ПРОБЛЕМЫ ДИФФРАКЦИИ
И РАСПРОСТРАНЕНИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
В. А. ФОК
«Советское радио»
Москва — 1970

УДК 535.4 : 621.371
3-4-1
60-69
6. А. Фок. Проблемы диффракцнн и распространения
электромагнитных волн. М., Изд-по «Советское радио», 1970,
стр. 520, т. 4600 экз., ц. 2 р. 47 к.
В первой части монографии развивается асимптоти-
ческая теория диффракции на основе устаиовлеииого
автором принципа локальиого поля в области полутени
иа поверхности хорошо проводящего выпуклого тела.
Во второй части рассматриваются проблемы распростра-
нения радиоволн в однородной н неоднородной (слои-
стой) атмосфере при учете диффракции вокруг Землн.
В математическом добавлении развивается теория
интегральных уравнений, использованных в тексте, и
приводятся таблицы функций Эйри, а также вспомога-
тельных функций, применяемых для вычисления рас-
пределения токов.
Книга представляет собрание оригинальных работ
автора.
43 рис., 16 табл., библ. 44 назв.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ТЕОРИЯ ДИФФРАКЦИИ
Предисловие 7
Глава 1. Новые методы в теории диффракции 11
Глава 2. Распределение токов, возбуждаемых плоской волной
на поверхности проводника 19
Глава 3. Теория Диффракции на параболоиде вращения .... 29
Глава 4. Диффракция плоской электромагнитной волны на
идеально-проводящем параболоиде вращения 73
Глава 5. Поле плоской волны вблизи поверхности проводящего
тела 97
Глава 6. Законы отражения Френеля и законы диффракции ... 119
Глава 7. Диффракция Френеля от выпуклых тел 141
Глава 8. Обобщение отражательных формул на случай отраже-
ния произвольной волны от поверхности произвольной формы 155
Глава 9. Поперечная диффузия коротких волн, огибающих вы-
пуклый цилиндр 179
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ТРОПОСФЕРНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛИ
Глава 10. Диффракция радиоволн вокруг земной поверхности 199
Глава 11. Решение задачи о распространении электромагнитных
волн вдоль поверхности земли по методу параболического урав-
нения 221
Глава 12. Поле от вертикального и горизонтального диполя, при-
поднятого над поверхностью земли 243
Глава 13. Распространение прямой волны вокруг Земли при учете
днффракции н рефракции 262
Глава 14. Теория распространения радиоволн в неоднородной
атмосфере для приподнятого источника 284
Глава 15. Приближенная формула для'дальности горизонта прн
наличии сверхрефракции 316
Глава 16. О распространении радиоволи вблизи горизонта при
сверхрефракции 336
Т л а в а 17. Распространение радиоволн по приземному тропо-
сферному волноводу 359
1*

Глава 18. К теории береговой рефракции электромагнитных
волн 383
Математические добавления
Добавление 1. О некоторых интегральных уравнениях мате-
матической физики 401
Добавление 2. Теория и таблицы функций Эйри 455
Добавление 3. Таблицы вспомогательных функций, приме-
няемых для вычисления распределения токов 506
Литература 515

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Теория диффракции

ПРЕДИСЛОВИЕ
Новые физические понятия создаются не только в процессе
обобщения физических теорий, но и обратным путем: они могут
возникнуть в результате применения приближенных методов
к более точной физической теории. О принципиальном значении
приближенных методов в теоретической физике нам уже прихо-
дилось писать в связи с квантовой механикой [44]. Поскольку
настоящая книга посвящена электромагнитной теории, мы рас-
смотрим здесь примеры возникновения новых понятий в теории
света (как в электромагнитной теории, так и в предшествовавших
ей более простых волновых теориях света).
Так, понятие луча, а равно и вся геометрическая оптика могут
быть выведены из волновой теории света как идеализации, при-
годные в предельном случае весьма малой длины волны (в области
вблизи границы света и тени эти идеализации уже непригодны).
При менее полной идеализации учитываются и отклонения от
геометрической оптики, иначе говоря, учитывается диффракция,
каковая тоже является новым физическим понятием (диффрак-
ционные явления наиболее ярко проявляются как раз вблизи
границы между светом и тенью).
В первых исследованиях диффракционных явлений специфи-
ческие свойства материала диффрагирующего тела обычно не
учитывались:тело принималось абсолютно черным (поглощающим).
Законы отражения, которые учитывают эти свойства, в анализе
диффракционных явлений не использовались. В основу теории
диффракции полагался принцип Гюйгенса—Френеля; на этой
основе световое поле вблизи границы света и тени описывалось
посредством интегралов Френеля, а поле вблизи каустики — по-
средством интегралов Эйри.
С возникновением, около ста лет назад, электромагнитной
теории света (применимой также к радиоволнам) стало необходи-
мым заново формулировать теорию диффракции. Надежной теоре-
тической основой для описания диффракционных явлений служат
уравнения Максвелла с соответствующими предельными усло-
виями и условиями излучения.
Современную асимптотическую теорию диффракции можно
определить как приближение к теории. Максвелла, пригодное
в предельном случае малых длин волн и больших радиусов кри-
визны диффрагирующих тел (мы исключаем из рассмотрения слу-
чай острых краев).
Асимптотическая теория диффракции внесла свои собственные
принципы. Установлен принцип локального поля в области полу-

8 Предисловие
тени на поверхности выпуклого тела, а также обобщение этого
принципа, позволяющее применять его и к области, примыкаю-
щей к телу. Далее мы имеем приближенную форму предельных
условий на поверхности хорошо проводящего тела (Леонтович);
условия Леонтовича являются условиями импедансного типа и
вытекают из локального характера поля в поверхностном слое
проводящего тела. Эти принципы позволили нам получить явные
выражения для поля вблизи и на самой поверхности хорошо
проводящего выпуклого тела произвольной формы. (Наши фор-
мулы, хотя и вполне общие, были получены путем применения
принципа локального поля к случаю диффракции на параболоиде
вращения; непосредственный их вывод из установленного нами
в главе 2 интегрального уравнения был впоследствии дан Кёлле-
ном [28].)
Дальнейшим принципом является введение разных масштабов
для горизонтального и вертикального расстояний над проводя-
щим телом (над поверхностью Земли); это позволяет заменить
полное волновое уравнение параболическим уравнением (Леон-
тович). Последнее имеет вид квантово-механического уравнения
Шредингера (или уравнения диффузии с мнимым коэффициентом
диффузии), в котором время заменено на горизонтальную коорди-
нату. Параболическое уравнение позволяет ввести понятие по-
перечной диффузии (Малюжинец).
В первой части настоящей книги строится асимптотическая
теория диффракции. Построение теории осуществляется двумя
путями: во-первых, исходя из строгих решений уравнений Макс-
велла (эти решения преобразуются к приближенной форме, до-
пускающей физическое толкование и пригодной для численных
расчетов) и, во-вторых, путем непосредственного применения
указанных выше принципов, в частности параболического урав-
нения. В некоторых случаях применяются оба метода; это позво-
ляет сравнить их между собой и дает дополнительное обоснова-
ние «асимптотическому» методу. В большинстве случаев поле
рассматривается лишь вблизи поверхности диффрагирующего
тела, но некоторые формулы последних глав первой части отно-
сятся и к большим расстояниям от поверхности. Необходимые
таблицы даны в добавлении 3.
Во второй части книги развивается теория распространения
радиоволн. В первых главах второй части рассматривается рас-
пространение в однородной атмосфере; предмет этих глав отно-
сится, таким образом, к диффракции в собственном смысле, и они
являются прямым продолжением первой части. В дальнейших
главах рассматривается неоднородная (слоистая) атмосфера с по-
казателем преломления, зависящим только от высоты.

Предисловие 9
Здесь уместно отметить, что случай слоистой атмосферы дает
еще ряд примеров новых физических понятий, возникающих
в результате применения приближенных методов. Такими по-
нятиями являются: понятие приведенного показателя преломления
(сочетающего влияние рефракции с влиянием кривизны земли),
понятие атмосферного волновода и, наконец, понятие горизон-
тов, определяющих дальность распространения в случае сверх-
рефракции. Заметим, что с понятием атмосферного волновода
связаны два различных понятия, а именно: захваченные волны
(колебания) и волны (лучи), отраженные от границ волновода.
Эти два понятия являются дополнительными, в том смысле, что
об отражении в смысле геометрической оптики можно говорить
только если возбуждено не одно, а много колебаний.
Последняя глава, посвященная явлению береговой рефракции,
является в то же время примером применения к задачам диффрак-
ции интегральных уравнений определенного вида (а именно:
уравнений с полубесконечными пределами и с ядром, зависящим
от абсолютного значения разности аргументов). Так как инте-
гральные уравнения данного вида встречаются и в задаче об излу-
чении волновода с открытым концом, а также в других задачах
математической физики, мы даем в добавлении 1 полную матема-
тическую теорию таких интегральных уравнений. В добавлении
2 дан обзор свойств и применений функций Эйри, играющих
весьма большую роль в асимптотической теории диффракции,
а также приведены четырехзначные таблицы этих функций.
Целью настоящей книги является, в первую очередь, изложе-
ние общей теории, разработанной в исследованиях автора, и
лишь во вторую очередь — анализ численных результатов. Тем
не менее, в тех случаях, когда наглядное количественное толкова-
ние общих формул затруднительно, мы приводим также числен-
ные результаты в виде графиков и таблиц.
Для облегчения пользования книгой мы предпосылаем каждой
главе и каждому добавлению краткую аннотацию; это позволит
читателю уже при беглом просмотре книги получить представле-
ние об ее содержании.
Поскольку настоящая книга представляет сборник ориги-
нальных работ автора в их первоначальном виде (с незначитель-
ными изменениями), в ней неизбежны повторения. Мы думаем,
однако, что эта книга с достаточной ясностью показывает и логи-
ческое развитие идей, составляющих предмет работ автора по
теории диффракции и распространения электромагнитных волн.
Некоторые работы, включенные в этот сборник, написаны мною
с соавторами, имена которых указаны в соответствующих главах.
Мне хотелось бы выразить здесь всем моим соавторам свою глу-
бокую благодарность за сотрудничество.

10 Предисловие
Первое издание этой книги вышло в 1965 г. на английском
языке в качестве первого тома серии монографий по электромаг-
нитным волнам, издаваемой по постановлению Международной
редакционной коллегии. (V. A. Fock, Electromagnetic Diffraction
and Propagation Problems, Pergamon Press, London, 1965, vol. I
of the International Series of Monographs in Electromagnetic
Waves).
Настоящее русское издание отличается от английского вклю-
чением главы 18, посвященной береговой рефракции, и добавления
1, посвященного теории интегральных уравнений. Оно представ-
ляет, таким образом, расширенное (по сравнению с английским)
собрание работ автора по данному вопросу. Хотя все, или почти
все, эти работы уже были напечатаны по-русски в виде отдельных
статей, пользоваться ими иногда затруднительно, так как статьи
эти разбросаны по разным журналам, и время их напечатання
охватывает почти двадцатилетний период (с 1944 по 1963 г.К
Между тем, насколько мы можем судить, наши результаты не
перестали быть актуальными. Поэтому мы надеемся, что настоя-
щее издание наших работ по теории диффракции и распростра-
нения электромагнитных волн отвечает действительно назревшей
потребности.

ГЛАВА I
НОВЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ДИФФРАКЦИИ^
Формулируется постановка общей задачи теории диффракции. Указывается
на необходимость приближенных методов, использующих наличие малых пара-
метров задачи. Выписываются предельные условия Леонтовича. Формулируется
принцип локального поля в области полутени. Устанавливается интегральное
уравнение для плотности тока на поверхности выпуклого проводящего тела.
Приводятся без вывода явные выражения для плотности тока через универсаль-
ные функции (вывод дан в следующих главах).
Общая задача теории диффракции электромагнитных волн
заключается в нахождении решения уравнений Максвелла, удов-
летворяющего определенным начальным и предельным условиям.
Начальные условия могут быть заменены условиями периодич-
ности во времени. Кроме предельных условий, которые должны
выполняться на поверхностях раздела различных сред, должны
быть заданы особенности (источники поля) и условия на бесконеч-
ности.
Решение этой задачи представляет значительные математиче-
ские трудности, связанные главным образом с необходимостью
учитывать геометрическую форму поверхностей раздела и препят-
ствий, на которые падает волна. Задача несколько упрощается,
если рассматриваются только монохроматические волны с задан-
ной частотой, но и тогда трудности остаются настолько боль-
шими, что решение удается найти только в тех случаях, когда
геометрическая форма препятствия особенно проста. Наиболее
известными из этих случаев являются: абсолютно отражающая
полуплоскость, клин, сфера и круглый цилиндр.
Решение найдено также в случаях эллиптического и пара-
болического цилиндра, а в недавнее время автор этих строк по-
лучил также решение задачи диффракции плоской волны от
* Фок, 1947.

12 Теория диффракции
абсолютно отражающего параболоида вращения (косвенное паде-
ние волны).
В тех немногих случаях, в которых известно строгое решение
задачи, это решение имеет весьма сложный вид (бесконечные
ряды или интегралы, или же ряды, каждый член которых пред-
ставляется в виде интеграла).
Всякая физическая теория имеет своей целью получение такой
картины явления, которая воспроизводила бы количественным
и качественным образом все существенные его черты. Эта цель
может считаться достигнутой только в том случае, когда получен-
ное решение имеет достаточно простой вид. Если же аналитиче-
ская форма строгого решения отличается сложностью, то его можно
рассматривать только как первый шаг в действительном решении
задачи; следующий шаг должен состоять в выводе формул, при-
годных для численных расчетов.
Этот второй шаг может оказаться столь же трудным, как и
первый. В качестве примера можно указать на задачу о диффрак-
ции электромагнитных волн вокруг шара, строгое решение которой
было найдено около 40 лет назад (Ми). Задача эта включает в себя
также и задачу о распространении радиоволн вокруг земной
поверхности (при условии, что атмосфера считается однородной).
Однако в случае радиоволн ряды, представляющие решение,
отличаются столь медленной сходимостью, что не могут быть
непосредственно применены к вычислению поля. Поэтому полу-
ченное общее решение удалось применить к случаю радиоволн
лишь в 1918 г., когда было найдено преобразование первоначаль-
ного ряда в другой, сходящийся гораздо быстрее (Ватсон). Но
в некоторых отношениях преобразованная форма решения была
по-прежнему неудовлетворительна, как по своей сложности,
так и по тому, что она применима лишь в области геометрической
тени (достаточно далеко за линией горизонта). Значительно более
удобная форма решения, применимая во всех практически встре-
чающихся случаях, была недавно найдена автором этих строк
[10]. Таким образом, путь, который пришлось пройти от строгого
решения, имевшего лишь теоретический интерес, к приближен-
ному, практически применимому решению, занял около 40 лет.
Метод, который состоит в том, чтобы сперва найти строгое
решение задачи диффракции, а затем преобразовать его к виду,
удобному для вычислений, применим, однако, лишь в очень не-
многих случаях. Его, очевидно, можно применять лишь к тем
немногочисленным задачам, для которых известно строгое реше-
ние в виде рядов или интегралов.
В других случаях (в частности, в задаче о диффракции от тела
произвольной формы) для решения задачи были сделаны попытки
привести ее к интегральным уравнениям. В теоретическом отно-

Гл. 1. Новые методы в теории диффракции 13
шении попытки эти можно признать удачными, но, за исключе-
нием одной работы автора [2], полученные интегральные урав-
нения к практическому решению задачи не применялись, общая
же теория интегральных уравнений оказывается совершенно бес-
полезной для получения численных результатов в задачах данного
типа.
Таким образом, существует настоятельная потребность в та-
ком приближенном методе, который обладая достаточной общ-
ностью приводил бы к достаточно простым формулам. В дальней-
шем мы изложим основные идеи подобного метода, предложенного
и разработанного автором.
Всякий приближенный метод основан на малости тех или иных
параметров, встречающихся в задаче. Нам надлежит поэтому
выяснить, каковы в нашей задаче те параметры, которые могут
считаться малыми.
Мы обычно имеем дело с распространением волн в воздухе,
т. е. в среде, свойства которой резко отличаются от свойств тех
тел (препятствий), от которых рассеивается волна. Электрические
свойства этих тел характеризуются комплексной диэлектрической
постоянной
Л=в + *-^, A-01)
где 8 означает обычную диэлектрическую постоянную, а — элек-
тропроводность вещества тела и а> — частоту.
Для нас существенно, что во многих случаях можно считать
| т] | > 1. Таким образом, в качестве одного из малых параметров
задачи мы можем взять обратную величину | ц | или же величину
TT
TnT
Далее, длина волны К в пустоте обычно весьма мала по срав-
нению с главными радиусами кривизны ^ и /?s поверхности
рассеивающих тел. Мы имеем, таким образом, еще один малый
параметр — отношение X : R, где R — величина порядка Ri
или Rz. Удобнее брать вместо этого отношения величину
Кроме только что введенных двух малых параметров 1 : У\ ц |
и 1 : т, в задаче могут встречаться и другие, зависящие от рас-
положения точки, для которой вычисляется поле (точки наблю-
дения). Так, например, в задаче о распространении радиоволн
вокруг земной поверхности можно считать малым угол наклона
луча к горизонту.

14 Теория диффракции
Какие же следствия влечет за собой тот факт, что параметры
1 : Y\ ЛI и 1 • т оказываются малыми? В предельном случае
| т] | —» оо (абсолютный проводник) существенное упрощение полу-
чается в результате того, что поле внутри проводника можно
считать известным наперед (а именно, это поле равно нулю).
В силу этого мы можем ограничиться рассмотрением поля вне
проводника, а на его поверхности подчинить поле в воздухе
определенным предельным условиям (равенство нулю касательных
составляющих электрического вектора). Подобно этому обстоит
дело и в том случае, когда величина У\ ц | хотя и конечна, но
весьма велика. В этом случае поле внутри тела будет исчезающе
малым везде, кроме тонкого поверхностного слоя (скин-эффект),
влияние же этого слоя может быть учтено при помощи предельных
условий для внешнего поля. Эти условия имеют вид
¦?- U = Уч {Ех - пхЕп) = пуНг - пгНу, A.03)
где (jx, jy, jz) есть вектор поверхностной плотности тока; (пх,
пу, пг) — единичный вектор нормали к поверхности; Еп — нор-
мальная составляющая электрического поля; значение остальных
символов ясно без пояснений.
Предельные условия A.03) — в несколько иной форме — были
впервые указаны акад. М. А. Леонтовичем ([11] и [21]). Они
применимы при выполнении неравенств \г\\ > 1 и kR У\ц\ > 1,
где k = 2л : К. Второе неравенство означает требование, чтобы
толщина слоя скин-эффекта была мала по сравнению с радиусом
кривизны R поверхности рассеивающего тела. Предельные усло-
вия A.03) написаны для случая, когда магнитная проницаемость
вещества тела равна единице, но они легко обобщаются на случай
произвольной магнитной проницаемости ц.
Таким образом, малость величины 1 : |/| r\ \ позволяет нам
ограничиться рассмотрением поля вне тела и на его поверхности,
что представляет существенное упрощение задачи.
Переходим к рассмотрению тех следствий, которые вытекают
из малости длины волны.
Известно, что в предельном случае малых длин волн вступают
в силу законы геометрической оптики. В частности, граница
тени на поверхности тела становится вполне резкой. По одну
сторону границы (в освещенной области) поле подчиняется с боль-
шой точностью законам отражения Френеля, а по другую сто-
рону границы (в области тени) поле быстро убывает до нуля.
Приближение, даваемое геометрической оптикой, не является,
однако, достаточным для наших целей. Нас прежде всего интере-
сует явление диффракции в узком смысле слова, т. е. огибание

Гл. 1. Новые методы в теории диффракции 15
волной препятствия. Геометрическая оптика не в состоянии дать
картину этого явления, и для его изучения необходимо иметь
более точное решение уравнений поля.
Нам удалось найти это решение при помощи нового принципа,
который может быть назван принципом локального поля в области
полутени.
Принцип локального поля состоит в следующем. На поверх-
ности тела переход от света к тени происходит в узкой полосе,
середина которой проходит по границе геометрической тени.
Ширина этой полосы будет порядка
d =
где Ro есть радиус кривизны нормального сечения тела плоскостью
падения.
3/~~5Г
Можно показать, что, с точностью до величин порядка 1/ —5-,
Т Tfrl\Q
поле на этой полосе имеет локальный характер: оно зависит только
от значения поля падающей волны в окрестности данной точки,
от геометрической, формы тела вблизи этой точки и от электри-
ческих свойств вещества тела. Поле вблизи данной точки полосы
не зависит от его значений в удаленных точках и может быть
определено в отдельности.
Чтобы установить принцип локального поля и вывести для
этого поля явные выражения, мы применяли два различных
метода.
Один из этих методов (см. главу 2) применим к случаю абсо-
лютного проводника и дает значения поля на его поверхности.
Мы исходим здесь из интегрального уравнения для поверхностной
плотности тока j. Это уравнение имеет вид
xH'xfr-r')i f)dS't (io5)
где
f = {l—ikR)eikR. A.06)
Вектор j" (внешняя плотность тока) определяется здесь выраже-
нием A.03), в котором величину Н надлежит заменить величи-
ной Нех — магнитным вектором внешнего поля; г есть радиус-
вектор точки наблюдения, г' — радиус-вектор точки, по коорди-
натам которой интегрируется; # = |г— г'| есть длина хорды
между г и г'; п есть единичный вектор нормали в точке г.
Качественное исследование интегрального уравнения и позво-
лило нам установить принцип локального поля. После того как

16 Теория диффракции
этот принцип установлен, достаточно найти решение задачи диф-
фракции для какого-либо выпуклого тела частного вида и вывести
приближенные формулы для поля на его поверхности. В силу
принципа локального поля эти формулы будут тогда справедливы
для всякого другого выпуклого тела с теми же значениями глав-
ных радиусов кривизны поверхности в данной точке. (Разумеется,
форма тела частного вида должна быть все же достаточно общей,
чтобы на нем нашлись точки с любым заданным значением глав-
ных радиусов кривизны; вычисления были произведены для
случая параболоида вращения.) Таким путем была получена
общая формула, которая дает значения на поверхности касатель-
ных составляющих магнитного поля, а следовательно, и поверх-
ностную плотность тока. Эта формула имеет вид
, 0), A.07)
где аргумент ? в функции G есть величина
причем / есть расстояние от границы геометрической тени, изме-
ряемое вдоль луча (т. е. вдоль линии пересечения поверхности
тела плоскостью падения) и считаемое положительным в сторону
тени и отрицательным в противоположную сторону. Функция
G (I, 0) определяется интегралом
где С есть контур в плоскости комплексной переменной t, который
идет от бесконечности к нулю вдоль прямой arct = -j- n и от
нуля к бесконечности вдоль положительной вещественной оси.
Функция w (t) может быть названа комплексной функцией
Эйри. Она удовлетворяет дифференциальному уравнению
w" (t) = tw(t) A.10)
и допускает для больших отрицательных значений t асимптоти-
ческое представление
^^[|^] A-11)
Условия A.10) и A.11) вполне определяют эту функцию.
Для больших отрицательных значений \ функция G (?, 0)
стремится к пределу G = 2, тогда как для больших положитель-

Гл. I. Новые методы в теории диффракции 17
иых ? ее модуль убывает по показательному закону. Отсюда
можно заключить, что формула A.07) передает постепенное угаса-
ние амплитуды поля при переходе от света к тени.
Те же результаты могут быть получены и по другому способу
[51, который, кроме того, позволяет обобщить их в двух направ-
лениях. Во-первых, можно избавиться от предположения, что
тело есть абсолютный проводник, и предполагать только, что на
его поверхности применимы предельные условия A.03). Во-вто-
рых, можно получить поле не только на самой поверхности тела,
но и вблизи поверхности (на расстояниях от нее, малых по сравне-
нию с радиусами кривизны). Во втором способе прежде всего
упрощаются уравнения Максвелла и предельные условия, причем
используется малость величин 1 : |/|т) | и 1 : m и отбрасываются
квадраты этих величин. Волнбвое уравнение для амплитуды за-
меняется при этом параболическим уравнением с чисто мнимым
коэффициентом при первой производной. Упрощенные уравне-
ния справедливы в полосе полутени, на расстояниях от поверх-
ности тела, малых по сравнению с радиусами кривизны.
Решение этих уравнений может быть получено путем разделе-
ния переменных и дает поле во всей рассматриваемой области
и, в частности, в полосе полутени на самой поверхности тела.
Если ввести комплексную величину
модуль которой | q | есть отношение двух введенных выше малых
параметров, мы будем иметь вместо A.07)
j = rGF, 0, A.13)
где
A И)
V I w'(t)-qw(t) AЛ*>
В последнем интеграле контур тот же, что в интеграле A.09).
Эти формулы дают распределение тока в полосе полутени и яв-
ляются обобщением наших предыдущих формул A.07) и A.09).
Формулы для поля вблизи поверхности имеют более сложный вид,
и мы их здесь приводить не будем.
Необходимо отметить, что для наружной части полосы, где
уже начинается освещенная область, из наших формул могут
быть выведены для поля приближенные выражения, которые сов-
падают с теми, какие получаются, если взять наложение падающей
волны и отраженной волны, вычисленной при помощи френелев-
ских коэффициентов отражения. С другой стороны, на противо-
2 В. А. Фок

18 Теория диффракции
положном крае полосы поле уже практически равно нулю. Таким
образом, наши формулы дают то недостающее звено, которое со-
единяет обе области, где применимы законы геометрической оп-
тики. Совместно с формулами Френеля наши формулы позволяют
вычислять поле во всей области, примыкающей к поверхности
рассеивающего тела.
В некоторых задачах кроме этого ничего и не требуется
Так например, в задаче о распространении радиоволн вокруг
земной поверхности нас обычно интересует поле на высотах, не
превышающих десятка километров, — величина весьма малая
по сравнению с радиусом Земли F380 км). Наши формулы, обоб-
щенные на случай, когда источник находится не иа бесконечности,
а вблизи или на самой поверхности, дают здесь искомое решение.
В других задачах, напротив того, требуется найти поле иа
больших расстояниях от рассеивающего тела. Хотя наши фор-
мулы непосредственно применимы лишь к области вблизи поверх-
ности тела, они дают возможность определить поле также и на
больших расстояниях. В самом деле, источником поля рассеян-
ной волны являются токи, возбужденные падающей волной на
поверхности тела (в слое скин-эффекта). Но эти токи выражаются
нашими формулами. Пользуясь известными выражениями для
вектор-потенциала, соответствующего заданному распределению
токов, мы можем поэтому, по крайней мере в принципе, находить
поле и на* больших расстояниях от отражающего тела.
Таким образом, принцип локального поля в области полутени
представляет ту основу, на которой можно построить приближен-
ное решение задачи диффракции для выпуклого тела произволь-
ной формы.

ГЛАВА 2
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОКОВ, ВОЗБУЖДАЕМЫХ
ПЛОСКОЙ ВОЛНОЙ НА ПОВЕРХНОСТИ
ПРОВОДНИКА*
Рассматривается распределение токов, возбуждаемых плоской волной иа
поверхности выпуклого абсолютно проводящего тела произвольной формы с не-
прерывно меняющейся кривизной, при условии, что длина волны весьма мала
по сравнению с размерами тела и радиусами кривизны его поверхности. Пока-
зано, что распределение токов вблизи границы геометрической теии выражается
через универсальную (одинаковую для всех тел) функцию G (?) от аргумента
? = lid, где / есть расстояние от границы геометрической тени, считаемое в пло-
скости падения, ad — ширина области полутени, выражающаяся через длину
волны и радиус кривизны нормального сечения поверхности плоскостью паде-
ния. Для функции G (?) выводится аналитическое выражение и даются подроб-
ные таблицы.
Пусть имеется абсолютный проводник, на который падает
плоская электромагнитная волна. Поверхность проводника будем
считать выпуклой (конвексной) и обладающей непрерывно ме-
няющейся кривизной, а в остальном произвольной. Падающая
волна возбуждает на проводнике токи, которые, в свою очередь,
являются источником рассеянной волны. Если удастся найти
распределение токов на проводнике, то поле рассеянной волны
получится по известным формулам путем квадратур. Таким обра-
зом, существенным этапом решения задачи диффракции плоской
волны от абсолютного проводника является нахождение токов,
возникающих на его поверхности.
/. Интегральное уравнение для плотности тока
Обозначим через j поверхностную плотность тока на провод-
нике. Это есть вектор, определенный для каждой точки поверх-
ности и направленный по касательной к ней. Он вполне опреде-
* Фок, 1945.
2*

20 Теория диффракции
ляется заданием двух составляющих (касательных к поверх-
ности), так как третья его составляющая (нормальная к поверх-
ности) равна нулю.
Для вектора j можно вывести следующее интегральное урав-
нение:
где
f = {\—ikR)eikR. A.02)
Здесь R есть длина хорды между двумя точками на поверхности:
точкой г (х, у, г), для которой вычисляется интеграл, и точкой
г' (х', у', г'), по координатам которой интегрируется. Величина п
есть единичный вектор нормали к поверхности в точке г, dS' —
элемент поверхности, k есть абсолютное значение волнового век-
тора.
Величина \ех есть «внешняя» плотность тока, определяемая
формулой
Г = -?-[пхН«], A-03)
где Н" есть значение на поверхности магнитного поля падающей
плоской волны («внешнего» поля).
Если поле падающей волны зависит от координат через по-
средство множителя
&ik (ax+py+yz)^ A.04)
то можно искать плотность тока в виде произведения аналогич-
ного множителя на медленно меняющуюся функцию от координат.
Интеграл A.01) после разделения на A.04) будет вида
= J
e '*lR+a (x'-*)+p W-"^ <г'-г»Ф dS', A.05)
где ф — медленно меняющаяся функция.
Если длина волны достаточно мала по сравнению с размерами
тела, то интеграл будет приближенно равен
где точка x'y'z' связана с точкой хуг так, как показано на рнс. 1
и 2, а 6 есть угол падения луча.
Аналитически связь между точками x'y'z' и хуг выражается
следующими формулами. Пусть п' есть единичный вектор нормали

Гл. 2. Токи на поверхности проводника
21
в точке x'y'z' и пусть
а + 2пх cos 0 = а*,
р+ 2n'ycose = f,
У + 2tlz COS 0 = у*,
A.07)
где
cos 0 = — (алх + $n'y + упг).
* сут
'У'г'.
A.08)
Величины а*, р*, у* суть направляющие косинусы луча, отра-
женного в точке х'
хуг
Рис. 1. Положение точки экстре- Рис. 2. Положение точки
мума фазы, если точка наблюдения экстремума фазы, если точка
в освещенной области. наблюдения в теневой обла-
сти.
При этих обозначениях будет либо
либо
х — х'
R
= а;
у —у' _
R
У-У' _ й*.
R ~Р '
г —г'
R
= V-
г — г'
R~
A.09)
A.10)
причем формулы A.09) имеют место, когда точка x'y'z' лежит
на освещенной части поверхности тела (рис. 1), а формулы A.10)
имеют место, когда эта точка лежит на теневой части поверх-
ности (рис. 2). В последнем случае «отраженный» луч будет фик-
тивный.
В том приближении, в котором справедлива формула A.06),
интегральное уравнение A.01) допускает следующее решение:
j = 2j" на освещенной части,
j = 0 на теневой части.
A.11)

22 Теория диффракции
Вблизи границы геометрической тени (где cos 0=0) формула
A.06) перестает быть точной и выражение A.11) не дает постепен-
ного перехода от света к тени.
2. Локальный характер поля в области полутени
Чтобы получить для токов выражение, пригодное и для пере-
ходной области, необходимо иметь более точное решение. Полу-
чить его непосредственно из интегрального уравнения затрудни-
тельно, но его удалось получить косвенным путем на основании
следующих соображений.
Прежде всего из рис. 1 и 2 видно, что если точка xyz близка
к геометрической границе тени, то и точка x'y'z' близка к ней
и к xyz. Таким образом, значение интеграла A.01) определяется
тогда значениями подынтегральной функции в окрестности той
точки, для которой вычисляется интеграл. Другими словами,
в области полутени (вблизи геометрической границы тени) поле
имеет локальный характер. Исследование интегрального уравне-
ния (выполненное в предположении, что хорду можно заменить
ее проекцией на касательную плоскость) показывает, что ширина
области полутени будет порядка
где Ro — радиус кривизны сечения поверхности тела плоскостью
падения. Но в области шириной d и в некоторой более широкой
области ядро интегрального уравнения существенно зависит
только от кривизны поверхности в окрестности данной точки
(а не от высших производных от координат).
Отсюда следует, что все тела с плавно меняющейся кривизной
имеют в области полутени одно и то же распределение токов,
если только кривизна их в данной точке одинакова и если одина-
кова падающая волна.
Полученные результаты позволяют заключить, что, решив
задачу для частного случая, можно получить универсальные
формулы для поля на поверхности абсолютного проводника
в области полутени, а следовательно, и везде, так как в освещен-
ной и в глубокой теневой области справедливы выражения A.11).
3. Приближенное решение для параболоида
вращения
Вывод этих универсальных формул слишком сложен, чтобы
его можно было сколько-нибудь подробно изложить в короткой

Гл. 2. Токи на поверхности проводника
23
статье, и мы ограничимся указанием его основной идеи, а также
результата, который может быть сформулирован весьма просто *.
Изложенные выше соображения показывают, что для вывода
упомянутых формул можно исходить из точного решения задачи
диффракции плоской волны от какого-либо тела с плавно меняю-
щейся кривизной и с произвольными значениями главных радиу-
сов кривизны.
Строгое решение известно
в литературе для двух слу-
чаев: для шара и для круг-
лого цилиндра (в последнем
случае для нормального па-
дения волны). Эти случаи
не являются достаточно об-
щими: в первом из них оба
радиуса кривизны равны
между собой, во втором —
один равен бесконечности.
Простейшими из тел С про- Рис. 3. Падение плоской волны на пара-
извольными радиусами кри- болоид вращения,
визны являются эллипсоид
и параболоид вращения. Для этих тех известна только общая
форма решения скалярного волнового уравнения; полное же реше-
ние уравнений Максвелла для данной физической задачи, по-
видимому, неизвестно.
В нашей работе мы получили это решение (в частности, зна-
чение касательных составляющих магнитного поля на поверх-
ности параболоида) и использовали его для вывода приближен-
ных формул.
Пусть уравнение параболоида (рис. 3) имеет вид
х* + у* — 2az — а2 = 0. C.01)
Мы предположим, что падающая волна имеет определенную
поляризацию, а именно такую, что ее магнитное поле направлено
вдоль оси у. Пусть составляющие поля падающей волны равны **:
jo
где
. = — ?0 sin бе , Нг = 0,
Q = ?(*sin6 +zcos6).
C.02)
C.03)
* Более подробный вывод дан в главах 3 и 4.
** Случай, когда вдоль оси у направлено электрическое поле, приводит
к несколько более сложным формулам. Этот случай рассмотрен в параграфе 4

24 Теория диффракции
Если ввести параболические координаты:
u = k{r+z); v = k{r — z); q> = arctg-?¦; C.04)
где
г = Vx* + У2 + z\ C.05)
то уравнение параболоида напишется
v = v0 = ka. C.06)
Для обобщенных (ковариантных) касательных составляющих
внешнего магнитного поля мы имеем выражения:
? w еш+/ф
2ШН? + н;х=?± Vw еш+/ф, C.07)
2iuH'ux + Н%=^ Ум еш-/ф, C.08)
причем выражение Q в новых координатах имеет вид
Q = -L(u — и) cos б + К"" sin б cos ф. C.09)
Для тех же составляющих полного поля получаются ряды
Фурье по углу ф, в которых коэффициенты при sin sq> и при
cos вф суть интегралы по параметру / от некоторых сложных
функций, зависящих от аргументов и, v, б, s, t. Эти ряды и инте-
гралы можно привести к двойным интегралам вида
(ЗЛО)
где функция g (s, t) определяется следующим образом. Пусть
? (v, s, f) есть интеграл дифференциального уравнения
имеющий при v —» оо асимптотическое выражение
_ JL t-t J±L n —1-4- — i —
l{v, s, /) = е 4 4 и 2 + 2е 2 х

Гл. 2. Токи на поверхности проводника 25
где F20 есть асимптотический ряд вида
Положим
.. . ,. i nt-l 4" s
N (s, /) = — e 2 x
X
Bi s> _ / _ /) + __ (S2 + fi) g (Bi s, _
где под и подразумевается величина C.06); тогда будет
g(s, t) = eis^l(u, s+1, t)t(v, s-l, t)(s-it)N(s, /)- (ЗЛ5)
С этим значением g (s, /) выражение (ЗЛО) справедливо при —гг'С
- - Я л Я - ^ Зя Зя -- ^- Я
<ф<". В случаях -2-<Ф<-2-и 2"<Ф < г" нУжно
брать для g (s, /) несколько другое выражение, которого мы здесь
не выписываем. Интегрирование в C.10) ведется по переменной t
по вещественной оси от —оо до +оо и по переменной s по мни-
мой оси от —too до -\-ioo. Значение выражения —2шНи + #ф
получится из C.10) заменой <р на —<р.
Двойной интеграл можно приближенно вычислить в предпо-
ложении, что величина v = ka весьма велика.
Положим
? Y uv sin бсоБф — и cos б СЧ lfi^i
Нетрудно проверить, что на геометрической границе тени
будет ? = 0; вообще же величина ? будет большой, порядка i>V3.
Поэтому при вычислении интегралов мы будем считать v весьма
большим, а I произвольным (вообще говоря, конечным) числом.
При этих предположениях можно показать, что с относительной
погрешностью порядка и~У3 будет
2шНи + Яф = \ YVv e'Q+I>G (|), C.17)
- 2iuHu + Hq=-^V™ e'D-">G (I), C.18)

26 Теория диффракции
где
о
Здесь Гг есть контур, идущий по прямой arc т = -т-л от беско-
о
нечности к нулю и по прямой arc т = 0 (по вещественной оси)
от нуля до бесконечности. В формуле C.19) функция w (т) есть
интеграл дифференциального уравнения
w" (т) = та> (т), C.20)
который может быть представлен в виде
~z'dz, C.21)
где Г2 есть отражение контура Гг в вещественной оси, т. е. кон-
тур, идущий по прямой arc z — —-j n от бесконечности к нулю
и по положительной вещественной оси от нуля к бесконечности.
Из формул C.17) и C.18) вытекает
Я.в = Л*0F). C-22)
Таким образом, касательные составляющие полного магнит-
ного поля равны касательным составляющим внешнего поля,
умноженным на некоторую комплексную функцию от одной пере-
менной |.
Таким же соотношением связаны полная и «внешняя» плот-
ность тока
J = j"C(g). C-23)
Выясним несколько подробнее геометрический смысл переменной |.
Рассмотрим сечение поверхности параболоида плоскостью падения
луча, проходящей через данную точку (рис. 4). Обозначим бук-
вой / расстояние данной точки от геометрической границы тени,
считаемое положительным в сторону тени и отрицательным в сто-
рону света. Расстояние / отсчитывается в плоскости падения.
Пусть Ro есть радиус кривизны сечения поверхности плоскостью
падения, a k = -?- — абсолютная величина волнового вектора.
Тогда можно проверить, что величина
C.24)

Гл. 2. Токи на поверхности проводника
27
где d есть введенная ранее ширина области полутени, совпадает
для параболоида вращения с величиной C.16). А так как по до-
казанному формулы C.22) и C.23) имеют универсальный харак-
тер, то они применимы для всех тел с данной кривизной, если
под % разуметь величину C.24).
Формулы эти дают переход от тени к свету.
Для больших положительных \ функция G (?) прибли-
женно равна
C.25)
где а, Ь, с —известные числа, причем
а = 0,5094; Ь = 0,8823;
с= 1,8325.
C.26)
Вследствие множителя е~*? функция G (?)
быстро убывает. Это соответствует уменьше-
нию амплитуды при удалении в область тени.
Для больших отрицательных | функция
G (|) имеет асимптотическое выражение вида
4s-
5
C-27)
• V
Рис. 4. Касательное
падение плоской
волны.
и стремится к пределу, равному 2, что соот-
ветствует формуле A.11) для освещенной области.
Таким образом, в нашем более точном решении прерывная
функция A.11) заменена непрерывной функцией C.23). Это дает
возможность вычислить распределение токов на поверхности
проводящего тела с большой точностью.
В добавлении 3 мы приводим таблицы функции G, определяе-
мой формулой C.19), а также функции g, связанной с G соотно-
шением
G (x) = e 3
и выражающейся в виде интеграла
g(x)
C.28)
C.29)
В заключение напомним, что формулы и таблицы этой главы
относятся к тому случаю, когда падающая волна имеет вид C.02).

28 Теория диффракции
В случае же произвольной поляризации падающей волны прибли-
женное решение содержит кроме функции G (?), определяемой
интегралом C.19), также и функцию F (?), выражаемую анало-
гичным интегралом, в котором в знаменателе вместо w' (т) стоит
w (т) (формула D.16) главы 4). Таблицы функции F и связанной
с ней функции f также даны в добавлении 3.

ГЛАВА 3
ТЕОРИЯ ДИФФРАКЦИИ НА ПАРАБОЛОИДЕ
ВРАЩЕНИЯ*
Глава состоит из двух частей. Первая часть содержит математический аппа-
рат, необходимый для решения задач диффракции на параболоиде вращения.
Здесь даиа теория параболических функции и указаны некоторые разложения
по этим функциям. Далее дана теория решений уравнений Максвелла в парабо-
лических координатах. Введены потенциалы, позволяющие формулировать пре-
дельные условия на параболоиде через коэффициенты Фурье, но без помощи
уравнении в конечных разностях.
Во второй части исследуется задача об излучении диполя в фокусе абсо-
лютно отражающего параболоида вращения. Первичное поле от диполя, а также
поле отраженной волиы выражаются через параболические потенциалы, для ко-
торых даются представления в виде интегралов и рядов двух типов (с разными
областями сходимости). В заключение исследуется поле в волновой зоне и для
него приводятся явные выражения, соответствующие приближению геометриче-
ской оптики, с поправками к иим.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
/. Параболические координаты
Обозначим через х, у, z прямоугольные координаты и напишем
уравнение параболоида вращения в виде
х* + у* — 2az — а2 = 0. A.01)
Обозначим через k абсолютное значение волнового вектора
k
к
0
A.02)
(где Яо — длина волны), и введем в качестве переменных следую-
щие величины: во-первых, угол ср между плоскостью, проходя-
щей через ось z и через данную точку, и некоторой фиксированной
* Фок, 1957.

30 Теория диффракции
плоскостью, проходящей через ту же ось (например, плоскостью
xOz); этот угол будет тот же, что и в обычных цилиндрических
координатах; во-вторых, параболические координаты и, v, свя-
занные с прямоугольными по формулам
и = k (R + г); v = k (R — г), A.03)
г = \Ум\ 2 = -^-(и_0); я__-^.(и + 0), A.04)
где _____
r = W + jf; Я = К*2 + У2 + z*. A-05)
Прямоугольные координаты выражаются через параболические
по формулам
х = -j- Vuvcos<p; (/= -?-Уыи sin ф; г =-^-(ы —и). A.06)
Координатные поверхности u = const и v = const представ-
ляют систему взаимно-ортогональных параболоидов вращения.
Уравнение данного параболоида A.01) имеет вид
v = и0, где v0 = to, A.07)
как легко проверить прямой подстановкой A.06) в A.01). Области,
внешней по отношению к данному параболоиду, соответствуют
значения v >> v0; внутренней области — значения v < v0. Пере-
менная и меняется в пределах 0 ^ и <С оо.
Квадрат линейного элемента в параболических координатах
имеет вид
{Ч du2 + 4dv* + uv d(p2
Как и всегда при пользовании криволинейными ортогональными
координатами удобно различать между проекциями вектора на
данное координатное направление и ковариантными составляю-
щими вектора (последние преобразуются как частные производ-
ные от некоторой скалярной функции по координатным парамет-
рам). Проекции физического вектора мы будем заключать в скобки
{например, (Еи), (Ev), (?ф)], оставляя обозначение Еи, ?0, Ev
для ковариантных составляющих. Тогда будет
:m-___L__f
(ь09>
и аналогично для других векторов.

Гл. 3. Теория диффракции на параболоиде 31
2. Параболические функции с непрерывным
параметром
В параболических координатах оператор Лапласа имеет вид
Следовательно, уравнение колебаний
Аф + *Ч = 0 B02)
напишется
+ -j-(«+y)i|3==0. B.03)
Полагая
y = U(u) V(t>)e's<r B.04)
и подставляя это выражение в B.03), убеждаемся, что в уравне-
нии B.03) переменные разделяются, и мы получаем для функций U
и V уравнения:
cPU , dU_ I и s2 , t
U du2 + du ">
cPV , dV
V
d& ^ dv ' V 4 4v
где / — параметр, вошедший при разделении переменных.
Для того чтобы решение B.04) было однозначной функцией
точки в пространстве, необходимо, чтобы s было целое число
(причем в уравнениях B.05) и B.06) можно, очевидно, считать
s ^ 0). Параметр же t может быть произвольным вещественным
или комплексным числом. Впрочем, во многих случаях бывает
удобно вводить интегральные представления решений, в которых s
играет роль переменной интегрирования. Имея в виду эти случаи,
мы будем рассматривать U и V как аналитические функции пе-
ременной S.
Для функций U и V получились уравнения одного и того же
типа (они отличаются друг от друга только знаком при /). Реше-
ния этих уравнений хорошо известны.
Рассмотрим сперва решение уравнения B.05), конечное при
и = 0. Таким решением будет функция
U = 6 («. s> 0.

32 Теория диффракции
где
г s—1+i < s—I—1<
X J eiltzz 2 A — г) 2 dz. B.07)
о
Разлагая интеграл в степенной ряд, получим также
ft=o
B.08)
или
, s, 0 =
где F (а, у, х) есть ряд, составленный по закону
F(a, у, х)=1+ " +°±1п ь1+--- B.10)
Заменяя в интеграле B.07) г на 1 — г, легко показать, что при
вещественных значениях и, s, t величина ? (и, s, t) будет веще-
ственной. Из формулы B.09) видно, что \ (и, s, t) будет целой
трансцендентной функцией от t и от s.
Рассмотрим теперь второе решение уравнения B.03), а именно
то, которое имеет при больших и асимптотическое выражение,
содержащее множитель е 2 . Такое решение получится, если
мы в B.07) произведем интегрирование по г в пределах не от 0
до 1, а от 1 + too до 1. Постоянный множитель перед интегралом
мы можем, разумеется, выбрать иначе, чем в B.07). Преобразуя
интеграл при помощи подстановки
1 —2 = — е
и
и выбирая надлежащим образом постоянный множитель, мы мо-
жем взять в качестве второго решения выражение
?i(u, s, 0 = е~т"'~г~Яы~~ + ~е1 ~rF20, B.11)

Гл. 3. Теория диффракции на параболоиде
где
s—\-it
s—i+it
Foa —
Выражение B.12) может быть разложено в асимптотический ряд
по степеням —, применимый при и —» оо; а именно, если мы
положим
B.13)
также и
уравне-
следует,
то выражение B.12) будет равно
F -F (]~s~it
s-it
2
t\
и I'
Функция ?i («. s, 0 в -отличие от I (и, s, t) комплексна
при вещественных и, s, t. Между тем она удовлетворяет
нию B.05) с вещественными коэффициентами. Отсюда
что функция
= e 4
-— 1- t
2 2
х
получаемая из ?х (и, s, t) заменой i на —/, также будет решением
этого уравнения. При любых и, s, t функции t,x и g2 будут линейно-
независимыми интегралами уравнения B.05). Как функции от
параметров s и t, величины ^ и ?2 будут, подобно |, целыми транс-
цендентными функциями. При изменении знака s мы будем иметь
-s, <) =
«. 0.
С (и, — s,/) = е аС(и, s, t).
Установим связь между функциями ?, ?lt g2-
Zl ("' S| ° I Sa ("' s'
имеем:
, s, t) -
s + { + f<
Рассматривая уравнение B.17) и аналогичное уравнение с обрат-
ным знаком при s и пользуясь соотношениями B.16), можно
выразить
Si (и, s, t) и ?г (и, s, t)
3 В. А. Фок

34
Теория диффракции
через
l(u, s, t) и Ъ(и, —s, t).
Тогда будем иметь
,Z+\-it\
B.18)
Величина ?2 получится отсюда изменением знака при i. Если
разуметь здесь под I ряд B.08), то формула B.18) даст для
?,х (и, s, t) разложение по восходящим степеням и. Когда s стре-
мится к целому числу, правая часть B.18) стремится к конечному
пределу; после перехода к пределу ряд для ?х будет содержать
логарифмические члены.
Между функциями % (и, s, t) с параметрами s, отличающимися
иа ±1, и с параметрами t, отличающимися на ±2/, существуют
различные рекуррентные соотношения, из которых приведем сле-
дующие:
2и~;г1(и, s, t)+t(u, s, t) =
= s + !2+ и I (и, s, t - 20 + ' + 12~"б(Ц, s, t + 20, B.19)
Hu + t)l(u, s, 0 =
- s + '2+ " I («, s, / - 20 — а + 12~"?(Ц. s, t + 20, B.20)
,s. + if % In z t — A 4- S ~ lt % In <i i 4- A = 1/
(«, s-l, t),
B.21)
6(ы, s, t— 1) — 6 (и, s,
(«. s+1, 0-
B.22)
Иногда бывает удобно вводить в вычисления вместо | (ы, s, /)
функцию
1>(и, s, 0 = Г (S+12+'/) I (и. s, t), B.23)

Гл. 3. Теория диффракции на параболоиде 35
которая уже не будет целой трансцендентной функцией от s и
от t. Рекуррентные соотношения для ¦§ (и, s, t) легко получаются
из B.19)—B.22). Но тем же соотношениям, как i|> (и, s, t), удо-
влетворяет и функция Si (". s, t). Поэтому мы будем иметь
2"-^ Si (и. s, *) + № s- 0 =
= ?i(«> s, f—20 + 4~(s + l—«)(s— l+«)Si(«. s, /+20.
B.24)
<(u + OSi(«. s, 0 =
= d(«, s, ;-20--f (s + 1 —«)(s — l+ft)Ci(«. s- '+20.
B.25)
Ь (и, s, < — 0 + -i- (s - ft) Ci («, 8Л + 0 =
(и, s, < —0 g-
B.26)
B.27)
Рекуррентные соотношения для функции ?г («, s, 0 получаются
из B.24)—B.27) заменой i на —г.
Для оценки различных интегралов и рядов, содержащих
параболические функции, необходимо иметь асимптотические вы-
ражения для этих функций, справедливые при больших значе-
ниях 11 \. Для функции % {и, s, t) асимптотическое выражение
имеет вид
s
1 (и, s, t) ~ (-f)~ ^ Л <УШ), B.28)
где У, — функция Бесселя.
Это выражение справедливо при конечных и малых и (вплоть
до и — 0) при условии \t\ > 1. Для функций Si и ?г мы будем
иметь в верхней полуплоскости t
2 ' 4
(и. s, 0 = яе ^. Я<!) (/2и<), B.29)

36 Теория диффракции
X
х [Я<2) (УШ)-еил~тН^ (УШ)\ B.30)
и в нижней полуплоскости
X [Я'1» (/2ЙГ)- е-г5Я-'яЯ<2) (УШ)], B.31)
Ся (и, s, 0 = "е } |„ Я<2> (/211/). B.32)
Здесь Яа1' и Я,2) — первая и вторая функции Ханкеля.
Значения функций Г (—:~- J и Г (—il_ J можно заменить
их асимптотическими выражениями.
В задачах с аксиальной симметрией и в тех, которые к ним
сводятся, особую роль играют функции с параметром s, равным
нулю. Мы будем писать для краткости ? (и, t) вместо ? (и, 0, t),
а также ?2 (и, t) вместо ?2 (и, 0, <) и аналогично для других
функций.
3. Параболические функции с целым значком
Решение задач диффракции, связанных с параболоидом вра-
щения, для одних целей удобнее представлять в виде интегралов,
а для других целей — в виде рядов. В интегралы входят функции
I, ?i, Cai исследованные в предыдущем параграфе. Ряды же рас-
положены по функциям с целыми значками, для которых удобно
иметь особые обозначения, хотя они и выражаются через преды-
дущие.
Положим
Ins (И) = \ [И, S, —i BЛ + S + 1)} =
_ Ь [и, », -' Bя + s + 1I
Л™ (и) = (—1)" я! ^ [и, s, -i Bп + s + 1)]. C.02)
Обе функции, ?ns и Tjns, представляют решения дифференциаль-
ного уравнения
4и
U C.03)

Гл. 3. Теория диффракции на параболоиде 37
причем Ins (") есть регулярное решение, a r\ns (и) имеет при и = О
особенность. Функции lns (и) и i\ns {и) удовлетворяют одинако-
вым рекуррентным соотношениям, которые получаются из B.19)—
B.22). Имеем:
2« -Ц^- + Ins = (я + s + 1) |„+1, s — п%п_1% „ C.04)
Bп + s + 1 + w) |ns - (я + s + 1) ?п+1,, + яЬ,.!,.. C.05)
Далее
Ins - ln-l, s=lVU U-l, s+i. C.06)
(n + s)%ns — n?n_i, s = V~u ?n> s_x. C.07)
Комбинируя предыдущие соотношения, получаем также
2 Ins (м) = i (n -f- s + 1) и 2 |„, S+! («), C.08)
2 b_i.»i(u). C-09)
Общие выражения для функций %ns (и) и i\ns (и) имеют вид
s
« ,.2
ins(«) = e 2 .Л , nf (—я, s + 1, —ш), C.10)
2
х J
о
ео
J e-V+s (x + /и)-"-1 <fr, C-11)
о
где F есть ряд B.10), который в данном случае приводится к по-
линому степени п.
Когда s есть целое число, функции ?ns и j\ns могут быть выра-
жены при помощи C.06) через ?„0 и т]„0. Последние выражаются
через полиномы Лагерра
? C.12)
и через интегральные синус и косинус.
Полагая для краткости
Sno <«) = ?*(«). Т1п0(и) = т1п(ы), C.13)

38
Теория диффракции
имеем
C.14)
t(«) = —-=т'
л: 4-
C.15)
Формула C.15) получается из C.11) путем n-кратного интегри-
рования по частям и использования соотношения C.12). Формула
для т)„ (и) может быть написана в виде
'
e~xdx
J x+tu
~ТГе
x 4- iu
.
C.16)
Здесь интеграл в первом члене выражается через интегральные
синус и косинус
Г е xdx _ ju Г -iu' dui_ _
J x + iu -e Je «'
0
C.17)
интеграл же во втором члене представляет полином от и.
Первые из функций ?„ (и), т]„ (м) равны
— о 2
C.18)

Гл. 3. Теория диффракции на параболоиде 39
щ{и) = е' ~ [а (и) -/Si (и) +1 -f] ,
—
2
T,,(u)=(l+2/u ^-ц
- J?_
' 2
C 19)
остальные же выражаются через них при помощи рекуррентных
соотношений C.05), которые в данном случае принимают вид
Bя + 1 + iu) In (и) = п1п_г (и) + (я + 1) Ui (и). 1
Bя + 1 + ш>ц, (ы) = тЬ-1 («) + (л + 1) iv. («)• t ( }
Асимптотические выражения для функций |„ (и), цп (и) прн
больших значениях п получаются из общих формул B.25)—B.28).
Мы имеем:
+\)u], C.21)
t)n (и) = тН^ [A-0 УBп + 1)и]. C.22)
Отсюда видно, что функции %п (и) по модулю возрастают, а функ-
ции ц„ (и) убывают с возрастанием п.
4. Разложение точечной особенности
по параболическим функциям
При решении задачи о диполе в фокусе параболоида вращения
необходимо уметь разлагать по параболическим функциям выра-
жение
П = Л5- = -^—е 2 . D.01)
Так как это выражение не зависит от <р, то ясно, что в его разло-
жение войдут только функции с параметром s = 0. Далее, имея
в виду показательный множитель в D.01), естественно искать
разложение в виде
_|_е' ^ = J / @ Si (". t) С (о, -0 А, D.02)
где / (г) ~_ функция, подлежащая определению.

40 Теория диффракции
Рассмотрим следующие представления функций ?х (и, t) и
?2 (v, —t) [они вытекают из B.11) и B.12)]:
= j е<«"р 2 2 A + р) 2+ 2 dp, D.оз)
(.4.04)
Умножим эти выражения друг на друга и проинтегрируем произ-
ведение по t от — оо до + оо. Мы получим интеграл
1 = ~ 1 г (-4^) г (гЩ е~' ~ Ь (и. 0 Si (f, -t)dt =
D.05)
б б
где
Введем несобственную функцию Дирака
+¦»
в(х) = -5г J e'"A. D.07)
—оо
Как известно, для монотонного ф (р) она обладает свойством
e(p')i D>08)
поэтому выражение D.06) можно истолковать как
/ (р, q) - 4л6 (р - 9). D.09)

Гл. 3. Теория диффракции на параболоиде 41
Подставляя эхо значение / (р, q) в D.05), получим интеграл, ко-
торый можно условно понимать как
/ = 4я | е< <«+»> р dp = -^~ + АпЧ (и + у), D.10)
о
причем, так как и + v > 0, член б (и + v) можно отбросить.
Приравнивая D.05) и D.10) и пользуясь равенством
- D.П)
ch-2"
мы можем записать наш результат в виде
Т ^ ^'^' D.12)
Этот результат, выведенный нами нестрогим путем, можно дока-
зать и вполне строго. Для этого можно, например, рассуждать
следующим образом. Рассмотрим вытекающее из B.25) тождество
/(и + v)Ь(и, t)Ci(v, -t) = F(t)+F(t+ 21), D.13)
где для краткости положено
+ tA+**Li(". t)l!(v,-t + 2i). D.14)
Пользуясь тем, что
eh -^- = — ch " J l', D.15)
можно написать

42 Теория диффракции
ибо разность интегралов равна вычету в точке / = L Но согласно
C.01) и C.18) мы имеем:
ti(«.-»ni(o.-0 = 6o(«Ne(o)=se 2 * D-17)
Подставляя это выражение в D.16), вновь получаем равенство
D.12):
В интегральном представлении D.12) разложение ведется
по функциям, которые обращаются в бесконечность на оси пара-
болоида; тем не менее весь интеграл остается там конечным.
От интегрального представления точечной особенности нетрудно
перейти к представлению в виде рядов. Для этого достаточно
вычислить интеграл как сумму вычетов в точках t = —Bя + 1) i
или же в точках t = Bя -f 1) i. В первом случае мы получаем
ряд
и + v л=0'
и во втором случае
-4-e/~5" = 2<Sni(«)bi(o)- D.19)
Области сходимости этих рядов легко установить при помощи
асимптотических выражений C.21) и C.22). Ряд D.18) сходится
при и < v, а ряд D. 19) — при и > v.
5. Разложение плоской волны
Рассмотрим скалярную плоскую волну
giQ _ g(A (x sin 6+z cos 6) E.01)
и разложим ее по найденным в параграфе 2 частным решениям
волнового уравнения. Выражая прямоугольные координаты по
формулам A.06) через параболические координаты, имеем
E.02)
Разлагая выражение E.01) по косинусам дуг, кратных <р, получим
еш = е2 <"-">cose jo (уш sln б) + 2 S isJs (Vuv sin 6) cos sJ ,
E.03)

Гл. 3. Теория диффракции на параболоиде 43
где /s — функции Бесселя. Отдельный член этого выражения мы
должны разложить по функциям вида B.04). Положив
E.04)
мы должны иметь равенство вида
Cs= \^(u, s, t) ^(v, s, —t)f(t)dt E.05)
(функции ? сюда не входят, так как выражение E.04) остается
конечным при и — 0 и при v = 0). Выражения E.04) и E.05)
должны быть равны при всех v, в том числе при v —> 0. Умножая
обе части этих выражений на Г (s + 1 ) v 2 и переходя к пре-
делу v —» 0, получим
1- г> / I iv ~ ол  «cos6 д / sin S \s
и2 I
\
+ 00
= J Г (s + 12~'7)^(», s, t)f(t)dt. E.06)
Чтобы определить отсюда f (t), можно воспользоваться форму-
лой B.23) и подставить в E.06) интегральное выражение B.07)
- -»-
для % (и, s, t). Сокращая на множитель ы2е 2, получим
Sin б \ s -^«(l+cosd) _
s—\-it
iuzz 2 A — 2) 2 6г. E.07)
— со О
Этому уравнению мы удовлетворим, если выберем f (() так, чтобы
f s—1+и s—г—и
J /@2 2 A-Z) 2 Л =
E.08)

44 Теория диффракции
где мы обозначили через бх (чтобы избежать смешения с углом б)
несобственную функцию Дирака.
Рассуждая как в параграфе 4, нетрудно убедиться, что урав-
нение E.08) будет удовлетворено, если мы положим
Подставляя это значение f (/) в E.06), получим
2я sin 6 л
X J Г (°~Г2~" )*(U, S, t) (tg-g-)"*. E.10)
00
Подставляя же это выражение в E.05), получаем более общее
равенство
j(U-,)cos6</s(l/_s.n6) =
2я sin S
, s, 0*(о. s. -О
Приведенный здесь вывод этого равенства был не вполне строгим,
так как мы пользовались функцией Дирака. Результат можно,
однако, проверить непосредственным вычислением. Для этого
достаточно подставить в E.11) выражение для г|з через ряды B.08)
и интегрировать почленно, применяя формулу
= Г(» + 1 +k + I) (sin-f-p(C0S4-)s+2\ E.12)
2я sin
Получающийся двойной ряд может быть преобразован к виду,
совпадающему с левой частью E.11).
Заметим, что формула E.11) верна не только для целых не-
отрицательных s, но и для всех значений s, для которых веществен-
ная часть s+ 1 положительна. Если же Re (s + 1) <0, то
формула E.11) будет по-прежнему верна, если только выбрать
в ней такой путь интегрирования, чтобы с ним имела место фор-
мула E.12).

Гл. 8. Теория диффракции на параболоиде
45
Наш окончательный результат — разложение плоской волны
по параболическим функциям — мы можем записать в виде
2 (u—v) cos 6-J-i
sin 6 cos ф
2л sin б
о, 0,-0
s=l
E-13)
б. Уравнения Максвелла и потенциалы
в параболических координатах
Переходим теперь от скалярного волнового уравнения к урав-
нениям Максвелла. Зависимость всех составляющих поля от
времени предполагаем в виде е~'и', где ш = ck, и в дальнейшем
этот множитель не выписываем.
Для ковариантных составляющих поля [см. A.09)] уравне-
ния Максвелла в параболических координатах напишутся:
дЕп
дЕу
dv
dEu
дф
dEy
du
аяф
dv
dHu
dip
dHy
d(p
dE9
du
dEu
dv
dHy
дф
аяф
ди
dHu
= ШНи,
. и + у
1
F.01)
__JL_
ди
Auv
F.02)
Простота решения задачи с предельными условиями на поверх-
ности той или иной формы в очень большой мере зависит от удач-
ного выбора потенциалов или вспомогательных функций, через
которые выражается поле. Для прямоугольных координат и

46
Теория диффракцаа
плоской поверхности (плоскости ху) удобнее всего выражать поле
через связанные с вектором Герца потенциалы Ф и У по формулам
дФ „
дхдг ik ду '
дхдг ik ду '
р
дудг ~*~1 дх
ду*
F.03)
Для сферических координат R, ft, q> наиболее удобными являются
потенциалы Дебая U, V, через которые поле выражается по фор-
мулам
d(RV)
F.04)
Как потенциалы Ф, ?, так и потенциалы U, V должны удовлетво-
рять скалярному уравнению колебаний B.02).
Что касается параболических координат, то для них удобнее
всего ввести потенциалы, связанные не со всем полем, а с его
компонентами Фурье по углу ср.
Выразим сперва параболические компоненты поля через
потенциалы Дебая. Переходя от сферических компонент поля
F.04) к параболическим, будем иметь
. = | <«+«*"+?<*«/>-*
F.05)
где мы положили для краткости
аи
MU
и
ди
F.06)

Гл. 3. Теория диффракции на параболоиде
47
Величины Ши, Шо, /Яф получатся из F.05) перестановкой
букв U и V.
Разложим потенциалы Дебая в ряды Фурье вида
U = 1 U° + ? Uls) cos sq>,
* s=l
= ? V(s)sinsq>.
s=l
F.07)
Легко видеть, что тогда ряды для Еи, Ev, Яф будут располо-
жены по косинусам, а ряды для Ни, Hv, ?ф — по синусам. Мы
будем иметь
?„=...;
s=l
F.08)
где в первой строке многоточия обозначают ряды по косинусам,
а во второй строке — ряды по синусам.
Коэффициенты рядов F.08) выражаются через U{s), Vis) no
формулам
ди
^sVM,
F.09)
F.10)
Так как функции U, V удовлетворяют скалярному уравнению
колебаний, то их компоненты Фурье будут удовлетворять урав-
нениям вида

48
Теория диффракции
где через Lu, Lv обозначены операторы
г — JHL д
Введем по формулам
F.12)
>)*(? F.13)
величины P°s, Q°s. Эти величины должны удовлетворять уравне-
ниям вида
= 0. F.14)
Наконец, положим
(
u + v \ ди
dv
_J (
и + v \ du
du
)'
\
) "
F.15)
Нетрудно проверить, что если Ps_lt Qs_t удовлетворяют уравне-
ниям вида
F.16)
то величины P°s, Q°s будут удовлетворять уравнениям F.14).
Другими словами, величины Ps, Qs удовлетворяют тем же урав-
нениям, как P°s, Q°s.
Выразив потенциалы Дебая и поле через величины Ps_1,
Qs_lt имеем:
и + v \ ди
dv
А)-
F.17)
„(,)
F.18)
Вычисляя величину Mt/(s) и пользуясь F.16), получаем
F.19)

Гл. 3. Теория диффракции на параболоиде
49
Подставляя эти выражения в F,09), будем иметь для электри-
ческого поля
{s) - (VuvY \2— P* 1 с
q _
4 s-1 2 du
2 dv
dudv
2 За ^2 Л> J '
1 [(Й-,—1-%^ +
F.20)
dv "dudv ' 4 *
Для магнитного лоля получаются аналогичные выражения:
dudv
О А*, '
в-
За ^-s * dudv
s dPs_i s dPs-i 1
¦ 2 ЗЙ 2^ dv~\ '
+ i-^ + '
dudv
4 Vs
-.]¦
F.21)
В этих формулах мы ввели для краткости обозначения
Qs—1, где
dv2
du
F.22)
а величина QJ_i связана с Qs_i так же, как P$_i с Ps_i. Заметим,
что величины Р]-\, Qs-i удовлетворяют тем же уравнениям
вида F.16), как Р^ и Qs_t. Если же Р^х и Q^! имеют вид
произведения функции от и на функцию от v, то PJ_i будет просто
пропорционально Ps—\, a Q*_i пропорционально Q,_j.
4 В. А. Фок

50 Теория диффракции
Преобразованные выражения F.20) и F.21) имеют перед
первоначальными выражениями F.09), F.10) то преимущество,
что допускают простую формулировку предельных условий на
поверхности параболоида v = const.
Действительно, если мы положим
2^ + Q^ = A, F.23)
_г + 2s -%*- + sPs^ = В, F.24)
то касательные составляющие электрического поля и нормальная
составляющая магнитного поля будут равны
F.25)
Эти выражения должны обращаться в нуль на поверхности
абсолютно проводящего параболоида. Для этого достаточно по-
требовать, чтобы при v = v0 и всяком и было А = О, В = О,
или, подробнее,
2-^r- + Qs-i = 0, F.26)
4Q*s_i + 2s %L + sP^ = 0. F.27)
Весьма существенно, что левые части предельных условий F.26) и
F.27) получаются из функций Р^_1г Q^ путем операций, ко-
торые не содержат ни умножений на переменную и, ни дифферен-
цирований по этой переменной *. Поэтому если мы будем раз-
лагать Рз_1г Qs_x по каким-нибудь функциям от и, то левые
части предельных условий будут представлять разложения по
тем же функциям, и чтобы приравнять их нулю, достаточно при-
равнять нулю коэффициенты разложений.
* Напомним, что согласно F.22) величина Q*s_i может быть получена из Qs_j
по формуле

Гл. 3. Теория диффракции на параболоиде
51
Если бы мы вместо выражений F.20), F.21) пользовались
выражениями F.09), F.10) и искали коэффициенты разложений
для функций (/<s>, V<s\ то получили бы для этих коэффициентов
разложений не алгебраические линейные уравнения, а линейные
уравнения в конечных разностях, что чрезвычайно усложнило бы
задачу. Еще большее усложнение задачи получилось бы при поль-
зовании потенциалами Ф, W, входящими в формулы F.03).
Таким образом, введение потенциалов Ps, Qs позволяет нам
избежать уравнений в конечных разностях и всего сложного
аппарата, необходимого для их решения.
7. Преобразование выражений для поля
Некоторое неудобство потенциалов Ps, Qs состоит в том, что
выражения F.20), F.21) для поля через эти потенциалы имеют
сложный вид. Это неудобство можно устранить, если рассматри-
вать наряду с потенциалами Ps_t, Qs_i четыре вспомогатель-
ные функции Cs_1? Ds_ly Fs, Gs, через которые поле выра-
жается проще. Эти функции обладают простыми свойствами и
связаны с потенциалами простыми соотношениями.
Положим
Cs—i = P s—i 2~ Ws-ь
д^-д^ + ^р^,
с __ 32PS-i | 1 p , 1 dQs.i
s~ dudv "г" 4 '«-i "г" 2 au
r __^Qs_j_ , J_n 1 dPs-i
s~~ dudv i" 4 У$-г 2 йи
+ -
i aps_!
dv
G.01)
G.02)
G.03)
G.04)
Выражения F.20) и F.21) для поля перепишутся теперь следую-
щим образом:
=
G.05)
(-2^-sGs),
G.06)

52 Теория диффракции
Функции Cs, Ds, Fs, Gs удовлетворяют тому же уравнению, как
Ps, Qs, а именно:
Само собой разумеется, что функции С^, D^ удовлетво-
ряют уравнению вида G.07), в котором s заменено на s — 1.
Соотношения между функциями С^, D^, P^, Qs_1 могут
быть записаны в виде равенств
(и 4-и + « - 4) (Г + "Г)
s+тг) (? —f) ^p-
д .
и в виде аналогичных равенств, получаемых из G.08) заменой i
на —i (как если бы величины Р, Q, С, D были вещественны).
С другой стороны, из формул G.03), G.04) следует
и аналогичное равенство, получаемое из G.09) заменой t на —i.
Из сравнения G.08) и G.09) вытекают два соотношения:
й • v / л G-Ю)
dv 2 ) *¦ s s \3« 2/
и два других соотношения, получаемых из G.10) заменой i на —L
Разделяя в них (формально) вещественную и мнимую части,
получим
's + ~n~Gi — -^rCs-i + ~o~^s_i> ('•!!)
GЛ2)
G.13)

Гл. 3. Теория диффракции на параболоиде
53
Введенные нами вспомогательные функции позволяют выразить
поле через обычные скалярный и векторный потенциалы, а также
через соответствующие магнитные потенциалы. В самом деле,
поле с параболическими составляющими
Еи = Eis) cos sq>; Ev = E{vs) cos sq>; ?ф = E(vs) sin sq>, G.15)
HU = H(US) sin scp; Hv = His) sin sq>; ЯФ=Я^ cos scp G.16)
может быть представлено как в виде
Е = iK\ — grad Ло; H = curlA,
где
div A = ikA0,
так и в виде
Е = curl В; Н = — ikB + grad Bo,
где
div В = ikB0,
причем электрические потенциалы равны
Лх = Юи.1 {У™)*-1 cos (s - 1) ф,
Ау = — Ш^! (VrMt»)*~1 sin (s — 1) ф,
Аг — —iGs (Vuv)s cos SKp,
A0 = —Fs (Vuv)s cos s(f,
а магнитные потенциалы равны
Bx = С,.! (УШУ'1 sin (s - 1) ф,
By=Cs_1{Vuv)s-lcos(s-l)<p,
Вг = —Fs (Vuv)s sin вф,
Bo = —iGs (Vuv)s sin s<f.
G.17)
G.18)
G.19)
G.20)
G.21)
G.22)
8. Ряды для потенциалов и для вспомогательных
функций
Если для потенциалов Р,_ъ Qs-1 известны ряды, распо-
ложенные по параболическим функциям, то из них можно легко
получить аналогичные ряды для величин С^, D^, Ft, Gs.
Положим для краткости
И) Ins (V).
(8.01)

54 Теория диффракции
Тогда, на основании дифференциального уравнения C.03),
имеем
= i(n + s + \)XnS, (8.02)
(« Ж + S + ! + "Г) A ~ 4") *" = '«Х- (8-03)
и на основании соотношений C.08), C.09):
4") Xns = (n + s + I) jc s+1, (8.04)
. „¦ (8-05)
Тем же соотношениям будет удовлетворять функция %ns, если
мы в ней одну или обе функции |ад заменим на г\т. В дальнейшем
мы будем понимать под %ns одну из получаемых таким путем
четырех функций.
Пусть s^l и пусть ряды для Ps_1 и Qs_1 имеют вид:
,м- (8-06)
п
Qs-i = S ЧпХп, s-v (8.07)
п
Применяя выписанные выше формулы, получаем:
Сих + iDu.i = i Е (я + s) (р„ + /?в) х„, s-i, (8-08)
Cs_! - И)« = i S я (р„ _ ад х„, Ы1 (8.09)
а также
Fs + iGs = S (я + s) (pn + iqn) X»... (8-10)
n
Fs - iGs = S я (pn - i^ x«.i... (8.П)
Заметим, что последняя формула имеет определенный смысл
лишь при р0 = iq0, так как величина n%n_hs определена только
при п ф 0.

Гл. 3. Теория диффракции на параболоиде 55
Аналогичные формулы для вспомогательных функций полу-
чатся, если ряды для потенциалов Ps, Qs расположены по функ-
циям, комплексно-сопряженным с %т. Пусть мы имеем:
Р*-1 = ИРпЪ,.*-1> (8.12)
л
Qs-i = S qn-L, s-i- (8.13)
л
Тогда будет
Cs-i + iD^ = —i S n (Pn + lq? ?,, s_lt (8.14)
(8.15)
л
а также
Fs -j- iGs — S n (р„ + tyn) Xn-i, s. (8-16)
л
Fs — Ш, = ? (я + s) (/>„ - {?„) Xns- (8.17)
n
В заключение выведем формулы для производных от рядов,
расположенных по функциям Хш- Если гиг — цилиндрические
координаты, то мы имеем:
1 dF 2
k дг и 4-х
+ \ до
Если F есть ряд
to
E o), (8.20)
n=0
то, вообще говоря, правая часть (8.18) есть ряд того же вида:
а правая часть (8.19) есть ряд, расположенный по функциям
In. s+i, который мы запишем в виде
2 ?*¦**« («.«О- (8-22)

56 Теория диффракции
Оговорка «вообще говоря» необходима потому, что наше утвержде-
ние справедливо без ограничений только если Xns имеет вид
(8.01), т. е. если эта величина составлена из функций |ns. Если
же в Xns входит одна или две функции т^, то формулы (8.21)
и (8.22) справедливы лишь при условии а0 = 0.
Чтобы найти связь между коэффициентами ап и Ьп, составим
выражение 2 (и -* °~аг)' где ? есть ряд (8.20), и восполь-
зуемся рекуррентной формулой C.04); с другой стороны, умножим
ряд (8.21) на и + v и воспользуемся формулой C.05). Приравни-
вая оба выражения для
„ / 3F 3F\
2 [и -г и-д—) ,
\ ди ov )
получим
ап + ап+1 = Ьп — Ьм. (8.23)
Аналогично мы получим при помощи рекуррентных формул C.08)
и C.09)
а«+1 = сп — с„+1. (8.24)
Отсюда можно заключить, что
Ьп+1 = сп+ см + const. (8.25)
во
Если Xns содержит только функции |ns, то ряд S ап должен
л=0
сходиться, и мы имеем тогда:
сп= S «*; Ьп = ап + 2 S ak. (8.26)
Аналогичные преобразования могут быть применены и к инте-
гралам, но на них мы останавливаться не будем
ДИПОЛЬ В ФОКУСЕ ПАРАБОЛОИДА ВРАЩЕНИЯ
9. Первичное поле от диполя
Рассмотрим излучающий диполь, расположенный в начале
координат и имеющий момент, направленный по оси х (перпендику-
лярно оси вращения). Магнитное поле от диполя выражается
по формулам

Гл. 3. Теория диффракции на параболоиде
57
через вектор-потенциал, имеющий только одну отличную от нуля
составляющую
U-J-0
Л* ~ Л - 2kR е - и + v e • ^У>и^
где С — некоторая постоянная.
Ковариантные параболические составляющие магнитного поля
определятся из формул
(9.03)
2vH°v = 2 Уш>-~ sin ф,
Я о
а составляющие электрического поля получаются из них путем
применения уравнений Максвелла F.02). В дальнейшем нам
понадобятся как точные, так и приближенные выражения для
первичного поля, а потому мы выпишем их полностью.
Мы имеем:
2иЕ°и =
«+о
cos Ф
4t
= С V
(и + «J
U-J-0
uve
cos ср
8 12 (и — уЦ
Г и— г;
J
12 ("-"
(9.04)
ф = С
sin
йуе 2
sin
2i 4 "I
(и + иJ (и + иK J '
Ф Г—|—hГ-4Ц.1 .
и+и
а+а
(и
(9.05)
Нам нужно выразить первичное поле от диполя (а также полное
поле, включающее отраженную волну) через потенциалы Р, Q.

58 Теория диффракции
Зависимость полного поля от угла ф будет та же, как для первич-
ного поля. Поэтому, полагая в F.20) и F.21) s=l н опуская
значки при Р и Q, мы будем иметь
о с- ,/¦— Гл дР* &Р 1 n I dQ 1 dQ 1
2иЕи — у uv 2 —д- j- jP g—^ 5—^— I cos^4,
(9.06)
(9.07)
Здесь Р и Q — функции, не зависящие от ф и удовлетворяющие
скалярному уравнению колебаний, которое может быть написано
в виде
(Lu + Lo)P = 0; Lu = u-^ + -^- + -^-u. (9.08)
Согласно общим формулам F.22) функции Р*, Q* связаны с Р, Q
соотношениями
р* = LUP = — LvP; (9.09)
Q* = LUQ = -LVQ- (9.10)
Эти функции также удовлетворяют скалярному уравнению коле-
баний.
Формулы для поля упростятся, если мы введем вспомогатель-
ные функции G.01)—G.04). При этом мы будем писать
C0 = S;D0^T (9.11)
и сохраним обозначения Fx и Сх. Таким образом, мы полагаем
S = P* i-Q, (9.12)
2
(9.13)

Гл. 3. Теория диффракции на параболоиде
59
С этими обозначениями мы будем иметь
2иЕи = 1/иа {2 -г /•",) cos ш,
\ OV /
(9.14)
(9.15)
(9.16)
B -^- —
sin Ф,
2ivHv = Угпу (— 2~ — Gj) sin Ф,
iT/ф =
G,) cos q>.
(9.17)
Найдем те значения Р = Р°, Q = Q0, которые соответствуют
полю свободного диполя (без отраженной волны). Из формул (9.05)
следует, что
RH°R = uH0u+vH°v = 0, (9.18)
как и должно быть, ибо магнитное поле от диполя не имеет радиаль-
ной составляющей. Таким образом, для первичного поля сумма
первых двух выражений (9.07) должна равняться нулю. Этому
условию можно удовлетворить, положив Q0 = 0. Что касается
величины Р°, то нетрудно проверить, что формулы (9.07) совпа-
дут с (9.03) или с (9.05), если мы положим
1С
I ц+"
-е ~ =
(9.19)
где Я — точечная особенность, рассмотренная в параграфе 4.
Соответствующие найденным значениям Р°, Q0 вспомогатель-
ные функции (9.12)—(9.15) равны
н+о
со = Г ' ~г- B(u-v) _ i(u-v)\
\ (и + о)» (и + v)V '
(9.20)
(9.21)

60 Теория диффракции
. u+v
F' = Ce 2 (^-,-_»^), (9.22)
G? = 0. (9.23)
Обычные электрические потенциалы, вычисленные по формулам
G.21), с учетом обозначений (9.11), оказываются равными
и+о
A°x=J^e 2; Л° = 0; Л° = 0, (9.24)
что совпадает с (9.02) и с получаемым из (9.02) по формуле G.18)
значением скалярного потенциала Ао.
10. Выражения для поля отраженной волны
в виде интегралов
Найдем выражения для потенциалов отраженной волны в виде
интегралов. Для потенциала Р° первичной волны мы имеем со-
гласно D.12) интегральное представление
+ OO
po — 2C ' ~5~ iC (* dt
2 \ я* >
J Ch~
—oo
Полное поле мы напишем в виде
р = Р° + Р',
Q = Q', ] (Ю-02)
где Р' и Q' соответствуют отраженной волне.
Из соображений геометрической оптики ясно, что отраженная
волна должна иметь фазовый множитель
е'** = е 2 , A0.03)
Но тот же множитель имеет асимптотическое выражение функции
...). A0.04)
Поэтому мы будем искать Р', Q' в виде интегралов
f^Et» 0C(o 0Л A0.05)

Гл. 3. Теория диффракции на параболоиде 61
<2' = -т- Г ~^Ь(«. О С (о. -0Л. (Ю.06)
где неизвестные функции р (/), <7 (/) подлежат определению из
предельных условий.
Согласно общим формулам F.26), F.27) для абсолютно отра-
жающего параболоида предельные условия имеют вид
2-^Г + ^' = -2Т (при о = Ов), A0.07)
4Q'* + 2-^-+P' = —Р° (прио=о0). A0.08)
Здесь величина Q'* равна
<Г = LUQ' = -¦%-[ ^ Si (и, t) S2 (о, - /) dt. A0.09)
J Ch
Подставляя в предельные условия выражения A0.05), A0.06)
и A0.09) для Р', Q', Q'* и полагая в них v = v0, получим для
р (/) и q (t) уравнения
где мы положили для краткости
г
и аналогично для ?2 и ?2-
Решение уравнений A0.10) дает
AОЛЗ)
Заметим, что числитель дроби для ^ (/) есть определитель Врон-
ского, который равен
4-t
Подстановка найденных значений р (f), 9 (^) в формулы A0.05)
и A0.06) дает потенциалы отраженной волны и тем самымдает
решение нашей задачи.

62 Теория диффракции
11. Представление решения в виде рядов
Потенциалы отраженной волны могут быть также представлены
в виде рядов. Подобно тому, как это делалось в параграфе 4 для
первичного поля, ряды эти могут быть получены либо как сумма
вычетов в точках t — —Bп + 1)г нижней полуплоскости, либо
как сумма вычетов в точках t = Bn -(- 1)» верхней полуплоскости.
При вычислении нужно иметь в виду, что общий знаменатель
функции р @ и q (t) имеет простой корень в точке / = —/, дру-
гих же корней он не имеет. Таким образом, полюс t = —i оказы-
вается двойным, другие же полюса будут простыми.
Найдем сперва вычет в двойном полюсе t = —i.
Из формул B.11)—B.15) нетрудно вывести, что вблизи t =
= —i будет
A1.01)
i) + ...]3 A1.02)
откуда
A1.03)
Общий знаменатель функций р (t) и q (t) может быть написан
в виде
(Ь - 2KiY + 4 (/ + 0
= - 2/е-"* (t + i)[l + (t + 0 (-f- + i lg о, -
Значения числителей р (/) и q (t) при / = —i равны соответственно
(ЬЙ - Ьй) = -f"' A1 -05)
—~- A1.06)

Гл. 3. Теория диффракции на параболоиде 63
Следовательно, вблизи / = —i будет
где Роо и <7оо — постоянные, значения которых мы определять
не будем, так как они выпадают из выражений для поля.
Подставляя A1.03), A1.07) и A1.08) в интегралы A0.05) и
A0.06), получаем значения вычетов в точке / = —i, а именно:
И'—V . U—V
Р'ы = 2гСроое ~ + ¦?- е'<"е ^ lg (uv), A1.09)
. U—V . U—V
Q'oo = 2iCqooe ~Y' + ~- e'"*e ~ lg (uv). A1.10)
Эти выражения содержат логарифмические члены и не остаются
конечными на оси параболоида. Однако составленные из них по
формулам (9.12)—(9.15) величины S, T, Fx, Gx уже логарифми-
ческих членов не содержат. Поэтому и поле, соответствующее
членам Роо и Qoo в потенциалах, будет конечным. Для электриче-
ского поля мы получаем, например,
2и (Е'и)о = -?- е'°»е 2 Vuv cos cp,
. и—о
с
2v (Ev)o = — е'°«е 2 \ruv cos ф,
. и—v
(?ф)о= _-?-е'°°е 2 I^uysin9,
A1.11)
что соответствует плоской волне, поляризованной по направле-
нию оси х.
Вычисление вычетов в полюсах / = —Bя + 1) i, где п =
= 1, 2, . . ,, никаких затруднений не представляет. Пользуясь
формулами C.01) и C.02), получаем для потенциалов отраженной
волны следующие ряды:
Р'= Р'оо+С % pPZn(u)in(v), A1.12)
л=1
Q' - Q'oo + С 13 q™ln (u)ln(v), A1.13)
л=1

64 Теория диффращии
где
p<,1) = 2t(-l)"(«!JP[-Bn+ l)i], A1.14)
$)=2i{-\fln\fq[-Bn + \)i\. A1.15)
Вычисление величин р„, qn дает
_., (П.17)
где аргументом функций |„, Tjn является величина у0.
Заметим, что знаменатель величин рп, qn может быть пред-
ставлен в виде
^1,1-(n'+ 1I2„,,). A1.18)
Вычислим теперь потенциалы Р', Q' как сумму вычетов в точках
t = Bп + 1) i. Так как все полюса в верхней полуплоскости
простые, то мы будем иметь
F = C f P{n%(u)ru(v), A1.19)
п=0
?Л()](), (П-20)
п=0
где
Выражая величины pi2), ^2) через функции |п (^о), Чп (^о). по-
лучим
• (П-24)

Гл. 3. Теория диффракции на параболоиде 65
В частности, прн п = 0 будет
pP = voe'v°] <7S2) = -tV°°. A1.25)
Вычислим поле, соответствующее нулевым членам разложения
A1.19) и A1.20), т. е. потенциалам
if > = OWN)(и) чо (v), A1.26)
Q<2> = _ ,'СОае' "Sjo (и) ло (о). A1.27)
Мы имеем:
Sf = 0; 7^2) = 0, A1.28)
A1.29)
A1.30)
Параболические составляющие поля получатся подстановкой ве-
личин A1.28)—A1.30) в выражения (9.16), (9.17). Это поле со-
ответствует электрическим потенциалам с составляющими
Л<2) = 0; Л|,2> == 0, A1.31)
42) = 42) = — C-~etk (а+2>. A1.32)
Эти выражения представляют некоторое приближение к истин-
ному полю лишь при условиях и > 1, uv ^> и2; в общем случае
нужно учитывать дальнейшие члены ряда.
Ряды для вспомогательных функций S, T, F^ Gx получаются
из рядов для Р', Q' по формулам, выведенным в параграфе 8.
Положим
flil) = (n + 1) (Pi1} + Л («=1,2,...), A1.33)
4П = 2t (Poo + t<?oo), A1-34)
ЬР = п (р?> - ^>) (га = 1, 2, ...), A1.35)
b^ = l-eiv°. A1.36)
A1.37)
A1.38)
Тогда
5 в
будет
S'
S'
. А. Фок
+
—
iT'
iT'
= iC
= iC
л=0
п—0
,(u)ln(v),

66 Теория диффракции
F[ + IG[ = -?=- S (n + 1) a^nl (м) |nl (o), A1.39)
V uv л=о
F[ - iG[ = -^ S (n + 1) ftftibrt (и) la (o). A1.40)
V uv n=o
Аналогично можно получить ряды, расположенные по функциям
Цп (") ^п (и)- Мы положим
а?» = л(р?>+ <*?>), ai».о, (Н.41)
Ь'2> = (п + 1) (р'2> - М2)), ЬГ = 0 A1.42)
и получим тогда
S' + И" = - iC S af ^n (ц) т)„ (у), A1.43)
л=0
S' — iT = — iC f ^2)л„ (и) л„ (о), A1.44)
л=0
/; + ю; ?^ е^.е 2 +
UV
=- S (я + 1) aifti4«i (а) т)л1 (у), A1.45)
aw ло
S
л=о
Pi - Ю[ = -?=- f] (п + 1) 6?»^, (и) ты (v). A1.46)
г UV /1=0
Подстановка этих выражений в (9.16) и (9.17) дает поле отра-
женной волны.
Нам остается исследовать сходимость полученных рядов.
Это нетрудно сделать, если воспользоваться приведенными в пара-
графе 3 асимптотическими выражениями для функций |„ и т)„:
In (и) = Jo [A - 0 VBn + l)u], A1.47)
т)„ (и) = mHi2) [{1 - 0 УBп+1)и] • A1.48)
Пользуясь этими выражениями, мы получим для коэффициентов
далеких членов наших рядов приближенные значения
A1.49)
(lL50)
AЬ52)

Гл. 3. Теория диффракции на параболоиде 67
где мы положили для краткости
и»=/Bя+1)о0- A1.53)
Отсюда видно, что ряды A1.12), (П. 13), а также другие ряды,
расположенные по функциям tn(u)l,n(v), сходятся при условии
, (H.54)
а ряды A1.19), A1.20) и другие ряды, расположенные по функ-
циям г)п(и) i\n{v), сходятся при условии
Vu+\^>2VV0. A1.55)
Граница области сходимости есть поверхность, определяемая
уравнением
R + г = 2а. A1.56)
Это есть поверхность вращения, сечение которой плоскостью
симметрии есть парабола с осью, перпендикулярной оси парабо-
лоида и с вершиной в точке z = 0, г = а, т. е. на пересечении
фокальной плоскости с параболоидом.
12. Поле в волновой зоне
В том случае, когда все три числа и, v, v0 велики по сравне-
нию с единицей, можно получить выражения для поля, соответ-
ствующие приближению геометрической оптики. Мы будем исхо-
дить из представления Р' и Q' в виде интегралов A0.05), A0.06).
В рассматриваемом случае в этих интегралах важен тот участок
интегрирования, который соответствует конечным значениям t.
Но при конечных t мы можем пользоваться для функций t,1 и ?г
асимптотическими выражениями B.11) и B.15). Используя их,
получим
g (t) = -cVV" (jl-. + ^+Л +...), A2.01)
p(t) = q{t)(t + •••), A2.02)
где многоточием обозначены члены порядка —=-.
"о
С той же степенью точности будем иметь
& (и. 0 k (v, -0 == (uvf т + уе' ~^~ х
A2.03)

68 Теория диффракции
Подставляя эти выражения в интеграл
(v, —t)dt, A2.04)
J chT
мы можем написать его в виде
U—D\ +0
iVuv J ch^ \uv
2
X
Этот интеграл может быть вычислен без дальнейших пренебреже-
ний при помощи соотношений
J Ch-
A2-0б)
W- A2-08)
В результате мы приходим к следующему приближенному выра-
жению для Q':
. (,,09,
Аналогично может быть вычислен и интеграл Р', но мы можем
обойтись здесь без интегрирования, так как в нашем приближе-
нии согласно A2.02) р (t) = tq (t) и, следовательно, Р' = —2Q'*,
где Q'* имеет значение A0.09). Вычисляя Р' по формуле
P' = ~2LHQ', A2.10)

Гл. 3. Теория диффракции на параболоиде 69
мы получим
К» - о) (uv~ Ч) - Ч + Ч»^] • 02-11)
j
Вспомогательные функции S', Г', F'v G\ получатся из A2.09)
и A2.11) путем дифференцирования. Мы будем иметь
2ivo
( ]
= 0, A2.13)
A2Л4)
Разность fj — Ю[ будет более высокого порядка малости, чем F'v
а именно:
(.,.5,
Подстановка найденных значений вспомогательных функций в фор-
мулы (9.16) и (9.17) дает параболические составляющие поля
отраженной волны. Складывая их с выражениями (9.04) и (9.05)
для первичного поля, получим полное поле. Так как формулы
Для параболических составляющих поля имеют сложный вид,
мы их выписывать не будем, а проверим лишь выполнение пре-
дельных условий. Из условий Др = 0; Hv = 0 вытекает, что
на поверхности параболоида v = v0 должно быть
F; = 7o — F°u A2.16)
С; = -2^, A2.17)
где Т° и FJ относятся к первичному полю [формулы (9.20)—
(9.23)].

70 Теория диффракции
Здесь мы уже воспользовались тем, что G° = 0 и Т = 0.
При v — v0 имеем
Р[ в «у; - Се' "-? {4тл + (^) . A2.18)
Сравнивая A2.18) с разностью выражений (9.21) и (9.22) для Т°
и F\, мы убедимся, что члены порядка 1/(и + v0) и 1/(и — и0J
в правой и левой частях A2.16) совпадают. В том же приближе-
нии совпадают и обе части A2.17).
В заключение заметим, что полученные выражения для S',
Т', F'v G[ были выведены в предположении, что величины и, v
велики, и, следовательно, они доказаны лишь для больших рас-
стояний от оси. Но эти выражения представляют голоморфные
функции от координат х, у, z также и вблизи оси. Поэтому ими
можно пользоваться во всех тех случаях, когда поправочные
члены малы по сравнению с главными, в том числе и на оси пара-
болоида.
13. Прямоугольные составляющие поля
отраженной волны
Для вычисления прямоугольных составляющих поля удобнее
всего воспользоваться формулами G.21) и G.22) для электриче-
ского и магнитного потенциалов. Мы выпишем сперва точные
формулы, а затем перейдем к приближению, рассмотренному в пре-
дыдущем разделе.
Согласно G.21) прямоугольные составляющие электрических
потенциалов равны
Ax = tT; Ay = Q\ Az = —ikxGi, A3.01)
div A = ikAQ = —l&xFi. A3.02)
С другой стороны, согласно G.22) магнитные потенциалы равны
Вх = 0; By = S; Bz = —kyFl; A3.03)
div B = ikB0 = kiyQl. A3.04)
Поэтому мы можем представить поле в двух видах, а именно:
I .T= d(kyFx) dS '
dy dz '
_ д (kxFJ _
ду — дх '
kxFx) t k2xGj.^ as
A3.05)

Гл. 3. Теория диффракции на параболоиде
71
„ _ :d(kxGt) __ .
п* — —1 ду— -~1
дх
Hy=idT | ia ikxGl) = i д (kyGl) ikS,
A3.06)
Переходя к приближенным формулам для отраженной волны, мы
будем иметь 7" = 0, F[ = iG'v Поэтому поле отраженной волны
будет приближенно соответствовать вектор-потенциалу с единст-
венной отличной от нуля составляющей А'г, которая согласно
A3.01) и A2.14) равна
Составляющие поля, перпендикулярные оси параболоида, могут
быть представлены в виде
^ '^' 03-08)
(! 3-09)
Е'У=-ff;=sm 2ф 4г Ф'
где
2г дг
-i
( °3
\ (а2 + г2
)l
J. (id.il)
Составляющие, параллельные оси, могут быть вычислены при
помощи приближенных выражений
В результате получается
г = о.
8/aVcosf „, „
ь/„а1 r2W> "г — Ul
A3.12)

72
Теория диффракции
Для наглядности мы выпишем явные выражения для поля отра-
женной волны, причем ограничимся главными членами и выра-
зим все через прямоугольные координаты:
1
<а+г)
2аху
Еу~ С ¦(* + * + ?)*-
' = —С
— Г
(а2
-ёк
ёк С+г)|
7/1=0.
A3.14)
A3.15)
Написанные выражения строго удовлетворяют уравнениям div E' =
=0; div H' = 0 и приближенно удовлетворяют остальным урав-
нениям Максвелла и (вместе с первичным полем) предельным
условиям.

ГЛАВА 4
ДИФФРАКЦИЯ
ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
НА ИДЕАЛЬНО-ПРОВОДЯЩЕМ ПАРАБОЛОИДЕ
ВРАЩЕНИЯ*
Рассматривается диффракция плоской электромагнитной волны произволь-
ной полиризации, падающей на внешнюю поверхность идеально-проводящего
параболоида вращения под произвольным углом. Получено строгое решение
задачи, а также асимптотические формулы для распределения тока на поверх-
ности, справедливые при условии, что длина волны мала по сравнению с фокус-
ным расстоянием параболоида.
Решение данной задачи представляет обоснование формул, приведенных
в главе 2 без вывода, и обобщение их на случай произвольной поляризации.
В связи с установленным в главах 1 и 2 принципом локального поля в области
полутени результаты, полученные для параболоида, дают общее решение во-
проса о распределении токов на выпуклых проводящих телах.
/. Строгое решение задачи для 1-й поляризации
плоской волны
Пусть уравнение параболоида (рис. 1) имеет вид
х* + у* — 2аг — а2 = 0.
A.01)
Рис. 1. Падение плоской волны / /\.
на параболоид вращения. ' /!>s.
В качестве плоскости падения выберем плоскость XOZ. Вол-
ной 1-й поляризации назовем плоскую волну, магнитное поле
которой направлено по оси Y.
* фрк и Федоров, 195$,

74
Теория диффракции
Декартовы составляющие электромагнитного поля равны
, = 0,
= —?0sin6e'a,
A.02)
где Q = k (x sin 6 + 2 cos б) есть фаза плоской волны; k = -Д =
= — есть волновое число в пустоте; зависимость от времени
определяется множителем е
Е б
~'°"
р
Если ввести параболические координаты
то уравнение параболоида напишется
v = Vo = ha.
A.03)
A.04)
Ковариантные составляющие поля A.02) в параболических
координатах примут вид
= ik e'a
-~ cos б cos ф — sin6 ),
- cos б cos ф + sin б),
% = — -|s"|/io)e'a cos б sin ф,
= ¦§ e'a
A.05)
где, в новых координатах,
Q = -s- (и — w)cos6 + ]/мр sin6cos ф.
A.06)

Гл. 4. ДиффраКция плоской волны на параболоиде
75
Замечая, что компоненты Еи, Ev, Яф суть четные, а Я„, Яо,
? — нечетные функции ср, разложим их в ряды Фурье
s=l
s=l
A.07)
где в первой строке многоточия обозначают ряды по косинусам,
а во второй строке — ряды по синусам.
Зная разложение в ряд величины elQ [см. E.03) главы 3]
еш __ е 2
— {II—V) COS
s=l
A.08)
мы можем коэффициенты Фурье, соответствующие выражениям
A.05), записать в следующем, удобном для дальнейших преобра-
зований, виде:
k sin
ди
ии sin б),
-(s)
6),
A.09)
С другой стороны, можно по формулам G.05) и G.06) главы 3
выразить компоненты Е?\ ?<,s), . . ., Н<?> через вспомогательные
Функции Cl Dtl, F,, G,.

Теория диффращии
Сравнивая наши выражения A.09) с этими формулами, на-
ходим вид вспомогательных функций плоской волны
-%- (и—о) cos6
A.10)
Зная функции A.10), мы можем найти параболические потен-
циалы P°_j и Q°s_x плоской волны, введенные в главе 3. Эти
потенциалы запишутся в виде интегралов [ср. формулу E.05)
главы 3]
= ИГ (V™)~s+1
(V™)~s+1 J р @ Ф (и, s - 1, 0 х
= та
(Vw)-
xi|3(u,s— I, — t)dt,
\
s— 1, —
A.11)
где р (t), q (f) — неизвестные функции, a if> (и, s—1, /),
•ф (v, s — 1, —t) — функции, введенные формулой B.23) главы 3.
Пользуясь соотношением E.11) главы 3, можно первую фор-
мулу A.10) переписать в виде
A.12)
Подставляя A.11) и A.12) в формулы G.01), G.02) главы 3,
ф С D б
д () () фр
которые связывают функции С5-1 и
Р Q
), () ,
с параболическими
потенциалами
найдем
"Ю-
и решая получившиеся уравнения,
т)"- С'13»

/"л. 4. Диффракция плоской волны на параболоиде
Потенциалы вторичной (отраженной) волны Р\_х и
будем искать в виде интегралов
Г
-1, /)fc(o, s—l,
A.14)
и, s—l, t)t,i(v, s — l, —1)>
)
Функция ?,! введена в разложение A.14) ввиду того, что ее асимп-
тотическое выражение содержит фазовый множитель, имеющий
характер расходящейся волны.
Неизвестные функции pl (t) и q1 (t) могут быть найдены из
граничных условий на. поверхности параболоида [формулы F.26),
F.27) главы 3]
2 Щ± + Qs-i = О,
2s
= 0 (при v = v0),
где
= PU + Р\-ъ Qs-i - Qs-i + Qi_i
A.15)
A.16)
суть потенциалы полного поля.
Подставляя в граничные условия A.15) значения Ps_1 и Qs_1(
выраженные через потенциалы A.11) и A.14), получим следую-
щие уравнения для определения функций р1 (t) и q1 (f):
о, s-1, -0
>' (v, s—l, —t) + srj) (и, s — 1, —0 (при v — v0),
+ 2sU(o, s—l, —0 —2/Ci(o, s-1, -0] =
1-s
si|>(t»fs—1, —0+2si|»'(o, s—l, —0 —
0, S—l, —О (ПРИ v — vo)-
A.17)

Теория диффращии
При решении системы уравнений A.17) перейдем в них от
функций с аргументом —t к функциям с аргументами —/ ± i,
для чего воспользуемся рекуррентными формулами B.24)—B.27)
главы 3.
Решение уравнений A.17) дает
У (о. s, -
О, S, _/_
, s, -t-i) +
/ + О Ь (о. s, -/ + 0 ~
+ /)&(о, s> _*-q-
(О, S, -/+
-t-i)ti(v, s, —t-t)
-* + 0 Si (и, s, -/ + 0},
A.18)
где
= Й(о, s, - f-Q
A.19)
Получив из формул A.11), A.14) и A.16) потенциалы полного
поля Рв_! и Qs_lt найдем функции Cs_lt Ds_lt Fs и Gs, а затем
и само поле по формулам G.01)—G.06) главы 3.
Не выписывая всех составляющих поля в явном виде, мы
ограничимся касательными составляющими магнитного поля на
поверхности параболоида, позволяющими вычислить поверхност-
ную плотность тока.
Пользуясь формулами F.08) и G.06) главы 3, получим сле-
дующее выражение:
2шНи
[2

Гл. 4. Диффракция плоской волны на параболоиде 79
На поверхности параболоида (при v = ve) мы получим для
коэффициентов Фурье в A.20) выражения
?
dDs~i 2g° (V7j7i)~s+1
X
A.21)
—oo
где
r (t) = р1 (t) — q1 (t) = i -?L±il V A.22)
V = $(v,s,-t + i) d (v, s, -i - i) -
— Sx (v, s, —t + i) ф (o, s, — < — t). A.23)
Если воспользоваться соотношениями
ц> (р, s, — f - 0 = рф' (р, s, - < + 0 + * V ° ^ (р, s, - f + 0.
A.24)
A.25)
вытекающими из формул B.17)—B.23) главы 3, то функция V
примет вид
X & {v, s, — / + 0 — Ь (v> s>-*+ 0 ?г (р, s,-t+i)]. A.26)

80 Теория диффракции
Величина, стоящая в квадратных скобках выражения A.26),
есть определитель Вронского, равный . Отсюда
IL
Учитывая значения A.22) и A.27) и одновременно меняя по-
рядок суммирования и интегрирования в формуле A.20), получим
окончательное выражение для касательных (ковариантных) со-
ставляющих полного магнитного поля на поверхности парабо-
лоида
¦fft)-g-1>(«,s-l,0Ci(i
s=l
2j( l)e e »(s it)D*(u,s + l,t)t1(v,s 1, 0] *•
A.28)
Чтобы получить величину —2iuHu + Яф, нужно в правой
части A.28) заменить ср на —<р; из формул для Яф ± 2шНи легко
получаются Ни и Яф в отдельности.
2. Суммирование ряда. Геометрическая оптика
Перепишем выражение A.20) в виде
где
S = / @) + S (— 0s h (s) е'щ + S (— 0s /i (s) e-*»», B.02)
s=l s=l
f @) = fi @) = ft @). B.03)

Гл. 4. Диффракция плоской волны на параболоиде
81
функции fx (s) и f2 (s) имеют вид
— 2
е2
\ 2 J
Г\ 2"—)
где функция | определяется формулой B.07) главы 3, а величина
B.04)
D
B.05)
есть четная функция от s. Мы рассматриваем сумму S при фикси-
рованном значении t, которое для определенности будем считать
положительным. При. t <0
ход рассуждений принци-
пиально не изменится.
Функции fj (s) и fa (s)
голоморфны в четвертой че-
тверти. В первой и третьей
четвертях эти функции имеют
полюса, которые суть нули
знаменателя D. Кроме того,
во второй четверти (рис. 2)
имеются полюса от множи-
теля Г \~~21 ¦), входящего
в N (s).
-е
Сумма S может быть пред-
ставлена в виде
Рис. 2. Контуры С, Сх и С2 в плоскости
комплексной переменной s.
>. (s) e"
—'-«р
¦ds,
B.06)
так как интеграл справа сводится к вычетам в точках s = 1,
2, 3, ... Контур С мы можем заменить контурами Сх и С2 (рис. 2)
и написать
= S1+S2,
где
B.07)
B.08)
6 В. Д. фок

82
Теория диффракции
Преобразуем интеграл Sx. Для этого нам понадобится значе-
ние разности fj (—s)— fa (s). Пользуясь формулами B.16),
B.18) и B.29) главы 3, получим
h (—s) — /2 (s) = / sin sng (s),
где
XT (jj с _j—
2 / \ 2
y,S— 1,— 0-
x
x
B.09)
B.10)
Подставляя в первое равенство B.08) значение f 2 (s) из соот-
ношения B.09), найдем
ds - 4-
Если во втором интеграле выражения B.11) заменить s на —s,
то нетрудно убедиться, что сумма первых двух интегралов све-
дется к вычету в точке s = 0 и даст величину —f @).
Далее, так. как функция g (s) не имеет полюсов на
вещественной оси, мы можем контур интегрирова-
ния третьего интеграла провести через начало коор-
динат, меняя одновременно направление интегриро-
вания вдоль этого контура; в результате получим
B.12)
Со
где контур Со — прямая, составляющая малый
кРнитСф 3' угол с мнимой осью, как показано на рис. 3.
в плоскости Формула B.12) справедлива при условии
комплексной
переменной s. _ J5_ ^ „ <*- л
Ниже будет показано, что в том приближении, в котором
производится решение настоящей задачи, основной вклад дает
Jit lg tg-5-
е S2d( можно
пренебречь. Поэтому в дальнейших выкладках мы удерживаем
только Sx. Физический смысл вклада, даваемого функцией S.,
по-видимому, тот же, что и в случае сферы («обходящие» волны).
Величину B.01) мы теперь получаем в виде

Гл. 4. Диффракция плоской волны на параболоиде
= -Щ
¦и.
—Г5ф И' ]g tg-
B.13)
[пределы интегрирования по t и по s те же, что в формулах B.01)
и B.12I.
Интеграл B.13) может быть вычислен приближенно в предпо-
ложении, что v = v0 = &а > 1.
Прежде всего выразим функции ?х через новые функции Z
по формулам
Z(u,s, 0,
B.14)
Тогда выражение для g (s) несколько упрощается:
М — 8е 2
е—ж _ е—ins
7 In с J_ 1 t\ 7 h, с 1 .
Z(u, s+l,t)Z(v,s— 1,-0
(v, s, — t — i) — Z2 (v, s, —
i)]
B.15)
При больших значениях параметра ka мы можем заменить
функции 1 их асимптотическими выражениями, получающимися
по «полуклассическому» методу:
J
2 \Xl+ds 2 ]
P,S- 1,-0= w^T
п / и2 + 2и( — s2
1
Vn
B.16)
где
— s2-^ =
— s arccos
t*

Теория диффракции
*i = \ ]/V — 2vt — s2 — = Vv* ~ 2vt — s2 —
Xt
- s arccos¦
s2
о
— / arch ¦
s2 + t2 '
B-17)
причем arch x = lg (х + l^x2 — l).
Постоянные коэффициенты в выражениях B.16) определены
сравнением этих выражений с формулами B.11) и B.13) главы 3,
дающими асимптотические представления для функций ?х при
и, v —> оо. Можно показать, далее, что
1
=e~ixt. B.18)
(v,s, — t— i)— 22(o, s, — / + i)] '
Предполагая, что главный участок интегрирования по пере-
менной t соответствует значениям t ^> 1, так что величиной е~я'
в знаменателе B.15) можно пренебречь, мы получим для функции
g (s) выражение
^я ехр
= 4e 2
/ ы2 + 2м< — s2 У о2 — 2о< — г
где введены следующие обозначения:
52 52
===- = — а, -^ = — arccos -
B-19)
«JEL = _ arecos
= arch -±kJ= = a, 5r = - arch ^==L- = - b.
B.20)
Обозначив через со фазу подынтегрального выражения B.13)
найдем стационарные точки из условий
dot л 1 , 1
B.22)

Гл. 4. Диффракция плоской волны на параболоиде &5
Решая уравнения B.22) относительно sat, находим корни
я*0^!/^ sin б sin ф, |
/( ' = —- (v — и) sin2 б + Vuv sin б cos б cos ф. j
Заметим, что для применимости «полуклассического» метода
должно выполняться соотношение
Vv2 — 2itf <°> — s<°>2 = v cos б — Vuv sin б cos ф > 1. B.24)
Так как и cos б — Yuv s'n 6 cos ф = О есть уравнение гра-
ницы тени, то формулы, которые мы получим в результате при-
менения метода стационарной фазы, будут справедливы в осве-
щенной области, достаточно далеко от границы тени.
Учитывая формулы B.17) и B.21), можно написать следую-
щее выражение для фазы:
— 2vt — s2 -
v* — 2vt — s2 -~
Произведем касательное преобразование (преобразование Ле-
жандра) функции со от переменных s, t к переменным р и q по
формулам
Обозначая
4- KtJ - 2rt — s2 -^-Vu2 + 2ut — s2 =Q(p,9), B.27)
будем иметь
w = sp + tq - Q (p, q). B.28)
В силу взаимности преобразования Лежандра имеют место
соотношения
s ~ dp • r - 99 • ^•i!a'
которые можно вывести и непосредственно.

Теория диффракции
Введем формально величины срх и б, формулами
B.30)
они удовлетворяют соотношениям
¦^-h -^- = —sin61(
dp dq l
. _ sh q -f ch q cos 6 - _ sin 6
COS Ox h , h _. i > Sin Ox rb /i _1_ «
B.31)
с помощью которых sat могут быть записаны как функции от р и q
s = Yw s'va.8x sinifj,
— ~y (v — u) sin4 6j +
— -ij-(v — u) cos 6j —
Sin 6JCOS6J COS i
sin 8x cos фх.
B.32)
Очевидно, что при р = 0, </ = 0, когда фх = ф, 6j = б, фор-
мулы B.32) переходят в B.23), как и должно быть. Вычисляя
из B.32) значения частных производных от старых координат
(s, t) по новым (р, q), найдем якобиан касательного преобразования
D(s, t) _ ds dt ds dt
D (P> Я) dp dq dq dp
= — sin2 6X (u cos 6j + Yuv sin 6X cos фх) (у cos 6X — ]/ uy sin 6j cos ц г).
B.33)
Преобразуем интеграл B.13) к новым переменным р и ц,
учитывая равенство
B.34)
Мы получим
х
rfp dq.
(Р)
X
(р, <?)
B.35)
В ходе преобразования подынтегрального выражения B.13)
мы воспользовались соотношением
1 sin 6j
— 2vt —
2ut —
V D (п, (?)
B.36)

Гл. 4. Диффракция /тоской волны на параболоиде 87
Величина wt есть фаза B.28), рассматриваемая как функция
от р и q.
Вычисляем интеграл B.35) методом стационарной фазы. Усло-
вия стационарности запишутся
Отсюда для определения точки стационарной фазы получается
система уравнений
ds , dt _ ds , dt n m no\
Р-др- + Ч!р- = 0' "W + <^ = 0' B>38)
имеющая единственное решение р = 0, q = 0, так как опреде-
литель B.33) системы отличен от нуля.
Разложим tot (p, q) в окрестности точки р = 0, q — 0 в ряд
до членов второго порядка включительно:
%(Р><7) = — О @,0) +
' f1*2" 2
I f о 1 2 рд I
^ 2 \ 9р2 Р ^Z dpdq Pq+ dq>-
где — Q @, 0) = ту- (и — w) cos б + Yuv sin 6 cos cp есть фаза
падающей плоской волны.
Вторые производные от (Oj по р и q берутся в точке р = q — 0,
где они равны
д2щ ds dtfOi ds dt дгщ dt
dp2 dp ' dp dq dq dp ' dq2 dq
B.40)
Подставив разложение B.39) в интеграл B.35) и вычисляя
его приближенно обычным методом, найдем
^1 B.41)
dpdq = 2я. B.42)
а = У^
Таким образом,
2iuHa + Яф = ^opie-ia (о, o)e^_ B 43)
В согласии с геометрической оптикой мы получили для пол-
ного поля на поверхности величину, равную удвоенному значе-
нию поля волны, падающей на параболоид.

88 Теория диффракции
3. Асимптотические формулы для поля
в области полутени
Перейдем к определению поля в области полутени. При усло-
вии
у2 — 2vt — s2<[2(y2 + s2]2/3, C.01)
т. е. когда величина трехчлена v2 — 2vt — s2 мала по сравнению
с каждым из его слагаемых, асимптотические формулы B.16)
и B.18) для функций от координаты v неприменимы. При усло-
вии C.01) имеет место приближенное равенство
и параболические функции могут быть выражены асимптотически
через функции Эйри следующим образом:
, s - 1, -0 - - -?L [2 (у* + 52)Г1/6 w(x —
[Z2(v, s,-t-i)-Z2 (v, s,-t + i)) =
= —-^w(t)w' (t),
C.03)
где
_ дх _ 2s
C.04)
Из формулы C.04) получим далее
dt = ~- dx, C.05)
где
dt 2v
Асимптотическое представление для функции Z (u,s + 1, *)
остается прежним. При этом в силу условия C.01) имеем прибли-
женно
u2 + 2ut — s*<^(u+ иJ cos2 бх. C.07)
Поэтому первая формула B.16) принимает вид
Z{u,s+l,t)= _JL -^e'1"'1", C.08)
^ я ^ и + « V cos 6j

Fa. 4. Диффракция плоской волны на параболоиде 89
Равенства C.03) и C.07) дают для функции g (s) следующее
выражение:
gi$)
J_ (.. _ i _ , Я
2
ш(т)ш'(т)
Сравнивая C.09) с B.19), видим, что новая фаза
связана со старой фазой B.21) соотношением
(О =
Разложим со в ряд при xt = 0. ограничившись нулевым и
линейным членами разложения
1L
9т
• at - ОТТ' (ЗЛ2>
Х^О "' Х]=О ОТ
Очевидно, что при %\ — 0 и производная -~ обращается
в нуль [см. C.02)]. Поэтому при xi = 0 справедливы следующие
равенства:
~ <5о) дш /о , О\
0)=@' Ж^Ж' (ЗЛЗ)
и, следовательно,
т. C.14)
(О = (О
=о
, 9@
¦+""97
=о
Введем касательным преобразованием B.26) переменные р и q:
а = sp + tq — Q (p, </) C.15)
и разложим функцию со в ряд вблизи точки р = р0, </ = <7о.
где xi = 0 и
d(o = pds+ qdt = 0. C.16)
Из соотношения C.16) и равенства
dxi = — Prfs — bdt = 0 C.17)
мы можем при помощи C.02) вывести уравнение, связывающее
Ро и <7о. а именно:
р0 — <70 — = 0. C.18)

90 Теория диффракции
Условие xi = 0 означает, что
V7 0. C.19)
При р и q, малых по сравнению с единицей, можно получить
отсюда, учитывая формулы B.31), приближенное соотношение
и cos б — Vuv sin б cos ф -\-sp + vq = 0, C.20)
Уравнение C.20) справедливо, в частности, и при р = р0,
q = q0. Решая его совместно с уравнением C.18), найдем
(s2 + v2) р0 = — s (v cos б — Yuv sin б cos ф)
/ г— \ I C-21)
(s2 + и2) <7о = — v \v cos б — V «и sin б cos ф). j
Разложим фазу со в ряд вблизи точки р0, <7о- Обозначив функ-
цию со в этой точке через (о0, будем иметь
^-^ C-22)
В формуле C.22) члены разложения, линейные относительно
(р — р0), (<7 — <7„), обращаются в нуль, поскольку
)о + «• ("Do в ^»У " W)C0S 6l = °'
C.23)
Квадратичная форма в C.22) после вычисления входящих
в нее частных производных сводится к полному квадрату, и мы
получаем
w = м° + i (sec 6i - ?«) (s -s"J'
где s0 есть значение s при p — p0, q ~ q0.

Гл. 4. Диффракция плоской волны на параболоиде 91
Разложим Q (р, q) в ряд до членов третьего порядка включи-
тельно в окрестности точки р0, q0, и в полученном разложении
положим р = 0, q = 0:
Q @, 0) = Q (р0, q0) — poso — qoto +
° и^л+4° Ыи\ ¦ C-25)
Так как -д- = у. то квадратичная форма в C.25) пропор-
циональна квадрату величины р0 (у) +9o(y) > которая
равна нулю. Поэтому в разложении C.25), кроме величины
й (Ро. <7о) — PoSo — 9(Л = —«о. C-26)
остается слагаемое третьей степени относительно переменных р0,
<70, которое после вычисления входящих в него производных
третьего порядка приводится к виду
1 Г_з/азо\ -,_
6 Г°\Ф3/о+'"-1~
где
о 1^ии sin бсовф — и cos 6
Подставляя в формулу C.24) значение о)о из C.25) и C.26)
и учитывая соотношение C.27), найдем
о) = - Q @, 0) + -f + ± (sec бх - q0) (s - s0J. C.29)
Величина со связана с со формулой C.14), которая содержит
слагаемое
1 q0 V^uv sin б cos ф — ц cos б
>i ух [2 (и2 + 2)]1/J
дм
В силу приближенного соотношения
C.31)

92 Теория дшрфращии
это слагаемое равно
<7о Vuv sin б cos ф — о cos б Е_
В результате будем иметь и = и + ?т, или
5 = - Q @, 0) + -g- + JL (secб, - </0) (s -s0J + ?х. C.33)
Приравнивая выражения C.33) и C.10) для м, получим соот-
ношение, которое позволяет выразить фазу в интеграле B.13)
через s и т. Вычисляя интеграл по s (он сводится к интегралу
Френеля), получим
н, =
где Г — контур, идущий по лучу arc т = -^- из бесконечности
о
до нуля и затем по вещественной оси от нуля до бесконечности.
Если -| ф мало \порядка v 3 или меньше), то вывод
формулы C.34) должен быть видоизменен, причем берется другое
асимптотическое выражение для Z (и, s + 1, 0- Однако в новом
выводе получается такое выражение, к которому предыдущие
формулы приводятся в этом предельном случае.
В области полутени, когда величина % порядка единицы,
величины р0, q0, как это следует из соотношений C.21), C.30),
i_
имеют порядок v 3. Поэтому, не внося большой погрешности,
мы можем этими величинами пренебречь. Одновременно пренебре-
жем малой величиной slt имеющей тот же порядок. Тогда фор-
мула C.34) примет вид
2luHu + Яф = ^JJ^ е'ф-'а @- 0)G (I), C.35)
где
G(l) = eTy^\-~ydx. C.36)
Эти формулы впервые получены в работе [2] (формулы C.17)—
C.19) главы 2).

Гл. 4. Диффракция плоской волны на параболоиде 93
В области больших положительных значений•? (глубокая тень)
сделанные нами пренебрежения не существенны ввиду экспонен-
циального убывания функции G (?). В области больших отрица-
тельных ? (освещенная область) они оправдываются тем, что
формула C.36) смыкается с формулой геометрической оптики.
Г и ig tg—•
Следует отметить, что при вычислении интеграла J S2e 2 di
в том же приближении, в котором был вычислен интеграл B.13),
он в силу расположения контура С2 обращается в нуль. Это
оправдывает пренебрежение величиной S2.
4. Строгое решение и асимптотические формулы
для 2-й поляризации падающей волны
В параграфе 1 нами было получено строгое решение для пло-
ской волны 1-й поляризации. Чтобы получить асимптотические
формулы, пригодные для произвольной поляризации падающей
волны, мы должны найти прежде всего строгое решение для 2-й
поляризации, когда по оси у (рис. 1) направлен вектор Е внеш-
него поля.
В этом случае декартовы составляющие поля плоской волны
равны:
D.01)
а ковариантные составляющие тангенциального магнитного поля
определяются выражениями:
2iuHu + Hv = — l-f-\
— 2iuHu + Яф == / Щ- Vuv cos б е*0» — t^-u sin 8e'fi. D'°2)
Сравнивая выражения D.01) с формулами A.02), мы видим, что
поля плоских воли в рассматриваемых двух случаях связаны
соотношениями
ЕB) 1л(*) EjB) С A) (А ЛО\
= П , П = — ?. , D.UO)
где индексы «1» и «2» относятся соответственно к 1-й и 2-й поля-
ризациям плоской волны.
Учитывая симметрию уравнений Максвелла в свободном про-
странстве, мы можем выразить в случае 2-й поляризации полные

94
Теория диффракции
поля Е и Н через вспомогательные функции Cs_i, Ds_x, Fs, Gs
при помощи тех же формул, какими для 1-й поляризации выра-
жались соответственно Ни —Е. Ввиду этого выражения G.05),
G.06) главы 3 модифицируются следующим образом:
(-2 %i - sFs) ,
D.04)
;)s (Ds-i — sFs). )
Значения вспомогательных функций получаются, как нетрудно
убедиться, те же, что и в параграфе 1, в частности
Cs-i = —г- {Yuv )~s e2 Js^.\(Yuv sin б). .. _
k D.0o)
D°s-i = О,
следовательно, и для потенциалов Р?—i и Q?_i остаются верными
прежние выражения A.11).
Граничные условия, разумеется, изменятся и примут вид
2
1-х + 2s-
dv
Ps_! = 0 (при v = t»0),
L — sQs_i = 0 (при v = v0).
D.06)
Сравнивая эти соотношения с формулами A.15), мы видим,
что новые граничные условия могут быть получены из старых
путем формальной замены по схеме
Р — Q, Q-+ — P. D.07)
Решение уравнений D.06) дает для коэффициентов вторичной
волны р1 (/) и q1 (t) следующие значения:
Р1 @ = -& [Ci (о, s, -t - 0 -ф (v, s, -t - 0 +

Гл. 4. Диффракция плоской волны на параболоиде 95
ф (о = 4" [* ^ s>-t- о Si (у. s, -/ - о +
D.08)
где величины D и V определяются формулами A.19) и A.23).
Дальнейший ход решения принципиально не отличается от
уже рассмотренного в параграфах 1—3. Поэтому мы сразу напи-
шем результат в виде двойного интеграла
J J
2шНи + Яф = - -JaJgj J J h (., 0 Г"*" '* '* ^s Л. D.09)
Величина —2шНи + Яф, как можно показать, получается,
если в D.09) изменить знак перед интегралом на обратный и про-
извести замену ф на —ф. Функция Л (s, t) имеет следующее зна-
чение:
-s-it\ (s-tt\
2 M 2 j x
х Ь(и, s + 1, t) [Ь(о, s-1, -0 + -^-&(о, s- 1, -Oj D.10)
и отличается, как видно, от функции g (s, t) формулы B.14) только
тем, что в нее вместо ?х (v, s — 1, —t) входит более сложная
величина
(v, s— I, _f) + l=lb (о, s — 1, -О] •
Это обстоятельство дает возможность вычислить значение
интеграла D.09) тем же путем, каким был вычислен интеграл
B.15).
Приводя выражение h (s, t) к функциям Z, найдем
Л (s, 0 = 8е 2 х
Z(u, я + 1, [
Vs*-\-12 [Z2 {v, s, —t — 0— Z3(t), s, —t + i)]
/4 j j\
Функция 2' выражается асимптотически через функцию Эйри
следующим образом:
Z'(v, s —1, — i) = -i=-l2v(u + v)s\T\*81]l/6w'(r — sj. D.12)
к ли

96 Теория диффракции
Пренебрегая единицей по сравнению с s и пользуясь форму-
лой C.31), мы можем написать
1—s V"f(«sin26i — v cos2 6j) .. .„.
__~ _ . ^.ld)
В силу условия C.19) соотношение D.13) может быть записано
в виде
1 — s Vuv sin бх sin фх
2ц
D.14)
Подставив выражения D.12) и D.14) в формулу D.11) и выпол-
няя преобразования, аналогичные тем, которые были сделаны
в параграфе 3, найдем значение двойного интеграла D.09)
ШНи + Яф = ^^ е-'й <0- 0)e^G (?) V™ %\ б sin ф +
EqVuv е_ш @. 0)е*<р^ /|\ [2о(ц + и) sin26]1/3
к х)
где
iS^dx, D.16)
а Г есть тот же контур, что и в формуле C.36).
В освещенной области, достаточно далеко от границы тени,
когда функции F (I) и G (I) можно заменить их асимптотическими
представлениями, справедливыми при больших отрицательных %:
F(E)=2iE, G(?)=2, D.17)
выражения 2iuHu + Н„ и —2iuHu + Яф переходят в известные
формулы геометрической оптики, т. е. становятся равными удвоен-
ному значению выражений D.02).
Формулы C.35) и D.15) позволяют найти распределение тока
на параболоиде при падении плоской волны произвольной поля-
ризации.
Таблицы функций F и G даны в добавлении 3.

ГЛАВА 5
ПОЛЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ
ПРОВОДЯЩЕГО ТЕЛА*
Выводятся приближенные формулы для поля, возникающего вблизи поверх-
ности выпуклого проводящего тела при падении на нее плоской волны. Решение
задачи получается по методу параболического уравнения, причем на поверх-
ности тела ставятся общие предельные условия импедансного типа. Результаты
являются обобщением тех, которые были получены в главе 2.
В главе 2 получен следующий основной результат. На поверх-
ности абсолютного проводника касательные составляющие пол-
ного магнитного поля равны их значениям для поля падающей
волны, умноженным на некоторую универсальную функцию G (?)
от аргумента ? = lid, где I есть расстояние от геометрической
границы тени, считаемое в плоскости падения, ad — ширина
области полутени. Величина d равна d = у — R\, где Я, —длина
волны, a Ro — радиус кривизны нормального сечения поверх-
ности плоскостью падения. Поскольку поверхностная плотность
тока пропорциональна векторному произведению магнитного поля
на вектор нормали, отсюда непосредственно получается и распре-
деление токов на поверхности, знание которого необходимо для
нахождения амплитуды рассеянной волны.
В настоящей главе мы имеем в виду обобщить этот результат
в двух направлениях.
Во-первых, мы предложим себе найти поле не только на
самой поверхности тела, но и вблизи поверхности (на расстоя-
ниях, малых по сравнению с радиусами кривизны нормального
сечения поверхности). Во-вторых, мы не будем считать тело абсо-
лютным проводником, а будем считать его только хорошим про-
водником, в том смысле, что на его поверхности для касательных
составляющих поля имеют место условия Леонтовича.
* Фок, 1946 (текст переработан).
7 В. А. Фок

98 Теория диффракции
Метод, которым мы будем пользоваться, также будет иным.
В предыдущих главах мы, используя локальный характер поля
в области полутени, получили наш результат, исходя из строгого
решения задачи для частного случая и произведя приближенное
суммирование рядов. Теперь же мы найдем решение задачи непо-
средственно для общего случая произвольной поверхности, ис-
пользуя метод параболического уравнения, предложенный Леон-
товичем и развитый в главе 11 для случая точечного источника
(диполя), находящегося на плоской или сферической поверх-
ности.
/. Геометрическая часть задачи
Представим себе выпуклое тело, на которое падает в направ-
лении оси х плоская волна. Если уравнение поверхности тела
есть
/(*, у, г) = 0, A.01)
то уравнение кривой, представляющей границу геометрической
тени на поверхности, получится из уравнения поверхности и из
соотношения
-| = 0. A.02)
Выберем на поверхности точку, лежащую на границе геометри-
ческой тени и примем ее за начало координат. Направим ось г
по нормали к поверхности (в сторону воздуха). Так как нормаль
на границе тени перпендикулярна направлению волны, то наши
оси х и z будут взаимно перпендикулярны. Ось у выберем так,
чтобы получить правую координатную систему.
В окрестности данной точки уравнение поверхности будет
иметь вид
z + -у- (ах* + 2ЬхУ + СУ*) = °- О -03)
Так как поверхность выпуклая и ось z направлена в выпук-
лую сторону, то
с>0, с > 0, ас — Ьг 5*0. A.04)
Уравнение цилиндрической поверхности, отделяющей область
геометрической тени в пространстве, получится исключением
координаты х из уравнений A.01) и A.02). В нашем случае оно
будет иметь вид
г + ^у* = 0. A.05)

Гл. 5. Поле вблизи поверхности проводника 99
Радиус кривизны нормального сечения поверхности плос-
костью падения будет равен
Яо = -^-. A-06)
Предложим себе найти электромагнитное поле вблизи поверх-
ности, на расстояниях от начала координат, малых по сравнению
с радиусом кривизны Ro.
2. Упрощенные уравнения Максвелла
Мы будем предполагать зависимость составляющих поля от
времени в виде множителя е~'ш' и в дальнейшем этого множи-
теля выписывать не будем. Буквой k мы обозначим абсолютное
значение волнового вектора
Каждая из составляющих поля будет удовлетворять уравне-
нию Гельмгольца
+ № = 0, B.02)
где А — оператор Лапласа.
Так как мы имеем дело с полем, порожденным плоской вол-
ной, идущей в направлении оси х, мы выделим в W множитель е'**
и положим
у == elkxw\ B.03)
Тогда Y* будет удовлетворять уравнению
Составляющие поля удовлетворяют уравнениям Максвелла
ЩЦ и т. д., B.05)
Выделим теперь в каждой из составляющих поля множи-
ik
ikx
тель е и положим
*ёкх
Ех = Е*хёкх и т. д.; Нх = HW* и т. д. B.07)

100
Теория диффракции
Мы получим тогда для величин, снабженных звездочкой, уравне-
ния:
B.08)
дЕх
дг
К
дх
дН'х
дг
дН*у
дх
¦ —
¦ —
дН\
ду
К
ду
<
дх
дЕх
ду
К
дг
; <
дН\
дх
дН'х
ду
дг
ibVf*
iktfx>
ikHy,
ikHl,
ikE'
xt
ikE'
— ikE
n
B.09)
Мы введем теперь основное для дальнейшего предположение
о том, что величины со звездочкой суть медленно меняющиеся
функции от координат, в том смысле, что их относительное из-
менение мало на протяжении одной длины волны. Кроме того,
мы предположим, что изменение этих величин в направлении
оси г (перпендикулярно к поверхности) происходит быстрее,
чем в направлениях х и у (параллельно поверхности).
Эти предположения мы можем записать в виде
дг
где шит' — безразмерные параметры, причем
m'>m> 1.
B.10)
B.11)
Эти предположения будут обоснованы тем, что полученное
решение (которое заведомо единственно) действительно им удов-
летворяет.
Из этих предположений следует, что в уравнении B.04) вто-
рые производные по х и по у малы по сравнению со второй про-
изводной по z, так что это уравнение принимает вид
дх
B.12)

Гл. 5. Поле вблизи поверхности проводника 101
Отсюда следует, что величина т' — порядка т2, и мы можем
положить
т' = тг, B.13)
после чего соотношения B.10) напишутся
B.Н)
Из соотношений B.14), которые имеют место для всех состав-
ляющих поля, вытекает, что в уравнении B.12) отброшены члены
порядка —j- относительно выписанных. Такими членами мы
будем постоянно пренебрегать в дальнейшем.
Оценим на основе B.14) порядок величины различных членов
в уравнениях B.08) и B.09). При этом мы примем Н*у и Н\ за ос-
новные величины, с которыми будем сравнивать остальные.
Что касается относительного порядка величины Ну и Нг, то мы
будем считать, что порядок одной из них отличается от порядка
другой самое большее множителем или делителем т.
Прежде всего из первого уравнения B.09) получаем
B.15)
Подставляя эту оценку во второе уравнение B.08), убеж-
дЕх ( 1 \
даемся, что член —^- весьма мал (порядка -p-J по сравнению
с членом ikHy. С другой стороны, непосредственно из B.14)
видно, что член —^- будет порядка —^ относительно ikE*z. Член
такого порядка мы должны отбросить, после чего второе уравне-
ние B.08) дает просто Е*г = — Н*у. Аналогично третье уравнение
B.08) дает Е*у — Н*г, а первое уравнение B.08) показывает, что
Нх будет порядка
Эти значения согласуются и с уравнениями B.09).
Таким образом, после отбрасывания малых членов все состав-
ляющие поля могут быть выражены через Н*у и Н*г. Так как эти
выражения не содержат производных по х, то они имеют тот же

102
Теория диффракции
вид и для составляющих поля B.07), а именно:
Р _ » (дНг дНу\
х~ k \ ду дг ) '
Еу ¦= Нг,
р — н
B.17)
Последнее уравнение можно получить и непосредственно
из уравнения divH = 0.
К этим уравнениям нужно присоединить уравнение Гельм-
гольца для каждой из составляющих поля или уравнение вида
B.12) для величин со звездочкой.
3. Упрощенные предельные условия
Как показал Леонтович, если комплексная диэлектрическая
постоянная среды
= е + i
, 4ио
ck
C.01)
велика по абсолютной величине по сравнению с единицей, можно
не рассматривать поля внутри среды, а учитывать влияние среды
на поле в воздухе путем предельных условий, связывающих
касательные составляющие этого поля на поверхности раздела.
Условия Леонтовича (точнее, их обобщение на случай, когда
магнитная проницаемость среды ц отлична от нуля) могут быть
написаны в виде трех уравнений:
C.02)
Ех - пхЕп = Y-JL (пуНг - пЛУ),
Еу - ПуЕп = У± (njix - п
Ег - пгЕп =
(пхНу - пуНх),
из которых только два независимы.
В этих уравнениях пх, пу, пг есть единичный вектор нормали
к поверхности (направленной в сторону воздуха), а величина Ея
имеет значение
Еп = пхЕх
C.03)

Гл. 5. Пом вблизи поверхности проводника 103
Можно показать, что условия C.02) имеют место, если выпол-
нены неравенства
|ЛИ|_>1. C.04)
*Я,|УтйГ|>1, C.05)
где Ro есть радиус кривизны нормального сечения поверхности.
Для проводника, в котором ток проводимости преобладает
над током смещения, эти неравенства означают следующее. Со-
гласно первому из них, квадрат толщины слоя скин-эффекта
должен быть мал по сравнению с квадратом длины волны в воз-
духе. Согласно второму неравенству толщина этого слоя должна
быть мала по сравнению с радиусами кривизны нормального
сечеиия поверхности.
В дальнейшем мы положим магнитную проницаемость среды
равной единице и преобразуем условия C.02), используя выве-
денные ранее соотношения Еу = Нг и Ег = — Ну. Из формул
C.02) мы получим
( ^) Нг-п2Ну); C.06)
0 - п1) Нх = (пх + Гц) (пуНу + пгНг). C.07)
Используя оценку B.16) для Нх и считая, что величина Jf
велика (порядка т или больше), мы убедимся, что левая часть
C.07) мала по сравнению с отдельными членами правой части.
Заменяя ее нулем, получим вместо C.07)
пуНу + пгНг = 0. C.08)
Используя это соотношение, получаем из C.06)
пгЕх = - (пх + ~Л Ну. C.09)
Сюда мы можем подставить выражение для Ех из первого
уравнения B.17). Так как величина пг мало отличается от еди-
ницы, мы можем написать
С той же точностью уравнение C.08) может быть написано в виде
Яг= —ПуНу. C.11)
Если считать величины пЛ, пу, — малыми одного порядка и
пренебрегать ими по сравнению с единицей, то предельные уело-

104 Теория диффракции
вия упростятся еще больше и примут вид
дНи .
dz~ ' "v\"* ' /rTi ' №Щ
Hz = 0. C.13)
В самом деле, поскольку пу мало, условие C.11) может быть за-
менено на C.13). Далее, стоящая в правой части C.10) производ-
ная от Нг берется по почти касательному направлению (по оси у),
и, следовательно, если Нг равно нулю, то эта производная будет
мала и в данном приближении ею можно пренебречь.
При использовании предельных условий C.12) и C.13) каждая
из составляющих Ну и Нг определяется независимо от другой:
каждая из них удовлетворяет отдельному дифференциальному
уравнению, отдельному предельному условию и отдельному ус-
ловию на бесконечности. Из этих условий обе величины, Ну
и Нг, определяются однозначно.
Таким путем величины Ну и Нг получаются с точностью
до малых членов порядка —. Чтобы найти и эти поправочные
т
члены, можно подставить значения Ну и Нг из первого прибли-
жения в правые части уравнений C.10) и C.11) и рассматривать
эти уравнения как неоднородные предельные условия для по-
правочных членов. Эти члены должны удовлетворять также ус-
ловиям на бесконечности; последние состоят в требовании, чтобы
на больших расстояниях амплитуда той части поправочных чле-
нов, фаза которой соответствует падающей волне, обращалась
в нуль. Это требование вытекает из того, что падающая волна
полностью учтена уже в главных членах.
Зная Hv и Нг, мы можем, наконец, определить все остальные
составляющие поля из уравнений B.17).
4. Определение составляющих Ну и Нг
в первом приближении
Положим
Hy=HoyelkxW', D.01)
где Ну — амплитуда падающей волны на бесконечности.
Согласно B.12) и C.13) функция У* должна удовлетворять
уравнению
дх
D.02,

Гл. 5. Поле вблизи поверхности проводника 105
и предельному условию
—з (- ik [ах + Ъц -)—т=-1 W* = 0 D.03)
на поверхности тела
2+-J- (а*2 + 26ху + су3) = 0. D.04)
В формуле D.03) мы заменили величину пх ее приближенным
значением из уравнения поверхности.
Предположим, что функция *Р* зависит от координат х, у, г
только через посредство двух переменных:
1 = т(ах+Ьу), D.05)
С = 2am2 [2 + -L (ax2 + 26*у + су2)] , D.06)
где m — большой параметр, который будет определен ниже.
Масштабы здесь выбраны так, что уравнение A.05), определяю-
щее границу тени в пространстве, принимает вид
t = I2- D.07)
Переменная ? принимает только неотрицательные значения,
а переменная | может быть и положительной, и отрицательной.
При этом в освещенной части пространства будет ? <i\^t,,
а в теневой части ? >• ]/?, где корень квадратный взят с поло-
жительным знаком.
Вычисляя производные, мы будем иметь
= та
дЧ*
\ dl ^^ dt, ) '
дг *"*" ~д?~' D.09)
и уравнение D.02) принимает вид
¦ + 2?-^-)=0. D.10)
dt? ^ 2т*а \
Мы выбираем параметр т так, чтобы коэффициент в этом урав-
нении равнялся единице

106 Теория диффракции
Так как мы считаем, что длина волны весьма мала по сравне-
нию с радиусом кривизны Ro поверхности, то наш параметр т
действительно будет большим. Выражения для производных
могут быть теперь написаны в виде
_ _±_ (ill
ill _±_ (
дх - 2т* \
2*
dz
D Ш
D.13)
Отсюда видно, что оценки B.14) будут соблюдаться, если
только производные от W* по | и по ? будут порядка самого *Р*.
При нашем выборе т уравнение D.10) напишется
Предельное условие D.03) принимает вид
™^ 0, D.15)
где мы положили для краткости
D16)
Величина q будет, вообще говоря, конечной, но может быть
и малой (для очень хорошего проводника) или большой (для
почти плоской поверхности).
Условие на бесконечности для *Р* состоит в том, что в освещен-
ной области та часть *Р*, которая имеет фазу, равную нулю,
должна входить с амплитудой, равной единице.
Чтобы упростить уравнение, положим
v = <rv. DЛ7)
Тогда уравнение и предельные условия для V будут
^. + i^- + CV = O, D.18)
-^ + ^ = 0 при ; = 0. D.19)
Условие на бесконечности (большие отрицательные |) примет
вид
у = е'К~'' — V*, D.20)
где V* соответствует отраженной волне.

Гл. 5. Поле вблизи поверхности проводника 107
Обозначим через <р фазу первого члена в D.20)
Ф = 1?—J- D.21)
и через ф* — фазу V*. Фазу ф* можно определить из геометри-
ческих соображений, зная фазу <р и разность фаз <р * — <р между
отраженной и падающей волной.
А именно, можно показать, что q> * равно экстремальному
значению функции
т. е. значению при t, определяемом из —*г- = 0. Аналогично,
заданная фаза D.21) равна экстремальному значению функции
ф = Г§ о" (fe *) • D.2о)
На выводе мы не останавливаемся, так как он довольно сло-
жен, а результат может быть получен и чисто аналитически,
путем исследования готового решения (см. параграф 6).
Уравнение D.18) совпадает с тем, которое встречается в за-
даче о диффракцни радиоволн вокруг земной поверхности. Это
уравнение (при других условиях на бесконечности) будет иссле-
довано в главе 11.
Уравнение D.18) допускает частные решения вида
V = etltw(t-Q, D.24)
где w (t) есть интеграл обыкновенного дифференциального урав-
нения второго порядка
w" (t) = tw (t). D.25)
Нам понадобятся оба интеграла уравнения D.25). В качестве
одного из них возьмем функцию
Zt~TZ'dz, D.26)
2
где контур /\ идет от бесконечности к нулю по лучу arc z = —д- я
и от нуля до бесконечности по лучу arc г — 0 (по положительной

108 Теория диффракции
вещественной оси). Другим (линейно независимым) интегралом
будет функция
L "~T''dz, D.27)
где контур Г2 есть зеркальное отражение контура /\ в вещест-
венной оси плоскости z. При вещественных t функции wx (t)
и хюг (t) будут комплексными сопряженными. Мы будем иметь
Wl(t) = u(t) + iv(t); wt(t)=*u(t)-iv(t). D.28)
Для вещественных функций и (/), v (t) и их производных
нами составлены подробные таблицы (см. добавление 2).
Асимптотическое выражение wx (/), справедливое при больших
отрицательных / (а также в некотором секторе плоскости комплекс-
ной переменной t), имеет вид
Щ @ = (- 0Л exp [i 4 (- if2 + t -г] • D-29)
Аналогично
«к @ = (-trV* ехр [-/ А (-tf2 -i±\. D.30)
Из формул D.23) и D.30) видно, что выражение
e't'wAt-Q D.31)
имеет фазу <р, экстремум которой равен фазе падающей волны
[первый член в D.20)]. Поэтому можно ожидать, что, интегрируя
выражение D.31) по контуру, проходящему вблизи точки экстре-
мума фазы, мы получим выражение с фазой, равной фазе D.21)
падающей волны. Действительно, опираясь на соотношения
+" - *¦
е3 (RexssO), D.32)
= [
можно доказать равенство
е •!,_^rJel«^(*-OA, D.34)
2
где контур С идет по лучу arc t = -^- я от бесконечности к нулю
и по лучу arc t = 5-я от нуля до бесконечности.

Гл. 5. Поле вблизи поверхности проводника 109
С другой стороны, если функция f (t) имеет при больших
отрицательных / фазу, равную — -д- (— ff12, то фаза выражения
е1ЕЧ(*-С)Д0 D.35)
равна ф * формулы D.22). Поэтому, интегрируя выражение
D.35) по контуру, проходящему вблизи точки экстремума фазы ф *,
мы получим выражение с фазой, равной фазе отраженной волны.
Из сказанного следует, что мы можем искать выражение
для V в виде
V = -^у е* [wt (t -1) -f(t) wt (t -1)] dt. D.36)
Это выражение удовлетворяет уравнению D.18) и условию
на бесконечности D.20). Чтобы удовлетворить также и предель-
ному условию D.19), мы определим функцию f (t) из равенства
w'2@ — qw2 (t) = f(t)[щ (t) — qwi(t)], D.37)
откуда
4
Из D.29) и D.30) нетрудно видеть, что найденное f (t) имеет
нужную фазу.
Таким образом, мы имеем окончательно
С
D.39)
С этим значением V величина
~П1+'% D.40)
D.41)
дает составляющую магнитного поля по оси у.
Используя соотношение
легко проверить, что при ? = 0 (т. е. на поверхности тела) выра-
жение для V принимает вид
e'^ • D-42)

110 Теория диффракции
Подстановка последнего выражения в D.40) позволяет сделать
следующее заключение.
Касательные составляющие Hig магнитного поля на поверх-
ности тела равны их значениям #tg для внешнего поля, умно-
женным на некоторую универсальную функцию от приведен-
ного расстояния | от границы тени и от параметра q, зависящего
от длины волны и свойств тела. Мы имеем:
= mxe G (|, q), D.43)
где
G (|, q) = е' ^-±=г Г е'в' -, d± . D.44)
С
Этот результат вполне согласуется с тем, который был по-
лучен в главе 2 совершенно другим методом и представляет его
обобщение на случай конечной электропроводности тела.
Для абсолютного проводника q = 0, и мы имеем:
G(|, 0) = G(|), D.45)
где G (|) — функция, табулированная в добавлении 3.
Заметим, что величина V, определяемая формулой D.42),
встречается и в решении задачи о распространении радиоволи
вокруг земной поверхности, приведенном в главе 10 [она обозна-
чена там через Vx (t, q)].
Нам остается определить составляющую магнитного поля Нг
из дифференциального уравнения и предельного условия Нг = 0
на поверхности тела.
Положим
Нг = НУкхФ\ D.46)
где Н°г — амплитуда падающей волны на бесконечности.
Функция Ф * должна удовлетворять уравнению
?? D.47)
и предельному условию
Ф* = 0 D.48)
на поверхности тела.
Условие на бесконечности будет то же, как для W *.

Гл. 5. Поле вблизи поверхности проводника 111
Мы будем считать, что функция Ф * зависит от тех же пере-
менных |, ?, как Ч *, и произведем подстановку
-iii+i К-
Ф* = е 3 U. D.49)
Так как уравнение для Ф * то же, что и для Ч *, то уравнение
для U совпадет с уравнением D.18) для V. Мы получаем для
определения U уравнение
-^¦ + *-f- + tf/ = 0, D.50)
предельное условие
U = 0 при I = 0, D.51)
и условие на бесконечности
U = е 3 — U*, D.52)
где U * соответствует отраженной волне.
Если мы будем искать U в виде D.36), то функция f (t) опре-
делится из условия D.51), и мы получим
{t ~Z) ~ ШWi {t ~ °] *• D-53)
Подстановка D.53) и D.49) в D.46) дает значение Нг в первом
приближении. Мы видим, что значение нормальной составляю-
щей полного магнитного поля вблизи поверхности тела равно
ее значению для внешнего поля, умноженному на некоторую
универсальную функцию Ф *.
5. Определение поля во втором приближении
Во втором приближении предельные условия для Ну и Нг
имеют вид C.10) и C.11). Чтобы удовлетворить им, положим
Ну = НУкхЧ' + -L HW'Q*, E-01)
Нг = 4- НУкхР' + Н№кхф\ E.02)
где т есть введенный выше большой параметр, а функции Р *
и Q * имеют тот же порядок величины, как найденные ранее функ-
ции Y * и Ф *.

112 Теория диффракции
Все четыре функции Р *, Q *, W *, Ф * удовлетворяют диффе-
ренциальным уравнениям вида D.02) или D.14), а на поверхности
тела функции Ч * и Ф * удовлетворяют предельным условиям
2gL * = 0; Ф* = 0. E.03)
При подстановке Ну и Нг в предельные условия C.10) и
C.11) мы должны в левой части брать полные выражения E.01)
и E.02), тогда как в правой части мы можем пренебречь членами,
содержащими Р * и Q *. Учитывая предельные условия E.03)
для Ч * и Ф *, мы получим
Р * = —т (Ьх + су) W *, E.04)
= m(bx + cy)~. E.05)
Пользуясь равенством
Ьх + су = -^- (ах + &t/) + ас~Ь* у E.06)
или
m(bx+ cy) =—1+ac~b my, E.07)
мы можем писать вместо E.04) и E.05)
Р* = — -J-11?* — ас~6' ту1?*, E.08)
Но в силу предельного условия E.03) для ? * мы имеем на поверх-
ности тела
E.10)
Поэтому уравнение E.08) может быть написано в виде
*. E.11)
Это уравнение должно выполняться на поверхности тела, но его
правая часть сохраняет смысл и в некоторой области вблизи
поверхности, причем оба члена правой части удовлетворяют
тому же параболическому уравнению, как и Y*. В самом деле,

Гл. 5. Поле вблизи поверхности проводника 113
если писать параболическое уравнение для W * в виде D.14),
то ясно, что вместе с Ч*1 * ему удовлетворяет и -^- ; если же писать
уравнение в виде D.02), содержащем производные по х и по г,
но не по у, то ясно, что вместе с Y * ему удовлетворяет и^*.
Таким образом, определяемая формулой E.11) величина Р*
удовлетворяет параболическому уравнению. Кроме того, вели-
чина Р * должна удовлетворять условию на бесконечности, сог-
ласно которому амплитуда члена, соответствующего падающей
волне, должна равняться нулю. Этому условию выражение E.11)
не удовлетворяет, но его нетрудно видоизменить (не нарушая
предельного условия на поверхности) так, чтобы условие на беско-
нечности тоже выполнялось. Для этого достаточно добавить к E.11)
член, пропорциональный Ф * (причем множитель пропорциональ-
ности может зависеть и от у). В самом деле, если мы вместо E.11)
напишем
Р* = ~ -Г Ж + {Ч + ^ тУ) <ф* ~ *•>• E-12)
то это выражение будет уже удовлетворять всем поставленным
условиям: параболическому дифференциальному уравнению, пре-
дельному условию на поверхности тела и условию на бесконеч-
ности. Подстановка величины E.12) в формулу E.02) дает искомый
поправочный член в выражении для составляющей Нг.
Переходим к определению Q *. Оставляя пока в стороне усло-
вие на бесконечности, мы будем искать выражение для Q * в виде
0* = А~ + ВФ*. E.13)
Здесь А есть постоянная, тогда как В может быть функцией от у.
Используя дифференциальное уравнение для Ф *, мы получаем
для производной -Ор- выражение
а так как на поверхности тела Ф * = 0 и -^г- = 0, то левая часть
E.09) будет равна
3?. + ($ + 9)B=я(-М& + Л?+ВL^. E.15)
Сравнивая это равенство с предельным условием E.09), получим
совпадение, если величины Л и ? имеют значения
Л = ^; В = -±д+^ту. E.16)
8 В. А. Фок

114 Теория диффракции
Таким образом, выражение
удовлетворяет дифференциальному уравнению и предельному
условию на поверхности тела. Чтобы удовлетворить также и ус-
ловию на бесконечности, заметим, что однородному предельному
условию, получаемому из неоднородного условия E.09) для Q *
заменой правой части нулем, удовлетворяет согласно E.03) функ-
ция ? *. Поэтому, не нарушая предельного условия E.09), мы
можем добавить к величине Q * член, пропорциональный ? *
(причем коэффициент пропорциональности может зависеть от у).
Получаемое для Q * выражение
будет удовлетворять всем поставленным условиям и дает, таким
образом, поправочный член в выражении E.01) для составляю-
щей Ну магнитного поля.
Заметим, что полученные для Р* и Q* выражения E.12)
и E.18) обладают определенной симметрией и переходят друг
в друга при перестановке
ф*__ЧГ*, ?*—— Ф*, q~> — q. E.19)
Вводя найденные для Р * и Q * выражения в формулы E.01)
и E.02), мы получим составляющие поля Ну и Нг во втором при-
ближении. Остальные составляющие поля получатся из упро-
щенных уравнений Максвелла B.17). Мы будем иметь
Еу = Нг; Ег = — Ну E.20)
и после пренебрежения малыми величинами
р LwV**— • Я —-L яУ** дФ* (Ч2П
Составляющие поля Ех и Нх имеют, таким образом, тот же поря-
док величины, как поправочные члены в выражении для других
составляющих.
Теперь все составляющие поля определены.
6. Поле в освещенной области
Чтобы исследовать поле в освещенной области, мы должны
вывести для функций U и V, определяемых формулами D.53)
и D.39), асимптотические выражения, справедливые при больших
отрицательных значениях ?.

Гл. 5. Поле вблизи поверхности проводника 115
Положим согласно D.21)
1
Тогда будет
U = е'ф — U', F.02)
У = е'ф — V*. F.03)
где
F.04)
V = -^ (> J@^@ «ь(t - 0 А. F.05)
Фаза подынтегральных функций в выражениях V * и V *
равна рассмотренному ранее (формула D.22)) выражению:
Ф* - И + -§- (С - tf2 -±{- if*. F.06)
В точке экстремума фазы мы имеем:
у=7в-А_а—1-6. (б-07)
где для краткости положено
о=№+К F-09)
причем корень квадратный берется с положительным знаком.
Экстремальное значение фазы равно
^2|8). F.10)
В дальнейшем мы будем разуметь под ф * это экстремальное
значение. Применяя метод стационарной фазы, получим для U *
асимптотическое выражение
U =<
F.11)

116 Теория диффракции
Подынтегральная функция в V * отличается от подынтеграль-
ной функции в U * медленно меняющимся множителем, который
при больших отрицательных значениях t приближенно равен
г
—' = „ , .-1/—Т- <6Л2)
™ 1
Поэтому асимптотическое значение V * будет отличаться
от асимптотического значения U * множителем F.12), взятым
в точке экстремума. Следовательно, мы имеем
F.13)
Выясним геометрический смысл полученных формул.
Определяя координаты х0, у0, z0 точки падения луча, попав-
шего после отражения в данную точку х, у, г. мы получим следую-
щие приближенные формулы, справедливые для скользящего
падения луча:
х0 = х — s; y0 = у, F.14)
где
Геометрический смысл величины s есть длина пути, прой-
денного лучом после отражения. Косинус угла падения равен
cos В = —(ахо-\-Ьуо) =~ (а —21). F.16)
Точное значение разности х0 — х + s равно
х0 — х + s = гвсоэ^. F.17)
Разность фаз отраженной и падающей волн пропорциональна
этой величине, а именно
Ф *— ф = k (xo—x + s) = 2ks cos^. F.18)
Подставляя сюда значение s и cos0 из F.15) и F.16) и поль-
зуясь D.11), мы получим
Ф»_Ф = ^-(а + Е)(а-26)« FЛ9)

Гл. 5. Поле вблизи поверхности проводника I17
Нетрудно проверить, что это выражение равно разности ве-
личин F.10) и F.01).
Таким образом, разность фаз двух членов выражений F.02)
или F.03) согласуется с выводами из геометрической оптики.
Рассмотрим теперь амплитуду отраженной волны.
Подставляя F.11) в F.02), мы будем иметь
J-_2|. F.20)
Пользуясь выражением D.16) для q и значением F.16) для cos 8
и подставляя F.13) в F.03), получим
V = е* - ev Т/Ч-—S !~С°5е^Л • F-21)
Г 3 За | + cos6 Кт| v '
Функция U соответствует случаю, когда падающая волна
поляризована так, что электрический вектор перпендикулярен
к плоскости падения. Функция V соответствует случаю, когда
электрический вектор лежит в плоскости падения. Нетрудно ви-
деть, что в обоих случаях наши формулы дают правильные значе-
ния коэффициентов Френеля.
7. Заключение
Полученные нами формулы непосредственно дают поле вблизи
некоторой точки, лежащей на поверхности проводящего тела на
границе геометрической тени. Но эта точка может быть выбрана
произвольно. Поэтому наши формулы дают также поле в неко-
торой кольцевой области, примыкающей к замкнутой линии,
которая представляет границу геометрической тени на поверх-
ности.
Рассмотрим теперь поле вне этой кольцевой области на рас-
стояниях от поверхности, малых по сравнению с ее радиусом
кривизны. В затененной части пространства мы можем положить
амплитуду поля равной нулю. В самом деле, полученное решение
убывает с расстоянием от геометрической границы тени по пока-
зательному закону, и если величина | — У ? положительна и ве-
лика, то оно практически равно нулю. Поэтому мы получаем не-
прерывный переход к полной тени. Обратимся теперь к освещен-
ной части пространства. В параграфе 6 мы убедились в том, что
при переходе к освещенной части наши формулы дают поле,
совпадающее с тем, какое получается по формулам Френеля.
Поэтому, если в освещенной области мы будем вычислять поле
по формулам Френеля, мы получим непрерывный переход от об-
ласти полутени к освещенной области.

118 Теория диффракции
Таким образом, наше решение позволяет определить поле
вдоль всей поверхности тела (в некотором слое, толщина ко-
торого мала по сравнению с радиусами кривизны поверхности).
В частности, мы получаем возможность найти распределение то-
ков, возбуждаемых падающей плоской волной на поверхности тела.
Но, зная токи, мы можем по известным формулам найти вектор-
ный потенциал, а значит, и поле рассеянной волны, во всем
пространстве (в том числе и на больших расстояниях
от тела).
Следовательно, наши формулы дают, в конечном счете, пол-
ное (хотя и приближенное) решение задачи диффракции плоской
волны от выпуклого проводящего тела произвольной формы.

ГЛАВА 6
ЗАКОНЫ ОТРАЖЕНИЯ ФРЕНЕЛЯ
И ЗАКОНЫ ДИФФРАКЦИИ *
Формулы Френеля, устанавливающие связь между амплитудами падающей
и отраженной световой волны, пишутся для составляющих электромагнитного
поля, причем оказывается, что они согласуются с предельными условиями Леон-
товича. С другой сторовы, из формул дифференциальной геометрии на отража-
ющей поверхности выводится выражение для сечения пучка отраженных лучей.
Вместе с законами отражения Френеля это выражение приводит к приближенному
представлению отраженной электромагнитной волны. С найденным приближен-
ным представлением сравниваются полученные в главе 5 диффракциоииые фор-
мулы, справедливые также и в области полутени и тени. В результате устанавли-
вается, что в той части освещенной области, где угол наклона луча к поверх-
ности мал, диффракционные формулы главы 5 переходят в обобщенные (путем
введения поправки на расширение пучка) формулы Френеля.
В 1821 г. французский ученый Френель установил формулы,
определяющие интенсивности и направления колебаний в отра-
женном и преломленном луче света, падающего на плоскую по-
верхность прозрачного тела.
Френель получил свои формулы на основе упругой теории
света, в предположении поперечных колебаний упругой среды
(эфира), причем ему пришлось ввести особые гипотезы об упру-
гости и плотности эфира в средах, отличающихся друг от друга
показателем преломления. Вывод этот не соответствует совре-
менным взглядам на природу света и имеет в настоящее время
только исторический интерес. Однако самые формулы блестяще
оправдались на опыте и в дальнейшем служили пробным камнем
для проверки всякой новой теории света.
В 1865 г. появилась созданная Максвеллом электромагнитная
теория света, которая выдержала эту проверку и, кроме того,
дала объяснение необычайно широкому кругу явлений, вклю-
чая те, которые были открыты много лет спустя, как-то: радио-
* Фок, 1948.

120 Теория диффракции
волны (Герц, Попов), световое давление (Лебедев) и многие дру-
гое.
Законы отражения Френеля вытекают без всяких дополнитель-
ных гипотез из уравнений Максвелла и соответствующих гранич-
ных условий, причем оказывается, что под рассмотренными Френе-
лем поперечными колебаниями нужно разуметь колебания элек-
трического вектора.
Законы Френеля применимы не только к свету, но и к электро-
магнитным колебаниям любой частоты, в том числе к радио-
волнам. С другой стороны, законы Френеля легко обобщаются
на случай, когда волны падают на плоскую поверхность погло-
щающего тела. Формулы Френеля сохраняют здесь свой вид,
с той только разницей, что показатель преломления п должен
быть заменен комплексной величиной, а именно, корнем квадрат-
ным из комплексной диэлектрической постоянной среды.
Формулы Френеля непосредственно позволяют выразить ам-
плитуды электромагнитного поля отраженной волны через ампли-
туды поля падающей волны, причем под теми и другими ампли-
тудами подразумеваются их значения на отражающей поверхности.
Если на поверхность падает плоская волна и если сама отражаю-
щая поверхность плоская, то амплитуды поля отраженной волны
на некотором расстоянии от поверхности будут те же, как на самой
поверхности; от расстояния от поверхности будет зависеть только
фаза. Если же отражающая поверхность выпуклая, то падающий
параллельный пучок лучей после отражения становится расхо-
дящимся. В таком случае при вычислении амплитуды отражен-
ной волны на заданном расстоянии от точки, где произошло
отражение, нужно ввести в амплитуду поправочный множитель,
учитывающий расширение пучка после отражения. Этот множи-
тель можно найти из чисто геометрических соображений.
Законы отражения электромагнитной волны нашли себе весьма
простую и удобную приближенную формулировку в формулах
Френеля. Гораздо менее удовлетворительно обстояло дело с при-
ближенной формулировкой законов диффракции, т. е. огибания
волной препятствий и захождения ее в область геометрической
тени. Все известные вплоть до недавнего времени приближенные
методы относились к случаю диффракции волны от препятствий
с резкими краями, например от непрозрачных экранов с отверстиями.
Эти методы представляют в основном уточнения принципа Гюй-
генса. Главный шаг в этом направлении сделан самим Френелем.
Согласно принципу Гюйгенса в формулировке Френеля часть све-
товой волны, прикрытая экраном, не действует совсем, а не-
прикрытые области действуют так, как если бы экрана совсем
не было. Дальнейшее уточнение было сделано в 1882 г. Кирхгофом,
предложившим свою формулу для амплитуды световой волны

Гл. 6. Законы Френеля и законы диффракции 121
за экраном. Формула Кирхгофа представляет весьма гибкое и
удобное средство для приближенного решения задач диффракции
от экрана с резкими краями, но она не учитывает влияния материала
экрана и вообще не принимает во внимание предельных условий
для поля, вытекающих из теории Максвелла.
Следующий существенный шаг в решении задачи диффракции
от экрана с резкими краями связан с нахождением строгих ре-
шений уравнений Максвелла для некоторых частных случаев
(полуплоскость, клин). Здесь следует упомянуть работы Зоммер-
фельда, а также работы советских математиков С. Л. Соболева
и В. И. Смирнова, подошедших к той же задаче с новой точки
зрения (нестационарные процессы). Чрезвычайно интересные
задачи о плоском и цилиндрическом волноводах с открытыми
концами (где диффрагированная волна может загибать назад)
были решены советским ученым Л. А. Вайнштейном.
В противоположность задаче диффракции от тел с резкими
краями (экранов и диафрагм), для решения задачи диффракции
от тел с непрерывно меняющейся кривизной никаких сколько-
нибудь общих приближенных методов или приближенных формул
(подобных формуле Кирхгофа) вплоть до самого последнего вре-
мени предложено не было. Для нахождения поля, получаемого
в результате диффракции падающей волны, предлагалось для
каждого отдельного случая решать уравнения Максвелла с пре-
дельными условиями, что представляет весьма сложную матема-
тическую задачу.
Формулы отражения Френеля представляют собой интеграль-
ный закон в том смысле, что применение их не требует решения
дифференциальных уравнений, ибо эти формулы дают явные
выражения для амплитуд отраженной волны. Для явления диф-
фракции от тела произвольной формы не только не был известен
вид соответствующего интегрального закона, но не был установ-
лен и факт существования такого закона; другими словами, не
была установлена и самая возможность написать при сколько-
нибудь общих предположениях об электрических свойствах ве-
щества тела и о форме его поверхности явные выражения для
амплитуд поля огибающей тело волны.
Этот пробел был в известной мере заполнен в наших работах
по диффракции плоской волны от поверхности выпуклого про-
водящего тела произвольной формы (главы 1—5 настоящей книги).
Предположение, что вещество тела является хорошим провод-
ником, является существенным, потому что оно дает возможность
пользоваться упрощенными предельными условиями для поля,
установленными М. А. Леонтовичем.
Рассматривая поле вблизи поверхности тела (на расстояниях,
малых по сравнению с радиусами кривизны поверхности), мы

122 Теория диффракции
установили, что в области полутени это поле имеет локальный
характер. Это значит, что при заданной длине падающей волны,
ее амплитуде и поляризации поле в области полутени зависит
лишь от формы и свойств тела вблизи данной точки, причем оно
выражается через некоторые универсальные функции, которые
могут быть раз навсегда табулированы. Тем самым оказывается
возможным формулировать некоторый общий закон диффракции.
Наши формулы для поля можно рассматривать как обобще-
ние формул Френеля — обобщение, включающее в себя как закон
отражения, так и закон диффракции.
Будем мысленно двигаться вдоль поверхности тела от осве-
щенной его стороны в теневую. На освещенной стороне тела можно
различить падающую и отраженную волну, причем последняя
будет хорошо описываться формулами Френеля. Ближе к гео-
метрической границе тени, в области скользящего падения луча,
обе волны уже неотделимы друг от друга, так что имеет смысл
рассматривать лишь результирующее поле. Здесь вступают в силу
наши формулы, тогда как формулы Френеля становятся непри-
менимыми. За границей геометрической тени мы уже не имеем
волны с более или менее постоянной амплитудой, а имеем зату-
хающую волну, т. е. волну с амплитудой, убывающей по пока-
зательному закону с увеличением расстояния от геометрической
границы тени. Здесь имеет место явление диффракции в собствен-
ном смысле, причем закон диффракции передается нашими фор-
мулами.
Из сказанного ясно, что существует область (а именно область
скользящего падения луча), где одновременно справедливы как
наши диффракционные формулы, так и формулы Френеля. Оче-
видно, что в этой области одни формулы должны переходить в дру-
гие.
В дальнейшем мы приведем формулы Френеля для электро-
магнитного поля и укажем их обобщение, позволяющее учиты-
вать расширение пучка после отражения от выпуклого тела.
Далее мы выпишем полученные нами диффракционные формулы,
рассмотрим их предельные случаи и проследим, как они перехо-
дят в формулы Френеля в области скользящего падения луча.
/. Законы отражения Френеля
Обозначим через Е° (Е°х, Е°у Е°г) и через Н° (#°, Я°, Н°г)
амплитуды электрического и магнитного векторов падающей
волны в данной точке поверхности тела. Соответствующие вели-
чины для отраженной волны обозначим через Е (Ех, Еу, Ег)
и Н* (Нх, Н*у, Н*г). Пусть, далее, а (ах, ау, аг) есть единичный

Гл. 6. Законы Френеля и законы диффракции 123
вектор в направлении падающего луча, а* {ах, ау, аг) — еди-
ничный вектор в направлении отраженного луча и n (nx, nu, nz) —
единичный вектор нормали к поверхности тела в точке падения.
Согласно закону отражения величины а*, а и п связаны соотно-
шением
а*=а — 2п(ап), A.01)
причем
a*n = — a-n = cos§, A.02)
где Ф — угол падения.
Величины а и а* пропорциональны градиенту фазы падаю-
щей и отраженной волны. Считая амплитуду величиной, медленно
меняющейся по сравнению с фазой, мы получим из уравнений
Максвелла для пустоты
[ахЕ°] = Н°; а-Е° = 0, A.03)
откуда
[ахН°] = — Е°, а-Н° = 0, A.04)
и аналогично для отраженной волны
[а*хЕ*] = Н* а*- Е* = 0, A.05)
[а* х Н*1 = —Е*. а*-Н* = 0. A.06)
Обозначим через ц магнитную проницаемость, через
г\ = г + 1*?- A.07)
— комплексную диэлектрическую постоянную вещества отра-
жающего тела и введем коэффициенты Френеля
_ r\ cos О — Кцт) — sin2 О
т] cos О + Кцл — sin2 О
jicosО — Ktxti — sina О
A08)
И cos О + KjitJ — sin2 О ' ;
Тогда формулы Френеля, устанавливающие связь между ам-
плитудами падающей и отраженной волны, могут быть написаны
в виде
(п-Е*) = ЛГ(п-Е°), A.10)
(п-Н*) = Л*(п.Н°). A.11)
Амплитуды проходящей волны (проникающей в вещество
тела) нас не интересуют, и мы соответствующих формул не выпи-
сываем.

124 Теория диффракции
Уравнения A.05), A.10) и A.11) могут быть решены относи-
тельно векторов Е* и Н*. Вводя обозначения
п-Е° = Е°п, п-Н° = Я2 A.12)
и выражая согласно A.01) а* через а, мы будем иметь
sin2 § Е* = — NE°n (n cos 20 + a cos О) + МН°п [п х а], A.13)
sin2flH* = — M#?(ncos20 + acosfl)— NE°n[n x a]. A.14)
Таковы вытекающие из формул Френеля значения амплитуд
отраженной волны на поверхности тела.
Из предыдущих формул можно вывести также соотношения
для полного поля. Обозначая через Е, Н полное поле на поверх-
ности тела и через Еп и Нп его нормальные составляющие и по-
лагая
будем иметь
/i?n{a — n(a-n)}+Я„ [n x a], A.16)
sin20[n х Н]=?„|а-п(а.п)|+к|/|Я„[п х а]. A.17)
Если |т)ц| > 1, то приближенно х = 1 и правые части A.16)
и A.17) друг другу пропорциональны. В этом случае будет
хН]. A.18)
Последнее соотношение уже не содержит вектора а, т. е. не
зависит от направления падающей волны. Как показал М. А. Леон-
тович, оно имеет место не только в освещенной области, где при-
менимы формулы Френеля, но и на всей поверхности тела.
Из формул A.16) и A.17) можно также вывести соотношения
(а-Е) = (-costf +*Y\) En, A.19)
(а • Н) = (-cos О + х Y-f) »n- A -20)
Если падающая волна плоская (вектор а имеет определенное
значение), то последними соотношениями можно пользоваться
вместо условий Леонтовича A.18). Это удобно делать тогда, когда
рассматривается скользящее падение луча, причем в выражении
A.15) для х можно положить sin2 d = 1.

Гл. 6. Законы Френеля и законы диффракции 125
2. Сечение пучка отраженных лучей
Для нахождения амплитуды отраженной волны на некотором
расстоянии от поверхности тела необходимо иметь формулы для
сечения пучка, опирающегося на площадку dS поверхности
тела и прошедшего после отражения заданный путь s. Эти формулы
могут быть выведены из известных формул дифференциальной
геометрии.
Пусть уравнение отражающей поверхности есть
х = х0 (и, о); у = у0 (и, v); г — г0 (и, v), B.01)
где и, v — гауссовы координатные параметры.
Квадрат элемента дуги на поверхности мы будем писать в виде
dt2 = gua du2 + 2guv du dv + gvv dv* = JJ guv du dv, B.02)
U, V
где сумма Yj есгъ сокращенное обозначение для среднего члена
и, v
этого равенства.
Мы будем пользоваться обозначениями для ковариантных
и контравариантных составляющих векторов и тензоров, подни-
мая и опуская значки при помощи «метрического» тензора, вхо-
дящего в B.02). Элемент поверхности мы будем писать в виде
dS = Vgdudv. B.03)
Выпишем формулы для составляющих вектора нормали к по-
верхности и их производных по и, v. Мы имеем:
и т. д., B.04)
X. B.05)
Последняя формула может служить определением величин
G"u — смешанных компонент второй квадратичной формы поверх-
ности. Если /?! и R2 — главные радиусы кривизны нормального
сечения поверхности, то мы будем иметь
^ -GttoGout B.06)
-3^ + -^- О OS —GS. B.07)
Величина К есть гауссова кривизна поверхности. Нам понадо-
бится формула для радиуса кривизны RQ нормального сечения

126
Теория диффракции
поверхности плоскостью падения луча. Можно показать, что
если Ая|> есть фаза падающей волны, причем
(grad т|))г = 1, B.08)
то будет
Sttv Jp_ J% = sin2 # B.09)
в ди dv х '
и, v
где Ф есть угол падения, а производные берутся от значения
•ф = 1|>0 фазы на поверхности тела.
Величина Ro определится тогда из равенства
Guv
ди dv
B.10)
Применим выписанные здесь формулы к вычислению нормаль-
ного сечения пучка лучей, отраженных от элемента поверхности dS.
Рассмотрим уравнения:
х = Хо + sa*x,
sa2,
B.11)
в которых s есть некоторая заданная величина, а Хо, уо, zo, ax,
а*у, аг — суть функции от и, v, определяемые из уравнения поверх-
ности B.01) и из соотношений
а*=а —2п(ап), B.12)
где п есть вектор нормали в точке х0, у0, г0.
Величина s есть, очевидно, путь, пройденный лучом после
отражения. При постоянном s уравнения B.11) представляют
уравнения некоторой поверхности, в известном смысле парал-
лельной отражающей поверхности тела. Если мы будем менять и,
v в пределах (и, и + du), (v, v + dv), мы получим некоторый
участок поверхности B.11). Этот участок можно рассматривать
как сеченне поверхностью пучка отраженных лучей, опирающе-
гося на элемент dS = \^g du dv. Чтобы получить нормальное
сечение пучка, мы должны спроектировать этот участок на пло-
скость, перпендикулярную отраженному лучу. Обозначив пло-
щадь нормального сечения через D (s) dS, будем иметь
дх
ди
дх
dv
"¦у
ду
ди
ду_
dv
дг
ди
дг
dv
dudv,
B.13)

Гл. 6. Законы Френеля и законы диффракции
127
откуда
дх
ди
дх
dv
ду
ди
_ду_
dv
дг
ди
дг
dv
B.14)
Вычислим этот определитель в предположении, что падаю-
щая волна — плоская и что, следовательно, вектор а не зависит
от и, v.
После довольно сложных выкладок, которые мы здесь опус-
каем, получается следующий результат:
D(s) = cosd +2s /— G
gUV
ди dv
B.15)
Пользуясь приведенными выше выражениями B.06) — B.10),
мы можем написать
- cosO +2S [(-7^ + -^
B.16)
значения Ro, Rlt R2 взяты в точке, где произошло отражение.
Величина D (s)/D @) дает, очевидно, расширение пучка.
т. е. отношение его сечения на расстоянии s от поверхности (счи-
таемом вдоль луча) к сечению у самой поверхности.
3. Электромагнитное поле отраженной волны
Пусть поле падающей плоской волны равно
Е°е'ф, H°ei4),
где Е° и Н° — постоянные амплитуды и
Ф = fajp = k (xax + уау + zaz)
— фаза волны в данной точке пространства.
Вводя значение
Фо = Hi
C.01)
C.02)
C.03)

128 Теория диффракции
фазы ср на поверхности тела, мы будем иметь для поля падающей
волны на поверхности тела выражения
Е°е"**, Н°е'**§. C.04)
Поле отраженной волны на поверхности тела будет равно
Е*е'йг, н*е'**°, C.05)
где Е* и Н* связаны с Е° и Н° формулами Френеля A.13) и A.14).
(По поводу обозначений заметим, что в формулах A.13) и A.14)
мы считали фазовый миожитель е'**« включениым в Е°, Н° и в Е*,
Н*, но так как этот множитель в обеих частях равенств A.13)
и A.14) одинаков, то безразлично, будем ли мы разуметь в этих
равенствах под Е°, Н° и Е*. Н* полные выражения C.04) и
C.05) или их амплитуды.)
В обозначениях этого параграфа Е° и Н° суть постоянные, а Е*
и Н* — медленно меняющиеся функции от координат точки на
поверхности.
Обозначим через F одну из составляющих поля отраженной
волны. Значение F на поверхности будет равно
F = f(u, v)elk*°iu-v\ C.06)
где / (и, v) — медленно меняющаяся функция, a k — большой
параметр.
Чтобы найти значение F на некотором расстоянии s от поверх-
ности, нам нужно знать решение волнового уравнения
AF + k2F = 0, C.07)
которое удовлетворяет условию излучения и предельному ус-
ловию C.06) на поверхности. Пользуясь тем, что k есть большой
параметр, можно указать приближенный вид такого решения
в явной форме.
В самом деле, рассмотрим выражение
*+•>. C.08)
и \s)
Величины и, v, s можно толковать как криволинейные коорди-
наты точки в пространстве, связанные с прямоугольными ко-
ординатами х, у, z соотношениями B.11). Геометрический смысл
этих криволинейных координат очевиден: параметры и, v опре-
деляют положение той точки на поверхности тела, от которой
отразился луч, дошедший до точки х, у, z; величина же s есть
расстояние, пройденное лучом после отражения.
Таким образом, величину F в формуле C.08) можно толко-
вать как функцию точки в пространстве. Очевидно, что эта функ-
ция принимает на поверхности s = 0 значение C.06). Очевидно

Гл. 6. Законы Френеля и законы диффракции 129
также, что она удовлетворяет условию излучения и соответствует
рассеянной волне. Но, кроме того, если параметр k велик, функ-
ция F приближенно удовлетворяет волновому уравнению. Дей-
ствительно, можно показать, что из определения tJj0 и D (s) и из
формул B.11) вытекают равенства
C.09)
°- (ЗЛ0)
На основании этих равенств легко проверить, что после под-
становки F в уравнение C.07) в нем сократятся члены второй и
первой степени относительно k и останутся только члены нуле-
вой степени.
Независимо от только что изложенных рассуждений, спра-
ведливость выражения C.08) вытекает из соображений геометри-
ческой оптики. В самом деле, это выражение должно давать
отраженную волну. Но фаза отраженной волны, очевидно, равна
k (tJH + s). Что касается амплитуды, то, если идти вдоль тон-
кого пучка отраженных лучей, амплитуда должна меняться
обратно пропорционально корню квадратному из сечения пучка,
что и дается формулой C.08).
Таким образом, эта формула дает поле отраженной волны
на расстоянии s от поверхности, когда известно поле на самой
поверхности.
Применяя найденную формулу к составляющим электрического
и магнитного поля, получим для них выражения
H - Н*(м, v) у -щ|) е'* {*'+s), (ЗЛ2)
где Е* (и, v) и Н* (и, v) суть получаемые из формул Френеля
амплитуды поля на поверхности тела.
Полученные нами формулы для поля представляют естествен-
ную комбинацию законов отражения и геометрической (луче-
вой) оптики. То и другое в отдельности было известно свыше
ста лет назад: Френель нашел свои законы отражения около
1820 г., а Гамильтон—законы лучевой оптики около 1830 г.
В частности, Гамильтону было известно, что величина, соот-
ветствующая нашему D (s), является многочленом второй степени
от s. Однако нам не удалось найти в литературе указаний на при-
менение этих результатов к приближенному представлению отра-
женной электромагнитной волны.
9 В. А. Фок

130 Теория диффракции
4. Закон диффракции в области полутени
Мы уже упоминали во введении, что вблизи геометрической
границы тени, в области скользящего падения луча, падающая
и отраженная волны становятся неотделимыми друг от друга
и формулы Френеля становятся неприменимыми. Мы изложим
здесь, на основе нашей работы, составляющей предмет главы 5,
идею вывода диффракционных формул, которые дают поле в этой
области, а также в области полутени и тени.
Представим себе выпуклое тело, на которое падает в направле-
нии оси х плоская волна. Выберем на поверхности тела точку,
лежащую на границе геометрической тени, и примем ее за на-
чало координат. Направим ось z по нормали к поверхности (в сто-
рону воздуха).Так как нормаль на границе тени перпендикулярна
направлению волны, то наши оси х и z будут взаимно перпенди-
кулярны. Ось у выберем так, чтобы получить правую координат-
ную систему.
В окрестности данной точки уравнение поверхности будет
иметь вид
г + 4 {ах2 + Мху + су2) = 0, D.01)
причем будет
с 2s 0, ас — Ьг^О. D.02)
Радиус кривизны нормального сечения поверхности будет равен
В дальнейшем мы введем «большой параметр» т по формуле
D.04)
и будем решать нашу задачу, пренебрегая величинами порядка -^
по сравнению с единицей.
Наша цель состоит в нахождении электромагнитного поля
на расстояниях от начала координат, малых по сравнению с ра-
диусом кривизны Ro.
При наших предположениях каждая составляющая поля бу-
дет вида
F = eikxF\ D.05)
где F * удовлетворяет дифференциальному уравнению
¦??¦ + Ш Т5Г = °- <4-06>

Гл. 6. Законы Френеля и законы диффращии 131
Все составляющие поля могут быть выражены через Ну и Нг
по формулам:
Е -±(ЛЬ.^МуЛ л
х~~ k \ ду дг )'
Еу — Яг,
Ег = —Ну,
Ни , дНг
которые можно рассматривать как упрощенные уравнения Макс-
велла.
Приближенные предельные условия для поля в воздухе на
границе с хорошо проводящим телом были установлены М, А. Ле-
онтовичем. Они справедливы при условиях
>l D-08)
и имеют вид [см. A.18I
E-nEn=yJL[nXH]. D.09)
В дальнейшем мы будем считать ц = 1. Входящие в D.09)
составляющие вектора нормали определятся из уравнения по-
верхности D.01). Мы можем приближенно положить
пх = ах + by, Пу — Ьх + су, пг = 1, D.10)
ибо квадратами величин пх и пу можно пренебречь по сравнению
с единицей. Величины пх, пу, —, -— мы будем считать малыми
одного порядка.
При этих предположениях можно вывести из D.07) и D.09)
такие предельные условия для поля, которые содержат только Ну
и Нг. Они будут иметь вид
Нг = —пуНу, D.11)
-^ <4Л2)
[формулы C.10) и C.11) главы 5]. Правые части этих уравнений
представляют поправочные члены. В первом приближении их
можно заменить нулем и рассматривать более простые предель-
ные условия:
Яг = 0, D.13)
y = 0. D.14)
9»

132 Теория диффракции
Во втором приближении можно подставить в правые части D.11)
и D.12) значения Ну и Нг, получаемые путем решения дифферен-
циальных уравнений с предельными условиями D.13) и D.14).
Кроме дифференциальных уравнений и предельных условий
на поверхности тела, решение должно удовлетворять условиям
на бесконечности. Эти последние состоят в требовании, чтобы та
часть решения, которая соответствует плоской волне, имела на
бесконечности заданную амплитуду.
Поставленная математическая задача имеет однозначное ре-
шение, которое мы здесь приведем, минуя все выкладки и ограни-
чиваясь определениями.
Если не считать множителя elkx, поле будет зависеть от ко-
ординат только через посредство величин *
| = щ (ах -f- by), D.15)
t = 2am2 [2 + 4- fa* + ^ЬхУ + сг*)\ > D16)
из которых вторая иа поверхности обращается в нуль. Постоян-
ные, характеризующие электрические свойства отражающей по-
верхности, входят в выражения для поля через посредство ве-
личины q, где**
ш ,/ « D17)
Поле выражается в конечном счете через одну универсаль-
ную (т. е. не зависящую от формы поверхности) функцию
Vx (|, ?, q) и через ее предельное значение
VAh O = VX(S, S, оо). D.18)
Функция Vi может быть представлена в виде определенного ин-
теграла, содержащего комплексные функции Эйри w1 (t) и w2 (О-
Последние определяются как решения дифференциального урав-
нения
да'@ = *и>@. D-19)
* Поправочные члены будут, кроме того, содержать линейным образом
координату у.
** Если бы мы вместо условий Леоитовича A.18) пользовались форму-
лами A.19) и A.20), мы получили бы для q несколько более точное значение q —
i

Гл. 6. Законы Френеля и законы диффракции 133
имеющие при больших отрицательных t асимптотические выраже-
ния
Щ @ = Л=: exp (i -§- {-tfft + i -f) , D.20)
у —t ч '
w2(t) = -~= exp
Выражение для Уг имеет вид
а»? @ — ^ @
2
где контур С идет по лучу arc / = -я-я от бесконечности к нулю
D.22)
-я-я от бесконечности к
и по лучу arc t = —5-я от нуля до бесконечности*.
О
При Z — 0 (на поверхности тела) выражение для Ух упро-
щается и принимает вид
VAI, 0, 0=*' fe*8' dt . D.23)
К л J ш^О — qwx (t)
С
Эта функция табулирована для ряда значений q; таблицы для
q — 0 (абсолютно-проводящее тело) приведены в добавлении 3.
Зная функцию Vx (|, ?, q1), мы можем написать выражения
для поля. Для этого введем функции
•^e-'^g.U), D-24)
Ф = е-"У2F, С), D.25)
где
Ф = 1С-4-13- D-26)
и составим при помощи них выражения:
<4-28>
* Таблицы функции D.22) для q = 0 и q = оо составлены М. Белкиной
и П. Азрилянт 127]. (Опубликованы в 1957 г.)

134 Теория диффракции
Тогда составляющие Ну и Нг магнитного поля будут равны
Ну = /&'**? + ~ H°zetkxQ, D.29)
Нг = J- д?е'**Р + Д2е'**Ф, D.30)
где Я^, и Я^ — амплитуды падающей волны. Все четыре функ-
ции Ф, 4f, P, Q удовлетворяют дифференциальному уравнению
вида D.06) и будут одного порядка величины*.
Так как т есть большой параметр, то члены, содержащие Ф
и Ч, будут главными, а члены, содержащие Р и Q, — поправоч-
ными. Составляющие поля Ех и Нх будут того же порядка как
поправочные члены, а именно:
^^Щ, D.31)
Нх = ±Н°ге"«™. D-32)
Что касается остальных составляющих электрического поля,
то в силу упрощенных уравнений Максвелла D.07) они будут равны
Еу = Нг; Ег=—Ну. D.33)
Таким образом, все составляющие поля нами определены.
5. Исследование выражений для поля в теневой
и освещенной областях
Выведенные нами диффракционные формулы дают поле вблизи
некоторой точки, лежащей на поверхности проводящего тела
на границе геометрической тени. Покажем, что они дают непре-
рывный переход от поля, соответствующего формулам Френеля
(для освещенной области), к полной тени. Начнем с области тени.
Интеграл D.22) может быть представлен как сумма вычетов,
относящихся к корням знаменателя подынтегральной функции.
Имеем
S— 1
где ts есть корень уравнения
\,) = 0. E.02)
* Величины Ф, V, Р, Q обозначены в главе 5 через Ф*. Y*. P*, Q*.

Гл. 6. Законы Френеля и законы диффращии 135
Корни ^s лежат вблизи луча arc t — -g- и возрастают по
модулю. При достаточно больших положительных значениях
| — Y\ в ряде E.01) можно ограничиться одним членом. Если,
кроме того, воспользоваться асимптотическим выражением D.20)
для wx и считать в нем ? большим по сравнению с tlf получим
для Vi приближенное выражение
. зя
yi №• Е. Ч) = -зтггтг—^е е ¦ E-03)
Величина tt имеет при q = 0 и q = оо следующие значения:
i —
tx = 1,01879 е 3 (<? = 0), E.04)
• JL
^ = 2,33811 е 3 (q = oo). E.05)
Во всех случаях как вещественная, так и мнимая часть tt — поло-
жительны. Отсюда следует, что при возрастании | — Yt функ-
ции Vi и Va и связанные с ними функции Ф, Y, P, Q, а следова-
тельно, и поле будут убывать по показательному закону.
Заметим, что равенство | — У ? = 0 дает геометрическую
границу тени. Возрастающие положительные значения величины
| — Yt соответствуют точкам, лежащим все дальше и дальше
в области тени.
Там, где величина | — Yt не велика (она может быть обоих
знаков), мы имеем область полутени. На способах вычисления
функции V\ в этой области мы останавливаться не будем; укажем
только, что эта функция, а следовательно, и поле меняются там
непрерывным образом.
Перейдем теперь к освещенной области, где величина | — У\
велика и отрицательна. В этом случае рядом E.01) для Ух поль-
зоваться нельзя и нужно вернуться к интегралу D.22). Член,
содержащий хюг (t — ?) в этом интеграле, может быть вычислен
точно. Он дает
1|^ш,(/-0Л = е", E.06)
где ф имеет значение
ф = к-—И'. E-07)

136 Теория диффращиа
совпадающее с D.26). Согласно D.24) и D.25), этот член дает
в функциях W и Ф слагаемое единицу; в выражениях для поля
он соответствует падающей волне.
Второй член может быть вычислен по способу стационарной
фазы, как показано в главе 5. Экстремум фазы получается при
yZTf = р, где
p = ±-(VW+5i-2t). E.08)
Для входящего в ату формулу корня квадратного удобно ввести
особое обозначение:
o=VE' + 3?. E.09)
Заметим, что величина р имеет тот же знак, как Vt — ?, так
что р > 0 соответствует освещенной области, р = 0 — геометри-
ческой границе тени и р<0 — теневой области. Нас интересуют
теперь большие положительные значения р. Для этого случая
применение способа стационарной фазы дает для всей величины Vx
выражение
У г F. С Я) = *• - ё< ]/^ *=%, E.10)
где фаза <р равна E.07), а фаза <р * равна
(p* = -^Das-3c2g-2?3). E.11)
Заметим, что разность фаз <р* —<р равна
^ E.12)
При ? = 0 будет о = р = —|, так что <р * — <р обращается на
поверхности тела в нуль.
Величина Va получается из E.10) при q = оо. Связанные с Vt
и У2 функции Ч и Ф будут приближенно равны
E.13)
a q -\-ip
^. E.14)
В выражения для поля входят не только самые функции W
и Ф, но и их производные по ?. При составлении производных
можно все множители, кроме фазового, считать постоянными.
Вследствие
±fi^J!U§4E = 2p E.15)

Гл. 6. Законы Френеля и законы дифОчнкции 137
будем иметь
^ = 2ip(V-I); ^ = 2ф(ф_1}. E.16)
Вычисляя при помощи этих значений величины Р и Q, получим
Нам остается подставить найденные В|,фаженИя в формулы
D.29) — D.32) для поля. При этом удобно обозначить одной бук-
вой
X = fcx + q>*—ф E.18)
фазу отраженной волны. С этим обознач(<цием мы будем иметь
<5-20>
е,* E.22)
и, кроме того, Еу = #z; Ег = —Ну.
Первые члены в E.19) и E.20), очевидно, дают падающую
волну, а остальные члены — отраженную волну. В следующем
параграфе мы покажем, что отраженная волна в точности соот-
ветствует формулам Френеля с поправкой на расширение пучка.
6. Сравнение диффракционных формул
с формулами Френеля для осв1щеннОй области
Обратимся теперь к формулам_Френеля. Полагая в коэффициен-
тах Френеля ц = 1 и_считая V\ Ч \ величиной большой, a cos ft
малой (порядка \lV\ Ч |), получим для Дг и м выражения

138
Теория диффракции
В формулах Френеля A.13) и A.14) мы должны положить ах =
= 1, ау = аг — 0 и считать пх и пу величинами малыми, квад-
ратами которых можно пренебречь. Эти формулы дают тогда:
для электрического поля
Е* = -2NnxH°u,
\)ПуН°г
F.02)
и для магнитного поля
Нх = —2nxHz,
— (N + \)пуН°г,
F.03)
Чтобы получить поле отраженной волны на некотором рас-
стоянии от поверхности, нужно согласно C.11) и C.12) умножить
эти выражения на множитель
V:
D@)d
F.04)
Значения всех величин, кроме s, нужно брать в той точке х0,
у0, z0, где произошло отражение луча, попавшего в точку х,
у, z. Так как уравнение отражающей поверхности есть
Zo + -y (axl + 2Ьхоуо + cyl) = 0, F.05)
то мы имеем
пх = ахо + Ьу0, пу = Ьхо+ су0, пг=\. F.06)
При вычислении D (s) по общей формуле B.16) мы должны пре-
небречь последним членом, так как нас интересует поле на рас-
стояниях, малых по сравнению с радиусами кривизны. Осталь-
ные члены дают
D(s) = cos#+2as = 2as — ах0 — Ьу0. F.07)
Чтобы произвести сравнение диффракционных формул E.19) —
E.22) с формулами Френеля F.02) и F.03), нам нужно установить
связь между величинами х0, у0, s и координатами х, у, z (или
величинами |, ?, у). Эта связь дается формулами B.11), которые
в нашем случае принимают вид
х = х0 + s — 2snl,
у=:у0 — 2snxtiy, F.08)
Z = Zo — 2811x42.

Гл. 6. Законы Френеля и законы диффракции 139
Решая эти уравнения приближенно относительно х0, у0, s, получим
2| — а р
аха
F.09)
3am 2am
Отсюда
р Ь р . ас — Ь2 {film
х т ' У а т а \ ш J
Далее фаза % по определению E.12), E.18) равна
X = kx + ф* — ф = kx + 2 (о — р)р2 =
= k (х + 2s«x) = * (^о + s), F.11)
т. е. она равна фазе отраженной волны, вычисляемой по геоме-
трической оптике. Вычислим теперь величину D (s). Подставляя
в F.07) величины F.09), получим
Г) /<Л _?_ /А 1 О\
v ' т ч '
причем, очевидно,
D @) = cos ft = -^-. F.13)
Последние три формулы дают
Таким образом, множитель F.14), входящий во все выражения
для отраженной волны в диффракционных формулах E.19) —
E.22), совпадает с множителем, входящим в формулы C.08) —
C.09), которые представляют обобщение формул Френеля. Вели-
чина
дает при этом поправку на расширение пучка.
Нам остается проверить, что и все другие величины в форму-
лах E.19) — E.22) совпадают с френелевскими.
Согласно D.17) и F.13) имеем:
p mcosfl. F.16)

140 Теория диффракцип
Поэтому
tp
^ (g
где N — коэффициент Френеля F.01) *.
Пользуясь формулами F.10) и F.17) как обозначениями,
мы можем написать наши выражения E.19) — E.22) для поля
в виде
Ну = Hleikx + [NH°y — (N + 1) ПуНЧ] j/^ е'х, F.18)
Нг = H%lkx + [~Н°г - (N + 1) ПуН°у] У-^- е'х, F.19)
F.20)
F.21)
Сравнивая эти выражения с френелевскими формулами F.02)
и F.03), мы убедимся, что множители при величине F.14) в точ-
ности совпадают с их френелевскими значениями Н*у, н\, Е*х,
Нх. Равенства же Еу = Нг; Ег = —Ну выполняются как в слу-
чае наших формул, так и в случае формул Френеля.
Таким образом, мы показали, что в той части освещенной об-
ласти, где угол наклона луча к поверхности тела мал, наши фор-
мулы переходят в обобщенные [путем введения множителя F.14) ]
формулы Френеля.
В области же полутени и в теневой области наши формулы
дают картину диффракции.
* Значение q = — у т\—1 приводит к несколько более точному зваче-
нию N, а именно:
N = г] cos & — Vr\ — 1
t] cos & + К г] — 1

ГЛАВА 7
ДИФФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ ОТ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ *
На основе выведенных в предыдущих главах диффракционных формул иссле-
довано выражение для электромагнитного поля в области конуса тени. На при-
мере диффракцин от шара показано, что н для тел с конечной кривизной глав-
ный член в выражении для поля позади тела выражается через интегралы Фре-
иеля. Этот член не зависит (как и в случае обычной диффракции Фреиеля) от ма-
териала тела, огибаемого волной. Но к главному члену присоединяется добавоч-
ный, составляющий как бы фон, на котором расположены полосы френелевской
диффракции, и этот добавочный член (а следовательно, и фон) уже зависит
от электрических свойств огибаемого волной тела.
Основанный на принципе Гюйгенса приближенный метод
вычисления диффракции позволяет, как известно, находить поле
волны, огибающей тонкий непрозрачный экран; поле это выра-
жается через интегралы Френеля.
В случае же, когда огибаемое тело обладает конечной кривиз-
ной (радиус кривизны велик по сравнению с длиной волны),
вопрос о приближенных формулах для поля в области геометри-
ческой границы тени на достаточно большом расстоянии от тела
оставался открытым; в частности, не было выяснено, применимы ли
в этом случае те выражения для поля через интегралы Френеля,
которые можно построить по аналогии со случаем бесконечно
тонкого экрана.
В этой главе мы попытаемся выяснить поставленный здесь
вопрос.
/. Исходные формулы для множителя ослабления
при диффракции от шара
Мы будем исходить из диффракционных формул, выведенных
в одной из наших работ по распространению радиоволн (глава 12).
Мы должны здесь резюмировать основные результаты этой работы.
• Фок, 1950.

142 Теория диффракции
Поле от точечного источника (диполя), расположенного на
некотором расстоянии от поверхности шара, выражается через
две функции: U и W, представляющие решения уравнения коле-
баний:
AU + k*U = 0 A.01)
и имеющие в источнике точечную особенность вида
-«я
U = ^- + U°, A.02)
где R есть расстояние от источника, a U0 остается конечным при
kR — 0.
Уравнения, определяющие U и W, отличаются друг от друга
видом предельных условий, которых мы здесь выписывать не
будем.
Пусть г, Ф, ф — сферические координаты с началом в центре
шара и с полярной осью, проходящей через диполь. Величина
s = aft, где а — радиус шара*, будет расстоянием от источника
до точки наблюдения, считаемым по дуге шара. Высоту источника
над поверхностью шара обозначим через hlt а высоту точки на-
блюдения через Л2. Введем параметр
т=у Щ-, A.03)
который будем предполагать большим, и положим
Комплексную диэлектрическую постоянную вещества шара обоз-
начим через т|, причем будем считать \г\\ > 1. Наконец, положим
A.06)
В нашей работе показано, что вблизи поверхности шара (на
расстояниях, малых по сравнению с его радиусом) функции
* Не смешивать с величиной, обозначенной той же буквой в предыдущей
главе. То же замечание относится и к некоторым другим обозначениям.

Гл. 7. Диффракция Френеля от выпуклых тел
143
U и W выражаются через множитель ослабления V по фор-
мулам
-tks
U = , V (х, yv yt, q), A.07)
1/ sa sin —
V a
= V (x, yv jr.,
A.08)
w =
Множитель ослабления У может быть представлен при
в виде контурного интеграла
V (х, yv y2,q) = e 4 у -i- J e«F (Л й. й- ?) А, A.09)
где функция F может быть написана в виде
F = wAt-y>) [v(t-У1)- 4'((о
или же в виде
Здесь Ш! @ и до2 (/) — комплексные функции Эйри, представ-
ляющие решения дифференциального уравнения
w"(t) = tw(t) A.12)
и имеющие при больших отрицательных t асимптотические выра-
жения
. = e'4(-4) 4e'
i = e ' 4(-0 *<
A.13)
В формулу A.10) входит также одна из функций и (t), v (t), опре-
деляемых равенствами
wt (t) = u(t) + iv @,
w2 (t) = и (t) - iv (t). A.14)
При вещественных t обе функции и (J), v (t) вещественны. При
t
всех значениях t мы имеем
= е' 3 w3
3
v (t). A.15)

144 Теория диффракции
Контур С в интеграле A.09) охватывает в положительном на-
правлении первую четверть плоскости комплексной переменной t
(в первой четверти расположены все полюса подынтегральной
функции). В качестве контура С мы можем взять, например,
t -1-я
ломаную линию, идущую от оое до 0 и от 0 до оо.
2. Преобразование множителя ослабления
В наших предыдущих работах (главы 5 и 12) множитель ослаб-
ления V был исследован нами, во-первых, в освещенной области,
где вступает в силу отражательная формула, соответствующая
геометрической оптике, во-вторых, в области тени, где имеет
место убывание амплитуды поля по показательному закону,
и, наконец, в переходной области вблизи поверхности шара
(область полутени). Область конуса тени оставалась, однако,
неисследованной, и вывод приближенных формул для этой об-
ласти составляет цель нашей работы, изложенной в настоящей
главе.
Под конусом тени мы разумеем конус, касательный к шару
и имеющий вершину в источнике. Уравнение конуса тени может
быть написано в виде
— а2 + Vr2 — а2 = Vr* + ba — 2rb cos fl, B.01)
или после перехода к переменным х, ylt у2 и пренебрежения ма-
лыми величинами
Vyi + VV%=x. B.02)
Таким образом, нам надлежит исследовать множитель ослабле-
ния V для случая, когда величины х, ух, у2 весьма велики, раз-
ность же
l^x-VVi-VFt B-03)
остается конечной. Заметим, что положительным значениям |
соответствует теневая, а отрицательным значениям — освещен-
ная область.
В интеграле A.09) для V мы можем разуметь под F одно из
двух выражений A.10) или A.11), которые тождественно равны
друг другу. Разобьем контур С в интеграле A.09) на два участка:
участок от сю е 3 до 0 обозначим через Сх, а участок от 0 до
оо — через С2. На первом участке мы будем пользоваться для F
выражением A.11), а на втором участке—выражением A.10).
Мы можем тогда написать
V = Ф + ?, B.04)

Гл. 7. Диффракция Френеля от выпуклых тел 145
где
(t - у2) v (t - ух) dt\, B.05)
2 J
w\(t)-qwx(t)
4- e *' -v-^—^-u- wx(t — уг) wx (t — y2) dt{. B 06)
i xn ^j — qm (f) I
c, J
Интегралы, входящие в Ф, не зависят от параметра q, который
входит только в Т. Следовательно, Ф не зависит от электрических
свойств тела, дающего диффракцию; от них зависит только Т.
Мы увидим, что Ф соответствует френелевской части диффрак-
ции, а? — тому фону, на который налагается френелевская диф-
фракционная картина.
3. Вычисление интеграла Ф
В выражении B.05) для Ф мы можем заменить интегрирование
по Ct интегрированием от —оо до 0. Пользуясь соотношением
w2 = wx — 2iv, получим
ф = фх + ф2, C.01)
где
' Т f ш
—оо
Ф2 = ]/"-?¦ е"' Т J eixtwx (t - yt) v (t - yx) dt. C.03)
—oo
Вычислим сперва интеграл Ф2. Для этого воспользуемся
следующим интегральным представлением для wx(t — у2):
г('-у')г-Ц-2'dz, C.04)
где контур Г состоит из участков от —too до 0 и от 0 до оо.
10 р. д. фок

146 Теория диффракции
Заметим, что на контуре Г будет Re (z) ^ 0. После подстановки
C.04) в C.03) мы можем выполнить интегрирование по t при по-
мощи формулы
+ 00
-±= J е(г+'ж) *v (t - ух) dt = exp [ух (z + ix) +~(z + ix)*] , C.05)
00
справедливой при Re (z) ^ 0. В результате получим
ф2=ух е-' V т*'+"*- j е*«. - <,.+у. - Л) *dz C06)
Последний интеграл легко берется, и мы получаем окончательно
Ф2 = e'w lx), C.07)
где
^ ^ ^^. C.08)
Как будет показано в главе 12, величина со есть фаза падаю-
щей волны, приближенно равная
со = k (R — s), C.09)
где R и s означают те же величины, что и в параграфе 1.
Таким образом, интеграл Ф2 соответствует падающей волне.
Переходим к вычислению интеграла Фх. Пользуясь интеграль-
ным представлением C.04) для обоих множителей wx (t — у2)
и wx (t — уг) и производя интегрирование по t, мы приходим
к двойному контурному интегралу, в котором после замены пере-
менных одно интегрирование может быть выполнено. В резуль-
тате получается
Ш'"м^ (З.Ю)
Vz(z-x)'
где контур С идет от положительно мнимой бесконечности, пере-
секает вещественную ось справа от точки z = x и затем идет по
лучу arc z — g-.
Вычет интеграла C.10) в точке z — х равен согласно C.07)
величине Ф2. Поэтому, если мы обозначим через С контур, иду-
щий аналогично С, но пересекающий вещественную ось слева
от точки г — х, мы получим
'<а (z) dz /о 1 i\

Гл. 7. Диффракция Френеля от выпуклых тел 147
При помощи этих формул можно приближенно выразить функ-
цию Ф через интегралы Френеля. Для этого применим способ
стационарной фазы, учитывая, однако, что дробь l/(z — х)
не будет медленно меняющейся функцией.
Приравнивая нулю производную от фазы со (г), приходим
к уравнению
zi-2zi(y1 + yi) + (y1-yi)* = 0, C.12)
корни которого равны
Из этих четырех корней нас интересует только наибольший
положительный корень:
Zo = V~!h + Vyl> C-14)
так как он лежит ближе всего к контуру С. Обозначим через Со
контур, аналогичный С или С, но пересекающий вещественную
ось в точке z — z0. Применяя обозначение B.03), положим
x-zo = x-VFi-VK=l C-15)
Если | <0, то контур Со эквивалентен С и интеграл по нему
даст Фх. Если же | > 0, то контур Со эквивалентен С и интеграл
по нему даст Ф.
Вблизи г = ze мы имеем:
co(z) = coo-na(z-zo)a, C.16)
где
() ^?'2J^2 C.17)
(ЗЛ8)
Для приближенного вычисления интеграла
J C.i9)
с,
заменяем величину |Лг постоянным значением Yzo, a функ-
цию со (г)—выражением C.16). Положив
z = zo + pe~'^, C.20)
10*

148 Теория диффракции
мы можем интегрировать по р от —оо до +оо. В результате полу-
чается
Последний интеграл выражается через интегралы Френеля,
причем он имеет разные аналитические выражения при ? > О
и при | <0, а именно:
2яМ «т I—f(—ИЙ при ^<0, C.23)
—оо
где
" ta'da. C.24)
ОБ
Легко видеть, что
f(a) + /(-a) = e-'at. C.25)
Вводя обычные интегралы Френеля
С + AS = У~ J eto' da, C.26)
мы можем написать
--~*[D)(±)] C-27)
Асимптотическое выражение для / (а), справедливое при боль-
ших положительных значениях а, имеет вид
Выражая интеграл / через f (a) и помня, что этот интеграл
представляет при | > 0 функцию Ф, а при | <0 — функцию
Фх = ф — ф2, где Фа определено C.07), получаем окончательно
Ф = -?- е'в« ц/ (и) (при I > 0), C.29)
|i6) (при |<0). C.30)

Гл. 7. Диффракция Френеля от выпуклых тел ]49
Эти выражения справедливы при условии, что оба числа
и Vy~l весьма велики (величина ц.а будет порядка меньшего
из этих чисел). Что касается величины ?, то она может быть как
конечной, так и малой, причем произведение ц| может быть
любым (большим, конечным или малым) числом. Если ? весьма
мало (причем оно может быть любого знака), то оба выражения
для Ф практически совпадают. Это видно из приближенных ра-
венств:
==1+-7=Д_~1, C.31)
го (г\ г-^- го игР2 /Ч Ч9\
в соединении с формулой C.25). При | = 0 совпадение обоих выра-
жений для Ф будет строгим.
4. Вычисление интеграла ЧГ
Обратимся теперь к выводу приближенных формул для ин-
теграла *Р. Нас интересует значение интеграла для того же слу-
чая, для которого мы вычисляли интеграл Ф, а именно для слу-
чая, когда величины Ууи Vy% (и, следовательно, ц.2) весьма
велики, величина же | = х — VУ\ — Ууг конечна. При этих
условиях главным участком интегрирования будет тот, где пере-
менная t конечна. Но при конечном t и больших ух и у2 стоящее
в B.06) под интегралом произведение функций w% на показатель-
ную функцию будет равно
D.01)
где мы для краткости воспользовались обозначением C.17).
Подставляя это выражение в интеграл *Р, получим
-:,?,¦*• (В+ <>(?)}, D-02)

150
Теория диффракции
где
D.03)
Пользуясь свойствами A.15) функций Эйри, легко проверить,
что если
t=t'e 3
D.04)
то
,(t) — qw2(t) v'tt')—i
г" и.; (o-
D.05)
ie, (t ) — <
Подстановка D.04) приводит первый интеграл в D.03) к ин-
тегралу по вещественной положительной оси. Опуская штрих
при /, получаем
it
2
V я
е 3
и(О
«2 (О
•<7е 3 w2(t)
dt
D.06)
При возрастании ^ функция v (t) в числителе быстро убывает,
тогда как функции шх (/) и ш2 @ в знаменателе столь же быстро
возрастают. Поэтому оба интеграла сходятся весьма быстро и мо-
гут быть вычислены по квадратурам. Функция g (%) допускает
разложение в ряд Тейлора по степеням |; коэффициенты этого
ряда также могут быть вычислены по квадратурам. При больших

Гл. 7. Диффракция Френеля от выпуклых тел 151
положительных значениях | функция g (|) имеет асимптотическое
выражение
которое сводится к одному члену, не зависящему притом от q.
Остаток будет порядка е'6'1 , где t1 — первый корень уравнения
о>; (t) — qwi (t) = 0. D.08)
При больших отрицательных | асимптотическое выражение
для g (|) имеет вид
. я i
При подстановке этого выражения в D.02) нужно иметь в виду,
что эта формула для W применима в том случае, когда поправоч-
ный член, содержащий в знаменателе [д,2, будет мал по сравнению
с главным. Чтобы оба выражения D.02) и D.09) были применимы,
необходимо выполнение условия
1«12«Ц2 (КО). D.10)
5. Множитель ослабления в области конуса тени
В предыдущих параграфах мы нашли приближенные выраже-
ния для интегралов Ф иТ, сумма которых дает множитель ослаб-
ления V (х, ух, уг, q). Составляя сумму, получаем при | ^ 0:
E-01)
У У1У2
и при |^0
V = еш и) ^?_ е'». Гц^(-цЭ + g (I) + 4ж 8" (I)] ¦ E-02)
Эти выражения справедливы при условии, что определяемый
из равенства
г = Jf^._ E.03)
УУх + УУг
параметр \i весьма велик, величина же
l = x-VFi-Vih E04)
конечна или мала.

152 Теория диффращии
Напомним геометрический смысл этих величин. Согласно
формулам A.03)—A.05) мы имеем:
E.06)
Таким образом, большие значения ц соответствуют малым
длинам волн и относительно большим расстояниям от поверхности
тела (последние должны быть все же малы по сравнению с радиу-
сами его кривизны). Величина | пропорциональна считаемому
вдоль (точнее, параллельно) поверхности тела расстоянию от гео-
метрической границы тени (конуса тени). При | < 0 величина
ц2!2 приближенно равна разности фаз отраженной и падающей
волн. Значение 1 = 0 соответствует границе тени, положительные
значения | соответствуют области тени, а отрицательные — осве-
щенной области.
Наши формулы дают переход от света к тени на относительно
больших расстояниях от поверхности тела. Так как функции / и g
и их производные по своим аргументам будут при конечных зна-
чениях аргументов порядка единицы, то при больших значениях ц
главным членом в E.01) будет член \if (ц4). Этот член пропорцио-
нален интегралу Френеля. Он представляет быстро меняющуюся
функцию от |, так как аргумент в интеграле Френеля есть ц|,
где ]i — большое число. Таким образом, главный член в выражении
для V дает диффракцию Френеля. Но на эту диффракционную
картину налагается фон, представленный функцией g (|), которая
по сравнению с главным членом меняется медленно. Этот фон
зависит от материала диффрагирующего тела (поскольку g (!)
зависит от q), тогда как френелевский член от него не зависит.
Полученные здесь формулы для множителя ослабления дол-
жны при удалении в ту и в другую сторону от конуса тени пере-
ходить в выведенные нами ранее формулы для теневой и для
освещенной областей. Проверим это. В области тени мы должны
получить убывание амплитуды по показательному закону, а в
освещенной области — отражательную формулу. Так как в фор-
муле E.01) и в асимптотическом выражении D.07) для g (|) члены,
убывающие при больших положительных |, по показательному
закону, вследствие их малости не учитываются, то мы должны
в нашем приближении получить в области тени нуль. В самом
деле, из асимптотического выражения C.28) для функции Френеля
/ (а) следует
^^() E-07)

Гл. 7. Диффракция Френеля от выпуклых тел 153
С другой стороны, формула D.07) дает
т. е. то же самое выражение. Таким образом, при больших положи-
тельных | выражение E.01) для V действительно обращается в на-
шем приближении в нуль.
Рассмотрим теперь большие отрицательные значения |. В фор-
муле E.02) первый член асимптотического выражения D.09) для
g (|) сокращается с ц/ (—ц|), а второй член (содержащий показа-
тельную функцию) дает
у = е1» <*> f-=— е'«» -i-g-i у е « . E.09)
С другой стороны, как-будет показано в главе 12, в освещенной
области имеет место отражательная формула
V = е'« f 1 — ^=45 V—i— e2ip'p!) E.10)
[формула D.31) указанной главы]. Здесь со = со (х), величина р
(пропорциональная косинусу угла падения) определяется из урав-
нения
х, E.11)
а величина рх равна
± E.12)
В том приближении, в каком справедлива формула E.09),
будет
р—4-+1&—4-- <5ЛЗ>
^2ц». E.14)
Пользуясь этими приближенными равенствами, нетрудно про-
верить, что формула E.09) представляет приближенный вид
отражательной формулы E.10).
Таким образом, формулы E.01) и E.02), выведенные для об-
ласти, близкой к конусу тени, смыкаются с формулами, справед-
ливыми в областях, примыкающих с обеих сторон к конусу тени,
и выведенными в наших предыдущих работах.

154 Теория диффракции
В заключение сделаем несколько замечаний по поводу выве-
денных здесь формул.
Как исходное выражение для V, так и приближенные формулы
допускают, при соответствующем изменении выражения для
фазы падающей волны, переход к случаю плоской волны. Этот
переход сводится к тому, что мы увеличиваем х и W2 Д° беско-
нечности, оставляя их разность конечной. Но, как показано
в главах 5 и 6, в случае плоской волны наши исходные формулы
справедливы не только для шара, но и для тела произвольной
формы. Поэтому выведенные здесь приближенные формулы, со-
держащие интегралы Френеля, можно считать доказанными также
и для тела произвольной формы. Представляется также весьма
вероятным, что полученная здесь картина диффракции (диффрак-
ция Френеля, на которую налагается фон) имеет место, по крайней
мере качественно, и на больших расстояниях от тела. При этом
следует ожидать, что фон становится слабее по мере удаления от
тела.

ГЛАВА 8
ОБОБЩЕНИЕ ОТРАЖАТЕЛЬНЫХ ФОРМУЛ
НА СЛУЧАЙ ОТРАЖЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ВОЛНЫ
ОТ ПОВЕРХНОСТИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ*
На основе формул Френеля и законов лучевой оптики Гамильтона выводятся
выражения для электромагнитного поля произвольной волны, отраженной
от поверхности произвольной формы. При этом учитывается поправка на рас-
ширение пучка лучей после отражения. При выводе используется тензорная
форма дифференциальной геометрии отражающей поверхности. Гауссовы пара-
метры поверхности в точке, где произошло отражение, и фаза отраженной волиы
рассматриваются как криволинейные координаты. Для частного случая отраже-
ния сферической волны от шара полученные формулы сравниваются с диффрак-
ционными формулами.
В главе 6 была выведена отражательная формула, учитываю-
щая изменение сечения пучка отраженных лучей, для случая
отражения плоской волны от поверхности произвольной формы.
Эта формула сравнивалась затем с диффракционными форму-
лами, справедливыми в области полутени.
В настоящей главе отражательная формула выводится для
случая отражения произвольной (не плоской) волны. Наши вы-
числения основаны на применении законов отражения Френеля,
установленных им около 1820 г., и законой лучевой оптики, уста-
новленных Гамильтоном около 1830 г. Поэтому наши результаты
не могут быть принципиально новыми. Однако, поскольку фор-
мулы Френеля применяются нами к электромагнитному полю
и поскольку законы лучевой оптики формулируются нами при
помощи дифференциальной геометрии в ее современной тензор-
ной форме (что вносит чрезвычайно большие упрощения), наши
результаты могут оказаться полезными для практических приме-
нений. Для читателя, незнакомого с тензорной формой дифферен-
циальной геометрии, мы даем в разделе 2 сводку необходимых
нам формул.
* Фок, 1950.

156 Теория диффращии
1. Формулы Френеля
Пусть поле падающей волны равно
EV**, Н°е'**, A.01)
где Е°, Н° — амплитуды, а ф — фаза, выраженная в единицах
длины, причем
(gradi|>J = l. A.02)
Для плоской волны амплитуды Е°, Н° постоянны; в общем
случае мы будем считать составляющие векторов Е°, Н° медленно
меняющимися функциями от координат. В дальнейшем мы будем
понимать под Е°, Н° значения амплитуд поля на поверхности от-
ражающего тела. Соответствующие величины для отраженной
волны обозначим через Е*, Н*.
Пусть, далее, а (ах, ау, а*) есть единичный вектор в направ-
лении падающего луча, а* (а*, а*, а*) — единичный вектор в на-
правлении отраженного луча и п (пх, пу, пг) — единичный вектор
нормали к поверхности тела в точке отражения. Согласно закону
отражения, величины а*, а и п связаны соотношением
а* = а —2п(ап), A.03)
причем
a*-n = —a-n = cosft, A-04)
где Ф — угол падения.
Величины а и а* пропорциональны градиенту фазы падающей
и отраженной волны. Пренебрегая изменением амплитуды на про-
тяжении одной длины волны, мы получим из уравнений Макс-
велла для пустоты
[ахЕ°] = Н0, а-Е° = 0, A.05)
откуда
[ахН°] = —Е°, а-Н° = 0, A.06)
и аналогично для отраженной волны
[а*хЕ*] = Н*, а*-Е* = 0, A.07)
[а*хН*] = - Е*. а*-Н*=0. A.08)
Обозначим через \i магнитную проницаемость, через
Л = е + <~ A-09)

Гл. 8. Обобщение отражательных формул 157
комплексную диэлектрическую постоянную вещества отражаю-
щего тела и введем коэффициенты Френеля:
cos 0 + Vn—
cos # ~ ^ — si ^ л i
ц cos fl + |/"цт) — sin2 d
Тогда формулы Френеля, устанавливающие связь между ампли-
тудами падающей и отраженной волны, могут быть написаны
в виде
(п-Е*) = #(п-Е°), A.12)
(п-Н*) = М(п.Н°). A.13)
Амплитуды проходящей волны (проникающей в вещество тела)
нас не интересуют, и мы соответствующих формул не выписываем.
Уравнения A.07), A.12) и A.13) могут быть решены относи-
тельно векторов Е* и Н*. Вводя обозначения
п.Е« = Е°, пН° = Н° A.14)
и выражая согласно A.03) а* через а, мы будем иметь
sln2OE' = — NE°n (ncos20 + acosO) + MH°n [nxa], A.15)
sin2 OH* = — МН°Я (n cos 20 + a cos 0) — NE°n [n x a]. A.16)
Последние формулы можно написать в несколько ином виде,
если ввести вместо а и а* касательный к поверхности вектор
b = a+ ncosO = a* — ncosO, A.17)
квадрат которого равен
b2 = sin20. A.18)
Мы будем иметь
sin2OE' = #?° (nsin20 — bcos0) +MH°n[nxb), A.19)
— bcosO) — iV^[nxb]. A.20)
Таковы вытекающие из формул Френеля значения амплитуд
отраженной волны на поверхности тела.
2. Дифференциальная геометрия отражающей
поверхности
Пусть уравнение отражающей поверхности в параметрической
форме имеет вид
х *= х0 (и, v)\ у = у0 (и, v); г = г0 (и, v), B.01)
где и, v — гауссовы координатные параметры (криволинейные
координаты на поверхности).

158 Теория диффращии
Полагая
_ дх0 дх0 , дуа дуа , дг0 дга
guv~ ди ~dH~f"du~dv~t~du~b4
и определяя аналогично guu и gm, можем написать квадрат эле-
мента дуги на поверхности в виде
do2 = guu dua + 2gus du dv + gm dv*, B.03)
или, короче,
da^^^g^dudv. B.04)
и, v
Мы будем пользоваться обозначениями для ковариантных
и контравариантных составляющих векторов и тензоров, подни-
мая и опуская значки при помощи «метрического» тензора gHV,
входящего в B.04). Если положить
g=guugw — (?uvJ> B.05)
то контравариантные составляющие метрического тензора будут
равны
guu = Svv ^ guv==_imf gvv =guu. B.06)
б о е>
Совокупность величин B.06) называют также тензором, обратным
по отношению к тензору gUD. Элемент поверхности напишется
в виде
dS = Vgdudv. B.07)
В дальнейшем нам придется иметь дело с ковариантным диф-
ференцированием на поверхности. Для этого положим
дх0 &хп ду0 д*у0 дгп дРг0 _
где вместо комбинации и, v можно написать также и, и или и, v,
а буква w может принимать значения и, v.
Величины [uv, w], называемые скобками Кристоффеля, могут
быть выражены через производные от guv, а именно:
- B-09)
В нашем случае имеется шесть скобок Кристоффеля — три ве-
личины вида
B.10)
ди

Гл. 8. Обобщение отражательных формул 159
и три другие величины, получаемые из предыдущих заменой и
на v, и обратно. При помощи них образуем «тензориальные
параметры» (или «скобки Кристоффеля второго рода»), т. е. вели-
чины
rp4r = gpuW, u)+gpo[qr, v), B.11)
где каждая из букв р, q, r может принимать значения и, v.
Пусть / (и, v) есть некоторая функция точки на поверхности.
Ковариантные составляющие ее градиента на поверхности будут
равны
а контравариантные составляющие будут
SU _UUf , „UVf fV UVf . VVf in 1O\
' —g lu+g Ivy I =g lu+g Ivy B. Id)
причем квадрат градиента равен
^ (If. B.14)
Квадрат градиента есть скаляр, т. е. не зависит от выбора коорди*
натных параметров и, v.
Вторая ковариантная производная от функции / (и, v) отли-
чается от обычной второй производной членами, линейными
относительно первых производных той же функции. Мы имеем:
. _ 9»f ru df rv dl
IUU — -gtf — I UU du t UU fo ,
u df rv df
uv~du~~~1 uv dv
df r0 df
du ~ v0 dv '
B.15)
Можно доказать, что совокупность величины fUttt fuV, fm пред-
ставляет симметричный тензор, и выражение
fuu № + 2fuv du dv + fvv dv* B.16)
не зависит от выбора координат и, v.
Перейдем теперь к формулам для составляющих вектора нор-
мали к поверхности и их производных по параметрам и, v; послед-
ние связаны с радиусами кривизны нормальных сечений поверх-
ности. Мы имеем:
^^^^ и т. д., B.17)
du dv dv du

160 Теория диффракции
где буквы «и т. д.» означают два аналогичных выражения, полу-
чаемых круговой перестановкой букв (х, у, г).
Очевидно, что
Положим
G - п д*х° 4- п -^ 4- п ^ i
~ by-fafaT "ж-gtto* ) B.19)
В силу равенств B.18) мы можем заменить здесь обыкновен-
ные вторые производные от х0, у0, г0 ковариантными вторыми
производными. В самом деле, полагая в B.15) последовательно
/ = х0, f — yQ, f — z0, умножая на пх, пу, пг и складывая, мы
получим слева линейную комбинацию ковариантных вторых про-
изводных, а справа выражения B.19), так как в правой части
члены с первыми производными сократятся вследствие B.18).
Отсюда следует, что совокупность величин Guu, GUD, GvD представ-
ляет собой тензор, который, очевидно, будет симметричным.
В силу тех же равенств B.18) взятые с обратным знаком вели-
чины Gm и т. д. можно написать в виде
г _ дпх дха дпу ду0 дпг дг0 .„ оп.
~~Uuo ~ ~дп~ ~dv"T~ ди ~W +~W~W V"*")
Отсюда следует
—S Guv dudv = dnx dx0 + dny dy0 + dn2dz0. B.21)
U, V
Положив
dnx = -^-+6nx и т. д., B.22)
где бесконечно малый вектор бп перпендикулярен к вектору
нормали пик вектору смещения (dx0, dy0, dz0), получим
-SGuodu<fo = ^, B.23)
и, v "¦
где da2 есть квадрат вектора смещения, даваемый выражением
B.03).
Соотношения B.22) показывают, что R есть радиус кривизны
сечения поверхности плоскостью, содержащей вектор нормали

Гл. 8. Обобщение отражательных формул 161
и вектор смещения. Таким образом, формула B.23) дает выраже-
ние для радиуса кривизны R в зависимости от направления плос-
кости нормального сечения.
Решая уравнения B.20) относительно производных от пх,
пу, пг по и, v, получим
ди — и« ди и« dv
dv " ди v dv '
B.24)
где величины G% получаются из Guv по формулам, аналогичным
B.13).
Обозначив через Rt и R2 главные радиусы кривизны нормаль-
ного сечения поверхности, мы будем иметь
кТ. -Ъ-Ъ B-26)
Величина К есть гауссова кривизна поверхности.
3. Сечение пучка отраженных лучей
Формулы Френеля дают значения амплитуды отраженной волны
на поверхности тела. Для нахождения амплитуды отраженной
волны на некотором расстоянии от поверхности необходимо иметь
формулы для сечения пучка, опирающегося на площадку dS
поверхности тела и прошедшего после отражения заданный путь s.
Такие формулы были выведены нами в главе 6 для случая, когда
падающая волна — плоская. В настоящей главе мы выведем их
для общего случая произвольной падающей волны.
Согласно закону отражения, написанному в форме A.17),
единичные векторы а и а*, характеризующие направления падаю-
щего и отраженного луча, выражаются через касательный к поверх-
ности вектор Ь по формулам
a = b — ncosfl, C.01)
a* = b + ncosfl, C.02)
причем
n-b = 0; b2 = sin2ft. C.03)
Обозначим через и (и, v) значение фазы \р падающей волны
в точке (и, v) поверхности тела. Так как вектор а есть градиент
фазы ¦>)>, то касательные к поверхности составляющие вектора а
11 В. А. Фок

162 Теория диффракции
(которые в силу C.01) равны касательным составляющим вектора
Ь) могут быть выражены через производные от со по и и по v.
В свою очередь, эти производные выражаются через составляю-
щие вектора Ь. Мы имеем:
=
— -Ши-их-^-г "у-дТ-Г^г-^,
Зш , дх0 . ду0 . , дг0
dv ° * dv ' " dv dv
C.04)
Присоединяя сюда первое уравнение C.03), мы можем решить эти
три уравнения относительно Ъх, by, bz. Мы получим
k-^-Sr + ^-w- ит-д- C-05>
где величины со", (о0 связаны с производными (оы, (ов соотноше-
ниями, аналогичными B.13).
Второе равенство C.03) может быть написано в виде
, = (йи(йи + 4е00 — sin2 ®- C.06)
и, v и, v
Таким образом, угол падения ft непосредственно выражается
через иы, и0.
Рассмотрим уравнения
x = xo-}-sax и т. д., C.07)
которые могут быть написаны в виде
х = х„ + sbx + s cos ft rtj,. и т. д. C.08)
В правых частях этих уравнений все величины, кроме s, пред-
ставляют известные функции точки (и, v) на поверхности. Считая
(и, v) постоянными и меняя s, получим уравнение луча, отразив-
шегося отточки и, v. Параметр s, есть, очевидно, путь, пройденный
лучом после отражения. Так как фаза падающей волны в точке
отражения есть ю (и, v), то фаза % отраженной волны будет равна
X = s + (o(«, v). C.09)
Выражая в C.07) s через %, получим
(X
C.10)
При постоянном х формулы C.10) представляют параметрические
уравнения волновой поверхности отраженной волны.

Гл. 8. Обобщение отражательных формул
163
Если мы в формулах C.10) будем менять и, v в пределах
(и, и + du), (v, v + dv), то получим некоторый участок волновой
поверхности. Этот участок можно рассматривать как сечение вол-
новой поверхностью пучка отраженных лучей, опирающегося
на площадку dS — Ygdudv. Так как лучи перпендикулярны
к волновой поверхности, то сечение это будет нормальным. Обоз-
начив площадь его через D (s) dS, будем иметь
D(s)dS =
ах
ди
дх_
dv
ди
ду_
dv
аг
дг
ди
дг
dv
dudv.
C.11)
откуда
VS
их
дх_
ди
дх
dv
EL
ди
EL
dv
аг
дг
ди
дг_
dv
C.12)
В этих формулах величины дх/ди и т. д. означают производные
от выражений C.10), взятые при постоянном %. Значение опреде-
лителя, однако, не изменится, если заменить их производными
при постоянном s (как это сделано в главе 6). В самом деле, имеем:
dx\_fdx\
и т. д.,
C.13)
и в результате такой замены вторая и третья строки определи-
теля изменятся на величины, пропорциональные элементам пер»
вой строки. Геометрически это значит, что сечение пучка любой
поверхностью (например, поверхностью s = const), будучи спро-
ектировано на плоскость, перпендикулярную отраженному лучу,
даст нормальное сечение пучка.
4. Вычисление определителя
Непосредственное вычисление определителя C.12) приводит
к сложным выкладкам. Выкладки эти могут быть, однако, значи-
тельно упрощены, если в векторах, входящих в первую, вторую
и третью строки определителя, перейти от составляющих по
осям х, у, г к составляющим по двум касательным направлениям
и по направлению нормали к отражающей поверхности.
П*

164
Теория диффракции
Пусть мы имеем определитель
д =
Положим
А — А дх°
А - А 2±
л* - Лх dv
А„ = Ахпх +
By
Су
дУо
Аг
Вг
Сг
D.01)
дг0
ди
dv
А2пг,
D.02)
откуда обратно
Ау =
,и дх0
ди
ди
?^+АпП*
D.03)
Здесь А" и Av связаны с Аи и Л„ по формулам, аналогичным
B.13).
Аналогичное преобразование введем для двух других входя-
щих в определитель векторов В и С.
Мы будем тогда иметь
и А„ А„
а также
Vg
A=Vg
ви bv вп
С Г" с
Au Av An
Ви Bv Вп
Си С° Сп
D.04)
D.05)
Чтобы применить эти формулы к вычислению определителя C.12),
мы должны положить
Л * Л * Д *•
/ljc — i*Xi ^^У ~~~~ У) f^Z ~~" "Z'
n dx r, du п dz
__ дх г __ ду
ди>
дг
D.06)

Гл. 8. Обобщение отражательных формул 165
Согласно C.02) и C.03) получим тогда
Аи = соы; Ао = со0; Л„ = cos ft. D-07)
Вычисление новых составляющих векторов В и С значительно
сложнее. Мы имеем:
в — -!Ё» _ & а' _i_ s -^- D.08)
ди аи '
и согласно A.17)
По формуле B.20) имеем:
дпх дх0 , dity ду0 . dnz dz0 ^ /А ]()\
причем это выражение симметрично относительно и, v.
Вычислим теперь величину
, дЬх дх0 . дЬу ду0 . db2 дга ,. 11 \
"° ди dv ~^~ ди dv i~ ди dv \ • )
Вследствие формул C.04) эту величину можно написать в виде
(
dudv ~\Ох диди ^°у dudv
, d*z0 \
°г дидо)*
откуда видно, что Ьи0 также симметрично относительно и, v.
Подставив сюда вместо Ъх, Ьу, Ьг выражения C.05) и пользуясь
B.08), можно эту величину написать в виде
*0"^' «]-«О[«у. v]. D.13)
Вводя по формулам B.11) «тензориальные параметры» Г"чп
мы можем также написать
и0 ~ ди dv иг№и / ui№v D.14)
Сравнивая это выражение с B.15), получаем простой результат
Ьи0 = (>>и0, D.15)
где шио есть вторая ковариантная производная от фазы со.
Этот результат справедлив не только для значков (и, v), но
и для других комбинаций значков {и, и) и (и, v).

166
Теория диффракции
Полученные формулы позволяют найти значения Ви, Во, С„,
Со (мы их выпишем ниже). В выражения для Вп и С„ входят
величины
Pdbx . dby дЬг
" ди ' и ди ' z ди '
ft —я -Ё^-4-я _^L 4-я -^
Ро — «j: a -f "^ д„ ~Г пг д.. •
D.16)
Вычислим одну из них. Вследствие (Ь-п) = 0 имеем
D.18)
Подставляя сюда вместо Ьх, Ьу, Ьг выражения C.05) и поль-
зуясь B.20), получим
Р« = Guuau + Guo(j>", D.19)
аналогично
ft, = Gou<ou +
D.20)
Теперь мы можем выписать новые составляющие всех векторов.
Мы имеем:
В и = guu — <» А + s К„ — cos ftGuu),
&v = guv — ®uav + S (@UD — COS $GUO),
Bn = - cou cos « + s (Guuco° + Guoav +
Cu = ^u — смоы + s (иш — cos $GVU),
Cv — g00 — со„со0 + s (со„0 — cos ¦OG^),
Cu = - ш0 cos О + s
D.21)
D.22)
Кроме того, согласно D.07)
Аи = (оы, Ао = (о0, Л„ = cos ft.
С этими значениями А, В, С определитель D (s), дающий се-
чение пучка лучей, будет равен
Аи Av An
Ви Bv Вп
Сц Cv Сп
D.23)

Гл. 8. Обобщение отражательных формул
167
Это выражение для определителя может быть значительно
упрощено при помощи соотношений
Аиа" + Avav + A, cos О = 1,
Ви(о" + Воь>° + Вп cos О = О,
Сысо" + С„со° + С„ cos ft = 0.
D.24)
Соотношения эти легко проверяются. Мы имеем согласно C.06)
(о„со" -f со0(о" = sin2 Ф = 1 — cos2
D.25)
Беря от этого выражения ковариантную производную по и
и по v (она совпадает с обыкновенной производной), получаем по
разделении на 2
ди
D.26)
Подставляя в D.24) явные выражения D.07), D.21), D.22) для
составляющих векторов Л, В, С и используя D.25) и D.26), убеж-
даемся в справедливости соотношений D.24). Геометрический
смысл этих соотношений очевиден. Они выражают тот факт, что А
есть единичный вектор нормали к волновой поверхности, а век-
торы В и С к нему перпендикулярны.
Умножая в D.23) третий столбец на cos ft и используя D.24),
получим
1
Ви Bv
Сы
D.27)
Вц Bv 0
си cv о
Это выражение приобретает более изящный вид, если ввести
симметричный тензор
Тио = guv - «уо„ + s (<вно - cos ftGu0). D.28)
Согласно D.21) и D.22) имеем тогда
Ви = Тиш ВИ = ТЫО, D.29)
CU = TVU, CO = TOO, D.30)
и определитель D.27) примет вид
) Т Т
I ' ии 1 uv
S Т Т
D.31)

168 Теория диффракции
Если ввести смешанные компоненты тензора Ти0 по формулам
VD, D.32)
можно вместо D.31) написать
rpU rpU
I U I V
D.33)
1 и 1 v
или, раскрывая определитель,
D (s) cos ¦Q^TuTl — TvTl. D.34)
Таким образом, вычисление определителя D (s) сведено к вы-
числению тензора Тиа, которое никаких затруднений не пред-
ставляет.
5. Дифференциальная геометрия волновой
поверхности
Согласно C.10) уравнения
х = Хо + (% — со) а* и т. д. E.01)
представляют, при постоянном %, параметрические уравнения по-
верхности отраженной волны. При этом каждой точке на волновой
поверхности сопоставляется определенная точка на отражающей
поверхности, а именно та, которая лежит на одном и том же луче.
Этим двум точкам соответствуют одни и те же значения парамет-
ров и, v. Параметры и, v и фазу % можно толковать как криволи-
нейные координаты в пространстве.
Квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точ-
ками будет иметь вид
dl2 = S guv du dv -f- d%. E.02)
u, v
В этом выражении произведения дифференциалов du d% и dv d%
будут отсутствовать, а квадрат дифференциала d% будет входить
с коэффициентом единица.
Квадратичная форма
dJ= Ytg'uvdudv E.03)
и. о
представляет квадрат элемента дуги на волновой поверхности.

Гл. 8. Обобщение отражательных формул 169
Найдем коэффициенты этой квадратичной формы. Припоминая
выражения D.06) для векторов В и С, мы можем аналогично
B.08) написать
glu = В2, glv = ВС, gU= С2. E.04)
При вычислении скалярного произведения и квадратов векторов
В и С мы можем пользоваться их составляющими D.21) и D.22).
Мы будем иметь, например,
В2 = 2 g""BuB0 + В2. E.05)
и, v
Используя соотношения D.24) и вводя обозначения
ии __ ии . Сй"Сй°
мы можем написать
В* = S у""ВиВ0. E.07)
И, V
Обозначая значки суммирования буквами р, q и пользуясь D.29),
получим из E.04)
guu = S •fTupTuq- E-08)
P. 9
Аналогично
*««,= Sy<VT0,, E.09)
p. ч
Таким образом, коэффициенты квадратичной формы E.03) непо-
средственно выражаются через тензор Ти0. Обозначив через g*
определитель
g* = guugvv — guvgvu E.11)
(дискриминант квадратичной формы), будем иметь на основании
E.08)—E.10)
g=Dety»(DetrB0)a, E.12)
откуда
g=gD{sf. E.13)
Элемент dS* поверхности отраженной волны, соответствующей
элементу dS отражающей поверхности, равен
dS* = Yg* dudv = D (s) Vgdudv = D (s) dS, E.14)
как и должно быть.

170 Теория диффращии
Величины Tuv являются линейными, а величины g*uv — ква-
дратичными функциями от s. При s = 0 мы имеем
guv @) = Tuv @) = guv — соы(о„. E.15)
Заметим, что этот тензор является обратным тензору у1.
При произвольном s мы можем написать
Тио (s) = Тщ, @) — sfuv @), E.16)
где согласно D.28)
Tuv @) = couo — cos 0GBO, E.17)
а также
guv (s) = Tuv @) + 2sTU0@) + s2 S т"^ (О) Г;„ @). E.18)
p. ч
Перейдем к вычислению второй квадратичной формы, опре-
деляющей радиусы кривизны волновой поверхности. Определение
ее аналогично B.20), только вместо вектора п нужно подставить
вектор а* нормали к волновой поверхности, а вместо величин
dxjdv и т. д. — величины dxldv и т. д., т. е. составляющие «век-
тора» С [формула D.06)]. Согласно этому определению мы имеем
G* (S) *L*L + ^JiL i i? дг E im
ди dv + ди dv ^ du ~W
Но это выражение уже было найдено нами при вычислении g*uv.
Пользуясь D.08), мы можем написать
—sGmuv (s) == ( Вх - -^- + аъа?} Сх Н , E.20)
где многоточием обозначены произведения составляющих по осям
у и г. Отсюда
—sG"uv (s) = В • С — Си = guv (s) — Tuv (s). E.21)
Таким образом, коэффициенты первой и второй квадратичной
формы связаны с тензором Тио (s) соотношением
glv(s)+sGUv(s) = Tuv(s). E.22)
Отсюда и из E.16) и E.18) можно найти и явное выражение для
G*uv (s), а именно
—Glv (s) = Tuv @) +¦ s S YP^«P @) T'qv @). E.23)
л. ч

Гл. 8. Обобщение отражательных формул 171
В частности, при s = О вследствие E.17) будет
—G'uv @) = юио — cos ®GU0. E.24)
Таким образом, для отраженной волны как первая, так и вторая
квадратичная форма нами получена.
Аналогичные вычисления могут быть произведены и для падаю-
щей волны. Для этого достаточно заменить в C.07) и в других
формулах а* на а [формула C.01)] и считать s отрицательным,
так что (—s) есть расстояние, считаемое по лучу, до точки падения
на поверхность. Мы ограничимся тем, что приведем формулы для
значений коэффициентов g°uv @) и G°uv @) первой и второй квадра-
тичной формы падающей волны в точке падения луча. Мы будем
иметь
glv @) = guv — <»«wt>. E-25)
—G°uv @) = a>uv + cos ftGuv E.26)
Из этих формул видно,'что значения g°uv и g*m на отражающем
теле совпадают, а выражения для G°uu и G*ua отличаются знаком
в члене, содержащем cos Ь. Соотношением E.26) удобно пользо-
ваться в том случае, когда падающая волна — плоская: тогда
G°uv =0 и, следовательно,
©„o = -cosftGUo. E.27)
Подставляя это значение в D.28), получим
Tuv = gw — w«©a — 2s cos bGUv E-28)
Вычисляя величину D (s) по формуле D.34) и пользуясь D.25),
будем иметь по сокращении на cos ft,
D (s) = cos # — 2s (Gcos2 § + 2 GUJ(a)"a)o\ + 4s2 cos Щ. E.29)
Здесь К и G имеют значения B.25) и B.26).
Чтобы выяснить геометрический смысл суммы, входящей во
второй член E.29), заметим, что если du и dv — составляющие
смещения на поверхности отражающего тела в плоскости падения
луча, a do — величина этого смещения, то мы имеем
du со" dv а>° /г олч
Поэтому, обозначив через Ro радиус кривизны сечения поверх-
ности плоскостью падения, будем иметь

172 Теория диффракции
Подставляя это значение суммы в E.29) и выражая G а К согласно
B.25) и B.26) через главные радиусы кривизны, получаем для слу-
чая падающей плоской волны следующее выражение для D (s):
E.32)
Эта формула была выведена нами в главе 6.
6. Отражательная формула
Полученные результаты позволяют найти (в приближении
геометрической оптики) электромагнитное поле отраженной волны.
Поле падающей волны мы писали в виде
еУ*ф, н°е'**. F.01)
Так как со (и, v) есть значение фазыя|з на поверхности отражающего
тела, то на поверхности тела поле падающей волны будет равно
Е°(«, v)eika; И0 (и, v)eika; F.02)
где Е° (и, v) и Н° (и, v) — значения амплитуд Е° и Н° на поверх-
ности тела.
Зная Е° (и, v) и Н° (и, v), можно найти по формулам Френеля,
приведенным в параграфе 1, значения Е* (и, v) и Н* (и, v) ампли-
туд поля отраженной волны на поверхности тела. Поле отраженной
волны на этой поверхности будет равно
Е>, y)e'*w; Н*(и, v)eika>. F.03)
Таким образом, величины F.03) можно считать известными (по
крайней мере, на освещенной части поверхности достаточно далеко
от границы тени).
Нам нужно найти поле на некотором расстоянии от поверх-
ности. Для каждой из составляющих электромагнитного поля
задача эта сводится к следующему. Требуется найти функцию F,
удовлетворяющую уравнению колебаний
AF + k*F = 0 F.04)
и условию излучения и принимающую на поверхности тела задан-
ное значение
F = f(u, v)etk«><u-v). F.05)
В нашем случае k есть большой параметр, а / (и, v) — медленно
меняющаяся функция. Последнее утверждение следует понимать

Гл. 8. Обобщение отражательных формул 173
в том смысле, что деленные на k производные от функции по каса-
тельным к поверхности направлениям малы по сравнению со зна-
чениями самой функции. В этом случае легко указать прибли-
женное решение нашей задачи. Очевидно, что фаза искомой функ-
ции получится заменой <й на
X = со + s, F.06)
где s — путь, пройденный лучом после отражения. Амплитуда
же ее изменится обратно пропорционально корню квадратному
из площади сечения пучка отраженных лучей.
Таким образом, мы приходим к формуле
F = f(u, о)]/Це"*, F.07)
где % имеет значение F.06).
Формула F.07) может быть выведена следующим образом.
Будем искать F в виде
F = Уре"х\ F.08)
где р и х' — некоторые функции от координат, не зависящие от
параметра k.
Подставляя F.08) в уравнение колебаний F.04), получим
AF + k2F = е'**' [k2V~p(\-(gradX'f) +
F-09)
Уравнение колебаний будет приближенно удовлетворяться,
если в выражении F.09) члены порядка k2 и порядка k обратятся
в нуль. Для этого фаза %' и квадрат амплитуды р должны удовле-
творять уравнениям
(gradx'J = 1, FЛ0)
div (p grad x') = 0. F.11)
Введем теперь криволинейные координаты и, v, x. связанные
с прямоугольными декартовыми координатами х, у, z соотноше-
ниями C.10), и напишем уравнения F.10) и F.11) в этих криво-
линейных координатах. Вводя по формулам, аналогичным B.06),
тензор g'uv, обратный тензору guv, определяемому формулами
E.08)—E.10), будем иметь вместо F.10)
8 ди dv + \ дХ ) V
И, V

174 Теория диффракции
и вместо F.11)
Уравнение F.12) удовлетворяется, если положить
X = %¦ F.14)
Уравнение F.13) приводится тогда к виду
-|r(pKi*) = 0, F.15)
и, так как согласно E.13)
Vg*=VgD(s), F.16)
где g не зависит от %, оно будет удовлетворено, если положить
pD(s) = ф(и, о), F.17)
где ф — произвольная функция от и, v.
Чтобы получить совпадение с F.07), достаточно положить
Щ- F-18)
Таким образом, мы доказали, что функция F.07) приближенно
удовлетворяет уравнению колебаний F.04). Очевидно, она удов-
летворяет также условию излучения (фаза ее возрастает с воз-
растанием s). Наконец, при s = 0 она приводится к заданной
функции F.05). Следовательно, она удовлетворяет всем поставлен-
ным условиям.
Применяя формулу F.07) к полю отраженной волны и при-
бавляя к нему поле падающей волны, мы получим отражательную
формулу в виде
Е = Еое«* + Е* {и> v) |/Ж>*, F.19)
Н = н?*ф + Н* (и, v) 1/^10) е'*х. F.20)
f U (S)
В заключение заметим, что если отражающее тело выпуклое,
то отражательная формула применима во всем освещенном про-
странстве достаточно далеко от границ тени (также и на больших
расстояниях от тела). Если же тело вогнутое, то при некоторых
значениях s возможно обращение знаменателя D (s) в нуль (фо-
кальные поверхности и линии). Вблизи фокальных линий и по-
верхностей геометрическая оптика и, в частности, отражательная

Гл. 8. Обобщение отражательных формул 175
формула, неприменима, так как там не выполнено условие о том,
чтобы амплитуда была медленно меняющейся функцией от коор-
динат.
Переход отражательной формулы на границе тени в диффрак-
ционные формулы исследован (для плоской падающей волны и для
малых расстояний от поверхности тела) в главе 6.
7. Отражение сферической волны
от поверхности шара
В качестве примера применения выведенных формул рассмот-
рим отражение сферической волны от поверхности шара. Пусть
г, ¦©, ф — сферические координаты. Уравнение отражающей по-
верхности имеет вид г = а. Роль гауссовых параметров и, v играют
углы ¦©, ф, так что в наших общих формулах мы можем положить
u = ft, у = ф. G.01)
Пусть источник расположен в точке ft = 0, г = Ь. Значение
фазы падающей волны на поверхности шара будет тогда
w(ft, ф) = "|/а2 + Ь2 — 2abcosft. G.02)
Элемент поверхности шара напишется
da2 = a2 (dft2 + sin2 ft^p2), G.03)
откуда
goo = a2. ?Оч> = 0> ?w = a2 sinS *. G-04)
= a2 sin ft, G.05)
sin'
По свойству шара вторая дифференциальная форма будет пропор-
циональна первой, и мы будем иметь
Gm = —a, 0^ = 0, GOT = — a sin2 ft. G.07)
Ковариантные производные от фазы со будут равны
аЬ sin ft n /7 пЛч
ш# = п^— > м<р = 0, (/.U»)
а контравариантные производные напишутся
м<> = _^п_»_( с9ф = 0> G>09)

176
Теория диффракции
Угол падения луча (который мы обозначим теперь через у,
так как буква ft у нас занята) определится из равенств
sin у =
6 sin
cosy =
Ь cos ft — a
0)
G.10)
вытекающих из D.25). Чтобы вычислить вторые ковариантные
производные от фазы, составим по формулам B.08)—B.11) скобки
Кристоффеля. Мы имеем:
Г<н> = 0, Г&р = 0,
= —sin ft cos ft,
G.11)
Подставляя эти значения в общие формулы B.15), получаем
аЬ
= -7W (b C0S # ~~ fl) (Ь — а C0S *)'
а>та> = sin2 # cos Ь.
W О)
Теперь мы можем составить тензор Тио. Мы имеем:
G.12)
-f?- (b cos ft — a) (a>2 + ft2 — aft cos ft),
Тфф = a2 sin2 ft + — sin2 # Bft cos.ft — a).
G.13)
Перейдем теперь к смешанным составляющим Т# и т. д. и выразим
Ь sin О и 6 cos ft при помощи G.10) через а, « и у. Мы получим
тогда как
Т% = Т% = 0.
Согласно D.34) величина D (s) cos у равна произведению ве-
личин G.14). Отсюда
<лЮ (s) = ((s + (й) cosy + -^-) (s + « + -^- cos у) . G.15)
Это выражение симметрично относительно 5 и «.

Гл. 8. Обобщение отражательных формул 177
Наши результаты позволяют сразу написать отражательную-
формулу для вертикальной составляющей электрического и маг-
нитного векторов Герца, которая удовлетворяет скалярному
уравнению колебаний.
Обозначая буквой R расстояние от источника, равное
r2 — 2br cos#, G.16)
будем иметь для электрического вектора Герца
JkR
V
где N— коэффициент Френеля A.10).
Для магнитного вектора Герца получится такая же формула,
только вместо N будет стоять другой коэффициент Френеля М.
Вводя для D (s) выражение G.15) и полагая для краткости
a(s+o) =С*' GЛ8)
мы будем иметь
II _ ± i n I/
u ~~ R ^ (o+s V
Эта формула может быть сравнена с той, которая получается из
диффракционных формул, выведенных в главе 12 для случая
скользящего падения луча и для расстояний от поверхности
шара, малых по сравнению с его радиусом. Указанная формула
приводится к виду
^( У) G.20)
R\p — iqVp + pi 1 '
Здесь
1т к т| — 1 /т oi\
J , G.21)
причем
m=V-iF- G-22)
Необходимым условием применимости отражательной формулы
G.20) являются большие положительные значения величины р;
если же р порядка единицы, вступают в силу диффракционные
формулы.
12 в. А. фок

178 Теория диффракции
Нетрудно видеть, что формула G.20) в должном приближении
совпадает с G.19). Так как величины сх и cos у малы по сравнению
с единицей, то их произведением в G.19) можно пренебречь.
Далее, величину « + sb знаменателе можно заменить на R. Для
той же величины в показательной функции можно воспользоваться
выражением
откуда приближенно
k (co + s — R) = kacx cos2 у = 2ргрг. G.24)
Далее,
_ Р п 9е\
Наконец, мы имеем для малых cos у и для ц, = 1:
Еслн использовать эти приближенные выражения, то совпадение
между G.19) и G.20) будет полным.

ГЛАВА 9
ПОПЕРЕЧНАЯ ДИФФУЗИЯ КОРОТКИХ ВОЛН,
ОГИБАЮЩИХ ВЫПУКЛЫЙ ЦИЛИНДР *
Двухмерная задача диффракции коротких волн на выпуклом цилиндре произ-
вольного сечения с плавно меняющейся кривизной приведена к решению пара-
болического уравнения, выраженного в лучевых координатах. Раднус кривизны
цилиндра предполагается большим по сравнению с длиной волиы. Рассматри-
ваются предельные условия импедансного типа (причем, однако, импедансный
параметр должен изменяться вполне определенным образом в зависимости от кри-
визны). Наиболее важный случай рассматриваемых условий соответствует абсо-
лютно отражающему цилиндру. При указанных предположениях получено
асимптотическое решение диффракционной задачи для любого расположения
источника и точки наблюдения. Установлена группа преобразований параболи-
ческого уравнения, позволяющая сравнивать решения задачи для семейства
цилиндров, зависящих от одного параметра.
/. Введение
Как мы видели в предыдущих главах, поле вблизи поверхности
проводящего выпуклого тела (с предельными условиями импеданс-
ного типа) выражается через некоторые универсальные функции.
Первоначально предложенные нами в работе [5] выражения (см.
главу 5) относились к области полутени, но исследование диф-
фракции от шара и от круглого и эллиптического цилиндра [30—
32], показало, что те же выражения пригодны и для глубокой
тени. Это позволяет думать, что можно найти более общие выра-
жения для поля, которые описывали бы диффракцию и от других
тел с переменной кривизной и были бы пригодны для любых рас-
стояний от поверхности тела.
Такого рода обобщения могли бы быть основаны, с одной сто-
роны, на понятии диффрагированных лучей [26] и, с другой
стороны, — на понятии поперечной диффузии [29]; последнее
представляет физическое толкование параболического уравнения
Леонтовича.
* Фок и Вайпштейн, 1962.
12*

180
Теория диффракции
2. Лучевые координаты
Мы рассмотрим здесь двухмерную задачу диффракции, а именно
диффракцию цилиндрической волны на выпуклом цилиндре про-
извольного сечения. Мы будем пользоваться «лучевыми коорди-
натами», введенными Малюжинцем A31, 32]) и определяемыми
Рис. 1. Лучевые координаты для случая, когда точка на-
блюдения в теневой области.
согласно рисункам 1 и 2. Пусть 1, г\ — лучевые координаты для
точки наблюдения Р, а !¦', tj' — лучевые координаты для источника
Р'. (Источник предполагается двухмерным, т. е. расположенным
Рис. 2. Лучевые координаты для случая, когда
точка наблюдения в освещенной области.
на прямой, параллельной образующим цилиндра; Р' есть сечение
этой прямой плоскостью чертежа.) Прямые РТ и Р'Т' касательны
к цилиндру. Положения точек касания Т и 7" определяются двумя
дугами:
г) = Т0Т и т,' - TJ', B.01)

Гл. 9. Поперечная диффузия на цилиндре 161
причем точка То на контуре (начало отсчета дуг) взята произ-
вольно. Положения точек Р и Р' определяются двумя расстоя-
ниями:
I — т, = РТ и т|' — %' = Р'Т'. B.02)
Положительное направление дуг предполагается таким, что
I > ?'; тогда, если точка Р находится в области тени (как на
рис. 1), мы будем иметь т) > т)', и полная длина Р'Р (включающая
два прямолинейных участка и криволинейную часть tj — tj'
на поверхности цилиндра) будет равна
{n'-l') + (n-n') + (t-4) = l-t'. B.03)
Выраженная в лучевых координатах величина квадрата эле-
мента дуги в плоскости нормального сечения цилиндра будет
иметь вид
ds* = d? + ?^fdrf, B.04)
где р (tj) есть радиус кривизны цилиндра; величина
Л=тйг <2-05)
представляет приращение угла О между касательной и некоторым
фиксированным направлением.
Так как уравнение цилиндра есть | — т) = 0, то элемент дуги
в касательном направлении есть ds = d\, а элемент дуги по нор-
мали вблизи поверхности есть
<*л = а-Л)Л> = -^3-*,. B.06)
Используя введенный выше угол О, мы можем составить выра-
жения
a
У =
B.07)
которые могут быть истолкованы как прямоугольные координаты
в плоскости сечения цилиндра.
Введенные выше лучевые координаты могут быть также ис-
пользованы в той части области полутени, где т] < х\' (см. рис. 2).

182 Теория диффракции
3. Дифференциальные уравнения
Введем функцию Грина Г в многолистной Римановой плоскости.
Это есть функция от двух пар координат: от координат |, tj точки
наблюдения и координат ?', tj' источника. Функция Грина Г
должна удовлетворять уравнению колебаний
&Г + &Г = 0 C.01)
с предельным условием
^- + ikgF = 0 C.02)
OfX
на поверхности цилиндра; кроме того, она должна удовлетворять
условию излучения на бесконечности.
Падающую цилиндрическую волну мы будем писать в виде
Г° = ЫН{о1) (kr), C.03)
где г — расстояние между точками Р и Р'.
Тогда особенность функции Грина Г определится требованием,
чтобы разность Г — Г° и ее производные по координатам оста-
вались везде конечными и непрерывными.
Для цилиндра с бесконечным периметром функция Г приво-
дится к обыкновенной функции Грина; в общем же случае послед-
няя выражается через Г.
Из выражения B.04) для ds2 следует, что в лучевых коорди-
натах уравнение колебаний принимает вид
= 0.C.04)
I — Л д\
При помощи подстановки
Г = е» d-V)W C.05)
уравнение C.04) приводится к виду
[р- ~ (I — г\) ~ + D2 + ikR] W = 0, C.06)
где D и R — операторы
Оператор D (так же, как и вводимые ниже операторы Du D2
и Ds) связан с поперечной диффузией и может быть назван «диффу-
зионным оператором». Оператор R (так же, как и Ry, jRp и /?а,
см. ниже) связан с законом убывания амплитуды цилиндрической
волны и может быть назван «лучевым оператором». Что касается

Гл. 9. Поперечная диффузия на цилиндре 183
дифференциального оператора второго порядка в первом члене
C.06), то этот оператор связан с продольной диффузией.
Если пренебречь обоими диффузионными операторами, то
уравнение C.06) приводится к виду
RW = 0 C.08)
и допускает решение
W= JJUL, C.09)
выражающее закон убывания амплитуды в области, где диффузия
отсутствует (в области GD рис. 3, приведенного в параграфе 6).
Чтобы оценить относительную важность обоих диффузионных
операторов, введем безразмерную величину
V> (ЗЛО)
и перейдем от переменных |, т] к новым независимым переменным
f ft ,._ НЕ-Ч)
2 J Y
Взяв в качестве новой неизвестной функции величину Wlt
определяемую равенством
мы получим для Wx уравнение
[L2 + D\ + (x + -у) Di + 2iRy] Wr = 0, C.13)
где L, Dx a Ry суть операторы
Ry = 2-f-^ + y, C-15)
а величина % есть функция

184
Теория диффракции
Преобразование от C.06) к C.13) легче всего выполняется при
помощи соотношении
УМD2 -±, =
Ум
op
v
C.17)
которые связывают соответствующие операторы. Оператор L
соответствует продольной, а оператор DY — поперечной диффу-
зии; Ry есть новый лучевой оператор.
Если на дуге Т'Т радиус кривизны р (г)) велик по сравнению
с длиной волны, то определяемая формулой C.10) величина М
будет велика. Так как оператор L содержит М в знаменателе,
то в выражении C.13) член с L2 будет малым порядка 1/М2 по
сравнению с другими членами. Отбрасывая его (и тем самым пре-
небрегая продольной диффузией), мы приходим к параболичес-
кому уравнению
±)Di + 2iRy] Wx = 0,
которому соответствует уравнение
(D2 + ikR) W = 0
C.18)
C.19)
в первоначальных переменных |, i\.
Для некоторых целей, в частности для исследования решения
вблизи поверхности цилиндра, полезно применить еще одно
преобразование. Положим
C.20)
и введем обозначения
•- 7 ~ Ж + 2х^3'
C.21)
где
dz)-

Гл. 9. Поперечная диффузия на цилиндре 165
Мы будем тогда иметь
л_ i_
_L __L " C-23)
и уравнение C.18) принимает вид
[р\ + у D2 + 2г7?э) W2 = 0. C.24)
Уравнение контура цилиндра в первоначальных координатах
имело вид ? = т), а в преобразованных координатах оно прини-
мает вид соответственно 7 = 0 и р* = 0.
Параболическое уравнение принимает наиболее простую фор-
му, если ввести вместо tj новую независимую переменную
и произвести соответствующую замену неизвестной функции.
В результате получается уравнение с постоянными коэффициен-
тами
= +2i*f = 0. ,3.26)
Эта форма уравнения полезна, в частности, при исследовании
фазы падающей волны и френелевской диффракции. Но для реше-
ния краевых задач данная форма уравнения менее пригодна,
так как в переменных |, tj2 уравнение контура цилиндра прини-
мает, вообще говоря, сложный вид.
4. Круговой цилиндр
В качестве первого шага рассмотрим решение выписанных
выше уравнений для случая кругового цилиндра. В этом случае
величина М постоянна, так что будет % = 0 и х = 0. Преобразо-
вание C.20) приводится к тождеству, и мы имеем у = р. Уравне-
ние C.18) или C.24) принимает вид
- жJ+т(* - ж)
Подстановкой
W0(x,y), x = 2 + p, у = р D.02)

Теория диффракциа
уравнение D.01) приводится к хорошо известному виду
= 0. D.03)
Предельное условие C.02) напишется
-^ + igMr = 0 при у = 0, D.04)
поскольку мы имеем в силу B.06)
kdn=Mdy. D.05)
Тому же предельному условию D.04) должна удовлетворять
функция W в уравнении C.05), а также функции №2 и Wo. Пола-
гая
q = igM, D.06)
перепишем это условие в виде
d^ = 0 при у = 0. D.07)
Вблизи особенности функции Грина параболическое уравне-
ние утрачивает силу, и условие, согласно которому разность
Г —Г° должна оставаться там конечной, должно быть заменено
другим. А именно мы должны потребовать, чтобы на границе гео-
метрической тени (далеко от особенности) падающая волна соот-
ветствовала члену Г° (т. е. была та же, как при отсутствии ци-
линдра).
Решение, удовлетворяющее этим условиям, может быть вы-
ражено через множитель ослабления W (х, у, у', q), определяемый
(для х > 0 и у' > у) посредством интеграла
D.08)
Здесь w (t) — wx (t) и v (t) — функции Эйри, удовлетворяющие
дифференциальному уравнению
w" @ = iw (t) D.09)
(определение их дано, например, в параграфе 1 главы 7). Контур
С в интеграле D.08) охватывает в положительном направлении
первую четверть плоскости комплексной переменной t. Заметим,
что введенный здесь интеграл W только множителем отличается
от интеграла V главы 7 (формула A.09) гл. 7).

Гл. 9. Поперечная диффузия на цилиндре 187
Для дальнейшего полезно иметь асимптотическое выражение
для функции w (t — у), справедливое при конечном t и при у —>• оо.
Оно имеет вид
1 Г / 2 /•— t2 я \1
w\t — У) — тт ехР ' ~тУ — t у у -\ т= ~Ь ~г • D.10)
у '• I \ 6 4 У У 4 /J
При помощи интеграла ? искомое решение задачи для круго-
вого цилиндра может быть записано в виде
U/ = lfe 3 4(x — x,y,y',q). D.11)
Значения квадратных корней У у и )/«/' в этой и в следующих
формулах следует брать в согласии с формулами E.04) и E.05)
следующего параграфа.
Согласно результатам главы 7, вблизи геометрической границы
тени функция W имеет характер френелевского интеграла, нало-
женного на медленно меняющуюся функцию, представляющую
слабый фон. Полагая в согласии с C.11) и D.02)
D.12)
а
D.13)
и вводя положительную величину ц посредством равенства
„2 _ VW
у-
мы получим для члена с френелевским интегралом
1 , i\-(y'i'+y"i')
<4Л4>
и, следовательно,
W = ' »F К). D-15)
М у уу'
где
оо
F (т) = е~'т* [elt'dt. D.16)
X
Если \i велико, то отброшенные в D.14) и D.15) члены (т. е.
фон) будут малыми величинами порядка Vji по сравнению с глав-
ным членом (см. также [27]).

188 Теория диффракции
Выражение для падающей волны вытекает из D.15) при боль-
ших отрицательных значениях \i?,. Оно приближенно равно
W0 = —^—т Уп е Т е-'м'С. D.17)
Легко проверить, что для малых значений ? величина ц.2?2
приближенно равна разности фаз k (% — ?' — г). Таким образом,
выражение D.11) удовлетворяет дифференциальному уравнению,
предельному условию и условию на границе тени. Это выражение
и дает, следовательно, искомое решение.
5. Цилиндр с переменным радиусом кривизны,
для которого х=0
Уравнение D.01) является строгим следствием C.19) не только
в случае % = 0, но и в случае % ф 0, и = 0. Вытекающая из под-
становок C.12) и C.20) связь между функциями W и W2 может
быть записана в виде
W = ' W» E.01)
где
N (|, Л) = М (л) + Ц — п) —М E.02)
есть линейная функция от |. При х = 0 будем иметь просто
# F, П) = М (I).
Мы будем пользоваться переменными z и z', определяемыми
формулой C.11), согласно которой
z_z' = t * I-^L. E.03)
2 J М2(ц) к '
Переменные Р и Р' определяются формулами
ft _ k (i ~ Tl) _ V „ _ k (% —
2М (Ч) N (|, Ч) - 1 + х (г) Y '
E.04)
Так как мы рассматриваем случай | — т] > 0, |' — tj' < 0, мы
будем иметь у > 0, у' <С 0, и для неслишком больших значений у
и y' также р > 0, Р' <С 0. Корни квадратные "|Л/ и У у' в фор-
муле D.11) всегда положительны, поэтому мы имеем
= -P'- E-05)

Гл. 9. Поперечная диффузия на цилиндре 189
Вводя эти значения в D.11) и полагая для краткости
N = NA, т,), N' = N (?', т,'), E.06)
мы получим, в качестве обобщения решения D.11) на случай,
когда к — 0, но % ф 0, выражение
E.07)
В области, где разность г — г' — ? мала, но величины |3
и | р" | = —р" велики, функция W приближенно выражается
через интегралы Френеля, как и в случае кругового цилиндра.
Мы будем иметь
V'F<i® E.08)
где ц определяется равенством
1*=Ту+7?=т-т = т-?-+хB)-хB')- E-09)
Так как мы рассматриваем малые значения ?, то можно пре-
небречь разностью % (z) — % (z')> a также различием между вели-
чинами М2 (ц) и Мг (т]'). входящими в определение E.04) пере-
менных у и у'. Мы получим приближенно
^ fe47v-e') • EЛ0)
Используя это значение ц и определение E.03) величины t,, не-
трудно показать, что квадрат аргумента в интеграле Френеля
будет приближенно равен
ц!?1 =& = *(?_?'_ Г). E.11)
Это дает правильное значение фазы падающей волны. С другой
стороны, соотношение
^ (? ^(' Р E.12)
M(ri)M ft) (-ту) = -^ ^Д
вместе с формулой E.10) показывает, что выражение E.08) для 1У
может быть написано в виде
EЛЗ)

190 Теория диффракции
Используя выражение для интеграла Френеля, применимое при
больших отрицательных значениях аргумента, мы получим для
падающей волны
~2 -'*•+'Т /е,„
как и должно быть. Заметим, что для величины s можно найти
в явной форме такое выражение, что подстановка его в E.14)
дает для W° строгое решение параболического уравнения C.19)
для общего случая (а не только для случая х = 0).
Наше решение E.07) дает, таким образом, правильное выра-
жение для падающей волны в некоторой области вблизи границы
между светом и тенью.
Здесь необходимо сделать следующие замечания.
Во-первых, выражение E.07) удовлетворяет предельному ус-
ловию D.07) при постоянном q. Поскольку q связано eg vi M соот-
ношением D.06), требование постоянства q несколько искусст-
венно. Однако для идеального проводника значение g в исходном
предельном условии C.02) равно либо g = оо, либо g — 0, а эти
значения дают для q соответственно q = оо и q — 0, так что реше-
ние E.07) будет тогда применимо.
Во-вторых, не исключено, что функция N (|, г\) обратится
в нуль при конечных значениях |, а тогда величина {5 обратится
в бесконечность на конечных расстояниях от цилиндра. Соответ-
ствующую кривую в плоскости |, т) можно назвать диффракци-
онной каустикой. Однако диффракционная каустика не представ-
ляет какой-либо физической особенности решения; используя
асимптотическое выражение D.10) для функции Эйри, легко убе-
диться, что величина W меняется при переходе через диффракци-
онную каустику плавным образом. По другую сторону каустики
функция Эйри w = w1 = и + iv должна быть заменена на wt =
= и — iv.
6. Общий случай выпуклого цилиндра
Полученное в предыдущем параграфе решение параболичес-
кого уравнения является строгим решением только в случае х = 0,
но приведенные там формулы написаны так, что они сохраняют
смысл и в общем случае, когда х ф 0. Представляется поэтому
правдоподобным, что эти формулы дают приближенное решение
также и в том случае, когда величина х хотя и отлична от нуля,
но мала.
Прежде чем переходить к анализу этого основного вопроса,
рассмотрим физический аспект нашей проблемы 129]. Пусть

Гл. 9. Поперечная диффузия на цилиндре 191
плоская или цилиндрическая волна от отдаленного источника
падает на выпуклый цилиндр (рисунок 3). Тогда в освещенной
области GO применимы законы геометрической оптики. Но имеются
и две другие области (или зоны), в которых главную роль играет
поперечная диффузия. Одна из них (зона /) примыкает к теневой
части поверхности цилиндра, а другая (зона 2) лежит вблизи
геометрической границы тени (отделяющей тень от освещенной
области), где имеет место диффракция Френеля. Между зонами /
и 2 расположена область GD, в которой диффракционное поле
имеет лучевой характер и описывается функцией вида C.09).
В областях GO и GD роль поперечной диффузии незначительна.
Рис. 3. Различные области в пространстве, окружающем тело:
зона / (тонкие клинья) — поперечная диффузия у поверхности. Об-
ласть CD — диффракционные лучи; зона 2 (толстые клинья) — диф-
фракция Френеля. Область GO — геометрическая оптика.
Если мы будем писать решение в форме E.07), то можно ска-
зать, что в зоне / величина р будет мала или конечна. В зоне 2
величина Р велика, величина ? = г — г' мала, а произведение fi?
мало или конечно.
Предположим теперь, что величина х весьма мала, и поставим
себе вопрос, является ли переход от полного параболического
уравнения C.24) к его упрощенной форме D.01) законным для
зоны /. Этот переход сводится к пренебрежению членом 2xR$
в операторе D2 — -$ -™- + 2kR^. Если величины и и р малы,
то член 2и/?р№2, очевидно, мал по сравнению с другими членами
в ?>а№2; этим членом можно пренебречь даже в выражении -g-Z)a№a
при р —* 0. Но в силу малости х член 2xi?pW2 остается малым
и при конечных значениях р. Таким образом, везде в зоне /,
включая ту ее часть, которая непосредственно примыкает к по-
верхности цилиндра, уравнение D.01) является хорошей заменой
полного параболического уравнения C.24). (Заметим, что этого

192 Теория диффракции
нельзя сказать об уравнении, получаемом из C.18) в результате
пренебрежения членами, содержащими х-)
Рассмотрим, далее, область GD, а также зону 2, где р велико.
В области GD член R$W2 будет того же порядка, как -~; это
следует из того факта, что W\ приблизительно пропорционально
-у=- (множителю при показательной функции в D.10)). Таким
V Р
образом, в области GD член 2и#р несуществен и им можно пре-
небречь.
Напротив того, в зоне 2, где имеет место френелевская диффрак-
 туг
ция, член RpWz будет порядка И--^» так что величиной 2kRqW2
можно пренебрегать только, если 4xja <? 1. что выполняется
лишь в некоторой части зоны 2. Эта зона должна быть поэтому
рассмотрена особо.
Простейший путь состоит в возвращении к уравнению C.18),
в котором можно отбросить члены, содержащие у. Тогда C.18)
принимает вид уравнения D.01) с заменой Р на у. Решение может
быть написано в виде
w - TWWWW/' *""'*« + т-т\
Асимптотическая форма этого решения во френелевской зоне
будет согласно E.08)
W = ' , ,, ТГ=^ VF Ш F.02)
причем jx выражается через у и y' по формуле E.10). Можно про-
верить, что для выражения F.02) члены, содержащие % в опера-
торе ?>i, будут малы, если % мало, так что приближенное решение
F.01) является самосогласованным.
Решение в зоне 2 может быть, однако, улучшено путем введе-
ния вместо y другой независимой переменной а, мало от нее отли-
чающейся. Положим
« = v^ = itl, F.03,
где а — постоянная и величина %° равна
_

Гл. 9. Поперечная диффузия на цилиндре 193
Это преобразование сопровождается введением новой искомой
функции W3, связанной с Wx соотношением
F'05)
Преобразованные операторы равны
)-1/2 - А» F.06)
где
я _* _ .а + (хо _ ,л Ы4- + 4Л F.08)
8 дг да г ^л л' \ да 2 J v4"""/
.Е- + а- F-09)
Мы видим, что преобразование F.03) не вводит в оператор Da
«дальнодействующих» членов типа 2x.Ra и вместе с тем заменяет
входящий в Dx коэффициент (—у) на коэффициент (х° — х) в Не-
постоянную а в формуле преобразования F.03) можно выбрать
так, чтобы этот последний коэффициент обратился в нуль в за-
данной точке т) = тH (лежащей, скажем, между г\ и ц'). Сравнивая
выражения C.16) и F.04) для % и для %°, мы видим, что это усло-
вие будет выполняться, если
а 1 dAd (ti) , . /^ ч л\
-г—; = ,.. . у (при Ti = tin). F.10)
1 + от) М (т)) dt] v г ¦ 'о/ v /
Решение примет вид
W = 2я? j/IZE±KII |^A 'a+j^( ,- Г3) F.11)
где
Wa = Г* ? (а'"°'') ? (С + а - а', а2, а'', 0. F.12)
Заметим, что если х = 0, так что М (г)) есть линейная функция
от г), то уравнение F.10) будет выполняться при всех г), а не только
при т] = тH. Преобразование F.03) приводится тогда к C.20).
Таким образом, в случае х = 0 выражения F.11) и F.12) дают
точное решение.
13 В. А. Фок

194 Теория диффракции
Если в операторе D3 пренебречь членами, содержащими -?—
и а — Ъ а в параболическом уравнении отбросить также член
вида (— +%— %ЛDt, то для Wz получится уравнение
a = 0, F.13)
которому удовлетворяет интеграл Френеля.
Сделанные в конце параграфа 5 замечания о возможности бес-
конечных значений Р и о перемене знака р при прохождении через
бесконечность (с чем связана замена wx на w2) относятся в равной
мере и к переменной а.
7. Группа преобразований параболического
уравнения
Полученные выше результаты связаны с наличием группы
преобразований параболического уравнения. Согласно C.07)
и C.19) мы имеем
(D2 + ikR) W = 0, G.01)
где
Произведем преобразование от переменных |, т), W к новым пере-
менным ?*, т|*, W*, определяемым равенствами
7^ G-04)
и введем обозначение
Тогда уравнение G.01) примет вид
(D*' + ikR*) W* = 0, G.06)
где
п* — Р* W) д р — о д л. '
Таким образом, преобразованное уравнение имеет тот же вид,
как и первоначальное, с тем единственным различием, что функ-

Гл. 9. Поперечная диффузия на цилиндре 195
ция р (ц) заменена в нем на р* (т)*). Мы имеем, следовательно,
семейство цилиндров, зависящих от параметра а и таких, что
решение задачи диффракции для одного из них дает решение и для
других цилиндров этого семейства. С этой точки зрения становится
понятным, почему рассмотренный в параграфе 5 случай х = О
приводится к случаю кругового цилиндра (р = const) рассмотрен-
ному в параграфе 4.
Переменная г не меняется при преобразовании, так как мы
имеем
S G-08)
dz- к Лц - k dVi* П №\
UZ - Т АР (ц) ~ 2 д,.^., • <7-09)
Преобразованная переменная #*, однако, не совпадает с пер-
воначальной переменной #, так как мы имеем
т|ЛК G.10)
Заметим, что определяемая формулой E.10) величина
j^ {lJ^Lr) G-11)
(а тем самым и множитель ц в аргументе интеграла Френеля)
инвариантна относительно преобразования G.03). Инвариантной
является также величина
г- GЛ2>
7 2
которая при х = 0 переходит в р.
При надлежащем выборе параметра а преобразование G.03)
может быть использовано и в качестве предварительной стадии
решения диффракционной задачи (до введения переменных у или
Р). Та переменная а, которая применялась в параграфе 6 с целью
улучшить решение во френелевской зоне, есть просто а = у*.
8. Заключение
Исследование диффракции коротких волн на выпуклом ци-
линдре с медленно меняющейся кривизной привело нас к трем
выражениям: F.01), E.07) и F.11)—F.12), которые мы будем
называть выражениями типа у, типа р и типа а. Выражение типа у
13*

196 Теория диффракции
дает довольно грубое приближение, особенно вблизи поверхности
цилиндра, и относительная погрешность его, в той области, где
оно применимо, будет порядка % (или порядка k—1'3 при k —» оо).
Выражение типа р применимо в первой зоне (вблизи поверх-
ности), в области GD и в части второй (френелевой) зоны (см.
рис. 3). Выражение типа а применимо в области GD и во всей вто-
рой зоне. Приближение, даваемое выражением типа р, будет по-
рядка х или &—2/3; при х = 0 выражения типа а и типа р совпа-
дают и гдают строгое решение параболического уравнения. Для
кругового цилиндра совпадают выражения всех трех типов.
Полученные результаты показывают, что параболическое урав-
нение в лучевых координатах позволяет находить асимптоти-
ческое решение проблем диффракции и в таких случаях, когда
строгое решение не может быть получено в замкнутой форме.
Применение преобразования, указанного в параграфе 7, откры-
вает путь к дальнейшему улучшению решения.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Тропосферное
распространение
радиоволн

200
Тропосферное распространение радиоволн
земного шара. Пусть в точке г = Ь, Ф — 0 находится вертикаль-
ный электрический диполь (Ь > а). Отбрасывая в компонентах
поля зависящий от времени множитель e~/a>/, мы можем выразить
их через функцию Герца U, которая будет зависеть только от г
и от Ь. Обозначив через k абсолютную величину волнового век-
тора, мы будем иметь для поля в воздухе следующие выражения:
rsin
dU
dU
dfl
A.01)
тогда как остальные компоненты поля будут равны нулю. Анало-
гичные выражения будут иметь место для поля в земле.
Функция U должна при г > а удовлетворять уравнению
AU + kW = 0 A.02)
и условию излучения на бесконечности
lirn (-
r-*oo \
A.03)
Если Ь >• а, так что источник (диполь) находится над поверх-
ностью Земли, а не на самой Земле, то в точке г = Ь, Ь = 0 функ-
ция U должна иметь особенность вида
и = 1Л + и\ A-04)
где
A.05)
есть расстояние от источника, а величина U* остается конечной
при kR —» 0. На земной поверхности функция Герца U должна
удовлетворять предельным условиям, обеспечивающим непрерыв-
ность компонент Е$ и Яф на поверхности раздела.
Если обозначить функцию Герца внутри Земли через U2,
то эти предельные условия будут иметь вид
^^ A.06)
¦^r{rU)=^F{rU2) при г =
Функция t/a должна при 0 ^ г
рять уравнению, аналогичному
^ а (внутри Земли) удовлетво-
A.02), и оставаться конечной.

ГЛАВА 10
ДИФФРАКЦИЯ РАДИОВОЛН
ВОКРУГ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ*
Дано теоретическое исследование вопроса о распространении радиоволн
вокруг однородной земной поверхности, принимаемой за сферическую, при учете
диффракции, но без учета влияния ионосферы. Цель исследования — вывод
формул для амплитуды волны в зависимости от высоты источника, расстояния
от него, длины волны и электрических свойств почвы. Основной результат состоит
в выводе выражения для множителя ослабления в виде интеграла. Это выраже-
ние пригодно для всех практически встречающихся значений входящих в него
параметров. В предельных случаях получаются известные ранее формулы для
освещенной и теневой областей. Существенно новым является исследование
области полутени (вблизи линии горизонта). Получены формулы, дающие непре-
рывный переход от освещенной к теневой области. Указаны способы численного
вычисления встречающихся рядов и интегралов.
Введение
Вопросу о диффракции радиоволн вокруг земной поверхности
посвящена обширная литература. Интерес к этому вопросу оправ-
дывается тем, что на небольших расстояниях, порядка нескольких
сот километров, рефракцией радиоволн в ионизованных слоях
атмосферы можно пренебречь и решающую роль в распростра-
нении радиоволн играет диффракция.
Несмотря на то, что строгое решение задачи диффракции от
шара известно уже несколько десятилетий, практически пригод-
ного приближенного решения до недавнего времени получено
не было. Этот пробел был заполнен в нашей работе, которая состав-
ляет предмет настоящей главы.
1. Постановка задачи и ее решение в виде рядов
Обозначим через г, #, <р сферические координаты с началом
в центре земного шара. Если пренебречь неровностями земной
поверхности, то уравнение ее будет иметь вид г = а, где а — радиус
• Фок, 1945.

Гл. 10. Диффракция вокруг земной поверхности 201
Входящая в A.06) и в дальнейшие формулы величина k2 опре-
деляется из равенства
kl = eki + i^-k A.07)
и из условия Im (k2) >0. Вместо проводимости земли* а удобно
ввести длину /, характеризующую удельное сопротивление земли,
положив
Для морской воды величина / колеблется от 0,05 см (сильно соле-
ная вода) до 0,5 см (слабо соленая вода); для суши эта длина в сотни
и тысячи раз больше. Если ввести комплексную диэлектрическую
постоянную земли
П = в + '-§йГ» (L09)
то будет
Ь~кУч\. A.10)
Решение поставленной задачи в виде рядов хорошо известно;
мы выпишем здесь необходимые формулы, не останавливаясь на
их выводе.
Положим
я? i>), A.11)
где Jv есть функция Бесселя, э Н^ (х) — функция Ханкеля
первого рода.
Эти функции связаны соотношением
Ы*) ?.(*)-*»№(*) = '• 0.12)
Кроме того, введем особое обозначение для логарифмической
производной от i|>n (х):
Как видно из A.01), поле на поверхности земли выражается через
величины
• Здесь и в дальнейшем мы под словом «земля» разумеем верхний слой зем-
ной поверхности (сушу или море).

202 Тропосферное распространение радиоволн
Для этих величин получаются ряды
fbl ), A.15)
Pn(cos#),
?n(ka)—г-хя(Ааа)С(*а)
расположенные по полиномам Лежандра. Наша задача состоит
в приближенном суммировании этих рядов.
2. Формула суммирования
Суммы, которые нам придется вычислять, имеют вид
S= S vq>(v)P jjcosfl). B.01)
v=- - V 2
В сумме A.15) функция ф (v) с точностью до постоянного множи-
теля равна
С л (*6)
ф (v) = г^ . B.02)
В сумме A.16) она отличается от B.02) множителем % х (k2a).
v г"
Для непосредственного вычисления суммы пришлось бы брать
число членов, приблизительно равное 2ka, т. е. равное удвоен-
ному числу волн, укладывающихся на окружности земного шара.
Так как это число огромно, то ясно, что непосредственное сумми-
рование невозможно. Для вычисления суммы S необходимо, вос-
пользовавшись тем, что ф (v) есть аналитическая функция, преоб-
разовать эту сумму в интеграл, который можно было бы вычислить
тем или иным приближенным способом. Подобное преобразование
было впервые предложено Ватсоном в 1918 г. и применялось
затем многими авторами. Однако все авторы стремились привести
преобразуемое выражение к сумме вычетов, тогда как наша цель
состоит в том, чтобы выделить в нем главный член, легче подда-
ющийся исследованию, и оценить остаток. При этом способ вы-
числения главного члена не предрешается.

Гл. 10. Диффрощия вокруг земной поверхности 203
При выполнении нашего преобразования необходимо иметь
в виду следующие общие свойства функции ф (v). Это есть аналити-
ческая функция от v, мероморфная в правой полуплоскости;
она имеет полюса только в первой четверти, а в четвертой четверти
голоморфна. На бесконечности ф (v) убывает настолько быстро,
что все рассматриваемые интегралы сходятся.
Входящие в B.01) функции Лежандра могут быть выражены
через функцию
Gv =
/I I
F \~2' ~>
2 sin
где F есть знак гипергеометрической функции.
Обозначим через G* и через Р* х результат замены в Gv
и в Р j = P (cos Ь) величины Ь на п — ft. Мы будем
тогда иметь
~
B04)
Как видно из B.03), если v лежит вне некоторого сектора,
включающего отрицательную вещественную ось, и если | v sin ¦&
велико, функция Gv (а также G*) приближенно равна
-. B.05)
Подставив B.05) в B.04), получим известное асимптотическое
выражение для Р х. Если обозначить через В (v) первый член
в формуле B.04)
В (v) = — ' e'V#~' ^Gv, B.06)
можно доказать равенство
Р* ,=е'*"'Ь , +2icosvnB(v), B.07)
которым мы воспользуемся в дальнейшем. Заметим, что функция
В (v) голоморфна в правой полуплоскости.
Рассмотрим в плоскости комплексной переменной v три кон-
тура. Во-первых, петлю Сх вокруг начала координат, облегающую

204 Тропосферное распространение радиоволн
положительную вещественную ось и обходимую в положительном
направлении (против часовой стрелки). Во-вторых, ломаную ли-
нию С2, охватывающую первый квадрант и пробегаемую слева
направо (в ее горизонтальной части, проходящей несколько выше
вещественной оси). В-третьих, прямую С8, проходящую через
начало координат, лежащую во втором и четвертом квадрантах
и наклоненную под небольшим углом к мнимой оси; эта прямая
пробегается сверху вниз.
Сумму S мы можем написать в виде
S=4" fv<p(v)secvnP* dv, B.08)
1 С\ V--g-
ибо интеграл справа сводится к вычетам в точках v = п + -у.
Так как функция ф (v) голоморфна в четвертом квадранте, мы мо-
жем заменить контур Сх контурами С2 и С, и написать
S = y J vф (v) sec vnP* ^ dv + -~- J vф (v) sec vnP* ^ dv.
C» v 2~ c» V 2~
B.09)
К этому сводится обычное преобразование суммы: интеграл
по С3 полагается равным нулю в силу малости нечетной части
Ф (v) (оценка будет дана ниже), а интеграл по С% сводится к сумме
вычетов. Но мы сделаем шаг дальше и разобьем интеграл по С8
на главный член и поправочный. Подставляя в этот интеграл вы-
ражение B.07) для Р* j, мы будем иметь
S^St + Sz + Ss, B.10)
где
Si = j v9 (v) В (v) dv, B.11)
S2 = — 4" j v<P (v) secWVIlP i dx, B.12)
Ss=4" j гф^зесупР* dv. B.13)
В интеграле Sx подынтегральная функция уже не имеет полюсов
на вещественной оси (а также в четвертой четверти), поэтому для
него контуры С2 и С9 эквивалентны. Мы обозначили через С
какой-нибудь контур, эквивалентный С2 и С8.

Гл. 10. Диффракция вокруг земной поверхности 205
Представление величины S в виде суммы трех интегралов B.10)
является точным; при выводе его не сделано никаких пренебреже-
ний. Но оценка интегралов S2 и S8 показывает, что эти интегралы
ничтожно малы по сравнению с5х. В самом деле, если мы будем
вычислять интеграл как сумму вычетов в полюсах ф (v), то мы
убедимся, что он будет по отношению к St порядка
B.14)
где vx есть ближайший к вещественной оси полюс ф (v).
Мнимая часть vx положительна и при больших значениях ka
будет
Im (vx) = с (?аI/3, B.15)
где с есть число порядка единицы (для абсолютного проводника
с = 0,70).
Так как ka — весьма большое число, порядка миллиона
(для К = 40 м будет ka = 1 000 000), то ясно, что величина B.15)
будет большой (например, равной 70), а величина B.14) — ни-
чтожно малой (в нашей задаче Ф не может быть близким к я,
так как тогда вследствие необходимости учитывать влияние иони-
зованных слоев атмосферы наши формулы вообще перестают быть
применимыми). Что касается интеграла S3, то значение его опре-
деляется нечетной частью функции ф (v). Но нечетная часть ф (v)
будет порядка
|e2'*'fl|. B.16)
А так как мнимая часть k2a положительна и весьма велика, то
величина B.16) будет невообразимо малым числом.
Наглядное представление о малости интегралов 5а и 53 дает
следующая физическая картина. Интеграл S2 есть амплитуда
волны, обошедшей без преломления (в силу одной только диффрак-
ции) вокруг земного шара один или несколько раз. Интеграл 58
есть амплитуда волны, пронизавшей толщу земного шара с тем
поглощением, какое имеет место в земле. Ясно, что оба эти инте-
грала ничтожно малы по сравнению с амплитудой волны, дошед-
шей от источника через воздух кратчайшим путем.
Таким образом, со всей точностью, допускаемой постановкой
физической задачи, сумма S, определяемая формулой B.01),
может быть представлена в виде интеграла S и который после под-
становки вместо В (v) выражения B.06) принимает вид

206 Тропосферное распространение радиоволн
3. Вычисление функции Герца для освещенной
области
Если мы будем понимать под ф (v) функцию B.02), то связь
между суммой S и величиной Ua будет
Поэтому наше приближенное выражение для Ua напишется
f v9(v)e'vVvdv. C.02)
Ua
nkab
Положение главного участка интегрирования в интеграле C.02)
зависит от того, для какой точки интеграл вычисляется. Вообще
говоря, главный участок будет лежать вблизи v = v0, где
ии и al> sin ^ /о ло\
v0 = яге. = k — . C.03)
Величина hc есть длина перпендикуляра, опущенного из центра
земли на луч (т. е. на прямую, соединяющую источник с точкой
наблюдения).
Для приближенного вычисления интеграла U необходимо
найти для функций G* и ф (v) асимптотические выражения, кото-
рые были бы применимы на главном участке. Так как величины v0
и \йЬ велики по сравнению с единицей, мы можем согласно B.05)
положить
/^. C.04)
Для входящих в ф (v) функций Ханкеля можно попытаться при-
менить выражения Дебая
е' ^
» 1 W1 — 4/- г"
v" у l~v
где
р
1= J |/l-~5-dp. C.06)
V
Эти выражения применимы при условии
|p2-v2|»p4'3. C.07)

Гл. 10. Диффракция вокруг земной поверхности 207
Что касается функции % , (k2a), то вблизи v = v0 для нее
с достаточной точностью применимо выражение
Чтобы выяснить, в каких случаях выполняется неравенство
C.07), обозначим через у угол между вертикалью в точке наблю-
дения и направлением на источник и введем параметр
- fka\
cost». C.09)
Легко видеть, что для v = v0, p = ka неравенство C.07) равно-
сильно условию, чтобы р было большим положительным числом.
Такие значения р соответствуют освещенной области. Значения р
порядка единицы (положительные и отрицательные) соответствуют
области полутени, причем р = 0 дает границу геометрической тени
(линию горизонта). Отрицательные и большие по абсолютной ве-
личине значения р соответствуют теневой области.
В этом параграфе мы рассмотрим случай больших положи-
тельных р (освещенная область); другие случаи будут рассмот-
рены в следующих параграфах.
Когда р > 1, к функциям Ханкеля применимы, как мы видели,
выражения Дебая. Подставляя их в C.02) и пользуясь C.04)
и C.08), получим интеграл
где
При
X
условии
. я
1 -—
2е ч т/ 6 Г-мУ*2»2 —v2
ta& К 2л sin Q ' а г k2b* ~ ^
/го
ЛА cos у > 1,
(ЗЛО)
C.11)
C.12)

208 Тропосферное распространение радиоволн
где h — Ь — а есть высота источника над землей, интеграл C.10)
может быть вычислен по способу стационарной фазы, причем
получается «отражательная формула»
Ua^^W, C.13)
где
Я = у& + ь2 — 2аЬ cos Ь C.14)
есть расстояние от источника, a W есть «функция ослабления»,
которая в нашем случае равна
2 . C.15)
5" sin2 7 sec 7
Величина U'a, определяемая рядом A.16), отличается, в нашем
приближении, только постоянным множителем от Ua, а именно
C.16)
Последняя формула справедлива не только для освещенной
области, но и во всех случаях.
Если условие C.12) ие выполняется, то знаменатель в подын-
тегральной функции C.10) ие будет медленно меняющейся вели-
чиной. Если мы предположим, что выполнены условия
1«^«(И2/3. (ЗЛ7)
1«*R«X C.18)
(следствием которых является неравенство р > 1), то интеграл
C.10) может быть приближенно вычислен путем введения новой
переменной
0-19)
Для функции W и C.13) получается приближенное выражение
, C.20)
где
Цо = ^- C.21)

Гл. 10. Диффракция вокруг земной поверхности 209
есть наклон луча к горизонту, а контур Г есть прямая, проходя-
щая через точку ц = щ из четвертой во вторую четверть плоско-
сти \i (точнее, \i — \i0). Интеграл C.20) может быть вычислен без
дальнейших пренебрежений и дает известную формулу Вейля—
ван дер Поля. Если положить
-•Чу?. -'Чу? • <з-22>
то мк будем иметь
e"' da. C.23)
Чтобы получить из наших выражений для Ua и U'a формулы для
поля, нужно дифференцировать эти выражения по Ь. Но произ-
водные по Ь легко вычисляются, так как в формуле C.13) можно
ikR
считать все множители, кроме е , постоянными.
4. Асимптотические выражения для функций
Ханкеля*
В дальнейшем нам придется исследовать тот случай, когда
точка наблюдения находится в области полутени.
Этот случай характеризуется значениями параметра р (положи-
тельными или отрицательными) порядка единицы. Так как для
этих значений р на главном участке интегрирования перестает
выполняться неравенство C.07), то выражения Дебая C.05) для
функций Ханкеля становятся неприменимыми и должны быть
заменены другими. Новые выражения для функций Ханкеля,
пригодные для наших целей, могут быть получены из асимптоти-
ческих выражений, приведенных в нашей прежней работе [20],
а также из формул в известной книге Ватсона, но проще вывести
их непосредственно.
Искомые выражения дают представление функций Ханкеля
через функцию w (t), определяемую интегралом
Z'dz, D.01)
где контур Г идет от бесконечности до нуля по прямой arc z =
= —2л/3 и от нуля до бесконечности по прямой arc 2 = 0 (по
положительной вещественной оси).
* См. также добавление 2.
14 в. А. Фок

210 Тропосферное распространение радиоволн
Функция w (t) удовлетворяет дифференциальному уравнению
w' (t) — tw (t) D.02)
и начальным условиям
.../лч 2 У л е' т = ! 0899290710 + Ю,6292708425,
—Д .
з2/3г D)
_,JL D>03)
w' @) = 2 ^" . е ' 6 = 0,7945704238 — /0,4587454481.
<,з (Л)
Она представляет целую трансцендентную функцию, которая
разлагается в степенной ряд вида
1 + ~2Т "^ B-5) C 6) + B-5-8) C-6-9) + ' * " J +
, D.04)
Ы)
+ _ + ____- + (зб9)D71о)+.
Если отделить в да (/) вещественную и мнимую части (для веще-
ственных t) и положить
w(t) = u(t) + iv(t), D.05)
то и (t) и v (t) будут двумя независимыми интегралами уравне-
ния D.02), связанными соотношением
u'(t)v(t) — u(t)v'(t)-^l. D.06)
Асимптотические выражения для этих функций для больших отри-
цательных t получатся отделением вещественной и мнимой ча-
стей в формулах
w(t) = e 4 (—/)~1/4е 3 , D.07)
—I— i — (— tK/2
ш'@ = е 4 (— 0V4e 3 ¦ D.08)
Для больших положительных t асимптотические выражения
для и (t), v (t) и их производных имеют вид
1 ,3/2 ±_ ± ,3/2
U(f) = r1/4e3 ; ы'@ = <4е3 ; D.09)
_ 2l ,3/2 ± _ .L ,3/2
«@ = -fr1/4e 3 ; О'@= --з-^е 3 • D-10)

Гл. 10. Диффракция вокруг земной поверхности 21!
Из рядов D.04) нетрудно вывести формулы
wite 3 )= 2е' 6 v{—t), D.11)
w\te /=е [u(t) — iv(t)l, D.12)
которые дают представление о поведении w (/) в комплексной
плоскости.
Заметим, что функция w (t) выражается через функцию Хан-
келя порядка 1/3 по формуле
w (t) = Y^T е " (~ 01/2Wi/3 D" (— 03/2) • D-13)
Изучив главнейшие свойства w (t), перейдем к выводу асимпто-
тического выражения для функции Ханкеля Н^ (р), где v и р
велики и близки друг к другу, так что отношение
-?=? = < D.14)
У р/2
остается ограниченным.
Функция Ханкеля Н^ (р) допускает интегральное представ-
ление
(р) = 4" 1 е~Р Sh 0+V° dv> D-15>
с
где контур С вдет по прямой Im (v) = —я от —ni — оо до неко-
торой точки v = v0 (например, v0 — — п/УЗ — in), затем по
прямой от v = v0 до v — 0 и, наконец, по вещественной оси от
нуля до бесконечности.
Выразим согласно D.14) v через t н введем переменную инте-
грирования
г =-(/"-?-о. D.16)
Считая /иг конечным, а р большим, мы можем разложить подын-
тегральную функцию в D.15) по отрицательным (дробным) степе-
ням р. Так как на главном участке преобразованный контур С
совпадает с контуром Г, мы можем написать
14*

212 Тропосферное распространение радиоволн
и, вычисляя интегралы при помощи D.01),
1
1
D.18)
В силу дифференциального уравнения D.02) пятая производная
равна
«»<»> @ = *W @ + 4tw @- D.19)
Подставляя это выражение в D.18) и переходя по формуле
A.11) к функции ? 1 (р). будем иметь
v—Т
Е 1 (Р) =
v
D.20)
Дифференцируя это выражение по р при постоянном v и принимая
во внимание зависимость t от р, получим следующую формулу для
производной
Z г (Р) =
-'Of) 'rW—i-(-f) '№Ч9).@-^й)] + -
D.21)
Этими выражениями мы и будем пользоваться в дальнейшем.
5. Выражение для функции Герца, применимое
в области полутени
Перепишем выражение C.02) для функции Герца, заменив
в нем величину Gv приближенным значением Y~nfv и величину
sin # перед интегралом приближенным значением #. Мы получим
U* = JV^r J Ф W e'V* V v dv. E.01)
2
участок
Под контуром С мы будем разуметь описанный в параграфе
контур С2 или какой-либо ему эквивалентный. Главный участ

Гл. 10. Диффракция вокруг земной поверхности 213
интегрирования будет в нашем случае (т. е. для конечных значе-
ний параметра р) лежать вблизи точки v = ka. Входящую в вы-
ражение B.02) для ф (v) функцию % j (k2a) мы можем поэтому
заменить значением выражения C.08) при v = ka, после чего
получим
Ф (v) = / \ g- • E-02)
v__ Hi у щ V_T
Для функции ? j и ее производной мы должны взять выраже-
ния, которые были бы справедливы вблизи v = ka. Такие выра-
жения были получены в предыдущем параграфе. Оставляя в D.20)
и D.21) главные члены, мы будем иметь
где / связано с v соотношением
(^I/3/. E.05)
Числитель в E.02) получится из E.03) заменой а на b и / на f, где
V. E.06)
Приравнивая E.05) и E.06), получим связь между t и /'. Но от-
ношение А/а, где А = Ь — а, есть малая величина (ее мы будем
считать того же порядка, как (&а)~2/3). Пренебрегая этой величиной
по сравнению с единицей, мы можем написать
t'=t-y, E.07)
где
—
2
E.08)
есть величина, пропорциональная высоте источника над землей.
Величину у можно назвать приведенной высотой источника.

214 Тропосферное распространение радиоволн
Таким образом, с точностью до членов порядка hla или (ka)~2/z
будет
I , (kb) = - i (-^I/б w(t — у), E.09)
где t определяется из E.05). (В множителе перед w (t — у) мы
также заменили b на а.)
Подстановка E.03), E.04) и E.09) в E.02) дает приближенное
выражение для <р (v).
Если положить для краткости
k f~ W
171/ !
мы будем иметь
Припоминая формулы A.09) и A.10), можно написать вели-
чину q в виде
г-^- E.12)
или, с той же точностью,
1/3 =L_. E.13)
Последнее выражение несколько удобнее для вычислений.
Нам остается подставить значение ф (v) из E.11) в формулу
E.01) и перейти к переменной интегрирования /. Делая эту под-
становку, можно заменить величину V v под интегралом постоян-
ным значением |/ ka, а также писать а вместо Ь в множителе перед
интегралом. В результате мы получим формулу, которую можно
написать в виде
с
где буквой х обозначена для краткости величина
I/3#, E.15)

Гл. 10. Диффракция вокруг земной поверхности 215
которую можно назвать приведенным горизонтальным расстоя-
нием от источника, тогда как у и q имеют значения E.08) и E.13).
Контур С должен охватывать все полюса подынтегральной функ-
ции; как мы увидим, все они расположены в первой четверти
плоскости /.
Чтобы нагляднее представить себе отношение горизонталь-
ного и вертикального масштабов в переменных х и у, составим
выражение для параметра р, определяемого формулой C.09).
Из рассмотрения треугольника с вершинами в центре земного
шара, в источнике и в точке наблюдения нетрудно вывести прибли-
женную формулу
(^I/3 ^. E.16)
Таким образом, уравнение линии горизонта есть х — V у . В даль-
нейшем нам понадобится связь между расстоянием R от источ-
ника, считаемым по прямой, и горизонтальным расстоянием ад,
считаемым по дуге большого круга. В предположении aft > Л,
т. е. (?аI/3 х > у, эта связь имеет вид
kR = kaft + ш0, E.17)
где
--?¦+¦*—?• <s-'8>
6. Исследование выражения для функции Герца
Найденное для функции Герца выражение E.14) удобно пи-
сать в виде
Ua^^zg-Vix, у, q), F.01)
где
V(*,,,„, Г1 * YZ J e<" S«Z* it. F.02)
С
Величину У, по аналогии с введенной ранее [формула C.13)]
величиной W, можно назвать множителем ослабления. Установим
связь между V и W. Так как в знаменателях формул C.13) и F.01)
мы можем считать величины /?на# равными друг другу, мы по-
лучим вследствие E.17)
W = Ve~ia". F.03)
Нам надлежит теперь исследовать выражение F.02) для V.

216 Тропосферное распространение радиоволн
Начнем исследование с того случая, когда величина р поло-
жительна и велика (освещенная область). Этот случай уже был
нами исследован другим путем (параграф 3). Однако, так как
формула F.02) была нами выведена для конечного р, представляет
интерес убедиться в том, что она верна также и для больших р.
Когда р > 1, путь интегрирования может быть деформирован
так, чтобы он проходил через точку, где У— t — р. Главный
участок интегрирования будет тогда лежать при больших отрица-
тельных t, где применимы выражения D.07) и D.08) для w и w'.
Используя их и применяя метод стационарной фазы, получим
и вследствие F.03)
Последнее выражение практически совпадает с C.15). Заме-
тим, что если х порядка единицы или велико, то для применимости
метода стационарной фазы достаточно условия р > 1, если же х
мало, то нужно, чтобы было, кроме того, уг ^> 2х. Если последнее
условие не выполняется, а выполняется условие
то интеграл F.02) может быть вычислен другим способом.
В асимптотическом выражении для w (t — у) могут быть сделаны
дальнейшие упрощения, после чего интеграл F.02) приводится
к виду
iV^r^dt' (ao7)
Взяв за переменную интегрирования величину У— t, при-
ходим к интегралу вида C.20) [причем У— t = (—?-) ]"¦]
и вновь получаем фоомулу Вейля—ван дер Поля со значениями о
и т, равными
i —
4'
—^
2 у х
F.08)
и практически совпадающими с C.22).
Переходим к наиболее интересному случаю, когда величина р
есть положительное или отрицательное число порядка единицы.

Гл. JO. Диффракция вокруг земной поверхности
217
Как мы знаем, это есть область полутени, где явление диффракции
играет главную роль.
Если величины х и у порядка единицы, то наиболее удобным
средством для вычисления интеграла F.02) является представле-
ние его в виде суммы вычетов, относящихся к полюсам подынте-
гральной функции.
Если обозначить через ts = ts (q) корни уравнения
w' (t) — qw (t) = 0, F.09)
то мы будем иметь
Я
V(X, у, q) = е ^ 2 V™ ? JLJ- J
l
F.10)
s=l
Корни ts (q) суть функции от комплексного параметра q. При
q = 0 они обращаются в корни t't = ts @) производной w' (f),
а при q = оо они обращаются в корни ti = ts {об) функции
w (t). Величины t's и t° имеют фазу л/3, так что
/2 =
F.11)
Приведем модули первых нескольких корней (см. таблицу).
При больших S будет Таблица
При конечных значениях q
можно пользоваться для вычи-
сления корней дифференциаль-
ным уравнением
dts 1
dq
F.13)
s
1
2
3
4
5
К
1,01879
3,24820
4,82010
6,16331
7,37218
2,33811
4,08795
5,52056
6,78671
7,94417
которое легко выводится из D.02). Корень ?s можно определить
либо как решение уравнения F.13), которое при q = 0 обращается
в ts, либо как решение, которое при q = 0 обращается в t°s\ оба
определения совпадают. Исходя из первого определения, легко
построить для ts ряд по восходящим степеням q; он будет сходиться
при |q| <С | V^s]• Исходя из второго определения можно по-
строить ряд по нисходящим (отрицательным) степеням q; он будет
сходиться при |^| > | V'Vsl- Рядов этих мы здесь не выписываем.
Заметим, что значение /, которое при больших | q \ близко к q2,
не есть корень уравнения F.09).

218 Тропосферное распространение радиоволн
При условии у2 < 21 Yts | мы имеем приближенное равенство
"?'(цУ) = ch (у К?) - -^- sh (у УХ), F.14)
которое позволяет оценить далекие члены ряда F.10). При боль-
ших s, таких, что |^| <С |V^7|i будет приближенно /s = ts @) =
= t's. Отсюда и из F.14) следует, что ряд F.10) всегда сходится.
Однако если х мало или у велико, то для вычисления суммы ряда
может потребоваться большое число членов,
В области тени, когда величина р велика и отрицательна,
ряд F.10) сходится весьма быстро и его сумма приближенно сво-
дится к первому члену.
Наш ряд F.10) соответствует ряду Ватсона, но представляет
то преимущество, что члены нашего ряда имеют простые выра-
жения.
Наша основная формула F.02) позволяет исследовать не только
предельные случаи (большие положительные р — освещенная
область, большие отрицательные р — теневая область), но и про-
межуточные, а именно область полутени. В то время как для пре-
дельных случаев наша формула приводит лишь к уточнению
известных ранее формул (отражательная формула и формула
Вейля—ван дер Поля для освещенной области и ряд Ватсона
для теневой области), для области полутени она дает существенно
новые результаты.
Особый интерес представляет случай, когда х и у велики, но р
конечно (короткие волны, полутень). Этот случай никем до сих
пор не исследовался, и известные ранее формулы к нему неприме-
нимы. Мы выведем здесь приближенные формулы, позволяющие
удобно его исследовать.
Введем величину
z = * — VJ, F.15)
которая представляет приведенное расстояние, считаемое не от
источника, а от геометрической границы тени. В области геоме-
трической тени z ;> 0, в «видимой» области z <С 0. Мы имеем
11 — ?^ У 2
" 2х 2х '
При наших предположениях х велико, a z конечно; поэтому
будет приближенно р = —z.
В рассматриваемом случае главный участок интегрирования
в интеграле F.02) будет соответствовать значениям t порядка
единицы. Но при больших у и конечных / к функции w (t — у)
применимо асимптотическое выражение D.07), которое дает
w{t — у) = е Т(у — <)~те' ^ "~ F-17)

Гл. 10. Диффракция вокруг земной поверхности 219
или приближенно
w(t-y)^^y-h'^/2-iVJt. F.18)
Подставляя F.18) в F.02) и заменяя в множителе перед
интегралом величину х1^у~У* единицей, будем иметь
V (х, у, q) = e* y3\ (x - Vy~, q)> F.19)
где
Отброшенные в F.19) члены будут при конечных г порядка
(или Их).
Таким образом, в нашем случае функция V {х, у, q) от двух
аргументов и от параметра q сводится к функции Vt (z, q) от од-
ного аргумента и от того же параметра. Это представляет значи-
тельное упрощение.
Выведем формулу, связывающую функцию ослабления W с ве-
личиной V. Мы имеем тождество
где ш0 имеет значение E.18).
Отбрасывая в F.21) последний член, мы получим из F.03)
и F.19)
W = ez УЛ (г, q). F.22)
Таким образом, в нашем приближении функция ослабления W
зависит от х и у только через посредство z = х — \^у .
Функция V, (z, q) есть целая трансцендентная функция от
переменной г. Для положительных г интеграл F.20) можно вы-
числять как сумму вычетов, что дает
^i {t^g2)wUs) (пРи2>0), F.23)
s=l
где ts — исследованные ранее корни уравнения F.09).
Ряд F.23) сходится тем быстрее, чем больше г. При больших
положительных г сумма его сводится к первому члену. Для
конечных отрицательных z (например, для —2 < г < 0) инте-

220 Тропосферное распространение радиоволн
грал F.20) приходится вычислять квадратурами *. Для больших
отрицательных г можно вычислить интеграл по способу стационар-
ной фазы, причем получается
Vx(z, ?) = -?-?- F-24)
и вследствие F.22)
F.25)
Имея в виду, что приближенно z = —р, мы получаем совпадение
с формулой F.05).
В заключение заметим, что наша основная формула F.02)
может быть также получена методом параболического уравнения,
предложенным М. А. Леонтовичем и примененным им [211 к выводу
формулы Вейля—ван дер Поля. Применение метода Леонтовича
(с некоторыми уточнениями) к данной задаче будет нами рас-
смотрено в следующей главе.
* Для случая q — 0 таблицы функций W и Уг даны в добавлении 3 (где
они обозначены через G и g).

ГЛАВА 11
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАСПРОСТРАНЕНИИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
ВДОЛЬ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ ПО МЕТОДУ
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ*
Задача о распространении электромагнитных волн вдоль поверхности земли
решается по методу параболического уравнения, предложенному Леонтовичем.
В параграфе 1 поверхность земли рассматривается как плоская; в этом случае
получается хорошо известная формула Вейля—ван дер Поля. Эта формула ока-
зывается, таким образом, строгим решением параболического уравнения с над-
лежащими предельными условиями. В параграфе 2 поверхность земли рассмат-
ривается как сферическая; в этом случае получается формула, совпадающая с по-
лучаемой по методу суммирования бесконечных рядов, представляющих стро-
гое решение задачи (см. главу 10).
В предыдущей главе дано решение задачи о распространении
электромагнитных волн от элементарного вертикального диполя,
находящегося на заданной высоте над поверхностью сферической
земли. В этом решении поле вычисляется для точек на поверхности,
но по теореме взаимности то же решение непосредственно дает поле
в точке над поверхностью, если диполь расположен на самой
поверхности.
В настоящей главе мы покажем, что решение этой задачи
может быть получено также и методом сведения ее к решению
уравнения параболического типа для «функции ослабления».
Этот метод был впервые предложен Леонтовичем [21] и приме-
нялся им к решению той же задачи для плоской земли. Ввиду того,
что приведенные в первоначальной работе Леонтовича рассужде-
ния требуют некоторых исправлений, мы вновь вернемся здесь
к этой задаче, а затем рассмотрим и случай сферической земли.
* Леонтович и Фок, 1946.

222 Тропосферное распространение радиоволн
1. Случай плоской Земли
Зависимость всех составляющих поля от времени мы принимаем
в виде е~/ш' и в дальнейшем этого множителя не выписываем.
Обозначим через k абсолютную величину волнового вектора
и через т] — комплексную диэлектрическую постоянную земли,
так что
* i e+*e+ о01)
где
есть некоторая длина, характеризующая удельное сопротивление
земли (эта длина меняется от десятых долей сантиметра для
морской воды до десятка метров для сухой почвы). Пусть U есть
вертикальная составляющая вектора Герца (функция Герца),
удовлетворяющая уравнению
Д1/ + ЛЧ/ = 0. A.03)
Функцию Герца U мы будем писать в виде
U^-^-W, A.04)
где R есть расстояние от точки наблюдения до источника, а мно-
житель W есть так называемая «функция ослабления».
Как известно, при kR —» 0 функция Герца обращается в бес-
конечность так, что W остается конечным. В качестве нормировки
функции Герца мы потребуем, чтобы W стремилось к единице,
когда обе точки (источник и точка наблюдения), оставаясь выше
поверхности земли, неограниченно приближаются друг к другу.
В дальнейшем мы будем считать, что источник находится
на самой поверхности земли. Введем цилиндрические координаты
г, г с началом координат в диполе и осью z, направленной верти-
кально вверх. На поверхности земли мы имеем z = 0. Расстояние R
будет равно R — У г2 + za .
Основным «большим параметром» нашей задачи является ве-
личина |т]|. При больших |т]| функция ослабления W есть мед-
ленно меняющаяся функция от координат. Чтобы характеризовать
медленность ее изменения, можно ввести безразмерные коорди-
наты
p ' (
и рассматривать W как функцию от р и ?, считая, что производные
от W по своим аргументам того же порядка, как сама функция.

Гл. 11. Применение параболического уравнения 223
Подстановка выражения A.04) в уравнение A.03) дает для
функции W (р, ?) уравнение, которое может быть упрощено,
если ввести предположение, что угол наклона луча к горизонту
мал и что расстояние от источника составляет по крайней мере
несколько длин волн. Эти предположения приводят к неравен-
ствам
г " 1, АЯ»1, A.06)
т
которые равносильны следующим:
-?-«2уТчГ. р»т>нг (Ь07)
Так как величина | т| | предполагается большой, то неравенства
A.07) выполняются в широком интервале значений р, ? (и во
всяком случае для значений р, ? порядка единицы).
Считая неравенства A07) выполненными, мы получаем для
W (р, ?) уравнение
причем отброшенные в A.08) члены — порядка -|—- по сравнению
с теми, которые выписаны.
Предельное условие для W на поверхности земли (? = 0)
получается из условия для вектора Герца:
4^- = 4=rU (при z = 0), A.09)
ог V f\
которое было указано Леонтовичем. Оно имеет вид
-—- + q1W = 0 (при ? = 0), A-Ю)
где
qx = j j/iJli^e'^-', A.11)
причем
6-arctg^-, 0<6<-f A.12)
есть так называемый «угол потерь».
После перехода к пределу | г\ \ —> ею область изменения пере-
менных р, ? есть р >• 0, ? >• 0.
В качестве «условий на бесконечности» мы можем потребовать,
чтобы функция W оставалась медленно меняющейся функцией;

224 Тропосферное распространение радиоволн
тогда вектор Герца U будет удовлетворять условию излучения.
Мы можем также потребовать, чтобы при всех положительных
значениях р и ? [за исключением, быть может, особенной точки
р = 0 уравнения A.08)] функция W была ограниченной.
Нам остается формулировать условие при р = 0. Так как фор-
мулировка этого условия представляет некоторые трудности,
мы рассмотрим его несколько подробнее.
Прежде всего, в непосредственной близости к источнику,
т. е. в области весьма малых значений kR, нарушаются неравен-
ства A.07). Как дифференциальное уравнение A.08), так и выра-
жение для W становятся там заведомо непригодными. Область
малых kR есть «запретная зона» для искомой функции W. По-
этому-то характер особенности точной функции Герца в источнике
и не может служить для установления искомого условия при
р = 0. Мы должны привлечь для установления этого условия
свойства функции Герца для больших kR.
Известно, что при больших kR в пространстве над поверхностью
земли, где угол наклона луча к горизонту не слишком мал, для
функции Герца (нормированной как указано выше) приближенно
справедлива так называемая «отражательная формула»
tf = (l+ft-V, A-13)
где
t_. ncosy— Vn— sin* у
г) cos у + Yr[ — sin2 у
есть коэффициент Френеля. (Угол у есть угол падения, так что
в нашем случае cos у = -~. \ Отражательная формула, во всяком
случае, справедлива в области, где выполняются неравенства
Ь,2
-i-«?r- (Ы5)
Если же | т] | есть большое число и если
^«-f«l. 0.16)
то коэффициент Френеля / мало отличается от единицы, и мы имеем
JkR
?/ = 2-V- A-17)

Гл. //. Применение параболического уравнения 225
После перехода к безразмерным координатам р, ? неравенства
A.15) и A.16), при выполнении которых справедлива формула
A.17), принимают вид
A.18)
A.19)
Чтобы вывести условие для W при р —> 0, мы должны про-
извести двойной предельный переход: сперва | \\ | - > оо, а затем
уже р —> 0. После перехода к пределу | ц \ —> оо правые части
неравенств отпадают, и мы получаем
г р
При выполнении этих условий функция Герца стремится к значе-
нию A17), и тогда
W-^2. A.21)
Условия A-20) выполняются, в частности, при р —* 0, ? > 0.
Следовательно, искомое решение уравнения A.08) должно удо-
влетворять требованию
\W — 2| —>О (при р-*0 и ?>0). A.22)
Однако вследствие того, что р == 0 есть особенная точка уравне-
ния для W, условие A.22) оказывается недостаточным для одно-
значного определения решения. Мы заменим его поэтому более
строгим условием
W~2 -0 (при р—0 и ?>0), A.23)
которое, как мы увидим, уже будет достаточным.
Для определения «функции ослабления» W мы имеем, таким
образом, дифференциальное уравнение A.08), предельные усло-
вия A.10) и A.23) и требование ограниченности в рассматриваемой
области (при р > 0).
Чтобы упростить дифференциальное уравнение, мы произ-
ведем подстановку
*Wlt A.24)
после чего уравнение примет вид
ЁЪ- + i Лр- = о. A.25)
15 в. А, Фок

226 Тропосферное распространение радиоволн
Предельное условие для Wx напишется в виде
^ = 0). A.26)
Условие при р = О будет
71 — *=-ei*->0 (прир-О). A.27)
Достаточность этого условия вытекает из того, что р = 0 не есть
особенная точка уравнения для Wx (в отличие от уравнения для W).
Решая уравнение A.25) способом разделения переменных,
легко находим частное решение, удовлетворяющее предельному
условию A.26), а именно
! = e~'vfP (cosv? — -iL.sinv?), A.28)
где v — параметр разделения.
При вещественных v это выражение остается ограниченным
и удовлетворяет всем условиям, кроме A.27). При комплексных v,
за исключением случая, когда v = ±iqlt выражение A.28) обра-
щается в бесконечность при ?-^оои, следовательно, поставлен-
ным условиям не удовлетворяет. Если же v = ±iqx, оно приво-
дится к виду
црг = е'Ф~'1С. A.29)
Согласно A.11) и A.12)
С~, A-30)
откуда
Re(<7l)>0, Re(*9»)<0. A.31)
Следовательно, в формуле A.29) вещественная часть коэффициен-
тов при р и при ? отрицательна и выражение A.28) также удо-
влетворяет всем условиям, кроме A.27).
Чтобы удовлетворить также и этому последнему условию,
составим функцию, представляющую собой наложение решении
вида A.28) и A.29):
со
Wt = J e-'v>p (cosv? — -^-sinvt\ /(v) dv + Ae41"^. A.32)

Гл. 11. Применение параболического уравнения 227
Нетрудно видеть, что особенность Wt при р —¦ 0 определяется
поведением / (v) при больших v. Особенность эта может быть
представлена в виде интеграла
А 1-2-7 9 iSL
-iUe 4 |e-'v'Pcosv?dv = -^e «•> . A.33)
Vn 0J Vp
Поэтому ясно, что / (v) стремится на бесконечности к постоянному
пределу, равному множителю перед интегралом в A.33). Выделим
в A.32) член
W\ = -4=- е' т f e-'v'P (cosv? — -^- sin v^ dv, A.34)
4
у л
соответствующий предельному значению / (v). Он равен
(Ь35)
Величина W*l удовлетворяет уравнению A.25) и предельному
условию A.26). При р —> 0 имеем
lim(V? JLe'^") - —21/я е' Tqx A.36)
р-и> \ Vp I
при всяком ? > 0. Следовательно, если мы положим
Wi=W°i-\-W'u A.37)
то для №i уравнение A.25) и условие A.26) сохранятся, а усло-
вие A.27) даст
e 4<7i (при р = 0, С>0). A.38)
Если мы положим в A.32)
/(v) = —^e' ^"[1 + g(v)], A.39)
то будет
W[ — ~т=-е 4 [ е—'v'p(cosv?—— sinv?)g(v)dv-|- At <?lP"~?1
A.40)
15*

228 Тропосферное распространение радиоволн
и условие A.38) напишется
J (cosvC - -?- sin vt) g (v) dv + Xf- Ae~' V*6 - -J-ft
(при С>0). A.41)
Показательная функция в A.41) допускает (при ? > 0) интеграль-
ное представление
Умножая это выражение на qx dt, и интегрируя по ? от 0 до ?,
будем иметь
1 — е-?'? = — а\\ —j-z—~- dv. A.43)
я 4lJ v(v2 + «??) V '
о
Вычитая A.42) из A.43) и умножая на -~- qlt получим равенство
q\ j(cosvt—
о
=-=-?1, A.44)
которое можно сравнить с A.41). Мы получим совпадение, если
положим
*(v)= y$T. Л = 4К"е'^?1. A.45)
Согласно A.39) отсюда следует
^4 (К46)
и по формуле A.32) мы получаем для искомой функции Wx сле-
дующее выражение:
e-<v«p (v cos vg _ q sin vg) ¦ ,v ,
J v +qx
A.47)

Гл. 11. Применение параболического уравнения 229
Для исследования этого выражения удобно заменить интеграл
по вещественной оси интегралом по прямой arc v = —-^-, так как
новый интеграл будет быстрее сходиться. В секторе
^0 A.48)
имеется, однако, между старым и новым путем интегрирования
полюс v = —iqt. Вычет в этом полюсе как раз сокращается с чле-
ном вне интеграла в A.47), и мы получаем
. A.49)
W в е
Вместо этого мы можем написать
2 е+' Т f C e-,v.p+/vC
— Г Т
ибо подынтегральная функция в A.49) есть четная часть подын-
тегральной функции в A.50).
Полагая
мы можем (передвинув контур вправо на величину -у-) считать
новую переменную интегрирования р вещественной и пробегающей
значения от —оо до +оо. Положив для краткости
= o, e 4 yS==*. A-52)
получим
W1 = —?L=~ e' Tp [ e-p' P + l dp. A.53)
1 /яр J р + а + т ^ v ;
— oo
Теперь удобно перейти по формуле A.24) от Wx к первоначальной
функции ослабления W. Мы будем иметь
+ 00

230 Тропосферное распространение радиоволн
Этот интеграл легко вычисляется. В зависимости от знака мни-
мой части а + т, он представляет разные аналитические функции.
Но из формул A.30) и A.52) следует, что
Ima>0, 1тт>0, A.55)
так что в нашем случае Im (а + т) > 0. В этом случае интеграл W
равен
а+х
W = 2 — 4ое~ (a+x>f | еа' da. A.56)
loo
Это есть известная формула Вейля—ван дер Поля, которую мы
имели в виду вывести.
Как видно из вывода, поставленные условия определяют
функцию W вполне однозначно. Если бы мы вместо A.23) ограни-
чились условием A.22), мы могли бы добавить к найденному
решению Wt любое выражение вида A.32) (если только в нем
функция / (v) непрерывна и абсолютно интегрируема).
Как уже было указано, необходимость условия A.23) связана
с тем, что уравнение A.08) для W имеет особенность при р = 0,
тогда как уравнение A.25) для Wt ее не имеет.
В рассмотренном случае плоской земли вывод формулы Вейля—
ван дер Поля по методу параболического уравнения лишь немно-
гим проще обычного; однако в более сложных случаях упрощение
при пользовании этим методом получается гораздо более зна-
чительным.
2. Случай сферической Земли
Обозначим через г, Ф, <р сферические координаты с началом
в центре земного шара и с полярной осью, проходящей через источ-
ник (вертикальный диполь). Электрическое и магнитное поле может
быть выражено при помощи функции Герца U следующим образом:
Н9 = -&¦%?-. B.02)
Функция U удовлетворяет дифференциальному уравнению
Ш + k*U = 0, B.03)
а также определенным граничным условиям на поверхности шара
(г = а). Как и в плоском случае, мы будем считать модуль ком-
плексной диэлектрической постоянной земли ц большим по сравне-
нию с единицей. Это позволит нам писать граничные условия в при-

Гл. 11. Применение параболического уравнения 231
ближенной форме, указанной Леонтовичем и уже неоднократно
применявшейся при решении аналогичных задач [21]. Для
плоского случая эти предельные условия имеют вид A.09), уже
Использованный нами выше, а для сферического случая они
принимают вид
^^-а). B.04)
Для поля эти условия приводят к соотношению
к = а). B.05)
Особенность функции Герца в той точке, где находится диполь,
та же, что и в плоском случае. А именно, если диполь и точка
наблюдения находятся выше поверхности земли и если R есть
расстояние между ними, то должно быть
lim RU = 1, U = -^- + U* (при kR — 0), B.06)
где U* остается конечным при kR —» 0.
Решение задачи мы будем искать в виде
JkR
U = -^- W, B.07)
где W есть функция ослабления.
В дальнейшем мы будем считать диполь расположенным на
самой поверхности земли, так что
R = уг* + а2 — 2га cos § . B.08)
Выясним, каковы те «большие» и «малые» параметры, которыми
характеризуется наша задача. Прежде всего, в интересующем
нас случае длина волны чрезвычайно мала по сравнению с радиу-
сом Земли, так что величина ka весьма велика по сравнению с еди-
ницей (порядка нескольких миллионов). При решении задачи мы
учтем это с самого начала и будем искать предельный вид решения
при большом значении величины ka. Как уже было указано, мы
считаем еще, что | ц | велико по сравнению с единицей. Отношение
порядков величин этих двух больших параметров мы установим
ниже. Кроме того, мы будем искать решение задачи для расстоя-
ний от источника, хотя и больших по сравнению с длиной волны,
но малых по сравнению с радиусом Земли.
Идея применяемого нами здесь метода состоит в следующем.
При больших ka и больших | ц | функция ослабления W есть мед-
ленно меняющаяся функция координат в том смысле, что относи-

232 Тропосферное распространение радиоволн
тельное изменение ее на протяжении одной длины волны очень
мало. [Это видно хотя бы из того, что в весьма обширной области
W = 1 + Л где / есть коэффициент Френеля A.14).] Чтобы явно
выразить медленность изменения функции W, мы введем большие
по сравнению с длиной волны масштабы длин: тг в направлении
радиуса вектора (по высоте) и me в направлении дуги мерндиана
(в горизонтальном направлении). Полагая
г^а + тд, д = -^-д;, B.09)
введем новые безразмерные величины х, у и будем считать, что
W=W(x,y), B.10)
причем производные —^— и —з— того же порядка, что и само UP.
(Этим и выражается тогда медленность изменения W.) Мы пока-
жем, что при надлежащем выборе масштабов т, и тц в предельном
случае очень больших ka мы можем получить для W (х, у) урав-
нение и предельные условия, не содержащие больших параметров
и дающие решение во всей интересующей нас области.
При наших предположениях уравнение плоскости горизонта
г cos О = а B.11)
(«границы прямой видимости») может быть написано в виде
г = а+а^- B.12)
или
^-х\ B.13)
Из физических соображений ясно, что граница прямой видимости
играет в нашей задаче существенную роль. Поэтому удобно, чтобы
уравнение ее не содержало никаких параметров. Этого можно
достигнуть, связав тг и m$ соотношением
«г = -^-. B-14)
после чего уравнение границы прямой видимости приннмает вид
у = х\ B.15)
Как уже было указано, мы ищем решение для области, в кото-
рой Ф <^ -^-. Поэтому мы будем требовать, чтобы малым § соот-
ветствовали значения х порядка единицы. Это будет иметь место,

Гл. И. Применение параболического уравнения 233
если тпц < а, или, полагая me = —, мы должны считать, что А
есть большое по сравнению с единицей число. Теперь равенства
B.09) обращаются в такие:
^) fl = -f, B.16)
а расстояние от диполя R [формула B.08)] выразится через х
и у так:
причем в фигурной скобке опущены члены порядка -jj- и более
высокого порядка малости.
Выведем теперь приближенное дифференциальное уравнение
для функции ослабления W. Если R есть радиус-вектор с началом
в диполе, то из B.03) и B.07) вытекает уравнение
2 (Л _ -^) (EJE^ZL = о, B.18)
которое в полярных координатах принимает вид
.2 dW . 1 &W .
г 5г + г2 д02 +
Сделав здесь замену переменных г и # на х и у и удерживая
в получающемся при этом дифференциальном уравнении только
старшие по отношению к большому параметру А члены, получим
+[х + )+
Заметим, что отброшенные нами здесь члены имеют по отношению
к написанным порядок —тг-
Значение большого параметра А осталось еще не фиксирован-
ным. Мы можем попытаться распорядиться им так, чтобы при
ka —> оо уравнение B.20), во-первых, не содержало параметров
и, во-вторых, имело решение, удовлетворяющее нужным предель-
ным условиям. Это возможно только, если Л8 пропорционально ka.
Поэтому мы положим
(%)У\ B.21)

234 Тропосферное распространение радиоволн
после чего уравнение B.20) примет вид
Заметим, что это уравнение представляет собой в сущности урав-
нение для члена Wl°) в разложении
W = Г<°> + ~ W™ H B.23)
Кроме предположения, что Л3 пропорционально ka, имелись
еще две другие возможности выбора А. Во-первых, можно было бы
положить
-~—>0 при ka-*oo, B.24)
и, во-вторых,
-j >оо при ka-^oo. B.25)
В первом случае предельное уравнение имело бы вид
и во втором
Однако легко убедиться, что решения этих уравнений не могут
удовлетворять необходимым предельным условиям. Поэтому един-
ственно возможным остается предположение, сделанное выше.
Обратимся теперь к граничным условиям. Используя B.17)
и B.21) и сохраняя только старшие по отношению к А члены,
получаем из B.04) и B.07)
^ (при у = 0), B.28)
или, в том же приближении,
H/=0)- B-29)
В это граничное условие входит комплексная величина
<Л (па \1/з 1 ,9 от
*-7Т hr) -гг—г' B>30)

Гл. П. Применение параболического уравнения
235
которую можно написать в виде
Я^\ч\Ях, B.31)
где <7i по модулю равно единице и имеет значение A.11).
Величина | q | есть отношение двух больших параметров и может
принимать как малые, так и большие значения. Если ввести неза-
висимую от длины волны длину
и положить
то величину q можно представить в виде
i
i-f- an
_ ' _ ( 2l \2/s
' a"8 b -&\~a-) '
B.32)
B.33)
B.34)
Таблица I
Почва
Морская вода сильно со-
леная
Морская вода слабо соле-
ная . . .
То же
Болото .... ...
Влажная почва и луга
То же
Пресная вода чистая . .
Сухая почва
(То
ст
2-Ю6
10е
2-10е
107
2-Ю8
108
10е
1010
2nl. м
0,0032
0,016
0,032
0,16
1,6
3,2
16
160
ЧпЬ, м
26,6
69,8
105
278
1 ПО
1 680
4 420
17 500
Е
80
80
80
15
15
15
80
9
а
0,010
0,018
0,024
0,009
0,022
0 028
0,29
0,08
Примечание. В первом столбце приведено отношение проводимости ртути а0
к проводимости данной почвы а, причем проводимость ртути принята равной
0О= 10 440 (ом-см)-К
Как видно из приведенной здесь таблицы, величина а меняется
для морской воды и для различных почв в сравнительно узких
пределах (примерно от 0,01 до 0,03, а для сухой почвы — до 0,08),
тогда как длина 2nb меняется от десятков до тысяч метров. По-
этому п будет большим (и | q\ будет порядка Л2) лишь для очень
коротких волн и сухих почв, В общем же случае мы должны счи-
тать \q\ конечным и оставить величину q в граничном условии,
которое будем писать в виде
~?)w=°(при у=
B>35)

236 Тропосферное распространение радиоволн
Интересно сравнить уравнения и граничные условия для случаев
плоской и сферической Земли.
Полагая
p=\q\*x, i = \q\y, B.36)
мы переходим от наших переменных х, у к прежним безразмерным
величинам р, ?. Сделав эту замену переменных в уравнениях
B.22) и B.35), мы приходим к уравнениям
= 0), B.38)
в которых члены порядка -prg- учитывают кривизну Земли.
Отбрасывая эти члены, мы возвращаемся к уравнениям A.08)
и A.10) для плоской Земли.
Нам остается формулировать условие при х = 0. Соответству-
ющее условие для плоской Земли было подробно разобрано в пара-
графе 1, где мы убедились, что для установления его нельзя непо-
средственно использовать характер особенности функции Герца
в источнике, а нужно рассматривать ту область, где применима
«отражательная формула» A.13) или ее предельный случай A.17),
и сравнивать там с этими формулами искомое решение.
Для сферической Земли это условие ничем по существу не
отличается от условия для плоской Земли, и мы можем написать
его в виде
W~~2 -0 при х-*0 и t/>0, B.39)
аналогичном A.23).
Таким образом, наша задача состоит в том, чтобы определить
функцию W из дифференциального уравнения B.22) и предельных
условий B.35) и B.39), а также из условия, чтобы W оставалось
конечным при всех у > 0, и из условия на бесконечности, ана-
логичного условию в случае плоской Земли.
Решение этой, уже чисто математической, задачи может быть
получено следующим образом.
Прежде всего, упростим дифференциальное уравнение B.22)
при помощи подстановки
W = е-'и-У, B.40)
где

Гл. И. Применение параболического уравнения 237
Геометрический смысл величины ©0 вытекает из формулы B.17),
которую можно написать в виде
kR = ka§ + (u0. B.42)
Это есть выраженная в волновых числах разность между расстоя-
нием R, отсчитываемым по прямой, и длиной дуги, отсчитываемой
по земной поверхности. Вследствие B.40) и B.42) мы имеем
е'*«№ = eikai>V, B.43)
так что переход от UP к V соответствует выделению фазового мно-
жителя е'*а* вместо etkR.
В силу условия излучения фаза функции V (а также вводимой
ниже функции Wj) должна возрастать с возрастанием высоты у.
Подставляя B.40) в дифференциальное уравнение для W и
пользуясь тем, что
получаем
^^(^) = 0. ,2.45)
Это уравнение, как и исходное, имеет особую точку при х — 0,
но ее можно устранить подстановкой
V = Vx Wlt B.46)
после чего получим
^ ^ -O. B-47)
Предельное условие для Wx будет то же, что и для V, а именно
^ 0 (приу = 0). B.48)
Заметим, что его проще всего получить не из B.35), а непосред-
ственно из B.28).
Наконец, условие при х —¦ 0 напишется в виде
уг
U^-.-JLe ^-^0 (при х-,0 и у>0). B.49)
Переход от W к Wt представляет собой значительное упроще-
ние задачи. Во-первых, уравнение B.47) не только не имеет осо-
бенной точки при х — 0, но и не содержит х в своих коэффициентах

238 Тропосферное распространение радиоволн
и допускает разделение переменных. Во-вторых, коэффициент
в граничном условии B.48) также не содержит х. Из того обстоя-
тельства, что х — 0 не есть особенная точка уравнения B.47),
вытекает также, что условие B.49) при х = 0 вместе с предельными
условиями является достаточным для однозначного определе-
ния Wv
Мы будем решать уравнение B.09) классическим способом
разделения переменных. Рассматривая частное решение вида
W, = X (х) Y (у), B.50)
получаем для X и Y уравнения
•^-+ */ = -/-— = /, B.51)
где t есть параметр разделения.
Отсюда
X' = ИХ, B.52)
Y'+(y—t)Y = Q. B,53)
Решение уравнений B.52) и B.53) есть
Х{х) = е"х, B.54)
Y{y) = w(t — у), B.55)
где w (t) есть интеграл уравнения
w" (t) = tw (t). B.56)
В качестве w (t) мы можем взять функцию
гг'~~*~г'с1г, B.57)
г
где контур Г есть ломаная линия, идущая от бесконечности до
нуля по прямой arc z — ~ и от нуля до бесконечности по по-
ложительной вещественной оси. Функция w (t) есть целая транс-
цендентная функция, которая выражается через функцию Ханкеля
первого рода порядка -s- по формуле
w(t) = е 3 ]/-2- (-/)V2#{;> [-§- (-/)з/2 ]. B.58)
Свойства w (t) перечислены в главе 10 (см. также добавле-
ние 2). Фаза функции w (t — у) возрастает при у —¦> +°о. Дру-

Гл. 11. Применение параболического уравнения 239
гой же интеграл уравнения B.53), который можно написать в виде
Л
Yt(y) = wtQ — y)=*e 3w[e 3(t—y)\, B.59)
этим свойством не обладает. Выражение B.50) будет удовлетво-
рять предельному условию B.48), если выбрать параметр t так,
чтобы было
w' {t) — qw (f) = 0. B.60)
Как показано в главе 10, все корни t% этого уравнения лежат
в первой четверти плоскости комплексной переменной t, причем
отдаленные корни располагаются вблизи прямой arc / = -|-.
Отсюда следует, что функция
W^e'^wit; — у) B.61)
остается конечной при всех положительных значениях х и при
конечных у. (Если бы мы в формулах B.60) и B.61) взяли другой
интеграл B.59) дифференциального уравнения B.53), то корни ts
лежали бы в четвертой четверти плоскости t и показательный
множитель еш$ неограниченно возрастал бы при возрастающих х;
поэтому интеграл B.59) должен быть отброшен. Тот же вывод
следует из рассмотрения фазы функции Wit которая должна
возрастать с возрастанием у.)
Таким образом, функция B.61) удовлетворяет дифферен-
циальному уравнению B.47) и предельному условию B.48) и
остается конечной по отношению к х (а именно стремится к нулю
при х —* оо). Тем же условиям удовлетворяет при х ;>0 и ин-
теграл
где С есть замкнутый контур в плоскости /, охватывающий корни
уравнения B.60). При этом, если функция if (t) голоморфна и
ограничена внутри этого контура, то интеграл B.62) остается огра-
ниченным для всех значений у, тогда как частное решение B.61)
не является ограниченным по у.
Нам остается удовлетворить условию B.49). Это может быть
достигнуто надлежащим выбором контура С и функции г|э (t).
Прежде всего ясно, что контур С должен уходить на бесконеч-
ность, так как интеграл B.62), взятый по любому конечному
контуру, не может иметь особенности при х — 0. Особенность

240 Тропосферное распространение радиоволн
эта обусловлена отдаленными участками контура. Но для боль-
ших t имеют место следующие асимптотические выражения:
1
B.63)
где arc ]/"* = -к- arc /. (На луче arc t = ~^~ или arc t = ^-
оба выражения B.63) совпадают.)
Так как контур С должен охватывать корни знаменателя под
интегралом, а они лежат в первой четверти комплексной плоско-
сти t, то из двух уходящих на бесконечность ветвей контура мы
направим одну по мнимой оси (от too до 0), а другую — по веще-
ственной оси (от 0 до +оо); на первой ветви будет справедливо
нижнее, а на второй — верхнее выражение B.63). Особенность
интеграла B.62) при х —-> 0 будет та же, что и для интеграла
W1 = f el«+y VT+ (/) .* + f eixi~y ^ $ (t) -~. B.64)
о о
Действительно, хотя при малых и конечных t асимптотические
выражения B.63) и неприменимы, но интеграл по соответству-
ющим участкам остается конечным и не дает особенности.
Если будем считать г|э (t) постоянной, равной
у^е"'", B.65)
мы можем преобразовать сумму интегралов в B.64) к виду
W\ = -%=- [e-"t+vr»fdp. B.66)
Это выражение равно
у'
W[ = -y=re~s't B.67)
так что оно дает правильную особенность WY.
Если т|) (t) имеет значение B.65), то полное выражение B.62)
для V?! равно
-?»(О

Гл. П. Применение параболического уравнения 241
Вычисляя интеграл B.68) по способу стационарной фазы вблизи
точки
где производная от фазы обращается в нуль, мы получим
lim(Wt — W[) = Q, B.70)
0
х+0
где W'x имеет значение B.67).
Таким образом, при х —» 0 разность Wx — W\ не только
остается конечной, но и обращается в нуль. Это и есть условие
B.49).
Таким образом, выражение B.68) удовлетворяет всем постав-
ленным условиям, включая B.49). На строгом доказательстве
единственности полученного решения мы останавливаться не бу-
дем, однако ясно, что добавка к полученному решению выраже-
ний вида B.61) уже нарушает условие B.49).
Переходя по формуле B.46) к функции V, мы получаем для
нее выражение
Используя B.43) и заменяя в знаменателе B.07) величину R
на aft, мы приходим к следующему окончательному выражению
для функции Герца:
^ = -LSrV{JC,y,q). B.72)
Это выражение в точности совпадает с тем, которое было получено
в главе 10 по методу суммирования рядов [формула F.01)]. На
исследовании полученного выражения мы здесь не останавли-
ваемся, так как это исследование уже произведено в главе 10.
Сравнивая оба способа вывода выражения B.71), мы прихо-
дим к следующим заключениям. Способ суммирования рядов
является более сложным, но и более строгим. Это связано с тем
обстоятельством, что при его применении все пренебрежения де-
лаются уже в готовом решении, что облегчает оценку отбрасывае-
мых членов. Кроме того, он позволяет пользоваться непосред-
ственно условием B.06), не прибегая к «отражательной формуле»,
которая сама требует обоснования. Для способа же параболиче-
ского уравнения характерно то, что все пренебрежения делаются
уже в самих уравнениях. Проистекающая от этого нестрогость
выкупается сравнительной простотой второго способа, которая
16 В. А. Фок

242 Тропосферное распространение радиоволн
и представляет главное его преимущество, так как позволяет на-
ходить приближенное решение аналогичных, но более сложных
задач, для которых строгое решение неизвестно.
Примечание. Работа, составляющая предмет настоящей главы, пред-
ставляет одну из первых попыток формулировать задачу диффракции на основе
параболического уравнения. Хотя рассуждения, имеющие целью показать един-
ственность решения, несколько неполны (и, в частности, выбор B.65) функции
\f> (t) в интеграле B.62), быть может, недостаточно мотивирован), но все резуль-
таты данной работы верны. Более простой и убедительный вывод приведенных
здесь формул может быть получен при раздельном рассмотрении падающей и
отраженной волиы (причем для падающей волны нужно брать выражение, удов-
летворяющее параболическому уравнению). Такой способ рассуждения и при-
нят в наших последующих работах (см., например, [5]). В тексте настоящей
главы сделаны лишь незначительные изменения по сравнению с первоначаль
ным текстом статьи [11].

ГЛАВА 12
ПОЛЕ ОТ ВЕРТИКАЛЬНОГО
И ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ДИПОЛЯ, ПРИПОДНЯТОГО
НАД ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ *
Поле от диполя, расположенного над поверхностью Земли, принимаемой
за сферическую, выражается в виде бесконечных рядов, для которых нами раз-
работан общий способ суммирования (см. книгу «Диффракция радиоволи вокруг
земной поверхности». Изд. АН СССР, М.—Л., 1946, а также главу 10 настоящей
книги). В главе 10 суммирование произведено для случая вертикального диполя
на поверхности Земли. В настоящей главе аналогичным методом производится
исследование поля от приподнятого вертикального и горизонтального диполя.
Ряды представляются в виде интегралов, содержащих функции Эйри. Такое
представление позволяет вывести формулы, удобные для вычисления поля как
в области тени (ряд вычетов), так и в освещенной области (отражательная фор-
мула). В области же полутени для вычисления поля приходится прибегать к ква-
дратурам. В заключение сравнивается характер поляризации поля на разных
расстояниях от источника.
В книге «Диффракция радиоволн вокруг земной поверхности»
[22], а также в главе 10 настоящей книги мы разработали общий
метод суммирования рядов, представляющих поле от диполя,
расположенного над поверхностью Земли, принимаемой за сфери-
ческую. Там наш метод был применен к случаю вертикального
диполя, расположенного на самой поверхности. Не меньший
интерес представляют, однако, случаи приподнятого вертикаль-
ного и горизонтального диполя. Эти случаи мы и предполагаем
разобрать в настоящей главе.
1. Вертикальный приподнятый диполь.
Решение в виде рядов
Мы будем пользоваться обозначениями, принятыми в главе 10.
Пусть k есть волновой вектор в воздухе, ц — комплексная диэлек-
трическая постоянная земли, кг — kr^fi — комплексный волно-
* Фок, 1949.
16*

244 Тропосферное распространение радиоволн
вой вектор для земли. Для простоты мы не будем учитывать
здесь рефракции атмосферы и напомним лишь, что учет рефракции
может быть приближенно произведен путем замены геометриче-
ского радиуса земного шара а эквивалентным радиусом а* (см.
главу 13).
Введем сферические координаты г, ft, <р с началом в центре
земного шара и с полярной осью, проходящей через диполь.
Составляющие поля в воздухе выражаются через функцию
Герца U по формулам
1 д I dU \
= -—-дг\г-ж)'
<103)
Пусть диполь находится на высоте h = Ь — а над поверхностью
земли (так что Ь есть расстояние диполя от центра земного шара).
Введем функции г}>„ (х) и ?„ (х), связанные с функциями Бесселя
и Ханкеля соотношениями
H^{x), A.05)
и обозначим через %„ (х) логарифмическую производную
и через Рп (cos ft) — полином Лежандра.
При таких обозначениях разложение функции Герца U в об-
ласти а =^ г < Ь будет иметь вид
U = ibF |0Bn + 1) In (Щ Ыь (fer) - Л„^„ (fer)l Р„ (cos ft), A.07)
„|0(
где
A08ч
Эти формулы приведены в [221, а также в главе 10. Даль-
нейшие вычисления проделаны там, однако, лишь для случая
г — а. От этого ограничения мы теперь освободимся.

Гл. 12. Поле от приподнятого диполя 245
2. Приближенное суммирование ряда
для функции Герца
Для приближенного суммирования ряда мы можем применить
без всяких изменений метод, изложенный в главе 10. Напишем
ряд A.07) в виде
V= Jj (п + 4")ф(п + ~г) pn(cos®)' B-01)
где
Положим п + Va = v и будем рассматривать v как комплекс-
ную переменную. Функция <р (v) будет аналитической функцией
от v, имеющей полюса только в первой четверти. Как показано
в параграфе 2 главы 10, при условии ka > 1 сумма B.01) может
быть с достаточной степенью точности заменена интегралом
B-03)
где контур С идет из бесконечности во второй четверти, охваты-
вает все полюса <р (v) и удаляется на бесконечность в первой
четверти комплексной переменной v.
Главным участком контура будет тот, где
Ч B.04)
причем | /1 ограничено (тогда как ka, по предположению, весьма
велико). Величина
m /toy/з B_05)
представляет «большой параметр» нашей задачи (мы будем везде
отбрасывать члены порядка 1 : тг по сравнению с единицей).
Эта величина будет часто встречаться в дальнейших вычислениях;
в главе 11 она была обозначена буквой А.
На главном участке интегрирования можно заменить функ-
ции i|5n, ?„ их асимптотическими выражениями через функции
Эйри, подробно исследованные в главе 10 (см. также добавле-
ние 2). Мы будем рассматривать четыре функции Эйри: и (t),
v (t), w-l (t) и w2 (t). Эти функции представляют решения диффе-
ренциального уравнения
w"(() = tw(t), B.06)

246 Тропосферное распространение радиоволн
связанные соотношениями
Щ @ = «(/) + io (/), w2 (t) = и (*) — io @- B.07)
При вещественных ^ функции и (/), у (/) вещественны. Функ-
ция wt (t) выражается через функцию Ханкеля первого рода
порядка Ч» по формуле
-^I/2(-01/2Я^[4-(-03'2] • B-08)
Иногда мы будем писать вместо wx (/) просто w (t).
Асимптотические выражения для функции d и ее производной
имеют вид
Ь, (ka) = - itn1/2wl у), In (ka) = im-lflw[ (t). B.09)
Беря отсюда вещественную часть, получим
ф« (ka) => m1/2 у (t), Цп (ka) = — m~1/2w' @- B.10)
Величину Xn (^2a) можно согласно формуле C.08) главы 10
заменить выражением
|/|]V- BЛ1)
Полагая еще
и подставляя найденные выражения в формулу A.08) для Ап,
получим
А V(t)-qv(t) _ B13)
w, @ - ?ш, (/)
Формула B.02) для <р (v) содержит еще функции г|з„ (kr),
?„ (kr) и ?„ (fe6). Асимптотические выражения для них могут
быть легко получены из предыдущих формул. Положим
*=4<r-fl>=-ib <2Л4>
».4М)-^, B-15)
где Л2 есть высота источника; hx — высота точки наблюдения,
а У2 и ^1 — соответствующие приведенные высоты. Мы будем
тогда иметь
?„ (Щ = - imV2% (t — уг), B.16)
tt). B-17)
B.18)

Гл. 12. Поле от приподнятого диполя 247
и функция ф (v) напишется в виде
4>(v) = if('' у1' У*' Ч)> B.19)
где
F = ъ (t - У,)
[о
Выражая здесь функцию v через wx и а>2, мы можем также
написать
[см. формулы A.10) и A.11) главы 7].
Нам остается подставить найденное выражение для ф (v)
в интеграл B.03) для функции Герца U. Вводя горизонтальное
расстояние s = aft, считаемое по дуге земного шара, и приведен-
ное горизонтальное расстояние:
и заменяя в B.03) переменную величину v1/2 постоянной величи-
ной (ka)li2, получим
U = лГ \ V (х, yv y%, q), B.23)
V sa sin (s/a)
где
v=e~' ^ УТ J e
Эта формула справедлива при ух < у2; если же, напротив,
У\ > !/г> то нужно в выражении для F поменять ух и у% местами.
Функцию V можно назвать множителем ослабления.
3. Исследование множителя ослабления
Переходя к исследованию множителя ослабления, рассмотрим
сперва некоторые предельные случаи. Положим ух = 0, что со-
ответствует случаю, когда одна из точек (источник или точка
наблюдения) находится на поверхности земли. Мы получим тогда
Л('> C-01)
в», (t) — qwt (t)
и формула B.24) для множителя ослабления приведется к фор-
муле F.02) главы 10.

248 Тропосферное распространение радиоволн
Рассмотрим теперь другой случай. Будем считать х и уг весьма
большими, а разность
X - V~!h = 6 C.02)
величиной конечной. Заменяя в B.21) функцию wx{t—уг) ее
асимптотическим выражением [формула F.18) главы 101, мы бу-
дем иметь
Здесь интеграл во второй строчке совпадает с выражением,
полученным в главе 5 [формула D.39)]. Совпадение это вполне
понятно. В самом деле, при больших х и у источник находится
далеко от точки наблюдения и от поверхности земли, так что
волна, идущая от источника, может уже рассматриваться как
плоская.
В общем случае интеграл B.24) для V может быть вычислен
как сумма вычетов. Функцию F, определяемую формулами B.20)
и B.21), можно написать в виде
F^w^t- у2) . J^' ° , C.04)
wx (t)~qw1 (t)
где
/ (Уъ t)=[w[(t)—qwx (f)] v(t- у,) -
— [v' (t) - qv @1 w1 (t - yx). C.05)
Заметим, что при ух — 0 функция / и ее производная д[/дуг при-
нимают значения
f=l; з|- = -? (при ^ = 0). C.06)
Отсюда нетрудно заключить, что если t есть корень уравнения
и»!@ — 4wi@ = 0, t = h, t2,..., C.07)
то значение функции / совпадает со значением выражения
/0/1.О = ^Ы = ?4ЙЙ^' C-08)
которое можно назвать «высотным множителем».

Гл. 12. Поле от приподнятого диполя 249
Вычисляя интеграл B.24) как сумму вычетов в точках / = /s,
мы получим для множителя ослабления V выражение
V (х, ylt yit q) =
я °°
- с ~7 2 Ух
-е 2уя
s=l
которое отличается от нашего прежнего выражения для V, соот-
ветствующего случаю Ух — 0 [см. формулу F.10) главы 10],
только тем, что теперь в него входят два высотных множителя
вместо одного. Обе высоты ух и j/2 входят в C.09) совершенно сим-
метричным образом.
Пользуясь соотношением C.07), можно формулу C.09) для V
переписать в виде
я °°
(ЗЛ0)
s=l
Эта форма удобна для больших значений q. В частности, при
q = оо имеем
'_/ло\' ' -S/,o\2 » (Зл1)
i^J () ()
s=l
где величины fs суть корни уравнения
да,(/°) = 0. C.12)
Полученные ряды удобны для вычисления в области геометриче-
ской тени. В освещенной области они сходятся весьма медленно,
но там можно пользоваться отражательной формулой, которая
будет выведена в следующем параграфе. В области же полутени
для вычисления V приходится прибегать к квадратурам.
4. Отражательная формула
Рассмотрим теперь поле в освещенной области. Мы должны
ожидать, что в этом случае получится отражательная формула,
соответствующая отражению шаровой волны от сферической
поверхности.
В интеграле B.24) мы можем взять в качестве F выражение
B.21). Это выражение содержит два члена. Интегралы от каждого
из этих членов в отдельности могут быть расходящимися (сходится
только их разность), но, применяя метод стационарной фазы,

250 Тропосферное распространение радиоволн
мы можем ограничиться рассмотрением участков интегрирования,
лежащих вблизи экстремума фазы, и тогда можно рассматривать
оба интеграла (взятые по соответствующим участкам) раздельно.
Положим
1/0 = "Г е Vir\ еШш>*« ~ Vlw* <* - *A dt'
D.02)
Тогда множитель ослабления V будет равен разности
V = V0 — V*. D.03)
Предполагая, что главный участок интегрирования лежит
в области больших отрицательных значений t и пересекает отри-
цательную вещественную ось t слева сверху вниз направо, мы
можем заменить функции wx и w2 асимптотическими выражениями,
пригодными в этой области. Согласно F.17) главы 10 мы можем
положить
щЦ — у) = е (у—/)-1/4е 3 , D.04)
«»*«—У) = е 4(у-0~1/4е 3 • D.05)
Подставляя D.04) и D.05) в D.01), получим
:-0J1/4 '
где
2 2
о о
Определяя t из условия о»' (t) = 0, будем иметь
Уг-у'~*2 , К^=7 = &=%±?• D.08)
Заметим, что для применимости выражений D.04) и D.05)
обе величины D.08) должны быть велики по сравнению с едини-
цей. Экстремальное значение со (t) мы обозначим через со. Эта
величина равна
1_
D.09)

Гл. 12. Поле от приподнятого диполя
251
Применение метода стационарной фазы к интегралу D.06)
дает
V° = e'<°. D.10)
Величина ю имеет простой геометрический смысл, а именно
© = ?(#—s), D.11)
где R есть расстояние между источником и точкой наблюдения,
считаемое по прямой, a s есть соответствующее горизонтальное
расстояние, считаемое по дуге земного шара.
Отсюда ясно, что величина V соответствует падающей волне.
Рассмотрим теперь интеграл V*. Подставляя в D.02) асимпто-
тические выражения D.04) и D.05), получим
dt
где
ф @ = Xt + 4" (Уг - 03/2 + 4 (</2 - 03/2 - -f <-
D.12)
-13)
Корень уравнения ф' (/) = 0 мы обозначим через / = —р2,
где р > 0. Величина р будет корнем уравнения
D.14)
которое приводится к кубическому уравнению. Значение фазы
Ф (/) при / = —р2 мы обозначим через ф. Пользуясь соотноше-
нием D.14), мы можем освободиться от всех иррациональностей,
кроме р, и написать величину ф в виде
Ф = — ЗрЧ + 2р (У1 +у2г=-. х*) +х(У1 + уд L х3. D.15)
Вычисление интеграла V* по методу стационарной фазы дает
где
А =
D.16)
D.17)
Полученная формула допускает
простое геометрическое толкование.
Величина р равна
р = т cos у = (-у-I/3 cos у, D.18)
где у —угол падения луча (рис. 1). [Рис. 1. Отражение луча от сферы.

252 Тропосферное распространение радиоволн
Множитель ?~У есть взятый с обратным знаком коэффи-
циент Френеля. Величина у А есть умноженная на — (где гх
есть путь, пройденный лучом до отражения) поправка иа расши-
рение пучка лучей после отражения. Фаза ф приближенно равна
Ф = k {rx + ra — s), D.19)
где г2 есть путь, пройденный лучом после отражения.
Таким образом, полученное по способу стационарной фазы
выражение для нашего интеграла V
V = е*« —Ц^2- VAe*, D.20)
в точности соответствует отражательной формуле. Необходимо
подчеркнуть, что это выражение (а следовательно, и отражатель-
ная формула) справедливо лишь при условии, что величина р
достаточно велика по сравнению с единицей (практически доста-
точно потребовать, чтобы было р > 2, или, лучше, р > 3).
Если заданы х, уи </2, то величина р определяется из уравне-
ния D.14). Это уравнение проще всего решить следующим обра-
зом. Введем новую неизвестную величину г, положив
D.21)
D.22)
Решая D.21) относительно р, получаем
тогда как D.22) дает
= Т+7—Г
D.24)
Приравнивая оба выражения для р, мы приходим к кубиче-
скому уравнению
z*-z (ха + 2У1 + 2у2) + 2х (У1 - </а) = 0, D.25)
которое решить уже нетрудно. А именно полагаем
Ра = 4" (** + 2Л + 2^) (Р > 0), D.26)
D.27)

Гл. 12. Поле от приподнятого диполя 253
Тогда интересующий нас корень кубического уравнения будет
равен
z = 2psin(-|-). D.28)
Используя кубическое уравнение, можно написать выраже-
ние для р через z в виде
yi + yt-±-(*+ z*). D.29)
Выражение для V упростится, если мы введем, кроме р, величину
Мы будем тогда иметь
Заметим, что величины х, г, рх приближенно равны
D.32)
('¦i + г2) *
Если высота ух равна нулю, то
z = — х, р = Уг~*2, Pl = 0. D.33)
Если же высоты равны, то, полагая ух = у% = у, получим
z = 0, р = -К J-. Pi = -f-. D-34)
Положим теперь, как в C.02), х — Vy2 = S и будем увели-
чивать дс и 1/у2» сохраняя ? конечным. Это соответствует переходу
к падающей плоской волне. Полагая для краткости
У\г + 3</i = а, D.35)
мы будем иметь
z = —* + -д-@ + 1). р —"з"(а — 2?), Pi =-Q-(а + !)• D.36)
Подставляя эти значения р и рх в уравнение D.31), мы получим
для интеграла, стоящего в C.03), выражение, совпадающее с вы-
веденным в параграфе 6 главы 5 для случая плоской волны.

254 Тропосферное распространение радиоволн
5. Горизонтальный электрический диполь.
Первичное поле
Поле электрического диполя может быть написано в виде
E = graddivn—ДП, Н = — j&curin, E.01)
где П есть вектор Герца, направленный по оси диполя и пропор-
циональный величине
JkR
/70=V"' E-02)
где
+ г* — 2brcos #. E.03)
Наши сферические координаты связаны с прямоугольными соот-
ношениями
х = г sin ¦& cos ф; у = г sin Ф sin ф; z — г cos 0. E.04)
Считая, что диполь, находящийся в точке х — 0, у = 0, z = Ъ,
направлен по оси х, и полагая коэффициент пропорциональности
между Пх и /70 равным единице, мы можем написать
ПХ = ПО, Пу = 0, Пг=0. E.05)
Составляющие поля получаются после подстановки вектора
E.05) в формулы E.01). В дальнейшем нам понадобятся только
радиальные составляющие первичного поля от диполя или про-
порциональные им величины гЕ°г и гН°г, которые вследствие
условий
divE = 0, divH = 0 E.06)
представляют решения скалярного волнового уравнения. Формулы
E.01) и E.05) дают для величины гЕ°г выражение
rtf = cosmos* ^-iM)-
) E.07)
Но так как П 0 зависит от г, Ф и b только через посредство вели-
чины R, то мы имеем
sin d дП«
E.09)

Гл. 12. Поле от приподнятого диполя
255
Поэтому мы можем написать вместо E.07)
EЛ0>
Величина же гН°г получается из E.01) непосредственно в виде
гЯ? =/Л sin ф-§?-. E.11)
В наших формулах мы приписали при Ег и Нг значок 0, чтобы
подчеркнуть, что эти выражения относятся к первичному полю.
С другой стороны, полное поле может быть выражено через
две вспомогательные функции и, v по формулам:
р 1
* г
д*(ги) . too dv
г дг dft с sin ft дц> '
1 й2 (гы) . со dt)
г sin ft дг дц> с dft
E.12)
W, = --i-A*o,
г
icfe2
ди
(ги)
¦& дф ~" г дг д® '
1 ^2 (ли)
со sin
. с*2 аи
где А* есть оператор Лапласа на шаре, так что
_ „ ди \ , 1
E.13)
sin2 ft
E.14)
Функции и, v могут быть истолкованы как электрическая и ма-
гнитная функции Герца; иногда их называют потенциалами
Дебая. Обе эти функции удовлетворяют скалярному волновому
уравнению.
Формулы E.12) дают как поле в воздухе, так и поле в земле.
Для воздуха нужно положить k = w/c, а для земли k = k2 =
= (u>/c)"|/ti> где со — частота; в дальнейшем мы будем разуметь
под k значение этой величины для воздуха.
Предельные условия для электрической и магнитной функций
Герца вытекают из непрерывности касательных составляющих
поля на поверхности земли. Обозначая значком B) величины,

256 Тропосферное распространение радиоволн
относящиеся к полю в земле, мы можем написать предельные
условия в виде
iM ^Р- (при г = а); E.15)
M
М =
(при г = а). E.16)
Нам нужно найти вид функций и — ы° и v = у0, соответствую-
щих первичному полю в воздухе. Приравнивая вытекающие из
E.10) и E.12) выражения для /•??, мы получаем
Д*Ыо = -со5фА(^ + ^) EЛ7)
и аналогично
AV = —flfeslnqp-^-. E.18)
Из этих соотношений легко определить ы° и у0, если писать Яо
в виде ряда
п=0
справедливого при г <С Ь. Результаты удобнее писать в виде
яро япо
^-; u°=-sin9-^-, E.20)
где Р° и Q0 — новые вспомогательные функции, которые также
удовлетворяют скалярному уравнению колебаний, но уже не за-
висят от угла ф.
Мы будем иметь
р0 = - i 2 ^нгтт ^ (^6) ^й (^r) Pn (cos d): E-21)
E.22)
n=l
б. Ряды для полного поля
Представим функции и, v, через которые согласно E.12) и
E.13) выражается полное поле, в виде
~, 0 = _8Шф-^-, F.01)

Гл. 12. Поле от приподнятого диполя 257
где Р, Q удовлетворяют скалярному уравнению колебаний и вы-
текающим из E.15) и E.16) предельным условиям
И (при , = 4, F.02)
(пригв0). F.оз)
и не зависят от угла <р.
Учитывая вид первичного возбуждения E.21), мы можем
написать ряды для функции Р в воздухе и в земле так:
оо
Р = - -sp 2 Т^ТТТ & (fefe) [*» (*') - Л^« (И] Р» (cos Щ
(а<г<6), F.04)
"(cos д>
@<г<а). F.05)
Предельные условия F.02) дают для коэффициентов Ап и Ап
уравнения
^2Л„^ (fea) + klA'ntyn (M = ^Фп (*а). 1
, ' / / \ # г F.06)
откуда
у| = ^»(to) ^» ^2°^ ~ k^n {ka) ^" ^2°) F 07)
—^_ F08)
Заметим, что коэффициент Ап здесь в точности такой же, как
и в ряде A.07) для функции Герца U вертикального диполя.
Сравнение рядов A.07) и F.04) для U и для Р показывает, что эти
функции связаны соотношением
(# + ?)• (К*»
/ dU . U \о
где ("Ж" + ~Т") есть постоянный член в разложении величины
в скобках по полиномам Лежандра.
17 В. А. Фок

258 Тропосферное распространение радиоволн
Связь между Р и U позволит нам в дальнейшем воспользо-
ваться готовыми результатами суммирования рядов и выразить Р
через уже исследованный множитель ослабления V.
Аналогично мы можем получить ряды для функции Q в воз-
духе и в земле. Имея в виду E.22), мы можем написать
Q = TF 2 V^
Х
2
п=Х
(а<г<Ь), F.10)
00
= тг 2 ^+туSn (*Ь) *"*• (v) Pn(cos й)
2
п—Х
@<г<а).
Предельные условия F.03) дают
откуда
ib
" ~~ kC (ka) +„ (V) - ftrf (*a) *; (fte) '
Таким образом, ряды для функции Q нами определены. Заме-
тим, что функция Q связана с функцией Герца для вертикального
магнитного диполя (горизонтальной рамочной антенны). Поле
от такого диполя может быть представлено формулами E.12) и
E.13), в которых нужно положить
и =0; v =(М/Ь) W, F.15)
где множитель М есть магнитный момент, а функция W имеет
ту же особенность, как Яо, и удовлетворяет тем же предельным
условиям E.16), как v.
Для функции W в воздухе получается разложение вида
W = -+- f Bп + 1) In № Wn (kr) - В^ (kr)\ Pn (cos 0), F.16)
Л—О
где Вп имеет значение F.13).

Гл. 12. Поле от приподнятого диполя 259
Из сравнения рядов F.10) и F.16) для Q и для W получается
соотношение
A*Q =ik(W — Щ, F.17)
где № есть постоянный член в разложении Лежандра F.16).
То же соотношение (с тем же значением k = со/с) получается
для значения этих функций в земле.
7. Приближенные выражения для поля
Ряды для наших функций Р, Q построены аналогично тому
ряду для U, который был приближенно просуммирован в пара-
графе 2. Кроме того, функция Р связана с 0 соотношением F.09).
Поэтому нет необходимости заново проводить все рассуждения,
которые привели нас к суммированию рядов для U, и мы можем
воспользоваться готовыми результатами.
Для определения Р воспользуемся соотношением
и значением B.22) для U:
е
U = е V (х, ylt yt, q). G.02)
У sa sin (s/a)
Нетрудно видеть, что в том приближении, в каком справедлива
формула G.02), применение оператора А* к функциям типа U
или Р равносильно умножению на —k2a*. С другой стороны,
в правой части G.01) мы можем пренебречь членом Ulb по сравне-
нию с производной dU/db и выразить эту производную согласно
B.15) через производную по </2. Постоянный же член в G.01),
очевидно, роли не играет. Поэтому равенство G.01) дает
откуда
Аналогично можно на основании F.17) выразить Q через W.
Мы получим
Q^-^W. G.05)
Для функции U нами было уже выведено приближенное выра-
жение G.02). Остается вывести аналогичное выражение для
функции W. Ряд F.16) для W отличается от ряда A.07) для V
17*

260
Тропосферное распространение радиоволн
только тем, что коэффициент Ап, определяемый формулой A.08),
заменен в нем коэффициентом Ва, определяемым формулой F.13).
С той же степенью точности, с какой справедлива формула B.13),
мы можем написать
Ва = i
— qlwl(t)
где
= ЯЧ =
— 1)
1/2
G.06)
G.07)
Таким образом, и вся функция W отличается от U только за-
меной q на qu и мы имеем:]
Практически можно во всех случаях полагать qx = оо. Тогда ряд
для V приобретает вид C.11).
Нам остается подставить полученные выражения в формулы
для поля. Для этого найдем, прежде всего, электрическую и
магнитную функции Герца и, v. На основании F.01) имеем
1 dU costp, G.09)
и =
am дуг
v = —
G.10)
При подстановке этих выражений в формулы E.12) и E.13)
для поля мы сохраним только главные члены, пренебрегая вели-
чинами порядка 1 : тг по сравнению с единицей. Мы получим
тогда следующие простые выражения:
*,«-*«—-??
?ф = k2av = — k2W sin ф;
Hr= k2av =— k*W sin ф,
„ (fe2a dv ik* dW
v m dy m ду
G.11)
sin
G.12)
Эти выражения дают поле в условных единицах (момент элек-
трического диполя положен в них равным единице). Чтобы полу-

Гл. 12. Поле от приподнятого диполя 261
чить обычное поле, нужно умножить написанные выражения на
величину электрического момента.
Сравним с этими выражениями те, которые соответствуют вер-
тикальному магнитному диполю с моментом, равным единице.
Для этого мы должны согласно F.15) положить и — 0; bv = W.
Мы получим тогда
G.13)
= 0. G.14)
Таким образом, в плоскости, перпендикулярной электрическому
диполю, поле от него либо совпадает с полем вертикального магнит-
ного диполя (ф = Зя/2), либо отличается от него знаком (ср =
= я/2).
В заключение сделаем одно замечание о характере поля на
различных расстояниях от источника. При конечных значениях
приведенного горизонтального расстояния х функции U и W будут
одного порядка. Так как формулы G.11) и G.12) содержат боль-
шой параметр т, то на таких расстояниях разные составляющие
поля будут неодинакового порядка: электрическое поле будет
почти горизонтальным, а магнитное — почти вертикальным (отно-
шение «малых» составляющих к «большим» будет порядка 1 : т).
Но в области глубокой тени функция W будет убывать быстрее,
чем U. В самом деле, убывание этих функций характеризуется
Ixt9 ixt[ j.
множителями е (для W) н е (для ?/), где f\ и t\ — наимень-
шие по модулю корни уравнений
\ (?) ('?) = 0, ш! Й) — qwt (t[) = 0.
Для хорошо проводящей почвы можно положить q = 0;
qx = оо, и тогда
t°i = 2,338е'"»"; ?= 1,019 е'"»",
так что мнимая часть /? будет больше мнимой части t[. To же
соотношение имеет место и в общем случае, ибо всегда | <7i I ^ I Я\-
Поэтому затухание W будет происходить быстрее, чем затуха-
ние U, и для достаточно больших х члены, содержащие U, могут,
несмотря иа малый множитель 1 : т, стать преобладающим по
сравнению с членами, содержащими W. Это означает для элек-
трического поля постепенный переход от горизонтальной поляри-
зации к вертикальной (и обратный переход для магнитного поля).

ГЛАВА 13
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРЯМОЙ ВОЛНЫ
ВОКРУГ ЗЕМЛИ ПРИ УЧЕТЕ ДИФФРАКЦИИ
И РЕФРАКЦИИ*
Выводится приближенное решение уравнений Максвелла для вектора Герца
вертикального диполя, учитывающее как диффракцию, так и рефракцию. Реше-
ние это годится при весьма общих предположениях о ходе показателя прелом-
ления воздуха в зависимости от высоты. В некоторых практически важных слу-
чаях решение может быть выражено через функции, введенные для однородной
атмосферы. Здесь существенную роль играет понятие эквивалентного радиуса
Земли. Это понятие, первоначально введенное иа основе соображений о кривизне
луча, может быть обосновано и обобщено. Оио оказывается применимым и в об-
ласти тени и полутени, где геометрическая оптика не применима.
Введение
В предположении однородности земной поверхности распро-
странение радиоволн вокруг Земли обусловлено, в основном, сле-
дующими тремя обстоятельствами: диффракцией вокруг выпук-
лости Земли, рефракцией в нижних слоях атмосферы и отражением
от ионосферы. На небольших расстояниях, порядка сотни или
нескольких сот километров, отражение от ионосферы роли не
играет. На расстояниях же порядка тысячи или нескольких
тысяч километров отражение от ионосферы начинает играть су-
щественную роль, так как на прямую (диффракционную) волну,
не претерпевшую отражения, начинают накладываться отражен-
ные волны, которые могут иметь значительно большую интенсив-
ность, чем прямая волна.
Однако и на этих больших расстояниях можно, при известных
условиях, выделить прямую волну и наблюдать ее отдельно.
Изучение ее представляет большой практический интерес для
интерференционных методов определения расстояний. Поэтому по-
* Фок, 1948.

Гл. 13. Распространение прямой волны 263
строение теории, которая давала бы амплитуду и фазу прямой
волны вплоть до самых больших расстояний, представляет весьма
важную для практики задачу.
Теория прямой волны должна учитывать как диффракцию, так
и рефракцию. Между тем, ввиду сложности задачи в большинстве
теоретических исследований атмосферная рефракция либо не учи-
тывалась вовсе, либо учитывалась весьма грубо, методами гео-
метрической оптики. Весьма важное в данном вопросе понятие об
эквивалентном радиусе Земли не получило достаточного теорети-
ческого обоснования. Оно вводилось на основе соображений
о кривизне луча, между тем как в области полутени, а тем более
в области тени, понятие луча вообще теряет смысл. В связи с этим
не были выяснены и те условия, при выполнении которых замена
радиуса Земли эквивалентным радиусом является законной.
В настоящей работе мы дадим приближенное решение уравне-
ний Максвелла для вектора Герца, учитывающее как диффракцию,
так и рефракцию. Решение это годится при весьма общих пред-
положениях о ходе показателя преломления воздуха в зависи-
мости от высоты.
В некоторых практически важных случаях решение это может
быть выражено через функции, введенные нами в нашем решении
задачи о распространении радиоволн в однородной атмосфере.
Функции эти отчасти уже табулированы; в тех случаях, когда
имеются таблицы, вычисление поля с учетом рефракции не состав-
ляет большого труда. Попутно мы дадим обоснование понятия
эквивалентного радиуса Земли, покажем, что это понятие приме-
нимо и в области тени и полутени (где геометрическая оптика
неприменима), и выясним те условия, когда пользование им
законно.
/. Дифференциальные уравнения
и предельные условия задачи
Обозначим через г, Ь, ср сферические координаты с началом
в центре земного шара и с полярной осью, проходящей через
излучающий диполь. Диполь мы предположим расположенным на
поверхности земли и будем изучать поле в воздухе. Радиус Земли
обозначим через а. Диэлектрическую постоянную воздуха мы
будем считать функцией от высоты h — г — а над поверхностью
земли
е = е (Л), h =/¦ — а. A.01)

264 Тропосферное распространение радиоволн
Как и в случае однородной атмосферы, составляющие поля
в воздухе могут быть выражены через функцию Герца U. Мы
имеем:
A.04)
тогда как остальные составляющие поля равны нулю. Зависимость
составляющих поля от времени мы предполагаем в виде e~iat, где
со
—
A-05)
Здесь кй — длина волны в пустоте (в нашей задаче ее приходится
отличать от длины волны в воздухе).
Значение диэлектрической постоянной воздуха у поверхности
земли мы будем обозначать через е0 = е @) и положим
k = ^- = koyio. A.06)
Поле, выражаемое формулами A.02)—A.04), будет удовлетво-
рять уравнениям Максвелла, если функция U удовлетворяет
уравнению
^)i(^) = 0.A.07)
Введем новую функцию
Ux =е/Л^гг» U. A.08)
Эта функция должна удовлетворять уравнению
Поле должно удовлетворять у поверхности земли условиям
Леонтовича:
Ел=-у=Яф, A.10)
где

Гл. 13. Распространение прямой волны 265
есть комплексная диэлектрическая постоянная почвы. Условие
Леонтовича будет выполняться, если функция V\ удовлетворяет
условию
^^ = а). A.12)
Выделим в функции ?/2 быстро меняющийся множитель, по-
ложив
U1 = etke°U2 = e№tUv A.13)
где к имеет значение A.06) и s = ad есть длина дуги земного шара
от точки, где находится диполь, до точки, над которой вычис-
ляется поле.
Для функции U2 получается уравнение
а &&
Уравнение A.14) написано так, что в его левой части стоят
главные члены, а в правой — поправочные, которые, как мы по-
кажем, можно заменить нулем.
При оценке порядка величины производных мы можем восполь-
зоваться результатами, полученными для случая однородной атмо-
сферы. Если мы введем «большой параметр»
If Та л «ex
т= у -g-, A.15)
то будет
#(?) #(*0 <|Л6>
где символ 0 (х) означает, как принято, «величина порядка х».
С другой стороны, если исключить из рассмотрения ионосферу
(в которой е может обращаться в нуль), то градиент логарифма е
будет порядка кривизны земной поверхности, так что
Отсюда видно, что отдельные члены левой части A.14) будут по
/г2
порядку величины не меньше -^ ?/2, тогда как в правой части

266 Тропосферное распространение радиоволн
члены, содержащие производные, будут порядка —j U2- Что же
касается члена, содержащего sin2 •& в знаменателе, то при условии
ks^m A.18)
он также будет мал. Таким образом, отбрасывая величины по-
рядка— по сравнению с единицей, мы можем правую часть A.14)
заменить нулем, после чего получим
', = 0. A.19)
Это есть параболическое уравнение нашей задачи, напоминающее
по форме уравнение Шредингера квантовой механики.
В полученном уравнении мы можем сделать дальнейшие упро-
щения, воспользовавшись приближенным равенством
l-^ = 2jT- О-20)
Введя, кроме того, вместо угла Ь длину дуги s = ab и рассматри-
вая s и h как независимые переменные, получим
/, = 0. A.21)
Предельное условие для ?/2 на поверхности земли будет такое же,
как для Uи а именно
~'-Ut (при/i = 0). A.22)
Условие на бесконечности (h —» со) может быть получено из
рассмотрения фазы функции Герца. Положим
U = | U | е№ и Ut = | U% | е1' <ф-*5>. A.23)
Так как мы рассматриваем волну, идущую от источника, то
фаза Ф должна возрастать с увеличением высоты h. Отсюда полу-
чаем условие
^>0, A.24)
которое должно выполняться по крайней мере при достаточно
больших h.
Кроме того, функция Герца U, а также функция ?/2 должны
оставаться конечными и непрерывными во всем пространстве, за
исключением области, примыкающей к источнику.
Для однозначного определения решения уравнения A.21) нам
остается сформулировать условие, эквивалентное тому, которому

Гл. 13. Распространение прямой волны 267
должна удовлетворять функция ?/2 в области, близкой к источ-
нику. Прежде всего, очевидно, что в непосредственной близости
к источнику нарушается неравенство A.18) и самое уравнение
A.21) становится несправедливым. Поэтому условие в области,
близкой к источнику, должно быть заменено эквивалентным
условием в «волновой зоне». Мы можем взять, например, область,
где применима «отражательная формула», и получить желаемое
условие, потребовав, чтобы искомое решение в этой области пере-
ходило в нее.
Отражательная формула имеет вид
JkR
где / — коэффициент Френеля.
Так как мы пользуемся предельными условиями Леонтовича
A.10), то мы тем самым предполагаем | r\ | ^> 1. Если, кроме того,
мы будем считать, что h-<? s, т. е. рассматривать малые наклоны
луча к земной поверхности, то мы можем положить
R = s+-f, f^h-^Zl. A-26)
Подставляя эти выражения в A.25), мы приходим к выводу, что
в той области, где применима «отражательная формула», функция
A.27)
должна приводиться к виду
.AM
чУа 2ИЛ, ' 2s>
2 VI /ijAi+s V '
Математически это условие эквивалентно требованию, чтобы при
s —> 0 и h > 0 функция U2 имела особенность, характеризуемую
формулой
B^1кЦ 0. A.29)
Vs
Более подробное обоснование условия A-29) приведено
в главе 11.
Заметим, что вместо условий A.29) или A.28) мы могли бы
поставить еще более жесткое условие, потребовав, чтобы в той
области, где влияние кривизны земной поверхности и неоднород-

268 Тропосферное распространение радиоволн
ности атмосферы уже не сказывается и где применима формула
Вейля—ван дер Поля *, наше решение переходило в решение
Вейля—ван дер Поля.
2. Переход к безразмерным величинам
Выведенное нами дифференциальное уравнение для функции U2
имеет вид
+ 2ik ^+k
Рассмотрим коэффициент при f/2 в этом уравнении. Обозначив
через ео значение градиента диэлектрической постоянной у по-
верхности земли, мы можем выделить в выражении для е линей-
ный член и написать коэффициент при U2 в виде
Н B02)
Положим теперь
Величина B.03) есть разность между кривизной земной поверх-
ности и кривизной луча, а величину а* принято называть экви-
валентным радиусом Земли. Приняв обозначение B.03), мы можем
формулу B.02) написать в виде
_, =^лA+8)' B-04)
где
Как видно из B.05), величина g есть выраженная в условных
(лишенных размерности) единицах разность между средним по
высоте значением градиента диэлектрической постоянной воздуха
(взятым на участке от поверхности земли до данной высоты) и его
значением на земной поверхности. В нормальной атмосфере вели-
чина g положительна, в случае же температурной инверсии она
может стать отрицательной и, лишь начиная с некоторой высоты,
вновь становится положительной. По абсолютному значению вели-
чина g обычно не больше двух-трех десятых. При h—¦ оо теоре-
* Область применимости формулы Вейля—вав дер Поля подробно исследо-
вана в работе [22] и в главах 10 и 11.

Гл. 13. Распространение Прямой волны 269
тическое значениеgесть ~° , а при h — 0 будетg = 0. При нор-
мальной атмосфере величина g меняется весьма медленно, а в слу-
чае инверсии изменение ее происходит значительно быстрее.
Подставляя выражение B.04) в дифференциальное уравнение
B.01), мы получим
i!j?^ ^, = 0. B.06)
Для исследования уравнения B.06) удобно перейти от h и s
к безразмерным величинам. С этой целью введем вертикальный
и горизонтальный масштабы
и положим
Чтобы упростить условие A.29), мы перейдем также к новой без-
размерной функции Wlt положив
Ut = ^J- Wv B.09)
Кроме того, положим
У\^У~\ B.10)
В новых обозначениях дифференциальное уравнение, предель-
ное условие и условие, определяющее особенность, напишутся:
1 = 0, B.11)
(приу = 0), B.12)
(
Wt Л=е* =0 (у>0). B.13)
V х I
Кроме того, остается в силе условие для фазы Ф = ks + arc Wx*
а именно:
4^->0 (приу>1). B.14)
Входящая в уравнение B.11) величина g была определена
выше [формула B.05)] как функция от высоты h. Обозначим

270 Тропосферное распространение радиоволн
через h0 некоторую высоту, характеризующую быстроту измене-
ния градиента диэлектрической постоянной воздуха, например ту
высоту, на протяжении которой градиент меняется в е = 2,718. . .
раз. (Для нормальной атмосферы Ло = 7400 м; в других случаях
можно указать лишь порядок величины h0, который нам только
и нужен.) Величину g мы можем рассматривать как функцию отно-
шения h/h0:
считая, что производная от этой функции по ее аргументу будет
порядка единицы. При переходе к безразмерным величинам B.08)
мы должны будем рассматривать g как функцию от у. Так как
Л = hty, мы будем иметь
g=g(?y), B.16)
где
Р- Ло ~ Ло V 2fc» • \1Л11
В дальнейшем мы будем считать параметр р малой величиной.
Чтобы оценить ее порядок, положим hQ = 7400 м (нормальная
атмосфера) и заменим эквивалентный радиус а* геометрическим
радиусом а. Тогда для X = 1 м, X = 10 м, X = 100 м, X = 1000 м
получится соответственно р =0,006, р =0,027, р =0,13, Р =
= 0,58. В случае инверсии величина h0 будет значительно мень-
шей, и параметр р окажется малым лишь для соответственно
меньших длин волн.
3. Решение уравнений
Если мы в уравнении
1^0 C.01)
будем считать Р = 0, то, так как g @) = 0, функция g тожде-
ственно обратится в нуль, и уравнение приведется к тому, какое
было рассмотрено и решено [вместе с предельными условиями
B.12) и B.13)] в предыдущих главах этой книги, посвященных
исследованию случая однородной атмосферы. Важно, однако, от-
метить, что условие Р = 0 соответствует не предположению об
однородности атмосферы, а более общему предположению о по-
стоянстве градиента диэлектрической постоянной. В этом более
общем случае формулы получаются те же, что и в случае однород-
ной атмосферы, только в выражениях для х, у и q входит вместо
радиуса Земли а эквивалентный радиус а*. Таким образом,

Га. 13. Распространение прямой волны 271
малость величины р характеризует степень точности, с которой
можно пользоваться (для конечных значений у) понятием эквива-
лентного радиуса.
Решение для р = 0 было получено нами в форме интеграла,
содержащего комплексную функцию Эйри. Последняя является
тем решением дифференциального уравнения
w" @ = tw @, C.02)
которое имеет прн больших отрицательных / асимптотическое вы-
ражение
w (t) = e~T(- tf те' "в (~°'Л , C.03)
Решение для g фу) = 0 имеет вид
Wl е /я J W'(t)-qw(t) ОГ> ^-U^
' С
где контур С идет от t = too до / = 0 и от / = 0 до / = оо • е'в @ <
<a<-^-j, охватывая все корни знаменателя подынтеграль-
ной функции. (Этот контур можно, разумеется, заменить каким-
нибудь другим эквивалентным контуром.) Это решение совпадает
с тем, которое было получено ранее в главе 10 и в книге [22].
Попытаемся аналогичным образом найти решение наших урав-
нений для общего случая р *j= 0. При этом мы сперва не будем
предполагать р малым и лишь затем в целях упрощения готового
решения воспользуемся предположением о малости р.
Уравнение C.01) допускает разделение переменных. Частное
решение уравнения C.01), имеющее вид произведения функции
от х на функцию от у и содержащее произвольный параметр /,
напишется
Wi = е'"/ {у, t), C.05)
где f {у, t) удовлетворяет уравнению
^ O. C.06)
Из теории дифференциальных уравнений известно, что если началь-
ные значения (т. е. значения при у = 0) функции f и ее производ-
ной по у являются целыми функциями параметра t, то и интеграл
уравнения C.06) будет целой трансцендентной функцией от /.
Мы будем разуметь под / (у, t) тот интеграл уравнения C.06),
Который является целой трансцендентной функцией от t и допу-

272 Тропосферное распространение радиоволн
екает при больших значениях разности у — / (или ее веществен-
ной части) асимптотическое представление
t
Нижний предел т в интеграле, стоящем в показателе, может
быть взят произвольно. Множитель С может быть функцией от
i —
параметра /. Фазовый множитель е 4 добавлен для того, чтобы
при g = 0 и т == / выражение C.07) переходило в асимптотиче-
ское выражение для функции
f(y, t) =Cw(t — y). C.08)
Выражение C.07) взято в соответствии с требованием -g— > 0,
налагаемым на фазу.
Разумея под / (у, t) только что определенный интеграл уравне-
ния C.06), рассмотрим выражение
*¦ <309>
J
где контур Г имеет вид, аналогичный контуру С в интеграле C.04).
Прежде всего заметим, что подынтегральная функция в нем
определена наложенными выше условиями однозначно, так как
остававшийся неопределенным в C.07) множитель С в ней сокра-
щается.
Далее, подынтегральная функция в C.09) представляет меро-
морфную функцию комплексной переменной /: единственными
особыми точками в ней являются корни знаменателя.
Исследование корней знаменателя в C.09) трудно провести
с полной строгостью. Для такого исследования необходимо знать
поведение функции g фу) при комплексных значениях у вблизи
полупрямой arc у = -^-. Однако на основании некоторых не
вполне строгих соображений, которых мы здесь не приводим,
можно ожидать, что если функция g фу) в указанной комплексной
области будет оставаться малой (например, \g\ <С -<г)> то корни
будут расположены так, как и в случае g = 0, т. е. в первом ква-
дранте плоскости t вблизи полупрямой arc t =-|г. Во всяком
случае это будет так при малых значениях параметра р.
Нам нужно также знать поведение функции f {у, t) при поло-
жительных значениях / — у (а также в некотором секторе пло-

Гл. 13. Распространение прямой волны 273
скости /, включающем положительную вещественную ось). Иско-
мое асимптотическое выражение получится аналитическим про-
должением выражения C.07) через третий и четвертый квадранты
плоскости t, ибо в первом расположены корни / (у, t). Оно будет
иметь вид
fly, t)= , L exp \\Vt — u — ug<pu)du . C.10)
Vt — у-уеШ
Если положить здесь g — 0 и взять т = /, то это выражение
приведется, как и C.07), к асимптотическому выражению для
функции C.08).
Зная расположение корней и поведение подынтегральной функ-
ции по обе стороны области, где эти корни расположены, уже
можно провести в интеграле C.09) контур Г так, чтобы он охва-
тывал все корни знаменателя и уходил обеими ветвями в беско-
нечность. На начальной ветви контура (идущей из бесконечности)
будет справедливо асимптотическое выражение C.07), а на конеч-
ной ветви (уходящей в бесконечность) — выражение C.10). При
этом интеграл, взятый по такому контуру, будет сходящимся.
Предыдущие рассуждения имели целью показать, что выраже-
ние C.09) для функции W1 имеет определенный математический
смысл.
Покажем теперь, что оно удовлетворяет всем поставленным
условиям.
Прежде всего ясно, что оно удовлетворяет дифференциальному
уравнению C.01), ибо ему удовлетворяет подынтегральная функ-
ция. Далее оно удовлетворяет предельному условию B.12):
/ = 0). C.11)
Действительно, производя в C.09) дифференцирование под
знаком интеграла и полагая затем у — 0, мы увидим, что числи-
тель дроби сократится со знаменателем и подынтегральная
функция будет голоморфна, вследствие чего интеграл обратится
в нуль. Затем, интеграл будет сходящимся и, следовательно,
конечным при всех положительных значениях х и у. Нетрудно
также проверить, что он будет удовлетворять условию для фазы
(?)
(?)
Нам остается проверить, имеет ли выражение C.09) требуемую
условием B.13) особенность вблизи х = 0, или, что равносильно
этому, убедиться в том, что на небольших расстояниях от источ-
ника оно дает формулу Вейля—ван дер Поля или отражательную
формулу.
18 в. А. Фок

274 Тропосферное распространение радиоволн
При помощи асимптотических выражений C.07) и C.10) для
/ (у, t) можно показать, что если х и у малы, а отношение — ве-
лико, то главный участок интегрирования будет лежать в области
больших отрицательных значений t. (Первоначальный контур Г
можно деформировать так, чтобы он проходил через эту область.)
Пользуясь выражением C.07), мы получим для больших отрица-
тельных (:
/О/. 0
/ @, t) -
Отсюда
C.13)
Но, когда у мало, члены yg фу) малы по сравнению с у, и мы
можем вместо C.12) написать
Щгъ = уГЩт ехр
Заметим теперь, что те же асимптотические выражения получатся
для данной области, если вместо / {у, t) подставить
f(y, t) =w(t-y). C.16)
Но после такой подстановки интеграл C.09) обратится в C.04),
а этот последний дает для малых х, у формулу Вейля—ван дер
Поля, отражательную формулу и предельное условие B.13).
Мы можем проверить это и непосредственно. Вводя перемен-
ную интегрирования р = У— / и пренебрегая величинами у
и у2 по сравнению с р, мы получим
f (У. —Р2) е(ур /О 1 у\
/@, -р«) е V*'11'
.-"** CJ8)
Подстановка этих величин в интеграл C.09) дает
г,

Гл. 13. Распространение прямой волны 275
где контур Г2 пересекает положительную вещественную ось
в плоскости р снизу вверх (вблизи точки р = J-).
Если мы будем вычислять интеграл C.19) без пренебрежений,
то получится формула Вейля—ван дер Поля. Если мы будем вы-
числять его по методу стационарной фазы, получится отража-
тельная формула. Если мы пренебрежем величиной | q\ по сравне-
нию с -j^, получится выражение, которое обращает в нуль левую
часть B.13) еще до перехода к пределу.
Тем самым доказано, что выражение C.19) для Wt представ-
ляет искомое решение нашей задачи.
4. Исследование решения для области
прямой видимости
Вместо функции Wx удобнее рассматривать другую функцию,
отличающуюся от Wt множителем Yx. Мы положим
V(x, у, д) =
Припоминая связь между функциями U, Ult U 2, W lt давае-
мую формулами A.08), A.13), B.09), и пренебрегая различием
между г и а и между е и е0) когда эти величины входят в качестве
множителя при U, мы можем написать
U = *'** V (X, у, q), D.02)
1/ as sin —
Г а
где s, как и раньше, есть горизонтальное расстояние, считаемое
по дуге вдоль земной поверхности, а х, у, q связаны с s, ft, r\ соот-
ношениями
ч 1УУ D>03)
причем
Если s мало по сравнению с радиусом земного шара, то вместо
sin— можно писать просто — (как обычно и пишут). Однако,
так как наши формулы остаются справедливыми вплоть до весьма
18*

276 Тропосферное распространение радиоволн
больших расстояний, где различие между синусом и дугой ста-
новится заметным, мы оставляем в D.02) под корнем sin —.
Функцию V (х, у, q) можно назвать множителем ослабления;
в тех случаях, когда можно считать g = 0 и пользоваться поня-
тием эквивалентного радиуса, формула D.01) для V переходит
в формулу
V(х и а)-е~'^ЛП±- fe«< »«-у) dt Г4 0^
V(x,y,q)-e V пГ w'(t)-Qw(t) au (im>
выведенную нами ранее для случая однородной атмосферы [фор-
мула F.02) главы 10].
Функция D.05) подробно исследована в главе 10 и в нашей ра-
боте [22] и отчасти табулирована (для q = 0). Исследование
будет протекать во многих отношениях параллельно аналогичному
исследованию в главе 10.
В настоящем параграфе мы рассмотрим область прямой ви-
димости.
В области прямой видимости, не слишком близко к горизонту,
вступает в силу геометрическая оптика. Если мы воспользуемся
выражением C.12) и введем переменную интегрирования р, мы
получим для V интеграл вида
где для краткости положено *
<4-06>
а = —Хр* + J Уи+р2 + иёфи) du. D.07)
Вычисляя интеграл по методу стационарной фазы, находим из
до» г.
уравнения ~^~ — 0 или
х= » fT=:d" D.08)
экстремум фазы и после некоторых выкладок приходим к выра-
жению
V = е«" —^т- ЛГъсЩ-. D.09)
р — щ \ ду v >
* Фазу ш не следует смешивать с угловой частотой, обозначенной в пара-
графе 1 той же буквой.

Гл. 13. Распространение прямой волны 27?
В этой формуле под р разумеется функция от х и у, опреде-
ляемая из равенства D.08). При g = 0, а также при малых х и у
и выражение под знаком квадратного корня в D.09) обратится
в единицу. Формула D.09) справедлива в том случае, когда вели-
чина р велика и положительна.
Наши формулы допускают простое толкование с точки зрения
геометрической оптики. Действительно, полная фаза
Ф = ks+ со D.11)
функции U представляет решение уравнения для эйконала
которое после пренебрежения малыми величинами приводит к сле-
дующему уравнению для со:
i <4лз>
Здесь справа стоит величина B.04). После перехода к перемен-
ным х, у мы получаем из D.13)
Соотношение D.08) есть уравнение траектории луча, проходя-
щего через начало координат, и величина р — параметр этой
траектории. Геометрическое значение параметра р есть
-cosy. D-15)
где y — угол между лучом и вертикалью вблизи источника.
Полная фаза Ф есть оптическая длина пути луча, считаемая
от источника до точки х, у. Величина —;А— равна
2р ¦- = !+/, D.16)
p — iq
где f — коэффициент Френеля.
Таким образом, в тех случаях, когда применима геометриче-
ская оптика, наши формулы переходят в формулы геометрической
оптики.

278 Тропосферное распространение радиоволн
Формула D.09) применима для конечных х и у в том случае,
когда параметр р положителен и велик. Если же х и у малы, не-
обходимо еще условие
При невыполнении условия D.17), в случае малых х и у и
больших р, выражение D.06) остается в силе, но интеграл нужно
вычислять иначе, а именно: нужно заменить ш на —хр2 + ур
и корень четвертой степени на единицу, после чего интеграл при-
ведется к виду C.19) (с множителем Yх) и даст формулу Вейля—
ван дер Поля. _
Заметим, что если х и Yу велики, а параметр р мал по сравне-
нию с этими величинами, то уравнение траектории D.08) может
быть приближенно решено относительно р. Мы будем иметь
приближенно
'-4-J к.Д
-*¦
При тех же условиях получается
а = щ(у)+^-р\ D.19)
где
«о (У) = J Vu + ug фи) du, D.20)
а символ р нужно понимать как сокращенное обозначение для
величины D.18).
Равенство р = 0 дает геометрическую границу тени. Если
правая часть D.18) становится отрицательной, то уравнение D.08)
не имеет вещественного решения относительно р, функция же
D.18) [а также и D.10)] сохраняет смысл и в этом случае. Это ка-
жущееся разногласие объясняется тем, что правая часть D.08)
не является аналитической функцией от р вблизи р = 0.
Выражения D.18) и D.19) встретятся нам в области полутени,
где геометрическая оптика уже неприменима.
5. Исследование решения для области полутени
(конечные х и у)
Область полутени характеризуется тем, что в ней параметр р,
определяемый формулой D.10), есть положительное или отрица-
тельное число порядка единицы.

Гл. 13. Распространение прямой волны 279
Если х и у конечны, мы можем составить для V ряд, распо-
ложенный по вычетам подынтегральной функции. Будем иметь
V (х, у, q) = е 4 2 У пх
л=1
где мы положили
Ь7#У^. E-02)
причем под / разумеется корень уравнения
Если р не мало, то вычисление по этим формулам весьма
сложно. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся случаем малых р.
При этом, однако, мы не будем считать малым произведение р*/,
а будем рассматривать также и большие значения у (порядка 1/р
и больше).
Если р мало, то при вычислении первых корней функции E.03)
мы можем заменить g фу) линейной функцией
E-04)
Физическое значение коэффициента р0 есть
)
где hx — масштаб высоты, а е — значение второй производной
от г по высоте у поверхности земли.
При малых р0 и конечных у и / в качестве приближенного
решения уравнения C.06) можно взять функцию
/ {у, t) = w (t - у) -
- -ff fCy + 20 w(t-y) + (Зг/а + Ayt + 8/a) w' (t - y)]. E.06)
Подставляя это выражение в E.03), получим для искомого
корня приближенное выражение
U = hi + -fg-1^8 \tn) <0_^2 J , E.07)
где t°n — корень уравнения
'(fy№) 0, E.08)

280 Тропосферное распространение радиоволн
подробно исследованного в главе 10 и в работе [22]. Для функ-
ции D (t) получается выражение
D @ = (t - q*) A - -|- JV ) + -х Pof- E-09)
Входящие в формулу E.01) высотные множители
можно получить численным интегрированием дифференциального
уравнения
^ n = O E.11)
при начальных условиях
fn@)=l и fn(Q) = -q. E.12)
Пока у конечно (тогда как х может быть и велико), получаемые
по такому способу значения V (х, у, q) будут, при малых р\ мало
отличаться от значений для р — 0. Более или менее существен-
ное различие может проявиться только в экспоненциальных мно-
жителях е'*Ч дающих затухание и добавочную фазу. Поэтому
поправку достаточно вводить в эти экспоненциальные множители.
Если же особой точности не требуется, можно пренебречь и
этой поправкой и просто считать, что в рассматриваемом случае
выражение для V (х, у, q) совпадает с выведенным для случая
однородной атмосферы (при условии замены геометрического ра-
диуса Земли эквивалентным радиусом). Тогда можно пользо-
ваться всеми формулами и таблицами, полученными для этого
случая.
6. Исследование решения для области полутени,
(большие х и у)
Наибольший практический интерес представляет случай, когда
х и у весьма велики, величина же
» f*U* F.01)
н 2 J Vu + ug фи)
конечна. Мы уже указывали, что значение р — 0 соответствует
границе прямой видимости, причем положительные значения р
соответствуют области прямой видимости, а отрицательные зна-
чения р — области за горизонтом.

Гл. IS. Распространение прямой волны 281
В этом случае при вычислении интеграла D.01) для V (х, у. q)
нужно иметь в виду, что главный участок интегрирования будет
соответствовать конечным значениям t, тогда как у будет велико.
Поэтому нужно составить для f (у, t) такое аналитическое выра-
жение, которое было бы справедливо как при весьма больших, так
и при конечных значениях у — t. Это оказывается возможным при
условии малости р\
Действительно, введем величину X, определяемую равенством
-§- (-ХK/2 = J Vu-t+идфи)du F.02)
т
или
-J- Х3/2 = J Vt — u — ug($u) du, F.03)
У
где т — корень уравнения
т - t + xg (рт) = 0. F.04)
При малых ро и конечных у и t
^ F.05)
Тогда функция
Y?rw(X) F.06)
будет представлять решение уравнения C.06) с погрешностью
порядка р2 при конечных у и t и порядка р3/2 при больших у и
конечных /. При помощи выражения F.05) нетрудно проверить,
что в разложении F.06) по степеням р0 члены порядка до р0
включительно совпадают с E.06). Однако выражение F.06) спра-
ведливо и тогда, когда (при больших у) разложение E.06) непри-
менимо. Если величина X весьма велика и отрицательна (что
будет при больших у), то выражение F.06) приводится к сле-
дующему:
t) = 4
F.07)
Последнее совпадает с C.07), если там положить С = 1 и
взять в качестве т корень уравнения F.04). Таким образом, при
посредстве формулы F.06) мы убедились, что одно и то же реше-
ние уравнения C.06) имеет при конечных у выражение E.06),
а при больших у — выражение F.07).

282 Тропосферное распространение радиоволн
Мы можем теперь пользоваться при вычислении интеграла
V (х, у, q) = е1 ^ YJ 1> '<*'» Л F.08)
обоими выражениями E.06) и F.07) одиовременно, а именно под-
ставлять в числитель выражение F.07) и в знаменатель — выра-
жение E.06). При этом можно оба выражения несколько упро-
стить. Отбрасывая малые поправки, мы будем писать вместо E.06)
просто
f(y, t) = w(t- у). F.09)
В формуле же F.07) в множителе перед показательной функцией
пренебрежем величиной t по сравнению с у, а показатель заменим
приближенным выражением
У У
= \yu+ug($u)du-±-t Г du F.10)
J * J V и + ug фи
о о
Пользуясь обозначениями D.18) и D.20), мы можем написать
f (У, 0 = Y*% e< "V""""" {Х+Р) ¦ F-11)
В конечном счете мы заменяем функцию / (у, t) в знаменателе
функцией Эйри, а в числителе — показательной функцией.
Подставляя F.09) и F.11) в интеграл F.08), получим
V(x, у, q) = e"*'ly) V^? 4= [ е~'р< , ,Jf m. F.12)
Остающийся интеграл можно считать известной функцией.
В главе 10 [формула F.20)] он обозначен через
и подробно исследован. Для случаев q — 0 и ^ = У / интеграл У,
табулирован.*
Формула F.12) дает множитель ослабления для области,
близкой к горизонту. Интересно сравнить эту формулу с форму-
* Таблицы для q = 0 приведены в добавлении 3.

Гл. 13. Распространение прямой волны 283
лой D.09), справедливой в области применимости геометрической
оптики. Пользуясь D.19), напишем выражение D.09) в виде
V = е'- <»> Уъ& -^ е* " . F.14)
V ду р— iq v '
Но в главе 10 показано, что функция F.13) имеет при больших
положительных р асимптотическое выражение
j_ ,
Vi(-P,q)=~rrqe3" F.15)
[формула F.24) главы 10]. Таким образом, наша формула F.12)
переходит в области прямой видимости в формулу геометрической
оптики.
При отрицательных р выражение для Vi (—р, q) может быть
написано в виде
п=\
Когда \р\ велико (р <0), этот ряд сводится к первому члену,
который дает затухание волны в области тени по показательному
закону.
Функция Vi (—р, q) была впервые введена в наших работах,
посвященных диффракции от тела произвольной формы (см.
главы 1, 2 и 5). В этих работах был установлен принцип локаль-
ного поля в области полутени и было показано, что в этой области
поле выражается через функцию Vt (—р, q), имеющую универ-
сальный характер.
Сравнение формул F.12) и F.14) позволяет в известном смысле
сказать, что волна доходит до горизонта с амплитудой и фазой,
соответствующей законам геометрической оптики, а на горизонте
претерпевает диффракцию по закону локального поля в области
полутени.
Такая картина находится в полном соответствии с идеями
Л. И. Мандельштама о том, что при распространении электро-
магнитных волн вдоль поверхности земли свойства почвы суще-
ственны не вдоль всей траектории луча, а лишь в той области,
где расположен находящийся на земле передатчик или приемник
(«взлетная» или «посадочная» площадка).
Если принять эту картину, то полученное в этом параграфе
решение можно применять и к тому случаю, когда свойства зем-
ной поверхности на разных участках не одинаковы, при условии,
что в функции Vi (—р, q) комплексный параметр q соответствует
свойствам почвы в той области, где луч касается земли,

ГЛАВА 14
ТЕОРИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
В НЕОДНОРОДНОЙ АТМОСФЕРЕ
ДЛЯ ПРИПОДНЯТОГО ИСТОЧНИКА*
Развитая в предыдущих главах теория распространения радиоволн обоб-
щается иа случай приподнятого диполя в неоднородной (слоистой) атмосфере,
причем рассматривается как нормальная рефракция, так и сверхрефракцня.
В начале главы выписываются основные уравнения и предельные условия
задачи. Затем рассматривается приближенная форма уравнений (параболнческое
уравнение Леоитовича) с соответствующими предельными условиями и усло-
виями, определяющими особенность. Далее проводится аналогия между сформу-
лированной задачей и нестационарной задачей квантовой механики. После пере-
хода к безразмерным величинам изучаются свойства частных решений дифферен-
циального уравнения, из которых строится общее решение в виде контурного
интеграла и в виде ряда. Общая теория применяется к случаю сверхрефракции
и рассматривается схематический пример. В заключение выводятся приближен-
ные формулы для определения коэффициентов затухания и высотных множите-
лей. Эти формулы аналогичны полуклассическим формулам квантовой механики.
Введение
Теория распространения радиоволн в атмосфере с диэлектри-
ческой постоянной, зависящей от высоты, была разработана нами
в главе 13 для случая, когда источником является вертикальный
электрический диполь, расположенный на поверхности земли.
С другой стороны, случай приподнятого источника (горизонталь-
ный и вертикальный, электрический и магнитный диполи) рас-
сматривался нами в главе 12 в предположении однородной атмо-
сферы. В настоящей главе изучается «комбинированный» случай:
приподнятый диполь и неоднородная атмосфера.
Формулы, выведенные в главе 13 для общего случая произ-
вольного хода показателя преломления, были там более подробно
развиты в предположении нормальной рефракции, когда распро-
* Фок, 1950.

Гл. 14. Радиоволны в неоднородной атмосфере
285
странение радиоволн имеет качественно тот же характер, как и
в однородной атмосфере. Случай сверхрефракции, когда нижний
слой атмосферы приобретает характер волновода, представляет
самостоятельный интерес и заслуживает особого рассмотрения.
В настоящей главе мы рассматриваем этот случай подробнее.
Для качественной его характеристики весьма полезной оказы-
вается аналогия с нестационарной задачей квантовой механики
о расплывании волнового пакета в заданном поле сил: аналогия
эта, по-видимому, оставалась до сих пор незамеченной.
/. Основные уравнения и предельные условия
Обозначим через г, О, ср сферические координаты с началом
в центре земного шара и с полярной осью, проходящей через
излучающий диполь. Радиус Земли обозначим через а. Диполь
мы предположим находящимся на высоте h' = Ь — а над поверх-
ностью земли, так что его координаты будут г = 6, Ф = 0. Диэлек-
трическую постоянную воздуха е мы будем считать функцией от
высоты h = г — а над поверхностью земли.
Поле в воздухе может быть выражено по известным формулам
через потенциалы Дебая и, v.
Мы имеем:
= — А*и,
1 д2 (гги) . но dv
гг дгдЬ с sin ft d<p '
1 д2 (eru) id) dv
Г aft"
гг sin ft dr dq>
A.01)
sin ft d(f
i(o du ,
1 a2 (rv)
г sin
дгдц>
A.02)
Те же выражения применимы и для поля ниже поверхности земли,
если под е разуметь комплексную диэлектрическую постоянную
почвы. Зависимость от времени предполагается здесь в форме
множителя е . Символ А* означает оператор Лапласа на шаре:
Д* 1 д ( ¦ л ди \
sin ft dft \ dft/
1 дги
sin2 ft
A.03)

286 Тропосферное распространение радиоволн
Уравнения Максвелла будут удовлетворяться, если функции и и v
удовлетворяют уравнениям
A.06)
Непрерывность касательных составляющих поля будет обес-
печена, если будут непрерывны величины
era, -L^. rv. ><?>-. A.06)
Отсюда, путем известных рассуждений, получается прибли-
женная форма предельных условий (условия Леонтовича). Если
со
мы положим k — —, обозначим комплексную диэлектрическую
с
постоянную почвы через г\, а обозначение е сохраним для диэлек-
трической постоянной воздуха, то мы будем иметь
= -iky= (вги) (при г = а) A.07)
^) (при г = а). A.08)
В дальнейшем поле, для которого и Ф 0, v = 0, мы будем
называть вертикально поляризованным, а поле, для которого
и = 0, v Ф 0, — горизонтально поляризованным. Поле верти-
кального электрического диполя остается, в этом смысле, верти-
кально поляризованным во всем пространстве. Поле вертикаль-
ного магнитного диполя (горизонтальной рамки) обладает везде
горизонтальной поляризацией. Горизонтальный же электрический
диполь возбуждает поля обоего вида: как горизонтально, так и
вертикально поляризованное. В случае однородной атмосферы
вертикально поляризованное поле убывает с возрастанием рас-
стояния медленнее, чем горизонтально поляризованное (см.
главу 12). Поэтому поле от горизонтального электрического ди-
поля на небольших расстояниях от источника будет обладать
преимущественно горизонтальной поляризацией, а на больших
расстояниях (в области далеко за горизонтом) поляризация будет
преимущественно вертикальной.
Вертикально поляризованное поле может быть выражено че-
рез функцию U (функция Герца вертикального электрического

Гл. 14. Радиоволны в неоднородной атмосфере 287
диполя), обладающую следующими свойствами: функция U удо-
влетворяет тому же дифференциальному уравнению A.04) и тем же
предельным условиям A.07), что и и, и имеет вблизи источника
особенность вида
JkR
U = \-+U*, A.09)
где U* остается конечным. Величины R и k имеют значения
R = У гг + b* — 2rbcosЪ, k = -^-. A.10)
Аналогично, горизонтально поляризованное поле может быть
выражено через функцию W (функция Герца вертикального маг-
нитного диполя), которая удовлетворяет тому же дифференциаль-
ному уравнению A.05) и тем же предельным условиям A.08),
что и у, и имеет вблизи источника особенность вида
JbR
W^-^+W*, A.11)
где W* остается конечным.
Поля от вертикального и горизонтального электрического и
магнитного диполей с моментом М выражаются через определен-
ные выше функции U н W.
Для вертикального электрического диполя мы должны по-
ложить
u = ^-U, о = 0. A.12)
Для вертикального магнитного диполя (горизонтальной рамки)
мы имеем:
и = 0, v = -^-W. A.13)
Для горизонтального электрического диполя, направленного по
оси х, входящие в формулы A.01) и A.02) функции и и v опре-
деляются из уравнений
A.14)
dW
*v = — ikM Tj- sin го,
где А* — оператор Лапласа на шаре A.03).

288 Тропосферное распространение радиоволн
Наконец, для горизонтального магнитного диполя, направлен-
ного по оси х, мы имеем
Л*и = — ikM дтг- sin q>
A.15)
Таким образом, во всех четырех случаях изучение поля сводится
к изучению функций U и W.
2. Приближенная форма уравнений
Переходя к приближенной форме уравнений, обозначим че-
рез е1 значение диэлектрической постоянной воздуха вблизи ис-
точника (практически можно положить ег = 1) и положим
s = аЪ, B.01)
так что s — горизонтальное расстояние между источником и точ-
кой наблюдения, считаемое по дуге.
Введем вместо U и W медленно меняющиеся функции U2
и W%, положив
U = *е иг B.02)
гг У sin ft
И
W - ,!—- W2. B.03)
Как показано в главе 13, после пренебрежения малыми вели-
чинами уравнение для U2 принимает вид
)/,!=0. B>04)
За независимые переменные здесь приняты вместо г и 9 вели-
чины h (высота) и s (горизонтальное расстояние). Уравнение
для Wt в нашем приближении будет иметь тот же вид, а именно
1-0. B.05)
Уравнения B.04) и B.05) мы будем называть параболическими
уравнениями Леонтовича.
При составлении предельных условий на поверхности земли
(h = 0) мы можем пренебречь различием между диэлектрической
постоянной воздуха и единицей.
С другой стороны, можем несколько уточнить эти условия,
пользуясь нашими результатами, полученными по методу сум-

Гл. 14. Радиоволны в неоднородной атмосфере
289
мирования рядов (см. главы 12 и 6). Это уточнение сводится
к тому, что в A.07) мы заменяем т) на х\ + 1, а в A.08) заменяем т)
на т) — 1. В результате мы получим
dh
(при Л =
B.06)
dh
(приЛ
B.07)
Далее мы должны сформулировать требование, чтобы в области
вблизи источника, где можно пренебречь кривизной земной по-
верхности и кривизной луча, имела место отражательная формула
для плоской земли. Если высота источника над землей есть Ы =
— b — а, то это требование означает, что в указанной области
должно быть
t/.=
w*
k jh-h'I
2s
2s
kVi+h'I
2s
2s
AH
л -
1 h'
M' +
S
м] 1 I
s
Ип + i
Л/ ЛЛ 1
h + h' + s ]/~r\ — 1
B.08)
B.09)
Множители при второй показательной функции представляют
приближенные значения коэффициентов Френеля для вертикаль-
ной и для горизонтальной поляризации. Последние две формулы
являются обобщением формулы A.28) главы 13.
Заметим, что выражения B.08) и B.09) сами приближенно
удовлетворяют предельным условиям B.06) и B.07).
В случае поля над абсолютно проводящей поверхностью (т) =
= оо) предельные условия B.06) и B.07) принимают вид
dh
= 0
(при Л = 0)
B.10)
W% = 0 (при Л = 0),
а отражательные формулы напишутся в виде
г { ik (h-h'V ik (h+h1I
Ut = /-f (e—s— + e—ssr-
k(h—h'I ik (h+h'I '
2s
— ft 2s
19 В. А. Фок
B.11)
B.12)
B.13)

290 Тропосферное распространение радиоволн
3. Аналогия с нестационарной задачей
квантовой механики
Сформулированная в предыдущем параграфе задача о рас-
пространении волны в сферическом слое с переменным показате-
лем преломления представляет аналогию с квантово-механической
задачей о движении волнового пакета в заданном силовом поле.
Напишем уравнение Шредингера для движения частицы мас-
сы т0 в силовом поле с потенциальной энергией Ф. Обозначая
через х координату частицы, через t — время, через ft — деленную
на 2я постоянную Планка, будем иметь
Сравнивая уравнение Шредингера C.01) с уравнением Леонтови-
ча B.04) или B.05) для ?/2 и для W%, мы видим, что эти уравнения
имеют один и тот же вид, причем координата х пропорциональна
высоте А, время t пропорционально горизонтальному расстоя-
нию s и потенциальная энергия Ф пропорциональна взятой с об-
ратным знаком величине 8 — 1 -\ , которая отличается от так
называемого приведенного (или модифицированного) показателя
преломления
Л* = 10е (-^- +4) = Юв (я-1 +4) C-02)
лишь постоянным множителем.
Таким образом, параболическое уравнение Леонтовича для
амплитуды стационарного процесса совпадает по форме с неста-
ционарным уравнением Шредингера.
Сходство между обеими задачами не ограничивается совпаде-
нием дифференциальных уравнений, а распространяется и на пре-
дельные и «начальные» условия.
Рассматриваемому в квантовой механике случаю самосопря-
женных дифференциальных уравнений и предельных условий соот-
ветствует в электромагнитной задаче случай отсутствия поглоще-
ния в воздухе и в земле, т. е. тот случай, когда показатель прелом-
ления воздуха веществен, а земля — абсолютный проводник. Этот
случай представляет наибольший интерес и для задачи о сверх-
рефракции. Впрочем, квантово-механические методы могут быть
обобщены и на случай наличия поглощения.
Если земля — абсолютный проводник, то предельные условия
для U2 и для W\ принимают вид B.10) и B.11), и им соответствуют
в квантово-механической задаче условия
-Ц- = 0 (при х = 0) C.03)

Гл. 14. Радиоволны в неоднородной атмосфере 291
ИЛИ
•ф = 0 (при х = 0). C.04)
Что же касается начальных условий, то самый общий вид их со-
стоит в задании начального значения волновой функции
о|з = о|з0{х) (при t = 0, 0<x<oo). C.05)
Функцию 1|з, удовлетворяющую дифференциальному уравне-
нию, начальным и предельным условиям, можно искать в виде
оо
ф (х, ft = J F (x, x', ft ip0 (x') dx'. C.06)
о
Функция F должна при всяком х' удовлетворять дифференциаль-
ному уравнению
д2^ _[_ 2t т° ——^^-OF = 0 C.07)
и предельному условию вида C.03) или C.04) (тому же, как о|з).
Для того чтобы выражение C.06) при / = 0 приводилось ко|зо (х),
функция F должна при t —> 0 иметь особенность, характер которой
связан с предельным условием. В случае условия
-^- = 0 (при х = 0) C.08)
особенность F должна быть вида
_. Jl_ / { т, (х—х-)* . т, (х+х')'
(x,x',t)=e у -bnn-U int +e aR(
C.09)
В случае же условия
F = 0 (прил; = 0) (ЗЛО)
особенность F должна быть вида
_; " , > — / i '"' '-"" ' I
F(x,x',t) = e *Y-%?r[e 2ft( —e 2Й(
C-11)
Сравнивая эти формулы с B.12) и B.13), мы видим, что для соот-
ветственных предельных условий особенность F в точности совпа-
дает с особенностями 1/2 и W2. Действительно, приравнивая вы-
соту h координате х, мы должны положить
h = x; h' = x', 4- = — - C.12)
19*

292 Тропосферное распространение радиоволн
Выражая F через переменные Л, Л', s, мы будем иметь для предель-
ного условия C.08)
F = F2 (h, h', s), C.13)
где F2 удовлетворяет тому же уравнению, что и U2, предельному
условию
-^ = 0 (при Л = 0) C.14)
и имеет особенность
+ е 2s j. C.15)
Для предельного условия C.10) мы полагаем
F = G2 (Л, Л', s), C.16)
где G2 удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению,
что и W2, предельному условию
Ga = 0 (при Л = 0) C.17)
и имеет особенность
— г г / i 1 — I —- ¦— — \
C.18)
Мы видим, что F2 отличается только постоянным множителем от
U2, a G2 — от W2, а именно мы имеем:
и
I Л /—г—
C.20)
Если мы обозначим через f (h, s) функцию, удовлетворяющую
тому же уравнению и тем же предельным условиям, что и U2, и
принимающую при s = 0 значение
f(h,s) = fo(h) (прив = 0), C.21)
то на основании C.19) мы можем написать
C.22)
б
Аналогично, если f (h, s) удовлетворяет тем же предельным усло-
виям, что и W2, будет
ДА. s) = e 4 y-^jwz(h,h',s)fo(h')dh'. C.23)

Гл. 14. Радиоволны в неоднородной атмосфере
Последние две формулы справедливы не только для предельных
условий, соответствующих абсолютно проводящей земле (когда
имеется аналогия с квантовой механикой), но и для более общих
предельных условий B.06) и B.07), причем тогда особенности U2
и W2 даются формулами B.08) и B.09).
Если функция f0 (Л) отлична от нуля только в области точки
h = Н', причем интеграл от f0 по этой области есть величина ко-
нечная, то f (Л, s) будет, при не слишком малых s, пропорциональна
U2 или соответственно W2- Таким образом, функции U2 и W2 соот-
ветствуют точечному источнику, расположенному на высоте Л',
как это и должно быть.
На языке квантовой механики можно сказать, что функция г|з,
пропорциональная U2 или Wit представляет решение задачи о рас-
плывании волнового пакета, первоначально сосредоточенного
в окрестностях одной точки.
Из квантовой механики известно, что быстрота расплывания
существенным образом зависит от вида потенциальной энергии.
Представим себе, что движение частицы ограничено с одной сто-
роны непроницаемой стенкой. Если потенциальная энергия такова,
что сила все время направлена от стенки, то расплывание проис-
ходит быстро. Если же сила удерживает частицы в некоторой об-
ласти, где потенциальная энергия имеет минимум, или вблизи
стенки, то расплывание происходит медленно или не происходит
вовсе. В этом случае уравнение Шредингера допускает решения,
соответствующие стационарным или почти стационарным состоя-
ниям.
Волновая функция почти стационарного состояния в началь-
ный момент времени отлична от нуля только в области минимума
потенциальной энергии. С течением времени амплитуда волновой
функции в этой области убывает и происходит распад начального
почти стационарного состояния. Убывание амплитуды происходит
по показательному закону, и быстрота распада характеризуется
коэффициентом в показателе, который носит название постоянной
распада.
Если начальная волновая функция сама не является волновой
функцией почти стационарного состояния, то в разложении ее
можно выделить член, соответствующий почти стационарному со-
стоянию, и для больших значений времени этот член будет главным.
В нашей электромагнитной задаче горизонтальное расстояние s
играет роль времени t квантово-механической задачи. Расплыва-
нию волнового пакета соответствует убывание амплитуды поля
с увеличением горизонтального расстояния. Роль стенки играет
земная поверхность h = 0. Стенка будет непроницаемой, если
земля представляет собой абсолютный проводник; при конечной
проводимости стенка будет поглощающей и убывание амплитуды

294
Тропосферное распространение радиоволн
будет происходить не только в результате просачивания волны
в верхние слои атмосферы, но и в результате поглощения ее зем-
лей. Роль потенциальной энергии играет, как мы видели, взятый
с обратным знаком приведенный показатель преломления М. Ход
приведенного показателя преломления в зависимости от высоты
показан схематически на рис. 1.
Сплошной кривой показан ход М при наличии сверхрефракции.
Пунктирное продолжение прямолинейной части кривой соответ-
м
Рис. 1. Приведенный показатель преломления при сверх-
рефракции.
ствует тому случаю, когда сверхрефракции нет и можно ввести
«эквивалентный радиус» Земли, пропорциональный угловому коэф-
фициенту прямой по отношению к оси М.
Если рассматривать кривую рис. 1 как кривую потенциальной
энергии, то будет ясно, что характерное для сверхрефракции на-
личие максимума для (—М) (минимума для М) является необхо-
димым условием существования почти стационарных состояний.
Действительно, если обозначить через hm высоту, соответствующую
максимуму потенциальной энергии, то в области Л<Лт сила
будет как бы прижимать волновой пакет к стенке и не давать ему
уходить в область Л > hm.
Но в нашей электромагнитной задаче наличие почти стацио-
нарного состояния означает такое распространение волны, в ко-
тором ее амплитуда убывает с увеличением расстояния аномально
медленно, так что коэффициент затухания ее (соответствующий
постоянной распада) аномально мал. Отсюда следует, что условие
существования почти стационарных состояний — это условие воз-
можности сверхдальнего распространения радиоволн.
Приведенная здесь аналогия с квантовой механикой позволяет
составить качественную картину явления сверхдальнего распро-
странения радиоволн. Эта аналогия полезна и тем, что на ее основе
некоторые, применяемые в квантовой механике, математические
методы могут быть перенесены в область радиофизики. С другой

Гл. 14. Радиоволны в неоднородной атмосфере 295
стороны, разработанные нами методы решения задачи о распростра-
нении радиоволн могут найти применение и в квантовой механике *.
Впрочем, эти вопросы выходят из рамок настоящей книги.
4. Переход к безразмерным величинам
Вернемся к решению задачи, сформулированной в параграфе 2.
Нам нужно определить функции U2 и W2, удовлетворяющие диф-
ференциальным уравнениям B.04) и B.05), предельным условиям
B.06) и B.07) и условиям B.08) и B.09), характеризующим осо-
бенность. Задача эта была решена нами ранее для двух случаев:
а) неоднородная атмосфера, источник на земле и б) однородная
атмосфера, источник приподнят. Мы теперь покажем, что задачу
эту можно решить и для общего случая неоднородной атмосферы
и приподнятого источника.
Перейдем в наших уравнениях к безразмерным величинам,
использованным в предыдущих главах. Для этого рассмотрим
коэффициент при U2 в уравнении B.04). Этот коэффициент про-
порционален величине
±±A D.01)
где М (h) — «модифицированный» показатель преломления.
Мы предположим, что, начиная с некоторой высоты h = Н, эту
величину можно аппроксимировать линейной функцией от Л и
положить
где а* — так называемый эквивалентный радиус Земли и а — не-
которая малая постоянная (например, а <[0,0005).
В простейшем случае можно считать, что при /г > Н (где
Н — некоторая высота) будет е = 1; тогда нужно положить а = 0
и а* — а.
В той области, где справедлива формула D.02), уравнение для
U2 принимает вид
+ 2ik -~^- + k2 Bа + -^-) U2 = 0. D.03)
* Так, современная теория комплексного момента количества движения
непосредственно связана с нашими методами суммирования ридов, основанными
на интегрировании в плоскости комплексной переменной v (глава 10). (Приме-
чание, внесенное в настоящее издание.)

296 Тропосферное распространение радиоволн
Чтобы избавиться от величины а в последнем члене, произведем
в нем подстановку
U2 = Celaks4, D.04)
где С — постоянная, которой мы распорядимся в дальнейшем.
Тогда уравнение D.03) приведется к виду
W +2Л-?- + *«-?-Т = 0. D.05)
Введем сокращенное обозначение
и положим
ks — 2т2х, kh = ту, kh' = ту'. D.07)
Тогда уравнение D.05) напишется в виде
С4'08)
точное уравнение B.04) к
[у
Те же подстановки приводят более точное уравнение B.04) к виду
где
гО/)-та(е-1+-^-2а-^-). D.10)
Величина г (у) характеризует аномальный ход показателя прелом-
ления вблизи поверхности земли; начиная с некоторого значе-
ния у, величина г (у) может быть положена равной нулю. Если
считать, что а = 0 и а* = а, то
г {у) = т2 (в - 1). D.11)
ловия
Нам остается выразить в новых переменных предельные условия
и условия, характеризующие особенность. Полагая
будем иметь
-™- + дУ = 0 (приу = 0). D.13)
Постоянную С в уравнении D.04) мы выберем так, чтобы уравне-
ние, аналогичное C.22), могло быть написано в виде
D.14)

Гл. 14. Радиоволны в неоднородной атмосфере 297
Тогда уравнение, определяющее особенность \Р, принимает вид
?
-'-?- ( , (у-УJ , (у+У)*
Из сравнения B.08) с D.15) получаем
Функция Wt отличается от U2 только тем, что в предельных усло-
виях и в уравнении, определяющем особенность, величина ¦
к Л-И
заменяется на |A]—1. Это соответствует замене величины q на
<71 = /тУгтРТ D.17)
Практически можно во всех случаях полагать qt = оо.
Наряду с функцией 4е мы будем рассматривать функцию
V(x, у, у', д) = 2Уше 4 W, D.18)
которую будем называть множителем ослабления. Величины U2
и U выражаются через V следующим образом:
^- v DЛ9)
I (l+a) ks
U = е V(x, у, у', q). D.20)
1/ sa sin —
Функция W получается из D.20) заменой q на qv
5. Свойства частных решений дифференциального
уравнения
Для построения функции V, удовлетворяющей поставленным
условиям, необходимо исследовать свойства частных решений
уравнения D.09), получаемых разделением переменных. Полагая
? = е0лО. E.01)
получаем для f (у, t) уравнение
%r+ly + r(y)-t]f=O. E.02)

298 Тропосферное распространение радиоволн
Обозначим через f° (у, t) и f* (у, t) решения уравнения E.02),
удовлетворяющие начальным условиям
Г @,0 = 0, (-^-IМ)=1- E.04)
Общее решение уравнения E.02) будет иметь вид
f (у, 0 = АГ (У, t) + AT (У, t). E.05)
С другой стороны, если функция г (у) с возрастанием у убывает
достаточно быстро, то при вещественных t уравнение E.02) будет
иметь один интеграл (определенный с точностью до множителя, не
зависящего от у), который ведет себя при больших у, как и}г (t — у),
и другой интеграл, который ведет себя, как ш2 (t — у), где wx и
w2 — комплексные функции Эйри, представляющие решения
уравнения
*?L + <j,-t)w = 0, E.06)
получаемого из E.02) заменой г (у) нулем. Функции wt и w2 имеют
асимптотические выражения
Щ«-у) = е 4 (у-t) 4е 3 E.07)
-«— -- -i-iy-i)
w2(t-y)=e 4 (y-t) 4e 3 . E.08)
Поэтому поведение общего интеграла уравнения E.02) при у —> оо
и вещественных t может характеризоваться постоянными Сг и С2
в выражении
f (у, t) = ClWl (t-y) + C2w2 (t - у). E.09)
Установим связь между постоянными Л°, А*, Сг и С2 (которые
могут быть функциями от параметра t).
В силу уравнений E.02) и E.06) имеем:
(t-y). E.10)
В этом равенстве мы можем положить последовательно w = wlt
затем w = w2 и проинтегрировать его от 0 до оо. Вследствие соот-
ношения

Гл. 14. Радиоволны в неоднородной атмосфере 299
будем иметь
<6ЛЗ>
и равенство E.10) после интегрирования дает
00
2/Ci = Л°Ш2 (/) + А'ы>2 (/) — J г (у) /(у, 0 ш2 (/ — у) dy E.14)
— 2iC2 = Л°ш1 (t) + A'wx (t) — J r@) / (у, 0 т (t — y)dy. E.15)
Если здесь вместо f (у, t) подставить выражение E.05), мы получим
искомую связь между постоянными А0, А*, С1г С2 в виде
2/Ci = Л° Lj @ — J г (У) f (У, t) wi (t — у) dy +
+ A*\wAt)-]r{y)f*{y. t)wt(t-y)dy
l о
- 2iC2 = A0L[ {t)-]r (y) f (y, t) Ш! (t-y) dy\ +
E.16)
, t)w1(t-y)dy\. E.17)
Обратим теперь внимание на то, что коэффициенты при А0
и Л* в этих уравнениях являются целыми трансцендентными функ-
циями от параметра t. Действительно, функции f°, f*, wlt w2 яв-
ляются целыми функциями от t, интегрирование же производится
фактически в конечных пределах, так как г (у) можно положить
равным нулю, начиная с некоторого у. (То же заключение будет
справедливо и без этого ограничения для г (у), если только г {у)
достаточно быстро убывает на бесконечности.)
Отсюда следует, что если постоянные А0 и А* будут целыми
трансцендентными функциями от t, то тот же характер будут иметь
постоянные Сг и С2. Это позволяет нам применять уравнения E.16)
и E.17), выведенные для случая вещественных t, также и в случае
произвольных комплексных значений t.

300 Тропосферное распространение радиоволн
Если мы положим
00
Л° = А\ @ = wx (t) - J г (у) f (у, t) wx (t — у) dy E.18)
и
А' = А\ (t) = — w[ (t) + \ г (у) f (у, t) wx (t — у) dy, E.19)
о
то выражение
U (У, t) - АЧ (t) f (у, t) + A\ (t) f (у, t) E.20)
будет таким решением уравнения E.02), которое ведет себя при
у —> оо, как wt (t — у), и представляет в то же время целую транс-
цендентную функцию от t. Аналогично, если мы положим
A° = Al(t) = w2(t) — \r(y)f(y, t)w2{t-y)dy E.21)
и
А* = А\ @ = - шз @ + J г (у) f (у, t) w2 (t — у) dy, E.22)
то выражение
h (У, t) = A\ (t) f(y,t) + A\ (t) f (y, t) E.23)
будет вести себя при у —» оо, как w2 (t — у), и будет целой функ-
цией от t.
Интеграл ft {у, t) будет иметь асимптотическое выражение
i -f Г у
i$Vu-t4-r(u)du\, E.24)
Vy—t + r(y)
а интеграл f2 (у, t) будет иметь асимптотическое выражение
h (У, 0 = 4а ^ ехР -' j Vu-t+r(u) du , E.25)
где с', с", т — постоянные.
Если положить г (у) = 0, т = t, с' = с" = 1, то формулы E.24)
и E.25) перейдут в асимптотические выражения E.07) и E.08) для
дох и wz.
Интегралом fx (у, f) мы уже пользовались в главе 13, где,
однако, было принято без доказательства, что существует такой
интеграл, который допускает асимптотическое представление E.24)
и является вместе с тем целой трансцендентной функцией от t

Гл. 14. Радиоволны в неоднородной атмосфере 301
Формулы E.18)—E.23), выведенные в ходе доказательства этого
утверждения, могут быть использованы также для фактического
(численного) построения этого интеграла.
Функция fx (у, t) при комплексных t будет возрастать при воз-
растании у, а интеграл от квадрата f х (у, t), взятый по у от 0 до оо,
будет расходящимся. Однако при некоторых предположениях о по-
ведении г (у) в комплексной плоскости, функция f j (у, t) будет
вести себя при комплексных у, как wt (t — у), и будет стремиться
к нулю на луче у = гёа (где а = -?-), так что интеграл
«,е«а
/= J fUy,t)dy E.26)
о
будет уже сходиться. Вычислим значение этого интеграла. Диф-
ференцируя уравнение E.02) по t, получим
Отсюда и из E.02) получаем соотношение
Полагая здесь f = fx {у, t) и считая верхний предел интегрирова-
ния равным оое'а, будем иметь
6. Построение решения в виде контурного
интеграла и в виде ряда
В предыдущем параграфе мы установили существование двух
интегралов обыкновенного дифференциального уравнения
¦$ + [y + r(y)-t]f = O, F.01)
которые являются целыми трансцендентными функциями от пара-
метра t и имеют асимптотические выражения E.24) и E.25). Инте-
гралы эти, обозначенные нами через fx (у, t) и /г (у, t), опреде-
ляются формулами E.20) и E.23).
Мы покажем теперь, что при помощи функций /х и f2 можно
построить для V и для W контурный интеграл, который является

302 Тропосферное распространение радиоволн
решением нашей задачи. Рассуждения наши будут аналогичны
рассуждениям, изложенным в параграфе 3 главы 13, а окончатель-
ные формулы будут представлять аналогию формулам B.24)
и C.10) главы 12.
Обозначим через D12 (t) определитель Вронского:
Dn(t) = h%—ft%- F.02)
и положим
F(t, у, у', <?) =
где штрихи при f x и /2 обозначают производные по у.
Будем считать, что у' > у, и составим интеграл
взятый по контуру, охватывающему в положительном направлении
все полюса подынтегральной функции.
Из определения функции F следует, что она является меро-
морфиой функцией переменной t (т. е. не имеет при конечных t
никаких особенностей, кроме полюсов). Функция F вполне опре-
делена, даже если входящие в нее функции f x и f% определены лишь
с точностью до множителей, не зависящих от у. Так как инте-
гралы fx и f2 при всех значениях t являются независимыми (это
видно из их асимптотических выражений), то определитель Врон-
ского D12 (t) корней не имеет, и единственными полюсами F яв-
ляются корни уравнения
fi CO, t) + qf1(O, 0 = 0. F.05)
Если в дифференциальном уравнении F.01) функция г (у) равна
нулю, то можно положить
h (У, 0 = wt(t- у), f, (у, i) = w%(t- у). F.06)
Тогда
Яц (9 = — 2* F.07)
и выражение F.03) для F приведется к рассмотренному в главе 12
[формула B.21)].
Покажем, что функция W, определяемая контурным интегра-
лом F.04), удовлетворяет всем поставленным условиям.
Прежде всего очевидно, что функция W удовлетворяет диф-
ференциальному уравнению D.09), ибо ему удовлетворяет выра-

Гл. 14. Радиоволны в неоднородной атмосфере 303
жение под интегралом. Далее, функция ? удовлетворяет предель-
ному условию D.13), так как при всех t и у' мы имеем
~^+qF = 0 (при у = 0). F.08)
Нам остается показать, что функция W имеет нужную особенность.
При помощи асимптотических выражений E.24) и E.25) можно
показать, что если х, у малы, а отношение у/х велико, то главный
участок интегрирования в F.04) будет лежать при больших отри-
цательных значениях t. Но если t велико и отрицательно, то в диф-
ференциальном уравнении F.01) главную роль в коэффициенте
при / будет играть член —t. Поэтому при больших отрицательных t
мы будем приближенно иметь
F.09)
Подставив эти выражения в формулу F.03) для F, получим
F = 1 |е' <*'-*> V~l — g~'^"ZJ-pf (у'+у) Y=i\ (
2V \ iV p I
Подстановка этого значения F в интеграл F.04) дает для W фор-
мулу Вейля—ван дер Поля, которая после пренебрежения малыми
величинами (во втором члене) приводится к выражению D.15),
характеризующему особенность W.
Таким образом, справедливость выражения F.04) для W нами
установлена.
От контурного интеграла F.04) нетрудно перейти к ряду,
расположенному тю вычетам, относящимся к корням уравне-
ния F.05). Напишем это уравнение несколько подробнее.
Используя выражение E.20) для /х (у, t) и начальные значе-
ния E.03) и E.04) функций /° и f*, получаем
h(O,t) = A\(t), fi(O,t) = A[(t) F.12)
и уравнение F.05) принимает вид
A{(t) + qAl(t) = O. F.13)
Подставляя сюда значения E.18) и E.19) функций Л° и А\, мы
будем иметь
l
У, t)-qf*(y, t)]w1(t-y)dy = O. F.14)
Это уравнение мы будем называть характеристическим.

304 Тропосферное распространение радиоволн
Для нас существенно, что левая часть характеристического
уравнения является целой трансцендентной функцией от t и что
оно содержит лишь функции f° (у, t) и f* (у, t), которые могут быть
получены для всех значений t путем численного интегрирования
дифференциального уравнения E.02) с начальными условиями
E.03) и E.04). В том случае, когда функция г (у), начиная с не-
которого у = у1г равна нулю, интегрирование в F.14) может быть
выполнено, и характеристическое уравнение приводится к виду
+ щЦ-у) -щ [f°(y, t)-qf*(y, t)] = О
(при г/ = г/х). F.15)
Характеристическое уравнение для случая однородной атмосферы
имеет вид
w[(t) — ^ш1@ = 0. F.16)
Это уравнение получается из предыдущих формул, если в F.14)
положить г (у) = 0 или если в F.15) положить у = ух — 0.
Корни характеристического уравнения мы обозначим через
h (?)> h(q), • • • F.17)
Эти корни будут функциями от параметра q.
Обратимся к вычислению вычетов интеграла F.04). Из уравне-
ний F.02) и F.05) вытекает, что при у = 0 и t — ts будет
ДЛО - h @, t) • (b> B)
Далее, производную по t от знаменателя в F.03) можно представить
в виде
?. F.19)
F.20)
Поэтому вычет функции F в точке t = ts будет равен
dts h (у', U) к (У. U)
dq h(O,ts) МО,*,) •
Беря сумму выражений F.20), умноженных на е'*'\ мы получим
искомое разложение функции W в ряд
etxts dts МУ'.^) fljy.tt) /fi 2n
e ~dV hQ (bZl>
h(Q,ts) •

Гл. 14. Радиоволны в неоднородной атмосфере 305
Величины
j^s)-qf*(y,ts) F.22)
можно назвать высотными множителями. Заметим, что высотные
множители выражаются согласно F.22) через функции f° и f,
которые непосредственно вычисляются путем численного интегри-
рования дифференциального уравнения E.02).
В том случае, когда величина q весьма велика или равна бес-
конечности (горизонтальная поляризация, абсолютный провод-
ник), формула F.21) должна быть преобразована путем почленного
умножения на величину
Результат можно записать в виде
«г _ V е'**» (V -^Л fl {y'-ts) h {y- ts)
2 [ч b
s=l
Величина
2 t
4 <* J_(hJSbJ)
dt \ f[ (С о
будет иметь при q -*¦ оо конечное значение. Заметим, что из фор-
мул F.19) и E.29) вытекает соотношение
со е'а
/?@, i)%= | fi(y,t)dy (о = -J-). F.26)
о
Поэтому ряд F.21) может быть написан в виде
i^)h{y'U) . F.27)
s=1 , ft(y.tt)dy
В такой форме он напоминает разложение по собственным функ-
циям. В ряде F.27) «собственные значения» являются, однако,
комплексными и стоящий в знаменателе «нормировочный интеграл»
сходится лишь при комплексном пути интегрирования.
Чтобы перейти от функции W к множителю ослабления V, доста-
точно припомнить соотношение D.18)
V(x, у, у', q) =
20 В. А. Фок

306 Тропосферное распространение радиоволн
В случае однородной атмосферы, когда можно положить г (у) =
= 0 и /i (у, 0 = w>i(t — #)> вытекающие из наших формул выра-
жения для V приводятся к тем, какие были выведены в главе 12
другим способом.
7. Применение общей теории к случаю
сверхрефракции. (Схематический пример)
Рассмотренная в параграфе 3 аналогия с нестационарной зада-
чей квантовой механики позволяет составить себе качественную
картину явления сверхрефракции и тех условий, при которых это
явление может иметь место. С другой стороны, полученное в пара-
графе 6 общее выражение для множителя ослабления пригодно
и для количественных расчетов, которые, правда, требуют до-
вольно сложных вычислений.
Напишем выражение для связанной с множителем ослабления
функции W. Полагая для краткости
)-qr(y.t)> G-01)
мы будем иметь на основании F.21)
^' G-02)
2^
s=l
где величины /s суть корни трансцендентного уравнения F.14).
Если г (у) — 0 при у > уи это уравнение может быть согласно
F.15) написано в виде
w'x V ~Уг) f 0/1- 0 + ЩЦ-Уг)Г (J/1- 0 = 0, G.03)
где а>| означает производную по аргументу (t — у), а не произ-
водную по у. Параметр q входит в это уравнение через посредство
величины G.01).
Определение условий, при которых возможно сверхдальнее
распространение, сводится к исследованию корней характеристи-
ческого уравнения F.14) или G.03). При отсутствии сверхрефрак-
ции мнимая часть корней этого уравнения, которая согласно G.02)
дает ослабление волны с увеличением расстояния, будет того же
порядка, как и вещественная часть. При наличии же сверхрефрак-
ции существует один или несколько корней с аномально малой
мнимой частью.
Чтобы составить себе представление о том, при каких условиях
может иметь место сверхдальнее распространение, рассмотрим
следующий схематический пример.

Гл. 14. Радиоволны в неоднородной атмосфере
307
Пусть функция г (у) имеет следующий вид:
r(y) = (l+\i3)(y1-y) (при
г(у) = О (при
Это соответствует предположению, что график приведенного по-
казателя преломления представляет ломаную линию, изображен-
ную на рис. 2.
Рис. 2. Схематический ход приведенного показателя
преломления.
Если считать, что диэлектрическая постоянная е меняется по
закону
е=1—g(h — ЛЛ (при к<СИЛ, }
, , , G-05)
е = 1 (при ft> ftj, J
то параметры |j,3 и уг будут равны
2/г2
-^У-а
G.06)
Таким образом, параметр |j, от длины волны не зависит, а пара-
метр ух (приведенная высота точки перелома) будет пропорцио-
нален Я,-2/3.
Уравнение для f напишется в виде
_ ' I Г/1 I цЗЧ,, „3,, Л f _ Л
dy2
Введем вместо t новый параметр
!о =
(при
(приг/>г/1).
и вместо у — новую переменную
I = 1о +
20*
G.07)
G.08)
G.09)

308 Тропосферное распространение радиоволн
Значению у = ух будет соответствовать значение ? = ?х, где
V?li = t-yv G.10)
Уравнение G.05) примет вид
¦?r = tf (So<S<SO- GЛ1)
Независимыми решениями его будут функции Эйри и (?) и v (?).
Функции f° и f* будут равны
G-12)
В силу соотношения
и'(&H (&)-t/(?) и (?) = 1 G.13)
функции f° и f*' будут удовлетворять начальным условиям E.03)
и E.04). Вводя согласно G.01) функцию
Ш = J- ^ (So) + И"' (So)! « (S) +
+ -ffo«(So) + l*«'(So)]w(Sb G.14)
мы получим характеристическое уравнение, если подставим зна-
чения f (у) и f (у) при г/ = г/х в формулу G.03). Это характеристи-
ческое уравнение может быть написано в виде
Ир' Aо) + qv (lo) _ Vv' (Si)Ш1 (^Si) + °(Si) w\(^2Si) . ..
|ш'F.) + ?«(Б.) ^'(g)^(^) + «(^)^(^g)"
Предположим, что величина г/х и параметр \л достаточно велики.
Это значит, что «потенциальная яма» на рис. 2 достаточно широка
и глубока. В таком случае величины |х и \i%i [аргументы функций,
входящих в правую часть G.15)] будут велики. В силу асимптоти-
ческих выражений
_i_ iU3/2 , _J _2_Ез/2
"(S) = S 4e3 , o(S) = -g"S 4e 3 G.16)
правая часть уравнения G.15) будет весьма мала, и характеристи-
ческое уравнение приближенно приводится к следующему:
Ylv' (So) + qv (So) = 0. G.17)
Этот случай будет иметь место тогда, когда в достаточно большой
области высот градиент диэлектрической постоянной воздуха будет
отрицательным и большим, чем 21а, где а — радиус Земли; тогда

Гл. 14. Радиоволны в неоднородной атмосфере 309
кривизна луча будет больше кривизны Земли и формально вы-
числяемый «эквивалентный радиус» получается отрицательным.
Затухание волны с увеличением горизонтального расстояния
связано с мнимой частью величины t, а значит, и с мнимой частью
величины ?0; если бы ?0 было вещественным, затухание отсут-
ствовало бы. Затухание может происходить от двух причин: от
поглощения в земле и от просачивания волны в верхние слои
атмосферы. Поглощение в земле характеризуется комплексным
параметром q. Уравнение G.17) соответствует тому случаю, когда
затухание происходит только из-за поглощения в земле. Если рас-
сматривать землю как абсолютный проводник, нужно положить
q = 0 для горизонтальной поляризации и q — оо для вертикаль-
ной поляризации. При q — 0 уравнение G.17) приводится к виду
v' (So) = 0 (при 9 = 0). G.18)
Корнями его будут вещественные отрицательные числа
U = —1,019; -3,248; -4,820; . . . G.19)
При q = оо уравнение G.17) принимает вид
о (Ее) = 0 (при q = оо) G.20)
и имеет корнями числа
10 = -2,338; -4,088; -5,521; . . . G.21)
Так как в этих случаях величины ?0 вещественны, то затухание
отсутствует.
Уравнение G.17) будет представлять хорошее приближение
к G.15), если величина |х (или ее вещественная часть) положи-
тельна и достаточно велика. Так как
Ei = Soo + Ml
то это условие перестанет выполняться начиная с некоторого
корня %0. Поэтому число корней с малой мнимой частью будет
конечным.
Можно вывести приближенную формулу для поправки к вели-
чине |0, получаемой путем учета правой части G.15). Обозначим
через 100 корень уравнения G.17), который будем рассматривать
как неисправленное значение ?0, и через Д?о — поправку. Эта
поправка получится, если подставить в правую часть G.15) при-
ближенное значение ?i. равное
Ei = Еоо + \Ч/\-
Приближенное значение поправки получится тогда из уравнения
<7'22>

310 Тропосферное распространение радиоволн
где
S^~(\i3+l)?/2. G.23)
Заметим, что мнимая часть поправки положительна. Это
соответствует тому факту, что утечка в верхние слои увеличивает
затухание.
Условием применимости этих приближенных формул является
достаточно большая величина \луг.' Напомним, что согласно G.06)
мы имеем
G.24)
где g — взятый с обратным знаком градиент диэлектрической по-
стоянной; а — радиус Земли и hx — высота точки перелома на
рис. 2.
Чем больше величина \iylt тем больше число почти стацио-
нарных состояний с малым затуханием. Ориентировочно можно
сказать, что число таких состояний равно числу корней |0, не
превосходящих (по абсолютной величине) параметра \iyt.
Понятие о луче, отражающемся от верхней границы слоя и от
поверхности земли, начинает становиться применимым лишь тогда,
когда число почти стационарных состояний [число членов ряда
G.02) с малым затуханием] становится большим. Вообще, необ-
ходимым условием применимости понятий геометрической оптики
является медленная сходимость ряда G.02), когда в нем играет
роль большое число членов. Если же в нем существенны один-два
члена (которые могут соответствовать как почти стационарным,
так и затухающим состояниям), то понятие луча не применимо
вовсе.
8. Приближенные формулы для членов
с малым затуханием
Пользуясь методом, аналогичным тому, какой применяется
в квантовой механике, можно вывести приближенные выражения
для высотных множителей, соответствующих членам с малым за-
туханием, а также дать оценку той части коэффициента затухания,
которая соответствует утечке в верхние слои.
Положим в уравнении F.01)
у + г (у) = р (у) (8.01)
и напишем это уравнение в виде
(8.02)

Гл. 14- Радиоволны в неоднородной атмосфере 311
В случае сверхрефракции функция р (у), пропорциональная при-
веденному показателю преломления, будет иметь минимум, и по
обе стороны от него будет возрастать; слева от минимума наиболь-
шим значением р (у) будет р @), а справа р {у) будет возрастать
как величина у. Если параметр t лежит между наименьшим зна-
чением р (у) и значением р @), то коэффициент при f в уравне-
нии (8.02) обратится в нуль при двух значениях у, которые мы
обозначим через ух и уг. В промежутке ух <«/ <г/2 величина
р (у) — t будет отрицательной, а вне этого промежутка — поло-
жительной.
В промежутке ух <С«/ <Уа решение уравнения (8.02) может
быть приближенно выражено через функции Эйри. Положим
\ff (8.03)
Ух
= -f-« (8-04)
и обозначим через S сумму этих величин, которая не зависит от у:
S = \ Vt-p(y)dy. (8.05)
Величину S мы будем считать большой. При таких обозначениях
мы будем приближенно иметь
/ = V t-iiy) [AlU^ + BlV(^l)]' (8'°6)
а также
f = V t-p(y) [A*U (W + B*v (WL (8-07)
причем
* »3/a i * t"/" О /О ЛО\
о о
и постоянные Alt Вг, Ай, Вг связаны соотношениями
-Ля =-g-Bje-s, B2 = 2^ies, (8.09)
которые вытекают из сравнения асимптотических выражений для
(8.06) и (8.07) при больших значениях li и |г.

312 Тропосферное распространение радиоволн
При у > уъ мы можем определить величину ?а посредством
равенства
у
J Vp(y)-t <& = -§-(- У3'2 (8.10)
Уг
и пользоваться прежним выражением (8.07) для f.
Аналогично, при у <.i/i мы можем вместо (8.03) положить
У
и применять для f выражение (8.06).
Выберем постоянные А, В так, чтобы функция f была пропор-
циональна ft {у, t). Мы должны положить
Аг = Сь В2 = /d (8.12)
и, следовательно,
А^-^-С^-5, B1 = 2C1es. (8.13)
Тогда формулы (8.06) и (8.07) примут вид
^] (8-14)
^ы"щ (У • (8Л5)
Аналогично получаются следующие приближенные выражения
для U (У> 0:
(У> t) = 2Cae- у j^j-, v (У - ^ e-*u Щ (8. {6)
h(У, t) = Ca 1^7^)-Ша(У' {8Л7)
В этом приближении определитель Вронского D12 (t) оказывается
равным
,,. (8.18)
При у <Суг функции v (ti) и и (?х) будут одного порядка. Вслед-
ствие малости множителя e~2S вторые члены в (8.14) и (8.16) будут
представлять малые поправки [вообще говоря, меньшие, чем по-

Гл. 14. Радиоволны в неоднородной атмосфере 313
грешность всего выражения (8.14) илн (8.16)]. Поэтому в области
у <«/i функции ft и f2 будут почти пропорциональны друг другу.
Отбрасывая малые поправки, можно написать уравнение для
определения / в виде
O. (8.19)
Мы обозначили здесь через %0 и (-А) значения ?х и —р- при
у = о.
Это уравнение аналогично уравнению G.17). Оно дает только ту
часть коэффициента затухания волны, которая происходит от
поглощения в земле. Так как комплексный параметр q, характери-
зующий свойства почвы, известен лишь весьма грубо, то и коэф-
фициент (-А) достаточно взять в самом грубом приближении
и положить согласно G.06) и G.09)
^, (8-20)
где а — радиус Земли и g — взятый с обратным знаком градиент
диэлектрической постоянной.
Тогда уравнение (8.19) приведется к виду G.17), исследован-
ному в предыдущем параграфе. Корни ?0 уравнения (8.19) будут
связаны с соответствующими значениями параметра t соотноше-
нием
о
4 <-^>3/2' (8.21)
где h\ — меньшее из тех двух значений А* и А* высоты h, при
которых подкоренное количество обращается в нуль.
Если ?0 вещественно, то /г* и t получаются вещественными;
если ?0 комплексно, то вычисление интеграла (8.21) требует ана-
литического продолжения интерполяционной формулы для е в ком-
плексную область.
Необходимым условием применимости предыдущих формул яв-
ляется малость величины е~2S, где S имеет значение (8.05). В обык-
новенных единицах интеграл, выражающий S, напишется в виде
<8-22>

314 Тропосферное распространение радиоволн
Определив t из (8.21), необходимо проверить, что интеграл S
для этого t достаточно велик.
В случае абсолютного проводника (q = О и q = сю) прибли-
женные значения ?0 и t получаются из (8.19) и (8.21) веществен-
ными. В этом случае можно указать приближенное значение мни-
мой части поправки к ?0.
Полагая
lo == ?o + ft,o> (8.23)
мы будем иметь
~~?о й = -1-е-« (8.24)
На выводе этой формулы мы останавливаться не будем.
Так как ^ — малая величина, то приращению Д?о = t|J будет
соответствовать приращение At = if = -з=- А?о. Но вели-
чина (8.24), умноженная на /, представляет приращение интегра-
ла (8.21). Поэтому мы можем определить t" (мнимую часть t) из
уравнения
(8.25)
Так как производная от интеграла отрицательна, то для t" полу-
чается положительное значение, что соответствует затуханию.
Полученные формулы позволяют вывести также приближенное
выражение для величины -^-. Согласно F.19) мы имеем
dq _ _ дг lg !, . _fi
~dt~ dydt ' (a-Zb>
Подставляя сюда значение ft из (8.14) и пренебрегая малыми вели-
чинами, получим
da (dj\ 3|в / Р'« g0) if (
dt -\dy)o dt \ ^(b,) v(l
Здесь мы можем положить в самом грубом приближении

Гл. 14. Радиоволны в неоднородной атмосфере 315
[см. формулы G.08) и G.09)]. Пользуясь дифференциальным урав-
нением и предельными условиями для v, получим отсюда
# = 4- — - (8-29)
at ц3 ц v '
Первые члены ряда F.21) для Y, обладающие малым затуха-
нием, будут, в нашем приближении, равны
где Е| относится к приведенной высоте «/'.
Если ?0 настолько велико по абсолютной величине, что можно
пользоваться для v (?0) и v' (|0) асимптотическими выраже-
ниями, то знаменатель в этой формуле будет приближенно равен
V2 do) - lof2 (У «= К1^- (8.31)
В заключение необходимо подчеркнуть, что выведенные в этом
параграфе формулы основаны на довольно грубых приближениях
и предназначены для ориентировочных расчетов. Более точные
расчеты должны основываться на строгой теории, изложенной
в предыдущих параграфах.

ГЛАВА 15
ПРИБЛИЖЕННАЯ ФОРМУЛА
ДЛЯ ДАЛЬНОСТИ ГОРИЗОНТА ПРИ НАЛИЧИИ
СВЕРХРЕФРАКЦИИ*
Исходя из общих формул, полученных в главе 14, исследуются случаи нор-
мальной рефракции и сверхрефракции. Для функций, стоящих под знаком кон-
турного интеграла в выражении для множителя ослабления, выводятся прибли-
женные выражения путем асимптотического интегрирования соответствующих
дифференциальных уравнений. В случае нормальной рефракции эти функции
приближенно выражаются через функции Эйри, а в случае сверхрефракцнн —
через функции параболического цилиндра. Качественное исследование контур-
ного интеграла приводит к приближенным формулам для того расстояния, начи-
ная с которого поле быстро убывает, т. е. для дальности горизонта. При сверх-
рефракции, когда имеется много отраженных воли, под «дальностью горизонта»
понимается дальность для первой отраженной волны. Общие формулы приме-
няются к случаю, когда приведенный показатель преломления зависит от вы-
соты по гиперболическому закону.
/. Введение
В главе 14 была выведена для множителя ослабления общая
формула в виде контурного интеграла. Полученное выражение
применимо для весьма общего случая произвольного хода показа-
теля преломления в зависимости от высоты. Основная трудность
применения нашей общей формулы заключается в решении диф-
ференциального уравнения для высотного множителя. Эта труд-
ность может быть обойдена путем использования асимптотического
решения уравнения (такой прием основан на наличии в уравнении
большого параметра). Получив приближенные выражения для
высотного множителя, можно написать в явной форме подынте-
гральную функцию в контурном интеграле и затем его исследо-
вать. Качественное исследование подынтегральной функции поз-
Фок, 1956.

Гл. 15. Дальность горизонта при сверхрефракции 317
воляет дать оценку тех расстояний, начиная с которых множитель
ослабления начинает быстро убывать, другими словами, оценку
дальности горизонта.
2. Исходные формулы
Как показано в главе 14, поле от вертикального и горизон-
тального электрического и магнитного диполя выражается в общем
случае через две функции Герца: U и W, которые удовлетворяют
одинаковым дифференциальным уравнениям; предельные условия
для U и W также одинакового типа, но с разными значениями
коэффициентов. Каждая из функций Герца может быть выражена
через множитель ослабления V по формуле
Ш -V, B.01)
1/
У
sa sin —
а
где а — радиус земного шара; s — горизонтальное расстояние,
считаемое по дуге земного шара, k = -у абсолютное значение
волнового вектора.
Множитель ослабления V удобнее всего выражать через без-
размерные величины: приведенное горизонтальное расстояние
и приведенные высоты корреспондирующих точек (источника и
точки наблюдения):
y = — h, u' = —h\ B.03)
где huh' — высоты в единицах длины, am — параметр
-- B-04)
В задачах, связанных со сверхрефракцией, эквивалентный
радиус Земли не играет той роли, какую он играет в случае нор-
мальной рефракции; поэтому мы его здесь не вводим. Кроме пере-
численных величин, множитель ослабления V зависит от пара-
метра q, входящего в предельные условия. Для функции Герца U
(вертикальная поляризация) параметр q равен
¦-РЙТ- B'05)
где т| — комплексная диэлектрическая постоянная среды.

318 Тропосферное распространение радиоволн
Для функции Герца W (горизонтальная поляризация) пара-
метр q равен
<7=im]Ai—1, B.06)
В последнем случае можно практически полагать q = оо , так как
параметры т и т] велики.
Таким образом, множитель ослабления V есть функция от
безразмерных величин х, у, у', q:
V=V(x,y,y',q). B.07)
Наряду с множителем ослабления V удобно рассматривать свя-
занную с ним функцию W, через которую V выражается по формуле
B.08)
Функция W удовлетворяет дифференциальному уравнению
+ 1+[У + гЫ]ч = 0- B.09)
где
r((/) = m2(e-l), B.10)
причем е = е (h) есть диэлектрическая постоянная воздуха как
функция от высоты. Уравнение B.09) получается путем перехода
к безразмерным величинам из уравнения
+ 2'fe^ + fe2B+e1Lf 0 BЛ1>
в котором коэффициент при W пропорционален приведенному по-
казателю преломления
(^L 4) B.12)
Коэффициент при W в уравнении B.09) удобно обозначать одной
буквой и полагать
р(У) = У + г(у). B.13)
Имеем
(^) B.14)
так что р (у) есть по существу тот же приведенный показатель
преломления, только выраженный через безразмерную высоту у.
При использовании обозначения B.13) уравнение B.09) на-
пишется
^ ^ B.15)

Гл. 15. Дальность горизонта при сверхрефракции 319
Кроме дифференциального уравнения B.15), функция Y удовлет-
воряет предельному условию
^ 0 (при у = 0). B.16)
При х = 0 она имеет особенность вида
B,7)
В главе 14 было дано общее выражение для функции Y в виде
контурного интеграла. Подынтегральная функция в нем выражена
через решения уравнения
$ B.18)
где t — комплексный параметр. (Эти решения и были названы
выше высотными множителями.)
Для составления подынтегральной функции необходимо знать
оба решения уравнения B.18); обозначим их через ft {у, t) и fu (у, t).
При больших у эти функции имеют асимптотические выражения
i JL г у и
h (У. t) = /* ехр И J Vp(u)-tdu B.19)
Vp(y)-t L х J'
U (У> 0 = fe ехр — i J Vp(u) — tdu
Vp(M)-t L x J
f р J B.20)
Vp(M)-t L J
Здесь с', с", т — постоянные, значения которых несущественны,
так как они выпадают из выражения для W. В случае однородной
атмосферы, когда р (у) = у, функции f х (у, f) и f2 (#. 0 приводятся
к комплексным функциям Эйри wt (t ¦—у) и w2 (it — у), причем
тогда можно положить с'=с"=1ит=^.
Положим
DM-h-Щ—и-Щ-. B.21)
В силу уравнения B.18), которому удовлетворяют ft и /2. эта
величина не будет зависеть от у.

320 Тропосферное распространение радиоволн
Обозначим значения -щ- и -~ при у — 0 через f\ @, t) и
/^ @, f) и составим функцию
F(t,y,y',q) =
Функция W определяется при у' > у контурным интегралом
B.23)
взятым по контуру, охватывающему в положительном направлении
все полюса подынтегральной функции. Как показано в главе 14,
функция Y удовлетворяет всем поставленным выше условиям и
дает решение нашей задачи.
3. Случай нормальной рефракции
Случай нормальной рефракции характеризуется тем, что при-
веденный показатель преломления М (И) является монотонно воз-
растающей функцией от высоты Л, и, следовательно, коэффи-
циент р (у) есть монотонно возрастающая функция от у. В этом
случае можно приближенно выразить ft (у, t) и f2 (у, t) через
комплексные функции Эйри от аргумента ?, определяемого ра-
венствами
У
Vp{u)-t du = \ (-If Г-; C.01)
Vt — P (") du = -|- g»/2, C.02)
У
где Ь есть корень уравнения
р (b) = t. C.03)
Вблизи у = b разложение величины | по степеням у — b будет
начинаться с линейных членов, а именно
? = >/ р' ф) (Ь — у)-\ C.04)
Мы можем приближенно положить
C.05)

Гл. 15. Дальность горизонта при сверхрефракции
321
и с тем же приближением
откуда
- —2».
C.07)
Заменяя здесь у на #' и | на |', получим выражения для /х (г/', /)
и /г (у' > t). Значение ?, соответствующее г/ = 0, мы обозначим
через |0. При этих обозначениях мы получим для функции F,
определяемой формулой B.22), следующее приближенное выра-
жение:
( dy \
C.08)
Будучи подставлено в формулу B.23), это выражение может
быть использовано для вычисления поля как в области тени, так
и в освещенной области. В области тени множитель ослабления
(а также функция W) вычисляется по ряду вычетов, соответствую-
щих корням знаменателя
"<«+*(¦?¦).
C.09)
В освещенной области функция W вычисляется непосредственно
при помощи контурного интеграла, причем главный участок инте-
грирования будет лежать вблизи вещественных отрицательных
значений /. Но при отрицательных t величины |0, | и \' будут
также отрицательны. Предполагая, что эти величины достаточно
велики, можно заменить функции wx и w2 их асимптотическими
выражениями
(-1)
--г -' т<-6>
3/2
t-Ц-
= е 4 (-6)
C.10)
C.11)
Такая замена сводится к тому, что для функций ft (у, t) и
/2 (г/, t) используются асимптотические выражения B.19) и B.20).
21 В. А. Фок

322 Тропосферное распространение радиоволн
В результате для функции F получается [по формуле B.22)] сле-
дующее выражение:
F=4-
1
2
ехР Г \Vp(u) — tdu -
C.12)
Эта формула представляет обобщение формулы F.11) главы 14.
Последняя получается из C.12) после замены р (у) нулем.
Подстановка величины C.12) в контурный интеграл дает для
множителя ослабления выражение, состоящее из двух членов,
из которых первый соответствует падающей волне, а второй —
волне, однократно отраженной от поверхности земли с коэффи-
циентом Френеля. Падающая волна представляет наложение волн
с фазой
(о @ = xt + J Vp(u) — t du, C.13)
У
а отраженная волна представляет наложение волн с фазой
<р @ = xt + j VpiM)-t du + J VJW^t du. C.14)
о о
Эти выражения соответствуют геометрической оптике. Инте-
гралы могут быть вычислены по методу стационарной фазы, при-
чем фаза падающей волны будет равна экстремальному значе-
нию со (t), а фаза отраженной волны — экстремальному значе-
нию ф (/). Функция со (t) достигает своего экстремального значения
при /, определяемом из уравнения
У
а функция ф (/) — при /, определяемом из уравнения
9>{t) = x—if du » f du =0, C.16)
2 J yp(u)-t 2 ^ Yp (u) -1 V ;
С точки зрения геометрической оптики дальность горизонта
определяется из условия, чтобы до данной точки могла дойти отра-
женная волна с вещественной фазой. Крайнее значение /, при

Гл. 15. Дальность горизонта при сверхрефракции 323
котором это еще имеет место, есть t = p @). Это значение должно
быть в то же время корнем уравнения C.16).
Следовательно, между х, у и у' должно существовать соотно-
шение
X==JLC du +—I* du C 17)
2 J /р(ы)-р@) ^ 2 J Yp(u)-p@) '
о о
J
о
которое и дает формулу для дальности горизонта при нормальной
рефракции.
Более точное выражение C.08) для F показывает, что при зна-
чении t = р @) применять формулу C.12) уже нельзя. В самом
деле, при этом значении t величина |0 обращается в нуль, и поль-
зоваться формулами C.10) и C.11), разумеется, недопустимо. Тем
не менее, можно считать, что значение х, определяемое из C.17),
приблизительно дает границу, определяющую освещенную область,
где применима отражательная формула, от теневой области, где
применим ряд вычетов. Другими словами, можно считать, что
амплитуда поля начинает быстро убывать, когда х, возрастая,
проходит через значение C.17). В этом смысле можно применять
термин «дальность горизонта» и в диффракционной теории.
4. Асимптотическое интегрирование
дифференциального уравнения с коэффициентом,
имеющим минимум
При наличии сверхрефракции приведенный показатель прелом-
ления М (И) не будет монотонной функцией от высоты, а будет
иметь один или несколько минимумов, соответствующих отдель-
ным волноводным каналам. Мы будем рассматривать случай од-
ного минимума; соответствующую высоту мы будем называть вы-
сотой инверсии и обозначать через /г(-.
Коэффициент р (у) дифференциального уравнения
^ tf D.01)
пропорционален М (К) и поэтому он также будет иметь один ми-
нимум при значении у = yit соответствующем h = ht.
Мы будем считать р {у) аналитической функцией от у. Уравне-
ние р (у) = t будет иметь в интересующей нас области два корня:
у = Ьх и у = Ьг.
При t вещественном и лежащем между р @) и р (у() оба корня
будут вещественными; при других значениях t корни могут быть
и комплексными,
21*

324 Тропосферное распространение радиоволн
Нам необходимо иметь такое асимптотическое выражение для
функций fx (у, t) и /2 {у, t), которое было бы справедливо равно-
мерно при всех рассматриваемых значениях у и t, включая зна-
чение t — р (yt), при котором корни Ьг и й2 совпадают.
Использованное в параграфе 2 приближенное выражение для /х
и /2 через функции Эйри здесь уже неприменимо. Справедливость
его была основана на том, что при помощи подстановки C.01)—
C.02), определяющей | как голоморфную функцию от у, уравне-
ние D.01) приближенно сводилось к уравнению
-ig— |ш = 0, D.02)
в котором коэффициент при неизвестной функции имел такой же
монотонный характер, как и в исходном уравнении. Теперь нам
нужно взять в качестве стандартного уравнения уже не уравне-
ние D.02) для функций Эйри, а уравнение
^° <4-03)
для функций параболического цилиндра, так как это есть простей-
шее уравнение, в котором коэффициент при неизвестной функции
имеет тот же характер (с одним минимумом), как и коэффи-
циент р (у). Подстановку, связывающую ? и у, нужно выбрать так,
чтобы величина р (у) — t обращалась в нуль одновременно с ве-
личиной -j- ?2 -f- v и чтобы при больших значениях этих величин
получались правильные асимптотические выражения. Этим усло-
виям удовлетворяет подстановка
\Vp{y)-tdy = ±- J VxF+todl, D.04)
6, — 1i V'v
при условии, что параметр v выбран так, чтобы было
Ь, 2i Vv
\Vp(jf)-tdy = -L J v^T^rft- D-05)
ft, —2i Yv
Интеграл в правой части D.05) равен
2i Yv
| Vlr+4^dC te D.06)
"Г
—2« Vv
Поэтому уравнение D.05) может быть написано в виде
h
mv= j Yp(y)-tdy. D.07)

Гл. 15. Дальность горизонта при сверхрефракции 325
Оно дает v как функцию от t. Эта функция будет голоморфной
вблизи t = р (yi), а именно мы будем иметь
V = ^Г] Н D-08)
Полагая
D.09)
-tdy, D.10)
о о
мы можем написать подстановку D.04) в виде
о
Правая часть этого выражения равна
^ D.12)
Отсюда мы можем заключить, что при ? > 0 величина 5 — So +
+ -^- lg v будет голоморфной функцией от v вблизи v = 0, а при
? <С 0 голоморфными будут величины S — So ^-Igvn5. Но
так как при у = 0 (на поверхности земли) заведомо ? <С 0, то мы
имеем дело со вторым случаем, а тогда голоморфной функцией от v
будет и сумма Sо + ~ lg v. Это замечание понадобится нам в даль-
нейшем.
В рассматриваемом асимптотическом приближении решения
уравнений D.01) и D.03) связаны соотношением
D-13)
Решениями уравнения D.03) являются функции, которые выра-
жаются через функции параболического цилиндра Dn (г), удовлет-
воряющие уравнению
i4 D.14)

326 Тропосферное распространение радиоволн
Функции Dn (г) хорошо исследованы. Мы не будем перечислять их
свойства, а сошлемся на книгу Уиттекера и Ватсона «Курс совре-
менного анализа», т. 2, ГИТТЛ, 1934 г., где приведены главнейшие
формулы. В качестве определения Dn (г) можно взять ряд
Уравнение D.03) получается из D.14) заменой г на ?е 4
и п + -у на iv. Решениями уравнения D.03) будут функции
D.16)
v D-17)
При вещественных v и Z, величины gx (?) и g2 (С) будут комплекс-
ными сопряженными.
Из свойств Dn B) вытекает
8i (-1) = ev * 8l (I) + [2Я e~ ~+ gt (Q, D.18)
D,)>
а также
~VJI+'^ [ ~~~'~gl @.D-19)
(-J- + *)
Для нас существенны асимптотические выражения для gx (?)
и g2 (?). В области, примыкающей к положительной вещественной
оси, мы имеем
D.20)
Пользуясь формулой D.12), мы можем также написать
D.21)

Гл. 15. Дальность горизонта при сверх рефракции 327
Последнее выражение справедливо также и при больших v.
Асимптотическое выражение для g2 (Q получается отсюда заме-
ной i на —Л
Чтобы получить формулу, справедливую вблизи отрицательной
вещественной оси, мы должны применить соотношение D.18).
Мы будем иметь
Зуя Зл v , 'v
ftfc) = e—Г"' — е~^+— 'gv x
X , l exp - -L f
D.22)
Теперь мы в состоянии построить решение уравнения D.01),
удовлетворяющее всем поставленным требованиям.
Положим
Я Яу / V V с \
Cl(v) = e~8 ^""e l~2 2"gv~»j. D.23)
В силу отмеченного выше свойства величины So, показатель
в D.23) есть голоморфная функция от v также и вблизи v = 0.
Надлежащим решением уравнения для высотного множителя
будет функция
D.24)
Выше слоя инверсии (при S — So > 1) эта функция имеет асимп-
тотическое выражение
. я
h (У> 0 = е 4 e's-2fS', D.25)
У Р (У) - t
вытекающее из D.21).
Ниже слоя инверсии (при So — 5 > 1) асимптотическое выра-
жение для /х (у, t) будет иметь вид
t —- -i JL
h (У, t) = Xi (v) 4 e 4 eiS~2iS° + e-v" i e 4 e~ts , D.26)
Vp(y)-t ,

328 Тропосферное распространение радиоволн
где мы положили
&(v)= ,\^ ч е-^е'<™**». D.27)
* 1 *~Л "™~ '
При помощи известного асимптотического выражения для функ-
ции Г (Va — iv) легко показать, что при больших положительных
значениях v функция %х (v) стремится к единице. Поскольку при
v > 1 второй член в D.26) становится мал по сравнению с первым,
оба выражения для }х (у, t) будут тогда по форме совпадать. Су-
щественно, однако, то, что наши выражения для /х (у, t) справед-
ливы не только при больших, но и при малых значениях v, вплоть
до v = 0, и что они представляют голоморфные функции от v
вблизи v = 0.
Соответствующие выражения для /2 (у, t) получатся из пре-
дыдущих заменой i на —i. Чтобы выписать их явно, положим
я Ну . / v у
с2 (v) = е 8 4 е ^ 2 2
D.29)
Ч-Г +
Тогда будет
h ti> t) = с% (v) y7^JLg2 (t), D.30)
и асимптотические выражения для /2 (у, t) будут иметь следую-
щий вид:
при 5 — 50 > 1
е~~' 4 1ч+тч
1ъ\У' t) = —— е , D->j1)
\Р {У) — t
при 50 —S > 1
-j-S —
/p{y)-t
Vp<M)-t
ets. D.32)
Таким образом, задача асимптотического интегрирования урав-
нения для высотных множителей нами решена.

Гл. 15. Дальность горизонта при сверхрефракции 329
5. Исследование множителя ослабления
Нам надлежит теперь подставить найденные для fx (у, t) и
/а (У> t) выражения в формулу B.22) для F и исследовать множи-
тель ослабления V или связанную с ним функцию Y. Для простоты
мы ограничимся случаем q = оо, что соответствует горизонтальной
поляризации. В этом случае функция F приводится к виду
F(t, у, у', oo) = -5±Iyf1(t/, /){f,(y, Ц-ШЛ-М, о}. E.01)
Для функций D.24) и D.30) определитель Вронского D12 равен
постоянной величине
D12 = —2», E.02)
что легче всего выводится из асимптотических выражений D.25)
и D.21). Будем предполагать, что у' > yh так что S (у') — So > 1,
и рассмотрим два случая: когда вторая высота тоже выше и когда
она ниже слоя инверсии. В первом случае мы будем считать S (у) —
— So > 1, что позволяет пользоваться выражениями D.25) и
D.31) для /х и /2. Во втором случае мы будем считать So — S (у) > 1
и пользоваться выражениями D.26) и D.32).
В первом случае мы будем иметь
(. elS(y')-2lS0
1
Отдельные члены этого выражения допускают толкование на
основе геометрической оптики. Очевидно, что волна, идущая сверху
вниз, должна иметь фазовый множитель e~'s, а волна, идущая
снизу вверх — фазовый множитель e[S. Выражение E.03) пока-
зывает, что имеется только одна волна, идущая сверху вниз,
а именно падающая волна с полной фазой
(о @ = xt + S (у1) - S (у) E.04)
[мы добавили сюда член xt из показательного множителя в инте-
грале B.23) ]. Эта фаза совпадает с фазой C.13) случая нормальной
рефракции, что естественно, так как данная волна еще не дошла
до слоя инверсии.
Что касается волн, идущих снизу вверх, то их будет бесчислен-
ное множество; эти волны получатся разложением второго члена
E.03) в ряд по степеням е~"v. Они будут соответствовать волнам,
многократно отраженным от поверхности земли и от слоя инверсии,

330 Тропосферное распространение радиоволн
Фаза волны, однократно отраженной от поверхности земли, будет
равна
Ф (/) = ли + Sfcrt+S (у) + arc 1Г-. E-05)
Это выражение отличается от C.14) последним членом, который
не может быть получен из геометрической оптики. Этот член равен
arc -&- = arc —)Л L + 2v lg v — 2v. E.06)
Xl r (t + )
При больших положительных v он обращается в нуль, но при
малых v он играет важную роль, так как благодаря ему вся фа-
за ф (f) остается голоморфной функцией от v вблизи v = 0, иначе
говоря, вблизи t — р (ус).
Рассмотрим теперь случай, когда точка у находится ниже слоя
инверсии, причем So — S > 1.
Пользуясь выражениями D.26) и D.32) и используя равенство
X1(v)X2(v)-e-2lIV=l, E.07)
получаем после некоторых выкладок
JS(y')-2iS0 . о, >
V _ Sin О \У) ,ц «п.
В этом случае имеется не одна, а бесчисленное количество волн,
идущих сверху вниз, так как к падающей волне присоединяются
волны, отраженные от слоя инверсии как от верхней границы.
Кроме того, имеется бесконечное количество волн, отраженных от
земли и идущих снизу вверх. Все эти волны формально полу-
чаются разложением E.08) в геометрическую прогрессию по сте-
пеням e-nv.
Полная фаза волны, не претерпевшей отражения от земли,
равна
со (/) = xt + S (у') -S(y)- arc xi E.09)
или
«>@ = rf+S(jO-S(jO+4-arc-g-, E-10)
а полная фаза однократно отраженной волны равна
4-arc-g-. E.11)

Гл. 15. Дальность горизонта при сверхрефракции 331
Выражение для <о (t) не совпадает с C.13) или E.04), что есте-
ственно, так как падающая волна прошла через слой инверсии.
Выражение E.11) отличается от E.05) тем, что добавочный член
входит с множителем V2.
Мы говорили до сих пор о фазах различных членов подынте-
гральной функции. Каждому такому члену соответствует в мно-
жителе ослабления интеграл по /. Если вычислять эти интегралы
по методу стационарной фазы, то каждый из них дает в множителе
ослабления член, представляющий волну с фазой, равной экстре-
мальному значению фазы подынтегральной функции.
Разумеется, такой способ вычисления множителя ослабления
применим лишь в освещенной области, в области же тени необхо-
димо пользоваться рядом вычетов.
6. Формула для дальности горизонта
При нормальной рефракции (параграф 2) мы определяли даль-
ность горизонта как такое значение горизонтального расстояния х,
которое дает границу между областью применимости отражатель-
ной формулы и областью применимости ряда вычетов. При этом
значении х экстремум фазы отраженной волны приходится на край-
нее значение t, при котором сама фаза получается еще веществен-
ной.
При наличии сверхрефракции имеется много отраженных волн.
Но мы можем ожидать, что главную роль играет волна, однократно
отраженная от поверхности земли. Поскольку «дальность гори-
зонта» не есть строго определенное понятие, мы вправе уточнить
его, понимая под ним дальность горизонта для однократно отра-
женной волны.
Фазы однократно отраженной волны найдены нами в пара-
графе 5. Согласно E.05) и E.11) мы имеем при у' > yh y^>yi
и' и
Ф(О = xt + J Vp(u)-tdu + j Vp(u)-tdu + arc-g- F.01)
о о
и при y'>yh y<yt
Ф@ = xt+) Vp(u)-tdu + j Vp(u)-tdu + 4"arc -J- • F-02)
о о
Эти формулы можно объединить, положив
S* (у, /) = | Vp(u)-t du + ±- arc-g- (y> yt), F.03)
у
S*(y, t) = jVp(u)-tdu (у<у,). F.04)

Тропосферное распространение радиоволн.
Тогда будет как при у > ylt так и при у <.yt
Ф @ = хг + S* (*/', t) + S* (у, 0- F.05)
Заметим, что S* есть голоморфная функция от / вблизи t = p (yi).
Рассуждая как в параграфе 2, получим для дальности гори-
зонта выражение
dt J <=р
Напишем это выражение в более явной форме. Согласно D.08)
вблизи t = p (у,) мы имеем
у= '<*>-' ¦ F.07)
С другой стороны, вблизи v = 0
+ --- F.08)
и, следовательно,
где С = 0,577 ... — постоянная Эйлера. Поэтому при у >> yt
F.10)
Это выражение имеет предел при / —» р {у{), v —> 0. При у <С yi
последний член отсутствует, а в интеграл можно прямо подставить
значение t = p {yt). Поэтому при у <Cyt будет
У
dS* _ 1 Г du ,g jj.
о
Наличие второго члена в формуле F.02) обусловливает зави-
симость дальности горизонта от длины волны. Чтобы выявить эту
зависимость, вернемся от приведенных координат х, у к обычным
координатам s, ft, где s — горизонтальное расстояние и Л — высота.
Обозначая через \i (h) приведенный показатель преломления без
множителя 10е, будем иметь
р (у) = 2т»ц (Л), F.12)
где т есть величина B.04).

Гл. 15. Дальность горизонта при сверхрефракции
Вместо / введем параметр т, связанный с / соотношением
F.13)
Тогда
t = 2т2т.
ft
u) — tdu = k\ V2\i (ft) — 2t dh,
о
xt = ksx.
Величина v будет теперь приближенно равна
k
v —~
F-14)
F.15)
F.16)
Vv.'{ht)
Формула для дальности горизонта получится из условия
4-5- = 0 (прит = ц(й/)). F-17)
где фаза ф предполагается выраженной через новые величины.
Положим
F(h) =
dh
(при h<hi),
F.18)
С Л
(Л) = lim
J
d/l
/2ц (/i) — 2т
+ •
¦[C+*5W]
(при ft>ft,-)- F-19)
Тогда получаемая из условия F.17) формула для дальности
горизонта напишется
s = F (h') + F (ft). F.20)
Сравним значения дальности горизонта для одинаковых высот,
но для разных длин волн. Длина волны входит в выражение для
F (h) только при h > ht и только в логарифмический член. Пусть
при К — Kt — -?- дальность горизонта равна slt а при А, = А,2 =
— —?- она равна s2- Составляя разность выражений F.20), полу-
чаем при h > hi
2 , ft, 2 , К
g *i
F.21)

334
Тропосферное распространение радиоволн
и при Л <
«в-Ь-
F.22)
Эта разность зависит, кроме отношения длин волн, только от
хода приведенного показателя преломления вблизи его минимума.
Применим наши общие формулы к случаю, когда приведенный
показатель преломления ц (А) зависит от высоты по гиперболи-
ческому закону
где а — радиус земного шара; / — параметр.
В этом случае
F.23)
F.24)
Интегралы, входящие в ф (/)i будут эллиптические, но при т =
= \i (hi) они вычисляются элементарно, и мы получаем для F (А)
следующие выражения. При А < ht
a(hi + l)
)
f.
rhi + l +Vh+l
и при h > ht
-i/• a (hj + /)
~K 2
-Vh+l
(A) = /2a(A + /) +
ffl F.25)
Vh+l-Vhi+l
- \Ti
где
Здесь
lg
1 = 7ig2
C= 1,429.
F.26)
F.27)
F.28)
Для сравнения заметим, что дальность горизонта при отсут-
ствии рефракции равна, как известно,
s' = VWF + УШ. F.29)
Таким образом, увеличение дальности горизонта вследствие
рефракции равно
s — s'=[F (ft') — УШГ] + [F (ft) — УШ]. F.30)

Гл. 15. Дальность горизонта при сверхрефракции
335
Во всех предыдущих рассуждениях мы предполагали, что вы-
соты Л и Л' малы по сравнению с радиусом Земли а. Но предыдущие
формулы применимы и к случаю волны, идущей из бесконечности
(например, от Солнца). Разность F (Л') — Y2ah' имеет при Л'
конечный предел, равный
оо
lim [F(h') —
Л'-Юо
lg
J + As.
F.31)
Заменяя в F.30) первые два члена их предельным значением,
мы получим для увеличения дальности горизонта следующие выра-
жения:
при Л < hi
= F-32)
Этому увеличению дальности соответствует «угол упреждения»
s — s'
6 =
F.34)
Так как настоящая теория не учитывает рефракции в высоких
слоях атмосферы, то для сравнения с наблюдаемым углом упрежде-
ния нужно к величине F.34) прибавлять значение нормальной
рефракции на горизонте.

ГЛАВА 16
О РАСПРОСТРАНЕНИИ РАДИОВОЛН
ВБЛИЗИ ГОРИЗОНТА ПРИ СВЕРХ РЕФРАКЦИИ*
В начале главы уточняется понятие горизонта при наличии приземного
тропосферного волновода. Далее исследуются приближенные выражения (типа
отражательной формулы) для множителя ослабления. В предположении гипер-
болического закона изменения показателя преломления с высотой выводятся
формулы для дальности горизонтов прямых н отраженных волн. Во второй поло-
вине главы приводятся численные результаты для нескольких типичных при-
меров, причем предполагается, что передающая антенна расположена высоко
над слоем инверсии, а приемная — внутри слоя инверсии на небольшой высоте.
Полученные результаты дают оценку возможных значений множителя ослабле-
ния на горизонтах н показывают его зависимость от расстояния и от длины волны.
Проведенное исследование показывает целесообразность введения понятия гори-
зонтов прн анализе сверхдальнего распространения.
/. Введение
Теория распространения радиоволн над сферической земной
поверхностью при наличии неоднородной атмосферы, показатель
преломления которой зависит только от высоты, была развита
в главах 14 и 15. В главе 15 дано исследование множителя ослаб-
ления в неоднородной атмосфере вблизи горизонта, причем поня-
тие горизонта определено для неоднородной (слоистой) атмосферы
любого типа. Введенное там определение горизонта совпадает,
в случае неоднородной атмосферы без инверсии, с определением
границы тени, вытекающим из законов геометрической оптики.
Если же имеется инверсия приведенного показателя преломления,
то горизонт приходится находить из более тонких волновых сооб-
ражений: его положение в этом случае зависит и от длины волны.
Если принять, что при удалении за горизонт множитель ослаб-
ления быстро убывает, то можно условно считать (как это и сде-
лано в главе 15), что дальность горизонта определяет дальность
* Фок, Ваннщтейн и Белкина, 1956.

Гл. 16. Радиоволны вблизи горизонта 337
распространения радиоволн. Таким путем получается простая
формула для дальности распространения радиоволн при сверх-
рефракции; в эту формулу входят высоты приемной и передающей
антенн, длина волны и параметры, характеризующие ход измене-
ния приведенного показателя преломления с высотой (М — про-
филь). Особенно простой вид принимает формула дальности для
приведенного показателя преломления, зависящего от высоты по
гиперболическому закону (параграф 5 главы 15).
Анализ сверхдальнего распространения, произведенный в
главе 15 на основе понятия горизонта, нуждается, однако, в не-
которых уточнениях. Прежде всего желательно выяснить, какие
значения принимает множитель ослабления на горизонте и как
зависит множитель ослабления вблизи горизонта от расстояния,
длины волны и параметров слоя инверсии (высоты этого слоя,
его среднего градиента и т. п.). Для этого, очевидно, необходимо
вычислить множитель ослабления в некоторых частных случаях,
поскольку в общем виде эта задача решению не поддается. Если
мы при этом выясним, как быстро множитель ослабления убывает
в теневой области (за горизонтом) и как быстро он возрастает
до значений порядка единицы при удалении от горизонта в осве-
щенную область, то мы тем самым проверим, в какой мере гори-
зонт определяет в практических случаях дальность распростра-
нения радиоволн.
Ввиду большой трудоемкости расчетов множителя ослабления
при сверхрефракции можно провести вычисления лишь для не-
большого числа типичных случаев. Никаких исчерпывающих
вычислений, как при нормальном распространении радиоволн,
здесь выполнить нельзя. Поэтому мы ограничились вычислением
множителя ослабления как функции безразмерной координаты ?
в четырех случаях, позволяющих для фиксированной М-кривой
и при фиксированных высотах корреспондирующих точек построить
зависимость множителя ослабления от горизонтального расстоя-
ния между этими точками для четырех длин волн, относящихся
как 1 : 3 : 9 : 27 (ср. параграф 7).
Таким путем оказывается возможным уточнить смысл понятий
дальности горизонта и дальности распространения и ответить на
ряд поставленных выше вопросов, в частности на вопрос о зави-
симости явления сверхдальнего распространения от длины волны.
Напомним, что анализ аномального распространения, данный
в главе 15, применим лишь тогда, когда одна из корреспондирую-
щих точек находится над приземным слоем инверсии, другая же
точка может быть как внутри этого слоя, так и над ним. Поэтому
при расчетах множителя ослабления мы ограничились случаем,
когда одна точка находится высоко над слоем инверсии, а другая —
внутри слоя на высоте, равной одной пятой высоты точки инверсии,
22 в. а. Фок

338
Тропосферное распространение радиоволн
2. О понятии горизонта при наличии приземного
тропосферного волновода
Рассмотрим более подробно понятие горизонта при наличии
приземного волновода (слоя инверсии).
Напомним прежде всего лучевую
трактовку нормального и аномального
распространения.
Для однородной атмосферы приве-
денный показатель преломления есть
линейная функция высоты. На плоско-
сти s, h (s — расстояние по земле, h —
высота) лучи, выходящие из источни-
ка Q, имеют вид кривых, обращенных
выпуклостью к оси s (рис. I, а). Гори-
зонт 00' определяется лучом QOO', ка-
сающимся земной поверхности в точ-
ке О. Справа от линии горизонта 00'
находится область тени, куда поле про-
никает лишь в результате диф-
фракции, слева — освещенная
область. Для точек наблюдения,
находящихся в освещенной об-
ласти (левее горизонта 00'),
приближенно применима отра-
жательная формула, согласно
которой поле получается в ре-
зультате интерференции пря-
мого луча QP с отраженным от
земли лучом QP'Р.
Лучи же от источника Q,
расположенного внутри призем-
ного атмосферного волновода
высоты hi (рис. 1, б), имеют
внутри волновода выпуклость
вверх (от оси s), а выше волно-
вода — выпуклость вниз (как
hi
Рис.
Mlh)
Иллюстрация к понятию гори-
зонта:
а — при нормальной рефракции; б — при
сверхрефракции—по геометрической опти-
ке; в — при сверхрефракции по волновой
оптике.
на рис. 1, а). Благодаря этому
луч Q1 проходит в пространство
над волноводом, а луч Q2 ока-
зывается «запертым» внутри вол-
новода. Эти два рода лучей разделяются предельным лучом QO,
асимптотически приближающимся при s —> оо к высоте h = ht.
Помимо прямых лучей в пространство над слоем инверсии падают
отраженные от земли лучи, например Ql'T, отделяемые от за-

Гл. 16. Радиоволны вблизи горизонта 339
пертых лучей другим предельным лучом QO"O', асимптотически
приближающимся к высоте ht после однократного отражения от
земли. Запертыми оказываются все лучи, выходящие из источника
внутри угла OQO", образованного обоими предельными лучами.
Законы геометрической оптики в данном примере приводят
к заключению об отсутствии горизонта как внутри волновода,
так и выше. Действительно, через точки наблюдения, расположен-
ные над волноводом правее лучей 1 и Г, проходят прямые лучи,
выходящие из Q внутри угла 1QO, и отраженные лучи, выходящие
внутри угла 1"QO". Они пронизывают все пространство над вол-
новодом правее лучей 1 и Г, и поэтому область геометрической
тени, а следовательно, и горизонт, отсутствуют.
Легко видеть, однако, что к предельным лучам QO и QO"O'
и лучам, близким к предельным, законы геометрической оптики
неприменимы. Из предыдущего ясно, что именно эти почти пре-
дельные лучи переносили бы (по законам геометрической оптики)
электромагнитную энергию на большие расстояния над волно-
водом. Отсюда следует, что для решения вопроса о горизонте
и дальности распространения при сверхрефракции необходимо
привлечь волновые соображения.
Это и было сделано в главе 15, где показано, что в пространстве
над волноводом имеется некоторая граница О'О' (рис. 1, в),
правее которой отраженный от земли луч проникать не может.
Эта граница О'О' и есть горизонт при наличии слоя инверсии, так
как правее этой границы, т. е. в теневую область, поле (как и на
рис. 1, а) может проникать только путем диффракции.
Наряду с границей О'О' имеется еще граница 00, правее кото-
рой не могут проникать прямые лучи, не испытавшие отражения
от земли. Граница О'О' находится правее границы 00, так как
при отражении от земли луч оказывается правее параллельного
ему прямого луча (ср. лучи Q1 и Q1T на рис. 1, б). В полосу
00—О'О' прямые лучи не проходят, поэтому полное поле в этой
полосе лучевой трактовке не подчиняется. Левее границы 00 пол-
ное электромагнитное поле получается наложением прямого и от-
раженного луча.
Ввиду такого значения границы 00 — границы применимости
отражательной формулы — для нее целесообразно ввести особое
название: мы ее будем называть горизонтом прямых волн. В отли-
чие от нее границу О'О' мы назовем горизонтом отраженных
волн. В то время как при нормальном распространении эти «го-
ризонты» совпадают, в случае аномального распространения их
приходится различать. Горизонты О'О' и 00 на рис. 1, в заме-
няют в волновой картине предельные лучи QO"O' и QO (рис. 1, б),
получаемые из геометрической оптики.
Эти общие соображения будут уточнены в параграфе 4.
22*

340 Тропосферное распространение радиоволн
3. Основные формулы
Множитель ослабления V в неоднородной атмосфере, показа-
тель преломления которой зависит только от высоты, может быть
представлен в виде контурного интеграла
V(x, у', у) = e~'"T" J/JL Je'x'F (*, у', у) dt. C.01)
с
При наличии приземного слоя инверсии, если одна из корреспон-
дирующих точек находится над слоем, а другая — внутри него,
для подынтегральной функции F можно взять следующее при-
ближенное выражение [см. формулу E.08) главы 15]:
F (t, У',У) = Tf 4 ^v)e"l(!> • C-02)
Здесь у' и у — безразмерные высоты источника и точки наблюде-
ния (у' > у, причем у' > yit а у <Cyt, где yt —безразмерная
высота точки инверсии), х—безразмерное горизонтальное рас-
стояние между источником и точкой наблюдения, а р (у) — функ-
ция, связанная с приведенным показателем преломления М (h)
формулой
т =
причем п есть показатель преломления воздуха, а — радиус
Земли.
Мы предполагаем, что функция М (h) имеет такой же вид,
как на рис. 1, б и 1, в. Поэтому при данном t уравнение
p(y)-t = O C.04)
имеет два корня уг и у2. При р (yt) <^t <^p @) эти корни веще-
ственны и положительны, при t <^p (yt) они комплексно сопря-
жены; при t = р (у{) они сливаются, и тогда уг = уг — yt. Помимо
этих двух корней могут быть, вообще говоря, и другие корни
(отрицательные или комплексные), но они значения не имеют.
Величины S (у), S (у1) и So даются формулами
S(y)--=\Vp(y)-tdy,
C.05)
So = -у- J Vp(y) — tdy + 4" 1 Vpiy) — tdy,

Гл. 16. Радиоволны вблизи горизонта 341
причем для t < р (уд радикалы У р (у) — t при вещественных
положительных у нужно брать в арифметическом смысле. Для
вычисления So при t <р (уд необходимо аналитически продол-
жить радикал У р (у) — t в область комплексных у. Мы будем
считать, что р (у) есть аналитическая функция [ср. ниже фор-
мулу C.18)], допускающая такое продолжение.
Величина v определяется формулой
Для вещественных значений t величина v также вещественна,
причем знак v выбирается из следующих соображений. При у ^s
я= yt функция р (у) может быть заменена первыми членами ряда
Тейлора
р(У) = Р (Уд +^-р"(Уд(У- Vi)\ Р" (Уд > 0.
после чего интеграл C.06) можно вычислить, и мы получаем для
t я& р (уд приближенную формулу
v==p(ft)-f j C.07)
в соответствии с которой мы считаем v >¦ 0 при t <С р (уд и v << 0
при t > р (уд; при р («/,) < / <р @) формула C.06) расшифро-
вывается так:
C.08)
где yt — p (у) > 0, а у! <у2.
Функция х (v) определяется формулой
— ¦— V+1 (V—V lg '
x(v)==J^e___ ^ C09)
I 1 —— i
причем при v > 0 (/ < p (уд) для lg v берется главное значение.
При этом
X(v) —> 1 при V—>оо. C.10)
При вычислении множителя ослабления для больших значе-
ний у{ нужно учесть, что при у —» оо функция р (у) должна удов-
летворять соотношению
Мт[р(у)—у] = 0. C.11)

342 Тропосферное распространение радиоволн
Поэтому, представляя функцию S (у') в форме
о о
мы видим, что при у' —* оо первое слагаемое неограниченно воз-
растает (бесконечная часть равна -w-y'^2 — t ]/#'>) а второе
стремится к конечному пределу, если разность р (у) —у стремится
к нулю достаточно быстро [например так, как для функции р (у),
определяемой формулами C.18) и C.19)].
Введем величину |0 как предел
to = lira Is (у1) - 2S0 - -fy'3/2 + / V7] ¦ C.12)
Используя приближенное равенство
S {у') - 25. = -§- </3/2 -1V7 + to,
справедливое при больших значениях у', и заменяя в знаменателе
формулы C.02) величину -/р (у') — /на YY', мы получаем мно-
житель ослабления в виде
4 A"**" i —У3/2
V(x,y',y) = yjre 3" V&y), C.13)
где
V, (g, «/) = ^р^ J elV W(t,y) dt C.14)
C.15)
Функция Fj (?, «/) связана с множителем ослабления V такой
же формулой, как и в теории нормального распространения радио-
волн. Как и в этой теории, естественно назвать V1 множителем
ослабления плоской волны. Так как в дальнейшем мы будем вы-
числять только Vlt то мы часто будем называть Vt просто множи-
телем ослабления.
Входящая в Vi переменная ? равна
C-16)
Геометрический смысл величины С следует из рис. 2, где через Т
обозначена точка, в которой падающая плоская волна (или сфе-

Гл. 16. Радиоволны вблизи горизонта
343
рическая волна от удаленного источника) касается земной поверх-
ности. Величина ? связана с углом д = ?_ТСР (Р — точка наблю-
дения, С — центр Земли) или с соответствующим ему расстоянием
по земле s = aft соотношениями
_1_
ka\ 3
C.17)
Заметим, что точка касания Т соответствует ходу лучей в одно-
родной атмосфере.
Рис. 2. Геометрический
смысл величины ? = mb.
Рис. 3. Контур С в плоско-
сти комплексной переменной
t-p(yi).
Бесконечный контур С в плоскости комплексной переменной t,
по которому берутся интегралы для V и Vu в значительной сте-
пени произволен и должен быть выбран так, чтобы вычисление
интеграла на нем можно было производить с наименьшим трудом,
в частности, чтобы главный участок интегрирования был по воз-
можности мал. При этом контур С должен охватывать все полюса
подынтегральной функции в положительном направлении так,
чтобы они находились выше контура С. В качестве контура инте-
грирования удобнее всего оказалось выбирать контур, изображен-
ный на рис. 3; точка излома этого контура расположена либо при
t = р (yi), либо несколько левее (ср. конец параграфа 6).
В подынтегральную функцию ? (/, у) входят, как видно из
формул C.05) и C.06), интегралы вида J Ур (у) — t dy при раз-
личных / и различных пределах интегрирования, в том числе
комплексных. Для облегчения вычислений этих интегралов для
приведенного показателя преломления М (h) был взят гипербо-
лический закон F.23) главы 15, откуда функция р (у) получается
по формуле C.03) в виде
«
C.18)

344 Тропосферное распространение радиоволн
причем из соотношения C.11) вытекает, что
У1 + 2У[. C.19)
В силу C.19) в формуле C.18) имеется два параметра yt и yt, при-
чем tji есть безразмерная высота точки инверсии. Целесообразно
ввести также особое обозначение
Y = y, + yt, C.20)
тогда
Заметим, что в случае гиперболического закона уравнение C.04)
является квадратным уравнением с двумя корнями уг и у2, сли-
вающимися при t = р (yt).
Для гиперболического закона нужные нам интегралы выра-
жаются через эллиптические интегралы первого и второго рода.
Однако в рассмотренных нами случаях оказалось более удобным
вычислять эти интегралы с помощью разложений по степеням
параметра а2, где
а* = 1-=рМ±. C.22)
В этих разложениях, содержащих также и логарифмические
слагаемые, достаточно взять несколько первых членов, так как
главный участок интегрирования на контуре С соответствует
весьма малым значениям параметра а2. Дальнейшие члены раз-
ложений существенны (при взятых нами больших значениях пара-
метра Y, см. начало параграфа 5) лишь на таких участках конту-
ров, где вся подынтегральная функция уже мала.
В заключение остановимся на аналитическом продолжении
функций F (t, у', у) и У (/, у) на всю плоскость комплексной пере-
менной /. Дело в том, что величины S (у), S (у'), So и % (v), входя-
щие в эти функции, первоначально определены лишь на веществен-
ной оси при / < р (у,) (v > 0), где для радикалов у^р (у') — /
и у^р (у) — / берутся арифметические значения. Однако знание
подынтегральной функции при / < р {yt) оказывается достаточ-
ным только при вычислении по отражательной формуле (пара-
граф 4). Для вычисления контурных интегралов нужно знать
подынтегральную функцию при комплексных t, что достигается
с помощью аналитического продолжения.
При этом нужно иметь в виду, что в точке t — p (yt) точные
функции F (t, у', у) и W {t, у) особенностей не имеют. Асимптоти-
ческое выражение C.15) для функции У (t, у) имеет, однако, осо-
бые точки (точки ветвления) при t — р (у) (для выражений

Гл. 16. Радиоволны вблизи горизонта 345
V р (у) — t н S (у)) и при t = р @) (для выражений 5 (у) и ?0).
Эти особые точки получаются вследствие того, что мы пользуемся
асимптотическими выражениями. На самом деле точки ветвления
отсутствуют, так как точная подынтегральная функция должна
быть мероморфной. Поэтому мы обходим «кажущиеся особые точки»
снизу, считая, например, при t > р (у), что arc [р (у) — t) —л
и VР (У) — i = i Vt — р (у), причем Vt — р (у) > 0. Этот
обход по существу условен, так как формула C.02) при t > p (у)
неприменима в силу так называемого явления Стокса. Пренебре-
гать этим явлением можно лишь в случае, когда участок / > р (у)
дает малый вклад в значение контурного интеграла, что в рас-
смотренных нами случаях имеет место.Проведенные нами контроль-
ные вычисления при помощи функций параболического цилиндра
(см. главу 15 параграф 3), дающих более точное асимптотическое
представление подынтегральной функции ? (t, у), подтвердили
не только качественную, но и количественную правильность
результатов, полученных с помощью формулы C.15).
Функция W (t, у) имеет также полюса, соответствующие корням
уравнения F.01). В случае, когда полюса близко подходят к кон-
туру интегрирования, их приходится обходить снизу.
4. Отражательная формула
В освещенной области естественно вычислять множитель
ослабления по методу стационарной фазы, так как этот метод
дает переход к законам геометрической оптики, применимым до-
статочно далеко от горизонта. К интегралу C.14) метод стацио-
нарной фазы можно применить следующим образом. Представим
подынтегральную функцию ? на вещественной оси в виде
Yp(y)-t\%(v)\(\-A)
где
D.02)
— arc i (v) = v lgv — v + arc Г (-^ tv \ D.03)
D.04)

346 Тропосферное распространение радиоволн
Для всей подынтегральной функции в интеграле C.14) можно
написать при вещественных t выражение
D.05)
/Р (</)-< IX(v) 1A-Л)
где
Так как при этом v также вещественно, то
| х (V)| = у\ + e-2nv D.07)
и если v >¦ 0, то
|Л| = —=J===. D.08)
Последняя формула показывает, что при v > 0 (/ < р f
абсолютная величина Л меньше единицы (в частности, | Л| =
при v = 0) и быстро стремится к нулю при увеличении v. Поэтому,
если мы ищем точку стационарной фазы при t <p (yt), мы можем
пренебрегать фазой знаменателя 1 — А. Тогда точки стационар-
ной фазы tx и /2 первого и второго слагаемых в правой части фор-
мулы D.05) получаются из уравнений
со' (tj = 0, Ф' (*,) = 0 D.09)
или
I = -О' (tj, С = -Ф' (^, D.10)
причем при заданных ? и у значения tt и t2 различны.
Вычисления показывают, что функции —Q' (t) и —Ф' (t)
имеют максимум. Поэтому мы находим два значения t1 и два
значения t2 (по крайней мере, если ? не слишком велико). Следует
брать только значения /х и t2, удовлетворяющие неравенству
t <P (Уд (я2 <0)> поскольку лишь для этих значений можно
при определении точек стационарной фазы пренебрегать фазой
знаменателя 1 — Л.
Найдя точки tx и t2, мы можем вычислить интеграл C.14),
применяя метод стационарной фазы к каждому слагаемому фор-
мулы D.05). Таким путем мы и приходим к отражательной формуле
для множителя ослабления Vx:
где

Гл. 16. Радиоволны вблизи горизонта 347
Первый член отражательной формулы D.11) есть прямая
волна, второй член — волна, отраженная от земли. Эта формула
имеет ту же структуру, что и обычная отражательная формула
геометрической оптики, однако в ней отображены поправки, воз-
никающие при строгом рассмотрении прохождения волн через
слои, примыкающие к точке инверсии.
Заметим, что при уменьшении ? величины tx и t.z уменьшаются,
и соответствующие им значения v увеличиваются. При достаточно
больших положительных v можно считать
Л = 0; x(v) = 1, Л = 1 D.13)
и использовать поэтому для функций п (t) и Ф (/) более простые
выражения
0@ = 3.-50,),
<D@ = B0-r-S&),
где
Но = lo + 2S0 = lim \S(y') --f y'3/2 + i Vy'} . D.15)
При таких упрощениях отражательная формула D.11) перехо-
дит в обычную отражательную формулу, вытекающую из законов
геометрической оптики в неоднородной атмосфере. Последняя,
таким образом, применима к лучам, достаточно далеким от пре-
дельных лучей QO и QO'O' на рис. 1, б, точнее, к тем лучам,
у которых v (tx) и v (^2)—достаточно большие положительные
числа. Для самих предельных лучей, как легко сообразить, имеем
v = 0, и геометрическая оптика к ним неприменима.
Возвращаясь к общей отражательной формуле D.11), введем
для максимальных значений —Q' (/) и —Ф' (/) обозначения
Ь=[-Й'@]«акс. ?*=[-<D'@W D-16)
В силу формул D.02) всегда выполняется неравенство
Si<?«. D-17)
Отсюда мы видим, что найти точки стационарной фазы t1 и t2
для обоих слагаемых в формуле D.05) можно только при ? < ?х.
При ? > ?х уравнение со' (t) = 0 не имеет вещественного решения,
и прямая волна не выражается первым слагаемым формулы
D.11). Поэтому значение ? = ?i определяет горизонт прямых
волн (ср. параграф 2). Аналогично значение ? = ?2определяет
горизонт волн, отраженных от земли.
Физический смысл С2 заключается в том, что в область ? >> ?2
электромагнитные волны просачиваются только путем диффрак-
ции; поэтому ? = ?2 есть граница области тени. Физический смысл
?х состоит в том, что при ? <С ?х применима отражательная фор-

348 Тропосферное распространение радиоволн
мула D.11), вследствие чего ? = ?i есть граница освещенной
области. Область ?i < ? < ?2 есть промежуточная область, зак-
люченная между обоими горизонтами.
Так как максимальные значения функций —Q' (t) и —Ф' (/)
достигаются вблизи точки t = р («/,), то величины
Ь = [ - Q'@Ь=р <*,>. ?»=1-Ф'@Ь=р<*,-> D-18)
будут весьма близки к величинам, определенным формулами
D.16); мы покажем это на примерах в параграфе 5. Поэтому поло-
жение горизонтов можно приближенно определять по формулам
типа D.18), что гораздо проще, чем строить графики функций
—Q' (/) и —Ф' @, необходимые при пользовании формулами
D.16). Для гиперболического закона C.18) формулы D.18) при-
водят к выражениям
1 = 00-0 (у); 12 = GO + G(y), D.19)
где
Go = Гш -Ц-ЪЩ^ + Щс1+±ig(П]; D-20)
= — VyiTy + Vyl +
Уу + УщЛ D21)
d = C + 71g2 —4= 1,429 D.22)
(С — постоянная Эйлера).
Вторая формула D.19) при переходе к обычным (размерным)
координатам дает формулу для дальности горизонта отраженных
волн [формула F.32) главы 15]. Первая же формула D.19) опре-
деляет, как мы уже говорили, дальность горизонта прямых волн.
Заметим в заключение, что отражательная формула D.11)
применима для вычисления множителя ослабления У, почти до
самого горизонта прямых волн /\.
5. Численные результаты в безразмерных
координатах
При вычислении множителя ослабления Vi для гиперболичес-
кого закона инверсии мы брали следующие численные значения
параметров, входящих в функцию р (у) [формулы C.18)—C.20)]:

Гл. 16. Радиоволны вблизи горизонта
349
Таблица 1
№
1
2
3
4
«1
10,40
5,00
2,40
1,16
«1
197,61
95,00
45,67
21,95
У
208,01
100,00
48,07
23,11
Р (У,-)
218,41
105,00
50,48
24,27
Р (О)-Р (yt)
0,542
0,260
0,125
0,060
У
2,08
1,00
0,48
0,23
¦
\е
3_ -
.—¦—
ч
--—-
—
¦—
.II
—¦—
—
Функции р (у) при выбранных значениях параметров изобра-
жены на рис. 4. Сделанный нами выбор позволяет при опреде-
ленном ЛГ-профиле (см. параграф 7) рассчитать распространение
четырех длин волн, которые относятся как 1 : 3 : 9 : 27. При этом
первая строка табл. 1 соответ-
ствует самой короткой, а чет-
вертая — самой длинной
волне.
Во всех случаях мы брали
у=Щ-, т. е. предполагали
О
высоту одной из корреспон-
дирующих точек равной одной
пятой высоты слоя инверсии.
Другую точку мы брали на
большой высоте над слоем
инверсии — настолько боль-
шой, что можно пользоваться
множителем ослабления Vx (?, у), связанным с V по формуле C.13).
Вычисленные нами четыре кривые для множителя ослабления
V1 в зависимости от переменной ? даны на рис. 5*. Индексы /, 2,
3 и 4 на кривых показывают, какой строке табл. I и какой кривой
на рис. 4 соответствует данная кривая для множителя ослабления.
На каждой кривой точка Гг отмечает положение горизонта пря-
мых волн, а точка Г2 — положение горизонта волн, отраженных
от земли. Точки Го вблизи начала координат, снабженные теми же
индексами 1, 2, 3 и 4, определяют горизонт (границу прямой види-
мости) при однородной атмосфере; соответствующие значения ?0
получаются из простой формулы ?0 = У~у.
Как видно, во всех четырех рассмотренных случаях имеет
место сверхдальнее распространение, наиболее сильно выражен-
О 1 1 3 Ч ply)-p(yti
Рис. 4. Графики функции р (у) — р ({/,)
для значений параметров табл. 1.
* На всех чертежах, выполненных в логарифмическом масштабе, по лога-
рифмической оси отложены десятичные (а не натуральные) логарифмы.

350
Тропосферное распространение радиоволн
ное.как это и следовало ожидать, в кривой 1. При переходе к кри-
вым 2, 3 и 4 явление сверхдальнего распространения монотонно
ослабевает, однако и по кривой 4 при ? ?5s 5 множитель ослабле-
ния |У| оказывается порядка 0,1, в то время как при тех же ?
и у, но в однородной атмосфере, | Vx \ принимает значения на
четыре порядка ниже (| Ух| я- 0,000013).
о
-0,5
-1,0
-1,5
-2,0
-2,5
*
п
\
\
\
NV
/"Л
J
\
г,
2
~~—
г,
1—*
-
-
1
0,5
0,2
0,1
0,05
0,03
0,02
0,О1
О,005
10
15 20 25 30 35 40 45 50
Рис. 5. Зависимость множителя ослабления V\ от ?. Номера кри-
вых /, 2, 3, 4 соответствуют номерам строк табл. 1 и номерам
кривых рис. 4.
В табл. 2 приведены значения функции | Ух | на горизонтах /\
и Г2.
Таблица 2
№
1
2
3
4
г,
0,096
0,095
0,047
0,031
Гг
0,070
0,080
0,035
0,023
Г,
0,24
0,19
0,14
0,083
У
2,08
1,00
0,48
0,23
Из нее видно, что значения множителя ослабления на обоих
горизонтах /\ и Гг изменяются в довольно широких пределах —
в 3—3,5 раза. Для сравнения в табл. 2 приведены значения | Vx \
на горизонте Го при нормальном распространении и при тех же
значениях у. Сопоставление столбцов показывает, что при нормаль-
ном распространении значения множителя ослабления на гори-
зонте имеют благодаря зависимости от у примерно такой же раз-
брос, что и при аномальном распространении на горизонтах /\
и Г2.

Гл. 16. Радиоволны вблизи горизонта
351
Можно заметить, что на горизонтах /\ и Г2 не происходит
внезапного изменения характера распространения. При удалении
от источника множитель ослабления начинает монотонно убывать
уже в освещенной области, левее обоих горизонтов. Это приво-
дит, в частности, к тому, что множитель ослабления на горизон-
тах Гх и Гг оказывается по табл. 2 в 2—4 раза меньше, чем при
нормальном распространении на горизонте Го. Такое поведение
множителя ослабления объясняется, по-видимому, тем, что не
только за горизонтами Гх и Га, но и левее их имеют значение диф-
фракционные (точнее, волновые) явления, учитываемые отража-
тельной формулой D.11) и не укладывающиеся в законы геомет-
рической оптики.
Для выяснения применимости простых формул D.18)—D.22)
для расчета дальности горизонтов /\ и Г2 сравним в рассмотрен-
ных нами случаях даваемые ими результаты с результатами по
формулам D.16).
Таблица 3
1
2
3
4
Si
49,11
28,56
16,08
8,67
Г.
49,11
28,56
15,99
8,45
52,26
30,74
17,52
9,52
Г.
52,26
30,74
17,50
9,50
Табл. 3 показывает, что обе формулы дают весьма близкие
числа. Поэтому для практических расчетов дальности горизонтов
можно пользоваться простыми формулами главы 15.
6. Множитель ослабления в глубокой тени.
Ряд вычетов
Множитель ослабления в глубокой тени удобно исследовать
при помощи ряда вычетов, который получается из интеграла
C.14) обычным способом (ср. главу 14, параграф 6). Чтобы полу-
чить ряд вычетов, прежде всего нужно определить точное поло-
жение полюсов функции Ч (t, у), т. е. корней уравнения
1 — Л = 0. F.01)
Эти корни находятся вблизи контура С (рис. 3) или внутри него.
Если обозначить
F.02)

352
Тропосферное распространение радиоволн
то значения At для найденных нами корней приведены в табл. 4,
первый столбец которой показывает номер строки в табл. 1, а вто-
рой — номер корня для данного случая.
Таблица 4
№
1
2
т
1
2
3
4
1
4'lfl
0,10653+ i 0,00019
—0,06364 + i 0,05523
—0,1633 + i 0,2107
—0,2495 + i 0,3913
—0,06338 + I 0,06518
№
3
4
m
2
1
2
1
2
—0,1733+ i 0,3293
—0,1038+ i 0,2238
—0,1883+ i 0,6934
—0,0852 + i 0,4661
—0,1275+ i 1,1318
Положение вещественных частей трех первых корней относи-
тельно кривой р (#) для первого случая изображено на рис. 6.
Мы видим, что лишь первый корень соответствует «захваченной»
волне в обычном понимании, другие же два корня дают волны,
которые с точки зрения геометрической оптики легко выходили
бы за пределы слоя инверсии.
Однако эти «просачивающиеся»
волны имеют небольшое затухание
и активно участвуют в процессе
сверхдальнего распространения.
Напомним, что при нормальном
распространении t1=l,l7 + i2,02,
так что в данном случае третья
волна затухает в 10 раз медлен-
нее, чем наименее затухающая вол-
на в нормальных условиях распро-
странения. Для остальных слу-
чаев все корни соответствуют «про-
сачивающимся» волнам.
30
20
Ю
-10 12 pfi/l-pfc/t)
Рис. 6. Корни tm, соответствую-
щие захваченным н незахваченным
волнам для данного р (у) — р (у[).
Преобразуем уравнение F.01) к простому приближенному
виду, допускающему сравнение с другими теориями сверхдаль-
него распространения. Начнем с «захваченных» волн, которые
имеют почти вещественные t, лежащие между р (ус) и р @) (как
первый корень в табл. 4), и, следовательно, отрицательные зна-
чения v. Для v < 0 мы положим
v = (—v) е'я, lg v = lg (—v) + in.
F.03)
Тогда наряду с C.10) будем иметь
при V—— оо
F.04)

Гл. 16. Радиоволны вблизи горизонта 353
и из формулы C.05) получаем
где
/, F-06)
а г/х означает наименьший положительный корень уравнения
C.04). С учетом этих формул уравнение F.01) принимает вид
,-e2/s, =x(v). F.07)
Если v велико и отрицательно (сильно захваченные волны),
то в силу соотношения F.04) мы получаем более простое урав-
нение
5х=(т —4-)"; т=1, 2 F.08)
соответствующее известному характеристическому уравнению зах-
ваченных волн.
Представим себе теперь, что v положительно или комплексно
с положительной вещественной частью, т. е. Re t < p (у() или
ReA/<0. В этом случае величину St определить с помощью
формулы F.06) нельзя хотя бы потому, что неизвестно, какой из
комплексных корней уг и г/2 следует брать. Однако, обращая
формулу F.05), мы можем всегда определить S с помощью соот-
ношения
Sx = 50 + -^v, F.09)
и тогда из уравнения F.01) опять получаем уравнение F.07).
При надлежащем [т. е. соответствующем формуле F.03)] выборе
arc v при | v | —-> оо мы всегда имеем % (v) —¦ 1 (за исключением
случая arc v = ?-). Так как, кроме того, % @) =|/~2, то и для
«просачивающихся» волн можно считать в первом, самом грубом,
приближении х (v) = 1, и мы получаем уравнение F.08).
Заметим, что упрощенное уравнение F.08) пригодно также и для
нормального распространения, когда в соотношении F.06) надо
полагать р (у) — у и ух = t. Таким путем из F.08) мы получаем
е'~з~, F.10)
что приближенно соответствует корням характеристического урав-
нения для однородной атмосферы.
23 В. А. Фок

354
Тропосферное распространение радиоволн
Для проверки уравнения F.08) мы вычислили (табл. 5) для
найденных нами корней величину Sx по формуле F.09), и в ре-
зультате получили такие числа:
Таблица 5
№
1
2
3
4
т
1
2
3
4
1
2
1
2
1
2
(-4)-
2,356
5,498
8,639
11,781
2,356
5,498
2,356
5,498
2,356
5,498
S,
2,326 —
5,537 +
8,646 +
11,784 +
2,444 +
5,501 +
2,315 +
5,516 +
2,436 +
5,499 +
0,001
• 0,047
' 0,009
0,005
' 0,062
i 0,011
• о.оп
• 0,014
' 0,079
0,007
V
—0,768 —
0,459 —
1,178 —
1,800 —
0.317 —
0,867 —
0,360 —
0,656 —
0,207 —
0,319 —
0,0014
0,398
1,519
2,821
0,376
1,646
0,776
2,402
1,120
2,718
Таким образом, вычисляя Sx для найденного корня, мы с по-
мощью приближенного соотношения F.08) можем приписать ему
номер т.
На рис. 7 представлен множитель ослабления в глубокой
тени, вычисленный по ряду вычетов для первого случая. Рис. 7
показывает, что первый
член ряда вычетов, соот-
ветствующий полюсу tlt
определяет множитель ос-
лабления лишь при ?>150,
т. е. для волны к == 1 см
при s > 1000 км. Так как
первый член имеет ничтож-
ное затухание, то на таких
больших расстояниях абсо-
лютная величина множи-
теля ослабления будет
почти постоянной — асим-
птота на рис. 7 почти го-
ризонтальна. Заметим, что
в глубокой тени на рис. 7
множитель ослабления приближается к асимптоте, совершая
затухающие колебания. Эти колебания вызваны интерференцией
первой и второй «простой волны».
Таким образом, первая простая волна, имеющая наименьшее
затухание, весьма слабо возбуждается волной, падающей сверху
на тропосферный волновод, благодаря чему эта простая волна
-5,0
-1,0
-2,0
\
r,
4V
ычет
I
50
1ОО 150 200 250
Рис. 7. Зависимость от ? вычисляемого по ря-
ду вычетов множителя ослабления Vx в глу-
бокой тени.

Гл. 16. Радиоволны вблизи горизонта 355
может иметь решающее значение лишь на весьма больших расстоя-
ниях. Вблизи горизонтов /\ и Гг основное значение имеет второй
и отчасти третий член ряда вычетов. Это явление должно иметь
общий характер, так как если простая волна является «захва-
ченной» (см. выше) и почти не просачивается из слоя инверсии
(чем и объясняется ее ничтожное затухание), то по соображениям
взаимности она почти не возбуждается излучателями, располо-
женными выше слоя инверсии. Волны, обладающие большим зату-
ханием, в большей степени проникают в пространство над слоем
инверсии, поэтому они возбуждаются сильнее и играют основную
роль вблизи горизонтов.
Благодаря отмеченному обстоятельству горизонты /\ и Г2
действительно определяют (хотя и в довольно приближенном
смысле) дальность распространения радиоволн даже при сильно
выраженной сверхрефракции (как видно из рис. 7).
Обычно при рассмотрении сверхдальнего распространения
базируются на ряде вычетов. При этом предполагают, что лишь
захваченные волны (Re'A/m>0) могут иметь малое затухание.
На самом же деле и волны «просачивающиеся» (ReA/m<0)
в ряде случаев также затухают слабо. Поэтому волны в несколько
раз более длинные, чем «критическая» длина волны Хо, определяе-
мая по Бреммеру [25], еще способны к сверхдальнему распростра-
нению в тропосферном волноводе.
Заметим в заключение, что, как показали расчеты, несколько
первых членов ряда вычетов уже позволяют вычислить множи-
тель ослабления почти вплоть до смыкания с отражательной фор-
мулой и избавляют таким образом от вычислений по квадратурам
(ср. параграф 3).
7. Численные результаты для конкретного случая
Для облегчения физического анализа численных результатов,
полученных нами в параграфе 5, мы рассмотрим здесь соответ-
ствующий им конкретный случай.
В качестве примера мы возьмем М-профиль, изображенный
на рис. 8, и построим множитель ослабления Vx для следующих
волн: 1) 3,33 см, 2) 10 см, 3) 30 см, 4) 90 см. График Ух дан на рис. 9.
Номера кривых на рис. 9 указывают на перечисленные здесь длины
волн. По оси абсцисс мы откладываем на нижней шкале расстоя-
ние s в километрах, а на верхней — углы v в градусах (ср. рису-
нок 2). По оси ординат отложены десятичные логарифмы, а на
правой шкале отмечены еще значения | Vr11.
Отметим, что в наших расчетах не принимается во внимание
дисперсия. Мы предполагаем, что М-кривая имеет один и тот же
23*

356
Тропосферное распространение радиоволн
вид для всех четырех волн, для которых на рис. 9 дан множитель
ослабления Vx.
jW-кривая на рис. 8 построена по гиперболическому закону
150
100
50
в котором
G.02)
Гиперболический закон вклю-
чает в себя два параметра: ht
и /, имеющие размерность вы-
соты и связанные с безразмер-
ными постоянными ус и ух в фор-
муле C.18) соотношениями
0 12 3 M(h)-Mfht)
Рис. 8. Зависимость от высоты Л при-
веденного показателя преломления
(AI-профиль) для значений параметров:
А, = 46.6 м; I = 884 м; Н = 930,5;
М (ft,) = 163,5 и М @) — М (Аг) = 0,381.
причем ht есть высота точки инверсии или, что то же самое, высота
атмосферного волновода. Высота
ТП
( ka \ 3
-\т) '
G.03)
н = ,
G.04)
как легко показать, определяет радиус кривизны УИ-кривой
в точке инверсии.
log И 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 «,0 4,5 t>°w\
О
0,5
1,0
¦1,5
-2,0
2,5
*~—г-
У
№
I
Го
ч>
\
\
Г,
Ч
Л
2
-
-
U0
0,3
0,1
0,03
0,01
100
ZOO 30P 4-00 500
Рис. 9. Зависимость множителя ослабления Vx от рас-
стояния s (в км) для длин волн:
кривая / — 3.333 см\ кривая 2 — 10 см; кривая 5 — 30 см;
кривая 4 — 90 см.
На рис. 9 расстояния выражены в километрах. На оси абсцисс
отмечен также горизонт Го при распространении в однородной
атмосфере. Этот горизонт определяется высотой точки наблюде-

Гл. 16. Радиоволны вблизи горизонта 357
ния Л и не зависит от длины волны: напомним, что у нас всюду
взято h=-J-. На каждой кривой точка /\ определяет положе-
ние горизонта прямых волн, а точка Г2 — положение горизонта
волн, отраженных от земли (параграфы 2 и 4). Горизонты Гх и Г2
меняются при изменении длины волны и поэтому для каждой кри-
вой свои.
Во всех случаях можно констатировать явление сверхдаль-
него распространения радиоволн, ослабевающее при увеличении
длины волны. Учитывая сильное изменение длины волны при пере-
ходе от одной кривой к другой (длины волн относятся как 1:3:
: 9 : 27), следует признать, что вблизи горизонтов зависимость
множителя ослабления от длины волны сравнительно слабая.
В формулу для дальности горизонта (ср. главу 15, параграф 6)
длина волны входит только под знаком логарифма. Поэтому
дальности горизонтов образуют арифметическую прогрессию,
если длины волн, как на рис. 9, образуют прогрессию геометри-
ческую. При этом, однако, значения множителя ослабления
на обоих горизонтах Гг и Г2 зависят от длины волны в той же
степени, что и при нормальном распространении радиоволн
(ср. табл. 2).
В силу этих обстоятельств отождествлять дальность распростра-
нения радиоволн с дальностью горизонта прямых или отраженных
волн нужно с некоторой осторожностью. Можно определить даль-
ность распространения иначе, например как такое расстояние,
на котором множитель ослабления имеет абсолютное значение 0,1,
причем на больших расстояниях значения множителя ослабления
еще меньше. При последнем определении «дальность распростра-
нения» заключена между дальностями горизонта Гх и Г2 для кри-
вой 1 на рис. 9, а для других кривых эта дальность меньше даль-
ности /\; в самом грубом приближении и эти четыре дальности
образуют арифметическую прогрессию, как видно из рисунка.
Заметим, что для оценки дальности распространения по значе-
нию 0,1 обычно оказывается достаточным произвести расчеты
с помощью отражательной формулы параграфа 4, лишь иногда
применяя экстраполяцию полученных таким путем кривых.
Непосредственная цель рассуждений этой главы заключа-
лась, как мы уже говорили в параграфе 1, в проверке формул
для дальности распространения радиоволн, выведенных в преды-
дущей главе. Выше мы показали, что, вводя горизонты прямых
и отраженных волн, можно получить простую и наглядную кар-
тину сверхдальнего распространения радиоволн при наличии
слоя инверсии. Однако дальность распространения лишь в до-
вольно грубом смысле можно отождествлять с дальностью одного
из горизонтов. Дело в том, что убывание множителя ослабления

358 Тропосферное распространение радиоволн
(после окончания осцилляции в освещенной области) начинается
раньше, чем мы доходим до первого горизонта. Благодаря этому,
как показано в параграфе 5, множитель ослабления Ух принимает
на горизонтах Гх и Г2 значения, в 2—4 раза меньшие, чем на обыч-
ном горизонте Го при распространении в однородной атмосфере.
Кроме того, вблизи горизонтов Гг и Г2 множитель ослабления убы-
вает, разумеется, гораздо медленнее, чем при нормальном распро-
странении.
Все эти причины приводят к тому, что горизонты Ft и Г2
при аномальном распространении характеризуют дальность
распространения радиоволн более грубо, чем горизонт Го при нор-
мальном распространении. Однако возможность применения гори-
зонтов rf и Г2 для приближенных оценок дальности распростра-
нения не вызывает сомнений, как видно хотя бы из сравнения
множителя ослабления вблизи горизонтов и в глубокой тени
на рис. 7.
Следует подчеркнуть, что выбранный нами Af-профиль имеет
довольно слабую инверсию: разность М @) — М (ht) не превы-
шает нескольких десятых. Такая инверсия в некоторых случаях
может на практике остаться неустановленной. Однако наши вы-
числения показывают, что даже такой М-профиль сильно изменяет
характер распространения радиоволн, приводя к сверхдальнему
распространению.

ГЛАВА 17
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
ПО ПРИЗЕМНОМУ
ТРОПОСФЕРНОМУ ВОЛНОВОДУ *
Глава посвящена теории распространения радиоволи между корреспонди-
рующими точками, находящимися в приземном слое инверсии (в тропосферном
волноводе). К данному случаю применяются общие формулы, выведенные
в главе 15, причем используются как функции параболического цилиндра, так
н функция Эйри. При помощи этой методики производится для ряда конкретных
случаев вычисление распростравения радиоволн различной длвны. Из получен-
ных результатов следует, что сверхдальнее (волноводное) распространение осла-
бевает с увеличением длины волны лишь весьма медленно. Так, например, длина
волны может превосходить так называемую «критическую» длину волны на поря-
док, а сверхдальнее распростравение будет иметь место. В конце главы уточняется
критерий сверхдальнего распространения.
Введение
Настоящая глава посвящена теории распространения радио-
волн в приземном тропосферном волноводе (слое инверсии) в пред-
положении, что обе корреспондирующие точки находятся внутри
волновода. Такое распространение радиоволн можно назвать
внутрислойным или внутриволноводным в отличие от случая
(рассмотренного в главе 16), когда одна из корреспондирующих
точек находится высоко над слоем инверсии.
Исследованию распространения радиоволн в тропосферном
волноводе посвящен ряд теоретических работ (см., например,
[23—25]), однако по этому вопросу имеется еще много неясностей.
В этой главе мы исследуем внутрислойное распространение,
развивая методы, изложенные в главах 15 и 16.
Фок, Вайнштейн и Белкина, 1958.

360 Тропосферное распространение радиоволн
1. Основные формулы
В этом параграфе мы сопоставим основные формулы, получен-
ные в главах 14, 15 н 16.
Множитель ослабления V при произвольной зависимости
показателя преломления атмосферы от высоты определяется по-
средством контурного интеграла
V(x, у, у', ?) = ]/-?-е~'"*" Je'*'F(f, у, у', q)dt, A.01)
где контур С охватывает в положительном направлении все полюса
подынтегральной функции (глава 14).
Мы ограничиваемся значением q = оо, что соответствует про-
извольной поляризации на дециметровых и более коротких вол-
нах и горизонтальной поляризации на волнах более длинных.
В этом случае функция F (t, у, у', оо) = F (t, у, у') имеет вид
(для у' > у):
t, у, у')= sfhW, t) [h{y, t) ?$Hf/i&. О] - A-02)
Здесь у а у' суть безразмерные высоты корреспондирующих точек:
величина х в формуле A.01) есть безразмерное расстояние между
этими точками, считаемое вдоль земной поверхности:
* = &• <L04>
а параметр т в последней формуле имеет значение
)У\ A.05)
где а есть радиус Земли.
Функции /х и /а — независимые решения дифференциального
уравнения
|?*]/ = 0, A.06)
причем их определитель Вронского предполагается равным —2i.
Функция р (у) связана с приведенным показателем преломления
М (h) соотношением
Р (У) = -^ М (Л) = 2т* (п - 1 + 4-) О-07)
(п — показатель преломления воздуха) и является его безразмер-
ным аналогом.

Гл. 17. Приземный тропосферный волновод
361
В главе 15 уравнение A.06) проинтегрировано асимптотически
в предположении, что р (у) имеет один минимум, т. е. что приве-
денный показатель преломления атмосферы имеет одну точку
инверсии. Такой характер носит, в частности, показатель прелом-
ления, зависящий от высоты по гиперболическому закону
10е
A.08)
(h{ — высота инверсии; / — параметр), которому соответствует
функция
A.09)
Эта функция и принимается во всех вычислениях как в настоя-
щей главе, так и в главе 16.
Множитель ослабления V, таким образом, кроме безразмер-
ных координат х, у, у', зависит от параметров yt и у{ (или Y =.
= Hi + Уг и yt), характеризующих функцию р (у).
Как показано в главе 15, высотные множители f1 и /2 выра-
жаются через функции параболического цилиндра Dn следующим
образом:
fi(y,
ft(S.
A.10)
где
A.11)
Выражение для ?>„ (г) в виде ряда приведено ниже [формула
B.05)].
Величина v определяется соотношением
Vt
v= -}Vt — p(y)dy. A.12)
Hi
(yi и г/2 суть корни уравнения р (у) — t = 0). Вследствие
Р" (Уд > 0 можно принять, что v > 0 при t < p (yi); при / >
> Р (Уд очевидно v < 0.

362
Тропосферное распространение радиоволн
Переменные ? и у связаны подстановкой
A.13)
где
У
S(y) = lVp(y)-tdy;
A.14)
A.15)
и, наконец,
_Л1
Cl(v)= е 4
c2(v)= е 4
A.16)
Для больших положительных С. что соответствует высотам у,
расположенным выше точки инверсии yt и достаточно далеко от
нее, высотные множители допускают асимптотическое представ-
ление
.'-г
— г-
A.17)
Ниже точки инверсии и вдали от нее (? велико и отрицательно)
асимптотическое представление fx (у, t) и /2 (у, 0 имеет вид
e~"V
л
Ур(у)-*
—
4
A.18)

Гл. 17. Приземный тропосферный волновод 363
где положено
н-н
A.19)
Подставляя выражения A.18) в формулу A.02), получаем функ-
цию F (t, у, у') в интересующем нас случае внутрислойного рас-
пространения (у ^ у' < у{):
F{t,y, у') = ±--л \ х
[eis (У) _ле-'5 <*•>] [е~" w - eiS (y) 1 п 2П^
где
A = ^e-*v-2'*o. A.21)
Множитель ослабления У вычислялся по ряду вычетов
V(x, у, y') = 2V^ce'^t Rjx*m- A-22)
l
m=l
Через Rm обозначен вычет функции F (/, у, у') в m-м полюсе ^т.
Если пользоваться приближенной формулой A.20), то tm есть
m-й корень уравнения
1 — Л=0, A.23)
а вычет /?т имеет внд
г> _ о/ ! sin ¦$ (у) sin ¦$ (у1) п Q4
Большинство численных результатов в этой работе получено
при помощи формул A.22)—A.24), причем мы ограничивались
тремя или четырьмя членами ряда вычетов.
2. Вычисление множителя ослабления
при помощи функций параболического цилиндра
Асимптотические представления A.18) высотных множителей
/i и /2, на основе которых получены формулы A.22)— A.24),
справедливы, если % велико и отрицательно или расположено

364
Тропосферное распространение радиоволн
в некотором секторе вокруг отрицательной вещественной полуоси.
В последнем случае абсолютная величина ? должна быть большой.
Однако, как видно из табл. 1, в ряде интересующих нас случаев
возникает серьезное сомнение в применимости асимптотических
формул, так как величина ? оказывается по модулю порядка еди-
ницы или даже меньше.
Таблица 1
+
an"
II
48,07
23,11
23,11
25.24
CQ
Номер
полюс
1
1
2
1
Mm по фор-
муле A.23)
Д<т по фор-
муле A.26)
0.360—@,776
0,207—П. 120
0,319—i2,718
0,373—«0,658
-1,282-Ю,041
—0,729—*0,095
—0.725—10,246
—1,508-й>,057
—0,104
—0.
—о,
—о.
@,224
085-М0.466
128+ПЛ32
148+№,262
—0,113+10,227
—0,107-И0.443
—0.125+П.145
—0,158+10,269
Чтобы выяснить этот вопрос, мы вычислили функцию V также
при помощи высотных множителей, выраженных непосредственно
через функции параболического цилиндра [формулы A.10),
A.11I, а не через их асимптотические представления. В этом
случае полюса tm подынтегральной функции F (t, у, у') являются
корнями уравнения [ср. A.02) и A.10I
8i (So) = 0, B.01)
где для краткости через So обозначено значение ?, соответствующее
У =0.
Остальные множители, входящие в f1 @, f), в нуль не обра-
щаются. Вычет Rm вычисляется по формуле
d
B.02)
[см. также A.10I. Величина ? находится из трансцендентного
уравнения
которое получается, если вычислить интеграл A.13) при помощи
подстановки
?=2>/vshu. B.04)
Нужный корень уравнения выбирается из условия, что при ве-
щественном значении t < р (yt) величина ? должна быть отрица-

Гл. 17. Приземный тропосферный волновод
365
тельным вещественным числом, и из соображений непрерывности.
Для вычисления функций A.11) мы пользовались рядом
(т — п\
т\
zm. B.05)
ч
\
\
У
\
-2,0
~3'°0 5 10 15 20 х
б)
Рис. 1. Множитель ослабления, вычисленный по формулам
с функциями параболического цилиндра (толстые линии и толстый
пунктир) и по асимптотическим формулам (тонкие линии н тон-
кий пунктир):
а — I серия, б — II серия, табл. 3.
Прежде всего интересно сравнить корни уравнения A23)
и более точного уравнения B.01). Мы приводим в табл. 1 значения
btm = tm — p{yi) B-06)
[см. D.02)], полученные по формулам A.23) и B.01). Заметим, что
именно величина Atm используется фактически при вычислениях
по ряду вычетов и определяет, следовательно, точность резуль-
татов. Поэтому мы и приводим во всех таблицах вместо самих
полюсов tm значения Ыт. (О выборе значений Y см. параграф 4).
Совпадение значений ktm, вычисленных по формулам A.23)
и B.01), особенно их мнимых частей, можно считать удовлетвори-
тельным.
На рис. 1, а и 1,6 даны кривые* для множителя ослабления,
вычисленного по асимптотическим формулам A.23) и A.24) (тон-
* На всех чертежах, выполненных в логарифмическом масштабе, по лога-
рифмической оси отложены десятичные (а не натуральные) логарифмы.

Звв Тропосферное распространение радиоволн
кие линии) и при помощи функций параболического цилиндра
по формулам B.01) и B.02) (толстые линии). Из сравнения этих
кривых видно, что оба метода дают даже более близкие результаты,
чем можно было ожидать на основании табл. 1, особенно для Y =
= 23,11. Поэтому дальнейшее изложение базируется на вычисле-
ниях по асимптотическим формулам, как более простым, за исклю-
чением одного случая, рассмотренного в параграфе 3.
Аналогичные вычисления мы провели и для случая, исследо-
ванного в главе 16, причем оказалось, что асимптотические фор-
мулы применимы там примерно с той же точностью, что и при вну-
трислойном распространении.
3. Вычисление высотных множителей при помощи
функций Эйри
В параграфе 8 главы 14 выведены приближенные формулы для
высотных множителей слабо затухающих «захваченных» волн,
для которых соответствующий им полюс расположен между зна-
чениями р (tji) и р @); высотные множители выражены через функ-
ции Эйри и (х) и v (х).В нашем случае «захваченным» волнам
соответствуют первые полюса для кривых с Y = 208,01 и Y =
=. 109,20 (см. табл. 4 и рис. 5 и 6), и вычеты в них можно вычи-
слять по указанным формулам.
Использование этих формул вызвано тем, что для некоторых
значений у, например у = yt/2, величина р (у) — tx для упомя-
нутых случаев оказывается малой (см. рис. 5 и 6), что делает не-
возможным использование асимптотических формул параграфа 1.
Применение же ряда B.05) при этом затруднительно, так как в рас-
сматриваемых случаях значения ? велики и ряд сходится очень
медленно.
Приближенные формулы для высотных множителей слабо
затухающих волн в интересующем нас случае у < yt имеют вид
,, t), I (- >
где
> t)=y т^ш [v (ll)+-гe2nv" &)].
C.02)

Гл. 17. Приземный тропосферный волновод 367
а |х определяется из соотношений
Vt C.03)
причем через ух обозначен меньший из корней уравнения
p(y)-t = O. C.04)
Полюса подынтегральной функции в этом случае суть корни
уравнения
4
где через |0 обозначено значение ?, соответствующее у — 0.
Наконец, вычет /?! равен
Я = 2te-2"v^ (у, и)Ъ(У', <i)<ft(O. <i) , C-06)
Высотные множители можно представлять при помощи функ-
ций Эйри при условии, что величина e2nv мала. Это условие вы-
полняется, если Rev отрицательно и не мало (—Re v > 1).
Последнее имеет место для полюсов ^ при Y = 208,01 и Y =
= 109,20 (табл. 2), следовательно, данный метод для вычисления
вычетов в этих полюсах применим.
Можно показать, что если %1 велико и отрицательно, то фор-
мула C.06) для вычета переходит в A.24). Таким образом, формула
A.24) заведомо применима, если |х есть большое отрицательное
число (или лежит в некотором секторе вокруг отрицательной ве-
щественной полуоси и велико по абсолютной величине). Если же
Si мало или положительно, то асимптотическая формула A.24)
становится непригодной.
Сказанное подтверждается таблицей 2. Как при Y = 208,01,
так и при Y = 109,20 значениям у = у(/5 соответствуют v и Sit
имеющие довольно большие отрицательные вещественные части,
и вычеты, полученные по формулам A.24) и C.06), оказываются
близкими. Значениям у = yJ2 при тех же v соответствуют малые
Si (а при Y = 109,20 вещественная часть |х уже положительна),
и вычеты, вычисленные по формулам A.24) и C.06), резко отли-
чаются. В этом случае вычеты надо вычислять по формуле C.06),
а формула A.24) непригодна.
Таким образом, если величина р (у) — / мала (?х мало), вы-
числять высотные множители по формулам A.18) нельзя, а надо

368
Тропосферное распространение радиоволн
А/, по формуле A.23)
по формуле C.05)
208,01
109,20
—0,768 — i 0,022
—1,851 — ( 0,000
0,106+ i 0,0*2
0,354 + i 0,04
0,101 + I 0,032
0,347 + i 0,0*5
пользоваться формулами C.01)—C.03). Заметим, что корни урав-
нений C.05) и A.23) практически совпадают.
Применение функций Эйри позволяет также исследовать
высоту слоя, в котором распространяется захваченная волна.
Как видно из формул C.03), вещественная часть 11 отрицательна
лишь при у <С уи где уг есть меньший корень уравнения C.04).
При yt>Ui величина Re |х становится положительной и с уве-
личением у растет (величина Im |x всегда остается весьма малой,
так как для захваченных волн мнимая часть tx ничтожна). Но при
больших положительных аргументах функция v (|x) экспонен-
циально убывает, а функция и (|х) хотя и растет, но не может
стать больше чем е~*v (v < 0) и поэтому гасится множителем
e2jtv (ср. уравнения C.03) и A.12) и асимптотические представле-
ния функций Эйри в добавлении 2). Следовательно, функция
^i (У> 0» а значит, и вычет Rx после перехода через у = уг быстро
убывает.
Безразмерную высоту уг можно, в силу сказанного выше,
назвать эффективной высотой данной захваченной волны, соответ-
ствующей полюсу tlf и в первом приближении считать, что поле
этой волны занимает слой
0<y<yv C.07)
а вне этого слоя ничтожно мало. На самом деле высота у = У\
не является вполне четкой границей слоя, а вблизи этой высоты
происходит плавное, но быстрое ослабление высотных множи-
телей (а значит, и поля волны).
Незахваченные волны {у1 комплексно) указанным свойством
не обладают, и их поле распределено во всем слое инверсии и даже
выше.

Гл. 17. Приземный тропосферный волновод
369
Таблица 2
1>
R, по формуле A.24)
по формуле C.06)
Ту'
•У1
-1,456+ i 0,002
-0,241 + i 0,002
-1,196+ i 0,052
0,382 + i 0,052
0,169 — i 0,001
0,342 — ? 0,001
0,303 + i 0,056
—0,102+ i 0,293
0,166 — i 0,001
0,142 — i 0,0*4
0,283 — i 0,062
0,0762 + i 0,0«4
4. Внутрпслойное распространение волн (численные
результаты в безразмерных координатах)
Множитель ослабления V зависит от безразмерных координат
х, у, у' и, кроме того, от функции р (у), которая, в свою очередь,
определяется параметрами yt и yt. Удобно вести еще зависимые
параметры, характеризующие функцию р (у), а именно:
Y = yt + yi, D.01)
D.02)
4- <4-03>
Вычисления производились для двух серий значений парамет-
ров функции р (у), приведенных в табл. 3. Кривые р (у) — р (yt)
Таблица 3
Номер
кривой
/
2
3
4
1
2
3
24
Y
208,01
100,00
48,07
23,11
109,20
52,50
25,24
В. А. Фок
»i
10,40
5,00
2,40
1,16
10,40
5,00
2,40
*/
I серия
197,61
95,00
45,67
21,95
II серия
98,80
47,50
22,84
Р (*,)
218,41
105,00
50,48
24,27
119,60
57,50
27,60
р@) -P(ty)
0,542
0,260
0,125
0,060
1,095
0,526
0,252

370
Тропосферное распространение радиоволн
нанесены на рис. 2, а (I серия) и 2, б (II серия), причем кривые
помечены номерами, под которыми соответствующие им пара-
метры приведены в таблицах.
Параметры функции р (у) выбраны нами так, что при данном
Л1-профиле можно рассчитать множитель ослабления для четырех
длин волн, относящихся как 1 : 3 : 9 : 27 (I серия) или трех длин
волн, относящихся как I : 3 : 9 (II серия).
30
Z0
10
(
¦
2 _
_——
ч
¦» —¦
.—-
_
30
го
w
-——
2^
. ¦
1
0 12 3 Olyj-P!t/J
5)
Рис. 2. Графики функции р (у) — р (
0 — 1 серия, б — II серия, табл. 3.
Заметим, что I серия параметров была принята также в главе 16,
где рассматривался случай, когда одна из корреспондирующих
точек находится высоко над слоем инверсии, а другая — внутри
волновода. Для последней мы брали у = yjb, где yt есть высота
точки инверсии.
В настоящей главе множитель ослабления V вычисляется для
внутриволноводного распространения, причем высоты передатчика
и приемника всюду выбираются равными (у — у'). Вычисления
произведены для двух случаев:
У — У к^>
D.04)
у = у'=М-. D.05)
Множитель ослабления | V | изображен как функция безраз-
мерного расстояния х, причем по оси ординат отложены значения
десятичного логарифма |V|. На рис. 3 даны кривые I серии,
на рис. 4 — кривые II серии. Сплошные кривые относятся к слу-
чаю D.04), пунктирные — к случаю D.05). Кривые I серии вы-
числены по четырем, а кривые II серии — по трем членам ряда
вычетов,

Гл. 17. Приземный тропосферный волновод
371
В табл. 4 приведены значения Л/т [формула B.06)], входящие
во все вычисления и интересные, кроме того, еще тем, что они
характеризуют расположение полюсов tm относительно кривой
Р (У)- При Re Atm > 0 мы имеем дело с «захваченной», весьма
слабо затухающей волной.
Такой полюс имеется в первой кривой каждой серии (У =
= 208,01 и Y = 109,20, см. табл. 4, а также рис. 5 и 6), что и объ-
log\v\
0,5
О
-0,5
-1,0
-1,5
-2,0
-2,5
О 10 20 30 40 50 60 х 0 Ю 20 3D tO 50 60 70 80 90 х
Рис. 3. Зависимость множителя ос- Рис. 4. Зависимость множителя ослаб-
лабления V от безразмерного рас- ления V от безразмерного расстояния
Л
\
V
¦^
\л
-—
-Г Л
——*
\
—
V-20'8,01
У=10О
¦Y=48,0\
У=2'3,11
7
1,0
0,5
О
-0,5
-1,0
-U5
-2,0
-2,5
У
\\
Л—J
i
!i
'¦ -
\
\
> '
-\^
V
¦—
_^
1
»—
У-
У'52,5
vyy'--1
У-25,14
\У-У'0,?8
^ /
1 .
Y=1O9,2O
\.
рр
стояния х (I серия).
рр
х (II серия).
ясняет бросающуюся в глаза особенность верхних кривых на рис. 3
и 4. Вместо того, чтобы убывать, как это кажется естественным
для множителя ослабления, эти кривые растут. В самом деле,
как видно из табл. 4, мнимые части первых полюсов в данном слу-
чае весьма малы, так что в области применимости одного члена
ряда вычетов, где остается только «захваченная» волна, экспонен-
циальный множитель практически затухания не дает. Рост же
функции V происходит благодаря множителю Y* [см. A.22)].
Поле такой волны носит цилиндрический характер, так как про-
порционально не 1/х, а 1/]/^с. Более наглядной физически будет
здесь не функция V, а функция ?, определенная соотношением
Тт D.06)
откуда
т=\
lxtr
D.07)
[ср. A.22)]. Она является множителем ослабления цилиндричес-
кой волны, распространяющейся в приземном тропосферном
24*

372
Тропосферное распространение радиоволн
Таблица 4
Номер
кривой
208,01
100,00
48,07
23,11
I серия
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
0,1065+ i
—0,0636 + I
—0,1633+ i
—0,2495 + i
—0,0634 + i
—0,1733+ i
—0,2544 + i
—0,3164+t
—0,1038+ i
—0,1883+ i
—0,2289 + i
—0,2509 + i
—0,0852 + i
—0,1275+i
—0,1173+ i
—0,0549 + i
0,0002
0,0552
0,2107
0,3913
0,0652
0,3293
0,6323
0,9489
0,2238
0,6934
1,1712
1,6558
0,4661
1,1318
1,8499
2,5290
II серия
/
2
3
109,20
52,50
25,24
1
2
3
1
2
3
1
2
3
0,3541 + i 0,0000004
—0,0062 + i 0,0150
—0,1618+ i 0,1669
—0,0497 + i 0,0492
—0,2272 + ( 0,3689
—0,3529 + i 0,7653
—0,1484+ i 0,2621
—0,2635+ f 0,8820
—0,3146+ i 1,5143
волноводе. Здесь как бы имеется отражающий слой (его высота
примерно равна t/j), за пределы которого захваченная волна почти
не просачивается (ср. конец параграфа 2). Поэтому амплитуда Rm
этой волны при у ^ yt может с ростом у уменьшаться, как это
имеет место на рис. 3 при Y = 208,01 и на рис. 4 при Y = 109,20;
во всех других случаях множитель ослабления монотонно растет
с увеличением у.
Как видно из табл. 4 (см. также рис. 5 и 6), в случаях Y =
= 208,01 и Y = 109,20 вторые полюса тоже имеют малые мнимые
части. Таким образом, вторая простая волна для этих случаев
затухает хотя и значительно быстрее первой, но все же очень
медленно. Поэтому осцилляции множителя ослабления, полу-
чающиеся в результате интерференции первой и второй простых
волн, долго не исчезают. На рис. 7 и 8 хорошо видны затухающие

Гл. 17. Приземный тропосферный волновод
373
колебания функции \Ч\ вокруг почти горизонтальной асимп-
тоты, представляющей собой первый член ряда вычетов D.07).
Заметим, что в случае, когда одна из корреспондирующих
точек находится высоко над слоем инверсии (глава 16), первая
30
20
10
ли
ли
At;
1
10,17
i
/
\
i 0,00000
¦1 о 1 г р(у)-р\уо
Рис. 5. Расположение корней tm,
соответствующих захваченным и
незахваченным волнам, относи-
тельно графика р (у)—р (yi) (I се-
рия).
-1
о
Р1У)-Р(УО
Рис. 6. Расположение корней tm,
соответствующих захваченным и ие-
захваченным волнам, относительно
графика р (у)— р (yi) (II серия).
простая волна, которая медленно затухает и обеспечивает поэтому
сверхдальнее распространение, возбуждается весьма слабо. Вслед-
ствие этого она определяет поле лишь далеко в тени, когда не-
сколько следующих простых волн,
являющихся решающими для поля
0
0,5
1,0
Y--
1
-208,07
у-у;
\
\
У'У
5
Hi
J
0,5
1,0
Y =109,20
\fin
\ А
50
100
Рнс. 7. Зависимость множи-
теля ослабления цилиндри-
ческой волны Y от безраз-
мерного расстояния х при
У= 208,01.
О i 50 ЮО 150 200 х
Рнс. 8. Зависимость множителя ослаб-
ления цилиндрической волны W от без-
размерного расстояния х при Y =
= 109,20.
вблизи горизонта, успевают затухнуть. В случае же внутри-
слойного распространения первая простая волна (Y = 208,01
и Y = 109,20) не только очень слабо затухает, но и возбуждается
с большой амплитудой.

374
Тропосферное распространение радиоволн
При остальных значениях параметра Y «захваченных» волн
уже нет. Однако и здесь в составе полей имеются довольно слабо
затухающие простые волны, и поле падает значительно медленнее,
чем при отсутствии инверсии. Для сравнения мы приводим на
рис. 4 штрих-пунктиром поля, полученные в предположении от-
сутствия рефракции для у — у' = 1 и у = у' = 0,48. Они идут
почти вертикально и резко отличаются от сплошных кривых для
Y = 52,5 и Y = 25,24, которые дают поле при тех же высотах,
что и штрих-пунктирные кривые, но при наличии инверсии.
Простым пунктиром на рис. 3 и 4 отмечены те участки кривых,
на которых использованные нами члены ряда вычетов дают уже
довольно грубые результаты, хотя еще и верные качественно.
Эти участки весьма близко подходят к вертикальным черточкам,
отмечающим для каждой кривой геометрическую границу света
и тени без рефракции.
5. Численные результаты для конкретного случая
На основании безразмерных кривых, рассмотренных в параграфе
4, можно получить численные результаты для конкретных случаев
распространения радиоволн различной длины. Для примера мы
выбрали М-профиль, полученный из первых безразмерных функ-
ций р (у) I и II серий (табл. 3,1 серия,
строка 1 и табл. 3, II серия, строка I)
по формуле A.07) (рис. 9). На рис.
10 и II приведены соответствующие
множители ослабления V для длин
волн 3,33 см (кривые I), 10 см (кри-
вые 2), 30 см (кривые 3) и 90 см (кри-
вая 4 рис. 10). Высота h, одинако-
вая для точек излучения и приема,
указана на рис. 10 и 11 в метрах. Рас-
стояние s дано в километрах.
М-профиль I имеет ту же высоту
инверсии hi, что и М-профиль II, но
вдвое более сильную инверсию
М @) — М (hi). Следовательно, мы
можем сравнить множители ослаб-
ления для этих профилей, поскольку рис. 10 и 11 соответствуют
одинаковым высотам корреспондирующих пунктов и одинаковым
длинам волн. Тем самым мы получим представление о влиянии
инверсии (при тех же значениях ht и X) на распространение ра-
диоволн.
Для кривых 1 и 2 дальность распространения оказывается
большей в слое с более сильной инверсией, как этого и следовало
150
100
50
F
1
3 M(h)
Рис. 9. Зависимость приведен-
ного показателя преломления М
от высоты h (М-профиля I и II).

Гл. 17. Приземный тропосферный волновод
375
ожидать. Однако для кривых 3 имеет место несколько неожидан-
ный эффект: на малых расстояниях кривые почти не отличаются,
а начиная с некоторого места поле оказывается сильнее в случае
более слабой инверсии. Физический смысл этого результата
мы рассмотрим в конце параграфа 6.
К>9 к I
0,5
О
Рнс. 10. Зависимость множи-
теля ослабления V от рас-
стояния s (в км) для длин
волн:
/ — 3,33 см; 2 — 10,0 см; 3 —
30,0 ел; 4 — 90 см. Сплошная
кривая — для высоты /г=9,31 м.
Штрих-пунктир — для высоты
h = 23,27 м. (М-профиль I).
-0,5
-1,0
-1,5
-г.о
-2,5
•::.C=
¦4
\
4
¦ -
——.<
V
4
>^
ч N
1
-\-—
<3 ч
—h=9,31
—h-2^ "
0 100 Z00 300 М00 500 S,km
Рис. 11. Зависимость множителя
ослабления V от расстояния s
для длни волн:
/ — 3,33 см; 2 — 10,0 см; 3 — 30 см
для высот ft = 9,31 м и h = 23, 27 к
(М-профиль II).
logM
0,5
о
-0,5
-1,0
-1,5
-2,0
•-.:
¦•':--е-
.--—~—
Г-' -'I-, -
1,
ч,
\
у—\
/
у
/
-— .
N
N.
1
-.
100 200 300 400 S,km
6. Затухание волн в тропосферном волноводе
Как мы видели выше, множитель ослабления V представляется
в виде ряда вычетов A.22). Комплексные числа tm определяют
зависимость отдельных членов ряда вычетов (или «простых»
волн) от безразмерного расстояния х. Они являются корнями
уравнения A.23) или более точного уравнения B.01). Исследуем
более подробно зависимость чисел tm от различных факторов.
Как было показано в параграфе 6 главы 16, уравнение A.23)
приближенно сводится к более простому уравнению
Здесь т есть номер данного корня t = tm, a St — интеграл
F.02)

376 Тропосферное распространение радиоволн
где через у1 обозначен меньший корень уравнения
р (у) - t = 0. F.03)
Формулы F.01) и F.02), как легко показать, остаются примени-
мыми в том случае, когда корни уравнения F.03) комплексны,
если под уг понимать корень с положительной мнимой частью.
При их помощи можно приближенно находить корни tm, соответ-
ствующие как слабо затухающим, так и сильно затухающим про-
стым волнам в ряде A.22). Мы воспользуемся этими формулами,
чтобы выяснить, от каких параметров зависит затухание простых
волн. Это позволит получить представление о том, какие параметры
инверсионного М-профиля определяют в первую очередь даль-
ность распространения радиоволн и при каких условиях имеет
место сверхдальнее распространение.
С первого взгляда кажется, что основными параметрами яв-
ляются высота инверсии hi и полное приращение М @) — М (ht)
в слое инверсии. Действительно, они определяют так называемую
«критическую длину волны» Хт для m-й простой волны в призем-
ном тропосферном волноводе:
Кг = '°~3, ht V2[M(Q)-M(hi)] F.04)
m- —
(см. книгу Бреммера [25]).
На самом деле предположение об основном значении этих
параметров неправильно. Чтобы исследовать этот вопрос, введем
вместо у и р (у) новые приведенные переменные:
Z-JL L. g i-\ - лР<м)-РШ - л М (h)-M{hi) .- ,.
так что функция q (z) всегда удовлетворяет соотношениям
q @) = 4, q A) = 0. F.06)
Вместо переменной / введем величину
Тогда уравнение F.01) примет вид
fVW=1 dz = ^ у1!' , F.08)
где
G = 4- IP @) - Р Ш] =^г- 10~в fM <°> - М (Л')Ь F'09)

Гл. 17. Приземный тропосферный волновод 377
a zt есть корень уравнения
9B)— т = 0, F.10)
соответствующий уг.
Для данного М-профиля с инверсией критическая длина волны
%т определяется из соотношения
f —dz- (т-^)П
где Gm есть значение G при К = %т. Если положить
1
Р= \Vq(z)dz, F.12)
о
то для большинства М-кривых значение р будет близко к единице
вследствие формул F.06). Так, для рассмотренных выше М-про-
филей мы имеем Р = 0,991 (I серия) и р — 0,983 (II серия). Из
формул F.11) получаем
(т j- ) п
гк =Л J-i_, F.13)
откуда при помощи соотношения F.09) находим
i
т- —
hlV2lM@)-M(hl)]. F.14)
Это выражение отличается от F.04) только наличием множи-
теля р.
Название «критическая длина волны» введено в литературе
по следующим соображениям. При G > Gm, т. е. при % < Хт,
уравнение F.08) имеет вещественный корень т = хт, лежащий
в пределах 0 <С х <С 4. Этому корню в ряде A.22) соответствует
незатухающая простая волна. При G < Gm т. е. при к > %т,
уравнение F.08) имеет комплексный корень, который определяет
затухающую простую волну.
Мы будем в дальнейшем употреблять термин «критическая
длина волны», понимая его как сокращенное наименование вы-
ражения F.14). Однако при критических длинах волн не проис-
ходит какого-либо качественного скачка (см. ниже), так что
это наименование является условным.
Уравнение F.08) может быть написано в следующей форме:
^rdz = ЦГЦ = Р -^. F.15)

378
Тропосферное распространение радиоволн
Отсюда видно, что для данного М-профиля [и, следовательно,
для фиксированной функции q (г)] все корни т должны зависеть
только от отношения !тМ. Вместо этого отношения удобнее поль-
зоваться его десятичным логарифмом
Imf
Таким образом, если различ-
ные М-кривые имеют совпа-
дающие функции q (г), то со-
ответствующие корни т дол-
жны укладываться на одну
и ту же кривую
т = /(/). F.17)
ч
^*
Ш-
Y ,
¦gtf
0,9
(n]f=0,95
о
8
70 !(г) -2,0 -1,5
Рис. 12. М-профиль в новых приве-
денных переменных [функция ^B)]
для I и II серий.
Рис. 13. Мнимые части корней г урав-
нения F.15) в зависимости от перемен-
ной / F.16).
Сделанные выводы используют уравнение F.01) для корней tm.
Фактически при вычислениях мы этим уравнением не пользова-
лись, так как оно является слишком грубым, однако найденные
из более точных уравнений значения т приближенно подчиняются
этим закономерностям. На рис. 12 приведены функции q (г) для
двух серий М-кривых, рассмотренных нами выше. Эти функции
при 0 < г <С 2 практически совпадают, хотя сами М-кривые
заметно отличаются (ср. рис. 9). Поэтому значения т для всех вы-
численных ранее корней tm (см. табл. 4) ложатся вблизи некоторой
общей кривой F.17). Это видно из рис. 13, где светлыми кружками
нанесены значения Im т, соответствующие корням tm в табл. 4
(серия I), а черными кружками — значения Im т, соответствующие
корням tm, уточненным по формулам параграфа 2 (см. табл. 1);
треугольниками отмечены точки по табл. 4 (серия II). Цифры

Гл. 17. Приземный тропосферный волновод
379
около кружков и треугольников означают номер кривой р (у)
(первая цифра) и номер корня т (вторая цифра). Так, например,
3,2 означает второй корень для третьей кривой р (у). Напомним,
что мнимые части чисел тт и tm определяют затухание простых
волн в ряде A.22).
Мы видим также, что при / = 0, т. е. при % — %т, не происхо-
дит какого-либо качественного изменения затухания т-й простой
волны. Это затухание по строгой теории
имеется как при Х<С.Хт, так и при %^>%т
и довольно медленно растет при увеличе-
нии "К. Вследствие этого сверхдальнее рас-
пространение может наблюдаться (хотя и
в несколько ослабленном виде) при длине
волны %, на порядок превышающий наи-
большее «критическое» значение %1. Дей-
ствительно, уже кривая 2 на рис. 10 соот-
ветствует длине волны X,- большей чем Xlt
хотя сверхдальнее распространение имеет
место даже и для более длинных волн
(кривые 3 и даже 4).
Если функция q (г) для взятого М-про-
филя сильно отличается от функций, изо-
браженных на рис. 12, то ход кривых F.17)
качественно будет таким же, но числен-
ные соотношения будут совершенно ины-
ми. Так, полагая
LL
f
i
1
2
О 1 2 3 Ч ?{г/
Рис. 14. Функции q (z) из
F.18) при я= 1/2 и п =
= 1/5. (М-профили, при-
нятые в [23] и [24]).
?(z) = 4 1-
г —
F.18)
1 —
мы при п — Va и п — V6 приходим к случаям, рассмотренным
в работах [231 и [24]. Эти функции q (г) изображены на рис. 14.
Они сильно отличаются от функции, нанесенных на рис. 12,
и значения т для них при том же / получаются примерно на поря-
док меньше, чем на рис. 13. Последнее утверждение следует из
рисунков статьи Хартри с соавторами [24], если учесть соотно-
шения между обозначениями Хартри и нашими обозначениями.
Таким образом, рис. 13 не является универсальным, и рассчи-
тывать с его помощью затухание простых волн при любой форме
М-профиля нельзя; гипотеза о том, что сверхдальнее распростра-
нение определяется только высотой инверсии ht и приращением
М @) — М[(И.{), оказывается несостоятельной. Отсюда следует,
что существует по крайней мере еще один параметр, характеризую-
щий М-кривую и имеющий первостепенное значение для сверх-

380
Тропосферное распространение радиоволн
дальнего распространения. В качестве этого параметра естест-
венно взять кривизну М-кривой в точке инверсии, т. е. значение
М" (ht), поскольку этот параметр существенно влияет на проса-
чивание электромагнитного поля из слоя инверсии.
Если исходить из предположения, что значение М" (hi) также
является основным параметром, то вместо величин q (г) и т сле-
дует ввести новые приведенные величины
//77 7" УЧ/_\ Q B) ггч • /i-> 1 Г\\
\
\
\
\
\
\
g
к
7
-1,5 -1,0 '0,5
О
Рис. 15. Сравнение мнимых час-
тей Г F.19) для М-профилей раз-
личного типа (А — тип профиля
рис. 12; В — тип профиля рис. 14).
где для гиперболического закона
инверсии
<П1) = 8-?-, F.20)
а для степенного закона F.18)
q" (I) = An. F.21)
На рис. 15 кривая А соответ-
ствует средним линиям, вблизи
которых группируются значения т,
приведенные на рис. 13. Кривая В
построена по значениям, взятым
из статьи Хартри [24] (для функ-
ции F.18) при п = 1/ь).
Сравнивая между собой кри-
вые Л и В на рис. 15, мы видим,
что два совершенно различных типа М-профилей (ср. рис. 12 и 14)
дают, если пользоваться приведенными величинами F.19), не
слишком отличающиеся значения коэффициентов затухания про-
стых волн в приземном тропосферном волноводе. Поэтому приве-
денные величины F.19) более удобны для сопоставления свойств
различных слоев инверсии, чем величины F.05) и F.07). Этот
результат подтверждает сделанную выше гипотезу о том, что
М" (hi) также является основным параметром, определяющим
просачивание электромагнитной энергии из слоя инверсии. За-
метим, что вещественные части Т для двух рассмотренных типов
инверсии различаются гораздо сильнее.
Так как согласно ряду A.22), уменьшение амплитуды пг-й
простой волны определяется множителем
где s есть горизонтальное расстояние между корреспондирующими
точками, то более наглядное представление о затухании волны дает
коэффициент
2?L6&"(ft,)@. F-23)

Гл. 17. Приземный тропосферный волновод
381
где величина в равна
F.24)
Эта величина нанесена на рис. 16 как функция от /, причем кри-
вые А и В построены по кривым А н В рис. 15. Формулу F.23)
можно переписать следующим образом:
= 2я (т - 4-
1(Г8
е.
F.25)
¦2,0 -1,5 -1,0 -0,5
Рис. 16. Зависимость от I коэф-
фициента затухания в простой
волны F.24) при распростране-
нии по тропосферному волноводу
(М-профиля типов А и В).
Так как в формулах F.23) и F.25) от длины волны зависит
только в, то рис. 16 непосредственно указывает на характер зави-
симости затухания от длины волны.
Сначала при увеличении длины волны
затухание растет, но затем оно дости-
гает максимума и начинает умень-
шаться. Последнее легко понять фи-
зически, так как на распространение
достаточно длинных волн слой инвер-
сии оказывает малое влияние, и такие
радиоволны распространяются тем
дальше за горизонт, чем их длина
больше, как это имеет место и при
нормальной рефракции.
Полученные результаты показы-
вают, что при учете трех параметров
М-кривой (hh M @)—M (ht) и М " (ht))
коэффициенты затухания простых волн для сильно отличающихся
типов Af-профилей хотя и получаются одного порядка, но отли-
чаются количественно (в некоторых случаях даже в полтора-два
раза, см. рис. 16). Это означает, что для точного учета влияния
М-профиля на распространение требуется принимать во внимание
еще какие-то параметры. Этот вопрос нуждается в дополнитель-
ном исследовании.
Распространение в приземном волноводе можно оценить, срав-
нивая коэффициент затухания хх с затуханием первой простой
волны по теории распространения радиоволн при нормальной
рефракции. Такое сопоставление позволяет выяснить, насколько
это распространение можно считать «сверхдальним». Критерий
сверхдальнего распространения является несколько неопреде-
ленным, однако эта неопределенность вызвана самой природой
явления, не претерпевающего скачкообразных изменений при
непрерывном изменении длины волны и слоя инверсии.
В рассмотренных выше расчетах во второй серии М-кривых
взято вдвое большее значение М @) — М (ft,) при той же высоте

382 Тропосферное распространение радиоволн
слоя инверсии, вследствие чего увеличились и критические длины
волн F.14). Вообще говоря, короткие волны лучше распростра-
няются в волноводах с большей критической длиной волны (II
серия), чем в волноводах с меньшей критической длиной волны
(I серия). Однако во второй серии увеличивается и кривизна
Af-кривой в точке инверсии, благодаря чему облегчается проса-
чивание электромагнитной энергии более длинных волн из слоя
инверсии. В результате для более коротких волн дальнее распро-
странение оказывается лучшим в первой серии, тогда как для
более длинных волн положение будет обратным (кривая 3 на рис. 11
соответствует несколько худшему распространению на большие
расстояния, чем кривая 3 на рис. 10).
При вычислении поля в слое инверсии удобнее всего пользо-
ваться рядом вычетов A.22). Физически это означает, что даль-
нее и сверхдальнее распространение радиоволн между двумя
корреспондирующими точками, находящимися внутри слоя ин-
версии, можно рассматривать как передачу цилиндрических волн
по своеобразной передающей «линии» — слою инверсии. Затуха-
ние этих волн обусловлено потерями на излучение, их амплитуды
Rm зависят от распределения поля по высоте.
Полученные выше результаты освещают ряд закономерностей,
относящихся к передаче радиоволн по приземному тропосферному
волноводу.

ГЛАВА 18
К ТЕОРИИ БЕРЕГОВОЙ РЕФРАКЦИИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН*
Рассматривается задача о распространении электромагнитных волн над
бесконечной плоскостью, состоящей нз двух нлн большего числа частей с неоди-
наковыми электрическими свойствами (море и суша, или море и острова). Для зна-
чения вертикальной составляющей электрического поля в воздухе у самой пло-
скости выводится интегральное уравнение. В дальнейшем рассматривается слу-
чай неограниченного прямолинейного берега, н уравнение выписывается в явной
форме для этого случая. Это есть интегральное уравнение второго рода с полу-
бесконечнымн пределами и ядром, зависящим от абсолютного значения разности
аргументов. К нему применяется математическая теория, развитая Фоком в ра-
боте 1944 г. (см. добавление 1). В результате получается в явном виде строгое
решение интегрального уравнения. Затем исследуется приближенный вид реше-
ния, применимый в случае не слишком косого падения волны.
/. Введение
В то время как вопрос о распространении электромагнитных
волн от произвольного излучателя при наличии в пространстве
двух различных однородных изотропных сред с плоской поверх-
ностью раздела может в настоящее время считаться полностью
решенным благодаря работам Зоммерфельда и других авторов,
соответствующая более сложная задача, относящаяся к случаю
трех или большего числа сред, пока еще мало исследована. По-
добное исследование представляло бы, однако, значительный
как теоретический, так и практический интерес. В частности,
вопрос о береговой рефракции, касающийся набегания электро-
магнитных волн на берег и их отражения от него, сводится (схе-
матически) к рассмотрению указанного на рис. 1 случая трех
различных сред (воздух, море, суша).
При этом, если даже для упрощения задачи рассматривать
море как идеальный проводник и считать поверхность О А (рис. 1)
* Гринберг и Фок, 1948. В настоящем издании текст несколько сокращен.

384
Тропосферное распространение радиоволн
(f) Воздух
О
В
раздела моря и земли плоской и совершенно резкой, то и тогда
необходимо учитывать не только свойства почвы в области суши,
но и тот угол, который составляет граничная плоскость ОА с по-
верхностью моря.
Ввиду трудности задачи введем в ее постановку такие упроще-
ния, которые, будучи с физической стороны достаточно оправ-
данными, дали бы в то же время возможность довести решение
ее до конца.
В основу такой упрощенной трак-
товки вопроса можно положить со-
гласно Леонтовичу [21 ] приближен-
ные граничные условия для Е и Н
(см. главу 11). Именно, Леонтович
показал, что на поверхности раздела
двух различных сред 1 а 2, аз кото-
рых вторая обладает много лучшей
проводимостью, чем первая, тангенциальные составляющие элек-
трического и магнитного поля в первой среде приближенно удо-
влетворяют у самой поверхности раздела соотношениям
C) Море
Рис. 1.
Вертикальное сечение
берега.
1ь *
A.01)
где ц2 — магнитная проницаемость второй среды; г\2 — ее ком-
плексная диэлектрическая постоянная, модуль которой считается
большим по сравнению с единицей. (Эти соотношения получаются
из соотношений C.02) главы 5 при пх = 0, пу — 0, пг = —1.)
Соотношения A.01) справедливы не только для плоской по-
верхности раздела, но и для произвольной поверхности при усло-
вии, что наименьший из радиусов кривизны велик по сравнению
с толщиной слоя скин-эффекта. Они получаются из того сообра-
жения, что при достаточно большой проводимости второй среды
характер убывания поля при углублении в нее (экспоненциаль-
ное затухание) практически не зависит от характера поля над
поверхностью раздела сред. Формулы A.01) могут рассматри-
ваться как приближенные граничные условия, которым должно
удовлетворять поле в первой среде у поверхности раздела сред /
и 2; они дают возможность отделить решение задачи о поле в пер-
вой среде от вопроса о распределении поля во второй.
Такая приближенная трактовка задачи будет, как правило,
оправданной в тех случаях, когда толщина скин-слоя во второй
среде при рассматриваемой частоте будет мала по сравнению
с длиной волны Я в первой среде и когда свойства проводящего

Гл. 18. Теория береговой рефракции
385
слоя относительно медленно изменяются от одной точки поверх-
ности раздела к другой.
Мы начнем с вывода приближенного граничного условия для
нормальной к поверхности раздела составляющей электрического
поля в первой среде, что может быть сделано совершенно непо-
средственно, минуя граничные условия A.01) для тангенциальных
составляющих Е и Н. Это дает возможность сформулировать
интегральное уравнение прямо для нормальной компоненты Ez.
Точные граничные условия для
нормальных составляющих Е^1)
и Е^ электрического вектора на
плоской поверхности раздела сред
1 а 2 могут быть записаны в виде
= (б2Сй'+ 1ЧЯО2)
дЕг
2)
дг
дг
A.02)
Рнс. 2. Расположение координат-
ных осей на поверхности раздела
двух сред.
При этом принято, что зависимость полей от времени дается
множителем е~ш.
Первое из этих уравнений выражает, как обычно, непрерыв-
ность нормальной составляющей полного тока при проходе через
поверхность, тогда как второе непосредственно получается из
того условия, что в обеих средах div E = 0 и что у самой поверх-
ности раздела
из-за непрерыв-
- = —;
ности тангенциальных составляющих электрического поля.
Если вторая среда обладает значительно большей проводи-
мостью, чем первая, то можно положить приближенно (рис. 2)
*§ =
с2
Im(A2)>0, A.03)
причем предполагается, что
с \k*
При подстановке в уравнения A.02) это приводит, после
исключения неизвестной величины (?i2))z=o. к соотношению
A.04)
25 В. А. Фок

386
Тропосферное распространение радиоволн
Это соотношение в нашем случае выполняется, конечно, лишь
приближенно; однако в большинстве интересующих нас случаев
оно выполняется с довольно большой точностью (кроме сухих
почв). Мы примем его поэтому за граничное условие для Ег на
всей поверхности суши, пренебрегая погрешностью, происте-
кающей от тех участков суши, которые непосредственно примы-
кают к морю, поскольку ширина соответствующей полосы будет
в интересующих нас случаях, вообще говоря, мала по сравнению
с длиной падающей на берег волны (см. далее параграф 2).
При помощи этого граничного условия можно сформулиро-
вать интегральное уравнение для Ег\ решение его и дает полное
решение интересующей нас задачи в том приближении, какое соот-
ветствует допущениям, сделанным при его выводе.
2. Постановка задачи и вывод основного
интегрального уравнения
Имея в виду рассмотреть вопрос о набегании электромагнит-
ных волн с моря на сушу или обратно, положим в основу рас-
смотрения следующую идеализацию задачи: требуется изучить
распространение электромагнитных волн в верхнем полупро-
странстве (воздух), в котором рас-
положены некоторые заданные
излучатели, причем на поверхности
2 = 0 имеется область f (суша *,
см. рис. 3), где нормальная к по-
верхности составляющая электри-
ческого поля удовлетворяет усло-
„ ,, вию A.04), т. е.
Рис. 3. Участки поверхности раз-
дела с разными предельными усло-
виями.
На остальной части плоскости 2 = 0 мы считаем выполненным
условие (-дг-) = 0 (море, рассматриваемое как идеальный
проводник), получающееся из условия A.04) при а2 = оо.
Такая идеализация задачи, очевидно, соответствует случаю,
когда поверхность суши будет плоской, горизонтальной и выдается
из воды лишь незначительно по сравнению с длиной волны.
Небольшая дополнительная погрешность вносится из-за того,
что мы допускаем пригодность граничного условия A.04) на всей
поверхности суши, т. е. даже в точках, близких к береговой
линии, где они, вообще говоря, перестают быть верными.
* Не обязательно односвязная; например, несколько островов.

Гл. 18. Теория береговой рефракции
387
Переходим к выводу основного интегрального уравнения за-
дачи, которое мы напишем для нормальной к поверхности компо-
ненты Ег электрического поля.
Мы исходим из того, что Ег удовлетворяет в воздухе уравне-
нию
где
АЕг + &Ег = -4я/г>
.2 _ «,2 (8!© + /4jt<Jt) Ц,@
« = «1 ^ — .
B.01)
п° В
Рис. 4. Область интегрирования в фор-
муле Грина.
a fz есть некоторая известная функция от координат, целиком
определяемая заданием первичных (возбуждающих) токов. Слу-
чай отсутствия поглощения в воздухе (oj = 0) мы будем рассма-
тривать как предельный случай весьма малого поглощения (ах —>
-+0).
Рассмотрим указанную на рис. 4 область, ограниченную пло-
скостью АВ раздела сред 1 и 2, полусферой радиуса R —» оо
и бесконечно малой сферой радиуса р, описанной вокруг произ-
вольной точки М. Применяя к этой области формулу Грина
при 4) =
(V)
Jkr
(S)
ф
-02 по-
лучим следующее соотношение:
= 4я?г (х, у, г) = 4пЕ°г (х, у, г) +
1
* Начиная с этого места, значок «1» в обозначении волнового числа и поля
в воздухе будет опускаться.
25*

388 Тропосферное распространение радиоволн
Здесь ?, = \ fz dV есть то «первичное» поле, которое
создали бы в пространстве первичные токи, если бы отсутство-
вала поверхность раздела АВ, тогда как интегральный член выра-
жает влияние поверхности раздела.
Замечая, что
( &'\ =-_ (дЕ*\
\ дп Jo \ дг /о
дЕг
и что -у=- равняется нулю на идеально проводящих частях по-
верхности АВ, тогда как на поверхности (f) будет (-^р-) =
= —2яа (?гH, получим из B.02).
4я (Ег)м = 4я (?°)m + 2яа f (?гH ^- df -
G)
dSAB. B.03)
Применяя это соотношение к точке М, лежащей на самой
поверхности (f), и замечая, что при этом будет
получаем окончательно, заменяя значок М у Ег значком 0,
(?г)о = 2 (Б°2)о + a J (E&^-df. B.04)
Это и есть основное интегральное уравнение нашей задачи.
Заметим, что если бы вся плоскость АВ была идеально прово-
дящей, то уравнение B.04) дало бы просто
?г = 2(?°H, B.05)
т. е. удвоение фактического значения (?2H на поверхности раз-
дела по сравнению со значением (?^)о «первичного» поля на ней.
Это, очевидно, выражает обычный закон отражения для идеально
проводящей плоскости.
Найдя из уравнения B.04) величину (?гH и подставляя ее
в правую часть формулы B.03), мы сможем получить и значе-
ние Ег в любой точке М над плоскостью, т. е. мы будем иметь
полное решение поставленной задачи.

Гл. 18. Теория береговой рефракции 389
3. Случай неограниченного прямолинейного берега
Переходим к случаю, когда поверхность f суши — полу-
плоскость. Выбираем оси координат как показано на рис. 5:
ось Y направлена вдоль берега, а ось X — в сторону суши.
Принимая во внимание, что любое внешнее поле (?°)о может
быть разложено в интеграл (ряд) Фурье по оси Y, можно ограни-
читься случаем чисто синусоидального по оси Y поля, т. е. по-
ложить, что
eisy, C.01) * jV
где s может иметь любое веществен-
ное значение. / оУ//////////—*-х
Полагая при этом в формуле B.04) /Море ////суша//
\pz)o — г We' y> (о.02) рис 5. Расположение коорди-
натных осей в случае неограни-
мы можем записать ее теперь так: ценного прямолинейного берега.
F(х) = 2F° (x)+a \ F(I)d\ \ е> " _" " "—' йц. C.03)
о
Нетрудно показать, что входящий сюда интеграл по т) имеет
значение
+~
е —d4 = inH^[V k2 — s2\x — l\ . C-04)
CO
где Hq1)—функция Ханкеля первого рода нулевого порядка.
Формула C.03) дает поэтому, если положить т = У k2 — s2 ,
оо
F (х) = 2F0 (х) + ina J F (|) Н(о1) (т | х - Ц) d\. C.05)
о
Это и есть то уравнение, к решению которого сводится при сде-
ланных упрощениях решение задачи береговой рефракции в рас-
сматриваемом случае.
4. Общая теорема о решении интегрального
уравнения
Интегральное уравнение, к которому приведена поставленная
задача, является частным случаем уравнения вида
D.01)

390 Тропосферное распространение радиоволн
Общее исследование уравнения D.01) дано в работе Фока [191
(добавление 1 этой книги). Мы приведем здесь лишь те резуль-
таты этого исследования, которые нужны для решения урав-
нения C.05).
Пусть ядро k (х) (которое мы предполагаем четным) таково,
что не только оно само, но и функция ki (jt) = ec|jt|fc (x) будет для
некоторого с > 0 абсолютно интегрируемой функцией с ограни-
ченной вариацией в бесконечном промежутке.
В случае ядра #о1} (т\х — ||) это условие будет выполнено,
если считать, что имеется некоторая, хотя бы минимальная,
проводимость воздуха; при этом можно взять в качестве постоян-
ной с любое число, удовлетворяющее неравенству
0 <с <Im(m).
Для решения уравнения D.01) строим функцию
+~
K(w)= J etwxk(x)dx D.02)
—оо
и исследуем, обращается ли она в единицу при вещественных зна-
чениях до. Для ядра #о1} (т\х — ||) она в единицу не обращается,
так что мы имеем здесь дело с простейшим из случаев, разобран-
ных в [19]. Далее, составляем интеграл
—tC+oo
' UHl*(«0I,fr D<03)
(
2л» J и — да
—U—со
и строим функцию
1|>1(до) = е*«<а'>. D.04)
Как доказано в [19], эта функция голоморфна и не имеет ну-
лей в верхней полуплоскости w (а также в полосе —с <Im(до) <с)
и удовлетворяет функциональному уравнению
яЫа>) 4>i (—а>) [1 —K(w)] = 1. D.05)
Обратимся теперь к свободному члену g (x) предложенного
интегрального уравнения. Пусть g (x) есть функция, абсолютно
интегрируемая и с ограниченной вариацией в бесконечном про-
межутке. Мы можем составить тогда функцию
GA (w) = j elxwg (x) dx D.06)

Гл. 18. Теория береговой рефракции 391
и выразить через нее и через уг (w) искомое решение интеграль-
ного уравнения. А именно, мы будем иметь
S e"'"FiHd*. D.07)
со
где F-i (w) определяется из равенства
*G!?<И) "и D.08)
при Im (w) >¦ 0 и из равенства
&"]" *1{-U1GW1{U) du D.09)
1С—оо
при Im (да) <с. В полосе 0 < Im (да) <с оба выражения совпа-
дают.
При доказательстве того, что выражение D.07) действительно
удовлетворяет предложенному интегральному уравнению D.01),
используется тот факт, что функция Ft (да) голоморфна в верхней
полуплоскости, тогда как функция
ф (да) = Fx (а,) _ /( (а,) рх (W) _ qx (w)
голоморфна в нижней полуплоскости, причем обе функции Ft (w)
и Ф (w) обращаются в нуль при | w\ —¦ оо.
Самого доказательства мы здесь не приводим.
Совокупность формул этого параграфа составляет теорему о ре-
шении интегрального уравнения вида D.01).
Формулы эти значительно упрощаются в том частном случае,
когда свободный член интегрального уравнения есть показа-
тельная функция. Действительно, положим
Я(ж) = е"» (Im(p)>0). D.10)
Согласно формуле D.06) мы будем тогда иметь
ciN=irb- DЛ1)
Интеграл D.08) сводится к вычету в точке w = — р и дает
) <4Л2>
— выражение, симметричное относительно дайр. Решение урав-
нения принимает вид
+

392 Тропосферное распространение радиоволн
Необходимо помнить, что в точке х = 0 функция f (х), опре-
деляемая интегралом D.07), имеет разрыв, причем f (—0) = 0
и f (+0) = 2f @).
В случае D.13) мы имеем
*1(р). D.14)
5. Решение интегрального уравнения
береговой рефракции
Мы можем теперь применить наши общие формулы к решению
интегрального уравнения береговой рефракции:
00
F(х) = 2F0 (х) + ina J Н^ (т |х —1|) F(|)d|. E.01)
о
При этом мы ограничимся случаем набегания на берег пло-
ской волны, в соответствии с чем положим
F°(x) = elmx, E.02)
считая тем самым амплитуду волны на границе суши и моря
равной единице. При отсутствии поглощения в воздухе мы можем
положить k — 2л/К, где % — длина волны в воздухе. Тогда будет
т = -2j- cos #; s = ~ sin #, E.03)
где # есть угол между фронтом волны и береговой линией.
Мы будем, однако (как и до сих пор), рассматривать случай
отсутствия поглощения как предельный случай весьма малого
поглощения и до перехода к пределу будем считать мнимую часть т
положительной. Определяемая уравнениями E.01) и E.02) функ-
ция F (х) представляет аналитическую функцию от х, которую
можно рассматривать не только для вещественных, но и для ком-
плексных значений х. Если мы положим
—imx = xlt E.04)
то мы можем определить сперва эту функцию для вещественных хх
(т. е. для комплексных значений координаты х), а затем уже
перейти к таким (комплексным) значениям хг, которым соответ-
ствуют вещественные значения координаты х. Такое рассмотрение
удобно, так как позволяет легче выделить интересующие нас
ветви неоднозначных функций.
Положим
F{x)=2f(Xl), ^=a E.05)

Гл. 18. Теория береговой рефракции 393
и составим уравнение для f (xt) в предположении, что х1 веще-
ственно и меняется от 0 до +оо. Мы получим
00
Нхг) = в"" + -f-J H^(i\Xl-l\)f(l)dl E.06)
или
00
?J&. E-07)
если мы выразим функцию Ханкеля Яо1' через функцию Мак-
дональда Ко-
Уравнение E.07) мы будем решать при помощи теоремы,
формулированной в предыдущем параграфе. Преобразуя ядро
согласно D.02) по формуле Фурье, мы получим
K(w) = i-\ е—К„ (|*|) dx = 7ф=т. E.08)
Вычисляем по формуле D.03) функцию Xi (w)- Предполагая
Im (w) > 0, мы можем написать
Производная от этого интеграла по w выражается в конечном
виде. Полагая
b = yl—a\ Re(fc)>0, E.10)
мы получим после элементарных выкладок
dw 2 (ш + «) 2 (ш + ib
, , 6 + ia . w ,
Это выражение голоморфно в верхней полуплоскости w;
в частности, легко проверить, что точка w — ib не является полю-
сом для xi (a>)-
Чтобы упростить полученное выражение, положим
& = cosa, a = sin a, (_^-<Re(a)<^-) , E.12)
w = i cos т, У\ -\- гюг = sin т,

394 Тропосферное распространение радиоволн
причем Re (sin т) > 0, и составим производную от Xi по т-
будем иметь
d%t sin т . sin т ,
dx ~ 2 (cos х + J) ' 2 (cos т -f- cos a) '
¦ T + a t — a ,c
' 2nsin(T + a) 2nsin(r — a) ' w
Отсюда
x-|a
1 , COS x 4- 1 . 1
X^-teT +
1 [ и j
г—а
так как при т = too должно быть Xi = 0.
Таким образом, для функции i|5j (w) = tyt (t cos т) получается
выражение
cosl+1
cos т + cos a
expf-j- -^-dU . E.15)
*M 2я J sin и / v '
Нетрудно проверить, что
(i cos т) гЬ, (i cos (it — т)) = . sin т .—. E.16)
v / чч v v // sin т — sin a v '
Так как в переменных а, т ядро К (w) имеет вид
г? 1 \ sin а
то соотношение E.16) показывает, что функция ¦^1 (w) действи-
тельно удовлетворяет функциональному уравнению D.05).
Подставляя E.15) в D.13), получим решение нашего инте-
грального уравнения E.07). Для исследования решения необхо-
димо, однако, преобразовать полученный интеграл так, чтобы
он быстро сходился. Для этого нужно заменить интегрирование
по вещественной оси эквивалентным контуром, лежащим в ниж-
ней полуплоскости комплексной переменной w. В верхней полу-
плоскости функция по определению голоморфна и не имеет нулей.
Особенные точки tyx (w) в нижней полуплоскости легче всего
найти при помощи функционального уравнения D.05), которое
дает
E18)

Гл. 18. Теория береговой рефракции 395
Отсюда видно, что особенными точками будут: точка развет-
вления w = —i и полюс w = —ib — —i cos а (последний только
в том случае, когда вещественная часть величины а = sin a
положительна).
Сводя контур к петле вокруг точки w = —i, облегающей
отрицательную мнимую ось, мы получим при Re (a) > 0:
f(x)- *»{i) ' + cosq е-
/V V i|)i(icosa) cos a
+ 0O
sinq
f c-r.-h< ti@ ch^ + ] df /5 19ч
J e *i(«ch/) ch»<— cos2a"r ^ У^
[при Re (sin a) >0],
где первый член представляет вычет в полюсе w = —16.
В случае же Re (a) < 0 вычета брать не нужно, и мы будем
иметь
+ 00
2п J e
+ 00
J e 4»,((chOch»f-cos»ad' ( }
[при Re (sin a) < 0].
Мы нашли строгое решение предложенного интегрального
уравнения, притом в форме, справедливой не только для поло-
жительных значений хъ но и для комплексных значений хг с не-
отрицательной мнимой частью; следовательно, и для хг = —imx,
где х — вещественная координата.
Приближенные формулы для f (xt) будут выведены в следу-
ющем параграфе.
6. Приближенный вид решения интегрального
уравнения
При исследовании полученного решения интегрального урав-
нения необходимо помнить, что это уравнение является лишь
приближенным и справедливо только при соблюдении условия
«1. F.01)
DЯ02J
При помощи введенных выше величин and это условие может
быть написано в виде
F.02)
При не слишком малых значениях cos Ь (при не слишком
косом падении волны) это условие равносильно требованию

396 Тропосферное распространение радиоволн
малости самой величины \а\, а следовательно, и входящего
в наши формулы параметра а. При малых же значениях \а\
наши формулы могут быть упрощены. Но это упрощение необ-
ходимо делать так, чтобы формулы оставались справедливыми не
только для конечных, но и для сколь угодно больших значений хх
(для больших расстояний от берега в глубь суши; напомним,
что *! = —ikx cos #). Имея это в виду, мы вычислим интеграл,
стоящий в формулах E.19) и E.20), сперва для больших значе-
ний х1г не предполагая а малым, а затем перейдем к случаю
малых а.
Главным участком интегрирования будет окрестность точки t —
= 0; вблизи этой точки мы можем медленно меняющиеся мно-
жители
4>t @ chf+1
заменить их значениями при t = 0. Эти значения равны соответ-
ственно единице и величине sec2 -g-. Сделав эти пренебрежения,
мы получим
/ (Xl) = Лег** «о. а _ JL tg JL / (Xv a)
[при Re (sin<x)>0],
[при Re(sin<x)<0],
где мы положили
F.03)
Последний интеграл равен
00
/ (xv а) = 2 { е"cos aKo (*i + «) Л*. F.06)
о
как в этом легко убедиться при помощи дифференциального
уравнения
^L + cosaI= -2К0(х1). F.07)

Гл. 18. Теория береговой рефракции 397
Так как мы предполагаем хх большим, то функцию Макдо-
нальда под интегралом мы можем заменить ее асимптотическим
выражением, после чего получим
F.08)
sin -?-
где 0 (?) определяется равенством
]^ldl, F.09)
а знак при единице в F.08) тот же, что и знак вещественной части
sin ~ или sin а. (Поусловию E.12) мы имеем ^-
вследствие чего вещественные части величин a, sin -у, sin a
имеют один и тот же знак].
Полагая
sin -J- F.10)
и подставляя F.08) в F.03), будем иметь при Re (sin a) > 0
F.11)
и при Re (sin a) < 0
/ (Xl) = e-*cos ° [sec -f + sec ^- 0 (|)] . F.12)
Как указано в начале этого параграфа, наиболее интересен
случай малых а. В этом случае оба выражения F.11) и F.12)
совпадают и могут быть написаны в виде
f<*j) = e-*4p(D, F.13)
где
Ф(Е) = е|'[1 +вA)], F.14)
причем величину ? можно положить равной
-. F.15)
Но если а мало, то формулы F.13) и F.14) справедливы при ка-
ких угодно (а не только при больших) значениях хг. В самом
деле, если при малом а величина хг будет конечной (не большой),

398 Тропосферное распространение радиоволн
то величина ? будет малой, ср (?) будет мало отличаться от единицы,
а / (j^) будет приближенно равно e~Xl, т.е. свободному члену
в интегральном уравнении E.07), как и должно быть. Таким обра-
зом, если а мало, то формулы F.13) и F.14), выведенные в пред-
положении больших х1г годятся также и без этого предположения.
Нам остается перейти от переменной xt к координате х и под-
ставить найденное решение в выражение для амплитуды поля.
При этом удобно для случая малых а ввести величину
аналогичную зоммерфельдовскому численному расстоянию. Если
можно пренебречь токами смещения в земле по сравнению с током
проводимости, то величина р будет вещественной. В таком случае р
есть расстояние от берега, выраженное в известном масштабе и
считаемое вдоль луча (от точки пересечения его с берегом).
Подставляя в F.15) значения
a= г s~, Хч = —ikx cos #, F.17)
K2 COS VT V '
получим для нашей прежней переменной ? выражение
l = iVp- F-18)
С этим значением | «множитель ослабления» ф может быть написан
в виде
Yp
F.19)
В рассмотренном случае набегающая волна согласно C.01),
E.02) и E.03) имела вид
F.20)
сушей
F.21)
Наши формулы показывают тогда, что полное поле над сушей
может быть представлено в виде
где ф имеет значение F.19).

Математические
добавления

ДОБАВЛЕНИЕ I
О НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ*
В добавлении 1 дается полная математическая теория линейных интеграль-
ных уравнений второго рода (т. е. с неизвестной функцией, стоящей как под зна-
ком интеграла, так и вне его) с полубесконечными пределами и ядром, зависящим
от абсолютного значения разности аргументов. Такие уравнения встречаются
во многих задачах математической физики, например в задаче о береговой рефрак-
ции (глава 18), об излучении полу бесконечного волновода с открытым концом,
о поглощении и рассеянии света в атмосфере и в других задачах.
Формулируются условия, которые должны быть наложены на ядро уравне-
ния и иа заданную функцию, чтобы существовало единственное решение с задан-
ными свойствами (ограниченность, стремление к нулю на бесконечности, предста-
вимость в виде суммы функции с ограниченной вариацией в бесконечном проме-
жутке и непрерывной функции). Прн помощи ядра, преобразованного по Фурье,
составляется характеристическое уравнение задачи. Существенную роль играет
выделение в нем множителей, представляющих функции комплексного пере-
менного с определенными свойствами в верхней и нижней полуплоскости (метод
факторизации).
Если характеристическое уравнение ие имеет вещественных корней, то для
существования решения с указанными свойствами достаточно, чтобы заданная
функция была абсолютно интегрируема и имела ограниченную вариацию в беско-
нечном промежутке. Если имеется 2/ вещественных корней, то заданная функция
должна удовлетворять / условиям ортогональности (н, кроме того, несколько
быстрее убывать на бесконечности).
В случае отсутствия вещественных корней соответствующее однородное
уравнение не имеет ограниченных (и даже не слишком быстро возрастающих)
решений. В случае 2/ вещественных корней оно имеет ровно / ограниченных
решений; эти решения и входят в условия ортогональности.
Исследование ведется с широким использованием свойств интегралов Фурье
в комплексной плоскости, и решение получается в виде контурных интегралов,
т. е. в явной форме, допускающей численные вычисления.
Введение
В ряде задач математической физики встречаются интеграль-
ные уравнения вида
f(x) = g(x) + jk(x~y)f(y)dy @.1)
• Фок, 1944.
26 в. А. Фок

402 Математические добавления
с симметричным ядром
k(x-y) = k{\x~y\), @.2)
зависящим от абсолютного значения разнести двух аргументов.
Решение интегрального уравнения с ядром @.2) и с перемен-
ным верхним пределом х (уравнения Вольтерра) дано в нашей
прежней работе A922 г.) [34]. Оно рассматривается также в книге
Doetsch [43], посвященной преобразованию Лапласа.
Уравнение же с бесконечным верхним пределом еще полностью
не решено. В литературе имеется лишь исследование соответ-
ствующего однородного уравнения (также и в более общем случае,
когда условие симметрии @.2) не выполняется) [35]. Что касается
неоднородного уравнения, то оно, по-видимому, не исследовано.
Задача о неоднородном уравнении имеет, однако, самостоя-
тельный интерес. В самом деле, в математической физике важны
те случаи, когда решение задачи единственное, а как раз эти
случаи при изучении однородной задачи обычно не рассматри-
ваются, так как при выполнении условий, вытекающих из физи-
ческих требований, последняя не имеет иного решения, кроме
нулевого.
Целью настоящей работы является исследование и решение
как неоднородного, так и однородного уравнения вида @.1).
/. Преобразование уравнения
В уравнении
\ k(x-y)f{y)dy A.01)
о
функция g (х) задана лишь для х ^ 0. Искомое решение / (х)
также требуется определить лишь для х ^ 0. Но мы можем усло-
виться считать, что
/(*) = 0 при *<0. A.02)
Чтобы уравнение A.01) имело место и для х < 0, мы подчиним
функцию g (x) условию
во
g(x)= -J k(x-y)f{y)dy при *<0. A.03)
о
Это позволяет нам представить уравнение A.01) в виде
+ «,
J Hx-y)f(y)dy A.04)

Добавление 1. Интегральные уравнения 403
и рассматривать входящие в него функции как для положитель-
ных, так и для отрицательных значений аргументов.
Решение уравнения A.04) получается весьма просто при
помощи преобразования Фурье. В самом деле, положим, что
функции k (x), g (х) и / (х) таковы, что к ним применима фор-
мула Фурье *.
Введем обозначения
+ 00
K(w)= J eiwxk(x)dx, A.05)
— оо
F(w)= j eiwxf(x)dx, A.06)
G(w) = \ eiwxg{x)dx. A.07)
Умножая A.04) на e"*" dx и интегрируя похв пределах от — оо
до +оо, мы приходим к соотношению
F(w) = G (w) + K{w) F (w), A.08)
откуда F (w) получается алгебраическим путем. Подстановка
этого значения F (w) в формулу
+ ОО
/(*) = 4г 1 e~'wxF(w)dw A-09)
— оо
и дает решение уравнения A.04).
Заметим, что для уравнения с ядром @.2) и с переменным
верхним пределом х функция F (w) в A.09) определяется, как
показано в [34], из соотношения
где Gj
(w)
F (w)
— интеграл
Gi
И
Gx{w)
оо
= Ь
0
1 If
1 А1
iwxg(x)
(w)
dx,
F
A-
A-
10)
П)
* Разумеется, применимость формулы Фурье к f (x) должна быть еще дока-
зана, причем в доказательстве нужно исходить из тех или иных условий, нала-
гаемых на k (x) и на g (x).
26*

404 Математические добавлении
а К\ (w) связано с К (до) так же, как Gx (x) с G (до). Соотноше-
ние A.10), так же как и A.08), чисто алгебраическое.
В случае интегрального уравнения A.01) дело осложняется
тем, что функция G (до) в A.08) нам неизвестна.
Считая g (x) непосредственно заданным лишь для положитель-
ных х, мы можем полагать известным интеграл A.11), но не ин-
теграл A.07). Что касается A.07), то вследствие A.02) и A.03)
О + оо
G(w) = G1(w)~ J elwxdx J k(x-y)f(y)dy. A.12)
— оо — оо
Интеграл по у равен
+ О0 + О0
\ k(x-y)f(y)dy = -^ J e-iuxK(u)F(u)du. A.13)
Интеграл по х мы пишем в виде разности интегралов от —оо
до +оо и от 0 до оо; первый из них вычисляем по формуле Фурье
и переносим в левую часть A.12). Получаем
G(w) + K(w)F(w) = Gl(w) + -%r\ e'wx dx J <Tiux K(u)F (u)du.
О — со
A.14)
Таким образом, соотношение A.08) принимает вид
оо -|- оо
F(w) = Gi(o») + -5rf etwxdx J e~iux К (и) F (и) du. A.15)
0 — оо
Если иметь в виду формулу A.13), то уравнение A.15) может
быть получено непосредственно из A.01) или A.04) после умно-
жения на eiwx dx и интегрирования по х от 0 до оо.
Мы предположим, что функция g (x) абсолютно интегрируема
и имеет ограниченную вариацию во всем бесконечном промежутке.
Тогда преобразованная функция Gx (w) будет, по определе-
нию A.11), голоморфна в верхней полуплоскости, непрерывна
вплоть до вещественной оси, и будет убывать как в верхней полу-
плоскости, так и на вещественной оси обратно |а>|.
Относительно ядра k (x) мы предположим, что существует
такая положительная постоянная с, что не только само ядро, но
и функция
М*) = ев'*'*(*) (с>0) A.16)

Добавление 1. Интегральные уравнений 405
абсолютно интегрируема и имеет ограниченную вариацию в бес-
конечном промежутке. Отсюда, в частности, следует, что при
всех х
\k(x)\<M<rclxl, A.17)
где М — некоторая положительная постоянная.
Далее согласно @.2) ядро k (x) должно быть четной функцией
от х. При этих условиях преобразованное ядро К (w) окажется
голоморфным внутри полосы
—с<1т(до)<+с A.18)
и будет в ней убывать обратно | до|. Кроме того, оно будет четной
функцией от до.
Свойства функции F (w) будут подробно исследованы ниже.
Во всяком случае, из условия A.02) следует, что интеграл A.06)
совпадает с интегралом.
\ eiwxf(x)dx. A.19)
и что, следовательно, F (до) должна быть функцией, голоморфной
в верхней полуплоскости. Мы покажем также, что F (до) будет
убывать в верхней полуплоскости обратно |го|.
Вследствие голоморфности функций F (w) и Gx (w) при Im (w) >
> 0 мы можем рассматривать уравнение A.15) для комплексных
значений w с положительной мнимой частью. Для таких до мы
можем сперва выполнить интегрирование по х, после чего получим
u. A.20)
В этом новом интегральном уравнении члены вне интеграла могут
быть в свою очередь представлены в виде интегралов
Чтобы убедиться в этом, достаточно применить формулу Коши
к области, ограниченной вещественной осью и дугой полуокруж-
ности неограниченно возрастающего радиуса, лежащей в верхней
полуплоскости (в этой области обе функции F (го) и Gx (до) голо-
морфны).

406 Математические добавлений
Подставляя A.21) и A.22) в A.20) и перенося все члены в ле-
вую часть, получим уравнение
4+[^ё§-=° при 1га И >0. A.23)
где мы положили
F (и) U—К (и)} — Gt (и) = Ф (и). A.24)
2. Вспомогательные предложения
В дальнейшем нам придется неоднократно пользоваться сле-
дующими леммами:
Лемма I. Пусть функция Я (до) голоморфна внутри полосы
а<1т(до)<&, B.01)
непрерывна вплоть до ее границы и обращается в нуль при
Re (w) —> ±оо внутри полосы по крайней мере обратно |до|°,
где о > 0.
Тогда ее можно представить в виде суммы двух функций
Я (а») = Н1 (w) + Я2 (а»), B.02)
из которых первая голоморфна не только внутри полосы, но и
во всей полуплоскости Im (w) > а, а вторая — не только внутри
полосы, но и во всей полуплоскости Im (w) < b.
Доказательство основано непосредственно на фор-
муле Коши. Если а <С Im (до) <С Ь, то можно положить
ib
Применяя формулу Коши к области, ограниченной прямыми
Im (w) = а и Im (до) = Ь, получим для суммы выражений B.03)
и B.04) величину Я (до). С другой стороны, очевидно, что функ-
ция B.03) голоморфна при Im (до) ]> а, тогда как функция B.04)
голоморфна при Im (до) < Ь. Таким образом, требуемое разло-
жение доказано.
Оценка функций Я\ (w) и Я2 (w) на бесконечности дана в лем-
мах II и III.

Добавление 1. Интегральные уравнения
407
Лемма II. Если для достаточно больших | и | внутри по-
лосы B.01) имеет место неравенство
М
B.05)
то для достаточно больших \w\ функция Ht(w) удовлетворяет
в области Im (до) > а неравенству
я | а»
w
или неравенству
\Н1(ы>)\<
я а»
М lg | w | + М lg
М'
w
~~w*
B.06)
М"\ (а = 1), B.07)
где постоянные М', М", так же как и М, не зависят от до.
В этих формулах через до* обозначена мнимая часть до — а:
до* = 1т(до — а). B.08)
Если эта величина меньше половины ширины полосы, т. е. если
Х-Ч^, B-09)
Ь — а
оценка имеет место для Я2 (до) в области
нужно заменить | до* | на
Аналогичная
Im (до) < Ь.
Замечание. В формуле B.06) логарифмический член
остается конечным, если точка до удаляется на бесконечность по
полупрямой, наклоненной к вещественной оси под конечным углом
д < л — е; е > 0). При этом условии Ht (w)
~а, если о < 1. В формуле же B.07) из двух
членов достаточно тогда оставить первый,
е'°;
у
(до = \w\ е
будет порядка | w
логарифмических
w
Г1
р
lg | w
так что если о = 1, то функция Ht (w) будет порядка
Доказательство. Если точка до лежит внутри полосы
B.01), то для доказательства достаточно оценить тот из интег-
ралов Н\ (до) и Н2 (до), в котором контур интегрирования дальше
отстоит от точки до. Для другого интеграла оценка будет выте-
кать из соотношения Нг (до) + Я2 (до) = Н (w). Переписав фор-
мулу B.03) в виде
+ ОО
1 Г Н (и + ia) du
2я« J и + ia — т
Ht(w)
B.10)

408 Математические добавления
и заменяя подынтегральную функцию ее модулем, мы получим
неравенство
\Н (w)\<T— Г ' Н(" + ta) ldu B 1П
lnil^l<- 2я J \u-\-la-w\ ' ^Л1>
00
В интеграле B.11) можно разбить путь интегрирования на три
участка: от —оо до —А, от —А до +А и от Л до +оо, где А —
достаточно большое число, не зависящее от w. Интеграл по сред-
нему участку будет, очевидно, порядка l^l. В интеграле же
по крайним участкам можно воспользоваться оценкой B.05)
для Н (и), что и приводит, после элементарных, хотя и несколько
сложных вычислений, к формулам леммы II.
Лемма III. Если для достаточно больших | и | внутри по-
лосы B.01) имеет место неравенство
^ <1), B.12)
то для достаточно больших | w\ функции Нх (w) и #2 (w) могут
быть представлены (первая — в области 1т(да)>.а, вторая —
в области Im (го) < Ь) в виде
Hi(w) = ^- + ^H[(w), B.13)
JtL ±-Hl(w), B.14)
где С — постоянная, а Н\ (w) и Н\ (w) удовлетворяют тем же
неравенствам, как Нг (w) и Я2 {w) в лемме II.
Доказательство. Введем в формулу B.03) тождество
и — XI) XI) ' W{U — W)
B.15)
Мы получим для #! (w) выражение B.13), в котором постоян-
ная С равна
ia + оо 1Ь+ оо
С = -^Г j H{u)du = -^- J H(u)du, B.16)
la — оо ib— оо
а функция Н\ (w) имеет вид
ia — оо

Добавление I. Интегральные уравнения 409
Вследствие B.12) функция иН (и) удовлетворяет здесь такому же
неравенству, как Н (и) в лемме II, а потому имеют место и ука-
занные неравенства для Н*х (w) и Я* (w).
3. Формальное решение уравнения
Возвратимся к уравнению A.24), которое напишем в виде
F (w) [1 — K(w))—G1 (w) = Ф (w). C.01)
В этом выражении функция Ф (w) во всяком случае голоморфна
в той области, где все три функции F (w), Gx (w) и К (w) голо-
морфны, т. е. внутри полосы
0<Im(a>)*ec\ C.02)
где с' — любое положительное число, меньшее той постоянной с,
которая входит в A.16).
Полагая в формулах леммы I а = 0, Ъ = с', Н (w) = Ф (w)
и пользуясь равенством A.23), мы убедимся, что разложение B.02)
сводится ко второму члену. Это значит, что функция Ф (w) в C.01)
голоморфна не только внутри полосы B.02), но и во всей нижней
полуплоскости.
Таким образом, решение интегрального уравнения свелось
к следующей задаче теории функций.
Даны функция К, (w), голоморфная в полосе A.18), и функ-
ция Gj (ay), голоморфная в верхней полуплоскости. Требуется
найти такую функцию F (w), чтобы сама она была голоморфна
в верхней полуплоскости, а все выражение C.01) было голоморфно
не только в полосе C.02), но и в нижней полуплоскости.
Для решения этой задачи существенное значение имеет раз-
ложение функции 1 — К (w) на множители. Во всякой полосе,
более узкой, чем полоса A.18), функция К (w) голоморфна не
только внутри, но и на границе; на бесконечности же К (w) стре-
мится к нулю. Поэтому в этой более узкой полосе функция
1 —К (w) может иметь только конечное число корней.
Предположим сначала, что все эти корни комплексны. Случай
вещественных корней представляет некоторые особенности и будет
рассмотрен отдельно. Вследствие четности ядра k (x) функция К (w)
будет четной, и корни функции 1 — К (w) будут расположены
симметрично относительно начала.
Обозначим через v0 расстояние от вещественной оси ближай-
шего к ней комплексного корня (вследствие упомянутой сим-
метрии, таких корней будет четное число). Пусть с* — некоторое
положительное число, меньшее v0. Мы можем рассмотреть полосу
C.03)

410 Математические добавления
более узкую, чем первоначальная полоса A.18), и обладающую
тем свойством, что внутри нее функция 1 — К (w) не имеет ком-
плексных корней. В силу нашего предположения об отсутствии
вещественных корней, эта функция совсем не будет иметь там
корней. Поэтому функция
%(w) = —lgll—K(w)] C.04)
будет внутри полосы C.03) голоморфна. Так как на бесконеч-
ности К (w) стремится к нулю (обратно \w\), то можно взять
такую ветвь (главную ветвь логарифма), чтобы при Re (w) —* +оо
было и %{w) —> 0. Но х (w) — четная функция от w; поэтому
X (w) —> 0 также и при Re (w) —* —оо. При этом х (w) будет удо-
влетворять неравенству
1ХИ !<-$-. C.05)
Таким образом, функция % (w) удовлетворяет всем условиям
леммы I, и мы можем разложить ее на сумму
X И = X! (w) + Х2 (w) C.06)
так, чтобы %i (w) было голоморфно в полосе C.03) и в верхней
полуплоскости, а %2 (w) — в той же полосе и в нижней полупло-
скости. Нетрудно видеть, что вследствие четности х (w)
Х2 (w) = Xi (-a»). C.07)
Переходя от логарифмов к числам и полагая
е*1 (ш) = ih (a,), eX! iw) = % (w), C.08)
мы получим следующее разложение функции 1 — К (w) (вернее,
обратной ее величины) на множители:
<hHfrH- C-09)
Первый множитель фх (w) голоморфен и не имеет нулей в по-
лосе C.03) и в верхней полуплоскости, а второй множитель ty2 {w)
обладает теми же свойствами в той же полосе и в нижней полу-
плоскости. Вследствие C.07)
Ф1 (а») = Фх (-а»). (ЗЛО)
На бесконечности функции Xi и Хг обращаются в нуль, а функ-
ции ^i и г|з2 — в единицу.
Получив разложение 1 — К, (w) на множители, перепишем
уравнение C.01) в виде
^(^и-^И-ФИ- C3.li)

Добавление 1. Интегральные уравнения 411
Умножив обе части C.11) на t|?2 (до), получим
). C.12)
В полосе
0<1т(до)<с* C.13)
[верхней половине полосы C.03)] функция г|;2 (до) Gx (до) голо-
морфна и удовлетворяет условиям леммы I. Ее можно разложить
на сумму
Vt{w)G1(w) = H1(w) + Я2(ш) C.14)
так, чтобы первый член был голоморфен в верхней полуплоскости,
а второй член — в полосе C.13) и в нижней полуплоскости, и
чтобы каждый из них обращался на бесконечности в нуль. Под-
ставляя C.14) в C.12) и перенося Я2 (до) в правую часть, получим
!^ H,(w). C.15)
Здесь левая часть будет функцией, голоморфной в верхней полу-
плоскости, правая же голоморфна в полосе C.13) и в нижней
полуплоскости. Следовательно, обе части равенства C.15) голо-
морфны во всей плоскости, а значит, они приводятся к постоянной.
Но эта постоянная равна нулю, так как на бесконечности обе
части C.15) обращаются в нуль. Поэтому
F (до) = ^ (до) Ях (до), C.16)
Ф(Ш)=_4Ф|. C.17)
v > г|J (w) v '
Так как в полосе C.13) и в нижней полуплоскости функция г|J (до)
не только голоморфна, но и не имеет нулей, то определяемая из
C.17) функция Ф (до) не будет иметь в этой области полюсов, а
будет в ней действительно голоморфной.
Таким образом, обе функции C.16) и C.17) удовлетворяют
поставленным условиям. Мы получили, следовательно, решение
исходного интегрального уравнения в виде
+ ~
fM = 4r J е-'ш^(до)<*до, C-18)
где F (до) имеет значение C.16).

412 Математические добавления
4. Доказательство существования интеграла
для f(x)
Чтобы сделать наши предыдущие рассуждения вполне стро-
гими, нам нужно доказать, исходя из свойств заданных функций
g (х) и k (х), что интеграл C.18) для / (х) существует и что пред-
ставляемая им функция / (х) удовлетворяет предложенному
интегральному уравнению. Тем самым будет доказано существо-
вание решения.
Перечислим те условия, которым должны удовлетворять
заданные функции g (x) и k (x).
Функция g (х). Функция g (x):
1° абсолютно интегрируема в бесконечном промежутке,
2° имеет в бесконечном промежутке ограниченную вариацию.
Из условия 2° вытекает, что функция g (x) стремится на бес-
конечности к определенному пределу, а из условия 1° следует,
что этот предел равен нулю.
Из условий 1° и 2° вытекает и предположенная в параграфе 1
применимость формулы Фурье. Для применимости формулы Фурье
достаточно было бы даже потребовать вместо 2° ограниченности
вариации во всяком конечном промежутке. Мы оставим, однако,
в силе условие 2°. Во всяком случае оно будет выполнено, если
функция g (x) имеет производную g' (x), абсолютно интегрируе-
мую в бесконечном промежутке.
Функция k (x). Функцию k (x) мы считаем четной. Под-
чиним ее такому требованию: не только она сама, но и функция
Mx) = e"x|*W (c>0) D.01)
с положительной постоянной с должна удовлетворять условиям
Г и 2°.
Если функции g (x) и k (x) комплексны, то будем считать, что
указанным условиям удовлетворяют их вещественные и мнимые
части порознь.
Наложенные на g (x) и k (x) условия позволяют прежде всего
произвести оценку для функций Gx (w) и К (w). Исходя из этой
оценки, оценим при помощи лемм II и III последовательно все
функции, из которых строится F (до). Получив оценку для F (до),
мы убедимся в существовании интеграла C.18) для / (х), а затем
докажем, что этот интеграл удовлетворяет предложенному урав-
нению.
Обозначим через V полную вариацию функции g (x) в проме -
жутке @, до), если эта функция вещественна, или сумму вариа-
ций ее вещественной и мнимой части, если она комплексна.

Добавление 1. Интегральные уравнения
413
Тогда, на основании второй теоремы о среднем
г
J elwxg(x)dx\<max\\ eiwxdx
V,
откуда
D.02)
D.03)
Эта оценка будет иметь место как на вещественной оси, так и
во всей верхней полуплоскости.
Представив величину К (до) в виде
К (до) = J (eiwx + е"'-") е-"*! (х) dx,
D.04)
получим аналогичную оценку и для нее. Пусть Vг будет суммой
полных вариаций вещественной и мнимой части функции kL (x).
Тогда
откуда
где
К
U{w)
(до) | <тах
\к
1
| W + 1С |
При достаточно больших
(до)
[
| ДО
1
ю — ic
e~iwx)
U(w)
I
1 \w
e~cxdx
v,
2c
+ ic | | w — ic\
D
D
D
.05)
.06)
.07)
\K(w)\<
2V,
D.08)
где V\ — любое число, большее Vv
Неравенство D.06) будет справедливо для всей полосы
D.09)
включая ее границы, неравенство же D.08) — лишь в той части
полосы D.09), которая достаточно удалена от мнимой оси.
Определяемая формулой C.04) функция % (до) при достаточно
больших |до| будет удовлетворять аналогичному неравенству
fa D.10)
в котором можно взять М = 2FJ с прежним значением V'v Это
неравенство будет иметь место как внутри полосы D.09), так и
на ее границе.

414 Математические добавления
Оценивая на основании леммы II оба слагаемые в C.06),
получаем
\%Aw)\<^]-\g\w\, IXsHK-^lgM, D.11)
^]
где Мг — новая постоянная. Отсюда для функции ty1 (до) полу-
чаем неравенство
м'
|i|»i(a>) — 1|<-|^Г1§1ш1' D.12)
справедливое для достаточно больших | до | на вещественной оси
и в верхней полуплоскости. Такому же неравенству удовлетворяет
и функция ojJ (до).
Переходя к формуле C.14), мы применим лемму I не к функ-
ции г|J (до) Gx (до), а к функции [ojJ (w) — 1] Gt (x). Разложение
этой последней будет, очевидно, иметь вид
Ц>, (до) — 11 Gt (до) - [Н1 (до) — Gt (до)] + Я2 (до), D.13)
так как вычитаемое Gt (до) целиком относится к первому члену
правой части.
В силу D.03) и D.12) функция в левой части D.13) будет удов-
летворять неравенству
^. D.14)
а значит, и неравенству
^ D.15)
где а — любое положительное число, меньшее единицы.
На основании леммы III
Я1(до)-01(до) = -^- + 4г^И. D-16)
Я2(до) = ^ + -^ Я; (до); D.17)
постоянная С может быть выражена абсолютно сходящимся
интегралом
+ 00
J
+
с = 4г J
а функции Н\ (w) и Я* (w) согласно лемме III стремятся к нулю
как |до|-~а', где а'—любое положительное число, меньшее
единицы.

Добавление 1. Интегральные уравнения 415
Получив оценку Ях (ш) и Я2 (ш), мы можем перейти к оценке
F (ш) и Ф (ш), которые выражаются через Н1 (ш) и Я2 (ш) по
формулам C.16) и C.17). Первую из этих формул напишем в виде
F (ш) = Hj (ш) + №j (ш) — 1] Я, (ш). D.19)
Отсюда, пользуясь D.16), получаем
F (ш) = G1(w)+-§- + F* (w), D.20)
F* (ш) при больших |ш| удовлетворяет неравенству
^ <1)- D-21)
Оценку для Ф (ш) можно получить как из D.17) и C.17), так и
из D.20) и C.01). То и другое дает
?, D.22)
причем при достаточно больших \w\
м*
<1), D.23)
с теми же значениями а и Л1*, как и в D.21).
Формулы D.20) и D.22) имеют то неудобство, что входящие
в них функции F* и Ф* обращаются в бесконечность при w = 0.
Это неудобство легко устранимо. Введем произвольное число q
с положительной мнимой частью (можно взять, например, q =
= iv0, где v0 определено как в параграфе 3). Вместо D.20) и
D.22) мы можем написать
F(w) = G, (w) + -^ + F] (w), D.24)
Здесь F* и Ф* удовлетворяют тем же неравенствам, как F* и
Ф*, и, кроме того, являются голоморфными функциями: первая —
в верхней полуплоскости, а вторая — в полосе C.03) и в нижней
полуплоскости.
Получив F* (ш), можно построить абсолютно сходящийся
интеграл
4i

416 Математические добавления
Этот интеграл будет ограниченной и непрерывной функцией от х,
которая по лемме Римана—Лебега будет стремиться к нулю при
х —» оо. Кроме того,
/,(*) = О при х<0. D.27)
Функция g (x), по предположению, удовлетворяет формулиро-
ванным выше условиям 1° и 2°, так что к ней применима фор-
мула Фурье. Поэтому
1 +У ( g (x) при х >> О,
lim 4~ е-*?! (ш) dw = У ^л D.28)
лг->~ 2л JN [0 при х<0. v '
Кроме того,
"*"" ' ъ'ч* при
О
Из сопоставления формул D.26), D.28) и D.29) вытекает, что су-
ществует интеграл
/(*)= lim -±- J e-ixwF(w)dw, D.30)
определяющий функцию f (x), причем этот интеграл равен
\g(x)+ СеГч* + fq (x) при х > 0,
0 при х < 0. ^ '
Определяемая им функция f (x) представляет собой сумму непре-
рывной функции и функции с ограниченной вариацией; функ-
ция f (x) всюду ограничена и стремится на бесконечности к нулю
(напомним, что Im (q) > 0).
Условия, необходимые для того, чтобы к функции f (x) была
применима формула Фурье, будут установлены в параграфе 8.
5. Доказательство существования решения
Доказав существование интеграла для / (х), перейдем ко вто-
рой части нашей задачи и докажем, что определяемая им функ-
ция f (x) удовлетворяет предложенному интегральному урав-
нению.
Докажем прежде всего формулу A.13). Для этого нам потре-
буется одно свойство интеграла
J e~ixwF(w)dw, E.01)
J

Добавление 1. Интегральные уравнения 417
над которым совершается в D.30) предельный переход, а именно
его равномерная ограниченность как относительно N, так и
относительно х.
Рассмотрим сперва интеграл
I e~lXwG И dw
и докажем равномерную ограниченность для него. Вследствие
абсолютной интегрируемости функции g (х) мы можем в интеграле
(ш) E.03)
интегрировать под знаком интеграла, после чего получим
Воспользовавшись второй теоремой о среднем, легко оценить
интеграл в правой части. Именно
я
¦$?-&, E.05)
причем
я
= 1,17898... < 1,18. E.06)
Равенство E.05) оказывается справедливым, каковы бы ни были
N, х и т). Обозначая через V полную вариацию функции g (x)
в промежутке @, оо) и замечая, что на бесконечности g (х) = 0,
мы получим
E.07)
что и доказывает равномерную ограниченность интеграла E.02).
Полагая в предыдущих формулах g (х) — е"?*, причем Im (q) >
> 0, заключаем, что и интеграл, стоящий под знаком предела
в формуле D.29), равномерно ограничен относительно N и х.
Наконец, интеграл
+N
—N
27 в. А. Фок

418 Математические добавления
может быть оценен по модулю подынтегральной функции, что
дает
±00
I fqN(х) |<4г j I F*q(ш) | dw, E.09)
—оо
независимо от W и от х.
Сопоставляя найденные оценки для трех слагаемых фор-
мулы D.31), мы заключаем, что и интеграл E.01) равномерно
ограничен, что и требовалось доказать.
Переходим к доказательству формулы A.13). Вследствие абсо-
лютной интегрируемости функции k (x — у) интеграл
+Г
I(w)= J k(x — y)e-iwvdy E.10)
—оо
сходится равномерно относительно w (которое предполагается
здесь вещественным). Поэтому в интеграле
+N +N
-^- J / (ш) F (ш) dw = ~2^- j e-taaK(w)F(w)dw E.11)
можно интегрировать под знаком интеграла, что дает нам
+оо +N
j J
-~2я 1 k(x — y)dy J e-twvF(w)dw. E.12)
—оо —N
Здесь можно перейти к пределу N —» оо. Предел левой части
существует вследствие абсолютной сходимости стоящего там
интеграла. Правую часть можно согласно E.01) записать в виде
4-оо -(-оо
J k(x-y)fN(y)dy= J k(x-y)f(y)dy + RN(x), E.13)
—оо —оо
где
RN(x) = J k (x - #) [fN (у) - f(y)} dy. E.14)
—oo
Легко видеть, что
lim RN(x) = 0. E.15)
В самом деле, в интеграле E.14) путь интегрирования можно
разбить на три участка: от —оо до* — А, от* — Лдо* + Л

Добавление 1. Интегральные уравнения 419
и от х + А до +оо. По доказанному, функция fN(y), а значит,
и разность fN (у) — / (у) равномерно ограничены. Поэтому и
вследствие абсолютной интегрируемости функции k (х — у) можно
выбрать А (не зависящее от N) столь большим, чтобы сумма
интегралов по крайним участкам была сколь угодно малой.
После этого, пользуясь ограниченностью fN (у), можно выбрать N
столь большим, чтобы интеграл по среднему участку был сколь
угодно малым (по теореме Лебега). Тогда будет сколь угодно мал
и весь интеграл E.14). Тем самым равенство E.15) доказано.
Таким образом, мы доказали равенство
+ 00 +00
~ I e-b»*K(w)F(w)dw= j k(x-y)f(y)dy, E.16)
00 ОО
т. е. формулу A.13). Заметим, что в наших рассуждениях мы не
пользовались предположением о том, что к f (x) применима фор-
мула Фурье (это предположение нами пока и не доказано).
Так как f (у) при отрицательных у равно нулю, то вместо E.16)
можно написать
+оо
\ E.17)
Но F (w) удовлетворяет функциональному уравнению, согласно
которому
К (w) F (w) = IF (w) — Gj (w) ] — Ф (w). E.18)
Понимая интеграл в правой части E.17) как предел интеграла
от —N до +W, мы можем представить его в виде разности двух
интегралов, существование которых вытекает из оценок D.24)
и D.25) и которые при х > 0 равны
+N
Нга ¦—¦ I e-!™ [F (w) - Gx (w)] dw = f (x) -g(x), E.19)
+N
lim ~ [ e-iwx(b (w) dw = 0. E.20)
При сопоставлении последних четырех формул получаем
E.21)
т. е. предложенное интегральное уравнение.
Мы доказали, что при сделанных относительно g (х) и k (x)
предположениях существует решение нашего интегрального урав-
27»

420 Математические добавления
нения, представимое в виде интеграла D.30). Некоторые свойства
функции D.30) были отмечены нами выше: это — сумма из функ-
ции с ограниченной вариацией и непрерывной функции. Реше-
ние D.30) остается всюду конечным и на бесконечности стре-
мится к нулю.
В дальнейшем (параграф 10) будет показано, что решение D.30)
будет единственным решением с этими свойствами.
С другой стороны, если наложить на g (х) добавочное требо-
вание абсолютной интегрируемости х g (х), то можно утверждать,
что к найденному решению применима формула Фурье (это будет
показано в параграфе 11). Тогда из самого способа вывода нашего
решения ясно, что оно также будет единственным решением,
к которому эта формула применима.
Что касается ограничений, наложенных нами на g (х) и k (x),
то нетрудно видеть, что они могут быть смягчены. Так, например,
сохраняя их полностью для g (х), мы можем допустить обраще-
ние k (х) при х =0 в бесконечность порядка |х|р-1, р > 0 так,
чтобы разность
c\x\ = k2(x) E.22)
оставалась конечной и удовлетворяла всем прежним условиям.
Этот случай часто встречается в физических задачах. Тогда для
К (w) будет иметь место оценка
K-^r при И-,оо E.23)
и все заключения этого и предыдущего параграфов останутся в
силе. Подобно этому можно также допустить обращение k (x)
в логарифмическую бесконечность при х = 0. Возможны и дру-
гие смягчения условий, налагаемых на заданные функции k (x)
и g (x), но на них мы останавливаться не будем.
6. Случай вещественных корней
В предыдущем анализе мы оставили в стороне случай веще-
ственных корней функции 1 — К (w). Произведем одно преобра-
зование уравнения C.01), применимое и в общем случае, но
особенно удобное для изучения случая вещественных корней.
Предположения о вещественности корней мы пока делать не будем.
Пусть функция 1 — К (w) в полосе
—с <Im(w) <+c, F.01)
где она голоморфна, имеет In корней, из коих п равны:
W=wv w = wv..., w=wn, F.02)

Добавление 1. Интегральные уравнения 421
а остальные п отличаются от них знаком. Среди корней F.02)
могут быть одинаковые. Условимся считать, что те из корней F.02),
которые комплексны, имеют положительную мнимую часть и рас-
положены в порядке возрастания их мнимой части.
Введем положительное число 6 > с, где с — половина ширины
полосы F.01), и положим
1 — К (w) (а,2 _ ^ ... (а»2 —
Определяемая этим равенством функция гр (до) голоморфна
и не имеет нулей внутри полосы F.01), а на бесконечности обра-
щается в единицу. Ее логарифм % = lg гр будет внутри полосы
голоморфной функцией, которая на бесконечности стремится
к нулю обратно | до |. Эта функция удовлетворяет условиям леммы I,
и мы можем применить к ней разложение вида C.06), что при-
водит к разложению гр (w) на множители
Ч> (а>) = Ф1 (ю) +1 И F-04)
со свойствами, аналогичными свойствам множителей в фор-
муле C.09).
Подставляя F.04) в F.03), получим
1 _ (и* + Ь*)" ft И ft И /fi „,-v
1 - К (а.) ~ („? - ю*) . . . (и,2 - н?) ' ^ Ш;
Положив
¦м И = (» + 'Ь)л Ч>, И, F.06)
гр„2 (ш) = (w — iby гр2 (ш), F.07)
мы можем также написать
1 -ТС И - (^_ Ш2) . . . (^-а.2) '
Заметим, что вид функций гр! (ш) и гр2 (до) зависит от выбора
произвольного числа Ь, тогда как выражения грщ (до) и -ф^з (йу)
не зависят от Ь.
Выше мы предположили, что комплексные корни из ряда F.02)
расположены в порядке возрастания их мнимой части. Если бы
мы вместо полосы F.01) рассматривали более узкую полосу
—с' <1т(до) <+с' @ <с' <с), F.09)
то в нее не попали бы некоторые корни, например корни со знач-
ками п! + 1, я' + 2, . . ., п (п' <«). Формула F.05) приняла бы
Вид
> R 7-2 Гч- F-10)
- — aijl . . . [иг — wn,\

422 Математические добавления
Легко установить связь между i|)J (да) и фг (да), а также между
гр* (да) и гр2 (да). Именно
(Напомним, что мнимую часть комплексных корней дот мы счи-
таем положительной.)
Подобным сужением полосы мы всегда можем достигнуть
того, чтобы в нее попали только вещественные корнн. Поэтому
не было бы ограничением общности и предположение, что все
корни F.02) вещественны.
Переходим к решению функционального уравнения
F (да) U — К (ю) ] — G, (w) = Ф (w). F.13)
Подставим в него 1 — К (w) из F.05) и умножим обе части полу-
ченного уравнения на 1|>8 (до). Тогда
Функцию гр2 (w) Gt (до), как и в параграфе 3 [формула C.14)],
можно разложить по формуле
^(w)G1(w) = H1(w) + H2(w). F.15)
Если мы введем обозначения:
Hl{w) = G\{w), F.17)
гр2 (да) Ф (да) + Я2 (да) = Ф* (w), F.18)
то уравнение F.14) примет вид
Введенные только что функции F*, GJ и Ф* обладают свойствами,
вполне аналогичными свойствам функций F, Gj и Ф. Таким обра-
зом, общий случай функционального уравнения F.13) приведен

Добавление 1. Интегральные уравнения 423
к частному случаю, когда преобразованное ядро К* (w) является
дробной рациональной функцией от w вида
0 <а20>
Для ядра же F.20) задача может быть решена чисто алгебраиче-
ским путем.
Произведем подстановку
которая преобразует верхнюю полуплоскость w во внутреннюю
часть круга единичного радиуса, а нижнюю полуплоскость w —
в наружную часть того же круга. Бесконечно удаленной точке
плоскости w будет соответствовать точка z = 1. Всякая функция
от w, голоморфная в верхней полуплоскости, будет разлагаться
в ряд по положительным степеням z, сходящийся при | г | < 1.
Функция же, голоморфная в нижней полуплоскости, разложится
в ряд по отрицательным степеням г, сходящийся при |z|> 1.
Очевидно, что, выразив функцию F.20) через г, мы получим
полином от г и от — (отрезок ряда Лорана). Мы можем положить
1 _ К* (w) = L (г), F.22)
где
1(г)= ? cmz* (c_m = cm). F.23)
При этом L A) = 1. Положим, далее,
F* (w) = F, (г), F, (I) = 0, F.24)
GlW^G^z), G3(l) = 0, F.25)
F.26)
Функции F8, G8, Ф3 будут восходящими рядами от своих аргу-
ментов. Подставим эти выражения в уравнение F.19). Тогда
S D) F-27)
Но левая часть содержит только конечное число отрицательных
степеней г (наинизшая степень — минус п). Поэтому правая
часть будет полиномом степени п от —.

424 Математические добавления
Можно положить
Ф3 D~) = z~"Qn (г), F.28)
F-29)
где Qn (z) — полином степени п от г.
Решая F.27) относительно F3, получаем
Особенными точками F3 (z) внутри единичного круга могли бы
быть лежащие там корни L (z). Но функция F3 (z) не должна
иметь там особенных точек. В тех случаях, когда задача имеет ре-
шение, это требование позволяет определить неизвестный поли-
ном Qn (z).
Здесь приходится различать два случая: первый случай,
когда все корни wm комплексны, и второй случай, когда некото-
рые из них вещественны.
Случай 1. Предположим, что все величины F.02) имеют
положительную мнимую часть. Тогда соответствующие им зна-
чения z
z = zlt z = z2,...,z = zn F.30)
будут все по модулю меньше единицы. Величины F.30) будут
единственными корнями L (z), лежащими внутри единичного
круга, а на самом круге эта функция корней иметь не будет.
[Остальные п корней L (z) будут равны обратным величинам F.30)
и лежат вне круга. ]
Чтобы дробь F.29) оставалась внутри круга конечной, числи-
тель дроби должен обращаться в нуль для значений F.30). Это
дает для полинома Qn (z) n условий, которые в случае простых
корней имеют вид
Qn(zm)=-znmG3(zm) (m= 1, 2, .... я). F.31)
При кратных корнях в условия войдут производные от Qn (z)
и G3 (z). Если корень z — zm кратности s, то соответствующие
ему условия будут
Q(nr) Ы= - \~ [z"G3(z)]j (г = 0, 1 s - 1). F.32)
И в том, и в другом случае общее число условий будет равно п.
Эти п условий вместе с условием
Q»(i) = o F.33)
определяют полином Qn (z) однозначным образом.

Добавление 1. Интегральные уравнения 426
Мы пришли к результату, уже установленному в предыдущих
параграфах иным путем: в случае комплексных корней 1 — К (w)
решение существует для любой функции g (х), удовлетворяющей
некоторым общим условиям и для любой соответствующей ей
Оз (*)¦
Случай 2. Предположим, что функция 1 — К (w) имеет
2/ вещественных корней
w — wv w — о>2,..., w = wi, F.34)
а также
w = — wlt w =>-— щ, ..., w= — W{. F.35)
Остальные же корни
w = wi+1, w = wM, ..., w = wn F.36)
и величины, отличающиеся от них знаком, пусть будут комплекс-
ными *.
В таком случае первые I величин F.30) будут по модулю
равны единице. Число точек, для которых нужно требовать обра-
щения в нуль числителя дроби F.29), будет (не считая точки z = 1)
равным п + I, ибо к точкам F.30) придется присоединить точки
z = l", z = J-,...,z=-i-, F.37)
соответствующие корням F.35). Число условий, налагаемых на
коэффициенты полинома Qn (z), будет превышать число коэффи-
циентов на Л Для того чтобы эти условия были совместны, необ-
ходимо, чтобы заданная функция G3 (z) = Gi (w) удовлетворяла
нескольким соотношениям, которые связывают значения этой
функции (а в случае кратных корней — значения ее производных)
в различных точках z = zm и соответственно w = wm. Число таких
соотношений равно I — числу пар вещественных корней.
Для первоначально заданной функции g (x) указанные соот-
ношения приводятся к условиям ортогональности
«о
jg(x)ym(x)dx = 0 (m=l, 2, ...,/), F.38)
где вид функций ут (х) зависит только от ядра k (x).
Эти функции, представляющие решения однородного инте-
грального уравнения, будут нами изучены в параграфах 8 и 9.
* Согласно сделанному выше замечанию, мы могли бы считать, что / = п,
т. е. что комплексные корни F.36) отсутствуют.

426 Математические добавления
В наших формулах мы можем возвратиться от переменной г
к переменной до. Из формул F.26) н F.28) получаем
G>*(W)= p"-iH F.39)
v ' (w — tb)nJ v '
где Рп_г (до) — полином степени п — 1 от ш.
Отсюда
F* <w) e У + ^^И + С + ^^И F 40,
Переходя теперь по формулам F.16) и F.17) от F* (до) и G* (до)
к первоначальным функциям F (до) и Ях (до), будем иметь
или, если воспользуемся обозначением F.06),
Напомним, что функция грп1 (до) [в отличие от грх (до)] не зависит
от выбора числа Ь. Что касается числителя дроби в F.42), то он
также не зависит от Ь. В самом деле, по формуле F.15) мы имеем
согласно лемме I при I m (до) > 0
Чтобы выразить явным образом зависимость Ях от Ь, напншем
предыдущую формулу в виде
#i (w) = -J-t f *a(B)Cl(") du. F.44)
1V ' 2m J («_,•&)« (м—а>) v '
— oo
Обозначим через Н\ (до) функцию, которая получается из Ях (w)
заменой Ь на некоторое другое число Ь', тогда
(до — ib)nHi (до) — (до — /6 )" #i (до) =
А это полином степени п — 1 от до, который может быть включен
В Р„-1 (а»).

Добавление 1. Интегральные уравнения 427
Полином Pn_1 (до) определяется из условия, согласно которому
числитель дроби F.42) должен обращаться в нуль в тех точках
верхней полуплоскости, в которых знаменатель обращается
в нуль.
В случае комплексных корней эти условия имеют вид
Pn-i (wm) = -(wm- iVfHi (wm), F.46)
если корни простые, и несколько более сложный вид, содержащий
производные, если корни кратные. Число таких условий равно п.
В случае / пар вещественных корней к этим п условиям при-
бавляются I новых условий аналогичного вида, а из них вытекают
для значений функции Нг (до) и ее производных в точках
w = wm l соотношений, гарантирующих совместность упомянутых
условий для Рп_г (w). Если эти соотношения выполнены, функ-
ция F (w) не будет иметь полюсов не только в верхней полупло-
скости, но и на вещественной оси.
7. Дополнительные условия для заданной функции
в случае вещественных корней
В параграфах 4 и 5 мы доказали существование решения в форме
интеграла C.18) для случая комплексных корней. Теперь нам
нужно выяснить, какие дополнительные ограничения (не считая
условий ортогональности) должны быть наложены на g (x), чтобы
решение того же вида существовало и в случае вещественных
корней.
Эти ограничения должны быть таковы, чтобы из них вытекала
абсолютная интегрируемость F (w) вблизи каждого корня w =
Для функции F (до) мы можем пользоваться выражением F.42),
в котором удобнее заменить Нх (до) его значением
Нх (ДО) = гра (до) Gx (ш) - Я2 (до), G.01)
взятым из C.14). Благодаря этому для F (w) получается выраже-
ние, которое, конечно, эквивалентно формуле
вытекающей непосредственно из основного функционального урав-
нения для F (w).
В выражении G.02) функции К (до) и Ф (до), по их определе-
нию, голоморфны в полосе, включающей вещественную ось [а
Ф (w), кроме того, и в нижней полуплоскости]. Что касается
Gi (до), то эта функция голоморфна лишь над вещественной осью,
а на самой оси она [при сделанных до сих пор предположениях

428 Математические добавления
относительно g (х) ] только непрерывна и ограничена. Поэтому
поведение F (w) на вещественной оси определяется поведением
Gi (до). Пусть w — wm будет корнем знаменателя кратности s.
Вблизи до = wm
F(w)~A (W) D5 (до) + В (w), G.03)
где
Ds (w) = (ш - wmr* [Gi И - Gj (wm) -
]' <7-04)
а функции A (w) и В (w) голоморфны вблизи до = wm.
Если бы корень w = wm был комплексный (с положительной
мнимой частью), то вблизи w = wm функция Gt (w), а значит,
и Dt (w), была бы аналитической. Следовательно, голоморф-
ность F (до) вблизи комплексных, хотя бы и кратных, корней
знаменателя будет иметь место без всяких добавочных ограниче-
ний для g (х).
Если же корень w — wm вещественный, то требование абсолют-
ной интегрируемости F (до) вблизи w = wm налагает на Gx (ш)
и на g (x) некоторые новые ограничения. Требование это будет
выполнено, если величина Ds (w) окажется абсолютно интегри-
руемой.
Положим для определенности w ^ wm (мы считаем здесь до
вещественным) и докажем неравенство
(w )
у т' du. G.05)
(При w ^ wm нужно было бы взять здесь w в качестве нижнего
и wm в качестве верхнего предела.)
Формула G.05), очевидно, справедлива для s = 1, ибо в этом
случае она обращается в тождество. Чтобы доказать ее для s ^ 2,
воспользуемся представлением для Ds (w) в виде интеграла
G.06)
Положим
/to
до
а» —а»т
. G.07)

Добавление 1. Интегральные уравнения
429
Величину / (f) можно представить в виде
где
w' = wt+wm{\— t). G.09)
Заметим, что t входит в выражение G.08) только через посредство
верхнего предела.
Если мы предположим абсолютную интегрируемость функции
A{u,v) =
G.10)
то интеграл / (t) будет ограниченной и непрерывной функцией
от t, причем
/(*)</(!) = J |А(«,
G.11)
так как, при t ^ 1 будет до'
w.
П — t)s~2
Поэтому мы можем, умножив / (t) на v,_^, [ dt, интегри-
ровать под знаком интеграла; в результате получим
\-t)]-G[-l>(wm)
w — wm
1
A -1)
s-2
(s-2)!
-dt =
0
s—1
! —2)!
G.12)
Внутренний интеграл в левой части G.12) дает вследствие G.06)
верхний предел для \DS (w) |. Вся же левая часть G.12) дает верх-
ний предел для левой части G.05). Поэтому
W 1
l(t){\-^dt. G.13)
Заменяя здесь / (t) его верхним пределом из G.11) и выполняя
интегрирование по t, получим
W
L-- j |А(ы, wm)\du, G.14)
т. е. формулу G.05).

430 Математические добавления
Таким образом, для того чтобы функция F (w) была абсолютно
интегрируема вблизи точки w = wm, достаточно потребовать абсо-
лютной интегрируемости функции А (w, wm) вблизи этой точки.
Положим в выражении G.10) для А (и, v) число s равным
наибольшей кратности вещественных корней. Если для этого
значения s величина А (и, v) будет абсолютно интегрируемой
функцией от w при любом значении и, то, очевидно, и F (до) будет
абсолютно интегрируемым в любом конечном промежутке.
Входящая в выражение для А (и, до) производная равна
Gl*-» (w) = iT1 ] е" V-1 g (х) dx. G.15)
Существование этой производной и сходимость интеграла G.15)
нужны уже (как мы увидим в параграфе 8) для формулировки
условий ортогональности F.38), налагаемых на g (x). Мы потре-
буем, кроме того, чтобы интеграл G.15) был абсолютно схо-
дящимся, и положим
l G.16)
Докажем, что функция А (ы, хю) удовлетворяет неравенству
I
|А(«, w)\^\h(x)dx, G.17)
где
e-Tinbr GЛ8)
Имеем
0[5-г) И -О!8» (и) = i1 J (е|хш -е'*") xs-'g(x) dx. G.19)
К разности показательных функций под интегралом применяем
неравенства
—е'хи|=
-ю| при х<1, G.20)
\etxw — e'x"|<2 при х>%. G.21)
Тогда
\G\S-" (и)-0<*-г) (w)\<\u-w\\ xs\g(x)\dx +
00
\xs~l\g(x)\
dx. G.22)

Добавление 1. Интегральные уравнения 431
Это неравенство справедливо при всяком |, но при | = -|———г
значение правой части неравенства будет наименьшим. Деля
на \и — до| и пользуясь обозначением G.18), получаем
|д(ы, w)\^jx'\g(x)\dx + l]xs-i\g{x)\dx, G.23)
откуда после простого преобразования правой части получается
формула G.17).
Теперь легко найти для g (x) условие, достаточное для абсо-
лютной интегрируемости Л (и, до), а следовательно, и F (w).
Интегрируя неравенство G.17) и предполагая до > и, получаем
G.24)
или
^^[h(x)dx + 2[^dx, G.25)
I1
где | имеет прежнее значение G.18).
Так как по предположению интеграл G.16) сходится, то функ-
ция h (x) стремится на бесконечности к нулю. Следовательно,
при | —» оо стремится к нулю и первый член в правой части G.25).
Таким образом, достаточным условием для абсолютной интегри-
руемости Д (и, v) является сходимость интеграла
x. G.26)
Для выполнения этого условия еще недостаточно, чтобы интеграл
для h (x) сходился; нужно, чтобы он стремился к нулю не слишком
медленно.
Интеграл hx (?) нетрудно выразить непосредственно через g (x).
Подставляя G.16) в G.26) и меняя порядок интегрирования
по формуле Дирихле, получим
hi® = Ukx-kl)x°-l\g(x)\dx. G.27)
Отсюда видно, что в случае вещественных корней все условия
будут выполнены и функция F (до) будет абсолютно интегрируема

432 Математические добавления
в любом конечном промежутке при единственном дополнительном
условии для g (x), а именно при условии сходимости интеграла
G.28)
где s ^ 1 — наибольшая кратность вещественных корней.
Если интеграл G.28) сходится, то функция h (x) будет убывать
быстрее, чем обратно пропорционально lg x. Если она убывает
настолько быстро, что произведение x°h (x) остается ограничен-
ным, то, как видно из G.17), функция G[s~l) (w) будет удовлетво-
рять условию Липшица
| G\s~l) (w) — G\S~X) (и) |< М1 и — w |". G.29)
Легко показать также, что тогда будет иметь место неравенство
IА И | < тг=Ж Iw - Wm I"'1 G-3°)
с тем же значением М.
Мы выяснили, что при сходимости интеграла G.28) функция
F (w) будет абсолютно интегрируема в любом конечном проме-
жутке. Рассмотрим теперь поведение F (w) на бесконечности.
Для исследования F (w) воспользуемся выражением F.41).
Для функций i|)x (до) и Нг (w) имеют место те же оценки, как и
в отсутствии вещественных корней. Обозначая через р0 коэф-
фициент при старшей степени w в полиноме Р„_г (w), мы будем
иметь при | w | —> оо
[ ] (±) G.31)
Отсюда видно, что функция F (w) будет на бесконечности
того же характера, как и при отсутствии вещественных корней,
и к ней будет применима формула D.20) (с заменой iC на iC + Ро)-
То же заключение относится и к Ф (w).
Сопоставляя этот результат с только что доказанной абсолют-
ной интегрируемостью F (w) в любом конечном промежутке, мы
приходим к выводу, что рассуждения параграфов 4 и 5 не требуют
никаких изменений. Таким образом, и для случая вещественных
корней можно считать доказанным, что при сделанных относи-
тельно g (х) и k {x) предположениях интеграл, выражающий f (x)
через F (w), существует, и что определяемая им функция / (х)
удовлетворяет предложенному интегральному уравнению.

Добавление 1. Интегральные уравнения 433
8. Вывод условий ортогональности
Мы продолжим здесь начатое в параграфе 6 исследование слу-
чая вещественных корней и изучим подробнее те условия ортого-
нальности, которым должна удовлетворять заданная функция g (x).
Предположим, что все выделенные корни wlt w , wn
вещественны. Как уже было указано в параграфе 7, это всегда
может быть достигнуто сужением рассматриваемой полосы в пло-
скости w. Если v0 — мнимая часть ближайшего к вещественной
оси комплексного корня 1 — К iw), или ближайшей особенной
точки этой функции, то достаточно взять
с' < v0 (8.01)
и рассмотреть полосу
(8.02)
Обозначим через S (w) полином степени 2я, составленный из мно-
жителей w2 — хи?т:
S (да) = (о>2 — ^)... (да2 — w\). (8.03)
Выражение F.42) для функции F (w) может быть написано в виде
F и = ^f t(t" -ib)n н*{w)+р«-1 и ] • {8-04)
Рассмотрим подробнее соотношения, которым должна удовлетво-
рять функция Нг (w). Проведем в плоскости w замкнутый кон-
тур Г, окружающий все точки w = ±дат и лежащий внутри по-
лосы (8.02) или на ее границе. [Можно, например, взять прямо-
угольный контур из двух отрезков прямых, составляющих гра-
ницу полосы (8.02), и двух отрезков, параллельных мнимой оси].
Положим
R (да) = (w — ib)n Нг (да) (8.05)
и обозначим через Ran {w) какую-нибудь аналитическую функцию,
голоморфную внутри Г и принимающую в точках w — ±wm те же
значения, что и R (w). Если корень wm — кратный, кратности s,
то в точке wm должны совпадать и производные от R^ {w) и от
R (w) порядка до s — 1 включительно. [В качестве Rm (w) можно
взять полином достаточно высокой степени, а если сама функ-
ция R (w) голоморфна внутри Г, то можно просто положить
Rm(w) = Я(ю).1
В формуле (8.04) полином Рп_1 (w) должен быть определен
из условия
R (w) + Р„_г (оу) = 0 при w = ± хют (8.06)
28 в. А. фок

434 Математические добавления
или, что то же, из условия
Ran И + РП-1И = 0 при до = ± wm, (8.07)
причем степень полинома Р„_х (w) должна быть не выше п — 1.
Если такое определение возможно, то все интегралы
^^Г^1^ (8-08)
где г — целое положительное число, должны обращаться в нуль.
Но так как степень полинома Р„_х (до) есть п — 1, то для г =
= 0, 1, . . ., п — 1 будет в отдельности
ибо здесь под интегралом стоит рациональная дробь, в которой
степень знаменателя, по крайней мере, на две единицы выше
степени числителя.
Поэтому условия существования полинома Р„_г (до) прини-
мают вид
1^Ш^^-° Ь = 0.1 п-1). (8.10)
Стоящий здесь интеграл равен сумме вычетов в точках w =
= ±wm. Условившись считать
W_m=~Wm, (8.11)
мы можем переписать условия (8.10) в виде
V Ra?(a>n) wrm = 0, (8.12)
/71= ft
если корни wm простые, и в несколько более сложном виде, если
они кратные (штрих у знака суммы означает, что член, для коего
т = 0, должен быть опущен). Но в точках w = wm аналитиче-
ская функция Ran (w) принимает те же значения, что и R (w).
Подставляя вместо R (до) выражение (8.05), будем иметь
L-xnfmHi(wm) = Q (г = 0, 1,...,п — 1). (8.13)
Мы получили в явной форме те алгебраические соотношения,
которым должна удовлетворять (в случае простых корней) функ-
ция Ях (w). Перейдем от них к соотношениям для G2 (до). Согласно
определению Ht (w)
г|>2 (до) Gx (до) - Нг (ы>) + Я8 (и,). (8.14)

Добавление 1. Интегральные уравнения 435
Поэтому соотношения (8.13) равносильны следующим:
f;
t
(8.15)
Обозначим здесь правую часть через А и преобразуем ее. Поль-
зуясь тем, что функция Я2 (w) голоморфна в полосе (8.02), а зна-
чит, и внутри контура Г, мы можем представить А в виде инте-
грала
Контур Г можно заменить двумя прямыми, параллельными веще-
ственной оси; тогда величину А можно представить в виде раз-
ности
A=A1 — Ai (8.17)
двух абсолютно сходящихся интегралов
2nj J S(ai) v
Первый из этих интегралов равен нулю, так как подынтеграль-
ная функция в нем голоморфна в нижней полуплоскости, а на
бесконечности стремится к нулю как | w ^~n~1) т. е. по крайней
мере обратно | w |2. Во втором же интеграле мы снова можем
выразить при помощи (8.14) Я2 (до) через H1(w) и через
¦ф2 (до) Gx (w). Легко видеть, что интеграл, получаемый из Аг
заменой Я2 (w) на Нх (w), равен нулю. Поэтому
1С'—оо
тогда как
Лг-0. (8.21)
28*

436 Математические добавления
Так как А = —А2 есть правая часть (8.15), то условие (8.13)
может быть сформулировано следующим образом:
= -Ш } ^^1wr^(w)Gl(w)dw. (8.22)
№
№—оо
Полученную формулу можно написать в несколько более простом
виде, если положить согласно F.07)
Ум И = (w — ib)n ifc (оу). (8.23)
Тогда
m=—n
(C'+oo
tc' — o
Напомним, что i|)n2 {w), в отличие от ty2 iw)> не зависит от выбора
числа Ъ. Согласно оценке, получаемой из D.12) заменой -фх на
¦ф2, мы имеем в полуплоскости 1ш(йу) <с' при достаточно боль-
ших | w |
Отсюда видно, что интеграл в (8.24) будет абсолютно сходящимся.
В формулу (8.24) можно подставить для Gx (w) интегральное
выражение
оо
Gl(w)=letxwg{x)dx. (8.26)
о
Пользуясь (8.25), легко доказать законность изменения в правой
части (8.24) порядка интегрирования, так что первое интегриро-
вание можно производить по w. Положив
wr dw, (8.27)

Добавление 1. Интегральные уравнения 437
мы можем правую часть (8.24) писать в виде
оо
nr1\ (8.28)
В аналогичном виде можно представить и левую часть (8.24).
Положив
J '^^^ (8-29)
m=—п
получим для левой части (8.24) выражение
2
2' ^
которое в силу (8.15) должно равняться А. Приравнивая (8.28)
и (8.30), получим условия для g (x) в виде
= 0 (r = 0, l,...,n —1), (8.31)
б
где
Уг \Х) = ОЬГ (X) -\- рг \Х), \O-O4f)
Таким образом, чисто алгебраическое условие (8.13) для Ях (w)
оказалось эквивалентным условию ортогональности (8.31) для g(x).
9. Свойства функций, входящих в условия
ортогональности
Изучим подробнее функции, входящие в условия ортогональ-
ности.
Величину аг(х) можно представить в виде контурного интеграла
Это представление справедливо также и в случае кратных корней.
Заменяя контур Г двумя параллельными прямыми, мы можем
представить интеграл (9.01) в виде разности двух интегралов, —
подобно тому, как это сделано в формуле (8.17), где интеграл А
дан в виде разности Аг — Аг. Один из них будет как раз равен
интегралу (8.27) для §г (х). Составляя сумму (8.32), получим
—1с'—оо

438 Математические добавления
Функция 7г (*) будет производной r-го порядка от у0 (х):
^. (9.03)
Аналогичные соотношения существуют для аг (х) и для {5, (х).
Так как множитель при показательной функции под интегра-
лом (9.02) представляет собой функцию, голоморфную в нижней
полуплоскости, причем она стремится к нулю на бесконечности
по крайней мере обратно ] w\, то при отрицательных значениях х
интеграл (9.02) равен нулю:
Yr(*) = 0 при х<0. (9.04)
Все функции уг (х), кроме у„_г (х), непрерывны. В частности,
Yr@) = 0 (г -0,1 я —2). (9.05)
Функция же Yn-i (*) терпит при х — 0 разрыв:
Yn_i(+0)=l, Y«_i(-0) = 0. (9.06)
Рассмотрим поведение уг {х) при больших положительных х.
Легко видеть, что при неограниченном возрастании х функции
EГ (х) стремятся к нулю по показательному закону. В самом деле,
из формулы (8.27) видно, что можно положить
рг(х) = е-с'%(х), (9.07)
где Р* (х) остается ограниченным при бесконечном возрастании х.
Коэффициенте' в показателе удовлетворяет неравенству (8.01),
но может быть взят сколь угодно близким к v0.
Что касается величины аг (х), то для нее у нас имеется явное
выражение (8.29). Оно непосредственно применимо в случае
простых корней. Ни один из множителей i|>n2 (a>m) в нем не равен
нулю. Величина аг (х) будет осциллирующей функцией от х,
в которой будут представлены все «частоты» wm. Эта функция хотя
и остается ограниченной, но не стремится на бесконечности ни
к какому пределу. Если имеются кратные корни, то выражение
для аг (х) можно получить либо из (8.29), рассматривая кратные
корни как предел близких корней, либо непосредственно из инте-
грала (9.01). Выражение это будет содержать произведения пока-
зательных множителей е'*Шт на полиномы от х степени sm — 1
(sm — кратность корня wm). Если s — наибольшее из чисел sm,
то отношение аг (х) : Xs остается ограниченным и не будет
стремиться ни к какому пределу.
Ни одна из функций аг (х), а также никакая линейная комби-
нация этих функций не будут на бесконечности стремиться к нулю.
Отсюда, в частности, следует, что функции аг (х) линейно незави-

Добавление 1. Интегральные уравнения 439
симы. Формальное доказательство линейной независимости этих
функций проще всего вести на основании следующей леммы.
Лемма IV. Пусть функция q> (до) голоморфна внутри зам-
кнутого контура Г, за исключением, быть может, полюсов, и пусть
дано, что
±\lw = 0 (9.08)
тождественно относительно х. Тогда ц> (до) не имеет полюсов вну-
три Г.
Доказательство. Выделим главную часть в ц> (w):
J-J+- (9-09)
где фх (до) голоморфна внутри Г. Тогда
= 2 А(р, n)(ix)nelpx. (9.10)
р, п
Это выражение может обращаться тождественно в нуль только
в том случае, если все коэффициенты А (р, п) равны нулю, т. е.
если ф (w) приводится к голоморфной функции фх (до), что и
требовалось доказать.
Переходя к доказательству линейной независимости аг (х),
предположим обратное, т. е. предположим, что между этими
функциями существует соотношение вида
А оао (х) + Агаг (*) + •..+ Ап_1<хп_1 (х) = 0. (9.11)
Подставляя сюда выражения для аг (х) в виде контурных инте-
гралов (9.01) и обозначая через Р (до) полином
Р (w) = Ао + Аг (iw) + Л2 {iwf + •¦• + Ап_г (/до)", (9.12)
мы имели бы
|е^^у^^ = 0 (9.13)
г
при всяком х. Отсюда на основании леммы IV заключаем, что
функция
фИ=^Мр) (9.14)
голоморфна внутри Г, а так как tyni (до) там голоморфна и не имеет
нулей, то голоморфной должна быть и функция

440 Математические добавления
что невозможно, если только полином (9.12) не равен тождественно
нулю [ибо Р (w) представляет собой полином степени п — 1,
a S (w) — полином степени 2п]. Следовательно, не существует
соотношения вида (9.11) с отличными от нуля коэффициентами Аг,
и функции аг (х) линейно независимы.
Так как функции аг (х) не стремятся к нулю на бесконечности,
а функции рг (х) убывают там по показательному закону, то по-
ведение функций уг (х) при х —> +оо определяется поведением
функций аг (х). Отсюда следует, во-первых, что функция уг (х)
линейно независимы и, во-вторых, что ни одна из них и никакая
их линейная комбинация не могут на бесконечности стремиться
к нулю.
В заключение заметим, что так как отношение уг (х) : Xs-1
остается ограниченным, то все интегралы (8.31), выражающие
условия ортогональности, будут, при наших предположениях от-
носительно g {x), абсолютно сходящимися [см. формулу G.28)].
10. Решение однородного уравнения
Докажем, что входящие в условия ортогональности функции
уг (х) представляют решения однородного уравнения
Для этого рассмотрим интеграл
etxwK(w), A0.02)
+
J
который будет абсолютно сходящимся, пока w лежит в полосе D.09)
и тем более в полосе (8.02). Умножим его на
'w) , ,
2я
и проинтегрируем в пределах от —id — N до —id + N. Вслед-
ствие абсолютной сходимости интеграла A0.02) мы можем изменить
порядок интегрирования и получим
ic'-N
= J k{x-y)yrN{y)dy, A0.03)

Добавление 1. Интегральные уравнения 441
где положено
wr dw- A0.04)
—ic'—N
Рассуждая, как в параграфе 5, легко доказать, что
\e~°'»yrN(y)\<L, A0.05)
где L не зависит ни от N, ни от у.
С другой стороны, функция
ec'yk{x — y) A0.06)
будет абсолютно интегрируемой. Поэтому в правой части A0.03)
можно перейти к пределу под знаком интеграла. В результате
получим
-foo +оо
lim j k(x-y)yrN(y)dy~ J k(x-y)yr(y)dy. A0.07)
"~*>0° —-OO OO
Предел левой части A0.03) равен
-IC' + OO
2я J ' ' S (w)
—ic'—oo
>. A0.08)
Пользуясь равенством
[1— к/„A] ^"«W = ' (Ю.09)
вытекающим из F.05), легко убеждаемся, что при положительных
значениях х интеграл в правой части A0.08) равен нулю.
Приравнивая A0.07) и A0.08), будем иметь при х > 0
+ ОО
j
и вследствие (9.04)
00
j yr(x). (Ю.П)
^ь! получили результат, который можно было предвидеть: те
Функции, к которым должен быть ортогонален свободный член g (x)

442 Математические добавления
неоднородного уравнения, являются решениями однородного
уравнения.
Докажем, что функции уг (х) будут единственными решениями
однородного уравнения, удовлетворяющими неравенству
\yr(x)\<Le°'* {0<v'<v0), A0.12)
т. е. возрастающими медленнее, чем по показательному закону.
Для доказательства рассмотрим неоднородное интегральное
уравнение
j A0.13)
и выберем в нем свободный член g (х) так, чтобы его решение / (х)
быстро убывало. Для этого достаточно потребовать, чтобы g (х)
удовлетворяло тем же условиям, как и ядро k (x); мы предположим,
что не только g (x), но и функция
A0.14)
где с имеет то же значение, как в D.01) абсолютно интегрируема
и имеет ограниченную вариацию в бесконечном промежутке.
Нетрудно видеть, что функция Gx (w) будет тогда голоморфной
в той же полосе, что и К (ш) (и, кроме того, конечно, в верхней
полуплоскости). Из выражения G.02) для F (ш) видно, что един-
ственными особыми точками F (w) внутри полосы D.09) могут
быть корни 1 — К (w), лежащие на вещественной оси или ниже ее;
эти корни будут полюсами F (ш). Но если функция g (x) удовлет-
воряет условиям ортогональности (8.31), то на вещественной оси
функция F (ш) полюсов не имеет, и ближайшая к вещественной оси
особенная точка F (ш) будет иметь мнимую часть —о0. Таким
образом, F (w) будет голоморфна в полуплоскости
у0. A0.15)
Пусть v — число, удовлетворяющее неравенству
0<у<о0 A0.16)
(v может быть сколь угодно близким к v0). Напишем интеграл
для / (х) в виде
/(х) = -^г J e-'»*F(u — iv)du. A0.17)
Отсюда видно, что можно положить
x). A0.18)

Добавление 1. Интегральные уравнения 443
где функция f1 (х) остается ограниченной при бесконечном возра-
стании х:
\h(x)\<Lv A0.19)
Таким образом, при надлежащем выборе свободного члена суще-
ствуют решения неоднородного уравнения, быстро убывающие на
бесконечности.
Предположим теперь, что, кроме найденных выше функций
Уп.г(х), (Ю-20)
существует еще одно решение однородного уравнения
00
y(x)=\k(x-y)y(y)dy, A0.21)
о
которое возрастает медленнее, чем е0'*, так что
|Y(*)|<eo'*Z, @<o'<y0), A0.22)
где L — постоянная.
Подберем в формуле A0.16) величину v таким образом, чтобы
было
v' < v < v0. A0.23)
Умножим обе части A0.13) на у (х) и проинтегрируем по х от 0 до
оо. Двойной интеграл в правой части будет абсолютно сходящимся,
так как он будет меньше, чем
ОО DO
LLX J J eB'*-°» | k (x — y) | dx dy <
о о
00 -|-0O
<LL1\e~ (°-°') у dy J e0' <*-»> \k{x — y)\ dx. A0.24)
Простые интегралы также будут, очевидно, абсолютно сходящи-
мися. Изменив в двойном интеграле порядок интегрирования,
получим
jf(y)\v(y)-\k(x-y)y{x)dx^dy=lg(x)v(x)dx. A0.25)
Так как у (х) удовлетворяет однородному уравнению, то в качестве
необходимого условия получим еще одно условие ортогональности:
оо
\g(x)y{x)dx = Q. (Ю.26)
Q

444 Математические добавления
Но нами уже доказано, что прежних условий ортогональности
достаточно для существования решения. Поэтому новое условие
A0.26) должно быть следствием прежних условий (8.31).
Отсюда вытекает, что у (х) будет линейной комбинацией функ-
ций ут (х) (т — 0, 1, . . ., я — 1). В самом деле, возьмем в ка-
честве g (x) функцию *
g(x) = е-*-.* {ад,,(х) + fliYi (*)+•••+ oW-iYn-i (*) - V(x)\ (Ю.27)
и подберем в ней коэффициенты а0, ах, . . ., ап_х так, чтобы g {x)
была ортогональна ко всем функциям A0.20). Это всегда возможно,
так как вследствие линейной независимости этих функций опре-
делитель системы линейных уравнений для а0, а1( . . ., ап_1 (опре-
делитель Грама) наверное отличен от нуля. Но если g (x) ортого-
нальна к функциям A0.20), то по доказанному она ортогональна
и к функции y (х), а следовательно, и к функции
е (х) = floYo (х) Н + а„_^я_! (х) — у (х), A0.28)
так что
00
* е-2"»* | е (х) |2 dx = 0. A0.29)
Это равенство может иметь место только в том случае, если
е (х) = 0 A0.30)
тождественно относительно х, что и доказывает линейную зави-
симость у (х) от Yo {х) Yn-i (х).
Таким образом, мы доказали, что однородное уравнение имеет
ровно п решений A0.20), удовлетворяющих условию A0.22), и
никаких других решений, помимо найденных, не существует.
Полученный нами результат позволяет весьма просто решить
вопрос и об единственности полученного нами ранее решения
неоднородного уравнения.
В самом деле, если бы существовало два решения неоднородного
уравнения, которые оба стремились бы к нулю на бесконечности, то
их разность представляла бы такое решение однородного уравне-
ния, которое на бесконечности тоже стремилось бы к нулю. Но
такого решения (не равного нулю тождественно) не существует,
ибо самое общее решение однородного уравнения представляет
собой линейную комбинацию функций A0.20), а никакая линей-
ная комбинация этих функции не обращается на бесконечности
в нуль.
В заключение сделаем одно замечание о тех решениях одно-
родного уравнения, которые не удовлетворяют условию A0.22).
* Черта над буквой обозначает комплексно-сопряженную величину.

Добавление 1. Интегральные уравнения 445
Такие решения у (х), если они существуют, могут быть представ-
лены в виде интеграла (9.02), если включить в число корней S (w)
также и комплексные корни. Асимптотический вид этих решений
на бесконечности будет даваться выражением (8.29) или, для крат-
ных корней, его предельной формой, где уже среди величин wm
будут и комплексные с отрицательной мнимой частью.
Если подчинить функцию g (х) тем же условиям, как k (x)
[см. A0.14)], то будут иметь смысл интегралы вида
00
I = jg(x)y(x)dx, A0.31)
несмотря на возрастание у (х). Пусть с' — некоторое положитель-
ное число, меньшее с. Можно потребовать, чтобы интегралы A0.31)
равнялись нулю для всех решений у (х) однородного уравнения,
возрастающих не быстрее ес'х. Тогда функция F (w) будет голо-
морфной во всей полуплоскости Im (w) > —с', а / (х) будет убы-
вать по крайней мере как е—*"* (с" — любое положительное число,
меньшее с').
11. Условия существования решения, к которому
применима формула Фурье
В начале нашего исследования мы предположили, что реше-
нве f (x) нашего интегрального уравнения таково, что к нему при-
менима формула Фурье. Впоследствии мы освободились от этого
предположения и доказали существование и единственность реше-
ния независимо от него. Тем не менее интересно найти условия,
при которых первоначальное предположение имеет место, ибо
решение, к которому применима формула Фурье, будет во всяком
случае единственным решением с этим свойством.
Применимость формулы Фурье к / (х) означает то же, что при-
менимость этой формулы к F (ш) для вещественных w. Из основ-
ного функционального уравнения мы имеем
F (w)—K {w) F (w) = Gx И + Ф (w). A1.01)
К функции G1(w) формула Фурье применима по свойству g(x).
Функция Ф (и>) голоморфна в полосе, включающей вещественную
ось; поэтому, чтобы убедиться в применимости к ней формулы
Фурье, достаточно вспомнить, что при больших | w | справедливо
выражение D.25), и проверить, что производная Ф' (ш) абсолютно
интегрируема во всем бесконечном промежутке. На этой проверке
мы останавливаться не будем.
Таким образом, к правой части A1.01) формула Фурье наверное
применима, и применимость этой формулы к F (w) будет доказана,

446
Математические добавления
если она будет доказана для К (w)F (w). Но функция К (w) F (w)
абсолютно интегрируема в бесконечном промежутке, и нам доста-
точно показать, что производная от нее абсолютно интегрируема
во всяком конечном промежутке.
Имеем
^y]. A1.02)
Если знаменатель в A1.02) не имеет вещественных корней, то для
абсолютной интегрируемости производной от A1.02) достаточно,
чтобы производная G[ (w) была ограниченной. Для этого доста-
точно предположить абсолютную интегрируемость x-g (х) в бес-
конечном промежутке.
Если знаменатель имеет вещественные корни, то вблизи каж-
дого корня w = wm можно воспользоваться представлением F (w)
в виде G.03). Рассуждая, как в параграфе 7, и пользуясь выра-
жением
_dDs__ Г G{5) Н + »„,(!- 0) ~ G\S) Ы d t (I - Q-*
— wm dt (s —1)!
_
dm
а также формулой
A1.03)
(П.04)
легко установить для w
f « dw < . f
J dw ^ s! J
wm неравенство
f
u — wm
,.06)
аналогичное неравенству G.05). Используя результаты параг-
рафа 7, заключаем отсюда, что достаточным условием для абсо-
лютной интегрируемости Ds (w) вблизи каждого корня будет
сходимость интеграла
J
(П-06)
где s — наибольшая кратность вещественных корней.
Но если D', (до) абсолютно интегрируемо вблизи каждого
корня, то производная F' (w) будет абсолютно интегрируема во
всяком конечном промежутке и все условия для применимости
к функциям К (а>) F (w) и F (ш) формулы Фурье будут выполнены.

Добавление 1. Интегральные уравнения 447
Таким образом, когда s — наибольшая кратность веществен-
ных корней, то условия существования решения / (х), к которому
применима формула Фурье, будут в точности такими же, какими
были для кратности s + 1 условия существования и единствен-
ности решения, стремящегося к нулю на бесконечности, а именно:
1° абсолютная интегрируемость и ограниченность вариации
g (х) в бесконечном промежутке и
2° абсолютная интегрируемость (lg x) xsg (x) в бесконечном
промежутке *.
Если вещественные корни отсутствуют, то для существования
решения, к которому применима формула Фурье, вместо усло-
вия 2° достаточно потребовать абсолютную интегрируемость xg (x)
в конечном промежутке.
12. Примеры
Прежде чем перейти к частным примерам, рассмотрим тот
часто встречающийся в физических задачах случай, когда свобод-
ный член интегрального уравнения представляет собой показа-
тельную функцию
A2.01)
Тогда по формуле A.11)
Разложение C.14) может быть выполнено в явной форме, именно:
) . {12.03)
-\- p
Здесь мы воспользовались соотношением C.10). Очевидно, что
в формуле A2.03) первый член справа есть Нг (w), а второй член
есть Яа (ш). По формуле C.16) имеем
M, A2.04)
так что функция F (и>) симметрична относительно аргумента w и
параметра р.
Таким образом, решение интегрального уравнения со свобод-
ным членом A2.01) имеет вид
^Mdw- A2-05)
* Условий ортогональности для g (x) мы не упоминаем, так как они всегда
вредполагаются выполненными.

448 Математические добавления
Если положить здесь х — О, то согласно формуле Фурье получим
полусумму
i O)h A2.06)
а так как / (—0) = 0, то
T^^d- <12-07>
Интегрирование по вещественной оси можно заменить в данном
случае интегрированием по полуокружности бесконечно возра-
стающего радиуса, лежащей в верхней полуплоскости. Так как
на бесконечности tyt (ш) обращается в единицу, то интеграл легко
вычисляется, и мы получаем
MPl(p). A2.08)
С другой стороны, полагая в исходном интегральном уравнении
х = 0, находим
00
f(+O)=l+\k(y)f(y)dy. A2.09)
В левую часть можно подставить A2.08), а интеграл в правой
части заменить его значением из E.17), куда нужно, в свою оче-
редь, подставить вместо F (ш) выражение A2.04). В результате
получим
k+\ ^^ dw. A2.10)
Это соотношение можно рассматривать как нелинейное функцио-
нальное уравнение для ^ (w). Решение его нам уже известно:
оно дается согласно C.06) и C.08) применением леммы I к функ-
ции C.04), иначе говоря, разложением 1 — К (ш) на множители
по формуле C.09). Подставив в A2.10) выражение для К (w) из
C.09) и пользуясь общими свойствами функции ^>г (ш), легко
в этом убедиться и непосредственно.
В качестве простейшего примера рассмотрим уравнение
A2.11)
в котором для простоты будем считать Я вещественным. Здесь
ядро k (x) равно
*(x) = te-l»i. A2.12)

Добавление 1. Интегральные уравнения 449
Преобразованное ядро вычисляется по общей формуле A.11) и
будет равно
В этом простом случае величина /( (ш) уже до преобразования
имеет вид F.20). Корни 1 — К. (ш) даются формулой w =
= ± ]/2А. — 1. Они будут комплексны при 2А. •< 1 и вещественны
при 2А, > 1.
Случай 1 BЯ < 1). Положим
2Л. = 1 — и-2 (Ю0), A2.14)
так что
Применяя рассуждения параграфа 3 и разлагая 1 — К. (ш)
на множители, мы должны в формуле C.09) положить
Разложение C.14) может быть написано в явной форме
w — ip х ^ ' х ^ ' 2 '* ^ " ^
здесь
Я* ч (ш — t) Gi (ку) — (t(x ^ f) Gj (t ц) /l о i q\
i (Ш) =^ . . A Z*lo)
Я2(ш)
zv ' ад—t|i
Функция f (ш) будет равна
f (ш) = (а^ + 1) Gt И -»(|х - О Gi (»» (и + 0
A2.20)
f (ш) = f
a f (х) выразится через F (ш) по общей формуле C.18),
Тот же результат мы получили бы и по второму (алгебраиче-
скому) способу, изложенному в параграфе 6. В формуле F.40)
мы должны положить
F* = F, G\ = Hi = Gu ф, = 1, ш, = f|i, /1=1, Ь = 1. A2.21)
Полином Ро, который сводится к постоянной, непосредственно
определяется из F.46):
Ро = -(i> - 0 Gx (i>). A2.22)
После подстановки значений A2.21) и A2.22) в общую формулу
F.40) или F.41) она переходит в A2.20).
29 В. А. Фок

450 Математические добавления
Случай 2 BА, > 1). Положим
2А, = 1 + v2 (v > 0). A2.23)
В этом случае общая формула F.41) сводится к следующей:
f(w)B(» + l)flifr> + (» + QP.. {12.24)
Числитель нашей формулы должен обращаться в нуль как при
w = +v, так и при w = —v. Это приводит к соотношению
(v - i) Gx (v) + (v + i) Gt (-v) = 0, A2.25)
выражающему собой условие ортогональности g (х) к функции
i^, A2.26)
которая удовлетворяет однородному интегральному уравнению.
Наконец, если 2Х = 1, v = 0, то функция 1 — К (w) имеет
двойной корень w = 0 и свободный член интегрального уравне-
ния должен быть ортогонален к функции
Yx (х) = 1 + х. A2.27)
Некоторые важные задачи математической физики приводят
к интегральным уравнениям рассмотренного вида с более слож-
ным ядром. Так, например, задача береговой рефракции электро-
магнитных волн приводится, как мы видели в гл. 18, к уравнению
A2.28)
где Ко — функция Макдональда
00
К,0Ч*|) = |е-1*1'-р==|. A2-29)
и
В этом случае
Л A2.30)
Приведем без вывода решение этого уравнения для случая
^(x)==e-^cosa, A2.31)
где a — некоторый параметр.
В физической задаче ц представляет собой комплексное число
с положительной вещественной частью, а А, — некоторый комплекс-
ный параметр. Для простоты положим ц = 1 и введем обозначения
A2.32)

Добавление 1. Интегральные уравнения 451
Тогда
У COST+1 \4 ^). A2.33)
т—а /
функция удовлетворяет соотношению
4>ж (t cos т) ti [t cos (я — т)] = sin TS'^Tsin a, A2.34)
соответствующему формуле C.09). Согласно A2.05)
l 4 + "
f (x) = -рг—г I e*cos T -ii-i sin т dT. A2.35)
1 v ' 2я1 J cos т + cos ex v '
Отсюда легко получить различные приближенные формулы, спра-
ведливые для больших х или для малых ст. При этом нужно иметь
в виду, что в физической задаче самое уравнение A2.28) будет
приближенным, так что строгое решение его имеет главным обра-
зом математический интерес; оно приведено нами в качестве ил-
люстрации нашего метода.
Другой пример из математической физики представляет задача
поглощения и рассеяния света в атмосфере. Эта задача была
предметом многочисленных исследований (Мильн [36], Хопф [37,
38], Амбарцумиан [39].) Интегральное уравнение задачи было
впервые составлено Хвольсоном. Оно имеет ядро
г I!"*- A2'36)
I* l
Преобразованное ядро равно
Я(ш) = Я,^р. A2.37)
В этой задаче К вещественно, положительно и не больше единицы
(случай К = 1 соответствует чистому поглощению). Функция g (x)
равна
g{x) = e-*' (tZzl) A2.38)
или же представима в виде
\-*^(t)dt. A2.39)
1
29*

452 Математические добавления
Функция К (w) — 1 имеет в полосе, где она голоморфна, чисто
мнимые корни w = ±ф, где
4i^ 1). 02.40)
Общая теория непосредственно приложима к данному уравнению.
В частности, она позволяет найти приближенное выражение для
/ (х) при больших х. В случае A2.38) имеем
-»* + Ъ(х, t), A2.41)
где |А определяется из A2.40), а функция /2 (х, f) такова, что про-
изведение
е^'Ы*. t)
остается ограниченным для сколь угодно малого е. Постоянная С (t)
равна
Функция -фх (it) для вещественных t вещественна, и ее логарифм
равен
В случае A2.39) мы будем иметь
/(дс) = СеП" + /,(х), A2.44)
где /2 убывает быстрее, чем выписанный член.
Постоянная С равна
@Л- A2-45)
Интенсивность света, выходящего из атмосферы в данном направ-
лении, пропорциональна величине
00
/ = J е-*/-/ (Х) dx = F {it'), A2.46)
где t' — секанс угла между данным направлением и нормалью
к атмосфере [параметр t в A2.38) есть секанс угла между той же
нормалью и направлением падающего света]. Поэтому функ-
ция F (it'), которая согласно A2.04) равна
Wyf>> , A2.47)
имеет непосредственное физическое значение.

Добавление 1. Интегральные уравнения 453
13. Сводка результатов
Основной результат нашего исследования может быть резю-
мирован следующим образом.
Пусть дано интегральное уравнение
A3.01)
с симметричным ядром, зависящим от абсолютного значения раз-
ности двух аргументов.
Относительно ядра k (х) мы предположим, что не только оно
само, но и функция
k1(x) = eci*ik(x) A3.02)
будет для некоторого с > 0 абсолютно интегрируемой и с огра-
ниченной вариацией в бесконечном промежутке. Вводим в рас-
смотрение функцию
K(w)= J elwxk(x)dx. A3.03)
— оо
Она будет четной функцией от до, голоморфной внутри полосы
—с < Im (до) < +с, A3.04)
ограниченной и непрерывной на границах этой полосы. На беско-
нечности внутри и на границах полосы функция К (w) будет убы-
вать по крайней мере обратно пропорционально \w\.
Предположим, что уравнение
К (w) — 1 =0 A3.05)
не имеет вещественных корней. Тогда, если g (x) функция абсо-
лютно интегрируемая и с ограниченной вариацией в бесконечном
промежутке, то существует решение / (х) предложенного инте-
грального уравнения, обладающее следующими свойствами: оно
представляет сумму функции с ограниченной вариацией и непре-
рывной функции, остается всюду ограниченным и стремится на
бесконечности к нулю. Это — единственное решение с такими
свойствами. Оно может быть представлено в виде интеграла
I e~txwF (ш) dw' A3-06>
о
где F (w) определяется формулами C.16), C.14), C.09), A.11).
Предположим теперь, что уравнение A3.05) имеет 2« веще-
ственных корней кратности не выше s. Тогда, если функция g (x)

454 Математические добавления
абсолютно интегрируема и имеет ограниченную вариацию в беско-
нечном промежутке, а произведение (lg х) xs~lg (x) абсолютно
интегрируемо и если g (х) удовлетворяет п условиям ортогональ-
ности вида
+ 00
J g(x)yr(x)dx = O (r = 0, 1, .... л—1), A3.07)
о
то, как и в предыдущем случае, уравнение A3.01) имеет единствен-
ное решение, которое остается ограниченным и стремится на беско-
нечности к нулю.
Переходим к однородному уравнению
в»
f{x)=\k{\x-y\)f{y)dy. A3.08)
о
Если уравнение A3.05) не имеет вещественных корней и если
v0 — мнимая часть ближайшего к вещественной оси комплексного
корня или особенной точки функции К {w) — 1, то однородное
уравнение A3.08) не имеет решений, которые удовлетворяли бы
неравенству
|/(*)|<e"*L (»<»„)• A3.09)
Если же уравнение A3.05) имеет In вещественных корней, то су-
ществует ровно п. линейно независимых решений
Нх) = У,(х) (г = 0,1 п-1) A3.10)
однородного уравнения, удовлетворяющих условию A3.09). Эти
решения и входят в условия ортогональности. Они даются фор-
мулами (9.02).
Результаты настоящей главы впервые опубликованы нами
в кратком изложении в работе [40].

ДОБАВЛЕНИЕ 2
ТЕОРИЯ И ТАБЛИЦЫ ФУНКЦИЙ ЭЙРИ
В первой части добавления 2 даются представления функций Эйри в виде
рядов и интегралов, а также асимптотические выражения для них. Исследуются
свойства функций Эйри в комплексной плоскости и устанавливается связь их
с функциями Бесселя; исследуются также нх корни. Изучается применение функ-
ций Эйри к асимптотическому интегрированию линейных дифференциальных
уравнений второго порядка. Для функций Ханкеля, порядок и аргумент которых
велики и близки друг к другу, выводятся асимптотические представления через
функции Эйри.
Вторая часть добавления 2 содержит подробные (через 0,02) четырехзначные
таблицы обеих функций Эйри и (f) и о (f), а также из производных и (Q и о' @
в интервале (—9<С *< +9), т. е. начиная с тех значений, где они имеют коле-
бательный характер, и кончая теми, где они имеют экспоненциальный характер.
Таблицы настолько подробны, что в большинстве случаев допускают линейную
интерполяцию.
Введение
В наших работах по теории диффракции и распространения
электромагнитных волн, собранных в этой книге, широко исполь-
зуются функции Эйри. Мы сочли поэтому целесообразным вклю-
чить в настоящее издание таблицы функций Эйри, предпослав им
краткий обзор свойств этих функций и их возможных приложений.
/. Определение и основные свойства функций Эйри
Под функциями Эйри мы будем разуметь функции, связанные
с известным интегралом Эйри
(?)x, A.01)
который впервые рассмотрен в 1838 г. в исследованиях Эйри
«Об интенсивности света в окрестностях каустической поверх-
ности {41].

456 Математические добавления
Интеграл Эйри представляет одно из решений дифференциаль-
ного уравнения
аГ@ = /а»@ A-02)
(а именно то, которое убывает на положительной бесконечности
быстрее всякой конечной степени t). Наряду с этим решением v (t)
мы будем рассматривать другое, линейно независимое, реше-
ние и (f), которое будет точнее определено ниже. Функции и (t)
и v (f) мы и будем называть функциями Эйри.
Рассмотрим интеграл
а» @ = у^ J е'*~ **'dz, A.03)
в котором путь интегрирования Г идет в плоскости комплексной
переменной г по лучу arc г = j- из бесконечности к нулю и
по лучу arc г = 0 (по вещественной оси) от нуля до бесконечности.
Интеграл A.03) сходится при всех комплексных значениях t
и представляет целую трансцендентную функцию от t. Легко про-
верить, что определяемая им функция w (t) удовлетворяет диффе-
ренциальному уравнению A.02). При t = 0 функция w (t) и ее
производная w' (t) принимают значения
' т
ш@)= г/0,е б = 1,0899290710 + Ю.6292708425, A.04)
w' @) = 2 ^f. ч e~'T = 0,7945704238 —?0,4587464481. A.05)
Функция ш @ как целая трансцендентная функция разла-
гается в степенной ряд, сходящийся при всех значениях t. Этот ряд
имеет вид
"*" Тз"*" B-5)-C-6) ^~ B.5-8)-C-6-9) "•
+?Т+ C-6Н4.7) +C.6.9Н4.7.10)+--
Считая t вещественным, отделим в w (i) вещественную и мнимую
часть, положив
w(t) = u(f) + iv(t). A.07)
Функции и (t) и v (t) будут двумя независимыми интегралами
уравнения A.02), связанными соотношением
и'@ о С) - « @ »'@ = 1. О-08)

Добавление 2. Функции Эйри 457
При этом функция v (t), определяемая как мнимая часть w (t),
будет совпадать с интегралом Эйри A.01). Мы вправе называть
поэтому функции и (t) и v (t) функциями Эйри.
Обе функции Эйри, вещественные при вещественных значе-
ниях аргумента t, являются целыми трансцендентными функциями,
которые определены и для комплексных значений t. При этом
имеют место соотношения:
w(t) = u{t) + iv{t), A.09)
w\te^) = 2e^v{~t), A.10)
w\te 3J = e * [u(t) — lv(t)]t A.11)
w{teiJt) = u{—t) + iv(—t), A.12)
w(te^n) =2e'^o@, A.13)
tel з J = e' з [ц(_^_1у(_^)]. A.14)
Эти соотношения выражают значения функции w (t) на шести
лучах arc t — -^- (п = 0, 1,2, 3, 4, 5) через вещественные функ-
О
цин Эйри и (t) и v (t).
2. Асимптотические выражения для функций Эйри
Будем считать t большим положительным числом и положим
х ^Агз/г. B.01)
Обозначим символом F20 (a, (J, г) формальный ряд, составлен-
ный по закону
Тогда для функций Эйри имеют место следующие асимптоти-
ческие выражения:
и ц)=r W20 D-, 4- - 4r)' <2-03)
и' а)=;W20 (- 4-, -g- • -ir)' B-04)
«W = 4- Г W, D-, -f, - -i-) . B.05)
v' {t) - --J./VF, (-1,4-' "ТЕГ) • B'06)

4S8
Математические добавления
Для отрицательных значений аргумента асимптотические выра-
жения функций Эйри получатся отделением вещественной и мнимой
части в формулах
B.07)
Приведенные здесь выражения справедливы не только при
вещественных положительных значениях t, но и в некотором сек-
торе, включающем положительную вещественную ось. Сектор этот
различен для различных функций, но во всяком случае все при-
веденные выражения справедливы при условии
B.09)
B.10)
B.11)
B.12)
Если положить
р ( 1 5 1 \ < , п\ ¦ а% . а$ .
Г20 \~б"> "' ~2х~) — 1 ~*~ х +"^-"t"^" "Г" ' '
то коэффициенты alt a2, . . . будут равны
__!_ _ _ E-11)-7 , __ E-11-17) G-13).
«1— 72 ' ~~ 1-2-G2J' 3~ 1-2-3-G2K '
— 5-11 ... F/t—1)-7-13 ... Fп —5)
а"~" 1-2 ... п-G2)"
Аналогично в ряде
р ( L _1_ _1_\ — 1 ъл h ъл
20 \ 6 ' 6 ' 2х ) " х х* &
коэффициенты blt Ьг, Ь3 . . . равны
h = — • h = G13)'5 U — G1319)E11)
1 72 ' 2 1-2-G2J' 3 1-2-3-G2K ¦
h — 7-13 . . . Fп+ 1M11 . . . (бп — 7)
6
" 1-2 ...n-G2)"
В явной форме асимптотические выражения для функций Эйри
от положительного аргумента напишутся:
= Г V(l+ -?- + -§-+..-), B.13)
B.14)

Добавление 2. Функции Эйри 459
0(/)--J-^er-(l—^ + ^—-йт+...), B.15)
Соответственные выражения для функций Эйри от отрица-
тельного аргумента будут:
B.18)
BЛ9)
B.20)
Связь функций Эйри с функциями Бесселя
Функции Эйри от положительного аргумента выражаются через
функции Бесселя первого и второго рода порядка Va от мнимого
аргумента. Функции Эйри от отрицательного аргумента выра-
яаются через функции Бесселя первого и второго рода порядка
V3 от вещественного аргумента. Наконец, комплексная функция
Эйри w просто выражается через первую функцию Ханкеля по-
рядка 1/3. Производные от функций Эйри выражаются через соот-
ветственные функции Бесселя и Ханкеля порядка 2/3.

460 Математические добавления
Мы принимаем для функций Бесселя и Ханкеля обозначения
Ватсоиа [33]. Считая <>0и полагая х = -=- №, мы будем тогда
О
иметь:
и W =
«*(—<) = Y-t t [/-1/8 W - Л/з Wl ==
l
"' @ = У"Гf 17-2/з (*)
p ]C.03)
о @ = 4" V** ^-i/з (x) - A/3 (*)] = rp= VT /Г1/8 W. C.05)
v(-t) = -^
(t) = - -L Vn t [7_2/3 (*) - /2/3 (*)]*=— -p=- tKw (x), C.07)
(-0 = |/^ e ^/Г Я,(K (*), C.09)
W' (-t) = y* el TtH$ (x). C.10)

Добавление 2. Функции Эйри
461
Важно отметить, что функции Эйри, рассматриваемые как функ-
ции от t, суть целые трансцендентные функции, тогда как правые
части предыдущих формул (а также входящие в них функции Бес-
селя и Ханкеля) не будут целыми функциями от х, а будут иметь
при х = О особую точку. Это различие сказывается при малых
значениях аргумента в более плавном ходе таблиц для функций
Эйри по сравнению с таблицами для функций Бесселя, что значи-
тельно облегчает интерполяцию. Целый трансцендентный харак-
тер функций Эйри значительно упрощает также рассуждения
в теоретических исследованиях.
4. Корна функций Эйри
В приложениях чаще всего встречаются корни функции v (t)
и ее производной v' (f). Так как при отрицательных / функции
Эйри имеют колебательный характер, то эти корни вещественны
и отрицательны. Обозначим корни v (/) через —т° и корни v (t) —
через —Ts, где x°s и r's — положительные величины. Значения
первых пяти корней и их десятичных логарифмов приведены
в нижеследующей таблице:
S
1
2
3
4
5
2,33811
4,08795
5,52056
6,78671
7,94417
logxO
0,368864
0,611506
0,741983
0,831659
0,900048
1,01879
3,24820
4,82010
6,16331
7,37218
logxj
0,008086
0,511642
0,683056
0,789814
0,8675%
Дальнейшие корни могут быть вычислены путем использования
формул для корней функций Бесселя и Неймана и их линейных
комбинаций (см. книгу Ватсона [33]). Мы имеем
где x°s и x's удовлетворяют уравнениям
D.01)
D.02)
D.03)

462 Математические добавления
Для величин x°s и xs известны следующие приближенные выра-
жения:
Эти формулы весьма точны даже для небольших значений s.
Используя соотношения D.01), мы без труда получаем отсюда
величины т° и r's.
Подобные формулы могут быть применены для нахождения
корней т = г"(ст) уравнения
a = 0, D.06)
а также корней т = т^ (ст) уравнения
v' (—т) cos яст — и' (—т) sin яст = 0. D.07)
При не слишком малых значениях s величины т, (а) и х, (а)
получатся из предыдущих формул заменой s на s -j- а, так что
можно условно написать
т?(а) = т°+а; т;(ст) = т;+а. D.08)
В частности, при а = -^- мы будем иметь корни и (—т) и
и' (-т).
Корни /? комплексной функции w (t), a также корни /, ее про-
изводной w' (t) лежат на луче arc / = -%- и выражаются через
О
корни Tj и ts функций v (—т) и v (—т) по формулам
t°. = x°.e 3 ¦ t = те 3 D 091
Таким образом, приведенная выше табличка одновременно
дает модули величин % и t's.
5. Применение функций Эйри к асимптотическому
интегрированию линейного дифференциального
уравнения второго порядка
Функции Эйри имеют многочисленные приложения в матема-
тической физике, главным образом в теории диффракции. Мате-
матической основой большинства этих приложении является при-
ближенное интегрирование уравнения
E.01)

Добавление 2. Функции Эйри 463
в котором k есть большой параметр. Если в некотором промежутке
изменения х функция р (х) не меняет знака (а также удовлетворяет
некоторым общим условиям), то интеграл уравнения E.01) при-
ближенно выражается через показательные или тригонометриче-
ские функции.
При р > 0 мы имеем
ИЛИ
^=rp( \Vp)\ E.02)
У Р(*) \ )
У as т^Ьг exp I —k [ VpV) dx), E.03)
VP(x) \ x, )
смотря по тому, ищем ли мы интеграл возрастающий или убываю-
щий при возрастании х — х0. Брать сумму выражений E.02) и
E.03), вообще говоря, не имеет смысла, так как если постоянные
Сх и С2 одного порядка, то убывающий интеграл будет мал не
только по сравнению со всем значением возрастающего интеграла,
но и по сравнению с погрешностью в этом значении, происходящей
от пользования асимптотическим выражением.
При р < 0 асимптотическое выражение для у имеет вид
/-РМ
).
=pTx)dx). E.04)
Выражения E.02)—E.04) перестают быть применимыми, если
внутри рассматриваемого промежутка функция р (х) обращается
в нуль. Если при этом корень функции р (х) — простой, то реше-
ние уравнения E.01) приближенно выражается через функции
Эйри.
Произведем в уравнении E.01) замену переменных, вводя но-
вую независимую переменную ? и новую функцию z по формулам
(Q. E.05)
Если у удовлетворяло уравнению E.01), то уравнение для z
будет
|[(?)¦] E.06)

464 Математические добавления
где через s (?) обозначено для краткости дифференциальное выра-
жение
•о—J-*>-?)+-K*(*-*-)]'. <6Л7>
которое принято называть производной Шварца.
Пусть х — хп есть простой корень функции р (х), так что
PW = 0; p'(xo) + 0.
Будем считать для определенности р' (х0) >0 и произведем
подстановку
к J VpV) dx^ — t^ (x> x0, t > 0), E.08)
Х,' о ±
Ь у п (х\ dx — — ( t\ 2 (х -^ х t <^~(Y\ (Ft &)\
Если р (х) имеет непрерывную вторую производную, то вблизи
х — х0 обе формулы дают
t = k*[p'(xo)]*{x-xo)+ ¦¦-, E.10)
где невыписанные члены будут порядка (х — хо)г и выше. Отсюда,
обратно, с точностью до членов порядка t* будет
Значениям л; — х0 порядка единицы соответствуют значения t
порядка k 3.
Из формул E.08)—E.09) вытекает
Поэтому, если в уравнении E.06) для z положить Z, = /, оно
принимает вид
-?-=(* +0*. E-13)
Оценка функции s (/) показывает, что она будет, вообще говоря,
порядка k 3, т. е. весьма малой, как при t, близком к нулю, так
и при больших значениях 11 \ \порядка k 3 ). Функция s (t) может
стать большой только если х будет приближаться к следующему

Добавление 2. Функции Эйри 465
корню * х = xt функции р (х). Если исключить этот случай, то
в уравнении E.13) можно пренебречь в коэффициенте при z вели-
чиной s, после чего получим
¦W-^tz, E.14)
т. е. дифференциальное уравнение функций Эйри.
Напишем общий интеграл уравнения E.14) в виде
z = Аи (t) + Bv (t). E.15)
Возвращаясь к первоначальной функции у (х), будем иметь
[Au(t)+Bv(t)h E.16)
где t определяется из формул E.08) и E.09).
Установим связь между найденным выражением для у и пре-
дыдущими выражениями E.02)—E.04).
Когда разность х — х0 положительна и конечна, величина I
будет положительна и велика. Рассматривая такие значения t,
мы должны различать два случая: А Ф 0 и А — 0. Когда А не
равно нулю, мы имеем возрастающий интеграл, асимптотическое
выражение которого получится, если отбросить в E.16) член, со-
держащий v (t), и заменить и (t) величиной
, E.17)
т. е. главным членом асимптотического выражения, рассмотрен-
ного в параграфе 2.
Пользуясь формулой E.08), мы получим
) E.18)
т. е. выражение вида E.02) со значением постоянной Clt равным
Ct = Ajy~k- Постоянная В в это выражение не входит, поэтому
разные интегралы могут иметь одно и то же асимптотическое выра-
жение.
Во втором случае, когда постоянная А равна нулю, в выра-
жении E.16) остается второй член. Заменяя в нем v (t) величиной
* Случай двух корней функции р (х) рассмотрен в параграфе 4 главы 15
этой квиги.
30 в. Л. Фок

466 Математические добавления
получаем
\ х»
У= Л. expl-fe \VW)dx\; Л = 0. E.20)
В этом случае мы имеем дело с убывающим интегралом
вида E.03), причем постоянная С2 равна —-^.
2 у k
Переходя к конечным отрицательным значениям х — х0, ко-
торым соответствуют большие отрицательные /, мы можем не раз-
личать двух случаев (Л =)= 0 и А = 0), так как обе функции Эйри
будут одного порядка. Используя для этих функций их прибли-
женные выражения
и @ = (-0"^ cos[-§- (-*)"*¦ + -?] , E-21)
v (/) = {-if* sin [A (_,)Т + _^J > E.22)
мы получаем вследствие E.09) следующую формулу для у:
sin
k ] V^pJF) dx Чг -f | • E.23)
+ /
Это выражение легко приводится к виду E.04), причем постоян-
ные С\ и С'ч равны
AiB А^. E.24)
Таким образом, полученное нами выражение для интеграла
уравнения E.01) через функции Эйри приводится в предельных
случаях к более простым выражениям через показательные и три-
гонометрические функции.
Существенным преимуществом выражения через функции Эйри
является то, что оно применимо равномерно во всем промежутке,
включающем корень х = х0 функции р (х), тогда как выражения
через элементарные функции применимы лишь достаточно далеко
от корня. Что касается пригодности нашего выражения для чис-
ленных расчетов, то после того, как функции Эйри табулированы,
пользование ими нисколько не сложнее пользования таблицами
для элементарных функций.

Добавление 2. Функции Эйри 467
Многие функции, встречающиеся в математической физике,
либо сами удовлетворяют уравнению вида E.01), либо приводятся
к таким. Поэтому приведенные здесь для них приближенные выра-
жения могут иметь обширные применения. Так, в квантовой меха-
нике подобные выражения были предложены Крамерсом и при-
менялись им к обоснованию формул «полуцелого» квантования.
В теории функций Бесселя изложенные здесь результаты могут
служить для вывода асимптотических формул, пригодных для того
случая, когда порядок и аргумент бесселевой функции велики
и близки друг к другу. Подобные выражения были даны в нашей
прежней работе [20].
6. Применение функций Эйри к приближенному
представлению функций Ханке ля
В качестве второго типичного приложения функций Эйри мы
приведем вывод асимптотического выражения для функции Хан-
келя Hv1' (p), где порядок v и аргумент р велики и близки друг
к другу, в том смысле, что отношение
2
остается ограниченным.
В этом выводе используется не дифференциальное уравнение
для функций Эйри, а представление их в виде определенного инте-
грала A.03).
Функция Ханкеля Н^ (р) допускает интегральное представ-
ление
Н[1) (р) = _L- J е-11 o+vo do, F.02)
где контур С идет по прямой Im (v) = —я от —я/ — оо до неко-
торой точки v = v0 в третьей четверти плоскости v (например,
v0 = -^? in), затем по прямой, соединяющей точку v = v0
с началом координат v — 0, и, наконец, по вещественной оси от
0 до оо. Выразим согласно F.01) v через / и введем переменную ин-
тегрирования
г = ъл[\. F.03)
Подынтегральная функция в F.02) может быть представлена
в виде произведения двух множителей: множителя
ехр | (v — р) v — -^- = exp (tz g-j, F.04)
30»

468 Математические добавления
не содержащего явно р, и множителя
_2_
..., F.05)
который, при конечном г и большом р, может быть разложен по
дробным отрицательным степеням р (кратным я-1.
Подставляя эти выражения в интеграл F.02), мы получаем
F.06)
где Г есть контур в плоскости г, соответствующий контуру С
в плоскости v. На главном участке этот контур Г совпадает с кон-
туром Г в формуле A.03). Вычисляя интегралы при помощи A.03),
получаем
F.07)
В силу дифференциального уравнения A.02) пятая производная
равна
йу<5> (t) = t2w' (t) + 4tw (t). F.08)
Подставляя это выражение в F.07), получаем искомое асимп-
тотическое выражение для функции Ханкеля:
F.09)
Разделив здесь вещественную и мнимую части, мы приходим
к асимптотическим выражениям для функций Бесселя и Неймана
через табулированные нами функции Эйри
•Мр) =
F.10)

Добавление 2. Функции Эйри 469
F.11)
Найденные выражения справедливы и при комплексных зна-
чениях t и могут служить, в частности, для приближенного на-
хождения корней функции Ханкеля, рассматриваемой как функ-
ция от v, что имеет значение в теории диффракции *.
7. Объяснение таблиц
Мы приводим ниже таблицы функций Эйри и (t), v (t) и их
производных и' (t), v' (t). Первоначально таблицы вычислялись
с большим числом знаков, но результаты округлены до четырех
знаков. Для отрицательных значений t, где функции Эйри имеют
осциллирующий характер, даны четыре знака после запятой. Для
положительных значении t, где функции Эйри монотонны, даны
четыре значащие цифры, если первая цифра есть 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, и пять цифр, если первая цифра есть 1. Значения функций
даны для значений аргумента t от —9,00 до +9,00 через 0,02.
Такой малый табличный интервал принят для облегчения интер-
поляции. В большинстве случаев достаточно линейной интерпо-
ляции; в исключительных случаях может понадобиться интерпо-
ляция со вторыми разностями. Так как вместе со значениями
функций даны и их разности первого порядка, то интерполяция
по нашим таблицам весьма проста.
Для положительных значений аргумента функции и (t) и и' (t)
быстро возрастают, а функции v (t) и v' (t) быстро убывают. По-
этому в некоторых интервалах даны значения функций и (t) и
и' (t), деленные на 103 и на 10е, и значения функций v (t) и v' (t),
умноженные на 103, 10е и 109.
Для значений аргумента, меньших чем — 9,00 или больших
чем +9,00, функции Эйри и их производные легко вычисляются
по асимптотическим выражениям, приведенным в параграфе 2;
в этих выражениях достаточно брать два-три члена.
* Таблицы связанной с v(f) функции Z1/3(*) = JL2—А/з (*) f ^1/3(*)
по аргументу х даны в статье Фока и Колпинского [42].

470
Математические добавления
Таблицы функций Эйри
t
-9,00
-8,98
—8,96
—8,94
—8,92
—8,90
—8,88
—8,86
—8,84
—8,82
—8,80
—8,78
—8,76
-8,74
—8,72
—7,70
-8,68
-8,66
—8,64
—8,62
—8,60
—8,58
-8,56
—8,54
—8,52
-8,50
и
0,5760
0,5729
0,5678
0,5606
0,5514
0,5403
0,5272
0,5123
0,4956
0,4771
0,4569
0,4351
0,4118
0,3871
0,3609
0,3336
0,3051
0,2755
0,2449
0,2135
0,1814
0,1487
0,1154
0,0818
0,0478
0,0137
Ли
— 31
— 51
— 72
— 92
— 111
—131
— 149
—167
— 185
—202
—218
—233
—247
—262
—273
—285
—296
—306
—314
—321
—327
-333
—336
—340
-341
—341
и' Ди'
—0,1017—1034
—0,2051 —1023
—0,3074—1010
-0,4084 - 994
—0,5078 — 973
—0,6051 — 949
—0,7000 — 922
—0,7922 — 893
—0,8815 — 859
—0,9674 — 823
—1,0497 — 784
—1,1281 — 743
—1,2024 — 699
—1,2723— 653
—1,3376— 606
—1,3982 — 555
—1,4537— 503
—1,5040 — 451
—1,5491 — 395
—1,5886 — 340
—1,6226 — 284
—1,6510 — 226
—1,6736— 169
—1,6905— 111
—1,7016— 52
—1,7068+ 5
V
—0,0392
—0,0737
—0,1080
—0,1418
—0,1751
—0,2079
—0,2398
—0,2709
—0,3011
—0,3302
—0,3581
—0,3848
—0,4101
—0,4340
—0,4564
—0,4772
—0,4963
—0,5137
—0,5293
—0,5431
—0,5550
—0,5650
—0,5731
—0,5792
—0,5833
-0,5854
Да
—345
—343
—338
—333
—328
—319
—311
—302
—291
—279
—267
—253
—239
—224
—208
—19J
—174
-156
—138
— 119
— 100
— 81
— 61
— 41
— 21
2
и'
—1,7293
—1,7192
—1,7029
—1,6805
—1,6522
—1,6181
—1,5783
—1,5329
— 1,4823
—1,4265
—1,3659
—1,3006
—1,2308
—1,1569
—1,0792
—0,9978
—0,9132
—0,8256
—0,7354
—0,6428
—0,5483
—0,4520
—0,3545
—0,2559
—0,1568
—0,0573
до'
101
163
224
283
341
398
454
506
558
606
653
698
739
777
814
846
876
902
926
945
963
975
986
991
995
995

Добавление 2. Функции Эйри
471
t
—8,50
—8,48
—8,46
—8,44
—8,42
—8,40
—8,38
—8,36
—8,34
—8,32
—8,30
—8,28
-8,26
-8,24
—8,22
-8,20
-8,18
-8,16
-8,14
-8,12
—8,10
-8,08
-8,06
—8,04
—8,02
—8,00
и
+0,0137
—0,0204
—0,0545
—0,0884
—0,1219
—0,1551
—0,1878
—0,2198
-0,2511
—0,2816
—0,3111
—0,33%
—0,3669
—0,3931
—0,4179
—0,4414
—0,4634
—0,4840
—0,5029
—0,5202
-0,5358
—0,5497
—0,5618
—0,5721
—0,5805
—0,5871
Лы
—341
—341
—339
—335
—332
—327
—320
—313
—305
—295
—285
—273
—262
—248
—235
—220
—206
—189
—173
—156
— 139
—121
—103
— 84
— 66
— 47
и'
—1,7068
—1,7063
— 1,6999
—1,6878
—1,6701
—1,6468
— 1,6180
—1,5839
—1,5446
—1,5002
—1,4509
—1,3970
—1,3385
—1,2758
—1,2091
—1,1385
—1,0644
—0,9869
—0,9065
—0,8233
-0,7376
—0,6498
—0,5601
—0,4687
—0,3762
—0,2826
Аи'
+ 5
64
121
177
233
288
341
393
444
493
539
585
627
667
706
741
775
804
832
857
878
897
914
925
936
942
—0,5854
-0,5856
—0,5837
—0,5799
—0,5742
—0,5665
—0,5569
—0,5454
—0,5321
—0,5170
—0,5002
—0,4818
—0,4618
—0,4402
—0,4172
—0,3928
—0,3671
—0,3402
—0,3122
—0,2832
—0,2533
—0,2226
—0,1911
—0,1590
—0,1264
—0,0934
Ad
2
+ 19
38
57
77
96
115
133
151
168
184
200
216
230
244
257
269
280
290
299
307
315
321
326
330
333
0'
—0,0573
+0,0422
0,1412
0,23%
0,3369
0,4329
0,5271
0,6194
0,7094
0,7968
0,8814
0,9628
1,0409
1,1153
1,1859
1,2524
1,3147
1,3725
1,4257
1,4741
1,5176
1,5561
1,5895
1,6177
1,6406
1,6582
до'
995
990
984
973
960
942
923
900
874
846
814
781
744
706
665
623
578
532
484
435
385
334
282
229
176
123

814
Математические добавления
X
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
Ref
0,0289
0,0200
0,01312
0,00788
0,00403
0,00126
—0,00064
—0,00186
—0,00260
—0,00296
—0,00307
—0,00300
—0,00281
—0,00256
—0,00228
—0,001981
—0,001699
—0,001433
—0,001192
—0,000977
—0,000790
—0,000630
—0,000495
—0,000383
—0,000291
—0,000217
—0,0001577
—0,0001112
—0,0000753
Im /
0,0348
0,0313
0,0275
0,0237
0,0201
0,01669
0,01367
0,01102
0,00875
0,00685
0,00526
0,00397
0,00292
0,00210
0,001453
0,000957
0,000587
0,000312
0,000117
—0,0000196
—0,0001092
—0,0001637
—0,0001928
—0,000204
—0,000201
—0,0001910
—0,0001756
—0,0001575
—0,0001385
I/I
0,0452
0,0372
0,0305
0,0250
0,0205
0,01674
0,01369
0,01118
0,00913
0,00746
0,00609
0,00497
0,00405
0,00331
0,00270
0,00220
0,001798
0,001467
0,001198
0,000977
0,000798
0,000651
0,000531
0,000434
0,000354
0,000289
0,000236
0,0001928
0,0001576
arc I
50°15'
57°24'
64°32'
7Г37'
78°40'
85°4l'
92°40'
99°36'
106°ЗГ
113°24'
120°15'
127°05'
133°53'
140°40'
147=27'
154°12'
160°57'
167°42'
174°25'
181°09'
187°52'
194°34'
201°17'
207°59'
214°40'
221°22'
228°04'
234°46'
241°28'

ЛИТЕРАТУРА
Работы, включенные в настоящую книгу
1. В. А. Ф о к. Новые методы в теории диффракции. «Вестник Ленинградского
университета», 1947, № 4, стр. 5. V. A. F о с k, New methods in diffraction
theory. Phil. Mag. Ser. 7, 1948, v. 39, p. 149.
2. В. А. Ф о к. Распределение токов, возбуждаемых плоской волной на по-
верхности проводника. «Журнал экспериментальной н теоретической фи-
знки» (ЖЭТФ), 1945, т. 15, № 12, стр. 693. V. A. Foe k. The distribution
of currents induced by a plane wave on the surface of a conductor, Journ. of
Phys. of the U. S. S. R., 1946, v. 10, N 2, p. 130.
3. В. А. Ф о к. Теория диффракции от параболоида вращения. В сб. «Диффрак-
цня электромагнитных волн на некоторых телах вращения». Изд-во «Совет-
ское радио», 1957, стр. 5.
4. В. А. Ф о к и А. А. Ф е д о р о в. Диффракция плоской электромагнитной
волны на идеально-проводящем параболоиде вращения. «Журнал техниче-
ской физики», 1958, т. 28, № 11, стр. 2548.
5. В. А. Ф о к. Поле плоской волны вблизи поверхности проводящего тела.
«Известия АН СССР» сер. физическая, 1946, т. 10, №2, стр. 171. V. A. F о с к.
The field of a plane wave near the surface of a conducting body. Journ. of Phys.
of the U. S. S. R., 1946, v. 10, N 5, p. 399.
6. В. А. Ф о к. Законы отражения Френеля и законы диффракции. «Успехи
физических наук», 1948, т. 36, № 3, стр. 308.
7. В. А. Ф о к. Диффракция Френеля от выпуклых тел. «Успехи физических
наук», 1950, т. 43, № 4, стр. 587.
8. В. А. Фок. Обобщение отражательных формул на случай отражения произ-
вольной волны от поверхности произвольной формы. ЖЭТФ, 1950, т. 20,
№ 11, стр. 961.
9. В. А. Ф о к и Л. А. В а й н ш т е й н. Поперечная диффузия коротких волн,
огибающих выпуклый цилиндр. Труды Копенгагенского Симпозиума 1962 г.
по электромагнитной теории и антеннам, стр. 11. Изд. Пергамон, Лондон,
1963 (по-английски); первоначальный русский вариант: «Радиотехника и
электроника», 1963, т. 8, стр. 377. V. F о с k and L. W a i n s t e i n. On the
transverse diffusion of short waves diffracted by a convex cylinder, Symposium
on Electromagnetic Theory and Antennas, Copenhagen, June 25—30, 1962;
Pergamon Press, London, 1963.
10. В. А. Ф о к. Днффракция радиоволн вокруг земной поверхности. ЖЭТФ,
1945, т. 15, № 9, стр. 479. V. A. F о с k. Diffraction of radio-waves around
the earth's surface, Journ. of Phys. of the U. S. S. R., 1945, v. 9, N 4, p. 255.
11. M. А. Леонтович и В. А. Ф о к. Решение задачи о распространении
электромагнитных волн вдоль поверхности земли по методу параболиче-
ского уравнения. ЖЭТФ, 1946, т. 16, № 7, стр. 557; «Исследования по рас-
пространению радиоволн». Сб. второй. Изд. АН СССР, 1948, стр. 13.
М. A. Leontovich and V. A. F о с k. Solution of the problem of propa-
gation of electromagnetic waves along the earth's surface by the method of
parabolic equation, Journ. of Phys. of the U. S. S. R., 1946, v. 10, N 1, p. 13.
12. В. А. Ф о к. Поле от вертикального и горизонтального диполя, приподня-
того над поверхностью земли. ЖЭТФ, 1949, т. 19, № 10, стр. 916.
33*

51 в Литература
13. В. А. Ф о к. Распространение прямой волны вокруг Землн прн учете диф-
фракцнн н рефракции. «Известия АН СССР», сер. физическая, 1948, т. 12,
№ 2, стр. 81.
14. В. А. Ф о к. Теория распространения радиоволн в неоднородной атмосфере
для приподнятого источника. «Известия АН СССР», сер. физическая, 1950,
т. 14, № 1, стр. 70.
15. В. А. Ф о к. Приближенная формула для дальности горизонта при наличии
сверхрефракции. «Радиотехника и электроника», 1956, т. 1, № 5, стр. 560.
16. В. А. Ф о к, Л. А. В а й н ш т е й и и М. Г. Б е л к и н а. О распростране-
нии радиоволи вблизи горизонта при сверхрефракции. «Радиотехника и
электроника», 1956, т. 1, № 5, стр. 576.
17. В. А. Ф о к, Л. А. В а й и ш т е й и и М. Г. Б е л к и и а. Распространение
радиоволи по приземному тропосферному волноводу. «Радиотехника и элек-
троника», 1958, т. 3, № 12, стр. 1411.
18. Г. А. Г р и и б е р г и В. А. Фок. К теории береговой рефракции электро-
магнитных волн. «Исследования по распространению радиоволн». Сб. вто-
рой. Изд. АН СССР, 1948, стр. 69.
19. В. А. Фок. О некоторых интегральных уравнениях математической фи-
зики. Математический сборник, 1944, т. 14 E6), № 1—2, стр. 3.
Работы, не включенные в настоящую книгу
20. В. А. Ф о к. Новое асимптотическое выражение для бесселевых функций.
Доклады АН СССР, 1934, т. 1, № 3, стр. 97.
21. М. А. Л е о н т о в и ч. Об одном методе решения задач о распространении
электромагнитных волн вдоль поверхности земли. «Известия АН СССР»,
сер. физическая, 1944, т. 8, № 1, стр. 16.
22. В. А. Ф о к. Диффракция радиоволи вокруг земной поверхности. Изд.
АН СССР, 1946, стр. 1—80.
23. Н. В о о k e r and W. Walkinshaw. Meteorological Factors in Radiowave
Propagation, 1946, p. 80.
24. D. R. Hartree, J. G. Michel and P. N i с о 1 s о п. Meteorological
Factors in Radiowave Propagation, 1946, p. 127.
25. H. В r e m m e r. Terrestrial radio-waves, N. Y. 1949.
26. J. B. Keller. Diffraction by a convex cylinder. IRE Trans. 1956, AP-4,
N 3, p. 312.
27. П. А. А з р и л я н т и М. Г. Б е л к и н а. Численные результаты теории
диффракции радиоволн вокруг земной поверхности. Изд-во «Советское ра-
дио», 1957.
28. S. А. С и 1 1 е п. Surface currents induced by short wave-lenght. radiation,
Phys, Rev., 1958, v. 109, p. 1863.
29. Г. Д. М а л ю ж и и е ц. Развитие представлений о явлениях диффракции.
«Успехи физических наук», 1959, т. 69, № 2, стр. 321.
30. Л. А. В а й и ш т е й н и А. А. Ф е д о р о в. Рассеяние плоских и цилин-
дрических волн на эллиптическом цилиндре и концепция диффракциониых
лучей. «Радиотехника и электроника», 1961, т. 6, № 1, стр. 31.
31. Г. Д. Малюжинец и Л. А. Вайнштейн. Поперечная диффузия
при диффракции иа импедансном цилиндре большого радиуса, ч. 1. Парабо-
лическое уравнение в лучевых координатах. «Радиотехника и электроника»,
1961, т. 6, № 8, стр. 1247.
32. Л. А. Вайнштейн и Г. Д. Малюжииец. Поперечная диффузия
при диффракции на импедаисном цилиндре большого радиуса, ч. 2. Асимпто-
тические законы диффракции в полярных координатах. «Радиотехника н
электроника», 1961, т. 6, № 9, стр. 1489.

Литература 517
33. G. N. W a t s о п. Theory of Bessel Functions, Cambridge, 1922. Г.Н. Ват-
сой. Теория бесселевых функций, пер. В. С. Бермана. Изд-во ииостраниой
литературы, 1949.
34. V. Foe к. Ober eine Klasse von Integralgleichungen, Mathematische Zeit-
schrift, 1924, Bd. 21, S. 161; также В. А. Ф о к. О некоторых интегральных
уравнениях Вольтерра. Математический сборник, 1925, т. 32, стр. 519.
35. Е. С. Т i t с h m a r s h. Introduction to the theory of Fourier integrals, Oxford,
1937. E. Титчмарш. Введение в теорию интегралов Фурье. Пер.
Д. А. Райкова. Гостехиздат, 1948.
36. Е. А. М i I n e. Radiative equilibrium in the outer layers of a star, Monthly
Notices of the R. A. S., 1931, v. 81, p. 109.
37. E. H о р f. Mathematisches zur Strahlungsgleichgewichtstheorie der Fixster-
natmospharen, Mathematische Zeitschrift, 1931, Bd. 33, S. 109.
38. E. H о р f. Mathematical problems of radiative equilibrium, Cambridge Tracts,
1933, N31.
39. В. А. А м б а р ц у м и а и. Рассеяние и поглощение света в плаиетиых
атмосферах. Ученые записки ЛГУ, 1941, № 82, стр. 64.
40. В. А. Фок. О некоторых интегральных уравнениях математической фи-
зики. Доклады АН СССР, 1942, т. 37, стр. 147.
41. Sir George В. A i r у. On the intensity of light in the neighbourhood
of a caustic, Trans. Cambr. Phil, Soc 1838. VI, p. 379.
42. В. А. Фок и В. А. Колпииский. Диффракция воли от изогнутой
решетки. ЖЭТФ. 1940, т. 10, № 2, стр. 211.
43. G. D о е t s с h. Theorie und Anwendung der Laplace — Transformation,
Berlin, 1937.
44. В. А. Ф о к. Принципиальное значение приближенных методов в теоретиче-
ской физике. «Успехи физических иаук», 1936, т. 16, № 8, стр. 1070.

ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ ФОК
ПРОБЛЕМЫ ДИФФРАКЦИИ И РАСПРОСТРАНЕНИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Редактор К. И. Кучу мова
Художественный редактор В. Т. Сидоренко
Технический редактор Г. 3. Шалимова
Корректоры: Е. П. Озерецкая, М. Ф. Белякова
Сдано в набор 27.III.1969 г.
Подписано в печать 14.V.1970 г. Т-09006
Формат 60X90/16 Бумага типографская № 1
Объем 32,5 усл. п. л. Уч.-изд. л. 31,8
Тираж 4600 экз. Зак. 135
Издательство «Советское радио», Москва, Главпочтамт, п/я 693.
Цена 2 р. 47 к.
Ленинградская тнпография № 6 Главполиграфпрома
Комитета по печати прн Совете Министров СССР
Ленинград, С-144, ул. Моисеенко, 10