/
Text
FINITE SIMPLE GROUPS
An Introduction to Their Classification
Daniel Gorenstein
Rutgers, The State University of New Jersey
New Brunswick, New Jersey
Plenum Press New York and London 1982
КОНЕЧНЫЕ
ПРОСТЫЕ
ГРУППЫ
Введение
вих
классификацию
Перевод с английского
1$. И. ЛОГИНОВА
под редакцией
А. И. КОСТРИКИНА
МОСКВА «МИР» 1985
ББК 22.144
Г 68
УДК 512.542
Горенстейн Д.
Г 68 Конечные простые группы. Введение в их
классификацию: Пер. с англ.—М.: Мир, 1985.-—352 с.
Введение в важный раздел современной алгебры — классификацию конечных
групп, написанное крупным американским алгебраистом. В последние годы здесь
достигнут серьезный успех —завершена классификация конечных простых групп,
и книга в этом плане интересна с общематематической точки зрения*
Для математиков различных специальностей (включая тех, кто работает с ЭВМ),
для научных работников, аспирантов, студентов, применяющих и изучающих
теорию групп.
1702030000—273 ББК 22.144
Г 041 (01)—85 ,2~85' ч. 1 -- 5171
Редакция литературы по математическим наукам
© 1982 Plenum Press, New York
© Перевод на русский язык, «Мир», 1985
От редактора перевода
Итак, классификация конечных простых групп—великий
математический миф XX столетия или реальность? Ответить на этот
вопрос оказывается нелегко, даже ознакомившись с предлагаемым
«введением в их классификацию», написанным известным
американским математиком, одним из ведущих специалистов в области
конечных групп профессором Д. Горенстейном. Более того, именно
после прочтения книги и возникает, по крайней мере у того, кто
ранее не соприкасался близко с проблемой классификации, четкое
ощущение необычности ситуации.
Можно ли верить узко профессиональному, даже с
общематематической точки зрения, тексту из 5000 журнальных страниц?
Если этот текст признан несколькими авторитетами вполне
доброкачественным, у нормального человека он будет вызывать
почтение, а у критически настроенного еще и неистребимое сомнение
в истинности итогового труда нескольких сотен энтузиастов,
потративших на его завершение более четверти века. Яркой вспышки,
подтвердившей в свое время реальность выводов атомной физики,
на математическом небосклоне не произошло, хотя автор
указывает точную дату рождения новой теоремы. Все так же регулярно
появляются оригинальные статьи на тему классификации,...
А если к тому же текста на самом деле нет и данная книга —
лишь первая попытка составить план его написания в будущем?
Положение вещей именно таково и, казалось бы, говорить о
завершении доказательства классификационной теоремы, по меньшей
мере, преждевременно.
В общем-то, автор все эти соображения понимает, от
сомневающихся не отмахивается, а спокойно и уверенно объясняет
широкой читательской аудитории суть проблемы и суть самого
достижения. А заключается оно в том, что, по мнению специалистов,
в принципе завершена классификационная программа, намеченная
в свое время коллективным разумом. Завершение означает, что
существующий на сегодняшний день список конечных простых
6
От редактора перевода
групп признан полным; в частности, к 26 спорадическим группам
добавить нечего. Упомянутая выше программа с годами
эволюционировала, приобрела гибкость и замечательную способность к
адаптации. Случайные просмотры, пробелы в рассуждениях
вызывают сравнительно небольшую перестройку классификационного
здания, построенного на солидном фундаменте. А
здание—грандиозное, и профессор Д. Горенстейн прав, усматривая в нем не
изолированную теорему в привычном смысле слова, а целую
новую математическую область, находящуюся в процессе бурного
развития. Потеря яркой классификационной цели могла бы
приостановить приток в эту область молодых сил, и если по свежим
следам не зафиксировать в книжной форме, хотя бы крупным
планом, основные этапы многолетних исследований, то в будущем
восстановить истинную картину оказалось бы гораздо труднее.
Профессор Д. Горенстейн, активный участник и один из
идеологов «битвы за конечные простые группы», с энтузиазмом взялся
за этот нелегкий труд, и книга, которую читатель держит в
руках,— один из трех томов запланированного сочинения. В нем все
подается крупными мазками с расчетом на читающую публику,
состоящую не только из математиков и заведомо не только из
теоретико-групповиков.
Наиболее информативна, может быть, первая половина книги,
где формулируется итоговый результат. Чтобы его
сформулировать, надо назвать все существующие конечные простые группы
своими именами, а это нелегко. Отсылая за деталями к
оригинальным работам, как раз в этой части совершенно безупречным,
автор постепенно, с разных позиций дает изображение как старых
бесконечных семейств групп, так и новых спорадических объектов,
возникших в процессе классификации. Последние выглядят
особенно интригующе и хранят еще немало тайн своего
происхождения.
Основные фазы классификации и основные классификационные
методы, названные в книге и слегка там обрисованные, служат
отчасти мотивировкой и базой для более детального изложения
всего материала в двух последующих томах. Один том,
рассчитанный, понятно, на специалистов и содержащий все (за
исключением, разумеется, полных, обстоятельных доказательств), что
относится к группам, отличным от так называемых групп типа
характеристики 2, уже вышел в светх). По-видимому, готовится и второй
том, хотя с группами типа характеристики 2 связан один нюанс-
деликатный класс квазитонких групп нигде в журнальной
литературе в полной мере не исследовался. А судя по квазитонким
5'-группам с циклическими 3-силовскими подгруппами (такие группы
*) Gorenstein D. The classification of finite simple groups. Vol. 1: Groups of
noncharacteristic 2 type. —New York, London: Plenum Press, 1983.
От редактора перевода
7
детально изучили В. И. Логинов и С. В. Царанов), мерой в
данном случае могут стать 1000 журнальных страниц. Все, что
связано с классификацией конечных простых групп, поражает своими
масштабами.
Три тома Д. Горенстейна будут долгие годы служить основой
для разработки, перестройки и отделки отдельных фрагментов
классификационного здания. Примет ли оно когда-нибудь формы
теоретико-группового Нотр-Дама, судить трудно. Скорее всего,
таинственные 5000 страниц сплошного, тщательно подготовленного
текста никто не напишет, да и достоверность их в любом случае
вышла бы за рамки обычных математических стандартов. Сила
математики—в ее единстве, и кто знает, на каком пути и какими
средствами будут даны4 убедительные, легко проверяемые
аргументы в пользу выводов, полученных ценой 25-летних усилий.
Остается добавить, что Д. Горенстейн написал весьма
полезную и стимулирующую книгу. Переводчик внес ряд небольших
поправок и упорядочил библиографию — уточнил кое-где ссылки
и выходные данные.
Звенигород,
16 июля 1984 г%
Л. Кострикин
Памяти Ричарда и Эльзы
Брауэр—первопроходца в изучении конечных простых
групп и его стойкой спутницы
Благодарности
Настоящая книга является расширенным вариантом моей статьи
о простых группах, опубликованной в Бюллетене Американского
математического общества. В статье я уже имел возможность
выразить свою признательность за значительную помощь Дж. Л.
Алперину, Майклу Ашбахеру, Роберту Гилмэну, Джорджу Глау-
берману, Роберту Гриссу, Дэвиду Ханту, Ричарду Лайенсу,
Майклу О'Нэну и Чарльзу Симсу. Здесь я хочу, кроме того, особо
поблагодарить Ричарда Лайенса—он, с его глубокими знаниями
по теории простых групп, помог мне разобраться во многих
вопросах, затронутых в тексте, — а также Энрико Бомбьери, Поля
Фонга, Джорджа Глаубермана, Мортона Харриса и Стивена Смита,
прочитавших рукопись и сделавших много ценных замечаний.
Дэниел Горенстейн
ВВЕДЕНИЕ
В феврале 1981 г. была завершена классификация конечных
простых групп (D1)1), представляющая собой одно из самых
замечательных достижений в истории математики2)3).
Полное доказательство, объем которого лежит где-то между
5 000 и 10 000 журнальных страниц, объединяет в себе усилия
нескольких сотен математиков всего мира за 30 лет и разбросано
по 300 — 500 индивидуальным работам.
В 1962 г. Джон Томпсон и Уолтер Фейт доказали свою
знаменитую теорему, согласно которой любая конечная группа
нечетного порядка (D2) обязательно разрешима (D3). Хотя
утверждение и формулируется в одну строчку, доказательство заняло
целый номер журнала Pacific Journal of Mathematics [93] объемом
255 стр. Именно этот результат как никакой другой определил
направление исследований и послужил предвестником того, что
полное классификационное доказательство будет огромным^
Вскоре после этого, а именно в 1965 г., впервые за последние
100 лет была открыта новая спорадическая простая группа Jt
Звонимира Янко, еще усилившая интерес математической общест-
х) Чтобы сделать книгу по возможности замкнутой в себе, мы приводим
определения используемых понятий. Однако чтобы сохранить непрерывность
изложения, мы поместили их в конце введения. Эти определения обозначаются
символами Dl, D2, D3 и т.д.
2) Классификационная теорема утверждает, что произвольная конечная
простая группа обязательно изоморфна некоторой группе из конкретного списка
простых групп. (Подробный список см. в § 2.11.)
3) Заключительный математический шаг классификации проделал Саймон -
Нортон (Кембриджский университет, Англия), установив единственность
спорадической простой группы Грисса — Фишера F±. Ранее Грисс построил F± с
помощью комплексных матриц степени 196 883. Томпсон показал, что
существует не более одной простой группы «типа Fp>, которая представляется
комплексными матрицами указанной степени. Нортон же Доказал, что в
действительности любую группу типа F± можно представить такими матрицами. (Все
упомянутые результаты более подробно обсуждаются в § 2.10.)
Отметим также, что в феврале 1981 г. некоторые из работ (в частности,
работа Нортона) по классификации еще находились в стадии подготовки.
10
Введение
венности к конечным простым группам [187]. Спорадические группы
получили свое название из-за того, что они не являются членами
ни одного бесконечного семейства конечных простых групп.
В 1861 г. Эмиль Матье открыл пять таких групп [210] — [212],
однако группа /х еще целое столетие оставалась неизвестной,
хотя она имеет всего 175 560 элементов—совсем небольшое число
по стандартам теории простых групп. Вслед за группой Jx в
последующие 10 лет быстро одна за другой были открыты еще
20 спорадических групп, наибольшая из которых — группа Fx
Роберта Грисса и Бернда Фишера (недавно построенная первым
[152]) —имеет порядок 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710
757 005 754 368 000 000 000 (примерно 1054). Из-за своих размеров
она первоначально была названа монстром. Страсти, разгоревшиеся
вокруг новых спорадических групп, подогревались также тем, что
некоторые из них строились с помощью компьютера.
Пионером в исследовании конечных простых групп был Ричард
Брауэр, который начал их изучать в конце 40-х годов. Он
первым понял глубокую и крайне важную взаимосвязь между
строением группы и централизаторами (D4) ее инволюций (элементов
порядка 2; D5), установив как количественные, так и качественные
соотношения. В качестве примера первых он показал, что имеется
лишь конечное число простых групп с заданным централизатором
инволюции [46]. С другой стороны, Брауэр доказал, что если
централизатор некоторой инволюции в простой группе G изоморфен
общей линейной группе GL (2, q) (D6) над конечным полем из
q элементов, где q нечетно, то либо эта группа изоморфна
трехмерной проективной специальной линейной группе L3(q) (D6),
либо q = 3 и она изоморфна наименьшей группе Матье Mtl порядка
8 • 9 -10• 11 [40], [42]. Последний результат, анонсированный Бра-
уэром в его обращении к Международному конгрессу математиков
в Амстердаме в 1954 г., послужил исходной точкой для
классификации простых групп в терминах строения централизаторов
инволюций. Кроме того, он предвосхитил тот интригующий факт,
что утверждения общих классификационных теорем обязательно
будут включать в себя в качестве исключительных случаев
спорадические простые группы.
В первые годы по существу один Брауэр занимался простыми
группами, хотя идеи, заложенные в статье Клода Шевалле 1955 г.
о конечных группах типа Ли [66], оказали заметное воздействие.
В конце 50-х годов в борьбу включились два ученика Брауэра —
Митио Судзуки и Фейт. Однако именно теорема Томпсона — Фейта
послужила главным толчком к значительному расширению
исследований в области простых групп. В 60-х годах в теории
конечных групп буквально произошел взрыв активности — в работу
втянулось огромное число талантливых молодых математиков,
главным образом в США, Англии, ФРГ и Японии. В последую-
Введение
11
щие пятнадцать лет безостановочно шел поток чрезвычайно
длинных статей: классификация Томпсона минимальных простых групп
(т. е. простых групп, в которых все собственные подгруппы
разрешимы)—410 стр. в шести частях, первая из которых вышла в
1968 г., а последняя — в 1974 г. [289]; классификация Джона
Уолтера простых групп с абелевыми силовскими 2-подгруппами —
109 стр. в журнале Annals of Mathematics, 1969 г. [315];
классификация Ал перина, Брауэра и Горенстейна простых групп с ква-
зидиэдральными или сплетенными силовскими 2-подгруппами (см.
D7) — 261стр. в журнале Transactions of the American
Mathematical Society, 1970 г. [З]; классификация Горенстейна и Харады
простых групп, в которых любая 2-подгруппа порождается не бо-,
лее чем четырьмя элементами, — 461 стр., Memoir of the American
Mathematical Society, 1971 r. [136], — вот лишь немногие
примеры. Ближе к настоящему времени можно указать фундаментальную
теорему Майкла Ашбахера о классической инволюции— 115 стр.
в журнале Annals of Mathematics, 1977 г. [13].
Наряду с этими усилиями шел поиск новых простых групп,
причем в год открывалось примерно по одной группе.
Сложившуюся ситуацию можно сравнить с теорией элементарных частиц,
в которой необходимо внимательно обследовать обширную область
в надежде выделить новую частицу с помощью интуиции и
теоретических знаний. Если группа Янко J± была построена из
централизатора одной своей инволюции (изоморфного Z2xL2(4)), то
естественно проверить другие подающие надежды кандидатуры в
централизаторы инволюций новой простой группы. Раз вторая
группа Янко J2 оказалась транзитивной группой перестановок
ранга 3 (D8), то разумно провести более общее изучение таких
групп перестановок. Если группа автоморфизмов замечательной
24-мерной евклидовой решетки Джона Лича позволила Джону
Конвею получить три простые группы .1, .2, .3, то почему бы
не взглянуть на другие целочисленные евклидовы решетки,
которые могут иметь большие группы автоморфизмов. Любое
правдоподобное направление заслуживает рассмотрения, однако следует
учитывать, что вероятность успеха чрезвычайно мала. В ходе
изучения централизаторов инволюций и групп перестановок ранга
3 в конечном счете было открыто несколько спорадических групп;
но исследование целочисленных решеток, к сожалению, не
привело к новым группам.
Уместно отметить еще одну аналогию между теорией
спорадических групп и теорией элементарных частиц. Во*многих случаях
(главным образом, когда требовались вычисления на компьютере)
открытие группы не означало ее реального
построения—высказывались лишь достаточно веские соображения в пользу
существования простой группы G, удовлетворяющей некоторому набору
вполне конкретных условий X. При этом использовался следую-
12
Введение
щий метаматематический принцип: если изучение произвольной
группы G, обладающей свойством X, ведет к внутренне
непротиворечивой картине строения ее подгрупп, то в действительности
существует группа со свойством X. Во всех случаях этот
принцип оправдал себя, однако промежуток времени между открытием
группы и ее построением изменялся от нескольких месяцев до
нескольких лет. Хотя основная слава обычно достается
первооткрывателю группы, ее существование и единственность зачастую
устанавливаются другими лицами или по крайней мере с чьей-
нибудь помощью.
Открытие (и построение) новых простых групп вызывало
необычайно сильное возбуждение. Долгое время даже сохранялось
ощущение, что может существовать бесконечно много
спорадических (по крайней мере с точки зрения их классификации) групп.
Подобные мысли не могли не тревожить, поскольку такая
возможность, по всей видимости, была бы непреодолимым препятствием
для полной классификации простых групп. Поиск сопровождался
практически на каждом шагу игрой случая — некоторые группы
обнаруживались буквально на пустом месте. Я всегда испытывал
глубокое восхищение замечательной интуицией неутомимых
исследователей.
Весьма важно четко разделять . понятия открытия (включая
построение) и классификации простых групп. Новую простую
группу можно искать в любом направлении, причем ее открытие
само по себе является вознаграждением и не требует
дополнительных теоретических обоснований. В отличие от этого решение любой
общей классификационной проблемы обязано быть систематическим
и всеобъемлющим—должна быть описана каждая простая группа
с заданным свойством. В частности, анализ обязан обнаруживать
любую спорадическую группу, удовлетворяющую данным условиям,
независимо от того, была ли она открыта ранее. Например, первые
три спорадические группы Фишера, М (22), М (23) и М (24), были
открыты и построены в процессе доказательства именно такой
классификационной теоремы [97], [98]. Несколькими годами ранее
Судзуки открыл свое исключительное семейство групп типа Ли
характеристики 2 в ходе классификации групп, в которых
централизатор любой инволюции имеет порядок, равный степени 2
[276], [278].
Вне зависимости от мнения по поводу возможного числа
спорадических, групп полная классификация конечных простых групп
в то время рассматривалась, безусловно, как весьма отдаленная
перспектива, поскольку непрерывный поток результатов не столько
решал старые проблемы, сколько ставил новые. Хаотическое
состояние дел хорошо отражено в «Простой песенке» (исполняемой
на мотив «Sweet Betsy from Pike»), опубликованной в журнале
Введений
13
American Mathematical Monthly (1973 г., с. 1028), последняя строфа
которой служит своеобразным резюме:
Как видно, без рифмы последние строки,
Эпоха диктует свои нам пороки,
Царит беспорядок среди простых групп,
Не лучше ль податься вновь в сторону луп?
По-видимому, я имею все основания причислить себя к
немногим оптимистам, верившим с самого начала в возможность
классификации простых групп. Еще в 1968 г. в заключительном
разделе моей книги о конечных группах [130] я уделил особое
внимание классификации Томпсона минимальных простых групп —
великолепному результату, который продемонстрировал
фундаментальное значение для исследования простых групп локальных
методов из упоминавшейся в начале статьи о группах нечетного порядка.
В своих комментариях я указывал, что методы Томпсона могут
быть с успехом использованы в решении значительно более общих
классификационных проблем. В последующие несколько лет я
продолжал размышлять над этим вопросом, и постепенно у меня
сложилась общая картина того, как можно было бы провести
полную классификацию. По предложению Дж. Л. Алперина я
изложил свои идеи на конференции по теории групп, проходившей
в Чикагском университете в 1972 г. В четырех лекциях я
сформулировал программу из 16 пунктов для классификации конечных
простых групп [132; приложение]. Программа была встречена
довольно скептически. Сомневаюсь, что мне удалось в то время
кого-либо убедить—слишком велико было влияние пессимистов.
Тем не менее за последующие несколько лет в отдельных
частях программы был достигнут вполне реальный прогресс: были
полностью классифицированы несвязные простые группы,
проведены первые атаки на В-гипотезу, а также углубилось понимание
строения централизаторов инволюций в группах компонентного типа.
Ашбахер, включившийся в работу в этот период, движется с тех
пор как ураган, сметая прочь все препятствия и доказывая один
удивительный результат за другим, что почти сразу вывело его
в лидеры. В течение пяти лет программа, казавшаяся отдаленной
мечтой в момент своей формулировки, стала требовать
незамедлительных действий, подавая при этом весьма реальные надежды
на осуществление.
Едва ли вызовет удивление тот факт, что отдельные этапы
программы модифицировались по ходу дела—в 1972 г. даже не
существовало понятий плотно вложенной подгруппы, блока Ашбахера
и всей теории выталкивания Джорджа Глаубермана. Кроме того,
программа делала слишком сильный акцент на роль числа 3 в
анализе групп типа характеристики 2. Однако значительно более
важным является то, что в 1972 г. я аще не оценил далеко
идущее влияние, которое оказал в дальнейшем на исследование про-
14
Введение
стых групп внутренний геометрический подход Фишера. Несмотря
на указанные недостатки, программа в основном сохранилась,
так что в любой момент мы имели возможность определить
достигнутый уровень, а также с большой точностью описать те
шаги, которые осталось сделать до завершения классификации.
Поворотной точкой, несомненно, была летняя конференция
1976 г., проходившая в Дулуте, штат Миннесота. Представленные
на ней теоремы были настолько сильны, что участники
конференции уже не могли не прийти к выводу, что полная
классификация не за горами. Начиная с этого момента, активно работающие
в области конечных групп специалисты все сильнее проникались
мыслью, что «конец близок»—сначала на это отводилось пять
лет, затем два года и под конец его ожидали со дня на день.
Остаточный скептицизм был вполне понятен, поскольку широкая
математическая общественность, являющаяся его носителем, не
может довольствоваться утверждением, что классификационная
теорема «почти доказана».
Классификация конечных простых групп, однако,— это не
обычная теорема. Разумно представлять ее себе как целую область
математики, в которой в силу какой-то случайности центральные
вопросы объединились в формулировке одной теоремы.
Действительно, как и в любой другой достаточно обширной области
математики, более поздние результаты опираются на теоремы,
доказанные ранее. Так, все основные результаты, полученные после 1963 г.,
существенно опираются на разрешимость групп нечетного порядка,
причем ни один из них не позволяет получить принципиально
иное доказательство. Легко можно представить себе, что логическая
взаимосвязь между несколькими сотнями страниц, составляющих
классификационное доказательство, зачастую почти неуловима, так
что весьма затруднительно во всех деталях изобразить
соответствующую блок-схему.
Из-за непомерной длины статей и специализированных методов,
развитых для изучения простых групп, классификационное
доказательство остается недоступным для тех, кто не владеет
достаточно свободно теорией конечных групп. Причем это происходит
не из-за отсутствия интереса: в действительности многие
математики достаточно внимательно следили за исследованиями в этой
области, особенно за теми из них, которые связаны со
спорадическими группами и группами типа Ли. Однако лишь немногие
смогли проникнуть глубже этих «пограничных» аспектов к ядру
классификационного доказательства. Даже внутри самой теории
конечйых групп многие специалисты, работая в узкой области,
сталкиваются с аналогичными трудностями при попытке воссоздать
общую картину полного классификационного доказательства.
Надеюсь, что настоящий подробный очерк классификационной
теоремы послужит первым шагом в исправлении сложившейся си-
Введение
15
туации—мы осветим основные стороны науки о простых группах:
сами известные простые группы, методы, лежащие в основе
классификации, а также основные компоненты классификационного
доказательства.
Понятие группы—одно из основных в математике. Поэтому
очень трудно вообразить, что идеи, оказавшиеся столь
плодотворными в изучении простых групп, не найдут иных математических
приложений. Теорема о сигнализаторном функторе, теорема о
классической инволюции, В-свойство конечных групп, теорема о
корневых инволюциях, C(G\ Т)-теорема—это лишь немногие из
результатов, образующих фундамент теории, —имеют настолько
концептуально прозрачные формулировки, что естественно надеяться
на справедливость аналогов хотя бы некоторых из них для
подходящих семейств колец или алгебр. Поэтому я постоянно старался
дать возможность (в первую очередь) алгебраистам, теоретико-чис-
ловикам и геометрам рассмотреть центральные идеи теории
конечных простых групп в связи с их собственной областью математики.
Хотя настоящая книга рассчитана по понятным причинам на
математическую аудиторию, различные части ее будут небесполезны
физикам, кристаллографам, а также, возможно, некоторым другим
научным работникам. Особый интерес, по-видимому, будет
представлять описание известных конечных простых групп: построение
групп типа Ли, исходя из ассоциированных с ними алгебр Ли,
происхождение и определение каждой из спорадических групп'
список порядков известных простых групп, их многочисленные
свойства и т. д.
Для наглядности решено было общее изложение разбить на
две части. В настоящей книге приводится общая картина
классификационного доказательства (гл. 1), детальное описание
известных простых групп, включая спорадические (гл. 2, 3), а также
длинное обсуждение основных методов, используемых в
доказательстве классификационной георемы (гл. 4). Содержание книги
представляет собой пересмотренный и значительно расширенный вариант
моей статьи из январского (1979 г.) выпуска журнала Bulletin of
the American Mathematical Society [132], посвященного памяти
Брауэра.
Я надеюсь, что изложенный здесь материал,, который можно
рассматривать как подготовительный для самого
классификационного доказательства, послужит читателю стимулом к изучению более
детального очерка, которому будут посвящены следующие книги.
Однако настоящая книга и сама по себе позволяет достаточно
глубоко заглянуть в теорию простых групп. Последнее касается, в
частности, общей картины фундаментального подразделения
на'четыре части классификационного доказательства, теоретических основ
и определений известных простых групп, а также возможности
16
Введение
достаточно хорошо почувствовать методы, развитые для изучения
простых групп.
Я пытался сделать книгу по возможности замкнутой в себе,
чтобы ее мог читать каждый, кто владеет минимальными
математическими знаниями и весьма скромными дополнительными
сведениями из абстрактной алгебры. В частности, дается определение
практически каждого термина, используемого в тексте (даже таких
основных понятий, как простая группа и теорема Силова). Кроме
того, хотя материал излагается в точной логической
последовательности, я пытался сделать отдельные параграфы более или менее
независимыми, чтобы дать возможность выборочного чтения. В текст
включены лишь немногие доказательства (или их наброски), да и
то либо ввиду внутренней важности результата, либо чтобы
продемонстрировать в действии теоретико-групповые рассуждения.
Однако это вовсе не означает, что книга будет простой для чтения.
Теория конечных простых групп включает в себя большое число
глубоких и трудных для понимания концепций, которые часто
применяются совсем нетривиальным образом.
Прежде чем завершить настоящее введение, следует отметить
одну особенность классификационного доказательства. Известно,
что многие статьи о простых группах содержат значительное число
«локальных» ошибок. Это объясняется тем, что, по-видимому, выше
человеческих возможностей провести с абсолютной точностью строго
обоснованное рассуждение, занимающее несколько сотен страниц.
Однако никакие объяснения не могут устранить сомнения в
справедливости этого доказательства. Большинство упомянутых ошибок
можно исправить тотчас же по обнаружении. Тем не менее
многие рассуждения имеют узкоспециализированное назначение.
Поэтому можно ли быть уверенным в том, что от нашего внимания
не ускользнула конфигурация, ведущая к еще одной простой
группе? Среди специалистов преобладает мнение, что в целом
доказательство является правильным и что за последние пятнадцать
лет так много отдельных исследователей работало над простыми
группами, зачастую с совершенно различных точек зрения, что
любая сколь-нибудь интересная конфигурация достаточно часто
попадала в поле зрения и уж никак не могла быть пропущена.
Понятно, что первая задача по завершении классификации—
проверка доказательства для устранения упомянутых локальных
ошибок. Такая проверка будет преследовать также две другие цели.
Во-первых, поскольку полная классификация продолжалась более
тридцати лет, при написании ранних работ нельзя было
воспользоваться более поздними достижениями. Во-вторых, из-за
объемности- большинства основных статей полученные ранее результаты
обычно использовались всюду, где только была такая возможность,
даже в том случае, когда небольшое дополнительное рассуждение
позволяло избежать какой-либо ссылки.
Введение
17
Таким образом, локальные ошибки, по всей видимости, будут
исправлены в рамках более широкой задачи ревизии имеющегося
классификационного доказательства в попытке добраться до его
сути. В действительности уже десять лет назад в этом
направлении начал свою деятельность Гельмут Бендер, получив
значительные упрощения локальной теоретико-групповой части статьи о
группах нечетного порядка [28]. Метод Бендера, как стали
называть его подход, постепенно превратился в стандартный путь
рассуждений, найдя приложения в нескольких классификационных
проблемах (см. § 4.3, 4.8). Однако лишь в последнее время,
учитывая близость завершения классификационного доказательства,
специалисты в области конечных групп начали систематически
рассматривать пути глобальной проверки.
Приводимый мною очерк предназначен служить своеобразным
историческим резюме исходного классификационного
доказательства. Поэтому, за исключением работ Бендера, которые уже стали
неотъемлемой частью доказательства, я избегал в основной части
текста обсуждения каких-либо работ по ревизии, появившихся за
последнее время. В заключительной главе продолжения я вкратце
остановлюсь на некоторых планах пересмотра классификационного
доказательства с целью его улучшения.
Наконец, если не учитывать сделанных мимоходом, замечаний,
я не буду обсуждать удивительные, недавно обнаруженные связи
между группой Грисса—Фишера Fx и классической теорией
эллиптических функций. Первый шаг в этом направлении сделал Джон
Маккей, заметивший, что коэффициент при q в разложении на
бесконечности эллиптической модулярной функции J (q) равен
196 884, а минимальная степень точного неприводимого
комплексного представления группы Fx равна 196 883. Хотя с тех пор
были открыты новые интересные числовые соотношения [70], [195],
[298], более глубокое объяснение этой взаимосвязи пока
составляет загадку. Поскольку примерно 20 из 26 спорадических групп
вложено тем или иным способом в группу Fly то вполне возможно,
что в конечном счете будет найдено единообразное и однородное
описание большинства спорадических групп. Хотя эти
исследования и не нужны сами по себе для классификационной теоремы,
они лишний раз показывают, что интерес к конечным простым
группам еще долго не угаснет и по окончании их классификации.
Определения к введению
D1. Группа G называется простой, если все ее нормальные подгруппы
исчерпываются самой группой G и тривиальной подгруппой, состоящей из
единичного элемента 1 этой группы. В общем случае подгруппа X в G навывается
нормальной, если g^xg^X для всех х£Х и ggG. Если X—нормальная
подгруппа в G, то множество (правых) смежных классов группы G по X само
образует группу, называемую факторгруппой группы G по X и обозначаемую
18
Введение
через G/X. Умножение в G/X задается правилом (Xg) • (Xgf) = X (ggf) для g,
g'£G. Здесь для заданного g£G смежный класс Xg обозначает множество
всех элементов вида xg, где х пробегает X. Отображение ф: gt-^Xg
является гомоморфизмом G на G/X. Нетрудно показать, что указанным способом
можно получить любой гомоморфный образ группы G. Стало быть, группа G
проста тогда и только тогда, когда она сама и тривиальная группа
исчерпывают все ее гомоморфные образы.
D2. Порядком группы называют число ее элементов.
D3. Группа называется разрешимой, если она содержит нормальный ряд
с абелевыми (т.е. коммутативными) факторами.- Нормальный ряд группы G —-
это любая цепочка подгрупп G = Gly G2, ..., б„=1,где каждая подгруппа
бинормальна в G/_i, 2*^/<;п. Факторгруппы Gi-i/Gi называются факторами
этого ряда.
D4, Централизатором подмножества X в группе G называется множество
всех элементов из G, коммутирующих с каждым элементом из X, т. е.
множество всех таких g£G, что g~1xg = x для всех х£Х. Центр группы G—это
множество всех элементов из G, централизаторы которых совпадают со всей
группой G, т. е. множество всех x£G, коммутирующих с каждым элементом
из G.
D5. Порядком элемента х группы G называется порядок циклической
подгруппы, которую порождает этот элемент, т.е. подгруппы {xi \ i(tZ).
D6. GL (п, q) обозначает группу всех невырожденных матриц размера
пХп, элементы которых принадлежат конечному полю GF (q) из q элементов.
Эта группа имеет нормальную подгруппу SL (ny q)—специальную линейную
группу, состоящую из .матриц с определителем, равным 1. Факторгруппа
группы SL (п, а) по ее подгруппе скалярных матриц (с определителем 1)
называется проективной специальной линейной группой, и для нее употребляются
два обозначения: PSL (п, а) и Ln (q). Известно, что эта группа проста, если
п^З или п = 2 и q^i.
D7. Пусть S—некоторая 2-группа. Говорят, что S — квазидиэдральная
группа, если она порождается элементами #, у, удовлетворяющими
соотношениям х2=±=у2П= 1, х~1ух = у~~1 + 2П~1 , п^З. Говорят, что 5—сплетенная
группа, если она порождается элементами ху у, z, удовлетворяющими
соотношениям х2П—у2П = г2=и ху = ух, z~1xz=y, z"tyz = x1 n^2.
D8. Группа всех перестановок (конечного) множества Q (т. е. всех взаимно
однозначных преобразований множества Q на себя) относительно
естественной операции — композиции называется симметрической группой на Q. Любая
подгруппа X симметрической группы называется группой перестановок (на Q).
Мощность множества Q называется степенью группы X. Говорят, что X
является k-транзитивной группой на Q, если любые два упорядоченных набора
из k различных элементов множества Q можно перевести друг в друга с
помощью некоторого элемента из X. Вместо 1-транзитивной, 2-транзитивной,
3-транзитивной группы и т. д. иногда говорят соответственно о транзитивной,
дважды транзитивной, трижды транзитивной группах и т. д. Группа
перестановок X имеет (перестановочный) ранг г, если она транзитивна на Q,
а подгруппа в X, оставляющая на месте точку из Q, имеет на Q ровно г
орбит. Таким образом, 2-транзитивность группы эквивалентна тому, что ее
перестановочный ранг равен 2.
Глава 1
ЛОКАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ЧЕТЫРЕ ЭТАПА
КЛАССИФИКАЦИИ
1.1. От теории характеров
к локальному анализу
По-видимому, лучше всего начать с разъяснения исторических
корней и общего смысла главного метода, лежащего в основе
классификационного доказательства,— локального
теоретико-группового анализа. Следует отметить, что он не всегда был основным
подходом при изучении простых групп. Например, методы Брауэра
почти целиком опирались на теорию представлений и теорию
характеров (D1)1). В середине 30-х годов он ввел и развил
понятие модулярного характера (см. D1) конечной группы. Вскоре
Брауэр осознал широкие возможности зародившейся теории,
сыгравшие важную роль в его доказательстве гипотезы Артина об L-ря-
дах в полях алгебраических чисел. Он понял, как применить
разработанные методы для получения глубоких результатов о
строении простых групп2). С середины 40-х годов и до последних своих
дней Брауэр систематически развивал общую теорию модулярных
характеров и блоков неприводимых характеров (D2), находя ей
все более значительные приложения в теории простых групп.
Методы Брауэра были особенно эффективны в исследовании
«небольших» простых групп: комплексных линейных групп
преобразований низкой размерности, знакопеременных групп малой
степени (D3), групп с достаточно просто устроенными силовскими
2-подгруппами (например, кватернионными, диэдральными, квази-
диэдральными, сплетенными, абелевыми и т. д. (D4). Это было
весьма кстати, поскольку в самом начале изучения простых групп,
очевидно, естественнее всего было сконцентрировать внимание на
маленьких случаях. На самом деле указанные методы были
настолько плодотворными, что в первые годы возникла твердая
убежденность в том, что теория характеров останется главным инстру-
1) Мы снова включили в текст некоторые определения, обозначаемые через
Dl, D2 и т.д. Они располагаются в конце параграфа (см. примечание в
начале введения). Аналогичным образом мы поступаем в § 1.2.
2) Всюду в тексте термин «простая группа» будет, обозначать неабелеву
простую группу.
20 Гл. 1. Локальный анализ и четыре этапа классификации
ментом—возможно, даже самым существенным—при исследовании
простых групп (хотя было уже видно, что в случае большего
ранга встретятся значительные вычислительные трудности).
Однако даже при работе с небольшими группами эти методы
обладали рядом недостатков, обусловленных способом их
применения. А именно, если имеется достаточно точная информация
о строении некоторой подгруппы Н группы G (например, если Н
является централизатором инволюции), то можно установить связь
между характерами групп Н и G, а затем, воспользовавшись ею,
сделать выводы о строении всей группы G. Именно в этом
основная сила методов Брауэра.
Трудности возникают в тот момент, когда вопрос ставится
достаточно широко, поскольку тогда нельзя заранее утверждать,
что любая критическая подгруппа Я в G имеет весьма
специальное строение. Мне хотелось бы проиллюстрировать последнее
высказывание на примере специфической классификационной
проблемы, а именно описания всех простых групп G порядка paqbrc,
где /?, <7> т — простые числа с р <q < г. В свете классической
теоремы Бернсайда о разрешимости всех групп порядка paqb (см.
теорему 4.130) указанная проблема представляет естественный
интерес. Среди известных простых групп у восьми порядок имеет
такой вид (см. D5):
АШ9 АвУ L2(7), 1,(8), L8 (17), 1,(3), ^(3) и UA (2).
Безусловно, каждую из приведенных групп можно рассматривать
как небольшую (в действительности порядок наибольшей из них
равен 25920). (Отметим, что для этих групп /7 = 2, # = 3 и г = 5,
7, 13 или 17.)
Очевидным образом возникает гипотеза, что произвольная
простая группа порядка paqbrc / обязательно изоморфна одной из
указанных выше восьми групп/
Давайте для краткости назовем эти восемь групп К3-группамиу
а произвольную группу порядка paqbrc будем называть (/?, q, r)-
группой, так что нашу гипотезу можно сформулировать в
следующем виде:
Любая простая (/?, q, г)-группа обязательно является К^-группой.
Безусловно, наша гипотеза может оказаться ошибочной, если
не доказано противное. Поэтому, как и в любой общей
классификационной проблеме, естественно сконцентрировать внимание на
минимальном контрпримере G к рассматриваемой гипотезе, т. е.
на простой (/?, <7> г)_гРУппе О наименьшего порядка, которая не
является /С3-группой. Для доказательства этой гипотезы, очевидно,
мы должны показать, что такой группы G не существует или что
G должна быть в действительности /С3-группой (эти два
утверждения эквивалентны). Преимущество изучения минимального контр-
1.1. От теории характеров к локальному анализу
21
примера состоит в том, что если Я—произвольная собственная
подгруппа в G, то все (неразрешимые) композиционные факторы
группы Я (D6) будут простыми (/?, #, г)-группами меньшего
порядка по сравнению с G и поэтому обязательно будут
/^-группами. Последнее соображение наводит, в частности, на мысль
изменить понятие /С3-группы так, чтобы /С3-группами стали все
конечные группы, неразрешимые композиционные факторы которых
являются 7(3-гРУппами- Таким образом, в новом понимании термина
«/Сз-группа» наша гипотеза сводится к проверке следующего
утверждения:
Если G— простая (ру qy г)-группа, все собственные подгруппы
которой являются Кз-гРУппами> то и сама группа G будет
Къ-группой.
Такая ситуация типична для начала решения общей
классификационной проблемы. Нас интересуют дополнительные условия»
при которых для определения строения группы G можно
использовать теорию характеров. Оказалось, что существуют два
специфических набора таких условий.
(a) Централизатор некоторой инволюции группы G изоморфен
централизатору некоторой инволюции одной из восьми простых
/С3-групп (или по крайней мере достаточно точно его
аппроксимирует).
(b) Наибольшее простое число г встречается в порядке группы G
лишь в первой степени (или, более общим образом, G обладает
циклическими силовскими r-подгруппами (D7)).
Если выполнено (а), то в качестве критической подгруппы Я
берется централизатор заданной инволюции группы Сие помощью
теории блоков для простого числа 2 исследуются характеры групп
Я и G. В случае (Ь) в качестве Я берется . нормализатор (D8)
в группе G одной из ее силовских г-подгрупп и характеры групп
Я и G изучаются с помощью теории блоков для простого числа г.
Смысл условий (а) и (Ь) можно выразить так: G внутренне
похожа на одну из простых /С3-групп. Таким образом, теория
характеров позволяет доказать следующее утверждение:
Если простая (р, q, г)-группа G внутренне похожа на
простую Къ-группу, то (с точностью до изоморфизма) она является
Кз-группой.
Последнее утверждение демонстрирует как большие
возможности теории характеров, так и ее ограниченность. Действительно,
почему наш минимальный контрпример G обязательно должен быть
внутренне похож на некоторую /С3-группу? Почему априори ее
инволюции не могут иметь централизаторы сколь угодно большого
22 Гл. 1. Локальный анализ и четыре этапа классификации
порядка, а ее силовская г-подгруппа—произвольно сложное
строение? Разумеется, мало надежды доказать, что G изоморфна
некоторой из наших /Сз-групп, если не установлено даже такое
внутреннее сходство группы G с одной из них. К сожалению, создается
впечатление, что теория характеров не позволяет эффективно
исследовать указанные вопросы.
Наше обсуждение подсказывает, что для успешного решения
любой общей классификационной проблемы требуются методы,
позволяющие доказывать сходство внутреннего строения изучаемой
простой группы со строением некоторой известной простой группы.
Лишь после того, как такое сходство установлено, теория
характеров становится потенциально полезным инструментом для
перехода от «сходства» к «изоморфизму». Однако по мере продвижения
классификации простых групп оказалось, что в большинстве
ситуаций этот переход от сходства к изоморфизму достигается без
привлечения теории характеров. В конечном счете применимость
теории характеров ограничилась в точности «небольшими» простыми
группами.
Мы не стремимся здесь умалить важности теории характеров.
Она сыграла решающую роль не только в решении
классификационных проблем, связанных с небольшими группами, но и в
анализе строения ряда спорадических групп. Скорее мы стараемся
объяснить необходимость иных методов исследования внутреннего
строения подгрупп произвольных конечных простых групп. Такие
методы действительно появились за последние двадцать лет,
образовав фундамент того, что в дальнейшем стали называть
локальным теоретико-групповым анализом (или кратко локальным
анализом). Именно ему мы уделим основное внимание, поскольку,
образуя ядро теории простых групп, локальный анализ остается
загадкой для окружающего математического мира.
Пример простых (/?, q, г)-групп должен показать, что хотя
/С3-группы и относятся к числу небольших, но их полная
классификация включает в себя те же самые обширные рассмотрения,
с которыми приходится встречаться при классификации всех
конечных простых групп. Сказанное подтверждается также тем
фактом, что независимо простые (/?, q, г)-группы так никогда и
не были полностью классифицированны. Их классификация
получается лишь как следствие полной классификации всех конечных
простых групп! (Классификация Томпсона минимальных простых
групп [289] показывает, что необходимо рассматривать лишь
четыре тройки (/?, q, г)> ассоциированные с простыми /С3-группами.
А именно, /? = 2, q = 3 и г = 5, 7, 13 или 17. Простые (2,3, 13)-
группы описал Кеннет Клингер [197], а простые (2, 3, 17)-груп-
пы—Джеффри Мейсон [209]; в результате получились
соответственно группы L3(3) и L2(17). Однако проблема исследования про.
1.1. От теории характеров к локальному анализу 23
стых (2, 3, 5)- и (2, 3, 7)-групп в полном объеме никогда не
рассматривалась как независимая проблема.)
Истоки локального анализа содержатся в доказательстве
разрешимости групп нечетного порядка—еще одно подтверждение
необычайной важности теоремы Томпсона—Фейта. (Намеки на
этот метод появились в докторской диссертации Томпсона, в
которой он доказал знаменитую гипотезу Георга Фробениуса о
нильпотентности (D9) конечной группы с автоморфизмом простого
периода, оставляющим неподвижным лишь единичный элемент.)
Когда Томпсон и Фейт начинали свою работу над общей
проблемой о группах нечетного порядка, они уже концептуально
представляли себе структуру доказательства, опираясь на частный
случай, успешно разобранный (несколько ранее Судзуки,
исследовавшим простые группы нечетного порядка, в которых
централизатор любого неединичного элемента предполагается абелевым. Для
этого случая очень легко определяется строение каждой
максимальной подгруппы М в G (D10).
1. М = АК, где К—абелева нормальная подгруппа в М, А —
неединичная циклическая группа и любой нетривиальный элемент
из А индуцирует посредством сопряжения некоторый автоморфизм
группы К, оставляющий на месте лишь единицу (М—пример
группы Фробениуса с ядром К и дополнением А).
2. Группа К имеет порядок, взаимно простой с ее индексом
в G. Говорят, что К—холловская я-подгруппа в G (в честь Филипа
Холла) относительно множества п простых чисел, делящих
порядок К.
3. Если g£G, то g^KgГ\К=1 или g'^gnK^K (в этом
случае К называется множеством с тривиальным пересечением
(TI-множеством) в G).
Указанные факты относятся как раз к тому типу жестких
условий, которые поддаются анализу методами теории характеров.
Действительно, далее Судзуки применил теорию исключительных
характеров (D11), построенную Брауэром и им самим, чтобы
связать характеры групп М и G. Такие рассуждения применимы
к любой максимальной подгруппе в G. Выбирая представители
М1У М2, ..., Мп различных сопряженных классов максимальных
подгрупп и применяя упомянутую процедуру для любого t, 1 <! i^.n,
Судзуки удалось получить информацию о всех характерах группы G.
Последующий тонкий арифметический анализ значений характеров
на элементах группы G позволил ему достичь противоречия.
Доказательство Судзуки было в высшей степени оригинальным;
в частности, это был первый пример классификационной теоремы,
требовавшей анализа каждой собственной подгруппы в G. Другими
словами, первый шаг состоял в получении исчерпывающего
описания всей решетки собственных подгрупп в G, что составляет суть
24 Гл. 1. Локальный анализ и четыре этапа классификации
«внутреннего сходства» для рассматриваемой проблемы. Тот факт,
что переход от «внутреннего сходства» к «изоморфизму» привел
к противоречию, а не к конкретной простой группе, не должен
затенять основного подразделения доказательства Судзуки на две
части.
Томпсон и Фейт совместно с Маршаллом Холлом (мл.) сначала
обобщили рассуждение Судзуки на группы, в которых
централизатор любого неединичного элемента предполагается нильпотент-
ным [91] (абелевость—весьма частный случай нильпотентности).
Снова они смогли описать решетку собственных подгрупп группы G
(однако по сравнению со случаем Судзуки здесь потребовалось
более сложное рассуждение). Они доказали также, что любая
максимальная подгруппа в G изоморфна некоторой группе Фробе-
ниуса, ядром которой служит (нильпотентная) холловская я-под-
группа, являющаяся одновременно TI-множеством в G. В
результате они оказались в состоянии применить теорию
исключительных характеров для достижения похожего арифметического
противоречия (хотя для этого и потребовались несколько более сложные
вычисления).
Таким образом, уже в самом начале изучения общей проблемы
о группах нечетного порядка Томпсону и Фейту было ясно, что
их ближайшая задача—возможно более точное определение
строения и вложения максимальных подгрупп в минимальном
контрпримере G. Но теперь не было специальных предположений о
строении централизаторов элементов. Действительно, в рассматриваемом
общем случае эти централизаторы могли быть произвольными
разрешимыми группами (нечетного порядка). Указанный аспект
проблемы оказался чрезвычайно трудно проходимым. В процессе
анализа Томпсону пришлось построить совершенно новые методы,
которые сыграли центральную роль в изучении простых групп.
Например, он доказал первые так называемые теоремы
транзитивности и теорему единственности, из которых впоследствии
возник фундаментальный метод сигнализаторного функтора. Подход
Томпсона выглядел весьма элементарным: необходимо лишь брать
нормализаторы (и централизаторы) различных нетривиальных при-
марных подгрупп и анализировать их взаимосвязи. Эти
нормализаторы, будучи собственными подгруппами в G, являются
разрешимыми группами, так что их общее строение определяется
классической теорией Ф. Холла разрешимых групп. Ядро
последней составляют так называемые обобщенные теоремы Силова
[156]—[159] (см. также [130, гл. 6]). Несмотря на кажущуюся
простоту, для достижения своей цели анализ Томпсона потребовал
исключительно сложного и изобретательного изучения строения
всех подгрупп в G.
Однако теперь уже нельзя было показать, что каждая
максимальная подгруппа в G должна быть группой Фробениуса—воз-
1.1. От теории характеров к локальному анализу 25
можны были также некоторые близкие к ним по строению подгруппы.
Кроме того, удалось доказать лишь более слабую форму Т1-свой-
ства. Получившееся в результате строение, менее специфическое,
чем в рассмотренных ранее частных случаях, создало
значительные трудности для применения теории исключительных характеров.
Чтобы их преодолеть, Фейт был вынужден построить сложное
обобщение всей теории Брауэра—Судзуки исключительных
характеров. К сожалению, Томпсона и Фейта поджидало еще более
серьезное препятствие, поскольку в одной из заключительных
конфигураций максимальных подгрупп никак не удавалось
получить желаемое арифметическое противоречие. Прошел целый год,
прежде чем Томпсон нашел путь для устранения этой
конфигурации— посредством' замечательного анализа образующих и
соотношений, возникающих из ее критических подгрупп. В конечном
счете проблема свелась к вопросу о числе решений некоторого
уравнения с коэффициентами из конечного поля. Ответ на этот
вопрос привел к окончательному противоречию. (Более детальный
набросок этого доказательства будет дан впоследствии.)
Вскоре после того, как теорема Томпсона — Фейта была
доказана, Алперин ввел термин «локальная подгруппа» для
обозначения нормализатора в G любой неединичной примарной
подгруппы порядка рп («/^-локальная», если необходимо указать простое
число /?). Постепенно в обиход вошел термин «локальный
теоретико-групповой анализ» для обозначения той части исследований
простых групп, которая имеет дело с описанием строения
локальных подгрупп в G, в первую очередь для получения информации
о строении и способе вложения в G (а) максимальных подгрупп,
(Ь) централизаторов инволюций и (с) централизаторов элементов
нечетного простого порядка.
Говоря, что простая группа G «внутренне похожа» на
известную простую группу G*, мы имеем в виду, что по крайней мере
некоторые подгруппы в G типа (а), (Ь) или (с) схожи с
соответствующими подгруппами в G*. В проблеме о группах нечетного
порядка критическое множество подгрупп совпадало с множеством
всех максимальных подгрупп. Однако, как мы увидим позднее,
часто для достижения внутреннего сходства достаточно бывает
строения и вложения одного подходящего централизатора
инволюции или элемента нечетного простого порядка.
Технику локального анализа образуют методы, используемые
для достижения указанных целей. Хотя теорема о группах
нечетного порядка, устанавливая четность порядка любой простой
группы, удивительным образом подтвердила справедливость
мнения Брауэра о тесной связи между строением простой группы
и ее инволюциями, ее доказательство не могло прямо дать методы
для изучения централизаторов инволюций, поскольку группа
нечетного порядка не содержит инволюций.
26
Гл. 1. Локальный анализ и четыре этапа классификации
Такие новые возможности открыла классификация Томпсона
минимальных простых групп — следующая естественная для него
задача, заслуживающая рассмотрения, поскольку теорему о
группах нечетного порядка можно по существу рассматривать как
классификацию минимальных простых групп нечетного порядка.
Так как по определению все собственные подгруппы минимальной
простой группы разрешимы, то очевидно, что разрешима также
любая ее локальная подгруппа. Но по самой своей природе
локальный анализ касается лишь взаимосвязей между локальными
подгруппами в G, поэтому небольшие дополнительные усилия
позволили Томпсону обобщить свои рассуждения на более широкий
класс простых групп, в которых разрешимы все локальные
подгруппы (для краткости такая группа называется N-группой).
(Например, L^ (25) является Af-группой, но не минимальной простой,
поскольку она содержит в качестве подгруппы простую группу
L2 (5) порядка 60.)
Окончательный результат, как и в случае упомянутой во
введении теоремы Брауэра, выглядит как типичная
классификационная теорема: имеется «общее» решение, в данном
случае—некоторые семейства групп типа Ли лиевского ранга 1 (т. е.
«минимальные» такие группы) и помимо них еще несколько отдельных групп,
удовлетворяющих заданному условию. Приведем теперь точную
формулировку теоремы Томпсона.
Теорема. Если G—простая N-группа, то она изоморфна одной
из следующих групп:
(1) L2(q), <7>3;
(2) Sz(q), q = 2*»+\ /г>1;
(3) 1,(3), С/8(3), 2F4(2)', Л7 или Mlt.
Здесь Sz(q) обозначает семейство простых групп, открытых
Судзуки и связанных с 4-мерными симплектическими группами
над GF (<7), a 2F4 (2)'-^-коммутант группы 2F4 (2), наименьшего
члена семейства простых групп, открытых Римаком Ри и
связанных с исключительными группами типа Ли F4 (q), q = 22n+1, n^O.
(Сама группа 2F4 (2) не является простой, однако ее коммутант
прост и имеет в ней индекс 2. Точные определения см. в гл. 2.)
Как и раньше, стратегия Томпсона состояла в установлении
прежде всего внутреннего сходства между произвольной простой
N-группой G и некоторой группой из приведенного списка, а затем
в доказательстве в каждом конкретном случае, что это сходство
ведет на самом деле к изоморфизму. Здесь впервые можно было
видеть, как идеи локального анализа из статьи о группах
нечетного порядка можно использовать и развивать дальше для
получения информации о строении централизаторов инволюций и
максимальных 2-локальных подгрупп в G. В частности, в анализе
iV-групп берет свое начало фундаментальное понятие сильно ело-
1.1. От теории характеров к локальному анализу 27
женной подгруппы, составляющее один из наиболее важных
инструментов теории простых групп (см. § 4.2). (Несколько ранее в
работах Фейта и Судзуки появились серьезные намеки на это
понятие.) Более полное обсуждение работы об Af-группах и ее
значения для исследования простых групп будет дано позже.
В анализе Af-групп (как и в случае групп нечетного порядка)
каждая критическая подгруппа была разрешимой. Однако в более
общих классификационных проблемах локальные подгруппы могут
оказаться неразрешимыми. Первой теоремой, включавшей в себя
неразрешимый локальный анализ, была классификация всех
простых групп с диэдральными силовскими 2-подгруппами,
полученная Уолтером и мною в начале 60-х годов [140], [141]. (Томпсон
использует диэдральный результат в своем анализе Af-rpynn.)
Теорема. Если G—простая группа с диэдральными силовскими
2-подгруппами, то Gg^L2(q), q нечетно, q > 3, или G^A1.
В ходе анализа нам с Уолтером пришлось воспользоваться
массой специфических свойств групп L2(q), q нечетно, и Л7,
поскольку эти группы могли встречаться в качестве
композиционных факторов локальных подгрупп минимального контрпримера.
Таким образом, наше доказательство убедительно показало, что
любое серьезное обобщение методов локального анализа Томпсона
будет нуждаться в предварительной проверке многих свойств
известных простых групп. Поэтому для полной классификации
простых групп оказалась необходимой тщательно построенная теория
К-групп, т. е. конечных групп, композиционные факторы
которых лежат среди известных простых групп1). (См. § 4.14, 4.15.)
Давайте подведем некоторые итоги обсуждения общих
особенностей классификации простых групп. Как и в случае простых
(р, q, г)-групп, рассмотренном выше, общую проблему можно
сформулировать в следующем виде.
Доказать, что если G—конечная простая группа, все
собственные подгруппы которой являются К-группами, то G является
К-группой.
Вновь в самом начале анализа локальные подгруппы в G
могут иметь произвольно сложное строение. Подчеркнем еще раз,*
что цель первой части локального анализа состоит в
доказательстве обратного, а именно, что некоторый фрагмент локального
строения G устроен весьма специфически и на самом деле похож
на соответствующий фрагмент одной из известных простых групп
G*. Если такое внутреннее сходство установлено, то возникает
х) Безусловно, поскольку теперь классификация завершена, то разница
между понятиями «конечной группы» и «/С-группы» исчезла. Однако для
обсуждения самого классификационного доказательства, очевидно,
предпочтительней разделить эти два понятия.
28
. Гл. 1. Локальный анализ и четыре этапа классификации
следующая задача превращения этого сходства в изоморфизм между
Q и G*.
Для более полного понимания природы классификационного
доказательства лучше всего переход от сходства к изоморфизму
разделить на две отдельные части. Первая из них содержит
уточнение исходного внутреннего сходства до изоморфизма (в ряде
случаев лишь до «примерного изоморфизма») некоторого
фрагмента внутреннего строения группы G с соответствующим
фрагментом одной из известных простых групп G*. (Именно на этом
этапе всего доказательства может понадобиться теория характеров.)
Таким образом, остается проблема перехода от упомянутого
«внутреннего изоморфизма» к действительному изоморфизму между G
и G*.
Понятно, что для получения окончательного вывода G g^G*
мы должны не только знать, что группа G* существует, но
должны также иметь возможность идентифицировать G* среди всех
конечных групп, исходя из данного множества внутренних
условий, появившихся на предыдущем этапе доказательства. Таким
образом, в конечном счете локальный анализ (или локальный
анализ плюс теория характеров) сводит классификационную проблему
к вопросам относительно существования и единственности
известных простых групп. Что же касается вида этих внутренних
условий, то их всегда можно эквивалентным образом
сформулировать в терминах некоторого множества определяющих
соотношений на множестве образующих группы G*.
Указанное подразделение должно также помочь объяснить,
почему открытие многих спорадических групп проходило в две
стадии. Этап анализа, связанный с поиском доводов в пользу
существования, отправляясь от внутреннего сходства, усиливает его
до внутреннего изоморфизма данной группы G с пока еще
неизвестной простой группой G*. Последующий этап построения
включает в себя доказательство существования (и обычно также
единственности) группы G*, удовлетворяющей заданному набору
внутренних условий.
Суммируя сказанное, мы видим, . что доказательство общей
классификационной теоремы распадается на три этапа.
A. Внутреннее сходство G о некоторой «известной» простой
группой G*.
B. Внутренний изоморфизм между G и G*.
C. Настоящий изоморфизм между G и G*.
Подчеркнем,-что последний этап исследования простых групп,
включающий в себя доказательство существования и
единственности известных простых групп, не является составной частью
локального теоретико-группового анализа. Его следует рассмат-
1.1. От теории характеров к локальному анализу
29
ривать скорее как внешний каркас, обрисовывающий границы
локального анализа.
Заключительное замечание относительно теоремы о группах
нечетного порядка. Хотя и не существует (неабелевых) простых
групп нечетного порядка, но доказательство Томпсона—Фейта
этого утверждения имеет то же самое подразделение на три части,
что и любая общая классификационная теорема о простых
группах (лишь заключительный этап, связанный с образующими и
соотношениями, ведет к противоречию, а не к изоморфизму). Тем
самым мы получаем еще один довод в пользу фундаментального
значения этой теоремы для классификации простых групп.
Приведенное обсуждение должно помочь представить себе общую
организационную структуру изложения. Действительно, прежде
чем изучать саму классификацию, следует получить точное
описание известных простых групп, характеризации их посредством
внутренних условий и усвоить основные методы и результаты
локального анализа, необходимые для доказательства.
Определения к § 1.1
D1. Представлением группы G над полем F называется любой
гомоморфизм ф группы G в группу всех невырожденных линейных преобразований
некоторого (конечномерного) векторного пространства V над F. Размерность п
пространства V над F называется степенью ф и обозначается через deg (ф).
Представление ф называется обыкновенным, если F совпадает с полем
комплексных чисел О (или, более общо, если F—произвольное алгебраически
замкнутое поле характеристики 0); ф называется модулярным, если F имеет
простую характеристику р > 0. Относительно некоторого базиса (у) = vj, i>2,...
..., vn пространства V все линейные преобразования ф (g) для g£G можно
выразить в виде матриц ф (g)(Vy размера пХп с элементами из F. В
комплексном случае функция %, ставящая в соответствие каждому g £ G след матрицы
Ф (g)(V), называется (обыкновенным) характером группы G (а также
представления ф). Поскольку подобные матрицы имеют одинаковый след, то ф (g)
полностью определяет % (g) независимо от выбора конкретного базиса (v). Кроме
того, deg^) называется также степенью х и обозначается через deg(%).
Модулярные характеры определяются несколько сложнее, однако и это некоторые
похожим образом определенные комплекснозначные функции на G,
ассоциированные с ее модулярными представлениями (см. [84], [88], [126], [182]).
D2. Представление ф группы G на векторном пространстве V над полем F
называется приводимым, если хотя бы одно подпространство W из V с 0<W<V
инвариантно относительно ф (G); в противном случае ф называется
неприводимым. Если F = C, то характер % представления ф называется соответственно
приводимым или неприводимым. Любая конечная группа G имеет лишь
конечное число различных неприводимых характеров (равное в случае
обыкновенных характеров числу различных сопряженных классов элементов группы G;
см. [130, теорема 3.6.14]). Для фиксированного простого числа р эти
неприводимые характеры разбиваются на подмножества, называемые блоками; два
характера %i и %2 лежат в одном блоке тогда и только тогда, когда для всех
g £ G значения характеров Xi (g)> Ул (я) удовлетворяют подходящему
сравнению по модулю простого числа р (см. [84], [88], [126], [182]).
D3. В симметрической группе 2„ на множестве Q —{1, 2, ..., п} каждый
элемент х может быть представлен в виде произведения транспозиций (т. е.
30 Гл. 1. Локальный анализ и четыре этапа классификации
перестановок (if), меняющих местами пару символов i, / и оставляющих
неподвижными остальные п—2 символов). Кроме того, число транспозиций в любом
таком разложении х имеет одинаковую четность. В зависимости от нее
перестановка х называется четной или нечетной. Множество всех четных
перестановок образует подгруппу индекса 2 в 2п, называемую знакопеременной
группой и обозначаемую через Ап. Хорошо известно, что Ап проста для л^5.
D4. 2-группа S называется диэдральной или (обобщенной) кватернионной,
если она порождается элементами х, у, удовлетворяющими соотношениям
х~1ух = у~1 и соответственно х2 — у2П=\, п^\, или *4 — у2П=\, х2 = у2П"1,
п^2.
Db.Un(q) = PSU (п, <7)—факторгруппа группы SU (п, q) по модулю
скалярных матриц, называемая проективной специальной унитарной группой
над GF (q), п^З (определение SU (n, q) см. в § 2.1). Группа Un(q) проста
для q^S или п ^4.
D6. Нормальный ряд G = Gi > G2 > ... > G„=l в группе G называется
композиционным, если каждая G/—максимальная нормальная подгруппа
в G/-i. В этом случае композиционные факторы G/-i/G/, 2<:i«^ai,
обязательно просты. Теорема Шрейера утверждает, что любой нормальный ряд
(с различными членами) может быть уплотнен до композиционного [130,
теорема 1.2.7]. Кроме того, согласно хорошо известной теореме Жордана — Гёль-
дера, любые два композиционных ряда группы G имеют одинаковую длину,
причем с точностью до перестановки соответствующие факторы попарно
изоморфны [130, теорема 1.2.8]. Поэтому имеет смысл говорить просто о
композиционных факторах группы G. (Таким образом, G разрешима тогда и только
тогда, когда ее композиционные факторы имеют простой порядок.)
D7. Если р—произвольное простое число и ра—наибольшая степень р,
делящая порядок группы. G, то теорема Силова утверждает, что G содержит
подгруппу порядка ра (называемую силовской р-подгруппой группы G), любые
две силовские р-подгруппы в G сопряжены и число силовских р-подгрупп в G
сравнимо с 1 по модулю р [130, теорема 1.2.9]. (Две подгруппы или
подмножества X, Y в G называются сопряженными, если g~1Xg = Y для некоторого
D8. Нормализатором подгруппы X в группе G называется множество всех
g £ G, для которых g"1Xg = Xt т. е. g"1xg^X для всех х£Х. (Таким
образом, X нормальна в G тогда и только тогда, когда ее нормализатор совпадает
со всей группой G.)
D9. Группа G называется нильпотентной, если она содержит нормальный
ряд G = Gx^ G2^z ... ^ Gn~ 1, такой, что каждая группа G/ нормальна
в G и G/.i/G/ содержится в центре группы G/G{, 2^i^n. Любая нильпо-
тентная группа обязательно разрешима, однако обратное неверно. В самом
деле, нетрудно показать, что G нильпотентна тогда и только тогда, когда она
является прямым произведением своих силовских подгрупп [130, теорема 2.3.5].
В частности, G нильпотентна, если она имеет порядок, равный степени
простого числа (примарный порядок).
D10. Подгруппа М группы G называется максимальной, если М < G и
из того, что M^X^G для некоторой подгруппы X в G, следует, что Х — М
или X — G.
D11. Если X—подгруппа в G, то имеется естественный путь
«индуцирования» характера % группы X, чтобы получить характер %* группы G. А именно,
сначала представление q> группы X, соответствующее %, индуцируется на G
и находится, таким образом, представление ф* группы G, далее, %*
определяется как характер ф*. Если gx, g2, ..., gn—семейство представителей
смежных классов G по X, то ф* (g) для g g и определяется как матрица,
состоящая из блоков размера п X п, в которой блок на месте (*', /) равен
матрице ф (giggj1), где ф (g') полагается равным нулевой матрице для всех
элементов g' из G, не лежащих в X.
1.2. Внутренний геометрический анализ
31
Когда X является Tl-множеством в G, имеется тесная связь между
значениями % и х* на элементах из X; в этом случае характеры группы G,
возникающие в процессе индуцирования, называются исключительными. Брауэр
и Судзуки построили общую теорию исключительных характеров и показали,
как применять ее к конкретным теоретико-групповым ситуациям (см. [277]).
1.2. Внутренний геометрический анализ
Неспециалистам имя Бернда Фишера знакомо исключительно
в связи с некоторыми спорадическими простыми группами, однако
математики, активно работающие в области конечных групп,
считают его основателем внутреннего геометрического анализа.
Деятельность Фишера привела к обнаружению пяти новых простых групп,
а дополненная работой его ученика Франца Тиммесфельда она дала
жизнь фундаментальному общему методу исследования простых
групп, который можно с достаточным основанием рассматривать как
второй по важности для классификации после локального теоретико-
группового анализа.
В отличие от ситуации с локальным анализом работа Фишера
возникла как результат индивидуального творчества, а отдельные
стороны ее последующего развития носили почти магический характер.
Теоремы о группах нечетного порядка и N-группах создают
ощущение, что предпринятые Томпсоном шаги были ему буквально
навязаны, а блеск исполнения связан с абсолютной «неизбежностью»
методов, которые он построил для изучения внутреннего строения
простых групп. В самом деле, на протяжении почти двадцати лет
с момента появления теоремы о группах нечетного порядка все
детали ее 255-страничного доказательства тщательно
анализировались, причем было внесено огромное число улучшений в различные
части рассуждения. Тем не менее даже самое современное
доказательство, которое Глауберман и Дэвид Сибли записывали на протяжении
нескольких последних лет и которое включает в себя все упрощения
Бендера, следует той же концептуальной схеме, что и
первоначальное рассуждение Томпсона — Фейта (и все еще занимает примерно
150 стр.). Аналогично и при изучении раннего варианта теоремы об
ЛЛгруппах высокие достоинства доказательства оставили глубокий
след в моем собственном понимании простых групп. В частности,
оно убедило меня в том, что содержащиеся в доказательстве идеи
при более полном их использовании, по-видимому, в состоянии
образовать фундамент полной классификации простых групп.
С другой стороны, у Фишера все началось со следующего
поставленного им вопроса [96], [97], [99], [100].
Какие конечные группы могут быть порождены сопряженным
классом (D 12) инволюций, произведение любых двух из которых имеет
порядок 1, 2 или 3?
32
Гл. 1. Локальный анализ и четыре этапа классификации
Вопрос представляется достаточно естественным, поскольку
любая симметрическая группа обладает указанным свойством:
действительно, каждая из них порождается своими транспозициями ((/),
причем произведение Щ)(тп) двух транспозиций (ij), (mn) имеет
порядок 1, 2 или 3 в зависимости оттого, сколько элементов, 2, 0 или
1, насчитывает пересечение {£,/} П {jn, n} (в последнем случае,
скажем при /=т, произведение (ij)(mn) совпадает с 3-циклом (ij)).
Однако имелось много других столь же «естественных» теоретико-
групповых вопросов, которые впоследствии оказались либо
совершенно неприступными, поддающимися решению только в случае
небольших групп, либо не имеющими большого значения для
классификации простых групп. Вот соответствующие примеры: (а) Можно
ли произвольную простую группу породить элементом порядка 2
и элементом нечетного простого порядка? (Ь) Какие простые группы
имеют неприводимое комплексное представление степени /г? (с)
Можно ли известные простые группы охарактеризовать в терминах их
таблиц характеров (D 13)?
Вопрос Фишера отличался от только что сформулированных тем,
что поддавался полному решению и при этом возникли мощные
методы, допускающие глубокие обобщения. Более детальное обсуждение
вклада Фишера будет проведено в гл. 2, а здесь мне хотелось бы
обрисовать общие черты его теории — в частности, объяснить смысл
термина «геометрический» в ее названии. Пусть G — произвольная
группа, порожденная сопряженным классом D инволюций,
произведение любых двух из которых имеет порядок 1, 2 или 3. Фишер
назвал D классом 3-транспозиций. С группой G можно естественным
образом связать некоторую «геометрию», на которой G «действует
как группа автоморфизмов». Действительно, рассмотрим граф Г,
вершинами которого служат элементы класса D, причем два
элемента х, у £ D соединены ребром тогда и только тогда, когда они
коммутируют. Поскольку D—сопряженный класс в G, то g ~lxg£D
для любых x£D и g£G. Кроме того, если элементы xyy£D
коммутируют, то элементы g"1xg и g~~xyg также коммутируют.
Таким образом, при сопряжении элементы из G переставляют
вершины графа Г и сохраняют заданное на нем отношение
инцидентности, так что по определению G действует на Г как некоторая
группа автоморфизмов.
Понятно, что строение G тесно связано с геометрией графа Г.
Безусловно, похожая конструкция может быть определена для любой
группы G и любого сопряженного класса или объединения
сопряженных классов. Однако в нашем случае богатая структура
геометрии обеспечивается основным условием Фишера на порядки
произведений пар элементов из D. На первом шаге своего анализа Фишер
изучает «корневые» подмножества в D — максимальные
подмножества Е попарно коммутирующих элементов из D, т. е.
максимальные подграфы Гя, в которых любая пара вершин
1.2. Внутренний геометрический анализ
33
соединена ребром,— и исследует стабилизатор ТЕ в
G, или, что эквивалентно, нормализатор N множества Е
в G. В конечном счете он определяет все возможности для N, в
частности, показывает, что N действует дважды транзитивно на
множестве Е. Однако наибольшее влияние на геометрию оказывает тот
замечательный факт, что условие Фишера наследуется некоторыми
связанными с D подгруппами из G. Это дало Фишеру возможность
использовать в анализе индукцию. А именно, пусть Dx для xgD
обозначает подмножество всех элементов из Ь, коммутирующих с
х и отличных от х, т. е. множество вершин Г, связанных с х. Фишер
доказывает, что подгруппа D* в G, порожденная элементами из
Dx, сама является группой, порожденной 3-транспозициями
относительно множества Dx, т. е. Dx — сопряженный класс инволюций
группы D* (очевидно, что условие на произведения наследуется
множеством Dx). Надеемся, что приведенное краткое обсуждение дало
возможность почувствовать аромат внутреннего геометрического
анализа Фишера.
На Тиммесфельда влияние Фишера было непосредственным,
но его работа имела также сильное, хотя и не столь прямое влияние
на Ашбахера. Действительно, одним из первых важных теоретико-
групповых результатов Ашбахера было обобщение классификации
Фишера групп, порожденных 3-транспозициями, до классификации
групп, порожденных нечетными транспозициями, т. е. сопряженным
классом инволюций, произведение любых двух из которых имеет
порядок, равный 1, 2 или некоторому нечетному числу. Кроме того,
его фундаментальную теорему о классической инволюции [13], за
которую он был удостоен в 1980 г. премии Коула по алгебре, можно
рассматривать как изучение геометрии, ассоциированной с
сопряженным классом классических инволюций (D 14).
В дополнение к сказанному, Ашбахер понял, что ключевые
результаты о небольших группах — классификация групп с
собственным 2-порожденным ядром и групп с несвязной силовской 2-под-
группой — могут быть переформулированы в терминах несвязности
подходящего графа Г. Вершинами этого графа служат четверные
подгруппы Клейна заданной группы G (т. е. подгруппы, изоморфные
Z2xZ2), причем, как и раньше, две вершины соединены ребром тогда
и только тогда, когда они поэлементно коммутируют. Таким образом,
в этой фундаментальной области теории простых групп появилась
некая общая идея. Говорят, что G связна или несвязна в зависимости
от связности или несвязности соответствующего графа. По существу
термин «небольшая группа», введенный нами здесь на интуитивном
уровне для наглядности изложения, означает именно несвязность
ассоциированного графа. Более подробное описание будет дано
в § 1.5.
2 № G2&
34 Гл. 1. Локальный анализ и четыре этапа классификации
Определения к § 1.2
D12. В любой группе G отношение сопряженности разбивает элементы на
непересекающиеся классы, называемые сопряженными классами. (Таким
образом, х, у £ G лежат в одном сопряженном классе тогда и только тогда, когда
g-~1xg = y для некоторого g £ G.)
D13. Для любой группы G число г неприводимых комплексных
характеров группы G равно числу сопряженных классов в G [130, теорема 3.6.14].
Поскольку сопряженные матрицы имеют одинаковый след, то характеры
группы G постоянны на сопряженных классах. Таким образом, если х/»
l^i^Ty обозначают различные неприводимые комплексные характеры G и
если gj, 1 ^/^г,— представители различных сопряженных классов группы G,
то матрица размера гХг, в которой на месте (t\ /) стоит %/ (gy), дает
исчерпывающее описание всех характеров группы G. Ее называют таблицей
характеров группы G.
__ D14. Пусть / — инволюция группы G, С—ее централизатор в G и
С = С/О (С), где О (С) —наибольшая нормальная подгруппа в С нечетного
порядка. Инволюция t называется классической, когда С содержит подгруппу
К ^SL (2, а) для некоторого нечетного q, равного степени простого числа,
причем
(a) / g К ( при нечетном q группа SL (2, а) содержит ровно одну
инволюцию, а именно [q —1));
(b) К является «компонентой» группы С, т. е. наименьшая нормальная
подгруппа в С, содержащая /С, разлагается в произведение попарно
централизующих друг друга подгрупп, каждая из которых изоморфна /С.
Почти все группы типа Ли над полями нечетной характеристики содержат
классическую инволюцию. Удивительная теорема Ашбахера по существу
выражает обратное утверждение: за небольшим числом исключений все простые
группы, содержащие классическую инволюцию, исчерпываются группами типа
Ли нечетной характеристики. Таким образом, его теорема «характеризует»
группы типа Ли нечетной характеристики строением централизатора лишь
одной инволюции. Набросок доказательства Ашбахера будет дан позднее.
1.3. В чем причины беспрецедентно большого объема!
В среде широкой математической общественности часто
высказывается мнение, что современный подход к классификации простых
групп порочен — не может доказательство одной-единственной
теоремы занимать 10 000 стр.! Поскольку большинство известных
простых групп являются конечными аналогами групп Ли, то следует
научиться строить некоторую геометрию, исходя из подходящих
внутренних свойств простой группы G, а затем определить Q по ее
действию на этой геометрии. Таков наиболее часто предлагаемый
альтернативный подход. В случае успеха классификация будет
сведена к, вероятно, более податливой проблеме классификации
соответствующих геометрий. В конце концов именно таким образом
была проведена классификация комплексных простых алгебр Ли
(и с ее помощью — классификация простых групп Ли): проблема
в целом сводится к анализу связных «диаграмм Дынкина» (см. § 2.1),
или, что эквивалентно, к решению некоторого вопроса о множествах
1.3. В чем причины беспрецедентно большого объема!
35
векторов в /г-мерном евклидовом пространстве. Так как имеются
пять исключительных комплексных простых алгебр Ли и групп Ли —
G2, ^4, £б, £7, Е8,— то точно так же допустимо вообразить
существование ряда исключительных геометрий, возникающих из конечных
простых групп, каждая из которых приводила бы к одной из
спорадических групп.
Предложение выглядит столь заманчивым, что невольно
спрашиваешь — почему же исследование простых групп не пошло
указанным путем? Попробую ответить на этот вопрос. Рассмотрим
минимальный контрпример G к предполагаемой классификационной
теореме, так что любая собственная подгруппа в G является /(-группой.
Одругой стороны, пусть G * — совершенно произвольная /(-группа,
настолько далекая от простой, насколько вы себе можете
представить. Существует ли априори какое-нибудь соображение в пользу
того, что наш минимальный контрпример G не может иметь ту же
самую решетку собственных подгрупп, что и G*? Ведь если это
возможно, то внутреннее строение G будет подобно внутреннему
строению не простой группы, а произвольной /(-группы. Но если теперь
мы попытаемся построить геометрию, непосредственно исходя из
группы G, то получим ту же самую геометрию, что и для группы G *.
Таким образом, если с самого начала следовать предложенным
путем, то обязательно возникнет столько различных геометрий,
сколько имеется конечных /(-групп. Классификация таких геометрий
оказалась бы безнадежной задачей.
Приведенное обсуждение показывает, что нет оснований
надеяться на эффективность геометрического подхода до тех пор, пока мы
не научимся доказывать, используя простоту G, что она имеет на
самом деле значительно более жесткое внутреннее строение, нежели
произвольная /(-группа G*, или, другими словами, пока мы не
продемонстрируем, что внутреннее строение G «похоже» на внутреннее
строение некоторой простой /(-группы. Главная цель локального
теоретико-группового анализа как раз и состоит в получении
такого сходства. А если уж оно получено, то доказательство
окончательного изоморфизма всегда можно рассматривать как
построение некоторой «геометрии».
Наибольшая часть классификации простых групп как раз и
посвящена тому этапу доказательства, который связан с достижением
сходства. Разветвленность задачи не имеет аналога в классификации
комплексных простых алгебр Ли, поскольку там невырожденность
формы Киллинга является настолько сильным критерием
полупростоты, что анализ быстро сводится к только что описанным
геометрическим задачам. Я думаю, что именно из-за необычайной
краткости этой редукции мы оказываемся совершенно неподготовленными
к степени сложности соответствующей задачи для простых групп.
Можно добавить, что ситуация в пока еще незавершенной
классификации конечномерных простых алгебр Ли над алгебраически
2*
36
Гл. 1. Локальный анализ и четыре этапа классификации
замкнутыми полями характеристики р>0 по части трудностей,
возникающих на этапе редукции, представляется более близкой к
простым группам, нежели к комплексным простым алгебрам Ли.
Если, как мы полагаем, подход с точки зрения локального
анализа к описанию всех простых групп является единственно возможным,
то вопрос о длине классификационного доказательства сводится к
объему работы, необходимой для решения следующих двух проблем:
A. Доказать, что G внутренне похожа на некоторую простую
К-группу G *.
B. Доказать, что если G похожа на такую группу G *, то она
должна быть изоморфна G *. ^
Понятно, что ответы на вопросы А и В в свою очередь должны
содержать в себе ответы на следующие два вспомогательных
вопроса:
I. Насколько единообразно внутреннее строение простых К-
групп? Другими словами, как много различных «типов» простых
/(-групп необходимо рассматривать?
II. Можно ли на этапах А и В провести анализ одновременно для
всех'тех групп G, которые в конечном итоге станут изоморфными
простой /(-группе G * (любого) данного типа?
Представляется необходимым считать различными типами по
крайней мере следующие семейства /(-групп (известные простые
группы будут подробно описаны в гл. 2):
1. Группы простого порядка.
2. Знакопеременные группы.
3. Группы типа Ли над GF(q), q нечетно.
4. Группы типа Ли над GF(q), q четно.
5. 26 спорадических групп.
Различие между п. 3 и 4 существенно, поскольку в группе G *
типа Ли, определенной над GF(q), инволюция соответствует
полупростому или унипотентному элементу в зависимости от того, нечетно
или четно q. Соответственно централизаторы этих инволюций
имеют совершенно различное строение (см. § 1.5).
Кроме того, при разборе многих ситуаций необходимо
продолжить подразбиение групп типа Ли следующим образом:
a. Классические группы: линейные, симплектические,
ортогональные.
b. Исключительные группы: G2, F^ E6i £7, E8.
c. «Алгебраически скрученные» группы: унитарные группы,
«троичность» D4, скрученная EG (конечные аналоги вещественных
ортогональных групп).
1.3. В чем причины беспрецедентно большого объема!
37
d. «Исключительные» скрученные группы: группы Судзуки,
группы Ри характеристики 3, группы Ри характеристики 2.
Некоторые семейства спорадических групп возникают из одного
контекста (первые две группы Матье М1и М12\ остальные три
группы Матье М22, Л123, М24; вторая и третья группы Янко /2, Л; три
группы Конвея .1, .2, .3; три группы Фишера М (22), М(23), М(24)';
группа Ft и ее три подгруппы — группа Фишера F2, группа
Томпсона F3 и группа Коитиро Харады Fb). Однако с точки зрения их
классификации в терминах внутренних свойств лучше всего считать, что
все 26 спорадических групп имеют различные типы.
Указанное выше подразделение дает нам примерно 40
различных типов простых /(-групп (более чем на половину состоящих из
отдельных групп). Последнее означает, что на разных стадиях
анализа в проблемах А и В, сформулированных ранее, может
возникнуть необходимость рассмотрения до 40 различных
случаев.
Кроме того, часто бывает необходимо исследовать много других
случаев, не связанных ни с одной из известных простых групп.
Например, заключительная конфигурация статьи о группах нечетного
порядка в смысле жесткости условий не уступает тем, в которых
внутреннее строение G похоже на внутреннее строение некоторой
простой К-группы G *. Поэтому вполне естественно сказать в этом
случае, что внутреннее строение G напоминает строение
несуществующей простой группы. Смысл сказанного состоит в том, что по своему
духу анализ, преследующий цели устранения какой-либо конкретной
конфигурации, ничем не отличается от анализа в «реальных»
случаях — как на этапе получения внутреннего сходства G с одной из
простых К-групп G *, так и на более позднем этапе доказательства
изоморфизма между G и G *.
Как уже отмечалось, для исследования небольших простых групп
требуются особые методы. Кроме того, анализ в этих случаях
чрезвычайно сложен, причем каждая специфическая проблема рождает
свои собственные специальные конфигурации и рассуждения
узкого назначения. Например, описание простых групп с квазидиэдраль-
ными или сплетенными силовскими 2-подгруппами занимает более
300 стр. Кроме основного результата и небольшого числа общих
идей доказательства, ни одно специфическое предложение оттуда
никогда не использовалось в. какой-либо другой
классификационной проблеме. Исчерпывающий анализ небольших групп занимает,
по-видимому, около 3000 журнальных страниц и, кроме того,
включает в себя значительное машинное время, необходимое для
построения и доказательства единственности ряда спорадических групп.
Мы попытались «изнутри» объяснить, почему
классификационное доказательство имеет огромный объем. Предпринимаемая в
настоящее время ревизия классификации простых групп в случае ус-
38 Гл. 1. Локальный анализ и четыре этапа классификации
пеха позволит сократить доказательство, скажем, в три раза;
однако десятикратное уменьшение объема, безусловно, потребовало бы
совершенно новых идей.
1.4. Некоторые стандартные результаты и терминология
Безусловно, к настоящему моменту читатель уже понял, что даже
самое поверхностное обсуждение простых групп использует весьма
значительное число основополагающих теоретико-групповых
понятий. Мне хотелось бы завершить настоящее введение более
точным описанием подразделения на части классификационного
доказательства. Однако для этого мне потребуются многочисленные
стандартные определения и терминология. Вместо того чтобы вводить
их в дальнейшем в серии подстрочных примечаний, мне кажется
более разумным дать независимо их систематический обзор вместе с
некоторыми столь же стандартными исходными результатами,
потребность в которых мы будем испытывать на каждом шагу. Я
прошу извинения за длину списка, однако без подходящего словаря
совершенно невозможно обсуждать отдельные части
классификационного доказательства на содержательном уровне. По-видимому,
читателю, не знакомому с приводимыми ниже терминами, лучше будет
усваивать их по мере появления в тексте.
Пусть X—произвольная конечная группа.
Х# обозначает множество всех неединичных элементов из X.
У<Х означает, что У—подгруппа в X.
У<Х означает, что У—собственная подгруппа X, т. е. У^Х
и УфХ.
У<]Х означает, что У—нормальная подгруппа в X.
У<]<]Х означает, что У—субнормальная подгруппа в X, т.е.
Y=Y1<\Y2<\YS<]... < У„ = X для подходящих подгрупп
Yt в X, 1<*<л.
У char X означает, что У—характеристическая подгруппа в X,
т.е. У инвариантна относительно всех автоморфизмов группы X.
У —сечение в X означает, что Y = A/B> где Л, £<Х, В<]А.
У вплетена в X означает, что У изоморфна некоторому сечению
группы X.
У накрывает сечение А/В в X означает, что У ^ X и A = B(Y (]А).
\S\ обозначает мощность множества S. В частности, |У| —
порядок любого подмножества У группы X.
|Х:У| обозначает индекс подгруппы У в X, т.е. |Х|/|У|.
(По теореме Лагранжа |У| делит |Х|.)
<У> обозначает наименьшую подгруппу в X, содержащую
подмножество У группы X. Нетрудно заметить, что <У> совпадает
с пересечением всех подгрупп в X, содержащих У. Если
<у> = Х, то говорят, что У порождает X или что У—система
образующих группы X.
1.4. Некоторые стандартные результаты и терминология 39
Сх(У) и Nx(Y) обозначают соответственно централизатор и
нормализатор подмножества Y в X,
<УХУ обозначает нормальное замыкание в X подмножества Y
группы Ху т. е. подгруппу, порожденную всеми сопряженными
с Y подгруппами вХ,
1(Х) обозначает центр группы X.
Sylp (X) обозначает множество всех силовских /?-подгрупп в X
для простого числа р.
Sol(X) обозначает наибольшую нормальную разрешимую под^-
группу в X.
F (X) обозначает подгруппу Фиттинга в X — наибольшую
нормальную нильпотентную подгруппу в X. (Понятно, что F (X)
содержит любую нормальную нильпотентную подгруппу из X.)
Ф (X) обозначает подгруппу Фраттини в X, которая определяется
как пересечение всех максимальных подгрупп в X.
Aut (X) обозначает группу всех автоморфизмов группы X.
1 обозначает единичную подгруппу и единичный элемент группы X,
а также тривиальную группу, состоящую из одного элемента.
X действует на группе Y означает, что имеется гомоморфизм X
в Aut (К). В частности, если У<]Х, то X действует на Y
с помощью сопряжения.
AB = {ab\a£A, b$B\ для любых подмножеств Л, В из X.
Аналогичное обозначение используется и для любого конечного
числа подмножеств из X.
Ав =* {b^ab] а <£, Л, b£B\ для любых подмножеств Л, В из X.
[#, Ь~\ = а~1Ь~гаЬ — а~1аь для любых элементов а, Ь£Х.
[Л, 5] = <[а, Ь]\а£А, Ь^Ву для любых подмножеств Л, В из X.
[a, b, c] = [[a, b], с] для любых элементов а, й, с£Х. Индуктивно
определяются коммутаторы произвольной длины для элементов
и аналогично для последовательностей подгрупп.
Х' = [Х, X] обозначает коммутант группы X. Если Х = Х', то
группа X называется совершенной.
Цепочка подгрупп X, X', (X')',... называется производным рядом
группы X; X — разрешимая группа тогда и только тогда, когда
ее производный ряд заканчивается единичной подгруппой.
Цепочка подгрупп X, X', [X', X], [[X', X], X],... называется
нижним центральным рядом группы X. Как и в случае разрешимой
группы, здесь нетрудно показать, что X — нильпотентная группа
тогда и только тогда, когда ее нижний центральный ряд
заканчивается единицей.
Если X нильпотентна, то ее классом (нильпотентности)
называется число, на единицу меньшее числа членов нижнего центрального
ряда группы X. Таким образом, любая абелева группа является
нильпотентной группой класса 1.
Zu обозначает циклическую группу порядка л.
40
Гл. 1. Локальный анализ и четыре этапа классификации
Q2n обозначает (обобщенную) кватернионную группу порядка 2п,
D2n обозначает диэдральную группу порядка 2/г, п ^2.
Группа, порядок которой равен степени простого числа р,
называется р-группой. Абелева р-группа X называется гомоцикли-
ческой, если она является прямым произведением своих
циклических подгрупп одинакового порядка рт. В случае т=1
группа X называется элементарной. Элементарная абелева р-группа
ранга п обозначается через Ерп. Отметим, что группу Ерп можно
отождествить с я-мерным векторным пространством над простым
полем GF(p). Отметим также, что группы Es и Z2xZ2xZ2
изоморфны.
Группа, изоморфная Z2xZ2, называется четверной группой.
Если X — некоторая /?-группа, то ее рангом, обозначаемым
через т(Х), называется максимум рангов элементарных абелевых
подгрупп в X (не путать с перестановочным рангом группы
перестановок).
Группа X называется центральным произведением подгрупп
Л, В, если Х = АВ и [Л, В] = 1. Это произведение называется
прямым, если, кроме того, ЛпВ=1. В последнем случае пишут
X = Л х В. С другой стороны, если Л П В Ф 1 (заметим, что
Л f]B^Z(A)[)Z(B)), то мы пишем X—Л* В. Введенные понятия
и обозначения естественным образом обобщаются на конечные
произведения подгрупп из X.
Если Л—некоторая группа и В—подгруппа в Aut(A), то
полупрямым произведением или расщепляемым расширением
группы Л с помощью В называется группа вида А*В* с А*^А,
В*^В, Л*Г|В*=1, А*<\А*В*\ действие В* на Л* посредством
сопряжения определяется действием В как группы автоморфизмов
на Л. Обычно отождествляют Л* с Л, В* с В и пишут А-В (или
просто АВ) для обозначения полупрямого произведения.
Таким образом, если Х = АВ сЛ<]Х и ЛпВ = 1, то X —
расщепляемое расширение Л посредством В. Кроме того, В
называется дополнением к Л и наоборот. С другой стороны, если
ЛпВ=тМ, то мы говорим, что X — нерасщепляемое расширение Л
посредством В.
Присоединить автоморфизм |3 к группе Л или расширить А
с помощью р означает лишь образовать группу Л -(р).
Имеется ряд других соглашений для обозначения расширений
групп. Например, часто пишут А/В для обозначения группы X,
содержащей нормальную подгруппу, изоморфную В,
факторгруппа по которой изоморфна Л. Такое обозначение предназначено лишь
для схематической записи и обычно используется только в случаях,
когда Л и В — известные группы с закрепленными за ними
символами. Например, можно написать A5/(Q8*Dg). Конечно, символ А/В,
как правило, обозначает фактор!руппу группы Л по подгруппе В.
1.4. Некоторые стандартные результаты и терминология 41
Из контекста всегда будет ясно, в каком именно смысле
употребляется наклонная черта.
Совершенные центральные расширения известной группы X
с помощью элемента простого порядка обычно обозначаются через
X. Таким образом, Аъ и AJZ2 (нерасщепляемое) представляют
одинаковые группы.
Иногда для краткости мы можем писать (X) -2 для обозначения
расширения группы X посредством Z2 (которое может расщепляться
или не расщепляться над X). При использовании этого обозначения
подразумевается, что задано некоторое конкретное действие на X
элемента, квадрат которого содержится в X.
Хотя сплетение группы А с помощью 5, обозначаемое через
А г £,— достаточно прозрачное понятие, но его определение требует
некоторого терпения. Возьмем п=\В\ экземпляров группы Л,
предварительно пронумеровав их от 1 до п, и рассмотрим их прямое
произведение Л*. Отождествим естественным образом В с некоторой
подгруппой в Sn х). Перестановочное действие группы В на
множестве {1, 2, ..., п} используется далее для индуцирования действия
В на Л* как группы автоморфизмов; а именно, для (аи а2, ..., ап) £
£Л*, at^A, 1<7<л, vib^B полагаем
(а1э а2, ..., ап)ь = (а'и а2, ..., а„),
(l.i)
где а- = ау-, если г = /ь, l^t, j^n.
Наконец, используя указанное действие, мы определяем сплетение
А г В как полу прямое произведение Л* • В.
Например, если \В |=2, то Л г В — это прямое произведение двух
экземпляров группы Л, переставляемых при сопряжении
инволюцией из В. В новой терминологии приведенное ранее определение
сплетенной 2-группы теперь будет выглядеть как Z2m г Z2 для
некоторого целого числа т^2.
Если я — некоторое множество простых чисел, то я' обозначает
совокупность всех тех простых чисел, которые не принадлежат я.
Оя(Х) обозначает (единственную) наибольшую нормальную
подгруппу в X, порядок которой делится лишь на простые числа
из множества я. Она является произведением всех нормальных
подгрупп из X, удовлетворяющих указанному условию.
0я (X) обозначает наименьшую нормальную подгруппу У в X, такую,
что X/Y имеет порядок, делящийся лишь на простые числа из я.
х) Если X = {xlt х2, ..., хп)— некоторая группа, то для х£Х
отображение фд.: Х( I—> Х[Х, \ t^i^n, является перестановкой множества {хъ х2, ..., хп}.
Если мы отождествим это множество с {1, 2, ..., п}, то отображение
9: ху—>срх для всех х£Х задает изоморфизм между группой X и
некоторой подгруппой симметрической группы 2„. (Именно последнее и
утверждает теорема Кэли.) Используя 9, мы можем отождествить X с некоторой
подгруппой в 2^.
42
Гл. 1. Локальный анализ и четыре этапа классификации
Она является пересечением всех нормальных подгрупп из X,
для которых соответствующая факторгруппа обладает указанным
свойством.
Ор> (X) является р''-ядром группы X, т. е. наибольшей нормальной
подгруппой в X, порядок которой не делится на /?, где р —
простое число.
0(Х) = 02'(Х)—ядро группы X, т. е. наибольшая нормальная
подгруппа в X нечетного порядка.
X имеет нормальное р-дополнение, если Х/0Р> (X) является /?-груп-
пой (откуда Х = Ор'(Х)Р для любой Р £Sylp(X)).
. Если р—произвольное простое число и 0Р'(Х)=1, то X
называется /?-скованной, когда Сх (Ор (Х))^Ор (X). В общем случае
группа X называется р-скованнои если /7-скованной является
группа Х/Ор>(Х). (Заметим, что <V(X/(V(X)) = 1.)
Следующие дополнительные понятия, хотя и не столь стандартны,
но будут весьма полезны.
Зр(Х) обозначает множество в группе X элементов простого
порядка р.
3(Х) = 3Ш(Х).
у£Зр (X) называется р-центральным, если у лежит в центре
некоторой силовской /7-подгруппы группы X.
Другие обозначения будут вводиться по ходу изложения.
Мы завершим настоящий параграф некоторыми понятиями и
первоначальными сведениями о представлениях групп, группах
перестановок, образующих и соотношениях, /?-группах и гомоморфизме
перемещения.
Примечания D1 и D2, приведенные в конце § 1.1, уже содержат
ряд определений, касающихся представлений. Рассмотрим вновь
представление ср группы X на векторном пространстве V над полем
F, так что ф(Х) лежит в GL(V\ F) — группе всех невырожденных
линейных преобразований пространства V над F.
кег(ф)—ядро представления ср—это множество всех х$Х,
таких, что ср(х)—тождественное линейное преобразование на V.
Понятно, что ker (ф) <] X.
Ф называется тонным, если кег(ф)=1, или, что эквивалентно,
если ф(Х) ^ X.
Ф индуцирует представление ф* факторгруппы Х/кег(ф) на
пространстве V, задаваемое равенством ф* (кег (ф) х) = ф (х) для всех
х£Х. Представление ф* является точным.
Если W—подпространство из У, инвариантное относительно
ф(Х), то ф индуцирует (при ограничении) представление <p\w
группы X на W. Кроме того, ф индуцирует (фшст0/?)представле-
ние tp]v/w группы X на V/W при взятии композиции ф с
естественным гомоморфизмом V на V/W,
1.4. Некоторые стандартные результаты и терминология
43
Мы часто говорим, что ф—«сумма» представлений ф^ и y\v/w,
а также что y\w и y\v/w являются компонентами
представления ф. Продолжая процесс разложения, всегда можно представить
Ф как сумму неприводимых компонент. (Последнее соответствует
цепочке ф(Х)-инвариантных подпространств 0=W0< HP,< №2<...
... < Wn = V, таких, что ф (X) действует неприводимо на' W^W^^
Ф называется вполне приводимым, если V разлагается в прямую
сумму ф(Х)-инвариантных подпространств Уг, V2, ..., Vm, таких,
что ф|^—неприводимое представление для всех i, l^i^m.
Не каждое представление группы X над полем F обязательно
вполне приводимо. Хорошо известная теорема Машке [130, теорема
3.3.1] тем не менее дает нам важное достаточное условие того, чтобы
указанное свойство все-таки выполнялось.
Теорема 1.1. Если F—поле характеристики 0 или
характеристики, не делящей |Х|, то любое представление группы X на
векторном пространстве V над F вполне приводимо.
Ф называется линейным, если V имеет размерность 1 над F. В этом
случае ф — просто гомоморфизм X в мультипликативную группу
F*. Очевидно, линейные представления всегда неприводимы.
Хорошо известно, что все неприводимые представления абелевых
групп над любым алгебраически замкнутым полем обязательно
линейны. (Это следует из леммы Шура, утверждающей, что если группа
X допускает точное неприводимое представление, то ее центр Z(X)
должен быть циклическим [130, теоремы 3.5.3 и 3.2.2].) Отсюда
следует
Теорема 1.2. Если ф—неприводимое представление абелевой
группы X над полем F, то Х/кег(ф) — циклическая группа.
Разные на первый взгляд представления группы X могут быть
по существу одинаковыми в том смысле, что одно получается из
другого подходящей заменой обозначений. Говоря формально, назовем
два представления фх и ф2 группы X на векторных пространствах
Vi и V2 над полем F эквивалентными, если существует изоморфизм
г|) векторных пространств Vi и V2, такой, что для всех g£G и ug
£ Vx справедливо равенство
Ф.(г)('Ф(»)) = ,Ф(ф1(г)(»)).
Очевидно, что q>i{g) и ф2(£) имеют одинаковые матрицы
относительно некоторого базиса пространства Vx и его образа при действии
г|) соответственно. В частности, отсюда следует в случае F=C, что
эквивалентные комплексные представления группы X имеют
одинаковые характеры.
44
Гл. 1. Локальный анализ и четыре этапа классификаций
Теория комплексных представлений и характеров конечных
групп была построена в основных чертах в начале столетия Фробе-
ниусом и Уильямом Бернсайдом. Мы сформулируем здесь лишь
некоторые из многочисленных известных свойств (см. [130, гл. 4]).
Теорема 1.3. (1) X имеет лишь конечное число неэквивалентных
неприводимых комплексных представлений и, следовательно, лишь
конечное число п различных неприводимых характеров.
(И) Число п равно количеству различных сопряженных классов
группы X.
(ш) Если dx, d2i ..., dn обозначают степени различных
неприводимых характеров группы X, то
\X\ = d* + dl+...+d*n.
Предложение 1.4. (i) Если %—характер группы X, то
ker (х) = {х € X | х (х) = х (1) = deg (x)}.
(и) Два неприводимых комплексных представления группы X
эквивалентны тогда и только тогда, когда их характеры
совпадают (т. е. принимают одинаковые значения на всех элементах
х£Х).
Если ф — представление X на векторном пространстве V над
полем F, то отображение
Ф*: xi-xpfr""1)*, xgX,
(где t обозначает транспонирование) также является представлением
группы X на Vy называемым сопряженным к ф.
Аналогично если F=C, то характер х* представления ф*
называется сопряженным к характеру % представления ф. Отсюда
непосредственно видно, что
где черта обозначает комплексное сопряжение. В частности, %
является самосопряженным (т. е. х*=х) тогда и только тогда, когда он —
вещественнозначная функция.
Хорошо известная теорема Клиффорда [130, теорема 3.4.1 J дает
исчерпывающее описание разложения неприводимого
представления относительно нормальной подгруппы группы X.
Теорема 1.5. Пусть ф—неприводимое представление группы X
на векторном пространстве V над полем F, и пусть
Y—нормальная подгруппа в X. Тогда справедливы следующие
утверждения:
(i) V разлагается в прямую сумму ф (У)-инвариантных
подпространств V( из У, 1 ^ i ^ п.
(и) Для каждого i пространство V( разлагается в прямую
сумму неприводимых ф (У)-инвариантных подпространств К/у-,
1.4. Некоторые стандартные результаты и терминология 45
l^j^t, где t не зависит от i, причем представления группы Y
на V{j и Vi,jf эквивалентны тогда и только тогда, когда i = i'
(в частности, Vn, Vi2> ..., Vit определяют эквивалентные
неприводимые представления группы Y).
(iii) Группа ф(Х) как группа линейных преобразований
пространства V переставляет подпространства V19 V2, . ..,V„,
причем это действие транзитивно (т. е. для любой пары
индексов f, V существует некоторый элемент х£Х, зависящий от i
и ь\ для которого y(x)(Vi) = Vl,).
Мы предполагаем, что читатель знаком с- понятием тензорного
произведения двух векторных пространств V и W над полем F,
обычно обозначаемого через V(£)FW. Векторное пространство
V(g)FW порождается элементами вида у®оу, v£V, w£W,
которые удовлетворяют подходящим билинейным соотношениям.
(В § 2.1 и 4.14 нам понадобится также понятие тензорного
произведения двух модулей над кольцом целых чисел Z.)
Если ф и ф обозначают представления группы X
соответственно на пространствах V и 1^, то мы очевидным образом
получаем представление ф®ф группы X; а именно, для xgX, v£V
и w^W полагаем по определению
(ф ® Ф) (х) (v®w) = ф (х) (v) ® ф (х) (w).
Представление Ф®ф называется тензорным произведением
представлений ф и ф. В частности, можно определить тензорный
квадрат ф®ф представления ф группы X на векторном
пространстве V над F. Аналогично мы определяем тензорный куб как
(ф®ф)®Ф и т- д- (Нетрудно показать, что (ф®Ф)®Ф и
Ф®(ф®ф) определяют эквивалентные представления группы X,
так что понятие тензорной степени определено корректно.)
Существуют два других произведения представлений, тесно
связанных с тензорным произведением. Рассмотрим тензорный
квадрат ф®ф, где ф—некоторое представление группы X на
векторном пространстве V над F. Если W обозначает
подпространство в К®У, порожденное векторами i/®v, v£V, то
непосредственно видно, что оно инвариантно относительно Ф®ф(Х).
Следовательно, имеется индуцированное факторпредставление
группы X на векторном пространстве V(£)V/W. Оно называется
внешним квадратом ф и обозначается через фЛф, причем
пространство V@V/W аналогичным образом обозначается через V/\V.
Заметим, что подпространство V пространства V®V,
порожденное векторами v(/)w—w(£)v для v, w£У, также инвариантно
относительно группы ф®ф(Х). Кроме того, ядро гомоморфизма я|)
пространства У®У на U, задаваемого правилом ф: с/®шн->
н-> t;® w—ау®и, в точности совпадает с подпространством W'. Сле-
46
Гл. 1. Локальный анализ и четыре этапа классификации
довательно, внешний квадрат фЛф эквивалентен ограничению
представления Ф®ф на подпространство U.
Аналогично существует индуцированное представление группы
X на V(g)V/U, называемое симметрическим квадратом
представления ф и обозначаемое через ф2. Можно проверить, что если
характеристика F отлична от 2 (например, если F = C)> то ф2
эквивалентно ограничению представления ф(Я)ф на
подпространство W. Кроме того, в последнем случае справедливо равенство
l/(g)J/=U7 0[/, так что ф(Я)ф разлагается в сумму ф2 и фЛф-
Аналогичным образом определяются более высокие внешние и
симметрические степени ф.
Далее мы рассмотрим группы перестановок.
2 (Й) обозначает симметрическую группу всех перестановок
(конечного) множества й. Таким образом, 2^=2 (й) для й = {1, 2, ...
..., п).
A (й) (соответственно Ап) обозначает знакопеременную
подгруппу четных перестановок из 2 (й) (соответственно из 2J.
X называется группой перестановок на Й, если Х^С2 (й). Число
|Й| называется степенью группы X. (В D8 из введения мы уже
определили транзитивность и ^-транзитивность, а также
(перестановочный) ранг группы X.)
Если Х^2(Й) и Лей, то А-точечным стабилизатором ХА
группы X называется подмножество всех перестановок из X,
оставляющих на месте каждую точку из Л. Очевидно, что ХА—
подгруппа в X. Если X является fe-транзитивной, то для любых
подмножеств Лх, Л2 из й мощности k подгруппы XAi и XAz
сопряжены в X. Благодаря этому мы можем говорить просто о
k-точечном стабилизаторе группы X (если X является А-транзи-
тивной), который определен с точностью до сопряженности.
Если Х^£ (й) действует транзитивно на Й, то стабилизатор
точки имеет в X индекс |й|.
Х^2 (Й) называется примитивной, если X транзитивна на Й
и ее одноточечный стабилизатор — максимальная подгруппа в X.
Гомоморфизм ф группы X в 2 (Й) называется перестановочным
представлением группы X на Й, причем |й| называется степенью
ф. Мы говорим, что ф является k-транзитивным, если ф (X) является
fe-транзитивной на й. Понятно также, что Х/кег(ф)^2 (й).
Два перестановочных представления ф и ф' группы X на
множествах Й и й' называются эквивалентными, если существует
взаимно однозначное отображение 6 множества Й на й', такое,
что ф' = 6""1ф0.
Для Y^X пусть QY = {Ylt Y2, ..., Yn}—множество всех
правых смежных классов группы X по Y. Для х^Х
отображение срх: Yiv-^YiX, 1<л^я, является перестановкой множества
Йк, а отображение фу: х\-~>фх для х£Х определяет
транзитивное перестановочное представление группы X на Й^, для кото-
1.4. Некоторые стандартные результаты и терминология 47
рого У является стабилизатором точки. Кроме того, ker (фу) =
хех
Аналогично пусть Q'Y = {Y[, Y'2, ..., Y'n}—множество всех
различных подгрупп, сопряженных с Y в X. Определяя ф^:
F/H-^Ff, l^i^n, для х£Х и фу: х*-»ф*для х£Х, мы видим,
что фу—транзитивное перестановочное представление X на Q'Y.
Кроме того, фу эквивалентно ф# (у}. В частности, фу эквива-
Л.
лентно фу, если Y = NX(Y).
Значение этих конкретных перестановочных представлений
можно оценить, познакомившись со следующим элементарным
результатом [130, теорема 2.7.1]:
Предложение 1.6. Любое транзитивное перестановочное
представление группы X эквивалентно транзитивному
перестановочному представлению на смежных классах по некоторой подгруппе
из X.
Наконец, имеет место следующий столь же основополагающий
результат [130, теорема 2.7.3]:
Предложение 1.7. Перестановочное представление группы X
на правых смежных классах по подгруппе Y дважды транзитивно
тогда и только тогда, когда X = Y[)YxY для любого х$Х—У.
Несколько слов об образующих и соотношениях. Если Y —
множество образующих группы X, то словом в образующих из Y
называется конечное формальное произведение abc..., где а, Ь,
с, ...— элементы из Y или обратные к ним. Слово W называется
зависимостью, если оно представляет единичный элемент группы X.
Утверждение W=l называют соотношением. Если Pt, 1^'^/г,—
некоторое семейство зависимостей (в Y), то говорят, что слово W
в Y получается из зависимостей Pt, если следующие операции за
конечное число шагов преобразуют W в пустое' слово:
a. Включение некоторой зависимости Р{ или Р^1 между
любыми двумя символами слова W либо перед W', либо после W.
b. Удаление некоторой зависимости Р( или Pi1, если она
составляет блок последовательных символов слова W'.
Понятно, что в этом случае само W также является
зависимостью.
Если каждая зависимость (в Y) получается из зависимостей
Pif l^i^n, вместе с тривиальными зависимостями {aa'x\a^Y},
то семейство Pt называется полным множеством определяющих
зависимостей, а совокупность равенств Pt = \ в свою очередь —
полным множеством определяющих соотношений для X,
Множество образующих Y вместе с полным множеством определяющих
48 Гл. 1. Локальным анализ и четыре этапа классификации
зависимостей или соотношений называется заданием группы X
в терминах образующих и соотношений1).
Значение этих заданий состоит в том, что они характеризуют
группу X. Действительно, если X, X* — группы с заданиями
соответственно (У, {Ph l^i^n}) и (У*, {Pt*, l^i^n*}) несли
существует взаимно однозначное отображение 0 множества У на У*
(откуда | У | = [ У* |), которое индуцирует очевидным образом
взаимно однозначное отображение множества \Р(, l^i^n} на
множество \P*iy 1<л^/г*} (откуда п = п*), то естественное
продолжение 0 до отображения множества всех слов в У на множество
всех слов в У* индуцирует изоморфизм групп X и X*.
Перейдем теперь к некоторым элементарным фактам о р-труп-
пах.
Предложение 1.8. Любая абелева р-группа X разлагается в
прямое произведение циклических групп, причем число п
нетривиальных сомножителей не зависит от разложения.
Число п называется рангом группы X.
Предложение 1.9. Если X — некоторая р-группа с
нетривиальной нормальной подгруппой У, то У nZ'(X)=£l. В частности,
г{Х)ф\.
Последнее утверждение часто используется следующим
образом: если /7-группа А действует на нетривиальной /7-группе X, то
^х(А)Ф\. В самом деле, полупрямое произведение группы X
на А является /7-группой с нормальной подгруппой X, поэтому
нужный результат следует из предложения 1.9.
Заметим, что попутно мы получаем также абелевость любой
группы порядка р2.
Следующее свойство служит основной характеризацией ниль-
потентных групп [130, теорема 2.3.4].
Теорема 1.10. Группа X нильпотентна тогда и только тогда,
когда Y < NX(Y) для любой собственной подгруппы У в X.
Последняя теорема имеет простое следствие, весьма важное в
локальном анализе.
Следствие 1.11. Пусть р — простое число и Р—некоторая
р-подгруппа в X. Если Р ^Sylp(Nx(P))1 то P£Sylp(X).
Действительно 2), пусть R g Sylp (X) и Р < R. Если Р < R, то
в силу нильпотентности R мы получаем из теоремы 1.10, что NR (P)>
г) Говорят еще о копредставлении группы X.— Прим. ред.
а) В соответствии с неформальностью изложения мы будем, как правило,
для обозначения начала рассуждения вместо более привычного термина
«доказательство» использовать такие выражения, как «действительно» или «при-
1.4. Некоторые стандартные результаты и терминология 49
> Р, откуда Р (jf Sylp (Nx (Р)). Следовательно, если Р g
£Sylp(Nx(P)), то обязательно выполняется равенство P = R.
Если X — некоторая /?-группа, то.Й^(Х) обозначает подгруппу
в X, порожденную всеми элементами из X порядка не выше р1\
Очевидно, что &i(X) характеристична в X.
Если рп — максимум порядков элементов группы X, то говорят,
что X имеет экспоненту рп. Таким образом, если X — абелева
группа экспоненты р, то X элементарна.
Следующие свойства /?-групп известны очень давно (см. [130,
гл. 5]).
Предложение 1.12. Если X—произвольная р-группа, то
(i) Х/Ф (X) — элементарная абелева группа. (В частности,
Х'*ф(Х).)
(и) Если Y^X и УФ (Х)=Х, то Y=X.
(iii) Если порядок автоморфизма а группы X не делится на р и
а действует тривиально на Х/Ф (X), то а — тождественный
автоморфизм.
Говорят, что /7-группа X специальна, если либо X —
элементарная абелева группа, либо X'=0(X)=Z(X) элементарна. В
частности, X имеет класс 1 или 2. Кроме того, X называется
экстраспециальной, если X — неабелева специальная группа и \Х'\=р.
Экстраспециальные р-группы играют важную роль в теории
простых групп в значительной мере благодаря следующему
результату Ф. Холла [130, теорема 5.4.9]; они также возникают в
качестве минимальных случаев в теории представлений (см. §4.1).
Теорема 1.13. Если р-группа X не содержит нециклических
характеристических абелевых подгрупп, то Х = А*В, где А —
экстраспециальная группа (или А = \), а В—либо циклическая
группа, либо р — 2 и В — диэдральная, квазидиэдральная или
кватернионная группа.
Строение экстраспециальных /7-групп допускает
исчерпывающее описание (см. [130, §5.5]).
Предложение 1.14. Если X—экстраспециальная р-группа, то
Х = А1* Л2# ... * Ап, где каждая А{—экстраспециальная группа
порядка ръ.
Целое число п называется шириной группы X. Для заданного р
имеется ровно две неизоморфные экстраспециальные /^-группы
порядка ръ. В случае нечетного р одна из них имеет экспоненту р, а
ведем набросок доказательства». Отступление от этого правила будет делаться
лишь в тех немногих случаях, когда длинное доказательство приводится
целиком.
50
Гл. 1. Локальный анализ и четыре этапа классификации
другая содержит максимальную циклическую подгруппу порядка
р2. В случае /7=2 соответствующие группы — это кватернионная
группа порядка 8 и диэдральная группа порядка 8. Кроме того,
нетрудно проверить, что Q8 * Q8=D8 *D8.
Введем символ (Q8)k (соответственно (D8)k) для обозначения
экстраспециальной 2-группы ширины &, каждый сомножитель
которой изоморфен Q8 (соответственно D8). В свете приведенного
обсуждения можно легко показать, что справедливо
Предложение 1.15., Если X—экстраспециальная 2-группа
ширины п, то X изоморфна (Qs)n или (Q8)n~1*D8. Кроме того,
последние две группы не изоморфны.
Наконец, /7-группа X называется группой симплектического
типа, если она не содержит нециклических характеристических абе-
левых подгрупп.
Приводимое ниже обсуждение объяснит выбор такой
терминологии. Предположим, что X—экстраспециальная группа, Z(X) =
=<z> и X — X/Z(X). Таким образом, X—векторное пространство
над GF (р) и \z\ = p. Определим отображение
р: XxX-+GF(p).
Пусть х, у£Х и х, у—представители классов х, у в X. Тогда
[х, y] = z1'
для некоторого i, зависящего от х, у, но не от выбора
представителей х, у. Так как |z|=/?, то можно рассматривать i как элемент из
GF(p). Положим р(х, y)=i. Теперь простая проверка показывает,
что р — невырожденная кососимметрическая билинейная форма
на X. Поскольку симплектическая группа на векторном
пространстве определяется как группа всех линейных преобразований,
сохраняющих невырожденную кососимметрическую билинейную
форму, то естественно использовать термин «симплектический» в
наименовании /?-групп указанного общего вида.
Теорема Ф. Холла (теорема 1.13) —это один из немногих
случаев, когда удалось полностью определить строение всех /7-групп,
удовлетворяющих некоторому специфическому условию. Другой
важный для классификации пример составляют 2-группы
максимального класса.
Из определения класса нильпотентности и того факта, что
любая группа порядка р2 обязательно абелева, следует, что класс
произвольной /?-группы Р порядка рп не превосходит п—1. Если
имеет место равенство, то говорят, что Р — группа максимального
класса.
Индукцией по \Х\ без труда доказывается следующее
достаточное условие того, чтобы р-группа обладала указанным свойством.
1.4. Некоторые стандартные результаты и терминологий
51
Предложение 1.16. Если р-группа X содержит подгруппу А
порядка /?2, такую, что А = СХ(А), то X—группа
максимального класса.
Для 2-групп имеет место следующая полная классификация
[130, теорема 5.4.5].
Теорема 1.17. Если X — (неабелева) 2-группа максимального
класса, то она изоморфна кватернионной, диэдральной или ква-
зидиэдральной группе.
Некоторые другие свойства /7-групп малого ранга приведены
в следующем параграфе.
Хотя гомоморфизм перемещения может быть определен в
большей общности, мы ограничимся случаем силовской /7-подгруппы Р
группы X. Пусть х19 х2, ..., хп — множество представителей
различных правых смежных классов группы X по Р. Для каждого
х € X справедливо равенство х{х = р{ (х) хл а), для подходящих
р{(х)£Р и n(i) = j, где l^/O и / определяется из условия,
что х{х—элемент смежного класса Pxj.
В этих обозначениях для подгруппы А в Р9 содержащей Р',
положим
*А (X) = (Рг (X) р2 (X) . . . рп (X)) Л,
так что %А (х) является элементом абелевой факторгруппы Р/А.
Предложение 1.18. (i) Значение тА(х) для х£Х не зависит
от множества представителей смежных классов группы X по Р.
(и) тА является гомоморфизмом группы X в абелеву группу
Р/А.
Отображение тА называется перемещением (или гомоморфизмом
перемещения) группы X в Р/А (см. [130, §7.3]).
Если F=ker(xA), то очевидно, что факторгруппа XIY изоморфна
образу хА (X) группы X в Р/А и поэтому XIY — абелева /?-группа.
На практике, если iA(X)^=lf то X имеет нормальную подгруппу
индекса р и поэтому не может быть простой. Таким образом,
перемещение можно рассматривать как средство доказательства
непростоты заданной группы X.
Нетрудно показать, что в любой группе X существует наименьшая
нормальная подгруппа Y с тем свойством, что XIY — абелева
/^-группа. Кроме того, X/Yg=*P/P[)X'. (Поскольку Р'^.Х', то
группа Р/Р[\Х', безусловно, является абелевой р-группой.)
Подгруппа Р Л X' называется фокальной подгруппой в X (для простого числа
р). Понятно, что X содержит нормальную подгруппу индекса р
тогда и только тогда, когда фокальная подгруппа — собственная
подгруппа в Р.
Таким образом, мы имеем два критерия того, чтобы X имела
нормальную подгруппу индекса р. Следующий результат показы-
S2 tn. 1. Локальный анализ и четыре этапа классификации
вает, что оба критерия связаны между собой самым
непосредственным образом. Кроме того, он дает также эффективное внутреннее
описание фокальной подгруппы [130, теорема 7.3.4].
Теорема 1.19. Пусть X — некоторая группа, р—простое
число и Р—силовская р-подгруппа в X. Тогда
(i) гомоморфизм перемещения трпХ' отображает X на Р/Р Г) X'.
(ii) Р[\Х' порождается множеством всех элементов вида у~гу*,
где у и ух £ Р для х£Х.
С помощью гомоморфизма перемещения было доказано много
классических результатов. Мы отметим два из них, принадлежащие
соответственно Фробениусу и Бернсайду и дающие критерий того, что
группа допускает нормальное /7-дополнение [130, теоремы 7.4.3,
7.4.5].
Теорема 1.20. Пусть Р—некоторая силовская р-подгруппа
группы X. Тогда X имеет нормальное р-дополнение, если выполнено
одно из следующих условий:
(0 NX(Q)/CX(Q) является р-группой для всех Q^P.
(ii) P абелева и P^Z(NX(P)).
Используя перемещение, Томпсон установил весьма полезный
критерий того, что группа имеет нормальную подгруппу индекса 2,
известный как «лемма Томпсона о перемещении» [289, лемма 5.38].
Предложение 1.21. Пусть X—группа, Р—ее силовская
^-подгруппа и Q—максимальная подгруппа в Р, причем множество
Р — Q содержит некоторую инволюцию и. Тогда справедливо одно
из следующих утверждений:
(i) X имеет нормальную подгруппу индекса 2, не
содержащую щ
(ii) и сопряжена в X с некоторым элементом из Q.
Действительно, рассмотрим гомоморфизм перемещения tq группы
X в P/Q. (Так как P/Q—абелева группа, то P'^Q и потому tq
определен корректно.) Если и не сопряжена в X ни с одним
элементом из Q, то прямое вычисление показывает, что tq(u)=^=\.
Пусть F=ker(TQ). Поскольку Q<7 и и£У, то Q£Syl2(Y).
Однако очевидно, что кег(Тр) содержит также все элементы
нечетного порядка из X. Поэтому на самом деле Y—нормальная
подгруппа в X индекса 2 (с u(^Y).
Приведем, наконец, некоторые соглашения об обозначениях.
Всюду в книге буквой G будет обозначаться как произвольная
простая группа, так и, более общо, произвольная группа,
изучаемая локально-аналитическими методами1). Если/?—простое число
1) То есть методами локального анализа.— Прим, ред.
1.5. Схема доказательства
53
и x£3p(G), то для простоты мы заменяем CG(x) на более
короткое обозначение Сх. Следует отметить, что мы не будем
использовать такое сокращение в каком-либо ином контексте.
Символ G* будет использоваться для обозначения /С-групп.
Как правило, произвольная конечная группа будет обозначаться
буквой X. Мы также принимаем соглашение, что черта над
буквами будет использоваться для обозначения гомоморфных образов
X группы X. Если Y—любое подмножество в X, то Y будет
обозначать его образ в X.
1.5. Схема доказательства
Используя результаты и понятия, обсуждавшиеся в предыдущем
параграфе, мы теперь в состоянии описать разбиение анализа
простых групп на части. Прежде всего мы определим ряд ключевых
общих понятий. Впервые они были введены Уолтером и мной в
[143] и [144]. В работе Бендера [27] дано улучшенное изложение
некоторых из них. Как и раньше, буквой X обозначается
произвольная группа.
Определение 1.22. X называется квазипростой, если она
совершенна и X/Z(X) проста.
Например, если X = SL(2, q)y q нечетно, q > 3, то X квазипро-
ста, но не проста, поскольку Z(X) имеет порядок 2 и порождается
матрицей (~~~0 J. (Группа SL(2, 3) разрешима и потому не
может быть совершенной.)
О квазипростой группе X говорят как о накрывающей группе
для X/Z(X). Для любой простой /С-группы вычислены все ее
возможные накрывающие. Более детально о них пойдет речь
в § 4.15. Таким образом, определены все квазипростые /(-группы.
Безусловно, из классификационной теоремы следует, что в
действительности мы знаем все квазипростые группы. Исайй Шур
показал в [245], что любая простая (и даже, более общо,
совершенная) группа X допускает универсальную накрывающую группу
X, обладающую тем свойством, что всякая накрывающая группа
для X получается как гомоморфный образ группы X. Центр
Z(X) называется мультипликатором Шура группы X.
Таким образом, задача описания всех возможных накрывающих
групп для X сводится к вычислению центра группы X (см. § 4.15).
Например, для группы Ап мультипликатором Шура служит
Z2 кроме случаев п=6 или 7, когда мультипликатор Шура
является циклической группой порядка 6. Таким образом, группы
Л 6 и Л7 имеют три нетривиальные накрывающие группы, центры
которых имеют соответственно порядки 2, 3 и 6.
54
Гл. 1. Локальный анализ и четыре этапа классификации
Определение 1.23. Группа X называется полупростой, если
она является центральным произведением квазипростых групп или
если X = 1.
Легко показывается, что если Хф\ полупроста, то квазипростые
множители из разложения группы X составляют множество всех
минимальных нормальных неразрешимых подгрупп в X и, в
частности, определяются группой X однозначно. Поэтому их называют
компонентами группы X. (Тривиальная группа включена в
определение исключительно ради удобства.)
Легко доказывается следующее
Предложение 1.24. Любая конечная группа X содержит
наибольшую нормальную полупростую подгруппу. Ее называют слоем
группы X и обозначают через L(X).
Нетрудно видеть, что L(X) централизует Sol(X) и,
следовательно, централизует также F(X).
Следующее понятие, принадлежащее Бендеру, относится к
числу наиболее фундаментальных. Истоки его лежат в одном важном
свойстве разрешимых групп, известном как теорема Фиттинга
[130, теорема 6.1.3].
Предложение 1.25. Если X—разрешимая группа, то
CX(F (X))^F (X). В частности, X является р-скованной для
любого простого числа р.
Второе утверждение следует из первого, как это непосредственно
видно из определения /7-скованности и из того факта, что F(X) =
=Ор(Х) или Ор. (Х) = 1.
Именно указанное свойство разрешимых групп было обобщено
Бендером.^
Определение 1.26. F* (X) = L (X) F (X) называется обобщенной
подгруппой Фиттинга группы X.
Следующий общий результат Бендера [27] служит оправданием
введенной терминологии. (В [143] и [144] доказан частный случай,
когда Ор.(Х) = 1.)
Предложение 1.27. Сх(F*(Х))<F*(X) для любой группы X.
Кроме того, если F(X)<F<X и CX(Y)^Y, то F*(X)<7.
Таким образом, F* (X) — единственная нормальная подгруппа в
X, минимальная среди тех, которые содержат как F(X), так и свой
1.5. Схема доказательства
55
собственный централизатор в X. Например, если F*=F*(X)—
простая группа, то предложение 1.27 показывает, что X^Aut(F*).
Более общо, если Т7* квазипроста, то из того же самого предложения
вытекает, что X/Z(f*)^Aut (F*/Z(F*)). Аналогично мы получаем
Следствие 1.28. Для любой группы X включение CX(F(X))^
^F(X) эквивалентно равенству L(X)=1. В частности, если
р—некоторое простое число, то X является р-скованной в
точности, когда L (Х/Ор* (X)) = 1.
Введенные понятия позволяют нам описать на языке теории
групп общее строение централизаторов инволюций в простых К-
группах. Ри [240], Нагайоси Ивахори [184], Николас Бёргойн и
К. Уильямсон [54], [55], а также Роджер Картер [60], [61] описали
эти централизаторы в группах типа Ли нечетной характеристики
(в [54], [55] охвачена более общая ситуация централизаторов
полупростых элементов в группах типа Ли произвольной
характеристики). Детальная формулировка их результатов будет приведена в
гл. 4. С другой стороны, общий вид таких централизаторов в
группах типа Ли характеристики 2 можно определить из теоремы Ар-
мана Бореля и Жака Титса [37], указывающей типичное общее
строение /7-локальных подгрупп в произвольной группе типа Ли
характеристики р (см. теоремы 1.41 и 1.42 ниже).
Приведем здесь лишь следующие общие свойства.
Предложение 1.29. Пусть G*—группа типа Ли
характеристики р, t*$3(G*) и C* = CG*(t*). Тогда справедливы следующие
утверждения:
(i) если р нечетно, то C*/L(C*)—разрешимая группа; в част-
ности, либо Ь(С*)Ф1, либо С*—разрешимая группа;
(и) если р = 2, то F*(C*) = 02(C*) (или, что эквивалентно,
С* является 2-скованной группой с тривиальным ядром).
Читателю будет полезно вычислить С* для G*=SL(m, q) в
следующих двух случаях:
Г—1 1
-1 0
q нечетно и /* =
L
(1.1)
56
Гл. 1. Локальный анализ и четыре этапа классификации
причем —1 встречается k раз, k четно;
П 0.
0 1
q четно и t* =
L
0.
. 0
.0 lj
(1.2)
В первом случае, исключая некоторые частные значения q и &,
имеем
L{C*) = SL{k,q)xSL(tn — k, q).
Во втором случае F*(C*)—специальная 2-группа порядка q2m-*
с (элементарным) центром порядка q.
Предложение 1.29 показывает фундаментальное различие в
строении централизаторов инволюций в группах типа Ли
характеристики р в зависимости от четности или нечетности р. Для нечетного р
их слои всегда нетривиальны (за исключением некоторых
небольших вырожденных случаев), а для /7=2 — всегда тривиальны и в
действительности обобщенные подгруппы Фиттинга
централизаторов инволюций всегда являются 2-группами.
Если G*=An и /* £ Э (G*) разлагается в произведение k
непересекающихся транспозиций, то легко проверяется, что слой L(C*)
изоморфен знакопеременной группе на оставшихся п—2k
символах при п—2£>5; в противном случае L(C*) = 1. В частности,
если п^9 и t*—«короткая» инволюция (т. е. £=2), то L(C*)=^=1,
а если t*— «длинная» инволюция (т. е. k=(n—б)/2, где п—б четно
и 0<б<3), то L(C*) = 1.
Аналогично и в спорадических группах централизаторы
инволюций могут иметь тривиальные или нетривиальные слои.
Указанное различие в строении слоя централизаторов
инволюций является определяющим для исследования простых групп G.
Однако первостепенное значение имеют не группы L(C0(/)),
t£3(G), а группы L(CG(t)/0(CG(t))). В действительности, как мы
увидим позднее, выяснение точной взаимосвязи между этими двумя
слоями представляет собой центральную проблему, требующую
решения.
Таким образом, в свете предыдущего обсуждения
представляется естественным следующее разделение всех простых групп на
две категории.
Определение 1.30. Говорят, что X — группа компонентного
типа, если L (С% (t)/0 (Cx (t))) Ф 1 для некоторой инволюции t
1.5. Схема доказательства 57
из X. Если L(Cx(t)/0(Cx(t)))=l для любой инволюции t из X,
то X называется группой некомпонентного типа.
Вернемся теперь к понятию связности, о котором мы упоминали
в конце § 1.2. В дальнейшем нам потребуется его определение для
произвольного простого числа /?.
Определение 1.31. Группа X называется связной для простого
числа р в том случае, когда для любых двух нециклических
элементарных абелевых /7-подгрупп Л, В в X существует
последовательность А = А±, Л2, ..., Ап = В нециклических элементарных
абелевых /7-подгрупп А{ в X, l^t^n, таких, что А{
централизует A/+v l^i^n — 1.
Связность X для простого числа р эквивалентна связности
(в обычном смысле) ассоциированного графа Т(р)> вершинами
которого служат подгруппы в X, изоморфные ZpxZPi причем две
вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда они
коммутируют. Таким образом, определенное ранее понятие связности
группы X эквивалентно связности X для простого числа 2.
Здесь мы интересуемся случаем /7=2. Первый основной шаг в
классификационном доказательстве состоит в нахождении всех
несвязных простых групп; тем самым задача классификации
сводится к связному случаю. Значение связности — в том, что при ее
наличии удается воспользоваться некоторыми общими
рассуждениями, позволяющими сделать сильные выводы о строении ядер
централизаторов инволюций в простых группах. Остановимся
вкратце на некоторых деталях.
К сожалению, несвязность представляет собой трудную
проблему для непосредственного изучения, поскольку это условие не
переносится по индукции на сечения. В результате произошло
разделение проблемы на две части в соответствии со следующими
фактами. Простая группа G может быть связной, но силовская 2-под-
группа в G может оказаться несвязной. Аналогично несвязная
группа G может иметь связную силовскую 2-подгруппу. Вторая и третья
группы Янко J2 и Уз дают нам (как показал Дэвид Голдшмидт)
пример ситуации первого рода, а группы L2 (2") — второго. Тем
самым мы приходим к следующему подразделению:
A. Найти все несвязные простые группы, обладающие связной
силовской 2-подгруппой.
B. Найти все простые группы с несвязной силовской
2-подгруппой.
Переформулируем эти проблемы в том виде, в котором они в
действительности изучались. Проблема А имеет непосредственное
отношение к введенному в работе [142] понятию собственного 2-по-
рожденного ядра.
58
Гл. 1. Локальный анализ и четыре этапа классификации
Определение 1.32. Пусть G—некоторая группа, р — простое
число, Р—силовская /7-подгруппа в G и k—целое
положительное число, причем k^m(P). Пусть
rp,ft(G) = <#0(Q)|Q<P, m(Q)>*>.
Эта группа называется k-порожденным р-ядром в G и определяется
группой Р с точностью до сопряженности в G. В случае р=2 мы
говорим просто о k-порожденном ядре.
Предложение 1.33. Пусть группа G имеет связную силовскую
2-подгруппу. Тогда G несвязна в том и только в том случае,
когда 2-порожденное ядро в G является собственной подгруппой.
Действительно, пусть Г0—компонента связности
ассоциированного с G графа Г. Пусть Т — вершина из Г0 и S—силовская
2-подгруппа в G, содержащая четверную группу 7\ Любой
элемент g из G индуцирует при сопряжении некоторую перестановку
графа Г, причем образ Г0 при действии g является компонентой
связности графа Г, содержащей Те. Обозначим эту компоненту
связности через Г§. Очевидно, что G связна тогда и только тогда,
когда Г0 инвариантен относительно G. Аналогично Г£ = Г0 тогда
и только тогда, когда Г0()Г§Ф 0.
Пусть Н = TS2(G). Покажем, что Я действует на Г0, причем
любая вершина из Г0 является четверной подгруппой в Я. Отсюда
будет непосредственно следовать, что Н <G тогда и только тогда,
когда Г0 < Г, и, следовательно, тогда и только тогда, когда G
несвязна.
Заметим, что так как S предполагается связной, то ее подграф
связен, поэтому множество вершин графа Г0 включает в себя все
четверные подгруппы из S. Пусть теперь R ^ S, причем m (R) ^ 2,
и пусть U—произвольная четверная подгруппа в R. Тогда U и
U* для любого x£NG(R) лежат в ^ и потому являются
четверными подгруппами в S. Следовательно, (/, U*£Г0. Но поскольку
1/€Г0 и £/*grj, то [/*бГ0пГ£. Следовательно, Г0 = Г£. Таким
образом, Г0 инвариантен относительно х, поэтому Г0 инвариантен
относительно NG(R). Отсюда мы заключаем, что Г0 инвариантен
относительно Я = TSt 2 (G) = <NG (R) \ R < S, m (/?) > 2>.
Пусть теперь V—произвольная вершина графа Г0. Пусть
Т, = Т1, Tg, ..., Tn = V—цепочка вершин из Г0, соединяющая Т
с V. Очевидно, что Т^Т^Н. Если Т,<Я, то ЛГ0(Т,)<Я по
определению Я, поэтому Ti+1 ^ Я, так как Ti+1 централизует Т{.
По индукции мы заключаем, что У^Я, и завершаем
доказательство предложения 1.33.
Ашбахер описал все конечные группы, обладающие
собственным 2-порожденным ядром [8], обобщив тем самым
фундаментальную классификацию Бендера групп, содержащих сильно
вложенную подгруппу (или, что эквивалентно, имеющих собственное
1.5. Схема доказательства
59
1-порожденное ядро) [26]. Указанные результаты будут
обсуждаться в §4.2.
С другой стороны, решение проблемы В было получено в
качестве следствия более общей теоремы, классифицирующей все
группы «секционного 2-ранга не выше 4». Благодаря этому группы
секционного 2-ранга не выше 4 рассматриваются как часть
категории «небольших» простых групп. Чтобы разъяснить эти понятия,
введем некоторые обобщения понятия ранга абелевой /?-группы.
Определение 1.34. Пусть р—простое число и X—некоторая
/7-группа. Ее нормальным рангом, обозначаемым через п(Х),
называется максимум рангов абелевых нормальных подгрупп в X.
Секционным рангом X, обозначаемым через г(Х), называется
максимум рангов абелевых сечений группы X.
Очевидно, что /г(ХКт(Х)<г(Х). Если Г<Х, то т(Г)<т(Х) и
r(Y)^r(X), однако соответствующее неравенство для n(Y) не
обязано выполняться. Кроме того, если S — сечение в Ху то r(S)^.
^г(Х), хотя соответствующее неравенство для т(Х) и п(Х) в
общем случае неверно. Таким образом, лишь секционный ранг
индуктивен относительно подгрупп и гомоморфных образов. По этой
причине понятие секционного ранга играет важную роль в
изучении простых групп.
Существуют два основных результата о р-группах очень
маленького ранга или нормального ранга (см. [130, гл. 5]).
Предложение 1.35. Пусть X—некоторая р-группа. Тогда
(i) если т(Х)=1, то либо X циклическая, либо р=2 и X — ква-
тернионная группа;
(и) если п(Х) = \ и т(Х)>1, то р=2 и X — либо диэдральная
группа порядка не меньше 16, либо квазидиэдральная группа.
В частности, в любом случае г(Х)^2.
Результаты Нормана Блэкберна [34], [35] и Энн Маквильямс
[207] затрагивают более глубокие свойства р-групп нормального
ранга 2.
Теорема 1.36. Пусть X — некоторая р-группа с /г(Х) = 2.
Тогда
(i) если р нечетно, то т(Х)=2;
(ii) если р = 2, то г (X) ^ 4.
Таким образом, если X является 2-группой с /г(Х)<2, то г(Х)^
^4. Именно это утверждение имеет решающее значение для
несвязности, поскольку легко доказать справедливость следующего
результата.
60 Гл. 1. Локальный анализ и четыре этапа классификации
Предложение 1.37. Любая 2-группа X нормального ранга
п (X) ^ 3 связна.
В самом деле, пусть Е—элементарная нормальная подгруппа
в X ранга не меньше 3. Так как понятие связности очевидным
образом транзитивно, то достаточно показать, что любая
четверная подгруппа А в X соединена (или связана) с Е. Так как
Е <] X, то, согласно предложению 1.9, имеем E[\Z (X) Ф 1, поэтому
Л централизует подгруппу Е0 в Е порядка 2. Пусть £0<Л0<
<<£0, Л>, причем A0^Z2xZ2. Тогда [Л, Л0]=1, поэтому А и
Л0 соединены и, следовательно, необходимо лишь показать, что Л0
соединена с Е. Таким образом, мы можем предполагать без потери
общности, что А = А0. Так как А0(]Еф\, то А[\Еф\.
Итак, Л = <е, а>, где е£Е. Нам достаточно показать, что а
централизует четверную подгруппу F в Е\ действительно, тогда F
будет централизовать Л = <е, а>, откуда [Л, F]=l и [F, £] = 1,
так что Л будет связана с £ по определению этого термина. Однако
мы можем рассматривать Е как векторное пространство над Z2,
на котором а действует как линейное преобразование периода 1 или 2
(так как а2=1). Поскольку dim(£)^3 (ранг Е не меньше 3), то
Е разлагается в произведение вида Е1хЁ29 причем Е19
Е2—нетривиальные а-инвариантные подпространства в Е. Тогда Е(<]Е{<а>,
поэтому а централизует некоторый элемент е( g Ef, / = 1, 2 (вновь
согласно предложению 1.9). Таким образом, группа F = <e1, е2У^
^Z2xZ2 централизует а, что и требовалось.
Введенные выше понятия рангов обобщаются на произвольные
группы следующим образом.
Определение 1.38. Если X—произвольная группа, то ее р-ранг,
нормальный р-ранг и секционный р-ранг, обозначаемые
соответственно через тр(Х), пр(Х) и гр(Х)\ определяются как т(Р),
п(Р)у г(Р) для любой подгруппы Р£Sylp(X).
В этой терминологии из предыдущих трех результатов мы
получаем
Следствие 1.39. Если г2(Х)^5 в группе X, то ее силовская
2-подгруппа связна.
Таким образом, простая группа секционного 2-ранга не меньше
5 всегда имеет связную силовскую 2-подгруппу. Преимущество
изучения групп G секционного 2-ранга не выше 4 (по сравнению с
более ограниченной задачей о группах с несвязной силовской 2-под-
группой) заключается в том, что это условие переносится на любое
сечение группы G, и поэтому в попытке классифицировать все
такие группы можно рассуждать по индукции. Указанная
классификация была получена Харадой и мной в [136]. Наше доказа-
1.5. Схема доказательства 61
тельство будет обсуждаться в дальнейшем вместе с
необходимыми классификационными теоремами о группах низкого 2-ранга.
Мы завершим настоящее обсуждение формулировкой частного
случая одной теоремы, полученной мной совместно с Уолтером
[131], [142] и позволяющей оценить силу свойства связности.
(Доказательство использует ряд общих локальных
теоретико-групповых методов, на которых мы остановимся позднее.)
Теорема 1.40. Пусть G—группа некомпонентного типа с
0(G)=\, имеющая 2-ранг не меньше 3. Если G связна или если
G имеет связную силовскую 2-подгруппу, то F* (Я) является 2-
группой для любой 2-локальной подгруппы Н в G (или, что
эквивалентно, 0(Н)=\ и Н является 2-скованной группой). В
частности, это справедливо для централизатора любой инволюции
в G.
Для связных простых групп некомпонентного типа также
существует ряд понятий «небольшой» группы. Такие группы
удовлетворяют заключению теоремы 1.40. Чтобы придать сказанному точный
смысл, полезно сначала сделать несколько замечаний о группах
типа Ли.
Шевалле [66] первым начал систематическое изучение конечных
аналогов комплексных групп Ли. Поэтому множество всех групп
типа Ли, определенных над конечными полями характеристики р,
обозначается через Chev(p). Их строение, достаточно хорошо
изученное с различных точек зрения, более детально будет описано в
гл. 2.
Пусть X g Chev(р) для некоторого простого р. Если Р £ Sylp (X),
то B=NX(P) называется подгруппой Бореля в X. По теореме Си-
лова все подгруппы Бореля в X сопряжены. По теореме Цассен-
хауза — Шура [130, теорема 6.2.1] г) группа В расщепляется над Р,
т. е. В=СР, где С — такая подгруппа в В, что С П /^=1. Группа С
называется подгруппой Картана в X. Все подгруппы Картана в
X сопряжены. Известно, что С всегда абелева; за возможным
исключением случаев, когда р=2 и X определена над простым полем
GF(2) (а также случая X=L2(3)), группа С нетривиальна.
Любая собственная подгруппа в X, содержащая В, называется
параболической подгруппой в X. Известно, что любая параболическая
подгруппа J в X является /?-скованной группой с тривиальным
//-ядром; другими словами, F* (J) есть /7-группа для любой
параболической подгруппы J в X.
х) Пусть А — нормальная холловская подгруппа в группе Y, т. е. Л и Y/A
имеют взаимно простые порядки. Теорема Цассенхауза— Шура утверждает
следующее: (i) А имеет дополнение В вУ (таким образом, Y = AB с А()В = \)
и (и) если хотя бы одна из групп А и Y/A разрешима, то любые два
дополнения к А сопряжены в Y.
62
Гл. 1. Локальный анализ и четыре этапа классификации
Упомянутая выше теорема Бореля — Титса дает чисто
теоретико-групповую характеризацию максимальных параболических
подгрупп.
Теорема 1.41. Если X£Chev(p), то любая максимальная
р-локальная подгруппа в X является параболической подгруппой.
Таким образом, F* (Я) является /^-группой для любой
максимальной /?-локальной подгруппы Я в X. Комбинируя этот результат
с несложным теоретико-групповым рассуждением, можно
получить следующее обобщение.
Теорема 1.42. Если X £Chev(p), то F* (Н) является р-группой
для любой р-локальной подгруппы Н в X.
Учитывая последнюю теорему, естественно ввести следующее
определение. w
Определение 1.43. Говорят, что X — группа типа
характеристики /?, если Z7* (Я) является /?-группой для любой /7-локальной
подгруппы Я в X.
Таким образом, теорема 1.40 утверждает, что связная простая
группа некомпонентного типа, имеющая 2-ранг не меньше 3,
должна быть группой типа характеристики 2.
В исследовании простых групп компонентного типа
централизаторы инволюций играют значительно более важную роль, чем
в группах некомпонентного типа (и, в частности, в группах типа
характеристики 2). Этот факт объясняется тем, что прототипом
групп компонентного типа, как было отмечено ранее, служат
группы G* ^Chev(p), p нечетно, в которых инволюции
соответствуют полупростым элементам (в лиевском смысле); в частности,
таковы инволюции, лежащие в подгруппе Картана группы G*.
Можно также восстановить группу G по централизаторам ее
инволюций в случае, когда она имеет внутреннее сходство с
некоторой группой G* g Chev (2). Подобные результаты получил
Судзуки для большинства классических групп [282]—[284]. Итак,
если бы удалось показать, что централизатор инволюции в
простой группе G типа характеристики 2 похож на соответствующий
централизатор в некоторой простой /С-группе G*, то, по крайней
мере теоретически, можно было бы установить изоморфность групп
G и G*. Однако в большинстве ситуаций в такой группе G бывает
необычайно трудно доказать, что подгруппа 02{CG(t))y t£9(G),
похожа на 02 (С<?* (/*)) для некоторой простой /С-группы G* и
некоторой инволюции ^*gJ(G*).
В изучении простых групп G типа характеристики 2 решающую
роль играют централизаторы элементов х нечетного простого
порядка р, лежащих в некоторой 2-локальной подгруппе из G. При
1.5. Схема доказательства
63
попытке показать внутреннее сходство группы G с некоторой
простой группой G* £ Chev (2) основная цель состоит в выборе простого
числа р, делящего порядок подгруппы Картана группы G*, и
элемента х так, чтобы последний соответствовал некоторому элементу
из указанной подгруппы Картана. Если это удалось, х вновь будет
соответствовать некоторому полупростому элементу из G*, а
доказательство изоморфности G и G* будет следовать той же общей схеме
рассуждений, что и в случае централизаторов инволюций в группах
компонентного типа. (В тех случаях, когда G* имеет тривиальную
подгруппу Картана, т. е. когда G*— группа Шевалле, определенная
над GF(2), работа проводится с простым числом /7=3. Последний
случай также тесно связан с проблемой «/7*-симплектическоготипа»,
обсуждение которой приведено несколько ниже.)
Уже отмечалось, что для изучения централизаторов
инволюций в группах низкого 2-ранга требуются специальные методы. То
же самое справедливо для анализа централизаторов элементов
нечетного простого порядка в группах типа характеристики 2,
имеющих небольшой /7-ранг для всех нечетных простых чисел р.
Однако в данном случае понятие малости видоизменяется
следующим образом.
Определение 1.44. Пусть X — группа типа характеристики 2.
Если р—нечетное простое число, то 2-локальный р-ранг группы X,
обозначаемый через т2)/7(Х), определяется как максимум
значений тр (Н) по всем 2-локальным подгруппам Я в X. Кроме того,
положим
е (X) = max {m2i p (X) \ р—любое нечетное простое число}.
Параметр е(Х) называется нечетным 2-локальным рангом группы X.
Если е(Х)=0, то любая 2-локальная подгруппа в X является
2-группой, поэтому X содержит нормальное 2-дополнение по
теореме Фробениуса (теорема 1.20 (i)). Таким образом, e(G)^\ в любой
простой группе G типа характеристики 2.
Понятие «небольшой» для нечетных простых чисел в простых
группах G типа характеристики 2 означает в точности, что e(G)=l
или e(G) =*2. Соответственно мы называем группу О тонкой или
квазитонкой. При е{(а)^Ъ в анализе доминируют централизаторы
элементов нечетного простого порядка. В отличие от этого анализ
тонких и квазитонких групп сконцентрирован непосредственно
на строении максимальных 2-локальных подгрупп в G. (С другой
стороны, на более поздних стадиях рассуждений между случаями
е(0)^3 и e(G)^2 наблюдается сильное сходство.)
Существует еще одно понятие «небольшой» группы, связанное
с группами типа характеристики 2 и не имеющее аналога в
исследовании групп кощоне^тнргр типа. В классификации Томпсона
//-групп всё доказательство делилось на следующие четыре основных
64 Гл. 1. Локальный анализ и четыре этапа классификации
подслучая:
I. e(G)>3.
II. e(G) = 2.
III. e(G) = l.
IV. 02(CG(t)) — группа симплектического типа для некоторой
t£3(G).
Последняя возможность (IV) проходит сквозь все три предыдущих
случая, причем при ее осуществлении некоторые рассуждения
общего вида теряют свою силу. Это заставило Томпсона провести
совершенно независимое рассуждение в случае IV.
Поскольку, как уже отмечалось ранее, анализ произвольных
простых групп G типа характеристики 2 можно рассматривать с
разных точек зрения как прямое обобщение доказательства теоремы
Томпсона о Af-группах, то следовало ожидать, что случай IV
останется важной специальной проблемой. Более того, он соответствует
реальной ситуации во многих группах G* типа Ли, определенных
над простым полем GF(2). Например, если G*=SL(m, 2) и t*
берется такой же, как в (1.2), то
P(C*) = 02(C*)^(D8)"-2
является экстраспециальной группой.
Сказанное выше объясняет следующую терминологию.
Определение 1.45. Говорят, что X —группа GF (2)-яш/га, если
F*(Cx(t)) является 2-группой симплектического типа для
некоторой инволюции / из X.
Заметим, что хотя нас интересует здесь главным образом случай
группы X типа характеристики 2, определение требует 2-скован-
ности лишь самого централизатора Cx(t).
Интересно отметить тот факт, что более половины всех
спорадических групп являются группами С^(2)-типа. Именно по этой
причине, а также по ряду других соображений, связанных с их
внутренним строением, спорадические группы часто рассматриваются
как патологии групп типа Ли над GF(2).
1.6. Четыре этапа классификации
Суммируя предыдущее обсуждение, мы видим, что
классификация простых групп распадается на классификации простых групп
в каждой из следующих четырех категорий:
A. Несвязные простые группы.
B. Связные простые группы компонентного типа.
C. Небольшие простые группы типа характеристики 2.
D. Простые группы типа характеристики 2 большого нечетного
2-локального ранга.
1.Г. Следствия классификации 65
Более точно, на этапе А требуется классифицировать все
простые группы, имеющие либо собственное 2-порожденное ядро, либо
секционный 2-ранг не выше 4; на этапе В — все связные простые
группы компонентного типа, имеющие 2-ранг не меньше 3; на
этапе С — все тонкие и квазитонкие простые группы типа
характеристики 2, а также все простые группы GF (2)-типа; на этапе D —
все простые группы G типа характеристики 2 с e(G)^3, не
являющиеся группами б/7(2)-типа.
В последующих книгах мы дадим детальный очерк основных
результатов, полученных на каждом из отмеченных этапов
классификационного доказательства. Однако уже теперь читатель должен
по меньшей мере получить некоторое представление о глобальной
стратегии классификации конечных простых групп.
1.7. Следствия классификации
Мне представляется разумным завершить настоящую вводную
главу некоторыми комментариями относительно тех последствий,
которые классификационная теорема будет иметь как в самой
теории групп, так и в связанных с ней областях математики. Кроме
того, следует ^акже сказать несколько слов о том влиянии, которое
она, по всей вероятности, окажет на будущие теоретико-групповые
исследования.
Прежде всего многие долго остававшиеся открытыми вопросы
теперь сводятся лишь к проверке подходящего свойства известных
простых групп. Наиболее знаменитый, из них — гипотеза Шрейера.
Теорема 1.46. Группа внешних автоморфизмов любой простой
группы разрешима.
Хотя проверка следующего утверждения об образующих
известных групп еще не доведена до конца, однако вряд ли кто-нибудь
сомнев_ается в его справедливости.
Теорема 1.47. Любая простая группа порождается двумя
элементами.
Хорошо известная проблема об автоморфизме без неподвижных
точек теперь решена.
Теорема 1.48. Конечная группа с автоморфизмом,
оставляющим на месте лишь единичный элемент, обязательно разрешима.
Подобным же образом решены теперь многие долго
остававшиеся открытыми проблемы из теории групп перестановок.
Отметим лишь три из них.
Теорема 1.49. Если G—неразрешимая дважды транзитивная
группа перестановок степени п} содержащая цикл длины п% то
3 № 625
66 Гл. 1. Локальный анализ и четыре этапа классификации
справедливо одно из следующих утверждений:
(i) G е* Ап или 2И;
(и) /г = 11 и G^L2 (11) шш Мп;
(Hi) /г -23 и G^Mn\
(iv) n = (qk—\)l(q—1) для некоторого q, равного степени
простого числа, и G изоморфна подгруппе в Aut (Lk (q)), содержащей
М<7).
Теорема 1.50. Знакопеременные группы и группы Матье
(исключая М22) исчерпывают все простые ^-транзитивные группы
перестановок.
Теорема 1.51 (проблема Виланда). Если G—примитивная, но
не дважды транзитивная группа перестановок на 2р символах,
р — простое число, то /7 = 5 и Gg^Ab или G^S6.
Классификация имеет много следствий в теории характеров.
Упомянем лишь гипотезу Алперина — Маккэя.
Теорема 1.52. Для любой группы G и любого простого числа р
число неприводимых характеров группы G, степень которых не
делится на р, совпадает с числом неприводимых характеров
группы NG(P), степень которых не делится на р, где Р—силов-
ская р-подгруппа в G.
Проверяя известные простые группы, можно очевидным
образом выписать множество их свойств, которые теперь автоматически
становятся свойствами всех простых групп (значительное их число
читатель найдет в §4.14 и 4.15). Например, имеет место
Теорема 1.53. Если G—простая группа, порядок которой не
делится на р2, р—простое число, то порядок _ группы Aut(G)
также не делится на р2.
В своей статье [90] Фейт привел большое число других
следствий классификации. Нам хотелось бы отметить два из них,
связанных с равенствами многочленов и группами Галуа.
Многочлен f(x) из К[х], где К—поле и х—переменная,
называется неразложимым (над /С), если равенство f(x) = f1(f2(x))
для подходящих многочленов fx (x), /2 (х) £ К [х] возможно лишь
в том случае, когда хотя бы один из многочленов /х (х), f2(x)
имеет степень 1.
Теорема 1.54. Пусть f(x) и g(x) — два неразложимых
многочлена в С [х]. Если f (x) — g(y) разлагается на множители в С [х, у],
то справедливо одно из следующих утверждений:
(О g(x) = f(ax + b) для подходящих a, 6gC;
1.8. Будущее теории конечных групп
67
(и) f(x) и g(x) имеют одну и ту же степень, равную 7, 11,
13, 15, 21 или 31.
Кроме того, для любой степени, указанной в (и), существуют
неразложимые многочлены f(x), g(x) этой степени, такие, что
f(x) —g(y) разлагается на множители.
Следующий результат о группах Галуа над полем рациональных
чисел Q вытекает из теоремы 1.49.
Теорема 1.55. Пусть р—простое число и f(x)—неприводимый
многочлен над Q вида f(x) = xf + axk-\-b, где l^.k^.p—1. Если
G обозначает группу Галуа многочлена f(x) над Q, то справед*
ливо одно из следующих утверждений:
(i) G разрешима-,
(и) G о* Ар или 2 ;
(iii) /7-7 и G^L2(7);
(iv) /?=11 и Gg*L2 (11) или М1±\
(v) /?=1 +2п—простое число Ферма, большее 5, и G изоморфна
подгруппе в Aut(L2(2")), содержащей L2(2n).
Нам хотелось бы также отметить недавно полученный
результат Бартона Фейна, Уильяма Кантора и Марри Шахера [85] о
несуществовании «глобальных полей» L и /С, где L содержит К в
качестве собственного подполя с конечной «относительной группой
Брауэра» В(Ь/К). Теорема доказывается редукцией к следующему
чисто теоретико-групповому утверждению, проверка которого
опирается на теорему о полной классификации.
Теорема 1.56. Пусть G—транзитивная группа перестановок
на множестве Q, причем |Q| > 1. Тогда существует простое число
р и элемент x$G, действующий на Q без неподвижных точек,
такой, что порядок х равен некоторой степени р.
Наконец, опубликованные за последнее время работы Гэри
Зейца [248], [249] со всей ясностью показывают возможность
использования классификационной теоремы для получения
дальнейших свойств конечных групп типа Ли, например для описания всех
подгрупп, содержащих «максимальный тор».
Таким образом, мы еще не представляем себе в полном объеме
значение классификации простых групп для теории конечных групп,
теории чисел, конечных геометрий и бесконечных групп. (В статье
Гилберта Баумслага [24] можно найти ряд интересных проблем,
связанных с бесконечными группами.)
1.8. Будущее теории конечных групп
За последние несколько лет распространилось мнение, что
завершение классификационного доказательства в некотором
смысле будет означать конец самой теории конечных групп. Преоблада-
з*
68 Гл. 1. Локальный анализ и четыре этапа классификации
нию такой точки зрения, несомненно, способствовало необычно
широкое (для математики) освещение в печати различных аспектов
теории простых групп, а также множество комментариев,
сделанных специалистами по конечным группам (включая, безусловно,
мои собственные). Действительно, заголовок одной заметки в New
York Times (Week in Rewiew) от 22 июня 1980 г. гласит: «Школа
теоретиков доработалась до того, что оставила себя без работы».
Математики обычно соглашаются с тем, что получение в
какой-либо области новой значительной теоремы не является
предзнаменованием ее скорого заката, но, напротив, служит стимулом
для дальнейшего развития. Однако ввиду беспрецедентных
тридцатилетних коллективных усилий, потребовавшихся для
доказательства классификационной теоремы, саму теорию групп стали
рассматривать как примечательное исключение. Объяснение этому
найти нетрудно. Внимание активно работавших над
классификационной теоремой математиков, а в их число входила
значительная часть специалистов по простым группам, было настолько
сконцентрировано вокруг одной цели, на которую направлялась вся
их энергия, что они были просто не в состоянии увидеть что-либо вне
проблемы классификации или обратить внимание на
какой-нибудь иной ее аспект. Было даже опасение, что все удивительные
методы, развитые в ходе анализа простых групп, могут устареть.
Это ощущение оказалось достаточно сильным и побудило многих
специалистов совсем перейти из теории групп в другие области
математики.
Однако первая «послеклассификационная» конференция —
двухдневная специальная сессия по конечным простым группам на
ежегодном собрании Американского математического общества в
начале 1981 г.— быстро рассеяла мрачные предсказания. В самом
деле, теория групп живет и здравствует. Хотя и произошло
некоторое смещение интересов, жизнеспособность теории осталась
прежней. К моменту конференции набрало силу движение
«ревизионистов»: предлагались новые и более простые подходы в
анализе несвязных групп и в так называемых проблемах о
стандартной форме. С учетом классификации были проведены дальнейшие
исследования геометрии спорадических групп. Кроме того, удалось
получить новые важные свойства известных простых групп
(доказательства которых опираются на теорему о полной
классификации), а также несколько ярких результатов в новой области
«амальгам» — богатой смеси теории графов и локальной теории,
имеющей значение как для конечных, так и для бесконечных групп.
Помимо упомянутых, имеются другие важные разделы теории
конечных групп, даже не затронутые на этой специальной сессии:
описание обыкновенных и модулярных представлений и характеров
известных простых групп, общая теория представлений конечных
групп, классификация максимальных подгрупп в известных про-
1.8. Будущее теории конечных групп
69
стых группах, теория разрешимых групп и т. д. Каждый из этих
разделов изобилует глубокими нерешенными проблемами. В
частности, уже отмечавшаяся связь между группой Fx и
классическими областями математики обещает на будущее захватывающие
теоретико-групповые исследования. И все это не принимает в расчет
будущие приложения в других областях математики.
Таким образом, некролог теории конечных групп был
совершенно преждевременным. Тем не менее завершение классификации
сопровождалось противоречивыми чувствами радости и потери,
поскольку было достаточно ясно, что теперь «команда» начнет
распадаться. Просто теория групп в целом слишком обширна, чтобы
могли сохраниться связи, возникшие во время погони за
конечными простыми группами.
Глава 2
ИЗВЕСТНЫЕ ПРОСТЫЕ ГРУППЫ
В настоящей главе приводится краткий очерк известных
простых групп. Последние включают в себя группы простого порядка,
знакопеременные группы степени не меньше 5, группы типа Ли
и 26 спорадических групп. Группы типа Ли представляют собой
аналоги над конечными полями комплексных групп Ли и образуют
наиболее обширную часть известных простых групп. В случае
конечных групп по сравнению с комплексными возникают некоторые
дополнительные типы групп. Например, семейство групп Судзуки
и два семейства Ри не имеют прямых комплексных аналогов.
Группы типа Ли описываются в §2.1. Остальная часть главы
посвящена спорадическим группам.
2.1. ГРУППЫ ТИПА ЛИ
Имеются четыре семейства комплексных простых групп Ли:
Ап (С), Вп (С), Сп (С), Dn (С), соответствующие линейным группам
SL(az+1,C), ортогональным группам 50(2/г+1, С), симплекти-
ческим группам Sp(2nf С) и ортогональным группам SO (2п, С).
Кроме того, существуют еще пять исключительных групп Ли
Gj(C), F4(C), £6(C), £7(C), £8(С). Как показал в прошлом веке
Эли Картан, указанные выше группы возникают в качестве групп
автоморфизмов соответствующих простых алгебр Ли. Конечные
аналоги многих из этих групп — например, классические группы —
были известны задолго до Шевалле. В начале века Леонард
Диксон построил также аналоги групп G2(C) и EG(C). Однако только
Шевалле провел первое систематическое исследование всего
предмета [66].
Прежде всего он доказал, что любая комплексная алгебра Ли L
обладает целочисленным базисом, т. е. таким базисом,
относительно которого все структурные константы лиевского произведения в
алгебре L являются целыми числами. (Задолго до Шевалле было
известно существование базиса с рациональными структурными кон-
2.1. Группы типа Ли
71
стантами.) Для любого поля К существует естественный
кольцевой гомоморфизм целых чисел Z в простое подполе из К. Таким
образом, в формулах экспоненциального отображения,
описывающего те автоморфизмы алгебры L, которые порождают
соответствующие группы Ли, целочисленный базис позволил Шевалле
заменить поле комплексных чисел С на поле /С. Указанный метод
привел к определению при любом выборе L и К некоторой
специфической группы в терминах подходящего множества образующих
(так называемой «присоединенной» группы, ассоциированной с
L и К)- В частности, для конечного поля К получаются конечные
группы.
Мы вкратце опишем метод Шевалле, предварительно напомнив
ряд основных фактов и обозначений, связанных с конечномерными
комплексными алгебрами Ли (детали см. в [186], [272]). По
определению такая алгебра — это конечномерное комплексное
векторное пространство, снабженное билинейным произведением (х9 у) \->
у-*[ху]9 которое удовлетворяет соотношениям
[ху] + [ух] = 0,
[lxy]z] + [[zx]y]+[[yz]x] = 0
для всех х9 у, z£L. Алгебра L действует на себе посредством
правого лиевского умножения. Если xgL, то линейное
преобразование пространства L, задаваемое правилом а*->[ах\у agL,
обозначается через ad(x). Отображение я—>ad(x) задает
представление алгебры L как алгебры ad (L) линейных
преобразований пространства L. Оно называется присоединенным
представлением алгебры L.
Коммутантом (производной алгеброй) L' = [LL] называется
подалгебра, состоящая из всевозможных сумм произведений [ху]9
х, y(tL. Алгебра L называется абелевой, если L'=0. Аналогично
по индукции определяются Ьк = [Ьк~гЬ] для всех k^2. Алгебра L
называется нильпотентной, если Lk = 0 для некоторого k.
Подалгебра Н в L называется подалгеброй Картана, если она
нильпотентна и совпадает со своим нормализатором (т. е. из х £ L
и [hx]£H для всех h$H следует включение х£Н). Любая
конечномерная алгебра L содержит подалгебру Картана.
Для х, y$L положим
(х, 0) = tr(ad(*)ad(#)).
Тогда ( , ) является симметрической билинейной формой на L
со значениями в С; ее называют формой Киллинга на L. По
определению L полупроста, если ее форма Киллинга невырожденна
(т. е. из (х9 £/) = 0 для всех y£L следует равенство х = 0).
Здесь нас интересуют лишь полупростые алгебры. В этом слу*
чае Z^ad(L) (т.е. ad(x)=0 тогда и только тогда, когда х=6)>
Кроме того, полупростая алгебра L разлагается в прямую сумму
72 Гл. 2. Известные простые группы
простых подалгебр (т. е. алгебр, не содержащих нетривиальных
собственных двусторонних идеалов). Таким образом, теория
полупростых алгебр сводится к случаю простых алгебр.
Из полупростоты алгебры L следует абелевость любой ее
подалгебры Картана Я. Кроме того, ограничение присоединенного
представления алгебры L на Я дает фундаментальное разложение
векторного пространства L в прямую сумму Я-инвариантных
подпространств, для описания которого необходимы
основополагающие понятия «корня» и «корневого пространства». Корень
подалгебры Я можно определить как комплекснозначную функцию а
на Я с тем свойством, что для некоторого хФ§ из L и всех h g Я
справедливо равенство
*(ad(A)—а(А)1)=:0.
Для данного корня а множество всех таких х образует Я-инвариант-
ное подпространство в L, называемое ассоциированным с а
корневым пространством и обозначаемое через La.
Так как Я — подалгебра Картана, то непосредственно видно,
что корневое пространство L0, ассоциированное с О-функцией на
Я, совпадает с самим подпространством Я.
Пусть 2 обозначает множество всех корней подалгебры Я.
Тогда справедливо
Предложение 2.1. (i) L = H ф La.
(ii) Каждое L , a^=0, является одномерным пространством
над С.
В действительности корни — линейные функции на Я, поэтому
их можно рассматривать как элементы дуального к Я пространства
Я*. Принимая соглашение, что La=0, если a £ Я* и а не является
корнем, мы получаем следующие важные соотношения:
Предложение 2.2. [LaL3] ^La+p для всех а, р€2.
Таким образом, предложения 2.1 и 2.2 дают хорошее исходное
описание л невского умножения в L.
Размерность / подалгебры Я над С называется рангом алгебры L.
Таким образом, dim<Q (Я*)=/. Линейная оболочка корней
подалгебры Я совпадает с Я*, так что 2 содержит базис пространства Я*.
Невырожденность формы Киллинга влечет за собой
существование для любого 0=^а£2 такого однозначно определенного
элемента t^H, что
(А, *а) = *(А). АС Я-
Отображение ан>/а продолжается до взаимно однозначного
отображения пространства Я* на Я.
2.1. Группы типа Ли
73
Воспользуемся указанным соответствием для определения на Я*
билинейной формы, которую мы вновь обозначим через (, ):
(«.Р) = ('«. Ч)
для всех а, р^Я*.
Корни удовлетворяют некоторым важным условиям
рациональности. Действительно, если Q обозначает поле рациональных чисел,
то справедливо
Предложение 2.3. (i) (a, P)gQ для всех а, р^2.
(и) Если а19 а2, ..., at £ 2 образуют базис в Я*, то л/обой
а g 2 представляется в виде Q-линейной комбинации корней а19
а2, ..., а,.
Таким образом, мы можем работать с Q-линейной оболочкой
системы 2 в Я*, которую обозначим для простоты через Е. Тогда
E=H*q является /-мерным векторным пространством над Q, 2е£
и 2 порождает Е. Кроме того, нетрудно показать, что
ограничение формы ( , ) на Е будет симметрической положительно
определенной билинейной формой на Е, так что Е является в
действительности /-мерным рациональным евклидовым векторным
пространством относительно ( , ).
Корни подалгебры Я обладают следующими дополнительными
важными свойствами:
Предложение 2.4. (i) Если ag2, то —а£2, причем из
условия fox£2, k£Z, а=#=0, следует, что k = 0, +1 или —1.
(И) Если a, Pg2 с $Ф0> то 2 (а, Р)/(р, Р)—целое число,
(iii) Для любого 0 Фа £ 2 отражение wa пространства Е
относительно гиперплоскости, ортогональной а (ортогональность
понимается относительно формы ( , )), переводит 2 в себя.
Отражения wa определяются аналитически равенством
wae = e—(2(e, а)/(а, a)) a
для всех е^Е.
Группа W, порожденная отражениями way называется группой
Вейля алгебры L. Таким образом, W — группа симметрии
системы 2.
Естественно воспользоваться предложением 2.4 (И) для
нормировки нашего скалярного произведения. Таким образом, для
е, е' g E с е'ФО мы полагаем
<е, е*> = 2(е9 *')/(«', «')•
Тогда < , > — положительно определенная (но не билинейная и
не симметрическая) форма на £ с тем ключевым свойством, что
<а, p>^Z для всех а, р£2, р=^0.
74
Гл. 2. Известные простые группы
Чтобы сформулировать теорему Шевалле о целочисленном
базисе, нам необходимо еще одно понятие. Пусть а*, а2, . . ., az—
произвольное множество корней, образующее базис пространства
Е. Согласно предложению 2.3, любой ag2 представляется в виде
Q-линейной комбинации ах, а2, . . ., az.
Определение 2.5. Корень ccgS— {0} называется
положительным относительно упорядоченного множества ссх, сс2, ..., ос,, если
положительным является первый ненулевой коэффициент в
разложении а в Q-линейную комбинацию aa, ос2, ..., at\ в
противном случае а называется отрицательным. Кроме того, будем
писать сс>р для ос, |3g2 (относительно заданного упорядочения),
если ос —Р является положительным корнем. Наконец, назовем
положительный корень а простым (относительно заданного
упорядочения), если он не представляется в виде суммы
положительных корней.
Заметим, что при заданном упорядочении в группе Вейля W
существует единственная инволюция, переставляющая между
собой множества положительных и отрицательных корней.
Следующий результат описывает основные свойства простых
корней.
Предложение 2.6. Пусть af, a2, ..., at—корни из 2,
образующие базис в Е, и пусть я—подмножество всех простых
корней из 2 относительно упорядочения Е, определенного выбранным
базисом. Тогда справедливы следующие утверждения:
(i) я является базисом в Е\
(ii) если ос, Р£я с ос=^=Р, то <ос, р>^0, причем а—р не
является корнем;
(Hi) если а — положительный корень, то он представляется
в виде линейной комбинации корней из я с целыми
неотрицательными коэффициентами;
(iv) если а—положительный корень, не лежащий в я, то а—р
является положительным корнем для некоторого Р g я.
В частности, если рассмотреть отношение порядка на Е,
определенное базисом я, то из предложения 2.6 следует, что элементы
из я в точности совпадают с простыми корнями относительно этого
порядка.
Получив столько различных свойств систем простых корней,
естественно заострить внимание именно на таких корневых базисах
пространства Е.
Теперь мы можем сформулировать теорему Шевалле о
целочисленном базисе.
Теорема 2.7. Пусть аъ ос2, ..., а1—система простых корней.
Пусть также h^ — 2tj{a, а) для всех ос £2 — {0}. Тогда сущест-
11. Группы типа Ли
75
вуют подходящие образующие ха для La, а £2 — {0}, такие, что
(О [Aa%l = <Pi a>xj3 для всех a, |3g2, (З^О;
(И) [хал;_а] — ha — целочисленная линейная комбинация
элементов ha., 1 <i ^/;
( О, если а-)-Р(£2;
,..~ г -.1 zb(r+l)xa+£„ если a + fi^li, где г—целое число,
(Ш) 1ха%| — л однозначно определенное условием |3—га £2,
( Р-(г+1)а^2.
Таким образом, элементы ha. и ха образуют базис пространства
L, причем (лиевское) произведение любых двух элементов базиса
разлагается в целочисленную линейную комбинацию элементов этого
базиса.
Строение L вполне определяется целочисленной матрицей ((аи а7-)),
называемой матрицей Картана алгебры L.
Обозначим элементы этой матрицы через ац и сопоставим
простым корням (Xj (или, что эквивалентно, соответствующей матрице
Картана) диаграмму Дынкина, содержащую / вершин, причем i-я
и /-я вершины соединены ац а^ ребрами (так как (аи а7-)
симметрична, то ац ац — неотрицательное число). Кроме того, при 1-й
вершине ставится «вес» (аь аг).
Система простых корней л = {а1У а2, ..., аь] называется не-
разложимой, если ее нельзя представить в виде суммы двух
непересекающихся непустых подмножеств пх, я2, таких, что (ait ay) = 0
для всех otfgji!, осу £л2. Последнее эквивалентно связности
ассоциированной диаграммы Дынкина. Здесь важным является тот
факт, что я неразложима тогда и только тогда, когда L проста.
Таким образом, в общем случае п разлагается на неразложимые
подсистемы л19 яа, ..., пт, являющиеся системами простых
корней для простых слагаемых Lu L2, ..., Lm разложения L =
= ^1©...©^ в прямую сумму.
Таким образом, классификация простых (и полупростых)
алгебр Ли вполне определяется классификацией связных диаграмм
Дынкина, относительно которых имеется следующий результат.
Тесрема 2.8. Любая конечномерная комплексная простая
алгебра Ли имеет диаграмму Дынкина одного из видов, указанных
в таблице 2.1, причем каждая диаграмма из этой таблицы является
диаграммой Дынкина для некоторой простой алгебры Ли. Здесь
либо все вершины имеют одинаковый вес, либо диаграмма
разбивается на два подмножества, связанные символом >, причем с
каждой стороны от него вершины имеют одинаковый вес, а
направление отмеченного ребра указывает на сторону с меньшим весом.
Каждая из указанных выше простых алгебр Ли может быть
построена как факторалгебра некоторой «свободной» комплексной
Гл. 1. Известные ИрдетЫ* группы
A, (/>!):
B, (/>2):
C, (/>3):
J>, (l>4):
G2:
Е6:
Е*
Рис. 2.1. Диаграммы Дынкина к теореме 2.8.
алгебры Ли, порожденной 3/ элементами, по идеалу, определение
которого зависит от соответствующего множества целых чисел
{aiy (tj) (см. [186, гл: 7]).
Простые группы Ли порождаются некоторыми однопараметри-
ческими семействами автоморфизмов своих алгебр Ли. Для их
описания определим прежде всего дифференцирование алгебры L как
линейное отображение D пространства L в себя, такое, что для всех
([xy])D = [(xD)y] + [x(yD)].
Таким образом, дифференцирования удовлетворяют основным
правилам дифференцирования сумм и произведений. Мотивировка
введенного понятия исходит из того факта, что для x£L
отображение ad (х): a r-> [ax], a^Lt является дифференцированием
алгебры L.
Говорят, что дифференцирование D нильпотентно, если D"=0
для некоторого положительного п. Если D нильпотентно, то
экспонента D определяется равенством
exp (D) = 1 +D + D2/2! +D3/3! +
о—о
О СсфсО
/-2 /-1 /
/-2 /-1 /
о о<Г
/-3 /-2^Х>/
2 3 4 5 7 Я
11. Группы типа Ли
11
Чисто формальное алгебраическое вычисление дает нам
следующий важный факт.
Предложение 2.9. Если D—нильпотентное дифференцирование
алгебры L, то exp(D) является автоморфизмом L.
Из формул умножения для L мы знаем, что если а,
|3—произвольные ненулевые корни, то 2а и |3 + га не являются корнями
при всех достаточно больших значениях i. Поэтому (ad(xa))" —
нулевое линейное преобразование L для некоторого
положительного /г, так что на самом деле ad(xa) — нильпотентное
дифференцирование алгебры L для любого а. Следовательно, этим же
свойством обладает и ad (txa) для всех t £ С. Положим
Xa(0 = exp(ad(/xa))
для любого ненулевого корня а и всякого t £ С.
Для фиксированного ненулевого a £ 2 множество Ха (^) образует
абелеву группу автоморфизмов алгебры L, изоморфную С.
Указанные абелевы группы как раз и являются требуемыми однопара-
метрическими семействами автоморфизмов. Фундаментальный факт
здесь состоит в том, что ассоциированная с L группа Ли в точности
совпадает с группой
<Xa(0|0^a€2, *€C>.
Существование целочисленного базиса Шевалле для L
позволяет освободить приведенную выше конструкцию от специфики
поля комплексных чисел С, перенеся ее на произвольное поле К
с помощью подходящего тензорного процесса. Точное описание
обобщенной конструкции нуждается в предварительном введении
некоторого формализма.
Пусть А — произвольная ассоциативная алгебра над С. Если
для любых х, у$А положить [х, у] = ху—ух> то относительно
этого произведения А будет алгеброй Ли, которую мы обозначим
символом Ajs.
Пусть теперь L — произвольная алгебра Ли (над С).
Универсальная обертывающая алгебра для L определяется как
ассоциативная алгебра А вместе с гомоморфизмом алгебр Ли ер: L —> A js,
удовлетворяющая следующему условию: если В—ассоциативная
алгебра и 0: L—+Bje — гомоморфизм алгебр Ли, то существует
единственный гомоморфизм ассоциативных алгебр ty: А —* £, для
которого 0 = г|) о ф.
Универсальная обертывающая алгебра всегда существует и
определена с точностью до изоморфизма. Теорема Биркгофа — Витта
[186, гл. 5] дает их явное описание. А именно, гомоморфизм ф
инъективен, так что L можно отождествить с ее образом в
универсальной обертывающей алгебре Л. Если, кроме того, при этом
78 (л. i. Известные простые фуппЫ
отождествлений */х, */2, ..., ут—линейный базис алгебры L над С,
то множество одночленов уХ'у)? • • • #тЛ образует С-базис в Л.
Рассмотрим теперь наш базис {/ia., ха} алгебры L и положим
для простоты ht = ha., l^t</. Пусть А % обозначает подалгебру
над Z, порожденную элементами xfJjl. Можно показать, что Л2
допускает следующее ключевое описание. Для любых наперед
заданных целых положительных чисел п{, /а, 1 ^/^/, 0=^гс£2,
образуем в Л произведение всех элементов
(^«МЛ/-1) ... (Л/-я|+1)/1.2...я/
и всех элементов xfcljai, причем произведения берутся в
некотором фиксированном порядке (заметим, что полученные выражения
представляют собой однозначно определенные элементы из Л,
поскольку умножение в Л ассоциативно, а умножение на скаляры
из С определено корректно). В результате мы получим семейство
произведений, образующих Z-базис алгебры А%.
Абелева подгруппа М в L называется решеткой в L, если
найдутся элементы у1У у2, ..., ут из М, образующие С-базис
алгебры L и Z-базис группы М (т. е. каждый элемент из М
представляется в виде целочисленной линейной комбинации у19 у2, ...,ут).
Пусть теперь Н% обозначает множество всех h £ Я, таких, что
а (К) — целое число для всех а £2, и пусть Lz является Z-обо-
лочкой Я^ и множества элементов ха, а £2. Основным
результатом является
Теорема 2.10. (i) L% —решетка в L;
(и) L% инвариантна относительно действия А% .
Теперь мы, наконец, в состоянии определить группы Шевалле.
Прежде всего для произвольного поля К образуем тензорное
произведение LK=L% (g)z /С. Тогда LK—векторное пространство
над К и действие Л2 на решетке Lz продолжается на LK.
Как и в комплексном случае, мы теперь определяем для
любого а и любого t$K
ехр(*ха)= 2 *'*£//!. (2Л)
/«о
Правую часть этого выражения следует интерпретировать таким
образом: каждое xjJj\, будучи элементом из А% , действует на L% ;
следовательно, если X— переменная, то WxUjl действует на
L% @^ Z [Я], где Z [Я] обозначает кольцо многочленов от X над Z.
Поскольку х£ действует как 0 для достаточно больших у, то
2.1. Группы типа Ли
79
ехр (А,ха) действует на L% (g)z Z [к] и, • следовательно, на
L% ®z %[Ц®% К- Отображение А,н->/ определяет гомоморфизм
последнего пространства на LK^=L^ (g)z /С и, таким образом,
индуцирует действие ехр (1ха) на /Л
По аналогии с комплексным случаем полагаем
Xa(t) = exp(txa) для O^ctgS и t$K.
Определение 2.11. Группа <Ха (/) 1О^а g 2, /g /С> называется
(присоединенной) группой Шевалле над /С, ассоциированной с
алгеброй Ли L.
В силу (2.1) легко проверяется, что
Xa(t + u) = Xa(t)Xa{u)
для фиксированного а и /, и$К, так что множество Ха (/), t$K,
образует абелеву группу %а, изоморфную аддитивной группе поля К.
Группа х« называется корневой подгруппой данной группы Шевалле.
Таким образом, любая группа Шевалле порождается своими
корневыми подгруппами. (Ниже и в § 3.1 у нас еще будет возможность
остановиться на соотношениях между различными корневыми
подгруппами.)
Заметим, что определенные выше группы Шевалле названы
«присоединенными», поскольку они были построены из
присоединенного представления алгебры L, с которым мы работали в ходе
обсуждения. Однако вся процедура может быть обобщена на другие
точные представления алгебры L. При этом получаются другие
формы групп Шевалле. Точнее говоря, присоединенные группы
Шевалле всегда имеют тривиальный центр, а другие формы
оказываются накрывающими группами присоединенного варианта. Кроме
того, существует представление, приводящее к универсальной группе
Шевалле, из которой все другие варианты получаются как
гомоморфные образы. Например, в случае алгебры Ли Аи состоящей
из всех комплексных матриц размера (/+1)Х(/+1) со следом О
и лиевским произведением [XY]=XY—YX для Ху Y £Ah
присоединенной группой Шевалле является P5L(/+1, К), в то время
как универсальная группа совпадает с SL(/+1, К) и получается
из естественного (/+1)-мерного представления алгебры Аг.
(Полное обсуждение см. в [272].)
Отметим, что в комплексном случае универсальные группы
совпадают в точности с односвязными группами Ли.
Если мы взяли поле К конечным (стало быть, K = GF(q) для
некоторого q, равного степени простого числа), то получим
конечные (присоединенные) группы Шевалле At(q), Bt{q), Ct(q), Dt{q)y
Ga(<7). ^4(9). £e (?)» Еч(Ч) и Е*(Ч)- Аналогично существуют
универсальные варианты каждой из этих групп.
80
Гл. 2. Известные простые группы
Приведенное обсуждение носило столь формальный характер,
что полезно будет остановиться на примере. Пусть G*=zSL(n, q),
где /г = /+1>2. Пусть Я—подгруппа Картана, состоящая из
диагональных матриц с определителем 1. Обозначим через hu(t)
диагональную матрицу, в которой на месте (i, I) стоит 0=^t$GF(q)>
на месте (/, /) стоит t"1, а на остальных местах диагонали стоят 1.
Пусть также Vtj—элементарная абелева подгруппа в SL(ny q)
порядка <7, состоящая. из матриц с единицами на главной
диагонали и нулями на всех остальных местах, кроме (i, /), где^=^=/,
1 ^ *\ / ^п- Тогда каждая группа Uif неприводима как Я-модуль,
Н/Сн(0и) — циклическая группа порядка q—l или (q—1)/2
(накрываемая группой <hif (t)\t£ GF (q)>) и Н/Сн (U(/) транзитивно
переставляет элементы из Ufj, Можно отождествить Н/Сн(ии)
с мультипликативной группой поля GF(q), a U{/ — с его
аддитивной группой. Поэтому элементы из U и можно обозначить через
£/,7 (0, t£GF(q).
Легко проверить, что элементы U{/(t) порождают G*. (Как мы
увидим позже, Vif (t) в точности совпадают с нашими «корневыми
элементами» Ха (t).) Заметим также, что если положить
U = <Uu(t)\i<,\ t£GF(q)>,
V = <UtJ(t)\t>i, t£GF(q)\
то обе группы U и V являются Я-инвариантными силовскими р-
подгруппами в G*, состоящими соответственно из верхних и
нижних треугольных матриц с единицами на главной диагонали.
Таким образом, существует естественное разбиение корней на два
подмножества — «положительное» и «отрицательное» — общее
явление во всех группах типа Ли.
Как показывает простая проверка, коммутирование элементов
Utj(t) задается следующим правилом:
[Uu (0, Ui4. (Г)] = б,, 1§ии (- «') + бл %.иц. («') (2.2)
(гдеб^у — символ Кронекера), если гф\, г'Ф\\ либо 1Ф\' или 1'Ф]
(или то и другое вместе).
Кроме того, hij(t) восстанавливаются по Uu(t):
hu d) = Uif (t) Ufi (- Гi) Uif (t) Uif (-1) Un (1) Ulf (-1). (2.3)
Таким образом, мы имеем хорошее описание группы SL (n, q)
в терминах ее корневых подгрупп Utj(t). Осталось лишь
интерпретировать Uij(t) в терминах элементов Xa(t).
Прежде всего ассоциированной с G* алгеброй Ли является
алгебра L=Ai всех матриц размера пХп над GF{q) со следом 0.
Подалгебра Я всех таких диагональных матриц является подалгеброй
Картана. Пусть 1и обозначает матрицу с 1 на месте (/, /) и нулями
на всех остальных местах. Тогда п2—1 элементов 1ф 1ф\У 1^*,
2.1. Группы типа Ли 81
/О, и 1ц—/и, 2<£</г, очевидно, образуют базис векторного
пространства L, причем последние я—1 элементов образуют базис
в Н. Кроме того, одномерное пространство Ltj, порожденное /^
для 1ф\, является Я-инвариантным. Таким образом, мы имеем
следующее Я-инвариантаое разложение для L:
L = #0 2 Lif.
Элемент h=diag (hi, hi, . . ., hn) из Н действует на Ltj
следующим образом:
[h, -id-iht- hj)itf,
поэтому hi — hj будет собственным значением для ad (h) с
соответствующим собственным вектором 1и. Таким образом, всякой паре
i, j ъ1ф\ отвечает корень а^ подалгебры Я, задаваемый
соотношением
a{/(h) = hi—h/ для А = diag(Л1э hi9 ..., hn)£H.
Кроме того, Lu— корневое пространство для atj с базисным
элементом Xij — Iij.
Наконец, по определению Ха. (t) = exp (txu) = exp (tlu) для
t$GF(q), Ьф}1). Однако для любых гф] мы имеем /?/ = 0,
поэтому Xa..(t)^I + tlif. Кроме того, очевидно, что по
определению UU(t)*=I + tltj. Следовательно,
Xa{/(t) = Uu(t).
Коммутаторные формулы для Xa(f), аналогичные (2.2),
справедливы для всех групп Шевалле. То же самое можно сказать и про
аналогичное (2.3) восстановление подгруппы Картана по элементам
Теорема 2.12. Если G*—группа Шевалле над GF (q)
(присоединенная или универсальная), то
(i) [Xa(t), Xz(u)] = UXia+fz(clftiuf) для а, р € 2 - {0} и
t, u$GF (q), где i, j пробегают те целые положительные значения,
для которых ia + jfi является корнем, а си—подходящие целые
числа, зависящие от а, р, но не от t, и;
(и) если положить
ha (t) = Ха (t) Х_а (- Г1) Ха (t) Ха (-1) Х_а (1) Ха (-1),
mo'ha(tu) = ha(t)ha(u) для а62 — {0} и t, u£GF(q) — {0).
г) Это не совсем так. По определению Ха (t) ■■ exp (t adfoy));
соотношение exp (t ad (xij))-x= (exp (fo/y))-x-(exp (**//))-1, справедливое для всех
x gZ, =AU позволяет определить отображение exp {txij) н-»ехр (t ad (*//)),
продолжающееся до гомоморфизма группы SL (n, q) на приведенную группу
Шевалле PSL (п, д).— Прим. ред.
82
Гл. 2. Известные простые группы
Соотношение (i) известно как коммутаторная формула Шевалле,
Утверждение (ii) показывает, что для фиксированного а множество
ha (t) является циклической группой #а, изоморфной
гомоморфному образу мультипликативной группы поля GF (q). (Для уни-
серсальных групп здесь в действительности имеет место
изоморфизм.) Кроме того, можно показать, что ^дгруппа # = <#a|ocg
£2 — {0}> абелева и нормализует каждую корневую подгруппу %р.
Группу Н называют подгруппой Картана в G*.
По аналогии с тем, как комплексные унитарные группы GU (п, С)
получаются из GL(n, С), можно установить существование
конечных вариаций групп Шевалле. Общая теория здесь принадлежит
Роберту Стейнбергу [269], не только построившему сами группы,
но и показавшему также, что их внутреннее строение похоже на
описанное выше строение групп Шевалле. Для определения этих
скрученных групп напомним сначала ситуацию в комплексном
случае. Группа GU (/г, С) состоит из всех невырожденных
комплексных матриц U £GL (n, С), для которых
где (U)f обозначает транспонированную матрицу к комплексно-
сопряженной с U матрице U. Более алгебраически унитарную
группу можно описать следующим образом. Для любого элемента
X £ GL (/г, С) положим
а(Х) = ((Х)*Гг.
Тогда a—автоморфизм группы GL(n, С) периода 2, и унитарная
группа совпадает в точности с множеством неподвижных элементов
в GL(nJ С) относительно действия а. В лиевской символике
унитарная группа обозначается через 2А1(Щ1 1 = п—1. Она является
компактной вещественной формой линейной группы.
Аналогично сопряжение ортогональной группы SO (2n, С)
посредством некоторого ортогонального преобразования порядка 2
с определителем —1 индуцирует внешний автоморфизм периода 2.
В теории Ли такой автоморфизм соответствует так называемому
автоморфизму графа группы D„(C), т. е. автоморфизму,
индуцированному некоторой симметрией ассоциированной диаграммы
Дынкина. Кроме того, исключительная группа Ев (С) также имеет
автоморфизм графа периода 2. Следовательно, если мы вновь
обозначим через а произведение комплексного сопряжения и
соответствующего автоморфизма графа, то похожим образом сможем
определить компактную вещественную форму 2Dn(R)
ортогональной группы Dn (С) и компактную вещественную форму 2Е6 (R)
группы Е6(С).
Стейнберг показал, что указанный процесс применим к
группам Шевалле над произвольными полями. В частности, он получил
2.1. Группы типа Ли
аз
конечные аналоги 2Al(q), 2Dt(q,) 2Ee(q) соответствующих
компактных вещественных групп Ли, где вместо комплексного
сопряжения— автоморфизма поля С периода 2 — использовался
автоморфизм Фробениуса ср поля GF (q2) периода 2, задаваемый равенством
ф (*) = ** для x£GF(q2).
В частности, таким образом можно определить конечную общую
унитарную группу GU (n, q) и ее подгруппу SU (/г, q), состоящую
из элементов с определителем 1. В лиевском обозначении
присоединенная группа 2At (q) имеет вид
2Al(q) = SU (l+l, q)/(mod скаляров) =
= Ul+1(q) = PSU(l+l, q).
Несколько слов об ортогональных группах. Над С все
невырожденные симметрические билинейные формы эквивалентны,
и поэтому для любого т существует однозначно определенная
группа SO(m, С). Однако над GF (q) всегда имеется две такие
неэквивалентные формы, определяющие два семейства
ортогональных групп (см. § 4.14). Если т четно, то соответствующие группы
различны и обозначаются соответственно через SO+(m, q) wSO~(m, q).
С другой стороны, если т нечетно, то эти группы совпадают
и обозначаются через SO (m, q) (иногда для удобства их
обозначают через SO+ (т, q)). Указанные группы, вообще говоря, не
просты. Их коммутанты обозначаются соответственно через Q!n(q)
и flfefa), причем
|SO±(m, q): fi£fa)| = l, 2 или 4 и |Z(SO±(m, q)\ = l или 2.
Наконец, факторгруппы Qfc (q)IZ(Q^(q)) обозначают
соответственно через PQii(q) и PQ^(q). В случае нечетного т пишут также
просто Qm (q) и PQm (q). В лиевском обозначении имеются
следующие изоморфизмы:
Р&2П+1 (?) = Вп (q), PQtn (Q) == Dn (q) и «fc (q) = 2Dn (q).
Столь же стандартным является обозначение Om(q) для
SO± (m, q)/Z (SO± (m, q)) и аналогично От (q) при нечетном га.
Классическая группа D4 (С)—единственная комплексная группа
Ли, имеющая автоморфизм графа периода 3 (подгруппой
неподвижных элементов которого служит группа G2(C)). Поскольку С
не имеет автоморфизмов периода 3, то нет возможности
использовать этот автоморфизм графа по аналогии с другими случаями
для построения скрученной группы. С другой стороны, в поле
GF (q3) отображение Фробениуса ^(х) = х^ для х £ GF (q3) является
автоморфизмом периода 3. Рассматривая его произведение с
автоморфизмом графа периода 3, можно построить так же, как
и раньше, скрученную группу, обозначаемую через 3D4 (q) и
называемую троичным скручиванием группы D4 (q).
64 Рл. 4. Известные простые группы
Указанные выше группы называются вариациями Стейнберга
групп Шевалле.
Судзуки открыл свое семейство простых групп Sz (2"), п нечетно,
п >1, без использования теории Ли, в ходе описания всех простых
групп, в которых централизатор любой инволюции является 2-груп-
пой [276], [278]. Однако, как заметил Ри, их с тем же успехом
можно было построить при подходящем скручивании ортогональных
групп В2 (2п). Действительно, еще раньше было известно, что из-
за некоторой вырожденности коэффициентов умножения три
семейства групп В2 (271), G2 (3") и F4 (2п) имеют дополнительный
автоморфизм, не учитываемый общей теорией. Определяющие соотношения
групп Судзуки привели Ри к изучению вариаций процесса
скручивания Стейнберга с каждым из этих автоморфизмов [238], [239].
В качестве а выбиралось произведение дополнительного
автоморфизма с подходящим автоморфизмом поля, индуцированным
группой Галуа поля GF (рп) (нечетность п нужна для того, чтобы можно
было найти автоморфизм а периода 2). На этом пути Ри получил
три семейства групп, обозначаемых через 2В2(2"), 2G2 (3") и 2/74 (2"),
п нечетно, первое из которых совпадает с семейством групп
Sz(2n). Результаты Судзуки и Ри более детально будут изложены
в § 3.2.
По определению множество (конечных) групп типа Ли состоит
из групп Шевалле вместе с вариациями Стейнберга и Судзуки —
Ри, а также из всех их накрывающих групп. Как уже говорилось,
Chev(p) обозначает подмножество тех групп типа Ли, которые
определены над GF(pn) для заданного простого числа р.
Объединение анализа Шевалле, Стейнберга и Судзуки — Ри (а также Титса
[306], доказавшего простоту группы 2F4(2)') дает следующие
результаты.
Теорема 2.13. Если G*—группа типа Ли с Z(G*) = 1, то
либо G* проста, либо справедливо одно из следующих утверждений:
(i) G*^A1(2)y Лх(3), М2(2) или 2В2(2), причем G*
разрешима;
(И) G* = £2(2)^Se;
(iii) G* = G2(2), |G*:(G*)'| = 2 и (G*)' ~ Ms(3);
(iv) G* = 2G2(3), |G*:(G*)'| = 3 и (G*)'^A1(8);
(v) G* = 2F4(2), |G*:(G*)'| = 2 и (G*)' проста.
В предыдущей теореме неявно исключаются также семейства
Blt Clt C2) D2, Д, и 2D3 ввиду следующих изоморфизмов (D1 не
существует в теории Ли):
W — *>i — ^i» G2^B2, 02^Л1хл1) „ .
D,e<A9, 2D2(q)^A1(q2), 2A, s M,. К'}
Кроме того,
Bn(q)g±Cn(q) для ? = 2». (2.5)
1.1. Группы типа Ли
83
Среди простых групп типа Ли небольшого г!сфйдка ймеЮтсй
некоторые другие изоморфизмы, а именно
Лх (4)^^(5), Лх(7)-Л2(2) и б2(3)^М3(2). (2.6)
Наконец, три группы типа Ли изоморфны знакопеременным
группам:
Аг (4) ^ Лб, Лх (9) - Лв и Л3 (2) ~ Л8. (2.7)
Группы Шевалле (как и другие группы типа Ли) имеют
единообразное описание в терминах так называемого разложения Брюа
этих групп. Хотя оно имеет место для групп Шевалле над
произвольными полями, мы ограничимся формулировкой утверждения в
конечном случае.
Группа Вейля W алгебры L «поднимается» естественным
образом в соответствующую группу Шевалле G* и при этом
нормализует подгруппу Картана Я. В действительности если N = Ng* (Я),
то N/H^Wt причем это расширение может как расщепляться,
так и не расщепляться. Например, если G*^SL(n, q), то W —
подгруппа всех перестановочных матриц (откуда W ^ 2Я), а
N—подгруппа всех мономиальных матриц, так что в этом случае N
расщепляется над Я.
Если мы обозначим через Р подгруппу в G*, порожденную
всеми ха, где а пробегает множество положительных корней, то,
как и в случае SL(ny q), P будет Я-инвариантной силовской
р-подгруппой в G*. Подгруппа В = НР называется подгруппой
Бореля в G*. Разложение Брюа группы G* дает красивое
описание умножения в G* на языке подгрупп В и N.
Чтобы придать сказанному точный смысл, нам необходимо, одно
предварительное определение, основанное на некоторых
характеристических свойствах группы Вейля W.
Определение 2.14. Группа W будет называться группой Кок-
стера (по имени Г. С. М. Кокстера) или группой, порожденной
отражениями, если выполнены следующие условия:
(1) W порождается различными инволюциями wl$ 1<*^/п;
(2) если wiw/ имеет порядок kif, то соотношения
образуют полное множество определяющих соотношений для
группы W.
Например, симметрическая группа 2OT+1 является группой
Кокстера относительно транспозиций wt=(i9 H-1), l^^m.
Целое число т называется рангом группы W. Заметим, что если
т=1, то |№|=2, а если т=2, то W — диэдральная группа порядка
2£i2. Кроме того, инволюции wi9 l^O'^m, составляют определяющее
множество для W.
86
Гл. 1 Известные простые группы
Теорема 2.15. Пусть G*£Chev(p), В — подгруппа Бореля в
G* (В = NG* (P), P e Sylp (G*)) и Я < В —подгруппа Картана в G*
(Н является дополнением к Р в В). Тогда G* содержит
подгруппу N, обладающую следующими свойствами:
(i) BftN = H<]N и W = N/H—группа Кокстера\
(ii) & = BNB\
(iii) пусть wh l^t^m,—определяющее множество для W,
и пусть vt —некоторый представитель w{ в N; тогда для любого
v£N и любого i, l^ii^m, справедливо включение
BvBvtB < (BvB) U (BwtB)\
(iv) В°!фВ, 1</<т.
Целое число т называется лиевским рангом группы G *, a W —
ее группой Вейля (для нескрученной группы Шевалле значение т
и группа W — те же, что и для алгебры Ли, ассоциированной с
G *). Формулы из п. (iii) умножения двойных смежных классов
дают очень сильные ограничения на возможное строение G *. В
действительности совсем нетрудно доказать, что (ii) и второе
утверждение пункта (i) следует из (iii) и того факта, что G *=<5, N>.
Непосредственно из этой теоремы мы получаем
Следствие 2.16. Если G*£Chev(p) имеет лиевский ранг 1, то
G* — дважды транзитивная группа, в которой стабилизатор точки
совпадает с подгруппой Бореля.
В следующей главе мы более детально обсудим указанное
дважды транзитивное перестановочное представление.
Разложение Брюа группы G* типа Ли весьма важно для
понимания ее строения. В частности, его можно использовать для
вычисления порядка группы G* (список порядков приведен в § 2.11).
Кроме того, лишь на основе одного разложения Брюа можно дать
прямое определение (которое мы опускаем) понятия корня и
корневой подгруппы без обращения к исходной ассоциированной
алгебре Ли (см. работу Кэртиса [76]).
Подгруппы в G*, содержащие В (и их 0*-сопряженные), имеют
особое значение. Такие подгруппы называются параболическими.
Следующий результат позволяет судить об их строении.
Предложение 2.17. Сохраним обозначения теоремы 2.15. Если
Y—параболическая подгруппа в G*, содержащая В, то
(i) Op(Y)^.P и 0р (У) порождается подходящим собственным
подмножеством корневых подгрупп из Р\
__ (ii) если Y = Y/Op(Y)t то Y=HYJ% ...Yn где F,<7 и
Yi^Chevip), l<i'</-;
. (iii) если мы положим Ny = NY(H), то Y имеет разложение
Брюа относительно своей подгруппы Бореля В = НР и NY.
2.2. Группы Матье
87
Подгруппы Yl9 Y2J ..., Yr из п. (ii) . известны как
сомножители Леей параболической подгруппы Y. Имеется хороший способ
описания параболических подгрупп в G* и их сомножителей Леви
в терминах диаграммы Дынкина D группы G*. В самом деле,
существует взаимно однозначное соответствие между
параболическими подгруппами Y в G*, содержащими S, и
подмножествами of в D (причем Y = B соответствует пустому подмножеству).
Кроме того, если <¥ ф 0 и & представлено в виде
непересекающегося объединения связных подмножеств Dly D2f ..., Dn то
(1) каждое D( является диаграммой Дынкина
некоторой простой группы типа Ли;
(2) Y имеет ровно г различных сомножителей Леви
Ylt F2, ..., Yr\ _ (2.8)
(3) если сомножители Yt упорядочены подходящим
образом, то D{ является диаграммой Дынкина группы
F„ l<t<r.
Особенно интересны максимальные параболические подгруппы,
в которых & получается из D отбрасыванием одной вершины,
а также минимальные параболические подгруппы, в которых &
состоит из одной вершины. Любая минимальная параболическая
подгруппа Y допускает ровно один сомножитель Леви Yly
имеющий обязательно лиевский ранг 1. Таким образом, в этом случае
* всегда Y1/Z(Y1) ^ L2(pn), если только G* — группа Шевалле над
GF (рп). Однако в скрученных группах могут также встречаться
другие группы ранга 1. Понятно, что число минимальных
параболических подгрупп, содержащих В, равно в точности I—числу
вершин диаграммы D. Кроме того, непосредственно из
разложения Брюа для группы G* мы получаем
Предложение 2.18. Сохраним обозначения теоремы 2.15. Если G*
имеет лиевский ранг не меньше 2, то она порождается своими
минимальными параболическими подгруппами, содержащими В.
С параболическими подгруппами в G * связана богатая
геометрия. В действительности Тите полностью охарактеризовал группы
типа Ли (лиевского ранга не меньше 3) в терминах соответствующих
геометрий. Подробнее мы остановимся на этих вопросах в §3.1.
2.2. Группы Матье
В процессе поиска высокотранзитивных групп перестановок
Матье (примерно в 1860 г.) открыл две 5-транзитивные группы
степеней 12 и 24 и соответственно порядков 8 -9 -10 -И -12 и 3 -16-20 •
•21 -22 -23 -24 1210] — [212]. Они обозначаются через М12 и Мц-
88 Гл. 2. Известные простые группы
аналогично Мп обозначает стабилизатор точки в М12, М23 —
стабилизатор точки в М24 и М22 — стабилизатор точки в М23. (Таким
образом, |ЛГ11[=8-9-10-11> |Л1аа|=3-16-20-21 -22-23 и |ЛГЯЯ| =
=3-16 -20-21 -22.) Каждая из этих групп проста, а вместе они
представляют собой первые пять спорадических простых групп.
Интересно отметить, что кроме знакопеременных и симметрических
групп все остальные известные 4- и 5-транзитивные группы
перестановок являются группами Матье. Столь же удивителен тот факт,
что потребовалось более ста лет для открытия шестой
спорадической простой группы.
С момента их открытия группы Матье получили много
различных описаний. Мы укажем три из них: первое — как групп
перестановок, второе — как групп преобразований проективных
прямых и третье — как групп автоморфизмов так называемых систем
троек Штейнера (см. [321]).
Пусть А, В, С обозначают следующие три перестановки:
Л = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, И),
В -(5, 6, 4, 10) (11, 8, 3, 7),
• С=(1, 12)(2,11)(3, 6) (4, 8) (5, 9) (7, 10).
Теорема 2.19. Мц = <А, В> и М12 = <А, 5, С>.
Пусть Dt E> F обозначают следующие три перестановки:
D = (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23),
£ = (3,17,10,7,9) (5,4,13,14,19) (11,12,23,8,18) (21,16,15,20,22),
F = (l,24)(2,23)(3,12)(4,16)(5,18)(6,10)(7,20)(8,14)(9,21)(ll,17)x
Х(13,22)(19,15).
Теорема 2.20. Af5,«<D, Б> и MU-=<D, E, F>.
Наконец, пусть б, Я, / обозначают следующие три перестановки:
G = (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11) (12,13,14,15,16,17,18,19,20,2*1,22),
Я = (1,4,5,9,3)(2,8,10,7>6)(12>15,16,20,14)(13,19,21,18,17).
/ = (11,22) (1,21) (2,10,8,6) (12,14,16,20) (4,17,3,13) (5,19,9,18).
Теорема 2.21. Af22 = <G, Я, />.
Рассмотрим далее проективную прямую 9*x{q) с координатами
из конечного поля GF (q) и обычным соглашением а/0 = оо для
аф0, a£GF(q). На 5\(<7) имеется #+1 точек, каждая из
которых представляется отношением а/Ь с a, b^GF{q)y причем хотя
бы один из элементов а и Ъ должен быть отличен от 0.
Проективная линейная группа PGL(2, q), или, как ее часто называют,
дробно-линейная группа, может рассматриваться как группа пере-
2.2. Группы Матье
89
становок этих q+1 точек. Как нетрудно проверить, она действует
3-транзитивно на рассматриваемом множестве.
Группы Матье М12 и Ми могут быть определены как
расширения групп L2(ll) и L2(23) (подгрупп индекса 2 в PGL(2,11) и
PGL(2,23) соответственно) с помощью некоторого полиномиального
преобразования прямых 5\(11) и 5\(23) соответственно.
Теорема 2.22. Если f обозначает преобразование 5\(11),
задаваемое правилом /: х'-=4х2—Зх\ то M12 = <L2 (11), />.
Теорема 2.23. Если f обозначает преобразование Зъ1 (23), зада-
ваемое правилом f: х' >=—Зх1* + 4х4, то M24 = <L2(23), />.
<е
Используя неполиномиальное преобразование проективной
прямой ^!(23), Конвей дал следующее элегантное описание группы
AM69!
Теорема 2.24. Пусть f обозначает преобразование 5\(23),
задаваемое правилом f: x' = 9V, где е =—1, если х является
квадратом в GF (23), и г = +1, если л: яе является квадратом в GF (23).
Тогда M24 = <L2(23), />.
Рассмотрим, наконец, системы Штейнера для групп Матье.
Определение 2.25. Пусть Q—множество из п элементов.
Система троек Штейнера 5(&, m, n) на Q определяется как
семейство из (и)\[и ) подмножеств в £2, каждое из которых содержит
т элементов, с тем свойством, что любой набор из k различных
элементов множества Q содержится в одном и только одном из
указанных подмножеств.
По определению группа автоморфизмов системы 5 (k, m, n) —
это подгруппа в 2 (Q), элементы которой переставляют между собой
подмножества из системы Штейнера.
Если рассмотреть семейство всех подмножеств в S(kf m, /г),
содержащих заданный элемент а из Q, то получается другая
система Штейнера S(k—1, т—1, п—1) на множестве Q—{а}. На этом
пути могут быть получены системы Штейнера для групп Afn, М22>
М 23 из систем Штейнера для групп Mi2 и М24.
Теорема 2.26. Существуют однозначно определенные системы
троек Штейнера 5(5, 6, 12) и S(5, 8, 24), такие, что Aut(S(5,
6, 12)) = М12 и Aut(5(5,8,24)) = M24.
Отсюда мы получаем
Следствие 2.27. Существуют такие системы троек Штейнера
5(4,5, И), 5(4,7,23) и 5(3,6,22), что Aut (S (4, 5, 11)) = Мш
Aut(S(4,7,23)) = M23 и Aut (5 (3,6,22)) = Aut (ЛГ22).
90
Гл. 2. Известные простые группы
Заметим, что М22 имеет в Aut (М22) индекс 2, а группы М23 и
М24 совпадают со своими группами автоморфизмов. Мы также
имеем систему Штейнера S(2, 5, 21) и Aut (5(2, 5, 21))^Aut(L3(4)).
Однако подгруппа М21 в М22, действующая на 5(2, 5, 21),
совпадает с L3(4) (M2i обозначает стабилизатор точки в /И22).
2.3. Первая группа Янко
Семейство групп Ри 2G2(32"+1), я>1, является очень
интересным. Если G*—один из его членов, то он обладает
следующими свойствами:
(a) силовская 2-подгруппа в G* элементарная абелева порядка 8;
(b) если P£3(G*)9 то CG* (f) ^Z2xL2(32"+1);
(c) | G* | = (3я— 1) 33п (33/z + 1) и подгруппа Бореля В* в G* имеет
порядок (Зп—1)33";
(d) перестановочное представление группы G * на смежных
классах по В* является дважды транзитивным, причем стабилизатор
некоторых трех точек имеет порядок 2.
Пытаясь охарактеризовать группы Ри внутренними свойствами,
естественно спросить, в какой степени условия (а), (Ь) влекут за
собой условия (с), (d), а также будет ли произвольная группа,
удовлетворяющая условиям (с) и (d), изоморфна 2G2(3W). Второй
вопрос мы обсудим в следующей главе, а здесь остановимся на
первом.
Если рассматривать вопрос в более общем контексте, то
очевидно, что ограничения на порядок силовской 2-подгруппы в G и на
значение q в символе L2(q) являются искусственными. Впервые
Г. Н. Уорд [316], а затем Томпсон и Янко [192] рассмотрели эту
общую проблему. Объединение их усилий привело к следующему
результату.
Теорема 2.28. Если- G—простая группа с абелевыми силов-
скими 2-прдгруппами и централизатор некоторой инволюции из G
изоморфен Z2xL2(q), q^3y то справедливо одно из следующих
утверждений:
(i) q = 3n, п нечетно, л>1, \G | = (3Я— 1) 33"(33" + 1) и G
является дважды транзитивной. группой перестановок степени
З3" +1, в которой стабилизатор некоторых трех точек имеет
порядок 2;
(ii) 9 = 4 или 5. (Заметим, что L2(4) ^L2(5).)
Опишем ряд ключевых моментов доказательства. Пусть S £ Syl2(G)
и t£9 (S), причем Cf = <OxL, где Lg*L2(q). Так как S абелева,
то S^Gt и поэтому S = <tyxR, где R = S[)L также абелева.
Если q нечетно, то L имеет диэдральные силовские 2-подгруппы,
2.3. Первая группа Янко
91
поэтому абелевость R и равенство \L\ = q(q2—1)/2 дают нам, что
<7 = 3,5 (mod 8) и R — четверная группа. Следовательно, в этом
случае S—элементарная абелева группа порядка 8. С другой
стороны, если q = 2mf то R—элементарная абелева группа порядка
2т, откуда следует, что S—элементарная группа порядка 2/л+1.
Несложное рассуждение о перемещении, использующее
простоту G, абелевость S и теорему о фокальной подгруппе
(теорема 1.19), позволяет доказать, что все инволюции из S
сопряжены в N = NG(S). Таким образом, N действует транзитивно на
S#, причем N/S имеет нечетный порядок. Воспользуемся этими
фактами для доказательства нечетности q. Поскольку L-2 (4) ^ L2 (5)
(и <7^3 по условию), то достаточно получить противоречие из
предположения q = 2m, т^З. Заметим, что подгруппа Бореля
В = NL (R) в группе L ^ L2 (2m) является группой Фробениуса
с ядром R и циклическим дополнением Я порядка 2т—1. Так
как Н централизует t, то #<Af. Кроме того, R_ = CB(R) = CL(R),
поэтому S = Cct (S) = CG (S). Следовательно, N = N/S < Ant (S).
Таким образом, N— группа автоморфизмов нечетного порядка
группы S, в частности, N—разрешимая группа. Кроме того, N
действует транзитивно на 5# (следовательно, неприводимо на S) и
содержит циклическую подгруппу ^/У порядка 2т—1.
Докажем, что такой подгруппы N не существует. Действительно,
согласно одному хорошо известному арифметическому результату,
если тф&, то существует простое число d, делящее 2т—1 и не
делящее 21'—1_ для / < т. Отсюда следует, что любая подгруппа D
порядка d в N централизует каждую D-инвариантную подгруппу
в S порядка < 2т. Но теперь, используя стандартные результаты
о представлениях разрешимых групп, включая теорему Клиффорда
(теорема 1.5), мы легко получаем из ^указанного свойства d, что
D централизует О* (Af), а также что N имеет циклические силов-
ские d-подгруппы (см. § 4.1). Полагая d = 7, мы можем применить
похожее рассуждение и в случае т = 6. (Отметим, однако, что
здесь необходимо условие т^З, поскольку если т = 2, то d = 3
и |5| = 8, так что N может быть неабелевой группой порядка 21.
Действительно, последняя конфигурация встречается в группе /х.)
Следовательно, D = Qj (Od(N))<3 N. Но тогда Af оставляет
инвариантной <^> = CS(D), что противоречит неприводимости действия
N на S.
Таким образом, мы можем предполагать, что q нечетно, откуда
q = 3, 5 (mod 8) и | S | = 8. Следовательно, q = рт, р нечетно, а
сравнение для q дает нечетность т. Предположим, что q = 3. Тогда
Lg*L2(3)g*AA и R<\Ly откуда S <] С, и поэтому Ct^N. Так
как все инволюции из S являются Af-сопряженными, то мы без
92
Гл. 2. Известные простые группы
труда получаем, что Ng(T)^N для всех [фТ^Б.
Следовательно, в соответствии с определением 4.20 группа N сильно
вложена в G. Но тогда классификационная теорема Бендера
(теорема 4.24) и тот факт, что G имеет абелевы силовские 2-подгруппы
порядка 8, дают, нам, что G^L2(8)1). Тем самым мы получили
противоречие, поскольку централизаторы инволюций в группе L2 (8)
имеют порядок 8, a Ct имеет порядок 24. Таким образом, q^5.
Кроме того, можно предполагать, что q > 5, поскольку иначе мы
получаем справедливость второго пункта теоремы.
Тем, кто знаком с теорией конечных групп, предыдущее
рассуждение покажется весьма рутинным. Однако мы привели детали
ввиду их типичности для рассуждений редукции достаточно общего
вида в теории простых групп. С другой стороны, доказательство
Томпсона—Янко, показывающее, что в оставшемся случае р
должно быть равно 3, можно назвать каким угодно, только не
рутинным. Ключевой шаг состоит в выводе с помощью методов теории
характеров Брауэра формулы для порядка G в терминах степени /
подходящего непроводимого характера группы G:
|G| = <73(<73+1)/.
Теперь тонкое локально-аналитическое, рассуждение,
существенно опирающееся на указанную формулу для порядка группы,
показывает нам, что некоторый элемент а из Ct порядка 3
централизует элемент Ь из Ct порядка р. Поскольку Cf=<£>XL, то а
и Ь на самом деле лежат в L. С другой стороны, строение L2(pm)
позволяет сделать вывод, что CL (b) является /7-группой.
Следовательно, р=3.
Если проанализировать тем же самым способом случай q=5,
то ожидаемого противоречия получить не удается. Выявлявшиеся
первое время немногочисленные числовые ошибки маскировали
истинное положение дел. Однако в конце концов победила
настойчивость Янко — казавшиеся до того разрозненными отдельные
факты сложились вместе и образовали красивую картину, из которой
следовало, в частности, что такая группа G должна иметь
однозначно определенную таблицу характеров и порядок 175560. В
конечном счете Янко доказал следующий результат [187], положивший
начало современной теории спорадических групп.
Теорема 2.29. Если G—простая группа с абелевыми силов-
скими 2-подгруппами (порядка 8), причем централизатор
некоторой инволюции из G изоморфен Z2xL2(5), то G—однозначно
определенная простая группа порядка 175560. Кроме того, G
изоморфна подгруппе в GL(7, 11), порожденной следующими двумя
1) На самом деле указанный частный случай классификационной теоремы
Бендера содержится в более раннем результате Фейта, оказавшем
значительное влияние на последующее развитие.
2.3. Первая группа Янко
93
матрицами Y и Z (с коэффициентами из GF(ll)) порядка
соответственно 7 и 5:
к«
Г—3
—2
—1 -
—1 -
—3 -
1
L 3
"0
0
0
0
0
0
1
2
1
-1
-3
-1
3
3
10 0 0
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
—1 —1 -
1 3
—3 —1 -
—1 —3 -
—3 —3
3 —2
—2 1
0 0"
0 0
0 0
0 0
.1 0
0 1
0 0
-3 —1
1 3
-3 —3
-3 2
2 —1
1 1
1
3
—31
3
2
—1
—1
3
!J
Используя порядок и таблицу характеров неизвестной группы
G, Янко проанализировал ее модулярные характеры для каждого
простого делителя |G| и в результате показал, что такая группа G
должна иметь одно и только одно абсолютно неприводимое
представление степени 7 над GF(II).
Таким образом, оставалось лишь выяснить, содержит ли GL (7, 11)
подгруппу G с предписанными свойствами и заданного порядка.
Можно было предвидеть, что этот вопрос не должен быть
трудным. Несомненно, можно было бы достаточно быстро получить
решение g помощью ЭВМ. Однако совсем другое дело — решить
эту задачу вручную. Янко воспользовался своей информацией о
характерах для получения дополнительных внутренних свойств
группы G. Прежде всего N = NG (S) = HS, где Н—неабелева группа
порядка 21. Кроме того, если у£Н имеет порядок 7 и x£S#, то
NQ(H) содержит инволюцию w, такую, что z = xw имеет порядок 5
и \CH(w)\ = 3, причем G = <#, г>. Представив элемент у
матрицей У, приведенной выше, Янко затем воспользовался
различными установленными им ранее соотношениями между у, х и ш.
В результате он показал, что имеется лишь одна матрица размера
7x7 над полем GF (11), которой может быть представлен элемент г,
а именно указанная выше матрица Z. Тем самым была доказана
единственность—существует не более одной группы,
удовлетворяющей заданным условиям.
Однако для доказательства существования такой группы
оставалось еще выяснить строение группы <У, Z> и показать, что она
удовлетворяет нужным условиям. Последнее без особого труда сво-
94 Гл. 2. Известные простые группы
дится к доказательству того, что <У, Z> имеет порядок 175 560.
Эту весьма тяжелую задачу решил М. А. Уорд. Таким образом,
группа /i существует и определена однозначно с точностью до
изоморфизма!
Группа Ji не имеет дважды транзитивного перестановочного
представления или перестановочного представления ранга 3 (что
непосредственно следует из ее таблицы характеров), поэтому с ней
не ассоциируется «естественной» геометрии. Самое лучшее, что было
сделано — было показано, что Jt является подгруппой в G2(ll)
(доказано Коппелем), однако вложение опять не является
естественным. Таким образом, не было обнаружено подходящей причины
для существования этой группы. Из последнего замечания следует,
что группа Ji могла быть открыта лишь в процессе анализа
некоторой общей классификационной проблемы. (М. Холл занимался
систематическим описанием всех простых групп порядка меньше
миллиона. Поэтому он столкнулся бы с группой Янко при
изучении порядка 175 560, если бы Jx еще не была известна. Вместе с
М. Холлом в этой работе участвовал Маккэй, а также несколько
студентов из Калтеха. Тем не менее понятно, что такой подход,
основанный на полном переборе, заранее ограничен группами
небольшого порядка.)
2.4. СПОРАДИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ИЗ ЦЕНТРАЛИЗАТОРОВ
ИНВОЛЮЦИЙ
С построением группы J± появилось желание
поэкспериментировать с другими возможными кандидатами на роль
централизаторов инволюций в новых простых группах. Именно на этом пути
разумных догадок были открыты еще четыре спорадические
группы — группы Янко /2, Jзу Л и группа Ричарда Лайенса Ly.
Примечательно, что огромные усилия, потребовавшиеся для построения
группы Ji, вместе с исключительно низкой вероятностью успеха не
отпугнули исследователей. Группа Дитера Хелда также возникла
из проблемы о централизаторе инволюции, однако здесь
централизатор был дан заранее.
Кроме того, изучение других пяти групп, появившихся в ином
контексте, началось со строения централизатора одной из их
инволюций. Сюда относятся группа Майкла О'Нэна ON, порожденная
{3,4}-транспозициями группа Фишера F2, группа Грисса—Фишера
Ft и два ее отпрыска — группа Харады F5 и группа Томпсона F3.
Таким образом, в общей сложности 11 из 26 спорадических групп
были построены, исходя из централизатора инволюции. (Некоторые
из указанных групп имеют более одного сопряженного класса
инволюций.)
В таблице 2.1 приведена каждая из этих 11 групп вместе
с соответствующим централизатором инволюции. Поясним неко-
2.4. Спорадические группы из централизаторов инволюций 95
Таблица 2.1. Централизаторы инволюций в некоторых спорадических группах
Группа Централизатор инволюции
J2 Ab/Q8 * #8> 2-скованный
J3 тот же
/4 {M22I{D &)*)•%> 2-скованный
He L3 (2)/D8 * D8 * D8, 2-скованный
Ly Au
ON (f3(4))-2
F2 №(2))-2
F
Fb (HS)-2
F3 i49/(D8)4, 2-скованный
торые используемые в таблице обозначения. Фраза «2-скованный»
означает 2-скованность рассматриваемого централизатора; символы
/Й22, лш L3(4), 2£6 (2),F2, #S обозначают совершенные
центральные расширения соответствующих групп посредством Z3, Z2, Z4,
Z2, Z2, Z2 соответственно; символ #S обозначает спорадическую
простую группу Хигмэна — Симса, которая будет обсуждаться
в § 2.6.
Сделаем еще ряд замечаний. Кроме случая L3(4) для указанного
расширения имеется лишь одна возможность. Группа L3(4) имеет
два неизоморфных совершенных центральных расширения с
помощью Z4, из которых только одно встречается в группе О'Нэна.
Интересно отметить, что в группе Не централизатор не 2-централь-
ной инволюции имеет вид (L3(4))-2, где символ L3(4) обозначает
(однозначно определенное) совершенное центральное расширение
группы L3(4) с помощью Z2xZ2. (Накрывающие группы для
известных простых групп более полно будут обсуждаться в §4.15.)
За исключением Fu F2 и F6, для всех остальных групп в
таблице указан централизатор 2-центральной инволюции. Для
указанных трех групп централизатор 2-центральной инволюции имеет
следующий вид:
Fx .1/(Z)8)12, 2-скованный;
F2 .2/(Z)8)u, 2-скованный;
F5 (A5aZ2)/(D8)*f 2-скованный.
Здесь символы .1 и .2 обозначают первую и вторую простые
группы Конвея, которые будут обсуждаться в § 2.9.
96 Гл. 2. Известные простые группы
Теперь мне хотелось бы детально описать обстоятельства
появления каждой из указанных выше групп, за исключением уже
обсуждавшейся группы Л, а также группы F2, которую лучше всего
будет рассмотреть в контексте общей теории Фишера групп,
порожденных классом «транспозиций».
А. Группы Янко У2, J3
В поиске централизаторов инволюций, подходящих для
последующей проверки, Янко решил испробовать группы, которые очень
похожи на централизаторы инволюций в группах Матье, хотя и
отличны от централизаторов инволюций в известных к тому
времени простых группах. В М12 (а также в L4(2)^ А8) имеется
инволюция с централизатором 23/Q8*Q8. Поэтому Янко решил
попытать счастья с группой AjQ8*D8. Какой мудрый выбор! В итоге
Янко смог доказать следующий результат [188].
Теорема 2.30. Если G—простая группа, в которой
централизатор некоторой инволюции изоморфен A5/Q8*D8J то
справедливо одно из следующих утверждений:
(i) G содержит два класса инволюций и | G J = 27 • З3 - 52 - 7;
(и) G содержит один класс инволюций и j G | == 27-35-5-17-19.
Кроме того, в каждом случае Янко определил полное локальное
строение такой группы G вместе с ее таблицей характеров. (Впрочем,
то же самое было сделано для большинства обсуждаемых здесь
групп.) В отличие от работы о группе J± сформулированный выше
результат Янко не гарантирует нам существование простой группы
указанного порядка и даже не говорит нам, что существует не более
одной такой группы. Таким образом, Янко получил веские доводы
в пользу существования двух новых простых групп, однако
оставил открытым вопрос о их существовании и единственности.
Некоторые детали реального построения групп J2 и J sj & также
восьми других групп из предыдущего списка будут приведены
позднее.
В. Группа Хелда Не
Отправным пунктом для Хелда был следующий интересный факт:
группы L5(2) и М24 имеют 2-центральные инволюции с
изоморфными централизоторами. Поэтому естественно было попытаться
охарактеризовать указанные группы этим свойством. Таковы были
намерения Хелда в тот момент, когда он приступал к исследованию.
Однако в процессе анализа сопряженных классов инволюций он
пришел к трем различным и внутренне непротиворечивым
возможностям. В конечном счете Хелд доказал следующий результат [165].
14. Спорадические группы из централизаторов инволюций 97
Теорема 2.31. Если G—простая группа, в которой
централизатор некоторой инволюции изоморфен L3 (2)/D8 *D8 *D8, то
справедливо одно из следующих утверждений:
(i) G^L5(2) или М24;
(ii) G имеет ровно два сопряженных класса инволюций и
|GJ = 210.33-52.7M7. -
Хелд определил полное внутреннее строение и значительную
часть таблицы характеров группы G. Однако, как и выше, теорема
ничего не говорит о существовании и единственности группы,
удовлетворяющей пункту (ii). В следующей главе мы остановимся на
общих методах, позволяющих идентифицировать известную
простую группу, исходя из ее внутреннего строения. Очевидно, что
Хелду потребовалась также некоторая процедура, с помощью
которой он смог показать, что G^L5(2) или G^Af24-
С. Группа Лайенса Ly
Группа Джона Маклафлина Мс (о которой пойдет речь в
следующем параграфе) возникла из проблемы о примитивных группах
перестановок ранга 3. Однако после построения Мс стало вполне
доступным изучение ее внутреннего строения. Оказалось, что группа
Мс содержит лишь один сопряженный класс инволюций, причем
централизатор инволюции изоморфен А8 (Ап обозначает
совершенное центральное расширение группы Ап с помощью Z2). Такой
ответ был интригующим, поскольку он непосредственно указывал
на необходимость изучения класса групп G, содержащих Ап в
качестве централизатора некоторой инволюции t для произвольного
я ^5. Из строения силовской 2-подгруппы Тп в Ап сразу следует,
что такая инволюция t должна быть 2-центральной в G. Кроме
того, сравнение порядков показывает, что Тп ^ Тп+1 для четного п.
Далее Томпсон сделал интересное наблюдение—группа Т10 (^Тп)
порядка 28 присутствует в качестве исключительного случая
в списке Маквильямс [207] тех 2-групп нормального 2-ранга 2,
которые являются возможными кандидатами на роль силовских
2-подгрупп в некоторой простой группе. Этого было достаточно,
чтобы начать действовать! И Томпсон предложил
соответствующую задачу своему студенту Лайенсу, который доказал
следующий результат [206]:
Теорема 2.32. Если G—простая группа, в которой цетрали-
затор некоторой инволюции z изоморфен Ап, /г = 10 или 11, то
л=11, G имеет лишь один сопряженный класс инволюций и
|G|~28.3?.5e.7.ir.31.37.67.
4 J4 625
98
Гл. 2. Известные простые группы
(Что G имеет лишь один сопряженный класс инволюций,
непосредственно следует из фундаментальной Z*-TeopeMbi Глаубер-
мана (см. теорему 4.95).)
Лайенс устранил случай п = 10 посредством анализа 3-строе-
ния такой группы G. Действительно, если х—элемент порядка 3
в Cz = CG(z)y соответствующий 3-циклу в Сг/<г> (^ Л10), то, с
одной стороны, показывается, что силовская 3-подгруппа в. CG (x)
имеет порядок З3, а с другой,— что ее порядок не меньше З4.
Следующий результат показывает, что в указанном направлении
больше нельзя найти ничего интересного!
Теорема 2.33. Если G —простая группа, в которой
централизатор некоторой инволюции z изоморфен Ап, п^Ь, то /г = 8
или 11.
Случаи п—5, 6, 7 следуют из теоремы Брауэра и Судзуки о
группах с кватернионными силовскими 2-подгруппами [48] (см.
теорему 4.88). (Отметим, что Z*-TeopeMa обобщает этот кватернион-
ный результат.)
Разобранный Янко случай /г=9 [189] включал в себя анализ
3-строения группы G, весьма похожий на тот, который был проведен
Лайенсом в случае п—10. (В действительности именно рассуждение
Янко с А9 вывело Лайенса на 3-локальный подход в решении
проблемы о Л10). В конечном итоге Янко показывает, что подходящая
квазидиэдральная подгруппа в Cz порядка 16 должна
нормализовать некоторую 3-подгруппу D в G порядка З8, причем |CD(z)| =
=34, что несовместимо со строением С2.
С другой стороны, при rC^Yl может быть использовано более
единообразное рассуждение (Томпсон, а также Рональд Соломон
[264]). Детали будут обсуждаться в дальнейшем.
Таким образом, как и утверждалось, возможны лишь случаи
/г=8 и /1=11. Безусловно, остается еще вопрос о том, являются ли
группы Маклафлина и Лайенса единственными ответами в
указанных случаях. Построение Симсом группы Ly на компьютере,
которое будет описано в следующем параграфе, показывает, что это
действительно имеет место в случае группы Лайенса.
Соответствующее утверждение для группы Маклафлина было получено Янко
и С. К. Уонгом [193], и нам хотелось бы сказать несколько слов об
их доказательстве.
Цель Янко и Уонга состояла в том, чтобы привести исходный
изоморфизм Сг^Ав в точности к тем условиям из теории графов,
при которых Маклафлин первоначально построил группу Мс.
Опять непосредственно из Z*-теоремы следует, что G имеет лишь
один класс инволюций. Прежде всего, как и в работе Лайенса для
случая /1=11, Янко и Уонг детально определяют локальное
строение группы G. Однако для нахождения порядка G здесь им не по-
2.4. Спорадические группы из централизаторов инволюций 99
надобилась теория характеров. Последовательность действий была
следующей: с использованием локальной информации в группе G
строится некоторая подгруппа G0, которая затем отождествляется
с £/4(3) тем же самым-методом (В, Af)-nap, которым несколько ранее
воспользовался Кок Ви Фан в своей характеризации группы £/4(Зу~
[236]. Далее показывается, что G0 — максимальная подгруппа в
G, причем для подходящих элементов' v g G—G0 и agG0 группа
G является объединением трех двойных смежных классов G0,
Got/Go и GovavGo. Отсюда непосредственно следует, что
|G:G01 = 275 (так что |G| = |Afc|)
и G — группа перестановок .ранга 3 на правых смежных классах
по G0, причем орбиты G0 в этом представлении имеют длины 1, 112
и 162.
Как мы увидим в § 2.6, существование у группы G
перестановочного представления ранга 3 дает естественный граф,
ассоциированный с G. Наконец, Янко и Уонг доказывают, что этот граф
изоморфен тому графу, который Маклафлин использовал при
построении своей группы. Теперь уже из результата Маклафлина следует,
что G^Mc.
D. Группа О'Нэна ON
Несколько лет назад мы вместе с Алпериным исследовали
простые группы 2-ранга 3. По ходу дела Алперину пришлось
анализировать возможные 2-скованные группы вида L3 (2)/(Z2« x Z2n x Z2n)
для некоторого п. Он доказал следующий результат [2], [230]:
Теорема'2.34. Для любого значения п^ 1 существует (с
точностью до изоморфизма) ровно две 2-скованные группы вида
L3(2)/(Z2nXZ2nxZ2n). Одно расширение расщепляется, а другое —
нет. Кроме того, не расщепляемая группа имеет 2- ранг 3 для
любого п^1.
Обозначим эти группы соответственно через А1р\ и А1р\. Группа
А1р\ встречается в качестве 2-локальной подгруппы (по модулю
ядра в случае группы Лп) в Л8, Л0, Л10, Ли, М22, М23, группа
Л//?? — в группах G2(q) и 3D^(q)y q нечетно, и группа Alp\ —
в группе HS. Поэтаму возникает другой естественный вопрос: для
каких значений п^2 группы А1р\ и А1р\ встречаются в качестве
2-локальных подгрупп простой группы G? Как легко показать,
02 (Л//?£), п ^ 2,— единственная подгруппа в А1р{п типа Z2n x Z2n xZ2n,
и поэтому А1р1п должна тогда обязательно содержать силовскую
2-подгруппу группы G. Таким образом, для заданного п^2 и
1=1 или 2 группа G имеет однозначно определенную силовскую
2-подгруппу, изоморфную силовской 2-подгруппе ю А1р1п<
4*
100 Гл. 2. Известные простые группы
Мне хотелось заинтересовать этой проблемой аспиранта. Однако
О'Нэн стал рассматривать ее в связи со своей работой о дважды
транзитивных группах перестановок нечетной степени, в которых
стабилизатор точки содержит нетривиальную нормальную
подгруппу нечетного порядка [228]. Анализ здесь в конечном счете
сводится к определению всех таких групп G 2-ранга г, где г— целое
положительное число, что для -некоторой элементарной абелевой 2-под-
группы A<G ранга г группа N=NG(A) транзитивно переставляет
«флаги» из Л. Здесь по определению флагом группы А является
последовательность вложенных друг в друга подпространств
l<Ax<At<...<Ar = A.
(Таким образом, At имеет коразмерность 1 в Ai+1, 1<7<>—1.)
Скажем, что N действует транзитивно на флагах из Л, если для
любых двух флагов подпространства одного флага получаются из
соответствующих подпространств другого флага сопряжением
посредством некоторого элемента из N.
При г = 3 возможен случай NiO(N) ^А1р1п. Если я=1, то
Л £Syl2(CQ(A))y и классификация несвязных групп (которая будет
обсуждаться в дальнейшем) дает нам, что G изоморфна одной из
выписанных выше групп (в предположении простоты G). Таким
образом, О'Нэн мог ограничиться случаем п ^2, когда G имеет
вполне определенную силовскую 2-подгруппу для любых п и i.
Используя ранее полученную Мортоном Харрисом и мной [137]
характеризацию HS посредством ее силовской 2-подгруппы,
О'Нэн доказал следующую теорему [230].
Теорема 2.35. Если G—простая группа, силовская 2-подгруппа
которой изоморфна силовской 2-подгруппе из Alpln, n ^2, i = l
или 2, то п = 2 и справедливо одно из следующих утверждений:
(i) i=l и G^HS;
(ii) / = 2, G имеет лишь один сопряженный класс инволюций
и |G| = 29.34.5?.7M1.19-31.
Е. Четвертая группа Янко
Безусловно, читатель уже мог заметить, что некоторые из 11
групп, приведенных в таблице 2.1., являются группами &Р(2)-типа.
Как мы уже отмечали, такие группы играют важную роль в общей
теории простых групп. В последние годы было такое ощущение, что
группы (//г(2)-типа образуют именно тот «угол», в котором еще могут
прятаться некоторые пока не открытые спорадические группы.
Воодушевленный успехом с группами J2 и J3, Янко был вполне готов
к тому, чтобы уделить такому поиску значительное время и силы.
В какой-то момент дело обстояло даже таким образом, что казалось
вполне реальным найти целое семейство новых простых групп
2.4. Спорадические группы из централизаторов инволюций 101
G/7(2)-THna. Однако впоследствии оказалось, что возможность их
существования приводит к противоречию. После такого поворота
событий Янко сконцентрировал свое внимание главным образом на
случаях небольшой ширины, и его усилия в конечном счете были
вознаграждены открытием в 1976 г. группы /4 [191].
Примерно в это же время началась серьезная работа по
выяснению общего строения групп GF(2)-Tuua. Важный вклад был сделан
Ашбахером [14], [15]. Однако основной ударной силой стал Тиммес-
фельд, буквально взломавший проблему, в результате чего она
свелась к некоторому числу частных случаев [303]. Далее Стивен Смит
принял эстафету и завершил анализ оставшихся случаев [261] —
[263] (отдельные случаи были независимо разобраны Артуром Рей-
фартом [241] и другими). Впоследствии у нас еще будет возможность
более полно обсудить эту фундаментальную главу теории простых
групп. Позвольте мне здесь лишь отметить, что с закрытием этого
направления работы у большинства специалистов по конечным
группам возникло ощущение, что поиск спорадических групп
наконец-то подошел к своему завершению.
Сформулируем теперь основной результат Янко.
Теорема 2.36. Если G—простая группа, в которой
централизатор некоторой инволюции изоморфен (M22/(D8)6)-2, то G имеет
ровно два сопряженных класса инволюций и | G | = 221.33 • 5.7. II3-
.23-29.31.37.43.
Здесь М22 обозначает нерасщепляемое расширение группы М22
посредством Z3.
Янко определил, что централизатор инволюции из второго
класса должен быть нетривиальным расщепляемым расширением
элементарной группы Е порядка 211 с помощью Aut (M22). Кроме того,
он показал, что максимальная 2-локальная подгруппа, содержащая
этот централизатор, обязательно является расщепляемым
расширением Е с помощью М24. В частности, любая такая группа G должна
быть группой типа характеристики 2.
Саймон Нортон совместно с некоторыми из своих коллег в
Кембриджском университете доказал в 1980 г. существование и
единственность группы /4- Тем самым был сделан один из завершающих
шагов классификационного доказательства. Построение группы
J а будет описано в §2.7.
F. Группа Грисса—Фишера Fx и ее простые подгруппы
В 1974 г. Грисс в США и Фишер в ФРГ независимо пришли к
выводу о возможности существования простой группы,
централизатором инволюции в которой служит .накрывающая группа F2
для F2 с помощью Z2. Этот замечательный факт показывает, что
102
Гл. 2. Известные простые группы
поиск спорадических групп не был совсем уж случайным. В
такой группе G вероятный кандидат в централизаторы некоторого
элемента порядка 3 имел бы вид SuzAY, где Suz — накрывающая
с помощью Z2 спорадической группы Судзуки (описание
приводится в § 2.6), а X — экстраспециальная группа порядка З13, причем
расширение является 3-скованным. (Известно, что группа Suz имеет
точное 12-мерное модулярное представление над GF(3).) Изучая
централизатор в G инволюции, соответствующей некоторой
образующей центра Z(Suz), можно затем показать, что он, вероятно,
должен иметь вид .1/(Z)8)12. С помощью удивительного вычисления,
использующего формулу Томпсона для порядка (теорема 2.43),
Грисс нашел точный порядок такой группы G [149]. (Конвей и
Томпсон, у которых интерес к проблеме был пробужден исходной
работой Фишера, также получили соответствующее значение,
однако лишь в качестве возможной нижней границы для порядка
группы G.) Результат Грисса формулируется следующим образом.
Теорема 2.37. Пусть G—простая группа, содержащая
инволюции х, уt для которых Cxo=^F2 и Су^ A/(D8)12. Тогда G
содержит ровно два сопряженных класса инволюций и I G | = 246 • З20 ■ 59 •
.76.112-133-17-19-23.29.31-41.47.59-71.
Группу, удовлетворяющую указанным условиям, называют
группой типа Fb. С. Смит показал, что стрс ение первого
централизатора Сх следует из строения второго Су, так что группа типа Fx
может в действительности определяться лишь одним
централизатором .инволюции [261]. (Этот случай уже появился в качестве
исключительного в работе Тиммесфельда [303], которая будет
обсуждаться в дальнейшем.) Таким образом, справедлива
Теорема 2.38. Если G—простая группа, содержащая
инволюцию усСу^ .1/(D8)12, то G является группой типа Fv
Казалось, что доказательство существования группы типа Fi
должно быть очень сложным.-Ситуация здесь напоминала ту, кото-
рая была с группой /4. Лишь в 1980 г. Грисс получил нужное
доказательство. Этот результат, как и в случае Л, представлял собой
один из завершающих шагов классификации. Построение группы
типа Fi будет описано в § 2.9. Однако почти в самом начале Томпсон
смог показать, что группа типа Л должна обязательно содержать
элементы порядка 3 и 5, централизаторы которых будут иметь
прямые множители (соответственно индексов 3 и 5), являющиеся сами
по себе новыми простыми группами. Кроме того, им найдены
вероятные кандидаты в 'централизаторы инволюций этих групп —
соответственно AJ(Dey и (HS)-2. Мнемонические обозначения F3 и
F^ для упомянутых простых групп в настоящее время уже стали
2.4. Спорадические группы из централизаторов инволюций ЮЗ
стандартными. (Строение централизатора Сх элемента х (порядка 2)
в группе типа Fx также объясняет, почему было принято
обозначение F2 для группы Фишера, порожденной {3, 4}-транспозициями.
Аналогично, поскольку вся группа является централизатором
единичного элемента (порядка 1), обозначение Fx согласуется с
обозначениями F2i F3 и F5.)
Томпсон доказал существование и единственность F3 [295], а
для группы F5 соответствующий результат был установлен Харадой
и Нортоном [163]. В обоих случаях потребовались некоторые
вычисления на ЭВМ, которые были проделаны Питером Смитом в
Кембриджском университете. Однако, поскольку построение Грисса
группы Fi было проделано вручную, из него следует другое
доказательство существования Fs и F5 (а также группы F2) без
использования вычислений на компьютере. (Построение Грисса группы Fx
ничего не дает для вопроса о единственности F2f F3 и Fb9 но весьма
вероятно, что единственность простых групп каждого из этих трех
типов может быть получена без применения ЭВМ.)
В настоящем обсуждении мы ограничимся формулировками
следующих утверждений о группах F3 и F6.
Теорема 2.39. Если G—простая группа, в которой
централизатор некоторой инволюции изоморфен A9/(D8)4, то G имеет лишь
один сопряженный класс инволюций и \ G \ = 24 . З10 • 53.72 • 13 • 19 • 31.
Теорема 2.40. Если G — простая группа, в которой
централизатор некоторой инволюции изоморфен (HS)-2fmo G имеет два
сопряженных класса инволюций и | G | == 214-36'-5в-7-11 • 19.
Несколько слов о методе определения порядка группы G из
строения централизатора инволюции. На первом шаге 2-локальный
анализ позволяет получить точную картину сопряженности
инволюций группы G. Если G содержит более одного класса инволюций,
то следующий шаг состоит в определении точного строения
централизаторов инволюций из остальных классов. После этого для
вычисления порядка группы G можно непосредственно применить так
называемую «формулу порядка Томпсона». Эта формула
доказывается совершенно элементарным подсчетом и ее можно
рассматривать как уточнение классических результатов Брауэра и К. А. Фау-
лера [46] о свойствах инволюций в группах четного порядка. В
конечном итоге все упомянутые результаты опираются на следующее,
хотя и элементарное, но фундаментальное по своему значению
свойство инволюций.
Предложение 2.41. Если х и у—инволюции в группе G, то
<*, У>—диэдральная группа порядка 2\ху\.
Действительно, поскольку х, у — инволюции, то ух = у1х"1 =;
= (ху)"1 и поэтому х"1 (ху)х~ух=(ху)"1. Таким образом, х ин-
104
Гл. 2. Известные простые группы
вертирует ху (т. е. преобразует с помощыЪ сопряжения элемент ху
в его обратный), поэтому <х, */> = <#, ху>—диэдральная группа
указанного порядка.
Ради простоты мы приведем формулу Томпсона лишь для групп,
обладающих ровно двумя сопряженными классами инволюций. Нам
потребуется одно определение.
Определение 2.42. Пусть группа G имеет ровно два
сопряженных класса инволюций с представителями х и у. Для любой
инволюции z из G положим a(z) равным числу упорядоченных
пар (и, v) инволюций и, v$G, таких, что uf v сопряжены в G
соответственно с х, у, причем (uvy = z дая некоторого целого i.
Отметим, что так как <и, и> — диэдральная группа, то z
должна централизовать обе инволюции и, v для любой такой пары
(и, v). Следовательно, a (z) полностью определяется внутри С2
и может быть вычислено, если известна точная картина слияния
инволюций в G.
Теорема 2.43. Если группа G имеет ровно два сопряженных
класса инволюций с представителями х и у, то \G\ = a(y)\Cx\ +
+ а(х)\Су\.
Когда G содержит лишь один класс сопряженных инволюций,
процедура значительно усложняется. Прежде всего определяется
/^-локальное строение группы G (включая сопряженные классы
элементов порядка р) для множества «видимых» нечетных простых
чисел — а именно тех, которые делят порядок заданного
централизатора инволюции. Указанные действия используют 2-локальное
строение группы G вместе с полученными ранее
классификационными теоремами. (Такие теоремы обычно используются также при
описании возможной картины слияния инволюций в G и уточнении ее
2-локального строения.)
Располагая указанной информацией, теперь можно получить
сравнение для порядка группы G с помощью теоремы Силова и
результата Фробениуса [154, теорема 9.1.1] о числе решений
уравнения хп—\ в группе1). Однако на практике на этой стадии
приходится учитывать несколько возможных р-локальных строений. Если
для иллюстрации взять группу О'Нэна, то в принципе могло
встретиться два вида локального строения. В одном из них G имеет си-
ловские 7-подгруппы порядка 7 (случай I), а в другом — порядка
*) В своей книге [154, теорема 9.1.1] М. Холл доказывает следующий
слегка обобщенный вариант исходной теоремы Фробениуса: если
С—сопряженный класс элементов группы G, то для любого целого положительного п
число решений в G уравнения хп~с, с^С, всегда кратно наибольшему
общему делителю (| С \п, \G |) чисел | С \п и | G |*
2.4. Спорадические группы из централизаторов инволюций 105
Т4 (случай II) [230]. Соответственно О'Нэн получает
случай I: |G| = 29-34.5.7.m, где m=93955l (mod29.34-5.7); ,9 Q.
случай II: \<j | = 29.34-5.73-m, где m=6479(mod2°.34.5-73). {Z^>
m-
Для определения значения m необходимо обратиться к
«невидимым» простым числам, т. е. к простым числам, делящим т. Особенно
интересны те из них, которые представлены сильно вещественными
элементами — так называются элементы, инвертируемые какой-
нибудь инволюцией из G. Сильно вещественные элементы
распадаются на п непересекающихся множеств, соответствующих некоторым
абелевым подгруппам в G. С каждой из этих подгрупп можно
связать определенное число wt исключительных характеров группы G,
причем wt определяется из нормализатора соответствующей абеле-
вой подгруппы. Используя элементарную теорию характеров и
некоторый подсчет (включающий результат Брауэра и Фаулера [46]),
О'Нэн теперь был в состоянии доказать последовательно, что
:29- 5- 7(23+2>Л (2.10)
(23 — общее число сильно вещественных классов элементов
порядка 2, 3, 5 и 7),
я<5, (2.11)
01/<4б| * (2.12)
т< 4500000. (2.13)
Теперь в случае I из (2.9) имеются лишь три возможных
значения для т, удовлетворяющих (2.13), а именно m=939 551, 2 391 071
и 3 842 591=71 -54 121, причем два первых числа являются
простыми. Теорема Силова дает противоречие в первых двух случаях.
В третьем случае показывается, что п^2, откуда следует более
тонкая оценка т<2400000 — противоречие.
Следовательно, должен иметь место случай II. На этот раз
граница для т и сравнение (2.9) оставляют лишь одно решение т=
= 6479=1 Ы9-31, так что порядок группы G определен однозначно.
Для простоты мы будем говорить, что G является группой
типа—, если G содержит один из упомянутых ранее
централизаторов инволюций и, кроме того, обладает любым набором других
свойств, вытекающих из этого предположения (таких, как порядок,
локальное строение, таблица характеров). Таким образом, мы имеем
группы типа Ju 1^л^4, типа Не, типа Ly9 типа ON и типа Fif
* = 1, 2, 3 или 5.
Чтобы отличить группы типа /2 от групп типа J3, мы должны,
безусловно, включить условие о числе сопряженных классов
инволюций.
В указанной терминологии теорема 2.29 утверждает, что су*
ществует единственная простая группа типа J^
106
Гл. 2. Известные простые группы
2.5. ПОСТРОЕНИЕ СПОРАДИЧЕСКИХ ГРУПП НА ЭВМ
Займемся теперь вопросом "существования (и единственности)
каждой из 11 простых групп предыдущего параграфа: Ji, J2, Ja,
/4, Не, Ly, ON, Ff, F2, F3 и F5. Группа Л обсуждалась в § 2.3.
Кроме нее, а также групп J 2 и Ft, остальные 8 групп из списка
первоначально были построены с помощью быстродействующих ЭВМ.
Как отмечалось ранее, Гриссу удалось построить группу Ft
вручную. Поэтому доказательство существования групп F2, F3 и F5
(а также группы Не, которая возникает в качестве прямого
сомножителя централизатора подходящего элемента порядка 7 в Fx)
больше не нуждается в вычислениях на ЭВМ. (Весьма вероятно,
что их единственность также может быть получена без таких
вычислений.)
Поскольку J2 является группой перестановок ранга. 3, то в
основе ее строения лежит естественная геометрия, позволяющая
непосредственно вручную построить группу J2. На этом мы
остановимся в следующем параграфе. Из восьми спорадических групп
перестановок ранга 3 лишь группа Ru Арунаса Рудвалиса
потребовала некоторых вычислений на ЭВМ г).
С другой стороны, по-видимому, с группами J3 *), Л, Не, Ly
и ON не ассоциируется естественной геометрии, на основе которой
возможно было бы их построение. Кроме того, ввиду их размеров
необходимые для построения указанных групп вычисления слишком
объемны, чтобы их можно было проделать вручную (как, например,
с меньшей группой Л). Аналогичная трудность встречается также
с группой Ru, хотя она и обладает естественной геометрией. Поэтому
для ее построения была использованаиная процедура, в основе
которой лежат вычисления на ЭВМ.
Локальный анализ позволяет получить достаточно полную
информацию о локальном строении групп G всех указанных типов.
Используя затем теорию характеров,— главным образом (а)
теорему Брауэра, утверждающую, что любой неприводимый характер
группы G является Z-линейной комбинацией характеров,
индуцированных с так называемых «элементарных» 2) подгрупп [130,
теорема 4.7.1], и (Ь) теорию /7-блоков Брауэра для групп, порядок
которых делится на простое число р лишь в первой степени [39],—
можно вычислить существенную часть (а в отдельных случаях даже
полностью) таблицы характеров G. Таким образом, в
действительности мы задаем следующий вопрос: как построить (простую)
группу G по (а) ее локальному строению и (Ь) ее таблице характеров?
х) Недавно М. Мирман и Р. Вейс построили соответственно группы Ru и
/3 без использования ЭВМ.
2) В терминологии Брауэра элементарной, группой называется прямое
произведение произвольной р-группы на циклическую группу.
2.5. Построение спорадических групп на ЭВМ
107
Прежде всего мы должны проверить, не содержит ли наша
неизвестная группа G также некоторые нелокальные подгруппы. Каждая
из групп У2, ./з, Не, Ly, ON и Fb имеет такую нелокальную
подгруппу. Еще более важно то, что каждая из этих групп была
построена как группа перестановок на смежных классах по
соответствующей подгруппе. Однако, как именно можно догадаться, что наша
группа G содержит такую подгруппу,— например, что группа типа
Ly должна содержать подгруппу, изоморфную G2(5)? Мы знаем, что
G2(5) порождается двумя своими локальными подгруппами Л* и
В*. Предположим, что локальная информация о группе G типа
Ly говорит нам, что G должна содержать подгруппы Л и 5,
изоморфные соответственно группам Л* и В*. Разве после этого не
естественно предположить, что при удачном выборе подгрупп Л, В
будет иметь место изоморфизм <Л, S>^G2(5)?
При таких обстоятельствах одна весьма элегантная процедура,
известная как «трюк Брауэра», позволяет зачастую дать
утвердительный ответ на вопрос. Собственно говоря, эта процедура вместе
с вычислениями образующих и соотношений исчерпывает фактически
все известные методы доказательства существования нелокальных
подгрупп. Для пояснения сути трюка Брауэра предположим
сначала, что требуемая подгруппа Я в G существует. Тогда комплексное
представление, соответствующее перестановочному представлению
на смежных классах по Я, разлагается на неприводимые
составляющие. Пусть % — характер одной такой нетривиальной
составляющей. Тогда он является составляющей для (lH)G — характера группы
G, индуцированного с тривиального характера 1я группы Я.
Теперь в этой ситуации можно применить так называемую теорему
взаимности Фробениуса [130, теорема 4.4.5], из которой следует,
что \н должен быть составляющей ограничения %\н характера % на
группу Я. Именно последнее наблюдение лежит в основе
процедуры Брауэра.
Рассуждение начинается с наших подгрупп Л и В 6 G
(понятно, что преследуемые, цели позволяют предполагать
существование группы G). Из таблицы характеров G мы можем найти
подходящую кандидатуру для неприводимого характера %. Пусть
Э1 — ассоциированное с % представление группы G в (комплексном)
векторном пространстве V. Для каждой подгруппы Y в G
обозначим через VY подпространство в V, на котором 31 (Y) действует
тривиально, и пусть dY = 'dim(VY). Таким образом, dY совпадает
с кратностью вхождения \Y в %\Y. Целое число dY задается
следующим скалярным произведением:
1 ' xeY
Если мы обладаем достаточной информацией о подгруппе У и
таблице характеров группы G, то мы можем вычислить dr.
108 Гл. 2. Известные простые группы
Для применения* трюка Брауэра мы должны уметь вычислять
dA, dB и dc, где С = А ПВ. Поскольку С<ЛиС<В, тоУл<7с
и VB^VC. Подсчитывая размерности подпространств из Vc, мы
находим, что
dim (VA (]VB) + dc^dA + dB. (2.15)
Если вычисления дадут неравенство dA+dB>dc, то из (2.15)
можно будет сделать вывод, что VA П VB Ф 0. Именно в этом и
состоит цель метода Брауэра, поскольку отсюда непосредственно
следует, что Н = <А,В>—собственная подгруппа в G.
Действительно, так как Si (Я) действует тривиально на VA n VB Ф 0, а
Si—нетривиальное неприводимое представление G, то Si (Я) Ф Si(G)
и поэтому Н <G. (Безусловно, <Л, 5> может быть собственной
подгруппой в G, даже если dA + dB = dc, однако при этом мы не
можем воспользоваться трюком Брауэра для проверки требуемого
факта.)
Заключительный шаг нуждается в идентификации подгруппы Я.
Обычно результат здесь достигается привлечением некоторых
полученных ранее классификационных теорем. Так, в случае группы G
типа Ly Лайенс смог доказать [206], используя подгруппы А и В
вместе с уже полученной информацией о G, что Я имеет лишь один
класс инволюций, причем централизатор инволюции в Я изоморфен
централизатору инволюции в группе G2(5) (последний содержит
подгруппу индекса 2, изоморфную SL(2,5)*SL(2,5)). Теперь он мог
воспользоваться теоремой Поля Фонга и Уоррена Уонга [103] для
доказательства изоморфизма Ho*G2(5)-
С использованием процедуры Брауэра были получены
следующие результаты. (Здесь 7W(24) обозначает наибольшую из групп
Фишера М(22), М(23) и М(24), порожденных 3-транспозициями. О них
пойдет речь в § 2.6 и 2.8.)
Предложение 2.44. Если G—группа типа /2, Не, Ly, ON
или М(24)', то она содержит подгруппу, изоморфную
соответственно U3(3), 5/7(4,4)*, G2(5), L3(7)* или Не.
Здесь S/?(4,4)* й L3(7)* обозначают соответственно
расщепляемое расширение группы S/?(4,4) с помощью полевого автоморфизма
порядка 2 и группы L3(7) с помощью автоморфизма порядка 2,
задаваемого транспонированием и обращением матриц.
С другой стороны, метод образующих и соотношений позволил
доказать следующие результаты.
Предложение 2.45. Если G—группа типа J3 или Fb, то она
содержит подгруппу, изоморфную соответственно SL(2, 16)* или
А12.
2.5. Построение спорадических групп на ЭВМ
109
Здесь SL(2,16)* обозначает расщепляемое расширение группы
SL(2,16) с помощью полевого автоморфизма порядка 2.
Существование такой подгруппы в группе J3 доказал Томпсон (см. [171]).
Построившие группу J3 (а также Не) Г. Хигмэн и Маккэй [171],
[216], используя теорию характеров и вычисления на ЭВМ, смогли
лишь привести веские аргументы в пользу того, что группа типа
J3 должна содержать указанную подгруппу, однако не показали
ее действительного существования. С другой стороны, Хараде
удалось доказать существование подгруппы, изоморфной Ац, в группе
типа F5 почти непосредственно из внутренних свойств такой группы
[163].
Поскольку группы Фишера М(22), М(23), М(24) и Fi строятся
как группы перестановок на смежных классах по централизатору
инволюции из выделенного сопряженного класса, то при анализе
указанных случаев не возникает вопроса о существовании
нелокальных подгрупп.
Построение Маккэя — Хигмэна группы J3 производилось более
или менее прямым перечислением смежных классов, приводящим
к заданию группы образующими и соотношениями. Указанный
метод весьма эффективен для групп перестановок не слишком высоких
степеней (например, группа J3 имеет степень 6156 на смежных
классах по подгруппе, изоморфной SL(2,16)*). Однако для построения
групп перестановок большой степени необходимы более сложные
вычислительные методы (ON имеет степень 122 760, Ly имеет
степень примерно 9 миллионов, а ?2 — примерно 13 миллиардов).
В ходе построения групп Ly, ON и F2 (третья из которых была
построена совместно с Джеффри Леоном) Симе постепенно
выработал общий метод построения на ЭВМ групп перестановок больших
степеней ([202], [255], [256]). Чтобы оценить встречающиеся
технические трудности, отметим тот факт, что современная ЭВМ может
хранить в своей памяти лишь одну перестановку множества 1, 2,
..., N,- где N лежит в промежутке от 150 000 до 200 000.
Используя устройства внешней памяти, можно работать со значительно
большей информацией, однако доступ к таким устройствам
происходит сравнительно медленно. Следовательно, хотя перемножить
две такие перестановки достаточно легко, но соответствующая
программа может быть весьма хитрой. Понятно, что многократное
выполнение таких умножений, безусловно, необходимое для
построения требуемой группы G, нуждается в создании ряда весьма
эффективных алгоритмов. Последние в свою очередь требуют не
только глубокого понимания теории конечных групп и
программирования, но и чрезвычайной проницательности в совокупности с
богатым воображением.
Чтобы начать построение, Симсу необходимо иметь точное
описание представления предполагаемого стабилизатора точки Я на
множестве своих смежных классов. Например, О'Нэн предоставил
110 Гл. 1 Известные ПрбстЫе группы
необходимую информацию о своей группе, доказав следующий
результат, опирающийся на анализ таблицы характеров и
сопряженных классов элементов группы типа ON.
Предложение 2.46. Если G—группа типа ON и
Я—подгруппа в G, изоморфная L3(7)* и построенная в предложении 2.44, то
(i) \G:H| = 122 760 и представление группы G на смежных
классах по Я имеет ранг 5;
(и) нетривиальные орбиты Af, l^f^4, группы Я на
множестве смежных по ней классов имеют соответственно длины
6384, 5586, 58 653 и 52 136;
(iii) если а{ — некоторая точка из А,- и Н-ь—подгруппа в Я,
стабилизирующая ah 1^**^4, то справедливы следующие
утверждения:
(1) Н1 — полупрямое произведение группы Z7xZ7 на Z3xZ2xZ2\
(2) H2 = CH(t)g±Z2xPGL(2, 7), где t£3(H)-3(H');
(3) Я3—силовская 2-подгруппа в Я;
(4) tf4^Z3x24.
Приведенная информация описывает требуемое действие Я на
множестве смежных классов по ней. (Отметим, что группа G типа
ON содержит еще один сопряженный класс подгрупп Я*==Ь3(7)*.
Если мы рассмотрим представление G на смежных классах по Я*,
то получим похожее, но не идентичное описание действия группы
Я*.)
Таким образом, Симе начал построение с группы Я, семейства
подгрупп Н=Н0, Яь . . ., Нп в Я й множеств смежных классов
Ai=H/Hi группы Я по подгруппам Ни О^'^п. Затем он
рассмотрел множество
Q = U А,. (2.16)
Следует подчеркнуть, что указанная формулировка задачи
построения является конечным продуктом той стадии анализа, на
которой происходит накопление фактов в пользу существования
соответствующей группы. Поэтому такую формулировку можно дать
лишь после того, как из таблицы характеров будет найдено
конкретное перестановочное представление, которое должна иметь любая
группа G исследуемого типа. Кроме того, описание таблицы
характеров такой группы G опирается в свою очередь на информацию о
ее сопряженных классах и локальном строении. Наконец, если
стабилизатор точки заданного перестановочного представления
является нелокальной подгруппой в G, то он также нуждается в
предварительном построении.
После выполнения всех упомянутых действий доказательство
существования группы G заданного типа' сводится к построению
2.5. Построение спорадических групп на ЭВМ 111
транзитивной группы перестановок G на О, с подгруппой Н в
качестве стабилизатора точки и с указанным действием Н на Q.
(Подгруппы Hi образуют в точности множество всех двухточечных
стабилизаторов в G на соответствующих орбитах группы Я.)
Вычисления на ЭВМ имеют четыре основные компоненты.
A. Алгоритмы для определения порядка группы, порожденной
заданным множеством перестановок.
B. Методы задания перестановок на больших множествах.
C. Методы проверки соотношений, которым удовлетворяют
перестановки, заданные в п. В.
D. Методы ad hoc для нахождения подходящих перестановок,
порождающих изучаемую группу.
Пусть X—некоторое семейство перестановок на множестве Q.
В пункте А нас интересуют алгоритмы для определения порядка
группы G, порожденной множеством X. Пусть agfi и А — орбита
элемента а относительно действия группы G. Информация о
семействе X позволяет легко найти элементы из А. Пусть Ха—
подмножество в X, состоящее из тех перестановок, которые
фиксируют элемент а\ положим #Л = <Ха>. Очевидно, что #a<Ga,
где Ga—стабилизатор в G элемента а. Далее делается попытка
либо установить равенство Ha=Ga, либо построить элемент у£
$Ga—На. В последнем случае семейство X заменяется на Х[){у}
и весь процесс повторяется.
Имеются две процедуры, обеспечивающие выполнение указанных
действий.
Метод Шрейера. Для каждого 6gA выберем некоторый
элемент и (Ь) группы G, переводящий а в Ь. Для любых Ъ g А и х g X
определим элемент
у(Ь,х) = и(Ь)х(и(Щ-\
где Ь* обозначает образ Ь при действии х.
Предложение 2.47. Ha — Ga тогда и только тогда, когда
у (&, х) g На для всех Ь £ А и х g X.
Метод Шрейера — Тодда — Кокстера. Возьмем некоторое
множество соотношений,, которым удовлетворяют элементы из X,
и обозначим через G* абстрактную группу, порожденную
множеством X относительно этих соотношений. Пусть Н* — подгруппа
в G*, порожденная подмножеством Ха.
Предложение 2.48. Если |G*:#*| = |A|, то Ga = Ha.
Вычисление значения |G*:#*| проводится стандартными
методами так называемого «перечисления смежных классов». Если
здесь не удается показать, что |0*:Я*| = |Д|, то можно найти
112
Гл. 2. Известные простые группы
элементы у\, yl£G*, такие, что Н*у\ и Н*у1— различные
смежные классы группы G*, однако если yv y2—соответствующие
элементы из G, то смежные классы Gayt и Gay2 совпадают.
Рассмотрим элемент у = ухУъх, так что y£Ga. Если у не принадлежит
ЯЛ, то выражаем у в виде произведения элементов из X и
добавляем это слово в качестве нового соотношения.
При этом обычно предполагается, что ранее уже было получено
представление группы На в терминах порождающего множества Ха.
Теперь относительно пункта В. Существуют два метода задания
перестановок большого множества Q так, чтобы с ними можно было
эффективно работать на ЭВМ. В одном из них рассматривается, как
и выше, группа Я с подгруппами Ни а также определенное в (2.16)
множество смежных классов £2= и А*. Если К — некоторая
подгруппа в Я, то мы в состоянии определить орбиты К на Q в случае
\Н: К\^200 000. В действительности орбиты группы К на А^
находятся во взаимно однозначном соответствии с орбитами Ht
на множестве смежных классов группы Я по /С. В этом состоит один
метод.
Предположим далее, что мы определили группу перестановок
К на множестве Q и знаем ее орбиты Гь Г2,, , ., Гя на £2. Допустим
теперь, что заданы точки аи bt g Tu l^^m, перестановка п
множества {1, 2, ..., пг} и автоморфизм а группы К (как абстрактной
группы),* удовлетворяющие следующему условию для любого i,
(V=/W <2Л7>
Здесь Кс обозначает, как обычно, стабилизатор в К элемента с g
gfi. Итак, о переставляет стабилизаторы точек вполне
определенным образом.
Предложение 2.49. При условии (2.17) существует
единственная перестановка z множества Q, такая, что
(i) z нормализует К и посредством сопряжения индуцирует
заданный автоморфизм а группы К;
(И) (at)z^bn{i)y l<i<m.
Например, Леон и Симе [202] построили F2, начиная с подгруппы
Я^Аи1;(М(22)), которая, как они ролагали, является подгруппой
в (2£в(2))-2— централизаторе инволюции из группы типа F2.
(Их построение показало, что М(22) в самом деле является
подгруппой в 2Ев (2).) Затем они определили приблизительно 40 подгрупп
Ht в Я примерно тем же способом, как это было описано выше для
группы типа ON. Далее из Я и ее подгрупп Ht строилось
аналогично (2.16) множество смежных классов Q, причем его мощность
оказалась примерно равной 13-109. Теперь на роль К выбирались две
подгруппы, а именно Ki=H и подгруппа Кг в Я индекса примерно
2.5. Построение спорадических групп на ЭВМ
113
145 000. После этого описанный выше метод дал возможность
построить две перестановки zu z2 множества Й, связанные
соответственно с подгруппами Ки К2, причем zt централизует Kt, 1^л<2.
В конечном счете Леон и Симе показали, что группа <Я, zlf z2>
имеет нужный порядок.
Рассмотрим теперь пункт С. Чтобы использовать метод Шрейера—
Тодда — Кокстера для нахождения порядка группы, порожденной
некоторым множеством перестановок из пункта В, необходимо уметь.
проверять соотношения между ними. Возьмем в качестве примера
группу типа F2. Пусть в. алфавите, состоящем из ги z2 и элементов
группы Я, имеется слово до, которое нам хотелось бы отождествить
с единичным элементом группы G. Поскольку гг и z2 централизуют
К2, то мы можем определить с помощью элементов группы Я,
входящих в слово до, подгруппу /Со</С2, централизующую до.
Предполагая, что индекс \К2 : К0\ не слишком велик, можно найти
представителей для каждой из орбит группы К0 в Q. Поскольку до
централизует Ко, то для доказательства равенства w=\ достаточно
показать, что до оставляет на месте каждый из этих представителей.
Наконец, рассмотрим пункт D. Какие действия необходимо
предпринять, ?тобы подходящим образом выбрать окончательные
образующие группы G? Поскольку работа начинается с подгруппы
Я в G, предполагаемой известной, мы имеем, в частности,
множество образующих для Я (вместе с соотношениями), так что речь идет
лишь о дополнительных образующих. В случае типа F2 группа G
по определению порождена некоторым сопряженным классом
инволюций, обладающим весьма специальными свойствами. Поэтому
многие соотношения уже были известны заранее, что в
значительной степени повлияло на определение перестановок гх и z2. С
другой стороны, при построении групп Ьу и ON потребовался ряд
проб и ошибок.
В случае группы G типа ON для упрощения вычислений Симе
предполагал, что G допускает внешний автоморфизм а периода 2,
а затем построил расширенную группу G<a>. Следовательно,
Симе доказал существование и единственность простой группы типа
ON, допускающей автоморфизм периода 2. Впоследствии его
ученик Стивен Андрилли в своей диссертации [6] перенес анализ Сим-
са на общий случай (т. е. без предположения о существовании
автоморфизмов) и тем самым доказал существование и единственность
простой группы типа ON.
Как отмечалось ранее, первоначальное построение F3 и F5
также использовало вычисления на ЭВМ. Томпсон построил F3>
исходя из некоторой 248-мерной евклидовой решетки,
ассоциированной с комплексной группой Ли Е8 (которая допускает
представление указанной степени). Мы обсудим анализ Томпсона в § 2.9
вместе с группами Конвея и решеткой Лича.
Дотя F$ и не является группой перестановок ранга 3, ее исход-
114
Гл. 2. Известные простые группы
ное построение проводилось тем же общим методом, которым Конвей
и Дэвид Уэлс пользовались при построении группы Ru (см. § 2.6).
Их построение начиналось с некоторого 28-мерного
комплексного представления, а группа F5 была построена, исходя из 133-
мерного комплексного представления. Сам процесс построения был
проделан Нортоном на основе теоретико-групповой информации,
предоставленной Харадой. Необходимые вычисления на ЭВМ для
группы Ru выполнили Маккэй и К. Ландауэр, а для группы Fb —
П. Смит. Вот и все, что нам хотелось бы сказать о построении
группы F5.
Суммируя результаты настоящего параграфа (и опуская
группы У2, ^з» ^i и %и> ° которых пойдет речь ниже), мы получаем
следующую теорему.
Теорема 2.50. Существует единственная (простая) группа
каждого из следующих типов: /3, Не, Ly, ON и F2.
2.6. СПОРАДИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ГРУППЫ ПЕРЕСТАНОВОК
РАНГА 3
Известно, что классические группы имеют представления в виде
групп перестановок ранга 3: линейные группы действуют на
множестве прямых проективного пространства, симплектические и
унитарные группы действуют на множестве «абсолютных точек», а
ортогональные группы —, на множестве «сингулярных точек».
Понятно, что указанные представления классических групп связаны
с их строением как групп типа Ли, поскольку в каждом случае
одноточечные стабилизаторы совпадают с параболическими
подгруппами. Группа Е6 также имеет похожее представление ранга 3 на
смежных классах по подходящей параболической подгруппе.
Аналогично любая 4-транзитивная группа обладает таким
представлением, если рассматривать ее как группу перестановок на
множестве всех неупорядоченных пар различных символов. Последнее
замечание, следовательно, применимо к знакопеременным,
симметрическим группам и группам Матье. Кроме того, Гельмут Виланд
показал, что любая примитивная группа степени 2р, р — простое
число, либо является дважды транзитивной, либо имеет ранг 3
[319], [320].
Таким образом, указанные выше примитивные группы ранга 3
образуют важный класс групп перестановок, изучавшийся сначала
Виландом, а затем в 1960-х г. Дональдом Хигмэном [167]. Вплоть
до появления на сцене группы Янко /at 188] эти исследования не
позволяли найти новых простых групп. Однако с открытием J2
быстро последовало построение еще четырех примитивных групп
перестановок ранга 3: группы Маклафлина Мс, группы Хигмэна—
Симса HS, (спорадической) группы Судзуки $иг и группы Рудва-
2.6. Спорадические группы и группы перестановок ранга 3 115
лиса Ru. Кроме того, каждая из первых трех спорадических групп
Фишера М(22), М(23), М(24), которые возникли из его анализа
групп, порожденных сопряженным классом «3-транспозиций» (см.
§ 2.8), была построена, исходя из перестановочного представления
ранга 3.
Таблица 2.2. содержит список соответствующих групп, каждая
из которых указана вместе со стабилизатором точки, степенью (чис-
Таблица 2.2. Спорадические группы ранга 3
Группа
/«
HS
Мс
Suz
Ru
М(22)
Af(23)
М(24)
М(24)'
Стабилизатор точки
U3(3)
м22
UA(3)
Oi(4)
2/ч (2)
У.(2)
Ж (22)
Z2XiW(23)
М(23)
Степень
100
100
275
1782
4 060
3510
31 671
306 936
306 936
Подстепени
36
22
112
416
1755
693
3 510
31 671
31671
63
77
162
1365
2 304
2816
28 160
275 264
275 264
лом смежных классов по стабилизатору точки) и подспгепенями,
т. е. размерами обеих нетривиальных орбит стабилизатора точки.
Группа М(24) не проста, однако она содержит простую
подгруппу Л1(24)' индекса 2; пересечение стабилизатора точки с Л4(24)'
совпадает с М(23).
Изучение групп ранга 3 проводилось сначала в терминах
ассоциированной комбинаторной блок-схемы и соответствующих матриц
инцидентности. Общая теория здесь была построена Д. Хигмэном,
охарактеризовавшим с этих позиций некоторые из классических
групп. Именно на этом пути М. Холл и Уэлс [155] впервые
построили группу /2. Однако такая точка зрения в основном была
вытеснена использованием естественного графа, ассоциированного с
любой транзитивной группой перестановок. Последнее понятие
впервые ввел и применил в исследованиях Симе [254].
Определение 2.51. Пусть G— транзитивная группа
перестановок на множестве Q. Для любого a£Q пусть Ga—стабилизатор
точки а в G и А (а)— одна из орбит группы Ga на множестве
Q—{а}, выбранная так, что если Ь = а8 для a, b£Q и g^G, то
А (Ь) = (А {а)у. Другими словами, начиная с фиксированного
элемента а^йй фиксированной орбиты А (а), мы рассматриваем все
образы пары (а, А (а)) относительно действия группы G.
Определим теперь ориентированный граф Г следующим
образом. Вершинами Г служат элементы из Q, так что |Г| = |£2|. По
ш
Гл. 2. Известные простые группы
определению вершина а^Т соединена в графе Г ребром с
вершиной b£T тогда и только тогда, когда b£A(a).
Из определения ясно, что действие группы G на Й индуцирует
транзитивное действие G на вершинах графа Г, преобразующее
ребра в ребра. Скажем, что G является (транзитивной) группой
автоморфизмов графа Г. Определим Aut(r) как группу всех
перестановок вершин графа Г, сохраняющих ребра.
Все обстоит замечательно, если мы с самого начала имеем
транзитивную группу перестановок G. Однако наша проблема состоит
скорее в построении такой группы G, исходя из ожидаемого
стабилизатора точки Я группы G на Q и перестановочного представления
группы Я на Q—{а}. Такая группа G называется транзитивным
расширением группы Я. Обычно на группу G мы налагаем
дополнительные внутренние ограничения. В предыдущем параграфе мы
видели, насколько трудным может быть такое построение. Поэтому
весьма вероятно, что процесс можно упростить, если преобразовать
задачу в построение графа, обладающего транзитивной группой
автоморфизмов. Дело обстоит именно так в случае, когда
предполагаемая группа имеет ранг 3. Здесь кроме точки а и орбиты
А (а) имеется еще ровно одна дополнительная орбита Ф(а).
Внутренняя информация позволяет увидеть, какие точки из А (а) и Ф(а),
а также какие пары точек соответственно из Д (а) и Ф (а) следует
соединить ребром, чтобы получившийся в результате граф
допускал автоморфизм, сдвигающий точку а (последнее необходимо для
транзитивности). Для всех рассматриваемых групп ранга 3, кроме
группы Рудвалиса, удалось вручную провести построение
подходящего графа вместе с доказательством транзитивности его группы
автоморфизмов.
Например, Хигмэн и Симе начали построение с системы троек
Штейнера S(3, 6, 22), ассоциированной с М22, и взяли в качестве
множества вершин своего графа Г множество
{*}UQllA,
где * обозначает новый символ, Q — множество из 22 точек
системы S (3, 6, 22), а Л — совокупность ее 77 шестерок. Для
определения Г соединим * с каждой точкой из Й, соединим каждую
точку из Й с теми шестерками из Л, которые ее содержат, а так
же соединим две шестерки из Л, если они не пересекаются.
Хигмэн и Симе доказали, что Aut (Г) — транзитивная группа,
содержащая в качестве подгруппы индекса 2 простую группу
порядка 44 352 000 — новую спорадическую группу [169]. Они
произвели свое построение всего за 24 часа, прошедших после
прочитанной в Оксфорде лекции М. Холла о группе J2\
Безусловно, совсем не очевидно, что Г допускает автоморфизм,
сдвигающий *. Однако имеется более геометрическое описание си-
2.6. Спорадические группы и группы перестановок ранга 3 117
стемы Штейнера S=S (3, 6, 22), в котором существование такого
автоморфизма становится совершенно ясным.
Действительно, выберем какую-нибудь точку из Й и
обозначим ее через оо. Тогда M21(^L3(4)) является стабилизатором в
М22 элемента оо. Поэтому остальные 21 = 42 + 4+1 точки из
Q—{оо} можно отождествить с проективной плоскостью 3* = 5>2(4)
над G/7(4) таким образом, что M2i будет действовать на 5*.
Группа М21 имеет две орбиты Лх и Л2 относительно своего
действия на Л, причем |Лг| = 21 и | Ла | = 56. В терминах
проективной плоскости 3* имеется следующее описание множеств Лх иЛ2:
(a) Если В£Аи то B = {oo}\jL, где L состоит из пяти точек
некоторой прямой проективной плоскости 3s. (Заметим, что 3s
содержит ровно 21 различную прямую.)
(b) Если figA2, то В состоит из шести точек плоскости 3s %
никакие три из которых не лежат на одной прямой.
В действительности имеется 3-56 = 168 множеств, состоящих
из шести точек плоскости 5*, никакие три из которых не лежат
на одной прямой, причем полная проективная группа PGL (3,4)
в своем естественном действии на 9* транзитивно переставляет все
168 шестерок указанного множества 6. Однако «малая»
проективная группа L3(4) имеет на 6 три орбиты 619 62f <33 и А2~6(&ля
некоторого i, 1 ^ i ^ 3.
Теперь автоморфизм а группы PGL (3,4), индуцированный
транспонированием и обращением матриц, сможет быть
реализован как полярность плоскости 3*, т. е. как взаимно однозначное
преобразование периода 2 точек в прямые, а прямых в точки,
сохраняющее отношение инцидентности. В рассматриваемом
частном случае справедлив тот замечательный факт, что а индуцирует
перестановку множества 6 (которую мы обозначим тем же
символом а). В самом деле, а преобразует любое С б б в 6 прямых
плоскости 3* (никакие три из которых не имеют общей точки),
попарно пересекающихся ровно в 15 точках. Дополнительное
множество D из 6 точек плоскости «3* обладает тем свойством,
что никакие три его точки не лежат на одной прямой, поэтому
Dg(3. Положим теперь
a(C) = Z>.
Нормализуя группу L3 (4), а переставляет между собой орбиты
01, б2» бз- Так как а имеет период 2, то по крайней мере одна
орбита 6i должна быть a-инвариантной. Таким образом, без
ограничения общности можно предполагать, что Л2 инвариантна
относительно а.
Кроме того, указанная выше полярность а индуцирует
перестановку множества ^UA1 = (Q—{оо})иЛ1, меняющую местами
подмножества Q—{оо} и Аг (эту перестановку мы вновь
обозначим через а). Действительно, если а переставляет точку а&З*^
lid
Гл. 2. Известные простые группы
=;Q—{00} и прямую L плоскости 53, то положим
a(a) = {oo}\jL и а ({оо} \jL) = a.
Таким образом, а определено на 98 точках (Q — {оо})иЛ графа Г.
Продолжим а до преобразования всего Г, полагая
а (*) = оо и а (оо) = *.
Теперь легко проверить непосредственно, что а сохраняет
отношение инцидентности графа и поэтому является автоморфизмом
графа Г, сдвигающим точку *.
Судзуки описал прекрасную конструкцию последовательности
графов, которая позволяет получить большие группы перестановок
ранга 3 из меньших. Его последовательность начинается с группы
24 и завершается спорадической группой Судзуки, выдавая по
ходу дела группу У2 [281].
Пусть Н — транзитивная группа перестановок и Г0 — ее
ассоциированный граф. Построим граф Г с вершинами
{*}иг0ил,
где * — новый символ, а Л обозначает множество инволюций из Я.
Соединим * с каждой точкой из Г0; соединим две точки из Г0, если
они соединены как точки в графе группы Н\ соединим точку а из
Г0 с инволюцией Ь .из Л, если Ь принадлежит На — стабилизатору
а в Я; наконец, соединим две инволюции a, b g Л, если а и Ъ не
коммутируют, однако имеется третья инволюция с£ Л,
коммутирующая с каждой из них.
Начиная с группы 24 и ее естественного графа Г0 на четырех
точках без ребер, мы получаем граф Гх порядка 14 с Aut (Гх)^
9*PGL(2J). Если повторить процесс е Н ^PGL(2, 7) и Тг в роли
Г0, то получим граф Г2 порядка 36 с Aut (Г2) ^G2(2). Продолжая
процесс насколько это возможно, мы получим графы и группы
автоморфизмов, указанные в таблице 2.3 (заключительная конст-
Таблица 2.3. Последовательность Судзуки
у Граф Порядок Группа автоморфизмов
Г3 100 Aut (J2)
l\ 416 Aut(G2(4)) •
Г5 1 782 Aut (Suz)
рукция, ведущая к Aut (Suz), требует некоторой модификации —
вместо инволюций множество Л состоит из подходящих четверных
подгрупп в Н).
К сожалению, указанный процесс прекращается, если попытаться
повторить его с группой Aut(Suz) в роли Я и графом Г5 в роли Г0.
2.7. Группа Янко J\
119
Отметим также, что Ji и Suz имеют индекс 2 в своих группах
автоморфизмов.
Маклафлин построил свой граф и группу по такой же схеме
[220]. Однако построение Конвея и Уэлса группы Рудвалиса
потребовало большей изворотливости [71]. Грисс показал, что если
группа Ru существует, то она должна иметь нетривиальную
накрывающую Ru с помощью Z2. Рудвалис привел веские доводы в пользу
того, что Ru должна иметь 28-мерное комплексное представление
[244], а затем Фейт доказал, что если Ru существует, то Ru
действительно будет иметь представление такой степени. Конвей и Уэлс
исходили из указанного предполагаемого представления, а их
рассуждение включало в себя описание множества из 4060 четверок
векторов (v, iv, —v, —iv) в комплексном 28-мерном пространстве,
группа автоморфизмов которого является транзитивной группой
ранга 3 как группа перестановок на этих 4060 четверках. Кроме
того, стабилизатор четверки совпадает с расширением группы
2/74 (2) посредством Z2. Тем самым они построили Ru. Группу Ru (т. е.
факторгруппу Ru по ее центру) можно рассматривать как группу
перестановок соответствующих 4060 одномерных подпространств.
Что касается групп Фишера, то их граф тесно связан с
определяющим их сопряженным классом инволюций. Об этом пойдет речь
в § 2.8.
Итак, относительно существования все ясно. А что можно
сказать о вопросе единственности упомянутых выше групп?
Поскольку каждая из них определяется с помощью группы автоморфизмов
некоторого графа, то вопрос, очевидно, сводится к единственности
соответствующего графа. Указанное заранее действие
стабилизатора точки Н на каждой орбите является настолько сильным
ограничением, что в каждом случае остается лишь одна возможность для
графа транзитивного расширения группы Я, в котором Я имеет
предписанное действие. Наконец, задавая группы типа HS, Мс,
Suz и Ru условиями таблицы 2.2, мы можем подвести
следующий итог. -
Теорема 2.52. Существует единственная (простая) группа
каждого из типов J^t HS, Мс, Suz и Ru.
2.7. Группа Янко /4
Как отмечалось в § 2:6, вопрос о существовании и
единственности группы /4 оставался открытым до 1980 г,— на протяжении
четырех лет после того, как Янко высказал первые соображения в
пользу существования этой спорадической группы. Главным
архитектором построения был Нортон [224], однако он сам отмечает
120
Гл. 2. Известные простые группы
помощь, оказанную ему некоторыми математиками из
Кембриджского университета: Д. Бенсоном, Конвеем, Р. Паркером и Дж. Так-
рейем. Кроме того, Томпсон сделал ряд важных наблюдений,
положенных в дальнейшем в основу построения, так что в определенном
смысле деятельность, связанная с группой /4, может
рассматриваться как коллективная работа.
Ранее уже говорилось о том, что если G—группа типа /4, то
по определению централизатор Н некоторой 2-центральной
инволюции z из G имеет подгруппу индекса 2 вида M22/(D8)6 (M2$
обозначает тройное накрытие группы М22). Янко также показал, что
такая группа G должна содержать максимальную 2-локальную
подгруппу М вида ЕК, где Е—элементарная группа порядка 211 и К^
^М24. Можно взять инволюцию z из группы Е. Тогда Н П М=Е1, где
I ^fljE^ и 26 — тройное накрытие группы 26, причем Е(]1=\.
Поскольку М максимальна, то G = <#, М>. В конечном счете
группа /4 была построена как подгруппа в GL (112,2),
порожденная двумя группами вида Я и Af, пересечение которых имеет
вид EI.
Поясним вкратце последовательность действий. Используя всю
информацию, которую предоставил Янко, Нортон сначала
восстановил (однозначно) полную таблицу характеров группы G.
Минимальная степень нетривиального неприводимого характера
равнялась 1333, а значения характера включали в себя иррациональные
числа вида Y—7. Построить на ЭВМ группу /4 как подгруппу^в
GL( 1333, С) не представлялось возможным. В этот момент Томпсон
обратил внимание на 2-модулярные представления группы G и на
основе своих вычислений предположил, что такая группа G должна
иметь С/7(2)-представление степени 112. Таким образом, казалась
разумной попытка построить /4 как подгруппу в GL (V) для 112-
мерного векторного пространства V над GF(2).
Другие предполагаемые свойства этого представления группы
G указывали направление для проведения построения.
Действительно, оказалось, что в своем действии на V группа М оставляет
инвариантным 12-мерное пространство W и 1-мерное
подпространство <и> из W. Кроме того, образы векторов u/\w, w£W во
внешнем произведении V/\V размерности 6216 над GF(2)
(определение см. в § 1.4) относительно действия G=<#, М> порождают
подпространство X размерности 4995. Таким образом, G должна
была содержаться в полном стабилизаторе G*<.GL(V)
подпространства X, т. е. в множестве всех элементов из GL(V), относительно
которых инвариантно подпространство X ъ Y/\V. Кроме того,
казалось весьма вероятным, что в действительности G * должна была
совпадать с G.
Сказанное выше предлагает следующую процедуру для
построения группы Л-
17. Группа Янко /4 121
1. Начать с подходящего 112-мерного С/7(2)-представления V
группы М (в частности, подпространства <w>czl^ размерностей
1 и 12 должны быть инварианты относительно М).
2. Воспользоваться шагом 1 для описания М-инвариантного
подпространства X в V/\V размерности 4995.
Теперь определяем G* как полный стабилизатор в GL(V)
подпространства X и анализируем строение этой группы. Цель —
доказать следующий факт.
3. Для подходящей инволюции z из Е(^М) имеет меето
изоморфизм CG* (г)^#.
После доказательства шага 3 мы получаем, что G* является в
действительности группой типа JA. (Кроме того, отождествление
CG* (z) с Н дает нам, как и выше, что G* = (#, М) с Н [)М=Е1.)
Тем самым доказывается существование группы типа /4- Как и
ожидалось, проверка шага 3 потребовала значительных по объему
вычислений на ЭВМ.
Предыдущее рассуждение доказывает лишь существование
единственной простой группы типа /4, являющейся подгруппой GL(l 12,2).
Поскольку мы не знаем, должна ли произвольная группа G типа
/4 иметь точное неприводимое С/7(2)-представление размерности
112, то в значительной степени вопрос единственности пока
оставался открытым. Для достижения полного решения Нортон
перешел к известному 1333-мерному неприводимому комплексному
представлению группы G, следуя процедуре, которую использовал ранее
Томпсон для доказательства единственности группы типа Fl9
допускающей неприводимое представление степени 196 883 [297].
Соответствующее рассуждение основано на порождении группы G
двумя подгруппами, пересечение которых имеет в одной из них
небольшой индекс. Указанные выше подгруппы Яи Мне
удовлетворяют этому требованию, поэтому Нортон должен был перейти
к другой паре порождающих подгрупп К и Ny существование
которых было известно из предыдущей работы Янко (в действительности
можно взять N^.M):
K^L6 (2)/£,i.f N ^ (L4 (2)/£16)/£2n.
Указанные подгруппы обладают следующим ключевым свойством:
\N:K()N\ = 2.
(Отметим, что из последнего условия вытекает нормальность K()N
в N.)
Идея состоит в следующем. Пусть V обозначает теперь 1333-мер*
ное комплексное пространство, на котором G действует как группа
линейных преобразований. Прежде всего доказывается, что
ограничение действия G на обе подгруппы К и N является однозначно
122 Гл. 2. Известные простые группы
определенным (приводимым) представлением соответственно групп
К и N. На самом деле представление К разлагается в сумму 465-
и 868-мерных неприводимых представлений, а соответствующие
степени для N равны 45, 840 и 448. Таким образом, действия групп
К и N на V определены однозначно с точностью до подобия.
Зафиксируем некоторый базис пространства V. Тогда
относительно этого базиса мы можем предполагать, что действие К на V
задано однозначно. Следовательно, однозначно задано также
действие группы К Г) N на V. Однако N = (К (]N) <a> для
подходящей инволюции а т N, причем действие а на V определено с
точностью до подобия. Теперь цель состоит в доказательстве
(посредством соответствующих вычислений) того факта, что
приведенные условия (вместе с известным действием а на К Г) N)
достаточны, чтобы показать однозначность действия а на У относительно
выбранного базиса. Именно так Нортон установил единственность
группы типа /4.
Следовательно, справедлива
Теорема 2.53. Существует единственная простая группа
типа /4.
2.8. Транспозиции и группы Фишера
В самом начале своей деятельности Фишер, будучи студентом
Рейнхольда Бэра, интересовался, порождением группы
сопряженным классом инволюций с условиями на порядки произведения
любых двух его элементов. (Предложение 2.42 показывает, что
последнее эквивалентно условиям на подгруппы, порожденные
парами элементов из класса.)
Прежде всего Фишер сконцентрировал внимание на том, что
он назвал «/?-транспозициями».
Определение 2.54. Сопряженный класс D инволюций группы
G называется классом р-транспозиций, р — нечетное простое чист
ло, если произведение любых двух элементов из класса D имеет
порядок 1, 2 или /?.
Фишер изучил группы, порожденные классом /?-транспозиций,
и его первая классификация [96] предзнаменовала собой
последующие более важные достижения.
Теорема 2.55. Пусть G—группа, порожденная классом
р-транспозиций D, и предположим, что выполняются следующие условия:
(a) никакие три попарно различных элемента из D не
порождают 2-группу\ /
(b) если x£D, то CD (x) Ф х.
Тогда G^24 или 25. В частности, /? = 3,
2.8. Транспозиции и группы Фишера
123
Доказательство этого утверждения использует следующий
несколько более ранний результат Фишера, полученный им с помощью
сведения проблемы к некоторому вопросу о дистрибутивных
квазигруппах [97]. Такой путь решения чисто теоретико-групповых
вопросов был в высшей степени оригинальным.
Теорема 2.56. Пусть группа G порождается сопряженным
классом инволюций D, и предположим, что если х, y£D с хфу,
то порядок ху равен степени некоторого фиксированного
нечетного простого числа р. Тогда G' нильпотентна.
Из условий теоремы следует, что различные элементы класса D
никогда не коммутируют.
Используя свой результат о квазигруппах, Фишер подобным
же образом доказывает следующий результат.
Теорема 2.57. Пусть группа G порождается сопряженным
классом инволюций D, причем различные элементы из D не
коммутируют. Предположим у что Сх = 02(Сх)хО (Сх) для всех x£D.
Тогда G разрешима.
(Теоремы-2.56 и 2.57 могут быть получены из теоремы о группах
нечетного порядка и Z*-теоремы Глаубермана; см. теорему 4.95
ниже.)
Последний результат был использован Фишером для
доказательства разрешимости конечной группы G, допускающей
автоморфизм без неподвижных точек а порядка 2р, где р — нечетное
простое число (с некоторыми ограничениями на группу CG(aP)) [98].
Сформулированные результаты были всего лишь разминкой
для Фишера в подготовке к главному событию — доказательству
следующей великолепной теоремы [99], [100]. (Геометрия
классических групп обсуждается в §4.14. В частности, трансвекцией
здесь называется инволютивное линейное преобразование,
действующее тривиально на некоторой гиперплоскости основного
векторного пространства.)
Теорема 2.58. Пусть G — некоторая группа с Sol(G)=\ и
G' = (G')', порожденная сопряженным классом 3-транспозиций D.
Тогда справедливо одно из следующих утверждений:
(i) G^Xn для некоторого п и, кроме случая п = 6, класс D
совпадает с множеством транспозиций;
(ii) G^Sp(2nt 2) и, кроме случая /г = 2, класс D совпадает
с множеством симплектических трансвекций;
(iii) G^Oti(2) и D—множество трансвекций, сохраняющих
соответствующую квадратичную форму;
(iv) G ^ Uп (2) и D — множество уншпарных^ трансвекций\
(v) G ^Оц (3) <d>, где d^D и для заданного ц = ± 1 класс О
124 Гл. 2. Известные простые группы
совпадает с множеством отражений л: *—:>х-\-п(х, а) а, где а —
такой вектор, что скалярное произведение (а, а) равно я;
(vi) G совпадает с одной из трех новых конечных групп,
обозначаемых через А! (22), М(23) и Л1(24), и класс D определен
однозначно для каждой группы.
Исключения в (i) и (ii) объясняются тем фактом, что 26^S/?(4, 2)^
^0j"(3)<d>. Отметим, что условие G'~(G')' дает неразрешимость
группы G.
Сформулированная теорема со всей ясностью указывает на то,
что данное условие должно быть тесно связано с некоторой
естественной геометрической проблемой, различные решения которой
приводят к отдельным пунктам теоремы, причем группы М (22),
М(23), М(24) возникают в качестве исключительных случаев
примерно так же, как G2, F4, E6t Е7, E8 в классификации простых
алгебр Ли. Таким образом, используемый метод должен состоять
в построении геометрии из класса 3-транспозиций, на которой
группа G будет действовать как группа автоморфизмов, с
последующим определением всех возможностей для группы G на основе
свойств этой геометрии.
Мне хотелось бы описать некоторые центральные шаги
доказательства. Обозначим через Е максимальное по порядку
множество попарно коммутирующих инволюций из D. Фишер доказывает
Предложение 2.59. (i) NG (E) содержит некоторую силовскую
2-подгруппу группы G.
(ii) NG (Е) действует дважды транзитивно на множестве Е. *
(Hi) NG(E)/CG (E) изоморфна одной из следующих групп: 2„,
Ап, GL(n, 2), LOT(4), гдет=г[п/2], E2n-GL(n, 2), М22, М23 или Ми.
Именно три последние возможности из (iii) приводят к
группам Фишера, что объясняет, почему он обозначил их символами
М(22), М(23) и АГ(24).
Предложение 2.60. Положим Dx = CD (x) — {х} для x£D. Тогда
Dx является классом сопряженных элементов группы <DX>. В
частности, <Dxy ^ CG (х) действует транзитивно на множестве Dx.
Последний замечательный факт позволил Фишеру
воспользоваться в своем анализе индукцией. Однако имеются случаи, в
которых группа (Dx) разрешима или имеет нетривиальный центр,
поэтому их следует изучить независимо.
Предложение 2.61. (i) Если О (<£>*»^Z«DX>), то G^25.
(ii) Если 02«DX»3£Z«DX», то Gg±Sp(n,2) или Un(2).
(iii) Если фхУ разрешима, то G^25, 2e, (/4 (2) или U5(2).
Следующий фундаментальный результат позволяет увидеть
геометрию, лежащую в сердце рассматриваемого класса групп.
2.8. Транспозиции и группы Фишера
125
Предложение 2.62. Положим FX*=D-(DX\J {x})y x£D. Тогда
(i) <DX> действует транзитивно на Fx\
(ii) G является группой перестановок ранга 3 на множестве D,
причем стабилизатор точки <Dx> = CG{x) имеет орбиты {х},
Dx и Fx.
Таким образом, лежащая в основе G геометрия является
геометрией графа, ассоциированного с группой перестановок ранга 3.
Вершины графа могут быть отождествлены с элементами из D,
а данная вершина x£D соединена с теми элементами из D — {х}>
с которыми она коммутирует. Как отмечалось выше, все
симметрические, знакопеременные, унитарные, симплектические и
ортогональные группы имеют естественные представления в виде группы
автоморфизмов таких графов. Фишер построил указанные
классические графы (а также некоторые новые для М(22), М(23), М(24)),
исходя из внутренних свойств группы G, задаваемых
существованием порождающего класса 3-транспозиций. Ассоциированные с D
графы в целом имеют весьма специальное строение. Фишер назвал
их тройными графами, так что анализ сводится к изучению
указанных тройных графов вместе с их так называемыми тройными
отображениями. (Мы не будем пытаться определить здесь эти
термины.)
В параграфе 2.6 мы также указали подстепени и одноточечные
стабилизаторы для групп М (22), М(23), Л4(24).
Далее Ашбахер получил красивое обобщение теоремы Фишера
[9]. Для его формулировки нам необходимо следующее определение.
Определение 2.63. Сопряженный класс D инволюций группы G
называется классом нечетных транспозиций, если произведение
любых двух некоммутирующих элементов из D имеет нечетный
порядок.
Teqpema 2.64. Пусть G — некоторая гругща с Sol(G) = l и
G' = (G')', порожденная сопряженным классом D нечетных
транспозиций. Тогда справедливо одно из следующих утверждений:
(i) D является классом 3-транспозиций (и группа G
определяется из теоремы Фишера);
(ii)-G щ Sp(n, q), Vn(q) или 0% (q)> где q ~2m для некоторого
т и D — класс трансвекций\
(iil) G изоморфна расширению Of (б) с помощью Z2 и D —
класс ортогональных отражений]
(iv) G^Sz(q), q = 2m, т нечетно, m> 1;
(v) G^L2(<7)a2„, ? = 2», m>l.
Таким образом, теорема Ашбахера включает в себя все
симплектические, унитарные и ортогональные группы характеристики 2,
126
Гл. 2. Известные простые группы
а условие Фишера выделяет из них те, которые определены над
простым полем GF(2).
Фишер показал, что все его группы являются группами
перестановок ранга 3 на множестве своих 3-транспозиций. В ходе
доказательства своей основной теоремы Ашбахер получает обратное
утверждение.
Теорема 2.65. Пусть G —некоторая группа с So/(G)=l,
порожденная сопряженным классом инволюций D. Если G имеет
ранг 3 как группа перестановок на множестве D, то D является
классом 3-транспозиций группы G.
Как и следовало ожидать, доказательство Ашбахера теоремы
2.64 использует многие из введенных Фишером понятий. В
некотором смысле оно носит даже еще более геометрический характер,
чем доказательство теоремы о 3-транспозициях. В анализе
доминирует действие G на геометрии, определенной классом D, а в
ситуациях, приводящих к классическим группам,— ассоциированная
билинейная форма, которую сохраняет группа G. Например, при
отождествлении симплектических групп Ашбахер привлекает
теорему Петера Дембовского и Отто Вагнера [78], характеризующую
проективное пространство среди «симметричных блок-схем», чтобы
показать действие G на проективном пространстве размерности п
над GF(q), n нечетно, q=2m. Поскольку в этом случае он также
знает, что D — множество нетривиальных «элаций», коммутирующих
с некоторой «симплектической полярностью», то можно утверждать,
что G=(D)~Spn+1(q).
В случае действия G на множестве D как группы перестановок
ранга 3 — например, при доказательстве теоремы 2.64 — Ашбахер
существенно использует различные арифметические соотношения,
справедливость которых была установлена Д. Хигмэном для
произвольных групп перестановок ранга 3.
Следующий этап в анализе групп, порожденных классом
инволюций D,— разрешить произведениям пар элементов из G иметь
порядок, делящийся на 4. Теорема Бэра и Судзуки [130, теорема
3.8.2] избавляет нас от тривиального случая.
■Теорема 2.66. Если D — сопряженный класс элементов
простого порядка р в группе G, причем <х, уу является р-группой
для любой пары элементов х, y£D, то D^Op(G).
Таким образом, в качестве следствия мы получаем такой факт.
Следствие 2.67. Если группа G порождается сопряженным
классом инволюций D, причем произведение любых двух элементов
из D имеет порядок, равный степени 2, то Q является 2-группой,
2.8. Транспозиции и группы Фишера
127
Поэтому следующее определение охватывает первый интересный
случай.
Определение 2.68. Сопряженный класс инволюций D группы G
называется классом {3, ^-транспозиций, если произведение любых
двух элементов из D имеет порядок 1, 2, 3 или 4. Для
исключения случая 3-транспозиций мы скажем, что класс D невырожден,
если произведение каких-то двух элементов из D имеет порядок 4.
Кроме того, назовем D классом {3, 4}+-транспозиций, если (xy)2£D
для всех х, y£D> таких, что \ху\ = 4.
Естественным примером является группа GL(n, 2), порожденная
своими трансвекциями, поскольку последние образуют сопряженный
класс {3, 4}+-транспозиций. N
Тиммесфельд начал свои исследования с анализа групп,
порожденных невырожденным классом {3, 4}+-транспозиций, и получил
следующую замечательную классификационную теорему [299] —
[301].
Теорема 2.69. Пусть G—группа с Z(G)=1 и 0(G)=1, /го-
рожденная невырожденным классом {3, 4}+-транспозиций. Тогда
справедливо одно из следующих утверждений:
(i) Gg*GL{ny 2), ai>3;
(ii) Gg*Sp(2ny2), n>3;
(iii) G&0?n(2), ">4;
(iv) G^G2(2)', »D4(2), F4(2), 2S6(2), £7 (2) или £8(2). .
Кроме того, в каждом случае D — однозначно определенный класс
2-центральных инволюций группы G;
Анализ Тиммесфельда вновь по духу очень напоминает ход
рассуждений Фишера и Ашбахера. В частном случае, ведущем к
GL(n, 2), используя внутренние свойства группы G, вытекающие
из существования класса D, Тиммесфельд строит векторное
пространство над GF (2), на котором G действует предписанным образом.
В действительности он рассматривает несколько более общий
случай, приводящий не только к GL(n> 2), но и к группам G2(2)' и
3D4(2). Точное условие формулируется следующим образом: D
содержит нетривиальное собственное подмножество Е, такое, что
Ef)Ex=0 или Е для всех х £ D.
Для получения групп Sp(2n> 2) и 0^(2) Тиммесфельд
показывает при подходящих условиях, что G порождается также классом
3-транспозиций, поэтому группы могут быть идентифицированы
с помощью классификационной теоремы Фишера. Анализ случаев,
ведущих к /74(2), 2Ев(2), Е6(2), Е7(2) и £8(2), основан на
совокупности достаточных условий, которым должен удовлетворять класс
D, чтобы таблица умножения группы G была определена однозначно.
128 Гл. 2. Известные простые группы
Следующий шаг программы Тиммесфельда состоял в ослаблении
его условия на класс D посредством замены «3» на «нечетный».
Таким образом, мы имеем следующее определение.
Определение 2.70. Сопряженный класс инволюций D группы
G называется классом {odd, 4}+-транспозиций, если произведение
любых двух элементов х, у из D имеет порядок 1, 2, 4 или k,
где k нечетно, с дополнительным ограничением, что (xy)2£D,
если |х#| = 4. Вновь класс D называется невырожденным, если
произведение каких-то двух элементов из D имеет порядок 4.
Это важное понятие, поскольку любая группа типа Ли
характеристики 2, кроме групп Ри 2/74(2"), порождается классом D
своих {odd, 4}+-транспозиций, причем D состоит из так
называемых «корневых инволюций». По указанной причине Тиммесфельд
назвал класс {odd, 4}+-транспозиций классом корневых инволюций.
Основная теорема Тиммесфельда о корневых инволюциях дает
классификацию всех групп, порожденных невырожденным
классом корневых инволюций [301]. Вырожденный случай
охватывается предыдущими работами Ашбахера и Фишера.
Теорема 2.71. Пусть G—некоторая группа с Z(G)=1 и
О (G) = 1, порожденная невырожденным классом корневых
инволюций. Тогда справедливо одно из следующих утверждений:
(i) G£Chev{2), причем G$hUn(2m) и Sp (4, 2я);
(ii) G ^ А6 или J2.
Кроме того, в п. (i) либо D—однозначно определенный класс
корневых элементов, соответствующих «длинным корням»
ассоциированной с G алгебры Ли, либо G^F^(2m) и D может быть
также классом корневых элементов, соответствующих «коротким
корням».
Как и в доказательстве сформулированных выше теорем,
Тиммесфельд должен был выяснить внутреннее строение группы G,
исходя из свойств класса D. Важную роль здесь играют «корневые
подгруппы». Для x£D положим
Dx = {y£D\CD(y) = CD(x)\ и
EX = DX[){1\.
Тогда Ех называется корневой подгруппой в G. Очевидно, что Ех=Еу
для y&Dx.
Зафиксируем Ех и обозначим через 2 сопряженный класс
подгрупп в G, содержащий Ех. Тогда S называется классом корневых
подгрупп в G.
Тиммесфельд доказывает следующие результаты.
Предложение 2.72. Если 2 —класс корневых подгрупп в G,
то \Ex\ = q = 2n для некоторого п при любой Ex£li. Кроме
2.8. Транспозиции и группы Фишера
129
того, если EXJ Ey g 2, то справедливо одно из следующих
утверждений:
(i) <ЕХУ Еуу—элементарная абелева группа;
(и) <ЕХ, Е >—специальная группа порядка q3 с центром
порядка q и [bx, E]£l>;
(iii) <ЕХ, Еу> ~ 12 (q).
Сформулированный результат аналогичен тому, который был
доказан Томпсоном для нечетных простых чисел в его
исследовании так называемых «квадратичных пар» (см. § 4.7).
Случай q=2 теоремы о корневых инволюциях в основном
охватывается теоремой о {3, 4 }+-транспозициях, поэтому в
критических пунктах рассуждения Тиммесфельд мог предполагать, что
£>2. Основная идея доказательства состоит в построении
некоторого графа Г(2), вершинами которого служат элементы из 2, а
затем в доказательстве того, что Г (2) изоморфен
соответствующему графу Г (2*) подходящей группы G* типа Ли характеристики
2. Для получения этого изоморфизма Тиммесфельд доказывает
теорему о продолжении для графов, согласно которой некоторое
семейство «локальных» изоморфизмов графов Г (2) и Г (2*) может
быть продолжено до полного изоморфизма тех же графов. Он также
показал, что группа G* однозначно определяется своим графом,
откуда следует, что G^G*.
В то время как Тиммесфельд исследовал группы,
порожденные {3, 4}+-транспозициями и корневыми инволюциями, Фишер
рассматривал более обширный класс групп, порожденных классом
{3, 4}-транспозиций. Он получил общий метод, с помощью которого
можно пытаться из класса транспозиций Е группы Н строить
большую группу G, содержащую Н и порожденную классом
транспозиций D^E. Указанный метод, может рассматриваться как аналог
построения транзитивного расширения с заданным стабилизатором
точки. Переходы от U6(2) к М(22), от М(22) к М(23) и от Z2X
XAf (23) к М(24) являются примерами, в которых более широкие
группы существуют.
Теперь Фишер знал, что его группа Aut (M(22)) (расщепляемое
расширение М (22) с помощью Z2) порождена классом {3, 4
^транспозиций Е (элементы из Е обязательно индуцируют внешние
автоморфизмы группы М (22)). Были также веские соображения в пользу того,
что Aut (M (22)) встречается в качестве подгруппы в группе 2£6(2)-2.
В сложившейся ситуации Фишеру естественно было спросить,
можно ли вложить последнюю группу в большую группу G так, чтобы
расширением Е служил некоторый класс {3, 4}-транспозиций D,
порождающий G. В конечном счете Фишеру удалось получить почти
полную информацию о внутреннем строении его предполагаемой
группы G и, в частности, информацию, необходимую Леону и Симсу
для построения группы G [101]. Как отмечалось ранее, эту группу
5 №625
130
Гл. 2. Известные простые группы
стали обозначать через F2. Таким образом, их теорема
существования и единственности дает следующий дополнительный факт о
группе F2:
Теорема 2.73. Группа F2 порождается классом {3, А)-транс-
^ позиций D, причем CFi (х) ^ я£в (2)-2 для всех x£D.
Безусловно, возможные применения методов Фишера на этом
не заканчиваются. В §4.10 будут описаны общие теоремы Тиммес-
фельда о слиянии, которые вытекают из его теоремы о корневых
инволюциях.
2.9. Решетка Лича и группы Конвея
Конвей [68] построил свои три простые группы из группы
автоморфизмов замечательной 24-мерной решетки Лича, которая
появилась при исследовании плотных упаковок сфер [199], [200].
Определение 2.74. Решеткой А в евклидовом пространстве
R" называется множество всех целочисленных линейных
комбинаций п линейно независимых векторов wlt w2, ..., wn из R",
обладающих тем свойством, что скалярное произведение (wh wj) является
целым числом для всех i, /, l^r, j^n. (Такое определение
согласуется с понятием решетки, введенным в § 2.1.)
В частности, Л — абелева группа. Пусть vh 1^л<лг, является
ортонормированным базисом в R". Решетка Л называется
целочисленной (рациональной), если все координаты каждого Wj как
линейной комбинации векторов vt являются целыми (соответственно
рациональными) числами. Кроме того, решетка Л называется уни-
модулярной, если матрица перехода от базиса vt к wt имеет
определитель 1.
Любая рациональная решетка, конечно, может быть превращена
в целочисленную умножением заданного базиса векторов на
подходящий скаляр. Однако свойство унимодулярности исходной
решетки при таком переходе будет потеряно. Решетка Лича является
рациональной унимодулярной решеткой. Тем не менее при
описании связанной с ней геометрии для Конвея было проще работать
с ассоциированной целочисленной формой решетки.
Как отмечалось в § 2.2, множество так называемых
«фундаментальных корней» комплексной полупростой алгебры Ли 2
определяет решетку в R", где п — размерность подалгебры Кар-
тана в J?; ее называют корневой решеткой алгебры 2\ Эти
корневые решетки, вообще говоря, не являются рациональными.
По определению группой автоморфизмов Aut (Л) решетки Л
в R" является подгруппа группы вращений пространства R",
2.9. Решетка Лича и группы Конвея 131
отображающая Л в себя. Элементы из Aut(A) называются
вращениями решетки Л.
Для описания решетки Лича рассмотрим сначала систему
Штейнера S = S (5, 8, 24) на 24 символах множества Q, группой
автоморфизмов которой является УИ24. Множество Q* всех 224
подмножеств из Q можно рассматривать как векторное
пространство размерности 24 над G/7(2), если А + £ для Л, B£Q* (т. е.
для Л, B^Q) определить равным симметрической разности
(А—В)ц(В — А).
Предложение 2.75.^ Октады из S порождают \2-мерное
подпространство % в Q*, состоящее из 0, Q, 759 октад системы S,
759 их дополнений в Q, а также 2576 множеств мощности 12.
(Обозначение % выбрано в связи с теорией кодирования —
подпространство # является «расширенным двоичным кодом
Голея».)
Пусть <6п обозначает подмножество элементов из Й\ имеющих
мощность п, так что
£ = #0и#8и#12и#1би#24,
причем <6В состоит из октад семейства S.
Пусть теперь {у/|1^г^24} — ортонормальный базис в R24,
причем множеством индексов является Q, которое мы можем
отождествить с {1,2, ..., 24}. Для любых Т £ Й* и m g Z положим
[Т, m] = {v | v = 2 xi°h гДе */ € Z, 2 **= ^m» и если ' $ ^»
то x,-== m (mod 4), а если i£T, то x/^m + 2(mod 4)}.
Для любой пары T, U g Q* и m, /г g Z справедливо равенство
[Г, m] + [(/, п] = [Г + £/, m + я]. (2.18)
Определение 2.76. Положим A=(J|T, т] — объединение по
всем Т^%, m£Z. Так как % — подпространство, то из (2.18)
следует, что Л является целочисленной решеткой. Ее называют
решеткой Лича. По соображениям, которые вскоре будут понятны,
Конвей положил .0 = Aut(A).
Конвей анализирует Л и .0 и устанавливает все следующие
факты. Для любого Т £ £2* положим
Из определений непосредственно следует, что вектор 2vT
принадлежит Л для любого Т g #8.
Предложение 2.77. (i) А порождается 759 векторами 2vT
с Т £ #8 и любым одним вектором из А, все координаты
которого являются нечетными целыми числами^ например vq—4у24.
5*
132 Гл. 2. Известные простые группы
(и) 759 векторов 2vTi Tg#8, пороо/сдают подрешетку [#, 4Z].
(iii) Если v, vl g Л, то скалярное произведение (у, w) делится
на 8, а (у, v) делится на 16.
Здесь [#, 4Z] обозначает объединение всех [Т, /тс], где Т £ #,
mg4Z.
Определение 2.78. Если (у, у)=16/г для v 6 А, то t;
называется вектором ma/га /г. Множество всех векторов v£A типа п
обозначается через Лл.
Множество Ах пусто, так что Л2 состоит из векторов
минимального типа. Это множество играет важную роль в анализе.
Предложение 2.79. (i) Л2 имеет мощность 196 560.
(И) Если A2(v) обозначает подмножество векторов из Л2,
ортогональных вектору v^A^ то A2(v) имеет мощность 93 150.
Заметим далее, что любая перестановка я на й продолжается
до некоторого ортогонального преобразования пространства R24
(обозначаемого тем же символом), если положить
ф.)л = иш для всех i9 1^*^24.
Очевидно, п будет вращением решетки Л при условии, что оно
сохраняет %. Следовательно, вращения, индуцированные группой
автоморфизмов системы Штейнера S = S (5, 8, 24), составляют
подгруппу М £ё М24 в .0.
Кроме того, для любого TgQ* можно определить
ортогональное отражение ег пространства R24, полагая
vh если i(£T\
— vh если i gT.
Аналогично ег—вращение решетки Л, коль скоро Tg#. Любые
два таких вращения коммутируют, а так как |#| = 212, то они
порождают элементарную абелеву подгруппу £ в .0 порядка 212.
Вращения подгруппы М, поскольку они возникают из
элементов Aut (S), индуцируют действие на элементах из £. Поэтому
М нормализует £, а группа .0 содержит подгруппу N = EM—.
расщепляемое расширение Е2™ посредством М24.
Конвей доказывает
Предложение 2.80. TV содержит подгруппу из .0,
оставляющую на месте один произвольный координатный вектор v{.
Следовало доказать еще следующий решающий результат.
Теорема 2.81. N—собственная подгруппа в .0.
Таким образом, Конвей должен был предъявить вращение
решетки Л, сдвигающее все векторы базиса. Пусть Т — произволь-
(v{)sT =
2.9. Решетка Лича н группы Конвея 133
ный элемент из Й* мощности 4 (тетрада). Из свойств системы Штей-
нера S следует, что Т содержится ровно в 5 октадах из S, которые
тем самым могут быть представлены в виде T+Tit l^/^5, где
каждый элемент Tt— тетрада. Положим Т0=Т и
Ф(Т) = \ТЕ\0^1^5\.
Поскольку любые 5 элементов из Q лежат в единственной октаде,
множества Т> попарно не пересекаются и, следовательно, Q=
= UT„ Г,€Ф(Т).
Итак, каждый элемент /, 1^/^24, лежит в единственной
тетраде Ti из Ф(Т) (I зависит от /). Определим отображение
%, полагая
Коывей показывает, что для каждой тетрады Т
преобразование цтет является вращением Л и поэтому принадлежит группе .0.
Следовательно, N < .0, как и утверждалось.
Обладая такой информацией, Конвей теперь может доказать
следующие факты.
Теорема 2.82. (i) Группа .0 действует транзитивно на Л2.
(п) Если v£A2 и w£A2(v)> то подгруппа .0VW в .0,
оставляющая на месте v и w9 содержится в N и является расщепляемым
расширением группы М22 с помощью элементарной группы
порядка 210.
Поскольку .0 состоит из ортогональных преобразований,
оставляющих инвариантным Л2, то .0^ оставляет инвариантным
Л2 (v) для всех v g Л2.
Учитывая предложение 2.79, Конвей сразу получает такое
следствие.
Теорема 2.83. (i) | .0 |= 196 560-93 150-21о.| М22|.
(ii) N—максимальная подгруппа в .0.
Группа .0 имеет центр порядка 2, порожденный отражением 8q.
Для v£A2 пара {v,—v\ называется диаметром, а множество
всех диаметров обозначается через Л2. Таким образом, Л^ имеет
мощность 98 280. Положим также . 1 = .0/<8q>, так что .1
действует на Л2. Анализ действия группы .1 на Ла опирается на
следующее свойство .0.
Предложение 2.84. Группа .0 действует транзитивно на
множестве всех упорядоченных пар векторов из Л2 с любым
заданным скалярным произведением.
134
Гл. 2. Известные простые группы
Число векторов w£A2, имеющих скалярное произведение
—32, —16, —8, 0, 8, 16, 32 с заданным v£A2i равно
соответственно
1, 4600, 47 104, 93150, 47104, 4600, 1,
причем указанные значения исчерпывают все возможные скалярные
произведения.
Используя эту информацию, Конвей доказывает следующую
теорему.
Теорема 2.85. Группа Л является простой (порядка |.0|/2).
Подгруппа в .0, оставляющая на месте любой фиксированный
вектор из Л2, обозначается символом .2. Конвеем также доказана
Теорема 2.86. Группа .2 является простой и имеет порядок
93 150.210.|М22|.
Конвей определяет внутри .0 еще и третью простую группу.
Теорема 2.87 (i) Группа .0 действует транзитивно на
множестве Лд.
(и) Если .3 обозначает подгруппу в .0, фиксирующую один
вектор из Л3, то .3 является простой группой порядка
2П.37.53.7.1Ь23.
Группы .1, .2 и .3 являются спорадическими группами,
отличными от всех открытых ранее.
Совершенно очевидно, что с группой .0 и решеткой Лича
связана богатая геометрия. Кроме того, в качестве подгрупп группы .0
естественным образом возникают группы М22, М23, М24, а также
Мс, HS, J2 и Suz. Например, группа .0 действует транзитивно на
Л5 и на Л7. Если .5 и .7 обозначают соответствующие одноточечные
стабилизаторы, то .5^Aut(Mc) и J^HS. Кроме того, .0 содержит
элемент порядка 3, действующий на Л без неподвижных точек.
Его централизатор в .0 совпадает с тройным накрытием группы
Suz. Поскольку Ji^Suz, то также /2^ -0. Между группой .0 и
некоторыми из упомянутых групп существуют естественные
геометрические взаимосвязи. Например, .1 действует на Л/2Л, (Suz)-2
действует на Л/ЗЛ и (/2)-2 действует на Л/5Л.
Таким образом, если бы Конвей изучил решетку Лича всего
пятью годами раньше, то он открыл бы в общей сложности семь
новых простых групп! К сожалению, ему пришлось
довольствоваться лишь тремя. Утешением ему может служить то, что его статья
о группе .0 останется одним из наиболее элегантных достижений
математики.
Как было обещано ранее, мы завершим настоящий параграф
кратким описанием построения Томпсоном группы F3. Определив
2.9. Решетка Лича и группы Конвея
135
таблицу характеров простой группы G типа F3 (что является
в высшей степени нетривиальной задачей), Томпсон заметил, что
G имеет ровно один неприводимый рациональнозначный
характер х степени 248. Поскольку комплексная группа Ли Е8 (С)
допускает 248-мерное представление, то вполне естественно, что
Томпсон решил попытаться связать G с группой Е8 (С) [295], [296].
Если группа G существует, то она должна содержать
подгруппу Д изоморфную нерасщепляемому расширению Е32 с
помощью Ь~(2). Это было еще одним соображением в пользу связи
G с £"8(С). Действительно, несколько ранее Ульрих Демпвольф
изучал группы D с таким строением и показал, что (с точностью
до изоморфизма) существует не более одной такой группы,
причем любое точное представление D имеет степень не ниже 248 [79].
Кроме того, можно показать, что подгруппа D предполагаемой
группы G должна также содержать подгруппу Z)0, изоморфную
нерасщепляемому расширению Z^xZ^xZ^xZ^ с помощью А8.
Пусть V—векторное пространство над С, на котором имеется
представление группы G с характером % (степени 248), и пусть
V0 = Cv(O2(D0)). Томпсон показал, что V0 имеет размерность 8,
причем в своем действии на V0 группа D0 сохраняет некоторое
множество из 240 векторов. Последние порождают внутри V0
решетку, которая изометрична корневой решетке,
ассоциированной с алгеброй Ли Е8. Отсюда следует, что D0 может
рассматриваться как подгруппа в Е8 (С).
Получив такие удивительные следствия, Томпсон пришел
к убеждению, что Е8 (С) должна содержать подгруппу вида D.
Затем П. Смит, проделав необходимые вычисления на ЭВМ,
помог Томпсону построить дополнительный элемент из £8(С),
который вместе с D0 порождает D. Таким образом, Е8 (С) в самом
деле содержит подгруппу вида D. В частности, попутно было
установлено существование группы Демпвольфа. Независимое
построение группы D без использования ЭВМ было дано Грис-
сом [150]. Кроме того, конструкция Томпсона одновременно
устанавливала существование модуля V размерности 248,
отвечающего характеру % | D, и некоторой решетки Л в пространстве
У, инвариантной относительно D (откуда следует, что D ^ Aut (Л)).
Двигаясь дальше, Томпсон доказал, что Aut (Л) ^Z2xG,
установив тем самым существование единственной простой группы
типа Fa.
Неудивительно, что квадратичная форма К на У, сохраняемая
при действии D, оказалась формой Киллинга, ассоциированной
с комплексной алгеброй Ли Е8. Томпсон показал, что Aut (Л)
сохраняет /С. Используя К> чтобы снабдить V структурой алгебры Ли
типа £8, Томпсон также доказал, что D — наибольшая подгруппа
в F8> сохраняющая указанное лиевское умножение. Наконец, по-
136 Гл. 2. Известные простые группы
скольку Л является решеткой, можно воспользоваться редукцией
по модулю р. В случае р=3 Томпсон показал, что группа F3
сохраняет соответствующее лиевское умножение над GF(3). Таким
образом, в действительности F3^E8(3).
Суммируя сказанное, мы получаем следующий результат.
Теорема 2.88. Существует единственная простая группа
типа F8, причем она изоморфна некоторой подгруппе из £8(3).
2.10. Группа Грисса — Фишера F1
Как и в случае группы Л, прошло несколько лет после
соответствующих первых работ Грисса и Фишера, прежде чем было
установлено существование группы Fle Вскоре после ее первоначального
«открытия» Грисс, Конвей и Нортон заметили, что каждый
нетривиальный неприводимый характер группы G типа Fx имеет степень
не ниже 196 883, причем весьма вероятно, что такая группа G
должна иметь характер в точности указанной степени. Фишер,
Д. Ливингстон и Торн вычислили в конце концов полную таблицу
характеров такой группы G [204]. (Несколько ранее вместе с
некоторыми своими коллегами из Кембриджа "Нортон проделал
значительную работу по сопряженным классам группы G.)
В ходе своих вычислений Нортон нашел значения упомянутого "
выше гипотетического характера % степени 196 883 и показал, что
он обладает следующими тремя свойствами:
(a) х встречается ровно один раз в своем симметрическом
квадрате;
(b) х встречается ровно один раз в своем симметрическом кубе;
(c) х является самосопряженным (т. е. % — вещественнознач-
ный характер).
Из этих условий следует, что основное векторное пространство V,
в котором определено представление ср группы G с характером х>
может быть наделено ср (С)-инвариантной структурой алгебры с
некоторыми дополнительными свойствами.
Мы опишем в общих чертах эту алгебру Нортона, поскольку
она является отправным пунктом в построении Грисса группы
Fx [152]. Прежде всего по определению алгебра А над полем
К—это векторное пространство над /С, на котором определено
дистрибутивное умножение, согласующееся с умножением на
скаляры из поля К. Напомним, что умножение на А—это просто
отображение а множества Ах А в А. Дистрибутивность а
означает в точности, что оно пропускается сквозь тензорное
произведение А0кА векторных пространств, т. е. a = noftf где я —
естественная проекция Ах А на А®КА, а р—некоторое
отображение А ®КА в Л.
МО. Группа Грисса— Фишера Ff
137
Кроме того, а будет коммутативным, если Р(а® w)^fi(w(g) v)
для всех v, w£A. Следовательно, если |3 линейно, то последнее
эквивалентно условию, что каждый элемент v® w—w(Qv лежит
в ядре |3. Другими словами, отображение р в свою очередь
пропускается через симметрический квадрат А2.
Следовательно, в ретроспективном плане мы видим, что
линейное отображение у из А2 в А индуцирует естественным образом
структуру коммутативной алгебры на векторном пространстве А
над полем К.
Применим сказанное к пространству У нашего гипотетического
представления ф группы G. Поскольку ф—компонента
представления на У2, можно записать 1/2 = У'0^ с ф (б)-инвариантными
подпространствами У и ТУ, причем представление группы G на
У эквивалентно ф (используем теорему Машке). Отождествим для
простоты У с У. Следовательно, если мы определим у как
проекцию У2 на У, индуцированную разложением в прямую сумму
1/2 = У0Ц7, то у будет коммутировать с действием ф(О).
Отсюда непосредственно следует, что структура алгебры,
индуцированная на У отображением у, и соответствующее умножение
а будут ф(б)-инвариантными. Другими словами, если вместо
a(v, w) мы будем писать v-w, то для любых g£G и vy w^V
справедливо равенство
(Ф (g) v) ■ (Ф (g) w) = Ф (g) (v .of). (2.19)
Таким образом, на У существует ф (С)-инвариантная структура
коммутативной алгебры.
Однако ф является также составляющей кратности 1
симметрического куба пространства У. Так как У?=(V2)У=V(У2), то из
использованных выше соображений вытекает, что получившаяся
алгебра допускает также нетривиальную ф (б)-инвариантную
«ассоциативную» форму на У. Другими словами, существует
коммутирующее с ф(б) отображение /из VxV в У, обладающее свойством
f{u-v,w) = f{u,v-w) (2.20)
для всех и, v9 w g У.
Если имеется представление г|э группы X на векторном
пространстве W над С, то отображение h из Wx W* в С, заданное
равенством
Л(ш,8) = 8И (2.21)
для w£W и б£1У*, инвариантно относительно действия г[?(Х).
(Здесь W*— дуальное к W пространство.) Кроме того, если ф —
неприводимое представление, обладающее самосопряженным
характером, то, согласно предложению 1.4(H), представление г{$
группы G на W эквивалентно сопряженному представлению ф*
138
Гл. 2. Известные простые группы
группы G на IF*, так что W* можно отождествить с W. В этом
случае Л становится билинейным отображением WxW в С,
инвариантным относительно г|)(Х). Поскольку в нашем случае
предполагаемое представление ф группы G неприводимо и имеет
самосопряженный характер %, то получившаяся алгебра может быть снабжена
нетривиальной ф (б)-инвариантной билинейной формой.
Указанные условия, взятые вместе, позволяют определить
алгебру Нортона на пространстве представления V как
коммутативную алгебру с двумя формами, одна из которых является
нетривиальной билинейной, а другая — ассоциативной. Кроме того,
сама алгебра и каждая из ее форм инвариантны относительно
действия ф(б).
Грисс дополнил информацию о структуре алгебры Нортона
результатом С. Смита (теорема 2.38), позволившим ему
определить G как простую группу, в которой централизатор некоторой
инволюции изоморфен Л/(Г>8)12. Пусть z—такая инволюция, а
С—ее централизатор (в нашем обсуждении мы следуем
обозначениям Грисса). Группа G может быть получена как группа,
порожденная С и некоторой второй 2-локальной подгруппой N,
про которую было известно, что она содержится в группе типа
^i (° группе N речь пойдет ниже). Как мы увидим, имеется
некоторая инволюция o^N с N = <N()С, а>, так что G = <C, a>.
В силу причин технического характера Грисс предпочел
работать с комплексным векторным пространством В размерности
196 884 (B = V-\-V01 где VQ одномерно, а представление на
пространстве В соответствует сумме ф -f-1 гипотетического
представления ф и тривиального представления). Прежде всего он задал
действие С на В (определенное ограничением ф+1 на С). Затем
исследовал С-инвариантные структуры коммутативных алгебр
#(£), удовлетворяющие условиям (2.20) и (2.21). Оказалось, что
все они могут быть описаны в терминах шести рациональных
параметров. Разумеется, Грисс искал одну из таких алгебр,
которая не только С-инвариантна, но также G-инвариантна, или, что
эквивалентно, cr-инвариантна. То, как определена а, налагает
сильные ограничения на указанные параметры. Однако
первоначально Гриссу удалось определить их лишь с точностью до
знака. После этого осталась невероятно трудная задача
уточнения как #(£), так и действия а на £, чтобы о стала
автоморфизмом %(В). Необходимые здесь вычисления действительно
огромны. В конечном счете они сводятся к некоторым ужасающего
вида формальным тождествам относительно группы Конвея .0 и
решетки Лича Л. (Последнее не должно быть уж совсем
неожиданным, так как G = <C, a>, причем а нормализует большую
подгруппу в С, а группа .0 непосредственно связана со строением С.)
Еще более увеличивал сложность проблемы тот факт, что выбор
знаков у задающих $(В) параметров приходилось делать именно
2.10. Группа Грисса — Фишера Fi
139
в процессе построения требуемого инволютивного автоморфизма
алгебры S (В).
На этом этапе Грисс построил алгебру Нортона % (В) и группу
G = <C, а>, действующую на $(В). Однако он пока не знал даже,
будет ли группа G конечной, не говоря уж о том, будет ли она
группой типа /v Для доказательства требуемых фактов Грисс
заметил сначала, что структурные константы алгебры £(В)
(относительно того базиса пространства S, который использовался
для введения на В структуры алгебры) лежат в Z Ы и что
элементы матриц, представляющих группу G (относительно того
же базиса), лежат в Z у ■ Следовательно, для всех простых
чисел р ^ 5 он мог произвести редукцию по модулю р и
получить группу G (/7), порожденную соответствующими матрицами
над GF (р). Таким образом, G (p)^GL (196 884, /?), откуда
вытекает конечность G (р) для всех простых чисел р !> 5. Используя
методы теории конечных групп, особенно классификацию Голд-
шмидта конечных групп с сильно замкнутой абелевой 2-подгруп-
пой (см. § 4.8), Грисс доказал, что CG(p)(z(p)) = C(p)f где z (p)
и С(р) обозначают образы по модулю р соответственно
представлений г и С на В. Кроме того, можно проверить, что С(р)^С
и G (р) Ф О (G (/?)) С (/?). Теперь из результата Смита (теорема 2.38)
вытекает, что каждая группа G (р) является простой группой
типа Ft. (В действительности для теоремы Смита необходима не
простота группы, а лишь выполнение проверенных выше условий.)
Следовательно, по теореме Грисса (теорема 2.37) все группы G(p)
имеют один и тот же порядок. Из бесконечности множества
допустимых простых чисел р мы окончательно получаем, что G ^
^ G (р) для всех таких р и потому G является требуемой
простой группой типа Fv
Тот факт, что Грисс смог выполнить все построение вручную,
свидетельствует не только о его замечательной интуиции и
решительности, но доказывает также, что группа Fu именуемая
«монстром», на самом деле допускает некоторую естественную
геометрическую интерпретацию, отражением которой является
достаточная регулярность ее внутреннего строения. Последнее
обстоятельство побудило Грисса переименовать F± в «дружественного
гиганта». Удовлетворительное объяснение геометрической природы
группы Fu связанной некоторым, пока неизвестным образом с ав-
томорфными формами, бесконечномерными алгебрами Ли и/или
алгебраической геометрией, безусловно, остается одной из наиболее
интригующих проблем о простых группах, не затронутых
классификацией. (Мы вновь отсылаем читателя к работам [70], [195],
[297], [298].)
Мы завершим настоящее краткое обсуждение группы Fx опре-
140 Гл. 2. Известные простые группы
делением N, о и действия С на В. Описания алгебры $ (В) и
действия а на В слишком техничны, чтобы их можно было
привести здесь. (Последнее относится также ко всем формальным
тождествам, необходимым для проверки того, что о является
автоморфизмом алгебры $(В).) Большой интерес представляло
бы более концептуальное описание алгебры $ (В), если, конечно,
оно вообще существует.
Положим Q=02(C), так что Q ^ (D8)12. Известно, что группа
G типа Fj содержит четверную подгруппу У4 с z £ V4 ^ Q,
причем N = NG(VA) обладает следующими свойствами:
(a) O2(A0nQ-(D8)n;
(b) 02 (ЛО < С и 02 (Л0/(О2 (ЛО n Q) ~ fi.u;
(c) (iVflC)/02(^)^M24xZ2;
d) WOt(iV)sAf14xS,.
Таким образом, | Л^: TV n'C | = 3, Л^1 = (Л/Г/)'<С, N1^MJ{D%)1"
и Af/A^ ^ 23. Кроме того, Q содержит инволюцию т, не
принадлежащую 02(N1)i образ которой в N = N/02(N) лежит в
сомножителе D группы N, изоморфном 23. Далее, в N можно выбрать
сопряженную с т инволюцию а так, чтобы <<т, т> ^ 23 и <а» т> = D.
Это дает описание N и о.
Заметим, что если задано действие С на В, то задано также
действие т. Сопряженность с с т посредством некоторого элемента из
G порядка 3, нормализующего Ni(^C), налагает жесткие
ограничения на возможное действие а на В.
Перейдем теперь к действию С на векторном пространстве В,
которое получается как прямая сумма трех С-инвариантных
векторных пространств X, У, Z соответственно размерностей 300, 98280
и 98 304 (в сумме дающих 196 884).
Прежде всего .0 действует как группа автоморфизмов решетки
Лича Л, поэтому 24-мерное векторное пространство £/ = Q(g)zA
служит носителем рационального представления группы .0.
Симметрический квадрат ф этого представления имеет размерность 300
над Q, причем образ cp(Z(.0)) тривиален. Таким образом, <р задает
представление группы .1 = .0/Z(.0). Можно рассматривать ф как
представление С. с тривиальным ф(ф), поскольку C/Q^.l.
Обозначим соответствующее векторное пространство (над С) через X.
Таким образом, dim<c(X) = 300 и С действует «рационально» на X.
Пусть далее С2—прообраз в С подгруппы из C/Q, изоморфной .2.
Тогда | С:С2| = 98280. Так как GF (2)-представление группы С2
на Q/<2> (размерности 24) разлагается в прямую сумму
одномерного и 23-мерного представлений, то С2 имеет нормальную
подгруппу С0 индекса 2. Если а обозначает нетривиальный
гомоморфизм С2 в С с ядром С0, то а будет линейным (т. е. одномерным)
2.10. Группа Грисса — Фишера Ff 141
представлением С2. Индуцирование а на С дает, таким образом,
представление ос* группы С размерности 98 280. Пусть Y обозначает
соответствующее векторное пространство (над С). Как нетрудно
увидеть, относительно подходящего базиса коэффициентами
представляющих группу С матриц будут лишь числа +1, —1 и 0.
Наконец, согласно общим результатам о представлениях прямых
и центральных произведений [130, § 3.7], группа Q^(D8)12 имеет
212-мерное точное неприводимое комплексное представление,
поскольку D8 имеет 2-мерное такое представление. Если Т
обозначает соответствующее пространство представления, то можно
естественным образом определить точное представление на пространстве
Т®% Л (размерности 98 304 = 212- 24). Именно это пространство
с подходящим базисом мы берем в качестве Z. Элементы матриц,
представляющих группу С на Z, лежат в поле Q(j/ l).
Группа С действует неприводимо на каждом из пространств Y
и Z. Однако пространство X может быть разложено в .0-инвари-
антную прямую сумму Хг фХ0, где Хг одномерно, а на Х0 группа .0
действует неприводимо. Таким образом, С действует на
пространстве V = Х0 ф F® Z размерности 196 883, а также на пространстве В
размерности 196 884. Это все, что мы хотели сказать о
замечательном построении Грисса группы Fv
Нам осталось еще обсудить проблему единственности для группы
типа Ft. Решение этой проблемы распадается на две части, первую
из которых выполнил Томпсон [297], а вторую — Нортон [225].
Томпсон показал, что может существовать не более одной простой
группы G типа Fi, допускающей неприводимое комплексное
представление степени 196 883. (Как отмечалось в § 2.7, доказательство
Нортона единственности группы /4 следовало аналогичному
образцу.)
Напомним, что G=(C, N), \Ni(C[)N)\=3 и N=(C()N, а),
где |а|=3 и а нормализует подгруппу N1==(N/y индекса 6 в N.
Пусть V вновь обозначает 196 883-мерное векторное пространство,
на котором действует G. Томпсон показал сначала, что действие
групп С и N на V определено однозначно с точностью до подобия,
а затем зафиксировал базис пространства V, относительно
которого действие С может считаться заданным однозначно. Таким
образом, действие С Г) N на V вполне определено. Кроме того, элемент а,
нормализующий Ni, определен с точностью до подобия. Томпсон
установил достаточность этих условий для полного выяснения
действия а на V.
Таким образом, единственность сводится к вопросу о том,
обязана ли простая группа G типа Ft иметь неприводимое
представление указанной степени. Нортон получил утвердительный ответ
на этот вопрос. Хронологически его результат представляет собой
заключительный шаг в классификации конечных простых групп!
142 Гл. 2. Известные простые группы
Нортон использовал очень тонкое рассуждение, основанное на
общих связях между компонентами примитивного перестановочного
представления группы и его так называемой «коммутирующей
алгеброй» линейных преобразований*), базис которой получается из
подходящих матриц инцидентности, ассоциированных с данным
перестановочным представлением. (Систематический обзор
указанных результатов можно найти в работе Д. Хигмэна [168].) В
рассматриваемой ситуации Нортон работал с перестановочным
представлением произвольной простой группы G типа Fx, определенным
сопряженным классом 2/ не-2-центральных инволюций группы G
(таким образом, Су ^ F2 для у £ 2/) и ассоциированным с ним так
называемым коммутирующим графом Д. По определению
вершинами А являются элементы из 2/, причем две вершины соединены
ребром тогда и только тогда, когда они коммутируют. Очевидно,
что с помощью сопряжения группа G действует транзитивно на Д,
поэтому можно рассматривать G как транзитивную группу
перестановок на множестве Д. В этом представлении Су совпадает со
стабилизатором вершины у gg/. Известно, что Су—максимальная
подгруппа в G, следовательно, G является в действительности
примитивной группой. Заметим также, что |A| = |G:C | для #g2/,
причем это примерно равно 1020. Поэтому G как группа
перестановок имеет очень большую степень.
Позвольте мне вкратце описать общую теорию коммутирующих
алгебр и матриц инцидентности. Рассмотрим примитивную группу
перестановок X на множестве Q мощности п. Элементы из Q можно
рассматривать как базис комплексного векторного пространства
V, при этом G становится группой линейных преобразований
пространства V и, следовательно, группой матриц размера пХп
относительно данного базиса. Множество всех комплексных матриц А
размера пХп, поэлементно коммутирующих с X, образует алгебру
А (X), называемую коммутирующей алгеброй группы X.
Размерность А (X) над С в точности совпадает с числом неприводимых
компонент (линейного) представления G на V, которое в свою
очередь равно рангу X как группы перестановок на Q (т. е. числу
орбит стабилизатора точки).
Базис для А (X) получается естественным образом. Рассмотрим
действие X на множестве Йхй и обозначим через 61У 62» •••> 6г
различные орбиты группы X на ЙхЯ. С каждой 6t ассоциируется
матрица инцидентности А( размера пхп, строки и столбцы
которой индексируются элементами из £2, причем на пересечении
строки / и столбца k стоит 1 или 0 в зависимости от того,
принадлежит или нет элемент (/, &)£QxQ орбите б/. Так как 6/ —
орбита относительно действия X, то непосредственно видно, что
А( коммутирует с X и потому является элементом коммутирующей
х) Или алгеброй сплетающих операторов.— Прим. ред.
2.10. Группа Грисса — Фишера Ff
143
алгебры А(Х). Кроме того, нетрудно показать, что матрицы Л/,
1 <*'<>, образуют базис алгебры А(Х). В частности, отсюда
следует, что X—группа перестановок ранга г.
Между коммутирующей алгеброй группы X и ее групповой
алгеброй S(X) над С существует прямая связь. Обе алгебры
полупросты и поэтому могут быть разложены в прямую сумму простых
подалгебр (т. е. полных матричных алгебр над С). Особенно важен
для нас здесь тот факт, что степени неприводимых компонент
представления группы X на V (или, что эквивалентно, квадратные
корни из размерностей простых подалгебр в разложении Ъ (X)) равны
кратностям (в подходящем порядке) простых составляющих в
разложении естественного представления А (X). Обратно, размерности
простых составляющих в разложении А (X) равны (в подходящем
порядке) кратностям неприводимых компонент представления X
на V. В частности, если последнее представление не имеет кратных
вхождений, что бывает во многих случаях (и имеет место в
рассматриваемой ситуации для нашей группы G типа i^), то А (X)
разлагается на одномерные подалгебры и поэтому является на
самом деле коммутативной алгеброй.
Другое важное свойство матриц А{ состоит в следующем: для
£> 1 подалгебра (над С), порожденная матрицей Л,., совпадает со
всей алгеброй А (X). Другими словами, полная коммутирующая
алгебра вполне определяется одной матрицей А{ и, следовательно,
любым нетривиальным Х-инвариантным графом на Й.
Понятно, что диагональ множества QxQ, состоящая из
элементов вида (/, /), является Х-инвариантной и совпадаете одной
из Х-орбит (в силу транзитивности X на Q), которую мы
обозначаем через 6V Соответствующая матрица Аг равна единичной.
(Безусловно, последнее отражает тот факт, что тривиальное
представление встречается в качестве компоненты представления X на У.)
Между матрицами инцидентности А{ и Х-инвариантными
графами на & имеется прямая связь. А именно, для каждой матрицы At
определим граф Q( на Q следующим образом: соединим вершины
/, k £ Q ребром тогда и только тогда, когда элемент матрицы At
на месте (/, k) равен 1. Так как А{ коммутирует с X, то
непосредственно видно, что X действует на графе Qt. Обратно,
множество ребер каждого Х-инвариантного графа на Q является
объединением некоторых орбит 6it 1<л<>, с каждой из которых
ассоциирована соответствующая матрица инцидентности Аь 1 ^
^г^г. Таким образом, в действительности имеется взаимно
однозначное соответствие между матрицами Аь 1 ^ i ^ г, и
Х-инвариантными графами на Q, ребра которых группа X переставляет
транзитивно. (Конечно, Ах соответствует (тривиальному) графу
без ребер.)
Наконец, с алгеброй А (X) связано еще одно множество
матриц—так называемые матрицы Хигмэна, определяемые базисом
144
Гл. 2. Известные простые группы
А19 Л2, ..., Аг. Действительно, для всех i, / справедливы равенства
А{А,= ^НтАк, (2.22)
k= 1
где Hi/k—подходящие неотрицательные целые числа. Таким образом,
для фиксированного i матрица Я(/) = (Hi/k) будет целочисленной
матрицей размера гхг. Матрицами Хигмэна группы
перестановок X называются г матриц Я(1), Я(2), ..., Я(г). Их важность
основана на том, что они полностью определяют кратности простых
подалгебр в разложении алгебры А (X) и, следовательно, степени
неприводимых составляющих представления X на V.
Вернемся теперь к нашей простой группе G типа Fx и
коммутирующему графу А. Можно показать, что ранг группы G как
(примитивной) группы перестановок на А равен 8. Таким образом, в
рассматриваемом случае матрицы Хигмэна Я(/) — это восемь
целочисленных матриц размера 8x8.
Конечно, последнее применимо, в частности, к «дружественному
гиганту» Грисса Fx (поскольку он является простой группой типа
FJ. Так как Fx была построена в виде группы комплексных
матриц степени 196 883, то указанное число, очевидно, должно быть
среди степеней неприводимых представлений группы Ft.
Следовательно, согласно приведенному выше обсуждению оно определяется
по матрицам Хигмэна Я(/), ассоциированным с соответствующим
коммутирующим графом для Ft. Если удастся показать
идентичность соответствующих матриц Хигмэна для групп G и Fl9 то по
тем же причинам отсюда будет следовать, что G должна иметь
неприводимое представление степени 196 883. Тем самым будет
завершено доказательство единственности.
Такова теория, лежащая в основе доказательства Нортона
единственности группы Fx. Прежде чем завершить обсуждение,
скажем еще несколько слов о том, как Нортон вел свои рассуждения.
Если у, у' €2/ с [у, у'] = 1у то соответствующий 2-точечный
стабилизатор в G изоморфен группе (2£,6(2)/(Z2xZ2))-Z2 (известно, что 2£в(2)
допускает накрывающую группу с помощью Z2XZ2j а также имеет
внешнюю группу автоморфизмов, изоморфную 23). Кроме того,
очевидно, что три вершины у, у\ уу' попарно коммутируют,
поэтому стабилизатор Y в G этого треугольника изоморфен (2£6(2)/(Z2x
XZ2))-23. Для получения информации о А Нортону
необходимо выяснить структуру орбит группы Y на А—{у, у'', уу'}.
Соответствующий анализ опирается на весьма точную информацию
о строении локальных подгрупп произвольной простой группы типа
Ft, которая должна быть получена заранее.
Таким образом, суммируя все сказанное выше, мы получаем
следующий результат.
2.10. Группа Грисса—Фишера Ff 145
Таблица 2.4. Известные простые группы
Группа G
Л№
, Bn(q),n>\
СМя>2
D„(q),f»3
РМ)
кч)
Ш
Е,(Ч)
Чя)
ЧМ"»
*в2(ц),ч-=ггт
гОМ\«>*
3DAq)
lGM\4*iU
iFA(q),q=iln
%W
A„,n>5
qa,
<?I2V<
♦ r
♦ 1
*l
л/„
A/„
M2i
Mu
Мы
J,
Jz
J3
Л
Порядок С
Группы типа Ли
/П(?г'-1)
f=I
q**h qU~\)
1=1
л~1
^-"(^-l) П (<?2''-l)
q6(q6-\)(q7~\)
^4(^-D(^-1K^-lK^-I)
^(^,2-l)(^-l)(/-I)(?-l)(^-l)(^-l)
(^-IX^4-1)(^2-I)(^,0-1)(^-1X^«1X^-
^iK^-ix^-ix^'-nt^-ix^-tw^-
^♦"/2П(^ч,-(-|)?н)
<?V + n(*~n
^-"(/+1)П(^«-1)
^,l{^+^4+i)(^-i)(^-i)
q2(q*±Wl~\)
<?,2(<7б + П(<74-1)(<73 4-1)(?-1)
Знакопеременные группы
Спорадические группы
7920=24-32-5»П
95040=2б-33-5«П
443520 = 27-32-5-7-П
Ю20О960 = 27.32-5-7-11-23
244823040 = 2,0.33-5-7»П-23
175560 = 25-3.5.7«1Ы9
27-33-52.7
27<35.5-17-19
22I.3^-5-7-l I3-23-29-3l -37-43
d
(/f + 1,^-1)
<2,f-l)
(2,?-I)
(4./-1)
I
I
(3,^-D
-1) <2,<7-l)
1)(<72-1) I
(я + 1,^ + 1)
I
(4, <?" + !)
I
I
I
(3,*+U
146 Гл. 2. Известные простые группы
Продолжение табл. 2.4,
HS
Мс
Suz
Ru
Не
ly
OS
.1
.2
.3
ЩИ)
Л/(23)
Л/(24)'
^5
/5
^2
*i
29-32-53-7-11
27-Зб-53- 7-11
2,3-37-52-7.1ЫЗ
2м-33-53-7-!3'29
2,0'33-52-73-17
2s-3",-56-7- II -31
2ф-34-5-73-1Ы9-31
22,-39-54-72-1ЫЗ-23
2,8-Зб-53«7-11-23
2,0'37-53-7-И-23
2,7-3Q-52-7.I!-I3
2lfi-3,3-52.7-11-13-17-23
22,-3,б-52-7ЧЫЗ-17-23-29
214-35-5б-7-1Ы9
2,5.3,0-53«72'13'19-31 •
24Г.3,3-5б-7ЧЫЗ-17-19-23-ЗЬ47
24в.3*о.59-7в-112-133-17-19-23-29-31 -41 -47-59-71
Теорема 2.89. Существует единственная простая группа
типа Fx.
2.11. Список известных простых групп и их порядков
Таблица 2.4 содержит список всех простых /(-групп вместе с
их порядками. Приведенные группы типа Ли могут быть
непростыми, однако они обладают простой факторгруппой но нормальной
подгруппе порядка d, где d указано в третьей колонке таблицы.
2.12. Формулировка общей классификационной теоремы
В свете предыдущего обсуждения мы можем теперь точно
сформулировать классификационную теорему для конечных простых
групп.
Классификационная теорема. Если G — конечная простая
группа, то она изоморфна одной из простых К-групп,
приведенных в таблице 2.4.
Оставшаяся часть настоящей книги, а также ее продолжение
будут посвящены детальному обсуждению доказательства
классификационной теоремы,
2.12. Формулировка общей классификационной теоремы 147
Таким образом, классификационная теорема показывает, что
типичными представителями конечных простых групп являются
группы типа Ли. Помимо них имеются лишь знакопеременные
группы и 26 спорадических групп. Кроме того, в некотором смысле
знакопеременные группы можно представлять себе как
«вырожденное» семейство групп типа Ли, поскольку симметрические группы
возникают в качестве групп Вейля линейных групп.
Следует добавить, что пока не видно сколько-нибудь
естественного объяснения числу 26. Оно не обладает какими-либо
магическими свойствами вне классификационного доказательства.
Лишь после завершения классификации становится ясно, что 26
обозначает в точности число исключительных простых групп.
Глава 3
ТЕОРЕМЫ РАСПОЗНАВАНИЯ
В § 1.1 уже говорилось о том, что заключительный этап
любой классификационной теоремы связан с отождествлением
изучаемой группы G с некоторой известной простой группой G*. Кроме
того, указанное отождествление производится с помощью
некоторого набора внутренних условий, характеризующих G* среди
простых К-групп. Например, описание групп Конвея в терминах
решетки Лича является внешним, поскольку оно использует действие
групп на геометрии, определение которой дается независимо от
самих групп. Для получения внутренней характеризации любой
из этих групп необходимо либо показать, что решетку Лича можно
реконструировать исключительно по информации о подгруппах
групп Конвея, либо доказать, что их таблицы умножения
однозначно определяются строением их подгрупп.
Обсуждение известных простых групп, приведенное в
предыдущей главе, со всей определенностью указывает на три главных
метода отождествления простых групп:
A. С помощью задания в терминах образующих и соотношений.
B. С помощью действия группы на подходящей геометрии.
C. С помощью примитивного перестановочного представления.
В действительности указанные методы не являются, строго
говоря, различными, поскольку небольшое дополнение или вариация
в рассуждениях позволяют обычно перейти от одного к другому.
Однако в общем случае форма устанавливаемой теоремы
распознавания зависит от природы внутренних условий, которые
предполагается наложить на группу G. Мы уже видели связь между
группами лиевского ранга 1 и дважды транзитивными группами.
Аналогично условие Фишера о транспозициях наиболее
естественным образом ведет к теоремам распознавания посредством геометрий,
особенно тех, которые связаны с группами перестановок ранга 3.
Однако даже здесь, рассматривая исключительные группы над
GF(2), Тиммесфельд предпочел работать с образующими и соотно-
3.1. Группы типа Ли
149
шениями. С другой стороны, для общих классификационных
теорем — особенно с точки зрения централизаторов инволюций —
наиболее полезная форма теоремы распознавания, в частности для
отождествления групп типа Ли, связана с образующими и
соотношениями.
Каждая известная простая группа допускает такую внутрен-.
нюю характеризацию. (Для многих спорадических групп подобные
результаты уже упоминались в гл. 2 при обсуждении
единственности.) В настоящей главе будут описаны некоторые теоремы
распознавания для каждой известной простой группы.
3.1. Группы типа Ли
Тите был первым из тех, кто понял возможность
использования заключений теоремы 2.15 в качестве основы для характериза-
ции групп типа Ли [304]. Он ввел следующую терминологию.
Определение 3.1. Группа G называется (5, N)-napou> если
1) 5, N^G и G = BNB;
2) B()N = H<]N;
3) W = N/H порождается множеством инволюций wh 1 ^ i ^ m;
4) если vt — представитель wt в Л?, то для каждого v 6 N и
любого i, 1^л^т, справедливо включение
Bv BvL В g= (BvB) U {BvvtB)\
5) В^фВ, l<t<m.
Как отмечалось ранее, из приведенных условий следует, что
W — группа Кокстера с определяющим множеством wu l^^m.
В данном контексте W называется группой Вейля для G, а число
т — рангом G.
Определение 3.2. (£, Af)-napa G называется расщепимой, если
B = (Bf\N)U, где U — нормальная нильпотентная подгруппа в В.
Таким образом, в этой терминологии теорема 2.15 утверждает,
что любая группа типа Ли является расщепимой (£, Л^-парой.
С другой стороны, общий анализ (£, N)-nap проводится без каких-
либо предположений о расщепляемости. В действительности Тите
показал, что все (£, Л0-пары ранга не меньше 3 обязательно рас-
щепимы (см. теорему 3.12 ниже).
Понятие параболической подгруппы, введенное в §2.1,
переносится очевидным образом на произвольную (5, Л0-пару G. А
именно, назовем параболическими подгруппы из G, содержащие S,
и все G-сопряженные с ними подгруппы. Как и раньше,
параболические подгруппы могут быть описаны в терминах группы Вейля
W группы G.
150
Гл. 3. Теоремы распознавания
Пусть 9^ = {vt | 1 ^ i ^ т] и для любого подмножества <£Г из ^
положим
Таким образом, Gcp = G и G0=^B. Непосредственно из
определения (£, Л^-пары получается следующее обобщение предложения 2.17.
Предложение 3.3. (i) Если £<y<G, то Y = G^ для
некоторого подмножества S' из f°.
(ii) Если g~, S"^^ с £Гф$~\ то Gj-^G^r,.
(iii) Для любого подмножества ST из Т° пусть N^~ = N [)Ga-
и Sjr—наибольшая нормальная подгруппа в G&-, содержащаяся
в В. Тогда G^=^G^jB^- является (£, N)-napou относительно
своих подгрупп S, Wjr, причем образ семейства \pi\vi$mST\
служит порождающим множеством ее группы Вейля N'^jNjr П В.
В частности, если ST <^f° и \$~\ = г, то это предложение
показывает, что в G имеется ровно 2т~г (параболических) подгрупп,
содержащих G^. Как и в ситуации групп типа Ли, подгруппы Gef
с [cF| = l называются минимальными параболическими
подгруппами.
С параболическими подгруппами Ggj- в G связана естественная
геометрия инцидентности S. Объектами S являются левые
смежные классы gGej- для cF ^ У* и g"gG. Два объекта Xl9 Х2£$
называются инцидентными, если Хг[\ХгФ0.
Понятно, что G действует точно на объектах геометрии %
с помощью левого умножения, причем это действие сохраняет
отношение инцидентности. Поэтому мы говорим, что G индуцирует
группу автоморфизмов геометрии 5. Например, если G^Ln(q)
для некоторых q и /г, то W ^ 2И и можно показать, что
соответствующая геометрия получается из геометрии проективного я-мер-
ного пространства Э*п (q) над GF (q). Более точно, это есть
геометрия флагов в Э*п (<7), где флагом называется множество таких
подпространств Vi9 1^/^/г, в 3*n{q), что V( имеет размерностью
и Vt инцидентно Vi+1 для всех i. Группа G действует как группа
автоморфизмов этой геометрии флагов. (Характеризация Брауэра
групп L3 (q) строением централизатора инволюции также включала
в себя построение основных проективных 3-мерных пространств
Э*ъ (q) (но не геометрии флагов) по свойствам инволюций группы G.
В конечном счете Брауэру удалось показать, что G действует на
3>ъ (q) как группа проективных преобразований, откуда сразу
следовал требуемый изоморфизм G ^L3(q).)
3.1. Группы типа Ли
151
Как показывает пример групп Ln (^/указанные выше геометрии
(В, Af)-nap можно рассматривать как обобщения геометрий п-мер-
ного проективного пространства. Известно, конечно, что
проективное пространство размерности /г^З обязательно является дезар-
говым; кроме того, если пространство конечно, то число точек
на каждой прямой имеет вид рг -+-1 для некоторого простого числа /?,
а соответствующая геометрия совпадает с геометрией Э*п(рг).
Поэтому не должен вызывать особого удивления тот факт, что
упомянутые геометрии (В, Af)-nap в случае, когда G имеет достаточно
большой ранг, могут быть классифицированы и, кроме того, что
такая классификация в свою очередь определяет все возможности
для G.
Полная классификация указанных геометрий инцидентности
ранга не меньше 3 была получена Титсом в его фундаментальной
элегантной работе [307], содержащей исследование
соответствующих геометрий в общем контексте введенных Титсом понятий «бил-
дингов» и «апартаментов». Классификация Титса получила далеко
идущие приложения в теории алгебраических групп —
значительно дальше ее непосредственного значения для теории конечных
групп. Описание его геометрического доказательства даже в
самых общих чертах увело бы нас слишком далеко в сторону. Однако
нам хотелось бы по крайней мере ввести основную терминологию
и указать ее связь с (£, М)-парами так, чтобы у читателя
сложилось некоторое представление о геометрических проблемах,
решенных Титсом. Для этого нам потребуется несколько
предварительных определений.
Определение 3.4. Комплексом А называется множество вместе
с отношением порядка а (читается: «является гранью» или
«содержится в»), удовлетворяющие следующим двум условиям:
1) для любого AgA упорядоченное подмножество всех его
граней изоморфно (как множество) упорядоченному множеству всех
подмножеств некоторого множества;
2) любые два элемента Л, SgA имеют единственную
наибольшую нижнюю границу, обозначаемую через А Г) В.
Каждый комплекс содержит единственный минимальный
элемент, который мы обозначим через 0. Два комплекса называются
изоморфными, если между ними существует взаимно однозначное
соответствие, сохраняющее отношение инцидентности.
Начиная с этого момента, в обсуждении А всегда будет
обозначать комплекс с конечным числом элементов.
Определение 3.5.' Подмножество А' в А называется
подкомплексом в том случае, когда
152
Гл. 3. Теоремы распознавания
а) А' является комплексом относительно отношения порядка,
индуцированного отношением порядка комплекса А;
б) если Л g А', то любая его грань в А содержится в А'.
Определение 3.6. Если Л G А, то число минимальных
ненулевых граней А называется рангом А и обозначается через гк(Л).
Определение 3.7. Для Л^Д множество всех элементов из А,
содержащих Л, относительно индуцированного из А отношения
порядка образует комплекс, называемый звездой элемента Л и
обозначаемый через st(A). Если ZJgst^), то ранг элемента В в st(A)
называется коразмерностью Л в В и обозначается через сосИт^(Л).
Понятно, что Л — единственный минимальный элемент в st(A),
причем codimB (Л) указывает число элементов из А, содержащихся
в В и минимальных среди тех, которые строго содержат Л.
Определение 3.8. А называется камерным комплексом в том
случае, когда выполнены следующие условия:
1) каждый элемент из А содержится в некотором максимальном
элементе;
2) если С, С— два максимальных элемента, то существует
конечная последовательность С=С0, Си . . . 9 Ст=С таких
максимальных элементов, что
codimc.__1 (Cimml П С,) = codimc, (С,., П С,) < 1
для всех i, l^i^m. Максимальные элементы камерного комплекса
называются камерами.
Условие 2 из предыдущего определения говорит в
действительности, что можно переходить от одной камеры к другой некоторым
предписанным образом.
Начиная с этого момента, А будет обозначать конечный
камерный комплекс. Нетрудно доказать, что элемент Л б А имеет одну
и ту же коразмерность в любой содержащей его камере. Эта общая
коразмерность называется коразмерностью Л в А и обозначается
через coding (Л)
Определение 3.9. А называется толстым, если любой элемент
коразмерности 1 содержится по меньшей мере в трех камерах;
А называется тонким, если любой такой элемент содержится ровно
в двух камерах.
Теперь мы можем ввести основной геометрический объект.
Определение 3.10. Пусть А—конечный камерный комплекс
и Л — некоторое множество подкомплексов в А. Пара (А, Л)
называется билдингом, а элементы из А называются апартаментами,
если выполнены следующие условия,
3.1. Группы типа Ли
153
Bl. A—толстый комплекс.
82. Элементы из Л являются тонкими камерными комплексами.
83. Любые два элемента из А содержатся в некотором
апартаменте.
84. Если два элемента А, А' содержатся в двух апартаментах
2, 2', то существует изоморфизм 2 на 2', оставляющий
инвариантными А и А', а также все их грани.
Следующий результат не только показывает значение
введенного определения, но и служит его мотивировкой.
Теорема 3.11. Пусть G—некоторая (£, N)-napa a
A—множество всех левых смежных классов по всем подгруппам из G,
содержащим В, Определим отношение порядка с на А, полагая
gYag'Y', если gY^g'Y' для g, g' £G и подгрупп Y, Y' в G,
содержащих В. Пусть G действует на А посредством левого
умножения. Пусть 2—подмножество {nY\n£N, B^Y} в А и Л —
множество всех образов 2 относительно действия всех элементов
из G. Тогда (А, Л) является билдингом, причем группа G
действует транзитивно на парах, состоящих из апартамента и
содержащей его камеры комплекса А.
Доказательство теоремы почти прямое. Если dT s 9^ и \ £Г \ = г,
то имеется ровно 2т~г параболических подгрупп, содержащих G^-.
Учитывая действие G на А, мы сразу получаем отсюда, что А
является комплексом. Кроме того, gB < gY для g £ G и В <; Y,
поэтому gBzDgY. Таким образом, {gB\g£G}— множество
максимальных элементов из А, причем любой элемент из А содержится
в некотором максимальном. Аналогично элементы коразмерности 1
в А совпадают в точности с минимальными параболическими
подгруппами, содержащими В, и их G-образами. Применяя основные
свойства групп Кокстера к группам Вейля W группы G, можно
показать далее, что А является на самом деле камерным
комплексом, а 2—тонким камерным комплексом.
Следовательно, для завершения доказательства В1 и В2 осталось
лишь показать, что А—толстый комплекс, или, эквивалентно, что
любая минимальная параболическая подгруппа Y ^ В содержит
по меньшей мере три смежных класса по подгруппе В, т. е.
\Y:B\^3. Но это действительно так. В самом деле, в противном
случае В была бы нормальной подгруппой в Y (поскольку все
подгруппы индекса <2 обязательно нормальны). Однако F = G^r,
где Jr = {yt.} для некоторого i, l^i^m. В случае B<C\Y имеем
Bvt = В, что противоречит условию 5 из определения (£, Af)-napbi.
Таким образом, G является толстым комплексом.
Пусть далее gY, g'Y'—два элемента из А. Покажем, что они
содержатся в общем апартаменте. Пусть g"1gr = bnb't где b,b'£B
154
Гл. 3. Теоремы распознавания
и n{~N (такая запись возможна, поскольку G = BNB). Положим
A = gbZ. По определению А является апартаментом и состоит из
элементов gb(nxY^ n±^N, В<УХ. Заметим теперь, что g-Y =
= gb(lY)£A и g'Y' = gbnb'Y' = gb(nY')€A. Таким образом,
условие ВЗ также выполнено.
Предположим наконец, что gY, g'Y' содержатся в двух
апартаментах Л, А'. После сдвига мы можем предполагать, что А = 2,
откуда gy g' g A/'. Применив еще раз сдвиг, мы можем предполагать
также, что g = 1. Таким образом, gY = У, g'Y' = nY', n£N,
содержатся в 2 и х!> для некоторого х g G. Для доказательства В4
нам необходимо построить изоморфизм 2 на х2, оставляющий Y
и пУ' инвариантными. В свете правил умножения в (В, Af)-napax
из условия Y$xZ вытекает, что Y = xn0Y для подходящего n0£N.
Таким образом, замена х на хп0 дает равенство Y = xY.
Следовательно, без потери общности мы можем также предполагать, что
х £ Y. Теперь мы получим требуемый изоморфизм в виде левого
умножения 2 на подходящий элемент из Y.
Действительно, аналогично предыдущему условие nY' £х2 дает
равенство
nY'^xn'Y' (3.1)
для подходящего п' £ N. Так как х g У, то п £ Yn'Y'. Пусть Y == Gef
и Y' = G^->, где <$Г, <£Г' <=1<1/1). Пусть до, до'—образы элементов
/г, п' в W = N/H. Вновь основное правило умножения в (В, Af)-napax
показывает, что до€<с*Г> до' <©Г'>, поэтому w = w±w'w[ для
подходящих дох g <©Г>, Дох б <©Г'>. Но тогда, если /гх — представитель до^1
в Л/, то n/^Y и /г^ёя'У. Поэтому xn1Y = Y и я/^/гУ = /гУ
(используем равенство (3.1)). Из очевидного равенства xnJl=xZ
мы заключаем, что левое умножение на хпх индуцирует
изоморфизм 2 на #2, относительно которого инвариантны элементы У
и nY'. Таким образом, В4 также выполнено. Поэтому (А, Л) в самом
деле является билдингом.
Апартамент gZ целиком содержится в камере (т. е.
максимальном элементе) gB, причем понятно, что gB — единственная
камера, содержащая gZ. Отсюда мы видим, что G действует транзитив-
но на парах, состоящих из апартамента и содержащей его камеры.
Поэтому все части' теоремы 3.11 доказаны.
Эта теорема показывает, что апартаменты билдинга связаны с
группами Кокстера. Таким образом, существенная часть «геометрии
Вейля» встроена в определение билдинга.
Основной результат Титса состоит в полной классификации
билдингов «размерности» не меньше 3. Вместе с теоремой 3.11
она дает следующий фундаментальный результат.
Теорема 3.12. Если G — простая (£, N)-napa ранга не меньше 3,
то G g Chev (p) для некоторого простого р.
3.1. Группы типа Ли
155
Ничего столь определенного нельзя сказать, если G имеет ранг 1
или 2. В самом деле, утверждение, что G является (В, N)-napou
ранга 1, эквивалентно тому, что G действует дважды транзитивно
на смежных классах по В (следствие 2.16). В случае ранга 2 Фейт
и Г. Хигмэн получили с помощью трудного комбинаторного
анализа соответствующих геометрий следующий частичный результат
[92].
Теорема 3.13. Если G является (£, N)-napou ранга 2, то
группа Вейля группы G имеет порядок 4, 6, 8, 12 или 16.
Каждый из указанных порядков реализуется. Действительно,
группами типа Ли лиевского ранга 2 являются группы L3(q),
PSpn(4,q), U*(q), Ub{q), G2(q), Wt{q)% 2F,(2n), а соответствующие
группы Вейля имеют порядки 6, 8, 8, 8, 12, 12 и 16. Случай порядка 4
является вырожденным и встречается в G=G1xG2y где Gi> G2—
некоторые (В, iV)-napbi ранга 1.
Поскольку группы типа Ли являются на самом деле расщепи-
мыми (В, iV)-napaMH, нас вполне удовлетворила бы
классификация таких групп. Теорема Титса очевидным образом охватывает
случай ранга не.меньше 3. Однако расщепимый случай был
разобран без использования его теоремы. Действительно, работы Кристо-
фа Геринга, Зейца и Кантора дают в совокупности классификацию
расщепимых (В, ЛО-пар ранга 1 [166], [196]. Используя эту
классификационную теорему, Зейц и Фонг описали все расщепимые
(By М)-пары ранга 2. На основе полученных результатов,
используя так называемые соотношения Кэртиса — Стейнберга для групп
типа Ли (см. теорему 3.16 ниже), им удалось классифицировать
расщепимые (В, Л^)-пары произвольного ранга. Тем самым они
получили следующую фундаментальную классификационную
теорему:
Теорема 3.14. Если G—простая расщепимая (В, N)-napa, то
G^Chev(p) для некоторого простого числа р.
Мы отложим обсуждение случая ранга 1 до следующего
параграфа, а здесь скажем лишь несколько слов о случае ранга 2.
Прежде всего результаты из [166], [196] для случая ранга 1 определяют
возможное строение параболических подгрупп в G. Далее основная
часть анализа имеет целью продемонстрировать, что две
параболические подгруппы в G похожи на пару параболических подгрупп
в некоторой группе G* типа Ли (имеющей лиевский ранг 2).
Распознавательная часть их рассуждения связана лишь с проблемой
преобразования сходства в изоморфизм.
Основной метод, использованный ими для доказательства
изоморфизма G^G*, состоит в том, чтобы показать однозначность
таблицы умножения группы G, удовлетворяющей заданным условиям
156
Гл. 3. Теоремы распознавания
сходства. Поскольку G*, очевидно, является группой, похожей на
G*, то она также имеет эту таблицу умножения, а потому группы G
и G* должны быть изоморфны. Согласно формулам умножения
двойных смежных классов для G как (В, М)-пары, необходимо
установить лишь следующие факты:
(a) строение групп U и N определено однозначно;
(b) действие Н на U и N на Н определено одно- (3.2)
значно.
Теорема 3.14 охватывает все (простые) группы из Chev (р)
лиевского ранга 2 за единственным исключением группы Титса
r = 2F4(2)', имеющей индекс 2 в (£, ЛГ)-паре 2F4 (2) [306]. Титсу
удалось в ходе доказательства простоты группы Т получить
удачное представление группы 2F4 (2) в терминах образующих и
соотношений. В попытке дать характеризацию группы Т Дэвид Паррот
[233] сначала получил из представления Титса соответствующее
представление для Т. При этом он воспользовался стандартной
процедурой, известной как метод Рейдемейстера — Шрейера для
нахождения представления подгруппы . по представлению всей
группы в терминах образующих и соотношений.
Пусть Ри Р2— две параболические подгруппы в 2F4(2)
(содержащие одну и ту же силовскую 2-подгруппу) и Qu Q2— их
пересечения с Т. Используя свое представление для 7\ Паррот затем
доказал следующий результат [233].
Теорема 3.15. Пусть G— простая группа, S^Syl2(G) и Ru
R2—некоторые 2-локальные подгруппы в G, содержащие S, причем
R{^Qh * = 1, 2. Тогда G^T.
Полученное представление позволило Парроту показать, что
G0=(Ru R2)=T. Отсюда легко следует, что либо G0 сильно
вложена в G, либо G0=G. Теорема Бендера (см. § 4.2) теперь дает нам, что
G=G0^T.
В действительности теорема 3.15 отражает лишь самый конец
рассуждений Паррота. На самом деле 2-локальная подгруппа Qi
совпадает с централизатором 2-центральной инволюции в Г, 02(Qi)—
метабелева группа (т. е. 02(Qi)' абелева) порядка 29 и Qi/02(Qi)—
группа Фробениуса порядка 20. Основная теорема Паррота состоит
в характеризации группы Гв терминах примерного строения Qi.
Он показал, что простая группа G, в которой централизатор Ri
некоторой 2-центральной инволюции очень похож на Qu обязана
быть изоморфной Т. Почти все доказательство посвящено
построению второй максимальной 2-локальной подгруппы R2i
содержащей силовскую 2-подгруппу из Rlf и определению точного
строения групп Ri й /?2.
3.2. Дважды транзитивные группы
157
Следует отметить, что Томпсон использует результат Паррота
в своей классификации ЛЛгрупп [289].
Имеется второй фундаментальный метод распознавания групп
типа Ли посредством их так называемого представления Стейнберга
в терминах образующих Xa(t) и подходящих соотношений.
Действительно, справедлив следующий результат [272].
Теорема 3.16. Пусть G*—универсальная группа Шевалле над
GF (q) лиевского ранга не меньше 2 с системой корней 2,
корневыми подгруппами %а = <^а (0 11 g GF (q)> и подгруппами Яа =
= <^а (0 | * € GF (q) — {0}> для a g 2 — {0}, как это было
определено в § 2.1. Тогда следующие соотношения задают группу G*:
(i) Ха—абелева группа;
(и) На — циклическая группа;
(их) [Ха (t)y Xp (и)] удовлетворяет коммутаторной формуле
Шевалле для всех а, pgS — {0} и tt u£GF(q).
В случае лиевского ранга 1 можно указать аналогичное
представление, включающее (i), (ii) и подходящую замену для (ш).
Кроме того, в качестве составной части своего исследования
скрученных групп Стейнберг показал, что они также допускают
аналогичное представление в терминах образующих и соотношений, на
котором, однако, мы останавливаться не будем. Наконец, Чарльз
Кэртис получил очень удобное уточнение представления
Стейнберга, включающее в себя соотношения лишь между некоторыми
парами корней [74].
3.2. Дважды транзитивные группы
Теория дважды транзитивных групп перестановок
представляет собой одну из наиболее красивых и глубоких глав теории
конечных простых групп. Мы уже отмечали их связь с группами типа
Ли ранга 1. Поэтому дважды транзитивные группы играют
фундаментальную роль в классификационном доказательстве. Хотя их
изучение не позволило обнаружить новые спорадические группы
(за исключением, конечно, известных ранее групп Матье),
волнение, вызванное открытием Судзуки целого семейства таких новых
простых групп, было очень похоже на то, которое сопровождало
рождение любой спорадической группы. В самом деле, вплоть до
того момента, когда Ри показал, что группы Судзуки допускают
интерпретацию в рамках лиевской теории, их самих рассматривали
как семейство спорадических групп. Кроме того, дважды
транзитивные группы заключают в себе то, что вполне может считаться
наиболее трудной изолированной проблемой всей классификации
простых групп — распознавание семейства групп Ри 2G2(3").
158
Гл. 3. Теоремы распознавания
Чтобы дать связную картину развития, мы опишем оба этапа
анализа — как достижение сходства, так и доказательство
изоморфизма. Особое внимание будет уделено последнему, так как
именно он является той частью, которая непосредственно связана
с распознаванием. Однако теория настолько сложна, что даже с
таким ограничением требуется весьма длительное обсуждение.
Прежде всего интересно, что гипотеза Фробениуса об
автоморфизмах простого порядка без неповижных точек имеет сильные
следствия для очень важного класса дважды транзитивных групп —
так называемых групп Цассенхауза. В самом деле, проблема
Фробениуса возникла первоначально при исследовании транзитивных
групп перестановок G на множестве Q , в которых лишь единичный
элемент оставляет на месте более одной точки. Используя
рассуждения из теории характеров, Фробениус доказал, что
одноточечный стабилизатор Я имеет нормальное дополнение £/,
неединичные элементы которого совпадают в точности с теми перестановками,
которые не имеют в Q неподвижных точек [130, теорема 4.5.1].
В частности, отсюда следует, что U транзитивна на Q.
Следовательно, согласно определению этого термина, U является регулярной
(нормальной) подгруппой в G. Из этих условий также следует, что
посредством сопряжения элементы из Я# индуцируют на U
автоморфизмы без неподвижных точек. Таким образом, G=HU — группа
Фробениуса с ядром U и дополнением Я (см. § 1.1). Мы видим, что
гипотеза Фробениуса касается нильпотентности регулярной
нормальной подгруппы U.
Таким образом, в качестве непосредственного следствия
доказательства Томпсона гипотезы Фробениуса мы получаем
следующий разультат о дважды транзитивных группах.
Теорема 3.17. Если G — дважды транзитивная группа
перестановок на множестве Q и лишь единичный элемент из G
оставляет на месте три точки, то G является расщепимой (В, N)-
парой ранга 1 с В в качестве стабилизатора точки а £ й, причем В
будет группой Фробениуса. Кроме того, ядро Фробениуса U в В
действует регулярно на Q—{а}.
Действительно, если В — подгруппа, оставляющая на месте
точку a£Q, то из условия следует, что В транзитивна на Q—{а},
причем лишь единица из В оставляет на месте более одной точки
в й—{а}. Следовательно, по теореме Фробениуса — Томпсона В
является группой Фробениуса с нильпотентным ядром U и
дополнением Я (где Я — одноточечный стабилизатор В на Q—{а} и,
значит, 2-точечный стабилизатор группы G на Й). Понятно, что U
действует регулярно на Q—{а}.
Отметим, что |G:B| = |Q| совпадает со степенью группы G
как группы перестановок.
3.2 Дважды транзитивные группы
159
В середине 1930-х годов Ханс Цассенхауз доказал следующую
характеризацию некоторых дважды транзитивных групп,
удовлетворяющих условиям теоремы 3.17 [324].
Теорема 3.18. Пусть G — простая дважды транзитивная
группа перестановок, в которой лишь единица фиксирует три
точки, и пусть В—стабилизатор некоторой точки. Если ядро
Фробениуса группы В абелево, то G ^ L2 (pn) для некоторого
простого числа р с рп > 3. В частности, последнее имеет место,
если 2-точечный стабилизатор имеет четный порядок.
Теорема Цассенхауза была первой теоремой распознавания.
Прошло почти двадцать лет, прежде чем в полной мере было понято
истинное значение таких теорем для классификации простых групп.
Первоначальное рассуждение Цассенхауза носило геометрический
характер. В своей книге [130, теорема 13.3.5] я привел
доказательство, основанное на образующих и соотношениях, поскольку оно
точнее указывает направление, в котором пошло дальнейшее
развитие. Несколько ниже мы еще скажем несколько слов о самом
доказательстве.
Учитывая работу Цассенхауза, естественно ввести следующую
терминологию.
Определение 3.19. Дважды транзитивная группа перестановок,
в которой лишь единица оставляет неподвижными три точки,
называется группой Цассенхауза или для краткости Z-группой.
По теореме 3.17 в Z-группе G одноточечный стабилизатор В
является группой Фробениуса, так что B — HU, где Н и U
обозначают соответственно дополнение и ядро Фробениуса. В
частности, H[\U = 1. Таким образом, G не только расщепимач (В, N)-
пара, но в Л два сомножителя H = Bf\N и U пересекаются
тривиально. Следовательно, этот подкласс расщепимых (В, N)-nap
представляет естественный интерес.
Определение 3.20. (В, N)-napa называется сильно расщепимой,
если В содержит нормальную нильпотентную подгруппу U,
тривиально пересекающуюся с В f]N, и В = (В (]N)U.
В этой терминологии Z-группа является сильно расщепимой
(В, Л^-парой ранга 1.
Классификация простых расщепимых (В, Л^)-пар ранга 1
проводится в три этапа: сначала рассматривается случай Z-групп,
затем случай сильно расщепимых (В, N)-nap ранга 1, не являющихся
Z-группами, и, наконец, проводится редукция расщепимого
случая к сильно расщепимому. Такова логическая последовательность
анализа. Однако хронологически классификация проводилась
несколько беспорядочно.
160
Гл. 3. Теоремы распознавания
Зейц и Кантор получили редукцию к сильно расщепимому
случаю [196].
Теорема 3.21. Пусть G— расщепимая (В, N)-napa ранга 1,
так что B = HU, гдё*и—нормальная нальпотентная подгруппа
в В и Н — B[\N. Тогда U содержит такую подгруппу U0,
нормальную в Ву что B = HUQ и H[)U0= 1.
Так как U0^U, то U0 также нильпотентна, поэтому в действия
тельности G является сильно расщепимой. Таким образом,
сформулированная теорема сводит классификацию расщепимых (В, N)-
пар ранга 1 к сильно расщепимому случаю.
Пусть • теперь G— простая сильно расщепимая (В, N)-napa
ранга 1, так что B = HU с H = B[)Nt причем U — нильпотентная
нормальная подгруппа в В к Н[\0 =1. Если v—представитель
порождающей инволюции факторгруппы W = N/H, то любой
элемент g$G—В имеет единственное представление вида
g^xt^vu^ где и1У u2£U и х£Н. (3.3)
Назовем (3.3) каноническим представлением элемента g.
Как и в случае ранга 2, таблица умножения группы G
полностью определяется следующей информацией (см. (3.2) из
предыдущего параграфа; заметим, однако, что Зейц и Фонг показывают, что
аналог (с) в случае ранга 2 является следствием (а) и (Ь)):
(a) строением N и U;
(b) действием Я на 0 и v на Я;
(c) каноническим представлением элемента vuv для ' • '
каждого u£U#.
Любой элемент u$U# позволяет получить разложение
vuv = h(u) g (и) vf (и),
где h(u)£H и f(u)t g(u)£U. Получение информации из (с)
равнозначно описанию функций /, g, h. Ассоциативный закон
умножения в группе G дает, к сожалению, несколько неявных
соотношений между /, g", А. Таким образом, чтобы навести полную
ясность в (с), мы должны решить эти неявные уравнения и найти
в явном виде выражения для /, g и h.
Конечно, если задано строение Я и U вместе с действием Я
на U и v на Я, то достаточно определить значения /, g и h на
некотором представителе каждой орбиты Я на (/#.
Сохраним введенные выше обозначения и рассмотрим случай
Z-групп. Элементарное рассуждение дает нам следующие факты.
Предложение 3.22. Если G — простая Z-epynnat то
(i) Я—циклическая группа;
3.2. Дважды транзитивные группы
161
(и) в качестве v может быть выбрана инволюция;
(iii) v инвертирует Я.
Таким образом, строение N однозначно определяется строением
Я, а Я в свою очередь однозначно определяется своим порядком.
Более глубокая информация о строении Z-групп может быть
получена из теоремы Брауэра — Судзуки — Уолла о группах с
диэдральными силовскими 2-подгруппами (в случае четного \Н\
[49]) и из теоремы Фейта (в случае нечетного \Н\ [86]). К
последнему результату Фейт пришел от работы Судзуки о простых
группах, в которых централизаторы инволюций являются 2-группами
(см. ниже).
Теорема 3.23. Если G—простая Z-группа, то
(i) U является р-группой для некоторого простого числа р\
(и) справедливо одно из следующих утверждений:
(1) \H\ = e(\U\ — 1), где 8 = 1 или е = 1/2, и
U—элементарная абелева группа;
(2) U неабелева и \ U:U' |< 4|Я|2+ 1.
Именно в своей части этой теоремы Фейт пришел к основным
идеям относительно «когерентных» множеств характеров, которым
суждено было позднее сыграть столь важную роль в
доказательстве теоремы о группах нечетного порядка. (Доказательство
теоремы Фейта, а также теоремы Брауэра — Судзуки — Уолла
приведено в моей книге [130, теоремы 4.6.5, 15.4.1].)
В абелевом случае легко устанавливается следующий
дополнительный результат.
Предложение 3.24. Если G — простая Z-группа, в которой U
абелева (и, следовательно, элементарная р-группа для некоторого
простого р), то в зависимости от значения е = 1 или е = 1/2
строение группы В = HU определено однозначно с точностью
до изоморфизма.
Ввиду условий (а), (Ь), (с) из (3.4) предыдущие три результата
показывают, что классификация простых Z-групп с абелевой
подгруппой U сводится к описанию функций умножения /, g и h. Суть
теоремы Цассенхауза в том и состоит, что на самом деле /, g и h
определены однозначно (и, конечно, совпадают с соответствующими
функциями для групп L2 (/?")).
Например, в случае р=2 доказываются следующие результаты.
(1) 8=1 (откуда вытекает, что Я имеет лишь одну
орбиту на U#).
(2) Существует однозначно определенный элемент /о ^
u0£U#, такой, что vuQv = u0vu0. ^ ' '
(3) Если u£U# и и = и% для у£Н, то h(u) = y2.
(4) Если u£U*y то g(u) = u-1 и /(ы) = и*<«>-\
6 № 625
162
Гл. 3. Теоремы распознавания
Аналогичные факты справедливы и для нечетного р, хотя они
имеют несколько более сложный вид, поскольку здесь е=1/2 и,
следовательно, Я имеет две орбиты на £/# ((4) остается без
изменения, в то время как (2) справедливо для единственной пары
элементов U0> Uq1).
В своей блестящей работе [278] Судзуки полностью разобрал
неабелев случай для р=2. Соответствующая проблема возникла
несколько ранее при исследовании им простых групп, в которых
централизатор любой инволюции является 2-группой. Действительно,
им было показано, что простая группа G такого типа удовлетворяет
одному из следующих условий-
(1) G^Lg(4) или L-2(q), <7 = 9 или q—простое число Ферма
или Мерсенна;
(2) G является Z-группой, причем в ней ядро Фробениуса U
изоморфно некоторой 2-группе.
На первом шаге своего анализа Z-групп Судзуки посредством
изящного подсчета доказал, что циклическая группа Н должна
переставлять транзитивно инволюции из U. Судзуки спросил
Г. Хигмэна, что он может сказать о строении такой 2-группы U.
Используя так называемые методы колец Ли (см. [130, §5.6]),
Хигмэн получил полную классификацию таких групп [170]. Хотя
его ответ давал четыре возможных типа, Судзуки все же удалось
показать, что лишь один из них может встречаться в ситуации
Z-групп. В частности, \U\=22n для некоторого нечетного целого
числа п и |0 I £|=22Ч-1.
Для любого автоморфизма 0 поля GF (2п), п нечетно, пусть
N (в) обозначает группу порядка (2п—1)22и, элементами которой
являются всевозможные тройки (t, х, у), где t, х, y^GF(2n) и
t=£0, причем умножение определено правилом
(/, х, y)-(ti9 хг, y^ — (ttb xtt + xu xtxx% 4-#tf+e-Hi)-
Заметим, что элементы (1, x, у) порождают нормальную
подгруппу U (в) порядка 2аи. Отбрасывая первую компоненту, мы
видим, что таблица умножения в U (6) задается правилом
(*i У)Л*ь yJ^ix + Xx* Ж1+У + У1).
Судзуки доказывает следующий результат.
Теорема 3.25. Если G—простая Z-группа, в которой ядро
Фробениуса U подгруппы В является неабелевой 2-группой, то
| G: В | = 22и + 11 л нечетно, я > 1, и В ^ N (Q) для некоторого
автоморфизма 6 поля GF (2"). В частности, \ G |«(2я— 1)2?*(22*+ 1).
3.2. Дважды транзитивные группы 163
Понятно также, что U ^ U (8).
Ситуация здесь значительно более сложна, чем в абелевом
случае, поскольку там строение В было определено однозначно, тогда
как теперь оно зависит от значения параметра 6. Таким образом,
Судзуки должен найти не только функции умножения Д g и ft,
но также допустимые значения для 9.
В разборе абелева случая (с р=2) решающую роль играло
существование (однозначно определенного) элемента и0, для которого
vu0v=u0vu0. Поскольку v и и0— инволюции, это равенство
эквивалентно соотношению (vu0)3 = l. Каждое из этих равенств Судзуки
назвал структурным уравнением группы G. Анализ неабелева
случая также использует соответствующее структурное уравнение.
Судзуки доказывает следующий факт.
В группе U имеется единственный элемент и0 порядка 4,
такой, что vu0v=uovul ; кроме того, это равенство эквивалентно
соотношению (vu20)5 = l.
Работая теперь непосредственно с функциональными
уравнениями, которые следуют из ассоциативного закона, Судзуки смог
однозначно восстановить вид Д g, h и 6.
Мы приведем лишь выражение для функции Д В любой Z-rpynne
функция g определяется по / с помощью соотношения g (и) =
=/(и""1)""1 Для ^g£/#. Группа Н имеет 2"+1 орбит на U#, и
значение функции h на £/# задается ее значениями на
представителях каждой орбиты. Кроме того, Судзуки показывает, что эти
орбиты представляются элементами и0, м;г\ и\ и щ1~ги^Ну где и0 —
элемент группы U из структурного уравнения, a t пробегает Я#.
Отождествим U с U (6), так что каждый элемент u$U имеет
вид и = (я, у), х> y£GF(2n). Судзуки показывает, что в качестве
элементов и0, и\ и и^1 можно взять соответственно (1, 1), (0, 1)
и (1, 0), причем их Я-орбиты отвечают вырожденным случаям.
Судзуки доказывает, что
/(0, г/)=(ГТ+Г1, 0),
f(x, 0) = (0, *-(1+0)),
f(x, &+Q) = (x-\ *-<1+0>).
Таким образом, мы можем предполагать, что хфО, уфО,
уфх1+в. Для описания f в этом случае положим сначала
k = k(x, У) = (у(х1+д+уГ1)в-\
(так что k£GF(q)#), и пусть
c(k) = (l+k)(k~i + d-i)t
где d однозначно определяется из уравнения
kl+() + k2a+Q) = da+Q).
6*
164
Гл. 3. Теоремы распознавания
С определенными таким образом k и с Судзуки показывает, что
f(x, y) = (c(k(x, у))х'\ c(k(x, у))у"1).
Сказанное должно дать некоторое представление о том, насколько
тонким был анализ. Следует отметить еще один важный момент.
Судзуки получил равенство 62=2 лишь после того, как нашел
fjgnh. Таким образом, выяснение точного значения 9
представляется скорее «глобальным» вопросом, нежели «локальным».
Следовательно, для любого нечетного п>1 исследование
Судзуки привело к единственному решению. Без ответа оставался лишь
следующий вопрос.
Существует ли на самом деле группа, удовлетворяющая
указанным условиям для заданного нечетного числа п>1?
Другими словами, к этому моменту Судзуки решил проблему
единственности, а проблема существования пока оставалась
открытой. Большое достижение Судзуки частично состоит в том,
что на основе определенного им внутреннего строения
гипотетической группы G он смог в конечном счете построить семейство
простых групп (параметризованное нечетными целыми числами п),
удовлетворяющих первоначальному условию о Z-rpynne.
Определяются они таким образом: рассмотрим следующие
матрицы размера 4X4 над GF(2n), n нечетно:
Пд+е-1
0
0
N
1
а
a1+Q + b
_a2 + Q + ab + be
0 0 0
с*'1 0 0
0 a'*'* 0
0
0 с-1-
0
0 ОП
1 0 0
ае 1 0
Ь а 1
"] f
-о-1
» 1
L
»
]
"0 0 0 П
0 0 10
0 10 0
\ о о о!
где а, 6, c£GF(2n)f п нечетно, /г>1, сфО и 0 — автоморфизм
поля GF(2n) с 92 = 2. Судзуки показывает, что группа G(n)>
порожденная указанными матрицами, является простой 2-группой,
в которой одноточечный стабилизатор В(п) имеет неабелево ядро
Фробениуса U (п) порядка 22п. Группы G (п) образуют семейство
простых групп Судзуки, обозначаемых в настоящее время через
5г(2").
Вместе с теоремой Цассенхауза результаты Судзуки могут быть
выражены следующим образом.
Теорема 3.26. Если G—простая Z-группа нечетной степени
(т. е. в ней \G:B\ нечетно), то G^L2(2n) или Sz(2n) для
некоторого целого числа п.
3.2. Дважды транзитивные группы
165
Случай неабелевой группы U и нечетного р разобрал Нобору
Ито. Он показал, используя модулярные характеры и теорию блоков,
что соответствующих простых Z-групп не существует [183].
Исходное доказательство Ито сначала упростил Джордж Глауберман,
а затем Дэвид Сибли, так что теперь анализ опирается лишь на
обычную теорию характеров.
Теорема Ито завершает классификацию Z-rpynn.
Теорема 3.27. Если G—простая Z-группа, то G^L-2(pn) для
некоторого простого числа р или G ^Sz (2й).
После завершения классификации групп, в которых
централизаторы инволюций являются 2-группами, Судзуки занялся более
общей проблемой описания всех групп, в которых централизатор
любой инволюции имеет нормальную силовскую 2-подгруппу [278]
(это условие в случае 2-группы выполнено очевидным образом).
Вновь первая часть анализа состоит в редукции к 2-транзитивности,
и Судзуки доказывает прямое обобщение соответствующего
результата из предыдущей работы. Действительно, он показывает, что
если G — простая группа, удовлетворяющая указанному условию,
то справедливо одно из следующих утверждений:
1. G^L3(2"), ai>2, или G g*L2(q), где q = 9 либо
q—простое число Мерсенна или Ферма. ,q fi
2. G—сильно расщепимая (В, Щ-пара ранга 1, в ко- '**• '
торой \G:B\ и \H\ = \B[)N\ — нечетные числа.
Для краткости давайте воспользуемся термином С-группа для
обозначения любой группы G, удовлетворяющей части 2 из (3.6).
Оказалось, что классификация С-групп имеет фундаментальное
значение для теории простых групп. В самом деле, классификация
Бендера групп с сильно вложенной подгруппой проводится
редукцией к случаю С-групп (см. § 4.2).
Ввиду важности С-групп для теории простых групп мы опишем
вкратце анализ их строения, который провел Судзуки, хотя лишь
заключительный этап его рассуждения составляет теорему
распознавания. Мы ограничимся лишь случаем простых групп, хотя
индуктивный анализ Судзуки требует решения общей проблемы.
Цель Судзуки — установить следующий результат.
Теорема 3.28. Если G—простая С-группа, то справедливо
одно из следующих утверждений:
(i) G является Z-группой (откуда G ^Ь2 (2") или Sz (2"));
(ii) G~(/3(2»), /i>2.
166 Гл. 3. Теоремы распознавания
(Если отбросить предположение о простоте, то либо G является
расширением L2(2"), Sz(2n) или U3(2n) с помощью циклической
группы автоморфизмов нечетного порядка, либо G содержит
регулярную нормальную подгруппу (и при этом имеет весьма
специальное строение).)
Судзуки может предполагать, что G не является Z-группой,
поэтому его задача — показать, что G изоморфна унитарной группе.
Чтобы понять, какие усилия для этого необходимы, позвольте
мне описать строение С-групп 03(2п), гС^2, как (£, Af)-nap
ранга 1.
1. |£/| = 23п, Я— циклическая группа порядка (22п—l)/d, где
d — З или 1 в зависимости от того, делит или нет 3 число 2Л+1,
и | U3 (2п) | = (l/d) (22«— 1) 23» (23« + 1).
2. Н = Н()Н19 где Я0 и Нг имеют соответственно порядок
2п—1 и (2n+l)/d, причем v инвертирует Я0 и централизует Н±.
3. H0U — группа Фробениуса, причем Я0 действует транзитивно
на инволюциях группы £/.
4. С(/з(2П)(Я1) = Я1х1, где L^L2(2") и Ln
U=Z(U)—элементарная абелева группа порядка 2п (и силовская 2-подгруп-
па в L).
В самом начале анализа Судзуки не знает ни строения Я
(кроме того, что она (разрешимая) группа нечетного порядка), ни
строения U (кроме того, что она нильпотентна), ни действия v на Я.
Кроме того, он не имеет информации о централизаторах в G
подгрупп из Я. Все это должно быть определено прежде, чем можно
надеяться классифицировать группу G с точностью до
изоморфизма. Заметим, что поскольку \Н\ и \G \ В\ нечетны, то Судзуки
знает, что U содержит силовскую 2-подгруппу S группы G.
Как и в случае Z-групп, структурное уравнение вновь играет
ключевую роль. Действительно, на ранних этапах своего
рассуждения Судзуки доказывает существование единственной пары
элементов и0у U!^Uf причем и0—инволюция, удовлетворяющих
соотношению vu0v=Ui1vui. Кроме того, он также убеждается в том,
что
\u0v\=p для некоторого простого /7^3.
Значение р оказывается критическим. Напомним из
предыдущего обсуждения, что /7=3 в группах L2(2") и /7=5 в группах Sz(2n).
Легко проверяется также, что /7=3 в группах U3(2n). Все это
указывает на естественность разбиения исследования на три случая!
/?>5, /7=5 и /7=3. Именно по такому пути идет Судзуки.
Однако сначала ему приходится получить некоторые
вспомогательные результаты о строении Я и ее вложении в G. Судзуки
доказывает следующие факты.
3.2. Дважды транзитивные группы 167
1. Подмножество Я0 элементов из Я, инвертируемых
V, является циклической нормальной подгруппой в Я,
причем ее порядок в точности совпадает с числом
инволюций в группе U.
2. Я0 транзитивно переставляет инволюции из S и
H0U—группа Фробениуса.
3. Если H^ChIv), то Н = Н0Н± с Я0пЯ1==1.
4. Если X—произвольная подгруппа в Н±у то CG(X) v*-'/
содержит такую нормальную подгруппу Y нечетного
порядка, что CG(X)/Y является С-группой (необязательно
простой), одноточечный стабилизатор которой
совпадает с образом С в (X), а соответствующее структурное
уравнение включает в себя то же простое число р, что
и в случае группы G.
Ввиду п. 2 из (3.7) строение S определяется теоремой Хигмэна
(таким образом, для заданного п группа S, если она неабелева, имеет
один из четырех возможных типов). Кроме того, #i=tH, поскольку
иначе В=Н0и — группа Фробениуса, откуда следует, что G
является Z-группой, вопреки предположению. Из п. 4 видно, как в
анализ естественным образом входит индукция. В частности, если
/?>5 (и ХФ1), то CG(X)/Y должна иметь регулярную нормальную
подгруппу, а если /7=5 (и CG(X)/Y не имеет регулярной
нормальной подгруппы), то CG(X)IY содержит нормальную подгруппу
нечетного индекса, изоморфную Sz(2n) для некоторого п.
В каждом из случаев /7>5, /7=5 и /7=3 с элементарной абеле-
вой группой S Судзуки доказывает (поскольку G не является
Z-группой), что G имеет нормальную подгруппу TV подходящего нечетного
простого индекса qt в противоречие с простотой G (более точно, о
тем фактом, что G — минимальный контрпример к более общей
доказываемой им теореме). При этом используется весьма тонкое
рассуждение. Прежде всего он должен описать строение каждой из
следующих групп: Я, Сс(Хх)для 1#XX<#, NR(Q) для Q£Sylg(G)
и S (при /7=5 оказывается, что S либо абелева, либо имеет «тип
Судзуки», т. е. изоморфна силовской 2-подгруппе из Sz(2n) для
некоторого п). Существование ТУ затем следует из подходящей
теоремы о перемещении.
Таким образом, /7=3 и S не является элементарной абелевой.
Используя еще раз нетривиальное индуктивное рассуждение
(вместе g теоремой Хигмэна о 2-группах), Судзуки далее
показывает, что S имеет «унитарный тип», т. е. изоморфна силовской 2-
подгруппе из U3(2n), п^2. Здесь используется рассуждение из
теории характеров, аналогичное по духу тому, которое
использовалось в доказательстве теоремы Фейта [86] для получения равенства
S — U, так что U — вполне конкретная 2-группа. Далее следует
аккуратный анализ строения и вложения подгруппы Я в G. Его
168
Гл. 3. Теоремы распознавания
цель состоит в доказательстве тех же самых условий, которые были
описаны выше для групп U3(2n).
Теперь Судзуки имеет хорошую картину строения подгруппы
B = HU = HS порядка (l/d)(22n—1)23". Действительно, как и в
случае Z-групп, В может быть описана тройками (t, x, у) (правда,
теперь t£GF(22n), t=£0, a x, y(tGF(2n)) вместе с подходящим
правилом умножения этих троек. Вновь для заданного значения п
строение В определяется лишь с точностью до некоторого
автоморфизма 0 поля GF(2n). В реальных группах Иъ{2п) этот
параметр 0 совпадает с тривиальным автоморфизмом.
Таким образом, как и раньше, на заключительном этапе задача
Судзуки состоит в том, чтобы доказать равенство 0 = 1 и показать
однозначную определенность функций умножения /, g и h
группы G. Последнее достигается анализом функциональных
соотношений между /, g и h. Однако при этом приходится преодолевать
значительно более серьезные трудности, нежели в предыдущем
случае, особенно при d=3, поскольку тогда Я имеет три орбиты на
элементах из (U/Z(U))# (в отличие от одной орбиты в случае групп
Судзуки). Для устранения неприятного подслучая требуется
исключительно остроумное рассуждение. Преодолев эти трудности,
Судзуки в состоянии доказать равенство 0 = 1 и получить явные
выражения для f,gnh (на которых мы здесь не будем
останавливаться).
После характеризации унитарных групп U3(2n) в терминах
их строения как сильно расщепимых (В, /V)-nap для Судзуки было
естественно попытаться получить аналогичную характеризацию
групп U3(pn), p нечетно [280]. Помимо всего прочего, так как
последние группы имеют квазидиэдр ал ьные или сплетенные силов-
ские 2-подгруппы (в зависимости от того, будет ли рп^\ или рп=—1
(mod 4)), такая характеризация была бы существенным подспорьем
в последующем описании всех простых групп с указанными силов-
скими 2-подгруппами. На этот раз ввиду большего числа Я-орбит
на U# (зависящего как от /?, так и от п) Судзуки смог разрешить
функциональные соотношения для /, g и h (а затем сделать вывод
0 = 1) лишь в случае, когда рп+\ не делится на 3 (т. е. когда d=l).
Скажем для удобства, что сильно расщепимая (В, iV)-napa
ранга 1 имеет нечетный унитарный тип, если | G:B\ = p*n-\-1,
р—нечетное простое число, и B = HU, где \U\ = p3n, а
Я—циклическая группа порядка (р2п—l)/d с d = 3 или 1 в зависимости
от того, делится или нет рп +1 на 3.
Судзуки доказал следующий результат.
Теорема 3.29. Если G—простая группа нечетного
унитарного типа, в которой |G:B| = /?3"+ 1, р нечетно и рп-\-\ не
делится на 3, то G ^ U3 (pn).
3.2. Дважды транзитивные группы
169
Случай d=3 оставался открытым на протяжении пяти лет после
появления теоремы Судзуки (1964), пока О'Нэн не рассмотрел его
в своей докторской диссертации [226], [227]. О'Нэн следовал
скорее геометрической точке зрения Цассенхауза, нежели подходу
Судзуки с точки зрения образующих и соотношений, причем его
анализ (охватывающий оба случая d=l и d—З) был несомненно
эффективен. Самый первый результат О'Нэна был неожиданным,
поскольку он смог доказать равенство 6 = 1, анализируя лишь
строение В. Таким образом, в унитарном случае автоморфизм 6
определяется «локально». (Так как в случае Z-групп Sz(2n)
получить такой результат не представлялось возможным, то Судзуки
даже не приходила в голову мысль воспользоваться в унитарном
случае локальным рассуждением.) Таким образом, О'Нэн доказал
следующий факт.
Теорема 3.30. Если G—группа нечетного унитарного типа,
в которой |G:jB|==jt73/z+1, р—нечетное простое число, то
строение группы В однозначно определяется тем, абелева или неабе-
лева группа U; в последнем случае В изоморфна подгруппе Бореля
группы U3 (рп).
Далее следует блестящая характеризация унитарных групп в
терминах их так называемых «блок-схем», что само по себе уже
было к тому времени хорошо известной открытой проблемой в
конечных геометриях. Пусть V—трехмерное векторное пространство
над GF (q2), q—степень простого числа, и пусть
/—невырожденная эрмитова билинейная форма на V относительно автоморфизма
Фробениуса xv*x<i,x$GF(q2). (Эрмитовость означает, что f (до, v)=
= f(v, w)* для всех v, до£ V, а невырожденность означает, что если
/ (v, до) = 0 для всех v g V и некоторого до g V, то обязательно до = 0.)
Пусть / обозначает семейство изотропных одномерных
подпространств в V относительно / (v g V называется изотропным, если
f(py v) = 0\ элементы из / называются ниже точками] более
полное обсуждение геометрии классических групп см. в § 4.14.)
Легко проверяется, что / содержит q3-\-l точек, причем
трехмерные унитарные группы U3 (q), PGU (3, q) и Aut (U3 (q))
действуют естественным образом на / как дважды транзитивные группы
перестановок. По определению блоком в / называется множество
изотропных одномерных подпространств, содержащихся в любом
фиксированном неизотропном двумерном подпространстве из V
(т. е. в подпространстве, не состоящем целиком из изотропных
векторов). Таким образом, блок состоит из q+ 1 точек множества /.
Кроме того, существует ровно q* — q* + q2 блоков, каждая точка
из / содержится ровно в q2 блоках, а любые две различные точки
из / лежат в единственном блоке. Совокупность точек и блоков
из / образует (унитарную) блок-схему, ассоциированную с
группой U3 (q). Обозначим ее через 4Lq. Ее автоморфизмом называется
170
Гл. 3. Теоремы распознавания
любое взаимно однозначное преобразование точек из /,
переводящее блоки в блоки. Нетрудно видеть, что Aut (Ua (q)) действует
на 4i q как группа автоморфизмов (откуда Aut (Ua(q))^ Aut (4lq)).
О'Нэн доказывает следующую теорему.
Теорема 3.31. Если 4Lq обозначает естественную блок-схему,
ассоциированную с группой U3 (q), q—степень простого числа,
то Aut (4J,q) = Aut (U3(q)).
О'Нэн связывает геометрию «окружностей» с блоками,
содержащими некоторую заданную точку оо из /, и, анализируя эту
геометрию, он в конечном счете показывает, что стабилизатор
Aut (llq)^ точки оо в Aut (4lq) совпадает с соответствующим
стабилизатором в Aut (U3 (q)). Последнего достаточно для
доказательства теоремы. Оказалось, что дополнением в / к полному
множеству окружностей, имеющих общую касательную, является
прямая из V, так что Aut(4lq)00 состоит из преобразований, сохраняющих
прямые. Это дает ключ, к доказательству, поскольку затем О'Нэн,
используя хорошо известную теорему Дембовского [77], может
заключить, что Aut (41^^ состоит из полулинейных аффинных
преобразований пространства V.
Основным результатом О'Нэна является следующее
утверждение, очевидным образом включающее в себя теорему 3.29 как
частный случай.
Теорема 3.32. Если G—простая группа нечетного унитарного
типа, в которой |G:5|«=/73"+1, р нечетно, то G^Ua(pn).
О'Нэн связывает с группой G определенную блок-схему 41(G)
таким образом, что G действует на 41(G) как группа
автоморфизмов. Действительно, G действует дважды транзитивно на множестве
Q правых смежных классов G по подгруппе В, В—одноточечный
стабилизатор и Н—стабилизатор двух точек. Так как
Я—циклическая группа (порядка (р2п—\))d), то она содержит единственную
инволюцию t. О'Нэн показывает, что Си(^Ф\, а множество Qt
всех неподвижных относительно t точек из Q имеет мощность
1+[Са(/)|. Теперь общая теорема Витта [321] устанавливает, что
множества неподвижных точек Qig, где g пробегает G, образуют
блок-схему на Q. Именно так определяется блок-схема 41 (G).
Очевидно, что
G^ Aut (41(G)).
Подсчет позволяет О'Нэну показать, что каждый блок из 41 (G)
имеет ровно рп+ 1 точек, а две различные точки из Q лежат ровно
в одном блоке. Таким образом, 4i (G) имеет некоторое сходство с
блок-схемой 41рП. Понятно, что на самом деле цель
О'Нэна—установить изоморфизм блок-схемы 41(G) и 41рп (т. е. показать, что
между точками из 41(G) и 41рП существует взаимно однозначное
3.2. Дважды транзитивные группы
171
соответствие, сохраняющее блоки), поскольку тогда из
предыдущей теоремы будет следовать, что G ^U3 (рп) (в силу простоты G).
Теперь становится очевидным значение теоремы 3.30. В самом
деле, если показана неабелевость £/, то подсхемы % (G)^ и (ЭДр«)оо
изоморфны, так что без ограничения общности можно предполагать
их идентичность. (Здесь для единообразия символ сх» обозначает
точку из й, которую стабилизирует S, т. е. сам смежный класс В.)
В обоих случаях—как абелевом, так и неабелевом—группа
U может быть описана парами (х, у), х, y^GF(pn), с подходящим
правилом умножения и предписанным действием для Н. Сопрягая
элементами из G, мы можем блоки из % (G) выразить в терминах
подходящих пар элементов поля. Такие вычисления достаточно
быстро ведут к противоречию в случае абелевой (/. Кроме того,
если d=l и U—неабелева группа, то из похожих вычислений
следует, что 4L(G)0 и (41рп)^ имеют общий блок, где (0, сх>)—две
точки из Q, которые Н оставляет на месте. О'Нэн показывает,
что существование такого общего блока гарантирует изоморфизм
%(G)g±4pn.
Следовательно, к этому моменту О'Нэн получил альтернативное
доказательство теоремы Судзуки и оказался лицом к лицу с более
трудным случаем d=3. Прежде всего он доказывает существование
блока в 41 (G) вида
o<;<(/?»+i)/3,
где со — примитивный корень степени (рп+1) из единицы в поле
GF (р*п), а Ху г], и, v—требующие своего определения элементы
из GF(p2n). В блок-схеме 41рп указанные параметры имеют
значения Х=1, т| = 1, а = 0, р = 0.
Очевидная цель анализа должна состоять в доказательстве
того, что 41(G)- имеет те же значения параметров. Несмотря на
исключительную сложность, доказательство, использующее очень
нетривиальные соображения, весьма элегантно. Прежде всего О'Нэн
связывает с 41 (G) геометрию окружностей Й) по аналогии с
определением геометрии окружностей # для 41рП. Кроме того, он
показывает, что 41рП и 41(G) связаны «локальным изоморфизмом»
(определение мы опускаем), что позволяет ему перенести
информацию о # на S).
Оказывается, что геометрия окружностей S> зависит от
значений х = №п+{)/3 и ^ = т](р',+ 1)/з> Так что из равенства х = у=1
будет следовать # = .©. Используя установленные к тому времени
качественные свойства *2>, О'Нэн получает в конечном счете
следующие два полиномиальных уравнения, которым должны удовлет-
172
Гл. 3. Теоремы распознавания
вор ять х и у\
x3y + 2xy2 + x2y—y3 — 3xy + 2x2 + y2 + iy—5x—2 = 0y
ху3 + 2х2у + ху2—х3—Зху + 2у2 + х2 + 4х—5у—2 = 0.
Если рф5, то (ху у)==(\у 1) является единственным решением.
Однако при /7=5 решениями являются также пары (1,2), (2,1) и (3,
3), так что для устранения этих возможностей необходим
дополнительный анализ. Наиболее трудный случай связан с /7=5 и я=1.
Поскольку несколько ранее Харада дал характеризацию группы U3 (5)
[161], О'Нэн решил использовать его результат, чтобы избежать
вычислений в этом случае.
Наконец, СГНэн показывает, что u==v = 0. Теперь равенство
% = <g) позволяет ему заключить, что (^р«)0 и 4L (G)0 имеют общий
блок, а полученное ранее достаточное условие влечет за собой
<Upn = cU(G). Следует отметить одну любопытную деталь
вычислений: насколько мне известно, во всей теории конечных групп лишь
здесь используется интегрирование по контуру \ В одном месте
О'Нэн должен вычислить весьма сложное рациональное
выражение от со. Рассматривая со как независимую комплексную
переменную и вычисляя стандартным образом вычеты, он приходит в
итоге к некоторому соотношению над Z[co]. Факторизуя это кольцо
по подходящему простому идеалу, он получает нужное
соотношение для со в GF (р2п)у где теперь со уже является первоначальным
примитивным корнем степени рп+\ в поле GF (р2п).
Вернемся теперь к группам Судзуки Sz(2n), п нечетно, с точки
зрения их действия на четырехмерном векторном пространстве V
над GF(2n) относительно подходящего базиса vly v2, v3> c/4. Если
/—билинейная форма на У с матрицей
О 0 0 11
0 0 10
0 10 0'
.1 0 0 0J
то простая проверка показывает, что / инвариантна относительно
порождающих матриц группы Sz(2n). Поскольку
/—невырожденная кососимметрическая форма, то Sz(2n) является" подгруппой в
симплектической группе С2 (2й). Так как С2 (2п) =i В2 (2"), то группы
Судзуки являются также подгруппами ортогональны^ групп В2(2п).
Потребовался такой опытный специалист в лиевской теории, как
Ри, чтобы понять возможность описания этих подгрупп в терминах
неподвижных точек подходящего автоморфизма периода 2 с
использованием предложенного Стейнбергом процесса скручивания.
Полезно будет описать относящиеся сюда вычисления, поскольку они
дают хорошую иллюстрацию основных идей Стейнберга.
№. "/))-
3.2. Дважды транзитивные группы
173
Ассоциированная с В2(2п) алгебра Ли В2 имеет четыре
положительных корня ос, р, a-f|3, oc + 2p. Таким образом, В2(2п)
порождается своими силовскими 2-подгруппами U, V
U = <Xa(t), Хь(и\ Xa+p(v)t Ха+2РИ>,
У = <Х-а(0. Х_3(и), Х_а.3(у), Х_а_2,И>,
где /, и, v, w^GF(2n), a Xv(/)—обычные корневые элементы,
порождающие корневые подгруппы %у = <XY (t) \t £ GF (2")>.
В характеристике 2 обе подгруппы %а+/з и %а+2р лежат в центре
U, так что коммутаторные формулы Стейнберга в группе U
сводятся к единственному тождеству
[Ха (*), Х(3 (и)] = Ха+Р (to) Ха+2Р (to2). (3.8)
Диаграмма Дынкина (без весов) для В2 имеет симметрию
периода 2, переставляющую корни а, |3 и корни а+р, а+2р. В
характеристике 2 и только в этой характеристике указанная симметрия
поднимается до автоморфизма т группы £2(2"), задаваемого
правилами
Xa{t)^X^{t\ Xfi(f)H>Xa(f),
т: ха+3 (0^ха+2Э(о, ха+2Р (Оь-ха+р (г2),
с аналогичным определением т на У.
Непосредственная проверка показывает, что автоморфизм т2
является образующей циклической группы порядка п полевых
автоморфизмов группы В2(2п), индуцированных группой Галуа поля
GF(2n). Таким образом, циклическая группа <т> порядка 2n, n
нечетно, содержит единственную инволюцию. Следовательно,
существует однозначно определенный автоморфизм ф поля GF(2n),
такой, что если тф—индуцированный им полевой автоморфизм
группы В2(2"), то а = т-тф имеет период 2. Прямое вычисление
показывает, что
2Ф2=1 (3.9)
и что
Ха(*)н»*з('2ф)> ХрЦ)^Ха(П
0: Ха+3 (*)н>Ха+1Э (t% Ха+2Р (*)н>Ха+э (/■*).
Заметим, что из равенства ф(2ф)=1 следует ф~х = 2ф, поэтому
если положить 0 = ф~"1, то
92 = 2 и 0 = 2ф. (3.10)
Общая теория Стейнберга утверждает, что подгруппа В2(2п)а
неподвижных точек автоморфизма о на В2 (2п) порождается своими
силовскими подгруппами Ua, V0, где Ua = Си (a), Va = Cv (а)
(см. § 4.14). Таким образом, Ua—множество элементов вида
Хр (0 Ха (и) Xa+J3 (v) Ха+ар И, t,u,v,w € GF (2"),
17 4 Гл. 3. Теоремы распознавания
которые централизует о. Применяя о к этому выражению и
используя коммутаторное тождество (3.8) вместе с тем фактом, что
<Ха+э(с/), Ха+2|3(а>)><Z(U) и 2ф2=1, мы находим, что
Uа = <Х3 (и*) Ха (и) Ха+Р (w + u*+1) Ха+2Р (w*<?) \utw£GF (2")>. (3.11)
Теперь мы должны найти интерпретацию (3.11) в терминах
матриц размера 4x4 над GF(2n). Для этого построим сначала
нашу группу Шевалле В2(2п) из естественного четырехмерного
представления алгебры Ли В2. Замечаем, что универсальная группа
Шевалле В2 (К) над любым полем К характеристики 2 имеет
тривиальный центр, поэтому построение приводит к самой группе В2 (2").
Выясняется, что в заданном представлении корневые элементы
*а» х$> *а+р» *а+2р алгебры Ли представляются следующими
матрицами:
Чх + 0'
0 0 0 0"
10 0 0
0 0 0 0
.0 0 10.
"0 0 0 0"
0 0 0 0
10 0 0
0 10 0.
*/3:
са+20•
0 0 0 0"
0 0 0 0
0 10 0
0 0 10.
"0000
0 0 0 0
0 0 0 0
.1 0 0 0J
(Обсуждение теории представлений простых алгебр Ли см. в [186,
гл. /].) Каждая из этих матриц имеет нулевой квадрат.
Следовательно, вычисляя Xv(^) = exp(fov) = 1 -\-txy, у—некоторый корень,
t£GF(2n), мы находим, что корневые подгруппы Xa(t), X$(t),
Xa+$(t)t Xa+2$(t) представляются следующими матрицами:
Xa(t):
La+0
(')'
10 0 0"
0 10 0
0*10
.0 0 0 1.
10 0 0"
0 10 0
/010
L0 t 0 1.
Xp(0:
•Xqs+20 (t):
"10 0 0"
t 1 0 0
0 0 10
.0 0/1.
"10 0 0"
0 10 0
0 0 10
./0 0 1.
(3.12)
Наконец, положим а = и и й = а^ + ааф+1 в (3.11) и заметим
далее, что
w = (Ь + a2*+1)v-1 = Ьщ + а2ф+а. (3.13)
3.2. Дважды транзитивные группы
175
Теперь используя (3.10) — (3.13), мы видим, что Ua
представляется следующим образом:
1 0 0 01
а 1 0 0
О 0 1 О Г
.0 0 a lj
П 0 0 01
0 10 0
'6010'
L0 Ъ 0 lj
откуда следует, что
/Г 1 0 0 01
п / \ а 10 0
и°: \ а1+«+Ь а* 1 О
\la2+Q+ab + bn b a lj
Таким образом, представление Ua матрицами размера 4x4
идентично силовской 2-подгруппе группы Sz(2n) в определении
Судзуки. Аналогично представление Va идентично силовской
2-подгруппе из Sz (2П)> задаваемой верхнетреугольными матрицами.
Поэтому
Sz (2») = <£/*, VG>.
Как отмечалось ранее, группы G2 (3n) и Fi (271) также имеют
дополнительный автоморфизм, аналогичный описанному выше
автоморфизму группы £2(2"). Достигнув понимания того, каким
образом группы Судзуки могут быть построены из групп В2(2П),
Ри понял также, что процесс Стейнберга можно повторить для
G2 (3я) и F4 (2n) с нечетным п, получив на этом пути два других
(новых) семейства простых групп [238], [239]. В первом случае,
поскольку G2 имеет лиевский ранг 2, неподвижные точки
соответствующего автоморфизма а образуют группу лиевского ранга
1 и, следовательно, сильно расщепимую (£, УУ)-пару ранга 1.
В соответствии с лиевскими обозначениями получающаяся в
результате группа обозначается символом 2G2(3"), n нечетно.
(Аналогично второе семейство Ри обозначается через 2F4(2"); его члены
имеют лиевский ранг 2.)
Здесь нас интересуют лишь группы лиевского ранга 1 и, в
частности, группы 2G2(3W). Суммируя результаты Ри, мы
получаем следующую теорему.
Теорема 3.33. Группы 2G2(3"), n нечетно, являются простыми
для п > 1 и имеют следующее строение как (В, Щ-пары\
U„:
1 0 0
0 1 0
0 а8 1
0 0 0
0
0
0
1.
1 0 0 0
0 10 0
0 0 10
ае+2 + &е о 0 lj
a, b£GF(2n)
/'
a, b€GF(2")
176
Гл. 3. Теоремы распознавания
(i) В = #£/, где |[/| = 33" и Н — циклическая группа порядка
3" J-
(и) 12G2 (3") | = (3"—1) З3- 1);
(iii) |0(Я)| = у (3й—1) и 0 (H)U —группа Фробениуса\
(iv) если а — инволюция из Н', то
C2G2(3n)(a)^Z2xL2(3");
(v) 2^2 (3") имеет элементарные абелевы силовские 2-подгруп-
пы порядка 8.
(Группа 2G2(3) изоморфна Aut(L2(8)), которая имеет (простую
нормальную подгруппу индекса 3.)
Теорема указывает на вполне определенную параллель с
унитарным случаем, хотя теперь уже группа U имеет класс 3 (а не
2). Заметим также, что в 2G2 (3") как в дважды транзитивной
группе степени 33"+Л фиксирующая три символа подгруппа имеет
порядок 2, так что эти группы являются «почти» Z-группами.
Здесь нас интересует утверждение, обратное к теореме 3.33:
характеризуются ли группы Ри пятью условиями этой теоремы?
Другими словами, если мы назовем произвольную сильно расще-
пимую (5, Af)-napy, удовлетворяющую сформулированным
условиям, группой типа Ри, то нам хотелось бы доказать, что группы
типа Ри исчерпываются самими группами Ри.
Как уже отмечалось, доказательство такого утверждения
столкнулось с огромными трудностями, а полное решение заняло
примерно пятнадцать лет. Томпсон заинтересовался проблемой вскоре
после открытия групп Ри, поскольку ему стало ясно, что
классификация простых групп с абелевыми силовскими 2-подгруппами не
может быть завершена без предварительной классификации групп
типа Ри. На протяжении десяти лет Томпсон делал героические
усилия с целью показать, что единственными группами типа Ри
являются сами группы Ри 2G2(3"). Его анализ следовал той же самой
общей схеме с функциональным уравнением, которая
использовалась при исследовании линейных и унитарных групп, а также групп
Судзуки. Однако даже в самих группах Ри функции умножения
fug имеют безнадежно сложный явный вид, включающий в себя
буквально сотни членов (в полном отличии от других случаев).
В действительности Ри удалось построить свои группы без полного
описания fug, указывая лишь их значения на некоторых весьма
специальных Я-орбитах группы U.
В общей сложности Томпсон написал три статьи о группах типа
Ри, редуцировав в конечном счете их классификацию к проблеме
о решениях некоторой системы уравнений с коэффициентами в
GF(3") [290]. В первой статье он определяет возможное строение
подгруппы В. Окончательный ответ, хотя он имеет несколько бо-
sJiee сложный вид, совершенно аналогичен тому, который был по-
3.2. Дважды транзитивные группы
177
лучен в случае групп Судзуки. В самом деле, для любого
автоморфизма 6 поля GF(3n), n нечетно, пусть N(Q) обозначает группу
порядка (3"—1)33", элементами которой являются четверки (t, х, у, г),
где t, х, у, z£GF(3n) и t^O, причем умножение задано правилом
(t, х, у, z)-(tx, хи у19 г1) = («1> х^+х19 yt\+' +yl+xt1-xf—x?ttxlf
zt^+2+z1 + ytQ1+1xl + xQtQ1'^ + xtlx^1—xH21x^.
Томпсон доказывает следующий результат.
Теорема 3.34. Если G — простая группа типа Ри, в которой
| G : В| = Згп + 1, п нечетно, то В ^N(9) для некоторого авто-
морфизма 9 поля GF(3n).
Аналогично равенству 92 = 2 в группах Судзуки, в реально
существующих группах Ри выполняется равенство 92 = 3, где 3
обозначает автоморфизм Фробениуса х*-*х* для x£GF(3n).
Таким образом, вновь классификационная проблема сводится к
нахождению /, g, h и 9.
Во второй статье Томпсон пытается разрешить неявные
функциональные уравнения для f, g, h и 9. С большим трудом он
находит систему полиномиальных уравнений над GF (3м), которым
удовлетворяет 9 (однако 9 входит в показатели). Точнее говоря,
он доказывает следующие факты.
Теорема 3.35. Пусть G—простая группа типа Ри с В ^ N (9)
для некоторого автоморфизма 9 поля GF(3n), n нечетно. Тогда
справедливы следующие утверждения:
(i) 9—образующий циклической группы Aut (GF (3*)).
(И) Существуют два целых числа а и s, а четно и s нечетно,
такие, что xiQ+1)a =x2 и x^Q+2)s = x для всех x€GF(3n). •
(Hi) Пусть Е —множество всех троек (г, у, и) с г, у,
u£GF(3n) и zy^=0, таких, что
ге+2_^е+2==_1> ге+1_ув+1 = и;
Тогда на Е справедливо следующее тождество:
z (и— \)а - (г — у + 1) иа — у (и + 1)" + (и2 — 1)а = 0.
Несмотря на сложность этой системы соотношений, Томпсон
чувствовал, что они определяют строение групп типа Ри. Однако
ему удалось продемонстрировать этот факт лишь в частном важном
случае, когда по предположению 92=3. Вновь с большим трудом,
используя теорему 3.35 (вместе с другими результатами из второй
своей статьи), Томпсону удалось показать, что таблица умножения
группы G определена однозначно.
Теорема 3.36. Если G—простая группа типа Ри с В & N (9)
и О2 е= 3, то G ^ 2G? (3") для некоторого нечетного п.
178
Гл. 3. Теоремы распознавания
(Неявно в его доказательстве теоремы 3.36 присутствует тот
факт, что для любого выбора образующей Э группы Aut(GF(3n))
существует не более одной группы G типа Ри с B^N(Q).)
Статьи Томпсона датируются 1967, 1971 и 1977 гг., указывая,
что эта проблема занимала его внимание долгое время. Вскоре
после выхода третьей статьи Марк Хопкинс, обучавшийся под
руководством Судзуки, показал в своей диссертации, используя ЭВМ
Университета шт. Иллинойс, что для п ^ 29 действительно должно
выполняться равенство 62=3 [180]. Однако проблема доказательства
соотношения 62=3 в общем случае оставалась открытой до тех пор,
пока весной 1979 г. ее решением не занялся Энрико Бомбьери —
как раз в тот момент, когда Томпсон прекратил дальнейшие
попытки. Мне было очень приятно узнать, что интерес Бомбьери
стимулировался одним замечанием в более ранней обзорной статье [132],
выросшей в настоящую книгу, суть которого состоит в том, что
проблема о группах Ри «доступна для неспециалистов (в теории
конечных групп)».
Бомбьери занялся уравнениями Томпсона с позиции
классической теории исключения [36]. Успешно исключив переменные а, и> у,
он в конечном счете получил соотношение вида
Я (г, ze, z*\ ..., ze*) = 0,
где Я(г0, г19 ..., гк) — многочлен от& + 1 переменных, не равный
тождественно нулю, со следующими ограничениями:
ft = 4 и degz,(tf)<310, 0<*<£.
Несмотря на неполноту информации о точном виде
многочлена Я, Бомбьери удалось использовать ее для получения
конкретной информации об автоморфизме 9, а именно он доказал, что
существуют целые числа т и Я, удовлетворяющие условиям
1<т<£ и 3IM<max{deg,f (Я)},
такие, что 6W = 3\ В свете полученных ранее ограничений на k и
deg Zi iff) это дает
m<4 и |Я|<9.
Заметим, что тем самым получено ограничение числа
возможностей для 6, не зависящее от числа элементов основного поля
GF(3«).
Теперь с этими явными значениями для Qm Бомбьери повторил
весь процесс исключения, получая новое полиномиальное
соотношение
К (г, ге, ..., 2»т-1) = 0.
Указанная алгоритмическая процедура дает либо ограничение на
П в случае тождественно нулевого многочлена К, либо решение для
3.2. Дважды транзитивные группы 179
6 вида 6^=3Я, |Я|^9. Если Зп достаточно велико, то для устранения
последней возможности Бомбьери использовал классическую
теорему Безу о числе пересечений двух алгебраических кривых в
двумерном проективном пространстве. Кроме того, в большинстве
случаев он мох:ет показать, что К не равен тождественно нулю. В
общей сложности (кроме случая 92=3) остается ровно 178
нерассмотренных случаев, в каждом из которых п ^83.
Эндрю Одлизко и Хаит независимо проверили все эти 178
случаев (соответственно на ЭВМ Bell Laboratories и Университета
Нового Южного Уэльса, Австралия) и в каждом случае получили
противоречие [36].
Таким образом, нахождение Э было завершено.
Теорема 3.37. Если G—простая группа типа Ри с B$<N(B),
то 62 = 3.
Последний результат вместе с теоремой 3.35 дают нам, наконец,
требуемую характеризацию групп Ри.
Теорема 3.38. Если G— простая расщепимая (В, N)-napa
типа Ри, то G £ё 2G2 (Зп) для некоторого нечетного целого числа п.
Представляется интересным вопрос о том, можно ли
геометрический подход О'Нэна к унитарным группам приспособить к
группам Ри, чтобы получить другое (и, возможно, более простое)
доказательство теоремы 3.38. Безусловно, по сравнению с унитарными
группами это значительно более сложная задача, поскольку в
случае групп Ри число орбит Н на U существенно больше, чем в
унитарном случае, U имеет класс 3(а не 2), а параметр 6, от которого
зависит строение В, не может быть определен заранее.
На основе обсуждавшихся выше частных классификационных
теорем теперь можно рассмотреть общую проблему о сильно расще-
пимых (By N)-napax ранга 1. Описание всех таких групп само по
себе было весьма трудным и, в частности, использовало рассуждения
о локальной редукции того же общего вида, как те, что применялись
Судзуки в анализе унитарного случая. Бендер, Геринг, Кантор,
О'Нэн, Зейц, Эрнест Шульт и Судзуки изучали различные аспекты
этой проблемы. Объединение их усилий (вместе с теоремой 3.21)
дает полную классификацию расщепимых (В, N)-nap ранга 1.
Мы сформулируем их результат лишь в случае простых групп.
Теоред^ 3.39. Еслц, Q — продтая расщепимая (В, N)-napa
ранга 1, то 6&&L2(q), Us(q), Sz(2n) или 2G2(3n), п нечетно, п> 1.
Мы завершим обсуждение формулировкой фундаментальной
теоремы О'Нэна о строении произвольных дважды транзитивных
групп [229]. 5уде{д называть Y голоморфом простой группы X, если
X^y^Aut(X). Говорят, что произвольная группа перестановок
180
Гл. 3. Теоремы распознавания
X на множестве Q действует полурегулярно на Q, если каждая
орбита группы X на Q имеет мощность \Х\. В частности, если X имеет
лишь одну орбиту (что дает ее транзитивность на Q), то она
действует регулярно на Q.
Теорема 3.40. Если G—дважды транзитивная группа
перестановок, действующая на множестве Q, то справедливо одно из
следующих утверждений:
(i) одноточечный стабилизатор группы G на Q является
локальной подгруппой в G;
(ii) одноточечный стабилизатор группы G на Q является
голоморфом некоторой простой группы.
Теоремы Дерека Хольта и О'Нэна определяют возможности для
группы G во многих локальных случаях [178], [228].
Теорема 3.41. Пусть G—дважды транзитивная группа
перестановок на множестве Q, причем G не содержит
нетривиальных абелевых нормальных подгрупп, действующих регулярно на Q.
Предположим, что одноточечный стабилизатор G, группы G на
Q является локальной подгруппой в G, причем выполнено одно из
следующих условий:
(a) |й| ( = \G : G1\) — нечетное число;
(b) Gj—разрешимая группа;
(c) Gt имеет абелеву нормальную подгруппу, которая не
действует пол у регулярно на Q— {1}. Тогда G изоморфна Ln(q) для
некоторых п и q, U3 (q) для некоторого q, Sz (2m) или 2G2 (3m)
для некоторого нечетного т.
Предполагая, что разбор локального случая и случая
регулярной нормальной подгруппы может быть завершен, мы видим, что
теорема 3.40 дает веские соображения в пользу того, что из
описания всех простых групп получится в качестве следствия полная
классификация всех дважды транзитивных групп перестановок.
3.3. Знакопеременные группы
Существует классическое задание знакопеременных групп в
терминах образующих и соотношений, которое может быть
использовано для распознавания их в любой конкретной
классификационной проблеме. Оно строится естественным образом из
симметрической группы, степень которой на 2 меньше, используя
инволюции (12) (34), (12)(45), ..., (12)((/г—1) п) и присоединяя к этому
множеству 3-цикл (123). Таким образом, справедлив следующий
результат.
3.4. Спорадические группы 181
Теорема 3.42. Если группа G порождается элементами хг,
х2, • • • > *л-2> удовлетворяющими лишь соотношениям х{= 1, х?= 1,
2<*<я—2, (x,x/+1)s=l, 1<1<л —3, и (д:1.д:/)а= 1, 1<*<
</г—4, i+l</, то G^An.
Доказательство этой теоремы вместе с соответствующим
заданием 2П образующими и соотношениями можно найти в книге
Бертрама Хупперта [181, с 137—139].
3.4. Спорадические группы
Обсуждение в предыдущей главе показывает, что спорадические
группы, построенные из централизатора инволюции, имеют
удовлетворительные характеризации, если установлено их
существование и единственность. Аналогично спорадические группы ранга
3 достаточно хорошо характеризуются своими одноточечными
стабилизаторами вместе с указанием их действия на трех орбитах.
Таким образом, нам остается лишь рассмотреть пять групп Матье
и три группы Конвея.
А. Группы Матье
Интересно, что первая характеризация группы М1г была
получена в 1872 г. Камиллом Жорданом [194], доказавшим следующий
результат.
Теорема 3.43. Если G — четырежды транзитивная группа
перестановок, в которой лишь единичный элемент оставляет на
месте четыре символа, то G^24, Еб, Л6 или Мп.
Сформулированный результат был обобщен М. Холлом на
случай, когда оставляющая на месте четыре символа подгруппа имеет
нечетный порядок — в заключительный список следует добавить
лишь группу Л7 [154, теорема 5.8.1]. Доказательство делится на
случаи п^.7 и п^8, где п — число символов, на которых действует
группа G. В последнем случае доказывается, что /г=1Ьи G
порождается специфическим множеством перестановок. Это означает, что
G определяется однозначно указанными условиями (при /t>8),
а так как Мг1 удовлетворяет всем соответствующим условиям, то
G&Mu.
Были получены характеризации групп Матье как с помощью
строения централизатора некоторой 2-центральной инволюции
(для Мп соответствующую характеризацию получил Брауэр 140],
[42]; для М12 — Брауэр и Фонг [45]; для М22 и М23 — Янко [190];
для М24— Хелд [165]), так и с помощью порядков групп Матье
(Ральф Стэнтон — ученик Брауэра в конце 1940-х годов — получил
соответствующий результат для М12 и УИ24 [267]; Паррот и У. Уонг —
182
Гл. 3. Теоремы распознавания
для M-ii [232, 323]; Паррот и Анита Брайц в своих докторских
диссертациях, выполненных под руководством Янко,—
соответственно для М22 и М23 [232], [50]).
Мы сформулируем лишь последние результаты.
Теорема 3.44. Если G—простая группа порядка \Мп\, п =11,
12, 22, 23 или 24, то G^Mn.
В каждом случае можно использовать примерно одни и те же
рассуждения. Из порядка группы G и условия простоты сначала
находится ее полное локальное строение и сопряженные классы
элементов. Отсюда определяется вид таблицы характеров. Теперь с
использованием трюка Брауэра строится подгруппа G± индекса п.
Перестановочный характер группы G на смежных классах по Gi
имеет вид Iq+%, где % — неприводимый характер, откуда следует,
что G действует дважды транзитивно на смежных классах по Gi.
Наконец, используя это перестановочное представление и таблицу
характеров, доказывается, что некоторые элементы из G
представляются специфическими перестановками, что вновь означает
однозначную определенность таблицы умножения группы G. Таким
образом, G определена однозначно своим порядком. Поскольку Мп —
простая группа того же самого порядка, то G^Mn.
В. Группы Конвея
Характеризации групп Конвея централизаторами их
инволюций используют теоремы распознавания двух различных типов:
(a) через построение ассоциированного графа;
(b) через построение решетки, исходя из внутренних свойств
группы.
Фредрик Смит [259] доказал следующее утверждение.
Теорема 3.45. Если G—некоторая группа с О (G) = Z(G)= 1,
в которой централизатор С некоторой инволюции 2-сковану 02(С)—
экстраспециальная группа порядка 29 и С/02 (Q ^ Sp (6, 2), то
Рассуждения Смита следуют описанной в § 2.4 характеризации
Паррота и С. К. Уонга группы Мс централизатором инволюции.
С помощью общих методов 2-локального анализа Смит определяет
картину слияния инволюций и порядок группы G (используя
формулу Томпсона для порядка). Затем тонким рассуждением с
образующими и соотношениями он показывает, что G должна содержать
подгруппу #0 со строением (£, /У)-пары. Известные теоремы
позволяют ему идентифицировать Я0 с U6 (2). Показывается, что
группа H=NQ(H0) — единственное расширение группы U6(2) посред-
1.4. Спорадические группы 183
ством внешнего автоморфизма порядка 2. Используя лишь
локальные рассуждения, Смит далее доказывает
Предложение 3.46. G является примитивной группой
перестановок ранга 3 на смежных классах по подгруппе Н с подстепе-
нями 891 и 1408.
Наконец, Смит доказывает единственность получившегося
графа.
Николас Паттерсон [235] аналогичным образом получил харак-
теризацию группы .1.
Теорема 3.47. Если G — группа с 0(G) = Z(G)=1, в которой
централизатор С некоторой инволюции 2-скован, 02 (С) —
экстраспециальная группа порядка 29 и С/02 (С) ^ Q+ (2) (подгруппа
индекса 2 в 0+(2)), то Ge*.l.
В этом случае соответствующая группа Я изоморфна Suz —
накрытию группы Suz с помощью Z3. Паттерсон строит
подгруппу Я ^ё Suz внутри G посредством образующих и соотношений,
идентифицируя ее при помощи ассоциированного графа ранга 3.
Аналогично он определяет подстепени перестановочного
представления G на смежных классах по Я (его ранг уже не будет равен 3)
и доказывает однозначную определенность получившегося графа.
По-видимому, аналогичный подход возможен и в случае группы
.3, однако Дэниел Фендел в своей диссертации [95], выполненной
под руководством Фейта, выбирает путь, который ближе к теории
характеров. В конечном счете он сводит проблему распознавания
к теореме Фейта о группах, имеющих рациональнозначное
представление степени 23 [89]. Фендел доказал следующий результат.
Теорема 3.48. Если G—группа с О (G) = Z(G)= 1, в которой
централизатор С некоторой инволюции изоморфен
централизатору 2- центральной инволюции из .3 (таким образом, С ^Sp (6, 2)),
то G ^ .3.
(Здесь Sp (6, 2) обозначает накрывающую группу для Sp (6, 2)
посредством Z2.)
После завершения локального анализа Фендел получает
таблицу характеров группы G и затем доказывает, что G имеет
неприводимое рациональное представление степени 23. Теперь он может
воспользоваться следующей теоремой Фейта для завершения
доказательства.
Теорема 3.49. Если G — некоторая группа, обладающая точным
неприводимым рациональным представлением степени 23, причем
она не содержит подгрупп индекса 23 или 24, то она изоморфна
некоторой подгруппе в Z2x .2 или Zgx .3,
184
Гл. 3. Теоремы распознавания
Сформулированная теорема является лишь одним из многих
важных результатов, доказанных в работе Фейта о
целочисленных представлениях групп. Сама работа представляет собой одну
из наиболее глубоких статей, когда-либо написанных по теории
представлений конечных групп. В ней переплетаются алгебраическая
теория чисел, модулярная теория характеров и действия групп на
целочисленных решетках. Фейт доказывает критерий того, чтобы
действие группы G на решетке J2? давало единственность Jg с
точностью до изометрии. В условиях теоремы 3.49 он показывает, что
для J? имеется ровно три возможности, каждая из которых
отвечает специфической подрешетке решетки Лича.
С. Спорадические группы и централизаторы инволюций
В §2.4 мы выписали 11 централизаторов инволюций, которые
привели к спорадическим простым группам. Только что мы видели,
как группы Конвея определяются централизатором одной своей
инволюции. Поскольку М24 (которая имеет тот же
централизатор 2-центральной инволюции, что и группа Не) встречается в
качестве одного из возможных заключений теоремы Хелда, то в общей
сложности мы уже обсудили централизаторы инволюций в 15
спорадических группах и описали характеризации 13 из них в
терминах этих централизаторов.
Каждая из оставшихся 11 спорадических групп имеет похожую
характеризацию. Мы уже описывали в § 2.4 полученную Парротом
и С. К. Уонгом характеризацию группы Мс с помощью централи-
Таблица 3.1. Централизаторы инволюций в некоторых спорадических группах
Группа Централизатор инволюции 1)
Мц
м12
м22
М23
м24
HS
Мс
Suz
Ru
М(22)
М(23)
М(24)'
.3
.2
Л
GL (2,3) ^ 23/Q8. тривиальное ядро
^з/Qs * Qs> тривиальное ядро
24/£i6> 24 действует точно
L3 (2)/E16, 2-скованный
^з (2)/(D8)3
25/Qs * Qs * Z4, 2-скованный
A8
PSp (4, 3)/D8 * D8 * Ds, 2-скованный
25AX, где X ^ Eig/QsXEiq, 2-скованный
0 * (2)
M(22)
tf4(3).2/(£>8)6, 2-скованный
5р(б, 2)
Sp (б, 2)/(D8)4
Й+8 (2)/(#8)4
д^ Здесь Ui (3) обозначает накрывающую группы для £/4 (3) с помощью Z?.
3.4. Спорадические группы 185
затора инволюции. Хотя такие результаты содержат в себе нечто
большее, чем просто теоремы распознавания, мы соберем их вместе
в таблице 3.1, чтобы как-то закруглить обсуждение. Кроме, случая
группы М(22) рассматриваются лишь 2-центральные инволюции.
В этой связи главным результатом является
Теорема 3.50. Если G — простая группа, в которой
централизатор некоторой инволюции изоморфен одной из 29 групп,
выписанных либо в таблице 3.1, либо в таблицах 2.1, 2.2 (заметим,
что группы Fly F2 и F5 появляются дважды в таблицах из § 2.4),
то справедливо одно из следующих утверждений:
(i) G изоморфна одной из известных спорадических групп;
(и) G ^ L3 (3) или L5 (2).
Две последние группы в теореме 3.50 возникают соответственно
из централизаторов инволюций вида 23/Q8 и L3(2)/(D8)?.
Дополнительные комментарии к доказательству теоремы 3.50
в одиннадцати не обсуждавшихся здесь случаях будут даны
впоследствии вместе с полным анализом централизаторов инволюций в
простых группах.
Многие спорадические группы имеют более одного сопряженного
класса инволюций. Для классификационного доказательства было
необходимо получить их характеризации в терминах
централизаторов инволюций, отличных от тех, которые упоминались в
теореме 3.50. Эти централизаторы указаны в таблице 3.2.
Таблица 3.2, Централизаторы не-2-центральных инволюций
в некоторых спорадических группах
Группа Централизатор инволюции
J 2 £2X^2X^5
HS ZjtXAutMe)
Не 4 (4) -2
Ru Z2XZ2xSz(8)
Suz (Z2XZ2XL3(4)).2
Здесь Z^(4) обозначает совершенное центральное расширение
L3(4) с помощью Z2xZ2.
Эти «побочные» централизаторы возникают в контексте
получения полного решения так называемых проблем о стандартных
формах, составляющих фундаментальную главу теории конечных
простых групп. На практике цель анализа каждой из этих пяти
задач о централизаторах инволюций состоит в построении
централизатора соответствующей «основной» инволюции с последующей идеи-
186
Гл. 3. Теоремы распознавания
тификацией исследуемой группы на основе теоремы 3.50. Более
детальное описание этой процедуры будет дано впоследствии.
Классификационное доказательство нуждается также в
аналогичных характеризациях «стандартными формами» групп типа Ли
и знакопеременных групп. Однако обсуждение необходимых
результатов мы тоже отложим до следующей книги.
Глава 4
ОБЩИЕ МЕТОДЫ ЛОКАЛЬНОГО АНАЛИЗА
В этой значительной по объему главе будут описаны и
проиллюстрированы основные методы и результаты, лежащие в основе
локального теоретико-группового анализа. (Не вдаваясь в
систематическое обсуждение обычной и модулярной теории характеров, мы
ограничимся в отдельных случаях комментариями по поводу тех
методов, в которых имеется необходимость.)
Часто бывает трудно отделить «метод» от «классификационной
теоремы», поскольку, если результат последнего типа доказан, он
становится инструментом для всех последующих
классификационных теорем. Мы не утруждали себя проведением здесь строгой
границы. Наша цель, скорее, состояла в том, чтобы предъявить
читателю наиболее важные общие идеи локального и внутреннего
геометрического анализа, которые образуют фундамент основных
результатов, полученных на четырех этапах классификации простых
групп.
Чтобы удержать обсуждение в подходящих рамках, пришлось
весьма тщательно выбирать степень детальности рассмотрения
каждого отдельного вопроса. Приводимые доказательства и наброски
выбирались с целью освещения основных идей локального анализа.
4.1. Разрешимые группы
Невозможно достичь понимания локального анализа без
предварительного изучения его работы в разрешимом случае.
Действительно, в весьма реальном смысле разрешимые группы
представляют собой тест для общей теории (что совершенно понятно, если
учесть внимание, уделенное ранее анализу групп нечетного порядка
и N-групп). Локальная подгруппа общего вида в простой группе
«строится» из разрешимых и неразрешимых «частей» (например,
обобщенная подгруппа Фиттинга F * (X) группы X совпадает с
произведением подгруппы Фиттинга F(X), которая является нильпо-
тентной, а следовательно, разрешимой группой, и слоя L(X), кото-
188 Гл. 4. Общие методы локального анализа
рый является полупростой, а следовательно, неразрешимой группой
(при условии, что Ь(Х)Ф\)). Кроме того, рассуждения,
применимые к разрешимым локальным подгруппам, можно обычно
повторить для разрешимых «частей» произвольной локальной
подгруппы. Наконец, рассуждения и идеи разрешимого случая составляют
основу для многих обширных обобщений в локальном анализе
произвольных простых групп.
По указанным причинам мы отметим ряд характерных
особенностей разрешимого локального анализа вместе с лежащими в его
основе ключевыми свойствами разрешимых групп. Поскольку
понятие скованности является прямым обобщением соответствующего
свойства разрешимых групп (предложение 1.25), многие
утверждения будут справедливы для более широкого класса групп.
Локальный анализ — весьма сложный процесс. Однако, если
необходимо сформулировать одну-единственную характерную
особенность, наиболее точно передающую его суть, я думаю, следовало
бы отметить «доказательство стягиванием». Вопросы о строении
локальной подгруппы Н изучаемой простой группы G постепенно
сводятся к более податливым вопросам о сечениях К в Н некоторого
специфического вида (часто К даже отождествляется естественным
образом с группой линейных преобразований некоторого
векторного пространства, ассоциированного с Я). В разрешимой ситуации
эта процедура работает особенно хорошо в силу того, что имеется
сильный контроль над строением подгрупп разрешимой группы.
Последний факт наилучшим образом подтверждается примером
хорошо известных обобщенных теорем Силова, принадлежащих Ф.
Холлу [130, теорема 6.4.1].
Теорема 4.1. Пусть X—разрешимая группа и п—некоторое
множество простых чисел. Тогда
(i) X содержит холловскую п-подгруппу (т. е. такую
подгруппу Y, что | Y | делится только на простые числа из я, а \ X : Y | —
только на простые числа из я');
(ii) любые две холловские п-подгруппы группы X сопряжены в Х\
(ш) любая п-подгруппа из X (т. е. подгруппа, порядок которой
делится только на простые числа из п) содержится в некоторой
холловской п-подгруппе группы X.
В силу теоремы 4.1 многие вопросы о строении X, необходимые
для локального анализа, могут быть сведены к вопросам
относительно холловских {/?, <7}-подгрупп в X, где р> q пробегают
подходящие пары простых делителей порядка групп X.
Комбинируя теорему 4.1 с теоремой Цассенхауза — Шура (см.
примечание после теоремы 1.40), получаем такое следствие:
Теорема 4.2. Предположим, что группа А действует на
группе X, причем А и X имеют взаимно простые порядки. Если хо-
4.1. Разрешимые группы
189
тя бы одна из групп Л, X разрешима, то для любого
множества простых чисел п справедливы утверждения:
(i) А оставляет инвариантной некоторую холловскую п-под-
группу разрешимой группы Х\
(и) любые две А-инвариантные холловские п-подгруппы группы
X сопряжены с помощью некоторого элемента из Сх (А).
Последняя теорема часто используется, когда А является /?-
группой для некоторого простого числа р. Например, если Я —
локальная подгруппа в G и А — некоторая /7-подгруппа в Я, то
можно применить теорему 4.2, взяв 0Р<(Н) в качестве X. В
частности, отсюда мы получаем, что А оставляет инвариантной
некоторую силовскую ^-подгруппу в 0Р' (Я) для любого простого числа q.
Возможно, наиболее часто в локальном анализе используется
один результат, называемый рассуждением Фраттини,—
элементарное следствие теоремы Силова, справедливое во всех группах
[130, теорема 1.3.7].
Предложение 4.3. Пусть Y—нормальная подгруппа в группе X
и Р — силовская р-подгруппа в Y для некоторого простого числа р.
Тогда X = YNX(P).
Рассуждение Фраттини используется для редукции вопросов
о группе X к вопросам о группе Xi=Nx(P), имеющей нормальную
/^-подгруппу (а именно, Р). Комбинируя его с предложением 1.12
(iii), часто удается провести редукцию дальше к вопросу о действии
Xi на факторгруппе Фраттини Р=Р/Ф(Р). Поскольку Р —
элементарная абелева группа, ее можно рассматривать как векторное
пространство над GF(p). При этом группа Xx~XilCXl{P) становится
группой линейных преобразований пространства Р, что приводит
нас в конечном счете к вопросам о группах линейных
преобразований.
Описанный выше процесс редукции может быть весьма кратко
сформулирован в случае /?-скованных групп.
Предложение 4.4. Пусть X—некоторая р-скованная группа
с Ор, (Х) = 1, р — простое число (или, что эквивалентно, с F* (Х)=
= Ор(Х)). Тогда Х/Ор(Х) точно действует как группа линейных
преобразований на факторгруппе Ор (Х)/Ф (Ор (X)),
рассматриваемой как векторное пространство над GF (/?).
Фундаментальный результат Ф. Холла и Г. Хигмэна [130,
теорема 5.3.7] позволяет сводить действия //-групп на /?-группах к
действию на подгруппах. Мы сформулируем его лишь для абелевых
//-групп.
190
Гл. 4. Общие методы локального анализа
Теорема 4.Б. Пусть абелева р'-группа А нетривиально
действует на р-группе Р, р—простое число. Если Q—минимальная
А-инвариантная подгруппа в Р, на которой А действует
нетривиально, то
(у) Q — специальная группа (определение см. в § 1.4);
(И) А действует тривиально на O(Q) и неприводимо на
факторгруппе Q/<D(Q) (рассматриваемой как векторное
пространство над GF (/?)).
Таким образом, свойства действия А на Р наследуются
действием на подгруппе Q из Р класса не выше 2. Следует отметить, однако,
что в ходе этой редукции может быть «утеряна» некоторая
нетривиальность действия А на Р, поскольку вполне может случиться так,
что некоторые элементы из А, действующие нетривиально на Р,
тривиально действуют на Q. Кроме того, последняя теорема не дает
информации о вложении Q в Р. Следующий результат Томпсона из
статьи о группах нечетного порядка показывает, насколько далеко
можно продвинуться в уточнении указанной ситуации [130,
теорема 5.3.11].
Теорема 4.6. Любая р-группа Р, р—простое число, содержит
характеристическую подгруппу Q со следующими свойствами:
(i) Q/Z(Q)—элементарная абелева группа (в частности, Q
имеет класс ^2);
(и) Q/Z(Q) лежит в центре P/Z(Q) (откуда [Р, Q]^LZ(Q));
(iii) если а—нетривиальный автоморфизм группы Р, порядок
которого не делится на р, то ограничение а на Q нетривиально.
Согласно условию (iii), если А — некоторая /?'-группа,
действующая точно на Р, то ограничение А на такую характеристическую
подгруппу Q действует точно на Q.
В свете следующего результата иногда можно опускаться даже
на еще меньшую характеристическую подгруппу.
Предложение 4.7. Пусть Р —некоторая р-группа, причем
либо Р абелева, либо р нечетно. Тогда любой нетривиальный
автоморфизм группы Р, порядок которого не делится на р, имеет
нетривиальное ограничение на Qx (P).
Часто можно сделать еще один шаг в процессе опускания, не
требующий разрешимости [130, теорема 5.3.6; 143, лемма 1].
Отметим, что если А, X — подгруппы некоторой группы, то [А, X]
нормальна в (А, X) [130, теорема 2.2.1 (iii)].
Предложение 4.8. Пусть группа А действует на группе X,
и предположим, что либо А — совершенная группа, либо А и X
имеют взаимно простые порядки. Тогда [X, А, А] = [Х, А].
4.1. Разрешимые группы 191
В частности, если А централизует [X, А], то А
централизует X.
Из этого предложения следует, что при указанных условиях
группу X можно заменить на ее подгруппу Y=[X, А], обладающую
дополнительным свойством Y—[Y, Al.
Теорема 4.6 может оказаться сильнее теоремы 4.5. Однако в
теореме 4.6 не обязан выполняться тот важный факт, составляющий
часть теоремы 4.5, что А действует неприводимо на Q/Ф (Q).
Следовательно, какой именно из этих двух результатов предпочтительнее
в заданной ситуации, зависит от природы последующего анализа.
Важность условия неприводимости в теореме 4.5 можно увидеть
из следующих наблюдений. Положим Ф=ф/Ф(ф) и A0=CA(Q).
Согласно условию теоремы 4.5, группа А абелева, поэтому по теореме
1.2 факторгруппа А/А0 циклическая. Так как А0 действует
тривиально на QM>(Q), то Л о действует тривиально на Q согласно
предложению 1.12(Ш). Таким образом, на самом деле A/CA(Q)=A/A0 —
циклическая группа.
Часто такая конфигурация AQ, в которой А является ^-группой
для некоторого простого q, a факторгруппа А /А 0 циклическая,
достигается в связи с предложением 4.4 (примененным с q в роли /?), так
что дополнительно группу AQ можно рассматривать как группу
линейных преобразований некоторого векторного пространства V
над GF(q). В общем случае достаточно трудно анализировать группы
линейных преобразований над полями характеристики q, которые
содержат нормальные ^-подгруппы. Подгруппа AQ=CA(Q) как раз
является такой нормальной ^-подгруппой в AQ. (поскольку А —
абелева группа, то в действительности A0^Z(AQ))t поэтому при
наличии такой возможности мы предпочли бы «избавиться» от Л0.
Естественный путь цдя этого, безусловно,— рассмотрение
подпространства W=CV(A0), поскольку тогда AQ и, следовательно,
AQ=AQ/A0 будут действовать на W. Однако, чтобы указанная
редукция была полезной, мы должны знать, что действие A Q на W
является точным, т. е. что AQ сама по себе является группой
линейных преобразований W. К счастью, это гарантируется хорошо
известной (АхВ)-леммой Томпсона — еще одним результатом из
статьи о группах нечетного порядка. Для единообразия
обозначений мы поменяем ролями р и q в ее формулировке.
Предложение 4.9. Пусть Ах В действует на р-группе Р, р —
простое число, где А является pf-группой и В—некоторая р-груп*
па. Тогда любой элемент из Л, нетривиально действующий на Р,
продолжает действовать нетривиально на Ср(В).
Таким образом, заменяя AQ на AQ/A0 и снова меняя местами
простые числа р и q} мы достигаем следующей ситуации; имеется
192
Гл. 4. Общие методы локального анализа
группа X=AQ, где Q— специальная ^-группа и Л — циклическая
/7-группа, действующая тривиально на Ф (Q) и точно неприводимо
на Q/Ф (Q), причем X действует точно на векторном пространстве
W над GF(p). Однако до сих пор мы каждый раз проходили мимо
. одного весьма желательного свойства — неприводимости действия
X. Для получения его мы должны проделать еще одну редукцию;
а именно, необходимо перейти к композиционному фактору
пространства W относительно действия X. Эффективность указанной
редукции основывается на следующем общем свойстве так называемых
«стабилизаторов цепочек».
Предложение 4Л0. Пусть некоторая р'-группа А действует
на р-группе Р, р—простое число, и пусть 1==Р1^Р2^ ... ^
^ Рп = р—цепочка А-инвариантных подгрупп в Р, причем Р/<]Р/+1
для всех i, l^.i^n—1. Если А действует тривиально на
каждой факторгруппе Р/+1/Л*> \^i^.n— 1, то А действует
тривиально на Р.
Согласно последнему предложению, можно найти
композиционный фактор U в W относительно действия Ху на котором Q
действует нетривиально. Таким образом, X действует неприводимо, a Q —
нетривиально на U. Однако при этом вполне могло потеряться
свойство точности, которое выполнялось для действия X на W.
Указанную трудность можно обойти, поскольку легко показать, что ядро
К представления X на U является собственной подгруппой в Q и что
Q=Q/K также является специальной ^-группой, причем Л
действует тривиально на Ф((2) и неприводимо на Q№(Q).
Продолжая обсуждение, заменим группы X и U
соответственно на XIК и V. Таким образом, X=AQ — неприводимая группа
линейных преобразований векторного пространства V над GF (/?),
причем Q — специальная ^-группа и Л — циклическая р-группа,
действующая тривиально на Ф (Q), а также точно и неприводимо на
Q/Ф (Q). Условие неприводимости налагает на Q дополнительное
ограничение. В самом деле, ®(Q)^Z(Q) в силу специальности Q,
поэтому тривиальность действия Л на Ф (Q) показывает, что Ф (Q)^
^.Z(X). Так как X действует неприводимо на V, то из леммы Шура
(см. теорему 1.2) следует, что 0(Q) дожна быть циклической. Из
определений мы заключаем, что Q является либо элементарной абе-
левойу либо экстраспециальной группой.
Оказалось, что ряд важных вопросов о строении разрешимых
групп может быть сведен такой серией шагов к вопросам
относительно степени минимального многочлена для образующего
элемента а подгруппы Л нашей неприводимой группы X линейных
преобразований пространства V. Поскольку а имеет порядок рт для
некоторого т и V определено над GF(p), то 1 исчерпывает все
характеристические корни элемента а как линейного преобразования
4.1. Разрешимые группы •
193
пространства V. Поэтому минимальный многочлен элемента а имеет
вид (х—1)г=0.
Очевидно, что г^|а|. Нас интересует как минимально возможное
значение г, так и условия, при которых имеет место равенство. В
случае абелевой группы Q равенство легко доказывается при помощи
теоремы Клиффорда (теорема 1.5). Однако в экстраспециальном
случае соответствующий результат является глубоким и опирается на
красивую теорему Ф. Холла и Г. Хигмэна [130, теорема 11.1.1] —
результат, имевший большое влияние на Томпсона и оказавший
значительную Помощь при формировании его подхода к анализу групп
нечетного порядка. Впоследствии их теорема была обобщена во-
многих направлениях. В частности, она служит фундаментом ряда
исследований в общей теории разрешимых групп. Мы
ограничимся здесь условиями, из которых следует равенство.
Теорема 4.11. Пусть X— неприводимая группа линейных
преобразований векторного пространства V над GF (/?), причем Х==
= ЛQ, где Q—элементарная абелева или экстраспециальная q-
группа для некоторого простого q^p и А — циклическая р-груп-
па, действующая тривиально на Ф(Ф), а также точно и непри-
водимо на Q/0(Q). Если а—образующая группы Л, то
минимальный многочлен элемента а на V имеет вид (х—l)lai =0 в
случае, когда выполнено хотя бы одно из следующих условий:
(i) p отлично от 2 и любого простого числа Ферма;
(и) р и q—нечетные числа;
(iii) Q—абелева группа.
В том, что равенство не всегда имеет место, можно убедиться на
примере группы X=SL(2, 3)=Л(?, где Q^Q8 и (a)^Z3t в ее
естественном 2-мерном представлении на векторном пространстве V над
GF(3). Поскольку V имеет размерность 2 над GF(3) и минимальные
многочлены всегда делят соответствующие характеристические
многочлены (последние имеют степень, совпадающую с размерностью
векторного пространства), то очевидно, что (х—I)2 является
минимальным многочленом элемента а.
Общий ход рассуждений, набросок которого был только что
приведен, позволяет предсказывать вложение некоторых абелевых
подгрупп в силовские /7-подгруппы разрешимых групп, а именно тот
факт, что они лежат «почти у основания» группы. Так как теорема
4.11 приводит к исключениям в случае, когда р или q совпадает с 2,
мы ограничимся для простоты группами нечетного порядка.
Теорема 4.12. Пусть X—разрешимая группа нечетного
порядка с Ор'(Х)=1, р — простое число, и пусть А—абелева
р-подгруппа в X. Если \Ор (X), Л, А] = [\Ор (X), А], Л]=1, то
7 № '625
194 Гл. 4. Общие методы локального анализа
Любая абелева нормальная подгруппа А в силовской /?-под-
группе Р группы X удовлетворяет условию последней теоремы.
Действительно, из нормальности следует, что [Р, Л]^Л. Теперь
абелевость группы А влечет за собой [Р, Л, А]=[[Р,А], Л] = 1.
Однако по теореме Силова и ввиду того, что 0р (X) <] X, имеем Ор (Х)^Р,
поэтому [Ор(Х)у Л, А] = \. В ряде ситуаций можно показать, что
некоторые абелевы подгруппы в Р максимального порядка или
ранга (но не обязательно нормальные в Р) также обладают
требуемым свойством.
Теорема 4.12 чрезвычайно важна для локального анализа.
На самом деле в конфигурациях такого рода берут начало многие
основные вопросы, обсуждаемые в настоящей главе,— «р-устой-
чивость», «факторизации», «отсутствие факторизации» и теория
«выталкивания».
В локальном анализе имеется другой важный тип редукции
несколько иного характера. Исходная точка здесь связана со
следующим результатом о порождении.
Теорема 4.13. Пусть нециклическая абелева р-группа А
действует на рг-группе X, р — простое число. Тогда
Х = <СХ(5)|В<Л, |Л:5|</7>.
В частности,
Х = <Сх(а)\а£А#>.
С использованием теоремы 4.2-доказательство сводится к
случаю, когда X является ^-группой для некоторого простого числа
цфр. Далее, вновь применяя предложение 1.12(iii), можно показать,
что нашу теорему_достаточно доказать с Х=Х/Ф(Х) в роли X.
Однако, поскольку X — элементарная абелева группа и,
следовательно, векторное пространство над GF(q), то в этом случае требуемое
заключение вытекает из теоремы Машке (теорема 1.1).
Смысл теоремы 4.13 заключается в том, что если Л —
нециклическая абелева /^-подгруппа простой группы G, то изучение
Л-инвариантных /?'-подгрупп X из G сводится к р-локальным
вопросам ввиду того, что каждая из групп Gx (В) лежит в /7-локальной
подгруппе NG(B) группы G. Руководствуясь соображениями
именно этого типа, Томпсон смог получить свою фундаментальную
теорему о транзитивности [130, теорема 8.5.4].
Теорема 4Л4. Пусть в группе G каждая р-локальная
подгруппа р-скована (например, разрешима), р —простое число. Пусть
P&Sylp(G) и А—абелева нормальная подгруппа в Р,
максимальная относительно включения. Если т/?(Л)^3, то для любого
простого числа цФр любые две максимальные А-ынвариантные
q-подгруппы из G сопряжены с помощью некоторого элемента
из CG (А).
4.1. Разрешимые группы
195
Условие тр (Л) ^ 3 является критическим, поскольку оно
позволяет «сравнивать р-локально» любые две максимальные Л-инва-
риантные 9"П°ДГРУППЫ Qi и Q2 группы G. В самом деле, по
теореме 4.13 существует В(< Л с [А:В£\^р и CQ (В()Ф 1, i = 1, 2.
Так как тр(А)> 3, то В1[)В2ф1 и поэтому A/rG(Bx f]B2) является
р-локальной подгруппой в G, содержащей Cq^B^)—для каждого
i = 1 и 2. -
Следствием условия, что Л —максимальная абелева
нормальная подгруппа в Р, служит тот факт, что CG(A)=AxOp>(CG(A)).
Отсюда, очевидно, вытекает, что А содержит каждый элемент
порядка р из своего централизатора (см. [130, теорема 7.6.5]). В случае
нечетного р Томпсону удалось обобщить теорему о
транзитивности на любую абелеву /^-подгруппу А в G (снова ранга ^3) с
последним свойством. В частности, сюда попали все абелевы р-под-
группы в G максимального ранга (в предположении mp(G)^3).
Доказательство Томпсона опирается на следующий результат, аналог
которого он сначала установил в случае максимальных абелевых
нормальных подгрупп [292] (другое доказательство этой теоремы
позже было получено Бендером [31]).
Теорема 4.15. Пусть X — некоторая р-скованная группа,
р —нечетное простое число, и А—абелева р-подгруппа в X,
содержащая каждый элемент порядка р из СХ(А). Тогда любая
А-инвариантная pf-подгруппа из X лежит в 0Р'(Х).
Последний результат теряет силу для /7=2. Контрпримером
служит группа X=SL(2, 3)c A=Z(X) ( порядка 2) (любая подгруппа в
X порядка 3 является Л-инвариантной, но не лежит в 02'(Х)=
=0(Х)).
В контексте анализа групп нечетного порядка и N-групп
теорема транзитивности представляла собой первый шаг в доказательстве
Томпсоном' так называемых теорем «единственности», сыгравших
ключевую роль в определении строения критических
максимальных локальных подгрупп в G. Поскольку простые числа 2 и 3 имеют
исключительный характер в случае Af-групп (возможность
вплетения группы SL(2, 3) в G делает исключительным число 3), мы
сформулируем результаты Томпсона лишь в случае групп нечетного
порядка.
Теорема 4.16. Пусть G—простая группа нечетного порядка,
в которой все собственные подгруппы разрешимы, Р £ Sylp (G) для
некоторого простого числа р и Л — абелева нормальная подгруппа
в Р, максимальная относительно включения. Если тр (Л) ^ 3, то
множество всех А-инвариантных рг-подгрупп группы G порождает
р'-группу.
7*
196
Гл. 4. Общие методы локального анализа
Следствие 4.17. В условиях и обозначениях теоремы 4.16
<0Р' (CG (а)) | a g А #> является р'-группой.
Поскольку А<]Р, то Р переставляет посредством сопряжения
множество всех Л-инвариантных /?'-подгрупп в G, нормализируя
поэтому их объединение. Так как каждая Р-инвариантная
^'-подгруппа в G, безусловно, Л-инвариантна, мы получаем еще одно
следствие, составлявшее цель рассматриваемого этапа анализа
Томпсона.
Следствие 4Л8. В условиях и обозначениях теоремы 4.16 группа
G содержит единственную максимальную Р-инвариантную
р'-подгруппу.
Томпсон назвал Р-сигнализатором любую Р-инвариантную
р'-подгруппу в G, и последний термин применяется также к
произвольным р-подгруппам группы G. Для любой /?-подгруппы R в G
Томпсон ввел символ И0(/?) (для краткости И(#)) для
обозначения множества /^-сигнализаторов в G, т. е. множества /?-инва-
риантных //-подгрупп в G. Значительная часть локального анализа
касается множества И (R) (или некоторого его специфического
подмножества), в особенности для абелевой группы R.
Наконец, мне хотелось бы отметить совсем элементарный
результат, известный как лемма о трех подгруппах; это утверждение
используется часто в ходе как разрешимого, так и общего локального
анализа [130, теорема 2.2.3].
Предложение 4.19. Если Я, /С, L—подгруппы группы X,
причем [Kf L, #] = 1 и [L, Я, Я] = 1, то [Я, К, L]=l.
В качестве иллюстрации его использования рассмотрим
автоморфизм а совершенной группы X, действующий тривиально на
X/Z(X). Тогда из леммы о трех подгруппах следует, что а
действует тривиально на X (т. е. а = 1). Действительно, поскольку а
централизует X/Z(X), то [X, a]<Z(X), откуда [X, a, X]^[Z(X), X]=
= 1 и [а, Ху Х] = 1. Из предложения 4.19 следует, что [X, X, а] = 1.
Однако [X, Х]=Х в силу совершенности X, поэтому на самом деле
[X, <х] = 1, т. е. а действует тривиально на X.
Надеюсь, приведенное выше обсуждение позволило дать
некоторое представление о природе разрешимого локального.анализа.
Последующий материал содержит дальнейшее обоснование и
развитие затронутых здесь идей.
4.2. Сильная вложенность
Как уже отмечалось, простота группы G должна быть каким-то
образом использована для доказательства внутреннего сходства G
с некоторой простой /(-группой G*. Один из наиболее общих прие-
4.2. Сильная вложенность 197
мов здесь состоит в построении сильно вложенной подгруппы
группы G с последующим использованием полной классификации Бен-
дера групп, имеющих сильно вложенную подгруппу (почти всегда
для получения противоречия).
Имеется определенная аналогия между отсутствием сильно
вложенных подгрупп в произвольной конечной простой группе и
невырожденностью формы Киллинга при изучении полупростых алгебр
Ли L. Последнее дает возможность заключить, что L имеет
тривиальный радикал,— результат, оказывающий глубокое влияние на
внутреннее строение L. Подходящим аналогом радикала алгебры
Ли L для конечных групп G служит Sol(G) — наибольшая
нормальная разрешимая подгруппа в G. По теореме Томпсона — Фейта ядро
0(G) группы G является разрешимой группой, поэтому 0(G)^.
^.Sol(G). Если G проста, то, безусловно, Sol(G) и, в частности, 0(G)
тривиальны. Несуществование сильно вложенной подгруппы вместе
с условием 0(G) = 1 дает внутренние структурные свойства
группы G.
Типичное рассуждение проводится по следующей схеме. Чтобы
показать сходство ядра централизатора С некоторой инволюции
группы G с ядром централизатора инволюции в некоторой
известной простой группе, предполагается противное и на основе этого
предположения внутри группы G строится сильно вложенная
подгруппа М с нетривиальным ядром. Из следствия теоремы Бендера
(следствие 4.27 ниже) вытекает, что 0(M)^0(G). Однако 0(G) = 1
в силу простоты G, что противоречит полученному из простроения
факту 0(М)Ф\. Тем самым мы в состоянии вывести важные
свойства 0(C) из несуществования в G сильно вложенной подгруппы.
Теорема Бендера находит также фундаментальные применения,
не связанные с ядрами, на более поздних стадиях анализа — когда
уже установлено внутреннее сходство группы G с некоторой
простой /(-группой -G*. На этот раз внутри группы G чисто
теоретико-групповыми средствами строится некоторая подгруппа G0,
изоморфная G*. Для получения нужного заключения Gg^G*,
очевидно, необходимо доказать равенство G0 = G. Предполагая
противное, показывается, что Ng(Gq) — сильно вложенная
подгруппа в G. Теорема Бендера (теорема 4.24 ниже) дает после
этого, что G^L2(2n), U3(2n)y Sz(2n) для некоторого п. Теперь
простая проверка показывает, что ни одна из указанных групп
не имеет сильно вложенной подгруппы со строением подгруппы G0.
Существует много эквивалентных определений сильно
вложенной подгруппы. Мы дадим следующее
Определение 4.20. Пусть X—конечная группа G собственной
подгруппой Я четного порядка. Подгруппа Н называется сильно
вложенной в X, если NX(T)^H для любой нетривиальной 2-под-
группы Т в Н.
198 Гл. 4. Общие методы локального анализа
Очевидно, что, согласно теореме Силова, достаточно налагать
условие лишь на подгруппы Т из фиксированной силовской 2-под-
группы S группы Я.
В терминологии определения 1.32 мы получаем, что Г3у1(Х)^Н.
Таким образом, группа X содержит сильно вложенную подгруппу
тогда и только тогда, когда она имеет собственное 1-порожденное
ядро.
Как следствие определения легко доказывается
Предложение 4.21. Если Я—сильно вложенная подгруппа в X,
то справедливы следующие утверждения:
(i) если S £ Syl2 (Я), то S g Syl2 (X);
(ii) Hf]Hx имеет нечетный порядок для всех х£Х—Я;
в частности, H = NX(H);
(Hi) в перестановочном представлении X на сопряженных с Я
подгруппах в X одноточечный стабилизатор имеет четный
порядок, а стабилизатор любых двух точек—нечетный порядок.
Другие свойства групп с сильно вложенной подгруппой Я
изложены в [130, §9.2]. В частности, каждая из групп X и Я имеет
ровно один сопряженный класс инволюций и любой смежный класс
по подгруппе Я из X—Я содержит в точности одну инволюцию.
Из последнего условия вытекает, что все сопряженные с Я
подгруппы Ни отличные от Я, имеют вид H1=Ht для некоторой
инволюции t из X. Кроме того, если у£Э(Н), то Н=Сх(у)К, где К —
группа нечетного порядка. Таким образом, вложение и строение
сильно вложенной подгруппы удовлетворяют весьма жестким
условиям.
Результаты Судзуки о расщепимых (В, Af)-napax ранга 1 (в
частности, теорема 3.28) влекут за собой следующий основополагающий
результат о группах с сильно вложенной подгруппой.
Теорема 4.22. Пусть G—простая группа, имеющая сильно
вложенную подгруппу Я. Если перестановочное представление
группы G на сопряженных с Я подгруппах дважды транзитивно
и если Я содержит нормальную подгруппу, действующую
регулярно на сопряженных подгруппах, отличных от Я, то G^L2 (2n),
п>2, Sz(22n+1), п>1, или U3(2n), я>2.
На этом этапе Бендер занялся решением общей проблемы о
сильно вложенных подгруппах. Его классификация [26] проводится
в два этапа..Сначала он доказывает следующий результат.
Теорема 4.23. Если группа G содержит сильно вложенную
подгруппу Я, то справедливо одно из следующих утверждений:
(i) G действует дважды транзитивно на сопряженных с Я
подгруппах в G;
4.2. Сильная вложенность
199
(ii) G имеет циклические или кватернионные силовские 2-под-
группы, причем О (G) действует транзитивно на сопряо/сенных
с Я подгруппах в G.
Заметим, что поскольку H=NG (Я), согласно предложению
4.21, то теоретико-перестановочное утверждение о том, что элемент
х £ G оставляет на месте данную сопряженную с Я подгруппу,
эквивалентно утверждению, что х содержится в ней.
Доказательство теоремы 4.23 проводится индукцией по \G\ и
основано на аккуратном анализе нормализаторов в G различных
р-подгрупп из Я, лежащих по меньшей мере в трех сопряженных
с Я подгруппах, р — нечетное простое число. В конечном счете
доказательство сводится к частному случаю, когда G имеет
циклические или кватернионные силовские 2-подгруппы (при этом G=
=0(G)H и H=CG(z) для z£9(H) в силу теоремы Брауэра—Суд-
зуки, которая обсуждается в § 4.6).
Основной результат Бендера, формулируемый здесь лишь для
простых групп, состоит в следующем.
Теорема 4.24. Если G — простая группа с сильно вложенной
подгруппой И, то G^L2(2W), /i^2, Sz (22"+1), /i>l, или Uz(2n),
я>2.
В силу теорем 4.22 и 4.23 Бендер может предполагать, что G
действует дважды транзитивно на сопряженных с.Я подгруппах в
G и что силовская 2-подгруппа 5 из Я не нормальна в Я. Кроме
того, он может также взять в качестве G минимальный контрпример
(к более общей теореме, классифицирующей произвольные конечные
группы с сильно вложенной подгруппой).
Следующая лемма позволяет Бендеру применить индукцию.
Лемма 4.25. Пусть Y^iG, и предположим, что \Y[\H\ и
\Y(]Hs\—четные числа для некоторого g$G—Я. Тогда Y(]H —
сильно вложенная подгруппа в Y.
С помощью этой леммы Бендер доказывает следующий ключевой
результат.
Предложение 4.26. Пусть Y—подгруппа из Я, лежащая по
крайней мере в трех сопряженных с Я подгруппах. Тогда
(i) порядок | С# (У) | нечетен;
(ii) Cg (Y) транзитивно переставляет множество сопряженных
с Я подгрупп, содержащих У.
Для доказательства теоремы Бендер должен получить
противоречие из своих предположений. Для достижения этой цели
используется внимательный анализ некоторой нетривиальной
подгруппы £ из Я нечетного порядка. Пусть gg G—Я и D = H f\Hs,
200
Гл. 4. Общие методы локального анализа
так что \D\ нечетен в силу предложения 4.21 uH = DS. Так как
S не является нормальной в Я по предположению, то
минимальная нормальная подгруппа W в Я с H = DW обязательно отлична
от S. Отсюда следует, что Dfl ^#1, поскольку иначе |BP] = |S|
и W = S. Соответствующая подгруппа Е определяется
как D П W.
Теорема Бендера имеет такое фундаментальное следствие.
Следствие 4.27. Если группа G содержит сильно вложенную
подгруппу Я, то 0(H)^.0(G).
Этот результат можно рассматривать как критерий непростоты,
поскольку он утверждает при условии сильной вложенности, что
ядро собственной подгруппы лежит в ядре всей группы.
Теперь мы перейдем к обобщению Ашбахера теоремы Бендера
о сильно вложенных подгруппах на группы с собственным 2-по-
рожденным ядром, которое, как мы отмечали ранее, дает в качестве
следствия классификацию несвязных простых групп со связной
силовской 2-подгруппой. Мы сформулируем результат Ашбахера
лишь в случае простых групп [8].
Теорема 4.28. Если G—простая группа с собственным 2-по-
рожденным ядром, то Gg^L2(q), ?>3, Sz(22n+1), /г>1, U3 (2W),
az!> 1, Мг1 или Jx.
Ашбахер рассматривает минимальный контрпример G (к более
общей теореме, классифицирующей все группы с собственным
2-порожденным ядром). Легко доказывается следующая лемма.
Лемма 4.29. Если z— инволюция в G, такая, что С2 < G,
т2 (Рг) ^ 3 и Cz имеет собственное 2-порожденное ядро, то
Cz = С JO (Cz) содержит нормальную подгруппу L^L2 (2"), U3 (2й),
Sz(2"), Sz (8), SL2 (5) илиБЬ (2,5)* SL (2,5), причем m2(C^(L)) = l.
Здесь Sz(8) обозначает накрывающую группу для Sz(8) с
помощью Z2. Централизаторы инволюций указанного выше общего
вида впервые рассматривались Уолтером и мной в [142], где такие
инволюции назывались исключительными (в действительности наше
определение не охватывало случаи L^SL(2,5), SL(2,5)*SL(2,5)).
В частности, мы доказали там следующий результат во всех случаях,
кроме одного, разобранного Ашбахером.
Предложение 4.30. Если z — исключительная инволюция в
простой группе X, причем z является 2-центральной в X, то X ^ Jt.
Этот результат частично опирается на характеризацию Янко
группы Jx посредством централизатора инволюции вида Z2X
XL2(4).
4.2. Сильная вложенность
201
Чтобы доказать свою главную теорему, Ашбахер сводит
проблему к второй важной теореме, дающей основной критерий
существования в группе сильно вложенной подгруппы. Редукция
проводится следующим образом. Прежде всего он показывает без труда, что
минимальный контрпример G (к общей теореме) является
квазипростой группой с 0(G) = 1 и |Z(G)|^2. Если G не проста, то
аккуратный анализ силовской 2-подгруппы S группы G=G/Z(G)
показывает, что S изоморфна силовской 2-подгруппе из Л9, причем
группы G и Л9 имеют одинаковую картину слияния инволюций. Теперь
применима наша совместная с Харадой теорема [134], из которой
следует, что G^AQ. Поэтому G^A9, что совпадает с одним из
возможных заключений теоремы Ашбахера.
Таким образом, минимальный контрпример G — простая
группа. Если m2(G)<;2, <то G находится из известных
классификационных теорем [4]. Так как она имеет собственное 2-порожденное ядро,
то G^L2(q) для подходящего нечетного q или Мп, поэтому G не
является контрпримером. Следовательно, m2(G)^3.
Пусть S£Syl2(G) и M = TS2(G), так что М < G по условию.
Пусть z— инволюция из Z(S). Тогда S^.C2i поэтому т2(С2) =
= т2 (S) ^ 3. Если С2зС М, то T5i 2 (С2) < С2, поэтому С2 имеет
собственное 2-порожденное ядро. Следовательно, z —
исключительная инволюция по лемме 4.29, откуда G^JX согласно
предложению 4.30. Вновь G не является контрпримером. Таким образом,
мы заключаем, что С2^М. Кроме того, m2 (M П Мг)< 1 по
определению М при Мф'М^, поэтому Mf)Ms имеет циклические
или обобщенно кватернионные силовские 2-подгруппы. Так как
С2^.М, то отсюда непосредственно получаем, что г£М* тогда
и только тогда, когда g^M.
Пусть теперь и — произвольная инволюция из С2, такая, что
CU5UM, и пусть Я— подгруппа в Сй, порожденная всеми G-co-
пряженными с z элементами, которые лежат в Са. Нетрудно
видеть, что либо а — исключительная инволюция, либо m2(Ctt) = 2.
Теперь, используя Z*-теорему Глаубермана (см. § 4.6), Ашбахер
показывает, что Я Г) М сильно вложена в Я. Именно такое
условие его критерия о сильной вложенности позволяет ему
заключить, что G имеет сильно вложенную подгруппу (откуда G ^L2 (2"),
Sz(2n) или U3(2n) по теореме Бендера) и поэтому не является
контрпримером.
Мы не будем обсуждать критерий Ашбахера сильной
вложенности. Отметим лишь, что его доказательство по духу напоминает
рассуждение Бендера. Например, Ашбахер также показывает, что
минимальный контрпример прост и действует дважды транзитивно
на множестве Q всех G-сопряженных с М подгрупп, Противоречие
достигается детальным анализом строения этой дважды
транзитивной группы G в терминах ее действия на Q. Рассуждение исполь-
202 Гл. 4. Общие методы локального анализа
зует ряд ключевых идей Шульта из его классификации всех групп
G, содержащих инволюцию t, слабое замыкание которой в CG (t)
относительно G (определение см. в § 4.10) предполагается абелевым
[252]. Хотя результат Шульта так и не был опубликован, он оказал
значительное влияние на теорию простых групп — в частности,
кроме результата Ашбахера он сказался также на некоторых
аспектах исследований Голдшмидта и Тиммесфельда.
Впоследствии Ашбахер несколько обобщил свой критерий
сильной вложенности, доказав следующий результат, который стал
важным инструментом локального анализа [10].
Теорема 4.31. Пусть G—простая группа, М—собственная
подгруппа в G и г—инволюция из М. Тогда G содержит сильно
вложенную подгруппу, если выполнено хотя бы одно из следующих
двух условий:
(a) если g£G, z£ централизует z, г&Фг и z^^M, то g£M;
(b) (1) z лежит в центре некоторой силовской 2-подгруппы
^ группы G;
(2) если g$G с zS£M, то g£M;
(3) если g£G, z8 централизует z и г^Фг, то Cq (zz£) ^ М.
Несколько позже Дерек Хольт [179] и Ф. Смит [260] независимо
изучали группы, удовлетворяющие только условиям (b)(1) и (b)(2).
Мы сформулируем их результат на языке групп перестановок.
Теорема 4.32. Пусть G — примитивная группа перестановок
на множестве Q. Если О (G) = Z (G) = 1 и некоторая 2-централь-
ная инволюция из G оставляет на месте ровно одну точку из Q,
то либо G имеет сильно вложенную подгруппу, либо G о* Ап или
2„, п нечетно.
Комбинируя, наконец, теорему 4.28 с предложением 1.33, мы
получаем следующий результат, дающий решение одной из
основных частей проблемы о несвязных простых группах. Для
краткости мы ограничимся случаем 2-ранга не меньше 3.
Теорема 4.33. Если G — несвязная простая группа 2-ранга
не меньше 3 со связной силовской 2-подгруппой, то G ^ L2 (2"),
n>3, Sz(22n+1), л^1, U3(2n), /i>3, или Jt.
4.3. Сигнализаторные функторы
В качестве первого шага в доказательстве того, что
централизатор С инволюции в произвольной простой группе G похож на
соответствующий централизатор С* в некоторой простой К"-группе
G*, естественно попытаться доказать, что ядро 0(C) имеет тесную
4.3. Сигнализаторные функторы 203
связь с О (С*). Однако, как показывает следующий результат,
О (С*) имеет очень специфическое строение.
Предложение 4.34. Если G*—простая К-группа, то ядро
централизатора любой инволюции в ней является циклическим,
В свете этого результата, очевидно, нам необходим некоторый
общий метод для уточнения строения ядер централизаторов
инволюций в произвольных простых группах. Сигнализаторные
функторы представляют собой главный инструмент, предназначенный
для этих целей. Ввиду первостепенной важности метода сигнали-
заторного функтора для изучения простых групп я остановлюсь
сначала на мотивировке самого понятия сигнализаторного
функтора. Оно выросло из попытки абстрагировать результаты
Томпсона о единственности из анализа групп нечетного порядка и
N-групп так, чтобы их можно было применить в большей общности
к простым группам с неразрешимыми локальными подгруппами.
Задача анализа Af-групп состояла не только в том, чтобы
показать цикличность ядер централизаторов инволюций, но также в
доказательстве более сильного заключения об их тривиальности!
Теоремы единственности Томпсона для /?=2 (см. теоремы 4.14—
4.16) представляют собой первый шаг доказательства. Второй шаг
состоит в доказательстве следующего результата, условие которого
непосредственно связано с заключениями его теорем
единственности.
Теорема 4.35. Пусть G—простая группа, a S—ее силовская
2-подгруппа, и предположим, что выполнены следующие условия:
(a) W = <0(Сх)\х£ 3 (S)> имеет нечетный порядок;
(b) Cw(x) = 0(Cx) для всех x'£9(S).
Тогда О(Ct) = 1 для всех t£3(G).
Мы приведем доказательство этой теоремы, поскольку оно
достаточно наглядно демонстрирует типичное, приложение
результатов Бендера — Ашбахера. Прежде всего, поскольку G проста, то
из теоремы Брауэра —Судзуки (см. § 4.6) вытекает, что m2(G);>2.
Таким образом, G и, следовательно, 5 содержат четверную
подгруппу U. Для любой такой U положим
Wu=<0{Ctt)\u£U*>. (4.1)
Тогда из (4.1) и предположения (Ь) следует, что
^ = <<V(")|«€t/#>. (4.2)
Поскольку \W\ нечетен и U.— нециклическая абелева группа,
то из (4.2) и теоремы 4.13 следует, что
W = WU. (4.3)
204
Гл. 4. Общие методы локального анализа
Кроме того, если g£G и L^<S, то из (4.1) непосредственно
следует, что
(WvY^Wrf.- (4.4)
Положим теперь N = NG(W). Утверждается, что
Г5,2(С)<ЛЛ (4.5)
Действительно, пусть T^S с т2(Т)^2. Мы должны
показать, что NG(T)^ZN для любой такой подгруппы Т. Достаточно
показать, что y£N для любого у £NG(T)^ Поскольку т2(Т)^2,
то в Т найдется четверная подгруппа V. Тогда Уу^Т и Уу
также является четверной группой. Следовательно, (4.3)
справедливо для обеих групп У и Уу, откуда
W = Wv = Wvy. (4.6)
Но из (4.4) следует, что Wvy = (Wv)y, поэтому (4.6) дает нам
равенство
W=W. (4.7)
Таким образом, y$N = NG(W), что доказывает (4.5).
Предположим, что W=^=\. Из нечетности \W\ следует, что
W < G. Так как G проста, то N = NG(W)<G. Следовательно,
Г$, 2(^)<^> согласно (4.5), поэтому G имеет собственное 2-по-
рожденное ядро. Теперь классификационная теорема Ашбахера
дает нам, что G^L2(q), q > 3, Sz(22»+1), я>1, £/8(2")» ">2,
Мп или J\. Однако в каждой из этих групп известен точный
вид централизаторов инволюций. Оказывается, что ни в одной
из указанных групп соответствующая подгруппа W не является
нетривиальной группой нечетного порядка. Следовательно, мы
получили противоречие, из которого заключаем, что W=l.
Из п. (Ь) теперь вытекает, что 0(СХ)=\ для всех x£3(S).
Из теоремы Силова мы получаем нужное заключение О (Ct) = 1
для всех t£3(G).
По существу теорема 4.35 утверждает (при данном условии),
что О (CG (t)) = C0 (G) (/) для любой инволюции / из S (и,
следовательно, из G). Поскольку 0(G)=1 по предположению, то отсюда
следует тривиальность каждого 0(CG(t)).
В каком направлении можно надеяться обобщить теорему 4.35?
Чтобы в этом вопросе появилась некоторая определенность,
давайте предположим по меньшей мере, что изучаемая нами
простая группа G внутренне похожа на /(-группу G* (однако пусть
G* будет настолько далека от простой, насколько вы хотите.
Если t*£9(G*), то очевидно, что Co(G*) (t*)^0(Cc* (/*)). Однако
в общем случае нет причин, по которым здесь должно
выполняться равенство. В самом деле, такое заключение влекло бы за
собой справедливость предложения 4.34 с заменой «цикличности»
4.3. Сигнализаторные функторы
205
на «тривиальность», что, как известно, неверно для произвольной
/С-группы. С другой стороны, если t — инволюция группы G,
соответствующая i* относительно заданного сходства между G
и G*, то должна быть некоторая подгруппа в О (CG(t)) = 0(Ct)1
соответствующая Co(G*)(t*). Именно этой гипотетической
подгруппой нам и хотелось бы завладеть. Для концептуализации ситуации
давайте обозначим указанную, пока неопределенную подгруппу
через Э (Ct) и положим
6(G) = <0(Ct)|/€3f(G)>.
Если G действительно похожа на G*, то в силу простоты G
группа G* также должна быть простой, откуда О (G*) = 1 и,
следовательно, Co(G*)(t*)= 1 для всех t*£2(G*). Но тогда 6(Ct) = l
для всех t£3(G), что эквивалентно равенству 6(G)—1. Таким
образом, наша цель должна состоять в доказательстве
тривиальности 6(G). С другой стороны, если заданное сходство носит не
столь точный характер, то в качестве первой приемлемой
аппроксимации мы можем надеяться показать по меньшей мере, что
гипотетическая подгруппа 6 (G) имеет нечетный порядок, поскольку
она должна соответствовать некоторой подгруппе из 0(G*).
Последнее утверждение в действительности и выражает суть
результатов единственности Томпсона (для р = 2) в ситуации N-групп.
Вновь по теореме Силова можно свести обсуждение к
фиксированной силовской 2-подгруппе S группы G. Таким образом,
достаточно рассмотреть подгруппу
6(G; S) = <Q(Cx)\x(tHS)y,
и в качестве первого шага доказательства тривиальности каждой
группы Q(Ct) следует установить справедливость следующих
фактов:
(a) 6(G; S) имеет нечетный порядок;
(b) Се«?; s) (х) = 6 (Сх) для всех x€3(S). (4.8)
Имеется серьезная трудность технического характера в
попытке доказать такой результат непосредственно — а именно если
a;(£Z(S), to S$£.Cxi поэтому мы даже незнаем вначале, что наша
гипотетическая подгруппа 6 (Сх) является S-инвариантной.
Указанную трудность можно обойти, если вместо S ограничиться абе-
левыми подгруппами А в S, поскольку тогда мы по крайней мере
будем иметь включение А^.СХ для х£3(А). Понятно, что без
потери общности можно рассматривать лишь элементарные абе-
левы подгруппы в S.
Таким образом, нам хотелось бы уметь доказывать для
подходящей элементарной абелевой подгруппы ^4^S, что
(a) 6(G; A) = <Q(Cx)\x£A#> имеет нечетный порядок; ,aq,
(b) С0(ом)(х) = Э(С,) для всех х£А#. к }
206
Гл. 4. Общие методы локального анализа
Приведенные соображения объясняют также, почему Томпсон
работал сначала с абелевыми /7-подгруппами (см. теоремы 4.14 и
4.15) и лишь впоследствии включил в анализ всю силовскую
/7-подгруппу Р (следствие 4.18).
При наличии связности (см. определение 1.31) такого результата
будет вполне достаточно, что в свою очередь объясняет
первостепенную важность условия связности. Справедлив следующий
результат.
Предложение 4.36. Пусть G—связная группа (или группа со
связной силовской 2-подгруппой) 2-ранга не меньше 3, и пусть
S £Syl2(G). Если (4.9) выполнено для любой абелевой подгруппы А
в S с т2(Л)>3, то (4.8) выполнено для группы S.
Действительно, если Л — элементарная подгруппа в 5 с
т2(Л)^3 и В—нециклическая подгруппа в Л, то из (4.9)
непосредственно следует, что 0(G; 2?)=0(G; А). Используя это равенство
вместе со связностью G (или S), в качестве простого упражнения можно
доказать, что
6(0; £/) = 0(G; V) (4.10)
для любой пары четверных подгрупп U и V из S. Поскольку любая
инволюция из S лежит в некоторой четверной подгруппе из S, то
отсюда следует, что
0(G; 5) = 6(G; U) (4.11)
для любой четверной подгруппы U в S. Кроме того, связность,
влечет за собой включение U ^ А для некоторой элементарной
подгруппы i<S с т2(Л)^3, поэтому [0(G; U)\ нечетно,
согласно (4.9), следовательно, [0(G; S)\ нечетно. Так как любая
инволюция x£9(S) лежит в некоторой такой подгруппе Л, то из
(4.9) мы получаем также, что Cq(G;S)(x)==Q(Cg(x)), поэтому
выполнено (4.8).
Приведенное обсуждение опиралось на предположение о
сходстве G с некоторой /С-группой G*, так что мы неявно
предполагали наличие вероятной кандидатуры на роль 8(Cf), t£9(S). Как
нам теперь идентифицировать «хорошую» кандидатуру в
произвольной простой группе? Наводящие соображения, как и раньше,
мы можем позаимствовать у случая, когда G похожа на G*.
В самом деле, если х*9 у*—коммутирующие инволюции из G*, то
справедливо следующее равенство:
C0(G*) (*•) П Со* (У*) = C0{g*) (у*) fl CG* (х% (4.12)
поскольку обе эти группы совпадают с Co(g*)(<x*> у*».
Тождество (4.12) указывает на то, что хорошие кандидаты на
роль G должны удовлетворять следующему условию для любой
4.3. Сигнализаторные функторы
207
пары коммутирующих инволюций х, у из О:
в(Сх)(]Су^в(Су)пСх. (4.13)
Соображения такого рода заставили меня поверить, что
равенство (4.13) дает ключ к гипотетическим подгруппам 0(G*). Поэтому
на его основе я дал определение «сигнализаторного функтора»,
рассматривая его как абстрактное обобщение введенного
Томпсоном понятия сигнализатора. Теперь необходимо было ответить на
решающий вопрос: имеются ли обстоятельства, при которых для
сигнализаторного функтора выполняются условия (4.9)? Теорема
о сигнализаторном функторе дает утвердительный ответ на этот
вопрос.
Мое первоначальное доказательство [128], [129] было очень
сложным и с большой точностью следовало образцу доказательств
Томпсона результатов о единственности в случае групп нечетного
порядка. Однако несколько позже Голдшмидт [121] получил
существенное обобщение и улучшение теоремы о сигнализаторном
функторе, используя идеи Бендера из его более позднего
упрощения результатов Томпсона о единственности для групп нечетного
порядка. В частности, Голдшмидту удалось снизить наложенные
мною ограничения на ранг группы Л, а также упростить и
прояснить само понятие сигнализаторного функтора. Мы будем следовать
терминологии Голдшмидта, ставшей теперь стандартной. Поскольку
сигнализаторные функторы также играют важную роль в изучении
централизаторов элементов нечетного простого порядка, то все
определения будут даваться для произвольных простых чисел.
Определение 4.37. Пусть X — некоторая группа и
Л—элементарная абелева /?-подгруппа в X для некоторого простого числа р.
Предположим, что с каждым а£А# ассоциирована некоторая
Л-инвариантная //-подгруппа (т. е. подгруппа порядка, не
делящегося на р) Q(Cx(a)) в Сх(а), такая, что для любых a, b£A#
0 (Сх (а)) П Сх (Ь) = Э (Сх (Ь)) П Сх (а).
Тогда 0 называется А-сигнализаторным функтором на X.
Положим.
0(Х; А) = <в(Сх(а))\а£А#>
и назовем 0(Х; Л) замыканием 0. Функтор 0 называется полным,
если
(a) 0(Х; Л) является р'-группой; .. ...
(b) Св(х;А)(а) = в(Сх(а)) для а^Л*. ( А }
Функтор 0 называется разрешимым, если в(Сх{а)) разрешима
для каждого а£Л#,
208
Гл. 4. Общие методы локального анализа
Заметим, что если р=2, то каждая группа Q(Cx(a)) имеет
нечетный порядок и поэтому разрешима, согласно теореме Томпсона—
Фейта. Следовательно, в этом случае любой Л-сигнализаторный
функтор на X обязательно разрешим.
Теорема о разрешимом сигнализаторном функторе утверждает
следующее.
Теорема 4.38. Пусть X—группа, р—простое число,
А—элементарная абелева р-подгруппа в X ранга не меньше 3 и
9—разрешимый А-сигнализаторный функтор на X. Тогда 9 является
полным.
■ В частности, если А — элементарная абелева 2-подгруппа в X
ранга ^3 и 9 — произвольный Л-сигнализаторный функтор на X,
то Q(X; А) является подгруппой нечетного порядка в X.
Голдшмидт рассмотрел все случаи этой теоремы, крометр(А)=3
при нечетном р. Впоследствии Глауберман [116] доказал ее в
сформулированном виде, а Бендер [29] дал иное доказательство
результатов Голдшмидта. Мы приведем набросок красивого
доказательства Голдшмидта для случая ранга ^4, которое, безусловно, является
одним из наиболее элегантных во всем локальном анализе. Случай
ранга 3 несколько более техничен и требует дополнительных
специальных рассуждений. Однако наши первые результаты
применимы ко всем случаям.
В случае групп нечетного порядка и Af-групп Томпсон
работал с множеством И (Л), состоящим из всех Л-инвариантных /?'-
подгрупп заданной группы G (для подходящих абелевых /?-под-
групп Л). Теорема 4.16 утверждает в точности, что множество
И (Л) содержит единственный максимальный элемент; другими
словами, подгруппа в G, порожденная элементами из И (Л), сама
является элементом И (Л).
В общей ситуации сигнализаторных функторов необходимо
работать лишь с некоторыми Л-инвариантными р' -подгруппами
группы X, которые непосредственно связаны с данным Л-сигна-
лизаторным функтором 9. А именно, обозначим через Ие(Л)
множество всех Л-инвариантных //-подгрупп Кв X с тем свойством, что
Су (а) = У П 9 (Сх (а)) для всех a g Л #. .
Согласно теореме 4.13/если К^И0(Л), то
Y = <Y(]0(Cx(a))\a£A*>,
поэтому Y^.B(X] Л). Кроме того, если 9 полон, то
непосредственно из определения видно, что 9 (Х\ А) £Ие(Л). Таким
образом, в этой терминологии теорема о сигнализаторном
функторе сводится к утверждению, что множество И0(Л) содержит
единственный максимальный элемент. Такова абстрактная
переформулировка результатов Томпсона.
4.3. Сигнализаторные функторы
209
Заметим, что из определения сигнализаторного функтора сразу
следует, что 6 (Сх (а)) принадлежит множеству И0 (Л) и является
единственным максимальным элементом из Ие (Л), содержащимся
в Сх(а), для каждого а£А#. Аналогично, если для В^.А мы
положим
в(Сх(5))= n 0(Cx(ft))f
Ъ е в#
то соответствующее утверждение будет справедливо для 6 (Сх (В))
вместо Q(CX (a)).
В доказательстве теоремы о разрешимом сигнализаторном
функторе важную роль играют элементы из Ие (Л), являющиеся
^-группами или {q, rj-группами- для различных простых чисел
q и г. Множество таких Л-инвариантных /?'-подгрупп
обозначается соответственно через И9(Л; q) или И0(Л; q, r). Элементы
этих множеств частично упорядочены по включению.
Соответствующие множества максимальных элементов обозначаются через
ИеИ; q), W*Q(A; q, r).
Легко получается следующее прямое обобщение результата
Томпсона о транзитивности (теорема 4.14).
Предложение 4.39. Для каждого простого числа q любые два
элемента из Ие(Л; q) сопряжены с помощью некоторого элемента
из в(Сх(А)). В частности, теорема 4.38 справедлива, если Q(Cx(a))
является q-группой для любого а£А#.
Один из ключевых результатов в доказательстве состоит в
проверке теоремы в разрешимом случае. Голдшмидт доказывает
Предложение 4.40. Если Y—разрешимая А-инвариантная
р'-подгруппа, то 9 (У; Л) полон. В частности, если Y = <X{\
П в(Сх (а)) | а е Л#>, то 7 g Ие (Л).
Следующий несложный результат позволяет рассуждать
индукцией по |Х|.
Предложение 4.41. Если X—минимальный контрпример к
теореме 4.38, то 9 (X; Л) не нормализует нетривиальных элементов
из Ие(Л).
Теперь мы наложим ограничение тр (Л) ^ 4. Голдшмидт
использует предложение 4.40 в случае ранга ^3 для построения из
заданного функтора 9 других сигнализаторных функторов. В самом
деле, пусть я (9)—множество всех простых делителей |9(Сх(а))|,
где а пробегает Л#. Для любого простого q g n (9) и любой Ь^.А
cD^ЕР2 положим
a?(D) = n<V(e(Cx(d))),
210 Гл. 4. Общие методы локального анализа
и для ag Л# пусть
% (Сх (а)) = О (Сх (а)) П A? (D) | £р. s D < Л>.
Голдшмидт доказывает
Предложение 4.42. Л#ст& ?€я(9). Тогда 6^ является
разрешимым А-сигнализаторным функтором на X и q^n(Qg).
В частности, \ я (вд) | < | я (9) |.
Очевидно, что последнее предложение позволяет Голдшмидту
рассуждать индукцией по порядку множества я (6) при
доказательстве теоремы о разрешимом сигнализаторном функторе. Таким
образом, он может предполагать справедливость теоремы для каждого
Qq. Отсюда непосредственно следует п. (i) следующего предложения;
п. (И) также легко доказывается.
Предложение 4.43. Для любого q£n(Q) справедливы
следующие утверждения:
(1) 9,(Х; Л)<ЕИе(Л);
(И) 6(Х; Л) нормализует Qg(X\ Л).
Вместе с предложением 4.41 это дает нам
Предложение 4.44. Если X—минимальный контрпример к
теореме 4.38, то Qq тривиален для любого q^n(0)t т. е. AQq(D) = l
для всех Epi^D^A и всех q€n(d).
С другой стороны, из предложения 4.39 следует
Предложение 4.45. Если X—минимальный контрпример к
теореме 4.38, /по | я (6)| > 2. •
Понятно, что для завершения доказательства теоремы
необходимо показать несовместимость предложений 4.44 и 4.45 —
другими словами, из нетривиальности 6 должна следовать
нетривиальность некоторого Д^(£>). Доказательство Голдшмидта дает
превосходную иллюстрацию идей, на которых основано упрощение Бендера
результатов о единственности из теоремы о группах нечетного
порядка и возникшего отсюда общего теоретико-группового метода,
известного как «метод Бендера» (дальнейшее обсуждение его см.
в § 4.8). Поэтому будет полезно объяснить рассуждение Голдшмидта.
Пусть q, r g я (6) с q Ф г (предложение 4.45), и пусть Q £
£Ие(Л; q), R£]/\q(A; г). Пусть также Zq, Zr—минимальные
Л-инвариантные подгруппы соответственно в Qt(Z(Q)), Q1(Z(R))9
так что Л действует неприводимо на Zq и Zr, если их
рассматривать как векторные пространства соответственно над GF(q) и
GF(r). Положим A(] = CA(Zg) и Ar = CA(Zr). Из теоремы 1.2
следует цикличность групп А/Ад и А/АГ Поскольку тр (Л) ^ 4, то
4.3. Сигнализаторные функторы 211
существует а^Л#, централизующий Zq и Zr. Так как 0
является Л-сигнализаторным функтором, то <Zg, Zr>^Q(Cx (а)).
Используя теорему 4.2, нетрудно доказать, что <Z„, Zyr> является
{Я> /^-группой для некоторого у € Сх (Л) Г) 9 (Сх (о)) « 0 (Сх (Л))).
Согласно предложению 4.39, мы можем предполагать без
ограничения общности, что */=1, откуда <Z^, Zr> g Ие (А; #, г). Таким
образом, справедлива
Лемма 4.46. <Z Zr>^lH для некоторой подгруппы Н$
€И5И; ?, г).
Типичным для подхода Бендера является разделение на два
случая в зависимости от того, будет или нет порядок подгруппы
Фиттинга- F (Я) группы Я равен степени простого числа.
Рассмотрим первую возможность и предположим для определенности,
что F(Я) является r-группой, откуда F(Н)=*Ог(Н) и 0^(Я)=1.
Из разрешимости Я следует ее г-скованность, поэтому Zq не
централизует Ог (Я)." Теперь ZqxAq действует на 0Г(Н). Так как
mp(Aq) ^3, то из теоремы 4.1.3 следует, что Zq не централизует
S = Сог(Н) Ф) для некоторой подгруппы Ер* ^ и ^ Aq. Используя
включение Zq^Z(Q) и предложение 4.39, можно показать, что
Zg<Oq'q(е(Сх(4))) х) Для любого dgD#, откуда S0 = [S, Z]<
< 0^ (6 (Сх (d))) для любого dg£>#. Следовательно, S0<Af(D)
по определению. Так как S0=tM,. to мы пришли к противоречию
с предложением 4.44. Тем самым доказана
Лемма *4.47. Порядок F (Я) не /?авея степени простого числа.
Такое же рассуждение в действительности показывает, что
Zq^Oq(H) и Zr<0r(^), поэтому <Z,, Zr>^F(H).
Именно в этом более трудном случае по существу
используется метод Бендера. Ключевым всегда является некоторый
критерий единственности для подходящих {#, г}-подгрупп К
исследуемой группы X. Сначала фиксируется некоторое конкретное
множество подгрупп <£Р группы X (часто в качестве & берется
множество максимальных подгрупп в X), причем & разбивается
на подходящие подмножества tf {, l^i^n. Затем доказывается,
что если J«y^, то Y^^i для единственного значения /,
l^i^n. Именно такой критерий единственности позволяет
завершить анализ.
В нашем случае с^ = Ие(Л; q> r) и подмножества of{
совпадают с различными орбитами элементов из if относительно
действия 6 (Сх (Л)) с помощью сопряжения. Кроме того,
«подгруппами единственности» К в Я являются подгруппы вида K = KqxKr9
х) Если X—произвольная группа и q—некоторое простое число, то
OqrQ(X) обозначает прообраз в X группы Oq{X[0Q^ (X)).
212
Гл. 4. Общие методы локального анализа
где Кду Кг — минимальные Л-инвариантные подгруппы
соответственно в Q1(Z (0g(H))), Q1(Z(Or(H))). Для простоты обозначений
предположим, что в качестве Кд, Кг можно взять ZgJ Zn так что
в качестве К можно взять группу <Z^, Zr>. Голдшмидт доказывает
Предложение 4.48. Предположим, что <,Zqf Zr>^iH*€
gkle(A; q, г). Тогда Я* и Я—элементы одного подмножества &\
множества &\
Доказательство этого предложения аналогично по духу
доказательству леммы 4.47, хотя и несколько более сложно.
Комбинируя предыдущий результат с предложением 4.39, мы
получаем такое следствие, которое представляет собой ключевой
факт, необходимый для получения окончательного противоречия.
Следствие 4.49. Если а£А# централизует <Zq, Zr>, то Я
содержит силовскую q-подгруппу и силовскую r-подгруппу из
в(Сх(а)).
Для достижения окончательного противоречия заметим еще
раз, что из цикличности A/Aq и А/Аг с тр (А) ^ 4 следует
существование ЕР2 ^D^.Aq(]An так что <Z^, Zr>< 0(СY (d)) для
любого d£D#. Теперь следствие 4.49 показывает, что Я содержит
силовскую ^-подгруппу Qd из 6 (Сх (d)) для любого * такого d.
Поскольку Zr^Or(H), то отсюда следует, что [Zr, Qd] является
/•-группой. Используя <7-скованность разрешимой группы 9 (Сх (d)),
мы непосредственно получаем, что Zr <; Oq> (Э (Сх (d))) для любого
d$D#. Таким образом, Zr^A*j(D), что вновь противоречит тому
факту, что A® (D) = 1 согласно предложению 4.44.
При работе с сигнализаторными функторами в случае
элементарной абелевой р-группы А для некоторого нечетного простого
числа р теорема о разрешимом сигнализаторном функторе перестает
быть достаточной. Несколько лет назад совместно с Лайенсом мы
установили справедливость первой теоремы о неразрешимом
сигнализаторном функторе, налагая подходящие условия на
неразрешимые композиционные факторы групп Q(Cx(a)) [139]. Этот
результат был существенно обобщен Патриком Макбрайдом [215],
доказавшим следующую теорему.
Теорема 4.50. Пусть X — некоторая группа, р—простое
число, А—элементарная абелева р-подгруппа в X ранга не меньше 3
и 9—неразрешимый сигнализаторный функтор на X. Если G (Сх (а))
является К-группой для любого а£Л#, то 9 полон.
4.4. ^-сбалансированные группы 213
4.4. /^-сбалансированные группы
Для эффективного использования теоремы о сигнализаторном
функторе в изучении ядер централизаторов инволюций группы G '
нам, очевидно, необходимы методы построения хороших сигнализа-
торных функторов на G.
Проще всего обстоит дело в случае, когда G — группа
некомпонентного типа, т.е. когда она является группой, в которой
централизатор любой инволюции 2-скован. С использованием (АхВ)-
леммы Томпсона (предложение 4.9) легко получается следующий
результат.
Предложение 4.51. Пусть G— группа некомпонентного типа
с элементарной абелееой 2-подгруппой А. Для любого a g Л#
положим Э(Св) = 0(Св). Тогда 0 является А-сигнализаторным
функтором на G.
Действительно, каждая группа 0(Са) является Л-инвариантной
подгруппой в Са нечетного порядка, поэтому нам необходимо лишь
проверить основное условие совместимости (4.13) с О в роли 6.
Ввиду симметрии достаточно доказать, что
D = 0(Cx)()Cy^O(Cv) (4.15)
для х, у б Л#. Положим С = Сх Г) Су, и пусть Q обозначает Л-инва-
риантную силовскую 2-подгруппу в 0^2 (Су). Тогда, очевидно,
CQ (х) < Сх П Су = С. Однако по своему определению D <] С и | D \
нечетен, поэтому D^O(C). Таким образом, [D, CQ(x)]^0(C)
и, следовательно,
[D, CQ(x)] имеет нечетный порядок. (4.16)
С другой стороны, если мы положим Су = Су/0(Су), то Q =
= 02(Су), согласно определению Q, и поэтому [D, Q]^ Q. В
частности,
[D, Cq-(x)] является 2-группой. (4.17)
Объединяя (4.16) и (4.1.7), мы получаем, что
[D, Cq(x)] = 1. (4.18),
Таким образом, Dx<x> действует на Q, причем <л:> является
2-группой, D—некоторая 2'-группа и D централизует множество
неподвижных точек элемента х на Q. Из (Лх5)-леммы
следует, что D действует тривиально на Q. Однако поскольку
G — группа некомпонентного типа, то Су является 2-скованным,
так что Сс' (QXzQ. Таким образом, D<Q, что дает D=l
214
Гл. 4. Общие методы локального анализа
(в силу нечетности |5|). Отсюда следует, что
D^.O(Cy)—требуемое включение (4.15).
Кроме того, если G—простая связная группа 2-ранга не
меньше 3, то теорема о сигнализаторном функторе непосредственно
гарантирует выполнение условий предложения 4.36. Следовательно,
выполнены также условия теоремы 4.35. -Поэтому О (Ct)=l для
всех t£3(G). Это показывает силу метода сигналйзаторного
функтора. Далее, если известна тривиальность ядер
централизаторов инволюций, то можно продолжить анализ и вновь с помощью
(Лх5)-леммы получить более сильное заключение, что F* (Я) =
= 02 (Я) для любой 2-локальной подгруппы Я в G или, что
эквивалентно, что Я является 2-скованной и О (Я) = 1. Следовательно,
связная простая группа некомпонентного типа и 2-ранга ^ 3
обязательно имеет тип характеристики 2, что в точности совпадает
с заключением теоремы 1.40.
Доказательство этого предложения дает нам
Следствие 4.52. Если G—группа некомпонентного типа, то
для любой пары коммутирующих инволюций а> b£G справедливо
равенство
0(Oa)f)Cb = 0(Cb)()Ca. (4.19)
Определение 4.53. Группа G, удовлетворяющая условию (4.19)
для любых a, b£S(G) с [а, b]=l, называется сбалансированной. •
Таким образом, утверждение о сбалансированности G
эквивалентно тому, что 6=0 определяет сигнализ^торный функтор для
любой элементарной абелевой 2-подгруппы в G. Следовательно,
результаты предыдущего параграфа, переформулированные в
терминах сбалансированных групп, дают следующее обобщение теоремы
1.40.
Теорема 4.54. Пусть G — сбалансированная группа с О (G) =1
и т2 (G) ^ 3. Если сама группа G или ее силовская 2-подгруппа
является связной, то О (Ct) = 1 для любой инволюции t из G.
Если G — группа некомпонентного типа, то L(Cx/0(Cx)) = l для
всех x£3(G). В общем случае, когда такие слои нетривиальны, мы
уже не можем надеяться на сбалансированность группы G.
Действительно, соответствующие примеры нетрудно подыскать даже среди .
групп известного типа. Таким образом, вопрос о
сбалансированности связан со свойствами этих компонент. Выясним более точно
характер этой связи.
Определение 4.55. Простая группа К называется локально
сбалансированной, если О (6Н (х)) =* 1 для всех К^Н < Aut (К)
их$3(Н).
4.4. &-сбалансированные группы
215
Следующий результат показывает, насколько широким является
это понятие для К-груип.
Предложение 4.56. Простая группа К локально
сбалансирована, если выполнено любое из следующих условий:
(a) K£Chev(2)y причем K&L2(4:) и L3(4);
(b) К^Ап с четным /г, п^8;
(c) К—спорадическая группа с KskHe.
Заметим, что L2(4)^45 и централизатором транспозиции из
2 5 служит Z2xS3. Кроме того, множеством неподвижных точек
унитарного автоморфизма группы L3(4) является U3(2)> причем
это разрешимая группа и 0(U3(2))o*Z3xZ3. Аналогично,
используя изоморфизм Ae^L2(9)t мы проверяем, что из п. (Ь) должен
быть исключен случай п=6. Группа Не допускает внешний
автоморфизм порядка 2, множество неподвижных точек которого
совпадает с нерасщепимым расширением 27 посредством Z3.
Определение 4.57. 2 (G) = {К\К — компонента группы
L(Cx/Op>(Cx)), x£3p(G)}.
Таким образом, элементы из 3?р (G) являются подходящими
квазипростыми сечениями группы G. В частности, если К £ <2?р (G),
то K/Z(K) — простая группа. На практике эти факторы—группы
известного типа.
Предложение 4.51 без труда обобщается на случай, когда все
простые факторы элементов из S^(G) локально сбалансированы.
Предложение 4.58. Пусть G—некоторая группа, в которой
K/Z (К) локально сбалансирована для любой компоненты К 6 3% (б)-
Тогда G сбалансирована.
Этот результат дает превосходную иллюстрацию того, каким
образом /(-свойства собственных сечений группы G (здесь
элементов из J?2 (G)) используются для получения общих результатов
о локальных подгруппах в G (здесь о централизаторах инволюций).
Поэтому мы дадим набросок доказательства.
Воспользуемся обозначениями из предложения 4.51. Вновь
достаточно установить справедливость (4.15). Последнее в свою
очередь будет следовать из включения D^Q=02(Су), где, как
и раньше, С =С /0(С ). Прежде всего рассуждение из
доказательства предложения 4.51 дает нам, что D централизует Q.
Следовательно, нам необходимо лишь показать, что D централизует
также слой L = L(Cy). ^Действительно, в этом случае D будет
централизовать F* = F* (Cy) = LQ=L (Су) 02 (Су),_ откуда _D^F_*
согласно предложению 1.27. Таким образом, D ^ Cj± (F*) ^ Q.
216 Гл. 4. Общие методы локального анализа
(Это типичное использование предложения 1.27 в общем
локальном анализе. Оно достаточно наглядно показывает, как проверка
локальных свойств подгрупп сводится к вопросу о слоях.)
Напомним, что D<^0(C), где C = Cxf)Cy, поэтому [D, С] имеет
нечетный порядок. Однако легко видеть, что С накрывает Сг(х)у
откуда непосредственно следует, что
[D, Сг(х)] имеет нечетный порядок. (4.20)
Последний факт является весьма сильным. В самом деле,
прямым рассуждением из него получаются следующие два
утверждения:
(a) D оставляет инвариантной каждую компоненту
слоя L;
(b) D централизует те компоненты из L, которые либо (4.21)
централизуются инволюцией х, либо не являются х-инва-
риантными.
Таким образом, для завершения доказательства осталось
показать, что D централизует каждую компоненту К из L, которую
нормализует, но не централизует инволюциях. Согласно (4.21) (а),
группа D нормализует К. Поскольку D<x> = Dx<x> является
группой, то H = KD<x> — подгруппа в Су. Положим Н* = Н/Сл(К)
и обозначим через Y* образ в Н* любой подгруппы или
подмножества Y из Н. Мы должны доказать, что D*=l, поскольку
тогда D будет централизовать /С.
Из квазипростоты К следует простота группы K*~K/Z(K).
Кроме того, нетрудно показать, что Сн* (/(*)= 1. (Рассуждение
аналогично тому, которое приведено после леммы о трех
подгруппах (предложение 4.19).) Следовательно, Я* можно
отождествить с некоторой подгруппой в Aut (К*). Кроме того, х*
является инволюцией, так как х не централизует /С. Далее, поскольку
D^.O(Cx), то из легко устанавливаемых общих результатов
относительно образов ядер следует, во-первых, что D^.0 (С-су(х)),
откуда В^О(Сн(х)) (так как #<Су), и, во-вторых, что £>*<
^0 (Сн* (#*))• Однако по условию /С* является локально
сбалансированной группой, поэтому, согласно определению, О (Сн* (х*))=
= 1. Таким образом, D*=l, что и требовалось.
Оказалось, что локально несбалансированные простые /С-группы
удовлетворяют условиям, близким к локальной
сбалансированности. Кроме того, эти условия выполняются для произвольных
простых чисел, а не только для простого числа 2. Чтобы
сформулировать их, нам необходимо вспомогательное определение.
4.4. ^-сбалансированные группы
217
Определение 4.59. Если А — элементарная аблева /7-подгруппа
в группе X, р — простое число, то положим
^x{A)= П Ор.(Сх(а)).
аеА#
(Таким образом, если | А | = /?, то А* (А) = Ор> (Сх (а))> где <а>=Л.)
Определение 4.60. Простая группа К называется локально
k-сбалансированной для простого числа /7, k — положительное целое
число, если ДЯ(Л) = 1 для любой группы Я, /С<Я^ Aut (К), и
любой элементарной абелевой /7-подгруппы А в Н ранга k.
Таким образом, локальная сбалансированность в точности
совпадает с локальной 1-сбалансированностью для простого числа 2.
Заметим, что если К локально ^-сбалансирована, то она также
локально m-сбалансирована для всех rn^k. Следовательно, группы из
предложения 4.56 локально m-сбалансированы для всех
положительных т (для простого числа 2).
Недавно Зейц завершил анализ локальной А-сбалансированно-
сти для нечетных простых чисел в группах типа Ли [250].
Соответствующие результаты для знакопеременных групп проверяются
легко. В случае спорадических групп О'Нэн подготовил
подробный список их различных локальных свойств [231], с помощью
которого Лайенсу удалось проверить локальную ^-сбалансированность
для нечетных простых чисел. Аналогично, локальная
^-сбалансированность для простого числа 2 может быть выяснена, исходя из
уже известного строения централизаторов инволюций,
действующих на простых /С-группах.
Теорема 4.61. Если К—простая К-группа, то либо К
локально 2-сбалансирована для простого числа р, либо справедливо
одно из следующих утверждений:
(0 K~Lp(q), p\(q-l);
(li)Ke*Up(q), p\(q+l);
(iii) К = Ап9 где либо р нечетно, n = spk-{~r с 2^r<|/7—1,
либо /7 = 3 и n = s/7* + 4, либо /7 = 2 и n = spk + 3\
(iv) /7 = 5 и К^М(22).
Справедливо также
Предложение 4.62. Если K^Lp(q), Up{q) или УМ (22), ho
К локально 3-сбалансирована для простого числа р.
Группы Ап являются исключительными. В самом деле, пусть
n = spk + r, где либо р нечетно и2<г </?—1, либо /7 = 2 и г = 3,
и положим Н^Ъп. Тогда Я содержит элементарную абелеву
/7-подгруппу А ранга &, которая действует полурегулярно на spk
символах (т. е. ни один элемент из Л# не имеет неподвижных
218 Гл. 4. Общие методы локального анализа
точек среди spk символов) и тривиально на остальных г символах.
Простая проверка показывает для любого a g Л #, что 0Р* (CH(a))=Y
при нечетном /7, где Y ^2Г—симметрическая группа на г
символах, неподвижных относительно действия Л. Следовательно,
У = ДЯ(Л) для нечетного р и 03(К) = ЛЯ(Л) для /7 = 2. Поэтому
АН(А)Ф1. Таким образом, Ап не является локально А-сбаланси-
рованной для таких значений /г.
Мы видели, что локальная сбалансированность компонент
влечет за собой глобальную сбалансированность. Тот же факт
справедлив для локальной ^-сбалансированности.
Определение 4.63. Группа G называется k-сбалансированной
для простого числа /?, если AG (А) Г) Сь ^ Ор> (Сь) для любой
элементарной абелевой р-подгруппы А ранга k в G и любого
элемента Ь порядка р из G, централизующего А.
Следовательно, сбалансированность совпадает с
1-сбалансированностью для простого числа 2. Справедливо следующее
обобщение предложения 4.58.
Предложение 4.64. Если G—группа, в которой K/Z(K)
локально k-сбалансирована для простого числа р для любого
элемента К U3\3?p(G)y то G является k-сбалансированной группой
для простого числа /7.
Аналогично тому как сбалансированность непосредственно ведет
к существованию сигнализаторных функторов,' можно построить
также сигнализаторные функторы на ^-сбалансированной группе G
для простого числа р.
Предложение 4.65. Пусть G — некоторая k-сбалансированная
группа для простого числа р, и пусть А — элементарная абелева
р-подгруппа в G с mp(A)^k + 2. Предположим, что 0р>(Са)
является К-группой (например, разрешимой) для любого а£А#.
Если для а£Л# мы положим
6 (Са) = <Ао (D) П Са | D < Л, тр (D) = ft>,
то 9 будет А-сигнализаторным функтором на G.
Из предположения о ^-сбалансированности следует, что 6 (Са) ^
*^0Р'(Са) для каждого а, поэтому д(Са) является Л-инвариант-
ной /?'-подгруппой в Са. Кроме того, если А=1, то
непосредственно видно, что 9 (Са) = 0Р> (Са) для каждого а, откуда следует
сбалансированность группы G для простого числа /?, и поэтому
0Р' является Л-сигнал изаторным функтором. Если 4^2и каждая
группа 0р>(Са) разрешима, то с использованием предложения 4.40
доказывается, что 6 является Л-сигнализаторным функтором на G.
^-сбалансированные группы
219
Макбрайд показал, что те же рассуждения обобщаются на общий
случай сформулированного предложения.
Теория ^-сбалансированности (и L-сбалансированности,
обсуждению которой посвящен следующий параграф), построенная
Уолтером и мной [144], нашла обширные приложения в изучении /?'-
ядер централизаторов элементов порядка р. Кроме того, читатель,
несомненно, заметит тесную связь между предложением 4.65 в
случае k=2 и определениями вспомогательных сигнализаторных
функторов 6д, введенных Голдшмидтомв ходе доказательства своей
теоремы о разрешимом сигнализаторном функторе в случае ранга
^4 (теорема 4.38).
Мы столь детально обсудили случай групп некомпонентного типа
и, более общо, случай несбалансированных групп (теоремы 4.54
и 1.40, которые в свою очередь опираются на теорему 4.35) ввиду
того, что здесь наиболее ясно видно, как работает метод сигнализа-
торного функтора для «уничтожения» ядер централизаторов
инволюций. Общее исследование //-ядер централизаторов имеет
значительно более сложный характер даже, например, при условии, что
G является 2-сбалансированной группой для простого числа /7=2.
Действительно, в этом случае, очевидно, хотелось бы попытаться
обобщить доказательство теоремы 4.35, используя предложение
4.65 вместо предложения 4.51. Чтобы можно было повторить
соответствующие рассуждения, G должна иметь 2-ранг не меньше 4 и
должна также удовлетворять более сильной форме связности
(называемой 3-связностью). Если указанные условия выполняются и
2-сбалансированный функтор нетривиален, то, как и в теореме
4.35, можно заключить, что G содержит собственное Ъ-порожденное
ядро. Поскольку в настоящее время не существует классификации
таких групп, то необходим дальнейший анализ для достижения
более сильного заключения о том, что группа G на самом деле содержит
собственное 2-порожденное ядро, после чего можно
воспользоваться теоремой 4.28. Кроме того, если в конечном счете и удалось
прийти к противоречию, исходя из нетривиальности 2-сбалансированного
функтора, то мы получаем, что
AG (D) = 1 для любой четверной подгруппы D в G. (4.22)
Следовательно, все еще остается задача нахождения тех следствий,
которые (4.22) имеет для строения ядер централизаторов инволюций.
Однако ввиду теоремы 4.61 и предложения 4.64 даже
предположение о 2-сбалансированности является слишком сильным для
общего анализа. С целью преодоления ряда возможных трудностей
Голдшмидт ввел некоторые вариации 2-сбалансированного сигна-
лизаторного функтора, которые оказались чрезвычайно
эффективными для многих общих классификационных проблем. Эти
функторы определяются в терминах коммутаторов подходящих подгрупп
из Л с 0Р'(Са) для а£Л#. Однако дополнительно к предполо-
220
Гл. 4. Общие методы локального анализа
жениям о локальной сбалансированности компонент из ЦСа/Ор>(Са))
(или вместо них) они используют предположения о вложении А
в Са для а£А#.
Мы укажем два примера, ограничиваясь случаем р=2. Первый
из них был использован Голдшмидтом в доказательстве его теоремы
о произведении слияний (см. § 4.9), а позднее — Ричардом Футом
[104], Рональдом Соломоном [265] и другими. Введем следующее
определение.
Определение 4.66. Пусть А—элементарная подгруппа в G
порядка 16, причем А = А1хА2, где Ах, А2 — четверные группы.
Скажем, что G является ядерно-отделенной относительно
заданного разложения,- если Аг или А2 централизует L для любой
компоненты L из L(Ca/0(Ca)) при любом а£А#.
Предложение 4.67. Предположим, что G является ядерно-
отделенной группой относительно разложения А = А1хА2
элементарной подгруппы А в G порядка 16. Если для а$А# мы
положим
в(Св)= П [0(Q, А{](0(Са(А{))(]0(Са))9
1=1,2
то 0 будет А-сигнализаторным функтором на G.
Заметим, что в данном случае кроме свойства ядерной
отделенное™ не требуется условия о локальной сбалансированности.
Доказательство вновь опирается на элементарные утверждения о
порождении (относительно действия А на подгруппах нечетного
порядка из G). Несколько ранее совместно с Харадой мы исследовали
группы, в которых силовские 2-подгруппы изоморфны прямому
произведению двух групп диэдра. При этом мы использовали
аналогичный функтор, однако наше доказательство было основано на
специфических свойствах компонент из L(CJO(Ca)). Понимание
избыточности таких условий послужило Голдшмидту отправным
пунктом для его вполне общей теоремы о произведении слияний.
Второй пример использовался Ашбахером в доказательстве его
фундаментальной теоремы о классической инволюции [13]. Введем
следующее определение.
Определение 4.68. Простая группа К называется сильно
локально 2-сбалансированной относительно четверной подгруппы
i4<Aut(/C), если АН(А)=1 для любой подгруппы Я в Aut(K)y
содержащей К А, причем [0(Сн(а))у Л] = 1 для любого а£А#.
Это коммутаторное условие выполнено очевидным образом, если
К локально сбалансирована. Однако для групп типа Ли нечетной
характеристики и знакопеременных групп нечетной степени его
справедливость существенно зависит от вложения А в Aut(/Q.
4.5. ^-сбалансированность
221
Тем не менее, если K=L2(q)y q нечетно, q^§ и q отлично от престых
чисел Ферма или Мерсенна, гто условие нарушается для любого
выбора А.
*.
Предложение 4.69. Пусть А—элементарная подгруппа в G
порядка 8. Предположим, что для любой'пары элементов а, а! £ Л#
выполнены следующие условиям
(a) а! централизует все, кроме, быть может, одной
компоненты L из L(CalO(Ca))\
(b) если такая компонента L существует и <я > = СА (L), то
L/Z(L) сильно локально 2-сбалансирована относительно Л/<а>.
При этих условиях пусть В—фиксированная четверная
подгруппа в А и для а£А# положим
6(Са) = [0(Са), S](0(Co(S))nQ.
Тогда 9 является А-сигнализаторным функтором на G.
Заметим, что L является Л-инвариантной, причем в п. (Ь) на
самом деле A 1(a) — четверная подгруппа из Aut (L/Z(L)).
Доказательство этого предложения очень похоже на доказательство
предложения 4.67. Обычно условие локальной 2-сбалансированности
компонент дает сигнализаторный функтор лишь тогда, когда А имеет
ранг не меньше 4 (см. предложение 4.65). Значение результата Ашба-
хера состоит в том, что сигнализаторный функтор получается даже
в случае ранга 3, если имеется сильная локальная 2-сбалансиро-
ванность вместе с указанным в предложении условием (а) о
вложении.
4.5. /.-сбалансированность
До сих пор обсуждение концентрировалось на р'-ядрах
централизаторов элементов порядка р в группе G. Элементы из 3р (G)
рассматривались лишь в связи с редукцией вопроса о /г-сбалан-
сированности группы G для р к свойствам-элементов из Sp{G).
Однако для дальнейшего анализа строения централизаторов
элементов порядка р важно выяснить взаимосвязь между
элементами из J?p(G), встречающимися в L(CjOP'(Ca)) и в L(Cb/0P' (Cb))
для коммутирующих элементов а, Ъ порядка р в G. Мы опишем
эту взаимосвязь в настоящем параграфе. Нам потребуются
некоторые предварительные результаты и определения [143], [144].
Предложение 4.70. Пусть X—группа, я—некоторое
множество простых чисел и X — XlO^{X). Если К—компонента
слоя L(X), то X содержит единственную субнормальную
подгруппу К, минимальную среди тех, которые отображаются на К.
222 Гл. 4. Общие методы локального анализа
Группа К совершенна и не имеет собственных нормальных
подгрупп ri-индекса.
Определение 4.71. Если X, X, К и К обозначают те же
самые группы, что и в предложении 4.70, то К называется п-ком-
понентой группы X. Произведение всех я-компонент группы X
называется п-слоем X и обозначается через L^ (X). Для полноты
мы положим Lsl'(X)=l1 если X не имеет я-компонент (или, что
эквивалентно, если L(X)=1).
Предложение 4.72. Для любой группы X и любого множества
простых чисел п справедливы следующие утверждения:
(i) п-компоненты группы X характеризуются как
минимальные совершенные субнормальные подгруппы в X, которые не
являются п'-группами;
(ii) каждая л-компонента группы X нормальна в Ln>(X)\
(iii) каждый элемент группы X индуцирует посредством со-
пряо/сения некоторую перестановку множества п-компонент
группы X.
Предложения 4.70 и 4.72 доказываются прямыми
рассуждениями и используют лишь элементарные свойства конечных групп..
В локальном анализе имеется два особенно важных частных
случая: п = {р\ для некоторого простого числа р и п = 2'.
Соответственно мы говорим о р-компонентах и 2'-компонентах, р-слое
и 2'-слое, которые обозначаются через Lp> (X) и L2 (X) вместо
£Л'(Х) для п = {р\ и 2'. Исследование централизаторов инволюций
в простых группах компонентного типа основано на 2-компо-
нентах. С другой стороны, анализ групп типа характеристики 2
использует как /7-компоненты для нечетных /?, так и
2'-компоненты.
Пусть /7 = 2. Если К — некоторая 2-компонента в X, то
К/02'(К) = К/0(К) квазипроста. Если К—некоторая 2'-компо-
нента, то К/02(К) квазипроста. Кроме того, в обоих-случаях
К—совершенная группа. В частности, 2-компоненты никогда
не бывают 2-скованными, в то время как 2'-компоненты либо
2-скованы, либо квазипросты. Безусловно, 2-скованная группа X
не может содержать квазипростых субнормальных подгрупп, так
что в этом случае 2'-компоненты обязаны быть 2-скованными.
Рассмотрим сначала случай /г-компонент. Нас интересует
следующий вопрос.
Если Р является р-подгруппой в группе X, р—простое число,
то что можно сказать о вложении Lp> (Сх (Р)) в X?
В случае/? =2 справедлив следующий фундаментальный
результат, который представляет собой одну из форм того, что стали
называть L-сбалансированностью [144].
4.5. /.-сбалансированность
223
Теорема 4.73. Для любой группы X и любой 2-подгруппы Т
в X справедливо включение L2' (Cx (T)) ^L2' (X).
Мы приведем набросок доказательства, опирающегося в
конечном счете на глубокую теорему Глаубермана о группе
автоморфизмов конечной группы. Описание этой теоремы будет дано в
следующем параграфе (теорема 4.102). За исключением^использования
результата Глаубермана все остальное доказательство теоремы 4.73
почти элементарно.
Используя индукцию, мы легко сводим доказательство к
случаю О (X) = 1. Теперь предположим противное и среди всех 2-групп,
нарушающих требуемое включение, выберем подгруппу Т с мак-,
симальным порядком. Положим K=L2'(Cx(T))> так что К —
совершенная группа иК/0(К) — произведение квазипростых групп.
Поскольку теорема не верна для /С, то K^UL(X). Пусть /
обозначает произведение тех 2-компонент группы К, которые йе лежат
в L (X), так что J Ф 1. Положим Y = L (X) 02 (X). Так как
Y/L(X) является 2-группой, -то ни одна 2-компонента группы J
не содержится в Y. Теперь из строения J мы непосредственно
получаем, что
</ЛК<02<2(/).
Кроме того, из предложения 1.27 следует
Лемма 4.74. Ни одна 2-компонента группы J не
централизует Y.
Применяем теперь теорему Глаубермана. Вместе с леммой 4.74
она дает нам
Предложение 4.75. / не централизует силовскую 2-подгруппу
из Y.
Воспользуемся максимальностью Т для получения
противоречия с предложением 4.75. Пусть Q&Syl2(NY (T)) и R = QT,
так что R является 2-группой. Группы К и, следовательно, J
инвариантны относительно NY (Т). (Поскольку [У, Т] = 1 и Y <| X, то
[/, R] = [J, Q]<«/nF<02>2(/).
Таким образом, если /=*//0(/), jo [*/, R]^02(J). Значит,/?
централизует J/02(J). Поскольку J—произведение 2-компонент,
то 7 полупроста и поэтому 02(J)^Z(J). Совершенность /
и рассуждение, приведенное после предложения 4.19 (лемма
о трех подгруппах), показывают, что R централизует / = JJO (/).
Положим теперь I = Lr(Cj(R)). Так как R централизует
J/0(J), то / накрывает J/О (У), т. е. J = 0(J)I, и мы видим, что
ни одна из 2-компонент группы / не лежит в У. Поскольку
224 Гл. 4. Общие методы локального анализа
J — произведение некоторых 2-компонент из С* (Г), то / является
на самом деле произведением некоторых 2-компонент группы Cx(R).
Таким образом, I ^L2> (Cx (R)), и поэтому наша теорема неверна
также для R. Из максимальности Т теперь следует, что T = R.
Наконец, R = QT£ Syl2 (NY (Т) Г), поэтому Т g Syl2 (NY (Т) Г).
Следствие 1.11 дает теперь, что Т £Syl2(YT). Отсюда мы -заклк>
чаем, что Т ()Y £Syl2 (Y). Так как J централизует T()Y, то она
централизует силовскую 2-подгруппу из У, что дает нужное
противоречие.
В качестве следствия теоремы 4.73 получается более
стандартная форма L-сбалансированности.
Следствие 4.76. Если а, Ь—коммутирующие инволюции
группы G, то L2. (Lr (Са) П Сь) = Lr (U* (Съ) П Са).
Для нечетных простых чисел не было доказано аналога
теоремы Глаубермана. Однако такой аналог справедлив для простых
К-групп. Следовательно, доказательство теоремы 4.73 может
быть модифицировано для получения следующих двух результатов,
известных как Lp>-сбалансированность. (Таким образом,
/.-сбалансированность означает то же самое, что и /^'-сбалансированность.)
Теорема 4.77. Пусть р—произвольное простое число и Р —
некоторая р-подгруппа в К-группе X. Тогда Lp>(Cx(P))^Lp>(X).
Следствие 4.78. Пусть р—некоторое простое число и
G—группа, в которой все р-локальные подгруппы являются К-группами.
Если а, Ь—коммутирующие элементы порядка р в G, то
Lp. (V (Са) П Сь) = Lp. (V (Рь) П CJ.
Последний результат (а также следствие 4.76) допускает
некоторое уточнение.
Теорема 4.79. Пусть р—некоторое простое число и G — группа,
в которой все р-локальные подгруппы являются К-группами, Пусть
а, Ь—коммутирующие элементы порядка р в G, /—некоторая
р-компонента в Lp> (Lp* (Са) Г) Сь) и К—нормальное замыкание J
в Lp>(Cb). Тогда справедливы следующие утверждения:
(i) либо К—единственная <дуинвариантная р-компонента
группы Сь, либо К является произведением р различных р-компо-
нент, циклически переставляемых элементом а;
(ii) J является р-компонентой в Lp> (CK (а)).
Теорема 4.79 представляет собой ключевой результат. Вот
как он используется. Начинаем рассуждение с некоторой р-ком-
поненты / группы Lp>(Ca), где а—изучаемый элемент порядка р-
из G. Рассмотрим второй элемент Ь порядка р в Сй, действующий
на /. Тогда непосредственно видно, что Lp> (С/ (&)) — произведение
4.5. ^-сбалансированность
225
р-компонент из Lp> (Lp> (Ca) Л Сь), поэтому теорема 4.79 применима
к любой /^-компоненте J из Lp> (С/ (&)). Нормальное замыкание К
компоненты J (из Lp> (С/ (Ь))) в Lp> (Съ) называют раздутием J
в Сь. Наша теорема дает хорошую информацию об этом раздутии.
Действительно, рассмотрим для простоты случай, когда
/(—единственная <а>-инвариантная /^-компонента из Съ, и положим
Cb = Cb/0P'(Cb). Тогда К—квазипростая группа и J является
р-компонентой в Lp> {С-^{а)). Если К является /С-группой (а на
практике это будет так), то известное строение централизаторов
элементов порядка /?, действующих на таких группах,
показывает, что в действительности J—квазипростая группа.
Следовательно, на самом деле
J является компонентой ъ L(C-g(a)).
Теперь если / известна с самого начала анализа, то известна
также J. Но тогда мы видим, что элемент а действует на нашей
квазипростой /(-группе К так, что С^(а) имеет в качестве
компоненты конкретную группу J, из таблицы централизаторов
элементов порядка р в известных простых группах мы теперь можем
идентифицировать все возможности для К (во многих случаях
группа К определяется однозначно). Таким образом, начиная
рассуждение с /7-компоненты / в Lp> (Ca), нам удалось
использовать теорему 4.79 как общий метод для описания некоторых
/7-компонент централизаторов в G других элементов порядка р
из Са1 которые тесно связаны с первоначальной /7-компонентой /
в Са. Этот процесс раздутия играет фундаментальную роль
в анализе централизаторов элементов порядка р в простых
группах.
Еще один вопрос аналогичной природы важен для анализа.
А именно, если вновь Ь—некоторый элемент порядка р в Са1 то
что мы можем сказать о вложении Ор* (Са) П Съ в Сь? В случае
1-сбалансированной группы G для р мы знаем, что Ор> (Са) Г) С&<
^ Ор> (Сь). Однако у нас нет оснований надеяться на
справедливость столь сильного заключения в общем случае. Тем не менее
с помощью рассуждений, похожих на те, которыми доказывались
указанные выше результаты, jtfbi можем дать весьма точное
описание этого вложения. Нам необходимо дополнительное определение.
Определение 4.80. Если X— группа с 0Р'(Х) = 1 для
некоторого простого /7, ' то пусть L*, (X) = L (X) Ор> (Сх (Р))> где
Р €Sylp(L(X)Op (X)). Поскольку все такие группы Р сопряжены
с помощью элементов из L (X) (по теореме Силова), то L*, (X)
определена независимо от выбора Р. Для произвольной группы X
определим L*, (X) как полный прообраз в X группы Vp. (Х/Ор* (X)).
8 № 625
226
Гл. 4. Общие методы локального анализа
Теорема 4.81. Пусть р —любое простое число и Р — силовская
р-подгруппа в К-группе X. Тогда 0Р> (Сх (P))<L*, (X).
Следствие 4.82. Пусть р —некоторое простое число и G —
группа, в которой все р-локальные подгруппы являются К-груп-
пами. Тогда 0Р'(Са){\Съ^Ц)1(С^ для любых коммутирующих
элементов а, Ь порядка р из G.
Роберт Гилмэн первым доказал теорему о L-сбалансированности
для некоторого типа 2'-компонент [107]. Его результаты были
значительно расширены Футом [105], так что теперь они являются
ключевым техническим инструментом в анализе групп типа
характеристики 2, содержащих собственное характеристически
порожденное ядро (определение см. в §4.13).
Для формулировки результата Фута нам необходимо понятие
блока Ашбахера.
Определение 4.83. Группа X называется слабым блоком, если
выполнены следующие условия:
(1) Х = 02(Х) (т. е. X не имеет нормальных подгрупп
индекса 2);
(2) Р(Х) = Ош(Х);
(3) Х/02(Х) — либо квазипростая группа, либо группа простого
порядка;
(4) если 1 = V0 < Vx <... < Vn = 02 (X) — последовательность
нормальных подгрупп в X, такая, что У;/У/-1~~ элементарная абе-
лева группа, являющаяся неприводимым Х-модулем, то X
действует нетривиально на У£/У{^х ровно для одного значения i, l^it^n.
Кроме того, X называется блоком (или блоком Ашбахера), если
она есть слабый блок и действует тривиально на 02(X)/Q1(Z(02(X)))
(следовательно, в случае блоков заслуживающие внимания члены
последовательности V{ обязательно содержатся в Qx (Z (02 (X))) и
[02 (X), X] ^ Qx (Z (02 (X))); следует предостеречь читателя, что
приведенное определение блока никак не связано с введенным
Брауэром понятием блока неприводимых характеров группы).
Для приложений достаточно одного понятия блока. Однако
результат Фута справедлив для более широкого класса слабых блоков.
Теорема 4.84. Предположим, что 2'-компонента L группы X
является слабым блоком и К-группой. Если а—инволюция в X и
К—некоторая 2'-компонента в Са, являющаяся слабым блоком,
то справедливо одно из следующих утверждений:
(i) К централизует L;
(И) К^Ц
(\п)ЬафЬ и K~{xxa\x£L} (т. е. К является «диагональю»
в LLa).
4.6. /^-слияние
227
Последняя теорема является близким аналогом теоремы 4.77.
Отсутствие формулировки ее исключительно в терминах 2'-слоев
объясняется сложностью описания действия 2'-компоненты К
из L2(Ca) на 02tk(X). Отметим также, что для доказательства
требуется, чтобы L удовлетворяла лишь одному свойству /С-групп,
а именно, чтобы L/02(L) имела разрешимую группу внешних
автоморфизмов.
Значение блоков Ашбахера для изучения групп типа
характеристики 2 будет описано в §4.13.
4.6. /7-слияние
Термин р-слияние принадлежит Брауэру и обозначает
сопряженность в группе G подмножеств из силовской /^-подгруппы
группы G. Точнее два таких подмножества называются слитыми в G,
если они сопряжены с помощью некоторого элемента из G. Эта
тематика имеет богатую историю и своими корнями уходит в
гомоморфизм перемещения и классические теоремы Бернсайда и Фробениу-
са о нормальном /^-дополнении (теорема 1.20). Последние
результаты получили многочисленные обобщения, указывающие условия,
при которых группа G содержит нормальную подгруппу индекса
/?,— например, лемма Томпсона о перемещении (предложение 1.21).
Применяя такие результаты к простой группе G, удается наложить
ограничения на строение ее силовской /7-подгруппы.
Подобные результаты типа перемещения касаются «верхней»
части группы. Имеется другая фундаментальная теорема,
доказанная Глауберманом (Z*-теорема) [110] и посвященная строению
«нижней» части группы (<!м. предложение 4.95 ниже). Z*-теорема
представляет собой красивое обобщение теоремы Брауэра и
Судзуки [48], утверждающей, что группа без ядра с кватернионными
силовскими 2-подгруппами обязательно -имеет центр порядка 2 и,
следовательно, непроста (теорема 4.88 ниже). Несомненно, теорема
Бендера о сильно вложенной подгруппе и Z*-теорема Глаубермана
являются двумя наиболее важными инструментами локального
анализа.
За последние годы были получены многие важные обобщения
самой Z*-теоремы, описание которых будет приведено в
последующих параграфах. Однако мы подчеркнем, что как доказательство
2*-теоремы явно использует теорему Брауэра — Судзуки, так и все
последующие обобщения опираются на Z*-TeopeMy, чтобы охватить
минимальный случай. Следует также отметить, что Z*-TeopeMa
представляет собой единственный результат общего локального
анализа, доказательство которого существенно использует теорию
Брауэра модулярных характеров.
Мы начнем с фундаментальной теоремы Алперина о слиянии,
которая утверждает, что в любой конечной группе р-слияние оп-
8*
228
Гл. 4. Общие методы локального анализа
ределяется р-локально в очень точном смысле [1]. (См. также [130,
§ 7.2].) С момента появления первого доказательства был сделан
ряд уточнений теоремы Алперина. Мы сформулируем то из них,
которое принадлежит Голдшмидту [119].
Определение 4.85. Пусть G—группа, Р — ее силовская /?-под-
группа и S) — некоторое множество подгрупп из Р. Если Л, В—
непустые подмножества в Р и g$G, то мы говорим, что Л
является ей-сопряженным с В посредством g, если существуют
подгруппы Dly D2, ..., Dn из @> и элементы gu g2, ..., gn из G,
такие, что
(1) gt£NG(Dt)9 l<i</i;
(2) Л<#! и Aei'"gi^Di+u 1<*<л-1;
(3) £■=&&•..£„ и Л^=В.
Кроме того, мы называем £й семейством сопряжения (для Р
в G) в том случае, когда выполнено следующее условие: если Л
и В —непустые подмножества в Р, сопряженные в G, то они
обязательно <2>-сопряжены посредством некоторого g£G. В таком
случае всегда можно выбрать подгруппы D{ и элементы g{ так,
чтобы дополнительно было выполнено условие
(4) gt является /^-элементом, 1^j<ai—1, и Dn = P.
Таким образом, в качестве сопрягающих элементов можно
выбрать либо /^-элементы, либо элементы, нормализующие Р.
Теорема 4.86. Пусть G —группа, Р—ее силовская р-подгруппа
и 3)—множество всех подгрупп D из Р, удовлетворяющих
следующим условиям:
(a) NP(D)£Sylp(NG(D));
(b) NG (D) является р-скованной группой;
(c) D отображается на факторгруппу Op(NG(D)lOp>(NG(D)))\
(d) либо D = P, либо NG(D)/D содержит сильно р-вложенную
подгруппу.
Тогда @)—семейство сопряжения для Р в G.
Таким образом, эта теорема утверждает что любое слияние в G
подмножеств из Р может быть в действительности разложено в
произведение сопряжений, каждое из которых происходит в /?-ло-
кальной подгруппе группы G весьма специального вида.
Заметим, что Z(P)^NP(D) и Z(P) централизует D.
Следовательно, п. (Ь) и (с) предыдущей теоремы дают дополнительное
свойство:
(e) Z(P)^D.
Перейдем теперь к теореме Брауэра —Судзуки. Для ее
формулировки нам необходимо следующее определение.
4.6. /^-слияние
229
Определение 4.87. Если X — произвольная группа, то Z*(X)
обозначает полный прообраз в X группы Z(X/0 (X)).
Очевидно, что Z(X/0 (X)) — абелева 2-группа и Z*(X)<]Xt
поэтому Z* (X)^Sol(X) по теореме Томпсона —Фейта.
Z*-теорема (и частный случай Брауэра — Судзуки) дает достаточное
условие для того, чтобы Z* (X) содержала 0(Х) в качестве
собственной подгруппы. Мы сформулируем теорему Брауэра — Судзуки
следующим образом.
Теорема 4.88. Если G — группа с m2(G)=l, то Z*(G)>0(G).
В частности, если \ G | > 2, то G не проста.
Из условия m2(G) = l следует (согласно предложению 1.35),
что G имеет циклическую или обобщенно кватернионную силовскую
2-подгруппу S. Однако в первом случае, так как Q1(S)=Z2, то из
предложения 4.7 непосредственно следует, что Aut(S) является
2-группой, откуда NG(S)=CG(S) и S^Z(NG(S)). Но теперь,
согласно теореме Бернсайда о перемещении (теорема 1.20(H)), группа
G имеет нормальное 2-дополнение. Таким образом, G=SO(M) и
S^.Z*(G). Следовательно, наша теорема тривиальна в циклическом
случае, и поэтому в действительности она является результатом о
группах с кватернионной силовской 2-подгруппой S.
Первоначальное доказательство Брауэра и Судзуки
существенно использовало модулярную теорию характеров. Однако
впоследствии при |5|>8 они получили доказательство, опирающееся
лишь на результаты из обычной теории характеров (их
доказательство воспроизведено в гл. 12 моей книги [130]). В 1974 г. Глауберман
получил доказательство с помощью обычной теории характеров для
оставшегося случая |S.J = 8 [115]. При этом он использовал
значительно более тонкое рассуждение, нежели в случае |S|>8 или в
доказательстве случая |5|=8 при помощи модулярной теории
характеров. С другой стороны, все известные доказательства £*-теоремы
опираются на модулярную теорию характеров. По этой причине мы
решили в обсуждении кватернионного случая также
придерживаться модулярного подхода, поскольку тогда появится некоторое
сходство в рассуждениях.
В самом деле, оба доказательства тогда используют так
называемую вторую основную теорему Брауэра, устанавливающую связь
между /7-блоками характеров подгруппы Н в G и /7-блоками
характеров группы G (для любого простого числа р) посредством вполне
определенного соответствия, известного как соответствие Брауэра
(см. [84], [126], [182]). В кватернионном случае и в Z*-TeopeMe p==2
и Н=СХ для подходящего 2-элемента х из G. Кроме того, теорема
применяется к так называемому главному 2-блоку В0 группы Gy
который по определению совпадает с блоком, содержащим триви-
230 Гл. 4. Общие методы локального анализа
альный характер 1 G группы G. Важность главного блока для
теоремы 4.88 и г*-теоремы можно увидеть из следующего факта.
Предложение 4.89. Пусть X — произвольная группа и %1У %^ ...
..., %г—неприводимые характеры главного 2-блока группы X.
Тогда
0(Х) = П1кег(Х,).
Мы приведем набросок доказательства теоремы 4.88 в случае,
когда S — группа кватернионов порядка 8, однако опустим все
технические детали из теории характеров. Пусть G — контрпример
наименьшего порядка. Тогда нетрудно видеть, что 0(G) = 1 и G не
имеет нормального 2-дополнения. Покажем, что единственная
инволюция t из S лежит в Z(G), откуда будет следовать, что G не
является контрпримером.
Пусть S = <x уУ с х4=#4=1, x2 = y2 = t и у~1ху=^х~1.
Заметим, что все подгруппы в S порядка 4 являются циклическими.
Лемма 4.90. Все подгруппы из S порядка 4 сопряжены в NG (S).
Действительно, поскольку G не имеет нормального 2-дополнения,
то теорема Фробениуса (теорема 1.20(i)) показывает, что N G(T)/C G(T)
не является 2-группой для некоторой подгруппы Т в S. Однако
если T<S, то Aut (T) — обязательно 2-группа, поэтому T—S
и NG(S) должна содержать 3-элемент, циклически переставляющий
с помощью сопряжения три (циклические) подгруппы из S
порядка 4.
Нетрудно доказать следующий факт.
Лемма 4.91. Главный 2-блок группы G содержит семь
неприводимых характеров 1<? = Хо. Xi> X2> •••> Хв-
Вторая основная теорема Брауэра используется для получения
соотношений между значениями этих характеров %it O^i^fi. В
конечном счете Брауэр и Судзуки доказывают
Предложение 4.92. Для выбранных подходящим образом
характеров Xi> %2 и знаков бх, б2 = ±1 справедливы равенства
(О l + e1Xi(0-elXl(0 = 0;
(И) l + eiXi(l) + e.X.(l) = 0;
(iii) l + бх [Xl (0Vxi (i)] + s2 [x. (OVx. (i)] = о.
Отсюда мы получаем следствие, играющее ключевую роль.
Предложение 4.93. Справедливо равенство XiW — XiO)-
Действительно, xf(l)=deg(Xf) — положительное целое число,
поэтому б2=—бг в силу (и), откуда, согласно (i) и (и),
x.0) = 6i + Xi(i) и x.W = -ei-Xi(0.
4.6. /^-слияние 231
Подставляя в (iii), мы получаем
Избавляясь от знаменателя, получаем
- 61X1 (i) - 2Xl (i)x, (0 - alXl (О2 xi (i).
откуда
0 = Х1(1)2 + Хг(02-2ъ(1)Х1(0,
и поэтому
o = rxi(0-Xi(i)]*.
что дает равенство %i(f)=%i(l)-
Теперь мы можем получить окончательное противоречие.
Прежде всего из предложения 1.4(1) теперь следует, что /£ker(%i).
Поскольку Xi=^=1g, to Af=ker(%i)<G. Положим T=Sr\N, так что
Т€Syl2(N). Если Т — циклическая группа, то вновь по теореме
Бернсайда о перемещении группа N содержит нормальное 2-допол-
нение. Так как 0(N)^0(G) = l, то N=T, и, следовательно, t£
£Z(G), что и требовалось. В противном случае T=S и N имеет ква-
тернионные силовские 2-подгруппы. Поскольку Af<G, то для N
утверждение теоремы справедливо, а так как 0(N) = l, то t£Z(N).
Из теоремы Силова следует, что t — единственная инволюция в N.
Из N<]G мы сразу заключаем, что и в этом случае t£Z(G).
Если m2(G)=l для группы G и S £Syl2(G), то S содержит лишь
одну инволюцию z. Поэтому очевидно, что S—{г) не содержит
инволюций, так что z не может быть слита в G ни с одним элементом из
S—(г). Глауберман понял, что именно это свойство, а не
конкретное строение силовской 2-подгруппы, лежит в основе теоретико-
характерного анализа Брауэра и Судзуки. Для формулировки его
2*-теоремы нам необходимо следующее определение.
Определение 4.94. Пусть S —силовская 2-подгруппа в
группе G. Инволюция z из S называется изолированной в S
(относительно G), если она не сопряжена в G ни с одним элементом из
S-<z>.
Понятно, что тогда z не сопряжена в S ни с одним элементом из
S—(г), поэтому изолированная инволюция обязательно лежит в
Z(S).
Теорема 4.95 (Z'-теорема). Пусть G—группа и S—силовская
2-подгруппа в G. Если z—изолированная инволюция eS, moz^Z* (G).
Как и раньше, мы опустим в обсуждении технические детали из
модулярной теории характеров. Первый шаг — чисто теоретико-
групповое следствие изолированности.
232 Гл. 4. Общие методы локального анализа
Предложение 4.96. Если S$Syl2(G) и t£3(S) изолирована в
S относительно G, то [g, t] = g~~4gt имеет нечетный порядок
для всех g£G.
Действительно, пусть w=tzt. Для доказательства предложения
мы должны показать, что \w\ нечетен. Поскольку w —
произведение двух инволюций, то обе инволюции t и № инвертируют w
согласно предложению 2.41. Пусть \w\ = 2a-n с нечетным п, и
положим г = (п-\-1)/2, так что г —целое число. Учитывая, что №
инвертирует w и ^ = (^)"1, поскольку ^ —инволюция, мы
получаем, что
tewrte = w'r.
Следовательно,
t&»rt =. (w~riswr) t = w~r (tswrts) M = w~r (w~r) w = w1"^ = w'n.
(4.23)
Так как (wn)2a= 1, то. \w~n\ равен степени 2. Однако w~n —
произведение двух инволюций t^r и t9 поэтому вновь из
предложения 2.41 следует, что </, Uwr> является 2-группой.
По теореме Си лова t и №wrx лежат в S для некоторого x^G.
Поскольку каждый из них сопряжен с t в G, то изолированность
/ дает нам
/* = №Гх = t,
откуда
Но тогда в силу (4.23)
w"n = t^wrt = t2= 1,
т. е. wn=l. Из нечетности п мы заключаем, что \w\ нечетен, как
и утверждалось.
Как и обычно, мы начинаем с контрпримера G к теореме 4.95
наименьшего порядка. В частности, силовская 2-подгруппа группы
G не является кватернионной по теореме Брауэра — Судзуки.
Отсюда следует
Лемма 4.97. S — <t> содержит инволюцию.
Используя минимальность G и изолированность t, легко
доказывается
Лемма 4.98. (i) О (N)=l для любой нормальной подгруппы N
в G;
(И) t£Z(S);
(Hi) Ca < G для всех и£Э (5).
Первый необходимый нам результат из модулярной теории
характеров — общее свойство «ортогональности» значений неириво-
4.6. /7-слияние 233
димых характеров из данного блока. Нам нужен этот факт лишь
для главного 2-блока В0 группы G. Пусть 1 g=Xo, Хъ •••> 1Г—
неприводимые характеры из В0.
Предложение 4.99. Пусть х, у$0, причем х—инволюция и
либо у=1, либо у—инволюция, не сопряженная с х в G. Тогда
Sx/(*)Xf(»)=o.
Вторая основная теорема Брауэра используется в доказательстве
следующего результата (опирающегося также на предыдущие
четыре леммы и предложения).
Предложение 4.100. Если и — инволюция из S—<Ot то для
любых х, y£G и любого i, l^t<>, справедливо равенство
Используя этот результат вместе с умножением в комплексном
групповом кольце1) группы G, Глауберман теперь может найти
значение Xi на t для подходящего i. А именно, он доказывает
Предложение 4.101. Пусть и—инволюция из S — <£>. Если
х.(и)ф0, 1<1<Л то Х/(0 = —Х/0) (rn.e. X/(0 = —degfa/)).
Теперь предложения 4.99 и 4.101 дают непосредственное
арифметическое противоречие. В самом деле, зафиксируем инволюцию
u£S—(t). Согласно предложению 4.101, для любого i, l^a^O*,
справедливо равенство
Х/(")Ы0 + Х*(1)] = 0, (4.24)
поскольку один из сомножителей равен нулю. С другой стороны,
1а(х)=1 для всех xgG, поэтому
Ым)[1о(0+М1)] = 2. (4.25)
Суммируя (4.24) по всем i и добавляя (4.25), мы получаем, что
2=Sx,(")[X/(0 + Xi(l)] =
= 2 %i(u)%t(t)+ 2 %t(u)%i(l). (4.26)
i=0 i=0
х) По определению групповым кольцом G [С] группы G называется
векторное пространство над С с элементами gf, g2, ...,£л группы G в качестве
базиса, причем произведение двух элементов g=Vc/g/, c,-£C, и g' =
i
= 2<7gy, С/€С> из GtcJ задается правилом gg' =- 2 cic\ (£*£/)•
i ь /
234
Гл. 4. Общие методы локального анализа
Однако и и t не сопряжены в G ввиду изолированности t. Поэтому
каждая из двух сумм в (4.26) равна 0 в силу предложения 4.99.
Таким образом, 2=0. Полученное противоречие завершает
доказательство теоремы.
Я думаю, читатель согласится с тем, что теорема Брауэра —
Судзуки и Z*-TeopeMa являются замечательными иллюстрациями
силы, глубины и элегантности теории Брауэра модулярных
характеров и блоков характеров.
Трудно переоценить важность 2*-теоремы для изучения простых
групп. В качестве удивительного примера отметим теорему Глау-
бермана, доказывающую в частном случае знаменитую гипотезу
Шрейера о разрешимости группы внешних автоморфизмов любой
простой группы. В полном объеме эта гипотеза на самом деле
следует из классификации простых групп, поскольку каждая
известная простая группа имеет разрешимую группу внешних
автоморфизмов. Теорема Глаубермана указывает тот рубеж, которого
удалось достичь в попытке получить ее прямое доказательство.
Теорема 4.102. Пусть G —группа cO(G)=\ (например,
простая) и S £Syl2(G). Тогда CAut (G) (S) имеет абелевы силовские 2-
подгруппы и нормальное 2-дополнение. В частности, группа CAut(<?)(«$)
разрешима.
Положим С = CAut(G) (S) и рассмотрим полупрямое произведение
групп G и С. По определению С централизует S, поэтому если
T£Syl2(C) и г —инволюция из Z(T)f то z$Z(ST). Заметим, что
z^Z*(G<e>). Действительно, в противном случае z£Z(G<z>) в
силу того, что 0(G)=1, а значит, г действует тривиально на G.
Последнее противоречит тому факту, что z — автоморфизм периода
2 группы G. Следовательно, согласно Z*-TeopeMe, существует g £ G,
такой, что zz^S<X> с zz=£z.
Именно такую ситуацию должен анализировать Глауберман.
Если Т неабелева, то мы можем взять z=[a, b] для подходящих а,
Ь £ Т. С другой стороны, если Т абелева, но С не имеет нормального
2-дополнения,то из теоремы Бернсайда о перемещении (теорема 1.20
(и)) следует, что z можно выбрать удовлетворяющим условию гхФ
^z для некоторого x£Nc(T) нечетного порядка. В обоих случаях
Глауберман использует теорему Алперина о слиянии для
разложения сопряжения z8=^=z и получает затем противоречие, учитывая,
что а, Ь и х централизуют S. Само рассуждение является достаточно
прямым. Заслуга Глаубермана здесь состоит в понимании того, что
Z*-TeopeMa имеет сильное следствие для группы автоморфизмов
конечной группы.
Мы завершим настоящий параграф приложением некоторых из
указанных выше идей, описав теорему Алперина о простых группах
2-ранга 2 [4]. Отметим, что в общем случае анализ 2-слияния в про-
4.6. р -слияние
235
стой группе низкого 2-ранга дает очень сильное следствие о
возможном строении ее силовских 2-подгрупп.
Теорема 4.103. Если G —простая группа 2-ранга 2 и S—си-
ловская 2-подгруппа в G, то S является либо диэдральной, либо
квазидиэдральной, либо сплетенной группой, либо группой типа
Ua (4) (т. е. изоморфна силовской 2-подгруппе из U3 (4)).
Можно предполагать, что S не является ни диэдральной, ни
квазидиэдральной группой. Поэтому из предложения 1.35(H)
следует, что S содержит нормальную четверную подгруппу V. Так
как V<JS, то V содержит некоторую инволюцию z£Z(S). Мы
зафиксируем такой элемент г.
Согласно Z*-TeopeMe, существуют ggG и t$S — <г>, такие, что
ts=z. Пусть теперь ^—семейство сопряжения из теоремы 4.86.
Из этой теоремы мы заключаем, что найдутся D £ @> и х £ Af0(D),
для которых и = гхфг.
Поскольку CS(D)^D по определению ®, то zgD, откуда
egZ = Q1(Z(D)). Следовательно, также u = zx£Z, поскольку х
нормализует D и Z char D. Таким образом, Z — нециклическая
группа. Так как /n2(D)<ffl2(S) = 2, то мы заключаем, что
Z = Q1(D) = <z> u>. (4.27)
Пусть теперь N = NG (V), C=CG (V) и Т=S n С. Тогда S g Syl2(N)y
поскольку V <] S. Таким образом, Т £ Syl2 (С) и | S: Т | ^ 2
(последнее следует из того, что N/C изоморфна подгруппе в 28).
Рассмотрим теперь два случая:* и£Т и и(£Т. Если «gT1, то
<а, У> —элементарная абелева группа. Поскольку m2(S) = 2, то
wgV, откуда V = Z. Таким образом, NG(D) нормализует У,
согласно (4.27), и поэтому NG(D)^N. Следовательно, и сопряжен
с z в N, так что N^SC. Отсюда следует, что N/C^Z3 или 23.
Теперь рассуждение Фраттини показывает, что NN(T) содержит
3-элемент у, транзитивно переставляющий инволюции из V.
Поскольку V = Qt (T), то у транзитивно переставляет инволюции из Т.
Поэтому можно воспользоваться теоремой Г. Хигмэна [170].
В нашем случае она дает, что Т — либо гомоциклическая абелева
группа, либо группа типа £/3(4).
Если T=Vt то либо S = V, либо S —диэдральная группа
порядка 8, что противоречит сделанному предположению. Поэтому
если Т — гомоциклическая абелева, то обязательно |Т|^16. В этом
случае мы легко получаем, что либо S — сплетенная группа, либо
S=7\ В последнем случае силовская 2-подгруппа в G имеет вид
Z2nXZ2n для некоторого п>2. Однако теорема Брауэра
(доказываемая с помощью модулярной теории характеров) утверждает, что
ни одна простая группа не имеет силовской 2-подгруппы такого
вида [43]. Таким образом, наша теорема справедлива в случае,
когда Г — гомоциклическая абелева группа. Аналогично она справед-
236
Гл. 4. Общие методы локального анализа
лива, если S=T — группа типа £У3(4). С другой стороны, если S>T
и Т — группа типа £/3(4), то анализ группы автоморфизмов
группы Т ведет к противоречию. Таким образом, в случае и £ Т
теорема справедлива.
Предположим наконец, что и^Т. Тогда S = T<u> и Т < 5,
поэтому D = E <и>, где Е = D Г) Т. Кроме того, и (£ £. Однако
u^Z^Z(D) и, следовательно, D~Ex<u>. Так как m2(D)^2,
то /п2(£)=1, откуда следует, что £ —циклическая или кватер-
нионная группа. Однако egDn'?n = £, поэтому <г> = Йх (£). Если
| £ | ^ 4, то непосредственная проверка показывает, что <г> char D =
= Ех<и>. Тогда очевидно, что г им не могут быть сопряжены
в NG (D). Следовательно, | Е | = 2, а значит, D = <г, */> —
четверная группа. Так как CS(D) ^D, то из предложения 1.16 и
теоремы 1,17 следует, что S — диэдральная или квазидиэдральная
группа, в противоречие со сделанным предположением.
Анализ 2-слияния в группе G обычно не использует в полную
силу условие простоты, а использует лишь тот факт, что G не
содержит изолированных инволюций и не имеет нормальных подгрупп
индекса 2. Таким образом, соответствующий анализ применим к
более широкому классу слитно-простых групп.
Определение 4.104. Группа G называется слитно-простой,
если она не содержит изолированных инволюций и не имеет
нормальных подгрупп индекса 2.
Например, теорема 4.103 легко обобщается на слитно-простой
случай — единственное изменение состоит в том, что в список
возможных групп S следует добавить группы Z2nXZ2n, n^2. (Однако
в результате отпадает необходимость использования теоремы Брау-
эра [43]. Конечно, она остается необходимой для классификации
слитно-простых групп с такими силовскими 2-подгруппами.)
4.7. Устойчивость и характеристические подгруппы для
нечетных простых чисел
В следствии 4.18 мы описывали одни из основополагающих
результатов статьи о группах нечетного порядка для простых чисел
р с mp(G)>3, а именно, что каждая подгруппа P£Sylp(G) имеет
единственный максимальный сигнализатор W в G. Продолжая
анализ дальше и используя те же рассуждения, что и в
доказательстве теоремы 4.35, Томпсон смог доказать соответствующее
утверждение:
rp,2(G)<A/G(№)<G. (4.28)
Следовательно, в случае W=£l получалось (из простоты G), что G
содержит собственное 2-порожденное /?-ядро. (Конечно, поскольку
для нечетных р не существует аналога классификации Бендера —
4.7. Устойчивость и характеристические подгруппы
237
Ашбахера, то тем самым завершался лишь анализ первого этапа
общей проблемы о группах нечетного порядка.)
С другой стороны, если W=\ (или, как мы сказали бы теперь,
если сигнализаторный функтор тривиален), то на первый взгляд
не видно подходящей кандидатуры на роль собственной
подгруппы в G, содержащей TP2(G). Первоначальное доказательство
Томпсона существования такой подгруппы было исключительно
трудным. Однако вскоре он открыл блестящее концептуальное
доказательство (именно оно вошло в окончательный текст статьи),
основанное на так называемых фактор изационных леммах. Последние
оказали глубокое влияние на развитие всей теории простых групп.
В частности, в них впервые была введена подгруппа, которую теперь
называют подгруппой Томпсона /?-группы. Это доказательство затем
получило второе упрощение, основанное на ZJ-теореме Глаубермана
[130, теорема 8.2.11], которая показала, что для нечетных простых
чисел так называемая подгруппа Томпсона обладает некоторыми
замечательными свойствами, позволяющими вообще избавиться от
факторизационных лемм.
Для простого числа 2 нет удовлетворительного аналога теоремы
Глаубермана, тогда как факторизационные леммы остаются в силе
во многих случаях. В результате оказалось, по иронии судьбы, что
идеи, развитые для изучения нечетных локальных подгрупп, стали
играть фундаментальную роль в анализе 2-локального строения
групп типа характеристики 2.
Мы отложим обсуждение факторизационных лемм до §4.11 и
сконцентрируем здесь внимание на достижениях Глаубермана для
нечетных простых чисел. Исходным пунктом является понятие р-
устойчивости, которое мы совместно с Уолтером ввели для
обобщения результатов Томпсона о единственности для групп нечетного
порядка, которые можно было бы применить к исследованию групп
с диэдральными силовскими 2-подгруппами.
Определение 4.105. Пусть р — нечетное простое число и X—
группа с Ор(Х)=\. Точное представление ф группы X на
векторном пространстве V над GF (р) называется линейно р-устойчи-
вым, если ни один /?-элемент группы ср(Х) не имеет
квадратичного минимального многочлена в своем действии на V.
Скажем, что группа X является линейно р-устойчивой, если
каждое такое точное представление группы X линейно /7-устойчиво.
Естественное представление группы SL (2, рп) не является
линейно /?-устойчивым. (Мы уже отмечали этот факт в § 4.1 в случае
рп=3.) Введенное определение содержательно лишь для нечетных
простых чисел. Действительно, если /?=2, то любой элемент из
Ф (X) порядка р является инволюцией и поэтому обязательно имеет
квадратичный минимальный многочлен.
238
Гл. 4. Общие методы локального анализа
Используя результат Диксона о порождении группы SL (2, рп)
[130, теорема 2.8.4], мы с Уолтером доказали следующий результат.
Теорема 4.106. Пусть р — нечетное простое число и
X—группа с Ор(Х) = 1. Если X не является линейно р-устойчивой, то в
нее вплетена группа SL(2,p) (т. е. факторгруппа некоторой
подгруппы из X изоморфна SL(2, /?)). В частности, силовская
2-подгруппа из X не может быть ни абелевой, ни диэдральной.
Второе утверждение следует из того факта, что SL (2, р) имеет
кватернионные силовские 2-подгруппы.
Теперь мы обобщим введенное понятие на /^-локальную
ситуацию. Пусть Q —нетривиальная.нормальная /?-подгруппа группы X,
и положим X = X/(D(Q), так что Q = Q/Ф (Q) — элементарная абе-
лева группа. Пусть X = X/C^(Q). Мы можем рассматривать X
как группу линейных преобразований HaQ, отождествляя Q с
векторным пространством над GF(p). Если л; —некоторый /^-элемент
из X с [Q, ху х] = \, то [Q, х, х]=1, что в аддитивной записи
для Q означает, что х удовлетворяет уравнению (X — 1)2 = 0.
Следовательно, если хф\, то х имеет квадратичный минимальный
многочлен на Q. Таким образом, если также Ор{Х)~\, то X не
является линейно /7-устойчивой. Приведенные замечания служат
мотивировкой следующего определения.
Определение 4.107. Пусть р — нечетное простое число и X —
группа с 0Р'(Х) = 1 и Ор(Х)Ф\. Скажем, что X является р-
устойчивой, если для любой нормальной /7-подгруппы Q в X и
любого /7-элемента л; из X с [Q, х% х] = 1 справедливо включение
х g Ор (X), где X = Х/Сх (Q). Более общо, если Ор* (Х)ф\, то
группу X назовем р-устойчивой, если р-устойчивой является
группа Х/Ор-(Х).
Смысл определения заключается в том, что если X не
является /^-устойчивой и Ор>р(Х) > Ор' (X), то легко показывается, что
некоторое сечение группы X не является линейно /7-устойчивым.
Следовательно, справедлива
Теорема 4.108. Если р —нечетное простое число и группа X
не является р-устойчивой, причем Ор>р (X) > Ор> (X), то в X
вплетена группа SL(2, p).
ZJ-теорема касается /7-скованных /?-устойчивых групп, а ее
формулировка использует подгруппу Томпсона р-группы, которая
на практике определяется несколькими, слегка различающимися
4.7. Устойчивость и характеристические подгруппы 239
способами. В настоящем изложении мы используем следующее
Определение 4.109. Если /?■— произвольное простое число и
Р — некоторая /7-группа, то пусть Л (Р) обозначает множество всех
абелевых подгрупп из Р максимального порядка и
У(Р) = <Л|Л<Е</£(Р)>.
Тогда / (Р) называется подгруппой Томпсона в Р. Понятно, что она
характеристична в Р.
Для факторизационных лемм лучше определять подгруппу
Томпсона как
j,(P)=<A\AeJt(P)>.
где Ле (Р) обозначает множесто всех элементарных абелевых
подгрупп в Р максимального порядка (или, что эквивалентно,
максимального ранга).
Как отмечалось, J (P) char Р. Кроме того, если Q
—произвольная подгруппа в Р, содержащая J(P), то непосредственно из
определения следует, что J(P)=J (Q). Этот факт является
основополагающим, поскольку он показывает, что J (P) характеристична в
любой подгруппе из Р, содержащей /(Р). Группа Je(P) обладает
теми же свойствами.
Теорема 4.110. (ZZ-теорема.) Пусть р—нечетное простое
число и X — некоторая р-скованная группа с Ор> (X) = 1 и Р £ Sylp (X).
Если X является р-устойчивой, то Z (J (Р)) — характеристическая
подгруппа в X. В частности, Z(/(P))<]X.
Такой вывод воистину замечателен, поскольку даже при
наличии р-устойчивости группа X может иметь непредсказуемо сложное
строение. Доказательство Глаубермана теоремы 4.110 включает
в себя блестящее использование коммутаторных соотношений.
В своих последующих исследованиях Глауберман довел
соответствующие методы до вершин изящества.
Чтобы продемонстрировать силу сформулированного выше
результата, мы укажем одно его приложение, охватывающее случай
W=l из статьи о группах нечетного порядка.
Теорема 4.111. Пусть G—группа типа характеристики /?,
в которой все р-локальные подгруппы являются р-устойчивыми, р—
нечетное простое число. Если Р £Sylp(G), то Tptl(G)^NQ(Z(J(P))).
Таким образом, N G(Z(J (P))) — сильно /7-вложенная подгруппа
в G. Если G—простая группа нечетного порядка, в которой все
собственные подгруппы разрешимы, то непосредственно видно, что все
/7-локальные подгруппы в G являются /7-скованными и р-устоти-
выми. Кроме того, в ситуации W=l нетрудно доказать, что каждая
/?-локальная подгруппа имеет также тривиальное //-ядро. Поэтому
в рассматриваемом случае выполнены условия теоремы.
240
Гл. 4. Общие методы локального анализа
Доказательство проводится от противного. Положим М =
= NG(Z(J (P)))> и пусть Я-такая /^-локальная подгруппа в G,
что Н^.М и Q = Pf]H имеет наибольший возможный порядок.
Из предположения о том, что теорема не верна, следует, что
0,ф\. Покажем, что Q£Sylp(H). Если Q = P, то это ясно, так
как Р £Sylp(G). Поэтому мы можем предполагать, что Q < Р.
Тогда Q<NP(Q) по теореме 1.10 и поэтому NG(Q)^M согласно
выбору Я и Q. В частности, если Q < R g Sylp (Я), то TV ^ (Q)< M fl Я.
Так как P£Sylp(M), то (Nr(Q))x^P для некоторого х£М.
Если NR(Q)>Q=zP()H, то максимальность Я и Q тогда дает
нам, что НХ^М, откуда Я ^ М — противоречие. Таким образом,
Nr (Q) = Q, и мы заключаем из следствия 1.11, что Q = R £ Sylp (Щ-
Кроме того, поскольку G — группа типа характеристики /?, то Я
является р-скованной группой с 0Р'(Н)=\.
Теперь из теоремы Глаубермана следует, что Z (,/((?))<] Я,
поэтому если мы положим N = NG(Z(J (Q))), то H^N. Если
Q = P, то N = M9 значит, H^Mf вопреки предположению.
Следовательно, Q < Р, так что NP(Q)>Q вновь по теореме 1.10.
Однако NP(Q) нормализует Z(J(Q)), которая характеристична в
Q, поэтому NP (Q) < N. Таким образом, Р (]N > Q, откуда N < М
в силу того, что Я выбиралась максимальной. Опять Н^М —
противоречие.
Некоторые дополнительные рассуждения позволили Глауберма-
ну сделать дополнительные выводы, формулировка которых
использует следующее определение.
Определение 4.112. Пусть G—группа, Р — силовская /?-под-
группа в G для некоторого простого числа р и
Я—подгруппа в G, содержащая Р. Скажем, что Я контролирует р-слия-
ние в G, если два подмножества в Р, сопряженные в G,
сопряжены в Я. Скажем, что Я контролирует р-перемещение в G, если
наибольшая абелева /?-факторгруппа группы G изоморфна
наибольшей абелевой /^-факторгруппе группы Я.
По теореме о фокальной подгруппе (теорема 1.19), если Я
контролирует /^-слияние в G, то она также контролирует /7-перемещение.
Однако обратное может и не выполняться, поскольку для
определения образа G в PIP' при гомоморфизме перемещения требуется
меньшая информация, нежели полное /7-слияние.
Прежде всего мы сформулируем локальный вариант результатов
Глаубермана.
Теорема 4.113. Пусть X обозначает р-скованную р-устойчивую
группу с Ор> (X) = 1 и Р б Sylp (X), р — нечетное простое число.
Тогда NX(Z(J(P))) контролирует р-слияние в X и,
следовательно, контролирует также р-перемещение. В частности, X имеет
4.7. Устойчивость и характеристические подгруппы 241
нормальное р-дополнение тогда и только тогда, когда Nx (Z(J(P)))
имеет нормальное р-дополнение.
Заключительное утверждение следует из контроля
^-перемещения вместе с теоремой Фробениуса о нормальном /7-дополнении
(теорема 1.20(i)).
Используя теорему 4.113 и индукцию по G, Глауберман
получает следующий критерий того, чтобы группа G имела нормальное
/7-дополнение (см. [130, теорема 8.3.1]).
Теорема 4.114. Пусть Р — силовская р-подгруппа группы G, р —
нечетное простое число. Если NG(Z(J(P))) имеет нормальное р-до-
полнение, то G также имеет нормальное р-дополнение.
Из последней теоремы в качестве непосредственного следствия
выводится справедливость гипотезы Фробениуса, доказательство
которой Томпсоном открыло период бурного развития теории
конечных групп.
Теорема 4.115. Если группа G допускает автоморфизм ф
простого порядка qy централизующий лишь единичный элемент из G,
то G нильпотентна.
Пусть G — минимальный контрпример. По теореме Силова ср
оставляет инвариантной некоторую силовскую ^-подгруппу Q из
G. Если С[ф\, то из предложения 1.9 непосредственно следует, что
Сд(ф)^=1, в противоречие с тем фактом, что ф действует на G без
неподвижных точек. Таким образом, Q=l и поэтому G является
^'-группой. Следовательно, G и ф имеют взаимно простые порядки.
Рассмотрим сначала случай, когда G не содержит нетривиальных
собственных характеристических подгрупп. Так как G ненильпо-
тентна, то она не является 2-группой, поэтому \G\ делится на
некоторое нечетное простое число/?. Согласно нашему предположению о
несуществовании характеристических подгрупп, Ор> (G)=Op(G) =
= 1. Кроме того, поскольку Са(ф) = 1 и G, ф имеют взаимно простые
порядки, то из теоремы 4.2 следует, что ф оставляет инвариантной
некоторую силовскую /7-подгруппу Р группы G. Поэтому ф
оставляет также инвариантной N=NG(Z(J(Р))) (так как Z(J(P)) char
Р). Поскольку Op(G) = l, то N<C.G. Так как ф действует на G без
неподвижных точек, то ф действует также на N без неподвижных
точек, поэтому N должна быть нильпотентной в силу
минимальности G. В частности, N имеет нормальное /7-дополнение. Из теоремы
4.114 следует, что G также имеет нормальное /?-дополнение,
поэтому G=POP'(G)=P — нильпотентная группа, противоречие.
Таким образом, мы приходим к случаю, когда G содержит
нетривиальную собственную характеристическую подгруппу Н.
Тогда ф действует как на Я, так и на G/H, причем на Н автоморфизм ф
действует без неподвижных точек. В качестве простого упражнения
242
Гл. 4. Общие методы локального анализа
показывается, что то же самое справедливо для действия ер на G/H.
Следовательно, вновь из минимальности G, обе группы Я и GIH
нильпотентны, поэтому G — разрешимая группа. Таким образом,
теорема о нормальном /7-дополнении приводит нас в
действительности к разрешимому случаю.
Используя редукционные рассуждения, аналогичные тем,
которые были описаны в § 4.1, нетрудно показать, что И и GIH —
элементарные абелевы г- и s-группы для подходящих простых чисел
r=£s, что ф действует неприводимо на G/H, а группа X=(G/H)(y)
действует неприводимо на Я. Применяя теперь теорему Клиффорда
(теорема 1.5), к действию X на Я относительно нормальной
подгруппы GIH в X, мы легко получаем, что Я (рассматриваемая как
векторное пространство над GF{r)) разлагается впрямую сумму
подпространств Яь Я2,..., Яд, циклически переставляемых
автоморфизмом ф. Но тогда, если vx — ненулевой вектор из Яь то
v = v, + ф (vx) + ... +Ф*-1 (vt)
является нетривиальным вектором из Я. Поскольку ф^ = 1, то мы
видим, что (p(v)=v, в противоречие с Сс(ф) = 1.
Если Р £ Sylp (G), то из теоремы Алперина о слиянии
непосредственно следует, что любая подгруппа в G, содержащая Гр? 1 (G),
контролирует /7-слияние в G. Таким образом, из теоремы 4.111
следует
Теорема 4.116. Пусть G—группа типа характеристики р,
в которой все р-локальные подгруппы являются р-устойчивыми,
р—нечетное простое число. Если Р£Sylp(G), то NG(Z(J {P)))
контролирует р-слияние и р-перемещение в G.
Приведенное обсуждение указывает на несколько интересных
общих вопросов.
A. Если G — группа типа характеристики р с /7-локальной
подгруппой Я, то при каких условиях Я содержится в некоторой
/7-локальной подгруппе из G, которая содержит также некоторую силов-
скую /?-подгруппу группы G?
B. Если G — группа и P£Sylp(G)y p — простое число, то
существует ли «функториально определенная» неединичная
характеристическая подгруппа К в Р, для которой NG(K) контролирует
/7-слияние или по крайней мере /7-перемещение в G?
C. Что можно сказать о строении группы X с 0Р(Х) = 1, р —
нечетное простое число, если X не является линейно /7-устойчивой?
Вопрос А связан с проблемой «выталкивания» /^-локальных
подгрупп — существенной частью любой теоремы, в которой
утверждается, что группа G типа характеристики р содержит собственное
2-порождецное /?-ядро или сильно /^-вложенную подгруппу. Осо-
4.7. Устойчивость и характеристические подгруппы 243
бенно интересен случай р=2\ соответствующие результаты будут
обсуждаться в §4.13.
Вопрос В для /7-слияния имеет в общем случае отрицательный
ответ — группы GL(3, рп) дают простой контрпример; /?-устойчи-
вость представляется весьма существенным требованием.
Любопытно, что вопрос В для /7-перемещения имеет утвердительный ответ
при достаточно общих условиях. Глауберман [117] показал, что в
действительности единственным таким ограничением является
требование р^Ь. Для доказательства этого результата потребовались
исключительно тонкие коммутаторные вычисления в соединении
с незаурядной изобретательностью. Чтобы привести точную
формулировку, нам необходимо определение, обобщающее ряд свойств
подгруппы Томпсона.
Определение 4.117. Если р — простое число, то функтором
р-сопряженности К на группе G называется отображение К'
Р*->К(Р), определенное на множестве всех /7-подгрупп Р в G
и обладающее следующими свойствами:
(a) К(Р)<Р\
(b) если Рф\, то К(Р)Ф 1;
(c) K(Pg)^(K (P))* для всех ggQ.
Непосредственная проверка показывает, что отображение
Pi-W(P) цля р-подгруппы Р из G определяет функтор /7-сопря-
женности на группе G.
Теорема 4.118. Пусть G—группа, р—простое число, р^Ь,
и Р £Sylp(G). Тогда существует функтор р-сопряженности К на
G, такой, что NG(K(P)) контролирует р-перемещение eG. Кроме
того, К (Р) char P.
Глауберман определяет для любой /7-группы Р две цепочки
характеристических в Р подгрупп, одна из которых монотонно
возрастает, а другая — монотонно убывает, причем последний член
любой из них можно взять в качестве К(Р)- Мы не будем пытаться
описать их здесь в явном виде, а также не будем обсуждать многие
другие важные результаты Глаубермана, полученные в этом
направлении. Отметим лишь, что одно следствие последней теоремы
вместе с теоремой Бернсайда (теорема 4.130) о разрешимости любой
группы порядка paqb (применяемой здесь в случае /7=2, q=3)
доказывают следующее давно высказанное предположение.
Теорема 4.119. Если G—группа, в которой любая силовская
подгруппа совпадает со своим собственным нормализатором, то G
не проста.
Томпсон начал первым исследовать вопрос С в общей постановке
(теорема 4.108 может рассматриваться как частный случай С).
244 Гл. 4. Общие методы локального анализа
При р^Ъ он получил полное решение [293]. Можно предполагать
также, что сама группа X является группой линейных
преобразований векторного пространства V над GF(p), причем она действует
неприводимо на V и порождается множеством своих /7-элементов
D с квадратичными минимальными многочленами на V. При
указанных условиях Томпсон называет (Х> V) квадратичной парой.
Заметим, что если х £ D, то из квадратичного условия следует,
что хр=\, поэтому х имеет порядок р.
Теорема 4.120. Если (X, V)—квадратичная пара для простого
числа /7^5, то справедливы следующие утверждения:
(i) X—полупростая группа с квазипростыми компонентами
Xh 1^/^m, V—тензорное произведение подпространств Vh
1 ^i ^m, и (X;, Vt)—квадратичная пара для любого i, l^i^m;
(ii) X;€Chev(p) (исключая E8(pr)) для. любого i, l^i^m.
Незадолго до того, как Томпсон приступил к своему анализу,
он доказал следующий результат, показывающий, что условие здесь
тесно связано с ситуацией того типа, который рассматривал Фишер.
Для простоты мы сформулируем этот результат лишь в случае,
когда все элементы из D сопряжены в X.
Предложение 4.121. Если ху y£D> то либо <х, у> является
р-группойу либо <х, уУ ^ SL (2, рп) для некоторого п.
В настоящее время имеется несколько доказательств теоремы
Томпсона о квадратичных парах, каждое из которых заканчивается
построением соответствующей геометрии (или, что эквивалентно,
структуры (В, М)-пары) по свойствам множества D. Томпсон
использует модуль V явным образом. Однако Бетти Старк [268]
показала с помощью полученной Томпсоном более точной формы
предложения 4.121, что эта теорема может быть сведена к чисто
теоретико-групповой характеризации групп типа Ли нечетной
характеристики в терминах централизаторов инволюций (теорема Ашбахера
о классической инволюции [13]; см. D14 в конце § 1.2).
Очень интересен случай /?=3, поскольку здесь многие группы,
характеристика которых отлична от 3, имеют представления,
дающие квадратичные пары. Чат Хо — бывший студент Томпсона —
почти завершил анализ этого случая [173] — [177]. (Кроме того,
его результаты включают в себя доказательство теоремы Томпсона.)
Существенная трудность состоит в том, что аналог предложения
4.121 приводит к следующим группам:
3-группы, SL(2, 3"), SL(2, 3)xZ3, SL (2, 5). (4.29)
Таким образом, при р==3 имеется большое число возможностей
для соответствующей геометрии.
4.8. Метод Бендера и paqb-теорема
245
В анализе Томпсона основополагающую роль играют корневые
подгруппы. Мы определим их здесь лишь в случае, когда D — один
сопряженный класс. Если x£D, то положим
Dx = {y€D\V(y-l) = V(x-l)} и EX = DXU{1}.
Тогда легко показывается, что Ех — элементарная абелева
/?-группа. Она называется корневой подгруппой в X. Поскольку
D —сопряженный класс, то \ЕХ\ не зависит от выбора x£D.
Хо доказал следующий результат.
Теорема 4.122. Если (X, V)—квадратичная пара для р = 3
и корневые подгруппы в X имеют порядок, больший 3, то
справедливы заключения теоремы Томпсона о квадратичных парах ср = 3.
Таким образом, именно случай корневых подгрупп, порядка 3
приводит к группам, не принадлежащим Chev(3). В этом случае,
если Е=(х) и F=(y) — корневые подгруппы в X, то (4.29) может
быть уточнено до следующего утверждения:
<£, F> изоморфна Z3, Z3xZs, SL(2, 3), SL(2, 5),
SL(2, 3)xZ3 или (4.30)
неабелевой группе порядка 27.
Хо доказал, что справедлива
Теорема 4.123. Пусть (X, V)—квадратичная пара для р = 3
с квазипростой группой X, и предположим, что корневые под-
группы в X имеют порядок 3. Если <£, /7>^SL(2, 3)xZ3 для
любой пары корневых подгрупп Е, F в X, то справедливо одно
из следующих утверждений:
(i) X£Chev(3) (исключая E8(3r), r^l);
(ii) X ^ Л„, п > 5;
(Hi) X c* Un (2), S/7(6, 2), D4(2) или G2(4);
(iv) X ^/2, Suz или .1.
Таким образом, только случай 5L(2,3)XZ3 корневых групп
порядка 3 остается открытым для завершения классификации всех
квадратичных пар.
4.8. Метод Бендера, силовские 2-подгруппы небольшого класса,
сильное замыкание и /?"<7*-теорема
Метод Бендера, о котором шла речь в связи с теоремой. Голд-
шмидта о сигнализаторном функторе ранга 4 (теорема 4.38),
привел также к иному подходу в изучении ядер централизаторов
инволюций в простых группах. Поскольку этот метод использует Z*-
теорему и ^-устойчивость, то мы отложили его обсуждение до того
246
Гл. 4. Общие методы локального анализа
момента, пока не будут рассмотрены эти две темы. Как отмечалось
ранее, метод Бендера вырос из его упрощения теорем о
единственности Томпсона из статьи о группах нечетного порядка. Вскоре
после этого Бендер применил свои идеи к анализу простых групп с абе-
левыми силовскими 2-подгруппами и получил эффектное
упрощение более ранней классификации Уолтера таких групп [27]. Позднее
(на основе некоторых теоретико-характерных идей Глаубермана)
он применил свой метод для получения столь же удивительного
упрощения нашей с Уолтером первоначальной классификации
групп с диэдральными силовскими 2-подгруппами [32, 33].
В основе метода Бендера лежит философия, в корне отличная
от той, на которой базируется метод сигнализаторного функтора.
Действительно, последний по своей сути конструктивен,— т. е.
строится собственная подгруппа М в G, которая если и не является
сильно вложенной, то по крайней мере контролирует критическую
часть 2-слияния в G. В отличие от этого Бендер концентрирует
внимание непосредственно на максимальной подгруппе М в G,
содержащей CG(x) для некоторой инволюции х из G. Вопрос о том,
контролирует ли М подходящее 2-слияние, связанное с сопряженным
классом инволюции х, сводится затем к свойствам F* (М) и ее
вложению в G. Метод Бендера применим, если Р(М)Ф\ и порядок
F* (М) делится по меньшей мере на два простых числа, и основан
на общем результате единственности с вполне элементарным
доказательством (включающим в себя повторное использование (АхВ)-
леммы Томпсона (предложение 4.9)).
Для формулировки его нам необходимо вспомогательное
понятие.
Определение 4.124. Пусть Я—максимальная подгруппа в
группе G, такая, что
(a) Р(Н)Ф1;
(b) \F*(H)\ делится по меньшей мере на два простых числа.
Для любой максимальной подгруппы К в G положим Я-w^/C,
если NF*(H)(Q)^K для некоторой нетривиальной подгруппы Q
из Р (Я).
Указанная взаимосвязь между группами Я и К может
показаться слабой. Однако такое впечатление обманчиво. Приводимый ниже
результат демонстрирует сильные следствия этой связи для
строения Н[\К и включает в себя критерий совпадения групп Я и К-
Предложение 4.125. Пусть G— простая группа и Я,
К—максимальные подгруппы в G, причем H-w+K (так что Р(Н)ф\ и
\F*(H)\ делится по меньшей мере на два простых числа). Если п
обозначает множество простых делителей \F(H)\, то
Оп(Р(К))^Н и On.(F(K))l)H=l.
Кроме того, если /С-^лл^Я, то Н = К.
4.8. Метод Бендера и радь-теорема
247
Очевидно, что это предложение не охватывает случай, в котором
либо /7(Я)=1, либо F*(H)=F(H) имеет порядок, равный степени
простого числа. В приложениях к группам нечетного порядка и к
группам с абелевыми или диэдральными силовскими 2-подгруппами
оно используется для редукции к единственному остаточному
случаю — а именно, когда максимальная подгруппа М в G,
содержащая GG(x)y удовлетворяет условию
р* (М) = F (М) = 0р (М) для некоторого нечетного простого /?.
(4.31)
Последний случай требует специального рассуждения. В
каждой из упомянутых выше трех проблем группа SL(2, p) не вплетена
в G, поэтому все /^-локальные подгруппы в G являются р-устойчи-
выми по теореме 4.108, что позволяет воспользоваться ZZ-теоремой
Глаубермана (теорема 4.110). Она дает сильное заключение, что если
Р £ Sylp (G), то N G(Z (J (P))) — единственная максимальная р-ло-
кальная подгруппа из G, содержащая Р, предоставляя тем самым
эффективную замену для предложения 4.125 в случае, если
выполнено (4.31).
Метод Бендера оказывается настолько сильным в случае, когда
его можно применить, что были сделаны попытки (особенно
Томпсоном) использовать его вместо Ьигнализаторных функторов для изу*
чения ядер централизаторов инволюций в произвольных простых
группах. К сожалению, случай /?-группы F* (М) для некоторого
нечетного простого /?, когда М не является /^-устойчивой, так и
остался непреодолимым препятствием для этого подхода.
В конце параграфа мы дадим другую иллюстрацию метода
Бендера, доказав чисто локальными теоретико-групповыми методами
paqb-TeopeMy Бернсайда. Стандартное классическое доказательство
(см., например, [130, теорема 4.3.3]) использует теорию характеров,
хотя, безусловно, и значительно короче. Настоящее доказательство
принадлежит Голдшмидту [120] в случае, когда оба числа ряд
нечетны, и Хироси Мацуяме [213], показавшему элегантным
рассуждением с инволюциями, что доказательство Голдшмидта может
быть обобщено на случай, когда р или q равно 2. (Впоследствии
С. Смит и Р. Соломон (не опубликовано) дали унифицированное
изложение рассуждения Голдшмидта — Мацуямы. Здесь мы
придерживаемся их доказательства. Бендер [30] также привел
доказательство этой теоремы локальными методами, однако его рассуждение
несколько длиннее.)
Заметим, что по теореме Томпсона о УУ-группах любая
минимальная простая группа имеет порядок, делящийся по меньшей мере
на три простых числа (формулировку см. в §1.1). Поэтому теорема
Бернсайда является также следствием этого результата. В
действительности вскоре после завершения классификации ЛЛ-групп
Томпсон (не опубликовано) получил внутренне замкнутое локальное
248 Гл. 4. Общие методы локального анализа
теоретико-групповое доказательство /?^ь-теоремы, используя идеи
своего исследования N-групп. Однако его рассуждение также
сложнее доказательства Голдшмидта — Мацу ямы.
Отметим также, что приводимое рассуждение не опирается
явным образом на предложение 4.125. На самом деле внимательное
изучение его должно указать читателю путь доказательства этого
предложения.
Прежде чем перейти к теореме Бернсайда, нам хотелось бы
сформулировать главный классификационный результат, к которому
с успехом применялся метод Бендера. (Диэдральная теорема уже
была сформулирована в § 1.1.) Следует подчеркнуть, однако, что
метод Бендера используется лишь в той части анализа, где
изучаемая группа не является группой типа характеристики 2. Для
разбора случая типа характеристики 2 необходимы иные методы. Кроме
того, случаи 2-ранга 2 этих теорем опираются на соответствующие
разделы общей классификации простых групп 2-ранга 2;
соответствующий результат более подробно будет обсуждаться впоследствии.
Теорема 4.126. Если G — простая группа с абелевыми силов-
скими 2-подгруппами, то G^L2(q), q^=3, 5 (mod 8), L2(2n)t
/г^2, J1 или 2G2(3n), n нечетно, /г > 1.
Случай групп типа характеристики 2 сформулированной
теоремы чрезвычайно прост. Действительно, если S £Syl2(G), то
непосредственно из предложения об абелевости S следует, что
NG(S) — сильно вложенная подгруппа в G, так что G определяется
прямо из классификации Бендера таких групп (теорема 4.24).
Голдшмидт получил важное обобщение доказательства Бендера
предыдущего результата, которое также обобщает Z*-TeopeMy
Глаубермана и теорему Шульта о слабом замыкании [252]. Для его
формулировки нам необходимо следующее определение.
Определение 4.127. Пусть G — группа с силовской /7-подгруп-
пой Р, р — произвольное простое число и Q — некоторая
подгруппа в Р. Говорят, что Q сильно замкнута в Р относительно
G в том случае, когда выполнено следующее условие: если х £ Q
и хё6 Р для gg G, то x££Q.
Очевидно, что сама Р сильно замкнута в Р. Если Qi(P) —
элементарная абелева группа, то она совпадает в точности с множеством
всех элементов из Р порядка р вместе с единицей группы Р и
поэтому сильно замкнута в Р относительно G. В частности, последнее
имеет место в случае, когда Р абелева или когда /7=2 и Р — ква-
тернионная группа.
Голдшмидт заинтересовался случаем, когда силовская 2-под-
группа S группы G содержит нетривиальную сильно замкнутую
£белеву подгруппу Л. (Если S абелева, то мы можем взять А =S;
4.8. Метод Бендера и paqb-теорема 249
если S имеет изолированную инволюцию х, то можно взять Л =
^(х).) Голдшмидт [123] доказал следующий результат.
Теорема 4.128. Пусть G—простая группа и S—силовская
2-подгруппа в G. Если S содержит нетривиальную абелеву
подгруппу Л, сильно замкнутую в S относительно G, то либо S
абелева, либо G имеет сильно вложенную подгруппу. Таким обра-
зом, G^L2(2"), n>2, г/3(2я), /г>2, Яг (2я), п нечетно, п> 1,
L2(q), ?see3,5 (mod8), Jt или 2G2(3"), n нечетно, п>1.
Основное отличие между ситуациями Голдшмидта и Бендера
состоит в том, что в абелевой проблеме все собственные подгруппы
из G являются /С-группами, в то время как Голдшмидт может
утверждать это по индукции лишь для некоторых собственных
подгрупп в G. А именно если H<iGu В=Н[\Аёф\ для некоторогоg£Gy
то (Вн) является /С-группой. Это обстоятельство требует более
деликатного анализа 2-слияния элементов из Л и строения
соответствующей максимальной подгруппы М. Отметим, что критерий
Ашбахера для сильной вложенности (теорема 4.31) позволяет в
критический момент Голдшмидту заключить, что
G = <Ca\a£A#>.
Имеется еще одна общая классификационная проблема, к
решению которой можно применить метод Бендера — а именно, описание
групп с силовскими 2-подгруппами класса нильпотентности 2. Эта
классификация была получена Гилмэном и мной с использованием,
однако, сигнализаторных функторов [108]. Хотя априори SL(2, p)
может встречаться в качестве собственного сечения минимального
контрпримера G к упомянутой проблеме, нам удалось очень легко
устранить такую возможность, показав в соответствующем случае,
что силовская 2-подгруппа S из G имеет нетривиальную сильно
замкнутую абелеву подгруппу, с последующим использованием
сформулированной выше теоремы Голдшмидта для получения
противоречия. Тем не менее мы специально решили воспользоваться методом
сигнализаторного функтора, а не методом Бендера, в надежде достичь
лучшего понимания общей проблемы о ядрах централизаторов
инволюций.
Однако как задача об абелевой силовской 2-подгруппе является
частным случаем задачи о сильно замкнутой абелевой 2-подгруппе,
так и проблема о силовской 2-подгруппе класса 2 — частный случай
классификации групп с сильно замкнутой подгруппой класса
нильпотентности 2. Последняя была недавно успешно завершена Петером
Роули [242], [243], применившим метод Бендера и обобщившим
рассуждение Голдшмидта из абелева случая. Результат Роули
формулируется следующим образом.
250
Гл. 4. Общие методы локального анализа
Теорема 4.129. Пусть G—простая группа и S—силовская
2-подгруппа в G. Если S содержат подгруппу А класса
нильпотентности 2, которая сильно замкнута в S относительно G
(например, если S имеет класс нильпотентности 2), то G ^ L2 (q),
q=a ±1 (mod 8), q ф ±1 (mod 16), U3(2n), n>2, Sz(2»), n нечетно,
n>l, L3(2"), n>l, PSp (4,2"), az>2, *ш/ Л7.
Случай типа характеристики 2 в этой проблеме значительно
сложнее, чем в ситуации абелевой силовской 2-подгруппы (или сильно
замкнутой абелевой 2-подгруппы). Рассуждение Роули следует
той же схеме, которой придерживались мы с Гилмэном в
исследовании проблемы о силовской 2-подгруппе класса 2 [108]. Такой
подход существенным образом опирается на результаты об отсутствии
факторизации Томпсона, которые будут обсуждаться в §4.12, и
включает в себя анализ максимальных 2-локальных подгрупп из G,
содержащих S. Предполагая, что S не содержит нетривиальной
сильно замкнутой абелевой подгруппы, удается в конечном счете
показать, что S лежит ровно в двух таких максимальных
2-локальных подгруппах М и N, строение и вложение которых в G
определено достаточно точно. Действительно, оно определено настолько
точно, что удается показать, что G0=<M, N) — расщепимая (В,
Af)-napa ранга 2. Учитывая строение М и N, а также
классификационную теорему Зейца—Фонга (теорема 3.14), мы находим отсюда,
что Go^L3(2") или PS/?(4,2"). На заключительном этапе
доказывается, что G=G0, и тем самым определяются все возможности для G.
Перейдем теперь к paqb-теореме Бернсайда. Кроме
иллюстрации метода Бендера ее доказательство дает также превосходный
пример действия локального теоретико-группового анализа.
Теорема 4.130. Если р и q—простые числа, то любая группа
порядка paqb разрешима.
Рассмотрим минимальный контрпример G. Непосредственно
видно, что G — простая группа, в которой любая собственная
подгруппа разрешима. В частности, [G[ делится на оба числа р и q.
Лемма 4.131. Если G=AB с A<G, то В не нормализует
неединичных подгрупп из А. В частности, силовская р-подгруппа
из G не нормализует неединичных q-подгрупп из G (и наоборот).
Доказательство. Предположим, что В нормализует
\фХ<А. Если g$G, то в силу G = AB = BA справедливо
равенство g = ba для некоторых b£B и а6 А, поэтому Х^ = ХЬа =
= Ха<Л. Следовательно, F==<X^|g-eG>< A < G. Так как
Y <] G и X < Y, то мы получили противоречие с простотой группы G.
Если P£Sylp(G) и Q€Sylq(G), то \G\ = \P\\Q\, поэтому
G = PQ. Таким образом, второе утверждение является частным
случаем первого.
4.8. Метод Бен дера и р aqb -теорема
251
Разобьем теперь доказательство на два случая.
Случай 1. F(M) имеет порядок, равный степени простого числа,
для любой максимальной подгруппы М в G.
Случай 2. Для некоторой максимальной подгруппы М в G группа
F(M) имеет порядок, делящийся на два простых числа.
Рассмотрим сначала случай 1. (В случае 2 будет использоваться
метод Бендера.) В леммах 4.132—4.136 предполагается, что
выполнено условие случая 1. Нам необходим следующий ключевой
результат.
Лемма 4.132. Если P£Sylp(G), Q£Sylq(G), x£Z{P)# и
y€Z(Q)*, то <х, y> = G.
Доказательство. Предположим противное. Тогда <х, у> <!
^ М для некоторой максимальной подгруппы М в G. Поскольку
мы находимся в случае 1, то можно предполагать для
определенности, что F (М) = Ор (М). Заменяя в случае необходимости Р
и Q на подходящие G-сопряженные с ними подгруппы, мы можем
предполагать без ограничения общности, что Ор(М)^.Р и y$Y=
=Z(Q) Г\М. Положим Z — Z(P). Из разрешимости М и
предложения 1:25 следует, что CM(F(M))<F(M), поэтому Z<Ор(М).
Таким образом, <ZK> является /^-группой. Пусть X обозначает
максимальный по включению элемент в множестве всех У-инва-
риантных /7-подгрупп из G, содержащих <ZK> и порожденных
G-сопряженными с Z подгруппами. Положим N = NG(X)f и пусть
R£Sylp(N), так что Х<Я и N <G.
Достаточно показать, что R £Sylp(G). Действительно, в этом
случае G = RQ = QR, откуда (учитывая Y^Z(Q)) следует, что
<yGy = <YQR> = <YR>^iN<G— противоречие. Для доказательства
нужного факта требуется лишь показать, что No(R)^Nt
поскольку тогда R 6 Sylp (NG (£>)), откуда R g Sylp (G) согласно
следствию 1.11.
Пусть u$Ng(R). Тогда Xa^R9 и мы должны доказать, что
Ха = Х (откуда будет следовать, что u£N = NG(X)). Однако X
порождается G-сопряженными с Z подгруппами, поэтому
достаточно показать, что если g£G и Z^<X, то Z^a^X.
Положим C = CG (Z*) и D = CG (У). Поскольку Ре < С и Q < Д
то G = CD. Таким образом, u = cd, где с£ С, d£D. Заметим, что
Z^a^R и поэтому нормализует X. Следовательно, XZ*a является
группой, откуда XZ^ua также является группой для любого а £ Y
(в силу У-инвариантности X). Таким образом, lF=<XZ^ar>==
= <:XZ^a\a^Yy = X<Z^aa\aeY>==X^Zs^Yy, Однако поскольку
с централизует Z^, d централизует Y, то K=<Z*ttl'> = <Z*<fK> =
==<Z^rc?> = <Z£r>*. Так как Z^^X, причем X инвариантна отно-
252
Гл. 4. Общие методы локального анализа
сительно действия У, то V сопряжена при помощи d с некоторой
/г-группой и поэтому сама является /^-группой. Однако W = XV и
|H7| = |X||V|/|XnV|, следовательно, W также является /7-груп-
пой. Кроме того, из определения W следует ее F-инвариантность
и порожденность G-сопряженными с Z подгруппами. Так как
X ^ W> то из максимальности X мы заключаем, что W = X.
Поскольку Z^a < W, то мы получаем требуемое включение Z^a < X,
которое завершает доказательство леммы.
В качестве непосредственного следствия мы получаем, что
справедлива
Лемма 4.133. Если Q£Sylq(G) и y£Z(Q)#, то у не
нормализует неединичных р-подгрупп в G. Аналогичное утверждение
справедливо, если р и q поменять местами.
Доказательство. Ввиду симметрии достаточно доказать
первое утверждение. Предположим, что R— нетривиальная у-ин-
вариантная /7-подгруппа в G. Тогда N = NG (R) < G, причем N
содержит у и Z(P) для любой силовской /7-подгруппы Р из G,
содержащей R. Но тогда если x£Z(P)#t то <лг, //><JV<G, что
противоречит предыдущей лемме.
Используя специальные свойства инволюций, мы теперь можем
доказать следующий факт.
Лемма 4.134. G имеет нечетный порядок.
Доказательство. Предположим противное, и пусть для
определенности q — 2. Обозначим через 2/ некоторый сопряженный
класс 2-центральных инволюций группы G. Из простоты G
следует, что 02(G)=1, поэтому, согласно теореме 2.66, существуют
У\ У' €&> Для которых <#, у'> не является 2-группой. Так как
у, у' — инволюции, то из предложения 2.41 следует, что <#, у'у —
диэдральная группа (порядка 2k, где k = \yy'\, причем каждая из
инволюций у, у' инвертирует уу'). В частности, k не является
степенью 2. Поскольку \G\ = pa2b, то k делится на р.
Следовательно, у инвертирует однозначно определенную подгруппу R из
<УУ'У порядка р. Так как у является 2-центральной, то y^Z(Q)
для некоторой силовской 2-подгруппы Q в G, что противоречит
предыдущей лемме.
Теперь мы можем воспользоваться ZZ-теоремой Глаубермана.
Лемма 4.135. (i) Любая максимальная подгруппа в G содержит
либо силовскую р-подгруппу, либо силовскую q-подгруппу группы G.
(и) Любая силовская (р- или q-)nod2pynna из G
содержится в единственной максимальной подгруппе группы G.
4.8. Метод Вендора и paqb-теорема
253
Доказательство. Пусть М — максимальная подгруппа
в G, и предположим для определенности, что F(M) является р-
группой. Пусть Р £Sylp(M). Так как М — разрешимая группа
нечетного порядка (ввиду нечетности р и q), то М является р-устой-
чивой группой по теореме 4.108. Из ZZ-теоремы следует, что М^
<W G(Z(J (P))). В силу максимальности М здесь должно быть
равенство. Используя следствие 1.11 и характеристичность J (P) в Я,
мы заключаем, как и обычно, что P£Sylp(G). Тем самым п. (i)
доказан.
Пусть далее N — произвольная максимальная подгруппа в G,
содержащая Р. По лемме 4.131 группа Р не нормализует
нетривиальных <7-подгрупп в N» поэтому Oq(N) = l и, следовательно, F(N)
является /?-группой. Повторяя рассуждение из предыдущего абзаца,
мы получаем, что N=NG(Z(J(Р)))= М. Следовательно, (И)
справедливо для /?. По симметрии оно справедливо также и для q.
В качестве непосредственного следствия мы получаем, что
справедлива
Лемма 4Л36. Если Р £Sylp(G), то Z(P) содержится в
единственной максимальной подгруппе из G. Аналогичное утверждение
справедливо для q.
Доказательство. Если это не так, то из предыдущей
леммы следует, что Z(P)^.N для некоторой максимальной
подгруппы N, содержащей некоторую силовскую ^-подгруппу Q группы G.
Но тогда (Z(P), Z(Q)>^Af<G, что противоречит лемме 4.132.
Теперь мы в состоянии убрать случай 1.
Предложение 4.137. Случай 1 не может иметь места.
Доказательство. Предположим противное. Пусть для
определенности /?а > qb. Отсюда следует, что любые две силов-
ские /7-подгруппы Р19 Р2 имеют нетривиальное пересечение.
Действительно, иначе |G| ^| РХР2\^р2а> paqb ===== f С?J, противоречие.
Мы воспользуемся этим фактом в доказательстве.
Пусть P<kSylp(G). Применяя предыдущий анализ к Р, мы
находим, что Z(P) содержится по лемме 4.136 в единственной
максимальной подгруппе М группы G. Поскольку Р лежит в
некоторой максимальной подгруппе из G, то Р^М. В силу
простоты G существует R$Sylp(G) с R^UM. Выберем /?, такой,
чтобы R0 = R[)M имела максимальный порядок. Сопряжение R
элементом из М не оказывает влияния на размер пересечения.
Так как Р $Sylp(M), то по теореме Силова мы можем
предполагать без ограничения общности, что R0^.P. Из предыдущего
абзаца мы видим, что R0=*R(]P*jb 1.
254
Гл. 4. Общие методы локального анализа
Положим N = NG(R0). Так как R0=^li то N <G. Поскольку
R0^Pt то Z(P)^N и единственность М вместе с W<G дает
нам, что N^M. В частности, NR(R0)^M, откуда NR(R0) = R0.
Но тогда R = R0 по теореме 1.10, откуда R^iM, вопреки нашему
выбору R.
Таким образом, справедлив случай 2, и поэтому существует
максимальная подгруппа М в G, такая, что F(M) имеет порядок,
делящийся на два простых числа. Для разбора этого случая нам
необходимы две предварительные леммы, первая из которых является
общим следствием (Лх5)-леммы Томпсона (предложение 4.9).
Лемма 4.138. Если Р—некоторая р-подгруппа р-скованной
группы X, то 0P'(Nx(P))^0P'(X).
Если X = Х/0Р'(Х), то, используя рассуждение Фраттини,
нетрудно показать, что NX(P) отображается на ЛЛ^(Р),
так что достаточно доказать утверждение для X. Поэтому мы
можем предполагать без ограничения общности, что Ор> (Х)=1.
В этом случае нам надо показать, что Y = 0P'(Nx(P))=l.
Положим Q=Op(X)u Q0=CQ(P). Тогда Q0<A^(P), поэтому [Г, Q0]<7.
С другой стороны, [Yy Q0]^ Q, поскольку Q <] X. Таким образом,
\Y> Qo]^Y[)Q = l (учитываем, что Y и Q являются
соответственно /?'-группой и /7-группой). Следовательно, Y централизует
Q0 = CQ(P) и, согласно (Лх5)-лемме, Y централизует Q. Однако
CX(Q)^Q в силу /7-скованности X и 0Р'(Х) = 1. Таким образом,
y^Q, что дает нам требуемое заключение У=1.
Второй результат хорошо известен и представляет собой легко
проверяемое свойство циклических р-групп [130, лемма 5.4.1].
Лемма 4.139. Если X — циклическая р-группа порядка рп, р —
простое число, то Aut(X)—абелева группа порядка (р—l)/?""1.
Положим F = F(M) = FpxFg, где Fp, Fq—силовские р- и <7-под-
группы в F> и пусть Z-=ZpxZgf где Zp = Z(Fp), Zg = Z(Fq). Так
как порядок F делится на два простых числа, то Z^^l ъ1чФ\.
Сначала устраняется случай небольшой группы F.
Лемма 4.140. mp(Fp)^2 или mq{Fq)^2.
Доказательство. Предположим противное, и пусть для
определенности р < q> так что q нечетно. Так как mp (Fp) =
= mq{Fq) = \, то Fq—циклическая группа, a Fp—либо
циклическая, либо кватернионная группа согласно предложению 1.35.
Предположим сначала, что Fp—кватернионная группа (откуда
/7 = 2), и пусть P£Syl2(M). Поскольку Fp<\M, то Fp^P.
В частности, Z{P) централизует Fp. Из леммы 4.139 следует,
4.6. Метод Бендера и paqb -теорема
255
что P/CP(FQ) — абелева группа, поэтому Р' ^Cp(Fq). Таким
образом, U~Z(P)f\P' централизует F = FpxFQ. Однако из
разрешимости М следует, что CM(F)^F в силу предложения 1.25,
поэтому U^Fp. Так как Fp и, следовательно, Р неабелевы, то
Р' и, следовательно, U нетривиальны. Кроме того, U^iZ(Fp),
поскольку U^Z(P). Таким образом, на самом деле U ==.
= Z(Fp)(^Z2). Значит, U <]М, поэтому M = NG(U) в силу
максимальности М. Однако по самому определению i/charP, так что
обычное рассуждение с нормализаторами нильпотентных подгрупп
показывает, что P£Sylp(G). Так как Р нормализует Fq=£l, то
получаем противоречие с леммой 4.131..
Следовательно, обе группы Fp и Fq циклические.
Доказательство аналогично предыдущему случаю. Пусть Q £Sylq(M). Из
леммы 4.139 следует, что порядок группы Aut^) не делится на
простые числа, большие р. Так как р <q, то Q обязательно
централизует Fp. Вновь из предложения 1.25 мы получаем, что
Q/Fg^Aut(Fq) и поэтому является абелевой группой согласно
лемме 4.139. Таким образом, Q'^FQ. Кроме того, поскольку
CQ(Fg) = Fgi то, очевидно, либо Q=Fqy либо Q'^l.
Соответственно положим V = Fq или Q', так что в любом случае Vchar Q
иУф1. Кроме того, из цикличности Fq следует, что V<]M.
Таким образом, как и выше с группой U, мы находим, что
M = NG(V) и Q^Sylq(G). Поскольку Q нормализует Ррф\, то
мы вновь получаем противоречие с леммой 4.131.
Лемма 4.141. М—единственная максимальная подгруппа в О,
содержащая Z.
Доказательство. Пусть Мг—максимальная подгруппа в (3,
содержащая Z. Тогда NMl (Zg)^NG(Zq) = M и Zp^Og>(M).
Поэтому Zp^Oq<(NMAZq))- Следовательно, Zp^O^(M1) = Op(M1)^:
<F(A11) по лемме 4.138. Аналогично Zg^F{Mx). В частности,
Zp централизует Од{Мг)у поэтому Oq(M^)^NG(Zp) = M.
Аналогично Zq^Og(M1)^F(M1) и Ор(Мг)<^М. Однако F (Мг) =
= Op(M1)xOq(M1) (поскольку Мг является {/?, ^-группой), так
что F(MX)^M.
Поскольку ZpxZg^:F(M1)y то оба числа р и q делят \F{M1)\.
Следовательно, проведенное выше рассуждение можно с тем же
успехом применить к Мг. Поскольку Z(F (M^^M, то F^Mt.
Так как Fp^Og> (NMl(Fq)), то /7/7<F(M1) по лемме 4.138.
Аналогично Fq^.F(Мх). Таким образом, F = FpxFg^F{Mx). Ввиду
симметрии справедливо также обратное включение, так что F =
= Р(Мг). Так как M = NG(F) и Ml = NQ(F(Ml))9 то М=*М19 что
завершает доказательство леммы.
256
Гл. 4. Общие методы локального анализа
Воспользуемся теперь леммой 4.140. Она дает нам, что тг (Fr)^2
для г = р или q. Пусть для определенности г —р. Таким образом,
/^содержит подгруппу V^ZpxZp. Поскольку Z = Z(F)y то Z
централизует V и Z ^Cv = CG(v) для всех v£V#. Из
предыдущей леммы следует
Лемма 4.142. CV^M для всех v£V#.
Пусть теперь/? £Sylp(M)f так чтоУ<#. Используя лемму 4.142,
мы докажем, наконец, следующий факт.
Лемма 4.143. Fg — единственная максимальная R-инвариант-
ная р1-подгруппа в G.
Доказательство. Если X—некоторая /^-инвариантная
//-подгруппа в G, то она обязательно У-инвариантна. Так как
V—нециклическая абелева р-группа, то X = <Cx(v) | с/£^#> по
теореме 4.13. Следовательно, Х^М по лемме 4.142. Положим
М = M/Fg = M/Og (М), так что Сш (Ор (М)) < Ор (М) согласно
предложению 1.25. Та^как Ор (М) < R, то [X, Ор (М)] < X п Ор (М) = 1
(учитываем, что X является //-группой). Следовательно, X
централизует Ор(УИ), поэтому X^LOp(М), откуда X = 1. Итак, X^Fq,
что завершает доказательство леммы.
Отсюда в свою очередь мы получаем нужное заключение.
. Предложение 4.144. Случай 2 не может иметь места.
Доказательство. В самом деле, продолжая предыдущий
анализ, мы видим, что если y^NG(R), то Fyq является
R-инвариантной //-подгруппой в G, поэтому Fyq~Fq по лемме 4.143.
Таким образом, y^NG(Fg)==M и, следовательно, NG(R)^M. Как
и обычно, это показывает, что R£Sylp(G). Поскольку R
нормализует FдФ 1, то мы вновь получаем противоречие с леммой 4.131.
Объединяя вместе предложения 4.137 и 4.144, мы получаем
справедливость теоремы 4.130.
4.9. Произведение слияний и сильное замыкание
В ходе описания всех простых групп G с силовской 2-под-
группой заданного типа часто приходится рассматривать
вспомогательные проблемы, включающие в себя классификацию групп
с силовскими 2-подгруппами S вида S = S1xS2l где Б(Ф 1, f=l, 2.
Харада и я впервые столкнулись с такой ситуацией в нашем
исследовании групп, силовские 2-подгруппы которых изоморфны
силовским 2-подгруппам в G2(q), q нечетно [134]. Если t — неко-
4.9. Произведение слияний и сильное замыкание
257
торая 2-центральная инволюция в такой группе G, C = Ct, C =
= С/0(С) и C=C/<t>, то анализ 2-слияния в G позволил нам
показать, что С содержит нормальную подгруппу X индекса 2
с силовской 2-подгруппой S = SxxS2, где Su §2— (изоморфные)
диэдральные группы. Таким образом, для выяснения строения С
и, следовательно, С нам пришлось сначала описать все
возможности для X. (Существование некоторых таких групп
предполагалось, поскольку если G = G2(q)Jf то С содержит нормальную
подгруппу X индекса 2 с X^SL(2, q)*SL(2, q). Таким образом,
Х/<0 ^L2(q)xL2(q), причем L2(q) имеет диэдральные силовские
2-подгруппы для нечетного q.)
Ьсли S абелева, то список возможностей для X следует из
классификации групп с абелевыми силовскими 2-подгруппами, поэтому
можно ограничиться неабелевым случаем. Совместно с Харадой мы
доказали следующий результат [133].
Теорема 4.145. Если G — группа, не содержащая
нетривиальных нормальных подгрупп нечетного порядка или нечетного
индекса, причем G имеет неабелеву силовскую 2-подгруппу S вида
S = S1xS2 с диздральными группами 5, и S2, то справедливы
следующие утверждения'.
(i) G = G^xG2 для подходящих подгрупп Glf C2 в G;
(и) S; $Syl2 (G,.), /=1,2, для подходящего разложения группы S
на множители S, и S2.
Смысл п. (ii) состоит в трм, что группу S можно, безусловно,
разложить в прямое произведение разными способами. Поскольку
G1 и G2 имеют диэдральные силовские 2-подгруппы, то их возможное
строение находится из соответствующей классификационной
теоремы. Тем самым определяется строение группы G. Отметим также, что
ограничения на нормальные подгруппы нечетного порядка и
индекса необходимы для разложения группы G в прямое произведение.
Первым важным шагом в доказательстве теоремы 4.145 является
следующее утверждение о слиянии.
Предложение 4.146. Для подходящего разложения группы S
в прямое произведение каждая из групп Sf сильно замкнута в S
относительно G, /=1, 2.
Этот результат представляется естественным, поскольку если
G=GXXG2 с Sf ^Syl2{Gt), то, в самом деле, St сильно замкнута в S
относительно G. Таким образом, мы приходим к следующему
общему определению.
Определение 4.147. Пусть G—произвольная группа с
силовской 2-подгруппой S. Если S^S^S^ причем 5^ 1 сильно замк-
9 № 625
258
Гл. 4. Общие методы локального анализа
нута в S относительно G, /=1,2, то говорят, что G имеет про»
изведение слияний относительно заданного разложения S.
В контексте проблемы о группах G2 (q), а также в других
похожих классификационных проблемах анализ 2-слияния дает не
только существование группы X с силовской 2-подгруппой S вида
S^SxXSg, но также и то, что X имеет произведение слияний
относительно подходящего разложения S. Следовательно, для
приложений в теореме 4.145 можно предполагать, что G имеет прс^
изведение слияний.
После выяснения картины слияния в G нам с Харадой удалось
воспользоваться сигнализаторными функторами и теоремой Бендера
о сильной вложенности для доказательства существования
требуемых нормальных подгрупп Gi, G2. Вскоре после этого Ф. Смит [257],
[258] рассмотрел аналогичным образом случаи, в которых силовская
подгруппа разлагается в прямое произведение диэдральной и ква-
зидиэдральной групп, а также двух квазидиэдральных групп. Затем
Дэвид Мэйсон [208] разобрал случай произведения диэдральной и
сплетенной групп и т. д. В каждом случае построение требуемого
сигнализаторного функтора опиралось на свойства локальной-
сбалансированности элементов из ^2 (G) (которые имеют диэдральные,
квазидиэдральные, сплетенные или кватернионные силовские 2-
подгруппы и поэтому, являются /С-группами, согласно полученным
ранее классификационным теоремам). Каждая из этих теорем о
произведении слияний получила соответствующее приложение в
некоторых классификационных проблемах.
Несколько позже Мортон Харрис и я, исследуя группы, в
которых силовские 2-подгруппы изоморфны силовским 2-подгруппам в
PS/?(6, q), q нечетно [164], были вынуждены рассмотреть две
вспомогательные проблемы о произведении слияний — о прямом
произведении трех диэдральных групп, а также о прямом произведении
2-группы типа PSp(4f q) и диэдральной группы. Таким образом,
стало очевидным, что настало время рассмотреть общий случай!
Нам удалось доказать вполне общую теорему о произведении
слияний при условии, что подходящие сечения 2-локальных подгрупп
в G обладают определенными свойствами локальной
сбалансированности, о которых известно, что им удовлетворяют все простые К-
группы [138]. Используя предположения, связанные с /С-группами,
мы построили 2- и 3-сбалансированные сигнализаторные функторы
относительно подходящих элементарных 2-подгрупп в S (см.
предложение 4.65) и применили их к анализу 2-локального строения
группы G.
Однако нет необходимости формулировать наш результат в
явной форме, поскольку вскоре Голдшмидт существенно его улучшил.
Он показал, что наложенные нами условия локальной
сбалансированности являются на самом деле излишними, если вести анализ,
4.9. Произведение слияний и сильное замыкание
259
используя ядерно-отделенные сигнализаторные функторы (см.
предложение 4.67). Действительно, Голдшмидту удалось доказать
выполнение iycлoвия для ядерной отделенности исключительно на
основе предположения о произведении слияний в его группе G вместе
с некоторыми общими свойствами 2-локальных подгрупп, которые
из этого предположения следуют. Таким образом, он получил
следующий замечательный результат, для которого теорема о
произведении слияний является частным случаем [124].
Теорема 4.148. Если группа G с 0(G)=1 содержит прямое
произведение двух 2-подгрупп Sx и S2, каждая из которых сильно
замкнута в силовской 2-подгруппе относительно G, то
<S?>.<S§> = <S°>x<S°>.
Если отбросить предположение об отсутствии ядра, то
соответствующий результат, безусловно, будет справедлив для группы
G/0(G),
Мы опишем вкратце доказательство Голдшмидта, поскольку оно
дает превосходную иллюстрацию работы сигнализаторного
функтора. Пусть G — минимальный контрпример. Тогда достаточно прямое
индуктивное рассуждение показывает, что G — простая группа.
В частности, условие сильной замкнутости вместе с Z*-TeopeMoft
(теорема 4.95) показывает теперь, что каждая группа St содержит
более одной инволюции, поэтому m2(Si)'^2, i=l, 2.
Ядерная отделенность получается в качестве^прямого следствия
общего строения нормализаторов подгрупп из 5хХ52,
исследование которых опирается на индукцию и условие о сильной
замкнутости.
Предложение 4.149. Пусть Т — нетривиальная подгруппа в
StxS2 и H = NG(T). Тогда существуют 2-подгруппы Т^Н,
/=1, 2, для которых справедливы следующие утверждения:
(О NSt(T)^Tt;
(ii) Ti сопряжена в G с некоторой подгруппой из St\
(iii) Т{ сильно замкнута в силовской 2-подгруппе из Н
относительно G; .
(iv) TJ^T.x-T»
(v) 0(#)«rf>x<7T» нормальна в Я.
Заметим, что, согласно (v), либо 7\, либо Т2 (и, следовательно,
либо NsAT), либо Ns2(T) в силу (i)) централизует любую
заданную компоненту группы Н/0(Н). Таким образом, в качестве
непосредственного следствия предложения 4.149 и определения
ядерной отделенности мы получаем
Следствие 4.150. Если А—элементарная подгруппа в SlxS2
порядка 16 с А{ — A f)S/ ^Z2xZ2y i = \ и 2, то G является
ядерно-отделенной группой относительно разложения А = Ах х А2.
ь*
260
Гл. .4. Общие методы локального анализа
(Следует только -применить предложение 4.149 с Т = <а> и
Н = Са для любого а£А#.)
Для любой такой группы А Голдшмидт теперь использует свой
ядерно-отделенный Л-сигнализаторный функтор (предложение 4.67)
и применяет теорему о разрешимом сигнализаторном функторе
(теорема 4.38). Затем ему удается показать, что получившиеся
группы по существу определяются независимо от Л. В конечном счете
анализ дает следующий ключевой результат.
Предложение 4.151. Существует подгруппа W в G нечетного
порядкау обладающая следующими свойствами:
(i) W инвариантна относительно 5хх52;
(и) если Т—произвольная подгруппа в SxxS2, такая, что
8.(]Тф\ для каждого £=1, 2, mo W—единственная
максимальная Т-инвариантная подгруппа в G нечетного порядка]
(Ш) если XiZSiSt), t = l, 2, то [0(Cxt), *y]<TP для / = 1, 2.
Как отмечалось в § 4.3, метод сигнализаторного функтора (для
простого числа 2) всегда включает в себя в той или иной форме
результаты Ашбахера — Бендера о сильной вложенности. ЗДесь
указанные результаты применяются для доказательства следующего
факта.
Предложение 4.152. Пусть X—простая группа и
Т—нетривиальная 2-подгруппа, сильно замкнутая в силовской 2-подгруппе S
относительно X. Если <СХ (t) \t g 3 (Т)> < X, то X содержит
сильно вложенную подгруппу.
Действительно, сильная замкнутость влечет за собой
включение Т <] Nx (5), поэтому элементы из Nx (S) переставляют при
сопряжении подгруппы Cx(t) для t£3(T) и, следовательно,
нормализуют подгруппу, ими порожденную. Из простоты X вытекает,
что M = <Cx(t)\t£3(T)>Nx(S)<X.
Воспользуемся теперь теоремой Алперина о слиянии для до7
казательства того, что М контролирует Х-слияние в S (т. е. что
два сопряженных в X подмножества из S уже сопряжены в М).
В самом деле, пусть S)—семейство сопряжения из теоремы 4.86,
так что, в частности, Z(S)^.D для D$<2). Поскольку Nx(S)^iMf
то нам необходимо лишь показать (в силу условия (4),
приведенного сразу после определения 4.85), что для любой D£@) и
любого 2-элемента у из NX(D) обязательно справедливо
включение у£М. Так как Т<]3, то Z(S)(]T=^l согласно
предложению 1.9. Поскольку Z(S)^D, то T(]D^l. Из сильной
замкнутости Т в S слеДует, что у должен нормализовать Т Г) D. Так
как (Tf| £>)<*/> является 2-группой, то применяя еще раз
предложение 1.9, мы получаем, что у централизует некоторую инво-
4.9. Произведение слияний и сильное замыкание
261
люцию t из T[)D. Так как Cx(t)^My то у^М, что и
требовалось.
Теперь мы можем доказать, что для группы X справедлив
критерий Ашбахера сильной вложенности. Пусть z g 3(Z(S)) n Т.
Тогда Cx(z)^M. Кроме того, если zx^M для *gX, то zxm£S
цля некоторого mgM по теореме Силова, поэтому из
предыдущего абзаца следует, что zxmy = z для некоторого у£М. Но тогда
xmy£Cx(z)^M и поэтому х£М. Отсюда мы видим, что zx£M
тогда и только тогда, когда х£М. Кроме того, если г*
централизует г, то без ограничения общности можно предполагать, что
zx g 5, откуда ввиду сильной замкнутости г* (Е Т, поэтому если
zx=£z, то Cx(zzx)^M. Таким образом, М и z в самом деле
удовлетворяют условию критерия Ашбахера (теорема 4.31), и мы
заключаем, что X содержит сильно вложенную подгруппу.
Понятно, что из условия о произведении слияний на SiXS2
следует, что наша группа G содержит более одного сопряженного
класса инволюций. Поэтому, как было отмечено после предложения
4.21, в группе G нет сильно вложенной подгруппы. Отсюда мы
полулаем
Следствие 4.153. G = <JCX \ xg 3 (S,)> для i=l, 2.
Голдшмидт использует последний результат для доказательства
аналогичного утверждения о порождении для нормального
замыкания К[ группы S{ в NG(Sj), \Ф1, i, /=1, 2. Его рассуждение
опирается также на его предыдущую классификационную теорему
для групп X, содержащих абелеву 2-подгруппу, сильно
замкнутую в силовской 2-подгруппе относительно X.
Предложение 4.154. Kt =*<СК(ш(х) \х£ 3(St)> для i«l и 2.
Наконец, используя индукцию, ему удается уточнить
предложение 4.149 в случае T^Sif показав, что в действительности
Кj ^ NG (T) для / Ф i. Тем самым ему удалось доказать
Предложение 4.155. Пусть l^T^S/, f=l или 2, и
положим H^NG(T). Тогда 0(H)Kf<\H для \ф1, / = 1 или 2.
Теперь наступает этап получения окончательного
противоречия. Как и предполагалось, имеется два случая, в зависимости
от тривиальности или нетривиальности подгруппы W из
предложения 4.151. Предположим сначала, что W=l. Если х^З^), то
предложение 4.151 (iii) дает нам, что Qx (S2) централизует О (Сх).
Так как К2^СХ, согласно предложению 4.155, то из
предложения 4.154 вытекает, что /C2 = ^Q1(52)^> централизует 0(СХ).
Следовательно, К2 = 02' (К20(Сх)) и поэтому К2 < Сх в силу
предложения 4,155. Так как х выбирался производьным, то <Сх\х£
262
Гл. 4. Общие методы локального анализа
g 3 (Sx)> ^ NG (К2)—собственная подгруппа в G (в силу простоты G),
что противоречит предложению 4.152.
С другой стороны, если W=£l, то М = NG(W) < G (вновь
в силу простоты G). Теперь для любых x^3(S1) и 1#T^S2
из предложения 4.151 (ii) следует, что W — единственный
максимальный элемент в И0(<х>хТ; 2'), откуда следует, что W
инвариантна относительно действия NG(<x>xT) = Ncx(T). Таким
образом, <NCx(T) |l^=r<S2><Af. Так как /С2<СХ и К2 =
= <Ск2(х2)\х2€ У (So)>, согласно предложению 4.154, то К2^М.
Поскольку т2 (S2) > 2 и О (CJ < <WC* (Г) | 1 ^= Г < S2> по теореме
4.13, то также 0(Сх)^М. Кроме того, поскольку S2^K2 и
О (Сх) К2 <] Сх, то из условия о произведении слияний и
рассуждения Фраттини (предложение 4.3) легко следует, что Сх =
= О (Сх) K2Ncx (S2). Так как NCx (S2) < М, то мы заключаем, что.
Cx^iM. Таким образом, <Сх\х£ 3 (Sx)> ^.M < G, что вновь
противоречит предложению 4.152.
Небольшое дополнительное усилие позволило Голдшмидту
установить окончательный результат о произвольных сильно
замкнутых 2-группах. Здесь Х{00) обозначает последний член
производного ряда группы X.
Теорема 4.156. Пусть G—группа без ядра, S—силовскал
2-подгруппа в G и Т—подгруппа в S, сильно замкнутая в S
относительно G. Тогда (CG (Г))(0О) <\ G.
4.10. Слабое замыкание и множества
с тривиальным пересечением
Теперь нам хотелось бы описать фундаментальные теоретико-
групповые следствия, полученные Тиммесфельдом из его теоремы
о корневых инволюциях. Для их формулировки нам необходимо
понятие слабого замыкания.
Определение 4.157. Пусть G — группа, Я—подгруппа в G и
К—подгруппа или подмножество в Я. Положим
V(ccl0(К)\ Я) = </^|/^<Я, £<EG>.
(Здесь ccl является сокращением для «conjugacy
class»—сопряженный класс.) Группа V(cclG(K)\ Я) называется слабым замы-
канием К в Я относительно G. Если V(cclG(K)\ Я) = /(, то
говорят просто, что К слабо замкнута в Я (относительно G).
Очень часто представляет интерес случай, когда Я=Р — силов-
ская /^-подгруппа в G для некоторого простого числа р. В этом
случае если К сильно замкнута в Р, то она, очевидно, также слабо
замкнута. Подгруппа Томпсона J(P) (а также Je(P)) дает пример
4.10. Слабое замыкание
263
слабо замкнутой подгруппы в Р. Имеется классическая теорема
Отто Грюна, которая утверждает, что если Z(P) слабо замкнут в Р,
то наибольшая абелева /7-факторгруппа группы G изоморфна
наибольшей абелевой /7-факторгруппе группы N G(Z(P)) [130, теорема
7.5.2].
Шульт [252] изучал группы, порожденные таким классом
инволюций D, что для x£D слабое замыкание х в его централизаторе
Сх является абелевой 2-группой. Тиммесфельд получил в качестве
следствия своей теоремы о корневых инволюциях [301] следующее
частичное обобщение результатов Шульта.
Теорема 4.158. Пусть G—группа с 0(G)=1 и Z(G) = 1,
порожденная сопряженным классом инволюций D таким, что
(a) для любого x£D слабое замыканиех в Сх является
2-группой класса не выше 2;
(b) произведение любых двух различных коммутирующих
элементов из D вновь является элементом класса D.
Тогда G^L2(q), U9(q), Sz(q), L3(q), 3D4 (q), q = 2\ G2(q),
q = 2n, n > 1, AG или J2.
Доказательство теоремы проводится следующим образом.
Сначала показывается, что D — класс корневых инволюций, а затем
применяется теорема о корневых инволюциях с последующей
проверкой, какие именно группы из соответствующего списка
удовлетворяют заданным условиям. Для доказательства того, что£> в самом
деле является классом корневых инволюций, мы должны показать,
что если х, у £ D с \ху\ =2k для некоторого k>\, то обязательно k=2.
Поскольку (х, у)—диэдральная группа порядка 4£, то Z((x, y)) =
= (г) имеет порядок 2. Учитывая строение группы (х, у), нетрудно
проверить, что существует сопряженный с х или у в группе (х, у)
элемент и такой, что (х, и) — четверная группа с z= xu. Но тогда
AgD и, согласно (Ь), также z£D. Таким образом, (х, y)^Cz и
пункт (а) дает нам, что (х, у) является 2-группой класса не выше 2,
откуда немедленно следует нужное равенство k=2.
Следующий важный результат Тиммесфельда представляет собой
основополагающее обобщение теоремы 4.158 [302]. В то же время
этот результат можно рассматривать как обобщение Z*-теоремы
Глаубермана, соответствующей случаю |Л|=2. Мы сформулируем
теорему лишь для простых групп.
Теорема 4.159. Пусть G—простая группа и А —
нетривиальная абелева 2-подгруппа в G. Если А слабо замкнута в Са
относительно G для любого а£А#, то справедливо одно из
следующих утверждений:
(i) G^Ljq), Sz(q), U3(q), q = 2«;
(ii) Gg*An, 6</z<9;
264
Гл. 4. Общие методы локального анализа
(iii) G^M22, M23, 7W24 или Не.
Первый шаг доказательства состоит в выяснении возможного
строения группы <Л, ЛО для g£G, удовлетворяющего условию
A(]NG (А£) Ф 1. С этой информацией Тиммесфельду удалось
определить вид нормальной подгруппы X в N = NG(A), порожденной
сопряженными с Л^П^ подгруппами в iV. В частности, он
показывает, что для образа AsflX в Х/А выполнены условия его
теоремы, поэтому можно воспользоваться индукцией. На этом пути
в конечном счете он доказывает следующий результат.
Предложение 4.160. Предположим, что А[\Ы0(Аё)ф\ для
некоторого g£G, и пусть X обозначает нормальное замыкание
Aec\NQ(A) в NG(A). Тогда либо X/A^Lr(2m), Лб, Л7, А8 для
некоторых гит, либо О {Х/А)Ф\.
Кроме того, в случае простой факторгруппы Х/А выясняется
также порядок А и действие Х/А на Л. При Х/АэкЬ3(2) и
L4 (2) в линейном случае Тиммесфельд показывает, что
сопряженный класс, определяемый любым элементом из Л#, является
классом корневых инволюций в G. В этом случае G^Lr+1(2m) по
теореме о корневых инволюциях.
С другой стороны, если Х/А ^L3(2), L4(2), Лб, Л7 или Л8,
то Тиммесфельд доказывает, что X = NG (Л). Можно показать также,
что NG(A) содержит некоторую силовскую 2-подгруппу S
группы G. Поэтому полностью определены все возможные строения
группы S. Теперь вид группы G выясняется из различных
доказанных ранее теорем, классифицирующих группы с такими силов-
скими 2-подгруппами. Все эти последние теоремы касаются групп
низкого 2-ранга — предмета нашего весьма детального обсуждения
впоследствии.
В заключительном случае Тиммесфельд показывает, что |Л| = 4
и, следовательно, S—диэдральная группа порядка 8. Теперь ди-
эдральная классификационная теорема дает нам, что G ^ Лв
или Л7.
Предыдущая теорема имеет одно следствие, играющее
фундаментальную роль в исследовании групп типа характеристики 2.
Теорема 4.161. Пусть*G—простая группа и
А—нетривиальная элементарная 2-подгруппа в G со следующими свойствами:
(a) Л является Tl-множеством в G (т. е. Asf]A=l или А
для geG)\
(b) Л не централизует ни одну из отличных от нее, но
сопряженных с ней подгрупп в G. (Например, это условие
выполнено, если А слабо замкнута в некоторой силовской 2-подгруппе
из G, содержащей Л.)
Тогда G изоморфна одной из групп7 приведенных в теореме 4.159.
4.11. Факторизация и З'-группы
265
Если А слабо замкнута и А централизует Л^ для g$G, то
АА$ является 2-группой, откуда AAs<S ^Syl2(G) и поэтому
А£ = А ввиду слабой замкнутости А. Таким образом, п. (Ь)
действительно выполнен в слабо замкнутом случае.
Докажем, что условия теоремы 4.159 следуют из условий
теоремы 4.161. Рассуждая от противного, предположим, что А не
слабо замкнута в Са для некоторого а£А#. Тогда найдется
В = А&^Са с ВфА для некоторого g£G. Если b£B#, то
а£А[)Аь и А = Аь, поскольку А является TI-множеством по
условию. Следовательно, В нормализует А. Определение Т1-мно-
жества и условие Вф А дают нам, что В[)А = 1. Положим
C = A[)NG(B). Так как В нормализует Л, то [С, 5]<ЛГ)£=1,
поэтому В централизует С, откуда следует, что С < Л, поскольку
иначе В централизует Л и по условию В = А — противоречие. Так
как ВС нормализует В, то ВС<ВА.
Возьмем теперь элемент х £ В А —ВС, нормализующий ВС. Тогда
ВХ^(ВС)Х = ВС. Однако \ВС\ < | В А \ = \В\2, так как Л
сопряжена с 5. Отсюда следует, что В[\ВХФ\, поэтому ВХ = В,
поскольку В является TI-множеством. Следовательно, х-£ NBA(B)=BC,
что противоречит выбору х.
4.11. Факторизации и З'-группы
Мы ограничимся обсуждением лишь вопросов, связанных с
простым числом 2, и для любой 2-группы S будем писать Л (S) и
J (S) вместо соответственно Ле(8) и Je(S).
Факторизационные методы берут свое начало в следующем
основополагающем результате Томпсона [288].
Предложение 4.162. Пусть X—разрешимая группа с 0(Х) = 1
и S£Syl2(X). Если S3 не вплетена в X (например, если X
является Ъ'-группой), то
X = CX{Z(S))NX{J{S)).
Мы приведем полное доказательство, поскольку оно почти
элементарно и весьма поучительно, так как иллюстрирует многие
идеи локального анализа—в частности, те, которые
использовались в доказательстве ZZ-теоремы Глаубермана. Положим Z=Z(S).
Так как X является 2-скованной группой (в силу разрешимости X)
с тривиальным ядром, то Z^Z(02(X)) и, следовательно, W ^
<!Z(02(X)), где W обозначает нормальное замыкание Z в X. Из
абелевости Z(02{X)) следует абелевость W. Положим C = Cx(W)
и Т = S Г) С. Так как W О X, то С <] X, откуда следует, что
T$Syl2(C). Кроме того, C^CX(Z), поскольку Z<№.
Достаточно показать, что J (S) ^ Т. Действительно,
предположим, что это так. Тогда J (S) = J (Г) char Т и поэтому Nx (T) нор-
266 Гл. 4. Общие методы локального анализа
мализует J(S). Так как Т£Syl2(C), то X = CN Х(Т), согласно #
рассуждению Фраттини; поэтому X = CNX (J (S)) = Сх (Z) Nx (J (S)),
что и требуется.
Таким образом, мы можем предполагать, что J (S) $CL Т. Поэтому
существует A^d{S), такая, что Л^7\ Следовательно, А^С.
Положим Х = Х/С, так что АФ 1. Утверждается, что 02(Х)==_1.
В самом деле,"пусть D—полный прообраз в X группы 02(Х).
Тогда C^D<]X и поэтому D = C(SflO), так как D/C явля.ется
2-группой. Однако S[)D централизует Z = Z(S), следовательно,
D также централизует Z. Поскольку D<jX, то D централизует
нормальное замыкание W группы Z в X. Так как C = CX(W), то
D = C и поэтому 1=D = 02(X), как и утверждалось.
Пусть F = F(X) — подгруппа Фиттинга в X. Из предыдущего
абзаца следует, что F^O(X). Разрешимость X и предложение
1.25 дают нам, что C-X(F)^:F. Таким образом, А не централизует
F, и поэтому А не централизует^ (F) = Oq (X) для некоторого
(нечетного) простого q. Так как А—элементарная абелева 2-группа,
то с использованием рассуждений редукции, аналогичных тем,
которые описывались в § 4.1, легко доказывается, что А
нормализует, по не централизует подгруппу Y порядка q в 0q (X). Из
цикличности Aut(F) следует, что B = Cj(Y) имеет в А индекс 2,
причем YA/B—диэдральная группа порядка 2q.
Определение С дает нам, что Y действует точно на W и не
централизует W. Поскольку BY — BxY действует на W, причем
В является 2-группой, то из (Лх#)-леммы Томпсона следует, что
Y не централизует W0 = CW (В). Из предложения 4.7 и абелевости
W0 получаем, что Y не централизует W1 = Q1(W0). Положим
теперь У, = [Wu У], так что Угф\. Рассматривая Wx как векторное
пространство над GF(2), мы непосредственно видим, что Y не имеет
неподвижных нетривиальных точек на Уг. Заметим также, что
поскольку А нормализует У и Ву то А оставляет инвариантными
W0, Wx и, следовательно, Vx.
Пусть далее В—подгруппа в А индекса 2, отображающаяся
на В. Тогда В централизует Vx и поэтому BVt—элементарная
абелева подгруппа в S. Так как A^A{S), то по определению
множества Л (S) справедливо неравенство m2 (BVX) <! m2 (А). Отсюда
следует, что B1 = Bf]V1 имеет в Vx индекс не выше 2.
Наконец, пусть а£А—В и К==<^>, так что а инвертирует у.
Таким образом, <а, */>=<#, аУ>—диэдральная группа
порядка 2q. С другой стороны, из абелевости А следует, что а действует
4.11. Факторизация и З'-группы 267
тривиально__на Вх, откуда а? действует тривиально на В\. Но
тогда <а, аУ) и, следовательно, Y действует тривиально на В0=
= В1(]В(. Поскольку Y не имеет нетривиальных неподвижных
точек на Vlt то В0=1. Так как \V1:B1]j^2y то IIV-BJ^^
Следовательно, |1/1| = 4 и q = 3, откуда <а, #> £ё 23, вопреки
нашему предположению о том, что 23 не вплетена в X.
Наложенное на группу X условие необходимо. Действительно,
пусть X—полупрямое произведение группы SL(2y 2п) и ее
естественного двумерного модуля V над GF(2n). (Заметим, что
SL(2, 2)^28.) Если S£Syl2(X), то проверка показывает, что
Л (S) содержит ровно два элемента: V и второй элемент
A=Z(S)xT, где Z(S)—одномерное подпространство из V
(порядка 2"), а Т изоморфно отображается на силовскую 2-подгруппу
в X/V^SL(2, 2й). Таким образом, J (S) = <J/, Л> = Я и,
следовательно, CX(Z(S))NX(J(S))^NX(Z(S)) (поскольку NX(J(S)) =
= ^(S)<^(Z(S))). Однако очевидно, что Z(S) не нормален
в X (так как У—неприводимый Х-модуль), поэтому X не факто-
ризуется.
Томпсон установил другие факторизации разрешимых, групп.
Они опираются на следующее определение.
Определение 4.163. Если S—некоторая 2-группа, то пусть
Лг(8)—множество всех элементарных абелевых 2-подгрупп В в S,
таких, что либо В £ Л (S), либо | В | = | А |/2, где А £ Л (S), и положим
/1(5) = <B|B€^1(S)>.
Рассуждая так же, как и в предложении 4.162, Томпсон
доказывает следующий результат [288].
Предложение 4.164. Пусть X— разрешимая группа с О (Х) = 1
и S£Syl2(X). Если X не имеет сечений, изоморфных 23 и диэ-
дральной группе порядка 10 {например, если порядок X не
делится на 3 и на 5), то
X = CX(Z(S))NX(JX(S)).
Полупрямое произведение диэдральной группы порядка 10 и
ее 4-мерного естественного модуля над GF(2) является
контрпримером к последнему предложению (как, впрочем, и 23 на своем
естественном 2-мерном модуле).
Нужна была незаурядная проницательность Томпсона, чтобы
обнаружить не только существование еще и третьей факторизации
для X, но и то, что эти три факторизации могут быть использованы
одновременно [289, лемма 5.53].
268
Гл. 4. Общие методы локального анализа
Предложение 4.165. Пусть X— разрешимая группа с О (X) = 1
и S£Syl2(X). Если в X не вплетена группа 23, то
X = NX(J(S))NX(Z(J1(S))).
Следствие 4.166, Пусть X и S—группы из предложения 4.164.
Положим N1 = NX(Z(S)), N2 = NX(J(S)) и ^3 = ^(Z(/1(S))).
Тогда для любых i, j, 1 ^ i, j ^ 3, i Ф /, справедливо равенство
X = NiN/.
Это следствие непосредственно получается из трех
предыдущих предложений вместе с тем фактом, что АВ = ВА в случае,
когда АВ является группой, и что Ух (Jx (S)) < Nx (Z (/г (S))) = N3.
Следствие 4.166 называют леммой Томпсона о тройной
факторизации. Теперь вступает в действие его замечательное
рассуждение «три против двух» [93, лемма 8.6].
Предложение 4.167. Пусть G—группа и Нх, Н2, Н3—ее
подгруппы, такие, что для.любой перестановки л множества {1, 2, 3}
справедливо включение
#Я(3) ^ #Я(1)#Л(2).
Тогда HtHj—подгруппа в G для всех i, j, l^i, /<3, гф\.
В самом деле, возьмем для определенности 1=1, / = 2. Нам
необходимо лишь показать, что Я^^Я^, поскольку отсюда
будет следовать вывод, что Н1Н2 является группой. Однако
^2 ^#1#з и ^1^^з^2 по предположению, так что Н2НХ^:
^(Н1Н3)(Н3Н2) = Н1Н3Н2. Поскольку Я3<Я1Я2, то Н1Н3Н2^
^Н1(Н1Н2)Н2 = Н1Н2. Таким образом, Н2Н1^.Н1Н2, что и
требовалось.
Как отмечалось ранее, Томпсон пришел к указанным выше
идеям в связи с проблемой о группах нечетного порядка. Мы
проиллюстрируем их значение, доказав следующий результат.
Теорема 4.1.68. Если G—простая группа, в которой любая
2-локальная подгруппа имеет порядок, не делящийся на 3 и 5,
то G^L2(2n), п нечетно, п>\, U3(2n), я=£0 (mod 3), или
Sz(2n), n нечетно, п^З.
Пусть G—минимальный контрпример. Покажем сначала, что
любая 2-локальная подгруппа в G разрешима и имеет
тривиальное ядро, после чего можно будет непосредственно применить
идеи Томпсона. Согласно предположению, порядок каждой 2-ло-
кальной подгруппы Н в G не делится на 3 и 5. Если Я
неразрешима, то она имеет неабелево простое сечение К, причем \К\
не делится на 3 и 5. Понятно, что К удовлетворяет условию
теоремы, поэтому из минимальности G следует, что K^L2 (2n),
U3(2n) или Sz(2n) для подходящего п. Но тогда 3 или 5 делит
4.11. Факторизация и З'-группы
269
\К\—противоречие. Мы заключаем, что все 2-локальные подгруппы
в и разрешимы.
Теперь мы утверждаем, что силовская 2-подгруппа в G связна
и m2(G)^3. Предположим противное, тогда r2(G)<4 в силу
следствия 1.39. Из простоты G и теоремы Фробениуса о
нормальном дополнении вытекает, что некоторая 2-локальная подгруппа
Я в G не имеет нормального 2-дополнения. Выберем Я, такой,
чтобы силовская 2-подгруппа S в Я имела максимальный
порядок. Положим И==Н/0{Н)^ = 02(Н) и #==#/Ф(#).Так как Я
разрешима, то Cjj(R)^R и, следовательно,_Ся (#Х R согласно
предложению 1.12 (ш). Таким образом, H/R изоморфна
некоторой подгруппе в Aut (R). Поскольку R—элементарная абелева
группа в силу предложения 1.12(i), то из r2(G)^4 следует, что
R имеет ранг не выше 4. Таким образом, Aut (/?) ^ L4 (2) ^ А8.
Следовательно, H/R — нетривиальная разрешимая подгруппа в Л8,
порядок которой не делится на 3 и 5, причем 02(H/R) = \. Все
возможности здесь исчерпываются случаем, когда H/R имеет
порядок 7. В частности, R=S.
Пусть R—полный прообраз R в Я. Тогда R<]H, так как
#<]Я и R = 0(H)S. Следовательно, Я = R.NH(S) = 0(H)NH(S)
согласно рассуждению Фраттини. Поскольку Я не имеет
нормального 2-дополнения, то Hl = NG(S) также не имеет
нормального 2-дополнения. Из максимальности S следует,^что 5^5г//2(Я1),
откуда S£Syl2(G). С другой стороны, H/R=H/S индуцирует
на S группу автоморфизмов порядка 7. Используя это условие,
мы можем теперь показать без труда, что S должна быть
связной группой и m2(S)^3. Таким образом, S связна и m2(G)^3>
как и утверждалось.
Теперь мы можем применить теорему 1.40 и заключить, что
каждая 2-локальная подгруппа в G имеет тривиальное ядро.
Пусть далее S£Syl2(G), и положим N1 = NG(Z(S)), N2 =*
=NG(J(S)) и N3 = Ng(Z(J1(S))). Тогда каждая Nt является
2-локальной подгруппой в G, поэтому она разрешима, порядок ее
не делится на 3 и 5, а, кроме того, 0(Л^-)=1, l^.i^.3.
Поскольку также SgS£//2(^), то, применяя следствие 4.166 к
группам Ni9 мы получаем, что
Мл(з)<Л^(1)ЛГя(2) (4.32)
для любой перестановки я множества {1, 2, 3}. Следовательно,
М = ЫгЫ2—подгруппа в G согласно предложению 4.167.
Предположим, что M = G. Тогда любой элемент g^G может
быть представлен в виде g = g1g2 с g>€W,, i = l, 2. Но тогда
Оа (Njz = 02 (NJM *= Оа (Wjs* < S*> < N2 (4.33)
270
Гл. 4. Общие методы локального анализа
(поскольку OziNJ^S ^N2). Таким образом, нормальное
замыкание 02(Л^) в G содержится в N2. Так как 02(Ы1)Ф 1 и N2 < G,
то это противоречит простоте G. Поэтому М < G.
Докажем, наконец, что М—сильно вложенная подгруппа в G.
Безусловно, последнее справедливо, если М содержит
нормализатор любой неединичной подгруппы из S. Предположим противное,
и пусть Я— такая 2-локальная подгруппа в G, не лежащая "в 7W,
что Q = Sf)H имеет наибольший возможный порядок. Очевидно,
что 0,ф\. Как и в доказательстве.теоремы 4.111, показывается,
что Q G Syl2 (Я). Теперь вместо ZJ -теоремы используем предложение
4.162 и заключаем, что
H = NH(Z(Q))NH(J(Q)). (4.34)
Если Q = 5, то из (4.34) следует, что Я^Л^М2 = М, вопреки
выбору Я, поэтому Q < S. Но тогда Ns (Z (Q)) > Q и NS(J (Q)) > Q,
так что максимальность Q дает нам, что NG(Z(Q))^M и
NG(J(Q))^M. Таким образом, вновь Я^М, согласно (4.34),—
противоречие.
Таким образом, М—сильно вложенная подгруппа в G, как и
утверждалось. По теореме Бендера G g*L2 (2"), п > 2, U3 (2"),
п^2, или Sz(2n)t n нечетно, /г^З. Условие на порядки 2-ло-
кальных подгрупп дает нам теперь, что п удовлетворяет
ограничениям теоремы. Таким образом, G не является контрпримером, что
завершает доказательство теоремы.
При попытке обобщить указанные выше факторизационные
результаты на неразрешимые группы X, в которых F* (X) является
2-грушгой, возникают две различные проблемы. Во-первых, в
доказательстве предложения 4.162 (а также предложения 4.164)
использованные выше рассуждения вновь приводят нас к
модульному действию группы AY/B на векторном пространстве Vx над
GF(2), причем В централизует У, Vx и Ух = \у19 У]. Однако
теперь У не обязана быть циклической группой и может быть также
квазипростой группой, изоморфной гомоморфному образу некоторой
компоненты слоя L(X)._B последнем случае B~*Cj(Y) не
обязана иметь индекс 2j3 А. Справедливость факторизации для X
зависит от действия У на этом модуле ^ и в свою очередь
сводится к фактам о размерности пространства неподвижных точек
B^AnV^CvAA).
Приведенное выше обсуждение с группой У ^SL (2, 2п) и
естественным модулем Vx дает контрпример к любой предполагаемой
факторизации для групп, в которые вплетена группа SL (2, 2").
Для общего анализа групп типа характеристики 2 очень важно
знать, какие возможности для пары У, V1 ведут к факторизации,
а какие — нет (предполагается, что У будет /С-группой). Такие
4.11. Факторизация и З'-группы
271
результаты об отсутствии факторизации будут детально
обсуждаться в следующем параграфе Позвольте мне здесь отметить
лишь тот факт, что явление отсутствия факторизации тесно
связано с группами типа Ли характеристики 2 и знакопеременными
группами. Факторизация почти всегда имеет место, если Y имеет
другой вид вне зависимости от того, какой берется модуль V\.
С другой стороны, группы Sz(2n) стоят несколько особняком,
поскольку их порядок не делится на 3, причем ими исчерпываются
все известные простые группы с таким свойством. Томпсону удалось
обобщить предложение 4.162 на этот случай, анализируя GF(2)~
модули для групп Sz(2n) [294].
Предложение 4.169. Пусть X— некоторая К-группа, порядок
которой не делится на 3, причем F*(X) является 2-группой.
Если S£Syl2(X), то
X = CX(Z(S))NX(J(S)).
Учитывая контрпример с диэдральной группой порядка 10,
мы видим, что для таких групп X нельзя доказать
соответствующую (Z, ./^-факторизацию.
Третья, (Z, Z^1)-фaктopизaция редко выполняется для
неразрешимых групп. Действительно, в доказательстве любого такого
результата анализ опять сводится (как и в доказательстве
предложения 4.162) к ситуации AY/B для некоторой A^d(S), после
чего вновь рассматривается наибольшая подгруппа В в Л,
отображающаяся на В. Чтобы продолжить рассуждение, необходима
принадлежность В множеству A1(S)m Однако последнее может
выполняться тогда и только тогда, когда |Л:В|^2,
последовательно, тогда и только тогда, когда | А :В\ <Г2.__Но Y может
быть простей группой, откуда т2(7)>2, и A/Cj (Y) может быть
нециклической. Следовательно, в общем случае нельзя утверждать,
что В имеет в А коразмерность не выше 1. Для такого
заключения необходимы некоторые дополнительные ограничения.
После завершения классификации W-групп Томпсон
предпринял попытку доказать, что группы Судзуки Sz(2n) исчерпывают в
действительности все простые группы, порядок которых не делится
на 3 [294]. Используя стандартные методы сигнализаторного
функтора, Томпсон показал, что минимальный контрпример G к такой
теореме является группой типа характеристики 2. Здесь,
безусловно, должны были быть тонкие моменты, поскольку группа Рудва-
лиса Ru в качестве централизатора одной из своих инволюций имеет
группу Sz(8)XZ2xZ2. Хотя Ru и не является З'-группой, однако
этот факт не просматривается из указанного централизатора.
Так как любая собственная подгруппа в G является /С-^руппой,
ТО в качестве неразрешимых композиционных факторов собственных
272
Гл. 4. Общие методы локального анализа
подгрупп могут встречаться лишь группы Судзуки. Некоторое
время Томпсон искал тройную факторизацию для 2-локальных
подгрупп в G, которая позволила бы ему последовать примеру
доказательства теоремы 4.168. К сожалению, он так и не нашел ее. Поэтому
Томпсон был вынужден для завершения классификации простых
З'-групп применить в полной общности методы и основное
подразделение на случаи e(G)^3, e(G)=2 и e(G) = \ из анализа N-групп.
С использованием остроумно определенной подгруппы J (S)
вместо Ji (S) Глауберману удалось впоследствии доказать тройную
факторизацию для /С-групп X, порядок которых не делится на 3, а
F* (X) является 2-группой (и даже для более широкого класса
групп Xt в которые не вплетена группа 24) f 117]. Для описания этого
результата нам необходимо предварительно следующее определение.
Определение 4.170. Пусть Т — произвольная 2-группа.
Элементарная абелева нормальная подгруппа V в Т называется
ограниченной в Т, если для любой элементарной абелевой 2-под-
группы R в Т/Ст (V) справедливы неравенства
\V/CV(R)\>\R\*/* и 1[V/R]\>\R\:
Кроме того, Т называется Е-группой, если она не содержит
ограниченных подгрупп.
Следующая лемма Глаубермана показывает содержательность
понятия £-группы.
Лемма 4.171. J (S) является Е-группой для любой 2-группы S.
Теперь мы можем определить группу J{S).
Определение 4.172. Для любой 2-группы S положим
J(S) = <T|/(5)<r<5 и Т является ^-группой).
Таким образом, J (S)^J (S). (Заметим, что по определениям
также J(S)^J1(S).)
Отметим, что среди простых К-трупи, в которые не вплетена
24, лишь Sz (2п) и U3 (2й) имеют неабелевы силовские 2-подгруппы.
Таким образом, факторизации Глаубермана касаются 2-скованных
групп, неразрешимые композиционные факторы которых либо
изоморфны одной из указанных групп, либо имеют абелевы
силовские 2-подгруппы.
Теорема 4.173. Пусть X—некоторая К-группа, в которую
не вплетена 24, причем F*(X) является 2-группой и S$Syl2(X).
Тогда справедливы следующие равенства:
(i) X = Cx(Q1(2(S)))^(y(S));
MX-CxiQAZmNxQiS));
(iii) X = ^(Q1(Z(7(S))))iV^(/(5))?
4.12. Отсутствие факторизации Томпсона
273
Доказательство Глаубермана — проявление силы тонких
коммутаторных вычислений.
На основе предыдущей теоремы Глауберман [117] легко
получает следующее обобщение З'-теоремы Томпсона.
Теорема 4.174. Пусть G—простая группа с неабелевыми си-
ловскими 2-подгруппами. Если в G не вплетена 24, то G g*Sz (2n)
или U3 (2"), п нечетно.
Выбирая в качестве G минимальный контрпример и рассуждая
так же, как в теореме 4.168, Глауберман мог бы показать, что G
содержит сильно вложенную подгруппу, если бы сначала он
доказал, что G — группа типа характеристики 2. Однако ему удалось
избежать даже этого детального анализа, воспользовавшись
теоремой Голдшмидта о сильно замкнутой абелевой подгруппе, а не
теоремой Бендера о сильной вложенности. Таким образом, он получил
теорему 4.174 из следующего результата о слиянии вместе с
классификационной теоремой Голдшмидта (теорема 4.128).
Предложение 4.175. В условиях теоремы 4.174 пусть
SбSyl2 (G)uA = <QX(Z(S))x\x£NG{J (S))>. Тогда
А—нетривиальная элементарная абелева подгруппа в S, причем А сильно
замкнута в S относительно G.
Существенным здесь является тот момент, что хотя G и не
обязана быть группой типа характеристики 2, обобщение Голдшмидта
теоремы Алперина о слиянии (теорема 4.86) показывает, что 2-
слияние полностью определяется 2-скованными 2-локальными
подгруппами Н в G, в которых 02(Н) отображается на 02(#/0(#)).
Поскольку любая такая 2-локальная подгруппа Я является К-
группой и не содержит сечений, изоморфных 24, то Н обладает
тройной факторизацией. Используя этот факт, Глауберман
устанавливает сильную замкнутость Л.
4.12. Отсутствие факторизации Томпсона
Как мы видели в предыдущем параграфе, справедливость
(Z, /)- или (Z, /х)-факторизации относительно силовской
2-подгруппы S группы X, где F* (X) является 2-группой,
сводится к модульному утверждению для некоторых сечений
AY/B группы X, в которых Y—квазипростая группа с02(У) = 1.
При более внимательном изучении ситуации удается
переформулировать эти факторизационные вопросы в общих терминах.
Пусть V—точный GF (2)-модулъ для группы F с 02(7)=1.
Спрашивается, содержит ли Y нетривиальную элементарную абе-
леву 2-подгруппу Л, такую, что
m2(A)^m,(V/Cv(A)), (4.35)
18 N9 3951
274
Гл. 4. Общие методы локального анализа
или такую, что
m2(A)>m2(V/Cv(A))-l. (4.36)
На практике мы имеем главным образом дело со случаем,
в котором F* (У)— квазипростая /(-группа (выбирая AY/B в
качестве У, мы получаем квазипростоту группы F*(Y)).
Определение 4.176. Пусть У—некоторая группа, в которой
F*(Y) квазипроста и 0,2(7)= 1. Если У—точный СР(2)-модуль
для У, то мы говорим, что (У, V) является F-парой, если Y
содержит подгруппу Л, удовлетворяющую (4.35), и что (У, V) является
F^napou, если Y содержит подгруппу Л, удовлетворяющую (4.36).
Любая такая подгруппа А называется нефактором пары (У, V).
Очевидно, что если (У, V) является F-napoft, то она будет также
/ч-парой. Если /ч-пара (У, V) не является /«"-парой, то для любого
нефактора А пары (У, V) справедливо равенство
m2(A) = m2(V/Cv(A))-l. (4.37)
Заметим, что если (У, V) — некоторая F-napa с |Л| = 2, то
т2 (V/Cv (A)) = 1 и поэтому А централизует гиперплоскость в V.
Таким образом, инволюция из А индуцирует трансвекцию на V.
Один из первых результатов в рассматриваемом направлении
принадлежит Маклафлину [219]. Он классифицировал все такие
группы, порожденные своими трансвекциями.
Теорема 4.177. Пусть V—неприводимый модуль размерности п
над GF(2) для группы Y. Если Y порождена своими трансвек- -
циями, то Y^SL(n, 2), Spin, 2), 50± (п, 2), 2я+1 или 2п+2
с п^ 4 (за исключением первого случая). (Кроме того, п > 4 в
случае Yg*S0+(n, 2).)
Для доказательства теоремы Маклафлин строит геометрии
классических и симметрических групп, исходя из свойств действия транс-
векций на V. Заметим, что поскольку V определено над GF(2),
подгруппа в У, порожденная трансвекцией, является корневой
подгруппой. Поэтому само рассуждение может рассматриваться, в
принципе, как аналогичное доказательствам теоремы о
квадратичных парах и теоремы Фишера—Тиммесфельда.
Ашбахер доказал следующий общий результат [19].
Теорема 4Л78. Пусть (К, V)—некоторая /^-парэ, в которой
L = F*(Y)^-квазипростая К-групщ. Тогда справедливо одно и§
следующих утверждений:
(i) L$ Cheap);
(ii) L/Z(L) g* An для некоторого п\
(iii) | Z (L) | = 3, LjZ (L) ^ f/4 (3) и (У, V) не является F-парой;
(iv) L £ё М2р М23, Мц и (У, V) не является F-парой.
4.12. Отсутствие факторизации Томпсона
275
Сформулированная теорема со всей определенностью
показывает, что отсутствие факторизации — явление, связанное с группами
типа Ли характеристики 2 и знакопеременными группами. Для
доказательства того, что в (iii) и (iv) могут быть лишь такие кандидаты
на роль У, необходимы детальные свойства групп типа Ли нечетной
характеристики и спорадических групп.
Ашбахер анализирует также весьма подробно знакопеременный
случай и определяет при различных условиях возможные модули и
вложения нефат*торов в Y.
Предложение 4.179. Если (У, V) является F-парой с Y = An
или 2Л,- п^9, и V—неприводимый У'-модуль, то
V—естественный модуль для Y.
Здесь под естественными модулями для Ап и 2„ понимаются
модули, определенные следующим образом. Пусть X — расщепимое
расширение Е ^ Е2п при помощи 2„, в котором действие элемента
из 2Л на Е определяется соответствующим ему перестановочным
действием на фиксированном базисе х19 х2, ..., хп пространства £.
Очевидно, что 2rt централизует элемент х = хг +х2+ ... -\-хп из Е,
а также оставляет инвариантным подпространство Е0 = <х{—Xj\
1^*\ /^я>. Если п четно, то <х> < Е0 < Е (с \Е:Е0\ = 2)
и У = £0/<л;>—естественный модуль для 2п (V имеет размерность
п — 2). С другой стороны, если п нечетно, то Е = Е0х<х> и V=
=Е0—естественный модуль для 2п (V имеет размерность п—1).
Таким образом, в любом случае естественный модуль V для 2И
совпадает с единственным нетривиальным композиционным
фактором 2п-модуля Е. Ограничение V на Ап называется естественным
представлением группы Ап.
Куперстейн и Дж. Мэйсон [72], [73] описали все возможные
F-пары (V, Y), в которых FgC/iec/(2). Их анализ опирается на
общую теорию, разработанную Стейнбергом и Кэртисом [272], [75],
неприводимых GF (/^-представлений групп типа Ли
характеристики р. Краткий очерк этой теории можно найти в § 14. Здесь нам
нет необходимости углубляться в детали, поскольку
окончательный результат исследования Куперстейна и Мэйсона может быть
сформулирован в более классической терминологии без
использования методов лиевской теории. Кроме того, как и в
знакопеременном случае, для небольших размерностей имеются некоторые
исключения, на которых мы не будем здесь останавливаться.
Теорема 4.180. Пусть (Y, V)—некоторая F-napa, в которой
Y—группа типа Ли, определенная над GF (q), q = 2m, и
V—неприводимый Y-модуль. Тогда
(i) если Y = SL (п, q), moV является либо стандартным
модулем над GF (q), либо его внешним квадратом, либо дуальным
к любому из этих модулей',
276
Гл. 4. Общие методы локального анализа
(ii) если Y = SU(n, q)> az!>5, то V—стандартный модуль
над GF(q2);
(iii) если Y = SO±(nJ q), <7>11, то V—стандартный модуль
HadGF(q);
(iv) если Y~G2(q), то V—шестимерный симплектшеский
модуль над GF (q).
Куперстейн и Мэйсон показывают, что другие исключительные
группы не могут встречаться в качестве 7 ни в одной F-nape.
Не могут встречаться также группы SU (3, q). Заметим, что
всякий У-модуль V над GF(q), q = 2n, является также К-модулем
над GF (2) (как требуется в определении F-пары).
Внешние квадраты и дуальные или сопряженные
представления определялись в § 1.4. Кроме того, стандартный модуль для
SU (n, q) совпадает просто с ограничение^ на SU (n, q)
стандартного модуля для SL(n, q2) над GF(q2). Стандартным модулем V
для SO"*: (n, q) является ограничение стандартного модуля V для
SL(ny q) на подгруппу, оставляющую инвариантной подходящую
невырожденную билинейную форму на V (см. § 4.14). Наконец,
группа G2(q) является подгруппой в B3(q), которая в
характеристике 2 изоморфна C3(q). Поэтому G2(q) — подгруппа в Sp(6, q).
Таким образом, если q = 2m, to. G2(q) действует неприводимо на
6-мерном симплектическом пространстве над GF (q). Именно этот
модуль упоминается в п. (iv) из теоремы 4.180.
Приложив достаточные усилия, можно, безусловно, теми же
самыми общими методами, которые использовались в предыдущих
результатах, описать все возможные неприводимые модули для
Fj-nap (У, V), в которых F*(Y)—квазипростая /("-группа.
Пусть X—некоторая группа, в которой F*(X) является 2-груп-
пой. Если в группе X отсутствует (Z, /)-факторизация
относительно S £Syl2(X), то естественно задать следующий вопрос: как
устроено нормальное замыкание N подгруппы J (S) в X?
Заметим, что если Т = S(]Nt то Т g Syl2 (N), так что X =
= NNX (Т) согласно рассуждению Фраттини. Поскольку Nx (T)
нормализует / (S) в силу характеристичности / (S) в Т, то в
действительности
X = NNX(J(S)).
Таким образом, N позволяет измерить величину препятствия
для нормальности J (S) в X. Отсюда видно значение строения N
для локального анализа.
Например, если X—полупрямое произведение SL(2> 2п) и ее
стандартного 2-мерного б^(2")-модуля, то непосредственно видно,
что N совпадает со всей группой X. Более общо, если X =
= ХгхХ<цХ ... хХг, где Xt изоморфна полупрямому произведе-
4.12. Отсутствие факторизации Томпсона 277
нию группы SL (2, 2Л0> fy^l» и ее стандартного модуля V{,
l^f^V, то вновь проверка показывает, что N = Х.
Любопытно, что и в общей ситуации строение N оказывается
похожим на предыдущий случай прямого произведения. Однако
мы должны сделать поправку на некоторую заранее ожидаемую
неопределенность. В самом деле, пусть V = <QX (Z (S))*> и С=СХ (V).
Тогда С—нормальная подгруппа в X, централизующая Q^ZfS)).
Мы не обладаем структурной информацией о С и, следовательно,
ничего не можем сказать о N [)С Таким образом, можно надеяться
лишь на выяснение строения группы N/(N f] С) (^ NC/C). Конечно,
этого нам было бы достаточно, так как группа С централизует
Qx (Z (S)) и поэтому факторизуется очевидным образом. В
частности, если N^iC, то J(S)^.C, откуда вновь, согласно
рассуждению Фраттини, X = CNX(J (S)) и, следовательно, в группе X имеет
место (Z, У)-факторизация. Таким образом, представляет интерес
лишь случай N<£C.
Строение N/(N fl Q выясняется посредством анализа действия
группы Х/С на группе V, рассматриваемой как векторное
пространство над GF (2). По определению С это действие является
точным. Кроме того, как и в доказательстве предложения 4.162,
проверяется, что Х/С не содержит нетривиальных нормальных
2-подгрупп. Последнее условие необходимо, если мы хотим
получить из рассматриваемого действия достаточно точную информацию.
Первый " результат такого типа принадлежит Глауберману,
разобравшему разрешимый случай [114].
Теорема 4.181. Пусть X—разрешимая группа с F (Х) = 02(Х).
Пусть S£Syl2(X)y V = <Q1(Z(S))xyt C = CX(V), Х = Х/С и N =
= </ (S)*>. Если N 3UC, то справедливы следующие утверждения:
(i) N = N1xN2x...xNn где Nj^Z3, l<i<r;
(ii) если U = [V, N] и Vt = \V9 #,], l<i<r, mo
(1) f/ = ylXF2x...xyr;
(2) y,~Z2xZ2, l<i<r.
В частности, каждая Vt является стандартным модулем для
L2(2)^23. Если случайно оказалось, что N f]C = V (например,
если C = V), то на самом деле N будет разлагаться в прямое
произведение подгрупп X,-, изоморфных полупрямому произведению Vt
на Nj, l^i^r. Однако из равенства N f]02(X) = V вытекает,
что N действует тривиально на 02(X)/V. Следовательно, в
противном случае, конечно, N не будет таким прямым
произведением. С другой стороны, полупрямое произведение V на N будет
разлагаться в соответствующее прямое произведение, причем
получившаяся группа наследует многие характерные черты строения N.
278 Гл. 4. Общие методы локального анализа
Ввиду теоремы 4.178 самое большее, на что можно было бы
рассчитывать в общем случае, —это что N разлагается в прямое
произведение подгрупп Nh l^i^r, каждая из которых
изоморфна группе типа Ли характеристики 2, знакопеременной или
симметрической группе. Нам хотелось бы иметь утверждение, что
каждая пара (Vit N;) является «неприводимой» F-парой, где
Vj = [V, N(]. Однако простые примеры показывают, что V{ не
обязано быть неприводимым; в действительности Ni может иметь »
нетривиальные неподвижные точки на У/:_Таким образом, общая
формулировка состоит в том, что (V^/Cy. (#,-), N;) — неприводимая
F-napa.
Работа Ашбахера приводит как раз к такой теореме для
/(-групп. Однако для ее доказательства необходимо следующее
важное свойство J (S).
Теорема 4.182. Пусть X—некоторая К-группасF*(Х)=02(Х)
S€Syl2(X), V = <Q1(Z(S))xy и С = СХ(У). Тогда относительно
сопряжения J (S) оставляет инвариантной каждую компоненту
группы Х/С и индуцирует внутренние автоморфизмы на каждой
из них (включая «разрешимые» компоненты).
Доказательство опирается на анализ того же типа, который
использовался в теоремах 4.178 и 4.180. Комбинируя различные
упомянутые выше результаты, Ашбахер доказывает следующую
теорему.
Теорема 4.183. Пусть X является К-группой с F* (X) = Q2 (X),
S£Syl2(X), V = <Q1(Z(S))X\ C = CX{V), X = X/C и W = </(S)*>.
Если /V^C, то справедливы следующие утверждения:
([)_ N — прямое произведение подгрупп N^A^i^r, где
каждая N(—либо классическая группа над GF (2Ш/), либо G2(2m'), либо
2л,, п{ нечетно;
'.(Н) еслии=\у, N], & = l//C„(tf), V{=[V, Nt] u V^V^Cy^N), то
(1) каждая пара (Vh N{) является F-парой, l^i^r;
(2) 0^?гхУ2х...Х?г.
Скажем несколько слов о последовательности действий. Для
краткости будем называть компонентами также и разрешимые
компоненты (т.- е. изоморфные 23). Пусть Y— (нормальная)
подгруппа в X, состоящая из тех элементов, которые при_сопряже-
нии оставляют инвариантными все компоненты группы X,.так что
из предыдущей георемы J (5)< Т = Sn Y. Поскольку J (S)charT
и Т $Syl2(Y)t то рассуждение Фраттини, как и обычно,
показывает, что X = NX(J (S)) Y. Следовательно, N = <J (Sfy = <У (S)K>;
поэтому достаточно доказать теорему для У. Очевидно, что С^Y,
4.13. Выталкивание, блоки Ашбахера и локальная С(G; Т)-теорема 279
поэтому C~CY(V). Следовательно, наши условия и обозначения
переносятся на Y, значит, без ограничения общности мы можем
предполагать, что У = Х. Таким образом, каждая компонента
группы X нормальна в X. __ _
Пусть К — произведение тех компонент /С/ группы X, которые
не централизует J (S). Перенумеруем их для определенности
числами i от 1 до г, причем_полагаем /С=1^_если таких К( не
существует. Докажем, что N = К. Положим W ^Cj(K). Так как К<]Х,
то W <]ХУ и мы видим\ что L(W) — произведение некоторых
компонент слоя L(X) и F*(X)j==KF*(W). Из определения К следует,
что J (S) централизует L (W). Кроме того, J (S) должна
централизовать F(W), поскольку__иначе из теоремы 4.181 следовало бы,
что W и, следовательно, X допускает _23-компоненту /С0, которую
не централизует J (S). Однако тогда К0^К, вопреки тому факту,
что W централизует К- Таким образом, J (S) централизует F* (W).
Поскольку J (S) действует точно на F* (X), согласно предложению
1.27, и индуцирует внутренние автоморфизмы на К, то мы
заключаем, что J(S)^.K. Так как /(5) не централизует ни одной
компоненты из /С, то в действительности K=<J (S)K>, откуда K^N.
С другой стороны, если К обозначает прообраз группы К в X,
то J(S)^K<]X (поскольку_/?<|Х), поэтому N = <,/(S)*><
^ </(*> = /(. Следовательно, /C = W, как и утверждалось.
Наконец, так как N = К—центральное произведение своих
компонент Ni = Ki, l^i^r, то действие N на V может быть
проанализировано достаточно легко. В самом деле, используя
определение J (S) (вместе с тем фактом, что J (S) не централизует ни
одной Л?,-), можно показать, что [7 —[V, N] по существу является
прямой суммой N-модулей—точное утверждение содержится в п.
(ii) (2), где Vi$ 9t n 0 определяются так же, как и в (и^причем
каждая пара (V;, N() является F-парой. Учитывая, что N{ в
рассматриваемом случае является /С-группой, мы получаем из
описанных выше результатоз Куперстейна — Мэйсона и Ашбахера,
что Ni9 l^O'^r, имеет вид, указанный в (i), поэтому все части
теоремы справедливы.
4.13. Выталкивание, блоки Ашбахера и локальная
C[G; 7>теорема
Теперь мы переходим к одной из самых замечательных (и
трудных) глав всей теории локального анализа. Она представляет собой
кульминацию всех вопросов о факторизации и порождении /?-ckq-
280
Гл. 4. Общие методы локального анализа
ванных групп, а также образует фундамент многих работ по
классификации простых групп типа характеристики 2. Главными
архитекторами этой теории являются Ашбахер, Бернд Бауманн (ученик
Фишера) и Глауберман, хотя и другие специалисты внесли
существенный вклад, особенно Невиль Кэмпбелл (ученик Ашбахера),
Ричард Найлз (ученик Глаубермана) и Симе.
Первая встреча с выталкиванием произошла в исследовании Сим-
са примитивных групп перестановок, в которых стабилизатор точки
имеет орбиту длины три. Впоследствии Глауберман попытался
вложить результат Симса в общий контекст. Бауманн вышел на
проблему о выталкивании с другого направления — в ходе
классификации простых групп G, допускающих 2-центральную инволюцию х,
для которой СG (х) имеет нормальную силовскую 2-подгруппу. С
другой стороны, Ашбахер заинтересовался этой проблемой в процессе
анализа тонких простых групп.
Вопрос здесь никак нельзя считать исчерпанным, поскольку
Голдшмидт, а затем Эндрю Чермак, Найлз и Бернд Штельмахер
активно занялись обобщением работы Симса с целью построения
геометрической теории порождения группы в терминах 2-локальных
подгрупп, содержащих общую силовскую 2-подгруппу,— теорию,
которую можно рассматривать как несколько более примитивную
форму порождения (В, Л0-пары ее параболическими подгруппами.
Отсюда должно быть совершенно ясно фундаментальное значение
выталкивания для исследования простых групп. Однако подробнее
об этом будет сказано ниже, а сейчас самое время описать
различные стороны этой проблемы. Мы ограничимся здесь лишь простым
числом 2, хотя все вопросы могут быть сформулированы для р-ско-
ванных групп с произвольным р.
Рассмотрим группу G типа характеристики 2, так что любая 2-
локальная подгруппа в G является 2-скованной \ не имеет ядра.
Общий вопрос о выталкивании может быть выражен следующим
образом.
Пусть Я—некоторая 2-локальная подгруппа в G, не
содержащая ни одну силовскую 2-подгруппу группы G.
При каких условиях Н содержится в 2-локальной под- (4.38)
группе Я* из G, такой, что силовская 2-подгруппа в Я*
имеет больший порядок, чем силовская 2-подгруппа из Я?
Пусть Т £ Syl2 (Я), и расширим Т до S £ Syl2 (G), так что Т < 5
по предположению. Таким образом, мы по существу задаем
следующий вопрос:
Существует ли нетривиальная подгруппа R в Т,
такая, что /А QQ4
(a) #<Я; t4"39)
(b) N<;(R)>T1
4.13. Выталкивание, блоки Ашбахера и локальная С(0;Т)-теорема 281
Действительно, мы тогда можем взять H*=NG(R). Заметим, что
Ws(T)>T по теореме 1.10, так что если i?char7\ то NS(R)^
^NS(T)> Т. Следовательно, для характеристических подгрупп
(4.39) сводится к следующему вопросу:
Существует ли нетривиальная характеристическая . дп
подгруппа R в Г, которая нормальна в Я? (4.4U)
Вопрос о выталкивании часто формулируется в отрицательной
форме: какие ограничения налагаются на строение Я, если Т не
содержит подгруппу /?, удовлетворяющую (4.39) или (4.40)?
Вот еще один вариант (4.38).
Если Я и К—две 2-локальные подгруппы в G,
содержащие общую силовскую 2-подгруппу 71, то при каких
условиях Я и К лежат в одной 2-локальной подгруппе (4.41)
из G? В частности, когда существует нетривиальная
подгруппа R в Т9 нормальная как в Я, так и в К}
Вопросы о выталкивании встречаются-..также в контексте
доказательства результатов единственности. Например, пусть S £ Syl2 (G),
и предположим, что мы каким-то образом показали, что S
содержится в единственной максимальной 2-локальной подгруппе М
из G. Можем ли мы тогда утверждать, что NG(R)^M для всех
1 ФR <S? Эквивалентно, справедливо ли следующее включение:
rSii(G)<AI? (4.42)
Предполагая неверным включение (4.42) и рассуждая так же,
как в теореме 4.111, мы быстро находим 2-локальную подгруппу X
в G со следующими свойствами:
(a) Х<£УИ;
(b) T = SnX£Syl2(Xyf
(c) если Я — произвольная 2-локальная подгруппа ^ '
в G с \S(]H\>\T\, то Я<уИ.
Для получения утвердительного ответа на вопрос о
справедливости включения (4.42) мы должны, конечно, прийти к противоре
чию из факта существования такой 2-локальной подгруппы X,
удовлетворяющей (4.43).
К счастью, сформулированные условия несколько
ограничивают строение X. В самом деле, из свойства единственности М
вытекает, что T=£S, поскольку иначе Х^М. Следовательно,
Т < S. Кроме того, (4.43) (с) показывает, что если R-—
нетривиальная нормальная подгруппа в Т, для которой NS(R)>T, то
NQ(R)^M. Поскольку Х^М, то
<Nx(R)\l¥=R<TJ NS(R)>T><X. (4.44)
282 Гл. 4. Общие методы локального анализа
В частности,
<NX (R)\l=^R char T> < X. (4.45)
Так как Ql(Z(T)) и J (T) характеристичны в Г, то из этих
условий вытекает, что, в частности, <СХ (Qx (Z(T))), Nx (J (Г))> < X,
поэтому для X отсутствует (Z, ^-порождение. Таким образом,
к группе X применим результат Ашбахера (теорема 4.183),
дающий исходное описание нормального замыкания N = \J (Т)х>.
Кроме того, поскольку J (Т) ^ Т Г) Af, то из свойств /-подгруппы
непосредственно видно, что J (T) = J (Т [) N), поэтому J (T)
charTnAf. Но T()N€Syl2(N) и N<\X, так что X = NNX(J(T))
согласно рассуждению Фраттини. Поскольку NG (J (T)) <Мв силу
(4.43) (с), то мы заключаем, что
X = N(X()M). (4.46)
Итак, мы видим, что именно N является препятствием для
справедливости утверждения Х^М. Однако картина строения N,
указанная в теореме 4.183, была получена лишь из двух
характеристических подгрупп Q1(Z(T)) и У (Г), .тогда как в действительности
(4.45) утверждает, что NX(R)^.M для любой нетривиальной
характеристической подгруппы R в Т. Насколько более сильные
ограничения налагает это условие на строение X? Для формализации
вопроса дадим следующее определение, принадлежащее Ашбахеру.
Определение 4.184. Для любой группы X и любой силовской
2-подгруппы Т в X положим
С(Х; T) = <Nx(R)\l^RcharT>.
Назовем группу С(Х\ Т) характеристически порожденным ядром
группы X; понятно, что оно определяется подгруппой Т с
точностью до сопряженности.
В контексте утверждений (4.44) и (4.45) справедливо включение
С(Х\ Т)^.М, и нас интересует описание того, что мешает
выполнению равенства С(Х\ Т)=Х, т. е. описание наименьшей нормальной
подгруппы Y в X, такой, что
Х = УС(Х; Г). (4.47)
Именно в этом состоит точный смысл локальной C(G\ ^-теоремы
Ашбахера (теорема 4.199), утверждающей, что Y разлагается в
произведение блоков очень специального вида, которые Ашбахер назвал
Х-блоками (определение 4.189; общее определение блока было дано
в § 4.5, определение 4-83).
Практически тот же самый вопрос может возникнуть при
попытке доказать, что силовская 2-подгруппа 5 группы G содержится в
единственной максимальной 2-локальной подгруппе.
Действительно, предположим, что нам удалось показать, что M=C(G; S) —
4.13. Выталкивание, блоки Лшбахера и локальная С(G; Г)-теорема 283
собственная подгруппа в G. Понятно, что следующий шаг должен
состоять в доказательстве того, что каждая максимальная 2-локаль-
ная подгруппа в G, содержащая S, лежит в М. Если это не так, то
найдется максимальная 2-локальная подгруппа X в G с S^X и
Х<£.М. Таким образом, C(X;S)<X, и поэтому на этот раз нас
интересует строение Y в (4.47) для случая T—S. Ответ здесь вновь дает
локальная C(G; Г)-теорема.
Локальная C(G; Т)-теорема имеет фундаментальное значение
для исследования простых групп типа характеристики 2.
Действительно, она представляет собой главный инструмент в доказательстве
«глобальной» C(G\ Т)-теоремы, дающей полную классификацию
всех простых групп G типа характеристики 2 с собственным
характеристически порожденным ядром. Из предыдущего обсуждения
видно, что глобальная C(G\ Г)-теорема сводится к описанию таких
простых групп G, в которых некоторая максимальная 2-локальная
подгруппа содержит %-блок. Таким образом, в действительности
она получается как следствие второго важного результата
рассматриваемой области — так называемой теоремы о блоке, полностью
классифицирующей простые группы типа характеристики 2, в
которых некоторая максимальная 2-локальная подгруппа имеет х-блок.
Полное обсуждение глобальной C(G\ Т)-теоремы и теоремы о
блоке, включая их использование в анализе простых групп типа
характеристики 2, будет дано впоследствии. Здесь мы остановимся
лишь на локальной C(G\ Г)-теореме.
Различные вопросы, которые были поставлены выше, имеют
настолько общий характер, что читатель, быть может, с трудом
поверит в то, что полный анализ большинства из них сводится к одному
вопросу чрезвычайно специального вида.
Пусть X —группа с Р*(Х) = 02(Х) и Х/02(Х)^
^L2(2") для некоторого п^\ Пусть Т £Syl2(X). /a ar\
Что можно сказать о строении X, если ни одна из \ • )
нетривиальных характеристических подгрупп. вТ не
нормальна в X?
Заметим, что в данном случае наше условие эквивалентно
строгому включению С(Х;Т)'<Х. Действительно, в группе
L2(2n) силовские 2-подгруппы являются TI-множествами. Следо-
вательно,_если положить Х = Х/02(Х), то непосредственно видно,
4to^N-x(T) — единственная максимальная 2-локальная подгруппа
в X, содержащая Т. Отсюда следует, что для 1 Ф R char T либо
#<Х, либо Nx(R) = Nx(T), откуда NX(R) = NX(T). Поэтому
если ни одна из таких групп R не. нормальна в X, мы заклк>
чаем, что С(Х; T) = <NX (R) | 1 ##char T> = NX (T)< X.
Таким образом, (4.48) является на самом деле очень частным
случаем локальной C(G; Т)-теоремы; поэтому ответ состоит в ут-
2,84
Гл. 4. Общие методы локального анализа
верждении, что при указанных предположениях 02(Х) обязательно
является блоком. Кроме того, как мы увидим позднее, решение этой
частной задачи достаточно прямо ведет к доказательству общей
локальной C(G\ Г)-теоремы.
Именно на этот вопрос (4.48) в случае n=l (L2(2)^23) ответил
Глауберман в ходе обобщения результатов Симса о группах
перестановок. Общий случай (4.48) впервые возник в анализе Бауманна
групп, в которых централизатор некоторой 2-центральной
инволюции имеет нормальную силовскую 2-подгруппу, а его решение в
указанной ситуации послужило ключом к теореме, классифицирующей
все такие группы.
Такова основа теории выталкивания. Остановимся теперь на
некоторых деталях. Начнем с работы Симса [254]. Итак, пусть G —
примитивная группа перестановок, в которой одноточечный
стабилизатор X имеет орбиту длины 3. (В частности, X — максимальная
подгруппа в G.) Нетрудно переформулировать условие Симса об
орбите в теоретико-групповых терминах. Действительно, он
доказывает следующий факт.
Предложение 4.185. Если G—примитивная группа
перестановок, в которой одноточечный стабилизатор X имеет орбиту
длины 3, то справедливы следующие утверждения:
(1) G = <X, Х^> для некоторого g$G]
(ii) |X:XflX*| = 3;
(ill) X/02(X)^23;
(iv) X n X^ не содержит нетривиальных нормальных в G
подгрупп.
Заметим, что п. (iii) дает нам равенство |Х| = 2Л-3 для
некоторого а, в силу чего Т = X Г) Х£ имеет порядок 2а согласно
(ii). Так как Х^^Х, то Т—силовская 2-подгруппа в каждой из
групп X и X*. Задача Симса — получить верхнюю границу для
значения а, поэтому без ограничения общности можно
предполагать, что а^2, откуда 02(Х) ^02(Хе)Ф 1. Из примитивности G
следует, что X и Xz—максимальные подгруппы в G, поэтому в
действительности каждая из этих групп является максимальной
2-локальной подгруппой в G. Таким образом, мы имеем здесь
пример ситуации, описанной в (4.41).
Утверждается, что в рассматриваемом случае Т не содержит
нетривиальных подгрупп, которые были бы нормальны в каждой
из групп X, Х&. В самом деле, если такая подгруппа R
существует, то <Х, X*>^NG(R), откуда G = NG(R), согласно (i).
Но тогда R^.02(G) и поэтому 02(и)ф1у что противоречит (iv).
Именно такую ситуацию Симсу пришлось анализировать. Его
основной результат состоит в следующем.
4.13. Выталкивание, блоки Ашбахера и локальная С(6; Т)-теорема 285
Теорема 4.186. Если G — примитивная группа перестановок
на некотором множестве,, причем ее одноточечный стабилизатор
X имеет орбиту длины 3, то порядок X делит 3-24.
В § 2.6 мы описали процедуру Симса, позволяющую
сопоставить ориентированный граф Г любой транзитивной группе
перестановок G на множестве Q и орбите А == А (а) для а £ Q
одноточечного стабилизатора Ga группы G на Q—{а). (Из
транзитивности G на Q следует, что если 6gQ, то b = az для некоторого
ggG, так что полагаем А (Ь) = (А {а)у. Кроме того, по
определению вершины Г совпадают с элементами из Q, а каждый элемент
bgQ соединен ребром в точности с элементами из А(/?).) В
частности, каждая вершина Ь графа Г смежна ровно с |А|
вершинами Г.
В частном случае, когда орбита А имеет длину 3,— ситуация
теоремы 4.186 — получающийся граф Г называется кубическим или
тривалентным, поскольку каждая вершина графа Г соединена
ровно с тремя другими его вершинами. Такие (конечные, связные)
кубические графы первым изучал У. Т. Татт [308]. В своей работе
[309] он рассмотрел те из них, которые допускают вершинно-тран-
зитивную группу автоморфизмов G, и показал, что порядок
стабилизатора в G вершины графа Г делит 3 -24. Таким образом, Симсу
удалось получить теорему 4.186 непосредственным применением
результата Татта.
Заметим, что, хотя Симе определил граф Г в терминах орбиты
А, этот граф с тем же успехом может быть определен смежными
классами подгрупп X и Х& из предложения 4.185. Именно на основе
последней точки зрения Голдшмидту удалось получить обобщение
теоремы 4.186 (см. теорему 4.203).
Используя результат Симса, Уонг полностью классифицировал
примитивные группы перестановок, в которых одноточечный
стабилизатор X имеет орбиту длины 3 [322]. Действительно, на основе
оценки Симса для |Х| он сначала прямым рассуждением
показывает, что
Х^23, 23xZ2, 24 или S4xZ2. (4.49)
В первом случае G содержит самоцентрализующуюся подгруппу
порядка 3, так что описание группы G следует из теоремы Томпсона
и Фейта [94]. Во втором и третьем случаях G имеет диэдральные или
квазидиэдральные силовские 2-подгруппы, поэтому G находится из
теорем, классифицирующих такие группы. В последнем случае Уонг
сначала выписывает все возможные строения силовской 2-подгруппы
в G (порядка 24 или 2§). В частности, G обладает нормальной
подгруппой индекса 2, и описание G вновь получается из предыдущих
классификационных теорем.
Окончательный результат выглядит следующим образом.
286 Гл. 4. Общие методы локального анализа
Теорема 4.187. Если G—примитивная группа перестановок,
в которой одноточечный стабилизатор имеет орбиту длины 3,
moG^Ab^bi PGL(2, 7), L2(ll), L2(q)> <7=±1 (mod 16), L3(3)
или Aut (L3 (3)).
Изучая доказательство Симса, Глауберман непосредственно
вышел на вариант вопроса (4.38) в случае 2-локальной подгруппы X
вида Х/02(Х)^23 (более общо, когда ХЮ2{Х)— произвольная
диэдральная группа; заметим, что 2 3 — диэдральная группа
порядка 6). Следующий результат является частным случаем его
первого продвижения в этом направлении [113].
Теорема 4.188. Пусть X—такая 2-локальная подгруппа в
группе G, что Z7* (X) = 02 (X) и Х/02(Х)—диэдральная группа.
Если X—максимальная 2-локальная подгруппа в G, то либо X
содержит силовскую 2-подгруппу всей группы G, либо Х^Ъ^или
24 xZ2. В частности, в последних двух случаях X является блоком.
Результат ГлауберМана (как и Симса) опирается не только на
вложение Т в X, но также и на вложение X в окружающую группу
G. Чтобы сделать анализ вполне локальным, необходимо изучить ч
строение X независимо от ее вложения в большую группу G. Наиболее
прямой путь достижения этой цели, на котором сохраняются все
существенные черты указанной ситуации', состоит в том, чтобы
вместо нормальных ограничиться характеристическими подгруппами
в Т. Таковы основные причины, привлекающие внимание к
характеристически порожденному ядру С(Х\ Т). К счастью, оказалось,
что ограничение характеристическими подгруппами достаточно для
большинства приложений к группам типа характеристики 2.
(Значительным исключением является геометрия амальгам Голдшмидта,
более непосредственно связанная с первоначальным условием
Симса.)
Первоначально Глауберман разобрал случай диэдральной
группы Х/02(Х). Впоследствии Бауманн исследовал более общий
случай Х/02 (X) £ё L2 (2n) как часть своей проблемы о 2-цент-
ральной инволюции [23]. Найлз получил независимо
доказательство того же самого результата [221]. Вскоре после этого
Глауберман и Найлз [118] уточнили теорему, показав, что вместо
множества всех характеристических подгрупп достаточно
рассматривать лишь специфическую пару таких подгрупп в силов-
ской 2-подгруппе группы X.
Удобно будет сформулировать результат в терминах %-блоков,
поэтому мы дадим сначала их определение.
Пусть X — некоторый блок. Положим U = [Qt (Z(02(X))), X] и
U=U/CU (X) По определению Х/02(Х) действует тривиально на
Oz{X)/U, а также нетривиально и неприводимо на U.
4.13. Выталкивание, блоки Ашбахера и локальная C(G; Г)-теорема 287
Определение 4.189. Группа X называется %-блоком, если
Х/02(Х)^ L2(2n)f n^\ или Ani n нечетно, п^5, причем
соответственно (/"—стандартный или естественный модуль для
Х/02(Х).
Таким образом, в первом случае U может быть
отождествлена с двумерным векторным пространством над GF (2п), а группа
Х/02(Х)—с SL(U). Во втором случае действие Х/02(Х)
определяется из естественного перестановочного представления Ап
(см. теорему 4.179). Заметим, что £2(4)^Л5 и стандартный
4-мерный GF (2)-модуль для L2(4) не изоморфен естественному
4-мерному модулю для А5. Следовательно, в случае Х,Ю2(Х)^
£eL2(4) имеются два различных типа х-блоков.
Теперь мы можем сформулировать теорему Бауманна — Найлза.
Теорема 4.190. Пусть X—группа с F*(Х) = 02(Х), Х/02(Х)^
^L2(2n) для некоторого п и Т £Syl2(X). Тогда либо некоторая
нетривиальная характеристическая подгруппа из Т нормальна
в X, либо 02(Х) является %-блоком (типа L2(2n)).
Ввиду важности для приложений мне кажется, что лучше
обсудить уточненную форму этой теоремы, принадлежащую Глауберма-
ну и Найлзу. В действительности для приложений требуется
некоторое обобщение сформулированного результата (см. теорему 4.199),
а именно условие X/02(X)^L2(2n) необходимо заменить на более
слабые предположения: (a) XIY^L2(2n) для некоторой нормальной
подгруппы Y в X, содержащей 02(Х), и (b) T содержится в
единственной максимальной подгруппе группы X. (Заметим, что поскольку
нормализатор силовской 2-подгруппы в L2(2n) — единственная
максимальная подгруппа, содержащая силовскую 2-подгруппу, то
в случае Y=02(X) из теоремы 4.190 условие (Ь) выполнено
автоматически.)
Остановимся вкратце на рассуждении Глаубермана — Найлза,
поскольку оно совершенно изумительным образом использует
условие о характеристичности (что по духу напоминает определение
Глаубермана группы f(T) — см. определение 4.172). Как уже
отмечалось, они доказывают более сильное утверждение — а именно,
что существуют две нетривиальные характеристические подгруппы
7\ и Т2 в 7\ зависящие только от строения Т, для которых
7\<Z(X) или Т2<\Х (4.50)
(в предположении, что X не является блоком). Кроме того, из их
определения следует, что
7\<Z(T) и Т2 char CT(Z(J (Г))). (4.51)
Как мы увидим, именно эта уточненная форма теоремы 4.190
позволяет быстро доказать локальную C(G; Т)-теорему. Кроме того,
288 Гл. 4. Общие методы локального анализа
поскольку Бауманн первым понял важность характеристической
подгруппы CT(Z(J (T))) в Т для исследования выталкивания, ее
стали называть подгруппой Бауманна в Т и обозначать через J (T).
Воспользуемся рассуждением от противного. Прежде всего
факторизация Томпсона непосредственно дает нам
Предложение 4.191. Справедливо одно из следующих
утверждений:
(1) Z(T) = Z(X);
(Н)У(Т)<Х;
_ (Hi) если V = Ql(Z{02{X)))i U = [V, X] и и = и/Си(Х), то
U — стандартный модуль для Х/02(Х).
Если справедлив п. (i), то 7\ О X (группы 7\ и Т2 будут
вскоре определены), что противоречит нашему предположению
о неверности теоремы 4.190. Кроме того, если справедлив п. (и),
то нетрудно показать (используя ..отрицание п. (i)), что в
действительности J (Т) = J (02 (X)), откуда J (T) <] X. Так как
Т2 char «7 (Г), то Т2<]Х — вновь противоречие. Тем самым мы
показали, что справедлива
Лемма 4.192. (i) Z(T)^=Z(X);
(ii) J(T)<£02(X).
Следовательно, должен быть выполнен п. (iii) из предложения
4.191. Поскольку 02(Х) не является блоком, то из определения
следует, что она должна действовать нетривиально на 02(X)/V. Отсюда
следует
Лемма 4.193. (i) T имеет класс не ниже 3 (в частности,
[Т, Ф(Г)]#1);
(ii) QJZ.^XO.W.
«Br
(Здесь Z2(T) обозначает «второй центр» группы 7\ т. е. прообраз
в Т группы Z(T/Z(T)).)
Теперь Глауберман и Найлз определяют 7\ следующим образом:
7\ = О, (Z (T)) n Г0, где Г„ = [7, Ф (Г)] Ф (Ф (Г)). (4.52)
Из леммы 4.193(i) следует, что Т0 и 7\ — нетривиальные
характеристические подгруппы в Г (и Ti^Z(T)). (Заметим, насколько
деликатен выбор группы 7\.)
Определение Т2 имеет еще более тонкий характер. Нам
необходим один ключевой предварительный результат, принадлежащий
Бауманну.
Предложение 4.194. Если 7==</(Г)х>, mo J (T)€Syl2(Y).
4.13. Выталкивание, блоки. Ашбахера и локальная С (О; Т)-теорема 289
Предыдущее утверждение можно рассматривать как редукцию
к случаю T = J (Т). Отметим, что поскольку J (Т)^.02(Х), то Y
накрывает Х/02(Х) (т. е. Y/02(Y) ^ Х/02(Х)). Отсюда в свою
очередь следует, что F*(Y) = 02(Y). Кроме того, то же самое
рассуждение, которым доказываются предложение 4.191 и леммы
4.192, 4.193, показывает, что заключения этих утверждений
справедливы для У и J (T) в роли X и Т, так что все свойства,
доказанные для X, на самом деле переносятся на У.
Теперь следует поистине экзотический поворот. Как
философски сформулировал его Глауберман, рассмотрим «платоническое
семейство ¥ воображаемых групп К*» со следующими
свойствами:
(a) ](T)£Syl2(Y*);
(b) F*(Y*)^02(Y*);
(c) Y*/02 (Y*) ^ L2 (2"*) для некоторого -«•;
(d) Z(J(T))^Z(Y*) и J(J(T))^02(Y*);
(e)Qi(ZAJ~(T)))<02(Y*). .
Как мы видели, группа Y сама является элементом <F, поэтому
¥ непусто.
Глауберман и Найлз теперь определяют Т2 следующим образом:
T2 = <Z(02(Y*))\Y*£¥>. (4.53)
По существу должно быть ясно, что Aut (/ (Т)) «переставляет»
элементы из ¥ между собой и, следовательно, также
переставляет подгруппы Z(02(Y*)) для Y*$¥; Поэтому Aut(/(T))
оставляет инвариантной порождаемую ими подгруппу Т2. Отсюда
следует
Предложение 4.195. Т2—нетривиальная характеристическая
подгруппа в J (T).
Грубо говоря, ¥ является семейством «потенциальных»
минимальных контрпримеров к теореме 4.190, а Т2 — группа,
порожденная нормальными замыканиями Z (J (T)) в каждой такой группе.
Несмотря на «идеалистический» характер определения группы Т2,
для нее удается тем не менее доказывать различные факты!
Следующий результат является ключевым.
Предложение 4.196. Z (02 (У)) Z (02 (У*)) < У* для любой группы
Y*$¥.
Отсюда в качестве непосредственного следствия мы получаем
Предложение 4.197. Т2 = Z (Оа (У)) Га <\ Y.
Ю JV* 625
290
Гл. 4. Общие методы локального анализа
Тем самым завершается доказательство теоремы 4.190. Введем
следующую терминологию.
Определение 4.198. Подгруппы 7\, Т2 в 2-группе Т будут
называться парой характеристических подгрупп Глаубермана—
Найлза в Т.
Комбинируя теорему 4.190 со своими результатами, о которых
шла речь в предыдущем параграфе (а именно, с теоремами 4.182 и
4.183), Ашбахеру удалось доказать следующую более точную
форму локальной C{G\ Г)-теоремы. (Отметим, что опубликованный Аш-
бахером вариант его теоремы (появившийся раньше теоремы
Глаубермана — Найлза) не требует, чтобы X была /("-группой.
Действительно, вид компонент группы Х/02(Х) выясняется в самом конце
с использованием теоремы Тиммесфельда о корневых инволюциях —
теорема 2.71. Однако рассуждение в нашем случае проще
первоначального и позволяет получить результат, достаточно сильный для
приложения к классификационной теореме.)
Теорема 4.199. Пусть X—некоторая К-группа с F*(X) =
= 02(Х), Т £Syl2(X), причем Т19 Т2—пара характеристических
подгрупп Глаубермана—Найлза в Т и Y = <CX(T1), NX(T2)>.
Если Y < X, то X содержит нетривиальную подгруппу L со
следующими свойствами:
(i) Х = 1У;
(ii) Ь = ЬгЬ2.. .Ld, где каждая L{ является %-блоком в X,
(Hi) [Lh Ly] = l для всех 1Ф\, 1^*, /<d.
Поскольку Y^£{X\ Г), то предыдущая теорема с тем же
успехом дает точное описание нормальной подгруппы, которой не
хватает для равенства Х=С(Х; Т). Таким образом, в качестве
следствия мы получаем локальную C(G; Г)-теорему, описанную в
(4.47).
Дадим набросок доказательства. Пусть, как и раньше, V=
««<Q1(Z(T))X>, C = CX(V) и Х = Х/С. Так как С централизует
Q1(Z(T))^.Vi то очевидно, что C^.Y. Положим также W=
-<СХ (Qt (Z (Г))), Nx (J (Г))>. Поскольку 7\ < Qx (Z (Т)) и
7\char/(T), то W^Y. Следовательно, мы можем предполагать,
что W < X. Таким образом, в X отсутствует факторизация
Томпсона, поэтому мы можем применить теорему 4.183 (вместе с
обычным рассуждением Фраттини) для получения равенств
X = NW = NY,
где N — NlN2...Nr, C^Ni и образы N£ групп Nt в X являются
классическими группами над GF (2mi), G2(2m') иди Ап., nt нечетно,
4.13. Выталкивание, блоки Лшбахера и локальная С (О; 7>теорема 291
1<л<!г. Кроме того, действие каждой группы N{ на V
определяется в соответствии с теоремой 4.183(ii). Кроме того, N <]Х
и [77/5 Л/у]=1 для 1ф\.
Предположим, что. некоторая N{ содержит %-блок Lb
накрывающий Lt. В частности, L{ субнормальна в Nh откуда следует,
что L{ = Nt (поэтому N; = Li (T f| N()). Из субнормальности Ni в X
вытекает субнормальность Lt в X, следовательно, L{ является
Х-блоком группы X. Кроме того, если также Nf содержит %-блок
Ly, то аналогично Lj = Nfy поэтому [L,, Lj] = [Nt, Л/у]=1. Но,
используя теперь лемму о трех подгруппах вместе со спецификой
действия L, на 02(Ь{), мы легко получаем, что [L0 L/] = l.
Для доказательства теоремы 4.199 достаточно будет показать
для всех t, что либо УУе<У, либо N{ содержит %-блок L{.
Действительно, пусть для определенности Ni^.Yi l^i^d, и N(^Y
для i > d\ положим L — LxL2...Ld. Так как X = NY и Ni^Lfi,
1 < f < d, причем С ^ У, то X = L7. Кроме того, так как
различные Li централизуют друг друга, то выполнены все требуемые
условия.
Предыдущее рассуждение позволяет нам анализировать
каждую группу N; независимо, l<j<d; цель — показать, используя
теорему 4.190, что Л^ содержит %-блок L{. Поскольку для всех i
используется одно и то же рассуждение, мы возьмем i=l. Пусть
S — подгруппа в Т, состоящая из тех элементов, которые при
сопряжении оставляют Nt инвариантной и индуцируют
внутренние автоморфизмы на Nt. По теореме 4.182 J(T)^.S. Также
очевидно, что Т Г) Nх < S. Следовательно, если мы положим
X1^NlS9 то
S€Sy/i(X1)l F*(XJ = 0%(XJOO%(X)) и XjCOM&Nt.
Кроме того, Хг ^ Y.
Конечно, применяя теорему 4.190 к группе Х19 мы должны
работать с парой характеристических подгрупп Глаубермана —
Найлза S19 S2 в 5, а не с группами 7\, Т2. Однако, чтобы при
этом не отрываться от доказательства теоремы 4.199, мы должны
сначала связать пару S19 S2 с группами 7\, Т2. Поскольку
J (Т) ^ S, то в любом случае J (S) = J (Т). Кроме того,
Qx (Z (7)) < Qj (Z (S)) < Qx (Z (02 (Х^)). Используя эти факты вместе
с известным действием каждой N( на V, можно доказать
Предложение 4.200. (i) J(S) = J(T), откуда S2 = T2;
(ii) St^Tx.
Таким образом, если мы положим Yl = <CXl(S1)i NXl(S2)>, то
из предложения 4.200 следует, что Yt ^ Y. Ввиду этого
достаточно будет доказать теорему 4.199 для групп Хх и S. В самом
ю*
292
Гл. 4. Общие методы локального анализа
деле, тогда Х1 = У71, где J = JtJ2.. JеУ причем каждая группа Jt
является %-блоком в хг и [«/,-, «/у]=1 для ЬФ]. Поскольку
Уг ^ Y и X1^.Y1 то J ^ У. Но прообраз Л группы 02 (Xi) в Хг
содержится в Y (так как A^CS), поэтому Ji^&A для
некоторого i. Так как XjA ^ Л^, то Jt накрывает Nlf чего, как мы
видели выше, достаточно для завершения доказательства теоремы
4.199. Следовательно, без ограничения общности мы можем
предполагать, что Хг = Ху поэтому X = N и N — Nt.
Рассмотрим сначала случай, когда N^Chev(2), причем N имеет
ушевский ранг не меньше 2. Покажем, что Х = У, откуда будет
следовать противоречие. Предложение 2.18 показывает, что в этом
случае N порождается своими минимальными параболическими
подгруппами Р, содержащими 7\ Следовательно, нам необходимо
лишь показать, что прообраз Р в X любой такой группы Р
содержится в Y. Так как N является либо классической группой,
либо группой типа G2, то легко проверяется, что сомножители
Леви группы Р являются одной линейной или унитарной
группой (лиевского ранга 1). Из предложения 2.17 и последующего
обсуждения следует, что Р — НК, где Я—подгруппа Картана
вР,02(Р)<^<Р и K/02(F)^SL2(2>*) = L2(2>») или SI/, (2-)
для некоторого т. Так как N определена над некоторым полем
GF (2"), то ]"#| нечетен. Поэтому если К обозначает прообраз К
в X, то Т^К и P = KNp(T) согласно рассуждению Фраттини.
Поскольку NP(T)^Y, то достаточно показать, что K^Y.
Воспользуемся обобщенной формой теоремы Глаубермана —
Найлза. Пусть D—прообраз 02(Р) в X и R = Df)T9 так что
R£Syl2(D) и D = CR. В частности, D<7 и K/D ^1</02(Р).
Положим DQ = ND(R) и K0 = NK(R). Тогда вновь, согласно
рассуждению Фраттини, K0/D0 g* K/D, так что нам необходимо лишь
показать, что KQ ^ Y. (Заметим, что так как R g Syl2 (D), то также
D0/R имеет нечетный порядок.) Пусть далее Кг — минимальная
подгруппа в /С0, содержащая Т и накрывающая K0/D0. Тогда нам
нужно лишь показать, что Kt^Y, Полагая D1 = D0f]Ki мы
получаем аналогично, что K1/D1 ^K/Dt R <] Dx и | DJR | нечетен.
Если теперь K1/D1o*SU3(2m)i то, как отмечалось после
теоремы 4.180, в группе Кг имеет место (Z, У)-факторизация, откуда
Кг ^ Y. Таким образом, мы можем предполагать, что K1/D1 oz
^L2(2m). Кроме того, из минимальности Кг и строения L2(2n)
следует, что D^N^iT)— единственная максимальная подгруппа
в -Ки содержащая Т. Следовательно, для группы Кх выполнены
все условия теоремы Глаубермана — Найлза. Поэтому либо одна
из групп 7\, Т2 нормальна в Кг (и тогда KX^Y), либо Кг
является %-блоком.
4.13. Выталкивание, блоки Ашбахера и локальная С (О; 7^-теорема 293
Утверждается, что последняя возможность не может иметь
места. Действительно, по теореме Бореля — Титса группа
^.действует нетривиально на 02(P)=R, поэтому Кг действует
нетривиально на R = R/02(X). С другой стороны, так как F*(X) =
= 02(Х), то Кг не централизует 02(Х). Следовательно, Кг имеет
по меньшей мере два нетривиальных композиционных фактора
внутри R. Но тогда непосредственно из определения следует,
что Кх не может быть блоком.
Следовательно, если_М £Chev (2), то TV обязательно имеет
лиевский ранг 1, откуда N/Z (N) ^ L2 (2Л), Sz (2я) или Uz (2n). Однако
так как Y < X, то в X отсутствует (Z, У)-факторизация, поэтому
остается лишь одна возможность No*L2(2m). Теперь мы
повторяем все предыдущее рассуждение с самой группой N в роли Р.
Вновь теорема Глаубермана — Найлза показывает, что
(соответствующая) подгруппа Кг в X либо содержится в Y
(противоречие), либо является %-блоком. Однако на этот раз последняя
альтернатива не ведет к противоречию. Отсюда мы получаем
лишь, что сама группа X содержит %-блок, накрывающий N,
поэтому в рассмотренном случае наша теорема справедлива.
В знакопеременном случае рассуждение следует по существу
той же схеме с использованием подходящего порождения этих
групп.
Ашбахер доказал также другой важный вариант локальной
C(G; Т)-теоремы, в котором не требуется, чтобы Т была силов-
ской 2-подгруппой в X. Для мотивировки результата вернемся
к группам М и X, о которых шла речь в начале параграфа.
При исследовании взаимосвязи между этими двумя подгруппами
группы G, безусловно, важную роль играет группа Y = Xf]M.
При некоторых условиях можно показать, что NG(R)^X для
всех 1 =7^=/? char О2 (У). Отсюда вытекает, что NM(R)^XnM = Y
для любой такой подгруппы R. Следующая теорема Ашбахера
[20] со всей ясностью указывает на то, что последнее условие
налагает сильные ограничения на группу М. Здесь мы заменим
М на X и положим T = 02(Y) для единообразия с обозначениями
предыдущих теорем. Кроме того, для формулировки результата
мы расширим определение С(Х; Г), чтобы* охватить
произвольные 2-подгруппы в X. Таким образом, для любой 2-подгруппы Т
группы X положим
С (X; Т) = <NX (R) \1фЯ char Ту.
Приведем теперь формулировку ослабленной локальной
C{G\ Т)-теоремы Ашбахера.
Теорема 4.201. Пусть X—произвольная К-группа с F*(X) =
=02(Х), S^Syl2(X) и Т—некоторая 2-подгруппа в 5, для ко-
294
Гл. 4. Общие методы локального анализа
торой Y = NX(T) обладает следующими свойствами:
(a) Т = 02(7);
(b) Y = C(X\ T).
Тогда либо Y = X (и T = 02(X))f либо справедливо одно из еле-
дующих утверждений:
(i) X содержит Т-инвариантный %-блок L с LT/02 (LT) &
^L2(2n) для некоторого п^\\
(И) если мы положим Х = Х/02(Х), то L(X) содержит Т-
инвариантную компоненту L, для которой справедливо одно из
следующих утверждений:
_ (1) L£Chev(2), T индуцирует внутренние автоморфизмы
на L, и если L = LT/Czf(L), то Nz(T)—собственная
параболическая подгруппа в L с Т = 02(//г(^)); _
(2) L ^ А п или Qn (2), Т П L = 1 и TjCj (L) имеет
порядок 2 и индуцирует соответственно транспозицию или транс-
векцию на L.
Ашбахер показывает сначала, что Т оставляет инвариантными
все 2'-компоненты группы X (включая разрешимые). Если все такие
2'-компоненты содержатся в F, то непосредственно видно, что
Т = 02(Х) и F = X, поэтому он может предполагать сущеавова-
ние 2'-компоненты L с L^F, Если Т {\L£Syl2(L), то Ашбахер
применяет локальную C(G\ Т)-теорему к группе LT и заключает,
что L является %-блоком. Из предположений рассматриваемого
случая следует, что L имеет тип L2(2n). Прямое рассуждение
показывает, что если Т{\L^Syl2(L), то справедлив п. (и).
Заключение предыдущей теоремы привлекает интерес к вопросам
о выталкивании несколько иного рода. Действительно,
предположим, например, что L удовлетворяет п. (ii) (1) и пусть Х0—прообраз
LT в X. Тогда из наших условий непосредственно следует, что
(a) F*(X0) = O2(X0);
(b) X*0=X0/O2(X0)eChev(2)-
(c) 02 (Х0) ^ Т и Т* = 02 (Р*) для некоторой нетривиальной
параболической подгруппы Р* в X*Q\
(d) ни одна из нетривиальных характеристических подгрупп
группы Т не нормальна в Х0.
Эти условия являются вариацией тех, которые изучались Глау-
берманом—Найлзом (однако здесь Т не обязана быть силовской
2-подгруппой заданной группы Х0). Глауберману и Найлзу удалось
показать, что их соответствующая группа X обязательно является
блоком (теорема 4.190). Поэтому естественно поинтересоваться,
не будет ли также блоком группа Х0 и в новых условиях. Кэмп-
4.13. Выталкивание, блоки Лшбахера и локальная С (О; Т) -теорема 295
белл получил утвердительный ответ в случае, когда Х*0 о* SL3 (2n)
и Я*— вполне конкретная параболическая подгруппа [56].
Теорема 4.202. Пусть Х—группа с F*(X) = 02(X) и Х =
= Х/02(Х) ^SL3 (2й), п> 1. Пусть Р—подгруппа в X,
содержащая^ 2 (X), такая, что Р—максимальная параболическая подгруппа
в X. Пусть Т = 02(Р) и S—силовская 2-подгруппа в Р (и,
следовательно, в X), содержащая Т. Предположим, что Сх (Z(S)) <P.
Тогда либо некоторая нетривиальная характеристическая под-
группа из Т нормальна в X, либо X является блоком..
Заметим, что X содержит ровно две нетривиальные собственные
(следовательно, максимальные) параболические подгруппы ?lf 1Р2',
содержащие S. Если первое заключение теоремы места не имеет,
то прообраз в X ровно одной из этих параболических подгрупп
будет удовлетворять наложенному на Р условию. (Последнее легко
следует из отсутствия (Z, У)-факторизации в X относительно Т.)
Мы завершим настоящий параграф некоторыми замечаниями
о фундаментальном обобщении Голдшмидта теоремы Симса — Татта
(теорема 4.186). Голдшмидт рассмотрел следующую ситуацию:
(a) G— конечная группа, порожденная парой
подгрупп Хг, Х2;
(b) \Хг.ХгГ\Х%\ = 3, /=1, 2; (4.54)
(c) Ах Г) Х2 не содержит нетривиальных подгрупп,
которые нормальны в G.
Таким образом, условия Симса (предложение 4.185)
представляют собой частный случай (4.54), в котором Х2 сопряжена с Х%
в группе G. Изучение групп такого вида мотивируется тем фактом,
что (В, Л^-пары, возникающие из групп Шевалле G ранга 2 над
GF (2), дают примеры ситуаций (4.54). В этих случаях
соответствующий кубический граф группы G в точности совпадает с билдингом
Титса, ассоциированным с группой G как (В, М)-парой.
Если G — произвольная группа, удовлетворяющая (4.54), то
с группой G можно ассоциировать двудольный граф Г, вершинами
которого являются правые смежные классы в G как по подгруппе
Xi, так и по Х2, причем две вершины Xxgu X2g2 для gu g2 <Е О
соединены ребром тогда и только тогда, когда
(Смежные классы вида Xtgx и X(g2 ребром не соединяются,
'=1, 2.)
Понятно, что группа G сохраняет инцидентность и поэтому
действует транзитивно на ребрах графа Г. Здесь мы видим точную
разницу между ситуациями Симса — Татта и Голдшмидта: в первом
296 Гл. 4. Общие методы локального анализа
случае G действует как вершинно-, так и реберно-транзитивно,
тогда как во втором случае требуется лишь реберная транзитивность.
Для краткости мы назовем группу G, удовлетворяющую (4.54),
слабой (В9 Л^)-парой ранга 2 над G/7(2), а Хи Х2 —
ассоциированными (минимальными) параболическими подгруппами в G.
Голдшмидт полностью описал все возможные строения
ассоциированных параболических подгрупп в таких слабых (В, Af)-napax.
Весьма элегантный анализ почти элементарен и включает в себя
взаимодействие основной геометрии с действием группы на Г.
Мы сформулируем результат Голдшмидта в следующем виде.
Теорема 4.203. Пусть G—слабая (£, N)-napa ранга 2 над
GF(2) с ассоциированными параболическими подгруппами Хи Х2.
Тогда для пары (Xlf X2) имеется ровно 15 возможностей. В
каждом из этих случаев порядок Х{ делит 3-27 для любого 1 = 1, 2.
Голдшмидт выписывает точное строение групп Х1кХ2 в каждом
из 15 случаев, а также дает примеры групп G, в которых эти
возможности реализуются.
Понятие слабой (В, #)-пары допускает естественное обобщение
на группы произвольного ранга, определенные над любыми
конечными полями. Чермак изучил некоторые трудные случаи ранга
3 над GF(2), возникающие из вопросов о выталкивании в группах
типа характеристики 2. Найлз дал замечательную характеризацию
групп из Chev(p) как слабых (В, N)-nap ранга п в терминах условий
на строение групп (Xi9 Xf), порожденных каждой парой из
ассоциированного множества минимальных параболических подгрупп
Хь Х2, ...,Хп. Штельмахер обобщил результат Голдшмидта на
слабые (£, Л?)-пары ранга 2 над GF(2m) [274].
Безусловно, указанное направление представляет собой богатое
поле для дальнейших исследований. Однако пока трудно
предсказать его будущее влияние на существующий анализ простых групп
типа характеристики 2.
4.14. Свойства /f-групп: общие факты
Как неоднократно отмечалось,, для успешного проведения
локального анализа необходимы специфические свойства /(-групп,
вплетенных в изучаемую простую группу. Огромное число таких
свойств появляется лишь в качестве общеизвестных
«предварительных лемм» внутри многих длинных классификационных статей,
тогда как другие доказываются независимо. Для активно
работающих специалистов достаточно ясно, что эта важная глава теории
простых групп находится в настоящее время в совершенно
неудовлетворительном состоянии. В идеале хотелось бы иметь «общую
теорию» /С-групп (и, следовательно, ввиду классификационной
теоремы — всех конечных групп), аналогичную красивой теории раз-
4.14. Свойства ЛГ-групп: общие факты 297
решимых групп, начало развитию которой было положено
оригинальными работами Ф. Холла 1920—1930-х годов [156]—[159].
Такая теория давала бы основу для анализа минимального
контрпримера к классификации простых групп тем же самым образом,
как теория разрешимых групп—для групп нечетного порядка и
N-групп. Однако построение такой систематической теории /С-групп
остается делом будущего.
Стандартный путь получения какого-либо общего свойства
/С-групп X состоит в редукции задачи к вопросу о подходящих
простых (или квазипростых) сечениях в X (как, например, в
исследовании глобальной сбалансированности или при отсутствии
факторизации в 2-скованных группах). Тем самым наше внимание
концентрируется на специфических вопросах об известных простых
группах. По-видимому, все основные свойства простых /С-групп,
необходимые для локального анализа, можно разделить на
следующие категории:
A. Мультипликаторы Шура.
B. Автоморфизмы.
C. Централизаторы элементов простого порядка.
D. Сбалансированность.
E. Порождаемость.
F. Строение подгрупп.
G. Слияние.
Н. Сигнализаторы.
I. Модулярные представления.
J. Небольшие группы.
Простое перечисление основных результатов, относящихся к
указанным выше разделам, невероятно увеличило бы объем
настоящего параграфа. Однако, учитывая, что наличие полного списка всех
квазипростых /С-групп является абсолютно необходимым
предварительным условием для проведения общего локального анализа,
мы сделаем исключение для мультипликаторов Шура и детально
обсудим этот вопрос в следующем параграфе.
Большинство свойств простых /С-групп требует независимого
изучения групп типа Ли, знакопеременных групп и спорадических
групп. В действительности со спорадическими группами обычно
приходится работать с каждой в отдельности, причем вычисления
зависят от конкретного определения группы. Для
знакопеременных групп большинство свойств может быть проверено прямым
вычислением с использованием естественного перестановочного
представления. С другой стороны, для групп типа Ли часто приходится
рассматривать три подслучая:
(1) классические группы;
(2) исключительные группы;
(3) группы Судзуки — Ри Sz( = 2B2), 2G2, 2F4.
298 Гл. 4. Общие методы локального анализа
В случае классических групп анализ существенно опирается
на свойства лежащей в их основе геометрии (первое систематическое
исследование здесь провел Дьёдонне [81], [82]). Для
исключительных групп рассуждения обычно берут начало в теории линейных
алгебраических групп, поскольку исключительные группы
являются множествами рациональных точек подходящих эндоморфизмов
соответствующих алгебраических групп. Иногда последняя точка
зрения может быть использована также и для классических групп.
С другой стороны, некоторые свойства групп типа Ли (например,
описание их мультипликаторов Шура) опирается на задание этих
групп в терминах образующих и соотношений Шевалле — Стейнбер-
га. Наконец, группы Судзуки — Ри часто требуют специальных
рассуждений на основе их определения как (£, Af)-nap.
Кроме подразделения на указанные случаи имеется еще одна
трудность: многие основные свойства простых /(-групп справедливы
в общем случае, однако их точная формулировка включает в себя
некоторое число исключений, разбор которых зачастую требует
значительных усилий. Таким образом, должно быть понятно,
почему полная проверка необходимых свойств простых /(-групп
является весьма непростым делом.
В настоящем параграфе мы приведем некоторые общие
комментарии о группах типа Ли — геометрия классических групп,
взаимосвязь между группами типа Ли и линейными алгебраическими
группами, а также их модулярные представления. Мы надеемся, что
эти замечания дадут читателю некоторое представление о том, с чем
имеет дело анализ групп типа Ли.
А. Геометрия классических групп
Пусть V обозначает я-мерное векторное пространство над GF (q).
Общая линейная группа GL(n, q) и все связанные с ней группы
SL(n, q), PGL(n, q) и PSL(n, q) могут изучаться на основе
естественного действия GL(n, q) на V. Например, в § 1.5 мы описали
централизаторы некоторых инволюций в SL (/г, q), используя их
матричные представления.
Пусть /—билинейная форма на V со значениями в GF(q)
(т. е. / (аи -f- bv, w) = af (и< w) + bf (v, w) для и, v, w £ V и a, b g GF (q),
причем аналогичное равенство справедливо и по второму
аргументу). Если f(v, v) = 0 для всех v£V, то / называется кососим-
метрической, а если f(u, v) = f(v, и) для всех и, v£V> то /
называется симметрической. Форма / называется невырожденной, если
из равенства f(u, с/) = 0 для всех v £ V следует, что « = 0. Говорят,
что подпространство V в V невырожденно (относительно /), если
ограничение / на (У —невырожденная билинейная форма на U.
Заметим, что если q=2n, то —v=v для v£V и поэтому
кососимметричность влечет за собой симметричность. Таким образом, к оп-
4.14. Свойства #-групп: общие факты
299
ределению симплектических и ортогональных групп в этом случае
следует подходить с некоторой осторожностью. Мы не будем
заострять внимание на этом моменте и предположим в дальнейшем,
что q — нечетное число. Заметим, однако, что различные
формулируемые ниже результаты имеют аналоги для четного q.
Для любого базиса (v) = {vu v2, ..., vn\ пространства V матрица
(f(v{, Vj)) называется матрицей формы f относительно (v). С этой
матрицей ассоциирована квадратичная форма
QM=2/(^> Vj)XtXj.
if I
В свою очередь квадратичная форма Q определяет / (поскольку
q предполагается нечетным). Замена базиса пространства приводит
к эквивалентной матрице билинейной формы / и соответствующей
эквивалентной квадратичной форме Q (х).
Два вектора и, v£V называются ортогональными
(записывается как u.j_v)y если f(u, v)=0. Если U — произвольное
подпространство в У, то ортогональным дополнением UL к U называется
множество всех и' g V, таких, что /(и, и')=0 для любого u^U.
Говорят, что V — ортогональная сумма подпространств Vl9 V2, ...
..., Vn если V — прямая сумма взаимно ортогональных
подпространств Vt.
Двумерное подпространство U в V называется гиперболической
плоскостью, если оно имеет базис и> и\ для которого f(u, u)=f(u\
и')=0, f(u, u')=l и f(u\ и)фО. В частности, U невырожденно.
Заметим, что если / кососимметрична или симметрична, то
соответственно f(u\ и)=—1 или 1. Таким образом, матрица формы ■/,
ограниченной на £/, совпадает с
О Г
■1 О
или
П-
Гиперболическая плоскость содержит изотропные векторы, т. е.
ненулевые, векторы v с f(v, v)=0. Можно показать, что любая
невырожденная плоскость, содержащая изотропный вектор,
обязательно является гиперболической при условии симметричности или
кососимметричности формы.
Сформулируем теперь основные структурные теоремы.
Теорема 4.204. Если f—невырожденная кососимметрическая
форма, то п четно и V—ортогональная сумма гиперболических
плоскостей.
Следовательно, с точностью до эквивалентности существует
лишь одна невырожденная кососимметрическая билинейная форма,
причем относительно подходящего базиса матрица такой формы
300 Гл. 4. Общие методы локального анализа
имеет вид
ГА
где А
0 п
1 0J
L.0 Aj
В ортогональном случае ситуация несколько сложнее. Пусть
а — фиксированный элемент из GF(q), не являющийся квадратом
в мультипликативной группе поля GF(q).
Теорема 4.205. Если f—невырожденная симметрическая форма,
то V = £/© W, где U—ортогональная сумма гиперболических
плоскостей, dim(№)^2 и справедливо одно из следующих утверждений:
(О ^ = 0;
(ii) W порождается вектором w с f(w, w)=\\
(iii) W порождается вектором w с f(w, w) = a\
(iv) W порождается ортогональными векторами w, w'
с f(w, w) = l и f(w\ w') = — a.
В частности, n=dim(V) четно в случаях (i) и (iv), а в случаях
(ii) и (iii) число п нечетно. В случае (iv) плоскость W не содержит
изотропных векторов и поэтому не может быть гиперболической.
Следовательно, в п. (i) и (iv) соответствующие геометрии не имеют
ничего общего между собой. С другой стороны, различие между (ii)
и (iii) несущественно, поскольку при умножении на а квадратичная
форма из (ii) становится эквивалентной квадратичной форме из
(iii). Таким образом, в четных размерностях имеются две геометрии
(говорят, что (i) имеет тип +, a (iv) имеет тип —), тогда как
в нечетной размерности по существу имеется лишь одна геометрия
(для удобства в последнем случае говорят, что V и / имеют тип +).
Соответственно / эквивалентна билинейной форме с матрицей
ГА
0 1
L
В
J
где
A=[°i S] и B=w> пь м или [J _Ц].
Для краткости V называется невырожденным симплектическим
или ортогональным пространством в случае невырожденности й
соответственно кососимметричности или симметричности формы /.
4.14. Свойства А'-групп: общие факты
301
Нас интересует группа невырожденных линейных
преобразований такого невырожденного пространства У, сохраняющая
билинейную форму. Такие линейные преобразования называются изо-
метриями У, а группа изометрий называется соответственно либо
симплектической группой на У и обозначается через Sp(n> q), либо
ортогональной группой и обозначается через О8 (/г, q)y где е=+1
или —1 в зависимости от того, определяет / геометрию на У типа +
или типа —.
Более общо, если У и У — любые два невырожденные
пространства одинаковой размерности над GF(q) (с соответствующими
формами Д /'), то (невырожденное) линейное отображение Т
пространства У на У называется изометрией, если /'(Т(и), T{v))=f(u, v)
для всех и, v g У. В частности, это понятие применимо к двум
подпространствам из У одинаковой размерности, которые невырож-
денны относительно ограничения заданной билинейной формы на
У.
Понятно, что многие свойства (такие, как автоморфизмы,
сопряженные классы и централизаторы элементов) групп Sp (я, q) и О8 (п,
q) можно будет определить, исходя из действия этих групп на У и
матричных представлений относительно подходящим образом
выбранных базисов, аналогично тому, как это делается в линейном
случае. Решающую роль в рассуждениях линейного случая играет тот
факт, что любое невырожденное линейное преобразование между
подпространствами (/, V из У может быть продолжено до
невырожденного линейного преобразования всего пространства У. Аналог
этого результата, принадлежащий Витту, столь же фундаментален
для исследования симплектических и ортогональных групп.
Теорема 4.206. Пусть V—невырожденное симплектическое или
ортогональное пространство над GF (q). Тогда любая изометрия
между двумя подпространствами из V может быть продолжена
до изометрий V.
Унитарные группы имеют похожее описание относительно
невырожденной «эрмитовой» формы. В этом случае У определено над
GF (q2) и для a^GF (q2) мы пишем а вместо aq. Таким образом,
черта над символом обозначает образ при автоморфизме поля GF (q2)
периода 2 в полной аналогии с комплексным сопряжением в поле С.
Линейная по первому аргументу форма на У называется
эрмитовой, если
f(ut v) = f(v, и)
для всех и, v g У, (Таким образом, / является «сопряженно»
линейной по второму аргументу.) Невырожденность и ортогональность
определяются, как и раньше. В невырожденном эрмитовом случае
получается разложение для У, похожее на то, которое имеет место
в симплектическом и ортогональном случаях. Однако на этот раз
302
Гл. 4. Общие методы локального анализа
в каждой размерности независимо от ее четности существует ровно
одна геометрия. Имеется также аналог теоремы Витта. Поэтому
унитарные группы GU(n, q), PGU(n, q), SU(n, q), PSU(n, q) =
= Un (q) можно изучать теми же методами, что линейные, симплекти-
ческие и ортогональные группы. Детали см. в [7], [81], [82].
В. Линейные алгебраические группы и конечные группы типа Ли
Определяющие соотношения групп Шевалле над произвольными
алгебраически замкнутыми полями К делают их удивительно
похожими на комплексные группы Ли — для полной аналогии не
хватает лишь соответствующей топологии. Последняя задается
топологией Зарисского, в которой открытыми множествами служат
дополнения к «подмногообразиям». (Поскольку определяющие
соотношения для групп Шевалле полиномиальны, то эти группы
действительно являются алгебраическими многообразиями над К.)
Из подобных соображений было введено общее понятие линейной
алгебраической группы (по времени это произошло раньше, чем
Шевалле построил свои группы). Различные понятия из
комплексной теории Ли теперь могли быть перенесены на произвольные
линейные алгебраические группы: связность; односвязность;
компонента связности единицы; радикал — максимальная связная
разрешимая нормальная подгруппа; полупростота — тривиальность
радикала группы; тор — линейная алгебраическая группа,
алгебраически (непрерывно) изоморфная прямому произведению нескольких
экземпляров одномерных групп, каждая из которых изоморфна
мультипликативной группе поля К\ редуктивная группа — такая
группа, в которой радикал является центральным тором;
алгебраические гомоморфизмы и эндоморфизмы линейных алгебраических
групп и т. д.
В 1950-х годах Шевалле [67], используя красивую смесь теории
Ли и алгебраической геометрии, полностью классифицировал
простые (и полупростые) линейные алгебраические группы. Они
оказались не чем иным, как замаскированными его же первоначальными
группами Шевалле!
Теорема 4.207. Если G—простая линейная алгебраическая
группа над алгебраически замкнутым полем К, то G изоморфна
(присоединенной) простой группе Шевалле над К.
Тем самым весь аппарат корней, евклидова векторного
пространства корней Е над Q, корневых подгрупп, подгрупп Картана, групп
Вейля, разложения Брюа и т. д. перешел на линейные
алгебраические группы и лег в фундамент их теории.
Если К имеет простую характеристику /?, то оказалось, что
имеется фундаментальная связь между простыми линейными
алгебраическими группами над К и конечными группами Шевалле над
4.14. Свойства К-групт общие факты
303
GF(pm), исключительно важная для проверки некоторых свойств этих
конечных групп (и соответствующих скрученных групп
Стейнберга). Точный вид упомянутой связи слишком техничен, чтобы
приводить здесь детали. Поэтому мы опишем лишь общую схему.
Вещественная группа Ли может быть определена как множество
неподвижных точек эндоморфизма а соответствующей комплексной
группы, индуцированного комплексным сопряжением. Унитарная
группа совпадает с множеством неподвижных точек эндоморфизма ах
группы GL(n, С), где т—отображение транспонирования и
обращения матриц. Совершенно так же для выяснения требуемой
взаимосвязи важна подгруппа G0 неподвижных точек (алгебраического)
эндоморфизма а линейной алгебраической группы G. В частности,
если К имеет простую характеристику /?, то степени ф"
автоморфизма Фробениуса ср: а*~>а? для а£К индуцируют такие
эндоморфизмы группы G. Элементы Ga совпадают в этом случае с теми
точками группы G, «координаты» которых (в подходящем
алгебраическом представлении G) удовлетворяют условию хрП=х, так
что в действительности группы G^n являются в точности
соответствующими конечными группами Шевалле, определенными над
GF (рп). (Безусловно, вид группы G^n зависит от вида G, например
SL(m, K)<pn равна SL(m, pn)f тогда как PSL(m, K)<pn равна
PSL(my /?").) Аналогично, компонируя эти эндоморфизмы с
подходящими автоморфизмами графа корневой системы группы G, мы
получаем скрученные группы Стейнберга U (я, рт), О" (п, рт),
2£б (рт) и троичные группы 3D4 (pm). Группы Судзуки и Ри также
были описаны в терминах неподвижных точек алгебраического
эндоморфизма подходящей простой линейной алгебраической
группы. (Полное исследование можно найти в работах Стейнберга
[272], [273] и Т. А. Спрингера [38].)
Суммируя сказанное, мы получаем следующий результат.
Теорема 4.208. Любая конечная группа Шевалле, а также
любая скрученная группа Стейнберга или Судзуки—Ри является
группой неподвижных точек алгебраического эндоморфизма простой
линейной алгебраической группы над алгебраическим замыканием
поля GF(p).
Таким образом, в оставшейся части обсуждения мы
предполагаем, что К — алгебраическое замыкание GF(p) для некоторого
простого р.
Используя теорему 4.208, можно сводить вопросы о конечных
группах G0 типа Ли к вопросам о соответствующей линейной
алгебраической группе G. После решения задачи в G полученная
информация переносится обратно в Ga, что дает требуемое решение в
Ga. В основе этого процесса лежит фундаментальный результат
Сержа Ленга, который мы сформулируем в виде, предложенном
Стейнбергом.
304
Гл. 4. Общие методы локального анализа
Теорема 4.209. Пусть G—связная линейная алгебраическая
группа над К и о—алгебраический эндоморфизм G на G, для
которого GG—конечная группа. Тогда любой элемент из G может
быть представлен в виде хо(х)~г для некоторого x£G.
На основе теоремы Ленга можно точно описать, как
сопряженный класс X элементов из G распадается на сопряженные классы
в GQ (т. е. на сопряженные классы группы G0, содержащиеся
в Xf]Ga). Для формулировки этого результата нам необходимо
одно определение.
Определение 4.210. Если а—эндоморфизм линейной
алгебраической группы G, то положим х ~ у для х, y$G, если х = gyo(g)"1
для некоторого g£G. Тогда ~ является отношением
эквивалентности на G, и мы обозначим через Нг(а, G) множество классов
эквивалентности группы G относительно ~.
Заметим, что о оставляет инвариантной компоненту связности G°
единичного элемента группы G, причем G°—(алгебраическая)
нормальная подгруппа в G. Таким образом, о индуцирует
(алгебраический) эндоморфизм факторгруппы G/G° (также обозначаемый
через а), поэтому корректно определено множество Нг(о, G/G0).
Кроме того, если xgG, то CG(x) — алгебраическая подгруппа в G,
причем если а централизует х, то он оставляет инвариантным CG (х).
Следовательно, в этом случае также корректно определено
множество Я1 (a, CG (x)/CG (а:)0), где вновь CG (x)°—компонента связности
единичного элемента из CG (x).
Теорема 4.211. В условиях теоремы 4.209, если X—некоторый
о-инвариантный сопряженный класс элементов группы G, то
(i) о централизует некоторый элемент х^Х;
(и) сопряженные классы группы Gat на которые распадается
X Г) Gg, находятся во взаимно однозначном соответствии с
элементами множества Я1 (a, CG(x)/CG(x)°).
Следствие 4.212. Пусть G, а, X их имеют тот же смысл,
что и в теореме 4.211. Если CG(x) — связная группа, то никакого
распадения нет. Другими словами, два элемента из Х{\ Ga,
сопряженные в G, сопряжены также в G0.
Теорема 4.211 и ее следствие дают-эффективный метод
изучения сопряженных классов элементов группы Gg, а также строения
централизаторов в G0 полупростых элементов (т. е. элементов,
порядок которых не делится на характеристику р поля К).
Теорема Ленга полезна также в исследовании внешних
автоморфизмов группы Ga. В самом деле, она имеет такое следствие,
играющее ключевую роль;
4.14. Свойства ДГ-групп: общие факты
305
Теорема 4.213. Пусть G—связная линейная алгебраическая
группа над К и о—алгебраический эндоморфизм G на G, для
которого Ga—конечная группа. Пусть G*—полупрямое произведение
G<а> группы G на <<т>. Тогда для любого x£G элементы ха и а
группы G* сопряжены с помощью некоторого элемента из G.
Стейнберг полностью классифицировал алгебраические
эндоморфизмы а простых линейных алгебраических групп G, отображающие
G на G, с конечной подгруппой Ga [273, § 11], показав, что любой
такой эндоморфизм а с точностью до перестановки корней заданной
группы по существу индуцируется автоморфизмом поля (или
специальными автоморфизмами групп £2, G2 и F*, которые
существуют, когда соответственно р=2, 3 и 2).
Вычисление централизаторов элементов (и неподвижных точек
автоморфизмов) конечных групп типа Ли основано на другом
фундаментальном результате-Стейнберга о линейных алгебраических
группах G. Рассматривая G как матричную группу, мы называем
элемент х из G полупростым, если он диагонализуется. Внутренний
автоморфизм группы G, индуцированный таким элементом х, служит
примером «полупростого автоморфизма». Это понятие может быть
также обобщено и на внешние автоморфизмы (мы опустим точное
определение).
Результат Стейнберга формулируется следующим образом.
Теорема 4.214. Если G—односвязная линейная алгебраическая
группа и о—ее полу простой автоморфизм, то подгруппа его
неподвижных точек Ga является связной редуктивной линейной
алгебраической группой.
Таким образом, для вычисления централизатора а-неподвижного
полупростого элемента (или автоморфизма) х конечной группы Х=
=GaTHna Ли мы переходим к соответствующей алгебраической
группе G (или к ее односвязной накрывающей) и из общей теории
определяем полупростой автоморфизм t группы G, отвечающий х,
вычисляем Gti используя предыдущую теорему для описания ее строения,
и, наконец, пересекаем получившуюся группу с X. На практике
по ходу дела приходится использовать весьма деликатные
рассуждения, однако сказанное выше позволяет судить в общих чертах о
процедуре.
Известно, что подгруппа Картана линейной алгебраической
группы G содержит представитель каждого сопряженного класса
полупростых элементов. Этот факт в значительной степени облегчает
вычисление их централизаторов. С другой стороны, в общем случав
очень трудно посчитать централизаторы произвольных (например,
унипотентных) элементов,
306
Гл. 4. Общие методы локального анализа
С. Модулярные представления групп типа Ли
В предыдущих параграфах мы видели, как вопросы о локальном
строении простой группы сводятся к вопросам о
^(^-представлениях /С-групп. Обычно (и часто со значительными усилиями) эти
вопросы сводятся дальше к квазипростому случаю. Как правило,
последующий анализ распадается на две части в зависимости от
того, является или нет данная, квазипростая /(-группа X группой
типа Ли характеристики р. Рассуждения в последнем случае носят
специальный характер и опираются на конкретные свойства X.
Например, существование подходящей разрешимой подгруппы в X
может быть использовано для редукции проблемы к представлениям
разрешимых групп. С другой стороны, если X g Chev(p), то
рассуждения переходят в общую теорию /7-модулярных представлений таких
групп, построенную Стейнбергом и Кэртисом [271], [272], [76].
Прежде чем переходить к описанию некоторых ее общих
результатов, нам хотелось бы сначала подчеркнуть, что эта теория далека
от завершения. Действительно, для большинства групп не известны
даже степени, не говоря уже о самих неприводимых модулярных
представлениях. А на практике — скажем, в анализе отсутствия
факторизации — происходит следующее: общая теория позволяет
показать, что лишь некоторые очень специальные представления
играют решающую роль. К последним относятся, например, «ее- *
тественное» представление и его симметрический квадрат. Такие
представления изучены достаточно хорошо.
Заметим также, что и теория комплексных представлений групп
типа Ли находится в настоящее время в состоянии бурного развития
(хотя и здесь многие основополагающие вопросы пока открыты).
Фундаментом ее послужила ключевая работа Пьера Делиня и
Георга Люстига [205] — далеко идущее обобщение самых первых
результатов Дж. А. Грина [145], касающихся общих линейных
групп. Однако, по-видимому, эта теория не очень* существенна для
локально-аналитической теории групп.
Теория модулярных представлений групп типа Ли берет свое
начало в теории представлений простых алгебр Ли L. В § 2.1
указывалось на существование Z-решетки, ассоциированной с
присоединенным представлением L. То же самое справедливо для любого
конечномерного комплексного представления L. Весь процесс далее
переносится на произвольное поле /Сив конечном счете на
соответствующую группу Шевалле над /С. Если К алгебраически замкнуто,
то мы получаем таким образом ввиду классификационной теоремы
Шевалле картину теории представлений простых линейных
алгебраических групп над К и, более общо, редуктивных групп.
Для сохранения краткости обсуждения мы переходим
непосредственно к теории представлений групп. По той же причине
предполагается, что К — алгебраическое замыкание GF (р) для некоторого
4.14. Свойства #-групп: общие факты 307
простого числа /?, хотя некоторые из формулируемых утверждений
справедливы в более общей ситуации. Кроме того, мы ограничимся
лишь самими группами Шевалле, несмотря на то что Стейнберг
показал возможность переноса всей теории на скрученные группы.
Сначала мы опишем ситуацию в случае алгебраически
замкнутого поля К- Пусть G — полупростая линейная алгебраическая
группа над К- Борель и Тите [37] показали, что все неприводимые
представления G исчерпывающим образом определяются их так
называемыми «рациональньши» представлениями. Чтобы определить это
понятие, возьмем представление ср группы G на векторном
пространстве V над К (рассматриваются лишь конечномерные
представления), и пусть (v) — базис V, так что отображение gb~*(q>(g)(v)) задает
матричное представление группы G. Поскольку G — линейная
алгебраическая группадо элементы g из G являются матрицами (ga)
размера пХп с подходящим образом определенными,координатами
gth 1<*. 1<п-
Определение 4.215. Представление ф группы G называется
рациональным, если элементы матриц (q>(g)(v)) задаются
рациональными функциями переменных g{j.
Ввиду формулы для замены базиса рациональность
представления группы G не зависит от выбора базиса пространства V.
Пусть 2—система корней группы G, %а=<Ха(^)>—ее корневые
подгруппы, Я = <#а> = <Аа(*)> — подгруппа Картана, U = <%а la-
положительный корень> и B = HU — подгруппа Бореля. Как мы
знаем, G имеет описание в терминах ее разложения Брюа
относительно В и N = NG(H), где N/H = W—группа Вейля,
соответствующая G. Кроме того, 2 порождает евклидово векторное
пространство Е над Q с внутренним произведением < , >, таким, что
<a, P>€Z для всех a, fig 2.
Для теории представлений группы G фундаментальными
являются понятие веса и весового пространства.
Определение 4.216. Элемент % £ Е называется весом (системы 2),
если <?i, a>£Z для всех a £2.
Таким образом, сами элементы из 2 являются примерами весов.
Определение 4.217. Пусть ф—рациональное представление
группы G на векторном пространстве V над К. Для любого веса К
системы 2 пусть V\—подмножество векторов v £ V, такое, что для
каждого элемента ha(f)£H справедливо равенство
(Очевидно, что V^—подпространство и каждое ф(Ла(0) действует
диагонально на V%.) Тогда V% называется весовым пространством
представления ф (ассоциированным с Я).
308 Гл. 4. Общие методы локального анализа
Заметим, что из абелевости Я следует Я-инвариантность V\
для любого веса X. Основным здесь является тот факт, что
ограничение ф на Я приводит к разложению V в прямую сумму его
(Я-инвариантных) весовых пространств в полной аналогии с
разложением полупростой алгебры Ли на корневые пространства
относительно подалгебры Картана.
Предложение 4.218. Если ф—рациональное представление
группы G на векторном пространстве V над К, то V—прямая
сумма своих весовых пространств.
В частности, ф имеет лишь конечное число нетривиальных
весовых пространств.
Теперь мы можем сформулировать основной результат о
представлениях группы G.
Теорема 4.219. Пусть ф—неприводимое рациональное
представление группы G на векторном пространстве V над К. Тогда
существует однозначно определенный вес X со следующими
свойствами:
(!) dim^(F0 = l;
(ii) U действует тривиально на Vk\
(Hi) если \х—такой вес, что У^фО^-то \х = Х—р, где р —
подходящая сумма положительных корней системы 2;
(iv) <Я, а>—неотрицательное целое число для любого
положительного корня ag2.
Обратно, для любого Х$Е, удовлетворяющего (iv), существует
единственное (с точностью до эквивалентности) неприводимое
рациональное представление ф группы G, такое, что'для X
выполнены п. (i), (ii), (iii).
Определение 4.220. Вес X из теоремы 4.219 называется
старшим весом представления f.
Стейнберг доказал замечательный результат, позволяющий
описать все неприводимые рациональные представления группы G
как тензорные произведения некоторого ограниченного множества
из р1 таких представлений, где / — ранг группы G, который
совпадает с рангом группы Вейля W группы G. (Хотя тензорные
произведения представлений были определены в § 1.4 лишь для конечных
групп, но определение переносится на произвольные группы.)
Для формулировки теоремы опишем сначала эти основные
представления. Пусть «i, а2> . . . , аг — система простых корней в 2.
Заметим, что для заданного веса X значения (X, а), а £ 2,
определяются подмножеством (Х9 аД поскольку а,- порождают 2, l^i^l.
4.14. Свойства /С-групп: общие факты 309
Определение 4.221. Рациональное неприводимое
представление ф группы G называется основным, если его старший вес X
удовлетворяет условию
<К а.Х/7 —1
для всех t, I ^ i ^ /.
Ввиду теоремы 4.219 имеется ровно р1 таких^различных
основных представлений.
Далее, автоморфизм Фробениуса ty-^tP для t£K индуцирует
естественным образом автоморфизм G (как абстрактной группы),
обозначаемый через Fr, который преобразует элемент g = (g.j)
в gp = (gpj) для любого g£G. Если ф — произвольное
(рациональное) представление G, то композиция ф о Frfg*-*y{gpJ) также
является (рациональным) представлением группы G. Кроме того,
если ф неприводимо, то неприводимо также ф о FrJ для всех /.
Теорема 4.222. Если ф—рациональное неприводимое
представление группы G, то для подходящих однозначно определенных
положительных целых чисел jly j-2, ..., jm и основных
представлений фх, ф2, ..., <рт можно представление ф записать (с
точностью до эквивалентности) в виде
(<Pi о Frh) ® (ф2 о /V.) ® ... ® (Фш о F>/«).
Рассмотрим, наконец, конечные группы Шевалле. Пусть G* —
такая группа, определенная uaj\GF(pm), p — простое число, и пусть
G — соответствующая линейная алгебраическая группа над
алгебраически замкнутым полем К характеристики /?, так что, согласно
приведенному ранее утверждению, G * является подгруппой
неподвижных точек Ga подходящего эндоморфизма а группы G. В
частности, G*^G. Поэтому любое представление ф группы G на
векторном пространстве V над К дает при ограничении некоторое
представление группы G* над /С.
Полный анализ этого процесса ограничения приводит в
конечном счете к общей теории неприводимых представлений группы G*
над ее полем определения GF (рт), формулировки которой
совершенно аналогичны результатам для самой группы G. Мы ограничимся
здесь следующими тремя утверждениями.
1. Каждое неприводимое представление группы G* на векторном
пространстве над GF(pm) реализуется при помощи такого процесса
ограничения.
2. Имеется взаимно однозначное соответствие между такими
неэквивалентными неприводимыми представлениями группы G* и
старшими весами.
3. Справедлива формула тензорного произведения, включающая
в себя р1 основных представлений (т. е. неприводимых представлений
группы G*, возникающих при ограничении основных представлений
310
Гл. 4. Общие методы локального анализа
G) и т автоморфизмов группы G*, индуцированных группой Галуа
поля GF(pm) над простым подполем GF(p).
Напомним еще раз сделанное несколько ранее замечание —
пока отсутствует описание основных представлений для
большинства (конечных) групп типа Ли (как и для линейных алгебраических
групп простой характеристики).
4.15. Свойства /С-групп: специфические утверждения
Рассмотрим теперь последовательно десять различных типов
свойств квазипростых /С-групп, указанных в начале предыдущего
параграфа. Как отмечалось, лишь первый из них будет обсуждаться
детально.
А. Мультипликаторы Шура
Подробное изложение общей теории мультипликаторов Шура
приведено в книге Хупперта [181, § 5.23], Прежде всего мы
.остановимся вкратце на ключевых определениях и общих результатах.
Зафиксируем конечную группу X. Мультипликатор Шура группы X
задается в терминах вторых групп когомологии, поэтому мы должны
сначала определить это понятие.
Пусть Л—произвольная абелева группа. Обозначим через
С2(Х; Л) множество всех отображений ХхХ в Л, которое
превращается в абелеву группу относительно операции поточечного
сложения (т. е. если Д g$C2{X\ А), то (f + g)(x, #) = /(*, у) +
-\-g(Xy.y) для всех (ху у)£ХхХ). Пусть В2(Х\ А) — подгруппа
в С2(Х; Л), состоящая из тех /gC2(X; Л), которые имеют вид
/(*. y) = g(*)—g(xy) + g(y)
для некоторого отображения g из X в Л. Пусть Z2(X\ А) —
подгруппа в С2(Х; Л), состоящая из таких элементов /£С2(Х; Л), что
f(y9 z) + f(x, yz) = f(xy, z) + f(x, у)
для всех х, yf z$X. Очевидно, что £2(Х; Л)<г2(Х; Л).
Определение 4.223. Факторгруппа #2(Х; A)=Z2(X\ А)/ВЦХ; А)
называется второй группой когомологии группы X с
коэффициентами в Л.
(В обычном определении Л является не только абелевой
группой, но также и правым Х-модулем. Наше определение
соответствует лишь «тривиальному» случаю (т. е. когда ах —а для всех
а$А, xgX), который необходим для нашего обсуждения.)
4.15. Свойства /if-групп: специфические утверждения
311
Пусть теперь К—алгебраически замкнутое поле
характеристики 0 (например, /С = С) и К*—мультипликативная группа
ненулевых элементов поля К.
Определение 4.224. Группа Н2(Х\ К*) называется
мультипликатором Шура группы X.
Шур (бывший, между прочим, учителем Брауэра) установил
основные свойства этих мультипликаторов и вычислил их для
знакопеременных и некоторых классических групп [245], [246].
Основной результат Шура состоит в нахождении выражения для Я2 в
терминах представления X как факторгруппы «свободной» группы.
В частности, тем самым показывается независимость определения
от поля К. Наипростейший путь определения свободной группы —
через ее свойство универсальности отображения.
Определение 4.225. Группа F называется свободной (ранга п)
в том случае, когда выполнены следующие утверждения:
(a) F порождается п элементами /х> /2, ..., /„;
(b) если G — произвольная группа, порожденная п элементами
§i> ^2» •••» §л» то. существует гомоморфизм ф группы F на G,
такой, что Ф (//) = £/, l^i^n.
Существуют свободные группы любого ранга, причем любые две
такие группы одного и того же ранга изоморфны (Хупперт [181,
§1.19]).
Таким образом, любая конечная группа G может быть
представлена в виде F/R для некоторой свободной группы F с нормальной
подгруппой R. Конечно, это можно сделать многими способами —
единственное ограничение на F состоит в том, что ее ранг должен
быть не меньше минимального числа образующих группы G.
Для формулировки результата Шура нам необходимо хорошо
известное свойство конечно порожденных абелевых групп, т. е.
абелевых групп, порожденных конечным числом элементов. В любой
абелевой группе А множество Т ее элементов конечного порядка
образует подгруппу, называемую периодической частью группы А.
Кроме того, А называется свободной абелевой группой (ранга я),
если она изоморфна прямому произведению п экземпляров группы Z.
Заметим также, что любая конечная абелева группа может быть
записана как прямое произведение циклических групп А19 Л2, ...
/.., Ап, причем \А{\ делит I^^J, 2^i^n. Кроме того, целое
число п не зависит от конкретного разложения, и его также
называют рангом группы А. (Предложение 1.8 об абелевых р-труп-
пах является частным случаем этого результата.)
Предложение 4.226. Если А — конечно порожденная абелева
группа, то справедливы следующие утверждения:
312
Гл. 4. Общие методы локального анализа
(i) A = DxT, где Т—периодическая часть группы А и D —
свободная абелева группа;
(и) T—конечная группа;
(ш) если A =D*xT, причем D* свободная абелева, mo D* ^D\
в частности, D* и D имеют одинаковый ранг.
Из сформулированного предложения следует, что А разлагается
в прямое произведение циклических групп, причем число
сомножителей не зависит от разложения и равно сумме рангов групп D
и Т. Это число называется рангом группы А. Кроме того, ранг
группы D называется рангом без кручения группы Л.
Теперь мы можем сформулировать теорему Шура.
Теорема 4.227. Пусть X = F/R, где F—свободная группа
ранга п с R<\F. Положим Y = F/[R,F]'u A=R/[R,F]. Тогда
справедливы следующие утверждения:
(i) A—конечно порожденная абелева группа ранга без
кручения п\
(H)'i4<Z(y);
(Hi) Т = (R()F')/[R, F]— периодическая часть группы Л;
(iv) Я»(Х; К*)~Т;
(у) если A=DxTt где D—свободная абелева группа, и
Y = Y/D,mo __
(1) Y конечна u_Y\T s* Х\
(2) Г<ГП2(7);
(3) Т^Т^НЦХ; /С*).
Таким образом, п. (iv) показывает, что мультипликатор Шура
конечен и определен независимо от /С, а из п. (v) следует
существование накрывающей группы для X, центр которой изоморфен
мультипликатору Шура группы X (а именно группы Y). Мы
называем такое расширение универсальной накрывающей группой для X.
Введенный термин объясняется следующим фактом.
Предложение 4.228. Если я—гомоморфизм произвольной
группы Y на X, такой, что ker (л) ^ Z (У) Г) У\ то кег(л)
является гомоморфным образом мультипликатора Шура группы
X, a Y—гомоморфным образом некоторой универсальной
накрывающей группы для X.
С другой стороны, в общем случае универсальные накрывающие
для X не обязаны быть изоморфными. Однако в одном важном
частном случае этот факт все же имеет место.
Предложение 4.229. Если X совершенна (например, проста),
то любые две универсальные накрывающие группы для X
изоморфны.
4.15. Свойства /С-групп: специфические утверждения
313
Мультипликатор Шура, будучи абелевой группой, разлагается
в прямое произведение своих силовских /?-подгрупп, называемых
р-частями мультипликатора. В силу предложения 4.228 каждая
/7-часть определяется из наибольшей накрывающей группы для X
посредством абелевой /?-группы. Как можно было ожидать;
последнее расширение непосредственно связано со строением и вложением
силовской /7-подгруппы в X. Действительно, справедлив следующий
результат.
Предложение 4.230. Если P£Sylp{X) и Р<Л/Г<Х, то
р-часть мультипликатора Шура группы X изоморфна некоторой
подгруппе в H2(N\ К*).
Поэтому представляют интерес те элементы из H2(N; К*),
которые «поднимаются» в X. В книге Картана и Эйленберга [58]
приведены условия на произвольную подгруппу Y в X,
позволяющие «поднимать» элементы из Я2(К; К*) в Н2(Х; К*). Эти
условия касаются подгрупп Y Г) Ух для х g X. Отметим лишь частный
случай их результата, содержащий в себе черты общей ситуации.
Предложение 4.231. Пусть P£Sylp(X) и предположим, что
Р является TI-множеством в X. Тогда р-часть мультипликатора
Шура группы X изоморфна р-части H2(NX(P); К*).
Приведенное выше обсуждение дает описание теории, лежащей
в основе мультипликаторов Шура. Осталось лишь описать их
конкретное вычисление. Учитывая сформулированные выше результаты,
можно было бы предвидеть здесь два возможных подхода: пердый —
на основе задания группы X в терминах образующих и соотношений
и второй — посредством ограничения на различные подгруппы в
X (в особенности на силовские подгруппы, а также на большие
простые подгруппы, мультипликаторы которых уже найдены). На
практике используются оба метода.
Наипростейший результат первого типа принадлежит Шуру [245].
Предложение 4.232. (i) Если X—циклическая или кватернион-
пая группа, то X имеет тривиальный мультипликатор Шура.
(и) Если X—диэдральная 2-группа, то X имеет Z2 в
качестве своего мультипликатора Шура, причем универсальные
накрывающие группы для X являются кватернионными, диэдральными
или квазидиэдральными.
Комбинируя предложения 4.231 и 4.232, мы непосредственно
•получаем, что справедливо
- Предложение 4.233. (i) SL2(p), p—простое число, имеет
тривиальный мультипликатор Шура.
(и) Мультипликатором Шура группы L2(p), p—нечетное
простое число9 является Z2.
314 Гл. 4. Общие методы локального анализа
В самом деле, известно, что силовские ^-подгруппы в SL2(pn)
являются циклическими для всех нечетных цфр, и кватернион-
ными для <7 = 2 и нечетного р. Кроме того, для q = p они
изоморфны Ерпу так что при /г=1 силовские /?-подгруппы также
циклические. ,
Обсуждение также показывает, что мультипликатор Шура
группы SL2(pn) является /7-группой, изоморфной /?-части
мультипликатора Шура группы L2(pn). Кроме того, в обоих случаях
силовская /^-подгруппа является TI-множеством, так что можно
воспользоваться предложением 4.231. В последнем случае
нормализатор силовской /^-подгруппы является группой Фробениуса
с ядром Р о^Ерп и циклическим дополнением Н порядка е (рп—1),
где е == 1/2 или 1 в зависимости от нечетности или четности р.
Ввиду неприводимости действия Н проблема^ сводится к
следующей задаче.
Найти наибольшую /?-подгруппу Q класса 2, такую, что
(1) Q/Z(Q)^P и Z(Q)^Q';
(2) Q допускает автоморфизм а порядка | Я /, который
действует тривиально на Z(Q).
Эта задача легко решается с использованием методов теории юо-
лец Ли — стандартного подхода к изучению автоморфизмов /7-групп.
Как отмечалось, эти методы были основными для Хигмэна в его
классификации 2-групп Судзуки [170]. Мы отсылаем читателя к
[130, § 5.6]. Оказалось, что Z(Q) должен быть тривиальным во всех
случаях, кроме двух — а именно, когда /?"=4 или 9. В последних
случаях соответственно Z(Q)^Z2 или Z3 (причем Q — кватернион-
ная группа порядка 8 или экстраспециальная группа порядка 27).
(Поскольку L2(4)^L2(5), то первый случай на самом деле
охватывается предложением 4.233.) Таким образом, справедливо
Предложение 4.234. Мультипликатор Шура группы SL2(pn)
тривиален, если рпф\ и 9, и изоморфен Zp, если /?л = 4 или 9.
С точки зрения образующих и соотношений лучше работать
непосредственно с коцикловым условием в определении
мультипликатора Шура. Пусть Y—универсальная накрывающая группа
для X, так что Y/A ^ X для подходящей подгруппы А < У f] Z (У)
с А д*Н%(Х\ К*). Пусть у1У у2, ...,уп— полное множество
представителей смежных классов К по Л, так что их образы
являются различными элементами в X. Если / обозначает множество
{1,2, ...,я}, то существует функция я: /х/—►/, определенная
тем условием, что у(у7- и упа,» лежат в одном смежном классе
по подгруппе А. Тогда для всех /,/£/ справедливо равенство
У1У/ = 1(У1>У/)Уп«.1>-
4.15. Свойства Af-групп: специфические утверждения 315
Таким образом, / — функция из 1x1 в А (которую можно
рассматривать как функцию из ХхХ в А). Функция / называется
системой факторов относительно заданного семейства представителей
смежных классов уи у2, . . ., уп- Используя ассоциативный закон,
мы получаем основное соотношение
/ (У п У/) f (У(У/> Уп) = f (Ун У/Ун) f (У/> У к) .
для всех г, /, k£l. Другими словами, /gZ2(X; A).
Если у'£, i£l,— второе семейство представителей смежных
классов, то y'i = a{yi) y( для подходящих а(у()£А, и мы видим,
что соответствующая система факторов /' связана с / условием
V Ш> Уд = о. (yt) a (yf) а {у(у/)-г f (yit yf),
так что образы / и /' в Н2(Х; А) совпадают.
Сказанное должно дать читателю некоторое представление о
фактах, используемых при вычислении мультипликаторов Шура.
Соответствующие вычисления в основном проделали три
человека: Шур, Стейнберг и Грисс, хотя в отдельных группах или
семействах групп помощь оказали также и некоторые другие
специалисты. Шур нашел мультипликаторы знакопеременных групп,
используя их стандартное задание в терминах образующих и
соотношений [246]. В лиевском случае Стейнберг доказал два общих
результата, опираясь на стандартные образующие и соотношения
групп типа Ли [271].
Теорема 4.235. Если X—универсальная группа Шевалле или
скрученная группа Стейнберга над GF (рт)> р — простое число, то
р'-часть мультипликатора Шура простой группы X/Z(X)
изоморфна Op>(Z(X)).
Таким образом, универсальные группы типа Ли «содержат» в
себе весь мультипликатор Шура соответствующих простых групп
типа Ли, за исключением, быть может, лишь его /?-части, где р
обозначает характеристику группы.
Стейнберг доказал также следующий факт.
Теорема 4.236. Если X—простая группа Шевалле или
скрученная группа Стейнберга над GF (/?"), то р-часть
мультипликатора Шура группы X тривиальна для достаточно большого рп.
Впоследствии Алперин и я рассмотрели случай групп Судзуки и
групп Ри характеристики 3 [5], а Г. Н. Уорд [317] вычислил
мультипликаторы групп Ри характеристики 2, за исключением группы
Титса.
Тем самым оставалось вычислить /7-часть мультипликатора для
некоторых групп типа Ли над GF(pn) с небольшим pnt а также найти
мультипликаторы Шура для спорадических групп. Все эти случаи
316 Гл. 4. Общие методы локального анализа
Таблица 4.1. Мультипликаторы Шура известных простых групп
Конечные группы типа Ли
Мультипликатор группы G(q)tq — pnt
изоморфен RXP, гдо Ли Р- соответственно р'- группа и р- группа
Группа типа Пи
RXP
( если Р¥=\)
U. я)
Мя)
ЕЬ(Я)
Ыя)
Ыя)
■Ыя)
Ь(Я)
2Мя)*1>*
L</+l,«-l)
Latq-n
L(l,1-\)
2(4>^-.j),/ нечетно
2(^'-!)х2(2,^-|)^чвтно
Z2XZ3
22
Z,XZ4XZ4
z2
22
22
22XZ3
z2
zz
Z2XZ2
(1,9)
(2,2)
(2,4)
(3,2)
(2,2)
(3,2)
(3,3)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
4/+U+I)
**2
22
Z4XZ3XZ3
Z3XZ2XZ2
Z2XZ2
Z3XZ2XZ2 (6,2)
3/>/(f),/>4 Z(4|,i+I)
2£б(?) Z(3,*+l)
Vi(2)' 1
*Ыя) i
Знакопеременные группы
(Л„,22),и=5,и>8 (4,.Zt).»»6.7
(4,2)
(2,3)
(2,4)
(3,2),
(3,3)
(5,2)
(2,8)
4.15. Свойства Af-групп: специфические утверждения 317
Продолжение табл. 4.1.
<*||.1>
(Mi3.\)
№.Zi)
(Я5Д2)
(.1.2,)
(Л/(22)Д6)
(Av.l)
(#*.!)
(fS.D
Спорадические группы
(М1гЛг\
(Af24,l)
«Дз)
(Л/c.Zj)
(2,1)
<Л/(23),1)
(Ли,22)
№Д2)
(TMnaf|,l)
СиД»)
(Л.1)
(Л.П
(Suz,Z6)
(.3,1)
(Л/(24)'Д3)
(CW.Zj)
(fj.D
оказались очень трудными. Основная часть работы здесь была
проделана Гриссом главным образом в его докторской диссертации под
руководством Томпсона [146], [147], [151]! Однако отметим, что по
одной или более спорадических групп рассмотрели Бёргойн, Дж.
Гроувер, Лайенс, В. Лемпкен, П. Мазе, Маккей, Рудвалис, Томпсон,
Уэлс, Фейт, Фонг и Янко.
Мы завершим обсуждение подготовленной Гриссом табл. 4.1
мультипликаторов Шура всех конечных простых групп.
В случае знакопеременных и спорадических групп мы приводим
группу в паре с ее мультипликатором Шура.
В частности, кроме ортогональных групп четной размерности и
нечетной характеристики имеется еще ровно шесть простых групп с
нециклическими мультипликаторами Шура.
Теорема 4.237. Если X — известная простая группа, то либо
X имеет циклический мультипликатор .Шура, либо X изоморфна
одной из следуюших групп: D2l (q), q нечетно; А2 (4) (^ L3 (4));
D4 (2) (sflj (2)); М, (3) (~U€ (3)); М, (2) (~ U. (2)); *Я2 (8) (~ Sz (8));
2£в(2).
В. Автоморфизмы
Известно, что если X — группа типа Ли, определенная над
GF(pm), то любой элемент из Aut(X) разлагается в произведение
внутреннего, диагонального, полевого автоморфизмов и
автоморфизма графа [272].
Например, диагональные матрицы из GL (п, рт) с
определителем, не равным 1, задают посредством сопряжения
диагональные автоморфизмы группы SL(n, pm). Полевые автоморфизмы
совпадают со степенями отображения Фробениуса Fr, описанного
в § 4.14. Таким образом, если A = (aif)^SL(n, pm), aif^GF(pm),
1 ^ if j ^ Пу то
Frk: А - (аи) ^ А?к = (<#*) (4.55)
318
Гл. 4. Общие методы локального анализа
и поэтому эти автоморфизмы образуют циклическую группу
порядка т.
Аналогично автоморфизмы графа индуцируются симметриями
диаграммы Дынкина, ассоциированной с X алгебры Ли. Поэтому
соответствующая SL(n, pm) диаграмма
О—О—О ••• О—О (4.56)
с п—1 вершинами имеет отражение порядка 2, индуцирующее
автоморфизм группы SL (п, рт) (в рассматриваемом случае при обычном
отождествлении группы Шевалле с SL(n, pm) автоморфизм графа
совпадает с отображением транспонирования и обращения).
Диагональные автоморфизмы образуют абелеву группу внешних
автоморфизмов (которая в действительности является циклической,
кроме случая групп D2n(q), n четно и q нечетно). Группа полевых
автоморфизмов всегда циклическая. С другой стороны,
автоморфизмы графа составляют группу порядка 1 или 2, кроме случая D4,
когда они определяют группу, изоморфную 23. Кроме того, имеется
общая формула порядка диагональной группы для каждого
семейства групп типа Ли. Группа диагональных автоморфизмов
нормальна в Aut (X)/X, а полевые автоморфизмы коммутируют с
автоморфизмами графа. Суммируя сказанное, мы получаем, что справедлива
Теорема 4.238. Если X —группа типа Ли, то А = Aut (X)/X—
разрешимая группа с нормальными подгруппами D и DF, где D
абелева и F циклическая] кроме того, A/DF^l, Z2 или 23.
В случае знакопеременных групп справедлива
Теорема 4.239. (i) Если X = Ап, пф 6, л> 3, то Aut (X) ^ 2В.
(ii) Если X = Ae(^L2(9)), то Aut (X) ~ Aut (L2(9)) (группа
L2 (9) имеет в Aut (L2 (9)) индекс 4).
К настоящему времени для каждой спорадической группы
вычислена ее группа автоморфизмов (в большинстве случаев эту работу
проделал тот, кто первым изучал ее внутреннее строение). В ходе
своей деятельности по стандартным компонентам Ашбахер и Зейц
[21] завершили доказательство следующего результата (для всех
спорадических групп, кроме группы Янко /4, для которой нужное
утверждение проверяется легко).
Теорема 4.240. Если X—спорадическая группа, то
|Aut(X)/X|<2.
Объединяя сформулированные выше результаты, мы получаем
следующий факт.
Теорема 4.241. Если X — произвольная известная простая
группа, то Aut(X)/X—разрешимая группа.
4.15. Свойства /f-групп: специфические утверждения 319
Ввиду последней теоремы гипотеза Шрейера о разрешимости
внешней группы автоморфизмов любой конечной простой группы
получается в качестве следствия классификации всех конечных
простых групп.
С. Централизаторы элементов простого порядка р
Чтобы удержать изложение в разумных пределах, мы
ограничимся утверждениями о централизаторах инволюций. Во многих
случаях аналогичные результаты справедливы для централизаторов
элементов нечетного простого порядка р, в частности, для групп X
типа Ли над GF(q), где либо р делит порядок подгруппы Картана
в X, либо р=3 и q=2 (эти два случая особенно важны для
приложений). Отметим, что некоторые комментарии о централизаторах
инволюций уже были сделаны в §4.14 и 1.5. Мы вновь отсылаем
читателя к работам [54], [55], [180], [240].
Пусть X—такая группа, что К = /7*(Х)—простая /С-группа,
пусть t$3(X) и C = Cx(t).
Теорема 4.242. Если t^Y, то справедливо одно из следующих
утверждений:
(i) С—разрешимая группа;
(ii) F*(C) квазипроста;
(Hi) Y ^Chev(p), р нечетно, t—либо диагонально-внутренний
автоморфизм, либо автоморфизм графа и Ь(С) имеет две или
более компонент;
(iv) Y£Chev(2), t—автоморфизм графа и С—неразрешимая
2-скованная группа;
(v) Y^Spor и С—неразрешимая 2-скованная группа
(например, Y^M(22));
(vi) YQSpoi и С ^uZ^xK, где К—простая группа (например,
Теорема 4.243. Если t$Y, то справедливо одно из следующих
утверждений:
(i) L (С) тривиальна или квазипроста;
(ii) Y ^Chev(q), q нечетно и L(C) имеет две компоненты;
(iii) Y £*PQ±(n, q), q нечетно и L(C) имеет три или четыре
компоненты.
Кроме того, если Ь(С) нетривиальна, то либо С/Ь(С)
разрешима, либо Y^An.
Строение L (С) известно для любых Y и t. В частности,
справедливо следующее утверждение.
320
Гл. 4. Общие методы локального анализа
Теорема 4.244. Если t$Y и L(C)—тривиальная группа, то
справедливо одно из следующих утверждений:
(i) С—разрешимая группа;
(ii) F*(C) = 02(C);
(iii) Y^ АпУ п=\ или 3 (mod4), и F*(C) = 02(C)x08(C)
с 03(С) ^ 1 или Z3.
Объединяя вместе писледние три результата (а также учитывая
известное строение С в случаях (iii) и (v) из теоремы 4.242), мы
получаем в качестве следствия фундаментальное так называемое «В-
свойство» слоев централизаторов инволюций в известных простых
группах.
Теорема 4.245. Для любого возможного выбора X и t
справедливо равенство
L2>(C) = L(C).
Центральный момент классификации простых групп связан с
проверкой В-свойства для централизаторов инволюций в
произвольных конечных группах G без ядра. На основе теоремы 4.245
нетрудно показать, что им обладают произвольные К-группы. Для
решения проблемы можно воспользоваться индукцией. Детальный
очерк доказательства этого фундаментального общего свойства
конечных групп будет приведен впоследствии.
Очевидно, что В-свойство выполнено тривиальным образом,
если О (С G(t)) = \ для любой инволюции t из G. Поэтому из теоремы
1.40 и классификации несвязных групп следует, что минимальный
контрпример G обязательно будет несбалансированным. Предложение
4.58 показывает, что некоторый элемент из <2?2(G) должен быть ло?
кально несбалансированным. Понятно, что для дальнейшего анализа
«В-гипотезы» нам необходим список известных простых групп, не
являющихся локально сбалансированными. Соответствующий
результат можно сформулировать следующим образом (утверждение
по существу является дополнением к предложению 4.56).
Теорема 4.246. Пусть X—- такая группа, что 7 = F*(X) —
простая К-группа. Если О (Сх (t)) Ф 1 для некоторой инволюции
t£9(X), то справедливо одно из следующих утверждений:
(i) Y^Chev(p) для некоторого нечетного простого числа р\
(ii) Y £ё Л„, п нечетно;
(iii) Y^L3(4) или Не и t^Y
Примеры групп £3(4) и Не уже обсуждались после предложения
4.56.
Томпсон редуцировал основной случай В-гипотезы к проверке
четырех специфических свойств централизаторов инволюций
в группах типа Ли [291]. Впоследствии Бёргойн проверил спра-
4.15. Свойства /<f-rpynn: специфические утверждения 321
ведливость каждого из требуемых свойств [51]. Чтобы дать пред-,
ставление об их характере, мы приведем здесь два основных.
Рассмотрим группу X, в которой Y = F*(X)^Chev(p), p
нечетно, причем Yi&L2(pn) и если /7 = 3, то также УфЮй(Зп).
(Исключенные группы—единственные элементы из Chev(p),
которые не содержат подгрупп, изоморфных SL (2, /?).) Заметим, что
из определения Chev(p) следует, что Y—квазипростая, но не
обязательно простая группа. Пусть опять t£3(X) и C = Cx(t).
Теорема 4.247. Предположим, что Y—простая группа и
0(С)Ф\. Тогда существуют инволюция и'$С и субнормальная
подгруппа L в Сх(и), обладающие следующими свойствами^
(i) L^SL(2, q) для некоторого нечетного q и <u> = Z(L);
(ii) <0(C)t t> нормализует L и C<0(Q, t>(L)=l.
Теорема 4.248. Предположим, что L(C) имеет компоненту Ь
со следующими свойствами:
(a) L ^ё SL (2, q) для некоторого нечетного q\
(b) L нормальна в С;
(c) Z(L)^Z(X)(^Z(Y)).
Тогда Y/Z (Y) & PQ* (n, q) для некоторых п и q.
Другие свойства централизаторов инволюций, необходимые
для многих результатов, приведены ниже в разделах D—/.
D. Сбалансированность
Предложение 4.56, теорема 4.61 и предложение 4.62 описывают
локальную ^-сбалансированность для простых /С-групп. Это
основные свойства сбалансированности, необходимые для локального
анализа. Однако, как отмечалось в обсуждении сигнализаторных
функторов типа функторов Голдшмидта в § 4.4, в приложениях
используются также вариации локальной ^-сбалансированности.
Е. Порождаемость
Мы уже отмечали несколько раз важность утверждений о
порождении для локального анализа, в частности для построения
сигнализаторных функторов (см. предложение 4.65). Вопросы о
порождаемое™ возникают также на этапе, следующем за этим построением.
Предположим, например, что G — простая 2-сбалансированная
группа для простого числа /?, А — элементарная абелева /7-подгруп-
па в G с тр(Л)^4, причем ассоциированный 2-сбалансированный
А -сигнализатор ный функтор 0 является полным. Положим М =
=Nq(Q(G; Л)). Тогда непосредственно видно, что
rA.*{G)=*<NQ{E)lE^At mp(E)^3>^M. (4.57)
И №625
322
Гл. 4. Общие методы локального анализа
В предположении, что 9(G; А)Ф\, основная цель анализа —
доказать, что М — сильно /7-вложенная подгруппа в G. В
частности, мы должны показать, что Са^М для каждого а^Л*. Конечно,
нельзя надеяться получить такое сильное заключение
исключительно из (4.57), однако (4.57) дает некоторую частичную информацию.
В самом деле, поскольку тр(Л)^4, то из теоремы 4.13 вытекает,
что
Ор'(Св)<ГД11(0)<М. (4.58)
Следовательно, если положить Са = Са/Ор>(Са), то можно
работать с Са и Л, поскольку NCa(E) накрывает Nca (Е) для любой
подгруппы Е в Л. Прежде всего естественно попытаться
выяснить справедливость включения
L {Са) < Г7| з (Са) = <% (Ё) | Е < Л, т, (Я) > 3>. (4.59)
Если (4.59) справедливо, то М будет накрывать L(Ca), откуда
LP'(CJ^M, что было бы важным заключением для любого
последующего анализа.
Эту задачу нетрудно свести к соответствующему вопросу
о порождаемости для Л-инвариантных квазипростых сечений X
в L(Ca), являющихся гомоморфными образами компонент слоя
L (Са). Понятно, что с точки зрения порождения трудности могут
исходить лишь от группы A = A/Cj(X). Если |Л|^/?, то
тр (Сj (X)) ^ 3 и нужное порождение выполнено тривиальным
образом. Следовательно, можно предполагать нецикличность Л .
Кроме того, из подходящего утверждения о порождаемости для
X = X/Z(X) относительно Л следует аналогичное свойство для
X относительно Л. Поскольку в рассуждениях X будет /С-груп-
пой, то мы приходим, таким образом, к изучению точного
действия нециклических элементарных абелевых /?-групп на простых
/(-группах.
Зейц получил исчерпывающие результаты при нечетном р для
групп типа Ли, характеристика которых отлична от р [250].
Соответствующие результаты для многих спорадических групп были
вычислены Лайенсом с использованием информации О'Нэна о их
локальных подгруппах [231]. Как правило, порождаемость
отсутствует для групп из Chev(p), а в случае знакопеременных групп
имеется сильная зависимость от выбора элементарной абелевой р-
группы. Мы ограничимся следующими двумя утверждениями.
Теорема 4.249. Пусть X£Chev(q) и А—нециклическая
элементарная абелева р-подгруппа в Aut(X), p нечетно, рфц, и
предположим, что <NX (Е) \ Е ^ Л и \ А: Е | ^ /?>< X. Тогда
справедливо одно из следующих утверждений:
4.15. Свойства Л'-групп: специфические утверждения 323
(i) /7 = 5, Л<Х и Х=^4(2)';
(ii) /7 = 3, Л <Х, X<*PSp(n92), Q±(2), F4(2), F4(4), 2F4 (2)',
£.(2), £7(2), £8(2) <ш< £8(4);
(iii) /7 = 3, Л индуцирует внутренне-диагональные
автоморфизмы на X и X^L3*(4), i/„(2), £в(4) или 2Ев (2);
(iv) /7 = 5, X^Sz(25) или 2F4(25) u .4X^Aut(Sz(2*)) или
Aut(2F4(2*));
(v) /7 = 3, X^L2(23) или AX^Aut(L2(2*));
(vi) /7 = 3, X^D4(2), Ф4(2) оли D4(4) и ЛХ = <а>Х, где
a£A# индуцирует на X автоморфизм графа;
(vii)/7 = 3, Xe*PSp(n,2*)9 Un(2*), ^(П G2(23), F4(23),
2£6(23), £в(23), £7(23) или £8(23) а ЛХ = <а>Х, где а$А#
индуцирует на X полевой автоморфизм;
(viii) X=iD4(8) и ЛХ = <а, Ь>Х, где а индуцирует на X
автоморфизм графа и Ъ—полевой автоморфизм.
Теорема 4.250. Пусть X—группа, в которой F = F*(X) —
простая К-группа. Если X содержит сильно р-вложенную
подгруппу для некоторого нечетного простого числа р, то
справедливо одно из следующих утверждений:
(i) X имеет циклические силовские р-подгруппы;
(ii) Y^L2(pn), U*(pn), 2Gi(3") или А2р\
(iii) /7 = 3 и Г =*/,<, (4), Aut(L2(23)) или Мп;
(iv) /7 = 5 и Y^2FA(2)', Aut(Sz(2§)), Mc или М(22);
(v) /7=11 и Yo*Jg.
Длинный список исключений в этих двух теоремах приводит в
ходе анализа простых групп типа характеристики 2 к специфическим
конфигурациям, устранение которых зачастую требует серьезных
специальных рассуждений. Встречающиеся при этом технические
трудности бывают часто столь значительными, что совершенно
скрывают то концептуально прямое рассуждение, которое было
предназначено для разбора неисключительных случаев. Кроме
того, устранение этих исключительных конфигураций существенно
удлиняет весь анализ.
Похожие утверждения о порождаемости могут быть установлены
для нециклических элементарных абелевых 2-групп, действующих
на группах типа Ли нечетной характеристики, знакопеременных
группах, а также на спорадических группах. (В этом случае имеется
меньше исключений, что достаточно ясно просматривается из списка
Бендера простых групп, содержащих сильно (2-)вложенную
подгруппу.) Такие результаты важны в исследовании групп
компонентного типа и, в частности, в доказательстве 5-гипотезы.
11*
324
Гл. 4. Общие методы локального анализа
F. Строение подгрупп
Главным образом, но не исключительно, для локального
анализа необходима информация о строении локальных и силовских
подгрупп в простых /(-группах. Теорема Бореля — Титса (теорема
1.41) показывает, что любая максимальная /7-локальная подгруппа
в группе из Chev(p) является максимальной параболической и
наоборот. Таким образом, строение параболических подгрупп в
такой группе X чрезвычайно важно. С другой стороны, если q —
отличное от р простое число, то трудно единообразно
сформулировать описание ^-локальных подгрупп в X. Однако свойства этих
подгрупп могут быть выведены из общего строения X как (В, N)-
пары, хотя иногда здесь необходимы большие усилия. Похожее
замечание применимо к знакопеременным и спорадическим группам.
В последнем случае соответствующая работа уже проделана, что
дает по существу описание всех локальных подгрупп в
спорадических группах.
Что касается силовских /7-подгрупп Р простой /(-группы X, то
нас обычно интересует лишь ранг Р и, возможно, строение J(P).
Однако иногда, особенно при /7=2, нам необходима более детальная
структурная информация. Картер и Фонг [62] дали полное описание
силовских 2-подгрупп классических групп над полями нечетной
характеристики q, с помощью которого могут быть выяснены все
необходимые свойства. Соответствующие результаты для рФ2 или
q получил А. Вейр [318]. Эти описания оказались очень похожими
на легко вычисляемое строение силовских /7-подгрупп в Лп.
Строение силовских подгрупп большинства оставшихся простых /("-групп
было выяснено в отдельных работах огромного числа авторов,^как
правило, в ходе доказательства различных классификационных'тео-
рем. В частности, описание силовских /7-подгрупп в группах из
Chev(p) включает в себя явные коммутаторные формулы
соотношений Стейнберга.
G. Слияние
Необходим значительный объем информации о сопряженных
классах элементов простого порядка в простых /(-группах. Часто
хочется иметь точное описание множества представителей, скажем
сопряженных 'классов инволюций. Например, если Х=Ап, то
инволюции (12)(34), (12)(34)(56)(78), . . . образуют такое множество.
С другой стороны, если X £Chev(p), p нечетно, то можно получить
представители для классов инволюций в подгруппе Картана из
действия группы Вейля. Однако могут быть дополнительные
сопряженные классы инволюций (в каждом конкретном случае имеется
описание). В своей работе [21] Ашбахер и Зейц нашли все
сопряженные классы инволюций в X в случае, когда F=F* (X) £Chev(2)
4.15. Свойства Af-групп: специфические утверждения
325
(они также описали централизаторы в Y каждой такой инволюции).
Наконец, за возможным исключением группы F2, были описаны все
сопряженные классы в спорадических группах (часто как
предварительный шаг к вычислению их таблиц характеров).
Мы рассмотрим два общих вопроса о слиянии. Прежде всего,
если X — простая ^-группа, то справедлив ли аналог 2*-теоремы
Глаубермана в X для нечетных простых чисел р? Другими словами,
если Р £ Sylp (X) и Z — подгруппа в Р порядка /?, то должна ли
Z быть слита в X с некоторой подгруппой из Р—Z? (Для нечетного
р естественное обобщение связано с подгруппами порядка /?, а не
с элементами порядка р.) Как ив случае инволюций, мы говорим,
что Z изолирована в Р относительно X, если Z не слита с
подгруппами из X—Z.
Если Р — циклическая группа, то Z=Qt(P)—единственная
подгруппа в Р порядка р, поэтому, безусловно, Z изолирована в
Р относительно X. Следовательно, вопрос представляет интерее
лишь для нециклической группы Р.
Теорема 4.251. Пусть X—простая К-группа с нециклической
силовской р-подгруппой Р, р нечетно. Если Р содержит под-
группу порядка р, которая изолирована в Р относительно X,
то тр(Х) = 2 и справедливо одно из следующих утверждений!
(i) X~U3(P)\
(И) /7 = 5 и Х&Мс;
(Ш) /7 = 3 и Xg*G2(q), цфЪп или /§.
В исследовании групп компонентного типа фундаментальную
роль играет принадлежащее Ашбахеру понятие .«плотно вложенной»
подгруппы [11].
Определение 4.252. Подгруппа Н четного порядка в группе
X называется плотно вложенной в X, если Н(]пх имеет
нечетный порядок для всех х£Х—NX(H).
Это понятие является прямым обобщением сильной
вложенности, которая требует, чтобы Н [\НХ имела нечетный порядок
для всех х$Х—Н. (Таким образом, если Я плотно вложена
в X и Н*=ЫХ(Н), то она сильно вложена в X.)
Очевидно, что любая подгруппа в X порядка 2 плотно вложена
в X. Теорема Ашбахера о классической инволюции является по
существу характеризацией групп типа Ли нечетной характеристики
тем свойством, что они содержат плотно вложенную подгруппу с
^ватернионными силовскими 2-подгруппами (см. D14 после § 1.2).
Кроме того, Ашбахёр и Зейц исследовали простые группы G с
плотно вложенной подгруппой 2-ранга не меньше 2 при подходящих
дополнительных предположениях, возникающих естественным
образом в изучении простых групп крмцрцедтного типа, и при этих уело-
326
Гл. 4. Общие методы локального анализа
виях описали все возможности для G [21], [22]. Упомянутые
результаты будут детально обсуждаться впоследствии.
В конечном счете их анализ сводится к нахождению тех конечных
групп X с квазипростой подгруппой F* (X), которые содержат
плотно вложенную подгруппу Я, причем Я имеет 2-ранг не меньше
2 и удовлетворяет некоторым дополнительным техническим
условиям. В частности, Я должна иметь (нециклические) элементарные
абелевы силовские 2-подгруппы и нормальное 2-дополнение.
Скажем для краткости, что Я является ограниченной, если она
удовлетворяет всем этим различным условиям. Примером такой
ограниченной плотно вложенной подгруппы Я служит подгруппа ((12)(34),
(13)(24)>^Z2XZ2 в Ап.
Следующая теорема указывает на отдельные из результатов
Ашбахера и Зейца об ограниченных плотно вложенных подгруппах.
Теорема 4.253. Пусть X—такая группа, что Y = F*(X) —
простая К-группау причем X содержит ограниченную плотно
вложенную подгруппу Н. Тогда справедливы следующие утверждениях
(i) либо Y $Chev(2), либо Y ^ Ап для некоторого п, либо
7^М12, М24, J-2, He, Suz, Ru или .1;
(ii) если Y^AnJ ai^IO, то в естественном представлении
Ап группа Я сопряжена с подгруппой <(12)(34), (13) (24)>;
(iii) если Y £Chev(2), то силовская 2-подгруппа из Я
индуцирует внутренние автоморфизмы на Y.
Пункт (iii) сводит анализ (когда Y $Chev(2)) к случаю X=Y.
Ашбахер и Зейц получают в этом случае достаточно полную
информацию о возможном строении (ограниченных) плотно вложенных
подгрупп.
Н. Сигнализаторы
Пусть X — простая /(-группа и Р — некоторая /7-подгруппа в
X. Необходимы различные свойства Р-сигнализаторов в X — т. е.
семейств Р-инвариантных /?'-подгрупп в X — главным образом,
когда Р является либо элементарной абелевой, либо силовской р-
подгруппой в X. Для /7=2 следующие два вопроса представляют
специальный интерес.
(a) Нормализует ли Р нетривиальные ^-подгруппы из X для
различных нечетных простых q>
(b) Сопряжены ли любые две максимальные Р-инвариантные
^-подгруппы вХс помощью некоторого элемента из NX(P) (или
даже с помощью некоторого элемента из СХ(Р))7
Для нечетного р основной интерес представляют следующие
вопросы.
4.15. Свойства Л'-групп: специфические утверждения
327
(c) Чему равен 2-локальный /7-ранг т2</?(Х)?
(d) Справедливо ли неравенство тр(Х)%> т2%р(Х)?
(e) Если Р лежит в 2-локальной подгруппе' из X и тр (Р)=
=е(Х)— максимум m^q(X) по всем нечетным простым числам q,
то можно ли описать вложение Р в X?
Вот некоторые из соответствующих результатов.
Теорема 4.254. Пусть X—простая группа типа Ли,
определенная над GF(q). Тогда справедливы следующие утверждения:
(i) если P$Sylp(X) и q = pn, то Р имеет тривиальные
сигнализаторы;
(и) если р нечетно, q = 2n и т2 р{Х) = е(Х), то р делит
Теорема 4.255. (i) Если Х = АпиР£Syl2(X), то максимальная
Р-инвариантная подгруппа в X нечетного порядка либо тривиальна^
либо имеет порядок 3, причем в последнем случае п = 3 (mod 4).
(ii) Если X—спорадическая простая группа и т2)/?(Х)^3,
р нечетно, то тр (X) > m2i p (X).
I. Модулярные представления
Мы уже отмечали в деталях те свойства представлений
квазипростых К-групп на векторных пространствах над GF(p), которые
необходимы для локального анализа.
J. Небольшие группы
В §4.14 и п. А—I настоящего параграфа мы попытались дать
картину «общей» теории простых /С-групп. Однако в некоторых
классификационных проблемах, особенно в тех, которые имеют дело
с группами низкого ранга, необходима также «специальная» теория
простых /С-групп. Например, в классификации групп с диэдраль-
ными, квазидиэдральными или сплетенными силовскими 2-подгруп-
пами необходим «словарь» специализированных свойств групп
L2(q), L3(q), U3(q), q нечетно, и Л7 (в большинстве случаев того же
типа, которые описывались выше в п. А—I).
К. Теория /^-групп
Как мы неоднократно отмечали, свойства простых и квазипростых
/С-групп используются для доказательства фактов о локальных
подгруппах исследуемой простой группы. Систематическое
выяснение здесь общей взаимосвязи совпадает с построением теории
произвольных /С-групп (как общей, так и специальной), которая весьма
328
Гл. 4. Общие методы локального анализа
существенна для локального анализа. В § 4.1 был изложен хороший
пример специальной теории в случае разрешимых групп.
Ввиду того что на протяжении многих лет теория /С-групп
развивалась довольно случайным образом/ в настоящее время
соответствующий раздел теории конечных групп находится в
неудовлетворительном состоянии. Безусловно, одной из важных первых задач
«послеклассификационной» эры будет построение единообразного
систематического изложения всей теории /С-групп.
Литература
Настоящий список литературы по конечным простым группам не претендует
на полноту и содержит лишь те статьи и книги, которые упоминаются в тексте.
1. Alperin J. L. Sylow intersections and fusion. J. Algebra, 1967, 6, № 2,
222—241.
2. — Sylow 2-subgroups of 2-rank three. Finite Groups '72. Proc. Gainesville
Conf., 1972. North-Holland, Amsterdam; American Elsevier, New York,
1973, 3—6.
3. Alperin J. L., Brauer R., Gorenstein D. Finite groups with quasi-dihedral
and wreathed Sylow 2-subgroups. Trans. Amer. Math. Soc* 19/0, 151,
№ 1, 1—261.
4. — Finite simple groups of 2-rank two. Scripta Math., 1973,29,№3—4,191—214.
6. Alperin J. L., Gorenstein D. The multiplicators of certain simple groups.
Proc. Amer. Math. Soc, 1966, 17, № 2, 516—519.
6. Andrilli S. Existence and uniqueness of O'Nan's simple group. Ph. D.
thesis, Rutgers University, 1979.
7. Artin E. Geometric Algebra. Wiley—Interscience, New York, 1957* {Имеется
перевод: Артин Э. Геометрическая алгебра.— М.: Наука, 1969.]
8. Aschbacher M. Finite groups with a proper 2-generated core. Trans. Amer.
Math. Soc, 1974, 197, 87—112.
9. — On finite groups generated by odd transpositions: I, II, III, IV. Math. Z.,
1972, 127, №1, 45—56; J. Algebra, 1973, 26, №3, 451—459; 460—478;
479-491.
10. — A condition for the existence of a strongly embedded subgroup. Proc. Amer.
Math. Soc, 1973, 38, № 3, 509—511,
11. — On finite groups of component type. 111. J. Math., 1975, 19, № 1, 87—115.
12. — Tightly embedded subgroups of finite groups. J. Algebra, 1976, 42, № 1,
85—101.
13. — A characterization of Chevalley groups over fields of odd order: I, II. Ann.
Math., 1977, 106, № 2, 353—398; № 3, 399—468.
14. — Finite groups in which the generalized Fitting group of the centralizer of
some involution is symplectic but not extraspecial. Commun. Algebra, 1976,
4, № 7, 595—616.
15. — On finite groups in which the generalized Fitting group of the centralizer
of some involution is extraspecial. til, J. Math., 19/7, 21, № 2, 347—364.
16. — A pushing up theorem for characteristic й type groups. 111. J. Math., 1978,
22, № 1, 108—125.
17. — On the failure of the Thompson factorization in 2-constrained groups. Proc.
London Math. Soc, 1981, 43, № 3, 425—449.
18. — A factorization theorem for 2-constrained groups. Proc. London Math,
Soc, 1981, 43, № 3, 450—477,
330
Литература
19. — GF(2)-representations of finite groups. Amer. J. Math., 1982, 104, № 4,
683—771.
20. — Some results on pushing up in finite groups. Math. Z., 1981, 177, № 1, 61—
80.
21. Aschbacher M., Seitz G. M. Involutions'in Chevalley groups over fields of even
order. Nagoya Math. J., 1976, 63, 1—91. Corrections: 1978, 72, 135—
136.
22. — On groups with a standard component of known type. Osaka J. Math.,
1976, 13, 439—482.
23. Baumann B. Endliche Gruppen mit einer 2-zentralen Involution, deren
Zentralisator 2-abgeschlossen ist. 111. J. Math., 1978, 22, № 2, 240—261.
24. Baumslag G. Problem areas in infinite group theory for finite group theorists.
Santa Cruz Conf. Finite Groups. Santa Cruz, Calif., 1979. Providence,
R. I., 1980, 217—223.
25. Bender H. Endliche zweifach transitive Permutationsgruppen, deren Involu-
tionen keine Fixpunkte haben. Math. Z., 1968, 104, № 3, 175—204.
26. — Transitive Gruppen gerader Ordnung, in denen jede Involution genau einen
Punkt festlasst. J. Algebra, 1971, 17, № 4, 527—554.
27. — On groups with abelian Sylow 2-subgroups. Math. Z., 1970, 117, № 1—4,
164—176.
On the uniqueness theorem. 111. J. Math., 1970, 14, № 3, 376—384.
Goldschmidt's 2-signalizer functor theorem. Isr. J. Math., 1975, 22, № 3—
4, 208—213.
A group theoretic proof of Burnside's paqb-theorem. Math. Z., 1972, 126,
№ 4, 327—338.
Uber'den grofiten p'-Normalteiler in p-auflosbaren Gruppen. Arch. Math.,
1967, 18, № 1, 15—16.
Finite groups with dihedral Sylow 2-subgroups. J. Algebra, 1981, 70, № 1,
216—228.
33. Bender H., Glauberman G. Characters of finite groups with dihedral Sylow
2-subgroups. J. Algebra, 1981, 70, № 1, 200—215.
34. Blackburn N. On a special class of p-groups. Acta Math., 1958, 100, № 1—2,
45—92.
35. — Generalizations of certain elementary theorems on p-groups. Proc. London
Math. Soc, 1961, 11, № 41, 1—22.
36. Bombieri E. Thompson's problem (a2=3). Invent, math., 1980, 58, 77—100.
37. Borel A., Tits J. Elements unipotents et sous-groupes paraboliques de grou-
pes reductifs: I. Invent, math., 1971, 12, № 2, 95—104.
38. Borel A., Carter R., Curtis С W., Iwahori N.. Springer T. A., Steinberg R.
Seminar on algebraic groups and related finite groups. Inst. Advanced
Study, Princeton/NJ, 1968—1969. (Lect. Notes Math., 131).
Berlin—Heidelberg—New York, Springer, 1970. [Имеется перевод: Семинар по
алгебраическим группам. —М.: Мир, 1973.]
39. BrauerR. On groups whose order contains a prime number to the first power:
I, II. Amer. J. Math., 1942, 64, 401—420; 421—440.
40. — On the structure of groups of finite order. Proc. Internat. Congr.
Mathematicians 1954, Amsterdam. Vol. 1. Groningen—Amsterdam, 1957, 209—217.
41. — Zur Darstellungstheorie der Gruppen endlicher Ordnung: I, II. Math. Z.,
1956, 63, № 4, 406—444; 1959, 7-2, № 1, 25—46.
42. — On finite Desarguesian planes: I, II. Math. Z., 1965, 90, № 2, 117—123;
1966, 91, №2, 124—151.
43. — Some applications of the theory of blocks of characters of finite groups:
I, II, HI. J. Algebra, 1964, 1, № 2, 152—167; № 4, 307—334; 1966, 3,
№ 2, 225—255.
44. — On simple groups of order. 5-3e-2&. Bull. Amer. Math. Soc, 1968,
№ 5, 900—903.
Литература
331
45. Brauer R., Fong P. A characterization of the Mathieu group M12. Trans,
Amer. Math. Soc, 1966, 122, № 1, 18—47.
46. Brauer R., Fowler K. A. On groups of even order. Ann. Math., 1955, 62,
№ 3, 565—583.
47. Brauer R., Sah. C.H., eds. Theory of finite groups. A Symposium,
Benjamin, New York, 1969.
48. Brauer R., Suzuki M. On finite groups of even order whose 2-Sylow group is
a quaternion group. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 1959, 45, № 12, 1757—
1759.
49. Brauer R., Suzuki M., Wall G. E. A characterization of the one-dimensional
unimodular projective groups over finite fields. 111. J. Math., 1958, 2,
№4B, 718—745.
50. Bryce N. On the Mathieu group M23. Ph. D. thesis, Monash University,
1969. (J. Austral. Math. Soc, 1971, 12, № 4, 385—392.)
51. Burgoyne N. Finite groups with Chevalley-type components. Pacif. J. Math.,
1977, 72, № 2, 341—350.
52. — Elements of order 3 in Chevalley groups of characteristic 2 (unpublished).
53. Burgoyne N., Fong P. The Schur multipliers of the Mathieu groups. Nagoya
Math. J., 1966, 27,.№ 2, 733—745; correction, 1968, 31, № 1, 297—304.
54. Burgoyne N.. Williamson C. Semi-simple classes in Chevalley type groups.
Pacif. J. Math., 1977, 70, № 1, 83—100.
55. — Centralizers of semisimple elements in Chevalley groups (unpublished).
56. Campbell N. R. Pushing up in finite groups. Thesis doct., California Inst.
Of Technol., Pasadena, California, 1979.
57. Carmichael R. D. Introduction to the theory of groups of finite order.
Ginn, Boston and New York, 1937. Более позднее стереотипное издание:
Dover Publ., 1956.
58. Cartan H., Eilenberg S. Homological algebra. Princeton University Press,
Princeton, New Jersey, 1956. [Имеется перевод: Картан А., Эйленберг С.
Гомологическая алгебра.— М., ИЛ, I960.]
59. Carter R. W. Simple groups of Lie type. Wiley-Interscience, London e. a.,
1972.
60. — Centralizers of semisimple elements in finite groups of Lie type. Proc.
London Math. Soc, 1978, 37, № 3, 491—507.
61. — Centralizers of semisimple elements in the finite classical groups. Proc.
London Math. Soc, 1981, 42, № 1, 1—41.
62. Carter R., Fong P. The Sylow 2-subgroups of the finite classical groups.
J. Algebra, 1964, 1, № 2, 139—151.
63. Chermak A. Finite BN-pairs of rank two and even characteristic, having
a non-trivial Cartan subgroup. J. Algebra, 1980, 62, № 1, 170—202.
64. — On certain groups with parabolic-type subgroups over Z2. J. London Math.
Soc, 1981, 23, №2, 265—279.
65. — Large triangular amalgams whose rank-1 kernels are not all distinct (to
appear).
66. Chevalley С Sur certains groupes simples. Tohoku Math. J., 1955, 7, № 1—2,
16-66.
67. — Seminaire Chevalley, Classification des Groupes de Lie Algebriques, Vol. 2,
Paris 1956 1958
68. Conway J. H. A group of order 8,315,553,613,086,720,000. Bull. London
Math. Soc, 1969, 1, № 1, 79—88.
69. — Three lectures on exceptional groups. Chapter VII in «Finite Simple
Groups», Oxford, 1969; edited by M. B. Powell and G. Higman;
Academic Press, London, 1971, pp. 215—247.
70. Conway J. H., Norton S. P. Monstrous moonshine. Bull. London Math.
Soc, 1979, 11, № 3, 308—339.
71. Conway J. H., Wales D. B. Construction of the Rudvalis group of order 146,
926, 144, 000. J. Algebra, 1973, 27, № 3, 538—548.
B32 Литература
72. Coopejstein В. N. An enemies list for factorization theorems. Commun.
Algebra, 1978, 6, № 12, 1239—1288.
73. — 5- andF-pairs for groups of Lie type in characteristic two. Santa Cruz Conf.
Finite Groups. Santa Cruz, Calif., 1979. Providence, R. I., 1980, 249—253.
74. Curtis C. W. Central extensions of groups of Lie type. J. reine und angew.
Math., 1965, 220, № 3—4, 174—185.
75. — Irreducible representations of finite groups of Lie type. J. reine und angew.
Math., 1965, 219, № 3—4, 180—199.
76. — Modular representations of finite groups with split (B, W)-pairs. Lect,
Notes Math., 1970, 131, pp. 56—96. [Имеется перевод: Кэртис Ч.
Модулярные представления конечных групп с расщепимой (В, Л^-парой.— 6 сб.:
Семинар по алгебраическим группам.— М.: Мир, 1973, с. 60—94.]
77. Dembowski P. Finite Geometries. Berlin, Springer, 1968. (2nd edition with
an additional bibliography and corrections by Bumcrot R. J., 1977.)
78. Dembowski P., Wagner A. Some characterizations of finite projective spaces.
Arch. Math., 1969, 11, № 6, 465—469.
79. Dempwolff U. On the extensions of an elementary group of order 26 by
GL (5,2), Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 1972, 48, 359—364.
80. Dickson L. E. Linear groups with an exposition of the Galois field theory.
New York, Dover Publ., Inc., 1958.
81. DieudonneJ. Sur les groupes classiques. Actualites Scient. et Ind., № 1040,
Hermann, Paris, 1948.
82. — La geometrie des groupes classiques. Ergebnisse der Mathematik und ihrer
Grenzgebiete, Neue Folge, Heft 5. Springer Verlag, Berlin, 1955. [Имеется
перевод: Дьёдонне Ж. Геометрия классических групп.— М.: Мир, 1974.]
83. Newman M. F., ed. Proceedings of the Second International Conference on
the Theory of Groups. Australian National University, August 13—24,
1973. Lecture Notes Math., 1974, 372.
84. Dornhoff L. Group Representation Theory: Part B, Modular Character
Theory. Marcel Dekker, New York, 1972.
85. Fein В., Kantor W. M.,Schacher M. Relative Brauer groups. II. J. reine und
angew. Math., 1981, 328, 39—57.
86. Feit W. On a class of doubly transitive permutation groups. Illinois J. Math.*
1960, 4, No 2, 170-186.
87. — A characterization of the sample groups SL (2, 2a). Amer. J. Math., 1960,
82, № 2, 281—300; correction, 1962, 84, № 1, 201—204.
88. — Representations of Finite Groups, Lecture Notes, Yale University, New
Haven, 1969.
89. — On integral representations of finite groups. Proc. London Math. Soc, 1974,
29, No 4, 633—683.
90. — Some consequences of the classification of finite simple groups. Santa Cruz
Conf. Finite Groups. Santa Cruz, Calif., 1979. Providence, R. I., 1980, 175—
181.
91. Feit W., Hall M., Jr., Thompson J. G. Finite groups in which the centralizer
of any nonidentity element is nilpotent. Math. Z., 1960, 74, № 1, 1—17.
92. Feit W.i Higman G. The nonexistence of certain generalized polygons. J.
Algebra, 1964, 1, N> 2, 114—131.
93. Feit W., Thompson J. G. Solvability of groups of odd order. Pacif. J. Math.,
1963, 13, № 3, 775—1029.
94. — Finite groups which contain a self-centralizing subgroup of order 3. Nagoya
Math. J., 1962, 21, Dec, 185—197.
95. Fendel D. A characterization of Conway's group ' .3. J. Algebra, 1973, 24,
№ 1, 159—196.
96. Fischer B. A characterization of the symmetric groups on 4 and 5 letters.
J. Algebra, 1966, 3, Mb 1, 88—98.
97. Distributive Quasigruppen endlicher Ordnung. Math. Z,, 1964, 83, J\fe 4f
267—303.
Литература 333
98. — Finite groups admitting a fixed-point-free automorphism of order 2p. J.
Algebra, 1966, 3, № 1, 99—114; II. 1967, 5, № 1, 25—40.
99. — Finite groups generated by 3-transpositions, University of Warwick
(preprint).
100. — Finite groups generated by 3-transpositions. I. Invent, math., 1971, 13,
№ 3, 332—246.
101. — Evidence for the existence of a new (3,4)-transposition group (unpublished).
102. FongP.,5sitzG.M. Groups with a (B, #>pair of rank 2.1,11. Invent, math.,
1973, Si, № 1—2, 1—57; 1974, 24, № 3, 191—239.
103. Fong P., Wong W. J. A characterization of the finite simple groups PSp (4, q)y
G2(q),Ol(q). I, II. Nagoya Math. J., 1969,36, 143—184; 1970,39, 39—79.
104. Foote R. Finite groups with maximal 2-components of type L2(q), q odd.
Proc. London Math. Soc, 1978, 37, № 3, 422—458.
105. — Component type theorems for finite groups in characteristic 2. 111. J. Math.*
1982, 26, Jvfc 1, 62—111.
106. Frobenius 0. Uber einen Fundamentalsatz der Gruppentheorie. Berlin—Sitz.,
1903, 987—991.
107. Gilman Rx Components of finite groups. Commun. Algebra, 1976, 4, № 12,
1133—1198.
108. Gilman R,, Gorenstein D. Finite groups with Sylow 2-subgroups of class two.
I, II. Trans. Amer. Math. Soc, 1975, 207, 1—101; 103—126.
109. Glauberman G. A characteristic subgroup of a p-stable group. Canad.
J. Math., 1968, 20, № 5, 1101—1135.
110. — Central elements in core-free groups. J. Algebra, 1966, 4, № 3, 403—420.
111. — On the automorphism group of a finite group having no non-identity
normal subgroups of odd order. Math. Z., 1966, 93, № 2, 154—160.
112. — Subgroups of finite groups. Bull. Amer. Math. Soc, 1967, 73, № 1, 1—12.
113. — Isomorphic subgroups of finite p-groups. I, II. Canad. J. Math., 1971,
23, № 6, 983—1022; 1023-.1039.
114. — Failure of factorization in p-solvable groups. Quart. J. Math., 1973, 24,
№ 93, 71—77.
115. — On groups with a quaternion Sylow 2-subgroup. 111. J. Math., 1974, 18, № 1,
60—65.
116. — On solvable signalizer functors in finite groups. Proc. London Math. Soc,
1976, 33, № 1, 1—27. [Имеется перевод: Глауберман Дж. О разрешимых
сигнализаторных функторах на конечных группах.— В кн.: К теории
конечных групп.—М.: Мир, 1979, с. 112—143.]
117. — Factorizations in local subgroups of finite groups. Reg. Conf. Ser. math.,-
1977, № 33. (Amer. Math. Soc, Providence, 1977).
118. Glauberman G., Niles R. Pushing up theorems for finite groups (to appear)*
119. Goldschmidt D.'M. A conjugation family for finite groups. J, Algebra, 1970,
16, № 1, 138—142.
120. — A group theoretic proof of the paqb theorem for odd primes. Math, Z., 1970,
113, № 5, 373-375.
121. — Solvable signalizer functors on finite groups. J. Algebra, 1972, 21, № 1,
137—148. [Имеется перевод: Голдшмидт Д. М. Разрешимые сигналива-
торные функторы на конечных группах.— В кн.: К теории конечных
групп.—М.: Мир, 1979, с. 98—111.]
122. — 2-signalizer functors on finite groups. J. Algebra, 1972, 21, № 2, 321—340.
123. — 2-fusion in finite groups. Ann. Math., 1974, 99, № 1, 70—117. [Имеется
перевод: Голдшмидт Д. М. 2-слияние в конечных группах.— В кн.: К
теории конечных групп.— М.: Мир, 1979, с. 144—200.]
124. — Strongly closed 2-subgroups of finite groups. Ann. Math., 1975, 102, № 3,
475-489.
126. — Pushing up An and 2„ (unpublished).
126, — Modular Character Theory, Publish or Perish, Inc., Decatur, Georgia, 1980.
334
Литература
127. — Automorphisms of trivalent graphs.. Ann. Math., 1980, 111, № 2, 377—
406.
128. Gorenstein D. On the centralizers of involutions in finite groups. J. Algebra,
1969, 11, № 2, 243—277.
129. — The flatness of signalizer functors on finite groups. J. Algebra, 1969, 13,
№ 4, 509—512.
130. — Finite Groups. Harper and Row, New York, 1968; 2nd ed.: Chelsea, New
York, 1980.
131. — On finite simple groups of characteristic 2 type. Inst. Hautes Etudes Sci.,
1969, 36, 5—13. .
132. — The classification of finite simple groups. I. Simple groups and local
analysis. Bull. (New Ser.) Amer. Math. Soc, 1979, 1, № 1, 43—199.
133. Gorenstein D., Harada K. Finite groups whose Sylow 2-subgroups are the
direct products of two dihedral groups. Ann: Math., 1972, 95, № 1, 1—54.
134. — On finite groups with Sylow 2-subgroups of type An, л=8, 9, 10, 11. Math.
Z., 1970, 117, № 1—4, 207—238.
135. — Finite simple groups of low 2-rank and the families G2(q), D\(q)t q odd.
Bull. Amer. Math. Soc, 1971, 77, № 6, 829—862.
136. — Finite groups whose 2-subgroups are generated by at most 4 elements. Mem.
Amer. Math. Soc, 1974, № 147.
137. Gorenstein D., Harris M. E. A characterization of the Higman—Sims simple
group. J. Algebra, 1973, 24, № 3, 565—590.
138. — Finite groups with product fusion. Ann. Math., 1975, 101, № 1, 45—87,
139. Gorenstein D., Lyons R. Non-solvable signalizer functors on finite groups.
Proc London Math. Soc, 1977, 35, № 1, 1—33.
140. Gorenstein D., Walter J. H. On the maximal subgroups of finite simple
groups. J. Algebra, 1964, 1, № 2, 168—213.
141. — The characterization of finite groups with dihedral Sylow 2-subgroups. I,
II, III. J. Algebra, 1965, 2, № 1, 85—151; № 2, 218—270; № 3, 354—393;
corrections, 1969, 11, № 2, 315—318.
142. — Centralizers of involutions in balanced groups. J. Algebra, 1972, 20, № 2,
284—319.
143. — я-layer of a finite group. 111. J. Math.* 1971, 15, № 4, 555—564.
144. — Balance and generation in finite groups. J. Algebra, 1975, 33, № 2, 224—
287.
145. Green J. A. The characters of the finite general linear "groups. Trans. Amer.
Math. Soc, 1955, 80, № 2, 402—447.
146. Griess R. L., Jr. Schur miltipliers of finite simple groups of Lie type. Trans.
Amer. Math. Soc, 1973, 183, Sept., 355—421.
147. — Schur multipliers of some sporadic simple groups. J. Algebra, 1974, 32,
№ 3, 445—446.
148. _ On the subgroup structure of the group of order246.32°.59-76.llM33.17-
19-23-29.31-41.47-59-71 (to appear).
149. — The structure of the «monster» simple group. Proceeding of the Conference
on Finite Groups, edited by W. R. Scott and F. Gross. Academic Press,
New York, 1976, 113—118.
150. — On a subgroup of order 215 \GL (5, 2)| in £8(C), the Dempwolff group and
Aut (D8oD8oD8). J. Algebra, 1976, 40, № 1, 271—279.
151. — Schur multipliers of the known finite simple groups. II. Santa Cruz Conf.
Finite Groups. Santa Cruz, Calif., 1979. Providence, R. I., 1980, 279—282.
152. — The friendly giant. Invent, math., 1982. 69, № 1, 1—102.
153. Grover J. Covering groups of groups of Lie type. Pacif. J. Math., 1969, 30,
№ 3, 645—655.
154. Hall M., Jr. The Theory of Groups. Macmillan, New York, 1959. [Имеется
перевод: Холл М. Теория групп.— М.: ИЛ, 1962.]
155. Hall M., Jr., Wales D. The simple group of order 604, 800, J, Algebra, 1968, 9,
No 4, 417-450.
Литература
335
156. Hall Ph. A note on soluble groups. J. London Math. Soc, 1928, 3, 98—105.
157. — A characteristic property of soluble groups. J. London Math. Soc, 1937,
12, 190—200.
158. — On the Sylow systems of a soluble group. Proc. London Math. Soc, 1937,
43, 316—323.
159. — On the system normalizers of a soluble group. Proc. London Math. Soc,
1937, 43, 507—528.
160. Hall P., Higman G. On the /Hength of p-soluble groups and reduction theorems
for Burnside's problem. Proc. London Math. Soc, 1956, 6, № 21, 1—42.
161. Harada K. A characterization of the simple group £/8(5). Nagoya Math. J.,
1970, 38, 27—40.
162. — On finite groups having self centralizing 2-subgroups of small order. J.
Algebra, 1975, 33, № 1, 144—160.
163. — On the simple group F of order 214.36.56>7-11 -19. Proceedings of the
Conference on Finite Groups, edited by W. R. Scott and F. Gross. Academic Press,
New York, 1976, 119—195.
164. Harris M. E. Finite groups with Sylow 2-subgroups of type P«Sp(6, q), q
odd. Commun. Algebra, 1974, 2, № 3, 181—232.
165. Held D. The simple groups related to Af24. J. Algebra, 1969, 13, № 2, 253—
296.
166. Hering C, Kantor W. M., Seitz G. M. Finite groups with a split BN-pair of
rank 1. I. J. Algebra, 1972, 20, № 3, 435—475. (Kantor W. M., Seitz G. M.
Finite groups with a split BN-pair of rank 1. II. J. Algebra, 1972, 20, № 3,
476—494.)
167. Higman D. G. Finite permutation groups of rank 3. Math. Z.5 1964, 86,
№ 2, 145—156.
168. — Coherent configurations. Part I. Ordinary representation theory. II: Weights*
Geom. dedic, 1975, 4, № 1, 1—32; 1976, 5, № 4, 413—424.
169. Higman D. G., Sims Ch. С A simple group of order 44, 352, 000. Math. Z.?
1968, 105, №2, 110—113.
170. Higman G. Suzuki 2-groups. Illinois J. Math., 1963, 7, № 1, 79—96.
171. Higman G., McKay J. On Janko's simple group of order 50,232,960. Bull.
London Math. Soc, 1969, 1, № 1, 89—94.
172. Higman G., Powell M. В., eds. Finite Simple Groups, Oxford, 1969; Academic
Press, London, 1971.
173. Ho C. Y. On the quadratic pair whose root group has order 3. Bull. Inst.
Math. Acad. Sinica, 1973, 1, 155—180.
174. — Quadratic pairs for 3 whose root group has order greater than 3. I. Commun.
Algebra, 1975, 3, № 11, 961—1029.
175. — Chevalley groups of odd characteristic as quadratic pairs. J. Algebra, 1976,
41, № 1, 202—211.
176. — On the quadratic pairs. J. Algebra, 1976, 43, № 1, 338—358.
177. — Quadratic pairs for odd primes. Bull. Amer. Math. Soc, 1976, 82, № 6,
941—943.
178. Holt D. F. Doubly transitive groups in which the stabilizer of two points is
dihedral. Quart. J. Math., 1976, 27, № 107, 267—295.
179. — Transitive permutation groups in which an involution central in a Sylow
2-subgroup fixes a unique point. Proc London Math. Soc, 1978, 37, № 1,
165—192.
180. Hopkins M. R. On the Ree groups of characteristic 3. Ph. D. thesis,
University of Illinois, 1978. (On groups of Ree type. J. Algebra, 1979, 58, № 2,
319—332.)
181. Huppert B. Endliche Gruppen. I. Berlin—Heidelberg—New York, Springer,
1967.
182. Isaacs I. M. Character theory of finite groups, Academic Press; New York, San
Francisco, London; 1976,
B36 Литература
183. Ito N. On a class of doubly transitive permutation groups. Illinois J. Math.,
1962, 6, Nq 2, 341—352.
184. Iwahori N. Centralizers of involutions in finite Chevalley groups. Lect.
Notes Math., 1970, 131, 267—295. [Имеется перевод: Ивахори Н.
Централизаторы инволюций в конечных группах Шевалле.— В сб.: Семинар по
алгебраическим группам.— М.: Мир, 1973, с. 263—287.]
185. — Finite Groups, Symposium, Japan Soc. for Promotion of Science, Tokyo,
1976.
186. JacobsonN. Lie algebras. New York—London, Interscience, 1962. [Имеется
перевод: Джекобсон Н. Алгебры Ли.—М.: Мир, 1964.]
187. JankoZ. Anew finite simple group with abelian Sylow 2-subgroups and its
characterization. J. Algebra, 1966, 3, № 2, 147—186.
188. — Some new simple groups of finite order. I. Sympos. math. 1967—1968. Vol.
1. Gubbio, 1969, 25—64.
189. — The nonexistence of a certain type of simple group. J. Algebra, 1971, 18,
№ 2, 245-253.
190. — A characterization of the Mathieu simple groups. I, II. J. Algebra, 1968,
9, № 1, 1—19; 20—41.
191. — A new finite simple group of order 86, 775, 671, 046, 077, 562, 880 which
possesses M2& and the full covering group of M22 as subgroups. J. Algebra,
1976, 42, № 2, 564—596.
192. Janko Z., Thompson J. G. On a class of finite simple groups of Ree. J.
Algebra, 1966, 4, № 2, 274—292.
193. Janko Z., Wong S. K. A characterization of the Higman — Sims simple
group. J. Algebra, 1969, 13, № 4, 517—534.
194. Jordan С Recherches sur les substitutions. J. Math. Pures Appl. (2), 1872, 17,
351-363.
195. Kac V. G. A remark on the Conway — Norton conjecture about the «Monster»
simple group. Proc. Nat. Acad. Sci. USA. Phys. Sci., 1980, 77, № 9,
5048—5049.
196. Kantor W. M., Seitz G. M. Some results on 2-transitive groups. Invent.
math., 1971, 13, № 1—2, 125—142.
197. KHnger K. Finite groups of order 2*3&13<\-J. Algebra, 1976, 41, № 2, 303—326.
198. KovacsL., Neumann В., eds. Proceedings of the First International Conference
on the Theory of Groups (Canberra, 1965), Gordon and Breach, New
York, 1967.
199. Leech J. Some sphere packing in higher space. Canad. J. Math., 1964, 16,
№ 4, 657—682.
200. — Notes on sphere packings. Canad. J. Math., 1967, 19, № 2, 251—267.
201. Lempken W. The Schur multiplier of /4 is trivial. Arch. Math., 1978, 30,
Nq 3, 267—270.
202. Leon J. S., Sims Ch. C. The existence and uniqueness of a simple group
generated by {3, 4}-transposltions. Bull. Amer. Math. Soc, 1977, 83, № 5,
1039—1040.
203. Leon J. S., Wales D. B. Simple groups of order 2a3bpc with cyclic Sylow
o-groups. J. Algebra, 1974, 29, № 2, 246—254.
204. Livingstone D., Fischer B. The character table of F± (to appear).
205. Deligne P., Lusztig G. Representations of reductive groups over finite fields.
Ann. Math., 1976, 103, № 1, 103—161.
206. Lyons R. Evidence for a new finite simple group. J. Algebra, 1972» 20,
№ 3, 540—569.
207. Mac Williams A. R. On 2-groups with no normal Abelian subgroups of rank
3, and their occurrence as Sylow 2-subgroups of finite simple groups, trans.
Amer. Math. Soc, 1970, 150, № 2, 345—408.
208. Mason D. R. Finite groups with Sylow 2-subgroup the direct product of a
dihedral and a wreathed group, and related problems. Proc. London Math.
Soc, 1976, 33, № 3, 401—442.
Литература 337
209. Mason G. Finite groups of order 2*3*17*. I, II, III. J. Algebra, 1976, 40f
№ 2, 309—339; 41, № 2, 327—346; 347—364.
210. Mathieu E. Memoire surlenombre de valeurs que peut acquerir une fonction
quand on у permut ses variables de toutes les manieres possibles. Crelle
J., 1860, 5, 9—42.
211. — Memoire sur Г etude des fonctions de plusieures quantites, sur la maniere de
les formes et sur les substitutions qui les laissent invariables. Crelle J.?
1861, 6, 241—323.
212. — Sur la fonction cingfois transitive der 24 quantites. Crelle J., 1873, 18, 25—
46.
213. Matsuyama H. Solvability of groups of order 2ap*. Osaka J. Math., 1973, 10,
№ 2, 375—378.
214. Mazet P. Sur le multiplicateur de Schur du groupe de Mathieu M22- С. г.
Acad, sci., 1979, ЛВ289, № 14, A659—A661.
215. McBride P. P. Nonsolvable signalizer functors on finite groups. J. Algebra,
1982, 78, № 1, 215—238. (Near solvable signalizer functors on finite
groups. J. Algebra, 1982, 78, № 1, 181—214.)
216. McKay J. Computing with finite simple groups. Lect. Notes Math., 1974, 372,
448—452.
217. McKay J., Wales D. The multipliers of the simple groups of order 604, 800
and 50, 232, 960. J. Algebra, 1971, 17, № 2, 262—272.
218. — The multiplier of the HIgman — Sims simple group. Bull. London Math.
Soc, 19?1,3, №9, 283—285.
219. McLaughlin J. Some subgroups of SLn(F2). 111. J. Math., 1969, 13, № 1,
108—115.
220. — A simple group of order 898,128,000. Finite Groups, A Symposium, Bra-
uer R. and Sah C., eds. Benjamin, New York, 1969, 109—111.
221. Niles R. Pushing-up in finite groups. J. Algebra, 1979, 57, JSfe 1, 26—63.
222. — £Af-pairs and finite groups with parabolic-type subgroups. J. Algebra,
1982, 75, Ho 2, 484—494.
223. Norton S. Construction of Harada's group. Ph. D. thesis, University of
Cambridge, 1976.
224. — the construction of /4. Santa Cruz Conf. Finite Croups. Santa Cruz, Calif.»
1979. Providence, R. I., 1980, 271—277.
225. — The uniqueness of Pi (to appear).
226. O'Nan M. E. Automorphisms of unitary block designs. J. Algebra, 1972, 20,
№ 3, 495-511.
227. — A characterization of U3(q). J. Algebra, 1972, 22, № 2 254—296.
2§8. — A characterization of L„(q) as a permutation group. Math. Z., 1972, 127,
№ 4, 301—314.
229. — Normal structure of the one-point stabilizer of a doubly-transitive
permutation group. I, II. Trans. Amer. Math. Soc, 1975, 214, 1—42, 43--74.
230. — Some evidence for the existence of a new simple group. Proc. London Math.
Soc, 1976, 32, № 3, 421—479.
231. — Local properties of sporadic groups (unpublished).
232. Parrott D. On the Mathieu groups M22 and M33. J. Austral. Math. Soc.f
1970, 11, №1,69—81.
233. — A characterization of the Tits' simple group. Can. J. Math., 1972, 24, № 4,
672—685.
234. Parrott D., Wong 6. K. On the Higman—$ims simple group of order 44, 352,
006. Pacif. J. Math., 1970, 32, № 2, 501—516.
235. Patterson N. On Conway's group .0 and some subgroups. Ph. D. thesis,
University of Cambridge, 1974.
236. Phan K.-W. A characterization of the finite simple group t/4(3). J. Austral.
Math. Soc, 1969, 10, №> 1—2, 7?—94.
237. — On groups generated by three-dimensional special unitary groups. I, II.
J. Austral. Math. Soc, 1977, A23, № 1, 67—77; № 2, 129—146,
338
Литература
238. Ree R. A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of
type (F4). Amer. J. Math., 1961, 83, № 3, 401—420.
239. — A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type
(G2). Amer. J. Math., 1961, 83, № 3, 432—462.
240. — Classification of involutions and centralizers of involutions in certain simple
groups. Proceedings of the First International Conference on the Theory of
Groups "(Canberra, 1965), Gordon and Breach, New York, 1967, 281—301.
241. Reifart A. On finite simple groups with large extraspecial subgroups. I, II.
J. Algebra, 1978, 53, № 2, 452—470; 54, № 1, 273—289.
242. Rowley P. Characteristic 2-type groups with a strongly closed 2-subgroup
of class at most two. J. Algebra, 1981,. 71, № 2, 550—568.
243. — Finite groups which possess a strongly closed 2-subgroup of class at most
two. I, II. J. Algebra, 1981, 73, № 2, 434—470; 471—517.
244. Rudvalis A. Evidence for the existence of a simple group of order 145, 926,
144, 000 (unpublished).
245. Schur I. Untersuchen tiber die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebro-
chenen linearen Substitutionen. Crelle J., 1907, 132, 85—137.
246. — Uber die Darstellungen der symmetrischen und alternierenden Gruppen durch
gebrochenen lineare Substitutionen. Crelle J., 1911, 139, 155—250.
247. Scott W. R., Gross F., eds. Proceedings of the Conference on Finite Groups,
Academic Press, New York, 1976.
248. Seitz G. M. Properties of the known simple groups. Santa Cruz Conf. Finite
Groups. Santa Cruz, Calif., 1979. Providence, R. I., 1980, 231—237.
249. — The root groups of a maximal torus. Santa Cruz Conf. Finite Groups. Santa
Cruz, Calif., 1979. Providence, R. I., 1980, 239—241.
250. — Generation of finite groups of Lie type. Trans. Amer. Math. Soc, 1982,
271, № 2, 351-407.
251. Shult E. On a class of doubly transitive groups. 111. J. Math., 1972, 16,
jvjb 3, 434—445.
52. — On the fusion of an involution in its centralizer (unpublished).
53. Gagen Т., Hale M. P., Jr., Shult H. E., eds. Finite Groups'72. Proc.
Gainesville Conf., March 23—24, 1972. Amsterdam—London, North-Holland
Publ. Co., New York, American Elsevier, 1973, 158 pp., ill.
254. Sims Ch. C. Graphs and finite permutation groups. I, II. Math. Z., 1967, 95,
№ 1, 76—86; 1968, 103, № 4, 276—281.
255. — The existence and uniqueness of Lyons" group. Finite Groups'72. Proc.
Gainesville Conf., 1972. Amsterdam e. a., 1973, 138—141.
256. — The existence and uniqueness of O'Nan's group (unpublished).
257. Smith F. L. Finite groups whose"; Sylow 2-subgroups are the direct product of
a dihedral and a semi-dihedral group. 111. J. Math., 1973, 17, № 3, 352—
386.
258. — Groups whose Sylow 2-subgroups are the direct product of two
semi-dihedral groups. 111. J. Math., 1973, 17, № 3, 387—396.
259. — A characterization of the .2 Conway simple group. J. Algebra, 1974, 31,
№ 1, 91—116.
260. — On transitive permutation groups in which a 2-central involution fixes
a unique point. Commun. Algebra, 1979, 7, № 2, 203—218.
261. Smith S. D. Large extraspecial subgroups of widths 4 and 6. J. Algebra, 1979, 58,
№ 2, 251—281.
262. — A characterization of orthogonal groups over GF(2). J. Algebra, 1980, 62,
№ 1, 39—60.
263. — A characterization of finite Chevalley and twisted groups of type E over
GF(2). J. Algebra, 1980, 62, № 1, 101—117.
264. Solomon R. Finite groups with intrinsic 2-components of type An. J.
Algebra, 1975, 33, № 3, 498—522.
265. — Maximal 2-components in finite groups. Commun. Algebra, 1976, 4, № 6,
561—594,
Литература 339
266. — 2-signalizers in finite groups of alternating type. Commun. Algebra, 1978,
6 N° 6 529 549
267. StantonVTheMathieu groups. Canad. J. Math., 1951, 3, 164—174.
268. Stark B. S. Another look at Thompson's quadratic pairs. J. Algebra, 1977, 45,
№ 2, 334—342.
269. Steinberg R. Variations on a theme of Chevalley. Pacif. J. Math., 1959, 9,
№ 3, 875—891.
270. — Automorphisms of finite linear groups. Canad. J. Math., 1960, 12, № 4,
606—615.
271. — Generateurs, relations et revetements de groupes algebriques. Colloq. theor.
groupes algebr. Bruxelles, 1962. Louvain—Paris, 1962, 113—127.
272. — Lectures on Chevalley groups. Lecture Notes, Yale University, 1967—1968.
[Имеется перевод: Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле.— М.: Мир,
1975.]
273. — Endomorphisms of linear algebraic groups. Mem. Amer. Math., Soc, 1968,
№ 80, 108 pp.
274. Stellmacher B. On graphs with edge-transitive automorphism groups (to
appear in Illinois J. Math.).
275. Suzuki M. The nonexistence of a certain type of simple groups of odd order.
Proc. Amer. Math. Soc, 1957, 8, № 4, 686—695.
276. — Finite groups with nilpotent centralizers. Trans. Amer. Math. Soc, 1961,
99, № 3, 425—470.
277. — Applications of group characters. 1960 Inst. Finite Groups, Pasadena,
Calif., Amer. Math. Soc, Providence, R. I., 1962, 101—105.
278. — On a class of doubly transitive groups. I, II. Ann. Math., 1962, 75, № 1*
105—145; 1964, 79, № 3, 514—589.
279. — On characterizations of linear groups. III. Nagoya Math. J., 1962, 21, Dec?
159—183.
280. — A characterization of the 3-dimensional projective unitary group over a
finite field of odd characteristic. J. Algebra, 1965, 2, № 1, 1—14.
281. — A simple group of order 448 345 600. Finite Groups, A Symposium, R. Brauer
and С Sah, eds., Benjamin, New York, 1969, 113—119.
282. — Characterizations of linear groups. Bull. Amer. Math. Soc, 1979, 75, № 6,
1043—1091.
283. — Characterizations of some finite simple groups. Actes Congr. int. mathema-
ticiens, 1970. T. 1. Paris, 1971, 371—373.
284. — A characterization of the orthogonal groups over finite fields of
characteristic two. Finite Groups, Symposium, N. Iwahori, Japan Soc. for Promotion
of Science, Tokyo, 1976.
285. Tate J. Nilpotent quotient groups. Topology, 1964, 3, Suppl. № 1, 109—111.
286. Thompson J. G. Normal p-complements for finite groups. Math. Z., 1960, 72,
№ 4, 332—354.
287. — 2-signalizers of finite groups. Pacif. J. Math., 1964, 14, № 1, 363—364.
288. — Factorizations of p-solvable groups. Pacif. J. Math., 1966, 16, № 2, 371—
372.
289. — Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable. I—
VI. Bull. Amer. Math. Soc, 1968, 74, № 3, 383—437; Pacif. J. Math., 1970,
33, № 2, 451—536; 1971, 39, № 2, 483—534; 1973, 48, № 2, 511—592; 1974,
50, № 1, 215—297; 1974, 51, № 2, 573—630.
290. — Toward a characterization of El(q). I, II, III. J. Algebra, 1967, 7, № 3,
406—414; 1972, 20, Nq 3, 610—621; 1977, 49, № 1, 162—166.
291. — Notes on the Я-conjecture (unpublished).
292. — Fixed points of p-groups acting on p-groups. Math. Z., 1964, 86, № 1, 12—13.
293. — Quadratic pairs. Actes Congr. int. mathematiciens, 1970. T. 1. Paris,
1971, 375—376.
294. — Simple З'-groups, Symp, math, 1st, naz, alta mat, Conv. nov,-dic, 1972,
B40 Литература
Vol. 13. Academic Press, London—New York, 1974, 617—530; balance
unpublished.
295. — A simple subgroup of E8(3). Finite Groups, Symposium, N. Iwahori, Japan
Soc. for Promotion of Science, 1976, 113—116.
296. — A conjugacy theorem for E8. J. Algebra, 1976, 38, № 2, 526—530.
297. — Uniqueness of the Fischer—Griess monster. Bull. London Math. Soc,
1979, 11, № 3, 340—346.
298. — Some numerology between the Fischer—Griess monster and the elliptic
modular function. Bull. London Math. Soc, 1979, 11, № 3, 352—353.
299. — Timmesfeld F. G. Eine Kennzeichnung der linearen Gruppen iiber GF(2).
Math. Ann., 1970, 189, № 2, 134—160.
300. — A characterization of the Chevalley- and Steinberg-groups over F2. Geom.
dedic, 1973, 1, № 3, 269—321.
301. — Groups generated by root—involutions. I. J. Algebra, 1975, 33, № 1, 75—
134.
.302. — Groups with weakly closed TI—subgroups. Math. Z., 1975, 143, № 3, 243—
278.
303. — Finite simple groups in which the generalized Fitting group of the central!-
zer of some involution is extraspecial. Ann. Math., 1978, 107, № 2, 297—
369.
304. Tits J. Theoreme de Bruhat et sous-groupes paraboliques. C. r. Acad. Sci.,
1962, 254, № 16, 2910—2912.
305. — Groupes simples et geometries associees. Proc Internat. Congr. Math. Aug.
1962, Dfursholm. Uppsala, 1963, 197—221.
306. — Algebraic and abstract simple groups. Ann. Math., 1964, §0, № 2, 313—329.
307. — Buildings of spherical type and finite BN-pairs. Lect. Notes Math., 1974,
386.
808. Tutte W. T# A family of cubical graphs. Proc. Cambridge Phil. Soc, 1947,
43, 459—474.
309. — On the symmetry of cubic graphs. Canad. J. Math,, 1959, 11, № 4, 621—
624.
810. Wales D. Simple groups of order p. 3*.2&. J. Algebra, 1970, 16, № 2, 183—190.
311. — Simple groups of order 7.3*.2*. J. Algebra, 1970, 16, № 4, 575—596.
312. — Simple groups of order 13.3*.2*. J. Algebra, 1972, 20, № 1, 124—143.
313. — Simple groups of order 17.3*2*. J. Algebra, 1971, 17, № 3, 429—433.
314. Walter J. H. Finite groups with abelian Sylow 2-subgroups of order 8. Invent.
math., 1967, 2, № 5, 332—376.
315. — The characterization of finite groups with abelian Sylow 2-subgroups. Ann.
Math., 1969, 89, 405—514.
316. Ward H. N. On Ree's series of simple groups. Trans. Amer. Math. Soc*
1966, 121, № 1, 62—89.
317. — On the triviality of primary parts of the Schur multiplier. J. Algebra, 1968,
10, № 3, 377—382.
318. Weir A. J. Sylow p-subgroups of the classical groups over finite fields with
characteristic prime to p. Proc. Amer. Math. Soc, 1955, 6, № 4, 529—533.
319. Wielandt H. Primitive Permutationsgruppen von Grad 2p. Math. Z., 1956, 63,
Nt 5, 478—485.
320. — Finite Permutation Groups. Academic Press, New York and London, 1964.
321. Witt E. Die 5-fach transitiven Uruppen von Mathieu. Abh. Math. Semin.
Hamburg, 1937, 12, 256—264.
322. Wong W* J. Determination of a class of primitive permutation groups.
Math. Z.t 1967, 99, № 3, 235—246.
323. — On finite groups whose 2-Sylow subgroups have cyclic subgroups of index
2. J. Austral. Math. Soc, 1964, 4, № 1, 90—112.
324. Zassenhaus H. Kennzeichnung endlicher linearer Gruppen a Is
Permutationsgruppen, Abh. Math, Sem, Hamburg Univ., 1936, 11, 17—40»
Именной указатель
Алперин Дж. Л. 8, 13, 25, 99,
315
Андрилли Стивен 113
Ашбахер Майкл 8, 11, 13, 33, 34,
58, 101, 125, 126, 200, 201, 220,
275, 278—280, 281, 318, 324—326
Бауманн Бернд 280, 286—288
Баумслаг Гилберт 67
Бендер Гельмут 17, 31, 53, 54, 58,
179, 195, 198, 199, 207, 208, 211,
246—251
Бенсон Д. 120
Бёргойн Николас 55, 317, 320
Бернсайд Уильям 44, 52
Блэкберн Норман 59
Бомбьери Энрико 8, 178, 179
Борель Арман 55, 307
Брайц Анита 182
Брауэр Ричард 8, 10, 15, 19, 25,
103, 181, 227, 229—236, 311
Брауэр Эльза 8
Бэр Рейнхольд 122
Вагнер Отто 126
Вейр А. 324
Вейс Р. 106
Виланд Гельмут 114
Геринг Кристоф 155, 17(j
Гилмэн Роберт 8, 226, 249
Глауберман Джордж 8, 13, 31, 165,
208, 229, 231, 233, 234, 237, 239-
241, 243, 246, 247, 252, 280, 286
Голдшмидт Дэвид 57, 202, 207—212,
219, 220, 247—249, 258—262, 280,
285, 295, 321
Горенстейн Д. 5, 6—8, И, 13, 53,
60, 61, 99, 100, 200, 212, 219, 220,
229, 238, 246, 249, 256, 257, 258,
315
Грин Дж. А. 306
Грисс Роберт 8—10, 101, 102, 106,
136, 138, 139, 141, 144, 315, 317
Гроувер Дж. 317
Грюн Отто 263
Делинь Пьер 306
Дембовский Петер 126
Демпвольф Ульрих 135
Диксон Леонард 7С
Дьёдонне Жак 298
Жордан Камилл 181
Зейц Гэри 67, 155, 160, 179, 217, 318,
322, 324—326
Ивахори Нагайоси 55
Ито Н обору 165
Кантор Уильям 67, 155, 160, 179
Картан А. 313
Картер Роджер 55, 324
Клингер Кеннет 22
342
Именной указатель
Конвей Джон 11, 89, 102, 114, 119,
120, 130, 133, 134, 136
Коппель 94
Кострикин А. И. 7
Куперстейн Брюс 275, 276
Кэмпбелл Невиль 280, 294, 295
Кэртис Чарльз 86, 157, 275, 306
Лайенс Ричард 8, 94, 98, 108, 212,
217, 317, 322
Ландауэр К. 114
Лемпкен В. 317
Ленг Серж 303
Леон Джеффри 109, 112, 113, 129
Ливингстон Д. 136
Лич Джон 11
Логинов В. И. 7
Люстиг Георг 306
Мазе П. 317
Макбрайд Патрик 212, 219
Маквильямс Энн 59, 97
Маккей Джон 17, 94, 109, 114, 317
Маклафлин Джон 97, 98, 119, 274
Матье Эмиль 10, 87
Мацу яма Хироси 247
Мейсон Джеффри 22, 275, 276
Мирман М. 106
Мэйсон Дэвид 258
Найлз Ричард 280, 286—290, 292—
294 296
Нортон Саймон 9, 101, 103, 114, 119,
121, 122, 136, 141, 142, 144
Одлизко Эндрю 179
О'Нэн Майкл 8, 100, 109, 169—172,
179, 180, 217, 322
Паркер. Р. 120
Паррот Дэвид 156, 157, 181, 182, 184
Паттерсон Николас 183
Рейфарт Артур 101
Ри Римак 26, 55, 157, 172, 175
Роули Петер 249, 250
Рудвалис Арунас 106, 119, 317
Симе Чарльз 8, «98, 109, ПО, 112,
113, 116, 129, 280, 284—286, 295
Смит Питер 103, 114, 135
Смит Стивен 8, 101, 102, 138, 139,
247
Смит Фредрик 182, 183, 202, 258
Соломон Рональд 98, 220, 247
Спрингер Т. А. 303
Стейнберг Роберт 82, 84, 157, 173,
275, 303, 305—308, 315
Стэнтон Ральф 181
Судзуки Митио 10, 12, 23, 24, 26, 27,
62, 84, 118, 157, 161—169, 178,
179, 198, 227—234
Татт У. Т. 285
Таккрей Дж. 120
Тиммесфельд Франц 31, 33, 101, 102,
127, 128, 129, 202, 262—264
Тите Жак 55, 84, 87, 149, 151, 154,
155, 156, 307
Томпсон Джон 9—11, 13, 23—26,
52, 63, 64, 90, 92, 97, 98, 102, 103,
109, ИЗ, 120, 121, 129, 135, 141,
157, 176—178, 193, 236—339, 241,
244—247, 265—268, 271—273, 317,
320
Торн 136
Уильямсон К. 55
Уолтер Джон 11, 27, 53, 61, 209, 219,
238, 246
Уонг С. К. 98, 182, 184
Уонг Уоррен 108, 181, 285
Уорд Г. Н. 90, 315
Уорд М. А. 94
Уэлс Дэвид 114, 115, 119, 317
Фан Кок Ви 99
Фаулер К. А. 103
Фейн Бартон 67
Фейт Уолтер 9, 10, 23—25, 27, 66,
92, 155, 161, 183, 317
Фендел Дэниел 183
Фишер Бернд 9, 10, 12, 31, 32, 33,
101, 102, 122, 124, 136, 280
Фонг Поль 8, 108, 160, 181, 317, 324
Фробениус Георг 23, 44, 52, 158
Фут Ричард 220, 226
Сибли Дэвид 31, 165 Хант Дэвид 8, 179
Именной указатель
Харада Коитиро 11, 37, 60, 103,'109,
114, 172, 220, 256—258
Харрис Мортон 8, 100, 258
Хелд Д. 94, 96, 181
Хигмэн Г. 109, 155, 162, 189, 314.
Хигмэн Дональд 114, 115, 116, 126
142
Холл Маршалл (мл.) 24, 94, 115,
116, 181
Холл Филип 23, 24, 49, 188, 189,
297
Хольт Дерек 180, 202
Хопкинс Марк 178
Хупперт Бертрам 181, 310, 311
Царанов С. В. 7
343
Цассенхауз Ханс 159, 169
Чермак Эндрю 280, 296
Шахер Мйрри 67
Шевалле Клод 10, 61, 70, 302
Штельмахер Бернд 280, 296
Шульт Эрнест 179, 202, 263
Шур Исайя 53, 311—317
Эйленберг С. 313
Янко Звонимир 9, 90, 92, 93, 96,
98, 100, 101, 119, 120, 181, 182,
200, 317
Предметный указатель
автоморфизм 297
— без неподвижных точек 65, 123,
158, 241
— внутренний 317
— графа 173, 317, 318
— диагональный 317
— полевой 317
— пол у простой 305
— поля 305
— Фробениуса 83, 303
алгебра 71, 136
— коммутирующая 142
" — Ли 34, 70, 71, 197, 306, 318
абелева 71
нильпотентная 71
. полупростая 71, 308
простая 72
— Нортона 138, 139
— сплетающих операторов 142
— универсальная обертывающая 77
алгебры Ли базис . Шевалле 70
коммутант 71
подалгебра Картана 71
представление f 1
присоединенное 71
ранг 72
~ целочисленный базис 70
апартамент 152, 154
билдинг 152
блок 169
— Ашбахера 13, 226, 279
— главный 239
— неприводимых характеров 19, 29
— слабый 169
%-блок 282, 283, 286—296
блок-схема ассоциированная
комбинаторная 115
— симметричная 126
— унитарная 169—171
вектор изотропный 299
— решетки типа «132
вес 307.
— старший представления 308
внешний квадрат представления 45
внутренний геометрический анализ 14,
31
выталкивание 280—296
геометрия алгебраическая 302
— амальгам Голдшмидта 286
— графа 125
— группы 32
— естественная 106
— инцидентности 160, 151
— классических групп 298
— окружностей 171
— (Я, #)-пары 151
гипотеза Алперина — Маккзя 66
— Аршина 19
— Фробениуса 23, 158, 241
— Шрейера 319
— Я-гипотеза 13, 15, 320, 323
голоморф группы 179
гомоморфизм алгебраический 302
— перемещения 51, 227
граф 32, 33, 57, 98, 115, 129
— группы 82, 183
— двудольный 295
— коммутирующий 142, 144
Предметный указатель
345
— кубический 285, 295
— несвязный 33
— ориентированный 115, 116, 285
— связный 33
— тривалентный 285
— тройной 125
группа абелева 39
конечно порожденная 311
свободная 311
— алгебраическая 151
— автоморфизмов 39
графа 116
вершинно-транзитивная 285
геометрии 150
— Вейля 73, 86, 149, 153, 165, 302, 324
— Галуа 66, 67
— гомоциклическая 40
— Грисса — Фишера (монстр) 101, 136
— дважды транзитивная 18, 155,
157—180, 182
— диэдральная 30, 40, 103, 220
— знакопеременная 30, 46, 180, 217,
315
— квазидиэдральная 18
2-силовская 168
— квазипростая 53
— квазитонкая 63
— кватернионная (обобщенно) 30, 40
— классическая 114, 298
— когомологий вторая 310
— Кокстера 85, 149, 153, 154
— компонентного типа 13, 56, 62
— Лаенса 97, 108, 114
— Ли односвязная 79
— линейная общая 18
специальная 18
проективная 18
алгебраическая 298, 302, 303—
310
— линейно р-устойчивая 237, 242
— р-устойчивая 238
— Мякдафлина 119
— накрывающая 53
универсальная 53, 312
— небольшая 297, 327
— некомпонентного типа 57, 214
— нильпотентная 30
— О'Нэпа 94, 99, 104, ПО, 114
— ортогональная 299, 301
— перестановок 18, 46
дважды транзитивная 13
степень 46
примитивная 46, 280, 284, 285,
286
ранга 3, 11, 106, 114
транзитивная 11, 18, 115
^-транзитивная 18
трижды транзитивная 18
— полупростая 54, 302
— порожденная нечетными
транспозициями 33, 108.
3-транспозициями 33
— примарная (р-группа) 40, 48
— проективная специальная
унитарная 30
— простая знакопеременная 180
спорадическая 181
— разрешимая 18, 24, ~187, 596
— редуктивная 302
— Рудвалиса 106, 119
— сбалансированная 214, 217
локально 214
— ^-сбалансированная 218
локально 217
— сильно 2-сбалаксированная 220
— свободная 311
— связная для простого числа р 67
— 3-связная 219
' — симметрии 73
— симметрическая 18, 32, 46
— симплектическая 172, 299, 301
— симплектического типа 50, 64
— р-скованная 42
— скрученная 82, 172, 175, 303, 315
— слитно-простая 236
— совершенная 39, 190
— с (£, ЛО-парой 149—157, 295
расщепимой 149, 155, 250
сильно 159
нечетного унитарного
типа 168
ранга 1 179
— сплетенная 18
2-силовская 168
— Судзуки спорадическая 118, 119
— типа Л 102
характеристики р 62, 239
2 214 226
— OF (2)-типа 64, 100, 101
— Томпсона спорадическая 64, 100,
101
— тонкая 63
— Фробениуса 23, 24, 156, 158, 159
ядро 23
дополнение 23
— Харады спорадическая 94
— Хелда спорадическая 96, 114
— Хигмэна — Симса спорадическая
95, 119
— циклическая 39
— четверная 40
— элементарная 40, 106
— ядерно-отделенная 220
С-группа 165, 166, 167
346
Предметный указатель
/(-группа 27
— простая 146
W-rpynna 26
р-труппа 40, 48
— максимального класса 50
— симплектического типа 50
— специальная 49,. 192
— экстраспециальная 49, 192
Z-группа (группа Цассенхауза) 158—
180
группы Конвея 95, 130, 182
— Матье 87, 157, 181
— типа Ри 176—180
— Ри 157, 176—180,- 303, 315
— Судзуки 157, 172, 175, 303, 315
2-группы 314
— типа Ли 10, 26, 34, 70, 84, 146, 147,
155, 217, 298, 302, 306, 315
— Фишера 92, 108, 109, 114, 122, 129
— Цассенхауза (Z-группы) 158—180
— Шевалле 78, 295, 307
вариации Стейнберга 84
конечные 79, 309
присоединенные 79
универсальные 79, 157, 315
— Янко90, 96, 100, 114, 119-122, 318
действие 39
— регулярное 180
— полурегулярное 180
диаграмма Дынкина 75, 76, 173, 318
связная 75
дифференцирование алгебры 76
нильпотентное 76
экспонента 76
дополнение 40
— нормальное 42
— ортогональное 299
единственность группы 28, 93, 96, 97,
101, 105, 106, 141, 144
естественное представление 275
естественный модуль 275
зависимость 46
задание группы в терминах
образующих и соотношений 48
изометрия 301
изотропность 169
инволюция 103
— изолированная 231
— исключительная 200
— классическая II, 15, 33, 34, 220
— корневая 128
индекс подгруппы 38
интегрирование по контуру 172
камера 152
квадратичная пара 129, 244
квазигруппа дистрибутивная 123
класс корневых инволюций 128
подгрупп 128
— нильпотентности 39
— 3-транспозиций 32
— р-транспозиций 122
— нечетных транспозиций 125
— {3, 4}-транспозиций 127, 129
невырожденный 127, 128
— {3, 4}+-транспозиций 127, 129
— (odd, 4}+-транспозиций 128
классификация 12
когерентное множество характеров 161
код Голея 131
кольцо групповое 233
коммутант группы 39
коммутаторная формула Стейнберга
173
Шевалле 82, 157
комплекс 151
— звезда 152
— камерный 152
толстый 152
тонкий 152
— коразмерность 152
— ранг 152
композиционный ряд 30
компоненты группы 54
— я-компоненты 222
— р-компоненты 222
— 2'-компоненты 222
— связности 302
контроль р-слияния 240, 242
— ^-перемещения 240, 242
копредставление группы 48
корень 302
— подалгебры 72
— положительный 74
— простой 74
— отрицательный 74
корневое пространство 72
корневые инволюции 15, 128
— подгруппы 128
лемма о трех подгруппах 196
— Томпсона о перемещении • 52, 227
тройной факторизации 268
— факторизационная 237
Предметный указатель
347
— Шура 43, 192
Лх£-лемма Томпсона 191
линейная р-устойчивость 237
локальные методы 13
локальный анализ
(теоретико-групповой) 19, 22, 25, 187
2-локальный р-ранг группы 63
матрица инцидентности 115, 142, 143
— Картана 75
— формы 299
— Хигмэна 143, 144
метод Бендера 17, 210, 211, 247—256
— колец Ли 162, 314
— Шрейера 111
— Шрейера — Тодда — Кокстера 111,
113
методы Б pay эра 19, 20
— факторизационные 265
многочлен минимальный 192
квадратичный 237, 244
— неразложимый 66
множество с тривиальным
пересечением (TI-множество) 23, 31
модулярный характер 19
мощность множества 38
мультипликатор Шура 53, 297, 310—
317
невырожденность 298
неразложимая система корней 75
несвязная группа 13, 33, 202
нормализатор подгруппы 30
— подмножества 39
нормальное р-дополненне 52, 227
— замыкание 39
нормальный ряд 18
обобщенные теоремы Силова 24, 188
односвязность 302
определяющее множество группы Вейля
85
ортогональность 299
открытие группы 11, 12
ошибка 16
перестановка нечетная 30
— четная 30
перестановочный ранг 18
периодическая часть группы 311
плоскость гиперболическая 299
плотно вложенная подгруппа 13
подгруппа Бауманна 288
— Бореля 61, 85
— изолированная 325
— Картана 61, 82, 302, 305, 324
— корневая 79, 302
— локальная 25
— р-локальная 25
— максимальная 25, 30
— нормальная 17, 38
— параболическая 61, 86, 149, 324
максимальная 87
минимальная 87, 150
— плотно вложенная 325
ограниченная 326
— регулярная 158
— сильно вложенная 26, 27, 58, 196 ~
202
— собственная 38
— субнормальная 38
— Томпсона 237—239
— Фиттинга 39
обобщенная 54
— фокальная 51
— Фраттини 39
— характеристическая 38, 280—296
— холловская 188
подкомплекс 151
полное множество определяющих
зависимостей 47
соотношений 47
полярность 117
порождаемость 297, 321
порождение 38
порядок группы 18
— элемента 18
построение группы 11, 28, 106, 134
представление алгебры Ли 71
присоединенное 71
— группы над полем 29
вполне приводимое 43
индуцированное 30
комплексное 32, 306
— - степень 29
— компоненты 43
неприводимые 43
— линейное 43
— модулярное 29, 297, 306, 327
— неприводимое 29
— обыкновенное 29
— ограничение 42
— перестановочное 4(5
степень 46
^-транзитивное 46
— приводимое 29
— рациональное 307
основное 309
848
Предметный указатель
— самосопряженное 44
— сопряженное 44
— Стейнберга в терминах
образующих и соотношений 167
—точное 42
— целочисленное 184
присоединение автоморфизма 40
проблема Виланда 66
проблемы о стандартных формах 185
проективное пространство 126, 150
проективная прямая 88
произведение слияний 268
— групп полупрямое 40
прямое 40
центральное 40
простая группа минимальная 11, 13, 22
пространство весовое 307
— невырожденное 298—300
— ортогональное 300
— проективное 126, 150
— симплектическое 300
простые группы известные 70
-^ порядки 145
радикал 302
раздутие 226
разложение Брюа 86, 86, 802
ранг без кручения 312
ранг группы 311, 312
нечетный 2-локальный 63
Вейля 85
лиевский 86
— р-группы 40, 48
— — нормальный 59
< секционный 59
р-ранг группы 60
нормальный 60
« секционный 60
рассуждение Фраттини 189
— «три против двух» Томпсона 268
расширение нерасщепляемое 40
— расщепляемое 40
— центральное 41
совершенное 41
ревизия классификации 17
решетка 78, 130
— корневая 130
— Лина 11, 130, J31
— рациональная 130
— унимодулярная 130
— целочисленная 130, 184, 806
евклидова 11
ряд композиционный 30
— нижний центральный 39
— нормальный 18
— производный 39
сбалансированность 213—227, 297, 321
^-сбалансированность 222, 224
^/-сбалансированность 224
L2/-сбалансированность 224
связность 302
семейство сопряжения 228
сечение 38
сигнализатор 196, 297, 326
сигнализаторный функтор 24, 202—212
замыкание 207
полный 207
— разрешимый 207
ядерно-отделенный 259
сильная замкнутость 248, 249
симметрический квадрат
представления 46
система образующих группы 38
— троек Штейнера 89, 116, 131, 132
— факторов 315
скручивание 82
— троичное 83
слабая замкнутость 262—265
слабое замыкание 262
след матрицы 29
слияние 227—236, 297, 324
р-слияние 227
слово в образующих 47
я-слой 222
р-слой 222
2'-слой 222
смежный класс 18
сомножители Леди параболической
подгруппы 87
соответствие Брауэра 229
соотношения 47
— Кэртиса—Стейнберга 155, 324
сопряженность подмножеств 30, 228
сопряженный класс 34, 305, 324
сплетение групп 41
спорадическая группа 9, 10, И. 31,
87t 184, 217, 3f7
стабилизатор 46
— Л-точечный 46
— ^-точечный 46
степень группы перестановок 18
строение подгрупп 297, 3g4
структурное уравнение группы 163,
166, 167, 176
сумма ортогональная 299
существование группы 28, 93, 96, 101,
105, 106
таблица характеров 32, 34
тензорное произведение 45
теорема Алтрина о слиянии 227
Предметный указатель
349
— простых группах 2-ранга 2
234
— Ашбахера 201, 282, 325
— Б ауманна — Найлза 287
— Безу 179
— Бендера 156, 165, 197, 200
— Бернсайда 227
paqb- 247, 250—256
— Биркгофа — Витта 77
— Бореля — Титса 55, 62, 293, 324
— Брауэра 26, 106, 235
вторая основная 229, 230, 233
— Брауэра — Судзуки — Уолла 161
— Брауэра—Фаулера 103, 105
— Бэра— Судзуки 126, 227—231
— Витта 170, 301, 302
— Глаубермана 223
Z*- 98, 201, 227, 325
ZJr 237—240
— Глаубермана — Найлза 287
— Голдшмидта 262
о произведении слияний 220
слиянии 228
— Горенстейна — Уолтера 27
— Грюна 263
— Дембовского 170
— Л. Диксона 238
— единственности 24, 195
— Жордана — Гёльдера 30
— Зейца—Фонга 155
— И то 165
— классификационная для конечных
простых групп 146
— Клиффорда 44
— Ленга. 304
— Машке 43
— о классической инволюции 1, 15,
33, 34, 220
— О'Нэна о строении дважды
транзитивных групп 179
—. о сигнализаторном функторе 207
разрешимом 208
неразрешимом 212
фокальной подгруппе 240
— распознавания 148—186
— Силова 30, 104
— Симса — Татта 295
— Судзуки 169, 171
— Тиммесфельда 130
*- о корневых инволюциях 128,
264
— Томпсона 26
о квадратичных п§рах 244
— Томпсона — Фейта ГО, 23, 29, 31,
197, 285
— транзитивности 24, 194
— Фейта 161, 167, 183
— Фиттинга 54
— Фишера 124, 125
— Фробениуса 52, 63, 104, 227
о взаимности 107
— Хигмэна 167, 235
— Холла — Хигмэна 189, 190, 192
— Ф. Холла 50
— Цассенхауза 159, 161, 164
— Цассенхауза — Шура 61
— Шевалле о целочисленном базисе 74
— Шрейера 30
— Шура 312, 313
теория блоков 165
— Брауэра — Судзуки
исключительных характеров 25, 31, 98
— выталкивания 13, 279—296
— исключений 178
— Я-групп 27, 296, 327, 328
— Ли 302
— представлений 19
Кэртиса — Стейнберга 275,
306
простых алгебр Ли 174
— характеров 19
Брауэра 92
р-блоков 106
топология 302
— Зарисского 302
тор 302
транзитивное расширение 116
трансвекция 123, 274
транспозиция 29, 122
тройное отображение 125
трюк Брауэра 107; 182
устойчивость 236—245
факторгруппа 17
факторизация Томпсона 250, 265—268,
271
отсутствие 250, 273—379
— Глаубермана 272, 273
факторпредставление 42
факторы композиционные 30
— нормального ряда 18
флаг 100, 150
форма билинейная 50, 172, 298
— Киллинга 35, 71, 135, 197
— кососимметрическая 50, 172, 298
— невырожденная 50, 172, 298
— симметрическая 71, 298
— эквивалентная 299
т- эрмитова 169, 301
формула Томпсона аля порядка группы
102, 103, 182
350
Предметный указатель
функтор р-сопряженности 243
функция рациональная 307
характер группы 29
— индуцированный 30
— неприводимый 29
— приводимый 29
— степень 29
характеры исключительные 23, 31
— модулярные 29, 165
холловская подгруппа 23
центр группы 18, 39
централизатор инволюции 10, 25, 55,
94, 184
— подмножества 18, 39
— элемента 25, 297, 319—321
полу простого 55
ширина экстраспециальной группы 49
эквивалентные представления 43, 46
экспонента группы 49
элемент полу простой 305
элемент р-центральный 42
— унипотентный 305
эллиптическая модулярная функция 17
эндоморфизм алгебраический 302, 305
ядро представления 42
— ^-порожденное 58, 219
— собственное 2-порожденное 33, 57,
200
— характеристически порожденное
226, 282
р-ядро ^-порожденное 58
р'-ядро 42
Оглавление
От "редактора перевода ♦ » • б
Благодарности , . , . , , , , 6
ВВЕДЕНИЕ 9
Гл. 1. ЛОКАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ЧЕТЫРЕ ЭТАПА КЛАССИФИКАЦИИ 19
1.1. От теории характеров к локальному анализу 19
1.2. Внутренний геометрический анализ 31
1.3. В чем причины беспрецедентно большого объема?
1.4. Некоторые стандартные результаты и терминология
1.5. Схема доказательства 53
1.6. Четыре этапа классификации •. . 64
1.7. Следствия классификации 65
1.8. Будущее теории конечных групп 67
Гл. 2. ИЗВЕСТНЫЕ ПРОСТЫЕ ГРУППЫ 70
2.1. Группы типа Ли 70
2.2. Группы Матье 87
2.3. Первая группа Янко 90
2.4. Спорадические группы из централизаторов инволюций 94
2.5. Построение спорадических групп на ЭВМ 106
2.6. Спорадические группы и группы перестановок ранга 3 114
2.7. Группа Янко /4 119
2.8. Транспозиции и группы Фишера 122
2.9. Решетка Лича и группы Конвея 130
2.10. Группа Грисса — Фишера Т7! 136
2.11. Список известных простых групп и их порядков 146
2.12. Формулировка общей классификационной теоремы 146
Гл. 3. ТЕОРЕМЫ РАСПОЗНАВАНИЯ 148
3.1. Группы типа Ли 149
3.2. Дважды транзитивные группы 157
3.3. Знакопеременные группы 180
3.4. Спорадические группы ..,,,.* 181
Гл. 4. ОБЩИЕ МЕТОДЫ ЛОКАЛЬНОГО АНАЛИЗА 187
4.1. Разрешимые группы .,.,»,.,.. 187
4.2. Сильная вложенность .,.•••.....,,,,,,.,,.. 196
352
Оглавление
4.3. Сигнализаторные функторы 202
4.4. fc-сбалансированные группы ' 213
4.5. L-сбалансированность 22Г
4.6. /7-слияние 227
4.7. Устойчивость и характеристические подгруппы для нечетных простых
чисел 236
4.8. Метод Бендера, силовские 2-подгруппы небольшого класса, сильное
замыкание и ра ^-теорема 245
4.9. Произведение слияний и сильное замыкание 256
4.10. Слабое замыкание и множества с тривиальным пересечением .... 262
4.11. Факторизации и З'-группы 265
4.12. Отсутствие факторизации Томпсона 273
4.13. Выталкивание, блоки Ашбахера и локальная C(G\ Г)-теорема . . . 279
4.14. Свойства ^-групп:. общие факты , , , 296
4.15. Свойства /(-групп: специфические утверждения 310
Литература 329
Именной указатель 341
Предметный указатель , , ,,,..,,,.. 344
Дэниел Горенстейн
КОНЕЧНЫЕ ПРОСТЫЕ ГРУППЫ
Введение в их классификацию
Научный редактор Г. М. Цукерман. Мл. научный редактор Э. И. Качулина. Художник
И. П. Козлов. Художественный редактор В. И. Шаповалов. Технический редактор
И. М. Кренделева. Корректор С. А. Денисова
ИБ № 4005
Сдано в набор 30.11.84. Подписано к печати 03.04.85. Формат 60X907*0. Бумага
типографская № 1. Гарнитура латинская. Объем 11 бум. л. Усл. печ. л. '22. Усл. кр.-отт. 22.
Уч.-изд. л. 23,16. Изд. № 1/3139. Тираж 5250 экз. Заказ № 625. Цена 2 р. 50 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР». 129820, ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский пер., 2
Отпечатано в Ленинградской типографии JS& 2 головном предприятии ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении
Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли, 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский
проспект, 29, с матриц МПО «Первой Образцовой типографии» Союзполиграфпрома при
Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
113054, Москва, Валовая, 28