1•
'
,
·.
~
:м. ГАУСИJ 1\.ЛАI<ЕР
Активные фильтры .
с переключаемыми
конденсаторами
Перевод с английского В. Д. Разевига
мо редакцией. В.И. Напустяна
®
.l\'Iocкaa пРАдИО И СВЯЗЬ'' 19Вб

MODJВIRN JFПILTIEIR DJВ§IGN
Active RC
and
Switched Capacitor
м.s. GHAUSl
John F. Dodge Professor of Engineering
Oakland University
K.R. LAKER
Member of Technical Staff
Supervisor, Networks and Signa/ling Group
Be/l Telephone Laboratories
PRENТICE-JIALL, INc., Englewootl Cliff's, NJ 07632

ББК 32.84
г24
УДК 621.372.57.018.782
Редакция переводной литературы
Гауси М., Лакер К.
Г 24 Активные фильтры с персключае:-v~ыми конден-
r
саторами: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1986. -
168 с.: ил.
Книга американских авторов пuсвящсна реализации активНDIХ
фильтров с нереключае\1:ыми 1,,.(JH"LE'JJLaтupaын Приведены эквива.1ент·
ные сх.емы для этнх фильтров, LИН П:'Jиропаны 'Шc_IILЯ !!cpвuro н нторо• r>
порядков. Проаиализнрованы С\.емы геа.1ЫIЫ'\. J13Pilbl'B tt.и.1ьтров rаз·
личных типов, рассмотрены особенности 11'1. uримt>11f'11ни Дан пример
разработки фильтра, 11Jготов~1енноrо по ин1L~гральной \>\ОП тсх1ю1огни
Для инженерно те"\нических работников, 1аничающ~1лс11 nроектн
рование\1: и применение\[ ф11.1r..тров с переk.лючJе\1Ыми KOH1,f'Hl -1ro 1Ja"\1.1
2402020000-116 77 -86
046(01)-86
ББК 32.84
© 198! Ьу Bell Те!ер!юпе Laboratuпes, !пс.
© Перевод на русский язык, предис.1овис к
русскому изμ_анню, примечания перевод­
чика и редактора, 11з,tате.1ьство «Радио
И СВЯЗЬ», J986

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Технологам и разработчикам радиоэлектронной
аппаратуры до недавнего времени не удавалось создать
полностью интегральные частотно-избирательные устрой­
ства. Применение традиционных LС-цепей, как известно,
исключается, так как катушки индуктивности плохо подда­
ются микроминиатюризации. Плодотворные попытки заме­
ни rь их активными RС-цепя:v~и начались в 60-х годах с по­
явлением недорогих интегральных полупроводниковых опе­
рационных усилителей (ОУ) с удовлетворительными ха­
рактеристиками. В результате были созданы активные RС­
фильтры, получившие широкое распространение в диапа­
зоне частот до десятков килогерц. Классические RС-фпль­
тры требуют создания стабильных прецизионных RС-це­
пей с достаточно большими постоя1шымп времени, что
трудно обеспечить с помощью стандартной микроэлектрон­
ной технологии. Поэтому этот класс фильтров был вопло­
щен на базе дискретных элементов пли в виде гибридных
конструкций, состоящих нз бескорпусных интегральных
ОУ и навесных конденсаторов.
Специфические свойства МОП-техпологии, такие как
возможность получения высококачественных конденсато­
ров с малыми токами утечки и операционных усилителей
с :-.1а"1ыми габаритными размерами и потребляемой мощ­
ностью, привлекли к ней внимание разработчиков филь­
тров. Однако непосредственная интеграция активных RС­
фи"1ьтров с помощью МОП-технологпп сопряжена с рядом
трудностей, связанных, в первую очередь, с получением
больших емкостей и сопротивлений. Так как активные RС­
фпльтры предназначены для диапазона частот до десят­
ков килогерц, то потребуются постоянные времени не ме­
нее 1о- 5 с. МОП-конденсаторы занпмают на кристалле
настолько большую площадь, что, как правило, нецелесо­
образно получать емкости более 50 пФ. Следовательно,
5

потребуется большое сопротивление резисторов (не менее
1 МОм), получить которое можно только на большой пло·
щади кристалла, кроме того, МОП-резисторы обычно не·
линейны. Другая трудность заключается в том, что абсо·
лютные допуски на емкости (5 ... 1О%) и сопротивления
по МОП-технологии недопустимо велики для создания пре­
цизионных фильтров.
Для преодоления указанных трудностей резистор обыч·
ных активных RС-фильтров можно имитировать цепью,
состоящей из конденсатора небольшой емкости и аналого·
вых ключей, переключаемых с частотой, намного превыша­
ющей частоту сигнала. Так, в конце 70-х годов появилпсь
активные фильтры с переключаемыми конденсаторами -
цепи, состоящие из конденсаторов, аналоговых ключей и
операционных усилителей. Следует заметить, что пример­
но в то же время был найден другой путь создания интег­
ральных полупроводниковых аналоговых фильтров - поя­
вились трансверсальные фильтры на базе приборов с за­
рядовой связью (ПЗС). Однако в настоящее время инте­
рес к ним существенно уменьшился из-за явного преиму­
щества фильтров с переключаемыми конденсаторами. Не­
смотря на то что многие из используемых в настоящее
время способов построения схем с переключаемыми конден­
саторами были разработаны еще 15-20 лет назад (см., на·
пример, [ДIО, Дll]), их открытие следует датировать
1977 г., когда появились первые работы по МОП-фильтрам
на переключаемых конденсаторах.
В 1979 г. появились серийные монолитные микросхемы
этих фильтров. К основным достоинствам фильтров с пе·
реключаемыми конденсаторами относится следующее:
-
возможность реализации по интегральной полупро­
водниковой технологии;
-
простота сопряжения с дискретными и цифровыми
устройствами;
-
возможность программирования (с использованием
конденсаторных матриц с цифровым программированием);
-
малые площадь, занимаемая на кристалле, и потреб­
ляемая мощность.
Сравнительно недавно цепи с переключаемыми конден·
саторами удалось применить и для реализации других, от·
личных от фильтрации, функций обработки сигналов [Дl].
Появляются сложные (до 40 ОУ) устройства в полностью
интегральном исполнении, содержащие наряду с фильтра·
ми узлы АРУ, АПЧ, ЦАП, прецизионные усилители и т. п.
В отечественной литературе вопросы разработки уст­
ройств на переключаемых конденсаторах освещены пока
6

слабо. Предлагаемая вниманию читателя книга является
переводом части книги известных специалистов по актив­
ным фильтрам М. Гауси и К. Лакера «Modern Filter De-
sign. Active RC and Switched Capacitor». В ней впервые
на русском языке систематически излагаются вопросы про·
ектирования МОП-фильтров. Книга написана в форме уче­
бного пособия с множеством примеров, облегчающих по­
нимание специфики рассматриваемого класса цепей, и по
существу является введением в теорию и практику фильт­
ров с переключаемыми конденсаторами. Изложение мате­
риада базируется на аналогии с активными RС-фильтра­
ми, которые названы непрерывными аналоговыми в отли­
чие от дискретно-аналоговых фильтров с переключаемыми
конденсаторами. При этом предполагается, что читатель
знаком с основами теории и практики активных RС-филь­
тров: аппроксимацией частотных характеристик, наиболее
распространенными схемами звеньев второго порядка, ме­
тода~и реализации функций высокого порядка, особенно­
стями применения ОУ в качестве активных элемен­
товит.п.
В книге рассмотрены только основные ограничения, на­
.лагаемые на схемы фильтров МОП-технологией и имитаци­
ей резисторов на основе переключаемых конденсаторов.
Авторы не рассматривают ряд хотя и обычных, но важных
для практики паразитных эффектов, например влияние
быстродействия ключей и ОУ, просачивание тактовых им­
пульсов и т. п. Технологические и топологические аспекты
проектирования фильтров с переключаемыми конденсато­
рами, а также специфические паразитные эффекты обсуж­
дены в многочисленных периодических изданиях (см. биб­
.лиографию в [Дl, Д9J). Предлагаемые методы анализа
и расчета не являются исчерпывающими; с другими мето­
дами, применяемыми при разработке серийных микросхем,
можно познакомиться, обративщись к работам [Дl, ДЗ,
Д8J.
Книга будет полезна специалистам по радиоэлектрони­
ке, а также аспирантам и студентам вузов. Она несомнен­
но будет способствовать внедрению в отечественную радио­
аппаратуру микроэлектронных устройств на переключае­
мых конденсаторах.
В. И. Капустян

ВВЕДЕНИЕ
За последние несколько лет в промышленности
получила широкое распространение МОП-технология про­
изводства интегральных микросхем, обеспечивающая боль­
шую степень интеграции при производстве логических
схем, чем биполярная технология. С ее помощью на од­
ном кристалле большой интегральной схемы (БИС) удает­
ся разместить десятки тысяч МОП-транзисторов. Мини­
мально достижимые размеры отдельных элементов совре­
мснпьrх БИС состав.1яют прпмсрно 1 мкм, и поэтому нет
сомнений, что степень интеграции будет еще более увели­
чиваться с последующим уменьшением стоимости цифро­
вых и аналоговых микросхем.
Характерными свойствами МОП-микросхем являются
способность хранения заряда в узле в течение нескольких
миллисекунд и возможность непрерывного и неразрушаю­
щего считывания заряда. Эти свойства естественны для
МОП-микросхем и поэтому обеспечиваются без специаль­
ных затрат. Впервые они были использованы в динамиче­
ских запоминающих устройствах с произвольной выборкой
и в динамических логических устройствах (например, в ди­
намических сдвиговых регистрах). Хранение заряда впер­
вые применено для обработки аналоговых сигналов в сдви­
говых регистрах на «пожарных цепочках». В этих устрой­
ствах аналоговый сигнал преобразуется в последователь­
ность зарядовых пакетов, каждый из которых пропорци­
онален выборочному значению аналогового входного сиг­
нала. Зарядовые пакеты последовательно проходят через
цепь МОП-конденсаторов; при этом заряд одного конден­
сатора другому передается с помощью МОП-ключей, уп­
равляемых внешним генератором импульсов. Заряды кон­
денсаторов можно, не разрушая, считывать и суммировать
с соответствующими весовыми коэффициентами, реализуя
таким образом дискретный (дискретно-аналоговый) транс-
8

версальный фильтр или фильтр с конечной импульсной ха­
рактеристикой (К.ИХ-фильтр). Приборы с зарядовой свя­
зью (ПЗС), разработанные после «Пожарных цепочек»,
производят подобное преобразование аналогового сигна­
ла, но обеспечивают большую степень интеграции при луч­
ших характеристиках [8]. Детальное рассмотрение фильт­
ров на базе ПЗС выходит за рамки этой книги, более пол­
ную информацию можно найти в (1, 8].
Недавно найден более привлекательный способ постро­
ения дискретных фильтров на МОП-структурах в виде ак­
тивных фильтров с переключаемыми конденсаторами
(switched capacitor filters, SС-фильтры) (9]. Такие фильт­
ры относятся к рекурсивным фильтрам или к фильтрам
с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильт­
ры), поэтому подобно активным .RС-фильтрам их приме­
ние эффективно, когда требуются высокая добротность и
большая степень прямоугольности амплитудно-частотной
характеристики. К.роме того, применение достаточчо высо­
кой частоты дискретизации (порядка 100 кГц и выше) по­
зволяет снизить требования, предъявляемые к аналогово­
му пресе.1ектору, ограничивающему спектр входного сиг­
нала для ослабления эффекта наложения спектров. Спектр
следует ограничивать на частоте, равной половине часто­
ты дискретизации, что можно достичь с помощью относи­
тельно простого активного RС-фильтра второго порядка.
Это является одной из особенностей, которые во многих
практических случаях делают SС-фильтры более предпоч­
тительными, чем фильтры на базе ПЗС.
К.роме того, SС-фильтрам в полной мере присущи до­
стоинства, обусловленные прецизионностью МОП-техноло­
rии. К.ак будет показано далее, коэффициенты передаточ­
ной функции полностью определяются отношением емко­
стей и значением тактовой частоты, задаваемой с большой
точностью кварцевым генератором. Известно, что отноше­
ние емкостей можно выдерживать с точностью около 0,3 %,
их значения при соответствующей схемотехнике могут быть
-оченh малыми, примерно 0,5 пФ. К.роме того, МОП-кон­
денсаторы близки к идеальным: для них характерны очень
малые утечки и высокая температурная стабильность. Не­
маловажно, что прецизионные SС-фильтры могут произ­
водиться по такой же технологии, как запоминающие уст­
ройства типа К.МОП и МОП с каналом п-типа. При этом
аналоговые и цифровые цепи можно размещать на одном
кристалле, обеспечивая, таким образом. возможность ип­
-геграции целых систем на одном кристалле.
В этой работе рассмотрены методы анализа и проек-
9

тирования активных SС-фильтров. Цепи с переключаемы·
ми конденсаторами, как и цифровые фильтры, наиболее
удобно анализировать с помощью z-преобразования. Одна­
ко SС-фильтры являются аналоговыми; так, например, для
них сохраняются понятия полного сопротивления и нагруз­
ки, которые не применяются в цифровых фильтрах. Далее
будет представлена библиотека эквивалентных схем в z-
области, облегчающая анализ и проектирование и, что бо­
лее важно, помогающая уяснить природу цепей с переклю­
чаемыми конденсаторами. Используя эти эквивалентные
схемы, можно анализировать SС-фильтры с помощью об­
щеизвестных методов теории цепей, развитых для непре­
рывных активных цепей. Так же, как и для активных RС­
фильтров, существует множество схем, реализующих за­
данную в z-области передаточную функцию. Некоторые из
них, наиболее интересные и полезные для практического
применения, будут рассмотрены далее.

1. МЕТОДЫ АНАЛИЗА
ЛИНЕйНЫХ ИНВАРИАНТНЫХ
ВО ВРЕМЕНИ ДИСl(РЕТНЫХ СИСТЕМ
Дискретные системы 1 работают с выборочными
значениями сигнала x(kt), которые образуются взятием
выборок из непрерывного сигнала x{t) в моменты време­
ни t=kт,, где k=O, 1, 2, ". Цифровые системы обрабатыва­
ют выборочные значения входного сигнала, который кван­
'Гован по уровню и представлен в виде многоразрядных
кодовых слов. Их выходной сигнал также цифровой. Ди­
скретно-аналоговые системы имеют аналоговый выходной
-сигнал, который восстанавливается по последовательно­
сти выборочных значений. Процесс восстановления являет­
ся обязательной операцией в таких дискретно-аналоговых
системах, как SС-фильтры и фильтры на приборах с за­
рядовой связью. Как будет показано далее, свойства дис­
кретно-аналоговых систем зависят от вида интерполяцион­
ного процесса при восстановлении сигнала.
Следует заметить, что исчерпывающее рассмотрение ди­
скретных систем выходит за рамки данной книги. Здесь
приводятся только элементарные сведения, достаточные
для изучения дискретных фильтров с переключаемыми кон­
денсаторами. Более детальную информацию читатель мо­
жет получить в [ЗJ.
1.1 . ПРОЦЕСС ДИСКРЕТИЗАЦИИ
При идеальной импульсной дискретизации выде­
л11.е1 ся точное значение непрерывного сигнала x(t) в мо­
менты взятия выборок i=kт., в результате чего образуется
последовательность выборочных значений {х (kт,)}. Такая
дискретизация неосуществима на практике, однако ее мож­
но достаточно точно аппроксимировать. Одна из удобных
форм представления процесса дискретизации заключается
в умножении непрерывного во времени сигнала x(t) на
i Дискретные системы подразделяются иа цифровые и дискрет-
1110 аналоговые - Прим. перев.
11

)
f
t
Рис. 1. Представле­
ние процесса дискре­
тизации в виде про­
цесса модуляции
\
дr JO'I 12т Jfr lбr t
периодическую функцию дискретизации s (t), в результате
чего получается дискретизированный сигнал х # (t) (рис.
1,а). Верхний индекс # пока используем для обозначения
дискретизированного сигнала. Далее для кратности этот
индекс опустим и дискретизированный сигнал обозначим 1
1 Это обозначение можно еще более упростить, опустив ссылку в.
явном виде на период дискретизации "t и положив x(k) =x{k-c).
12

через х (kт). Заметим, что процеос дискретизации представ­
ляет собой амплитудную модуляцию, где s (t) - несущее
колебание, а x(t) - модулирующий сигнал.
Сначала рассмотрим идеальную импульсную дискрети­
зацию (рис. 1,6), когда функция дискретизации представ­
ляет собой периодическую последовательность б-импульсов.
Обозначим ее
00
S{)(i)= ~ {)(t-kт).
(1)
k=- oo
Используя обозначения на рис. 1,а, запишем выражение
для дискретизированного сигнала:
x#(,t)=x(t)s(t),
(2а}
т. е.
00
00
х#(t)=х(t) ~ б(t-kт)= 2J х(t)б(t-k-с). (2б)
k=-o o
k=-oo
Учитывая свойства б-функции
"'
Jб(t-kт)dt=1и б(t-k-с)=Оприt=t=kт,
запишем х# (i) как
00
х#(t)= 2J х(kт)б(t-kт).
(3)
k=-o o
Процесс х# (t) представляет собой идеализированный ана­
логовый сигнал в виде последовательности б-функций, пло­
щади которых соответствуют выборочным значениям х (t),
т. е. х (kт). Дискретизация с помощью импульсов, ограни­
ченных по амплитуде и длительности, показана на рис. 1,в;
она анализируется далее.
Периодическую функцию дискретизации разложим в
ряд Фурье:
s (t)=
_iJ Ся eJkwst ,
k=-00
где (1) 8 = 2л/т - частота дискретизации;
1 т;/2
Ся.= -
J s (t) e-Jkwst dt.
't -т:/2
(4)
(5)
Для идеальной импульсной дискретизации, когда s (t): =- ·
=s
6 (t), подставляя (1) в (5), найдем
1 т:/2
k
Ся= -
J Sf> (t)e-J wst dt=
(6)
't -т:/2
,,.
13

Подставляя выражение (4) в {2а), получаем
х#(t)=х(t) iJ ck eJkro8t = iJ ckх(t)eJklD,t •
(7)
fl,:. -o o
k=-- co
Интерпретируем выражение (7) в частотной области. Пре·
образование Фурье непрерывного ограниченного сигнала
обозначим как
F[x(t)] =X(j(I)).
(8)
Тогда преобразование Фурье дискретизированного сигнала
аапишем в виде
Х# (j (!)) = F [х# (t)1 = F [k~-"' Ck х (t)eJkroat] =
"'
=2J
k=- oo
CkF[х(t)eJkrost]= i: CkХ(jro-jk(1)
8
). (9)
k=- oo
Из выражения (9) следует, что операция дискретизации
сопровождается появлением новых спектральных ко:.\шонен­
'l'ОВ, которые образуются смещением полосы частот моду­
.пирующего колебания Х (jro) на частоты, кратные частоте
дискретизации (l)s. Масштабными
коэффициентаии этих
спектральных компонентов служат коэффициенты ряда
Фурье Ck периодической функции дискретизации s (t). Из
выражения (6) видно, что при идеальной импульсной ди­
скретизации все масштабные коэффициенты одинаковы.
Практическую важность выражения (9) проде:_1,10нст­
рируем на следующем примере. Пусть непрерывный сиг­
нал x(t) имеет спектр с ограниченной полосой:
X(jro)=O при l(l)l>roc,
как показано на рис. 2,а. Рассмотрим сначала спектр дис­
кретизированного сигнала, образованного из непрерывно­
го сигнала х (t) при частоте дискретизации ros<2roc. Из
такого спектра, построенного на основании выражения (9)
(рис. 2,6), видно, что при смещении Х (jro) происхо.:~.ит на -
пожение спектров. Эффект наложения вносит неопределен­
ность в спектр Х# (jro) и делает невозможны:-1 восстанов­
ление спектра исходного сигнала Х (j ro). При дискретиза ·
ции сигнала x(t) с частотой ros>2roc эффекта наложения
не происходит (рис. 2,в). В этом случае узкопо,1осный
.спектр Х (jro) может быть полностью восстановлен, ес.1и
дискретизированный сигнал со спектром Х# (jro) пропу·
стить через фильтр нижних частот, амплитудно-частотная
характеристика которого показана на рис. 3. Заметим, что
14

,Ж
~~~~~--~W~c"-~~o~~~w~c,--~~~~~~~~w
а
Рис. 2. Спектры непрерывного сигнала x(t} с ограниченной полосоl
(а), дискретизированного сигнала х# (t) при (J) 1 <2(J)a (6) и прв
(J),>2(1). (в)
рис. 2,в и рис. 3 графически интерпретируют теорему ~
счетов Шеннона [3] 1
•
TeopeAta отсчетов. Функция x(t), имеющая ограничен·
ный спектр X(j(I)) такой, что X(jro),=0 при \ro\>(l)c, где
roc~(l) 8/2, однозначно определяется своими выборочными
значениями, равномерно распределенными и отстоящими
друг от друга на интервал времени -r (-c=2n/ros).
В литературе по теории связи частота 2roc называется
частотой Найквиста.
IH(1wJI
по11ос11 "
ПрОП!JСКl]НШТ
<..:no11oc11
aill'pжuDaнuл
1 В отечественной литературе теорема отсчетов известна как тео­
рема В. А. Котельникова, - Прим. ред.
15

Фильтр, изображенный на рис. 3, часто называют вос­
станавливающим. Очевидно, что чем больше разница меж­
ду частотой дискретизации ffis и верхней граничной часто­
той спектра Юс, тем шире допускается переходная полоса
восстанавливающего фильтра, и, как следствие, могут быть
использованы простые фильтры невысокого порядка.
Более реальная модель процесса взятия выборок непре­
рывного сигнала с помощью импульсов конечной ширины
дает лучшие результаты, чем изображенные на рис. 2.
В этом случае смещенные по частоте компоненты спектра
Х(jю) ослабляются за счет зависимости коэффициентов ря­
да Фурье Ck от номера k. Расчет Ся. по формуле (5) для
прямоугольных импульсов s (t) шириной а, показанных на
рис. 1,в, дает
1 af2
·
2)
с
Г -jl@8tdf- а SIП(kffisа/
я.= -
,
е
-
т -а/2
т
k ros а/2
(1 О)
:Компоненты спектра Х (jю), имеющие при идеальной ди­
скретизации одинаковую интенсивность (см. рис. 2,в), умно­
жаются в рассматриваемом случае на коэффициенты ( 1О),
огибающая 'Которых описывается функцией вида sin (а) /а,
где a=krosa/2. Сигнал х# (t) на рис. 1,г обычно называют
сигналом с амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ).
Заметим, что при использовании функции s (t) с единич­
ной амплитудой, как показано на рис. 1,в, процесс x-t - (t)
воспроизводит х (t).
1.2 . АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ
z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Применение z-преобразования для анализа дис­
кретных систем вызвано теми же причинами, что и приме­
нение преобразования Лапласа для анализа непрерывных
систем. А именно, с помощью z-преобразования разност­
ные уравнения, описывающие дискретные системы, преоб­
разуются в линейные алгебраические уравнения, которые
решаются гораздо проще. Более того, по расположению
нулей и полюсов функции цепи в z-плоскости можно полу­
чить представление о свойствах дискретной системы, а по
передаточной функции в z-плоскости найти амплитудно- и
фазочастотные характеристики дискретной системы. Поэ­
-гому технические требования к дискретным системам, как
:и к непрерывным, могут быть сформулированы в частот­
ной области.
Для того чтобы показать, что z-преобразование естест­
венно при математическом описанип дискретных систем,
Jб

рассмотрим сначала дискретизированный сигнал х# (tJ,
определяемый выражением (3):
00
х#(t)= ~ х(kт)б(t-kт).
(11)
k=-o o
Применив преобразование Лапласа к х# (t), получим
00
X#(s)=~[x#(f)]= 2J 1 x(k•)e-ks,;.
(12)
k=-oo
Как показано далее, в выражении ( 12) удобно сделать за­
мену переменных
z=es,;,
которая преобразует его к виду
00
Х (z)= 2J х (k т)z-k.
k=-o o
(13)
(14)
Функция Х (z) называется z-преобразованием х# (t), где
2 - комплексная переменная. Заметим, что связь между
z-преобразованием и преобразованием Лапласа определя­
ется соотношением ( 13). Для стационарных синусоидаль­
ных колебаний s= jw и z=cJыi;. Так же, как и в преобразо­
наниях Ланла.са., применяют одно- и дву,сто1J<оннее z-преоб­
разования. Они определяются соответственно как
Z1{х(k)}=Х1(z}= ~ х(k•)z-k,
(15а)
11=0
00
Zн{х(k)}=Хн(z)= ~ х(k•)z-k.
(15б)
k=-00
Таким образом, X(z) в соотношении (14) представляет
собой двустороннее z-преобразование последовательности
{х(kт)}. Далее везде считаем, что все сигналы начинают­
ся в момент времени t =О, и поэтому используем односто­
роннее z-преобразование, которое обозначим как Z {х (k't)},
опустив индекс 1.
·
Пример 1. Определим z-преобразование единичного скачка х (t) =
=и(/), где
,
{Одляt<О,
иU1=
1 для t;;:, о.
(16)
Таким образом, x(ki-) = 1 для всех k~O, где i- - период дискретиза­
ц~ш. В соответствии с ( 1Ба) z-преобразонанне пос.1едовательносrи
{х (kт)} опре,_1.сляется выражением
00
Х(z) =2Jz--k,
k=O
(17)
17

которое представляет собой геометрическую прогрессию, сходящуюся
при lzl > 1. По формуле суммы геометрической прогрессии получаеid
X(z) = l/(l-z-1).
(18)
Пример 2. Определим
z-преобразование функции x(t) =
=e-atu(t), дискретнзируемой с периодом т:
х(kт) =e-ak'\ ' для k~O.
( 1!J)
Подставляя (19) в ( 15а), получаем следующее z-преобразование
при JzJ> e-a'I' .
(20)
Линейная инвариантная во времени дискретная систе­
ма с одним входом и одним выходом описывается разно­
стным уравнением вида
N
М
у(kт)+L; Ьпу[(k-n)т]=2, апх[(k-n)т], (21)
n=I
n=O
где у[ (k-п)т] - последовательность выходных, а х[ (k-
-n)т] - входных отсчетов; М и N - ограниченные неот·
рицательные целые числа. В зависимости от вида уравне­
ния (21) дискретные системы подразделяются на два клас­
са. Если коэффициенты Ьп =О для всех п, то дискретная
система называется нерекурсивной. Нерекурсивная систе­
ма известна так же, как трансверсальный фильтр с М+ 1
отводами или как фильтр с конечной импульсной характе­
ристикой (КИХ-фильтр). Если N~ 1 и хотя бы один ко­
эффициент bn=l=O, то дискретная система называется ре·
курсивной системой N-го порядка или фильтром с беско­
нечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтр).
Вычислим z-преобразование обеих частей уравнений
(21), учитывая, что сдвигу дискретной последовательности
на п тактов соответствует умножение z-преобразования на
z-n (Z{x(k-n)} =z-nX(z)", где k=O, 1, 2, ... ):
У(z)(1+~1Ьпz-n)=Х(z)~оапz-n. (22)
Отсюда получаем передаточную функцию
м
18
у (z)
H(z)= -=
Х (z)
~ апz-п
n=O
(23)

которая при описании дискретных систем играет ту же
роль, что Н (s) при описании непрерывных инвариантных
во времени систем. Обратное z-преобразование от Н (z)
представляет собой реакцию системы h (k) на единичный
импульс, которая аналогична импульсной характеристи­
ке непрерывной системы. Числитель и знаменатель переда­
точной функции Н (z) разложим на элементарные множи·
те.1Jи:
н Ь0 (l-~1 z-1
) (l-~2 z-1) ... (1-~м z- 1 )
(z)= (1-а1 z-1) (1-а.2 z-1 ) ••• (1-aN z-1)
'
(24)
где z=pi, z=ai - нули и полюсы передаточной функции
Н (z) соответственно.
Рассмотрим более детально отображение z= es-t и уста­
новим влияние расположения ну"1ей и полюсов переда­
'Гочной функции Н (z) на свойства дискретной системы.
Как было показано, при дискретизации непрерывного си­
гнала с помощью последовательности ()-функций преобра­
зование Фурье X#(jro) дискретизированного сигнала x#(t)
содержит периодически повторяющийся спектр модулиру­
ющего сигнала X(jro). Период повторения спектра X(jro)
равен частоте дискретизации ros. Поэтому знания спектра
модулирующего сигнала Х (j ro) в диапазоне частот -ros/2~
~ro~ros/2 достаточно, чтобы определить спектр Х# (jro)
для всех ro (напомним, что ros=2n/т:) 1• Преобразование
z=es-t однозначно отображает этот диапазон частот на
п.1оскость z. Изучим его более подробно, положив s=
= a+jro, так что
(25а)
Вследствие того, что 1z1 =eai-, справедливы
соотношения:
1zl<1 для а<О,
lzl=1дляа=О,
(25G)
1zl>1 для а>О.
Таким образом, точки оси jro в плоскости s отображаются
в оЕружность единично,:о радиуса, описываемую уравнени­
ем z = eJro-r; точки левои полуплоскости переменной s ото­
vражаются внутрь окружности единичного радиуса. Ли­
нии, параллельные оси jro, отображаются в окружности ра­
диуса lzl =ecrt; линии, параллельные оси а, отображают­
·ся в лучи вида arg(z) =rот, выходящие из точки z=O. На-
i При этом должно также выполняться условие ro,~2roc. - При.и.
riepeв.
19

чалу координат плоскости s соответствует точка z= 1; ось
о соответствует положительной части оси R.e (z). При из­
менении w от -ws/2 до ws/2 значение arg (z) = w-c изменя­
ется -л; до л; радиа~:. Таким образом каждая из после­
довательно расположенных горизонтальных полос плоско­
сти s, ограниченных линиями -wsf2+kros::::(ro::::(ffisf2+kwa
(k=O, 1, ".), отображается на всю плоскость z, при этом
их отображения накладываются друг на друга. Многие из
этих свойств иллюстрируются на рис. 4.
,71Jоскость ;;:
1rm(z}
12.
1
-7
r Rещ
-!
Рнс. 4. Отображение s-пло­
скости в z-плоскость
Анализ расположения нулей и полюсов передаточной
функции Н (z) на плоскости z позволяет установить свой­
ства импульсной характеристики дискретной системы. Рас­
смотрим в качестве примера передаточную функцию пер­
вого порядка
Н (z)= 1/(1-az-I).
(26)
В .зависимости от расположения полюса z=a передаточ­
ной функции возможны различные виды последовательно­
сти отсчетов (рис. 5):
20

1) при а> 1 последовательность расходится (неустой­
чивая система);
2) при а= 1 имеется последовательность единиц (не­
устойчивая система);
Im(zJ
11111112
/. 16111Re!z}
~·=
П11оскость z
Рис. 5. Импульсная характеристика h(k) дискретной
системы первого порядка, описываемой передаточно,1
функцией H(z)=z- 1 /(I-az- 1 ) при a>I (1), a=l (2),
0-<a<I (3), -l<a-<0 (4), а=-1 (5) и а<-1 (6)
3) при О~а< 1 имеется последовательность монотон­
но уменьшающихся чисел (устойчивая система);
4) при -1 <а~О имеется последовательность знако­
переменных чисел, уменьшающихся по модулю (устойчи­
вая система);
5) при а=-1 имеется последовательность единиц, из­
меняющих знак с частотой Шs/2 (неустойчивая система);
6) при а<-1 имеется последовательность знакопере­
менных чисел, увеличивающихся по модулю (неустойчивая
система).
Итак, можно сделать вывод, что полюсы устойчивой ди­
скретной системы располагаются внутри единичного кру­
га. Нули передаточной функции Н (z), расположенные на
оси jw в плоскости s и обеспечивающие нулевую передачу
сигнала, отображаются на единичную окружность плоско­
сти z. Амплитудно- и фазочастотные характеристики диск­
ретной системы находят, подставляя z=ejwt в выражение
для H(z) и рассчитывая модуль и фазу полученной функ­
ции переменной ш. Они определяются выражениями:
G (w)= 20 lg /Н (z)/ lz=eJwt,
ImН(z) 1
<р(w) = arctg --'--'-
Re Н (z) z=eJwt •
(27а)
(27б)
21

где G(ro) в децибелах, <p(ro) в радианах. Например, если
функция Н (z) имеет вид
то
Н (z}=
м
К zN-M П (z-щ)
i=l
i=I
-------
= ----'-----
N
П (1-bt z-1)
i=l
м
N
П (z-bt)
l=I
IKI П leJro't_ail
G(ro)= 20 Jg __
t=_I__ _
_
N
П leJro-; _bi/
l=I
м
<р (ro}= (N-M) wi·+ LJ arg (eJro't_a1)-
i=I
N
-
.2J arg (eJro-; _b 1)=(N-M) ro-r+
i=I
' (28)
(29)
+~arctg sinыт
-
~ arctg sin ы-с
(30)
i=1
COS W't-ai
l=l
COS W't-bt С
Геометрически сомножители функции G(ro) (т. е. eJro't,
eJro't _ai и eJro't _bi) могут быть представлены векторами, на­
правленными из точек z=O, z=щ и z=bi в точку ro-r на еди­
ничной окружности. Следовательно, модуль (29) и фаза
(30) могут быть определены графически аналогично то­
му, как определяется модуль и фаза передаточной функ­
ции непрерывной системы по расположению ее нулей и
полюсов в плоскости s. Поэтому при наличии небольшого
практического навыка модуль и фаза передаточной функ­
ции дискретной системы можно определить непосредствен­
но по карте ее нулей и полюсов в z-плоскости.
Пример 3. Найдем амплитудно-частотную характеристику по кар­
те: нулей и полюсов на рис. 6. Непосредственн0 по этой карте состави.\f
следующее выражение для амплитудно-частотной характеристики:
/ ejro't _eJro,'t / / eJro't_e -Jro2 't/
d2d;
G(ы)=20Ig
.
·
.
=20lg--.•
(31)
\eiro't_,eJro,'tl /eJro't _,e-JUJ,'tl
-
d1d 1
Г!редположим, что входящий в выражение (28) масштабный коэффи­
циент К= 1. Тогда G (ы) вычисляется на основании измерений длинt1
векторов d 1, d*1, d2 и d*2 для каждого значения ыт при движенни
точки ыт по единичной окружности от ы=О (т. е. из точки z=l) до
ы=ы,/2=л/т (т. е. до точки z=-1). Видно, что прн ыт=ы1т длина
22

вектора d 1 минимальна; следовательно, G(ы) на частоте ы 1 достигает­
максимума. Кроме того, при ыт=ы2т G(ы) =0, т. е. на частоте Ы2 ко·
зффициент передачи равен нулю. В связи с тем, что ы2 >ы 1 , карта иу-
Рж. 6. Карта нулей и по­
люсов к примеру 3
!т(:J
.пей и полюсов на рис. 6 описывает фильтр нижних частот с режек·
цией (с ~улями передаточной функции), амплитудно-частот:ная харак•
теристика которого приведена на рис. 7. Эта характеристика построена
](Ыs;z) =IH(z=-IJI
o'----ы~,---'ы~z--~UJs~bl
т=т
Рис. 7. Амплитудно-частот·
ная характеристика G(ы)
фильтра, описываемого кар·
той нулей н полюсов на
рис. 6
в полосе частот от О до ы./2. Поэтому для завершения построения ее
следует периодически продолжить с периодом ы,, как показано na
рис. 8. Заметим, что по карте нулей и полюсов на рис. 6 можно также
Рис. 8. Периодическая ам­
плитудно-частотная харак­
rеристика G(ы), построен­
ная иа основе рис. 7
получить с точностью до масштабного коэффициента К выражение для
передаточной функции в z-плоскости:
К (z-e1fй2"t) (z-e -Jro;t) К [z 2 -(2 cos ~ т) z + 1]
Н~=
=
~
(z-r е1 rо,т) (z-r e-J 001Т)
z2-(2rcos w1т)z+rl
или
23

(33)
Как показано далее, представление передаточной функции H(z) в виде
дробно-рациональной функции переменной z- 1
,
как, например, в вы­
ражении (33), служит естественным описанием дискретных фильтров
с переключаемыми конденсаторами.
l.3. ДИСКРЕТНО-АНАЛОГОВЫЕ СИСТЕМЫ
Первоначально полученное при рассмотрении
идса,11ьной импульсной дискретизации сигнала x(k-r:} z-пре­
образование (14) удобно для анализа дискретных систем,
поскольку описывает изменение их состояния от одной вы­
борки к другой. В дискретно-аналоговой системе входной
и выходной сигналы аналоговые (непрерывные). Выходной
ана.1оговый сигнал восстанавливается без искажений по
его выборкам только при ограничении ширины спектра
входного сигнала, что предотвращает эффект наложения
спектров (см. разд. 1.1). При этом одновременно ограни­
чивается ширина спектра шума, который в противном слу­
чае из-за эффекта наложения был бы перенесен в основ­
ную область частот.
1lростейшим способом восстановления аналогового си­
гнала служит экстраполяцпя нулевого порядка. Импуль­
сная характеристика экстраполятора нулевого порядка или,
другими словами, устройства выборки и запоминания
(УВЗ) имеет вид
ho(т)= {1/тприО~t<т,
(З4)
О при t?т.
Она показана на рис. 9, а сигнал Xr (t), восстановленный
по выборочным значениям х (kт) с помощью УВЗ, - на
Рис. 9. Импульс­
ная характеристн-
1,а устройства вы·
бoph!I н запоми­
нания
24
Рис. 10. Восстановление сигнала с помо­
щью устройства выборки и запоминания

рис. 10. Сигнал на выходе УВЗ сохраняет постоянное зна­
чение на интервале времени между моментами взятия вы­
борок. При достаточно малом периоде дискретизации 't
восстановленный сигнал Xr(t) близок к исходному сш:·на­
лу x(t).
Передаточная функция УВЗ имеет вид
Н0 (s)= (I -e-s•)/(s т},
(35)
а его частотная характеристика
Н0 (j w)=
j(J)';
-
- 2- sin (w't/2)
=е
W't/2
(36)
Амплитудно-частотная характеристика УВЗ \Но (j(J)) 1
описывается функцией sin (х) /х (рис. 11,а), а фазочастот­
ная- линейной зависимостью (рис. 11,6).
а
arg iH0 (;wJ,r 4 7Т
J7Т
27Т
7Т
~~~~J_~-="!-<;;;,---,J,----~-.L~~..L._.jJ
~lй)s
01
Jw5
r=;7Т
r=~;~-511
LJ
Рис. I 1. Амплит)·дно- (а) и фазо•~астотная (б) характерисппш устро/1-
ства выборки н запоминания
Рассмотрим теперь, как спектр сигнала при идеальной
импульсной дискретизации (рис. 2,в) изменяется при вос·
становлении сигнала с помощью УВЗ. Спектр восстанов­
ленного сигнала Xr(jw) равен произведению спектра дис-
25

кретизированного сигнала Х# (jro) на частотную характе­
ристику УВЗ Но (jro};
Hr (j ro) = Х# (jro) Но (jro).
(371
Из ·рис. 12 видно, что в спектре 1Xr (j ro) 1 существенно ·ос­
лаблены высокочастотные компоненты. Кроме того, в ос­
новной области частот спектр восстановленного сигнала
Рис. 12. Спектр снrпала, восстановленного по дискретным выбор­
кам
немного искажен вблизи верхней граничной частоты, что
связано с изменением /Но (j ro) / в пределах главного лепе­
стка. Этими искажениями можно пренебречь при ro 8 /roc>> I.
При более низкой частоте дискретизации дискретный
фильтр проектируется с предыскажениями, т. е. таким об-
разом, чтобы его амплитудно-частотная характеристика
имела подъем вблизи верхней граничной частоты для ком­
пенсации эатухания, вносимого устройством выборки и за­
поминания на этих частотах.
Структурная схема дискретной системы с аналоговыми
входным и выходным сигналами, показанная на рис. 13,
иллюстрирует все основные понятия, рассмотренные в на­
стоящей главе. Для характерных точек схемы приведены
эпюры сигналов.
Вхоо .: ~
Дискретный
~·· t фильтр
~t ~t~t
81Jсстанаь­
л11Ьающ11u
t
'
фильтр
!A-t JLt
Рис. 13. Дискретная система с аналоговыми входным и выходныч
сигналами
26

2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА
z-ПРЕОБРАЗОВАНИй К АНАЛИЗУ ЦЕПЕЙ
С ПЕРЕКЛЮЧАЕМЫМИ
КОНДЕНСАТОРАМИ
Цель настоящей главы состоит в кратком обсуж·
дении основных предпосылок и принципов работы диск·
ретных SС-цепей, рассматриваемых в последующих г.1а·
вах. При этом вводятся основные понятия, и читатель зна­
комится с принятыми обозначениями.
2.1 . СИСТЕМЫ С ДИСКРЕТНЫМИ ФИЛЬТРАМИ
В начале обсудим общие принципы построения:
систем с дискретными фильтрами, предназначенными для
использования в аналоговой аппаратуре (т. е. при аналого­
вых входных и выходных сигналах). Для аппаратурной
реализации SС-фильтров, как и любых дискретных фильт­
ров, этот вариант пр~дставляется наиболее сложным. Стру­
ктурная схема такои системы приведена на рис. 14. Ана·
112
г------------------,
~--~ 1
1 ~-----<
"на11оzо­
дыu П/Jf­
CeЛfl(fll0/]
Фильтр с
: IJ83бх
K0Hf!IJШU/Jlji!!1Ы!1U
коноенсаrпорани
trн, r
'''Ц-,
1
iJдБ
А ~ ""?l'fl.Ьf /
1 6r~:~
1
;;;;/Jл~-
1
!:: t _,_ _1 ../iJ
Рис. 14. Дискретная система с непрерывны\\ ана,1оговым входНЫ\~
и восстановленным аналоговым выходным сиrпалами
логовый входной сигнал поступает на аналоговый прссе­
лектор типа фильтра нижних частот, устраняющий эффект
наложения спектров. Дискретные выборки из аналогового
сигнала с огран1!,ченной полосой берутся с периодом 1/fc, с
помощью устроиства выборки и запоминания (УВЗвх);
они поступают на вход фильтра с переключаемыми конден-
27

са торами (SС-фильтра). Сигнал с выхода SС-фильтра по­
дается на выходное устройство выборки и запоминания
(УВЗвых), изменяющее свое состояние с периодом l/fc N'
и, наконец, на аналоговый восстанавливающий фильтр ниж­
них частот, предназначенный для сглаживания кусочно­
постоянного сигнала. Фильтр с переключаемыми конденса­
торами управляется несколькими последовательностями
тактовых импульсов с частотами повторения fc,, ." , fc н-~ ·
Для уменьшения площади, занимаемой фильтром на кри­
сталле, а также для смягчения требований к избиратель­
ности аналогового преселектора желательно переключать
ФНЧ-звенья фильтра с большей, а ФВЧ-звенья с меньшей
частотой (при этом уменьшается суммарная емкость кон­
денсаторов ФВЧ-звеньев). Если выбрать порядок следо­
вания звеньев так, чтобы ФНЧ-звенья, переключаемые с
частотой fc 2 располагались перед ФВЧ-звеньями, переклю­
чаемыми с частотой fr, <fc" то ФНЧ-звенья исключают
эффект наложения спектров вплоть до частоты fc,/2. За­
метим, что при уУ!еньшении тактовой частоты в рассматри­
вс1емой системе (рис. 14) обычно не требуется дополни­
тельных устройств, так как эта операция, называемая де­
ц11~1зцией, заключается в прорежпванпи выборок. Напро­
тив, при увеличении тактовой частоты (т. е. при интерпо­
ляции) необходимы дополнительные сглаживающие ФНЧ­
.1Бенья. Обычно тактовые частоты отличаются друг от дру­
га в два раза, т. е. fc 1 =fэт/2\ что достигается путем после­
довательного деления эталонной частоты fэт на два [2].
Во многих случаях устройства выборки и запоминания, по­
казанные на рис. 14, являются неотъемлемой частью SС­
фильтра. Поэтому в таких случаях SС-фильтр состоит из
трех блоков, обведенных на рис. 14 штриховой линией. ТII­
пичные частотные характеристики блоков Н1, Н2, Нз, при­
веденные на рис. 14, получены при fc,= ... =fc,=fcн=fc
(целесообразность такого выбора тактовых частот обсуж­
дается далее).
За~~етим, что когда вход или выход SС-фильтра сопря­
гается с другими цифровыми и,ти дискретно-аналоговыми
устройствами, такими как цифро-аналоговые и аналого­
цафровые преобразователи, некоторые блоки оказывают­
ся ненужными. Например, при сопряжении выхода SС­
фильтра с цифровыми устройствами не требуются анало­
говые восстанавливающие фильтры, так как устройства
выборки и запоминания легко согласовываются с цифро­
выми цепями. Однако при сопряжении с цифровыми или
дискретно-аналоговыми цепями требуется синхронизация
28

задающего генератора, который управляет работой SС­
фильтра, с внешними дискретными устройствами. Это до­
стигается с помощью импульсов синхронизации, которые
вырабатываются в задающем генераторе или внешних ус­
тройствах. Необходимость синхронизации обусловлена
главным образом тем, что считывание данных с выхода
SС-фильтра должно производиться после завершения всех
переходных процессов, т. е. в моменты времени, когда вы­
ходное напряжение постоянно.
После обсуждения общей структуры активных дискрет­
ных фильтров перейдем к более детальному изучению соб­
ственно SС-фильтров.
2.2 . ОПИСАНИЕ РАБОТЫ ИДЕАЛЬНЫХ SС-ЦЕПЕИ
Рассмотрим функционирование идеальной SС­
цепи, на вход которой поступают выборки напряжения. Эта
цепь состоит из идеальных конденсаторов, идеальных клю­
чей и идеальных зависимых источников напряжения, уп­
равляемых напряжением (ИНУН). Под идеальными ИНУН
понимаем зависимые источники, имеющие частотно-неза­
висимый коэффициент усиления, или операционные уси­
лители (ОУ) с бесконечным усилением. Известно, что опе­
рационные усилители, изготовленные по МОП-технологип,
характеризуются временем нарастания переходных процес­
сов до уровня 99,9 % от установившегося значения пример­
но 2 мкс и коэффициентом усиления постоянного напря­
жения а 0 не менее 60 дБ [ 1О]. Поэтому при частоте дис­
кретизации менее 250 кГц хорошей моделью для операци­
онного усилителя, изготовлепного по МОП-технологии, слу­
жит ИНУН с коэффициентом усиления а 0 .
Ключи обычно управляются двумя двухфазными непе­
рекрывающимися последовательностями импульсов ере и ср0 ,
следующими с частотой fr= 1/ (2Т), как показано на рис. 15.
Импульсная последовательность (/Je управляет ключом е
так, что он мгновенно замыкается в четные (even) момен­
ты времени 2пТ и находится в замкнутом состоянии на
протяжении четных интервалов времени 2пТ ~,t< (2n+ 1) Т.
Аналогично импульсная последовательность ср 0 управляет
ключом о так, что он замыкается в нечетные (odd) момен­
ты времени (2п+ 1) Т и остается в замкнутом состоянии на
нечетных интервалах времени (2n+l)T~t<2(n+l)T. По­
ложим, что длительности интервалов замыкания и размы­
кания ключей равны и составляют 50 % от длительности
такта, т. е. Т =т:/2. Максимально возможная и минималь­
но допустимая тактовые частоты обычно определяются
29

временем установления переходных процессов в операци·
онных усилителях и различными другими факторами (на·
пример, собственным шумом операционных усилителей,
утечками конденсаторов, частотой Найквиста и эффектом
наложения спектров). В литературе описаны SС-филыры,
В•,1
О f-т~2~1°+-с1'"""т+;,'"'т+5"'т+5'""'тt------ t
Выла
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
а
Рис. 15. Простая цепь, состоя­
щая из конденсатора (а), пе·
реключаемого двухфазными по­
с,1едовательпостями
непере­
крывающихся импульсов (б)
переключаемые с частотой от 8 до 256 кГц. Причем впол·
не реально достичь тактовой частоты 1 МГц, так как с по­
мощью МОП-технологии можно построить операционные
усилители, обладающие временем нарастания переходных
процессов до уровня 99,9% от установившегося значения,
равным примерно 0,5 мкс. Однако при увеличении тактовой
частоты увеличивается диапазон емкостей конденсаторов,
а следовательно, увеличивается площадь кристалла. По­
этому на практике тактовую частоту обычно выбирают не
выше требуемой для достижения необходимой степени за·
щиты от эффекта наложения спектров с помощью просто·
го аналогового преселектора второго порядка. При этом
преселектор должен иметь достаточно высокую частоту
среза, чтобы его влияние на полосу пропускания всего SС­
фильтра было достаточно малым. Предположение о ра·
венстве интервалов замыкания и размыкания ключей еде·
лано только для упрощения 1• Свойства SС-фильтров пол·
ностью зависят от периода переключения и обычно мало
чувствительны к соотношению между длительностью ин·
тервалов замыкания и размыкания ключей (или этого мо·
1 В гл. 4 это ограничение будет снято. - Прим. перев.
30

жно добиться). На практике добиваются, чтобы ключи е
и о никогда не замыкались одновременно, делая импуль·
сные последовательности неперекрывающимися во време·
ни (т. е. скважность •/Т немного больше двух). Одновре·
менное размыкание ключей е и о не влияет на характер
работы SС-цепи, в то время как их одновременное замыка­
ние вызывает нарушение функционирования. Заметим, что
общепринятая система обозначений ключей в цепях с пе­
реключаемыми конденсаторами еще не сложилась. Поэто­
му в литературе используется несколько способов изобра·
жения принципиа.11ьных электрических схем цепей с пере­
ключаемыми конденсаторами. Три наиболее распространен­
ных способа приведены на рис. 15,а; все их будем исполь­
зовать в книге, чтобы приучить читателя к различным обо­
значениям 1.
В соответствии с принятым предположением о способе
переключения предположим далее, что дискретизирован­
ные сигналы на входе и выходе SС-цепи принимают но­
вое значение только в моменты переключения kT. Поэто­
му считаем, что напряжения внешних и внутренних пере­
ключаемых источников принимают новые значения в мn­
!'v1енты времени kT и сохраняют их постоянными в тече­
ние половины длительности такта, т. е. на интервалах вр~::­
мени длительностью Т. При этих предпо.11ожениях для
анализа и синтеза SС-цепей можно применить метод z-
преобразований [I l, 12]. Преобразование z=e8't [3], где
s - комплексная переменная, т=2Т
-
длительность такта,
существенно упрощает анализ дискретных цепей в частот­
ной области (см. гл. I).
Как отмечено в гл. I, при применении метода z-преоб­
разований подразумевается дискретный, импульсный ха­
рактер процесса взятия выборок, как и в цифровых филь­
трах. Поэтому метод z-преобразований позволяет точно
рассчитать соотношения между входными и выходными
процессами в SС-фильтрах только в моменты дискретиза­
ции. Характер аналоговых процессов в SС-фильтрах вну­
три интервалов дискретизации во внимание не принимает­
ся. Эти аналоговые процессы описываются функцией сту­
пенчатой формы, как показано на рис. 16,а. Спектр ана­
логового сигнала восстанавливается по данным расчета
отклика SС-цепи с помощью z-преобразования путем ум-
1 Паразитные ем.кости между обкладюа,ми МОП-конденсатора и
-«землей:. различные. Поэтому способ подключения МОП-кондеисатора
к схеме влияет на ее характеристики. На рис. 115 и далее во всей
1шиге нижняя обкладка изображена дугой. - Прим. пере~.
31

ножения на функцию sin (шт:/2) / (uл:/2) [4], где т: - дли­
тельность такта. При высокой тактовой частоте (шт:~ lJ
процесс дискретизации практически нс влияет на характе­
ристики сигна.1ов в полосе пропускания. Необходимо от­
метить, что строгпй анализ воздействия на SС-цепь произ­
во.'IЬного аналогового сигнала значительно сложнее [131.
и(/)~
t
Как было показано, цепи с пе­
реключаемыми конденсатора­
ми (см. рис. 15) относятся к
цепям с переменными парамет­
рами. Поэтому сигнал на выхо­
де такой цепи зависит в общем
случае от того, в какие именно
Т2ТЛ4ТSТ6Т
а
,
моменты времени и с какой ча-
i
стотой производятся переклю-
1
чеrrия. Топология такой цепи
1
1
изменяется во времени, так как
' ---' --.. L. __ -' ---' --' -_ 1__t
ключи попеременно замыкают-
тzтп1tТsтбТ
ся и размыкаются. Одна топо-
о
догия соответствует четным, а
u0(tJ t
; вторая нечетным интерва.1ам
1
переключения. Поэтому пере-
1
11л
f
менную во времени SС-цепь с
п Ц двухфазными кдючами моNo.но
.___,__-c',...-..,._..._..,.L_J=-~--t рассматривать как две взаимо-
т2Тп4Т5ТбТ
связанные инвариантные во
/J
времени дискретные цепи [ 11-
Рис. 16. Дискрстизированное
напряжение (а), разделенное
на четные (6) и нечетные (в)
компоненты
13]. Принимая во внимание э1v
основополагающее представле­
нпе, математически удобно раз­
делить дискретизированное на-
пряжение (рис. 16,а) на четные
и нечетные компоненты, как показано на рис. 16,6 и в соот­
ветственно. Сопоставдяя эти компоненты ue и и 0 с управдя­
ющими импудьсами ере и ср 0 , видпм, что ue не равно нудю
тодько на четырех интервалах времени (когда замкнут ключ
е), а u0 имеет ненулевое значение на нечетных интерва,1ах
(когда замкнут кточ о). Этот факт используется в ряде
ыетодов строгого анализа SС-цепей [11].
Один из способов интерпретации взаимосвязи между
'",етнымп н нечетными цепями основывается на предполо­
жении, что топологически они не связаны, причем состоп­
ние одной цепи определяет начальные условия для другой
[ 1З]. Эти начальные условия устанавливаются с помо­
щью зависимых источников, включенных в каждую из
цепей. Такой сrюсоб оказывается особенно удобным для
32

анализа с использованием ЭВМ. В соответствии с другой
интерпретацией [ 11, 12] четные и нечетные цепи тополо­
гически объединяются в единую эквивалентную цепь, рас­
сматриваемую в z-области. В общем случае для SС-цепи
с двухфазными ключами, имеющей п входов, составляется
эквивалентная цепь с 2п входами (т. е. п входов для чет­
ных и п входов для нечетных интервалов переключения).
Именно эта интерпретация обеспечивает те же свойства,
что и преобразование Лапласа для линейных инвариант­
ных во времени цепей. Хотя далее ограничимся рассмотре­
нием цепей с двухфазными ключами, применяемая концеп­
ция распространяется и на цепи с многофазными ключами.
Цепи с переключаемыми конденсаторами наиболее
строго описываются с помощью уравнений переноса за­
рядов. Поэтому в качестве переменных, характеризующих
i-й узел цепи, примем выборочные значения напряжения
ui (kT) и приращения заряда Лqi (kT). В моменты пере­
ключения kT заряды, накопленные на конденсаторах,
подключенных к узлам цепи, мгновенно перераспределя­
ются согласно закону сохранения зарядов в узлах цепи 1•
На этом основании составим уравнения узловых зарядов
подобно тому, как для непрерывных цепей составляются
уравнения Кирхгофа для узловых потенциалов. В связи
с тем, что ключи принимают два положения, в общем слу­
чае для описания поведения зарядов в отдельном узле в
произвольный момент времени kT требуются два отдель­
ных, но связанных между собой уравнения; одно уравне­
ние составляется для четных, а другое для нечетных мо­
ментов переключения. Приведем эти уравнения для узла
с номером р (напомним, что 't=2T):
Мер
Мер
Лcfp(kТ)= 2j l/~t(kТ)- ~ cf,,1[(k-1)Т] длячетныхk,
i=I
i-1
нечетных k
или, что эквивалентно, в z-области
мер
Л Q~ (z) = ~ Q~1 (z)-z-•12
i=I
)TJ для
(38а)
(38б)
(39а)
1 Предположение о мгновенном перераспределении зарядов а мо­
менты переключения справедливо для цепи без потерь. - Прим. nepes.
2-134
33

(39б)
Здесь qepi, q
0
pi - мгновенные значения зарядов, накоп­
ленных в i-м конденсаторе, присоединенном к узлу р, в
четные и нечетные мрменты времени kT соответственно, а
Qepi, Q0 p, -
их z-преобразования; Мер и Мор - общее чи­
сло конденсаторов, присоединенных к узлу р на четном и
нечетном интервале переключения соответственно. Если
рассматривать изменение заряда в четный момент пере­
ключения, то qepi (kT) представляет собой заряд на кон­
денсаторе Cpi в момент времени kT+ (т. е. непосредствен­
но после переключения), а q0 pi [ (k- 1) Т] - заряд, полу­
ченный конденсатором в предыдущий нечетный момент
(k-1) Т. Следовательно, для данного четного k заряд
q0 p, [ (k-1) Т] служит начальным условием, описываю­
щим состояние цепи в момент kT, т. е. непосредственно
перед переключением. Аналогичное описание может быть
дано н для нечетных периодов переключения.
Для SС-цепи, имеющей единственный переключа-
емый конденсатор, как показано, например
на
рис. 15,а, z-преобразование уравнений узловых за-
рядов [ 12] непосредственно
приводит к простой
эквивалентной схеме в z-области, описанной в гл. 3. Эк­
вивалентную схему сложной SС-цепи составляем, заменяя
каждый SС-элемент принципиальной схемы его эквива­
лентной схемой в z-области. Затем по эквивалентной схе­
ме, как показано в гл. 4, составляем уравнения узловых
зарядов в z-области для каждого узла цепи. Требуемую
передаточную функцию (функции) напряжения определя­
ем обычным способом с помощью алгебраических преоб­
разований. Такой способ позволяет анализировать SС-це­
пи с помощью методов, применяемых при изучении линей­
ных инвариантных во времени цепей.
2.3 . ФОРМЫ ДИСКРЕТИЗИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Необходимо заметить, что существуют различ­
ные способы дискретизации сигнала (на рис. 16 показан
лишь общий характер дискретизированного сигнала)'.
Различные частные формы дискретизированных сигналов
и их четные и нечетные компоненты приведены на рис. 17.
Дискретизированные сигналы на рис. 17,а и б равны ну-
34

r:ш
с
0
'
111
1" DОп
.1-о Т?fЛ4Т5ТбТ7Т8ТJT t
~~-_._._О__.__,..0......__.0----1-Jo.._t
==
Т 2ТJТ415ТбТ?Т 8Т 9Т
tиgт
а
t
1111/1/111
Т :'ТJТ't-Т5ТбТ7Т8Т9Т
1
u{(t1
111111111
Т 2ТЛчТ5Тб1 ?Т81 !JT
t
t
:•IШ
ЁпоПП,
._.1_2-='=1,....,3~1~41'=-s~т=-5+,1'"""7'="1_.,.втc,...g,,.,r-t
t"•
1
"
1
["~поо
uв(t) ke~ :/1П4Т5Т5Т7Т8Т91
f ZТJlШТ6Т7Т8Т9! t ~ п
t
[пО_ПО
Т ZТ3Т4Т5Т5Т1Т8Т!JT t
:а;ш
[----=- --'::--"Г"l~п__.__.0____.___.___._п _t
Т 21314Т5Т бТ 1Т 8Т 9Т
t
~atm
~~-п_.__._п__.___..0_.___.п...._.__.__,i
Т ZТ314Т5Т517181ST
Рис. 17. Основные виды дискретизированных напряжений и их чет­
ные и нечетные компоненты
2*
35

лю в течение половины такта. Математически они зап и-
сываются как
иа (z) =и~ (z) +и: (z),
(40а)
rде
и: (z)= О;
(40б)
иб (z)= ug (z) +и~ (z),
(4 la)
где
И~ (z)= О.
(416
Подобным образом характеризуем дискретизированные
сигналы на выходе устройства выборки и запоминания,
показанные на рис. 17,в и г, которые сохраняют постоян­
ное значение в течение всего такта. Для рис. 17,в имеем
И8 (z)= и; (z) +и: (z),
(42а
где
и~ (z) = z-112 и; (z).
(42б
Согласно (4216) u0 8 (kT) есть задержанная ·копия 'сигнаJiа
uев (kT). По ~аналогии Д.!IЯ рис. 17,г имеем
Uг (z) =и: (z) +И~ (z),
(43а)
где
и; (z) =z-112 и~ (z).
(43б)
Если конденсатор С подключить к зажимам источника
напряжения U8 ( t), то за·ряд конденсатора будет изменять­
ся в течение такта только один раз, а именно в четные
моменты времени kT, коп~а изменяе11ся напряжение ив(t).
В нечетные моменты времени kT мгновенные значения
u8 (t), равные напряжению на конден~оаторе, не изменя­
ются, поэтому заряд остается постоянным. Это явление
для четных и нечетных интервалов переключения анали­
тически описывается следующим образом:
Л Q; (z)= си: (z)-C z- 112 И~ (z)= С (l-z-1) и; (z), (44а)
Л Q~ (z)= СИ~ (z)-C z-112 и: (z) =О.
(446)
Зам'етим, что ·выполнение условия ЛQ 0в(z) =0 можно так­
же д~обиться отооединением 'источника напряжения Ив от
конденсатора с помощью ключа, который разомкнут в те­
чение нечетных интервалов переключения. В связи с тем,
36

что в течение интервалов размыкания ключа заряд кон­
денсатора не изменяется, такая модель применима и для
анализа цепей, в которых устройства выборки и запоми­
нания растягивают выборочное значение сигнала на весь
такт. Соответствующие соотношения могут быть записа­
ны для дискретизированного сигнала на рис. 17,г, получен­
ного с помощью аналогичного устройства выборки и за­
поминания.
Полезно заметить, что дискретизированные сигналы
иа (t) и Uб (t), равные нулю в течение половины такта, мо­
гут быть получены обработкой напряжения u(t) на рис.
16 с помощью простой переключающей цепи, показанной
на рис. 18. Напряжения Ua и щ имеют идеальную форму,
показанную на рис. 17,а и б соответственно, при идеаль­
ных ключах и нулевом внутреннем сопротивлении источ­
ника напряжения.
е
ll(t)
ZJ
о+
Ua(t)
а
о
~
о+
llб'(!J
ll(t)
Рис. 18. Формирование
дискретных
сигналов,
равных нулю в течение
половины такта
. IJ(t)
L ерU//U ер
u(fla",(11," и,т
а
'[__ер UllЦ ip
Рис. 19. Устройства выборки и за­
поминания
Устройства выборки и запоминания, показанные на
рис. I 9, позволяют брать выборки из непрерывных сигна­
лов и фиксировать выборочные значения в течение всего
такта (см. рис. 17,в,г) или на половину такта (см. рис.
17,а, 6). Ключ на рис. 19,а нормально разомкнут; он за­
мыкается на короткое время в моменты взятия выборок.
При этом конденсатор С мгновенно заряжается до значе­
ния и (t) в момент взятия выборки. В идеальном случае
длительность замыкания ключа должна быть как можно
меньше, чтобы напряжение и (t) не успело существенно
измениться. В течение интервала разыыкания ключа за-
37

ряд конденсатора С не изменяется и выходное напряже­
ние остается постоянным до тех пор, пока ключ снова не
замкнется. Простейшую цепь на рис. 19,а нельзя подклю­
чать к нагрузке с низким полным сопротивлением, напри­
мер к переключаемому конденсатору большой емкости или
к резистору с ма.1ым сопротивлением. В таких случаях
конденсатор будет разряжаться токами утечки в течение
интервалов размыкания ключа и выходное напряжение не
будет оставаться постоянным. Применение буферного ус­
тройства в виде операционного усилителя с единичным ко­
эффициентом передачи, разделяющего запоминающий кон­
денсатор и нагрузку, как показано на рис. 19,6, позволяет
преодолеть эту трудность.
В разд. 1.3 упоминалось, что частотная характеристика
устройства выборки и запоминания имеет вид функции
sin х/х; этот результат непосредственно вытекает из рас­
смотрения импульсной характеристики цепи на рис. 19.
Действительно, предположив, что напряжение и (t) посто­
янно в течение интервала замыкания ключа, запишем им­
пульсную характеристику в виде
h (t)= _l U1 (t)- J_ U1 (t-i),
(45)
•
•
где u 1 (t) - функция единичного скачка; -с
-
интервал вре­
мени между моментами взятия выборок (т. е. между мо­
ментами замыкания ключа). Взяв преобразование Лапла­
са от выражения (45), получим частотную характеристику
устройства выборки и запоминания 1
Н(jw)= 1-e-s' 1
~ ~in uн/2 e-jroi;/2
(46)
S't
S=j(J)
W't/2
Таким образом, IH(jffi) 1 =sin(oo't/2)/(oo-r/2), где 't=T для
операций взятия выборок в соответствии с рис. 16,а, 17,а,б;
т:=2Т для операции взятия выборок в соответствии с
рис. 17,в,г.
Различные формы дискретизированных напряжений,
рассмотренные в данном разделе, могут быть получены с
помощью внешних устройств (т. е. с помощью независи­
мых источников напряжения) или в любых внутренних
узлах цепи с помощью соответствующей комбинации KJIIO·
чей и конденсаторов. Во многих практических случаях,
особенно при подключении к другой SС-цепи, весьма су-
t Масштабный коэффициент в выражении (45), равный !/•,
вы-
бран для нормирования к единице максимума IH(jro) 1· -Пpu1d.
перев.
38

щественно идентифицировать форму дискретизированных
напряжений во внутренних узлах цепи. К.ак увидим далее,
:это достаточно просто сделать, используя материал дан­
ного раздела.
2.4 . ВЗАИМОСВЯЗЬ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЯ
SС-ЦЕПИ
Передаточные функции аналоговых активных фильт­
ров, полученные с помощью преобразования Лапласа,
широко используются в задачах анализа и синтеза. В по­
.следующих разделах показано, что при проектировании
активных SС-фильтров аналогичную важную роль игра­
ют передаточные функции, полученные с помощью z-пре­
образования. В связи с этим еще раз подчеркнем, что пе­
редаточные функции SС-цепей наиболее удобно записы­
вать в z-области.
Ограничимся для простоты обсуждением SС-цепи с од­
ним входом и одним выходом. Как отмечено в разд 2.2,
такая цепь может быть описана эквивалентной схемой,
имеющей два входа и два выхода, как показано на рис.
20. Соотношения вход-выход в этой цепи в общем случае
можно установить с помощью передаточной матрицы раз­
мером 2Х2:
[и~ых (z)] = rнl (z)
И~ых (z)
Н3 (z)
причем на основе принципа суперпозиции
Ивх (z)= И:х (z)+U~x (z),
Ивых (z)= И:ых (z)+И~ых (z).
(47)
(48а)
(486)
Заметим, что для четных МОМ€НТЮВ времени kT U0 вх (z) =
=О и И0вых (z) =О, а для нечетных Uевх (z) =О и Uевых (z) =
Рис. 20.
Эквивалентная
схема дискретной цепи в
z-области
Jа:,щ
+~
и:,111
ла:ыхll/
~+
и:ы,т
...- - - - - - - - 1 Jк1J111Jалентнан 1------- .
.1ag,1z1
+м­
и:,сzJ
схема
sс-цеп11
D z-ооласт11
39

=0. По существу, уравнение
.(47): отражает переменныА
во времени характер SС-цепи. Так, если выборки выход­
ного напряжения берутся только в четные моменты време­
ни kT, то
и:ых (z)=H1 (z) и;х (z)+H2 (z) и:х (z).
(49а)
При взятии выборок выходного напряжения только в не­
четные моменты kT
и:ых (z)= Нз (z) и:х (z) + Н, (z) и:. (z).
(49б}
Когда же выборки берутся как в четные, так и в нечетные
моменты времени, выходное напряжение
Ивых (z) = и:ых (z)+и:ых (z) = [Н1(z)+
+Нз (z)] и;х (z)+[H2 (z)+H4 (z)] и:. (z).
(49в)
В общем случае И0 вых(z)=Fz-•1 2 Uевых(z)=i=Ивых(z). Заме­
тим, что четные и нечетные выборки сигналов сдвинуты во
времени друг относительно друга на половину такта, по­
этому равенство четных и нечетных выборок влечет за
собой равенство U0 (z) =z-1! 2 Ue (z). Это равенство, как
было отмечено ранее, описывает устройства выборки и за­
поминания, фиксирующие выборочное значение в течение
всего такта. Как будет показано далее, передаточные
функции зависят от способа взятия выборок входных и вы­
ходных сигналов. Рассмотрим в качестве примера воздей­
ствие на SС-цепь, изображенную на рис. 20, источника,
напряжение которого равно нулю, в течение нечетных ин­
тервалов переключения (рис. 17,а). Подставляя И0 вх (z) =
=О, вытекающее из выражения (40б), в уравнение (47),
получаем соотношения между входным и выходным на­
пряжениями:
и:ых (z) = Н1 (z) u;x (z),
(50)
И~ых (z) = Н8 (z) u;x (z).
(51)
Таким образом, передаточная функция равна Н, (z) или
Нз (z) в зависимости от того, в какие моменты времени
kT берутся выборки выходного сигнала Uвых (kT) - в чет­
ные или нечетные соотвеТ'ственно. Одна,ко если выборки
Ивых берутся в каждый момент времени kT, то
Ивых (z) = [Н 1 (z) +Нз (z)] и;. (z).
(52)
В общем случае Н, (z)' =!=Нз (z)', однако эти передаточные
функции содержат одинаковые компоненты. Поэтому в
общем случае невозможно синтезировать функции Н1 (z)
и Н3 (z) независимо.

На практике соответствующим выбором способа дис­
кретизации входных и выходных сигналов можно реали­
зовать SС-цепь, которая полностью характеризуется един­
ственной передаточной функцией. Соотношения (50) и (51)
описывают примеры таких классов SС-цепей. Их можно
синтезировать непосредственно в z-области, используя ме­
тодику синтеза цифровых фильтров [3]. Примеры цепей,
характеризуемых несколькими и единственной передаточ­
ными функциями, приведены в гл. 4.
2.5 . ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧАСТОТ ПРИ
ОТОБРАЖЕНИИ ПЛОСl(ОСТИ s В ПЛОСl(ОСТЬ z
Начальный этап синтеза SС-цепи состоит в вы-
боре подходящей передаточной функции в z-области. В
связи с тем, что требования к характеристикам фильтров
обычно задаются в частотной области, удобно иметь мате­
матическое выражение, которое позволяет преобразовы­
вать рациональную передаточную функцию комплексной
переменной s в рациональную передаточную функцию
комплексной переменной z. Такое преобразование долж­
но обладать двумя свойствами:
1) устойчивая в s-области передаточная функция пре­
образовывается в передаточную функцию, устойчивую в
z-области;
2) мнимая ось jco из s-плоскости отображается в еди­
ничную окружность на z-плоскости.
Свойство 1 обеспечивает устойчивость передаточной
функции, преобразованной в z-область, свойство 2 - не
только устойчивость, но и сохранение формы частотноА
характеристики.
При синтезе SС-цепей используются четыре метода
преобразования комплексных переменных [3,14].
1. Метод обратной разности (ОР)
1
't"
-
=
(53а)
S
1-z -I
или
z=
1-sт
2. Метод прямой разности (ПР)
1
't" z-1
-=---
S
1-z -I
или
z= 1 +(r.
(53б)
( 54а)
(546)
41

3. Би.пинейное преобразование
или
1
т 1+z-1
s
2 I-z-1
Z= 2/т+ s
2/т-s
(55а)
(55б)
4. Преобразование с дробной степенью z (ПДС) 1
J
z-1/2
-
=•
(56а)
s
1-z -l/2
или
(56б)
Переменная z в выражении (56б) является двузначной
функцией s, причем оба значения z равноправны.
Рассмотрим эти преобразования более подробно. Во­
первых, положив s=-a+jw и вычислив jzj, определим,
выполняются ли свойства 1 и 2. Для обратной разности
видим, что
lz/- 1/
1
<1.
,-
t' (1 +ат)2+(()2 -.2
(57)
Из (57) следует, что при методе обратной разности ось
jw отображается внутрь единичного круга на плоскости z.
Следовательно, свойство 1 выполняется, а свойство 2 -
нет. Это отображение иллюстрируется на рис. 21. Из вы­
ражения (57) следует, что высокодобротные ну.1и и полю­
сы в s-плоскости отображаются в z-плоскости в нули и
полюсы с меньшей добротностью в зависимости от зна-
-f
,,=;~ ''-- _
СЬ:"'"""'
,-_,,~
J_
-fГ/лоскость s
$лоскостьz
--z~t+sr--
5
Рис. 21. Отображе­
ние оси jш с помо­
щью метода обратной
(а) и прямой (б)
разностей
1 В оригинале lossless discrete integrator. -Прим. перев.
42

чения wт. И только при 1wт~ 1 характер частотной харак-
1'еристики фильтра примерно сохраняется.
Применив аналогичные рассуждения к отображению
(54а), описывающему прямую разность, получим
/z/ = li(1-crт) 2 +w2 т2 >1.
(58)
Неравенство (58) показывает, что метод прямой разности
отображает ось jш в прямую, лежащую вне единичного
круга, как показано на рис. 21. Поэтому при использова­
нии прямой разности не выполняются ни свойство 1, ни
свойство 2. Применение этого метода приводит к тому,
что высокодобротные нули и полюсы в s-п.1оскости отобра­
жаются в z-плоскости в нули и полюсы с еще большей
добротностью, так что некоторые полюсы в z-плоскости
могут оказаться неустойчивыми.
Билинейное преобразование для s=jro обеспечивает
равенство
rzr=1
21
Т'+!(t) != 1.
2/T-J (t)
(59)
Аналогично для метода ПДС можно показать, что
rz/= +V(2-w
2
,
2
)2+w2
't"
2
(4-w2 , 2)= 1
(60)
для любых ro. Из выражений (59) и (60) следует, что
билинейное преобразование и преобразование с дробной
степенью z обладают свойством 2 и свойством 1 (послед-
нее можно доказать отдельно).
·
Таким образом, для преобразования передаточной
функции из области s в область z метод прямых разно­
стей неприменим, а метод обратных разностей ограничен­
но применим (при rот~ 1). Рассмотрим более подробно
преобразование передаточных функций с помощью мето­
дов билинейного преобразования и ПДС. Применяя сна­
чала билинейное преобразование к произвольной пере­
даточной функции п-го порядка (при т~п)
п-1
Ьо+2j bki +!1'
k=I
(61)
получаем

Н (z)=
ао(1+z-1)n+~
1а1 --; (1-z -l) (1 + z-1)n-i
т[2
]i.
=~~~~~~~~~~~~~~~-=~~~~~~~=
bo(l+r1)n+%:Ьп [+(1-z-l) ]\1+г1)n-k + l+(l-z-1) г
•
•
•
-п+l
•
-п
lJo+G1z-l+...+Gn-1Z
+а11Z
-~-------~~~---'--'"----'"--~~"'--~~-
•
"
....
-п+1 •
_,.
Ьо+Ь1z-
1
+ ... + bn-tl
+ bnz
(62)
Отсюда вытекают следующие свойства билинейного пре·
образования:
1) передаточная функция n-го порядка Н (s): преобра·
зуется в передаточную функцию Н (z) также п-го порядка;
2) числитель и знаменатель передаточной функции
имеют одинаковый порядок п;
3) числитель и знаменатель передаточной функции
представляют собой полиномы по целым степеням пере­
менной z-1;
4) без доказательства принимаем, что передаточная
функция (62) всегда реализуема с помощью SС-цепей.
Теперь преобразуем передаточную функцию (61) с по­
мощью метода ПДС:
Н (z)=
.,
n~l Г1
lk
·>
•
[I
]п
Ьо (a-t'- ) ''+ t:l b4 l-; (l~г1) J (a-11.J~-" + ~(f-rl) .
(63)
Заметим, что:
1) передаточная функция Н (z) имеет п-й порядок.
причем числитель и знаменатель представляют собой по­
линомы целых степеней переменной z-112 ;
2) заменив переменную z-112 =z- 1
,
исключим степени
z-112 в выражении для !Передаточной функции Н (z). Сде­
лав эту замену переменных в (63), получим передаточную
функцию Н (z), имеющую порядок 2п. Эта функция хотя
и реализуема с помощью SС-цепи, но потребует в два ра­
за больших аппаратурных затрат, чем для реализации
передаточной функции, полученной с помощью билиней·
наго преобразования.
Для использования билинейного преобразования, пре­
образующего передаточную функцию переменной s в пе-

редаточную функцию переменной z, читатель
должен
быть знаком еще с двумя его свойствами. Первое свой­
ство - это хорошо известный эффект частотных искаже­
ний, который является следствием нелинейности соотио-
шения частот аналогового ro и дискретного ~ фильтроа
(s=jro и z=e1m"'). Природа нелинейности обнаруживает­
ся при подстановке в выражение (55а) s=jro к z=е 1м.
Выразив в получившемся уравнении частоту ro как функ-
цию частоты ro, получим нелинейное соотношение
ro= _!_ tgffiт .
т
2
(64)
Заметим, что при ro.-~ 1 преобразование (64) почти лв·
нейно. Эффект частотных искажений компенсируется про­
стым предварительным пересчетом (коррекцией) харак­
терных частот фильтра (частот среза и граничных частот
полосы пропускания) согласно соотношению (64). Эта
процедура графически иллюстрируется на рис. 22. После
\H{jwJ\
\H(J~J)I
А,
Az --------~~'77,:>77,:~
Рис. 22. Желаемая (а) и А'""''--::----L----'------1---
скорректированная (б) ам- ftg UJ;т
ltg 1Llsтr 1-tg 1Lls2T с;,
плнтудно-частотные харак-
r
2
r
2
теристики фильтра
о
получения передаточной функции аналогового фильтра с
предварительно скорректированными характерными час­
тотами применим билинейное преобразование (55а)' для
перехода к передаточной функции переменной z. Проил­
люстрируем эту методику на следующем примере.
45

Пример 1. НаАдеu передаточную функцию дискретного фИJ1ьтра,
для которого в качестве аналогового прототипа выбран подосовой
фильтр с передаточной функцией
2027,9s
Н(s) = _s _• _+ _6 _4 _1 _,2_8 _s_+ _l -,05-28 _· _l_Os-
(65)
Аналоговый полосовой фильтр имеет центральную частоту fо=
= 1633 Гц, добротность Q= 16, максимальный коэффициент передачи
10 дБ на частоте fo. Выберем частоту дискретизации в SС-фильтре
равной 8 кГд (период т= 125 мкс). Скорректируем передаточную функ·
цию H(s) (65), пересчитав по формуле (64) верхнюю и нижнюю гра­
ничные частоты (по уровню -3 дБ): скорректированное значение
нижней граничной частоты Ын= 1,145246· 10 4 рад/с, верхней гранич­
ной частоты Шв=l,245149·104 рад/с и центральной частоты ш0 ={wв+
+wв)/2=1,195198·104 рад/с. Заметим, что теперь полоса пропуска­
ния Лw = Шв-Шн = 999,03 рад/с. После вычиедения характерных час­
тот запишем выражение для скорректированной передаточной функ·
ции:
3159,2 s
Н (s) = ----------
s2+999,03s + 1,4285·108
Заметим, что масштабный коэффициент в (66) изменен по сравнению
с (65) так, чтобы максимальный коэффициент передачи сохранился
равным 10 дБ. Подставив теперь билинейное преобразование (55а)
в выражение (66), получим искомую передаточную функцию в
z-плоскости:
H(z) =
0,1219(1-z- 1)(1 +z-1)
1-0,5455 z-I + 0,9229 z-2
(67)
Приведем еще два свойства билинейного преобразо­
вания:
1) частотная характеристика аналогового фильтра, оп­
ределенная в области частот -оо <iro< со, преобразуется,
как следует из соотношения (64), в область частот
~ro8/2~ ~ ~ ros/2, где ros = 2л/'t - частота дискретизаuии.
При этом, например, нуль передаточных функций (65) и
(66), расположенный на плоскости s в бесконечности,
отображается на плоскости z в точку z=-1, соответству­
ющую частоте ros/2, т. е. половине частоты дискретизации.
Благодаря этому свойству увеличивается затухание филь­
тров нижних частот и полосовых фильтров на высоких
частотах, оно обсуждается далее;
2) хотя амплитудно-частотные характеристики дискрет­
ного фильтра могут быть скорректированы путем пересче­
та характерных частот аналогового фильтра-прототипа,
46

групповое время запаздывания дискретного и аналогового
фильтров от.1ичается, погрешность
составляет около
sin-2 (ro't/2). При проектировании устройств выравнивания
запаздывания сигнала такая погрешность обычно недо­
пустима. Для ее уменьшения следует повышать частоту
дискретизации.
Подчеркнем, что передаточная функция Н (z), получен­
ная с помощью преобразования комплексной переменной
s в z, имеет амплитудно-частотную характеристику (рас­
считываемую при z=ej(J)-r), близкую к желаем'°й ампли­
тудно-частотной характеристике аналогового фильтра-про­
тотипа. Однако чем ближе частота к значению ros/2, тем
больше различие этих характеристик. При частотах дис­
кретизации, намного превышающих наивысшую частоту
полюсов, что характерно для SС-фильтров, частотные
характеристики дискретного фильтра и его аналогового
прототипа практически полностью совпадают.
Рассмотрим преобразование передаточных функций
звеньев второго порядка следующих типов: фильтра ниж­
них частот (ФНЧ), полосового фильтра (ПФ), фильтра
верхних частот (ФВЧ), фильтра нижних частот с режек­
цией (ФНЧ-Р), фильтра верхних частот с режекцией
(ФВЧ-Р) и фазового звена (ФЗ). Обобщенную передаточ­
ную функцию звена второго поря;~:ка в z-области запишем
в виде
(68)
Чисдитель N (z) и карта иудей и полюсов этой переда­
точной функции для звеньев разJ1ичного типа приведены
в табл. 1. Наиболее интересны ФНЧ и ПФ, поэтому рас­
смотрим несколько разновидностей их передаточных функ­
ций. Эти разновидности обозначены в табл. 1 как ФНЧIJ
и ПФIJ, где I означает число сомножителей (1 +z-1), а J-
число соыножите"1ей z-
1
в числителе. I(ак vже от:v~ечалось,
нули в точке z=-1 появляются то.1ько прн использовании
билинейноло преобразования. Они обеспеч,ивают более кру­
той спад АЧХ в окрестности половины частоты дискрети­
зации, однако реализация этих нулей может быть доволь­
но сложной. Как правило, чем больше частота дискрети­
зации по сравнению с час11отой нулей и полюсов wp,z (т. е.
чем меньше значения ffip,z't), тем меньше дополнительный
спад а:v~плитудно-ча~стотной характеристики, обеспечива­
емый нулями в точке z=-1.
Для того чтобы по.1юсы передаточной функции были
расположены должным образом, коэффициенты знамена-
47

Табпица
Передаточные функции типовых звеньев второго порядка [24)
тип заена
ФНЧ20 (билиней­
ное преобразова­
ние)
ФНЧII
ФНЧ!О
ФНЧО2
ФНЧОI
ФНЧОО
ПФlО (билинейное
преобразование)
ПФОI
ПФОО
ФВЧ (билинейное
преобразование)
ФНЧ·Р (билиней­
ное преобразова­
ние)
ФВЧ-Р (билиней~
ное преобразова­
ние)
ФЗ (билинейное
преобразование)
48
Чиспвтепь N (z) 1
К(l+z-1)S
K(I +rl)
к
JVz-1 (J-z -1)
К (l-z -1)
К (1 + вz-1+z-1),
в> a;-Vif, ~>О
К (l + гz--1+ z-2),
в<а/Vif, ~>О
Карта вупей и поп111с:оа •
2•/l.7JOCКOCP (m1 С 1)
[iJIJHIJl/HЬ/U Im (Z)
круг 'у" )
\:1
Еilиничныu-;, Im (ZJ
l<P!P
,
~'
ReizJ
Re(z)
2...~'
EOUH/Jt/HЫ~ ·1 I;(Z),.,
J<руг
r ...
~
Relz)
'-
/
ЕiJиничны~-
Imrz!
круг
'у~ ,
'
~ Re(zJ
'
/
fduнUl{HЬ!U~"Гl(Z)
круг "1" "
~
Re (Z)
',/
ЕiJиничныи~Iтr41
круг""
'
~Re(Z)
'-
/'2
[iJUн/J'IHЫ~-
lm(L)
цуг 'у~ ~
:
Re(zJ
',
jf
EiJvHu'lнь;u Im (ZJ
круг '7
_, _ _._ _P.e(1J
\.
EIJ11Hи'IHЫU Im (ZJ
хруг ') ... . ~о-
' :/.о.
Re(z)

теля D (z) в выражении (68) должны быть получены с
помощью билинейного преобразования. Числитель N (z)
ФНЧ- и ПФ-звеньев можно представить в различной фор­
ме, заменив один или оба сомножителя, соответствующих
нулям в точ,ке z=-1, на 2 или 2 z-1 (при наличии множи­
теля 2 сохраняется неизменным значение коэффициента
передачи Н (z) на нулевой частоте). Вследствие такого
перемещения нулей уменьшается крутизна спада ампли­
тудно-частотной характеристики вблизи половины частоты
дискретизации ros/2, причем за счет одной этой жертвы
часто удается достичь существенной экономии в суммар­
ной емкости конденсаторов SС-фнльтра. Эффект, получае­
мый при удалении нуля из точки z=-1, проиллюстриру­
ем на примере дискретных ПФIО и ПФОО, синтезирован­
ных на основе билинейного преобразования передаточной
функции (65) аналогового ПФ, имеющего центральную ча­
стоту f0 = 1633 Гц и добротность Q= 16. Как и в примере
1, выберем частоту дискретизации 8 кГц. Такая частота
минимальна при передаче речевых сигналов с верхней
граничной частотой 4 кГц. Передаточная функция дис­
кретного ПФIО описывается выражением (67). Переда­
точная функция дискретного ПФОО получается заменой
сомножителя ( 1+z- 1) в выражении (67) на единицу:
z-
0,1953(1-z-1)
Н()- I - О,5455z-1+О,9229 z-2
(69)
Амплитудно-частотные характершстикп, построенные по
выражениям (67) и (69), приведены на рис. 23. Заметим
следующее:
1) знаменатели передаточных функций (67) и (69)
идентичны; поэтому, как и ожидалось, амплитудно-частот­
ные характеристики в пределах полосы пропускания весь­
ма близки вплоть до уровня на 10 дБ ниже максималь­
ного;
~
2) масштабный коэффициент в (69) изменен таким об­
разом, чтобы максимальный коэффициент передачи остал­
ся равным 10 дБ;
3) как видно из рис. 23, основное различие двух ампли­
тудно-частотных характеристик состоит в большем зату­
хании в окрестности частоты 4 кГц для ПФIО и более за­
медленном спаде для ПФОО. ~Последний обеспечивает за­
тухание около 25 дБ на частоте 4 кГц, равной половине
частоты дискретизации. Нуль передачи в точке z=-1
играет меньшую роль в формировании амплитудно-частот­
ной характеристики при увеличении частоты дискретиза­
ции.
49

Итак, амплитудно-частотная характеристика переда­
точной функции Н (z), полученной с помощью рациональ·
ного преобразования переменной s в z, хорошо аппрокси·
мирует требуемую амплитудно-частотную характеристику.
-fjiJ
1
200 100 чоо soo бОО воо rooo
2000 1000 4000 бооо 10000
частота, гц
Рис. 23. А1шдитудно-частотные характеристика фильтров ПФ!О и
ПФОО, описываемых передаточными функциями (67) и (69)
заданную в s-области. После получения подходящей пере­
даточной функции Н (z) емкости SС-фильтра рассчитыва­
ются приравниванием коэффициентов при одинаковых сте­
пенях z- 1 функции Н (z) и передаточной функции выбран­
ной схемы, как это делается и при расчете номиналов эле­
ментов активных RС-фильтров.
2.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЦЕПЕП
Вместо вычисления передаточной функции Н (z)
и синтеза SС-фильтра в z-области можно синтезировать
схему активного RС-фильтра с требуемыми частотными
характеристиками и затем преобразовать ее в SС-фильтр
с помощью преобразований переменной s в z, описанных
в разд. 2.5 . При этом необходимо преобразовать элемен­
тарные цепи активных RС-фильтров в их дискретные ана­
логи. После получения подходящей SС-реализации каж­
дой элементарной цепи их соединяют друг с другом в со­
ответствии с электрической схемой активной RС-цепи.
50

Этот способ позволяет непосредственно преобразовывать
активные RС-фильтры с низкой чувствительностью в ак­
тивные SС-фильтры, обладающие такими же свойствами.
Известно множество структурных и электрических схем
RС-фильтров на базе интеграторов без потерь и демпфи­
рованных интеграторов. Например, звено второго порядка
на рис. 64,6 (см. гл. 6), синтезированное методом пере­
менных состояния, содержит два таких интегратора. Филь­
тры высокого порядка с низкой чувствительностью мож­
но построить, охватывая обратной связью каскадное сое­
динение интеграторов без потерь или демпфированных ин­
теграторов. Эквивалентные дискретные цепи для таких
фильтров можно получить, заменяя каждый аналоговый
интегратор эквивалентным дискретным интегратором. Вид
дискретного интегратора определяется выбранным спо­
собом преобразования переменной s в переменную z.
В
табл. 2 приведены преобразования передаточных функций
Таблиuа 2
Преобразование передаточных функций интеграторов
Интеrраmр без
ДемпфироваIJиыlt интеrратор
Лреобразован11с
потерь ( -;-1
'
р1
(s+Р
Методом
1-z-1
't
тр
обратной
8=
l-z-1
(1 + 't p)-z--1
рази ости
т
Методом
J-z -1
't z-1
т pz-1
прямой
S=
тz-1
l-z-1
1-(1-тр) z-1
разности
С дробной
1'~
l-z -1
,
2 -112
't р2-1;2
степенью z
't 2-1 /2
1--z-l
1 +, pz-112 _z -1
_:!__!! _ _ (1 + z-1)
2 l-z- -1
't 1+z-1
2
Билинейное s=-
----
't 1+2-1 2 l--z-1
(1+ 'tP)_(1-~)z-1
1
2
'
2
интегратора без потерь и демпфированного интегратора с
помощью методов обратной и прямой разности, методов
ПДС и билинейного преобразования 1. Свойства активных
1 Далее они будут называться ОР-, ПР-, ПДС- и билинейными
интеграторами соответственно. - При.н. перев.
51

RС-прототипов удачно воспроизводятся эквивалентными
SС-цепями в случаях, когда выполняются два свойства
преобразования, указанные в разд. 2.5 . Поэтому наибо­
лее точные результаты получе.ются с помощью билиней­
ного преобразования и преобразования с дробной степе­
нью z. Заметим, однако, что каскадирование пары ОР- tИ
ПР-интеграторов без потерь эквивалентно каскадирова­
нию пары ПДС-интеграторов, т. е.
't
't z-1
't z-1/2 't z-1/2
--- ---
= --- ----
1-z -1 l-z -1
1-.а- 1 l-z-1
(70)
Уравнение (70) показывает, что при соответствующем об"3-
единении в пары интеграторы, полученные с помощью ме­
тодов обратной и прямой разности, также можно исполь­
зовать в качестве элементарных звеньев SС-цепи, несмо­
тря на указанные в разд. 2.5 отрицательные свойстн
этих преобразований.
После выбора коэффициента передачи эквивалентного
интегратора в z-плоскости SС-цепь конструируется путем
замены каждого интегратора активного RС-фильтра эк­
вивалентной SС-цепью. Простые SС-реаJiизации для боль­
шинства приведенных в табл. 2 коэффициентов передачи
проанализированы в гл. 4. Нереализуем только коэффи­
циент передачи демпфированного ПДС-интегратора, что
связано с наличием члена z-112 в знаменателе его переда­
точной функции (см. пример в гл. 4). На первый взгляд
кажется, что этот факт не позволяет использовать метод
ПДС для получения коэффициентов передачи интеграто­
ров в z-плоскости. Однако это не так, поскольку при
'tp~ l передаточную функцию демпфированного ПДС-ин­
тегратора можно аппроксимировать следующим образом;
't р z-112
't р z-112
-----~
(71)
1 +'t pz-lf2_z -1
1+('t p-z-1)
Другой способ преобразования активной RС-цепи в эк­
вивалентную SС-цепь состоит в преобразовании полной
проводимости с помощью упомянутых ранее преобразова­
ний переменной s в переменную z. В табл. 3 приведены эк­
виваленты полной проводимости для емкости (sC), про­
водимости (G), индуктивности (l/(sL)) и частотно-зави­
симого отрицательного сопротивления (s 2 D).
Важно заметить, что ЭК'ВИJваленты проводимости, при­
веденные в табл. 3, не являются полными проводимостями
в обыЧНIОМ смысле, связывающим1и изображения юка / и
напряжения U. Они описываются формулой y=ДQ/U, ес-
52

Таблица З
Преобразование полных проводимостеА
1
Полная проводимость
Преобразование --- ,. -- --. -- -- -- .. ,. -- -- --
Методом обратной
разности
l-z-1
S=
Методом прямой
разности
l-z -1
S=
G дробной степе
нью z
s=
l-z -1
' t'Z-1/2
Билинейное
2 1-z-1
s=-
't' 1 +z-1
sC
О
1/(sL)
i-•
D
L 1-z-l
-
(1-z-1)1
't'
i-s
z--2
D (1-rl)•
L l-z-1
't'
z-1
т2
z-1
D (l-z-1)1
L 1-:z-1
't'
:z-1/2
тественно возникающей при составлении уравнений узло­
вых зарядов [см., например, уравнения (39)]. К тому же
эквиваленты однотипных полных проводимостей, получен·
ных с помощью различных преобразований (кроме метода
обратной разности), промасштабированы умножением на
общие множители. Эти множители, различные для каж·
дого типа преобразо,вания, выбраны так, чтобы э1<вива­
лент проводимости конденсатора всегда
имел вид
С (I-z -1). Такое масштабирование, как показано в после­
дующих разделах, упрощает реализацию эквивалентов
проводимости с помощью SС-цепей. Поскольку коэффи­
циенты передачи напряжения безразмерные, то они не за·
висят от способа определения полной проводимости и мас­
штабирования.
Продемонстрируем получение эквивалентов полных
проводимостей в z-области для резистора, конденсатора и
катушки индуктивности, применяя метод прямой разности.
Проверку О1стальных эквивалентов праводимостей, ~приве­
денных в табл. 3, оставим читателю в качестве упражне­
ний.
53

Резистор. Для резистора с сопротивлением R= 1/0
мгновенные значения напряжения и тока удовлетворяют
уравнению
i=Gu.
(72а}
При дискретизации тока и напряжения в моменты време­
ни kт уравнение (72а) примет вид
i (kr:) = Gu (kт).
Учитывая, что i=dq/dt или в дискретной
= Лq ( kт) /т, из (726) получаем
Лq (kт) /т= Gu (kт).
(72б)
форме i (kт} =
Беря z-преобразование от обеих частей уравнения
получаем соотношение
(72в)
(72в),
ЛQ (z) =-r:GU (z),
откуда находим выражение для эквивалента проводимости
резистора
Уя=ЛQ (z)/U (z) =тG.
(72г)
Конденсатор. Мгновенное значение напряжения на
конденсаторе С и ток через него удовлетворяют уравнению
i=Cdu/dt
или
dq/dt= Cdu/dt.
(73а)
Дискретизируем i и и в моменты времени k-r:. На основа­
нии соотношения
dq/dt=Лq (k-r:) /т
и выражения для прямой разности
~= и[(k+ I)'t]-и(k't)
dt
't
уравнение (73а) для дискретного времени представщ1ем в
виде
Лq(kт) =С и[(k+l)-r]-u(k't)
или
Лq(kт) =С{и[ (k+ l)т]-u(kт)}.
(736)
Взяв z-преобразование от обеих частей уравнения (73б).
получим соотношение
ЛQ (z) =С (z-1) U (z),
54

на основании которого запишем выражение для эквивален­
та проводимости конденсатора
Ус=ЛQ (z)/U (z) =C(I-z-1)/z-1.
(73в)
Катушка индуктивности. Мгновенные значения напря·
жения на катушке индуктивности и тока через нее удов·
летворяют уравнению
или
U=Ldi/dt
и= L d (dq/dt)
dt
Используя прямую разность, аппроксимируем
следующим образом:
d(dq/dt) = Лq[(k+1)т]-Лq(ki)
dt
т2
(74а)
d (dq/dt) /dt
Тогда при дискретизации i и и в моменты времени k't
уравнение (74а) принимает вид
и(kт)=LЛq[(k+1)т]-Лq(kт)
(74б)
т2
Взяв от обеих частей уравнения (74б) z-преобразование,
получим соотношение
z-1
1-z -1
И(z)=L -
ЛQ(z)=L --ЛQ(z),
т2
т2 z-1
на основании которого запишем выражение для эквива·
лента проводимости катушки индуктивности
lfL=ЛQ(z) =~~
(74в)
.
И (z)
L 1-z-1 '
В заключение выражения для проводимостей ун, Ус и
YL умножаем на z-1
•
Масштабированные таким образом
полные проводимости, полученные с помощью метода
прямых разностей (s= (l-z -1)/('tz-1)), приведены в
табл. 3.
Заметим, что широко известная эквивалентность рези·
стора переключаемому конденсатору хорошо согласуется
с данными табл. 3. Обоснованность этой эквивалентности
исследуется в гл. 3. Далее будет показано, что эквива­
ленты полных проводимостей, полученных на основе би­
линейного преобразования, реализуются SС-цепями до­
вольно просто. Другие эквиваленты еще недостаточно изу·
чены и далеко не во всех случаях их удается реализовать.
Это касается эквивалентов индуктивности и частотно-за·
55

висимого отрицательного сопротивления. Возможные
эквивалентные схемы полных проводимостей будут приве­
ленывгл.3и4.
3. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ
ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ SС-ЦЕПЕП
В настоящей главе получены многополюсные эк­
вивалентные схемы в z-областп для нескольких типовых
элементов SС-цеnей. В частности, 1показано, что эквива ·
лентные схемы емкости и некоторых проводимостей, при­
веденных в табл. 3, получаются естественным образом.
Наша основная цель заключается в составлении наиболее
простых эквивалентных схем для элементарных ячеек, из
которых состоит SС-цепь. Тогда результирующая эквива­
лентная схема всей SС-цепи, образованная из эквивалент­
ных схем ее элементов, соединенных в соответствии со
схемой SС-цепи, имеет каноническую форму, и ее можно
проанализировать с помощью карандаша и бумаги. Рас·
смотрим базовые SС-элементы, состоящие из одного кон­
денсатора и от одного до четырех ключей. Они играют
роль, аналогичную пассивным R- .
L- и С-элементам в ана·
логовых цепях. Передаточные функции SС-элемеятов в
2-области могут быть получены на основе их эквивалент­
ных схем с помощью хорошо известных методов анализа
цепей [5].
На рис. 24-26 приведены типовые SС-элементы и их
эквивалентные схемы в z-области 1• !<роме того, приведе­
ны эквивалентные схемы дискретизируемых источников
напряжения, которые обсуждались в гл. 2. Составленная
библиотека эквивалентных схем достаточно полная, она
охватывает все опубликованные в литературе SС-элемеп­
ты, в которых используются двухфазные ключи, управля­
емые неперекрывающимися импульсами. Эквивалентные
схемы на рнс. 24 представлены в наиболее общей форме
с 2п входами в предположении, что все напряжения по­
стоянны в течение половины такта, как напряжение и '(t)
на рис. 16. Обозначения е, о, введенные в гл. 2, относятся
к фазам работы ключей. Верхние индексы е, о и о, е обо­
значают четные - нечетные и нечетные
-
четные компо­
ненты переменных состояния (Иi. ЛQi) соответственно.
1 На рисунках эквивалентных схем прямоугольник
обозначает
элемент задержки, а пря·моуrапьинк с зигзаrюобразной линиеii
безынерционный (резисти1m1Ь1й) элемент. - Прим. перев.
56

Дцскретно11 цель
экВ118а11ентная схенt! /! z- а!11асти
а/ JаJем11енныti f(Qlfoeнcamtrp
м~.о
м{Р
+ ""'--
_,,.,.. +
tJq,
Лqz
+о~
."1
.. -VO+
ue.o
1
11,
"2 =>
VI
-о
о-
uo,e
}
+ .,.,_,_.
-.л; +
tJQf,e
ЛQf'e
---------
JJ Незазем11енныtl конJенсатор
L1ql
Мг
+о"""+
!(
-"'о+
Л(),RО
с
tJQf.0
+ ,.,, .._
-+N> +
ue,o
ufll
1
с
и,
"2 => ..F-4
~
-о
1
о-
u~e
1
ull,e
2
+~
~+
м7,е
Mf·e
u7,e
+~
- ..,. .,+
м,о,е =о
Jaf,e
----------
-----------
Рис. 24. Библиотека эквивалентных схем SС-элементов в z-области
57

дискретная цепь
о} вычитающиii з11енент
Jq, е,о
о,е tJq3
+~т~+
ц,
...с=- Lc ЦJ у
ц2
е,о
о,е
+~
-r-
dqz
-o~--~=r------~o-
JJ зазен11енныiJ кон!Jенсатор с о!Jним
K/IIOl/01'1
dq1 е,о
~
+~-....1----~о+
_,"'
сI ":_ <>
Рис. 24. (Продолжение)
58
Jкдидаленmн(lя схема 8 z-oO!racmu
-----т-----
му
--"" +
и;,и
u,o,e
и~,г
+о~ •
•
~о+
--~jj}'=O _ ____ ~f"=:7__
uo,e
'
+а---.
+
.,,,,..
~
ла,о.е =0
t,1;--
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-

Дlll:кpemnoя цепа
11) Jазтленilь11i кnнffеясотод. с Ш!JНтору­
ющим l(/IIOl/OM
.~1
:~ ст :!:
i
С' а-
11JJазе.11леннь:J roнlfмcomop с Ш!JHmUp!fющu.
и посNdо{}аmельнь1м :ИЮtfом
!щ,
L1qz
+~
~t\+
f,
и,
Uz с>
~
{_ 0,1?
-а
"I
а-
111Зазе1"ленный !(OHiJeнcamop с шунтируюш,им
и tJОуня пос11еt108ательl'ыми ключами
Jq7 е,о
'1qz
+~-
~+
Рис. 24. (Продолжение)
ЗкB0Bttl!~Hf!1H!J!! тм118 z-o011ttcmu
иf·"
uf,I!
+,_,,,,...
~+
ла~е
даf •
---------
ЛQfO
с
лаfо
+с'-"- ~ ~а+
!Je,D
'
ue,o
2
_L
:::L
U ОЕ'
r
uo,e
2
JCiE_ ....
ло.J·о
о_,,__
_....,.
+а
cW
а+
u;o
Uf•O
_L
l
и~,е
uo,e
2
+
+
~
L1ц;.~
MJ·•
--- --- --
!.Цf•о
Mf·o
~
-+""о+
+а
с~
11E,J
uг,,о
и.
_L
:::L
uo,e
'
uо.г
2
+~
~+
~
~
ЛО}•=о
Mf·e=u
-------
59

lfцскретноя цепь
Jк8и6о//ентноя схема 8 z-00//t1cmu
Н) f{езоземленныu конuенr:аmор
с прот116офазным11 1r11юvt1м11
-o>-----:r -- --o -
- O>------i. . . ------0 -
Л} ООООЩЕННЫU SС-злемент
ла,е. 0
+,.,._
ue,IJ
1
р-сг'lг
uo,e
1
+~
ла~.е
Л{)е,о
4
+о---а..
u,e,Q
_ _c -:=---
u,ll,1' с
+о---.
Q IJQll,e/'J'Qe,o
J+""-2
Рис. 24. (Продолжение)
60
Uf0 -сг11г
_r:-=:--
ufe
+~
~
лаg.е
с
му
~
+
ue.o
2
-cг'lz~
IJ.ili'
z
~+
м;.е

Дцскреrпная ц.епь
fJ)#fJOJeн!ll!flHЫU pfJllCfПO/J С tl8jj-
JH(!ЧlfЫM coпp:;mu!JЛf!НUl!M
<'ь:}Q
Aq, ~
:
Лqz
+~~t ~+
~
~~
-o >-----i-- ---o -
Рис. 24. (Продолжение)
Зк!J11!Jалентная схема О z - fJOllacmu
ла,е.о
с,
ла~·о
+ о""------+.БУ:а...+-----4""--<О +
u,e,o
uf.ll
Cz
+ о~------4~-".+-----.,.,..,-о+
L1Qo,e
ЛQО.е
___
, ________ _!__
ла~·0
,щра
+~
_..,. +
u<'.O
1
с,
ue,o
z
uo,e
1
Cz
uo,e
z
+ v..-
...,.,, +
t;Qa.e
лао/'
__ ...l_
________
L
61

l{ucкpemf!OЯ ш:пь
ЗкtJиtJ011енш.~оя :rеио 8 z o!lllш:mu
ф)!fезаВuсимыli источник -10Г?ряжения,
фиксиро!Jанного fJ meveнl't' !Jсего /'1ак1щ
-К:/,-'Т!очниКНопцяжгния, !rг::f,1Pei"Cc"O
1-/ОП/)ЯЖff!UР/'1
+о.__--•
-о
Ц) 11ОРО11ь.ЧЬ/U 0!1
Рис. 24. (Окончание)
Эти обозначения в удобной форме дают информацию, не­
обходимую для правильного соединения эквивалентных
схем между собой.
На практике имеется много SС-цепей, в которых за­
ряды и напряжения за счет внутреннего переключения из­
меняются через промежутки времени, равные целым так­
там. К ним относится большинство SС-элементов на
рис. 24. В SС-цепях, состоящих из таких элементов, вы­
борки напряжения берутся один раз за такт (т. е. либо
на четном, либо на нечетном интервале переключения, но
не на обоих одновременно). Такие цепи имеют эквива­
лентные схемы с 2п входами, в которых одновременно от­
крыты только п входов. При правильном соединении ме­
жду собой эквивалентные схемы с 2п входами редуциру­
ются к эквивалентным схемам с п входами, показанными
на рис. 25.
Имеется другой тип элементарных SС-цепей, в которых
четные и нечетные компоненты дискретизированного сиг­
нала идентичны. Такие элементы имеют четно-нечетную
62

Дискретная цепь
01 зазем11енный ко111Jенсатор
С CllHфOJHЬIMll K!IIOl/OM/I
ЛQ, е,о
f.O дqz
+~r -О+
_; CI ~-у
о) незазем11еннмuконtJенсато/7
с 11Jнин K!IIOl/OM
дq1
f,O
С дllz
+~---1~+
U
1
Uzу
l! !1езазем11енньrи конiJеμсотор -
С flfJO/ПUJOфOJ>fЫM/J KflIO;OHU
-o --- -:i:+------<O-
ill Koнi!eнcamop с лрот11tJофоз~
НЫНU K!IIOl/OMU
--------
!/прощенная зк!JиОа11мтная схема{} z-o§llocmu
1
Mj·O
+с""-
------------
Рис. 25. Библиотека упрощенных эквивалентных схем SС-элементов в
z-области [ 12]
63

Дискретная цель
е; !fн8ерт11рующий мемент
г--3~~+
U,
ЕuСт 0,С'
ilz ~
+~__j_ _/ -r _
-
_ !_9 _,-
---
-----
-
)!(} 8ь1~иmающuu З!71?М8Нm
Jql В,О
IJ,I? tJqJ
+::т ~+
_с=-- ~' U3
и" r~
Je
+~
'---:r<'-
Jqz
Рис. ~5. (Продолжение)
64
Упрощенная зк!Jи!Jrментноя схема ,
о Z-OOi/aCmll
-Cг'lz
с
+~
Jae,o
_€....___ _______ _
ир0
и:·е
~
~+
ЛQfo
ЛQl~
---------
,

дискретнаf! цмь
к; неза8исиныu ucmo'fllUK 11апрf!ЖМt1!?
л; не зо!Jисимыи ucmoчнuff шzпряжения,
фuксиро8онногоtJ течмие tJceгo moffma
и переffлючоемого ffЛIO'fOM е,о
~-о
ud,r~
MJ неза!Juсиныu ucmovнuff нопряжения,
rрuксиро!Jонного IJ течение !Jсего maffmo
и переклю,!Оеr-1ого ffЛIO'fOM о, е
~~
ud,r~
111 Исmоl/нuк напряженuя, упро!Jляеного
напряжением
....----о+
oJ Переключоемыu ut!еольныu О'/
.~~+
/}! Т/}
·~ U;Ог---"--.
2
J ._, ,... .-
+о
Рпс 25. (Окончание)
3-134
УllДОЩМШ!!? эк8118al!MmlllJЛ tJNf!! \
!! z-oO!!ocmu
ие,о~
Q,r :t-----------o.
+о-----...,
~--о+
ue.o
1
65

а; ООо§щенныu si -менент
е
и,~
Ь) билинеиньщ рЕЗuстор(незаземленныиJ
д) !lезазенленныи конdенсатор
ие
с:.>/
ио
z
u1° o-4 -=====:::J е
'---------о Uz
е
с!>ц'
ооо5щен з
ныusс-
2 элРмент
иf
~--------о uf
2) f(оноенсаf'!Ор с ПjJOmJOOl/lOЗHMMU К!IЮqами
е
о
U7 o--/. -- i --/--О U2
I
iJ) Нн/'Jедтирующии з/1fк"н1п
е
о
~ 1 /---<>Uz
Icо
и,сr---/ - /
--i
e;l--~o
u1
r оооощен- з
и2
<'/
ныиsс-
2 зленент 4
1 оаоощен­
ныи sc-
2 злемент
.С) 1/езаземленныи конdенсотор с проти8офозныни хлю11ш1и
'
ь,Jтfтц, с>":
и_J
оооощен­
НЬ!U SC-
2 эленент
Рис. 26. Моделирование SС-элеuЕттоь с помощью переключения за­
жимов обобщенного SС-элемента
(
fl6

симметрию. В связи с тем, что выборки напряжения на их
зажимах берутся в течение каждой половины такта (т. е.
в течение четных и нечетных интервалов), эквивалентная
схема с четырьмя входами редуцируется к простой схеме
с двумя входами, как будет показано на рис. 29.
3.1 . ПОЛНЫЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ ТИПОВЫХ
SС-ЭЛЕМЕНТОВ
В настоящем разде.1е получены эквивалентные
схемы нескольких SС-элементов на рис. 24. Они получены
с помощью z-преобразования уравнений уз.1овых зарядов,
состав.11яемых по схеме SС-цепи. К:ак отмечено в г.1. 2,
уравнения узловых зарядов записываются отдельно для
каждой фазы работы к.1ючей. Поэтому SС-элемент с
п входами описывается 2п уравнениями узловых зарядов.
Искомую эквива.11ентную схему в z-области с 2п входами
найдем непосредственно из этих уравнений. Эквивалент­
ная схема сложной SС-цепи образуется соединением эк­
вивалентных схем соответствующих элементов. Для крат­
кости приведем выкладки только для элементов, изобра­
женных на рис. 24 (6-е, лt). После получения их эквива­
лентных схем адекватность остальных эквивалентных схем
можно устаповпть самостоятельно. Для независимых и
зависимых источников напряжения эквива.1ентные схемы
получены непосредственно из соотношений гл. 2.
Незаземленный конденсатор. Получ11'>1 эквивалентную
схему незаземденного конденсатора (рис. 24,6) непосред­
ственно из уравнений уз.1овых зарядов. В этих уравнени­
ях четные и нечетные компоненты напряжения (Ue и U•J)
рассматриваются как независимые переменные, а четные
и нечетные приращения заряда (ЛQе и ЛQ 0 ) как зависи­
мые переменные. В связи с тем, что схема на рис. 24,6 не
содержит ключей, запишем сразу по аналогии с уравне­
ниями (38) разностные уравнения узловых зарядов отно­
сительно выборочных значений напряжений ue1, и0 1, ир2
и uo 2 , представляющих собой независимые возмущения.
Для четных моментов времени kT из (38а) получаем:
Л qf (k Т)=Си'[ (k Т)-Си~ [(k-1) Т]­
-Са~ (k Т)+Си~ [(k-1) Т],
Л q~ (k Т)= Си~ (k T)-Cu~ [(k-1) TJ-
-Cul(kТ)+Си~[(k-1)Т];
для нечетных моментов времени kT из (38б) получаем:
3*
57

л qт (k Т)= Cuf (k Т)-С иf [(k-1) T]-
-C ug (k Т)+Си2 [(k-1) Т],
Лqg (k Т)= Cug (k T)-Cuf [(k-1) Т]­
-Си~(k Т)+СИf[(k-1)Т].
'Применяя к уравнениям узловых зарядов z-преобразова­
ние, находим уравнения в z-области:
ЛQf (z)=CUf (z)-C z-112 Uf (z)-
-СИ2 (z) +С z-112 Ug (z),
(75а)
ЛQ~ (z)= СИ~ (z)-C z-112 Ug (z)-
-cur (z) +с z-
1
12 и~ (z)'
(75б)
Л Q~ (z) = CUf (z)-C z-112 И\ (z)--
- CUg (z) +С z-112 И2 (z),
Л Qg (z)= CUg (z)-C z- 112 И2 (z)-
-CU! (z) +С z-112 Uf (z),
(75в)
(75г)
тде обозначено Z{u(kT)}=U(z);·Z{u[(k-l)T]}=z-112v(z).
В дальнейшем при получении эквивалентных схем опустим
составление разностных уравнений уз.1овых зарядов. Чи­
тате.1ям, имеющим малый опыт работы с методом z-пре­
образований, полезно воспроизвести эти выкладки само­
стоятельно. После приобретения некоторых практических
навыков z-преобраз·овання уравнений уз.1овых зарядов для
элементарных SС-цепей записываются непосредственно по
принципиальной схеме.
Возможны несколько эквивалентных схем, интерпрети­
рующих уравнения (75). Одна из них представляет собой
<:балансированную мостовую схему, показанную на рис.
24,б. Другая, также с четырьмя входами, - несбалансиро­
<Ванный четырехполюсник связи, на который четные и не­
четные компоненты входного сигнала поступают
через
идеальные трансформаторы [ 11]. Четырехполюсник связи
объединяет четные и нечетные компоненты входного сиг­
и.ала в эквивалентной схеме. При интерпретации уравне­
l'tШЙ (75) в виде сбалансированной мостовой схемы транс­
форматоры не требуются. Далее сбалансированная мосто-
1!.ая схема называется сбалансированным четырехполюс­
ником связи, а цепь Курта - Мошица [ 11] - несбалан­
сированным четырехполюсником связи. Обе эти схемы эк-
438

еивалентны и справедливы при подключении любых на­
срузок к их зажимам.
Конденсатор С, переключаемый двумя ключами, за -
мыкаемыми в противофазе (противофазные ключи,
рис. 24,в) [ 15], заряжается напряжением u 1 только в чет­
ные (нечетные) моменты времени и заряжается напряже­
нием u2 только в нечетные (четные) моменты времени kT.
В моменты времени, когда ключи разомкнуты, конденса­
тор не подключен к соответствующему входу и прираще­
ние заряда ЛQ=О. Исходя из этих соображений запишем
уравнения узловых зарядов:
ЛQ~·0(z)=СИ1·0 (z)-C z-
112 U~·e (z),
ЛQ~·0(z)= О,
Л Q~·e (z)= О,
(76а)
(7бб)
(76в)
Л Q~·e (z)= СИ~·· (z)-C z-112 И!· 0 (z).
(76r)
Напомним, что верхние индексы е, о обозначают четные
или нечетные (но не оба одновременно) компоненты пере­
менных, а обратная последовательность индексов о, е -
нечетные или четные компоненты. Непосредственно по
этим уравнениям сконструируем эквивалентную схему с
четырьмя входами, изображенную на рис. 24,в. Заметим,
что входы 1-о, е и 2е, о всегда разомкнуты, поэтому че­
рез них заряд не передается. Это свойство присуще всем
SС-э.1ементам с противофазными ключами (см" напри­
мер, эквивалентные схемы на рис. 24,г и д).
Инвертирующий элемент [9], схема которого показана
на рис. 24,г, аналогичен элементу, cxe:via которого приве­
дена на рис. 24,в, с тем отличием, что при ~передаче заря­
да с первого входа на второй напряжение инвертируется.
Этот процесс описывается следующей системой уравнений
узловых зарядов:
ЛQ~· 0 (z)= СИ1· 0 (z)+C z-11
2 И~·· (z),
Л Q~·· (z) =О,
(77а)
(776)
Л Q2·
0
(z)= О,
(77в)
л Q~·e (z)= cu~.e (z) +с z-1/2 И~· 0 (z).
(77г)
Этп уравнения легко интерпретируются с помощью эквн­
валентной схемы с четырьмя входами, показанной на
рис. 24,г. Заметим, что входы 1-е,. о и 2-о, е соединены с
помощью неуравновешенного четырехполюсника связи, в
69

котором весовые мвожители всех элементов памяти Cz- 1 1~
предварительно умножены на -1 .
Вычитающий элемент [9]. В вычитающем звене, пока­
занном на рис. 24,д, заряд конденсатора С в течение ин­
тервалов времени е, о определяется разностью напряже­
ний u1e,o(kT)-U28
•
0 (kT). Когда замкнуты ключи о, е, раз­
ностное напряжение непосредственно подключается к вы­
ходу 3. Эти процессы описываются следующими уравне­
ниями узловых зарядов:
Л Qf·
0
(z)=СИ!· 0 (z)-CU~· 0 (z)-C z-1;2 U3·e (z),
Л Q~·e (z)= О,
(78а)
(786)
Л Q~· 0 (z)= CU~· 0 (z)-CUf·
0
(z) +с z-112 V3·e (z), (78в)
ЛQ~·е(z)= О,
(78г)
л QЗ·0 (z) =о,
(78д)
Л Qg·e (z)= СИ3·е (z)-C z-112 U~· 0 (z)+C z-112 U~· 0 (z).(78e)
Эквивалентная схема с шестью входами, соответствующа5r
этим уравнениям, показана на рис. 24,д. Заметим, что три
из шести входов постоянно разомкнуты. В этой эквива­
лентной схеме два передающих пути е, о объединяются с
единственным передающим путем о, е посредством опера­
ции вычитания.
Заземленный конденсатор, переключаемый синфазна.
(рис. 24,е) весьма часто применяется в SС-цепях, особен­
но в фильтрах типа ФНЧ. Обычно его подключают па­
раллельно заземленному конденсатору, изображенному на
рис. 24,а. Уравнения узловых зарядов для этого элем:ента
записываются в виде
л Qe,o (z) =с (1-z-1) ue,o (z),
ЛQe,o (z) =ЛQf·
0
(z) + Л Q;•o (z),
Л Ql·e (z) =О,
Л Qg·e (z) =О,
(79а)
(796}
(79в)
(79г)
где ue,o (z) = И{· 0 (z) =и 2е,о (z). Следует заметить, что
уравнения (79) можно получить из эквивалентной схемы
заземленного конденсатора, приведенной на рис. 24,а, по-
лагая ЛQ 1 °.е=ЛQ2°·е=О, откуда вытекает равенство
Uo,e (z) =z-lfZUe,o (z). Для рассматриваемого элемента
(рис. 24,е) uo,c(z) пре.дстав.1яет юобой напряжение, которое
запоминается конденсатором С, причем оно никак не за­
висит от напряжений на входах И1°,е и И2°·е. Как отмечено
70

в разд. 2.3, этим свойством обладает устройство выборки
JИ запоминания с фиксацией напряжения в течение всего
такта.
Эквивалентная схема с четырьмя входами, составлеч­
ная по уравнениям (79а)- (79г), показана на рис. 24,е,
два ее входа всегда разомкнуты. Эквивалентную схему
;незаземленного конденсатора на рис. 24,ж можно получить
упрощением рассмотренной ранее эквивалентной схемы за­
земленного конденсатора. Эти два элемента встречаются в
сложных SС-цепях довольно часто, поэтому их выделение
в составе цепи и замена эквивалентными схемами суще­
ственно упрощает анализ. Заметим также, что эквивалент­
ные схемы на рис. 24,е,ж, содержат полные проводимости
конденсаторов, равные Y=ЛQ/И=C(I-Z-1), что совпада­
.ет с данными табл. 3. Далее станет ясно, что эти эквива­
.лентные схемы можно также получить с помощью z-преоб­
разований проводимости конденсатора методами прямой и
()братной разностей. Приведенное выражение для проводи­
мости конденсатора справедливо только для интервалов
времени, в течение которых ключи замкнуты. Когда же
ключи разомкнуты, то ЛQ =О, и, следовательно, проводи­
мость у=О.
Заземленный конденсатор с шунтирующим и двумя по­
~ледовательными ключами, показанный на рис. 24,м, функ­
ционирует аналогично SС-элементу на рис. 24, и с той лишь
разницей, что конденсатор С разряжается, будучи полно­
стыо отключенным от внешней цепи. Поэтому закорачива­
емый конденсатор не нагружает внешнюю цепь. Эквива­
лентная схема на рис. 24,м вытекает из следующих урав­
яений узловых зарядов;
rде
л Qe,o (z) =сие.о (z),
Л Q!•e (z) =О,
Л Q2·e (z) =О,
Л'Qe.o·(z)= Л Qe,o (z)+Л Qe,o (z),
"
8'~L
(
2
uг.о (z)=И!· 0 (z)=И;· 0 (z).
(80а
(806)
(80в)
Этот SС-элемент не имеет памяти; на интервалах вре­
-мени о, е, когда конденсатор С разряжается, он пред­
ставляет собой разомкнутую цепь, а на интервалах време­
ни е о эквивалентен резистору. В SС-цепях, в которых тре­
бует~я передавать сигнал в течение одной фазы работы
ключа этот элемент с успехом выполняет функции рези-
'
~1

стора с проводимостью y=ЛQ/U=C. Сравнивая эту прово­
димость с преобразованной методом обратной раЗ11остп
проводимостью резистора из табл. 3, видим, что
у= С= G-т:=-r/R,
(81}
т. е. сопротивление эквивалентного резистора определяет­
ся как
R=-т:/С= l/(Cfs).
(82}
Это выражение для сопротивления эквивалентного рези­
стора хорошо известно, оно часто цитируется в литерату­
ре. Выражения (80), описывающие эквивалентный резис­
тор, фактически получены с помощью метода обратной
разности (53а). Поэтому соотношение (82) приближенное.
его точность определяется точностью аппроксимации z-
преобразования производной первого порядка d/dt с по­
мощью выражения s= (1-z- 1 )/-т:. К:ак видно из рис. 21,а, эта
аппроксимация достаточно точна только при высокой ча­
стоте дискретизации, когда ffi't~ 1 (или в z-плоскости, ког­
да z ~ 1). Эти же соображения справедливы для эквива­
лентов катушки и элемента с частотно-зависимым отрица­
тельным сопротив.11ением, полученных методом обратной;
разности (см. табл. 3).
Схемы SС-элементов на рис. 24,р и с представляют со­
бой прямое обобщение схем на рис. 24,м и н. Эквивалент­
ные схемы этих элементов представляют собой резисторы,
имеющие разные сопротивления для четных и нечетных ин­
тервалов переключения. Элементы такого типа позволяют
использовать принцип разделения во времени, чтобы по­
лучить цепи, обладающие разными свойствами в течение
четных и нечетных интервалов переключения.
На этом закончим обзор эквивалентных схем на рпс. 24.
Эквивалентные схемы остальных SС-элементов читате.1ь
может получить самостоятельно.
3.2 . УПРОЩЕННЫЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ
SС-ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ СЛУЧАЯ, КОГДА ВЫБОРКИ
НАПРЯЖЕНИЯ НА ВХОДЕ БЕРУТСЯ ОДИН РАЗ
В ТЕЧЕНИЕ ТАКТА
В разд. 3.1 отмечено, что в ряде эквивалентных
схем с четырьмя вхьдами два входа разомкнуты. Очевид­
но, что любые сигналы, подводимые к разомкнутым входам,
далее не обрабатываются и не передаются. Поэтому фи.1ь­
трация и передача сигнала в подобных SС-цепях возмож-
72

на только при таком фазировании ключей, которое при
соединении звеньев обеспечивает путь для прохождения
сигнала от входа до выхода. При таком соединении звень­
ев из их эквивалентных схем ·Можно удалить разомкнутые
входы. В сложных SС-цепях подобные элементы целесооб­
разно выделять для упрощения эквивалентных схем. В бo­
Jiee общем случае эквивалентная схема с 2п входами ре­
дуцируется к эквивалентной схеме с п входами. На рис. 25
приведены упрощенные варианты эквивалентных схем, изо­
браженных на рис. 24. Многие сложные SС-цепи можно
смоделировать только с помощью упрощенных эквивалент­
ных схем. Анализ SС-цепей, состоящих из элементов рас­
сматриваемого класса, не сложнее анализа непрерывных
{линейных) инвариантных во времени цепей. С помощью
элементов, схемы которых приведены на рис. 25, можно
реализовать все необходимые функции цепей, поэтому да­
лее для реализации передаточной функции фильтра при­
меняем только эти звенья. Такое ограничение при неболь­
шой потере общности позволяет разработать эффективную
процедуру синтеза SС-цепей в z-области.
В дополнение к упрощенным схемам звеньев на рис. 24
на рис. 25,з,и приведены эквивалентные схемы двух допол­
нительных типовых звеньев. Обсудим кратко каждое из
них.
Обобщенный SС-элемент [ 12]. На рис. 25,з изображен
обобщенный SС-элемент с четырьмя входами, в котором
незаземленный конденсатор переключается противофазны­
ми ключами. Эквивалентные схемы других SС-элементов
с противофазными ключюш (см., напри.мер, схемы на рис.
24,в - д) можно получить из эквивалентной схемы на
рис. 25,з заземлением одного пли нескольких входов. Ура­
внения узловых зарядов для обобщенного SС-элемента за­
пишем в виде
ЛQ~·0 (z) = CUi·
0
(z)-CU~· 0 (z)--
-C z-112 И~·~ (z)+C z- 112 U~·e (z),
Л Q'{•e (z)= О,
Л Q~-0 (z) = CU~·
0
(z)-СИ~· 0 (z)-
-C z-112 U~·e (z) +с z-11~ И~·~ (z),
Л Q~·~ (z) =О,
лQЗ·0(z)=о,
(8За)
(836)
(83в)
(83r)
(83д)
73

Л Q~·· (z) =СИ~·· (z)-СИ~·· (z)-
-C z-112 И!·о (z)+C z-1;2 И~·о (z),
ЛQ~·0(z)=О,
Л Q~·· (z) =СИ~·' (z)-СИ~·· (z)-
-C z-112 И~·о (z) +С z- i;2 Иf·о (z).
(83е)
(83ж)
(83з)
В общем случае уравнения (83) описывают эквивалент­
ную схему с восемью входами, из которых четыре входа
разомкнуты, как показано на рис. 24,п. Более полезна уп­
рощенная эквивалентная схема на рис. 25,з, имеющая че­
тыре входа; она получена удалением из общей эквивален­
тной схемы разомкнутых входов.
Сопоставление эквивалентных схем на рис. 24,6 и 25,э
показывает, что четыре входа эквивалентной схемы обоб­
щенного элемента соединены попарно с помощью сбалан­
сированного четырехполюсника связи, сдвигающего фазу
на 90°. Действительно, если в эквивалентной схеме обоб­
щенного элемента зажимы 1 и 3 рассматривать как вход­
ные, а зажимы 2 и 4 как выходные, то получим эквивален­
тную схему незаземленного конденсатора на рис. 24,6. Ес­
ли же зажимы 2 и 3 заземлить, то получим эквивалентную
схему заземленного конденсатора на рис. 24,а. Все звенья,
в которых конденсатор коммутируется противофазными
ключами (на рис. 25,d - ж), можно легко получить из схе­
мы обобщенного элемента (рис. 25,з). Например, если за­
жимы 2 и 4 заземлены, обобщенный элемент преобразует­
ся в схему конденсатора с противофазными ключами (рис.
25,д). Аналогично инвертирующий элемент на рис. 25,е
получается при заземлении зажимов 1 и 4. Итак, соответ­
ствуюJJ.им переключением зажимов обобщенного элемента
можно получить эквивалентную схему любого из указан­
ных на рис. 24, 25 SС-элемента, содержащего один конден­
сатор. Примеры необходимого при этом переключения за­
жимов приведены на рис. 26.
Элемент задержки. Задержка сигнала на такт может
быть получена при возбуждении SС-элемента, переключа­
емого противофазными ключами, от схемы выборки и за­
поминания с фиксацией напряжения в течение всего так­
та. Пример такого элемента приведен на рис. 25,и. Напря­
жение U8,г (t) принимает значения uе• 0е,г в те моменты вре­
мени, когда ключ о, е разомкнут, при этом заряд конден­
сатора С остается неизменным. Через полтакта, когда ключ
о, е з,амыкается, конденсатюр С юолучает заряд Сuе· 0в,г· Еще
через полтакта размыкается ключ о, е, а ключ е, о замы-
74

кается и напряжение uе· 0в,г появляется на выходе с задерж­
кой на такт. Очевидно, что если синхронизировать иамене­
!НИе значения входного напряжения с ~моментом замыкания
ключа о, е, то длительность задержки станет равной поло­
.вине такта. Цепь на рис. 25,и может быть смоделирована
.согласно эквивалентной схеме на рис. 27. Записав уравне­
ние для заряда в узле 2, получаем соотношение
CV~·0 (z) =Сz-
1
12 (z-112 и::: (z)]= С z-1 и:;; (z}. (84)
r
O,I! -1---~ --о+
UJ,r
тС
Ui
±
о-
J}
,-•и;,;ф.___с,_-_сz_•:~-_ь_,_i_-с_г'I_...'~~__.:
Рис. 27. Элемент задержки
Сг'
Рис 28. Инвертирующий (а) и вычитающий эдементы (6), возбуждае­
мые от схемы выборки и запоминания с фиксацией напряжения на
такт
Эквивалентная схема на рис. 25,и наглядно интерпретирует
это соотношение. Подобные эквивалентные схемы могут
быть получены для инвертирующего и вычитающего уст­
ройств, как показано на рис. 28,а, б соответственно. За-
75

держка на такт достигается также при возбуждении SС­
элемента с противофазными ключами (рис. 25,и) от интег­
ратора на операционном усилителе.
3.3 . УПРОЩЕННЫЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ
SС-ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ СЛУЧАЯ, КОГДА ВЫБОРКИ'
ВХОДНОГО НАПРЯЖЕНИЯ БЕРУТСЯ ДВАЖДЫ
В ТЕЧЕНИЕ ТАКТА
На рис. 24 приведены схемы двух элементов (за­
земленный и незазе:v1ленный конденсаторы), эквивалентные
схемы которых об.r~адают симметрией, т. е. в них пути про­
хождения четных и нечетных компонентов сигнала иден­
тичны. Элементы такого типа интересны тем, что благо­
даря симметрии эквивалентных схем они инвариантны во
времени. При построении SС-фильтров из этих элементов
они также будут инвариантны во времени.
Непереключаемый конденсатор. Свойствами симметрии
эквивалентных схем обладают как заземленный, так и не­
заземленный непереключаемый конденсатор. Для иллюст­
рации этого свойства рассмотрим незаземленный конден­
сатор (рис. 24,6), описываемый уравнениями узловых за­
рядов (75). Перепишем их для удобства ссылок:
ЛQf (z)= СИ1 (z)-C z- 112 Иf (z)-CU; (z)+
+с z- 112 ug (z),
(85а)
ЛQf (z)=CИf (z)-C z-112 Uf (z)-CU~ (z)+
+с z-I 12 и~ (z),
(85б)
Л Q~ (z)= CUf (z)-C z- 112 И~ (z)-CU~ (z)+
+с z- 112 Uf (z),
(85в)
Л Q~ (z)= СИ~ (z)-C z-112 Uf (z)-CUf (z)+
+с z-112 Uf (z).
(85г)
Просуммируем уравнения (85а) с (856) и (85в) с (85г):
Л Q1 (z) +Л Qf (z) =С (1-z-1/2)_[Uf (z) +Uf (z)]-
-C (1-z - 112) [И~ (z) +И~ (z)],
(86а}'
Л Q~ (z)+дQg (z)= С(1-z-112) [U~ (z)+Ug (z)]-
-C (I -z -112) [Uf (z) +ur (z)].
(866)
76

В гл. 2 показано, что
ЛQ(z)=ЛQ~(z)+ЛQ0(z),
И (z)= Ue (z)+V0 (z).
Используя обозначения (87), перепишем уравнения
следующей форме:
(87а)
(876)
(86) в
где
Л Q1 (z)= С (l -z-112) И1 (z)-C (I -z-1!2) U2 (z)=
=Ус (z) И1 (z)-yc (z) U2 (z),
Л Q2 (z)-=- С (l -z-112) И2 (z)-C (l -z -1/2) U1 (z) =
=Ус (z) V2 (z)-yc (z) V1 (z),
Ус =С (1-z -I/2).
(88а)
(886)
(89)
Наличие члена z-112 в выражении (89) показывает, что
частота взятия выборок вдвое выше тактовой частоты. Вы­
ражение (89) можно преобразовать к форме, приведен­
ной в табл. 3, введя переменную z=e•'t/2 :
yc=C(I-z- 1 ).
(90)
Эквивалентные схемы заземленного и незаземленного кон­
денсаторов для случая, когда заряд на конденсаторе об­
новляется дважды за такт, приведены на рис. 29,а,б.
Заметим, что эквивалентные схемы на рис. 29,а и б
можно использовать только в комбинации с другими экви­
валентными схемами, обладающими такой же симметрией.
На рис. 24 приведена схема еще одного такого звена - би­
линейного резистора.
Билинейный резистор [ 18]. Составим необходимые ура­
внения для незаземленного билинейного резистора (урав­
нения для заземленного билинейного резистора выводятся
аналогично). Элемент на рис. 29,г описывается следующи­
ми уравнениями узловых зарядов:
Л Qi (z)= CUf (z)+C z- 112 Иf (z)-CU~ (z)-C z-1/Z Иg (z),
(91а)
Л Qf (z)= CUf (z) +С z-11
2
И~ (z)-CVg (z)-C z-
1
12 Щ (z),
(91б)
ЛQ~(z)=СИ~(z)+Сz-
1
12 Vg (z)-CV'((z)-C z- 112 Uf (z),
(91в)
Л Qg (z)= CVg (z)+C z-112 И~ (z)-CUf (z)-C z-
1
12 Vf (z).
(91г)
77

Дискрет11ая цепь
о} JазенлЕ'нчыtl кomleticamop
!Jr;, ,.._
__,..,. /Jy-2
+о-1о+
и, Ic оиz_
-О-
----------------
.О,' f/езозем1'Р11ныи коноенсотор
!Jr;, ,..._
С ~!Jqz
+~~+
и,
-0----1---0-
---- ------ --
. :; !'езоземленныи t5uл1шeu11ыu PfJllCIТIOP
-о--~-:1:....---~о-
!!прощенная ж(}u(}a,1!'н'f71iOq
схена
-
О>----1-----0-
-o~--:i:....------.o-
Рис 29. Эквивалентные схемы конденсатора и билинейного резистора
в случае, когда заряд на конденсаторе обновляется дважды за таhт
Суммируя уравнения (916), (91г) с уравнениями (91а),
(91в) соответственно и приводя подобные члены с учетом
обозначений (87), получаем уравнения:
Л Q1 (z)=C (l +z-1/2) И1 (z)-C (1 +z-1
12
) U2(z)=
= Уя. (z) И1 (z)-уя. (z) И2 (z),
(92а)
ЛQ2(z)=С(1+z-
112
) И2 (z)-C (1 +z-'1
2
)U1(z)=
= Уя. (z) И2 (z)-уя. (z) И1 (z).
(926)
78

t
1
1
l
'
Отсюда при z=esт имеем
Уя. =С (1 + z-112),
(93а)
а при z=еп/2
YR =С(1+z-
1
).
(93б)
Сравнивая выражение (93б) с выражением для сопротив­
ления эквивалентного резистора в табл. 3, видим, что били­
нейный эквивалентный резистор в точности реализован
SС-элементамн, схемы которых приведены на рис. 29,в,г.
Приводя выражение (93б) к выражению для сопротивле­
ния эквивалентного резистора в табл. 3, получаем экви­
валентное сопротивление
R=-r/(2C),
где -r - период дискретизации, равный длительности так­
та. В рассматриваемых цепях выборки берутся дважды
за такт, поэтому сопротивление эквивалентного резистора
уменьшается в два раза:
R=-r/ (4С).
(94)
Эквивалентные схемы заземленного и незаземленного би­
линейных резисторов изображены на рис. 29,в,г, они дос­
таточно простые и не требуют комментариев.
Обратим особое внимание на то обстоятельство, что
простые эквивалентные схемы на рис. 29 могут использо­
ваться при моделировании SС-цепей, состоящих только из
S С-элементов, обладающих свойством симметрии. Цепи
смешанного типа приходится моделировать с помощью эк­
вивалентных схем общего вида с четырьмя входами, по­
казанных на рис. 24,6, о.
На этом завершим обсуждение эквивалентных схем эле­
ментарных SС-цепей в z-области. В последующих главах
приведем примеры пассивных и активных SС-цепей. Эти
примеры демонстрируют применение эквивалентных схем,
полученных в данной главе, и иллюстрируют интересные
и полезные схемю. е решения.
4. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ
SС-ЦЕПЕИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
В этой главе рассмотрено Применение эквива­
лентных схем, введенных в гл. 3 для анализа нескольких
пассивных и активных SС-цепей первого порядка. Прора­
ботав этот материал, читатель получит навыки, необходи-
79

мые для использования эквивалентных схем при разработ­
ке активных SС-цепей высокого порядка. В последующих
главах простые SС-цепи первого порядка будут использо­
ваны для синтеза фильтров второго и более высокого по­
рядков.
4.1 . ПАССИВНЫЕ SС-ЦЕПИ
Рассмотрим пассивные SС-цепи с одним дейст­
вительным полюсом передачи. Для их анализа с помощью
эквивалентных схем на рис. 24, 25, 29 требуется задать
вид входного сигнала и интервалы наблюдения (четные
или нечетные) выходного сигнала, как это показано на
рис. 16, 17. Как будет показано далее, такой анализ по­
зволяет вскрыть ряд интересных свойств, неочевидных при
начальном рассмотрении SС-цепи.
ФНЧ-цепь первого порядка. Сначала рассмотрим про­
стую ФНЧ-схему первого порядка, показанную на рис. 30,а.
ф----т-У___.....__.а,.....-о+
и, (kТ}с" l_
С1 u,,"fkTJ
,,
'I
2I
"
-
I-
а-
0
а
~~+
5
~~~~....--{-=-~..-~--i~~-+~~...---o+
U1~rx
б
Рис. 30. «Пассивная» SС-цепь ФНЧ-типа с одним полюсом передачи
Ее эквивалентную схему в z-области можно получить про­
стым каскадированием эквивалентных схем на рис. 24,в,е,
как это показано на рис. 30,6. Очевидно, что схему на
рис. 30,б можно у~простить и привести к ниду, показ·анному
на рис. 30,в. Эту эквивалентную схему также можно полу-
SО

rf
чить непосредственно каскадированием упрощенных экви­
вале:ктных схем на рис. 25,а,д. Записывая единственное
уравнение узловых зарядов для узла 2
[С1-С1 z-112+c1 z-112+c2-C2 z-1] И~ых (z)=
= cl z-112 и:х (z),
(95)
получаем известную передаточную функцию ФНЧ-типа в
z-области
U0 (z)
1
Нз (z)= вых
=
С1z-12
(96а)
U~x (z)
С1 + С2-С2 z-
1
Расположение нулей и полюсов этого выражения в z-пло­
скости показано на рис. 31,а. Заметим, что на этой и по­
следующих картах нулей и полюсов задержка на половину
Im(zJ
-
-,
Eilut1mнaя
/'"
'vоцужность
1
!/z \
-+---0---:i~~-•RelzJ
\
\
''-
_,,-
/
/
Cz1
C. -/-Cz/
_"
а
\m(Z)
-
Еоиничная
'-/О~ружность
\
\
1
-1 -- -1 --'"*"-+ ---RE ,:)
\
Cz1
\
с,+С2 1
' ..... __ ,,,,.,,/
IJ1;,,,JAТJ
Рис. 32. SС-цепь первого по·
рядка ФНЧ-тнпа
Рис. 31. Распо.1ожение ну.~ей и
полюсов в z-плоскости:
а - функц1ш Н. (9ба); б
-
функс;;rи
Н 1 (96б)
такта обозначена нулем на действительной оси со знач­
ком 1/2. Сравнивая (96а) с приближенным выражением
передаточной функции демпфированного ПДС-интеграто­
ра (71), получаем, что при -т:р=С~/С2 этн функции идентич­
ны.
Заметим, что из-за принятого фазирования ключей ком­
поненты И0 вх и Uевх отсутствуют в модели на рис. 30.в.
Исключив выходной «нечетный» ключ, как показано на
рис. 32, можно восстановить сигнал Ивых по четному ком­
поненту Uевых· В результате анализа этой цепи (см. зада­
чу 15) получае:\I Uевых (z) = z-11 2 И 0 вых (z) ИЮ!
И~ых (z)
С1 z-I
Н1(z) =
= z-112 Н3 (z)=
. (96б)
и:х (z)
С1+С2-С2z-
1
81

На pi'iC . 31, 6 это выражение представлено в z-плоскости.
Сравнивая (96б) с результатами, представленными в
табл. 2, нетрудно убедиться, что это выражение при тр=
= С1 /С 2 представляет передаточную функцию демпфиро­
ванного ПР-интегратора.
Чтобы продемонстрировать важность выражений (96).
вернемся к рассмотрению во временной области. Предпо­
.1ожим, что Uвх - низкочастотный синусоидальный дискре­
тизированный сигнил, форма которого показана на рис.
33,а. На этом рисунке частота дискретизации выбрана до­
статочно низкой для более наглядного представления стру­
ктуры сигнала. Точками показаны выборки сигналов в мо­
менты времени t=kT; через них проходит ступенчатая ли­
ния, представляющая сигнал на выходе устройства выбор­
КI! и запоминания. Заметим, ч110 этот <:игнал имеет такую
же форму, что и и (t) на рис. 16. При частоте сигнала Uвх,
намного меньшей частот среза передаточных функций Н1
и Н 3 , напряжения uевых (t) и И 0 вых (t) имеют вид, показан­
82
ный на рис. 33,6, в. Для
получения этих зависимо­
стей испоJ1ьзованы четные
выборочные значения Инх.
h.Оэффициент усиления по­
стоянного
напряжения,
как следует из (96) при
z = 1, равен единице, фор­
ма компонентов ue(t) 11
u 0 (t) задана на рис. 16.
Выходное
напряжение
Ивых(t) получим, просум­
~шровав его четный и не­
четный компоненты, один
период этого напряжения
показан на рис. 33,г. Та­
кое напряжение можно
наблюдать на экране ос­
циллографа при экспери­
ментальном исследовании
цепи,
показанной на
Рис. 33 Форма напряженшi
в SС-цепи первого поряд­
ка на рис. 32 при гармони­
qеском снгнале. Частота
входного сигнала находит·
ся в полосе пропусканю1
цепи

r рис. 32. Напряжения uевых и U 0вых ЯВЛЯЮТIСЯ математиче­
скими абстракциями и не могут быть исследованы экспе­
риментально. Выходное напряжение цепи на рис. 30,а мож­
но получить в виде, аналогичном изображенному на
рис. 33,г, если ее выход зашунтировать конденсатором не­
большой емкости, как это сделано в схеме на рис. 19,а.
Из этого примера ясно, что при простом синусоидаль­
ном воздействии выражение для выходного напряжения
во временной области можно найти с помощью передаточ­
ных функций для z-области (связывающих сигналы uевх
и и0 вх с uевых и U0вых). используя определения для ue, и0 ,
данные на рис. 16. Для получения большого опыта в фи·
зической интерпретации передаточных функций, найден­
ных с помощью эквивалентных схем, читатель в качестве
упражнений может провес1:.и аналогичные рассуждения для
других элементарных цепеи, рассматриваемых далее.
ФВЧ-цепь первого порядка. Простая ФВЧ-схема пер­
вого порядка, показанная на рис. 34, а, пре.::~:ставляет со­
бой довольно интересное устройство. Его необычные свой­
ства обусловлены тем, что вход с выходом соединяется не­
посредственно через конденсатор (без ключей), поэтому
оба компонента входного напряжения uевх и u 0 вх опреде­
ляют как четную е, так и нечетную о составляющие вы­
ходного напряжения. Сначала получим эквивалентную схе­
му ФВЧ-цепи в z-области, соединив эквивалентные схемы
ll~x (kT)
а.
Рис. 34. «Пассивная~ SС-цепь ФВЧ-типа с одним по.1юсо\1 передачи
83

SС-элементов на рис. 24,6,л, как показано на рис. 34,б.
Ана.1из этой схемы приводит к следующим соотношениям:
V' (z)= Ci (l-z -1)
Ue (z)+0·V 0 (z) (97а)
вых
с1+с2-с1 z-1
вх
вх'
И~ых (z)= Н1 (z) V~x (z) + Н2 (z) V~x (z)
(976)
(заме1им, что здесь Н2 (z) =О) и
С z-1/2
vo (z)-
2
И'вх (z) + Uвох (z) =
вых
С1 + С2-С1 z-1
=Нз (z) V;x (z) + Н4 (z) V~x (z).
(98)
Отметим, что передаточная функция
Н1 (z)= И~ых (z) \
U~x (z) U~x=O
(99а)
описывает ФВЧ первого порядка, а
н()- U~ых(z) 1
_
С2 z-1;2
3z-
-
-
---= ----- -
И~х (z) и~х=О
С1+С2-С1г1 (996)
-
инвертирующий ФНЧ первого порядка. Это наиболее
интересный результат. Выражения (99) показывают, что
при V0 вх=О (как на рис. 35,а) эта схема имеет свойства
ФВЧ первого поря,_1,ка, если выходное напряжение на6лю-
(j
Рис. 35. .:Пассивная» SС-цепь ФВЧ/ФНЧ-типа с одним полюсом пе­
редачи
84

r Рис. 36. Расположение нулей и полю­
сов в z-плоскости:
а - функции Н 1 (99а); 6- функции Н, (99б)
дать на четных интервалах, 11
свойства инвертирующе1го ФНЧ
первого порядка, если выходное
напряжение наблюдать на нечет­
ных интервалах. Для практиче­
ской реализации двух передаточ­
ных функций можно применить
универсальную схему на рис.
35,6, где использован источник
входного сигнала, выполненный
по схеме рис. 18,6; он создает на­
пряжение вида, показанного на
рис. 17,а. Расположение нулей и
полюсов передаточных функций
Н 1 (z) и Нз (z) в z-плоскости по­
казано на рис. 36.
1
/
1
,,..-
Im(z}
ЕrJиничноп
---.{ окружность
'\
\
-+----+--*-"'----Rer:-
\
~/
\
с,+с2 ;
'
/
......... __ .,.,,.
а
im(zJ
Еilиничншr
, ,,-
- - ../ окоужность
/
'
/
\
1
112 \
-i\r----41._____,~-- Re[zi
с,1
\
-1
,
с,+с2/
......... ..._
_. ./
4.2 . АКТИВНЫЕ SС-ЦЕПИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Рассмотрим простейшие активные SС-цепи, ко­
торые широко используются в качестве составных частей
сложных активных фильтров. Известно, что резонансную
пассивную цепь можно реализовать с помощью многофаз­
ного переключения [15, 19]. Однако соответствующие схе­
мы имеют сомнительную ценность для построения преци­
зионных SС-фильтров из-за множества различных по ве­
личине паразитных емкостей, обусловленных МОП-техно­
логией. В следующей главе, где будут рассмотрены пара­
зитные эффекты и другие практические аспекты, показа­
но, что в активных SС-цепях паразитные эффекты можно
минимизировать. Интересующие нас активные SС-цепи со­
стоят из конденсаторов, двухфазных ключей и операцион­
ных усилителей. Многие из них построены на базе простых
SС-элементов, типа показанных на рис. 25, 29 [9, 16-18],
соединенных через операционные усилители. В случаях,
когда эти операционные усилители можно считать идеаль­
ными (т. е. имеющими бесконечный коэффициент усиле­
ния), допустимо упрощение эквивалентных схем с исполь­
зованием овойства «В•и•ртуальной земли». Напомним, что
при подключенном к «земле» неинвертирующем входе иде­
ального операционного усилителя виртуальная «земля:.
имеет место на инвертирующем входе (и-=0). Проанали-
85.

зируем ряд наиболее полезных активных SС-цепей с по­
мощью эквивалентных схем.
Интегратор без потерь. Одна из схем такого интегра­
тор а на базе переключаемых конденсаторов показана на
рис. 37,а. Ее ключи функционируют в соответствии с уп­
равляющими импульсами <ре и <р 0 , показанными на рис.
37,б,в соответственно. Чтобы убедиться, что эта цепь дей­
ствительно интегрирует сигнал, найдем ее реакцию и0 на
BКll. !Jмт. ВК!Т. 8к11. ВК!Т.
выкл 8ьJ!(л выкл Вь1кл
~~~~~~~~~~~~~t
....
tp"!
8кл. вк!!.
вкл. Вкл.
1.0 j&1клОвь1мОвыкл.ОымО • · • • •;...t
fj
ц
ио
т2Т:п4Т
1
1
Рис. 37. Реакция SС-интеrратора без потерь на единичный скачок
входного напряжения
единичный скачок входного напряжения. При t=O мгновен­
ные значения управляющих сигналов <ре и <р 0 таковы, что
конденсатор С1 подключен к источнику входного сигнала
и отключен от операционного усилителя. Он заряжается
до напряжения 1 В, при этом Ио= О из-за отсутствия на­
чального заряда конденсатора С2. При t=T/2 в соответст­
вии с новыми значениями управляющих сигналов ключ на
входе интегратора размыкается, а другой ключ замыкает­
ся. При этом, учитывая, что инвертирующий вход (и-) яв·
ляется виртуальной землей, весь заряд конденсатора С1
передается конденсатору С2 и Ио принимает значение, чи·
<:ленно равное -С1/С2. Время установления напряжения
. u 0 в течение перезаряда конденсаторов очень мало, но ко­
нечно. При t= Т замыкается входной и размыкается вто­
рой ключ, в этот период на конденсатор С2 не передается
-86

rдополнительно заряд, поэтому выходное напряжение ос­
тается неизменным и численно равным -С1 /С2 • Конден­
сатор С1 , будучи вновь подключенным к источнику вход­
ного сигнала, заряжается до напряжения 1 В. В следу­
ющий момент переключения t=ЗТ/2 конденсатор С1 от­
ключается от источника сигнала, присоединяется к входу
ОУ и его заряд опять передается конденсатору С2. При
этом напряжение Ио получает очередное приращение, чи­
сленно равное С1/С2. Продолжая этот процесс (конечно.
до тех пор, пока операционный усилитель не перейдет в ре­
жим насыщения, т. е. напряжение Ио не окажется равным
напряжению источника питания), можно убедиться, что вы-
fj
Рис. 38. Активный SС-интегратор без потерь
вт

ходное напряжение хорошо аппроксимируется линейной
функцией времени. Отсюда заключаем, что рассматривае­
мая схема интегрирует входной сигнал. Исследуем этот
эффект более детально с помощью эквивалентных схем из
гл. 3.
Эквивалентная схема интегратора без потерь (рис. 37,а),
полученная соединением эквивалентных схем на рис.
24,б,в,ц, показана на рис. 38,б. Конечный коэффициент уси­
ления реального операционного усилителя при необходимо­
сти можно учесть, используя эквивалентную схему источ­
ника напряжения, управляемого напряжением (рис. 24,х).
Устраняя все элементы между виртуальной и реальной зе­
млей, громоздкую схему на рис. 38,6 приведем к виду, по­
казанному на рис. 38,в. Эту схему, в свою очередь, преоб­
разуем, как показано на рис. 38,г. Заметим, что второй
каскад этой схемы представляет источник напряжения, уп­
равляемый напряжением с коэффициентом передачи В=
=z- 112, аналогичный независимому источнику, схема кото­
рого приведена на рис. 27. Окончательная модель интег­
-ратора без потерь, представленная в виде, показанном на
рис. 38,д, свидетельствует о том, что ее можно было бы
по.'Iучить непосредственно с помощью упрощенных экви­
ва.1ентных схем на рис. 25.
С помощью эквивалентной схемы на рис. 38,д переда­
точные функции интегратора без потерь нетрудно пред­
ставить в виде
Н3 (z) = U~ьР" (z)
(С1/С2) z-112
(1ООа)
и:х (z)
1
-1
-z
Н1(z) =
и~ых (z)
(С1 !С2) z-1
(1 ООб)
и~х (z)
I
-1
-z
Полюсы этих функций расположены одинаково, как вид­
но из рис. 39. Полный анализ выражений (100) показы­
вает следующее:
1) когда выходное напряжение Ивых представлено своей
нечетной составляющей (наблюдается только на нечетных
интервалах), передаточная функция равна Нз (z) и схема
реализует передаточную функцию, полученную с помощью
преобразования передаточной функции интегратора без по­
терь методом ПДС (см. табл. 2);
2) когда выходное напряжение Ивых представлено чет­
ной составляющей uевых, передаточная функция имеет вид
Н 1 (z) и идентична передаточной функции интегратора без
88

r
- потерь,
полученной методом ПР-преобразования (см_
табл. 2);
3) выражения ( 100) описывают инвертирующий итег­
ратор без потерь. Неинвертирующий интегратор можно по-
лучить простой заменой конденсатора с противофазнымw
ключами в схеме на рис. 38,а н:;~
'
1
••
инвертирующий элемент (рис.
mщ
,•
25,е). Напомним, что в активных
,...-
- ....
Eiluнulfoaя
RС-цепях неинвертирующий ин- /'
'\окдужilость
тегратор обычно выполняют ка- /
v2\
скадным соединением инвертиру­
ющего интегратора и инвертиру­
ющего масштабного усилителя с
единичным коэффициентом пере­
дачи, т. е. на основе двух опера­
ционных усилителей. Очевиднu,
что для реализации SС-цепями в
таких случаях требуется меньшее
число активных элементов, чем
для их активных RС-аналогов.
Далее отметим, что конденса­
тор с противофазными ключами
на входе интегратора рис. 38,а
всегда реализует проводимость
\
\
'
.. .... __
а
--
1
/
/
/
Im(ZJ
Уя= Gтz-l (как эквивалентный Рнс 39 Расположенне ну­
ПР-резистор из табл. 3), если он .1ей н полюсов в z-п.1оско­
возбуждается источником напря- спr·
жения, а выход подключен к вир- а--Ф>нг.ции н, оооа), 6-сJ\н-
туальной земле. При этом со-
г.uшr Н 1 (IООб)
множитель z-1 в выражении для Уя реа.1пзуется то.1ько тог­
да, когда входное напряжение изменяется в нечетные мо­
менты времени (при принятом на рис. 38,а фазировании
ключей). Подключение конденсатора с противофазными
ключами к виртуальной земле нeoбxo.1II:vro, так как в про­
тивном случае параллельные эле~1снты его эквивалентной
схемы (рис. 25,и) нагружают эквивалентную схему после­
дующего каскада SС-цепи. При анализе схемы на рис. 25,в
появляется заманчивое желание с,Jелать вывод, что экви­
валентный ПДС-резистор с проводш1,rостью Уя= Gтz- 1 1 2
можно реализовать аналогично. Однако такое заключение,
как будет показано далее, справед.1иво ,Jалеко не всегда.
Рассмотрим другую схему интегратора (рис. 40,а). Ис­
пользовав эквивалентные схемы рис. 24,6,н,ц и упростив
эквивалентную схему интегратора аналогично тому, как
показано на рис. 38, получим схему на рис. 40,6 и затем -
на рис. 40,в. Заметим, что результирующую эквивалентную
89

схему на рис. 40,в можно получить и непосредственно, ис­
пользуя упрощенные эквивалентные схемы на рис. 25,б,г,о
и источник напряжения, управляемый напряжением с за­
.держкой на z-112 •
..---------6+
иlых 1
Рис. 40. Активный SС-интегратор без потС'jJЬ
Передаточные функции этих эквивалентных схем име­
ют вид
ue
'
Н1(z) = вых(z)
и:х (z)
=-
(1 Ola)
н()_и:ых(z) _
(С1 !С2) z-112
зz-
-
-
(101б)
и:" (z)
1- z-
1
Расположение особых точек этих функций в z-плоско·
сти показано на рис. 41. Заметим, что передаточная функ­
ция Н1, полученная при условии, что выходное напряже-
90

rвие наблюдается на четнцх интервалах, идентична переда-
точной функции ОР-интегратора.
.
Функция Н3 , соответствующая выходному напряжению.
наблюдаемому на нечетных интервалах, такая же как ПДС­
интегратора. Таким образом, обе схемы на рис. 38,а и
рис. 40,а при определенных условиях реализуют передаточ­
ную функцию ПДС-интегратора. В следующей главе пока­
зана практическая ва:тность это­
го кажущегося излишним дубли­
рования функций.
Демпфированный интегратор
на основе конденсатора с проти­
вофазными ключами. Можно
предположить, что эквивалентная
схема демпфированного интегра­
тора на рис. 42,а подобна тем, что
получены для интеграторов без
потерь. В этой схеме для смеще-
11ия полюса передачи влево от
точки z= 1+ jO конденсатор об­
ратной связи зашунтирован SС­
элементом, оостоящим из конден­
сатора с противофазными ключа­
ми. Можно предположить, что
его действие аналогично резисто­
ру, шунтирующему конденсатор в
!m(ZJ
а
активном RС-интеграторе. Экви- Рис. 41. Расположение ну­
валентную схему демпфированно- .'!ей 11 полюсов в z-плос­
rо интегратора (см. рис. 42,6, в) @стн:
получим аналогично эквивалент- а-Ф,нкции п, (lOra); 6- ф)н-
ным схемам интегратора без по-
1щ~•и Н3 (1006)
терь. Как и в рассмотренных случаях, окончательную схему
на рис. 42~в можно получить непосредственной подстанов­
кой упрощенных эквивалентных схем (рис. 25) в эквива­
лентную схему интегратора на рис. 42,а. Аналогичным пу­
тем нетрудно по.1учить и эквивалентные схемы бо.1ьшинства
активных SС-цепей.
Передаточные функции демпфированного интегратора,
полученные на основе анализа схемы на рис. 42,в, имеют
вид
и~ых (z)
Н3 (z)=---
и:" (z)
ue (z)
Н1(z)= вых
и:х (z)
1-(1-С3 /С2) z-1
(С1 /С2 ) z-1
-
-
----'-.е.с.--"-'------
1- (1 - Сз/С2) z-I
(102а)
(102б)
91

Заметим, что выражение Н1 (z) при т:р=Сз/С2 совпада­
€Т с передаточной функцией демпфированного ПР-ин­
тегратора. Проанализируем выражения (102) для трех
а
.--------о+
и:,1х
Рис. 42. Активный SС-интеrратор, демпфированный конденсатором с
противофазными ключами
соотношений емкостей: Сз=С2, Сз=2С2 и Сз>2С2. В пер­
вом случае (Сз=С2) передаточные функции, равные
92
Н1 {z) =-(C1/C2)z-1
,
Нз (z) =-(C1/C2)z-112,
(103а)
( 1036)

rпредставляют элементы задержки на целый и половину
такта соответственно. При Сз=2С полюсы передаточных
функций
Н1(z) = -
(С1/С2) z-1 '
1 +z-1
Нз(z) = -
(С1/С2) z-112
1+z-l
( 104а)
(104б)
расположены на границе, отделяющей устойчивую область
от неустойчивой; в цепи могут появиться колебания с ча·
стотой, равной половине тактовой частоты. В последне:1r
случае, когда Сз>2С2, полюсы передаточной функции ле·
жат за пределами круга с единичным радиусом и цепь не­
устойчива. Корневой годограф при изменении величины С 3
изображен на рис. 43. Результаты анализа передаточных
Рис. 43. I(орневоА ГО.IЮ·
rраф функциА Н1 в На
(102) д.11.я Са~О
функций свидетельствуют, что здесь конденсатор с проти­
вофазными ключами нельзя рассматривать как цепь то.1ь­
ко с резистивными свойствами. Действительно, если иссле­
довать цепь обратной связи на рис. 42,в, то можно убе­
диться, что проводимость этого SС-элемента Ун=С 3 z- 1 ,
т. е. как у эквивалентного ПР-резистора. Потенциальную
неустойчивость цепи из-за задержки, создаваемой таким
элементом, можно было предсказать на основе данных
рис. 21,6, где изображено преобразование оси jw.
Рассмотрим случай, когда ключи SС-элемента (Сз),
включенного в цепь образной связи операционного уситr­
теля, переключаются в противофазе с аналогичны~~и клю­
чами на рис. 42,а (см. рис. 44,а). Выражения (102) могут
навести на мысль, что такое фазирование ключей приве­
дет к появлению сомножителя Сзz- 1 / 2 в знаменателе пере­
даточных функций H1(z), Нз(z). Чтобы убедиться в невер­
ности такого предположения, исследуем эквивалентную
93

Cz
>-------" +
JD~lx(k!}
а
~-------" +
Сz-Гз 7 1;21 о
,е
-----с;-1.. .._,.5ЬIХ JбЬР{
fj
Рис. 44. Активный SС-интегратор, демпфированный конденсатором с
противофазными ключами. Фазирование ключей в цепи обратной свя·
зп противоположно фазированию в случае, показанному на рис. 42
схему интегратора на рис. 44,6. После ряда преобразова­
ний получаем простую схему на рис. 44,в, передаточные
функции которой представим в виде
94
Н3 (z)
и~ых (z)
u~x(z)
и~ых (z)
Н1(z) =
-
и:х (z)
(1 О5а)
(1056)

r1
Сравнение этих выражений с выражениями ( 102) показы­
вает, что фаэирование ключей не влияет на полюсы пере·
даточной функции цепи. Оно воздействует только на коэф­
фициент передачи постоянной составляющей четной компо­
ненты напряжения [см. сомножитель (С2-Сз)/С2 в (1056)].
Это не удивительно, так как конденсатор С2 в схеме на
рис. 44,а получает порции заряда как в четные, так и в не·
четные моменты времени. Заметим, что в знаУiенате.1ях
функций Н3 (z), Н1 (z) отсу11Ствуют члены, содержащие z-
1
12
.
Независимо от фазирования ключей SС-элемента в цепи
обратной связи он реализует 1Про~одимость Ун= Gтz-1 •
Этот пример свидетельствует о невозможности реализо-
Е
>--4 -- -<>-f.
u 1 ыJkTJ
а
с,
+
г------п+
z·1/z Uб~1Х иgЬ Х
Рис. 45 Активный демпфированный SС-интеrратор на незаземленных
конденсаторах с противофазными ключами
95

вать передаточную функцию демпфированного ПДС-ин­
тегратора.
Демпфированный интегратор на основе незаземленноrо
конденсатора с противофазнымu ключами (рис. 45,а). Сра­
внение этой схемы с ее аналогом на рис. 42,а имеет, веро­
ятно, только теоретическое значение. На рис. 45,6 и в при­
ведены эквивалентные схемы, полученные обычным путем
с использованием эквивалентных схем на рис. 25; их пере­
да точные функции действительно описывают демпфирован­
ный интегратор:
С1 z-1/2
Н3(z) =
и~ых (z)
С2+Сз
--
и~х (z)
С2 z-1
(1Оба)
С2 +сз
С1
Н1 (z)=
и~ых (z)
=-
С2+Сз
и:/(z)
1-
С2 z-1
(106б)
С2+ Са
Анализ этих функций показывает, что интегратор устой­
чив при любых конечных значениях емкостей С1, С2, Сз.
Один из годографов полюсов (при увеличении емкости Сз
от О до оо) показан на рис. 46. Передаточная функция
Н1 (z) такая же, как у демпфированного ОР-интегратора с
'tр=Сз/С2, а Нз(z) имеет примерно такой же вид, что у
демпфированного ПДС-интегратора (т. е. как в выраже­
нии (71) при 'tр=Сз/С2).
Билинейный интегратор без потерь. Преи:'viущества ис­
пользования билинейного преобразования обсуждены в
гл. 2. Известно несколько схем, реализующих передаточ­
ную функцию билинейного интегратора без потерь [17-19]
1
/
/
1
---
",,.,.
.-
[m(Z)
(см. рис. 47, 49, 50); про­
анализируем каждую из
ЕtJ11ничн11я
НИХ.
-~....._ окружность
С
'-<(
начала рассмотрим
'-\
схему на рис. 47,а [ 17].
\
Ее эквивалентная схема,
\tз=о
полученная соответствую-
+----~~~~~*'"-~RеrzJ щим соединением эквива­
------
96
1
/
,,,,/
1
/
/
лентных схем на рис.
24,б,в,н,ц, показана на
Рис. 46. Корневой годограф
функций Н1, Нз (106) при
увеличении С3 от О ;:i.o оо

r1
а
Cz
...,____.._~_.,..,+
и~:,~
Рис. 47. Активный билинейный SС-интегратор без потерь
рис. 47,6. Из анализа уравнений узловых
но получить следующие выражения:
зарядов нетруд·
Ио
(С1/С2) z-I/
2
И~х- С1/С2
вых= -
1
1
-1
1-z-
-z
И~х.
(1 07а)
иг
-I/2uo
вых= Z
вых·
(107б)
Из (107а) видно, что требуемую передаточную функцию
билинейного интегратора можно реализовать только при
условии
и'
-!/2uo
вх= Z
вх•
(108)
Тогда, преобразуя (107а) с учетом (108), получаем пере­
даточные функции билннейного интегратора без потерь:
Н4 (z) = И~ых
=-
(С1/С2) (1 + z-I) t
( 1093)
и~х
1-z-l
Н2 (z)= И~оых = -
(С1/С2) z-112 (1 + z-1)
Ивх
1-z -I
(109б)
Нули и полюсы функции Н4 (z) расположены, как показа­
но на рис. 48. Таким образом, схема на рис. 47,а реализу­
ет бп<1~шейный интегратор при указанном фазировании
ключей только тогда, когда входное напряжение постоян-,
но в течение всего такта, причем входные и выходные на-)
4-134
97'

\
\
ImrzJ
[iJUHUl/HllЯ
-../окружность
"
Рис. 48. Расположение ну­
лей и полюсов функции Н4
( 109) в z-плоскости
\
\
пряжения дискретизпруются в нe­
RerzJ четные моменты времени (2k+.
+1)Т.
ДJiя второй схемы билинейно­
го интегратора (рис. 49,а) [ 17]
эквнваJiентная схема (рис. 49,6)
получена на основе эквивалентных схем на рис. 24,б,д,ц. Со­
отношения между входными и выходныl\111 напряжен11ямн
'
,.._
/
/
/
_,,,,
ямеюг вид
U~ых= -
(C1 iC2) (1 +z-
1
)U~x- 2(С1С2)z-12
и~"' (11Оа)
1
-1
1
-1
-z
-z
_и:ых= - (С1/С2) (1 +Г1) {/ _
2 (С1,С2)z-1
,
2
И~л· (11 Об)
вх
1
-1
1-1
-z
-z
Эти выражения имеют чстно-не 1 1етную симметрию в резуль­
тате применения во входной части интегратора двух вычи­
тающих элементов. Если выходное напряжение дискретн­
зируется в каждый момент времени kT (и в четный, и в не­
четный), то его можно пре.~,ставить н виде суммы четной и
нечетной составляющих [в соответствии с (49)]. Переда-
Е!
°./
1
(z
r
Ic, у
+
*l! 5Х
°./
г1
-.1
r
о
Ic, у
11
Рис. 49. Активный билинейный SС-иптегратор без потерь
98

r
. точную функцию схемы на рис. 49,а для случая, когда
входное и выходное напряжения наблюдаются в течение
четных и нечетных интервалов,по.1учаем, сокращая общий
множитель (l+z-
1
!2):
H(z)=
И~ых + И~ых
и:х + и~х
=-
(С1/С2) (1 +z-1!2 )
1-z -1/2
( 111)
Сравнивая ( 111) с выражением (109а), видим, что в рас­
сматриваемой схеме частота взятия выборок вдвое больше,
чем в схеме на рис. 47,а (при одинаковой тактовой часто­
те). Переопределив z-преобразование в соответствии с вы­
ражением Z= e'T/Z, Приведе:\1 Переда ТОЧНУЮ фуНКЦИЮ (111)
к виду
H(z)= (С1/С2) (1 + ;-1)
1-i-1
(112)
Эту передаточную функцию можно реализовать проще,
например, по схеме на рис. 50,а [ 18]. Анализируя эквива­
лентную схему на рис. 50,6, полученную с помощью экви­
валентных схем SС-элементов (рис. 29), можно убедить~
ся, что ее передаточная функция идентична ( 111).
а
Cz
Рис. 50. Актнвныir бплшrеirныii SС-пнтегратор без потерь
Для построения неинвертирующего билинейного интег­
ратора потребуется подключить инвертирующий масштаб­
ный усилитель с едиюРшым коэффициентом усиления к
одному из инвертирующих билинейных интеграторов (рис.
47,а, 40,а или 50,а), т. е. необходю1ы два операционных
усилителя. В связп с этим полезно вспо~~нить, что непнвер-
~
w

тирующие ПДС- и ПР-интеграторы можно построить толь­
ко на одном операционном усилите,1е а од1ю:v1 инвертиру­
ющем SС-элементе.
Би.1и11сiiный дс.l'\шф~:рив<.~Еый rа:н:·1ра.:;р. fI.·r1Go.1ee эф­
фектпвная схеыа Сiнюшсr"rного J,С:\!11фиров~шюго ипгегра­
тора и его экв,IБZl.ll'IПНая схе:-ла пока.оаr;ы на рис. 51,а,б.
'Передаточную функцию получим в виде
(113)
а
t5
Рис. 51. Активный бплин~йный демпфированный интегратор
Рис. 52. Корневой годограф
полюсов функции н (113)
при увеличении Сз от О до 00
100
При Z=esт1 2 и тр=Сз/С2
она идентична передаточной
функции билинейного демп­
фированного интегратора из
табл. 2. Годограф полюсов
передаточной функции в z-
плоскости (рис. 52) свиде­
тельствует о том, что анали­
зируемая цепь устойчива
при любом значении Сз.

r 4.3 . ИМИТАЦИЯ ИНДУКТИВНОСТИ И
ЧАСТОТНО-ЗАВИСИМОГО ОТРИЦАТЕЛЬНОГО
СОПРОТИВЛЕНИЯ
В этом разделе рассмотрены SС-цепи для ими­
тацпн 11ндуктивпого и частотно-зависп:'lfого отопцатель11ого
сощю1нв.,1енпя (Ч:ЗОС), эквивалентные по"11~L1с проводи­
"v!ОС ,r r,оторых даны в табл. 3.
:i«JемJн;1;ная ОР-индукпшная катушка. 0,J,на из актнs­
ных SС-цепей, имитирующих комп.тсксную проводиыость
зазоr"тешюй катушки инду1.;:тивности, по1:аза11а на рис. 53,а.
r
г-·1
-
~
----.-.,
'1
, -___,
'
г--i.__ ...J~
!J(j,·~ (f; i
:;, -
+о-:-г~
i
t--Ь~
1
':-
., u!j_ ~(, ~-c3z-c'z !!.r1 Q
,-J 1с С·~
_L
Рис. 63. Активная SС-цепь, ;1\IIIJ прJ t0111a" з,11~>1ленную катушr;у ин­
дуктшзности
Соотв{Оfствующая эквивалентная схема представлена на
рис. SЗ,6. Запнсьшая уравнения узловых зарядов для уз­
ла (1) и виртуальной «земли» (2), получаем следующие
_-уравнения:
ЛQ~=(С1+С3)И-С3z-
112
U0
,
(114а)
О=С2(I-г1)И0+С1z-
112
И.
(I 146)
-Решив эту систему уравнений относительно ЛQei, найдем
ЛQ~= [(С1+Сз)+С1ССз z-1
- 1 lИ (115а)
2
1-z
101

или
ЛQe
СС z-l
У=--i-=С1+Сз+_1_з ---
И~
С2 l-z-1
( 1l5б)
Прибавляя и вычитая из правой части уравнения (1156)
С1Сз/С2, найдем:
Очевидно, что это проводимость катушки индуктивности с
потерями. Потери можно устранить при условии С 1 +Сз­
-С1Сз/С2=О или
(117)
Сравнивая индуктивную часть проводимости (116) с про­
во_тц1Уiостью ОР-индуктивности из табл. 3, по.1учаем равен­
ство
С1 Сз
,2
С2 I=-z-1 =т I-z-1
•
Следовательно, имитируемая индуктивность равна
L =т2С2/ (С1 Сз).
(118)
(119)
Применение цепи на рис. 53 для построения SС-фильт­
ров рассмотрим на примере имитации простого LС-кон­
тура (рис. 54,а). Заменяя каждый элемент этой схе:-.ш его
эквивалентной ОР-проводимостью, получаем эквивалент­
ную схему LС-прототипа в z-области на рис. 54,6. Для ими­
тации индуктивности применяем схему на рис. 53,а, тогда
активная SС-цепь, имитирующая z-преобразованный LС­
прототип, примет вид, показанный на рис. 54,в. Резистор
реализуется резистивной частью входной проводююсти
( 116). Используя эквивалентные схемы (см. рис. 25) пере­
к,1ючаемоrо С5 и непереключаемоrо С конденсаторов, а
также выражение для проводимости имитируемой индук­
тl'вности ( 116), получаем эквивалентную схему цепп на
рис. 54,г. Сравнение этой эквивалентной схемы с преобра­
зованным LС-контуром на рис. 54,б показывает, что актпв­
ная SС-цепь обладает желаемыми свойствами.
Заземленные билинейные индуктивность и элемент с ча­
стотно-зависимым отрицательным сопротивлением (ЧЗОС).
Заземленные билинейные индуктивность и элемент с
ЧЗОС легко выполнить с помощью схемы активного RС­
конвер гора обобщенного июrитанса (КОИ), в котором
обычные ре:тсторы заменены билинейными резистора:v11:
102

(см. ,рис. 29,в, г) [16]. Схема SС-цепи, имитирующая зазем­
ленную индуктивность и построенная на основе схемы рис.
55,а, имеет вид, показанный на рис. 55,б. Как отмечено ра­
нее, заряд в билинейном резисторе изменяется дважды за
+
11
i-.------<>+
6
т27
Т 1-z-
1
Стивь~х
'1-
.~t------1r----------<>+
-1
°
lc е F:~l~
еТ' _С2
с,I
+
{)
to--p;iiig--..-~--~---..------<J+
ие
с
-cz-1
е
[С+С - С,С3] U5, "
1J
с2 _у_-
г
Рис. 54. Активная SС-цепь, имитирующая преобраз()ванную J,С-резо·
иансную цепь
такт длительности т так, что период взятия выборок равен
- r/2. Используя выражение для входной проводимости схе­
мы на рис. 55,а
Увх-= 0103 GL=_I_
sG2С
.
sL0
и эквивалентные схемы на рис. 29, найдем входную про­
водимость билинейного индуктивного элемента
(120)
Приравнивая это выражение к проводимости билиней­
ной эквивалентной индуктивности из табл. 3 (период дис-
103

кретизации у1меньшаем вдвое, т. е. заменяем ,; на т/2).
находим:
~(1 + z-112)2 -
16L 1- z-112
и,
RL
а
!!_
+,.,____~---
tJq,
+~
с
и,
-о
1
<>Те -
в
С4С1С3(1+z-
112 )2
СС2 1- z-112
(121)
о
г
Рис. 55. Имптацпя заземленных катушки индуктивности и ЧЗОС:
активные RС-эквиваленты индуктивности (а) и ЧЗОС (в), активные SС-·,еп11. ими.
тирующие катушhу индуктивности (в) и ЧЗОС (г)
Решая это уравнение относительно L, находим
't
2
СС2
L=-
--= --
16 С.1С1С3
(122)
Аналогично преобразуя схему на рис. 55,в (Ynx= s2 Gз С
2
)•
G2 G4
получаем SС-эквивалент заземленного частотно-зависимо-
го отрицательного сопротивления (рис. 55,г). Его входная
проводимость равна
Увх= ЛQi = с2Сз (1- z-112)2
И1
С2С4 1+z-112
(123)
104

Сравнивая проводимость билинейного элемента с частотно­
зависимым отрицательным сопротивлением из табл. 3 (где
период т заменен на т/2) с выражением (123), получаем
D=-rC 2 Cз/(4C2C4).
(124)
Активные SС-схемы, показанные на рис. 55, можно ис­
пользовать при построении сложных SС-фильтров так же,
как их активные RС-аналоги используются при имитации
лестничных LС-прототипов 1
•
Незаземленные индуктивный элемент и элемент с час·
тотно-зависимым отрицательным сопротивлением. В SС­
цепи, имитирующей незаземленную индуктивность (рИ{;.
56,а) [22], блоки, обозначенные SC-ri1 и SC-ri 2 , представля-
а
с,г'12
(3)
+ Экбuilа-
0 Л/!Н/ПНUЯ
И1 схема
sc-rz 2
H2(Z)
Рис. 56. Активная SС-цепь, имитирующая незаземлеиный элемент
1 Теоретические основы и практические особенности такой имита­
ции рассмотрены в ряде работ, например [Д6, Д7]. - Прим. ред.
105

ют собой активные SС-цепи с передаточныыи функциями,
определенными в соответствии с имитируемой комплексной
проводимостью. Предполагается, что эти SС-цепи у довле­
творяют следующим ограничениям:
1) входное и выходное напряжения могут иметь нену­
.тrевое значение только в течение нечетных интервадов вре­
мени;
2) взаимодействие между цепями Н1, Н2 отсутствует,
поэтому для их построения необходимы активные элементы:
3) обе цепи являются низкоомными источниками напря­
жения (т. е. их выходное напряжение снимается с выхо­
да ОУ).
Модель активной SС-цепи в z-области, полученная с
учетом того, что все переключаемые конденсаторы С1-Сз
являются обобщенными SС-элементами, изображена на
рис. 56,6. С помощью уравнений узловых зарядов для уз­
лов (1)-(3) этой эквивалентной схемы найдем
Л Q[= (С1 +с2 +Сз) Щ-(С1 +с2 +Сз) И~+
+с -112uo+c -112uo+c -112uo
.
1z
о
2z
1
3z
2,
С1ug=С1z-
112 И~-С1 z-
112 Щ.
(125а)
(1256)
(125в)
Учитывая, что соотношения между входными и выходны­
ми напряженияУiи блоков SC-ri1 и SC-ri 2 и:неют вид
И=H1ug,
И=н2иr.
из уравнения (125) находи:'\1
Ио_ z-1/2 н ve
z-1(2 н и·
1-
1а-
1ь,
И=z-112 H1 H2 U~-z-112 Н1 Н2 Щ.
( 126а)
(126б)
(127а)
(127б)
Подставдяя эти выра·жения в (125а) и (125б), получаем
где
106
ЛQ~= Увх(z)U~-Увх(z)Щ,
Л Q~= Увх (z) Щ-Увх (z) Щ,
Ув:х:= (С1 +с2 + C3)-z-
1
[С1+С2Н1+С3Н1Н2].
(128а)
(128б)
(128в)

При выполнении соотношений
' t2 (Зz-1 + z-2)
4L(1- z-1)
( 129а)
(129б)
проводимость Увх (z) nредставляет желаемую эквивалент­
ную проводимость для билинейной имитации индуктивно-
сти:
т2 (1 + 2-1)2
Yвx(z)=4L 1 -1
-z
(130)
В заключение найдем емкости С1-Сз и передаточные
функции Н1 , Н2, удовлетворяющие уравнениям (129). Пусть
С 1 =С2 =С3 =т 2 /(12L), что удовлетворяет (129а), тогда
можно показать, что для выполнения условия (129б) тре­
буется
(131)
Схемы, реализующие передаточные функции Н1 и Н2,
полученные с учетом сделанных ранее ограничений, изоб·
ражены на рис. 57.
а
~tт
.L l.
о
и,
Рис. 57. Актнвная SС-цепь, реа.1изующая передаточные функции (131)
lf, (а) и lf2 (6)
107

5. РЕАЛИЗАЦИЯ ПРЕЦИЗИОННЫХ
АКТИВНЫХ SС-ФИЛЫРОВ
г:о МОП-ТЕХНОЛОГИИ
В предыдуrцей глапе проведено теоретнческоf
исследовJние различных SC-cxe:vr. Теперь с практ1и1сской.
точкп зренпя обсудим факторы, сопутствующие примене­
нпю этих схем для построения прецизионных фильтров нг
базе 1vlОП-технологи11. Как будет показано далее, ряд со­
ображеннй, связанных с созданием элементов МОП-~шк­
росхем, сужает выбор SС-схем, пригодных для интеграль­
ного исполнения. Причем среди подходящих схем некото­
рые более предпочтительны по практическим соображе-­
ния:-.1.
5.1. ПРАКТИЧЕСКИЕ ОГРАНИЧЕНИЯ РЕАЛИЗАЦИИ
1\ЮП-МИКРОСХЕМ [7/
При разработке схем прецизио1-шых фпльтров)
ориентированных на МОП-технологию, следует учитывать
ряд условий. Перечислим наиболее важные из них.
1. Простейшей цепью, используемой для замыкания
местной обратной связи ОУ, является непереключаемый
конденсатор. Применять только переключаемый конденса­
тор недопустимо, так как он не может обеспечить непре­
рывную во времени обратную связь, необходимую для ста­
билизации режима ОУ. Другими словами, ОУ не должен
оставаться без обратной связи ни в один момент времени.
Переключаемые конденсаторы можно использовать в цепи
обратной связи, если они подключены параллельно непе­
реключаемым (например, как в демпфированных интег­
раторах, выполненных по схемам на рис. 42,а, 43,а, 45,а,
51,а).
2. В схеме не должно быть узлов, к которым подклю­
чены только конденсаторы. На всех обкладках конденсато­
ров может накапливаться заряд от множества паразитных
источников. Для стабильности цепи необходимо, чтобы
каждый узел соединялся либо непосредственно, либо че­
рез переключаемый конденсатор с источником напряжения
или «землей».
3. Нижняя обкладка каждого конденсатора должна
быть соединена с «землей» либо с источником напряжения,
во втором случае допустимо подключение через ключ. У
МОП-конденсаторов довольно велика паразитная нелиней­
ная емкость между нижней обкладкой и подложкой. Она
составляет до 15% от полезной емкости самого МОП-кон-
108

денсатора п с-1ожст вызвать ощутимую погрешность реалк­
зацш1 коэфф1;цпснгоп пере.1аточной функции. Кроме того,
нелинейность паразитной емкости приводит 1\ заметным не­
линейным искажеш1ям. Так как подложка заземлена по
персменно,rу току, то при подключении Е ней нижней об­
кладкн МОП-кондепсатора обе обкладки паразитной ем­
кости лпбо зuзс:-.1:rяются, лпбо шуптируются нсточником пи­
таншr. В ofioпx с1учаях паразитная емкость не влияет на
характеристJiки фильтра.
4. Напр;rж.иШt' на Ееинвертирующем входе операцион­
ного усплитс.1п должно быть постоянным. Ес.'IИ же неин­
вертирующпй пхо.1. ОУ соединен с источником сигнала, то
характеристики фильтра становятся чувствительными ко
всем паразитным емкостnм ключеii и шин относительно
подложки, соединенных с инвертирующим входом. К тому
же такой операционный усилитель должен обладать повы­
шенным коэффициентом ослабления синфазного сигнала.
Эти ограничения приводят к тому, что многие схемы, а
также элементы оказыпаются неприемлемыми для созда­
ния фильтров по МОП-технологии. Приведем примеры.
1. Схемы звеньев порядка выше первого на одном опе­
рационном усилителе неприемлемы. Желательно применять
звенья второго порядка на .1\вух ОУ.
2. Нельзя прпменять схемы, эквивалентные индуктив­
ностям и ЧЗОС, показанные на рис. 55.
3. Нельзя применять билинейные резисторы (рис. 19,в,г)
и схемы, где они применяются, например интеграторы на
рис. 50,а и 51,а.
4. Не.1ьзя применять обобщенный SС-элемент за иск1ю­
чением случаев, когда нижние обкладки соединяются через
ключ с «землей», например как при реализации не.зазем­
ленного элемента проводимости по схеме на рис. 56,а.
5.2. ЭФФЕКТЫ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ПАРАЗИТНЫМИ
ЕМКОСТЯМИ КЛЮЧЕЙ
Кроме упомянутой большой паразитной емкости
между нижней обкладкой конденсатора и подложкой на
характеристики фильтра могут влиять паразитные нели­
нейные емкости МОП-ключей: емкости сток- подложка
(общая шина по переменному току) и исток- подложка 1,
а также аналогичные емкости между стоком (истоком) и
1 Эт11 емкости составляют около 0,02 пФ, кроме того, существуют
емкости перекрытия сток - затвор, исток
-
затвор, составляющие при­
мерно О,005 пФ, что существенно, так как минимальная емкость кон­
денсзторов SС-фнлыров обычно не превышает 0,5-1 пФ. - При.и. ред.
10!1

проводящими областями, соединяющими конденсаторы,
ключи и ОУ. Хотя в высококачественных интегральных
микросхемах эти емкости меньше, чем паразитная емкость
между нижней обкладкой и подложкой, тем не менее они
определяют предельно достижимую точность реализации
фн.1ьтровых функций. Исследуем в.1ияние паразитных ем­
костей на характеристики фильтров на примере интегра­
торов, схемы которых даны на рис. 38,а, 40,а. Сначала
рассмотрим первую пз них. На рис. 58,а воспроизведена
схема интегратора, возбуждаемого от источника напряже-
а
б
fj
Рис. 58. Схемы инвертирующего интегратора без потерь (рис. 38,а)
с паразитными емкостями ключей
ния, с реальными ключами и их паразитными емкостями.
Паразитные емкости Ср1, Ср4 шунтируют источник напря­
жения и виртуальную «землю» соответственно, поэтому они
не влияют на выходное напряжение Ивых. Тогда, объединяя
емкости Ср2 и Срз в одну паразитную емкость Ср, можно
упростить схему и привести ее к виду на рис. 58,6. Исполь­
зуя ее эквивалентную схему на рис. 58,в, определим соот-
110

ношение меж;.~:у выходным И0 вых и входным Uевх напря­
жешrя~ш:
~(1t Ср)z-1;2
U~ых
С2
С1
--=
-
-----"----'----
(132)
Очевидно, что действие паразитной емкости привело к из­
менению масштабного множителя в (1 +Ср/С1) раз. В
демпфированном интеграторе влияние паразитных емко­
стей ключей проявится в изменении как масштабного ко­
эффициента, так и частоты полюса.
Аналогично анализируем схему интегратора на рис. 40,а.
Она перечерчена на рис. 59,а с учетом паразитных емко­
стей реальных МОП-ключей. Как и в рассмотренном ра­
нее случае можно убедиться, что паразитные емкости Ср1
и Ср 4 не влияют на характеристики интегратора. Объеди­
няя емкости Ср2 и Срз в одну паразитную емкость Ср, уп­
ростим схему (рис. 59,6). С помощью эквивалентной схемы
на рис. 59,в получим передаточные функции
~(1+ Срz-1)
И~ых
С2, С1
--=
-
--------
и~х
1-1
-z
(I 33a)
(1336)
Нуль функции ( I 33a), расположешшй в идеальном слу­
чае в начале координат, слегка сдвинут влево (т. е. в точ­
ку z=-Cp/C1), что обустювливает небольшую погрешность
амплитудно-частотной п фазочастотной характеристик ин­
тегратора. Анализ функuии ( 133б) показывает, что пог­
решность заключается только в изменении масштабного
коэффнцпента (l +Ср/С1), таком же как и для передаточ·
ной функции ( 132).
Рассмотрпм третью схему - неинвертирующий интегра­
тор с SС-инпертором (рис. 24,г). Она представлена на рис.
60,а с реальными ключами и их паразитными емкостями.
В качестве генератора входного сигнала пршленен источ­
ник напряжения на первом ОУ. Как обычно, сразу исклкr
чаем паразитные емкости Ср1 и Срб, по аналогичным при­
чинам опускаем емкости С рз, С р4 (их обе обкладки сое­
динены с «землей»). Упрощенная схема, где учтены толь­
ко паразитные емкости Ср2 и Cps, изображена на рис. 60,б.
Для выяснения эффектов, вызванных действием этих eм-
lbl

а
U 6ЬIХ
б
1
/
:
Cpz-112
/
L-~-------c::J------'
fj
Рис. 59. Схемы инвертирующего интегратора (рис. 40,а) с паразитны.
ми емкостями ключей
а
Рис. 60. Схемы неинвертирующего интегратора с паразитными емко.
стями ключей
112

костей, рассмотрим работу схемы при переключении клю­
чей в течение одного периода тактовых импульсов.
:Когда ключи q;e замкнуты, а ключи q; 0 разомкнуты, ем­
кости Ср2 и С1 подключены непосредственно к источнику
напряжения и заряжаются до напряжения И. При этом
паразитная емкость Ср& зак0rрочена на «землю» через ключ
<р" и не заряжается. После замыкания ключа <ре и замыка­
ния ср 0 емкость Ср2 разряжается на «землю», незаряжен­
ная емкость Cps подключена к виртуальной «земле» и кон­
денсатор С1 передает свой заряд на С 2 без погрешностей.
Другими словами, паразитные емкости ключей не влияют
на характеристики этого интегратора. Заметим, что это
достигнуто при включении инвертирующего элемента (рис.
24,г) между источником напряжения (т. е. выходом перво­
го ОУ) и виртуальной «землей». Именно такое включение,
обеспечивающее некритичность характеристик к паразит­
ным емкостям, использовано впоследствии при создании
схем звеньев второго порядка на двух операционных уси­
лителях и соответственно фильтров п-го порядка на п опе­
раци01шых усилителях.
Только что рассмотрен неинвертирующий интегратор, в
котором отсутствуют паразитные эффекты. Используя мо­
дифицированный незаземленный конденсатор, переключа­
емый в протиrюфазе (ри·с. 24,н), можIIо по.1учить схему ин­
вертирующего интегратора с аналогичныыи свойствами. Его
передаточная функция будет идентична передаточной функ­
ции идеального интегратора, схема которого приведена на
рис. 59. Схема SС-элемента и ее модификация показаны на
рис. 61. Нетрудно убедиться, что обе схемы функциональ­
но идеятичны. Рассмотрим инвертирующий интегратор, схе­
ма которого с реальными МОП-ключамн и их паразитны-
Рис. 61. Схе~1а нсзаземлен­
ноrо конденсатора с про­
тивофазными ключами (а)
и ее модификац!lf' для !IС'­
ключения паразитных 3ф­
фектов (6)
~о
~f~
1.1~, о-Л"-.-lэ~~1-----ои5,;,
с
а
113

ми емкостями показана на рис. 62,а. Как и в схеме на
рис. 60, можно сразу опустить паразитные емкости Ср 1 ,
Ср 3 , Ср4 и Срб, тогда упрощенная схема примет вид на
рис. 62,6. Лнализируя работу этой схе:vш на протяжении
одного такта (аналогично cxe:v1e на рис. 60,6), можно убе­
диться, что ее выходное напряжение Ивых нс зависит от
а
б
Рис. 62. ,\lоднфицнрованная схема инвертирующего интегратора с па­
разитными ем!{остями ключей
емкостей Ср2 и Cps. При замкнутых ключах ере и разом­
кнутых ср 0 паразитная емкость Ср2 заряжена до напряже­
ния И и это же напряжение полностью приложено к кон­
денсатору С2 через конденсатор С1. В это время емкость
Cps подключена к внртуальной «земле» и напряжение на
ней не изменяется. При замыкании ключей rp 0 и размыка­
нии ере емкости Cr, Ср2, С vs разряжаются. С:ледовате.1ьно,
характеристики рассматриваемой схемы, как и той, что
привелена 11а рис. 60, не подвержены влиянию паразитных
е!>шостей ключей. Нпжнпе обкладки конденсаторов обеих
схем желательно соединить непосредственно или через ключ
с источникоы напряжения. Отметим, что, как и в предыду­
щем случае, для исключения паразитных эффектов важно
подключать переключаемый конденсатор между источни­
ком напряжения и виртуальной «землей».
Наряду с интегратором без потерь можно также реали­
зовать без паразитных эффектов демпфированные инвер­
тирующий и неинвертирующий интеграторы, как показано
на рис. 63,а,в соответственно. Читатель может в качестве
упражнения самостоятельно убедиться, что характеристи-
114

ки этих схем не зависят от паразитных емкостей ключей.
Заметим, что верхние обкладки конденсаторов С 1 , Сз син­
хронно переключаются между «землей» и инвертирующим
вхо;r.0:-.1 ОУ ключаии, обведенными на рнс. 63,а, в штрихо­
вой линией. При таком переключении можно совместить
функции ключей, преобразовав схемы, как показано на
г
Рнt. 63. Демпфированные интеграторы, нечувствительные к действrrю
паразитных емкостей:
а - ннвертирующшu1; 6 - инвертирующий с мРньшпм числом ключей; в
-
ненн­
нертирующнй; г - неиивертирующие с меньшим числом ключей
115

ти~
ин ~err Tt1p~1
1IL" "~ l ,J')
рую.н '1!
ИнGсрТ!I!'~ -
ющш"1
дс\1I1CjJll р о -
IJаннын не­
пш;арпrр) ю­
Щ!l!I
Де\11rфпро­
ваинын нв­
вертнрую­
Щ11й
116
Таб.1ица 4
Лередато•шые функции и эквивалентные схемЬ1
интеграторов без паразитных эффектов
Переда1очныF> фунhц~rр
и~ых
-- --- --
U~ых -С1/С2
ue
1-z -l
U~ых -(Cr1C2) z--I/2
ue
!- z-1
и~ых
ue
и~ых
ue

рис. 63,6,г, при этом характеристики интеграторов не из­
менятся. Очевидно. что такан модификация позволяет сэ­
коно\1ить два ключа, ч10 весы.1а сущесгвенно при построе·
нии фильтров высокого пор7J,ка. Д"1я удобства применения
э1шнваленrнЬJе схе:.1ы и передаточные функции интегра­
тсров uез потерь и демпфированных интеграторов, в кото­
рых отсу1стпуют пара:,итны эффекты, сведены в табл. 4.
Этп интеграторы первого порядка IIснользованы в пос1е­
дующих разделах в качестве элементарных звеньев прп
построении активных SС-фильчJоь высоь:ого порядка бРз
пгразитных эффектов 1 [21-23]. Нс требуется, чтобы ми­
нюrалыrая емкость МОП-конденсатора таких фильтров на­
много превыша,1а паразитные еыкостн ключей, которые
могут составлять прю1ерно О, 1-0,2 пФ. Это позволяет не
только повысить точность реа.r~изации частотных характс­
р~1стик, но и более эффективно использовать шrощадь кри­
сталла [21]. Следует заметить, что при применении изоли­
р:ующих подложек, напрюлер сапфировых, все упомянутые
паразитные емкости с1 ановятся пренебрежимо малыми.
Тогда SС-элементы и схемы, которые были характеризова­
ны ранее как неприемлемые из-за чрезмерной зависимости
характеристик от паразитных емкостей, оказываются впол­
не пригодными для построения прецизионных фильтров. В
настоящее время некоторые фирмы используют технологп­
ческие процессы «кремний на сапфире» (КНС-технологпя),
однако пока нет сведений о при~енении этой технологии
для производства SС-филыров. Возможно, это объясняет­
ся большей стоимостью кристаллов, полученных по КНС­
технологии, чем обычных кремниевых МОП-кристаллов.
6. АКТИВНЫЕ SС-ЗВЕНЬЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
В этой главе рассмотрена обобщенная схема ак­
тпв1юго SС-звена второ1·0 порядI<а [23], реализующего ус­
тойчивую биквадратичную передаточную функцию, задан­
ную в z-областн выраженнем (68). Для удобства перепи­
сываем его:
Н (z)-=
_N (z) =у+вz-1+о z-
2
D (z)
l+аz-1+~z-2
(134}
1 Здеси и далее автор имеет в виду только эффекты, обусловлен­
ные паразитными емкостями ключей. Другие эффекты, например за­
висимость характеристик от инерционности ОУ, здесь не рассматрива­
ются. - Пpu,1t. ред.
117

Далее будет показано, что все частные передаточные
функцин второго порядка, приведенные в табл. 1, легко
реализуются с помощью схем, пригодных для реализации
обобщенной передаточной функции ( 134).
6.1 . ОБОБЩЕННАЯ СХЕМА ЗВЕНА ВТОРОГО
ПОРЯДКА
Все рассматриваемые далее схемы являются
частными с.1учаями обобщенной схемы активного SС-зве­
на второго порядка, которая показана на рис. 64,а. Эта
схема имеет большое сходство с активной RС-схемой на
трех ОУ, полученной согласно методу переменных состоя­
н~ш (рис. 64,6). Инвертирующий усилитель исключен из
схемы за счет использования SС-инвертора на основе кон­
денсатора А. В результате активное SС-звено состоит
только из двух интеграторов: первый - инвертирующий,
второй - неинвертирующий. Демпфирование обеспечивает­
ся конденсатором Е и переключаемым конденсатором F.
Пока оставим в схеме оба конденсатора, хотя во всех
конкретных случаях применения обобщенной схемы ис­
пользуется только один из них (тогда общее число конден­
саторов равно 9).
Нули передаточной функции реализуются с помощью
нескольких путей прямой передачи сигнала через переклю­
чаемые конденсаторы G, Н, !, !. Как будет показано да­
лее, обычно требуется не более двух из них и тогда в боль­
шинстве с.11учаев можно ограничиться толы<а семью кон­
денсаторами. Схема на рис. 64,а дает ясное представление
о ее принципе построенпя и функционирования. Для прак­
тики более эффективна ее модификация, которая получе­
на заменой наборов анаJiогично функщюнирующнх ключей
одним ключом, как сделано па рис. 64,в применптельно к
демпфированному интегратору. Такая модификаuня позво­
ляет сэкономить 16 ключей при идентичности электричес­
ких характеристик исходной и модифицированной схемы.
Схема на рис. 64,а построена на основе прецизионных
интеграторов, в которых отсутствуют паразитные эффек­
ты (см. гл. 5). Это свойство сохраняется и при замене н~с­
кольких ключей одним. Для уменьшения трудоемкости
начертания схем каждая пара ключей ере, ср 0 изображена
на рис. 64,в символически в виде переключателя на два
положения. Указанное на рис. 64 положение переключате­
J1ей соответствует четным интервалам. На нечетных вре­
менных интервалах переключатель занимает другое поло­
жение.
118

Ранее отмечалась аналогия между схемами SС-фильт­
ра и активного RС-звена. В частности, при Е= О SС-схема
очень близка по структуре к активному RС-звену на трех
ОУ с нссколью1ми входами, с тем JШШЬ разлнчнем, что в
ней отсутствует шшертор напряжения, так как он вообще
не требуется в SС-цепях. Несмотря на указанную анало-
{}
Рис 64. Обобщенная схе\\а активного SС-звена второго
чувствите.1ьная к воздействию паразитных е\\костей (а),
наго RС-эквивалента (6) и SС-схема с минимальным
чей (в)
поря;~.ка, н~
схема актив­
числом клю-
11~

гию, активные SС-цепн предоставляют большие возмож­
ностн при разработке rшнкретных фильтров. Так, напри­
мер, пз-за невозможности подгонять емкости конденсато­
ров при настройке и пх относительной дороговизне актив­
ные RС-звенья второго порядка конструируют так, чтобы
чис.10 конденсаторов было минимально, т. е. равно двум.
Это ограничение вовсе не обязательно переносить на ак­
тивные RС-схемы, которые служат прототипом при полу­
чении SС-схем путе:и замещения резисторов переключае­
мыми конденсаторамн. Более того, далее будет показано,
что можно получить интересные и эффективные схемные
решения, еслп не придержпваться указанного ограничения.
Перед опреде.тrение:-,1 передаточных функций зададим
.фор211у входного сигна.1а п импульсные последовательнос­
ти, управляющие ключами. Как и
для всех рассмотренных схем для
простоты предположим, что им­
пульсы последовательностей tpe и
rp 0 не перекрываются и имеют
скважность, равную двум. Вход­
ной сигнал сохраняет неизменное
значение между моментами взя­
тия выборок, т. е. в течение перио­
да т:=2Т (рис. 65). Фазирование
ключей SС-звена выбрано для об-
~lп О Л D··~t
J, t г--~---Г' ".
t=-1-----~=
работки именно такого входного
Рис. 65. Форма управляю-
щих и входного сигналов сигнала. В разд. 6.4 будет пока-
зано, что схему можно использо­
вать и в случаях, когда не налагается столь жесткого ог­
раничения на форму входного сигнала. При оговоренных
условиях справедливо соотношение
И0вх (z) = z-1!2Ueвx (z).
(I35a)
Тогда выходные напряжения операционных усилителей
также постоянны на протяжении такта и изменяются толь­
ко в четные моменты времени kT, так что
И0въrх(z) =z-1!2 Ueвыx(z).
(1356)
Это можно предположить, качественно анализируя работу
схемы на рис. 64,а. Так как входное и выходное напряже­
ния фиксированы в течение периода т:, то вся необходимая
информация о свойствах цепи содержится в передаточной
функции для четных компонентов напряжения. Далее для
простоты во всех уравнениях индекс е опущен.
Получим передаточные функции напряжения Т' и Т
звена на рис. 64. Для этого с помощью эквивалентных
1'20

с
Е
- [z-1
D
F
-пz-1
в
-ВГ 1
- Jz-1
Рис. 66. Эквивалентная схема звена второго порядка (рис. 64) з
z-области
схем на рис. 25 построим эквивалентную схему в z-oб.1ac­
TII (рис. 66). Непосредственный ана.~нз этой схемы с по­
мощью метода узловых зарядов дает следующие переда­
точные функции:
Т= _!!_ =
_
Az-1 (G- Hz~l) + D (l - z -1 )'(!-Jz-1)
Ивх
АГ1(С+Е-ЕГ1) + D(1- z-
1
)(F+ B-Bz-
1
)
Dl + (AG-Dl-DJ)z-
1
+ (DJ-AH) z-2
=-
-----'--О..-------'--'----...:...._____
D (F +В)+ (АС+ AE-DF -2BD) z-
1
-
(BD-AE) z-
2
(136)
Т'= ..!!___ = (1-Jz-
1
) (с 1-Е-ЕГ
1
)-(G-нг 1 ) (F+в-вгI) =
Ивх
АГ 1 (C+E-Ez- 1)+D (l-z - 1) (F+B-Bz- 1 )
(!С+!E-GF -GB)+(Fн +вн+BG-JC-J Е-1 E)z-l +(ЕJ-ВН)Г 2
D (F+B)+(AC+AE-DF -2DB) z-
1
+(DB-AE) z-
2
( 137)
Расчет схемы существенно упрощается, еслп положить ем­
кости A=B=D=1. Позже значение А выбирается при под­
гонке масштабных коэффициентов в функциях Т' п Т с
целью получения максимального динамического диапазо-
121

на 1• С помощью емкостей В и D контролируют суммарную
·емкость на инверт1:рующих входах ОУ. Таким образом,
две группы емкостеи (С, D, Е, G, Н) и (А, В, F, 1, J) мож­
но произвольно и независимо друг от друга масштабиро­
вать, не изменяя передаточных функций Т и Т', поскольку
значения всех напряжений зависят только от отношения
емкостей одной группы. Подставляя A=B=D= 1 в (136)
и ( 137), получаем упрощенные передаточные функции
Т=- 1+(G-l-J)г1+(J-H)z-2
(138)
(F + 1) +(С+ E-F-2) Г1 + (1-Е) z-
2
Т' = (IC-IE -FG-G) 1-(Fll f H+G-JC-JE-JE) z-
1
+(EJ-H) z-
2
(F+1)-,
(Ст E-F-2) z-
1
+ (1-Е) z-
2
(139)
Сначала отметим некоторые неочевидные свойства пе­
редаточной функцшr Т. Ее полюсы и нули определяются
разнымп емкостями; вешrчrшы С, Е, F ВJiияют тоJiько на
координаты полюсов, а G, Н, !, J только на координаты
пулей. Такое уникальное свойство, насколько известно ав­
торам, не присуще активным RС-звеньям второго порядка.
Значения коэффициентов числителя можно выбирать неза­
висимо друг от друга, что позволяет реализовать любые
(физически реалюуемые) ну.11и передаточной функции. В
[23] доказано, что, используя для ,J.емпфир,овашrя только
конденсатор Е (т. е. прп F=O), можно реализовать любые
устойчивые полюсы. При использовании демпфирующего
конденсатора 1F реализуемы все устойчивые полюсы за иск­
лючением случая, имеющего только академический инте­
рес: пара действителыrых полюсов расположена симмет­
рично относительно начала координат (z =О). Кроме того,
реализуем только один неустойчивый полюс (т. е. распо­
ложенный за пределамп единичного круга), который дол­
жен быть действптельным. Поэтому любые изменения ем­
костей не приведут к неустойчивости высокодобротных по­
люсов. Доказательство этого положения оставим как уп­
ражнение для читателя.
Рассматривая передаточную функцию Т', отметим, во­
первых очевидный факт - ее полюсы совпадают с полю­
сами функции Т; во-вторых, коэффициенты числителя Т'
1 Здесь и далее под динамическим диапазоном сигнала понима­
€ТСЯ максимально допустимая амплигуда напряжения. Причины, огрз·
ничивающие эту неличпиу, и методика масштабирования функций и
nараметров элементов цспеИ для достижения ее максимума рассмот­
рены в [Д2, Д4]. -Пpu,w. ред.
122

формируются по более сложным правилам и не могут вы­
бираться независимо друг от друга (как для функции Т).
Тем не менее известны случаи, когда, снимая выходной
сигнал в узле Т1, можно получить более эконо:-личные реа·
лизацпи заданной передаточной функции, чем при съеме
сигнала в узле Т.
При детальном анализе эквивалентной схемы на рис. 66
обнаруживаются довольно интересные варианты SС-цепей,
состоящих из пар переключаемых конденсаторов (!, !) и
(G, Н), которые служат для формирования нулей переда­
точной функции. Эти варианты показаны на рис. 67 для
конденсаторов !, !. Заменяя 1 на G и J на Н, можно полу­
чить аналогичные эквнвалентные схемы для пары конден­
саторов G, Н. Необходимым условием эквивалентности
схем, прrшеденных на рис. 67, яв.тIЯется подключение за-
1-J
~~ДМ/>)
1
[
2
О>-----4)1-1--оД/IЯf=)
Рис. 67. Преобразования SС-цепи.
Зажимы J и 2 предполагаются подключенными к источнику напряжения и вир­
'fуальной «зем~1е» соответственно
жима 1 к источнику напряжения, а зажима 2 к виртуаль­
ной «земле» операционного усилителя. Кроме того, требу­
ется фиксация напряжения источника в течение всего так­
та (далее это условие будет снято). Применяя варианты
переключаемых SС-цепей на базе схемы рнс. 64, можно
построить семейство эффективных активных SС-цепей вто­
рого порядка.
Подчеркнем, что при 1= J параллельное соединенпе двух
переключаемых конденсаторов оказалось эквивалентно од­
но:.rу нспере1с1ю 11ае110:-vrу. Это совершенно неож1цанный ре­
зультат ввиду эквивалентности переключаемого конденса­
тора резнстору, которая обычно примени:v1а к SC-ueпюr.
Заыетш1, что переключае:-лый конденсатор ! (п G) реализует
CCШ[JOTIIВ.lfНifC, !Тr>.l)"ЧеШIОе ~ICTO.JO\I cJupaтнciI р:1З1J('('Т-[
(ОР-рсзнстор), а конденсатор ! (и Н) - отр1щате.1ы10е
сопротип 1енне, полученное ысто;:r_rш пря:-.юй разностн (ПР-
123

рез1rстор). Не стоит у,J1шляться, когда впоследствшr ана­
:1ог1Iчный «страш1ыr»> ре>ульта ! uy,J.eт по.1учаться пр11 сов­
местном 11с1юльзопашr11 дu) х э '!ементоп, реалпзующих про­
но1шюс111 н 2-С1б.1ас, Ir, ;т '.:у 1 1Р1ШL1е с пс мощью преобразо­
Б'"НШt :v1егодамп прЯ\l·'И [[ ()(-, • ,1 ~,]Q,] j)d'-ШOCT~l
0
!.
[101,зз<Рiг!dЯ 11 1 1' •-.:. J,-
r,;,11.J,1.1е1Тт11ость схем наря1у с
а1 а J,с:vшческо!l Ц<C1!f.cJl, L,J J ,.";~ ,с.1я.::, практ11чесю1е степе-
нrr cвu.Jo;i_н щ111 сы11с3е звеньL_ Ll'OpC1гo llоμя;ша. Напри­
меn, CCJ!1[ l=f, то ~[OJHIO не 10,JL!.O JIСКЛЮЧ!!ТЬ IIЗ cxe·vrы
о.1;ш hонденсатор 1. ь.J·-е11,ь ~~
· 1o·rt>11. По:r) •rенная таким об­
р ,,зом С\СМа uбыl1JIU 1. -.kет н -,rcнЫII) ю чувства тельность к
дестабиш1зирующим фзктср::~ы, поско:1ы,у теперь можно
сказать, что изменения evrкoc1 ев ! п J сог.r1асованы пдеаль­
но. Преобразование SС-цепп, состоящей: из пары переклю­
чаемых конденсатор оп, по.1сзно и в случае ! =!=!, так как
прп этом можно умс11·,шч 1 ь чув-::твительность плп общую
"Сю,ость конде11сатороч, 1peGye11; ю для реалпзацип задан­
ной передаточной фуш,u1,1! Напр1.мер, при ! = 13 пФ, J =
= 12 пФ с помощью преобразовашrя, показанного на рис.
67 а можно получ1пь новые емкоспr 1-J = 1 пФ и J =
= '12 пФ. Очевидно, что преобразования, аналогичные рас­
смотренным, м01ыю прпменнть и к па рам конденсаторов
С,ЕиВ,F.
6.2.ЦЕПИТИПАЕИF
Для целей синтеза удобно разделить два вари­
анта применеюrя схемы па рис. 64,в: когда для демпфиро­
Dания интегратора нспользуется конденсатор Е (F =О) н
!\Оrда демпфированпе осуществляется с помощью конден­
сатора F (Е=О). В [25] эти схемы названы Е- и F-схема­
~rн соответственно. Их передаточные функции (при А= В=
= D = 1), найденные из (138) и ( 139), имеют вид
Тв=- ! (G-1-J) z-1
-
(J-H) z-2
l+(C+E-2)z-1+(l-E)z-2'
(I 40a)
Т' = (IC..J . ./E-G)- '- (H+G-JC-JE-IE)z-
1
+(EJ-H)z-2
Е
t+(C+E-2)z-1+(1--E)z-2
'
124
TF= -
i+(G- i - ])z-1+(j-й) z-2
(f'+ 1) +(c-f -2) z-l+z-2
(140б)
(14 la)
Т' = - (af'+ д-1 с)+ (jf;_f'if-iJ-b) z-1 + йz-2
F
U+1)+(д-.F-2)z-1+z-2
.
(14lб

Параметры F-схемы помечены значком «/\», чтобы от.1и­
чать 11х от параметров В-схемы.
Проне,J,ем сраrзнительный анализ этих пере,Jаточных
фуш"цr,й. Ч11слflТели о,J,иншшвы у функц111i Тг 11 Тг п со­
всршс::ню раJ"'нчны у Ф:tы,ц11й Гв н Т1р. Поэтому пprt рt'З·
JII1°,Щitl! orЦil!IIIori передаточной функцrш Е- и F-цспямrr с
ВЫ\1J ~11L ~1 сигна:ю~.r U передаточные фу1шци11 Т1, ю',к rr ;:щ­
на~1,, , ::ыrн диапазон с11гнала в узле U1
,
\rогут быть со­
всрше,шо разтиными. Ана,1огнчная ситуация пмеет lfecтo
нμrr с.о,''-~ BЫ\U,JHOJO CI!Гt!a.1a в :3Ле [,
1
•
Э10 грнпед~т ]\
тт.1 1 , r:-o пос"rе масштаб1rровапия е:11костей для по.1учения
ма1,сrr,:а"1ыюго д11намнческого ллапазона их велнчины ,JЛЯ
F-цешr Gудут uт.1пчаться от емrшстей Е-цепи, следопатель­
но, ок2'r" у тся разными п суммарные емкости конденсато­
ров, требуемые д.11я реализации заданной передаточной
Ф:t ш,цн11. Кроме 1 ого, вес четыре возможные способа рс.:~­
лизацшr заданной передаточной функции, ка~\ правrrло,
раз"111чаются 11 по чувств1пельностп.
Теперь рассмотрим реализацию бt'ш:вадратичной пере­
даточной функции (заданной в z-област11) с помощью
схем Е и F. Процедура получешrя таr\ОЙ передаточной
фу~юш11 по передаточной функцни ана"r~огового фильтра
рассмотрена в разд. 2.5 (соответствующие результаты бу­
дут широко использованы далее). Билинейное преобразо­
вание гарантирует преобразование устойчивых по.ТJюсов,
лежаш11х в S-П.'!ОСКОСТН, в устойчивые полюсы в Z-ПЛОСКОС·
ти; пр!! этом свойства передаточной функции Т (s) в пo,rio­
ce прuпу ска1шя переносятся на передаточную функцию
Т (z). Поэтому для полученпя координат по,1юсов в z-плос­
кост11 используем именно такое преобразование. Найдя
полюсы, можно выбрать нули передаточной функции в со­
ответствии с техническим заданием.
Пvсть знаменатель скорректированной передаточной
функu11и в z-области имеет вид
D(s) =s
2
+as+b.
(142)
Тогда, подставив в (142) вместо s его выражение соглас­
но билинейному преобразованию (55а) и приравняв коэф­
фициенты полученного полинома коэффициентам знамена­
теля передаточной функции ТЕ(Т'Е) из (102) при соответст­
вующпх степенях z, найдем емкость конденсаторов Е-схе-
мы:
а,;
1+аi:;2+Ь,;2;4
ь ,;2
С=------
1+аi:/2+Ь,;2/4
( 143а)
(143б)
125

Аныюгпчно получпм емкости конденсаторов F-схемы:
F=
ai;
(144а)
1-а 'f/2 + Ь т2;4
С=
Ьт2
(1446)
1-а т12+ь т2;4
где т - дл11тельность такта.
Заыет11.:v1, что при заданной в z-области передаточной
функции вща ( 134) выражения для С, Е или С, F опреде­
.1яются пр11рав11ипанпем коэффициентов по.'lинома в знаме­
пате.1е (134) коэффициентам полиномов знаменателей со­
ответствующих функций ТЕ или ТF· Эти выражения имеют
вид
E=l-~,
С= 1 +~+а,
F= (1-~)/~.
С= (1 +а+~)/~.
( 145а)
( 1456)
( 146а)
(1466)
Получив емкости С, Е или С, Р, величины G, Н, !, J
илп G, В, I, J можно найти по требуемому расположению
нулей или коэффициентам числителя передаточной функ­
ции. Для этого в [25] получен полный набор расчетных
выражений для Е- и F-цепей, которые охватывают случаи
реализации всех передаточных функций из табп. 1. Для
случаев, представляющих наибольший практический ннте­
рес, этп выражения воспроизведены в табл. 5. Там же ука­
заны условия упрощения схемной реа.11изации, полученные
прправниванием к нулю максимально воз:v10жного числ;~
емкостей G, Н, 1, ! или (}, В, I, 1. Поэтому, выполнив эти
условия (не единственно возможные), можно уменьшить
число конденсаторов. Кроме того, там, где возможно, на­
ложены ограничеюrя G=H, 1=! или G=fi, l=J.
После расчета емкостей, необходимых для реалнзации
задапных полюсов и нулей, остается выбрать масштабные
коэффициенты передаточных функцпй ТЕ, Т'Е (илrr Тр,
Т 1F), так чтобы получить максимальный дшrампческий дrrа­
пазон, и пронормировать емкости конденсаторов, подклю­
ченных к одному и тому же суммирующему уз.1у. Д.1я
удобства нормирование следует осуществ.1ять относrпе.1ь­
но мпнпмальной емкости, тогда минимальное нормирован­
ное значение емкости будет равно едпюще 1.
1 При практической реализацип фильтра эта так пазывае~.!-'"
«едпничная,> емкостI:> по.1аrается равной минимальной велнчипе, ДOI1f·
скае~1ой пспо.1ьзуемоfI тех1ю.1огиеl! (Cmia = 0,2-0,5 пФ), незав;1сн 1:•.
от абсо.1ютпого значения, найдешrого по соот11ошснн>1ч таб.1. 5 -- П
ред.
126

Таблица 5
Соо1ношение номиналов Е- и F*J-цепей для реализации
заданных нулей передаточной функции
Тип звена
ФНЧ20
ФНЧ!l
ФНЧIО
ФНЧО2
ФНЧО!
Ф!IЧОО
ПФIО
ПФО!
!IчЮО
ФВЧ
ФВЧ-Р н
ФI!Ч Р
Расчетные выражения
1- /К/,
G--1-J=2/К/,
J-If= /К/
1 -0,
G-1-J = ± IK/,
J-H=±/K/
1= /KI.
G-1 -J= /К!.
J-11 =-о
1 =О,
G-1 -J =О,
J-H=±IK/
1 ~О,
G-f -J=±IK/,
J-H=O
1= IK,
G-1-J ~О,
J--H ~О
/- 'KI
G-J-/~-0.
J-H =
---
JKI
! =О,
G-1- -J=+IK/.
J-H~+IK/
1~ /К/,
G-f-J -
-
/KI.
J-H-0
1= iKI,
G--1-J =
-2 IK·,
J-lf= IKI
!~IKi.
G-l-J~l!\1r.
J-H- 1KI
1= IK1 В.
Расчетные выражения
для упрощенной реализацик
l=J= /К/,
G=4/K/, Jf=O
1=0,l=/K/,
G=2/K/. Н=О
1= /К/, J=O,
G=2/K/.H=0
1=J=0,
G=O, Н= /К/
!=J=О,
G= IK/, Н=О
l=/K/,J=O.
G= 1К/, Н=О
l=/K/,J=O,
G=H=/K/
1=0, l= IK/,
G~H=O
1=/K/,J=O,
G=H=O
l=l= /К/,
G= IKI {2-е}.
Н=О
ФЗ
1= IKIВ, J=/К/,
(В>О)
G-1 -J=- IK/ а, G= /K/(l_J._ B+a)=/K/C,
J-IJ ~ !KI
Н=О
Общий с.1) чаи 1
1= '(,
1= '?·
('v>O)
1
G-1-J = е,
J=fH-x.
1-н~в
G=v+o+e+x
Н=Х?О
А
*) G=G(l + F), H=H(I +F), i=I(I +f1.f=J(l +F).
127

Как известно, с помощью специальных программ ма­
шинного анализа цепей можно найти масштабные коэффи­
циенты функций Т, Т', при которых достигается равенство
максимальных значений напряжений И и И' при заданном
коэффициенте передачи звена (на некоторой фиксирован­
ной частоте). Для подгонки уровня напряжения И' ( т. е.
масштабного коэффициента функции Т') с.1едует масшта­
бировать только емкости А и D. Другими словами, если
желательно изменить масштабный коэффициент функции
передачи напряжения на выход И' так, чтобы
( 147)
то единственное, что требуется сде.1ать - это промасшта­
бнровать емкости А и D следующим образом:
(А, D)--+<(A/μ, D/μ).
( 148)
Масштабный коэффициент функции Т при этом не изме­
няется. С помощью сигнального графа схемы можно убе­
диться в корректности описанной процедуры. Заметим, что
А и D являются единственной парой конденсаторов, под­
к.'lюченных к выходу первого ОУ.
Аналогично можно показать, что когда требуется изме­
нить масштабный коэффициент передаточной функции Т',
т. е.
T-YVT,
то нужно промасштабировать следующие емкости:
(В, С, Е, F)-+(В/v, C/v, E/v, F/v).
( 149)
( 150)
После получения удовлетворительных уровней напряжения
на выходах обоих ОУ желательно пронормировать емкос­
тн конденсаторов, подключенных непосредственно или че­
рез ключи к одному и тому же входу ОУ. По этому приз­
наку можно выделить две группы емкостей:
группа 1: емкости (С, D, Е, G, Н);
группа 2: емкости (А, В, F, !, !) .
Емкости одной группы нормируются так, чтобы мини­
мальная величина оказалась равной единице. Это облегча·
ет определение максимального отношения емкостей, тре­
буемого для реализации заданной передаточной функции,
и создает основу для сравнения различных реализаций по
суммарной емкости конденсаторов. Нормирование емкос­
тей завершает расчет схем активных SС-звеньев второго
порядка. Каждый шаг этого расчета будет продемонстри·
рован на конкретном примере в разд. 6.5.
128

6.3. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ
Чувствительность характеристик Е- и F-цепей
примерно такая же, как у любого аналогичного активного
RС-звена второго порядка. В этом нетрудно убедиться
[25], исследуя выражения для добротности Q и частоты
ffio полюсов и соответствующие функции чувствительности
при относительно высоких добротностях. Любая пара ком­
плексно-сопряженных полюсов в z-плоскости дает в зна­
менателе передаточной функции сомножитель вида
D (z) = 1+az- 1 +,~z-2 = (l-reJez-1) (l-re-jez-1) =
= 1-(2r cos 0) z-1+1r2z-2
.
(151 )
По аналогии с описанием непрерывных цепей (еsт =
= е (a+iwp)т = reJe, где 'ffip =ffio для высокодобротных полю­
сов) для случая ffio't~ 1, Q>> 1 можно записать следующие
выражения, включающие частоту ffio и добротность Q по­
люсов в s-плоскости:
aт=ln r=0/ (2Q), е ~ 2:rtffio/w.=wo't.
(152)
При r~ 1 разложение функции ln r в ряд Тейлора дает
lп r;::;;;r~I, тогда
1/ (2Q) = (r-1) /0 = (r-1) / (ffioт) .
( 153)
Решая это уравнение относительно r, получаем
r= 1-wот/ (2Q).
Подставляя выражение для r в ( 151), находим
а~ -2 ( 1-ffioт/ (2Q)) cos ffioT,
~ ~ (1-ffioT/ (2Q))2•
( 154)
( 155а)
( 155б)
Аппроксимируя эти выражения, найдем окончательные со­
отношения коэффициентов характеристического полинома
D (z) и параметров полюсов в s-плоскости:
а;::;;;: -2 (1-ffioT/ (2Q)) ( 1-'<J) 20т2/2) ~ -2 +
+ ffioт/Q +ffi2o't2,
~~ 1-wo-. /Q.
(156а)
( 1566)
Сначала исследуем чувствительность Е-цепи. Знамена­
тель ее передаточной функции ( 136б) после ряда неслож­
ных преобразований можно записать в виде
Dв(z)= 1+ (-2+ АС + АЕ) z-1 + (1- АЕ) z-2. (157)
DB DB
DB
5-- .134
129

Сравнивая коэффициенты этого полинома
щими выражениями ( 156), получаем
с соответствую-
откуда
woт/Q ~АЕ/ (DB),
ffi2oт2 ~А С/ (DB),
ш 0 т~ V AC!(DB).
Q~-
1
V DBC;A.
Е
Аналогично щ1я F-цепи можно найти
шат ~VЛс;(Ьв+DF),
Q~ V(AC;DF)(l+B!F).
( 158а)
( 158б)
( 159а)
( 159б)
( 160а)
( 160б)
Анализ выражений ,(159) и (160) показывает, что зна­
чения wo и Q зависят от отношений четырех или пяти ем­
костей. Более того, очевидно, что
/S~0 /:;:;;; 1/2 и /S~j~ 1,
( 161)
где х - емкость любого конденсатора Е- или F-цепи. Этот
результат хорошо согласуется с аналогичными данными по
низкочувствительным активным RС-звеньям на базе интег­
раторов, где частота шо определяется по крайней мере че­
тырьмя пассивными элементами (т. е. двумя постоянными
времени RC). Как правило, отношение емкостей выдержи­
вается намного точнее, чем значения емкостей и сопротив­
лений отдельных элементов, поэтому реализуемые на прак­
тике активные SС-звенья имеют меньшие, чем их RС-ана­
логи, техноJiогические допуски на исходные (до подстрой­
ки) характеристики и лучшую стабильность при изменении
температуры и старении элементов. Длительность такта т
задается обычно стабильным кварцевым генератором и
предполагается неизменной. На практике, как правило,
наибольший вклад в нестабильность характеристик звена
вносит отклонение частоты wo, однако в некоторых немно­
гочисленных случаях применения относительно велико и
влияние отклонения добротности Q. В связи с этим заме­
тим, что чувствительность добротности активных SС-звеньев
так же мала, как и У низкочувствительных активных RС-
звеньев.
Конечно, определенное влияние на чувствительность ха-
рактеристик звена имеет и числитель передаточной функ­
ции 1. Однако проанализировать этот аспект проблемы в
1 См. работу [Д.6]. - Прим. ред.
130

общем случае не удается, это имеет смысл только для кон­
кретного случая при учете всех особенностей решаемой за­
дачи. Тем не менее можно сделать некоторые предположе­
ния, сравнивая числители передаточных функций ( 136) и
( 137). Выражение чпслителя функции Т' проще, чем функ­
ции Т, поэтому, вероятно, при прочих равных условиях
схемные реаJrизации с выходным сигналом И' менее чув­
ствите.'!ЬНЫ, чем реализации с выходным сигналом И. Од­
нако строгое доказательство этого вывода для общего слу­
чая отсутствует.
Следует заметить, что при анализе чувствительности ак­
тивных SС-цепей можно использовать многопараметричес­
кий критерий ,статистической чувствительности 1• При ис­
пользовании этой меры анализируют передаточные функ­
ции вида Н (ejw•), предпоJiагая z-k = e-j kw• и изменяя
по
случайному закону емкости конденсаторов. Изменения от­
дельных емкостей, конечно, коррелированы, коэффициент
корреляции при соответствующем конструировании дости­
гает 0,9 [26].
6.4. МОДИФИКАЦИЯ СХЕМЫ ЗВЕНА ВТОРОГО
ПОРЯДКА ДЛЯ СЛУЧАЯ, КОГДА ВХОДНОИ
СИГНАЛ ФИКСИРОВАН НА BPEMEHHbIX
ИНТЕРВАЛАХ, МЕНЬШИХ ДЛИТЕЛЬНОСТИ ТАКТА
Ранее предполагалось, что входной сигнал фик-
сирован на интервалах, равных длительности такта. Это
условие принято для упрощения анализа, оно не являет­
ся принципиальным. Рассмотрим более общий случай, ког­
да длительность такта по-прежнему равна т, но дискрети­
зированный входной сигнал сохраняет неизменное значе­
ние только в течение интервала те<т. Индекс е соответст­
вует четным интервалам в пределах такта, нечетные интер­
валы обозначаем через то (то=т-те). Предполагается, что
входной сигнал на этом интервале не обрабатывается
цепью. Эта концепция иллюстрируется на рис. 68.
При входном сигнале, вид которого показан на рис. 68,а,
звено (рис. 64) функционирует нормально в следующих
частных случаях. Во-первых, при Н =О н J =О. Если учесть,
что в течение интервалов То сигнал поступает на вход це­
пи только через конденсаторы Н и J, то при их отсутствин
цепь просто «не замечает» входного напряжения в эти
промежутки времени. Во-вторых, нормальное функциони­
рование обеспечивается при l=l и Н=О или G=H и 1=
1 См. работу [Д.7]. - Прим. ред.
5*
131

J
Рис. 68. Форма управляющих
сигналов и входного сигнала, не
фиксированного на протяжении
всего такта
"t -------------
=0. Тогда схему на рис. 64
можно привести к виду, по­
казанному на р-ис. 69. Свой-
...
t
u
ства исходнои схемы на рис.
64 сохраняются, несмотря на
то, что входной сигнал не яв-
" t ляется неизменным на протя­
жении всего периода дискре-
с
е~
_[Еl
а
Рис. 69. Модифицированные схемы звена второго порядка для работы
с нходным сигналом, не фиксированным в течение такта. Выходны.:
напряжения ОУ И и И' кусочно-постоянные
1'!1)

тизации. Это достигается заменой непереключаемого кон­
денсатора l=l или G=H переключаемым, который созда­
ет пути прохождения сигнала только в течение интервалов
те. Этот тип конденсатора рассмотрен в гл. 3. Его эквива­
лентная схема представлена на рис. 25,6. К сожалению,
такое решение проблемы не является общим.
Схемы на рис. 64 могут быть модифицированы измене­
нием на обратное фазирования ключей, переключающих
конденсаторы А, Н и 1. Результирующая схема показана
на рис. 70 (схема на рис. 70,6 является упрощенным ва­
риантом с меньшим числом ключей, чем в схеме на рис.
с
.J ....
[]
t-~~~~~~-,,
Еlе
....с. J .:L
.r. е 1---j:
11.
с
.-~~~~~~........... е~~~~-
J
.J..
'--~~~~~н--1
о
Рис. 70. Обобщенная схема активного SС-овена для 'lаботы
'
"
иым сигналом, не фикспрованным в течение такта (использовано но­
вое фазирование ключей, переключающих конденсаторы Н, J, А) (а),
и вариант схемы с меньшим числом ключей (6)
133

70,"а). Эти схемы построены так, что входной сигнал воз­
деиствует па них только в течение четных интервалов вре­
мени, реакция на сигнал в нечетные интервалы отсутству­
ет. Следовательно, выходной сигнал, соответствующий за­
данной передаточной функции, наблюдается только в те­
чение четных интервалов времени. При необходимостп
иметь постоянный выходной сигнал на протяжении всего
такта к выходу схем на рис. 70 следует подключить уст­
ройство выборки и запоминания.
Для доказательства того, что схемы на рис. 70 дейст­
вителыю обладают желаемыми свойствами, построим их
эквивалентные схемы в z-областп (рис. 71), используя эк­
впвалентнь1е схемы на рис. 24. Новое фазирование ключей
С+Е
- EZ -112
Рис. 71. Эквпвалентная схема активного SС-звена, изображенного на
рис. 70
привело к тому, что нечетная составляющая напряжения
И 0 вх не воздействует на цепь. Для удобства анализа пред­
положим, что 'te='to='t/2, т. е. скважность управляющих
импульсов равна 2. Это не умаляет общности анализа, так
как искомая передаточная функция содержит только це­
лые степени переменной z- t и, по определению, 'te+'ta=" L.
При 'te<'t/2 желаемые характеристики схем можно полу-е
чить, выбирая соответствующую скважность сигналов (jJ ,
qJ 0 , управляющих
ключами (не равную 2). Составляя
уравнения зарядов для четырех узлов схемы, соединенных
с виртуальной «землей», получаем следующую систему
уравнений:
1 о::!А

GU~x +DU'e-D z~;~ U'
0
+(C+E) Ue-E z-11 2LV0 = О, (162)
-Н z-112 Ue +DV'0
-D z-112 U'e+EV0 -E z-112 Ue= О
п
'
(163)
(164)
- J z-112 u;x-A z-112 U'е+вuа-в z-1;2 Ue= О. (165)
Выполнив несложные подстановки, исключим из уравнений
напряжения U0 и U'
0
и получим следующие два уравнения:
(l-J z-1) и:х +(F +В-В z-
1
) V"-A z- 1U'e =О, (166)
(G-H z-1) U~x +D (l -z-1) U'e + (С+Е-Е z-1) Ue= О.
(167)
Можно убедиться, что эти уравнения идентичны уравнени­
ям узловых зарядов, описывающих эквивалентную схему
на рис. 66. Таr<им образом, на четных интервалах времени
передаточные функции звена снова имеют вид ( 136), (137),
что и требовалось доказать. Следует отметить, что на не­
четных интервалах зависимость между входным напряже­
нием Uевх и выходными напряжениями И' и U' 0 выража­
ется совершенно другими функциями передачи. Нечетные
компоненты выходных напряжений можно выразить через
соответствующие четные компоненты и входное напряже­
ние U1'вх:
Uo=z112 [(1 +F!B)_Ue+(ZJB) u;x]•
(168)
U'o=z112 [z-1 U'e-(E/D) (1 +F!B-·гl) ue+
+(El/(DB)-(H/D) z-1) и:х].
(169)
Отиетим, что при условии F = Z=О U• = z-112 u0 , следователь­
но, выходное напряжение U фнкспровано в течение всего
такта. При Е=Н=О фиксируется напряжение U'. Отсюда
следует, что в некоторых частных случаях можно получить
выходные напряжения, неизменные на протяжении всего
такта, даже когда входной спгнал не представлен в кусоч­
но-постоянной форме. Для уменьшения чувствительности
характеристик звена нли суммарной емкости его конденса­
торов следует преобразовать SС-цепи, состоящие из двух
переключаемых конденсаторов, аналогично тому, как по­
казано на рис. 67. Соответствующие правила преобразо­
вания и общая эквивалентная схема в z-области для рас­
сматриваемого звена показаны па рис. 72. Как и при пре­
образованиях на рпс. 67, эквивалентность цепей имеет мес­
то только при подключении узла 1 переключаемой цепи к
135

источнику напряжения, а узла 2 - к виртуальной «зем­
ле». Более того, при указанных на рис. 72 эквивалентных
преобразованиях сохраняется нечувствительность характе­
ристик звена к паразитным эффектам, которая присуща ис­
ходной схеме на рис. 70.
l-J
~:3-1Дллl>!
L
о1
1
2
~ о---. e.......lf- - -
~-
.N
,
од11л1~1
_[
Рис. 72. Преобразования SС-элемента звена, изображенного на рис. 70
6.5. ПРИМЕРЫ
В этом разделе приведены примеры расчета звеньев вто·
poro порядка. На примере ФНЧ-звена с нулями передаточной функции
продемонстрирована типовая методика расчета емкостей конденсато·
ров. Особенности расчета ПФ-звеньев рассмотрены во втором при­
мере.
ФНЧ-звено с комплексными нулями передаточиоii функции
(ФНЧ-Р). Требуется реализовать передаточную функцию, задаииую в
s-области следующим выражением:
Нв (52+w;)
Т (5)= ____;____
___;___
0,89197552 + 1,140926-108
52+(Сйр/Qр)5+w; 52+356,0475+1,140926•JOS
(170)
Звено с такой передаточиой функцией имеет максимальный коэффици·
еит передачи на частоте f Р = 1700 Гц, добротность полюсов Q =30,
коэффициент передачи, равный 1 на нулевой частоте и О на частоте
fz= 1800 Гц. Зададим тактовую частоту 128 кГц (т. е. 't '=7,8125 мкс).
Передаточную функцию в z-областн Т (z) удобно получить путем
билинейного преобразования передаточной функции Т (5). К.оррекцня
э1ой функции по частоте не требуется, так как наиболее критичная
136

область АЧХ звена расRоложена на частотах, намного меньших так­
товой част01ы: rop't"~l. В результате билинейного преобразования
функции T(s) найдем
1-1,99220z-1 + z-2
Т (z) =О ,89093 ----'---'--~---
1--1,99029 Г1+0,997232- 2
(171)
Заметим, что необходима высокая точность расчета коэффициентов
этой функции. Однако это не означает высокую чувствительность ха­
рактеристик звена к пзменению параметров элементов, так как для
реализации коэффициентов при степенях z- 1 и z-2 как в числителе,
так и в знаменателе Т (z) используются отношения емкостей конден­
саторов.
Для реализации передаточной функции Т (z} используем только
Е- и F-цепи. так как они требуют наименьшего чис.1а конденсаторов.
Расчет элементов цепей достаточно прост. Емкости С, Е и t, Е на­
ходим по коэффициентам ( 171) в соответствии с выражениями ( 145)
и (146), полагая А, В, D •И А, В, D равными единице.
Емкости конденсаторов G, Н, !, J и G, Я, 1, J, участвующих
в формировании нулей передаточной функции, рассчитывают исходя
из условий упрощения цепи (см. строку ФНЧ-Р в табл 5). Получен·
иые немасштабированные емкости конденсаторов Е- и F- цепей при.
ведены в табл. 6. Напомним, что при !=! параллельное соединение
переключаемых конденсаторов можно заменить одним непереключ-ае­
мым конденсатором.
С помощью анализа на ЭВМ определено, что максимальные зна­
чения модулей передаточных функций ТЕ н ТF примерно равны
10,56 дБ, а аналогичные значения для функций ТЕ и Т F очень малы·
(T'E)max=-11,05 дБ, (T'F)max=-10,96 дБ. В соответствии с (147)
находим коэффициенты μ= 12,0365 и μ= 11,9124. Масштабируя емко­
сти А, D и Л, D относительно этих коэффициентов (см. (148)), полу­
чаем значения, приведенные в табл. 6, при которых динамический ди­
апазон максимален. Окончательные значения емкостей найдем, мас­
штабируя их значения так, чтобы минимальная емкость составляла
1 пФ, результирующие значения также приведены в табл. 6. Два спо­
соба реализации передаточной функции (171) показаны на рис. 73.
Для случая, когда входной сигнал не фиксирован в течение всего
такта, можно применить схему на рнс. 69,а с соответствующим под­
бором фаз ключей q;e и q; 0 или ее модификацию на рис. 70, которую
можно упростить с помощью эквивалентного преобразования в на
рис. 72.
Сравнивая схемы на рис. 73, замечаем, что хотя начальные емко­
сти были примерно одинаковы, суммарная емкость конденсаторов
F-схемы почти в 12 раз превышает суммарную емкость конденсаторов
Е-схемы. Однако для объективности замет~им, что 'Возможны практи­
ческие случаи, когда F-схемы оказываются гораздо эффективнее Е-
6-134
137

Таблица 6
Результаты расчета hри реализации ФНЧ-Р
В-цепь
11
F-цепь
Значение
Значение
Параметр
НРмасштабиро- \ Масштабнро-1
Параметр
Немасwтабнро- 1 Масwтабиро-1
ванное
ванное
Окончателъиое
ванное
ванное
Окон'!ателькое
А, nФ
1,0
0,08308
1,0
Ji. nФ
1,0
0,08395
30,1895
В, пФ
1,о
l,о
12,0365
в, пФ
1,0
1,0
359,629
С, пФ
0,00694
0,00694
2,5035
с. пФ
0,00696
0,00696
1,0
D, пФ
1,0
0,08308
29,9613
Ь, пФ
1,0
0,08395
12,0591
Е, пФ
0,00277
0,00277
1,0
Б. пФ
-
-
-
F, пФ
-
-
-
f:, пФ
0,00278
0,00278
1,0
а, пФ
0,00694
0,00694
2,5035
д, пФ
0,00696
0,00696
1,0
Н, пФ
-
-
-
Н, пФ
-
-
-
1=J,пф
0,89093
0,89093
10,7238
f=i,пФ
0,89340
0,89340
321 ,293
~С. пФ
-
-
59,7
1:С,пФ
-
-
726,1
а1, дБ
-
-
0,068
о1, дБ
-
-
0,068
01100, дБ
-
-
1,233
Оиоо, дБ
-
-
1,271

схем. Обычно F-схемы предпочтительны для низкодобротиых уст­
ройств, а Е-схемы для высокодобротных. Строгое доказательство этого
положения отсутствует, поэтому обоснованный выбор схем F- или Е­
типа можно сделать, только проверив все их варианты.
10,7238
а
12,0591
Urвxl f 1,0 -00___,
J21,29J
1-1-----'
Uвых
Рис. 73. Реализация передаточной функции типа ФНЧ-Р Е-цепью (а)
и F-цепью (6)
Д,1я сравнения статистических свойств схем па рис. 73 опи бы.1и
исследованы методом Монте-К:арло 1 в предположении, что все емко­
сти не корре.1нрованы и имеют равномерное распределение плотнос­
ти верояпюстсй при допуске ±1 %. Полученные средние квадратн­
Ческие отклонения модуля передаточной функции от номина.1ьного
значения Л/ТI на частотах l Гц (а1) н 1700 Гц (al7Do) приведены в
табл. 6. Эти характеристики свидетельствуют о том, что Е-цепь, бо­
лее эффективная по занимаемой на кристалле площади, имеет также
несколько меньшую чувствительность. Читатель должен учитывать,
1 См. работу [Д. 7]. -
Прим. ред.
6*

что хотя лолучспные статистические характеристики и nригодны для
сравнения различных вариантов схем, однако являются весьма лессн­
мистическими в отношении их чувствительности при МОП-реализа­
цин. Известно, что отклонения емкостей конденсаторов на одном крrr­
сталле очень коррелированы, лоэтому можно обеспечить отклонение
отпошений е'l!костей, не превышающее О, 1%.
Звено ПФIО. Рассмотрим реализацию nолосовой nередаточной
функции ПФIО (67) при т= 125 мкс. К:ак показано на рис. 23, 11 ри
ее билинейном лреобразовании nоявляется нуль nередачи z=-1 , ко­
торый обеспечивает бесконечное затухание на частоте, равной лоло­
шше •rастоты дискретизации (4 кГц). Приведем окончательные резуль­
таты рсашвации звена с ломощью Е- п F-цслей, когда выходным сиг­
налом является напряжение И. С аналогичными цепями, где ВЫХО~'\­
ным является налряжение И', а также с цепями, реализующими
фунrщии вида ПФОО (68), читатель может rrознакомитьсн в [25]. По­
следнпе занимают на кристалле примерно на 20% меньшую площа.1ь,
однш,о имеют меньшее затухание па высоких частотах. Этот проигрыш
в затухании менее заметен при больших частотах дискретизации, по­
этому в таких случаях предпочтительны звенья с
передато•шыми
функциям11 типа ПФОО.
В табл. 7. для Е- и F-цепсй (рис. 74) приведены окончате.1ьн:,rе
значения емкостей, суммарные емкости конденсаторов, а также сре,\­
нее квадратпческое откло11еrrие амплитулно-частотной характсристш,и
Таблица 7
Результаты расчета при реализации передаточноii функции
ПФIО (67) Е- и F-цепями
Параметр 1 Е цеrть
F -цепь
11 Параметр 1 Е цшь
F-це~ь
А, пФ
9,8305
14,9449 k· пФ
-
1,о
в. пФ
8,2030
11 '97()() IG=H, пФ
1 ,5812
1,0
с, пФ
17,8651
11 .294() /, пФ
1,0
1 ,5825
D, пФ
15,5435
9,4436 ~с. пФ
55.0233
51,2416
Е, пФ
1,0
-
lcr1r,зз
0,2738
0,2524
иа •rастоте 1633 Гн (а 1633 ) (при незавнсю1ых отклонениях емкостей ,,а
±1%). Очевидно, что в этом примере F- и Е-цепи примерно экrзн­
валентиы. Однако обобщение экспериментальиых данных показывает,
что при высоких добротностях и частотах дискретизации более эффек­
тивпы Е-цепи. Это положсннс иллюстрируется предыдущим примером,
где Q=30. Заметим, что когда входной сигнал не фиксирован в те•rе­
ние всего такта, следует использовать модификации схем на рнс.
6~J,б и рнс. 70. При желании число ключей в схемах на рис. 73, 7•1
можно уменьшить, применив преобразования, показанные на рис. 64.
14()

17,855
15,54
1,0000 8 ,203
а
1,0000
Рис. 74. Реализация передаточной функции типа ПФ!О (67) Е-цепыо
(а) и F-цепью (б)
7. НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ РЕАЛИЗАЦИИ
АКТИВНЫХ SС-ФИЛЫРОВ
ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
Все методы реализации передаточных функций
высокого порядка активными RС-цепями в принципе при­
менимы и для построения активных SС-фильтров высоко­
го порядка. Наиболее практичными методами являютс5l
следующие:
1) каскадирование звеньев второго и первого поряд­
ков;
141

2) компонентная имитация лестничных LС-цепей;
3) применение многопетлевых структур на базе звень­
ев второго или первого порядков 1.
7.1. КАСКАДНЫЙ СИНТЕЗ
Каскадирование активных SС-звеньев, взаимо­
действие между которыми отсутствует, является наиболее
простым способом построения фильтров высокого поряд­
ка. Как обычно, синтез каскадного фильтра начинается с
получения передаточной функции в z-области Н (z) по тех­
ническим условиям на частотную характеристику или по
заранее найденной передаточной функции N-го порядка в
s-области. В последнем случае можно оперировать (кор­
ректировать характерные частотьт, проводить билинейное
преобразование) как с передаточной функцией всего
фильтра N-го порядка, так и с отдельными сомножителя­
ми второго порядка, которые представляют собой переда­
точные функции звеньев. Второй путь, когда в качестве ис­
ходных используют сомножители, образованные объедине­
нием пары нулей передаточной функции фильтра с одной
парой полюсов, легче, он приводит к вполне адекватным
передаточным функциям в z-областн. Передаточную функ­
цию Н (z) можно, кроме того, синтезировать на ЭВМ с по­
мощью программ аппроксимации непосредственно в z-об­
ласти, при этом исходными данными являются технические
усJювия на частотную характеристику обычного аналогово­
го фильтра [27]. Для некоторых применений такой способ
дает более эффективные передаточные функции, чем полу­
ченные с помощью билинейного преобразования. Вначале
числитель и знаменатель функции Н (z) разлагается на
сомножители второго порядка. Затем эти сомножители
группируются и располагаются в определенном порядке
для получения передаточных функций каскадов и задания
порядка их следования. Это делается по алгоритмам, ана­
логичным тем, что используются для аналоговых фильтров
в s-области 2 .
Часто удается более эффективно использовать поверх­
ность кристалла за счет применения нескольких тактовых
частот, как показано на рис. 14. В ФВЧ-звеньях, которые
обычно имеют малую частоту среза и относительно низко­
частотную переходную полосу, тактовую частоту выбирают
1 К этому ~1етоду автор относит также методы
операционноif.
имитации LС-протопша [Д2, Д7]. - Прим. ред.
z См. работы [Д2, Д4]. -- П ри.н. ред.
142

меньше, чем в ФНЧ- и ПФ-звеньях, которые, как правило,
имею~ более высокие частоты среза. Чтобы избежать труд­
ностеи, связанных с предотвращением эффекта наложения
при низкой тактовой частоте, звенья фильтра с нескольки­
ми тактовыми частотами располагают, как показано на
рис. 75. Такое построение наиболее эффективно в систе­
м ах с аналоговым входом и дискретным или цифровым
а
Рис. 75. Шестикаскадный фильтр с аналоговым вхо;щым и дискретным
выходным сигналами
выходом, ,где восстановления сигнала не требуется. Если
необходим гладкий непрерывный выходной сигнал, то на
выходе применяется аналоговый восстанавливающий
фильтр, сложность которого определяется требуемым за­
тухание~ на частотах выше наименьшей тактовой частоты.
В схеме на рис. 75,а применяются три тактовые частоты:
fc 1 - в ФНЧ-звеньях, fc2 - в ПФ-з,веньях и fсз - в ФВЧ­
звеньях (fc 1>fc2 и ,fсз), хотя .в '6ольши~нстве случаев доста­
точно ;~вух частот при услов.ии fcr =1fс2· Для упрощения по­
гических схем генераторов тактовых импульсов их ча{:тоты
выбираются так, чтобы выполнялось бинарное соотноше­
ние, т. е.
fc1 =2тfсз, fc2=2m-kfcз.
Толы:о неперекрывающиеся импульсные последовательнос­
ти с частотой fc1 имеют скважность, равную двум; форма
остальных последовательностей импульсов выбирается в
соответствии с построениями на рис. 68. На рис. 75,б по­
казаны четные управляющие импульсы <pei· Нечетные им­
пульсы <p 0 i можно получить, подвергнув <pei операции ло­
гического инвертирования. Ус.1ювия соединенпя звеньев с
143,

Cz
BxoiJ
ФH'l-Pl
ФН'I
ФB'l-Pl
ФH'l-PZ
ФВ'l-Р2
л..n..n..n.л..n ~е
"1.ЛЛ..ГU\I1/1J 'Р1"
~гр/
~гр;
~rpJ
~rpJ
Рис. 76. Схема каскадного полосового активного SС-фильтра десятого порядка для звуковых частот и три пары
сигналов, управляющих его ключами

r
различными тактовыми частотами в каскадном фильтре
находят, базируясь на результатах разд. 6.4 . Передаточная
фунюшя SС-фильтра при каскадном соединении звеньев с
разными тактовыми частотами имеет вид
Н=НФнч·Р1 (z1) НФнч•Р2 (z1) НпФ1 (z2) Х
Х НпФ2 (z2) НФнЧ-Рl (zз) НФВЧ•Р2 (zз),
rде z1= es'ti, 'ti= llfci·
(172)
В качестве примера каскадного фильт'ра рассмотрим
полосовой фильтр десятого порядка, схема которого пред­
ставлена на рис. 76; там же приведены последовательнос­
ти импульсов, управляющих ключами. Этот фильтр имеет
полосовую АЧХ в области звуковых частот, показанную на
рис. 77. Частота неперекрывающихся импульсных последо­
вательностей сре 1 и <р 0 1 равна 100 кГц (их скважность рав­
на 2), частота импульсов <ре2, <р 02 и срез, ср 0з равна 25 кГц.
Эти управляющие сигналы, показанные на рис. 76, полу­
чены с помощью логической обработки тактовых импуль­
сов с частотами 100 и 25 кГц.
Целесообразность применения таких управляющих сиг­
налов поясним при более детальном изучении структурной
схемы SС-фильтра. Первые три каскада являются ФНЧ­
звеньям, одно звено первого порядка и два звена второго
порядка с парами нулей передаточной функции на конеч­
ной частоте. В этих звеньях ключи переключаются с час­
тотой 100 кГц. Первое звено ФНЧ обрабатывает непрерыв­
ный сигнал с выхода аналогового преселектора, беря вы­
борки при замыкании 1<ак ключей ср 0 1, так и к.1ючей rp" 1 . Это
эквивалентно интерполяции и удвоению частоты дискрети­
зации l 00 кГц, что позволяет смягчить требования к изби­
рательности аналогового преселектора. Выборки входного
сигнала второго звена
ФНЧ-Рl берутся с часто­
той 100 кГц. В ЭТОМ МОЖ·
но убедиться, рассмотрев
функционирование клю­
чей, подь.лючающих вхо,'1.­
ной сигнал к конденсато­
рам К2 и G2. При таком
Рис 77. Осциллограмма ам­
nлитудно-частотной характери­
стики активного SС-фильтра,
схема которого приведена на
рис. 76
145

переключении то.1ько одна из лвух выборок «Наблюдается»
вторым звеном, н его выходное напряжение изменяется один
раз за период управл}Jющего сигнала ср1 (10 мкс). Так как
выходной сигнал второго звена поддерживается постоян­
ным в течение всего такта, то в схеме следующего звена
ФНЧ-Р2 не требуется к"1юч, аналогичный тому, что подКJIЮ­
чает входное напряженне второ1·0 звена к конденсатору К 2 •
Выходное напряжение звена ФНЧ-Р2 также поддержива­
ется постоянным в течение полного периода тактовых им­
пульсов.
В качестве последних трех каскадов используются
ФВЧ-звенья: два звена второго порядка с нулями переда­
точной функции и одно звено первого порядка. В этих
звеньях тактовая частота равна 25 кГц. ."1еньшая такто­
вая частота, кроме отмеченных ранее эффектов, приводит
к четырехкратному улучшению такого показателя, как от­
ношение емкостей, необходимое для реализации заданной
передаточной функции. При использовании управляющих
сигналов <:ре2 и ср 02 только одна из каждых четырех выборок
выходного сигнала звена ФНЧ-Р2 воздействует на вход
звена ФВЧ-Рl. Следовательно, выходные напряжения
звеньев ФВЧ-Р1l и ФВЧ-Р2 изменяют свое значение один
раз за тактовый период 40 мкс. Наряду с реализацией за­
данных частотных характеристик требуется, чтобы фильтр
имел выходной сигнал в виде последовательности импуль­
сов с нулевым исходным уровнем. Выходное напряжённе
должно принимать нулевое значение на интервалах вре­
мени, когда ампульсы <рез имеют низкий уровень. Чтобы
выполнить это требование, в последнем звене использует­
ся специальный управляющий сигнал срз, форма которого
выбрана для получения выходного сигнала фильтра тре­
буемого вида. Схема звена ФВЧ (на трех конденсаторах
Х6 , У6, Z6 ) выбрана исходя из удобства преобразования
поддерживаемого постоянным (на интервалах 40 мкс) вы­
ходного сигна.rrа звена ФВЧ-Рl к желаемому виду. Кроме
того, звено ФВЧ устраняет постоянное напряжение сме­
щения, которое создается в предыдущих каскадах. Вл11я­
нне нагрузI<и на характеристики фильтра исключается бла­
годаря включенному на выходе обычному в таких случаях
по1вторнтелю на операционно.'>1: уситпеле.
Процедура расчета каскадного SС-фильтра во многом
сходна с расчетом аналогового активного RС-фильтра, с
той лишь разницей, что порядок следования каскадов здесь
выбирается так, чтобы ослабились требования к избира­
тельности аналогового преселектора и уменьшилась п.rrо­
щадь, занимаемая фильтром на кристалле. Частоты и фор-
146

ма управляющих сигналов определяются целями расчета
и желаемым видом выходного сигнала. Д.1я упрощения
реализации из всей передаточной функции фильтра выде­
ляется ФНЧ-звено первого порядка. Еще одно звено пер­
вого порядка (ФВЧ) выделяется для удобства получения
выходного сигнала желаемого вида с нулевым начальным
смещением. Оставшиеся четыре звена второго порядка рас­
считываются по методике, рекомендованной в гл. 6.
7.2 . СИНТЕЗ НА ОСНОВЕ МНОГОПЕТЛЕВЫХ
СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
Синтез низкочувствительных активных RС-
фильтров с помощью многопетлевых структурных схем на
основе звеньев первого или второго порядка разработан
достаточно хорошо 1• При синтезе активных SС-цепей нет
принципиальных ограничений для использования любой
известной структурной схемы пли метода расчета. Изве­
стно, что многопетлевые полосовые активные RС-фильтры
наиболее удобно строить на базе ПФ-звеньев второго по­
рядка. Нули передаточной функции обычно реализуют,
вводя в схему дополнительные цепи прямой передачи сиг­
нала 11ли суммируя выходные снгналы отдельных звеньев.
Такие способы реализацин просты, однако не гарантиру­
ют оптнмальных результатов. Другой путь получения схем
с нулями передаточной функции заключается во введении
этих нулей в передаточные функции звеньев, как при кас­
кадном методе реализацин, однако прн этом расчет цепи
значительно усложняется.
Одпн из методов построения многопетлевых полосовых
фильтров с коммутируемыми конденсаторами [28] состо-
1п в 6llлинейном преобразовании (55а) сигнального графа
(структурной схемы) многопет.1евого активного RС-фильт­
ра в сигнальный граф (структурную схему) в z-области.
Полученный граф или структурную схему затем реализу­
ют на основе SС-звеньев второго порядка (ФНЧ20, ПФlО,
ФВЧ, ФНЧ-Р, ФВЧ-Р) по схеме на рис. 64, прп этом от­
дельные SС-цепи преобразуют по правилам, приведенным
на рис. 67. Известно, что многопетлевой активный RС­
фильтр с полоснопропускающей симметричной амплитуд­
но-чаС1 отной характеристикой строится на основе ПФ­
звеньев второго порядка. Поэтому для создания SС-экви­
валента такого фильтра, 11ере.Jа1'очная функu11я 1\оторого
найдена путем билинейного преобразования, потребуются
1 См работы [Д2, Д7]. - Прuм. ред.
147

звенья типа ПФIО. Для примера рассмотрим схему сим­
метричного полосового фильтра шестого порядка с через­
звенной обратной связью на рис. 78,а. Применяя к каждо­
му блоку этой схемы билинейное преобразование, получа­
ем структурную схему в z-области (рис. 78,6), где
Hr,;=
Нr,;т
(173а)
1+ ffio т/(2 Q;)+(ffio т)2/4
2-(ffio т) 2 2
(1736)
а;=
1, ffioт2Q;+ (wuт)2/4
~-= l-uJ0 т/Q1+ (ffio т) 2 /4
'
I+ffioT/Qi+(ffi0 ""C) 2 /4 •
(173в)
Заметим, что при l/Qi=O, как во втором звене на рис. 78,а,
/Зi = 1 и полюсы расположены на окружности с единичным
радиусом, чего и следовало ожидать.
sz+~s+UJ2
а,
о
- i 101 r1+z 11r1-г 11
1-a1z-1+j31z 2
а
+HвzS
sl+(;}J
Рис. 78. Структурные схемы многопетлевого полосового фильтра ше­
стого порядка для s-области (а) и для z-области (б)
Для реализаций передаточных функций фильтра, вы­
полненного по схеме на рис. 78,б, необходимы как инвер­
тирующие, так и неинвертирующие SС-цепи с передаточ­
нымн функциями типа ПФlО. При такой структурной схе­
ме фильтра все звенья, как правило, высокодобротные.
поэтому для их реализации предпочтительны Е-цепи. Одна
инвертирующая SС-цепь для реализации передаточной
функции ПФ 1О показана на рис. 74,а. Другая схема с ана­
логичными характеристиками представлена на рис. 79. За­
метим, что здесь передача входного сигнала осуществляет­
ся непереключаемыми конденсаторами L (для G=H) и
148

К (для /=!). Подставив G=H=L и l=l=K в числитель
пере;~_аточной функции ТЕ ( 140а) и прнравнян коЭ<ффиuнен­
ты полученного выражения соответствующим коэффнцнсн­
там числителя заданной передаточной функци11 -В в ( l-
- z-1) ( 1 + z-1), найдем
К=Нв, L=2 Нв.
(174)
Полный расчет для Е-цепн на рис. 79 может быть выпол­
нен с помощью выражений (174) и (145).
@@
(;';\ -пф10 r;;;;.i
°'-Jd-~v
' f.Y '4;
Рис. 79. Инвертирующее звено с передаточнон функцией типа ПФ!(),
реализованное Е-цепью
Напомним, что Е-цепь имеет инвертирующую переда­
точную функцню ТЕ при выходном сигнале И и неиrшер­
тирующую Т'в при выходном снгнале И' [см. выражения
(140)]. Следовательно, одну и ту же схему можно приме­
нять для реализации как инвертирующих, так и неинвер­
тирующих передач. При этом не требуется дополнитель­
ный инвертор напряжешrя, следует лншь правильно выб­
рать точку съема выходного сигнала. Удобная реализация
неинвертирующей передаточной функции типа ПФlО, ко­
торую назовем Е'-цепью, показана на рис. 80. Здесь для
получения неинвертирующей функции Т' Е выходное нап­
ряжение снимается с выхода первого ОУ, а источник
входного сигнала, как 11 в схеме на рис. 79, соединен ,со
схемой через непереключаемые конденсаторы L и К. Со-
149

отношения для расчета емкостей получим, приравняв ко­
эффициенты числителя передаточной функции Т'Е ( l 4Об),
где G=H=L и l=l=K, коэффициентам числителя задан­
ной передаточной функuпи Йв ( 1-z -1) ( 1 + z-1). После не­
сложных алгебраических преобразований имеем
L=Йв(1+2Е!С}, К=2Нв!С.
(175)
ПолJIЫЙ набор соотношений для расчета схемы состоит из
(175) и (145). Заметим, что сначала находят значения С
и Е по выражению (145), причем Е=О при ~i= 1.
Рис. 80. Неинвертирующее звено с передаточной функцнеi[ пша ПФlО,
реализованное Е'-цепью
Д.1я составления принцнпиальной схемы SС-фильтра,
структурная схема которого пр1шедена на 78,6, использу­
ются схемные реалнзации отдельных звеньев (см. рис. 79,
80). Первое н третье (инвертирующие) звенья с передаточ­
ными функциям в типа ПФ 1О реализуются по схеме на
р11с. 79,а, второе (неинвертирующее) - по схеме на рис. 80
при Е2 = О. Внешние цепи обратной связи с передаточны­
ми функциями F12 и F2з и суммирование сигналов на вхо­
де звеньев осуществляются с помощью дополнительных
конденсаторов, подключенных к внутренним суммирую­
щим узлам звеньев 1:1, ~2. как показано на рис. 81. Заме­
тим, что для упрощения схемы операция суммирования
«отодвIIнута» со входа звена на его внутренние узлы (~ 1 ,
1: 2 ). Так как входной сигнал звена поступает на оба узла чe-
ISO

рез конденсаторы, то аналогично требуется организовать
передачу сигнала по внешней цепи обратной связи, т. е.
через конденсаторы в те же самые суммирующие узлы.
Для получения нужных коэффициентов передачи F12 и F2a
емкости Х 12 , У12, Х2з, У2з должны удовлетворять следую­
щпм равенствам:
X12/D1=2 Йт F12. У12/В1= Нв1 F12,
(l76a)
X23/D2 = 2 НВ2 F23/C, У23/В2= Нв2 F23 ( 1+2 Е;С). (176б)
,,
"
1/г
"
1
"
§хоо
®@
®@
®@ Вьоrоо
® -ЛФ!О rfi!J t--- ® ПФТО rE?J >-->- - @-ПФ10@
~
0r";з,
«2J
СУ3,@
@@
@@
®I2
1
Уzз
"
1
Хzз
"1
Рис. 81. Cxe'lla многопетаевого полосового SС-фн,1ьтра шестого по­
рядка
Аналогично можно построить полосовые активные SС­
фильтры по другим многопетлевым структурным схемам.
Ранее рассмотрено построение фильтра на базе звеньев
ПФ 1О, передаточные функции которых получены с по­
мощью билинейного преобразования, однако воз\1ожны
более эффективные способы реализации с помощью ПФ­
звеньев другого типа, например с передаточными функция­
ми типа ПФОО. Под бо.1ьшен эффективностью здесь пони­
мается меньшая су.\1v1арная емкость конденсаторов, а с,1е­
доватс.1ьно, меньшая п.1оща;~,ь, занн:-.1аемая на кристалле.
К: сожалсн11ю, до настоящего времени не выяснено ·на~цуч­
шее сочетание структурной схемы многопетлевого фильт­
ра и типа передаточной функции звеньев для достижения
низкой чувствительности и малой суммарной емкости кон­
денсаторов.
Многопет.1евые схемы, например как рассмотренная
здесь, очень эффективны и при построении ФНЧ [9]. Та­
кие фильтры строят на базе звеньев первого порядка: нн-
151
3

теграторы без потерь и демпфированные интеграторы. Наи­
более удобны ПДС-интеграторы без потерь и демпфиро­
ванные (модифицированные) интеграторы этого же типа
[см. передаточные функции в табл. 2 и (71)]. Многопет­
левые SС-фильтры нижних частот сохраняют низкую чув­
ствительность к изменению параметров элементов, свой­
ственную их активным RC- и пассивным LС-прототипам.
Важно, что при практическом построении многопетлевых
схем, нечувствительных к влиянию паразитных емкостей,
молшо использовать дуальную эквивалентность интеграто­
ров (70) п схемы интеграторов, представленные в табл. 4.
На рис. 82 показана схема активного SС-фильтра нижних
частот четверто1 о порядка и его эквивалентная схема в z-
области. ЧнтатеJiь может в качестве упражнения прове­
рить правиJiьность составления эквивалентной схемы и
проанализировать ее.
а
(j
Рис 82 с,еча \IНОГОпетлевого SС-фильтра нижних частот четвер­
того nоряд1,а (а) и ее Эhвивалентная схема (6)
В rJI. 4 обсуждатrсь различные схемы и методы имита­
цин 1шдуктивного входного сопротивления и частотно-зави­
симого отрицательного сопротивJiения. На рис. 41 приве­
ден пример, демонстрирующий преобразование пасснвной
лестничной RLС-цепи в активную SС-цепь. Обычно такие
схемы имеют высокоомный выход и требуют применения
операционных усиJiителей с дифференциальным входом.
Поэтому, как отмечено в гл. 5, возможность их воплоще­
юrя по кремнневой МОП-технологии сомнительна.
!52

7.3. УНИВЕРСАЛЬНАЯ МИl(РОСХЕМА ДЛЯ
SС-ФИЛЬТРОВ ВЫСОl(ОГО ПОРЯДКА,
ПРОГРАММИРУЕМАЯ ФОТОШАБЛОНАМИ
Гибкость обобщенной схемы звена второго по­
рядка на рис. 64 и возможность размещения на одном
МОП-кристалле множества таких звеньев позволили раз­
работать универсальную микросхему («базовый кристалл»)
с аналоговыми входом и выходом [29]. Она выполнена по
поликремниевой МОП-технологии с каналами п-типа с
обеднением и обогащением и имеет напряжение питания
+5 В. С помощью микросхемы можно реализовать до 22
полюсов (и нулей) передаточной функции, из которых 6
реализуются аналоговыми непрерывными преселектором
и фильтром, сглаживающим выходной сигнал. Два поли­
кристаллических кремниевых слоя формируют верхние и
нижние обкладки конденсаторов, а также два из трех
уровней соединений между элементами. Третий уровень
соединений выполнен с помощью металлизации алюмини­
ем. Для реализации любой конкретной передаточной функ­
ции требуется изготовить по индивидуальному заказу толь­
ко два поликристаллических кремниевых фотошаблона.
Все остальные фотошаблоны стандартные. Такой подход
не только сокращает сроки проектирования и производст­
ва, но и делает технологию, обеспечивающую высокую
степень интеграции, дDступной даже для тех заказчиков,
чей объем производства недостаточно велик, чтобы оправ­
дать изготовление полного комплекта фотошаблонов.
Микросхема (показанная на рис. 83) имеет небольшие
размеры (примерно 3 Х 6 мм2 ) и размещена в герметичном
плоском корпусе с двухрядным расположением 16 выво­
дов (ДИП). Как показано на рис. 83, не соединенные
между собой элементы микросхемы объединены на крис­
талле в группы по функциональному признаку: 22 опера­
ционных усилите.1я [10], генератор, логические элементы
для формирования тактовьrх импульсов и синхронизаторы,
буферные uепи для ввода сигнала в дискретной форме, ис­
точник опорного напряжения, резисторы, 88 аналоговых
ключей, металтrческие шины для аналогового и цифрово­
го сигналов, аналоговые фильтры второго порядка для
ограничення спектра входного сигнала и сглаживания вы­
ходного сигнала. Заказные поликрпсталлические фотошаб­
лоны служат для задания массива конденсаторов и меж­
соединений, требуемых в разрабатываемой схеме фильт­
ра, а также для программирования логических цепей. Для
этого на кристалле предусмотрено достаточное число ме-

-
ел
""'
'
Рис. 83. Микрофотоrрафпя •Кристалла, нопользуемоrо дЛ я реализаuии полосового фильтра десятоrо порядка
по схеме на рис. 76

таллических линий и окон. Свободную площадь между
операц!Iоннымн усилителями и ключ•ми можно использо­
вать д.1я конденсаторов.
Микросхема может управляться внешним прецизионным
генератором тактовых импульсов или вырабатывать свои
тактовые импульсы с помощью встроенного и внешнего
кварцевого генераторов. Кроме того, ее можно сопрячь с
другими дискретными или цифровыми устройствами с по­
мощью синхроимпульсов, вырабатываемых внутри или вне
микросхемы. Для управления внутренними лог11ческими
цепями нли для вывода дискретного сигнала предусмотре­
ны совместимые с ТТ Л логическими элементами входная 11
выходная буферные цепи. Логические элементы формиро­
вания тактовых импульсов также программируются с по­
мощью фотошаблонов. Эта часть микросхемы состоит из
девятн _;1.1ементов деления на два и других логических эле­
ментов в количестве, необходимом для получения до трех
наборов неперекрывающихся импульсных последователь­
ностей с желаемой скважностью. Возможность программи­
рованюr импульсных последовательностей особенно полез­
на прн I\аскадировании звеньев SС-фильтра, И1\1еющих раз­
личные тактовые частоты, что делается для более эконом­
ного I1спuльзования площади кристалла, отведенной под
конденсаторы. Об этом упоминалось в разд. 7 2.
Ве1нняя часть кристалла на рис. 83 запрограммирова­
на для реализации полосового фильтра десятого порядка,
схема которого изображена на рис. 76. Здесь, как и в
большинстве применений, использована только часть эле­
ментов мнкросхемы Для уменьшения потребления энер­
гии все неиспользованные цепи обесточены, что достига­
ется с помощью тех же двух заказных фотошаблонов Хо­
тя здесь показано применение микросхемы для построения
каскадного фильтра, однако ее гибкость достаточна и для
реализации фильтров с многопетлевыми цепями обратной
связи Кроме то1 о, к четырем из 22 операционных _усили­
телей '>tожно подключать внешнюю нагрузку, поэтому на
одной микросхеме можно создать четыре отдельных фильт-
ра.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой работе дано представление об анализе н
синтезе фильтров с переключаемыми конденсаторами. Для
удобства анализа !! облегчения воспрпятия прн изложении
материа.1а широко использована аналогия ме)/\ду SC- и
активными RС-фильтрами Синтез построен на их подобии
155

цифровым фильтрам. Практическое воплощение с по­
мощью МОП-технологии основано на уникальных свойст­
вах, присущих SС-схемам. Для анализа фильтров с перек­
лючаемыми конденсаторами использованы эквивалентные
схемы в z-области. Хотя дискретная форма сигнала в SС­
цепях позволяет применять z-преобразование, однако опи­
сание этих цепей благодаря их аналоговой природе впол­
не возможно и на базе теории линейных цепей с постоян­
ными параметрами.
Эффективность схем с переключаемыми конденсатора­
ми для построения фильтров всех типов продемонстриро­
вана на ряде примеров. Авторы надеются, что их работа
будет стимулировать интерес читателя к исследованию и
практическому воплощению этого нового класса электри­
ческих цепей. Свидетельством интенсивного развития этой
области является освоение в производстве многих типов
изделий с актнвными SС-фнльтрами (см., например, [23,
29] ).
ЗАДАЧИ
!. Определите минимальный порядок ФНЧ Баттерворта,
предназначенного для устранения эффекта наложения спектроn.
Фильтр имеет единичный коэффициент передачи на нулевой частоте,
затухание 3 дБ иа частоте 3 кГц и затухание не менее 30 дБ на ча­
стот<~х f~f,, где f,=8 кГц (а); f,=32 кГц (6); f,=64 кГц (в), f.=
= 128 кГц (г).
2. Рассмотрите применение ФНЧ второго порядка по схеме Сал­
лена - Ки (рнс. 84) в качестве преселектора. Передаточная функция
фильтра нмеет вид
И2
H(s) =- =
И1 С1С2R1R2s2+С2(R1+R2)s+l
Фнльтр должен нметь затухание не более 3 дБ в диапазоне частот
О." З кГц н затухание не менее 30 дБ на частотах f~f ,.
Полагая,
что в худшем случае относительные отклонения номиналов резисторов
R1, R2 и конденсаторов С1, С2 равны ЛR1/R1 =ЛR2/R2=ЛС1/С1 =ЛС2/С2=
= ±0,5, определите минимальное значение f., при котором выполняются
уюванные требования.
с,
ео
оиЬыl(
""f1,
1
и~~
ICz
Рнс. 84
Рнс 85
156

3. С помощью уравнений (39) найдите передаточную функцию
Иов Ь1 х (z) /U•nx (z) для звена с переключаемым конденсатором на.
рис. 85 Заметим, •rто ЛQ' Р (z) =ЛQ 0 Р (z) =0 на t;нтервалах времени,
когда отсутствуют независимые источники заряда, и что Q 0 Р; =C;U 0 J>
в Q•p, =C,U•v·
4. Опреде.ште передаточные функции Hi-H~ в уравнении (47) для
звена с перек.1ючаемым конденсатором на рис. 85.
5. Определите передаточные функции Hi-H~ в уравнении (47)
для звена с переключаемым конденсатором на рис. 86.
Рис. 86
Рнс. 87
6. Покажите, что билинейное преобразование (55а) эквивалентно.·
приближенному вычшслению интеграла с помощью правила тра­
пеций:
г x)dx~+rf(0)+2 (n~)Т:f(kt)--t-f(n't)].
о
k=J
7. Получите соотношение (64).
8. Выполните корректнровку характерных частот передаrочноit
функции
s2 __]_ _ J ,4212· !05
H(s) =
s 2 + 1004,2s+6.9833 ·10"
и с помощью билинейного преобразования найд1пе передаточную
функцию H(z) при частоте дискрrтизщии: а) fs=8 кГц и б) f.~
= 128 кГц. Обсудите полученные резу.1ьтаты.
9. Получите пр1шеденные в табл. 3 эквиваленты по.1иых проводи­
мостей в z-области с помощью: а) метода обратной разности, 6) ме·
тода ПДС, в) билинейиоrо преобразова11ия.
1О. Масштабируйте все эквивалентные проводимости, полученные
в предыдущей 1адаче с помощью би.1инейного преобразования, путем
умножения на (J-z-
1
), т. е. Y,(z) = (l-z- 1) Y(z). Обсудите вид по­
лученных эквивалентов проводнмостей.
! 1. Получите эквивалентпые схемы SС-элементов, изображенных
на рис. 24,а,ж,з,и,л. Обсудите различие эквивалентных схем на
рие. 24, и,л н м.
157

12. Нарисуйте эквивалентные схемы SС-элементов, изображенны.'<
.на рпс. 26, применяя указанные на нем преобразования эквивалентной
,схемы обобщенного SС-элемента. Сравните полученные результаты с
~квива:1ентиыми схемами этих элементов на рнс. 24 и 25.
13. Получите эквивалентную схему SС-элемента, изображеиноrо
на prrc. 87:
а) для С1 =i=C2, принимая в качестве
переменных состоянш1
ЛQ•1, 1Q0
1, ЛQ•2, ЛQ02, И•~, И01, U~2 и И02;
б) для С1 =С2, принимая в качестве переменных состояния
ЛQ1=ЛQ•1+ЛQ 0 1, ЛQ2=ЛQ•2+ЛQ 0 2, И1=И•r+И 0 1 п И2=И•2+И 0 2.
14. Постройте эквивалентные схемы SС-э.1ечентов, схемы которых
приведены на рис. 88,а,6. Сравните свойства этих элементов.
-о>------1>-----о-
а
с
-о,_______,,:r-----о-
б
Рис. 88
Рис. 89
15. Получпте передаточные функции lf1 и Н3 (96) для SС-э.1ечен­
та, выполненного по схеме на рис. 32.
16. Получите передаточные функции SС-интегратора, выполIIен­
ного по схеме на рис. 40, приняв коэффициент передачи операционно1·0
уси.1ителя в областп низj(их частот равным а 0 • Сравните полученные
результаты с соотношением (161).
17. Повторите решение задачи 16 для демпфированного интегра­
тора, схема которого приведена на рис. 45. П~·сть искомая передатс·r­
ная функция имеет ннд
-тр
Н1(z) = (1+тp)-z-1
Положив С 1 =аС, С2 =С н Сз=~С, выразите параметры а и j3 через
промежуточные параметры тр, ао и С.
18. Получите выражения для z-преобразования четных компон~н-
1'ов выходного напряжения И'вых(z) SС-элемента, изображенного на
рис. 89, Опр,еделите условия реализации билинейного интегратора.
158

19. Получите z-преобразование выходного напряжения U•в ы х (z}
SС-э,1емента, и.юбражеююrо на рис. 90
21) а/ найдите ана.1оrов.ую передаточную с функцию SС-интеграто·
ра, ныполненноrо по С'.еме на рпс. 91,а, при воздействии на входе не·
прерывного ава.1огового снгнала. Отмети\\, qто выходное напряжение
е
1
Рнс. 90
подается на 1стропство выборкп и запоминания, обладающее пере­
даточной функцней (46); б) повторите решение варианта а ,:ря э.11е·
мента, выпо,1ненrrого по схе!>1е па рис. 91,6; в) обсудите резу.1ыаты
решения вариантов а rr б.
а
Рнс. 91
21!. Получите передаточную ф_ункцию битшейноrо интегратора,
схема которого приведена на рис. 92, с учетом паразитных емкостей
Срв и Срт. В типичиых ннтегральных МОП-схема'С Срв~О.IС1 н
Срт~Срв. Емкость Срв в основном определяется емкостью между
нижней обкладкой конденсатора С1 и подложкой:, следовательно, она
пропорциоиа.1ьна С1. Емкость Срт
.., ..
на\\ного меньше, так как оп1реде-
::t~.Cpr
с
ляется еикостью между подваля- ч=:е--L---J-Pz
щнми линия мн (между клю<rами Llвi 0 фlсс,,~ е
+-
ибых
н всрХ1I1ей обкладкой конденсата-
---+---""
ра С 1 ) и подложкой, а также ис-
~. срВ
токами и стоками двух ключей
_
и подложкой.
Рис. 92
159

22. Получите передаточную функцию в z-области демпфированно­
го интегратора, схема которого приведена на рис. 42,а. Учтите при
анализе все паразитные емкости, влияющие на передаточную функцию.
Определите погрешности определения коэффициента передачи и рас.
положения нулей.
23. Сконструируйте эквивалентную схему SС-элемента, выполнен-
ного по схеме на рис. 93:
Рис. 93
а) найдите передаточную функцию Н (z) = И•вых/И•вr.:
6) получите выражения для определения добротности Q и часто­
ты полюса ffio;
в) включите в эквивалентную схему паразитные емкости С р в,
С Рт. Получите для этого случая выражения для Q и ffio и сравниrе
их с выражениями для Q и ffio в идеальном случае варианта 6.
24. Реализуйте передаточную функцию, приведенную в задаче 8,
используя SС-звено второго порядка, схема которого приведена на
рис. 64:
а} рассчитайте Е цепь при f,=8 кГц;
6) рассчитайте F-цепь при f ,=8 кГц;
в) рассчитайте Е-цепь при f,=1128 кГц;
г) рассчитайте F-цепь при f,=128 кГц;
д) сравните суммарные емкости конденсаторов, требуемых для
этих четырех схем.
При проектировании фильтра там, где это необходимо, используй­
те корректировку характерных частот передаточной функции, приме­
ните эквивалентные преобразования цепей (рис. 67), масштабируйте
элементы для получения максимального динамического диапазона и
обеспе'!Ьте равенство минимальных емкостей 1 пФ.
25. Получите выражения для расчета компонентов SС-звена вто­
рого порядка, реа.1изуемого Е-цепью (рис. 94). Покажите, что это
звено может иметь передаточную функцию, аналогичную передато'!:­
ной функции фазового звена.
26. Синтезируйте ПФ с помощью SС-звена второго порядка, ис­
пользуя передаточную функцию аналогового прототипа (65). Частоrа
дискретнзашш f, = 128 RГц. Выравняйте максимальные значения сигна­
ла на выходах обоих операционных усилителей и масштабируйте ем­
кости так, чтобы наименьшая емкость равнялась 1 пФ:
160

"
а) сnроектнруйте ПФ!О на основе В-цепи;
б) спроектируйте ПФIО иа основе F-цепи,
в) спроектируйте ПФОI иа основе В-цепи;
г) спроектируйте ПФОl на основе F-цепи;
д) постройте н сравните частотные хар~тернстикн ПФ, ПФI(}
и ПФО!;
D
8
А
r
Рис. 94
е) сравните суммарные емкости, необходимые для реализация
фильтров в пунктах а, б, в, г;
ж) обсудите результаты, полученные в пунктах д, е.
27. Спроектируйте каскадный SC фильтр тиnа ФНЧ пятого nорЯ.А•
ка Его передаточная функция описывается выражением
где ro, 1=43 200 рад/с, ro,2=29200 рад/с, Ро=-16800 рад/с, Р1"""
- = (-0,97+Jl,75)·104 рад/с, Р2= (-0,236+ j2,224) · 10 4 рад/с. Выберите
масштабный множитель /( так, чтобы коэффициент передачи no посто·
янному току равнялся О дБ Частота дискретизации f ,= 128 кГц. Ис·
пользуйте нечувствительные к паразитным емкостям схемы на рис. 63,
64 н преобразования на рис 67. Считайте, что на вход подается не·
прерывный аналоговый сигнал, схема фильтра выбрана таким обра·
зом, что выходное напряжение дискретизируется н сохраняется посто·
янным в течение всего периода l/f,. При проектировании
фильтра
предусмотрите выравнивание максимального уровня сигнала иа вы­
ходах всех операционных усилителей и масштабируйте конденсаторы
к минимальному значению 1 пФ
а) спроектируйте звенья второго порядка на основе Е-цепи;
6) спроектируйте звенья второго порядка на основе F-цепн;
в) для вариантов а, б определите минимум суммарной емкости.
28. Выведите уравнения (176)
161

Рис 95
Rua =R/Ко
R01 =-R/K1
Raz=R/K2
29. Используя методику, описанную в разд. 7 2, спроектируйте
миогопетлевой SС-фильтр, для которого аналоговым прототипом с.i!у­
жит активный RС-фильтр, схема которого приведена на рпс. 95. Час­
тота дискретизации (нормированная) равна f,=50. Передаточная
функция аналогового полосового фильтра второго порядка описыва­
ется выражением
К;
.s
Ti= ---
Q;
1
-s2+-- н
Q;
а) покажите, что операции су..~мнрования в схеме на рис. 95 мо­
гут быть реализованы с помощью SС-звена, выполненного по схеме па
рис. 96;
6) спроектируйте фильтр второго порядка типа ПФ!О на основе
В-цепи, имеющий приведенную передаточную функцию Т;. Выравняйте
максимальные напряжения на выходах операционных усилителей и
ма,сштабируйте емкости так, чтобы минимальное "tначение е..~кости
ц,~1-:___
К2С
v,~1-c--~
Рис. 96
162
е
равнялось единице.
30. Используя методику,
изложенную в разд. 7.2, начер­
тите структурную схему мноrо­
петлевоrо ПФ 16-ro порядка с
>----4>-0 переключаемыми конденсатора­
и6ых м1и. Покажите в\:е внешние
цепи обратной связи, как это
сделано на р1~с. 81. Пр-иведите
принuипнальную с'i:ему звена
В"I'орого порядка, на основе 1ю­
торою построен миоrопетлевой
филь1 р.
31. Найдите передаточную
функцию четвертого порядка
ФНЧ, имеющего структуру с
череззвениоr~ обратной связью
{рис. 82).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. SFQUIN, с. н" AND м. F. ТомРSЕТТ, Charge 'Гram/er Doiccs. New York:
Academic Press, 1975.
2. Scн1LLING, D L., дND Н. Тлu в, D1g11al 11'/et;raled Electro111cs. !\;ew York:
McGraw-Hill, 1977.
З. RдBINER, L. R . , A 'D В. GoLo, Theory and Applicatum о/ Dн;i1a/ Signal Pr.1cess•
тg. Englewood Cl1ffs, N J .; Prentк-e-Hall, 1975.
4
RAGAZZINI, J . R , AND G F . FRдNKLIN, Sampled Da1a Гпп1rоl Sjs/nrzr. New
Уогk: McGгaw-H1!l, 1958.
5. DESOER, С. А" AND Е. S. Кuн, Ra<ic Czrcuir Theory 'lew Уогk: McGгav.·-Hi11~
1969.
6
GRAY, Р. R., D. А. HoDGES, R. W . BRODFRSEN, ed', Analog Но< /•1/c;:rateJ Cir•
cuils, IEEE Press, 1980.
7 SсндuмдNN, R" М. А. SooERSTRAND, К. R. Lлк~R. eds, Цodern Actz\e F1ftel'
Deszgn, IEEE Press, 1981.
8. Buss, D. D" D. R. CoLLl"S, W. Н. BдrLEY, А"о С R. REEVES, ''Tran"ersa(
F1lter1ng Us1ng Charge Transfer Dev1ces," IEEE J. Solzd-State Circцzf<, SC-8
(Aprtl 1973), 138 -146 .
9. BRoDERSEN', R. W ., Р. R GRдY, AND D. А. HoooEs, "MOS Switched Capac1tcr
F1lters.:• Proc· .
JEEE, 67 (January 1979), 61 75.
10. Ts1vю1s, У. Р., AND D. L. FRдSER, JR., "А Process Insens1tive NMOS OperJ.·
iюnal Ampl1fieг," D1g. 1979 !ЕЕЕ lnt. Sol1d-Sta/e Circu1н S;-m " Februaгy 19~9.
рр. 188-189 . Ts1vю1s, У. Р" "Des1gn Cons1deratюns 1n Single Channel \!OS
Analog Jntegrat.ed Ctrcш!s-A Тшопа\," IEEE J Sol1d-S1me C1rc1n1s, SC-IJ
(June 1978), 383 -391 .
l}. KURTH, С. F" AND G S. Мокнvтz, "Nodal Anal)s" of Switched Capacltcr
Networks," /ЕЕЕ Tran,. Czrculls Sy5/, CAS-26 (f-ebru.iry 1979), 93-104; an.d
'Two-por! Analys1s of Sw1tched Capac11or Networks Using Four-Poгt I:qui;a•
lent C1rcш1s," !ЕЕЕ Trans. Circuits Syst, CAS-26 (March 1979), 166 -180.
12 LAKER, К. R , "Eqшvalent Ctrcшts for the Analys1s and Synthcsis of Switched
Capac11orNet,, .orks," Ве/1 S;-st. Tech J, 58 (Магсh 1979), 727-767 .
13. Lюu, М. L. AND У. L Kuo, '·Exact AnJlys1s of S"11ched Capacitor Circшts
w1th Arb11гar} Inputs," IEEE Trans. C1rcиlfS Sy5t, CAS-26 (Мау 1979), 213 -
223.
14 BRUTON, L. т" "Low Sen'tt1v1ty Digital Laddeг l-1ltcrs," !ЕЕ:Е Trans. C/fcuitf
<;)51, CAS -22 (Магсh 1975), 168-176.
15 FRJED, D L, ''Analog ~amp!cd Da!d f-1l1e"," IEEE J ';o/1d-S1ate Czrcuits, SC-7
1Л..ugus! 1972), 302 -104 .
J 6. Слнs, J. Т, Е1 •L , "S .;mpled Analog F1\tenng L,sing S"1tched C'apacitori а~
Sv. нched Resшors, ·· / ЕЕЕ J. Su/111-State C1rcul(5, SC -12 (December 1977), 592-
599
17 TEMES, G. с" ДND I. А. Your- . G, "An Improved Sw1tched Capacitor Jntegrator,"
Eleцron. Lell" 14, no. 9 (April 27 1978), 287-288 .
18 ТЕМЕ~, G С, N J. 0RсндRо, AND М. JднANBEGLoo, "S1><itched C'aracilvr
f1lter Des1gn Using the B1linear z-Transfoгm," IEEE Trans Circu1/5 S1s/, CAS•
25 (DесеmЬег 1978), 1039-1044.
[9. HERBST, D " п AL, "MOS Sw1tched Capac11or F1Jters," D1g. 1979 lпt. Solid•
Srate Circ1111s Conf, (Febгuary 1979), 74 --75

. 20 RAНJM, С F, ЕТ AL, "А Fuпctюпal MOS C1rcшt for Ac~.1evшg 81/mear
Traпsformatюп 1П SC F1lters, ' 1ЕЕЕ J Solrd State C1rcюts, SC-13 (DecemЬer
1978), 906-909
21 HosncкA, В J, AND G S Moscнvтz, "Sw1tched Capac1tor S1mulatюп of
Grouпded Iпductors апd Gyrators, ' Electron Lett, 14, по 24 (NovemЬer 23
1978), 788 790
'22
TEMES, G С, AND М JдHANBEGLOO, "Sw11ched Capac1tor C1rcшts B1lmearly
Eqшvaleпt to the FJoatmg Iпductor апd FDNR, ' Electrorr Lett, 15, по 3
(February 1979), 87-88
23 Jдсовs, G М, ЕТ AL, "Touch Топе Docoder Ch1p Mates Aпalog Filters wнh
D1g11al Log1c,' Electromcs, (February 15 1979), 105 112
24 MARТIN, К , AND А S SEDRA, " Strays Iпseпs1t1ve Sw1tched Capac1tor F1lters
Вased оп the B1l1пear z Traпsform, Electrorr Lett, 15, по 13 (JuJy 1979),
365-366
25 FLEISCHER, р Е. AND к R LAKER, 'А Fam1ly of Act1ve Sw1tc11ed Сарасноr
Biquad Bшld1пg Blocks, " Ве / / Syst Tech J, 58 (DecemЬer 1979), 2235 -2269
26 McCREARY, J L , AND Р R GRAY "All-MOS Charge Red1str1butюп Aпalog to
D1g1tal Сопvеrsюп Techшques-Part 1," I EE E J Sal1d State Clrcuas, SC -10
(DecemЬer 1975) 371 379
27 SПEGLIТZ, К, Computer A1ded Des1gп of Recurs1ve D1gital F1iters, " JEEE
Trans Аиd10 Electraacoust, Au 18 (Juпe 1970), 123-129
. LS MARТIN, к. AND А s SEDRA, ' Exact Des1gп of Sw1tched Capac1tor Вапd pass
F1lters Us1пg Coupled Biquad Structures, " IEEE Trarrs Orcщts Syst, CAS-27
(Juпe 1980), 469--475
29. FLEISCHER, Р Е, К R LAKER, D G MARSH , J Р BдLLANTYNE, А А YIAN·
NOULUS, AND D L FRASER , 'Ап NMOS Bшldшg Block for Telecommuп1ca
tюпs Appl1catюпs, IEEE Trarrs Clrcщts Syst, CAS 27 (Juпe 1980), 552 559
СПИСОК РАБОТ, ПЕРЕВЕДЕННЫХ НА РУССКИП
язык
1 Секен К., Томnсет М Приборы с пеJ]( носом заряда Пер с анг~ !
ПодредВВПоспелованРАСуриса- ММир,1978-
328 с
3 Рабинер Л" Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки
сигналов Пер с англ /Под ред Ю Н Александрова - М Мир,
1978~848с
5. Дезоер Ч. А" Ку Э С. Основы теории цепей Пер с англ !Под
ред В А Смирнова. - М Связь, 1976 - 288 с
9 Бродерсен Р. У, Грей П Р МПД фильтры с перек ~ючас ЧЫ\ и
конденсаторами - ТИИЭР, 1979, т 67, No 1, с 73-88
23 Джекобс, Лендсберr, Уайт, Ходжес. Ана~оговые фи1ьтры и ци 1'
ровая логика на кристалле приемника тастатурноrо телефонного
набора - Электроника, т 52, No 4, 1979, с 24-34.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫП СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Дl Греrорян Р" Мартин К У" Темеш Г. К Проектирование схем
на переключаемых конденсаторах - ТИИЭР, 1983, т 71, No 8,
с. 35--67.
д2. Капустян В. И. Активные фильтры высокого порядка - М Ра­
дио и связь, 1985 - 248 с
164

Д3
Д4
ДБ
Д6
Д7
д8
Д9
Д!О
Дll
Люз М. Л, Го-Яньлун, Ли К. Ф. Методический обзор направле­
ний в области машинного анализа цепей с переключаемыми кон·
денсаторами - ТИИЭР, 1983, т. 71, No 8, с 91-112.
Мошиц Г" Хорн П. Проектирование активt!:ых фильтров Пер с
англ/Под ред И Н Теплюка - М Мир, 1984 - 320 с
Синтез линейных 3лектричеlких и электронных цепей (метод
переменных состояния)/Ионкин П А, Максимович Н Г, Миро
новВГидр-ЛьвовВищашкола,1982- 311с
Справочник по расчету и проектированию линейных аналоговых
ARL устройств/Букашкин С А., Власов В П, Змий Б Ф и др ;
ПодредААЛаннэ-М:Радиоисвязь,1984- 367с
Хьюлсман Л. П, Аллен Ф. Е. Введение в теорию и расчет ак­
тивных фильтров Пер с англ /Под ред А Е Знаменского. -
М Радио и связь, 1984 - 382 с
Цивидис Я. Принципы работы и анализ схем с переключаемыми
1, н ctHcdlc оами -1ИИЭР, 1983, Т 71, No 8, с 17-35
Эллстот Д. Дж., Блэк У. С. Технология и проектирование моно·
ю 1 пых МОП фильтр) ющих систем с переключаемыми конденса·
тора'dи - ТИИЭР, 1983, т 71, No 8, с 67-90
Fr1ed D. L. Aпalog sampled data f1ltнs -IEEE J, 1972 v SC 7,
I\ 4 р 302-304
McK111ney J. А., Hal1jak С А. Tr1e per10d1cally reverse·sw1tched са
pac1tor - lEJ:.E Trans , 1968 v С 4.S 15, N 3 р 288-290

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию
Введею1е .
5
8
1. Методы анализа линейных инвариантных во времени дискрет-
ных систем .
11
1.1. Процесс дискретизации
.
J1
1.2. Анализ дискретных систем с помощью z·прсобразования
16
1.3. Дискретно-аналоговые системы
.
24
2. Применение метода z-преобразований к анализу цепей с пе-
реключаемыми конденсаторами
27
2.1. Системы с дискретными фильтрюш
.
27
2.2. Описание работы идеальных SС-цепей
29
2.3. Формы дискретизированных сигнаJюв
.
.
.
34
2.4. Взаимосвязь передаточных функций SС-цепи
.
.
39
2.5. Преобразования частот при отображении п.1оскости s в
плоскость z
41
2.6. Преобразование цепей
50
3. Эквивалентные схемы типовых элементов SС-цепей
56
3.1. Полные эквивалентные схе~1ы типовых SС-э.1ементов
.
.
67
3.2. J-"прощенные эквивалентные схемы SС-э.1емснтов для с.1у-
чая, когда выборки напряжения на входе берутся одЙн
раз в течение такта
.
.
.
72
3.3. Упрощенные эквивалентные схемы SС-элементов д.1я с.1у-
чая, когда выборки вхrщного напряжения берутся дваж-
ды в те'Iение такта
76
4. Анализ и синтез SС-цепей первого порндка
79
4.1 . Пассивные SС-цепи
.
.
.
!Ю
4.2. Активные SС-цепи первого порядка
.
.
.
85
4.3. Имитация индуктивности и частrпно-зависи;,,юго отрпца-
тельпого сопротивления •
1OJ
5. Реализация прецизионных активных SС-фильтров по МОП-тех-
нолоrии
108
5.1. Практические ограничения реализации МОП-~1икросхе.w 108
5.2 . Эффекты, обуслов.1синые паразитными емкостю111 каючсй 109
6. Активные SС-звенья второго порядка
117
6.1. Обобщенная схема звена второго порядка
118
6.2.ЦепитипаЕиF
124
6.3. Чувствптельность
129
6.4. Модификация схемы звена второго П()рядка для случая,
когда входной сигнал фиксирован на вре:-,1еннь1х интер-
валах, меньших длительности такта
131
6.5. Примеры
136
166

7. Некоторые способы реализации активных SС-фильтров высо-
кого порядка
141
7.1. Каскадный синтез
.
.
.
1
.
142
7.2. Синтез на основе многопетлсвых структурных схем
147
7.3. Универсальная микросхема для SС-фильтров высокого
порядка, программируемая фотошаблонами
153
Заключение
155
Задачи
156
Список литературы
163
Список работ, переведенных на русскиi\ язык
164
Дополиите.1ьный список .111тературы
164

Производственное издание
М. Гауси, К. Лакер
АКТИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ
С ПЕРЕКЛЮЧАЕМЫМИ КОНДЕНСАТОРАМИ
Заведующая редакцией О. В. Толкачева
Редактор И. И. Рюжина
Художественный редактор Т. В. Бусарова
Обложка художника В. В. Третьякова
Технический редактор А. Н. Золотарева
Корректор И. Г. Зыкова
ИБ .N'o 1355
Сдано в набор 23 09.85
Подписано в печать 07.03 .86
Фермат 84Х 108/32
Бумага кн.-журнальиая No 2
Гарнитура литературная
Печать высокая
Усл. печ. л. 8,82
Усл. кр.-отт. 9,135
Уч.-изд. л. 8,70
Тирам 15 ООО экз.
Изд. No 21562
Зак. No 134
Цена 60 к.
ИJдательство сРадио и связь:.. 101000 Москва, Почтамт, а/я 693
Московская типография 1'l't 5 ВГО сСоюзучетиздат:.
101000 Москва, ул. Кирова, д. 40