zzE dz
-6,
гт - Е
°9 ~ 1—р.3 \	А
EaTdz
6.
J zEaT dz
-6t
62
J z2E dz
-6t
(2.30)
1
aT
(2.31)
В этих равенствах первые члены выражают напряжения от сило-
вых факторов, вторые — самоуравновешенные температурные нап-
ряжения. Они возникают в том случае, когда распределение темпе-
ратурной деформации нелинейно по толщине оболочки.
Если
“Г = Ь (х) + z^ (х),
(2.32)
то в формулах (2.30) и (2.31) остаются лишь первые члены.
Однако не следует считать, что при условии (2.32) в оболочке
вообще отсутствуют температурные напряжения. Это справедливо
лишь для оболочки со свободными краями и при условиях линей-
ности функций tjo (х) и (х).
Уравнение равновесия и разрешающее уравнение. Уравнения
равновесия (см. рис. 2.2) имеют следующий вид:
+	(2.33)
+	=0;
dx 1 ra в
Q = 0,
dx
(2.34)
(2.35)
где <7n, qx — составляющие распределенной поверхностной на-
грузки; Q — перерезывающее усилие.
Из уравнений (2.34) и (2.35) получаем
&МХ ! 1 ЛГ
dx2 r0 ^9	qn'
(2.36)
425
Уравнение (2.36) можно представить в виде разрешающего диф-
ференциального уравнения относительно прогиба w (х).
На основании равенств (2.22) и (2.27) имеем
(У0 = Д-^- + н^-(1-н)Т]
го
(2.37)
Учитывая соотношение (2.23) и зависимости (2.36) и (2.37),
получаем
-JL(D-^-')+-4-ay = 9n ——	+ -—-Л —(2-38)
ах2 \ ах- / 1	г0	б,	<*х2	'	'
Это и есть разрешающее уравнение для цилиндрической обо-
лочки. Величину Nx — осевое усилие (на единицу длины) в попереч-
ном сечении оболочки — считаем известной.
Из уравнения (2.38) следует, что
X
Nx(x) = Nx(Q)-\qxdx.	(2.39)
о
Если оболочка закреплена в осевом направлении более чем в одном
контуре, то по уравнению (2.39) нельзя считать известной величину
Nx (0), и она определяется из условий смещения края оболочки
(статически неопределимое закрепление).
Оболочка постоянной толщины с постоянными параметрами-
упругости. Пусть цилиндрическая жесткость D и жесткость на
растяжение А [формулы (2.25) и (2.26)] постоянны по длине обо-
лочки. Это может быть в том случае, когда толщина оболочки по-
стоянна и модуль упругости не изменяется по длине оболочки;
коэффициент Пуассона постоянен по толщине и длине оболочки.
Тогда уравнение (2.38) можно представить в следующем виде:
+ W =	(2.40)
где
(2-41)
(2.42)
При постоянном модуле упругости из равенства (2.41) имеем .
• 1/
а при р = 0,3
о 1,285
? = ТяГ’
(2.43)
426
где h = 6 х + 6 2 — толщина оболочки; г0 — радиус срединной по-
верхности.
В общем случае изменения модуля упругости по толщине обо-
лочки
(2.44)
Решение уравнения (2.40) для симметричной оболочки известно.
Для оболочки средней длины $1 <3, его удобно записать с по-
мощью нормальных фундаментальных функций (функций Кры-
лова)
w (х) = w (0) Ко фх) + -у (0) Ki фх) +
(2‘45)
где частное решение (х) при произвольной правой части имеет вид
(х) = jr J *з Ф (х — s)l F (s) ds-
функции Крылова выражаются следующими равенствами:
Ка фх) = ch Рх cos рх;
Ki фх) = -у- (ch рх sin рх + sh рх cos Рх);
К2 фх) =	sh рх sin рх;
(2.46)
(2-47)
К3 (Рх) =	(ch Рх sin Рх — sh рх cos рх).
Начальные параметры w (0), -^-(0), -^-(0) и “2^~Ф) 0ПРеДе'
ляются из краевых условий, причем два из четырех параметров
всегда известны, а два находятся из системы двух линейных
алгебраических уравнений.
Для длинной оболочки ф/г>3) использование функций Кры-
лова оказывается неудобным вследствие'появления малых разностей
427
больших чисел. В этом случае проще использовать решение урав-
нения (2.40) в форме
w (х) = qe-P* cos 0х -j- с2<е~$х sin 0х + w* (х).	(2.48)
Частные решения однородного уравнения, возрастающие вместе
с х, отброшены, поэтому удовлетворяются условия при х—оо
(отсутствие «возмущений» в достаточно удаленной области оболочки).
Цилиндрическая оболочка с переменными параметрами упру-
гости. Рассмотрим осесимметричную деформацию цилиндрической
оболочки переменной толщины с модулем упругости, переменным
по толщине и длине оболочки, и коэффициентом Пуассона, перемен-
ным только по длине оболочки.
Разрешающее уравнение соответствует уравнению (2.38) при
краевых условиях, задаваемых на краях оболочки х = 0 и х = I.
В сечении, например х = 0, могут быть заданы условия сле-
дующих типов:
прогиб
— w (0);	(2.49)
угол поворота
<Ро = 4г(°);	'	(2-5°)
изгибающий момент
Мх (0) = D (0) -g- (0) + Т2 (0);	' (2.51)
перерезывающая сила	'
е<°)=т(о-й-)+^&-*°)-	<2-52>
Из четырех начальных параметров [ш (0), -g (0), Мх (0), Q (0) ]
заданы только два [например, ш(0) = w0 = 0, Мх (0) = 0); два
других находятся из краевых условий при х — I. Уравнение (2.38)
решаем методом последовательных приближений после сведения
его к интегральному уравнению.
В качестве основной неизвестной функции выберем
(2.53) '
и тогда
• -^ = J%(xl)dx1 + -g(0);	(2.54)
w = J J X Wdx2 dxi + x — (0) + w (0).

428
Интегрируя обе части равенства (2.38) и учитывая соотношения
(2.54), получаем
X = Lx + w (0) Fo + -g- (0) F, + М (0) F2 -Ь Q (0) F3 + Fq + FT, (2.55)
где нормальная интегральная операция
X Хх
Lx = —4г J
0 0 0 о о
функции
ро W=—4г I !~rdx2dxi’ f 1 =“ 4rf J -4г dx*
0 0	0 0
fa(x) = -4; f?(x) = 4r;
X Xx	x xx	(2.56)
f? = 4rJ J QndXidXi — 4-J
0 0	0 0	°.
Ft = -4- J j T.dx.dx,-T2.
о 0	°
Уравнение (2.55) решаем методом последовательных приближений
по схеме
X/+i = LX(O + Pi (I = 0, 1, 2, 3, q, Т), (i = l, 2, 3 . . .).
В результате получим решение в следующем виде:
X = щ (0) Ф(о) + -^.(0) Ф1 + М (0) Ф2 + Q (0) Ф3 + Ф9 + Фт, (2.57)
где функции Фу (/ = 0, 1, 2, 3, q, Т) определяются следующим
образом:
®; = F/ + LF/ + L(LF/)+.-.;	(2.58)
Зависимость (2.57) представляет собой решение методом началь-
ных параметров. В равенстве (2.57) два начальных параметра всегда
известны, остальные определяются из условия при х — I. Например,
пусть оболочка шарнирно оперта в сечениях х = 0 и х = I.
Тогда w (0) = 0, М (0) = 0 и
х = -£- (°) ф1 W + Q (0) Фз (X) + Ф, (X) + Фт (X).	(2.59)
При х = I имеем w (/)	0, М (/) = 0
*<') = -0$-'	:	(2-60)
429
из условия (2.59)
® (/) =	(0) Ф1* (/) + Q (0) Фз (/) -ьф; (/) + Фг (0 = 0,	(2.61)
где
i
ф‘(/) = |ф;(х)(/х (/=1,3, q,T)-,	(2.62)
О
%(/) = -£- (°) Ф1 (0 + Q (0) Фз (0 + ф„ (0 + Фг (0 = -		(2.63)
Из уравнений (2.61) и (2.63) находим -^-(0) и Q (0), и решение
(2.59) становится известным. Подобным образом решается задача
и при других краевых условиях.
Ряд (2.58) сходится равномерно и абсолютно, однако при реше-
нии системы уравнений (2.61) и (2.63) для длинных оболочек су-
щественно возрастают погрешности. Поэтому для решения уравне-
ния (2.55) целесообразно использовать метод прогонки [1].
Расчет цилиндрической оболочки при упругопластических дефор-
мациях. Расчет может быть проведен по методу переменных пара-
метров упругости.
Для расчета оболочку разбиваем на ряд сечений по толщине
(обычно 8—12 сечений) и по длине (обычно 20—100).
В первом приближении рассматриваем упругую оболочку и, ре-
шая уравнение (2.55), находим напряжения сгх щ и cr9(i) и интен-
сивности напряжений
(1) —	(1) +’П0 (1) — СХ (1)П0 (1).	(2.64)
Далее по диаграмме деформирования находим первое приближе-
ние для секущего модуля, вычисляем вторые приближения для
параметров упругости и проводим расчет следующего приближения.
Плоская деформация цилиндрической оболочки. Такая деформа-
ция возникает, если параметры оболочки и нагрузка не изменяются
по длине. Поперечные сечения оболочки остаются плоскими и про-
гиб оболочки постоянный.:
-^ = °.	(2.65)
В этом случае решение уравнения (2.38) будет таким:
~ = -T^--T;vx + -L^T1.	(2.66)
С помощью равенств (2.66) и (2.21) устанавливаем
=	+	+ Л.	(2.67)
430
При плоской деформации во всех точках оболочки деформаций
(но не напряжения ) одинаковы:
Ех = Ехд, Sg = Sgg •	(2.68)
' о
Подставим значения ех и е9 в формулы (2.8) и (2.9), тогда
(62	\
J EaTdz	\
--------«г I;	(2.69)
j Е dz	/
-6,
п ____ р ГоЧп I Е
j Edz
-0,
6S
f EaTdz
(2.70)
Этот же результат можно получить из формул (2.30) и (2.31),
если учесть, что
Nq = r0<7n
и в силу равенств (2.23) и (2.24) при условии (2.65)
= Mq = Т2.
Итак, если температура изменяется только по толщине цилиндри-
ческой оболочки и постоянна по ее длине, то напряжения опреде-
ляются зависимостями (2.69) и (2.70).
В качестве примера рассмотрим биметаллическую оболочку.
Пусть толщина внутренней оболочки hIt модуль упругости ма-
териала температура 7\ и соответственно для наружной обо-
лочки /ia, £г>, Т2. Оболочки соединены между собой пайкой.
В рассматриваемом случае
б2
А = J Edz — E^hi 4- £2Л2
-61
и согласно равенствам (2.69), (2.70) напряжения в каждой из оболо-
чек равны
___Nх _____________ ОдТj — а2Тз . Е1Е1Е%E%	1 в
*1 h-i -f- Е^Е^ 1 — р Ej/ii -|- Ei *
 iVx .E2E2 I a-jTi — a$T2 . Е^Е^Е^Е^ . 1 ,
“I- ^2^2	1 H	“I” ^2^2	^2
_ ___ rB EtEt______________aiTi — 0^7*2 E^E^ . 1 .
91 ~4n Ei EiEi + E^ 1 —p. EiEi + E^ Eif
_   fо	EtEj________. «iTi — aJT2	EihiE^hj . 1
002 — qn ht • Eifii + Eths -T . i_g EiEi + E^ ftg ’	.
,431
По этим зависимостям можно определить напряжения в биметал-
лической оболочке при заданных внешних нагрузках и температур-
ном поле.
3.	Пологие оболочки вращения»
Учет больших прогибов
Различные решения для пологих оболочек вращения с учетом боль-
ших прогибов даны во многих работах [б, 7, 15, 18, 22 ]. Однако вопро-
сам расчета таких оболочек при неравномерном нагреве и в предполо-
жении переменных упругих и геометрических параметров уделяется
существенно меньше внимания, в то время как при оценке прочности
и податливости многие детали машин (тонкие гибкие искривленные
диски, днищи сосудов и др.) требуют именно такого рассмотрения
[8; 9].' Рассмотрим термоупругую задачу для пологой оболочки при
больших прогибах и решение с учетом неупругих деформаций —•
пластичности и ползучести.
Термоупругость пологих оболочек вращения. Напряжения и
деформации. Уравнения равновесия и совместности. Используем
основные гипотезы теории тонких оболочек и обычные ограничения
для угла подъема оболочки в деформированном состоянии (рис.
3.1):
sin (ср + б') & tg (ср + б') ср + б.	(3.1)
В этой формуле ср — первоначальный угол подъема меридиана;
•& — его увеличение в результате деформации оболочки. Для пологой
оболочки можно считать ds dr, где ds и dr — приращения мери-
диана и радиуса.
Деформации основной поверхности (специально выбираемой по-
верхности отсчета, иногда совпадающей с нейтральной) в направле-
нии меридиана и окружном направлении с учетом больших прогибов
равны
eso =	+ фФ + еео := ~ >	(3-2)
ИГ	•
Рис. 3.2. к определению положения
основной поверхности оболочки
Рис. 3.1. Схема деформации мери-
диана пологой оболочки вращения
432
Деформация в слое, отстоящем на расстояние z от нейтральной
поверхности,
Ss — Ss0 Н > so — soo Н	(3-3)
Определим положение основной поверхности, полагая коэффи-
циент Пуассона р не изменяющимся по толщине оболочки (это до-
пущение тем более справедливо, если учесть, что рассматриваются
весьма тонкие оболочки), из выражения [2]
в.
J Ez dz — 0,	(3.4)
-б,
где и б2 — расстояния от основной поверхности до наружных
поверхностей оболочки (см. рис. 3. 2).
Соотношения упругости имеют следующий вид:
os = г^Ц(':г- + фй + 4-$2 + р—") +
- s 1 — |А2 \ dr 1 т 1	2	1 r г J 1
. Ez Г4й . ф 1 Е	/о к\
+1-----5	+ н — — i-------а/;	(3.5)
1 — |A2 L г Г J 1 — |А ’	V 7
°е = Г^Гз {-Т + И Тг +	+
где а,Т — температурная деформация. Обозначив
б2	б2
D= \v^dz	(З-6)
-6,	-6, .
— цилиндрические жесткости на растяжение и изгиб,
б2 .	б2
-A \T~^aTdz = T^ -Г jr^aTzdz = T2	(3.7)
— температурные функции, из соотношений (3.5) получим
f- + 4 « + Оф =	(N. - М + Г,;
£ = - оТтЬч- ~ 0Л»е) + Т„
-Г = -0(1'^) (,И«-(*«,) + 7,;
433
Рис. 3.3. К выводу уравнений равнове-
сия элемента пологой оболочки
здесь Ns, Ne, /И3 и Мв — уси-
лия и моменты, распределен-
ные по длине окружности
с радиусом г.
Проектируя все усилия, дей-.
ствующие на элемент пологой
поверхности (рис. 3.3), на ра-
диальное направление и на ось
вращения, получим уравнения
равновесия
+ 0)] + ^,г =0;
(3.10)
^ + #bVsr(<p +
dr 1 dr 1 s '
+ О)] + <7/= 0.	(3.11)
На рис. 3.3 звездочкой обозначены выражения вида
(Nsr)*dQ==d(Nsr)d8 + 'Nsrd8.	!
Условие равновесия моментов:
dd^-Me-Qr + msr = Q.	'	(3.12)
Уравнение (3.10) отличается от обычно используемых в теории
гибких оболочек наличием члена d [Qr (<р + О) ] dr, выражающего
влияние перерезывающих сил на распределение растягивающих
усилий [18, 221. '
Для общности рассмотрим также воздействие на оболочку сосре-
доточенных усилий, распределенных вдоль окружности. В соответ-
ствии с этим в уравнениях (3.10)—(3.12) будем считать, что
т		т
Яг 0 = Яг (г) + 2 pri8 (г— ri\ Яг (г) = q'z (Г) + 2 РгМг—> (3.13)
i=i	i=i
m
«s(r) = 2 М£б(г —rt.),
-	t
где q'r, q'z — распределенные по поверхности усилия, являющиеся
непрерывными функциями радиуса; Prl, Pzi, М£ — распределенные
вдоль окружности с радиусом г = rz радиальные и осевые усилия
н" моменты (см. рис. 3.2)'; 6 (г — г£) — дельта-функция.
Уравнения совместности деформаций запишем в виде
4(eeor) = eso-T^-^-	(W
434
Подставив в первое уравнение выражения (3.8), полупим
d (	\ , Н .	_	,, 1К.
dr \ А (1 — ti2) ) 1 г л (1 — р2) ~Р1 ’	(б.1О)
где
Л = (Пда-+4 (лтг^г)+т, - ~ т - (4^+ftp).
(3.16)
Далее уравнение (3.15) решаем относительно NylA (1 — р2),
как это сделано для дисков (см. гл. 9):
+ -Л(1^(Х2) f 4 dr ~
а
—л(1;г— Г(-Н2 + М х + ф1Г + иа,	(3.17)
' К	* \ "	'	• д,
где
г
%(г) = ехр f~dz
а
— функция коэффициента Пуассона; если р не зависит от радиуса, то
На — радиальное перемещение при г = а\
(Г	\
[Л(1+р)Х^-гТ1Х •	(3.18)
J	/
а	•/
,.	d ( ft X d-О'	._ _
Из условия I — г } = jp- и уравнения (3.9) получим
d ( М$Г_____। \ р _ Му _______	/О 1А\
dr \ D(1— р2) г 0(1—р2)-^2’	(0.1»)
где
Pi = n7T~~V + 4- ( nnrMs-2T^ — Т. + ~ (rTJ-	(3-20)
Из выражений (3.19) и (3.20) получим уравнение, аналогичное
(3.17):	.
+ (3-21>
а
/г	\
Ф2Г = ~ D(-‘" р2) ( Л (1 4- Ц) X dr - гТ2х .
•	К \	/
28*
435
Основные уравнения. Решение методом последовательных приблш
жений. Проинтегрируем уравнение (3.10) в пределах от а до г:
Г	г
Ns =7 f Nedr + Q (q> + 0)- -I J q’rrdr-
a	a
m
“ T S r‘p"s (r-ri) + V - -r	<3-22)
1=1
здесь S (r — rf) — единичная функция Хевисайда,
Из уравнения (3.11) следует, что
Qr = _)Vsr((p + 0) + ajVsu(Ta4-^) + Q*r;	(3.23)
Q* = _ ± J qj. dr _ _L £ p2iriS (r _ rf) +	Qa.	(3.24)
a	1=1
Подставив выражение (3.23) в формулу (3.22) и пренебрегая
квадратами (ф 4- $)г по сравнению с единицей, получим первое раз-
решающее интегральное уравнение
)Vs = LnNs Lla44s + L13№ -f- uaFir 4~
+ NsaFis + F1<f + Flv -f- Fllf -f- Fir,	(3.25)
где £ц, L13 и L13 — интегральные операторы. Операция от Ns
LuNs=±\Nsdr + ~^^sdr3dr1	(3.26)
a	a a
описывает растяжение пологой оболочки как пластинки; операция
Г ft
LuMs = — -L Г Г №$dr3dri,	(3.27)
•	J J	' л
а а
характеризует влияние деформации изгиба на усилия в срединной
поверхности; операцией
г Г1
<3-28>
а а
учитываются большие прогибы.
436.
Угол упругого поворота (г) выражается через Ms (г). Функции
при начальных параметрах иа и У,а равны соответственно
511 ~ Т j dr’ — ~7
а
(3.29)
Влияние перерезывающих сил на распределение растягивающих
усилий учитывается функциями Flq> и F^:
^Ф = Q*<P-Qa^- Фа; ' FЫ = Q*0 - Qa -7 - 0а ,
а нагрузки и температуры
г	т
F14 = — -7 f я'гГ dr — -i- 2 PrFiS{г — rJ,
a	i=l
F1T = ~ | Ф1Т^Г •
(3.30)
(3.31)
Второе разрешающее уравнение получается подстановкой в фор-
мулу (3.12) выражения (3.23)' и последующим интегрированием
= L21NS L22MS 4- L.iSNsft 4- V21 -j-
+ MsaF22 F.,tf 4- F„^ 4- F2? 4- FsT.	(3.32)
В этом уравнении L21, L22, F23— интегральные операторы,
причем операция
L21NS= — ±-^Nsrdri	'	(3.33)
a
связана с оболочечным эффектом; операция
^aMs = -£-[AMr4-4- ^M.dr.dr,	(3.34)
а- '	а а
описывает изгиб' оболочки как пластинки; операция
г	'
L23Ns^=-----l-\rNfidr	Л	(3.35)
а	>
характеризует влияние сил в срединной ’ поверхности на прогибы,
что существенно только при больших прогибах.
437
Функции при начальных параметрах <ра и Мза равны соответ^
ственно
=	F^-^-	=	(3.36)
а
В уравнении (3.32) Е2ф и F21j характеризуют первоначальный и
упругий прогибы
F2tf = Nsaa(r — а) (ра, F& =Nsaa(r — a)$a.	(3.37)
Функции нагрузки и температуры имеют вид
г	г	пг
Fiq =	J Q*r dr —	J mjdr — -J-	M£r£S (г — г£);
a	a	Г=1
г	(3.38)
F^r = — j ^zrdr.
а
Угол поворота нормали О выражается также равенствами (3.8),
(3.9) и (3.19), (3.17) через мембранные усилия Ns(r) и моменты Ms (г).
Уравнения (3.25) и (3.32) представляют собой систему двух не-
линейных интегральных уравнений деформаций гибкой пологой
оболочки относительно двух неизвестных — усилия и момента в ци-
линдрическом сечении.
Отметим следующие частные случаи:
1. Если положим
L12Ms=0, L1302 = 0, Е1ф = 0, ^ = 0,
^21^=0, L23Ms'fl' = 0,	= 0, F^ = 0,
то из выражений (3.25) и (3.32) получим два обычных независимых
линейных уравнения растяжения и изгиба круглой пластинки пере-
менной толщины (диска) в предположении малых прогибов (см.
гл. 9).
2. Считая равными нулю только члены с индексом ф, получаем
уравнения для круглой пластинки с большими прогибами, которые,
если пренебречь величиной Fi$ и считать модуль упругости и тол-
щину постоянной, являются интегральным вариантом уравнений
Кармана.
Начальные параметры, входящие в уравнения (3.25) и (3.32),
определяются из обычных граничных условий кинематических, сило-
вых или смешанных. При задании силовых условий иногда удобно
представить начальные силовые параметры как скачок внешней
нагрузки в начальном сечении.
Система интегральных уравнений (3.25) и (3.32) является нели-
нейной, в связи с чем прямое ее решение затруднительно. Для решег
ния можно использовать метод последовательных приближений.
В первом приближении рассматриваем задачу растяжения жест-
кой оболочки без учета влияния изгиба. При этом члены L21MS,
438
^1з^2> Fig>, Fв уравнении (3.25) принимаем равными нулю, и
в первом приближении решаем уравнение вида
Ns (1) = L1lNs + uaFri 4- NsaF12 -|- F 1(? -|- F1T.	(3.39)
Для решения используем метод линейной аппроксимации или по-
следовательных приближений. Полученное значение Ns<i)(r) рас-
сматриваем теперь как известную величину и находим первое при-
ближение для Ms(i)lr) из уравнения (3.41), которое становится ква-
зилинейным. Далее во втором приближении снова решаем полное
уравнение (3.25), причем полагаем Ms (г) = ЛДц) (г) и О (г) =
определенным в первом приближении из формулы (3.32), и находим
новое значение Ns (2) (г), которое подставляем в выражение (3.32)
для нахождения Afs(2)(r). Линейное решение использовано частично
в гл. 9 как решение для диска с учетом влияния растягивающих
усилий на изгиб (восстанавливающего эффекта центробежных сил).
В этом случае уравнения (3.25) и (3.32) имеют вид
.Vs = LnNs Ц- uaFu -ф- NsaF 12 Ц- -f- Fir;	(3.40)
= L21Ns	L22Ms	L22Nfi Д- $aF21 -|-
+ MsaF22 + f 2<p + F^ + F2<? + F2T'	(3-41)
и решаются как квазилинейная система. Это решение и является
первым приближением для гибкой пологой оболочки.
Пример расчета 1*. На рис. 3.4 показаны прогибы в центре пологой гибкой обо-
лочки вращения неравномерно нагретой по толщине со скользящей заделкой по
наружному контуру. Первоначальные прогибы (г) заданы:
г О 2	4	6	' 8	10	12	14	16	18	19,6	20
—3,13	2,61	1,86 1,415 1,07 0,775 0,73	0,31	0,145 0,04	0,0015	0
Наружный радиус оболочки b = 20 см, толщина h — 0,2 см, перепад темпера-
тур по толщине оболочки t2— и изменение параметров £ и а принято линей-
ным и постоянным по радиусу. Прогиб в результате деформации обозначен
через w. Относительные прогибы:
W . -
W = —т— 1	~
h ’ t h
* Расчеты выполнены
Рис. 3.4. Зависимость
прогибов в центре не-
равномерно нагретой
по толщине пологой
оболочки положитель-
ной кривизны от тем-
пературы:
1 — линейное решение;
2 — нелинейное решение
439
IV
Рис. 3.5. Зависимость
прогибов в центре не-
равномерно нагретой
по толщине пологой
обол очки отр и ца тель-
ной кривизны от тем-
пературы:
/ — линейное решение;
2 — нелинейное решение
На рис. 3.4 показаны результаты линейного решения, когда оболочка считается
жесткой, и нелинейного решения. Расчеты проведены на ЭВМ М-220.
Пример расчета 2. На рис. 3.5 представлены зависимости прогибов такой же
пологой оболочки отрицательной кривизны. Первоначальные прогибы положи-
тельны и изменяются по тому же закону в зависимости от радиуса, что и в преды-
дущем примере. Перепад температур t2 — tx такой же, как и в примере 1.
Термопластичность и ползучесть пологих оболочек вращения.
Деформационные теории. Полученное решение для термоупругости
может быть без изменений использовано для расчета оболочки в ус-
ловиях возникновения пластических деформаций. Расчет осуще-
ствляют на основе деформационной теории пластичности методом
переменных параметров упругости [2]. Процесс расчета этим мето-
дом неоднократно описывался в предыдущих главах. Проводят
серию последовательных упругих расчетов, причем в каждом при-
ближении модуль упругости считают равным секущему модулю.
Отличие состоит лишь в нелинейности упругого решения.
Используя изохронные кривые ползучести в координатах о—е,
аналогично можно построить решение для расчета оболочки на пол-
зучесть [5].
Учет истории нагружения. При учете истории нагружения, как
и во всех предыдущих случаях, рассматриваем малый этап нагруже-
ния dt. Процедура шагового расчета оболочек вращения при боль-
ших прогибах основана на методе дополнительных деформаций.
Выражения для приращений компонент полной деформации имеют
следующий вид:
I	°
~£~ (<&$ — Н dfOg) Ч~
1	.	(3.42)
cfe9 = “£ (doe — I1 dGs) + cfee •
В общем случае независимые дополнительные деформации пред-
ставляют собой сумму температурной деформации, деформаций пла-
стичности и ползучести, например,
des — d&ST de£T de? -f* des,
dee — delr -f- deer 4" deft -f- dee,
здесь T в индексе означает, что рассматривается составляющая
деформации, связанная с неизотермичностью нагружения,
440 .
(3-43)
Для конечного малого этапа нагружения выражения (3.42)
имеют вид
Aes = (До, — (р) Д<т9) + Де4
1	о	(3.44)
Ae9 = (Д<те — (р) Aos) ф- Дее.
Угловые скобки означают, что берется осредненное значение пара-
метров для этапа нагружения.
Можно записать соотношения упругости из уравнений (3.44)
с учетом выражений (3.3):
Л<те =	[т- + ф Л^ + 4-W + H +
rd (ДО) . ДО] Е (л ° । л °]
L~dT~ + ~J ~ [Aes + |xAeej;
(3-45)
Ло5 = [р+ РФ Да ф- Ар(А&)2 + 4] +
Ег Г
d (Да) । Да] Е Гл ° । л ”1
-V + — J -гт^Лее + рДе,].
В этих формулах и в дальнейшем угловые скобки опущены, но
все параметры, функции и константы берем осредненными на этапе
нагружения. Выражения для усилий в сечениях оболочки, отнесен-
ных к единице длины, имеют следующий вид:
ЛМ5 =	+ ф да ф- 1/2 (Да)2] + Д +
+ /з^ + /4^-л^;	(3.46)
ЛЛ^е = А + Ф ДО + 4 (ДМ + /1 V +
+Д^)+/з^_Д^;
дм4 = - А, + ф да + 4 (да)2] -/4 4 -
_/s W)„/6 да + дл1:.	(3 <7)
ДМе = -/4[^
4фда + 4(да)2]-А,4-
f d(да) р да . А .,>
— —+ ДМ01
441
где
s2	s,	б2
fi— J r^dz’ f2== J f3== J r~^zdz’
-S,	-6,	-s,
(3.48)
s2	в.	e2
fi= f I~^zdz’ fi= f T^z2dz'’ f*~ f TZ^z~dz
—6l	—st	—6,
и
s2	s,
ДЛ4 — j । _ (es + pee) dz, ANe= j (ее 4- pes) dz,
-6j	-6t
s2	s2	<3’49)
ДЯ = J j______(es pee) z dz, M$ — J p—ja (eo ~b pes) 2 dz.
-6,	-Si
Далее принимаем p = const, что часто делается в практических
расчетах и существенно упрощает решение. Это допущение сказы-
вается незначительно на результатах, особенно при развитой пла-
стической деформации. Выражения (3.46)—(3.47) при р = const
можно записать в виде
AWS = 4 [^ + фД« V/2(W + P Vs] +
+ К + I1 т1'] -	(3-5°)
д^ = А [и£^.4-рфда + 72р(д^ + А“] +
+	+v]
[^- + фДа + 1/3(Д< + иу£] +
+ Dpq^ + fl^| +Х;	(3.51)
дме=-К [р + РФ да + V2 р (Аа)2 + ^] +
+ р[р^Ч^]+-алС
Определяем положение основной поверхности, соответствующее
данному этапу нагружения из условия
бя
J £zdz = O, К= |T~zdz = O.	(3.52)
442
Представим соотношение между приращениями усилий и переме-
щений в следующем виде:
Д«' + № + ф да = Л(1^2) (ДМ - и дм) + Ms!
(3.53)
— д« — л о —ц.2) ^^0 f1	тie>
Д^ =	£)([ _ р2) (ДМ$ Н ДМ0) “I” Ms >
(3.54)
4-=- жж(АМе -11	+Гвд-
В этих формулах
Ms = Л(14И2) (ДМ-рД^),
Me = 1(4у) (*№в - р Д^);	(3.55)
ms = в(14И2)- (дм;- g дм;), т2е = д(11и2)- (дм; - и дм;).
Уравнения равновесия (3.10)—(3.12) остаются справедливыми
для приращений усилий. Уравнения совместности деформаций имеют
тот же вид, что и выражения (3.17)—(3.21), если усилия Ns, N9,
Ms и Ме заменить значениями их приращений на n-м этапе нагруже-
ния, однако ф1Г и ф2Г несколько другие:
.	Л(1— и2)	j (Ms 4~ ie) %	— rtf' re wa	;	(3.56)
_ Л(1-Р2) Ф2Г	гх		j (7*25 + М-Т*зе) % dr — r%T2q .Л	
Разрешающие интегральные уравнения имеют тот же вид, что
уравнения (3.25) и (3.32):
ДМ = Lu ДМ -j- Lu &MS + L13 (ДО)* + Д«аГц -Ь
+ Д'У sa 4~ ДМ<₽ Н- ДМ# 4- Д^71ч 4- ДМт»	(3.57)
дм5 = l21 дм + l22 дм5 +	&ns да + даЛ14-
+ ДМвд/722	Д-Мр -|- ДМ# 4- Д772<? 4- ДМг-	(3.58)
Систему нелинейных уравнений (3.57) и (3.58) решаем так же,
как систему (3.25) и (3.32), последовательной линеаризацией.
Как уже было указано, в соответствии с формулой (3.52) положе-
ние основной поверхности определяем на каждом этапе нагружения.
443
Определение значений параметров, соответствующих новому
положению основной поверхности, может вызвать некоторые труд-
ности при реализации на ЭВМ, связанные с дифференцированием
соответствующей координаты и возможным ухудшением внутренней
сходимости разрешающей системы при резком изменении свойств
материала в соседних расчетных сечениях. Однако в большинстве
практических задач параметры упругости представляют собой мед-
ленно меняющиеся функции и указанные обстоятельства несу-
щественны.
Если воспользоваться теорией пластического течения при изо-
тропном упрочнении, то дополнительные деформации пластичности
можно представить как
Де,р = (фот) Д<т£; Деер = (ф£а) До/,	(3.59)
Де5г= (ф(г)ДТ', Дее? = (Фет) До(-	(3.60)
Угловые скобки здесь поставлены потому, что берется среднее
значение функции на данном этапе нагружения, До, и ДТ — при-
ращения интенсивности напряжений и температуры на рассмат-
риваемом этапе.
В этих равенствах
s Г°0};
(3.61)
(Фео) —	<Е)) а.\ов 2 °5)’ Е*~ dsi'
(ф«) =[(?)+ (dr) а«]	Г °0)’
(3.62)
(ф0«) — [\Р) + (5)2 ( d7V щ \ав 2 CTs)’
где Р — коэффициент температурной податливости; (Е) и (|л) —
средние значения модуля упругости и коэффициента Пуассона на
данном этапе нагружения (в дальнейшем будем считать (|л) =
— const = р); Де50 и До9 — приращение полной деформации и
напряжений.
Значения о/, os, <т0 берем соответствующими началу данного
этапа нагружения, а (£), (£к) , (Р), dEldT — по средним значе-
ниям для данного этапа.
Дополнительные упругие деформации определяем аналогично:
Де'т = (ф'т) ДТ; Де0у = (фет) ДТ;	(3.63)
, е х  1 dE .	.	1 du । d(aT)
(ф5г) — 7ЁР' ~df	dT ’
(3.64)
, e \	1 dE ,	.	1 du . d (oT)
(Фет-)—	(E>2,d7’((T0 Ha’)	dT '
444
Условия возникновения пластических деформаций рассмотрен^
в гл. 4.
Дополнительные деформации ползучести могут описываться в со-
ответствии с феноменологическими теориями. В частности, при
использовании теории течения [5] дополнительные деформации на
малом конечном этапе нагружения
Aes = ,'cps)A/; Де0 = (<р0) Д/,	(3.65)
где Д/ — время этапа; <фз), (фе) — средние значения функций
ползучести,
<<Ps? = 77 \VC (0) (as--\Фе/ = -^-<иС (0/(а9------------Us) • (3.66)
Uf	\	4г/	\Ji	\	L.	j
Значения ач, а0, как и в предыдущих выражениях, соответ-
ствуют началу рассматриваемого этапа; (ус(/))—средние значе-
ния скорости ползучести для данного этапа, определяемые по кри-
вым ползучести в зависимости от времени.
Процесс расчета методом дополнительных деформаций описан
в общей теории (см. гл. 4).
Описанный выше алгоритм можно без изменений применять при
использовании реологических моделей материала. При этом в выра-
жениях (3.42) и далее (3.44)—(3.49) вместо приращений напряжений
das, do0 и деформаций des, deG используют соответствующие ско-
рости <js, а0, es, е9. Дополнительные деформации des и deg заменяют
дополнительными скоростями деформаций es, е0, где
Ss = &ST 4* Рs’ ее — бот"]- Р в',	(3.67)
здесь в®т и 8дг — скорости упругих термических деформаций; Ps
и Р0 — скорости деформаций, обусловленных пластичностью и пол-
зучестью, которые в реологических моделях обычно взаимосвязаны.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
I.	Бидерман В. Л. Применение метода прогонки для численного решения
задач строительной механики. — «Инженерный журнал МТТ», № 5, 1967, с. 62—66.
2.	Биргер И. А. Круглые пластинки и оболочки вращения. М., Оборонгиз,
1962, 368 с.
3.	Биргер И. А. Метод дополнительных деформаций в задачах теории пла-
стичности.— «Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение», № 1, 1963,
47—56 с.
4.	Биргер Б. И. Температурные напряжения в анизотропном цилиндре. —
«Известия вузов. Авиационная техника», 1971, № 1,2.
5.	Биргер И. А., Демьяиушко И. В. Теории пластичности при неизотермиче-
ском нагружении. — «Изв. АН. СССР. МТТ», 1968, № 6, с. 70—77.
6.	Власов В. 3. Некоторые задачи сопротивления материалов, строительной
механики и теории упругости. — «Изв. АН СССР. ОТН», 1950, № 9, с. 1267—1325.
7.	Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. Изд. 2-е. М., «Наука»,
1967, 984 с. 	'	.
8.	Демьяиушко И. В. Пластичность и ползучесть пологих оболочек враще-
ния. — «Изв. АН СССР. МТТ», 1970, № 2, с. 109—120.
445
9.	Демьянушко Й. В., Венедиктов В. Й. Решение для пологих оболочек вра-
щения с учетом больших прогибов методом интегральных уравнений. — «Известия
вузов. Машиностроение», 1972, № 7, с. 5—10.
10.	Ильюшин А. А. Пластичность. М., ОГИЗ, ГИИТП, 1948, 376 с.
11.	Ильюшин А. А., Огибалов П. М. Упругопластические деформации полых
цилиндров. М., Изд. МГУ, 1960, 228 с.
12.	Качанов Л. М. Основы теории пластичности. М., «Наука», 1969, 420 с.
13.	Качанов Л. М. Теория ползучести. М., Физматгпз, 1960, 455 с.
14.	Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М., «Ма-
шиностроение», 1968, 400 с.
15.	Муштари X. М., Галимов К- 3. Нелинейная теория упругих оболочек.
Казань, Таткнигиздат, 1957.
16.	Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М., Изд. иностр, лит.,
1954 , 446 с.
17.	Основы строительной механики ракет. М., «Высшая школа», 1969, 496 с.
Авт.: Л. И. Балабух, К- С. Колесников, В. С. Зарубин и др.
18.	Панов Д. Ю., Феодосьев В. И. О равновесии и потере устойчивости поло-
гих оболочек.— «ПММ», 1948, т. 12, вып. 4—«ПММ», 1949, т. 13, вып. 1,
с. 116.
19.	Расчеты на прочность в машиностроении. В 3-х т. Т. 1—3. М., Машгиз,
1956, 1958 и 1959. Авт.: С. Д. Пономарев, В. Л. Бидерман, К- К- Лихарев, Н. Н. Ма-
линин, В. М. Макушин, В. И. Феодосьев.
20.	Работное Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М., «Наука», 1966,
752 с.
21.	Соколовский В. В. Теория пластичности. М., «Высшая школа», 1969, 608 с.
22.	Теория гибких круглых пластинок. Сб. переводов. М., Изд. иностр, лит.,
1957, 207 с.
23.	Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М., Физ-
матгиз, 1963, 635 с.
24.	Феодосьев В. И. Прочность теплонапряженных узлов жидкостных ракет-
ных двигателей. М., Оборонгиз, 1963, 212 с.
25.	Шорр Б. Ф. К расчету неравномерно нагретых цилиндров в упругопласти-
ческой области. — «Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение», 1960,
№ 6, с. 57—62.
26.	Шорр Б. Ф. Основы расчета на ползучесть неравномерно нагретых дета-
лей. — В кн.: Прочность и деформация в неравномерных температурных полях.
М., Госатомиздат, 1962, с. 183—239.
27.	Шорр Б. Ф. Циклическая ползучесть неравномерно нагретых цилиндров.—
В кн.: Тепловые напряжения в элементах конструкции. Вып. 4. Киев, «Наукова
думка», 1964, с. 256—265.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Амплитуда деформаций 80, 91
Анизотропия свойств материала 28, 338
Асимметрия цикла 116—117, 271
Балка — Прогиб 281—282
— Циклическая ползучесть 279—280
Вектор приращения деформаций 154
----интенсивности напряжений 171
----напряжений 154
Вектор температурного расширения 125
Время до разрушения детали 55, 79
Выдержка эквивалентная — Определе-
ние 117
Гипотеза
---- кинематического упрочнения 207
----Кирхгоффа — Лява 325
----г плоских сечений 307, 320
---- ползучести 7
----старения 314 .
---- трансляционного упрочнения 393
----упрочнения 7, 44
Гука_закон 124, 134, 171
Девиатор деформаций 123, 206
---- напряжений 123, 149, 219 — Ком-
поненты 206 — Определение 180
Деформация — Девиаториые компо-
ненты 135
— Определение 130
— Приращение 126—127
— Уравнение связи с напряжениями
375—380
Деформация
---- в диске 372—379
---- в лопатке 308
—— в оболочке. 432—435
----в пластинке 325, 337, 338, 342, 347
----в цилиндре, 403, 421
---- дополнительная 130—131
----накопленная 40, 45, 54—55
----остаточная 69 — Зависимость от
напряжения, температуры н вре-
мени 132 — Понятие 132
---пластическая 34, 36, 57 — Ком-
поненты 136 — Понятие 132 — При-
ращение 144 — Развитие 147
---ползучести 31, 74, 175, 176,
374—375 — Компоненты 184 — На-
копление 55, 56, 183 — Понятие 132
---полная — Приращение 144
---сдвига — Компоненты 282 —
Определение 282
---упругая — Понятие 132 — При-
ращение 144
---упругопластическая 36, 56, 201
Деформирование — Диаграмма 69
— Работа 127—128
— Скорость 32
Диаграмма деформирования 69
---Ларсена — Миллера 107
---скоростей установившейся пол-
зучести 175
---циклического деформирования
268 — Понятие 217—Применение 139.
142 — Способы построения 217—218
Диски турбины — Блок-схема про-
граммы расчета 370
— Деформации 372—379
— Изгиб 362—364
— Моменты 356
— Нагрузки 353—354
— Напряжения 354, 356, 375—379
— Напряженное состояние 364—365
—	Основная поверхность 356
—	Разрушение 29
—	Разрушающая частота вращения
396—400
— Растяжение 359—362
— Растяжение и изгиб 375—377
— Расчет на растяжение с учетом
истории нагружения 381—385
— Расчет на растяжение на ЭВМ 386—
387	s
— Расчет на установившуюся ползу-
чести 371, 372
447
— Расчет с учетом пластичности 368—
371
— Расчет с учетом ползучести 371
— Ресурс 353
— Уравнение равновесия 357
— Уравнение совместности деформа-
ций 358
— Усилия 356, 397, 399
Диск постоянной толщины — Пример
расчета 372 — Эпюры напряжений
372
----с отверстием — Напряжения 361,
362 — Расчет 365—367
----сплошной 379, 380, 384
Долговечность — Зависимость от дли-
тельности температурного цикла
78—79
— Кривая распределения 22
Долговечность жаропрочных материа-
лов 78
----относительная .23, 61
----при растяжении 52
Зависимость Ларсена — Миллера 19
----Мэнсона — Хэфферда 17
Закон Гука 124, 134, 171
——— кинематический	распределе-
ния деформаций по детали 177
------ теплопроводности 191
Законы термодинамики 188
Запас прочности — Определение 93—
94 — Понятие 93
Запас прочности длительной 310, 317
----малоцикловой усталостной 99
----местной 267, 316—318
—- местной длительной — Оценка
97, 98 — Зависимость от времени 97
—— по времени работы — Опреде-
ление 94
----по долговечности 97, 109 —
Определение ' 102, 117
----по напряжениям — Определе-
ние 93, 97, 98, 109
----по несущей способности 94—96,
267
----по разрушающей частоте враще-
ния 399—400
----по степени повреждения 101
----по температуре — Определение
94, 97, 98
----при сложном напряженном со-
стоянии 100
---- статической 94, 394—396
----термоусталостной 94, 98, 99
----эквивалентный — Определение
103 — Понятие 102
---- эквивалентный по долговечно-
сти — Определение 102, 105
----эквивалентный по напряжени-
ям — Определение 105, 106
448
Инварианты деформаций 128
----напряжений 128
Интеисизность деформаций — Поня-
тие 128
----касательных напряжений — По-
нятие 129
----- нормальных напряжений — По-
нятие 128
----напряжений 136, 170
----пластических деформаций 135,
136
----приращений напряжений 149, 167
Изгиб диска 362—364
----пластинки 332, 334
---- стержня 272—282
Кирхгоффа — Лява гипотеза 325
Концентрация деформаций 83—84
----напряжений 49 — Влияние на
термоусталость 83—84
Коэффициент линейного расширения.
263 — Определение 119—120 — Поня-
тие 119—Среднее значение 119
----податливости — Определение 131
----Пуассона 130, 327, 345, 348, 426
----поперечного сужения 35
—•— температурной податливости 145,
163, 374, 444
---- теплопроводности 191
Кривая деформирования 32, 57
---- мгновенная 31 .
----обобщенная 152
Кривая’ деформирования изотермиче-
ского 145
----	пластического 202
----- при растяжении 33
——	упругопластического 132, 133
----- циклического 66
Кривая длительной прочности 8, .9,
16, 18, 19, 32, 36, 49, 50, 59, 60
---- изохронная 7
----повреждаемости 40, 41, 86
----ползучести 7, 24—26, 38, 39,
43, 44, 53, 175, 181, 183, 184
----распределения долговечностей 20,
22
----растяжения 151, 167
----температурной податливости 68
----термоусталости 72, 75, 84—85
Критерий Мизеса 337
----разрушения 29, 30, 31, 79
----Треска — Сеи-Венана 337
Кроиекера символ — Определение 122,
124
Кручеиие стержня 282—285
Лопатка турбины — Деформация 308
— Запас длительной прочности 303
— Допускаемые напряжения 306
— Нагрузки 297—300
— Напряжения 300, 301, 311—313
— Особенности работы 294
—	Площадь корневого сечения 303
—	Проектирование 303
— Расчет 99, 300—307
— Расчетные характеристики мате-
риала 295—297
— Режимы работы 297—300
— Удлинение пера 294
— Уточненный расчет 315, 316
Материал пластичный 100
----стабильный 65
----разупрочияющпйся 65, 66
----упрочняющийся 65, 66
Матрица дополнительных деформаций
155
----коэффициента пластичности 154
----коэффициента упругости 125—
127, 154, 403
Метод дополнительных деформаций 130
131, 140—143, 157—159, 162, 337
---- математического моделирования
253—258
----переменных параметров упруго-
сти 138—140, 153—157, 180, 181,
380, 381
----последовательных приближений
131, 141, 142, 277, 278, 337, 436
Мизеса критерий 337
Микронапряжения остаточные 201,203,
206, 219
— Интенсивность 207
-г- Приращения 214
Модуль касательный 145, 151, 156,
163, 203
----объемного сжатия 120
—;— секущий 134, 137, 180, 181, 218,
265
----упругости 32, 33, 131, 138, 139,
262
----хордовый 263 , 314 , 348 , 427
Нагрев нестационарный 62
----циклический 60
Наклеп холодный 49, 80 i 81
----поверхностный 37, 81
Накопление пластических деформаций
91
----повреждений 74, 86, 101
Нагружение — Учет истории 372—394
— Цикличность 216
Нагружение жесткое 65, 66, 70
----знакопеременное — Процессы 213
----изотермическое 65, 68, 69
----комбинированное 109, ПО
----мягкое 65, 66
----неизотермическое 65, 68, 69, 206
----нейтральное 166
----нестационарное 86
----термоцпклическое аси.мметричной
115—117
------ термоциклическое с выдержками
110—115
----циклическое 24—28, 219—221,
392
Нагрузка — Реверсирование 55
----разрушающая — Определение 95,
96
----статическая 79, 80
----термоцпклическая 80, 86
Напряжения — Компоненты 121, 122
— Релаксация 67, 187
Напряжения активные 201, 206, 219
---- в диске 375, 376, 391
------ в оболочке 433
----в пластинке 326, 327, 341, 342—
344, 347
----в стержне 261
----в цилиндре 104, 405
----изменяющиеся 37—43, 50—53 ,	56
----остаточные 392
----разрушающие ПО
---- средние 116, 21, 128
—— температурные 70 , 74, 263—265,
270, 425
----эквивалентные 103, 104, 394
Напряженное состояние в диске 393
---- в лопатке 318—323
---- одноосное 215
----сложное 33, 83 , 206 , 215
Несущая способность деталей 49, 95,
133, 267
Оболочка пологая вращения — Де-
формации 432—435
—	Напряжения 433
—	Ползучесть 444
— Основная поверхность 432, 433
—	Прогибы 436—440
—	Термопластичность 440—444
—	Термоупругость 432—435
—	Уравнение равновесия 434
— Уравнение совместности деформа-
ций 434, 435
Оболочка цилиндрическая — Деформа-
ции 421, 422, 430—432
— Моменты 423, 424
— Напряжения 422, 425
— Основная поверхность 422—423
— Прогибы 430
—	Расчет 430
—	Усилия 423
— Уравнение равновесия 425, 426
Оболочка цилиндрическая постоянной
толщины и с постоянными параме-
трами упругости 426—428
----С переменными параметрами упру-
гости 428—430
449
Оператор бнгармонический 349
---интегральный 407, 436
---нормальный интегральный 429
---Лапласа 349
Охрупчивание 35, 43, 58
Параметр Ларсена — Миллера 20, 21
---Мэнсона — Хэфферда 17
---Одквиста 150
--- пластичности 137
Петля гистерезиса 90, 91, 216, 217
Пластинка круглая 339
— Деформации 325 , 337
— Изгиб 332, 334
—	Моменты 341
— Напряжения 326, 327, 341, 342
—	Прогиб 334
—	Растяжение 329—332
—	Уравнение равновесия 326, 329
—	Уравнение упругости 326
—	Усилия 341
Пластинка круглая сплошная — Де-
формации 332
—	Напряжения 342
—	Перемещения 332
—	Растяжение 331
Пластинка круглая с центральным от-
верстием — Изгиб 333
—	Распределение напряжений 335
— Растяжение. 330—331
Пластинка прямоугольная — Дефор-
мации 342, 347
—	Напряжения 343, 344 , 347
—	Прогибы 349
—	Уравнения равновесия 348
Пластинка тонкая слабоизогиутая 355
Пластичность материала 34, 35, 47,
49 — Влияние на сопротивление по-
вторным нагрузкам 49
—	Влияние на сопротивление термо-
усталости 89
Поверхность иеизотермического пла-
стического деформированйя 145, 146,
152
--- текучести 173, 174
Повреждаемость 58, 61 — Определе-
ние 101, 108
— Понятие 101
— Степень 101, 102, 104
Повреждаемость многократными пере-
гревами 61
---многократными перегрузками 61
---от длительного нагружения 24
---при увеличении числа повторе-
ний перегревов 60—61
Повреждения —• Линейный закон сум-
мирования 39, 40, 59, 85
— Суммирование 39-—43, 45, 46
Ползучесть — Влияние предваритель-
ного сжатия 51, 52
450
—	Деформации 24
—	Дисперсия характеристик 25
—	Испытания 21—23
—	Кривые 5, 6
—	Определение характеристик 21, 24
—	Понятие 5
—	Пределы 21
—	Расчет 8
—	Скорость 21, 23, 28, 39, 45, 170, 183
—	Сопротивление 76
—	Стадии 5, 6
—	Ускорение 44, 45, 55
— Характеристики 8, 23
Ползучесть при высоких температу-
рах 34
--- диска 371
--- оболочки 444
--- при кручении 26, 27
--- при многократном циклическом
нагружении 43—50
--- при однократном ступенчатом из-
менении напряжений 37—39
---при сложном напряженном со-
стоянии 27—30
Ползучесть кратковременная 31—33,
69 — Испытания 7
—	Понятие 32
—	Пределы 16
Ползучесть нестационарная 270—272
—	Диаграмма 226
—	Основные характеристики 226—240
— Свойства 228—230
Ползучесть нестационарная при знако-
переменных напряжениях 240—241
---при сложном напряженном со-
стоянии 241—242
Ползучесть иеустаиовившаяси — По-
нятие 175
Ползучесть установившаяся 177—181 —
Понятие 175
---в диске 371, 372
---в стержне 276—278
---миогорежимиая 230—233
Ползучесть циклическая 215, 270—
272 — Деформации 243—245
— Общие методы расчета 251—253
— Скорость 243—245
— Упрощенные методы расчета 247,248
Предел длительной прочности 8, 20,
26, 116, 394
---пропорциональности 265,267,268
--- прочности 32, 35, 394
--- текучести 32, 89, 90
---текучести мгновенный 146, 147,
163, 166, 200
Принцип суперпозиции — Понятие 120
Приращение Деформаций 172, 376
---деформации пластической 149,
163, 173, 208, 210
--- деформации полной 149
---деформации упругой 149
----интенсивности напряжений 149,
167, 171
---- моментов 376
----усилий 376
Прогиб температурный 276
Прочность — Оценка при циклическом
нагружении 268 — Пределы 32, 35,
394
Прочность длительная 8, 31, 39—43,
45, 46, 58 — Испытания 7, 41
— Кривые 8, 9, 16, 18, 19, 32, 36,
49, 50, 59, 60
— Определение характеристик 17, 19,
61
— Пределы 8, 20, 26, 116, 394
Работоспособность 93, 95
Разгрузка 164
Размах деформаций 70, 72, 268, 269
---деформации полной 72, 73, 75,
217
---напряжений 79, 91, 268, 269
Разрушение 30 — Сопротивление 60,
61, 76 — Характеристики 56
--- диска 398, 399
---термоусталостное — Условия 100
Разупрочнение материала 47, 58, 85,
200, 201, 393
Растяжение диска 359—362
--- лопаткн 300—302
--- пластинки 329—332
---стержня 142, 261
Расширение температурное 132, 309
— Определение 143 — Тензор 154
Режим приведенный 105—107
---эквивалентный 108 — Определе-
ние 106
Рекристаллизация материала 36
Релаксация напряжений 67, 187 —
Влияние температуры 87, 88
— Время 178, 179
—	Кривые 87—89
—	Скорость 88
Сдвиг чистый 26
Сжатие _— Испытания 24—26, 56
—	Образцы 25
Символ Кронекера 122, 124
Скорость ползучести 21, 23, 39, 45,
183 — Компоненты 170
Сопротивление ползучести 76
—	разрушению 60, 61, 76
Сопротивление термоусталост н 77 —
Влияние нагрузки 79
—	Влияние покрытия 82—83
—	Влияние состояния поверхности 81,
82
—	Влияние среды 82—83
—	- Влияние структуры 81
—	Влияние химического состава 81
—	Испытания 100
—	Оценка 100
Сплавы алюминиевые
—	Кривые ползучести 44
—	Механические свойства 11
—	Области применения 11
—	Термическая обработка 10
—	Химический состав 10
Сплавы никелевые —Длительная проч-
ность 36, 46
—	Механические свойства 13, 15
—	Области применения 13, 15
—	Охрупчивание 35
—	Повреждаемость 46
—	Ползучесть 36
—	Термическая обработка 12, 14
—	Химический состав 12, 14
Сплавы сложнолегироваиные — Дли-
тельная прочность — 29 — Испыта-.
ния 29
---титановые — Механические свой-
ства 11 — Области применения 11 —
Термическая обработка 10 — Хими-
ческий состав 10
---тугоплавких металлов — механи-
ческие свойства 15 — Области при-
менения 15 — Термическая обработ-
ка 14
—	Химический состав 14
Стали аустенитные — Кривая дефор-
мирования 32 — Испытания на пол-
зучесть 28
---жаропрочные — Механические
свойства 11, 13 —Области примене-
ния 11, 13 — Термическая обработ-
ка 10, 12 — Химический состав 11, 13
---конструкционные — Механиче-
ские свойства 11 — Области приме-
нения 11 — Термическая обработка
10 — Химический состав 10
---коррозиониостойкие — Механи-
ческие свойства 11 —Области при-
менения 11 — Термическая обработ-
ка 10 — Химический состав 10
---молибденовые — Испытания 28—
29
--перлитные — Кривая деформиро-
вания 32
---теплостойкие — Кривые термо-
' усталости 75
---хромоникелевые — Характери-
стики 266
Старение сплава 59
Степень повреждаемости 101 — Опре-
деление 102, 104
Стержень — Деформации 261
—	Кручение 282—285
—	Многократное нагружение и иагрев
267—270
—	Напряжения 261
451
— Однократное растяжение и нагрев
265—267
— Растяжение 261
— Расчет 142, 178, 186, 187, 192—194
— Система 95—96
— Тепловой удар 256, 257
— Циклическая ползучесть 279—281
— Циклическое изменение напряже-
ний и температуры 270—272
Стержень закрученный — Расчет 288—
292
----изогнутый большой кривизны —
Расчет 285—288
---- неравномерно нагретый 276—278
----статически неопределимый — На-
пряжения 263, 264
Текучесть 201
Тензор коэффициента пластичности 153
----коэффициента податливости 153
----коэффициента упругости 124, 153
----температурного расширения 154
Теория изотермического упрочнения
176—Применение 183—185
---- иеизотермического пластического
течения 163, 165, 166, 206—215
----нестационарной ползучести (упро-
щенная) 233—235
----пластического течения 134 —
Основные уравнения 149—153
---- пластичности 133, 134, 337
---- предельного равновесия 396
---- приспособляемости 337
----старения 176 — Применение 181—
182, 372
----термопластичиости 133, 134—138
----термоупругости — Допущения
120— Применения 318—319 —Урав-
нения 187—194
------течения 176 — Основные
положения 143—144 — Применение 182
------ упрочнения 185, 374
----установившейся ползучести 175
Теплоемкость материала 189—190
Термопластичвость оболочки пологой
вращения 440—444
----циклическая 215—228
Термоупругость оболочки пологой вра-
щения 432—435
----циклическая 215
Трещинообразование 30, 35, 36, 58
Труба толстостенная см. цилиндр
Удливенве лопаток от деформаций пол-
зучести 307
----от температурного расширения
307
452
----полное 306
----упругое 306
Упрочнение материала 47, 58, 59, 85
---- анизотропное 202—204
---- изотропное 200—203
----линейно-анизотропное 205, 209
Уравнение Генки 135	'
---- Кармана 438
----Коффина — Мэнсона 73
----пластического течения 151, 152,
167, 209
----равновесия 319, 348, 357, 377,
383, 425, 426, 434
----совместности деформаций 173,319,
349, 358, 382, 383, 434, 435
—— теплопроводности 191
----термопластичности 137, 138
----термоупругости 121 — 124, 318,
194—198
Условие активного нагружения 152
----нейтрального нагружения 153
---- необратимости 173
---- периодичности 224
----пластического течения 165, 170
---- равновесия 402
----разгрузки 152
----Сен-Веиаиа 322
----текучести 155, 156, 173 , 204,
210, 211
----упругости 319, 326
Усталость малоцикловая 65, 318
Усталость термическая 65 — Испыта-
ния 68, 70, 72, 73
—	Кривые 71, '72, 75, 84, 85
—	Оценка 71
—	Сопротивление 70, 74
— Установка 67
Формоизменение 226—228
Функции Крылова 427—428
---- нагрузки 438
----состояния 197
----температуры 438
Характеристики температурные —
Влияние на сопротивление термо-
усталости 84—85
Центр тяжести приведенный 308
— Координаты 310 — Центр приве-
дения 310
Цикл изотермический 216—221
----иеизотермический 221—225
----стабильный 217, 218 — Расчет
222—224, 242—243
----температурный 76—78 — Дли-
тельность 78 — Сопротивление тер-
моусталости 80
Циливдр — Деформация 403, 421
— Краевые условия 405
— Напряжения 404, 405
— Основные уравнения 402—406
— Расчет 402—406, 408, 415, 421
— Упругопластическое состояние 420
— Условие равновесия элемента 402
Цилиндр ортотропный — Деформации
418— Напряжения 417—420 —Рас-
чет 415—420
----полый — Испытания на ползу-
честь 26—Расчет 411—413
----при внезапном приложении вну-
треннего давления 257
----сплошной 412—415
----с переменными по радиусу пара-
метрами упругости 406
---- с упругой оболочкой 257, 258
Чувствительность к повторности на-
гружения 47, 48
Ширина упругой области 200, 201
Энергия свободная 196
Эффект Баушингера 201
----восстановления центробежных
сил 357
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .................................................. 3
Глава 1
Свойства материалов при повышенной температуре....................... 5
1.	Ползучесть и длительная прочность при постоянном напряже-
нии ..................................................... 5
2.	Ползучесть и длительная прочность при различных напряжен-
ных состояниях ......................................... 24
3.	Кратковременная прочность ............................... 31
4.	Ползучесть и длительная прочность при ступенчатом изменении
напряжения. Суммирование повреждений.................... 37
5.	Знакопеременное нагружение .............................. 50
6.	Длительная прочность при ступенчатом	изменении температур	58
Списоклитературы	62
Глава 2
Свойства материалов при циклическом изменеиин температуры и нагрузки
1.	Сопротивление материалов циклическому термическому нагру-
жению ................................................. 65
2.	Сопротивление термической усталости жаропрочных сплавов и
сталей...............................................   74
3.	Циклическая релаксация температурных напряжений ....	86
Список литературы	91
Глава 3
Методы оценки термопрочностн деталей машин..................... 93
1.	Оценка термопрочности .............................. 93
2.	Многорежимная работа ................................ 100
3.	Комбинированные нагружения........................... 109
Список литературы	118
Глава 4
Основы теории неизотермнческой упругости, пластичности, ползучести ...	119
1.	Термоупругость ......................................... 119
2.	Термопластичность. Деформационная теория................ 132
3.	Теория течения при изотропном упрочнении................ 143
4.	Обобщенные теории неизотермического течения............. 163
5.	Ползучесть.............................................. 175
6.	Связанная задача термоупругости и энергетические уравнения 187
Список литературы	198
454
Глава 5
Основы теории знакопеременной и циклической термопластичности и пол-
зучести	....................................................... 200
1.	Знакопеременная термопластичность .................... 200
2.	Циклическая термопластичность......................... 215
3.	Ползучесть при произвольно меняющихся напряжениях и тем-
пературах ............................................ 228
4.	Циклическая ползучесть ............................... 242
5.	Динамические задачи .................................. 253
Список	литературы	258
Глава 6
Расчеты на термопрочность стержней............................... 261
1.	Растяжение и сжатие стержней.......................... 261
2.	Изгиб и кручение стержней............................. 272
3.	Изогнутые и закрученные стержни ...................... 285
Список литературы	292
Глава 7
Лопатки турбин................................................... 294
1.	Условия работы лопаток................................ 294
2.	- Расчет лопаток на растяжение от центробежных сил.... 300
3.	Распределение напряжений по сечению лопатки........... 307
4.	Пространственное напряженное состояние в охлаждаемых ло-
патках турбин......................................... 318
Список литературы	323
Глава 8
Пластинки ....................................................... 325
1. Круглые пластинки при осесимметричной деформации . . .	325
2. Прямоугольные пластинки............................... 342
Список литературы	352
Глава 9
Диски турбин..................................................... 353
1.	Особенности работы дисков турбин...................... 353
2.	Растяжение и изгиб дисков............................. 355
3.	Расчет дисков с учетом пластичности и ползучести...... 367
4.	Оценка прочности дисков турбин ......................  394
Список литературы	400
Глава 10
Трубы и оболочки ................................................ 402
1.	Толстостенные трубы .................................. 402
2.	Цилиндрические оболочки .............................. 421
3.	Пологие оболочки вращения. Учет больших прогибов ....	432
Список литературы	445
Предметный указатель	447
ТЕРМОПРОЧНОСТЬ ДЕТАЛЕЙ МАШИН
Редактор издательства 3. 3. Акчурина
Технический редактор Л. П. Гордеева
Корректор Л. В. Асташенок
Художник Е. В. Бекетов
Сдано в набор 23/VII 1974 г. Подписано к печати 31/1 1973 г.
Т-00470 Формат 60X90/16 Бумага типографская № 2
Усл. печ. л. 28,5 Уч.-изд. л. 33,1
Тираж 12 000 экз. Заказ 1156 Цена 1 р, 89 к.
Издательство «Машиностроение» 107885, Москва, Б-78,
1-й Басманный пер., 3
Ленинградская типография № 6
Союзполиграфпрома при Государственном
комитете Совета Министров СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли,
193144 Ленинград, С-144, ул. Моисеенко, 10