Экспертная информация: Методы получения и анализа - Литвак Б.Г.

Author: Литвак Б.Г.

Tags: математика теория вероятностей математическая статистика комбинаторный анализ теория графов кибернетика обработка информации математические модели теория управления

Year: 1982

Similar

Многомерное шкалирование. Методы наглядного представления данных

Основы многомерного шкалирования

Прикладная статистика. Классификация и снижение размерености

Справочник по прикладной статистике. Том 2

Text

9М6983
Б. Г. Литвак
iЭКСПЕРТНАЯ
ИНФОРМАЦИЯ
| МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ
ИАНАЛИЗА
Б. Г. Литвак
ЭКСПЕРТНАЯ
ИНФОРМАЦИЯ
МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ
ИАНАЛИЗА
МОСКВА
«РАДИО И СВЯЗЬ»
1982
ББК 22.174
Л 64
УДК 519.584
Литвак Б. Г.
Л64 Экспертная информация: Методы получения и ана-
лиза. — М.: Радио и связь, 1982. — 184 с., ил.
65 к.
Посвягцсна математическим методам получения, анализа и обработки
экспертной информации, достаточно широко используемым при решении
. практических задач планирования и управления народным хозяйством,
при прогнозировании научно-технического прогресса, в исследовании опе-
раций, экономике, социологии, психологии и т. д. Приводятся способы
получения результирующих экспертных оценок, устанавливается их связь
с основными принципами коллективного выбора, напоминаются основы
теории измерений. Значительное внимание уделено проблеме многокрите-
риальных оценок и решению оптимизационных задач, использующих экс-
пертную информацию.
Рассчитана на инженеров, работающих в области управления, плаин
рования, прогнозирования.
1502010000—079
Л--------------
046(01)—82
113—82
ББК 22.174
6Ф0.1!
РЕЦЕНЗЕНТ Ы: д-р техн, наук В. В. ПОДИНОВСКИИ
и канд. физ.-мат. наук С. И. ТРАВКИН
Редакция литературы по кибернетике и вычислительной технике
Борис Григорьевич Литвак
ЭКСПЕРТНАЯ ИНФОРМАЦИЯ.
МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ И АНАЛИЗА
Редактор В. М. Ларионова
Художник В. II, Карпов
Художественный редактор Н, С. Ш е и и
Технический редактор Л. К- Грачева
Корректор Т. С. Власкина
И Б № 163
Сдано в набор 5.01.$2 г. Подписано в печать 25.02.82
Т-03897 Формат 60Х90'/1б Бумага кн.-жури. Гарнитура литературная Печать высокг
Усл. печ. л. 11.5 Усл. кр.-отт. 11.75 Уч.-изд. л. 13,21 Тираж 6000 экз. Изд. Хе 1961
Зак. № 1 Цена 65 к.
Издательство «Радио и связь». 101000 .Москва, Главпочтамт, а/я 693
Типография издательства «Радио и связь» Госкомиздата СССР
101000 хМосква, ул. Кирова, д. 40
© Издательство «Радио и связь», 19ь,
ПРЕДИСЛОВИЕ
Экспертные оценки в настоящее время являются наиболее рас-
пространенным способом получения и анализа качественной ин-
формации. Поэтому к ним привлечено внимание широкого круга
специалистов — как практиков, так и теоретиков. Значительное ко-
личество задач, в той или иной степени использующих экспертную
информацию, возникает при решении .проблем управления, 'плани-
рования, прогнозирования, в исследовании операций, экономике и
Т. д.
Успешное применение метода экспертных оценок во многом за-
висит от совершенства математических методов, с помощью кото-
рых осуществляется анализ и обработка экспертной информации.
Их описание и составляет основное содержание книги.
Методы организации и проведения экспертиз: Делфи и ПАТ-
ТЕРН, В. М. Глушкова и Г. С. Поспелова и др. в настоящее вре-
мя известны специалистам. Они достаточно детально излагаются в
ряде монографий, посвященных полностью либо частично эксперт-
ным оценкам. В Приложении напоминаются принципы организа-
ции и проведения экспертиз. Основное же внимание уделяется ме-
тодам получения и анализа экспертной информации, между кото-
рыми существует определенная связь.
В гл. 1 приводятся способы получения .качественной и количест-
венной экспертной информации, обсуждаются основные проблемы
теории измерений, корректность методов анализа экспертной ин-
формации в зависимости от характера измерений, устанавливается
связь между основными видами экспертной информации и основ-
ными типами отношений на множествах рассматриваемых альтер-
натив.
Глава 2 посвящена аксиоматическому введению мер близости
на ранжированиях, классификациях, отношениях частичного по-
рядка, толерантностях. Рассматриваются меры близости Хэммин-
га, Евклида, более общий случай структурных мер близости, а
также меры близости на метризованных отношениях, содержащих
количественные оценки степени предпочтительности либо степени
сходства альтернатив.
В гл. 3 рассматриваются принципы 'выбора результирующих от-
ношений. В частности, принципы согласованного выбора, сформу-
лированные Эрроу, принцип Парето н медиана Кеменп. Указыва-
ется способы определения отношений частичного порядка, удов-
летворяющих принципу Парето, способы определения медианы Ке-
3
мени для ранжирований и среднего по Кемени для аддитивных
метризованных ранжирований.
В гл. 4 излагаются методы сравнительной оценки многомерных
альтернатив. В частности, излагаются методы многомерного шка-
лирования, позволяющие выделить наиболее существенные для
оценки альтернатив факторы, примеры методов формирования
обобщенного критерия и способов выбора, когда обобщенный кри-
терий не может быть сформирован.
В гл. 5 приводятся примеры оптимизационных задач, возникаю-
щих при анализе экспертной информации, и способы их решения.
Излагаются также алгоритмы решения оптимизационных задач, ис-
пользующих экспертную информацию, предполагающих непосред-
ственное участие эксперта в процессе решения.
В книге приводятся результаты советских и зарубежных спе-
циалистов, работы которых посвящены созданию и развитию мате-
матических методов анализа экспертной информации. Некоторые
результаты публикуются автором впервые, в частности, общий ал-
горитм отыскания результирующих отношений, алгоритм решения
задачи о р-представителыюй экспертной комиссии, исследование о
связи принципов согласованного выбора Эрроу и медианы Кемени.
Созданию данной книги во многом способствовала работа
функционирующего с 1974 г. при механико-математическом фа-
культете МГУ и комиссии «Экспертные решения» Совета по комп-
лексной проблеме «Кибернетика» АН СССР семинара «Математи-
ческие методы в экспертных оценках», руководимого Ю. Н. Тюри-
ным и автором.
Автор выражает признательность Г. М. Адельсону-Вельскому,
А. А. Фридману, А. И. Орлову, Ю. И. Белько, Ю. В. Ершову,
В. Г. Сизову, Д. С. Шмерлингу за беседы, которые были для авто-
ра исключительно полезными, а также рецензентам: д-ру техн,
наук В. В. Подиновскому и канд. физ. мат. наук С. И. Травкину.
Глава 1
ЭКСПЕРТНАЯ ИНФОРМАЦИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ
При использовании метода экспертных оценок основным источ-
ником информации является эксперт — его суждения, качествен-
ные и количественные оценки. Характер информации, получаемой
от эксперта, различен, а следовательно, различны методы ее ана-
лиза и обработки. Свойства экспертной информации, играющие
определяющую роль при получении качественных и количественных
оценок, изучаются в теории измерений.
Рассмотрим основные положения теории измерений. В частно-
сти, приведем 'наиболее распространенную классификацию шкал,
папомним основные проблемы теории измерений, уделив наиболь-
шее внимание проблеме адекватности преобразований экспертной
информации, установим связь между основными типами шкал и
отношениями. Последнее особенно важно, поскольку экспертная
'информация представима, как правило, с помощью отношений.
Приведем также способы получения качественных и количествен-
ных оценок, используемых при экспертном оценивании.
1.1. ОТНОШЕНИЯ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОТНОШЕНИЙ
Одним из основных математических понятий, используемых
при анализе и обработке экспертной информации, является отно-
шение. Напомним определение, свойства и основные типы отноше-
ний (см., например, [4, 5, 53]).
Пусть задано множество элементов А= {щ,..., ап}. Множество
всех пар вида (а,, а,), с элементами а^А и а^А, образует де-
картово произведение ДХЛ. Любое подмножество Р декартова
произведения ЛХЛ называется бинарным отношением на множест-
ве элементов А. Бинарное оно потому, что образовано парами
элементов. Рассматриваются также 3-, 4-, а вообще говоря, 6-ар-
ные отношения, образованные соответственно тройками, четверка-
ми и т. д. элементов —подмножествами декартовых произведений
АХАХА, АХАХАХА, ..., АХАХ ...ХА. Мы будем иметь дело
преимущественно с бинарными отношениями, хотя иногда будут
jaccMaTpiiiBaTbCH 3- и 4-арные отношения.
t Типы отношений определяются свойствами, которыми они об-
адают. Сформулируем основные свойства наиболее распростра-
енных бинарных отношений.
Рефлексивность. Отношение Р называется рефлексивным, если
ары (af, а,)ер,
5
Антирефлексивность. Отношение Р называется аптирефлексив-
пым, если пары (аг-, Р, ге{1,...,/?}.
Симметричность. Отношение Р называется симметричным, если
пара (a,, a.i)^P тогда и только тогда, когда (аг, а>)^Р.
Асимметричность. Отношение Р называется асимметричным, ес-
ли пара (<2j, at) t£P тогда и только тогда, когда (а^
Антисимметричность. Отношение Р называется антисимметрии
ным, если из того, что (аг-, aJeP и (aj, aJeP, следует at=aj
Транзитивность. Отношение Р называется транзитивным, еслт
из того, что (аг, а,)^Р и (а,, й/еР, следует (а,, flJeP.
Связность (линейность). Отношение Р называется связным, ес-
ли для любых двух элементов а,, а^А, либо (a,, oje/3, либо
(а,, а/еР, либо одновременно (а;, а,)^Р и (ад а;)е/3.
Напомним определения основных типов отношений.
Частичный порядок. Отношение Р называется отношением час
тичного порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и тран
зитивно.
Линейный порядок. Отношение Р называется отношением ли-
нейного порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично, тран
зитнвно и связно.
Отношение линейного порядка — это отношение частичного по
рядка, обладающее свойством связности. (Отношение линейной
порядка 'будем называть также ранжированием.) Иногда рассмат
рнваются отношения строгого частичного или линейного порядка
обладающие свойством антирефлексивности. Рассматриваются так
же отношения квазипорядка (предпорядка) [5, 53], не обладаю
щие свойством антисимметричности.
Толерантность. Отношение Р называется толерантностью, есль
оно рефлексивно и симметрично.
Эквивалентность. Отношение Р называется эквивалентностью
если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Таким обрг
зом, эквивалентность — это толерантность, обладающая свойство-
транзитивности.
Информация об отношениях может быть представлена различ
ными способами. Отношение можно задать непосредственным пе
речислением пар элементов множества А, ему 'принадлежащи.’'
Однако это пе всегда удобно. Более распространен матричный one
соб представления информации об отношениях. Строки и столбш
матрицы Hpijll отношения Р соответствуют элементам множеств
А. (Иногда для удобства изложения матрицу отношения Р буде?
обозначать также через М(Р).) Пусть Р — отношение частичного
или линейного порядка. Если элемент а, предшествует элемеи
а- [пара (а/, a.jeP], то на пересечении г-й строки и /-го столб
в матрице отношений ставится 1, в противном случае — 0. Та
образом, элемент матрицы отношений ||pt-.;||
(1, если (а,, аА ^Р,
Pij — l v
(0, если (а,, а,) ^Р.
6
Аналогично с помощью матрицы ||рг;|| с элементами, определяе-
мыми соотношением (1.1), представляется информация об отноше-
ниях Р толерантности или эквивалентности. Если элементы at и
а. эквивалентны [пара (dj, tii)eP], то па пересечении i-й строки
и /-го столбца ставится 1, в противном случае —0. Отметим, что
матрица отношений толерантности, а следовательно, и эквивалент-
ности — симметрическая, т. е. pn=Pji, i, /е{1, • • •, п}.
Однако чаще для представления отношений частичного поряд-
ка используется [22, 38, 114] матрица \]рц\\ с элементами
1, если
0, если
— 1, если
(а{, (ajt а{)^.Р,
lait а})^Р, (а.;, аг-)-^ Р,
(ait а,)^Р, (ait а{)(=Р,
а для представления отношений линейного порядка — матрица от-
ношений llpi JI с элементами
P
1, если (щ, а,)еР, (а„ а{)Е£Р,
0, если (а,-, а,)еР, (а,-, а;)еР,
— 1, если (аг, а,)^Р, (a,, а-А^Р.
Такие матрицы отношений частичного и линейного порядка анти-
симметрические, т. е. Рц = —Ра, i, /е{1, • • •, п}.
Геометрически наглядное представление об отношениях можно
получить с помощью графов [3, 19]. Об отношениях частичного и
линейного порядка-—с помощью ориентированных графов, вер-
шины которых соответствуют элементам а\,... ,ап множества А, а
ориентированные дуги (а{, ст,) проведены от вершины, соответству-
ющей элементу а,, к вершине, соответствующей элементу а,-, если
элемент а, предшествует элементу а, в отношении Р, т. е. если
'(щ, aj}^P. Если (щ, и (а3-, аА^Р, то проводятся две ори-
ентированные дуги от -вершины, соответствующей элементу а2, к
вершине, соответствующей элементу aj, и в обратном направлении.
Информация об отношениях толерантности и эквивалентности
представляется с помощью неориентированного графа, вершины
которого соответствуют элементам а\,..., ап, а неориентированные
Дуги (щ, а-) соединяют вершины, соответствующие элементам щ-
11 аз, если элементы at и эквивалентны, т. е. если (а2-, сфеР.
Приведем примеры отношений Pt, Рг, Рз, Pt, заданных матрицами
1\ / 0 1 1 1 1\
1 \ / —1 0 1 1 1 \
о I, М(Р2)=| —1—1 0 О 1 I,
0 I 1—1—1 0 011
0/ \ — 1 — 1 — 1 — 1 о/
0 0\ /1 1 0 0 0\
О о\ /110001
0 0 |, М(Р4)=| 0 0 1111.
111 10 0 1111
11/ \0 0 1 1 1/
(О Ill
— 1 0 0 1
— 1 0 0 0
— 1—10 0
— 1—1 о о
(1 1 о
1 1 1
о 1 1
0 0 0
0 0 0
7
Можно непосредственно убедиться, что Pt — отношение частичного порядка,
Р2 — отношение линейного порядка, Рз — отношение толерантности. Pt — от-
ношение эквивалентности. Заметим, что если тип отношения Р2 заранее не из-
вестен, оно может быть интерпретировано и как отношение частичного порядка.
Отношения Рь Р2, Рз, Pt можно представить и в виде графов Г], Г2, Г3, Г«
(см. рис. 1.1—1.4).
'*at
3
Рис. 1.3.
Установим достаточно легко проверяемые свойства матриц от
ношений основных типов. Сначала рассмотрим матрицы отноше
ний частичного и линейного порядка llpijll с pu=Q, /е{1,...,п}»
Последнее обеспечивает рефлексивность отношений Р. Элементы
at и aj равноценны, если в ||р^|| множества индексов v и ц, для
которых p,-v=PjvH Рш = Ри.З’ совпадают. Элемент ри будем назы-
вать /-элементом матрицы отношения, если для некоторого : -дек-
са / pij = pu=i. Матрицу отношений, все /-элементы которой рав-
ны 1, назовем /-матрицей1.
1 Не следует путать элементы /-матрицы и /-элементы матрицы.
8
Теорема 1.1. ||рг,|| является матрицей отношения частичного по-
рядка тогда и только тогда, когда она /-матрица.
Необходимость. Пусть ||рг-3|| — матрица отношения частичного
порядка Р. Отношение Р транзитивно. Если (а,, а;)еР и (а>, «/)£
gP, то и (а,. a.JeP, Это означает, что если и p;i=l, то
обязательно Рп=1, т. е. ||p;i|| — /-матрица.
Достаточность. Рефлексивность, антисимметричность и транзи-
тивность отношения Р непосредственно следует из свойств /-матри-
цы llpijll.
Теорема 1.1 дает возможность сформулировать достаточно про-
стое условие, позволяющее идентифицировать матрицы отношений
частичного порядка.
Следствие 1.1. Ilpijll является матрицей отношения частичного
порядка тогда и только тогда, когда выполняется условие: если
pfi=l, то Pi^Pj'. Установим теперь свойства матрицы отношений
линейного порядка.
Теорема 1.2. ||р,3-|| является матрицей отношения линейного по-
рядка тогда и только тогда, когда для любой пары индексов i,
/е{1,...,«} выполняется условие
ЛИбо Pij= 1 И Pi^Pj,
либо рц=1 и pj^pi. (1.2)
Необходимость. Пусть Р — отношение линейного порядка. По-
скольку Р связно, то (й/, aJeP или (а,-, и, следовательно,
для матрицы Hpiill Pij—i или ри=1. Таким образом, условие
(1.2) выполнено.
Заметим, что отношение линейного порядка Р является также
отношением частичного порядка, а значит, по теореме 1.1 ||р,;|| —
/-матрица. Непосредственной проверкой устанавливается, что для
/-матрицы Uphill приводит к неравенству Pi^Pj. А так как
для ||р,;|| либо Pi.;=I, либо Pji=l, то, соответственно, либо р,^
^Pj, либо pj^pi. Следовательно, для матрицы ранжирования
IiPijII условие (1.2) также выполнено.
Достаточность. Пусть для матрицы отношений ||р/;|| выполнено
условие (1.2). Покажем, что ||р;;||—/-матрица. Действительно, ес-
ли р;;=р.и== 1, то pi = pj, а отсюда и из Po=il следует, что Pj,= l.
По теореме 1.1 Р рефлексивно, аптпспмметричпо и транзитивно.
Из условия (1.2) следует связность Р. Следовательно, Р — отно-
шение линейного порядка.
Сформулируем теперь условия, которым должна удовлетворять
матрица эквивалентности 2
Ра=Рл, I, /е={1, ..., п} (1.3)
с помощью одновременной перестановки строк и столбцов с оди-
ковыми номерами матрицы ||р,Д (перенумерации элементов мпо-
2 ра^„₽ь еслн Pi^Pa. /е{1.п).
матривается лишь матрица отношений с рн = 1, /е{1.п}.
9
жества Д) можно получить клеточную матрицу1, вдоль диагонали
которой расположены квадратные подматрицы с элементами рц=
= 1.
Матрица толерантности должна удовлетворять лишь условию
(1-3).
Однако при анализе экспертной информации традиционные ти-
пы отношений и способы их представления оказываются недоста-
точными. Суждения эксперта содержат часто не только качествен-
ные оценки предпочтительности альтернатив или их эквивалентно-
сти, но и количественные оценки степени предпочтительности од-
ной альтернативы относительно другой, степени эквивалентности
той или иной пары альтернатив. Поэтому возникла необходимость,
ввести так называемые метризованные отношения [38, 39].
Метризованным отношением Р будем называть пару <Р, W(Р)>,
где Р — отношение, a W(P) = {г%} — множество чисел w{j^0
характеризующих степень предпочтительности альтернативы а, от
носительно альтернативы а,, либо степень эквивалентности альтер-
натив а, и а,. Если (цг, a.'ieP, то W(P).
Метризованное отношение Р=<Р, W(P)) называется рефлексив-
ным, аптирефлексивным, симметричным, асимметричным, анти
симметричным, транзитивным, связным, если отношение Р облада
ет указанным свойством.
Свойство транзитивности, сформулированное для неметризован
ных отношений, можно естественно усилить для метризованных от-
ношений.
Метризованное отношение Р называется аддитивным, если для
любой тройки индексов /, /, /, таких, что (аг-, и’ (а,-,
справедливо (a,, at)^P и Wij+Wji=Wn.
Метризованное отношение Р .называется мультипликативным
если для любой тройки индексов i, j, I, таких, что (а,-, а-)^Р к
(а,, aJeP, справедливо (а,, «()еР и WtjWji—Wu.
Р называется метризованным отношением частичного порядка
линейного порядка, толерантности или эквивалентности, если Р яв
ляется соответственно отношением частичного порядка, линейного
порядка, толерантности либо эквивалентности.
Информация о метризованных отношениях также представляет-
ся в виде матриц отношений. Если Р—метризованное отношение
частичного порядка, то элементы соответствующей матрицы отно
шений lip,-;|| таковы
Wij, если (а,, а,)^Р, (a,, ai)^P,
. _ —Wij, если (a,-, aj)£P, (а,, а,)^Р,
P,J 0, если (а;, а()еР, (а;, а,)еР,
0, если (а,-, (а,-, di)z£P.
Введение элемента 0 объясняется необходимостью иметь в мат-
рице отношений одновременно информацию о равноценности и не-
1 Клеточная матрица — квадратная блочно-диагональная матрица, вдоль
диагонали которой расположены квадратные подматрицы. (Остальные ее эле-
менты — нули.)
10
сравнимости элементов. Если рц=0, то элементы at и aj равно-
ценны. если рц=0, то элементы ai и а,- несравнимы. В матрицах-
метризованных отношений линейного порядка элементы pi; = 0
отсутствуют, поскольку отношения линейного порядка связны, а
значит, любая пара элементов множества Л сравнима.
Матрица метризованного отношения частичного (а значит, и
линейного) порядка называется согласованной, если она антисим-
метрическая, т. е. Ра——Рр, i, /е{1,.. ., п}. Очевидно, что для
аддитивных метризованных отношений частичного или линейного
порядка целесообразно пользоваться именно такими матрицами от-
ношений.
В некоторых случаях характер количественных оценок степени
предпочтительности альтернатив, указываемых экспертами, таков,
что целесообразно использование матриц метризованных отноше-
ний следующего вида:
Wi;, если (од, а;)еР, (а,-, йг)££Р,
, _ 1, если (ai, (a,, ар}<=Р,
P2i~ X/Wij, если (aif а,) &Р, (a,, a,)<=P,
(1.4)
0, если (a,-, а,)^.Р, (а,, а^^Р.
Такая матрица метризованных отношений соответствует эксперт-
ным суждениям типа: «альтернатива а, в w-ij -раз предпочтительней
альтернативы а,».
Использование матриц метризованных отношений с элементами
pi), определяемыми соотношением (1.4), целесообразно для муль-
типликативных метризованных отношений частичного или линейно-
го порядка. Матрицы мультипликативных метризованных отноше-
ний линейного порядка названы сверхтранзитивными [53].
Отметим, что при анализе экспертной информации, имеющей
качественный характер, когда рассматриваются неметризованные
отношения частичного порядна, также целесообразно представле-
ние в матрице отношений как информации о равноценности аль-
тернатив, так и информации об их несравнимости. Для этого целе-
сообразно рассматривать матрицу отношений с элементами:
1, если (а^ а,)^Р, («,-, ai)jPP,
_ 0, если (а{, а^^Р, (а:„ а^^Р, .. _
—1, если (а;, Я;),ДР, (ttj, й;}^Р,
0, если («г, Й;)^ЕР, (й), Р.
Информация о метризованных отношениях Р толерантности и
эквивалентности представляется в виде матриц с элементами
(он-,-, если (at, aj)^P,
(О, если (й{, а ,) ф. Р,
СТВаФ|-/ зесовые коэффициенты, характеризующие степень сход-
толера^"^ альтернативами. Матрица метризованных отношений
Pij==p Т110стп, а значит, и эквивалентности, симметрическая, т. е.
Графы, 'представляющие информацию о метризованных отнош*-
ниях частичного порядка, линейного порядка, толерантности, экви
валентности 'Отличаются от графов, представляющих информации
о неметризованных отношениях частичного 'порядка, линейного по-
рядка, толерантности, эквивалентности лишь наличием приписан
ных дугам (а{, aj) весовых коэффициентов юц.
Поскольку тип метризованных отношений Р=<Р, W(P)y оцрг
деляется типом отношения Р, свойства матриц метризованных от
ношений устанавливаются так же, как аналогичные свойства мат-
риц неметризованпых отношений. Свойства аддитивности и муль
типликативности метризованных отношений частичного и линейно-
го порядка проверяются непосредственно.
Приведем примеры метризованных отношений, заданных матрицами:
(О
— 2
— 3
— 5
— 4
(1 3
1/3 1
1/6 1/2
1/6 1/2
1/12 1/4
М(Рз)= 0
I 0
\ о
/10
/ 3
/И(Р*) = 0
I о
\ 0
2 3 5 4\
0 0 3 2 1
0 0 0 0 1,
—30001
— 2 0 0 0/
6 6 12 X
2 2 4 \
11 2 ,
11 2
1/2 1/2 1 /
2 0 0 0\
10 4 0 0 \
4 10 0 0 I,
001031
0 0 3 ю/
3 0 0 0 \
10 0 0 0 \
0 10 4 11.
О 4 10 2 I
0 1 2 10/
Для метризованных отношений толерантности Рз и эквивалентности Pi
максимальное значение степени сходства w,т= 10, ie{l,..., 5}. Можно непо-
средственно убедиться, что Pt — аддитивное метризованное отношение частич-
ного порядка, Р2 — мультипликативное отношение линейного порядка, Р3 —
метризованное отношение толерантности, Pi — метризованное отношение экви-
валентности.
Отметим, что для метризованных отношении тип отношения Р2 определяет-
ся однозначно. Чтобы однозначно определялся тип отношения Р?, достаточно
воспользоваться матрицей отношений llpijli с элементами pi j, задаваемыми со-
отношением (1.5). Действительно,
(0 1 1 1 1\
— 1 0 1 1 1 \
— 1 — 1 0 0 1,
— 1 — 1 0 0 11
— 1 — 1 — 1 — 1 0/
12
13
M(P"2) =
О
— 1
— 1
— 1
— 1
1
О
— 1
— 1
— 1
1 1 *\
1 1 1 I
о 0 1,
О 0 1 I
— I — 1 о/
матрица М(Р'2) представляет отношение частичного порядка Р'2, а матрица
AffPa") — отношение линейного порядка Р2". Отношения Р'2 и Р2" могут быть
представлены графами Г'2 и Г2" (рис. 1.5 и рис. 1.6). Метризованные отноше-
ния Р}, Р2, Р3, Рд представляются графами Гь Г2, Г3, Г4, каждой дуге которых
поставлены в соответствие весовые коэффициенты, заданные в матрицах отно-
шений (рис. 1.7—1.10).
1.2. МЕТОДЫ ЭКСПЕРТНОГО ОЦЕНИВАНИЯ АЛЬТЕРНАТИВ
Методы, используемые в настоящее время для получения экс-
пертных оценок, достаточно многочисленны и разнообразны. Целе-
сообразность применения того или иного метода во многом опре-
деляется характером анализируемой информации. Если оправданы
лишь качественные оценки предпочтительности альтернатив либо
разбиение их па классы по тем или иным качественным призна-
кам, то мы вправе использовать парные и множественные сравне-
ния, непосредственное ранжирование, классификацию и т. д. Если
характер анализируемой информации таков, что целесообразно по-
лучать численные оценки сравнительной предпочтительности аль-
тернатив, то используем тот или иной метод численной оценки, на-
чиная от непосредственных численных оценок и кончая более тон-
кими методами Терстоуна и фон Неймана — Моргенштерна. Если
необходимо оценить степень сходства альтернатив при классифика-
ции, целесообразно воспользоваться методом, предложенным в ра-
боте [54].
МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ КАЧЕСТВЕННЫХ ОЦЕНОК
Парные сравнения. Одним из наиболее распространенных мето-
дов получения экспертной информации является метод парных
сравнений. Впервые он был предложен в работе [124] для оценки
сравнительной предпочтительности альтернатив, а затем получил
значительное развитие в работах [92, 147, 117 и др.]. Методу пар-
ных сравнений посвящена монография [17].
В методе парных сравнений эксперту последовательно предъ-
являются пары альтернатив, в зависимости от целей экспертизы
для каждой пары альтернатив предлагается указать, какая из
альтернатив более предпочтительна, или указать, может ли данная
пара альтернатив принадлежать одному классу. Если предпочте-
ния эксперта удовлетворяют свойству транзитивности и сравнива-
ются все пары альтернатив, то получаем ранжирование (отноше-
ние линейного порядка). Если относительно части пар альтернатив
эксперт затрудняется указать, какая из двух альтернатив пред-
почтительней, считая их несравнимыми, то получаем лишь частич-
ное упорядочение альтернатив. Если при разбиении экспертом аль-
14
тер.н£тпв на классы выполняется свойство транзитивности, полу-
чаем классификацию альтернатив (отношение эквивалентности).
Однако, как показывает опыт, эксперт далеко не всегда после-
дователей в своих предпочтениях. В результате использования ме-
тода парных сравнений эксперт может указать, что альтернатива
di предпочтительней альтернативы а2, а2 предпочтительней альтер-
нативы аз н в то же время аз предпочтительней альтер-
нативы aj. В случае разбиения альтернатив на классы
эксперт может к одному классу отнести пары альтернатив
Н] и «2, а2 и аз, но в ,то же время альтернативы а\ и а3 отнести к
различным классам. Такая «непоследовательность» эксперта мо-
жет объясняться различными причинами: сложностью задачи, не-
очевидностью предпочтительности альтернатив или разбиения их
иа классы (в противном случае, когда все очевидно, проведение
экспертизы необязательно), недостаточной компетентностью экс-
перта, недостаточно четкой постановкой задачи, многокритериаль-
постыо рассматриваемых альтернатив и т. д.
«Непоследовательность» эксперта приводит к тому, что в ре-
зультате парных сравнений при определении сравнительной пред-
почтительности альтернатив мы не получаем ранжирований и да-
же отношений частичного порядка — не выполнено свойство тран-
зитивности. По этой же причине п>ри разбиении альтернатив на
классы мы получаем лишь отношение толерантности, а не отноше-
ние эквивалентности, т. е. пе получаем классификации альтерна-
тив.
Если целью экспертизы при определении сравнительной пред-
почтительности альтернатив является получение ранжирования или
частичного упорядочения, необходима их дополнительная иденти-
фикация. Если цель экспертизы — классификация альтернатив, а
свойство транзитивности не выполняется, также необходима допол-
нительная идентификация отношения па множестве альтернатив,
полученного в результате экспертного оценивания. В этих случаях
имеет смысл в качестве результирующего отношения выбирать от-
ношение заданного типа, ближайшее к полученному в эксперимен-
те. Уточнение понятия отношения, ближайшего к данному, и воз-
можные алгоритмы его отыскания будут изложены далее.
Множественные сравнения отличаются от парных тем, что экс-
пертам последовательно предъявляются не пары, а тройки, четвер-
ки, т-ки (г<Сп) альтернатив. Эксперт их упорядочивает по важно-
сти или разбивает на классы в зависимости от целей экспертизы.
Множественные сравнения изучались в работах [135, 138 и др.].
Интересное экспериментальное п теоретическое исследование ме-
тода множественных сравнений содержится в работе [94]. Мно-
жественные сравнения занимают промежуточное положение между
парными сравнениями и ранжированиями. С одной стороны они
озволяют использовать больший, чем при парных сравнениях,
3 ем информации для определения экспертного суждения, в ре-
с бо’ТаТе ОДно'вРеменн°го соотнесения альтернативы не с одной, а
льщ11м числом альтернатив. С другой стороны при ранжпрова-
15
нии альтернатив может .оказаться слишком много, что затрудняет
работу эксперта и сказывается на качестве результатов эксперти-
зы. В этом случае множественные сравнения 'позволяют уменьшить
до разумных пределов объем поступающей к эксперту информа-
ции.
Ранжирование. Достаточно распространенной процедурой полу-
чения экспертной информации является непосредственное ранжи-
рование альтернатив. Эксперту предъявляется весь набор альтер-
натив, подлежащих оцениванию (но не более 20—30)1, и предлага-
ется упорядочить их по предпочтениям. Ранжирование альтерна-
тив может осуществляться экспертом различными способами. При-
ведем в качестве примера два способа ранжирования [97]. При
первом способе эксперту предъявляется весь набор альтернатив и
'предлагается указать —.наиболее предпочтительную или не ме-
нее предпочтительную, чем все остальные. Альтернатива а{± из
дальнейших рассмотрений исключается — ее ранг определен. Затем
среди оставшихся альтернатив эксперту предлагается указать аль-
тернативу а,2 — наиболее предпочтительную или не менее пред-
почтительную, чем остальные. Тем самым определяется ранг аль-
тернативы ai2. Процесс продолжается до тех пор, пока каждой из
рассматриваемых альтернатив не будет назначен соответствующий
предпочтениям эксперта ранг.
При втором способе ранжирования эксперту предъявляется
часть альтернатив (например, 2 альтернативы) и предлагается
упорядочить их по предпочтениям. Затем добавляется одна новая
альтернатива и эксперту предлагается указать ее место среди уже
проранжированных альтернатив. Процесс заканчивается, когда
проранжированигыми оказываются все рассматриваемые альтерна-
тивы.
Отметим, что указанные способы определения предпочтений
эксперта можно использовать и при множественных сравнениях.
Однако при ранжировании альтернатив могут возникать опреде-
ленные трудности. Эксперт может считать некоторые альтернативы
несравнимыми. В этом случае возможно лишь частичное упорядо-
чение альтернатив. Для получения частичного упорядочения мож-
но воспользоваться методом парных сравнений или способом, ана-
логичным второму способу ранжирования альтернатив, с тем отли-
чием, что на рассматриваемом подмножестве альтернатив экспер-
ту предлагается указать их частичное упорядочение.
Гиперупорядочение. Существенно большую информацию о пред-
почтениях эксперта, чем ранжирование, содержит гиперупорядоче-
пие альтернатив. При гиперупорядочепии предполагается рассмот-
рение разностей оценок альтернатив и их ранжирование. Так, на-
пример, если для альтернатив ai,..., as, упорядоченных по пред-
1 Иногда считают, что при ранжировании должно рассматриваться не более
7 или 10 альтернатив.
16
почтениям эксперта для разностей их оценок /(«]),...,/(as)» та-
ких, ЧТО • >/'(аз), справедливо
/ (ai)-f(a2) <•••</(«4)-f(a5),
то расположение оценок альтернатив на числовой прямой имеет
вид, показанный на рис. 1.11. Таким образом, при гиперупорядо-
чении эксперт сообщает информацию не только о ранжировании
альтернатив, но и дополнительную информацию о соотношении их
численных оценок.
g f(!4) faz)
Puc. 1.11.
Впервые гиперупорядочения альтернатив рассматривались в ра-
ботах [86, 98, 121]. Способы ранжирования разностей оценок аль-
тернатив аналогичны способам ранжирования альтернатив.
Векторы предпочтений. Рассмотрим еще один способ получения
информации о сравнительной предпочтительности альтернатив.
Эксперту предъявляется множество альтернатив ап, и для
каждой а, он должен указать число альтернатив, превосходящих
данную, не указывая при этом, какие именно альтернативы явля-
ются более предпочтительными .^Аналогично эксперт может ука-
зывать число альтернатив менее предпочтительных, чем данная.
Это число обозначим через П. В результате получаем вектор пред-
почтений 11= {Пь ..., Пп}, характеризующий относительную пред-
почтительность альтернатив а}, . . ., ап для данного эксперта.
Если значения п компонент вектора предпочтений различны и
среди них встречаются 0, 1, 2, . .. , п—1, то экспертом указано
строгое ранжирование альтернатив. На первом месте в нем распо-
ложена альтернатива а, с П< 1=0, на втором — a-t с П,2 =1 и т. д.,
на последнем — с П,п=п—1. Однако векторы предпочтений,
указываемые экспертами, не всегда соответствуют ранжированиям.
С помощью векторов предпочтений может быть представлена ин-
формация, получаемая от эксперта при использовании метода пар-
ных сравнений, множественных сравнений и ранжирований.
Заметим, что рассматриваемый способ менее трудоемок, чем
метод парных сравнений: каждая альтернатива предъявляется экс-
перту лишь один ,раз. Если в результате экспертной процедуры мы
'пе получаем отношения заданного типа, например, ранжирования,
то необходимо .найти отношение заданного типа, ближайшее к по-
рученному в эксперименте. Способ отыскания такого отношения
Удет указан далее.
русификация. Если Целью обращения к эксперту является
1ненщ'е!1Ие альтеРнатив на классы, наряду с методом парных срав-
Так МОгУт использоваться и другие способы классификации,
с.матDHanp"MeP- эксперту можно предъявить все множество рас-
Риваемых альтернатив и предложить непос!1£Д£И&Щйв**вв,а,*|>
17
разбиение их на классы. Или та.к же, как и при ранжировании,
эксперту можно предъявить подмножество рассматриваемых аль-
тернатив, 'которые он должен разбить на классы (в частности, этс
может быть подмножество, состоящее всего из двух альтернатив)
После того, как эксперт справится с предложенной задачей, ему
предъявляется новая альтернатива, которую он должен либо от
нести к одному из 'выделенных классов, либо образовать новы?
класс. Процесс заканчивается, когда каждая из альтернатив ока
жстся отнесенной к одному из классов.
МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ОЦЕНОК
Непосредственная численная оценка альтернатив является рас
пространенным 'Приемом в практике получения экспертной инфор
мации. Эксперту предъявляется набор альтернатив ah...,ап. Еслт
цель экспертизы — оценка их сравнительной предпочтительности
то эксперт ставит в соответствие .каждой альтернативе а,, /е{1
. . ., п} число /(а;), характеризующее ее предпочтительность. Зна;
численную оценку каждой альтернативы, можно получить сравни
тельную оценку предпочтительности для каждой пары альтерна
тив, т. е. можно определить, на сколько условных единиц пли В(
сколько раз одна альтернатива превосходит другую. Если цель
экспертизы — разбиение альтернатив на классы, то для каждой
пары альтернатив эксперт указывает численную оценку степень
их сходства.
Отметим, что для численных оценок предпочтительности каж
дая пара альтернатив сравнима и не возникает случаев нетрапзи
тивностп: если численная оценка альтернативы а, выше численно
оценки альтернативы a.j, [/’(аг) >/(«.;) ], а численная оценка аль
тернативы а.,-выше численной оценки альтернативы а/, [Да>)>
>/(й/)], то очевидно, что численная оценка альтернативы а,- вы
ше численной оценки альтернативы at[f (сц)
Достаточно часто используется оценивание альтернатив в бал
лах. Каждой альтернативе в выбранной системе баллов приписы
вается балл, соответствующий ее оценке. Более предпочтительно!
альтернативе приписывается более высокий балл. Иногда экспер
там разрешается уточнять оценки, указывая числа, расположении
между балльными значениями. В этом случае численные оценк
предпочтительности альтернатив близки к оценкам, получаемы
при непосредственном численном оценивании. Примеры балльны
оценок такого рода содержатся в работах [1'09, 148 и др.].
Укажем еще один способ непосредственной оценки альтерна
тив — метод средней точки. Он применим при достаточно больше?
наборе альтернатив. Пусть экспертом указаны .наиболее и найме
нее предпочтительные альтернативы at и аг- Далее эксперту пред
лагается указать альтернативу а3, по предпочтительности располо
женную точно между и аг, т. е. такую альтернативу а3, что
^(а3)=Д(а1Ш(а2)]/2.
18 .
\
Затем эксперту предлагается указать альтернативы, располо-
женные по предпочтительности точно между а\ и аз, между й3 и
а,, л т. д. Процесс закапчивается, когда оценок альтернатив оказы-
вается достаточно для получения кривой. Примеры применения
метода средней точки содержатся, в частности, в работах [126,
148, 146].
Метод Чёрчмена — Акофа относится к числу наиболее популяр-
ных. В этом методе предполагается последовательная корректи-
ровка оценок, указанных экспертами. Основные предположения, на
которых основан метод, состоят в следующем:
1) каждой альтернативе й,, /е{!,...,«} ставится в соответст-
вие действительное неотрицательное число Цй,);
2) если альтернатива а, предпочтительней альтернативы а;, то
/(й,) >/(«.;), если же альтернативы а, и а- равноценны, то /'(й!) =
=/(«,);
3) если f(a{) и f (й,-) —оценки альтернатив а,- и а„ то /(«,) +
-|-i/(й,) соответствует совместному осуществлению альтернатив аг-
и а-,. Наиболее сильным является последнее предположение об
аддитивности оценок альтернатив.
Согласно методу Чёрчмена — Акофа альтернативы а1у . .. ап
ранжируются по предпочтительности. Пусть для удобства изложе-
ния альтернатива щ наиболее предпочтительная, за ней следует
Й2 и т. д. Эксперт указывает предварительные численные оценки
f(«i) для каждой из альтернатив. Иногда наиболее предпочтитель-
ной альтернативе приписывается опенка 1, остальные оценки рас-
полагаются между 0 и 1 в соответствии с их предпочтительностью.
Затем эксперт производит сравнение альтернативы сц и суммы аль-
тернатив «2, . ., ап- Если й] предпочтительнее, то эксперт коррек-
п
тирует оценки так, чтобы f > S f (аг). В противном случае
t=_2
п
должно выполняться неравенство Цй()^ 2/(й,)- Если альтерпати-
1-2
ва й] оказалась менее предпочтительной, то для уточнения оценок
она сравнивается по предпочтению с суммой альтернатив а2, • •,
• •, йп_] и т. д. После того как альтернатива й] оказывается пред-
почтительней суммы альтернатив й2, . . . , йк (£^2), она исключает-
ся из рассмотрения, а вместо оценки альтернативы а\ рассматри-
вается и корректируется оценка альтернативы й2. Процесс продол-
жается до тех пор, пока откорректированными не окажутся оценки
всех альтернатив.
При достаточно большом п применение метода Чёрчмена —
офа становится слишком трудоемким. В этом случае целесооб-
пр'Но Раз^ить альтернативы па группы, одну из альтернатив, на-
лу1?ер максимальную, включив во все группы. Это позволяет по-
альтрЬ числениь,е оценки всех альтернатив с помощью оценивания
В рнатиз внутри каждой из групп.
сколькРиабОТе [Ю] произведено экспериментальное сравнение не-
методов получения численных оценок. Метод Чёрчмена—
19
Акофа оказался одним из наиболее эффективных. Его можно ус
пешно использовать при измерениях в шкале отношений. В это.
случае определяется наиболее предпочтительная альтернатива
Ей присваивается максимальная оценка. Для всех остальных аль
тернатив эксперт указывает, во сколько раз они менее предпочти
тельны, чем а^. Для корректировки численных оценок альтерна
тив можно использовать как стандартную процедуру метода Чёрч-
мена— Акофа, так и попарное сравнение предпочтительности аль
тернатив. Если численные оценки альтернатив не совпадают г
представлением эксперта об их предпочтительности, производится
корректировка.
Метод Терстоуна. В методе Терстоуна [24, 92, 142] для числен-
ных оценок предпочтительности альтернатив используются парньн
сравнения. Через з^- обозначим частоту выбора альтернативы а, г
качестве более предпочтительной при сравнении с альтернативой
а,. Предполагается, что оценка каждой из рассматриваемых аль
тернатив является случайной величиной и .каждую ее реализации
может оценить эксперт. Эта случайная величина предполагается
распределенной по нормальному закону с математическим ожида
нием М[ и дисперсией о2г-. Разность случайных величин f (а,) и
f{aj) также распределена по нормальному закону с математиче-
ским ожиданием Мц—М{—Mj и дисперсией о2^ = о2г--|-о2;—2г?,-а,а,,
где ri}— коэффициент корреляции между /(а,) и /(а,-). Нашей за-
дачей является определение величин Л4г-, ге{1,...,п}, которые в
этом случае и выбираются в качестве численных оценок альтерна-
тив по значениям частот з,-,-. Частота Stj характеризуется вероят-
ностью того, что / (Яг) :
Sij = P(f(ai) >f(a})) = -L- f e-<^Wo- dL
2^j J
С помощью таблицы .квантилей нормального распределения оп-
ределяем отношение Получаем п(п—1) /2 уравнений
М~Мj = ]/o2i + o2i-2riioio.-,
называемых уравнениями сравнительного суждения. Число неиз
вестных в системе больше числа переменных. Делая дополнитель-
ные предположения, а имению полагая Гц—Q, Gi = (3j, и выбрав в
качестве единицы шкалы получаем переопределенную сис
тему уравнений
М—М^Мц/^. (1.6)
Если она .несовместна, то в качестве значений Л4г-, ге{1,..., п} с
помощью метода наименьших квадратов выбираются значения,
наименее удаленные от гиперплоскостей, определяемых уравнения-
ми (1.6).
Метод фон Неймана — Моргенштерна. Способ получения чис-
ленных оценок альтернатив с помощью так называемых вероят-
20
постных смесей предложен фон Нейманом и Моргенштерном [58].
В его основе лежит предположение, согласно которому эксперт
для любой альтернативы aj, менее предпочтительной, чем а,-, по
более предпочтительной, чем а/, может указать число р (0^
такое, что альтернатива а; эквивалентна смешанной аль-
тернативе (вероятностной смеси) [ра^, (1—р) at]. Смешанная аль-
тернатива состоит в том, что альтернатива а, выбирается с вероят-
ностью р, а альтернатива а/— с вероятностью 1—р. Очевидно, что
если р достаточно близко к 1, то альтернатива а,- менее предпоч-
тительна, чем смешанная альтернатива [pat, (1—p)aj; если р
достаточно близко к 0, то альтернатива а, более предпочтительна,
чем смешанная альтернатива [pa,, (1—р)а(]. Этот подход разви-
вался в работах [49, 79 и др.]. В них рассматривалась, помимо
упомянутого выше предположения, система предположений
(аксиом) о свойствах смешанных и несмешанных альтернатив.
К числу таких предположений относятся: предположение о
связности и транзитивности отношения предпочтительности альтер-
натив; предположение о том, что смешанная альтернатива [ра;,
(1—р)а;] предпочтительнее, чем [р'а{, (1—p')at], если р>р' и др.
Если указанная система предпочтений выполнена, то для каждой
из набора основных альтернатив аь ..., а,- определяются числа
«1,..., и,-, характеризующие численную оценку смешанных альтер-
натив. Численная оценка смешанной альтернативы [piUi, р2а2,. ..,
..., ргаг] раина «iPi+«2p2+ • • • +«rpr. Смешанная альтернатива
[Pi^i, р2«2,..., ргаг] предпочтительней, чем смешанная альтернати-
ва [pi Ц], р 2а2, . . ., р га,], если • • ~i~urpr^>U}p'\-]-
• • +«гр'г.
Таким образом, устанавливается существование функции полез-
ности z/ipi+a2p2+ ... +«rPr, значение которой характеризует сте-
пень предпочтительности любой смешанной альтернативы, а в
частности, и не смешанной. Более предпочтительна та смешанная
альтернатива, для которой значение функции полезности больше.
Использованию рассматриваемого метода при принятии решений в
Условиях неопределенности посвящена монография [79].
1.3. ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ИЗМЕРЕНИЙ
Измерение — одна из основных процедур получения экспертной
информации. Суждения экспертов носят качественный или количе-
ственный характер в зависимости от природы оцениваемых альтер-
натив. Естественно, что количественные оценки являются более
полными, более информативными. Если эксперт может не только
азать, какая из альтернатив предпочтительней, но и указать, во
По°лько Раз, на сколько условных единиц одна альтернатива пред-
оцемИТеПЬ!1ее ДРУГОЙ’ Целесообразно использовать количественные
сравКИ Экспертов. Это позволит получить более точные данные о
корпрИТель»ной предпочтительности альтернатив, осуществить более
увлечеТНЬ1й вь,бор лучших альтернатив и т. д. Однако чрезмерное
ние количественными оценками в тех случаях, когда эксперт
21
с уверенностью может сказать, какая из альтернатив лучше, нс
затрудняется определить, во сколько раз или на сколько условны:
единиц, приводит к неверным результатам. В таких случаях необ-
ходимо ограничиться лишь качественными оценками альтернатив.
Характер экспертной информации определяет возможные спо-
собы ее обработки. Приведем примеры пе совсем корректного об-
ращения с экспертной информацией. Предположим, что необходи-
мо определить, какая из двух групп учащихся (число учащихся в
каждой из групп равно четырем) лучше изучила некоторый пред-
мет. Поступим следующим образом: оценим знания каждого уча-
щегося, найдем суммарные оценки, полученные каждой группой.
Лучше подготовленной будем считать группу, получившую более
высокую суммарную оценку.
Знания каждого учащегося оцениваем по пятибалльной системе
оценок. Однако оценка в баллах является не совсем точной. Так,
учащиеся, знания которых характеризуются оценками 2,6 и 3,4, по-
лучат одинаковую оценку 3. Приведем возможные оценки знаний
учащихся в пятибалльной системе и истинные (табл. 1.1).
Таблица 1.1
Учащийся Группа А Учащийся Группа Б
истинная оценка оценка в баллах истинная оценка оценка в баллах
1-й 4.4 4 1-й 3,6 4
2-й 3,3 3 2-й 3,7 4
3-й 2,4 2 3-й 2,6 3
4-й 4,4 4 4-й 2,6 3
Сумма оценки
14,5 13 1 1 12,5 14
Если воспользуемся пятибалльной системой оценок, то лучше
подготовленной признаем группу Б (14> 13). Если будем оцени-
вать учащихся по их истинным знаниям, то лучше подготовленной
оказывается группа А (14,5> 12,5). Таким образом, способы изме-
рения, различная их точность могут оказывать существенное влия-
ние на результат, приводя подчас исследователя к противополож-
ным выводам.
Среди исследователей-практиков достаточно распространенной
является следующая процедура. Экспертам предлагается проран-
жировать альтернативы ио предпочтительности. Альтернативе, по-
ставленной экспертом на первое место, присваивается численное
значение единица, на второе место — два и т. д. Затем для всех
альтернатив вычисляется среднее арифметическое по численным
оценкам, полученным альтернативой у каждого из экспертов. Луч-
шей объявляется альтернатива, среднее арифметическое оценок
которой является наименьшим.
22
Такая процедура может приводить к правильному результату,
лишь когда выбор лучшей альтернативы достаточно очевиден.
Впрочем, в таких случаях и проведение экспертизы необязательно.
Если проведение экспертизы действительно имеет смысл, доверие '
к результату, полученному указанным способом, невелико. Дейст-
вительно, при пятибалльной оценке знаний учащихся мы ошиба-
лись не более чем на 0,5 балла, а тем не менее пришли к неверно-
му результату. При использовании в качестве численных оценок
рангов альтернатив ошибка может быть более значительной, так
как степень предпочтительности альтернатив нами вообще не учи-
тывалась.
Примеры ошибочных выводов, обусловленные некорректным об-
ращением с результатами экспертных оценок, можно было бы
продолжить. Их, к сожалению, немало. Избежать ошибок можно,
лишь исследовав природу измерений и возможные методы преоб-
разования полученной экспертной информации. Это в значительной
степени определяет интерес к теории измерений, проявленный в
последние годы рядом исследователей. Их работы [63, 76, 86] по-
зволили сформулировать основополагающие принципы теории из-
мерений, к обсуждению .которых мы и перейдем.
Пусть экспертному оцениванию (измерению) подлежат альтер-
нативы Лэ= {щ,.. ., ап}, на множестве которых определено неко-
торое отношение Рэ. Так, например, для любой пары альтернатив
может быть известна более предпочтительная альтернатива. В
этом случае Рэ является отношением предпочтения. Множество
альтернатив Лэ вместе с отношением Р:) образует эмпирическую
систему с отношением 6/э=/Дэ, Рэ).
Приведен пример бинарного отношения. В общем случае Р., мо-
жет быть /г-арным отношением (/г^2), а на множестве альтерна-
тив Д., можно задать более чем одно отношение. Однако преиму-
щественно мы будем рассматривать эмпирические системы с одним
бинарным отношением.
В процессе измерения необходимо каждой альтернативе агеДэ
поставить в соответствие число (численную оценку), ее характери-
зующее. Измерение эмпирической системы с отношением £/я и со-
стоит в определении числовой системы с отношением £7Ч=<ДЧ, РЧ/,
соответствующей ей. Числовую систему U4 образуют множество
чисел Лч={/(а!), . . . ,f(an)} и отношение Рч, определенное на мно-
жестве чисел Дч. Соответствие между ЕЛ, и U4 устанавливается с
помощью гомоморфного отображения f эмпирической системы с от-
ношением £Л, в числовую систему с отношением Е7Ч, т. е. такого
отображения f, что [/(щ-), f(а,)]еРч только тогда, когда (а,,
Если в эмпирической системе с отношением Й3=<Д:),
э отношение предпочтения, то в числовой системе с отношени-
ем (7Ч=<ДЧ) соответствующей (73, Рч — отношение «^» на мно-
жестве чисел Дч.
^аДим строгое определение шкалы, используемое в теории из-
Рений. Шкалой называется тройка <ПЭ, f, U4/. При каждом из-
23
э назовем максимальным, если Лэ^ба/ для
,..., Лэ№> — максималь
., Р(к> — отношения нг.
., — функции, ото
(/э(0 = <Лэ(0, рэ(1)>, ..
подсистемы £/чА ..
мерепии используется шкала определенного типа. Классификации
и примеры шкал различных типов будут приведены в § 1.4.
Необходимо обратить внимание п на часто встречающуюся при
экспертном оценивании несравнимость альтернатив. Так эксперт
может считать несравнимыми две научно-исследовательские рабо-
ты, относящиеся к различным областям исследований, компетент-
ность двух экспертов, являющихся специалистами в различных об-
ластях и т. д. Тем не менее сравнительная оценка альтернатив мо-
жет оказаться полезной и в этих случаях. Имеет смысл отделить
существенно несравнимые альтернативы от несравнимых альтерна-
тив, допускающих косвенную сравнительную оценку. Так, напри-
мер, если эксперт считает несравнимыми альтернативы ai и а2, но
в то же время считает альтернативу щ более предпочтительной,
чем альтернатива аз, а альтернативу а2 менее предпочтительной,
чем аз, то можно, с определенными оговорками, считать а\ более
предпочтительной, чем а2. Дополнительные возможности для кос-
венной сравнительной оценки предпочтительности альтернатив да-
ют их численные оценки.
Чтобы получить возможность сравнительной оценки альтерна-
тив, в указанных случаях введем понятие квазишкалы. Отношение
Рэ эмпирической системы U:,='A;i, Ра> при наличии несравнимых
альтернатив является отношением частичного порядка. В множест-
ве альтернатив Л;, можно выделить связные подмножества. (Мно-
жество связно, если связно введенное на «ем отношение.) Связное
подмножество Л3(г)с:Л
любого а)-еЛэ\Л&б') несвязно. Пусть Лэ(1>,
ные подмножества альтернатив Аа, Р(1),..
них, определяемые отношением Рэ, a [<'>,..
бражающие эмпирические подсистемы
..., = <Л3<*\ Ps(k)/ в числовые
..., U4m. Тройку <иэ, f, U,), где U3={W>......UJ*'}, ..
..., f{k}}, U4= {Т7Ч(1), ..., (7Ч,А)} будем называть квазишкалой, есль
f таково, что f(v)(ai) =/(^)(а!), как только агеЛэ(г)ПЛз(ю. Отметим
что если все альтернативы Л3 сравнимы, т. е. Лэ — связно, квази
шкала является шкалой.
Пусть необходимо найти численные оценки альтернатив a,, ze
е{1,. . ., /г} эмпирической системы с отношением Т/3.' Прежде че&
приступить к процессу измерения, надо убедиться, что U., можн
измерить, т. е., что существует числовая система с отношение'
Uv, в которую гомоморфно отображается U3. Определение измери
мости эмпирических систем с отношением и составляет первую
проблему теории измерений. В настоящее время доказана измери-
мость основных типов эмпирических систем, рассматриваемых при
экспертных оценках [86]. Теоремы, в которых доказывается из-
меримость эмпирических систем с отношением, принято называть
теоремами представления.
Однако в большинстве случаев измеримые эмпирические систе-
мы с отношением могут гомоморфно отображаться в различные
числовые системы с отношением. Вторая проблема теории измере-
24
ний, называемая проблемой единственности, и состоит в определе-
нии множества числовых систем с отношением, в которые может
быть гомоморфно отображена эмпирическая система с отношени-
ем. Указанное множество числовых систем с отношением характе-
ризуется видом преобразований, переводящих одну числовую сис-
тему данного множества в другую числовую систему данного мно-
жества. Поясним проблему единственности измерений на примере.
Пусть температура некоторого тела измерена по шкале Цельсия.
Это означает, что температура тела характеризуется числом, соот-
ветствующим ее измерению по шкале Цельсия. Если температуру
тела измерить по шкале Фаренгейта, она будет характеризоваться
другим численным значением. При измерении температуры тела
по шкале Кельвина мы получим третье численное значение, ее ха-
рактеризующее. Таким образом, измеряемый объект — температу-
ра тела — один и тот же, а численные оценки ее различны, хотя
все три числа одинаково правильно характеризуют температуру
тела.
Каждая из рассматриваемых шкал температур отличается на-
чалом отсчета (нулем) и выбором единицы масштаба. С помощью
линейного преобразования <р(х) =ах+р, а>0 можно перейти от
значений температуры, измеренных по шкале Цельсия, к значени-
ям температуры, измеренным по шкале Фаренгейта или Кельвина,
и наоборот. Таким образом, измерение температуры тела единст-
венно с точностью до линейного преобразования. Линейное преоб-
разование результатов измерения температуры, не обязательно со-
ответствующее переходу к одной из указанных шкал, является до-
пустимым, не искажающим смысла измерений.
Типы шкал как раз и определяются допустимыми преобразова-
ниями числовых систем, переводящими одну числовую систему с
отношением, являющуюся гомоморфным образом эмпирической
системы с отношением в другую, также являющуюся гомоморф-
ным образом данной эмпирической системы. Если числовая систе-
ма с отношением получена из числовой системы с отношением, яв-
ляющейся гомоморфным образом эмпирической системы, с по-
мощью преобразования не принадлежащего к допустимым, то, во-
обще говоря, она не сохраняет отношения эмпирической системы.
Так называемые теоремы единственности теории измерений как
Раз и позволяют указать вид допустимых преобразований, с по-
мощью которых описывается множество числовых систем с отно-
шением, в которые гомоморфно отображается эмпирическая систе-
ма с отношением.
К числу преобразований, характеризующих основные типы
шкал, относятся тождественное преобразование, преобразования
ниобия и сдвига, линейное преобразование, монотонное и взаим-
сис°ДН°ЗНаЧНое пРе°бРазованпя. Чем меньше множество числовых
пИГ)ТеМ’ в 'к'0Т0РЫе гомоморфно отображается рассматриваемая эм-
он;г еСКая ‘система с отношением; тем «сильнее» шкала, в которой
Ющ ИЗМеРяется- Основные типы шкал будут рассмотрены в следу-
После того как числовая система, соответствующая эмпириче-
ской, найдена, т. е. после того, как каждой альтернативе поставле-
но в соответствие число, над численными оценками производятся
различные операции: сравнение по значению, сложение и т. д. За-
кономерны ли они, можно ли их применять, не искажая смысла
полученной экспертной информации? Ответ на этот вопрос и со-
ставляет содержание третьей основной проблемы теории измере-
ний — проблемы адекватности.
Корректность тех или иных преобразований во многом опре-
деляется типом шкалы, в которой! произведены измерения. Приве-
денные выше примеры некорректного обращения с экспертной ин-
формацией являются примерами неадекватных преобразований
численных оценок альтернатив. Ввиду особой важности проблемы
адекватности измерений она будет рассмотрена отдельно в § 1.5.
1.4. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ШКАЛ
В § 1.2 приведены различные примеры измерений при получе-
нии экспертной информации. Указанные измерения носили качест-
венный или количественный характер. Теория измерений позволяет
указать единый способ классификации измерений как качествен-
ных, так и количественных. Таким способом является клас-
сификация измерений по типам шкал, в которых измере-
ния произведены. Строгое определение шкалы приведено
в § 1.3. Как отмечалось в § 1.3, гомоморфное отображе-
ние эмпирической системы в числовую не единственно.
Допустимые преобразования, с помощью которых одна числовая
система, соответствующая данной эмпирической системе, перево-
дится в другую числовую систему, ей соответствующую, и опреде-
ляют тип шкалы, в которой произведены измерения. Спектр до-
пустимых преобразований, характеризующих тип шкалы, доста-
точно широк: от тождественных преобразований до произвольных
взаимно-однозначных преобразований.
Перейдем .к описанию основных типов шкал. Если требуется
выяснить количество стульев в аудитории, количество рабочих, не-
обходимых для осуществления производственной операции, и т. д.,
число, являющееся результатом измерения, в таких случаях опре-
деляется однозначно. Это примеры измерений в абсолютной шкале.
Абсолютной шкалой называется шкала, в которой численные зна-
чения числовой системы .U4 определяются с точностью до тождест-
венных преобразований ср(х)=х.
При установлении массы цредмета имеется уже достаточно
большое разнообразие численных оценок. Так, производя измере-
ние в килограммах, получаем одно численное значение, произво-
дя измерение в фунтах — другое численное значение и т. д.
Однако можно заметить, что, в какой системе единиц ни произ-
водить измерения массы — какой конкретной числовой системой ни
пользоваться, отношение масс любых двух предметов одинаково и
при переходе от одной числовой системы к другой не меняется.
26
Этим же свойством обладает и измерение длины предметов. Изме-
рения массы и длины являются примерами измерений в шкале от-
ношений. Шкалой отношений называется шкала, в которой числен- >
ные значения числовой системы U4 определяются с точностью до
преобразований подобия q>(x)=ax, а>0. Легко убедиться, что в
шкалах отношений остаются неизменными отношения численных
оценок альтернатив. Действительно, пусть в одной числовой систе-
ме альтернативам сц и а2 соответствуют числа f(ai) и f(a2), а в
другой числовой системе — числа cp(/(fli)) и q>(f(a2)), где <р(х) =
= ах, а>0. Тогда
ф (/(«1)) а / Ю = /(Qi)
ф(/(а2)) а/(а2) / (а2)
Более широкий диапазон преобразований допускается для шкал
интервалов. Примером измерений в шкалах интервалов является
измерение температуры (см. § 1.3), для которого могут использо-
ваться различные числовые системы (так называемые шкалы
Цельсия, Кельвина, Фаренгейта и др.).
Шкалой интервалов называется шкала, в которой численные
значения числовой системы U4 определяются с точностью до ли-
нейных преобразований ср(х) = ах-|-р, а>0. В шкале интервалов
отношения оценок альтернатив не сохраняются. Однако сохраняет-
ся отношение разностей численных оценок. Действительно, пусть
альтернативам аь а2, аз, в некоторой числовой системе U4 со-
ответствуют числа /(fli), /(«г), /(аз), а в другой числовой
системе, в которую также гомоморфно отображается эмпирическая
система, — числа <р[/'(а!)], <р[/(а2)], ср[/(а3)], ф[/(а4)], где ср(х) =
= ах + р, а>0 — линейное преобразование. Тогда
Ф </(«1)) — ф (7 <Д2)) = а / (Qi) — а / (а2) = Ж) —/(«г)
ф(/(о3)) —ф(/(а4)) а / (а3) — а / (а4) /(а3) —/(а4)’
Если при переходе от одной числовой системы к другой, соот-
ветствующей той же эмпирической системе, меняется лишь начало
отсчета, такие шкалы называются шкалами разностей. Допустимы-
ми преобразованиями численных оценок при измерении в шкале
разностей являются только преобразования сдвига ф(х)=х+р.
Примером измерения в шкале разностей является летоисчисление.
Переход от одного летоисчисления к другому осуществляется изме-
нением начала отсчета.
В теории измерений используются также степенные шкалы
I.48J, при которых допустимыми преобразованиями являются
ф(*)=ахР. Перечисленные выше типы шкал характеризуют коли-
чественные измерения. Качественные измерения альтернатив явля-
ются менее строгими, соответствующие типы шкал — менее «силь-
ными», а допустимые преобразования числовых систем образуют
более широкий класс.
Достаточно часто при сравнительной оценке мы определяем
лишь порядок предпочтения (ранжирование) альтернатив, выра-
кенность того или иного свойства и т. д. Числовые системы, в ко-
27
торые гомоморфно отображается эмпирическая система, должны в
этом случае лишь сохранять порядок на множестве альтернатив.
Порядковой шкалой называется шкала, в которой числен,ные зна-
чения числовой системы £/ч определяются с точностью до монотон
ных преобразований (р(х). Примерами порядковой шкалы является
шкала твердости минералов Мосса, упорядочение по важности на-
учно-исследовательских работ и т. д.
Несколько более «сильными», чем порядковые шкалы, являются
шкалы гиперпорядка. Допустимыми для шкал гиперпорядка явля-
ются гппермонотопные преобразования, т. е. преобразования <р(х)
такие, что для любых х, у, и, v
ф(*)~ф(у) <ф(«)—ф(у)
только, когда х, у, и, v принадлежат области определения <р(х) и
х—у<и—V. При измерении в шкалах гнперпорядка сохраняется
упорядочение разностей численных оценок альтернатив. Отметим,
что линейные преобразования гипермонотонпы. Обратное неверно.
И, наконец, наименее «сильным» типом шкал являются номи-
нальные шкалы (или иначе шкалы наименований). Суть измере-
ния альтернатив в номинальной шкале — разбиение их на классы
эквивалентности по тому или иному признаку. Альтернативам, по-
павшим в один класс, должно соответствовать одно и то же чис-
ло. Номинальной шкалой называется шкала, в которой численные
значения числовой системы >£7Ч определяются с точностью до вза-
имно-однозначных преобразований ср(х). Примерами измерения в
номинальной шкале являются классификация спортсменов по раз-
рядам в соответствии с их мастерством, отнесение продукции к то-
му или иному сорту в зависимости от качества.
Порядковые шкалы, гиперпорядковые и номинальные характе-
ризуют качественные измерения альтернатив. Рассмотренные на-
ми типы шкал вместе с определяющими их классами допустимых
преобразований представлены в табл. 1.2.
Таблица 1.2
Измерения Шкала Г Допустимые преобразования
Качественные Номинальная Порядка Гиперпорядка ф(х.) — взаимно-однозначные ф(х) — монотонные ф(х)—монотонные, сохраняющие поря док первых разностей
Количественные Интервалов Отношений Разностей Абсолютная Ф (х) =ах+0, а>0 ф(х) =ах, а>0 ф(х) =х+р ф (х) = X
Если отношение Ра эмпирической системы Е/э является отноше-
нием частичного порядка, вводится определение квазишкалы (см.
§1.3). Напомним, что квазишкалой называется тройка <U3, f, 11ч>.
Тип квазпшкалы определяется типом шкал, в которых измерены
28
эмпирические подсистемы £7Э(1), • • •, tA(ft) ({t/3(1), • • •, = U3).
В качестве примера приведем определение квазишкалы отноше-
ний. Квазишкала называется квазишкалой отношений, если каж-
дая эмпирическая подсистема t/3<v>, ve{l,..., k} измерена в шкале
отношений. Квазншкалы остальных типов, за исключением абсо-
лютной, определяются аналогично. Определение абсолютной квази-
щкалы не имеет содержательного смысла.
1.5. ПРОБЛЕМА АДЕКВАТНОСТИ
Как было выяснено в § 1.4, измерения, производимые при экс-
пертном оценивании, относятся, как правило, к одному из основ-
ных типов шкал, характеризуемых допустимыми преобразованиями
численных оценок альтернатив. Однако результаты измерения не
являются, вообще говоря, самоцелью, а используются для форми-
рования экспертных суждений, для определения результатов экс-
пертиз. Одной из основных задач является определение коллектив-
ных оценок экспертами рассматриваемых альтернатив. Какие же
операции, 'необходимые для отыскания результирующих оценок,
допустимы над числами, полученными в результате измерений?
Это и составляет проблему адекватности. Как следует из приме-
ров, приведенных в § 1.3, отнюдь не любая операция при обработ-
ке экспертной информации является допустимой. Такая распрост-
раненная операция, как взятие среднего арифметического, не мо-
жет быть использована, если альтернативы измерены в порядковой
шкале. При измерении в более «сильных» шкалах интервалов
среднее арифметическое может использоваться лишь для оценки
сравнительной предпочтительности альтернатив. Так, например,
если среднее арифметическое оценок экспертами альтернативы at
выше среднего арифметического оценок альтернативы а2, получен-
ных в шкалах интервалов, то признание альтернативы at более
предпочтительной, чем альтернатива а2, является корректным. Дей-
ствительно, пусть /Да]) и /е{1..........т} —оценки альтерна-
тив а, и а2, указанные т экспертами, и пусть
Л (а1) + • А (аг) ~Г • • Н~/т (аа) (17)
т т
По определению измерения в шкале интервалов производятся с
точностью до линейных преобразований ср(х) — а.гфр, а>0. Пре-
образуем исходные численные оценки альтернатив, тогда неравен-
ство (1.7) примет вид
n(/i(ai)~- . •-|-Ап (а1)) р а (А (аг) ~|- • | р
т т
^аким образом, смысл неравенства (1.7) сохраняется при ли-
Диных преобразованиях. Следовательно, операция взятия среднего
арифметического при сравнительной оценке альтернатив, измерен-
‘ х в шкале интервалов, корректна. Но отношение средних граф-
ических не дает нам соответствующей информации. Коррект-
29
ным в этом случае будет лишь использование отношения разц
стей средних арифметических. В свою очередь использование о
ношений средних арифметических становится корректным, eeg
оценки экспертов получены в шкалах отношений. Таким образ®
мы видим, что корректность операции взятия среднего арифмея
ческого, да и не только этой операции, зависит от шкалы, в коя
рой получены численные оценки альтернатив. I
Введем понятие адекватности числовых утверждений! [34, 6^
Числовым утверждением назовем отношение F(x)R0, где F(x) ~
числовая функция на множестве действительных чисел, a R — одщ
из отношений <, =, Числовое утверждение F(x)R0 назове»
адекватным относительно данного типа шкалы, если F(x)R0 1
А[ф(х)]/?0 эквивалентны при любом допустимом преобразовани]
шкалы <р(х). Очевидно, что согласно этому определению средне!
арифметическое неадекватно в шкале порядка. Существует л>
среднее, являющееся адекватным в шкале порядка?
Пусть в процессе экспертизы рассматриваются альтернатив!
ан ..., а„, ..., /(ап) — их оценки в шкале порядка, ф(х) я
монотонное преобразование. Определим в качестве среднего фуЛ
цию g[/(a1),...,/(an)]: I
min{f(a,)}^^[f(«i), f(an)]^max{/(a,)}-
i i
Преобразование ф(х) будем называть допустимым относительш
среднего ... ,f(a„)], если g[(p(fi(at)],. .., ф(/г(а„))) <
<£(ф (A(«i) ф(Ма»))) тогда и только тогда, когда
Я[/1 («1)...А (М ] <g[f? («l) , А(«п)]-
Ответ на поставленный вопрос об адекватном среднем в шкале
порядка дает теорема, доказанная в работе [63].
Теорема 1.3. Пусть ф(х) допустимо относительно среднего
g[f(at), • которое непрерывно и не меняется при любо!
перестановке аргументов, тогда найдется индекс i, 1 i^п, такой,
что g[f(a{), .... f(an)]=f(ai).
Из теоремы следует, что в качестве среднего £[/(«1), ....
при измерении в порядковой шкале можно выбрать одну из оценок
f(ai),..., /(а„). В частности, в качестве среднего можно выбрать
медиану — среднюю из оценок i/(ai) (ап) Из теоремы также!
следует, что, вообще говоря, среднее квадратичное, среднее гео-
метрическое, среднее гармоническое не являются адекватными
средними при измерении в порядковых шкалах.
Аналогичный результат справедлив и при анализе адекватно-
сти операций над оценками, полученными в балльных шкалах. 5
качестве адекватных средних и в этом случае может быть пспол^
зована лишь одна из оценок альтернатив. ;
В каких же случаях среднее арифметическое оценок альтернат
тив, указанных экспертами, является адекватным, при каких допу]
! Пример числового отношефя: Xj+x2>0.
80
тцмых преобразованиях? Оказывается, в тех случаях, когда до-
пустимым является линейное преобразование ср(х)=ах+р, а>0,
те., когда оценки альтернатив получены в шкале интервалов. Ес-
тественно, что если измерение альтернатив произведено в одной из
боЛее «сильных» шкал, чем интервальная, а именно, в шкале от-
ношений, разностей пли абсолютной, то среднее арифметическое
также является адекватным.
Сформулируем результат, полученный в работе [34].
Теорема 1.4. Если всюду дифференцируемое преобразование
ф(л') допустимо относительно среднего арифметического, то <р(х) =
= ах,+ Р, а>0.
Отметим, что аналогичный результат справедлив, если всюду
дифференцируемое преобразование допустимо относительно неко-
торой функции
h[f(a{), ..., f(an)]=cj(ai)+ ... + cnf(an),
где 0<сг<1, ie{l, ...t n}, ci+...+cn=l. В этом случае также
ф(х)=ах+р, а>0. В работе [34] содержатся результаты о виде
преобразований, допустимых относительно среднего квадратичного,
среднего геометрического, среднего гармонического и в общем слу-
чае обобщенного среднего по Колмогорову:
hn(f(ai), ..., f(an), F) =F~'(2 f(at)/n ,
\i=l )
где F(x) — строго возрастающая либо строго убывающая функция.
В этом случае
<р (х) (aF(х) +Р), а>0.
Однако вернемся к обсуждению корректности операций при об-
работке и анализе экспертной информации.
Рассмотрим один из достаточно распространенных методов по-
лучения экспертной информации — метод Чёрчмена — Акофа (см.
§ 1.2). В этом методе существенно используется сравнение пред-
почтительности совокупностей альтернатив и их численных оценок.
Число альтернатив, входящих в сравниваемые совокупности, вооб-
ще говоря, неодинаково. При измерении в каких шкалах указан-
ные операции корректны? Пусть к примеру сравниваются числен-
ные оценки двух совокупностей альтернатив, измеренных в шкале
интервалов, и пусть для определенности первая из них имеет более
высокую оценку:
2/(flj)>2/(a,). (1.8)
fc/x i€/g
Множества индексов 1\ и /г соответствуют непересекающимся мно-
жествам альтернатив. Выберем множество Л, состоящим из одпо-
го индекса, а /2— из двух и преобразуем исходные численные
°Ценки. Неравенство (1.8) примет вид
a/(«i)+Р>а/(й2)+а/(йз)+2р. (1.9)
31
Очевидно, что можно указать такие значения аир, при коц,
рых неравенство (1.9) будет нарушено. Следовательно, пример
ние операции, которая используется в методе Чёрчмена — Акофг
при измерениях, произведенных в шкале интервалов, некорректно
Предположим теперь, что альтернативы измерены в шкале от
ношений, т. е. с точностью до преобразований подобия. После пре
образования исходных оценок неравенство (1.8) примет вид
а2/(а;)>а2/(аг),
iel i ie/2
что с очевидностью эквивалентно неравенству (1.8). Следователь-
но, рассматриваемая операция метода Чёрчмена — Акофа при из-
мерениях, произведенных в шкале отношений, является коррект-
ной.
Рассуждения, аналогичные приведенным выше, позволяют про-
анализировать результат применения различных операций при из-
мерениях, произведенных в основных типах шкал. Такой анализ
является необходимым при обработке экспертной информации. Ин-
тересные исследования, связанные с возможностью использования
операций расчета среднего арифметического, медианы, среднего
квадратического отклонения при обработке экспертной информа-
ции, приводятся в работе [24].
1.6. ШКАЛЫ И ОТНОШЕНИЯ
Между основными типами шкал и отношениями существует не-
посредственная связь [39]. Легко установить, что эмпирическая
система с отношением U3=(A3, Рэ) измерима в номинальной шка-
ле, если отношение Ра— эквивалентность [86]. Установим езязь
между порядковыми шкалами и отношениями.
Теорема 1.5. Эмпирическая система U3—(Aa, Рэу измерима в
порядковой шкале тогда и только тогда, когда Р3— отношение ли-
нейного порядка.
Достаточность. Воспользуемся тем фактом, что элементы мно-
жества Л3, на которых задано отношение линейного порядка мож-
но представить в виде строго упорядоченных классов эквивалент-
ных элементов. Ставя в соответствие элементам, принадлежащим
одному классу, одинаковое число так, чтобы значения присваивае-
мых чисел соответствовали упорядочению классов, получим изме-
рение U3 в порядковой шкале.
Необходимость. Воспользуемся следующими свойствами эмпи-
рической системы с отношениями, измеренной в порядковой шкале:
/(а,) </(а?)«(а;, а,)(=Р3, (ajt Рп; (1.10)
/(а,) =/(а,)<=>(щ, а;)(=Р:), (а;,а,-)ЕРэ. (1.11)
Из соотношений (1.10) и (1.11) непосредственно следует, что отно-
шение Р3 эмпирической системы {73=<ЛЭ, РЭУ является отношением
линейного порядка. Теорема доказана.
32
Из теоремы 1.5 следует, что во всех шкалах, за исключением
номинальной, можно измерить лишь эмпирические системы ия —
Р-.>У, У которых Р-,— отношение линейного порядка. Однако
дТри экспертном оценивании часто приходится рассматривать также
отношение частичного порядка, при котором некоторые пары эле-
ментов являются несравнимыми. Эмпирические системы [/Э=<Л;),
рэу с отношением частичного порядка не могут быть измерены ни
в одной из .перечисленных выше шкал, но они могут быть измере-
ны в квазишкалах.
Теорема 1.6. Эмпирическая система £/э=<Лэ, Рф измерима в
порядковой квазпшкале тогда и только тогда, когда Ря— отноше-
ние частичного порядка.
Достаточность. Пусть эмпирическая система Р:|> опре-
делена при помощи отношения частичного порядка Рп. Укажем'
алгоритмический способ присвоения численных значений элемен-
там а^Ая. Пусть после г-- 1-го шага получена эмпирическая сис-
тема Р-р-"').
Среди элементов аг-е/1э(г_1) выделим максимальный (если мак-
симальных элементов несколько, выбираем из них любой), т. е.
выделим элемент а,-, такой, что (а;, а, «)^РАГ 1) для аг-еЛэ<г-1>.
Положим /(а,- о)=г, Л:/г>=/1.э<г-]) \ {аг-о}, Рэ(Р= Рэ(г-1) \ {(а< °,
а,- ),-•• - (а1\> ai )} При формировании Р(г) из Рр-^ удаляются
все пары, содержащие а,_. Этим завершается г-в шаг (г^1). (1-й
шаг аналогичен r-му при г> 1.) После п шагов каждому элементу
а,еЛэ будет присвоено единственное численное значение flat). Это>
обеспечивается конечностью множества Ая и транзитивностью от-
ношения Рп. Каждая максимальная подсистема эмпирической сис-
темы оказывается измеренной в порядковой шкале. Единствен-
ность присваиваемого численного значения обеспечивает выполне-
ние свойства /<г)(а,) =/(н> (а,-) для а,еЛa(v>n/l0<^>. Следовательно,
Ц, измерима в порядковой квазишкале.
Необходимость. Пусть эмпирическая система U3=(A3, Р^> изме-
рима в порядковой квазпшкале. Это означает, что все ее макси-
мальные подсистемы U0P\ . . ., U-fV измеримы в порядковой шкале
следовательно, отношения Р,Р\ . . ., Р^ являются отношениями
линейного порядка. Это обеспечивает рефлексивность, антисиммет-
ричность и транзитивность отношения Ря. Следовательно, Ря — от-
ношение частичного порядка.
Можно убедиться, что если <U;„ fj, U,, ф и <иэ, f2, U42? — Два
измерения эмпирической системы в порядковой квазишкале, то
Функции , /г('О получаются соответственно из ф(|), . - ., fi(h>
монотонными преобразованиями, удовлетворяющими условиям
/<v) (аг-) =^м) для a;eA<v)nA/M).
Таким образом, установлена связь между отношениями и ос-
"овпымн типами шкал и ква.зишкал, используемых при качествен-
"Ом Оценивании альтернатив.
ст лучше понять природу шкал, используемых при количе-
Венном оценивании альтернатив, установим их связе> с метризо-
33
ванными отношениями. Для этого введем понятие метризованной
эмпирической системы. Метризованной эмпирической системой
назовем эмпирическую систему А-, с метризованным отношением
Л,-
Теорема 1.7. Метризованная эмпирическая система 1„
Ра) измерима в шкале отношений тогда и только тогда, когда
Ро является мультипликативным метризованным отношением ли-
нейного порядка.
Достаточность. Пусть Р-, - мультипликативное метризованное
отношение линейного порядка. Укажем отображение [, по которо-
му каждому элементу а^А-, ставится -в соответствие
Так как А,— мультипликативное метризованное отношение и А., -
конечно, то найдется элемент а,- такой, что ^1. Положим
/(а?- ) = 1, а /(а,) =ау!(1. тогда /(at) определится для всех аг-<=.1
Покажем, что Оя измерима в шкале отношений. Действительно,
пусть <(7Э, и <(7Э, f2, — два ее измерения такие, что
/1(«г)//'1(а_,) =/2(ai)//?2(a.i) = ®ij- Пусть элементу ait поставлены в
.-соответствие значения /Да^) и ^(а^). Тогда для любого элемента
di , a fzfUi) =f2(ajl)wij Следовательно, f2(aA^
=fi(ai)f2(aj1)//i(aji). Но /2(а,1)//1 (a^) =a — постоянная величи-
на, а>0, и, значит, Оя измерима в шкале отношений.
Необходимость. Пусть метризованная эмпирическая система
Дэ измерима в шкале отношений, а (Оэ, Ц, U4^ и (Оя, f2, Пч2> —
два ее измерения. Следовательно, элементам а,е/1я поставлены в
соответствие численные значения /’i(at) и f2(ai), при этом /1(аг-) =
= а/2(аг). Положим Wij = fi(ai)/fi(aj). Значения и1,-,- определятся
однозначно при любом измерении Сэ. Действительно, для произ-
вольного измерения <СЭ, fv, U4V>
/у(Д«) __«Л(Дг) .
Легко непосредственно убедиться, что в этом случае Рэ — мет-
ризованное отношение линейного порядка. Мультипликативность
Р-, следует из соотношения
wtiWji= [f (а;)//'(а,)] = ay(-z.
Теорема доказана.
Теорема 1.8. Метризованная эмпирическая система С;1=<А
Р0У измерима в шкале разностей тогда и только тогда, когД*
Рэ—-аддитивное метризованное отношение линейного порядка.
Доказательство теоремы 1.8 аналогично доказательству теорс
мы 1.7.
Введем в рассмотрение .множество пар Л/Э={(а;, а,)}, I, /с={Ь
... ,«} и 4-арные отношения P'a={ail, а, 2, а;3, а,-4), h, i2, 1з,
е{1,...,я} с множеством весов W(P'a) = }• Здесь
означает, во сколько раз степень предпочтения альтернативы а,,
относительно альтернативы а1г превосходит степень предпочтения
34
альтернативы aia относительно альтернативы аг-4. Аналогично би-
нарным отношениям вводятся свойства и определяются типы отно-
шений па метризованных 4-арных отношениях.
Пусть метризованная эмпирическая система Р.(> изме-
рима в некоторой шкале, т. е. может быть указана функция fr
отображающая Л;) в Ач. Тогда метризованная эмпирическая систе-
ма О'.> с 4-арным отношением Р'., соответствует Ср, если
/(а>, ) —/(ч;2 )
/(«О )~ Z(«i4 )
(1-12)
Теорема 1.9. Метризованная эмпирическая система Р-Д
измерима в интервальной шкале тогда и только тогда, когда ей
соответствует метризованная эмпирическая система О'а=^А'-„ Р'Р}
с 4-арпым отношением Р'л—мультипликативным метризованным
отношением линейного порядка.
Достаточность. Пусть метризованной эмпирической системе Ол
соответствует метризованная эмпирическая система ОР, обладаю-
щая свойством (1.12). По теореме 1.7 ОР=(А'Э, Р'-^ измерима в
шкале отношений, т. е. парам (a;, а;)еЛ'э могут быть поставлены
в соответствие числа £((а;, о.;)), которые при этом единственны с
точностью до преобразования подобия. Поскольку эмпирическая
система ОР соответствует эмпирической #>, то
g((4ir4;2)) / (чд) — / (af.,)
<?((чг-3,чг-4)) /(чг-3) —/(ч,-4)
Покажем, что в этом случае /?> измерима в шкале интервалов.
Действительно, пусть /ь £Лц> и <fpn, f2, U42p— два измерения
системы Ср. Так как бт/;>, соответствующая системе СР, измерена в.
шкале отношений, то £г((а;, а,)) = ag\ ((at, aj)). Отсюда следует,,
что /2(аг)—J2(a,) =a(/i (а,)—/1 (а.;)). Пусть для определенности
пара (а,-,, ам )еР такова, что ^1. Поскольку
Й1((чг ,«21))
йДО/рЧ^)) ^((«грЧур)
то для произвольной пары (a,, arf^AP
fi (д<) — /1 (ч21) _ /г (яр —/г (ал) _
/1 («ij —Л(«Л) /г (Чц) — Aik/j) ’
Откуда
/'2(а0— Д(« ,)-у—д—V-
fi («ip — fl (ч21)
Обозначим постоянную величину [f2 (а,-, ) - h (ср,) ]/[Л («/J —"
^‘(aj,)] через а(а>0), а /г(ал) —afi(a:,) через р.
J2 (a,) =afi (а,)+ р, т. е. функция f2(x) из |i(x) получается ли-
нейным преобразованием, что и требовалось доказать.
2' 3S
Необходимость. Пусть метризованная эмпирическая система О,
измерима в интервальной шкале, т. е., если <(7а, /|, С/ч1> п
<Оа, fi, Пч2> —два измерения системы 0э, то f2(ai) = afi(ai)+^,
где а>0. В этом случае эмпирическая система О'э, соответствую-
щая системе Оя, измерима в шкале отношений. Действительно,
gsffat, aj))=-f2(,ai) — f2(a}) = aft (сц) + 0 — af2(aj) — ₽ = а(/1(щ) —
/1 (ai)) — agi ((^i, aj)), а>0. Но поскольку О'Я=(А':„ Р'э> изме-
рима в шкале отношений, то по теореме 1.7 Р'э— мультипликатив-
ное метризованное отношение линейного порядка. Теорема доказа-
на.
Таким образом, для основных типов шкал, используемых при1
количественном оценивании альтернатив, установлена непосредст-
венная связь с метризованными отношениями. Аналогично можно'
показать, что если метризованные отношения Р„— отношения час-
тичного порядка, то эмпирические системы Оэ измеримы в соот-i
ветствующих квазишкалах.
Глава 2
МЕРЫ БЛИЗОСТИ
2.1. ЭКСПЕРТНАЯ ИНФОРМАЦИЯ И МЕРЫ БЛИЗОСТИ
При анализе и обработке экспертной информации сталкивают-
ся со сравнительно новым объектом исследования — оценками экс-
перта, Как было показано в гл. 1, основные виды экспертной ин-
формации представляют собой отношения па множестве альтерна-i
тив. Если оценки эксперта носят качественный характер — это от-;
ношения линейного или частичного порядка, эквивалентности, то-j
лерантности, а иногда произвольные отношения, не обладающие1
такими свойствами, как связность, транзитивность и т. д. Если экс-
пертная информация содержит количественные оценки — это мет-
ризованные отношения соответствующего типа. Одним из основных
инструментов, используемых при анализе и обработке экспертной
информации, являются меры близости. Меры близости позволяют
определить, насколько близки или далеки точки зрения экспертов.
Поскольку эксперты указывают на множестве рассматриваемых
альтернатив отношения различного типа, меры близости должны
быть введены на основных типах отношений.
Характерной особенностью мер близости является аксиомати-
ческий способ их введения. Мера близости полностью определяет-
ся совокупностью требований, которым она должна удовлетворять.
Поэтому при конкретных исследованиях необходимо выбрать среди
мер близости ту, которая наиболее соответствует характеру экс-
пертной информации.
Впервые аксиоматическая мера близости была нведена в рабо-
те [131, см. также 22] на отношениях линейного порядка (ранжи-
рованиях). Работа имела следующую структуру. Сначала форму-
36
нровалась система аксиом, соответствующая требованиям, предъ-
* втяемым к мерам близости на ранжированиях. Затем доказыва-
гась теорема о единственности меры близости, удовлетворяющей
данной системе аксиом. Далее предлагалась формула для расчета
значений меры близости (расстояний) между ранжированиями,
удовлетворяющая сформулированной системе аксиом, и, следова-
тельно, являющаяся единственно возможной при данной совокуп-
ности требований к мере близости.
Последующие работы, посвященные введению мер близости,
имели, как правило, аналогичную структуру. Последовательность:
система аксиом — теорема единственности — формула для расчета
значений меры близости, как правило, сохранялась. Но класс ак-
сиоматических мер близости существенно пополнился. Подход,
впервые предложенный Кемени, оказался плодотворным.
В работах [55, 56] аксиоматическая мера близости была введе-
на на отношениях эквивалентности, в [114, 115] —на отношениях
частичного порядка, в [60, 61, 63] —на отношениях толерантно-
сти. В [31, 44] были введены меры близости на взвешенных ран-
жированиях с различными способами задания весовых коэффици-
ентов. На метризованных отношениях линейного и частичного по-
рядка, эквивалентности и на произвольных отношениях, т. е. на
отношениях, не принадлежащих, вообще говоря, ни к одному из
основных типов отношений, мера близости была введена в работе
[38]. Меры близости па метризованных отношениях частичного по-
рядка были введены также в работе [149]. Меры близости на мет-
ризованных толерантностях введены в работах [60, 61, 63]. Следу-
ет отметить также работы [70, 77, 78]. Интересным представляет-
ся аксиоматическое введение структурных мер близости [116] и
в более общем виде в работе [41].
Как будет показано далее, с помощью структурных мер близо-
сти можно представить многие из рассмотренных мер близости.
С другой стороны с помощью структурных мер удается аксиома-
тически ввести меры близости на взвешенных ранжированиях, не-
посредственное введение которых более трудоемко. С помощью
структурных мер могут вводиться специфические меры близости
на отношениях, учитывающие характер анализируемой экспертной
информации. Определение значения меры близости между отноше-
ниями, указанными экспертами, сводится к решению соответствую-
щей задачи о кратчайшем пути. Поскольку задача о кратчайшем
пути конструктивно разрешима [100], данный способ введения мер
близости, обладающих специфическими особенностями, представ-
ляется допустимым. Особый интерес при этом представляет слу-
чай, когда для определения значения меры близости пет необходи-
мости прибегать к алгоритмическому решению задачи о кратчай-
шем пути, когда для расчета значений меры близости можно вос-
пользоваться формулой.
К числу аксиом, соответствующих требованиям, предъявляемым
к мерам близости, относятся, как правило, традиционные аксиомы
етрики. Если требования, предъявляемые к метрикам, ограничи-
ваются указанными аксиомами, то требования к мерам близости
ими не исчерпываются.
Особая роль принадлежит аксиомам, в значительной степен.ч
определяющим вид формулы для расчета меры близости. В систе-
мах аксиом, приводящих к мерам Хэмминга, эта роль принадле-
жит требованию об обращении в равенство неравенства треуголь-
ника, для отношений, расположенных «на прямой». В системах ак-
сиом, приводящих к мерам Евклида, эта роль принадлежит аксио-
ме об ортогональных сегментах.
Расчет значений основных мер близости производится, как пра-
вило, с помощью матриц отношений. Они содержат всю необходи-
мую информацию об отношениях, между которыми определяется
значение меры близости. Однако в некоторых случаях можно об-
ходиться меньшим объемом информации. В частности, при аксио-
матическом введении мер близости Спирмена можно обходиться
лишь лекторами строчных сумм, называемых также векторами
предпочтений. При расчете значений структурных мер близости
матрицы отношений могут не использоваться вовсе.
Меры близости позволяют решать ряд важных задач, возни-
кающих при анализе и обработке экспертной информации. Так с
помощью мер близости можно решить задачу определения резуль-
тирующего отношения заданного типа по отношениям, указанным
экспертами, и, в частности, задачу определения результирующего
ранжирования по ранжированиям, указанным экспертами. В ка-
честве результирующих отношений целесообразно выбирать отно-
шения, наиболее близкие к отношениям, указанным всеми экспер-
тами.
С помощью мер близости можно определить отношение задан-
ного типа, ближайшее к полученному в эксперименте. Эта задача
достаточно часто возникает при использовании метода парных
сравнений.
Не менее важной задачей является классификация экспертов
на основании высказанных ими суждений. Поскольку высказанное
экспертом суждение является, как правило, отношением того или
иного типа, для классификации экспертов можно воспользоваться
мерами близости па отношениях. В один класс будут попадать
эксперты, для которых расстояния между указанными ими отноше-
ниями сравнительно малы.
С помощью мер близости могут решаться задачи формирова-
ния вербально-числовых шкал, формирования обобщенных линей-
ных критериев и др.
2.2. МЕРЫ БЛИЗОСТИ НА ОТНОШЕНИЯХ
В настоящее время аксиоматические меры близости введены па
основных типах отношений: на отношениях линейного порядка,
частичного порядка, эквивалентностях, толерантностях и произ-
вольных отношениях, пе обладающих такими свойствами, как
связность, транзитивность, симметричность и т. д.
38
Покажем, как аксиоматически вводится мера близости на отно-
шениях линейного порядка (ранжированиях), придерживаясь схе-
МЬ1 доказательства, предложенной Кемепи [22, 131], и укажем, в
чем характерные особенности введения мер близости на остальных
тинах отношений. Как уже говорилось в § 2.1, любая мера близо-
сти и, в частности, мера близости на ранжированиях, должна
удовлетворять традиционным аксиомам метрики. Пусть Pt, Р2 и
Рз — произвольные ранжирования.
Аксиома 1. d(Pi, Р2)^0, d(Pi, Рч)=0 тогда и только тогда,
когда Pi = P2-
Аксиома 2. d(Pt, Рч)=^(Р2, Pi).
Аксиома 3. (неравенство треугольника) d(Pt, P2)^d(Plt Р3) +
+d(P3, РР).
Случай, когда в неравенстве треугольника достигается равен-
ство, заслуживает особого внимания, поэтому некоторые из авто-
ров выделяют его в виде самостоятельной аксиомы. Равенство в
неравенстве треугольника достигается, когда точки расположены
на прямой. Чтобы сформулировать это требование, для ранжиро-
ваний необходимо ввести аналог прямой.
Введем определение ранжирования, лежащего между двумя
данными. Будем говорить, что ранжирование Р3 лежит между
ранжированиями Pi и Р2, если для их матриц отношений ||p(l)ij||,
11р(2)Ъ-||, 11р(3,о'11 выполняются соотношения
min{pE>,pE>} < max{p('),p<72)}. (2.1)
Из (2.1) следует, что в ранжировании Рз альтернатива а,- мо-
жет предпочитаться альтернативе а$, в Р3, если хотя бы в
одном из ранжирований Pi, Р2 aP^Uj. Альтернативы at и а-\ мо-
гут быть в Р3 равноценны, если они равноценны в Pi или Р2, или,
если в Pi и Р2 альтернативы а; и а, упорядочены противополож-
ным образом (например, aP^ctj в Pi, в Р2). Запись [Pi, Р3,
Р2] означает, что ранжирование Р3 лежит между Pt п Р2.
Аксиома 4. Если [Рь Р2, Р3], то d (Pi, Р2) =d(Plt Р3) + d(P3, Р2).
Пусть ранжирования Р'\ и Р'ч получены соответственно пз Pi
и Р2 в результате некоторого переобозначения альтернатив.
Аксиома 5. d(P'\, P'2)=d(P\, Р2).
Рассмотрим ранжирования Pi и Р2, которые различаются лишь
Упорядочением альтернатив, занимающих с г-Н-го до r-\-k-ro мес-
та (r-pk^.n). Обозначим через E(Pi) и Т(Р2) ранжирования, по-
лучающиеся из Р] и Р2 отбрасыванием альтернатив, занимающих
°т 1 до г-го места и от г+^+1-го до п-го места.
Аксиома 6. d(P(Pi), Т(Р2)) =d(P\, Р2).
Значение меры близости между ранжированиями Р[ и Р2 долж-
но определяться лишь теми сегментами Ё(Р1) и Т(Р2) рапжиро-
ваний, на которых имеются реальные различия в упорядочении
альтернатив.
Последняя аксиома эквивалентна введению масштаба измере-
ния:
39
Аксиома 7. Минимальное положительное расстояние между
ранжированиями равно 1.
Покажем, что аксиомы 1—7 однозначно определяют меру бли-
зости на ранжированиях.
Будем говорить, что ранжирования Pi,...,Pi расположены на
прямой, если для любых i, j, k (l^i<Zj<Zk^l) справедливо [Л,
P.i, Pk]. '
Докажем предварительно несколько утверждений, которые бу-
дут использованы при доказательстве единственности меры близо-
сти на ранжированиях.
Лемма 2.1. Для ранжирований Pi, Pi, расположенных на
прямой d(P\, Pi)= X d(Pv, Ру-х).
V—I
Справедливость этого утверждения устанавливается I—2-крат-
ным применением аксиомы 4.
Используя аксиомы 1, 2, 4, 5, 7, убеждаемся, что для ранжиро-
ваний двух альтернатив (п = 2) значения меры близости опреде-
ляются однозначно. В частности, расстояния между противополож-
но упорядоченными парами альтернатив равно 2, а расстояние
между двумя различными ранжированиями, в одном из которых
альтернативы признаны равноценными, равно 1.
Если ранжирования Pt,...,Pi лежат на прямой и для каждой
пары соседних ранжирований Ру и Pv+i, ve{l, . . ., I—1}, T(PV) и
T(Pv+i) состоят из двух альтернатив, то уже сейчас можно сде-
лать вывод о том, что d(P{, Р2) определено однозначно. Действи-
тельно, однозначно определены все значения d(T(Pv), T’(Pv+i))-
Используя лемму 2.1 и аксиому 6, получаем, что d(Pi, Р/) =
= 2 d(Py, Pv+i) — И d(T(Pv), T(Pv+i)), т. е. d(Pi, Pi) определено
v=l V—1
однозначно.
Рассмотрим теперь строгое ранжирование Р (не содержащее
равноценных альтернатив), противоположное ему ранжирование
—Р и ранжирование 0, при котором все альтернативы предпола-
гаются равноценными. Убедимся, что наша система аксиом одно-
значно определяет расстояния между данными ранжированиями,
и подсчитаем их. Если Р состоит из двух альтернатив, то d(P,
—Р)=2.
Пусть Ро, Pi,..., Pi— последовательность ранжировании такая,
что Ро=Р, Pi=—Р, а каждое Pv отличается от Pv-i заменой упо-
рядочения одной пары альтернатив (а{, а,)<^Р на (а;, (ц)^—Р.
Согласно лемме 2.1 d(P, —P)='Zd(Pv, Pv+i). Ранжирования
V—I
Т(Ру) и T(Pv+l), на которых Pv и Pv+i ve{1,. .., I— 1} различа-
ются, определяют d(Pv, Pv-h). Действительно, по аксиоме 6 d(Pv,
Pv+i)—d[T(Pv), 7’(Pv+i)], а значит, d(P, —Р) = X d[T(Pv),
v=l
e(pv-h)]-
40
Переход от ранжирования Р к —Р требует п(п—1)/2 инверсий,
т е 1=п(п—1)/2. Но T(PV) и T(Pv+t) состоит из двух противо-
положно упорядоченных альтернатив и, следовательно, d[T(Pv),
T(Pv+i)] определено однозначно и равно 2.
Если однозначно определено каждое слагаемое, то однозначно
I—1
определена и 2 d[Т(РЧ), Т(Рv+i)]=d(P, —Р). А поскольку 1=
=/?(«—1)/2, a=d(T(Pv), T(Pv+i))=2, то d(P, —Р) =2l=n(n~V).
Заметим, что для произвольного строгого ранжирования Р спра-
ведливо [Р, 0, —Р]. А значит, по аксиоме 4 d(P, —P)=d(P, 0) +
-pd(0, —Р). Но поскольку по аксиоме 5 d(—Р, 0)=d(P, 0), а по
аксиоме 2 d(P, 0) = d(0, Р), то d(P, —P)=2d(0, Р). Следова-
тельно, d(P, 0) определено однозначно и d(P, 0)=п(п—1)/2.
Тем самым доказана
Лемма 2.2. Для строгого ранжирования Р аксиомы 1---7 одно-
значно определяют d(P, —Р) и d(P, 0), при этом d(P, —Р) =
= п(п—1), d(P, 0)=/i(n—1)/2.
Очевидно, что значение меры близости между ранжирования-
ми Р н — Р является наибольшим возможным значением меры
близости между двумя ранжированиями.
Перейдем теперь к доказательству единственности меры бли-
зости на ранжированиях. Доказательство проведем с помощью ин-
дукции по числу п рассматриваемых альтернатив. Как было уста-
новлено, при л = 2 для произвольных ранжирований Р\ и Р2 d(P\,
Р-2) определено однозначно. Пусть теперь п^З. Если [Рь 0, Р2],
то
d(Pi, P2)=d(Pl, 0)+d(0, Р2) (2.2)
по аксиоме 4. Если Р2=?^0, последовательно заменяя равноценные
альтернативы в Р2 их произвольными строгими ранжированиями,
получим последовательность ранжирований Р2, Рз,.. . ,Р;, лежащих
на одной прямой, при этом Р;— строгое ранжирование. На одной
прямой с ранжированиями Р2, Рз,. . ., Pt лежит и 0. Согласно лем-
ме 2.1
7/(0, Р/) =т/(0, Р2) +т/( Р2, Рз) + ... +т/(Р;_!, Рг). (2.3)
Для произвольной пары ранжирований Pv Pv+i, ve{2,...,/—
*—1}, T(PV) и T(Pv+i) состоят из k<Zn альтернатив. Следователь-
но, по предположению индукции d[T(Pv), T(Pv+i)] определено
однозначно. Тогда однозначно определено и d(Pv, pv+i)=d(T(pvi,
T(Pv+i)), ve{2, ..., I—1}. По лемме 2.2 d(0, Pi) =n(n—1)/2 и из
соотношения (2.3) можно определить т/(0, Р2). Аналогичным обра-
зом однозначно определяется и //(Pi, 0). Следовательно, согласно
соотношению (2.2) //(Pi, Р2) определяется однозначно.
Пусть теперь ранжирование 0 не лежит между ранжирования-
ми Р\ и Р2. Значит, в матрицах отношений, соответствующих Pi и
^2, обязательно найдутся элементы р(')^-=р<2)г-;—1, т. е.
н в ранжировании Pi, и в ранжировании Р2 альтернатива ai пред-
почтительней а,-. Построим ранжирование Рз, отличающееся от Pi
41
тем, что альтернативы менее предпочтительные, чем at в Р2, но бо
лее предпочтительные, чем а, в Pi, будут и в Р3
также менее предпочтительными, чем а4. Построим да
лее ранжирование Ра, отличающееся от Р3 тем, что в пек
альтернативы менее предпочтительные, чем а,, упорядочены та'
же, как в ранжировании Р2. Легко проверить, что ранжировали
Pi, Рз, Р^, Рг расположены на одной прямой. Следовательно,
d(Pi, P2)=d(Pi, P3)+d(P3, PP)+d(PA, P2).
T (Pi) и T (P3) содержат меньше, чем n альтернатив, поскольк
альтернатива aj заведомо не принадлежит P(Pi) и Т’(Рз). Т(Р3)
Т(Ра) заведомо не содержат альтернативу а;, Т(Р4) и Т(Р2) —
альтернативу а,. А значит, по предположению индукции d[T(Pi).
Т(Р3)], d[T(P3), Т(Ра)] и </[Г(Р4), Т(Р2)] определены одпозпач
по, а следовательно, однозначно определено и d(Pi, Р2). Такш
образом, доказана следующая теорема.
Теорема 2.1. Аксиомы 1—7 однозначно определяют меру близок
сти па ранжированиях. -
Теперь остается найти формулу для расчета значений мерь
близости, определяющую расстояние между произвольной парог
ранжирований Pi и Р2 и удовлетворяющую аксиомам 1—7. Пока
жем, что значения искомой меры близости определяются по форму-
ле
п
d(Pi, ^)=уУ] И’>-<1- (2.4/
Действительно, d(P\, Р2), рассчитываемое с помощью соотно-
шения (2.4) неотрицательно, поскольку каждое из слагаемых пра-
вой части неотрицательно. Справедливость аксиомы 2 следует из
равенства |р(1),-?—Р(2,ъ| = |р(2)л—Р(|)и|, а аксиомы 3 — из неравен-
ства
И’—/$’1 < | + —рФ\. (2.5)
Если справедливо [Pi, Р2, P3J, то неравенство (2.5) превращается
в равенство, что и подтверждает справедливость для рассматри-
ваемой меры аксиомы 4.
Справедливость аксиомы 5 очевидна.
Если альтернатива aioiie принадлежит ранжированиям Т(Р2) и
T(Pi), то р(1)г0; = р(2)7/е{1, ...,«} и, следовательно,
(2-6)
Пусть множество индексов альтернатив, принадлежащих
ранжированиям Т(Р\) и Т(Р2). Тогда, учитывая соотношения
(2.6), получим
п
d(Pi, Р2) = 2-У|р(>)_р(2)|=_1. £ |p(n_p(2)| = fl?[r(jP1)> Г(р2)].
42
Таким образом, показана справедливость аксиомы 6. Не составля-
ет также труда убедиться в справедливости аксиомы 7. Равенство
d(Pi, Рг) = 1 получаем, когда Pi и Р2 отличаются лишь упорядоче-
нием одной пары альтернатив at 11 a.j. Причем в одном из ранжи-
рований а в другом а^а:. Во всех остальных случаях, за
исключением полного совпадения ранжирований Р\ и Р2, d(Pi,
РР^2-
Мы убедились, что мера близости, задаваемая соотношением
(2.4), удовлетворяет всем перечисленным выше аксиомам. Следо-
вательно, опа и является искомой мерой близости. Тем самым до-
казана следующая теорема.
Теорема 2.2. Мера близости между произвольными ранжирова-
ниями Pi 11 P-г, удовлетворяющая аксиомам 1 —7, определяется по
формуле
п
»./=!
Приведем пример расчета значений меры близости между ранжированиями.
Ранжированиям
02 Р1=| 05 1 1 at~ai \ а3 j И а>~а3 ' at ~а5 «4
соответствуют матрицы отношений / 0 — 1 1 0 — 1\
1 1 0 1 1 1 \
М(Р1)=| — 1 — 1 0 — 1 — 1 I
\ 0 — 1 1 0—11
\ 1 — 1 1 1 0 '
/ 0 — 1 — 1 1 °\
/ 1 0 0 1 1 1
Л)(Р2)=| 1 0 0 1 1
\ ~ 1 — 1 — 1 0 — 1 j
\ о — 1 — 1 1 0/
Между ранжированиями Pt и Рг значение меры близости с?(Рь Pz)=7.
Заметим, что расстояние между произвольными ранжирования-
ми Pi и Р2 можно рассчитывать лишь с помощью элементов мат-
риц ЛНР]) и М(Р2), расположенных над главной диагональю. По-
этому удобней пользоваться формулой
d(Pb P2)=S|p(>.)_p(2)|.
i<j
Введя систему аксиом, аналогичную аксиомам 1—7, можно по-
казать, что мера близости (2.4) определяет единственную меру
9у1изости на эквивалентностях. Это и сделано в работах [55, 56].
Правда, впей вместо аксиомы 7 о минимально возможном расстоя-
43
нии введена аксиома о максимально возможном расстоянии на мно-
жестве эквивалентностей
maxfi?(/Jv , Pli,)=n(n—1)/2,
где п — число рассматриваемых альтернатив. Ход рассуждений
при доказательстве теоремы единственности такой же, как и при
доказательстве теоремы 2.1.
Формула (2.4) определяет единственную меру близости и на от-
ношениях частичного порядка. Этот результат был получен Богар-
том [114]. Он не является обобщением результата Кемени, полу-
ченного для ранжирований, поскольку Богартом не был рассмот-
рен случай равноценности альтернатив. В матрицах отношений час-
тичного порядка, рассматриваемых Богартом, элемент p,j=O ука-
зывает на несравнимость альтернатив at и а;-, а в случае нестрогих
ранжирований, исследованном Кемени, элемент рц=0 указывает
на равноценность альтернатив а2 и а^.
Рассмотрение отношений частичного порядка при отсутствии
равноценных альтернатив позволило Богарту несколько видоизме-
нить систему аксиом. Он, в частности, предполагал, что если упо-
рядоченная пара альтернатив (a,, aj принадлежит отношениям
частичного порядка Р\ и Р2, то
d(Pi, P2)==d(P1\{(af, a,)}, P2\{(ait a-)}.
Такая модификация аксиомы 6 позволила упростить доказательст-
во теоремы единственности.
Введение мер близости на отношениях толерантности и произ-
вольных отношениях не вызывает дополнительных трудностей. По-
скольку далее аксиоматически будут введены меры близости на
метризованных отношениях основных типов, содержащих как част-
ный случай меры близости на неметризованных отношениях соот-
ветствующих типов, мы позволим себе опустить здесь полное опи-
сание аксиоматического введения мер близости для оставшихся ти-
пов отношений. Приведем лишь примеры расчета значений мер
близости на отношениях частичного порядка, эквивалентности, то-
лерантности, на произвольных отношениях. Формула для расчета
значений меры близости во всех рассмотренных в данном пара-
графе случаях одинакова и задается соотношением (2.4).
Пусть экспертами указаны две эквивалентности
Pi = {(a,, а3), (alt at), (а3, at), (а2, а5)} и />2={(ai, а>), (а2,а3)}
[все пары альтернатив (а,, а,),
ветствуют матрицы отношений
Значение меры близости между
ieп) принадлежат Pt и Р2]. Им соот-
1 0\ /1 0 0 0 1\
0 1 \ / 0 1 1 0 0 1
1 0 1, М(Р2) = 0 1 1 0 0 г
1 0 / 1 \ 0 0 0 1 0 /
0 1/ \1 0 0 0 1/
эквивалентностями Pl и Р2 d(P>, Р3)=6.
44
Пусть экспертами указаны два отношения частичного порядка jPi={(ai, а2)
(а>, °з). (°i. 04), (аь а6), (аг, at), (аг, а6)} и Р2={(а3, at), (as, а2), (а3, а4),
(аз, «»))• Йм соответствуют матрицы отношений
1 1 1 \ , О 0 — 1 0 0\
О 1 1\ /00—1001
О 0 0 j и М(Р2)=| 11 0 1 1 I.
oool loo— 1 о о J
ООО/ \о 0 — 1 о о/
/ 0 1
/ —1 о
Af(Pi)=| —1 о
— 1—1
— 1—1
Значение меры близости между
отношениями частичного порядка Pi и Р2
d(Pt, Р2) = 10.
Пусть экспертами указаны две толерантности Pt и Р2, которым соответ-
ствуют матрицы отношений
(1 0 1 0 1\ /1 1 0 0 1\
010111 /111101
1 0 1 О 0 и М(Р2)=| 0 110 1.
О 1 0 1 О ] 1110 10 1
11001/ \1 0 1 0 1/
Значение меры близости между толерантностями Pt и Р2 d(Pit Р2)=5.
Пусть экспертами указаны произвольные отношения Pt и Р2, характери-
зующие возможность отнесения различных пар альтернатив к одному классу,
которым соответствуют матрицы отношений
(1 0 1 1 0\ /1 1 1 0 1\
110011 /010101
0 1 1 0 0 j и М(Р2) = 10 10 1.
11011] 11 0 1 1 о ]
10 10 1/ \0 1 0 0 1/
Заметим, что при различном порядке предъявления пары альтернатив су-
ждения экспертов о принадлежности альтернатив к одному классу в некоторых
случаях изменялись.
Значение меры близости между отношениями Pi и Р2 d(Pi, Р2)=7.
Пусть экспертами указаны произвольные отношения Pi и Р2, характеризую-
щие сравнительную предпочтительность пар альтернатив, которым соответствуют
матрицы отношений
/010 — 1 0 1 1 -1 — г. , 1 1 1 ' 0 0 0 0 1 — 1 — 1 0 1 1
А)(Л) = 0—1 0 0 1 и Л4(Л>) = — 1 1 0 0—1
— 1 1 0 0 ° ] 1 1 — 1 0 0 1
S, 1—1—1 0 0 ' ' ч о — 1 1 — 1 о,
Значение меры близости
между отношениями Pi и Р2 d(Pt, Р2) = 12.
2.3. МЕРЫ БЛИЗОСТИ НА МЕТРИЗОВАННЫХ ОТНОШЕНИЯХ
Расстояния между ранжированиями, частично упорядоченными
множествами, эквивалентностями, толерантностями, произвольны-
ми отношениями определяются различием между соответствующи-
ми матрицами отношений. Однако следует отметить, что матрицы
неметризованиых отношений не имеют, вообще говоря, метриче-
ской интерпретации, и в качестве значений могли бы быть выбра-
ны любые два отличные друг от друга элемента, а не обязатель-
но 1 и 0. Поэтому при введении мер близости целесообразно рас-
45
смотреть метризованные отношения Р='Р, W (Р)>, для которых
каждой паре (а;, ctj)<=P соответствует число Wij^W(P) —значе-
ние некоторой меры, характеризующей Р. Содержательно это мо-
жет быть степень предпочтения, степень сходства между альтерна-
тивами, относительная частота выбора одной из альтернатив при
парных сравнениях и т. д.
Напомним, что для представления метризованных отношений
используются матрицы метризованных отношений, введенные в
§ 1.1. К первому классу матриц метризованных отношений М'(Р)
отнесем матрицы метризованных отношений частичного порядка и
линейного порядка (ранжирований), ко второму классу Л!"(Р) —
матрицы метризованных толерантностей и эквивалентностей.
Будем говорить, что матрица метризованного отношения
М(Р)еЛ4/(Р) согласована, если Pij——рц, i, /е{1,...,л} при
рд=#0 и Pij=Pji = Q в противном случае.
Будем говорить, что матрица метризованного отношения
М(Р)^М" (Р) согласована, если Pn=Pji> i, /е{1,
При определении расстояния между метризованными отноше-
ниями с согласованными матрицами М (Р)<=М' (Р) достаточно рас-
сматривать элементы рц такие, что (а;, а;)еР, а для Л1(Р)е
^М"(Р) — элементы ptj с ;^/. Это означает, что для частично
упорядоченных множеств и ранжирований при определении рас-
стояний можно ограничиться рассмотрением Р и W(P), а для от-
ношений толерантности, эквивалентности Р=(Р, Ц7(Р)> лишь под-
множеством пар (a,-, aJeP с i^/. Такое подмножество обозначим
через S(P), а через S(P) — пару <Д(Р), 1C(S(P))>.
Для метризованных частично упорядоченных множеств и ран-
жирований Р\ и Р2 с согласованными матрицами расстояние бу-
дем определять как функцию d(P\, Р2), а для метризованных толе-
рантностей и эквивалентностей Р{ и Р2 — как функцию d(S(Pi),
S(P2))-
Сформулируем аксиомы, которым должны удовлетворять меры
близости на метризованных отношениях. Пусть Pi, Р2 и Рз — мет-
ризованные отношения.
Аксиома 1. d(P\, Р2)^0. d(P\, Р2) =0 тогда и только тогда,
когда р! = р2.
Аксиома 2. d(P\, P2)=d(P2, PJ.
Аксиома 3. d(Р\, Р2) (Pi, Рз) + d(P3, Р2).
Будем говорить, что метризованное отношение Рз лежит меж-
ду метризованными отношениями Pi и Р2, если для элементов мат-
риц M(Pi), М(Р2), М (Рз) выполняются следующие условия:
при р(1)г-^0, p{2)ij^Q p(2)!-j}^p(3)i)^max{^1)!-j.
Л};
при pWij—Q, р(3)ц=0 или р(3|г-)=р<2\-,-;
при p^tj=Q /5(%=6 или ^(3)..^^!)... (2.7)
при р(3)..=в
Аксиома 4. Если Рз лежит между Pi и Р2, то d(Pt, Р2) =
= d(Plt Рз)+<ЦРз, Р2).
46
Аксиома 5. Если Р, и Р2 различаются лишь на одной упорядо-
ченной паре альтернатив (а,, аД, то
rf(P1,P2)=di;(PI,P2)==
I Ptj} — p'iP |, если pty =£ 9, р$} ^в,
О, если р^ =рГ-} =9,
w—в противном случае,
при этом предполагается, что ш—некоторое число, удовлетворяю-
щее неравенствам p^hj^w, i, j«={ 1, k^{\, 2}.
Эта аксиома используется, если Pi и Р2 имеют согласованные
матрицы отношений, принадлежащие классу Л1'(Р) или Л4"(Р),
либо, если Pi и Р-2 — произвольные метризованные отношения. Ес-
ли рассматриваются метризованные отношения с несогласованны-
ми матрицами, принадлежащими ЛГ(Р) и М"(Р), то аксиома 5 за-
меняется следующей аксиомой.
Аксиома 5'. Если Pi и Р2 различаются лишь на одной упорядо-
ченной паре альтернатив (а,, а}), то
d(Plt P2)=--di:(Pl, Р2)= ip2[dij(Pit Р2)+<ЫЛ, А»)]-
Для метризованных отношений с согласованными матрицами
отношений, принадлежащих М'(Р) и ЛГДР), ^-Др], Р2) =dp (Pi,
Р2) и, следовательно, di;(Pi, P2)=o'ij(Pi, Р2).
Отметим, что, если Рз лежит между Pi и Р2, то для соответству-
ющих отношений Pi, Р2, Р3 справедливо
Pi П P2cP3<=Pi U Р2. (2.9)
С другой стороны, выполнение соотношения (2.9) не гарантирует
того, что Рз лежит между Р\ и Р2. Действительно, выполнение, на-
пример, условия (2.7) не гарантируется. Таким образом, для мет-
ризованных отношений справедлива лишь необходимость теоремы
2 [53, с. 121] об отношении, лежащем между двумя заданными.
Перейдем к доказательству теорем единственности мер близо-
сти. Сначала докажем теорему единственности для произвольных
метризованных отношений, т. е. метризованных отношений, на ко-
торые не налагаются требования транзитивности, антисимметрич-
ности и т. д.
Теорема 2.3. Аксиомы 1—5 однозначно определяют меру бли-
зости на произвольных метризованных отношениях.
Докажем теорему с помощью индукции по числу &-пар элемен-
тов (а,-, аД, для которых р(1)и=#р(2),ц. При k—1 утверждение тео-
ремы справедливо по аксиоме 5. Пусть утверждение теоремы спра-
ведливо при —1, покажем его справедливость и при k~r.
Пусть Pt и Р2 различаются на г парах элементов. Построим мет-
ризованное отношение Рз, лежащее между Pi и Р2 и отличающееся
и от Pt и от Р2 не более, чем на г—1-й паре элементов. Среди пар
элементов, на которых Pt и Р2 различаются, существует (at-e,
«/,)с:Р)пр2 с р(1\Л ¥=0 и р<2)(0/0 =?^9, либо (а/,, а/а) с =£9,
(случай p('}tja =9, =Л9 аналогичен последнему).
47
Тогда метризованным отношением Рз будет отношение Рь в кото-
ром p(1,il)/0 заменено на По аксиоме 4 d(Pit P2)=d(Plt
Рз)+б/(Рз, Р2). По предположению индукции d(Pi, Р3) и
z/(P3, Рг) определены однозначно, следовательно, однозначно опре-
делится и мера близости fi?(Pi, Р2) между Pi и Р2.
Рассмотрим метризованные толерантности и эквивалентности Р
с согласованными матрицами отношений М(Р)^М"(Р) и соответ-
ствующие им подмножества упорядоченных пар S(P). Сформули-
руем две легко доказываемые леммы.
Лемма 2.3. Метризованное отношение Р с согласованной мат-
рицей М(Р)еЛ'1"(Р) является эквивалентностью тогда и только
тогда, когда S(P) —транзитивно.
Следствие 2.2. Метризованное отношение Р с согласованной!
матрицей М(Р) i=M"(Р) рефлексивно п симметрично.
Пусть Р), Р2 и Р3 — метризованные отношения с согласованны-
ми матрицами отношений TH (Pj), М(Р2), М(Р3) ^М" (Р).
Лемма 2.4. Метризованное отношение Рз тогда и только тогда
лежит между Pi и Р2, когда 5(Рз) лежит между S(Pi) и S(P2).
Леммы 2.3 и 2.4 позволяют, перейдя от метризованных толе-
рантностей Р с согласованными матрицами отношений к S(P) и,
воспользовавшись схемой доказательства предыдущей теоремы,
доказать теорему о единственности меры близости на метризован-
ных толерантностях.
Теорема 2.4. Аксиомы 1—5 однозначно определяют меру бли-
зости на метризованных толерантностях с согласованными матри-
цами отношений.
Пусть Р,=<Р1, IE(PJ> и Р2=(Р2, W(Р2)) — метризованные
частично упорядоченные множества с согласованными матрицами
отношений M(Pi), М(Р2).
Теорема 2.5. Аксиомы 1—5 однозначно определяют меру бли-
зости между метризованными частично упорядоченными множест-
вами с согласованными матрицами отношений.
Через 0 обозначим метризованное отношение с рц = &, i=£j,
i, /е{1,..., п}. Прежде чем приступить к доказательству теоремы,
убедимся в справедливости следующих лемм.
Лемма 2.5. Мера близости между 0 и произвольным метризо-
ванным частично упорядоченным множеством Р аксиомами 1 — 5
определяется однозначно.
Доказательство леммы аналогично доказательству теоремы 2.3.
В качестве метризованного частично упорядоченного множества,
лежащего между 0 и Р, выберем Рз, состоящее из одной упорядо-
ченной пары (щ 0, ац )е=Р с = .
Пусть Pi=<P|, W (Pi)) и Р2=<Р2, W2(P2)) — метризованные
отношения.
Лемма 2.6. Если существует пара (а,-, а/ДеР1(1Р2 такая, что
, то мера близости между Pi и Р2 определяется ак-
сиомами 1 —5 однозначно. Лемма 2.6 непосредственно следует из
доказательства теоремы 2.3.
48
Из леммы 2.6 следует, что при дальнейших рассмотрениях ин-
тересными для нас остаются лишь случаи с p(1,ij = p(2,ij Для (а(,
a.)e=Pi^P2.
' Пусть теперь Р[ и Р2 — метризованные частично упорядоченные
множества с согласованными матрицами отношений.
Доказательство теоремы 2.5 проведем с помощью индукции по
й-чпслу пар, для которых р^н^р^и- При k=\ утверждение тео-
ремы справедливо по аксиоме 5. Пусть оно справедливо при
—1, докажем его справедливость при k — r. Рассмотрим снача-
ла случай Р^—Р2 (случай Р2<^Р\ аналогичен). Если' Pi = 0, то
d(P\, Р2) однозначно определится по лемме 2.5. Пусть Р1=И=0,
тогда на основании леммы 2.6 легко убедиться, что интерес пред-
ставляет лишь случай, когда Pi лежит между 0 и Р2.
По аксиоме 4 d(0, P2)=d(0, Pi)-\-d(P\, Р2). Но (0, Р2) и
д?(0, Pi) однозначно определятся по лемме 2.5, а следовательно,
однозначно определится и d(Pi, Р2).
Пусть теперь Pi<£P2 и P2cfiPi. Рассмотрим Р3=<Р1ПР2, 1Е(Р1П
ПРг)/- Из леммы 2.6 следует, что интересен лишь случай, когда
р(3)^=р(1)г.~р(2)^. для пар (я,, а,)еР1ПР2. Кроме того, пересечение
двух частично упорядоченных множеств также частично упорядо-
ченное множество. Следовательно, Рз — частично упоря-
доченное множество, лежащее между Pi и Р2. По аксиоме 4 d(Pt,
p2)=d(P\, P2)+d(P3, Р2). По так как Pi<£P2 и P2<£Pi, то число
пар, на которых различаются Pi и Р1ПР2, Р2 и Р1ПР2 меньше, чем
г. Следовательно, по предположению индукции fi?(Pi,
Рз) и d(Pz, Р2) определены однозначно, а значит, од-
нозначно определено и d(Pi, Р2). Теорема доказана.
Рассмотрим метризованные эквивалентности Р с согласованны-
ми матрицами отношений М(Р) еЛ4"(Р) и соответствующие им
подмножества упорядоченных пар S(P). Отметим следующий до-
статочно очевидный факт.
Лемма 2.7. Если Р — метризованная эквивалентность с согласо-
ванной матрицей отношений, то 5(Р) — метризованное частично
упорядоченное множество.
Теорема 2.6. Аксиомы 1—5 однозначно определяют меру бли-
зости между метризованными эквивалентностями Pj и Р2 с согла-
сованными матрицами отношений.
Доказательство. Рассмотрим S(Pi) и S(P2), соответствующие
метризованным эквивалентностям Pi и Р2. Из леммы 2.7 следует,
что S(P,) и S(P2) —метризованные частично упорядоченные мно-
жества. Тогда по теореме 2.5, поскольку расстояние между час-
тично упорядоченными множествами с согласованными матрицами
Определяется расстоянием между соответствующими метризован-
ьем отношениями, мера близости d(S(Pi), S(P2)) определится
^позначно. Но так как Pi и Р2 — метризованные эквивалентности
согласованными матрицами, то d(Pi, Р2) =d(S(Pi), S(P2)). Сле-
Овательно, однозначно определится и d(Pi, Р2). Теорема доказана.
Д-тя доказательства единственности меры близости между мет-
49
ризованными ранжированиями с согласованными матрицами отно-
шений, удовлетворяющей аксиомам 1—‘5, можно воспользовать-
ся схемой доказательства, изложенной в предыдущем параграфе,
несколько видоизменив его с учетом свойств метризованных от-
ношений.
Теорема 2.7. Аксиомы 1—5 однозначно определяют меру бли-
зости между метризованными ранжированиями с согласованными
матрицами отношений.
Перейдем к рассмотрению мер близости на метризованных от-
ношениях с несогласованными матрицами. Оказывается, что все
теоремы единственности мер близости, доказанные для метризо-
ванных отношений с согласованными матрицами, будут справедли-
вы и б этом случае, ио для системы аксиом 1 —4, 5'. Чтобы убе-
диться в этом, необходимо повторить проведенные ранее доказа-
тельства с некоторыми изменениями. При 'построении отношений
Рз, лежащих между заданными Pi и Р2, будем полагать pf3’,; раз-
ным p(1),-j или p(2’jj, a p(3)jj равным соответственно pOj, или р!2-ц.
Па первом шаге индукции (при k=l) вместо аксиомы 5 будем ис-
пользовать аксиому 5'. При доказательстве единственности меры
близости на метризованных толерантностях и эквивалентностях с
несогласованными матрицами отношений будем использовать схе-
му доказательства соответственно теорем 2.3 и 2.5, а при доказа-
тельстве единственности меры близости на метризованных частич-
но упорядоченных множествах и ранжированиях с несогласован-
ными матрицами отношений — соответственно теоремы 2.5 и 2.7 с
указанными изменениями.
Теорема 2.8. Аксиомы 1—4, 5' однозначно определяют меру
близости на метризованных толерантностях, эквивалентностях, час-
тично упорядоченных множествах, ранжированиях с несогласован-
ными матрицами отношений.
Отметим, что мера близости на произвольных метризованных
отношениях определяется однозначно также и системой аксиом
1—4, 5'.
Теорема 2.9. Мера близости между метризованными толерант-
ностями, эквивалентностями, частично упорядоченными множест-
вами, ранжированиями с согласованными матрицами отношений
определяется по формуле
d(P,, Р2)= ,S ^(Р,. Р2),
где
da (Pi, Рг) —
I р’Р — Рц’ I - если p(ij ’ =£ 9, pff ’ =£ 0,
О, если р!Р =р'Р =9,
ш — в противном случае
.2.10)
с несогласованными матрицами отношений, а также между
извольными метризованными отношениями — по формуле
50
d(Ph P2) = 2} ^'(Л, Л) = du (P1’ dii (P1’Pi} (2.U)
i</ ‘<i
.Можно непосредственно проверить, что формула (2.10) удов-
летворяет аксиомам 1—5, а (2.11) — аксиомам 1—4, 5'. Как до-
казано в теоремах 2.3—2.8, меры близости на рассматриваемых
в теореме метризованных отношениях определяются однозначно.
Следовательно, формулы (2.10) и (2Д1J однозначно, определяют
меру -близости для-перечисленных метризованных отношений ..со-
ответственно _с_ согласованными п несогласованными матрицами
отношений. Теорема доказана.
—тТегксгнепосредствеино убедиться, что меры близости, рассмот-
ренные в предыдущем параграфе, являются частными случаями
мер близости на метризованных отношениях соответствующего
типа.
Мера близости между ранжированиями, учитывающая веса
объектов [31], получается, когда pij = ytjWi/Wj, где w,- п w> веса
/-го и /-го объектов, а
j 1, если (а,, а,)^Р,
То' —<„
(0 — в противном случае.
Тойа d(P„ PJ- £ |Д Д’
«</ i<i
(2)
i<j
2.4. МЕРЫ БЛИЗОСТИ НА ВЕКТОРАХ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
Рассмотрим случай, когда информация о предпочтениях экс-
пертов представлена в виде векторов предпочтений (см. § 1.2).
Это может произойти как в результате использования метода век-
торов предпочтений для получения экспертной информации, так
и представления с помощью векторов предпочтений информации
° предпочтениях экспертов, полученной другими методами. При-
ведем пример представления с помощью векторов предпочтений
Результатов парных сравнений.
Пусть экспертами при парных сравнениях указаны отношения
и Р2 с матрицами отношений
/ 0 — 1 1\ / 0 1 —1\
М(Р!)= I 1 0 1 j н М(Р2) =1 — 1 0 1).
\-l-10/ \ 1 — 1 о/
соответствуют векторы предпочтений л(1)=(1, 0, 2) и л(2,=
^(1. 1, 1).
Поясним получение вектора л(1). Действительно, при отноше-
11и Р} альтернативу ср превосходит одна альтернатива а2, аль-
51
тернативу а2— ни одной, а а3 — две альтернативы и а2. Отно.
шение является отношением линейного порядка, а для отно.
шения Р2 свойство транзитивности не выполнено.
Аксиоматически введем меры близости на векторах предпоц.
тений. Прежде всего определим вектор предпочтений л,тЧ
= (njW, ..., nnW), лежащий между двумя заданными
= (ni(v), ..., ^n(v)) и nW= (щМ, ..., пп(ц)). Будем говорить, что
лежит между векторами предпочтений n(v) и п® и обозначать
[n(v), nW, п(^], если min{ni(v), лг-<«} ^n;(Y)^max {ni(v), л,(Ю)
te{l, ..., п}.
Приведем систему аксиом, определяющую требования к ме-
рам близости на векторах предпочтений, без дополнительных об-
суждений.
Аксиома 1. d(n{v\ л(ц)^0, d(nW, n(lt))=0 тогда и только тог-
да, когда nW = n(n).
Аксиома 2. d(n(Y)> л(и)) = ^(nW, nW).
Аксиома 3. d(nW, п(н>) s^d(nW, n(Y’)+d(nW, я(н)).
Аксиома 4. Если [n<v>, nW, л(^], то d(nW, дШ)) = d(nW, л v )+
+ cf(nW, л(н>).
Аксиома 5. Если векторы предпочтений nW и n(|t) различаются
только i-й компонентой, то d(nW, л(ц)) = |n;(v)—Пг(н>|. Докажем
единственность меры близости, удовлетворяющей аксиомам 1—5.
Теорема 2.10. Аксиомы 1—5 однозначно определяют меру бли-
зости на множестве векторов предпочтений.
Доказательство теоремы проведем индукцией по числу п не
совпадающих компонент произвольных векторов nW и n(>4 Если
п=1, расстояние между n(v) и л(ц) однозначно определится по ак-
сиоме 5. Пусть утверждение теоремы справедливо при n^k. По-
кажем тогда, что оно окажется справедливым и при п=/г + 1.
Пусть nW и п(,1) векторы, различающиеся на &+1-Й компоненте,
в том числе и на i-й.
Введем вектор предпочтений n(Y), отличающийся от n(v) лишь
на одной i-й компоненте, которая у nW совпадает с i-й компонен-
той вектора предпочтений n(tl). Легко убедиться, что [n(v). n(Y),
л(^>]. Тогда по аксиоме 4 d(n(v), n(Y)) =d(nSv\ nw) + d(nW, л<мД.
Векторы предпочтений n(Y) и л(^ отличаются лишь на одной ком-
поненте, a nW и n(Y) не более, чем на k компонентах. Следова-
тельно, расстояния d(n(v\ nW) и d(nW, д(Ю) определятся одно-
значно, а значит, однозначно определится и d(n(Y), л(м)).
Теорема 2.11. Мера близости между произвольными векд -ра-
ми предпочтений n(v> и n(t*’ определяется но формуле
d (nW, n(^’)= X I nW— яро! . 12)
z=i 1
Для доказательства теоремы 2.11 достаточно убедиться, что
мера близости d(nW, л(Ю), определяемая формулой (2.12), \ щв-
летворяет аксиомам 1—5.
Если векторы предпочтений соответствуют ранжированиям, 1°
мера близости на множестве векторов предпочтений, задаваема
52
формулой (2.12), совпадает с мерой близости, использованной при
определении коэффициента ранговой корреляции Спирмена (см.,
например, [23]), для определения степени различия между ран-
жированиями.
2.5. СТРУКТУРНЫЕ МЕРЫ БЛИЗОСТИ
Рассмотрим способ введения мер близости, позволяющий учи-
тывать различные структурные особенности отношений. Этот спо-
соб использует аналогию между мерами близости па отношениях
и метриками на графах. Меры близости, вводимые с его по-
мощью, получили название структурных.
Структурные меры близости открывают новые возможности.
Так, с помощью структурных мер близости можно ввести расстоя-
ния на взвешенных ранжированиях, когда инверсии альтернатив,
имеющих различный ранг, не равноценны. С помощью структур-
ных мер вводятся новые классы метрик на отношениях эквива-
лентности. Впрочем, рассмотренные ранее меры близости па мет-
ризованных и неметризованных отношениях различных типов так-
же являются структурными мерами при соответствующем введении
графов па множестве отношений.
Пусть Л = {пь ..., ап} — множество, состоящее из п элементов,
а Р\, Рь — все возможные отношения данного типа между эле-
ментами множества А. Каждому отношению Pv, ve{l, ..., k} ста-
вится в соответствие вершина с номером v, ve{l, ..., k}, конечно-
го графа Г. Если отношения Pv и Р^ являются соседними, то
вершины, им соответствующие в графе Г, соединены дугой (v, ц).
Определение соседних отношений зависит от специфики вводимых
мер близости. При введении мер близости на метризованных от-
ношениях мощность множества вершин соответствующего графа
Г — континуум. Поэтому мы ограничимся рассмотрением струк-
турных мер близости на неметризованных отношениях и, следо-
вательно, лишь конечных графов отношений. Каждой дуге графа
поставим в соответствие число, характеризующее расстояния меж-
ду данными соседними отношениями по некоторому закону, отра-
жающему специфические особенности вводимой меры. Так, на-
пример, расстояние между соседними вершинами в графе Г для
взвешенных ранжирований [41] равно числу, характеризующему
относительный вес инверсии между объектами, расположенными
на соответствующих местах в ранжированиях Р v и Рц.
Итак, пусть множеству возможных отношений Plt Р1{ по-
ставлен в соответствие граф Г. Вершины графа Г, соответствую-
щие соседним отношениям, соединены дугами, а дугам приписаны
веса. Сформулируем требования, предъявляемые к рассматривае-
мым мерам близости d(Pv, Рц), в виде аксиом.
Аксиома!. d(Pv, Рц)^0, d(Pv, Рц)=0 тогда и только тогда,
к°гда Pv = Pji.
Аксиома 2. d(Pv, Pll)=d(Pii, Ру).
Аксиома 3. d(Pv, Р^) s^d(Pv, Ру)+d(Pv, РД
53
Будем говорить, что отношение Pf лежит между отношения-
ми Pvu Рц , если соответствующая ему вершина графа Г лежит
на кратчайшем пути от вершины, соответствующей отношению Р*
к вершине, соответствующей отношению
Аксиома 4. Если отношение лежит между отношениями
и Рц, то d(Pv, Pn)=d(Pv, Pv)+d(Pv, Рц).
Аксиома 5. Если Pv и Рц—соседние отношения, то d(Pv, Рц)^.
= Cvn> где cVM. — число, характеризующее меру близости между
соседними отношениями Pv и Рц.
Теорема 2.12. Аксиомы 1—5 однозначно определяют структур-
ную меру близости между произвольной парой отношений Pv и Рв
заданного типа.
Доказательство. Если Pv и Рц—соседние вершины, то расстоя-
ние между ними однозначно определено по аксиоме 5. Пусть од-
нозначно определено расстояние между отношениями Pv и Рц, ес-
ли кратчайший путь от вершины, соответствующей отношению Ру
в графе Г к вершине, соответствующей отношению Рц состоит не
более, чем из г—1-й дуги. Пусть кратчайший путь между верши-
нами, соответствующими Pv и Рм, состоит из г дуг. Возьмем лю-
бую вершину' Q, лежащую на кратчайшем пути от Pv к Рц, от-
личную от Pv и Рц . Тогда по аксиоме 4 d(Pv, Рц) = d(Pv, Q) +
+ d(Q, Рц). Но подпуть пути от Pv к Рц, соединяющий верши-
ны Ру и Q, является кратчайшим путем от Ру к Q. Очевидно,
что он содержит не более чем г—1 дугу. Следовательно, d(Pv, Q)
определено однозначно. Точно также однозначно определено и
d(Q, Рц). Следовательно, однозначно определено и d(Py, Рц). Тео-
рема доказана.
Чтобы найти расстояние между произвольными отношения-
ми Pv и Рц, необходимо вычислить кратчайший путь в графе Г
от вершины Ру к вершине Рц. Алгоритмы отыскания кратчайше-
го пути изложены, например, в работе [100]. Но, очевидно, что
при сколько-нибудь существенном п, где п — число элементов мно-
жества А, анализ графа Г и расчет расстояний становится прак-
тически невозможным. Так, для отношений строго линейного по-
рядка (ранжирований) граф Г содержит и! вершин. Поэтому це-
лесообразным является поиск конструктивных способов расчета
расстояний между отношениями. К числу' конструктивно введен-
ных мер близости относятся меры близости, рассматриваемые да-
лее. Расстояние между отношениями в указанных случаях может
быть рассчитано с помощью формулы. Примером структурных
мер близости является мера близости на взвешенных ранжирова-
ниях [41, 44].
Рассмотрим случай, когда ранжирования (отношения строгого
линейного порядка) производятся для выявления наиболее пред-
почтительных альтернатив. При этом естественно предположить,
что в ранжированиях инверсии соседних альтернатив, расиолЛ
женных на различных местах неравноценны: инверсия альтернат
тив, расположенных на первом и втором местах, более весомЯ
чем инверсия альтернатив, расположенных на последнем и преДИ
54
последнем местах (число сравниваемых альтернатив не менее
трех). Если ранжирования производятся для выявления наименее
предпочтительных альтернатив, то, очевидно, более весомыми яв-
ляются инверсии альтернатив, расположенных на последних мес-
тах. Сохранив сформулированные выше аксиомы 1—4, конкрети-
зируем аксиому 5. Пусть ранжирования Pv и Рц отличаются лишь
инверсией альтернатив, расположенных на s-м и s+1-м местах.
Аксиома 5'. d(Pv, Рц) — v.^X).
Поскольку мы рассматриваем ранжирования альтернатив для
выявления лучших, естественно предположить, что V1^v2^...^s
^Уп-i- Из теоремы 2.12 следует
Теорема 2.13. Аксиомы 1—4, 5' однозначно определяют струк-
турную меру близости на взвешенных ранжированиях.
Укажем способ определения расстояния между произвольными
ранжированиями Pv и Рц. Для данных ранжирований строится
таблица. В ней для каждой альтернативы as, расположенной на
s-м месте в Pv, указывается число rs, rs^\, альтернатив, которые
в Pv менее предпочтительны, чем а«, а в Рц более предпочтитель-
ны, чем as, а также суммарная стоимость rs последовательных
инверсий альтернативы я., с альтернативами, расположенными в
s + rs—I
Pv непосредственно под я.,, равная vy.
V—S
Расстояние между взвешенными ранжированиями Pv и Рц
равно
п — 1 1
rf(^v,Pu) = S 2 Vv. (2.13)
s— 1 v—s
Приведем пример расчета меры близости между взвешенными ранжированиями.
Пусть Р, и Р2 — два ранжирования:
Табл и ц а 2.1
Альтер- натива rs 2 v8
01 4 vl + v2 + vs + li
«2 3 Vi + Vs+V.
а3 1
«4 2 T'i + Us
аз — —
Пе — —
/'^5 \
/ «2 \ / а3 \
р __I Д: I р _____I а б I
*“1 «4 ’ ' I «2
\ ^5 / \ /
'fl4 /
Для определения значения меры
близости между Pi и Рз строится
табл. 2.1.
Значение меры близости между
взвешенными ранжированиями Pi
и Рз равно d(Pi, Р2) =14+ +
+ Зу 3 + 31* 4 + У 5.
Убедимся, что соотноше-
ние (2.13) действительно
определяет в графе Г дли-
ну кратчайшего пути меж-
ДУ вершинами, соответ-
ствующими ранжированиям Pv и Рц. Путь от вершины Pv к вер-
шине Рцне может быть меньше, чем S S ^.поскольку пнвер-
S=1 V--S
сии каждой альтернативы as с альтернативами, менее предпочти,
тельными, чем as в Pv, но более предпочтительными, чем ал в Р Ц1
n—1 s +rs -*
обязательны, a 2 2 vv минимально возможная «плата» за та-
s=l v=s
кие инверсии. С другой стороны путь от вершины Р v к вершине Рц
п-i s+rs-1
длиной 2 2 vv существует. Действительно, пусть последова-
S=1 V=S
тельность ранжирований PVo =PV, PV1, PV2, РЧ[=Р^ такова,
что [Pv„, PV1, -PvJ, •••, pvi-i- Рч] и два соседних ранжи-
рования отличаются лишь одной самой «нижней» из возмож-
ных инверсий. Последовательность дуг (PVo, Pvt), (-Pvz_p Да
n-1 s+'-s-1
образует путь от Pv к Р м , длина которого равна 2 2 ц
s=l v=s
Следовательно, соотношение (2.13) определяет длину кратчайшего
пути от Pv к Рц.
Теорема 2.14. Расстояние между взвешенными ранжирования-
ми Pv и Рц
n-1 s-Ks-I
^(Pv, Рц) — 2 2 Vv
s^l V=s
Доказательство. Покажем, что расстояние, задаваемое соотно-
шением (2.13), удовлетворяет аксиомам 1—4, 5'. Если ранжирова-
ния Pv и Рц отличаются лишь инверсией альтернатив, располо-
женных на s-м и s+1-м местах, то d(P v, Рц ) = vs. Аксиома 5' вы-
полнена. Если Pv и Рц различаются хотя бы одной инверсией,
Tod(Pv, P|i)^vn-i>0; если Pv и Рц совпадают, то d{Pv Рц) =0.
Аксиома 1 выполнена. Легко заметить, что для любой пары ран-
п—1
жирований Pv и Рц 2 2 vv , полученная при переходе от Р
s=l V—S
П-1 S+rs—1
к Рц, совпадает с 2 2 vv, полученной при переходе от Рц к Рч
S=1 v=s
Следовательно, выполнена и аксиома 2. Аксиомы 3 и 4 выполне-
п — 1 S+ rs~1
ны, поскольку 2 2 vv равна длине кратчайшего пути в гра-
S=1 V=S
фе между вершинами, соответствующими ранжированиям Pv и Рц-
Теорема доказана.
Достаточно широкое использование структурные меры близо-
сти находят при анализе отношений эквивалентности, для кото-
рых характерной является операция отделения одного элемента
от класса эквивалентности или добавления одного элемента 1е
классу эквивалентности. Во многих исследованиях отношения эк-
вивалентности, которые можно получить одно из другого одно'
кратным применением указанных операций, естественно считать
удаленными друг от друга на расстояние, равное 1. Тем не менее
при использовании мер близости, рассмотренных нами ранее, рас'
стояние между такими отношениями эквивалентности, вообще го
56
воря, больше 1 и зависит от числа элементов, составляющих класс.
Меры близости, обладающие интересующим нас свойством, мо-
п-т быть построены в классе структурных мер.
Рассматривались различные способы задания расстояний на
отношениях эквивалентности [116, 139, 141 и др.]. В частности,
соседними отношениями эквивалентности объявлялись Р и Р', от-
личающиеся лишь тем, что элемент в Р принадлежал одному
классу эквивалентности, а в Р'— другому (возможно пустому)
классу. Расстояние между произвольными отношениями эквива-
лентности d(Pv, Рц) определялось как длина кратчайшего пути
между вершинами, соответствующими Pv и Рц, состоящего из ми-
нимального числа дуг. Она равна минимальному числу операций
переноса элемента из одного класса в другой (возможно пустой),
необходимому для получения отношения Р' из отношения Р.
Анализ отношений эквивалентности с учетом специфики по-
ставленных перед исследователем задач может приводить к дру-
гим способам определения соседних отношений эквивалентности,
а следовательно, и к другим способам расчета мер близости. Со-
седними, например, могут объявляться отношения эквивалентно-
сти Р и Р' такие, что Р' получается из Р перемещением некоторо-
го подмножества элементов из одного класса отношения эквива-
лентности Р в другой.
Рассмотрим аксиоматическое введение структурной меры бли-
зости на отношениях эквивалентности, обладающей следующим
характерным свойством. Расстояние между произвольными отно-
шениями Pv и Рц определяется кратчайшим путем между соот-
ветствующими вершинами, обязательно проходящем через верши-
ну, соответствующую отношению эквивалентности Р^Р ц.
Указанную структурную меру будем вводить, сохранив аксио-
мы 1, 2 и 4, несколько видоизменив аксиому 5 и понятие отноше-
ния, лежащего между двумя заданными. Как известно [53], каж-
дому отношению эквивалентности можно поставить в соответствие-
разбиение элементов на классы, которые будем обозначать так
же, как и соответствующие отношения эквивалентности, через Pv
Пусть Pv и Рц — два отношения эквивалентности. Через Р^Рц
обозначим такое разбиение, когда к одному его классу относятся
элементы, принадлежащие одновременно одному классу в Pv и од-
ному классу в Рц. Таким образом, Pv ПРЦ состоит из непустых
пересечений классов отношений эквивалентности Pv и Рц.
Будем говорить, что разбиение Рц является размельчением
Разбиения Pv и обозначать Pv ^>Рц, если для любого класса эк-
вивалентности Р{ц еРц найдется класс P'vePv такой, что Р‘ц^Р\
и’[евидно, что Pv>AvnPn и Рц>Ру(}Рц. Пусть P-'v = PilnUP,'2nU ..
^Через Р’цта1 обозначим тот из классов эквивалентности Р‘‘ц,
Мец ' ’ K0T0PU['i содержит максимальное число эле-
Определим отношение Р7, лежащее между Pv и Рц: [Pv, Pv, Рц],
^Лц
57
1) Ру = РуЯ.Рц или
2) Р^Р ц (Рц v) и каждый класс эквивалентности из Ру ли-
бо содержит один из классов Рц гаах, либо содержится в одном из
классов РчАРц.
Отношения эквивалентности Pv и Р(1 будем называть сосед-
ними, если Pv У^Рц и Pv отличается от Рц только тем, что один
из его классов эквивалентности заменен двумя Р(1’>ц и Р(1'г)(1, т.е.
= Р('\^= , причем min{|P(£i)n |, |Р (,'г)ц |} = 1. Вместо
аксиомы 5 введем аксиому 5".
Аксиома 5". Если Pv и F м—два соседних отношения эквива-
лентности, то d(Py, Рц) = 1.
Аксиомы 1, 2, 4, 5" определяют требования к вводимой струк-
турной мере близости. Приведем конструктивное доказательство
теоремы единственности меры близости.
Теорема 2.15. Аксиомы 1, 2, 4, 5" однозначно определяют струк-
турную меру близости на отношениях эквивалентности.
Доказательство. Пусть множество Л, па котором заданы рас-
сматриваемые отношения, состоит из двух элементов. Тогда воз-
можны всего два различных отношения эквивалентности. Им соот-
ветствуют разбиения Р}= {Pi(1)}, где Pi(,, = {яь Яг}, и Рг={Р2(1),
Рг(2)}, где Р2(1)— {«J; Р2(2’ = {яг} Разбиения Pt и Р? являются
соседними. Следовательно, по аксиоме 5" d(P}, Р2) = 1, значит,
при л = 2 мера близости определена однозначно.
Рассмотрим случай, когда л^З. Пусть Pv и Рм— два отноше-
ния эквивалентности. Поскольку [Pv. Р\>ПРц]. п0 аксиоме 4
d(Pv, Рц) =d(Pv, Pv ПРц) +d(PvnPu, Рц). Покажем, что d(Pv,Pv[]
АРЦ) определится однозначно. Построим последовательность
разбиений Pv, Pi, ..., Р„ Ps+i, Ps+r, PvAP^ такую, что Ру)>
^‘Ply>...'^Ps^Pg+i^...^Ps+r<^PvQPfi, каждые два расположенных
рядом разбиения являются соседними, и для каждой тройки PVl,
Руг, PVs, расположенных рядом разбиений, справедливо [Pv,,Pv,»
PVs]. Легко убедиться, что такую последовательность разбиений
можно построить, последовательно отделяя от классов эквивалент-
ности Pv элементы, пе принадлежащие максимальным подклас-
сам, а затем последовательно объединяя элементы разбиения Р«
до получения разбиения Pv ПРц. Заметим, что P.S = P.S_! A Ps+i.
Многократное применение аксиомы 4 приводит к соотношению
d(Fv, Pv nP^=d(Pv, Pi) + ... +d(Ps-b Ps)+ ... +d(Ps+r, Pv lW-
Каждое слагаемое правой части однозначно определено по аксио-
ме 5", и, следовательно, d(Pv, Pv ЛРц) определено однозначно.
Аналогично доказывается, что б((РгПРц, Рц) определено однознач-
но. Следовательно, однозначно определено и d(Pv, Рц). Теорема
доказана.
Укажем теперь способ расчета расстояний между произволь-
ной парой эквивалентностей Pv и Рц.
Лемма 2.8. Если Pv)>Pu, то d(Pv, Рц) = 2 (2(|P(!>V\-"
i=l
•—1 Р(,)цтах I )—П+1), ГДе Гг — ЧИСЛО КЛЭССОВ Р^у., ДЛЯ КОТОрЫ*
Р(/>ц
58
Для доказательства ле*ммы по способу, указанному при доказа-
тельстве теоремы 2.15, построим последовательность Pvx”
^-Р1> ••• >PS<PS^< ... ^Ps+r^Py. ЭТО ВОЗМОЖНО, ТЭК КЭК Рц =
CpvnPu- По доказанному в теореме
d(Pv,P») = d(Pv,P1)+ . . , + d(Ps_l,Ps)^ . . . + 4(Л+г,Рц). (2.14)
Каждое слагаемое в правой части (2.14) равно единице по аксио-
ме 5". Подсчитаем их число. Слагаемых, соответствующих первой
S
части последовательности S (| Р(‘\.| —|Р(‘Дтах)), поскольку отделя-
1=1
ется каждый элемент, не принадлежащий какому-либо из макси-
мальных подклассов Р(1,цтах, te{l, ...•$} Слагаемых, соответст-
S
веющих второй части последовательности S (|Р(‘\|— |Р(£)цтах|—
и 1=1
—П + 1). Следовательно,
d(Pv, Рц) = £(2(|Р(М-|Р<‘\тах|)-г; + 1).
1=1
Теорема 2.16. d(Pv, Рц) =Л [2 (| Р<‘\ |-|(PV П Рц)(£)тах I] - г'1’. +
1=1
+ l) + Zr2(|P<M-|(Pv П РЛах I]-Г(2\ + 1),
(=1
где Si и s2 — число классов в Р, и Рц; г,(1) и г,<2) — число подклас-
сов соответственно в Р(‘\ и Р(1,м.
Доказательство теоремы непосредственно следует из аксиомы
4 и леммы 2.8.
Приведем пример расчета значений меры близости между отношениями
эквивалентности. Пусть заданы два разбиения элементов на классы:
Р1={а1~а2-~аз-~а4, а5~а0~а?, as-~a9, ato~ац~а12},
p2 = {ai~а-,~ a!ti, а2~аз~а^~ав~а-1, as~as, allt аД.
Элементы, отнесенные к одному классу эквивалентности, соединены знаком
«~». Так, например, элементы а>, а2, аз, ад отнесены к одному классу экви-
валентности при разбиении Pt.
Pir\P2 = 'ai, аз — аз— ад, аз, ав~ат, а&~аз, ац, ан, адг),
Si=4, s2.= 5, /+*>=2, rzW=2, r3'1) = l,
r4(i) = 3, Г!<2) = 3, г2'2’ = 2, г3<2> = 1, Гд<2’ = 1, г5<2>’=1;
d (Рц Рз) = [2 (4-3) -2+1 ] + [2 (3-2)-2+1 ] + [2 (2-2)-1 +1 ] +
+ [2(3-1)-3+1] + [2(3-1)-3+1] + [2(5-3)-2+1] + [2(2-2)-1 + 1] +
+ [2(1-1)-1+1] + [2(1—1)-1 + 1] =9.
2.6. ЕВКЛИДОВЫ МЕРЫ БЛИЗОСТИ
Рассмотренные памп ранее меры близости обладали одним об-
щим свойством: на множествах отношений различных типов вво-
дился аналог прямой.
Расстояния между отношениями заданного типа Pi, ..., Р,„, рас-
положенными на прямой, удовлетворяли следующему соотпоше-
т—1
пню: d(P}, Pft) = S d(Pit Pi+i). В сочетании с другими свойства-
1=1
S9
ми это свойство приводило к мерам близости, рассчитываемым
для отношений Pi, Р2 по формуле d(Pi, Р2) = 2 |рг/п—р7-,,?’|
«/
для метризованных отношений Рь Р2 по формуле d(P\, Р2) =
= 2 —Pij<2)|> либо к структурным мерам близости, для рас-
><i
чета значений которых использовались различные формулы в за-
висимости от специфики анализируемой экспертной информации
Однако значительный интерес представляют также евклидовы,
меры близости. При их введении вместо аналога прямой исполь-
зуется аналог ортогональных линейных сегментов. Впервые ак-
сиоматически евклидовы меры близости были введены для отно-
шений частичного порядка, не содержащих равноценных альтер-
натив в работе [114]. Напомним этот результат. Помимо тради-
ционных аксиом метрики (аксиомы 1—3) и аксиомы о выборе
единицы масштаба (аксиома 4) предполагалось выполнение сле-
дующих аксиом.
Аксиома 5. d(—Р, P)=d(—Р, 0)+г/(0, Р). Под Р понимается
произвольное отношение частичного порядка, не содержащее рав-
ноценных альтернатив, под —Р — отношение частичного порядка,
содержащее пару (а7, aj альтернатив только если (а,-, а;)ЕР,
пол 0 — отношение Р=0.
Введем дополнительные определения. Линейным сегментом L
назовем такую последовательность отношений Pi, ..., Рт, распо-
ложенных на прямой, что если отношение R расположено между
соседними отношениями Pv и Pv+i, т. е. [Pv , R, Pv+i], ve{l, •••
...,п—1}, то R = PV или R = Pv+l. Каждое отношение Pv линейного
сегмента L получается из Pv-i добавлением или отбрасыванием
одной пары альтернатив (а7, а,). Линейные сегменты Li и Р2
ортогональны, если при добавлении или отбрасывании пары аль-
тернатив (а7, а,) в одном из них следует, что пары альтернатив
(йг, dj) и (dj, d^ не могут быть добавлены или отброшены в дру-
гом из них.
Через л обозначим изометрическую перестановку отношений
т. е. такую перестановку, что л(а71, di1) = (dit, at-4), а л(агг, 0;,)=
= (a it, «г,). Через nL обозначим линейный сегмент пР\, ..., пРт
Аксиома 6. Если л — изометрическая перестановка линейного
сегмента Pi..Рт, то d(Pi, Рт) = d(nP\, лРт).
Аксиома 7. Если линейные сегменты Р[, ..., Рт и Рт, Рт+ъ J
..., Pm+s ортогональны, то d2 ( PI( Pm+s) = <Р (Рь Рт) +d2 (Рт, Рт+Д
Пусть Pv и Рц—два рассматриваемых нами отношения частичке
го порядка. I
Теорема 2.17. Аксиомы 1—7 однозначно определяют евклидову
меру близости па отношениях частичного порядка.
Значения меры близости между Pv и Р ц рассчитываются rtf
формуле
р 22w;’-4w)‘-
60
Приведем пример аксиоматического введения евклидовой ме-
ру близости на метризованных отношениях. Рассмотрим случай
Метризованных ранжирований.
Пусть заданы три метризованных ранжирования Р2, Р3 с
матрицами отношений [|р,-/2>||, ;|ро(3>1|. Сегменты [Pi, Р3]
и [Рз, Р2] будем называть ортогональными, если для каждой па-
ру индексов i, j либо Waw—а>,/3> = 0, либо и.’г-/3>—к-’А2, = 0-
Предполагается, что мера близости на метризованных ранжи-
рованиях должна удовлетворять, помимо аксиом метрики, следую-
щим аксиомам:
Аксиома 8. Если метризованные ранжирования Рь Р2, Рз та-
ковы, что сегменты [Pi, Рз] и [Рз, Р2] ортогональны, то d2(P\, Рч) =
= d2(Pi, P3)+d2(P3, Р2).
Аксиома 9. Если матрицы метризованных ранжирований Pi и
р2 различаются лишь одной парой элементов рц{1\ рц{1}, Ри(2},
р^*, то d{Plt Р2) = / 2 2 = ]/21I.
Теорема 2.18. Аксиомы 1—3, 8, 9 однозначно определяют меру
близости между метризованными ранжированиями.
Доказательство теоремы проведем по индукции. Если метризо-
ванные ранжирования Р\ и Р2 обладают матрицами отношений
и !ipij(2)ll, различающимися лишь на одной паре элементов,
то согласно аксиоме 9 d(P\, Р2) определяется однозначно. Пусть
для метризованных ранжирований, различающихся не более, чем
на г парах элементов матриц отношений, аксиомы 1—3, 8, 9 одно-
значно определяют меру близости. Рассмотрим метризованные
ранжирования Р\ и Р2 с матрицами отношений ||pij(1)||, ||р;/2)||, раз-
личающимися на r-f-1-й паре элементов.
Укажем метризованное ранжирование Р3 с матрицей отноше-
ний ||ро'<3,11, отличающейся от ||pi/‘)|| значением одного элемента,
совпадающим с соответствующим значением элемента матрицы
Ндо(2)||. Если среди несовпадающих пар элементов матриц ||рг-/1)||
и 11рг/2)|| нашлись элементы, имеющие в и ||рг-/2)|| одинако-
вый знак, то Р3 можно получить, заменив элемент матрицы
11р0<”11 па соответствующий элемент матрицы ||/5у<2)||. Если же все
несовпадающие элементы матриц ||/5г-;б)|| и ||/5г-,(2)|| имеют проти-
воположные знаки, то обязательно в метризованных ранжирова-
ниях Pi и Р2 найдется пара соседних альтернатив а, и а;, упорядо-
ченных противоположным образом. В этом случае Р3 получим,
меняя р,-/1’ на ру<2). Легко убедиться, что Р3 также будет метри-
зованным ранжированием.
Сегменты [Л, Р3] и [Р3, Р2] ортогональны. Следовательно, по
аксиоме 8 d2(Pi, P2)=d2(Pi, P3)+d2(P3, Р2). Но ||ръ<‘)|| и ||р;/3>||
Различаются лишь па одной паре элементов, a ||pi/3)|| и ||рг-/2)|| на
г парах элементов. Следовательно, по предположению индукции
“(Л, Р3) и d(Pz, Р2) определены однозначно, а значит, однозначно
Определено и d{P\, Р2). Теорема доказана.
* Напомним, что /)</*> =—
61
Можно непосредственно убедиться, что мера близости между
метризованными ранжированиями, задаваемая формулой
<<(PvA)= у
(=1 /=1
удовлетворяет рассматриваемой нами системе аксиом и согласно
теореме 2.18 является единственной мерой близости между мет-
ризованными ранжированиями ей удовлетворяющей.
Отметим также интересный результат, связанный с аксиома-
тическим введением евклидовых мер близости на метризованных
отношениях различных типов [8].
Глава 3
ВЫБОР РЕЗУЛЬТИРУЮЩИХ ОТНОШЕНИЙ
ПРЕДПОЧТЕНИЯ
3.1. ПРИНЦИП КОНДОРСЕ
Одна из основных проблем, возникающих при обработке экс-
пертной информации, — проблема выбора наилучшей альтерна-
тивы. Наиболее ранние ее исследования относятся к концу XVIII в.
и принадлежат французским ученым Кондорсе и Борда [14,151].
Кондорсе впервые обратил внимание на недостаточность процеду-
ры определения наилучшей альтернативы с помощью непосред-
ственного подсчета голосов по правилу большинства [53]. Приве-
дем пример, иллюстрирующий точку зрения Кондорсе. Пусть рас-
сматриваются 20 альтернатив ах, ..., а20. Их ранжирования, соот-
ветствующие мнению 10 экспертов, таковы:
Pi р2 Рз Рз . - - Рю
й2 а2 а, аз t?4 . . . . Од
ах ах «3 ах . . ах
й-г аз (14 а4 «з . . а3
а4 а4 «5 Я:> О5 . . а4
019 аХэ 0120 о2о Яго • «го
О 20 а20 «2 а2 • . а2
По правилу большинства подсчитывается число экспертов, от-
давших предпочтение каждой из альтернатив, и наилучшей объяв-
ляется альтернатива, которую назвали паилучшей большинство
экспертов. В нашем примере это альтернатива а2. Вряд ли такое
решение покажется справедливым. С большим успехом а2 можно
объявить наихудшей альтернативой. Иногда при использован!»1
правила большинства вводят дополнительные требования, no.iBOj
ляющие устранить указанный недостаток. В частности, наилучше»
может быть объявлена альтернатива, которую считают наилу4'
62
jjjeii не менее половины экспертов. А как быть в случае, когда
такой альтернативы не существует? Между тем в реальных экс-
пертизах эта ситуация возникает достаточно часто. Кондорсе был
предложен следующий принцип определения наилучшей альтер-
нативы. Каждый эксперт ранжирует альтернативы по предпочте-
ниям. На основании полученных ранжирований для каждой пары
альтернатив а,, а-, подсчитывается Sij— число экспертов, считаю-
щих более предпочтительной, чем а,. Если то альтер-
натива а, признается более предпочтительной, чем aj.. at объявля-
ется наилучшей альтернативой (альтернативой Кондорсе), если
Для всех В нашем примере альтернативой Кондорсе
является «1. Выбор альтернативы сц представляется более обос-
нованным. Однако при использовании принципа выбора Кондорсе
может возникать указанный им же парадокс, являющийся след-
ствием петранзитивности коллективных предпочтений. Проиллю-
стрируем его на примере. Пусть три эксперта проранжировали
альтернативы щ, а2, а3 следующим образом:
Тогда si2>s2i, S23>s32, по Si3<S3i- Альтернативы Кондорсе в этом
случае не существует.
Отметим, что число групп ранжирований, приводящих к пара-
доксу Кондорсе, составляет около 9% при фиксированном числе
ранжирований (при малом числе ранжирований несколько мень-
ше [14]). В реальных экспертизах, когда мнения экспертов су-
щественно различаются, вероятность возникновения парадокса
Кондорсе выше.
Необходимым учитывать ранжирования при определении наи-
лучшей альтернативы считал и Борда. Способ, предложенный
Борда, состоит в следующем. Альтернативам, прорапжированным
экспертом, приписываются числа: последней по предпочтениям—
О, предпоследней 1 и т. д. Если через s, обозначить сумму чисел,
приписанных альтернативе а,, то результирующим ранжирова-
нием объявляется (a,,, щ2, ..., а!п), для которого ^ ...
•• >sin, а наилучшей альтернативой — а{1. Способ Борда также
не лишен недостатков. В частности, альтернатива Кондорсе, т. е.
альтернатива, которая лучше любой другой при парном сравне-
нии альтернатив, может оказаться не выбранной в качестве пан-
л уч шей.
Действительно, пусть пять экспертов проранжировали альтер-
нативы а\, а2, а3, аА, а3 следующим образом:
63
Альтернативой Кондорсе в этом примере является альтер11а.
тива ai(si,>sji, /е{2, 5}). Однако она не будет выбрана а
качестве наилучшей альтернативы по способу Борда, поскольку
52= 16, а = 15 и, следовательно, $2>$ь
Указанных недостатков лишен принцип выбора результирую.
щего ранжирования, предложенный Кемепи [22, 131], существен-
но использующий меры близости (см. § 3.4).
3.2. ПАРАДОКС ЭРРОУ
Аксиоматические исследования принципов согласования впер-
вые были предприняты Эрроу [53, 112]. На основе анализа си-
туаций, возникающих при согласованном выборе, им были сфор-
мулированы пять условий, которым должно удовлетворять резуль-
тирующее отношение. Каждое из этих условий является естест-
венным требованием, предъявляемым к коллективному выбору.
Однако совместное их выполнение невозможно, что и было уста-
новлено Эрроу. Приведем сформулированные Эрроу условия.
Пусть Piy ..., Рт — отношения, указанные т экспертами на мно-
жестве альтернатив А = {оц, ..., ап}. Для подмножества альтерна-
тив А'={а;1, ... a-lk}, (Л'сдЛ), пара элементов (а,-, a})^P'v, ve
е{1, ..., т} только тогда, когда (а,-, й;)еД> di, at<=A'. Через
F(Pi, ... Рт) обозначим результирующее отношение для отноше-
ний Р\, ... Рт- Пусть Р1у ..., Рт и R... — два множества
отношений на А.
Условие 1. Если Р1у ... Рт и Ri.. Rm таковы, что на А'аА
P'v=R'v, те{1, ..., т}, то на А' Р(Pi, ..., Pm)=P(Ri, ... Rm).
Из условия 1 следует, что если из множества рассматриваемых
альтернатив А исключить альтернативы Л\Л' и найти результи-
рующее для «усеченных» отношений, то оно совпадет с отноше-
нием, полученным из E(Pi, ..., Рт) отбрасыванием альтернатив
Л\Л'. Условие 1, называемое условием независимости, можно
трактовать и по-другому. Пусть па множестве альтернатив Л'
экспертами указаны отношения P'i, ..., Р'т. При повторной экс-
пертизе множество альтернатив А' расширено до А. Если отно-
шения на А' экспертами указаны те же, то E(Pi, .... Рт)-
= F(P'i, ... Р'т), где Pi, ..., Рт — отношения, указанные эксперт
тами при повторной экспертизе.
Таким образом, из условия 1 следует, что расширение или суи
жение множества альтернатив при сохранении отношений на обИ
щем подмножестве альтернатив не меняет на нем результпруюИ
щего отношения.
Это условие представляется нам достаточно сильным требоИ
ванием. Последующие условия Эрроу менее ограничительньф
Предполагается, что рассматриваемые множества отношений мо-
гут быть достаточно разнообразными. А именно, для любой тройки
альтернатив а.\, а2, а3 должны найтись отношения Pi, Р2, Рз. ьтЯ
которых
1) (аь а2)еРь (а2, a3)<=Pi и (аь a3)^Pi;
64
2) (щ, a2)^P2, (a2, a3)(£P2 и (alt a3) <£ P2;
3) (fli, а%)^Рз, (аз> ^2) Рз и (a3, Ui)z£:P3.
Это требование вместе с требованием транзитивности результп-
nViouiero отношения составляет условие 2, а множество донустн-
мух отношений в этом случае называется универсальным.
Условие 3, называемое условием монотонности, состоит в сле-
дующем. Если какой-либо из экспертов изменил мнение в пользу
результирующего, то результирующее отношение не изменится.
Сформулируем это требование более точно. Пусть отношения Рч
и р'v отличаются лишь парами альтернатив такими, что (щ-, а ,)е
eF( Pl, ..., Pm) и (а,, a,)^P'v\Pv или (а,-, а,) i^F(Pi, Рп) и
iai, ap^Pv \ Р\, тогда F(Plt ..., Pv-i, P'v, Pv+i, ..., Рт) =
= F (Р1, •••, Рv-l, Р v> Pv+l, • ••> Рт).
Условие 4, называемое условием пенавязанпости, предполагает,
что для любой пары альтернатив а, и а2 существуют множества
отношений Pi,..., Рт и Ri,...,Rm такие, что для Рь ..., Рт (ai,a2)^
(=F(Pi, ..., Рт), а для Ri, ..., Rm (fli, а2) zF F(Ri, ..., Rm).
' И, наконец, условие 5, называемое условием отсутствия дик-
татора. Согласно этому условию не должно существовать отно-
шения Рц такого, что F(Pi, ..., Рц-i, Рц, Рц-н, , Рт)=Рц неза-
висимо от отношений Рь .... Рц-\, Рц+i, Рт. При его выполне-
нии предполагается, что отсутствует эксперт, чье мнение являет-
ся определяющим независимо от мнения остальных экспертов.
К сожалению, иногда встречаются процедуры с открытым (не-
анонимным) высказыванием мнений, при которых мнение одного
эксперта оказывается решающим при определении результирую-
щего отношения. Вряд ли такие процедуры можно назвать экс-
пертизами. В этом случае целесообразней непосредственно обра-
титься лишь к одному эксперту, чье мнение является определяю-
щим.
Таким образом, мы сформулировали пять принципов согласо-
ванного выбора Эрроу. Каждый из них, за исключением, пожа-
луй, первого, является естественным требованием к результирую-
щему отношению. Невыполнение условия 2 делает выбор некор-
ректным. Действительно, возможность выбора должна существо-
вать на достаточно широком множестве отношений Рц ..., Рт, ко-
торые могут указать эксперты. Результирующее отношение долж-
но быть транзитивным. Недостатком принципа Кондорсе считает-
ся именно возможность получения нетрапзитивности в результи-
рующем отношении (парадокс Кондорсе). Условие 3 также явля-
ется необходимым для корректности результирующего отношения:
если эксперт изменит мнение в пользу коллективного, то резуль-
тирующее отношение должно сохраниться. Необходимость выпол-
нения условия 4 для корректности результирующего отношения
Также очевидна. Если не выполнено условие 5, то проведение
Экспертизы становится бессмысленным. Лишь относительно усло-
ВИя 1 мнения исследователей разделились. Действительно, Коп-
Торсе, а вместе с ним и ряд других исследователей, считали, что
Для получения корректного результирующего отношения необхо-
димо учитывать сравнительные предпочтения экспертов на всец
множестве альтернатив. Только на этом пути они видели возмог
ность избежать ситуаций некорректного выбора, указанных в на-
чале параграфа. Именно поэтому они считали необходимым рас-
сматривать не только указываемые экспертами наилучшие алы
тернативы, но и ранжирования всех альтернатив, из которых осу,
ществляется выбор наилучших.
Таким образом, помимо Эрроу и его последователей, сущест-
вуют исследователи, которые отказываются от условия 1, считая
необходимым учитывать предпочтения на всем множестве альтер.
натив. Сначала рассмотрим, какие требования налагают условия
1—5 или их часть на результирующие отношения, а затем — ре-
зультирующие отношения, которые получаются при отказе от усло-
вия 1. Результирующее отношение Fy(Pi, .... Рт) = П Pv, где
vev
Vs{l, .... т}, будем называть тривиальным [53].
Теорема 3.1. Условия 1—4 справедливы для результирующего
отношения тогда и только тогда, когда оно тривиально.
Необходимость очевидна. Действительно, пусть результирую-
щее отношение является тривиальным. Тогда можно непосред-
ственно убедиться, что условия 1—4 выполняются. Достаточность
теоремы 3.1 будет доказана далее после доказательства некото-
рых дополнительных утверждений.
Сформулируем принцип согласованного выбора, называемый
принципом Парето [53, 137] и признанный разумным многими
исследователями. Результирующее отношение F(Pi, ..., Рт) удов-
летворяет принципу Парето, если
т т
n Pv^, . . ,,Pm)S и Pv.
v=l v=l
Согласно принципу Парето альтернатива аг- более предпочтитель-
ная, чем Uj, для каждого из экспертов будет более предпочти-
тельной, чем а;, и в результирующем отношении. Если же альтер-
натива а{ не считается более предпочтительной, чем а„ ни одним
экспертом, то и в результирующем отношении а, не более пред-
почтительна, чем а-. Для неметризованных отношений при т=2
множество отношений, удовлетворяющих принципу Парето, сов-
падает с множеством отношений, лежащих между двумя • задан-
ными. Изучению некоторых свойств принципа Парето и отыска-
нию отношений, ему удовлетворяющих, посвящен § 3.3.
Исследуем связь принципа Парето с условиями Эрроу, нала-
гаемыми на результирующие отношения.
Теорема 3.2. Если результирующее ранжирование удовлетво-
ряет условиям 1, 3, 4, то оно удовлетворяет и принципу Парето-
Доказательство. Покажем сначала, что при выполнении усло-
вий 1, 3, 4 {]Pv^F(Pl, .... Рт) Пусть некоторая пара альтернат^®
v—1
m п
(a,-, aj)enPv., Следовательно, (at, aj)^Pi, ..., (а,, а,)е«'
V=1
66
0 пусть в то же время (a,, cij)-£F(Pi, Рт). Принадлежность
пары альтернатив (at, а-;) результирующему отношению опреде-
ляется по условию 1 лишь принадлежностью (а/, а,) отношениям
р , Рт, принадлежность других пар отношениям Pi, ..., Рт зна-
чения не имеет. По условию 3, если (a,-, a;)ePi, (a,, a,)EPm
л в то же время (a,, a})^F(Pi, Рт), то (а,, аД^ЕР(Рь Рт),
прп любых отношениях Pi, .... Рт. Это противоречит условию 4.
н т
Поэтому Л PV^F (Pl, Рт).
V—1
Покажем теперь, что F(Pi, ..., Pm)sUPv. Действительно, ут-
V=1
верждение несправедливо только, если найдется пара альтерна-
тив (йг, аД такая, что (a,, аДедР1, ..., (a,, аД(=£Рт и в то же
время (а;, а;)еР(Р1, .... Рт). Но невозможность этой ситуации
доказывается так же, как аналогичное утверждение первой части
доказательства. Теорема доказана.
Введем понятия утверждающего и отрицающего множества
отношений для Pi, ..., Рт. Каждое множество отношений харак-
теризуется подмножеством индексов /?= {1, ..., т}. Отношения Pv,
ve/ образуют утверждающее множество, если из (a,, aJePv для
любого ve/ следует (аг-, aj)^F(Pi, ..., Рт), и отрицающее мно-
жество, если из (a,, аД(£РуДля любого ve/ следует (а,, аД
F (Pl, ..., Рт)
Пусть результирующие отношения удовлетворяют условиям
1 — 4. Воспользовавшись принципом Парето и условием 1, можно
показать, что если множество отношений является утверждающим
для некоторой пары альтернатив, то оно является утверждающим
для любой пары альтернатив (a,, dj) еЛхЛ. Пересечение утвер-
ждающих множеств отношений также является утверждающим
множеством. Следовательно, существует единственное минималь-
ное утверждающее множество отношений, характеризуемое неко-
торым подмножеством индексов V. Минимальное утверждающее
множество отношений, из которого удалено хотя бы одно отно-
шение, перестает быть утверждающим.
Докажем следующее утверждение.
Лемма 3.1. Любое отношение Pv из минимального утвержда-
ющего множества является отрицающим для произвольной пары
(«I, а2)(=ЛхА.
Доказательство. Выделим произвольное отношение Pv из ми-
нимального утверждающего множества и докажем, что сущест-
вует такое множество отношений, для которого оно действительно
является отрицающим. Пусть ah а2, а3 — произвольные альтерна-
тивы, а Pv таково, что (ab a.2) t£Pv, (а2, a3)^Pv, (ab a3) q£Pv. По
Условию 2 такое Pv существует. Для отношений Рц, цеУ \ {ц}
потребуем, чтобы (аь а2), (аг, ай), (а{, а3)^Рц, а для Fu, lie
^{1, ..., tn} \ V, чтобы (аь а2)^Р», (а2, a3)^Pu,(a1; аДгдРц. Для
Подобранных таким образом отношений (а2, a3)^F(Plt Рт),
Поскольку (а2, й3)еРц, ре|/, а множество отношений Рц, цеУ
является утверждающим. Поскольку (аь а3) принадлежит лищь
Рц, ueI''\ W, а множество отношений Рц , ц^У является минц.
мальным утверждающим множеством, то (alt a3)-^F(Pi, Рт)
Пара альтернатив (ai, а2) не принадлежит лишь одному отно-
шению Р%, а тем не менее (аь a2)i£F(Pi, Рт). Действительно
пусть (аь aJe/^Pi, Рт), тогда поскольку (а2, а3)<=Е(Р,, ..., Рт)’
a F(Pi, ..., Рт) по условию 2 транзитивно, то и (alt а3)^
eF (Pi, ..., Рт). Противоречие. Таким образом, отношение Pv яв-
ляется отрицающим для произвольной пары (аь а2) еЛ ХЛ.. Лем-
ма доказана.
Перейдем к доказательству достаточности теоремы 3.1, т. е.
покажем, что если условия 1—4 выполнены, то результирующее
отношение тривиально. Пусть результирующее отношение удов-
летворяет условиям 1—4. Тогда, как было показано выше, суще-
ствует единственное минимальное утверждающее множество от-
ношений Pv, veV. Покажем, что П Pv^F(Pl, ..., Рт). Пусть
vev
т
произвольная пара альтернатив (а,, а,)ЕПРу. Это означает, что
V=1
(щ, aJePy, velz. Поскольку Ру, veV' — утверждающее множе-
ство отношений, то (a,, ci j) (Р}, ..., Рт)- Следовательно, дейст-
вительно П PvsE(Pi, ..., Рт)-
vev
С другой стороны, Ру, veV — минимальное утверждающее
множество отношений. Это означает, что если пара альтернатив
(а,-, еД РуДля некоторого veV', то по лемме 3.1 (а,-, а,) $
&F(Pi,..., Рт). Поэтому, если (a,, aj)^F(Plt ..., Рт), то обяза-
тельно (a,-, ajeP,., vel. Откуда заключаем, что F(Pi, ..., Pm)S
EUPV. Но так как нами выше было получено соотношение U Pv S
vev v ev
^F(Pi, ..., Pm), то F(Pi, .... Pm) = П Ру. Теорема 3.1 полностью
vev
доказана.
Из теоремы 3.1 вытекают достаточно сильные следствия. Пусть
D — множество отношений заданного типа, a D п — множество по-
парных пересечений отношений. Множество допустимых результи-
рующих отношений обозначим через Е.
Следствие 3.1. Результирующие отношения F(Pi, ..., Рт), удов-
летворяющие условиям 1—4, существуют тогда и только тогда,
когда D<=E.
Пусть D^E. Положив F(P\, ..., Рт)=Р\, убедимся, что это ре
зультирующее отношение является тривиальным. Условия 1 —
для него выполняются. С другой стороны, пусть результирующее
отношение F(P\, .... Рт) удовлетворяет условиям 1—4. По теоре
ме 3.1 F(P\, .... Pm) = П Ру, Ее{1, ..., т}. В качестве Pv, v£.
vev
можно выбрать любое отношение Py^D. Тогда F(Pi, ...,Рт) — Pv
и, следовательно, Ру^Е. Откуда заключаем, что D<=E. Пусть Pv-
одно из отношений множества Рь ..., Рт, а #= D.
Следствие 3.2. Если выполняются условия 1—4, то F(Pi,..., Рт) =
= Ру тогда и только тогда, когда D^E, Dn(pl Е.
68
Действительно, поскольку условия 1—4 выполнены, то по тео-
пеме 3.1 f(Pi, .... Рт) = П Pv. Пусть | И| >2. Выбрав Pv, veV
Р vev
так, чтобы среди них было ровно два различных PVi и PVt и имен-
н0 таких, что PV1 f] Pv,$z Е, получим F{Pi, ...,Pm)$z Е. Противоре-
чие Следовательно, при выполнении условий следствия 3.2 В {Pi, ...
...,Pm)=Pv, т. е. |1/|=1.
С другой стороны, если F{Pi, ..., Pm)=Pv, подбирая соответ-
ствующим образом множества отношений Pi, ..., Рт, можно полу-
чить в качестве результирующего отношения любое отношение из
D. Следовательно, D^E. Если D^^=D, то существуют отношения
PV1 и Рчг такие, что PV1 fl PV2eDn\ D. Но не существует отноше-
ния F{P\Рт) =Pv, П Pv2- Следовательно, PV1П Р v2t£ Е. А это
означает, что
Теперь мы непосредственно подошли к доказательству основ-
ного результата одной из двух рассматриваемых концепций. До-
кажем его для случая, когда Pi, ..., Рт являются ранжирования-
ми и результирующее отношение F{Р...... Рт) также отыскивает-
ся на множестве ранжирований. Аналогичный результат может
быть получен и для других типов D и Е [53], принцип доказа-
тельства при этом остается тем же.
Теорема 3.3. Не существует результирующего ранжирования
F(Pi, .... Рт), удовлетворяющего условиям 1—5.
Доказательство. Из условий 1—4 по теореме 3.1 заключаем,
что F{Pi, ..., Рт) = 3 Pv , 1/е{1, ..., т}. В качестве результирую-
vev
щего можно выбрать лишь ранжирование. Следовательно, D^E.
С другой стороны, Dn, вообще говоря, не является ранжирова-
нием, а значит, D^<JzE. По следствию 3.2 заключаем, что | V| = 1
и F{Pi, ..., Pm)=Pv> где Pv — одно из ранжирований, принадле-
жащих набору Pi, ..., Рт. Считая формально ранжирование Pv
раз и навсегда определенным (ведь другие ситуации выбора мы
не рассматриваем), получаем противоречие с условием 5. Таким
образом, F{Pi, ..., Рт), удовлетворяющего одновременно условиям
1—5, не существует. Теорема доказана.
3.3. ВЫБОР ПО ПРИНЦИПУ ПАРЕТО
Принцип Парето признается разумным многими исследовате-
лями. Естественно, чтобы результирующее отношение F{Pi..Рт)
обладало свойством:
т т
О Р^Р(Рг.........Рт)^и Pv. (3.1)
V=1 V=1
Следуя работам [28—30, 32], укажем способ отыскания мно-
жества отношений, удовлетворяющих принципу Парето. Если не-
которое отношение R удовлетворяет соотношению (3.1) для отно-
шений Pi, ..., Рт, то обозначать это будем так: Ре [Pi, ..., Рт].
Дадим два определения выпуклых множеств отношений. Множест-
в° всех отношений, удовлетворяющих принципу Парето для
69
Pi, Рт, обозначим через П(Р], Рт). Множество отношений
{Л, .... Рт}> для которых выполнено П(Р(, Рт)={Р}, Рт},
назовем выпуклым по Парето.
Множество отношений {Pi, Рт} будем называть выпуклым,
если вместе с любой парой отношений оно содержит все отноше-
ния, лежащие между ними.
Выпуклая оболочка С(Р{, ..., Рт) множества отношений
{Pi, ..., Рт} — это наименьшее выпуклое множество, содержащее
{Pi, ..., Ли}. Оказывается, что П(Р1, ..., Рт) и выпуклая оболочка
C(Pi, .... Рт) множества отношений Р{, Рт совпадают. Дока-
жем это.
При данных рассмотрениях нас прежде всего интересуют отно-
шения предпочтения, а именно отношения частичного порядка.
Поэтому все дальнейшие рассуждения проведем для отношений
частичного порядка.
Теорема 3.4. Множество отношений частичного порядка
{Pi, ...,Рт} выпуклое по Парето тогда и только тогда, когда оно
выпуклое.
Доказательство. Пусть {Pi, ..., Рт}—исходное множество час-
тичных порядков выпуклое по Парето. Покажем, что если отно-
шение R^[Pvt РД, Pv, Рц [Pi, ..., Pm], то и Ре[Р|, ..., Р„>'.
Действительно, так как Pe[Pv, Рц], то Р vf| Рц е[Р,, ..., Р,„ .
т т т т
С другой стороны, flPv^PvS’JPv и И Р,£Рц U Д Следова-
V—1 v=l v=l V=1
т т
тельно, П Pv^Ps U Pv, а значит, Ре [Pi, ..., Рт]. Покажем теперь
V=I V—1
что множество отношений {Рь ..., Рт}, содержащее вместе с дву-
мя отношениями Pv и Рц любое отношение, лежащее между ни
ми, является выпуклым по Парето.
Пусть Ре[Р[, ..., Рт]. Для доказательства утверждения доо
таточно показать, что найдутся отношения Pv и Рце{Р|, ..., PmJ
такие, что Ре[Рг-, Рц]. Поскольку Pj П P2sP, П Pz=Pi UРг
Pi(]P2^{Pi,...,Pm}. Точно также можно показать, что Pi П Р2 П Р3е
е{Р], ..., Рт}, ..., nPv^{P[, ..., Pm}- Так как Ре[Р]; ..., Рт], тс
V=1
т т
П Pv sP. Можно построить между П Pv и Р последовательность
V=1 V“I
отношений частичного порядка, упорядоченных по включению так,
что любые два отношения последовательности различаются лиШ^
одной парой альтернатив. Предположим противное, пусть
т
R^= {Pi,...,Pm}. Тогда, поскольку П Pve{P|, ...,Pm}, найдется в по]
v=l
следовательности максимальное отношение Pve{Pi, ..., Pm}- 0T'
ношение P'v, следующее в последовательности за Pv, не принаД'
лежит {Р1; .... Рт}. Заметим, что P'v=PvU{(aj, а;)}. Так ка*
т
P'vSR, то и («г, а,)еР. А поскольку Ps U Pv, то (а,-, а,) прй:
V=1
70
надлежит некоторому отношению частичного порядка Рц,. Пока-
жем, что Р\ е [Pv, -Рц] • Действительно, Pv П Р ц = Pv ^P'v.
Сдругой стороны, поскольку (a,, flj) еРм, то P'v = PvU{(ai,aj)}sPvU
jfy,. Итак, PvE[Pv, Рц], а значит, P've{Pi, ..., Рт}- По-
лучено противоречие. Следовательно, Р е {PIt ..., Рт}- Теорема
доказана.
Воспользовавшись теоремой 3.4 для произвольных отношений
частичного порядка Рь ..., Рт, докажем требуемое утверждение.
Теорема 3.5. П(Р[, ..., Рт) = С(Р1, ..., Рт).
Доказательство. Пусть {Pi, ..., Pm} — некоторое множество от-
ношений частичного порядка. По определению выпуклой оболоч-
ки {Рь Pm}EC(Pi, Рт) и, следовательно,
П(Р,, ..., Рт)£=П[С(Рь ..., Р™)]. (3.2)
Но C(Pi, ..., Рт) — выпуклое множество отношений, а значит, по
теореме 3.4 оно является и выпуклым по Парето для отношений
Pi, ..., Рт, т. е. П[С(Рь ..., Рт)] = С(Р1; ..., Рт). Подставив в со-
отношение (3.2) С(Р[, ..., Рт) вместо П[С(РЬ ..., Рт)], получим
П(Р„ .... Рт) = С(Р1; ..., Рт). (3.3)
С другой стороны, {Pi, ..., Рт}^П(Р1, ..., Рт), поскольку
П(Р1, ..., Рт) содержит наряду с отношениями Р[, ..., Рт и все те
отношения, которые удовлетворяют принципу Парето для Рь ..., Рт.
Множество отношений П(Р[, ..., Рт) — выпуклое по Парето, следо-
вательно, по теореме 3.4 оно выпуклое. По определению выпуклой
оболочки С (Pi, ..., Рт)—это минимальное выпуклое множество,
содержащее отношения Pi, ..., Рт- Поэтому
C(Pi, ..., Рт)^П(Рь ..., Рт). (3.4)
Из соотношений (3.3) и (3.4) получаем П(Р(,..., Рт) = C(Pit..., Рт).
Теорема доказана.
Таким образом, действительно, П(Р], .... Рт) совпадает с
С(РЬ ..., Рт). Укажем далее естественный способ отыскания мно-
жества отношений С (Pi, .... Рт). А поскольку множество отноше-
ний С(Р{, ..., Рт) совпадает с множеством отношений П(Р1,..., Рт)
тем самым будет указан и способ отыскания П(Рь ..., Рт).
Пусть заданы отношения частичного порядка Pi, .... Рт- Допол-
ним их отношениями частичного порядка, лежащими между любой
Парой отношений Pv, Py.e{Pi,..., Рт). Получившееся множество от-
ношений P'i,..., Р'т t, m^rn-i, в свою очередь, дополним отношения-
ми частичного порядка, лежащими между любой парой отношений
P'Me{P'i, ..., Р'т,}. После конечного числа шагов С (Pi, ..., Рт)
будет построено.
Указанный способ отыскания множества отношений С (Pi,..., Рт)
^Ффективен лишь в случае, если число отношений, составляющих
!ЧР|, ..., Рт), сравнительно невелико. В противном случае он ста-
новится слишком трудоемким. Впрочем, в этом случае и выделе-
Ие множества отношений П(РЬ ..., Рт) становится менее инфор-
мативным. Поэтому предлагается сузить множество отношений
71
частичного порядка, среди которых выбирается результирующее
отношение [28—30, 32].
Сформулируем два легко проверяемых свойства выпуклых мно-
жеств отношений, которые окажутся полезными в дальнейшем.
Пересечение любого числа выпуклых множеств — выпукло.
Объединение же выпуклых множеств не обязательно выпукло,
поскольку может оказаться невыполненным свойство транзитив-
ности.
Введем понятие ядерного отношения и ядра. Выпуклое по Па-
рето множество отношений П(Р1, ..., Рт) может рождаться
т
отношением Pmin=nPv и максимальными элементами множества
V-1
{Л,...,Рт}, т. е. элементами P(v)max, для которых не существует
{?!,...,Рт} с P(v)ma2t с=/\. Но не всегда П(Р|,..., Р,п) порож-
дается минимальным и всеми максимальными элементами, иног-
да для этого достаточно лишь части максимальных элементов, на-
зываемых базисом множества П(Р1( ..., Рт). Пересечение всех ба-
зисных элементов Ртах назовем ядерным отношением, а множе-
ство отношений, лежащих между Рт-т и Ртах,— ядром. Таким об-
разом, отношения, образующие ядро, удовлетворяют некоторому
усиленному принципу Парето. Через P'v обозначим максималь-
ное отношение частичного порядка, для которого PX~P'V и P'v с
т
S U Pv. Докажем утверждение, которое позволит нам указать про-
v=I
цедуру построения ядра выпуклого множества П(Р], ..., Рт).
Теорема 3.6. Выпуклое по Парето множество отношений
П(Р], ..., Рт) состоит из отношений частичного порядка, лежащих
т
между Pmin И П P'v.
V — I
Доказательство. Покажем сначала, что П(Р1, ..., Рт) совпа-
дает с множеством отношений частичного порядка, удовлетворя-
ющих принципу Парето П(Р/1, ..., Р'т, Pmin). Так как Рщ:п£
^PV^P'V, то Pv^[Pmin, P'v]. Следовательно, все PV^C( Р'\,-
..., Р'т, Ртт), а значит, по теореме 3.5 PvGl1(P'i, .... Р'т,
Pmin) И П(Р1; ..., Рm) S П(Р 1, ..., Р т, Pmin)' С ДруГОЙ СТО-
РОНЫ, P'v= U Pv. Но PV<=P'V, значит, П Pv ^PV^P'V U Pv. Сле-
довательно, Р\еП(Р[, ..., Рт) и П(Р/1, ..., Р'т, Рт,„) ^П (Рь ...
.... Рт), а значит, П(Рь Рт)=-П(Р/1, ..., Р'т, Рт\п)- Очевидно,
что P'i, ..., Р'т образуют базис множества отношений П(Р'Ь ...
т
...,Р'т, Ртт), а П Р'v является ядерным отношением. Теорема до-
V=1
казана.
Отношение Pmin определяется однозначно. Чтобы определить
P'v, необходимо добавлять к Pv последовательно по одной паре
т
альтернатив из U Pv\ Pv, проверяя каждый раз полученное отно-
v=l
шение на транзитивность. Отношение P'v будет иостроено, когда
72
B U не останется ни одной пары альтернатив, добавление
V=1
т
которой не нарушит свойства транзитивности. Ртах = ЛР\. Таким
т
образом, определены Pmin и Л P'v. Согласно теореме 3.6 ядро об-
v=I
разуют отношения частичного порядка, лежащие между Pmin и
т
п P'v.
Если ядро состоит из значительного числа отношений частич-
ного порядка, для определения результирующего отношения необ-
ходимо воспользоваться дополнительным, более «сильным» свой-
ством, которому удовлетворяет достаточно малое число отноше-
ний, либо воспользоваться другим принципом выбора результиру-
ющего отношения.
3.4. МЕДИАНА КЕМЕНИ
Иной принцип выбора результирующих ранжирований содер-
жится в работах [22, 131]. С введением мер близости (см. гл. 2)
получена возможность определять расстояние между произволь-
ной парой ранжирований. Естественно предположить, что резуль-
тирующее ранжирование F(P\, Рт) должно быть расположено,
как можно ближе к ранжированиям Pi, ..., Рт. Такое ранжиро-
вание М*(Р[у ..., Рт) и называется медианой Кемени:
Ж*(Р1, ..., Pm)==argmin S d(P, Pv). (3.5)
Р V-I
Если вместо ранжирований рассматриваются отношения час-
тичного порядка или эквивалентности, то медиану Кемени будем’
определять аналогично. Выясним, удовлетворяет ли медиана Ке-
мени условиям 1—5 Эрроу (см. § 3.2). При этом выясним снача-
ла удовлетворяет ли медиана Кемени условиям 2—5, а затем ус-
ловию 1, относительно которого мнения исследователей раздели-
лись.
Медиана Кемени определена на множестве ранжирований ли-
бо частичных порядков, либо эквивалентностей в зависимости от
содержательной постановки задачи. Во всех трех случаях множе-
ства отношений, которым принадлежит указываемый экспертами
набор отношений, являются универсальными. Так как и ранжи-
рования, и отношения частичного порядка, и эквивалентности
трапзитивиы, а медиану Кемени мы отыскиваем в том же классе
отношений, то и вторая часть условия 2 оказывается выполнен-
ной — медиана Кемени обладает свойством транзитивности.
Любая пара альтернатив (а,-, а,) может как принадлежать,
так и не принадлежать медиане Кемени. Действительно, пусть мы
отыскиваем медиану для единственного множества отношений, со-
стоящего из отношений Р. Но в качестве Р можно выбрать как
73
отношение, содержащее пару (a,, aj, так и отношение, не содер,
жащее ее. Следовательно, медиана Кемени M*(Pit Рт) удов-
летворяет условию 4.
Выполнение условия 5 для медианы Кемени очевидно. Кон-
кретный вид медианы М*(Р[, Рт) заранее неизвестен. Отыска-
ние ее, вообще говоря, является достаточно сложной оптимиза-
ционной задачей, алгоритмы решения которой будут изложены
ниже.
Покажем на примере ранжирований, что для медианы Кемени
выполняется также условие 3. Действительно, изменение мнения
эксперта в пользу коллективного может привести к изменению
m
Sd( Р, Pv) не более чем на некоторую величину d. Но именно
V=1
т
на d уменьшится в этом случае Sd[Af*(P....... Рт), Pv] Для ме-
т
дианы М*(Р\, ..., Рт), па которой Sd(P, Pv ) достигает минпму-
V— I
ма. Следовательно, именно М*(Р{, ..., Рт) будет отношением, на
т
котором достигается минимум 2 d(P, Pv) для измененного пабо-
V—1
ра ранжирований Р{, .... Рт- Первая часть условия 3 для медианы
Кемени выполняется. Аналогично можно убедиться и в выполне-
нии второй его части. Таким образом, условия 2—5 для медианы
Кемени выполняются.
Условие 1 для медианы Кемени оказывается, вообще говоря,
невыполненным. Проиллюстрируем это утверждение примером.
Рассмотрим два множества ранжирований
на множестве альтернатив A={a{, а2, а3, а4}. Выберем А'={а|,о2}-
Непосредственно убеждаемся, что P'i='R'i, Р'г=Р'2, Р'з—Р'з- Дей-
ствительно, в указанных парах ранжирований альтернативы О] и
а2 упорядочены одинаково. Но медианами указанных множеств
ранжирований будут
(ад /а,
/7 1 / П
7 и Л4*(Я,, R2, Р3)- /
Ug I 1 ^3
«1 ’ \О4
74
P2, P3) = (аД^(аЛ-=М'^(Р,, R2, R3),
\aj/ \a2/
где M'*(Pi, P2, P3) и M'*(Ri, R2, R3) —медианы соответствующих
отношений, взятые на A'={ai, а2}, хотя по условию 1 они должны
быть равны.
Невыполнение условия 1 при выполнении условий 2—5 приво-
дит к нетривиальное™ медианы Кемени. Вообще говоря, М*(Р|,...
..., Pm)$z{P\, ..., Рт}. Убедимся в этом на примере. Пусть экспер-
тами указаны следующие ранжирования альтернатив щ, а2, а3,
04, 05-
Их медианой является ранжирование
С другой стороны, приводят ли к медиане Кемени условия 1—5?
Одновременное рассмотрение условий 1—5 лишено смысла в силу
их несовместимости (см. § 3.2). Если результирующее отношение
F(Pi, ..., Рт) удовлетворяет условиям 1—4, то согласно теореме 3.1
оно тривиально, т. е. F(Pi, Рт) = П Pv, Vs{l, ..., т}. Как сле-
vei'
дует из примера, медиана Кемени не является тривиальным ре-
зультирующим отношением. Выполнение условий 1, 3, 4 согласно
теореме 3.2 приводит к результирующим отношениям, удовлетво-
ряющим принципу Парето:
т т
П Pv<=F (Pv . . . , Рт) <= U Pv.
v~I v=I
Можно непосредственно убедиться, что медиана Кемени для
ранжирований удовлетворяет принципу Парето. Медиана Кемени
т
Pr/?)^UPV. Действительно, если пара альтернатив
V—I
т
(at, а>) U Pv, то (щ, a,) ^Pi,..., (а,-, а>) Рт. Но тогда и (й;, а,)ц£
V—I
т
..., Рт), так как в противном случае S d[M* (Рь...
V-1
•••> Рт), Pv] может быть уменьшена, что противоречит определе-
т
нию медианы. Точно так же можно показать, что П Pv <=М:-(Р[, ...
V=1
-> Рт).
75
Посмотрим, какие ограничения на F(P[, Рт) налагает криц,
пип Парето в рассмотренном примере. Пересечение отношений
т т
Pi,...,Pm П Pv = 0, а их объединение U содержит любую пару
v=l v=l 3
(at, a.j), где а^А. Таким образом, в нашем примере принципу
Парето удовлетворяет любое ранжирование. Но, очевидно, не лю-
бое ранжирование является медианой Кемени.
Введем три определения, характеризующие свойства коллек-
тивных предпочтений. Результирующее ранжирование будем на-
зывать нейтральным, если оно симметрично относительно перену-
мерации альтернатив. Результирующее ранжирование согласова-
но, если для любых двух множеств ранжирований V и V' таких,
что F (V) П F (V') =0, выполняется ?'(V+ V') = F( V) П Л(1//).
(V+V" обозначает совокупность ранжирований, образованную
множествами V и V"). Иными словами, функция предпочтений
согласована, если мнение экспертной комиссии совпадает с общим
мнением любых двух ее подкомиссий. Результирующее ранжиро-
вание кондорсетово, если из следует, что (..., а„ а,, ...)
QEF(V).
В работе [151] доказана следующая теорема, справедливая
при использовании меры близости Кемени.
Теорема 3.7. Медиана Кемени — единственное результирующее
строгое ранжирование, являющееся нейтральным, согласованным
и кондорсетовым.
Таким образом, медиана Кемени, с одной стороны, удовлетво-
ряет принципу выбора Кондорсе, не приводя к парадоксу Кондор-
се, с другой стороны, медиана Кемени удовлетворяет условиям
2—5 Эрроу, не удовлетворяя лишь условию 1, относительно целе-
сообразности введения которого у исследователей нет единоду-
шия. Следовательно, медиану Кемени можно считать одним из
наиболее корректных результирующих отношений. Предложение
Кемени выбирать в качестве результирующего ранжирования сред-
т
нее, т. е. ранжирование Р**, минимизирующее S сР(Р, Pv), целе-
V=1
сообразно использовать, если расстояние между ранжированиями
определяется с помощью евклидовых мер близости (см. § 3.6).
3.5. СВОЙСТВА и алгоритмы отыскания медианы кемени
ДЛЯ РАНЖИРОВАНИЙ
Как показано в § 3.4, медиана Кемени является одним из наи-
более обоснованных способов выбора результирующего ранжиро-
вания на основании ранжирований, указанных экспертами. При-
ведем алгоритмы отыскания медианы Кемени как для пеметри-
зованпых, так и для метризованных ранжирований. В данном па-
раграфе рассматриваются алгоритмы отыскания медианы Кемени
на множестве строгих ранжирований. Более общий случай будет
рассмотрен в § 5.2. Удобным способом представления информа-
ции о совокупности ранжирований альтернатив экспертами явля-
76
10тся матрицы потерь [36], которые находят существенное исполь-
зование при отыскании медианы Кемени. С помощью матриц по-
терь можно сформулировать некоторые полезные свойства сово-
купности ранжирований, указанных экспертами.
Рассмотрим эвристический и точный комбинаторный алгоритм
отыскания медианы Кемени, основанный па методе ветвей и гра-
ниц, а также укажем способ отыскания медианы Кемени для век-
торов предпочтений. Отметим, что хотя задача отыскания медиа-
ны Кемени относится к числу универсальных задач дискретной
оптимизации [21] и требует для своего решения, но всей види-
мости, оцениваемого экспоненциально числа арифметических опе-
раций, решение реальных задач отыскания медианы Кемени дос-
таточно эффективно. Это объясняется двумя причинами. Во-пер-
вых, число анализируемых экспертами альтернатив не превосхо-
дит, как правило, 20—30. Ранжирование большего числа альтер-
натив представляет для эксперта существенные трудности. Во-
вторых, относительно расположения части альтернатив в резуль-
тирующем ранжировании большинство экспертов, как правило,
единодушны, что также упрощает поиск результирующего отно-
шения.
Возможны различные формы представления информации о
ранжированиях Рь ..., Рт. Одна из наиболее распространенных —
матрицы отношений II- С помощью матриц можно
представить также информацию, характеризующую ранжирова-
ния всех экспертов. К числу таких матриц относятся хорошо из-
вестные матрицы парных сравнений, элементы которых характе-
ризуют число экспертов, считающих альтернативу а, более пред-
почтительной, чем альтернативу а,-. При введении мер близости
целесообразно рассматривать матрицы потерь Расстоя-
ние от произвольного ранжирования Р, которому соответствует
матрица ЦргЛ до всех ранжирований Р{, ..., Рт, указанных экспер-
тами, которым соответствуют матрицы отношений '|рг/1,11, ...,
т т
определяется по формуле 2 d(P,Pv) = 2 2 IpwtI—Рц\= 2 х
V—1 v= I i</ 1<{
т т
Х2 |^(v).._p..|= 2 2d;;(P, Pv),
v=l. i<j v=l
где dij(P, Pv) = Pij|. Таким образом, суммарное расстояние
от Р до Р|, ..., Рт, указанных экспертами, можно представить с по-
мощью dij(P, Pv). Заметим, что при рг-, = 1
0, если р<У) = 1,
И
dij(P, Pv)= 1, если р^ = 0,
2, если = — 1.
Определим элемент матрицы потерь г,; как
т
fij= 2 djj(P, р v)
V=1
т
при ptj=l. Чтобы получить г,,, необходимо рассмотреть 2dji(P,
77
Pv ) при ра=\. Элементы матрицы потерь определяются ранжи-
рованиями Ръ Рт и не зависят от ранжирования Р. Тогда для
т
произвольного ранжирования Р ^d(P, Pv)= Гц, где 1р~~
v=t (й ileip .
множество пар индексов (/, /) таких, что (а,-, а;)^Р, т. е.
в Р. "
Приведем пример построения матрицы потерь. Пусть экспертами указаны^
ранжирования
/? \ ( а' \ / а2~а.з \ / а3 \
& I , Рг= I Пз~а4 , Рз=[ а4 I , Р4 = а2 I-
а3/
которым соответствуют матрицы отношений
z о — 1 I — 1 \ /01 1 ь
и>и= _! _?. ш= =i •
\ 1 —11 О/ \ — 11 О О'
/О — 1 — 1 — 1\ /0 — 1 — 1 0\
II „(3)11 /1 О О 11 I, р(4)||_ I 1 0—111
II pu II ~ 11 о о 1 ’ 1| ри II -11 1 0 1-
'1—1—1 0/ '0—1—10/
т
Тогда ri4~Zd14(P, Pv), где Р — произвольное ранжирование, в котором
v=I
т
т. е. ai>a4: Г14 = 2+0+2+1 = 5. Значения Г41 = S d^(P, Р ), где Р —
V— 1
произвольное ранжирование, в котором Р41 = 1: г41==0Ч-2-{-0+ 1 =3. Остальные
значения г,,- рассчитываются аналогично. Матрица потерь ||г,-,-|| имеет следую-
щий вид:
/0 6 4 5ч
и и / 2 0 5 2 1
4 3 0 3 I’
\3 6 5 0/
В матрице потерь нумерация строк и столбцов совпадает, при-
чем строке и столбцу с определенным номером соответствует аль-
тернатива, имеющая тот же номер. Задача отыскания медианы
Кемепп для ранжирований может быть сформулирована как за-
дача отыскания такого упорядочения альтернатив, а следователь-
но, строк и столбцов матрицы потерь, чтобы сумма ее элементов,
расположенных над диагональю, была минимальна. Таким обра-
зом, вся информация о ранжированиях экспертов, необходимая
для отыскания медианы Кемени, содержится в матрице потерь.
Укажем некоторые свойства матрицы потерь. Пусть матрица
потерь построена для единственного ранжирования Р. Если в упо-
рядочении Р альтернатива а,- предпочтительней альтернативы а„
то пара индексов (i, j)^/p и Гц<гц. Поскольку ранжирование
является транзитивным отношением, пара (г, 1)^1 Р, если (1, /1
и (/, Следовательно, для элементов матрицы потерь
Ги^Гц, как ТОЛЬКО и
Матрицы потерь, обладающие данным свойством, в дальней-
шем будем называть транзитивными. Матрица потерь, построен-
ная для произвольного ранжирования — транзитивна. Матрица
78
потерь, построенная по результатам парных сравнений, вообще
говоря, транзитивной не будет — эксперты в достаточно сложных
ситуациях могут оказаться «непоследовательными». Процедура
непосредственного ранжирования налагает на эксперта дополни-
тельное условие последовательности предпочтений. Матрица по-
терь, построенная для ранжирований Рь ..., Рт (т^З), может
не обладать свойством транзитивности.
Пусть ранжирования Pi..... Рт обладают альтернативой Кон-
дорсе. Это означает, что матрица потерь содержит строку й та-
кую, что ,, /е{1, ..., /г}. Строка (и столбец) с номером й
как раз и соответствуют альтернативе Кондорсе й(1. Если экспер-
ты последовательны в своих предпочтениях и матрица потерь
транзитивиа, то после удаления альтернативы а,,, альтернативой
Кондорсе станет альтернатива щ2 и т. д. Будем говорить, что ран-
жирования Pi, ..., Рт обладают свойством Кондорсе, если любое
подмножество альтернатив а\, ..., ап обладает альтернативой Кон-
дорсе.
Теорема 3.8. Если матрица потерь ранжирований Pi, ..., Рт
транзитивиа, то ранжирования Р\, ..., Рт обладают свойством
Кондорсе.
Предположение противного приводит к существованию тройки
альтернатив а,, а,, а( таких, что гг-7<г)г-, и в то же время
гц<гц. Это противоречит транзитивности матрицы потерь.
Однако транзитивность матрицы потерь является не только
достаточным, но и необходимым условием выполнимости свойст-
ва Кондорсе для ранжирований.
Теорема 3.9. Если ранжирования Р\, ..., Рт обладают свойст-
вом Кондорсе, то их матрица потерь — транзитивиа.
Доказательство. Так как ранжирования Pi, ..., Рт обладают
свойством Кондорсе, то одна из альтернатив аг, ..., ап, пусть для
определенности это альтернатива а,,, является альтернативой Кон-
дорсе. Следовательно, в матрице потерь для ранжирований
Pi, ..., Рт й-я строка такова, что ..., и). Из мно-
жества альтернатив щ, ..., ап удалим альтернативу а(1. Как сле-
дует из свойства Кондорсе, множество альтернатив {ait ..., й;!}\
\ait также обладает альтернативой Кондорсе. Пусть это альтер-
натива й,2. В матрице потерь гг-2^Гд-г для Продолжая
процесс, можно убедиться, что элементы матрицы потерь обла-
дают следующим свойством: если v<p. Отсюда не-
посредственно следует транзитивность матрицы потерь. Теорема
Доказана.
Заметим, что если для ранжирований Ру, ..., Р— выполнено
свойство Кондорсе, то ни для какой тройки альтернатив из мно-
жества а~, ..., не имеет место парадокс Кондорсе.
Установим еще одно свойство матрицы потерь, которое ока-
жется полезным при отыскании медианы Кемени. Напомним пред-
варительно, что отыскание медианы Кемени эквивалентно отыс-
канию упорядочения строк и столбцов матрицы потерь, обладаю-
щего минимальной суммой наддиагональных элементов. Ранжи-
79
рованию Р соответствует матрица потерь, нумерация строк ч
столбцов которой соответствует нумерации альтернатив в Р.
Теорема 3.10. Ранжирование Р* является медианой Кемени
ранжирований Р,, .... Рт, обладающих транзитивной матрицей по-
терь тогда и только тогда, когда г,^.^ sCr, v+1.'iv, ге{1,п— 1}
(Для удобства изложения в данном параграфе медиану Кемецр
М*(Р\, Рт) будем обозначать через Р*.)
Необходимость. Предположим противное. Пусть в медиане Р*
нашлись две альтернативы aiv и aiv+t такие, что r,v !v-|_i >riv-t-liv
Рассмотрим ранжирование Р', у которого a,v+i^>a,v в отличи
от Р*. Тогда S(/(P*, Pv)—Xd(P', Pv) = 2 r, < — 2 г, .
v=l v=l м»..iv v j/-it..
~ 4/=r'v'v+i — nv+‘<-v>0, что про
V—I V—1 Vn-1
тиворечит определению медианы Кемени.
Достаточность. Пусть матрица потерь множества упоря-
дочений Pi, ..., Р,п транзитивна. В медиане Р* предшествовать не-
которой альтернативе п, , (быть более предпочтительными, чем
а71) могут только a,v такие, что Предположим против-
ное. Пусть в Р* альтернативе предшествует альтернатива tilv
но гг- iv <Ггх i , и пусть при этом п, v ближайшая к а, альтернати-
ва, обладающая таким свойством. Рассмотрим альтернативу aIv-i.
Если zv+I = i|, то пе выполнено необходимое условие оптимально-
сти и Р* — не медиана Кемени. Если i’v+1<ii, то r<v+i г ^г,- ;-v+i,
несли выполнено необходимое условие оптимальности, то г, v>v+i<
^гг- v+i;v.TaK как матрица потерь ||г! ;!| транзитивна, то должно
выполняться неравенство г,- г z Противоречие. Доказатель-
ство достаточности непосредственно следует из этого утверждения.
Существенная роль в алгоритмах отыскания медианы Кемени
принадлежит оценкам величины суммарного расстояния от медиа-
m
ны Кемени Р* до ранжирований всех экспертов 2(/(Р*, Pv). Ука-
V=I
т
жем сначала нижнюю границу величины 2d(P*, Pv). ПустЦ
Н(Р1, Р2, ..., РП|) = 2 ГП1П{Гг.;, Гц}.
i<!
Лемма 3.2. H(Pi, Р2, ..., Рт) является нижней границе^
2d(P, Pv).
Действительно, отыскание медианы Кемени — ранжирования
т
Р*, минимизирующего 2d(P, Pv), эквивалентно отысканию упб-
V--1
рядочения строк и столбцов матрицы потерь для ранжиро-
ваний Pi, ..., Рт, обладающего минимальной суммой наддиаго-
нальных элементов. При любом упорядочении строк и столбцов
80
матрицы потерь для любой пары индексов i, /е{1, п}, i=£j
множеству паддиагональных элементов принадлежит либо г,-;, ли-
бо гц. Значит, в минимальную сумму наддиагональпых элементов
обязательно войдет либо гг;, либо г,г- и H(Pi, Р2, ..., Рт) является
нижней границей минимальной суммы наддиагональных элементов
матрицы потерь. Следовательно, H(PIt Р2, ..., Рт) является пиж-
tn
ней границей S d(P*, Pv). Лемма доказана. Далее будет пока-
V=1
зано, что Н(Р], Р2, ..., Рт) — достижимая граница для
2 d(P*, Pv).
V=1
т
Следствие 3.3. Если S d(Pi, Pv) = H(Pi, .... Рт), то ранжиро-
V—1
ванне Р является медианой Кемени.
Действительно, Yd(P*, Pv)^H(Pi, Р2, .... Pm)=2d(P, Pv).
V=I V=I
m
Значит, 2d(P, Pv) достигает минимума на ранжировании Р, т. е.
V=1
Р но определению является медианой Кемени.
Пусть для ранжирований Plt Рт альтернативы а,- , ..., ain—
последовательность альтернатив Кондорсе (а; , .... а1п)к — т. е.
а{.— альтернатива Кондорсе па множестве альтернатив {<21, ...
..., azl}, сц2 — альтернатива Кондорсе па множестве альтернатив
{аь ..., аД\ {а;>} н т. д.
Теорема 3.11. Если ранжирования Р\, ..., Рт обладают свойст-
т
вом Кондорсе, то S d(P*, Pv)=H(Pi, ..., Рт), а медианой Кемени
V=1
является последовательность альтернатив Кондорсе (а, ,..., аг„)к.
Доказательство. Как следует нз доказательства теоремы 3.9,
если строки и столбцы матрицы потерь ||гг,|| для ранжирований
Pi, ..., Рт соответствуют упорядочению альтернатив (а; , ..., а,п)к,
то для i<j. В этом случае сумма наддиагональных элемен-
тов матрицы потерь равна Н(Рь ..., Рт). Из следствия 3.3 выте-
кает, что ранжирование (а, , ..., является медианой Кемени.
Теорема доказана.
Следствие 3.4. Если матрица потерь Ikull ранжирований Л, ...
tn
Рт транзитивиа, то Yd(P*, Pv) =H(Pi, ..., Рт). Справедли-
V— 1
вость следствия 3.4 вытекает из того, что если матрица потерь
транзитивиа, то по теореме 3.8 ранжирования, которым она соот-
ветствует, обладают свойством Кондорсе. Тогда по теореме 3.11
tn
£d(P*, Pv)=H(Pb ..., Рт).
т
Верхней границей величины Sd(P*, Pv ) будет служить любая
v= I
81
т
величина 2d(P, Pv), где Р — произвольное ранжирование. Чем
т (tn
меньше значение Sd(P, Pv), тем ближе опа K/2d(P*, А), по-
Vs I / V= 1
т т
скольку по определению медианы Кемени 2 d(P, Pv) 2 d(P*, Pv),
v=l V=I
Если ранжирования Pt, Pm обладают свойством Кондорсе, то,
очевидно, что ранжирование (а,- , а-, )к является достижимой
т
верхней границей для 2 d(P*, Pv). Если же ..., Рт не обладают
V=1
свойством Кондорсе, то для отыскания верхних границ целесооб-
разно использовать эвристические алгоритмы отыскания медианы
Кемени. Найденные ими ранжирования Р дадут верхнюю границу
т т
2 d(P, Pv) величины 2d(P*, Pv). Укажем один из возможных
V=1 v=l
эвристических алгоритмов поиска медианы Кемени.
ЭВРИСТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ
Пусть |,'Гг;(0)|| — матрица потерь множества ранжирований
Pi, .... Рт.
п п
1-я итерация. Подсчитаем s1(l>= 2 ri;, ..., sn(,,= 2 г„;. Найдем
A=i ' /=i
5,-1 = min Альтернативу at, ставим па первое место в иско-
мом ранжировании. Полагаем Sw=Sit. Вычеркивая в jjr-i/0)[l стро-
ку и столбец с номером ц получаем матрицу ||г,-,-(1)||, множество
индексов строк и столбцов которой соответственно /<1) = /(|) =
= {I, ...,
k-я итерация. В матрице потерь подсчитаем s,'h> =
= 2 ri;, i^I. Найдем s,* = min Альтернативу ставим
—Ч
па k-e место в искомом упорядочении. Полагаем 5(A)=S(A’J)+Sift.
Вычеркивая в l|rij(fc"l)ll строку и столбец с номером ik получаем
матрицу 1|тг-;<й)|(, множество индексов строк и столбцов которой
= п}\{ц, ...,ih}.
Алгоритм завершается после n-й итерации (/<п> = /(7г) = 0). Ис-
комое упорядочение
fai, \ т
Р1 = I : ,2 d(Pj,Pv) = S^.
I I v~I
\а‘п /
Целесообразно использовать следующий простой алгоритм пе-
рехода от ранжирования Pi к ранжированию Рп, для которого
выполнено необходимое условие оптимальности.
Последовательно проверяем справедливость соотношений
riki *J-I ^rik-’~li k’ k = n—1, n—2, .... 1.Как только для некоторого k
оно нарушено, альтернативы и a!fc+1 в ранжировании меняем
82
местами, а соотношение riki fc+1 ^.rfk+xl k проверяем, начиная с
альтернативы непосредственно предшествующей альтернативе, под-
вергшейся перестановке. После конечного числа шагов будет по-
лучено Рц, для которого необходимое условие оптимальности вы-
полнено. Поэтому, если множество ранжирований Рц ..., Рт обла-
дает свойством Кондорсе, и, следовательно, транзитивно, то сог-
ласно теореме 3.10 Рц является медианой Кемени для ранжиро-
ваний Рц ..., Рт.
Покажем, как работает эвристический алгоритм в случае, если экспертами
указаны ранжирования, приведенные в примере, помещенном в начале пара-
графа. Сначала найдем ранжирование Pi.
4
1-я итерация. Подсчитаем St(1) = Sr,,- для te{l, 2, 3, 4}: S|(,) = 15, S2(,) = 9,
/=1
s3"> = 10, $4<'>=14. Минимум достигается иа S2(1). На первое место в ранжи-
ровании Pi помещается альтернатива <х2 и из дальнейших рассмотрении исклю-
чается.
2-я итерация. Подсчитаем s,(2) = S Гц для te{l, 3, 4}: St(2) = 9, s3(2) = 7,
№
s4i2> = 8. Минимум достигается на s3((2>. На второе место в ранжировании Pi
помещается альтернатива а3 и из дальнейших рассмотрений исключается.
3-я итерация. Подсчитаем s;<3> = 2 Гц для ;е{1, 4}: s1<3> = 5, S4(3) = 3.
/${2,3}
Минимум достигается па S4(3>. На третье место в ранжировании Pi помещается
альтернатива а4 и из дальнейших рассмотрений исключается.
Таким образом, ранжирование Pi имеет вид
Найдем теперь ранжирование Рц. Сравниваем r4i и г14, поскольку альтер-
нативы а4 и стоят соответственно на предпоследнем и последнем местах в
ранжировании Pi. Так как Г41<г14, переходим к сравнению r3i и г43. Так как
/'з4<Г43, переходим к сравнению г23 и г32. г23>г32, поэтому альтернативы а2 и а3
меняем местами. Поскольку г24<г42, найденное ранжирование
/О3\
I “2
I /
W
и является ранжированием Рц, для которого соотношения
*е{1,..., п—1} выполнены.
Перейдем теперь к точному решению задачи о медиане Кеме-
ни. Рассмотрим комбинаторный алгоритм [36], основанный па ме-
тоде ветвей и границ [101] с односторонней схемой ветвления.
При построении алгоритма мы должны максимально учесть спе-
цифику задачи. Для этой цели в матрице потерь ранжиро-
ваний Рц ..., Рт подсчитаем st, /е{1, ..., п}, равное числу столб-
цов матрицы потерь (числу альтернатив), для которых Гц>гц, и
te{l, ..., п}, равное числу столбцов, для которых гг-Если
в Матрице потерь нашлась строка с s,-, =0, это означает, что а,,—
альтернатива Кондорсе и в медиане Кемени она должна занимать
Первое место. Если после отбрасывания альтернативы Кондор-
83
ce ait, что соответствует отбрасыванию в матрице/Потерь строки
и столбца с номером и, обнаружится новая строка7 с s, , = 0, то ц
место альтернативы Oi г в медиане Кемени определено: а,2 рас-
положена непосредственно за afl. Аналогично можно выделить и
другие лучшие альтернативы, расположение^ которых в медиане
Кемени становится известным. С помощью s, могут быть выделе-
ны наименее предпочтительные альтернативы. Так, например, наи-
менее предпочтительная альтернатива, обладающая £г = 0, в ме-
диане Кемени должна занимать последнее место и т. д.
В предлагаемом алгоритме предполагается последователь-
ное фиксирование расположения части альтернатив, определение
верхней и нижней границ значений целевой функции на умень-
шенном таким образом множестве ранжирований и отбрасывание
заведомо бесперспективных при поиске медианы Кемени вариан-
тов. Способы определения верхних и нижних границ значений це-
т
левой функции [значений Sd(P, Pv)] приведены выше. При их
v= 1
определении мы должны учитывать, что расположение части аль-
тернатив в рассматриваемом множестве ранжирований фиксиро-
вано. Фиксирование расположения в ранжированиях части аль-
тернатив приводит, вообще говоря, к появлению новых наиболее
и наименее предпочтительных альтернатив, что в свою очередь
облегчает поиск медианы Кемени. Эти свойства учтены при по-
строении алгоритма.
Для удобства изложения альтернативы at, ап пронумеруем
заново. Альтернатива а, получит номер меньший, чем альтерна-
тива а;, если St<Sj или s, = s;, по i<j.
КОМБИНАТОРНЫЙ АЛГОРИТМ
Пусть ||г,;|| — матрица потерь ранжирований Pit .... РП1, для
которой подсчитаны s, и ie{1, ..., п}. Если имеются альтерна-
тивы с si = 0 или s, = 0, отделяем наиболее и наименее предпочти-
тельные альтернативы, т. е. альтернативы, для которых хг=0
(s, = 0), или sj = 0 (s? = 0) после отбрасывания наиболее и наи-
менее предпочтительных альтернатив, найденных ранее. Распо-
ложение этих альтернатив в медиане Кемени, как было показано
выше, установлено, поэтому из дальнейших рассмотрений они ис-
ключаются.
0-я итерация. Для матрицы потерь ||гД0)|| вычисляем верхнюю
границу В(0) и нижнюю границу Н(0). Ранжирование Р(0), на кото-
ром достигается В(0), запоминаем. Пусть п — число оставшихся
альтернатив. Пронумеруем альтернативы в порядке убывания иХ
предпочтений в Р(0). Если В(0) = Н(0>, то медиана Кемени найдена:
Р* = Р(О); если В<0)>Н<°>, то полагаем B<°)min = В<°), Pmmin = P{°’’
Формируем множества индексов: 7'ф={1}, где 1—номер пеР'
вой альтернативы, которую на данной ветви считаем предпочти-
тельней остальных альтернатив: ..., п} \ {1}; 7(1) — мноЖе'
84
сТво индексов альтернатив, для которых s, = 0 или Sj = O после от-
брасывания наиболее предпочтительных альтернатив в матрице
потерь ||rf/°)||. . {'(1) ; fi1')— множество индексов альтернатив, для
которых s, = 0 или Sj = O после отбрасывания наименее предпочти-
тельных альтернатив в матрице потерь ||го-(°>||; цо ; /ф(1) =
е/'фиЯи/О — множество индексов альтернатив, расположение
которых на рассматриваемой ветви установлено на данной итера-
ции; /(1)={1, .... — множество индексов альтернатив, рас-
положение которых на рассматриваемой ветви пе установлено.
Формируем матрицу ||г1-.;<1)|| = lln.i<0)''<
Переходим к 1-й итерации.
k-я итерация (/г^1).
Этап 1. Для матрицы потерь ||г</й>|| вычисляем верхнюю гра-
ницу и нижнюю границу Пусть P(/i) — ранжирование, на
котором достигается B(/i).
Полагаем B(A)rnii1 = min{B('i-nmin, B<ft)}, а
еспи R(*)
p(k) _ min ’ min итш ’
если
Если
a) H('i’^B,/',rn;n, то переходим к этапу 3,
б) если H(fc)<B('!)min, то переходим к этапу 2. (Если /й = 0, то
Н'/!>2эгB(ft)min и имеет место случай а).)
Этап 2. Формируем множества индексов:
/<l/(/i+I)= {ii}, где Ц — помер первой альтернативы в множест-
ве Ih, которую мы фиксируем па данной ветви и считаем на дан-
ном подмножестве ранжирований более предпочтительной, чем
альтернативы с индексами Д\{й};
/(fc+n — множество индексов альтернатив, для которых 5; = 0
или Si = 0 после отбрасывания наиболее предпочтительных альтер-
тернатив в матрице потерь ||гД'’)|| .
_ I» _
/<*_+’>— множество индексов альтернатив, для которых хг = 0
или s; = 0 после отбрасывания наименее предпочтительных аль-
тернатив в матрице потерь
7ф(Ы-|) = 7ф'(&+1) и U — множество индексов альтернатив,
Расположение которых на рассматриваемой ветви установлено на
Данной итерации;
= -\7ф(А+1) — множество индексов альтернатив, распо-
ложение которых на рассматриваемой ветви на данной итерации
Не установлено.
Формируем матрицу потерь !|г,-/'!+1)!| ~ . (s-|.i). Перехо-
дим к ^+1-й итерации.
Этап 3 отличается от этапа 2 прежде всего способом формиро-
вания множества /ф'^+Д В множестве индексов 1ф(к) выбираем
. 85
индекс ih, соответствующий номеру альтернативы, зафиксирован-
ной последней.
Если ik<n, то вместо и,к фиксируем альтернативу atk+l, обла-
дающую ближайшим большим, чем a!fc, номером н расположение
которой еще не установлено, помещая ее в ранжировании на то
место, которое занимала альтернатива aift. Список альтернатив
наименее и наиболее предпочтительных па рассматриваемой вет-
ви (с s, = 0 и s, = 0) может при этом измениться и должен быть
уточнен.
Если 1ь=п, то вместо предпоследней зафиксированной альтер-
нативы (последнюю фиксированную альтернативу отбрасываем)
берем следующую за ней по номеру, расположение которой еще
не установлено и фиксируем, помещая па то же место в ранжиро-
вании. Списки альтернатив наименее и наиболее предпочтительных
на рассматриваемой ветви должны быть уточнены. Под будем
понимать здесь уточнение соответствующего множества индексов,
полученного па предыдущей итерации. Далее jraK же, как и на
этапе 2, формируем множества 7(h+,), /<ft+,),
Формируем матрицу потерь ||Гг/',+,,:1 = II Grill i, Переходим к
k+ 1-й итерации.
Если первой из зафиксированных альтернатив оказалась аль-
тернатива ап, это означает, что все варианты просмотрены, алго-
ритм закончен, а ранжирование АпиД4’1’ является медианой Ке-
мени.
Заметим, что изложенный комбинаторный алгоритм отыскания
медианы Кемени позволяет найти лишь одну из них. А поскольку
медиана Кемени может быть неединственна, для отыскания всех
медиан Кемени комбинаторный алгоритм должен быть модифици-
рован так, чтобы запоминались все ранжирования, па которых до-
стигается текущее значение
Если экспертом указано единственное отношение предпочтения,
возможно содержащее ошибки, то матрица отношений в этом слу-
чае может рассматриваться как матрица потерь. Воспользовав-
шись алгоритмом отыскания медианы Кемени применительно к
этой матрице можно указать ранжирование, ближайшее к отноше-
нию предпочтения, указанному экспертом.
Проиллюстрируем работу алгоритма на примере. Пусть эксперты указали
следующие ранжирования:
86
Матрица потерь для ранжирований Рь ..., Р5 имеет вид
st st s!1’ s'*-2)
(0366 54 210 —
7 0 8 6 б\ 4 0 — —
4 2 0 6 3 113 2 Г
44406113 2 1
54740/121 1
Справа от матрицы потерь указаны значения .5т и si, is{1,..., 5}. Так как для
j=2 s2=0, то альтернатива а2 в медиане Кемени должна быть расположена
на последнем месте. Из дальнейших рассмотрений а2 исключаем п пересчиты-
ваем значения s,, обозначая их через Si<”. Теперь для 1=1 siCI>=0, поэтому
установлено и положение альтернативы а, в медиане Кемени: она должна быть
расположена па предпоследнем месте. Альтернативу at исключаем из_дальпей-
ших рассмотрений и пересчитываем значения s,-, обозначая их через Si(2). Сре-
ди st и S;(2), 1=3, 4, 5, нет равных 0. Поэтому при поиске медианы Кемени
должно быть установлено расположение альтернатив а3, а4, а5. Соответствую-
щая матрица потерь имеет вид
/0 6 3\
/£{3,4, 0 6j.
0-я итерация. Для матрицы потерь ||г,д<0>||;, ,-£{ з, 4,51 Н(°>= 11, В<0> = 13, а
значение В'°> достигается па ранжировании
p<o)=(2Y
\а4/
Перенумеруем альтернативы а3, а5, и далее их бу дем, обозначать соответствен-
но через at, а2, а3. Теперь Р^— ( а2 I , а матрица потерь
\а3/
Сравниваем В,о> и П<°>. В°>Н(0> (см. случай в), поэтому полагаем B<°)min= 13,
P;G'min = 7>(0). Формируем множества индексов: 7ф'(1'={1}; //(,) = {2, 3}. Мат-
рица ii s/1’, i = 2, 3 таковы
г, 1£1
S; S*-0
г(0)|| _ (0 4\ 0
ГИ Hi, /е{2.3} - ^6 0) 1 0
Следовательно, 7(Ч = {2, 3}, /(1> = 0, 7ф11> = {1, 2, 3}, /<‘> = 0.
1-я итерация. Этап 1. Н(1> = В(1> = ]3. Верхняя граница В(1> достигается на
Д2), '8<1)min=13, 7>(1)min = 7>(0). Поскольку Н,1>=В(1)Ю1П
ая '
(случай а) переходим к этапу 3.
Этап 3. Формируем множества индексов: /ф'(2) = {2}, 7'<2) = {1, 3}. Опреде-
лим ||Г") ||. g
i, iei
Si s^
II ri’'> Ik /eH. 3} -(4 о) 0 — .
Следовательно, 7<2> = {3, 1},7<2) = 0, 7ф<2> = {1, 2, 3}, 7<2> = 0.
87
2-я итерация. Этап 1. Н,2> = В(2'< = 15 достигается на ранжировании
/ аг \
Р(2)= pg , B<2>min = 13, Р<2>тщ = Р(°).
\ai/
Поскольку 7/<2>>B(2>min (случай а), то переходим к этапу 3.
Этап 3. Формируем множества индексов: /4/,3> = {3}, 7'<3> = {1, 2}. Опреде-
ляем l|r<2)ij|lz /е/'(3), Si(,):
st sj0
Il r(2> Il (° 3\ 0 — '
II r4 l|>. Zed, 2} (7 0/ 1 0 .
Следовательно, 7<3> = {1, 2}, 7<3) = 0; 7Ф<3> = {1, 2, 3}, 7<3) = 0.
3-я итерация. Этап 1. H<3> = B<3>=13 достигается на ранжировании
/ аз \
Р(3) = pi ,
\а2/
B<3>min = 13, P(3>min = 7><“>. Поскольку Н3’ = В'3>mjп (случай а), то переходим
к этапу 3.
Так как первой из зафиксированных альтернатив оказалась ап (л = 3). то
алгоритм завершен. Медианой Кемени ранжирований Pi, ..., Р5 является
(Щ\
а3 I
щ I.
Щ 7
aj
Рассмотрим, наконец, задачу отыскания медианы Кемени на
множестве векторов предпочтений (см. § 1.2 и § 2.4).
Пусть л<’), ..., л<’«) — векторы предпочтений, указанные экспер-
тами, а Р — произвольное ранжирование. Поставим ему в соответ-
ствие n-мерный вектор л=(ль ..., лп), i-я компонента которого
равна числу альтернатив более предпочтительных, чем at. Медиа-
ной Кемени в этом случае будет ранжирование л* такое, что
S d (n*,n(V)) — min 2 d(n, л<¥)), (3.6)
v—1 Л V=1
минимум берется по всем векторам предпочтений, соответствую-
щим ранжированиям. Из соотношения (3.6) следует, что
т т п
S d(n, л(у)) = S 5 | л,—n/v>|.
V = 1 V— I 1 = 1
Пусть в ранжировании P альтернатива а,- расположена на /-М
т
месте. Введем г.ц= 2 |лг—л,('>|. Рассматривая ранжирования, в
V=1
которых произвольная альтернатива a,-, ie{l, ..., п} расположена
последовательно от 1 до п места, получим матрицу потерь ||гц'1|>
аналогичную матрице потерь для ранжирований. В данном слУ"
чае г,-; характеризует «несогласие» экспертов с назначением аль-
тернативы а, на /-е место в результирующем ранжировании. Вве-
дем переменную
_(1, если альтернатива а,- назначена на /-е место,
Xii = \n
(О — в противном случае.
88
ректор Х=(хн, х12, хгп) тогда и только тогда соответствует
некоторому ранжированию, когда
п
S Хц= 1, /&{1, и},
/=1
s Xij= 1, /€={1, п}.
i=i
п п
Медианой Кемени будет ранжирование, на котором 2 2 г^хц
1=1 /=1
достигает минимума.
Таким образом, задача отыскания медианы Кемени может быть
сформулирована в виде следующей оптимизационной задачи:
S 2 г;;хг-;->ггпп (3.7)
1=1 ;=1
при ограничениях
2 Xij=\, /е{1, ..., п}, (3.8)
/=1
2 хц= 1, /<= {1, ..., п}, (3.9)
' i=i
= 6 {1. • • •>«}> (3.10)
известной под названием задачи о выборе или задачи о назначе-
ниях [12].
Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 3.12. Задача отыскания медианы Кемени на множест-
ве векторов предпочтений эквивалентна задаче о выборе (3.7)—
(3.10).
Задача о выборе относится к числу эффективно решаемых за-
дач линейного программирования. Таким образом, медиана Кеме-
ни — при использовании меры близости между векторами пред-
почтений отыскивается достаточно эффективно.
При т=1 получим задачу отыскания ранжирования наиболее
близкого к вектору предпочтений, указанному экспертом. Для ее
решения также необходимо решение задачи о выборе (3.7) —
(3.10), при этом элементы матрицы потерь Гц определяются но
единственному вектору предпочтений, указанному экспертом.
3.6. РЕЗУЛЬТИРУЮЩИЕ МЕТРИЗОВАННЫЕ РАНЖИРОВАНИЯ
Прежде чем перейти к алгоритму отыскания медианы Кемени
Для метризованных ранжирований, укажем способ ее отыскания
в более простом случае. Это даст возможность представить инфор-
мацию о метризованных ранжированиях Р\, ..., Рт в виде матри-
89
цы потерь, которая будет непосредственно использована при оты-
скании медианы Кемени в общем случае.
Пусть У3!, Рт — метризованные ранжирования1, указанные
экспертами, а Р — произвольное метризованное ранжирование.
т
Суммарное расстояние 2 d(P, Pv) от Р до Pi, ..., Рт может быть
v—1
т
(см. § 3.5) представлено в следующем виде: 2d(P, PVJ =
— 2 2 = 2 2 —Dy{/V)| = 2 Zdij(P, Pv), где
v=l ;</ i<] v=l i<! v=l
Элементы ..., WipV матриц отношений Pi, ..., Pm характе-
ризуют степень предпочтения альтернативы a.t относительно а,,
указанную каждым из т экспертов. Пусть для определенности
. . . ^Wij(m>.
Определим w'ij=Wij(s), где s=[m/2] + l, если т — нечетно, п
если т — четно. Метризованное отношение с
матрицей отношений обозначим через Р'. Укажем формулы
т
для расчета 2 (Р, Pv) •
V=1
Рассмотрим сначала случай, когда т — нечетно. Если
^Wij^Wij(s+V> ИЛИ
2 di}(P,Pv)= 2 I +1 wi}—I. (3.11)
V=1 V=1 1 7
Если < Wu , k £ {1, . . . ,tn-S-1} ИЛИ w 1 <
4*4 ' *4
to 2 dij(P,P4) — 2 — u)l)+v) | +
J V=1 V=1
k
+ |ауг—|4-2 2 |ayiy—ay<)+v>|. (3.12)
V=1 1
Если Wij>wWHjm Wij<w Ip,то в (3.12) k = m.
Рассмотрим теперь случай, когда т — четно. Если w£+k> <
< Wlj < »/s+ft+1)
ИЛИ 2> siсС' fc—1) , TO
I/ I/
2 diJ(P,Pv)= 2 | w{s.~^ — ^(s.+v-D । 2 2 | Wij—u/.s.+v>|. (3.13)
V=1 №l 4 11 v=l 11
Если w{j>Wij^ или то в (3.13) k — m. Таким образом,
справедлива следующая лемма.
1 В данном параграфе рассматриваются строгие ранжирования, не содер'
жащие равноценных альтернатив, т. е. |оь4^е>0.
90
Лемма 3.3. Для произвольного метризованного ранжирования
т
р 2 dij(P, Pv) рассчитывается по формулам (3.11) — (3.13).
V=1
Следствие 3.5. Если метризованное отношение Р' является
ранжированием, то Р' — медиана Кемени метризованных ранжи-
рований Рь ..., Рт.
Пусть задано некоторое неметрпзованное ранжирование аль-
тернатив «1, ап. Рассмотрим множество метризованных ранжи-
рований {Р=<Р, IT’(p)^}, различающихся значениями W(P). Вы-
делим в_ указанном- множестве метризованное ранжирование
р(р)=<Р, ^(Р)> с ^(Р) = {йуъ}, где
е, если (а;, aJeP и <е,
Wij= —е, если (пг-, a;)ef и wff >—е, (3.14)
—в противном случае.
Лемма 3.4. 2d(P(P), Pv) =min X d(P, Рч).
V=1 V=1
m
Из соотношений (3.11) — (3.13) следует, что 2 dij(P, Pv)
V=1
Js 2 dij(P(P), Pv). Тогда ^d(p, Pv) = 2 2 dtj(P, Pv)^
V =1 V=1 j<{ V=1
^2 'Zdtj(P(p), Pv)= 2 d(P(P), Pv). А поскольку P(p)e{P},
i<i v=l v=l
in m
to 2d(P(P), Pv) =min 2 d(P, Pv). Лемма доказана.
v= 1 _y = 1
Таким образом, P(P) является медианой Кемени метризован-
ных ранжирований Рь ..., Рт, принадлежащих множеству {Р}.
Введем_ в рассмотрение матрицу потерь ||гг-,-||. Пусть Р(Р) =
~<Р, W(P)> таково, что (щ-, tij)eP, a Wij определяется согласно
соотношению (3.14). Тогда элемент матрицы потерь г,,=
= 2 |аус— йУг/'-)|.
V—1
Каждое неметризовапное ранжирование Р определяет
S rfj, где Ip={(i, П;)еР}. Через Р* обозначим неметри-
Ре/р
зованпое ранжирование с 2 ri; = min 2 Гц.
Ч' f)eip* (Р Deip
Теорема 3.13. Р(Р*) является медианой Кемени метризован-
ных ранжирований Рь ..., Рт.
Доказательство. Для каждого неметризованного ранжирова-
ния Р можно указать соответствующее ему метризованное ранжи-
рование р=(р, w(P)y. По лемме 3.4 на Р достигается минимум
^d(P, Pv) среди всех Р=<Р, 1Е(Р)> с Р=Р. Следовательно, ме-
дИана Кемени Р* метризованных ранжирований Pi... Рт принад-
лежит множеству метризованных ранжирований {₽}.
91
С другой стороны, с помощью элементов матрицы потерь мо-
жет быть представлено суммарное расстояние от произвольного
Р=<Р, iF(P)> до Pi... Рт, оно равно 2 г^-. А поскольку Р* как
(<'./) eip
раз и является неметризованным ранжированием, на котором
2 r;j достигает минимума, то соответствующее ему метризован-
o’./ )eip
ное ранжирование Р и будет медианой Кемени. Теорема доказана.
Таким образом, задача отыскания медианы Кемени свелась к
задаче отыскания по матрице потерь ||г^|| неметризованного ран-
жирования Р*, минимизирующего 2 г^. Алгоритмы отыскания
('/) е/ р
медианы Кемени для метризованных ранжирований Pi, ..., р,п
аналогичны алгоритмам отыскания медианы Кемени для пеметрн-
зованных ранжирований Pi, ..., Рт, приведенным в предыдущем
параграфе. И те, и другие используют информацию, представлен-
ную в виде матрицы потерь.
В заключение укажем способ отыскания результирующего ад-
дитивного метризованного ранжирования, в котором используется
евклидова мера близости, а в качестве результирующего ранжи-
рования — среднее.
Пусть Pi, ..., Рт — аддитивные метризованные ранжирования
альтернатив di, ..., ап. Напомним, что метризованное ранжирова-
ние Р=(Р, W(Р)> называется аддитивным (см. § 1.1), если, как
только (at, а:;)^Р и (dj, di)^P, выполняется wu—Wij + Wji. (Если
wu=w.ij-w}i, то метризованное ранжирование называется мульти-
пликативным (см. § 1.1).) В качестве меры близости в этом слу-
чае будем рассматривать евклидову, введенную аксиоматически в
§ 2.6, а в качестве результирующего ранжирования Р** — среднее,
т. е. отношение, для которого
2 d2 (Р**, Pv) = min 2 d2(P,Py).
V=1 ‘ V=1
Пусть — матрица аддитивного метризованного ранжиро-
п
вания, a Wt = 2 w^n. Матрица ||a.'tJ| обладает следующим свой-
/=1
ством [7].
Лемма 3.5. Для любой пары индексов Wij=Wi—Wj.
Доказательство. Для произвольной пары индексов
п п п
Wt— W,= 2 Wiiln— 2 Wjiln= 2 (Wil—Wji)ln.
' 1=1 1=1 z=i
Для произвольных альтернатив d.t, dj, dt возможны следующие
упорядочения: 1. dt^d^dr, 2. dj>di^di\ 3. di^di^df, 4. dj/'
^>di^>dt; 5. d^di^dj; 6. di^dj^di. Во всех указанных случаях
w{.j=wn—w-ji. Убедимся в этом, например, для случая 2. Из адД11'
тивности метризованного ранжирования следует, что Wji + Wu^
=Wji. Откуда Wji=Wji—wu. Но Wji=—Wij. СледовательН0,
—Wij=Wji—Wu, а значит, Wu—Wji=w,ij. Для остальных случаев
92
доказательство аналогично. Используя соотношение wu—Wji —
п п
^Wij, получаем X (шц—Wu)ln= X №ц1п=и)ц. Лемма доказана.
/=1 i=i
В силу антисимметричности матрицы отношений ||ш>;;|| X W\- = 0.
Пусть ||ze’.ij(2)ll, • ••, являются матрицами аддитивных
метризованных ранжирований Pi, ..., Рт. Положим IF,** =
т п
= X X WijW/(тп). При расчетах иногда удобней пользоваться
v=l /=1
т
формулой Wi**= X IVzi(v)/m. Справедлива следующая теорема [7],
У=1
Теорема 3.14. Элементы матрицы отношений ||щ>;/*|| аддитив-
ного метризованного ранжирования Р**, являющегося средним
аддитивных метризованных ранжирований Pi, ..., Рт, определяют-
ся по формуле Wij**= IF,**—W_**.
Доказательство. Среднее Р** минимизирует S=Xd2(P, Pv) =
V=1
т п п
= Х X X (Wjj—Wij^">)2. По лемме 3.5 Wi}=Wi—IF,-, следова-
v=l i=l /=1
тельно,
X d2(P,Pv)= 2 2 2 (Г— Wj — = X X X №2Z +
V=1 v=l i — 1 /=1 V— 1 1=1 /=1
tn n n tn n n tn n n tn n n
+ 222 W2 + XXX w<7>2—2 XXX WiWj—2 X X X x
v=l 1=1 /=1 v=l i=l /=1 v=l i=l /=1 v=l i—1 /=1
tn n n n m n n
n n m
— 4п X Wt X X nW.
i=i lj=\v=i
Действительно,
tn n n m n n
X X X Wt Wj = X X Wi X WJt
v=l i=l /=1 v=l 1=1 /=1
Во X W: = 0 , а значит, X X X Wt W} = 0,
/=1 V—1 i=l /=1
m n n tn n n n tn n n
2 X X W2i= X 2 X W2, = mn X W2t, XXX Wj =
v=l 1=1 /—i v—1 i—1 /—1 i—1 v=l i=l /=1
tn n n n n tn
= — X 2 2 W, = 2 Wi 2 2 w^. ’
V=1 i=I /=1 4 i=l /=1V=1 1
93
Найдем необходимые условия оптимальности Wi, ie {1, п}
для произвольных W,, не обязательно удовлетворяющих соотио-
шению 2 U7. = 0,
1=1
— = 4 тп Wt — 4 V V wW = 0.
dWt Li Li °
/=1 V=1
Откуда IFj**= 2 2
/=1 v=l 1
С другой стороны, 2 W**t= 2 2 2 wW/mn = — 2 2 2 wW.
i=l (=1 /=1 V=1 11 rnn. v=l i—l i=l
n n
Но в силу антисимметричности матрицы 2 2
i=i /=i
а значит, 2 Ц7г** = 0. Следовательно, IFj** = 2 2 тцм1(тп) on-
i =1 /=1 v=l
tn
ределяют искомый минимум 2 d2(P, Pv)-Таким образом, аддитив-
V=1
ное метризованное отношение Р** с матрицей отношений 11^;/* =
= 117,**—является средним аддитивных метризованных ран-
жирований Рь ..., Рт- Теорема доказана.
Аналогичный результат справедлив и для произвольных (не
обязательно аддитивных) метризованных ранжирований.
Теорема 3.15. Элементы матрицы отношений ||о>г-/*|| аддитив-
ного метризованного ранжирования Р**, являющегося средним
метризованных ранжирований Рь ..., Рт, определяются по форму-
ле UV*.
Следствие 3.6. Элементы матрицы аддитивного метризованно-
го ранжирования Р**, наиболее близкого к произвольному метри-
зованному ранжированию Ро, определяются по формуле
= Ц7,***—W ***, где U7i***= 2 Wijm/n, ie{l,..., п}. Если Р\,...,Рт
являются мультипликативными метризованными ранжированиями,
аналогичный результат справедлив для матриц Illg к',.;(1)||, -
..., ||/gw;ym)||.
Приведем пример отыскания результирующего аддитивного метризованного
ранжирования.
Пусть эксперты указали метризованные ранжирования Р\, Р?, Р3, Pi, кото-
рым соответствуют матрицы отношений:
/ 0 2 4 9\ ( 0 — 3 3 Зх
I—2 0 3 61 3 0 5 2
M(Pt)- _4 _3 об/’ 44(Р2)- _3 __5 0 _2|’
4 — 9—6—6 0/ \ — 3 — 2 2 0/
/02— 5 — 1\ г ° 7 0 3\
~2 0 —7 —3 I —7 0 —7 —51
М(А0- 57 о 4j>A,(/34)-| 0 7 0 4 Г
\ 13—4 0/ \ —35—4 0/
94
1 7 5
вычислим В71”=1—, Н72” = ——, Ц73*’=1, 1^4’*=—1— . Тогда матрица ре-
v 2 о о
зультирующсго аддитивного метризованного ранжирования Р** имеет вид
Глава 4
МНОГОМЕРНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
4.1. ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА МНОЖЕСТВАХ МНОГОМЕРНЫХ АЛЬТЕРНАТИВ
Когда альтернативы оцениваются не по одному, а по несколь-
ким факторам, признакам, частным критериям, сложность анали-
за и обработки результатов экспертиз существенно возрастает.
Более трудоемким становится определение их сравнительной пред-
почтительности. Для этого необходимо знать, какие факторы и в
какой степени влияют на оценку альтернатив. Для выявления та-
ких факторов предназначены методы многомерного метрического
и неметрического шкалирования, как при сравнительных оценках
альтернатив, имеющих явно выраженный количественный харак-
тер, так и при качественных оценках (см. § 4.2).
После выявления частных критериев, определяющих оценки
альтернатив, часто возникает задача формирования обобщенного
критерия, с помощью которого можно рассчитать оценки альтер-
натив по оценкам значений частных критериев. Мы приведем при-
меры методов формирования линейных обобщенных критериев и
обобщенных критериев более сложного вида. В их основе лежат
различные предположения о природе обобщенных критериев и
характере анализируемой информации.
Если формирование обобщенных критериев оценки альтернатив
затруднительно, а необходимость выявления наилучшей или неко-
торого числа наилучших альтернатив существует, то можно вос-
пользоваться некоторыми специальными процедурами. Примеры
таких процедур будут приведены в § 4.4.
Особую роль проблемы сравнительной оценки многомерных
альтернатив играют в теории принятия решений.
Пусть экспертами рассматриваются альтернативы at, ..., ап,
сРавнительная предпочтительность которых характеризуется
S(S>'1) частными критериями Ki, , Ks- s-мерная оценка каждой
альтернативы ait fe{l, ..., п} может быть представлена вектором
95
Xi=(xn, , х1я). Альтернатива а, не менее предпочтительна, qeNl
альтернатива a2 (щ^а2), если Xi^X2, т. е. xiv >xv2, ve {1,..., s}>).
Альтернатива ai более предпочтительна, чем a2 (ai)*a2), если
Т. е. Xiv^X2V> п хотя бы для одного V Xiv>-X2v.
Альтернатива а; иедоминируема, если не существует альтерна-
тивы a.<^{alt .... ап} такой, что a^ctt. Естественно, что наиболее
предпочтительная среди альтернатив at, ..., ап относится к числу
недоминируемых. Недоминируемые альтернативы образуют так
называемое множество Парето. При выборе наиболее предпочти-
тельных альтернатив, как правило, недостаточно ограничиться
указанием множества Парето, которому может принадлежать
слишком много альтернатив. Например, пусть частные критерии
Ль ..., К, принимают лишь два значения: 1, если альтернатива
обладает соответствующим свойством, и 0 — в противном случае.
Тогда число альтернатив, половина оценок которых по частным
критериям равна 1, может достигать Css/2 при s четном. Уже при
s = 20 С6У2>105. Очевидно, что пи одна из этих альтернатив недо-
минируема и все они могут одновременно принадлежать множест-
ву Парето.
Вряд ли такое число паилучших альтернатив может удовлет-
ворить исследователя — слишком оно велико. Поэтому часто ис-
пользуются другие более тонкие методы сравнительной оценки
альтернатив. Рассмотрим некоторые из них.
Пусть частные критерии Ki, Ks, характеризующие альтерна-
тивы, таковы, что К\ существенно важнее всех остальных частных
критериев, Л2 существенно важнее всех остальных частных крите-
риев, за исключением К\, и т. д. В этом случае, если альтернатива
щ предпочтительней альтернативы Я; по частному критерию К\,
то независимо от оценок а, и а- по остальным частным критериям
а( более предпочтительна, чем aj. Если же оценки альтернатив
совпадают по первым г частным критериям и различаются по
(r-f-l)-y частному критерию, то более предпочтительной в этом
случае является альтернатива более предпочтительная по (г + 1)-У
частному критерию. Такое упорядочение альтернатив по пред-
почтениям называется лексикографическим. Легко заметить, что
при лексикографическом упорядочении все альтернативы оказы-
ваются строго проранжироваппыми. Одинаково предпочтительны-
ми могут оказаться лишь альтернативы с совпадающими вектора-
ми опенок. В случае лексикографического упорядочения задача вы-
бора заданного числа паилучших для эксперта альтернатив ока-
зывается легко решаемой. Достаточно выбрать нужное число пер-
вых альтернатив в их лексикографическом упорядочении.
Однако далеко не всегда частные критерии оценки альтерна-
тив К\, ..., Ks настолько неравноценны, настолько несоизмеримы
по важности. Более типична ситуация, когда относительная ваЖ'
*) Предполагается, что чем выше оценка альтернативы по частному крите-
рию, тем она по данному критерию предпочтительней.
96
]10сть частных критериев является сопоставимой. В этом случае
прибегают, если возможно, к различным методам свертки - по-
строению обобщенного критерия (функции полезности, функции
ценности, критерия эффективности и т. д.).
Одним из наиболее важных предположений о характере част-
ilbIx критериев при сопоставимых частных критериях является
предположение об их независимости. Для случая s = 2 они могут
^ыть сформулированы, например, следующим образом:
(Хц, Хг-2)<(Х;|, Xi2)^(Xi\, Xj2)<(X,i, Х;?), (4.1)
(Х;,, хг2)<(х41, х.;2) S-(x.;i, Х,-2) < (х,|, х,2), (4.2)
где х/i и д-р — значения оценок альтернатив и а-, по частному
критерию Ki, а х,2 и xi2 — значения оценок альтернатив а,- и aj
по К2. Соотношение (4.1) показывает, что предпочтения альтерна-
тив сохраняются при любых одинаковых значениях оценок по ча-
стному критерию К2 п определяются оценками по Ль а соотноше-
ние (4.2) — что предпочтения альтернатив сохраняются при лю-
бых одинаковых значениях по частному критерию К\ и определя-
ются оценками по К2- Однако сформулированные условия оказы-
ваются необходимыми, но недостаточными для существования ад-
дитивных обобщенных критериев.
В настоящее время известны необходимые и достаточные ус-
ловия существования вещественнозначных функций z/Дх), ...,
..., щ, (х) таких, что альтернатива а; предпочтительней а- тогда и
только тогда, когда
S S
X Uv (X(v) Д> Uv (x.-v),
v-1 v -1
альтернативы а,- и а, равноценны тогда и только тогда, когда
S Uv (Xjv) 2 Uv (X,v).
v=-l v--1
s
Исследованию функции ценности (полезности)- S«VW по-
V—1
священа обширная литература (см., например, [49, 99] и т. д.).
.Поэтому не будем останавливаться на этом подробней. Нас преж-
де всего интересуют конкретные методы формирования обобщен-
иЫх критериев, используемые при анализе и обработке эксперт-
’°й информации. Линейные обобщенные критерии строятся в
'Федположенпях аддитивности частных критериев и сопоставимо-
-Ти их по относительной важности. Случай, когда одни из част-
ях критериев существенно важнее других, приводит к лексико-'
Рафическому упорядочению критериев, рассмотренному ’‘выше,
аметим, что сравнивать по предпочтительности целесообразно
1иШь однородные критерии, измеряющие интенсивность свойств
^ДНой и той же природы. В случае, когда критерии таковыми не
вДяются, необходимо их преобразовать в однородные. Для этого,
если измерения по частным критериям произведены в шкалах от-
ношений, оценки по ним преобразовываются по формулам:
K'v = /<v/Xv, v£{l, . . .,s}, (4.3)
где xv — максимально возможная оценка по v-y критерию. Если
измерения по частным критериям произведены в шкалах интерва.
лов, оценки преобразовываются по формулам:
K'v = (Kv —Xv)/(Xv —Xv),vE{l, . . . ,s}, (4.4)
где xv — минимальная оценка по v-y критерию [71].
Итак, пусть оценка альтернатив а\, ..., ап производится по $
частным критериям, К\, .... Ks, Xi=(xn, ..., xip, ..., xiq, ..., xis)
вектор оценок альтернативы а, по критериям К\, ..., Ks- Через
будем обозначать вектор оценок, полученный из X, переста-
новкой оценок по частным критериям КР и Кд, т. е. вектор
(х,1, •••> xiq, .... xip, ..., xis). Частные критерии КР п Кд имеют оди-
наковую важность, если любые две оценки альтернатив X н Х?ч
равноценны. В противном случае Кр и Кд неравноценны.
Пусть для произвольной пары альтернатив at и а, векторы
оценок альтернатив X,- и X, одинаковы. Естественно, что в этом
случае альтернативы а, и а, одинаково предпочтительны.
Пусть теперь альтернативы at и а, таковы, что xtv=X;v для
v=7^p, q и Xi = XiV4, т. е. Xj от Xt отличается лишь перестановкой
оценок по частным критериям Кр и Кд. Если как только
альтернатива предпочтительней альтернативы а:„ то чг:ст:мл:
критерий КР более важен, чем частный критерий Кд. Альтернати-
ва at более предпочтительна, чем альтернатива а-„ если Кр важ-
нее, чем частный критерий Kq, x}P<Zx,q, а Х^Х-,.
В общем случае оценки альтернатив могут отличаться не
только по двум частным критериям Кр и Kq, а по большему их
числу. Пусть относительно некоторых пар частных критериев (на-
пример, КР п Кд) известно, что они равноценны, а относительно
других пар известно, какой из критериев важнее (например, Кг
важнее, чем Kt)- Множество упорядоченных пар типа (КР, Кд)-
(Кд, Кр), (Кг, Kt) задают отношение предпочтения Q на множе-
стве частных критериев1. Из равноценности частных критериев
Кр и Kq следует, что отношению Q принадлежат две пары: (Kt,,
Кд) И (Кд, Кр).
Пусть имеется некоторая многомерная оценка Х{ альтернативы
ад и известно, что ряд пар, в частности, пары (КР, Кд) и (Кг
Kp)^Q, т. е. Кр и Кд (и другие, для которых это имеет место)
равноценны, то переходя от оценок Х{ к оценкам Х^ч, получим
последовательность одинаково предпочтительных оценок.
Если же выбрать подмножество пар из Q таких, что (Кг-
Kt)^Q, (Kt, Kr)^Q, а в оценке Xit xir<xit, то, переходя от оценок
Х.{ к оценкам А/*, получим последовательность оценок, в котороИ
последующая лучше предыдущей. Если в последовательности оНе
1 Интересные способы получения отношений Q предложены в работе [7П'
98
лок представлены лишь оценки, полученные одним из двух рас-
сМотренных способов, то последовательность состоит из неухуд-
щаемых оценок.
Заметим, что отношения на множестве частных критериев, по-
рученные на основе суждений экспертов, вообще говоря, могут не
удовлетворять свойству транзитивности. Так, при условии, чго
Кр важнее Kq, a Kq важнее Кг, может оказаться, что Кг важнее
Поэтому заключения о сравнительной важности частных кри-
териев, являющиеся следствием условия транзитивности, нужда-
ются в дополнительной проверке.
При сравнении критериев по отношению строгою предпочтения
q в практике экспертных оценок могут оказываться нарушенны-
ми также свойства антирефлексивности ((Кр, KP)^Q) и асим-
метричности ((КР, Kq)^Q и (Kq, KP)^Q) вследствие противоре-
чивости экспертных суждений. Если при формировании Q отсут-
ствуют противоречивые суждения, то его транзитивное замыкание1
является строгим частичным порядком, т. е. антпрефлекспвным,
асимметричным, транзитивным отношением. Поэтому можно при-
нять следующее определение.
Экспертная информация о предпочтительности частных кри-
териев непротиворечива, если транзитивное замыкание отношения
q является ciponiM частичным порядком.
Непротиворечивость частных критериев позволяет получать
непротиворечивую информацию о сравнительной предпочтительно-
сти альтернатив при экспертном оценивании. Принятое определе-
ние непротиворечивости информации о предпочтительности част-
ных критериев позволяет сформулировать следующее утвержде-
ние [72, 85]: информация непротиворечива тогда и только тогда,
когда существуют положительные числа аь ..., as — веса частных
критериев К\, ..., К& такие, что
ар>а(), если (Кр, Kq)^Q,- но (Kq, Кр) ^Q, (4.5)
ар = ад, если (КР, Kq)^Q и (Kq, KP)<=Q.
Очевидно, что весовые коэффициенты ai, a« являются изме-
рением частных критериев Ki, ..., Ks в порядковых шкалах. Лю-
бое монотонно возрастающее преобразование вёсбвых'коэффици-
ентов си, ..., a.s приводит нас к новым вёсовыМ коэффициентам
a i, ..., а'.ч, также удовлетворяющим соотношениям (4.5). Если от-
ношение .предпочтения частных критериев Q является отношением
частичного порядка, то введение весовых коэффициентов частных
критериев си, ..., аь — результат измерения критериев Ki, ..., Ks в
Квазишкале порядка (см. § L3).
Однако измерение частных критериев в шкале или в квазишка-
,;1с порядка не позволяет корректно вводить операции сложения
оценок по различным частным критериям, например, по КР и Kq,
“Зятым соответственно с коэффициентами аР и ад.
1 Транзитивным замыканием отношения Q является отношение, содержащее
Честе с любыми парами (/(у, /(<,) и (/(,, Кг) пару (КР, Кг).
4*
99
Один из широко используемых методов сравнительной оценкг
многокритериальных альтернатив в практических исследова
ниях — метод обобщенных линейных критериев, в котором пред
полагается отыскание весовых коэффициентов си, .... as, содержа-
щих большую информацию о сравнительной важности критериев
чем измерение в шкале порядка. А именно, предполагается, чтс
мы обладаем большей информацией о численных оценках важно-
сти отдельных частных критериев — о мультипликативном метри-
зованном отношении линейного порядка на множестве частных
критериев IF(Q)/, где wpq показывает, во сколько раз Ар
важнее Кч. Кроме того, по определению мультипликативного мет-
ризованного отношения для метризованных отношений Q выпол
няется усиленное условие транзитивности: wPr=wPqWqr, еслг
(Кр, Kq) и (A?, Ar)eQ. Тогда по теореме 1.7 относительная важ-
ность частных критериев измерима в шкале отношений. Если же
оценки относительной важности не образуют мультипликативного
метризованного отношений линейного порядка, а лишь отношение
частичного порядка, то (см. § 1.6) относительная важность част-
ных критериев измерима в квазишкале отношений.
Измеримость оценок важности частных критериев в шкале или
г> квазишкале отношений делает корректной процедуру сравни-
тельной оценки многокритериальных альтернатив с помощью об-
общенного линейного критерия
I1 avKy(at). (4.6)
v—1
Этот критерий позволяет установить отношение линейного по-
рядка на множестве многокритериальных альтернатив, что и явля-
ется одним из способов решения задачи выбора. Лучшей призна-
ется альтернатива а;0 для которой
2 avAv(tii0)> 2 avKv(ai),i Е {1, . . ., п}.
v=l V—1
Если необходимо выбрать k лучших альтернатив, то ими будут k
альтернатив, получивших наибольшие оценки но критерию (4.6).
При назначении весовых коэффициентов av, ve{l, ..., s}, ха-
рактеризующих относительную важность частных критериев
Аь .... Ks, необходимо производить сравнение значений критериев,
соответствующих их одинаковым уровням. В качестве таких уров-
ней можно выбрать уровень максимальных или минимальных зна-
чений частных критериев, как, например, это сделано в работе
[71] при сведении частных критериев к однородным [см. (4.3) 11
(4.4)]. Для определенности будем сравнивать максимальные уРоВ'
ни и в дальнейшем, говоря о сравнительном влиянии частных кри-
териев на общую оценку альтернатив, прежде всего будем иметь
в виду максимальные уровни, предполагая, что сравнительны®
влияния частных критериев на других, но обязательно одинаковы-
уровнях аналогичны.
100
Пусть улучшение значения оценки альтернатив по критерию
К на Д единиц эквивалентно ухудшению значения оценки альтер-
натив по критерию Kq на лЛ единиц и не зависит от конкретных
значений оценок альтернатив по критериям Ki, ..., Кт и, в частно-
сти, от конкретных значений оценок по критериям Кр и Кд- Коэф-
фициент X называют глобальным коэффициентом замещения [9].
Рассмотрим случай, когда для каждой пары критериев сущест-
вует глобальный коэффициент замещения. Сформулируем при ука-
занных предположениях теорему об условиях существования об-
общенного линейного критерия:
2 avKv,(at), 2 av^l. (4.7)
V—1 №1
Теорема 4.1. Обобщенный линейный критерий (4.7) существует
тогда и только тогда, когда значения частных критериев макси-
мального уровня можно представить мультипликативным метри-
зованным отношением линейного порядка
Q = «2, W (Q)) с W (0 = = av/au}.
Доказательство. Действительно, если критерий (4.7) существу-
ет, то для любой пары частных критериев Kv и Кр (Kv. Kp)^Q,
если-аг^ам, и (Л\, Kp)-KQ, если а»<ад.
Убедимся, что Q является отношением линейного порядка.
Q — рефлексивно, поскольку (Kv, A'JeQ, и антисимметрично,
поскольку из (Ку, Kpl^Q и (Кр> KV)^Q следует равноценность
частных критериев Kv и К ц (в этом случае av = aM). Оно транзи-
тивно, так как из (Av Kp)^Q и (Ац> Ky)^Q следует, что av^
^<Ху и, значит, (Av Kyl^Q. Связность следует из того, что для
любой пары частных критериев Kv и Кр либо av^ag> либо ам>
>av и, значит, либо (Kv Kp)^Q, либо (Кц> Ky)^Q- Каждой па-
ре частных критериев Kv и Кр поставим в соответствие wVp =
= av/au- Убедимся, что метризованное отношение U7(Q)^
является мультипликативным. Действительно, Wv = — — =
Ctp, Gy
=— = wvV . Таким образом, необходимость теоремы доказана.
ay
Пусть теперь значения частных критериев максимального уров-
ня представлены мультипликативным метризованным отношением
^инейного порядка <5=^<Q, U7(Q)>. В этом случае, зная отношение
Q, мы знаем упорядочение частных критериев К\, Ks по их от-
носительной важности. Принимая коэффициент важности наиме-
нее предпочтительного частного критерия Кр„ равным 1 и исходя
1(з значений wVp„ , определим значения коэффициентов важности
av, ve{1, ..., s}, а значит, и обобщенный линейный критерий
(4.7). Поскол ьку обобщенный линейный критерий инвариантен от-
носительно умножения на константу, разделив коэффициенты
S
важности a'v, ve{1, ..., s} на S a'v, получим коэффициенты важ-
V=1
10L
пости av, ve{l, s}, удовлетворяющие соотношению Sa<, = is|
v— 1 ‘
Достаточность теоремы доказана.
Из теорем 4.1 и 1.7 непосредственно следует теорема 4.2.
Теорема 4.2. Обобщенный линейный критерий (4.7) существует
тогда и только тогда, когда значения частных критериев макси-
мального уровня измеримы в шкале отношении.
Эта теорема позволяет заключить, что для получения коэффц.
циентов важности частных критериев Ki, Ks при практических
исследованиях можно воспользоваться любым методом (см. § 1.2),
позволяющим получать измерения альтернатив в шкале отноше-
ний. Внутри каждого частного критерия может допускаться не-
равномерная зависимость значений частных критериев от оценок
экспертов. Если характер оценок таков, что они нелинейно влияют
на значения частного критерия, то для получения результирующей
оценки необходимо в обобщенном критерии представить указан-
ную зависимость. С учетом неравномерных и, вообще говоря, не-
линейных зависимостей значений частных критериев от оценок
эксперта обобщенный аддитивный критерий запишется как
S OCv Kv (й/),
v=l
где 7Д («>) — вообще говоря, нелинейные функции.
Для обобщенных аддитивных критериев можно доказать теоре-
мы, аналогичные теоремам 4.1 и 4.2. Следовательно, для формиро-
вания обобщенных аддитивных критериев также можно использо-
вать методы получения мультипликативных метризованных отно-
шений линейного порядка (см. § 1.2). Однако формирование нели-
нейных частных критериев Kv(a;) представляет самостоятельную
задач'у.
Методы формирования обобщенных критериев достаточно раз-
нообразны. Выше показана возможность использования при фор-
мировании обобщенных линейных критериев методов получения
мультипликативных метризованных отношений линейного поряд-
ка. Далее приводится несколько методов, в которых используются
различные предположения о характере анализируемой экспертной
информации. Если обобщенный критерий построить не удается,
необходимо пользоваться методами непосредственной сравнитель-
ной оценки многомерных альтернатив (см. § 4.4).
4.2. МНОГОМЕРНОЕ ШКАЛИРОВАНИЕ
В тех случаях, когда оценки альтернатив зависят от несколь-
ких частных критериев и признаков, в том числе и качественных,
сложность анализа и обработки результатов экспертиз существен-
но возрастает. Поэтому к числу основных задач, возникающий
при анализе и обработке экспертной информации, относятся по-
нижение размерности полученной информации, выявление факто-
ров (частных критериев), определяющих оценку рассматриваемы-4
102
альтернатив, их содержательная интерпретация. Решение этих за-
дач и составляет содержание многомерного шкалирования, на-
ведшего в последнее время достаточно широкое применение.
Многомерное шкалирование используется в тех случаях, когда
эксперту при упорядочении по предпочтениям или классификации
многомерных альтернатив существенно проще указать значение
меры близости между альтернативами непосредственно, не при-
бегая к оценкам их близости по частным критериям. Это особенно
важно, когда факторы, определяющие оценку альтернативы, неиз-
вестны. Информация о степени близости или удаленности альтер-
натив используется в многомерном шкалировании для выявления
факторов, лежащих в основе суждений экспертов, и значений фак-
торов, соответствующих рассматриваемым альтернативам. Таким
образом,'каждая альтернатива получает оценки по нескольким
факторам, в нескольких шкалах. Отсюда и название группы ме-
тодов — многомерное шкалирование.
Если экспертами указываются метризованные отношения на
множестве альтернатив и близость между альтернативами харак-
теризуется числом, многомерное шкалирование называют метриче-
ским. Если оценки экспертов носят лишь качественный харак-
тер — многомерное шкалирование называют неметрическим.
Следует отметить также развиваемые в рамках многомерного
шкалирования две группы методов, позволяющих наряду с реше-
нием основных задач многомерного шкалирования анализировать
точки зрения экспертов. В первой группе методов для каждого из
рассматриваемых факторов получаем sfeca, свои у каждого из
экспертов, характеризующие значимость факторов с их точки зре-
ния. Во второй группе методов в одном пространстве получаем
точки, соответствующие альтернативам, и точки, соответствующие
мнениям экспертов. Точки, соответствующие альтернативам, более
близкие к точке, соответствующей эксперту, считаются • для него
более предпочтительными.
Исходная информация о многомерном измерении альтернатив
может быть представлена в виде матрицы размерности «Х«.
В i-й строке матрицы содержатся оценки альтернативы а, по каж-
дому из s частных критериев К\, ..., Ks'-
/хп> • • • > X1S \
IIMI = • ! ! I-
\Xnlt • • •> xns /
гДе x,-v — оценка альтернативы at по v-y фактору.
Используя, в зависимости от характера анализируемой инфор-
мации, ту или иную меру близости между оценками различных
Дльтернатив, сформируем матрицу расстояний
/^11> • • • > ^1п\
и<М = ;
\^П1> • • •> ^пп/
103
где dij — расстояние между альтернативами at и а^. В частности
йц могут принимать только два значения: 1, если альтернативу
а, и а, близки, и 0 — в противном случае. Оценки значений
могут иметь качественный характер, представляя результат изме"
рений в порядковой шкале.
Применение методов многомерного шкалирования позволяет
преобразовать матрицу расстояний \\dtj\\ к более компактному и
интерпретируемому виду.
МЕТРИЧЕСКОЕ МНОГОМЕРНОЕ ШКАЛИРОВАНИЕ
Пусть задана матрица расстояний между парами альтернатив
||<,Ц. Предполагаем, что наибольшие изменения оценок альтерна-
тив обусловливаются изменением оценок альтернатив по наибо-
лее важному частному критерию. Как выделить координатную
ось, соответствующую наиболее важному частному критерию?
Наиболее простой ответ на этот вопрос содержится в так называе-
мом методе простой ордипацин [118, 136]. В нем предполагается,
что наиболее важному частному критерию соответствует коорди-
натная ось (первая ось), проходящая через две точки, соответст-
вующие альтернативам он и а2, расстояние между которыми мак-
симально. В качестве второй оси выбирается прямая, ортогональ-
ная первой и проходящая через точку, соответствующую альтерна-
тиве а3, наиболее удаленную от первой оси.
Проекция произвольной точки а; на первую ось определяется
по формуле
//,!= (d2;i+-d212—d2i2)/24/12, /е;{1, п),
проекция на вторую ось
У j2 = (^2,j + /i2niax d2 i3) /2Лтах,
где Лтах — расстояние от точки а3 до первой оси (/imax = niax h,):
^^h^,+ [^ix-d^:i2-d\, + d^l2d^.
При необходимости число осей нового пространства представ-
ления экспертной информации может быть увеличено. Принцип
построения новой осп состоит в следующем. Отыскивается точка,
наиболее удаленная от гиперплоскости рассматриваемого пред-
ставления информации, и через нее проводится прямая, ортого-
нальная данной гиперплоскости. Затем производится определение
проекций точек исходного «-мерного пространства на вновь полу-
ченное г-мерное пространство представления.
Недостатком метода является превалирующая роль точек, ис-
пользуемых при проведении осей. Выбор их не всегда является до-
статочно оправданным. Этого недостатка в значительной степень
лишены нелинейные методы многомерного шкалирования. РаС"
смотрим группу нелинейных методов, специально созданных Д-”51
преобразования информации исследуемого типа и обладающих
связи с этим более широкими возможностями.
104
Напомним, что нашей целью является отыскание такого ото-
бражения п точек (заданных матрицей расстояний ||с?г->11) в про-
странство меньшей размерности, чтобы преобразованные расстоя-
ния IIDijll между парами альтернатив как можно меньше отлича-
лись от исходных, чтобы основные геометрические соотношения
сохранялись. Качество отображения оценивается с помощью спе-
циально вводимых критериев, характеризующих различие между
матрицами попарных расстояний )|йгД| и ||ОгД|. При этом может
учитываться изменение порядка значений относительно с1ц.
Для оценки отличия преобразованных расстояний О,-,- от ис-
ходных dij в метрическом многомерном шкалировании предлага-
лись различные критерии. В работах [88, 89] приводятся два па-
раметрических семейства критериев. Первое из них
s'“^2Xи'-'Du)^•
i<! KI
При /?>0 более точно отслеживаются большие расстояния, при
р<0 более точно отслеживаются маленькие расстояния. Если по-
ложим р = 0, то получим критерий [111]:
Если р = —1, получим критерий [142]
Если р= 1, получим критерий, [127]:
S. =
Второе параметрическое семейство Sp>q является обобщением
первого1:
| d^p(dij—Dij)2, если Dij<dii,
м 2 dij2j\d(iii(dii—Dii)2, если Da>dij. .
i<i i<i » .
При p =—q получаем критерий Sp. Семейство критериев Sp,q
является более гибким, позволяя, например, большие расстояния
несколько увеличивать, а меньшие — несколько уменьшать, доби-
ваясь таким образом большей точности представления.
Задача поиска оптимального представления исходной эксперт-
ной информации в r-мерном пространстве частных критериев яв-
ляется задачей поиска экстремума нелинейной, вообще говоря,
С точностью до нормирующего множителя.
105
многоэкстремальной функции. В отличие от метода простой ордИ.
нации, мы не стремимся выделить координатные оси, соответствую,
шие наиболее важным факторам, а затем определить координаты
точек, соответствующих альтернативам. Здесь последовательность
иная. После получения искомого представления исходной инфор.
мации в r-мерном пространстве выделяем содержательно интер.
претируемые координатные оси, соответствующие частным крите-
риям, определяющим оценку альтернатив. Поиск конфигурации
точек, минимизирующих критерий Sp или SP,q, осуществляется,
как правило, с помощью той или иной разновидности градиентных
методов. Алгоритмы многомерного метрического, как и неметриче-
ского шкалирования, являются достаточно трудоемкими при их
реализации в виде программ для ЭВМ и нередко требуют значи-
тельных затрат машинного времени. Тем не менее результаты, по-
лучаемые с помощью многомерного шкалирования, оправдывают
затраты, связанные с их реализацией, и в настоящее время извест-
но много примеров практического использования методов много-
мерного шкалирования.
Отметим некоторые проблемы, с которыми приходится сталки-
ваться исследователю при использовании методов многомерного
шкалирования. К ним относится определение размерности г про-
странства представления исходной информации — определение
числа факторов, характеризующих оценку альтернатив. Для вы-
бора г могут привлекаться содержательные соображения. Имеет
смысл начинать поиск с достаточно малых значений г, последова-
тельно увеличивая их до тех пор, пока не будет получено удовлет-
ворительное представление. Если очередное увеличение г не изме-
нило существенно значение критерия, то дальнейший поиск может
быть прекращен.
Особое значение имеют подпространства г=2 и г=3, допу-
скающие наглядную геометрическую интерпретацию. При решении
практических задач также достаточно часто оказывается, что оги
ределяющими являются два-три основных фактора.
На результат решения рассматриваемой оптимизационной за-
дачи оказывает влияние выбор начальной конфигурации точек.
Используя тот пли иной вариант градиентных методов, от исход-
ной, часто случайно заданной конфигурации переходим к другим
конфигурациям точек, последовательно улучшая значение крите-
рия. Поскольку задача мпогоэкстремальна, нет гарантии, что в
результате применения алгоритма мы найдем глобальный опти-
мум. Задаваясь различными начальными конфигурациями, полу-
чим, вообще говоря, различные локальные оптимумы критерия,
которым соответствуют различные конфигурации точек. Если кон-
фигурации, найденные нами с помощью алгоритма многомерного
шкалирования при различных исходных конфигурациях, отлича-
ются мало, являются устойчивыми относительно выбора начальной
конфигурации, то результат применения метода многомерного
шкалирования можно считать удовлетворительным. В противно^
случае необходим дополнительный содержательный анализ.
106
Но самым важным для исследователя является интерпретация
полученных результатов. В первую очередь сюда относится опре-
деление частных критериев, характеризующих оценку альтерна-
тив. Преобразованное представление эксперта о близости и уда-
ленности альтернатив может привести исследователя к переосмыс-
лению роли частных критериев и системы оценки альтернатив в
целом.
НЕМЕТРИЧЕСКОЕ МНОГОМЕРНОЕ ШКАЛИРОВАНИЕ
Рассмотренные выше методы многомерного шкалирования от-
носят к метрическому многомерному шкалированию. Это обуслов-
ливается достаточно точной информацией о расстоянии между
парами альтернатив. Привлечение экспертов для оценки расстоя-
ний di, между парами альтернатив может приводить к ситуациям,
когда da оказываются измеренными лишь в порядковой шкале.
Поскольку при измерении в порядковой шкале численные зна-
чения определены с точностью до монотонных преобразований, то
имеет смысл лишь сравнительная оценка расстояний между па-
рами альтернатив: менее сходным по оценкам альтернативам со-
ответствуют большие расстояния сДь В этом случае задача пони-
жения размерности исходного пространства и выделения основ-
ных факторов, которыми руководствовался эксперт при назначе-
нии расстояний между альтернативами, и их интерпретации приоб-
ретает несколько другой смысл. Понижая размерность, мы долж-
ны сохранять упорядоченность расстояний между альтернативами.
Это и определяет название данной группы методов — неметриче-
ское многомерное шкалирование.
Методы неметрического многомерного шкалирования достаточ-
но подробно описаны в работах [20, 90, 96 и др.]. Остановимся на
двух из них.
Напомним, что одна из основных задач неметрического шкали-
рования состоит в отыскании по заданной матрице расстояний
lldijll конфигурации точек с координатами
/хп, . . ., мД
Х= [ . :
Vni . . .,xnJ
в пространстве минимально возможной размерности, при которой
порядок расстояний ||ОД| нанлучшнм образом соответствовал бы
порядку расстояний- ||с(Д|. Другой не менее важной задачей, ре-
шаемой многомерным неметрическим шкалированием, является
выявление факторов, определяющих оценку альтернатив. Особый
интерес представляет задача выявления минимального числа фак-
торов, поскольку при малом числе факторов (г=2,3) возможна
наглядная геометрическая интерпретация результатов.
По методу Шепарда [144, 145] размерность пространства ча-
стных критериев не фиксируется заранее. Процесс поиска резуль-
107
тирующей конфигурации точек начинается с нормирования матрц
цы Hrf/jll: минимальному элементу присваивается значение 0, мак;
симальному элементу — 1. Эта процедура корректна, поскольк»
шкала, в которой измерены расстояния между парами альтерна
тив, является порядковой. Затем задается начальная конфигура.
ция, состоящая из п точек. Это, в частности, могут быть точки,
расположенные в вершинах п—1-го симплекса с ребрами единич-
ной длины и центром тяжести в начале координат.
Получаемые на последующих итерациях координаты точек нор.
мируются так, чтобы полученные точки имели центр тяжести в
начале координат и средние межточечные расстояния, равные 1.
В дальнейшем под £),-,• и di, будем понимать соответствующим об-
разом пронормированные расстояния.
Для каждой пары альтернатив а,-, а$ вводятся векторы Zt,- с
компонентами
7(й)_ а Idjj — s (.Djj)] — xih)
И Г)..
uu
и Rij с компонентами
о* _ p (dij — d) (x/fc — xi1t)
if
где аир — постоянные множители, обеспечивающие сходимость
алгоритма; d — среднее для всех п(п—1)/2 расстояний (матрица
IMijll — симметрична); s(Du) — значение расстояния, принадле-
жащее матрице ||£),-,-1| п имеющее такой же ранг, как и d,j в мат-
рице llrfijl.
Векторы Zij предназначены для достижения упорядочения эле-
ментов матрицы IIDijll, максимально приближенного к упорядоче-
нию элементов матрицы Векторы /?,-, служат для корректи-
ровки расстояний между альтернативами при понижении размер-
ности представляющего пространства. Параметр а регулирует ско-
рость выхода на заданную упорядоченность. Однако выбор слиш-
ком больших значений а может привести к расходящейся процеду-
ре. Параметр 3 регулирует скорость перехода к конфигурации,
расположенной в пространстве меньшей размерности. Значения а
выбираются, как правило, в несколько раз большими, чем р.
Изменение конфигурации точек при переходе от /-Й к +
итерации производится по формуле
х(/+'> = х<2 + А х!9 ,
tk ik ik ’
где
дх<4> ^ztzy + R^).
Процесс заканчивается, когда значения Ах», достаточно малы и не
оказывают существенного влияния на изменение конфигурации.
108
Для определения момента остановки процесса могут использовать-
ся и другие критерии. В частности, критерий
2 2 ”2[d^-S(Po)]2
6= -J^Z1________________
n(n-l)
После завершения процесса осуществляется преобразование к
главным осям (поворот к главным осям), соответствующим собст-
венным векторам матрицы
bij = 2 xik Xjk-
*=i
Главная ось с наименьшим разбросом значения координат отбра-
сывается. Получаем пространство меньшей размерности. Коорди-
наты точек во вновь полученном пространстве пересчитываются.
Полученную конфигурацию можно использовать для дальнейшего
поиска оптимальной конфигурации. Отметим также, что после пре-
образования к главным осям может быть отброшена не одна, а
большее число осей, если соответствующие им значения дисперсии
невелики.
Метод неметрического многомерного шкалирования, предло-
женный Краскалом [133, 134], в отличие от метода Шепарда
предполагает более существенное использование количественной
меры немонотонности элементов матрицы по сравнению с
jidijil, но размерность искомого пространства фиксируется заранее.
Правда, такую процедуру предлагается проделывать для несколь-
109
ких значений г, останавливаясь на том г, увеличение которого Пе
приводит к существенному улучшению значения критерия.
Количественная мера немонотонности вводится с учетом изме-
рений dij и Dij, произведенных в порядковых шкалах, и D,,
упорядочиваются в порядке возрастания. Строится график (см.
рис. 4.1), по одной оси которого откладываются значения Dij, по
второй — djj, звездочками обозначаются точки, абсциссы которых
соответствуют Dij, а ординаты — значениям dij (всего п(п—1)/2
звездочек). Если ломаная, проведенная через все звездочки, будет
монотонно возрастающей, то имеет место полное совпадение упо-
рядочений расстояний между исходными точками и точками в пре-
образованном пространстве размерности г. Проведем монотонно
возрастающую ломаную через часть звездочек и измерим откло-
нения от нее звездочек. Поскольку измерения произведены в по-
рядковых шкалах, мы будем учитывать только ранги точек. Сме-
стим все звездочки вдоль оси до их пересечения с ломаной. Но-
вые координаты звездочек {dij, Dij) dij и D,j упорядочены одина-
ково. Различия- между Dij и Dij учитываются Краскалом при вве-
дении критерия качества приближения:

Г
Используется также критерий качества приближения [140]
2(D;j-Oo-)3
Ki t
2 (Dij-D)*
Ki
2S Du
где D = Ki .
n (n—1)
Процесс введения значений D^ был описан нестрого. Теперь
можно его формализовать. В качестве Dij для фиксированной кон-
фигурации точек выберем набор значений, порядок возрастания
которых совпадает с порядком возрастания dij и минимизирующий
2 (Dij—Dij)2. Используется также критерий качества приближе-
»</
ния [130], в котором не предполагается построение последователь-
ности Оц
/2 2 б/ды (О2ы'-
Ki k<i_______________t
2 2 (D*ij-D\f?
Ki k<i
[0, если пары чисел Da, Dm и da, du упорядочены одинаково,
Oij, W={,
(1 —в противном случае.
При совпадающих порядках возрастания чисел Dij и dij зна-
чение критериев приближения минимально и равно 0. Казалось бы,
НО
для определения расстояния между упорядочениями значений dij
0 Di, могут быть использованы меры близости между ранжирова-
ниями. Такой способ определения расстояния между упорядоче-
ниями расстояний йц и Ьц является более естественным. Однако
применение градиентных методов, распространенное в многомер-
ном шкалировании, не позволяет использовать меры близости на
ранжированиях, поскольку в этом случае критерии качества при-
ближения S и S' становятся дискретными. Использование мер бли-
зости между ранжированиями возможно лишь при наличии комби-
наторных дискретных алгоритмов оптимизации критериев S и S',
для которых гладкость этих критериев не является обязательной.
Если характер информации о близости оценок пар альтерна-
тив допускает ее представление в виде метризованных ранжирова-
ний, то значения d^ и соответствуют метризованным ранжи-
рованиям близости оценок между нарами альтернатив, а при фор-
мировании критериев качества приближения S и S' можно исполь-
зовать меры близости между метризованными ранжированиями,
которые нс нарушают гладкости критериев. Могут быть использо-
ваны как обобщенные меры Хэмминга, так и евклидовы меры бли-
зости.
Искомой является конфигурация в г-мсрном пространстве, наи-
лучшим образом, в смысле выбранного критерия, приближающая
исходные точки, расстояния между которыми определяются с по-
мощью экспертных оценок. Для отыскания наилучшей конфигура-
ции используются методы, аналогичные методам нелинейного мно-
гомерного шкалирования.
НЕМЕТРИЧЕСКОЕ ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ШКАЛИРОВАНИЕ
В рассмотренных ранее методах многомерного шкалирования
информация о взаимном расположении альтернатив была пред-
ставлена единственной матрицей расстояний Если эксперты
давали различные оценки расстояниям между альтернативами, то
необходимо было отыскивать результирующие, чаше всего усред-
ненные оценки расстояний для формирования матрицы ||*/<,||. Рас-
смотрим методы, позволяющие более тонко учитывать различия
во мнениях экспертов. Дело в том, что эксперты могут руководст-
воваться при оценках значений dij различными факторами, а если
п одинаковыми факторами, то весомость их для различных экс-
пертов может быть разной. Рассматриваемые ниже методы, наря-
ду с понижением размерности пространства исходных данных и
геометрически наглядной интерпретацией факторов, позволяют оп-
ределить веса, придаваемые факторам каждым из экспертов.
В моделях индивидуального шкалирования используются об-
общенные евклидовы метрики
^’= J/^ 2 2 (xjt—xht)C<p(xie-xM') ,
111
где I;Ofl)ц'ii — симметричная, положительно определенная матрц
да, характеризующая весовые коэффициенты факторов, соответст-
вующие точке зрения ц-го эксперта.
В обычной евклидовой метрике ||j| — единичная матрицу
Это соответствует случаю, когда с точки зрения эксперта все фак-
торы равноценны. Если рассматриваемые г факторов с точки зре-
ния р-го эксперта имеют веса ..., W!4 то
0 \
ИФ1|= : • •. :
у О у
Если эксперт представляет систему координат повернутой от-
носительно исходной системы координат (ортогональное враще-
ние), то
цСщ)|| = 7Щ) деню/щю
где W'f’*) — диагональная матрица весовых коэффициентов, а
рн) — соответствующая ортогональная матрица.
Пусть каждый из экспертов, руководствуясь собственными
представлениями о сходстве и различиях альтернатив, указывает
матрицы оценок расстояний между альтернативами ре
е={1, , т}. Исходя из некоторой начальной конфигурации дочек
в подпространстве размерности г, на каждой итерации для каж-
дого эксперта рассчитывается матрица взвешенных евклидовых
расстояний ||Е>г/м)11-
Критерием оценки той или иной конфигурации точек в /"-мер-
ном подпространстве может служить, например,
Я)/? fi
Т зависит от гп переменных хц, характеризующих расположение
п альтернатив в r-мерном пространстве, и от rm переменных
соответствующих весам, придаваемым m экспертами г факторам.
Наша цель — найти значения переменных, минимизирующих
критерий Т. Оптимизацию критерия Т целесообразно проводить,
пользуясь градиентными методами нелинейной оптимизации.
Поиск экстремума аналогичен поиску оптимальной конфигурации
при нелинейном многомерном шкалировании.
Изложенный метод применим и при неполных данных, когда
эксперты затрудняются указать расстояние между всеми парами
альтернатив. В этом случае в критерии Т учитывается лишь ин-
формация о расстояниях, указанных экспертами.
Если информация, полученная от экспертов, носит лишь каче-’
ственный характер и значения lidjjl измерены в порядковой шка-
ле, для отыскания оптимальной конфигурации в подпространстве
более низкой размерности и соответствующих ей весов факторов
используются методы, аналогичные методам неметрического мно-
1 12
jo-viepiioro шкалирования. При оценке качества приближения кон-
фигурации можно использовать критерий
Основные результаты, полученные при разработке методов ин-
дивидуального шкалирования содержатся в работах [24, 91, 961.
Укажем еще одну группу методов многомерного шкалирова-
ния, которую можно, пожалуй, отнести к индивидуальному шка-
лированию. Это так называемые методы неметрического многомер-
ного развертывания. В объединенном пространстве «альтернати-
ва—эксперт» одна часть точек соответствует альтернативам, дру-
гая — экспертам. Точка-альтернатива, расположенная ближе к
точке, соответствующей эксперту, считается более предпочтитель-
ной для данного эксперта.. Таким образом, в объединенном прост-
ранстве можно получить ранжирования альтернатив по их близо-
сти к точкам, соответствующим каждому из экспертов. Основной
задачей неметрического многомерного развертывания является
отыскание в пространстве минимальной размерности конфигура-
ции двух групп точек, соответствующих альтернативам н экспер-
там, такой, чтобы полученные ранжирования альтернатив макси-
мально приближались к ранжированиям, указанным каждым из
экспертов.
При единственном эксперте получим задачу одномерного раз-
вертывания [24]: точки, соответствующие альтернативам п экс-
перту, могут быть расположены на прямой.
Для оценки близости конфигурации точек, соответствующих
альтернативам и экспертам, к оптимальной можно использовать
критерий
« -D^y-
'Г"___[_ ____________ ,
1 ' 1 п —
.,1 Z (D . — D
М-Л ' Ц| ц/
/--I
где т — число экспертов; п — число альтернатив; Dw- — расстоя-
ние от точки, соответствующей ц-у эксперту, до точки, соответст-
вующей j-й альтернативе; £>ц/ — монотонная регрессия, аналогич-
ная последовательности чисел введенной ранее; — среднее
арифметическое чисел Д(1/- .
Можно использовать и другие критерии оценки качества при-
ближения конфигурации точек. Методы поиска оптимальной кон-
фигурации точек, соответствующих экспертам и альтернативам,
аналогичны нелинейным методам поиска оптимальных конфигура-
ций в неметрическом многомерном шкалировании.
В заключение приведем пример использования метода многомерного шка-
лирования.
ИЗ
С помощью метода многомерного шкалирования был предпринят анализ
тематической структуры одного из НИИ, работающего над проблемами созда-
пия средств автоматизации и систем управления [89]. Рассматривались семь
групп научно-исследовательских тем: элементы и устройства автоматики; тео-
рия автоматического регулиро-
вания; машинное проектирова-
ние и диагностика автоматиче-
ских систем; управление в био-
логии, медицине и проблема че-
ловека-оператора; вычислитель-
ные системы; автоматизирован-
ные системы управления; упра-
вление экономическими и орга-
низационными системами.
В результате были выделе-
ны три интерпретируемых фак-
тора: Xi — степень участия че-
ловека в управлении системой;
77 Х2 — степень использования вы-
числительной техники; х3— уро-
вень исследуемой системы (от
элементов до сложных систем).
Полученное расположение
групп тем в пространстве ука-
занных факторов приведено па
рис. 4.2.
4.3. ФОРМИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ КРИТЕРИЕВ
В § 4.1 мы обсудили некоторые вопросы, связанные с существо-
ванием обобщенных критериев и возможностью определения ко-
эффициентов относительной важности аь ..., as частных критериев
Ki, ..., К.„ характеризующих сравнительную предпочтительность
многомерных альтернатив. Приведем примеры методов формиро-
вания обобщенных критериев, как линейных, так и нелинейных.
Они в различной степени эвристичны, основываются на различных
предположениях о характере анализируемой экспертной информа-
ции, но могут оказаться полезными при решении практических за-
дач, связанных с выбором паилучшнх альтернатив.
В первом из них формируется обобщенный критерий вида
К (Х)= S Kv(xv)
V-I
с существенным использованием ограничения на разрешающую
способность критерия [106]. При поиске обобщенного критерия в
данном методе приняты следующие допущения: измерения аль-
тернатив по частному критерию производится по меньшей мере в
шкале интервалов; частные критерии таковы, что более предпоч-
тительной альтернативе соответствует большее значение крите-
рия; оценки альтернатив по всем частным критериям производят-
ся в одном диапазоне; число частных критериев сравнительно не-
велико.
Пусть xye[xv, xv] — значение оценки эксперта по критери’0
Xv, где xv и xv — максимальное и минимальное значения оценок
114
ро критерию, определяющие диапазон их изменения. Предполага-
ется, что изменение оценок по критерию Kv на 6xv вызывает изме-
нение обобщенного критерия на 6/(v,
Вид обобщенного критерия определим с помощью множества
тестовых альтернатив. В каждом диапазоне [xv, ъ], ve{l, ..., s},
выделим гч точек xvi, xVrv, не обязательно покрывающих рав-
номерно отрезок [л», xv]. Тогда общее число тестовых альтерна-
тпв равно П rv. Каждому значению xv/, уе{1, ..., rv} соответст-
V—1
вует определенное значение критерия Kw . Будем считать, что зна-
чения Kvt удовлетворяют следующим ограничениям
Kn >e';Kvv—Kv.y-! >e',V6{2, . . . ,rv}. (4.8)
Предположим также, что максимальное значение обобщенного
критерия, соответствующее альтернативе, имеющей максималь-
ные оценки по каждому из частных критериев,
2 Kvrv = l. (4.9)
V=[
Ограничения (4.8) представляют собой требования к чувстви-
тельности обобщенного критерия при изменейиях оценок эксперта
по каждому из частных критериев, определяющих общую оценку
альтернативы. Ограничения (4.8), (4.9), вообще говоря, сужают
область допустимых значений Х(Х). Она существенно зависит от
г . Меньше всего ограничения сужают область при е/==0. При
слишком больших е' система ограничений (4.8), (4.9) становится
несовместной. При каждом е' допустимые значения обобщённого
критерия Х(Х) заключены в интервале [К (X, е'), А(Х, е')]е=
S [0, 1]. Определим границы этого интервала. Очевидно, что для
их отыскания необходимо решить следующие оптимизационные за-
дачи. Для отыскания А(Х, ez) необходимо найти минимум целевой
функции Х(Х) при ограничениях (4.8), (4.9), а для отыскания
А(Х, е') — максимум при тех же ограничениях.
И первая, и вторая задачи являются задачами линейного про-
граммирования. Для их решения можно воспользоваться любым
из известных алгоритмов [ПО]. К(Х, е') и А(Х, е') зависят от
е' линейно, причем К(Х, &') возрастает, а А(Х, е') убывает, что
объясняется сужением области допустимых значений К(Х) с уве-
личением е'. При некотором значении е' = е К(Х, е) = /((Х, &), а
значит, К(X, е) = К(X, е) = К(X, е).
Таким образом, имеет смысл рассматривать изменение в пре-
делах от 0 до е. Легко убедиться, что при е, = 0 А(Х) может при-
нимать любое значение от 0 до 1, т. е. А(Х, 0) =0, А(Х, 0) = 1,
При е' = е Х(Х) принимает единственное значение.
115
Рассмотрим задачу отыскания максимально допустимого зна-
чения ₽/, равного е при ограничениях (4.8), (4.9). Это также зада-
ча линейного программирования, однако попытаемся найти ее ана-
литическое решение. Свяжем значения е' с производными обоб-
щенного критерия К(Х). Тогда ограничения (4.8) перепишутся в
виде
/Cvj > (Xvr— Xv0) Е>
Kv-f — (Xvv— i)e, 7’eE{2, . . . ,л>), t .{1, . . • ,n}. (4.10)
Система ограничений (4.10) позволяет отыскивать наряду с рав-
номерными и неравномерные покрытия диапазонов [xv, xv] зна-
чениями xv?, уе{1, ..., rv}.
Преобразовав неравенства (4.10) с учетом ограничения (4.9),
получим
0 С 8
Очевидно,
8^ео- Непосредственной проверкой
можно убедиться,
что
_ IS ____ I .$ _
Kvi ~ (^jv — Xv) / 2 (Xv — Xv), . . . , Kvrv ~ (Xvfv — Xv) / 2 (Xv — Xv)
удовлетворяют (4.9) и (4.10), причем (4.10) выполняются как ра-
венства. Таким образом, при ед существует допустимое значение
критерия К(Х), значит, оно и является максимально возможным
допустимым значением параметра г': 8 = е0. В этом случае
__ 2 (xv? _5v)
К (Л?, 8) = К (Х7, е) = -------- (4.11)
2 (xv —xv)
V-- 1
для произвольного вектора значений оценок некоторой альтер-
нативы а7.
Для оценки сравнительной предпочтительности альтернатив
S
можно использовать и критерий 2 xvV , поскольку деление всех
v.-Л
линейных членов обобщенного критерия на константу 2 (xv—-£v)
V=1
s
й вычитание константы 2 xv не изменит сравнительной предпочти-
v=i -
дельности альтернатив.
Как было показано выше, Л’(Х, 0) = 1, а ЛДХ, 0)=0. Постро-
им график изменения значений К(Х, е) и К(Х, г). Теперь эГ°
можно сделать, поскольку К(Х, е) и К(Х, б) — линейные функци11
от 8 и известно для каждой из них по две точки, через которые
они проходят (рис. 4.3).
116
Область допустимых значений обобщенного критерия /C(X, е)
теперь легко определяется:
s s _
6 S (Xv^ —' Xv) /С (2С, б) 1 — 6 S (Xv — Xv«),
V—1 v=! ~
0<е < е =
S _
S (Xv — Xv)
v=l —
Если e=e, разрешающая способность обобщенного критерия
К(Х) максимальна. Относительно любой пары альтернатив а,- и
aj можно с помощью критерия К(Х), определенного по (4.11),
установить, какая из них является более предпочтительной, либо
установить их равноценность. Если же е<е, то сравнительная
оценка альтернатив производится с некоторой погрешностью А.
Чем меньше значение пара-
метра е, тем ниже разреша-
ющая способность обобщен-
ного критерия. Можно с уве-
ренностью говорить, что аль-
тернатива at предпочтитель-
ней aj лишь в том случае, ес-
ли | К (а;)] ^s2z\.
В работе [106]. рассмат-
ривается также возможность
уточнения критерия при на-
личии дополнительной ин-
формации о сравнительной
предпочтительности много-
мерных альтернатив.
Укажем еще один известный способ определения весовых коэф-
фициентов обобщенного линейного критерия с помощью решения
соответствующих оптимизационных задач.
Пусть, как и прежде, предметом наших исследований являются
многомерные альтернативы, сравнительная предпочтительность ко-
торых определяется по некоторому обобщенному линейному кри-
терию — линейной свертке частных критериев, характеризующих
сравнительную предпочтительность альтернатив. Но конкретные
значения весовых коэффициентов, соответствующие частным кри-
териям, неизвестны. Известными предполагаются значения, при-
нимаемые каждой из п альтернатив по всем частным критериям
A'i, ..., К», т. е. векторы Х1=(х11, ..., xis), te{1, ..., п}. Пусть также
мы располагаем информацией о парных сравнениях альтернатив,
т. е. для каждой пары альтернатив а,, а, известна более предпо-
чтительная. Как отыскать весовые коэффициенты частных крите-
риев, наиболее соответствующие результатам парных сравнений?
Ответить на этот вопрос -поможет решение следующей оптимиза-
ционной задачи. Пусть с^, ..., as — весовые коэффициенты частных
критериев, которые должны быть определены. Расстояния между
117
оценками пары альтернатив предполагается определять с по.
мощью оценок значений по каждому из частных критериев и Нх
весовых коэффициентов. Примером расстояний между оценками
S
альтернатив ai и aj может служить 2 (x2;v— x2jv)avi либо
v=l
s
2 [xfv—XjV\av — разновидность обобщенных расстояний Хэммиц.
V—1
га, либо любое другое, соответствующее содержательной поста-
новке задачи: Если альтернативы оцениваются по обобщенному
$
линейному критерию = 2avxiv то расстояние между оцен-
$ у=1
ками альтернатив X (x,v-—x, v)av.
V=1
Если альтернатива а; не менее предпочтительна, чем aj, то
2 (Xjv — Xjv) av > 0 . (4.12)
V=1
Так как результаты парных сравнений известны, то и весовые
коэффициенты av^0 должны быть такими, чтобы выполнялись
п(п—1)/2 неравенств, соответствующих результатам парных срав-
нений. Но, как показывает практика использования экспертных
оценок, эксперты далеко не всегда последовательны в своих пред-
почтениях. Кроме того, не всегда можно подобрать весовые коэф-
фициенты av так, чтобы все неравенства (4.12) выполнялись, да-
же если отношения предпочтения эксперта являются линейным
порядком. Поэтому при отыскании av нам необходимо предусмот-
реть ситуацию, когда неравенства (4.12) оказываются нарушенны-
ми. Тем не менее мы должны стремиться к тому, чтобы наруше-
ния были минимальными.
Соответствие обобщенного линейного критерия системе пред-
почтений эксперта характеризуется значениями неотрицательных
параметров Yi; в неравенствах
S
2 (x;v— xjV) Wv + Yij^O для всех пар (а;,Щ;)еР.
V —1
Если эксперт альтернативу а,- предпочитает альтернативе aj,
s s S
и в то же время 2 x!Vav< 2 xjvav, то У,,= 2 (xjV—xiV)av>0-
V=1 V=I V—I
Необходимо найти такие значения ai, чтобы 2 У^-нпт, сумми-
рование проводится по множеству всех пар индексов, соответст-
вующих множеству пар альтернатив (а,-, а;)еР, т. е. множеству
пар, для которых
Таким образом, задача отыскания весовых коэффициентов
av >0 формулируется так
2 У,J—нпin (4.13)
118
при ограничениях
S (xgv — x}v) av + Yij 0, (4.14)
V=1
2 av=l, (4.15)
V=1 ,
av>0,Fo>0. (4.16)
Ограничение (4.15) является условием нормирования весовых ко-
эффициентов. Задача (4.13) — (4.16) относится к классу задач ли-
нейного программирования. При сравнительно небольшом числе
альтернатив, рассматриваемых при экспертном оценивании, она
может эффективно решаться с помощью ЭВМ.
Если в результате экспертного оценивания получено метризо-
ванное отношение на множестве альтернатив, например, аддитив-
ное метризованное отношение линейного порядка, то можно сфор-
мулировать аналогичную задачу отыскания весовых коэффициен-
тов. Для этого (4.14) необходимо заменить ограничениями
2 (XjV-X;v) aV Yг-у = Wij
V—I
для всех пар индексов таких, что (a2-, ajef.
Если экспертами указаны лишь интервалы, которым принад-
лежат Wij, т. е. нижняя Wii и верхняя Юц границы значений wtj
Wij ^'ij ^iji
то в этом случае (4.14) необходимо заменить ограничениями
Wtj^ 2 (xiv—Xjvjav + Yij <wi}.
~’ v—1
В последних двух случаях необходимо минимизировать 2|У,Д.
В рассмотренных выше постановках У<7 являлось численной
характеристикой отклонений оценок, полученных с помощью об-
общенного критерия от неметризованного или метризованного от-
ношения на множестве альтернатив, указанного экспертами. Мож-
но сформулировать также задачу минимизации числа отклонений
оценок, полученных указанными двумя способами,
2dir>min (4.17)
ври ограничениях:
2(xJV—X;v)av + M > 0, (4.18)
V=1
2av=l, (4.19)
V=1
av>0, vE{l........s}, (4.20)
= (4-21)
119
где М — достаточно большое число, заведомо большее, чем мак-
S
сималыюе значение |S (x?-v—х,-у)оц»|- Поэтому в оптимальном ре-
V— I
S
шепни задачи 6^—1 только, если X (xiv—X;V)<0. При 6^=]
V=1
гарантируется выполнение соответствующего неравенства. С по-
мощью 2 6,/ определяется число отклонений при выбранных зна-
чениях весовых коэффициентов сщ. Оптимальное решение задачи
дадут весовые коэффициенты av, на которых достигается мини-
мальное значение Z 6jj, т. е. минимальное число отклонений от
отношения на множестве альтернатив, указанного экспертами. Сле-
дует отметить, что решение задачи (4.17) — (4.21) существенно
труднее, чем решение задачи (4.13) — (4.16) в силу дискретного
характера переменных 6,; и значительного числа ограничений
(4,18) (см. [87]).
Изложим еще один способ формирования' обобщенных крите-
риев, использующий информацию о предпочтениях эксперта [59].
Пусть эксперту предъявляются один или несколько тестовых на-
боров многомерных альтернатив, среди которых он указывает наи-
лучшую или несколько наилучшпх, ранжируя их в порядке убыва-
ния предпочтений. По информации, полученной от эксперта, необ-
ходимо восстановить обобщенный линейный или кусочно-линейный
критерий, согласно которому альтернативы будут упорядочивать-
ся в соответствии с предпочтениями эксперта. В основе этого спо-
соба лежит следующая идея.
Набор тестовых альтернатив Mi, образующих множество Па-
рето, представляет собой конечное множество точек в 5-мерном
пространстве. Можно указать монотонно возрастающее преобразо-
вание <р(х) оценок по частным критериям такое, когда для любой
точки Xij^Mi найдется вектор Сц— (с,-,(1>, ..., с,уз)), для которого
выполняется неравенство
S c(.Y> ф(Му>) > S cW
v=l 4 4
Или иначе, в преобразованной системе координат через точку Хц
можно провести опорную гиперплоскость к множеству точек
Ф(А,,), Хц^.Мг, полученных в результате покоординатного преоб-
разования ф(х) точек Хц.
Предполагается, что точки Mt образуют множество Парето,
поскольку нетривиальной является задача упорядочения по пред-
почтениям прежде всего точек, принадлежащих множеству Па-
рето.
Если точки некоторого набора расположены так, что можн°
провести гиперплоскость через каждую точку Х;,еМ,-, опорную «
Mi, т. е. гиперплоскость, относительно которой все точки (И, ле'
жат по одну сторону, то преобразовывать координаты х,/1’, .., М./'"’
точек Xij нет необходимости. Через каждую точку X,-lr Х,-2, Хи,
120
изображенную на рис. 4.4, можно провести опорную гиперпло-
скость.
Однако бывают ситуации, когда указанные преобразования
действительно необходимы. Пусть при /1 = 2 точки Xib Xi2, Х/з,
Л>4, составляющие Мл, расположены так, как это изображено . на
рис. 4.5. Очевидно, они образуют множество Парето, поскольку
Рис. 4.4.
.гг-1б)<хг-24)<л!-3(1)<.г</1). а л-г-р2)>лг-2(2>>Х/3(2)>хг-4(2). Но черед
точку Xi2 невозможно провести гиперплоскость, опорную к множе-
ству точек М{. Если эксперт, определивший оценки Хи, Xi2, Xi3>
Л’гч, в качестве наилучшей альтернативы назовет а2 (ей как раз
соответствует точка Хщ, то не существует обобщенного линейного
критерия, согласно которому альтернатива а2 будет иметь наи-
большее (или наименьшее) значение.
Рис. 4.5.
1121
Поэтому решать поставленную задачу будем с учетом возмож-
ных преобразований точек Xi^Mt. Пусть задана последователь-
ность наборов М{={Хц, .... Xint}, точки каждого из которых од.
разуют множество Парето. Справедлива следующая теорема.
Теорема 4.3. Для конечного числа произвольных наборов ЛД
существует монотонно возрастающая функция <р(х) такая, что
для любой точки Хц^М{ найдется вектор Cij— ....
удовлетворяющий следующим соотношениям
C;;X;/-=S с<7><р(<)> 2 c%q(x%) = CikXik для k^j. (4.22)
V=1 ' ' V=1
Предположим, что для обобщенного линейного критерия вы-
полняется неравенство Д’(Хг|)^:1.
Прежде чем приступить к доказательству теоремы, докажем
лемму [35] о свойствах функции
<pr (х) = 1 — ехр (—гх).
Лемма 4.1. Для каждого набора Л4; существует число /?»>0
такое, что при всех преобразование <рг(х) порождает опор-
ную гиперплоскость.
Доказательство. Пусть точки Xijt Хгн^М-;. Положим
6(V) = еХр (%‘7 ’ ПрИ ~ > °’
00 при х[У>—х[^ = 0.
Введем 0г = пйп 0(г’\,л и /?j = log„ (s+l). Легко убедиться, что
j.k.v ’ i
/?i<OO. При r^>Ri
S
X ехр (г х(Х>) ехр (—г xg>) =
s при k—j,
>s+l при k^j.
(4.23)
Действительно, .если /?=/, то ехр(rXi/v))exP(—гх,/Л')) = 1, а
S
S exp(rxi/v>)exp(—гх,^) =s. Если k^j, то Хц^Х^ (рассматри-
V=1
ваются лишь несовпадающие точки) и, значит, существует vo та-
кое, что хц^—xifl<v»)>0. Тогда 0ofe(Vo)=exp(xi/v»>—Но
exp(rxi/v»))exp(—rXihW) = exp[r(x;j(v»’— x,-ft(v«>)] = [exp (x^ —
—Xi/t(Vo))]r= (0л;/,(г’с))г> (0;)вг =s+1. Тем самым доказана вторая
часть соотношения (4.23).
Положим Cij(v) = exp(rxi/V)). Тогда гиперплоскость, задаваемая
вектором Сц= (с,/15, Cij<s)) и проходящая через точку Хц, яв-
ляется опорной к множеству точек <р(Х^), Х^еМ/. Лемма дока-
зана.
Теперь, чтобы убедиться в справедливости теоремы 4.3, доста-
точно положить ф(х) —1—ехр(—гх).
Сформулируем утверждение, непосредственно вытекающее из
теоремы 4.3.
Следствие 4.1. Пусть подмножества .... Mt множества аль-
тернатив А = {й1.... ап} удовлетворяют условиям теоремы 4.3 и
1.22
t
для любой альтернативы й/еЛ\(U Mi) существует альтернатива
i=l
t
%lo^.\}Mi более предпочтительная, чем at. Тогда гиперплоскость;
i=i
опорная к множеству точек ф(Х^), будет опорной и к
множеству точек <р (Xfj), Хй&МЛ (А \ U МД.
i’ZZ? 1
Обобщенный линейный критерий, удовлетворяющий соотноше-
нию (4.22), определяется не единственным образом. Опорных ги-
перплоскостей, проходящих через точку Хц, вообще говоря, бес-
конечно много. Поэтому среди множества обобщенных линейных
критериев, удовлетворяющих (4.22), можно выбрать критерий, об-
ладающий дополнительным свойством, например, максимальной
разрешающей способностью
max min [К(Х;;)—X(Xife)j. (4.24)
X (X) XikeMi
Если эксперт указывает на множестве тестовых альтернатив
М лишь одну наилучшую альтернативу, то задача построения об-
общенного линейного критерия, отражающего предпочтение экс-
перта, решена. Им является критерий (4.24).
Рассмотрим теперь ситуацию, когда эксперт указывает h луч-
ших альтернатив, упорядоченных по предпочтениям, принадлежа-
щих множеству Парето.
В силу следствия 4.1 для каждой точки Х;;еМ; существует об-
общенный линейный критерий, опорный к множеству ф(Х;Д,
Xit^Mi, проходящий через точку <р (Х.<,-).
Пусть Kir>(X) — обобщенный линейный критерий, проходящий
через <р(Х,-;) и опорный к множеству точек <j>(Xi,), Xjj^Mi такой,
что (X.jj) =='1, (Xik) < 1 при k^j.
Укажем способ формирования обобщенного критерия, отра-
жающего предпочтения эксперта.
Введем убывающую последовательность коэффициентов л( =
— 1 >Х2> ... >Х/г>0 по следующему правилу:
^ = ‘/2(^-1 + шах тахХц 7<<^(Х,•,)),
u<k Хц
где Хц(£{Хц, ..., Xj.h-i}. Легко убедиться, что
l>max max ХцХ(^(Х;;). Тогда искомым кусочно-линейным обоб-
и<* i. Хц
Щепным критерием будет
Х(Х> max ЛЙ^Й>(Х{Д.
Действительно, /C(Xife) значения для К(Х.ц)<Кк для Х^$£ '
чё{Хй, ..., Х,,й-1}. Следовательно, Х(ХП) >X(Xi2) > ... >K(Xih)
^Х(Х,Д, где Х0 ^{Х;1, Хй}.
Формирование обобщенных критериев, не обладающих свойст-
вом линейности, представляет собой более сложную задачу и тре-
123
бует, как правило, дополнительных предположений о виде и свой-
ствах обобщенных критериев. Приведем способ формирования об-
общенных критериев, являющийся в значительной степени эври-
стическим, но тем не менее оказывающийся полезным при реше-
нии практических задач [43]. В нем использован способ построе-
ния физических зависимостей, предложенный в работе [75].
Пусть нам необходимо сформировать обобщенный критерий по
частным критериям Ль ..., Л., при отсутствии информации о виде
обобщенного критерия. Предположим, что каждый частный кри-
терий может принимать т значений и т — сравнительно невелико.
Общее число возможных сочетаний значений частных критериев
равно ms. Получить экспертную оценку каждого из них при сколь-
ко-нибудь существенных значениях т и s практически невозможно.
Необходимо выявить сравнительно небольшое число сочетаний
значений частных критериев, получив оценки которых можно
сформировать обобщенный критерий.
При определении сочетаний значений частных критериев, под-
лежащих экспертной оценке, необходимо выбрать такие, при ко-
торых значения всех частных критериев представлены равномерно.
В сравнительно небольшом числе сочетаний достаточно полно
должно быть учтено влияние всех частных критериев. Выбор не-
большого числа сочетаний, обладающих указанным свойством,
можно осуществить с помощью метода латинских квадратов. На
рис. 4.6 приведен пример
латинского квадрата для
s = 4 и щ = 5. При указан-
ных значениях з и т воз-
можно 625 различных со-
четаний. Им соответст-
вуют малые квадраты ла-
тинского квадрата. Из
возможных 625 сочетаний
выберем 25 так, чтобы
любое значение каждого
частного критерия К\, Кг,
Кз, Kt встречалось ровно
один раз, т. е. чтобы в
каждой строке и столбце
комбинационного квадра-
та присутствовал ровно
один элемент. Отметим
также, что при каждом из
Рис. 4.6. значений любого частного
критерия все значения
прочих частных критериев встречаются одинаково часто. Примеры
построения латинских квадратов для других значений з и т смот-
рите в работе [75].
Далее экспертам предъявляются выбранные 25 вариантов. При
других значениях т и з число выбранных вариантов также изме-
124
иится, в общем случае оно равно т2, т. е. число сочетаний значе-
ний частных критериев, подлежащих экспертному оцениванию, в
fri*-2 раз меньше общего числа сочетаний. Для получения числен-
ных оценок сочетаний можно воспользоваться одним из методов,
изложенных в § 1.2. В частности, могут быть использованы метод
Черчмена—Акофа, Терстоуна и др. Таким образом, мы получаем
25 значений обобщенного критерия, соответствующих 25 выбран-
ным выше сочетаниям значений частных критериев.
Воспользовавшись равномерностью распределения в выбран-
ных сочетаниях значений каждого частного критерия, определим
характер его влияния на обобщенный критерий. Для этого най-
дем среднее арифметическое значение обобщенного критерия, со-
ответствующее каждому значению фиксированного частного кри-
терия. Поскольку значения остальных-частных критериев в вы-
бранных сочетаниях представлены равномерно, их влияние в зна-
чительной степени нивелируется. Таким образом, для каждого из
значений фиксированного частного критерия получаем соответст-
вующее ему значение обобщенного критерия (рис. 4.7). Аналогич-
ную операцию усреднения проводим по всем оставшимся частным
критериям.
Таким образом, определяется влияние всех частных критериев
на обобщенный. Теперь остается восстановить вид зависимостей
обобщенного критерия от каждого из частных и получить оконча-
тельный вид обобщенного критерия. Из построенного графика оп-
ределяется частный критерий, оказывающий наиболее существен-
ное влияние па обобщенный. Это частный критерий, для которого
перепад между наибольшим и наименьшим значениями максима-
лен.
Определим по соответствующим точкам графика вид зависимо-
сти обобщенного критерия от фиксированного частного. Для этого
воспользуемся, например, методом наименьших квадратов. Если
кривая достаточно хорошо отражает зависимость, ее принимаем в
125
качестве окончательной. Если же нет, то значения функций лога-
рифмируем и находим среднее арифметическое полученных значе-
ний. Как правило, пользуясь двумя способами усреднения — оты-
сканием среднего арифметического и среднего геометрического
(среднее арифметическое логарифмов значений обобщенного кри-
терия равно среднему геометрическому), можно определить вид
обобщенного критерия. Если точки зависимости обобщенного кри-
терия от частного получены с помощью среднего арифметического
и хорошо описываются соответствующими кривыми, то обобщен-
ный критерий является аддитивным и представляется в виде сум-
мы функций, характеризующих зависимость обобщенного крите-
рия от частных. Если аналогичная ситуация возникла при исполь-
зовании среднего геометрического, то обобщенный критерий явля-
ется мультипликативным и представляется в виде произведений
функций, характеризующих зависимость обобщенного критерия от
частных. Если же часть зависимостей получена усреднением с по-
мощью среднего арифметического, а часть — с помощью средне-
го геометрического, то первые зависимости входят в обобщенный
критерий аддитивно, а вторые — мультипликативно. Поэтому об-
общенный критерий представим в виде произведения зависимо-
стей, характеризующих мультипликативные частные критерии, ц
суммы зависимостей, характеризующих аддитивные частные кри-
терии.
Получению более точного результата может способствовать
следующая процедура. После определения частного критерия Kv‘
наиболее сильно влияющего на обобщенный критерий, можно ис-
ключить влияние этого критерия при определении остальных за-
висимостей. Для этого из значений обобщенного критерия надо
вычесть соответствующие значения, характеризующие влияние ча-
стного критерия Kv на обобщенный критерий, если зависимость
для Л'г входит в обобщенный критерий аддитивно. При мульти-
пликативном вхождении зависимости для Kv операцию вычитания
следует заменить операцией деления.
Данный способ формирования обобщенного критерия не явля-
ется точным. Тем не менее с его помощью удается успешно восста-
навливать достаточно сложные зависимости, а также формировать
обобщенные критерии в тех случаях, когда другие способы фор-
мирования обобщенных критериев оказываются неэффективными.
4.4. ВЫБОР БЕЗ ОБОБЩЕННЫХ КРИТЕРИЕВ
В предыдущем параграфе мы рассмотрели способы формировау
пня частных критериев. Однако далеко не всегда обобщенный
критерий может быть сформирован. Это объясняется как принци-
пиальной невозможностью построения обобщенного критерия, так
и отсутствием достаточной информации. Отсутствие обобщенного
критерия существенно усложняет сравнительную опенку предпоч-
тительности многомерных альтернатив. Тем не менее необходи-
мость осуществлять выбор наилучших альтернатив остается.
126
Процедура выбора в этих случаях часто имеет эвристический
характер.
Приведем в качестве примера два метода выбора наилучших
альтернатив: ЭЛЕКТРА и метод, использующий решение соответ-
ствующих оптимизационных задач.
Пусть альтернативы А={я1, .... ап} оцениваются по частным
критериям Ki, ..., Ks, характер влияния которых на общую оценку
альтернатив неизвестен. В методе ЭЛЕКТРА [81, 82] предлагает-
ся определять предпочтения экспертов на множестве многомер-
ных альтернатив, не выясняя структуры и вида обобщенного кри-
терия, а используя дополнительную функцию порогового характе-
ра о согласии и несогласии экспертов с результирующим отноше-
нием предпочтения альтернатив. Как правило, применяя метод
ЭЛЕКТРА, удается определить множество наиболее предпочти-
тельных альтернатив, содержащее существенно меньше альтерна-
тив, чем, скажем, множество Парето.
Рассмотрим произвольную пару альтернатив а, и а,. Выделим
класс критериев, согласно которым не менее предпочтительна,
чем aj, и класс критериев, согласно которым а< более предпочти-
тельна, чем а,. Критерий первого класса обозначим через С (а-,
а,), а второго — через D(at, aj). В ряде случаев по классам част-
ных критериев C(ait а}) и D(ait aj), с учетом относительной важ-
ности предпочтений по каждому из них, определяется сравнитель-
ная предпочтительность альтернатив. Пусть коэффициенты
а;, ..., as характеризуют относительную важность предпочтений по
каждому из частных критериев. Введем индекс согласия, харак-
теризующий согласие эксперта с порядком предпочтений
с(а(-,а()= av.
S «V KveC(a;,aA
' v=l "
Отметим три очевидных свойства индекса согласия:
1) a,) sg:l; c(at, aj) = \, только если по всем
частным критериям;
2) с(ц;, а;)^с(й/, ат), если С(й;, ат)',
3) с(аг, а}) сохраняет свое значение при замене частного кри-
терия с коэффициентом важности av суммой частных критериев с
коэффициентом весомости, сумма которых равна av.
При оценке сравнительной предпочтительности альтернатив
Необходимо приписать во внимание также критерии, по которым
эксперт пе согласен с предпочтением а^а,. Пусть x,v — оценка
альтернативы а, по частному критерию Kv- Введем индекс несог-
ласия
0, если D(ai, aj)^0,
d(ai, aj) =
— max|xiV—x}V |—в противном случае,
m KveDlai,aj'j
где m — максимально возможная разность между оценками.
127
При этом предполагается, что значения альтернатив по част-
ным' критериям оцениваются в количественной шкале, единой дЛя
всех частных критериев. Свойства индекса несогласия аналогичны
свойствам индекса согласия. Информация об индексах согласия ц
несогласия представляется соответственно в виде матриц согласия
и несогласия, элементами которых являются значения с(а?, гу) н
г/(ал aj).
Введем два пороговых значения с0 и <У0 соответственно для ин-
дексов согласия и несогласия. Будем считать, что альтернатива
О; предпочтительней а-, только если
eta,, aj) ^с0 и d(a:, о;) scA/0.
Пара альтернатив (a,, aj)^U(cQ, dQ), если а,- предпочтитель-.
ней а, при данных пороговых значениях с0 и d0.
Отношение предпочтения можно представить в виде графа
Г(с0, d0) = (A, U (со, d0)). Если с0^с'0 и do^d'o, то U(cQ, d0)z^
^>U(c'o, d'o) и граф Г(£'о, d'o) —частичный подграф Г(с0, do).
Граф Г(с0,- d0) не обязательно транзитпвеи. Действительно, при
с0<1 и do>O из а^а:, и может не следовать а7>а/.
Таким образом, на множестве Парето многомерных альтерна-
тив- вводится отношение 'Предпочтения. Альтернатива а, считает-
ся более предпочтительной, чем а,-, если совокупность критериев,
по которым а,- превосходит а„ достаточно представительная, а
оценки по остальным частным критериям не дают оснований воз-
ражать против данного предпочтения. Множество альтернатив,
среди которых содержится наилучшая, может быть существенно
сужено с помощью метода ЭЛЕКТРА. Задание более слабых по-
роговых значений с0 и dQ приводит к уменьшению числа альтер-
натив, несравнимых в смысле вновь введенного отношения Предпо-
чтения. »
Однако процесс уменьшения числа несравнимых альтернатив
в методе ЭЛЕКТРА исключением альтернатив а, таких, что
(ai, а;)^и(с0, d0), на этом ие заканчивается. Обозначим через
А’еА оставшееся множество несравнимых альтернатив. S назы-
вается ядром устойчивости, если удовлетворяет следующим двум
свойствам:
— для каждой альтернативы а^А \ S найдется такая, что
(ai, а,)^.и(со, d0);
— для любой пары альтернатив а,- и a-^S (a,, a;)^U(c0, dQ).
Это означает, что для любой альтернативы а,, не включенной
в S, существует в ием альтернатива а,- более предпочтительная,
чем а,. Любые две альтернативы из S несравнимы по введенному
отношению предпочтения.
Подмножество вершин графа Г(с0, d0) будем называть ядром
устойчивости, если подмножество альтернатив, которым оно соот-
ветствует, образует ядро устойчивости. Г (с0, d0) обладает ядром ус-
тойчивости и притом единственным, когда он не содержит конту-
ров. Если в графе Г(со> d0) имеется контур, то существует после-
довательность альтернатив таких, что ai^ai2)>- ... г
128
Принадлежность альтернатив flq, nijS, одному контуру пред-
лагается интерпретировать как равноценность, эквивалентность
объектов. Поэтому предлагается альтернативы ai{, заме-
нить единственной альтернативой at. Отношения предпочтения
зиовь образованной at с остальными альтернативами устанавлива-
ется следующим образом. Если признание альтернатив, образую-
щих контур, равноценными считается недостаточно обоснованным,
впоследствии при выборе паилучших альтернатив целесообразно
учесть их неравноценность. Для а^А \ {аг1, .... а,к} а^а,, если
среди альтернатив ai}, ..., Oik имеется более предпочтительная,
нем at; a^at, если среди альтернатив й^ , ..., aik имеется менее
предпочтительная, чем а/.
Отметим, что в преобразованном графе могут появляться кон-
туры, состоящие из двух альтернатив, так как среди альтернатив
.4\ {a, j , ..., aik} может найтись а„ а средн й, и ..., aik—две аль-
тернативы; пусть для определенности это будут й!( и й,2 такие,
что й;)>йг-2. Этот контур также должен быть заменен од-
ной альтернативой.
Поскольку альтернатива at, представляющая й^ , ..., й^ , может
входить в другой контур, то возможна многослойная структура
альтернатив, признаваемых равноценными, одинаково предпочти-
тельными. Это является одним из основных предположений метода
ЭЛЕКТРА. Повторяя при необходимости неоднократно процедуру
стягивания контура, т. е. замены альтернатив, образующих кон-
тур, одной альтернативой, получаем граф Г'(с0, dQ), не содержа-
щий контуров и обладающий единственным ядром устойчивости 3.
После применения процедуры стягивания контуров число альтер-
натив, не сравнимых по предпочтениям, вообще говоря, умень-
шается.
Однако и эта процедура может не приводить к линейной упо-
рядоченности альтернатив. Численность альтернатив, входящих
в ядро устойчивости, можно сократить, снижая требования к по-
роговым значениям со и d0. При с0=1/2 и а!0=1 всегда можно по-
лучить ядро, состоящее из одного элемента, который и считать на-
илучши.м. При решении практических задач более слабые требо-
вания к пороговым значениям с0 и d<s приводят к выявлению един-
ственной наилучшей альтернативы. Необходимость снижения тре-
бований к пороговым значениям со и d0 говорит о том, что альтер-
нативы, образующие ядро, несущественно различаются по пред-
почтениям данного эксперта.
Как было показано в предпочтениях, получаемых по методу
ЭЛЕКТРА, возможны ситуации, когда (й/, fl,)ef/(c0, ч/0) и
(aj, at)^U(co, dQ). Чтобы исключить такую возможность в мето-
де ЭЛЕКТРА II [82], предлагается соотношение
с+ (at,а А „
Cq,
С (ai,aj)
гДе с+(йг, aj) и c~(ait aj) — числа, характеризующие относитель-
5-1 129
ную важность множества критериев С'(а{, а,) и D'(ait щ); С'(а.
aj), полученного из D(a{, aj), и D'(ait aj, полученного
D(ait aj) исключением критериев, по которым at и равноценны
Иногда с+(а{, aj) и c"(a,, «;) целесообразно определять так:
с+(а,-, Uj)=Z av, c~(at, а3) — ^ av,
Kv eC'(a; ,aj) Kv еО'(<ц ,aj)
где av —относительная важность критерия Kv, ve{1, .... s}.
Пусть разница в оценках альтернатив at и а, по некоторым
частным критериям оказывается настолько значительной, что
нельзя согласиться с предпочтением а^а}. Сформулируем запре-
щающее множество пар альтернатив D* такое, что если
aj)^D*, то Таким образом, при формировании ядра устой-
чивости и его преобразованиях не могут использоваться предпоч-
тения а^а,, если (а^ aj^D*. Может возникнуть ситуация, ког-
да никаким ослаблением требований к 'пороговым значениям с0
и d0 не сможем получить ядра устойчивости, состоящего из одной
альтернативы. В этом случае указать единственную наплучШую
альтернативу невозможно.
Подчеркнем, что метод ЭЛЕКТРА является лишь одним из
возможных методов выявления предпочтений на 'множестве мно-
гомерных альтернатив. Он не лишен отдельных недостатков, обу-
словленных, прежде всего, его эвристическим характером [18].
Однако, когда принятые в методе допущения оказываются прием-
лемыми, он может быть успешно использован.
Опишем теперь метод выбора наилучшей многомерной альтер-
нативы, состоящий в решении соответствующих оптимизационных
задач. Пусть для каждого частного критерия Kv можно указать
пороговое значение Lv такое, что альтернативы, оценки которых
по критерию Kv ниже, чем Lv , крайне нежелательны. Более пред-
почтительными считаются альтернативы, оценки которых по част-
ным критериям как 'можно дальше отстоят от критических зна-
чений Lv . Формализуем это предположение. Пусть альтернати-
вы A = {ait ..., ап} оцениваются по s частным критериям К\, , &
и xip ..., Xis — оценки альтернативы te{l, п}. Альтернативу
а, будем считать более предпочтительной, чем aj, если
min{xji—L\, Xis—Ls} >т1п{хд—L\, ..., x, s—Ls}.
Тогда выбор наилучшей альтернативы осуществляется как реше-
ние задачи отыскания максимума выражения [82]
xis-Ls}. (4.26)
сцЕЕА.................................ь
Решение этой задачи эквивалентно решению следующей задачи
линейного программирования:
z->max (4.27)
при ограничениях
xiV — Lv—z>0,ve{l, . . . ,s}, (4.28)
а^А. (4.29)
130
Если число альтернатив невелико, то задача может быть ре-
щепа непосредственным расчетом значений (4.26) и выбором аль-
тернативы, имеющей максимальное значение. Если z<0, то не су-
ществует среди А альтернативы, все оценки которой выше кри-
тических значений.
В рассмотренной постановке удаление значений xiV от крити-
ческого значения Lv по всем частным критериям играет одинако-
во важную роль. Тем не менее возможны случаи, когда удаление
опенок альтернатив от критических значений по одним частным
критериям важнее, чем по другим. Тогда, воспользовавшись одним
из методов оценки сравнительной важности альтернатив (см.
§ Е2), можно получить весовые коэффициенты си.... as, характе-
ризующие важность удаления оценки альтернативы по каждому
ii3 частных критериев. Для учета указанной неравноценности вы-
ражение (4.26) заменим выражением
min{ai(x;i—Li), ..., a,(х;,—Lb)},
а задачу линейного программирования (4.27) — (4.29) задачей
S
2 avZv-->max
V-- I
(4.30)
при ограничениях
xiV—Lv —zv>0,ve{l, . . ., s), (4.31)
(4.32)
Иногда важность удаления оценки альтернативы от критиче-
ского значения неодинакова. Например, гораздо важнее удалить-
ся от Lv к Lv + А, чем от Lv + £А к Lv + (L+1)A. Тогда необхо-
димо Xiv—Lv заменить соответствующей нелинейной функцией
'l (%i v ~~ Lv) .
Рассмотрим еще одну постановку задачи. Пусть значения ча-
стных критериев Lv характеризуют наиболее предпочтительное
значение оценок альтернатив по данным критериям. Необходи-
мо найти альтернативу, минимизирующую абсолютные отклонения
i-Vfv—Lv | с весовыми коэффициентами a+v при положительном
’тклонепии и arv при отрицательном отклонении. (Эта задача
чтносптся к классу задач целевого программирования [15].) В
лом случае для определения наиболее предпочтительной альтер-
нативы необходимо решить задачу линейного программирования
2 (a+t/^-b-a^t/^min (4.33)
V—1
мри 01раниченпях
xiV — Lv-\-y-—^ =0, vs{l, . . . , s}, (4.34)
y->0,y+>0,v^{l, . . .,s}, (4.35)
ai^A. (4.36)
131
Альтернативы, получаемые в результате решения приведенных
задач, должны предъявляться лицу, принимающему решения, дЛя
возможных корректировок и окончательного выбора.
Глава 5
ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
5.1. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНКАХ
Необходимость решения оптимизационных задач возникает на
различных этапах анализа и обработки экспертной информации.
Вот лишь некоторые примеры таких задач: определение резуль-
тирующих отношений с помощью медианы Кемени; определение
отношений заданного типа, ближайших к отношениям, указанным
экспертами и содержащим «ошибки»; классификация альтерна-
тив п экспертов. К числу оптимизационных может быть отнесена
часть задач организации и проведения экспертиз, например, за-
дача формирования экспертной комиссии, когда из возможных
кандидатов в эксперты необходимо отобрать наиболее компетент-
ных, хорошо знакомых с предметом экспертизы.
Однако, пожалуй, большее число оптимизационных задач воз-
никает при использовании экспертной информации, когда целевая
функция и ограничения получены с использованием результатов
экспертных оценок, либо, когда в процессе решения необходимо
учитывать дополнительные факторы. Причины возникновения та-
ких задач различны. Это и отсутствие достаточной объективной
информации об исследуемой системе, ее неточность. Во многих
случаях получение объективной информации является принципи-
ально невозможным.
Если средн возникающих на практике задач попытаемся вы-
делить поддающиеся 'Полной формализации, то вряд ли эти зада-
чи составят большинство. Если к тому же учесть, что далеко не
все оптимизационные задачи, возникающие па практике, могут
быть решены с помощью современных ЭВМ, обладающих ограни-
ченным объемом оперативной памяти и быстродействием, то зна-
чимость задач, использующих в той или иной степени экспертную
информацию, станет более очевидной.
Не ставя перед собой цели полностью охарактеризовать ука-
занный тип задач, приведем примеры н наметим пути их решения.
Прежде чем приступить .к изложению примеров задач, сделаем
несколько замечаний относительно возможности применения Дфя
их решения традиционных методов, в частности, методов линей-
ного и нелинейного программирования.
Пусть ограничения и целевая функция оптимизационной заДа'
чи тюлучены с помощью экспертных оценок. Это прежде всего от-
носится к получению коэффициентов целевой функции и ограни-
чений. Они являются результатом измерений в одной из основных
132
типов шкал (см. § 1.4). Если коэффициенты целевой функции или
ограничений измерены в порядковой шкале, то решение оптими-
зационной задачи вряд ли имеет смысл. Действительно, в этом
случае значение .коэффициентов определено лишь с точностью до
монотонных преобразований. Заменив коэффициенты целевой
функции или ограничений другими, сохраняющими их упорядо-
чение по величине, вообще говоря, получим неэквивалентную оп-
тимизационную задачу, решение которой отнюдь не совпадает с
решением исходной задачи. Под корректной оптимизационной за-
дачей будем понимать задачу, решение которой не меняется при
допустимых преобразованиях значений коэффициентов.
Выясним сначала, при каких измерениях корректной является
задача линейного программирования:
п
2 c,Xj->тах,
/=1
при ограничениях
п
2 aijXj = bj, i<= {1, ..., т},
/=1
х,^0, /<={1, ..., п}.
Ответить на этот вопрос позволяет следующая теорема.
Теорема 5.1. Задача линейного программирования корректна,
если коэффициенты ее целевой функции и ограничений измерены
в шкале отношений.
Доказательство. Пусть коэффициенты целевой функции
п
2 CjXj оптимизационной задачи измерены в шкале отношений.
/=1
Воспользовавшись произвольным преобразованием подобия
cp(ci) = aocj, ао>О, с точностью до которых производятся измере-
п п
пия в шкале отношений, получим 2 ф(с,)х; = ао 2 с>Х;. А, как
/-1 /--I
известно, умножение целевой функции на константу приводит нас
к эквивалентной оптимизационной задаче. (Отличаться могут
лишь значения целевой функции, достигаемые при оптимальных
решениях.)
Указанные преобразования подобия, примененные к ограниче-
ниям задачи линейного программирования, не меняют множества
11
ее допустимых решений. Действительно, 2 =
/=1
п
te {1, .... т} есть не что иное, как а, 2 ацХ, = агЬг, что совпадает
Л-1
п
с их прежним видом 2 = &г-. Таким образом, применение
М
преобразования подобия, вообще говоря, различных для целевой
функции и каждого из ограничений, 'приводит нас к эквивалентной
задаче линейного программирования. Теорема доказана.
133
Если полученные от экспертов значения коэффициентов измере-
ны в шкале разностей или любой другой шкале более «слабой»,
чем шкала разностей (см. § 1.4), задача линейного программиро-
вания является некорректной. Действительно, если воспользовать-
ся преобразованиями сдвига ср(Cj) = Cj + р, допустимыми при изме-
п
рении в шкале разностей, то вместо целевой функции X С;Х; по-
/-1
п п
лучим целевую функцию S CjXj + p S xjt что, вообще говоря,
/^1 /.-= 1
приводит к изменению решения. Например, при целевой функции
п
S Ох, любое допустимое решение задачи линейного программи-
/-1
рования будет оптимальным. Однако после преобразования сдвига
и
при Рт^О получаем целевую функцию р S Хд При такой целе-
/=1
вой функции задача линейного программирования может иметь
единственное решение.
Точно так же применение преобразований сдвига к ограниче-
ниям приводит, вообще товоря, к задаче линейного программиро-
вания, неэквивалентной исходной. Если значения коэффициентов
задачи линейного программирования измерены в шкале разнос-
тей (а следовательно, и в любой другой более «слабой» шкале),
данная задача не является корректной. Таким образом, прежде
чем приступать к решению задачи линейного программирования,
коэффициенты которой получены с помощью экспертных оценок,
необходимо убедиться, что их значения измерены в шкале отно-
шений либо в более «сильной» шкале, а именно, в абсолютной
шкале.
Все сказанное относительно задач линейного программирова-
ния справедливо и для задач целочисленного линейного програм-
мирования.
Задачи нелинейного программирования, коэффициенты кото-
рых входят в целевую функцию пли ограничения нелинейно, це-
лесообразно рассматривать, лишь когда значения коэффициентов
измерены в абсолютной шкале, с точностью до тождественных
преобразований. Отсюда следует, что если значения коэффициен-
тов оптимизационной задачи получены с помощью экспертных
оценок, более распространенными являются линейные оптимиза-
ционные задачи или нелинейные, когда целевая функция и огра-
ничения являются линейными функциями коэффициентов, полу-
ченных с помощью экспертов. Если коэффициенты не измерены в
шкале отношений или абсолютной шкале, а в одной из более
«слабых» шкал, то решение задач математического программиро-
вания пе имеет смысла.
Приведем примеры оптимизационных задач, возникающих
при анализе и обработке экспертной информации, а также задач,
в которых используется экспертная информация [40].
134
1. Отыскание отношения определенного типа, ближайшего к
данному. Пусть имеется неметризованное, либо метризованное от-
ношение Ро, полученное в результате эксперимента. Най-
ти отношение Р* заданного типа (толерантности, эквива-
лентности, частичного или линейного порядка) такое, что
d{Ро, P*) = m\nd(Po, Р), т. е. найти отношение заданного
р
типа, ближайшее к отношению, полученному в результате экспе-
римента и, как правило, содержащему «ошибки». Здесь d(pQ, Р)—
мера близости между отношениями Ро и Р.
2. Отыскание результирующих отношений (задача отыскания
медианы Кемени). Пусть Pj, Рт—метризованные либо пемет-
ризовапные отношения линейного порядка, частичного порядка,
эквивалентности или толерантности, указанные т экспертами.
Найти Р* заданного типа, ближайшее к отношениям, указанным
всеми экспертами, т. е. Р* такое, что
2 d (Р*, Pv) = min 2 d (P,PV).
v=l £ V— 1
Заметим, что при m=l данная задача содержит как частный
случай задачу 1.
3. Отыскание числовых значений вербально-числовой шкалы
Пусть Pi, ..., Рт—мультипликативные метризованные отноше-
ния линейного порядка градаций вербально-числовой шкалы, ука-
занные т экспертами. Найти мультипликативное метризованное
отношение линейного порядка Р* такое, что
2 d(P*,Pv) = mm 2 d(P,Pv).
V—1 * v—1
р
Искомыми численными значениями градаций шкалы будут зна-
чения, соответствующие Р*.
4. Формирование экспертной комиссии. Пусть экспертная ко-
миссия должна быть сформирована из п возможных кандидатов
в эксперты. Степень компетентности v-ro эксперта оценивается
числом hv, условная стоимость обращения к v-му эксперту — чи-
слом gv, суммарная условная стоимость обращения к экспертам
не должна превосходить заданного значения во-
зведем переменные:
(1, если v-й эксперт включен в состав экспертной комиссии,
О — в противном случае.
Тогда задача формирования экспертной комиссии, обладающей
максимальной компетентностью, запишется следующим образом:
п
2 hv xv -> max
V—1
Подробнее о вербально-числовых шкалах см. в § 5.3.
135
при ограничениях
п [ 1
S gvXv < go, Xv = Г , v6 {1, . . . ,п} .
V=1 (О
Пусть теперь из п экспертов необходимо сформировать т эк-
спертных комиссий таких, чтобы суммарная компетентность каж-
дой из них была не меньше установленного порога h0, чтобы каж-
дая состояла не меньше, чем из п0 экспертов, и каждый эксперт
при этом был включен хотя бы в одну комиссию [6].
Введем переменные:
!!, если v-й эксперт включен в /-ю экспертную комиссию,
О — в противном случае.
Тогда задачу формирования т экспертных комиссий можно сфор-
мулировать следующим образом:
S hvxVj^h0, /е{1, т},
V=1
и
S xvj^n0, /е{1, •••, т},
v=l
S Xv/= 1, ve {1, п}.
i=i
При использовании методов ПАТТЕРН, Глушкова, Поспелова
и некоторых других иерархическая структура рассматриваемых
альтернатив представляет собой дерево. Решение задач форми-
рования экспертных комиссий в этом случае является более
сложным, поскольку при выборе экспертов необходимо учесть
иерархическую структуру связи между альтернативами. Пример
решения одной из таких задач будет приведен в § 5.4.
5. Задача о назначениях. Пусть имеется п исполнителей и п
работ, Cij — экспертная оценка эффективности Pro исполнителя
на /-й работе. Найти наиболее эффективное назначение исполни-
телей на работы.
Пусть
fl, если Ей исполнитель назначен па /-ю работу,
О — в противном случае.
Задача состоит в отыскании Хц, г<={1, ..., п}, /е{1, ..., п}, удовлет-
воряющих ограничениям:
S Xij— 1, /1= {1, .... /г};
г=1
п
S x,j = 1, fe {1, ..., п}
/=1
136
и максимизирующих целевую функцию
п п
2 2 CijXij-+max.
i=i /=1
Многокритериальная постановка задачи о назначениях, суще-
ственно использующей экспертную информацию, будет приведена
в § 5.5.
6. Планирование научно-исследовательских работ. Пусть име-
ется п работ, каждая из которых может быть включена в план и
по-разному обеспечена ресурсами. Для t-й работы (te{l, ..., п})
возможно ki уровней обеспечения ресурсами. При /-м уровне обе-
спечения для t-й работы выделяется с!Уц единиц v-ro вида ресур-
сов, vi={1, ..., М}, эффективность t-й работы при /-м уровне обес-
печения ресурсами, определяемая с помощью экспертов, равна
сц. Найти план научно-исследовательских работ, обладающий-
максимальной сравнительной эффективностью. Пусть
1, если для i-й работы назначен /-й уровень обеспечения
Xij= ресурсами,
О — в противном случае.
Задача состоит в отыскании Хц, te{l, ..., п}, /е{1, ..., ki} макси-
мизирующих целевую функцию
п к1
t=i /=1
при ограничениях
п ki
2 2 d^x^d^, vge{1, ..., TV};
t=i /=i
ki
2 Xij^\, te{l, ..., n},
/=i
где do(v) — общий ресурс v-го вида. Если i-я работа является дирек-
тивой, т. е. для нее должен быть обязательно назначен один из
допустимых уровней обеспечения ресурсами, то соответствующее
неравенство заменяется равенством
А=1
Большинство оптимизационных задач, возникающих при ана-
лизе и обработке экспертной информации или использующих эк-
спертную информацию, относятся к числу универсальных, требую-
щих значительного числа арифметических операций, для их реше-
ния. Следует, однако, подчеркнуть, что размерность этих задач,
’сак правило, невелика, в экспертизе рассматривается сравнитель-
но небольшое число объектов. Применение ЭВМ делает их доступ-
ными для решения. Целесообразной представляется также разра-
6-1 137
ботка приближенных алгоритмов, позволяющих достаточно опера-
тивно отыскивать решения, близкие к оптимальным.
Приведены примеры двух оптимизационных задач (о назна-
чениях и о планировании научно-исследовательских работ), коэф,
фициенты целевых функций которых получены с помощью экспе-
ртных оценок. Если сравнительная эффективность альтернатив из-
мерена в шкале отношений, для решения этих задач можно ис-
пользовать алгоритмы, изложенные, например, в работах [12, 100].
В противном случае необходимо создание специальных методов,
учитывающих специфику экспертной информации. Особое значе-
ние имеют многокритериальные задачи, достаточно часто возни-
кающие при анализе больших систем. Точные методы их решения
практически отсутствуют. В § 5.5 будут рассмотрены алгоритмы
решения многокритериальных задач, предусматривающие непос-
редственное участие эксперта в процессе решения.
5.2. АЛГОРИТМЫ ОТЫСКАНИЯ МЕДИАНЫ КЕМЕНИ
Рассмотрим алгоритм отыскания медианы Кемени для отноше-
ний частичного порядка, нестрогого линейного порядка и эквива-
лентностей. Задача о медиане, отыскиваемой на множестве отно-
шений толерантности, является тривиальной и поэтому специально
обсуждаться не будет. То же относится и к задаче о медиане, оты-
скиваемой на множестве произвольных отношений, не обладающих
свойствами транзитивности, связности и т. д.
Итак, пусть экспертами указаны отношения Pi, ..., Рт частич-
ного порядка, нестрого линейного порядка или эквивалентности,
и требуется найти медиану Кемени — отношение Р* соответствен-
но частичного порядка либо нестрогого линейного порядка, либо
т
эквивалентности, минимизирующее S d(P, Pv). При т=\ Р*
v= 1
будет решением задачи об отыскании отношения, ближайшего к
данному.
Представим информацию об отношениях Pt.......... Рт в виде
матриц потерь. Правила построения матрицы потерь для отноше-
ний строгого линейного порядка приводятся в § 3.5. Элементы мат-
риц рассматриваемых нами отношений Pv , те{1, ..., т}, ||p(v>dl>
могут принимать следующие значения:

1, если
1, если a^ai,
0, если a.i~as,
0, если ai и а; несравнимы.
Поскольку элементы матриц отношений частичного порядка могут
принимать не только 1 и —1, но и 0, и 0, то вместо одной матри-
цы потерь, как для отношений строгого линейного порядка, необхо-
димо ввести 3 матрицы потерь. Одна из них соответствует слу-
чаю, когда в Р предполагается, что а^а, или другая"
188
когда а,~а„ третья — когда альтернативы а,- и а: несравнимы.
Элемент матрицы потерь определяет число и характер отли-
чий мнений экспертов, представленных отношениями Pi, Рг„ от
сравнительной предпочтительности альтернатив а,- и а.;, предпола-
гаемой при формировании матрицы потерь.
Введем величины d'a(P, Pv), d"ij(P, Pv ), d"n(P, Ру ), харак-
теризующие отличие сравнительной предпочтительности а,- и aj в
от их сравнительной предпочтительности в Р.
Если в Р предполагается, что а,)>ад то
d'aiP, Ру) =
0, если >aj в Ру,
1, если а,' ~ aj в Ру,
2, если аг <aj в Ру,
w, если а, и а-, несравнимы в Pv,
где w определено в § 2.3.
Если в Р предполагается, что а,~а,, то
d"i.;(P, Ру) =
О, если at~a, в Pv,
1, если а^а, или в Pv,
w, если а,- и а} несравнимы в Pv.
Если в Р предполагается, что а, и aj несравнимы, то
,г, п ч (0, если а,- и а-. несравнимы в Pv,
d.. (Р,РХ) — {
v — в противном случае.
Если т=\, расстояние от произвольного отношения частично-
го порядка Р до Р v определяется следующим соотношением:
d (Р, РУ) = 2 d'tj (Р, Pv) + 2 d 'u (Р, Pv) + 2 d’"i} (Р, Ру),
(i,hell (iJWa
где 71 — множество пар индексов (г, /) таких, что в Р а^а, или
/г— множество пар индексов (i, /) таких, что в Р а{~а,-
/з — множество пар индексов (Z, /) таких, что в Р а,~а; несрав-
нимы.
Если т>1 справедливо соотношение
S dtj(P,Py)^ X 2 ^(P,Pv) +
v^l v—1 (t,/)e/,
+ 22 d'jj (P, Pv) +- 2 2 d'"^ (P, Py)
или иначе
tn
2 d(P,Pv)= 2 r';/+ 2 r";j+ 2 г'"и,
a,Del,
где
m m m
r'i}= 2 rf'i7(P,Pv),r'+;= 2 d’i}(P,Py),r'/.’= 2 d;;'(P,Pv).
v=l v=l 1 v=l '
6*
139
Элементы r'tJ-, г"ъ-, г'"^ образуют матрицы потерь ||г%||, ||г"г1|
l|r'"ij||. Jl’
При отыскании медианы Кемени на множестве нестрогих отно-
шений линейного порядка необходимо использовать две матрицы
потерь ||г'ъ|| и ||г"0||, на множестве отношений частичного поряд-
ка — все три матрицы потерь, на множество эквивалентностей
лишь матрицу ||г'%||. Если альтернативы аг и as предполагаются
т
в Р нс принадлежащими одному классу, то вклад в 2 d(P, Pv )
v— 1
равен r"'ij, если же а, и а,- предполагаются принадлежащими од-
ному классу, то вклад в 2 d(P, Pv) равен mw—г"'ц.
V--1
Для метризованных отношений нестрогого линейного порядка,
частичного порядка, эквивалентности при поиске результирующих
метризованных отношений вместо ЦгДЦ, необходимо
использовать аналогичные матрицы, построенные на основании
соответствующих матриц метризованных отношений (см. § 3.6).
КОМБИНАТОРНЫЙ АЛГОРИТМ ПОИСКА РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕГО ОТНОШЕНИЯ
Задача поиска результирующего отношения и, в частности,
задача поиска ближайшего отношения является универсальной
(см. [21]) и, согласно основной гипотезе оценка числа арифмети-
ческих операций, необходимых для ее решения, экспоненциальна.
Следовательно, алгоритм решения этой задачи целесообразно ис-
кать в классе комбинаторных алгоритмов, осуществляющих на-
правленный перебор. Рассмотрим комбинаторный алгоритм поис-
ка результирующего отношения, позволяющий отыскивать резуль-
тирующее отношение частичного порядка, а в частных случаях
отношения нестрогого линейного порядка и эквивалентности. Алго-
ритм основан па методе ветвей и границ, в котором используется
специфическая схема ветвления, что обусловлено характерными
особенностями задачи.
Итак, пусть имеются матрицы потерь НгД-Н, ||г"г-Д|, со-
ответствующпе отношениям, указанным экспертами. Задача по-
иска результирующего отношения состоит в отыскании отношения
Р*, матрица ||р*,-ф которого содержит элементы
1, если сц'р-а,,
„ _ 0, если
—1, если а^а,,
О, если a.i и а- несравнимы
т
и минимизирует 2 d(P, Pv), определяемую с помощью матриц
v=l
потерь.
Задача поиска результирующего отношения частичного порядка
может быть сформулирована следующим образом: найти такие
/*1, /*2> /*з, что
140
S r't}+ S r"i] + S S r'i}+ S r"i]+ S r'"i}\
(IM (i<l")ela J,
минимум берется по всем 7j, 72, /3, соответствующим отношению
частичного порядка.
Обозначим пары индексов (г, /), /</, ie{l, п—1}, /е{1, ...
п} через Ль .... лг. Указанное переобозначение обеспечивает
нумерацию пар.
Поскольку предлагаемый алгоритм основан на методе ветвей
и границ, необходимо указать схему ветвления и способы отыска-
ния верхней и нижней границ.
Схема ветвления. Рассмотрим s-ю ветвь, определяемую мно-
жествами индексов I+si, I~si, Isz, Is3, на которой еще не фиксирова-
ны отношения на парах альтернатив с индексами Лйч» ..., Лк{-
Каждую пару индексов n&v, ve{l, ..., 1} при дальнейшем ветвле-
нии можно отнести к множеству Д, если альтернативы а,- и а3
предполагаются несравнимыми, к 12, если я{ и а, предполагаются
равноценными, к /+1( если предполагается а^а,, к /-ь если пред-
полагается аг<(а,. В зависимости от этого будут сформированы
следующие ветви, определяемые множествами 7Д, 7“i, 72, 73:
s+l: /«+1,3 = Л,3, Д+1,2 = Is,2, 7"rs+l,l =7+s,i и Л/Ц,
7_s+i,i=7-s,i;
S + 2: 7s+2,3 = ^s.3, ^s+2,2 = A,2, 7+s+2,1 = 7+s,i, 7“s+2,1 ~I~s,l U , J
S + 3: /s+3,3 = A,3> Д+3,2 = Д,2 U Лк ,,
7+s+3,i=7+s,i, /"s+3,1 =/-s,i;
S + 4: Д+4,3 = Д,3 U Jlfej, /s+4,2 = ^s,2,
7~s+4,1 = I+s,l U Л/г2, 7 s+4, 1=7 s,lj
S + 5: Д+5,3 = Д.З U ЛЛ J , Д+5,2 = Д.2>
7+s+5,l = 7+s,b s+5,1 = 7-s,I U Л/г2;
s + б: 7s+6,3 = Д,3 U Лй, , Is+6,2~Is,2 U Лк, ,
7+s+6,l = 7+s,l, ^~s+6,l =^~s,i;
$ + 7: Д+7,3 = Д,3 U Лб,и Лй 1 s-тТ,2 = is,2,
7~,s-7.1= 7+s,l и Лк,, /"s+7,1 = 7~s,r,
s + Si: /s+s,,3= Д,з и Лк, и ... и Лк1,
h'-s,.2 = ^s,2, I+s+s J.1 =7Д,Ь 7 s+s,,!— I s,l-
(5.1)
Через 7+s,ilhu обозначено транзитивное замыкание отношения
строгого линейного порядка 7+s,iUns, , т. е., если (1,/) и (/, Z)e
sZ+sjUnfe,, то (i, Г)^1+5,^Лк,- Если хотя бы одно из множеств пар
/Д+Кла,07-8,1, 7+SiIUnft, 7178,2, 7Д,1|7л(<1 0/s,3 не пусто, то s+1-я ветвь
не содержит допустимых решений и должна быть исключена из
141
дальнейших рассмотрений. /-s,iUn;;i , 7S]2Un/fl определяются как
транзитивные замыкания отношения строгого линейного порядка
/“s.iUnfe, и отношения эквивалентности , соответственно.
Если хотя бы одно из множеств нар 7-8,1бль ,П7+8>1, I~s,]блйt П/8>2>
/—s,lUjT/t* n/s,3 не пусто, то s + 2-я ветвь исключается из дальнейших
рассмотрений. Если хотя бы одно из множеств пар Ллбл?;, n/+Sjl
Is,2^nht /s,2Unft ,П/8,з не пусто, то s + 3-я ветвь должна быть ис-
ключена из дальнейших рассмотрений. Аналогичная проверка пре-
дусматривается и для всех остальных вновь формируемых ветвей,
содержащих транзитивное замыкание отношений.
Можно убедиться, что при предлагаемой схеме ветвления
множества вариантов Gs+), G^o, ..., Gs+s, соответствующих s+1-й,
s + 2-й,..., s + si-й ветви, таковы, что Gs= G8+iU...UGs+lj,, Gs+v0Gs+u=
= 0 для произвольных v и у., не превосходящих Si.
Далее для множества вариантов, соответствующих s + v-й ветви,
необходимо указать способ отыскания верхней и нижней границ
оптимального значения целевой функции. В данном случае целе-
т
вой функцией является 2 d(P, Pv), определяемая с помощью
V=1
матриц потерь.
Верхняя граница для Gs. Укажем способ построения допусти-
мого решения, принадлежащего Gs. Это позволит указать верх-
tn
нюю границу оптимального значения 2 d(P, Pv), достигаемого
V=1
т
на допустимых решениях Gs. Как было показано, 2 d(P, Р v)
V=1
можно рассчитать для произвольного отношения частичного по-
рядка с помощью матриц потерь ||г%Ц, ||г%||, ||г"'г-,-||.
Рассмотрим нефиксированные на s-й ветви пары индексов
(i, j): лй , .... ль{ и найдем min [r'ij, г"ц, г"'ц} по всем парам ин-
дексов ль , .... ль Более точная оценка получается при учете пар,
которые определяются по свойству транзитивности. Пару, на кото-
рой достигается минимум, фиксируем, т. е. относим 'к одному из
множеств /+1, /~], /2> Д. Параллельно осуществляется проверка
непротиворечивости транзитивного замыкания множеств пар ин-
дексов. Если они противоречивы, то соответствующая ветвь не рас-
сматривается.
Указанная процедура продолжается до тех пор, пока все пары
индексов не окажутся отнесенными к множествам /+[, /-1( /2. 73-
Это всегда возможно, поскольку, например, положив (i,
для произвольного множества нефиксированных пар индексов
(предполагается, что на фиксированных парах индексов противо-
речия нет), получим допустимое решение Ря, принадлежащее
т
множеству Gs- Значение соответствующей ему 2 d(Pa, Р v) ДасТ
v=! ~
верхнюю границу оптимального значения целевой функции на us-
142
Нижняя граница для Gs. Чтобы получить нижнюю границу опти-
мального значения суммарных потерь, достигаемого на множестве
допустимых решений Gs, также используем llr'ijll, Цг"с11,
Найдем элементы матриц потерь
= гц},
минимум берется по всем парам (i, j)^I+s,i, I~s,i, Is,2, Р.з- Тогда
нижняя граница определяется по формуле
2 п;+ 2 г'ц + 2 r'jj+ 2r';j-+ 2 г'"
где 2 r'n+ 2 г'ц+ 2 г"^+ 2 r"'ij определится фик-
(»./)еб+ (i ,he<2
сированными на данной ветви парами альтернатив.
Пусть все непросмотренные ветви, которым соответствуют мно-
жества допустимых решений, расположены в некотором порядке
слева направо. Берем крайнюю левую ветвь и осуществляем вет-
вление с помощью указанной выше схемы. Для каждой из вновь
полученных ветвей отыскиваем верхнюю и нижнюю границу опти-
мального значения суммарных потерь. В качестве общей верхней
границы оптимального значения суммарных потерь для всех вет-
вей будем рассматривать наибольшую из верхних границ, полу-
ченных на ветвях к текущему моменту. Ветвь считается просмот-
ренной, если либо множество допустимых решений на ней пусто,
т
либо нижняя граница оптимального значения 2 d(P, Pv ) не
v = l
меньше верхней границы. Если множество непросмотренных вет-
вей не пусто, опять выбираем самую левую ветвь и процедура
повторяется. Алгоритм завершит работу, когда все ветви ока-
жутся просмотренными. Очевидно, что это произойдет после конеч-
ного числа итераций.
Алгоритмы отыскания результирующего отношения нестрогого
линейного порядка и отношения эквивалентности являются част-
ными случаями алгоритма отыскания результирующего отношения
частичного порядка. Их отличие в том, что при ветвлении отсут-
ствует часть ветвей из перечисленных в (5.1), а при определении
верхней и нижней границ оптимального значения целевой функ-
ции учитываются лишь матрицы потерь llr'fjll и ||г"\Л в алгорит-
ме отыскания результирующего отношения нестрогого линейного
порядка и лишь [|г/Л'гД| в алгоритме отыскания результирующего
отношения эквивалентности.
Аналогичные идеи могут быть использованы при построении
алгоритмов отыскания метризованных отношений частичного по-
рядка, нестрогого линейного порядка и эквивалентности.
5.3. ФОРМИРОВАНИЕ ВЕРБАЛЬНО-ЧИСЛОВЫХ ШКАЛ
Рассмотрим два этапа метода формирования вербально-число-
вых шкал: выбор делений (градаций) и определение их численных
143
значений. Основное внимание уделим выбору делений шкалы, по-
нимаемых экспертами одинаково или почти одинаково с незначи-
тельными разногласиями, не превышающими заданного порога.
Введем меру разногласий. С ее помощью задача выбора делений
вербально-числовой шкалы будет сформулирована как задача це-
лочисленного программирования.
Пусть экспертами предложены п возможных делений, среди
которых должны быть выбраны деления формируемой шкалы.
Так, при оценке важности научно-исследовательских работ могут
быть предложены следующие деления: работа чрезвычайно важ-
ная, особо важная, первостепенной важности, весьма важная,
важная, не имеет особого значения, сомнительной важности
и т. д. Предположим далее, что каждый эксперт ранжирует все п
предложенных делений шкалы так, что на первое место ставится
деление, соответствующее наименьшему, по мнению эксперта,
значению формируемой шкалы, на второе — соответствующее сле-
дующему значению и т. д. Если два или более возможных деле-
ний шкалы, по мнению эксперта, равнозначны, они ставятся на
одинаковое место.
Пусть axt — деление, поставленное v-м экспертом на t-е место.
Тогда ранжирование v-ro эксперта запишется так Pv = (avi,
..., avn). Расстояние d(Pv, ) между ранжированиями Pv и Рц
определяется так же, как и в § 2.2.
Мерой разногласий Rvli между v-м и ц-м экспертами будем
называть расстояние между ранжированиями Pv и Рц [37]:
/?vu =d(Pv, Р ц). Напомним, что
О, если в Pvh Р ц одновременно ;']>/ либо
я /р р ч КЛ либо i~/,
ij \ v, j),) J, ссли в ф а в р
2, если в Pv i>/ (i</), а в Рц i<J
Пусть для работы экспертной комиссии выбрана шкала из
k(k<n) делений, Р'\, .... Р'т — ранжирования каждым из т экс-
пертов данных k делений, а ранжирование Р'ц соответствует по-
рядку делений в выбранной шкале.
Мерой разногласий т экспертов относительно некоторого ран-
жирования Рц назовем
т т
Р= 2 2 dfP^PJ. (5.2)
V—1 V—1
Напомним, что медианой Кемени ранжирований Рц ..., Рт на-
зывается наименее удаленное от них ранжирование Р*:
2 d(P*, Pv) = min 2 d(PM,Pv).
V=1 Ц v—1
Способ отыскания медианы Кемени для строгих ранжирований
приведен в § 3.5, а для нестрогих в § 5.2. Очевидно, что ранжиро-
144
вание данных k делений, имеющее минимальное значение меры
разногласий относительно Р\, Р'т, является их медианой.
Введем матрицу разногласий llpijll экспертов относительно не-
которого ранжирования Р'ц :
т
PiJ-= 2 di}(P\, P'v),ie{l, k}, /е{1, .... k}, i^j-
Vr=l
pii = 0, ie{l, .... k}.
Легко заметить, что = a
tn
2 d(P'u,P'v) = 2pa .
v=i Ki
Сумма всех наддиагональных элементов матрицы разногласий
характеризует значение соответствующей меры разногласий, и
она минимальна, если в качестве Р'ц выбрана медиана Р'* ран-
жирований Р'1, Р'т.
Рассмотрим задачу отыскания максимального числа полностью
различимых делений, т. е. делений шкалы, ранжирование которых
всеми экспертами одинаково. Эта задача эквивалентна следую-
щей: найти в матрице разногласий подматрицу максимальной раз-
мерности, состоящую из одних нулей.
Поскольку в этом случае относительно каждого элемента не-
обходимо знать лишь отличен он от нуля или равен нулю, то
вместо Hpi.ill удобно рассмотреть матрицу Ир'Л с элементами
, (1, если pij>0,
О i 1 — <
(О, если pij = O.
Пусть i-му возможному делению соответствует переменная х;,
принимающая значения 1 и 0. Xi=l, если i-e деление использова-
но при формировании шкалы, Х; = 0— в противном случае.
Если элемент матрицы р'^=1, то существуют два таких ран-
жирования, что в одном i-e деление предпочитается /-му, а в
другом — /-е предпочитается i-му. Следовательно, из двух данных
делений в шкалу может войти только одно. Это требование экви-
валентно неравенству Xi+Xj^l. Выписав аналогичные неравенст-
ва для всех пар делений Xi и х,- с р'^= 1, получим систему не-
равенств BXs^l, где В — матрица ограничений с булевыми коэф-
фициентами 1 (1, 1, ..., 1).
Тогда задача отыскания максимального числа полностью раз-
личимых делений формируется так:
1Х->тах, BX<Z 1, А^О, целочисленный. (5.3), (5.4), (5.5)
Задача (5.3) — (5.5) принадлежит классу задач, описанных в
работах [93, 113], как правило, решаемых эффективно. Упрос-
тить решение можно, уменьшив число неравенств (5.4) задачи. Так,
например, неравенства
Х1+Х2=С 1, Х2 + Х3^1, Х1+-Гз=^ 1 ДЛЯ Xi = 0-^{1,2, 3}
145
эквивалентны одному неравенству Xi +x2 + x3^ 1. Уменьшение
числа неравенств (5.4) для реальных задач оказывается сущест-
венным.
В матрицах ||р'г-;||, построенных по реальным ранжированиям
экспертов, деления, оказавшиеся достаточно близкими (соседни-
ми) в медиане, не являются, как правило, полностью различимыми.
Рассмотрим случай, когда требование полной различимости
делений всеми экспертами ослабляется и устанавливается макси-
мальное допустимое значение меры разногласий Ro относительно
выбранных делений шкалы
п
2 x,->max
(5.6)
при ограничениях
п п
2 2 pijXiXj^^T^Oj
1=1/=1
(5.7)
(5.8)
х<=1, если i-е деление использовано при формировании шка-
лы, и Xi = 0 — в противном случае.
Возможен и другой подход, когда число делений формируемой
шкалы задано. Тогда возникает задача выбора фиксированного
числа k делений, наиболее различимых всеми экспертами. Пусть
из п возможных делений шкалы выбраны произвольные k, P'i, ....
Р'т — ранжирования их экспертами, а Р'* — медиана. Для дан-
ных k делений значение меры разногласий экспертов
2 d(P'*,P\).
V=1
Необходимо найти k делений, минимизирующих R.
Задача выбора k наиболее различимых делений шкалы может
быть сформулирована также следующим образом:
п п
2 2 pfjXiXj-Hnin, (5.9)
i=i /=1
при ограничениях
2 Xi = k, (5.10)
1=1
Xi = , i<= {1..л}. (5.11)
Задача выбора k наиболее различимых делений допускает экви-
валентную постановку на графе. Рассмотрим матрицу разногласий
||р,-;|| экспертов для п возможных делений шкалы относительно ме-
146
днапы. Построим по ней неориентированный граф следующим об-
разом. Каждому делению соответствует вершина графа.
Вершины i и / связаны ребром тогда и только тогда, когда
p2J>0. Вес ребра (i, /) равен р,-,-. Тогда задача выбора k наиболее
различимых делений может быть сформулирована как за-
дача отыскания подграфа данного графа, имеющего k вершин и
наименьший суммарный вес ребер.
Приведем первый эвристический алгоритм решения задачи вы-
бора k наиболее различимых делений. Предварительно найдем
медиану ранжирований п делений т экспертами и построим мат-
рицу разногласий R(0) = I'piyll, i, /е{1, п}.
1-я итерация. Подсчитаем /?г<0)= 2 p,Jt ie(l, .... п}, jw = iw =
/е/°>
= {1, ..., п). Найдем (0) = max R^. Сформируем множества /<1) =
= /(0) \ {ii}, /(1) = /(°)\ {i} и матрицу = JtlПерей-
дем ко 2-й итерации.
l-я итерация, (1=2, п—k). Подсчитаем S pij,
Найдем RiZ=maxR,-. Сформируем множества /(0 = /Ц-1) \
\ {i/), \ {tj и матрицу 7?*'г)=Если
1<.п—k, перейдем к /+1-й итерации; если 1 — п—k, алгоритм за-
вершен и Rn~h> — номера k выбранных делений.
При k, существенно меньшем п, целесообразно пользоваться
другим эвристическим алгоритмом решения задачи выбора k наи-
более различимых делений. Пусть
/?(°)=||ро11, i, /^{1, .... п}
— матрица разногласий т экспертов при упорядочении возмож-
ных делений шкалы относительно медианы.
l-я итерация, Подсчитаем S р/д /(°)=-/(°)==
/е/0)
= {1, .... п). Найдем =min R,(0). Сформируем множества
/(1)=/<о)\ /(1)={ii} и матрицу /?(1) = ||рг;||, /е/О). Перей-
дем ко 2-й итерации.
1-я итерация (1 = 2, ..., k). Подсчитаем /?,('-’> = 2 pijt
Найдем Rt t =minR^l~i}. Сформируем множества /(0=/(z-i) \
\ {»/}, /(/,=/(н1,и{й}. Если Kk, перейдем к /+1-й итерации;
если l = k, алгоритм завершен, JW—номера k выбранных деле-
ний.
Для отыскания точного решения можно воспользоваться мето-
дом ветвей и границ с естественным учетом специфических свойств
задачи.
Таким образом, рассмотрены способы выбора наиболее раз-
личимых делений шкалы, использующие введенную меру разно-
гласий между экспертами при ранжировании делений шкалы. Чи-
сленные значения делений шкалы, выбранных предлагаемым спо-
собом, как правило, достаточно равномерно распределены между
147
наибольшим и наименьшим значениями шкалы. Определить их
можно, например, с помощью метода Чёрчмена — Акофа, приве-
денного в § 1.2.
5.4. ФОРМИРОВАНИЕ р-ПРЕДСТАВИТЕЛЬНОЙ ЭКСПЕРТНОЙ КОМИССИИ
Пусть экспертами должны быть оценены альтернативы множе-
ства А = {<21, ..., ап}, сформулированные в результате применения
методов ПАТТЕРН, Глушкова, Поспелова и др. Предполагается
что рассматриваемые альтернативы могут быть представлены в
виде дерева Г, вершины которого соответствуют альтернативам,
а дуги проведены к более частным альтернативам от более общих,
содержащих данные частные.
Пусть для каждой альтернативы а^А, которой соответствует
вершина Vi дерева Г, существует эксперт Э,, способный ее оце-
нить. Эксперты Э, обладают различной компетентностью. Предпо-
лагается, что эксперт Эг, способный оценить альтернативу а,, спо-
собен оценить также более частные альтернативы а^А, которые
ai содержит, а группа экспертов, способных оцепить все альтерна-
тивы aj, которые а,- содержит, способна оценить и альтернативу
а^. В данном параграфе под термином «группа экспертов» будем
понимать именно такую группу.
Экспертная комиссия представительна, если каждую альтерна-
тиву а,-^А способен оценить один эксперт или одна группа экспер-
тов. Представительной экспертной комиссии соответствует подмно-
жество альтернатив, которые данные эксперты способны оценить.
Указанным альтернативам соответствует подмножество вершин в
дереве Г, (которые в дальнейшем будем называть слоем.
Экспертная комиссия р-представительиа, если каждую аль-
тернативу а^А могут оценить р экспертов или i pyrin экспертов.
Прир-представнтельная комиссия является представительной,
р-представительной экспертной комиссии в дереве Г соответствует
подмножество вершин, которое будем называть р-слоем.
Пусть стоимости обращения к каждому из рассматриваемого
множества экспертов определены и равны с\, .... сп. Предполага-
ется, что стоимость обращения к эксперту Э,, если я,- содержит я.-,
выше, чем стоимость обращения к эксперту Эд В противном слу-
чае обращение к эксперту Э, является заведомо более предпоч-
тительным.
Рассмотрим задачу отыскания /2-представительной экспертной
комиссии, стоимость обращения к которой минимальна. Опа экви-
валентна отысканию p-слоя минимальной стоимости, если каж-
дой вершине графа приписана стоимость, равная стоимости обра-
щения к эксперту Э,, способному оценить альтернативу, соответ-
ствующую данной вершине. Аналогично можно поставить задачу
отыскания наиболее компетентной ^-представительной экспертной
комиссии, если определена компетентность каждого эксперта. Ре-
шение такой задачи сводится к решению задачи отыскания
р-представительной экспертной комиссии, стоимость обращения
148
к которой минимальна. Для этого достаточно перейти от задачи
максимизации к задаче минимизации, изменив знак целевой функ-
ции на противоположный. Поэтому в дальнейшем будем рассмат-
ривать лишь задачу отыскания р-представительной экспертной
комиссии, стоимость обращения к которой минимальна.
Заметим, что если несколько экспертов 'могут оценить альтер-
нативу aj, то представительной экспертной комиссии, стоимость
обращения к которой минимальна, может принадлежать лишь
один из иих, а именно эксперт, стоимость обращения к которому
наименьшая.
Сначала приведем алгоритм отыскания в дереве Г слоя мини-
мальной стоимости, а затем алгоритм отыскания p-слоя мини-
мальной стоимости. А поскольку p-слой дерева Г соответствует
р-представительной экспертной комиссии, это и будет решением
поставленной задачи.
Через Vi={vi ..., vik} обозначим множество вершин непос-
редственно следующих за вершиной ц,, т. е. соответствующих аль-
тернативам, которые непосредственно содержит альтернатива at.
It
Стоимость множества вершин V, c(Vt)= X с, v где c,v—стои-
V —1
мость вершины v;v, соответствующей альтернативе aiv. Если
Vi = 0, то вершина у, висячая.
Алгоритм отыскания слоя минимальной стоимости (А1) явля-
ется итеративным. Па первой итерации выделяем вершину Vi,
множество Vi для которой состоит из висячих вершин. Такой вер-
шиной будет, например, предпоследняя вершина самой длинной
цепи дерева Г. Производим сравнение с, и c(Vi). Если g>c(Ey),
i-ю вершину исключаем из дальнейших рассмотрений (стягива-
ем) заменяя при этом пары дуг ('/, i) и (i, I) дугами (j, I). Если
ct^c(Vi), из дальнейших рассмотрений исключаются вершины
Vit, ..., Vik\i дуги (i, z’l), ..., (i, ik).
Последующие итерации аналогичны первой. Если вершину Vi
с множеством Vi, состоящим из висячих вершин, выделить невоз-
можно, алгоритм работу заканчивает. Оставшиеся вершины обра-
зуют слой минимальной стоимости. Докажем, что данный алго-
ритм действительно решает поставленную задачу.
Теорема 5.2. Алгоритм Л1 позволяет отыскать слой вершин де-
рева Г минимальной стоимости.
Доказательство. Пусть Si — множество вершин, полученное в
результате применения алгоритма А1. Предположим противное.
Пусть существует множество вершин S', образующее слой, та-
кое, что с (S')<c(S). Для любой вершины Уг.еЗ'хЗЧ возможны
два случая: либо существует цепь (v^, Vi,), (Vi,,Vi2), ..., (vi Z_J
Vij), где Vit—единственная вершина цепи, принадлежащая Si,
либо существует цепь (vit, vt z_t), ..., (Vi ,Vt ), (vi^v'i). Сущест-
вование для вершины Vi, хотя бы одной из таких цепей следует из
того, что вершины множества Si образуют слой.
149
Поскольку вершины слоя дерева Г соответствуют представи-
тельной экспертной комиссии, не более одной вершины произволь-
ной цепи дерева может принадлежать слою. Следовательно, для
любой вершины UfzSS'XS] выполняется лишь один из указанных
выше случаев. Рассмотрим первый из них.
Пусть vt , vik — вершины, принадлежащие множеств}- S]
такие, что существуют цепи, соединяющие с ними vik. Так как
V} , .... vik^Si, найденному с помощью А1, то Ci,>cix+ — +cijc
Если цепь, соединяющая корень дерева с одной из его висячих
вершин, проходит через f либо щ2, ..., либо Vih, то оиа обяза-
тельно проходит через и7,. И наоборот, если такая цепь проходит
через Vi-, то обязательно оиа проходит через одну из вершин
Vi , ..., vik. Следовательно, заменив в слое S' вершину и,-, верши-
нами »((, ..., Vik, получим слой с меньшим значением стоимости.
Это противоречит оптимальности слоя S'.
Рассмотрим теперь второй случай. Поскольку вершина v/ не
включена алгоритмом А1 в Si, то существует вершина vt,,, пред-
шествующая Vi,, такая, что Ci,,<Ci, + cix + ... +ctk. Здесь вершины
Vi ... vik^S' таковы, что если цепь, соединяющая корень дерева
с одной из висячих вершин, проходит через Vi, либо ц,-, ..., либо
vik, то она обязательно проходит через v^,. И наоборот, если та-
кая цепь проходит через vt,,, то она обязательно проходит через
одну из вершин щ,, v,t, ..., vifc. Заменив в слое вершины v{,,
v{ , ..., Vih вершиной Vi,,, получим слой с меньшим значением сто-
имости, что противоречит оптимальности слоя S'.
Таким образом, оба случая приводят к противоречию. Следо-
вательно, множество вершин Si действительно является слоем ми-
нимальной стоимости. Теорема доказана.
Алгоритм отыскания p-слоя минимальной стоимости (Ар) так-
же является итеративным. Пусть, как и ранее, задано дерево
альтернатив Г и каждая вершина Vi дерева Г соответствует альтер-
нативе ai. Если «г способны оценить I экспертов (1</^?г), стои-
мость обращения к которым соответственно равна , ..., c,-z , то
вершину Vi дерева Г будем считать /-кратной со стоимостями
Ci , ..., Ciz. Пусть для определенности с< ^c;a^...^Ciz. При
поиске p-слоя минимальной стоимости вершина щ рассматривает-
ся сначала со стоимостью c,z. Если vt попала в p-слой, то из
дальнейших -рассмотрений она не исключается, а после этого опа
начинает рассматриваться со стоимостью и так далее. Та-
ким образом, вершина и,- может войти в p-слой I раз, если /=СР-
Опишем r-ю итерацию (r^Zp) алгоритма отыскания p-слоя ми-
нимальной стоимости. Она состоит из следующих шагов. Отыски-
вается на текущем дереве альтернатив Гг слой минимальной стои-
мости с помощью алгоритма А1. Формируется r-слой текущего
дерева альтернатив Гг, равный SiUS2 U ... USr, где Sr—•множест-
во вершин слоя минимальной стоимости, полученного на r-й ите-
150
рации. Формируется текущее дерево альтернатив Гг+{. Если мно-
жеству Sr принадлежат вершины, которые вошли в r-й слой I раз,
то они стягиваются так же, как и в алгоритме At, и, следователь-
но, из дальнейших рассмотрений исключаются. Для остальных
вершин, принадлежащих множеству Sr, корректируются стоимос-
ти так, как это было описано выше.
Если г<р, переходим к п+1-й итерации алгоритма. При г = р
алгоритм работу завершает, вершины множества Sp образуют
p-слой минимальной стоимости. Если каждую альтернативу дере-
ва Г может оценить лишь одни эксперт в p-слое дерева Г, то каж-
дая вершина будет .представлена не более одного раза.
Убедимся, что алгоритм Ар действительно позволяет найти
р-представительную экспертную комиссию, стоимость обращения
к которой минимальна.
Теорема 5.3. Алгоритм Ар позволяет отыскать р-й слой дерева
Г минимальной стоимости.
Докажем предварительно следующее утверждение.
Лемма 5.1. Существует p-слой минимальной стоимости, содер-
жащий слой минимальной стоимости.
Доказательство. Предположим противное. Пусть нашлась вер-
шина Vi,, принадлежащая слою минимальной стоимости такая,
что ни ©дин p-слой 1минимальиой стоимости ее не содержит. Если
вершине щ, предшествует s вершин дерева Г (с учетом кратнос-
ти), принадлежащих p-слою минимальной стоимости, то любая
цепь, соединяющая корень дерева с висячей вершиной и прохо-
дящая через Vi, содержит р—s вершин данного p-слоя, следую-
щих за Vi,. В противном случае альтернатива, которой соответст-
вует висячая вершина, не может быть оценена р экспертами. Рас-
смотрим сначала случай, когда s<p. Выберем вершины р-слоя
vit, ..., vik , непосредственно следующие за Vi,. Как и при доказа-
тельстве теоремы 5.2, .можно показать, что заменив вершины
v , ..., vik вершиной Vi,, получим p-слой не большей стоимости.
Противоречие.
Рассмотрим теперь случай, когда s=p. Тогда р—s=0 и все
вершины p-слоя минимальной стоимости в цепи, соединяющей
корень дерева с висячей вершиной и проходящей через о,-, предше-
ствует вершине и,-. Выберем среди них вершину v, -. Тогда так же,
как и при доказательстве теоремы 5.2, можно показать, что найдут-
ся вершины , .... vik, такие, что сг-->сг--4-с,- -|-...с,-А. Заменив
вершину Vi,, вершинами vt,, vit, ..., v,k, получим p-слой не боль-
шей стоимости. Противоречие. Аналогично доказанному выше
можно доказать, что если существует p-слой минимальной стои-
мости, содержащий подмножество вершин S'}, принадлежащий
Si-слою минимальной стоимости и вершина / S'\, то суще-
ствует p-слой минимальной стоимости, содержащий одновременно
и S'j и Vi". Следовательно, Si^Sp. Лемма доказана.
Перейдем теперь к доказательству теоремы. 5.3. На первой
итерации алгоритма Ар с помощью алгоритма А1 отыскивается
151
слой минимальной стоимости Si. По лемме’ 5.1 существует р-слой
Sp такой, что SisSp. После формирования текущего дерева аль-
тернатива Г2 приходим к задаче отыскания р—1-слоя минималь-
ной стоимости. Слой минимальной стоимости дерева альтернатив
Г2, отыскиваемый на второй итерации алгоритма по лемме 5.1
содержится в некотором р—1-слое, минимальной стоимости. Это
же справедливо для слоя минимальной стоимости, выделяемого
на любой итерации алгоритма Ар. Следовательно, множество вер-
шин SiU ... USP действительно образует p-слой минимальной стои-
мости теорема 5.3 доказана.
Отметим в заключение, что алгоритм решения задачи отыска-
ния экспертной комиссии минимальной стоимости относится к
числу эффективных и требует сравнительно небольшого, числа
арифметических операций.
5.5. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ
В настоящее время все большее внимание уделяется многокри-
териальным оптимизационным задачам. В основе их возникнове-
ния необходимость управления большими системами, эффектив-
ность функционирования которых определяется, как правило, не-
сколькими основными факторами. Далеко не всегда удается сфор-
мировать обобщенный критерий, характеризующий эффективность
системы и свести тем самым многокритериальную задачу к соот-
ветствующей однокритериалыюй, алгоритмы решения которой
разработаны в гораздо большей степени. В некоторых случаях
формирование обобщенного критерия оказывается принципиаль-
но невозможным в силу характера анализируемой информации.
Поэтому одна из особенностей существующих алгоритмов реше-
ния многокритериальных задач—непосредственное участие экс-
перта в процессе решения. Дополнительное подтверждение акту-
альности и реализуемости такого подхода в наблюдающемся раз-
витии диалоговых человеко-машинных процедур «пользователь —
ЭВМ».
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ
Однокритериальная задача о назначениях (задача о выборе),
равно как и алгоритм ее решения в настоящее время хорошо из-
вестна. Мы рассмотрим ситуацию, когда оценка эффективности
выполнения исполнителем той или иной работы многокритериаль-
на и не существует обобщенного критерия сравнительной оценки
предпочтительности многомерных альтернатив. Всю необходимую
информацию о сравнительной предпочтительности альтернатив,
необходимую при назначении исполнителей на работы, предпола-
гается получать в процессе последовательных обращений к Экс-
перту. rod
Рассмотрим многокритериальную задачу о назначениях [25J-
Имеется п исполнителей и п работ. Каждый исполнитель должен
152
быть назначен на одну работу и для каждой работы должен быть
назначен исполнитель. Требуется найти наиболее эффективное
назначение исполнителей на работы. Эффективность назначения
го исполнителя на /-ю работу определяется следующим образом.
Пусть Xi{'\ ..., — оценки i-ro исполнителя по каждому из s
частных критериев, рассматриваемых при назначении исполните-
лей на работы, а ..., — пороговые значения по каждому
аз s частных критериев, заданные для каждой из п работ (je{l,
,п}). Отрицательный эффект для i-ro исполнителя -при назначе-
нии его па j-ю работу по v-му критерию характеризуется величи-
ной, равной
I 0, если c(.v) < x(.v>,
Х<Л‘> = { 1 ‘
11 [К (c(v), x(fv)) , если c(.v)>x(t.v>
В 'качестве /((с/Ч %ilv>) может служить, в частности, количество
градаций шкалы, на 'которое превышает X;(v>. В качестве шкал
оценки значений по частным критериям можно использовать вер-
бально-числовые шкалы (см. § 5.3). Аналогично определяется и
отрицательный эффект по v-му частному критерию для /-Й
работы при назначении на нее i-ro исполнителя. Он может опре-
деляться и так, как это сделано в работе [25]:
=
ч
О, если x<v> > с[У\
— К (cjv), x<v>) , если х (;v> <с«.Ч
Вудем говорить, что первый исполнитель для /-й работы не менее
предпочтителен, чем второй исполнитель, если vs
сд{1, ..., s}, поскольку отрицательный эффект от его назначения
меньше.
Аналогично первая работа для i-ro исполнителя не менее пред-
ючтительна, чем вторая работа, если c(v>,7^ c(v)i2, ve{l, ..., s}. Та-
ким образам, на множестве исполнителей и множестве работ,
оценки эффективности для которых являются многомерными аль-
тернативами, вводится отношение частичного порядка. Данная по-
становка многокритериальной задачи о назначениях сформулиро-
вана в работе [25]. Изложим, следуя [25], алгоритм решения за-
дачи, в которой предполагается непосредственное участие экспер-
। а.
Для каждой работы и каждого исполнителя произведем соот-
ветственно разбиение множества исполнителей и множества работ
на иерархические уровни, отнеся к первому уровню исполнителей
(работы), для которых отсутствуют превосходящие их, ко второ-
му уровню исполнители (работы), для которых отсутствуют пре-
восходящие их исполнители (работы), не отнесенные к первому
уровню н т. д. Исполнителям (работам) k-vo уровня за исключе-
нием последнего присваивается индекс Dk, если они эквивалент-
ны, и индекс Ин. если среди них встречаются несравнимые.
Заметим, что присвоение индекса Dh на всех уровнях, кроме
последнего, означает, что все работы &-го уровня доминируют над
153
работами fe+1-ro уровня. Разбиение множеств исполнителей и
работ па уровни осуществимо, поскольку отношения предпочте-
ния, положенные в основу разбиения, трапзнтивны.
Информация о разбиении множеств исполнителей и работ со-
держится в специальной матрице, элементами которой являются
соответствующие индексы. При этом па пересечении i-й строки и
/-го столбца указываются индексы, соответствующие вектору зна-
чений ..., x^ij и вектору значений .......... сН-д
Пара индексов D\, D2, расположенная на пересечении i-й стро-
ки и /-го столбца, означает, что, с одной стороны, i-й исполнитель
принадлежит к числу исполнителей, наиболее подходящих для
/-й работы, а с другой стороны, /-я работа принадлежит к числу
работ, наиболее 'Подходящих для i-ro исполнителя. В этом случае
признается целесообразным назначение i-ro исполнителя па /-ю
работу. Алгоритм состоит в отыскании элементов матрицы, состо-
ящих из индексов Di, Di, назначении исполнителей, определяемых
номером строки, на работы, определяемые номером столбца и в
последующем пересчете матрицы. При пересчете матрицы не
только удаляются соответствующие строки и столбцы, но и осу-
ществляется корректировка индексов исполнителей и работ, по-
скольку уровни исполнителей и работ в разбиении при уменьше-
нии их числа повышаются (общее число уровней уменьшается).
Если в матрице отсутствуют элементы, состоящие из пары ин-
дексов £>i, D\ то предполагается обращение 'к эксперту для попол-
нения отношения предпочтения.
В частности, это может быть осуществлено способом, предло-
женным в [25]. Отметим, что необходимость установления допол-
нительных предпочтений возникает лишь для уровней с индек-
сом //]. Установим для исполнителей работ, принадлежащих рас-
сматриваемому уровню, либо отношения предпочтения, либо от-
ношения эквивалентности. Матрица, полученная после обращения
к эксперту при непротиворечивости отношений предпочтения,
всегда содержит элемент с парой индексов Dx.
Если в столбце или строке несколько элементов, состоящих из
индексов Dj, D}, можно привлечь дополнительные критерии срав-
нительной оценки вариантов назначений. В рассмотренном методе
решения многокритериальной задачи о назначениях использует-
ся преимущественно информация качественного характера. Из-
мерения сравнительной эффективности назначения исполнителей
на работы производится в квазишкалах или в шкалах порядка.
Получение оценок эффективности назначения исполнителей на
работы по каждому из частных критериев производится с помо-
щью вербально-числовых шкал. Соответствующие градациям чис-
ленные значения вербально-числовых шкал определяются рангом
градаций.
Если можно получить информацию об эффективности назначе-
ния исполнителей на работы непосредственно в виде численных
оценок или сформировать обобщенный критерий, который позво-
154
лит нам получить такие численные оценки, в этом случае задача
сводится ik хорошо известной и эффективно решаемой однокрите-
риальной задаче о назначениях.
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Пусть необходимо решить задачу, отличающуюся от традици-
онной задачи линейного программирования, состоящей в макси-
мизации целевой функции
2 CjXj (5.12)
/-1
при ограничениях
S aijXj = bi, ie{1, ..., tn}, (5.13)
/-1
х^О, jge{1, ..., п} (5.14)
наличием нескольких линейных критериев Kv:
2 c<v)xj, VE{1. . . . ,$}.
/-1 ‘
Если возможна линейная свертка .критериев, т. е. замена s
линейных критериев К\, ..., их взвешенной суммой
S п
2 av 2 с^Х;, то приходим к традиционной задаче линейного
- 1 л=1
программирования (5.12) — (5.14). Однако далеко не всегда такая
свертка возможна. Это может объясняться различными причина-
ми: известным может быть лишь упорядочение частных критериев
по важности без количественной оценки степени предпочтитель-
ности, некоторые из частных критериев могут оказаться несравни-
мыми, наконец, вообще может отсутствовать информация о срав-
нительной предпочтительности частных критериев.
Рассмотрим алгоритм решения .многокритериальной задачи ли-
нейного программирования с участием эксперта, использующий
линейную свертку 'частных критериев лишь для получения проме-
жуточных решений [1]. Укажем возможные способы получения
свертки критериев для промежуточных расчетов.
При измерении относительной важности частных критериев в
шкале порядка целесообразно предусмотреть процедуру непос-
редственного назначения экспертом весовых коэффициентов отно-
сительной важности критериев ai, ..., as и процедуру возможной
их корректировки при поиске экспертом удовлетворительного
компромисса.
При отсутствии информации об относительной важности част-
ных критериев можно воспользоваться следующей процедурой.
Построим матрицу размерности sXs, в v-й строке которой бу-
дут представлены последовательно значения частных критериев
(A^v). 1>е{•. •••, *>} в точке X(9)v, доставляющей максимальное
7
155
значение Mv критерию Kv Диагональные элементы этой матри-
цы будут соответствовать максимальным значениям частных кри-
териев. В каждом v-м столбце будут собраны значения v-ro крите-
рия в точках максимума всех критериев. Если перепад значений
критерия в столбце незначителен, то критерию приписывается не-
значительный относительный вес, чем больше перепад, тем боль-
ше относительный вес критерия Чтобы рассчитывать относи-
тельные веса частных критериев, исходя из сформулированного
выше принципа, предполагается вычислить также для каждого
критерия минимально возможные его значения в допустимой об-
ласти mv . (Область допустимых решений предполагается конеч-
ной, следовательно Mv и mv — конечные числа.) Пусть =
= J/(Mv ~mv)._
Легко видеть, что 7<vv=l. Положим. ?(,= а
л-v •—1—Kv Тогда в качестве коэффициентов относительной важ-
ности частных критериев выберем av , определяемых из следую-
щих условий:
Можно также определять коэффициенты относительной важ-
ности а из условий (5.15), по nv при этом находить как среднее
Такой способ определения коэффициентов относительной важно-
сти зависит от области допустимых решений (5.13), (5.14). Из-
менение последней приводит к необходимости пересчета Mv и тч
и матрицы ||KV (X(°)v)||. Для определения коэффициентов относи-
тельной важности частных критериев можно воспользоваться
также одним из методов измерения альтернатив в шкале отноше-
ний (см., § 1.2). Рассмотрим алгоритм решения многокритериаль-
ной задачи линейного программирования [1].
0-я итерация. Для каждого из частных критериев Kv , ve{1,
..., s} определим максимальное значение Mv при ограничениях
(5.13), (5.14). Максимальные значения частных критериев образу-
ют вектор ЛУ°’ = (A4i(0), ..., Л4«(0))- Найдем по одному из указанных
выше способов линейную свертку частных критериев Ki, , Кл
X <z(0) 2 c<v> xh (5.16)
v=i v /-1 ' 1
При ограничениях (5.13), (5.14) определим оптимальное решение
задачи линейного программирования с целевой функцией,
(5.16).
Если эксперт, сравнивая вектор значений частных критериев
У(°)= (Ki (М°)), ..., К5(%(°))) с воктором Л4<°)= (М/0), ..., Ms*0'), при-
знает значения частных критериев /G(A’(°>), ..., КА°>) удовлетвори-
тельными, то Л<0> является решением многокритериальной задачи
156
шнейного программирования. В противном случае эксперт ука-
зывает пороговые значения для частных критериев, значения
которых он признал неудовлетворительными. Тем самым к огра-
ничениям исходной задачи добавляются ограничения вида
2
‘ v •
r-я итерация
Этап 1. Для каждого из частных критериев Kvve{l, ..., s}
определяем максимальное значение при ограничениях, скор-
ректированных на г—1-й итерации. Максимальные значения част-
ных критериев образуют вектор ЛТГ> = ..., М/Д.
Этап 2. Находим оптнхгалыюе решение A('j задачи линейного
программирования с ограничениями, скорректированными на
S п
г —1-й итерации и целевой функцией X а(г-б 2 коэф-
V—I /—1
фициепты относительной важности частных критериев которой
скорректированы па г —1-й итерации. Определим вектор значе-
ний частных критериев У(г>= (Д’, (МД, ..., КДМД) в точке Х^.
Этап 3. Эксперту предъявляются векторы значений частных
критериев МД У(л и И'-1). Если эксперт признает значения част-
ных критериев У« удовлетворительными и уменьшение значений
частных критериев относительно У^-Ч (если такое имеется) до-
пустимым, то — оптимальное решение задачи. В противном
случае эксперт может скорректировать коэффициенты относитель-
ной важности частных критериев. Их значения после корректи-
ровки сДД ..., a/A Для частных критериев, значения которых в
У<’> признаны неудовлетворительными, эксперт указывает порого-
вые значения К<Д. При этом эксперт имеет право для некоторых
частных критериев ослабить пороговые значения. Если после вве-
дения дополнительных ограничений задача линейного программи-
рования пе имеет допустимого решения, ослабление пороговых
значений по некоторым из критериев становится обязательным.
Переходим к этапу 1 г-\- 1-й итерации.
Алгоритм завершит работу, когда эксперт найдет удовлетво-
рительное значение частных критериев. При практическом исполь-
зовании данного алгоритма решения многокритериальной задачи
линейного программирования с участием эксперта целесообразно
попытаться заранее предсказать, значения каких частных критери-
ев могут оказаться неудовлетворительными, и провести (парамет-
рические расчеты, задаваясь несколькими пороговыми значения-
ми этих критериев. Несколько пороговых значений могут быть
указаны также непосредственно экспертом.
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Трудности, возникающие при решении .многокритериальных за-
дач нелинейного 1прог|раммироваиия, более значительны.
157
Рассмотрим пример решения многокритериальной задачи не-
линейного программирования с участием эксперта [16]. В качестве
прототипа выберем достаточно простой алгоритм Франка —
Вольфа, обладающий хорошей сходимостью [15, 150].
Сделаем следующие предположения. Множество допустимых
решений {Л'д} задано в явном виде системой нелинейных ограни-
чений. Оно компактно и выпукло. Оценки допустимых решений
по частным критериям Ki(A"), ..., KS(X) определяются по функци-
ональным зависимостям, заданным в явном виде. Обобщенный
критерий Л'(/<1(.А?), .., К,(Х)) предполагается дифференцируемым
и вогнутым на {MJ. Конкретный вид обобщенного критерия не-
известен.
Предварительно напомним алгоритм Франка — Вольфа. В каче-
стве начальной точки выбирается некоторое допустимое решение
Ме{Л’;,}. Пусть точка, найденная на предыдущей ите-
рации. Определим У/> как решение задачи
max V.YK(K,(Xh), ..., /<,(Х,;))У. (5.17)
Уе{Хд }
Тогда направление поиска Dk = Ylt—Хн. Величина шага th опреде-
ляется как решение задачи
max K(Ki (Хц + tDk), ..., K,(Xh + tDh)).
0</<1
В результате k-й итерации получаем точку Л\+1е{Лд} такую, что
K(Xk+i)^K(Xk). Через конечное число шагов приходим к опти-
мальному решению.
Если вид обобщенного критерия неизвестен, нельзя выбрать
ей направление поиска, пи величину шага. Чтобы получить ин-
формацию об обобщенном критерии, необходимую для реализации
алгоритма Франка — Вольфа, необходимо обращение к эксперту.
Рассмотрим, какая дополнительная информация от эксперта по-
требуется для реализации алгоритма. Задание начальной точки
можно осуществить и не зная вида обобщенного критерия. Его
можно осуществить, как обращаясь, так и не обращаясь к экспер-
ту. Рассмотрим градиент обобщенного критерия в точке Xk
V.YK(M(M), K»(Xh)) = 2 (5.18)
v~i \dKv/
где (dKJdK.v)h— производная обобщенного критерия по частному
критерию KV(X) в точке ..., KS(A\)), a\7xKv(Xh) ~~
градиент функции KV(X) в точке Хь.
Значение УА от деления (5.17) на константу не меняется. Пред-
ставив (5.17) с помощью (5.18) и разделив полученное выраже-
ние па (dK/dKi)k, если (<ЗК/дК1)'!>0, и на —(дК/дКСУ, если
(дД/дК|)*<0, получим
•’ (dKldKXk
max 2 -------VxKv[xh}Y.
v-1 (д К!д кУ
158
Отметим, что вместо (дК/дК1)к можно использовать любую
JK/дХ v)ky=0, ve{l, s}.
Неизвестными для нас являются весовые коэффициенты, ха-
рактеризующие относительную важность частных критериев
<V(X) и К\(Х), а точнее относительную важность приращений по
(9K/dKv)k
him в точке Xh: wk: =-----------Г Их и необходимо уста-
(дК/дК^
,’тановпть непосредственным обращением :к эксперту. Весовые
аэффпцпенты можно установить с помощью процедур, приве-
.енных в § 1.2. Естественно при этом остановиться на процедуре,
шбующеп сравнительно небольших временных затрат, поскольку
юращенпе к эксперту осуществляется, как правило, в ходе диа-
юга «эксперт—ЭВМ».
Определив с помощью оценок эксперта значения весовых ко-
эффициентов whj, получим возможность выбрать направление по-
иска в алгоритме Франка—Вольфа. Для контроля можно вмес-
то (дК/дК1)к использовать (д/С/дА\)fe, v¥=E сопоставив значения
коэффициентов относительной важности приращений по соответ-
ствующим частным критериям.
Для определения шага по выбранному направлению поиска
целесообразно поступить следующим образом. Нам необходимо
определить с помощью эксперта лишь значение переменной t. По-
строим зависимости Kv (Xk + tDh) от I, О^г^Т, v^{l, ..., s} и
предъявим их эксперту в качестве вспомогательной информации.
На основе ее анализа эксперт укажет нам недостающее значение
Информация, полученная от эксперта (назначение нм весовых
коэффициентов wht и значения th), достаточна для осуществления
А-й итерации алгоритма Франка — Вольфа.
Определение оптимального решения задачи осуществляется так-
же с участием эксперта, поскольку информацией об относительной
важности частных критериев обладает только эксперт. Требования
г. эксперту, предъявляемые в процессе процедур, предусматривае-
мых данным алгоритмом, существенно проще, чем определение
точного вида обобщенного критерия. Вопросы, на которые должен
ответить эксперт носят конкретный характер. Хотя эксперт указы-
вает лишь приближенные значения whi и th, тем не менее, как по-
казывает опыт применения алгоритма, сходимость процедуры при
этом остается достаточно хорошей.
Если определение коэффициентов относительной важности част-
ных критериев для эксперта оказывается затруднительным, мож-
но воспользоваться следующим методом, аналогичным предложен-
ному в работе [27]. Рассмотрим сначала случай, когда частные
критерии Кц(Х) являются выпуклыми функциями. Требуется най-
ти аддитивный обобщенный критерий
К(Х)= S сцХ(Х),
v=l
159
где av , ve{l, s}—коэффициенты относительной важности
критериев KV(X.), av^0, S av =1-
V—1
Введем av, так чтобы значения частных критериев в точке оп-
тимального решения обобщенного критерия К(Х) были как мож-
но ближе к их оптимальным значениям. Пусть Xv— точка, в ко-
торой частный критерий Kv (X) принимает оптимальное значение
(максимум пли минимум). Введем в рассмотрение
Qv (X) = \[KV (Xv)-Xv (X)]/Kv (Xv)|,
характеризующее относительную величину отклонения от опти-
мального значения критерия Kv (X). Отметим, что в точке Xv , на
которой Кх(Х) принимает оптимальное значение, QV(X v ) = 0. Чем
больше отклонение от оптимальной точки для KV(X), тем больше
значение Qv (X). Введем коэффициент 6V , характеризующий ус-
тойчивость частного критерия KV(X) в точке его оптимального
значения. Выберем некоторое е>0, как правило, достаточно ма-
лое, значение которого определяется в зависимости от конкрет-
ных условий задачи, е выбирается одинаковым для всех частных
критериев. Тогда положим 6v = max||Xv—Х||2, при условии, что
QvW<e.
Значение 6Vопределено так, что чем устойчивее частный крите-
рий в точке его оптимального значения, тем больше б0. Исходя из
сформулированного выше принципа выбора коэффициентов отно-
сительной важности частных критериев — принципа максимальной
близости их к оптимальным значениям в точке оптимального зна-
чения обобщенного критерия, в качестве av, целесообразно выб-
рать av = 6v
Таким образом, чем устойчивей частный критерий в точке оп-
тимального значения, тем меньше его коэффициент относительной
важности. Если Xv(X) = const, то av=0, а получим, нормируя,
значения av. Окончательный вид обобщенного критерия в этом
случае
Условие выпуклости частных критериев Kv (X) необходимо для
корректного определения 6V[27]. Рассмотренный способ введения
коэффициентов относительной важности можно распространить
и на тот случай, когда Kv (X) не обладает свойством выпуклости.
Для этого необходимо знать оптимальные значения частных кри-
териев. Если это оказывается по тем или иным причинам практи-
чески невозможным, значения 6V могут быть определены с помо-
щью непосредственного обращения к экспертам. В некоторых слу-
чаях эксперт может ограничиться указанием интервалов, в кото-
160
рых заключено значение av^6v Тогда для определения
значений коэффициентов относительной важности av можно вы-
бирать 6V = (av +b v)/2.
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДИСКРЕТНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Участие эксперта при решении многокритериальных задач ди-
скретного программирования также является необходимым. Точ-
ные алгоритмы решения задач дискретного программирования до-
статочно трудоемки и для большинства из них справедливы лишь
экспоненциальные оценки необходимого числа арифметических
операций. При наличии нескольких критериев трудоемкость ре-
шения задач возрастает. Поэтому использование человеко-машин-
ных процедур при решении этих задач представляется тем более
целесообразным.
К числу наиболее известных методов дискретной оптимизации
относятся методы отсечения [26], методы ветвей и границ [101],
теоретико-групповой подход [104]. Однако наиболее перспектив-
ными для организации человеко-машинных процедур решения
многокритериальных задач дискретного программирования пред-
ставляются комбинаторные алгоритмы, основанные па методе
ветвей и границ. Эти алгоритмы предусматривают поиск опти-
мального решения с помощью процедур направленного перебора
и опенок значения критерия оптимизации в подобластях допусти-
мых решений, полученных фиксированием значений части пере-
менные. Опыт эксперта (можно использовать как при определении
наиболее перспективных направлений поиска оптимального реше-
ния, при получении оценок для суженых областей допустимых ре-
шений, так и при установлении оптимальности полученного ре-
шения задачи. Перейдем к описанию алгоритма решения много-
критериальной задачи дискретного программирования.
r-я итерация
Этап 1. Эксперту предлагается схема реализованных на г—1
итерациях ветвлений, содержащая оценки верхних и нижних гра-
ниц оптимальных значений критериев оптимизации рассмотрен-
ных подобластей допустимых решений. Эксперт указывает наи-
более перспективную, <по его мнению, подобласть допустимых ре-
шений, в которой целесообразно осуществить дальнейший поиск
оптимального решения либо оценка которой позволит существен-
но сузить область поиска. В указанной подобласти эксперт фик-
сирует значения некоторого набора нефиксированных ранее пере-
менных. Тем самым формируется новая подобласть поиска G;.
Эксперта могут интересовать и различные значения фиксируемых
переменных. В этом случае формируется несколько новых (подоб-
ластей. Если все интересующие эксперта подобласти просмотрены,
переходим к этапу 4.
Этап 2. Для вновь указанных экспертом подобластей поиска
G[ определяем верхние и нижние границы BEv (G/) hHT(Gz) опти-
мальных значений по каждому из частных критериев KV(X). Это
можно осуществить, используя методы получения оценок для соот-
161
'W
ветствующих однокрптериальных задач. В некоторых случаях верх-
ние н нижние границы может указывать эксперт. Кроме того, вы-
бираем А’(г) достаточно хорошее допустимое решение, принадлежа-
щее подобласти Gr. Определяем вектор A(X<r>) = (/G (Х(г)), ...
..., /G(X(r)) значений, достигаемых частными критериями на ХМ.
Сравниваем его с векторами допустимых решений, полученных
на предыдущих итерациях. Если среди них не существует векто-
ра Х{1\ /е{1, ..., г—1} такого, что К(Х(Г>) ^A(X|Z'), вектор К(Х(Г>)
включается в множество Парето Пг. В этом случае Пг=
= /7r_1U{X(X(r))}. В противном случае Ylr=I7r-i. Выбор допусти-
мого решения Х<г> может также осуществляться с помощью экс-
перта.
Этап 3. Производим отсечение заведомо неперспективных по-
добластей Gi, пе содержащих решений, которые можно признать
наилучшими. Подобласть G, исключается из дальнейшего рас-
смотрения, если среди векторов найдется А(Х®) такой, что
А (Х(,)) BE(Gj. Для отсечения неперспективных областей мож-
но использовать также процедуру метода ЭЛЕКТРА (см. § 4.6).
При его использовании отсечение неперспективных областей мо-
жет происходить более интенсивно. Выбор пороговых .значений
<?о и do для индексов согласия и несогласия в этом случае регу-
лирует скорость сходимости алгоритма.
При отсечении подобластей можно использовать также обоб-
щенные критерии. Для этого после определенного числа итераций
эксперту предъявляется множество Парето Пг допустимых реше-
ний. На основании имеющейся информации эксперт может не-
посредственно указать коэффициенты относительной важности
частных критериев. Если эта процедура оказывается затрудни-
тельной для получения обобщенного критерия, можно использо-
вать метод, основанный на построении опорных гиперплоскостей
(см. § 4.3). Чтобы им воспользоваться, эксперту достаточно упо-
рядочить по предпочтениям точки множества Парето Пг или ука-
зать в нем некоторое число наилучших точек. Можно также ис-
пользовать и другие методы формирования обобщенного критерия
(см. гл. 4). Подобласть G, исключается из дальнейшего рассмот-
рения, если разность значений обобщенного критерия для наибо-
лее предпочтительного вектора из Пг и для вектора верхних гра-
ниц подобласти больше некоторого порогового значения.
Отсечение неперспективных подобластей может производиться
также по непосредственному указанию эксперта. Переходим к
этапу 1 r+1-й итерации.
Этап 4. После того как все перспективные подобласти допус-
тимых решений просмотрены, эксперту предъявляются в качестве
наилучших допустимые решения, принадлежащие Пг. Если число
векторов, образующих Пг, слишком велико, можно воспользовать-
ся одним из способов введения «усиленных» отношений предпоч-
тения на множествах Парето, используемых на этапе 3. Необхо- ,
димое число паилучших допустимах решений задачи может фик-
сироваться заранее.
162
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Большинство задач, возникающих при планировании, управле-
нии, прогнозировании, использует в той или иной степени эксперт-
ную информацию. Это объясняется различными причинами. В
частности, между точной математической моделью и (реальной си-
туацией, которую она описывает, существует, как правило, «за-
юр», и (.мы не (можем, к сожалению, утверждать, что применение
более тонкого и сложного математического аппарата для решения
сформулированной задачи всегда приводит к более точному ре-
зультату. Сказывается неточность исходных данных, неполная
адекватность математической модели и реальной ситуации и т. д.
Во многих случаях эксперт является единственным источни-
ком информации, на основании или с существенным использова-
нием которой принимаются ответственные решения. Это делает
необходимым развитие • методов анализа экспертной информации,
методов (решения задач, использующих экспертную информацию,
создание специального математического аппарата.
Мы далеки от мысли, что приводимые в книге результаты да-
ют окончательное решение рассматриваемых проблем. Некоторые
из них не лишены тех пли иных недостатков. Тем не менее они
могут оказаться полезными при решении практических задач и
стать предметом дальнейших теоретических исследований. В на-
стоящее время все большее число специалистов в СССР и за ру-
бежом признает актуальность (методов экспертного оценивания.
Их практическая значимость, наличие принципиально новых ма-
тематических задач позволяют надеяться, что у рассмотренной
нами области исследований есть будущее.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
МЕТОДЫ ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРТИЗ
Большое значение при экспертном оценивании придается методам организа-
ции и проведения экспертиз.
Сначала обсудим наиболее простые из них: метод комиссий, суда и метод
мозговой атаки, затем рассмотрим один из наиболее разработанных и распро-
страненных в практике экспертных оценок — метод Делфи. Далее остановимся
на методах организации и проведения экспертиз, необходимых при анализе слож-
ных иерархически структурированных систем.
Метод комиссии состоит в открытой дискуссии по обсуждаемой проблеме для
выработки единого мнения экспертов. Коллективное мнение определяется в ре-
зультате открытого или тайного голосования. В некоторых случаях к голосова-
нию нс прибегают, выявляя результирующее мнение в процессе дискуссии. Пре-
имущества метода комиссий: возможен рост информированности экспертов, по-
скольку при обсуждении эксперты приводят обоснование своих оценок и обрат-
ная связь — иод воздействием полученной информации эксперт может изменить
первоначальную точку зрения.
Однако метод комиссий обладает и недостатками. К их числу, прежде всего,
относится отсутствие анонимности. Оно может приводить к достаточно сильным
проявлениям конформизма со стороны экспертов, присоединяющих свои мнения
к мнению более компетентных и авторитетных экспертов даже при наличии про-
тивоположной собственной точки зрения. Дискуссия часто сводится к полемике
163
наиболее авторитетных экспертов. Существенным фактором становится и рад.
личная активность экспертов, не всегда коррелированная с нх компетентностью
Кроме того, публичность высказываний может приводить к нежеланию пекото^
рых экспертов отказаться от ранее высказанного мнения, даже если оно в про-
цессе дискуссии претерпело изменения.
Экспертиза по методу суда использует аналогии с судебным процессом. Часть
экспертов объявляется сторонниками рассматриваемой альтернативы и выступает
в качестве защиты, приводя доводы в пользу рассматриваемой альтернативы.
Часть экспертов объявляется ее противниками и пытается выявить отрицатель-
ные стороны. Часть экспертов регулирует ход экспертизы и выносит окончатель-
ное решение. В процессе экспертизы по методу суда «функции» экспертов мо-
гут меняться. Метод суда обладает теми же преимуществами и недостатками,
что и метод комиссий.
Одним из наиболее применяемых в 50—60-х гг. методов проведения экспер-
тиз являлся метод мозговой атаки [129]. Основная его направленность — выяв-
ление новых идей. Для этой цели организаторы экспертизы должны создать ат-
мосферу, наиболее благоприятствующую генерированию идей, атмосферу благо-
желательности, поддержки, освобождающую эксперта от излишней скованности.
Обсуждаемая проблема должна быть четко сформулирована. Любая высказыва-
емая экспертами идея должна быть обсуждена и не может объявляться ложной
даже при ее почти очевидной бесперспективноеги.
В методе мозговой атаки существенная роль принадлежит руководителю,
проводящему экспертизу. Руководитель знает о конечной цели экспертизы, на-
правляя дискуссию в соответствующее русло. Отметим, что если руководитель
стремится выделить лишь перспективные, с его точки зрения, идеи, результат
экспертизы оказывается менее значительным. В настоящее время метод мозго-
вой атаки применяется реже, хотя его элементы используются в более сложных
и совершенных экспертных процедурах.
Метод Делфи
Метод Делфи, разработанный Хелмером п Делки является одним из основ-
ных методов проведения экспертиз [103]. В настоящее время он представляет со-
бой, по существу, группу методов, объединенных общими требованиями к орга-
низации экспертных процедур и форме получения экспертных оценок.
В методе Делфи предусматривается создание условий, обеспечивающих наи-
более продуктивную работу экспертной комиссии. Это достигается анонимностью
процедуры с одной стороны и возможностью пополнить информацию о предмете
экспертизы с другой стороны. Сочетание этих двух факторов во многом опреде-
ляет метод Делфи. Еще одно его важное свойство — обратная связь, позволяю-
щая экспертам корректировать своп суждения с учетом промежуточных усред-
ненных оценок и пояснений экспертов, высказавших «крайние» точки зрения. Для
реализации обратной связи необходима многотуровая процедура. Экспертизы по
методу Делфи проводятся чаще всего в 4 тура.
Па первом туре экспертам сообщается цель экспертизы и формулируются
вопросы, ответы на которые составляют основное содержание экспертизы. Воп-
росы предъявляются каждому эксперту персонально в виде анкеты, иногда со-
провождаемой пояснительной запиской [80]. Для этой цели можно использовать
телетайп ЭВМ [13]. Если предъявляемые экспертам вопросы достаточно слож-
ны, целесообразна предварительная разработка приближенной модели исследу-
емой системы, чтобы правильно ориентировать эксперта, конкретизировать цели
и предмет экспертной процедуры, показать характер возможных ответов [103].
Успеху экспертизы способствует предоставление эксперту дополнительной ин-
формации о предмете экспертизы. Информация, полученная от эксперта, посту-
пает в распоряжение аналитической группы, обеспечивающей организацию, про-
ведение, обработку промежуточных и окончательных результатов экспертизы.
Аналитическая группа определяет экспертов, высказавших «крайние» точки зре-
ния, давших самую высокую и самую низкую оценку альтернативе, усредненное
мнение экспертов — медиану, верхнюю н нижнюю квартили, т. е. значения оце-
ниваемой альтернативы, выше и ниже которых расположены 25% численных зна-
чений оценок. Расстояние между квартилями характеризует разброс экспертных
164
оценок, их среднеквадратическое отклонение и тем самым характеризует согла-
сованность точек зрения экспертов.
На втором туре делфийской процедуры экспертам предъявляются усреднен-
ная оценка экспертной комиссии и обоснования экспертов, высказавших «край-
ние» точки зрения. Обоснования предъявляются анонимно, без указания давших
их экспертов. После получения дополнительной информации эксперты, как пра-
вило, корректируют свои оценки [143]. Скорректированная информация вновь
поступает в аналитическую группу. Третий и четвертый туры ие отличаются от
второго. Характерной особенностью метода Делфи является уменьшающийся от
тура к туру разброс опенок экспертов, пх возрастающая согласованность. Одна-
ко иногда наблюдается поляризация различных точек зрения, что может объяс-
няться наличием среди экспертов представителей различных научных школ, спе-
циалистов различных профилей. Полезность делфийских процедур в этом случае
состоит в выяснении точек зрения групп экспертов. Наличие поляризованных то-
чек зрения экспертов может стать и следствием неодинаковой интерпретации
исходной информации, недостаточно четко сформулированных вопросов, неодно-
значно понимаемых целей экспертизы.
В некоторых случаях согласованная точка зрения экспертов может быть
получена уже после второго или третьего туров. Тогда необходимость проведе-
ния последующих туров отпадает. При некоторых исследованиях потребовалось
проведение не менее пяти туров. В настоящее время не существует окончатель-
ного мнения о необходимом числе туров делфийской процедуры. Оно во многом
определяется спецификой экспертизы и ее целями. Однако на практике ограни-
чиваются, как правило, четырехтуровыми экспертизами.
Таким образом, анонимность суждений, обоснование точек зрения экспертов,
давших крайние оценки, обратная связь, реализуемая с помощью мпоготуровой
процедуры,— основные особенности метода Делфи.
Дополнительная информация может помочь эксперту принять правильное ре-
шение. Опыт проведения экспертиз и др. подтверждает, что изменение оценок
экспертов часто приближает их к истинным оценкам, особенно экспертов, обла-
дающих высоким уровнем компетентности [13, 103 и др.]. В настоящее время ис-
следованию и развитию метода Делфи посвящено достаточно большое количест-
во работ [119, 143 п т. д.]. В работе [103] указывается возможность уточнения
результатов экспертных оценок за счет определения относительного уровня ком-
петентности экспертов и выявления результирующей оценки лишь для экспертов
с достаточно высоким уровнем компетентности. Учет неодинаковой компетентно-
сти экспертов возможен также с помощью взвешенной средней, когда в качестве
весовых коэффициентов при ее расчете используются коэффициенты, характери-
зующие компетентность экспертов.
В работе [122] предлагается изменить механизм обратной связи. Экспертам
сообщается нс медиана, играющая роль результирующей оценки альтернативы,
а лишь квартили пли децили. Это позволяет несколько смягчить оказываемое
па экспертов давление.
Перспективной представляется процедура последовательного экспертного оп-
роса [66, 67]. Эта процедура предусматривает последовательное расширение кру-
га экспертов, участвующих в экспертизе. Эксперт, включаемый в состав комис-
сии па очередном туре процедуры, представляет обоснование данной нм оценки
и знакомится с обоснованиями оценок экспертов, привлеченных ранее. Его обос-
нование с сохранением принципа анонимности сообщается всем привлеченным ра-
нее экспертам. Каждый из них должен либо подтвердить свою прежнюю оцешку,
либо внести соответствующие коррективы. Процедура завершается, когда оценки
экспертов стабилизируются.
Предложенная процедура обладает следующими преимуществами: отсутству-
ет давление на эксперта усредненного мнения комиссии; эксперты получают боль-
ше информации в виде аргументации оценок всех участвующих в экспертизе экс-
пертов. Однако она чувствительна к изменению порядка подключения экспертов.
Подключение сначала наиболее компетентных экспертов, обладающих основным
объемом информации, приводит к более быстрой стабилизации оценок, но время,
затрачиваемое при этом наиболее компетентными экспертами, увеличивается [67].
В заключение отметим, что несмотря на указанные недостатки, метод Делфи
является достаточно надежным инструментом получения экспертной информации.
165
Другую группу образуют методы, предназначенные для анализа сложных си-
стем. К их числу относятся метод решающих матриц [73, 57], метод прогнозного
графа [11, 51, 52], ПАТТЕРН [47, 123], КУЕСТ [120], метод проблемных сетей
[68, 69] к др. Остановимся подробнее на двух из них.
Метод решающих матриц
Этот метод — один из первых методов сложных экспертиз—предложен в
1966 г. Г. С. Поспеловым и использован при решении проблемы планирования
средств на фундаментальные исследования. Он может быть использован при
планировании фундаментальных исследований, необходимых для создания средств
автоматизации, систем управления, в радиотехнике, радиоэлектронике и т. д. Для
решения проблемы предлагалось выделить основные направления исследований
и указать их относительные веса а,,..., а„ а- Возможные способы определения
весовых коэффициентов обсуждались в § 1.2. Относительные веса должны быть
пронормированы:
О1+ • а — 100.
Для осуществления программы научных исследований необходимо выпол-
нение программы соответствующих опытно-конструкторских работ, обладающих
относительными весами рь..., 3 ™ р- Последние требуют выполнения программы
прикладных исследований, обладающих относительными весами уь ..., уПу- На-
конец, для их реализации необходимо выполнение программы фундаментальных
исследований, обладающих относительными весами ..., .
В методе решающих матриц эксперт должен указать относительный вклад
каждой альтернативы в реализацию альтернативы более высокого уровня, не-
посредственно предшествующего уровню данной альтернативы. Так, например,
вклад опытно-конструкторской работы р,- для реализации цели а,- равен неко-
торой величине а,;. Для каждой опытно-конструкторской работы 0,- относи-
тельные веса а,,- также пронормированы:
па
2 ац = 100.
/=1
Таким образом, каждая строка решающей матрицы jlatjl! характеризует отно-
сительный вклад i-ii опытно-конструкторской темы в реализацию каждого из
основных направлений исследований. Предполагая заданными относительные
веса направлений а,.... «>< и используя решающую матрицу [|czjj|l, можно
получить относительные веса опытно-конструкторских работ:
Pi = if ciijaj.
/--1
Аналогично, зная р,, можно получить относительные веса прикладных у,, а за-
тем и фундаментальных 6, исследований.
Оценка относительной важности сложной альтернативы свелась к после-
довательности оценок более частных альтернатив, которые эксперт способен
осуществить. Эта идея замены сложных экспертных оценок последовательностью
более простых используется и в других методах проведения сложных экспертиз.
Метод прогнозного графа
Широкое применение метод экспертных оценок находит при прогнозиро-
вании. Качество прогноза во многом зависит от корректно и правильно орга-
низованной экспертизы, от правильно обработанных результатов экспертных
оценок. Одним из наиболее популярных методов сложных экспертиз, используе-
мых при прогнозировании в пашей стране, является метод прогнозного графа,
созданный авторским коллективом во главе с В. М. Глушковым. Он, в част-
ности, использовался при прогнозировании научных и технических работ, необ-
ходимых при создании технических средств обработки информации, при оценке
166
перспектив развития вычислительной техники. Существенной частью метода
прогнозного графа является коллективная экспертиза но формированию набора
исходных проблем. Каждым из экспертов разрабатывается матрица «цель —
средства», в которой указываются цели, необходимые для достижения глобаль-
ной, а также средства достижения каждой из них. Количественные оценки экс-
пертов используются при определении относительной важности научных на-
правлений, вероятности осуществления событий, времени их совершения и т. д.
Характерной особенностью экспертиз, предусматриваемых в методе прогнозного
графа, является их многоэтаипость.
Центральная процедура метода — формирование прогнозного графа. На
первом туре экспертизы составляется предварительный список промежуточных
целей, необходимых для достижения конечной, указывается отношение подчи-
ненности. Эта экспертная информация используется при определении списка
целей для второго тура экспертизы. Эксперты, участвующие в первом туре
экспертизы, указывают специалистов, способных оценить возможность реализа-
ции каждой из указанных ими промежуточных целей, и, более того, способ-
ных осуществить данную цель.
На втором туре экспертизы анализу подвергается уже не конечная цель, а
промежуточные цели, сформированные экспертами в первом туре. Экспертам
второго тура для более полного представления о характере и структуре вза-
имосвязей объекта оценки целесообразно предъявить фрагмент графа, кото-
рому принадлежит оцениваемая цель. Эксперты второго тура обладают правом
корректировать цели более высокого уровня, сформулированные экспертами
первого тура. После второго тура экспертизы целесообразно проверить, не воз-
никли ли в прогнозном графе циклы или тупиковые вершины. Если таковые
возникли, необходимо их устранить. Это можно достигнуть повторным обраще-
нием к экспертам с указанием возникших противоречий.
Последующие туры экспертизы аналогичны второму. Процедура заканчи-
вается, когда мы доходим до уровня целей, для реализации которых нет не-
обходимости проводить дополнительные исследования и разработки. На основе
полученной информации формируется прогнозный граф, при формировании ко-
торого предусмотрены дополнительные алгоритмы выявления циклов и тупико-
вых событий и их устранение. Следующим этапом является привлечение доста-
точно представительной группы экспертов, способных оценить каждую из пред-
ставленных в прогнозном графе вершин — целей.
Далее проводятся численные оценки целей прогнозного графа. В частности,
оценивается время возможного завершения события — время осуществления
цели. Пусть tj — время завершения события по оценке /-го эксперта, е,- — от-
носительный вес /-го эксперта. Тогда возможное время завершения v-ro собы-
тия 1(SV) определяется из соотношения
т v I mv
t(Sv)= ^tjvj 2 v}. (П.А.1)
I /--I
Аналогично определяются стоимостные характеристики событий. В этом случае
в соотношении (П.А.1) вместо tj используются стоимостные оценки события.
Несколько более сложным является расчет вероятностных оценок прогноз-
ного графа. Так вероятность Ps реализации условий, необходимых для осуще-
ствления цели, по мнению /-го эксперта равна
Pj = Pjl' Pjl • 'Pjnj,
где Pj,, Pj2,..., Pjn — вероятности осуществления отдельных независимых
условий. Вероятность осуществления события Sv но оценке /-го эксперта
Pj(Sv)^Pj.Pv.'
где Р у j— вероятность совершения v-ro события по оценке /-го эксперта при
условии осуществления всех необходимых условий.
Определение вероятности совершения события Sv производится следующим
образом. Вычисляются условные вероятности
167
P(3r/3t) =
Р(ЭгЛЭ!)
P(3,)
где ЭГДЭ, — совместное осуществление условий, предполагаемых r-м и /-м
экспертами, P(9i) — вероятность осуществления условий, предполагаемых Z-m
экспертом.
Если Р(Э,/Э() 2? 0,5, то оценки r-го и 1-го экспертов усредняются. Усреднение
производится по формуле
Prl= (PrVr+PlVl)/(Vr+Vl).
Результирующей оценке экспертов присваивается вес:
1>г/ = тш(щ, щ).
Значения Pri и vri считаются соответственно оценкой вероятности и относи-
тельным весом некоторого нового эксперта.
Если после усреднения оценок вероятности, указанных экспертами, для ко-
торых Р(ЭГ/Э,) ^0,5, осталось более одного эксперта, то P(SV) определяется
по формуле
к
где Pj ; — оценки вероятности экспертов, не «поддающихся» объединению.
Иногда для оценок вероятностей осуществления событий используются бо-
лее сложные способы. Могут рассматриваться экспериментальные функции рас-
пределения вероятности Pv(t) осуществления v-ro события к моменту времени Z.
С использованием экспериментальной функции распределения могут определять-
ся коэффициенты информационной значимости и важности события. В част-
ности, коэффициент важности события Sv
S «z I Av I
Z^=—s-----------------
S at
z=i
где ai — относительные веса конечных событий, для осуществления которых
необходимо осуществление события Sv, а Д v£; — приращение матожидания,
если распределение Pv(t) заменить распределением Р
Коэффициенты важности используются при составлении на основе прогноз-
ного графа планов достижения промежуточных целей. Планом будет являться
подграф прогнозного графа, корень которого — конечная цель плана. В план
входят все события, необходимые для осуществления конечной цели.
В общем случае для осуществления конечной цели может существовать
много вариантов плана. Чтобы сократить число альтернативных вариантов пла-
на, вводится расстояние на множестве планов. Близость планов Qi и Q? может,
например, определяться по формуле
d(Qi, QP) -1 —А^/ЛЧ,
где Ni, — число общих целей и общее число различных целей в планах Qi
и (?2- Если варианты планов близки, то с помощью повторных экспертиз мож-
но попытаться прийти к единому варианту плана. В противном случае целесо-
образно провести дополнительную экспертизу. Если прийти к единому варианту
плана невозможно, предпочтение отдается целям, обладающим большим значе-
нием коэффициента важности.
В методе прогнозного графа предусмотрены стандартизованные формы об-
ращения к экспертам, указываются основные принципы построения анкет экс-
пертных оценок. Определенный интерес представляет метод проблемных сетей
[68. 69], позволяющий получать более обоснованные количественные оценки
альтернатив при сложных экспертизах.
168
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ЭКСПЕРТА
Для проведения экспертиз должны быть отобраны компетентные эксперты,
хорошо знакомые с предметом экспертизы, обладающие достаточным опытом,
способные выносить обоснованные объективные суждения. Оценка качества
эксперта представляет собой достаточно сложную и многогранную проблему,
исследованию которой посвящено значительное количество работ [2, 80 и др.].
Напомним основные методы оценки качества экспертов, более подробно оста-
новимся па методе оценки непротиворечивости суждений н укажем один из
возможных способов объективизации оценок 'эксперта при наличии конъюнктур-
ных интересов.
Документационный метод предполагает оценку качества эксперта на осно-
вании таких документальных данных, как число публикаций и ссылок па работы
эксперта, ученая степень, стаж, занимаемая должность и т. д.
Тестовый метод предполагает отбор экспертов на основании решения ими
тестовых задач, в которых отражена специфика предмета экспертизы. В ка-
честве теста могут рассматриваться результаты участия эксперта в аналогичных
экспертизах.
Достаточно часто используются методы взаимооцевкп и самооценки экспер-
тов. Взаимооцснка осуществляется, как правило, двумя способами. В первом из
них каждый предполагаемый член экспертной комиссии оценивает компетент-
ность, объективность и т. д. других предполагаемых экспертов. Во втором —
оценку качества предполагаемых экспертов осуществляет аналитическая груп-
па, которой поручена организация и проведение экспертизы. При самооценке
определение степени знакомства с предметом экспертизы, компетентности и т. д.
в достаточно детализированном виде осуществляется самим экспертом. Взаимо-
оценка н самооценка экспертов может носить как качественный, так и количе-
ственный характер. При оценке качества эксперта могут также использоваться
и другие методы.
Рассмотрим подробнее метод оценки непротиворечивости суждений экспер-
та. Опыт проведения экспертиз показывает, что эксперт далеко пе всегда по-
следователен в своих оценках. Особенно часто непоследовательность экспертов
проявляется при использовании метода парных сравнений. Так, например,
эксперт может считать альтернативу а, более предпочтительной, чем а,-
альтернативу а; — более предпочтительной, чем а/(алд>«/) и вместе
с тем альтернативу а, — более предпочтительной, чем а, (а(>«г). При раз-
биении альтернатив на классы эксперт может считать принадлежащими одному
классу пары альтернатив а,- и aj(a,- ~ aj, aj и a/(aj~ai) и в то же время не
считать принадлежащими одному классу альтернативы а,- и «/(а,-*- щ). Такая
непоследовательность объясняется различными причинами. С одной стороны,
решающее влияние может оказывать специфика проводимой экспертизы, нали-
чие сложной .многокритериальной системы предпочтений у эксперта или много-
критериального принципа разбиения альтернатив на классы. С другой стороны,
причиной непоследовательности эксперта может служить недостаточное его зна-
комство с предметом экспертизы, недостаточно четкая формулировка вопросов,
обращенных к эксперту, отсутствие четкого представления о цели экспертизы.
Выявить конкретные причины непоследовательности эксперта может лишь спе-
циально проведенный анализ.
Число противоречивых суждений может быть относительно мало или вели-
ко. Чем меньше их высказывает эксперт, тем более последователен он в своих
оценках. Чтобы определить степень непротиворечивости наряду с числом у вы-
сказанных экспертом противоречивых суждений, необходимо определить макси-
мально возможное число ута1 противоречивых суждений при парном сравне-
нии всех рассматриваемых альтернатив. Коэффициент непротиворечивости 1] су-
ждений эксперта (иногда его называют коэффициентом совместности) опреде-
ляется по формуле [132, 108]
П = 1—Y/Ymax. (П.Б.1)
Рассмотрим сначала случай парных сравнений п альтернатив по предпочте-
ниям. Пусть эксперт производит п(п—1)/2 парных сравнений, причем для каж-
169
дой пары альтернатив он указывает наиболее предпочтительную. Результат
парных сравнений можно представить в виде матрицы ||а,-/.| с элементами
( 1, если а,- предпочтительней, чем а;,
CL i j = 1
[О—в противном случае.
При классификации альтернатив результат представляется в виде матрицы с
элементами
[ 1, если а; и aj принадлежит одному классу,
агу = '
;0 — в противном случае.
Полные направленные графы, с помощью которых могут быть представлены
результаты парных сравнений при оценке предпочтительности, называются тур-
нирами [102]. Противоречивость суждений экспертов приводит к образованию
в турнире циклов. Пиклы произвольной длины всегда содержат цикл длины 3.
Наличие циклов длины 3 в турнире определяет наличие противоречий в сужде-
ниях эксперта, представленных с помощью данного графа. Поэтому' число цик-
лов длины 3 является характеристикой непротиворечивости суждений эксперта.
Способы определения значений у и ушах в настоящее время хорошо изве-
стны [23]. ушах определяется числом альтернатив, подлежащих сравнению:
у «(«2 — 1)/24, если п — нечетно,
( п(п2—4)/24, если п — четно.
Для определения значения у необходимо вычислить так называемые строчные
п
суммы S;= 2 a;j. Зная число альтернатив, подлежащих сравнению, и строчные
/=1
суммы Si, ie{l,..., п}, можно рассчитать
Y = ^- I С1
1—1 г
или иначе
п
У= ~-п(п— 1) («—2)— 1)-
Пусть теперь эксперт, наряду с указанием наиболее предпочтительной из
пары альтернатив, указывает и равноценные альтернативы. В этом случае оцен-
ка непротиворечивости эксперта становится несколько более сложной. Приведем
способ расчета коэффициента непротиворечивости, полученный Т. А. Казанской.
В исследуемом случае возможны следующие нарушения свойства транзитив-
ности [74]:
1. a^aj, aj^ai, ai^at,
2. at~aj, aj = at, a^ai,
3. a ai = ai.
Число троек альтернатив, на которых произошло нарушение свойства тран-
зитивности соответствующего типа обозначим через у(, уг, Тз- Как показано
Т. А. Казанской, непосредственный анализ структуры нарушений транзитивно-
сти приводит к следующим соотношениям:
п п п п п п
г=1 /=1 1—1 /—1 г=1 /=1
170
Y3 — S Sbjj(l dij).
n
где b,--,— S aikahi, йц—ац+ан,
k^l
ca= S dikdifj.
k-l
Формула для расчета у1Пах имеет вид
' (13/13—24/12—4л)/96, если n — 4k,
(13/13—24п2—19«4-30)/96, если п=4*+1,
Ymax (13/13—24/i2 16«)/96, если /1-4&+2,
(13/13—24лг2 -19«+18)/96, если /1 = 46+3.
Коэффициент непротиворечивости
Т)- 1 —(У1+Уг+?з)/Уп>ах.
Аналогично вводится коэффициент непротиворечивости при экспертной клас-
сификации альтернатив [64, 65]. Суждение эксперта о тройке альтернатив as,
aj, ai противоречиво тогда и только тогда, когда
аг~ад aj~ai, а, + at.
(П.Б.2)
Если воспользоваться
тированного графа (см. §
натив в нем соответствует
Любое противоречивое суждение, высказанное экс-
пертом при классификации относительно произ-
вольного числа альтернатив обязательно содержит
высказывание типа (П.Б.2) относительно некото-
рой тройки альтернатив, а любой «противоречи-
вый» подграф соответствующего неориентирован-
ного графа содержит вилку.
Для оценки степени непротиворечивости экс-
перта при классификации альтернатив снова вос-
пользуемся соотношением (П.Б.1). Необходимо
представлением суждений эксперта в виде пеориеи-
1.1), то противоречивому суждению о тройке альтер-
вилка (см. рис. П.Б.1).
aL
определить максимально возможное число уШах
противоречивых суждений эксперта о тройках аль- рис П.Б.1.
тернатив и число противоречивых суждений у, вы-
сказанных экспертом. Задача оценки максимально возможного числа противоре-
чивых суждении эксперта о тройках альтернатив эквивалентна задаче опреде-
ления максимального числа вилок в соответствующем графе. Как показано в ра-
боте [64],
I п2(п—2)/8, если п - четно,
: (п2—1) (п—2)/8, если п—нечетно.
Значение у можно получить па основании результатов о числе вилок в не-
ориентированном графе, приведенных в работе [65],
-2
1г (Д' 3)
2
где tr (Д'3) — след матрицы Д'3, Д' получается из lia/jll заменой элементов
а.ц, tefl, .... п] на 0, a d; — степень i-й вершины в графе, матрицей смежно-
сти которого является Д'.
В условиях ограниченного числа экспертов к участию в экспертизе прихо-
дится привлекать специалистов, небезразличных к результату оценки тех или
иных альтернатив. Такие ситуации могут возникать, например, при решении
вопроса о финансировании научно-исследовательских работ с привлечением их
171
руководителей, при распределении ресурсов па производстве и т. д. При прове-
дении указанных экспертиз на результат работы комиссии существенное влияние
может оказать фактор конъюпктурпости эксперта [84].
В работе [46] предложен способ оценки степени коиъюпктуриости эксперта,
основанный на использовании априорной информации о конъюнктурных предпо-
чтениях эксперта и усредненных оценок экспертной комиссии. Вводится матрица
конъюпктурпости эксперта, в которой находят отражение его «собственные»
интересы.
Приведем пример формирования матрицы конъюнктурирсти. Пусть эксперт
работает над темой использует в своей работе результаты, полученные при
разработке темы а2 и никак не связан с темой а3. Тогда предпочтения относи-
тельно «собственных» интересов данного эксперта таковы: аС^аг)>а3 и обра-
зуют неметризованное ранжирование альтернатив, матрица отношений (см. § 1.1)
которого
/ 0 1 1\
— 1 0 1
\ — 1 — 1 0/
и является в данном случае матрицей конъюнктурное™. Если оценки экспертов
в процессе экспертизы носят количественный характер, то целесообразно вос-
пользоваться метризованными ранжированиями, например (од, аг)^Р, ptz = 2
(щ предпочтительнее, чем а2, в 2 раза), (а2, о.,)еР. р23 = о, (at, a.ijeP, /513=10.
В этом случае матрицей конъюпктурпости будет
/1 2 10Х
1/2 1 5 .
\1/10 1/5 1 /
Способы получения матрицы конъюпктурпости могут быть различными, яв-
ными, как в приведенном примере, так и неявными. Приведем пример неявного
получения информации о «собственных» предпочтениях эксперта. Пусть
Л1(<51), • • , M(Qm) — матрицы конъюнктурпостп экспертов, участвующих в экс-
пертизе.
В результате экспертизы каждый эксперт указывает пемстризоваиное пли
метризованное ранжирование альтернатив по определенному критерию. Вос-
пользовавшись мерами близости между ранжированиями (см. гл. 2) d(Pv, Р^),
v, ре{1, ..., т}, в качестве результирующего ранжирования Р* рассмотрим
медиану Кемени — ранжирование наименее удаленное от ранжирований каж-
дого из экспертов Р>, ..., Рт, т. е. минимизирующее
т
Pv).
Получив медиану Р* и полагая, что она является некоторой объективной
оценкой сравнительной предпочтительности объектов, введем коэффициент конъ-
юнктурное™ (необъективности) эксперта
d(P„, Р*)
КУ . - ’
d (Qv, Р*)
где <2V¥=P*.
Итак, пусть Pv — ранжирование, указанное v-м экспертом в результате
экспертизы, Р* — медиана ранжирований всех экспертов, <3V — «конъюнктур-
ное» ранжирование, отражающее интересы v-ro эксперта. Будем предполагать,
что ранжирование Pv лежит между ранжированиями Р* и (см. гл. 2), т. е.
[Р*, Pv, Qv]. Для неметризовапных ранжирований это означает, что порядок
любых двух альтернатив в Pv совпадает с порядком альтернатив либо в Р’>
либо в <5V , а кроме этого в Pv альтернативы могут быть признаны равноцен-
ными, если в Р* и их упорядочения противоположны.
172
Для метризованных ранжирований это означает, что <7
где p*ij, p^ij, q^ij — элементы матриц метризованных ранжирований.
Из того, что [₽*, Р v, Qv] следует d(P*, Qv)=d(P*, Pv)+d(P v, Qv), а по-
скольку d(P*, ₽v)^0, d(Pv, Qv) >0, to d(P*, Q4.)'^d(P*t Pv) и, следователь-
но, 0CKv£gl. Если PV=P*, то Kv=0, если PV = QV, то Л\,= 1.
Зиая коэффициенты коиъюнктурпости каждого эксперта, можно получить
более достоверное результирующее ранжирование, формируя матрицы ранжи-
рований M(PV) эксперта с учетом коэффициентов коиъюнктурпости (например,
p';j(v)=(l—XvJ/5ij*v)) и беря в качестве результирующего ранжирования Р'*
ранжирование, минимизирующее
2 d(P, К-)-
v—1
Многотуровые процедуры объективизации экспертных оценок, позволяющие
их корректировать с учетом коэффициентов конъюпктурности, рассматриваются
в работе [45].
ПРИЛОЖЕНИЕ В
ОЦЕНКА СОГЛАСОВАННОСТИ И ТОЧНОСТИ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК
Одна из основных целей проведения экспертиз — получение согласованного
мнения членов экспертной комиссии. Согласованность экспертов оценивается с
помощью коэффициентов ранговой корреляции и конкордацпп. Коэффициенты
ранговой корреляции оценивают согласованность ранжирований альтернатив
двумя экспертами, коэффициенты конкордацпп — согласованность ранжирований
всех членов экспертной комиссии либо их части [23].
Введем сначала коэффициенты, характеризующие согласованность двух стро-
гих ранжирований Pv и Р^ . Каждому ранжированию соответствует матрица
отношений с элементами
Коэффициент ранговой корреляции т, введенный Кендаллом, имеет вид
2 2 р?’ pW
£_I 11 Pl' 25
т =--------------- или т=----------,
п(п — 1) п (п — 1)
где 5= <2 pMt] p(Wij.
Пусть г <v)i и гЫ). —ранги альтернативы а;, ;ен{1, ..., п} соответственно в
v-м и pi-м ранжированиях. Согласованность ранжирований можно оценивать
и с помощью рангов альтернатив. Коэффициент ранговой корреляции, введенный
для этой цели Спирменом, имеет вид
2 2 ( Av) - Av)) ( AW - AW)
P n n
2 2 ( Av> - A.v>)2
t=i /.^1' ' ‘ '
С помощью элементарных преобразований можно убедиться, что
п
p=1__^L_ rAeS(d2)=V(r<v>_,(W)2-
п (п2 — 1) 4 '
1=1
173
Легко заметить, что и т и р являются частными случаями обобщенного
коэффициента ранговой корреляции
Г“ Г—г----------п------------ ’ (ПВ*)
при этом рМц =pWii=0, p{v'>ij = —p{v)ii, pwij=—pwji-
Для получения коэффициента т, р^ц и определяются по (П.В.1).
Легко убедиться, что £ X 'а — X X Р^^И ~ п(п 0- Положив
1—1 1 1=1 j--l
p{v\j =r^j—riv\, p^hj =r(u); —r (u)j, получим коэффициент ранговой
корреляции Спирмена.
Отметим некоторые свойства коэффициента Г. Из неравенства Коши —
Шварца
/ И П „ А 2 П П ч п II
( у v n(v) П(Д) ] <-" У у n(v)2 у v П(Ц) 2
следует, что —1 5Д ГгД 1. Если ранжирования Pv и совпадают, то Г=1,
если противоположны, то Г = — 1. Г = 0 соответствует случаю, когда ранжиро-
вания независимы.
При наличии связных рангов появляются значения p,j = O. При определении
т, если а, и aj равноценны, то р,, = 0. При определении коэффициента р рц =
= г;—ri. Поэтому коэффициенты ранговой корреляции принимают следующий
вид:
__________ S________________________
Т ~ У 1/2«(л—I) —Т У 1/2п(л—I) —£7 ’
_ 1 /6 (и3 — n) — S (d2) — T — U
р ” У [’i/6(/i3—«)—2Г]'[Т/б(«з—«)—2t/]- ’
1 п 1 п
где Г=—X ti(ti—1); U=— X u,(и,— 1); /, — число повторений Его ранга в
2 i= 1 2
ранжировании Pv; и, — число повторений i-го ранга в ранжировании Р^.
Если т экспертов (т>2) указали ранжирования альтернатив по предпо-
чтениям, то оценить согласованность экспертов можно с помощью коэффициента
конкордации. Если мнения всех экспертов, указавших строгие ранжирования
альтернатив, совпадают, сумма рангов для наиболее предпочтительной альтер-
нативы равна т, для следующей за пей по предпочтительности 2m и т. д.
Сумма рангов для наименее предпочтительной альтернативы пт. Значение
суммы рангов увеличивается последовательно от т до пт, среднее значение
суммы рангов т(л+1)/2. Вычтем из каждой суммы рангов т(«+1)/2 и получим
I/2т(I—п), 1/2т(3—п), ..., 1/2т(/г—1).
Сумма квадратов отклонений всех сумм рангов от среднего значения m(n+
4-11/2 равна т2(л3—«)/12. Сумма квадратов отклонений, которую будем обо-
значать через S для любой совокупности т ранжирований п объектов не может
превзойти т2(/;3—«)/12. Чем более согласованы предпочтения экспертов, пред-
ставленные в виде ранжирований, тем ближе значение S к m2(n3—п)/12. Чем
больше разногласий, тем суммы рангов ближе к среднему значению т(«4-1)/2,
a S к 0. Таким образом, характеристикой согласованности т экспертов при
т>2 является коэффициент конкордации
W= (12S)/[/n2(n3-п) ]. (П.В.З)
Значение IV' изменяется от 1 при полном совпадении ранжирований экспертов
до 0, когда согласованность оценок экспертов отсутствует. Если в раижирова-
174
ниях допускаются связные ранги, то коэффициент копкордации, характеризую-
щий степень согласованности экспертов, принимает следующий вид:
т2 (п3 --«)/12—-т 2 Т.
v^l 1
К
где Т = 2 (t3hv — tkv ); К — число связных ранги в v-м ранжировании, а
Л=1
tkv — число объектов, получивших одинаковые ранги при &-м совпадении
рангов.
Аналогично, коэффициенту копкордации, характеризующему степень согла-
сованности экспертов при ранжировании альтерната!, можно ввести коэффи-
циент И, называемый коэффициентом согласия для >арактеристпки степени со-
гласованности экспертов при парных сравнениях альт<рнатив. При парных срав-
нениях п альтернатив сравнению подлежат С2П пар. Результат парных сравне-
ний каждого эксперта можно представить в виде матрицы с элементами
( 1, если
О i j ।
[О— в противном случае.
Результат парных сравнений всех экспертов может быть представлен в виде
матрицы парных сравнений ||5ij||, элементы которой определяют число экс-
пертов, отдавших предпочтение альтернативе а,- по сравнению с альтернати-
вой dj.
Число пар экспертов, чьи точки зрения о сравнительной предпочтительности
альтернатив и а,- совпадают, равно С2Х . Общее чкло совпадений точек зре-
Ч
пня пар экспертов при парных сравнениях, предспвлениых матрицей
равно
2 CL .
W ЪИ
Максимально возможное число таких совпадений рзвпо 1/2С2тС2п. Поэтому
для характеристики степени согласованности экспертов при парных сравнениях
альтернатив целесообразно воспользоваться коэффициштом согласия
8 2 CL
V= -------------------— 1
/и(/н- 1)
Если совпадение точек зрении экспертов полное, то У=1.
Укажем па связь, существующую между мерами близости и коэффициента-
ми ранговой корреляции по Кендалу. Эта связь исследовалась в работах [30, 105,
см. также 95]. Коэффициент ранговой корреляции io Кендалу для ранжиро-
ваний Pi и Р2 T(fi, Рг) и мера близости Кемени d(/'i, fs) (см. § 2.2) удовле-
творяют при отсутствии связанных рангов следующему соотношению:
Сравнение результатов, получаемых с помощью мер близости и методов
проверки согласованности посвящена работа [107].
Большое значение имеет проблема оценки точиосп используемых экспертных
процедур. Пусть в результате экспертизы должно бьпь определено значение не-
которой альтернативы щ. X — численная опенка значения сц, полученная в
эксперименте, а Т •— ее истинное значение. Для опенки точности экспертных
процедур, как правило, используются следующие критерии:
К1(Х, Т) = |Х—Г|, К2(Х, Т)=>\Х-Т\1Т,
К3(Х, Т) = |Х—T\/D, Ki(X, Т)= |1пХ/Т\,
Кь(Х, T) = \X-T\jX,
175
где P = max{T— Е, Т—Т}, а Т_ и Т — соответственно минимальные и максималь-
ные, однако недостижимые значения оценок альтернативы ait т. е. Хе (Г, Т)
Особый интерес представляют оценки точности значении альтернатив, получен-
ных па нервом и последнем турах мпоготуровых экспертиз, таких, например, как
различные модификации делфийских процедур. С помощью них могут также
сравниваться различные методы проведения экспертиз.
Следует однако отметить, что, оценивая точность экспертных процедур
исследователи пользуются различными критериями. Это происходит подчас и
при опенке одной и той же экспертной процедуры. Естественно, что результа-
ты, получаемые при таких оценках различны в зависимости от используемых
критериев оценки точности (см. работы [122, 125]).
В работе [83] предпринимается анализ критериев оценки точности эксперт-
ных процедур- Приведем основные результаты, полученные в [83].
Будем предполагать, что критерии X (X, Т) обладают следующими свой-
ствами:
1) функция К(Х, Т) — непрерывна;
2) К(Х,
3) Х(Х, Г)=0, тогда и только тогда, когда Х=Т-,
4) для любого фиксированного значения Т функция КГ(Х) = /<(Х, Т) яв-
ляется строго возрастающей при Х>Т и строго убывающей при Т>х\
5) для любого фиксированного значения X функция Кх (Е) = К(Х, Т) яв-
ляется строго возрастающей при Т>Х и строго убывающей при Х>Т ?
Область определения функции К(Х, Е) Их V, где V — множество связных
действительных чисел.
Два критерия KV(X, Т) и Кр(Х, Т) будем называть эквивалентными па
тройке (Xt, Х2, Т\ если XKV(T) = KV(X,, T)—KV(X2, Т) и ДКИ(Е)=КЦ (Х{ Т)—
— Кр (Х2, Т) одновременно положительны, отрицательны или равны 0.
Два критерия KV(X, Т) и Кр(Х, Т) будем называть эквивалентными и
обозначать KV(X, Е) ~Л'М (X, Т), если они эквивалентны на любой тройке (Х(,
Xi, Г). Всюду Далее будем предполагать, что Xi=/=X2, поскольку равенство по
нарушает эквивалентности рассматриваемых нами критериев. Пусть для удоб-
ства изложения Х( <Х2. Через EI2 = E)2(KV, Кр, Х}, Х2) обозначим множество
всех EeV таких, что KV(X, Т) и Кр (X, Т) эквивалентны на тройке (Хь Х2, Гу.
Перейдем к исследованию эквивалентности критериев оценки точности экс-
пертных процедур. Отметим следующее почти очевидное утверждение.
Пусть в результате двух экспериментов получены два значения альтерна-
тивы а, : X, и Х2.
«Лемма 1- Для любых двух критериев KV(X, Т) и КЦ(Х, Т) Т<~Т12, если
[X,, х2]. Действительно, если Ес£[Хь Х2], то либо Г<Х,<Х2, либо Т>
>Х2>Х|. Тогда согласно свойству 4, независимо от конкретного вида крите-
рия, имеем соответственно либо Х(Х,, Г)<Х(Х2, Е), либо К(Хх, Т\>К(Х2 Т)
Поэтому рассмотренные значения ЕеЕ12, ’ '
Чтобы ответить на вопрос, как влияют иа эквивалентность критериев зна-
чения Те[\:, А2], рассмотрим уравнение относительной переменной Т:
K(Xi, Т)—К(Х2, Е)=0. (П.В.4)
Теорем# i. Для фиксированных значений Xt и Х2 решение Т$ уравнения
(П.В.4) существует, единственно, и Гое[Х|, Х2].
Утверждение Еое[Х|, Х2] следует из доказательства леммы 1. Рассмотрим
левую часть уравнения (П.В.4). Она монотонно возрастает от — К(Х2, X,) при
7’ = Х, и до X(Ai, Х2) при Т = Х2. Монотонность левой части уравнения (П В 4)
следует из монотонного возрастания К х_ (Е) =K(Xb Т) от 0 до К(Х2, Т) при
изменении Т от X, до Х2 и монотонного убывания Кх (Т)=К(Х2, Т) от
К(Х2, Xt) до 0 при таком же изменении Т согласно свойству 5. А поскольку
К(Х\, Т)—К(Х2, Т) непрерывна в силу непрерывности функций Кх (Е) и
К:<1 (Т)’ то Реп,ен|,с Уравнения (П.В.4) Ео существует и единственно. Теорема
доказана.
176
Из доказательства теоремы 1 следует, что
ДХ(Т)<0, если T<zT0,
ДК(Т)>0, если Т>Та
для Те [Ль Ха]. Справедливость соотношений (П.В.5) для
(П.В.5)
y^[Xi, Ха] следует
из доказательства леммы 1. еСТВа значений Т1г,
Рассмотрим два критерия XV(X, Т) и (X, Т) и мио^ешспия уравнения
на которых оба критерия эквивалентны. Пусть Т *v)o и Для определенно-
(П.В.4) соответственно для критериев KV(X, Г) и А'ц (X, Тг
сти положим, что Т^о<Т <%. то TeTia
Лемма 2. Если Т^.[Тмо> Т(,г,о], то Те=Т12. Если
для TeV. gHUO следует из со-
Доказательство. Вторая часть утверждения непосредстй оись соотношением
отношения (П.В.5). Пусть теперь 7’<'’)o¥=7’<M%. ВоспользовЗ рО (7")<0 и
(П.В.5), можно непосредственно убедиться, что для Т<Т' гой стороны для
ДКц(Т)<0, для Т>Г^оДКу(Т)>О и ДХц(7')>0. С Д^ойки Х2,
T’efT’^o’ ^’о] эквивалентность критериев относительно
нарушается. Лемма 2 доказана. а0исит от значений
Решение То уравнения (П.В.4) для критерия Х(Х, Т) ^при фиксированных
X, и Х2, входящих в (П.В.4). Решение уравнения (П.В.4)
X, и Х2 обозначим через Тк (X,, Х2). позволяющие уста-
Теперь получаем возможность сформулировать условия»
павливать эквивалентность критериев.
-ны тогда и только
Теорема 2. Критерии Kv (X, Т) и (X, Т) эквивалсП
тогда, когда Tkv(Xi, Х2) = ТА‘[1(Х1, Х2) для любых Хь Х2ё^ рпиев /< (X Т) и
Доказательство. Покажем, что из эквивалентности кр»’ любых значений
КЦ(Х, Г) следует равенство 7kv(X,, Х2) =ГКц (Хь Х2) Р? противное, нашлись
X, и Х2 из допустимой области. Действительно, предположив тк (Хь Х2) <Тк
X! и Х2е=1/ такие, что 7’kv(X,, Х2) < ТКц (Хь Х2) [случай где
(Xi, Х2) аналогичен]. Тогда по лемме 2 для тройки <Xi, рентными. Противо-
Х2], критерии XV(X, Т) и X(l (X, Т) не являются эквив^
рсчис- г Х2еК Для Т<
Пусть теперь 7\-v(X,, Х2) = Тк Ц(Х,, Х2) для любых X д дд- (Г) >()
<TKv(Xit Х2) и XKv(T)<0 и ДХц(Т)<0, для T>Tkv(Xi/ v
и AKiX(T)>0. ^bjio, критерии экви-
При Т = Тkv(X|, Х2) AK^T) =ДКр, (Т)==о. СледоватеД
валентны. Теорема доказана. сВ, можно ввестп
Используя результат теоремы 2 на множестве критер^я ’каждого из рас-
отношение эквивалентности. Решение уравнения (П.В.4) Д^процедур даст сле-
с.мотренных ранее критериев оценки точности экспертных
дующие результаты:
Х2)
ТКа(Х1, Х2)= -^2
Х2)- 1/ХМ2;
T-a-JAj, Х2).-:2/(Х-|-Х2-1).
критерия, а чет-
Таким образом, эквивалентными оказываются первые классов экви-
вертый и пятый являются единственными представителями *
валентности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бенайюн Р., Ларичев О. Н., де Монголфье Ж.. Терни Ж. Линейное програм-
мирование с многими критериями. Метод ограничений. — Автоматика н те-
лемеханика, 1971, Ks 8.
2. Бешелев С. Д., Гурвич Ф. Г. Экспертные оценки. — М.: Наука, 1973.
3. Берж К. Теория графов и ее применение: Пер. с франц./Пер. А. А. Зыко-
ва. — М.: ПИЛ, 1962.
•1. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра: Пер. с англ./Пер.
Ю. И. Манина. — М.: Мир, 1976.
5. Бурбаки Н. Теория множеств: Пер. с франц./Пер. Г. II. Поварова, Ю. А.
Шихановпча. — М.: Мир, 1965.
6. Бурков В. Н.. Панкова Л. А.. Шнейдерман М. В. О задаче формирования
экспертных групп. — В кп.: Вопросы кибернетики. Экспертные оценки: Сб.
статей/Паучпый совет по комплексной проблеме «Кибернетика» АН СССР.—
М., 1979, ныл. 58.
7. Гамбаров Г. М.. Литвак Б. Г. Об одном эффективном способе отыскания
результирующих аддитивных .метризованных отношений. — В кп.: Алго-
ритмическое и программное обеспечение прикладного и статистического
анализа. — М.: Наука, 1980.
8. Гамбаров Г. М., Мандель И. Д., Рыбина И. А. О некоторых расстояниях,
возникающих при обработке данных. •- Автоматика и телемеханика, 1980,
№ 12.
9. Гафт М. Г. Принятие решений при многих критериях. — М.: Знание, 1979.
10. Глотов В. А., Гречко В. М., Павельев В. В. Экспериментальное сравнение
некоторых методов определения коэффициентов относительной важности. —
В кп.: Многокритериальные задачи принятия решений. — М.: Машинострое-
ние, 1978.
11. Глушков В. М. О прогнозировании на основе экспертных оценок. — Ки-
бернетика, 1969, № 2.
12. Гольштейн Е. Г., Юдин Д. Б. Задачи линейного программирования транс-
портного типа. — М.: Наука, 1969.
13. Гордон Т. Д. Новые подходы к методу Дельфи. — В кн.: Научно-техниче-
ское прогнозирование для промышленности и правительственных учрежде-
ний: Пер. с англ./Под ред. Г. М. Доброва. — М.: Прогресс, 1972.
14. Гюйбо Д. Т. Теории общего интереса и логическая проблема агрегирова-
ния. — В кн.: Математические методы в социальных науках: Пер. с англ./
Пер. В. А. Ирикова, М. И. Шабунина, В. Г. Шеверова. — М.: Прогресс,
1973.
15. Дайер Дж. Многоцелевое программирование с использованием человеко-
машинных процедур. — В кн.: Вопросы анализа и процедуры принятия
решений. — Сб. переводов/Под ред. И. Ф. Шахнова. — М.: Мир, 1976.
16. Джоффрион А., Дайер Дж., Файнберг А. Решение задач оптимизации при
многих критериях па основе человеко-машинных процедур. Применение к за-
даче организации учебного процесса факультета университета. — В кн.:
Вопросы анализа и процедуры принятия решений. — Сб. переводов/Под
ред. И. Ф. Шахнова. — М.: Мир, 1976.
17. Дэвид Г. Метод парных сравнении: Пер. с англ./Пер. Н. Космарской н
Д. Шмерлипга. — М.: Статистика, 1978.
18. Емельянов С. В., Наппельбаум Э. Л. Методы, исследования сложных систем.
Логика рационального выбора. — В кн.: Итоги пауки и техники. Техниче-
ская кибернетика, т. 8. — М.: ВИНИТИ, 1977.
19. Зыков А. А. Теория конечных графов. —• Новосибирск: Наука, 1969.
20. Каменский В. С. Методы и модели неметрического многомерного шкалиро-
вания. Обзор. — Автоматика и телемеханика, 1977, № 8.
21. Карп Р. М. Сводимость комбинаторных проблем: Кибернетический сбор-
ник. — М.: Мир, 1975, вып. 12.
22. Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование: Пер. с англ./Пер.
Б. Г. Миркина. — М.: Сов. радио, 1972.
23. Кендэл М. Ранговые корреляции: Пер. с англ./Пер. Е. М. Четыркина и
Р. М. Эптова. — М.: Статистика), 1975.
178
24. Клигер С. А., Косолапов М. С., Толстова Ю. Н. Шкалирование при сборе
и анализе социологической информации. — М.: Наука, 1978.
25. Кожухаров А. Н., Ларичев О. Н. Многокритериальная задача о назначе-
ниях. — Автоматика и телемеханика, 1977, As 7.
26. Корбут А. А., Финкельштейн Ю. Ю. Дискретное программирование. — М.:
Наука, 1969.
27. Красненкер А. С. Методы синтеза целевых функции. — Труды IV зимней
школы ио .математическому программированию и смежным вопросам. —
М.: ЦЭМИ АН СССР, 1972.
28. Кузьмин В. Б. Геометрический подход к обработке экспертных оценок. —
В кн.: Статистические методы анализа экспертных оценок. — М.: Наука,
1977.
29. Кузьмин В. Б. Геометрический подход к согласованию индивидуальных
предпочтений: Канд. дис./ВНИИСИ — М., 1978.
30. Кузьмин В. Б., Овчинников С. В. Об измерениях в порядковых шкалах. —
Автоматика и телемеханика, 1974, Xs 11.
31. Кузьмин В. Б., Овчинников С. В. Априорные модели предпочтений. — В
кн.: Информационное обеспечение в задачах управления научными подраз-
делениями НИИ: Сб. трудов/ИНУ. — М., 1976, вып. 9.
32. Кузьмин В. Б., Овчинников С. В. О пространствах бинарных отношений. —
В кн.: Статистические методы анализа экспертных оценок. — М.: Наука,
1977.
33. Кузьмин В. Б., Овчинников С. В. Построение групповых решений в про-
странстве нечетких бинарных отношений. — В кн.: Вопросы кибернетики.
Экспертные оценки: Сб. статей/Научный совет но комплексной проблеме
«Кибернетика» АП СССР. — М., 1979, вып. 58.
31. Кузьмин В. Б., Орлов А. И. О средних величинах, сравнение которых ин-
вариантно относительно допустимых преобразований шкалы. — В кп.: Ста-
тистические методы анализа экспертных оценок. — М.: Наука, 1977.
35. Левина Н. Б., Погожев И. Б. Об условиях применения средних взвешен-
ных показателей при оптимизации систем. — В кн.: Исследование систем.'—
М.: Дальневосточный ВЦ АН СССР, 1973, вып. 1.
36. Литвак Б. Г. Об упорядочении объектов по предпочтениям. — В кн.: Ма-
тематические методы управления производством. — М.: МГУ, 1973, вып. 5.
37. Литвак Б. Г. О выборе делений шкалы. — В кн.: Статистические методы
анализа экспертных оценок. — ЛА.: Наука, 1977.
38. Литвак Б. Г. Меры близости па метризованных отношениях. — В кп.: При-
кладной многомерный статистический анализ. — М.: Паука, 1978.
39. Литвак Б. Г. О метризованных отношениях в экспертных оценках. — Авто-
матика п телемеханика, 1979, As 4.
40. Литвак Б. Г. Дискретные методы анализа экспертных оценок. — В кн.:
Экспертные методы в системных исследованиях: Сб. трудов ВПИИСИ —
М., 1979, вып. 4.
41. Литвак Б. Г. Меры близости и анализ нечисловой информации. — В кн.:
Вопросы кибернетики. Экспертные оценки: Сб./Научный совет по комплекс-
ной проблеме «Кибернетика» АН СССР. — М.: 1979, вып. 58.
42. Литвак Б. Г. Анализ на проблемных сетях и метризованных отношениях.—
В кн.: Анализ «а проблемных сетях. — М.: ИМЭМО, 1980.
43. Литвак Б. Г., Найвельт А. В., Рабышев В. В. Оптимальное распределение
ресурсов при планировании НИР: Выбор функции полезности: Сб. кратких
тезисов докладов Всесоюз. конф. «Экономические проблемы прогнозирова-
ния БТС». — М.: МАИ, 1971.
44. Литвак Б. Г., Раппопорт А. М. Взвешенное ранжирование объектов. — В
кн.: Экспертные оценки и восприятие искусства: Сб. статеп/НИИ культу-
ры. - М„ 1977.
45. Литвак Б. Г., Садовский А. А. О некоторых игровых моделях экспертных
процедур. — В кн.: Прикладная математика и задачи железнодорожного
транспорта: Межвузовский сборник. — М.: МИИЖТ, 1979.
46. Литвак Б. Г., Сизов В. Г. О факторе конъюпктурпости при сравнительной
оценке объектов. - В кп.: Экспертные методы в системных исследованиях:
Сб. трудов/ВНИИСИ. — М., 1979, вып. 4.
179
47. Лопухин М. М. ПАТТЕРН — метод планирования и прогнозирования на
учпых работ. — М.: Сов. радио, 1971.
48. Льюс Р., Галантер Е. Психофизические шкалы. — В кн.: Психологически
измерения: Сб. — М..: Мир, 1967.
49. Льюс Р., Райфа X. Игры и решения. Введение и критический обзор: Пер
с апгл./Пер. И. В. Соловьева. — М.: ИИЛ, 1961.
50. Мандель И. Д. Об одном принципе выбора объектов по нескольким крите
риям. — В кн.: Вопросы кибернетики. Экспертные оценки: Сб. статей/На
учпып совет ио комплексной проблеме «Кибернетика» АН СССР. — М
1979, вын. 58.
51. Методика программного прогнозирования развития науки и техники. —
М.: Госкомитет по пауке и технике, 1971.
52. Методика совместного прогнозирования заинтересованными странами -
членами СЭВ развития науки и техники. — М.: МЦНТИ, 1975.
53. Миркин Б. Г. Проблема группового выбора: М.: Наука, 1974.
54. Миркин Б. Г„ Высоцкий Н. В., Куперштох В. Л. и др. Шкалы упорядоче
пня. — В кн.: Моделирование в экономических исследованиях. — Новоси
бпрск: Наука, 1978.
55. Миркин Б. Г., Черный Л. Б. Об измерении близости между разбиениям»
конечного множества объектов. — Автоматика и телемеханика, 1970, А» 5
56. Миркин Б. Г., Черный Л. Б. Некоторые свойства пространства разбиения.—
В кн.: Математический анализ экономических моделей, ч. Ill: Сб. статей
Ип-т эконом, и органпз. промыт, пр-ва СО АН СССР. — Новосибирск
1972.
57. Моисеев Н. Н. Математик задает вопросы... — М.: Знание, 1971.
58. Фон Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение
Пер. с аигл./Под ред. II. Н. Воробьева. -- М.: Наука, 1979.
59. Новиков И. Д., Соколовская Т. В. Способ построения комплексного крите
рия, использующий монотонную замену координат. — В кп.: Статистические
методы анализа экспертных оценок. — М.: Наука, 1977.
60. Орлов А. И. Проблемы устойчивости и обоснованности решений в теории-
экспертных оценок. — В кн.: Статистические методы анализа экспертных
оценок. — М.: Наука, 1977.
61. Орлов А. И. Связь между нечеткими и случайными .множествами. Нечет-
кие толерантности. — В ки.: Исследования по вероятностно-статистическому
моделированию реальных систем: Сб. статей/ЦЭМИ АН СССР. — М., 1977.
62. Орлов А. И. Прикладная теория измерений. — В кн.: Прикладной много-
мерный статистический анализ. — М.: Паука, 1978.
63. Орлов А. И. Устойчивость в социально-экономических моделях. — М.: Нау-
ка, 1979.
64. Панкова Л. А. Анализ суждения экспертов в задачах классификации объ-
ектов. — В кп.: Информационное обеспечение в задачах управления науч-
ными подразделениями ПИИ: Сб. трудов/ИПУ АН СССР. — М., 1976.
65. Панкова Л. А. Разработка формализованных методов обработки эксперт-
ной информации в задаче классификации объектов: Каид. дне./ИНУ
АН СССР. — М„ 1977.
66. Панкова Л. А., Шнейдерман М. В. Модель последовательной процедуры
экспертного опроса. — В кп.: Информационное обеспечение в задачах уп-
равления научными подразделениями НИИ. — М.: ИПУ АН СССР, 1976.
67. Панкова Л. А., Шнейдерман М. В. Последовательная процедура эксперт-
ного опроса. — Автоматика и телемеханика, 1975, № 8.
68. Петровский С. А. Прогнозирование па проблемных сетях. — В кн.: Комп-
лексное прогнозирование в экономике и международных отношениях. — М.:
ИМЭМО, 1975.
69. Петровский С. А. Оценка научных исследований и их результатов с точки
зрения человеческих потребностей. — В ки.: Проблемы и методы комплекс-
ного экспертного прогнозирования. — М.: ИМЭМО, 1978.
70. Плоткин А. А. Мера независимости классификаций. — Автоматика и теле-
механика, 1980, № 4.
71. Подиновский В. В. Об относительной важности критериев в многокритери-
альных задачах принятия решений. — В кп.: Многокритериальные задачи
180
принятия решений/Под ред. Д. М. Гвишиани, С. В. Емельянова. — М.:
Машиностроение, 1978.
72. Подиновский В. В. Коэффициенты важности критериев в задачах принятия
решений. Порядковые, пли ординальные, коэффициенты важности. — Авто-
матика и телемеханика, 1978, № 10.
73. Поспелов Г. С., Ириков В. А. Программно-целевое планирование н управ-
ление. — М.: Сов. радио, 1976.
74. Пригарина Т. Л., Шмерлинг Д. С. Об одном подходе к оценке согласован-
ности предпочтении эксперта в парных сравнениях, допускающих неразли-
чения объектов: Сб. кратких тезисов докладов III всесоюзной школы «Про-
гнозирование научно-технического прогресса». — Минск: Бел. НИИПТИ,
1979.
75. Протодьяконов М. М., Тедер Р. И. Методика рационального планирования
экспериментов. — М.: Наука, 1970.
76. Пфанцагль И. Теория измерения: Пер. с нем/Пер. В. Б. Кузьмина. — М.:
Мир, 1976.
77. Раппопорт А. М., Шнейдерман М. В. Построение развернутой системы кри-
териев па основе коллективной экспертизы. — В кп.: Измерение и прогноз
в исследованиях культуры. — Труды НИИ культуры, 1978, № 71.
78. Раппопорт А. М., Шнейдерман М. В. Анализ экспертных суждений, заданных
в виде структур. — В кн.: Прикладной многомерный статистический ана-
лиз. — М.: Наука, 1978.
79. Райфа Г. Анализ решений: Пер. с англ./Пер. 3. Н. Кравец. — М.: Паука,
1977.
80. Райхман Э. П., Азгальдов Г. Г. Экспертные методы в оценке качества то-
варов. — М.: Экономика, 1974.
81. Руа Б. Классификация и выбор при наличии нескольких критериев (метод
ЭЛЕКТРА). — В кн.: Вопросы анализа и процедуры принятия решений: —
Сб. переводов/Под ред. И. Ф. Шахнова. — М.: Мир, 1976.
82. Руа Б. Проблемы и методы принятия решений в задачах с многими целе-
выми функциями. — В кн.: Вопросы анализа и процедуры принятия реше-
ний: — Сб. переводов/Под ред. И. Ф. Шахнова. — М.: Мир, 1976.
83. Сидельников К). В. К вопросу о сравнительном анализе точности эксперт-
ных оценок. — В кн.: Проблемы и методы комплексного экспертного про-
гнозирования. — М.: ИМЭМО, .1978.
84. Сизов В. Г. Использование экспертных оценок при распределении ресурсов
по темам: Труды хМАИ. — М.: МАИ, 1975, вып. 310.
85. Современное состояние теории исследования операций: Серия «Оптимизация
и исследование оиерацнй»/Под ред. И. II. Моисеева. — М.: Наука, 1979.
86. Суппес П., Зинес Дж. Основы теории измерений. — В кн.: Психологические
измерения. — М.: Мир, 1967.
87. Сучков В. А. Метод оценки объектов па основе информации о результатах
попарного сравнения. — В кп.: Кибернетика и вуз. — Томск: ТГУ, 1975,
вып. 9.
88. Терехина А. Ю. Методы многомерного шкалирования и визуализация дан-
ных. Обзор. — Автоматика и телемеханика, 1973, № 7.
89. Терехина А. Ю. Метрическое многомерное шкалирование. — М.: ИНУ,
1977. — (Препринт).
90. Терехина А. Ю. Неметрическое многомерное шкалирование. — М.: ИНУ,
1977. — (Препринт).
91. Терехина А. Ю. Многомерный анализ субъективных данных о сходствах
или различиях. — М.: ВПИИСИ, 1978. — (Препринт).
92. Тёрстон Л. Л. Психофизический анализ. — В ки.: Проблемы и методы пси-
хофизики. — М.: МГУ, 1974.
93. Трубин В. А. О методе решения задач целочисленного линейного програм-
мирования специального вида. — Докл. АН СССР, 1969, т. 189, А» 5.
94. Тюрин Ю. Н„ Василевич А. П., Андрукович П. Ф. Статистические модели
ранжирования. — В кп.: Статистические .методы анализа экспертных оце-
нок. — М.: Наука, 1977.
95. Тюрин Ю. Н. Непараметрическпе методы статистики. — Мх Знание, 1978.
181
96. Анализ нечисловой пнформацни/Тюрин 10. Н., Литвак Б. Г., Орлов А. И.,
Сатаров Г. А., Шмерлипг Д. С. — М.: Совет по комплексной проблеме
«Кибернетика» АН СССР, 1981. — (Препринт).
97. Фишберн П. К. Измерение относительных ценностей. — В кн.: Статистиче-
ское измерение качественных характеристик. — М.: Статистика, 1972.
98. Фишберн П. К. Методы оценки аддитивных ценностей. — В кн.: Статисти-
ческое измерение качественных характеристик. — М.: Статистика, 1972.
99. Фишберн П. К. Теория полезности для принятия решений: Пер. с англ./
Пер. В. Н. Воробьевой, А. Я. Кируты. — М.: Наука, 1978.
100. Форд Л. Р., Фалкерсон Д. Р. Потоки в сетях: Пер. с англ./Пер. И. А. Вайн-
штейна. — М.: Мир, 1966.
101. Фридман А. А., Вотяков А. А. Дискретные задачи н метод ветвей и гра-
ниц. — Экономика и математические методы, 1974, т. 10, вып. 3.
102. Харари Ф. Теория графов: Пер. с апгл./Пер. В. П. Козырева. — М.: Мир
1973.
103. Хелмер О. Анализ будущего: метод Дельфи. — В кн.: Научно-техническое
прогнозирование для промышленности и правительственных учреждений:
Пер. с англ./Нод ред. Г. М. Доброва. — ДА.: Прогресс, 1972.
104. Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях: Нер. с англ./
Пер. П. Л. Бузыцкого, Е. В. Левпера, Б. Г. Литвака. — М.: Мир, 1974.
105. Черный Л. Б. Метод пространственных упорядочений в анализе качествен-
ных признаков. Канд. дис./Ии-т эконом, и органпз. пром, пр-ва СО АН
ССР. — Новосибирск, 1973.
106. Шапот Д. В. Аппроксимация частичного квазниорядка аддитивной функ-
цией. — В кн.: Многокритериальные задачи принятия решений. — М.: Ма-
шиностроение, 1978.
107. Шмерлинг Д. С. О проверке согласованности мнений экспертов. — В кн.:
Статистические методы анализа экспертных оценок. - М.: Наука, 1977.
108. Экспертные оценки: Методы и применение. Обзор./Шмерлпнг Д. С., Дубров-
ский С. А., Аржанова Т. Д., Френкель А. А. — В кп.: Статистические ме-
тоды анализа экспертных оценок. — М.: Наука, 1977.
109. Экенроде Р. Т. Взвешенные многомерные критерии. - В кн.: Статистиче-
ское измерение качественных характеристик. -- М.: Статистика, 1972.
110. Юдин Д. Б., Гольштейн Е. Г. Задачи и методы линейного программирова-
ния. — М.: Сов. радио, 1964.
111. Anderson А. I. В. Numeric examination ol multivariate soil samples. —
Math. GeoL, 1971, v. 3, ii. 1.
112. Arrow K. J. Social choice and individual values. New York, Wiley. 1963.
113. Balas E. Problem of covering. Oper. Res., 1973, n. 1.
114. Bogart К. P. Preference structure 1: Distances between transitive preference
relations. J. of Math. Sociology, 1973, v. 3.
115. Bogart К. P. Preference structure II: Distances between asymmetric rela-
tions. SIAM J. of Appl. Math., 1975, v. 29, n. 2.
116. Boorman S. A., Ph. Arable. Structural measures and the method of sorting.--
In: Multidimensional Scaling. — New York, Seminar Press, 1972.
117. Bradley R. A. and Terry M. E. Rank analysis of incomplete block design of
method of paired comparisons. -- Biometrika, 1952, v. 39, n. 3.
118. Bray I. R., Curtis I. T. An ordination of the upland forest communities of
southern Wisconsin. Ecol. Monogr., 1957, v. 27, n. 4.
119. Brockhoff K. The performance of forecasting groups in computer dialogue
and face to -face discussion. - In: The Delphi method. _ Techniques and
applications. - Reading (Mass.), Addison—Wesley Pnbl. Co., 1975.
120. Cetron M. G. QLEST States report IEEE. Trans, on Eng. Manag., v. EM -
14, n. 1, March, 1967.
121. Coombs С. H. A theory of psychological sealing. -- Eng. Res. Inst. Bull.,
n. 34, Ann Arbor, L'niv. of Mich. Press, 1952.
122. Dalkey N. C. The Delphi method: An experimental study of group opinion.
Memorandum. — RM—5888 - PR.—Santa- Monica, Calif.: RAND corpora-
tion, 1969.
182
123. Esch M. E. Honeywalls PATTERN: Planning assistance through technical
evaluation of relevance numbers. A guide to practical technological fore-
casting. New York, Prentice Hall Inc., 1972.
124. Fechner G. T. Elemente dec psychophvsik. Leipzig; Breitkopf und Hartel,
1860.
125. Ford B. A. Shang inqiry as an alternative to Delphi: Some experimental
findings, Teclmol. Forecas. and Soc. Change, v. 7, n. 2, 1975.
126. Galanter E. The direct measurement of utility and subjective probability.
Amer. J. of Psych., 1962, v. 75, n. 2.
127. Gower J. C. Classification and geology. Rev. intern. Statist. Inst., 1970,
v. 38, n. 1.
128. Guttman L. A general nonmetric technique for finding the smallest coordi-
nate space for a configuration of points. — Psychometrika, 1968, v. 33, n. 4.
129. Hinricks G. R. Creativity in industrial scientific research. A critical survey
of current opinion. Theory and knowledge. — AMA management Bulletin. —
New York, 1961, n. 12.
130. Johnson R. M. Pairwise nonmetric multidimentsional scaling. Psychometrika,
v. 38, n. I, 1973.
131. Kcineny J. Mathematics without numbers. Daedalus, 88, 1959.
132. Kendall M. G., Smith В. B. On the method of paired comparisons. Biomet-
rika, 1940, v. 31.
133. Kruskal J. B. Nonmetric multidimensional scaling by optimizing goodness
of fit to a nonmetric hypothesis. — Psychometrika, 1964, v. 29, n. 1.
134. Kruskal J. B. Nonmetric multidimensional scaling: a numerical method.
Psychometrika, 1961, v. 29, n. 2.
135. Luce R. D. Individual choice behavior. New York, Wiley, 1959.
136. Orloci L. Geometric models in ecology, I: the theory and application of some
ordination methods. J. of Ecol. 1966, v. 54, n. 1.
137. Pareto V. Cours d’economie politique. Lausanne, Rouge, 1889.
138. Pendergrass R. N„ Bradley R. A. Ranking in triple comparisons. Contri-
butions to probability and statistics. Stanford Univ. Press, Stanford (Calif.),
1960.
139. Rappoport A., Fillenbaum S. An experimental study of semantic structures.
In: Multidimensional Scaling, v. 2, New York, Seminar Press, 1972.
140. Roskam E. E. Metric analysis of ordinal data in psychology. Voorschoten,
1968.
141. Rubin J. Optimal classification into groups: an approach for solving the
taxonomy problem. J. of Theoret. Biol., 1967, n. 15.
142. Sammon J. W. A nonlinear mapping for data structure analysis. IEEE
Trans. Computers, 1969, v. 18, ri. 5.
143. Scheibe M., Skutsh M., Schofer J. Experiments in Delphi methodology. In;
The Delphi method. Techniques and applications. London. Addison—Wesley
Publ. Co. 1975.
144. Shepard R. N. The analysis of proximities: multidimensional scaling with an
unknown distance function. Psychometrika, 1962, v. 27, n. 2.
145. Shepard R. N. The analysis of proximities: multidimensional scaling with an
unknown distance function. Psychometrika, 1962, v. 27, n. 3.
146. Stevens S. S. Measurement, Psychophysics and Utility. In: Measurement:
Definitions and Theories, New York, J. Wiley and Sons, 1959.
147. Thurstone L. L. A law of comparative judgement. Psychol. Rev., 1927, v. 34.
148. Torgerson W. S. Theory and methods of scaling. New York, J. Wiley and
Sons, 1958.
149. Weeks J. R., Bogart К. P. Consensus signed digraphs. SIAM J. Appl. Math.
1979, v. 36. и. 1.
150. Wolfe P. Convergence theory in nonlinear programming. New York, Amer.
Elsevier Publ. Co., 1970.
151. Young H. P., Levenglick A. A consistent extension of Condorset’s election
principle. SIAM J. Appl. Math. 1978, v. 35, n. 2.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр
Предисловие............................................._ 4
Глава 1. Экспертная информация и измерения............................ 5
1.1. Отношения и представления отношений.............................. 5
1.2. Методы экспертного оценивания альтернатив.......................11
1.3. Проблемы теории измерений........................................21
1.4. Основные типы шкал...............................................26
1.5. Проблема адекватности............................................29
1.6. Шкалы и отношения................................................32
Глава 2. Меры близости................................................36
2.1. Экспертная информация и меры близости............................36
2.2. Меры близости па отношениях......................................38
2.3. Меры близости па метризованных отношениях........................45
2.4. Меры близости на векторах предпочтений...........................51
2.5. Структурные меры близости........................................53
2.6. Евклидовы меры близости..........................................59
Глава 3. Выбор результирующих отношений предпочтения .... 62
3.1. Принцип Кондорсе.................................................62
3.2. Парадокс Эрроу...................................................64
3.3. Выбор ио принципу Парето.........................................69
3.4. Медиана Кемени...................................................73
3.5. Свойства и алгоритмы отыскания медианы Кемени для ранжирований 76
3.6. Результирующие метризованные ранжирования........................89
Глава 4. Многомерные измерения........................................95
4.1. Предпочтения на множествах многомерных альтернатив .... 95
4.2. Многомерное шкалирование...................................102
4.3. Формирование обобщенных критериев..........................114
4.4. Выбор без обобщенных критериев.............................126
Глава 5. Оптимизационные задачи.............................’. . . 132
5.1. Оптимизационные задачи в экспертных оценках................132
5.2. Алгоритмы отыскания медианы Кемени.........................138
5.3. Формирование вербально-числовых шкал......................143;
5.4. Формирование р-лредставнтелыюй экспертной комиссии . . . . 148
5.5. Многокритериальные задачи математического программирования . . 152
Заключение...........................................................16ц
Приложение А. Методы проведения экспертиз..........................163
Приложение Б. Методы оценки качества эксперта......................169
Приложение В. Оценка согласованности и точности экспертных оценок . 173
Список литературы................................................... 178