/
Author: Борисов А.В. Жуковский В.Ч. Соколов А.А. Тернов И.М.
Tags: физика электродинамика квантовая физика
Year: 1983
Text
A. А. Соколов,
И. М. Тернов,
B. Ч. Жуковский,
А. В. Борисов
КВАНТОВАЯ
ЭЛЕКТРО-
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентрв
физических специальностей
университетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1983
УДК 530.145:530.12
Квантовая электродинамика / А. А. Соколов, И. М. Тернов, В. Ч. Жуков-
Жуковский и др. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. — 312 с.
Книга содержит изложение основ классической и квантовой теории поля.
Большое внимание уделяется группам симметрии, в свете калибровочной сим-
симметрии рассмотрены электромагнитное поле и поля Янга — Миллса. Кванто-
Квантование электромагнитного поля дано как в кушоновокой, так и в лоренцевой ка-
калибровке. Изложена инвариантная теория (возмущений .и сформулированы пра-
правила Ф-ейнмана. Рассмотрены примеры применения аппарата квантовой элек-
электродинамики для расчета электродинамических эффектов: комптоновского
рассеяния, тормозного излучения, квантовые эффекты в синхротронном излу-
излучении.
Для лиц, начинающих изучать квантовую теорию поля и ее приложения.
Библиогр. 77 назв. Ил. 37.
Рецензенты:
кафедра теоретической физики
Азербайджанского государственного университета,
доктор физ.-матем. наук Р. Н. Фаустов
К '704020000-101 86_83
077@2)—83
Издательство Московского университета, 1983 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга написана на материале лекций, читаемых авторами
на протяжении ряда лет на физическом факультете Московского
университета. Цель этих лекций состоит в том, чтобы дать студен-
студентам, специализирующимся по теоретической физике, основы тео-
теории классических и квантовых полей, а также привить им навыки
проведения расчетов электродинамических процессов. Книга
в большой степени сохранила структуру построения лекционного
курса, рассчитанного на два семестра. В первых двух главах
представлены вопросы классической теории поля и электродина-
электродинамики, третья и четвертая главы посвящены квантовой электроди-
электродинамике. При этом вначале дается принципиальная постановка
проблемы описания классических систем с бесконечным числом
степеней свободы с помощью методов /1агранжа и Гамильтона.
Наряду с изложением теории поля мы сочли необходимым уде-
уделить внимание некоторым вопросам теории групп, без знания ко-
которых невозможно понять не только лоренц-инвариантную струк-
структуру уравнений поля, но и современное описание взаимодействий
элементарных частиц на основе теории калибровочных симметрии.
Изучение вопросов инвариантности и законов преобразования
полей ведется параллельно с рассмотрением методов теории поля.
Объединением методов теории групп и канонических методов тео-
теории поля является теорема Э. Нетер, после доказательства ко-
которой мы даем примеры основных полей, осуществляющих пред-
представления группы Лоренца — скалярного, массивного векторного
и дираковского полей. Электромагнитное поле вводится как ка-
калибровочное, или компенсирующее, поле, обеспечивающее калиб-
калибровочную симметрию заряженных полей. Обобщением электро-
электромагнитного поля являются поля Янга—Миллса, обеспечивающие
инвариантность материальных полей относительно неабелевых
калибровочных преобразований. Этим вопросам посвящен пос-
последний параграф первой главы.
Поскольку с классической электродинамикой студенты зна-
знакомятся в общем курсе теоретической физики, во второй главе
мы ограничились лишь изложением специальных вопросов клас-
классической электродинамики. Главное внимание здесь уделено ре-
решению волновых уравнений для компонент электромагнитных по-
потенциалов и развитию классической теории излучения.
На основе общей теории рассматривается пример синхротрон-
ного излучения — этого важного физического явления, нашедшего
в последнее время широкое применение в науке и практике.
Третья и четвертая главы дают основной аппарат квантовой
электродинамики. Вначале проводится квантование свободного
электромагнитного поля как в кулоновской, так и в релятивист-
релятивистски инвариантной лоренцевой калибровках. При этом дается по-
понятие о каноническом квантовании полей, о перестановочной и
причинной гриновских функциях электромагнитного поля. После
квантования свободного дираковского поля дается постановка
задачи описания взаимодействующих электромагнитного и элект-
ронно-позитронного полей. Далее строится инвариантная теория
возмущений, и в заключение главы формулируются правила
Фейнмана, позволяющие составить амплитуды процессов кванто-
квантовой электродинамики.
Последняя четвертая глава посвящена расчетам основных
процессов взаимодействия электронов и фотонов в низших поряд-
порядках теории возмущений. Большое внимание мы уделяем здесь
развитию квантовой теории излучения. При этом мы подробно
останавливаемся на описании синхротронного излучения теперь
уже с точки зрения квантовой теории.
Это явление обнаруживает такое богатство физических осо-
особенностей, что мы сочли целесообразным включить также и опи-
описание основных экспериментов по его наблюдению. Здесь же мы
указываем на основные применения синхротронного излучения,
связанные с его уникальными особенностями.
Специальный параграф главы в краткой форме знакомит
читателя с главными трудностями квантовой электродинамики и
способами их преодоления — расходимостью членов ряда теории
возмущений и перенормировкой электромагнитной константы вза-
взаимодействия и массы электрона.
Настоящий курс рассчитан на студентов физических специ-
специальностей университетов. Он также может быть использован сту-
студентами тех вузов, где читаются основы теоретической физики.
Авторы выражают глубокую благодарность М. М. Колесни-
Колесниковой за большую помощь при подготовке рукописи к печати.
Глава I
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ
§ 1. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В ТЕОРИИ ПОЛЯ
Для описания движения систем с конечным числом степеней
свободы наиболее эффективными оказались методы Лагранжа и
Гамильтона, с которыми читатель знаком по курсу теоретичес-
теоретической механики. Преимуществом этих методов является их универ-
универсальность, позволяющая для любых систем, у которых сущест-
существует функция Лагранжа или функция Гамильтона, единообразно
составлять соответствующие динамические уравнения.
Наиболее общее динамическое описание систем с конечным
числом степеней свободы можно получить, если в основу теории
положить вариационный принцип Гамильтона. Тогда уравнения
Лагранжа выводятся как эйлеровы вариационные уравнения,
обеспечивающие условия экстремума функционала действия.
Поля представляют собой объекты с бесконечным числом
степеней свободы, т. е. распределенные, или непрерывные систе-
системы (континуум). Для их описания также применяются методы
Лагранжа и Гамильтона, основанные на вариационном принципе,
однако физический смысл используемых в теории континуума
лагранжевых и канонических переменных не столь очевиден, как
в теоретической механике.
а) Линейная цепочка
Прежде чем приступить к непосредственному построению тео-
теории поля, поучительно рассмотреть предельный переход от меха-
механики системы материальных точек к механике распределенной
массы. В качестве примера представим себе линейную замкнутую
цепочку, состоящую из ./V одинаковых точек массы т каждая, со-
соединенных друг с другом пружинами (рис. 1.1). Пусть эти пру-
пружины, осуществляющие упругое взаимодействие между точками
цепочки, обладают одинаковыми коэффициентами жесткости k.
Предположим, что в состоянии равновесия цепочка представляет
собой кольцо радиуса R, а расстояния между соседними массами
одинаковы и равны а. При отклонениях от равновесия допуска-
допускаются одномерные движения по окружности кольца. Обозначив
смещение s-й точки us, запишем кинетическую энергию
N
2
и потенциальную энергию системы
N
к
A.2)
где мы обозначили us=dusldt и приняли очевидное условие пе-
периодичности Un+i = U\.
Тогда функция Лагранжа системы будет равна
A.3)
s=l
s=\
а действие
f
S=fl$. A.4)
it
Уравнения движения цепочки получаются из условия стацио-
стационарности действия
и
= 0 A.5)
при 6M*i)=6M^)=0, 5=1, 2,
уравнения Лагранжа—Эйлера
dL
dus dt
N, и представляют собой
ol. a ou ^
A.6)
Решение этих уравнений us=us(t) определяют так называемый
«прямой путь», на котором действие принимает стационарное
значение, а система совершает истинное движение.
В данном случае согласно A.3) запишем A.6) в явном виде
miis=k(us+i—и8)—k(u8—tis-i), 5=1, 2, ..., N. A.7)
Для того чтобы перейти к непре-
непрерывному распределению массы по
цепи, рассмотрим предел а->0, т-^0
при условии, что линейная плотность
массы р = т/а и модуль Юнга e=ka
остаются конечными. Поскольку раз-
размер цепи при этом не меняется, то
число точек Af и вместе с ним число
степеней свободы системы стремятся
к бесконечности. В этом пределе но-
номер точки s заменяется непрерывной
величиной xt задающей положение
точки на кольце, т. е.
рис. 1.1 sox, a^rdx, A.8)
S+
а смещение us(t) становится функцией двух непрерывных пере-
переменных х и t, удовлетворяющей условию периодичности, т. е.
u8(t)->u(x, 0» u(x+2nR, t)=u(x, t). A.9)
При этом
ди
дх
us — Ws^i-^a-^, A.10)
(us+l - иъ) - (us - «<_,) -^ a2 -g-,
а система уравнений A.7) переходит в уравнение в частных про-
производных для u=u(xt t):
pi!fi_8i!fi=o. (l.ii)
г а/2 ах2 v '
Переменные tux совершенно равноправны в математическом от-
отношении. Это проявляется в том, что производная по времени
dusjdt в пределе ЛЛ->оо записывается как частная производная:
dus/dt-^du/dt. Полученное волновое уравнение A.11) описывает
упругие продольные волны, распространяющиеся по кольцу со
скоростью (е/рI/2.
Рассмотрим теперь функцию Лагранжа цепочки
(ттт^) AJ2)
s=l
В пределе N-+oo сумма по 5 заменяется интегралом
и вместо A.12) находим
(*IИ?IН (МЗ)
где SB — плотность функции Лагранжа (лагранжева плотность).
Действие в этом случае превращается в двухкратный интеграл
S=fdtfdx&. A.14)
Если написать (пока что формально) дифференциальное
уравнение Эйлера для &, рассматривая х и t как равноправные
независимые переменные
LJ^ ±M==ot л 151
ди dt ди дх ди
д— д —
dt дх
то с учетом явного вида 2 из A.13) снова получим волновое
уравнение A.11). Это дает нам основание заключить, что в основу
теории непрерывных систем, так же как и для систем с конечным
числом степеней свободы, может быть положен вариационный
принцип.
Выбранный нами пример характерен тем, что суммы и интег-
интегралы, входящие в определение V, Т и L, берутся по окружности
кольца и поэтому являются конечными. Подобная ситуация, как
правило, встречается при решении задач о движении непрерывных
сред, заключенных в конечный объем. Условие периодичности,
вполне естественное в нашем примере, в других случаях заменя-
заменяется более сложными граничными условиями, обеспечивающими
конечность энергии системы. В теории полей обычно рассматри-
рассматривают бесконечные объемы, в которых распространяются поля.
В этом случае конечность объемных интегралов для энергии дос-
достигается требованием достаточно быстрого убывания функций по-
поля на бесконечности*. В то же время остается возможность раз-
разбиения бесконечного объема на конечные элементарные объемы
периодичности, на соответствующих границах которых значения
функции поля совпадают, и рассмотрения поля только в одном
из таких элементарных объемов. По существу такой прием экви-
эквивалентен изучению поля на поверхности трехмерного тора, явля-
являющегося очевидным обобщением одномерной кольцевой цепочки,
взятой нами в качестве примера.
б) Общая вариационная задача
В соответствии с выводом предыдущего раздела рассмотрим
обобщение вариационной задачи, соответствующее динамике кон-
континуума.
Пусть задано действие в общем виде
y A.16)
т. е. в виде функционала от и(х), где под х понимается совокуп-
совокупность п независимых переменных xv(v=0, 1, 2, ..., п—1), а под
и — набор функций иА(х) (Л = 1, 2, ..., f). Интегрирование произ-
производится по некоторой области я-мерного пространства, к которо-
которому принадлежат xv. Заметим, что в A.16) нет зависимости от
высших производных ди?{дх2 и т. д. Это ограничение не имеет
принципиального характера, и рассмотрение можно было бы
обобщить на случай зависимости от производных произвольного
конечного порядка, однако это привело бы к уравнениям выше
второго порядка. Подобная ситуация встречается крайне редко.
Предположим, что на границах области интегрирования
функции иА выбираются определенным образом (граничные ус-
* В квантовой теории поля мы встречаемся со специфической расходи-
расходимостью энергии, которая устраняется введением соответствующего определения
произведения операторов — нормального произведения (см. ниже).
ловия), а внутри области допускаются произвольные их вариации
иА = иА(х)-+иА(х) + 8иА(х).
Тогда необходимым и достаточным условием реального движения
системы, т. е. условием истинности пути ил = ил(х) при заданных
граничных условиях, является стационарность действия для этого
пути. В этом состоит вариационный принцип для распределенных
систем (принцип Гамильтона). Выведем теперь дифференциаль-
дифференциальные уравнения действительного движения.
Условие экстремальности действия имеет вид
б J dnx<? (x; и, ди/дх) = О A.17)
при условии: 8и\г =0 на границах области интегрирования Г.
Запишем теперь вариацию S в явном виде
4 AЛ8)
Здесь, как и в дальнейшем, использовано обозначение производ-
производной u,v = duA /дх* и п-ринято обычное условие суммирования
по повторяющимся индексам, т. е.
/ «-I
Поскольку независимые координаты х не варьируются, операция
варьирования перестановочна с операцией дифференцирования, а
именно
ь диА д * ,,.
О = ОпА .
С учетом последнего равенства преобразуем A.18), выделив ди-
дивергенцию
u
DfWl. (i.
По теореме Гаусса объемный интеграл от дивергенции преобра-
преобразуется в поверхностный интеграл по границе объема Г, где вари-
вариации buA\v =0, и поэтому интеграл обращается в нуль:
В результате условие A.17) приобретает вид
9
Отсюда в силу произвольности вариаций 8иА получим оконча-
окончательно уравнения Лагранжа (вариационные уравнения Эйлера)
представляющие собой динамические уравнения непрерывной
системы (поля) с обобщенными координатами (функциями поля)
иА. Решения этих уравнений иА = иА(х) при соответствующих гра-
граничных условиях задают истинное движение непрерывной систе-
системы, обеспечивающее экстремальное значение интеграла действия
A.16).
В частном случае, когда n=l (v=0, x°=t), A.21) сводится
к уравнениям теоретической механики дискретных систем с f
степенями свободы, а при n=2 (v=0,l; xy=t, x) получаем дина-
динамику одномерного распределения, пример которого (при /=1)
был рассмотрен выше (см. уравнения A.15), A.11)).
Левые части уравнений Лагранжа A21) носят название
функциональных, или вариационных производных и обозначаются
так:
A.22)
диА dxv ди*
(иногда вместо 6S/8uA пишут д2?/8иА). Таким образом, уравнения
A.21) обозначают равенство нулю вариационных производных
действия
65/6^ = 0. A.23)
Заметим, что лагранжиан & определен неоднозначно, а именно
с точностью до дивергенции. Действительно, преобразование
2 + 2'=2+-?pW, A.24)
где Xv=X*(x; и) (v=0, 1, 2, ..., п—1) — произвольные функции,
приводит к изменению действия
а так как
б \<кГ> JU (и) = 0 при 8иА | г = 0,
г
то 6S/=6S=0 и уравнения Лагранжа остаются справедливыми и
для 2'\
10
Сформулированный вариационный принцип является исходной
точкой для построения теории движения динамических систем.
Для поля, заданного в трехмерном объеме, число независимых
координат ху равно четырем. При этом как пространственные ко-
координаты х\ х2, л:3, так и временная координата x°—t участвуют
в формулировке вариационного принципа на равных правах, что
особенно важно для построения релятивистской теории.
в) Метод Гамильтона
Наряду с лагранжевым методом, основанным на уравнениях
Лагранжа A.21) для функций поля — «обобщенных координат»,
для описания динамики полей и других непрерывных систем при-
применяется канонический метод, или метод Гамильтона. Для начала
обратимся опять к модели одномерной упругой среды — к коль-
кольцевой цепочке, рассмотренной выше.
Вместо лагранжевых переменных us для каждой 5-й матери-»
альной точки введем канонические переменные — координату
и импульс:
qs = us, P.—g- A.25)
и построим функцию Гамильтона цепочки
H(p,q) = 2pjs-L. A.26)
S
Как известно, для переменных A.25) получаются следующие
канонические уравнения
описывающие движение точечных масс цепочки. Перейдем теперь
к пределу непрерывного распределения массы по цепочке
a,/n->0, N-+oo; р = т/а<оо, е=/»а<оо.
Тогда для канонического импульса получим
т*-*т555Г* (L28)
S' S'
где dx=af а плотность функции Лагранжа определяется форму-
формулой A.13)
Вместо ps введем плотность канонического импульса
*--Ц-- о-эд
11
тогда ps—dxn и в пределе для функции Гамильтона найдем
A.31)
где
т^=^—-^ A.32)
ot
плотность функции Гамильтона (гамильтонова плотность). Ис-
Используя явный вид 9? из A.29), запишем Ж как явную функцию
канонических переменных я, и, ди/дх:
т(т +•(¦=¦)*)•
Заметим, что в данном случае явная зависимость функции Ж от
и отсутствует.
Что касается канонических уравнений A.27), то для них
предельный переход произвести затруднительно, поскольку в пре-
пределе а->-0 канонический импульс ps=an должен был бы обра-
обратиться в нуль. Поэтому перейдем теперь непосредственно к выводу
канонических уравнений поля так же, как это делается для диск-
дискретных систем, а именно с помощью преобразования Лежандра.
Предположим, что имеется функция переменных х, и, ди/дх—
лагранжева плотность
.? = #(/. х; щ ~, Vu). A.34)
ot
Мы намеренно выделили явно временную и пространственные
координаты и производные по ним в аргументах 2\ поскольку
в каноническом методе они перестают быть равноправными.
Совершим теперь переход от старых переменных к новым —
каноническим
t, х, иА, VuA, duA/dt-+t, x, uA, VuA, ял, уял, A.35)
где
A.36)
Для этого необходимо решить последнее уравнение относительно
uAft, т. е. определить функциональную зависимость старой пере-
переменной uA7t от новых переменных:
? A-37)
? f(X;U
ot
Такое решение можно найти, если определитель Гессе (гессиан)
отличен от нуля
12
при всех х в области определения иА(х).
Составим теперь производящую функцию преобразования —
гамильтонову плотность
3=Щх; и, v«, я, уя). A.38)
dt
Интеграл от нее по объему
Jti — \ а х с/? •— 1 а х I я^4 ——— —— ^?, j W * ^У/
*» j \ а/ /
представляет собой функцию Гамильтона системы, заданную как
функционал иА и ял. Поскольку интеграл A.39) трехмерный, то
функциональные производные для него в соответствии с определе-
определением A.22), записываются в виде
ЬН д&б ^_7 дЖ
6ил ди
Здесь, например,
V **
§лА дпА
ЬН дЖ v_, дЖ
— V -т т •
и суммирование ведется по значениям k=l, 2, 3.
Воспользовавшись явным видом Ж из A.38), вычислим сна-
сначала производную по па:
дЖ диА duBt 3JS диЧ
дпА dt дпА див дпА
Здесь uAft понимается, конечно, как функция канонических пере-
переменных (см. A.37)). Вспоминая определение пв A.36), получим,
вместо A.41)
1г- = -^" О-42)
Второе слагаемое в выражении для 8Я/бял равно нулю, так
как
ЬЖ duBt dg duBt duBt див
= ZIq l 5 l= ПВ'— Яд '¦ == 0.
д
5
du"t
13
Таким образом,
6Я диА
6пА dt
A.43)
Это первое каноническое уравнение Гамильтона для поля.
Далее варьируем Я по и. Возьмем производную Ж по иА:
Ш див d? d? duBt d?
duA duA duA duB диА диА
В то же время
dJt duft d? d? duft d?
d\7uA d\7uA d\?uA duB dS7uA d^7uA
Подставляя полученные равенства в определение A.40), найдем
A.44)
Правая часть A.44) представляет собой функциональную про-
производную функции Лагранжа с обратным знаком
Поэтому A.44) можно переписать короче
Это соотношение эквивалентно соответствующему равенству для
частных производных Н и L по обобщенным координатам в тео-
теорий с конечным числом степеней свободы (dH/dqs——dL/dqs). На
действительных «траекториях» в силу уравнений поля (уравнений
Лагранжа) A.21) имеем
ЬиА
й поэтому A.45) переходит в
ЬиА ~~ dt duAt ~~ dt
— второе каноническое уравнение Гамильтона.
Таким образом, совершив преобразование переменных A.35)
и введя вместо & новую функцию Ж, зависящую от канонических
переменных, мы в силу динамических уравнений, которым под-
подчинялись лагранжевы переменные иАу получили уравнения A.43)
и A.46) для канонических переменных. Очевидно, что можно со-
совершить и обратное преобразование. Для этого из уравнения
14
A.42) находим ял, а из A.38) определяем 3?. Далее в силу урав-
уравнения A.46) и A.45) получим уравнения Лагранжа. Итак, дина-
динамическое описание системы с бесконечным числом степеней сво-
свободы так же, как и в случае конечного числа степеней свободы,
можно проводить двумя методами — лагранжевым и гамильтоно-
вым. В первом методе система характеризуется обобщенными
«координатами», т. е. функциями доля иА> подчиняющимися урав-
уравнениям Лагранжа. Во втором методе число полевых переменных
увеличивается за счет введения плотностей канонических импуль-
импульсов ял- Эти переменные иА и па удовлетворяют уравнениям Га-
Гамильтона
= , —у — . A.47)
длА dt buA dt
Если уравнения Лагранжа представляют собой дифференциаль-
дифференциальные уравнения второго порядка по всем переменным t и xk, то
уравнения Гамильтона ¦— первого порядка по t, и их число соот-
соответственно возрастает вдвое. Как видно, время в методе Гамиль-
Гамильтона играет выделенную роль. Тем самым нарушается равнопра-
равноправие пространственных и временной координат, присущее методу
Лагранжа. В то же время, как известно из квантовой механики,
процедура квантования формулируется именно на каноническом
языке [3], и поэтому для квантования полей необходимо пользо-
пользоваться методами Гамильтона (см. ниже).
Рассмотрим наш пример с кольцевой цепочкой. Воспользо-
Воспользовавшись формулой A.29) для «2\ найдем
_ IlL. <я> — Л Г я2 ¦ - ( ди \2
dt 2
Уравнения Гамильтона A.47) примут вид
л du d2u дл
р ~~ ~аГ' dx* ~ ~аГ'
Подставляя первое из них во второе, получим волновое уравнение
A.11).
Рассмотрим еще один пример. Пусть лагранжева плотность
действительного поля и задана в виде
где V(u), потенциальная энергия поля, равна (рис. 1.2)
(X>0). A.50)
Найдем плотность канонического импульса
л=р-|- A.51)
15
и плотность энергии поля
Ж=я—— <?
dt
дх
A.52)
Потребуем, чтобы плотность энергии поля на бесконечности
|-^оо) была минимальной (классический вакуум):
О. A.53)
fmz>o
Рис. 1.2
Предположим, что т2>0 (сплошная кривая рис. 1.2). Условию
A.53) удовлетворяет следующая асимптотика функции поля
= т2/Х, я-Н).
A.54)
Для и получим два предела (вакуумных решения): и^и±=
= ±(/п2ДI/2. Выбор одного из них, например и+= (т2/ХI/2, на-
нарушает симметрию Ж A.52) относительно отражений и->—и.
Происходит, как говорят, спонтанное нарушение симметрии. Оно
связано с неустойчивостью вблизи симметричного решения и->0,
так как при и-+Ъ потенциальная энергия имеет максимум
n«)--f «2
4Я,
В пределе m2->0, K-^0, m2f\<.оо асимметрия устойчивого решения
сохраняется, а при т2/%-*0 — исчезает.
Если т2<0, то кривая V(u) имеет минимум в начале коорди-
координат (см. рис. 1.2 — штриховая кривая). В этом случае устойчи-
устойчивым является решение вблизи вакуумного состояния и-к/0=0.
Таким образом, при переходе к отрицательным значениям т2
симметрия восстанавливается. Подобное поведение решений не-
нелинейных уравнений имеет место в теории фазовых переходов
второго рода Ландау (ферромагнитный переход, сверхпроводи-
сверхпроводимость). Квантовая теория таких явлений (механизм Хиггса) поз-
позволяет объяснить возникновение массы элементарных частиц
(см. ниже).
16
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
Отвлекаясь от гравитационного взаимодействия, рассмотре-
рассмотрение которого составляет предмет общей теории относительности и:
выходит за рамки нашей книги, будем работать в рамках специ-
специальной теории относительности (СТО).
Как известно, СТО основывается на принципе относительнос-
относительности Эйнштейна, состоящем из двух постулатов: 1) все физические
законы инвариантны относительно выбора различных инерциаль-
ных* систем отсчета; 2) скорость распространения света в ваку-
вакууме не зависит от конкретной инерциальной системы отсчета и
одинакова для всех направлений. Ее величина с—3 • 1010г см/с
представляет собой универсальную физическую постоянную.
Применение этого принципа приводит к необходимости рас-
рассматривать линейные преобразования четырех координат, вклю-
включающих три пространственные координаты и время, — преобразо-
преобразования Лоренца.
а) Пространство Минковского
Выберем в пространстве определенную инерциальную систему
отсчета: ортогональный базис еь ег, ез, задающий декартову сис-
систему координат, и часы для измерения времени, помещенные &
начало координат. Тогда в данной системе отсчета функции поля
и будут зависеть от четырех переменных: ортогональных коор-
координат xk (ft=l, 2, 3) трехмерного вектора x=xktk и времени U
Используя постоянство скорости света с, введем новую пере-
переменную x°=ct и будем рассматривать четыре числа хц=х°, х\ х2у
х3 как компоненты вектора х в четырехмерном линейном прост-
пространстве:
х=#е» B.1)
где е»=ео, еи e2f еъ — базисные векторы. В этом 4-пространстве
введем метрику, т. е. определим квадрат расстояния между двумя
точками, соединенными вектором х,
х2 = х • х = (х0J — (л:1J — (*2J — (л:3J =c2t2 — x2. B.2>
С помощью B.1) можно записать квадрат вектора х следующим
образом
х2 = х» xv e» ev = х^ xv g^, B.3>
где в соответствии с B.2) метрический тензор g^ равен
_r,(i = v = l'I2C, B.4>
* Инерциальными называются системы отсчета, в которых справедлив
первый закон Ньютона, т. е. при отсутствии внешних сил движение тел прямо-
прямолинейно и равномерно.
17
Как видно, базис е^ является псевдоортогональным.
Точно так же для скалярного произведения двух векторов х
я у запишем
xy = x?t/i — x1y1 — x2y2 — x3y3 = x<>t/i — xy = x*lyv g»v. B.5)
Введенное таким образом метрическое линейное пространство
называется псевдоевклидовым пространством, поскольку знаки
х2 и ху не являются определенными. По имени Минковского, дав-
давшего геометрическую интерпретацию, специальной теории относи-
относительности, данное пространство называют пространством Минков-
Минковского.
Постулат постоянства скорости света математически означает
инвариантность квадратичной формы B.2) при переходе от одной
инерциальной системы отсчета к другой
x2=^2_x2=inv=o B.6)
Переход к другой системе отсчета осуществляется линейным
преобразованием координат и времени х, у, z, t-+x', у', z', f. Ли-
Линейность обеспечивает отсутствие ускорения тела в новой системе
при условии отсутствия его в старой системе в соответствии с
принципом относительности Эйнштейна.
Если новая система отсчета движется вдоль оси х{ со ско-
скоростью v относительно старой системы, то соответствующее пре-
преобразование координат, специальное преобразозание Лоренца,
как известно, имеет вид:
xl'=y(x\—
№), где fL = v/c, Y=A-PV/2- B.7)
Оно оставляет инвариантной квадратичную форму B.2) не только
в частном случае B.6) х2=0у соответствующем распространению
света, но и в общем случае х2Ф0. Преобразование координат я1,
x°—ct-+x1', x°'=at' B.7) можно записать иначе:
х°'=— ^sh^+^chil?, B.8)
где th\|) = p. Это псевдовращение в плоскости 01 на мнимый угол
i\|.*, которое, очевидно, не меняет величину разности квадратов
б) Общее преобразование Лоренца
Специальное преобразование B.7), соответствующее переходу
от одной инерциальной системы отсчета к другой, ¦— это лишь
частный случай общих преобразований Лоренца, т. е. общих ли-
линейных преобразований, при которых остается постоянным квад-
квадрат 4-векто,ра B.2) в пространстве Минковского. Рассмотрим эти
18
преобразования подробнее. Пусть исходный базис ev линейно пре-
преобразуется к новому базису е/. Тогда новые координаты xf* бу-
будут связаны со старыми xv линейным соотношением
х'»=А»х\ B.9)
где А=||Л/|| — матрица общего преобразования Лоренца:
Поскольку вектор х можно записать как в старом, так и в новом
базисе
х = xvev = л:'^^ = Л? #У?ц, [B.10)
то
е =А *е '
и отсюда получаем закон преобразования базиса
^ = {А~%еч. B.11)
Итак, если компоненты вектора х преобразуются с помощью
матрицы Л = ||Л/||, то базисные векторы преобразуются с по-
помощью обратной транспонированной матрицы (Л~~1)г =||(Л~1)^||.
Ковариантный вектор можно получить из контравариантного
следующим образом
Y /т yv />pvV /> . Y /9 191
Действительно, тогда х/=е/-х, и компоненты л:^7 связаны с х^
тем же законом, что и в/ с вй. С учетом явного вида тензора
g^v B.4) получим
хо=х°у хх=—х\ х2=—х2, хд=—х3. B.13)
Наряду с метрическим тензором g^ можно ввести контравариант-
ный тензор g»v, обратный по отношению к g»vy т. е. gnogQV=V- Ком-
Компоненты обоих этих тензоров совпадают, ^=^.
С помощью тензора g* можно поднимать индексы у ковари-
антного вектора, преобразуя его в контравариантный:
x»=:g»°xa. B.14)
Выясним теперь, какому условию должна удовлетворять матрица
Л/ линейного преобразования для того, чтобы обеспечить инвари-
инвариантность квадрата вектора х2. Запишем условие jc2=inv в явном
виде
х'2=х\ B.15)
т. е.
B.16)
19
Отсюда следует основной вывод
A^giXxA^=gvp. B.17)
Это означает, что ?ЙУ не преобразуется при переходе к новым
координатам — это другое выражение условия инвариантности
х2. После умножения на gva из равенства B.17) получим
U^fo B.18)
т. е. матрица А"=||Л/?йх?™|| является обратной по отношению
к Л/. Найдем явный вид матрицы А". Прежде всего замечаем,
что переход от А к матрице А' = Ц -Av ?TutxЦ сводится к опусканию
одного индекса с помощью g^ и согласно B.13) означает замену
знака у всех строк матрицы, кроме первой. Наконец, переход от
А/ к А" сопровождается транспонированием матрицы и измене-
изменением знака у всех столбцов, кроме первого. В результате находим
матрицу А", имеющую вид
= f -Л? А\ А\ Л?
—Al A\ Al Al
4^ At Al
Таким образом, получаем следующее свойство матрицы общего
преобразования Лоренца: транспонирование и замена знака у
элементов верхней строки и левого столбца матрицы А превра-
превращает ее в обратную матрицу А//=А.
Такие матрицы называются псевдоортогональными (в отли-
отличие от ортогональных, для которых переход к обратной матрице
заключается лишь в их транспонировании — например, матрицы
лростравственных вращений, см. ниже).
Из формулы B.18) следует, что
detA"-detA=l, B.20)
но detA//r=detA (транспонирование и последовательная замена
знака у строки и столбца не меняют величины определителя), по-
поэтому det2 А=1. Это уравнение имеет два решения
detA= + l и detA=—1. B.21)
Во всяком случае detA=^0, и это доказывает, что у всякого пре-
преобразования А есть обратное преобразование, матрица которого
равна А".
Заметим, что условие | det A | = 1 означает инвариантность
элемента объема 4-пространства:
— d4
ал-
Специальным преобразованиям Лоренца для перехода к сис-
системе отсчета, движущейся вдоль оси х1 со скоростью v B.7),
20
отвечает симметричная матрица А с отличными от нуля элемен-
элементами
Для матрицы А" получим
(А")оо=(А")^=Г, (Л"J2=(Л")з3=1; (Л"Iо=(Л")о1 = ру.
Ясно, что А" — матрица обратного преобразования, так как
она отличается от А заменой знака скорости: р~>—р, и, кроме то-
того, непосредственное перемножение дает А"А=1. Определитель
матрицы этого преобразования det А= + 1.
Рассмотрим теперь основное соотношение B.17) для v=p=
= 0:
или в явном виде
(До0) 2~ 0VJ- Ио2J- (А о3) 2= 1.
B.22)
Отсюда следует
(
т. е.
Ло°<—1 или До°>1. B.23)
Таким образом, общее преобразование Лоренца, обозначае-
обозначаемое через L, разбивается на четыре совокупности преобразований
в зависимости от знака det А и выбора неравенства из B.23)
лО
Л0
det A
4
>\
4
<-i
?.1
>\
— 1
il
< — 1
— 1
Ясно, что непрерывным изменением элементов каждой из этих
четырех совокупностей матриц невозможно перейти в другую со-
совокупность, т. е. эти совокупности не связаны между собой не-
непрерывным преобразованием. Только L+ содержит единичное
(тождественное) преобразование А=1, для которого, очевидно,
Ло°=1 и detA=l. Путем непрерывного изменения единичного
преобразования А=1 можно получить все преобразования сово-
совокупности L+. Они носят название собственных преобразований
Лоренца и представляют собой четырехмерные псевдовращения.
Инвариантность относительно этих преобразований отражает изо-
изотропность пространства-времени в пренебрежении гравитацион-
гравитационным взаимодействием.
Все остальные преобразования содержат дискретные преоб-
преобразования (отражения пространственно-временных осей), не сво-
сводящиеся к частным случаям непрерывных.
21
Рассмотрим времениподобный вектор*, для которого
х2=х°* — х2>0. B.24)
Пусть знак временной компоненты определен, например, л:°>0.
Тогда преобразования Лоренца, для которых Ло°>1, не изменяют
знак временной компоненты, т. е. х'°>0. Действительно,
x/0=Ao0x0+A{0xl+A20x2+Az0x*. B.25)
Используя неравенство Коши—Буняковского, с учетом B.22) и
B.24) получим
(Л?*1 + А°2х2 + AU*J < [(Л§J - 1] (х«Г < (А°о)* (х?)\
Отсюда следует, что если Ло°>1, то х'°, определенное равенством
B.25), сохраняет знак а:0, т. е. в данном случае х'°>0. Преобра-
Преобразования Лоренца с Ло°>1, не меняющие знак временной компо-
компоненты времениподобного вектора, называются ортохронными»
Преобразования с Ло°<—1 не сохраняют знак х° и называются
неортохронными. Таким образом, совокупность L+ состоит из
собственных ортохронных преобразований. Специальные преоб-
преобразования Лоренца, задающие переход из одной инерциальной
системы отсчета в другую, очевидно, принадлежат к совокупности
JLJL — собственным ортохронным преобразованиям.
Приведем примеры несобственных, дискретных преобразова-
преобразований Лоренца.
1) Отражение одной из пространственных осей (Рроперация).
Для матрицы А имеем: Ло°=1, det А= — 1. Поэтому ^czLl.
2) Пространственная инверсия (Р-операция): х-^х'=—х*
Для нее также Ло°=1, det Л=—1, PczLi. Заметим, что отраже-
отражение любых двух пространственных осей эквивалентно конечному
непрерывному преобразованию поворота, т. е. является частным
случаем L+* Поэтому преобразование Pi можно получить непре-
непрерывным образом из Р и наоборот.
3) Обращение времени (Г-операция): *->/'=—t. Здесь Лоо=
=—1, detA=—1, т. е. TqzLL
4) Обращение времени и инверсия пространства (РГ-опера-
ция). Теперь Ло°=— 1, det А= +1 и поэтому РТ a L+.
Заметим, что собственные преобразования Лоренца применя-
применяются как в классической механике, так и в классической и кван-
квантовой теории поля. Несобственные дискретные операции Р, Г, РТ
находят применение, главным образом, в квантовой механике,
квантовой теории поля и теории элементарных частиц. Любое
несобственное преобразование Li, Li. или LJJL, как легко
убедиться, может быть получено из Р-, Г- или РГ-операций при-
применением непрерывного собственного преобразования L^-
* Для пространственноподобного вектора имеем
х*=х*2 — х2<0.
22
§ 3. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ГРУППА ПУАНКАРЕ
Преобразования Лоренца представляют собой пример преоб-
преобразований, которые образуют так называемую группу. В даль-
дальнейшем мы будем рассматривать различные группы преобразо-
преобразований функций поля, поэтому вначале весьма кратко приведем
некоторые необходимые сведения из теории непрерывных групп.
а) Группы Ли
В математике принято следующее определение абстрактной
группы. Группой G называется множество элементов Л, В, С, ...
„,gG, для которых определен закон композиции (умножения)
любых двух элементов: АВ = С. Операция умножения должна
удовлетворять условиям: 1) если Леб, BeG, то C=AB^G\
2) если Л, Я, CezG, то (АВ) С=А(ВС)=АВС; 3) существует
элемент /gG такой, что для любого A^G имеем А1=1А=А;
4) для каждого Леб существует B^G такой, что АВ — ВА = 1.
Элемент В=Л называется обратным к элементу Л.
Общие преобразования Лоренца образуют группу. Действи-
Действительно, последовательное применение двух преобразований, не
изменяющих квадратичную форму х2у также не изменяет ее, су-
существуют обратное преобразование и единичный элемент. Таким
образом, линейные преобразования, оставляющие инвариантной
квадратичную форму х2=х°2—х2, образуют группу, называемую
общей группой Лоренца, или однородной группой Лоренца.
Если включить в эту группу еще и трансляции, т. е. перенос
начала координат на постоянный вектор а*1, то получим неодно-
неоднородные линейные преобразования x»-+x/li= А^ + а». Они образу-
образуют неоднородную группу Лоренца, или группу Пуанкаре. Оче-
Очевидно, что длина вектора, соединяющего две точки х и у прост-
пространства Минковского, остается неизменной при преобразованиях
трансляции: х-+х-\-а, у-*у+ау (х—*/J=inv. Это свойство отра-
отражает однородность пространства-времени.
Из четырех совокупностей преобразований, на которые рас-
распадается общая группа Лоренца, только L\. сама по себе обра-
образует группу, так как содержит единицу. Это — собственная груп-
группа Лоренца.
Более простым примером является группа 0C) — группа
вращений трехмерного пространства. Матрицы этих преобразо-
преобразований Aik, оставляющие инвариантной длину вектора х, являются
ортогональными: AihAki=6ih Эта группа образует подгруппу соб-
собственной группы Лоренца.
Говоря о группе 0C) или группе Лоренца, мы имеем в виду
определенные объекты, которые подвергаются преобразованиям,
т. е. координаты векторов в трехмерном евклидовом пространстве
и в четырехмерном пространстве Минковского, а также и матри-
матрицы определенного вида: трехмерные ортогональные и четырех-
четырехмерные псевдоортогональные соответственно. Тем самым зада-
23
ются конкретные представления (векторные) этих групп. В то же
время элементы их могут иметь, как мы увидим позднее, и другие
реализации.
В общем случае, если каждому элементу А группы G постав-
поставлен в соответствие линейный оператор Т^, т.е. Леб, А-*ТАу дей-
действующий в линейном пространстве R размерности пу то говорят,
что задано «-мерное линейное представление группы G. Прост-
Пространство R называется пространством представления.
Указанное соответствие означает, что: 1) если ^gG и B^Gr
то Т^Тб = Тав, 2) оператор единичного элемента Tj=/ — единич-
единичный оператор и 3) оператор обратного элемента Тл*1 = TJ —
обратный оператор.
В конечномерном пространстве операторы можно изобразить
с помощью матриц, и тогда представление называется матричным.
Если еа — базис в пространстве R, т. е. jt=ea#a, а Т — оператор
представления, то тогда
е* = Теа = ер ?>?, *'* = Dl **, C.1)
где ЦДЛ1 — матрица оператора Т. Если перейдем к новому бази-
базису в пространстве jR:
еа'=е»УЛ C.2)
то получим новую матрицу оператора Т, связанную с \\DJ\\ пре-
преобразованием подобия:
Da'*=(V-lDV)a*. C.3)
Действительно, из C.2) находим
*a=(V-i)aVp,
и тогда
7еа = Твр VI = еу Щ VI = еб (V~*)* Щ Vl = e6 (I/-1 DV)l
Два представления D и V~!DV, связанные преобразованием подо-
подобия, называются эквивалентными.
Таким образом, представление группы Лоренца можно рас-
рассматривать как совокупность линейных операторов, действующих
в конечномерном пространстве компонент функций поля иА{х), а
не только в пространстве 4-векторов координат &. Очень важным
понятием теории представлений групп является понятие приво-
приводимости. Представление группы G в пространстве R называется
неприводимым, если в R нет инвариантных относительно этого
представления подпространств, отличных от нулевого и самого
пространства R. В противном случае представление называется
приводимым. Например, приводимым является представление
размерности n + mf матрицы которого имеют ящично-диагональ-
иый вид
п m
D = (*??.) Iя . C.4)
24
где Dj и D2 — матрицы представлений размерностей пит соот-
соответственно.
Разбивая пространство представления на инвариантные под-
подпространства, мы получаем неприводимые представления группы.
Поэтому изучение всякого приводимого представления сводится
к изучению всех его неприводимых представлений;. Возможные
типы функций поля и(х) и их законы преобразования
u*(x)-+u'A(x') =DABuB(x) C.5)
при преобразованиях координат
C.6)
могут быть получены при исследовании конечномерных представ-
представлений группы Пуанкаре.
В качестве примера рассмотрим тензорное представление
а'«"-р (х') - < АЪ... Арам ua^"'^ (*),
где N матриц преобразования Лоренца А умножаются на
ца1а,...а#до— компоненты контравариантного тензора ранга
N, четные относительно операции инверсии координат (см. выше).
Соответствующие псевдотензоры при преобразованиях отражения
нечетного числа пространственных осей меняют знак.
Частными случаями тензорного представления являются
1) скалярное (псевдоскалярное)
u'(x')=u(x), C.7)
2) контравариантное векторное (псевдовекторное)
u'v(x')=Al?u»(x)i C.8)
3) ковариантное векторное (псевдовекторное)
(A-*)v»ul>(x). C.9)
Особым случаем является спинорное представление группы
Лоренца. Это представление, так же как и спинорное представле-
представление группы вращений, будет получено нами позже.
Рассмотренные выше группы Пуанкаре и 0C) принадлежат
к классу так называемых групп Ли. Группа Ли характеризуется
тем, что все ее преобразования заключаются в наиболее общем
преобразовании, зависящем аналитически от г существенных (не-
(независимых) параметров а\ т. е. например, для координат
*'v=№, ..., х»\ а\ ..., аг).
Более полное определение группы Ли состоит в следующем.
Рассмотрим непрерывную группу, т. е. такую группу, что:
1) в множестве элементов ее можно ввести понятие близости
элементов (бесконечно малой окрестности), сходимости и т. д.,
2) из условия малости изменения одного из сомножителей груп-
25
пового произведения следует малость изменения самого произве-
произведения.
Будем считать, что каждому элементу А данной непрерывной
группы можно взаимно однозначно сопоставить множество суще-
существенных параметров а=(а1, ..., аг), которые образуют так назы-
называемое групповое, или параметрическое, пространство. Такая па-
параметризация задается с точностью до произвольного, N раз диф-
дифференцируемого преобразования a'=f(a).
Из взаимнооднозначного соответствия
А~(а\...,а%В~(&, ...,П
(ЗЛО)
АВ = С,С~(с\ ...,сг)
следует групповой закон композиции
с'=<р'(а, 6), C.11)
где фг' есть аналитическая функция а и Ъ.
Такая непрерывная группа представляет собой г-цараметри-
ческую группу Ли.
Пусть в некотором представлении группы Ли имеются опера-
операторы Та, зависящие от параметров а. Тогда взаимно однозначное
соответствие C.10) приводит к следующим условиям для функ-
функции ф1':
1) ассоциативность
тогда
ф[а, ФF, с)]=ф[ф(а, 6),с]; C.12)
2) единица
ТавТа=ТаТа0=Та, где Тао = 1 — единичный оператор, тогда
а=(р(а, ао)=ф(ао, а); C.13)
положим в дальнейшем ао=О;
3) обратный элемент
C.14)
отсюда можно найти а, если (^)
Особое значение в теории групп Ли имеют бесконечно малые
(инфинитезимальные) преобразования. Пусть задано представле-
представление группы, в котором элементам группы соответствуют опера-
операторы Та, являющиеся аналитическими функциями параметров а:
Тд=А(а). Введем операторы
(t = 1,2, ...г), C.15)
26
называемые инфинитезимальными операторами группы, или гене-
генераторами. Тогда в окрестности единичного элемента для малых
значений а получим для общего элемента группы в линейном
приближении
A=l +alXi. C.16)
Как было сказано в определении группы Ли, параметриза-
параметризация задается с точностью до преобразования
Тогда для новых параметров а'1 получим генераторы
х; 1ЬК\ 1ЬК\ fjai\ = Xi(JsL) , C.17)
где индексы 0 указывают, что производные берутся при значении
а=0 и а'=0 соответственно.
Выведем теперь замечательное соотношение, связывающее
генераторы группы Ли. Пусть А=А(а) и В = ВF) — операторы
некоторого представления группы Ли. Составим произведение
С = ВАВ. Если группа некоммутативна, т.е. ВА=^АВ, то С=т^А.
Для коммутативной, или абелевой, группы, в которой порядок со-
сомножителей несуществен, т. е. ВА=АВ, получим, очевидно, С = А.
Произведению С соответствует параметр
с=<р[6, Ф(а, В)]. C.18)
Для бесконечно малых преобразований
А=1 + о*Х/, В = 1+*%. C.19)
Запишем произведение
С = ВАВ-« = I + of X, - а1 Ы (X, X/ — X/ X,) = I + a' Xj',
C.20)
где
Х/=Хг—ИХгХ,—Х/Х*). C.21)
С другой стороны,
С = 1 + с*Х«, C.22)
причем согласно C.17)
Х;=^-Хй. C.23)
Найдем теперь параметр ск. Учитывая функциональную зависи-
зависимость C.18), запишем с точностью до второго порядка
Ф* (а, Ь) = а* + bk + fa оШ + ft а* а1 + # Ы К
Так как ф(а, 0)=а и ф@, Б) =5, то коэффициенты /'=/"=0.
27
Поэтому
с* = а* + fjt (Ы а1 — Ы V — а) Ы), C.24)
где мы учли, что вблизи начала координат 5=—Ь.
Дифференцируя C.24) по а*, получим
tf + {fit - fid bf = в? + (Hi b'\ C.25)
да1
где
антисимметричные комбинации (сцк=—сцк), называемые струк-
структурными константами.
Подставляя C.25) в C.23), найдем
Xi' = Xi—XkCi,*bi. C.26)
Сравнивая теперь C.26) с C.21), приходим к замечательному
соотношению
C.27)
или в краткой записи
[Хи Xj\=cu*Xh. C.28)
Выражение
[X/, Х/]вХ*Х/—Х/Х/ C.29)
называется коммутатором и удовлетворяет очевидному условию
антисимметрии
[X,, Х/]=-[Х/, ХЛ C.30)
а также тождеству Якоби
[[Х„ Х7], X,] + [[Х„ X,], Ху] + [[ХЛ XJ, XJ = 0. C.31)
Последнее тождество легко проверяется на основании определе-
определения коммутатора. Оно накладывает очевидное условие на струк-
структурные константы.
Соотношение C.28) не зависит от конкретного представления.
Это ясно хотя бы из того, что явный вид представления при его
выводе не использовался. Поэтому и структурные константы так-
также не зависят от представления. Они представляют собой инди-
индивидуальные характеристики группы Ли, генераторы которой удов-
удовлетворяют коммутационным соотношениям C.28). Мы увидим
в дальнейшем, что по операторам бесконечно малых преобразо-
преобразований может быть восстановлена и вся группа конечных преоб-
преобразований.
Заметим, однако, что явный вид коммутационных соотноше-
соотношений и структурных констант зависит от выбора параметров, опре-
определяемых, как мы знаем, неоднозначно. При этом сцк являются
28
тензорами относительно линейных преобразований а\ как это»
следует из их определения.
Линейное пространство, образованное генераторами группы
Ли, называется алгеброй Ли. В этой алгебре произведения эле-
элементов определяются в виде коммутаторов C.29), а в качестве
условия ассоциативности выступает тождество Якоби C.31).
Знания алгебры Ли, т. е. генераторов и структурных кон-
констант, достаточно для построения самой группы Ли, т. е. всех
конечных элементов, образующих группу. Для того чтобы пока-
показать это, предположим, что в группе G имеется однопараметри-
ческая подгруппа*, т. е. подгруппа, элементы которой Т* аддитив-
аддитивно зависят от одного параметра t:
T,,T«. = T,1+fc. C.32>
Это означает, что в окрестности нуля в параметрическом прост-
пространстве задана кривая
а'=а'(*Ь а<@)=0, C.33)
а закон умножения имеет вид
=^(a(tl)9 a{t2)). C.34)
Последнее соотношение можно рассматривать как функциональ-
функциональное уравнение для определения зависимости C.33).
Рассмотрим представление однопараметрической подгруппы
в пространстве параметров
C.35)
Ясно, что в данном представлении генератор имеет вид: Xt=d/dL
Продифференцируем теперь обе части равенства C.35) по пара-
параметру т и используем равенство d/dt=d/dx, следующее из адди-
аддитивности группы. В результате получим
аТ4 C.36>
dx w dt L
или
a' (/) = л^ 1таг (j). (о. 37)
Отсюда следует операторное уравнение
^Ь.=Х-ТТ. C.38)
* Подгруппой 'называется часть множества' элементов группы G, которая
сама по себе образует группу с тем же законам умножения.
29
Решением этого уравнения с начальным условием То = 1 является
ряд:
имеющий бесконечный радиус сходимости по т. Коротко он может
быть записан в виде операторной экспоненты
Тт=ехр(тХт), C.40)
явным образом удовлетворяющей условию аддитивности C.32).
Это решение, полученное в представлении C.35), согласно сказан-
сказанному выше должно быть справедливо в произвольном представ-
представлении. Выражения C.39), C.40) позволяют найти оператор про-
произвольного конечного преобразования данной однопараметричес-
кой подгруппы по соответствующему генератору.
Пользуясь неоднозначностью выбора параметров, зададим
теперь параметризацию группы таким образом, чтобы закон ком-
композиции был аддитивен, т. е.
для каждого t=l, 2, ..., г. Такая система параметров называется
канонической.
Придавая одному из параметров, например а\ произвольные
допустимые значения аг'=т и полагая остальные параметры ak =
= 0 (кф1), получим однопараметрическую подгруппу. Ее опера-
операторы могут быть построены согласно соотношению C.40) в виде
Тв«=ехр(с'Х/). C.41)
В этой формуле нет суммирования по t, а генератор Хг==<?/даг*.
Подобным же образом могут быть получены однопараметри-
ческие подгруппы, соответствующие остальным параметрам ak.
Общее число таких подгрупп равно числу параметров г.
В теории групп доказывается в общем виде, что любой эле-
элемент группы либо является элементом однопараметрической под-
подгруппы, либо может быть представлен как произведение таких
элементов (теорема Ли*). Таким образом, мы имеем возможность
по операторам бесконечно малых преобразований (генераторам)
восстановить всю группу. Мы не будем доказывать эту матема-
математическую теорему в общем виде. Вместо этого мы продемонстри-
продемонстрируем построение группы по однопараметрическим подгруппам на
конкретных примерах групп преобразования координат: группы
трансляций, трехмерных вращений и группы Лоренца.
Прежде всего запишем явный вид генераторов в координат-
координатном представлении. Рассмотрим преобразование координат
* См.: Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. — М., 1974.
30
зависящее от г параметров аК Вблизи тождественного преобразо-
преобразования xv=fv(x> 0) имеем
х'и = д:^ + dx» = x»+ \dflL(x:a) ] а*. C.42>
L да1 J а=о
Рассмотрим произвольную скалярную функцию координат
ty(x). При преобразовании координат х-*Тх она не меняется:
Отсюда следует закон изменения формы функции, компенсирую-
компенсирующего преобразования координат
Для инфинитезимальных преобразований имеем
-ф' (х) = ty (x) + dx* — ,
где dx*1 соответствует обратному по отношению к 'C.42) преобра-
преобразованию координат
dx»
так что
L да1 1 а=0
Таким образом, генераторы преобразования будут таковы
Л^* — — I ——^———— I ——— # ^О.тсО^
L dai J а==0 ад-^
б) Примеры непрерывных групп преобразований
Опираясь на введенные выше понятия, покажем теперь, как
могут быть построены основные группы, используемые в теории
поля.
/. Труппа трансляций
Рассмотрим преобразования координат
C.44)
где а^ — 4-вектор пространства Минковского, не зависящий от
х*. Это — непрерывные преобразования, образующие группу Ли
с четырьмя параметрами а=(а°, а1, а2, а3) — группу трансляций.
Параметрическое, или групповое, пространство в данном случае
совпадает с х-пространством, т. е. пространством Минковского.
В дальнейшем, как это принято в литературе, мы будем рас-
рассматривать преобразования координат, связанные с перемещением
точек пространства, соответствующих положению физических
31
объектов, при неизменном базисе. В данном случае изменение
координат C.44) происходит за счет параллельного переноса
(трансляции) всех объектов на постоянный вектор а*1. Подставляя
закон преобразования C.44) в общую формулу C.43), получим
да* Jfl=o dxv дх*
Таким образом, генераторами трансляции являются производные
Х^—д/дх» (|л = 0, 1, 2, 3). C.45)
Поскольку параметры а& аддитивны, то по каждому из них мож-
можно построить подгруппу вида
Г,=ехр(—а»д/дх») (^ = 0, 1, 2, 3), C.46)
где суммирование по \х не производится.
Очевидно, что действие оператора трансляции C.46) на
«функцию i|*=i|)(x) приводит к преобразованию компоненты х* при
неизменных остальных компонентах xv(v=
дх»
Алгебра генераторов группы коммутативна
[XX]
х
=0.
[|lfv]
дх* дх* dxv дх»
Поэтому оператор общего преобразования Та, т. е. трансляции
вдоль вектора а, можно записать как произведение четырех по-
последовательных трансляций вида C.46)
Та = ТоТ1Т2Тз, C.47)
причем порядок их следования произволен. Это дает возможность
переписать C.47) в виде
Та = ехр (—а»д/дхР), C.48)
где по индексам |л производится суммирование от 0 до 3.
Заметим, что пространственная часть оператора C.48) Та =
«=ехр(—aV) представляет собой оператор пространственных
трансляций. Соответствующий генератор — V связан с квантово-
механическим эрмитовым оператором импульса Р = —iftV.
2. Группа вращений на плоскости
Поворот в плоскости ху вокруг оси z на угол ф приводит к
преобразованию координат
х'=х cos <р—у sin <p,
у'=х sin ф+у cos <p. C.49)
32
Отсюда следует матричное представление операторов группы Т,,
зависящих от одного параметра «р:
Область изменения параметра ф задает групповое пространство —
окружность: 0<ф<2я. Инфинитезимальное преобразование полу-
получим, полагая ф=6ф-^0:
где генератор в матричном представлении равен
В координатном представлении с помощью общей формулы
C.43) получим
д д д
р=0 ду ду дх
C.52)
Генератор преобразования функции я|)=1|>(ф)> зависящей от
угла ф, может быть найден по тому же правилу, что и генератор
преобразования функции координат C.43):
х р*±?> ^— * C.53)
L д<р1 ]ф!=о дф дф
Тогда для конечного вращения на угол Дф получим
ТДф = ехр (АФХф) = ехр (- Дф -|-j. C.54)
Матрица оператора ТФ C.50) ортогональна, так как вращение не
меняет длину вектора х2+у2=х'2-\-у'2. Отсюда следует
VTp-I, C.55)
т.е. транспонированная матрица — обратная по отношению к TV
Это ясно, впрочем, уже из C.50): при переходе к обратному пре-
преобразованию ф->—ф возникает транспонированная матрица.
Для бесконечно малых вращений запишем C.55) в линейном
приближении
A+бФХ^)A+бфХ,)=1,
откуда следует
V=—хФ
(антисимметрия матрицы генератора). Заметим, что генератор X,
связан с квантовомеханическим эрмитовым оператором проекции
момента на ось z (в единицах постоянной Планка ft)
2 Зак. 590 33
Тогда оператор конечных вращений записывается в виде
Тдф=ехр (—i
3. Группа трехмерных вращений 0C)
Общий элемент группы — оператор Тф — зависит от трех
параметров — компонент вектора ф=фп=(ф1, ф2, ф3), гдеп — еди-
единичный вектор (|п| = 1), |ф|<я, т. е —я<1ф<л. Все вращения
заключены внутри сферы радиуса я. Это есть параметрическое
пространство. Ясно, что это пространство конечно. Любые две
диаметрально противоположные точки на поверхности сферы
соответствуют тождественным преобразованиям — повороту на
180°. Поэтому такие точки отождествляются.
Выделим однопараметрические подгруппы. Пусть <р =
= (ф1, 0, 0) — поворот вокруг оси Ох на угол ф1. Координаты
преобразуются по закону
у'=у cos ф1—z sin ф1,
C.56)
z'=y sin ф*+? cos ф1.
Отсюда следуют матрица оператора ТУ.
/10 0 \
Tt = Особф1 — simp1 I C.57)
\ 0 sinqI cosqI /
и генератор в матричном представлении
/00 0\
Х± = 00 — 1 • C.58)
\01 0/
В координатном представлении получим согласно C.43):
Для вращений вокруг оси Оу запишем вектор ф=@, ф2, 0)
и аналогичным образом находим оператор конечных преобразо-
преобразований
/ собф2 0sitnp2\
Т, = | 0 10
ОсОБф2
генератор в матричном представлении
ООП
000 C.61)
-100/
34
и координатном представлении
Х2 = — (jt) 2_ V = - г^ + х-|-. C.62)
Наконец, для поворотов вокруг оси Ог, т. е. для ф= (О, 0, ф3),
имеем
/ СОБф3—SiTHp3O \
Т3= 81Пф8 СО8ф30 , C.63)
V 0 0 17
генератор в матричном представлении
/0-10\
Х3- 1 00 C.64)
\0 00/
и координатном представлении
= — ( у = —д; —^ + У . C.65)
\ ^ф3 / ду дх
В матричном векторном представлении матрицы генератора C.58),
C.61) и C.64) можно представить компактно в виде
/V \ /О CtC\
\&i) hi —&kiU (o.OO)
где вин — абсолютно антисимметричный единичный тензор
(ei23=l). Тогда поворот вектора г на малый угол бф вокруг произ-
произвольной оси п=бф/|бф| дает*
П = rk + (X,. 6фОл/ rt = rk + гш
т. е. формулу Эйлера:
г^г+бфХг. C.67)
Полученные генераторы вращений связаны с квантовомеханиче-
ским эрмитовым оператором момента
U-+Ki (i=l, 2, 3).
В координатном представлении с помощью C.59), C.62) и C.65)
найдем оператор момента импульса
L=—trXV,
а в матричном представлении C.66) запишем в виде
Можно непосредственно убедиться в том, что генераторы
удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям
[Хь Х2] = Х3, [Х3, XJ = Х2, [Х2, Х3] = Хх, C.68)
* Здесь и в дальнейшем декартовы координаты вектора г будем обозна-
обозначать так: ri=#, r2=у, гъ—г.
2» 35
или в общем виде
[X/, Х*]=ещХ/. C.69)
Соответственно для эрмитовых генераторов — компонент момента
получим
[L/,
C.70)
Подчеркнем, что коммутационные соотношения C.69), C.70)
справедливы в произвольном представлении группы 0C), пара-
параметризованном углами <p*(i=l, 2, 3).
Рассмотрим однопараметрическую подгруппу вращений во-
вокруг фиксированной оси п на угол ф. Тогда, очевидно, генератор
этой подгруппы определяется по формуле C.17);
где п* — координаты единичного вектора п, т. е. направляющие
косинусы оси вращения.
Для общего элемента подгруппы получим
Тф = ехр (ф Хф) = ехр («р* X, + сра Х2 + ср3Х3).
C.71)
Заметим, что в силу некоммутативности группы, следующей
из соотношений коммутации C.69), оператор Тф, заданный ра-
равенством C.71), нельзя записать в виде произведения экспонент
вида
ехр (<р3Х3) ехр (<р2Х2) ехр
Это значит, что последовательными поворотами вокруг осей 1, 2
и 3 на углы ф1, ф2 и ф3 невозможно получить результирующий
поворот C.71) вокруг оси п на угол ф. Это возможно лишь для
бесконечно малых вращений в линейном приближении C.67).
Для конечных ф* результат последовательных вращений вокруг
разных осей зависит от порядка их следования. В этом прояв-
проявляется некоммутативность операции
вращения, что математически выраже-
выражено соотношением C.69).
Для описания произвольного вра-
вращения вместо параметров -ф* удобно
вдодить углы Эйлера, известные из ме-
механики твердого тела. При этом произ-
произвольный поворот можно записать как
последовательность поворотов на углы
Эйлера. Рассмотрим некоторое произ-
произвольное вращение базиса, изображен-
изображенное на рис. 3.1. Его можно представить
как произведение трех последователь-
Рис. 3.1. Углы Эйлера ных поворотов
J'
36
ТфЗф1ф'з = Тф'з Тф1 Тф«. C.72)
Операторы в правой части равенства соответствуют поворотам: Т<р* —
— вокруг оси 3 на угол ф3, Тф! — вокруг оси / на угол ср1 и Тф'з— во-
вокруг оси 3' на угол <р'3. Вращения Тф« и Тф'« производятся вокруг
вспомогательной оси / и новой оси 3'.
Поэтому им соответствуют новые операторы, отмеченные штриха-
штрихами. Их можно выразить через вращения вокруг исходных осей 1
и 3:
* ф*== 1 ф81 ф* 1 ф*,
) Тф- (Т;*Тфз)-1. C.73)
Подставляя C.73) в C.72), получим
Тфв Тф1 Тф'з. C.74)
Тем самым доказывается, что произвольный элемент группы О C),
параметризованный углами <р3, ф1 и <р/3 (углами Эйлера), может
быть представлен в виде произведения элементов однопараметри-
ческих подгрупп Ti и Т3. Как видно, для построения произвольно-
произвольного вращения оказалось достаточно двух подгрупп группы 0C).
Это есть следствие коммутационных соотношений C.69), связы-
связывающих три генератора группы. Ясно, что вместо пары осей 1
и 3 могла бы быть выбрана любая другая пара: 2, 3 или 3, 1.
4. Собственная группа Лоренца L+
Эта группа представляет собой группу псевдовращений в
4-мерном псевдоевклидовом пространстве, не изменяющих длину
4-вектора
(*°Р—х*= (*'°J—x/2=inv. C.75)
Рассмотрим однопараметрические подгруппы b\.. Псевдопо-
Псевдоповорот в плоскости 01 приводит к преобразованию координат
х99 х*->х'°, х'1 при неизменных координатах х2 и дс3. Запишем это
преобразование в соответствии с B.8)
C.76)
где параметр ф1 связан со скоростью движения, собственной сис-
системы отсчета v вдоль оси 1 соотношением Шф1=^/с. Ясно, что
J3.76) удовлетворяет C.75). Матрица преобразования C.76), за-
задающая представление группы L\. в пространстве Минковского,
37
имеет вид
'chqI sh<pl О О
0 0 10
0 0 0 1
C.77)
Легко убедиться в том, что параметр «р1 аддитивен:
и поэтому его использование вместо скорости v предпочтитель-
предпочтительнее. Параметры ф1 обычно называют быстротами.
Инфинитезимальное преобразование получим, устремив ф1 к
нулю,
где генератор группы Хх = (д/ду1) Т~, |~, = 0 равен
О 1
1 О
о
о
о
C.78)
Здесь нулевые 2X2 блоки матрицы обозначены кратко одной
цифрой 0.
Аналогично получаем другие подгруппы псевдовращений. Не
выписывая конечных преобразований, которые все имеют тот же
вид, что и C.76), представим инфинитезимальные псевдоповоро-
псевдоповороты в плоскости 02
О
Го
00
1 О'
О О
C.79)
в плоскости 03
C.80)
Остальные преобразования группы LJ. являются обычными по-
поворотами, не затрагивающими временную координату х°. Они
принадлежат группе 0C), составляющей подгруппу L\~. Соот-
Соответствующие генераторы однопараметрических подгрупп с пара-
параметрами ф1, ф2 и ф3 получаются из найденных ранее C.58), C.61)
38
и C.64) добавлением нулевой строки и нулевого столбца, а имен-
но
C.81)
Таким образом, собственная группа Лоренца задается шестью па-
параметрами: ф1, <р2, ф3 и ф1, ф2, ф3. Шесть генераторов группы X* и
Хг (*#=1, 2, 3) могут быть обозначены более симметрично, если
вместо одного индекса t=l, 2, 3 ввести пары индексов а, р, изме-
изменяющихся в пределах а, р=0, 1, 2, 3, согласно правилу
= 1,2,3),
C.82)
т. е. Xi2=X3 и т. д., Xi0—Xi и т. д. Тогда матрицы генераторов
C.78), C.79), C.80) и C.81), как легко убедиться, могут быть
записаны более компактно в общем виде
(Xo*tf = #**-eggw, C.83)
где да? — символ Кронекера (fx, а=0, 1, 2, 3), gv?l — метрический
тензор. Опуская индексы, получим
(Хар)мл> = gm gv$ — g»$ gva- C.84)
Эта компактная запись матричного представления генераторов
группы Лоренца весьма удобна для дальнейшего использования.
Отметим свойство антисимметрии матрицы C.84)
(Х«р) nv = — (Xap)v м> C.85)
причем XaP=—XPa.
Непосредственным вычислением устанавливаем следующее
значение коммутатора генераторов псевдовращений
[Xi, Хг] =—Хз
и аналогично для остальных коммутаторов Х*. В общем виде
[Xi, X,] =— sijkXk. C.86)
Точно так же можно получить остальные коммутаторы:
[Х/,Х,]=8гА C.87)
[X,, XjJ-ewXfe. C.88)
39
Последнее соотношение C.88), очевидно, совпадает с коммутато-
коммутатором C,69) генераторов группы 0C), являющейся подгруппой
4-
Произвольное инфинитезимальное преобразование собствен-
собственной группы Лоренца имеет вид
*'» = *» + [бф'Х, + 6$* X ,]? х\
Аналогично тому, как это было сделано для группы 0C) можно
показать, что и в группе Лоренца произвольное преобразование
может быть составлено из однопараметрических подгрупп, напри-
например
Л=ТФ>Т^ТФ, C.89)
где Тф и Тф' — матрицы группы трехмерных вращений.
§ 4. ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ
В первых трех параграфах мы рассмотрели метод Лагран-
жа — Гамильтона для систем с бесконечным числом степеней
свободы, позволяющий получить уравнения поля в общем виде,
исходя из принципа стационарного действия. Были рассмотрены
также основные свойства преобразований в пространстве Минков-
ского СТО, приводящие к понятию группы Лоренца. В связи с
этим были приведены некоторые сведения из теории групп и в
особенности групп Ли (непрерывных преобразований). Объедине-
Объединение этих двух методов — метода Лагранжа — Гамильтона и
группового метода — приводит к известной теореме Эмми Нетер,
опубликованной в 1918 г. в Геттингене. Эта теорема приводит к
выводу о существовании при определенных условиях интегралов
движения (динамических инвариантов) для системы полей. Более
того, она дает способ построения полного набора таких интегра-
интегралов для любой полевой системы с заданной лагранжевой функ-
функцией, инвариантной относительно некоторой группы непрерывных
преобразований.
а) Теорема Э. Нетер
Рассмотрим некоторую непрерывную группу преобразований
координат: x-*x'=f(x, а). Пусть имеется система полевых функ-
функций иА=иА(х), осуществляющих линейное представление этой
группы
()(
D.1)
А =1,2, ...,#.
Инвариантом группы называется такая функция (или функцио-
функционал) /, для которой выполняется условие
1(х,и(х), ди/дх,...) =±/(*',и'(*')> ди'/дх',...).
40
В частном случае запишем функционал
, D.2)
где интегрирование распространяется на любую действительную
область х и мы ограничились зависимостью SB только от первой
производной ди/дх. Таким образом, S представляет собой дейст-
действие с переменным-и границами интегрирования, а^ — плотность
функции Лагранжа. Инвариантность функционала S означает ра-
равенство
S = f d4 x $ (х9 и, ди/дх) =§d*x'<? (*', и\ ди'/дх') D.3)
при любых преобразованиях D.1).
Рассмотрим вариацию 5
8S = Jd**' JSJ (*', и' (*'), ди'/дх') — J # # J? (*, ы(х)9 ди/дх).
D.4)
Выделим отдельно часть вариации, связанную с изменением
координат х-+х'=х-{-8х, и вариацию за счет изменения формы
функций иА(х):
иА (х)-+и'А (х) = иА (х)
Вариация формы ЬиА без изменения координат называется
локальной вариацией. Полная вариация
8иА = и'А (х') — иА (х) =8иА (х) + ^— 6*v D.5)
называется существенной вариацией функции иА. Вариация лаг-
ранжевой плотности может быть представлена в виде
^ D.6)
dxv
где bSB — вариация SB за счет вариации формы функций и, а
дифференцирование подразумевается с учетом как явной, так и
неявной зависимости SB от х. Элементы 4-объема в новых и ста-
старых координатах связаны соотношением
dx*
dxv
Оценим величину якобиана перехода с линейной точностью. Вос-
Воспользуемся тождеством
D.7)
41
справедливым для любой матрицы А. В линейном приближении
для матрицы A = \\dx'V'Jdxv\\ имеем
(In А)^ = In (8?
Тогда тождество D.7) дает в том же приближении
det А = ехр(д8х»/дх») = 1 +д8х»/дх».
Отсюда находим связь
В целом для действия получим
6S = Г Ф х ( б 2 + — {X 6^I ^ D.8)
J У dxv )
Вариация формы Ь& имеет вид
Ъ<? = UL s ua + JJL Stf D.9)
duA df
В силу локальности вариации 5ыА имеем
6h?v = —SV. D.10)
dxv
Подставляя D.9) в D.8) с учетом D.10), после элементарных
тождественных преобразований запишем 65 в виде
где функциональная производная равна
&S _ д?д д %
buA ~ duA dxv duAv
Пусть действие инвариантно, т. е. выполнено условие D.3),
тогда 65=0, и в силу произвольности области интегрирования
получим из D.11)
Л[1?ЪА=0. D.12)
Вспомним теперь, что преобразования D.1) образуют груп-
группу. Поэтому
6uA(x) = (Xl)iu^(x)8al, i = 1,2, ...,л D.13)
42
Здесь (Xi)^ и (Хг)вА — генераторы группы соответственно в я-и
^-представлениях. Поскольку все а1 независимы, то коэффициен-
коэффициенты перед каждой вариацией 6а* в D.12) должны независимо об-
обращаться в нуль. Таким образом, приходим к теореме, сформули-
сформулированной Эмми Нетер следующим образом.
Если функционал S инвариантен по отношению к г-парамет-
рической группе Ли, то г линейно независимых комбинаций функ-
функциональных производных 8S/8uA обращаются в дивергенции.
В действительности мы обычно имеем дело с вариационной зада-
задачей, т. е. функции поля иА удовлетворяют уравнениям Лагранжа
= 0.
Поэтому из равенства D.12) следует
д
Учитывая выражения для вариаций D.5) и D.13), находим
9 f"(X;)
В силу независимости вариаций параметров Ьа1 из последнего
уравнения получаем г уравнений неразрывности
— /?=<>(*.= 1,2 г) D.14)
dxv
для токов Нетер, определенных равенством:
д = _ <? (X,); х» + -^?- \и\ (Х^ х^ — (Х,)б ^в]. D.15)
dttfv
Уравнение D.14) может быть записано также в интегральной
форме
д
=0,
D.16)
где интегрирование распространяется на произвольный объем
пространства Минковского.
Воспользуемся теоремой Гаусса и перепишем D.16) в виде
поверхностного интеграла по границе объема:
dxv
J
D
Здесь dav — проекция элемента гиперповерхности а, охватываю-
охватывающей 4-объем, на 3-плоскость, перпендикулярную к оси xv, а имен-
именно йоо=AххAхгAхг, doi=dx?dx2dx3 и т. д. Предположим, что поля
43
и вместе с ними токи /Л (v=l, 2, 3) обращаются в ноль на про-
пространственной бесконечности, т. е.
| 0 (v =
|Г|-ИХ>
Тогда, выбирая объем интегрирования так, чтобы в пространст-
венноподобных направлениях он простирался до бесконечности,
получим из D.17)
= j J°id?x. D.18)
В этих интегралах dsx=dxidx2dx3=do0 — элементы 3-объемов,
т. е. по существу элементы площадей гиперплоскостей, отвечаю-
отвечающих постоянным значениям t=ti и t=t2 соответственно. Вводя за-
заряды Нетер
получим как следствие D.18), что они не зависят от времени:
dQi/dt=O (i=l, 2,...,r).
Таким образом, приходим к другой формулировке теоремы
Нетер: если действие — инвариант r-параметрической группы Ли,
то в силу уравнений поля получаем г сохраняющихся во времени
интегралов (динамических инвариантов — зарядов Нетер):
Q. = j j°iCPx =const(t = 1,2 г). D.19)
Уравнения D.19) записаны не в ковариантной форме, поскольку
время явно выделено. Ковариантные уравнения можно написать,
если при интегрировании в D.17) вместо гиперплоскостей t=const
ограничить объем во времениподобных направлениях пространст-
венноподобными поверхностями *, предполагая, что в пространст-
венноподобных направлениях объем простирается до бесконеч-
бесконечности, причем токи Jiv в этих направлениях убывают до нуля.
Тогда вместо D.19) получим
Q. e= f Д d crv = const. D.20)
b
Здесь заряды определены как интегралы по пространственно-
подобным поверхностям, причем они, как видно, не зависят от
пространственноподобной поверхности сг;
Заметим, что токи Нетер определены неоднозначно, так как
к ним могут быть добавлены дивергенции от любых антисиммет-
антисимметричных тензоров f^v=—fi^. Действительно, в этом случае урав-
* Пространственнаподобная поверхность обладает тем свойством, что нор-
нормаль к ней в. любой точке является времениподобным вектором, и, следова-
следовательно, любые две точки поверхности разделены пространственноподобным
интервалом.
44
нения неразрывности D.14) не нарушаются, поскольку для анти-
антисимметричного тензора имеем
Более того, сохраняющиеся заряды Q* не изменяют свой вид, так
как
где на ограничивающей трехмерный объем поверхности, по кото-
которой берется последний интеграл, поля, а вместе с ними и fok,
предполагаются равными нулю.
б) Тензор энергии-импульса, момент поля
Рассмотрим интегралы, возникающие из требования инва-
инвариантности действия относительно преобразований группы транс-
трансляций и собственной группы Лоренца.
При преобразованиях трансляции хУ=хУ-\-6аУ функции поля
не преобразуются: и'А (х!) = иА (х). Поскольку
то
(Ха)^=ба*. D.21)
В то же время 6wA = 0, и поэтому
(Ха)вА = 0. D.22)
Подставляя D.21) и D.22) в определение тока Нетер D.15),
получим величину
TJ=l^-u*a-28l, D.23)
dt\v
называемую каноническим тензором энергии-импульса поля. За-
Заметим, что верхний индекс записан несколько правее нижнего с
тем, чтобы оставить место для поднятого индекса при переходе от
смешанного тензора D.23) к контравариантному
JLJL иА>* _ % g*v D.24)
По теореме Нетер из инвариантности действия относительно
трансляций 65 = 0 следует уравнение неразрывности
=0 (а = 0,1,2,3). D.25)
Интегральный закон сохранения имеет вид
j T«° d3 х =const = Iм (а = 0,1, 2,3), D.26)
45
где интегрирование проводится по всему объему, занятому полем.
Величины Ра представляют собой компоненты 4-импульса поля.
Действительно, запишем
Тоо e M-ti-Х = Ж. D.27)
durt
Как вдцно, Г00 компонента тензора энергии-импульса совпадает с
гамильтоновой плотностью Ж поля. Поэтому объемный интеграл
Р° = j &хЖ = J d3x 7™ D.28)
определяет полную энергию поля. Остальные компоненты в силу
ковариантности величины Ра являются компонентами полного им-
импульса поля
f C^ (fe = 1,2,3). D.29)
Таким образом, вследствие однородности пространства-времени,,
выраженной условием 65=0 при х-+х+6а, получаем закон сохра-
сохранения полного 4-импульса поля: Pa=const. Следует заметить, что
при наличии нескольких взаимодействующих полей различной
природы сохраняется суммарный 4-импульс этой системы. В этом
случае в определении тензора энергии импульса D.23) под индек-
индексами Л, по которым производится суммирование, подразумевают-
подразумеваются совокупные индексы, обозначающие не только компоненты по-
поля, но и тип поля.
Рассмотрим теперь собственные преобразования Лоренца. Ис-
Используя обозначения параметров и генераторов группы при по-
помощи двух индексов C.82), запишем вариации координат и функ-
функций поля
D.30)
где a12=iqp3 и т. д., а10=^ и т. д. Для пространственной части тока
Нетер, не связанной с преобразованиями функций поля, из опре-
определения D.15) получим
du,v
где Tov — тензор энергии-импульса, определенный равенством
D.23). Вспоминая явный вид генератора группы Лоренца
D.31)
найдем
lZfi = TZxfi — 1%xa. D.32)
46
Величины Lvap D.32) образуют тензор третьего ранга — тензор
орбитального момента, или момента импульса поля, антисиммет-
антисимметричный, как видно из определения, по нижним индексам
/ЛР = — LV.
Рассмотрим теперь полевую часть тока Нетер, связанную с
Преобразованиями функций поля
^g D.33)
Эти величины образуют тензор третьего ранга — тензор спиново-
спинового, или собственного момента поля, характеризующий трансформа-
трансформационные свойства поля относительно пространственно-временных
вращений (поляризационные свойства).
Для вычисления 5vaP нужно знать представление генераторов
ХаР в пространстве функций поля иА. Если поле скалярное (одно-
компонентное), т. е. u/(x')=u(x)t то (ХаеЬА=0, и следовательно,
Если поле векторное, т. е. иУ(х) (v = 0, 1, 2, 3), то генераторы
(XaP)nv определены равенством D.31). Для спинорного поля необ-
необходимо знать спинорное представление группы Лоренца (см.
ниже).
Уравнение неразрывности
? = о
описывает сохранение полного момента поля, т. е. суммы
Если поле скалярное, то SvaP = 0, и, следовательно,
д
дх*
Отсюда
т. е.
Таким образом, в случае скалярного поля канонический тензор
энергии-импульса симметричен. В общем случае канонический
тензор не обладает свойством симметрии, однако, добавляя к нему
дивергенцию антисимметричного тензора
47
мы можем симметризовать его. Полученный таким путем симмет-
симметричный тензор называется метрическим тензором энергии-им-
энергии-импульса.
Интегрируя компоненты L°ap и S°a$ по 3-пространству, по-
получим
= I fix Sla, D.34)
соответственно тензоры момента импульса (орбитального мо-
момента) и спинового (собственного) момента поля, обладающие
свойством антисимметрии
В общем случае полей произвольной природы сохраняется их
сумма:
Пространственные компоненты L\k
L2z — Lif L3i = L2, Li2==L3 D.35)
образуют аксиальный вектор момента импульса поля
Lt = JLгшLkl (t, k, I = 1,2, 3). D.36)
Соответственно для собственного момента поля получим
S/ = Y8'*Sw D'37)
вектор спина поля. Таким образом, изотропность пространства,
т. е. условие 6S=0 при пространственных вращениях, приводит
к сохранению полного суммарного момента всех взаимодействую-
взаимодействующих полей
Li+Si = const (t=l, 2, 3). D.38)
§ 5. СПИНОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ 0C)
Мы уже познакомились с тензорными представлениями груп-
группы Лоренца и группы вращений. Это — однозначные представле-
представления, поскольку можно установить одно-однозначное соответствие
между элементами абстрактной группы и матрицами ее опреде-
определенного тензорного представления. Физический смысл, однако,
имеют и двузначные представления группы 0C) — так назы-
называемые спинорные представления.
а) Группа SUB)
Рассмотрим линейное двумерное комплексное пространство
векторов (спиноров)
с=с^+с2е2 E.1)
48
с комплексным базисом et и е* Будем обозначать компоненты
вектора с, т. е. спинор, столбцом, а компоненты базиса — строкой:
Ы = (ег,е2). E.2)
Определим скалярное произведение векторов с и d следующим
образом
(с, d) =c*1d1 + c*^2=c+d, E.3)
где
С+=(С*4, С*2). E.4)
Рассмотрим линейное преобразование в этом пространстве
с'=Ш. E.5)
Предположим, что это преобразование является унитарным,
т. е. сохраняет инвариантным скалярное произведение:
(c9 d) = (с\ d') =i'nv. E.6)
Запишем условие E.6) в явном виде
Отсюда следует свойство матрицы U:
U+=LM. E.7)
Подобные матрицы называются унитарными. Предположим далее,
что матрицы преобразования являются унимодулярными, т. е.
удовлетворяют условию:
detU=l. E.8)
Матрица общего линейного преобразования имеет вид
U = M, E.9)
где а, р, у, б — произвольные комплексные числа. Тогда линейное
преобразование компонент вектора записывается следующим об-
образом
с/2=^1+бс2. E.10)
Соответственно для базисных векторов преобразование e/=eU
можно также записать в явном виде
E.11)
49
Требование унимодулярности E.8) приводит к условию
аб—р7=1. E.12)
Легко убедиться, что обратная матрица при условии E.12)
имеет вид
— Y
Поскольку
U+ = К Я
то условие унитарности E.7) дает
а*=в, у*=—р.
Таким образом, унитарное унимодулярное преобразование
имеет вид
с'2=—p*c'+a*c2; E.13)
его матрица
(&) EЛ4)
зависит от трех вещественных параметров, так как четыре веще-
вещественных числа ai, аг, Pi, Рг(а=а1+т2, P = Pi+*P2) подчинены
одному условию
аа*+рр*-1. E.15)
Легко убедиться в том, что множество матриц U вида E.J4) при
условии E.15) образует группу. Действительно, произведение
унитарных унимодулярных матриц есть матрица того же типа,
для всякой матрицы U имеется обратная матрица U-1, так как
detU= 1=^0, а единичная матрица I принадлежит тому же мно-
множеству. Эта группа специальных (унимодулярных) унитарных
матриц преобразования линейного комплексного двумерного про-
пространства обозначается Sf/B). Групповое пространство SUB) —
поверхность сферы в четырехмерном действительном пространстве:
Рассмотрим следствия, к которым приводят условия унимоду-*
лярности и унитарности преобразований группы. Для двух векто-
векторов cud имеем
Пусть detU=l, тогда составим квадратичную комбинацию
с'Ч'2 — с'Ч'1 = (ас1 + рс2)
— (ус1 + бс2) (ad1 + pd2) = (аб —
SO
и в силу условия E.12) получим
c'id'2—C'2d'i = cld*—c2dl = inv. E.16)
Отсюда следует, что компоненты с2, —с1 преобразуются кова-
риантно по отношению к компонентам базиса, т. е.
(с2, -с*)~(еи е2), E.17)
и образуют ковариантный вектор.
Далее, в силу условия унитарности имеем
и поэтому с*1 и с*2 преобразуются ковариантно с е4 и за, т. е.
также образуют ковариантный вектор
(c*S c*2)~(*i. ей). E.18)
Наконец, компоненты с*2 и —с*1 преобразуются при унитарных
преобразованиях контравариантно по отношению к с2, —с1 и, сле-
следовательно, ковариантно с с\ с2, т. е. образуют контравариантный
вектор
б) Линейные представления SUB)
Рассмотрим линейное пространство, базисными векторами
которого служат однородные произведения векторов ei степени:
Л'=1, 2, 3,4,...:
е»9е»-*еШ9...,е». E.20>
В случае N=1 получим, очевидно, исходное двумерное пространст-
пространство. Вообще же линейное пространство векторов
имеет размерность ЛГ+1. При линейных преобразованиях базиса
исходного пространства E.11) e-*eU базисные векторы E.20)
также преобразуются линейно, так как в результате получаем
еУ-*е1-> {аег + ye^lfa + 8e2)*9 E.22>
линейную комбинацию однородных членов вида E.20). Таким
образом, мы получаем линейные представления группы SUB).
Вместо N обычно вводят полуцелое число /=N/2=1/2, 1, 3/2,... и
тогда размерность пространства представления будет равна
Л7+1 = 2/+1. Для N=1 получим /=1/2; это представление группы
SUB) в самой себе — спинорное представление. Для N=2 (/=1)
размерность представления равна 2/+1=3 — это векторное пред-
представление группы SUB).
51
Рассмотрим трехмерное векторное представление (/=1) более
подробно. Пространство представления состоит из векторов
с = &е\ + сЧге2 + сЧ\ = g% + 1Чг + g2e2, E.23)
где мы ввели новый_ базис е0 = e\lY% 8i — е^, Ч = e\lV% и новые
компоненты g° = V2 с0, g1 = с\ |2 = /2 с2.
Вектор E.23) можно представить в виде произведения двух
векторов й—&Чь-\-йгег и g=giei+g2e2. Поэтому квадратичная ком-
комбинация
(с1J — 4с°с2 ~ (d}g2 + dtg1J — 4d}g42g2 = (d^g2 — d2gxJ = inv E.24)
в соответствии с E.16) является инвариантом векторного пред-
представления SUB). Вместе с тем инвариантом является также сле-
следующая величина
= inv, E.25)
в силу унитарности спинорного представления SUB) E.6V Таким
образом, векторное представление E.23) группы SUB) также
унитарно. Рассмотрим преобразование ?°, g1, §*->x, у, z:
*в_-?-(Р_Р),у = _-?_(Р + е»), 2 = ?. E.26)
Равенство E.26) задает унитарное преобразование подобия в
лространстве представления
E.27)
Обратная матрица равна V-1==V+. Преобразование E.27) остав-
оставляет инвариантным скалярное произведение
|€0|2+|51|2+U2l2=^+y2+^. E.28)
Если матрицу преобразования E.22) в пространстве ?°, g1, g2
обозначить через Di, то эквивалентное представление в прост-
пространстве х9 у, z осуществляется матрицей, связанной с Di соотно-
соотношением (см. § 3)
D/=VDiV+ E.29)
Сумма квадратов новых компонент
х2 + у2 + 22= (с1J-4сос2 =|g°l2 + ИМ2 + 1?Т E.30)
в силу E.24) или E.25) также является инвариантом группы.
Таким образом, преобразование D/ — векторное представление
SUB) — является вращением. Исследуем условия вещественности
52
этого вращения. Учитывая представление вектора с E.23) в виде
произведения d и g и переходя к компонентам E.26), получим
соответствие
x~d*g*—d*g*t у i (#&+&&),
z~d*4*+d*gK E.31)
В силу E.19) для преобразований группы SUB) имеем: g*~d*2,
g*~—d*1. Поэтому E.31) заменяется на следующее соответствие
преобразований
х (d2d*x + ЛГ»), у ~ i (dtd*1 — d4*2)9
z d4*x + d?d*2. E.32)
Как видно, х, у, z преобразуются, как вещественные комбинации
компонент спинора d, которые остаются таковыми всегда. Следо-
Следовательно, коэффициенты преобразования также должны быть ве-
вещественны, т. е. х9 у, z при преобразованиях D'i претерпевает
вещественные вращения из группы 0C).
Найдем явный вид матрицы вещественных вращений D'i.
Прежде всего, непосредственно применяя закон преобразования
базисных векторов е± и е2
получим
(е'о, e'i, 8/2
где
/ а2 /р р
L E.33)
а*
Проводя затем преобразование подобия E.29) с помощью матри-
матрицы E.27), найдем окончательно
2 2i
a*2 _(. p2 __ a2 _ p«2 a2 _J_ p2 _J_ a*2
2/ 2
i
. E.34)
Как видно, все коэффициенты матрицы E.34) вещественны. Пока-
Покажем теперь, что каждое вещественное вращение содержится в
представлении D^, т. е. построим оператор произвольного враще-
вращения — элемент группы О C).
53
Рассмотрим две матрицы из группы SUB) вида
А((»,)= . / 1), С(а3)= . E.35)
v — i sin ax cos аг j \ 0 е"*8 /
В представлении D^ из общего выражения находим матрицы
/10 0
- T2ai = 0 cos 2ax — sin 2ax 1, E.36)
\0 s j
/cos 2a3 — sin 2a3 0\
С (a3) ->• Т2аз = I sin 2a3 cos 2a3 0 I • E-37)
\ 0 0 1/
Первая из них E.36) совпадает с матрицей C.57) для пово-
поворотов вокруг первой оси на угол ф1 = 2аь а вторая E.37) — с мат-
матрицей C.63) для поворотов вокруг третьей оси на угол <р3 = 2а3.
В § 3 было доказано, что из поворотов такого типа можно по-
построить любое вращение 0C), если ввести углы Эйлера ф1, ф3„
<р'з:
ТфЗф1ф'з = Тф«Тф1Тф'з. C.74)
Поэтому общий элемент группы S?/B), параметризованный угла-
углами Эйлера и имеющий представление C.74) в группе 0C),
может быть найден как
В результате получим
— iехр -=¦ — 1 sin— ехр —т ^Y )cos-
E.38>
Однако соответствие Si/B) и 0C) не является взаимно-однознач-
взаимно-однозначным. Действительно, согласно общей формуле E.34) замена
U-^—U, т. е. а, р-^—а, —р, в силу квадратичной зависимости
D'i от а и р не меняет знака D'±. Поэтому представление D^ мат-
матрицами U, т. е. спинорное представление 0C)->¦??/B), является
двузначным. Очевидно, что единичному элементу 0C) соответст-
соответствуют две различные матрицы SUB):
0—1
54
В пределах малой окрестности I или —I можно установить одно-
однозначное соответствие с вращениями 0C), т. е. каждому вра-
вращению D'i с достаточно малым углом будет соответствовать
одно единственное унитарное преобразование U, близкое к I или
—I. При непрерывном изменении угла вместе с вращением D'i
непрерывно изменяется также и соответствующая матрица U.
Однако, когд'а вращение пробежит замкнутый путь D'i-^D'i, т. е.
<р1->-ф1+2я или <р3-мр3+2я, или ф3-мр/3+2я, матрица U перейдет
в —U. Стало быть, U — двузначная непрерывная функция вра-
вращения D'l
Найдем теперь генераторы SUB)9 осуществляющие спинор-
ное представление соответствующих генераторов группы 0C).
Согласно определению генераторов находим из E.35)
1
U
i-!
Аналогично E.36) получается матрица для поворотов вокруг
второй оси
2 Т } Vsln (ф2/2)
Отсюда получим генератор
Очевидно, что и в спинорном представлении генераторы X* удов-
удовлетворяют групповому коммутационному соотношению
C.69)
Построим эрмитовы генераторы по общему правилу (см. § 3):
Sk=iXk=-Lok. E.42)
Здесь введены эрмитовы матрицы
называемые матрицами Паули. Они обладают следующими свой-
свойствами
(XjOj = tcr3, a2a3 = iav а^г = ia2,
api + вы = О, 1Ф1, E.44)
,)» = I,
55
где I — единичная 2x2 матрица. В сжатом виде эти соотношения
записываются так
\GiOk = I6z7t+'fe*ft j<7j. E.45)
Заметим, что след матриц Паули равен нулю:
Spai = 0, E.46)
что является следствием унимодулярности преобразования
detU = I. Операторы конечных вращений вокруг &-й оси согласно
§ 3 могут быть записаны в виде
Uft = exp (<p*Xft) = ехр (- щк Sk) = ехр ( - -i- ФЧ). E.47)
В квантовой механике эрмитовы генераторы E.42) соответ-
соответствуют компонентам оператора спинового момента частиц со спи-
спином 1/2, а спиноры являются векторами пространства, в котором
действуют эти операторы. Собственные векторы операторов S*
описывают квантовомеханические состояния с определенными
значениями проекций спина на k-ю ось, равными +1/2 или —1/2.
§ 6. ВНУТРЕННИЕ СИММЕТРИИ ПОЛЕЙ.
КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Рассмотренные до сих пор преобразования обязательно за-
затрагивали координаты — пространственные координаты и, как в
случае группы Лоренца, также время. При этом функции поля
осуществляли представление группы преобразований, преобразуясь
по определенному закону вместе с координатами. Однако коорди-
координатными преобразованиями не исчерпываются возможные преоб-
преобразования функций поля. Существуют также так называемые
внутренние симметрии физических объектов — элементарных час-
частиц, отражающие их внутренние свойства, никак не связанные с
их возможными перемещениями в пространстве. Эти симметрии
проявляются при преобразованиях, не затрагивающих координа-
координаты и носящих название калибровочных преобразований.
а) Изотопические вращения
Предположим, что поле описывается комплексными функция-
функциями u(x)=Ui+iti2. Тогда, поскольку наблюдаемые величины, такие,
как, например, заряды Нетер — интегралы уравнений Лагранжа^
должны быть вещественными, они должны зависеть лишь от дей-
действительных квадратичных комбинаций функций поля. Отсюда
следует, что функция Лагранжа и, очевидно, действие этого поля
должны быть инвариантными относительно преобразований вида
и{х)-+и!(х) =eiau(x),
F.1)
и* (х) -+и*' (х) = е-*аи* (х),
56
где <х — непрерывный действительный параметр, не зависящий от
координат х. Калибровочные преобразования F.1) не затраги-
затрагивают координат, а изменяют лишь вид функций поля, которые
умножаются на фазовый множитель, равный по модулю единице.
Такие преобразования являются унитарными, т. е. не меняют
норму функций поля, и образуют однопараметрическую унитар-
унитарную группу 0A).
Инфинитезимальные преобразования имеют вид
u'(x) = (l+ia)u(x)9 u*'{x) = (l—ia)u(x). F.2)
Рассматривая и' и и*' как независимые друг от друга компо-
компоненты поля, запишем F.2) в виде
-?И("-(&).
откуда следует значение генератора
) F.4)
Согласно теореме Нетер, сохраняющийся ток Нетер, связанный с
преобразованиями, не затрагивающими координаты, равен
Здесь подразумевается матричное умножение трех сомножителей,
из которых первый образует строку, а последний — столбец.
Тогда, подставляя F.4) в F.5), найдем
г
u,v
Этот ток Нетер, обозначенный нами через /v, отождествляется с
электромагнитным током комплексного (и, стало быть, заряжен-
заряженного) поля и. В силу теоремы Нетер, он удовлетворяет уравне-
уравнению неразрывности
д Г
Г = 0, F.7)
а соответствующий заряд — электрический заряд — сохраняется:
Q = ГЛс/> = _f CcPx l^Lu—Щ- иЛ =const. F.8)
Таким образом, калибровочная симметрия U(l) приводит к
сохранению электрического заряда, который в силу абелевости
однопараметрической группы является аддитивным числом.
Если вместо и и и* в качестве независимых компонент поля
выбрать действительную щ и мнимую и2 части функций поля,
57
то вместо F.1) получим для щ и и2 следующий закон преобра-
преобразования
и\ = «icos a—u2sin а,
u'z= Uism a+«2cos а. F.9)
Это преобразование есть не что иное, как вращение базиса вокруг
третьей оси на угол а, принадлежащее группе 0A). Очевидно, что
это вращение происходит не в обычном пространстве, где задают-
задаются положения материальных объектов, т. е. не в конфигурацион-
конфигурационном пространстве, а в особом, внутреннем пространстве поля.
Аналогичным образом могут задаваться симметрии калибров-
калибровки, связанные с сохранением других аддитивных зарядов, таких,
как гиперзаряд, барионный заряд, лептонный заряд (см. ниже).
Преобразование F.9), как известно, является подгруппой
группы трехмерных ортогональных вращений 0C). Поэтому
вместо F.1) или F.9) можно рассматривать более общие преобра-
преобразования внутреннего пространства полей — вращения 0C) или
(для комплексных полей) — преобразования группы SU{2).
В физике элементарных частиц в настоящее время известно
несколько внутренних пространств различной природы. Одно из
них, введенное раньше всех и связанное с изотопической инва-
инвариантностью ядерных сил, носит название изотопического прост-
пространства. Соответствующие ортогональные преобразования назы-
называются изотопическими вращениями. Поскольку нам в данный
момент не важна конкретная природа внутреннего пространства,
то мы будем в дальнейшем для определенности рассматривать
именно изотопические вращения.
В качестве примера возьмем триплет пионов: яг-мезон,
я°-мезон и я+-мезон.
Заряженные компоненты триплета описываются комплексны-
комплексными функциями я~=?° и я+=?2, а нейтральная компонента — дей-
действительной функцией яО=|4.
В целом они образуют векторное представление группы
SUB). Переходя от комплексных компонент |°, I1, ?2 к действи-
действительным я1, я2, я3 с помощью известного преобразования подо-
подобия E.27)
/—10 1
-t4 — i 0 — i\ F.10)
/2 \ о ys о)
получим
Г(|0+12)> =?1- FЛ1)
и обратно
|о = _ 2/2 (Я1 — inn, V- = я3, |2 = 2~1/2 (я1 + иг2). F.12)
58
Пусть
^ -» g'° = е~Н\ I1 -* б'1 = 6l, S2 ->¦ Г2 = е*ф. F.13)
Тогда
—n2sin а,
a+n2cos a,
Это изотопическое вращение вокруг третьей оси. Оно представ-
представляет собой эквивалентное представление преобразования комп-
комплексных векторов F.13). Подобные преобразования уже рассмат-
рассматривались в § 3. Соответствующий генератор, как было показано,
равен
/О -1 0\
Х3= 1 00.
\0 0 0/
Возвращаясь к комплексному представлению F.13), получим
матрицу эрмитова генератора
I3=iX/3 = tV+X3V, F.15)
где V — унитарная матрица преобразования подобия F.10). В яв-
явном виде найдем
/1 0 0\
13= 0 0 0. F.16)
\0 0 —1/
Аналогично для других генераторов, используя ХА и Хг, опреде-
определенные в § 3, найдем
1 /0 1 0\ t /0— i 0\
I1=_L- 101, 12 = -^ t 0~i). F.17)
/2 Vo 1 0/ V2 \Q i 0)
Эрмитовы матрицы 1г = 1г+ (*=1, 2, 3) образуют оператор изоспи-
на в векторном представлении группы изотопических вращений
SUB). Они удовлетворяют обычным коммутационным соотноше-
соотношениям для операторов момента:
[1г, Ij] =i&ijklh' F.18)
Собственные значения матрицы 13 равны
/з=—1, 0, 1. F.19)
С ними можно связать заряд Q частиц — компонент триплета
пионов я~, я0, я+:
Q=/3. F.20)
59
Сохраняющийся заряд Нетер изовекторного поля F.12) в этом
случае не будет аддитивным, так как он состоит из трех компо-
компонент, составляющих вектор изоспина поля (&=1, 2, 3):
K.cf F.21)
где к. с. означает слагаемое, комплексное сопряженное первому.
В частности, для k=3 получим
Согласно F.12) ^2=—go*, и поэтому первое слагаемое в F.22)
действительно и равно второму слагаемому, так что вместо F.22)
можно записать
/3 = 21 Г [HL ?о *JL i*\ dH = 21 f
J V *S dftt ) J
13 \/Px. F.23)
Аналогичные равенства получаются для других компонент
изоспина поля, так что в общем виде
-1кУ*х. F.24)
В равенствах F.23), F.24) выражение, стоящее под знаком
интеграла, представляет собой матричное произведение строки
д9?\д\л матрицы Ь и столбца ?. Заметим, что суммарная проек-
проекция вектора изоспина поля /3 F.24) не совпадает с собственными
значениями F.19), поскольку поле представляет собой непрерыв-
непрерывную систему, а F.19) отвечает одночастичным квантовомеханиче-
ским состояниям. Лишь при вторичном квантовании (см. ниже
гл. III) удается определить состояния поля с определенным чис-
числом N=0, 1, 2, ...частиц, в которых суммарный изоспин поля
складывается из одночастичных значений F.19).
Рассмотрим теперь спинорное представление группы изотопи-
изотопических вращений SUB) в пространстве
с=с*ех+сЧг. F.25)
Примером подобного представления может служить дублет нук-
нуклонов: сх=п — нейтрон и с2=р — протон. Соответствующие гене-
генераторы
(k=lt 2, 3) F.26)
изото-
изотоF.27)
связаны с матрицами Паули ak (см. § 5), действующими в изото-
изотопическом пространстве F.25). Эрмитовы генераторы
60
определяют оператор изоспина в спинорном представлении изото-
изотопической группы, с теми же коммутационными соотношениями
F.18), что и для векторного представления.
Найдем сохраняющийся изотопический вектор изоспинового
поля F.25):
h = - f — (X,)8r c°d*x + к. с. = -i- f — Ыc*d*x + к. с. F.28)
J d(ff 2 J d(ff
В силу, действительности и изотопической инвариантности 9?
имеем, очевидно,
Поэтому для третьей компоненты находим
F.29)
эбщем
F.30)
и аналогично для остальных компонент. В итоге получим в общем
виде
где оператор изоспина равен
h = Y*k- F.31)
Таким образом для изоспинового поля получаем выражение изо-
изоспина поля F.30) в той же форме, что и для изовекторного поля
F.24).
Собственные значения матрицы 13 =—ог8 равны, как извест-
известно, —1/2 и +1/2. Они определяют одночастичные квантовомеха-
нические состояния изоспинового поля сх=п и соответственно
с2=р. Суммарный изоспин поля получает корректную интерпрета-
интерпретацию только после проведения процедуры вторичного квантования.
Нейтрон и протон имеют заряды соответственно Q=0 и Q =
= + 1. Мы видим, что эти значения сдвинуты относительно проек-
проекций изоспина /з=—1/2 и +1/2 на одну вторую:
F.32)
б) Динамические симметрии
Современная теория элементарных частиц предполагает на-
наличие более широких симметрии, чем SUB). В частности, обоб-
обобщением этой группы является группа унитарных унимодулярных
матриц в трехмерном комплексном пространстве —5?/C). Груп-
61
повое пространство этой группы имеет, очевидно, размерность,
равную восьми. Действительно, восемнадцать действительных чи-
чисел, параметризующих (ЗхЗ)-матрицу 5f/C), связаны одним ус-
условием унимодулярности и девятью условиями унитарности (де-
(девять уравнений для действительных чисел). Представление низ-
низшей размерности (не считая скалярного) осуществляется трипле-
триплетом комплексных компонент векторов пространства, в котором
действуют матрицы SUC).
Подобные группы связаны с динамическими симметриями, ко-
которыми обладают поля и их взаимодействия — слабое, электро-
электромагнитное и сильное. Мы не будем пытаться дать сколько-нибудь
полную картину современного состояния теории строения и взаи-
взаимодействий элементарных частиц, так как это вывело бы нас да-
далеко за рамки этой книги. Вместо этого мы лишь продемонстри-
продемонстрируем применение групповых методов к классификации сильно-
взаимодействующих частиц, так называемых адронов. Известные
адроны могут быть объединены в различные мультиплеты, соот-
соответствующие представлениям группы SUC). Ее подгруппой яв-
является более простая группа SUB)—изотопическая группа. Мы
уже видели на примерах мультиплетов SUB) -триплета пионов
(лг, я0, я+) и дублета нуклонов (я, р) связь зарядов компонен-
компонентов с проекцией /3 изоспина — формулы F.20) и F.32). Сущест-
Существуют и другие известные 5^/B)-изомультиплеты адронов: дубле-
дублеты кси-частиц (В0, S~), /(-мезонов (/(+, К°) и их античастиц, т. е.
Д-мезонов (к°у /(-), триплеты 2-барионов B+, 2°, 2~), а также
синглеты Л°-бариона и т]°-мезона.
Сильные взаимодействия, на основе которых строятся ядер-
ядерные силы, обладают строгой изотопической симметрией группы
SUB). Поэтому в пренебрежении электромагнитными взаимодей-
взаимодействиями массы частиц внутри изомультиплетов должны быть оди-
одинаковыми (т. е. тп—тр> тя+~гая°—тя-), что и подтверждается
экспериментами.
В группе SUC) эти частицы объединяются в октеты — век-
векторные представления. Барионный октет включает частицы: р, /г,
Л°, 2+, 2°, 2-, В0, S-, а мезонный октет —частицы: /С+, /С0, К~,
К0, я+, я0, лг, т)°. Существуют представления большей размерно-
размерности, например, декуплет, включающий десять нестабильных ча-
частиц — резонансов.
В группе SUC) необходимо ввести дополнительное аддитив-
аддитивное квантовое число — гиперзаряд У, который вместе с /3 опреде-
определяет заряд компонентов мультиплетов
Q=/3+y/2. F.33)
Для пионов гиперзаряд У=0, а для нуклонов У=1, в соответ-
соответствии с F.20) и F.32). Сам гиперзаряд представляет собой сум-
сумму двух других квантовых чисел — барионного заряда В и стран-
странности S: У=5+5. Странность введена для характеристики пове-
€2
дения частиц относительно слабого взаимодействия — медленных
распадов «странных» адронов на «нестранные» частицы. Барион-
ный заряд 1 приписывается тяжелым адронам — барионам, в то*
время как барионный заряд нуль приписывается относительно
легким адронам — мезонам.
Современная теория элементарных частиц основывается на
гипотезе (косвенно подтвержденной в эксперименте) о существо-
существовании элементарных объектов — кварков: легких и, d, тяжелых sr
с и сверхтяжелых — Ь и t (гипотетический ?-кварк до настоящего
времени не проявил себя даже косвенно). Кварки и, d, s имеют
дробные заряды соответственно +2/3, —1/3 и —1/3, гиперзаряды
1/3, 1/3 и —2/3 и барионные числа 1/3 (антикварки —1/3). Из
них образуются обычные адроны я, /С, р, п..., причем барионы со-
состоят из трех кварков, а мезоны из одного кварка и одного анти-
антикварка.
Кварки с обладают новым квантовым числом С, называемым
«очарованием». Они образуют адроны со скрытым очарованием,
например, 7/ф-частицы (J/ty~cc) и состояния с открытым очаро-
очарованием— D-мезон, ^-мезон. Кварки Ь образуют ипсилон-частицу
Y~bb. Введение очарования С видоизменяет основную формулу
F.33) для заряда кварков
Q=I3 + ±Y + -*-C. F.34)
2, о
Кварки существуют каждый в трех разновидностях, характери-
характеризуемых новым квантовым числом, которое называется цветом. Его
введение необходимо для соблюдения правила запрета Паули при
составлении частиц-фермионов из кварков. Цветовая группа ока-
оказывается группой SUC) и обозначается SUC)C. Основной прин-
принцип, не доказанный пока теоретически и лежащий в основе по-
построения адронов, состоит в том, что все наблюдаемые состояния
адронов должны быть бесцветными. Таким образом, кварки не
должны наблюдаться в свободном состоянии — так называемое
удержание, или конфайнмент кварков. Существенная особенность
цветовой группы SU{3)C состоит в том, что она является локаль-
локальной группой (см. § 11). Это позволяет построить сильное взаимо-
взаимодействие по аналогии с электромагнитным взаимодействием путем
введения октета векторных полей — глюонов, которые, как фотон
в электродинамике, являются переносчиками сильного взаимодей-
взаимодействия.
§ 7. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
С помощью изученных нами методов исследования полей мы
приступим теперь к построению конкретных полевых лагранжиа-
лагранжианов для основных представлений группы Лоренца — скалярного,
векторного и спинорного. Однако прежде всего рассмотрим общие
ба
условия, которым должна удовлетворять плотность функции Ла-
гранжа 9? в теории поля.
а) Инвариантные уравнения полей
Первое требование состоит в релятивистской инвариантности
S, т. е. в ее инвариантности относительно преобразований груп-
группы Пуанкаре, включающей трансляции и собственные преобразо-
преобразования Лоренца. Поскольку элемент 4-объема релятивистски инва-
инвариантен, то вместе с 2? инвариантным должно быть и действие S.
Это требование приводит к закону сохранения суммарного 4-им-
пульса взаимодействующих полей.
Второе условие предполагает возможную инвариантность &
относительно других групп преобразований, таких, как калибро-
калибровочные преобразования, различные дискретные операции — С (см.
§ 21), Р, Т и другие. При этом инвариантность относительно ка-
калибровочных преобразований обеспечивает действительность ла-
лагранжиана и сохраняющихся токов.
Третье условие предполагает, что для свободных полей SB
должна быть квадратичной формой функций поля и их производ-
производных. В этом случае полевые уравнения будут линейными, что
обеспечивает выполнение принципа суперпозиции для свободных
лолей.
Взаимодействующие поля должны описываться членами бо-
более высокой степени в лагранжиане, поскольку любая квадратич-
квадратичная форма подходящим линейным преобразованием может быть
приведена к нормальному виду, в котором выделяются независи-
независимые друг от друга поля.
Наконец, четвертым требованием является зависимость 3?
только от производных функций поля не выше первого порядка.
В этом случае уравнения поля оказываются дифференциальными
уравнениями второго порядка.
Справедливо следующее почти очевидное утверждение: если
3? — инвариант группы преобразований
*->*', и(х)-+и'(х'), G.1)
то и соответствующие уравнения поля будут инвариантными. Для
доказательства этого утверждения прежде всего выясним, что
понимается под инвариантностью уравнений. Запишем дифферен-
дифференциальное уравнение для поля и(х) в следующей символической
форме
L(x) W(*)=0, G.2)
где L(x)—некоторый линейный дифференциальный оператор.
Если после преобразования G.1) уравнение не меняет своей фор-
формы, т. е.
L(x') w'(*0=0, G.3)
64
где L(x') —тот же дифференциальный оператор, что и в G.2), но
выраженный через новые координаты, то уравнение G.2) назы-
называется инвариантным.
Предположим теперь, что SB — инвариант, т. е.
<? (х, и (*), ди/дх) = <? (*', и' (*'), ди'/дх'). G.4)
Уравнения Лагранжа в старых и новых переменных имеют, оче-
очевидно, одинаковый вид
да dxv ddu/dxv ' V ' '
G.6)
ди' dx'v ddu'/dx'v '
В силу G.4) функциональная зависимость SB от старых и новых
переменных одинаковая, и G.5) совпадает с G.6) по своему виду,
что и доказывает сделанное выше утверждение.
Не существует, очевидно, общего приема, позволяющего од-
однозначно составлять функции Лагранжа различных полей. Поэто-
Поэтому мы будем исходить из известных полевых инвариантных урав-
уравнений и уже для них конструировать лагранжиан. Остановимся
вначале на простейшем представлении группы Лоренца — скаляр-
скалярном поле.
б) Скалярное уравнение
Линейным инвариантным дифференциальным уравнением вто-
второго порядка для действительной скалярной функции ф(д:) яв-
является известное уравнение Клейна—Гордона—Фока
(П+т2)ф(х)=0. G.7)
Здесь оператор Даламбера
D=^=™-V2, G.8)
очевидно, представляет собой Лоренц-инвариант, а скаляр im2<0
является квадратом массы частицы, сопоставляемой полю ц>(х).
Вводя операторы 4-импульса р^/д/дл:^, перепишем G.7) следую-
следующим образом:
(р2 —/п2)ф(д:)=0, где р2 = рйр^. G.9)
Лагранжеву плотность поля ф(д:) можно выбрать в виде
что дает уравнение G.7).
Найдем плотность канонического импульса
* ( * }
3 Зак. 590
и гамильтонову плотность (плотность энергии поля)
Ж = я-^~ Я = Yn2 + l~m2(p2 + T(V(pJ- <7Л2)
Поскольку <5#>0, то мы приходим к важному выводу о поло-
положительной определенности энергии скалярного поля
0. G.13)
Тензор энергии-импульса, согласно общим формулам § 4, равен
П —5г^--вг^ = ф.^-вУ?. G.14)
Ковариантный тензор 7ЙУ симметричен, что является следствием
скалярности поля. Спин поля, очевидно, равен нулю, а орбиталь-
орбитальный момент
G.15)
сохраняется:
-~Г7г- = 0. GЛ6)
Полный 4-импульс поля имеет вид
р* с Ta0d3x - (Р° Р)
P°=[$tcPx, G.17)
= J Ф./ V
поскольку поле вещественное <р*=<р, то электромагнитный ток ра-
равен нулю: /»*=0.
Для комплексного скалярного поля <p=<pi+wp2 мы должны
получить независимые уравнения для его действительной и мни-
мнимой частей ф1 и <рг. Вместо этого можно рассматривать в качестве
независимых компонент комплексно-сопряженные относительно
друг друга переменные ф и ф*.
Инвариантный действительный лагранжиан в этом случае бу-
будет записываться так:
а уравнения поля:
(П + т») ф (х) = 0, (П + т«) ф' (х) = 0. G.19)
Канонические импульсы
п=М- = у*(, „• = ,,, G.20)
66
Гамильтонова плотность
Ш = Ф,*я + ф*,я* — <? = я*я + (V Ф*) (V Ф) + т2ф*ср G.21)
неотрицательна и поэтому энергия поля положительно опре-
определена.
Тензор энергии-импульса симметричен
G.22)
Компоненты 4-импульса равны
G.23)
Р° = f d»JK9!? > 0.
4-вектор электромагнитного тока отличен от нуля
р=- f f-р- ф - -Щ- <А=-i (фф*'*1 - ф>й)- G-24>
Полный заряд поля не имеет определенного знака
Q = |лу« = ^ ^ *В__ф_Й1) л. G.26)
Как уже отмечалось, последовательная интерпретация этой
величины возможна лишь в рамках вторичного квантования. Спин
поля, очевидно, равен нулю. Момент импульса может быть запи-
записан так же, как и для действительного поля, см. G.15), G.16).
Рассмотрим пример заряженного скалярного поля пионов, со-
составляющих изотриплет ?=(лг, л°, я+) (см. § 6). Изотопически
инвариантный лагранжиан имеет вид
где
Полагая ф=|2 и учитывая, что ?2 = —1*°, получим
<? = д^*д»ч — /п2ф*ф + -L (дрфдф - т2^1!1). G.27)
Заряд поля пионов согласно G.24) равен
Q =' J dH (ф* 1Г ~ ф ^г) йЧ- G-28)
з* 67
Для изоспина поля по определению F.23) получим значение
*№??-&%?)• G.29)
Это выражение совпадает с G.28), если положить ф=?2 =—1*°.
Таким образом, заряд пионного поля определяется значением про-
проекции /з изоспина поля.
Рассмотрим еще один пример с самодействующим скалярным
заряженным полем.
В § 1 рассматривался пример теории с лагранжевой плот-
плотностью действительного поля и, инвариантной относительно дис-
дискретной операции отражения и->—и. При этом мы видели, что в
специальном случае потенциальной энергии V(u) вида
V(u)=—X (— — иЛ\ К > О, G.30)
4 \ X I
возникало спонтанное нарушение симметрии (четности), т. е. не-
неинвариантное решение вблизи одного из минимумов и = и+ при
инвариантном лагранжиане &. Решение вблизи и=0 является не-
неустойчивым, и мы получали расщепление решения на два устой-
устойчивых решения, не переходящих друг в друга. Более общий слу-
случай получится, если мы рассмотрим непрерывную калибровочную
симметрию.
Именно, рассмотрим лагранжиан комплексного нелинейного
скалярного поля
S j (W + т WJ ~ v (ф1' ф2)'
G.31)
где
Ф1 и ф2 — вещественные функции х. Если V зависит только от мо-
модуля ф, т. е. от
Р=(ф1J+(<Р2J=2Ф*ф, G.32)
то лагранжева плотность & инвариантна относительно калибро-
калибровочного преобразования
G.33)
что означает сохранение электрического заряда поля.
Пусть V(p) имеет вид
G.34)
68
Перейдем к новым функциям р и ¦&
q>(*)=-pLp(*)e«>M G.35)
где р и О вещественны. Тогда
2 = \ (<WJ + \ Р2 (W - V (р). G.36)
Пусть т2>0, Х>0, тогда V(p) имеет минимум при
вдали от точки 0 (если т2<0, то минимум остается в нуле). Для
функции ф имеем множество значений при произвольных действи-
действительных а
Ф^^Пе**, G.37)
для которых V(p) минимальна. Таким образом основное состоя-
состояние системы (вакуум), в котором V(p) минимально, бесконечно-
кратно вырождено. Все состояния с разными а физически эквива-
эквивалентны, но переходы между ними невозможны — получаем спон-
спонтанное нарушение симметрии. Нужно выбрать одно определенное
значение а, например а = 0.
Итак, выберем «вакуум» в виде
<р = -^=-т] (а = 0), G.38)
тогда вблизи него
Ф (х) = -±= (р' (х) + г,) в»«, G.39)
где
р/==р — л» IpM^n» |ф(*)|^1«
Разложим 3? с точностью до p/J2 и Ф2, тогда:
% = const + — (дар'J + — т|2 EпдJ 9— т* G.40)
2 2 2 р
где mp =
Уравнения поля:
(?+mpP'=0,
G.41)
Таким образом, мы получили два свободных нейтральных скаляр-
скалярных поля: первому отвечают частицы с массой/пр , второму —
69
безмассовые частицы. Опущенные члены более высокого порядка
должны описывать взаимодействие этих частиц между собой.
Уравнения G.41) справедливы при приближенном решении
вблизи вакуума, т. е. при малых амплитудах полей р' и ft. Если
систему возбуждать (например, поднимая температуру), то за
счет взаимодействия симметрия восстанавливается — решение
оказывается симметричным по фазе. Этот механизм появления
безмассовых частиц при спонтанном нарушении непрерывной сим-
симметрии был предсказан Голдстоуном в 1961 г. Он имеет место и в
квантовой теории поля, причем безмассовые частицы нулевого
спина, возникающие в теории с нарушенной симметрией, получи-
получили название голдстоуновских бозонов. В § 11 мы увидим, как это
явление обобщается на случай локальных калибровочных сим-
симметрии и приводит к так называемому механизму Хиггса возник-
возникновения массы элементарных частиц.
§ 8. СПИНОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА
В этом параграфе мы прежде всего рассмотрим спинорное
представление собственной группы Лоренца, являющееся обобще-
обобщением спинорного представления группы трехмерных вращений.
Включение операции инверсии пространства позволит нам на-
написать соответствующее инвариантное уравнение — уравнение Ди-
Дирака для спинорного поля и исследовать его свойства.
а) Группа SL B, С)
Элементы группы Лоренца зависят от шести параметров. По-
Поэтому для представления ее матрицами 2x2 необходимо отка-
отказаться от условия унитарности, оставив лишь требование унимо-
дулярности. В результате получим матрицы
detA = l. (8.1)
Y 8j
Число независимых элементов матриц равно 2x4 — 2 = 6, по-
поскольку условие унимодулярности дает два уравнения для дей-
действительной и мнимой части детерминанта. Специальные (унимо-
дулярные) матрицы осуществляют линейные преобразования в
двумерном комплексном пространстве
а'=Аа, е'=еА (8.2)
и образуют группу SLB, С).
Поскольку условие унитарности не предполагается выполнен-
выполненным, т. е. Л+^Л, имеет смысл рассмотреть второе векторное
пространство
а = av ev + а2' е2- = е&> а*', (8.3)
70
в котором действует преобразование Л*:
„¦ -А-а, Л- =,(«;?). (8.4)
Вообще говоря, векторы а и а не обязательно должны быть ком-
комплексно сопряжены друг относительно друга, хотя в частном слу-
случае может быть а=а*. Воспользуемся базисами es и es'f чтобы
построить новое пространство четырех измерений
с = с11' ег еу + с12' ег е2> + с21' ег еу + с22' ег е2>. (8.5)
Вектор этого пространства можно изобразить в виде матрицы
(r\V />12'\
* I. (8.6)
В пространстве векторов с преобразования Л и Л* имеют пред-
представление c/=Dc:
ет es> -+• ег es> = ер eq> Л? Л.?',
(8.7)
Поскольку detA=l, то
detc' = detA detc detA* = detc,
отсюда получаем инвариант преобразования
с»'^ —ca'cI2# = inv. (8.8)
Рассмотрим случай, когда пространство а комплексно сопря-
сопряжено с пространством а. Тогда
с = с"' I ег (г + с**' ег е\ + с*' е2 е\ + с22' | е2 \\ (8.9)
Если потребовать, чтобы
(8.10)
то с*=с. Введем вещественные величины
(8.11)
Х = Т(С12 + С2У)' У==~2~
Z = -±- (С11' - С*2'), t = -j (С11' + С22').
Они образуют компоненты вектора пространства эквивалентного
представления, связанного с исходным преобразованием подобия
71
D' = VDV
(8.12)
где матрица преобразования имеет вид
О -L -L
О J- L.
О
О
О
О
(8.13)
Условия (8.10), а с ними и вещественность х, у, z, t инвари-
инвариантны относительно группы SLB, С). Действительно, если с=с*,
то вектор с можно представить в виде произведения двух векторов
откуда следует, что х, у, z, t вещественны при всех преобразова-
преобразованиях группы.
Инвариант группы в новых координатах записывается сле-
следующим образом
с"' с22' — с12' с21' = Р — х* — t/2 — г2 = inv. (8.14)
Отсюда следует, что матрицы D'=VDV-1 являются вещественны-
вещественными матрицами собственной группы Лоренца L\.. Покажем те-
теперь, что в представлении D содержатся все собственные преоб-
преобразования группы Лоренца.
1) Если ограничиться преобразованиями с унитарной матри-
матрицей A=U, у которой а* = 6, р* = —\> т0
t = — (с»'+ с22') = inv,
(8.15)
так как
С2 с*2 = j
При этом для унитарной группы
Поэтому
С _ _ С12' е2 + (СН'
(8.16)
C2V e2 ^
C2V e2 ^
2геге2 + (х
72
т. е. с преобразуется как при преобразованиях группы 0C) и,
как показано в § 5, при этом исчерпываются все преобразования
0C).
2) Выберем теперь Л в виде
(?ф*/2 0 \
|, (8.17)
О ^2)
где ф3 — вещественный параметр. Эта матрица удовлетворяет ус-
условию detA=l, но она не унитарна Л*=#=Л~1. Вектор с преобра-
преобразуется согласно (8.7). Развернем матрицу (8.6) в столбец, эле-
элементами которого являются с11', с12', с21' и с22'. Для матрицы D,
осуществляющей преобразование (8.7) c'=Dc, получим
& 0
DH о о i° о° I- <8Л8>
Переходя к эквивалентному представлению (8.12), найдем
0 0 0
10 0.
(8.19)
ch ф
0 0 shcp3 сЬф3
Это есть как раз матрица псевдовращений в плоскости 03 на
угол ф3, отвечающая движению со скоростью и/с=Шф3.
В спинорном пространстве матрице Л (8.17) отвечает гене-
генератор
= — о3. (8.20)
2
На основе подгруппы псевдовращений в плоскости 03 вместе с
вещественными вращениями 0C), как было показано в § 3, мож-
можно получить все преобразования собственной группы Лоренца. Та-
Таким образом, мы получили представление группы 5LB, С) мат-
матрицами группы L%.
Обратное представление L4-~^5LB, С), т. е. спинорное пред-
представление собственной группы Лоренца, является, так же как и
спинорное представление группы 0C), двузначным. При этом ор-
ортогональным вращениям, как было показано в § 5, отвечают
матрицы
(i) (8.21)
73
а псевдовращениям — матрицы
(ii) <8.22)
полученные из матрицы (8.17) путем некоторого вещественного
вращения (см. § 3):
Л^ = Лф,Л~8Лф. (8.23)
Соответствующие генераторы имеют вид
Хл= i-tf* Х* = у(Г*. (8.24)
Легко убедиться непосредственной проверкой, что, как это и
должно быть, коммутационные соотношения для генераторов
(8.24) те же, что и для DX4)-матриц, введенных в § 3 (см.
C.86) —C.88)).
Заметим, что 4-вектору пространства Минковского t, x, yt г
согласно (8.6), (8.11) отвечает спинор
Z + t X~iy\ (8.25)
x+iy -z + t)
или, если воспользоваться матрицами Паули,
с=а^ = aot+iakxky (8.26)
где ао = 1 — единичная матрица. Напомним, что подобное пред-
представление мы получили, ограничив пространство векторов с тре-
требованиями (8.10) при условии, что исходные двумерные простран-
пространства сопряжены друг другу: а = а*. Откажемся теперь от этого
условия и введем два различных пространства с базисными век-
векторами
еь ег и ev, егфе[9 е\л (8.27)
Введем расширенное пространство, включающее оба эти про-
пространства, причем переобозначим новые базисные векторы так:
ei<=g2', e2>=-gv. (8.28)
Тогда вектор расширенного пространства можно записать в виде
+as> gs'. (8.29)
Тако? расширение прюстранства представления позволит нам до-
дополнить спинорное представление группы L+ до представления
несобственной группы Лоренца, включающей также и простран-
пространственную инверсию Р (см. § 2).
Рассмотрим прежде всего, как действует операция инверсии в
векторном представлении группы L+. Составим оператор РАР-1 =
= РАР, где А — матрица Лоренца, причем для векторов, очевидно,
74
РР=1 и Р-^Р. Тогда матрица оператора РАР-1 будет, как легко
убедиться, отличаться от матрицы Лоренца знаками первой стро-
строки и первого столбца при неизменном блоке, отвечающем за про-
пространственные ортогональные повороты. Это означает, что преоб-
преобразование инверсии коммутирует со всеми пространственными по-
поворотами, но не коммутирует с пространственно-временными по-
поворотами, так как инверсия переводит специальное преобразова-
преобразование Лоренца в преобразование с другим знаком скорости,
0--р.
В силу двузначности спинорного представления оператор ин-
инверсии спиноров Р может быть выбран двояко: либо так, чтобы
при двукратном применении операции инверсии спинор не ме-
менялся, т. е. Р2=1, либо так, чтобы в результате менялся знак, т. е.
Р2 = —I. Выбрав вторую возможность, определим операцию инвер-
инверсии следующим образом
Р ar> = i ar, P as = ia* (&»30)
и, соответственно,
= ies. (8.31)
Такое определение Р обеспечивает коммутативность инверсии со
всеми пространственными вращениями U, поскольку аг> и аг пре-
преобразуются одинаково под действием U (см. (8.16) и (8.28)).
В то же время легко убедиться, что операция (8.30) меняет знак
г. Действительно, вспоминая представление 4-вектора в виде
(8.25), с = (Гц Xм* и учитывая, что под действием Р-операции
с11' ~ а1 а2> -> — ау а2,
с22' а2 п\ > ->. а2' а1,
получим
±-(c«'-c22')=z-+-z.
Аналогично для других компонент: #->- —х, у-+ —у. Значит, опера-
операция (8.30) является инверсией.
Составим теперь другую матрицу с*:
x-iy z + t У
При этом c'c=det.cl, где I — единичная матрица, a detc=f2 —
— г2 = л;»%.
Матрицу с' можно записать, используя матрицы Паули
c' = cv^, оС=A, —ак). (8.33)
Операция инверсии переводит с-м/ и, наоборот, с'-^с. Перемно-
Перемножая матрицы с и с', получим
ее' ==
75
где мы симметризовали произведение а- и а'-матриц. Учитывая,
что ее' = х^ х* = g^ х* xv, найдем
о-ц а; + а; о» = 21 g^. (8.34)
Таким образом, включение инверсии в группу Лоренца требует
расширения пространства представления (8.29). Расширенное про-
пространство состоит из так называемых биспиноров, т. е. четырех-
компонентных спиноров с элементами аъ а2> а1', а2'. Оно инва-
инвариантно относительно преобразований Р и /Д., а каждое из под-
подпространств а и а инвариантно относительно L+. Заметим, что
правила (8.30), (8.31) соответствуют Р2 =—I. Можно аналогично
построить правила инверсии спиноров, соответствующие Р2 = 1.
б) Уравнение Дирака
Составим ковариантные относительно 5LB, С) комбинации
вида
аг =сг*'Ья>, (8.35)
а%. =Cs>rbr. (8.36)
Эта система уравнений инвариантна относительно комбинации
преобразований SLB, С) и Р. Действительно, под действием Р
уравнение (8.35) переходит в (8.36) и наоборот, в то же время
каждое из них инвариантно относительно SLB, С), так как а, Ь
и с — ковариантные величины.
Выберем матрицу с и биспиноры а, Ъ в виде
с = (^ д*\ Ъ = — а, Ь = — а9 (8.37)
т т
где <>=(d0, —у )—дифференциальный оператор. Тогда вместо
(8.35), (8.36) получим
(8.38)
Обозначим биспинор через г|)=/ф(л:) и введем Y-матрицы 4X4:
0
Тогда система уравнений (8.38) запишется в компактной форме
(iy^ — т)г|) = 0. (8.40)
Это спинорное уравнение, инвариантное относительно группы Ло-
Лоренца, было предложено Дираком в 1928 г. Оно носит название
уравнения Дирака.
Учитывая свойство матриц о» и а/ (8.34), из системы (8.38)
получим уравнение второго порядка
(П+т2)г|) = 0, (8.41)
76
откуда ясно, что т — масса частицы, которую описывает спинор-
ное уравнение. Очевидно, что соотношение (8.34) приводит к сле-
следующему правилу антикоммутации у-матриц
=2ffllv. (8.42)
Уравнение (8.41) могло бы быть также получено и из (8.40) пу-
путем действия на него оператора iy^+m с учетом равенства
(8.42).
Явный вид у-матриц следует из определения о>^= (I, Ok) и
/(I )
V —V,,/ = V.. (8.43)
Рассмотрим эрмитово сопряженное уравнение
*+(-^^а^-т) = 0, (8.44)
где д^ действует налево. Введем дираковски сопряженные вели-
величины
(8.45)
Заметим, что
Ун = Ун, так как yt = — yk, Yo" = Yo- (8.46)
Тогда вместо (8.44) получим дираковски сопряженное уравнение
Ф (iy^+m) = 0. (8.47)
Следует иметь в виду, что матрицы у*1 и биспинор -ф опреде-
определены с точностью до унитарного преобразования, т. е. преобразо-
преобразования подобия
^й->У7йУ+, гр—^Vif), V+V=I.
Полученное нами представление носит название спинорного.
Для изучения движения дираковских (спинорных) частиц обычно
используют стандартное представление, которое получается из
спинорного действием оператора
В этом представлении
а биспинор имеет вид
77
причем спиноры ф и % принадлежат подпространствам, инвари-
инвариантным относительно трехмерных вращений и инверсии:
= X'=—=-(<*'-«'), (8.49)
В то же время пространственно-временные повороты Л~ приво-
приводят к перемешиванию ф и %, так как а и а преобразуются при
этом по-разному:
а:>=(А^)Г'аг. (8.50)
Первое из этих правил есть исходное определение SLB, С)
преобразований, второе же получится, если вспомнить определе-
определение спинора а (8.28), (8.29). При этом для унитарных матриц, со-
соответствующих вращениям, U+=LH, и второе правило дает то же,
что и первое.
Вспоминая явный вид матриц лоренц-преобразований (8.21),
(8.22) для биспинора (8.48а), получим закон преобразования
А = (АФ> Л~), (8.51)
где матрицы 2& и ал в стандартном представлении имеют вид
(8-52)
Оператор инверсии в стандартном представлении равен
Заметим, что, кроме действия матрицы (8.53) на биспинор,
зависящий от координат х, нужно еще провести в нем замену
х->— х.
Введем матрицы
y ^« YP ~ Ь уо) (8- 54>
(а, р = 0, 1,2,3).
Тогда
Ooi=iy0yi = — т (YV = ai)» (8.55)
Oik=iytYk=Bihfijf (8.56)
и вместо матриц Лф и Л- (8.51) можно ввести более компактную
запись лоренц-преобразований в спинорном представлении:
Л=ехр (—Loam&y (8.57)
где параметры <раР определяются, как и в § 3: ф12=<р3 и т. д.,
<pOi =(ф1 и т. д. Соответственно, получим шесть генераторов группы
Лоренца
ХаЭ = --^аЭ (8.58)
в спинорном представлении.
§ 9. СПИНОРНОЕ И МАССИВНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПОЛЯ
Скалярное поле, рассмотренное в § 7, является однокомпо-
нентным. Это наиболее простой пример поля, осуществляющего
представление группы Лоренца — скалярное представление. Более
сложными примерами являются спинорное, или дираковское, и
векторное поля, дающие соответственно спинорное и векторное
представления группы Лоренца.
К спинорным полям принадлежат электрон-позитронное
тюле, поля нейтрино, мюона и др. Векторными полями оказыва-
оказываются, как правило, поля, отвечающие частицам — переносчикам
взаимодействий, или мезонам. Это, например, массивные вектор-
векторные мезоны №+, W~, Z0 слабых взаимодействий, а также фото-
фотоны— безмассовые кванты электромагнитного поля. Впрочем, без-
безмассовое векторное поле требует особого рассмотрения, которое
будет проведено в следующем параграфе.
а) Функция Лагранжа и токи Нетер дираковского поля
Инвариантные уравнения Дирака *
(iy& — m)i|) = 0, ^(iyd+m)=0 (9.1)
могут быть получены из лагранжиана
(9.2)
Заметим, что в силу уравнений поля (9.1) лагранжева плат-
платность дираковского поля (9.2) обращается в нуль, Sh=0. Поэто-
Поэтому в определении канонического тензора энергии-импульса можно
* Здесь и ниже принято краткое обозначение у д =.
79
опустить последний диагональный член, пропорциональный 2?, и
мы получим
Подставляя сюда значения производных, следующие из определе-
определения лагранжиана (9.2), найдем
72=Y(*YV*'e~*'eYV*)- (9>3)
Тензор Тау не является симметричным, так как спин поля отличен
от нуля. Найдем вектор 4-импульса поля
= Г Та0 d3x = -i- f (ф y° ta — Ф>а
— С (t" ^>а ~ ^+>a *) d*x- (9-4)
Преобразуя второе слагаемое, запишем
= i J tf*я|р+ ф.« + -1- J Л ^— (г|)+ г|)). (9.5)
Последний член в этом равенстве равен нулю. Действительно, при
а=1, 2, 3 он преобразуется в интеграл по поверхности, ограничи-
ограничивающей объем, занятый полем, и в силу граничных условий для
поля равняется нулю. При а = 0 производная d/dt выносится за
знак интеграла, и мы получаем
^ (9.6)
Подынтегральное выражение определяет плотность заряда
поля. Это следует из определения плотности 4-тока
что для дираковского поля дает
Я*—ФТ»*Ч>- (9-7)
Отсюда для плотности заряда получаем выражение
/°—Р—*Т°Ф—**¦» (9.8)
а для плотности тока —
J=$Y4>=4>+a*. (9.9)
80
В силу непрерывности тока
-^ = 0, (9.10)
полный заряд поля Q = fpd3x сохраняется, и интеграл (9.6) рав-
равняется нулю.
Таким образом, из общего выражения (9.5) для энергии поля
получим
f^{^ (9.11)
в то же время импульс равен
р = _ i Jd3xq y° V Ф = — i J d3x^+ V -ф. (9.12)
Заметим, что энергия классического дираковского поля инде-
индефинитна, т. е. не имеет определенного знака. В то же время за-
заряд поля является знакоопределенной величиной, он неотрица-
неотрицателен:
Q = J^rf8* = J (Pxtfi^ + ЬЦ2 + я|рз^з + ^г|L). (9.13)
Положительная определенность энергии свободного поля — одно
из основных требований, предъявляемых к разумной физической
теории. Для дираковского поля оно удовлетворяется только при
квантовании (см. ниже).
Найдем тензор спина поля
(9.14)
где ХаР и Хар — генераторы группы Лоренца соответственно для
•фиф:
Хар = ~ <raj3,
Хар = — Хар = — сгар. (9.15)
Последнее равенство следует из определения ХаР:
и свойства матрицы 0аР:
^ар = Vе
Подставив (9.15) в (9.14), получим
(9.16)
81
Возьмем теперь интеграл от нулевой компоненты тензора
(9.16)
Se* = J**Sge (9.17)
¦и определим полный вектор спина поля S с компонентами Si=S23>
^2=5зь S3=Si2 (аксиальный вектор). Вспоминая, что
получим явное выражение для суммарного спина дираковского
БОЛЯ
iC»*, (9.18)
где 2— матрица Дирака, определенная равенством (8.52). Для
свободного дираковского поля спин в отдельности не сохраняется.
Интегралом является лишь суммарный момент
J = S+L, (9.19)
где L — вектор орбитального момента поля, определяемый соглас-
ло D.34), D.35).
б) Массивное векторное поле
Уравнение для функций поля и*\ осуществляющих векторное
представление группы Лоренца, по аналогии со скалярным слу-
случаем можно записать в виде
(D+m2)^ = 0 (^i = 0, 1, 2, 3). (9.20)
Ясно, что если и^(х) преобразуется как 4-векторная величина, то
уравнение (9.20) инвариантно. Однако из этого уравнения следует,
что все четыре компоненты ф независимы. Нам нужно получить
векторное представление группы Лоренца с тремя независимыми
компонентами ы, отвечающими векторному представлению груп-
группы трехмерных вращений, т. е. со спином поля, равным единице.
Заметим, что в случае дираковского поля только две компоненты
биспинора из четырех при фиксированном знаке частоты оказы-
оказывались независимыми. Это соответствовало спинорному представ-
представлению группы вращений, т. е. полю со спином 1/2. Действительно,
в системе покоя дираковской частицы спинорная волновая функ-
функция имеет всего две отличные от нуля компоненты, отвечающие
SUB) -представлению группы вращений. Точно так же, для век-
векторного поля независимыми могут быть лишь три из четырех ком-
компонент поля. В системе покоя векторной частицы волновая функ-
функция имеет лишь три не равные нулю компоненты. В произвольной
системе отсчета вследствие преобразований Лоренца появляется и
четвертая компонента, зависимая от первых трех.
Дополнительное условие, уменьшающее число независимых
компонент поля до трех, можно выбрать в виде
a(*)=0. (9.21)
Это лоренц-инвариантное уравнение носит название условия Ло-
Лоренца. В случае комплексного векторного поля уравнения (9.20)
и (9.21) дополняются уравнениями для комплексно сопряженных
функций
(? + т2)ы*^ = 0, (9.22)
дриГ* = 0. (9.23)
Дополнительные условия (9.21), (9.23) могут быть получены
непосредственно из уравнений поля, если выбрать лагранжиан сле-
следующим образом
л=- 4- /**v f»»+m2 и*» «¦*. (9-24>
где антисимметричный тензор fMV равен
duv аи»,
fixv = " , /M-v /VM-. (У.^О>
Записывая уравнения поля
с учетом следующих из (9.24) соотношений
AJL = f*wf JLJL = fixvy (9.26)
получим
= o. (9.27)
dxv
Эти уравнения отличаются своим видом от уравнений (9.20),
(9.22). Однако, взяв 4-дивергенцию от левых частей равенств
(9.27), находим
^ ^ 0, (9.28)
0, 0,
dx» дх»
т. е. условия Лоренца как следствие уравнений поля (9.27). С уче-
учетом этих условий уравнения (9.27) снова принимают вид (9.20) „
(9.22).
Найдем теперь канонический тензор энергии-импульса
Та = —г и]х,а Н 11ц а — *? ба =
it.cc ~ХЫ (9.29)
83
Он несимметричен из-за того, что спин поля не равен нулю. По-
кажем теперь, что энергия векторного поля — положительно опре-
определенная величина. Для этого в выражении для плотности
энергии
т*2 — f*^° и Л _±_ fM-0 /у* а> /о qm
* 0 — / M-» О ~Т~ / ^(Л,0 ~~" »& \Xj.O\Jj
лерейдем к каноническим переменным.
Заметим, что
= д«# = nkf fko _ я*^ «о = f*oo = яо = я*о = о. (9.31)
= UOtk—Щ,
- , (9.32)
m2 dxv
Исключая с помощью (9.31) и (9.32) из выражения (9.30) для
То° зависимость от производных по времени, получим
к -г 2 / /«ft 2 aft
(я*м0 + я"* «о) (^ = 1, 2, 3). (9.33)
Опуская последний член с дивергенцией как не дающий вкла-
вклада в полную энергию поля и переходя к трехмерным обозначе-
диям, так как временные компоненты исключены, окончательно
найдем
Т\ = 55? = я* я + rot u* rot u Л — div я* div л + m2 u* u. (9.34)
m2
Отметим следующие особенности полученного выражения для Го°.
Прежде всего (9.34) зависит только от канонических переменных,
т. е. и, и*, л;, я* и их пространственных производных. Тем самым
(9.34) определяет гамильтонову плотность векторного поля. Да-
Далее, в векторном случае плотность энергии Ж в противополож-
противоположность дираковскому случаю неотрицательна. Наконец, заметим,
что выражение (9.24) может быть получено только в предположе-
предположении, что масса поля m не равна нулю. В пределе безмассового
поля т->0 выражение (9.34) расходится. Поэтому случай безмас-
безмассового поля требует специального исследования (см. ниже). Ком-
Комплексное векторное поле обладает зарядом. Плотность 4-вектора
тока равна
84
а<й ^
Отсюда следует, что заряд поля равен
Q = ^ j°d*x = — i J <Px (uk nk — uk n*k). (9.36)
Полный заряд векторного поля, так же как и в случае скалярно-
скалярного поля, не имеет определенного знака. Последовательная интер-
интерпретация этой величины может быть дана лишь при квантовании
поля.
Спин векторного поля отличен от нуля:
к. с. = - (ХаЭ)? (аа/*pv + uaf^). (9.37)
dup,v
Вспоминая выражение для генератора группы Лоренца
найдем
5аэ = — tiaflv + щ fa + к. с. (9.38)
Суммарный вектор спина поля связан с полным тензором спина
5сф = fSJL d?X = ( dsX (Ua Яр -WpJta + К. С.) (9.39)
соотношением
Отсюда получаем в трехмерной записи
S = J d?x (u X я + u* x л*). (9.41)
§ 10. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Рассмотренные до сих пор поля — скалярное, дираковское,
массивное векторное — были введены до некоторой степени фор-
формально, как объекты соответствующих представлений группы Ло-
Лоренца. В этом параграфе мы рассмотрим специальный случай век-
векторного поля — безмассовое векторное поле. Соответствующим ре-
реальным физическим полем является хорошо известное электро-
электромагнитное поле. Мы покажем, что оно возникает естественным пу-
путем из требования локальной калибровочной инвариантности тео-
теории заряженных полей.
а) Локальные калибровочные преобразования
В § 6 мы познакомились с калибровочными преобразования-
преобразованиями вида
иА (х) -> и'А (х) = e~ia uA (х),
(ЮЛ)
н*А (х) -+- и*'А (х) = е*<* и*А (х),
где действительный параметр а предполагался не зависящим от
координат х. Подобное преобразование называется глобальным,
поскольку оно производится совершенно одинаковым образом во
всех пространственно-временных точках.
Предположим теперь, что преобразование калибровки A0.1)
производится по-разному в различных точках х, т. е. параметр <х
является функцией координат пространственно-временных точек
и = а(х). A0.2)
Такое преобразование называется локальным калибровочным пре-
преобразованием, или калибровочным преобразованием второго рода.
Потребуем далее, чтобы физические процессы были инвари-
инвариантными относительно локальных калибровочных преобразований,
т. е. фактически, чтобы в лагранжевой теории была инвариантной
лагранжева плотность 2\ Рассмотрим свободное дираковское
поле, заданное лагранжианом
i?o= у (*Y0* —d*Y*)—miH. A0.3)
Пусть
* (X) -* ?-**<*> i|) (X) = 1|/ (Х),
A0.4)
где а — скалярная функция х= (t, x). Тогда лагранжиан A0.3)
переходит в
(Ю.5)
Как видно, инвариантность свободного лагранжиана нару-
нарушается. Для компенсации возникающего неинвариантного слагае-
слагаемого autifv^* введем дополнительное векторное поле А»(х) (ка-
(калибровочное, или компенсирующее поле) и запишем вместо &§
следующий дираковский лагранжиан
^D=-y(*Y^^*-(^*)Y^*)-^**, A0.6)
где вместо производной дц = ^ введена «удлиненная» произ-
производная
О^^д^ + геА11, A0.7)
в которой А* — векторное поле, а е — константа взаимодействия
комплексного поля г|) с действительным полем А^ (заряд дира-
ковского поля).
86
Лагранжиан A0.6) будет локально калибровочно инвариант-
инвариантным, если вместе с дираковским полем A0.4) преобразуется так-
также и калибровочное поле А^ так, чтобы при преобразованиях я|з
и гр удлиненная производная />ф и О*ф изменялась по тому же
закону
(Ю.8)
Для этого, очевидно, достаточно потребовать, чтобы калибровоч-
калибровочное преобразование поля Лй(л;), производимое одновременно с
преобразованием -фиф, имело вид градиентного преобразования
Лц (х) -> Лц (л:) = Лд (jc) + — д» а. A0.9)
Тогда
l + i д» а) ег1* q =
— i д» a + t dp, a) г|з = e~t
и аналогично для Dn*ip, что и обеспечивает инвариантность лаг-
лагранжиана A0.6):
Введенное ради локальной калибровочной инвариантности но-
новое векторное поле А^(х) само представляет собой динамическую
систему. Поэтому для него, как и для дираковского поля, должны
быть написаны лагранжиан и динамические уравнения — уравне-
уравнения поля, которым оно должно подчиняться.
Запишем лагранжиан для Лц так же, как это было сделано в
§ 9 для массивного векторного поля:
*'=—ihF»vFllv' A0Л0)
где тензор поля
F^^--^- A0.11)
является, очевидно, инвариантным относительно преобразования
<109)
-j-dva\—dv U* + ±-д»а\ = F^.
Массовый член, пропорциональный А^А^, в A0.10) отсутствует,
так как его введение нарушило бы калибровочную инвариантность
лагранжиана 3?f.
87
Полученный лагранжиан A0.10) описывает векторное безмас-
безмассовое калибровочное поле, которое может быть отождествлено с
хорошо известным электромагнитным, или максвелловским, полем.
Как обычно, компоненты электрического Е и магнитного Н
полей свяжем со следующими компонентами антисимметричного
тензора поля
E*=F*. Hk~-±-*klnF», A0.11a)
или же в явном виде
A0.116)
Для описания системы, состоящей из заряженного дираков-
ского и электромагнитного полей, мы должны записать полный
лагранжиан в виде суммы дираковского A0.6) и электромагнит-
электромагнитного A0.10) лагранжианов
0
Ех
Еу
-Ех
0
нг
-Ну
— Еу
-я2
0
нх
~~Ег
Ну
-нх
0
Z ID JT
A0.12)
Если выделить в этом выражении лагранжиан свободного дира-
дираковского поля So A0.3), то SB примет вид суммы трех слагаемых
3 = 30 + ?f + 3inU A0.13)
где
^Ъ = -еА»р. A0.14)
Этот член в полном лагранжиане описывает взаимодействие заря-
заряженного поля я|э и электромагнитного поля А» и называется ла-
лагранжианом взаимодействия. Остальные два слагаемых в & опи-
описывают свободные дираковское поле 3?q и электромагнитное
поле S?f.
Заметим, что совершенно аналогично с помощью замены
дц-НЭц может быть построен калибровочно инвариантный лагран-
лагранжиан заряженного скалярного поля.
Калибровочно инвариантный лагранжиан A0.12), построен-
построенный с помощью замены д^д^+ieA^ в лагранжиане j?0, учиты-
учитывает взаимодействие с электромагнитным полем так называемым
минимальным образом. Вообще говоря, возможно также калибро-
вочноинвариантное слагаемое типа
A0.15)
описывающее взаимодействие так называемого аномального маг-
магнитного момента Д(л непосредственно с тензором поля F°$. Этот
88
тип взаимодействия, введенный Паули, требует наличия помимо
заряда е еще и другой константы Ajx. Однако для электронов
можно ограничиться минимальным взаимодействием с одной кон-
константой е — в полном соответствии с опытом*. Члены типа A0.15)
возникают лишь в эффективных лагранжианах нуклонов п, р за
счет обычного электромагнитного взаимодействия с облаком вир-
виртуальных пионов, окружающих нуклон.
б) Уравнения электромагнитного поля
С помощью лагранжиана A0.12) напишем уравнения полей г|?
и Лц. Для дираковского поля из общего уравнения Лагранжа
д? д д X =0
а \р дх» д ф^
получим уравнение Дирака в электромагнитном поле
[(idp — еАр)у& — т]/ф = 0, A0.16)
которое заменой d^D^ отличается от уравнения для свободного
дираковского поля.
Уравнения для векторного поля А^ — 4-потенциала электро-
электромагнитного поля
дАц dxv dAn,v
с учетом равенств
—— = — ej^, /1* = i|) у& i|?,
A0.17)
дают
= — 4яв/м<. A0.18)
Это хорошо известные уравнения Максвелла, которым подчи-
подчиняется электромагнитное поле. Заметим, что стоящий в правой
части A0.18) электромагнитный ток в силу антисимметрии тензо-
тензора F^v удовлетворяет уравнению неразрывности
<Э/и/дх1* = 0, A0.18а)
что является выражением калибровочной (глобальной) инвариант-
инвариантности теории. Он представляет собой квадратичную комбинацию
* Заметим, что известный аномальный момент электрона является чисто
вакуумным и возникает за счет нелинейности эффективного взаимодействия
с вакуумом при минимальном способе задания исходного взаимодействия
(см. § 35).
89
полей Дирака (/|1=i|>YlN))> подчиняющихся уравнению A0.16), в
которое входит также и 4-потенциал Лц. Вместе A0.16) и A0.18)
составляют систему нелинейных уравнений для взаимодействую-
взаимодействующих дираковского и максвелловского полей, разрешить которую
удается лишь при достаточно сильных упрощающих предположе-
предположениях. В частности, следует потребовать, чтобы либо электромаг-
электромагнитный ток был заданной функцией координат и времени — и тог-
тогда мы приходим к задачам, решаемым классической электродина-
электродинамикой (см. гл. II), или к задаче об излучении классического тока
в квантовой электродинамике (гл. III), либо чтобы электромаг-
электромагнитное поле было заданной функцией координат и времени — тог-
тогда возникает задача описания дираковского поля во внешнем
электромагнитном поле (гл. IV). Задача о дираковском и элек-
электромагнитном полях, движущихся как связанная динамическая
система, в общем виде может быть решена только приближенно с
использованием метода теории возмущений (квантовую теорию
см. в гл. III).
Напишем уравнение для потенциала Д*
д2А
2 4V A0.19)
Для упрощения этого уравнения воспользуемся градиентной
инвариантностью электромагнитного поля (заметим, что градиент-
градиентная и локальная калибровочная инвариантности понимаются
нами как синонимы). Будем исходить из некоторого потенциала
Л'й, для которого
Выберем теперь калибровочную функцию ice таким образом, чтобы
потенциал А11=А/11+1/ед11а удовлетворял условию Лоренца
— -^-1 =0. A0.20)
Для этого достаточно, чтобы
Ш. A0.21)
При условии A0.20) уравнение A0.19) переходит в неоднородное
уравнение Даламбера
A0.22)
в правой части которого стоит электромагнитный ток. Функция а
определена уравнением A0.21) неоднозначно, а именно с точ-
точностью до решения однородного уравнения Даламбера ао*.
Da0 = 0. A0.23)
90
Поэтому потенциал Ац, удовлетворяющий уравнению A0.22), до-
допускает дополнительное калибровочное преобразование с калиб-
калибровочной функцией ао, подчиняющейся условию A0.23).
в) Кулоновская калибровка
Положим /° = 0, j = 0 и рассмотрим свободное электромагнит-
электромагнитное поле. Тогда можно так подобрать калибровочную функцию
а0, что в некоторой специальной системе отсчета временная ком-
компонента потенциала будет отсутствовать Л° = 0, причем вместо
A0.20) получим трехмерное условие
divA = 0. A0.24)
Это условие вместе с равенством Л° = 0 приводит к тому, что из
уравнения A0.19) следует уравнение Даламбера для вектор-по-
вектор-потенциала А
? А = 0. A0.25)
Калибровка A0.24) носит название кулоновской. Если пред-
представить вектор-потенциал в виде интеграла Фурье
А =—?— (VkrA(k)d3fc, A0.26)
BяK J V V
то условие A0.24) приводит к равенству нулю скалярного произ-
произведения
kA(k)=0. A0.27)
Это означает, что фурье-образ вектор-потенциала А (к) ортогона-
ортогонален к волновому вектору к. Поэтому кулоновская калибровка на-
называется также трехмернопоперечной калибровкой. Она не обла-
обладает релятивистской инвариантностью, т. е. условие A0.24) нару-
нарушается при переходе к другой системе отсчета. Зато она позво-
позволяет наиболее просто продемонстрировать положительную опре-
определенность энергии поля и найти его гамильтонову функцию.
Заметим, что применение метода предыдущего параграфа для
т=Ф0 и переход к пределу т—*0 невозможен по указанным там
причинам. Поэтому переход к каноническим переменным прове-
проведем непосредственно для случая безмассового электромагнитного
поля. В кулоновской калибровке имеем, по существу, трехмерную
задачу, так что гамильтонова плотность зависит от трехкомпо-
нентных векторов я, А и их пространственных производных:
Ж =58? (я, A, Aw). (Ю.28)
Для нахождения явного вида Ж запишем лагранжеву плотность,
выраженную через электрическое и магнитное поля A0.11а):
где в данном случае E = —dA/dt, a H = rotA. Вспоминая определе-
определение плотности канонического импульса я, данное в § 1, найдем
91
<щз0)
причем в силу уравнений поля A0.18) без токов divE = 0 и вместе
с тем divji = O.
Вычислим теперь гамильтонову плотность Ж, равную компо-
компоненте Го° тензора энергии-импульса, т. е. плотности энергии поля
A0.31)
Перепишем полученное выражение, выделив явную функциональ-
функциональную зависимость Ж от канонических переменных
А)> A0.32)
8я
Итак, как и в случае массивного поля, получаем положительно
определенную энергию (<5^>0). Заметим, однако, что в массивном
случае условие д1ХА^=Оу обеспечивающее Ж>0, получилось авто-
автоматически из лагранжиана теории, в безмассовом же случае мы
добиваемся знакоопределенности <9^>0 благодаря калибровочной
инвариантности и соответствующему выбору калибровки, исклю-
исключающему А°=0 и подчиняющему А условию поперечности div А = 0.
Нетрудно проверить, что уравнения Гамильтона, полученные
с помощью функции A0.32), приводят к обычным уравнениям
Максвелла в трехмерной форме для свободного поля (j = 0, p = 0)
divE = 0, rotH — dE/dt=O. A0.33)
Эти же уравнения следуют и из уравнения A0.18). Другая пара
уравнений Максвелла
divH = 0, roiE + dH/dt=0 A0.34)
в данной калибровке удовлетворяется тождественно, так как
div Н = div rot A = 0,
voiE + dH/dt=roi(—dA/dt)+d{voiA)/dt=0. A0.35)
В общем случае вторая пара уравнений Максвелла A0.34) может
быть получена как следствие определения F^ через потенциалы.
Действительно, в четырехмерной записи A0.34) имеет вид
—/^v=0, A0.36)
где
A0.37)
дуальный тензор электромагнитного поля (е^лр — единичный анти-
антисимметричный тензор, нормированный условием eoi23=—1)- Ком*
92
поненты тензора F»v связаны с электрической и магнитной компо-
компонентами поля согласно равенству
н*
О
и р о F
Уравнение A0.36) тождественно удовлетворяется, если под-
подставить определение F^^d^A*— д-И^:
— в^р ф%А9-д9А%) = 2е^Р^^Лр = 0, A0.39)
поскольку свертка симметричного тензора дйдИР (по \х и Я) с анти-
антисимметричным тензором 8цуХр всегда равна нулю.
Таким образом, требование калибровочной инвариантности
приводит как к сохранению электромагнитного тока, так и к не-
необходимости введения электромагнитного поля, посредством кото-
которого взаимодействуют между собой заряженные поля. При этом
электромагнитное поле выступает в двоякой роли: как калибро-
калибровочное поле и как передатчик взаимодействия между зарядами.
Следствием калибровочной инвариантности является также без-
массовость электромагнитного поля, что приводит к поперечности
свободного электромагнитного поля в кулоновской калибровке,
в которой из четырех компонент А& остаются лишь две независи-
независимые компоненты (Л° = 0, divA = 0).
г) Калибровка Лоренца
Построение гамильтоновой теории и положительная опреде-
определенность энергии электромагнитного поля оказываются необходи-
необходимыми для проведения квантования поля. Однако кулоновская ка-
калибровка релятивистски неинвариантна. Для ковариантного обоб-
обобщения теории неудобно пользоваться лагранжианом A0.10), по-
поскольку способ исключения временных компонент А0 и производ-
производных по времени, примененный в § 9 для массивного поля, в случае
безмассового поля применить не удается. Введем поэтому калиб-
ровочно неинвариантный лагранжиан
ctff = —Ам А»* = — FvvFw — —AVL,vAw. A0.40)
Уравнения поля, полученные на основе этого лагранжиана, имеют
вид
f A0.41)
В то же время для потенциалов получаем уравнение Даламбера
D4 = 0(n = 0,l,2,3). A0.42)
93
Дивергенция потенциалов dA^jdx^ имеет, вообще говоря, про-
произвольное значение (ее равенство нулю в отличие от случая мас-
массивного поля не следует из лагранжиана и уравнений поля). По-
Поэтому уравнения A0.41) не тождественны уравнениям Максвелла.
Пусть в начальный момент времени /=0 дивергенция A»iiX удов-
удовлетворяет условиям:
А^\(=0 = 0,±А^\,=0 = 0. A0.43)
Поскольку дивергенция Л^,й удовлетворяет уравнению Даламбера
? Л^=0, A0.44)
то в силу A0.43) и в произвольный момент времени она будет
равна нулю
dx»
:0. A0.45)
Это доказывает, что выбором начальных условий A0.43) всегда
можно удовлетворить условию Лоренца для потенциалов A0.45).
При этом уравнения A0.41) переходят в уравнения Максвелла:
^ = 0. A0.46)
dxv
Таким образом, условие A0.45) отбирает из всех более общих
полей, удовлетворяющих уравнению Даламбера A0.42), только
максвелловские поля.
Потребуем, чтобы условие Лоренца A0.45) было инвариант-
инвариантным относительно градиентных преобразований
№-+ А'» = А» + JL JL?L . A0.47)
е дх
е
Тогда из условия
д А'» = дА^ 1 а2 а = Q
dx» dx» e дх^дх»
следует уравнение
Па = 0. A0.48)
Это условие, накладываемое на калибровочную функцию а, огра-
ограничивает возможные калибровки потенциала. Оказывается, что
при таких калибровочных преобразованиях, для которых Па = 0,
лагранжиан A0.48) калибровочно инвариантен с точностью до
4-дивергенции. Действительно, при переходе ЛЙ->Л/ A0.47) лаг-
лагранжиан A0.40) переходит в лагранжиан
1^ A0.49)
Х(А)
94
Преобразуя последний член с учетом A0.48), найдем
(aflw - 2* Am) a>w = — [Bе А» - а.
dxv
Поэтому последний член может быть отброшен без изменения
уравнений поля.
Найдем теперь плотность энергии электромагнитного поля
oft
dt I ' 8ft V dt ) ~ 8rt \ dx ) 83
A0.50)
Данное выражение не имеет определенного знака, однако его мож-
можно преобразовать так, чтобы с точностью до трехмерной дивер-
дивергенции получить положительно определенную величину. Прибавим
к A0.50) трехмерную дивергенцию
J_ д (а*-^\--)—1 дА° ^ +А д дАк\
Второе слагаемое в правой части этого равенства с учетом усло-
условия Лоренца и уравнения ПЛ°=0 запишем с точностью до дивер-
дивергенции в виде
1 / ало dAk / ало \2ч
4ft \ dxk dt [ dxk ) )'
Поэтому A0.50) примет вид
Воспользуемся тождествами
Ak-1 - Ам Ak-1 = ± FklFk' = (rot AJ,
дА' л, дЛ» \ , дА* дА'
А 'j+
Тогда, отбрасывая дивергенцию, получим
дА» дА\2 ,
+ — (rot АJ + — (div AJ. A0.51)
8л 8я
Первый член в этом выражении дает отрицательный вклад в энер-
энергию, однако благодаря условию Лоренца он сокращается с послед-
последним слагаемым. Первый член — временной, он отсутствовал в ку-
95
лоновской калибровке, Л0 = 0. Последний член — продольный, в ку-
лоновской калибровке он равнялся нулю, divA = 0. Как видно,
в лоренцевой калибровке они взаимно уничтожаются. В итоге по-
получается положительно определенное выражение
То° = -М (rot А)» + B± + V АЛ2 1 = J-(ff + Е2), A0.52)
оя (_ \ ot I J 8я
где использованы определения магнитного поля H = rotA и элект-
электрического поля Е=— дА/dt — VA°. Таким образом, окончательные
выражения для Го° в кулоновской и лоренцевой калибровках сов-
совпадают, так как значения полей Е и Н не зависят от выбора ка-
калибровки. Дивергенции не дают вклада в полный интеграл по
объему и не изменяют полной энергии поля.
Введем плотность канонического импульса
* „0.53,
« = — —
4я dt "
Тогда запишем Т0°=Ж как функцию канонических переменных
Го = Ж (А% ; я*) = -L [(rot АJ + Dял)а + 8я (л V Л°) + (VЛ°J].
оЯ
A0.54)
Мы убедились в том, что лоренцева калибровка, являющаяся ре-
релятивистски инвариантной, позволяет обеспечить положительную
определенность энергии поля и воспользоваться гамильтоновым
методом, а выражения для плотности энергии с точностью до ди-
дивергенции совпадают в кулоновской и лоренцевой калибровках.
§ 11. КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ
Как было показано в предыдущем параграфе, электромагнит-
электромагнитное поле является калибровочным полем. Оно обеспечивает ло-
локальную калибровочную инвариантность заряженных полей, так
как само подчиняется определенному правилу калибровочного
(градиентного) преобразования, компенсируя неинвариантные чле-
члены, возникающие при преобразовании свободного заряженного
поля. Мы рассматривали локальную группу калибровок, заданную
одной калибровочной функцией — однопараметрическую группу.
Янг и Миллс провели локальное обобщение трехпараметрической
группы вращений. В результате они пришли к необходимости
ввести трехкомпонентные калибровочные поля, названные по име-
имени авторов полями Янга—Миллса. В последние годы поля Янга—
Миллса и их обобщения заняли центральное место в теоретичес-
теоретических исследованиях взаимодействий элементарных частиц,
96
а) Произвольная калибровочная группа
Рассмотрим некоторую калибровочную группу
. A1.1)
где а-=1,2,..., л, я — число параметров группы. Предположим, что
параметры 9а=0а(*) являются функциями координат. Таким об-
образом, группа становится локальной. Эрмитовы генераторы груп-
группы La удовлетворяют коммутационным соотношениям
[La, Lb] = iCabcLc, A1.2)
где Саьс — структурные константы группы. Очевидно, что преобра-
преобразование со(л;)=ехр(—iQaLa) унитарно:
со+=о-1 = exp (iQaLa).
Производная д^(х) не подчиняется правилу преобразования
A1.1) для функций гр (л:) , поскольку преобразование локально
со = (о(#) и д^&ФО. Поэтому аналогично тому, как это делалось
в случае однопараметрической группы в § 10, введем вместо про-
производной д» обобщенную производную D^ так, чтобы D^-ф подчи-
подчинялось закону преобразования A1.1)
D^ (х) -^D/ip' (x) =<o (x) D^ (x). A1.3)
Тогда
откуда
D/=oD|lco-1. A1.4)
Этому равенству можно удовлетворить, выбрав D^ в виде
D^Id, — ieW», A1.5)
где I — единичный оператор, W,» — некоторая операторная функ-
функция— потенциал калибровочного поля:
W,= ^U A1.6)
е — константа взаимодействия полей i|), W/ между собой.
Тогда *
откуда получаем закон преобразования потенциала
W; =(oWIA(o-1 Ь-а^сосо-1. A1.7)
Здесь использовано тождество
сод^со-1 + дцош-1 = 0, A1.7а)
следующее из условия сэсо-1 = 1.
* Мы не эыписываем более единичный оператор I, подразумевая его при-
присутствие там, где это необходимо.
4 Зак. 590 97
Введенное калибровочное поле позволяет удовлетворить усло-
условию A1.3) и обеспечить инвариантность теории относительно ка-
калибровочной группы преобразований.
Рассмотрим инфинитезималыще преобразования
@ = 1 — iB'La, A1.8)
тогда
w; = w, - ;e*w» [Lfl, lj —-д» e«Lfl.
e
С учетом коммутационных соотношений A1.2) и разложения A1.6)
для компонент потенциала получим
К* = К + Cabc Ъ"< —^8*. (И.9>
Как видно, это преобразование помимо неоднородного гра-
градиентного члена —A/е)дй9с, имеющегося и в градиентном преоб-
преобразовании в электродинамике, содержит также однородный член
CabcWW^. Он характерен для неабелевой теории с некоммутирую-
щими потенциалами [\?й, Wv]=t^0. В однопараметрической теории
(абелевой), такой как электродинамика, подобный член отсут-
отсутствует.
Определим теперь тензор поля следующим образом:
GIlv=DIlrll—Dv^ = dllWv-dvWll +-^[\\^, Wv] A1.10)
и покажем, что он подчиняется тому же закону преобразования
A1.4), что и производная D^.
Действительно,
G = D^WV — DvWn ->• coD^co-1 (coWvCo-1 + — сод^'1) —
e
+ — co^co-1) = со (DmWv) со — со (ДЛ^) со-1 +
e
vCo-1] + — [coDiAco-1 —
e
Здесь в последней части равенства операторы DM и Dv в круглых
скобках действуют только на Wv и W^. Дифференцирование ю"
выделено в следующее слагаемое, которое взаимно уничтожается
с последним членом равенства. Итак,
G^-^G^/ = coGnvCO. A1.11)
б) Поля Янга—Миллса
Рассмотрим группу трехмерных вращений в изотопическом
пространстве. Для генераторов имеем коммутационное соотно-
соотношение
[La,U] = ieatcLc (a, 6, с= 1,2,3), A1.12)
98
т. е. структурные константы саьс = гаьс Тогда инфинитезимальное
преобразование A1.9) складывается из вращения и градиентного
преобразования
К - К + *аьс е« К - т" W°, (и.13)
или в векторной записи
W' = Wn + в х W^—- ац6. A1.14)
е
Компоненты тензора поля A1.10) имеют вид
или
G^ =a|1Wv — avW^ + eWj, X Wv. (H.16)
Преобразование компонент тензора поля представляет собой в от-
отличие от A1.14) чистые вращения
6G^V — Gjw— G^v = 6x G^. A1.17)
Поэтому для калибровочного поля (поля Янга—Миллса) можно
ввести инвариантный относительно вращений локальной группы
SUB) лагранжиан
A1.18)
ии операторы La = — cfa, где аа
рицы Паули. Мы получим
В спинорном представлении операторы La = — cfa, где аа — мат-
где символом Sp обозначен след матрицы и использовано свой-
свойство матриц Паули
С учетом этого равенства лагранжиан A1.18) может быть также
записан в виде
A1.19)
свой-
свойA1.20)
также
A1.21)
Найдем теперь уравнения поля Янга—Миллса:
6W» дх*
С помощью A1.18) получим
Wcv, A1.22)
4» 99
или в краткой записи
?>vG,,va=0, A1.23)
где
В случае, если калибровочное поле не свободно, а взаимодей-
взаимодействует с заряженным полем, то в правую часть уравнения (П.23)
следует ввести плотность 4-тока заряженного поля:
DVG,V* = — /У*. A1.23а)
Введем дуальный тензор 'поля
WG*p A1.24)
В силу определения тензора поля G^v A1.16) дуальный тензор
A1.24) тождественно удовлетворяет уравнениям поля
DVG?V = O. A1.25)
Предоставляем читателю в качестве упражнения показать это
непосредственным вычислением.
Уравнения A1.23) и A1.25) аналогичны уравнениям Макс-
Максвелла для свободного электромагнитного поля. Однако имеется
принципиальное отличие их от уравнений Максвелла. Прежде все-
всего уравнения для поля Янга—Миллса нелинейны, что свидетель-
свидетельствует о самодействии поля, т. е. о взаимодействии отдельных его
изотопических компонент между собой. Кроме того, уравнения
Янга—Миллса, будучи инвариантными, тем не менее в отличие
от уравнений Максвелла наряду с тензором поля содержат и по-
потенциалы №Д которые таким образом приобретают непосредствен-
непосредственный физический смысл. Следовательно, непосредственным физи-
физическим смыслом обладает и выбор определенной калибровки,
в которой ищется решение уравнений Янга—Миллса.
Поиски точных решений уравнений Янга—Миллса ввиду их
нелинейности связаны с большими трудностями. Известны лишь
некоторые частные статические решения системы взаимодействую-
взаимодействующих полей Янга—Миллса и заряженных скалярных полей, обла-
обладающие конечной энергией, — так называемые монополи. Имеются
и динамические решения в евклидовой метрике (с мнимым време-
временем). Эти локализованные несингулярные решения называются
инстантонами. Они наряду с монопольными решениями находятся
в центре внимания современной теоретической физики. Получение
новых подобных решений может пролить свет на проблему нели-
нелинейного квантования калибровочных полей.
в) Механизм Хиггса в классической теории поля
Рассмотрим модель, предложенную Хиггсом, состоящую из
взаимодействующих полей Янга—Миллса и скалярного изотрип-
лета с самодействием
\ j A1.26)
100
Здесь потенциальная энергия самодействия
т2>°« (п-27>
зависит от квадрата ф2 изовекторного поля
<р-=(<р1,ф2,фз), A1.28)
а производная поля фа имеет вид
Эцф* = д^а + eeabcWJqc. A1.29)
Последнее равенство следует из определения A1.5)
(ВД а=\[8асд»- ie (UWJ) acW>
где в векторном представлении согласно C.66) матрица генерато-
генератора Lt равна
Лагранжиан обладает явной калибровочной инвариантностью
относительно группы Si/B) изотопических вращений. Потенциаль-
Потенциальная энергия У(ф) в зависимости от знака К имеет минимум либо
при ф2=0, если 51<0, либо при ф2 = т2Д, если Х>0. Классический
вакуум определяется как асимптотика решения при r-^оо, обеспе-
обеспечивающая минимум энергии поля. При %<0 вакуум оказывается
симметричным
г->оо, ф->0, A1.30)
так как он не нарушает симметрию лагранжиана. При Х>0 вакуум
оказывается несимметричным
X, A1.31)
где па — некоторый произвольный единичный вектор, |п| = 1,
в изопространстве. Очевидно, что выбор вектора па нарушает ис-
исходную симметрию S?/B), присущую лагранжиану, снижая сим-
симметрию решения, построенного на этой асимптотике до однопара-
метрической группы 1/A).
Рассмотрим более простой абелев случай, предполагая, что до-
допустимы только двумерные вращения вокруг третьей изотопичес-
изотопической оси, образующие U(l)—подгруппу группы Sf/B). Тогда по-
потенциал W,* будет иметь только одну отличную от нуля компо-
компоненту
С = 6а3<. A1.32)
При этом мы приходим к теории, аналогичной электродинамике
с потенциалом A^W^. Перейдем к цилиндрическим координа-
координатам р, 6, ф3
, ф3. A1.33)
101
Тогда для производных, согласно A1.29), получим выражения
Одф1 = cos 6дмр — ер sin 0 (А» + — д^,
A1.34)
D^cp2 = sta бд^р + ер cos Ь (Лй + — <ЭЙ6\,
и лагранжиан A1.26) примет вид
+ -I
Этот лагранжиан инвариантен относительно локальной калибро-
калибровочной группы ?/A). Совершим локальное калибровочное преоб-
преобразование полей ф1, ф2 и Лй, отвечающее повороту вокруг оси 3
на угол 8:
l = А» + -i- ад A1.36)
О цм ==
В этом случае переменная 8 выпадает из лагранжиана:
Потенциальная энергия самодействия имеет минимум при
р2 + ф82в^2Д# (Ц.38)
Выберем вакуумные значения переменных р и фз, удовлетворяю-
удовлетворяющие условию A1.38)
р = 1/т2Д = т|, Фз = 0. A1.39)
Обозначим р'=р — ц и запишем лагранжиан вблизи вакуума
A1.39) в квадратичном приближении
<? = -±(GU* +^-(^р'J + -j-WA? +-y (^Ф3J-ту^
A1.40)
Этот лагранжиан описывает три невзаимодействующих поля: век-
векторное поле Л/ и два скалярных поля р' и ф3. Если в исходном
102
лагранжиане A1.26) у векторного поля отсутствовал массовый
член ~ЛД то в выражении A1.40) он появился. Поле Л/ приоб-
приобрело массу, которая, как следует из сравнения A1.40) с лагран-
лагранжианом векторного поля (9.24), равняется
тА=\е\ц. A1.41)
Тем самым поле Л/ в отличие от Лц перестало быть поперечным
и обрело третью, продольную, поляризацию. Скалярное поле р'
также оказалось массивным с массой, равной
mp=/2m, A1.42)
а поле фз осталось безмассовым.
Первоначально система обладала пятью степенями свободы:
поперечное поле Лй с двумя состояниями поляризации и скаляр-
скалярный хиггсовский триплет фа (а= 1,2,3). В результате выбора под-
подходящей калибровки (И.36) одно из скалярных хиггсовских по-
полей 8 выпало из лагранжиана, передав свою степень свободы
векторному полю, которое перестало быть поперечным. Фиксация
калибровки A1.36) и выбор определенного вакуума A1.39), около
которого производится разложение, приводящее к лагранжиану
A1.40), приводят к нарушению исходной симметрии системы, или,
как говорят, к спонтанному нарушению симметрии. При этом век-
векторное поле обретает массу и третье состояние поляризации. Из
двух оставшихся хиггсовских полей одно, р', также становится
массивным. Число степеней свободы системы при этом, очевидно,
сохраняется и остается равным пяти. Таким образом, в результате
спонтанного нарушения локальной одно'параметрической симмет-
симметрии одна безмассовая скалярная частица (голдстоуновский бозон
(см. §7)) исчезает, а векторное калибровочное поле становится
массивным. В этом состоит механизм Хиггса возникновения массы
элементарных частиц.
Если не ограничиваться с самого начала однопараметрической
подгруппой ?/A), а рассмотреть полную группу симметрии лаг-
лагранжиана A1.26) S?/B), то векторное поле будет иметь три изо-
изотопических компоненты W»a (a= 1,2,3). В этом случае можно по-
показать, что спонтанное нарушение симметрии, происходящее за
счет выбора вакуума A1.31), снижает симметрию с SUB) до С/A),
уменьшая число параметров группы с трех до одного. При этом
две из трех компонент векторного поля приобретают массу, два
голдстоуновских бозона исчезают, третья же скалярная хиггсов-
ская частица становится массивной. Подобное явление, связанное
с механизмом Хиггса, наблюдается и в квантовой теории. Оно ле-
лежит в основе построения единых теорий взаимодействия элемен-
элементарных частиц (модель Вайнберга—Салама объединения электро-
электромагнитных и слабых взаимодействий; большое объединение силь-
сильных и электрослабых взаимодействий).
103
Глава II
ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
§ 12. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА—ЛОРЕНЦА
Общая теория электромагнитного поля как безмассового век-
векторного поля была изложена ib § 10. Поле описывается антисим-
антисимметричным тензором второго ранга F^v (тензором электромагнит-
электромагнитного поля), который удовлетворяет системе уравнений Максвелла
(см. A0.18) и A0.36)):
Э^ (*) = --toff*), A2.1)
dvF*»=0, A2.2)
где F*v = 1/28ЙШ^аР — дуальный тензор A0.37), /¦*= (р,j) —
4-вектор плотности электромагнитного тока *, образованный плот-
плотностями заряда р и тока j.
Запишем уравнения Максвелла в трехмерной векторной фор-
форме, введя напряженности электрического поля Е и магнитного
поля Н согласно A0.11а):
rotH—— =4я]', divE = 4np; A2.1а)
at
rotE + —=0, divH = 0, A2.16)
dt
где первая группа уравнений A2.1а) следует из A2.1), а вторая
группа A2.16)—из A2.2). Подчеркнем, что 3-векторы Е и Н не
являются пространственными компонентами каких-либо 4-векто-
ров. При преобразованиях Лоренца Е и Н выражаются друг через
друга, образуя в совокупности тензор F»v.
В классической электродинамике ток jv- создается точечными
заряженными частицами, так что
Лв(г-гв@), A2.3)
где еа — заряд а-й частицы, ra(t) и va=draldt — ее радиус-вектор
и скорость, б (г — га) —3-мерная б-функция.
* В отличие от § 10 заряд е включен в определение тока /м- (см. ниже
A2.4)).
104
Для одной частицы можно записать создаваемый ею ток в
явно ковариантной форме:
A2.4)
Здесь z»(x)~(t',re(t'))—четырехмерный радиус-вектор частицы;
т — ее собственное время, связанное с лабораторным временем
/'=г° известным соотношением:
^т = (d22I/2 = (I — v*yi2dt'\ A2.5)
четырехмерная cKOpoctb, причем и2 = иы^19 v=^dreldt' — обычная
3-скорость; б4 — четырехмерная 6-функция:
A2.7)
Интегрируя в A2.4) по собственному времени т с помощью
формулы для б-функции сложного аргумента
где %s — простые нули функции <р(т), получим известное выраже-
выражение (см. A2.3)):
l,v). A2.4а)
Легко видеть, что 4-ток /»* для одной частицы A2.4) подчи*
няется уравнению непрерывности A0.18а):
00
Движение частицы с зарядом е и массой т задается уравне-
уравнением классической механики
т^-^ёр^щ, A2.9)
dx
в котором сила определяется электромагнитным полем F»v(x)
в точке х=г(т) нахождения частицы. В трехмерной форме A2.9)
принимает вид (см. A0.11а), A2.6)):
, г.) + vxH(/, r,)], A2.9а)
где выражение справа называется силой Лоренца.
105
Уравнения A2.1), A2.2), A2.4) и A2.9) (или в трехмерной
форме: A2.1а), A2.16), A2.3), A2.9а)) образуют замкнутую си-
систему уравнений классической электродинамики, называемых
уравнениями Максвелла—Лоренца.
§ 13. ФУНКЦИЯ ГРИНА ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
Приступим к интегрированию уравнений Максвелла—Лоренца
A2.1), A2.2) при заданном токе /м-. Как уже отмечалось в § 10,
такая постановка задачи является приближенной, но во многих
случаях это приближение оправдано и соответствует движению
зарядов во внешнем электромагнитном поле Fext, сильном по
сравнению с полем У7^, создаваемым самими зарядами (током /^).
Ток /»* можно определить, решая уравнение движения заряда
A2.9) с заданным тензором внешнего поля FuH.
В § 10 было показано, что тензор поля F»v записывается через
4-потенциал А^(х) в виде (см. A0.11)):
Flkv=d]kAv — fffA]k. A3.1)
Представление A3.1) позволяет тождественно удовлетворить
уравнению A2.2) для дуального тензора F^v (см. выше A0.39)).
Потенциал А» подчиняется уравнению A0.19). Используя инва-
инвариантность уравнений электромагнитного поля A2.1) (или A0.19))
относительно локальных калибровочных преобразований A0.9),
подчиним потенциал А» условию Лоренца A0.20):
= 0. A3.2)
Тогда уравнение A0.19) сводится к неоднородному волновому
уравнению (уравнению Даламбера, см. A0.22)):
ПА»(х)=4пр(х). A3.3)
Его общее решение запишем в виде:
А» (х) =4n\D(x — х') t (xr) d*x' + A»(x), A3.4)
где А*(х) —произвольное решение однородного уравнения
? Л*(х)=0. A3.5)
Функция D(x — х') в A3.4) является ядром интегрального
оператора СМ, обратного D, и подчиняется неоднородному урав-
уравнению со специальной правой частью —б-функцией:
nxD(x — х')=6*(х — х'). A3.6)
Функция D называется функцией Грина волнового уравнения и
имеет простой физический смысл: она описывает волновое возму-
возмущение, вызванное мгновенно действующим точечным источником.
106
Найдем решение уравнения A3.6) разложением D и 64 в
4-мерные интегралы Фурье:
~б(*)Л A3.7)
A3.8)
где &jc=&*%=fe°/— кг. Подставляя эти разложения в A3.6), най-
найдем фурье-образ D(k) из простого уравнения
общее решение которого имеет вид
D = -±
где С (k)—произвольная несингулярная функция №. Однако вто-
второй член здесь можно отбросить, так как его учет добавляет
к D(x) A3.7) слагаемое, удовлетворяющее однородному уравне-
уравнению, т. е. сводится к переопределению произвольной функции Лй(л:)
в A3.4). Таким образом, положим
причем k2 = ko2 — к2. В результате находим
p-ik(x-x')
/* d*k p-ik(x-x')
D(x—x')= — \ - A3.10)
V ' J BяL k* V
Выражение A3.10) дает формальное решение уравнения
A3.6), jaK как еще не определено правило интегрирования особен-
особенности D(k) при &о = ±|к|. Чтобы фиксировать это правило, надо
наложить определенные граничные условия на D. Исходя из фи-
физического смысла функции Грина, потребуем, чтобы
?ret (* — *')= 0 При Х°<Х'°. A3.11)
Этим условием определяется так называемая запаздывающая
функция Грина ?>ret(*— #')> удовлетворяющая принципу причин-
причинности (возмущение возникает после начала действия источника):
П . /ЧЛ — Г />ik(r-r') ( ^ Л 1_ /10 1 0\
J BяK J 2я й-|к|«
где контур интегрирования Сг по переменной /^о показан на
рис. 13.1. Используя известную лемму Жордана из теории функ-
функций комплексной переменной, легко проверить, что при t<? кон-
контур Сг следует замкнуть в верхней полуплоскости, а при t>? —
в нижней. Поскольку полюса &0 = ±|к| обходятся сверху, то при.
107
t<? получаем A3.11). При t>? интеграл по ko сводится к сумме
вычетов в полюсах:
2« <
*2_©» Ч -а»
г
где ю=|к| и учтено, что контур обходится по часовой стрелке
(отсюда знак минус). Выражение A3.12) принимает вид
со
где R=r — т\ T=t —
1тк,
Рис. 13.1.
Дальнейшее интегрирование выполняется в сферических коор-
координатах (<о, 0,<р) в k-пространстве: d3k=(u2d(dsinBdQdy, причем
ось &з удобно направить по вектору R, kR=<oiRcos8. Угловое ин-
интегрирование дает
^
do) sin ©Г sin со/?.
Оставшийся интеграл сводится к 6-функции б (Г — R), и мы полу-
получаем запаздывающую функцию Грина в виде
Aet(*-*')=
4ЯI Г Г |
6(t-t'-\r-T'\
A3.13)
Решение A3.13) описывает распространяющуюся со скоростью
света бесконечно узкую сферическую волну, вызванную источни-
источником в точке г^г', который действовал мгновенно в момент * = /'.
Используя известную формулу
1в(дс-о)+в(дс+а)], A3.14)
108
которая следует из A2.8), запишем Dret в инвариантной форме:
Z?ret (*-*')- ЧХ°
Здесь введена разрывная функция
Z?ret (*-*')- ЧХ°~Х0) 6((Х-Х'П A3.15)
{:'Л1
Заметим, что лоренц-инвариантность функции Dret A3.15) сле-
следует из инвариантности знака временной компоненты х0 — х0'
4-вектора х— хг относительно (собственных) преобразований Ло-
Лоренца (см. §3). Таким образом, Q(x°) — лоренц-инвариантная
функция.
Вернемся к представлению запаздывающей функции Грина
в виде A3.12). Тот же результат интегрирования по &0 получим,
если сместим полюса feo=±|k| в нижнюю полуплоскость на бес-
бесконечно малую величину: &о = ±|к|—is при е->+0, а контур Сг
совместим с действительной осью Re&0. Очевидно, это сводится
к замене ko->-ko+ie в A3.12), и мы приходим к эквивалентному
(и чаще используемому) представлению:
— x') = — f - A3.17)
Указанная замена имеет наглядный физический смысл: при
конечном (но малом) е A3.17) описывает затухающую волну:
Dret(*)~exp(—zt).
Из A3.4) и A3.15) получаем запаздывающее решение волно-
волнового уравнения
АЪ (х) = 2 J 6 (х0 - х'о) б ((х - хУ) f (xf) d*x' + > (х), A3.18)
или в трехмерной форме (см. A3.13)):
Г) = Г
A3.18а)
Здесь А^(х) описывает поле, создаваемое внешними источни-
источниками, которые находятся далеко за пределами изучаемой системы.
В самом деле, если /»*(*, г) = 0 при t<t0, то A3.18) дает Ant =^м'
при t<t0.
Заметим, кстати, что общее решение однородного волнового
уравнения А^(х) можно представить в виде разложения по плос-
плоским монохроматическим волнам (см. также § 10):
А {х) = J
109
Здесь av(k) —произвольная (несингулярная) 4-векторная
функция &, подчиняющаяся в выбранной нами калибровке Лорен-
Лоренца A3.2) условию поперечности:
ka=k°a° — ka=0. A3.20)
Наличие 6-функции 6(&2) в A3.19) выражает известную связь
между частотой монохроматической волны о) = &о и ее волновым
вектором к:&о2 — к2 = 0.
Легко проверить непосредственно, что, как и должно быть
(§10), напряженности полей Е и Н в плоской монохроматической
волне ортогональны друг другу и вектору к. Действительно, со-
согласно A0.11а) для компонент напряженностей волны имеем:
Отсюда с учетом A3.20) находим
kE = klEt = kQ (ak) — kV = а0 (А? — к2) = 0;
кН = klHt = 0; EH = EtHi = 0,
так как klkmzimn=O и а1атг1тп=0 в силу антисимметричности
В дальнейшем мы будем рассматривать только поле, созда-
создаваемое самим током ;>, и поэтому отбросим в A3.18) слагаемое
Л^(х) (поле, «падающее» на систему извне).
Построим теперь так называемую опережающую функцию
Грина Dadv, удовлетворяющую условию
Dadv{x—*')=0 при *°>*'0. A3.21)
Она, конечно, не имеет прямого физического смысла, но исполь-
используется в теории излучения (см. ниже § 16).
Нетрудно убедиться в том, что ее фурье-разложение получает-
получается из A3.17) заменой е-^—е (т. е. соответствует обходу полюсов
на рис. 13.1 снизу):
Dadv(x — x') = — \ 5 > A3.22)
V ' J BяL k* — ieko V
или заменой знака аргумента 8-функции в A3.15):
-*')= Ч~{Х2°~Х'0)) Ь((х~х'П A3.23)
Разность запаздывающей и опережающей функций подчиняет-
подчиняется, очевидно, однородному волновому уравнению. Для дальнейших
применений запишем фурье-разложение для полуразности
Drad(*) ES 4" [Aet (X) - Dadv (х)] = -^- 8 (Х*) SgU jfl. A 3.24)
2 4ft
по
Используем известную формулу
Z ± l\J Z
имеющую следующий смысл:
Тшб(г), A3.25)
lim I dz = or \ dz 4- шф(и), (lo.25a)
ОО в*
где ^ — символ главного значения интеграла, ф(г)—«хорошая»
функция, регулярная при z = 0.
Из A3.24), A3.17), A3.22) с учетом A3.25) получаем разло-
разложение Drad по плоским волнам:
Drad (х) = 2ni Г -^— e~ikx sgn fe°6 (fe2), A3.26)
J B я)
где введена знаковая функция
' г!' гЛп' A3-27>
§ 14. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Система уравнений электродинамики A2.1), A2.2), A2.9) мо-
может быть получена из вариационного принципа (см. § 1):
65 = 0. A4.1)
Здесь S — действие для системы, состоящей из электромагнитного
поля и взаимодействующих с ним заряженных частиц. Оно пред-
представляется в виде суммы трех частей
. A4.2)
Первая часть отвечает действию для поля в отсутствие заря-
зарядов (§10):
Sf = $3fd*xy A4.3)
t= (E2 — H2) — лагранжиан (плотность функ-
8jt
ции Лагранжа) свободного поля.
Вторая часть дает действие для свободных частиц. Ограничи-
Ограничиваясь для простоты записи случаем одной частицы массы /л, имеем
2ds, A4.4)
S?e0=i—т(г^)г/2 — лагранжиан свободной частицы, где z^ =
z^=z^(s)—4-мерный радиус-вектор частицы, определяемый про-
произвольным параметром 5, который после варьирования действия
111
мы можем отождествить с собственным временем частицы. Для
системы частиц Se° равно сумме членов типа A4.4) по всем час-
частицам.
Третья часть функции действия описывает взаимодействие
частиц с электромагнитным полем:
A4.5)
и для одной частицы с учетом A2.4) получаем
5ы = — е j^(*N4(* — z(s))^d4*ds = — e$A*(z())v(
A4.5а)
Напомним (§10), что электромагнитное поле описывается в
этом подходе 4-потенциалом Л*\ компоненты которого являются
независимыми обобщенными координатами, подвергающимися
варьированию. Антисимметричный тензор поля A3.1) поэтому
автоматически удовлетворяет уравнению A2.2). Уравнение же
A2.1) получается при варьировании по А& (ток ;#|Х при этом фик-
фиксируется) суммы двух слагаемых Sf A4.3) и Sint A4.5). Соответ-
Соответствующие вычисления были проведены в § 10 (см. A0.17) и
A0.18)).
Уравнение движения заряжённой частицы в электромагнитном
поле следует из функции действия (см. A4.4) и A4.5)):
eds, A4.6)
Le = — m(ZvZvI/2— &4v(z) zv—лагранжиан частицы, взаимодействую-
взаимодействующей с полем.
Варьирование действия A4.6) по г* (при фиксированном по-
поле А&) дает обычное уравнение ЛагранжЯ
— — = 0. A4.7)
ds dz^ dz^
Здесь
dLjdz^ = — ezydA'/dzp^ — ez^Av (z),
dLjdz* = — m (z2)~1/2 > - eA» (z),
d dLe d
ds dz ds
Подставляя эти выражения в A4.7), получаем уравнение дви-
движения заряженной частицы в виде:
** # Zl* I r«U,V / \ /1 л О\
т { -77ГГ- ] = ег™ (г) zv. A4.8)
112
Выберем в качестве до сих пор 'произвольного параметра s
собственное время частицы т (см. A2.5)). Тогда i2=l, и уравне-
уравнение A4.8) переходит в известное уравнение A2.9). Если же поло-
положить s = t=z° (лабораторное время), то ?»*= (I, v), где \=dre/dt —
обычная скорость. В результате при jx= 1,2,3 получим уравнение
движения в трехмерной форме A2.9а), а временная компонента
(р, = 0) в A4.8) дает закон изменения кинетической энергии:
m
A4.9)
§ 15. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ-ИМ ПУЛЬСА
В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Покажем, что энергия и импульс системы «поле+частицы»,
определяемые как суммы энергий и импульсов электромагнитного
поля и заряженных частиц, сохраняются.
Исходим из уравнения движения частицы в 4-мерном виде
A2.9). Умножая обе его части на б-функцию д*{х— г(т)), где
z»(x)—4-мерный радиус-вектор частицы, и интегрируя по собст-
собственному времени т с учетом выражения для плотности тока /м*
A2.4), получим
т Idx
б*{х ~~г (т))=F *"{х) iv
Интегрируя левую часть этого соотношения по частям с учетом'
d64(x — z(%))= —и?(т)[<Эб4{х — z)/d^]dxt находим:
Здесь введен тензор
(x) = т J°°
6A (x — z (x)),
A5.1)
A5.2)
который в соответствии с общим определением (см. § 4) можно*
отождествить с тензором энергии-им-пульса системы, состоящей из
одной (точечной) частицы. Действительно, интегрируя в A5.2)
по т, получим
Т*" = т8 (г— г, (t)) uW—,
at
откуда следует, что
A5.2а)
A5,26)
113-
плотность энергии; fok = f°°uk — плотность импульса (потока
е
энергии); Tik образует 3-мерный тензор плотности потока импуль-
е
са, точнее, Tik есть i-я компонента вектора импульса, протекаю-
протекающего через единичную площадку, перпендикулярную к оси xk.
Для системы многих частиц тензор энергии-импульса пред-
представляется, очевидно, в виде суммы слагаемых типа A5.2)
Г* (х) = ? та |° Аб4 (х - га (%)) и»иУа. Aб.2в)
? а |
а —оо
Уравнение A5.1) при этом остается, конечно, справедливым.
Преобразуем теперь правую часть A5.1), представляющую
собой плотность силы, действующей на систему зарядов со сторо-
стороны поля:
A5.3)
Покажем, что ее можно представить в виде 4-мерной дивергенции:
/¦* = —д^, A5.4)
где
(Wv LFF**) A5.5)
введенный в § 10 главы I тензор энергии-импульса электромагнит-
электромагнитного поля.
В самом деле, подставив в A5.3) ток /v, выраженный через
тензор поля согласно уравнению Максвелла—Лоренца A2.1), по-
получим
4я/* = - fWav = - dv (F^Fav) + Fav (dvF»*). A5.6)
Запишем теперь уравнение поля A2.2) в виде (учитывая анти-
антисимметричность Fw)
dvFm + рр» + д»р™ = 0 A5 7)
Умножая это уравнение на Fay и суммируя по v, найдем
F^F»* = L Fav^Fav = - ± &> (FapFaP). A5.8)
Из A5.6) и A5.8) следует соотношение
которое сводится к A5.4).
114
Объединяя A5.1), A5.3) и A5.4), мы получаем искомый закон
сохранения энергии-импульса в виде:
av(rv + T^v)=0, A5.9)
или, ввиду A5.1),
avr^v = — F^jv. A5.9a>
Запишем для большей ясности закон сохранения в интеграль-
интегральной форме*. Обозначая полный тензор энергии-импульса через
7>\ из A5.9) имеем
1 дТ<*> . дТ°Ь
-\- = U.
с dt dxk
Интегрируя это уравнение по некоторому объему трехмерного
пространства У, ограниченному поверхностью а, и используя тео-
теорему Гаусса, находим
— f
V
T00d3x = — ф Т«Чвь A5.10)
V а
где dok — компоненты 3-вектора элемента поверхности da=nda
(п — единичный вектор внешней нормали к поверхности). Соглас-
Согласно A5.10) скорость изменения энергии системы в объеме V равна
потоку энергии через граничную поверхность а.
Используя A5.2в) и A5.5), перепишем A5.10) в более на-
глядной форме
= -j)Sda, A6.11)
A5.12)
S = ^-[ExH] A5.13)
вектор плотности потока энергии поля (Sk~cTOk), называемый
вектором Пойнтинга; &а = mac2ua0 = mac2 A — va2/c2) ~1/2 — кинетиче-
кинетическая энергия а-й частицы.
Аналогично получим интегральный аналог соотношения A5.9а)
в трехмерной форме**:
а
где
^^-L(E2+H2)
f
плотность энергии электромагнитного поля (w = T00)
* Ниже до конца этого пункта мы используем обычную систему единиц.
** Заметим, что A5.11) и A5.14) написаны в предположении, что на по-
поверхности а отсутствуют в заданный момент частицы (в противном случае
в правые части указанных уравнений надо добавить поток энергии частиц, на-
находящихся на границе а, т. е. —5T0hdOh).
а
115
~- [wd*x = - f jEd»* —F&fof A5.14)
т. е. скорость изменения энергии поля в объеме V равна (с обрат-
обратным знаком) сумме работы, совершенной (в единицу времени)
нолем над зарядами, находящимися в объеме V, и потока энергии
поля через границу а. Уравнение A5.14) можно получить также
сразу из A5.11), если учесть закон изменения кинетической энер-
энергии заряженной частицы A4.9).
Точно так же, рассматривая компоненты Т& тензора энергии-
импульса, получим закон сохранения импульса системы (ср.
A5.11)):
it (]*РЛ+ ЕМ=-<f><Tdcy' <15Л1а)
V а а
тде
Р = S/c2 = -!_[ЕхН] A5.13а)
плотность импульса электромагнитного поля; Т — вектор с компо-
компонентами Ti^Tiknk (вектор плотности потока импульса); ра~
=mavfl(l —va2/c2)"~1/2— импульс а-й частицы.
Учитывая закон изменения импульса частицы, можно пере-
лисать A5.11а) в виде (ср. A5.14)):
— fpd3*=~ GpE +-±-)xH\d3x — фтЖг. A5.14а)
V V
Согласно A5.14а) скорость изменения импульса электромагнит-
электромагнитного поля в объеме V равна (с обратным знаком) сумме полной
силы Лоренца, действующей на заряды в этом объеме, и потока
импульса через граничную поверхность а.
§ 16. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Обратимся к более подробному исследованию поля, создавае-
создаваемого произвольно движущимся точечным зарядом. Если заряд об-
обладает ускорением, то его поле представляется в виде суммы двух
существенно различных компонент. Одна из них не зависит от ус-
ускорения и соответствует полю равномерно движущегося заряда.
Другая же компонента поля определяется ускорением заряда и
на больших расстояниях R от него становится преобладающей,
так как убывает с расстоянием гораздо медленнее (~R~l) первой
компоненты (~-/?~2), что и приводит к отличному от нуля потоку
энергии электромагнитного поля, т. е. к излучению.
а) Поле произвольно движущегося точечного заряда
Пусть заряженная частица движется по заданному закону
z^ = z^(x). Напомним, что z^ — 4-мерный радиус-вектор частицы,
116
т — ее собственное время (см. A2.5)). Найдем поле, создаваемое
частицей, используя полученное в § 13 общее решение волнового
уравнения. Подставляя явный вид тока A2.4) в A3.18), получим
после интегрирования по хг с помощью б-функции 64 (х' — z) за-
запаздывающий 4-потенциал поля заряда в виде (решение однород-
однородного уравнения Av мы отбрасываем):
х) =2е f dri(x?-*>(T))8((x-z(T))*)u»(%). A6.1)
Оставшееся интегрирование по собственному времени прове-
проведем с помощью соотношения
f
которое является следствием известной формулы для б-функции
сложного аргумента A2.8). Здесь тг —корень уравнения
(x-z(xr)J=0, *°(тг)</, A6.3)
или в трехмерной форме:
t — tr=\r — r.(tr)L A6.3а)
()
Легко видеть, что уравнение A6.3) имеет единственное реше-
решение. Действительно, рассмотрим функцию ф(т) = (х — z(t)J. Ее
производная
2и(х z)n и(х 2)[1 vR/( z)]< О,
dx
(R-r-гЛ
так как скорость частицы и<1. Следовательно, ф(т)—монотон-
ф(т)—монотонная функция т, и поэтому тг — единственный корень уравнения.
Используя A6.1), представим A6.1) в виде:
А?«(х)
(мХ)
где введено обозначение
X» =*»—#(%), X*(xr)=0.
Запишем A6.4) в трехмерной форме:
<т> а г} — е
ret ^ ' ' Я — vR
< > Aret
f/ г\ — ev
1>Ч Л-vR
'г'
A6.4)
A6.5)
A6.4а)
где R=r — Те, i?=|R| и tr — корень уравнения A6.3а).
Потенциалы A6.4а) называются потенциалами Лиенара—
Вихерта. Согласно A6.4а) и A6.3а) поле частицы, наблюдаемое
в момент времени t в точке пространства г, определяется поло-
117
жением частицы в точке re{tr) в предшествующий момент tr, при-
причем t — tr — время, которое требуется, чтобы электромагнитное
возмущение прошло расстояние |г — re(tr) |.
Вычислим теперь тензор поля F^b связанный с потенциа-
потенциалом A6.4) соотношением A3.1). Удобнее исходить из интеграль-
интегрального представления A6.1), которое с учетом обозначения A6.5)
запишем, опуская временно для краткости индекс «ret», в виде:
А11 (х) = 2е j dxu»(>xN(Х°)б(X2). A6.1а)
00
Отсюда *
оо
дМц = 2е Г dxt№ (Х°) ~ б (X2).
—00
Преобразуем производную б-функции:
так как ввиду A6.5) dX2/dx=2X»(dXJdx)=—2(uX). Поэтому д*А»
сводится к выражению
или, после интегрирования по частям (см. сноску):
W._*j"*,C*)«m-±.[i?]. (,6.6)
00
Вычисляя интеграл A6.6) с использованием A6.2), находим:
dx [ (иХ)
и тензор поля
retV ; (иХ) dx [ (иХ)
Вычислив производные, получим окончательно тензор электро-
электромагнитного поля, создаваемого заряженной частицей, в виде
A6.9)
* Легко проверить, что дифференцирование 0-функции вклада не дает.
118
Здесь мы ввели 4-мерное ускорение
(где dL=zdv/dt — трехмерное ускорение) и учли, что м2=м»*ай=1.
Отсюда, кстати, следует соотношение ортогональности: (пум)=0.
Выпишем теперь выражения для напряженностей электричес-
электрического и магнитного полей, связанных с тензором A6.9) соотноше-
соотношением A0.11а)
-v)xa)I' Обл.)
Н = пХЕ,
где n=R//? — единичный вектор, и все величины в правых частях
равенств берутся в момент времени tr (см. A6.3а)). Отметим, что
векторы Е и Н взаимно ортогональны.
Рассмотрим структуру поля A6.11). Оно состоит из двух су-
существенно различных слагаемых
Е=Е<1> + Е<2>. A6.11а)
Первое из них не зависит от ускорения частицы и на больших
расстояниях R от заряда убывает ~R~2. Оно соответствует полю
равномерно движущегося заряда. Действительно, при v=const
имеем
т. е. это вектор, соединяющий местоположение заряда в момент
наблюдения с точкой наблюдения.
Откуда следует
R A —nv) \tr - R Vl—*Bln*b\i9
где 8 — угол между R(t) и v. JB результате Е^> сводится к извест-
известному выражению для электрического поля равномерно движуще-
движущегося заряда
Е ""«Г (i^^sm^)^ . A6.12)
Второе слагаемое Е<2) в A6.11а) зависит от ускорения заря-
заряда а и, убывая — R-\ на расстояниях (см. A6.11))
#>A — У2)/а A6.13)
становится преобладающим и приобретает структуру сферической
волны: | Е| = | Н | —г-1 {R~r при условии A6.13)), причем Е, Н,
n=r/r образуют правую тройку взаимно ортогональных векторов,
т. е. электромагнитное поле ускоренного заряда вдали от него яв-
является поперечным. Как мы сейчас увидим, именно это слагаемое,
119
отличное от нуля только при а=#Ю, и описывает излучение заря-
дом электромагнитных волн.
б) Мощность излучения
Вычислим излучаемую зарядом энергию. Поток энергии дает-
дается вектором Пойнтюнга S A5.13). Энергия электромагнитного по-
поля de, испускаемая зарядом в элемент телесного угла йп в на-
направлении n=R/# в течение времени от tr до tr+dtr, пройдет через
элемент площади da=R2d?l в интервале от t до t+dt, причем мо-
момент излучения tr связан с моментом наблюдения t соотношением
A6.3а). Эта энергия равна
de= (Sn)R4Qdt. A6.14)
На больших расстояниях от заряда в так называемой волно-
волновой зоне, когда |ге|<С|г| и выполнено условие A6.13), можно
положить
S = iUi.n. A6.15)
Здесь Е определяется вторым (волновым) слагаемым в A6.11)
(см. предыдущий пункт), причем в том же приближении имеем
R—г (считаем, что заряд движется в ограниченной области, в ко-
которой находится начало системы координат), п=г/г, а связь вре-
времен tr nt A6.3а) упрощается:
<-*, = [!•- 2гг, (*,) + if (tr)f<2 ~ г A - 2 J=l) 1/2,
ИЛИ
t = tr + r — nte(tr). A6.16)
Согласно A6.14), A6.15) и A6.11) интенсивность излучения, т. е.
количество энергии, регистрируемой наблюдателем в единицу вре-
времени t, равна
dl = ds = e* [nX[(n-v)xa]]a A6 17)
du dQdt 4я (l-nv)« # \ f
Более точно, A6.17) называется угловым распределением интен-
интенсивности излучения в отличие от полной интенсивности I=de/dt.
Подчеркнем еще раз, что все величины справа в A6.17) берутся
в момент й- (см. A6.16)).
Чаще, однако, представляет интерес мощность излучения, т. е.
энергия, излучаемая частицей в единицу времени tr (или скорость
потери энергии частицей) W=de/dtr. Мощность отличается от ин-
интенсивности излучения. Действительно, из A6.16) имеем:
dt=dtr{l— nv), A6.18)
откуда следует связь мощности и интенсивности
(i_nv)-^-. A6.19)
f v du v '
120
Из A6.19) и A6.17) получим угловое распределение мощ-
мощности излучения в виде:
dW _ в2 [nx[(n —v)xa]]2 _
du 4jt (I—nvM
^ в2 \ a2 2(na)(va) (l-t;2)(naJ } nQ 20)
4л { A-nvK A-nvL A-nvM Jf
причем здесь второе равенство получено после раскрытия двой-
двойного векторного произведения в первом.
Наряду с энергией излучение уносит также и импульс (см.
A5.13а)). Получим поэтому общее выражение для 4-импульса
dPvjdxdtl, теряемого зарядом в виде излучения в единицу собст-
собственного времени т и в единицу телесного угла. Удобно провести
вычисления в четырехмерном виде.
Как показано в § 15, 4-импульс, проходящий через замкнутую
поверхность а за время dt, равен
A6.21)
где, как и выше, da=r2dQ, 7>v — тензор электромагнитного поля
A5.5) (индекс «f» мы отбросили).
Подставляя в A5.5) выражение A6.9) для тензора поля за-
заряда, после несложных выкладок с учетом A6.5) и равенства
wvu^O получаем тензор энергии-импульса поля заряда в виде
(«X)* 1
иХ
+ (XV + XV)- ш*~1 (XV + XV11) Lguv] I .
иХ 2 J 1тг
A6.22)
Отодвинем поверхность а в A6.21) в волновую зоиу. Тогда
можно положить (см. A6.5)) Л>=/71*\ где
/zn=(l,n), A6.23)
и оставить в тензоре A6.22) лишь главные члены ^г-2:
. A6.22a)
4яг* («и)* L V пи
Замечая, что интервал собственного времени заряда dtr=rft=
= A—v2yi4tr с учетом A2.5), A6.18) и A6.23) можно выразить
через интервал времени наблюдения dt посредством
dx=dtr/u°=dt/(nu), A6.24)
121
получим из A6.21) и A6.22а) выражение для излучаемого 4-им-
пульса
i^LJ!LrfJ=Lyi (i6.25)
dxdQ 4я (пи)* L \ ли
Временная компонента A6.25) сводится после перехода от
времени tkU помощью A6.24) и учета A6.10) к уже получен-
полученному выражению для мощности излучения A6.20), а пространст-
пространственные компоненты дают импульс излучения:
-?- = п—*_. A6.25а)
dtrdu dtrdQ v
Найдем теперь полный 4-импульс, излучаемый в единицу соб-
собственного времени по всем направлениям:
dP»
dP» = г
dx j
dxdu
dQ. A6.26)
Угловое интегрирование в A6.26) легко провести, заметив, что
dPv/dx — 4-вектор (в отличие от A6.25)) и поэтому должен быть
составлен из 4-векторов иР и w^y которые имеются в нашем рас-
распоряжении:
ри = JE!L = —-?- [в& + Cw»]f A6.27)
dx 4jt
где В я С подлежат определению. Умножая A6.27) скалярно на
Иц с учетом A6.26) и A6.25) и соотношений и2=1, шм=0, имеем
В = Jw2 + WpWyNw,
J&_ tfiw^Pj^dQ. A6.28)
(пи)* J (nay
Аналогично, рассматривая скалярное произведение (wp)y получаем
w2C = w2 (wvN»
№ = [-»L—dQ9 №* = f^nV dQ. A6.29)
J (nu)* J (пи)* V ;
Тензор Nw в A6.28) имеет вид:
Для определения С\ и С2 получаем уравнения:
откуда Ci = —//3 и
A6.30)
122
Тензоры N» и N^vK в A6.29) также выражаются через комби-
комбинации gvv и иа, и поэтому в силу (wu)=0 сразу получаем, что
в A6.27) С=0. Таким образом, осталось вычислить единственный
интеграл /:
2я Л о
—2 Г * Г desine 2я С dx
T
оо —»
так как ио=(\ — v2)~l/2. Подставляя теперь A6.30) с / = 4я в
A6.27), получим окончательное выражение для 4-импульса, излу-
излучаемого в единицу времени:
— = -e2w2u». A6.31)
dx 3
Отсюда, в частности, с учетом A6.24) и A6.10) находим пол-
полную мощность излучения:
№=э —= ±.e2w2 = — e* \—-—+ КЛУ) , A6.32)
dtr 3 3 L A—o2J A—i>2KJ '
которая оказывается релятивистским инвариантом (и, конечно,
положительной ввиду т2=гй)^гю^<0 (см. A6.10)). Заметим, что
A6.32) можно получить интегрированием по углам трехмерного
выражения A6.20), но это требует гораздо больших вычислений.
Итак, полная мощность одинакова во всех инерциальных си-
системах отсчета. В частности, в системе покоя частицы (v = 0) по-
получаем (в обычных единицах):
W =-1-е*д?9 A6.32а)
Зс3
где а — обычное 3-ускорение. Поэтому излучение еосит дипольный
характер: дипольный момент частицы d=ere, так что W = —-d2.
Зс3
Формула A6.32а) остается справедливой для частиц, движущихся
с малыми скоростями (v/c<^l), в низшем порядке по параметру v/c.
Отметим, что дипольное излучение обладает симметрией: полный
излучаемый в единицу времени импульс равен нулю. Угловое рас-
распределение дипольного излучения имеет вид (см. A6.20) при v=0):
[axlf A6.33)
du 4я L J 4я
где Э — угол между п и а.
Особенности излучения релятивистских частиц (и—с) мы об-
обсудим в следующем параграфе.
В заключение этого пункта подчеркнем, что применимость об-
общих формул A6.25) и A6.31) не ограничивается тем, что при их
выводе мы вычисляли поток 4-импульса в волновой зоне. В систе-
системе, где v = 0, в A6.11) остается только волновое слагаемое (на лю-
123
бых расстояниях R от заряда). Поэтому излучение можно наблю-
наблюдать не только в волновой зоне A6.13), но в произвольной окрест-
окрестности заряда.
в) Спектр излучения
Важной характеристикой излучения является распределение
его энергии по частотам составляющих поле монохроматических
волн, т. е. спектральное распределение излучения, называемое для
краткости просто спектром.
Получим спектральное разложение полного излученного 4-им-
пульса, исходя из закона сохранения 4-импульса системы «поле+
+ заряды» в виде A5.9а). Интегрируя A5.9а) по всему четырех-
четырехмерному пространству и преобразуя по теореме Гаусса интеграл
по 4-объему от дивергенции тензора энергии-импульса электромаг-
электромагнитного поля в интеграл по бесконечно удаленной поверхности,
получим полный излученный 4-импульс:
ри=: —$Fw(x)]v(x)d*x. A6.34)
Соотношение A6.34) означает, что излученные энергия и импульс
равны соответственно (см. A5.14) и A5.14а)) работе и импульсу
полной силы Лоренца, действующей на заряды системы.
Выразив тензор поля через 4-потенциал согласно A3.1) Я^=
= dMv — (ЭМ** и учитывая сохранение заряда A0.18а), dv/v=0,
найдем после интегрирования по частям, что слагаемое (dvA»)jv
не дает вклада, так что A6.34) принимает вид
рц = _ J (д* А>) jv d*x. A6.34а)
Разложим теперь потенциал и ток в четырехмерные интегра-
интегралы Фурье:
06.35)
Подставим разложения A6.35) в A6.34а) и выполним интегриро-
интегрирование по координатам и волновому 4-вектору W с помощью извест-
известного соотношения
j й*хе-^+^х = BяL64 (k + k'),
что дает
Р» = i f-^ k*04rVet(A)/v(-*)), A6.36)
причем в силу вещественности тока р(х) имеет место соотношение
/v(-A0=/v*(*)- A6.37)
124
Волновое уравнение A3.3) дает связь фурье-компонент потен-
потенциала A»(k) и тока j»(k) в виде
^'r'•<*>¦ A6-38)
где верхний знак относится к запаздывающему потенциалу
а нижний — к опережающему потенциалу Аш (см. §13), при-
причем е-^+0. Используя A3.25), перепишем A6.38) в эквивалент-
эквивалентной форме:
A» (k) = — inj» (ft) \ $> -~ qF in sgn fto6 (k2) 1. A6.38a)
Подставляя A?t (ft) из A6.38а) в A6.36), получим
P» = — fd4ft № sgn k°8 (k2) (jv (ft) /v (—ft)). A6.39)
Brt)aJ
При выводе мы учли, что вклад главного значения интеграла (см.
A6.38а)) обращается в нуль в силу нечетности по № соответст-
соответствующей подынтегральной функции, так что, как и должно быть,
выражение A6.39) вещественно. Заметим еще, что в A6.39) мож-
можно сделать замену sgnft°-^28(ft0), где 6-функция определена в-
A3.16), так как подынтегральное выражение в A6.39) —четная
функция k°. В результате находим спектральное разложение излу-
излученного 4-импульса в окончательном виде:
Р* = l— f d4 kk» 6 (#>) б (ft2) [p (ft) /v (ft)]; A6.40)
здесь
fti*=(©,k) A6.41)
четырехмерный волновой вектор, (D==fe°= |k| >0, что обеспечивает-
обеспечивается наличием 8- и б-функций в A6.40).
Как видно из вывода выражения для спектра, вклад в излуче-
излучение дает только полуразность запаздывающего и опережающего
потенциалов (см. A6.38а)):
Л№ (Ъ\ —- , Г >d а (Ь\ . Л л (Ь\ 1 •
rad v^/ — ' (.-^ret v*^/ "~~" **adv V^/J —¦
= i Bя)« sgn k° б (#0 /> (k), A6.42)
или в координатном представлении (см. A6.35) и переход от
A6.39) к A6.40)):
= —!—- Г d*k6 (#»)б (ft«) />(k) e~ikx. A6.42a)
Brt) J
125
Таким образом, излучаемое (радиационное) электромагнитное по-
поле представляется в виде разложения по плоским монохроматиче-
монохроматическим волнам (см. также A3.19) и A3.26)) с частотой со и волно-
волновым вектором k=icon (n — единичный вектор в направлении рас-
распространения волны), образующими 4-вектор A6.41).
Фурье-компонента тока /**(&) в A6.40) определяется согласно
A6.35) выражением
/v до = J #хе?кх jv до# A6.43)
Для одной заряженной частицы ток jv(x) имеет вид A2.4),
и его фурье-ком'понента легко вычисляется по A6.43):
= e Гdxu?(т)е**ъа A6.44)
Напомним, что здесь z^(x)—четырехмерный радиус-вектор
частицы, u^=dz^/dx— 4-скорость, и интегрирование ведется по
собственному времени т.
Найдем из A6.40) трехмерное выражение для полной энергии
de(n,со), излученной (за все время рассматриваемого процесса
излучения) в элемент телесного угла dQ в направлении п в виде
волн с частотами в интервале (со, co+dco). Взяв переменную ком-
компоненту в A6.40) и проводя там интегрирование по k° с помощью
соотношения (см. A3.14))
^ — ©) A6.45)
и записывая элемент объема k-пространства в виде d3fe = c
получим спектрально-угловое распределение энергии излучения
в виде:
d() ^A6.46)
1
dud® BлJ "
где для краткости обозначено | /^ |2 = — (/^ (k) /^ (k)).
Спектр излучения одной частицы следует из A6.46) и A6.44)
d& е2 ю2
f
dQdco BjcJ
—оо
или после перехода к лабораторному времени t:
dz г2 ю2
A6.47)
dQda) BjtJ
Г dt Vх (t) exp [i at —i кге(Щ
—оо
оо
ЭО 9»
A6.47а)
126
Здесь введены обозначения: v»(t) =и^/и°= A,v@), ri=
(<)
B)
До сих пор мы рассматривали спектральное разложение пол-
полной энергии излучения. Эта величина представляет интерес в за-
задачах об излучении при столкновении частиц или при их пролете
через область, занятую внешним полем. Обычно такое излучение
называют тормозным.
В случае периодического движения частиц (например, элект-
электронов в синхротроне или 'накопительном кольце) энергия излуче-
излучения неограниченно растет со временем, и возникает вопрос о спект-
спектральном распределении мощности (или интенсивности) излуче-
излучения W, усредненной по периоду движения Т согласно
Получим спектр мощности из спектра полной энергии излуче-
излучения A6.47а). Предварительно преобразуем фурье-компоненту про-
произвольной периодичной (с периодом Т) функции f(t)=f(t+T)i
оо
/(©)= f f(t)el<»tdt=
или, используя известную формулу
00 00
/=—оо /=—оо
/(со)=2я ]? fib((o — l«>0), A6.48)
/=-00
где
О
0 = 2я/Г — частота движения.
Далее из A6.48) имеем:
= Bя)»6@) JT | А |«6 (©-/<»,), A6.49)
Z=-00
127
где (бесконечное) значение 6-функции 6@) понимается в предель-
предельном смысле:
Го/2
2яб @) = lim lim f еш dt = lim 70,
Г0-»оо О)-»-0 —То/2 Го-*00
где Го можно считать полным временем, в течение которого про-
происходит излучение. Отсюда следует связь спектра мощности dW(&)
со спектром энергии de(co):
dW (со) = limde(co)/7o.
Подставив сюда выражение A6.47), преобразованное с по-
помощью A6.49), находим спектрально-угловое распределение мощ-
мощности излучения в виде
00
(со — /coo) X
2jt
X
± f dt tP (t) exp [il coo(* - nve (t))] \ A6.50)
Здесь мы учли, что со>0, и поэтому слагаемые с 1<0 вклада не
дают.
Согласно A6.50) в случае периодического движения яастицы
излучается дискретный набор волн с частотами о)/ = /соо, являющи-
являющимися гармониками основной частоты движения соо=2л;/Г.
Мощность излучения Z-й гармоники следует из A6.40) после
интегрирования по частотам со:
7^ = "tSt ^ I [ dtvli W ехр I" ^ С - nr^ W)l
du
о
T T
X exp {il co0 [(/x -12) - n (re (t,) - re (g)]}. A6.51)
Отметим, что спектральные формулы получены без исполь-
использования волновой зоны.
г) Поляризация излучения
Поле излучения определяется векторами напряженностей Е
и Н, лежащими в плоскости, перпендикулярной направлению из-
излучения п, с которым они образуют правую тройку (см. выше
п. a)): E_LH, n=(ExH)/?#. Поляризация излучения характери-
характеризует, как известно, направление вектора Е.
128
Поляризационные свойства излучения можно описать следую*
щим образом. Разложим фурье-компоненту электрического поля
Е(ю) на две взаимно ортогональные составляющие, лежащие в
плоскости, перпендикулярной п:
A6.52)
где в(я) (Я=1,2) —в общем случае комплексные векторы, удовлет-
удовлетворяющие условиям
пеа) = 0, e*v) ею = бх*. A6.53)
Напомним, что вещественные векторы e<i) и е<2) задают линей-
линейно поляризованные компоненты излучения, а их комплексные
комбинации
отвечают компонентам с круговой поляризацией (с противополож-
противоположными направлениями вращения вектора Е). Состояние поляриза-
поляризации можно определить, исследуя отношение компонент Е\1Е\>.
При четырехмерном описании поляризации разложению
A6.52) отвечает разложение фурье-компоненты 4-потенциала (см.
A6.35)):
A6.54)
причем
= 0, е\%)е{%) = — 1. A6.55)
Ортогональность k и е^ следует из условия Лоренца (см.
A3.19) и A3.20). Рассмотрим, как преобразуются 4-векторы поля-
поляризации б(Я)^ при калибровочных преобразованиях A0.9). Поле
излучения представляется в виде разложения по плоским моно-
монохроматическим волнам (см. A6.42а)), и так же можно предста-
представить калибровочную функцию, подчиняющуюся в калибровке Ло-
Лоренца однородному волновому уравнению (см. A0.23)):
)e~ikx. A6.56)
Из A0.9) и A6.56) следует калибровочное преобразование
4-вектора поляризации:
*) -* е& == *) + X (*) ft11. A6.57)
где %(k) —произвольная функция k. В силу k2=0 условия ортого-
ортогональности и нормировки при этом преобразовании сохраняются:
tojx) = O, 4Vd) = —1. A6.55а)
5 Зак. 590 129
В любой фиксированной системе отсчета подходящим выбором
%(k) в A6.57) всегда можно обратить в нуль временную компо-
компо0
(
ненту е(хH, т. е.
Это согласуется с A6.53) и объясняет выбор четырехмерного ус-
условия нормировки в виде A6.55) обеспечивающим пространствен-
ноподобность (см. § 2) 4-вектора поляризации ?<*).
Отдельные компоненты поля с определенной поляризацией X
(см. A6.52) или A6.54)) дают, очевидно, независимые вклады в
излучение. Их легко определить, замечая, что Ащ(Щ = [е<Т) ^и
в силу A6.54) He*v)^a) = 0 при ИФХ, и учитывая связь ()
с фурье-компонентой тока j^(k) в виде A6.42). Отметим, кстати,
что сохранение заряда, выражаемое уравнением A0.18а): д^(х) =
=0, в терминах фурье-компонент означает ортогональность 4-век-
торов k и j(k):
k%{k)=O. A6.58)
Потенциал поля излучения A6.42а), полученный в калибровке
Лоренца, конечно, согласуется с A6.58).
Из сделанных выше замечаний следует, что 4-импульс Р^
излучения с определенной поляризацией X можно получить из
A6.40) заменой jv(k)-+e(%l)*j(k):
A6.59)
Спектрально-угловое распределение энергии поляризованного
излучения одной частицы следует из A6.47) и A6.47а) после ана-
аналогичных замен:
оо
A6.60)
d Q dco BяJ
или в трехмерной форме:
dQ dco BяJ
--^Т ( Л1 \ ^2(e(MV^1))(ea)v(g)exp{t«[(^1-g--n(r1-r2)]}.
A6.60а)
130
В случае периодического движения находим из A6.51) мощ-
мощность излучения /-й гармоники с поляризацией X в виде:
т
d Q BлK
о
со4о | \ dt (e(\) v @) ехр [И соо (* - пте (t))]
а
A6.61)
Рассмотрим, наконец, мгновенную мощность поляризованного
излучения. Чтобы получить ее, надо в векторе Пойнтинга A5.13)
заменить Е2-»^2, где ?*=е(Х)Е, или в четырехмерных обозначе-
обозначениях:
причем вектор поляризации е^), очевидно, вещественный в силу
вещественности E(t, г).
Перейдем в волновую зону и оставим в тензоре поля A6.9)
лишь главные члены ~г~1. Тогда электрическое поле компоненты
с поляризацией X примет вид:
где использованы те же обозначения, что и в A6.9) и A6.23).
Дальнейшие вычисления аналогичны тем, которые привели к фор-
формуле A6.25). В результате получим следующее выражение для
углового распределения 4-импульса излучения с поляризацией Я,
испускаемого в единицу собственного времени частицы:
A6.62)
дх 6U 4я (паK
Просуммировав здесь по двум независимым состояниям поля-
поляризации, мы вернемся, конечно, к A6.25).
Из A6.62) с учетом A2.6), A6.10) и A6.24) следует выра-
выражение для углового распределения мощности поляризованного из-
излучения в трехмерных обозначениях:
<! ~nv)~5 Ita»a) A ~nv)
Эту формулу можно получить также сразу из A6.20) очевидной
заменой nX((n — v)Xa)->e(X)[nX((n — v)Xa)] и раскрытием сме-
смешанного произведения с учетом е(Х>п = 0. Суммируя в A6.63) по
поляризациям К с помощью соотношения *
4 = 8'*-'Ai*. A6.64)
получим мощность неполяризованного излучения A6.20).
* Правая часть A6.64) однозначно определяется следующими условиями:
она должна быть симметричным (трехмерным) тензором, составленным из еди-
единичного тензора bih и компонент вектора п; в силу A6.53) след этого тензора
равен 2, а его свертка с п> или nk дает нуль.
5* 131
Таким образом, полученные в настоящем параграфе формулы
позволяют рассчитать основные характеристики излучения произ-
произвольно движущейся заряженной частицы: мощность, угловое и
спектральное распределение излучения и его поляризацию.
§ 17. СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Применим результаты предыдущего параграфа для исследо-
исследования синхротронного излучения (СИ), возникающего при движе-
движении ультрарелятивистских электронов в магнитном поле (напри-
(например, в синхротронах или накопителях)*.
а) Спектрально-угловое распределение мощности СИ при про-
произвольных скоростях
В однородном постоянном магнитном поле Н = #е« электрон
движется в общем случае по винтовой траектории с постоянными
энергией e=/n(l— v2)~l/2 и проекцией уц скорости на направле-
направление Н. Этот случай (v% фО), имеющий важное значение для аст-
астрофизических приложений, рассматривается в [2]. Мы ограничим-
ограничимся случаем движения по круговой орбите (когда v ц =0), который
осуществляется, например, в циклических ускорителях. Выбрав
начало координат в центре орбиты радиуса R, запишем закон дви-
движения электрона в виде
re (t) = Rex cos (not+Rey sin соо*, A7.1)
где циклическая частота соо равна
©0=e#/e = t>/fl. A7.2)
В силу периодичности движения A7.1) спектр излучения дис-
дискретный с частотами
V=l,2,3,...), A7.3)
являющимися гармониками частоты ©0 A7.2). Угловое распреде-
распределение мощности излучения v-й гармоники с заданной поляриза-
поляризацией типа Я дается общей формулой A6.61), куда следует подста-
подставить re(t) в виде A7.1).
Для характеристики поляризации излучения введем орты так
называемых а- и я-компонент линейной поляризации
«AC
n = ex sin 0 cos ф + e^ sin 6 sin ф + e2cos 6 A7.5)
единичный вектор в направлении излучения, заданный углами 9
и ф сферической системы координат, е=Н/#=е2 — орт вдоль на-
* Подробное изложение теории этого важного физического явления можно
найти в [2]. Обзор свойств СИ в связи с их экспериментальным исследованием
см. в § 36.
132
правления магнитного поля. Разлагая орты A7.4) по декартовым
ортам, находим:
еа =s еф = — ех sin Ф + е^ cos ф, A7.4а)
ел = —ее = —е^созбсоэф —е^совб 51пф +e2siu6.
Как видно из A6.61), расчет излучения сводится к вычислению
интегралов (пропорциональных, очевидно, фурье-компонентам
электрического поля излучения EK(v)):
т
Mv) = J Я МО **«•'', A7.6)
о
где Г=2я/(оо — период обращения электрона по орбите,
f=t — nre(t), A7.7)
(Х=0,я) A7.8)
проекции скорости v (t) = dre/dt на орты A7.4а). С учетом A7.1),
A7.4а), A7.5) получаем величины A7.7) и A7.8) в явном виде
V =t — #sin0 sin a; a = coof + — — ф;
A7.9)
va(t) = asina; vn(t) = —i>cos0cosa.
Воспользуемся теперь известными разложениями
slna |e-^slna = >^ | "'W |e^« A7.10)
cos a
где Ji(x)—функция Бесселя, Ji'(x)=dJi(x)/dx — ее производная,
Тогда интегрирование по времени t в A7.6) сводится к
_fv (Л
A7.11)
где бг» — символ Кронекера, и использовано выражение для a
A7.9). В результате интегралы A7.6) принимают вид:
где аргумент функций Бесселя
. A7.13)
133
Подставляя A7.12) в A6.61), получаем спектрально-угловое
распределение мощности излучения а- и я-компонент:
,,7 ...
Здесь элемент телесного угла dQ = sin0d0dcp в силу независимости
dWJdQ от угла <р можно после интегрирования по ср заменить на
2ttsin0d0. Поэтому полная мощность излучения W=Wa+Wn
равна:
v=l v=l 0
? = vysin6, A7.15)
где слагаемое W(\) отвечает мощности излучения v-й гармоники.
Выражение A7.15) называется формулой Шотта.
Формулы A7.14) и A7.15) справедливы для любых значений
скорости v. В нерелятивистском пределе и<С1, аргумент g функ-
функций /v(g) мал. Поэтому можно ограничиться первым членом раз-
разложения их в ряд: /v(!)~(?/2)v/v! Отсюда видно, что основной
вклад в полную мощность A7.15) дает излучение первой гармо-
гармоники (v=l, дипольное излучение), для мощности которой легко
получить выражение
Излучение высших гармоник (v>l) подавлено степенным обра-
образом: W(v)/W(l)~v*&-v<:l.
Наибольший интерес для приложений представляет ультра-
ультрарелятивистский случай: и~1, т. е. энергия электрона е>>т. В этом
случае максимум в излучении приходится (см. ниже) на высокие
гармоники V—(е/тK. Поэтому формула Шотта A7.15), в которой
теперь велики как индексы v, так и аргументы | бесселевых функ-
функций /v(E), оказывается практически непригодной для исследова-
исследования. Однако можно получить удобные приближенные формулы,
описывающие излучение ультрарелятивистских частиц.
б) Особенности излучения релятивистских частиц
Рассмотрим подробнее характер излучения частиц высокой
энергии, для которых параметр
Y=— =A — а2)-1'2» 1. A7.17)
т
Угловое распределение мощности излучения произвольно дви-
движущейся частицы дается формулой A6.20). Для ультрареляти-
ультрарелятивистских частиц (y~2<^1) это распределение имеет характерную
особенность, а именно: из-за наличия в A6.20) высоких отрица-
134
тельных степеней величины 1 — nv излучение сосредоточено в ос-
основном в узком конусе с осью вдоль направления скорости v.
Угловой раствор этого конуса определяется по порядку величины
из приближенного соотношения
_nv = 1 — acosft ~ 1 — v+ -*!-~-1-(у-2 + <p)t A7.18)
где угол /6i=(n,v). Следовательно, раствор конуса излучения
A7.19)
так как вне этого углового интервала мощность излучения резко
убывает.
Форма спектра излучения существенно определяется соотно-
соотношением между этим характерным углом у~1 и полным углом ДО1,
на который отклоняется вектор v за все время движения частицы
(например, время пролета частицы через область, занятую внеш-
внешним полем) или за период движения (в случае периодического
движения, например, в циклическом ускорителе).
Можно выделить два характерных предельных случая.
1) ДОС^у- В этом случае излучение в заданном направле-
направлении п (точнее, в конус с углом раствора —y и осью вдоль п)
определяется участком траектории, на котором вектор скорости v
поворачивается на угол ~у~1« Длина этого участка (по порядку
величины) равна
lr=R/y A7.20)
(где R — радиус кривизны траектории) и называется длиной фор-
формирования излучения. Типичным примером этого случая как раз
и является синхротронное излучение. Если внешнее тюле, в кото-
котором движется частица, почти не меняется на длине /г, то все ха-
характеристики излучения имеют универсальный характер, т. е.
справедливы для любого внешнего поля (масштаб неоднородности
которого больше 1Г) и определяются мгновенными значениями ско-
скорости v и ускорения а [11]. Поэтому формулы, полученные в сле-
следующем пункте для синхротронного излучения, остаются справед-
справедливыми для указанного более общего случая (ДдО'у")-
2) ДО^Су- В этом случае излучение в заданном направлении
собирается почти со всей траектории и поэтому зависит от харак-
характера внешнего поля. Примером здесь может служить ондулятор-
ное излучение, кратко рассмотренное в § 36.
Обсудим качественно спектр излучения в случае 1), т. е.,
в частности, спектр СИ. Из предыдущего анализа следует, что
в заданном направлении п будет наблюдаться короткий импульс
излучения (или последовательность импульсов в случае периоди-
периодического движения частицы). Оценим его длительность. Согласно
A7.20) в фиксированном направлении, точнее в конус с углом
1
раствора ~y~1> частица излучает в течение времени порядка
A7.21)
135
так как а—1. Наблюдатель фиксирует это излучение в интервале
(см. A6.18) и A7.18))
или с учетом равенств A7.21) и A7.2), где можно положить я— 1,
Дг~1/у3соо, A7.22)
что и определяет длительность импульса излучения. Из теории
преобразования Фурье известно, что импульс длительностью At
разлагается в спектр, простирающийся до частот порядка
<Ос~ 1/Д?~73с°о. A7.23)
Как правило, при малых частотах мощность излучения растет
с ростом со, и поэтому A7.23) дает оценку положения максимума
в спектре излучения.
Таким образом, ультрарелятивистские частицы излучают в ос-
основном высокие частоты порядка сос A7.23), т. е. высокие гармо-
гармоники v~y3 характерной частоты движения соо.
Малая длительность импульса излучения Д/<с1/соо ультрареля-
ультрарелятивистской частицы позволяет ввести понятие мгновенного спектра
мощности излучения, определяемого скоростью v(t) и ускорением
a (t) в заданный момент времени t, следующим образом. Спект-
Спектрально-угловое распределение энергии излучения с поляризацией X
дается формулой A6.60а) в виде двойного интеграла по t\ и fe.
Удобно ввести новые переменные интегрирования t к to согласно
tx = t — UI29 t2=t+t0/2. A7.24)
Тогда A6.60а) сводится к интегралу типа
t + У2),
—оо —оо
причем подынтегральное выражение в интеграле по / (т. е. интег-
интеграл по to) можно рассматривать как спектрально-угловое распре-
распределение мощности излучения в момент времени t:
du d® dQda BлJ
—.оо
X exp {i а Ц*х — *а) — n (Tj — Га)]}, A7.25)
V2).
В силу малости времени формирования импульса излучения
(см. A7.21)) основной вклад в интеграл по to дает область малых
/о, таких, что |Av| = |v2 — vi| —соо^о—Y"^!- Поэтому проведем
разложение основных величин, определяющих спектр A7.25), по
/о (безразмерным параметром разложения является у^!)- Пред-
136
варительно введем новые углы, задающие направление излуче-
излучения п (вместо 0 и <р в A7.5)): <ф— угол между п и плоскостью
(v, а) (плоскостью орбиты в случае СИ, когда i|?=jt/2 — 0), б —
угол между v и проекцией п на эту плоскость. Такой выбор удобен
тем, что основной вклад в излучение дает область малых углов
1» S^y» как эт0 видно из A7.19). Из определения углов
и б получаем приближенно (с точностью ~ у2):
nv = v cos ip cos б ^ v 1
>- nv ~ — (y~2 + f2 + б2), na = acos i|) sin б ^ а б, A7.26)
Здесь мы считаем, что ускорение SL = dv/dt перпендикулярно ско-
скорости, причем в случае СИ
а = —vxH, d2L/dt= —cojjv. A7.27)
8
Используя A7.26), A7.27) и определение ортов линейной по-
поляризации е*. A7.4), нетрудно получить разложения величин
() и показателя экспоненты, входящих в A7.25):
vit2 ea ^ — б ± 4" ^о U> VU2 ел ^ г|?; A7.28)
2
Подставляя A7.28) в A7.25), находим спектрально-угловое
распределение мощности а- и я-компонент излучения в виде
d (о d б d ib
X exp {- * о *0 [-L (y-2 + б2 + ip») + -i- ©g tf ]}. A7.29)
в) Спектрально-угловое распределение мощности излучения
релятивистских частиц
Поскольку излучение в направлении п собирается с участка
траектории, на котором вектор v поворачивается на угол —y
(см. A7.20)), то интерес представляет мощность A7.29), проин-
проинтегрированная по углам поворота б, причем вследствие быстрого
убывания подынтегральной функции при больших б пределы ин-
интегрирования по б можно растянуть до бесконечности. Вводя для
удобства вычислений вместо /0 и 6 новые переменные х и у со-
согласно
137
±-(x-y), A7.30)
3, \d(t0, b)ld(x,y) | =
получим
\dWK) BяJ T coo J
— 00
— 00 —00
X exp{— i (zx +— +zy+—X\y A7.31)
I \ з з / J
где
A7.32)
В A7.31) входят интегралы типа
[ ( !)] A7.33)
при л = 0,1.
Они выражаются через известную функцию Эйри Ф, которая
определяется интегральным представлением
00
Ф («) = —^ j exp [f (zt + -Lf>} ] d^ A7.34)
—оо
и удовлетворяет дифференциальному уравнению
Ф"(г)—гФ(г)=0. A7.34а)
Используя A7.34), находим интегралы A7.33):
A7.35)
Учитывая A7.35) и A7.33), после интегрирования по х и у
в A7.31) получаем распределение мощности СИ по частоте со,
углу г|) и типу линейной поляризации Х = а, п в виде
138
здесь вместо угла ф введена переменная
t = y^> A7.37)
и критическая частота (см. A7.23))
A7.38)
так что аргумент A7.32) функции Эйри и ее производной Ф' =
dO/d принимает вид
Подчеркнем, что формула A7.36) справедлива для ультраре-
ультрарелятивистских частиц. Максимум в спектре лежит в области частот,
при которых аргумент функций Эйри 2^1 (при z>\, как видно
из A7.34), Ф(г) быстро убывает). Следовательно, внутри конуса
излучения (т = уф^1) максимум излучения приходится на часто-
частоту (см. A7.39)) сотах~о)с A7.38), в согласии с оценкой A7.23).
Поэтому в случае периодического движения дискретный спектр
A7.14) при y>1 становится практически непрерывным, так как
отдельные высокие гармоники (ov=vcoo уже не разрешаются, и
спектр можно описать приближенной формулой A7.36). Заметим,
кстати, что A7.36) можно получить прямо из A7.14) с помощью
асимптотического представления функций Бесселя через функции
Эйри или связанные с ними функции Макдональда (см. [2]).
г) Спектральное распределение СИ
Спектр СИ можно получить из A7.36) интегрированием по т,
но проще оказывается вернуться к формуле A7.29), ввести там
вместо 6 и -ф новые переменные (полярные координаты в плоско-
плоскости (б, ф)):
0<p<oo, 0<а<2я.
Интегрирование по а тривиально ввиду независимости от a
аргумента экспоненты в A7.29). Остается двукратный интеграл
по р2 и to:
который после замены переменных
1/3 , /о> \2/3
139
принимает вид
и , 2П
dWnJ W J _J I JL_i
jVl * " |х
Интегрирование по ^ проводится с помощью формул A7.33)
и A7.35). Оставшиеся интегралы по и преобразуем следующим
образом:
иф(и)с1и=
В результате получаем спектральное распределение мощности из-
излучения а- и я-компонент в виде
A740)
где
оо
J (^J/3 A7.41)
Найдем полные мощности а- и я-компонент Wa и \^„, интегри-
интегрируя в A7.40) по частоте со. После перехода к переменной х A7.41)
сведем вычисления к интегралам
$ x*<D1(x)dx= — [ x*Q){x)dx = Г хф' (х) dx = — фх@),
0 0 О
где использованы интегрирование по частям и соотношения (см.
A7.41) и A7.34а)): Ф,'(х) =— Ф(х), хФ(х) =Ф"(х). Значение
140
<Di(O) легко находится с помощью подстановки A7.34) в опреде-
определение Ф\(х) A7.41) и оказывается равным
^ A7.41а)
В результате находим:
C:)-*G5)-
Здесь
± = ^^r (-^-L A7.43)
полная мощность СИ, которую, конечно, сразу можно получить
из общей формулы A6.32) с учетом A7.2) и A7.27). Из A7.42)
следует, что в целом СИ обладает сильной линейной поляризацией
в плоскости орбиты, причем степень поляризации
р= ° я = А. A7.44)
Wa+Wn 4
Угловое распределение мощности о- и я-компонент рассмот-
рассмотрено в § 36 (см. C6.12) и C6.13)).
Рассмотрим более подробно спектр полной мощности СИ, ко-
который получается суммированием в A7.40) по поляризациям:
= _ -р- U (х) + Аф'(г) 1, A7.45)
d со
Исследуем предельные случаи низких и высоких частот. При
<о<Ссос (*<С1) основной вклад в A7.45) дает слагаемое
и с учетом значения производной
qI/6
ф'@)=-^—-ГB/3) A7.46)
2V л
получаем низкочастотную часть спектра в виде
dW 4V6 е2<?>с I « V/3
dco я
<17-47>
Таким образом, в области малых частот мощность СИ воз-
возрастает с ростом со по степенному закону: dW/d(u~со1/3.
141
При g)>coc (*>1) используем асимптотику функции Эйр?, ее
производной и интеграла A7.41):
ф(г) ~ — r-^expf— — z3/2 V
2 \ 3 /
ф'(г)а> L.2i/4exp( -г*'2), A7.48)
2 \ 3 /
фг (z) c^l — z-3/4 ехр ( — —z3/2 ] при z -* + оо.
2 \ 3 /
С учетом A7.48) получим из A7.45) спектр в области высоких ча-
частот со^>сос:
^ 1 Л( М1/2(А^ A7.49)
Следовательно, при высоких частотах мощность СИ экспоненци-
экспоненциально убывает. Из A7.47) и A7.49) снова вытекает, что макси-
максимум в спектре излучения достигается при со — сос, причем с экспо-
экспоненциальной точностью спектр простирается до частот со ^ ос. Эта
согласуется с качественными оценками, сделанными в пункте б)
(см. также конец п. в)).
Для практических приложений удобно выразить спектраль-
спектральное распределение СИ A7.45) через функции Макдональда /Ср, с
которым функция Эйри A7.34) и ее производная связаны соотно-
соотношениями:
A7-50)
тг8'я) приг>0-
С учетом A7.50) и известной формулы
2K/2iz(x)+Ki/z(x) =-Къ,г(х) A7.51)
получим спектр СИ в виде, удобном для численных расчетов:
^ y=\^; A7.52)
3 со
_ 9/3
График универсальной функции f(y), описывающей спектральное
распределение мощности СИ, изображен на рис. 17.1.
Численный расчет показывает, что максимум в спектре
A7.52) достигается при #—1/3, т. е. на частоте
^-G)r = ^-Y4> A7.53)
142
которой соответствует длина волны (используем обычную систему
единиц):
^(^)\ A7.53а)
Ютах
Т$ким образом, с ростом энергии электрона е максимум в
спектра СИ сдвигается в сторону более коротких длин волн. Оце-
Оценим Хпщх для параметров реальных ускорителей. При е = 50 МэВ
(у=102) и радиусе орбиты R = l м имеем Ятах~Ю3А, что соответ-
соответствует Видимой части спектра («светящийся электрон»). При е=
Рис. 17.L Универсальная
кривая, описывающая спек-
спектральное распределение
МОЩНОСТИ .CtHiHXpOTipOHHOrO
излучения
0,6 /,2 1,8
= 500 МэВ (y= 103) и /?~1 м получаем Ятах~ЮА (далекая уль-
ультрафиолетовая часть спектра). Наконец, для синхротрона с энер-
энергией 8 = 5 ГэВ (y=104) и R~ 1 м имеем Лтах~0,1А (рентгенов-
(рентгеновская область).
Уникальные свойства синхротронного излучения (резкая угло-
угловая направленность, сильная линейная поляризация, широкий
спектр с максимумом в области высоких частот) обусловили его
широкое применение в современном физическом эксперименте и
других областях науки и техники (см. § 36).
Квантовые эффекты в синхротронном излучении, которые ста-
становятся существенными при высоких энергиях электронов и боль-
большой напряженности внешнего магнитного поля, рассматриваются
в главе IV, § 29.
Глава III
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
§ 18. КВАНТОВАНИЕ СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
(кулоновская калибровка)
Электромагнитное поле представляет собой непрерывную си-
стему с бесконечным числом степеней свободы. В этом состоит его
принципиальное отличие от дискретных систем с конечным числом
степеней свободы. Квантование последних, проводимое в кванто-
квантовой механике, состоит в наложении определенных коммутацион-
коммутационных соотношений на сопоставляемые физическим величинам опе-
операторы, которые предварительно определяются тем или иным под-
подходящим способом. Исходным при квантовании обычно прини-
принимается коммутационное соотношение между операторами импуль-
импульса pj и координаты цг
[qt, p{\**№ih A8.1)
где /, / — номера степеней свободы, которым отвечают координа-
координата и импульс.
Однако для описания полей мы не можем использовать соот-
соотношение A8.1), поскольку переменные полей и = и(х) зависят от
«номера» степени свободы, т. е. координаты х, непрерывным об-
образом. Существует два подхода, позволяющих преодолеть эту
трудность. Один из них заключается в разбиении пространства
трех измерений, в котором движется поле, на дискретные ячейки,
наложении на функции поля условия периодичности, с периодом,
охватывающим достаточно большое, но конечное число ячеек, и
последующем стандартном квантовании полученной таким обра-
образом дискретной системы с конечным числом степеней свободы в
пределах одного периода.
Другой подход состоит в переходе от координатного в им-
импульсное представление, в котором условие периодичности приво-
приводит к дискретизации значений импульса и возможности примене-
применения стандартной процедуры квантования. Мы используем второй
подход, поскольку он обладает большей наглядностью по сравне-
сравнению с первым и сводит проблему квантования поля к хорошо из-
известной задаче о системе гармонических осцилляторов.
а) Энергия свободного электромагнитного поля. Фотоны
В кулоновской калибровке
Л°=0, divA=0 A8.2)
144
вектор-потенциал свободного электромагнитного поля А (г, /) под-
чиня^тся уравнению Даламбера (см. § 10, 12, 13):
ПА (г, 0=0. A8.3)
Обще$ действительное решение этого волнового уравнения может
быть представлено в виде следующего ряда Фурье
Здесь L — длина основного куба периодичности, на которые раз-
разбито трехмерное пространство, волновой вектор к принимает дис-
дискретные значения с компонентами
kx = 2яnx/L, ky = 2яny/Lt kz = 2яnJU A8.5)
Пх, пУу nz = 0, ±1, ±2,...; смысл введения множителя К2я/со будет
ясен из дальнейшего.
Для того чтобы удовлетворялось уравнение Даламбера A8.3),
коэффициенты Фурье должны быть решениями уравнений
Действительность потенциала A8.4) требует, чтобы решения
A8.6) были комплексными, а именно
причем
ак @ = ак @) в*** = а^к @)ш. A8.8>
Кулоновская калибровка A8.2) приводит к выводу о поперечно-
сти монохроматических компонент поля, т. е.
kak=0. A8.9)
Поэтому в плоскости, ортогональной вектору к, можно выбрать
два базисных вектора еь е2,
, e2lk, A8.10)
и представить ak в виде
ак = aki ег + ак2 е2 = aks es. A8.
Энергия электромагнитного поля
(.>
8л
145
может быть выражена через коэффициенты Фурье, если подста-
подставить Е = —А,о, H = rotA и использовать разложение A8.4). При
этом интеграл по объему дает символы Кронекера
— f
?3 J
<«М- = в „,.„<б„.„'б .). A8.13)
х х У у г
а условие поперечности A8.9) приводит к равенству
(к х ак) (к х ак) = со2 ак ак. A8.14)
В итоге находим
Я- V ^(aksats + alaks). A8.15)
k,s=l,2
Как видно, динамическое описание электромагнитного поля
свелось к задаче о бесконечном дискретном наборе динамических
систем, подчиняющихся осцилляторным уравнениям A8.6). По-
Поскольку допустимыми являются только комплексные решения
A8.7), A8.8), то при квантовании необходимо наложить на опера-
операторы aks, a+ks, соответствующие фурье-компонентам aks, #*ks, сле-
следующие условия:
[ak,s, а^]=8кк'б*<. A8.16)
При этом действительным комбинациям
/2
Pk,s = 1—(акз — at,s) A8.17)
V2
будут соответствовать операторы <7м> Pk,s> удовлетворяющие обыч-
обычным коммутационным соотношениям A8.1) для координаты и им-
лульса
[qk,s,Pkv'] = ^k,k'6ss'. A8.18)
Как известно, квантование осциллятора с гамильтонианом
Hk,s = -у (ak,s a^s + a?s ak,s) A8.19)
лри условии A8.6) приводит к собственным значениям энергии
A8.20)
где Ark,s=O, 1, 2,.... Операторам ak,s и a+ktS отвечают следующие
бесконечные матрицы:
146
ak.s
О ]Л 0_ О
= | О О 1/2 0_
0 0/3
A8.21)
я+ _
о_ о о .
^1 0_ 0 .
0 V2 0 .
о о уз" .
т. е. отличными от нуля будут только матричные элементы
08.22)
A8-23>
A8.24)
{Nk. - 11 ам \Nk,s) = (NKs | aits | Nk.s - 1 > =
Для системы осцилляторов с гамильтонианом
н= S т(ак-5а^+
k,s=l,2
получим собственные значения энергии
k,s=l,2
отвечающие различным наборам неотрицательных целых чисел
iA^k.s- Выражению A8.24), которое представляет собой сумму энер-
энергий квантовых осцилляторов, или так называемых мод k, s, может
быть дана другая интерпретация. Кванты энергии осцилляторов
о можно трактовать как энергии частиц, фотонов, a A/k,s=0, 1,
2,... — как числа таких фотонов с определенными значениями им-
импульса к и поляризации 5, т. е. числа заполнения состояний к, 5.
Тогда A8.24) приобретает смысл суммарной энергии квантован-
квантованного электромагнитного поля в состоянии с определенными числа-
числами фотонов Nk,s- Бесконечная постоянная положительная величи-
величина, отвечающая основному состоянию системы Afk,s=O, может
быть устранена переопределением оператора Гамильтона Н (см.
ниже).
Основное, вакуумное, состояние электромагнитного поля |0>
удовлетворяет уравнению
ам|0>=0 A8.25)
для всех к, 5. Вывод этого условия известен из теории квантового
гармонического осциллятора. Возбужденные состояния с опреде-
определенным числом фотонов Nk,s получаются известным образом из
вакуумного состояния
A8.26)
147
Эти состояния являются собственными состояниями оператора
числа частиц
Nk,s= a?sakfS. A8.27)
Разумеется, вектор A8.26) описывает лишь одну моду к, $. Пол-
Полный вектор состояния поля получается действием операторов а+к,#
каждой из мод в соответствующих степенях, отвечающих числам
заполнения Nk,s, на вакуум |0>. Импульс электромагнитного
поля следует из общего определения D.29). В этом случае с уче-
учетом равенства A0.30) получим
A8.28)
j
В фурье-представлении A8.28) дает
Р = ]Р k (#kfS#k,s + #kts#k,s). A8.29)
k,s=l,2
Переходя к операторам, запишем
A8.30)
оператор импульса электромагнитного поля.
Его собственные значения равны
Р= ? к(Л^+1/2). A8.31)
k,s=l,2
Этот результат подтверждает данную выше трактовку величины
к как импульса фотона. Вспоминая условие со=|к|, связывающее
энергию фотона с его импульсом, приходим к выводу о том, что
фотон обладает нулевой массой — в полном соответствии с без-
массовостью электромагнитного поля как векторного калибровоч-
калибровочного поля (см. § 10).
Остановимся теперь на вопросе об определении энергии элек-
электромагнитного поля. Прежде всего заметим, что энергия класси-
классического поля A8.15) положительно определена и, очевидно, не за-
зависит от порядка следования сомножителей ak,s и a*k,s в выраже-
выражении A8.15). Квантовое определение оператора Гамильтона A8.23)
копирует классическое выражение A8.15) с заменой классических
коэффициентов Фурье операторами а^ и а+k,«. Коммутационное
соотношение A8.16) позволяет переписать выражение A8.23)
в виде
^) A8.32)
к, s=l,2
где a+k.s ak,s=Nk,s — оператор числа частиц, имеющий неотрица-
неотрицательные целые собственные значения. Таким образом, энергия
148
квантованного электромагнитного поля, так же как и классиче-
классического поля, принимает неотрицательные значения. Однако при та-
таком определении оператора Н в энергии возникает бесконечное
положительное слагаемое
= S тш> A8<33)
k,s=l,2
отвечающее основному состоянию поля (вакууму). Избежать по-
появления такого бесконечного, не имеющего физического смысла
слагаемого и добиться тем самым того, чтобы энергия вакуума
равнялась нулю, ?о=О, можно, приняв другое определение опера-
оператора Н. Действительно, определение оператора Гамильтона
A8.23), копирующее A8.15), можно было бы заменить другим, в
котором изменен порядок операторов ak,s и a+k.s. Если отправ-
отправляться от классического определения A8.15), то в нем можно
свободно переставлять коэффициенты Фурье, например так, чтобы
получить
#= ? oa^aks. A8.34)
В соответствии с этим выражением можно определить опера-
оператор Гамильтона вместо A8.23) следующим образом
Н= ? ша^ам. A8.35)
kts=l,2
Тогда бесконечного слагаемого в энергии поля не возникает,
энергия вакуума ?о = О, а энергия возбужденного состояния поля
равна
?== X ^k'sCD- A8'36)
k.s=l,2
Определение A8.35) соответствует так называемому нормаль-
нормальному порядку следования операторов (т. е. нормальному произ-
произведению— см. ниже), при котором в произведении операторы
рождения a+k,s стоят левее операторов уничтожения ak,s.
Таким образом, квантование электромагнитного поля приво-
приводит к замене классического разложения вектор-потенциала A8.4)
квантовым оператором
А W = "Ь" 2 "/V" (е**»*" + е* а?'е~'кГ>' 08.37)
k,s=lt2
в котором es — векторы поперечной поляризации E=1, 2), ak,s и
a?s —операторы рождения и уничтожения фотонов, подчиняю-
подчиняющиеся коммутационным соотношениям A8.16). Операторы ak,s,
a?s и вместе с ними оператор А (г) в отличие от классического
149
вектор-потенциала А (г, t) не зависят явно от времени, так как
они заданы в представлении Шредингера. Зависимость от време-
времени достигается переходом к представлению Гейзенберга (см. § 19).
б) Спин фотонов
В соответствии с общим определением спина векторного поля
(9.39) тензор спина электромагнитного поля равен
S,/ = ^<Рх(щп1 — а/я,), A8.38)
где щ = Аи я,- = —Ej/4n. Тогда вектор спина электромагнитного
поля оказывается равным
S=— fd»*Ex A. A8.39)
Подставляя сюда разложение A8.37), получим оператор спина
-(akXaiJ--aiJ-x ak), A8.40)
где ak = V aks es, или в явном виде
s
S = — i ?(a^ak2 — aifeakl)n. A8.41)
к
Определим комплексные комбинации операторов
сП1)=^^-2,ск(-1) = ^^, A8.42)
/2 /2
через которые спин выражается диагональным образом
S = ?(c^(l)ck(l)-ci^(-l)ck(-l))n, A8.43)
к
где п = к/со — единичный вектор, |п|=1.
Новые операторы A8.42) Ск(О» сь@ подчиняются тем же
коммутационным соотношениям A8.16), что и операторы ak.s й
aits, а оператор Гамильтона Н имеет тот же вид A8.35)
Н = Е ci"@ck@©. A8.44)
Таким образом, новые операторы имеют те же матричные
элементы A8.22), а оператор ck+(t)ck(O имеет целочисленные
неотрицательные собственные значения и может быть отождест-
отождествлен с оператором числа фотонов. Диагональный оператор спина
A8.43) имеет следующие собственные значения
l))n. A8.45)
150
Ясна поэтому, что Nk(l) —это число фотонов со спином, равным
единаце, ориентированным по направлению импульса n, a
А/к(—1)—число фотонов со спином, ориентированным противопо-
противоположно импульсу.
В соответствии с поперечностью электромагнитного поля,
вектор А имеет лишь две линейные поляризации 5=1,2 (из кото-
которых составляются две круговые поляризации)—параллельную и
противоположную направлению распространения волны. Поэтому
операторы Ск~A) и о?(—1) отвечают рождению фотонов соот-
соответственно с правой (спин вдоль п) и левой (спин противополо-
противоположен п) круговыми поляризациями. Выражение A8.45) показы-
показывает также, что спин электромагнитного поля, как всякого вектор-
векторного поля, равен единице. Вместе с тем квантование с коммутато-
коммутатором A8.16) приводит к произвольным значениям чисел заполне-
заполнения JVk,s = O, 1? 2, 3,..., отвечающим статистике Бозе—Эйнштейна.
Это указывает на связь спина со статистикой, проявляющуюся в
том, что векторные поля квантуются по Бозе, т. е. векторные ча-
частицы являются бозонами.
Можно показать, что для частиц с целочисленным спином
(бозонов) правила квантования задаются с помощью перестано-
перестановочных соотношений типа A8.16) и поэтому возможными оказы-
оказываются состояния с произвольным числом частиц с одинаковыми
квантовыми числами (статистика Бозе—Эйнштейна). Для частиц
с полуцелым спином (фермионов) правила квантования должны
быть антиперестановочными (см. ниже), и тогда числа заполнения
не превышают единицу в соответствии с принципом Паули. Этот
фундаментальный вывод о связи спина со статистикой носит на-
название теоремы Паули.
§ 19. КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
(калибровка Лоренца)
Квантование трехмернопоперечного электромагнитного поля
в калибровке Кулона, проведенное в предыдущем параграфе,
удобно для рассмотрения нерелятивистских процессов, а также
для задачи об электромагнитном излучении. Для построения об-
общей квантовой теории электромагнитного взаимодействия более
удобной оказывается калибровка Лоренца, преимущество которой
заключается в ее лоренц-инвариантности.
а) Энергия поля
В общем случае ни временная Л°, ни продольная Л3 компо-
компоненты 4-потенциала А^> не равны нулю. Для свободного поля
можно записать четыре уравнения Даламбера
? Л(*)=0, A9.1)
которые получаются в качестве уравнений Лагранжа—Эйлера из
лагранжиана (см. § 10)
151
? A9.2)
Однако уравнения A9.1) не эквивалентны уравнениям Максвел-
Максвелла. Для того чтобы их получить, в классической теории необходи-
необходимо потребовать выполнения условия Лоренца (см. § 10)
A9.3)
Общее решение уравнения Даламбера может быть представлено
в виде ряда Фурье для 4-потенциала Лй аналогично соответствую-
соответствующему разложению в трехмерном случае
A9.4)
где kx=(ut — кг, со=|к|, а единичные векторы поляризации е^к\
е<°>=A,0, 0, 0),еО>=@, 1,0,0),
е<2>=@, 0, 1, 0),б><3>=@, 0, 0, 1), A9.5)
обладают следующими свойствами
( 0, ХфХ'\
JM(?x'te _ (№(№') e^)e(V) =1 1 X = X' = 0*
V *~~, А — Л» — 1% ^, Ol
tft A9.6)
us \ п*
/v , А — V,
О ' 51 — 1 *9
V/, fa Ж. у At,
4-потенциал A9.4) может быть представлен в виде суммы двух
слагаемых
(х), A9.7)
где Д/+> — положительно частотная часть, состоящая из слагае-
слагаемых, пропорциональных ехр (—ikx), а Д/-> — отрицательно ча-
частотная часть, содержащая ехр (ikx).
Эти две части отличаются знаками перед частотой со в пока-
показателе экспоненты
А™ =
причем здесь в сумме для Лм(-> была произведена замена к-^ —к.
Как известно (см. § 2), такое разбиение A9.7) по знаку времен-
временной компоненты изотропного 4-вектора, &2=со2 — к2 = 0, является
лоренц-инвариантным.
152
Найдем теперь энергию поля
Я = Г<РхЖ, Ж= Аи -Ш 2 = --г- ИмА»'0 + (V40»].
A9.8)
С учетом разложения A9.4) получим
о + ско
к
k,s=l,2,3
Как видно, энергия поля не обладает положительной опреде-
определенностью, что было отмечено ранее в § 10. Для ее достижения,
как было показано в § 10, необходимо наложить на 4-потенциалы
условие Лоренца.
б) Каноническое квантование
Перейдем теперь к квантованию электромагнитного поля.
В отличие от случая кулоновской калибровки не будем обра-
обращаться к аналогии с квантовыми осцилляторами. Воспользуемся
методом канонического квантования, который состоит в замене в
выражении для производной динамической переменной и по вре-
времени
— = [#,и]кл A9.10)
dt
классических скобок Пуассона [Я, и]кл квантовыми скобками
i[H, u], где [Н, и] — коммутатор оператора Гамильтона с опера-
оператором динамической переменной и
— = *[Н, и]. A9.11)
В этом выражении оператор и задан в представлении Гейзенбер-
га, т. е. он зависит от времени, а вектор состояния от времени не
зависит. Запишем квантовый гейзенберговский оператор 4-потен-
циала электромагнитного поля в виде разложения в ряд Фурье
Ад (г, Ц = -±^ /? # (с>* @ ^ + с& <0« ~ikr )• О» • 12)
п.
где Ckfx@—гейзенберговский (зависящий от времени) оператор-
операторный коэффициент Фурье.
Примем для оператора энергии поля определение, соответ-
соответствующее классическому выражению A9.9)
153
-| 7 0)(cksCks+ Cks Cks). (ДУ.1о)
2 a-J
k,s=l,2.3
Тогда динамическая переменная u = cu,x(t)eikr будет подчиняться
уравнению A9.11). Подставляя в него разложение A9.13), полу-
получим для u = Cke@ exP (Лг) E=1, 2, 3) уравнения
du /со г I I ! /1П 1 л\
= — IU+U + UU+, U . AУ.14)
Л 2 l J
Заметим, что из всей суммы A9.13) не коммутирующим с и мы
полагаем только слагаемое с теми же квантовыми числами k, s9
что и у оператора и.
Воспользуемся тождеством, справедливым для любых опера-
операторов А, В и С:
[А, В, С]=А[В, С] + [А, С]В.
Тогда вместо A9.14) получим
— = — — ([и, и+] и + и [и, и+]). A9.15)
Для линеаризации этого уравнения потребуем выполнения следую-
следующих правил квантования
[и, и+] = 1. A9.16)
С учетом замечания, сделанного после формулы A9.14), за-
запишем в общем виде
[<*.,(/), c?,s,@]=Skk'6SS'. A9.17)
— = —icou, A9.18)
Тогда вместо A9.15) получим уравнение
с общим решением
u = cks (Q е* = cks е-ш+^ , A9.19)
где Cks — постоянный операторный коэффициент.
В этом случае оператор поля Ац(г, t) подобно классическому
4-потенциалу оказывается удовлетворяющим однородному уравне-
уравнению Даламбера A9.1), причем A9.19) отвечает положительно-
частотной части этого оператора. Что касается временной поляри-
поляризации, т. е. u=Cko(*)exp(ikr), то для нее получим уравнение, от-
отличающееся от A9.15) тем, что в правой части его перед скоб-
скобкой стоит знак плюс. Поэтому для получения положительно-час-
положительно-частотного решения вида A9.19) необходимо задать правила кванто-
квантования с обратным по отношению к A9.16) знаком
[u, u+]=-l, A9.20)
154
т. е. в общем виде
[ско@, c?o(O]=-Skk'. A9.21)
Определим вакуумное состояние электромагнитного поля |0>
уравнением
ciu|0>=0, A9.22)
где Х==0, 1, 2, 3, а к принимает всевозможные значения. По
аналогии с кулоновским случаем сохраним смысл операторов Скх
и си как операторов соответственно уничтожения и рождения
частиц (фотонов):
, A9.23)
где |lkx> — состояние с одним фотоном импульса к и поляриза-
поляризации X. Тогда, если предположить, что норма вакуума положитель-
положительно определена, т. е.
<0|0> = 1, A9.24)
то приходится признать, что одночастичное состояние временной
поляризации имеет отрицательную норму
<lkol 1ко> = <О[скос^|О>= <0| — 1 + Cktcko|O)=-l, A9.25)
как следствие перестановочных соотношений A9.21). Таким обра-
образом, в общем случае метрика в пространстве векторов состояний
\N\a> оказывается индефинитной. Если определить состояние
с Nk\ фотонами как
0>, A9.26)
то вследствие коммутационных соотношений A9.21) получим
<*¦!*¦>-•• A9.27,
<iVko|iVko)=(-l)'vko.
Заметим, что состояния |iVko> являются собственными век-
векторами оператора c+koCko
сЙ ск01 Nko) = -JVko I Nk0). A9.28)
Действительно, если обозначить для краткости cs=Cko, то для
Мко=1 имеем
с+с|1) =с+сс+|0) =с+(с+с—1)|0> =— с+|0)= —11).
Предположив, что равенство A9.28) справедливо для |Wko—1>»
получим для |Nko>:
155
={-N) N).
Тем самым равенство A9.28) доказано в общем случае.
Точно так же можно показать, что действие операторов с и
с+ определяется следующими равенствами
+ 1 |tfk0+l>,
откуда, кстати говоря, непосредственно следует равенство A9.28).
Таким образом, операторы eta, и Скх действительно представ-
представляют собой операторы рождения и уничтожения фотонов. Заме-
Заметим, что до сих пор мы не накладывали никаких дополнительных
условий ни на операторы поля Ац, ни на векторы состояния. По-
Поэтому состояния с временными фотонами |... iVko...> (точками
обозначены числа заполнения состояний с другими возможными
квантовыми числами) могут за счет индефинитное™ метрики
A9.27) давать отрицательный вклад в полиную энергию электро-
электромагнитного поля
?=<Н>.
Поэтому энергия поля не является положительно определенной.
Для выполнения условия ?>0 потребуем, чтобы допустимые со-
состояния поля |Ф> подчинялись требованию
где через (дА^/Ох») <+> обозначена положительночастотная часть
дивергенции дА»1дх».
Для отрицательночастотной части как следствие A9.30) по-
получим
(^)Ы=0. A9.31)
Используя разложение A9.12) и решение A9.19), для каждого
значения к получим калибровочное условие
0, A9.32)
или с учетом A9.6)
—Скз)|Ф> = 0. A9.33)
Для афО последнее равенство вместе с A9.31) приводит к усло-
условиям
(ско-скз)|Ф>=О> (Ф|(сЙ-сЙ)=0, A9.34)
156
которым должны удовлетворять векторы состояния квантованно-
квантованного электромагнитного поля. Тогда как следствие этих условий
найдем
<Ф| ей Cko— cfe скз1 Ф) =-i- (Ф|(ей + ей) (ск0— Скз) +
+ (сЙ — cfe) (ск0 + скз)|Ф> = О,
т. е.
(Ф|сЙ ск0|Ф> = (Ф| ей скз|Ф). A9.35)
Благодаря этому сокращаются вклады временных и продоль-
продольных фотонов в среднее значение энергии поля по состояниям
|Ф>, и мы находим
? = (#>= i-?co <с? ск1 + ск1сЙ) +
ск2 + ск2сЙ>. A9.36>
к
Это значение, очевидно, положительно определено на тех состоя-
состояниях, которые не содержат продольных и временных фотонов. Эти
физические состояния, обладающие положительной нормой (см.
A9.27)), мы будем использовать в дальнейшем. Избавимся от
бесконечной части, пропорциональной 2©, требуя нормального
следования операторов рождения и уничтожения. В результате
получим собственные значения энергии поля
?= Е iVksO), A9.37)
k,s=l,2
которые совпадают с найденными в кулоновской (трехмернопопе-
речной) калибровке A8.36).
Заметим, что условия A9.30) и A9.31) обеспечивают выпол-
выполнение условия Лоренца в среднем
Вместе с тем, очевидно, из этих условий следуют уравнения Мак-
Максвелла в среднем. Действительно, поскольку операторы поля А^
удовлетворяют уравнению Даламбера, то
_ dAv
dxvdxv [
xv
_ д / дк» dAv\ д 3AV
~ дх» [ dxv дх^ ) ~*~ dxv дх^
dxv дх„ dxv
157
Отсюда с учетом A9.38) получаем
0 A9.39)
уравнения Максвелла для свободного поля.
Таким образом, продольные и временные фотоны ненаблюдае-
мы и не вносят вклада в энергию и импульс поля
,^, E , A9.40)
k,s=l;2 kl2
Возникает вопрос, почему нельзя было поступить так же, как в
классической теории (см. § 10), т. е. наложить условие Лоренца
непосредственно на операторы поля Ай. Ответ заключается в том,
что такое условие привело бы к зависимости операторных коэф-
коэффициентов Ско и Скз Друг от друга, т. е., например, Ско=Скз, а это
противоречит перестановочным соотношениям A9.17) и A9.21).
Сделаем в заключение одно замечание. Поскольку продоль-
продольные и временные фотоны не наблюдаемы, то можно было бы
переопределить исходный вакуум таким образом, чтобы он мог
содержать произвольное число последних и при этом удовлетво-
удовлетворял условиям:
Cki|vac>=Ck2|vac>=0
(Cko—Скз) |vac> = 0. A9.41)
Такой новый вакуум |vac> может быть получен из исходно-
исходного вакуума |0>, не содержавшего вовсе никаких фотонов с по-
помощью калибровочного преобразования U
|vac>=U|0>.
Явный вид оператора U мы не будем здесь приводить, важно
лишь отметить, что
U = U(ck0 —ck3, с+ —
и [U, Ско—Скз]=0, так чтобы удовлетворить равенствам A9.41).
Предположим, что имеется состояние поля с одним фотоном
с некоторой поляризацией, заданной 4-вектором ей. Тогда из ка-
калибровочного условия A9.32) будет следовать равенство
0. A9.43)
Это означает, в частности, что невозможны чистые состояния, в
которых имеется один временной е^=A, 0, 0, 0) или один про-
продольный е»=@, 0, 0, 1) фотон. Фотон, поляризация которого
удовлетворяет условию A9.43), называется четырехмерно попе-
поперечным. Равенство A9.43) не нарушится, если 4-вектор поляриза-
поляризации подвергнуть градиентному преобразованию
en^<V=^ + /^> (l9-44)
158
где f — произвольная скалярная функция, а №=^№=0. В част*
ности, можно выбрать такую функцию f, что в данной системе от-
отсчета получим вместо A9.43) условие трехмерной поперечное™
ео=О, (ek)=0, е2=1. A9.45)
Как легко видеть, нормировка единичного 4-вектора
е»е»=—1 A9.46)
под действием градиентного преобразования A9.44) не изме-
изменяется.
§ 20. ПЕРЕСТАНОВОЧНАЯ И ПРИЧИННАЯ ФУНКЦИИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Переходим теперь к изучению квадратичных комбинаций опе-
операторов электромагнитного поля АДл;) и их средних, которые
выражаются через различные сингулярные решения волнового
уравнения для электромагнитных потенциалов.
а) Перестановочное соотношение для операторов электромаг-
электромагнитного поля
Запишем оператор электромагнитного поля согласно A9.12) я
A9.19) в виде
кД
Операторы рождения и уничтожения фотонов с+ и с, по которым
разложен оператор Ац, подчиняются перестановочным соотноше-
соотношениям A9.17) и A9.21). Вычислим теперь коммутатор полевых
операторов Ац в точках х и х'\ [Ац(лс), Av(xf)]. Для этого восполь-
воспользуемся разложением B0.1) и коммутаторами с и с+, записанными
в виде
[cu,c+v] = -6kk^U'. B0.2)
Тогда
[Ай(*), АЖ)] -
В этом равенстве, как следует из A9.5), сумма по поляризации
дает
так что
, Av (х')] = 2L. §liv 2 -L (е«**-*') - е-«**-*')). B0.3)
к
159
Переходя от суммирования к интегрированию согласно соотно-
соотношению
— V = —I— [dzk B0.4)
k
и делая замену в первом интеграле к-*-—к, найдем
[Ай(*), Av(jO]=4mg,vDo(*-*')> B0.5)
где
А> (х - х') = ^ j i!i «ло-о sln ш (/ _ t^
Инвариантная функция D0(x—xf) называется перестановочной
функцией электромагнитного поля. Поскольку А»(х) и Av(x')
удовлетворяют однородному уравнению Даламбера. то и
Ъ0(х—xf) также подчиняется ему
ПД (х - х1) = П*'А> (х-х*) = 0. B0.7)
Как явствует из определения B0.6), функция D0(x) =A)(r, 0»
будучи решением B0.7), удовлетворяет следующим начальным
условиям
Do (г, 0) = 0, -|- Z)o (r, Q |,=о = в (г). B0.8)
Поэтому при t—V из равенства B0.5) получим одновременной
коммутатор
[^ j 6 (г - г'). B0.9)
Смысл полученного соотношения легко понять, если перейти к
оператору канонического импульса поля
Тогда вместо B0.9) будем иметь
-r'). B0.10)
Операторы Ай и jtv являются канонически сопряженными ве-
величинами и отвечают обобщенной координате и импульсу непре-
непрерывной системы — электромагнитного поля. Поэтому коммутатор
B0.10) представляет собой непосредственное обобщение переста-
перестановочного соотношения A8.1) для квантовомеханической дискрет-
дискретной системы. Заметим, что в основу квантовой теории электромаг-
электромагнитного поля можно было бы положить именно соотношение
B0.10), однако для его обоснования (см. § 18), пришлось бы
искусственно разбивать пространство на ячейки, переходя таким
образом к дискретной системе.
160
Покажем теперь, что перестановочная функция D0(x) являет-
является релятивистски инвариантной. Для этого возьмем в выраже-
выражении B0.6) интеграл по к
л
п (х) = -^*_ Г <od(o f sin Ше™г cos e sin a>t =
oy ' BяK J .)
о о
oo
= . Г da) (еш •— е-ш) sin ©/.
—oo
Интегрирование по со дает
А>(*)=-тМв(г-*)-6(г+0]. B0.11)
4 ЯГ
Так как г всегда неотрицательно, то
6(Г;) ^
Окончательно получаем
B0.12)
где sgn«K° — знаковая функция (см. A3.30)).
Как известно (см. § 2), знак t = x°t т. е. sgnx0, инвариантен для
изотропного вектора л;2=0, что и доказывает инвариантность
Do(x). Напомним, что в § 13 были введены сингулярные решения
неоднородного волнового уравнения DTet(x) и Dadv(#) — запазды-
запаздывающая и опережающая функции Грина A3.17) и A3.22), а
также их полуразность Drad A3.26).
Сравнивая эти выражения с B0.12), получим
Do (X) = Де1 (X) — Dadv (x) = 2?rad (*). B0.13)
Найдем теперь вакуумное среднее квадратичных комбинаций
потенциалов All(x)Av(x/). Используя разложение B0.1) и свойство
вакуума, получим
@1 Ац (х) Av (*') 10) *= — 4^^+ (х — х'), B0.14)
где
и аналогично
<0|Av(^)A|l(x)|0> = -4nfir|1vD-(x-jc'), B0.16)
где
D-(*HZM-*H#+*(*b B0.17)
Усредняя соотношение B0.5) по вакууму, найдем связь трех
введенных функций между собой
DQ(x)=i(D+(x)~D-{x)). B0.18)
Функции D+ и ?L., как и Z)o, являются сингулярными решениями
однородного волнового уравнения. Можно убедиться, что эти ин-
инвариантные функции имеют следующий явный вид
di B0Л9)
б) Нормальное и хронологическое произведения операторов
электромагнитного поля
В § 18 нам уже приходилось вводить нормальное упорядочи-
упорядочивание операторов рождения и уничтожения фотонов. Для опера-
операторов поля Ар(х) данное там определение остается в силе. Имен-
Именно, мы определяем нормальное произведение двух операторов
Ац(#) и А^л;') таким образом, что в произведении все операторы
рождения записываются левее операторов уничтожения. Посколь-
Поскольку имеет место инвариантное разбиение
Ац (х) = А{Г} (х) + А(+> (*), B0.20)
причем, как следует из B0.1), отрицательночастотная часть
А„Н(х) содержит лишь операторы рождения, а положительночас-
тотная часть А^(х) — только операторы уничтожения, то нор-
нормальное произведение их, обозначаемое буквой N, будет равно
N (Ац (х) Av (х*)) = А(+> (х) A(v+) (*') +
+ AJT*(х) А(-> (*') + А{г} (х) A(v+)(x') + A(v-}(x*) А(+> (х). B0.21)
Дадим теперь определение другого упорядочения операторов
поля — хронологического произведения, обозначаемого буквой Г.
Именно, определим Г-произведение двух операторов следующим
образом:
Т (Ац (х) Av (х9)) = ( *»lx)A" W' ' >'; B0.22)
I Av(xf)All(x), V >t,
где операторы, взятые в более поздние моменты времени, стоят
левее операторов, взятых в более ранние моменты времени.
Так же, как и нормальное произведение, хронологическое
произведение определено инвариантным образом. Действительно,
при (х—х'J>0 знак t—if инвариантен, а при (х—а:гJ<0 опера-
операторы А(х) и А(х') коммутируют.
Подобным образом могут быть даны определения Г- и iV-npo-
изведений любого числа операторов. Заметим, что смысл введения
нормального произведения состоит в том, что среднее по вакууму
от Af-произведения любого числа операторов равно нулю:
<01 ЛГА„ (х) Av (*') Ах (*") ... [О) = 0. B0.23)
162
Определим теперь связь операторов, или хронологическое спари-
спаривание, как разность Г- и Л^-произведений
v (л:') = ТА» (х) Av (*') - #АД (х) Av (*'). B0.24)
Нетрудно убедиться, что это есть с-число, т. е. не оператор. Пусть,
например, х?>х'°. Тогда
Г Ад (х) Av (*') — NA» (x) Av (*') =
') - А{~] (х') А(+> (х) = — 4jt^vD+ (x - *'), B0.25)
и аналогично для х°<Сх'°. Усредняя B0.24) по вакууму и исполь-
используя B0.23), получим, что связь является средним по вакууму от
Т-произведения
(*') = @1ТАД (х) Av (*') 10) = GД, (х) Av (х/)>0. B0.26)
Отсюда, вспоминая B0.14) и B0.16), находим
(х) Av (*')>0 = - 4я^О+ (х -*'), t> t\
\
B0.27)
Введем функцию
Dc (х) = 9 (х) D+ (х) +6 (-*) D. (х), B0.28)
называемую причинной функцией распространения, или пропага-
тором. Тогда связь выражается через пропагатор следующим об-
образом:
A^(*)Av(jO = (TA[l(x)Av(xf))Q = -4ng[lvDc(x-x'). B0.29)
Из определения B0.27), B0.28) следует, что пропагатор опи-
описывает следующую последовательность событий: при t>tf в
точке х' рождается фотон, который затем уничтожается в точке
х, при t<if последовательность событий обратная, т. е. фотон
рождается в точке х и. уничтожается в точке х'.
Интегральное представление для Dc(x) следует из определе-
определения D+(x) и D-(x) B0.15), B0.17), причем в интеграле для
D-(x) следует сделать замену к->-—к:
Dc (х) = —— Г — e*r-towe B0.30)
Причинная функция распространения может быть записана в ви-
виде четырехкратного интеграла
Dc (х) = —— Г d*k e-ikx, B0.31)
cV ; BяL J k* + ie V 7
где е~)-+0, т. е. она представляет собой частное решение неодно-
неоднородного волнового уравнения
x\—49{x). B0.32;)
163
Некоторые частные решения подобного уравнения (без мно-
множителя —ii перед б-функцией) обсуждались в § 13. Как было
выяснено, различие между этими решениями состоит в выборе
пути обхода полюсов подынтегрального выражения в их интег-
интегральном представлении. Введение малой мнимой добавки tz
в B0.31) означает, что в интеграле по k° — два полюса, Яо—
Ira Г
Рис. 20.1
Рис. 20.2
« + @—ie), (o=|k|, один из которых (левый) лежит выше деи-
стгательной оси, а другой (правый) — ниже. Если t>0, то за-
замыкаем контур интегрирования в нижней полуплоскости
(рис. 20.1), если же *<0, то — в верхней полуплоскости
(рис. 20.2). В результате найдем
Dc(x) =D+(x), *>0; Dc(x) =D-(x), t<0. B0.33)
Тем самым доказано, что выраже-
выражение B0.31) действительно совпа-
совпадает с определением B0.28). Заме-
Заметим, что, как это следует из вы-
выражения B0.13) и определения
Dret и Dadv A3.20), A3.25) через
интегралы по контурам (рис. 13.1),
перестановочная функция D0(x)
также может быть записана в виде
контурного интеграла
Рис. 20.3 где контур Со изображен на
рис. 20,3.
Сделаем в заключение одно важное замечание. Выражение
для перестановочной функции B0.5) было получено с использо-
использованием разложения операторов электромагнитных потенциалов
B0 1) в калибровке, заданной равенством A9.5). В соответствии
с A9.44) можно было бы рассматривать и другие возможные ка-
калибровки, для которых
#W в™ = #> + /%, B0.35)
где /<*> — произвольные скалярные функции, причем, вообще
говоря, №ф0. В этом случае перестановочная функция B0.5) за-
заменяется функциями следующего вида
Aiv (X) = guv А) (X) -> Z)|tv (X) = g^v Д> (X) +
J ^ ег** (fvk» + /^v + fhkv\ B0.36)
Co
где
h = ? *U'АГ, /n = 2 вГи-Л^. B0.37)
Точно так же калибровочное преобразование приводит * замене
пропагатора
??v (*) = gnvDc (х) -
f
J
B0.38)
Например, полагая /<*•) = —^/^2, получим для пропагатора
B0.39)
BлL J
Конкретный выбор калибровки обусловлен особенностями решае-
решаемой задачи. В то же время окончательные результаты в силу
калибровочной инвариантности остаются независимыми от этого
выбора.
§ 21. КВАНТОВАНИЕ ДИРАКОВСКОГО ПОЛЯ
Уравнение Дирака описывает массивные заряженные частицы
с полуцелым спином — электроны и позитроны. Квантование
электронно-позитронного поля отличается от квантования элек-
электромагнитного поля прежде всего тем, что частицы, описываемые
уравнением Дирака, являются фермионами, т. е. подчиняются
статистике Ферми — Дирака. Это находит выражение в принципе
Паули — невозможности нахождения в одном и том же кванто-
квантовом состоянии более одной ферми-частицы.
а) Зарядовое сопряжение
Свободный электрон описывается уравнением Дирака (8.40),
165
которое после умножения иа матрицу у0 можно представить в
следующей гамильтоновой форме:
|90> B1.1)
где
B1.2)
гамильтониан уравнения Дирака, а и ($=y° — матрицы Дирака
(см. § 8). Представим дираковскую волновую функцию стацио-
стационарного состояния в виде
г|) (г, t) = Aer*Bt+b9uf B1.3)
где Е — собственное значение Hd, p — собственное значение опе-
оператора импульса — iV=p, и и — постоянный биспинор, А —
нормировочная константа.
Запишем биспинор и через двухкомпонентные спиноры ф и %
B1.4)
и воспользуемся стандартным представлением для матриц Дира-
Дирака (8.48), (8.52). Тогда для ф и % получим систему уравнений
B1.5)
совместность которых обеспечивается условием
Отсюда находим связь собственных значений оператора Гамиль-
Гамильтона и импульса
Е = ± ер, 8Р = /р2 + т\ B1.6)
Таким образом, решения разбиваются на две ветви: положитель-
ночастотную, ? = 8Р, и отрицательночастотную, Е=—ер.
fU"^, V^ — e'V. B1.7)
Поскольку эти ветви отвечают различным собственным значениям
гамильтониана, то они должны быть ортогональными друг другу:
O. B1.8)
Заметим, что разбиение B1.7) является лоренц-инвариантным, так
как 4-вектор р^= (?", р) является времениподобным: р2=Е2—р2=
=/п2>0.
Если спинор ф задан, то другой спинор % определяется из
второго уравнения системы B1.5)
~~ Е+т ^'
166
Задание спинора <р осуществляется наложением дополнитель-
дополнительного требования, фиксирующего спиновое состояние частицы. На-
Например, можно потребовать, чтобы волновая функция была собст-
собственной для оператора спиральности * — Bр)
(Sp)^ cr|p|^(T ±f. B1.10)
Этот оператор, очевидно, коммутирует с Hd, и потому уравнение
Дирака и уравнение B1.10) имеют совместные решения.
Решения уравнения Дирака для свободной частицы B1.1),
отвечающие двум различным ветвям ?=ер и ?=—?р, оконча-
окончательно можно записать в виде
й <21Л2)
B1.13)
Здесь V — нормировочный объем, 4-импульс ?**= (р°, р), р°==?Р,
причем отрицательночастотное решение фИ выбрано таким обра-
образом, чтобы оно соответствовало значению импульса —р, взятому
с обратным по отношению к if>(+) знаком. Биспиноры и(о, ±р)
удовлетворяют уравнениям
(±ур—т)и(ю, ±р)=0. B1.14)
Нормировочный коэффициент А=BерУ)/2 выбран так, чтобы
биспиноры были нормированы условиями
р) =2р». B1.15)
Тогда для |i=0 получим
и+(р)и(р)=2еру 1гЬ(—р)а(—р)=2врэ B1.16)
и поэтому
* Этот оператор пропорционален временной компоненте 4-векторного опе-
оператора спина
S» = (So, S), So = — Ip, S=^ —(mYOl-pY5), B1.11)
tn m
где у5— —tY°Y!Y2Y3^ ~^Pi — псевдоскалярная Мадрида Дирака. Подробное опи-
описание спиновых операторов ем. в [2].
167
Положительночастотные решения уравнения Дирака B1.12)
можно интерпретировать как волновые функции электрона с энер-
энергией Е=г >0. Для придания смысла отрицательночастотной вет-
ветви решений B1.13) с Е=—ер<0 рассмотрим так называемые за-
зарядовое сопряжение, или С-сопряжение, которому можно подвер-
подвергнуть дираковские функции. Будем предполагать, что дираков-
ские частицы не свободны, а взаимодействуют с электромагнит-
электромагнитным полем Ау,(х). В этом случае уравнение Дирака получается
«удлинением» производной dyr+dv+ieA», так, как это было сделано
в§ 10:
(iyd—eyA—m) ф (а:) = 0,
B1.17)
•ф(д:) (гуд+еуА+т) =0.
Введем операцию С-сопряжения следующим образом:
B1.18)
Пусть оператор С обладает следующим свойством:
C-Vc = — Y/. B1.19)
Тогда, очевидно, уравнения B1.17) останутся инвариантными от-
относительно С-сопряжения B1.18):
(iyd—eyAc—т)Цс(х) =0,
B1.20)
§с(х) {iyd+eyAc+>m) =0.
Удовлетворить требованию B1.19) можно, если выбрать опе-
оператор С-сопряжения в виде 0=^° (см. свойства матриц Дирака
в § 8). Матрица С обладает следующими свойствами:
С+=С-*, Ст=—С, B1.21)
т. е. она унитарна и коахжмметрична.
С помощью С-преобразования из не имеющей непосредствен-
непосредственного физического смысла отрицательночастотной части решения
можно получить положительночастотную часть
)=С^~)(х). B1.22)
Как следует из B1.20), функция i|)c(+> удовлетворяет тому же
уравнению, что и г|)<+), но с другим знаком заряда (так как
Лс=—А) и обладает положительной частотой, т.е. нормальным
знаком энергии ? = еР>0. Эта функция я|зс(+) описывает новую
частицу — позитрон, т. е. античастицу для электрона, обладаю*
щую зарядом противоположного знака. Если у электрона заряд
отрицателен е=—во<0, то у позитрона он положителен е=0
166
Таким образом, волновые функции электрона о|?эл и позитрона я|?Поз
строятся из положительно- и отрицательночастотных частей реше-
решения уравнения Дирака
Ч>эл = Ч><+). IW-diR. B1.23)
б) Перестановочные соотношения. Антикоммутаторы
Рассмотрим теперь уравнения Дирака (9.1) не как квантово-
механические уравнения для одночастичных состояний, а как
уравнения спинорного дираковского поля. Общее решение этих
уравнений для свободного случая, Л1Л(а:)=0, может быть разбито
инвариантным образом на положительно- и отрицательночастот-
ные части <ф(+> и 1|з<~)
* (х) = V+) (х) + V"} (*) = ? (M>S+) (*) + &.Ч1Г0 (*)), B1.24)
где через 5 мы обозначили набор квантовых чисел стационарных
состояний
#}~е , i^-e , B1.25)
± 8s±) — собственные значения дираковского гамильтониана, as
и bs* — коэффициенты разложения.
Найдем полную энергию и заряд поля (см. § 9)
Q = б f d3A^Y4 = * J ^3a:\|)+i(?. B1.26)
Подставив разложение B1.24) и воспользовавшись ортонормиро-
ванностью решений г|)^±), найдем
B1.27)
Как видно, энергия поля не является знакоопределенной величи-
величиной, зато заряд имеет определенный знак, совпадающий со зна-
знаком е. Вспомним, что при квантовании электромагнитного поля
мы подчиняли коэффициенты разложения аь 5 для придания им
операторного смысла коммутационным соотношениям A8.16).
Определим для дираковского поля операторы энергии и заряда
по образцу классических выражений B1.27), заменив в них а? и
Ь8 операторами
169
B1.28)
Q = e?(a+as+bsb+),
S
где а* и b*— эрмитово сопряженные операторы. Однако в от-
отличие от электромагнитного (бозонного!) поля мы не можем по-
потребовать выполнения коммутационных соотношений для as и bs
типа A8.16), так как при этом мы не смогли бы добиться поло-
положительной определенности энергии, а в заряд поля электроны и
позитроны вносили бы вклад одного знака. Поэтому для кванто-
квантованных коэффициентов разложения оператора дираковского поля
¦ (*)=? (аГЧГ* (х) + Ъ^ (х)), B1.29)
S
т. е. операторов а* и bs, постулируем следующие перестановочные
соотношения, заданные в виде антикоммутаторов:
{ai,a+>-aia++a+ai = 8ir, B1.30)
и аналогично для операторов b, b+
{bs, b?}=6ss, и т. д., B1.31)
причем
{as, lv> - {а2\ bS'} = {as, b^} = 0. B1.32)
Определим теперь операторы
Ns+) = a+as, N^-b+bs. B1.33)
Тогда в силу перестановочных соотношений B1.30)
= - (as+J (a.)« + a+as = Ni+), B1.34)
т. е. оператор Nj) имеет лишь два собственных значения
М+) =0,1 и аналогично М"} =0,1.
При корпускулярном описании состояний дираковского поля
в пространстве чисел заполнения, учитывая, что i|)s+) и г|)<-> опи-
описывают соответственно электрон и позитрон, естественно придать
операторам Ns+) и Ns""* смысл операторов числа электронов и по-
позитронов. Тогда условия М±)==='0, 1 выражают собой известный
принцип Паули, ограничивающий числа заполнения фермионных
170
состояний значениями, не превышающими единицу. С помощью
перестановочных соотношений B1.30), B1.31) операторы энергии
и заряда B1.28) приводятся к виду
Н = 2 ( + Г) ? ,
S S
J^)^) J] , B1.35)
где 2L — суммирование только по отрицательночастотным со-
стояниям. Без учета с-числовых слагаемых в B1.35) выражения
B1.35) приводят к следующим значениям энергии и заряда элект-
ронно-позитрондого поля
B1.36)
имеющим вполне определенный смысл, причем энергия положи-
положительно определена, а заряд состоит из вкладов электронов и по-
позитронов разного знака. Исключение ^-числовых расходящихся
слагаемых достигается соответствующим переопределением опе-
операторов Н и Q (см. ниже § 22).
С помощью перестановочных соотношений для as и bs можно
получить следующие матричные элементы между состояниями с
одним электроном 11(8 ) или позитроном | Ц""*) и состояниями,
в которых электрон |0(s+)) или позитрон (О^) отсутствуют:
B1.37)
=0, (ls(+)|(+)
и аналогично для bt, bt'. Действительно, для вакуумных состояний
|0) имеем а|0)=0, и поэтому A \а\0) = @|а+| 1} =0 (опускаем
для краткости индексы). Далее afaf = 0, поэтому
откуда A |а+|1) = A |а| 1) =0 и аналогично
<0|а+|0> = @|а|0)=0.
171
Наконец,
откуда @1 а 11 ) = 1 и т. д.
Таким образом, оператор as+ является оператором рождения
электрона, а Ь8+ — оператором рождения позитрона в состоянии
5, as и Ъ3 — операторы уничтожения соответственно электрона и
позитрона:
a+|0)=|li+)>; Ъ+|О)=|Ц->>. B1.38)
В общем случае многочастичное состояние с ЛД+> электрона-
электронами и ЛК-> позитронами получается действием ЛА+) операторов as+
и ЛД-> операторов Ь8+ на вакуум. Заметим, однако, что в отличие
от многофотонных состояний многофермионные состояния из-за
антикоммутативности операторов а и b конструируются с учетом
порядка расположения сомножителей и соответствующего измене-
изменения знака состояния при перестановке операторных множителей.
Например, если
ТО
Полевые операторы §(х) B1.29) объединяют операторы рож-
рождения электронов и уничтожения позитронов:
(Ct}I ¦ (*) I U"') =W} (x). B1.39)
Наоборот, ty(x) объединяют операторы рождения позитронов и
уничтожения электронов
Запишем, наконец, явный вид разложения полевых дираков-
ских операторов по операторам рождения и уничтожения электро-
электронов и позитронов в свободных состояниях
ti V2ev
B1.41)
1(х) = V L_ (а+ы (р, а)*р* + Ьран(-р, а
Р0
172
Возникает вопрос, почему для заряженного дираковского поля
следует вводить две пары операторов а, а+ и b, Ь+, в то время
как для электромагнитного поля достаточно одной пары, напри-
например с и с+. Ответ заключается в том, что биспиноры и(р) и
и(—Р) удовлетворяют разным уравнениям, в то время как фурье-
компоненты электромагнитного поля Л^ (я) и А^(х)— одному
И тому же уравнению. Другими словами, дираковскому полю
соответствуют две различные частицы — электрон и позитрон, а
электромагнитному полю одна — фотон. Заметим, наконец, что
квантование дираковского поля с помощью антикоммутаторов, а
электромагнитного поля — с помощью коммутаторов обеспечивает
положительную определенность энергии поля в обоих случаях.
В то же время различное квантование электрон-позитронного
(фермионного) и электромагнитного (бозонного) полей приводит
к разного рода статистикам: в первом случае — к статистике
Ферми — Дирака и ее основе —> принципу Паули, а во втором
случае — к статистике Бозе — Эйнштейна с произвольными чис-
числами заполнения. В этом проявляется доказанная Паули общая
теорема о связи спина (бозоны — спин целый, фермионы — спин
полуцелый) со статистикой.
§ 22. ПЕРЕСТАНОВОЧНАЯ И ПРИЧИННАЯ ФУНКЦИИ
ДИРАКОВСКОГО ПОЛЯ
В этом параграфе мы прежде всего покажем, что канониче-
каноническое квантование приводит к тем же правилам квантования дира-
дираковского поля, что были получены в предыдущем параграфе, а за-
затем введем нормальное и хронологическое произведения и обсу-
обсудим вакуумные средние квадратичных комбинаций операторов
поля Дирака.
а) Каноническое квантование
Запишем операторы дираковского поля в виде
Ч> (г, *) = ? (a, (t) г|><+) (г) + b+ (t) г|Г> (г)), B2.1)
где as(t) и b+s('O — гейзенберговские (зависящие от времени)
операторные коэффициенты разложения по положительночастот-
ным и отрицательночастотным дираковским волновым функциям.
Для оператора энергии примем определение {21.28)
н = ? D+)as+as - B{r\bt). B2.2)
Запишем уравнения движения гейзенберговских операторов
и bs@ в виде A9.11)
-^ = i [H, as (*)], -^2- = i [H, Ъ$ (/)]. B2.3)
178
Рассмотрим первое из этих уравнений более подробно:
•^р- = J] («Р* [a^ass as] - te<7> [bs,b+ a,]). B2.4)
S'
Для преобразования коммутаторов в правой части этого равенства
воспользуемся следующим тождеством, справедливым для произ-
произвольных операторов А, В и С
[АВ, С]=А{В, С}-{А, С}В. B2.5)
В результате получим
ibffl- = 12 4+) (а+ {4 aj - {at, as> a..) -
S'
i ? e<r> (bs. {bst, af} - {tv, a,}tf), B2.6)
где фигурными скобками обозначены антикоммутаторы.
Последнее операторное уравнение может быть линеаризовано,
если подчинить операторы аи b перестановочным соотношениям
B1.30), B1.32). При этом сумма снимается за счет символов Кро-
некера 5?<'* и мы находим
^ B2.7)
Это уравнение имеет положительночастотное решение
а,Ю=а,@)г . B2.8)
Точно так же для оператора Ь«+ запишем уравнение
ijt = i^tPiat {a.., b+}-{ast, b+>as.) -
S'
- t J] 4D (bs. {b^, b+} - {bs., b+} bt), B2.9)
которое линеаризуется условиями квантования B1.31),, B1.32):
Решения этого уравнения, как и требовалось, отрицательночастот-
ные
* . B2.11)
174
Подставляя решения B2.8) и B2.11) в B2.1), найдем полу-
полученные ранее разложения вида B1.29) или B1.41).
Таким образом, правила квантования, заданные антикоммута-
антикоммутаторами B1.30) —B1.32), действительно обеспечивают разбиение
Оператора поля на положительно- и отрицательночастотные части
B2.1), B2.8), B2.11). Вместе с тем, как мы убедились в преды-
предыдущем параграфе, эти правила обеспечивают положительную
определенность энергии дираковского поля. Если бы мы вместо
тождества B2.5) воспользовались тождеством A9.14а) и задали
правила квантования через коммутаторы, то для bs+ мы бы полу-
получили не отрицательно-, а положительночастотное решение. Кроме
того, это привело бы к тому, что знак энергии поля остался бы
неопределенным.
б) Перестановочная функция
Рассмотрим теперь перестановочные соотношения для опера-
операторов поля ty(x) и ^(х). Учитывая разложения B1.29) и переста-
перестановочные соотношения B1.30) — B1.32) для а и Ь, находим
{¦(*), *(дОН0, {¦(*). ¦(*')}=<>. B2.12)
В то же время
= S(+) (x, x') + SM (x, x'). B2.13)
Для свободных электронов, используя разложение B1.41),
получим
- *') = ? № <*> iff (*') - Е-аГГ «<*.р)" ((Т>р) е~Ых~х')>
р,в Р,О Р
B2.14)
B2Л5)
Р.а р
В этих равенствах произведения биспиноров образуют матрицу.
Например, выписывая явно спинорные индексы, имеем:
$ (х - х') = ^ ^у Ua (су> р) "р (су'р)
Непосредственным вычислением для биспиноров u(or, p) и
и(ю, —/г), нормированных условиями B1.15), можно вынести
следующие равенства
(сг, р)и(в, р)=ур + ту B2.16)
П5
Уи(в,-р)и(о,-р) = ур — т. B2.17}
а
Убедиться в их справедливости можно также следующим обрд-
зом. Правая часть первого равенства может содержать только
единичную и у-матрищл и, будучи скаляром, должна иметь вид
Аур+Вт. Левая часть обращается в нуль под действием операто-
оператора (yp—т), поэтому в правой части Л = В. Наконец, в системе
покоя р = 0, /?°=/л, имеем (см. B1.9), B1.16)):
поэтому
а=1/2,—1/2
при этом
Следовательно, Л=1, и равенство B2.16) доказано. Аналогично
доказывается равенство B2.17).
Таким образом, для положительно- и отрицательночастотных
частей перестановочной функции
S (*-*')={¦(*).*(*')>. B2.18)
получим
5(+) (Х -x')=
5<~>(х — х') = V ур~т в1**-*"*. B2.19)
ЛтЛ 28- V
Р
Вспомним определения B0.15) и B0.17) функций D+(x) и D-(x)
электромагнитного поля и определим аналогичные функции для
спинорного поля
д (х) =, —х— Г ??- е* {р*. B2.20)
Тогда, переходя в B2.19) от сумм к интегралам, найдем
Si+Цх—х') = (iyd+m)A+(x—x'),
B2.21)
S<-)(x—x'l=—(iyd+m)A-{x—x/).
176
Полная перестановочная функция
S (х) = S(+) (х) + S<-) (x) B2.22)
будет выражаться через инвариантную функцию
Ao=i(A+—A-) B2.23)
следующим образом:
S(x)=— i(iyd+m)\o(x). B2.24)
Функция До (я) отличается от электромагнитной D0(x) заменой в
интегральном представлении B0.36) k-+p в экспоненте и fe2->-
->р2—т2 в знаменателе.
Так же, как и для Do, имеем
До (г, t) |,=о = 0, -|- Д (г, 0 |^о = б (г). B2.25)
Поэтому
S(r, Ol^o=Y°6(r), B2.26)
и, стало быть,
М> (г, t), ^ (г', t')}t=r = y° б (г - г'). B2.27)
Функция S(#) является решением (сингулярным) уравнения
Дирака
(iyd—m)S(x)=0, B2.28)
так как
(П+т2)А0(х)=0. B2.29)
в) Причинная функция Грина
Аналогично тому, как это было сделано для операторов
электромагнитного поля в § 20, введем нормальное и хронологи-
хронологическое произведения дираковских операторов. Однако в данном
случае перестановка операторов должна сопровождаться измене*
нием знака.
Нормальное произведение двух операторов определяется так,,
чтобы операторы рождения частиц стояли левее операторов унич-
уничтожения. Так, например,
(х) + Ч><-> (х)) 6F> (*') +
(х) +1(+) (x) Ч*-» (х') +
-) (х) Ч^М (х') + t(-) (x) W* (х'), B2.30)
где мы приняли во внимание, что г|?(+> и 1|>(-) имеют смысл опера-
операторов уничтожения, а ¦$<-) и of(+> — операторов рождения.
177
Хронологическое произведение даух дираковских операторов
•tyi(x) и ty2(x') определяется точно так же, как и для электромаг-
электромагнитных операторов, с учетом изменения знака при перестановке:
Определим теперь связь, или хронологическое спаривание дцра-
ковских операторов,
x)%(xf). B2.32)
Предоставляем показать читателю, что
4 = 0 B2.33)
(указание: операторы i|)<->(*) и tyW(x') антикоммутируют при
любых х и х'). __
Для ty(x) и ^(л:') связь представляет собой с-число. Дейст-
Действительно, пусть t>f, тогда получим
(х) Ч> (х') = Ч*+) (х) Ч>(+) (х') + ^+> (*') ^(+) (х),
т. е. антикоммутатор, который является очислом. Аналогичный
вывод получается и при t<?.
Поскольку среднее по вакууму от Af-произведения равно ну-
нулю, то среднее по вакууму от хронологического произведения
равно связи
(Т Ч> (х) $ {х') H = Ч> (х)Ц {х'). B2.34)
Отсюда следует, что
где аир — спинорные индексы.
Таким образом, мы получили функцию распространения, или
иропагатор,
Sc(x-x') = (Ty(x)$(x')H=:$(x)y(x'). B2.36)
Эта функция при t>t' описывает рождение электрона в точке хг
и его уничтожение в точке х, а при t<t' — рождение позитрона
в точке х и его уничтожение в точке х'.
Нетрудно выразить Sc(x) через введенные ранее функции
S<+>(x) и SH(jc) B2.21). Действительно,
) Ых»о = 5^ (х - х')9 B2.37)
178
и ттоэтому
Sc (х — х') = 9 (х — х') SW (х — л:') — 9 (х' — х) SM (х — х').
B2.38)
Производные дй можно вынести за 8-функции, так как V с ними
коммутирует, а д0в(х)=8(х9)9 д0Э(—х) =— 6(х°), причем
Итак,
5С (х - *') = (i Y 0,!+ т) Ас (х - х% B2.39)
где
Д,(х —х')=в(х —jc')A+(JC —х') + в(х'—jc)A«(x —х')
B2.40)
функция распространения массивного скалярного поля, имеющая
интегральное представление
сУ ' Bя)* J 2вр Bя)« J p»-m*
B2.41)
Справедливость последнего равенства устанавливается таким же
образом, как и в случае безмассового электромагнитного поля
(§ 20).
Отсюда следует интегральное представление для функции
Se(x)
Sc (X) = J— f rft ре-** yp + m . B2.42)
cK ' BЯ)* J H p2_ma+/8 ^ ^
Действуя на Sc(x) оператором Дирака, получим
(iyd—m)Sc(x) =/6(*). B2.43)
Это непосредственно следует из интегрального представления
B2.42), а также и из равенства B2.39), если учесть, что
(? + т2) Дг (х) = — tS (x). B2.44)
Таким образом, функция распространения Sc(x) является
причинной функцией Грина уравнения Дирака.
г) Переопределение энергии и тока для уравнения Дирака
Как было указано в § 21, данные там определения энергии
й заряда дираковского поля приводят к бесконечным отрицатель-
отрицательным постоянным слагаемым в собственных значениях гамильто-
гамильтониана и оператора заряда B1.35). Избавиться от этих слагаемых
можно, переопределив должным образом указанные операторы.
Именно, для оператора Гамильтона обычно принимают опреде-
определение в виде нормального произведения, т. е. так, чтобы все one-
179
раторы с крестом стояли бы левее операторов без креста, при-
причем bsb5+->- — bs+b5. Тогда вместо B1.28) получим определение
Н = 204+Ч+а* + в^Ь+Ь,). B2.45)
Оператор плотности тока вместо обычного определения за-
зададим коммутатором
Jl* (*) = ~ [* (*), Yli ¦ М] = -|- (*а Ысф Ь - Ыар Ь Фа) =
7 B2.46)
Тогда и заряд избавится от бесконечного слагаемого
(s+) — N^). B2.47)
Очевидно, что если мы определим оператор плотности тока
.в виде нормального произведения
Ъ, B2.48)
то и в этом случае для заряда получим то же значение B2.47).
Можно показать, что не только заряд, но и сами операторы
jn(#), заданные равенствами B2.46) и B2.48), совпадают. Заме-
Заметим, наконец, что j^ можно записать также в зарядово-симметрич-
ной форме. Для этого вспомним определение С-сопряжения
фсдо =с^ (*), Щх) =С-* Ч>;(*), B2.49)
и свойства С-оператора: С=—Ст, С-1у»С=—у/. Тогда из опре-
определения B2.46) будет следовать зарядово-симметричное выраже-
выражение
j^{х) = Т"(* Y^* ~ *с ъ *С)ф B2'50)
Как видно, ]р(х) инвариантен относительно С-преобразования
и одновременного изменения знака заряда е-*—е.
% 23. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Мы рассмотрели два основных квантованных свободных по-
поля — электромагнитное и заряженное дираковское. Решение за-
задачи о взаимодействии этих полей представляет собой предмет
квантовой электродинамики. Не существует способа получения
точного решения уравнений квантовой электродинамики в общем
случае. Тем не менее разработан метод теории возмущений, ко-
который благодаря малости константы электромагнитного взаимо-
J8D
действия — постоянной тонкой структуры a=e2/ftc=Vi37 — позво-
позволяет получить приближенное асимптотическое решение для прак-
практически любого процесса взаимодействия электронов и фотонов.
Прежде чем развивать метод теории возмущений, сформулируем
точные уравнения квантовой электродинамики.
а) Гейзенберговские уравнения полей
Рассмотрим взаимодействующие поля — электронно-пози-
тронное и электромагнитное. Сопоставим этим полям операторы в
гейзенберговском представлении
¦ (х), $(х), АДх), B3.1)
которые явно зависят не только от г, но и от времени t. Для этих
операторов можно написать те же уравнения, что и для класси-
классических взаимодействующих полей
(iyd — eyA(x)—m)y(x) = О, Ц (x)(iyd + еук(х) + т) =0,
B3.2а)
(*), B3.26)
где плотность 4-тока может быть записана в зарядово-симметрич-
ной форме
Н* (*)• Yh * (*)] | (Ч (*) V» У (х) - 4>с
B3.3)
Эти уравнения могут быть получены с помощью вариационного
принципа для интеграла действия от лагранжевой плотности.
В общем виде может быть доказана калибровочная инвариант-
инвариантность уравнений B3.2), а также сохранение суммарного 4-импуль-
са полей и заряда, следующее из лоренц-инвариантности и калиб-
калибровочной инвариантности теории. Мы не будем этого делать в
общем случае, однако будем в дальнейшем иметь в виду эти вы-
выводы, а в следующей главе продемонстрируем их справедливость
на конкретных примерах.
Уравнения взаимодействующих полей B3.2) нелинейны и не-
неоднородны. Поэтому мы не можем их решить в общем виде, т. е.
написать явную зависимость операторных функций гр, г|з и А от
ху как это было сделано в свободном случае.
Точно так же невозможно написать перестановочные соотно-
соотношения для этих полей в произвольные моменты времени, так как
неизвестна зависимость полей от времени. Однако мы можем за-
задать перестановочные соотношения для совпадающих времен —
одновременные перестановочные соотношения. Целесообразно за-
задать их таким образом, чтобы они совпали с соотношениями для
свободных полей
).—¦ (*')] =-4mgJiv8(r-r'))
181
[Ad(x),Av(*')W=O. B3-4)
{*a (*), *t (*')W =б«Э S (Г - Г').
Все остальные перестановочные соотношения при t—t' равны ну-
нулю
и т. д. Что касается векторов состояния |Ф> для системы полей,
то в гейзенберговском представлении они не должны зависеть от
времени
-|-|Ф>=0. B3.5)
Как уже было сказано, электромагнитный ток сохраняется
дудх* = 0. B3.6)
Поэтому, вычисляя 4-дивергенцию от правой и левой частей урав-
уравнения B3.26) для вектор-потенциала Ай, получим
т. е. дивергенция Ац удовлетворяет однородному уравнению Да-
ламбера
П А,|1 = 0. B3.7)
Это означает, что можно выделить отрицательно- и положитель-
положительно-частотные части А,Д как это было сделано для свободных по-
полей
АД» = А«+> + А«->. B3.8)
Следовательно, мы имеем возможность наложить на векторы со-
состояний |Ф> условие Лоренца
> = 0, < ф | АИ"* = 0. B3.9)
Таким образом, из волнового уравнения B3.26) следуют уравне-
уравнения Максвелла в среднем:
(-5^-)=-4я(^). B3.10)
Запишем оператор Гамильтона для дираковского поля
j B3.11)
182
= J
-i-(¦>• ¦,!-¦„ Vе ¦) =
Это выражение соответствует классическому определению Я,
данному в гл. I, а зарядово-симметричная форма получается тем
же способом, что и для плотности 4-тока в § 22. Исключая про-
производные по времени, т. е. переходя к каноническим переменным
с помощью уравнений Дирака
т) * —
m) <фс —
(заметим, что в уравнении для ifc заряд входит с противополож-
противоположным знаком), получим
] сРх = Н% + Hint, B3.12)
где
^^J$^lA B3.13)
так называемый гамильтониан взаимодействия, a HD° — свобод-
свободный гамильтониан Дирака.
Учитывая еще и свободный гамильтониан электромагнитного
поля Hf°, получим полный гамильтониан системы взаимодейст-
взаимодействующих электронно-позитронного и электромагнитного полей
Н = H°f + Hi + Hint - Н° + Hmt, B3.14)
где Н° не зависит от произведений компонент различных полей,
т. е. является свободным гамильтонианом. Поскольку Hint, опре-
определенный равенством B3.13), зависит от произведения трех со-
сомножителей, отвечающих заряженному дираковскому и электро-
электромагнитному полям, то он и называется гамильтонианом взаимо-
взаимодействия. Нетрудно убедиться, хотя мы не будем здесь этого де-
делать, что уравнения полей B3.2а) и B3.26) являются гейзенбер-
гейзенберговскими уравнениями движения для операторов г|э, г|? и А и мо-
могут быть получены из общего уравнения для гейзенберговских
операторов
-^=/[Н,и(*)]( B3.15)
at
в котором следует полагать и(х)=^(х); ^(л:), А(х), а для Н
принять определение B3.14). При этом необходимо использовать
одновременные перестановочные соотношения B3.4).
б) Представление взаимодействия (картина Дирака)
Для приближенного решения системы уравнений взаимодей-
взаимодействующих полей оказывается удобным перейти от гейзенбергов-
183
ского представления к представлению взаимодействия, в котором
операторы подчиняются свободным уравнениям. Это представле-
представление называется также картиной Дирака. В представлении Шре-
Шредингера векторы состояний подчиняются уравнению Шредингера:
i — |Ф@> =Н|ф@>, B3.16)
где H = Ho+Hint, а операторы и (г) не зависят от времени.
Перейдем в представление взаимодействия, полагая, что опе-
операторы \Xi(x) и векторы состояний |Ф/(*)> в этом представле-
представлении равны
В соответствии с определением операторы Ui(x) подчиняются
уравнению
dui
— =t[Ho,u,], B3.18)
а векторы состояния в силу B3.16) — уравнению
^|Ф/@>=Н/@|Ф/@>, B3.19)
где
Н/ = ёПЫНтцетяи B3.20)
оператор взаимодействия, т. е. гамильтониан взаимодействия в
картине Дирака.
Напомним, что гейзенберговские и шредингеровские операто-
операторы и векторы состояния связаны соотношениями (dH/dt=O)
и (х) = «*u (r) rffl'f B3.21 а)
|ф(/))-б-^|Ф), B3.216)
причем гейзенберговские операторы подчиняются уравнению
-J- = *[H,U]f B3.22)
а гейзенберговские векторы состояния не зависят от времени
-±-|ф) = 0. B3.23)
Как видно, представление взаимодействия является как бы
промежуточным между шредингеровским и гейзенберговским
представлениями: операторы удовлетворяют гейзенберговскому
уравнению движения со свободным гамильтонианом, а векторы
состояния — уравнению Шредингера с оператором взаимодейст-
взаимодействия в качестве оператора Гамильтона.
184
Уравнение B3.216) представляет собой формальное решение
уравнения Шредингера для вектора состояния |Ф(?)> и может
быть переписано в виде
|Ф(/)>=и@|ф), B3.24)
где
U (*)=*-«« B3.25)
оператор эволюции, связывающий векторы состояния |Ф> при
t = 0 и |Ф@> при t=?0. Очевидно, что для произвольных момен-
моментов времени f и if (t">f) получим
), B3.26)
где
U (Г — Г) = е- 'W-n. B3.27)
Соотношение B3.26) является не более чем формальным ре-
решением уравнения Шредингера, поскольку мы не знаем ни дей-
действия оператора Н на векторы состояния, ни перестановочных
соотношений операторов, входящих в Н. Поэтому перейдем в ра-
равенстве B3.26) в представление взаимодействия с помощью со-
соотношений B3.17)
| ф7 (О) = e™"U (Г - Г) erw | Ф/ (f)) = U/ (Г, Г) [ Ф/ (*')>, B3.28)
где
U7 (Г, Г) = ^"U (Г — Г) e-w B3.29)
оператор эволюции в представлении взаимодействия. Это равен-
равенство опять-таки является формальным. Оно не дает нам возмож-
возможности определить явный вид оператора эволюции, поскольку вы-
выражает его через неизвестные нам операторы и (г) шредингеров-
ского представления, входящие в Н и Но. Заметим, однако, что
оператор эволюции B3.29) удовлетворяет тому же уравнению
B3.19), что и вектор состояния в картине Дирака:
i -|-U/ (t, П = Н/ (t) U/ (t, f). B3.30)
Поэтому, чтобы найти явный вид оператора эволюции, необхо-
необходимо решить это уравнение. Заметим, что входящий в него опе-
оператор взаимодействия Hj(^) явно зависит от времени, и поэто-
поэтому это нелинейное операторное уравнение не удается решить
точно, как это было сделано для уравнения Шредингера B3.16)
при нахождении оператора B3.27). В то же время уравнение
B3.30) имеет основное преимущество, которое оправдывает пе-
переход в представление взаимодействия. Дело в том, что все опе-
операторы, входящие в B3.20), заданы в представлении взаимодейст-
взаимодействия. При этом, очевидно, явный вид оператора Н/@ тот же, что
и Hmt, только вместо гейзенберговских полей он выражается че-
через операторы полей в представлении взаимодействия. Точно так
же сохраняется явный вид свободного оператора Но, выраженного
через поля в представлении взаимодействия. Поэтому для опера-
операторов поля из B3.18) получим обычные свободные уравнения
(iyd — m) * (х) = О, у(х) (iyd + т) = О,
ПА^(х) = 0. B3.31)
Кроме того, одновременные перестановочные соотношения для ф
и ф, Ац и jtn= —(\J4n)dAJdt, очевидно, те же, что и в гейзенбер-
гейзенберговском представлении B3.4). Исходя из одновременных переста-
перестановочных соотношений B3.4), с помощью решений уравнений
B3.31) можно получить разновременные {гфг') перестановочные
соотношения, которые будут теми же, что и для свободных полей
(см. § 20 и 22).
Таким образом, для описания движения операторов в карти-
картине Дирака применима вся развитая ранее теория свободных по-
полей. В то же время, уравнение движения для аектора состояния
B3.19) или для оператора эволюции B3.30) содержит лишь опе-
оператор взаимодействия и в случае малости взаимодействия может
быть решено приближенно.
Запишем вместо уравнения B3.30) эквивалентное интеграль-
интегральное уравнение
Щи О = 1 - * J H/ {h) Ui(tv f) dtv B3.32)
г
Последовательные итерации приводят к следующему ряду
Щ/, Г) = 1 - i [ Н/ (У Лг + ( - О2 J dtjtij (t2) J dtfii (У + ...
t' Г Г
... + (- 0" \ dtn j" <#„_.! ... J dtxU, (tn) H, (tn-i) ...Hi (h) + ...,
r r r
B3.33)
где Hj(^i), Hj(^) и т. д., будучи операторами, не коммутируют
между собой.
В разложении B3.33), как видно,
f < tx< t2< ... < tn-i < tn< t B3.34)
для любого п= 1,2,3, ... . При этом в каждом члене ряда опера-
операторы следуют в хронологическом порядке. Выражение B3.33) ко-
коротко записывается в виде
t"
U7(f, Г) = Гехр|^ i J H/(t) dt} B3.35)
1S6
и носит название Г-экспоненты. Если взаимодействие является
слабым, то в разложении B3.33) можно ограничиться конечным
числом членов. Матричные элементы оператора эволюции в этом
приближении, вычисленные между свободными состояниями полей,
будут представлять собой амплитуды переходов в соответствую-
соответствующем порядке теории возмущений. Электродинамика из-за своей
сравнительно простой абелевой структуры и минимальности взаи-
взаимодействия с малой константой — постоянной тонкой структуры
a = Vi37 — оказалась первой и единственной теорией, для которой
подобное разложение оправдано и хорошо работает.
§ 24. S-МАТРИЦА ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Полученное в предыдущем параграфе решение уравнения
движения для оператора эволюции в виде Г-экспоненты позволя-
позволяет в принципе описать электромагнитные процессы в любом по-
порядке по постоянной тонкой структуры. Для этого следует, одна-
однако, уточнить постановку задачи, которая существенно отличается
от известной нерелятивистской теории возмущений, применяемой,
например, в теории рассеяния.
а) Формула Дайсона
Для электродинамики оператор взаимодействия имеет вид
А»(х)9 B4.1)
где операторы тока и электромагнитного потенциала заданы в
представлении взаимодействия, причем заряд е включен в опреде-
определение тока B3.3).
Рассмотрим такую постановку задачи, при которой частицы
наблюдаются лишь в асимптотических состояниях, т. е. задолго
до и после взаимодействия. Иными словами, наблюдаем состоя-
состояния частиц при ?-+—оо и f'-* + oo. Тогда необходимо вычислить
соответствующий предел оператора эволюции, называемый S-мат-
рицей:
f
S- lim е™"е-™°-пе-™' = lim T exp(— i f Н/(*)Л). B4.2)
t'-+—оо f-*-—оо /
/"-Ч-оо f-4-oo '
При этом необходимо предположить, что взаимодействие каким-
то образом выключается в этих асимптотических состояниях, т. е.
lim H/@ = 0. B4.3)
В то же время предположим, что наборы состояний системы ча-
частиц при t-* + oo и t-+—оо, т. е. векторы асимптотических состоя-
состояний в представлении взаимодействия
|Ф.( + «?)> =|ф!+)) и l<Di(-oo)> =|ф5-)),
совпадают с собственными векторами свободного гамильтониана.
1*7
Описанная ситуация, казалось бы, полностью эквивалентна
постановке задачи о потенциальном рассеянии в нерелятивистской
квантовой механике. Однако это не так. Дело заключается в том,
что даже для асимптотических состояний при ?->±<х> взаимодей-
взаимодействие невозможно исключить полностью. Хотя при этом реаль-
реальные частицы и оказываются достаточно удаленными друг от дру-
друга, чтобы исключить их взаимодействие между собой, тем не ме-
менее остается их взаимодействие с так называемым вакуумом, т. е.
нерожденными, виртуальными частицами. Это последнее взаи-
взаимодействие приводит, например, к изменению массы электрона, а
также к перенормировке его заряда, наподобие того как экрани-
экранируется электрический заряд частицы за счет поляризации среды,
в которую она помещена.
Для того чтобы учесть эти эффекты, обычно предполагают,
что вначале взаимодействие включается достаточно медленно —
так, чтобы перевести «голые» невзаимодействующие вообще ча-
частицы с затравочными массами и зарядами в «одетые» реальные
частицы, которые находятся в тех же состояниях \Ф8> с теми же
квантовыми числами, что и исходные «голые» частицы, но обла-
обладают уже физическими, наблюдаемыми, массами и зарядами. Это
предположение носит название адиабатической гипотезы (см., на-
например [7]). Затем уже эти «одетые» частицы под влиянием
включенного взаимодействия рассеиваются или каким-либо дру-
другим образом меняют свое состояние. Мы не будем пока интере-
интересоваться тем, как частицы приобретают физические заряды и мас-
массы, оставив этот вопрос для заключительной главы книги. В соот-
соответствии со сказанным предположим, что система взаимодейст-
взаимодействующих полей при /->-—оо находится в некотором начальном ста-
стационарном состоянии, описываемом собственным вектором
|ф(-)> = |Ф/> свободного гамильтониана Но с физическими зна-
значениями массы и зарядов. Конечное состояние
|Of) = Sid/"*) B4.4)
представляет собой разложение по начальному набору собствен-
собственных векторов Но также с физическими массами и зарядами. Тог-
Тогда коэффициенты разложения являются амплитудами вероятно-
вероятностей перехода системы из состояния |Ф*> в одно из возможных
состояний |CDf>:
Cf = (f\S\i) =Sfi. B4.5)
Как видно, эти амплитуды совпадают с матричными элементами
S-матрицы Sft= </jS|i>. Согласно решению для оператора эво-
эволюции B3.33) для S-матрицы получим разложение
S = f S,; S0=l (л = 0), B4.6)
n=0
188
Область интегрирования в n-мерном пространстве для п-то члена
ряда ограничена условиями
— оо< *й< k_i < ... <*2< t±< oo, B4.7)
при этом под интегралами операторы взаимодействия расположи
ны в порядке возрастания времени справа налево, т. е. в хроно*
логическом порядке.
Рассмотрим отдельно член ряда с п=2. Ясно, что результат
будет тем же самым, если мы переобозначим переменные интег-
интегрирования ^2~^Ь t\-+t2\
f dtx f dtjli(tjlii(tj= f dtt f d^H/^H,^). B4.8)
J J J J
—oo —oo —oo —oo
Складывая правую и левую части равенства, получим
dt2HI(t1)HI(t2)+ [ dt2
00 —ЭО 00 e
j j Я.ГН, &)**!(*,), B4.9>
—oo —oo
или в силу B4.8)
00 tt OO OO
j ^,(^^(^ = 1 J d^j'd^TH/^H/^). B4.10)
00 00
Произвольный член ряда B4.6) точно так же можно переписать,
совершив любую перестановку переменных tly ... , t^t^ ti2,... , Un.
Сложив затем все подобные и равные между собой интегралы,
получим
(- 0я f d*i f dt2... J ЛЯТН/ (/x) H/ (g ...Hi (tn). B4.11)
— 00 —00
Поскольку число всех перестановок равняется п!, то значение Sn
найдем, разделив B4.11) на п!
• • • J ЛЯГН/ (fj Н/ (/2) ... Н, (tn). B4.12)
Разложение S-матрицы B4.6), в котором отдельные члены опре-
определены равенствам B4.12), можно символически представить в
виде Г-экспоненты (формула Дайсона)
189
S = T exp (— i j dtH, (t)), B4.13)
—oo
где оператор электромагнитного взаимодействия равен
Н/ (*) = j d3xjV (*) Ац (л;) = е J d?xNq> (х) у^ (х) Ц (*), B4.14)
операторы полей взяты в представлении взаимодействия, и элект-
электромагнитный ток определен с помощью нормального произве-
произведения.
б) Теорема Вика
Вероятности переходов под влиянием взаимодействия выра-
выражаются через матричные элементы S-матрицы между свободны-
свободными физическими состояниями вида B4.5). Для их вычисления
представление членов S-матрицы B4.12) неудобно.
Действительно, для реальных вычислений получим величины
вида
</|rulU2...uJ0, B4.15)
где Uk F=1, 2, .... п) — некоторые полевые операторы, а началь-
начальное и конечное состояния
Ю =AS->(—с»)|0>, (/| = <0|ВG+)М B4.16)
выражаются через операторы рождения А/"^ (—оо) и уничтожения
В/+)(оо) в картине Дирака при /=—оо и tf=-f-oo соответственно,
действующие на физический вакуум. Поэтому удобно было бы
представить Sn в таком виде, чтобы вместо Г-произведения опе-
операторы входили бы под знаком N-произведения, т. е. все операто-
операторы рождения стояли бы левее всех операторов уничтожения. Тог-
Тогда, если число операторов уничтожения частиц одного сорта в
N-произведении равно числу соответствующих операторов рожде-
рождения в A/ v—°°). то» переставляя их нужное число раз между
собой и действуя ими на вакуум, мы получим в конце концов
^-численный коэффициент перед вектором вакуума |0>. Анало-
Аналогичная процедура с </| состоянием приведет к коэффициенту
перед вектором <0|. Эти коэффициенты, очевидно, составятся из
различных перестановочных функций операторов поля. В резуль-
результате мы избавимся от всех операторов и получим искомую ампли-
амплитуду перехода.
Описанная процедура требует прежде всего приведения S-мат-
S-матрицы к нормальному виду, которое осуществляется с помощью
теоремы Вика: 7-произведение операторов равно сумме их Л^-про-
изведенйй, в которых проведены хронологические спаривания опе-
операторов всеми возможными способами с сохранением порядка ил
следования.
190
Символически содержание теоремы может быть записано ра-
равенством
Тиги2... un = Nuluu... nn+2Nn1u2... ип + ... + 2ихи2и3... ип,
B4.17)
где знак суммы означает суммирование по всевозможным спари-
спариваниям определенного числа пар операторов (во втором члене
спариваются только два оператора, в последнем — максималь-
максимальное число операторов), причем операторы, взятые в представле-
представлении взаимодействия, представляют собой операторы свободных
полей.
Для п=2 теорема Вика по существу доказана, так как со-
согласно определению хронологического спаривания, или связи двух
операторов (см. § 20, 22), имеем
ruxu2 = Nuxu2 + щи2. B4.18)
Предположим, что теорема Вика справедлива для произвольного
л, и докажем, что она справедлива для п-\-1-го оператора под
знаком Г-произведения. Поскольку все Uk раскладываются на
операторы рождения й уничтожения, положим, что Uk являются
либо операторами рождения, либо уничтожения. Переставим те-
теперь операторы одновременно слева и справа в равенстве B4.17)
так, чтобы они уже стояли в хронологическом порядке. При этом
знаковые множители могут изменяться, если переставлялись фер-
мионные операторы, но это изменение будет одинаковым справа
и слева, и соотношение B4.17) не нарушится. Итак, предположим,
что
ti>t2>...>tn, B4.19)
поэтому
7uiU2...Un=UiU2...Un. B4.20)
Пусть оператор ип+\ представляет собой оператор рождения, т. е.
Un+i =uH} причем tn>tn+\. Тогда
Тщ ... илин = Т(их... iOuH. B4.21)
Для Г-произведения в правой части этого равенства имеет место
разложение B4.17). Будем переставлять utjL\ налево со всеми
и(^ операторами до тех пор, пока не встретим и^—) операторы.
В результате таких перестановок возникнут спаривания:
B4.22)
так как операторы были хронологически упорядочены, т. е. tk>
>tn+i. Co всеми и?-> операторами одератор и^{ коммутирует
(антикоммутирует). В итоге получим
191
±uc->iru1u2...un, B4.23)
а также сумму членов со всевозможными спариваниями uW и
и<+> операторов вида
± ui+^iTUiU,... Ufc-iiifc+i .. • ил. B4.24)
Знак перед членами B4.23) и B4.24) соответствует четности чис-
числа перестановок фермионных операторов. Переставляя их под
знаком ^-произведения так, чтобы восстановить хронологический
порядок, получим знак плюс.
Для Г-произведения п—1-го сомножителя в последнем равен-
равенстве теорема Вика справедлива, раз она справедлива для п со-
сомножителей. Все остальные спаривания, кроме вошедших в
B4.24), очевидно, равны нулю
FUft = О,
так как операторы одинаковой частотности коммутируют или в
случае фермионов — антикоммутируют. Стало быть, можно счи-
считать, что в разложении присутствуют все возможные связи, т. е,
для данного случая теорема Вика доказана.
Если момент времени tn+\ не является самым ранним, как
было предположено, а лежит где-то между t\ и tn, например, tk>
>tn+\>tk+u то остается справедливым все сказанное относитель-
относительно операторов ии и2> ..., tik> а спаривания иЗД с более «ранними»
операторами, например, и*+/ равны нулю, так как
u^iufcfisO, ufcftufti = 0 (tn+l > tk+i).
Аналогичные рассуждения могут быть проведены и для случая
Un4-i=u(/+}b Таким образом теорема Вика доказана в общем
случае.
Заметим, что если под знаком Г-произведения стояли бы
^-произведения (смешанное Г-произведение), то операторы под
знаком М-произведения не переставлялись бы и их связи между
собой в разложении отсутствовали. С этим изменением теорема
Вика остается справедливой и для смешанных 7-произведений.
§ 25. ИЗЛУЧЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОГО ТОКА
Существует весьма ограниченное число задач квантовой элек-
электродинамики, имеющих точное решение. Это модельные задачи,
в которых допускается то или иное условие или ограничение, су-
существенно упрощающее расчет. Одной из таких задач является
нахождение квантованного электромагнитного поля, создаваемого
внешним классическим источником, т. е. плотностью 4-тока
192
/и(л:), представляющей собой заданную функцию координат и
времени.
а) Электромагнитное поле классического источника
Оператор взаимодействия источника с квантовым полем по-
получим из общего выражения B4.1), в котором оператор плотно-
плотности 4-тока заменяется классической функцией
Н/= {#*/*(*) А* (*). B5.1)
По существу, термин «взаимодействие» здесь уже не соответству-
соответствует действительности, так как речь идет скорее о воздействии за-
заданного источника на динамическую систему — квантованное
электромагнитное поле без обратного действия, т. е. система рас-
расщепляется и перестает быть самосогласованной. S-матрица в этом
случае будет иметь более простой вид, чем B4.12), так как все
классические токи /й можно вынести за знак Г-произведения.
s-2-
• • •/v {Xn) TA*{Xi) ¦ • •AV {XnY B5-2)-
Для хронологического спаривания согласно § 20 имеем
Ац (хх) Av (х2) — — 4я?МЛД. (хг — х2) = — Ш^ (Arx — a:2), B5.3)
где вместо причинной функции, или пропагатора DC(X\—х2)> мы
ввели функцию
Aiv (*) = SixvD (x); D (x) = - 4яШ, (х). B5.4)
Тогда, воспользовавшись теоремой Вика, раскроем Г-произведе-
ние
ТАA) ... А (л) = 2 (— i)kD A2) ...DBk—1, Щ A(->Bfe + 1) ...
... А("> Bk + г) А(+) Bk + г + 1) ... А1+) (л). B5.5)
Здесь мы для простоты не выписываем векторные индексы, а вме-
вместо аргументов xk пишем только их номера, например DA2) =
=?)(.*;!—х2) и т. д. Суммирование распространяется на все зна-
значения k и г, удовлетворяющие условию 2k + r<n. Например, для
я = 2 при t\>t2 имеем
ТА A) А B) = А(+) A) А(+) B) + А("} A) А(+) B) + А(+) A) Ан B) +
+ Аы A) А("} B) = А(+) A) А(+) B) + Ам A) А(+) B) +
+ А("} A) А(-} B) + А(-> B) А(+) A) + А(+) A) Ан B). B5.6)
Здесь для первых четырех членов имеем k = 0, r = 0, 1, 1, 2, а для
последнего ft=l, r=0.
7 Зак. 590 193
При интегрировании разложения B5.2) при фиксированных
k и г будем иметь тождественные слагаемые, различающиеся
лишь перестановками аргументов. Всего будет п\ перестановок,
из которых не все будут допустимыми, а именно: 2к перестановок
аргументов D-функций, k\ перестановок D-функций между собой,
г! перестановок операторов А(~> и (п—2k—г)! перестановок А<+*
оказываются исключенными. Пример B5.6), очевидно, иллюстри-
иллюстрирует эту комбинаторику. Таким образом, всего будет
п!
(n — 2k — г)!
тождественных слагаемых и S-матрица примет вид
оо [п/2] n—2k
с Y4 V^ VI (—0я+Л
м=0 fe=0 r=0
п k 2к+г
s=\ t=\ u=2k-{-\ v=2k-\-r+\
б) Излучение мягких фотонов
Вычислим амплитуду перехода из состояния вакуума |0> в
состояние с М-фотонами |/V>, отвечающую iV-фотонному излуче-
излучению классического тока. Тогда отличный от нуля вклад дадут
только те слагаемые разложения S-матрицы, которые не содер-
содержат ни одного оператора уничтожения фотона А(+), а содержат
N операторов рождения А<-) (т. е. r=N = n—2k)
n
1=1
X ЛГШl^1 • •• ^л/О) ••• /BЛ)ОA2) ... DBfe- 1, 2k). B5.-8)
Хотя мы и не выписываем векторные индексы, но подразумеваем,,
что, например (см. B5.4)),
/(l)DA2)/B)=/|A(l)irA2)/vB)=/|A(l)D(l>2)fB) B5.9)
и т. д.
Легко можно усмотреть в сумме по k в равенстве B5.8) раз-
разложение экспоненты
тг[т1Г B5Л0>
ft=0
194
где
v = — i j d%d*jc,/(l) DA2) /B) = vt + iv2 B5.11)
комплексная величина, a vi и V2 — ее действительная и мнимая
части.
Тогда вместо B5.8) получим
(N | S10) = (~;} e-v/2 Г #хг... #xN {N\\\i @ A(-> @10). B5.12)
Вероятность рождения N поперечных фотонов со всевозможны-
всевозможными импульсами и поляризациями Я=1,2 определяется квадратом
модуля амплитуды B5.12)
B5.13)
где суммирование распространяется на все наборы чисел запол-
заполнения #к,л для всех значений импульсов и поперечных поляриза-
поляризаций Л= 1,2, ограниченных условием
Ма'=ЛГ. B5.14)
Подставляя амплитуду излучения Af реальных фотонов B5.12) в
выражение B5.13), получим сумму
.2) B5.15)
при условии B5.14).
Заметим далее, что выражение B5.12) градиентно инвариант-
инвариантно, т. е. допускает преобразование векторов поляризации вида
(см. A9.44))
*ii-**ii = *ii+#ii> B5.16)
при котором амплитуда остается неизменной. А это преобразова-
преобразование приводит к появлению у фотонов продольных и временных
компонент векторов поляризации, связанных условием Лоренца
A9.43)
^-^==0. B5.17)
Тем самым среди состояний |iVk,a,> оказываются допустимыми и
состояния с продольными и временными фотонами, которые, как
известно, ненаблюдаемы и число которых поэтому не является бо-
более ограниченным условием B5.14).
7* 195
Таким образом, суммирование в B5.13) можно распростра-
распространить на всевозможные состояния с произвольными числами за-
заполнения N
0< ? Nk,b<oo. B5.18)
k,X=l,2,3,0
Система таких состояний является полной, т. е.
NKX)(NkM = l B5.19)
где суммирование распространяется на все значения Nkt%. B5.18)
для всех к и %= 1, 2, 3, 0.
Таким образом, пользуясь градиентной инвариантностью и
распространяя суммирование в B5.15) на все ЫкгХ (Я=1, 2, 3, 0),
с помощью условия полноты B5.19) получим
@1 А(+) A) ... А(+) (N) | Nkti) (NKX\ A{-\N+1)... Ам BЛ0 1 0) =
N 2N
= <0|ПА<+)@ П A'-^OIO). B5.20)
И тогда вероятность B5.13) примет вид
Р (N) = -J—*- [dx1... dxNdxN+i ... dx2N X
N 2N
X@|f[r(OA(+)@ П /(OA^tOlO). B5.21)
Переставляя все операторы А(-) налево, а А(+) — направо и ис-
используя свойство вакуума
А(+)|0)=0, <01А("} = 0,
получим перестановочные функции (см. § 20)
[AfF (х), А{~\х')] = - 4n*IWD+ (х - х').
Всего возникает Л^! подобных членов. В итоге находим
y. B5.22)
Вспоминая формулу B0.15) для перестановочной функции D+,
вычислим интеграл, входящий в B5.22)
- 4я J dx1 f dx2j' (xj D+ (Xl - x2) j (x2) = -J-j- j ^ | /* (k) |a,
B5.23)
196
где
I f (*) I2 = 11112 + I /212 + I f I2 4 /° 12> B5.24)
B5.25)
фурье-образ плотности 4-тока.
Найдем теперь значение действительной части B5.11)
Vl = Re v = Re (— i J dxxdx2j (xj D (jcx — x2) / (*2)). B5.26)
С помощью интегрального представления B5.4) для D-функции
и равенства (см. A3.28))
получим
B5.27)
Интегрирование по k0 в последнем интеграле проводится по обе-
обеим половинкам светового конуса &2=0, т. е. k°>0 и &°<0, что
дает
f
^ B5.28)
Поэтому
что совпадает с B5.23).
Таким образом, для вероятности получим
<26-29)
B5.30)
Как видно, вероятность испускания N фотонов классическим
током определяется известным распределением Пуассона для слу-
случайных процессов. Распределение Пуассона справедливо для ста-
статистически независимых дискретных событий. Значит, испускание
каждого отдельного фотона не зависит от того, произошло ли ис-
испускание каких-либо других фотонов или нет. Это возможно, оче-
очевидно, только в том случае, если не существует обратного воз-
воздействия (отдачи) фотонов на источник, что неудивительно, так
как в нашей постановке задачи источник считается классическим.
В реальной постановке задачи с квантовым источником — элект-
ронно-позитронным током — подобная модель может быть ис-
использована для описания излучения мягких фотонов, отдачей ко-
которых можно пренебречь.
197
Распределение Пуассона B5.30) нормировано на единицу
(Л0 = 1, B5.31)
N
а среднее значение числа фотонов оказывается при этом равным
00 00 ДГ
^ = S NP № = S ^~Vl^T = Vl' B5'32)
т. е.
^1^- B5'33)
Это равенство с помощью B0.4) можно переписать в виде
B5-34)
откуда находим среднее число фотонов с импульсом к в единице
объема
Л^=^^Ч/(?)|2. B5.35)
Среднее число фотонов с импульсами к в интервале dzk при этом
будет равно
^ B5>36)
Спектр ал ьно-угловое распределение энергии излучения получим,
умножив число фотонов на энергию фотона о
^|/(fe)|2, B5.37)
где n = k/co.
Эта формула совпадает с классической величиной A4.60), вы-
вычисленной ранее методами классической электродинамики. Реше-
Решение задачи об излучении классического тока получено без при-
применения теории возмущений, т. е. точно по взаимодействию. Это
находит свое выражение в том, что результат B5.30) записывает-
записывается через аналитическую функцию ехр(—vi), которая может быть
разложена в ряд при всех vi = JV<oo, поскольку экспонента имеет
бесконечный радиус сходимости. Теория возмущений справедлива
лишь при #<1, т. е. только в том случае, когда среднее число
испущенных фотонов меньше единицы и можно выделять про-
процессы с испусканием одного, двух или нескольких фотонов, при-
причем однофотонное излучение наиболее вероятно.
198
Рассмотрим пример использования полученных результатов.
Пусть заряженная частица движется по закону, заданному в ин-
инвариантной форме
х,(т) «тм|1в(— т) +то/в(т), B5.38)
где т — собственное время, и и и' — значения 4-скорости при
т<0 и т>0 соответственно. При т=0 происходит скачкообразное
изменение скорости. В таком приближенном виде можно предста-
представить, например, процесс рассеяния электронов на ядре, так как
время формирования мягких фотонов существенно превышает ха-
характерное время рассеяния.
Фурье-компонента плотности тока /й(?), отвечающая закону
движения B5.38), вычисляется по формуле A6.44). Мы получаем
о «
/V (к) = ей f &%№ + ей' [ dxeik"'*. B5.39)
-Го. О
Используем формулы, аналогичные A3.25)
90
Г etx(x+le) dx = i§* J_ + я6 (Д^))
О
B5.40)
о
f
J_
и учтем, что при &2=0 и м2=и/2
В результате находим
где рр^ти», р'»=17111'» — 4-импульсы частицы до и после рассея-
рассеяния. Заметим, что /ц(&) B5.41) удовлетворяет условию непрерыв-
непрерывности
= 0. B5.42)
Подставляя B5.41) в B5.33), получаем среднее число фото-
фотонов
jf= «!_ С JlL(_? ELV B5.43)
BяJ J со \ pk p'k ] *
причем N>0y так как j(k) — пространственноподобный вектор.
199
Каковы пределы интегрирования в формуле B5.43)? Верх-
Верхний предел, очевидно, ограничен начальной энергией частицы
6 = Кр2 + т2: o)max < e. Что касается нижнего предела comin, то
устремляя его к нулю, мы получим для N расходящийся интеграл
J со
B5.44)
В то же время при (Omin-^0 вероятность испускания конечного
числа фотонов _/V<oo стремится к нулю
P(NH.
v ' N\
Поэтому с конечной вероятностью испускается бесконечное число
фотонов, что согласуется с условием нормировки вероятности
B5.31). Можно показать, что comin всегда можно ограничить хотя
и малой, но конечной величиной. Рассмотрим нерелятивистский
случай i><Cl, причем перейдем в систему отсчета рассеянной ча-
частицы v' = 0. Тогда
pk p'k ) СО2 СО2
где 0 — угол между направлением излучения п и скоростью v.
Подставляя в B5.43), получим
Л 2Jt °>max
Bя)« J J Y J со
0 ° «min
AlAL B5.45)
Я CDmin 3 Я COmin
где мы положили сотах~я*, а = е2= 1/137. Равенство B5.45) позво-
позволяет оценить условие применимости теории возмущений в данной
задаче. Полагая iV<l, находим
< 1. B5.46)
Устремляя comin к нулю, мы получим N-+oo. Можно оценить,
при каких значениях comin величина N сравнивается с единицей:
(е — основание натуральных логарифмов), или для длины волны
^ B5.47)
Поскольку величина 1/т представляет собой комптоновскую дли-
длину волны (т. е. Н/тс), то последнее неравенство приводит к оцен-
200
ке Лтах>1044 см, что намного превосходит радиус Вселенной. По-
Поэтому реально всегда можно считать (Omin ограниченной величи-
величиной, а число N не слишком большим. Испускание множества мяг-
мягких фотонов сопровождает всякий процесс с участием заряженных
частиц. Поскольку вылет мягкого фотона не сопровождается от-
отдачей, то он не влияет на ход основного процесса. В этом случае
основной процесс и излучение являются статистически независи-
независимыми, и дифференциальная вероятность полного процесса (в еди-
единицу времени) с испусканием N фотонов определяется произведе-
произведением
dwN = dw0P(N)f B5.48)
где dw0— вероятность основного процесса без испускания фото-
фотонов. При уменьшении частоты со разрешающая способность при-
приборов оказывается уже недостаточной для регистрации мягких
фотонов, и тогда вероятность следует по ним просуммировать
dw = dwo^P(N)- B5.49)
N
Суммируя по достаточно большому числу фотонов, получим
р (N) = 1, dw = dw0, B5.50)
N
т. е. вероятность процесса с испусканием всех мягких фотонов
совпадает с вероятностью, вычисленной без учета их испускания.
§ 26. ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА
В общем случае в отличие от модельной задачи, рассмотрен-
рассмотренной в предыдущем параграфе, ряд для элементов S-матрицы не
может быть просуммирован точно. Поэтому приходится применять
теорию возмущений, рассматривая этот ряд как асимптотический
и ограничиваясь лишь несколькими членами этого ряда, соответ-
соответствующими выбранному порядку теории возмущений. Структура
членов разложения S-матрицы такова, что для ее анализа удоб-
удобно применять графический метод Фейнмана, установившего пра-
правила соответствия между определенными слагаемыми ряда и их
графическими образами — графиками Фейнмана.
а) Структура ряда для S-матрицы
Рассмотрим матричный элемент перехода в /z-м порядке тео-
теории возмущений
... (Л^лА„Ч>„)]| i). B6.1)
201
Здесь начальное \i> и конечное |f> состояния получаются дей-
действием определенного числа фермионных а5, bs и бозонных (элект-
(электромагнитных) сэ операторов на вакуум
П,а,с,, B6.2)
(П — знак произведения; число операторов рождения и уничто-
уничтожения соответствует числу частиц с заданными значениями кван-
квантовых чисел, находящихся в начальном и конечном состояниях).
Для дальнейшего преобразования матричных элементов не-
необходимо воспользоваться теоремой Вика. При этом структуру
членов разложения S-матрицы удобно пред-
\А(х) ставить с помощью графиков, или диаграмм
• ' Фейнмана. На этих диаграммах, каждой пе-
переменной интегрирования х отвечает верши-
вершина, в которую входит луч, сопоставляемый
оператору i|?(x), и выходит луч, сопоставляе-
сопоставляемый ty(x); с ней же связан ненаправленный
луч, сопоставляемый оператору А»(х) и изо-
бражаемый штриховой линией (см. рис. 26.1).
7 б
~^ -бражаемый штриховой линией (см. рис. 26.1).
щк) х щх) 7аким образом, электронно-позитронные ли-
р 2fi нии оказываются непрерывными, а фотон-
ис* ' ные — разрывными. Диаграмма я-го порядка
имеет п вершин.
Раскрывая S-матрицу по теореме Вика, мы получим отдель-
отдельные слагаемые, в которых имеется некоторое количество нормаль-
нормально упорядоченных операторов рождения и уничтожения, а также
несколько пар связанных операторов — хронологических спари-
спариваний, выражающихся через пропагаторы. На диаграмме опера-
операторам рождения и уничтожения отвечают лучи, собранные в вер-
вершины, а пропагаторам — отрезки линий, соединяющие вершины.
При этом отрезки, отвечающие электронно-позитронным пропага-
пропагаторам, направленные. Их направление продолжает направление
входящих или выходящих из вершин фермионных линий.
Возьмем в качестве примера второй порядок теории возму-
возмущений, п=2. Тогда для второго члена разложения S-матрицы
S2 по теореме Вика получим сумму восьми слагаемых. Одно из
них имеет подынтегральное выражение без связей, т. е.
, B6.3)
второе содержит одну связь AxA2, третье — связь ЧчЧ>2» четвертое —
— 4>i^a> пятое —две связи ^^2 и AxA2, шестое —AXA8 и ifi^a»
седьмое —^^ и ^-фз, восьмое — три связи
При этом остается соответствующее число свободных, несвязан-
несвязанных операторов. Последнее слагаемое не содержит свободных
операторов. На диаграммах Фейнмана структура члена матрицы
202
S2 видна особенно наглядно (см. рис. 26.2, где упомянутым сла-
слагаемым отвечают диаграммы, расположенные в том же порядке).
Как видно, диаграммы 3 и 4 различаются только перестановкой
вершин. Соответствующие слагаемые равны между собой, так как
, ;
A) B)
I I I I
C) D)
F)
Рис. 242
одно из другого получается лишь переобозначением переменных
интегрирования Xi-+x2, x2-*X\. То же самое справедливо и в от-
отношении диаграмм 5 и 6. Поэтому можно рассматривать только
по одной из этих пар диаграмм, опустив общий множитель 1/2! =
= V2 bS2.
203
Члены S-матрицы более высокого порядка п>2 имеют более
сложную структуру, однако, ее всегда можно сделать наглядной
с помощью графиков Фейнмана.
б) Правила Фейнмана
Для вычисления матричных элементов переходов системы ча-
частиц из одного состояния в другое необходимо воспользоваться
разложением дираковских и фотонных операторов по плоским
волнам (§ 19, 21). Нормально упорядоченные в соответствии с
теоремой Вика операторы А, г|з и я|з должны быть переставлены с
операторами а, а+, b, b+ и с, с+ в определении начального и ко-
конечного состояний B6.2). После такой перестановки операторы
уничтожения АD>, г|?(+> и гр<-> будут действовать непосредственно
на вакуум справа, а соответствующие отрицательночастотные опе-
операторы — слева и дадут нуль, а оставшиеся перестановочные чле-
члены будут иметь вид
со V
(*), 4,о} = * и (р, a) er'fi*, B6.46)
/2К
М>(-) (х), Ь+а} = у^-у- и (- р, а) е-** B6.4b)
для положительночастотных операторов, и
[скд, А^ (х)] = \/-~ e^eik\ (X = 1, 2), B6.5а)
{bp.a, ^ W) = ,.-!_ «(- Р, а) е»*, B6.5b)
для отрицательночастотных операторов.
Таким образом, эти перестановки будут выбирать из операто-
операторов полей те компоненты, которые отвечают значениям кванто-
квантовых чисел начальных или конечных частиц. Пропагаторы также
могут быть разложены в четырехмерные интегралы Фурье (см.
§ 20, 22). После интегрирования по координатам в каждой вер-
вершине возникает б-функция, и три импульсные переменные опера-
операторов или пропагаторов, встречающихся в этой вершине, оказы-
оказываются связанными законом сохранения
J
l«(pl + pa + fc).
204
Поскольку фермионные линии непрерывны, то после исключения
всех «внутренних» импульсов, соответствующих пропагаторам,
оказывается, что сумма импульсов всех начальных частиц, равна
сумме импульсов конечных частиц, т. е. имеет место закон сохра-
сохранения 4-импульса
2p/ = Spf. B6.6)
Запишем элементы S-матрицы в виде
(/1S Ю = 6,, + i Bя)« 6 B р, - 2 pf) Tfl. B6.7)
Первое слагаемое 8ft отвечает отсутствию какого-либо взаимо-
взаимодействия в системе частиц, т. е. совпадению начального и конеч-
конечного состояния. Во втором слагаемом выделена б-функция, сви-
свидетельствующая о выполнении закона сохранения 4-импульса
B6.2) в процессе взаимодействия. Множитель Tfi мы и будем в
дальнейшем именовать амплитудой процесса.
Таким образом, мы получим матричные элементы, или ам-
амплитуды, структура которых следует из структуры S-матрицы.
Поэтому амплитуды, так же как и отдельные члены разложения
оператора S-матрицы, оказывается удобным изображать диаграм-
диаграммами Фейнмана. Отличие их от диаграмм для оператора S-мат-
S-матрицы состоит в том, что каждая внешняя линия (луч) характе-
характеризуется определенным набором квантовых чисел частицы — им-
импульсом и поляризацией. Внутренние же линии могут или иметь
определенный импульс, значение которого следует из закона со-
сохранения в вершине, или, если в вершине встречается более од-
одной внутренней линии, не иметь его. Тогда по 4-импульсу берет-
берется интеграл, оставшийся от интегрального представления пропа-
гатора.
Взаимное соответствие диаграмм и амплитуд осуществляется
с помощью правил, сформулированных Фейнманом.
1) Каждая из диаграмм, сопоставляемых амплитуде, имеет
столько внешних входящих и выходящих линий (лучей), сколько
имеется всего начальных и конечных частиц. Число вершин на
диаграмме соответствует порядку приближения теории возмуще-
возмущений (номеру члена S-матрицы).
2) Каждой вершине сопоставляется матрица у1.
3) В соответствии с правилами перестановок B6.46) и
B6.5в) каждой входящей сплошной линии сопоставляется поло-
жительночастотный биспинор
1 / \
описывающий электрон в начальном состоянии, или отрицатель-
ночастотный биспинор
1 / \
205
описывающий позитрон в начальном состоянии. Каждой выходя-
выходящей сплошной линии в соответствии с B6.4в) и B6.56) отвечает
либо сопряженный отрицательиочастотный биспинор
для начального позитрона, либо сопряженный положительночас-
тотный биспинор
Ц(Р о)
для конечного электрона.
4) Каждой входящей штриховой линии сопоставляется в со-
соответствии с B6.4а) 4-вектор поляризации
а выходящей штриховой линии согласно B6.5а) — 4-вектор поля-
поляризации
/4лГ *,*ч
причем эти векторы сворачиваются с соответствующими у~матри-
цами, стоящими в вершинах: е^у*1, е^у^-. Заметим, что в данном
случае штриховая линия приобретает направление.
5) Каждой внутренней сплошной линии сопоставляется
фурье-образ пропагатора спинорного поля
i (у р + т) = s , v ,26 g.
а штриховой линии — фурье-образ пропагатора электромагнитно-
электромагнитного поля, взятый с обратным знаком
4я *' сг Г)с (U\ /Ofi Q\
/г2 + / 8
Фотонный пропагатор сворачивается с у-матрицами вершин, кото-
которые он соединяет: ym'^m.vYv- Электронный пропагатор сворачива-
сворачивается по биспинорным индексам с у-матрицами вершин. Замкну-
Замкнутой электронной петле отвечает след произведения расположен-
расположенных вдоль нее биспинорных матриц.
6) Значение 4-импульса каждой внутренней линии определя-
определяется из закона сохранения в вершине. Если в вершине сходятся
более одной внутренней линии, то импульс может не иметь опре-
определенного значения, и тогда по нему берется интеграл с множите-
множителем 1/BяL. Заметим, что внутренние линии отвечают так назы-
206
ваемым виртуальным частицам, описываемым пропагаторами, а
не волновыми функциями. Их импульсы, вообще говоря, не ле-
лежат на массовой поверхности, т. е. р2Фт2 для электронно-пози-
тронных линий и &2=?0 для фотонных. Импульсы входящих и вы-
выходящих линий задаются так, чтобы они удовлетворяли закону
сохранения B6,6). В соответствии с пунктом 3) правил Фейнма-
на импульс позитрона берется равным аргументу биспинора с
обратным знаком: рпоз =—р.
7) Амплитуде /1-го порядка приписывается множитель
(—ie)n. Дополнительный множитель —1 возникает, если диаграм-
диаграмма имеет замкнутую фермионную петлю. Его происхождение вид-
видно на примере диаграммы G) рис. 26.2. Как было сказано, од-
одна из связей для этой диаграммы берется с обратным порядком
следования операторов ^HV Возвращаясь к правильному поряд-
порядку, с которым был определен электронный пропагатор
<if1tf2= —i|vFi» получаем множитель —1. Такой же множитель
возникает и в диаграммах с двумя внешними позитронными кон-
концами, соединенными одной сплошной линией. Он происходит от
перестановки в нормальном порядке позитронных частей опера-
операторов ty(x) и ty(x) в S-матрице.
Одной амплитуде может соответствовать несколько различ-
различных диаграмм одного порядка с одинаковым числом внешних ли-
линий, но с переставленными вершинами или линиями между собой.
Все эти диаграммы должны быть просуммированы для получения
полной амплитуды физического процесса. Только суммарная ам-
амплитуда обладает свойством калибровочной инвариантности. Лег-
Легко проверить, что правильно составленная амплитуда удовлетво-
удовлетворяет условию калибровочной инвариантности. Для этого следует
убедиться, что замена е^ -* вц + f k^ (k^— 4-импульс фотона) не
изменяет ее величины.
Если в процессе участвуют несколько тождественных фермио-
нов, то диаграммы с переставленными линиями этих фермионов
входят в амплитуду с разными знаками. Некоторые конкретные
примеры применения сформулированных правил будут приведены
в следующей главе при расчете простейших процессов квантовой
электродинамики.
§ 27. ИНВАРИАНТНОЕ СЕЧЕНИЕ РЕАКЦИИ
В этом параграфе мы покажем, каким образом с помощью
вычисленных амплитуд реакций можно определять физически из-
измеримые величины — вероятности и сечения.
а) Вероятность и сечение
Вероятность того, что система, находившаяся первоначально
в состоянии |/>, окажется в состоянии |f>, равна, как известно,
квадрату модуля матричного элемента перехода, т. е. | </|S|t> |2.
207
Если не рассматривать переходы без изменения состояния, то
первое слагаемое — единичную матрицу в равенстве B6.7) для
S-матрицы можно опустить. Квадрат б-функции, используя пред-
представление б-функции
&^[ B7Л)
можно записать в виде
= б (р) б @) = б (р) -^_, B7.2)
где V — трехмерный объем и Г — интервал времени, по которым
проводится интегрирование в B7.1) и которые мы принимаем до-
достаточно большими, но конечными. Заметим, что наблюдаемые
вероятности и сечения от этих величин не должны зависеть.
Вероятность, деленная на интервал времени Г, представляет
собой вероятность перехода в единицу времени
I \/ I " I О I /O7 О\
w л (^/.о)
1
Согласно сказанному, для нее получим следующее выражение:
где Tfi — амплитуда процесса.
Вспомним, что согласно правилам Фейнмана каждая началь-
начальная или конечная частица привносит в амплитуду множитель
B8V)-1/2, где е — энергия частицы (для фотонов е = о>). По-
Поскольку эти множители содержат нормировочный объем V, не
имеющий прямого физического смысла, то целесообразно вынести
их из амплитуды и ввести новую амплитуду Aft
B7.5)
f
где Y\ и Y\—символы произведения по всем начальным и конеч-
i f
ным квантовым числам.
В соответствии с этим определением при построении по пра-
правилам Фейнмана амплитуды Afi в отличие от Tft не нужно вво-
вводить в нее множители ]/2eV *
Суммирование по конечным состояниям вероятности B7.4)
осуществляется следующим образом. Как известно, состояния
свободных частиц квазиклассические. Число квазиклассических
состояний частицы, приходящихся на интервал импульсов dzp в
объеме Vf равно
Vd?P
208
Поэтому для вероятности перехода системы частиц в конечное
состояние с импульсами в интервале Ш3р/ в объеме V получим
величину
ffY\^0 B7.6)
или через новую амплитуду Aft
i f
Рассмотрим две характерные реакции. Первая из них — рас-
распад частицы на несколько других частиц. В этом случае в на-
начальном состоянии имеется одна частица и вероятность B7.7)
примет вид
dw = Bя)« б (pt - Щ W- П 2е^K ¦ B7.8)
Как видно, вероятность распада не зависит от нефизического
нормировочного объема V.
Вторая реакция — это столкновение двух частиц с энергия-
энергиями 8i и 82 и импульсами pi и р2. В этом случае целесообразно
вместо вероятности столкновения ввести сечение. Дифференци-
Дифференциальное сечение столкновения находим согласно определению
^ B7.9)
где / — плотность потока. Определение B7.9) дано в специаль-
специальной системе — системе центра инерции сталкивающихся частиц
(pi = —рг). При этом плотность потока равна
/=-2l±S-, B7.10)
где V\ = v2 — скорости частиц в данной системе.
Ковариантное обобщение определения потока может быть
дано в виде
V ?х ?2
где
I = V(PiP2J-mim22 B7.12)
скалярная величина. Легко проверить, что в системе центра
инерции определения B7.11) и B7.10) совпадают. При этом опре-
определение B7.9) будет давать для сечения рассеяния величину
B7.13,
209
Полученное выражение определяет инвариантное сечение ре-
акции рассеяния и не зависит от нормировочного объема. Инва-
Инвариантность его очевидна, так как входящие в него амплитуда Aft
и величина / инвариантны. Инвариантны также и элементы объ-
объема в пространстве импульсов вместе с четырехмерной б-функ-
цией
поскольку трехмерный интеграл
J^r
28
может быть преобразован в четырехмерный интеграл
взятый по верхней полости светового конуса, р°>0. Четырехмер-
Четырехмерная б-функция также представляет собой лоренц-инвариантный
объект: 6@) = l/r = inv.
До сих пор речь шла о суммировании по пространственным
степеням свободы частиц — их импульсам. Необходимо также
лровести суммирование по спиновым состояниям частиц — поля-
поляризациям.
Если начальное состояние неполяризовано, то следует прове-
провести также усреднение по начальным спиновым состояниям.
Для проведения этих операций запишем амплитуду процесса
в виде
B7.14)
где щ — биспинор начального, a Uf — конечного состояний.
Квадрат модуля дает
| Afi |2 = ut A+ Ttf uf Ащ = u? Auf7if Auh B7.15)
где A = +
Если выписать все биспинорные индексы в выражении
{27.15), то мы получим
I Afi |2 =
т. е. след произведения матриц
| Afi |2 = Sp (Я- Auflif Ащ). B7.16)
В силу свойства следа сомножители в этом равенстве допускают
циклическую перестановку
\Afi\2=Sp(u?U;AufufA). B7.17)
210
Вспомним теперь следующее тождество для положительночастот-
ных биспиноров (см. § 21)
?и(/>, а)и(р, а) = ур + т. B7.18)
а
Таким образом, если в начальном и конечном состояниях
имеется по одному электрону, то суммирование по конечным и
усреднение по начальным поляризациям электронов дает
Т S \An\2 = YSp{{yPl + m)I{yPf + m)A}- B7Л9>
Для отрицательночастотных биспиноров тождество B7.18)
записывается с другим знаком перед /п. Поэтому если среди на-
начальных или конечных частиц имеется позитрон, то в выражении
B7.9) следует поменять знак перед m в соответствующем множи-
множителе. В случае, когда в начальном или конечном состояниях име-
имеется более одной спинорной частицы, суммирование по поляри-
поляризациям приводит к более сложным, чем B7.19) выражениям, од-
однако метод расчета остается тем же.
Что касается поляризации фотонов, то она описывается
4-векторами е». В квадрат амплитуды каждый фотон дает мно-
множитель е^е/. Вспомним, что в случае трехмернопоперечной калиб-
калибровки суммирование по поляризациям осуществляется с помощью
равенства A6.64)
B7.20)
где i, &=1, 2, 3, ttt = &//(o, причем, очевидно, во(Х) = О (комплексное
сопряжение относится к случаю циркулярной поляризации, опи-
описываемой комплексными векторами).
Векторы поляризации в амплитуде согласно правилам Фейн-
мана встречаются вместе с токами переходов /2i(&) =
= u2{p2)yu\(pi), т. е. в виде
9 B7.21)
где k = pi—p2.
Поэтому суммирование B7.20) дает
j*! e*<*>) = | j21 p - | j21n |2. B7.22)
Выражение B7.22) обладает градиентной инвариантностью,
т. е. не изменяется при преобразовании e-+e'=e+fk. Это означа-
означает, что должно быть
(/21*)-0. B7.23)
211
Последнее равенство есть не что иное, как условие непрерыв-
непрерывности тока перехода д^ = 0, записанное в импульсном представ-
представлении. Из B7.23) имеем
/2i°fe° = J2ikt B7.24)
и поэтому равенство B7.22) принимает вид
On ew) (Гм е*<*>) ^ - (/м)й (/^ = | /2112. B7.25)
В последнем соотношении можно перейти к любой другой калиб-
калибровке векторов поляризации, в которой будут отличными от нуля
и временные компоненты. Тогда в силу градиентной инвариант-
инвариантности получим
lie^))=\j21\\ B7.26)
т. е.
¦> = -firuv. B7-27)
Усреднение по двум поперечным поляризациям отличается от
B7.20) наличием множителя 1/2, т. е.
4Х) Я» = \ <вй - «IЧ). B7.28)
Переход к другим калибровкам не меняет, очевидно, этого мно-
множителя, поскольку временные и продольные фотоны ненаблюдае-
мы. Таким образом, в общем случае имеем
^=—Hv. B7-29>
б) Оптическая теорема
Матрица перехода </|S|/> должна удовлетворять очевид-
очевидному условию нормировки вероятности
JK/ISWI1-!. B7-3°)
f
или
=1. B7.31)
Это условие есть следствие общего условия унитарности опера-
оператора S-матрицы
S+S = I, B7.32)
212
которое обеспечивает как сохранение вероятности, так и ортого-
ортогональность состояний.
Запишем равенство B7.32) в виде
2<'|s+|/></|S|O=e«'- B7-33>
Подставляя в B7.33) матричные элементы B6.7), получим
7V - Тп -1 Bя)* ? 6 (S р, - 2 pf) Тц Tfi>. B7.34)
Это условие, очевидно, связывает матричные элементы разных
порядков теории возмущений. Оно может быть использовано для
определения вероятностей или сечений процессов, выражающихся
в виде квадратичных комбинаций амплитуд, через линейные ком-
комбинации амплитуд высших порядков. Рассмотрим, например, слу-
случай, когда i=*i'. Это означает, что амплитуда Тц описывает упру-
упругий процесс без изменения состояния системы. Тогда равенство
B7.34) дает
B7.35)
Как видно, справа в этом равенстве с точностью до множителя
стоит полная вероятность перехода системы из состояния |/> во
все состояния |f>, а слева стоит мнимая часть амплитуды упру-
упругого процесса без изменения состояния |/>->|/>.
Согласно равенству B7.4) получим
2]mTtt = -±rYwi'i, B7.36)
т. е. Im Тц выражается через полную вероятность перехода в еди-
единице объема. Переходя к сечению с помощью формулы B7.9),
найдем
^==atot, B7.37)
где <7tot — полное сечение. Слева в этом равенстве стоит мнимая
часть амплитуды упругого рассеяния без изменения состояния,
т. е. на нулевой угол. Полученный результат, выражающий пол-
полную вероятность или сечение через мнимую часть диагонального
матричного элемента, носит название оптической теоремы.
Глава IV
ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
Рассмотрим некоторые конкретные эффекты квантовой элект-
электродинамики на основе общей теории, изложенной в предыдущей
главе. Простейшим процессом, возникающим уже в первом по-
порядке теории возмущений по электромагнитному взаимодействию,
является испускание фотона электроном, т. е. излучение. В этой
главе в качестве одного из важных приложений квантовой тео-
теории излучения рассмотрено синхротронное излучение, классиче-
классическая теория которого была построена в гл. II. Далее изучаются
эффекты второго и третьего порядков: рассеяние фотона на элект-
электроне, рождение и аннигиляция электронно-позитронных пар, тор-
тормозное излучение электрона на ядре. В заключительном парагра-
параграфе кратко рассмотрены структура высших порядков теории воз-
возмущений, возникающие здесь расходимости и их устранение в ре-
результате перенормировки массы и заряда электрона.
§ 28. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
В классической электродинамике (см. гл. II) равномерно
движущийся электрон не излучает, для излучения необходимо
ускорение электрона (например, во внешнем поле) *. С точки зре-
зрения квантовой теории это означает невозможность испускания фо-
фотона свободным электроном. В самом деле, согласно закону со-
сохранения энергии-импульса
B8.1)
где р и р' — 4-импульсы электрона в начальном и конечном со-
состояниях, k — импульс фотона. Возводя B8.1) в квадрат (т. е.
умножая скалярно обе части сами на себя) и учитывая соотноше-
соотношения р2 = р'2 = т2 (т — масса электрона), &2 = 0, получим p'ife = Ot
что невозможно, так как при w=ko>O имеем р/А = е/соA—v'n)>0
в силу |V|<1 и |п| = 1 (здесь v' = p7e' — скорость электрона,
n = k/(o — единичный вектор в направлении импульса фотона).
К этому же выводу мы сразу приходим, рассматривая излучение
в системе покоя начального электрона, энергия которого мини-
* Если электрон движется не в вакууме, а в среде, то излучение возника-
возникает и при равномерном движении, если скорость электрона больше фазовой ско-
скорости света в данной среде (эффект Черенкова) [2].
214
мальна ( = m) и поэтому не может уменьшаться. Однако если
электрон движется во внешнем поле, то импульс его уже не со-
сохраняется, и излучение фотона возможно.
а) Представление Фарри
Пусть электрон взаимодействует не только с квантованным
электромагнитным полем, но и с внешним полем, которое описы-
описывается классически и считается заданным *. Понятие заданного
внешнего поля является, конечно, ограниченным, так как в доста-
достаточно сильных полях начинается спонтанное рождение электрон-
позитронных пар (из вакуума), и мы выходим за рамки одно-
электронной задачи (см. [7, 8]). Кроме того, слабое электромаг-
электромагнитное поле также нельзя описывать классически, поскольку оно
содержит мало фотонов, число которых заметно изменяется
вследствие взаимодействия с электроном.
Движение электрона в заданном внешнем поле описывается
уравнением Дирака, которое является обобщением соответствую-
соответствующего уравнения для свободного электрона и имеет вид (см.
00.16))
[Yii (P* - А) - т] ф = 0, B8.2)
где Yn — матрицы Дирака (см. (8.48)), р» = 1д*х= (id/dt, —/\7) —
оператор 4-импульса, A»ext= (Фе, Ае) — 4-потенциал внешнего
лоля. Вводя, как и в § 8, матрицы
a = Y°Y> P—Ps-'Y0, B8.3)
запишем уравнение Дирака в гамильтоновой форме (используем
обычные единицы):
1Г
B8.4)
Н — са (— Л\ ^-АЛ + еФе + Рз^с2-
Квантование дираковского поля, подчиняющегося уравнению
B8.2), проводится точно так же, как и для свободного поля.
При этом операторная полевая функция -ф представляется в виде
разложения
B8.5)
=(ф(л±)
где ^\х) =(ф(л±)(г) exp(IF i'e^f)— нормированные точные реше-
* Это означает, что движение электрона не влияет на движение частиц —
источников внешнего поля.
215
ыия уравнения Дирака для электрона во внешнем поле B8.2), от-
относящиеся к положительным (гпт) и отрицательным (—ел<->) ча-
частотам; п — набор квантовых чисел, задающих состояние элект-
электрона (он заменяет импульс р и спин <т, определяющих плоскую
волну для свободной частицы (см. § 22), гр=г|)+'у0 — дираковски
сопряженная функция; а„+ (Ъп+) и ая (Ъп) — операторы рожде-
рождения и уничтожения электронов (соответственно позитронов) в со-
состоянии п. Далее, как и в § 23, вводится взаимодействие электро-
электрона с квантованным полем излучения А*\ которое можно рассмат-
рассматривать по теории возмущений. Соответствующие правила Фейн-
мана формулируются так же, как и в § 26, нужно лишь всюду
волновые функции свободных частиц (плоские волны) заменить
на решения i|^(±) уравнения Дирака во внешнем поле B8.2).
Полученное в результате описание взаимодействия электрона с
электромагнитным полем, в котором внешнее (классическое) поле
учитывается точно, а квантованное поле излучения — по теории
возмущений, называется представлением Фарри.
б) Спонтанное излучение
В низшем порядке теории возмущений процесс излучения
электрона в заданном внешнем поле описывается как переход
электрона из состояния я|э* в состояние % с испусканием фотона
с 4-импульсом ^=(о>, к) и 4-вектором поляризации е^. Амплиту-
Амплитуда этого перехода дается элементом S-матрицы (см. § 26)
Sfi=<lk; f|S|Ok; i>, B8.6)
причем предполагается, что в начальном состоянии фотоны дан-
данного типа отсутствуют (спонтанный переход). Согласно правилам
Фейнмана (§ 26) имеем в явном виде:
Sf t = - ie VW J d*x ty (х) у» 4 yflL- ^ (х), B8.7)
где L3 — нормировочный объем. Соответствующая диаграмма
Фейнмана изображена на рис. 28.1, где двойные электронные ли*
9* Ъ
Рис. 28.1
нии указывают, что используются точные волновые функции элек-
электрона во внешнем поле (представление Фарри).
В дальнейшем будем считать, что внешнее поле не зависит
от времени. Тогда волновые функции стационарных состояний
электрона tyn(x) =е~1Вп* ^п(г),я интегрирование в B8.7) по вре-
времени дает:
;21б
2rt
2яб (e, + со — e,.) (e* jft (к)); B8.8)
здесь
/JJ (к) = J d»jt гр, (r) Y^ e~lkr ф/ (г), B8.9)
а б-функция в B8.8) выражает закон сохранения энергии в ста-
стационарном внешнем поле.
Вероятность перехода в единицу времени
wfi(k)= lim|Sf/|2/r B8.10)
следует из B8.8) с учетом соотношения (ср. § 16, п. в))
[2я6 (ef + ю — в,)]2 = 2яб (ef + ю — е,) • lirn Т.
Т-+0О
В результате находим:
wfi (к) = 2яб (е, + © - г?) ^~1 | е* jfi (k) |». B8.11)
Полная вероятность перехода i-+f в единицу времени
'//(•О- B8.12)
к
Преобразуем сумму по к в интеграл согласно
к
и подставим в B8.12) выражение B8.11). Тогда получим
/>2 /' ЛЗЬ
с» I Л / \ I />* « /1г\ 12 /Oft I /I\
где частота перехода
(Ofi = 8;—8f. B8.15)
Выберем трехмернопоперечную калибровку для волновой
функции фотона Л^(л:) = Ba)L3)~1/2e^exp(—ikx), входящей в B8.7).
В этой калибровке е*=(Ь, е) и вероятность B8.14) выражается
через 3-мерные величины:
B8.14а)
где введен индекс Х=1,2, нумерующий два независимых состоя-
состояния поляризации (см. § 16, п. г)). Подынтегральное выражение в
217
B8.14а) определяет вероятность испускания фотона с заданной
поляризацией е<я) в направлении n = k/co, причем частота фотона
в заданном переходе i-+f фиксируется законом сохранения энер-
энергии B8.15).
Просуммируем по состояниям поляризации фотона с помощью
формулы A6.64), которую теперь удобно представить в виде:
= (ab) — (an) (bn) = (а х n) (b x n), B8.16)
где a, b — произвольные постоянные векторы.
Учитывая B8.16), находим из B8.14а) просуммированную по
поляризациям вероятность излучения:
-J-^-6(©-©,,)|i,,xn|\ B8.17)
Интегрируя здесь по частоте со с помощью б-функции, получаем
угловое распределение излучения:
е2
wfi =
dQ 2я
B8.18)
где dQ — элемент телесного угла в направлении п, со = со//.
Мощность излучения на частоте со = со^? получается умноже-
умножением вероятности перехода Wfi на A©f/ (так как величина т^ =
= h/(dfi имеет смысл среднего времени жизни электрона на уров-
уровне е; относительно перехода *->-/, т. е. временного интервала, в
течение которого происходит испускание одного фотона с энергией
haft):
WM^vfiWfi. B8.19)
После подстановки сюда B8.14а) находим мощность поляризо-
поляризованного излучения:
I **6 ( ^' * J/2 B8-20)
Угловое распределение излучения следует из B8.18):
dW((x)H) e2 „
-1ПГ- = "ИГ ю" IV- х n I2' <28-21>
Полная мощность излучения получается из B8.19) суммирова-
суммированием по всем конечным состояниям электрона:
(cof/). B8.22)
Сравним теперь формулы квантовой теории излучения и клас-
классической (см. § 16). Согласно принципу соответствия в области
больших квантовых чисел, когда состояния я|)/ и iff квазикласси-
квазиклассические, результаты квантовой теории должны переходить в
218
классические. Действительно, как известно из квантовой механи-
механики, квазиклассические матричные элементы приближенно равны
фурье-компонентам соответствующих классических величин. В дан-
данном случае в квазиклассическом приближении имеем (см. B8.14а),
где а — оператор скорости):
т
\fi ~ -L^ v@exp[ilfi<o0t-ikr(t)]dt, B8.23)
где r(/), v(^) — классические координаты и скорость электрона,
целое число /fj—(е,—е^)/Й(Оо, Йсоо — разность энергий соседних
квазиклассических уровней, Г = 2я/о)о — период финитного клас-
классического движения (отвечающего стационарному состоянию в
квантовой механике) с энергией е~е^—е,- (в квазиклассике fto)ft<C
<Сеь ?i). Подставляя B8.23) в B8.20), получаем классическую
формулу A6.61) для мощности излучения 1-й гармоники (/=//;)
основной частоты соо движения.
Соответствие между классической и квантовой теорией излу-
излучения можно установить также другим, физически более нагляд-
наглядным, способом [8, 11]. Запишем элемент S-матрицы B8.7), ис-
используя трехмерную калибровку вектора поляризации фотона, в
виде
Sf; = ie Bя/шL3I'2 [dt{f\ е™ (ае*) еш~1кг e~mt \ 0, B8.24)
00
где Н — гамильтониан электрона во внешнем поле (см. B8.4)),
который по предположению не зависит от времени (поле стацио-
стационарно);
\п) =%(т) и %(t, г) =*-**' %(г)=:е-™\п)
(п = t, /).
Введем гейзенберговы операторы (зависящие от времени) коор-
координат г(/) и скорости v(^) [3, § 7]:
e-ikr(t) = eiut e-ikr e-mtt B8.25)
С учетом B8.25) матричный элемент B8.24) принимает вид
B8.26)
R (t) = (v (t) e*) exp [i © / — i kr @].
219
Полная вероятность перехода из состояния |?> во все другие
допустимые состояния с излучением фотона с импульсом к и по-
поляризацией е равна:
<Р (к) = ? | Sfi I2 = -^?- ? Г ФгЛ dt2 (i | R+ (t2) R ft) 10, B8.27)
f f
где при суммировании по конечным состояниям |/> использова-
использовано условие полноты 2|/></|=1 (I — единичный оператор; в ко-
координатном представлении это означает 2\|>f(г)%+(г') =6(г—г7)).
Отсюда находим спектрально-угловое распределение энергии из-
излучения (см. B8.13))
B8.28)
в виде
dе = -^— d3k Г Лх Г Л 2eWr-fc> <t | (v (/2) е) exp [t кг (/2)] х
BяJ J J
00 —ОО
X (v (У е*) ехр [— * кг &)] | i). B8.29)
Эта формула имеет, конечно, символический смысл, так как все
входящие в нее гейзенберговы операторы не коммутируют друг с
другом, и вычисление среднего значения </|...|t> требует в ко-
конечном счете знания явного вида операторов и их спектра. Одна-
Однако классический предел формулы B8.29) очевиден — это форму-
формула A6.60а), для получения которой достаточно гейзенберговы
операторы г(/) и \(t) в B8.29) заменить соответствующими
классическими величинами.
в) Вынужденное излучение и поглощение
Выше было рассмотрено спонтанное излучение, когда в на-
начальном состоянии системы «электрон + поле» фотоны отсутство-
отсутствовали. Пусть теперь в начальном состоянии имеется iVkx фотонов
с импульсом к и поляризацией е<х). Матричный элемент перехода
*->/ с излучением фотона того же типа только множителем отли-
отличается от матричного элемента B8.7) спонтанного перехода (см.
§ 19):
<Ма + 1; Л S | Nk%\ i) = VNu + I Sfi. B8.30)
Соответственно вероятность этого перехода
^Гл) = (^+1)^, B8.31)
где Wft — вероятность спонтанного перехода B8.14). Таким об-
образом, присутствие фотонов, тождественных излучаемому, увели-
увеличивает вероятность излучения, что является прямым следствием
220
статистики Бозе, которой подчиняются фотоны. Первое слагаемое
в B8.31) дает вероятность вынужденного (или индуцированно-
индуцированного) излучения
w^ = Nkkwfi9 B8.32)
обусловленного исключительно внешними фотонами. Для прило-
приложений удобно выразить их число Ыы, через поток энергии падаю-
падающего на систему извне излучения Ли (hxdadQ — энергия излу-
излучения, падающего в единицу времени на единичную площадку в
интервале частот (о, со4-^(о) и в элементе телесного угла dQ
вдоль направления п = к/о). Пусть е — энергия излучения в объ-
объеме L3. Тогда, используя определение /ь, и соотношение B8.13),
имеем следующие выражения для полного потока энергии излуче-
излучения (ниже до конца параграфа используются обычные единицы):
B8.33)
где введена спектральная плотность энергии излучения р(со).Учи-
р(со).Учитывая, что d3k = c-3(u2d(udQy получим связь N^ и /к*:
а также выражение для спектральной плотности:
B8.35)
При наличии внешнего излучения наряду с испусканием фо-
фотона при переходе i-+f (e;>8f) возможно и поглощение фотона
внешнего излучения при обратном переходе f-+i с амплитудой
(см. § 19):
if, B8.36)
где Sif = Sfi* — матричный элемент, комплексно сопряженный
матричному элементу спонтанного перехода i-+f (см. B8.7)). Ве-
Вероятность поглощения фотона поэтому пропорциональна вероят-
вероятности спонтанного излучения (в обратном переходе i-+f) и равна
вероятности вынужденного излучения (см. B8.32)):
^or;i) = iVk^f, = ^rH). B8.37)
Из B8.31) и B8.37) следует связь вероятностей испускания и по*
глощения фотона типа (к, X):
*) *+» B8.38)
(к, X) Nkx
221
Это замечательное соотношение впервые было выведено А. Эйн-
Эйнштейном в 1916 г. еще до создания последовательной квантовой
теории излучения. Как известно, оно открыло принципиальную
возможность создания квантовых генераторов (лазеров и мазе-
мазеров), широко используемых теперь в различных областях науки
и техники.
В заключение отметим, что часто применяются так называе-
называемые коэффициенты Эйнштейна Aft, Bif, Вц, связанные с вероятно-
вероятностями переходов fet/ следующим образом:
wf^=wfl = Ati; w$bm) = р (со) Bfi; 4?°гл) = РИ Вф B8.39)
где р(со) — спектральная плотность энергии внешнего излучения
B8.35) на частоте co = (Ofi = e;—ef (e,>ef).
Соотношение между этими коэффициентами следует из
B8.37) и B8.35) в предположении, что падающее излучение изо-
изотропно и неполяризовано (Мкх = Ы(ы), т. е. не зависит от направ-
направлений к и в(х>):
?a** B8-40)
§ 29. СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
(квантовая теория)
Классическая теория синхротронного излучения (СИ) (см.
§ 17) применима до тех пор, пока характерная энергия излучае-
излучаемых фотонов Йсос (сос= (сеН/г) (е/пгс2K — частота A7.38), соот-
соответствующая максимуму в спектре СИ) мала по сравнению с
энергией релятивистского электрона е»тс2, т. е. пока безразмер-
безразмерный параметр
х = J*--?.=.!*?_ B9.1)
Л #о me* e V '
значительно меньше единицы. Здесь введено критическое поле
H0 = mW/hey B9.2)
равное для электрона Я0-4,4Ы013 Гс. Таким образом, квантовые
эффекты в СИ становятся существенными при достаточно высо-
высоких энергиях е ^ тс2(Н0/Н).
Мощность излучения электроном фотонов в магнитном поле
является релятивистским инвариантом (см. § 16 и 28) и поэтому
должна зависеть лишь от инвариантных параметров. В общем
случае произвольных значений энергии электрона и напряженно-
напряженности Н магнитного поля из тензора поля F^ (F2l = —Fl2 = H) и
компонент 4-импульса электрона рм- можно составить два неза-
независимых инварианта*:
* В магнитном поле Н\\Ог из четырех компонент р& сохраняются только
энергия е=р°, величина поперечной компоненты импульса Pj_= | pj_ I (pj_ -l H)
222
B9.3)
Здесь и ниже вновь используется система единиц Й = с== 1. Отме-
Отметим, что параметр % в виде B9.1) относится к случаю чисто по-
поперечного движения с Рг = 0, когда е= (р2^-\-т2)х12—р , .
Итак, мощность излучения должна быть функцией двух па-
параметров B9.3):
f). B9,4)
Наиболее интенсивные импульсные магнитные поля, полученные
в настоящее время в лабораторных условиях, имеют напряжен-
напряженность Н ^L 107 Гс, значительно меньшую критической величины
#о~1О13 Гс, так что в этих условиях параметр f<l. Предполо-
Предположим, что поперечный импульс электрона велик (р±*>гп). Тогда
/, и можно приближенно в B9.4) положить /—0:
W-W(%, 0), B9.5>
т. е. мощность излучения при указанных условиях является функ-
функцией единственного параметра %, характеризующего величину
квантовых эффектов в СИ.
а) Решение уравнения Дирака для электрона в постоянном
однородном магнитном поле
Систему координат и калибровку потенциала А^ внешнего
магнитного поля выберем так, чтобы
НЦОг, Л^=@,0, хН, 0). B9.6)
Тогда гамильтониан уравнения Дирака B8.4) принимает вид*
B9.7)
откуда следует, что операторы Н, рУу рг — интегралы движения,,
и стационарные решения уравнения Дирака можно искать в виде
i|> (t, г) = N $ (х) ехр (— i et + ipy у + ipz z), B9.8)
где N — нормировочный коэффициент. Подставляя B9.8) в урав-
уравнение Дирака B8.4) с учетом B9.7) и явного вида матриц а и
рз='у0 (см- (8.48) и (8.52)), получим для компонент г|); (/=
= 1, 2, 3, 4) биспинора Ц> систему линейных уравнений
и продольная компонента pz=p*. Только эти компоненты имеют непосредствен-
непосредственный физический смысл, являясь интегралами движения. Именно они и входят
в инвариантные комбинации B9.3).
* В этом параграфе е обозначает абсолютную величину заряда электрона
(-«0).
223
(e =F m)%,3 + / VeH (-j— + тЛ %,2 —р2Ьл = 0,
V dx\ )
B9.9)
(8 =F m) \|J,4 + iVeH — л ) Ьл + Pz ^4,2 = 0,
где вместо х введена безразмерная переменная
ц^УЛГ (х+ -Ва-\. B9.10)
Вид системы B9.9) показывает, что
1 B9.11)
где d — постоянные спиновые коэффициенты (см. ниже). Под-
Подстановка B9.11) в B9.9) позволяет получить независимые урав-
уравнения второго порядка для функций ф1 и щ:
I = (8« _ т*- р\IеН = pi/eH. B9.12)
Эти уравнения совпадают с уравнением для волновых функций
гармонического осциллятора. Поэтому собственные значения па-
параметра Ху отвечающие требованию квадратичной интегрируемо-
интегрируемости ф1,2, равны
%=2п, л = 0, 1, 2, ..., B9.13)
а собственные функции являются функциями Эрмита
ф2 = ип (л) = Bял! я!/2)-1/2^2/2 нп(ц)у B9.14)
тде Нп(ц) — полиномы Эрмита.
Из B9.12) и B9.13) следует спектр энергии электрона, дви-
движущегося в постоянном однородном магнитном поле:
р1]1/\ B9.15)
Как видно, уровни энергии не зависят от ру и спинового кванто-
квантового числа (см. ниже), т. е. вырождены (с бесконечной кратно-
кратностью).
Определим теперь спиновые коэффициенты Ct- в B9.11), тре-
требуя, чтобы функция г|) B9.8) была собственной функцией опера-
224
тора спиновой поляризации — интеграла движения. В качестве
такого оператора мы выберем инвариантный спиновый оператор *
^ B9.16)
2m2
<*" i
где, как обычно, р^ = id/дх»,, F^ = —e^^pF0* —тензор, дуаль-
дуальный тензору электромагнитного поля /v, a Sv — 4-векторный спи-
спиновый оператор
т
B9.17)
Здесь y5 = — *УУг? = — Рь Р^=р^—еА»9 причем Р° = Н—еА°, где
Н — гамильтониан B8.4). Подчеркнем, что спиновые операторы
определяются на классе функций, подчиняющихся уравнению Ди-
Дирака (поэтому p° = id/dt=H). Компоненты оператора B9.17) мож-
можно перечислить в виде (см. B1.11)):
РР) B9.17а)
Рз
т т
где матрицы S определены в (8.52).
Получим явный вид оператора B9.16) в случае магнитного
поля, когда отличные от нуля компоненты F^ равны F03=—^зо =
= #. В системе покоя (Р = 0) оператор М описывает энергию
взаимодействия спинового магнитного момента электрона с маг-
магнитным полем
B9.18)
где jjio = — (e/2mJ. В лабораторной системе имеем
Легко проверить, что [Н, Sz]=0, [H, 2Р]=0, откуда и из B9.19)
следует [Н, М]=0, т. е. М — действительно интеграл движения.
Для стационарных состояний B9.8) имеем
SP = Ple + ip2m,
где учтены соотношения a = pi2, рфз = —фг- Подставляя эти вы-
выражения и Sz (из B9.17а)) в B9.19), получим М в виде
^ B9.20)
Отсюда с учетом р32=р22=1, р2рз + Рзр2 = 0 находим
* Подробное описание различных опиновых операторов можно найта в [2].
Зак. 590 225
V 2m" )
где ex = V e2 — pi —ут? + 2еНп. Поэтому собственные значения
М оператора М таковы:
где ? = ±1 — спиновое квантовое число.
Потребуем, чтобы волновая функция B9.8) была собствен-
собственной функцией оператора М:
М* = С~-в±*. B9.22)
Подставляя сюда оператор М в виде B9.20) и учитывая B9.11),
находим систему уравнений для спиновых коэффициентов С*:
B9.23)
2>4 = — ргС4,2.
Эту систему следует решать совместно с системой, которая полу-
получается подстановкой B9.11) в B9.9) с помощью рекуррентных
соотношений между функциями Эрмита B9.14)
(JL + п)ип = V2nu*-U (-1 л ) ип^ = -V2^un- B9.24)
Она имеет вид
(e=F/n) С^—р^ С4,2—ргСъл = 0,
B9.25)
(е+m) С2,4—р j_C3>i + pzC4y2 = 0,
где
рх= V^eHn =* \/Гг2—р1~т2 .
Из B9.23) и B9.25) находим спиновые коэффициенты:
"]-
B9.26)
нормированные условием
^I!2 =1. B9.26а)
Общий нормировочный коэффициент N в B9.8) следует из
условия нормировки
226
oo L/2 L/2
]' dx \ dy J dz ^+i|) = l B9.27)
—oo —L/2 —L/2
и оказывается равным
N=(eH)L, B9.28)
где мы ввели нормировочную длину L вдоль осей у и z и учли,
что функции Эрмита B9.14) нормированы по переменной ц B9.10)
на единицу.
Из B9.8), B9.11), B9.14) и B9.18) получаем окончательный
вид волновой функции электрона в однородном магнитном поле:
,г) = -^-ехр(- isnpj + ipyy + ipzz)
B9,29)
определенной четырьмя квантовыми числами n, pyy pz, Z. Они
имеют следующий смысл: п=0, 1, 2,... — главное квантовое число,
определяющее величину поперечного импульса р±9 а следователь-
следовательно, и радиус R квазиклассической (при я>1) орбиты
Р±=Г2Ж, *=-^г = (^f)m; B9-30)
pz — проекция импульса на направление магнитного поля Н; ру
задаёт координату центра орбиты (см. B9.10)):
хо=—ру/еН; B9.31)
спиновое число ? определяет состояние с ориентацией спина вдоль
(?= + 1) или против (?= — 1) направления поля, т. е. состояние
с лоперечной (по отношению к импульсу) поляризацией (это на-
название обусловлено тем, что при pz = 0 оператор спиновой поля-
поляризации B9.20) М~23=BН)/Я).
б) Квазиклассическое решение уравнения Дирака
Используя точные волновые функции B9.29), можно получить
выражение для мощности СИ, справедливое при любых значениях
энергии электрона и напряженности магнитного поля, т. е. для
произвольных значений параметров % и f B9.3) (см. [2, § 21]).
Однако провести анализ этого выражения в общем случае не
удается. Мы ограничимся рассмотрением важного случая, который
осуществляется в лабораторных условиях (в ускорителях и нако-
накопителях): ультрарелятивистские энергии электронов {рх^т) и
относительно слабые магнитные поля Я<СЯО, т. е. f<Cl, f<C% (см.
B9.3) и B9.5)). При этих условиях и начальное, и конечное
(после излучения фотона) состояния электрона обладают боль-
большими квантовыми числами /О>1, т. е. являются квазиклассически-
квазиклассическими. Поэтому даже при %~1 (см. B9.1), B9.3)), когда квантовые
227
эффекты в излучении становятся существенными, оказывается
возможным ввести понятие квазиклассической траектории элект-
электрона до и после излучения. При этом остаются в силе рассужде-
рассуждения § 17 о характере формирования излучения на весьма малом
участке траектории (см. A7.20)), на котором импульс электрона
поворачивается на угол ~га/б«С1. Квазиклассическое условие
\, или в эквивалентном виде (см. B9.30))
B9.32)
а также малые размеры области формирования излучения позво-
позволяют при вычислении вероятности и мощности СИ использовать
квазиклассическое приближение непосредственно в волновых
функциях электрона. Этот метод оказывается существенно проще,
чем обычный способ нахождения квазиклассических асимптотик
точных матричных элементов [2].
Найдем квазиклассическую асимптотику точной волновой
функции B9.29). Будем исходить из дифференциальных уравне-
уравнений B9.12), которые теперь удобнее представить в виде:
-*=0- B9'М)
где вместо ц B9.10) введена другая безразмерная переменная
|= (еН) ЧЧ, x=x—Xo+R, B9.34)
а х0 и R определены в B9.30) и B9.31)^13 силу квазиклассиче-
квазиклассического условия B9.32) параметр р^еН в уравнении B9.33)
велик, и можно отбросить последний член (—?2). В результате
B9.33) сводится к уравнению для функции Эйри Ф (см. A7.34)
и A7.34а)), так что получаем асимптотические решения уравне-
уравнений B9.33) в виде:
фА,=ф(—xk),
B9.35)
хк = BеНР±У* [ х + -bi^ ] ,k = 1,2.
Физический смысл полученного таким образом решения ста-
становится ясным, если в уравнении B9.33) перейти к переменной х.
Функция фл B9.35) удовлетворяет уравнению с отброшенным чле-
членом х2 и является поэтому приближенным решением в области
малых ?2<С#2, описывающим движение электрона на малом участ-
участке квазиклассической траектории. Именно такое решение очень
удобно для исследования излучения, поскольку, как указывалось
228
выше, излучение релятивистского квазиклассического электрона
формируется на малом участке траектории ~ (im/s)R<giR.
Функции B9.35) не являются квадратично интегрируемыми
(в отличие от точных функций B9.14)):
ее i.0/2
X Cd*exp[— ixk(t' — Г)] = — BeHp±)-1'3 lim Г dt',
4 2 Lq-»qo J
Lo/2
-U/2
B9.36)
где учтено, что внутренний интеграл по х равен (см. связь хи и х
в B9.35)) BeHp±)-i^-2n8(t/—t"). Расходимость интеграла
B9.36) несущественна, так как вероятность излучения выражает-
выражается через матричные элементы, которые в принятом приближении
вычисляются с функциями ф& и оказываются конечными (см.
ниже B9.44)) в силу малости области формирования излучения
(внутри нее и применимо асимптотическое решение B9.35)).
Как и при нормировке плоских волн по осям у и z (см.
B9.8)), можно положить вспомогательную величину Lo конечной
(т. е. ввести конечный «объем» Lo переменной V в интегральном
представлении функции ф& B9.35)), причем она оказывается
пропорциональна нормировочной длине L по оси у. В самом деле,
рассмотрим интеграл
ОО
Л= \ф{-хк)Ф{-хк)йх, B9.37)
00
где х\ получается из xk B9.35) заменой ру-+р'уфру. Аналогично
вычислению B9.36) находим
7k = 2& idt> ехр [/ ф1еН) iP« ~~Py) t>] = ilr*
ОО
B9.37а)
где введено обозначение
B9.376)
Сравнивая B9.36) и B9.37а), видим, что при р'у=ру должно
быть 7н=/л, откуда следует соотношение
Jk = l6L° = ~Р~ * ^Г ' L° = "VL> B9'38)
так как 6@)=б(р1/—р'у) \р'у=р'У следует, как обычно, отождест-
отождествить с Lj2n (Ly=L — нормировочная длина вдоль оси у).
8 Зак. 590 229
Подчиняя теперь полную волновую функцию условию норми-
нормировки B9.27), получим с учетом B9.36) и B9.38) нормирован-
нормированную квазиклассическую функцию в виде:
tC4<D(— х2)
B9.39)
где энергия е= (т2+/?л_2+Рг2I/2< b=BeHp±)W\ Ф(—хк) F=1, 2)
и Сi (i=l, 2, 3, 4) определены в B9.35) и B9.26).
в) Вероятность излучения
Вероятность перехода электрона из состояния |i> —
= \Pj-Pv> P*> ?> в состояние |f>= \p'±, р\у р'г, ?'> с излучением
фотона с 4-импульсом &= (со, к) и поляризацией %> определяется
общей формулой B8.14). Два независимых 4-векТора линейной
поляризации фотона можно задать в ковариантной форме еди-
единым образом для произвольного постоянного поля F»v:
B9-40)
где Fw — дуальный тензор поля. Эти векторы (независимо от
конкретного вида поля F^v) оказываются единичными, четырех-
мернопоперечными и ортогональными друг другу:
B9.41)
После калибровочного преобразования типа A6.57) эти векторы
переходят в известные трехмернопоперечные векторы а- и я-ком-
понент поляризации (см. A7.4)):
eg) = @, еа), еа = (— sin ф, cos <p, 0);
е$) = @, ея), ея = (— cos 0 cos ф, — cos 0 sin ф, sin 0), B9.42 )
где 8 и ф — сферические углы вектора импульса фотона
к = со (sin 0 cos ф, sin 0 sin ф, cos 0). B9.43)
В калибровке B9.42) задача сводится к вычислению матричных
элементов jf* B8.14а) с волновыми функциями B9.39). Интегри-
Интегрирование по у я z дает 5-функции, выражающие вместе с б (со—со/г)
законы сохранения:
pz=p'z+kz, B9.44)
230
так что с учетом B9.39) получаем:
ifi = -J7~?- BяJ б (Ре + ky — Ра)б (Р* + К — Рг)«.
B9.45)
оо
а = f dxe~ikxxф+ (л:) аф,. (л:),
—оо
где через Фг(#) обозначен столбец функций Эйри B9.39), Ф/+ —
аналогичная строка для электрона в конечном состоянии,
Ь'=BеНр±')И\
Вычисление матричных элементов а сводится к интегралам
типа (i, &=1, 2):
jik = Г dxer*x*Ф [— V (х + а:)] Ф [— Ь (х + ak)] =
—эо
1/Г'Ш"фD B9.46)
3 (б3 — Ь'а
uk eH +
причем величины со штрихом относятся к конечному состоянию
электрона. Формулу B9.44) легко получить, используя интеграль-
интегральное представление B9.35).
Учитывая явный вид матриц а (см. 8.52)) и волновых функ-
функций B9.39), выразим а в B9.45) через интегралы Iik и спино-
спиновые коэффициенты Сп и С'п (л=1, 2, 3, 4) начального и конечно-
конечного состояний:
B9.47)
53 = (с; с3+с; сг) jn - & с4+с; с2) /22.
Подставляя B9.45) в общую формулу B8.14а) и суммируя по
конечным состояниям электрона согласно
8* 231
2 -(s)'J*i U К B9-48>
получаем дифференциальную вероятность излучения фотона с
4-импульсом &=(«о, к) и поляризацией e^> в виде
B9.49)
где е' = ут2 +pl+ pz2 ,p'z = pz — kz> p'y = py — ky (см. B9.44)).
При получении B9.49) мы учли соотношение [б (р'у + ky — py)8(p'z +
+ k2 — pz)]2 = (Ь/2лJ 8 (p'y + ky — py) 6 (pz +kz — p2). Интегрирование
по р± проводится с помощью 8-функции, формулы A2.11), соотноше-
соотношения дг'/др'±=р'_1/е':
[ dp± б (со + г' — б) = ^^ B9.50)
J Р±
где р'± справа является (положительным) корнем уравнения
fV0
Преобразуем теперь элемент фазового объема
= cD2dcosin8d0d(p (см. B9.43)), замечая, что в рассматриваемом
ультрарелятивистском случае р±*>т и при pz = 0 основной вклад
в интегралы по углам
Q = -f~ *Ф = в—f B9.51)
в полной вероятности излучения аналогично классическому слу-
случаю (см. § 17) дает область |i|)|<Cl, N|<Cl. Введем вместо со и
•ф новые релятивистски инвариантные переменные:
B9.52)
т *
где х'=Яр'х/Я0т=(е/тЗ)[—(^р'^)з]1/2 (см. B9.3)). Тогда эле-
элемент объема cfik принимает вид (см. B9.51)):
= mp\ *** dx dd. B9.53)
232
Аргументы zik и фазы Qik в B9.46) в принятом приближении
(учитываем только главные члены разложения по /О
таковы:
B9.54)
где Qo — несущественное слагаемое, не зависящее от i и k
(общий фазовый множитель eiQ* в матричных элементах B9.47)
не дает вклада в вероятность B9.49)).
Рассмотрим теперь подробнее область переменной f, дающей
основной вклад в формирование функции Эйри <b(Zik), или инте-
интегралов Jik B9.46), входящих в матричные элементы B9.47). Ис-
Используя B9.35), получаем
00 00
Jik = — Г dt' $dfb(b'r — bt' — kx) x
—оо —оо
X expj 1Ь'а\ f Lf* — ibahf +—t'*\. B9.55)
Интеграл по t" снимается б-функцией, так что остается интеграл
по t\ основной вклад в который дает область вблизи точек t'\t2
стационарной фазы (аргумента экспоненты в B9.55), где t" =
= (bi'-\-kx)lb'). Точки f\a — корни уравнения, получаемого при-
приравниванием нулю производной по f аргумента экспоненты:
фз _ Ь'г) ft + 2^2 kx.f +b [kl + &'3 (ак — Щ)] = 0, B9.56)
откуда находим
или после учета B9.46), B9.376), B9.52) и б^соб:
Таким О'бргазом, «в силу независимости zvk от б (см. B9.54)),
получаем соотношение
dt\ B9.58)
\ p± I
или (см. B9.38)):
/2eH \i/3 eH т /оп -о ч
= ( -—1 Lo = L,. B9.58a)
р\ ) Р±
233
Заметим, что связь B9.57) выражает тот факт, что излучение
в данном направлении собирается с малого участка квазикласси-
квазиклассической траектории (см. также § 17).
Далее учтем, что мы рассматриваем случай сравнительно
слабых магнитных полей #<С#о, т- е- f=#/#o<kl. Поэтому можно
разложить функцию Ф(гш) по параметру / (см. B9.54)):
~O(z)~(-lYf
U \2/3
JL-A
B9.59)
При вычислении матричных элементов B9.47) проводим разложе-
разложение спиновых коэффициентов Сг-, С'г- (см. B9.26)) по малым вели-
величинам т/е±, т/б'^, pVe', ограничиваясь главными членами. Под-
Подставляя найденные выражения для сц в B9.49) и учитывая
B9.53), B9.59), получим после ^интегрирования по углу б с по-
помощью B9.58а) (величина | е*(я.)сь |2 в B9.49) оказывается, как и
следовало ожидать, в силу аксиальной симметрии задачи не за-
зависящей от б) следующее спектрально-угловое распределение ве-
вероятности излучения в единицу времени, записанное через инва-
инвариантные переменные и и т B9.52):
Vda;«
du
dxx
Ф = Ф (г), Ф' = <*ф (г) dz, z = (~) т A
B9.60)
+
Здесь индексы а и я обозначают а- и зт-компоненты поляризации
излучения (см. B9.42)). Кроме того, вероятность разбита на два
слагаемых, описывающих излучение без переворота (?=?') и с
переворотом (?'= —С) спина электрона.
г) Мощность излучения
Мощность СИ получается умножением вероятности B9.60) на
энергию фотона и = ырх/A+ы) (см- B9.52)):
¦dw
B9.61)
234
Мы ограничимся рассмотрением мощности СИ, просуммирован-
просуммированной по поляризациям фотона и конечным спиновым состояниям
электрона и усредненной по начальным состояниям. Проводя
указанные операции в вероятности B9.60) и подставляя получен-
полученное выражение в B9.61), найдем спектрально-угловое распреде-
распределение мощности СИ в виде:
dxdu я \2%
B9.62)
Сравним B9.62) с аналогичным классическим выражением
(см. A7.36)). Заметим, что в обычных единицах (при pz=0)
имеем (см. B9.52) и B9.1))
а—45-.Х—**Ч B9.63)
где e~pjL — энергия электрона, сос — критическая частота (клас-
(классическая, см. A7.38)).
В классическом пределе (йсо<Се, т. е. отдача электрона при
излучении фотона мала) имеем
и—ftco/е, и/х~соДос, B9.63а)
и формула B9.62) переходит в классическую формулу (см.
<1736))
))
Получим спектр мощности СИ, проинтегрировав B9.62) по
угловой переменной т с помощью формул:
f
(г) =
г) = - &- 21/3д:-3/2 [ф' (*) + хф1 (х)],
B9.64)
= — ?Z- ?1Ъх-112 [Зф' (*) + хфг (х)],
8
—00
где
B9-64a)
235
Используя B9.64), получим из B9.62) спектр СИ в виде:
= _ J ф (х) + — 1 Н Ф (л:) ,
du Ул (l + ii)« P1V '^ * L 2 СИ-«) J Г
B9.65)
Е классическом пределе (см. B9.63а)) эта формула совпадает с
классическим выражением для спектра СИ A7.45). Асимптотиче-
Асимптотическое поведение спектра находим точно так же, как и в классиче-
классической теории (см. § 17). При и<^% получим с учетом A7.46):
du
+ и) J'
при м<С1(Йсо<Се) эта формула дает dWIdu—uifi и переходит в
классическую A7.47). При м>х (*>1) с помощью A7.48) нахо-
находим из B9.65):
-jLJL. \ B9.67)
откуда при w<g;l следует классическая формула A7.49), а при
i>—е, т. е. фотон уносит почти всю энергию электрона)
dW е2т 1
du
*п J_ /JLV/2eXp / ±JL\ B9.67a)
Максимум распределения по и находится при и—% (это видно из
сравнения B9.66) и B9.67) или из точной формулы B9.65), в
которой аргумент функции Эйри х вблизи максимума спектра
должен быть —1). Учитывая, что м=Ясо/(е—/ко), получаем оцен-
оценку положения максимума (отах в спектре СИ в виде
Энергия же электрона в конечном состоянии e/=te/(l+w) в облас-
области максимальной спектральной мощности СИ имеет порядок
'х<<К B9.68а)
/Х, х»1-
Отсюда видно, что электрон в конечном состоянии остается
ультрарелятивистским (только тогда оправдано применение мето-
метода расчета СИ на основе квазиклассических волновых функций
B9.39)) при условии e/x>im, или (см. B9.1)).
f = #/#0<l, B9.69)
которое и было принято выше (см. B9.5) и B9.59)). Таким обра-
образом, как и должно быть, применяемый метод расчета является
самосогласованным.
236
Выразим спектр СИ B9.65) через функции Макдональда с
помощью соотношений A7.50) и A7.51), введя новые спектраль-
спектральную переменную у и параметр g согласно
В результате находим
dW
dy
^<1+б?гё«3?4B971>
где
^ШШ B9-72>
классическая мощность СИ (см. A7.43)), го=е2/тс2 — классиче-
классический радиус электрона (используем обычные единицы). При
g-Я) функция F(y) переходит в классическую f(y) (см. A7.52)).
Рассмотрим случай g<Cl, т. е. сравнительно низкие энергии
8<С>п(#о/#). Тогда можно в B9.71) провести разложение по па-
параметру |, что соответствует разложению по степеням постоянной
Планка ft. С точностью до членов ~ ?2~ft2 получаем спектр СИ
в виде
^[ J] B9.73)
Полная мощность излучения получается интегрированием по
спектру B9.71):
y. B9.74)
При |<Cl с помощью разложения B9.73) и интеграла
(у) dy - 2' Г (JtJL} Г (-i±?.) B9.75)
находим из B9.74) квантовые поправки к классической мощнос-
мощности СИ:
B9.76)
237
Таким образом, при %<<! квантовые эффекты приводят лишь
к малым поправкам к классическим спектру и мощности СИ (см.
B9.73) и B9.76)). В современных электронных синхротронах
магнитное поле #~104 Гс, и квантовые эффекты могут стать за-
заметными в области энергий е^гас2(#0/#) ~103 ГэВ. Однако это
условие относится лишь к характеристикам самого излучения.
Влияние же СИ на движение электронов (квантовое возбуждение
бетатронных колебаний) проявляется при значительно меньших
энергиях е>тс2(Я0/ЯI/4>500 МэВ (для Я~104 Гс) (см [2] и
§ 36). При тех же энергиях существенным оказывается и другой
важный эффект — эффект самополяршации спина электрона,
который кратко рассматривается в следующем пункте.
В случае |^>1 излучение имеет существенно квантовую при-
природу: испускаемый фотон уносит почти всю энергию электрона,
испытывающего сильную отдачу (см. B9.68) и B9.68а)). Спектр
и мощность СИ резко отличаются от соответствующих классиче-
классических характеристик. Найдем мощность СИ в этом случае. Для
этого удобно провести в B9.74) интегрирование по частям:
О
где подынтегральное выражение уже не является спектральным
распределением.
При g>>l основной вклад в интеграл дает область #<С1, когда
для функций Кр(у) справедливо известное асимптотическое пред-
представление
KP(y)^2P-iT(p)y-*. B9.78)
Используя эту асимптотику и интеграл
— p—l)/T(q)9 B9.79)
0
из B9.77) находим при |>1:
о8/з АП 24Г B/3) тг&
П7 /^/ -f Г //41 117 ?""*''* — ^ ^4v^2/3 /9Q ЯП\
где a=e2/hc.
Заметим, что, интегрируя спектр СИ в форме B9.65) по
переменной и (дважды используя в первом слагаемом интегриро-
интегрирование по частям), можно представить полную мощность
в виде * [8]
w
\4ti+y* ХФ'{х)**' и=%хЩ- B981)
О
* Перейдя в B9.77) к функциям Эйри с помощью A7.50) и A7.41), мы
также, конечно, придем к B9.81).
238
При х<С1 и %Э>1 отсюда вновь легко получить формулы
B9.76) и B9.80) соответственно.
д) Эффект самополяризации
Покажем, что синхротронное излучение приводит к преиму-
преимущественной ориентации спинов электронов против направления
магнитного поля.
Используя спектрально-угловое распределение вероятности
излучения B9.60), можно получить следующее выражение для
полной вероятности радиационных переходов в случае l
(с точностью ~g2) [2]:
()
B9.82)
Интересующий нас эффект связан с вероятностью церехода с
переворотом спина (?-*"?'=—?)> которая дается слагаемым
~A-&')/2 в B9.82):
И?)=— A +&-4^-b B9.83)
где
( (
так называемое время релаксации (см. ниже).
Из формулы B9.83) видно, что вероятность перехода из на-
начального состояния со спином электрона, направленным по полю
(?=1), в конечное состояние со спином, направленным против
поля (?'=—1), значительно больше, чем при обратном переходе
(?=—1-Я/= + 1). Таким образом, в результате излучения спин
электронов будет стремиться ориентироваться против магнитного
поля. Для ансамбля электронов в пучке степень поляризации
имеет вид
где N\ (iV|) — число электронов со спином, направленным вдоль
(против) поля, причем N^+N^ =Af=const.
Для чисел iVf и N± можно написать систему уравнений:
—L = Ntw(l) — Niw (—1), —L = Niw(—l) — Niw A). B9.86)
at dt
Для случая первоначально неполяризованного пучка (Р@) =
= 0) решение этих уравнений дает для степени поляризации
P(t)=P0(l—е-*/*). B9.87)
239
При f^n поляризация стремится к своему предельному значению
Ро = —у= с- 0,924. B9.88)
О у О
При этом около 96% электронов имеют спин, направленный про-
против магнитного поля. Спины позитронов, очевидно, будут преиму-
преимущественно ориентироваться по полю. Степень поляризация пучка
позитронов дается, конечно, той же формулой B9.88).
Для параметров современных накопителей время релаксации
х B9.84) оказывается порядка часа, а время работы накопите-
накопителей — сутки и более. Теория эффекта самополяризации хороша
согласуется с экспериментом (см. § 36).
§ 30. КОМПТОНОВСКОЕ РАССЕЯНИЕ
Комптоновским рассеянием называется рассеяние фотонов на
свободных электронах. В классической теории рассеяние электро-
электромагнитной волны на электроне приводит к появлению рассеянной
волны, обусловленной излучением электрона, движущегося в поле
падающей волны, причем частота волны со при рассеянии не из-
изменяется, так как электрон колеблется с той же частотой. В кван-
квантовой теории этот процесс описывается как столкновение фотона
с энергией Йсо с электроном, который испытывает отдачу, в резуль-
результате чего происходит сдвиг частоты рассеянного фотона по отно-
отношению к частоте падающего фотона. Очевидно, чем выше частота
падающего излучения, тем более заметен указанный сдвиг часто-
частоты. Впервые этот эффект наблюдался А. Комптоном A922 г.) при
рассеянии рентгеновских лучей на электронных оболочках ато-
атомов *. Отсюда и название — эффект Комптона, или комптон-
эффект.
а) Матричный элемент процесса
Согласно правилам Фейнмана (§ 26) рассеянию фотона на
электроне отвечают две диаграммы второго порядка теории воз-
возмущений (см. рис. 30.1), отличающиеся перестановкой фотонных
линий, и соответствующий им матричный элемент имеет вид
и>
р + k — т р— k —т
где первому слагаемому отвечает диаграмма (а), второму — (б).
Здесь и ниже используется обозначение $=<у^м для «скалярно-
«скалярного» произведения 4-вектора q* и «4-вектора», составленного из
Y-матриц; kP= (со, k), k'v= (а/, к') —4-импульсы падающего и
рассеянного фотонов, е*\ е'м- — их 4-векторы поляризации; и =
— и(р, а) и и' = и(р', <у') — биспинорные амплитуды начального
и конечного электронов с импульсом pv=(sy p), р'^= (е', р') и
* Вследствие высокой энергии фотонов рентгеновского излучения можно
пренебречь энергией связи электронов в атоме и считать электроны свободными.
240
проекциями спинов а и а' соответственно. При записи (ЗОЛ) мы
учли сохранение 4-импульса в вершинах, обеспечивающее сохра-
сохранение полного 4-импульса:
C0.2)
Напомним также, что Afi — приведенный матричный элемент,
связанный с элементом S — матрицы соотношением B7.5).
\к
it
II
1 !
.I. . .
p' р+к p P' P~*' p
(a) F)
Рис 30.1
б) Сечение комптойовского рассеяния
Зная матричный элемент, находим дифференциальное сечение
рассматриваемой двухчастичной реакции у-\-е-+у'+е' по общей
формуле B7.13):
da = —-— BяL б4 (р + k—р' — k') | Afi |2—^ (^—т, C0.3)
4(pk) К ' 4VA^ и п fi\ BяK2е' BяK2а/ v
где учтено, что инвариантный поток I = '\/r(pkJ — p2k2 =
в силу &2=0.
Мы не станем рассматривать поляризационные эффекты и
вроведем поэтому усреднение по начальным и суммирование по
конечным состояниям поляризации частиц, участвующих в
реакции.
Согласно § 27 (см. B7.19)) квадрат матричного элемента
вида
Afi = «2Qopap, C0.4)
усредненный по начальным и просуммированный по конечным
спиновым состояниям, дается выражением
1" ? ' Af< I2 = т Sp {^ (p'+m)Q(p+ т)У C0-5>
спин
Матрица Q=*/)Q+y0 строится с помощью легко проверяемой фор-
формулы
YUYV •.. YV = Y° (Y^ • • • Yp)+ Y° = YPYX - -. Vy* C0.6)
и, в частности,
Y11 = y11. C0.6a)
241
В данном случае Л/* имеет вид (ЗОЛ), и C0.5) дает с учетом
закона сохранения C0.2):
± Й ft- тГ1 ? +
+ ? (р — ?' — m)~' е] (р + k—%' + m) [? (p + k — т)~х e +
+ е(р— k' — /л) е') (р+т)}. C0.7)
Для дальнейших расчетов напомним следующие свойства
Y-матриц (см. § 8):
7+ = - У, (Y°)+ = Y°; Sp у11 = 0, C0.8)
Sp y^'y112 ... y^2"*1 = 0, Sp y"*Yv = ё^-
Отсюда следуют полезные формулы:
ab + ba = 2 (ей); На = а2;
— Spa& = (a&); C0.9)
— Sp (abed) = (ab) (cd) — (ас) (bd) + (ad) (be).
4
При вычислении следа C0.9) учтем, что
e2=e'2=_if ek=efkf=0. fr=k'*=0. C0.10)
Удобно также выполнить калибровочное преобразование
е-+е = е — -^-k, е'-*е' =г'— -^-?'. C0.11)
Оно сохраняет условия C0.10) и в силу
ёр=О, ё'р = О C0.12)
значительно упрощает расчеты. Ниже преобразованные векторы
поляризации мы будем обозначать по-прежнему через е л е' для
простоты записи.
С учетом C0.10) и C0.12) имеем:
= p. C0.13)
Отметим тождества
242
;
^(-p+ m). C0.14)
Используя второе из них и соотношение ё(р-\-т) = (—р+т)ё (см.
30.13)), передвинем р+т в правой части C0.7) налево до множи-
множителя р+#—к'+т, а затем вернем р+т на прежнее место с по-
помощью тождества
(p+m)e'ke =e'ke(p +m) — 2(kp) e'e. C0.15)
Затем, пользуясь известным свойством следа Бр(ЛВ ... X) =
= Sp(X4B...), перенесем р+т в левую часть и снова передвинем
р-\-т направо до р + ?—$!-\-т с помощью первого тождества
C0.14), а вернем обратно, используя соотношение, аналогичное
C0.15). В результате след C0.7) принимает вид:
Ati |2 = Dяе2J — Sp { (р + т) К(р + k — kr + т) К'} =
= Dяв2J [Сг + С2], C0.16)
2(kp) 2(k'p) '
где К! получается из К указанной заменой; введены обозначения
К'}. C0.17)
Разбиение C0.16) на два слагаемых имеет простой физиче-
физический смысл. Слагаемое С± соответствует вкладу в сечение рассея-
рассеяния без учета отдачи электрона (р=р')> а С2 учитывает отдачу.
В классическом пределе останется, очевидно, лишь С\ (С2-^0 при.
Для вычисления С\ передвигаем правое р-\-т налево:
C1 = ^-Sp{(p+m)[(m-p)^-(e?+f'e)]^} =
= - 2 {ее') -1- Sp {(р + т) К'} = - (ее1) Sp (J5R') = 4 (ее'J, C0.18)
где использованы равенства (р + т)(р—т)=р2—m2=0, SpK/=O
и C0.9), C0.10).
243
Далее вычисляем С2, записав его в явном виде:
2kp 2Я'р \К '[ 2kp 2k'p
I ! 1
Здесь мы отбросили слагаемые ~m, так как они содержат не-
нечетное число ^"Матриц, и поэтому их след равен нулю (см.
C0.8)). Линиями соединены члены, произведение которых дает
ненулевой вклад в след (остальные комбинации дают нуль). Та-
Таким образом,
2 2 Р
k'p)* У (kp)* H J
(k'pJ
= — — =J2L+^1 —2. C0.19)
pk' pk pk' pk
Здесь мы учли соотношения C0.13) и следствие из закона сохра-
сохранения C0.2):
kk' = p{k—k'). C0.20)
Подставляя C0.18) и C0.19) в C0.16) и затем полученное
выражение в C0.3), представим сечение рассеяния фотона на не-
лоляризованном электроне в виде
где мы вновь вернулись к исходным обозначениям преобразован-
преобразованных векторов поляризации C0.11).
Замечая, что
'2) б (р'2 ~
2) б (р
представим сечение C0.21) в явно инвариантном виде:
а = — Г d*k'8 (fc'2) б ((р + k-k'f -m2) С (в, ?), C0.21а)
kp J
где a=e2( )
Усредним теперь по начальным и просуммируем по конечным
фотонным поляризациям:
Cs-LV C(e,e') = 2(^+^-2]+ 2 V
2 ?л к' ' \рк' т pk } ^ Хи
поляр поляр
244
Выражая векторы ё и ё' через исходные е и е' согласно C0.11)
и учитывая формулу суммирования V е^ =—guv (см.
поляр
B7.27)), находим:
-Е (--5-*") (—-&*')*
поляр поляр
п*__Л*Т m*-J*—l C0.23)
т 2 (pk)*(pk')* (Pk)(pkl)\
Из C0.23), C0.22) и C0.21а) получаем сечение для неполяризо-
ванных частиц:
^||^Н- ^'J - ^а) С, C0.24)
Введем инвариантную спектральную переменную ы и пара-
параметр к согласно
^1 2^ C0.25)
>
fep' /п2
Отсюда с учетом (см. C0.2)) kp' = kp—kk' и C0.20) получаем
Подстановка C0.26) в выражение для С C0.24) дает
C-C(«.*-»+-i^-«f(l-f). C0.27)
Запишем теперь фазовый объем dW/2®' через инвариантные
переменные. Вычисления удобно проводить в системе центра инер-
инерции (СЦИ), в которой
p+k=p/+k/=O. C0.28)
Наличие б-функции в C0.24) означает связь
х== (p+k—k')*—m*=2{pk—pk'—kk') =0. C0.29)
В силу C0.28) имеем в СЦИ:
C0.30)
245
и C0.29) сводится к
*=2(е+ш) (со—о') =0, C0.29а)
т. е. частота в СЦИ не меняется: о/ = со.
С учетом C0.29а) имеем
ОГ=??-Ь(х) = - ©'Wdcos8d<p6(<o —ю'), C0.31)
2со' W 2со' 2F + ©) Y V Ч
где в — угол между к и к', ф — азимутальный угол вектора к'
в плоскости, перпендикулярной к.
Переменная и в СЦИ с учетом C0.26) и &&'=co2(l—cos9)
принимает вид
0 <и = k± 1 < и, C0.32)
где нижний (верхний) предел изменения U отвечает углу 6 = 0
(9=я). Отсюда
C0.33)
со2 A + aJ
и фазовый объем C0.31) принимает вид
dY = — йфйсо'б (со — со') —^—. C0.31а)
4 A + иJ
Подставляя C0.31а) в C0.24), проинтегрируем по ф, что дает
множитель 2я, и по о/ с помощью б-функции. В результате с уче-
учетом C0.27) получаем сечение комптоновского рассеяния в оконча-
окончательной форме:
_4iL(i_JL)l. C0.34)
f2 + 4(i
о
где Го=а/т( = е21тс2) — классический радиус электрона, а подын-
подынтегральное выражение определяет дифференциальное сечение (по
переменной и).
Интегрируя по спектру и, получим полное сечение:
+-M. C0.35)
2 A +иJ и2 J '
Асимптотическое поведение сечения таково:
C0.35а)
246
При х=0 отсюда получаем классическое сечение Томсона: вт^
= ст(х=О) = (8я/3)г02. При х-^оо сечение убывает по закону:
() l/
в) Рассеяние в лабораторной системе
Рассмотрим рассеяние в лабораторной системе, в которой на-
начальный электрон покоится (р = 0), а параметр и C0.25) равен
(в обычных единицах)
х=2йо)//тгс2. C0.36)
Условие х<С1 означает, следовательно, малость квантовых эффек-
эффектов (отдача электрона при рассеянии мала). При к»1 рассеяние
имеет существенно квантовый характер. Из C0.20) находим связь
частоты рассеянного фотона со' с углом рассеяния 6 (в лаборатор-
лабораторной системе):
coco'(I—cos0)=m(co—со') У
или
1+ — A-созв)
C0.37)
Отсюда сдвиг длины волны Я=2яс/со при рассеянии
l—cos 9), C0.37а)
где А,е=ft/me—3,86- Ю-11 см, называется комптоновской длиной
волны электрона, а сама формула C0.37а) — формулой Компто-
на. Согласно C0.37) при рассеянии в лабораторной системе час-
частота фотона уменьшается (возрастает длина волны).
Учитывая, что в силу C0.26)
со' = ——, C0.38)
выразим дифференциальное сечение (см. C0.34)) через энергию
рассеянного фотона ю':
JHl — HL\2 — 2т (\ — — ^1, C0.39)
< со' < со.
coz | со со \ со со / \ со со
со
1 + 2со/т
Е силу C0.37) частота со' однозначно связана с углом рассеяния
0. Вводя телесный угол dQ = 2nsinQdQ, запишем угловое распре-
распределение рассеянных фотонов:
rl(Y( + sinQ). C0.40)
du 2 ° \ со ) \ со' со ) v
Эта формула называется формулой Клейна — Нишины — Тамма.
В классическом пределе, когда Н(й<^тс2у можно положить со'~оз,
247
и C0.40) переходит в известную формулу Томсона:
-jL--Lrg(l+ot*«e), C0.41)
интегрирование которой снова дает а=<тт= (8я/3)г02 — предел
C0.37а) при и=0.
г) Обратный комптон-эффект
Рассмотрим специальный случай релятивистских электронов
(, г'^>т) и мягких падающих фотонов (g)<Cw), причем фо-
фотоны летят навстречу электронам (kf|р). В результате лобового
столкновения образуется пучок жестких фотонов, движущихся
вдоль начального импульса электронов р.
В данной системе отсчета имеем для спектральной переменной
_ kk^ __ охр' A — cos 6) _ о/
kp' со (е' — | р' | cos if>) е'
так как cos G-—I, cosxj?——1, (ip=(j/Tk)), |р'|~е'. Далее, e'=
= 8+0)—о/~8—CO'. ПОЭТОМУ
0<и = _^_< и = -?*?-. C0.42)
е — со' т2
Параметр
х = 2со (в + I РI) _ Jco^ 30.43)
m2 m2 v
Следовательно, максимальная частота рассеянных фотонов
©'=—^— е C0.44)
при х>>1 (г>т21<й) близка к энергии начальных электронов.
Подставляя и из C0.42) в C0.38), получим спектр рассеян-
рассеянных фотонов в виде:
—™ IJ]. C0.45)
х(е —©') / J
[i+
Спектр монотонно возрастает до максимума при (о/==о/т> при-
причем относительная ширина максимума при 1 (/)
где (o'i^ —частота, соответствующая половине максимального*
значения rfa/rfco7. Таким образом, при больших х спектр обладает
резким максимумом. при со'—е, ширина которого быстро убывает
с ростом х, и спектр приближается к монохроматическому.
Рассмотренный процесс рассеяния мягких фотонов на реляти-
релятивистских электронах, который дает жесткие рассеянные фотоны,
248
называется обратным комптон-эффектом (в противоположность
рассмотренному в п. в) рассеянию фотонов на покоящихся элек-
электронах, приводящему к уменьшению частоты согласно C0.37)).
Этот эффект имеет важное значение для астрофизических прило-
приложений. Им, например, объясняется механизм рентгеновского излу-
излучения космических источников, образование рентгеновской компо-
компоненты фонового галактического излучения.
Обратный комптон-эффект используется и в лабораторных ис-
исследованиях для получения жестких ^-квантов. Так, при облуче-
облучении пучка электронов с энергией е = 6 ГэВ (соответствующей на-
например, синхротрону АРУС в Ереване) светом рубинового лазера
с энергией фотонов о)=1,78 эВ параметр х—0,17, и максимальная
энергия рассеянных фотонов (см. C0.44)) о/щ—ие~1 ГэВ, т. е.
длина волны ^m = c/o)/m^ 2-10~14 см, на три порядка меньшая
комптоновской длины волны электрона и почти на порядок — ра-
радиуса действия ядерных сил (~ 10~13 см).
§ 31. ПЕРЕКРЕСТНАЯ СИММЕТРИЯ АМПЛИТУДЫ РЕАКЦИИ
Рассмотренное выше комптоновское рассеяние — частный слу-
случай реакции, которой отвечает общая диаграмма с двумя внеш-
внешними фотонными и электронными линиями (см. рис. 31.1). Соглас-
Согласно общей теории (см. § 25 и 26) входящей электронной линии соот-
соответствует либо начальный электрон с импульсом р (амплитуда
и(р))у либо конечный позитрон с тем же импульсом (амплитуда
и(—р)),а входящей электронной линии — конечный с импульсом
рг электрон (й(//)), либо начальный позитрон (п(—р)). Таким
образом, наряду с рассеянием фотона на электроне указанная
диаграмма описывает также следующие процессы: рассеяние фо-
фотона на позитроне, двухфотонную аннигиляцию электрон-пози-
тронной пары, рождение пары двумя фотонами *. Между матрич-
матричными элементами этих процессов имеется связь, которая выра-
выражается свойством так называемой перекрестной симметрии ампли-
амплитуды реакции (см. ниже). Такая же связь существует между мат-
матричными элементами любых реакций, которые описываются топо-
топологически эквивалентными диаграммами (получающимися друг
из друга перестановкой вершин и изменением смысла входящих и
выходящих внешних линий).
Рассмотрим некоторую реакцию, в которой две частицы в на-
начальном состоянии переходят в две частицы в конечном:
1+2-^3+4, C1.1)
* Формально эта общая диаграмма описывает также процессы с одной
частицей в начальном (конечном) состоянии с тремя — в конечном (началь-
(начальном). Однако, матричные элементы таких процессов (в электродинамике) обра-
обращаются в нуль в силу закона сохранения 4-импульса (аргумент выряжающей
его б-функции всегда отличен от нуля для этих реакций).
9 Зак. 590 249
где цифра обозначает саму частицу (ее номер). Этой реакции мы
сопоставим общую диаграмму (рис. 31.2), где кружком обозначе-
обозначена не интересующая нас сейчас внутренняя часть и все линии ука-
указаны одинаковыми (тип частиц и взаимодействие между ними мы
не конкретизируем).
По закону сохранения 4-импульса
C1.2)
Рис. 31.1
Для упрощения рассуждений будем считать массы всех частиц
одинаковыми (сделанные ниже общие выводы не зависят от это-
этого предположения, которое не всегда выполняется в случае элек-
электродинамики), т. е.
р.2 = т2 (/=1) 2, 3, 4). C1.3)
Введем инвариантные переменные
s=(pi+p2J, t=(Pl-pAJ. C1.4)
Можно построить, конечно, и другие инвариантные комбинации
4-импульсов pi> но они в силу C1.2) будут функциями s и t. Сле-
Следовательно, только две независимые инвариантные переменные
характеризуют реакцию C1.1), причем 5 отвечает начальному со-
состоянию, t — конечному. В системе центра инерции частиц 1 и 2
имеем с учетом C1.3):
Pi = —p2 = p; 6i = 82 = e;
Рз = —Р4 = —Р', 63 = e4 = e; C1.5)
IpIHp'I.
Обозначив через 0 угол между р и р', находим в этой системе
значения переменных C1.4):
t = 2 m2 — 2е2 + 2рр' =
= 2(m2-e2) + 2|p||p'|cos8 = L(s_4m2) (I — оовв)< 0. C1.6)
250
Наряду с реакцией C1.1) возможна реакция
1+4^3+2, C1.7)
где черта обозначает античастицу. Ей соответствует закон сохра-
сохранения
Если Pi = — pi, р2 = —р2, то C1.8) переходит в C1.2). В этом слу-
случае переменные C1.4) принимают вид:
s={px+P2J={px-pi)\ C1.9)
t=(Pi-p*J=(Pi+p-4J,
и в системе центра инерции частиц 1 и 4 оказываются равными
t = 4 б2 >4т2;
$ = -(* — 4m2) (I— cos6)<0. C1.10)
Реакция C1.1) называется s-каналом обобщенной реакции,
описываемой блочной диаграммой рис. 31.2 с четырьмя внешними
линиями. В этом канале $>4т2> /<0. Реакцию C1.8) называют
при этом ^-каналом, в котором
42 5<0.
Можно проверить непосредственным ^ч /h
вычислением амплитуд Aft (матричных >с /
элементов) по конкретным диаграммам у^ *д
Фейнмана, что реакции в 5- и ^-каналах ( \
определяются одной и той же амплиту- V J
дой A(s, t) (Afi~A), которая является /^-^х
единой аналитической функцией пере- / N4
менных 5 и t в обоих каналах, отлича- /?4/ Чч^
ются лишь области изменения s и t в
разных каналах. Эти каналы называ- Рис- 31.3
ются перекрестными, а указанное свой-
свойство амплитуды А—перекрестной симметрией. Мы примем сфор-
сформулированное утверждение без доказательства.
Для перехода от 5- к ^-каналу (они отмечены на рис. 31.2
двойными стрелками) надо, очевидно, сделать в матричном эле-
элементе Aft замену (ср. C1.1) и C1.8))
iPl)t = — (PJj» (P'2)f = — (Pi)/. C1.11)
где индексы i и / слева (справа) отмечают начальные и конечные
состояния в t- (соответственно 5-) канале.
Перекрестная симметрия позволяет из известного сечения ре-
реакции в одном канале легко получить сечение реакции в другом
канале (матричный элемент выписывается сразу, надо лишь пре-
преобразовать фазовый объем продуктов реакции).
9* 251
§ 32. ДВУХФОТОННОЕ РОЖДЕНИЕ И ДВУХФОТОННАЯ
АННИГИЛЯЦИЯ ЭЛЕКТРОН-ПОЗИТРОННЫХ ПАР
Оба этих процесса описываются одной блочной диаграммой
(рис. 31.3). Их сечения мы получим на основе перекрестной сим-
симметрии (§ 31) из сечения комптоновского рассеяния (§ 30). Обо-
Обозначим для этих реакций 4-импульсы электрона и позитрона через
р_ и р+ соответственно, а 4-импульсы фотонов — через kx и k2.
Для комптоновского рассеяния, как и ранее, р, k (pf, k') —4-им-
—4-импульсы начальных (конечных) электрона и фотона, на диаграмме
рис. 31.3 импульсы pi имеют следующий смысл:
p{ = k, р2 = Р\ рг = р\ P4 = k'. C2.1)
а) Двухфотонное рождение пары (у\-^е+е~)
Для этого процесса имеем (рис. 31.3):
Pi = *i, — Р4=&2; — Р2=Р+, Рз = Р-, C2.2)
и сравнение с C2.1) показывает, что его амплитуда получается
из амплитуды комптоновского рассеяния заменой
k=bu k' = —k2\ p = — p+, р'=р- C2.3)
Не интересуясь поляризационными эффектами, усредним по на-
начальным и просуммируем по конечным поляризациям квадрат
амплитуды рождения пары. Результат получаем сразу, сделав в
величине С C0.26) замену C2.3)
т 2
+
спин е* е
поляр VV
_ 2m2 ^} 1, C2.4)
где общий знак минус возникает потому, что суммирование по
спиновым состояниям позитрона получается заменой в C0.7)
р-\-т на р+—т = — (—р+-\-т), т. е. кроме замены C2.3) надо
ввести множитель (—1).
Введем теперь инвариантную переменную и (не смешивать с
переменной C0.27) для еу- рассеяния) и параметр xi согласно
~~ 4(kiP+)(k2p+) ' Xl ~~ 2m2
Выражая через и и xi величину C2.4), получим
— 2|^f/|2=4 \2и— 1 — 2 (-Л-J + 2-^-1 ЕЕвР^Хх). C2.6)
В системе центра инерции фотонов имеем
кх + к2 = 0, сох = со2 = е+ = е_ = со;
252
СО \ 2 СО2 /оо ~ч
—)' и= co*-|P+|»cos»e ' C2-7)
где 6=(р+, ki). Отсюда находим пределы изменения и
C2.8)
причем этот интервал пробегается дважды при изменении 0 от О
до п.
В случае лобового столкновения фотонов в лабораторной си-
системе (kif|k2, 0I=7^0J) &1<&2 = 2coico2, и условие протекания реакции
(см. C2.8))
щ>1 C2.9)
принимает вид
coico2>m2. C2.9а)
Сложив это неравенство с очевидным неравенством (coi — согJ/4>
>0, получим эквивалентное условие
coi+(D2>2m, C2.96)
которое, конечно, сразу следует из закона сохранения энергии.
Сечение процесса находим по общим правилам (§ 27) с уче-
учетом C2.6) и выражения для инвариантного потока I = kik2:
а =
Г
J
Здесь использованы те же преобразования, что и при выводе
C0.23а).
Выразим теперь фазовый объем через инвариантную перемен-
переменную и. В системе центра инерции (см. C2.7)) аргумент б-функции
в C2.10)
x = (p+ — k1 — k2J — m2 = 4(о(е+ — со), 8(х) = —^— 6(е+ —со),
4со
а элемент фазового объема
Интеграл по азимутальному углу ср дает 2я, по е+ снимается
б-функцией, а интеграл по cos 0 сводим к интегралу по и с по-
помощью C2.7), причем согласно замечанию к C2.8) вводим общий
множитель 2. В итоге получаем сечение процесса уу->-е+е" в ин-
инвариантной форме:
Р
J uVu(u-l) L 2 Хг \ X!
253
где подынтегральное выражение дает спектральное распределение
dafdu по переменной и C2.5). С помощью замены переменной
u==ch2t интеграл в C2.11) легко вычисляется. В результате для
полного сечения рождения пары получается выражение, называе-
называемое формулой Брейта—Уилера:
2
<гр =——A— v2) ГC— p*)ln l + v — 2vB — v2) I, C2.12)
где v связано с параметром кц
x1 = -j-^r, w = j/l j|- • C2.13)
Переходя в систему центра инерции (см. C2.7)), сразу видим,
что v — скорость компонент пары в этой системе*: е+=е_=со =
б) Двухфотонная аннигиляция пары
Этот процесс является обратным рождению пары. Поэтому
квадраты амплитуд обоих процессов одинаковы (обозначим их
через Р). Сравним сечения аннигиляции rfaa и рождения пары
dop. Имеем, очевидно,
2/а ^ coi <в2
C2.14)
где дополнительный множитель 1/2 введен в сечение аннигиляции
вследствие тождественности фотонов. Возьмем интегралы по d3k2
и йър- с помощью б (р++р- — к! — к2), а интегралы по do)i и
d|p+| = е+б?е+/1 р+1 —с помощью б(е++8_—coi—со2). Тогда получим
_dCa_ = _Jp Ш^ 2 j
dap 2/a ©а|р+|
Переходя в систему центра инерции (см. C2.7)), имеем /p=feife2 =
= 2(о2; /а = 2со|р| (е+=8-=о)), и отношение C2.15) принимает вид
-^=-U_2L\a = _L_, C2.15a)
rf(Jp 2 \ |р| / 2у2
где у — скорость компонент е+е~-пары в СЦИ, т. е. инвариант
C2.13).
Кстати заметим, что параметр т C2.5) теперь удобнее пред-
представить с учетом закона сохранения p++p_=&i+&2 и &i2=?22 = 0
в виде
( + )а JL J.. (з2.16)
2 V ;
4m2 2m2
* Заметим, что формула C2.12) неприменима при достаточно малых око-
ростях v^.at так как тогда надо учитывать кулоновское взаимодействие элект-
электрона и позитрона, которое может привести к образованию связанной системы-»»
позитрония [8].
254
Сечение аннигиляции находим из C2.15а) и C2.12):
aa=-|?-=nrI-L^-[C-^)ln^— 2,B-,*)]. C2.17)
Рассмотрим предельные случаи общей формулы C2.17). В не-
нерелятивистском пределе (а<С1) получаем*
-?-' <32Л8)
причем в лабораторной системе (р-=0, v_=0) 2v = v+ — скорость
позитрона. В ультрарелятивистском пределе A — i>2<Cl) находим
^Г-Aп4^~ 1)( C2-19)
.^=A — u2)~1/2 = e/m, е = е+=8_— энергия компонент пары в
системе центра инерции. В лабораторной же системе (р-=0,
) имеем
-Щ- fin -^~ - 11, C2.20)
е.
где использованы соотношения C2.13) и C2.16).
§ 33. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОТОНОВ
Рассмотрим приближенный метод расчета сечений процессов,
в которых происходит столкновение частицы с 4-импульсом р и
массой т с заряженной частицей с 4-импульсом Q и массой М, и
в результате столкновения с обменом вир-
виртуальным фотоном с 4-импульсом k части-
частица т переходит в группу частиц с суммар- /,
ным 4-импульсом р'. Диаграмма такого ^
процесса показана на рис. 33.1, а, где кру-
кружок обозначает внутреннюю часть диаг-
диаграммы Q' — 4-импульс частицы М в ко- —г^
нечном состоянии. Q'
Расчет указанного процесса при опре-
определенных условиях (см. ниже) можно све-
свести к расчету более простого процесса
(фотопроцесса) с участием реального фо-
фотона, для которого &2 = 0 (см. диаграмму б р1
на рис. 33.1). Действительно, если частица
М ультрарелятивистская (в некоторой си-
системе отсчета), то создаваемое ею
* Расходимость сечения при о = 0 фиктивна,
так как формула C2.17) неприменима при v^a
(см. примечание к формуле C2.12)).
255
электромагнитное поле очень близко к плосковолновому, т. е. по-
почти поперечно (см. § 14, формулы A4.25) и A4.26)). Поэтому
виртуальный фотон (для него &2<j0) близок к реальному (fe2—0)
и поле частицы М оказывается эквивалентным (отсюда и назва-
название метода) потоку реальных фотонов с определенным распреде-
распределением по спектру частот со. Пусть dAf(co)—число фотонов в ин-
интервале (о, co+dco), а* (со)—сечение фотопроцесса с участием ре-
реального фотона частоты (диаграмма (б)). Тогда сечение исходно-
исходного процесса (диаграмма а) приближенно равно
, C3.1)
= J
где интегрирование идет по спектру эквивалентных фотонов dN.
Дадим вывод* формулы C3.1), называемой формулой Вейц-
зеккера—Вильямса, и получим спектр dN.
Матричный элемент процесса согласно общей теории (§ 26)
имеет вид
!?J»), C3.2)
где /ц — ток перехода частицы т в группу частиц //, /м- — ток пе-
перехода частицы М, которую мы будем считать точечной бесспино-
бесспиновой (скалярной) частицей с зарядом Ze. Для скалярных частиц
ток перехода
jfi = i J d4x [q? 5^ ф; — (а1* ф/) Ф,] eikx
с волновыми функциями ф,- =e~iQxf yf=ze-~iQ'x сводится к
C3.3)
Напомним, что из приведенного матричного элемента Ап 6-функ-
ции, выражающие законы сохранения, исключены, так что в
C3.2) k = Q—Q', и следует подставить именно ток /м- C3.3). Тог-
Тогда получим
C3.4)
71 &
Сечение процесса, зная C3.4), находим по общим правилам
(§27):
C3.5)
Bл)* Qo
* Мы следуем работе: Грибов В. К, К о л к у н о в В. А., Окунь Л. Б.,
Шехтер В. М. ЖЭТФ, 1961, т. 41, с. 1839.
256
где индекс а нумерует частицы группы р'(//=У*Ра)» инвариант-
ос
ный поток
i=[(pQJ-p2Q2V'2. (зз.б)
Проводя усреднение по поляризациям частицы т и суммиро-
суммирование по поляризациям и импульсам частиц р'а, найдем из C3.5)
сечение в виде
dа = - *ЛЛ?/ B<2-*)*BQ- W T»v ^—, C3.7)
4/«4 BяK 2Q0
где Т^ — симметричный тензор, полученный из е21»+1у в результа-
результате указанных операций.
Общий вид тензора Т^9 удовлетворяющего требованию ка-
калибровочной инвариантности (сохранению тока)
Tlxvkv=Tlxvklx = Oi C3.8)
таков:
T[iv=а [ ~^k~p»Pv+(p® g*v ~ p»kv ~~ pvkA + ъ (k2giiv ~k[i *v^
C3.9)
где а, Ь — функции инвариантов k2f p2, pk. Здесь мы учли, что тен-
тензор Т^ в силу его определения может зависеть лишь от 4-импуль-
сов k и р.
Вычисляя свертку T^BQ — k)^{2Q — k)v = 4Q^QvT^ где ис-
использовано C3.8), и подставляя ее в C3.7), получим сечение про-
процесса в виде:
(pfe)q (pk) I
T (pQ)*k* (pQ) J
. C3.i0)
Обратимся теперь к фотопроцессу (диаграмма б рис. 33.1).
Матричный элемент
А% = — ie УНТ е» }„, J» = J» \k, =0) C3.11)
где е^ — 4-вектор поляризации реального фотона.
Запишем сечение фотопроцесса с учетом C3.11)
ПсРр' е*Д -V 0 0 .
-ssts— -hs-T~ r«-r-i~- C3-12)
257
о
Подчеркнем, что здесь Т^ — тот же тензор C3.9), но взятый при
&2 = 0. Усредняя по поляризациям фотона согласно
получим с учетом C3.9) свертку
и* в результате сечение фотопроцесса C3.12) сводится к
**=i-a°. C3.13)
Пусть выполнены условия (для определенности считаем М>
>пг):
\k2\<p2=m2; \&\<{kp),
{pQJ>p2Q2=m2M2;
C3.14)
(pQ) >(?*),
в силу которых можно в сечении C3.10) положить
и пренебречь слагаемым, пропорциональным величине Ь. Тогда
сечение процесса с учетом C3.13) можно привести к виду
где a* — сечение фотопроцесса.
Преобразуем фазовый объем d3Q'/Q'o к инвариантным пере-
переменным (—k2) и (pk). Вычисления удобно выполнить в системе
центра инерции частиц m и М, в которой p+Q=0. Обозначив че-
через угол 0 между Q и Q', через <р — азимутальный угол вектора
Q' в плоскости, перпендикулярной Q, имеем
^ C3.16)
где учтено, что |Q' |d|Q'| = QodQi Далее,
fe2 = (Q — Q'J = 2Л12 — 2Q0 Qo + 21Q11Q' | cos e,
s = (p + kf = (p+ Q-Q'J = M2 + (p0 + Q0J- 2(p0 + Qo)Ql
Якобиан перехода (cos в, <2'о)-*ф, k2) таков:
a(s*2) -4(p0 + Qo) |Ql |Q'| Ql
Qo)
258
Поэтому C3.16) сводится к
Ж_ e_L .*?Ь«?*—..-»_ <*(_*) d(pft). C3.17)
Q'o 4 |Q|(Po + Qo) (PQ)
Здесь мы провели интегрирование по ф, что дает 2я, а также ис-
использовали соотношения ds = d(p2-\-k2-\-2pk) =2d(pk) и |Q|(Po+
+Qo)=[(pQJ — p2Q2]U2—pQ (так как p+Q=0 и выполнено
C3.14)).
Подставляя C3.17) в C3.15), получаем
(#)
я L (-*2)(pQJ
Проинтегрируем по &2 в пределах
где верхний предел соответствует границе применимости первого
из неравенств C3.14), а нижний — условию неотрицательности
сечения C3.18) (т. е. выражения в квадратных скобках). Указан-
Указанное интегрирование дает
^тах *тах
J (~*2) J х \ х
Л2) 1
— In у -4- 1 /^
— in Лщах i A —
при выполнении условий
Xmax = P*(P®* > 1, 1ПXmax > 1, C3.20)
т. е. в так называемом логарифмическом приближении. Неравен-
Неравенства C3.20), очевидно, согласуются с C3.14). Заметим также, что
верхний предел (—&2)шах в C3Л9) определен на самом деле лишь
по порядку величины, однако в логарифмическом приближении
C3.20) это несущественно.
Введем параметр у, и вместо (pk) новую переменную к со-
согласно
li= (pQ)/mM, к = 2(рк)/т2. C3.21)
Тогда окончательно получаем с учетом C3.18), C3.20) и C3.21)
сечение в приближении эквивалентных фотонов
йв = $а* (*)dN(x)9 C3.22)
где спектр эквивалентных фотонов
- —. C3.23)
259
Условия применимости приближения C3.22) запишем через
и х в виде (см. C3.14) и C3.20))
C3.24)
In (fi/)l
Обсудим физический смысл этих условий. Они задают кине-
кинематическую область, в которой дифференциальное сечение про-
процесса выражается через сечение фотопроцесса в виде C3.15). Если
указанная область вносит основной вклад в сечение (для этого
необходимо, чтобы функции а и Ь в C3.9) не возрастали с увели-
увеличением |&2|), то интегрирование по спектру эквивалентных фото-
фотонов в C3.22) дает главный логарифмический член в полном сече-
сечении («большой логарифм»), причем аргумент логарифма опреде-
определяется с точностью до численного множителя порядка 1.
Неравенство [О>1 означает, что относительная скорость на-
начальных частиц т и М близка к скорости света (это и приводит
к квазиреальности виртуального фотона). В самом деле, в систе-
системе покоя частицы M(Q = 0) имеем |л = ро/яО>1, т. е. частица т яв-
является ультрарелятивистской. В системе покоя частицы т (р = 0)
оказывается ультрарелятивистской частица М(\i = Qo/M^>\), пара-
параметр x = 2co/m, и условие ji/x»m/M означает Q0»co. Следователь-
Следовательно, отдачей частицы М можно пренебречь и считать, что она со-
совершает равномерное классическое движение, т. е. является клас-
классическим источником. Поэтому спектр эквивалентных фотонов
C3.23) можно получить также из классической электродинамики
путем разложения почти поперечного поля равномерно движу-
движущейся ультрарелятивистской частицы на плоские монохроматиче-
монохроматические волны [7].
Изложенный метод эквивалентных фотонов широко исполь-
используется при оценке сечений электродинамических процессов с уча-
участием частиц высоких энергий. В последнее время в модифици-
модифицированной форме он применяется в теории сильных взаимодей-
взаимодействий— квантовой хромодинамике при расчете элементарных про-
процессов взаимодействия кварков и глюонов.
§ 34. ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕКТРОНОВ
НА ЯДРЕ
Рассмотрим излучение фотона электроном при столкновении
его с массивным ядром. Этот процесс описывается блочной диа-
диаграммой а на рис. 34.1, которая представляется в виде суммы
двух обычных диаграмм бив, соответствующих испусканию тор-
тормозного фотона конечным или начальным электроном. Легко ви*
деть, что ввиду большой массы ядра М по сравнению с массой
электрона т (М^$>т) излучением фотонов ядром можно прене-
пренебречь. Действительно, уже из соображений размерности очевидно,
что сечение процесса излучения <тт частицей массы т пропорцио-
260
нально квадрату ее классического радиуса го = е2/т. Поэтому от-
отношение сечений излучения частицами масс т и М имеет порядок
ом/от ~(т/МJ<1.
а) Тормозное излучение ультрарелятивистских электронов
Точный расчет сечения тормозного излучения при произволь-
произвольной энергии электрона довольно сложен. Мы ограничимся рас-
!л
Q' "
(о)
P
Q
P1
*' '
Рис
1
1
(8)
. 34.1
P
Q
P'
Q' ^
\
(в)
A'
\
P
смотрением важного случая ультрарелятивистского электрона
(в системе покоя ядра), когда можно использовать приближен-
приближенный метод эквивалентных фотонов, изложенный в § 33 (нетрудно
проверить, что условия его применимости C3.24) в данном случае
выполнены).
Фотопроцесс, соответствующий тормозному излучению, это
комптоновское рассеяние фотона k на электроне с начальным
4-импульсом р (см. рис. C4.1)). Его сечение дается выражением
C0.34)
с,(*) 2 + 4A
v ' х .) A+аJ [ 2+и к \
C4.1)
u = (kk')/(kp')9 х = 2(fep)/m2,
где го = е2/т.
Сечение тормозного излучения в приближении эквивалентных
фотонов согласно C3.22) и C4.1) дается выражением
da j dn du
где do^/dii соответствует подынтегральному выражению в C4.1),
а спектр dN (к) дается формулой C3.24).
Интегрирование по х в C4.2) проводим в логарифмическом
приближении согласно
ОО ОО
J X
и
261
00
~ln-H- G(x)dx. C4.3)
и J
и
Используя C4.3), из C4.1) и C4.2) получаем сечение тор-
тормозного излучения в инвариантной форме
daB = 4aZV20 -^- (— + -М In A C4.4)
A+J\ \+и Зи ) и'
причем в пределах применимости метода расчета In (\i
Ze — заряд ядра.
Запишем спектр C4.4) в лабораторной системе, в которой
ядро покоится (Q = 0), а электрон ультрарелятивистский: е =
= ро>гп. Имеем (см. C3.21)) в этой системе
со' , , du . ,
U= , 8 =8 — @, =d@,
8—СО' A+«J
где од' — частота тормозного фотона, е' — энергия конечного
электрона. Сечение излучения принимает вид:
^ C4.5)
со s \ e 8 3 / mco
где 1п(ее7гасо')>1. В частности, сечение тормозного излучения
мягких фотонов (оо'-^О, е'—е) принимает вид:
daB = — Z2ar2Q — \n—t. C4.5a)
3 со' mco
Заметим, что сечение C4.5а) расходится при й>'->0, что при-
приводит к расходимости полного сечения. Расходимость сечения свя-
связана с неприменимостью теории возмущений при малых частотах,
так как вероятность излучения двух и более мягких фотонов ста-
становится больше вероятнее™ испускания одного фотона. Деталь-
Детальный анализ излучения мягких фотонов был проведен выше
(см. §25).
Часто вводится так называемое сечение потерь энергии на из-
излучение, связанное с сечением тормозного излучения йов соотно-
соотношением
s—т
<тИ8* = — f «'-5-d<B', C4.6)
я величину есгизл называют эффективным торможением. Подстав-
Подставляя в C4.6) сечение C4.5) и интегрируя по со7 в логарифмиче-
логарифмическом приближении (см. C4.3)), получим сечение потерь энергии
ультрарелятивистским электроном:
***л = 4ZWln (e/m). C4.7)
362
Пусть быстрый электрон движется через среду, содержащую N
ядер (или ионов) в единице объема. Тогда потери энергии элек-
электрона за счет тормозного излучения на единицу пути в среде
NaH3Jiy C4.8)
причем всю энергию электрон теряет на растояниях порядка
/радС/э1/Мтизл, C4.9)
и величина /рад называется радиационной длиной.
б) Рождение электронно-позитронной пары фотоном на ядре
Диаграммы процесса изображены на рис. 34.2. Мы не станем
i ¦" p.
О' d Q1 Q Q' Q
(о) F) (в)
Рис. 34.2
рассматривать общий случай произвольных энергий падающего
фотона, а ограничимся расчетом полного сечения образования
пары жестким фотонам с энергией @7^>т (в лабораторной систе-
системе, где ядро покоится) в приближении эквивалентных фотонов.
Фотопроцессом для данного процесса является рождение е+е~-
пары двумя фотонами W и k, которое было рассмотрено в § 32.
В указанном приближении полное сечение представляется в
виде (ср. C4.2))
a - \du \ ^^-—L2_L^_dx C4.10)
1 ' dxi du
где daP* — сечение двухфотонного рождения пары C2.11), а пере-
переменная и и параметр xi таковы (см. C2.5)):
и=- <**>' - Ш
Спектр эквивалентных фотонов dN{%\) дается формулой C3.23)
при замене там х на хь причем теперь параметр ц равен
li=k'Q/mM.
263
Интегрируя в C4.10) по к\ и и в логарифмическом прибли-
приближении (см. C4.3)), получим полное сечение
причем в лабораторной системе (Q = 0) имеем \i = (u'/m. Получен-
Полученная формула применима при lnjx>l.
При высоких энергиях сечение процесса растет логарифмиче-
логарифмически с ростом энергии фотона. Поэтому рождение пар является
основным механизмом энергетических потерь жестких фотонов,
движущихся в веществе (с этим процессом конкурируют фотоэф-
фотоэффект и комптон-эффект (см. § 30), но их сечения быстро убывают
в области больших энергий фотонов).
§ 35. ВАКУУМНЫЕ ЭФФЕКТЫ. ПЕРЕНОРМИРОВКИ В КВАНТОВОЙ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
До сих пор мы рассматривали электродинамические эффекты
в низших порядках теории возмущений. Обсудим теперь, к чему
приводит учет поправок более высокого порядка (так называе-
называемых радиационных поправок). Мы не
! j * станем излагать общую теорию (см.,
Л\У № напр., [7, 9]), а проиллюстрируем ее
пК. У\\ на пРимеРе одного из простейших эф-
/ \/ \ фектов — рассеянии электрона во
Р' (<0 р р'($) PJW p внешнем поле.
/Л а) Рассеяние электрона во внеш-
У нем поле
ЛЭтот эффект возникает уже в пер-
пер? вом порядке теории возмущений, ко-
торому отвечает диаграмма а рис. 35.1,
г (г) У г (о) У где крестиком отмечена линия внеш-
внешнего поля (виртуального фотона).
Рис. 35.1 Элемент S-матрицы первого порядка
S$ = _ ie J й,. (х) у*А» (х) % (х) d% ( 35 .1
где л|)р и \|v — волновые функции начального и конечного электро-
электронов с 4-импульсами р и //, нормированные обычным образом
(см. §21).
* и (р) е-**, $р.(х) = —Lzr и (р') ё**, C5.2)
2V 2'V
и (р) е, $р(х) z
V 2eV у 2e'V
о) поля, ко
C5.3)
А^(х)—4-потенциал внешнего (классического) поля, который
удобно представить в виде фурье-разложения:
264
так чю фурье-компонента потенциала
A[l(q) = ^d^xel'qxA[X(x). C5.4)
Подставляя C5.2) и C5.3) в C5.1), получим после интегри-
интегрирования по х
\^V»(я)»(р) х
~1/2 . C5.5)
Интеграл по q снимается б-функцией, и мы приходим к приведен-
приведенной амплитуде (см. § 27):
и(Р)> C5-6>
связанной с элементом S-матрицы соотношением
Sf =
прцчем в C5.6) <? = р/ — р.
Заметим, что в C5.7) отсутствует 6-функция, что выражает
несохранение 4-импульса во внешнем поле (ср. с B6.7) и B7.5)).
Поэтому переход от амплитуды процесса к вероятности несколько
отличается от проведенного в § 27. Мы ограничимся случаем ста-
стационарного внешнего поля, когда А[1(х) =ДА(г) и 4-мерная фурье-
компонента потенциала
^(я) C5.8)
выражается через компоненту пространственного разложения
ац( q) = J dPxer-tvA» (r). C5. 8a)
Подстановка C5.8) в C5.6) приводит C5.7) к виду
afi
C5.9)
t 1/9,
где введена новая амплитуда
(q)u(p)9 C5.10)
и б-функция б(^о)=б(е/ — е) выражает сохранение энергии элек-
электрона при рассеянии в стационарном внешнем поле.
Переходим теперь от матричного элемента C5.9) к вероятно-
вероятности перехода в единицу времени согласно B7.3). При этом вместо
квадрата 4-мерной б-функции B7.2) возникает квадрат одномер-
одномерной б(<7о), который следует понимать так:
265
где, как и в § 27, Т — большой временной интервал. В результате
лолучаем вероятность рассеяния:
е')|%|2 ??
— ??_
2eV BjtK2s'
C5.11)
которая в отличие от B7.8) зависит от нормировочного объема V.
Физический смысл имеет сечение рассеяния do, которое согласно
B7.9) получается делением C5.11) на плотность потока (ср.
B7.10)) j = v/V, где v=\p\/e — скорость начального электрона:
^C5.12)
2|p| BлK2е'
Рассмотрим важный случай рассеяния в кулоновском поле с
зарядом Ze, которое описывается 4-потенциалом
A*(r) = (Zefr, 0, 0, 0). C5.13)
Подставляя C5.13) в C5.8а), получим
flo(q)=j^l> a(q) = 0, C5.14)
и амплитуда C5.10) принимает вид
af' = - ^Г " О»') Y°« (P) • C5.15)
Вычислим сечение рассеяния неполяризованных электронов.
Усредняя квадрат амплитуды C5.15) по начальным и суммируя
по конечным спиновым состояниям электрона согласно общим
правилам (см. B7.19)), имеем
'C5Л6)
Вычисление следа упрощается, если заметить, что у°(ур')у() = ур,
тде р={е', —рх)> причем е/ = е. Расчет сводится к нахождению
-i- Sp [(ур + m) (yp + m)\ = m2 + (рр) - 2е2 - -|-, C5.17)
где использована формула C0.9) и
рр = е2 + рр' = 82 + р (р + q) = 2е2 + pq, pq = — q2/2, так как q =
= pr — Р и> следовательно, р'2 = т2 —(q + рJ = q2 + 2qp + m2, q2 ==
= —q2, qp = —qp в силу q° = 0.
Из C5.16), C5.17) и C5.12) получаем сечение рассеяния
JZ- = i{Ze*J-?-(l q—\, C5.18)
266
где dQ— элемент телесного угла в направлении импульса р' рас-
рассеянного электрона. Введем угол рассеяния 6=(р,р'). Тогда квад-
квадрат передачи импульса (электрону от внешнего поля)
q2 = (р' — рJ = 4р2 sin2 —, C5.19)
где учтено, что |р'| = |р|- Из C5.19) и C5.18) получаем сечение
в виде (формула Мотта)
C5.20)
2|р1о
В нерелятивистском пределе C5.20) переходит в известную клас-
классическую формулу Резерфорда.
б) Радиационные поправки к амплитуде рассеяния
Сечение C5.20) получено в первом порядке теории возмуще-
возмущений на основе амплитуды C5.10), которую теперь для краткости
запишем в виде
ЛA)=—eu(p/)y^aiXu(p). C5.21а)
Учтем теперь поправки к этой амплитуде порядка е2. Им от-
отвечают диаграммы б, в, г и д на рис. 35.1. Согласно правилам
Фейнмана запишем выражения для соответствующих амплитуд,,
обозначив их через ЛзC), ЛвC), ЛгC)и Лд<3>:
p), C5.216)
(p), C5.21в>
), C5.21г)
ЛдC) = —ей (р') уЧа^и (р). C5.21 д)
Здесь введены следующие величины:
массовый оператор
М (р) = (-ief j ^ y»S (p - k) yHD^ (k) =
= _4я^1 J-|5L Yii __^^^_Y|4_L_; C5.22)
вершинный оператор
Л^ (p'f р) = (- **)¦ f 7^- Ya5 {pf - k) y»S (p - i
= -4шУГ^!1уу /»'-* + « Y^ P-k + m 1
C5.23)
26T
поправка ба^ (ср. C5.21д) и C5.21а)) к потенциалу внешнего
лоля а» C5.14):
бац (Я) = -у- D^ (q) Р-Цд) а% (q) = -^-— P^(q) oP(q), C5.24)
4л q2 + ie
где
(-1) (_4яО (-teJ f -^ Sp [Y4S (ft) YvtS (* - q)] =
& f J^Sp ^ ' + m Г *~? + m 1 C5.25)
называется поляризационным оператором и при его записи по
правилам Фейнмана (§ 26) мы учли общий множитель (—1), вно-
вносимый замкнутой электронной петлей на диаграмме д рис. 35.1.
В формуле C5.21) — C5.25) использованы также обозначения:
й=у^ай, S(p) = —iSc(p) = (p+m)/(p2 — m2+ie) — пропагатор
электрона, D^ (k) s —iDc^ (k) — Ang^l (&2+ie) — пропагатор фото-
фотона (см. B6.8) и B6.9)). Все биспинорные индексы здесь и ниже
для краткости опускаются.
Итак, амплитуды Д-C) (t = 6, в, г, д) выражаются через массо-
массовый М(р), вершинный A^(p7, p) и поляризационный P^{q) опе-
операторы, определяемые интегралами C5.22), C5.23) и C5.25) со-
соответственно. Однако, мы сталкиваемся здесь с принципиальной
трудностью: все эти интегралы расходятся при &->-оо, что сразу
видно из подсчета числа степеней k в числителях и знаменателях
подынтегральных выражений. Именно, М расходится линейно,
А^ — логарифмически, P^v — квадратично.
Таким образом, формальный расчет по теории возмущений
поправок к амплитуде первого приближения C5.21а) приводит к
физически бессмысленному результату. Заметим, что формула
C5.20) для сечения рассеяния, полученная на основе амплитуды
C5.21а), хорошо согласуется с экспериментом. Это означает, что
правильный учет высших приближений теории возмущений дол-
должен давать малые (а не бесконечные!) поправки к сечению
C5.20).
Корни этой трудности заключаются в том, что при построе-
построении теории возмущений (см. § 26) мы фактически считали элек-
электрон «голым», т. е. не взаимодействующим с электромагнитным
вакуумом, а затем уже «включали» это взаимодействие. Поэтому
постоянные е и т в уравнениях квантовой электродинамики
(см. § 23) имеют смысл заряда и массы голого (нефизического)
электрона. Реальный же (физический) электрон имеет заряд е0 и
массу то, которые отличаются от «затравочных» значений е и т
(см. также выше § 24). Экспериментально измеряются именно па-
параметры в0 и /п0, и через них должны быть выражены результаты
расчетов, которые сравниваются с экспериментом. Исключение не-
268
физических величин е и т с помощью соотношений типа е = е (е^пц),
m = m(eQy гщ) и переход к наблюдаемым величинам е0 и т0 назы-
называется перенормировкой. При этом оказывается, что если пере-
перенормировать заряд и массу электрона, то расчет всех наблюдае-
наблюдаемых величин в любом порядке теории возмущений дает конечный
результат. Теория, обладающая указанным свойством, называется
перенормируемой. Квантовая электродинамика является именно
такой теорией, что может быть строго доказано [9].
в) Перенормировка массы
Сумма амплитуд C5.21а) — C5.21в), которым отвечают диа-
диаграммы а—в рис. 35.1, дает амплитуду
Ат^АМ+Аб® +А*C) = — eU(p')y»a»U{p). C5.26)
Она отличается от ЛA> заменой биспиноров и(р) и и(р') на эф-
эффективные биспиноры согласно
U(p)=u(p)+S(p)M(p)u(p)t
C5.27)
O(p')=u(p')+u(p')M([/)S(p').
Этим новым величинам можно сопоставить так называемые эф-
эффективные электронные линии (см. рис. 35.2, который графиче-
графически иллюстрирует первое из равенств C5.27)). Массовому
11(9) = 49) SM f^\ Щр)
= р р р-к р
Рис. 35.2
оператору М(р) соответствует петля на диаграммах. Выясним
физический смысл этого оператора. Не стремясь к математиче-
математической строгости, мы будем оперировать с бесконечными величина-
величинами как с конечными. Применяя к U(p) оператор р — т, с учетом
соотношений (р — m)u(p)=0 и (р — /n)S(p) = l получим
{fi-m)U(p)=Mu{p).
Далее заметим, что, учитывая только поправки — е2 к основ-
основной амплитуде А^\ можно положить Mu—MU и получить для
U(p) уравнение
(fi-m-M(p))U(p)=0.
Сравнивая его с уравнением для обычного биспинора («голого»
электрона) (р — т)и(р)=0, видим, что М(р) описывает сдвиг
269
массы «голого» электрона при учете его взаимодействия с элек-
электромагнитным вакуумом.
Легко убедиться в том, что если учесть поправку ~ е2 к про-
пагатору электрона (см. рис. 35.3), то это приводит к замене
+({p)) Ч
р — т р — т р — т р — т р — т—
\ S(p)
Рис. 35.3
откуда вновь ясен смысл М(р). Модифицированный пропагатор
G(p)=[p — т — М(р)]~1 удовлетворяет, очевидно, уравнению
\p-m-M(p)]G(p) = l,
аналогичному (р — m)S=l, и может быть записан (с принятой
точностью) в силу C5.28) в виде
G(p) = S(p) +S(p)M(p)S(p) = j_Ml_M у C5.29)
Рассмотрим теперь массовый оператор М(р) подробнее, уточ-
уточнив, как именно он описывает поправку к массе электрона. Ин-
Интеграл C5.22) расходится. Для его регуляризации заменим про-
пропагатор фотона согласно
-±- + 1 =^-, C5.30)
где Х<^т9 А^>т. Величина X имеет смысл малой массы фотона и
введена для устранения «инфракрасной» расходимости при малых
k2 в регуляризованном по правилу C5.30) интеграле (в исходном
интеграле C5.22) ее нет). Эта расходимость фиктивна, так как
при правильном расчете наблюдаемых величин зависимость их от
X исчезает (см. ниже). Параметр Л необходим для сходимости
интеграла при &->оо. Отметим, что замена C5.30) эквивалентна
ограничению области интегрирования по k условием А,2<&2<Л2 в
{35.22).
Обозначим регуляризованный массовый оператор через М(р).
Он определяется интегралом
М(р) = ~Шё> Г2т-^ ' I ~А2 ) ^*_. C5.31)
При переходе от C5.22) к C5.31) использована замена C5.30) и
соотношения y^Yh^, у^ру^ —2р. Методы вычисления интегралов
270
типа C5.31) изложены, например, в [9]. Мы приведем результат
вычисления C5.31), справедливый при р2 — т2<^т% и отбрасыва-
отбрасывании членов ~ т/А:
Ж (р) =8т— [Zr1 — 1 + R (p)] (p — tn),
C5.32)
m(ln
4я V т2
1 tt Г l In Л" 4- In ^ -L 9 1
— 1 = — In + In + — ,
2я [ 2 m2 m2 4 J
a функция R(p) (явный вид ее мы не приводим) обращается в
нуль при р2 = т2 и не зависит от Л.
Электронный пропагатор C5.29) при р2-+т2 с учетом C5.32)
можно записать в виде:
G (Р) = —J = ^J±— + О (а2), C5.33)
так как с точностью —а имеем для постоянной Z2 из C5.32) вы-
выражение:
Za== 1 «_ Г-Lln-^l + in-*^ + A] C5.34)
2 2л: L 2 m2 m2 4 J V
и с той же точностью Z26m^6m.
В C5.33) мы ввели величину
то = т+Ш, C5.35)
которую можно отождествить с физической массой электрона, а
8т — с его электромагнитной массой. Заметим, что 8т расхо-
расходится при Л->-оо логарифмически, а в классической теории элек-
электромагнитная масса обладает линейной расходимостью [2]. Мас-
Масса голого электрона т и электромагнитная поправка 8т к ней не
наблюдаемы порознь. Наблюдаема лишь их сумма C5.35) —
масса реального (физического) электрона.
Таким образом, при p-vm0 пропагатор электрона
C5.36)
р — mQ
Используем этот результат, чтобы установить связь биспино-
ров и(р) и U(p) (см. C5.27)). Поскольку пропагатор квадрати-
квадратичен по биспинорным амплитудам (см. B2.16) и B2.42)), то из
C5.36) следует искомое выражение для биспиноров
U (р) = УХ и (р), U (pf) = Yzlli (p'), C5.37)
которые соответствуют физическому электрону. Здесь уже прове-
проведена перенормировка массы, так что р2=р/2 = т02, где т0 — физи-
физическая масса C5.35).
271
г) Поправка к вершине
Вершинный оператор C5.23) определяет поправку C5.21 г) к
амплитуде низшего порядка C5.21а), обусловленную обменом
виртуальным фотоном между начальным и конечным электрона-
электронами. Регуляризация интеграла C5.23) проводится по правилу
C5.30). Мы приведем результат вычисления при малых передан-
переданных импульсах q = pf—р(—q2 = q2<^m2) [7]:
-v*d- C5-38>
Сложим теперь амплитуду C5.26), которую с учетом перенор-
перенормировки C5.37) можно записать в виде
Ат= —ег2п(р')у»а»и(р), C5.26а)
с амплитудой C5.21 г), куда надо подставить C5.38).
Замечая, что в силу C5.32) и C5.34)
Z2+(Z2-i-l) = l,
получаем результат
Ат=Ат + 43) = -ш(р')\г+ Г -f- -4-(ln-f т
L Зя mz \ Л 8 /
+ i -±- of»* qv} п (р) % (q), C5.39)
не зависящий от параметра обрезания Л, но содержащий «массу
фотона» X. Здесь
G&V = _L_ /у.ц yv — Yv Vм1) •
д) Поляризация вакуума. Перенормировка заряда
Рассмотрим теперь амплитуду C5.21д), которой отвечает диа-
диаграмма д рис. 35.1, содержащая электронную петлю. Эта ампли-
амплитуда описывает эффект, называемый поляризацией вакуума, а
именно вакуума электронно-позитронного поля при включении
внешнего поля. Наглядно диаграмму д можно интерпретировать
так: внешнее поле рождает виртуальную электрон-позитронную
пару, которая является источником добавочного электромагнитно-
электромагнитного поля бай C5.24).
Добавка бай выражается через поляризационный оператор
(д), определяемый интегралом C5.25). Этот интеграл имеет
сильную (квадратичную) расходимость. Его регуляризация про-
проводится вычитанием из C5.25) аналогичного интеграла, который
получается из первого заменой т на параметр М^>т:
р»>(q) = p» (qt т*) - р™ (?, М2). C5.40)
272
Заметим, что поляризационный оператор имеет, очевидно (см.
C5.25)), структуру
где первое слагаемое называется поперечной частью (его свертка
с f и ^ дает нуль), а второе — продольной. Физический смысл
имеет только поперечная часть, так как именно она обеспечивает
необходимую калибровочную инвариантность матричных элемен-
элементов физических процессов (см., например, C5.24) и C5.21д)). Ре-
Регуляризация Р^ по правилу C5.40) сразу дает поперечный тензор
Приведем результат вычисления C5.41) при \q2\/m2<Cl [7]:
Р (О2) = - — Ф \\ In -^- + -V -*Н • C5-42)
я L 3 т2 15 т2 J
Подставляя C5.41) и C5.42) в C5.24), получаем поправку к по-
потенциалу внешнего электромагнитного поля, обусловленную поля-
поляризацией вакуума электронно-позитронного поля:
C5.43)
Подставим C5.43) в амплитуду C5.21д), которую сложим с
C5.39). В результате получаем амплитуду рассеяния с учетом
всех радиационных поправок — е2 (диаграммы а—д рис. 35.1):
(taf—fir)+ '^г-Н"** <35-44)
которая зависит от параметра обрезания М^>т. При q2
C5.44) переходит в случае кулоновского потенциала C5.16) в
r) (p)Y(P) C5.45)
т2 / q2
т. е. отличается от амплитуды низшего порядка C5.15) фактором
Z3 = 1 5— In -^-. C5.46)
3 Зя т* У }
Произведем теперь перенормировку заряда электрона, посту-
постулировав, что наблюдаемым (физическим) зарядом е0 является ве-
величина, связанная с «голым» зарядом е соотношением
C5.47)
273
где Z3 — постоянная перенормировки C5.46). Это соотношение
для наглядности можно записать в виде
*§=<*+
Зя
C5.47а)
и интерпретировать отрицательную добавку бе2 к «голому» заря-
заряду как результат его экранировки зарядами виртуальных элек-
трон-позитронных пар.
После перенормировки заряда амплитуда C5.44) принимает
вид
+ i —2- 01* ^1 „ {p) a {q)j {35.48)
4я т J
где во и т обозначают наблюдаемые заряд и массу реального
электрона. Она не зависит от параметров обрезания Л и М, но
все еще содержит «массу фотона» X.
Заметим, что после перенормировки заряда возникает конеч-
конечная добавка 6a^R к внешнему полю, которая является наблюдае-
наблюдаемой. При |<72|/m2<Cl она согласно C5.43) имеет вид
б а^ (q) = —
Эта поправка дает вклад в сечение рассеяния (см. C5.48)) и в
сдвиг уровней энергии связанных состояний электрона во внеш-
внешнем поле (например, смещение уровней атома водорода — лэмбов-
—ш +
Рис. 35.4
ский сдвиг, основной вклад в которой дают вакуумные флуктуа-
флуктуации электромагнитного поля) [3, 7, 8].
Рассмотренный выше поляризационный оператор Р»у(к) воз-
возникает также при расчете радиационных поправок к процессам с
участием реальных и виртуальных фотонов. Так, учет поправки
— е2 к фотонному пропагатору (см. рис. 35.4) Z)^v(fe) приводит к
замене его на
G$ (k) = Dm (k) + Dm (k)
274
причем при k2-+0 получается (в принятой калибровке
/г2
где Z3 — постоянная перенормировки C5.46).
Если в реакции участвуют реальные фотоны, то учет попра-
поправок к соответствующим внешним линиям приведет к умножению
«голой» фотонной амплитуды на ]/Z3 (ср. вывод C5.37)). Одна-
Однако вершине, куда входит фотонная линия отвечает голый заряд
е. Поэтому в матричном элементе возникает фактор ]/Z3 е = е0 —
перенормированный заряд. Это значит, что после перенормировки
заряда поправки к внешним фотонным линиям учитывать не надо.
Ниже перенормированный заряд обозначается через е.
е) Аномальный магнитный момент электрона
Рассмотрим, к каким физическим эффектам приводит послед-
последнее слагаемое в амплитуде C5.48). Из сравнения ее с C5.38) и
C5.39) видно, что происхождение этого слагаемого обусловлено
исключительно поправкой к вершине Л^ (диаграмма г рис. 35.1).
В пределе q-+0 оставим в C5.48) только линейные члены по q:
AR~-eu(//) (у» + i -^- ^r-) и(р) %(q). C5.49)
Преобразуем эту амплитуду, используя соотношение
2т (и'у»и) = (и'и) (р'^+Р11) +i (u'o^u) qVf C5.50)
которое вытекает из уравнений Дирака (р — т)и = 0, и'(р' — т) =
= 0 и правил коммутации матриц у^. Тогда получим:
C5.5.)
Как видно, спиновые эффекты во взаимодействии электрона опре-
определяет второе слагаемое (первое отвечает бесспиновой частице).
Для большей ясности введем фурье-образ тензора внешнего поля
^nv (я) = — i (?ц % (я) — qv % (я))
и перепишем спиновую добавку в C5.51) в виде
6m AR = ± . ^- A + -±- j и' (&»F^ и. C5.52)
Выражая g^F^ через S и а и векторы напряженностей поля
Е и Н с помощью (8.55), (8.56) и A0.11а), получаем C5.52) в
трехмерной форме:
1аЕ)иу C5.53)
где
fi = lio(l+a/2n), C5.54)
lio = eh/2mc — магнетон Бора.
275
Выражение C5.53) описывает, очевидно, взаимодействие с
внешним полем электрона, имеющего магнитный момент ц, кото-
который отличается от обычного (нормального) дираковского момен-
момента на величину
H' = ^-Ho, C5.54а)
называемую аномальным магнитным моментом. Существование
этого момента подтверждено экспериментально. Теория позволяет
вычислить следующую поправку — а2 к нормальному моменту |л0:
+ -^ 0,328 -2!_) . C5.55)
Она также хорошо согласуется с экспериментом (с точностью
выше 1%).
ж) Сечение рассеяния во внешнем поле с учетом радиацион-
радиационных поправок
Рассмотрим сечение рассеяния с учетом поправок — а к сече-
сечению dcrA) первого приближения теории возмущений (называемого
борновским), которое определяется формулой Мотта C5.20). Ам-
Амплитуда рассеяния с учетом радиационных поправок Лн = ^A)+
+Л<3\ отвечающая сумме диаграмм рис. 35.1 (явный ее вид при
малых \q2\<^m2 дан в C5.44)), оказывается для этого недостаточ-
недостаточной. Необходимо наряду с радиационными поправками .AC>~Za2
к борновской амплитуде ЛA)~Za учесть второе борновское при-
приближение, которому отвечают амплитуда Л<2>~ (ZaJ и диаграмма
рис. 35.5. Действительно, сечение рассеяния с точностью до чле-
членов ~ а3 пропорционально
C5.56)
т. е. Л<2> и ЛC) дают вклады одного порядка, если заряд ядра
Z-1.
Полученное таким образом сечение рассеяния (назовем его
упругим, см. ниже) представляется в виде суммы
doe = doM+doW +doR\ C5.57)
где отдельные слагаемые отвечают разложению C5.56).
Поправка за счет второго борновского приближения daB), как
показывают расчеты, выражается через daA) в виде [7]:
е
1 — sin-—
nvsln- , C5.58)
1— и2 sin2
где t>=|p|/e — скорость электрона, 0=(р,р')—угол рассеяния.
276
Радиационная поправка da^^2Re(y4AMC)*) имеет в общем
случае произвольных q2 довольно сложный вид. Мы не станем его
приводить, а укажем лишь общую структуру:
da% = a \R(q2) — F^2) In —1 dor^. C5.59)
Эта поправка содержит слагаемое
do*, = — aFln— d a*1*, C5.60)
которое обладает инфракрасной расходимостью (если «масса фо-
фотона» Аг-^О). При малых |#2|<Ст2 функция F, как видно из
C5.48), имеет простой вид:
F = - 2L. C5.60а>
Зл m2 v
Зависимость сечения C5.57) от фиктивной «массы фотона» Хг
введенной при регуляризации расходящихся интегралов (см.
выше), не имеет физического смысла Эта трудность преодоле-
преодолевается следующим образом. Физический смысл имеет лишь сече-
сечение такого процесса, в котором учитывается тормозное излучение
Ряс. 35.5
мягких фотонов (см. выше § 25 и рис. 35.6, где показаны соответ-
соответствующие диаграммы) с энергией, меньшей некоторой заданной
величины сотах- Эта величина определяется разрешением по энер-
энергии А? экспериментальной установки, которая фактически реги-
регистрирует события, отвечающие как упругому рассеянию, так и не-
неупругому рассеянию с испусканием мягких фотонов с энергией
со<А?' = сотах. События этих двух типов экспериментально не раз-
различимы, поскольку энергия электрона измеряется с точностью Д?.
Если теперь вычислить по теории возмущений сечение рассея-
рассеяния с излучением мягкого фотона с энергией охсощах, то полу-
получается следующий результат [7, 8]:
2ow rfaO), C5.61)
л»
277
где jF — та же функция, что и в C5.57), причем при вычислении
сечения C5.61) необходимо использовать метод регуляризации
полного сечения излучения путем введения «массы фотона» К
(в отличие от использованного в § 25 метода). Дело в том, что,
хотя наблюдаемые величины не зависят от способа регуляриза-
регуляризации, однако все расходящиеся величины, встречающиеся в проме-
промежуточных расчетах, должны регуляризоваться одинаковым спосо-
способом [8]. Именно поэтому метод расчета величин C5.59) и C5.61)
выбирается одним и тем же. Можно, конечно, использовать метод
§ 25, но одновременно для обеих величин.
Сложив C5.60) и C5.61), получаем
C5.62)
т. е. вклад мягких виртуальных фотонов (|к|~ К) сокращается с
вкладом излучения мягких реальных фотонов. Можно показать,
что это справедливо для любого процесса рассеяния.
Заменяя в C5.59) dax на сумму C5.62), получаем наблюдае-
наблюдаемую радиационную поправку
daR = a \R(q*)—F(q2) In ——] d Ф\ C5.63)
а сечение чисто упругого рассеяния переходит в сечение процесса,
в котором учитывается испускание мягких фотонов с энергией,
Меньшей (Dmax!
do = doM+deW+doR. C5.64)
Это сечение не содержит расходимостей, но зависит от параметра
сотах. Так и должно быть в силу определения процесса рассеяния
как процесса с испусканием любого числа мягких фотонов с энер-
энергией, меньшей сотах, которая зависит от конкретных условий экс-
эксперимента. Как видно из C5.63), чем меньше ©шах, тем меньше
сечение C5.64). Переход к пределу u)max-^0 в C5.64), конечно,
невозможен, так как эта формула получена при расчете сечения
излучения мягких фотонов по теории возмущений, неприменимой
в этом пределе. Выход за рамки теории возмущений, как указы-
указывалось в § 25, дает для сечения в пределе сощах-^О нулевой ре-
результат, т. е. невозможность чисто упругого рассеяния.
Заметим, что множитель в квадратной скобке в формуле
C5.63) —универсальная функция, не зависящая от типа внешнего
поля, которое определяет только вид сечения daA).
Приведем, наконец, явный вид радиационной поправки
C5.63) в двух предельных случаях [8]. В нерелятивистском при-
приближении
+
2comax 30
278
C5.65)
в ультрарелятивистском пределе (энергия электрона е>/п):
daR = —?5L In Jj-ln ——, q2/m2 » 1. C5.66>
я m2 comax
Итак, на примере расчета сечения рассеяния электрона во
внешнем поле мы показали, что учет высших приближений тео-
теории возмущений в квантовой электродинамике требует перенор-
перенормировки массы и заряда электрона. После проведения этой опера-
ции правила Фейнмана позволяют получить однозначные конеч-
конечные выражения для всех наблюдаемых величин в любом порядке
по параметру е2. Это может быть строго доказано [7, 9].
Все поставленные до сих пор эксперименты по проверке кван-
квантовой электродинамики обнаруживают замечательное согласие с
ее предсказаниями.
§ 36. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СИНХРОТРОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
И ИХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
С момента открытия синхротронного излучения прошло уже
около 40 лет, однако интерес к этому физическому явлению не
только не исчез, а, напротив, все более возрастает. Генерация
синхротронного излучения была впервые экспериментально обна-
обнаружена при движении электронов в кольцевом ускорителе — син-
синхротроне, отсюда и произошло само название этого типа излуче-
излучения. Развитие теории синхротронного излучения, предсказавшей
все его свойства, по времени предшествовало эксперименту. Этим
особенно был подчеркнут интерес к экспериментальному исследо-
исследованию нового физического явления. В пятидесятые годы синхро-
тронное излучение приобрело исключительно важное значение при
разработке и сооружении электронных циклических ускорителей
рассчитанных на высокие энергии частиц. Оказалось, что в усло-
условиях релятивистского движения электронов в магнитном поле син-
хротронное излучение выступает как фундаментальный фактор,
определяющий динамику частиц в ускорителе: радиационные по-
потери энергии, классическое радиационное затухание бетатронных
колебаний, квантовые флуктуации траектории частицы.
В те годы теория излучения релятивистских частиц, движу-
движущихся в магнитном поле, привлекла к себе внимание астрофизи-
астрофизиков в связи с проблемой объяснения природы электромагнитного
излучения, возникающего в космическом пространстве. Шведские
ученые X. Альфен и Н. Герлофсен [1]* A950) выдвинули гипоте-
гипотезу объяснения нетеплового радиоизлучения Галактики механиз-
механизмом магнитотормозного (синхротронного) излучения. В нашей
стране в те же годы этими вопросами начали заниматься
В. Л. Гинзбург [2] и И. С. Шкловский [3] A953). Развитие теории
и эксперимента шло по пути широкого признания важной роли
Литература, цитируемая в § 36, приведена в конце параграфа.
279
магнитотормозного излучения — это обусловило выдающиеся
успехи радиоастрономии.
Была установлена связь с синхротронным излучением радио-
радиоизлучения сверхновых звезд (Кассиопея А, Телец А, радиогалак-
радиогалактика М-87), а также спорадического радиоизлучения Солнца и
Юпитера. В некоторых случаях было открыто синхротронное из-
излучение не только в радиодиапазоне, но также в оптическом и
рентгеновском (Крабовидная туманность). Открытие сверхзвезд
или квазаров показало, что сильное радиоизлучение этих весьма
необычных и крайне удаленных от нас объектов хотя бы частич-
частично имеет синхротронный характер. Интерес к еинхротронному
излучению вызвало также открытие регулярно пульсирующих ра-
радиоисточников — пульсаров: высокая степень поляризации их
излучения дает основание предполагать, что механизм этого из-
излучения подобен еинхротронному. В настоящее время, таким об-
образом, синхротронное излучение в радиоастрономии прочно заво-
завоевало свои позиции.
В последнее десятилетие новый интерес к еинхротронному из-
излучению возник в связи с проведением фундаментальных научных
исследований в областях спектра, которые до недавнего времени
не были обеспечены достаточно мощными источниками излуче-
излучения, в частности в области вакуумного ультрафиолета и рентгена
вплоть до мягкого гамма-излучения.
Длины волн этой области спектра имеют порядок размеров
атомов и молекул, в силу чего такое электромагнитное излучение
вступает в хорошее взаимодействие с твердым телом. Синхро-
Синхротронное излучение, являясь уникальным источником электромаг-
электромагнитных волн, обладает высокой интенсивностью в широком диапа-
диапазоне частот — от инфракрасной области до жесткого рентгена.
Зто открыло возможность применения излучения, как средства
исследований в физике твердого тела, в атомной и молекулярной
физике, радиохимии, в молекулярной биологии.
Современный этап исследований с применением синхротрон-
ного излучения характерен не только развитием работ по исполь-
использованию излучения от действующих источников, но и сооружением
специализированных источников синхротронного излучения —
прежде всего накопительных колец для электронов. Применение
синхротронного излучения с каждым днем расширяется, открывая
перед экспериментаторами новые области, ранее недоступные
для исследования.
Таким образом задача об излучении электромагнитный волн
электронами, движущимися в магнитном поле, на первый взгляд
частная задача электродинамики, приобрела фундаментальное
значение.
а) Спектрально-угловые характеристики синхротронного из-
излучения
С целью качественного анализа особенностей углового расп-
распределения мощности синхротронного излучения напомним, что,
280
как было показано в § 16, излучение нерелятивистского электрона
обладает ярко выраженным дипольным характером. Поэтому про-
пространственное распределение мощности дипольного излучения
имеет тороидальный вид (рис. 36.1).
Пусть а|/ — угол между направлением излучения и скоростью
частицы в системе координат, где наблюдатель покоится. Тогда
Рис. 36.1. Угловое распределение синхротронного излучения:
а) при низкой энергии (и<с); б) для ультрарелятивистских
электронов (v~c)
угол г|), под которым наблюдается излучение в лабораторной сис-
системе координат, можно найти по правилу сложения скоростей
(формула аберрации)
— P2 sinip'
C6.1)
Полагая далее а|/=я/2 — максимум мощности дипольного излу-
излучения, получим, что
тс* 1
= •
Y
Sin г|) ^ б if
C6.2)
Таким образом, вследствие эффекта Допплера синхротронное из-
излучение в случае релятивистского характера движения сосредо-
сосредоточено в узком конусе вокруг мгновенного направления движения
электрона и направлено вперед по движению. Угол раскрытия
Ю Заде. 590
281
конуса &ty = mc2/E быстро убывает с энергией. Этот результат
соответствует выводу, полученному в § 17 несколько другим ме-
методом.
Остановимся теперь на особенностях спектрального состава
излучения с точки зрения качественного подхода к этому вопросу.
Рассмотрим синхротронное излучение, приходящее в точку Р
(рис. 36.2). Вследствие характерного углового распределения
V *$>
Рис. 36.2
мощности излучения наблюдатель видит электрон при его движе-
движении на коротком участке траектории. Если 1Г — эффективная
длина дуги (/r=i?6x|)), на которой формируется излучение
(см. § 17, A7.20)), то время, в течение которого электрон прохо-
проходит это расстояние, равно
%'=Цс.
C6.3)
Длительность импульса в лабораторной системе координат Д* с
учетом запаздывания в распространении электромагнитной волны
будет очень короткой, похожей на вспышку, т. е. в соответствии
с § 17 имеет порядок
Д/~/у~2т'. C6.4)
Поэтому в точку Р будет приходить не одна волна, а волновой
пакет, ибо одна волна не может переносить сигнал, локализован-
локализованный во времени. Как известно, интервалы Д? и До, характеризу-
характеризующие длительность сигнала и частотный состав спектра, связаны
зависимостью
Д^Дсо—1. C6.5)
Поэтому наблюдатель в точке Р будет регистрировать целый
ряд гармоник спектра, включая частоты порядка Дсо^ё1/Д?. Оче-
Очевидно, возможны два предельных случая.
1) Синхротронное излучение
В этом случае длина дуги формирования излучения равна
lr=R8ty—R/y. Поэтому должен наблюдаться спектр частот с мак-
282
симумом в области высоких гармоник частоты обращения соо=
lR
д*
х1
L_y.
C6.6)
Таким образом, наблюдатель будет регистрировать не только
излучение на основной частоте обращения электрона, но также и
высшие ее гармоники, которые в зависимости от энергии частицы
могут лежать в видимой части спектра («светящийся» электрон),
а также вплоть до вакуумного ультрафиолета и рентгена. Как
было показано в § 17, характерная кривая f(y) распределения
мощности синхротронного излучения в зависимости от номера из-
излучаемой гармоники v = (o/o)o,
AfL3 C6.7)
(of
cof
Рис- 36-3- Схема Движения части-
цы в 0НДУлят°Ре
обладает максимумом, соответствующим значению критической
частоты (ос = соКрсин=<оо(?/тс2K. Спектральная формула A7.52)
была впервые получена А. А. Соколовым и Д. Д. Иваненко [4]
A948), а также Швингером [5]
A949). График функции f(y)
представлен на рис. 17.1.
Заметим, что кривая спект-
спектрального распределения мощности
синхротронного излучения (рис.
17.1) по своему виду напоминает
распределение Планка для излуче-
излучения абсолютно черного тела (см.,
например, [6]). Сопоставление мак-
симумов излучения показывает, что
синхротрон, ускоряющий электро-
электроны до энергии 5 ГэВ, подобен черному телу с температурой 107 К.
Другими наземными источниками такого излучения могут быть
высокотемпературная плазма или ядерный взрыв.
2) Ондуляторное излучение
Рассмотрим второй предельный случай излучения релятиви-
релятивистских частиц. Пусть теперь электрон движется в периодическом
магнитном поле с периодом /0 (ондулятор) (рис. 36.3).
Если длина дуги формирования излучения значительно
меньше, чем /0 (/r=#6i|)</o), то излучение будет определяться
локальной кривизной траектории, и снова мы получим картину
спектра, характерную для синхротронного излучения. Возможен,
однако, другой случай: длина дуги формирования излучения име-
имеет порядок периода поля /0 (ондуляторный режим). Тогда из
C6.6) получим, что
/о
тс*
C6.8)
10*
283
со = /г
Характер излучения остается синхротронным: все излучение на-
направлено вперед по движению электрона, однако максимум мощ-
мощности излучения падает теперь на несколько иную величину. Из-
Излучение теперь идет сразу со всей траектории электрона.
Как показывает теория (см., например [7, 8]), если электрон
в ондуляторе излучает в направлении вперед по движению, то его
частота излучения равна
*(-=¦)"•
где л=1, 2, 3, ... — номер гармоники. Отсюда следует, что макси-
максимум мощности ондуляторного излучения падает на основной тон
п= 1, ибо
2? C6.10)
Этим спектр излучения электрона в ондуляторе существенно отли-
отличается от синхротронного излучения.
Остановимся теперь на вопросах экспериментального наблю-
наблюдения спектрально-углового распределения мощности синхротрон-
синхротронного излучения. Синхротронное излучение было впервые предска-
предсказано теоретически Д. Д. Иваненко и И. Я. Померанчуком [9]
A944). Первые попытки экспериментального наблюдения этого
явления были не совсем удачны. Косвенно (по радиационному
сокращению радиуса орбиты электрона) синхротронное излуче-
излучение было обнаружено Блюиттом [10] A946) на синхротроне
80 МэВ. Однако попытки прямого поиска излучения были безус-
безуспешными, поскольку Блюитт неправильно оценил спектральный
состав синхротронного излучения и искал его в микроволновом
диапазоне, считая, что максимум интенсивности падает на основ-
основную частоту обращения электрона в магнитном поле.
После работ Л. А. Арцимовича и И. Я. Померанчука [11]
A946), а также Швингера [12] A946), в которых была дана оцен-
оценка критической гармоники соответствующей максимуму излуче-
излучения, стало ясно, что синхротронное излучение следует искать
в видимой части спектра. И в 1947 г. на том же синхротроне на
80 МэВ это излучение было обнаружено визуально в виде легкого
свечения в вакуумной камере (группа Поллока [13]).
Дальнейшее развитие классической теории синхротронного
излучения было направлено на изучение его спектрального и уг-
углового состава. Д. Д. Иваненко и А. А. Соколову [4] A948) с по-
помощью приближенных методов квазиклассической квантовой ме-
механики удалось получить замкнутую асимптотическую формулу^
описывающую весь спектр синхротронного излучения (см. A7.52)
и рис. 17.1).
Полученные теоретические выводы дали возможность деталь-
детального количественного исследования закономерностей излучения.
Группа Поллока [14] A948) экспериментально исследовала расп-
284
ределение мощности излучения в области длин волн от 3500 до
7000 А, что соответствовало энергии электронов 30—80 МэВ. Из-
Излучение было сосредоточено в узком конусе в виде пятна темно-
красного цвета при 30 МэВ и яркого голубовато-белого при
90 МэВ. При этом свечение было столь ярким, что было видно
даже при дневном свете. Ю. М. Адо и П. А. Черенков [15] A956)
на синхротроне ФИАН исследовали видимую область спектра
излучения электронов при энергии 150—225 МэВ.
Во всех опытах было обнаружено хорошее согласие теории
с экспериментом по крайней мере в видимой области спектра.
Синхротронное излучение явилось наиболее непосредственным
фактором для обнаружения электрона: оно испускается самим
электроном, движущимся в электромагнитном поле, не имеющем
микроструктуры. Электрон становится «светящимся» в букваль-
буквальном смысле слова (Д. Д. Иваненко, А. А. Соколов [4]).
Развитие техники ускорителей позволило продвинуться в об-
область более высоких энергий. В 1953—1956 гг. Томбулиан и
Гартман [16] на синхротроне Корнельского университета на
320 МэВ правели систематическое исследование спектрального
состава синхротронного излучения в области вакуумного ультра-
ультрафиолета D00—60А). Общая постановка эксперимента была той
же, что и в опытах по изучению спектрального состава синхро-
синхротронного излучения в видимой части спектра. Синхротронное
излучение разлагалось в спектр и затем регистрировалось радио-
радиометрическим, фотографическим или каким-либо другим способом.
Эксперименты в области вакуумного ультрафиолета показа-
показали также хорошее совпадение с теорией. Это было важно еще и
и в связи с возникшей дискуссией о несправедливости классичес-
классической теории синхротронного излучения в области энергий порядка
200—250 МэВ [17]. Исследование спектра, а также прямые изме-
измерения полных потерь энергии, проведенные Корсоном [18] на
том же синхротроне на 320 МэВ, не вскрыли каких-либо откло-
отклонений от классического описания.
Об этом уместно напомнить, потому что несмотря на уста-
установленный критерий справедливости классической теории излуче-
» с г * I тс% \1/2 пт
ния вплоть до энергии ?~?i/2 —тс2 ( ) [19] до настоя-
настоящего времени появляются попытки ее ревизии в сторону возмож-
возможного проявления квантовых эффектов в интенсивности излучения
при значительно меньших, чем ?i/2, энергиях (см. [20]).
В 1966 г. Батов, Фрейтаг и Хэнзел [21] на синхротроне ДЭЗИ
(ФРГ) провели серию экспериментов по анализу спектра синхро-
синхротронного излучения в рентгеновской области при энергии элект-
электронов от 4,0 до 6,3 ГэВ. И в этой области энергий электронов
было получено хорошее согласие эксперимента с классической
теорией.
Характерно, что эксперименты, проведенные над пучками
электронов (в одном цикле ускорения примерно 1010—1011 частиц)
285
показали хорошее совпадение с теорией излучения одного элект-
электрона. Таким образом, синхротронное излучение происходит в ос-
основном некогерентно, по крайней мере в наиболее важной для
релятивистских электронов области высоких частот.
В последние годы возрос интерес к проблеме генерирования
электромагнитных волн электронами, движущимися в периоди-
периодическом электромагнитном поле. Система с периодическим полем
получила название «ондулятор» (вигглер, змейка). Ондуляторное
излучение возникает при движении быстрого заряда по периоди-
периодически искривленной траектории (см. рис. 36.3), на отдельных уча-
2
Рис. 36.4. Схема эксперимента, в котором регистрируется он-
ондуляторное излучение. Без включенного ондулятора централь-
центральное пятно (ОИ) отсутствует, и регистрируется только син-
синхротронное излучение из поворотных магнитов
стках которой частица излучает вследствие центростремительного
ускорения.
Впервые на возможность генерации излучения в ондуляторе
было указано В. Л. Гинзбургом [23] A947), и в 1951 г. Мотц [24]
осуществил первый эксперимент в субмиллиметровом диапазоне.
Первоначальные надежды на возможность создания сгустков
электронов, которые излучали бы когерентно и тем самым усили-
усилили бы мощность излучения, не оправдались, и интерес к ондуля-
торному излучению несколько ослаб.
Весьма существенной в дальнейшем оказалась выдвинутая
Годвином [25] A969) идея введения ондулятора в кольцо элект-
электронного синхротрона или накопителя (обычно ондулятор вводит-
вводится в прямолинейный промежуток). При этом оказывается воз-
возможным одновременное использование и синхротронного и онду-
ляторного излучения, поскольку они формируются на различных
участках траектории (рис. 36.4). В силу специфики ондулятор-
286
ного излучения (максимум падает на основной тон см. C6.9))
открылась возможность путем подбора параметров конструкции
добиться большей жесткости излучения, чем в синхротроне при
одной и той же энергии электронов (см. Д. Ф. Алферов,
Ю. А. Башмаков, Е. Г. Бессонов [8], а также [26]).
Недавно в Физическом институте АН СССР (синхротрон
«Пахра» на 1,3 ГэВ) и в Томском политехническом институте
(синхротрон «Сириус» на 1,2 ГэВ) ондуляторное излучение было
изучено экспериментально. Впервые это излучение наблюдалось
из плоского ондулятора, установленного над плоскостью орбиты
электронов в одном из прямолинейных промежутков синхротрона
«Пахра» (см. рис. 36.4). Электронный пучок с энергией около
100 МэВ подводился к ондулятору, имеющему период поля 4 см
и состоящему из 20 элементов периодичности. Было изучено
спектральное распределение интенсивности излучения ондулятора
в области длин волн — 2300—4500 А, причем результаты экспе-
эксперимента находились в удовлетворительном согласии с теорией
(Д. Ф. Алферов, Ю. А. Башмаков, К. А. Беловинцев, Е. Г. Бессо-
Бессонов, П. А. Черенков [27] A977)).
Одновременно и более подробно были проведены исследова-
исследования по изучению свойств ондуляторного излучения на электрон-
электронном синхротроне «Сириус», в одном из прямолинейных проме-
промежутков которого был установлен безжелезный магнитный ондуля-
ондулятор с периодом 14 см и числом элементов 5. Оптимальный выбор
периода поля и числа его периодов был сделан исходя из условия
проведения экспериментов в оптическом диапазоне. Были впер-
впервые измерены спектры интегрального (по углам) наблюдения из-
излучения на 1-й, 2-й и 3-й гармониках, а также исследована поля-
поляризация [29]. Результаты экспериментов явились хорошим под-
подтверждением теории (А. Н. Диденко, А. В. Кожевников,
А. Ф. Медведев, М. М. Никитин [28] A978)).
В настоящее время во многих лабораториях там, где имеют-
имеются ускорители или накопители электронов, ведутся работы по со-
сооружению ондуляторов (США, Италия, Франция).
б) Поляризационные свойства синхротронного излучения
Как известно (§ 17), синхротронное излучение обладает силь-
сильно выраженной линейной поляризацией: ;вектор электрического
поля излучения направлен преимущественно по радиусу орбиты
электрона (см. рис. 36.1). Формула Шотта, характеризующая
спектрально-угловое распределение интенсивности излучения,
с учетом поляризации получает обобщение (А. А. Соколов,
И. М. Тернов [30] A956); см. A7.14)):
4SV2 ^P/(vP sta0) /3ctg6/v(vp sin0)}*. C6.1
При этом, полагая здесь /2=1, /з=0, можно получить а-компо-
ненту линейной поляризации, а при /2=0, /з=1 — я-компоненту.
При вычислении мощности излучения, поляризованного цирку-
287
лярно, следует положить /2=:Р/з=2-1/2 соответственно для пра-
правой и левой круговой поляризации.
В наиболее интересном с точки зрения наблюдения синхро-
тронного излучения ультрарелятивистском случае движения элект-
электрона A—Р2<С1) после интегрирования по спектру можно полу-
получить следующую характерную угловую зависимость линейных
компонент поляризации:
= e°C f(x) T^ cos9 /я е\
C6.12)
где
f°= d+V2' /я= (i+W/2 • C6ЛЗ)
График этих функций представлен на рис. 36.5. Таким обра-
образом, мы видим, что в плоскости орбиты вращения, когда 8=я/2,
а т=0, излучение полностью линейно поляризовано, так как
я-компонента исчезает: dWn=0.
Для полной мощности синхротронного излучения соответст-
соответственно можно получить, что (см. A7.42))
WG = — W, №л = — W. C6.14)
8 8
В 1956 г. Ф. А. Королев и О. Ф. Куликов [31] впервые поста-
поставили эксперименты по исследованию поляризационно-угловых
характеристик синхротронного излучения. На синхротроне ФИАИ
ка 280 МэВ им удалось получить фотографии обеих компонент
линейной поляризации и изучить распределение мощности излуче-
излучения по углу 'вплоть до энергий электрона 250 МэВ. Схема этих
опытов изображена на рис. 36.6.
На рис. 36.7 и 36.8 показано сравнение результатов экспери-
экспериментов с теорией, а также фотографии а- и я-компонент синхро-
синхротронного излучения. В дальнейшем серия этих опытов была по-
повторена Ф. А. Королевым и О. Ф. Куликовым на синхротроне
ФИАН на 680 МэВ, а также Иосом [32] A960) на синхротроне
Корнельского университета на 320 МэВ. Все эти опыты касались
видимой части спектра.
В опытах Ф. А. Королева и О. Ф. Куликова [33] A960) на
синхротроне ФИАН на 680 МэВ впервые была изучена круговая
поляризация синхротронного излучения (см. также [32]). Из об-
общей теории излучения [30] следовало, что между <т- и я-компонен-
тами линейной поляризации имеется фазовый сдвиг <ро—фя=бо.
При этом для направлений 0<6<я/2 сдвиг 6о==—я/2, а для
я/2<9<я сдвиг бо=я/2. Другими словами, синхротронное из-
излучение в первом случае обладает эллиптической поляризацией
левого вращения, а во втором — правого. Эксперименты показали
хорошее согласие с теорией.
288
В 1968 г. Розенбаум, Фейербахер, Годвин и Скибовский [34]
поставили серию экспериментов по измерению поляризации син-
хротронного излучения в области вакуумного ультрафиолета,
-
f
Рис. 36.5. Зависимость линейной
поляризации от угла излучения
30' W 50' д0о Ют20*304}
Рис. 36.7. Эксперименты по на-
наблюдению угловой зависимости
Рис. 36.6. Схема опытов
по наблюдению поляриза-
поляризации синхротронного из-
излучения
Рис. 36.8. Фотографии а-
и я-компонент линейной
поляризации синхротрон-
наго излучения
а Батов, Фрейтаг и Хензел [21] на том же синхротроне провели
измерение поляризационных компонент синхротронного излуче-
излучения в рентгеновской области спектра. Измерение поляризации
в области ультрафиолета потребовало применения специальной
289
техники — вакуумного ультрафиолетового монохроматора, а экс-
эксперименты в области рентгена были проведены методом компто-
новского рассеяния. Исследования, проведенные в. жестком диапа-
диапазоне энергий электрона и практически по всему спектру, обнару-
обнаружили хорошее согласие с теорией синхротронного излучения.
Поляризация синхротронного излучения явилась принципи-
принципиальным моментом в разгадке природы излучения, приходящего
из Крабовидной туманности. Крабовидная туманность, представ-
представляющая собой газовую оболочку, образовавшуюся более 900 лет
тому назад при взрыве сверхновой звезды, наблюдается и в нас-
настоящее время в созвездии Тельца. Туманность продолжает рас-
расширяться и светиться: она излучает много света и дает возмож-
возможность вести оптические наблюдения.
В сороковых годах было установлено, что Крабовидная ту-
туманность является одновременно мощным источником радиоизлу-
радиоизлучения в диапазоне от 1 см до 10 м. Была высказана гипотеза
(И. С. Шкловский [35] A953)) о том, что радиоизлучение и ос-
основную часть оптического излучения Крабовидной туманности
можно объяснить синхротронным излучением. Действительно, ту-
туманность содержит достаточно большое количество релятивист-
релятивистских электронов высокой энергии — до 1011—1012 эВ. Поэтому
синхротронное излучение может захватывать не только радио-, но
и оптический диапазон.
В установлении природы излучения, приходящего от Крабо-
Крабовидной туманности, решающую роль сыграли поляризационные
свойства синхротронного излучения. Серия наблюдений по обна-
обнаружению поляризации излучения в оптическом диапазоне была
проведена В. А. Домбровским и М. Н. Вашакидзе [36] A954) и
в радиодиапазоне А. Д. Кузьминым и В. А. Удальцовым [37]
A957). Этими опытами гипотеза о синхротронной природе излуче-
излучения, испускаемого Крабовидной туманностью, была окончательно
подтверждена. Аналогичными опытами [38] была установлена син-
хротронная природа излучения, приходящего от радиогалактики
М-87 A956).
в) Квантовые эффекты в синхротронном излучении
Вопрос о возможном проявлении квантовых эффектов в син-
синхротронном излучении оказался интересным и нетривиальным.
Наиболее очевидным критерием справедливости классической тео-
теории был критерий В. В. Владимирского [39] и Швингера [40], сог-
согласно которому квантовыми эффектами можно пренебречь, когда
•* he [ Е \3
энергия излучаемого фотона /г со намного мень-
меньше, чем энергия электрона ?(Йоз<с?)- Отсюда следует, что усло-
условием возможности классического приближения теории является
требование:
290
/ко « Е, или Е « ?i/2 = тс* (Л!*-) 1/2 = А. ш\ C6.15)
\ п I H
Оценка критического значения энергии Е\/2 показывает, что эта
величина лежит вне пределов, достижимых в практике ускори-
ускорителей — Ю13 эВ.
Первый же количественный расчет мощности синхротронного
излучения с учетом квантовых поправок (А. А. Соколов,
Н. П. Клепиков, И. М. Тернов [41] A952) подтвердил это об-
общее соображение о пределах применимости классической теории
излучения (см. § 29).
"+...U
16 mcR \ тс
55/3
16
Позже тот же результат был получен Швингером [42] A954).
Однако дальнейшее развитие квантовой теории синхротронного
излучения выявило, что квантовый флуктуационный характер из-
излучения должен существенно влиять на траекторию частицы
(А. А. Соколов, И. М. Тернов [43] A953)). При этом значение
критической энергии ?1/5, характеризующей эффект проявления
квантовых флуктуации траектории при излучении электроном
фотона
5, C6.17)
составляло несколько сотен МэВ, что находилось в те годы в пре-
пределах энергий проектируемых ускорителей. Было предсказано, что
начиная с энергий ?1/5 должны возникать квантовые флуктуация
радиуса орбиты электрона. Электрон движется подобно броунов-
броуновской частице, испытывая отдачу при испускании фотонов. Вслед-
Вследствие квантовых флуктуации излучения должен наблюдаться рост
квадратичной флуктуации радиуса по закону
dt dt v ' 48/3
me*
Зависимость AR2 = R2 — R2 ~ At характерна, как известно, для
броуновского движения частицы.
Итак, мы видим, что дискретная природа синхротронного из-
излучения, не сказываясь на мощности излучения, начинает прояв-
проявляться при энергиях электрона порядка несколько сотен МэВ.
Физически дискретность излучения объясняется выбросом очень
мощных фотонов. Действительно, оценивая число фотонов за вре-
время оборота электрона по окружности, можно легко получить, что
N f jf C6.19)
/icomax he тс2
291
ибо (Отах-^-соо^Лис2K. Отсюда видно, что при энергиях порядка
сотен МэВ число излучаемых мощных фотонов составляет еди-
единицы, чем и подчеркивается дискретность излучения.
Таким образом, может возникнуть неожиданная и своеобраз-
своеобразная ситуация: колебания электрона вблизи его радиуса орбиты
вращения, будучи макроскопическими по величине, подчиняются
законам квантовой теории — радиальная координата частицы
может быть определена с известной вероятностью. Такое движе-
движение электрона естественно назвать «макроатомом». Важно в связи
с этим подчеркнуть, что сам эффект квантовых флуктуации траек-
траектории частицы проявлялся в условиях макроскопического движе-
движения, являясь интересным примером макроскопической квантовой
теории.
Вскоре после открытия эффекта квантовых флуктуации тра-
траектории движущегося в магнитном поле электрона стало очевид-
очевидно, что этот эффект имеет большое практическое значение с точки
зрения теории и практики сооружения циклических ускорителей
электронов.
Как известно, в циклическом резонансном ускорителе (син-
(синхротрон) электроны движутся в фокусирующем магнитном поле
по окружности в среднем постоянного радиуса. Фокусирующие
силы обеспечивают устойчивость движения частицы: в случае от-
отклонения от равновесной орбиты электрон совершает быстрые
так называемые бетатронные колебания — радиальные (около
постоянного радиуса орбиты) и вертикальные (около плоскости
орбиты вращения). Электрон получает ускорение за счет воздей-
воздействия на него внешнего высокочастотного электрического поля,
направленного по касательной к траектории частицы. При этом
обеспечивается фазовая стабильность пучка: электроны совер-
совершают медленные фазовые колебания около равновесной фазы.
Влияние излучения оказалось весьма существенным с точки
зрения стабильности движения частиц. Ранние исследования, про-
проведенные методами классической теории, показали, что реакция
излучения приводит к радиационному затуханию фазовых коле-
колебаний. При этом декремент затухания Гф оказывается связанным
с энергией электрона Е и мощностью излучения W соотношением
3-4/г w^ C6.20)
ф \-п Е*
в котором величина п @<п<1) характеризует фокусирующие
свойства магнитного поля — это так называемый показатель спа-
спадания поля вблизи устойчивой орбиты H=const/rn. В работах
А. А. Коломенского и А. Н. Лебедева [44] A956) было выяснено,
что синхротронное излучение должно также влиять и на бетатрон-
бетатронные колебания, вызывая радиационное затухание с декрементами
—п—^, Г, = -?-. C6.21)
1 — П С С
292
Такое сильное воздействие может привести к тому, что при
ускорении сгусток электронов, быстро уменьшая свои размеры,
превратится в точку, и тогда благодаря возникновению сильней-
сильнейшего когерентного излучения ускоритель прекратит свою работу.
Квантовые флуктуации траектории в этом отношении играют
спасительную роль, так как они сообщают стохастический раз-
разброс пучку электронов, не давая им возможности неограничен-
неограниченного сближения. Таким образом, пучок электронов в циклическом
ускорителе принимает свои естественные макроскопические раз-
размеры, обусловленные балансом между квантовым возбуждением
и радиационным затуханием бетатронных и фазовых колебаний.
При малых интервалах времени, когда /<Ст=1/Гг, квадрат
амплитуды радиальных колебаний растет по закону броуновского
движения:
A — пJ тЧЩ \ тс
t C6.22)
(см. также формулу C6.18) для однородного магнитного поля
(/г=0)). Для случая же t>% благодаря радиационному затуха-
затуханию квантовый рост амплитуды подавляется, и тогда
_55ja__L__ft*_/jq* C6.23)
г 16 лA— п) тс \ тс2 ) ч
причем в случае однородного поля (я=0) этот предел отсутству-
отсутствует, поскольку декремент затухания обращается в нуль.
Все эти соображения легли в основу расчетов при проектиро-
проектировании ускорителей электронов на энергии порядка 1 ГэВ и выше.
Особенно существенным проявление квантовых эффектов оказа-
оказалось в работе накопителей — накопительных колец, — где уско-
ускоренные электроны могут удерживаться в магнитном поле в те-
течение многих часов. Учет квантовых флуктуации траектории сти-
стимулировал переход к жесткой фокусировке, когда показатель спа-
спадания поля может принимать значения, значительно превышаю-
превышающие единицу.
Предсказанное теоретически [43] влияние квантовых флукту-
флуктуации на стабильность движения частицы в магнитном поле нашло
вскоре экспериментальное подтверждение. В частности,
М. Сэндс [45] в 1959 г. обнаружил, что квантовые флуктуации
фазы создают серьезные трудности в работе синхротрона Кали-
Калифорнийского технологического института на 1,2 ГэВ. При этом
нарушение фазовой стабильности движения электронов создавало
препятствие для продвижения в область энергий свыше 1 ГэВ.
Интересные и очень оригинальные оптические исследования
поведения пучка электронов в ускорителе были проведены
Ф. А. Королевым и О. Ф. Куликовым [46] A960) на синхротроне
ФИАН. Идея экспериментов состояла в фотографировании пучка
частиц, испускающих синхротронное излучение, скоростной кино-
кинокамерой с последующей обработкой полученных фотоснимков.
293
Свет от электронов собирался с помощью линз в некоторой
точке на оси оптической системы (рис. 36.9) и образовывал про-
промежуточное изображение, которое фотографировалось скоростной
кинокамерой. Полученные кадры киносъемки подвергались в
дальнейшем фотометрической обработке на микрофотометре,
при этом фотометрирование проводилось одновременно в двух на-
Камера
ускорителя
Рис. 36.9. Схема фотографирования сгустка электронов
правлениях: в радиальном и «вертикальном», т. е. в направлении
магнитного поля ускорителя.
Поскольку за время экспозиции одного кадра (скорость съем-
съемки была 5400 кадров в минуту) электрон в ускорителе совершает
большое число колебаний, картина усредняется. Вместе с тем
пучок достаточно монохроматичген по энергиям, поэтому распре-
распределение относительной яркости при фотометрировании можно
отождествить с распределением электронов по координатам в по-
поперечном сечении сгустка. Анализируя далее последовательные
кадры киносъемки, можно получить закон изменения распреде-
распределения электронов с течением времени, связав это распределение
с амплитудой колебания частиц. Так, оказалось возможным не-
непосредственное визуальное наблюдение динамики электронов
в циклическом ускорителе с помощью синхротронного излучения.
В опытах Ф. А. Королева и О. Ф. Куликова [46] помимо силь-
сильного радиационного затухания были обнаружены квантовые флук-
флуктуации траектории электрона: возбуждение радиальных колеба-
колебаний. В области энергий электрона 300—400 МэВ амплитуда ра-
радиальных колебаний tf = ]/ а%ет + а1ш существенно отступала от
затухания, рассчитанного методами классической теории (рис.
36.10).
В 1966 г. Ф. А. Королев, О. Ф. Куликов и А. С. Яров провели
дополнительные исследования квантовых эффектов на синхротро-
синхротроне ФИАН на 680 МэВ, воспользовавшись специальным режимом
работы машины [47]. В этом режиме, удобном для эксперимен-
эксперимента, энергия электронов оставалась постоянной на уровне 285 МэВ
в течение достаточно большого интервала времени @,5 с). Тем
самым обеспечивалось постоянство декрементов затухания и дру-
других характеристик, связанных с энергией электронов. Принципи-
294
альная оптическая схема существенных изменений не имела
(см. рис. 36.9).
Результаты экспериментов приведены на рис. 36.11. Кривая
3 описывает изменение энергии со временем: линейное нарастание
до значения 285 МэВ — выход на плато и постоянство в тече-
течение 0,46 с. Кривые 1 и 2 представляют собою экспериментальное
и теоретическое значения амплитуды радиальных колебаний. Вид
6г,мм
Е,МэВ
200 300 400 500 600 700
Е01МэВ
Рис. 36.10. Экспериментальное
наблюдение квантового возбуж-
возбуждения радиальных колебаний
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 t,C
Рис. 36.11. Экспериментальное
наблюдение стабилизации ра-
радиальных колебаний электро-
электронов
кривых подтверждает справедливость квантовой теории: при пе-
переходе на плато декременты колебаний перестают возрастать,
ход кривых становится более плавным, и видно, что радиальные
колебания быстро стабилизируются за счет их возбуждения кван-
квантовыми флуктуациями излучения. Амплитуда установившихся
колебаний достаточно хорошо согласуется с теоретическим зна-
значением.
Таким образом, в опытах наблюдался эффект стабилиза-
стабилизации радиальных колебаний электронов в условиях постоянства
их энергии: возбуждение колебаний квантовыми флуктуациями
излучения и одновременное подавление их радиационным затуха-
затуханием.
Следует заметить, что особенно благоприятной для наблюде-
наблюдения квантовых флуктуации является мягкая фокусировка @<
<;я<1). В условиях жестких фокусирующих систем, когда
|п|>1, амплитуда колебаний в ускорителе резко уменьшается.
В этой связи большой интерес представляют эксперименты, про-
проведенные на синхротроне Томского политехнического института
на 1,5 ГэВ, сооруженного под руководством А.А.Воробьева [48].
Этот ускоритель обладает мягкой фокусировкой и большим вре-
временем ускорения, что открывает широкие возможности к наблю-
наблюдению квантовых эффектов в условиях макроскопического дви-
движения.
295
г) Спиновые эффекты
Весьма интересные и практически важные результаты были
получены при исследовании поведения спина электрона при усло-
условии воздействия мощного синхротронного излучения. Развитие
квантовой теории этого явления показало (А. А. Соколов,.
И. М. Тернов [52] A963)), что синхротронное излучение приводит
к направленному процессу ориентации электронного спина по от-
отношению к внешнему магнитному полю, т. е. происходит процесс
поляризации пучка.
Действительно, в результате излучения у электрона будет
появляться тенденция перейти в состояние с наименьшим значе-
значением энергии в магнитном поле, равным
?/маг=_(^Н). C6.24)
Поэтому спин электронов должен стремиться ориентироваться
против магнитного поля. Для позитронов, наоборот, преимущест-
преимущественное направление спина должно быть параллельно магнитному
полю.
Методами квантовой теории было показано (см. § 29), что
зависимость от 'времени среднего значения проекции спина элект-
электрона на направление внешнего магнитного поля имеет вид
О - е-'/т>. C6.25)
причем время поляризации т равно
(Л*\* (АЛ3, C6.26)
15/лсе2 V Е ) \ Н ) f v '
где Я0=т2с3/е0Й=4,4Ы013 Гс — так называемое швингеровское
магнитное поле. Очевидно, что через время t> большее, чем время
поляризации т, независимо от начальной ориентации спина пучок
электронов будет поляризован на 92%. Время поляризации для
электронов с энергией 1 ГэВ порядка часа, поэтому эффект ра-
радиационной поляризации пучка может наблюдаться в накопи-
накопительных кольцах при длительной циркуляции частиц.
Дадим качественную интерпретацию этому эффекту, и с этой
целью рассмотрим баланс энергии в системе покоя электрона.
В этой системе координат спиновый магнитный момент электрона
[А прецессирует в соответствии с нерелятивистским уравнением
движения
— (х = — — [fiH°] = — ©0 [|i — I. C6.27)
В этом уравнении Н° и t° отнесены к системе покоя электрона.
Вследствие осциллирующего характера движения дипольного маг-
296
нитного момента он излучает, и при этом потенциальная магнит-
магнитная энергия электрона уменьшается:
— {— (|иН0)} = — ft. C6.28)
Решая систему этих уравнений, находим
^}2. C6.29)
Я0 J V '
Таким образом, излучение приводит к перевороту спина, причем
энергия переворота равна 2[л0#0 = /коо, Ио — магнетон Бора. По-
Полагая далее, как что обычно в квазиклассике, |i2=fxo2(s+l)s,
5=1/2 и вводя безразмерный спин jx=—jxog', ?/2 = 3, получим из
C6.29):
-?¦«'№) = - j--^(Г2- ф = --§-^ф
Если теперь ввести аналог квантовой проекции на направление
поля ^=^11/1/3, то из последнего уравнения получим, что
1 + t/T 2
где Н0=т2сг/е0Н — швингеровское магнитное поле. Переходя те-
теперь в лабораторную систему координат: То=у^1Т, Н° = уНу,
y=E/mc2f получим, что время поляризации лишь числовым мно-
множителем отличается от точного квантового результата C6.26)
Т = i^L JH- (Л*-K (JELV C6.32>
2 шее2 \ Н 1 \ Е I V Г
Однако в нашем крайне упрощенном рассмотрении задачи пучок
электронов через время t^>T оказывается полностью поляризо-
поляризованным: спины всех электронов ориентируются против поля.
Точное решение задачи методами квантовой теории уточняет
степень поляризации и время этого процесса. Физически картина
уточняется условиями дискретного излучения фотонов электрона-
электронами. Флуктуационный характер излучения приводит к тому, что.
оказывается возможным не только однофотонный процесс упоря-
упорядочения ориентации спина, как это имеет место в классической
теории, но могут быть и обратные переходы.
Эффект радиационной поляризации был установлен [52] для
случая движения электронов и позитронов в однородном магнит-
магнитном поле. В реальных накопительных кольцах электроны движут-
движутся в неоднородном фокусирующем магнитном поле, обеспечиваю-
обеспечивающем устойчивое движение пучка по равновесной орбите. Случай^
ные отклонения не выводили частицы из устойчивого движения.
Частицы совершают малые, так называемые бетатронные колеба^
29Т
тшя с частотами <or = ]/l—n(c/R), co2 = ]/n{c/R)i зависящими от
показателя спадания поля @<я<<1) вблизи равновесной орбиты.
В этих условиях возможно проявление резонансных явлений,
которые могут разрушать поляризацию пучка, на что обратил
внимание В. Н. Байер [53] A970). Существенную роль при этом
играет аномальный вакуумный магнитный момент электрона;
p,= |mo(l+a/2jt), где а=е2/Нсу т. е. величина спинового магнитного
момента отличается от магнетона Бора на А[х== juioot/2jc (см. § 35).
Для анализа влияния неоднородного магнитного поля на по-
поведение спина электрона можно воспользоваться либо уравнением
Баргмана—Мишеля—Телегди [54], в котором спин трактуется как
классическая величина, либо можно решить эту задачу, исходя
из строгой теории Дирака движения электрона в магнитном поле
(А. А. Соколов, А. В. Борисов, Д. В. Гальцов, В. Ч. Жуковский
[55]). В результате рассмотрения этой задачи оказывается, что
в отсутствие излучения проекция спина на ось z — ось симмет-
симметрии магнитного поля — имеет вид
Г =
/я+rj Кя-Л
C6.33)
Здесь Ф — начальная фаза, В и <ог — амплитуда и частота вер-
вертикальных бетатронных колебаний электрона (г = 5cos <aj, <аг =
~ 1/7м»0), й — ¦ ° е0Н/тс— частота прецессии спина, связанная с
JLiXl
.аномальным магнитным моментом и г\ = 0/о0 = — , соо--= c/R.
2л тс2
Заметим, что для продольной поляризации — проекции спина на
направление движения (на кинетический импульс Р= р+ — А) —
соответствующее выражение имеет вид
-4?>. = sinOsin Qt + — п^х\cosФ sln(*zt . C6.34)
|Р| R /i —tj« v '
Таким образом, вакуумный магнитный момент электрона влияет
не только на продольную поляризацию, делая ее неустойчивой, но
он также может сказаться как деполяризующий фактор и в отно-
отношении поперечной поляризации. Это произойдет в случае совпа-
совпадения частоты бетатронных колебаний с частотой прецессии спи-
спина: (uz = Q. Тогда возникает характерный резонанс {ц^п)у
разрушающий поляризацию.
Выбором параметров магнитной системы можно избежать
опасных резонансов и обеспечить условия движения частиц, близ-
близкие к идеальным. В этих условиях эффект радиационной поляри-
поляризации должен проявляться точно так же, как и в однородном
магнитном поле. Детальное исследование явления радиационной
298
поляризаций для накопительных систем, рассчитанных на сверх-
сверхвысокие энергии электронов A0—100 ГэВ), проведенное
Я. С. Дербеневым, А. М. Кондратенко и А. Н. Скринским [56J
A977), показало полную возможность создания поляризованных
пучков частиц на основе этого метода.
Заметим, что для целей современного физического экспери-
эксперимента важным является применение продольно-поляризованных
пучков электронов и позитронов. В магнитном поле продольная
поляризация не сохраняется (см. C6.34)), однако путем довольно
простых устройств можно превратить поперечную поляризацию
в продольную. Для этого следует создать, например, магнитное
поле, параллельное импульсу электрона, и вывести это поле
в прямолинейный промежуток накопительного кольца. Тогда
можно так подобрать напряженность этого дополнительного поля,
чтобы спин поворачивался на угол я/2г т. е. добиться превращения
поперечной поляризации в продольную. Конечно, это можно сде-
сделать только в определенной точке траектории (обычно в точке
встречи пучков), в дальнейшем квантовые флуктуации разрушат
продольную поляризацию и будут восстанавливать поперечную.
Остановимся на вопросах экспериментального наблюдения
эффекта радиационной поляризации. Впервые этот эффект наблю-
наблюдался экспериментально через.8 лет после его теоретического*
предсказания: в 1971 г. в Новосибирске в институте ядерной фи-
физики СОАН СССР [57] поляризация изучалась на накопительном:
кольце ВЭПП-2 на 625 МэВ. В том же году эффект был обнару-
обнаружен во Франции (Орсе) на накопителе АКО на 536 МэВ [58], за-
затем в 1975 г. в США в Стэнфорде при энергии электронов 2,4 ГэВ-
[60—62] ив 1980 г. в ФРГ — на установке PETRA — 15,2 ГэВ [63].
В первых экспериментах по наблюдению радиационной поля-
поляризации [57, 58] использовался метод, основанный на меллеров-
ском рассеянии частиц друг на друге в одном и том же сгустке.
Это рассеяние, связанное с бетатронными колебаниями (эффект
Тушека), может приводить к потерям частиц из пучка, если до-
добавочно полученный импульс при рассеянии будет превышать
максимально допустимое значение.
Важным является то обстоятельство, что сечение рассеяния
зависит ©т ориентации спина частиц. Поэтому количество частиц,
выбывающих из режима ускорения, зависит от их поляризации.
Оказывается, что время жизни поляризованного пучка больше,
чем неполяризованного. В начальный момент, когда пучок был
неполяризован, число выбывающих пар частиц (выбывание час-
частиц происходит парами, как это очевидно из существа эффекта
внутреннего рассеяния) максимально. Затем по мере радиацион-
радиационной поляризации спины упорядочиваются, и скорость убывания
экспоненциально падает. Теоретическая формула для скорости
выбывания пар частиц имеет вид
У=а—6A— егЧ*), C6.35)
тде коэффициенты а>0, cO>b, a т — время поляризации (см.
36.26)). В начальный момент ?=0, К=Угтах=я, a пРи *>*
Y—a—Ь. В экспериментах наблюдалось экспоненциальное умень-
уменьшение числа выбывающих пар с течением времени, затем энергия
пучка изменялась так, чтобы частота прецессии спина электрона,
«связанная с аномальным магнитным моментом, принимала резо-
резонансное значение — совпадала с частотой бетатронных колебаний
частицы. При этом наблюдалось резкое возрастание числа выбы-
выбывающих пар, что свидетельствовало о деполяризации пучка. Экс-
Эксперимент позволяет определить степень поляризации пучка, а
также время поляризации т. Подобный же метод применялся
также в последующих опытах в Новосибирске на ВЭПП-2М [59]
и на накопительном кольце SPEAR в Стэнфорде [60].
Все эти эксперименты не только качественно доказали суще-
существование эффекта радиационной поляризации, но и установили
хорошее согласие с теорией в отношении степени и времени поля-
поляризации.
Метод, основанный на эффекте внутрипучкового рассеяния
(на эффекте Тушека), оказывается непригодным для измерения
поляризации сталкивающихся пучков. С другой стороны, он очень
чувствителен к деталям структуры пучка и поэтому не обеспечи-
обеспечивает точного измерения поляризации.
В ряде экспериментов применялся метод измерения поляри-
поляризации пучков, основанный на явлении аннигиляции частиц. Так,
в частности, при столкновении пары электрон—позитрон в резуль-
результате аннигиляции образуются пары |х-мезонов: е+е~->|х+|л~. Сече-
Сечение этого процесса, как это следует из квантовой электродинами-
электродинамики, зависит от степени поперечной поляризации сталкивающихся
яучков:
( тс> \2 C6.36)
du 16
Здесь Го — классический радиус электрона, Р — степень попереч-
поперечной поляризации сталкивающихся пучков, 2=cos9, где 0 — по-
полярный угол |х+-мезона по отношению к падающему позитрону,
<р — азимутальный угол, который составляет плоскость рождения
(плоскость, проходящая через импульсы начальной и конечной
частицы) с горизонтальной плоскостью. Как видно, сечение зави-
зависит от поляризации электронов и позитронов Р, что находит вы-
выражение в его азимутальной асимметрии, т. е. зависимости от ф.
В эксперименте '[61], проведенном при энергиях сталкивающихся
пучков 3,7 ГэВ (SPEAR), результаты распределения событий по
углу ф свидетельствуют о наличии поляризации пучков. Характер-
Характерно, что при энергии 3,1 ГэВ зависимость сечения аннигиляции от
угла ф исчезает: при этом энергии частота прецессии спина явля-
является гармоникой орбитальной частоты, и из-за деполяризующего
300
резонанса поляризация пучков разрушается. Данные эксперимен-
эксперимента показали хорошее согласие с теорией.
Возникновение поляризации электронно-позитронных пучков
частиц за счет синхротронного излучения оказалось важным
с точки зрения их последующего использования. Следует указать
по крайней мере два варианта экспериментов.
1. Квазиупругий процесс в+е~->р,+рг. Этот процесс может идти
по двум каналам: электромагнитному и слабому. Для электромаг-
электромагнитного канала в частном случае поперечной поляризации элект-
электрона и позитрона справедлива формула сечения C6.36).
Выбирая поляризацию и углы наблюдения fx-мезонов, можно
добиться того, что сечение в электромагнитном канале (однофо-
тонный обмен) станет минимальным (как следствие сохранения
четности в электродинамике). Тогда можно наблюдать относи-
относительно усиленные эффекты интерференции слабого канала с
электромагнитным.
Таким образом, поляризация сталкивающихся пучков явля-
является средством усиления интерференции между слабой и элект-
электромагнитной амплитудами.
2. Аннигиляция е+ет в адроны: e+er-*h-{-X. Сечение анниги-
аннигиляции в адроны с фиксированным значением импульса одного из
адронов h (инклюзивный процесс) также зависит от поляризации
сталкивающихся частиц. Эта зависимость дает возможность не-
независимо определить структурные функции адрона (поперечную
и продольную), а также сделать выбор между возможными моде-
моделями взаимодействия (модели партонов, векторных заряженных
мезонов). Таким образом, эксперименты с поляризованными
частицами делают процесс аннигиляции особенно информа-
информативным.
В Схэнфорде (США) на накопительном кольце SPEAR [64,
65] в 1974 г. были поставлены важные эксперименты, приведшие
к открытию новых «очарованных» гр-частиц. Эти частицы относят-
относятся к группе нестабильных сильно взаимодействующих бозонов
(адронов) с массами в диапазоне 3—4 ГэВ. Они образуются
в процессе аннигиляции сталкивающихся электронов и пози-
позитронов.
Большой интерес к новым частицам был вызван их необычной
устойчивостью, несвойственной тяжелым частицам. Распад г|)-час-
тиц на обычные адроны оказался сильно подавленным, что можно
было бы объяснить наличием у них новых квантовых чисел со
своими правилами отбора. В связи с этим было предложено рас-
расширить кварковую модель и ввести для описания я|?-частиц чет-
четвертый кварк с дробным зарядом 2/3, несущий новое квантовое
число — «очарование».
В поисках экспериментальной проверки этих гипотез, и в ча-
частности кварковой модели, обращают на себя внимание опыты
по наблюдению так называемых струй — потоков частиц. Сущест-
Существует предположение о том, что адроны в конечном состоянии по-
301
являются из пары кварка—антикварк. Эта пара формируется из
виртуального фотона, причем кварк и антикварк (рис. 36.12) ведут
себя как свободные дираковские частицы и затем уже возникают
адроны. Существенным моментом является то обстоятельство, что
в системе центра инерции рождение адронов происходит с малы-
малыми поперечными импульсами по отношению к направлению им-
импульсов кварков. Вследствие этого распределение адронов имеет
вытянутую форму струи (рис. 36.13). В этой связи важно заме-
заметить, что поляризация электрон-
но-позитронных пучков должна
вызвать азимутальную асиммет-
асимметрию вылета рожденных адронов
относительно направления исход-
исходных пучков. Это и было обнару-
обнаружено в эксперименте. Таким об-
образом, поляризация электронно-
Рис. 36.12 Рис. 36.13
позитронных пучков может оказаться весьма актуальной в реше-
решении задачи о кварковой модели частиц.
Летом 1980 г. эффект радиационной поляризации наблюдался
на накопительном кольце PETRA (ФРГ) [63]. Метод измерения
был основан на эффекте комптоновского рассеяния лазерных фо-
фотонов на электронах, сечение которого зависит от ориентации
спина электронов и позитронов. В опытах была обнаружена по-
поляризация частиц при энергии 15,2 ГэВ.
Небезынтересно упомянуть еще об одной возможности наб-
наблюдения поляризации электронов и позитронов — по спектру син-
хротронного излучения [66]. Этот способ наблюдения является
прямым: он не требует воздействия на электрон других частиц
или полей. Действительно, как известно (см. § 29), мощность
синхротронного излучения зависит от ориентации спина частиц.
Сравнивая мощность излучения от поляризованного и неполяри-
зованного пучка электронов в наиболее благоприятной для изме-
измерения части спектра, можно получить данные о степени поляри-
поляризации частиц.
В заключение следует подчеркнуть, что эффект радиацион-
радиационной поляризации электронов и позитронов в накопительных
кольцах является сейчас единственным способом получения по-
поляризованных пучков частиц высокой энергии.
302
д) Литература к § 36
1. Alfven H., Herlof son N. Phys. Rev., 1950, v. 78, p. 616.
2. Гинзбург В. Л. УФН, 1953, т. 51, с. 343.
3. Шкловский И. С. Астрон. ж., 1953, т. 30, с. 15.
4. Иваненко Д. Д., Соколов А. А. ДАН, 1948, т. 59, с. 1551.
5. SchwingerJ. Phys. Rev., 1949, v. 75, p. 1912.
6. Соколов А. А., Тернов И. М., Жуковский В. Ч. Квантовая меха-
механика. — М.: Наука, 1979.
7. Тернов И. М., Михайлин В. В., X а л и л о в В. Р,. Синхротронное излу-
излучение и его-применения. —- М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980 (§ 9).
8. Алферов Д. Ф., Башмаков Ю. А., Бессонов Е. Г. Труды ФИАН,
т. 80. — М.: Наука, 1975.
9. Иваненко Д. Д., Померанчук И. Я. ДАН, 1944, т. 44, с. 343.
10. Blewett J. Phys. Rev., 1946, v. 69, p. 87.
11. Арцимович Л. А., Померанчук И. Я. ЖЭТФ, 1946, т. 16, с. 379.
12. Schwinger J. Phys. Rev., 1946, v. 70, p. 798.
13. Elder F. R., Gurewitsch A. M., Langmuir R. V., Pollock H. С
Phys. Rev., 1947, v. 71, p. 829.
14. Elder F. R., Langmuir R. V., Pollock H. C. Phys. Rev., 1948, v. 74,
p. 52. Имеется (рус. пер,, в кн.: Резонансные циклические ускорители эле-
элементарных частиц. — М.: ИЛ, 1950).
15. Адо Ю. М., Черенков П. А. ДАН, 1956, т. ПО, с. 35.
16. Tomboulian D., Hartman P. Phys. Rev., 1956, v. 102, p. 1423 (рус.
пер, в [22]).
17. Parzen G. Phys. Rev., 1951, v. 84, p. 235.
18. Cor son D. R. Phys. Rev., 1953, v. 90, p. 748.
19. Соколов А. А., Тернов И. М. Релятивистский электрон. М.: Наука,
1974 (§ 21).
20. Latal H. G., Erber Т. Ann. Phys., 1977, v. 108, p. 408.
51. Bathov G., Freytag E., Haensel R. Journ. Appl. Phys., 1966, v. 37,
p. 3449 (рус. пер. в [22]).
52. Синхротронное излучение в исследовании твердых тел. (Под ред. А. А. Со-
Соколова). М.: Мир, 1970.
23. Гинзбург В. Л. Изв. АН СССР, сер. физ. 1947, т. 11, а 165.
24. Motz H. J. Appl. Phys., 1951, v. 22, p. 527 (рус. пер. в кн.: Миллиметровые
и субмиллиметровые волны. М.: ИЛ, 1959).
25. Godwin R. P. Springer Tracts in Modern Physics, 1969, v. 51, p. 1 (рус.
пер. в [22]).
26. Тернов И. М., X а л и л о в В. Р., Багров В. Г., Н и к и т и н М. М. Изв.
вузов, физика, 1980, № 2, с. 6.
27. Алферов Д. Ф., Башмаков Ю. А., Беловинцев К. А., Бессо-
Бессонов Е. Г., Черенков П. А. Письма в ЖЭТФ, 1977, т. 26, с. 525.
28. Диденко А. Н., Кожевников А. В., Медведев А. Ф., Ники-
Никитин М. М. Письма в ЖЭТФ, 1978, т. 4, вып. 12.
29. Медведев А. Ф., Никитин М. М., Эпп В. Я. Письма в ЖЭТФ, 1979,
т. 5, с. 359.
30. Соколов А. А., Тернов И. М. ЖЭТФ, 1956, т. 31, с. 473.
31. Королев Ф. А., Марков В. С, Акимов Е. М., Куликов О. Ф.
ДАН, 1956, т. ПО, с. 542.
32. J о о s P. Phyis. Rev. Lett., 1960, v. 4, p. 558.
33. Королев Ф. А., Куликов О. Ф. Оптика и спектроскопия, 1960, т. 8,
с. 3,.
34. Rosenbaum G., Feuerbacher В., Godwin R., SkibowskiM.
Appl. Optics., 1968, v. 7, p. 1917 (рус. пер. в [22]).
35. Шкловский И. С. ДАН, 1953, т. 90, Яо 6.
36. Домбровский В. А., Вашакидзе М. Н. ДАН, 1954, т. 94, с. 1021.
37. Кузьмин А. Д., Удальцов В. А. Астр, циркуляр, 1957, JNIb 187, 14.
38. В a a d e W. Ар. J., 1956, v. 123, р. 550.
303
39. Владимирский В. В. ЖЭТФ, 1948, т. 18, с. 392.
40. Schwinger J. Phys. Rev., 1949, v. 75, с. 1912.
41. Соколов А. А., Клепиков Н. П., Тернов И. М. ЖЭТФ, 1952, т. 23;
с. 632.
42. Schwinger J. Proc. Nat. Acad. Sci., 1954, v. 40, p. 132.
43. Соколов А. А., Тернов И. М. ЖЭТФ, 1953, т. 25, с. 648.
44. Коломенский А. А., Лебедев А. Н. ЖЭТФ, 1956, тя 30, с. 207, 1167.
45. Sands M. — In: Proceedings of the CERN conference on high energy acce-
accelerators and instruments. Geneva, 1959.
46. Королев Ф. А., Куликов О. Ф., Ершов А. Г. ДАН ,1960, т. 134,
с. 314.
47. Королев Ф. А., Куликов О, Ф., Яров А. С. — В кн.: Электронные ус-
ускорители — (труды VI Межвузовской конференции по электронным уско-
ускорителям). М.: Энергия, 1968, с. 76.
48. Воробьев А. А., Власов А. Г., Кузьмин В. Н., С и п а й л о в Г. А.г
Солнцев Б. А., Фоменко Г. П., Шанин П. М. Синхротрон ТПИ на
1,5 ГэВ. М.: Атомиздат, 1968.
49. Велик Ю. А., Воробьев А. А., Д и д е н к о А. Н., Кожевников А. В.
АЭ, 1968, т. 24, с. 25.
50. Воробьев А. А., Диденко А. Н., Кожевников А. В. АЭ, 1970,
т. 28, с. 260.
51. Воробьев А. А., Никитин М. М., Кожевников А. В. АЭ, 1970,
т. 29, с. 389.
52. Соколов А. А., Тернов И. М. ДАН, 1963, т. 153, с. 1053.
53. Байер В. Н. УФН, 1971, т. 105, с. 441.
54. Bargmann V., Michel L., Telegdi V. L. Phys. Rev. Lett., 1959, v. 2,
p. 435.
55. Соколов А. А., Борисов А. В., Гальцов Д. В., Ж У к о в с к и й В. Ч.
Изв. вузов, физика, 1979, № 12, с. 5.
56. Дербенев Я. С, Кондратенко А. М., С к р и н с к и й А. Н. Радиаци-
Радиационная поляризация при сверхвысоких энергиях. Препринт ИЯФ 77—60, Но-
Новосибирск, 1977.
57. Байер В. Н. УФН, 1971, т. 105, с, 3; Дербенев Л. С, Кондратен-
Кондратенко А. М. ЖЭТФ, 1973, т. 64, с. 1918.
58. L e Duff J., M а г i n Р. С. et al. Orsay, Rap. Techn. 4—73, 1973. L e
Duff J., M a r i n P. C, M a s n о n J. L., S о m m e r M. — В кн.: Труды
III Всесоюзного совещания по ускорителям заряженных частиц, т. 1. М.:
Наука, 1973, с. 371.
59. Kurdadze L. M., Serednyakov S. I., Sidorov V. A., Skrin-
s k у A. N., T u m a i k i n G. M., S h a t u n о v Yu. M. Препринт ИЯФ 75—66.
Новосибирск, 1975.
60. Camerini О., Cline D., Learned J., Mann A. K., Resvanis L. K-
Phys. Rev., 1975, v. D 12, p. 1855.
61. Learned J. G., Resvanis L. K., Spencer G. M. Phys. Rev. Lett.,
1975, v. 35, p. 1688.
62. S witters R. F., Richter B. et al. (SLAC), Pierre F. M., Goldhaber G.
et al. (LBL). Phys. Rev. Lett., 1975, v. 35, p. 1320.
63. DESY. Polarized beams at PETRA. CERN Courier, 1980, v. 20, No 5.
64. Richter B. et al. Phys. Rev. Lett., 1974, v. 33, p. 1406.
65. Рихтер Б. УФН, 1978, т. 125, с. 201.
66. Корчуганов В. Н., Куликанов Г. Н., Мезенцев Н. А., Сах-
д и н Е. Л., С к р и н с к и й А. Н. Использование синхротронного излучения
для оперативного измерения абсолютной энергии электронов в накопителе.
ИЯФ Со АН СССР, препринт 77—83, Новосибирск, 1977.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Мы изложили главные принципы классической и квантовой
теории поля на примере одного из известных типов взаимодейст-
взаимодействия — электромагнитного. При этом мы старались подчеркнуть
два основных момента в построении теории поля — метод Лаг-
ранжа — Гамильтона и принципы симметрии. Оба эти положе-
положения в последнее время получили свое дальнейшее развитие. Га-
мильтонов метод после двадцати лет безуспешных попыток похо-
похоронить его с помощью теории полюсов Редже, метода дисперси-
дисперсионных соотношений и так называемой аксиоматической теории
поля вновь расцвел в новой теории сильных взаимодействий —
квантовой хромодинамике. Принцип симметрии был положен в ос-
основу создания как квантовой хромодинамики, так и единых тео-
теорий взаимодействия элементарных частиц. Более того, без пре-
преувеличения можно сказать, что большинство крупных достиже-
достижений современной физики связаны именно с симметриями. Доста-
Достаточно вспомнить теоретическое описание фазовых переходов вто-
второго рода, примерами которых являются переход металлов в
сверхпроводящее состояние или переход магнетиков в ферромаг-
ферромагнитное состояние. В теории же поля главное — это локальные
симметрии, которые определяют не только кинематику фундамен-
фундаментальных процессов, но и их динамику. Этот принцип является
фундаментом созданной А. Эйнштейном теории тяготения — об-
общей теории относительности, уравнения которой инвариантны от-
относительно локальных преобразований координат. В то же время
и теория электромагнетизма — электродинамика — также осно-
основывается на локальной симметрии, а именно на калибровочной
группе U(\) локальных фазовых преобразований.
В последние полтора десятка лет идея локальной калибро-
калибровочной симметрии породила новый класс так называемых единых
теорий, описывающих взаимодействия элементарных частиц. Наи-
Наиболее успешная среди них — теория Вайнберга, Салама и Глэ-
шоу, устанавливающая связь между электромагнитными и сла-
слабыми взаимодействиями, основана на нарушенной локальной сим-
симметрии SUB)XU(l). Локальность этой группы внутренней
симметрии требует существования четырех векторных полей: двух
нейтральных и двух заряженных. Отвечающие им нейтральные
частицы — фотон и Z°-6o3oh и заряженные W+- и №~-бозоны
осуществляют взаимодействия между лептонами. Три из них
(Z0, №+, W~) массивны и отвечают за слабые взаимодействия.
Ожидаемое открытие этих частиц не только продемонстрировало
бы единство слабых и электромагнитных взаимодействий, но и
подтвердило бы правильность теории Вайнберга, Салама, Глэ-
шоу. В последнее время уже появилось обнадеживающее сообще-
сообщение об открытии в ЦЕРНе одного из заряженных бозонов с мас-
массой, которая близка к предсказанной теорией. Другая единая
305
теория описывает объединение трех из четырех фундаментальных;
взаимодействий: электромагнитных, слабых и сильных — вели-
великое, или гранд-объединение. Идея гранд-объединения основана на
том, что эффективные константы различных калибровочных взаи-
взаимодействий — электромагнитного, слабого и сильного зависят от
расстояния между частицами. Так, электромагнитная константа
растет с уменьшением расстояния, а сильная и слабая падают.
Это явление связано с различными проявлениями поляризации
вакуума в абелевой электромагнитной теории и в неабелевых
теориях слабых и сильных взаимодействий. В результате на до-
достаточно малых расстояниях, т. е. соответственно при больших
энергиях частиц, эти константы могут сравняться, и мы придем к
единому фундаментальному взаимодействию. Подобные модели
гранд-объединения предсказывают новые поля и новые частицы,,
однако наиболее значительным предсказанием является распад
протона — частицы, стабильность которой считалась до послед-
последнего времени бесспорной. Несмотря на колоссальное предсказы-
предсказываемое время жизни протона (порядка 1031 лет), его распад ин-
интенсивно ищут во многих лабораториях мира. Наблюдение не-
нестабильности протона подтвердило бы правильность единой кван-
товополевой теории электрослабых и сильных взаимодействий.
Это дало бы новый импульс для создания единой теории всех
сил, включающей и квантовую теорию гравитации. На этом пути
будут сделаны новые неожиданные открытия, однако электроди-
электродинамика, как полевая калибровочная теория, останется образцом
для построения будущих теорий фундаментальных взаимодейст-
взаимодействий.
ЛИТЕРАТУРА
1. Иваненко Д. Д., Соколов А. А. Классическая теория поля. — 2-е
изд. — М.—Л.: Гостехиздат, 1951.
2. Соколов А. А., Тернов И. М. Релятивистский электрон. — М.: Наука,
1974.
3. Соколов А. А., Тернов И. М., Жуковский В. Ч. Квантовая механи-
механика. — М.: Наука, 1979.
4. Петкевич В. В. Теоретическая механика. — М.: Наука, 1981.
5. Наймарк М. А. Линейные представления группы Лоренца. — М.: Физ-
матгиз, 1958.
6. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. — 3-е изд. — М.: Наука, 1973.
7. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. —
3-е изд. — М.: Наука, 1969.
8. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая
электродинамика. — 2-е изд. — М.: Наука, 1980.
9. Боголюбов Н,. Н., Ш и р к о в Д. В. Введение в теорию квантованных по-
полей. — 3-е изд. — М.: Наука, 1976.
10. Берестецкий В. Б. Проблемы физики элементарных частиц: (Обзо-
(Обзоры). — М.: Наука, 1979.
11. Байер В. Н., Катков В. М., Фа дин В. С, Излучение релятивистских
электронов. — М.: Атомиздат, 1973.
306
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ*
188
188
па
Адиабатическая гипотеза
Адроны 62, 301
Аксиальный вектор 82
Алгебра Ли 29
Амплитуда перехода 1(87,
— процесса 205, 207, 208
— упругого рассеяния 213
Аннигиляция электрон позитронной
1ры в адроны 301
Аномальный магнитный момент 88, 89,
276
Барионный заряд 58, F2
Барионы 62
Биспинор 76, 167
Блючная диаграмма 251
Боаоны 151
Борновское приближение 276
второе 276
Вакуум 69, 148, 155, 1<88
Вектор ковариантный 19
— контрав-ариантный 19
— Пойтинга lil 5
Виртуальные частицы 207
Волновая зона 120, 123, 124, 1B8
Волновое уравнение 106
Время (релаксации 239
Гейзенберговское представление 182,
184
Генераторы группы 27
Гиперзаряд 58, 62
Глюоны 63, 260
Голдстоуновсюие бозоны 70, 103
Группа 23
— абелева 27, 57
—- вращений 32, 34
— локальная 63
— непрерывная 26
— трансляций 31, 32
Групповое пространство 26
Дельта-функция сложного аргумента
105
Динамический инвариант 40
Дипольное излучение 1B3, 281
Дираковоки сопряженные величины 77
Длина (радиационная 263
— формирования излучения 135, 282,
283
Единая теория взаимодействия элемен-
элемента р<ных частиц 103
Заряды Нетер' 44
Затравочные значения массы м заряда
электрона 268
Изоспин 59, 61
Изотопическая инвариантность 58
Изотопическое цространство 68, 98
Инвариант группы 40
Инвариантность уравнений 64, 65
Индефинитная метрика 155
Калибровка
217
трех мер нопоперечная 91,
—• четы|рехмернопопбречная 130, 158
Каналы реакции 251
— перекрестные 251
Кварки 63, 260, 301
Колебания бетатронные 292, 297
— вертикальные 292, 293
— радиальные 292, 293, 295
—• фазовые 292
Коммутационные соотношения 144
Коифайнмент 63
Критическая энергия 290, 291
Критическое поле 222
Лептонный заряд 58
Логарифмическое приближение 259
Локальные калибровочные симметрии
70
Лэмбовский сдвиг 274
«Макроаггом» 292
Масса физическая 271
— электромагнитная 271
Массивные векторные мезоны
взаимодействий 79
слабых
* В указатель включены только те термины и понятия, которые не отра-
отражены в оглавлении.
307
Матрицы Паули 55
Метрический тензор 17, 19
Монополи 100
Неабелева теория 9(8
Нуклоны 62, 89
Обобщенная производная 97
Ондулятор 283
Оператор вершинный 267
— гейзенбершв 153, 173, 181
— массовый 267
— поляризационный 268
— регуляризогаанный 270, 273
— рождения 149, 1/51, 172, 190
— спиновый 167, 225
<— юшральности 167
— уничтожения 149, 1E1, 172, 190
Параметр обрезания 27Й
Перенормируемая теория 269
Пионы 89
Плотность имлульса электромагнитного
поля 116
— потока 209
— энергаи 1115
Подгруппа 29
Позитрон 168,, 211
Поляризация крушвая 129, 288
— линейная Ii29, 287, 288
— поперечная 227, 298, 299
— продольная 298, 299
— радиационная 297, 299, 302
Поляризованные пучки частиц 299
Потенциалы Лиенара — Вихерта 117
Представление группы, 24
неприводимое 24, 25
приводимое 24, 25
Прецессия спина 298
Принцип Гамильтона 5, 9"
— относительности 17
— Паули 151, 105;, 170
— соответствия 218, 219
Пропагатор 163, 178, 206
Радиационное затухание 292, 293
Радиационные поправки 264
Распределение Пуассона 197, 198
Связь операторов 163, 1G8
Сечение потерь энергии 262
Сила Лоренца 105
Собственная группа Лоренца 105
Спектр энергии электрона в магнитном
поле 224
Спиновые реэонаисы 298
Спонтанное нарушение симметрии 16,
68, 69, 103
Статистика Бозе — Эйнштейна 161, 17Э
— Ферми — Дирака 165, 173
Степень поляризации! 239
Странность 62
Струя 302
Тензор орбитального момента 47
— спинового момента 47, 8U 85
— электромагнитного поля 88, 114
дуальный 92, 93, 104
— энергии-импульса канонический 45
метрический 48
системы частиц
электромагнитного поля 114
Теорема Ли 30
— Паули 151, 173
Тождество Якоби 28, 29
Токи Нетер 43
Уравнение Дирака в гамильтоно-вой
форме 166, 215
— Клейна — Гордона — Фока 65
Уравнения Лаетранжа — Эйлера 6
Условие унитарности 212, 2ГЗ
Фермионы 151, 165
Формулу аберрации 281
— Брейта — Ушюра 254
— Вейцзеккера — Вильямса 256
— Клейна — Нишины — Тамма 247
— Комптона 247
— Мотта 267
— Томсона 248
— Шотта 134, 287
Функция Грина 106, Ш7, ,161
запаздывающая 107, 109
опережающая 110
— распространения 163, 178
— Эйри 138, 142
— Эрмита 224
Хронологическое спаривание 163, 178»
202
Цвет кварка 63
Цветовая группа 63
Четырехмерная скорость 105
Четырехмерный ток частицы 105
Четырехмерное ускорение 119
Швингеровское поле 296
Эйнштейна коэффициенты 222
Эффект Догаплера 281
— Комптона 240
— Черенков а 214
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие &
Глава I
Классическая теория поля 5-
§ 1. Вариационный принцип в теории поля 5*
а) Линейная цепочка 5
б) Общая вариационная задача 8-
в) Метод Гамильтона 11
§ 2. Преобразования Лоренца 17
а) Пространство Минковского 17
б) Общие преобразования Лоренца . 1&
§ 3. Группа Лоренца и группа Пуанкаре 23
а) Группы Ли 23г
б) Примеры непрерывных групп преобразований 31
§ 4. Интегралы уравнений поля 40
а) Теорема Э. Нетер 40
б) Тензор энергии-импульса, момент поля 4S
§ 5. Спинорное представление группы 48
а) Группа SUB) 4&
б) Линейные представления SUB) 51
§ 6. Внутренние симметрии полей. Калибровочные преобразования . . 5fr
а) Изотопические вращения 56-
б) Динамически» симметрии 61
§ 7. Скалярное поле , 62»
а) Инвариантные уравнения полей 64
б) Скалярное уравнение * 65-
§ 8. Спинорное представление группы Лоренца 70
а) Группа SLB, С) 70
б) Уравнение Дирака 76
§ 9. Спинорное и массивное векторное поля 79*
а) Функция Лагранжа и токи Нетер дираковского поля . 79-
б) Массивное векторное поле 82
§ 10. Электромагнитное поле 85
а) Локальные калибровочные преобразования 85
б) Уравнения электромагнитного поля 89
в) Кулоновская калибровка 91
г) Калибровка Лоренца 93
§ 11. Калибровочные поля 96
а) Произвольная калибровочная группа 97
б) Поля Янга—Миллса 98
в) Механизм Хиггса в классической теории поля 100
Глав а II
Основы классической электродинамики 104
§ 12. Уравнения Максвелла—Лоренца 104
§ 13. Функция Грина волнового уравнения ...*...,.. 106
309
§ 14. Вариационный принцип в электродинамике 111
«§ 15. Закон сохранения энергии-импульса в электродинамике . . . 113
$ 16. Классическая теория излучения 116
а) Поле произвольно движущегося точечного заряда . . . . 116
б) Мощность излучения . . „ 120
в) Спектр излучения 124
г) Поляризация излучения 128
•§ 17, Синхротронное излучение 132
а) Спектрально-угловое распределение мощности СИ при произволь-
произвольных скоростях 132
б) Особенности излучения релятивистских частиц 134
в) Спектрально-угловое распределение мощности излучения реляти-
релятивистских частиц 137
г) Спектральное распределение СИ 139
Глава III
Основы квантовой электродинамики . . 144
§ 18. Квантование свободного электромагнитного поля (кулоновская ка-
калибровка) 144
а) Энергия свободного электромагнитного поля. Фотоны . . . 144
б) Спин фотонов 150
-§ 19. Квантование электромагнитного поля (калибровка Лоренца) . . 151
а) Энергия поля 151
б) Каноническое квантование 153
§ 20. Перестановочная и причинная функции электромагнитного поля . 159
а) Перестановочное соотношение для операторов электромагнитного
поля 159
б) Нормальное и хронологическое произведения операторов электро-
электромагнитного поля 162
§ 21. Квантование дираковского поля , 165
а) Зарядовое сопряжение „ 165
б) Перестановочные соотношения. Антикоммутаторы . . . . 169
^ 22. Перестановочная и причинная функции дираковского поля . . . 173
а) Каноническое квантование 173
б) Перестановочная функция 175
в) Причинная функция Грина 177
г) Переопределение энергии и тока для уравнения Дирака . . . 179
§ 23. Электромагнитное взаимодействие 180
а) Гейзенберговские уравнения полей 181
б) Представление взаимодействия (картина Дирака) . . . . 183
5 24. S-матрица для электромагнитного взаимодействия 187
а) Формула Дайсона 187
б) Теорема Вика . 190
•§ 25. Излучение классического тока 192
а) Электромагнитное поле классического источника , 193
б) Излучение мягких фотонов 194
§ 26. Диаграммы Фейнмана . . . . , 201
а) Структура ряда для S-матрицы 201
б) Правила Фейнмана 204
§ 27. Инвариантное сечение реакции 207
а) Вероятность и сечение 207
б) Оптическая теорема 212
Глава IV
Процессы взаимодействия электронов с фотонами л 214
§ 28. Квантовая теория излучения 214
а) Представление Фарри 215
310
б) Спонтанное излучение 216-
в) Вынужденное излучение и поглощение 220
§ 29. Синхротронное излучение (квантовая теория) 222
а) Решение уравнения Дирака для электр#она в постоянном однород-
однородном магнитном поле ' 223
б) Квазиклассическое решение уравнения Дирака 227
в) Вероятность излучения 230*
г) Мощность излучения 234
д) Эффект самополяризации 239"
§ 30. Комптоновское рассеяние . 240
а) Матричный элемент процесса 240*
б) Сечение комптоновокого рассеяния 241
в) Рассеяние в лабораторной системе 247
г) Обратный комптон-эффект • 248-
§ 31. Перекрестная симметрия амплитуды реакции 249'
§ 32. Двухфотонное рождение и двухфотонная аннигиляция электронно-
позитронных пар . 252"
а) Двухфотонное рождение пары (уу-+е+е~) 252
б) Двухфотонная аннигиляция пары 254
§ 33. Метод эквивалентных фотонов 255
§ 34. Тормозное излучение релятивистских электронов на ядре . . . 260
а) Тормозное излучение ультрарелятивистских электронов . . . 261
б) Рождение электронно-позитронной пары фотоном на ядре . . 263
§ 35. Вакуумные эффекты. Перенормировки в квантовой электродинамике 264
а) Рассеяние электрона во внешнем поле 264
б) Радиационные поправки к амплитуде рассеяния 267
в) Перенормировка массы , 269-
г) Поправка к вершине 272
д) Поляризация вакуума. Перенормировка заряда 272
е) Аномальный магнитный момент электрона 275
ж) Сечение рассеяния во внешнем поле с учетом радиационных по-
поправок 276
§ 36. Основные свойства синхротронного излучения и их эксперименталь-
экспериментальное исследование . . 279
а) Спектрально-угловые характеристики синхротронного излучения . 280
б) Поляризационные свойства синхротронного излучения . . . 287
в) Квантовые эффекты в синхротронном излучении 290
г) Спиновые эффекты 296
д) Литература к § 36 303
Заключение 305
Литература 305
Предметный указатель 307
Арсений Александрович Соколов
Игорь Михайлович Тернов
Владимир Чеславович Жуковский
Анатолий Викторович Борисов
КВАНТОВАЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Заведующий редакцией С. И. Зеленский
Редактор Г. Е. Горелик
Мл. редактор О. Е. Силантьева
Художник Н. Н. Сенькр
Художественный редактор Л. В. Мухина
Технический редактор Е. Д. Захарова
Корректоры Л. А. Айдарбекова,
Н. И. Коновалова!, М. К- Соболева
Тематический план 1983 г. № 86
ИБ № 1463
Сдано в набор 10.12.82
Подписано к печати 27.05.83
Л-95345 Формат 60X90Vie
Бумага тип. №i 1
Усл. печ. л. 19,9
Уч.-изд. л. 19,38
Изд. № 2042
Зак. 590 Тираж 5670 экз.
Цена 90 коп.
Ордена «Згаак Попета»
издательство
Московского университета*
1@3009, (Москва, ул. Герцена, 5/7.
Типография ордена «Задак Почета»
изднва МГУ.
Москва, Ленинсние горы.