Ф.М. БОЧЕВЕ
РАСЧЕТЫ
ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ
ЗАПАСОВ
ПОДЗЕМНЫХ ВОД

Теория
и практические методы
гидрогеологических
расчетов
эксплуатационных запасов
подземных вод
Ф.М. БОЧЕВЕР
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НЕДРА» • МОСКВА, 1968 г.
УДК 551^49
Ф. М. Бочевер. ТЕОРИЯ И ПРАК-
ТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭКС-
ПЛУАТАЦИОННЫХ ЗАПАСОВ ПОД-
ЗЕМНЫХ ВОД.
Изд-во «Недра», 1968 г., стр. 1—328.
В работе дано систематическое изло-
жение методов оценки запасов подземных
вод для целей водоснабжения.
В первых главах рассматриваются об-
щие вопросы, связанные с этой проблемой:
классификация запасов подземных вод,
схематизация природных условий для це-
лей расчета, принципиальная схема оценки
эксплуатационных запасов, исходные диф-
ференциальные уравнения и краевые усло-
вия и некоторые другие.
Последующие главы посвящены мето-
дам расчета водозаборных сооружений
в различных геологических структурах и
в разных типах водоносных пластов. По-
дробно освещены методы расчета одиноч-
ных и взаимодействующих скважин в круп-
ных артезианских бассейнах, речных доли-
нах и конусах выноса предгорных областей.
Приведены выводы расчетных формул, да-
ны графики и таблицы, облегчающие их
практическое использование.
Табл. 41, рис. 98, библ. 149.
2-9-4
302-68
Введение
Проблема использования подземных вод включает целый комп-
лекс сложных научных и инженерных задач, которые в значитель-
ной степени связаны с задачей прогноза эксплуатационных запа-
сов подземных вод и гидрогеологических расчетов водозаборных
сооружений. По результатам оценки эксплуатационных запасов и
гидрогеологических расчетов устанавливается производительность
водозаборов и динамика понижения уровня подземных вод (в са-
мих водозаборах и в зоне их влияния) и в соответствии с этим обо-
сновываются конструктивные и технико-экономические параметры
водозаборов.
В настоящее время государством выделяются крупные ассигно-
вания на строительство новых и реконструкцию существующих во-
дозаборов подземных вод, в связи с чем рассматриваемая проб-
лема приобретает важное народнохозяйственное значение.
Методы оценки запасов подземных вод и гидрогеологических
расчетов водозаборов разрабатываются у нас в стране давно. Хо-
рошо известны посвященные этому вопросу труды Г. Н. Камен-
ского, Н. А. Плотникова, Г. В. Богомолова, М. П. Семенова,
Н. Н. Биндемана, С. К. Абрамова, А. В. Романова, В. М. Григорье-
ва, М. Е. Альтовского, В. Д. Бабушкина и других авторов. Однако
до недавнего времени оценка эксплуатационных запасов подзем-
ных вод и расчеты водозаборов производились в основном только
исходя из условий установившегося движения подземных вод.
Между тем при интенсивной эксплуатации подземных вод в по-
давляющем большинстве случаев, особенно в первые периоды,
имеет место неустановившаяся фильтрация.
Разработка и внедрение в практику изысканий и проектирова-
ния новых методов оценки эксплуатационных запасов подземных
вод на основе теории неустановившегося движения были начаты
автором совместно с Н. Н. Веригиным в институте ВОДГЕО в на-
чале 50-х годов. В 1961 г. вышло из печати составленное ими
пособие, в котором впервые сформулированы основные задачи,
3
возникающие в связи с прогнозом производительности водозаборов
в условиях неустановившегося движения подземных вод и изло-
жена методика таких прогнозов для простейших гидрогеологиче-
ских схем.
В указанном пособии были широко использованы результаты
теоретических исследований В. Н. Щелкачева в области упругого
режима фильтрации применительно к нефтепромысловым задачам.
В него вошли также решения задач по расчету неустановившейся
фильтрации к скважинам в неограниченном и полуограниченном
пластах, полученные Н. Н. Веригиным при участии В. М. Шеста-
кова в 1949—1952 гг. в связи с проектированием водопонижения и
дренажа. В дальнейшем исследования по проблеме оценки эксплу-
атационных запасов развивались как в институте ВОДГЕО, так и
в других научных организациях. Широкой известностью в настоя-
щее время пользуются, например, посвященные этому вопросу
работы В. Д. Бабушкина, Н. Н. Биндемана, Н. И. Плотникова. Ин-
тересные результаты при решении многих конкретных задач полу-
чены И. Е. Жерновым, И. К. Гавич, Р. В. Бородиным, В. А. Василь-
евым, Д. Ф. Шульгиным и другими.
Методы расчета эксплуатационных запасов подземных вод и
производительности водозаборов разрабатываются на основе об-
щей теории фильтрации, получившей у нас отражение в фундамен-
тальных трудах Н. И. Павловского, Л. С. Лейбензона и П. Я. По-
лубариновой-Кочиной.
Для расчета водозаборов исключительную ценность представ-
ляют исследования общетеоретического и прикладного характера
В. Н. Щелкачева, И. А. Парного, М. А. Гуссейн-Заде, Ю. П. Бори-
сова и многих других специалистов в области нефтяной подземной
гидравлики. Широко используются для этих целей также ра-
боты по фильтрационным расчетам в гидротехнике и в области во-
допонижения и дренажа. К ним относятся работы С. К- Абрамова,
С. Ф. Аверянова, В. И. Аравина, Н. Н. Веригина, В. М. Григорьева,
В. П. Недрига, С. Н. Нумерова, Л. Н. Павловской, А. В. Романова,
Б. С. Шержукова, В. М. Шестакова и других.
Наряду с указанной общностью проблем подземной гидроди-
намики в различных областях науки и техники необходимо иметь
в виду и специфические особенности гидрогеологических задач,
возникающих в связи с использованием подземных вод как источ-
ника водоснабжения. Эти особенности определяются главным об-
разом тем, что при длительной и интенсивной эксплуатации водоза-
боров их влияние распространяется на значительные расстояния,
поэтому оценка эксплуатационных запасов подземных вод, как
правило, должна производиться на основе изучения геологических
и гидрогеологических условий крупных территорий.
Вместе с тем основные коллекторы слабоминерализованных
подземных вод залегают на небольшой глубине от поверхности и
благодаря этому тесно связаны с гидрометеорологическими фак-
торами. Режим подземных вод в указанных условиях существенно
4
отличается от режима глубоких горизонтов сильноминерализован-
ных вод и нефтегазовых пластов.
В настоящей работе излагаются аналитические методы оценки
эксплуатационных запасов подземных вод и расчета производи-
тельности водозаборных сооружений. Главное внимание в ней уде-
ляется отражению указанных особенностей неглубоких водоносных
горизонтов, в которых сосредоточены наиболее крупные запасы
слабоминерализованных подземных вод, пригодных для водо-
снабжения.
В первой части книги (главы I — IV) рассматриваются общие
вопросы формирования запасов подземных вод, их подразделения
(классификации), схематизации природных условий, баланс под-
земных вод и обоснования исходных дифференциальных уравне-
ний; приводится вывод уравнений и формулируются краевые усло-
вия, в которых находят отражение условия залегания водоносных
пластов, источники их питания и другие природные особенности.
Следующая часть работы (главы V—IX) посвящена методике
гидрогеологических расчетов производительности водозаборов при-
менительно к основным геологическим структурам и типам водо-
носных пластов, в которых сосредоточены наиболее значительные
ресурсы пресных подземных вод (артезианские бассейны, долины
рек, конусы выноса). В последней части (глава X) излагаются при-
ближенные методы расчета водозаборов, которые являются об-
щими и могут быть использованы в различных геологических усло-
виях.
В последнее время в гидрогеологическую практику, так же как
и в другие отрасли нашей экономики, все шире внедряются методы
моделирования на аналоговых приборах и расчетов на электронно-
вычислительных машинах. Все эти методы могут с успехом приме-
няться на различных этапах изучения запасов подземных вод
и проектирования водозаборов в зависимости от требуемой точно-
сти прогнозов. Нужно, однако, иметь в виду, что точность и надеж-
ность гидрогеологических расчетов находятся в прямой зависимо-
сти от точности и достоверности исходных данных, которыми ха-
рактеризуется природная гидрогеологическая обстановка. Это
в равной мере относится и к аналитическим расчетам и к модели-
рованию.
Исключительное разнообразие естественных природных усло-
вий, крайне изменчивый в пространстве и во времени режим источ-
ников питания водоносных пластов, невозможность заранее пре-
дусмотреть во всех деталях, в каком именно направлении и в какой
мере могут изменяться естественные природные условия под влия-
нием эксплуатации подземных вод — все это обусловливает при-
ближенность гидрогеологических расчетов.
Полностью избежать такой приближенности практически невоз-
можно, так как подробное освещение естественной обстановки во
многих случаях связано с необходимостью таких значительных зат-
рат, которые вообще делают экономически невыгодным исполь-
5
зование подземных вод. В этих условиях вполне оправданы
приближенные прогнозы на основе схематизации природной обста-
новки и соответствующих аналитических решений.
Вместе с тем следует подчеркнуть, что аналитические решения,
даже при неизбежной схематизации природной обстановки, дают
возможность в более полной мере выявить основные закономерно-
сти и относительную роль различных природных и технических фак-
торов в формировании течений подземных вод при эксплуатации
водозаборов. Благодаря этому они могут служить основой для раз-
работки самой методики моделирования.
Необходимо еще отметить, так сказать, активную роль анали-
тических решений задач о движении подземных вод в отношении
изысканий и разведки. Используя результаты таких решений, мож-
но более целенаправленно и с меньшей затратой средств, чем это
делается во многих случаях до самого последнего времени, осуще-
ствлять изыскательские и разведочные работы. Само собой разу-
меется, что представляемая работа могла быть выполнена только
на базе уже имеющихся и постоянно развивающихся исследований
по подземной гидродинамике в гидрогеологии и в указанных выше
смежных областях.
Мы не ставили себе целью дать полную библиографическую
сводку по данной проблеме. В современных условиях при все воз-
растающем объеме публикаций эта задача представляется практи-
чески вообще невыполнимой. Каждая глава работы заканчивается
списком литературы, носящим в основном служебный характер
в том смысле, что в нем помещены только непосредственно исполь-
зованные литературные источники.
Автор на протяжении многих лет имел возможность постоянно
эбсуждать постановку задач и полученные результаты с С. К. Аб-
рамовым, Н. Н. Биидеманом, Н. Н. Веригиным, А. Е. Орадовской,
В. М. Шестаковым. При выполнении данной работы большую по-
мощь автору оказали А. Е. Орадовская, Н. Н. Лапшин и
В. Н. Львова. Всем указанным лицам автор выражает глубокую
Элагодарность. Автор также весьма признателен Н. Н. Веригину
и В. Н. Щелкачеву, взявшим на себя нелегкий труд по рассмотре-
нию работы после ее завершения.
Классификации
запасов
подземных вод
§ 1. Классификация запасов подземных вод
по гидрогеологическим условиям
Подробный обзор существующих классификаций с соответст-
вующими библиографическими ссылками был дан в наших рабо-
тах [4, 6]. За истекшее время интерес к этому вопросу не снизился;
напротив, в ряде работ, вышедших из печати в самые последние
годы, принципы подразделения запасов подземных вод, их клас-
сификация— явились предметом оживленной дискуссии. Таковы,
например, работы Б. И. Куделина [9], Н. Н. Биндемана [1],
Р. В. Бородина [3].
Стремление к совершенствованию существующих классифика-
ций запасов, разумеется, вполне оправдано. Постоянно возрастаю-
щий размах гидрогеологических работ и накопление богатейшего
фактического материала о подземных водах диктуют необходи-
мость более углубленного рассмотрения многих вопросов теории
гидрогеологии, к числу которых, в частности, относится и вопрос
о классификации запасов.
Однако приходится признать, что в указанных новых работах,
как, впрочем, и во многих прежних, существо проблемы классифика-
ции запасов подземных вод нередко подменяется полемикой о тер-
минах, что придает ей в значительной мере формальный характер.
В классификации запасов подземных вод должна быть дана опре-
деленная группировка различных типов подземных вод и, что несо-
мненно является самым существенным, в ней должны получить
отражение условия накопления подземных вод, т. е., иначе гово-
ря, — условия формирования запасов подземных вод, их восполне-
ния и расходования.
Таким образом, классификация запасов подземных вод, как
всякая действительно научная классификация, должна базиро-
ваться на генетической основе. Только в этом случае она будет
способствовать познанию и раскрытию взаимосвязей между под-
земными водами, как полезным ископаемым, и другими природ-
ными процессами — геологическими, климатическими, гидрологиче-
скими и т. д., — и вместе с тем явится важной основой при реализа-
ции практических мероприятий по использованию подземных вод.
7
Почти все предложенные классификации, освещенные в указан-
ном нашем обзоре [4, 6], сходны между собой. Различия между
ними, как отмечалось, носят главным образом терминологический
характер. Действительно, начиная с П. Н. Бутова,' все авторы
в своих классификациях неизменно отражают то главное, что от-
личает подземные воды от твердых полезных ископаемых, — их
подвижность и возобновляемость. Именно поэтому в составе запа-
сов подземных вод рассматривается не только объем («пассивные
запасы» П. И. Бутова, «статические» или «вековые» запасы
М. Е. Альтовского, М. П. Семенова, Н. А. Плотникова и других ав-
торов), но и расход («естественные динамические запасы»
К. И. Макова и Г. Н. Каменского или просто «динамические
запасы» М. Е. Альтовского, М. П. Семенова и Н. А. Плотни-
кова и, наконец, «естественные ресурсы» Ф. А. Макаренко и
Б. И. Куделина). Величина статических запасов определяется
геометрическими размерами и водоотдачей водонасыщенного
слоя.
Недостатком большинства классификаций естественных ресур-
сов подземных вод является то, что в них не уточнено понятие ди-
намических запасов, т. е. расхода потока, который в любом водо-
носном пласте изменяется вдоль по потоку и во времени. На это
справедливо указывается в работах Б. И. Куделина [9] и Н. Н. Ве-
ригина [7].
Под динамическими запасами какой-либб части пла-
ста следует понимать расход потока врассматриваемом
створе. При этом количественно динамические запасы должны
определяться как среднемноголетний расход потока подземных вод
в створе.
Эксплуатационные запасы подземных вод, как самостоятельную
категорию, выделяют в своих классификациях все авторы. Наибо-
лее развернутое определение «эксплуатационных запасов» или
«эксплуатационных ресурсов» мы находим в классификациях
Н. А. Плотникова и Г. Н. Каменского. Оба указанных автора под
эксплуатационными запасами понимают количество
подземных вод, которое можно извлечь за опре-
деленный срок водозаборными сооружениями.
Г. Н. Каменский добавляет еще, что при этом не должно происхо-
дить заметно! о изменения установившегося эксплуатационного ре-
жима подземных вод, т. е. эксплуатация водозабора должна вестись
«без заметного снижения его производительности и без снижения
динамических уровней подземных вод». Близки к этому определе-
нию и выдвинутые Р. В. Бородиным «эксплуатационные возмож-
ности водозабора».
Важно отметить, что как Н. А. Плотников и Г. Н. Каменский,
так и другие авторы, например М. Е. Альтовский и Ф. А. Мака-
ренко, в общем правильно указывают на то, что в эксплуатацион-
ные ресурсы входят не только динамические запасы (расход). Это
8
обстоятельство, несомненно, является самым существенным в клас-
сификации запасов подземных вод для целей водоснабжения; оно
собственно и определяет необходимость выделения в качестве са-
мостоятельного вида, кроме статических и динамических, еще экс-
плуатационных запасов. Эксплуатационные запасы всегда вклю-
чают в себя, кроме естествен-
ного расхода, определенную
часть статических запасов под-
земных вод, срабатываемых
при эксплуатации водозабора.
Вместе с тем следует иметь
в виду, что интенсивная экс-
плуатация водоносного пласта
или системы водоносных пла-
стов при помощи тех или иных
водозаборных сооружений при-
водит к существенным измене-
ниям в естественном режиме
подземных вод и создает воз-
можность привлечения допол-
нительных запасов. При экс-
плуатации в частности может
происходить следующее.
1.	Смещение подземного
водораздела грунтовых вод и
увеличение в связи с этим об-
ласти питания водозабора
(рис. 1.1, а).
2.	Вовлечение в сферу влия-
ния водозабора поверхностных
источников (см. рис. 1.1, б).
3.	Увеличение поступления
воды в водоносный пласт за
счет изменения инфильтрации
атмосферных осадков при по-
нижении уровня грунтовых вод
в районе расположения водо-
забора (см. рис. 1.1, в).
4.	Перетекание подземных
вод из соседних пластов. При
эксплуатации водозаборов в
многослойных толщах происхо-
дит перераспределение напо-
ров подземных вод, в связи
Рис. 1.1. Источники питания и воспол-
нения запасов подземных вод прн дей-
ствии водозабора
с чем изменяются пути фильтрации и некоторые водоносные пласты
могут явиться дополнительным источником питания водозаборов
сверхестественного расхода того пласта, в котором они непосред-
ственно сооружаются (см. рис. 1.1, г).
9
5.	При эксплуатации водозаборов естественные запасы подзем-
ных вод могут быть существенно изменены также при помощи ис-
кусственных приемов, например путем устройства инфильтрацион-
ных бассейнов или каналов, так называемых «фабрик подземных
вод» (см. рис. 1.1, д).
Все это указывает на то, что в классификации запасов подзем-
ных вод действительно нельзя ограничиваться типами, отражаю-
щими только те количества подземных вод, которые находятся
в естественном состоянии в данном водоносном пласте. В процессе
эксплуатации водозаборов в связи с появлением новых источников
питания как бы «создаются» дополнительные запасы, не учитывае-
мые при рассмотрении только естественных условий, вне эксплуа-
тации. Размеры этих дополнительных запасов, а следовательно, и
общая величина эксплуатационных запасов определяются не толь-
ко гидрогеологическими условиями, но и техническими условиями
водоотбора, т. е. типом и конструкцией водозаборных сооружений
и режимом их работы.
Исходя из изложенного, можно остановиться на следующей
классификации запасов подземных вод (табл. 1.1).
При оценке эксплуатационных запасов выбор типа и схемы раз-
мещения водозаборных сооружений производится в зависимости от
размеров водопотребления, гидрогеологических и других природ-
ных факторов и технико-экономических показателей. Из этого оп-
ределения следует, что нельзя требовать, как это часто делалось до
недавнего времени, чтобы эксплуатационные запасы характеризо-
вали во всех случаях «устойчивый дебит» или «неизменные»,
«неухудшающиеся» качество воды и режим эксплуатации водоза-
бора. Эти требования являются неоправданными. Речь может
идти не вообще об «устойчивости» или «неизменности» дебита, ка-
чества воды и режима эксплуатации, а о тех изменениях, которые
следует ожидать в конкретных природных условиях. Эти изменения
должны быть отражены в расчетах эксплуатационных запасов и
учтены в проекте водозаборного сооружения. В отношении каче-
ства воды указанные изменения не должны выходить за пределы
кондиционных требований, предъявляемых потребителями.
Такое понимание эксплуатационных запасов вполне отвечает
«Инструкции по применению классификации эксплуатационных
запасов подземных вод», разработанной ГКЗ [8] и являющейся
в сущности единственным официальным документом по этому во-
просу, которым широко пользуются на практике.
Важно еще раз подчеркнуть, что, как следует из сказанного,
эксплуатационные запасы характеризуют одно-
временно водоносный пласт (или систему пластов) и
водозаборное сооружение, с помощью которого они из-
влекаются. При этом эксплуатационные запасы могут определяться
применительно к одному или нескольким водозаборным сооруже-
ниям, в зоне которых находится часть пласта или весь пласт в це-
лом.
Ю
Таблица 1.1
Схема классификации запасов подземных вод
I. Естественные запасы (ресурсы). Общее количество
подземных вод в пласте в естественных (не нарушенных
эксплуатацией водозабора) условиях
II. Эксплуатационные запасы (ресурсы). Количество
(расход) подземных вод, которое может быть получено
нз водоносного пласта данным конкретным водозабор-
ным сооружением в течение всего предусматриваемого
срока его эксплуатации
1. Статические и упру-
гие запасы. Объем под-
земных вод в порах и
трещинах водоносного
пласта
2. Динамические запа-
сы. Расход подземных
вод, протекающих через
водоносный пласт
1. Естественные запасы
в зоне влияния водоза-
борного сооружения
2. Дополнительные за-
пасы, привлекаемые в
процессе эксплуатации
водозаборного сооруже-
ния
1
а) поступление во-
ды из соседних бас-
сейнов в результате
смещения подземного
«водораздела»
б) фильтрация из
поверхностных водо-
токов и водоемов
в) инфильтрация
атмосферных осадков
г) перетекание из
соседних водоносных
пластов через слабо-
проницаемые слои
д) искусственное
питание водоносного
пласта (инфильтраци-
онные бассейны, кана-
лы и т. д.)
Общее уравнение водного баланса водозабора может быть
представлено в таком виде:
Q=> = Qct + Qynp + Qihh + 2 фдоп-	(I-1.1 )
Здесь Qa — эксплуатационные запасы (дебит водозабора), <2дин —
используемые динамические запасы (часть естественного расхода
пласта, захватываемая водозабором); QCT и Qynp— используемые
статические и упругие запасы; 2ZQHOn— суммарные дополнитель-
ные запасы, привлекаемые в процессе эксплуатации.
В первый период эксплуатации главное значение в обеспече-
нии водозабора имеют составляющие QCT (в безнапорных пластах)
и Qynp (в напорных пластах). В дальнейшем возрастает роль дина-
мических запасов QaIIH и дополнительно привлекаемых источников
2Фдоп-
Эксплуатационные запасы могут оцениваться на локальных, бо-
лее или менее ограниченных участках водоносного пласта или
в пределах крупных районов, охватывающих целиком весь пласт
или систему водоносных горизонтов [2].
При неограниченном сроке эксплуатации теоретически должны
полностью срабатываться статические и упругие запасы, выражае-
мые членами QCT и Qynp- В соответствии с этим уравнение баланса
будет иметь вид
Q,.M=«(Q^e + Q^,) + ?(Qp.e+Qp.,)-	(1-1 -2)
Здесь Q3. м — это эксплуатационные минимальные запасы, посто-
янно восполняемые атмосферными осадками (Qw) и водами из по-
верхностных водотоков и водоемов (Qp). Индексами «е» и «э» от-
мечается количество воды, поступающее из указанных источников
в естественных условиях, до начала действия водозаборов, и в про-
цессе их эксплуатации (в данном случае, следовательно, Qw. э +
+ QP. э=2^доп)- Коэффициенты аир характеризуют долю воз-
можного использования соответствующих источников питания го-
ризонта.
Подземные воды являются существенным элементом общего
водного баланса отдельных районов, областей и всей страны в це-
лом. В связи с этим при региональной оценке запасов подземных
вод следует учитывать, что их использование в размерах, опреде-
ляемых уравнением (1.1.1.), за вычетом возвращаемых количеств
воды после использования или так называемых «возвратных вод»,
приведет к соответствующим изменениям в общем водном балансе
и, в частности, к уменьшению открытого водного стока. Во всяком
случае это целиком относится к той части эксплуатационных запа-
сов подземных вод, которая обеспечивается инфильтрацией атмо-
сферных осадков и поступлением воды из поверхностных источни-
ков. С учетом этого общий водный баланс района может быть вы-
ражен следующим образом:
Qo — Qc + Qu + a-Qw. э + ?QP. э — Qeap •	(1-1 -3)
12
Здесь Qo — количество осадков, Qc — общий водный сток (поверх-
ностный и подземный); Qn — испарение; aQw. э и 0QP. э — эксплу-
атационные запасы подземных вод, обеспечиваемые инфильтра-
цией атмосферных осадков и фильтрацией из открытых водных ис-
точников, QB3p — «возвратные» воды.
Следует подчеркнуть, что уравнение (1.1.3) справедливо только
при определении водного баланса крупных регионов, включающих
в себя целиком один или несколько речных бассейнов. При оценке
водообеспеченности локальных участков влияние эксплуатации
подземных вод на открытый водный сток должно определяться
в зависимости от конкретных гидрогеологических условий, разме-
щения водозаборных сооружений и длительности их эксплуатации
(см. главу VIII).
§ 2.	Классификация эксплуатационных запасов
подземных вод по степени изученности
По степени изученности эксплуатационные запасы подземных
вод могут быть охарактеризованы следующим образом [5]:
вполне изученные —подтверждаемые детальными изыс-
каниями;
изученные—устанавливаемые по данным предварительных
изысканий;
ориентировочные—определяемые по общим представле-
ниям о геологическом строении и гидрогеологических условиях
района.
Это вполне отвечает принятому в настоящее время официаль-
ному подразделению эксплуатационных запасов в зависимости от
степени разведанности, изученности качества воды и условий экс-
плуатации на четыре категории: А, В, Ci и Сг [8].
Составление проектов и выделение капитальных вложений
на строительство новых и реконструкцию действующих водоза-
борных сооружений при стоимости намечаемых работ свыше
500 тыс. руб. (для объектов ж.-д. транспорта — свыше 1 млн. руб.)
производится только по утвержденным в ГКЗ запасам, причем вся
проектная производительность водозаборного сооружения должна
быть обеспечена запасами по категориям А и В (А — в размере не
менее 50%), характеризующим высокую степень изученности и
достоверности запасов.
Категоризация эксплуатационных запасов подземных вод долж-
на быть обоснована материалами комплексных изысканий. Объем
и состав последних в каждом конкретном случае определяются
сложностью природных условий и степенью их изученности, вели-
чиной водопотребления и стадией проектирования.
В материалах изысканий должны быть освещены [5, И]:
1)	общие физико-географические условия района возможного
расположения водозаборных сооружений (климат, рельеф, расти-
тельность) ;
13
2)	геологическое строение района (стратиграфия, литология,
тектоника, геоморфология);
3)	геометрические особенности водоносного пласта или системы
пластов, намечаемых к эксплуатации (условия залегания, размеры
в плане и в разрезе);
4)	гидрогеологические условия: состав и водопроницаемость пла-
стов, их пьезопроводность и водоотдача, величина и распределение
напоров подземных вод, характер контакта данного водоносного
пласта с окружающими породами в плане и в разрезе, состав и во-
допроницаемость окружающих пород, возможные источники пита-
ния и размеры естественных ресурсов подземных вод, характер
взаимосвязи подземных вод с поверхностными водотоками и водое-
мами;
5)	режим подземных вод- и открытых водных источников
(рек, озер, водохранилищ, каналов), связанных с подземными во-
дами;
6)	качество подземных вод (физические свойства, химический
и бактериологический состав) в данном пласте и в окружающих
водоносных породах;
7)	условия водоснабжения района;
8)	санитарные условия и условия охраны водоносных пластов
и водозаборов от загрязнения.
Важным является вопрос о границах территории, подлежащей
освещению гидрогеологическими изысканиями для оценки запасов
подземных вод. Блокировка запасов, т. е. ограничение их в плане
на отдельных участках водоносного горизонта, весьма условна и
во многих случаях вообще не может быть проведена. В связи
с этим следует заметить, что принятый в ГКЗ и в некоторых мето-
дических руководствах [8, 11] и широко используемый на практике
термин «месторождение подземных вод» также является условным,
поскольку водоносные горизонты, как правило, невозможно разде-
лить на локальные, изолированные «скопления подземных вод»,
т. е. собственно «месторождения».
Сумма запасов, определенных на каждом отдельном участке
или «месторождении», может существенно превысить общие запасы
водоносного пласта в целом [2].
Материалы, представляемые в обоснование ориентировочных
запасов при составлении так называемого технико-экономиче-
ского доклада (ТЭД) или технико-экономического обоснования
(ТЭО) объекта крупного водоснабжения, должны охарактеризо-
вать значительную по площади территорию с тем, чтобы по ним
можно было произвести сравнительную оценку всех возможных
водных, источников и выбор районов для постановки более деталь-
ных изысканий.
Запасы подземных вод, выявленные на этой стадии, относятся
к категориям Ci и Сг.
Материалами детальных изысканий в пределах выбранного
района обосновывается проектное задание. На этой стадии должны
14
быть выявлены и рекомендованы наиболее благоприятные по гид-
рогеологическим условиям участки размещения, а также тип и
схема водозаборных сооружений. Детальность изысканий при этом
должна соответствовать требованиям, предъявляемым к запасам
категорий А и В, а при определении возможных перспектив расши-
рения сооружений — категории Cj.
Наконец, вполне изученные запасы должны быть подтверждены
гидрогеологическими изысканиями, проведенными непосредственно
на выбранном участке расположения водозаборных сооружений.
По материалам этих изысканий составляются рабочие чертежи,
в соответствии с чем они должны содержать данные, необходимые
для разработки типа и конструкции водоприемной части водозабо-
ров, подбора насосного оборудования и проектирования зданий,
коммуникаций и других сооружений.
Гидрогеологические изыскания, выполняемые с целью оценки
эксплуатационных запасов, включают гидрогеологическую съемку,
разведочные работы (бурение и проходку горных выработок, гео-
физическую разведку), опытно-фильтрационные исследования (от-
качки, наливы, опыты по определению естественных скоростей по-
тока), гидрогеологические наблюдения за поверхностным стоком,
физико-химические и бактериологические анализы подземных вод.
Основным видом гидрогеологических изысканий, с помощью ко-
торых обосновываются эксплуатационные запасы подземных вод
по высоким категориям, являются опытно-фильтрационные иссле-
дования, в частности откачки из скважин. В зависимости от целе-
вого назначения и методики проведения откачки могут быть под-
разделены на пробные, опытные и опытно-эксплуатационные.
Пробные откачки производятся из одиночных разведочных
и разведочно-эксплуатационных скважин с целью предварительной
оценки их дебита и получения сравнительной характеристики во-
дообильности отдельных участков и зон водоносного пласта. Проб-
ные откачки производятся с одним-двумя понижениями продолжи-
тельностью по 2—3 смены на каждом из них.
Опытные откачки производятся из одиночных разведоч-
ных и разведочно-эксплуатационных скважин, а также из кустов
скважин (с одной-двумя наблюдательными скважинами). Их
целью является установление зависимости дебита скважин от по-
нижения уровня (построение так называемой «кривой дебита»),
определение коэффициента фильтрации и коэффициента пьезопро-
водности. Количество понижений при опытных откачках должно
быть не менее 2—3, по 5—8 смен на каждом понижении.
Опытно-эксплуатационные откачки выполняются
из разведочно-эксплуатационных скважин с целью получения более
надежных данных о производительности скважин, возможном ре-
жиме их эксплуатации и качестве подземных вод.
Эти откачки производятся при максимально возможном дебите
в течение продолжительного времени (1,5—2 месяцев и более).
Наиболее рациональным для опытно-эксплуатационных откачек
15
является такой режим, при котором сохраняется постоянный дебит
скважин (а уровень в скважине с течением времени понижается)
или постоянный уровень (в этом случае дебит скважины с тече-
нием времени понижается).
Данные о производительности скважин и динамических уров-
нях при опытно-эксплуатационных откачках используются для про-
верки предварительных расчетов, выполненных на основе кратко-
временных опытных откачек. Вместе с тем по результатам опытно-
эксплуатационных откачек представляется возможным более
надежно оценить водопроницаемость пласта и определить другие
параметры, необходимые для расчета эксплуатационных запасов
в условиях установившегося и неустановившегося движения под-
земных вод.
Качество подземных вод оценивается по ГОСТам с учетом кон-
кретных требований водопотребителей. В соответствии с этим и
выполняется определенный комплекс физико-химических и бакте-
риологических анализов.
Вопрос об отнесении эксплуатационных запасов подземных вод
к той или иной категории решается по совокупности всех гидрогео-
логических данных. Но полная оценка эксплуатационных запасов
подземных вод на всех стадиях изысканий может быть сделана
в конечном счете только с помощью расчета. На ранних стадиях
изысканий, при отнесении запасов к категории С, расчеты носят
приближенный характер, поскольку они основываются йа прибли-
женных исходных гидрогеологических параметрах. В дальнейшем
при детальных изысканиях, по материалам которых определяются
запасы по категориям А и В, расчеты должны производиться
с большей точностью.
Повышение точности расчетов обеспечивается, во-первых, тем,
что в качестве расчетных данных используются более достоверные
исходные гидрогеологические параметры, и, во-вторых, тем, что
расчеты эти производятся применительно к конкретным участкам
расположения водозаборных сооружений и определенным схемам
последних.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ I
1.	Би идем ан Н. Н. Оценка эксплуатационных запасов подземных вод.
Госгеолтехиздат, 1963.
2.	Б ин дем ан Н. Н., Боне вер Ф. М. Региональная оценка эксплуата-
ционных запасов пресных подземных вод. «Советская геология», № 1, 1964.
3.	Б о р о д и н Р. В. О количественных категориях подземных вод и их
классификациях. Тр. Ташкентского у-та, иов. серия, вып. 220 (геол, науки, кн. 19),
1963.
4.	Б о ч е в е р Ф. М. О классификации запасов подземных вод для целей
водоснабжения. «Советская геология», № 62, 1957.
5.	Б о ч е в е р Ф. М. Об оценке эксплуатационных запасов подземных вод
по степени их изученности. «Разведка и охрана недр», № 4, 1960.
16
6.	Бочевер Ф. М. иВеригин Н. Н. Методическое пособие по расчетам
эксплуатационных запасов подземных вод для водоснабжения. Госстройиздат,
1961.
7.	В е р и г и н Н. Н. Об оценке грунтового стока рек. Тр. Лаборатории
гидротехнических сооружений ВОДГЕО, сб. 4. Госстройиздат, 1963.
8.	Инструкция ГКЗ по применению классификации эксплуатационных запа-
сов подземных вод. Госгеолтехиздат, 1962.
9.	К у д е л и н Б. И. Принципы региональной оценки естественных ресурсов
подземных вод. Изд. МГУ, 1960.
10.	Плотников Н. И. Поиски и разведка пресных подземных вод. Изд.
МГУ, 1960.
11.	Указания по проектированию сооружений для забора подземных вод.
С. Н. 325—65. Госстройиздат, 1956.
Il
Общая
характеристика
водоносных
горизонтов
§ 1.	Основные типы водоносных образований.
Принципы схематизации водоносных пластов
для целей расчета водозаборов
Наиболее значительными запасами пресных подземных вод, ко-
торыми могут быть удовлетворены потребности в воде крупных на-
селенных центров, промышленных предприятий и т. д., характери-
зуются следующие геологические образования:
1)	толщи осадочных пород различного литологического состава
(преимущественно известняки, песчаники и пески) в артезианских
бассейнах платформы и горноскладчатых областей:
2)	аллювиальные песчано-гравийно-галечниковые отложения
речных долин;
3)	пролювиальные и аллювиальные песчано-гравийно-галечни-
ковые отложения конусов выноса предгорных равнин и межгорных
долин;
4)	массивы трещиноватых и закарстованных известняков
в краевых частях платформ на границе их с другими геологиче-
скими структурами, в частности с горноскладчатыми районами
(так называемые предгорные прогибы), и в пределах самих горно-
складчатых районов;
5)	флювиогляциальные песчано-гравийно-галечниковые отложе-
ния в областях развития ледниковых отложений;
6)	зоны тектонических разломов и интенсивной тектонической
трещиноватости в кристаллических массивах изверженных пород.
Задача количественной оценки эксплуатационных запасов под-
земных вод для водоснабжения в указанных геологических образо-
ваниях может быть решена только при той или иной степени схе-
матизации реальной природной обстановки. Природные условия
для этих целей должны быть представлены в виде расчетной
схемы.
При схематизации природной обстановки и составлении рас-
четных схем за основу принимается предпосылка о возможности
рассмотрения водоносных горизонтов и пластов (а во многих слу-
чаях— серии горизонтов и пластов, образующих так называемые
«водоносные комплексы») как в естественных условиях, так и в ус-
ловиях, нарушенных эксплуатацией водозаборных сооружений,
18
в виде единой физической области — области движения подземных
вод или области фильтрации, — к которой приложимы приемы и
методы механики и, в частности, подземной гидродинамики [7, 9].
В этом случае закономерности распределения и абсолютные вели-
чины напоров, скоростей и расходов подземных вод в естественной
обстановке и во время эксплуатации водозаборов вполне опреде-
ляются так называемыми начальными и граничными условиями,
или в совокупности — краевыми условиями.
В краевых условиях находят отражение геологическое строение,
структура и свойства водоносных горизонтов, условия залегания,
литологический состав и водопроницаемость водовмещающих по-
род, а также условия их питания и пополнения запасов подземных
вод: инфильтрация атмосферных осадков, испарение и конденса-
ция, фильтрация в водоносный горизонт поверхностных вод из рек,
озер, каналов и отток подземных вод.
Краевые условия устанавливаются для внешних границ обла-
сти движения подземных вод—например, границ раздела между
водоносными породами данного горизонта и окружающими его гео-
логическими образованиями или границ водоносного горизонта
в области дренирования его поверхностными водотоками и водое-
мами, а также для внутренних естественных границ — кровли и
подошвы, горизонта, границ раздела зон с различной водопрони-
цаемостью внутри горизонта и др., и искусственных контуров, ка-
ковыми являются водозаборные, гидротехнические сооружения
и т. д.
Таким образом, краевыми условиями характеризуется вся сово-
купность гидрогеологических и других природных особенностей
участка размещения водозабора и условия «взаимодействия» дан-
ного участка с окружающими горными породами и атмосферой,
а также с проектируемыми сооружениями.
Математическая формулировка краевых условий будет дана
нами далее при рассмотрении исходных дифференциальных урав-
нений и решений конкретных задач расчета водозаборов примени-
тельно к указанным основным наиболее водообильным геологиче-
ским образованиям. Здесь мы даем лишь общую характеристику
водоносных горизонтов, не останавливаясь только на тех особенно-
стях, которые должны находить отражение в расчетных схемах и
потому в значительной мере определять постановку задачи расчета
производительности водозаборов и выбор метода ее решения. Глав-
ными из этих особенностей являются: гидравлический характер и
условия питания водоносных горизонтов, режим фильтрации и ус-
ловия водоотдачи, водопроницаемость пород и геометрические очер-
тания водоносных горизонтов в плане.
Прежде чем перейти к характеристике этих особенностей, отме-
тим, что вопросы анализа природных условий применительно к зада-
чам фильтрационных расчетов освещены во многих работах. Кроме
отмеченных выше (см. [7, 9, 10]), следует указать, например, на ра-
боты Г. Н. Каменского [20, 21] и посвященную непосредственно
2*
19
этому вопросу его статью, написанную совместно с И. К. Гавич и
С. М. Семеновой [22], а также работы Н. Н. Веригина [12],
С. Ф. Аверьянова [2], Н. Н. Биндемана [4] и др.
§ 2.	Условия питания водоносных горизонтов
Водоносные горизонты, являющиеся наиболее мощными и
обильными коллекторами пресных подземных вод, обычно залегают
на глубине до 300—400 м от поверхности земли (в очень редких
случаях — до 700—800 м) и, как уже отмечалось, находятся под
постоянным воздействием метеорологических и гидрологических
факторов. Указанные водоносные горизонты приурочены к так на-
зываемой зоне активного водообмена.
Гидрогеологические исследования, выполненные по ряду круп-
ных артезианских бассейнов (например, Днепровско-Донецкому
[23] и Московскому [11]), показали, что запасы воды в системе на-
порных водоносных горизонтов зоны активного водообмена заме-
щаются «свежей» водой, поступающей из атмосферы и из поверх-
ностных водных источников в течение коротких периодов, исчис-
ляемых в некоторых случаях только первыми сотнями или даже
десятками лет.
В этом заключается одно из самых существенных отличий во-
доносных горизонтов пресных подземных вод от более глубоких
горизонтов минерализованных вод, а также от нефте- и газосодер-
жащих пластов, которые действительно почти полностью изолиро-
ваны от атмосферных и поверхостных водных источников и обра-
зуют зону застойного режима.
При схематизации природных условий для целей расчета водо-
носные пласты рассматриваемой нами зоны активного водообмена
подразделяются по характеру напора на: а) безнапорные, содер-
жащие подземные воды со свободной поверхностью и непосредст-
венно связанные с атмосферой; б) напорные — с подземными
водами, обладающими напором, и отделенные от атмосферы слабо-
проницаемыми глинистыми породами; в) смешанные, напорно-без-
напорные, характеризующиеся разными условиями питания на раз-
личных участках водоносного горизонта.
Безнапорные подземные воды (рис. II.1, а) в пределах пло-
щади нх распространения восполняются атмосферными осадками.
В определенных условиях (главным образом в засушливых райо-
нах) заметную роль в питании безнапорных вод могут играть также
конденсационные воды, образовавшиеся путем конденсации паров
в зоне аэрации. Вместе с тем с поверхности подземных вод непо-
средственно, а также путем транспирации влаги растениями про-
исходит испарение.
Таким образом, общую величину питания безнапорных подзем-
ных вод можно выразить так:
ев еинф ~Ь ®кон еисп’	(II.2.1)
20
Здесь приняты обозначения (в единицах скорости): ев— модуль
питания безнапорного водоносного горизонта: екон и еИНф —
инфильтрация атмосфер-
ных осадков и количество
конденсационной влаги,
поступающей на его сво-
бодную поверхность;
Еисп — испарение подзем-
ных вод.
Источниками пополне-
ния запасов безнапорных
подземных вод нередко
являются воды нижеле-
жащих напорных водо-
носных горизонтов, пере-
текающие через разде-
ляющие их слабопрони-
цаемые глинистые слои
(см. рис. II. 1, б). Модуль
питания в данном случае
оценивается суммой:
е = ев + ен, (П.2.2)
где ев — выражается по
(II.2.1), а ен — средний
модуль глубинного или
напорного питания:
Рис. II.1. Схемы безнапорных водоносных
пластов:
а — при отсутствии напорного питания; б — с напор-
ным питанием; в — при поступлении в пласт поверх-
ностных вод
1 и 2 — основные водоносные горизонты; 3 — разде-
ляющий слабопроницаемый слой; 4 — свободная по-
верхность; 5 — пьезометрический уровень напорного
горизонта
то
(П.2.3)
В данном случае Hi и
Нг — напоры соответст-
венно в рассматриваемом
безнапорном горизонте и
нижезалегающем напор-
ном пласте; k0—коэффи-
циент фильтрации разде-
ляющего слабопроницае-
мого слоя; то — его мощ-
ность.
Наконец, питание без-
напорных водоносных го-
ризонтов во многих случаях осуществляется путем фильтрации по-
верхностных вод из рек (через их русла и во время половодья —
через пойменные террасы), озер, каналов (см. рис. II.1,в). Этот ис-
точник питания безнапорных горизонтов, как это будет показано
21
далее (см. § 5 главы VIII), при расчетах водозаборов можно учиты-
вать отдельно. Но нередко, однако, поступление поверхностных вод
в безнапорные горизонты происходит рассредоточенно из многочис-
ленной сети мелких водотоков и водоемов на значительной пло-
щади распространения горизонта. Эту часть «теряющегося» по-
верхностного стока можно оценивать обобщенно, относя ее к вели-
чине инфильтрации. Последняя, следовательно, может быть
представлена таким образом:
£ = ев + ен + гр-	(II.2.4)
Здесь ев и ен определяются по предыдущему; ер — суммарные по-
тери стока преимущественно из мелкой сети поверхностных водо-
токов и водоемов, обусловленные фильтрацией воды из них в во-
доносный горизонт.
Величина е зависит от климатических факторов, рельефа, со-
става пород в зоне аэрации, характера растительности и т. д. и,
следовательно, изменяется в пространстве и во времени (по сезо-
нам одного года и в многолетнем разрезе).
Особенно существенно, что величина е претерпевает изменения
в результате откачки воды из безнапорных водоносных горизонтов
и понижения уровня подземных вод. При этом, как известно, за-
метно сокращается испарение подземных вод [12], кроме того, во
многих случаях усиливается фильтрация из поверхностных водото-
ков и водоемов, возрастает интенсивность поступления воды из на-
порных водоносных горизонтов и т. д. Поэтому в условиях эксплуа-
тации водозаборных сооружений величину е можно представить
в виде двух слагаемых:
е £ест Н- ®экспл •	(II.2.5)
Здесь ееСт и еЭКспл — модули питания безнапорного водоносного
горизонта соответственно в естественных условиях и при эксплуата-
ции водозаборов.
Вместе с тем, из сказанного выше следует, что
е = f (х, у, z, /),	(11.2.6)
т. е. модуль питания в общем случае является функцией простран-
ственных координат области фильтрации и времени.
Тем не менее для приближенных расчетов модуль питания без-
напорных потоков атмосферными осадками нередко принимают
постоянным, численно равным некоторой доле от суммы атмосфер-
ных осадков в периоды года, наиболее благоприятные для инфиль-
трации и питании водоносного пласта:
где х —так называемый «коэффициент просачивания».
22
Величина коэффициента просачивания, например, по данным
С. К. Калугина [19], для районов Центрального Казахстана при-
нимается равной 0,2—0,6 (меньшая для кристаллических сланцев,
большая — для трещиноватых и закарстованных известняков).
При этом учитывается сумма осадков только на период, предшест-
вующий снеготаянию («осадки в снеге»).
Если и потери поверхностного стока (из мелких водотоков и во-
доемов на площади распространения водоносного горизонта) при-
нять равными некоторой средней величине ер, то в сумме модуль
питания составит:
s^.rU7 + ep.	(П.2.7)
Безнапорные водоносные горизонты имеют весьма широкое рас-
пространение. Они приурочены к «рыхлым» песчано-глинистым от-
ложениям верхнего комплекса пород в артезианских бассейнах, ал-
лювиальным отложениям речных долин, ледниково-флювиогляци-
альным накоплениям, массивам трещиноватых и закарстованных
карбонатных пород и многим другим геологическим образованиям.
Напорные подземные воды в горизонтах, которые на большей
части площади своего распространения отделены от атмосферы и
от соседних пластов (рис. II.2, а) весьма слабопроницаемыми,
практически водоупорными слоями, получают питание в основном
путем инфильтрации атмосферных осадков в удаленных областях
выхода горизонтов на поверхность. В этом случае можно считать,
что на большей части площади распространения пласта модуль пи-
тания ев=0.
При наличии системы напорных водоносных горизонтов, разде-
ленных слабопроницаемыми слоями, следует учитывать возмож-
ность перетекания воды из одного горизонта в другой. Модуль пи-
тания, например, для среднего пласта в схеме, показанной на
рис. II.2, б, будет выражаться следующим образом:
е = ек + еп,	(П.2.8)
где
Бк	'
п	«00
Здесь Hi, Н2, Нз— напор в рассматриваемом пласте /ив связан-
ных с ним соседних водоносных пластах 2 и 3, ko, то — коэффи-
циент фильтрации и мощность слабопроницаемого слоя,
залегающего в кровле рассматриваемого напорного горизонта, т. е.
между пластами / и 2, koo, moo— то же в подошве пласта /, т. е.
между пластами 1 и 3.
Здесь в естественных условиях не происходит перетока из го-
ризонта 2 в горизонт / (Н2 < Hi) и из последнего в горизонт 3
(Нз < Hi), но при откачке соотношение напоров может измениться
на обратное. Нередко напорные водоносные горизонты непосредст-
венно перекрываются слабопроницаемыми породами, в которых
23
Рис. II.2. Схемы напорных водоносных пластов
а — пласты, не связанные с атмосферой и поверхно-
стными водами; б — слоистая водоносная система;
в — напорный пласт, перекрытый слабопроницаемыми
породами, в которых содержатся грунтовые воды со
свободной поверхностью, связанные с атмосферными
и поверхностными водотоками
1, 2, 3 — основные водоносные горизонты; 4 — свобод-
ная поверхность; 5 — пьезометрический уровень напор-
ного горизонта
содержатся подземные воды со свободной поверхностью, связан-
ные с атмосферой и получающие питание путем инфильтрации ат-
мосферных осадков (см. рис. II.2, в). В таких случаях режим и ин-
тенсивность питания напорных водоносных горизонтов в значитель-
ной мере определяются величиной модуля питания ев, с которой,
в свою очередь, связана величина напора Н2 в верхнем слое.
Модуль питания ев в данном случае, как и в собственно безна-
порных пластах, суммарно отражает поступление воды из разроз-
ненной сети поверхностных водотоков и водоемов. Очевидно, что
модуль питания напорных пластов в естественных условиях и при
эксплуатации водозаборных сооружений также может изменяться
в пространстве и во времени и, следовательно, для него сохраняется
зависимость (П.2.6).
Как уже отмечалось (мы приняли, что фильтрация в разделяю-
щем слое происходит при жестком режиме), выражениями, подоб-
ными (II.2.9), оценивается некоторая средняя скорость перетека-
ния воды из соседних слоев, без учета отдачи воды разделяющими
слабопроницаемыми слоями. Исследования последних лет показы-
вают, что этот источник пополнения запасов подземных вод в на-
порных горизонтах, т. е. поступление в них воды из соседних слабо-
проницаемых глинистых пластов в условиях эксплуатации, также
следует учитывать (подробнее см. далее в главе VI).
Напорные водоносные горизонты распространены в различных
геологических структурах. Наиболее полно они выражены в круп-
ных артезианских бассейнах, где образуются системы или комплексы
водоносных пластов, разделенных слабопроницаемыми слоями. Че-
рез последние осуществляется гидравлическая связь напорных во-
доносных горизонтов, поэтому запасы воды в них в зависимости
от соотношения напоров соседних горизонтов на различных участ-
ках их распространения могут восполняться или расходоваться [25].
Для примера на рис. П.З [1] показаны схемы потоков с различными
соотношениями напоров и условиями взаимосвязи водоносных го-
ризонтов в разрезе.
Указанные взаимоотношения отдельных водоносных горизонтов
находятся, следовательно, в зависимости от условий залегания
слоев и их высотного положения относительно дренирующих долин.
При определенных условиях питание и разгрузка отдельных водо-
носных горизонтов могут происходить на самых различных уча-
стках во всей области их распространения. При откачках воды
в процессе эксплуатации водозаборов тем более обеспечивается
возможность постоянного и повсеместного водообмена между на-
порными водоносными горизонтами.
Напорно-безнапорные условия движения подземных вод наблю-
даются в области выхода напорных водоносных горизонтов на по-
верхность (рис. II. 4, а) или вблизи дренирующих элементов — рек
и других водоемов, где пьезометрический уровень опускается ниже
кровли горизонта (см. рис. II.4, б). Во многих случаях такие усло-
вия создаются при откачках вблизи скважины (см. рис. II.4, в).
25
a)
ЯМШШЖШМЖШМ
тВ’10
Рис. II.3. Соотношения напоров и схемы пере-
токов в слоистых толщах
/, 3— основные напорные водоносные горизонты;
2, 4 — разделяющие слабопроиицаемые слои; 5 — без-
напорный горизонт
При схематизации природных условий для расчетных целей не-
обходимо учитывать расположение проектируемых водозаборов
относительно границ области фильтрации в плане или относительно
границ раздела между зонами с различными фильтрационными
свойствами.
26
Рис.	II.4.	Схемы напорно-безнапорных
потоков подземных вод:
а — безнапорная область в краевой зоне пласта;
б — то же, вблизи реки; в — то же, вблизи водо*
забора
Рис. II.5. Условия на границах
водоносных пластов:
а — границами являются поверх-
ностные водотоки н водоемы («от-
крытые» н «полуоткрытые» пласты);
б и в — границами являются слабо-
водопроницаемые породы («закры-
тые» н «полузакрытые»)
Условия питания водоносных горизонтов через боковые гра-
ницы весьма
а)
б)
в)
разнообразны. Если границами области являются по-
верхностные водные источники (реки, каналы, во-
дохранилища), из которых при определенных
условиях вода может поступать в водоносные
горизонты (рис. II.5, а), то такие области можно
назвать открытыми.
В тех случаях, когда границами горизонта
служат сбросы, надвиги и другие структурные
геологические элементы, или породы, обладаю-
щие относительно весьма слабой водопроводи-
мостью, расход подземных вод через эти границы
равен некоторой постоянной величине (см.
рис. II.5, б), а часто практически его можно счи-
тать равным нулю (см. рис. П.5, в). Такие обла-
сти можно назвать закрытыми.
В реальных условиях границы области фильт-
рации, как правило, имеют сложные геометриче-
ские очертания. Однако для целей расчета они
схематически могут быть представлены в виде
прямолинейных или круговых. В простейших слу-
чаях выделяются (рис. II.6):
а)	полуограниченные пласты — с одной пря-
молинейной границей;
б)	полосообразные пласты — с двумя парал-
лельными прямолинейными границами, уходя-
щими в бесконечность;
в)	«пласты-углы» — с двумя пересекающи-
мися прямолинейными границами (уходящими
в бесконечность);
г)	круговые пласты — с замкнутой границей.
§ 3. Режим фильтрационных потоков.
Водоотдача пластов
Рнс. II. 6. Простей-
шие схемы водо-
носных пластов в
плайе:
а — полуограниченный
пласт; б пласт-по-
леса; в — пласт-квад-
рант; г — пласт-угол;
д — пласт-круг
При нарушении естественного режима откач-
ками из скважин и из других типов водозаборных
сооружений в первый период движение подзем-
ных вод вблизи сооружений носит резко выра-
женный неустановившийся характер. Это наблю-
дается как в безнапорных, так и в напорных во-
доносных горизонтах.
Причиной неустановившегося движения в без-
напорных условиях в основном является осуше-
ние части водоносного горизонта в процессе понижения динамиче-
ского уровня. Этот процесс происходит не сразу, а постепенно,
вследствие чего во времени меняются уровни, скорости и расходы
(имеются в виду изменения в зоне откачки, вне водозаборных со-
28
оружений; в последних в зависимости от заданного режима откачки
может поддерживаться постоянный уровень, или расход).
Количество воды, которое может быть получено из безнапорных
пластов, определяется следующим соотношением:
где Q — расход воды при откачке;
Упл — объем осушенной части пласта;
р — коэффициент водоотдачи, определяемый по разности
между общей пористостью и максимальной молекуляр-
ной влагоемкостью:
p =	(II.3.2)
где и — пористость водоносных пород; Дск и Ав — объемный вес со-
ответственно скелета и воды; W-* — весовая влажность пород, соот-
ветствующая максимальной молекулярной влагоемкости.
Значения коэффициента водоотдачи ц для рыхлых и песчаных
пород обычно колеблются от 0,1 (мелкозернистые пески, супеси) до
0,25—0,3 (крупнозернистые гравелистые пески). В суглинках и
глинах можно принимать ц~0,01—0,05. В трещиноватых породах
водоотдача практически соответствует их общей трещиноватости
или «пустотнос^и», так как основной поток подземных вод прохо-
дит по трещинам, и фильтрацией воды по порам в монолитных бло-
ках пород здесь в большинстве случаев можно за малостью пре-
небрегать.
Величина ц в трещиноватых породах колеблется также в широ-
ких пределах. Например, для известняков она составляет от 0,005
до 0,1, а для сланцев, песчаников и разнообразных изверженных
пород — от 0,001 до 0,03. Наиболее надежным методом определения
водоотдачи трещиноватых пород в безнапорных потоках являются
откачки в условиях неустановившегося движения.
Обычно принимается предпосылка, что водоотдача пород в про-
цессе откачки является постоянной. Между тем при снижении дина-
мического уровня и осушении пласта она может со временем за-
метно увеличиваться вследствие постепенного извлечения кроме
гравитационной воды, заполняющей крупные поры, также некото-
рой части «стыковой» (в углах пор) и пленочной воды. Это осо-
бенно существенно для пород с большим содержанием мелких
фракций и при наличии в водоносном горизонте глинистых вклю-
чений.
Таким образом, формулу (II.3.1), в которой водоотдача принята
постоянной величиной, ие изменяющейся во времени, следует счи-
тать приближенной. Более правильно считать
=	Р),
где Р— нагрузка на пласт;
t — время.
29
Тогда вместо (II.3.1) получим
Q =	(ПЗЗ)
О»
Задача о притоке воды к скважине при изменяющейся во вре-
мени величине ц рассмотрена, например, в работе N. Boulton [37].
Н. Н. Веригин [13] разрабатывал теорию упруго-гравитационного
режима водоносных пластов, в которой для потоков со свободной
поверхностью учитывалось также влияние упругих деформаций
воды и грунта.
Показатель водоотдачи ц численно можно считать равным так
называемой активной пористости пород, величина кото-
рой соответствует действительному или свободному объему (или
площади поперечного сечения) породы, через который происходит
фильтрация воды.
Наряду с понятиями водоотдачи и активной пористости, суще-
ствует, как известно, показатель, характеризующий недостаток
насыщения пород, т. е. относительное количество воды, кото-
рое может быть «принято» породой при подъеме уровня и заполне-
нии пор водой. Коэффициент недостатка насыщения цн, очевидно,
может быть представлен в таком виде:
ав
где We — весовая влажность породы при подъеме уровня и запол-
нении ее водой.
В напорных водоносных пластах, не осушаемых при откачке, не-
установившееся движение подземных вод принято связывать с уп-
ругими деформациями воды и породы, происходящими при сниже-
нии напоров. Режим движения подземных вод в этих условиях соот-
ветственно называется упругим режимом. Теория упругого
режима получила широкое развитие в подземной нефтяной гидрав-
лике, в частности, в работах В. Н. Щелкачева [34, 35], М. Мас-
кета [24], И. А. Чарного [30] и др. Наиболее полные исследования
в этой области у нас в стране принадлежат В. Н. Щелкачеву, кото-
рым впервые учтена роль упругости самих горных пород при экс-
плуатации нефте- и водоносных пластов *.
Помимо упругости самого напорного горизонта, из которого про-
изводится откачка, иногда учитывается также упругость контак-
тирующих с ним слабопроницаемых пород в кровле и подошве
[29], [33].
Для того чтобы определить количество воды, которое может
быть получено из напорного пласта в результате упругих деформа-
1 Здесь мы ссылаемся только на сводные работы В. Н. Щелкачева по теории
упругого режима, в которых дана подробная библиография.
30
ций, и таким путем оценить «упругую водоотдачу», рассмотрим эле-
мент пласта объемом Упл- Объем воды в этом элементе
^в = «1/пл,	(11.3.4)
а масса воды
= Р«^ПЛ = РУпор,	(П.3.5)
где п — пористость (отношение объема пор к общему объему
породы);
р — плотность воды;
Упор — объем пор.
Изменение массы воды во времени, происходящее в напорных
пластах при снижении напора и соответствующем изменении дав-
ления, должно компенсироваться отбором воды
л дМ & (pVnop)	q _.
pQ = -^- = ——-	(И-3-6)
где Q — расход воды при откачке, величина которого соответ-
ствует упругой водоотдаче, т. е. Q=Qyn₽-
Для решения уравнения (II.3.6) и определения коэффициента
упругой водоотдачи в напорных условиях необходимо установить
связь между р и Упор, с одной стороны, и давлением Р, передаю-
щимся на воду и водоносную породу при изменении напора Н, —
с другой. С этой целью используется закон Гука, согласно которому
упругие деформации прямо пропорциональны напряжениям.
Относительно плотности воды р закон Гука записывается так:
где Ев — модуль упругости воды.
Проинтегрировав выражение (П.3.7), получим:
Р = Ро exp ~ Ро (1 +	•	(П-3.8)
Здесь р и ро — плотность для воды при давлениях Р и Ро.
При определении соответствующей зависимости для пористости
Упор следует учитывать особенности деформаций водоносных пород.
В трещиноватых осадочных и изверженных породах при сниже-
нии давления деформации должны выражаться в упругом сжатии
всей породы в целом, с соответствующим уменьшением ее пустотно-
сти (главным образом макро- и микротрещиноватости). В рыхлых
породах — песках, слабо сцементированных песчаниках и т. п. по-
ристость может значительно изменяться за счет перегруппировки
самих зерен и разрушения связывающего их цемента и, строго го-
воря, здесь уже нельзя оперировать модулем упругости для самих
пород. Тем не менее, как известно из механики грунтов, и в этом
случае допустимо исходить из предпосылки о линейной зависимо-
сти между деформациями и напряжениями. Следует только
31
вводить вместо модуля упругости модуль общей деформации пород
[14, 28].
Модуль общей деформации Епл определяется по следующей за-
висимости:
р ______ 1 + ео
пл ау
(П.3.9)
где ео — начальный коэффициент пористости (отношение объема
пор к объему скелета породы);
ау—коэффициент уплотнения пород, определяемый по дан-
ным компрессионных испытаний.
Изменение пористости следует связывать со средними нормаль-
ными напряжениями1 в скелете породы о. Принимая линейную
зависимость между этими ве-
личинами, будем иметь
&V пор
da
(П.3.10)
или после интегрирования
йпор йпоро 1^ПЛ
(д — др)
£пл
(П.3.11)
Здесь IZnop0— начальный объ-
ем, соответствующий напряже-
нию Пр.
Средние нормальные на-
пряжения в скелете породы на-
ходим, исходя из следующих
соображений. Равновесие эле-
ментарного объема водоносно-
го пласта определяется соотно-
шением приложенных к нему
нагрузок, напряжениями в ске-
лете и давлением вводе.Урав-
нение равновесия в общем виде
при этом можно представить
так (рис. II.7):
Рис. II. 7. Схема действующих сил в эле-
менте водоносного пласта [к уравнению
(11.3.12)]
Лш + ?гр. в + Рц — ° + Л
(П.3.12)
где	Рвв — внешняя нагрузка на водоносный пласт
(например, вес вышележащих пород —
водоносных или не водоносных);
1 В данном случае имеется в виду не полное напряжение, а только некото-
рая его часть, связанная с изменением нагрузки на пласт. При фиксированной
нагрузке пласт находится в напряженном состоянии, но пористость от давления
не зависит.
Ргр В = (ДСК — Дв)й— давление, обусловленное собственным ве-
сом пород данного пласта с учетом веса
вытесненной им воды (Дск и Дв — объем-
ный вес скелета и воды);
Рд — гидродинамическое давление;
о — среднее нормальное напряжение в ске-
лете;
Р — давление воды в породе или так называе-
мое «поровое давление».
Из (11.3.12) следует, что
<’=Л,н + Лр.в + Л-/?-	(П-3.13)
Все указанные величины, за исключением Ргр. в, в общем случае
являются функциями координат области фильтрации и времени.
Подставляя выражение (11.3.13) в (П.3.11), получим
.	1^ПЛ (Рвн I- ^гр. В Рц Р ао)
V пор = У пор„	р
г	спл
(П.3.14)
Остается перемножить выражения (II.3.8) для р и (II.3.14) для
Упор и продифференцировать полученное произведение по вре-
мени t. Если при этом принять предпосылку о постоянстве внешней
нагрузки Рвн и гидродинамического давления Рд, то в результате
найдем:
Qynp =	‘	(II.3.15)
При выводе здесь за малостью исключены члены, содержащие
1	УПОРо
—-—-—, и учтено, что —--------=п0. Формула (П.3.15) получена
^В * ММ	и пл
В. Н. Щелкачевым [34, 35].
Учитывая сказанное выше о преобладающем характере дефор-
маций в водоносных пластах, сложенных рыхлыми породами, ве-
личину £пл следует трактовать как модуль общей деформации и
определять его по выражению (II.3.9). Используя это выражение и
учитывая, что Р=\ВН (Н—напор подземных вод), можно уравне-
ние (II.3.15) представить в следующем виде [8]:
О =	(11.3.16)
(11.3.17)
^ = ^- + (1-«о)«у	(П.3.18)
Здесь:
V;t — объем «воронки депрессии» в пьезометрической поверхно-
сти напорного пласта;
т — его мощность.
33
Величина ц* по аналогии с безнапорными водами может быть
названа водоотдачей или коэффициентом водоот-
дачи в напорных пластах. Она характеризует количество воды, ко-
торое может быть получено из напорного пласта с единицы его пло-
щади при понижении пьезометрического напора на 1 м. Показа-
тель р*, входящий в выражение (11.3.17) и определяемый по
(II.3.18), назван В. Н. Щелкачевым коэффициентом упру-
гоемкости пласта. Им оценивается количество воды, высво-
бождающееся из единицы объема пласта при понижении давления
на 1 атм или на 10 м столба жидкости. Размерность р*
1
атм
см2
~кГ~’
а ц* — величина безразмерная.
При определении водоотдачи в напорных пластах, сложенных
плотными трещиноватыми породами, оба указанных фактора —
расширение воды и уменьшение пустотности породы — оказы-
ваются соизмеримыми. Модуль упругости для воды (слабоминера-
лизованной, при температуре 15—20°) £п — (204-25) 103 кГ)см2,
а модуль деформации породы, в данном случае приближающийся
по своему значению к модулю упругости, Епл— 1054- 10е кГ/см2.
Легко видеть, что при пористости (пустотности) трещиноватых по-
род «0=0,014-0,1, величины двух членов в правой части уравнения
(П.3.15), характеризующие влияние воды и пласта (т. е. содержа-
щие Ев и Епл), получаются одного порядка. Величина 3* при этом
колеблется от 10-4 до Ю-* см21кГ, а коэффициент водоотдачи ц*
при мощности пласта m — 20 — 30 м и объемном весе воды Ав =
=0,001 кг!см3 оценивается в 10-4— 10~*.
В водоносных горизонтах, сложенных рыхлыми породами, ко-
эффициент упругоемкости следует определять по выражению
(II.3.18). Коэффициент уплотнения ау при давлениях 1—5 кГ]см2
обычно находится в пределах 10-3—10-4 см2!кГ. Поэтому первый
«о
член в (II.3.18), а именно —— , в большинстве случаев оказывается
Ев
весьма малым по сравнению со вторым членом и коэффициент уп-
ругоемкости практически определяется только сжимаемостью во-
доносной породы. В соответствии с этим коэффициент водоотдачи
ц* при пористости пород «о=О,2—0,3 и той же мощности пласта
«1=20—30 м будет выражаться величинами 10~2—10~4.
Теория напорной фильтрации с учетом компрессионных и дру-
гих видов деформаций породы и упругости воды, а также газона-
сыщенности последней применительно к задачам механики грун-
тов разработана В. А. Флориным [28]. Г. И. Баренблатт и
А. П. Крылов [6] рассматривали вопрос об остаточных, необрати-
мых деформациях пород при фильтрации и дали решение ряда за-
дач, отражающих это явление [8].
В работах В. М. Шестакова [31, 32] исследуется влияние на ре-
жим напорного движения подземных вод изменений внешних на-
34
грузок на пласт, происходящих, например, в связи с перераспреде-
лением напряжений в породах кровли и подошвы, колебаниями
атмосферного давления и уровня грунтовых вод, а также в резуль-
тате искусственных факторов (выемки грунта при проходке котло-
ванов и т. п.). Ю. П. Желтов Kj>OMe внешней нагрузки на пласт
оценивал также эффект гидродинамического давления [18].
Действительно, если в приведенной выше зависимости (П.3.14)
не принимать, как это было нами сделано при выводе уравнений
(II.3.15) и (II.3.16), величины РВв и Ря постоянными, то получим:
дУ,	д (Рт + Рц)
Qynp = и* Т - U - «о) «У^ПЛ -Н?--------- •	(Н-3-19)
Напомним, что здесь Упл и Уд — соответственно объем пласта
и воронки депрессии, остальные обозначения прежние.
Следовательно, водоотдача в напорных условиях должна опре-
деляться в зависимости от деформаций не только данного пласта,
но и окружающих его слоев, а также от изменений граничных зна-
чений напоров, поскольку последние в значительной мере опреде-
ляют величину Рд.
Учивывая это обстоятельство, приходится расценивать водоот-
дачу р.* для напорных водоносных пластов как некоторый обобщен-
ный или «приведенный» параметр, в котором суммарно отражаются
механические свойства пласта и окружающих его пород и перерас-
пределение в пласте гидродинамического давления под влиянием
тех или иных возмущений первоначального его состояния. Это по-
ложение отмечается в упоминавшейся работе Ю. П. Желтова [18].
Кроме того, следует иметь в виду, что в напорных водоносных
горизонтах зоны активного водообмена неустановившееся движе-
ние подземных вод обусловливается не только указанными дефор-
мациями воды и породы. Необходимо учитывать также другие фак-
торы, например: а) осушение водоносных горизонтов в области
выхода их на поверхность, где подземные воды являются уже без-
напорными, и б) переток воды из вышележащих слабопроницаемых
водоносных пород, с которыми гидравлически связаны напорные
водоносные горизонты. Эти факторы во многих случаях могут
иметь решающее значение в формировании режима фильтрации
напорных горизонтов и ими в значительной мере определяется так-
же водоотдача последних. Соответственно этому в напорных пла-
стах, как и в безнапорных, водоотдача, вообще говоря, может из-
меняться как в пространстве, так и во времени, и только прибли-
женно допустимо считать ее величиной постоянной. Численные
значения водоотдачи напорных пластов практически могут быть
найдены лишь на основании полевых опытно-фильтрационных
исследований.
Режим движения подземных вод в безнапорных и напорных ус-
ловиях претерпевает изменения в процессе эксплуатации водоза-
борных сооружений. Со временем депрессионная воронка, фор-
мирующаяся под влиянием водозаборов, может достигнуть
35
постоянного источника питания, например реки, водохранилища и
т. п. Кроме того, во многих случаях, как уже отмечалось, происходит
более интенсивное поступление воды в пределы воронки депрессии
путем инфильтрации атмосферных осадков и перетока воды из
соседних горизонтов. В таких условиях скорость снижения уровня
с течением времени существенно уменьшается и движение под-
земных вод приобретает практически установившийся характер.
В случае отсутствия указанных выше источников питания, на-
пример, в водоносных горизонтах, ограниченных непроницаемыми
породами, а также при малых размерах инфильтрации и перетока
из соседних слоев (не усиливающихся при откачках), неустановив-
шееся движение сохраняется в течение всего периода эксплуата-
ции, причем темп снижения уровня со временем при определенных
условиях может в этих случаях заметно увеличиваться.
§ 4. Водопроводимость пород
Водоносные пласты, в которых размещаются водозаборные со-
оружения, как правило, обладают повышенной проницаемостью
(коэффициентом фильтрации) и водопроводимостью, которая вы-
ражается через произведение коэффициента фильтрации на мощ-
ность.
Например, коэффициенты фильтрации водоносных трещинова-
тых известняков, часто используемых в качестве исто'чника водо-
снабжения в артезианских бассейнах и многих других геологиче-
ских структурах, составляют 10—30 м/сутки, а в отдельных слу-
чаях, например в интенсивно закарстованных зонах, превосходят
100 м!сутки. Точно так же широко эксплуатируемые водоносные
горизонты в песках и гравелисто-галечных породах речных долин,
конусов выноса, флювиогляциальных накоплений и т. д. обычно ха-
рактеризуются значительными величинами коэффициентов фильт-
рации — 10—15 м/сутки, а нередко и более.
Соответственно водопроводимость таких водоносных горизон-
тов, при мощности их порядка 20—30 м, выражается сотнями,
а иногда тысячами квадратных метров в сутки. Этим кстати
сказать, горизонты пресных вод также существенно отличаются
от глубоких пластов, содержащих сильно минерализованные
воды, и от нефтяных коллекторов, проницаемость которых боль-
шинстве случаев оценивается десятыми и даже сотыми долями
квадратного метра в сутки.
Вместе с тем характерной особенностью водоносных горизонтов,
используемых для водоснабжения, является их фильтрационная
неоднородность, проявляющаяся в изменении проницаемости и во-
допроводимости пород как в плане (по площади распространения),
так и в разрезе (по глубине). Эти изменения часто происходят без
видимой закономерности, а потому между зонами с различной про-
ницаемостью, водопроводимостью и другими свойствами практиче-
ски нельзя провести четких границ. Более или менее однородные
36
участки имеют разнообразные и сложные геометрические очерта-
ния, причем переходы между ними бывают трудно выявить даже
при детальных изысканиях. Такого типа неоднородность условно
можно назвать хаотической или неупорядоченной.
Однако во многих случаях фильтрационная неоднородность мо-
жет быть выявлена и представлена в расчетных схемах определен-
ными четко выраженными формами. Такую неоднородность можно
назвать правильной или упорядоченной.
Наиболее широко распространены слоистые толщи, содержащие
ряд водоносных горизонтов различной водопроводимости, разде-
ленных слабопроницаемыми глинистыми слоями. Этот тип неодно-
родности, как указывалось выше, характерен для артезианских
структур.
Частным случаем слоистой неоднородности является двухслойное
строение водоносной толщи, в которой верхний слой — глинистый,
слабопроницаемый, а нижний — сильнопроницаемый, состоящий из
различных пород — песчано-гравелистых, трещиноватых известня-
ков и песчаников и др. Такое строение толщ часто наблюдается
в террасах речных долин, а также на междуречных участках арте-
зианских бассейнов.
При не очень больших различиях в водопроницаемости основ-
ных водоносных горизонтов и разделяющих и перекрывающих их
слабопроницаемых слоев слоистые толщи, как и системы с хаоти-
ческой неоднородностью, представляются в виде условно однород-
ных толщ путем осреднения фильтрационных характеристик. При
этом учитывается главенствующее направление движения подзем-
ных вод.
При преобладающей вертикальной фильтрации средний коэф-
фициент фильтрации по Г. Н. Каменскому [20, 21] выражается сле-
дующим образом:
ЬсР.в = ^^->	(П.4.1)
V jnt_
где Шг и ki — мощность и коэффициент фильтрации первого слоя
(i=l, 2, .... п; п — число слоев).
При преобладающем горизонтальном направлении течения под-
земных вод и при небольших различиях в водопроницаемости силь-
но- и слабопроницаемых слоев в слоистых толщах для расчета ис-
пользуется функция, введенная Н. К- Гиринским [16]:
п
Ф = - 2 kimi № - Z1),	(П.4.3)
t = i
где
т, и ki— по-прежнему мощность и коэффициент фильтрации
слоя;
37
Zt — расстояние от плоскости водоупора до середины
каждого слоя;
Н — ордината депрессионной поверхности.
Функцию Н. К. Гиринского можно рассматривать в качестве по-
тенциала «вектора расхода» [16], поскольку составляющие расхода
по осям координат х и у выражаются через ее производные:
<ЭФ	<ЭФ	/II л
qx = -~r~; qv = -s—.	(П.4.4)
х дх ’ 7 У	ду	'	’
При пользовании функцией Н. К- Гиринского легко решаются
плоские (в плане) задачи о напорно-безнапорном движении под-
земных вод. Для напорных слоистых пластов, когда мощности от-
дельных слоев при фильтрации сохраняются неизменными (т. е. не
происходит осушения пластов), введение функции Н. К. Гиринского
равносильно осреднению коэффициента фильтрации путем «взве-
шивания» по мощностям:
п
*ср.г = -^-2 W	(П.4.5)
Применение функции Н. К. Гиринского и указанного осреднения
коэффициента фильтрации при преобладающем горизонтальном
движении подземных вод оказывается возможным, еслй выдержи-
вается предпосылка Дюпюи, т. е. если в каждом слое горизонталь-
ные составляющие скорости фильтрации в вертикальной плоскости
сохраняют постоянную величину. Обобщение методики расчета, ос-
нованной на этой предпосылке, при различных законах изменения
водопроницаемости в разрезе сделано П. Я. Полубариновой-Кочи-
ной [27], а для условий неустановившегося движения—О. Н. Ну-
меровым [3].
Надо, однако, заметить, что расчеты неустановившегося движе-
ния подземных вод в слоистых толщах на основе функции Н. К- Ги-
ринского возможны при осредненных значениях водоотдачи всей
толщи (в напорных условиях) или той ее части, в которой при от-
качках находится депрессионная поверхность (в безнапорных ус-
ловиях). Между тем методика и приемы осреднения водоотдачи до
сего времени остаются еще недостаточно разработанными.
Использование функции Н. К. Гиринского считается допусти-
мым, если коэффициенты фильтрации сильно- и слабопроницаемых
слоев различаются не более чем в 10—20 раз. Однако некоторые
теоретические исследования [15] и результаты опытов, проведен-
ных на моделях [1], показали, что в фильтрационных потоках боль-
шой протяженности эта схема оказывается применимой при соот-
ношениях водопроницаемостей сильно- и слабопроницаемых слоев,
достигающих 150—200. В водоносных горизонтах, разделенных
весьма слабопроницаемыми слоями (или, как их часто называют,
«глинистыми перемычками», «несовершенными водоупорами»),при
38
различиях в водопроницаемости более значительных, расчеты по
указанной схеме могут уже дать искаженные результаты.
При резких различиях в водопроницаемости сильно- и слабо-
проницаемых слоев должна производиться оценка условий филь-
трации отдельно в каждом водоносном пласте, без осреднения па-
раметров всей толщи. Взаимодействие пластов при этом обычно
учитывается на основе предположения, что в слабопроницаемых
слоях фильтрация происходит в основном по вертикали и горизон-
тальными составляющими скорости в них можно пренебрегать. Та-
кая схема фильтрации широко применяется в работах Н. К. Гирин-
ского [15, 16], А. Н. Мятиева [25], П. Я. Полубариновой-Кочиной
[27], В. Н. Щелкачева и М. А. Гуссейн-Заде [17] и многих других.
С. Н. Нумеров и Р. М. Барсегян показали [26], что при исполь-
зовании этой схемы относительная ошибка в определении пони-
жений уровня на контакте слабо- и сильнопроницаемых слоев со-
feo	,
ставляет ——-; пои определении той части расхода, которая обус-
Зля
ловлена перетоком через слабопроницаемые слои, она порядка
—— (feo и k — коэффициенты фильтрации слабо- и сильнопроницае-
k
мых слоев). Таким образом, можно сделать вывод, что горизон-
тальными скоростями в слабопроницаемых слоях действительно
можно пренебрегать во всех случаях, когда £о<С&-
Кроме слоистой неоднородности часто встречается правильная,
или упорядоченная, плановая неоднородность, т. е.
более или менее закономерное изменение фильтрационных свойств
водоносных пластов по площади их распространения. Иногда эти
изменения происходят постепенно, причем их удается выразить
математически, например, в виде определенной функции коэффици-
ента фильтрации или водопроводимости от координат области дви-
жения подземных вод. Однако, как правило, для практических
расчетов представляется возможным схематизировать область
фильтрации, разграничивая ее на ряд условно однородных зон,
в пределах каждой из которых параметры могут быть осреднены.
Таким образом, область фильтрации приводится к дискретно-
или кусочно-неоднородной.
Охарактеризованные особенности водоносных горизонтов прес-
ных подземных вод могут служить основой при их схематизации
Для целей расчета производительности водозаборов, равно как и
для многих других инженерных задач, связанных с гидрогеологи-
ческими расчетами.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ II
1.	Абрамов С. К., Б ин деман Н. Н., Бочевер Ф. М., Вери-
ги и Н. Н. Влияние водохранилищ на гидрогеологические условия прилегающих
территорий. Госстройиздат, 1960.
39
2.	Аверьянов С. Ф. Фильтрация из каналов и ее влияние на режим
грунтовых вод. В кн. «Влияние оросительных систем на режим грунтовых вод»
Изд. АН СССР, 1956.
3.	А р а в и н В. И., Нумеров С. Н. Теория движения жидкостей и газов
в недеформируемой пористой среде. Гостехтеориздат, 1953.
4.	Б и н д е м а н Н. Н. Оценка эксплуатационных запасов подземных вод.
Госгеолтехиздат, 1963.
5.	Баренблатт Г. И. О некоторых задачах восстановления давления и
распространения волны разгрузки при упруго-пластическом режиме фильтрации.
Изв. АН СССР, ОТН, № 2, 1955.
6.	Баренблатт Г. И., Крылов А. П. Об упруго-пластическом режиме
фильтрации. Изв. АН СССР, ОТН № 2, 1955.
7.	Бочевер Ф. М. Типизация гидрогеологических условий для целей рас-
чета запасов подземных вод (расчетные схемы). «Советская геология», № 9,
1958.
8.	Б о ч е в е р Ф. М. Расчет водозаборных и водопонизительных скважин
в «закрытых пластах». Тр. Лаборатории инженерной гидрогеологии ВОДГЕО,
№ 5. Госстройиздат, 1963.
9.	Бочевер Ф. М. и Вер игин Н. Н. Методическое пособие по расчетам
эксплуатационных запасов подземных вод для водоснабжения. Госстройиздат,
1961.
10.	Б о ч е в е р Ф. М., Гармонов И. В., Лебедев А. В., Шеста-
ков В. М. Основы гидрогеологических расчетов. Изд. «Недра», 1965.
11.	Бочевер Ф. М., Ковалева И. В. О скорости водообмена в откры-
тых артезианских бассейнах (на примере Московского артезианского бассейна).
ДАН СССР, т. 168, № 3, 1966.
12.	Веригин Н. Н. Докторская диссертация. ВНИИ ВОДГЕО, 1950.
13.	Веригин Н. Н. Упруго-гравитационный режим водоносных пластов.
Тр. ВОДГЕО, Гидрогеология, сб. 14, 1967.
14.	Герсеванов Н. М„ Польшин Д. Е. Теоретические основы меха-
ники грунтов. Стройиздат, 1948.
15.	Гирине кий Н. К. Расчет фильтрации под гидротехническими соору-
жениями на неоднородных грунтах. Стройиздат, 1941.
16.	Г иринекий Н. К. Некоторые вопросы динамики подземных вод. Сб.
статей «Гидрогеология и инженерная геология», № 9. Госгеолиздат, 1947.
17.	Гуссейн-Заде М. А. Особенности движения жидкости в неоднород-
ном пласте. Изд. «Недра», 1965.
18.	Желтов Ю. П. Об учете сжимаемости пористой среды при фильтра-
ции в ней однородной жидкости. Тр. ВНИИнефти, вып. 37, 1962.
19.	Калугин С. К. Опыт разведки и определения запасов подземных вод
Джезказган-Улутауского района. Сб. «Водные ресурсы Казахстана». Изд. АН
Казахской ССР, 1957.
20.	К а м е н с к и й Г Н. Основы динамики подземных вод. Госгеолиздат,
1943.
21.	Каменский Г. Н. Поиски и разведка подземных вод. Госгеолиздат,
1947.
22.	К а м е н с к и й Г. Н., Гавич И. К., Семенова С. М. Гидродина-
мическая характеристика различных видов потоков подземных вод. Изв. Высш,
учебн. зав., серия «Геология и разведка», № 10, 1960.
23	Куделин Б. И. Принципы региональной оценки естественных ресурсов
подземных вод. Изд. МГУ, 1963.
24.	Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. Гостоп-
техиздат, 1949.
25.	Мятиев А. Н. Напорный комплекс подземных вод и колодцы Изв.
АН СССР, ОТН, № 31, 1948.
26.	Нумеров С. Н. и Б а р с е г я н Р. М. Об оценке основных допущений
методики расчета фильтрации жидкости в горизонтальных гидравлически свя-
занных пластах. Изв. ВНИИГ им. Веденеева, т 78, 1965.
27.	Полубарннова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод
Гостехтеориздат, 1952.
40
28.	Флорин В. А. Основы механики грунтов. Т. I, 1959; т. II, 1961, Гос-
стройиздат.
29.	X а н т у ш М. Новое в теории перетекания. В сб. переводов статей «Во-
просы гидрогеологических расчетов» под ред. Ф. М. Бочевера и В. М. Шестакова.
Изд. «Мир», 1964.
30.	Ч а р н ы й И. А. Подземная гидрогазодинамика. Гостоптехиздат, 1964.
31.	Шестаков В. М. О фильтрации в напорных горизонтах при выемке
котлованов и карьеров. Изв. АН СССР, ОТН, № 2, 1962.
32.	Ш е с т а к о в В. М. Некоторые вопросы теории упругого режима филь-
трации. «Прикл. мех. и техн, физика», № 3, 1962.
33.	Шестаков В. М. О влиянии упру!ого режима фильтрации в разделы
ных слоях на взаимодействие водоносных горизонтов. Изв. Высш, учебн. зав.,
серия «Геология и разведка», № 10, 1963.
34.	Щ е л к а ч е в В. Н. Упругий режим пластовых водонапорных систем.
Гостоптехиздат, 1948.
35.	Щ е л к а ч е в В. Н. Разработка нефтеводоносных пластов при упругом
режиме. Гостоптехиздат, 1959.
36.	Щ е л к а ч е в В. Н. Критический анализ экспериментальных исследова-
ний особенностей деформации пористых горных пород. Тр. МИНХиГП им. Губ-
кина, вып. 55, 1965.
37.	Boulton N. Analysis of data from поп equilibrium pumping tests allow-
ing for delayed yield from storage. Proc. Inst. Civil Engrs. 26, 1963.
Ill
Исходные
дифференциальные
уравнения
§ 1.	Вводные замечания
Исходные дифференциальные уравнения, на основе которых ре-
шаются задачи о притоке подземных вод к водозаборным сооруже-
ниям, выражают в математической форме баланс подземных вод
в различных гидрогеологических условиях.
Вывод дифференциальных уравнений движения подземных вод
производится, как обычно в классической механике и, в частности,
в гидродинамике, на основе: 1) уравнений движения (или динами-
ческого закона), 2) уравнения неразрывности потока (закона со-
хранения массы) и 3) уравнений состояния фильтрующейся жидко-
сти и породы (в общем случае — закона сохранения энергии).
Уравнения движения в сущности выражают второй закон Нью-
тона, согласно которому сумма всех сил, действующих в системе,
равна произведению массы на ускорение (этот закон, как известно,
формулируется в механике еще как закон изменения количества
движения или закон импульсов). Применительно к фильтрации
подземных вод уравнения движения впервые были получены
Н. Е. Жуковским из рассмотрения уравнений движения идеальной
жидкости Эйлера, в которые им добавлены объемные силы сопро-
тивления фильтрующейся жидкости. Этот вывод подробно излага-
ется во многих руководствах по теории фильтрации (см. [3, 10, 11J
и др.).
Здесь мы ограничимся кратким выводом дифференциальных
уравнений фильтрации подземных вод, принимая в качестве зако-
на движения, связывающего основные силы, действующие в филь-
трационном потоке (при пренебрежении силами инерции), закон
Дарси.
Рассмотрим баланс объема (расхода) или массы (массового
расхода) подземных вод в элементе пласта. В общем виде уравне-
ние баланса можно выразить таким образом:
[A (pQx, у, г) + Р (Qk + Qn)l At = А (Р^в).	(1П. 1 • 1 >
Здесь A (pQ.v, у, г) — приращение или убыль массового расхода под-
земных вод по пути движения через элемент
объема пласта (вдоль координат х, у, z);
42
QK и Qn — расход подземных вод, поступающих в этот
пласт через кровлю и подошву;
Д/ — время;
Д (рУв) — соответствующее изменение массы подземных
вод в данном элементе пласта ДУПл за время Д/;
р — плотность воды;
Ув — объем воды.
Уравнение (III.1.1) аналогично балансовому выражению, приве-
денному нами выше при рассмотрении классификации запасов под-
земных вод и источников их восполнения [см. формулу (1.1.1)].
Здесь A(pQx, у,г) соответствует той части расхода водозабора (или
эксплуатационных запасов Q9), которая обеспечивается статиче-
скими (в напорных пластах также упругими) запасами самого во-
доносного пласта, a QK и Qn соответствуют дополнительному при-
току воды из источников, находящихся за пределами данного
водоносного пласта (в породах кровли и подошвы). Далее будет по-
казано, что этим дополнительным притоком учитывается интенсив-
ность питания пласта не только в естественных условиях, но также
в процессе эксплуатации водозаборных сооружений.
На основе выражения (III.1.1) с учетом уравнений состояния
могут быть получены дифференциальные уравнения движения под-
земных вод для безнапорных и напорных пластов.
§ 2.	Безнапорные водоносные пласты
(грунтовые воды со свободной поверхностью)
Движение подземных вод в безнапорных пластах, содержащих
грунтовые воды со свободной поверхностью, как известно, описы-
вается фундаментальным уравнением Буссинеска для планово-
плоского потока. Однако, поскольку уравнение Буссинеска яв-
ляется нелинейным, в большинстве случаев для инженерных рас-
четов прибегают к его линеаризации, в результате которой оно
сводится к хорошо изученному в математической физике
уравнению теплопроводности (или уравнению Фурье).
В зависимости от способа линеаризации в качестве искомой
функции в получающемся уравнении рассматривается или глубина
грунтовых вод /г, измеряемая от свободной поверхности до водо-
упора (линеаризация по способу Буссинеска), или половина квад-
/I2
рата глубины воды до водоупора —— (линеаризация по Н. Н. Ве-
ригину и Н. А. Багрову).
Если в безнапорных условиях пренебречь сжимаемостью воды и
породы, то, рассматривая элемент пласта площадью dxdy и высо-
той h, можно получить следующие дифференциальные выражения,
соответствующие балансовому уравнению (III.1.1) [1].
Изменение объемного расхода в пределах пласта в элементе
dxdy за время Д/ будет;
43
ДQx, v Д /	dx dy dt,	(a)
где qx и qy—расход потока, выражаемый по формуле Дарси:
qy = -kh-^-.	(б)
Здесь k — коэффициент фильтрации.
Поступление воды через кровлю и подошву пласта на площади
dxdy за время dt\
(QK + Qn)^ tdxdydt.	(в)
Здесь е — модуль питания безнапорного пласта, определяемый по
выражению (П.2.4), данному в главе II.
Сумма приращений расхода (а) и (в) должна балансироваться
убылью или накоплением соответствующего объема воды ЛУВ
в рассматриваемом элементе пласта ДУПл-
ДУв = |лД1/пл y.-^dxdydt.	(г)
Это последнее выражение аналогично соотношению (II.3.1),
рассматривавшемуся в главе II при характеристике водоотдачи ц
(при инъекции воды в пласт — недостатка насыщения).
Соединяя выражения (а) и (г), получим следующие уравнения:
при линеаризации по первому способу (Буссинеска)
(ПЕ2Л)
и по второму способу (Веригина и Багрова)
(П1.2.2)
Здесь h = h(x, у, t)—искомая глубина воды до водоупора
в точке х, у в любой момент времени /;
а — коэффициент пьезопроводности:
где k — коэффициент фильтрации;
АСр—некоторая средняя глубина потока в течение рассматри-
ваемого периода t.
Символом V2 обозначается оператор Лапласа. В декартовой си-
стеме координат х, у, т. е. при планово-плоских двухмерных тече-
ниях,
Г2 = -Дт +	(III.2.4)
ох- оу-	v '
44
Для плоскорадиальных одномерных (осесимметричных) течений
V2
дг~
г дг
(Ш.2.5)
В уравнениях (III.2.1) и (III.2.2) коэффициент пьезопроводно-
сти а и, следовательно, коэффициент фильтрации k и водоотдача ц.
вынесены за знак производной в предположении, что пласт яв-
ляется однородным.
В неоднородных пластах эти параметры зависят от координат
плоскости течения. В некоторых случаях они могут изменяться так-
же во времени t (в связи с осушением пласта).
Решение уравнений (III.2.1) и (III.2.2) в неоднородных пластах,
как правило, связано с большими математическими трудностями.
Аналитически это может быть сделано для сравнительно простых
условии, в частности, при кусочной («дискретной») неоднородно-
сти, когда область фильтрации разделяется четкими границами на
зоны, каждая из которых является условно однородной и характе-
ризуется соответствующими постоянными значениями водопрово-
димости и пьезопроводности. В этом случае должна решаться си-
стема уравнений (III.2.1) или (III.2.2) для всех выделенных зон.
В гидрогеологической литературе иногда дискуссируется вопрос
о том, какой способ линеаризации уравнения Буссинеска является
более правильным и каким из получающихся при этом уравнений
(Ш.2.1) или (Ш.2.2) следует пользоваться.
В работах С. Ф. Аверьянова [2] и В. М. Шестакова [12] пред-
почтение отдается первому способу линеаризации (по Буссинеску)
и в качестве исходного при решении гидрогеологических задач,
как правило, предлагается принимать уравнение (Ш.2.1), в кото-
рое искомая глубина потока h входит в первой степени. В. М. Ше-
стаков мотивирует этот вывод тем, что в реальных условиях водо-
носные пласты, несмотря на их существенную неоднородность,
обычно могут быть охарактеризованы постоянной величиной про-
водимости. При этом ошибки, допускаемые линеаризацией по пер-
вому способу (этот способ как раз основан на предпосылке о по-
стоянстве водопроводимости), перекрываются приближенностью
самих исходных данных об изменении водопроницаемости пласта
в разрезе.
Однако в рассматриваемых нами сейчас задачах расчета сква-
жин и других типов водозаборных сооружений линеаризация урав-
нения Буссинеска по второму способу (Веригина—Багрова) и соот-
ветствующее использование уравнения вида (III.2.2) с искомой
h2
функцией — во многих случаях более правильно отражает картину
движения подземных вод, поскольку в действительности, ос-
редняя проницаемость пород (по коэффициенту фильтрации), мы
тем самым далеко не всегда компенсируем изменение мощности
45
потока. Особенно это существенно для маломощных пластов, когда
вызываемые откачкой понижения уровня вблизи сооружений могут
достигать 50% и более от первоначальной мощности, а в удалении
от сооружений оставаться незначительными [5, 6].
§ 3.	Напорные водоносные пласты
Дифференциальное уравнение для планово-плоских напорных
потоков можно вывести тем же путем, что и для безнапорных, исхо-
дя из общего балансового уравнения (III.1.1), рассматривая в на-
порном пласте элементарный столбик с площадью основания dxdy
и высотой, равной мощности пласта т.
При изменении массового расхода в пределах этого элемента
за время dt получаем соответствующие выражения:
A (pQj, у) A* + -	+ ~(Jy—) dx dy dt, (a)
где qx и qy.— расход потока. По формуле Дарси имеем
. дН	, дН
— km^~ , q„=— km^—,	(о)
где k — коэффициент фильтрации;
т— мощность пласта;
р — плотность воды.
Поступление массы воды через кровлю и подошву пласта пло-
щади dxdy за то же. время dt:
P(Qk+Qii)A* - fpdxdydt.	(в)
Здесь е — модуль питания напорного пласта, определяемый по вы-
ражениям (П.2.8) — (П.2.9).
Сумма приращений массового расхода (а) и (в) должна в на-
порных условиях компенсироваться отбором или «отдачей» воды
из пласта, которая может быть выражена по формуле (II.3.6), дан-
ной в главе П:
, .. . d(pVnop) , , ,,	. ч
A (рЦ.) т------dt - dx dy dt.	(г)
Напомним, что здесь УПор — объем пор, занятых водой в пласте
объемом Упл-
Объединяя соотношения (а) и (г), получим следующее урав-
нение:
д (рИП0„)
р(Ы?2Я + е) = Щ	,	(III.3.1)
где Н = Н(х, у, t) —искомый напор подземных вод в любой точке
пласта х, у в любой момент времени /;
k и т — коэффициент фильтрации и мощность пласта.
46
Символ V2 для планово-плоского потока раскрывается по
(III.2.4) и (III.2.5). Кроме того, для напорных пластов аналогично
изложенному можно вывести уравнения для пространственного те-
чения, в котором величина напора будет являться функцией коор-
динат х, у и z и времени t. Соответственно символ V2 в этом слу-
чае выразится следующим образом:
в пространственных трехмерных потоках
d2 , д- . d2	,П1 о
V — дх2 + ду'2 + дг2 ’	(111.3.2)
в радиальных двухмерных потоках с осевой симметрией
2	& I 1 д I &	о
Уравнение (III.3.1), как и выведенное выше уравнение для без-
напорных вод, справедливо для однородного пласта или для ку-
сочно-неоднородного; в последнем случае фильтрация описывается
системой уравнений типа (Ш.3.1). Заметим, что это уравнение яв-
ляется приближенным, поскольку при выводе в левой части отбро-
шены за малостью члены
Vx^- и Vv-^~ (Vx и
дх ду
Vy — скорости
фильтрации).
Правая часть уравнения (Ш.3.1), характеризующая «отдачу»
воды из напорного пласта, в зависимости от нагрузок и соответст-
вующих им напряжений может быть представлена в двух видах.
Если пренебречь влиянием изменений внешних нагрузок и гидро-
динамического давления в процессе фильтрации на напряжения
в породе, то, как показано выше (см. § 3 главы II), на единичной
площади пласта в соответствии с формулой (II.3.16) будем иметь:
д (рИпор)
т dt
* дН
W ST'
(111.3.4)
Здесь р* — коэффициент водоотдачи напорного пласта, опреде-
ляемый по формулам (П.3.17) — (II.3.18).
В случае же, когда влияние изменений внешних нагрузок и гид-
родинамического давления учитывается, то, как следует из соотно-
шения (II.3.19), правая часть уравнения (Ш.3.1) представляется
в следующем виде:
^(Р^пор) Г дН ,1	,	(^ВН ^д)	/1ЦОП
----di----= Р I1 ~дГ - ~ tto) аут-------------dt------ ’	(1И-3-5)
где оу — коэффициент уплотнения породы, определяемый по
компрессионным испытаниям (см. формулу (11.3.9);
Рвн — внешняя нагрузка на пласт;
Рл— гидродинамическое давление;
по — начальная пористость пласта;
т — его мощность.
47
Таким образом, исходное дифференциальное уравнение для на-
порных водоносных пластов может быть представлено следующим
образом:
без учета изменений внешних нагрузок и влияния гидродинами-
ческого давления
=	(III.3.6)
с учетом этих факторов
+ ?	#----------р--------------------•	(Ш.3.7)
В этих уравнениях а* — коэффициент пьезопроводности напорных
пластов:
(III.3.8)
Ранее мы уже отмечали (см. § 3 главы II), что определение величин
Рвн и Рд, входящих в уравнение (III.3.7), связано с большими труд-
ностями. Поэтому при расчетах водозаборных сооружений прак-
тически приходится принимать некоторый обобщенный или «при-
веденный» показатель водоотдачи и соответственно показатель
пьезопроводности, в котором суммарно учитывается изменение
напряженного состояния породы в напорном пласте под влиянием
различных сил как внутри пласта, так и на его границах. Путем
сравнения уравнений (III.3.6) и (III.3.7) выражение для такого
обобщенного показателя водоотдачи можно представить в следую-
щем виде:
= [X* - (1 - я0) аут д(Рвад^Р^1^-.	(111.3.9)
При этом дифференциальное уравнение напорной фильтрации бу-
дет
где
дН
dt

(111.3.10)
(III.3.11)
Такое обобщение является тем более оправданным, что, как будет
показано далее при решении конкретных задач, водоотдача в на-
порных и безнапорных пластах связана также с различными источ-
никами питания, каждый из которых в отдельности учесть прак-
тически не представляется возможным.
48
§ 4.	Связь между уравнениями для безнапорного
и напорного пластов
Сравнивая уравнения (III.2.1) и (III.2.2) для безнапорного по-
тока и уравнение (III.3.6) —для напорного потока, легко видеть,
что в математическом отношении они сходны. Введем в рассмотре-
ние напорную функцию UH, определяемую по выражениям:
Л2
для безнапорного потока =	(III.4.1)
для напорного потока Un = mH,	(HI.4.2)
где т — мощность напорного пласта.
В этом случае уравнения (III.2.1), (III.2.2) и (Ш.3.6) становятся
тождественными, и следовательно, решения для любого из них
можно использовать во всех рассматриваемых случаях (если, ра-
зумеется, сохраняются одинаковыми начальные и граничные усло-
вия). Из (III.4.1) и (Ш.4.2) следует, что в этих решениях искомые
глубины воды до водоупора связаны с напором Н следующими со-
отношениями:
Н = или h = V2mH .	(111.4.3)
При практических расчетах часто бывает удобнее оперировать
понижениями уровня 5, отсчитываемыми от первоначальных («бы-
товых») глубин /ie и напоров Яе-
Полагая, что в естественных условиях, до ввода в действие во-
дозаборных сооружений, движение подземных вод характеризуется
теми же исходными уравнениями (Ш.2.1), (III.2.2) и (Ш.3.6),
можно в качестве искомых функций в них принять he и Не. Тогда
для придания общности этим уравнениям следует рассматривать
функцию понижения U или просто понижение уровня 5:
для безнапорного потока
S = he~ ]ЛЛе- 277 ,	(111.4.4)
для напорного потока
77 = m(//e-/7);	(III.4.5)
Соответствующий переход от понижений уровня в решениях
для безнапорных потоков к понижениям уровня для напорных по-
токов здесь осуществляется по указанным соотношениям (Ш.4.3).
Таким образом, при решении всех приведенных дифференциальных
уравнений можно пользоваться н а п о р н о й функцией, функ-
цией понижения U и понижением уровня 5.
49
Дифференциальные уравнения иногда можно существенно уп-
ростить. Так, если принять, что модуль питания е в естественных
условиях и после возмущения потока откачкой не изменяется, то
член — ^или —из уравнений исключается. Это значит, что
влияние инфильтрации атмосферных осадков и перетока воды из
соседних слоев автоматически учитывается: оно уже находит отра-
жение в величинах йе и Не [1, 6].
Однако, как уже нами отмечалось ранее, как правило, следует
иметь в виду изменения условий питания и взаимосвязь водоносных
пластов в процессе длительных и интенсивных откачек и рассмат-
ривать величину е как функцию координат области фильтрации и
величины понижения уровня. При этом в дифференциальных урав-
нениях; если выразить их относительно напорной функции U или
понижения уровня S, должен получить отражение модуль допол-
нительного питания пласта Де:
Де = ее —еэ,	(Ш.4.6)1
где ее и еэ — соответствующие модули питания в естественных
(«бытовых») условиях и при эксплуатации водоза-
борных сооружений.
С учетом этого дифференциальные уравнения могут быть пред-
ставлены в таком обобщенном виде:
ДеЛс0 лгт
__ Г) п г	OS
a*V2S4—= -лт-
’	1 [л* dt
Здесь звездочкой отмечены соответствующие величины коэф-
фициентов пьезопроводности и водоотдачи для напорных пластов
(см. формулы (Ш.2.3) и (Ш.3.8), U определяется по (111.4.4) и
(Ш.4.5), йср — средняя мощность безнапорного пласта.
Из сказанного следует, что Ae = f(x, у, z, t, U).
В дальнейшем изложении для простоты записи мы будем поль-
зоваться вторым уравнением (Ш.4.7) и вытекающими из него ре-
шениями относительно понижения уровня S, имея в виду сказан-
ное о возможности соответствующих переходов от понижения
уровня S к напорной функции Н и функции понижения U.
Особенности фильтрации в различных типах водоносных пла-
стов в естественных условиях и в возмущенном их состоянии под
влиянием эксплуатации водозаборных сооружений частично нахо-
дят выражение в приведенных исходных дифференциальных урав-
нениях. Например, они определяются видом и характером функции
модуля питания, а также обобщенными параметрами водопрово-
димости, пьезопроводности и водоотдачи пластов. Но, кроме этого,
для получения решений, удовлетворяющих природной обстановке
и проектируемому режиму эксплуатации водозаборов, необходимо,
50
как уже указывалось, в каждом конкретном случае выявить и ма-
тематически выразить краевые условия.
При рассмотрении фильтрационных задач, связанных с расче-
том водозаборов, краевые условия формулируются, в общем, так
же, как и в задачах теплопроводности, диффузии и других разде-
лах математической физики [7, 9]. Математическое их выражение
будет дано далее при рассмотрении конкретных задач.
Исходные дифференциальные уравнения в совокупности с кра-
евыми условиями позволяют получить полное и притом, как дока-
зывается в теории уравнений математической физики, единствен-
ное решение задачи о движении подземных вод в конкретной обста-
новке, при заданных схеме размещения водозаборов и режиме их
эксплуатации.
Поскольку в самих уравнениях и краевых условиях находят вы-
ражение основные особенности водоносных пластов и, в частности,
источники их питания, указанное решение позволяет оценить дина-
мику сработки и восполнения запасов подземных вод, т. е. оно
отражает баланс подземных вод всего водоносного горизонта
в зоне влияния водозаборного сооружения.
Учитывая это обстоятельство, не обязательно, как это практи-
куется, во всех случаях требовать подтверждения гидродинамиче-
ских расчетов водозаборов подземных вод специальными «балан-
совыми расчетами», основанными на общих построениях водного
баланса (и, в частности, баланса подземных вод) по метеорологи-
ческим и гидрологическим данным, а также по наблюдениям за ре-
жимом подземных вод.
Однако следует учитывать, что в силу крайней сложности при-
родной картины фильтрации и невозможности в связи с этим в пол-
ной мере отразить ее в исходных уравнениях и краевых условиях
гидродинамические расчеты дают в той или иной мере приближен-
ный результат. Поэтому во многих случаях действительно приобре-
тает смысл применение наряду с гидродинамическими расчетами
также указанных «балансовых расчетов». Последние, например,
позволяют оценить предельное количество подземных вод в районе
предполагаемого размещения водозаборных сооружений. На ос-
нове гидродинамических расчетов устанавливается наиболее ра-
циональная схема их расположения, условия взаимодействия и
другие параметры, необходимые для проектирования и технико-
экономической оценки сооружений.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ III
1.	Абрамов С. К., Би идем ан Н. Н., Бочевер Ф. М., Вери-
гин Н. Н. Влияние водохранилищ на гидрогеологические условия прилегающих
территорий. Госстройиздат, 1960.
2.	Аверьянов С. Ф. Фильтрация из каналов и ее влияние на режим
грунтовых вод. В кн. «Влияние оросительных систем на режим грунтовых вод».
Изд. АН СССР, 1956.
51
3.	Аравин В. И., Нумеров С. Н. Теория движения жидкостей и газов
в недеформируемой пористой среде. Гостехтеориздат, 1953.
4.	Бабич В. М. и др. Линейные уравнения математической физики. «Спра-
вочная математич. библиотека». Изд. «Наука», 1964.
5.	Бочевер Ф. М. Гидрогеологические расчеты крупных водозаборов под-
земных вод и водопонизительных установок. Госстройиздат, 1963.
6.	Б о ч е в е р Ф. М. и Веригин Н. Н. Методическое пособие по расче-
там эксплуатационных запасов подземных вод для водоснабжения. Госстрой-
издат, 1961.
7.	Бочевер Ф. М., Гармонов И. В., Лебедев А. В., Шеста-
ков В. М. Основы гидрогеологических расчетов. Изд. «Недра», 1965.
8.	Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. Изд. «Наука»,
1964.
9.	ЛыковА. В. Теория теплопроводности. Гостехтеориздат, 1952.
10.	Полубаринова-Кочина П. Я- Теория движения грунтовых вод.
Гостехтеориздат, 1952.
11.	Чарный И. А. Подземная гидрогазодинамика. Госстройиздат, 1963.
12.	Шестаков В. М. Теоретические основы оценки подпора, водопониже-
ния и дренажа. Изд. МГУ, 1965.
13.	Щелкачев В. Н. и Л any к Б. Б. Подземная гидравлика. Гостоптех-
издат, 1949.
Некоторые
общие вопросы
IV методики
гидрогеологических
расчетов водозаборов
§ 1.	Основные типы и схемы водозаборных сооружений
и задачи их расчета
Для получения или, как иногда говорят, захвата подземных вод
используются различные сооружения: буровые скважины, шахт-
ные колодцы, горизонтальные водозаборы (галереи), лучевые во-
дозаборы (шахтные колодцы с горизонтальными скважинами-лу-
чами) и каптажи родников (источников), выходящих на поверх-
ность.
Выбор того или иного типа сооружения определяется в зависи-
мости от конкретных природных условий и технико-экономических
факторов [17]. В настоящее время подавляющее большинство бо-
лее или менее крупных водозаборов устраивается из скважин. Учи-
тывая это обстоятельство, в дальнейшем рассматривается методика
гидрогеологических расчетов главным образом для водозаборов
этого типа.
Основными задачами гидрогеологических расчетов водозабор-
ных сооружений являются:
1)	определение их дебита и понижений уровня подземных вод
в процессе эксплуатации;
2)	оценка возможного взаимовлияния данного водозабора с су-
ществующими или намечаемыми к сооружению водозаборами на
других участках водоносного пласта;
3)	прогноз изменений качества подземных вод (их химического
состава, бактериологических показателей и температуры в данном
водозаборе) в связи с возможным подтоком подземных вод с по-
вышенной минерализацией (или повышенным содержанием тех или
иных вредных веществ), а также фильтрации загрязненных вод из
рек, хвостохранилищ, испарительных бассейнов и т. п.
Решение всех указанных задач одновременно является реше-
нием вопроса (или, во всяком случае, служит основой для этого)
о типе и схеме расположения водозаборных сооружений, целесооб-
разном режиме водоотбора из них, а также о размерах эксплуата-
ционных запасов подземных вод.
Обычно в качестве исходной величины принимается дебит
Qpac4., соответствующий проектируемому водопотреблению. Но
53
нередко приходится решать задачу о максимальном дебите
Фмакс., который может быть получен на рассматриваемом участке
водоносного пласта или на всей площади его распространения.
В том и другом случае должны быть определены: количество
скважин, их размеры (глубины, диаметры), тип водоприемной час-
ти (фильтра) и дебит каждой скважины при заданном времени
эксплуатации /расч и максимально допустимых понижениях уровня
5доп-
Таким образом, на основе гидрогеологических расчетов устанав-
ливается [5, 6]: 1) можно ли получить данным водозабором или
группой водозаборов нужное количество воды Qpac4 к концу рас-
четного периода /раСч, не выходя при этом из пределов макси-
мально допустимых понижений уровня 5ДОП; 2) какой максималь-
ный дебит (?макс может быть получен данным водозабором или
группой водозаборов при эксплуатации их в течение всего периода
^расч, чтобы опять-таки к концу этого периода понижения уровня
не выходили из пределов максимально допустимых понижений
5доп-
Иначе говоря, во всех случаях должно выдерживаться соотно-
шение
5расч^5Д0П,	(IV.1.1)
где Зрасч. — понижение уровня, получаемое по расчету.
При 5Расч > 5ДОП проектирумый дебит водозабора, не может
считаться обеспеченным. В этом случае необходимо либо увеличить
число скважин, уменьшив дебит каждой из них, либо распределить
скважины на большей площади.
При Зрасч < ^доп дебит водозабора может быть увеличен или
при сохранении проектного дебита должно быть сокращено количе-
ство скважин и уменьшено расстояние между ними.
В скважинах, как известно, допустимое понижение уровня тео-
ретически может достигать полной мощности пласта (в напорных
пластах — полной величины пьезометрического напора, отсчитан-
ного от подошвы пласта). При таком понижении уровня дебит
скважин является максимальным.
На практике, однако, допустимое понижение уровня 5д0п всегда
меньше указанного теоретического предела; величина его уста-
навливается в зависимости от технических условий откачки
(в скважине должен быть оставлен столб воды, достаточный для
заглубления насоса или его водоприемной части) и потерь напора,
связанных с сопротивлением фильтра.
Вместе с тем при проектировании необходимо предусматривать
некоторый «запас» слоя воды в связи с невозможностью полного
отражения в расчетной схеме реальных гидрогеологических усло-
вий и, в частности, крайне изменчивой водопроводимости пласта.
Поэтому максимально допустимое понижение уровня 5Д0П, как пра-
вило, принимается не более 50—70% от общей мощности пласта.
,54
Рис. IV. 1. Схема к определению максимально допустимого понижения
уровня 5доп в скважинах:
а — безнапорный пласт; б — напорный пласт
С учетом этого величина 5Д0П приближенно может быть определена
по следующим соотношениям [5] (рис. IV. 1):
для безнапорных вод
5доп ~ (0,5 0,7) Ле - Дйнас - Дйф;	(IV. 1.2}
для напорных вод
5доп /Л - 1(0.3 0,5) т + Д/Унас + Д/7Ф ]. (IV. 1.3)
Здесь йе и Не — соответственно перноначальная глубина воды
до водоупора (в безнапорных пластах) и на-
пор (в напорных пластах) в пункте располо-
жения скважины (так называемые «статиче-
ские» уровни до начала откачек);
Дйнас и Д//нас — максимальная глубина погружения низа на-
соса (или его водоприемной части) под ди-
намический уровень в скважине;
55
Л/гф и ДЯф — потери напора на входе в скважину (сопро-
тивление фильтра и породы в прискважинной
зоне);
т — мощность напорного пласта.
Для выбора наиболее рационального типа и схемы водозабора
или группы водозаборов, как правило, рассматривается ряд вари-
антов, по которым производятся гидрогеологические расчеты и
технико-экономическая оценка.
В качестве типовых схем водозаборов, устраиваемых из сква-
жин, для гидрогеологических расчетов, выполняемых с целью
обоснования и выбора наиболее рационального в технико-экономи-
ческом отношении водозаборного сооружения, можно выделить
следующие:
1.	Одиночные скважины и группы из ограниченного числа сква-
жин, различным образом расположенных в плане.
2.	Линейные ряды скважин:
а)	весьма большой длины («неограниченные» или «бесконеч-
ные»),
б)	ограниченной длины.
3.	Кольцевые ряды скважин.
4.	Площадные группы скважин в круговом контуре.
5.	Равномерная сетка скважин («неограниченная»).
В зависимости от требуемой точности расчет водозаборов
можно производить или с учетом действия каждой скважины в от-
дельности, т. е. рассматривать их как дискретные системы, или
объединять отдельные скважины, представляя их в виде обобщен-
ных систем — галерей, больших колодцев и т. п.
Оба эти приема обеспечивают возможность решения указанных
выше задач определения дебита водозаборов и оценки понижений
уровня, обусловленных их эксплуатацией.
Учитывая, что понижения уровня в разных скважинах неоди-
наковы, для сокращения объема расчетных операций можно огра-
ничиваться определением понижений в тех точках, где они могут
иметь максимальное и минимальные значения, т. е. в центре уча-
стка водозабора (здесь суммарное влияние откачки будет макси-
мальным) и в краевой части участка (где влияние всех скважин
сказывается в меньшей степени).
При сопоставительных гидрогеологических расчетах различных
вариантов водозабора обычно принимаются одинаковые глубины
и размеры водоприемной части скважины (длина и диаметр филь-
тра). Результаты таких расчетов в дальнейшем для выбранного
варианта водозабора уточняются. При этом принятые схемы кор-
ректируются с учетом того, что скважины следует размещать на уча-
стках, характеризующихся наибольшими значениями водопроводи-
мости (коэффициента фильтрации и мощности). Это определяет
возможность получения максимальных дебитов при заданных по-
нижениях уровня и числе водозаборов или минимальных пониже-
ний уровня при заданных дебитах и числе водозаборов.
56
Кроме того, при уточняющих расчетах принимаются реальные
тип, конструкция и размеры водоприемной части скважин, уста-
навливаемые, исходя из целого ряда условий: способов бурения,
типа водоподъемного оборудования, гидрохимических особенностей
подземных вод и т. д. Во всех случаях, однако, целесообразно при-
нимать наибольшие размеры врдоприемной части, т. е. по возмож-
ности увеличивать длину, диаметр и общую пористость (просвет-
ность) фильтров. Это существенно увеличивает дебит скважин и,
что особенно важно, удлиняет срок их эксплуатации, поскольку с те-
чением времени происходит закупоривание отверстий фильтра
(а также пор и трещин породы вокруг фильтра) под влиянием ме-
ханического кольматажа и отложения различных химических сое-
динений [8].
§ 2. Расчетная модель скважины. Основные решения
Решения исходного дифференциального уравнения (III.4.7) мо-
гут быть получены различными методами, используемыми в мате-
матической физике и во многих прикладных научных и инженерных
областях. Особенно широко применяются для этих целей методы
интегральных преобразований, в частности методы преобразова-
ний Лапласа, Фурье и некоторые другие. Сущность этих методов,
и техника пользования ими изложена в соответствующих матема-
тических руководствах, а также в более доступной форме и с мно-
гочисленными примерами решения задач, близких к фильтрацион-
ным, в работах по теории теплопроводности и электричества (см.
например [11, 12, 13] и др.).
С помощью интегральных преобразований далее дается реше-
ние ряда задач о притоке подземных вод к водозаборным соору-
жениям. Кроме того, мы будем пользоваться также решениями, ос-
нованными на теории источников и стоков.
Обычно при расчетах скважин на контуре последних задается
одно из двух условий:
а)	Q = fi (0. в частном случае Q = const. (Q — дебит скважины);
б)	5о = /г(О, в частном случае So=const. (So — понижение
уровня в скважине).
Решение задачи о притоке к скважине при первом условии
На практике в последнее время в связи с широким распростра-
нением артезинских погружных насосов скважины чаще всего
эксплуатируются при известным образом изменяющихся или по-
стоянных дебитах, т. е. в них реализуется первый тип указанных
граничных условий.
Это определяет возможность использования в качестве рас-
четной модели скважин источников и стоков определенной
57
интенсивности или производительности1, что в сущности равно-
сильно замене реальных скважин, имеющих радиус г0 > 0, некото-
рыми условными скважинами «исчезающе малого» радиуса г0->~0.
Такого рода модели скважин, как будет показано далее, в боль-
шинстве случаев оказываются вполне приемлемыми, ибо действи-
тельные размеры скважин весьма малы по сравнению с разме-
рами всей области движения подземных вод.
В табл. IV. 1 приведены выражения, которыми характеризуется
действие линейного и точечного источников. Они являются фун-
даментальными решениями исходного дифференциального уравне-
ния (Ш.4.7) для неограниченной области движения подземных
вод. В этих выражениях приняты следующие обозначения:
S — понижение уровня, определяемое по (III.4.4) —
(III.4.5);
Q — расход (производительность) источника, величина Q
может изменяться по любому закону во времени, а в
частном случае может быть постоянной;
k — коэффициент фильтрации;
t — время;
а — коэффициент пьезопроводности;
г и р — радиусы-векторы точки, в которой определяется пони-
жение уровня от центра (оси) источника, соответст-
венно для плоской и пространственной схем.
Как следует из формул (IV.2.1) и (IV.2.2), понижение уровня
в самих источниках равно бесконечности (в формулах принято, что
источники располагаются в начале координат г=р=О), т. е. сами
источники представляют собой некоторую абстракцию. Однако уже
на небольшом удалении от них, например, на расстоянии, равном
радиусу скважины, понижение уровня выражается вполне опреде-
ленной конечной величиной (если /=/=оо). То же относится к скоро-
сти фильтрации. Расход же источника по условию является вели-
чиной конечной.
Моделирование скважины источниками чрезвычайно упрощает
задачу расчета водозаборов и дает возможность использовать для
этих целей имеющиеся в гидродинамике (а также в теории тепло-
проводности и теории электричества) многочисленные решения,
которыми описывается действие источников.
Весьма важно, что при этом можно широко применять метод
распределения источников по различным линиям, поверхностям и
объемам, геометрически соответствующим реальным схемам рас-
положения водозаборных сооружений, а также производить зер-
кальные отображения источников относительно контуров пласта.
1 Источниками и стоками в гидравлике называются точки («точечные источ-
ники») или линии («линейные источники»), которые выделяют илн поглощают
жидкость. Понятие об источниках и стоках часто используется также в теории
теплопроводности и теории электричества, где действие их связывается соот-
ветственно с выделением и поглощением тепла и электричества.
58
Таблица IV.l
Функции линейного и точечного источников
Суммарное влияние ScyM всех источников, которыми заменяются
реальные скважины и их зеркальные отображения, определяется по
принципу наложения фильтрационных течений, т. е.
п
=	(IV.2.3)
i = i
где Si — соответствующее понижение уровня, обусловленное дей-
ствием i-го источника,
п — общее их число.
Приведем строгий вывод формулы для скважины радиусом
г0>0, используя для этого преобразование Лапласа Т по перемен-
ной t:
T(r, p) = Js (г, т) е-Р’- dt,	(IV.2.4)
о
где р — параметр преобразования.
При этом исходное уравнение (Ш.4.7) при е = 0, V2, определяе-
мом по (III.2.5), и начальном условии 5 (г, 0) = 0, представится
в следующем виде:
Т" + т' - “Г Т = °-	(IV.2.5)
Условие постоянства расхода на скважине радиусом г = г0 за-
писывается так:
/>0, r = r0, 2r.kmr — Q = const, (IV.2.6)
или в виде изображения
2r.kmrT' =	(VI.2.7)
Кроме того, на бесконечности, как это обычно делается в реше-
ниях аналогичных задач [5—7], полагаем
/>0, г = со, 5 = 0, -^-=0,	(IV.2.8)
или в изображениях
7' = О, Г' = 0.	(IV.2.9)
Решение обыкновенного дифференциального уравнения (IV.2.5)
выражается в функциях Бесселя /0 и Ко соответственно первого и
второго рода от мнимого аргумента и нулевого порядка:
Т = А10 (г |/'4) + ВК0 (г	(1V.2.10)
где А и В — постоянные, определяемые из граничных условий.
60
Поскольку при г=оо, 1о=1'о =°°, то для того, чтобы удовлет-
ворить условиям (IV.2.10), следует положить 4=0. Из условия же
(IV.2.8) находим
г = г0, Ч^ктг0Т'= — 2izkmr0Byr^- Ki (r0 ]/”-£-) = — -Д,
откуда
в =------------ _?--------7=г- ,	(VI.2.11)
2r.kmr0p у А АЦг0 j/ A j
где Ki — обозначение функции Бесселя второго рода от мнимого
аргумента первого порядка. Следовательно, решение
(IV.2.10) будет иметь вид
QK0 (г 1/А )
Т =------------Д- д ’ г— .	(IV. 2.12)
2лйтегор у А А'Цг0 |/ JL j
Дальнейший переход от изображения Т к оригиналу, т. е. к по-
нижению уровня S, может быть сделан с помощью формулы обра-
щения Римана—Меллина [11, 12, 13]. Окончательное выражение
при этом имеет следующий вид:
о _   Q C/J   р—А Z0 ^1 С ) Nq (Хг) К (О	/jy 121
r'km J	I\ (') N'} (')	'2
В работе [12] наряду с полным решением этой задачи приво-
дятся формулы для определения понижения уровня (точнее, темпе-
ратуры, так как в этой работе исследуется тепловая задача), выте-
кающие из решения (IV.2.12) при его обращении и переходе к ори-
гиналу для малых и больших значений времени t:
a) t — мало
б) t — велико
(IV. 2.14)
5«ТЖ-[(Ч-2^)|п^+^(1 + ?» + 21п;)+ ...].
В этих формулах г= —,	=	/о, Л и Л5 * 7о, Ni— функции
го
61
Бесселя первого и второго рода от действительного аргумента нуле-
вого и первого порядка:
е-&
ter fez =	---zerfez,
У тс
Perfcz = -^-(erfcz — 2zierfcz), (IV.2.15)
erfcz= 1 — Ф(з),
z
2 r
Ф(з)= -y=- I е~аг da. — интеграл вероятности (функция Крампа).
I W б
Здесь z — аргумент указанных функций; в частности, в форму-
лах (IV.2.14)
7—1
Функции (IV.2.15) представлены в виде таблиц в приложе-
нии II. Если в (IV.2.12) принять го 1/—	1 (что допустимо для
f а
более или менее значительной длительности периода t и соответст-
венной малости параметра р, а также учитывая небольшие абсо-
лютные размеры радиуса скважины Го), то можно ограничиться
первым членом в разложении функции Kt, а именно:
В этом случае
~~ 2~km р
Переход От изображения, представленного этой формулой,
к оригиналу искомой функции, т. е. понижению уровня 5, легко
осуществляется по табличным соотношениям [9, 12, 13]. В резуль-
тате имеем:
t--------—
S = ^4—	-----dz,	(I V.2.16)
о
т. е. мы, как и следовало ожидать, получили уравнение (IV.2.1),
приведенное в табл. IV.1 для линейного источника.
п	г2
Полагая в этом уравнении а=	——, можно интеграл
в нем привести к хорошо известной функции, носящей название
62
интегрального экспоненциала или интегральной показательной
функции и обозначаемой символом Ei:
со
f — da = —	(IV.2.17)
4nkm J a	4nkm \ 4Fq / v 7
1
где Fo =	= ——----безразмерный параметр времени или про-
сто безразмерное время.
Формула (IV.2.17) широко используется для гидродинамических
расчетов, связанных с разработкой нефтяных месторождений,
а также в гидротехнике и гидрогеологии (подробные библиографи-
ческие ссылки в связи с этим даны в работах [6, 7]).
Таблица функции Ei приводятся в приложении I, а также
в главе V.
На основании формулы (IV.2.17) можно оценить погрешность,
обусловливаемую заданием условия постоянства расхода на по-
верхности источника (го=О), а не на контуре реальной скважины
(го>0).
После дифференцирования (IV.2.17) по г и подстановки полу-
ченного в результате этого выражения в условие (IV.2.7) полу-
чаем:
__i_
Q(r0, t)=Q(P, t)e~ 4/“ ,	(IV.2.18)
где
at
Отсюда видно, что при fo 5 расходы на поверхности стока и
на скважине отличаются не более чем на 5%, причем с течением
времени эта разница резко сокращается. Принимая, например,
,а=\03 м2/сутки и го=О,2 м, получим, что указанный критерий
(fo^5) выдерживается уже по истечении первых 15—20 сек.
Решение задачи о притоке к скважине при втором условии
Эксплуатацию водозаборных скважин при условии заданного,
заранее известного понижения уровня можно представить себе, на-
пример, в случаях, когда скважины дают самоизлив. Такой режим
устанавливается также при использовании насосов «поверхност-
ного действия» (с горизонтальным валом), когда максимальная ве-
личина понижения уровня ограничивается вакуумом насосов.
Решение задачи о притоке подземных вод к скважинам в ука-
занных условиях можно получить из исходного уравнения (IV.4.7).
Применяя, как и в предыдущем случае, преобразование Лапласа,
мы получим то же уравнение для изображения уравнение (IV.2.10).
63
Условие на скважине при этом формулируется так:
r = r01 5 = 50^--у-.	(IV.2.19)
В силу ограниченности искомой функции на бесконечности в
уравнении (IV.2.10) Д=0. Следовательно, с учетом (IV.2.19) по-
лучим следующее решение для изображения:

(1V.2.20)
В результате перехода от изображения к оригиналу по формуле
Римана—Меллина находится следующая зависимость для опреде-
ления функции понижения:
оо
9 С
/?п=1+4.) е^г/°
о
(IV.2.21)
(IV.2.22)
5 —	,
/о(МУо(А)-Уо(^-)/о(а) л
/о(^) + ^(М	х
Для определения дебита скважины при заданном понижении
уровня, изменяющемся во времени, следует продифференцировать
выражения (IV.2.21) и (IV.2.22):
„	~ , dS	2тЛгт dS
Q = ~2-km——	=-------'
dr г_г	г0 дг 7-1
что приводит к следующему выражению:
Q = ‘Ir.kmSfj (/о),
оо
Q (/0) = ± f е-л7» — ——
K2J X[Z2(X)-|-^(,.)]
(1V.2.23)
(IV.2.24)
Здесь обозначения прежние.
Приведенное решение рассматривается во многих работах по
теории теплопроводности и подземной гидравлике [12, 15, 16, 19,
21, 22]. Интеграл (IV.2.22) подробно вычислен в работе [21], а ин-
теграл (IV.2.24) —в работе [22].
Приближенные выражения для S и Q, пригодные для малых и
больших моментов времени, представляются в следующем
виде [12]
a) t — мало
о Sn Г г С—1 । (г — 1) V/о • -е г — 1 ।	1
S~ —erf с —— +	terfc —— + . . .
Vr 2>л/0	4г	2 у/0	J
Q^2^/n50(/^ + 4- + 4-/v +~г/о+ •••)
(1V.2.25)
64
б) / — велико
In 2,25/q
ir.kmSa
Ц'"' 1п*2,25/0 ’
(1V.2.26)
Легко видеть, что в отличие от режима откачки с постоянным или
изменяющимся по заданному закону дебитом в рассматриваемой
схеме, когда задается понижение уровня в скважинах, последние
уже нельзя моделировать стоками и источниками. В данном случае,
как следует из (IV.2.26), при г->0, расход Q—>-0 при любом зна-
чении t, что не соответствует действительности. Вместе с тем при
таком условии не представляется возможным применять метод на-
ложения течений для расчета взаимодействующих скважин.
Значения /о, при которых можно пользоваться указанными фор-
мулами, приведены далее в § 4 главы V. Там же даны графики Ru
и Q по строгим выражениям (IV.2.22) и (IV.2.24).
§ 3.	Фрагментирование потока подземных вод.
Метод фильтрационных сопротивлений
При гидрогеологических расчетах вообще и, в частности, при
расчетах водозаборов в настоящее время широко применяется ме-
тод сопротивлений, сущность которого заключается в следующем.
Весь поток подземных вод в районе сооружений как бы подразде-
ляется на фрагменты и в каждом из них отдельно оцениваются ло-
кальные потери напора. Общее понижение напора определяется
путем суммирования локальных потерь.
Вместо напоров можно рассматривать гидравлические или филь-
трационные сопротивления, по величине прямо пропорциональные
напорам, и путем соответствующего их суммирования вычислять
общее фильтрационное сопротивление всего потока в целом.
Гидравлическим, или фильтрационным, сопро-
тивлением, как известно, называется отношение пере-
пада напоров S к расходу:
Ф = ^.	(1V.3.1)
Выражая S, например, в метрах, a Q— в кубических метрах
в сутки, получим, что сопротивление Ф имеет размерность сутки/м2.
Операции с величиной сопротивления, имеющей размерность, свя-
заны с определенными неудобствами. Поэтому в дальнейшем вместо
собственно сопротивления, определяемого соотношением (1\/.3.1),мы
будем рассматривать безразмерный параметр /?Ф или R (индекс Ф
для простоты там, где это возможно, опускается), пропорциональ-
65
ный сопротивлению, который можно назвать показателем со-
противления или просто безразмерным сопротивле-
нием
=	(IV.3.2)
где km — водопроводимость водоносного пласта,
а—некоторый численный коэффициент, зависящий от схемы
фильтрационного потока.
Допустимость разделения всего фильтрационного потока к сква-
жинам на фрагменты определяется тем, что возмущения, вызывае-
мые откачкой воды из скважины и выражающиеся в искривлении
линий тока и наиболее резком понижении уровня подземных вод,
локализуются в зоне расположения самих скважин. За пределами
этой зоны направление линий тока и понижений уровня носят более
спокойный характер. Это справедливо не только для скважин, но
и для других типов водозаборных сооружений, вблизи которых
происходят сосредоточенные «деформации» потока.
Едва ли не важнейшим следствием, вытекающим из этого по-
ложения, является то, что эффект самых разнообразных по своим
геометрическим особенностям и распределению дебита групп и си-
стем скважин (и других водозаборов) уже в небольшом удалении
от них можно отразить в расчетах практически эквивалентным эф-
фектом простейших по форме, так сказать, типовых групп и систем
скважин, если только при этом сохранить неизменным1 суммарный
дебит реальной системы.
Например, линейный ряд скважин в сравнительно небольшом
удалении от него вызывает такие же понижения уровня и приво-
дит к формированию пьезометрической депрессии такого же типа,
как если бы вместо ряда скважин мы рассматривали галерею
с расходом, равным суммарному расходу всех скважин. Аналогично
ограниченные группы скважин на площади, даже при хаотическом
их расположении, уже на небольшом расстоянии оказывают прак-
тически такое же влияние, как единичная скважина укрупненных
размеров («большой колодец»), расход которой равен суммарному
расходу всех скважин. Это обстоятельство весьма облегчает реше-
ние задачи расчета взаимодействующих групп или систем сква-
жин в водоносных горизонтах различных типов [5].
Фрагментирование и разделение потока на отдельные зоны воз-
можно также в вертикальной плоскости. Например, вблизи несо-
вершенных скважин по степени и характеру вскрытия пласта от-
четливо выделяется зона деформации потока, связанная именно
с этим фактором. Таким образом, метод фрагментирования и раз-
деления потока на отдельные зоны по фильтрационным сопротив-
лениям позволяет сводить задачу расчета скважин, в общем случае
двухмерную, плоскую (группы взаимодействующих скважин) и не-
редко трехмерную, пространственную (несовершенные скважины)
к более простым схемам — одномерным и двухмерным.
66
Следует отметить, что изложенные особенности фильтрацион-
ных потоков принципиально совпадают с хорошо известными свой-
ствами тепловых потоков. В теории теплопроводности (см., напри-
мер, [13]), широко используется тот факт, что температурные поля
на некотором удалении от нагреваемых (или охлаждаемых) тел
произвольной конфигурации совладают с полями так называемых
«основных» тел правильной геометрической формы, например
шара, цилиндра, пластины. Для того чтобы температурные поля
реального и «основного» тел совпадали, необходимо только, чтобы
потоки тепла (в фильтрационном поле — дебиты, расходы), прохо-
дящие через них, были одинаковыми.
В динамике подземных вод метод фрагментирования потоков и
выделения зон с различными сопротивлениями применительно к за-
дачам фильтрации в районе гидротехнических сооружений был
предложен и разработан С. Н. Нумеровым [2, 3]. Он был назван
им способом «суммарного учета местных потерь напора», так как
в основу метода положена идея обобщенной оценки дополнитель-
ных потерь напора в так называемых «зонах резко изменяющейся
фильтрации». Предполагается, что эти зоны не влияют на фильтра-
цию в других зонах при достаточном удалении их друг от друга.
С. Н. Нумеров исследовал некоторые типовые формы в зонах
напорной и напорно-безнапорной «резко изменяющейся фильтра-
ции». Полученные им решения позволяют определить сопротивле-
ния и напоры в таких зонах, которые предлагается использовать
в качестве типовых при фильтрационных расчетах (например, пло-
тин с сложным подземным контуром), а также в случаях так назы-
ваемой «плановой фильтрации».
Для скважин рассматриваемый здесь метод фрагментирования
и разделения потоков на зоны с различными сопротивлениями при-
близительно в тот же период времени сформулирован и применен
Ю. П. Борисовым в связи с решением задач разработки нефтяных
месторождений [4] и назван «методом фильтрационных сопротив-
лений», чем подчеркнута его аналогия с методами расчета элек-
трических цепей.
В соответствии с этой аналогией им введены термины «внутрен-
нее сопротивление», которым характеризуется сопротивление в зо-
нах наибольшей деформации потока вблизи скважин, и «внешнее
сопротивление» — для зон, удаленных от скважин.
Суммарный эффект фильтрационных сопротивлений опреде-
ляется, как и в теории электричества, по законам Ома и Кирхгофа.
В общем случае понижение уровня S,, обусловленное действием
z-го водозабора с расходом Qi, и соответствующие сопротивления
Ф, или в безразмерном виде /?Фг (они являются аналогами элек-
трических величин — разности потенциалов At/», силы тока Л и со-
противления У?,,,) связываются следующим соотношением:
Q/=-|l==t/--	av.3.3)
67
Суммарное понижение при откачке из п водозаборов
^=2^=2 «.•”< - 2	•	<lv-3-4>
1=1	1=1	1=1
В соответствии с указанной выше возможностью фрагменти-
рования потока эти зависимости в каждом конкретном случае тран-
сформируются, в них выделяются локальные понижения уровня
и локальные «внутренние» сопротивления в различных зонах, а так-
же понижения уровня и сопротивления, характеризующие обоб-
щенное влияние этой системы скважин («внешнее сопротивление»).
Подробно это будет показано далее при рассмотрении методов
расчета различных схем водозаборов (см. главу V и последующие).
В гидрогеологических задачах метод фильтрационных сопро-
тивлений широко используется при проектировании дренажа, водо-
понижения и водозаборов, устраиваемых для целей водоснабжения
[5, 14, 18].
В последней из указанных работ, принадлежащей В. М. Шеста-
кову, приводится целый ряд остроумных приемов определения ло-
кальных потерь напора и соответствующих сопротивлений приме-
нительно к разнообразным задачам водопонижения.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ IV
1.	Абрамов С. К., Бабушкин В. Д. Методы расчета притока воды
к буровым скважинам. Госстройиздат, 1955.
2.	А р а в и н В. И., Нумеров С. Н. Плановая задача фильтрации. Изв.
ВНИИГ им. Веденеева, т. 44, 1951.
3.	Аравии В. И., Н у м е р о в С. Н. Теория движения жидкостей и газов
в недеформируемой пористой среде. Гостехтеориздат, 1953.
4.	Борисов Ю. П. Определение дебита скважин при совместной работе
нескольких рядов скважин. Тр. Моск. нефт. ин-та им. Губкина, вып. 11, 1951.
5.	Б о ч е в е р Ф. М. Гидрогеологические расчеты крупных водозаборов и
водопонизительных установок. Госстройиздат, 1963.
6.	Бочевер Ф. М. и Веригин Н. Н. Методическое пособие по расче-
там эксплуатационных запасов подземных вод для водоснабжения. Госстрой-
издат, 1961.
7.	Бочевер Ф. М., Гармонов И. В., Лебедев А. В., Шеста-
ков В. М. Основы гидрогеологических расчетов. Изд. «Недра», 1965.
8.	Г а в р и л к о В. М. Фильтры водозаборных, водопонизительных и гидро-
геологических скважин. Госстройиздат, 1961.
9.	Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному
исчислению. Изд. «Высшая школа», 1965.
10.	Диткин В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление. Изд.
«Высшая школа», 1966.
11.	Канторович М. И. Операционное исчисление и процессы в электри-
ческих цепях. Изд. «Наука», 1964.
12.	Карел оу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. Изд. «Наука»,
1964.
13.	Лыков А. В. Теория теплопроводности. Гостехтеориздат, 1952.
14.	П а в л о в с к а я Л. Н. Вопросы фильтрационных расчетов водопонизи-
тельных установок в котлованах гидротехнических сооружений. Тр. совещ. по
вопросам водопонижения. Госстройиздат, 1959.
68
15.	Пилатовский В. П. Взаимодействие галерей, дренирующих пласт
в условиях упругого режима при постоянных давлениях на галереях. Тр. ВНИИ
нефти и газа, вып. VIII. Гостопиздат, 1956.
16.	Полубаринова-Кочина П. Я. О иеустаиовившихся движениях
в теории фильтрации. ПММ, т. IX, вып. 1, 1945.
17.	Указания по проектированию сооружений для забора подземных вод.
СН-325-65, Госстройиздат, 1966.
18.	Шестаков В. М. Теоретические основы оценки подпора, водопони-
жения и дренажа. Изд. МГУ, 1965.
19.	Царевич К. А. и Кураиов И. Ф. Расчет дебитов центральной сква-
жины в круговом пласте при упругом режиме. Тр. ВНИИ нефти и газа, вып. VIII.
Гостопиздат, 1956.
20.	Щелкачев В. Н. Разработка иефтеводоносных пластов при упругом
режиме. Гостоптехиздат, 1959.
21.	Jaeger S. Numerical values for the temperature in radial heat flow.
I. Math. Phys. 34, 1956, pp. 316—321.
22.	Jacob С. E. and Lohman S. W. Nonsteady flow to a well constant
drawdown in extensive aquifers. Trans. Am. Geophys. Union 33, 1959, pp. 559—
569.
Расчеты водозаборов
в артезианских
бассейнах
§ 1. Гидрогеологические условия артезианских бассейнов
и их схематизация для целей расчета
Артезианские бассейны значительных размеров приурочены
обычно к платформенным геологическим структурам или к их крае-
вым зонам. Подземные воды артезианских бассейнов используются
для водоснабжения множества городов, промышленных предприя-
тий и более мелких потребителей.
В СССР наибольшее значение с этой точки зрения имеют Мо-
сковский, Западно-Сибирский и Днепровско-Донецкий артезиан-
ские бассейны. Остановимся вкратце на характерных гидрогеологи-
ческих особенностях первых двух артезианских бассейнов. Это даст
нам возможность подойти к схематизации подобных структур для
целей расчета.
Московский артезианский бассейн располагается в пределах
Подмосковной палеозойской синеклизы и содержит целый ряд
горизонтов слабо минерализованных вод, приуроченных к известня-
кам каменноугольного возраста. Эти горизоны разделяются слабо-
проницаемыми глинистыми слоями и при этом полого падают в на-
правлении с запада, юго-запада и юга к центральной части бас-
сейна, т. е. примерно к району г. Москвы. Здесь они образуют
этажную систему напорных водоносных пластов общей мощностью
250—300 м. Мощность отдельных водоносных горизонтов ко-
леблется от 30 до 100 м (рис. V.1 и V.2) [9].
Площадь Московского артезианского бассейна, именно в той
его части, где распространены слабо минерализованные воды
в известняках карбона, оценивается примерно в 300 тыс. км2. Рас-
стояние от центра до краевых зон бассейна составляет 300—500 км.
Общие эксплуатационные ресурсы подземных вод в известняках
Московского артезианского бассейна превышают 30 млн. м3/сутки,
что в десять раз больше современного их использования. Этим оп-
ределяются благоприятные перспективы дальнейшего развития во-
доснабжения области на базе подземных вод.
Источниками питания подземных вод в каменноугольных отло-
жениях служат атмосферные осадки, поступающие частично не-
посредственно в известняки (там, где они выходят на дневную по-
70
верхность), но главным образом в верхнюю толщу «рыхлых» пес-
чано-глинистых пород мезозойского (юрского и мелового) и чет-
вертичного возраста, которой в большинстве случаев перекры-
ваются известняки. Эти «рыхлые» породы содержат большое коли-
чество воды и являются своего рода «регуляторами» запасов воды
в известняках, обеспечивая их постоянное восполнение в условиях
эксплуатации водозаборов.
Рис. V. 1. Схема Московского артезианского бассейна [1].
/ — границы основных водоносных горизонтов карбона; 2 — границы бассейна;
3 — линии гидрогеологических разрезов (см. рис. V, 2, а, б).
Питание подземных вод в известняках карбона в процессе экс-
плуатации водозаборов может осуществляться также путем филь-
трации поверхностных вод из многочисленных рек (Волги, Оки,
Москвы и их притоков), с которыми водоносные пласты гидравли-
чески связаны. При раздельной, или точнее — разновременной экс-
плуатации отдельных водоносных горизонтов, следует учитывать и
возможность перетекания воды из соседних, ниже- и вышерасполо-
женных пластов через слабопроницаемые глинистые слои.
Западно-Сибирский артезианский бассейн, расположенный
в платформенной области Западно-Сибирской низменности, прости-
рается на огромной территории между Обью на западе и Енисеем
на востоке. С юго-запада, юга и юго-востока бассейн ограничивают
горные районы Казахстана (Казахское нагорье), Саяны и Салаир,
71
р. Москва
Рис. V. 2. Гидрогеологический разрез по линии I—I Московского артезианского бассейна
/ — суглинки; 2 —пески; 3— глины; 4 — известняки; 5 — пьезометрический уровень подземных вод
где на поверхность выходят палеозойские и более древние породы.
На север Западно-Сибирский бассейн протягивается на многие
сотни километров. Общая площадь его около 3 млн. км2 (рис. V.3).
В пределах Западно-Сибирского бассейна выделяется серия
водоносных горизонтов от четвертичного до юрского возраста.
С точки зрения водоснабжения.наибольший интерес представляют,
однако, верхние водоносные горизонты, приуроченные к комплек-
Рис. V. 3. Схема Западно-
Сибирского артезианско-
го бассейна [2].
Артезианские бас-
сейны второго по-
рядка:	I — Тобольский,
II — Иртышский, III — Чул-
тимский, IV — Усть-Еинсей-
ский, V — центральные рай-
оны Западно-Сибирского
бассейна
/ — граница бассейна; 2 —
линия гидрогеологического
разреза
^•СЕМШШИНСН
су пород моложе нижнего мела, представленных главным образом
песками, песчаниками и алевролитами и разделяющими их гли-
нами.
Так же, как и в Московском артезианском бассейне, здесь в раз-
резе выделяется комплекс водоносных пластов, связанных между
собой только через глинистые перемычки. Все слои падают к цент-
ральной части бассейна. В краевой, южной его части водоносные
горизонты или выходят на поверхность или залегают относительно
неглубоко. Принято разделять Западно-Сибирский бассейн на ряд
бассейнов второго и третьего порядков. К последним, например,
относятся: Тобольский бассейн (на территории Северо-Тургай-
ской впадины), Иртышский и Барнаульский (на территории Омской
и Кулундинско-Барнаульской впадин) и Чулымский (в Чулымской
впадине). Бассейны второго и третьего порядков тесно связаны
73
с основными бассейнами (рис. V.4) и их рассматривают в качестве
«областей питания» центральных и северных частей Западно-Си-
бирского бассейна [20].
Общие эксплуатационные ресурсы пресных подземных вод За-
падно-Сибирского артезианского бассейна оцениваются более чем
в 50 млн. м31сутки. Используются же они в настоящее время прак-
тически в ничтожных размерах. Проницаемость пород в основных
водоносных горизонтах невелика, однако благодаря их значитель-
Абсотмв м
Рис. V. 4. Гидрогеологический разрез по линии I—I
/ — породы палеозойского фундамента; 2 —суглинки, глины и пески; 3 — глины и алевриты;
ники; 7 — аргиллиты; 8 — аргиллиты, алевриты н песчаники; 9 — опоки; 10 — опоки, пески
ческие границы; 14 — скважины; 15 — напор подземных вод; 16 — минерализация
ной мощности и высоким напорам здесь представляется возмож-
ным проектировать крупные водозаборы.
Сходные гидрогеологические условия в той или иной мере
наблюдаются и во многих других артезианских бассейнах
(хотя, разумеется, каждый из них представляет собой оригиналь-
ное геологическое образование). Это можно, например, проследить
на упоминавшемся уже Днепровско-Донецком бассейне, подроб-
ное описание которого в последние годы дано в ряде работ [3, 18],
а также на некоторых бассейнах Северного Кавказа. Последние,
в частности, являются типичными артезианскими бассейнами крае-
вых зон платформенных структур. В отличие от крупных бассей-
нов, занимающих центральные части платформ, эти бассейны ха-
рактеризуются меньшими размерами, в связи с чем в них большую
роль играют периферийные участки, где водоносные горизонты вы-
ходят на поверхность [28].
74
При схематизации природных условий артезианских бассейнов
для целей расчета следует их разделить на две группы по размерам
в плане, т. е. по площади распространения водоносных горизонтов.
К первой группе можно отнести бассейны весьма крупных разме-
ров, при которых допустимо рассматривать действие водозаборов,
не учитывая влияния границ бассейна, ко второй — бассейны огра-
ниченных размеров, в которых влиянием границ уже пренебрегать
нельзя.
Абсотм.е и
200
150
100
Западно-Сибирского артезианского бассейна ГЗ]
4 — глины с прослоями алевритов и песков; 5 — глины, алевриты н пески; 6 — пески и песча-
и песчаники; // — глины с прослоями опок; 12 — стратиграфические границы; 13 — литологи-
воды, г>л; 17—20 — пьезометрические уровни основных водоносных горизонтов
Такое разделение является целесообразным, поскольку при этом
выступает вполне определенный природный фактор, в значительной
мере определяющий методы расчета водозаборов. При рассмотре-
нии этих методов будут даны количественные критерии, позволяю-
щие обосновать отнесение бассейнов к той или иной группе. Для
крупных артезианских бассейнов, по крайней мере для их частей, к
которым приурочены основные запасы слабо минерализованных под-
земных вод, пригодных для водоснабжения, характерно следующее.
1.	Активная связь водоносных пластов с атмосферой. С учетом
этого целесообразно рассмотреть несколько схем:
а)	верхние пласты имеют свободную поверхность на большей
части их распространения, непосредственно связаны с атмосферой;
б)	напорные пласты получают питание из атмосферных источ-
ников только в весьма удаленных зонах, где они выходят на по-
верхность;
75
в)	напорные пласты связаны с атмосферными источниками че-
рез относительно слабопроницаемые толщи водоносных пород, за-
легающих в кровле напорных пластов и содержащих грунтовые
воды со свободной поверхностью.
2.	Наличие этажной системы водоносных пластов, разделенных
слабопроницаемыми глинистыми слоями, через которые осущест-
вляется гидравлическая связь между отдельными водоносными
пластами в вертикальном разрезе. В последнем случае должны
быть выбраны методы расчета, позволяющие учитывать возмож-
ный переток воды из одного пласта в другой.
Для указанных типов пластов в артезианских бассейнах харак-
терна фильтрационная неоднородность пород в плане (по площади
распространения). Здесь мы, однако, рассматриваем такие усло-
вия, когда изменения фильтрационных параметров носят хаотиче-
ский, неупорядоченный характер и в целом пласт (или тот или
иной участок пласта) можно «привести» к однородному путем ос-
реднения параметров.
Во всех указанных случаях для крупных артезианских бассей-
нов в соответствии с принятой предпосылкой будем рассматривать
схемы неограниченных (или «бесконечных») пластов.
§ 2. Одиночные скважины и группы, состоящие
из небольшого количества взаимодействующих скважин
(дискретные группы).
Откачки при постоянном дебите скважин
Расчет притока воды к одиночной скважине можно выполнять
по формулам (IV.2.15) и (1V.2.17), вывод которых приведен в § 2
главы IV. Там же показано, что для скважин малого диаметра
практически достаточная точность достигается второй из указант
ных формул, которая характеризует гидродинамическое поле источ-
ника. В соответствии с этим зависимость для определения пониже-
ния уровня в любой точке с координатой г в любой момент вре-
мени t можно представить в следующем виде (рис. V.5):
(V.2.1)
где Q — постоянный дебит скважины;
k — коэффициент фильтрации пласта;
т — мощность пласта;
Rc — гидравлическое сопротивление, определяемое в данном
случае интегральной показательной функцией (см. вывод
формулы (IV.2.17) в § 2 гл. IV):
/•2
/?с = —(—а); а = ^.	(V.2.2)
Численные значения этой функции в зависимости от а даны
в табл. V.1 и на рис. V.9 (более подробные таблицы см. в приложе-
нии I).
76
При определении понижения уровня в самой скважине радиу-
сом го в формуле (V.2.2) должно быть учтено также дополнитель-
ное сопротивление, связанное с несовершенством скважины. Обо-
значая его через £, получим:
г*
/?со = — £7 (—а0)2С; «0 = 4^-	(V.2.3)
По поводу определения показателя несовершенства скважины бу-
дет сказано далее (см. § 5 данной главы).
Заметим, что наряду с безразмерными параметрами а и ао, ве-
личина которых, как видно из (V.2.2) и (V.2.3), обратно пропор-
Рис. V.5. Схемы к расчету скважины при откачке с постоянным дебитом:
а — напорный пласт; б — безнапорный пласт
циональна времени t, мы будем пользоваться также параметрами
г, at . at
го = —и fo = —прямо пропорциональными времени t и
г	го
представляющими собой безразмерное время (см. формулы
(IV.2.13) и (1V.2.17) в § 2 главы IV).
Указанные параметры связаны очевидными соотношениями:
1
а— 4Г0
а°==17о'
или
/т — _L_
Го — 4т •
(V.2.4)
Во всех приведенных выражениях а — коэффициент пьезопро-
водности (см. формулу (Ш.3.11) и др. в § 3 главы III, где звездоч-
ками дается индексация для а в зависимости от режима фильтра-
ции и условий водоотдачи; здесь и где это возможно далее для про-
стоты записи указанная индексация опускается).
При а^0,05 — 0,1 или Fo^2,5 — 5 интегральная показательная
функция с необходимой практической точностью представляется
в виде логарифма
£i( — Tv')~lnT^ + °>577=	(V.2.5)
4at j 4at '	r2	'
77
Соответственно выражение для гидравлического сопротивления
упрощается. В этом случае основная расчетная формула (V.2.1)
внешне становится идентичной формуле Дюпюи, но при замене
радиуса влияния скважины некоторым параметром гвл, зависящим
от времени
Яс = 21п-^-,	(V.2.6)
или, при определении понижения уровня в скважине
/?с0 = 2 (1п-^ + С) ; гвл=1,5Г^.	(V.2.7)
Величину гвл, определяемую по последней формуле, не следует
смешивать с действительным радиусом влияния или дальностью
действия скважины (см. об этом далее, в § 7 данной главы).
Для группы любым образом расположенных взаимодействую-
щих скважин на основе метода наложения фильтрационных тече-
ний легко получить расчетную зависимость, пользуясь формулами
(V.2.1) и (V.2.6). При этом будем иметь (см. рис. V.6, а):
п	п
= 2	<V-2-8’
1 = 1	1 = 1
где S — суммарная величина понижения уровня в данной точке
под влиянием всех взаимодействующих скважин;
Qi — расход i-той скважины;
Rd — гидравлическое сопротивление, вызванное откачкой из
i-той скважины (i = l, 2, 3, ..., п, п — общее число
скважин).
В случаях, когда суммарное понижение уровня определяется,
непосредственно в одной из скважин, формулу (V.2.8) удобно за-
писать так (см. рис. V.6, б):
5 = 50+УТ5; = -г%-/?с 0+SV^r%-/?c i- (V.2.9)
о । i \T.km c-0 ' faikm c-1	'	'
1 = 1	1=1
Здесь в правой части уравнения первыми членами выделяется
величина понижения уровня So, пропорциональная сопротивлению
Rco для той скважины, в которой определяется общее понижение
уровня S. Вторые члены характеризуют влияние всех остальных
скважин, выражаемое суммой понижений или «срезок» уровня Si
и соответствующих сопротивлений Rd. Значок ▼ показывает, что
данная скважина с расходом Qo из суммы исключается.
Значения Rco и Rd находятся по формулам (V.2.1), (V.2.3) и
(V.2.6).
В случае определения понижения уровня в точках, удаленных
от участка расположения водозаборных скважин, можно пользо-
ваться приближенным приемом, заключающимся в следующем.
78
Вся группа взаимодействующих скважин представляется в виде
единичного колодца. При этом понижение уровня в указанных уда-
ленных точках может быть с достаточной практической точностью
найдено по формуле (V.2.1) при Q = QCyM.— суммарному расходу
всех скважин, и при расстоянии г, исчисляемом от «центра тяже-
сти по расходам» участка размещения скважин (см. рис. V.6,в).
Рис. V.6. Схемы к расчету взаимодействующих
скважин:
а — при определении понижения уровня внутри участ-
ка расположения скважин; 6 — то же, в одной нз
скважин; в — при определении понижения уровня
в удалении от участка расположения скважин
Под «центром тяжести по расходам» подразумевается точка, коор-
динаты которой х, у находятся по следующим зависимостям:
1________
Qcy.M
1________
QcyM )
(V.2.10)
79
где Qi, Xi, yi — расход i-той скважины и ее расстояния относи-
тельно произвольно выбранных осей координат
х, у.	!
В этом случае уже при удалении точки, в которой определяется
понижение уровня S, на расстояние, равное максимальному раз-
меру участка размещения водозабора, ошибки в результатах ра-
счета не превышают 3—5%.
Изложенная методика расчета может применяться как в одно-
родных, так и в неоднородных пластах в случаях, когда неодно-
родность носит хаотический, неупорядоченный характер и допу-
стимо пользоваться средними значениями водопроводимостн и
пьезопроводности,
В заключение отметим, что эта методика в настоящее время
широко используется при гидрогеологических изысканиях и проек-
тировании водозаборов,
В СССР наиболее ранними работами, способствовавшими
ее внедрению в указанную область, следует, по-видимому, считать
статьи Н. Н. Веригина [11] и нашу совместную с ним книгу [7],
в которой, как уже отмечалось приводится подробная библио-
графия.
§ 3. Откачки при изменяющемся
дебите скважин
Представляет интерес рассмотрение приемов расчета скважин
при изменяющемся их дебите, т. е. когда Q = Q (t).
Изменение дебита скважин может быть вызвано различными
причинами, например их периодической остановкой и включением,
заменой наносного оборудования, постепенным изменением прони-
цаемости фильтра и призабойной зоны и т, д.
На рис. V.7 приведены графики Q(t), которыми могут быть ап-
проксимированы различные режимы работы скважин. Решение
задачи о притоке воды к скважине во всех показанных в таблице
схемах легко получить из исходного уравнения линейного источ-
ника (IV.2.1), данного в табл. IV. 1. Подстановка в это уравнение
соответствующих выражений для Q(t) приводит к изложенным
ниже результатам [8]
Скачкообразные изменения дебита (схема Г)
В этом случае понижение уровня S находится путем непосредст-
венного наложения возмущений, вызванных каждой ступенью скач-
кообразного изменения дебита. Формула для расчета при этом
имеет вид
о — Qt р
° — litkm
(V.3.1)
80
N График Q~t
Уравнение Q-t
O^t<t„ Q=Q0
t<t*tz, 0=Qt
tn-t< t<in' Q=®n-i
QarQoT't
Г,- Qr-do
(//%y/7wrazJ
a)
Рис. V.7. Графики измеиеиия дебита
скважины
Рис. V.8. Графики скачкообразного
изменения расхода скважины (а)
и соответствующего изменения
понижения уровня (б)
где
4.		(v-3.2)
Q,~QQr'~' 	(V.3.3)
где QT — максимальный или вообще некоторый фиксированный
расход скважины в течение всего периода откачки,
Qj — расход в интервале времени / (у=1, 2, п; п — число
интервалов изменения расхода).
График S — I, отвечающий рассматриваемому случаю скачкооб-
разного изменения расхода (рис. V.8), отражает эти изменения со-
ответствующими изменениями уровня: на границах интервалов
времени происходит скачок уровня, а затем постепенное его пони-
жение (или повышение в зависимости от знака величины т. е. от
того, возрастает или сокращается дебит на последующем интервале
времени).
Важно отметить, что при вычислении безразмерного гидравли-
ческого сопротивления по формуле (V.3.2) для каждой ступени из-
менения дебита принимается полное время Д/=/—tj-i, т. е. так,
как если бы в дальнейшем от момента времени f,_i до момента
времени t прирост дебита AQ=Q;- — Qj—1 сохранялся постоянным,
а понижение уровня под влиянием этого дебита происходило в те-
чение всего периода Д/ (на графике S—t это показано пунктирными
линиями). Иначе говоря, влияние скачкообразных изменений де-
бита можно рассматривать изолированно, как влияние, напри-
мер, скважины с расходом AQ. Суммарное понижение выразится
суммой понижений, вызванных всеми скачками дебита.
Линейные изменения дебита (схема 2°)
Подставляя зависимость Q(t) для схемы 2°, показанной на
рис. V.7, в уравнение (IV.2.1), после интегрирования получим:
5 =	^С2 .	(V.3.4)
4nkm с 1 4nkmT с2	'	’
где Qo — некоторый начальный расход скважины в момент вре-
мени ?=0 (с этого момента начинается увеличение рас-
хода),
Qr—максимальная величина расхода к концу периода Г;
Rc — гидравлическое сопротивление, определяемое по приве-
денным выше формулам (V.2.2), (V.2.3), (V.2.6) и
(V.2.7) для случая постоянного дебита,
/?с2 = -(1 +	(V.3.5)
Значения этой функции приведены в табл. V.1 и в виде графика
изображены на рис. V.9.
82
Таблица V.l
Безразмерные сопротивления Rc н Rci-з
“1	 1	1 a~4Fo	lnf0	по (V.2.1)	/?с2 по (V.3.5)	ЛСЗ по (V.3.8)
500,0	0,0005	6,22*	7,024	6,028	5,532
463,0	6	6,03	6,842	5,862	5,351
357,0	7	5,88	6,688	5,694	5,198
312,5	8	5,74	6,554	5,560	5,065
277,8	9	5,63	6,437	5,444	4,949
250,0	0,001	5,52	6,331	5,338	4,845
125,0	2	4,83	5,639	4,652	4,164
92,6	3	4,42	5,235	4,254	3,769
62,5	4	4,14	4,948	3,972	3,491
50,0	5	3,91	4,726	3,755	3,278
46,3	6	3,73	4,545	3,578	3,106
35,7	7	3,58	4,392	3,430	2,961
31,3	8	3,44	4,259	3,301	2,835
27,8	9	3,32	4,142	3,188	2,726
25,0	0,01	3,22	4,038	3,088	2,629
12,5	2	2,52	3,355	2,442	2,01
9,3	3	2,12	2,959	2,078	1,668
6,3	4	1,83	2,681	1,827	1,437
5,0	5	1,61	2,468	1,640	1,267
4,6	6	1,43	2,295	1,491	1,134
3,6	7	1,27	2,151	1,370	1,026
3,1	8	1,14	2,027	1,266	0,936
2,8	9	1,02	1,919	1,178	0,860
2,5	0,1	0,92	1,823	1,10	0,794
1,3	2	0,22	1,223	0,649	0,427
0,9	3	—0,18	0,906	0,437	0,268
0,6	4	—0,47	0,702	0,313	0,18
0,5	5	—0,69	0,560	0,234	0,129
0,46	6	—0,88	0,454	0,177	0,093
0,36	7	—1,03	0,374	0,139	0,071
0,31	8	-1,16	0,311	0,111	0,054
0,28	9	—1,28	0,260	0,088	0,040
0,25	1	—1,39	0,219	0,070	0,032
0,13	2	—2,08	0,049	0,014	0,004
0,09	3	—2,49	0,013	0,0023	0,0013
0,06	4	—2,77	0,004	0,00058	0,00015
0,05	5	—2,99	0,001	0,00015	0,00007
При более или менее значительной продолжительности откачки,
когда а<^1, вместо (V.3.5) можно пользоваться более простой за-
висимостью
/?с2 In
2,25д?
,	0,83(2?
= 1п
(V.3.6)
При определении уровня в самой скважине или в точках, отстоя-
щих от нее на небольшом расстоянии, формула (V.3.6) применима
практически на всем интервале времени откачки.
83
Рис. V.9. Графики безразмерных сопротивлений Rc по формуле
(V.2.1)), Rc2 (по формуле V.3.5) и RC3 (по формуле V.3.8)
Задача с линейным законом изменения расхода скважины рас-
сматривалась Ю. П. Борисовым [5] и В. М. Шестаковым [29].
Изменение расхода по параболической зависимости (схема 3°)
В данном случае расход изменяется по схеме 3° и уравнению,
показанным на рис. V.7. Поступая, как и в предыдущем случае, из
уравнения (IV.2.1) получим:
Яа,	<V.3.7>
4r.km с 1 4тсЛтТ2 Cd
где
/?сз = - (1 + 2а + 4) Ei (-«) - 2 (4 + V) е-1’	<V-3-8)
Остальные обозначения прежние.
Значения функции /?сз приведены в табл. V.1 и на рис. V.7. При
а<1
7?сз^ 1п
2,25^
г2
1,5 = 1п
0,51а£
“Г2
(V.3.9)
84
Таким образом, по своей структуре формулы для расчета сква-
жин в случаях постоянного дебита и дебита, изменяющегося по
линейному и параболическому законам, аналогичны. Различия
между ними заключаются только в значении числового коэф-
фициента под знаком логарифма в формулах для определения
гидравлического сопротивления: в первом случае 2,25, во втором
0,83 и в третьем 0,51. Графики'для /?с, R& и /?сз в зависимости от
In Fo, как видно на рис. V.7, со временем приобретают вид парал-
лельных прямых.
Изменение расхода по экспотенциальному закону (схема 4°)
Допустим, что режим откачки может быть представлен в виде
графика и зависимости, показанных для схемы 4° на рис. V.7. Здесь
Qo, как и прежде, — некоторый начальный расход скважины при
t=0, a Qt — расход при t—T. Максимальное своего значения тео-
ретически он достигает только при t = <x>, в интервале же времени
О <t < Т происходит постепенное возрастание расхода от Qo
ДО Qt-
Подставляя выражение Q(0 для данного случая в уравнение
(IV.2.1), найдем:
5 = 4%Яс + -д7^- Яс4,	(V.3.10}
где
00	Гг
- 'г- (‘e~*+w’*
/?с4=_£7(-а)-е J ---------------dZy (V.3.11)
а
5=1/— ; а = ^/;
Г 73 ’	4а*
уз — коэффициент, определяемый из опытных данных или при-
нимаемый в соответствии с проектируемым режимом от-
качки (размерность его Цсутки).
Значения /?С4 по (V.3.11) приведены в табл. V.2 и в виде графи-
ков на рис. V.lOa. В табл. V.3 и на рис. V.10,б даны значения
функции
°° -г 1	г2-
_ Т'1 С р 4Вгг
/ = е 4fl2“ J — ---dz,	(V.3.11 а)
а
полученные путем численного интегрирования *.
При < 0,05; а < 0,1 (50 > 2,5)
1 Вычисления выполнены в Вычислительном центре АН СССР В. И. Пагу-
ровой.
85
00
О
Таблица V.2
Значения функции Rca по формуле (V.3.11)
Fo	1 а=^											
		МО-4	1-Ю-3	5-10-2	МО'2	3-Ю-2	5-Ю-2	1-10-2	0,3	0.5	1,0	1,2
2,5-105	1-10~6	0,0306	2,721	13,015	13,238	13,238						
5-104	5-10-6	0,0054	0,519	7,787	11,294	11,629	11,629					
2,5-104	1 • 10“5	0,0025	0,245	4,687	9,582	10,936	10,936					
5-103	5-Ю-5	0,0004	0,0415	0,982	3,324	8,935	9,238	9,326	9,326			
2,5-103	1-ю-4	0,0002	0,0190	0,463	1,702	7,244	8,419	8,633	8,633			
5-102	5-10—4	0,0	0,0030	0,0749	0,295	2,224	4,503	6,721	7,024	7,024		
2,5-102	1-10-3		0,0013	0,0332	0,132	1,087	2,550	5,356	6,331	6,331		
25	1 • ю-2		0,0011	0,0019	0,0077	0,0488	0,188	0,696	3,149	3,836	4,038	4,038
5	5-Ю-2		0,0	0,0002	0,0008	0,0074	0,0204	0,0805	0,624	1,325	2,216	2,468
2,5	1  10—1			0,0	0,0003	0,0025	0,0068	0,0272	0,229	0,555	1,310	1,480
1,25	0,2				0,0001	0,0008	0,0021	0,0081	0,0704	0,183	0,558	0,682
0,835	о,з				о,о	0,0004	0,0009	0,0037	0,0320	0,0854	0,286	0,379
0,5	0,5					0,0002	0,0003	0,0012	0’0218	0,0282	0,102	0,139
0,356	0,7					0,0001	0,0001	0,0005	0;0045	0,0122	0,0454	0,054
0,25	1,0						0,0001	о;ооо2	О;00023	0,0044	0,0169	0,0236
0,209	1,2						0,0	0,0001	0,00012	0,0024	0,0094	0,0133
0,178	1,4							о;о		0,0014	0,0056	0,0079
0,156	1,6									0,0009	0,0034	0,0049
0,139	1,8									0,0005	0,0021	0,0031
0,125	2,0									о;ооо4	0,0014	0,0020
0,113	2,2									0,0002	0,0009	0,0013
0,104	2,4									0,0001	0,0006	0,0008
0,0961	2,6									0,0	0,0005	0,0007
0,0893	2,8					-					0,0003	0,0005
0,0835	з,о										0,0001	0,0003
0,0714	3,5										0,0	0,0002
0,0625	4,0											0,0001
0,05	5,0											0,0
П родолжение табл. V.2
Ро	1	г в											
		1,4	1.6	1.8	2.0	2,2	2,4	2,6	2.8	3.0	3,5	4,0	5,0
2,5-102 25 5 2,5	1 • ю~3 1 -10—2 5-10-2 1 -10—1	2,468 1,587	2,468 1,653	2,468 1,695	1,722	1,741	1,755	1,766	1,774	1,802	1,823	1,823	1,823
1,25	0,2	0,800	0,903	0,980	1,026	1,056	1,083	1,106	1,126	1,144	1,162	1,180	1,223
0,835	о,з	0,469	0,544	0,610	0,649	0,687	0,717	0,743	0,772	0,796	0,821	0,847	0,906
0,5	0,5	0,178	0,216	0,254	0,289	0,321	0,350	0,375	0,398	0,417	0,454	0,479	0,509
0,356	0,7	0,079	0,096	0,117	0,143	0,221	0,230	0,240	0,248	0,231	0,276	0,286	0,317
0,25	1,0	0,0312	0,0395	0,0482	0,0573	0,0665	0,0758	0,0849	0,0937	0,102	0,122	0,139	0,163
0,209	1,2	0,0177	0,0226	0,0278	0,0333	0,0390	0,0448	0,0506	0,0563	0,0620	0,0756	0,0877	0,107
0,178	1,4	0,0105	0,0135	0,0167	0,0201	0,0237	0,0273	0,0311	0,0349	0,0387	0,0480	0,0566	0,0712
0,156	1,6	0,0065	0,0083	0,0104	0,0125	0,0148	0,0172	0,0197	0,0221	0,0247	0,0370	0,0371	0,0479
0,139	1.8	0,0041	0,0053	0,0066	0,0080	0,0095	0,0111	0,0127	0,0143	0,0161	0,0204	0,0246	0,0325
0,125	2,0	0,0027	0,0035	0,0043	0,0052	0,0062	0,0073	0,0083	0,0095	0,0106	0,0136	0,0166	0,0223
0,113	2,2	0,0018	0,0023	0,0029	0,0035	0,0041	0,0048	0,0056	0,0064	0,0072	0,0092	0,0113	0,0154
0,104	2,4	0,0012	0,0015	0,0019	0,0023	0,0028	0,0032	0,0037	0,0043	0,0048	0,0063	0,0078	0,0107
0,0961	2,6	0,0009	0,0011	0,0014	0,0017	0,0020	0,0023	0,0026	0,0030	0,0034	0,0044	0,0055	0,0076
0,0893	2,8	0,0006	0,0009	0,0009	0,0011	0,0014	0,0016	0,0018	0,0021	0,0024	0,0031	0,0038	0,0054
0,0835	3,0	0,0004	0,0006	0,0007	0,0008	0,0010	0,0011	0,0013	0,0015	0,0017	0,0022	0,0027	0,0039
0,0714	3,5	0,0002	0,0002	0,0003	0,0004	0,0004	0,0005	0,0006	0,0006	0,0007	0,0010	0,0012	0,0017
0,0625	4,0	0,0001	0,0001	0,0001	0,0002	0,0002	0,0002	0,0003	0,0003	0,0003	0,0004	0,0005	0,0008
0,05	5,0	0,0	о.о	0,0	0,0001	0,0001	0,0001	0,0001	0,0001	0,0001	0,0001	0,0002	0,0002
Рис. V.10. Графики, составленные по формулам (V.3.11) и (V.3.11а)
а — график безразмерного сопротивлении /?с4; б — график функции /
Таблица V.3
<х>
Безразмерное сопротивление / по формуле (У.З.Па)
Fo	1	г/В										
		10-4	ю-з	5-Ю-3	10—2	3-Ю-2	5-Ю-2	ю-1	03	05	1	1,2
2,5-105 5-104 2,5-104 5-103 2,5-103 5-102 2,5-102 25	10-6 5-10-в 10-5 5-10-5 10-4 5-10-4 10-3 10-2	13,208 11,624 10,933 9,326 8,633 7,024 6,332 4,038	10,518 11,11 10,69 9,285 8,614 7,021 6,330 4,037	0,223 3,842 6,248 8,344 8,17 6,949 6,30 4,036	0 0,334 1,354 6,002 6,931 6,73 6,20 4,03	0 0,391 1,389 4,80 5,245 3,989	0 0,0878 0,214 2,521 3,781 3,85	0 0,303 0,976 3,342	0 0,889	0 0,202	0	
5	5-10-2	2,468	2,468	2,468	2,467	2,460	2,447	2,387	1,844	1,143	0,252	
2,5	10-1	1,823	1,823	1,823	1,823	1,820	1,816	1,796	1,594	1,268	0,'513	0,343
1,25	0,2	1,223	1,223	1,223	1,223	1,222	1,221	1,215	1,152	1,039	0,665	0,540
0,835	0,3	0,906	0,906	0,906	0,906	0,905	0,905	0,902	0,874	0,820	0,620	0,527
0,5	0,5	0,540	0,540	0,540	0,540	0,540	0,540	0,538	0,538	0,532	0,450	0,421
0,356	0,7	0,374	0,374	0,374	0,374	0,374	0,374	0,373	0,370	0,362	0,328	0,320
0,209	Ь2	0,158	0,158	0,158	0,158	0,158	0,158	0,158	0,156	0,156	0,149	0,145
0,178	1,4	0,116	0,116	0,116	0,116	0,116	0,116	0,116	0,115	0,115	0,111	0,108
0,156	1,6	0,0863	0,0863	0,0863	0,0863	0,0863	0,0863	0,0863	0,0858	0,0854	0,0829	0,0814
0,139	1,8	0,0647	0,0647	0,0647	0,065	0,0647	0,0647	0,0647	0,0644	0,0642	0,0626	0,0616
0,125	2	0,0489	0,0489	0,0489	0,0489	0,0489	0,0489	0,0489	0,0487	0,0485	0,0475	0,0469
0,113	2,2	0,0372	0,0372	0,0372	0,0372	0,0372	0,0372	0,0372	0,037	0,037	0,0363	0,0359
0,104	2,4	0,0284	0,0284	0,0284	0,0284	0,0284	0,0284	0,0284	0,0283	0,0283	0,0278	0,0276
0,0961	2,6	0,0218	0,0218	0,0218	0,0218	0,0218	0,0218	0,0218	0,0217	0,0217	0,0214	0,0212
0,0893	2,8	0,0169	0,0169	0,0169	0,0169	0,0169	0,0169	0,0169	0,0168	0,0168	0,0166	0,0164
0,0835	3	0,013	0,013	0,013	0,013	0,013	0,013	0,013	0,013	0,013	0,0128	0,0128
0,0714	3,5	0,007	0,007	0,007	0,007	0,007	0,007	0,007	0,007	0,0069	0,0069	0,0068
0,0625	4	0,0038	0,0038	0,0038	0,0038	0,0038	0,0038	0,0039	0,0038	0,0038	0,0037	0,0037
0,05	5	0,0011	0,0011	0,0011	0,0011	0,0011	0,0011	0,0011	0,0011	0,0011	0,0011	0,0011
Продолжение табл. V.3
Fo	1 а=^о	г/В											
		1,4	1,6	1,8	2	2,2	2,4	2,6 '	2,8	3	3,5	4	5
5	5-10-2												
2,5	10-1	0,236	0,170	0,128	0,101	0,0814	0,0674	0,0568	0,0485	0,0209			
1,25	0,2	0,423	0,320	0,243	0,196	0,165	0,140	0,117	0,097	0,0788		0,0427	
0,835	0,3	0,437	0,362	0,296	0,256	0,219	0,189	0,163	0,134	0,109		0,0588	
0,5	0,5	0,382	0,343	0,306	0,268	0,239	0,210	0,184	0,162	0,143	0,1055	0,0803	0,0505
0,356	0,7	0,295	0,278	0,257	0,231	0,153	0,144	0,134	0,126	0,143	0,0975	0,0878	0,0569
0,209	1,2	0,141	0,136	0,131	0,125	0,119	0,144	0,108	0,102	0,0964	0,0828	0,0707	0,0512
0,178	1,4	0,106	0,103	0,0995	0,0961	0,0925	0,0889	0,0851	0,0813	0,0775	0,0682	0,0596	0,0450
0,156	1,6	0,0798	0,078	0,0759	0,0738	0,0715	0,0691	0,0666	0,0642	0,0616	0,0553	0,0492	0,0384
0,139	1,8	0,0606	0,0594	0,0581	0,0567	0,0552	0,0536	0,052	0,0504	0,0486	0,0443	0,0401	0,0322
0,125	2	0,0462	0,0454	0,0446	0,0437	0,0427	0,0416	0,0406	0,0394	0,0384	0,0353	0,0323	0,0266
0,113	2,2	0,0354	0,0349	0,0343	0,0337	0,0331	0,0324	0,0316	0,0308	0,0300	0,0280	0,0259	0,0218
0,104	2,4	0,0272	0,0269	0,0263	0,0261	0,0256	0,0252	0,0247	0,0241	0,0236	0,0221	0,0206	0,0177
0,0961 ч	2,6	0,0210	0,0208	0,0205	0,0202	0,0199	0,0196	0,0193	0,0189	0,0185	0,0175	0,0164	0,0143
0,0893	2,8	0,0163	0,0161	0,0160	0,0158	0,0155	0,0153	0,0151	0,0148	0,0145	0,0138	0,0131	0,0115
0,0835	3	0,0128	0,0126	0,0124	0,0123	0,0121	0,0120	0,0118	0,0116	0,0114	0,0119	0,0104	0,0092
0,0714	3,5	0,0068	0,0068	0,0067	0,0066	0,0066	0,0065	0,0064	0,0064	0,0063	0,0060	0,0058	0,0053
0,0625	4	0,0037	0,0037	0,0037	0,0036	0,0036	0,0036	0,0035	0,0035	0,0035	0,0034	0,0033	0,0030
0,05	5	0,0011	0,0011	0,0011	0,0011	0,0011	0,0011	0,0011	0,0011	0,0011	0,0011	0,0010	0,0010
Таким образом, при изменениях дебита согласно схеме 4°, по
истечении более или менее длительного времени понижение уровня
происходит с такой же закономерностью, что и при постоянном рас-
ходе, равном предельному его значению Qt-
0,05 0,1	0,3 0,5 '	3 5 10	30 50 100 300 5001000 3000 Fo
Рис. V. 11. Графики безразмерного сопротивления ^?c5=wY-; 7Л
\4Л0 В)
по формуле (V.3.14)
Рассмотрим еще случай, когда изменение расхода может быть
представлено графиком 5° и соответствующей зависимостью, при-
веденными на рис. V.7.
При этом
s(V-3-13)
где
CD	f*
С ~Z~~4&z
=	---dz.	(V.3.14)
91
Уа
-----; у 4, как и в предыдущей схеме,
Y4
коэффициент, определимый по опытным данным или задаваемый
Рис. V.12. Схемы к расчету скважин при
откачке с постоянным понижением уровня:
a — напорный пласт; б — безнапорный пласт
в соответствии с проектируемым режимом откачки (размерность
его 1)сутки) (рис. V.12). Интеграл (V.3.14) подробно табулирован
в работе М. Хантуша [14]. Его значения приведены в табл. V.4 и
на рис. V.13 *.
1 Функция /?с5 на рис. V.12 обозначается символом Wa;-^ . В таком виде
D
она дается далее в главе VI.
92
Таблица V.4
Безразмерное сопротивление 7?cs по формуле (V.3.14)
Fo	1	1пР0	г/В								
			0,01	0,05	‘ 0,1	0,2	0,4	0,6	0,8	1	2
500,000	0,0005	6,215	6,975	4,853	4,853	3,504	2,228	1,553	1,130	0,841	0,227
462,963	6	6,032	6,801	6,024	4,851						
357,143	7	5,878	6,653	5,965	4,848						
312,500	8	5,744	6,524	5,907	4,843						
277,778	9	5,627	6,409	5,851	4,837						
250,000	0,001	5,521	6,307	5,796	4,829						
125,000	2	4,828	5,627	5,354	4,708	3,504					
92,593	3	4,423	5,227	5,041	4,562	3,497					
62,500	4	4,135	4,942	4,802	4,423	3,481					
50,000	5	3,912	4,721	4,608	4,296	3,457					
46,296	6	3,730	4,541	4,447	4,187	3,427					
35,714	7	3,576	4,388	4,308	4,077	3,395					
31,250	8	3,442	4,256	4,186	3,982	3,360	2,228				
27,778	9	3,324	4,140	4,077	3,895	3,324	2,227				
25,000	0,01	3,219	4,036	3,980	3,815	3,288	2,225				
12,500	2	2,526	3,354	3,326	3,244	2,952	2,181	1,553			
9,259	3	2,117	2,958	2,941	2,887	2,690	2,103	1,542	1,130		
6,250	4	1,832	2,681	2,668	2,629	2,432	2,016	1,521	1,127		
5,000	5	1,610	2,468	2,458	2,427	2,311	1,928	1,493	1,121	0,841	
4,530	6	1,427	2,295	2,287	2,262	2,167	1,845	1,459	1,117	0,839	
3,571	7	1,773	2,151	2,144	2,123	2,044	1,767	1,423	1,099	0,836	
3,125	8	1,140	2,027	2,021	2,003	1,935	1,695	1,386	1,085	0,832	
2,778	9	1,022	1,918	1,914	1,898	1,835	1,627	1,349	1,068	0,826	
2,500	0,1	0,916	1,823	1,818	1,805	1,753	1,564	1,312	1,050	0,819	
1,250	2	0,223	1,223	1,221	1,216	1,194	1,114	0,996	0,858	0,715	0,227
0,926	3	-0,182	0,906	0,905	0,902	0,890	0,846	0,778	0,693	0,601	0,221
0,625	4	-0,470	0,702	0,702	0,700	0,692	0,665	0,621	0,565	0,502	0,210
0,500	5	—0,693	0,560	0,559	0,558	0,553	0,534	0,504	0,465	0,421	0,194
0,463	6	-0,876	0,454	0,454	0,453	0,450	0,436	0,415	0,387	0,354	0,177
0,357	7	-1,030	0,374	0,374	0,373	0,370	0,361	0,345	0,324	0,300	0,160
0,312	8	-1,163	0,311	0,310	0,310	0,308	0,301	0,289	0,273	0,254	0,144
0,278	9	-1,281	0,260	0,260	0,260	0,258	0,253	0,244	0,231	0,217	0,128
0,250	1	-1,386	0,219	0,219	0,219	0,218	0,214	0,206	0,197	0,186	0,114
0,125	2	—2,080	0,049	0,049	0,049	0,049	0,048	0,047	0,046	0,044	0,034
0,093	3	-2,485	0,013	0,013	0,013	0,013	0,013	0,013	0,012	0,012	0,010
0,062	4	—2,772	0,004	0,004	0,004	0,004	0,004	0,004	0,004	0,004	0,003
0,050	5	—2,996	0,001	0,001	0,001	0,001	0,001	0,001	0,001	0,001	0,001
93
Рис. V. 13. График безразмерного сопротивления G по
формулам (V. 4.1) и (IV. 2.24)
скачкообразного изменения
уровня в скважине и соответствующего изменения дебита
В пределе при t=oo функции ЯС5 приобретает постоянную ве-
личину:
Яс5 = 2Ко(4г).	(V-3-15)
где Ко— обозначение функции Бесселя второго рода от мнимого
аргумента нулевого порядка.
Расчеты взаимодействующих скважин в указанных схемах с из-
меняющимся дебитом производятся так же, как и при постоянном
дебите, на основе принципа суперпозиции течений. В этом случае
сохраняют силу формулы (V.2.8) и (V.2.9), но входящие в них ве-
личины Rco и Ra должны определяться в соответствии со схемой
откачки и конкретной зависимостью Q (/).
§ 4. Расчет водозаборных скважин
при постоянном понижении уровня
Условие постоянства напора или понижения уровня, как указы-
валось ранее (см. § 2 главы IV), выдерживается в фонтанирующих
скважинах (или дающих самоизлив), а также при использовании
насосов поверхностного действия (рис. V.14). При неустановив-
шемся движении в этом случае дебит скважины с течением вре-
мени уменьшается и во всех точках пласта, за исключением самой
скважины, из которой ведется откачка, уровень подземных вод
снижается.
Расчеты водозаборов в подобных условиях имеют целью опре-
деление динамики дебита скважины и величины понижения уровня
в том или ином удалении от скважины в любой момент времени.
Основная трудность расчета скважин при откачке из них с ре-
жимом постоянного уровня заключается в том, что здесь не может
быть прямо применен метод наложения течений, поскольку при
этом нарушается заданное условие: каждая новая скважина
должна приводить к дополнительному понижению («срезке»)
уровня в остальных скважинах (сверх заданного).
Поэтому при большом количестве взаимодействующих скважин
расчеты практически должны осуществляться с помощью машин
или моделирования.
Определение дебита скважины
Общая формула для определения дебита при заданном пониже-
нии уровня в скважине имеет вид	'П
ГЛ'Сгг?  Q = M/nS0O(/o).	'	(V.4.1)
Здесь So — понижение уровня в скважине, *
G (/о) — безразмерное гидравлическое сопротивление, выра-
жаемое по уравнению (IV.2.24) в зависимости от
г at ,
fo = —5- (го— радиус скважины).
95
Таблица V.5
Безразмерное сопротивление G по формулам (V.4.I) и (IV.2.24)
fo	G	4	G	fo	G	fo	О	fo	G	fo	' G	fo	о	fo	о
10-4	56,9	Ю-з	18,34	10-2	6,13	ю-з	2,249	1	0,985	10	0,594	102	0,346	103	0,251
2-10-4	40,4	2-Ю-з	13,11	2-10-2	4,47	2-10-1	1,716	2	6,803	2.10	0,461	2-102	0,311	2-103	0,232
3-10-4	33,1	З-10-з	10,79	3-10-2	3,74	з-io-i	1,477	3	0,719	3.10	0,427	3-102	0,294	3-103	0,222
4-10-4	28,7	4-Ю-з	9,41	4-10-2	3,30	4-10-1	1,323	4	0,668	4.10	0,405	4-102	0,283	4-103	0,215
5-10-4	25,7	5-Ю-з	8,47	5-10-2	3,0	5-10-1	1,234	5	0,630	5.10	0,385	5-102	0,274	5-103	0,210
6-10-4	23,5	6-Ю-з	7,77	6-10-2	2,78	6-10-1	1,160	6	0,602	6.10	0,297	6-102	0,268	6-103	0,206
7-10-4	21,8	7-Ю-з	7,20	7-10-2	2,60	7-10-1	1,103	7	0,580	7.10	0,367	7-102	0,263	7-103	0,203
8-10-4	20,4	8-Ю-з	6,79	8-10-2	2,46	8-10-1	1,057	8	0,562	8.10	0,359	8-102	0,258	8-103	0,200
9-10-4	19,3	9-Ю-з	6,43	9-10-2	2,35	9-10-1	1,018	9	0,547	9.10	0,352	9-102	0,254	9-103	0,198
104	0,196	105	0,161	106	0,136	107	0,118	108	0,104	109	0,093	ЮЮ	0,084	10"	0,076
2-104	0,184	2-105	0,152	2-106	0,130	2-Ю7	0,113	2-108	0,100	2-109	0,090	2-10Ю	0,081	2-10H	0,074
3-104	0,178	3-105	0,148	3-106	0,127	3-107	0,111	3-108	0,098	3-109	0,088	З-ЮЮ	0,080	ЗЮ"	0,073
4-104	0,173	4-105	0,145	4-106	0,124	4-Ю7	0,109	4-108	0,097	4-109	0,087	4-10Ю	0,079	4-10И	0,073
5-104	0,170	5-105	0,143	5-106	0,123	5-Ю7	0,108	5-108	0,096	5-109	0,086	5-10*0	0,079	5-1011	0,072
6-104	0,168	6-105	0,141	6-106	0,121	6-Ю7	0,107	6-108	0,095	6-109	0,086	6-10Ю	0,078	б-ion	0,072
7-104	0,165	7-105	0,139	7-106	0,120	7-Ю7	0,106	7-108	0,094	7-109	0,085	7-10Ю	0,077	7-10П	0,071
8-104	0,164	8-105	0,128	8-106	0,119	8-107	0,105	8-108	0,094	8-109	0,085	8-10Ю	0,077	8-10H	0,071
9-104	0,162	9-105	0,137	9-106	0,118	9-Ю7	0,104	9-108	0,093	9-109	0,084	9-10Ю	0,077	9-10П	0,071
Значения функции G (/о) приведены в табл. V.5 [26] и в виде
графика даны на рис. V.13.
Уже вскоре после начала откачки, когда f0 > 100, функция
G (f0) может быть представлена в следующем виде:
G(f 0) |п 2 25уо ’
(V.4.2)
Изменение расхода во времени при откачке с постоянным уров-
нем происходит, в общем, с той же закономерностью, что и измене-
ние уровня при откачке с постоянным дебитом. В первые моменты
времени в данном случае дебит резко уменьшается, а затем посте-
пенно стабилизируется (хотя, как следует из (V.4.2), при отсутст-
вии постоянных источников питания в неограниченном пласте при
t-t-oo, Q->-0, т. е. теоретически происходит полная сработка запа-
сов пласта на величину, пропорциональную понижению уровня So).
Если в процессе откачки уровень в скважине изменяется и если
эти изменения можно выразить ступенчатым графиком, формула
йля расхода будет иметь следующий вид [9] (рис. V.14).
• Q = 2r.km [S0lG (/q) + S02G (/o1) + . . . + S0nO (/„„)],	(V.4.3)
.......... ..... 
где Soi — изменения понижения.
Например, для напорного потока
S0l = Ht-H„ S02=Hx-H2, SOn=Hn_,-Hn. (V.4.4)
Для безнапорного потока вместо понижения уровня Sot следует
рассматривать функцию понижения t/o;-
^01 = 4г(Ле-Л?), UQ2=^{hl~hl), ..., ийп =

(V.4.5)
Здесь Не и he — первоначальные («статические») уровни до от-
качки, Hi и hi, Hz и hi, ..., Нп и hn — сниженные уровни (для
безнапорных потоков — глубины воды) в соответствующие мо-
менты времени t2, . . ., tn.
Безразмерное время при этом определяется по следующим соот-
ношениям:
/о
at
го ’


97
Безразмерное сопротивление 7?,
fo	in /0	1	1,5	2	3	5	6	7	8	
0,1 0,4 1 3	—2,303 —0,916 0 1,099	1,0 1,0 1,0	0,217 0,479 0,606 0,711	0,018 0,191 0,351 0,511	0,000 0,015 0,095 0,256	0,002 0,049	0,000 0,018	0,000 0,006	0,002	
10	г;зоз	1,0	0,784	0,631	0,422	0,188	0,122	0,077	0,047	
20	2; 996	1,0	0,813	0,681	0,497	0,277	0,207	0,153	0,112	
30	з;400	1,0	0,827	0,705	0,534	0,325	0,256	0,201	0,157	
40	• 3,689	1,0	0,836	0,720	0,558	0,358	0,290	0,235	0,190	
50	з;эю	1,0	0,843	0,731	0,574	0,381	0,314	0,260	0,215	
60	4,090	1,0	0,848	0,739	0,588	0,399	0,334	0,281	0,236	
70	4,249	1,0	0,851	0,746	0,598	0,414	0,350	0,297	0,253	
80	4,382	1,0	0,855	0,752	0,607	0,427	0,364	0,312	0,268	
90	4,500	1,0	0,857	0,756	0,614	0,437	0,374	0,323	0,280	
100	4;еоб	1,0	0,860	0,760	0,621	0,446	0,385	0,334	0,291	
200	5,299	1,0	0,874	0,784	0,658	0,500	0,444	0,397	0,357	
300	5,704	1,0	0,881	0,796	0,677	0 528	0,475	0,430	0,392	
400	5,990	1,0	0,886	0,804	0,690	0,546	0,495	0,451	0,414	
500	6,210	1,0	0,889	0,810	0,699	0,559	0,510	0,468	0,432	
600	6,397	1,0	0,891	0,814	0,706	0,569	0,520	0,479	0,444	
700	6,551	1,0	0,893	0,818	0,712	0,578	0,530	0,490	0,455	
800	6,685	1,0	0,895	0,821	0,716	0,585	0,538	0„498	0,464	
900	6,802	1,0	0,897	0,824	0,720	0,591	0,544	0,505	0,471	
1000	6,909	1,0	0,898	0,816	0,724	0,595	0,550	0,511	0,478	
В моменты увеличения понижения уровня расход скважины
скачкообразно возрастает (см. рис. V.14, а), а при уменьшении по-
нижения — падает (см. рис. V.14, б).
Определение понижения уровня
Понижение уровня в любой точке пласта может быть найдено
по следующему уравнению:
5 = $0Яп,	(V.4.6)
где — безразмерное сопротивление, определяемое по приведен-
ной выше формуле (IV.2.22) в § 2 гл. IV в зависимости от значений
Значения функции Rn даны в табл. V.6 [36] и в виде графиков
изображены на рис. V.15. При длительных откачках, когда вели-
98
Таблица V.6
по формулам (V.4.6) и (IV.2.22)
' о
	9	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
	0,028 0,081 0,122 0,153 0,177 0,199 0,216 0,230 0,242 0,254 0,322 0,358 0,382	0,016 0,057 0,094 0,123 0,146 0,167 0,184 0,198 0,210 0,222 0,291 0,328 0,353	0,000 0,001 0,004 0,009 0,016 0,023 0,031 0,038 0,046 0,053 0,110 0,146 0,173	0,000 0,001 0,002 0,003 0,005 0,007 0,010 0,038 0,064 0,086	0,000 0,001 0,001 0,011 0,026 0,040	0,000 0,001 0,009 0,018	0,000 0,001 0,003 0,007	0,000 0,001 0,003	0,000 0,001	0,000	
	0,400	0,372	0,194	0,104	0,054	0,026	0,012	0,005	0,002	0,001	0,000
	0,413	0,385	0,210	0,119	0,066	0,035	0,018	0,008	0,004	0,002	0,001
	0,424	0,397	0,223	0,132	0,077	0,044	0,024	0,012	0,006	0,003	0,001
	0,434	0,407	0,235	0,143	0,087	0,052	0,030	0,016	0,009	0,004	0,002
	0,442	0,415	0,245	0,153	0,096	0,059	0,035	0,020	0,011	0,006	0,003
	0,449	0,422	0,254	0,162	0,104	0,066	0,041	0,024	0,014	0,008	0,004
чина fo > 500, как показано в работе [32], функция /?п выражается
по (IV.2.26), т. е.
R
п
Ei
In 2,25f0
(V.4.7)
Следовательно, соотношения между понижениями уровня в любой
точке пласта и в скважине формально оказываются такими же, как
при откачке с постоянным дебитом. В соответствии с этим уравне-
ние (V.4.6) может быть представлено в следующем виде:
S = -^-Ei	(V.4.8)
Мт \	4f0 г	v '
где Q (() расход данной скважины, изменяющийся по зависимо-
сти (V.4.2).
Учитывая зависимость (V.4.8), можно считать, что влияние
скважины, действующей при постоянном понижении уровня, равно-
сильно влиянию скважины-источника с интенсивностью, изменяю-
щейся во времени. На этом основании представляется возможность
99
Рис. V. 15. Графики безразмерного сопротивления по формулам (V. 4.6) и (IV. 2.22)
произвести расчет взаимодействующих скважин с постоянными по-
нижениями уровня в них путем решения следующей системы урав-
нений:
Soi
Q1(O f; f_2L
4r.km \ 4fo
Qi (0 Fi f _ <?2 (0 Fi I _ ZO _
4-krn	4f0 I 4~km (	4f0 }
__	_ Qn (0 Pi (  r2 —n
4~km \	4/0 ) ’
(V.4.9)
(“2	\
_ n ~ 1 I
4/0 у
' n —
Vo
Qn (О р/ (  rn )
4r.km	\	4f0 Г
В этих уравнениях неизвестными являются величины расходов
Qt, Q2, Qn, Sot, Soz, Son — заданные понижения уровня
в скважинах, rt — безразмерные расстояния между скважинами
(индексы соответствуют номерам этих скважин).
При значительном количестве скважин для нахождения вели-
чин Qi, Qz,   , Qn следует применять машинный счет или модели-
рование. Однако по прошествии длительного времени, когда уро-
вень и дебит в каждой скважине изменяются медленно, прибли-
женно можно определять дебит каждой скважины по приведенной
ниже формуле (V.4.10), учитывая при этом полную срезку уровня
в результате взаимодействия с остальными скважинами по фор-
муле (V.4.6):
Qo^^m S0-2TS;_0 G(/o).	(V.4.10)
''	\	i = 1	J
Здесь Qo — искомый расход данной скважины при заданном пони-
жении уровня^; Si-o— понижение уровня в данной скважине с ин-
дексом «О» под влиянием взаимодействующей с ней i-той сква-
жины. Значком ▼, как и прежде, показывается, что из суммы ис-
ключается данная скважина с дебитом Q,.
Расчеты по формуле (V.4.10) дают заниженную величину де-
бита, что, вообще говоря, обеспечивает большую надежность при
прогнозах производительности водозаборов.
По приведенным расчетным зависимостям можно оценить
динамику дебита каждой скважины и таким образом установить
время, в течение которого целесообразна эксплуатация ее при
101
режиме постоянного уровня. Этот вопрос часто возникает, напри-
мер, при устройстве водозаборов в пластах с «избыточным» напо-
ром, т. е. при отметках пьезометрических уровней выше поверхности
земли, обеспечивающих возможность в начале, при пуске водоза-
бора, откачку воды самоизливом.
В. Н. Щелкачев на основании численного сопоставления прибли-
женной формулы (V.4.7) с точным решением данной задачи (см.
табл. V.6 и график на рис. V.15) установил, что формула (V.4.7)
при fo=5OO дает следующую погрешность: для безразмерного ра-
диуса г — 10 — 5,6%, а для г = 50 — свыше 20%. При еще больших
значениях безразмерного радиуса эта погрешность существенно
возрастает и составляет десятки процентов.
Следует иметь в виду, что указанные значительные погрешности
относятся к таким расстояниям и параметрам времени, при кото-
рых абсолютные понижения уровня крайне малы (например, при
[о=5ОО и г = 70, безразмерное сопротивление /?п=0,005, т. е. пони-
жение уровня в этой точке составляет 0,005 от понижения в экс-
плуатационной скважине).
В соответствии с этим и абсолютные ошибки здесь незначи-
тельны. Учитывая это обстоятельство и имея в виду неизбежную
приближенность исходных расчетных параметров (проводимости и
пьезопроводности), мы полагаем возможным рекомендовать изло-
женный здесь метод расчета для ориентировочных прогнозов.
Пример расчета. Водозабор состоит из трех скважин (рис.У.16),
вскрывающих напорный водоносный горизонт с параметрами: km =
102
=400 м21сутки; а=104 м21сутки. Радиус скважин 0,15 м. Статиче-
ский уровень расположен на высоте 20 м над устьем первой сква-
жины, 15 м над устьем второй скважины и 10 м над устьем третьей
скважины. Высота статического уровня над кровлей горизонта 50 м.
Проектный дебит скважин 1000 м3!сутки. Проектируемая продол-
жительность работы водозабора.10 000 суток.
Необходимо обосновать возможность получения заданного де-
бита без превышения максимально допустимого понижения (50 м)
и рассчитать продолжительность принудительной откачки воды из
скважин.
1.	Определим продолжительность работы всех трех скважин
при постоянном понижении. Для этого решаем следующую систему
уравнений (см. формулу (V.4.9):
q(D JQ	= QJn	2,25а/ r2 '0	+ Qi ln	2,25a/ r?-2	+ Q3 in	2,25a/ r2 '2-3
c(2) JO	= Qi1n	2,25a/ ,2 rl-2	+ Qi in	2,25a/ r2 'o	+ Q3 in	2,25a/ r2 '2-3
o(3) J(i	= Q1 In	2,25a/ r2 rl-3	+ Q2m	2,25a/ r2 '2 — 3	+ Q3in	2,25a/ rn
Qi — дебит скважин;
SW — понижения в скважинах;
го— радиус скважины;
ri-2, П-3, Г2-з — расстояния между скважинами;
In	2,25a r20	= In	2,25 • 104 0,0225	= ln 106 = 13,82;
In	2,25 r2 rI-2	= In	2,25 • 104 104	= In 2,25 = 0,81;
In	2,25 r2 ri-3	= ln	2,25 • 104 2,25 • 102	= In 1=0;
, 2,25а п О1
In—~— =0,81.
Г2-3
Учитывая, что w=20 м, S(2)= 15 м и 10 м, получим:
20 = 13,82Qt + 0,81 Q2 + (Qj + Q2 + Q3) In t-
15 = 0,81 Q, + 13,82Q2 + 0,81 Q3 + (Q1 + Q, + Q3) In /;
10 = 0,81Q2 + 13,82Q3 + (Q! + Q2 + Q3) In/.
103
Решая эту систему относительно Qi, Q2 и Q3, получим
& ig8~' Q2 =0,94Q3 + 0,34;
Qi = Q3 + O,72.
Наименьшим дебитом обладает третья скважина. Найдем вре-
мя, когда ее дебит будет равен 3000 м31сутки, или
~ _	3000	_ п с
Уз — 12,56 • 460 м'
I /_ 9,93— 14,58Q3 _ 9,93-14,58 - 0,5 _ 2,64 _ . m
•	2,94Q3 4 1,06 ~ 2,94 - 0,54 1,06 “ 2,53“
или /^3 суток.
Таким образом, сразу же после начала эксплуатации водоза-
бора в третьей скважине для обеспечения заданного дебита необ-
ходима принудительная откачка.
2.	Определим продолжительность следующего периода работы
водозабора, когда две скважины (1 и 2) будут работать при по-
стоянном понижении, а третья — при постоянном дебите.
Поступая как и в предыдущем случае, получим:
Q, = 0,94 •	+ 0,34 = 0,5,
х 2	*	14,58 4 2,94 In t '	’
In	= 4,76, t = 116 суток.
Следовательно, во второй скважине потребуется принудительная
откачка через 116 суток после начала работы водозабора.
3.	Определим продолжительность работы первой скважины с по-
стоянным понижением:
20 = 13,82 • Qt + 0,81 • 0,5 + (2 • 0,5 + QJ In /,
_	20 — 0,40 — In t „ c
13,82 + In /	=0’4 5’
12 7
In t -г--;- = 8,4; t — 4500 суток.
1 ,□
4. Максимальное понижение очевидно будет отмечено в первой
скважине, работающей 4500 суток с дебитом 1000 м3!сутки. Оно со-
ставит:
5макс = 20 + 0,5 • 13,82 + 0,5 • 0,81 + In (1000 - 4500) • 1,5^ 40,2 м,
т. е. будет меньше допустимого.
104
§ 5.	Об учете несовершенства скважины
Как известно, различают два вида несовершенства скважин: по
степени вскрытия и по характеру вскрытия водоносного пласта.
В соответствии с этим показатель дополнительного сопротивле-
ния I, входящий в формулы (V.2.3), можно представить в виде двух
слагаемых [6, 8];
(v.5.1)
Здесь ti — часть дополнительного сопротивления, определяемая
неполнотой вскрытия, у— часть, определяемая характером вскры-
тия водоносного пласта. Для нахождения величины £i обычно ис-
пользуются решения Маскета, который исследовал задачу о влия-
нии неполноты вскрытия пласта в условиях установившегося дви-
жения. Применяются также решения А. Л. Хейна [24, 25] и
Н. Н. Веригина [12] для неустановившегося движения. В послед-
нее время аналогичную задачу рассматривал также Хантуш [14].
Во всех этих работах для получения расчетных зависимостей,
с помощью которых могут быть вычислены значения £i, несовер-
шенные скважины моделируются точечными источниками, непре-
рывно и равномерно распределенными вдоль оси водоприемной ча-
сти скважины.
Общая зависимость для определения понижения уровня при
откачке из несовершенной скважины, получаемая при этом, пред-
ставляется в следующем виде [12, 14, 25]:
и- + V'	(V.5.2)
Здесь первый член (в квадратных скобках) представляет собой
безразмерное сопротивление при действии совершенной скважи-
ны, определяемое, например, по формулам, приведенным в § 2 и 3
настоящей главы. Второй член характеризует дополнительное
сопротивление, обусловленное несовершенством скважины по сте-
пени вскрытия пласта.
А. Л. Хейн [18] представляет в виде разности
Ч — Чо ’и,
(V.5.3)
где £10 — часть дополнительного сопротивления, не зависящая ог
времени, а — часть, зависящая от времени.
Величина со временем быстро уменьшается и ею можно за
малостью пренебрегать уже при а
=—-— < 5- 10-5, т. е. практи-
4а/
чески во всех случаях, когда определяется величина понижения
уровня непосредственно в скважине или в небольшом удалении от
нее.
105
При этом
Ч=С10,
(V.5.4)
что соответствует значению показателя, полученному для устано-
вившегося движения.
Графики для определения (в дальнейшем для простоты ин-
декс «О» опущен и используется обозначение £i), построенные по
вычислениям, сделанным в
Рис. V. 17. Графики дополнительного со-
противления £i, обусловленного несовер-
шенством скважин по степени вскрытия
пласта (фильтр скважины примыкает
к водоупору)
работе [12], представлены
на рис. V.17 и V.18. По ним
можно найти значения
для широкого диапазона из-
менения паоаметпов — и
т
т ..
-у- (I — длина водоприемной
части, т — полная мощность
пласта, г — радиус скважи-
ны или расстояние до сква-
жины-пьезометра, находя-
щейся на расстоянии г от
опытной).
Графики на рис. V.17
применимы для случаев,
когда водоприемная часть
скважины примыкает в кро-
вле или подошве пласта, при
С = 0, а изображенные на
рис. V.18 — для случаев рас-,
положения водоприемной
части приблизительно в сред-
ней части пласта, при
С +-^-«(0,35—0,65) т.
Уравнение (V.5.2) дается
нами для функции пониже-
ния U, определяемой для на-
порного и безнапорного по-
токов. В последнем случае,
как это предложено Н. К. Гиринским [13], принимается средняя
расчетная мощность пласта т по следующему соотношению:

(V.5.5)
Соответственно расчетная длина водоприемной части скважи-
ны определяется следующим образом:
106
Рис. V. 18. Графики дополнительного со-
противления обусловленного несовершен-
ством скважины по степени вскрытия
пласта (фильтр скважины в средней части
пласта)
при незатопленном фильтре (см. рис. V. 17)
при затопленном фильтре (см. рис. V.18)
с=с0-4^.
(V.5.6)
(V.5.7)
107
Здесь he — первоначальная мощность безнапорного пласта (глу-
бина от «статического уровня» до подошвы);
So — понижение уровня в скважине за время /;
/о — реальная длина водоприемной части;
Со — глубина ее погружения от «статического уровня».
Второе слагаемое в формуле (V.5.1), а именно величина £2, ха-
рактеризует дополнительное сопротивление скважины по характе-
ру вскрытия пласта. Это сопротивление обусловливается самим
фильтром скважины и оно оказывается различным для разных ти-
пов и конструкций фильтров. Большое значение имеют изменения
в структуре и водопроницаемости породы вблизи скважины, про-
исходящие под влиянием различного рода механических и физико-
механических процессов (уплотнение пород, суффозия, кольматаж,
химическое зарастание и т. д.) при бурении и в период эксплуата-
ции. Дополнительное сопротивление возникает также в связи с на-
рушением линейного закона фильтрации вблизи скважины.
Надежной методики расчета величины £>'пока не разработано.
В связи с этим наиболее правильным в настоящее время следует
считать определение общего сопротивления скважин, связанного
с ее несовершенством, по данным опытных и эксплуатационных от-
качек. Это сопротивление находится непосредственно из формул
(V.2.1) —(V.2.3)
+ , (V58)
Вторым членом в правой части здесь характеризуется гидрав-
лическое сопротивление совершенной скважины. При длительных
откачках используется логарифмическое выражение (V.2.6). Таким
образом, если известны абсолютная величина и знак показателя
сопротивления С2, можно оценить суммарный эффект отмеченных
выше сложных процессов, происходящих в скважинах и призабой-
ных зонах пород.
На основе анализа результатов опытного определения показа-
теля общего сопротивления £ и его составляющих и £2 можно
наиболее правильно запроектировать тип и конструкцию водо-
приемной части скважины. Такой анализ позволяет также оценить
необходимые мероприятия по оживлению скважин и увеличению их
производительности (торпедирование, солянокислотная обработка
и т. д.). В настоящее время в практике гидрогеологических изыска-
ний, а также при строительстве и эксплуатации водозаборов под-
земных вод такие методы применяются редко. Между тем их необ-
ходимо использовать во всех случаях, когда сопротивления сква-
жины и призабойной зоны оказываются завышенными.
Некоторые опытные данные по определению показателя несо-
вершенства скважин £ изложенным методом приведены в упоми-
навшейся работе [6], а также в более ранней статье [10].
108
Заметим, что производить суммарную оценку сопротивления £
по опытным данным рекомендуется в ряде работ по нефтяной
гидравлике, например в работах [34, 37], где влияние сопротивле-
ния в прискважинной зоне рассматривается как «скин-эффект»,
т. е. эффект «пленки» или «оболочки», которой как бы окружена
скважина.
§ 6.	Динамика снижения уровня при откачке
Приведенные в предыдущих параграфах расчетные зависимости
показывают, что при откачке из скважины в неограниченном пласте
понижение уровня подземных вод происходит сначала очень быстро
(в первый момент—скачкообразно), а затем все более замедленно
Рис. V. 19. Кривые депрессии (а) и графики понижения уровня (6)
при откачке из скважины с постоянным дебитом
(рис. V.19). В это время понижение уровня подчиняется логариф-
мическому закону (графики S — In t — прямые). Такая же законо-
мерность характерна и при изменении дебита скважины по линей-
ному и параболическому законам.
Рассмотрим некоторые особенности фильтрационного течения,
формирующегося при откачке из скважины в указанных условиях.
При этом будем считать, что понижение уровня при откачке отсчи-
тывается от горизонтального зеркала, и отдельно учтем естествен-
ный бытовой поток подземных вод q& принимая его для простоты
линейным и постоянным во времени.
В этом случае полная напорная функция выразится в виде сле-
дующего уравнения:
=	+	= -	+ *-х.	(V.6.1)
скв 1 е 4кЛ I 4а/ ) 1 k	v
Здесь UCKB и Ue — напорные функции, обусловленные действием
скважины с расходом Q и естественного потока подземных вод
с расходом q<$.
109
Составляющие скорости фильтрации из (V.6.1) определятся так:
_ г»
I/ — _ ь	е 4а< — Як	(V 6 2)
vх— « дх " 2r.znr2 m '	(.v.o.zj
гг
V=-k^- =		(V.6.3)
У	ay 2itmr2	'
В указанных формулах r2=x2 + у2 (начало координат распо-
лагается на оси скважины), а естественный поток параллелен оси х
(рис. V.20).
Приравнивая нулю уравнение (V.6.2), можно найти положение
так называемой точки разветвления потока, через которую прохо-
дит линия, ограничивающая в каждый момент времени t область
питания или область «захвата» скважины. Координаты этой точки
•'г—<v-6-4’
Отсюда видно, что при t=0 координата точки разветвления равна
нулю (она находится на оси скважины). Со временем точка раз-
ветвления перемещается от скважины вниз по потоку, причем мак-
симальное ее удаление от скважины соответствует времени t=<x>.
В этом случае
х,—(V.6.5)
Практически эта формула становится справедливой уже при
г2
-	sg0,05 — 0,1, когда вместо интегральной показательной
функции можно пользоваться ее логарифмическим приближением.
Уравнения (V.6.2) и (V.6.3) дают возможность определить рас-
ход потока подземных вод через любое сечение 2li = y2— yt и
2/г = х2 — xt. Действительно,
/, =, -1+±2
С	О С е 4рох
=	) Vxdy = ^-^^—rdz + 2q6ll, (V.6.6)
о	о
l	£	1 + 21
л	л	4F
Ql2 = 2m J Vy dx = 4 J dz,	(V.6.7)
b	о
где t,= A,	Л,-;!., F„ = ^.
Интеграл в выражениях (V.6.6) и (V.6.7) вычислен H. Н. Вери-
гиным при рассмотрении задачи об обтекании «точечного шпунта»
для оценки обходной фильтрации в районе плотин [2], а также
110
Рис. V. 20. Схема
к расчету расхода
в любом сечении
потока при откачке
из скважины с по-
стоянным дебитом
в работе Коллинса [14]. Графики, заимствованные из последней
работы, представлены на рис. V.21.
Приближенно, удерживая первые два члена в разложении под-
интегральной показательной функции, указанный интеграл можно
выразить в таком виде:
_ 1
/^е 4/?o.r,,r/i+^_\arctg(ei2)_ «ь2_1	(V.6.8)
Д ™ ох, у /	ох, у J
При Fov.y>10
/^arctg&J.	(V.6.9)
Рис. V. 21. Графики
интеграла I по фор-
мулам (V. 6.6) и
(V. 6.7)
111
Подставляя (V.6.9) в уравнение (V.Q.6) и полагая в нем
^=4-
можно
получить
хорошо Известные соотношения,
i
полностью определяющие стационарное прложение упоминавшейся
уже раздельной линии, ограничивающей Область «захвата» подзем-
ных вод при откачке из скважины. В частности, ось ординат пере-
секается этой линией в точках (см. точк^ 2 на рис. V.20)
Q
1 -'=°	“ 4?б ’
(V.6.10)
Следовательно, ширина зоны питания здесь
=	(V.6.U)
В большем удалении от скважины (вверх по потоку при х->оо)
=	(V.6.12)
76
г2
Из формул (V.6.2) и (V.6.3) видно, что при —---------^0,05 4-0,1
4а/
скорость фильтрации оказывается не зависящей от времени и в
каждой точке потока в зоне активного влияния скважины кривая
депрессии по форме аналогична кривой депрессии в условиях уста-
новившегося движения.
В самом деле, в это время
^ = --^4- + —.	(V.4.13)
х 2птг2 1 т	'	'
(/ =—v—	(V.4.14)
Однако при этом в принятой схеме неограниченного пласта по-
ток подземных вод является неустановившимся и понижение
уровня во всех точках, в том числе на раздельной линии [см. выра-
жения (V.5.5) и (V.6.10) — (V.6.12)], с течением времени возра-
стает.
Действительная скорость снижения уровня Уд согласно урав-
нению (V.6.1) определяется так:
= —(V.6.15)
J nt dt 4nkmt	v '
_ r3
и по истечении времени, когда e ^sl,
U2
Таким образом, уже\через сравнительно короткое время в са-
мой скважине и в зоне, прилегающей к скважине, кривая депрессии
имеет такой же вид, как[и при установившемся движении (в фор-
мулы (V.6.13) и (V.6.14) (время t не входит и они совпадают с вы-
ражениями для скорости (фильтрации, вытекающими из формулы
Дюпюи), причем она снижается во всех точках с одинаковой ско-
ростью: скорость Уд по формуле (V.6.16) не зависит от координат
хну. Иначе говоря, в процессе откачки кривая депрессии в верти-
кальном сечении перемещается параллельно самой себе (см.
сплошные кривые на рис. V.19, а).
Эти закономерности и характеризуют регулярный или квазиуста-
новившийся режим фильтрации, о котором речь шла выше (см.
§ 4 главы IV). Зона, в которой формируется такой режим движе-
ния подземных вод, со временем расширяется и при повышенной
пьезопроводности пласта может достигать значительных размеров.
При длительных откачках в процессе эксплуатации водозаборов
эта зона практически охватывает всю область более или менее за-
метного влияния откачек.
В заключение следует обратить внимание на то, что в рассмат-
риваемых условиях неограниченного пласта, как это видно из урав-
нения (V.4.1), а также из всех расчетных формул, приведенных
в § 2 и 3 данной главы, при времени t -> оо гидравлическое сопро-
тивление, а следовательно, и понижение уровня также стремятся
к бесконечности, что нереально.
В действительности величина понижения уровня, как правило,
является ограниченной, поскольку при откачке из скважины в сферу
ее влияния вовлекаются значительные площади, и кривая депрес-
сии доходит до ближайших границ пласта, со стороны которых осу-
ществляется его питание. В этот период времени указанными фор-
мулами, выведенными для схемы неограниченного пласта, пользо-
ваться уже нельзя.
Вместе с тем следует иметь в виду, что и в тех случаях, когда
влияние дополнительных источников питания и границ пласта ска-
зывается в незначительной степени или совсем не сказывается, при
больших t (или больших Q) абсолютная величина понижения
уровня может оказаться больше мощности пласта. В таких усло-
виях устанавливается другой режим откачки: понижение уровня
в скважине сохраняется постоянным, а дебит со временем умень-
шается. В связи с этим приведенными формулами можно пользо-
ваться лишь для времени, в течение которого понижение уровня
меньше мощности пласта (а в напорных пластах — меньше общего
напора, отсчитываемого от подошвы пласта).
§ 7. О радиусе влияния скважины
Теоретически, как видно из приведенных решений, при откачке
подземных вод из скважины в неограниченном пласте ее влия-
ние распространяется до «бесконечности». На этом основании
113
в некоторых работах, посвященных подземной нефтяной гидра-
влике, вплоть до самого последнего времени подчеркивается, что
понятие о радиусе влияния не имеет физического смысла и действие
скважины должно вызывать движение частиц жидкости по всей
области распространения водоносного пласта [27].
Такое утверждение, особенно в применении к гидрогеологиче-
ским задачам, в которых рассматриваются водоносные пласты
верхней зоны активного водообмена, далеко не всегда соответст-
вует действительности. Представление о бесконечных размерах об-
ласти влияния скважины возникает, во-первых, вследствие того,
что исходные уравнения фильтрации являются приближенными —
в них не учитываются инерционные силы. Во-вторых, сами водонос-
ные пласты при этом рассматриваются совершенно изолирован-
ными (с абсолютно водоупорной кровлей и подошвой) и прини-
мается предпосылка о неизменности условий их питания в процессе
откачки.
Пренебрежение инерционными силами в исходных дифферен-
циальных уравнениях в свою очередь приводит к представлению
о бесконечной истинной скорости распространения влияния откачки
в пределах всего пласта. Это, разумеется, надо принимать в каче-
стве некоторой условности, практически, впрочем, вполне допусти-
мой, поскольку сами скорости фильтрации обычно малы. Действи-
тельно, введение в исходные дифференциальные уравнения инер-
ционных членов, хотя и дает возможность принципиально более
правильно и сторого строить решения конкретных задач, но,
как показали работы [13, 22], сколько-нибудь заметного влияния
на численные результаты расчетов в реальных условиях это не ока-
зывает.
Однако, кроме истинной скорости распространения возмущений
в пласте, необходимо различать скорость перераспределения напо-
ров или понижений напоров в процессе откачки, которая является
уже конечной. Это обстоятельство справедливо подчеркивает
В. Н. Щелкачев [30].
Перераспределение напоров и понижений уровня в пласте про-
исходит постепенно, с течением времени захватывая все более
удаленные от скважины зоны. В связи с этим, даже в изолирован-
ных пластах можно говорить о фактическом или, по терминологии
Н. Н. Щелкачева, условном радиусе влияния скважины (иначе —
дальности ее действия), подразумевая под ним такое расстояние от
скважины, дальше которого в данный момент времени эффект от-
качки практически не сказывается. Эффект откачки при этом мо-
жет оцениваться по понижению уровня и по расходу.
В первом случае, задаваясь определенной величиной пониже-
ния уровня (например, равной или не превышающей изменения
уровня, происходящего в естественных условиях под воздействием
метеорологических факторов), размеры условного радиуса влияния
г* можно определить из формулы (V.2.1) и других, приведенных
в § 2 данной главы.
114
Из этих формул следУет, что при известном дебите и заданном
(принимаемом) понижении уровня £Вл на границе области влияния
должно выдерживаться соотношение
(V.7.1)
Q • у 4at ]	'	'
1
Отсюда вытекает следующее выражение для условного радиуса
влияния [30]:
г*л =	(V.7.2)
Здесь
При продолжительной откачке в соответствии с формулой
(V.2.5) получим:
<?<s = l,5e	о~~.	(V.7.3)
В табл. V.7 приведены значения <ps, показывающие, что с ро-
стом расхода скважины, при прочих равных условиях, радиус влия-
ния ее возрастает, а по мере уменьшения расхода он сокращается.
Таблица V.7
Значения <ps по формуле (V.7.3)
---0,001	0,01	0,05	0,1	0,3	0,5	0,7	1	2	3
<ps 1,50	1,48	1,43	1,36	1,11	0,91	0,74	0,54	0,2	0,074
Во втором случае, когда радиус влияния или дальность действия
скважины определяется по расходу, основываются на следующих
соображениях.
Как было показано ранее (см. формулу (IV.2.18) § 2 главы IV),
расход потока в любом сечении при откачке из скважины умень-
шается с удалением от нее и изменяется во времени. Можно, сле-
довательно, найти такой радиус воронки депрессии, в пределах ко-
торой формируется преобладающая часть расхода скважины. Для
этих целей введем соотношение
3==-^^- 100»/о,	(V.7.4)
где Q — расход скважины (максимальный и постоянный в течение
всего периода откачки),
Qr—расход в сечении г* (определяемый по формуле
(IV.2.18).
115
Тогда величина г* определится из формулы (V.7.2), но только
при <ps=<pQ- В табл. V.8 даны значения <₽q при различных
Таблица V.8
Значения <pQ к формуле (V.7.4)
а	о,1	0,3	0,5	0,7	1	2	3	4	5	6
Е	9,5	25,9	39,4	50,3	63,2	86,5	95,2	98,2	99,3	99,8
<fQ	0,63	1,09	1,41	1,67	2,07	2,84	3,47	4,0	4,49	4,9
Из табл. V.8 видно, что, например, при а=3, е=95,2, т. е. когда
берется сечение, ограничивающее зону, в которой извлекается 95%
всего расхода скважины, q>Q = 3,47 и условный радиус влияния
3,47 Vat .
Сравнивая величины <ps и фд, можно заключить, что условный
радиус влияния, определяемый по расходу, значительно больше,
чем определяемый по понижению уровня.
Из этого, кстати, следует, что заметная часть запасов подзем-
ных вод, срабатываемых скважиной, приходится на ту часть во-
ронки депрессии, в которой абсолютная величина понижения
уровня очень мала. Общие же размеры депрессии, образующейся
при откачке из скважин, в том и другом случаях оказываются
весьма значительными и со временем непрерывно возрастают.
Например, при йт=500 м21сутки, Q=1000 м31сутки, а =
= 105 м2!сутк.и, /=10000 суток получаем следующие величины: по
понижению уровня, приняв, что 5вл = 0,5 м, имеем гвл = 10 км;
по расходу при е=95%, г*л = 108 кл<.
Если в первом случае полученная величина радиуса влияния
может считаться реальной, то во втором — при определении его
по расходу — размеры депрессии, оцениваемые по расчету, явно не-
правдоподобны. Следует, однако, сказать, что в обоих случаях зна-
чение г* не используется в расчетах при определении производи-
тельности водозаборов. В § 2 данной главы показано, что в рас-
четные зависимости входит величина г1Л=1,5Уа/, определяемая
на основе «прямого» сопоставления формулы для скважины в не-
ограниченном пласте в условиях неустановившегося движения
с формулой Дюпюи для кругового пласта с радиусом гвл при уста-
новившемся движении.
Такое сопоставление является, конечно, сугубо формальным и
указанная величина гвл, как нами уже отмечалось, должна тракто-
ваться отнюдь не в смысле истинной дальности действия скважины.
Это особенно относится к пластам, не изолированным абсолютными
водоупорами, условия питания которых изменяются в процессе от-
качки. При характеристике основных гидрогеологических особенно-
116
4£g-cpnst
стей водоносных пластов и затем при выводе дифференциальных
уравнений фильтрации (см. главы II и III) мы подчеркивали, что
во многих случаях модуль питания и, кроме того, водоотдача в про-
цессе откачки возрастают. Строго говоря, это должно быть отра-
жено в исходных дифференциальных
в получаемых на их основе расчет-
ных формулах. Лишь из-за трудно-
сти выявления действительных зако-
номерностей изменения величин пи-
тания и водоотдачи в реальных
условиях нам приходится пользо-
ваться методами и приемами рас-
чета, разработанными для изолиро-
ванных пластов с постоянными ве-
личинами питания и водоотдачи.
Представляет, однако, интерес рас-
смотрение хотя бы простейших рас-
четных схем с непосредственным
учетом изменений этих параметров
в самих решениях.
Допустим, что сразу же после на-
чала откачки при ( = 0 возникает
дополнительное питание водоносно-
го пласта, оцениваемое величиной
модуля Де, который изменяется при
откачке по зависимостям, показан-
ным на рис. V.22.
В первой из них принимается
Ae = const, что для схемы неограни-
ченного пласта дает нереальный ре-
зультат, поскольку при этом полу-
чается, что с течением времени до-
полнительное питание возрастает
беспредельно. В самом деле, при
Ae = const исходное дифференциальное уравнение (Ш.4.7) путем
введения новой функции
S* = S-_£!L/,	(V.7.6)
уравнениях и соответственно
де
Рис. V. 22. Графики изменения до-
полнительного модуля питания Де
может быть приведено к однородному дифференциальному уравне-
нию Фурье. Следовательно, решение для скважины будет иметь
вид
S=-^-Ei[	(V.7.7)
4rJtm I	4а/ I ц*	v 7
Легко видеть, что начиная с некоторого момента времени вто-
рой член в правой части уравнения (V.7.7) может оказаться более
значительным по сравнению с первым, и интенсивность понижения
117
уровня не только не будет увеличиваться, но наоборот, начнет со-
кращаться.
Реальный результат при условии Ae = const может быть полу-
чен только для ограниченного пласта. Примем, например,
что на весьма большом удалении от скважины, при г — гк на круго-
вом контуре понижение уровня SK в течение всего периода откачки
будет весьма малым (SK—0). Тогда уравнение (Ш.4.7) с учетом
подстановки (V.7.6) решается при следующих начальном и гранич-
ных условиях:
/ = 0, 5*=0,	(V.7.8)
/>0, r->0, lim 2r.kmr—= — Q,	(V.7.9)
^>0, г = гк,
(V.7.10)
Применяя преобразование Лапласа (см. формулу (IV.2.5) и по-
следующие в § 2 главы IV), вместо уравнения Фурье получим
обыкновенное дифференциальное уравнение (IV.2.6), решение ко-
торого выражается в виде (IV.2.11). После определения в нем по ус-
ловиям (V.7.9) и (V.7.10) коэффициентов А и В будем иметь:
(V.7.11)
Здесь, как указывалось в главе IV, /о и Ко— обозначения моди-
фицированных функций Бесселя первого и второго рода нулевого
порядка.
Переход от этого уравнения в изображениях к оригиналу без
особых затруднений осуществляется по табличным соотношениям
и на основании известной из теории операционного исчисления тео-
ремы разложения [32, 33]. Результат выражается в следующем
виде:
(V.7.12)
п = 1
(лп)
б/а,
(V.7.13)
118
(V.7.14>
/„ — корни уравнения Jo(X„) = O.
(V.7.15)
Здесь Io — обозначение функции Бесселя первого рода нулевого
порядка от действительного аргумента.
Главная особенность решения (V.7.12), существенно отличаю-
щая его от приведенного выше решения для изолированного нео-
граниченного пласта, состоит в том, что в пределе при t-^oo пони-
жение уровня S оказывается конечным. Все члены в квадратных
скобках правой части этого решения (за исключением первого, ха-
рактеризующего динамику изменения напорного уровня в неогра-
ниченном пласте) отражают влияние факторов восполнения ресур-
сов подземных вод. При этом анализ показывает, что при г<^ги,
т. е. в случаях, когда понижение уровня определяется в значитель-
ном удалении от контура, на котором задано условие SK=0, замет-
ную роль в течение всего процесса откачки играет дополнительное
питание, осуществляющееся по всей площади распространения пла-
ста и выражаемое функцией фг- Уже через сравнительно короткий
отрезок времени эта функция стремится к своему пределу:
?2~
(V.7.16)

Q
Фактический радиус влияния гк в каждый данный момент вре-
мени t в рассматриваемых условиях может быть представлен в та-
ком же виде, как и прежде (см. формулу (V.7.2), но при этом
1 Г { г2 \
? =1,5е-А; 4 = 4- Ei\ - -jV
Td ’	’	2 I	4at )
(V.7.17)
?i - ?2
Заметим, что полученное решение (V.7.12) является вполне до-
ступным для счета. Интеграл, входящий в функцию <pi, ранее уже
был представлен в виде подробной таблицы (см. формулу (V.3.11),
табл. V.3 и рис. V.10, б).
Предельные значения функции <pi таковы: при ^=0 и t=°°,
ф1 = 0, т. е. она, как это показано на рис. V.10, а, имеет экстремум.
Ряды в этой функции, а также в выражении для <рг при более-
или менее длительном времени t сходятся быстро и, учитывая зна-
чения корней X (/( = 2,405, /2=5,52, /3=8,654 и т. д.), практиче-
ски всегда можно ограничиваться при расчетах 1—2 членами
рядов.
119>
Теперь рассмотрим случай, когда модуль дополнительного пи-
тания возрастает линейно в зависимости от понижения уровня (см.
рис. V.12, б):
Дг = 35.	(V.7.18)
Здесь р — некоторый коэффициент, определяемый на основании
опытных данных и имеющий размерность 1/сутки. Вводя зависи-
мость (V.7.18) в исходное уравнение (III.4.7), получим:
-=-^.	(V.7.19)
Решение этого уравнения при условиях (V.7.8) и (V.7.9) в слу-
чае неограниченного пласта, когда при г—>оо, 5 = 0, легко получить
следующим путем:
Положим
5*=5е^'.	(V.7.20)
Тогда уравнение (V.7.19) преобразуется в обычное уравнение
теплопроводности относительно функции 5:
a*V2S* = J^,	(V.7.21)
причем вместо условия (V.7.9) будем иметь
dS*	— t
/>0, г —0, lim 2r.kmr —3— = — Ое11* .
’	’	дг
Таким образом влияние дополнительного питания в данном слу-
чае выражается так, как если бы дебит скважины в изолирован-
ном пласте увеличивался со временем по экспоненциальному за-,
кону.
Решение уравнения (V.7.19) аналогично соответствующему ре-
шению, приведенному в § 3 настоящей главы. Оно может быть
представлено в следующем виде:
S = -^—Rz-,	(V.7.22)
4-£m 'Cj’	v '
где T?c5 — безразмерное гидравлическое сопротивление, определяе-
мое по формуле (V.3.14) (см. табл. V.4 и рис. V. 11) в зависимости
г	-1 / fem
от —- и а, причем здесь В — у——, как и прежде а =-------:.
В	’ р	Aa"'t
Ранее уже указывалось, что функция Rcs со временем приобре-
тает постоянную величину (см. формулу (V.3.15). При этом дей-
ствительный радиус влияния откачки может быть найден из сле-
дующего соотношения:
r^VsB,	(V.7.23)
где <ps определяется по табл. V.9.
120
Таблица V.9
Значения tps к формуле (V.7.23)
---0,001	0,01	0,05	0,1	0,3	0,7	1	2	3
6,2	4,1	2,7	2,1	1,2	0,66	0,45	0,15	0,056
На промежуточном этапе откачки, до того момента, когда до-
пустимо пользоваться формулой (V.3.I5), действительный радиус
влияния, как и в изолированном пласте, со временем возрастает.
Графики, приведенные на рис. V.11, показывают, что этот период
неустановившейся фильтрации является тем более длительным, чем
больше параметр В и соответственно чем меньше величина модуля
дополнительного питания Де, определяемого коэффициентом р.
Наконец, проследим влияние дополнительного питания по схеме,
представленной на рис. V.22, в. В данном случае принимается, что
сразу же после начала откачки возникает дополнительное питание
в размере Де, которое затем изменяется по зависимости
Де —= Деое~°7.	(V.7.24)
Такая зависимость, хотя и является формальной, однако она
дает возможность более правильно отразить роль дополнительного-
питания в неограниченном пласте, чем в схеме, показанной на
рис. V.15, а, где принято Ae = const, поскольку при этом исклю-
чается беспредельное его увеличение со временем.
Действительно, подстановка зависимости (V.7.24) в исходное
уравнение (III.4.7), после применения преобразования Лапласа,
приводит к следующему обыкновенному уравнению относительно
преобразованной функции Т (см. формулу (V.2.5):
Т" +— Т' - . Ае° <Т = 0.
1 г km(p-f-fi) а*
(V.7.25)
Частным решением этого неоднородного уравнения является посто-
янная величина То:
То = - *	(V.7.25a)
0	9гР(.Р + г)	v	f
Общее решение уравнения (V.7.25) без свободного члена, содер-
жащего Де0, при условии ограниченности искомой функции на бес-
конечности выразится в уже известном нам виде (см. вывод фор-
мулы для скважины в § 2 главы IV):
г = лк„(г-]/-£-).
(V.7.26)
где А — постоянная, определяемая по условию, аналогичному
(V.7.9):
.	(V.7.27)
2r.kmp	'	'
121
Соединяя (V.7.25, а) и (V.7.26), после перехода к оригиналу полу-
чаем следующее решение поставленной задачи:
- ^г(1 -e"pz).	(V.7.28)
4т.йт I 4a*t J V- fi v	\	/
Таким образом, здесь также величина понижения уровня в каж-
дый момент времени имеет меньшую величину по сравнению с изо-
лированным пластом. Фактический радиус влияния откачки при
этом может быть по-прежнему представлен в виде формулы (V.7.2),
но с коэффициентом <ps, выражающимся в соответствии с (V.7.28)
•следующим образом:
?5=1,5е-л; Д =	+	- е“3')]. (V.7.29)
Величина А при благоприятных условиях пополнения запасов
подземных вод может быть значительной.
Если со временем влияние откачки в ощутимых размерах может
распространиться до границ пласта, на которых напор сохраняется
неизменным, решение (V.7.28) в принципе становится близким
к данному выше решению (V.7.12), т. е. в этом случае движение
подземных вод стабилизируется и приобретает установившийся ха-
рактер.
Все сказанное свидетельствует о важности выявления действи-
тельных природных условий и наиболее полного их учета при
оценке радиуса влияния и дальности действия водозаборов. При
наличии надежных исходных данных, характеризующих природ-
ную обстановку, для такой оценки могут быть использованы раз-
личные расчетные зависимости и, в частности, вытекающие из реше-
ний, приведенных в данном параграфе.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ V
1.	Абрамов С. К. Методы подбора и расчета фильтров буровых сква-
жин. Сб. «Фильтры водозаборных скважин». Госстройиздат, 1952.
2.	Абрамов С. К., Биндеман Н. Н., Бочевер Ф. М., Вери-
гин Н. Н. Влияние водохранилищ на гидрогеологические условия прилегающих
территорий. Госстройиздат, 1960.
3.	Бабинец А. Е. Подземные воды юго-запада Русской платформы. Изд.
АН УССР, Киев, 1961.
4.	Б е с с о н о в Н. Д. Исследование явлений суффозии и кольматации
в фильтрах блочного типа из пористых материалов. Тр. Лаборатории инженер-
ной гидрогеологии ВОД ГЕО, № 5, Госстройиздат, 1963.
5.	Борисов Ю. П. К гидрогеологическим расчетам при упругом режиме.
Тр. ВНИИ нефти и газа, вып. 8, Гостоптехиздат, 1956.
6.	Бочевер Ф. М., Алексеев В. С. Оценка сопротивления водозабор-
ных скважин по опытным и эксплуатационным откачкам. «Разведка и охрана
недр», № 3, 1965.
122
7.	Б о ч е в е р Ф. М. и В е р и г и н Н. Н. Методическое пособие по расчетам
эксплуатационных запасов подземных вод для водоснабжения. Госстройиздат,.
1961.
8.	Бочевер Ф. М., Гармонов И. В., Лебедев А. В., Шеста-
ков В. М. Основы гидрогеологических расчетов. Изд. «Недра», 1965.
9.	Бочевер Ф. М., Ковалева И. В. Условия питания и режим под-
земных вод каменноугольных отложений Московского артезианского бассейна.
«Советская геология», № 9, 1966.
10.	Бочевер Ф. М., Орфаниди К. Ф. Опыт определения исходных
гидрогеологических параметров для оценки эксплуатационных запасов подзем-
ных вод. Тр. Лаборатории инженерной гидрогеологии ВОДГЕО, сб. № 4, Гос-
стройиздат, 1962.
11.	Веригин Н. Н. Об оценке производительности водозаборных сква-
жин. «Водоснабжение и сантехника», № 5, 1957 и № 3, 1958.
12.	Веригин Н. Н. О методике расчета водопонижения с помощью несо-
вершенных скважин. Тр. совещания по вопросам водопонижения. Госстройиздат,
1959.
13.	Гирине кий Н. К. Некоторые вопросы динамики подземных вод.
Сб. № 9. Госгеолиэдат, 1947.
14.	Вопросы гидрогеологических расчетов. Сб. переводов статей под редак-
цией Ф М. Бочевера и В. М. Шестакова. Изд. «Мир», 1964.
15.	Гавр ил ко В. М. Фильтры водозаборных скважин. Госстройиздат, 196L
16.	Гармонов И. В., Иванов А. В., Нефедов Е. И., Смир-
нова Г. П., С у г р о б о в В. М. Подземные воды юга Западно-Сибирской низ-
менности и условия их формирования. Тр. ЛГГП им. Саваренского. Изд. АН
СССР, 1961.
17.	Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. Изд. «Наука»,
1964.
18.	Куделин Б. И. Принципы региональной оценки естественных ресурсов
подземных вод. Изд. МГУ, 1960.
19.	Лыков А. В. Теория теплопроводности. Гостехтеориздат, 1952.
20.	Маврицкнй Б. Ф. Западно-Сибирский артезианский бассейн. Тр.
ЛГГП им. Саваренского, т. 39. Изд. АН СССР, 1962.
21.	М аскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде Гос-
топтехиздат, 1949.
22.	Н и к о л а е в с к и й В. Н. Об основных уравнениях динамики насыщен-
ных жидкостью упругих пористых сред. Ежегодн. ВНИИ «Добыча, нефти».
Иэд. «Недра», 1964.
23.	Т и х о в М. Н. Математическая теория движения жидкости н газа к цен-
тральной несовершенной скважине. Изд. Харьк. ун-та им. А. М. Горького, Харь-
ков, 1964.
24.	Хейн А. Л. Теория линейного притока жидкости к скважинам, несовер-
шенным по характеру и степени вскрытия. Тр. ВНИИ нефти и газа, Гостоптех-
издат, 1953.
25.	Хейн А. Л. Расчет забойных давлений в круговой батарее несовершен-
ных по степени вскрытия пласта скважин при упругом режиме фильтрации.
Тр. ВНИИ нефти и газа, вып. X, Гостоптехиэдат, 1957.
26.	Чарный И. А. Основы подземной гидравлики. Гостоптехиэдат, 1956.
27.	Ч а р н ы й И. А. Подземная гидрогаздинамика. Гостоптехиэдат, 1963.
28.	Ш а г о я н ц С. А. Подземные воды центральной и восточной частей
Северного Кавказа. Госгеолтехиэдат, 1959.
29.	Шестаков В. М. Об определении гидрогеологических параметров пла-
ста по данным опытных откачек в условиях неустановившейся фильтрации.
«Разведка и охрана недр», № 12, 1962.
30.	Щелкачев В. Н. Разработка нефтеводоносных пластов при упругом
режиме. Гостоптехиэдат, 1959.
31.	Шуров В. И. Влияние перфорации на приток жидкости из пласта
в скважину. Тр. совещания по вторичным методам добычи нефти. Изд. АН
Азерб. ССР, 1953.
123
32.	Hantush M. Hydraulic of wells. Advances in Hydroscience, vol. 1. New
York Acad. Press., 1964.
33.	Hantush M. Drawdown around Wells of variable Discharge. Jorn. of
Geophis. Research, vol. 69, N 20, 1964, pp. 4221—4235.
34.	H u r s t W. Establishment of the skin effect and imperament, to fluid flow
into a well bore. The Petrol. Eng. vol. 25, 11, 1953.
35.	Jacob С. E. and Lohman S. W. Nonsteady flow to awell of constant
drowdown in extensive aguifers. Trans. Am. Geophys. Union, 33, 1952, pp. 559—
569.
36.	Yaeger I. Numerical values for the temperature in radial heat flow.
Jorn. Math. Phys. 34, 1956, pp. 316—321.
37.	Van E v e r d i n g e n A. F. The skin effect and its influence on production
capacity of a well. Petrol. Trans, vol. 198, 1953.
VI
Слоистые
водоносные системы
§ 1.	Напорные горизонты, перекрытые
слабопроницаемой пачкой водоносных пород,
связанных с атмосферой
Выше было сказано (см. § 1 главы V), что в артезианских бас-
сейнах можно выделить две основные схемы слоистых водоносных
толщ. Первая из них характеризует неглубоко залегающие напор-
ные водоносные пласты, перекрытые разнородными по составу по-
родами, обладающими в целом значительно меньшей водопрони-
цаемостью по сравнению с основным напорным горизонтом, но
также водоносными и, кроме того, связанными с атмосферой. Вто-
рая схема относится к собственно слоистым толщам и отражает
строение более глубоких напорных пластов, изолированных от атмо-
сферы. Напорные пласты разделяются слабоводопроницаемыми
глинистыми слоями. Последние в реальных природных условиях,
как правило, содержат прослои и линзы песков и супесей, а в от-
дельных случаях глинистые слои вовсе выклиниваются и в них по-
являются «окна». Надо полагать, что именно этими особенностями
строения разделяющих слоев в основном определяется возможность
перетекания воды через них в практически ощутимых размерах.
Рассмотрим методику расчета скважин в первой из указанных
схем.
Предположим, что перекрывающая напорный пласт толща по-
род может быть представлена в виде единого комплекса с усред-
ненной водопроницаемостью, причем в этом комплексе содержится
горизонт грунтовых вод со свободной поверхностью, пополняемый
за счет инфильтрации атмосферных осадков. В естественных усло-
виях оба горизонта — верхний, со свободной поверхностью, и ниж-
ний, напорный — гидравлически связаны между собой, но напорные
их уровни, вообще говоря, могут быть различными (рис. VI.1).
Иными словами, в естественных условиях фильтрация может про-
исходить в разных направлениях — из верхнего горизонта в ниж-
ний и наоборот, это зависит главным образом от условий разгрузки
и соотношения отметок уровней в областях питания.
Примем далее, как это впервые для безнапорных потоков пред-
ложил Н. Н. Веригин, что фильтрация в верхнем слое происходит
125
только по вертикали и горизонтальными составляющими скорости
фильтрации в нем можно за малостью пренебрегать.
Тогда задача о притоке подземных вод к скважине, заложенной
в напорном пласте, решается на основе следующих уравнений:
(VLL1)
+ —	(Vi. 1.2)
I дг2 1 г дг I 1 (1* ( h I от	'	'
где h — глубина воды от свободной поверхности до кровли
нижнего слоя;
ц — коэффициент водоотдачи верхнего слоя;
йо. и е — коэффициент фильтрации и модуль питания слоя
(т. е. инфильтрация атмосферных осадков за вычетом
испарения);
Н — напор нижнего пласта;
*	. .	I . km
а* — его коэффициент пьезопроводности ( а* = —— ;
ц* — водоотдача напорного пласта ) .
Первое из этих уравнений характеризует движение подземных
вод в верхнем слое и представляет собой соотношение между ско-
ростью фильтрации и действительной скоростью вертикального пе-
ремещения свободной поверхности. Вторым уравнением описы-
вается элементарный баланс воды в нижнем напорном пласте.
Рис. VI. 1. Схема
к расчету скважин
в двухслойной тол-
ще
126
В случае весьма значительной площади распространения водо-
носных пород (того и другого слоев) граничные условия формули-
руются следующим образом:
/>0, г-0, lim2^mr-^- = -Q0,	(VI.1.3)
г—>-оо, Jim Я <Л1, lim/i-CM (М и N — некоторые конечные вели-
чины) .
В соответствии со сказанным о возможности различных соотно-
шений уровней в обоих горизонтах до ввода в действие скважины
начальные условия можно записать так:
t = 0, H = Ht, h = he,	(VI.1.4)
т. е. для системы уравнений (VI.1.1) и (VI.1.2) они являются как
бы «разрывными», что в строгой постановке затрудняет решение
задачи, так как после возмущения пласта откачкой «начальные раз-
рывы» уровней исчезают не сразу, а в течение некоторого времени.
Если поток подземных вод в естественных и возмущенных усло-
виях описывается линейными уравнениями одного и того же вида,
то указанное затруднение легко преодолевается введением вместо
напоров h и Н понижений уровня
$0 = Ле-Л; =	(VI. 1.5)
Однако в рассматриваемом нами случае такую операцию непо-
средственно осуществить невозможно, поскольку система уравнений
(VI.1.1) и (VI.1.2) является нелинейной. Поэтому вместо условий
(VI. 1.4) принимается следующее:
/ = 0, Ht = ht.	(VI.1.6)
Можно предположить однако, что и при этом по истечении ко-
роткого времени после начала откачки решение будет действитель-
ным также для условий (VI.1.4), если в каждом слое исчислять
понижения уровня So и Sh по (VI.1.5).
Рассматриваемая задача для одномерного линейного потока
без учета упругоемкости напорного пласта впервые рассматрива-
лась Н. Н. Веригиным и В. М. Шестаковым в связи с прогнозом
подпора грунтовых вод в берегах водохранилищ [11]. Для радиаль-
ного потока она в сравнительно недавнее время исследовалась
В. А. Васильевым и А. С. Хабировым [10], В. М. Шестаковым [21]
и А. М. Бегматовым [3].
В работе [10] принимается условие постоянства напора на сква-
жине. В двух последних работах решение находится при постоян-
ном расходе скважины, но не учитывается упругая водоотдача на-
порного пласта.
В нашей статье [5] (см. также [8]) в отличие от названных ра-
бот дается более приближенное решение этой задачи, но с учетом
упругоемкости нижнего пласта. Это решение получается следую-
щим образом.
127
Заменим в уравнениях (VI.1.1) и (VI.1.2) й и Я на $0 и $н
по (VI.1.5) (учитывая принятое условие (VI.1.6) и выразим
из (VI.1.1) понижение уровня SH в нижнем напорном пласте. Пола-
гаем при этом е=0, поскольку мы рассматриваем неограниченные
пласты (см. § 7 главы V):
S„ = S0+^(/?e-S0)^.	(VI.1.7)
Подставляя теперь SH в (VI.1.2), получим следующее уравнение
уже относительно понижения уровня So в верхнем слое:
Здесь
а*?250(1+ср1) = (1 + ^^+?2.
ТГ1Г 1 7250(Лс —So)]
?1 =---------------------’
(VI. 1.8)
(VI. 1.9)
(VI. 1.10)
-2Q	/
v	dr2
1 ^So\
r dr J'
Функция <pi по истечении более или менее длительного вре-
мени t становится малой по сравнению с единицей и ее можно ос-
реднить, т. е. положить
?i = ?i ср = const.
Что касается функции фг, то ею по сравнению с первой производ-
„ dS0	р г	р
нои —— можно вовсе пренебречь. С этими приближениями урав-
нение (VI.1.8) принимает следующий вид:
a**V2S0 = ^,	(V1.1.11)
где
km (1	-.с. ro)
а** =-----; u** = + [i*. (VI.1.
Таким образом, коэффициент пьезопроводности а** в данном
случае содержит характеристики водоотдачи обоих слоев — верх-
него ц и нижнего ц*. Через величину <picp величина а** связана
также с проницаемостью верхнего слоя и динамикой снижения
уровня в нем.
128
Граничное условие (VI.1.3) применительно к уравнению (VI.1.11)
с учетом (VI.1.7) представляется так:
t> 0, г^О, иш2кЛот[г-^-+ -£-(ле-$0) ^-(r-^)] = - Qo-
(VI. 1.13)
Здесь So—некоторая осредненная величина понижения уровня.
В первом приближении можно принимать
Ае — So = Аср ~ (0,6:0,8) Ае.	(VI. 1.14)
dS
Q = 2nkm fi? в (VI. 1.13) может рассматриваться в ка-
честве некоторого условного расхода скважин в верхнем слое, ко-
торый связан с действительным расходом скважины в нижнем на-
порном пласте Q уравнением следующего вида:
-§- + MQ + Qo) = o,	(Vi.i.15)
Из решения уравнения (VI.1.15) имеем:
Q=QoO-e~W),
(VI. 1.16)
Задача, таким образом, сводится к уже рассмотренному нами
в главе V случаю, когда в процессе откачки происходит постепен-
ное увеличение дебита скважины по экспоненциальному закону
(см. п. 4 § 3 главы V).
Решение уравнения (VI.1.11) при этом условии будет иметь вид
(VI.1.1D
где /?С4—безразмерное сопротивление, определяемое по форму-
лам (V.3.11) и (V.3.12) и табл. V.2, а также по графикам на
рис. V.10. Для рассматриваемой здесь задачи следует принимать:
/?с4=-Д/(-а)-/(а,
_	1	_ r2 R — 1 / а** I / kmh^
Л— 4Г0 — 4a**t ’	|/ Во ~ |/	/w* 
Выражение для понижения напора Sh в нижнем пласте нахо-
дим из (VI.1.7). Дифференцируя выражение (V.3.11) для Rci по t,
получим:
dSp _ dSp dj. = , Qq . /	_г_\
dt di. dt 0 4r.km ’ В I ’
где I — та же функция, что в решении (V.3.11), определяемая по
формуле (V.3.11a) и табл. V.3.
129
Следовательно,
или, если учесть выражение для Rci,
О - т?И“' т)]- <vu ,9>
Второй член в правой части здесь с течением времени довольно
быстро убывает и формула (VI. 1.19) по внешнему виду становится
аналогичной формуле для напорного пласта, изолированного водо-
упорной кровлей.
Возможность перехода к этой последней определяется следую-
щим критерием:
/>(3^5)^.	(VI.1.20)
«о
Однако по своему содержанию они существенно различаются,
так как коэффициент пьезопроводности в данном случае в соответ-
ствии с (VI. 1.12) содержит характеристики водоотдачи обоих слоев.
При этом, поскольку обычно водоотдача напорного пласта р.* зна-
чительно меньше водоотдачи осушаемого верхнего горизонта ц, то
и коэффициент пьезопроводности в таких условиях оказывается го-
раздо более низким, чем в совершенно изолированных напорных
пластах (т. е. а** < а*).
Если не учитывать этого обстоятельства, можно при расчетах
скважин получить ошибочные результаты. Именно с такими ошиб-
ками связаны многочисленные расхождения прогнозируемой про-
изводительности водозаборных сооружений с фактическими дан-
ными опытных и опытно-эксплуатационных откачек.
Эти расхождения часто затушевываются, так как за основу рас-
четов принимается показатель пьезопроводности, определяемый
по откачкам на основе решения так называемых обратных задач.
Но при этом появляется необъяснимое на первый взгляд несоответ-
ствие между расчетными величинами этого параметра и его тео-
ретическими значениями.
Это часто подтверждается опытными данными. Например, по
району Большой Москвы для водоносного горизонта в известняках
среднего карбона, связанного с перекрывающими его, также водо-
носными (хотя и содержащими большое количество глинистых
слоев) породами мезозойского и четвертичного возраста, средний
коэффициент пьезопроводности, определенный по данным длитель-
ной эксплуатации водозаборных скважин, получился равным
5-Ю1 мг1сутк.и, что примерно в 100 раз меньше теоретического его
значения для изолированных напорных пластов того же состава.
Если учитывать возможную фильтрацию воды в известняки сред-
него карбона из мезозойских и четвертичных отложений, указан-
ный факт становится вполне понятным.
130
Решение (VI.1.17) — (VI.1.19), поскольку им учитывается упру-
гая водоотдача напорного пласта р,*, представляется, несмотря
на сделанные приближения, более реальным, нежели решения, в ко-
торых упругая водоотдача р* опускается.
Впрочем, следует отметить, что и в этих последних решениях
также нетрудно отразить упругую водоотдачу напорного пласта.
Действительно, если в исходном'уравнении (VI. 1.8) сохранить про-
изводную третьего порядка, то, полагая по-прежнему <р2=0 и вводя
среднюю величину /icp по (VI.1.14), получим:
a**V2 * * * *50 + Д2 (^25°) =	,	(VI.1.21)
/<?**	, Г krnhcrji.
V = \	•	<VIJ'22>
причем а** определяется по (VI.1.12) при <picP=O.
Уравнение (VI. 1.21) в математическом отношении идентично
уравнению, выведенному Г. И. Баренблаттом, Ю. П. Желтовым и
И. Н. Кочиной [2] для фильтрации в трещиноватых породах, в слу-
чае, когда последние рассматриваются как системы с «двойной по-
ристостью», обусловленной собственно пористостью блоков и тре-
щиноватостью, разделяющей на блоки. На это обратил внимание
В. М. Шестаков [23].
Решение уравнения (VI.1.21) при граничном условии (VI.1.16)
выражается в следующем виде:
(VI.1.23)
где
/£ = 2 J  7 В° (/r) U - е 1dz. (VI.1.24)
о
При В=0 из (VI.1.24) можно получить интегральную показа-
тельную функцию, которой характеризуется фильтрационное тече-
ние в изолированном напорном пласте [2]:
2	(VI.1.25)
о
Значения безразмерного сопротивления Д*4 приведены в
табл. VI.1 [20].
Расчеты показывают, что при Fo > 20 ч-25 значения ДС4 в реше-
нии (VI.1.17) и Д*4 в решении (VI.1.23) практически совпадают;
расхождения между ними не превосходят 3—5%.
В заключение нам хочется подчеркнуть, что изложенное реше-
ние представляет принципиальный интерес. Оно показывает, что
131
Таблица Vl.l
Значения функции R*ci по (VI.1.24)
	I	9	4В-’а				
		2	1	0,5	0,3	0,1
0,11	2,25	0,07	0,08	0,11	0,1	0,08
0,25	1	0,23	0,24	0,21	0,2	0,14
0,39	0,64	0,44	0,40	0,36	0,32	0,2
1	0,25	0,84	0,70	0,58	0,46	0,26
4	6 • 25  10-2	1,74	1,40	1,06	0,80	0,40
25	10-2	3,26	2,74	1,76	1,26	0,58
100	2  5 • Ю-з	4,30	3,70	2,28	1,60	0,70
400	6 • 25 • 10-4	5,54	4,56	2,84	1,96	0,82
в напорных пластах, в той или иной мере связанных с соседними
водоносными слоями, коэффициент пьезопроводности можно рас-
сматривать в качестве обобщенного гидродинамического показа-
теля, характеризующего не только упругие свойства воды и пла-
ста, но в определенной мере также условия его питания [5, 8].
Идентичный результат получается и в тех случаях, когда верх-
ний слой также является напорным, если учитывать его упругую
водоотдачу. Такое решение дано Хантушем [8]. Далее это положе-
ние будет подтверждено при рассмотрении многослойных схем.
На основании полученных расчетных зависимостей, пользуясь
методом сложения фильтрационных течений, легко получить соот-
ветствующие формулы для расчета группы любым образом распо-
ложенных взаимодействующих скважин в рассматриваемой двух-
слойной схеме.
Суммарные понижения уровня в любой точке г в любой момент
времени t в верхнем и нижнем слоях 5о сум и SH сум представляются
при этом в таком общем виде:
п	п
$0 сум = 2 *^0i ’ $Н сум = 2	’	(VI.1.26)
i = 1	Z=1
где Soi и SHi — понижения уровня, вызванные действием каждой
скважины в отдельности и определяемые по формулам (VI.1.17),
(VI.1.19) и (VI.1.23).
§ 2. Водоносные горизонты в слоистых толщах.
Расчетные схемы. Исходные уравнения
Далее излагаются решения задач о притоке подземных вод к во-
дозаборным сооружениям в слоистых толщах, состоящих из напор-
ных водоносных пластов (в дальнейшем они будут называться ос-
новными слоями или основными водоносными горизонтами), разде-
132
ленных слабоводопроницаемыми глинистыми слоями («перемыч-
ками», «несовершенными водоупорами»). Слоистые толщи, как уже
указывалось, характерны для артезианских бассейнов и представ-
ляются одной из основных расчетных схем в таких геологических
структурах.
Рассмотрим фильтрацию к одиночной скважине и группе лю-
бым образом расположенных взаимодействующих скважин,
а также к бесконечному линейному ряду скважин в случае, когда
имеются два взаимосвязанных основных водоносных горизонта
с одним раздельным слоем, причем один из основных горизонтов
может быть безнапорным, а второй напорным (рис. VI.2, а, б) или
оба являются напорными (рис. VI.2, а', б'), а также в случае трех
основных горизонтов с двумя раздельными слоями при наличии
безнапорного горизонта (рис. VI.2, в) и при его отсутствии
(рис. VI.2, в').
Принимаем, как в ранее рассмотренной схеме неглубокого на-
порного пласта, что в разделяющих слоях преобладающее значение
имеют вертикальные токи воды и горизонтальными составляющими
скорости фильтрации в них можно пренебрегать [12, 13, 17, 19].
Задача о неустановившейся фильтрации применительно к схе-
мам, показанным на рис. VI.2, решается на основе следующей си-
стемы уравнений:
для схем а, б, а' и б' (два основных горизонта и
один разделяющий слой):
alv’s, - Л Н	^50(г,	=	(VI.2.1)
atfS, + >	дг S0(r, z2, t)—-dt ,	(VI.2.2)
	&S0	ds0 . dz2	dt ’	(VI.2.3)
для схемвив' (три	основных слоя и два	p a 3 д e -
ляющих слоя): здесь сохраняются уравнения (VI.2.1) и
(VI.2.3) и, кроме того, для основных горизонтов 2 и 3 и нижнего
раздельного слоя имеют место следующие уравнения:
a*^S2 - 4^30(г, г2, Z)z3, =	(VI.2.4)
a*3V2S3 + ^^500(r, z4, 0 = ^.	(VI.2.5)
=	<VL2-6)
В указанных уравнениях:
Si, S2, S3 — понижения уровня в основных горизон-
тах;
133
a)
Рис. VI. 2 Схемы к расчету скважин в многослойных толщах
So, Soo — то же в разделяющих слоях;
(Si=Hei — Hi, Hei и Hi — напоры до начала откачки и при от-
качке)
=	(Z=112,3)
р/
„*	(^)оо
«00    5 ,
Роо
а* — коэффициент пьезопроводности;
(km)i и и* — проводимости и коэффициенты водоотдачи
(в верхнем безнапорном горизонте mi=/icp —
средней мощности горизонта и р* =ц, т. е. водо-
отдаче пород этого горизонта при его осушении
в процессе откачки).
§ 3. Решение при постоянном напоре в соседних
горизонтах без учета водоотдачи разделяющих слоев
Решения уравнений (VI.2.1) — (VI.2.6) существенно облегчаются,
если принять предпосылку о постоянстве напоров в соседних гори-
зонтах и о пренебрежимой малости водоотдачи раздельных слоев.
В этом случае вместо системы уравнений (VI.2.1) — (VI.2.6) имеем
одно уравнение
a*V2S-6S = -^-,	(VI.3.1)
где S — понижение уровня в эксплуатируемом основном горизонте,
из которого производится откачка, а* и b — коэффициенты,
определяемые для различных схем по табл. VI.2.
Таблица VI.2
Коэффициенты в уравнении (VI.3.1)
Схема на рис. VI.3		ai	b. 1	a. I		si (n<) = "ei-
а		Мер	*0		Hel	sx(r,
а*	(Ьт)х	p	|X/7Zq	^0 (km)xmQ	яе1	Si (r,t)=Hel — Hi (r, t)
б\ б'		* Pl (km)2	*0	(km)2m0	He2	S2 (r,t) =He2 — H2 (r, t)
в; в'	(km)2	P2 (.km)2	p‘mo 1 / ^0 . &oo\	^0 (km)2	He2	S2 (r,t) = He2 —H2(r, t)
		* p2	[Л* 1 mo ' I	kg , kpo mo ' moo		
135
Решение уравнения (VL3.1) при обычных условиях постоянства
расхода в скважинах и равенства нулю производной от понижения
уровня на бесконечности, легко получить различными способами.
Одиночная скважина и группа любым образом расположенных
взаимодействующих скважин
Для одиночной скважины и соответственно для ограниченного
числа взаимодействующих скважин в работах [7, 15, 20] такое ре-
шение найдено операционным методом. Еще нагляднее оно может
быть получено, если с помощью подстановки
S* = 5е6'
(VI.3.2)
преобразовать уравнение (VI.3.1) в обычное уравнение теплопро-
водности. При этом член bS из уравнения исключается [1, 8].
Условие на скважине-стоке для новой функции (VI.3.2) пред-
ставляется в следующем виде:
^>0, г^О, lim2^mr~ = -QQeb!. (VI.3.3)
Таким образом, фильтрация из соседних горизонтов, в которых
напор сохраняется постоянным, т. е. запасы воды неограниченно
велики, равносильна тому, что откачка ведется из изолированного
горизонта, но с дебитом, увеличивающимся по экспоненциальному
закону.
Подставляя, как это мы делали ранее (см. § 3 главы V), выра-
жение (VI.3.3) в основное уравнение для источника (см. формулу
IV. 1.1 в табл. IV.2 в главе IV), получим следующую зависимость
для определения понижения уровня в скважине в рассматриваемой
схеме слоистого строения:
.—	Q п
4r.km /'с5’
(VI.3.4)
Здесь /?С5 — безразмерное сопротивление, определяемое по (V.3.14),
причем в данном случае следует принимать
где а*, Ь и В определяются, как показано в табл. VI.1. Значения Rc5
были приведены в табл. V.4 [20] и в виде графиков изображены
на рис. V.11 (см. главу V).
В дальнейшем нами используется следующее обозначение:
Яс5= («.“Г)-
(VI.3.5)
136
г2	г
При t > (2 — 2,5)- и — < 0,2 вместо (VI.3.5) приближенно
а	В
можно принимать
нф,	-z0(-£)i-£V(-Mb (vi.3.6)
где Io и Ко— символы функций Бесселя первого и второго рода
от мнимого аргумента.
3—5
По истечении еще более длительного времени, когда t >—-—,
о
второй член в формуле (VI.3.6) становится весьма малым. Следо-
вательно, в слоистых толщах с постоянным напором в питающих
слоях в отличие от изолированных пластов (при отсутствии перете-
кания через разделяющие слои) понижение уровня с течением вре-
мени стремится к некоторой постоянной величине
5=аЖГ^(т)	<VL3-7)
Г0 1
и при определении уровня в самой скважине, учитывая, что —— С1
В
,	X	„ / Го \ , 2В
(го — радиус скважины) и при этом Ко 1—^-1 да In-------е-0-577 ,
' В / Го
Ir.km го
(VI.3.8)
Эти последние формулы совпадают с результатами, полученными
в целом ряде работ, где рассматривается установившееся движение
подземных вод в аналогичных условиях (см. отмеченные выше ра-
боты [12, 16, 17, 19], а также исследования Н. А. Огильви и многие
другие).
Общий ход снижения уровня в рассматриваемой схеме, как
видно из табл. V.4 и графиков, приведенных на рис. V.11, в первые
моменты времени характеризуется теми же закономерностями, что
и в изолированном пласте. Но длительность этого периода явно вы-
раженного неустановившегося движения и связанного с ним про-
грессирующего снижения уровня оказывается более или менее зна-
чительной только при весьма низкой проницаемости раздельных
слоев, когда
< 0,001. Со временем кривые W
выпола-
г
живаются и понижение уровня в скважине и в зоне ее действия
довольно быстро стабилизируется.
Расход потока подземных вод в любом сечении пласта, согласно
решению (VI.3.4), с учетом условия (VI.3.3), выражается следую-
щим образом (вид функции W см. в § 3 главы V в формуле V.3.14):
Q(r, /) = Q0(b (в j е’ 4В‘“
(VI.3.9)
где Qo — полный расход скважины.
137
При значительной продолжительности откачки
Q(r)=Qo-§-/<i(-5-)-	(VI.3.10)
В данном случае, следовательно, полный расход скважины фор-
мируется в зоне значительно меньших размеров, нежели в изолиро-
ванном пласте (ср. формулы (VI.3.9) и (VI.3.10) с формулой
(IV.2.18) в § 2 главы IV).
Интересно оценить в рассматриваемой схеме объем воды Vnep,
поступающий в основной пласт из питающих горизонтов путем пе-
ретекания через слабопроницаемые глинистые слои. Воспользуемся
для этого очевидным соотношением
^пеР = ^-2^* JrSa'r,	(VI.3.11)
о
где V=-Qt— полный объем воды, получаемый из скважины за
время t. Второй член в правой части (VI.3.11) характеризует объем
воды из основного пласта. Подстановка S по уравнениям (VI.3.4)
и (VI.3.5) в (VI.3.11) после интегрирования по г в указанных пре-
делах приводит к следующему выражению для УПер:
VZnep = ^-4(1-^)-	<VL3J2>
Относительное количество воды, получаемое в результате пере-
текания,
е==2^р = ! _ ^.(1 _ е~ь/).	(VI.3.13).
Легко видеть, что при постоянном напоре в питающих пластах
последним обеспечивается основной объем воды, извлекаемой водо-
заборным сооружением.
При откачке из группы взаимодействующих скважин понижение
уровня на основе решения (VI.3.4) может быть найдено по следую-
щей формуле:
п
“''ТГ •	(Vl.3.14>
i = I
Здесь i — 1, 2, .. ., п; п — общее число скважин.
В случае, когда п велико, а скважины располагаются на значи-
тельной площади и интенсивно эксплуатируются (с большими деби-
тами), длительность периода неустановившегося движения, есте-
ственно, возрастает по сравнению с одиночной скважиной. Однако
и в данном случае этот период является ограниченным.
По истечении этого времени извлекаемые водозабором запасы
подземных вод почти полностью компенсируются перетеканием
воды из соседних по вертикали водоносных пластов и дальнейшего
снижения уровня уже не происходит.
138
При таких условиях расчеты водозаборов могут производиться
по формулам для установившегося движения:
а при
^«1
п	/ X
s=2	(%) -
(VI.3.15)
Qi , 1,12В
—— In —-------
2nkm ft
(VI.3.16)
Величину 1,12В под знаком логарифма можно рассматривать
в качестве условного или расчетного радиуса влияния системы
скважин.
Линейный ряд скважин весьма значительной
(«бесконечной») протяженности
Заменим линейный ряд скважин горизонтальной галереей с по-
стоянным удельным расходом qv, т. е. используем известный прием
равномерного распределения расхода скважин вдоль линии, на ко-
торой они располагаются.
В этом случае решение может быть получено из уравнения
(VI.3.1) для одномерного потока при следующем граничном усло-
вии:
*>0, х = 0, 4^-=-^-.	(VI.3.17)
’	’ дх	2km	'	’
Такая задача рассматривалась нами в работе [4]. При этом для
определения понижения уровня в любой точке пласта получено
следующее выражение:
S(x,
'	' km
R Г	—
R = e B erfc ($) - e B erfc (-/])
(VI.3.18)
(VI.3.19)
s=/r-
Значения безразмерного сопротивления R по (VI.3.19) для раз-
личных Во
на рис. VI.3.
и — приведены в табл. VI.3 и в виде графиков
D
139
Таблица VI.3
Значения функции R по формуле (VI.3.19)
Ро		XIB					
		0,06	0,08	о,1	0,15	0,2	0.5
0,082	0,286	0,001	0,001	0,001	0,001	0,001	0,001
0,135	0,368	0,006	0,006	0,005	0,005	0,005	0,005
0,223	0,472	0,020	0,020	0,020	0,020	0,019	0,019
0,368	0,606	0,052	0,052	0,051	0,051	0,051	0,048
0,606	0,779	0,109	0,108	0,108	0,108	0,107	0,099
1,000	1,000	0,199	0,198	0,198	0,197	0,195	0,174
1,649	1,284	0,330	0,330	0,329	0,325	0,320	0,269
2,718	1,649	0,512	0,510	0,508	0,499	0,489	0,375
4,482	2,117	0,755	0,751	0,745	0,726	0,701	0,477
7,389	2,718	1,072	1,068	1,052	1,020	0,958	0,558
12,182	3,490	1,482	1,472	1,463	1,403	1,246	0,593
20,086	4,482	2,002	1,458	1,886	1,737	1,538	0,604
33,115	5,755	2,649	2,560	2,452	2,132	1,789	0,606
54,598	7,389	3,433	3,255	3,048	2,480	1,955	0,606
90,017	9,488	4,346	4,002	3,627	2,722	2,028	0,606
148,413	12,182	5,340	4,719	4,099	2,837	2,045	0,606
244,692	15,643	6,312	5,290	4,393	2,866	2,047	0,606
403,429	20,086	7,113	5,625	4,502	2,864	2,047	0,606
665,142	25,790	7,609	5,747	4,523	2,869	2,047	0,606
1096,633	33,115	7,807	5,768	4,524	2,869	2,047	0,606
1808,042	42,521	7,844	5,769	4,524	2,869	2,047	0,606
2980,096	54,598	7,845	5,769	4,524	2,869	2,047	0,606
Предельные значения R таковы:
о _ Л.
/? = 0 при t — Q,	в при / = оо.
В случае отсутствия перетекания из соседних слоев (Ь=0)
из (VI.3.19) после раскрытия неопределенности по правилу Лопи-
таля получаем:
ierfc (—М ,	(VI.3.20)
ГО /
где
е-*2
terfс (z) = —-=---z erfez.
У я
Здесь в обеих формулах erfc(z) = l—Ф (z), Ф (z) — функция
Крампа (табулированные функции, встречавшиеся уже ранее в § 2
главы IV; см. также приложение II).
140
Рис. VI. 3. Графики безразмерного сопротивления R по формуле (VI. 3.19)
для линейной системы скважии в слоистой водоносной толще
В данном случае при t=oo, /? = оо, т. е. с течением времени по-
нижение уровня беспредельно увеличивается, тогда как согласно
(VI.3.19) понижение уровня вследствие перетекания воды из со-
седних пластов стабилизируется и в пределе стремится к постоян-
ной величине. Практически стабилизация уровня происходит при
Fo^44-6, 4 = 0,84-1,2.
/з
Непосредственно на линии ряда скважин (х=0) из (VI.3.18)
и (VI.3.19) получаем:
5(°, г) = -У£-Ф(уьГ),	(VI.3.21)
а при отсутствии перетекания
5 (°, 0 = У.	(VI.3.22)
Понижение уровня в самой скважине можно определять прибли-
женно, выделяя по методу сопротивлений внутренний фрагмент и
соответственно внутреннее сопротивление, зависящее от расста-
новки скважин в пределах ряда. При этом
5 =?(.>,	(VI.3.23)
где Q — расход скважины;
го —ее радиус;
ст—половина расстояния между скважинами.
Расход потока в любом сечении эксплуатируемого пласта выра-
жается следующим образом:
q {х, =	.	(VI.3.24)
В соответствии с (VI.3.18) и (VI.3.19) в условиях перетекания
воды из соседних пластов при постоянном напоре в последних полу-
чим:
q(x, f) = q0R*,
Я*
е в erfc(£) + ев erfc(-q)
При отсутствии перетекания
q (х, 0 = 4 q°erfc ( 2	’
(VI.3.25)
(VI.3.26)
(VI.3.27)
Объем воды, поступающий в основной пласт путем перетекания,
найдем по аналогии с тем, как это мы делали для радиального по-
тока:
со
Vnep = V — р.- J Sdx.
— со
(V1.3.28)
142
В соответствии с этим, используя (VI.3.18) и (VI.3.19), получим
, 7	V цер
ДЛЯ Vnep И В -—	—
те же выражения, что для радиальной схемы
(см. формулы (VI.3.12) и (VI.3.13), в которых вместо Q надо при-
нимать q.
Таким образом, и в данном-случае расход водозабора в основ-
ном обеспечивается поступлением воды из соседних водоносных го-
ризонтов путем перетекания через слабопроницаемые глинистые
слои.
Из изложенного следует, что при расчетах водозаборов в слои-
стых толщах влияние соседних пластов как источников питания
может быть весьма существенным даже в тех случаях, когда эти
пласты отделены от эксплуатируемого значительными по мощности
и слабопроницаемыми глинистыми слоями.
Если игнорировать это обстоятельство, мы всегда будем полу-
чать завышенные величины понижений уровня (или при фиксиро-
ванном уровне — более низкие значения расхода). Это, правда, дает
определенный «запас» в расчетах производительности водозаборов,
однако во многих случаях такой «запас» нельзя признать оправ-
данным.
С другой стороны, необходимо отметить, что принятое выше до-
пущение о постоянстве напоров в питающих пластах в реальной
обстановке далеко не всегда выдерживается. В определенных усло-
виях, особенно при длительных и интенсивных откачках, пониже-
ния пьезометрического уровня происходят как в основном, эксплуа-
тируемом, так и в соседних, питающих водоносных горизонтах.
Для того чтобы отразить это обстоятельство, нужно решить си-
стему уравнений (VI.2.1) — (VI.2.6) без ранее сделанных упроще-
ний, которые сводят ее к одному уравнению. Такое решение при-
водится в следующих параграфах.
§ 4. Решение прн изменяющемся напоре в соседних
горизонтах без учета водоотдачи разделяющих слоев
При изменяющихся напорах в основном и в питающих пла-
стах, но без учета упругоемкости разделяющих слоев, в уравнении
(VI.2.3) правая часть будет равна нулю и решение этого уравнения
представится в элементарном виде
+ (VL4J)
В соответствии с этим
OSq ______ Sj — S2
z = z, ~	’
z = z.
143
а вместо уравнений (VI.2.1) и (VI.2.2) получаем (сначала рассмат-
риваем схемы а и б и а' и б' для двух пластов):
a*
a2V2S2-62(52-51)=^
(VI.4.2)
Здесь bi=-------— bz——j, остальные обозначения те же,
/Пои*	и* т°
что в § 2.
Рассмотрим решение уравнений (VI.4.2), как и прежде, для сква-
жины и бесконечной линейной системы скважин.
Одиночная скважина
Начальные и граничные условия в этом случае формулируются
следующим образом:
Z = 0, S1 = S2 = 0,	(VI.4.3)
т. е. до ввода в действие скважины уровни в основных водоносных
горизонтах равны некоторым средним уровням, сформировавшимся
в естественных условиях,
t
., dSj	Qi _____
Um г -s-5- = — д <— = — Qi
dr 2n (km)}	41
ijm r ______________Qi _________7)
11ГПГ dr 2n(km)2
(VI.4.4)
/>0, r=oo, S1==S2 = 0, ^-=^ = 0. (VI.4.5)
Условиями (VI.4.4) фиксируется режим откачки: принимается,
что дебит скважины поддерживается постоянным. Наиболее инте-
ресен случай, когда откачка ведется только из одного горизонта,
т. е. либо Qi=0, Q2 > 0, либо Q2 = 0, Qi > 0.
Строгое решение рассматриваемой задачи в указанной поста-
новке было получено И. А. Чарным [18]. Однако результаты этого
решения представлены в таком сложном виде, что его очень трудно
использовать даже для анализа процесса, не говоря уже о практи-
ческих расчетах. Эта же задача ранее рассматривалась Т. И. Мат-
веенко [15], ею принималась схема трех основных пластов, в од-
ном из которых в процессе откачки напор поддерживается постоян-
ным (см. рис. VI.2, в).
Целесообразно получить приближенное решение уравнений
(VL4.2), приемлемое для практического использования. Например,
во многих случаях можно пренебрегать различиями в пьезопровод-
ности основных пластов.
144
Применяя к уравнениям
лучим [6]:
Л +-^7’i-
Л + ± Л -
(VI.4.2) преобразование Лапласа, по-
^1 + Р у' 1 Ь\ у, _
a-i	1 '	a.i	2
^2 +_Р Т I А.Т =
02	2 1	О2
(VI.4.6)
Решение этих уравнений при условиях (VI.4.5), подобно тому, как
это делалось П. Я. Полубариновой-Кочиной при рассмотрении ана-
логичной задачи для стационарного потока [17], можно предста-
вить в таком виде
7\ = AK0(w) 1
т2=вк0м р
(V1.4.7)
Здесь Ко — символ функции Бесселя второго рода от мнимого ар-
гумента нулевого порядка, А и В — постоянные, подлежащие опре-
делению.
Учитывая, что
д~°д^Г)  + 4- д*°дТГ)- =	(VI.4.8)
из (VI.4.7) получаем:
r2_ Ь±Р\д +^1_£ = 0
I	ai / а\
(VI.4.9)
^2	\	#2	/
Приравнивая нулю определитель системы (VI.4.19), находим
два значения <о:
//4»	* \	4»
Р («1 + «2) + ai^2 +	±
2^	"
+ jPp\ai — а2) +	+ a2bi) aia2 (^1 + b2) + pi b2 + a2b^
Q,(Z\CL2
(VI.4.10)
Здесь знак плюс перед внутренним радикалом соответствует <01,
а знак минус — <х>2-
Подстановка этих значений в (VI.4.9) дает возможность опре-
делить соотношение между коэффициентами Л и В и далее, исполь-
зуя граничные условия (VI.4.4), получить решение в форме изобра-
жений, т. е. для функций Л и Т2. Однако при этом выражения ока-
зываются весьма громоздкими и не удобными для использования.
Допустим вначале, что оба горизонта (/ и 2) характеризуются
одинаковыми фильтрационными свойствами, т. е. а* = а* = а* и
bi = b2=b.
145
В этом случае из (VI.4.10) имеем:
О)
(V1.4.11)
W2 = V I?
а соотношения между коэффициентами А и В оказываются рав-
ными [6]
ПрИ ~^- = — 1, при W2, -^-=1.
Тогда каждое из решений (VI.4.7) может быть выражено так;
=	г),
г),
Г'2) = ^2> = А2/С0(и>2,г).	(VI.4.12)
Общее решение для изображений складывается из этих
решений:
Л = г!0 + Г12) = АЛо(«>!, г) + А2К0 (ш2, г),
т2=т¥ +Т^=-АхК0^, г) + А2К0^2, Г) :
частных
(VI.4.13)
где Ai и Аг — новые постоянные, подлежащие определению из ус-
ловий (VL4.4), которые после преобразования имеют вид;
limr—г?-= —
or	p
r —0	_
i. dTo	O2
limr —5^- = —
dr	p
Используя теперь известные правила дифференцирования функ-
ций Бесселя и учитывая, что при zd; 7(i(z)« —, получим:
(VI.4.14)
г)
=	г)Ко к, г)
(VI.4.15)
При этом переход от изображений к оригиналу осуществляется
по табличным соотношениям [14]. Окончательно решение выра-
жается в следующем виде:
при одновременной откачке из двух горизонтов
S, = - -°-'4^- Ei (-«) +	1Г («, -J-)
Д (-•) --^-Т^ И“'тг)
(VI. 4.16)
146
при откачке из одного горизонта (когда Qt=0)
51=^[_£7(._а)_и7(а, 2_)
S2=-^r_£Z(_a) + U7(a( -П
(VI.4.17)
В этих формулах
Рис. VI. 4. Графики
безразмерных по-
нижений уровня
Si и S2 по форму-
лам (VI. 4.20) для
скважины
Значения функций Ei и W приведены в табл. V.2 и V.4 и в виде гра-
фиков на рис. V.9 и V.l 1 в главе V.
Легко видеть, что первой из этих функций характеризуется от-
качка из скважины в неограниченном пласте, изолированном совер-
шенно водоупорными кровлей и подошвой. Вторая функция опи-
сывает динамику понижения уровня в пласте с учетом перетекания
из соседнего по вертикали пласта, в котором напор поддерживается
постоянным.
Таким образом, здесь соотношения получаются чрезвычайно
простыми: в пределе при больших t разница понижений уровня
в обоих горизонтах приобретает постоянную величину, пропорцио-
нальную разности функций Ei и IF и их сумме. На рис. VI.4
147
л	„-g-	4Si,2
показаны графики безразмерных понижении 51 2=—=— для раз-
Q2
1 г
личных значений Fo= и —, иллюстрирующие сказанное. Вме-
сте с тем из рассмотрения этих графиков следует, что в системе,
состоящей из двух взаимодействующих пластов, в каждом из кото-
рых уровни могут понижаться, сработка запасов подземных вод
происходит непрерывно и фильтрация не стабилизируется.
Иная картина наблюдается в том случае, когда один из водо-
носных горизонтов имеет постоянный источник питания Ч Допустим,
например, что горизонт 2 гидравлически связан еще с одним гори-
зонтом, в котором напор в процессе откачки сохраняется постоян-
ным (см. рис. VI.2, в, в'). Этот случай рассмотрен Т. И. Мат-
веенко [15]. При принятых нами граничных условиях ее решение
может быть представлено в следующем виде:
W (а, -2-) +	Г (а,
2 (М — Л2)	£>! /	4 (Л]— Л2)	\ й2 /
о __	Qi — <2г) ту/ г \ । ^2(^1 <21 — <2г) Ут/ („ г \
^2—	2(Xj-Х2) W Г’ В2)
(VI.4.18)
— у/”62 + 4&i	b2 + у/”62 -|- 46j
Здесь Х[=	; Х2=	I
= Ь9 = -^-.
1	^0	'	^«00
Функция W определяется по формуле (V.3.14) и графикам, изобра-
г	г	1
женным на рис. V.11 в зависимости от —5—, —g— и Fo= , при-
Di	D2	40t
чем
2bi-b2-]/' b1 22 + 4bl
,	2*i -|- b2 + ^/~ b^ + 46]
b2= ----------9-------
2
1 Заметим, что решение (VI.4.16)—(Vl.4.17) нами получено в конце 1964 г.
и тогда же доложено на семинаре при кафедре теоретической механики
МИНХиГП им. Губкина, руководимой проф. В. Н. Щелкачевым. В 1965 г. сход-
ное решение было получено А. М. Бегматовым [3], но в его работе принималась
предпосылка о наличии третьего питающего слоя с постоянным напором.
148
Если эксплуатируется один горизонт, например, горизонт 2, т. е.
при Qi=0, вместо формул (VI.4.18) получаем:
•  	Рг
'1—	2(?.j —/,2)
•	&
'2— 2(/.!-Л2)
Z.U7 (».	- >,Ц7 (а, £)
(VI.4.19)
Поскольку bi < 0 и 62 > 0, то всегда М < 0 и Л2 > 0. С учетом
этого имеем в правой части выражения для Si — разность функ-
ций W, а для 32— их сумму.
Формулы (VI.4.19) показывают, что при наличии питающего
слоя, в котором напор не снижается (т. е. по существу при «безгра-
ничных» запасах воды в этом слое), понижения уровня в толще,
состоящей из двух водоносных пластов 1 и 2, постепенно стабили-
зируются и снижение уровня в неэксплуатируемом горизонте 1 про-
исходит не столь интенсивно, как в изолированной двухслойной си-
стеме (ср. с формулой (VI.4.17).
Заметим, что при 6i=0, b* =0, Ь* = Ьг, —-——=0,
1	z	Л1 — Л2
Х2 ____ .
Л1 —Х2~ “	‘
Таким образом,
(V1.4.20)
т. е. получаем зависимость, идентичную (VI.3.4) из предыдущего-
параграфа.
Изложенное решение для пластов с одинаковыми фильтрацион-
ными характеристиками, естественно, имеет ограниченную область
применения, поскольку в реальной обстановке водоносные пласты
всегда в той или иной мере различаются по своим фильтрационным
свойствам. При этом можно предположить, что в условиях неуста-
новившегося движения преобладающее влияние на процесс взаимо-
действия основных пластов при наличии раздельного слабопрони-
цаемого слоя должна оказывать «водоемкость» этих пластов, т. е.,
иначе говоря, общие запасы воды в них, определяемые показате-
лями водоотдачи ц* и ц* .
Для оценки этого фактора рассмотрим решение данной задачи
при условии а* =а* =а*, но при Ь^Ьг. Физически это означает.
что мы принимаем прямую пропорциональность в изменениях во-
доотдачи и водопроводимости в каждом горизонте. В этом случае,
как видно из (VI.4.10),
(VI.4.21)
149
Поступая как в предыдущем случае получим:
при одновременной откачке из двух горизонтов
е _ _	62Qi+^iQ2	рц	\
2(*1 + М
S ______62<?1 + 61Q2	су (	X
^2—	2 (bl + b2)	С (	>
I (Q1 — Q2)
“Г 2(*! + Ы
__ ^2 (Q1 — Q2)
2 (ftj + b2)
(VI.4.22)
при откачке из одного горизонта
» _ b^Q2
4 ~ 2^+М
• __ Qi
2 2(Ьг + Ь2)
-^(-a)-Uz(a, -£-)
-A£/(-a) + Mr(a, -J-)
(VI.4.23)
где В= I/ , остальные обозначения прежние,
f 61 + 62
Таким образом, здесь понижения уровня в каждом горизонте
оказываются зависящими от водопроводимости раздельного слоя и
соотношения показателей водоотдачи ц* и ц* в основных пластах.
В сущности величина понижения уровня в этом случае представ-
ляется в виде некоторой средневзвешенной величины по водоотдаче.
Формулы (VL4.16)— (VI.4.17) и (VI.4.22) — (VI.4.23) являются
результатом строгого решения исходной системы уравнений (VI.4.2)
при сделанных предположениях о значениях параметров а* и 6.
Интенсивность перетока из одного горизонта в другой может
быть оценена по выражению (VI.3.11) предыдущего параграфа.
Подставляя в него, например, вторую формулу (VI.4.23) (для опре-
деления Зг), получим:
г =	-----(Ь Л vt [1 — е~(Ь1~ЬЬгХ]. (VI.4.24)
И	^1 + ^2	(Р1 4- 0<2)2t L	J	7
В случае, когда 61 = 62=6, соответственно
+	(VI.4.25)
Следует заметить, что выражение (VI.4.24) полностью совпадает
с аналогичной зависимостью, полученной И. А. Парным при строгом
рассмотрении задачи, без допущения о равенстве коэффициентов
пьезопроводности (т. е. при а* =+а* ) [18].
В табл. VI.4 приведены значения по формуле (VI.4.24) для раз-
k
личных соотношений ц* и ц* при -------------= 10-4 1/сутки и / =
=100 суток.
Таблица VI.4
Значения е по формуле (VI.4.24)
Н	•	•	•	Ю-5
Н2	•	•	•	Ю-“
е .	.	.	,	0,09
2-10”5	5 . Ю-5
10-4	10-4
0,17	0,33
10-4	2  10-4
10-4	Ю-4
0,5	0,66
5 • 10-4	ю-з
10-4	ю-4
0,83	0,9
150
При более или менее длительных откачках последние члены в фор-
муле (VI.4.24) становятся пренебрежимо малыми. При этом имеем:
----.	(VI.4.26)
Н1.+ Н2
Таким образом, различия в запасах воды основных пластов дей-
ствительно являются определяющими в процессе перетекания. Да-
лее будет показано, что значительную роль в этом играет также
водоотдача раздельного слоя. В заключение настоящего параграфа
приведем решение для слоистой системы пластов при действии ли-
нейного ряда скважин весьма значительной протяженности.
Линейный ряд скважин весьма значительной
(«бесконечной») протяженности
Для такой схемы при замене линейного ряда скважин галереей
система (VI.4.1) —(VI.4.2) решается аналогично изложенному, при-
чем на самой галерее условия записываются следующим образом:
6Sj 	—
t>0, х = 0, ,с
Gog	$2
дх 2 (km)2
(VI.4.27)
где qi и qz— полные дебиты (с двух сторон) галереи в основных
слоях 1 и 2.
Применяя преобразование Лапласа к уравнениям (VI.4.2) при
а* =а* =а и 61 = 62=6, получаем:
т\ -	Т Р 'Р [ а 1 1 “Г	4-л=о	
л -	т + а	2 ‘	& | S 11 О	(VI.4.28)
Представим решение этих последних уравнений в таком виде:
т __Ар~шх 1
1	.	(VI.4.29)
Т2=Ве~шх J
Дважды дифференцируя каждое из них и подставляя в (VI.4.28),
находим систему, аналогичную (VI.4.9), и выражения для o»i и (02
по (VI.4.11) при а* =а* =а и 61 = 62=6.
В результате получаем решения для изображений:
71 = де+ Д2е-ШгХ |
Г2=- -Aje-”'* + A2e~m-'x J
(VI.4.30)
151
После определения по условиям (VI.4.27) значений Ai и Л2 ре-
шение изображений выразится так:
т = <71 —<7г е ш’х [	<71 + е Шг'г
1	4 WjP I” 4	102Р
т = _	<71~	<72 е~а),'г		<71 +<72	е~ШаХ
2	4	(DjP	"I 4
После перехода к оригиналу
о ___ 4х	+ 42 VD	1	4Х~Ч2	гг>
□ 1 —-----2-----“1-----------2
о	<71	+ <72 „р	Чх—	42	гг>
° 2 —-----2------------------2	л,/'2
(VI.4.31)
(V1.4.32)
Здесь fa и —безразмерные сопротивления, определяемые соот-
ветственно по выражениям (VI.3.20) и (VI.3.19) предыдущего па-
раграфа.
Функция fa характеризует течение в неограниченном изолиро-
ванном пласте, a fa— в пласте с перетеканием при условии посто-
янства напора в питающем горизонте.
При откачке из одного пласта, например, когда <71 = 0, получаем:
52=^(/?1 + /?2)
(VI.4.33)
__	£	__ £2
Графики безразмерных понижений Si= и S2 = по урав-
Чх	<?2
нениям (VI.4.33) для различных значений — и Го приведены
D
на рис. VI.5.
Закономерности изменения уровня в обоих горизонтах в рас-
сматриваемой задаче для галереи принципиально те же, что в оха-
рактеризованной выше радиальной схеме для скважины.
В случае, когда имеется постоянный источник пополнения запа-
сов, т. е. один из горизонтов связан через слабопроницаемый слой
с водоносным пластом, в котором напор неизменен, имеем следую-
щее решение:
при одновременной откачке из двух горизонтов
5,=
52 =
(?2?t — ?г)-У р („ Л [	(М1~ <7г)*
2	~ / 2)	2 \ ’ В1 /	*1 - >-2
/1 (Х2<7! — 42) х
2(Х1-л2)
>2 0-1 <71 — <7г) х D / х \
Л1-/.2	В2)
^2	+

(VI.4.34)
152
при откачке из одного горизонта
S. = 2(а’-а,) И	Ь <
$3= 2 (А^— >.j [А1^3 (’•	) — 2Аа^2 (“* ~g^
(VI.4.35)
Здесь всюду обозначения те же, что для радиальной задачи,
т. е. Xi, А.2, Bt и Вц находятся по формуле (VI.4.18).
Рис. VI. 5. Графики без-
размерных шэнижений
уровня Si и S2 по фор-
мулам (VI. 4.35) для ли-
нейной системы скважин
В отличие от двух изолированных горизонтов при этом пониже-
ния уровня в процессе откачки стабилизируются и в пределе стре-
мятся к постоянной величине. В этом случае функция fa выра-
жается следующим образом:
/?,(а = 0; -дМ=-^е~^.	(V1.4.36)
' \	D1 _п /	л
Отметим, что изложенным способом может быть решена задача
по расчету скважины и галереи в толще из трех основных горизон-
тов, изолированных и связанных с постоянным источником питания.
153
§ 5.	Решение при изменяющемся напоре в соседних
горизонтах с учетом водоотдачи разделяющих слоев 1
Существенная роль водоотдачи разделяющих глинистых слоев
при фильтрации в слоистых системах впервые была показана в ра-
боте Хантуша [19, 20]. Этот же вопрос рассматривал В. М. Шеста-
ков [22]. Однако указанными авторами принималась предпосылка
о постоянстве напора в питающем слое или вообще об отсутствии
питающего слоя.
Представляет интерес оценка возможного влияния водоотдачи
раздельных слоев в изложенной выше схеме взаимосвязанных на-
порных пластов при изменяющихся напорах в них в процессе от-
качки. Решение такой задачи может быть получено на основе урав-
нений (VI.2.1) — (VI.2.3) при следующих граничных условиях
на контакте основных горизонтов с разделяющим слабопроницае-
мым слоем:	,
*>0, So — Sj при z1 = m0-y S0 = S2 при z2 = 0.	(VI.5.1)
Начало координат принимается на подошве слабопроницаемого
слоя, а ось z совмещается с центром водозабора. Остальные началь-
ные и граничные условия прежние.
Одиночная скважина
Найдем сначала решение уравнения (VI.2.3), которым описы-
вается фильтрация через слабопроницаемый раздельный слой. Ис-
пользуя для этого преобразование Лапласа, получим:
V7'o = 0’
(VI.5.2)
и с учетом условий (VI.5.1)
Отсюда имеем:
1 Эта задача рассмотрена автором совместно с Н. Н. Лапшиным [9].
(VI.5.4)
(V1.5.5)
154
Если теперь подставить (VI.5.4) и (VI.5.5) в уравнения (VI.2.1)-
и (VI.2.2), предварительно выразив их в преобразованной форме,
то это приведет к системе, подобной (VI.4.6):
-аЛ + ^^0
Л +	--а.Т2 + ф\ = 0
(VI.5.6)
где
<VL5-7>
‘VI'5-8)
Напомним, что нами принимается а* =а* =а* и 61 = 62 = 6.
Решение уравнений (VI.5.6) по аналогии с тем, как это было сде-
лано выше при рассмотрении задачи без учета водоотдачи разде-
ляющих слоев, можно представить так:
Л = АгК0 (г	+ ₽) + АГ)(г /Г3?)
Л = - АГ> (г ГГ+Р)+а2к0 (г
где Д1 и Лг находятся из условий (VI.4.14).
Переход от изображений (VI.5.9) к оригиналу можно осущест-
вить по формуле обратного преобразования. Однако при этом ре-
зультат получается сложным и неудобным для использования.
Найдем, как и прежде, решение, пригодное для оценки пониже-
ний уровня при длительных периодах откачки. Разлагая в ряд урав-
нения (VI.5.7) и (VI.5.8) и сохраняя в них первые два члена, можно
получить:
т +	+	+	(VI.5.10)
т- (1 +	.	(VI.5.11)
Легко видеть, что при этих значениях аргументов функций Мак-
докальда, входящих в уравнения (VI.5.9), переход от последних
к оригиналу дает решение в таком же виде, что и без учета водо-
отдачи разделяющего слоя, т. е. в данном случае понижения уровня
Si и S2 в верхнем и нижнем пластах определяются соответственно
по формулам (VI.4.16) —при одновременной откачке из обоих пла-
стов, и по формулам (VI.4.27)—при откачке только из нижнего
пласта. Но в этих формулах следует принимать:
155
а*
при определении функции Ei (—а)
km
+ 2
при определении функции W
а
km
&
* + 2°
6
(VI.5.12)
(VI.5.13)
Совершенно аналогично получаем решение для линейного ряда
скважин (галереи) в виде (VI.4.32)—при одновременной откачке
из двух пластов и (VI.4.33) — при откачке из нижнего слоя. Входя-
щие в них функции безразмерных сопротивлений Rt и R* опреде-
ляются по (VI.3.20) и (VI.3.19) при значениях коэффициента пьезо-
проводности, соответственно по (VI.5.12) и (VI.5.13).
Учитывая, что решения (VI.4.16) и (VI.4.17) по своей структуре
аналогичны решениям (VI.4.22) и (VI.4.23), можно считать, что все
они будут действительными также и для оценки понижений уровня
с учетом водоотдачи раздельного слоя, если в них коэффициент
пьезопроводности определять по указанным рекомендациям.
Полученные результаты можно использовать при
^>(3-:-	(VI.5.14)
Этот критерий вытекает из оценки отбрасываемых членов ряда
в разложениях у и 0. Из него следует, что расчеты по приведенным
формулам можно с точностью до 5—10% производить в весьма ши-
роком диапазоне времени.
Изложенные решения показывают, что в слоистых водоносных
системах, так же как в разобранном ранее типе неглубокого напор-
ного пласта (см. § 1 настоящей главы), влияние поступления воды
из разделяющего слабопроницаемого глинистого слоя находит от-
ражение в величине коэффициента пьезопроводности; последний
оказывается в данном случае зависящим от коэффициентов водо-
отдачи основного и разделяющих слоев.
При равенстве коэффициентов водоотдачи основного и разде-
ляющего слоя (т. е. при Н*_2 = Н* ) безразмерное сопротивление и
соответственно понижение уровня в слое, из которого производится
откачка, сокращается в общем несущественно. Лишь при значи-
тельных величинах коэффициента водоотдачи разделяющего слоя
(когда ц.* > ц* ) понижения уровня оказываются много мень-
шими. Однако и в данном случае относительное сокращение пони-
жения уровня со временем убывает.
156
Поскольку в приведенных решениях всюду принималось а* =
— а* =а, Н. Н. Лапшиным [9] были проведены расчеты на элек-
троинтеграторе по схеме Либмана при различных значениях пьезо-
проводности основных слоев. Рассматривалась трехслойная толща
по схемам б и б' (см. рис. VI.2).
Сопоставление полученных .результатов моделирования с ре-
зультатами расчетов по приведенным аналитическим зависимостям
У а*
Ij Ij 300 понижение
уровня в слое, из которого производится откачка, может опреде-
ляться по этим зависимостям не только в случае а* = а* , но и при
а* =(0,1 10)а* . Применение этих же формул при В = 200 дает
ошибку (в тех же пределах изменения а* и а* ) порядка 104-20%.
Вместе с тем моделирование показало, что понижение уровня —
в соседнем основном водоносном пласте (из которого откачка не
производится) существенно зависит от соотношения проводимостей
обоих пластов. Поэтому при значительных различиях в проводимо-
сти пластов применение приведенных решений в этом случае (т. е.
при определении понижения уровня в соседнем неэксплуатируемом
пласте) может привести к большим погрешностям.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VI
1.	Аравин В. И., Н у м е р о в С. Н. Теория движения жидкостей и газов
в недеформируемой пористой среде. Гостехтеориздат, 1953.
2.	Б а р е н б л а т т Г. И., Ж е л т о в Ю. П., К о ч и н а И. Н. Об основных
представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых по-
родах. Ж. «Прикладная математика и механика» АН СССР, т. XXIV, вып. 5,
1960.
3.	Б е г м а т о в А. М. Некоторые задачи нестационарного притока грунто-
вых вод к скважине вертикального дренажа. Кандидатская диссертация. Ин-т
гидродинамики Новосибирского отделения АН СССР, 1965.
4.	Бочевер Ф. М. Неустановившийся приток подземных вод к линейному
ряду скважин в артезианских бассейнах. Изв. АН СССР ОТН Мех. и маш., № 1,
1960.
5.	Бочевер Ф. М. К расчетам скважин в неглубоких напорных водонос-
ных пластах артезианских бассейнов. Тр. ин-та ВОДГЕО, Гидрогеология, вып. 6,
1964.
6.	Бочевер Ф. М. К методике гидрогеологических расчетов водозаборных
сооружений в слоистых водоносных толщах. «Трудове върху геологията на
България. Серия инженера геология и хидрогеология», кн. V, 1966.
7.	Бочевер Ф. М. и Веригин Н. Н. Методическое пособие по расче-
там эксплуатационных запасов подземных вод для водоснабжения. Госстройиз-
дат, 1961.
8.	Бочевер Ф. М., Гармонов И. В., Лебедев А. В., Шеста-
ков В. М. Основы гидрогеологических расчетов. Изд. «Недра», 1965.
9.	Бочевер Ф. М. и Лапшин Н. Н. К вопросу о гидрогеологических
расчетах скважин в слоистых толщах. Тр. ин-та ВОДГЕО, Гидрогеология,
вып. 14, 1968.
10.	Васильев В. А., Хабиров А. С. Неустановившееся движение грун-
товых вод к скважине вертикального дренажа. Тр. Ташк. гос. ун-та, вып. 189,
1961.
157
11.	Веригин Н. Н„ Шестаков В. М. Методы расчета движения грун-
товых вод в двухслойной среде. Изд. ВНИИ ВОДГЕО, 1954.
12.	Гири некий Н. К. Некоторые вопросы динамики подземных вод. Сб.
«Вопросы гидрогеологии и инженерной геологии», № 9, Госгеолиэдат, 1947.
13.	Гуссейн-Заде М. А. Вопросы учета проницаемости кровли и по-
дошвы пласта при движении в них жидкости. Тр. МИНХиП им. Губкина, вып. 33,
1961.
14.	Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному
исчислению. Изд. «Высшая школа», 1965.
15.	Матвеенко Т. И. О неустановившейся фильтрации в одном и двух
пластах. Изв. АН СССР, ОТН № 6, 1957.
16.	Мят и ев А Н. Напорный комплекс подземных вод н колодцы. Изв.
АН СССР, ОТН, № 9, 1947.
17.	Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод.
Гостехтеориздат, 1952.
18.	Ч а р н ы й И. А. Фильтрация в пласте с непроницаемыми кровлей и по-
дошвой, разделенном слабопроницаемой перемычкой. Тр. МИНХиП им. Губкина,
вып. 33. Гостоптехиэдат, 1961.
19.	X а н т у ш М. С. Новое в теории перетекания. Сб. «Вопросы гидрогеоло-
гических расчетов» (переводы статей под редакцией Ф. М. Бочевера и В. М. Ше-
стакова). Изд. «Мир», 1964.
20.	Хантуш М. С. Анализ данных опытных откачек из скважин в водо-
носных горизонтах с перетеканием. Сб. «Вопросы гидрогеологических расчетов»
(переводы статей под редакцией Ф. М. Бочевера и В. М. Шестакова). Изд.
«Мир», 1964.
21.	Шестаков В. М. Неустановившаяся фильтрация в двухслойной среде.
Изв. АН СССР, ОТН, № 6, 1963.
22.	Шестаков В. М. О влиянии упругого режима фильтрации в раздель-
ных слоях на взаимодействие водоносных юризонтов. Изв. Высш, учебн. зав.,
«Геология и разведка», № 10, 1963.
VII
Расчеты водозаборов
в полузакрытых
и закрытых
структурах
§ 1. Гидрогеологические условия и расчетные схемы
В краевых частях артезианских бассейнов водоносные пласты
выходят на поверхность или залегают на небольшой глубине, отде-
ляясь от поверхности маломощными слоями хорошо водопроницае-
мых пород. Такие условия наблюдаются во многих районах. Типич-
ным в этом отношении является, например, упоминавшийся выше
Терско-Кумский артезианский бассейн. Разрезы периферийной ча-
сти этого бассейна приведены на рис. VII.1 и VII.2. Аналогичная
картина вырисовывается и в краевых частях Западно-Сибирского
артезианского бассейна (см. рис. V.4).
При расположении водозаборных сооружений в небольшом уда-
лении от указанных краевых частей артезианских бассейнов необ-
ходимо учитывать влияние инфильтрационного питания на площади
выхода пласта на поверхность и возможность частичного его осу-
шения при интенсивных откачках, происходящих в связи с этим
понижениях пьезометрического уровня. В небольших артезианских
бассейнах подобные зоны выхода водоносного пласта на поверх-
ность прослеживаются вдоль всей границы бассейна. К такому типу
ограниченных по своим размерам бассейнов подземных вод прибли-
жаются мульды Западного Казахстана например, Новоукраинская,
Приилекская, Коктюбинская и др. В них, как известно, основной
водоносный горизонт заключен в песках мелового возраста. Эти
пески в центральных частях мульд перекрыты мощной толщей во-
донепроницаемых пород, а по периферии они выходят на поверх-
ность. Запасы подземных вод в таких структурах, как правило, не-
велики. Однако вследствие недостатка воды в районе они приобре-
тают практическое значение.
Нередко приходится сталкиваться с необходимостью оценки
производительности водозаборных сооружений, расположенных
вблизи практически водонепроницаемых границ. Такие условия на-
блюдаются также в краевых частях артезианских бассейнов. На-
пример, многочисленные водоносные зоны ограниченных размеров
приурочены к трещиноватым и закарстованным известнякам на
Урале (рис. VII.3). В плане они представляют собой вытянутые
159
Рис. VII. 1. Схема Терско-
Кумского артезианского
бассейна. I—I и II—II —
линии гидрогеологических
разрезов (из материалов
Гидрорежимиой экспеди-
ции ВСЕГИНГЕО)
Рис. VII. 2. Гидрогеологический разрез по линии I—I Терско-Кумского артезианского бассейна
/ — суглинки; 2— глины; 3 — пески; / — песчаники; 5 — мергели; б — пьезометрический уровень водоносного горизонта
полосообразные или приближающиеся к кругу водоносные струк-
туры, контактирующие с весьма слабо водопроницаемыми (практи-
чески водоупорными) изверженными и метаморфическими поро-
дами. Такие структуры характерны для Урала, что дало основание
Н. И. Плотникову назвать их «месторождениями подземных вод
уральского типа» [13].
План
Рис. VII. 3. Схема
ограниченных по-
лосообразных во-
доносных структур,
характерных для
Урала
1 — суглинки и гли-
ны; 2 — водоносные
трещиноватые и за-
карстованные извест-
няки; 3 н 4 — извер-
женные породы; 5 —
уровень подземных
вод
Замкнутые бассейны трещинно-карстовых вод встречаются
в Центральном Казахстане — в районах Караганды, Джезказгана
[9, 11] и в других местах.
Охарактеризованные гидрогеологические условия с точки зрения
оценки эксплуатационных запасов подземных вод и расчета произ-
водительности водозаборных сооружений можно представить в виде
следующих типовых схем:
1)	полузакрытого пласта («полуограниченный пласт»), в кото-
ром учитывается влияние только одной границы — в области вы-
хода пласта на поверхность или на контакте его со слабопроницае-
мыми породами;
162
2)	полосообразного пласта («пласт-полоса»), в котором нахо-
дят отражение две границы подобного типа;
3)	кругового пласта («пласт-круг»), т. е. «закрытой» со всех
сторон структуры.
Применительно к указанным схемам далее рассматриваются
методы расчета водозаборов, волосообразные структуры будут,
кроме того, охарактеризованы далее в главе VIII, где излагаются
методы расчета водозаборов в водоносных горизонтах речных
долин.
§ 2. Полузакрытые пласты.
Влияние осушения пласта в краевой области
Схема полузакрытого пласта представлена на рис. VI 1.4. Вся
область фильтрации в этом случае может быть разделена на две
зоны. В первой зоне, где водоносный пласт выходит на поверхность
Рис. VII. 4. Схемы
к расчету скважин
с учетом частично-
го осушения пласта
в области выхода
его на поверхность
а и б — план (для
скважин и линейной
системы скважин);
в — разрез.
или перекрывается хорошо водопроницаемыми породами, подзем-
иые воды связаны с атмосферой и являются безнапорными. При
понижении уровня здесь происходит осушение пласта и изъятие
некоторой части статических запасов.
Во второй зоне, охватывающей остальную, большую часть пла-
ста, как правило, сохраняются напорные условия. При отсутствии
перетекания из соседних слоев производительность водозаборных
сооружений здесь обеспечивается за счет высвобождения упругих
163
запасов, обусловленных расширением воды и сжатием пласта
вследствие понижения напора при откачке.
В таких условиях в каждый момент времени справедливо сле-
дующее балансовое соотношение:
t
$Qdt = VBl-\-VB2,	(VII.2.1)
о
где Q — расход водозабора;
t — длительность откачки;
VDi — объем воды, получаемой из безнапорной зоны в резуль-
тате ее осушения (статические запасы);
VB2 — то же из напорной зоны (упругие запасы).
При этом
(VII.2.2)
(VII.2.3)
В этих последних выражениях Упл i и Упл 2 объемы пласта со-
ответственно в области выхода его на поверхность (осушенная
часть) и в напорной зоне (в пределах которой имеет место упругая
отдача), ц— коэффициент водоотдачи пласта при его осушении,
ц* — то же, в напорных условиях.
Известно, что величина ц колеблется от 0,03—0,05 в трещино-
ватых породах до 0,1—0,25 в песках и гравелисто-галечниковых от-
ложениях. Значения коэффициента водоотдачи в напорных усло-
виях ц*, как было показано в главе III, варьируют от (3—5) • 10-6
для трещиноватых пород до 10~2—10-4 для песков и рыхлых песча-
ников.
Имея в виду такие соотношения между величинами ц и ц*,
можно полагать, что объем воды ИВ1 за счет осушения пласта-
во многих случаях может быть значительным и вполне соизмери-
мым с объемом воды VB2 из напорной зоны.
Задача о фильтрации к водозабору с учетом осушения пласта
в области выхода его на поверхность решается, как и во всех пре-
дыдущих схемах, на основе уравнения теплопроводности
i d-S । d2S \ dS	п
а Н~9 + -д-9 = -%- ,	(VII.2.4)
(дх2 1 ду2 I at	'	’
где S — понижение уровня в любой точке с координатами х, у в лю-
бой момент времени /;
, ,	/ km \
а — коэффициент пьезопроводности ( а= —— I .
Условие на внешней границе пласта в области выхода его
на поверхность формулируется следующим образом [2, 7]:
/>0, х = 0,	л= —.	(VII.2.5)
’ дх dt	р.	'	'
к
Здесь k— коэффициент фильтрации пласта, т — его мощность.
164
Условие на бесконечности:
/>0, х=со, у = ± со, 5 = 0,	-fl = 0.	(VII.2.6)
'	ох ду	'	7
Начальное условие обычное:
/ = 0, 5 = 0.	(VII.2.7)
На водозаборном сооружении принимаем условие постоянства
расхода.
Ниже излагаются решения при указанных условиях для отдель-
ной скважины (и ограниченной группы любым образом располо-
женных взаимодействующих скважин) и линейного ряда скважин
весьма значительной («бесконечной») протяженности.
Одиночная скважина и группа любым образом расположенных
взаимодействующих скважин
Схема расположения скважины показана на рис. VII.4, а. Усло-
вие на скважине (стоке) записывается так:
/>0, г —* 0, lim г Л1 = —-=-^—. (VII.2.8)
Применяя преобразование Лапласа по переменной t, вместо
уравнения (VII.2.4) получим:
Тх + Ту - Т = 0.	(VII.2.9)
Граничное условие (VIL2.5) в форме изображения будет:
х = 0, кТх — рТ = 0,	(VII.2.10)
а условие (VI 1.2.8)
г —0, lim гТ'г = - о-?— .	(V1I.2.11)
’	Ir.kmp	'	'
Условие (VII.2.6) не претерпевает изменений. Представим реше-
ние (VII.2.9) в виде суммы двух функций:
Т’ = Г1 + Г2.	(V1I.2.12)
Пусть функция Л представляет собой решение уравнения
(VII.2.9), учитывающее наличие скважины (стока), в точке распо-
ложения которой имеет место особенность, т. е. напор и производ-
ная от напора равны бесконечности. Этому удовлетворяет функция
Бесселя от мнимого аргумента нулевого порядка Ко. В соответст-
вии с этим выражение для Ti можно записать следующим образом:
Л = А/С0(г(VII.2.13)
г = У(х0 — х)2 + у2.	(V1I.2.14)
165
Постоянная Л определяется из условия (VII.2.11)
г-*0,
М'УЧ)________
dr	Ir.kmp
(VII.2.И)
Учитывая, что
dK0(z) dr	—/СДг), при z<l A'1(z)«	z ’
получим	я _ Q 2r.kmp	(VII.2.15)
Таким образом,	(rV — ) 1 2nkmp и \ г а ]	(VII.2.16)
Используем теперь бесконечное преобразование Фурье по коорди-
нате у, т. е. введем в рассмотрение функцию, определяемую сле-
дующей зависимостью:
00
U{x, °, Р) = -^- J Т (х, у, р)е~‘°ус1у,
— СО
(VII.2.17)
где о—параметр преобразования.
Тогда вместо (VII.2.16) получим (см., например, [14]):
Qe-	“
Л ~
Ankmpw
(VII.2.18)
где
.	(VII.2.19)
Обратимся теперь к функции Т2 в уравнении (VII.2.12). Эта функ-
ция должна являться решением уравнения (VI.2.9) при отсутствии
особых точек в области фильтрации. Согласно (VII.2.17) имеем:
T2y^--a2U2.
И, следовательно, из (VI 1.2.9) находим:
-<Л/2 = 0.
Решением этого уравнения будет
и2=в&~шх.
(VII.2.20)
(VII.2.21)
(VII.2.22)
166
Общее решение (VII.2.9) представится в виде суммы уравнений
(VII.2.18) и (VII.2.22):
U-	+Ве-“.	(VII.2.23)
Постоянную В здесь определим, исходя из условия (VII.2.10):
(VU.2.24)
где	Х' = -Т-	(VII.2.25)
Подставляя (VII.2.24) в (VII.2.23), после некоторых преобразова-
ний получаем:
+	(Х°+ЛГ) “ >2--Л?а2- •	(VII.2.26)
Для перехода от изображения по Фурье (VII.2.26) к преобразован-
ным ранее исходным функциям по Лапласу применим формулу об-
ращения бесконечного преобразования Фурье:
Т(х, у, />)= J Щх, у, p)e.l°y fa.	(VII.2.27)
— 00
При этом будем иметь:
r= Q [^rfs+
Ankmp J pu) 1
— oo
+ ^— f eN /"/Л, da, (VII.2.28)
1 2nkmp J	co2—(^fPr
— 00
где
M = lay — | x0 — x | ш,
TV = lay — (x0 + x) и.
Первый член в правой части (VII.2.28), как это следует из (VII.2.13)
и (VII.2.18), содержит изображения функции Бесселя Ко, а именно:
J	/?)+*> О’(VH-2-29)
— 00
причем здесь г выражается по (VII.2.14), а
Р=Нхо + х)2 + У2-	(VII.2.30)
167
Переход к оригиналу от (VII.2.29) с помощью обратного преоб-
разования Лапласа осуществляется по таблицам:
-Ei
(VII.2.31)
где Ei — символ интегральной показательной функции. Выражение
для оригинала от второго члена в правой части уравнения (VII.2.28)
оказывается весьма громоздким. Приемлемый для практического
пользования результат находится, если считать пренебрежимо ма-
лой величину (Х'р)2 по сравнению с величиной <в2. Это возможно
для более или менее значительного времени откачки. В этом случае
2nkmp J со2—(X' р)2	r.km
— СО
d^cos
о
Переход к оригиналу от этого выражения уже затруднений не вы-
зывает:
Q
2~km
Окончательно, таким образом, искомое решение нашей задачи мо-
жет быть представлено в следующем виде:
(vn.2.33)
Rt=~Ei (-	7-Eli-. (VII.2.34)
\	™ о /	\	4Г о /
—о
A ^erfc 1. (VII.2.35)
2 Pxo V Fo J 2 /77	’
В этих формулах Rt— безразмерное гидравлическое сопротивление
при действии скважины в пласте, ограниченном прямолинейным не-
проницаемым контуром, a Rz— часть безразмерного сопротивле-
ния, которым учитывается осушение пласта в области выхода его
на поверхность.
Здесь
n I1* с	—	.V — V
9 — -—	, Fс	----- —к- , х —	—	, у -	—
Уо
(VII.2.36)
168
Формула (VII.2.35) применима при Fo
Зн-5
(хор)2 ’
Из рассмотре-
ния приведенных расчетных зависимостей (VII.2.33), (VII.2.35)
видно, что при осушении водоносного пласта в области выхода его
на поверхность понижения напорного уровня всюду меньше, чем
в случае, когда пласт ограничивается непроницаемым контуром
Лишь в пределе при 0—>-оо (т. е. когда ц—>0) расчеты по обеим
схемам дают один и тот же результат.
Малые значения р (когда ц—>-1) приближают рассматривае-
мую схему с осушением пласта к схеме с постоянным напором
на внешней границе.
В этом случае понижение уровня в любой точке пласта может
быть определено по той же формуле (VII.2.33) при /?2=0 и при об-
щем гидравлическом сопротивлении, выражающемся следующим
образом:
/?> =	(_	+ El (- (1	у2) •	(VII.2.37)
Зависимости (VII.2.34) и (VII.2.37), как видим, отличаются
только знаком между функциями Ei (в первой знак плюс, а во вто-
рой знак минус). В обоих случаях — при непроницаемой границе и
границе с постоянным напором — расчетные формулы, как изве-
стно, легко получить путем зеркального отображения реальной
скважины и наложения фильтрационных течений [5]. При этом
расход воображаемой скважины при непроницаемой границе бе-
рется с тем же знаком, что и для реальной скважины, а при границе
с постоянным напором — с противоположным знаком.
Схема неограниченного пласта занимает промежуточное поло-
жение по сравнению с указанными.
В табл. VII.1 приведены значения безразмерного сопротивления
при х=1 по формуле (VII.2.35). На рис. VII.5 показаны гра-
фики величин R=Ri— R2 по формулам (VII.2.34) и (VII.2.35) для
схемы с осушением пласта на контуре; R = Ri по формуле (VII.2.34)
для схемы с непроницаемым контуром (<?х=0), R = Ri по формуле
(VII.2.37) для схемы с постоянным напором на контуре (SK = 0).
Средней пунктирной линией дано сопротивление R = Ri<x, для сква-
жины в неограниченном водоносном пласте
(VII.2.38)
Таким образом, различия в понижениях уровня во всех рассмот-
ренных случаях могут быть существенными, что необходимо учиты-
вать при выборе расчетной схемы и постановке граничных условий.
Последние должны отвечать реальным природным условиям пита-
ния пласта через внешнюю границу, которая приближенно в дан-
ном случае представляется в виде прямой линии.
169
Таблица VII.1
Безразмерное сопротивление R? по формуле (VII.2.35)
при х=1
							
	10	20	50	100	500	1000	3000
у=0,5
0,1 0,2 0,4 0,66 1	1,094 0,730	1,471 0,883 0,589	1,049 0,629 0,420	1,569 0,784 0,471 0,314	1,504 0,752 0,376 0,226 0,150	1,081 0,540 0,270 0,162 0,108	0,635 0,317 0,159 0,095 0,063
				y=i			
0,1 0,2 0,4 0,66 1	1,073 0,716	1,471 0,883 0,588	1,049 0,629 0,420	1,569 0,784 0,471 0,314	1,503 0,752 0,375 0,226 0,150	1,081 0,540 0,270 0,162 0,108	0,634 0,317 0,159 0,095 0,064
				у=5			
0,1 0,2 0,4 0,66 1	0,404 0,270	1,090 0,654 0,436	0,930 0,558 0,372	1,477 0,739 0,443 0,296	1,485 0,743 0,371 0,223 0,148	1,074 0,537 0,268 0,161 0,108	0,633 0,317 0,158 0,095 0,062
Расход подземных вод через эту границу находится из следую-
щего соотношения:
„ ь F
Qx=o=-M
—СО
dy.
х = 0
(VII.2.39)
В общем виде величина Q 0 может быть представлена так:
QX=O = Q/?*,
(VII.2.40)
где Q — расход скважины (принимается постоянным в течение
всего процесса откачки);
R* — некоторое безразмерное сопротивление
170
Рис. VII. 5. Графи-
ки безразмерных
сопротивлений
— R2 по фор-
мулам (VII. 2.34)
и (VII. 2.35)
Последнее для схемы с осушением пласта в области выхода его
на поверхность определяется следующим образом-
23х0 Уr.F0
(VII.2.41)
т. е. при малых величинах рхо доля расхода водозаборной сква-
жины, формирующаяся за счет осушения пласта, может достигать
значительных размеров. В табл. VII.2 приведены значения /?*, вы-
численные по (VII.2.41) для различных значений Fo и Рх0.
При наличии контура с постоянным напором в соответствии
с (VII.2.39) и (VII.2.37) получаем:
R* = erfc~(VII.2.42)
Здесь, следовательно, уже через сравнительно короткое время
расход скважины обеспечивается практически полностью притоком
171
Таблица VII.2
Значения функции R* по формуле (VI 1.2.41)
Fo	1 :₽х0		
	1,5	2,5	5
1	0,33	0,549		
2	0,264	0,44	0,88
3	0,225	0,374	0,748
5	0,180	о,з	0,6
10	0,124	0,208	0,416
25	0,084	0,14	0,28
50	0,06	0,099	0,198
со стороны границы. Например, при F0=10 R* =0,85; это соответ-
Юхо „
ствует времени /л*—-—. Надо, конечно, иметь в виду, что в ре-
альных условиях, даже в тех случаях, когда контуром пласта яв-
ляется река, фильтрация со стороны внешней границы может про-
исходить только на ограниченном (но не на бесконечном) протяже-
нии в связи с неоднородностью русловых отложений, извилистостью
реки и т. д.
Линейный ряд скважин весьма значительной протяженности
Решения для такого типа водозабора изложены в наших рабо-
тах [2, 7]. Приведем здесь вкратце полученные в них результаты.
Как и прежде, представим себе линейный ряд скважин в виде
галереи с удельным расходом
<7о=т-.	(VII.2.43)
где Q — суммарный расход всех скважин;
L — общая длина ряда.
Рассмотрим вначале схему полуограниченного пласта (см.
рис. VII.4, б).
В исходном дифференциальном уравнении (VII.2.4) в данном
случае производная по у равна нулю, т. е. поток является одно-
мерным.
Для решения данной задачи всю область фильтрации следует
разделить на две части: первую, левую — между областью выхода
пласта на поверхность и рядом скважин, расположенных на рас-
стоянии I от контура пласта, и вторую, правую — неограниченную.
Поэтому в основу кладется система из двух уравнений типа (VI 1.2.4)
в указанной одномерной записи.
172
Условие на линии ряда скважин выразится при этом следую-
щим образом:
^>0, х = 1,	1
dS, _ dS2 = <?0	•	(VII.2.44)
дх дх km )
Здесь Si и S2 понижения уровня соответственно в выделенных пер-
вой и второй зонах пласта. Условие на контуре пласта, начальное
условие и условие на бесконечности сохраняются в виде (VII.2.5)
и (VII.2.7).
Применяя преобразование Лапласа, получим:
Условие на контуре пласта в виде изображения дается по
(VII.2.10).
При этом решениями уравнений (VII.2.45) с учетом ограничен-
ности понижения на бесконечности будут:
Т^А^+В^
т2=с&
(VII.2.47)
После определения постоянных Л, ДиСпо указанным условиям
(VII.2.46) и (VII.2.10) находим
(VII.2.48)
Переходя к оригиналу, получим
(VII.2.49)
\ 2yF0 J 2 /77 )
(VII.2.50)
173
~	ГЛ)] .
(VII.2.51)
ц* ' -	Q,i
Здесь p= —-—, x=—, Fo=—~. Остальные обозначения
цт I	Iй
уже известны.
В случае, когда расход на границе равен нулю, т. е. пласт кон-
тактирует с водонепроницаемыми породами, в выражении
(VII.2.49) Я2=0; /?1 определяется по (VII.2.50). При постоянном
напоре на границе пласта точно также Т?2=0, a Ri представляется
в таком виде:
\	~ V * Q	£ V Г О !
В безграничном пласте, как было показано ранее (см. формулу
(VI.3.20) в главе VI),
Я1<в = VK ierfc , Я, = 0.	(VII.2.53)
2 у г0
Как видно из приведенных выражений, так же как для скважины,
при непроницаемой границе и при условии постоянства напора
на ней, решения в данном случае могут быть получены .путем зер-
кального отображения линейной системы скважин и сложения те-
чений, обусловленных действием реальных и воображаемых
скважин.
В табл. VII.3 приведены величины безразмерных сопротивлений
Ri и R2 по формулам (VII.2.50) — (VII.2.53) для рассмотренных ус-
ловий на внешней границе пласта при х= 1, т. е. на линии скважин.
На рис. VII.6 они показаны в виде графиков. В первой схеме, при
осушении пласта в области выхода его на поверхность, безразмер-
ное сопротивление R существенно зависит от величины р, которой
характеризуется соотношение между водоотдачей пласта при осу-
шении ц и водоотдачей в напорной зоне ц.*. Закономерности здесь
в общем те же, что были отмечены при рассмотрении одиночной
скважины.
Расход на границе пласта для данной схемы определяется по
следующей зависимости:
qx=0 = q0R*.	(VII.2.54)
При осушении пласта
/?* = е,1И (erf с —/f? I. (VII.2.55)
\	2 у f-0	/
При условии постоянства напора на границе R* определяется
так же, как для скважины [см. формулу (VI 1.2.42)].
174
Таблица VI 1.3
Безразмерные сопротивления Ri н /?2 для схемы линейного водозабора
1	2	а	5	10	25	50
| 0,614 r2	Ri(?k=0) 0,964 п р и х=	по формуле (VII.2.50) 1,263 | 1,767 | 2,743 1 по формуле (VII.2.51)			4,753	7,057
0,1	0,015	0,305	0,498	0,870	1,537	2,719	3,779
0,2	0,090	0,281	0,461	0,759	1,273	2,067	2,673
0,5	0,081	0,242	0,384	0,602	0,938	1,376	1,605
1	0,063	0,169	0,252	0,362	0,513	0,674	0,773
2	0,046	0,112	0,158	0,217	0,288	0,361	0,400
5	0,024	0,063	0,083	0,097	0,131	0,155	0,163
10	0,013	0,029	0,039	0,050	0,063	0,066	0,082
20	0,007	0,015	0,020	0,026	0,032	0,038	0,041
50	0,003	0,006	0,008	0,010	0,012	0,014	0,015
Ri (SK=0) по формуле (VII.2.52)
|	0,514	|	0,631	|	0,061	|	0,755	|	0,824	|	0,887	|	0,919
Ri оо п о формуле (VII.2.53)
|	0,564	|	0,798	|	0,977	|	1,261	|	1,784	|	2,826	|	3,988
Рис. VII. 6. Графи-
ки безразмерных
сопротивлений
R=Ri—Rs по фор-
мулам (VII. 2.50) и
(VII. 2.51)
175
В табл. VII.4 приведены значения R* по формуле (VII.2.55) для
различных р/ и Fo.
Таблица VI 1.4
Яг— о
Значения функции /?*= ——- по формуле (VI1.2.55)
Яо
Fo	1:?/				
	0,1	0,5	1	5	10
1	0,042	0,165	0,250	0,410	0,442
2	0,035	0,154	0,250	0,487	0,546
3	0,029	0,133	0,233	0,508	0,585
5	0,024	0,113	0,202	0,511	0,611
10 -	0,018	0,084	0,158	0,480	0,614
25	0,011	0,055	0,107	0,398	0,562
50	0,008	0,039	0,078	0,322	0,494
Таким образом, и при линейном типе водозабора доля расхода,
формирующегося за счет осушения пласта в области выхода его
на поверхность, при малых PZ оказывается значительной.
а)
Рис. VII. 7. Схемы к рас-
чету линейного ряда
скважин в полосообраз-
ном пласте с учетом его
осушения в области вы-
хода на поверхность
В полосообразном пласте, когда линейный ряд скважин (гале-
рея) располагается в осевой его части (рис. VII.7), вместо условия
(VII.2.44) получим:
/>0, х = 1,	=	(VII.2.56)
’ Л г	vein	'	'
176
При этом в силу симметрии (общая ширина пласта L = 2l)
можно рассмотреть только одно уравнение в (VII.2.45), решение
которого в форме изображений будет:
Т= Д ch (х	) +5 sh(x	(VII.2.57)
После определения коэффи1Хиентов А и В по условиям (VII.2.10)
и (VII.2.56) (последнее условие следует также выразить в преобра-
зованном виде) и перехода к оригиналу получим:
5 =	(VII.2.58)
р =_ V____
Ал 2(1 + ЭО
т-т(1 + ш) + у-’'+4
о
(VII.2.59)
00	__ _F
= 2 У------- cos?, „хе “ °--- ,	(VII.2.60)
^cos^-^-^-sinl»)
оо	F
2	\1 sin ?.„хе ” 0	.
Ъ = ТТзГ 7	---------х------Г’ где Хл~к°Рень уравне-
' X4COS?"“T+Ksln4
ния; tgX„=-^.	(VII.2.61)
Значения функций <pi и <рг приведены в табл. VII.5. Легко видеть,
что уже при Fo > 0,5 эти функции по сравнению с другими членами
в уравнении (VII.2.59) становятся настолько малыми, что в практи-
ческих расчетах их можно не учитывать. Уравнение (VII.2.59) при
этом существенно упрощается. В частности, для линии водозабора,
при х=1,
~ 2 (14- 30	- 1	6“ (1 + 1 + 3/)
(VII.2.62)
Таблица VII.5
Значения функций <pi и <рг по формулам (VII.2.60) и (VII.2.61)
ро	91			fl	
		х = 0	X = 1	х = 0	X = 1
0,1	1	—0,21	0,111	0	—0,447
—	5	—0,108	0,115	0	—0,034
—	10	—0,102	0,102	0	—0,009
—	20	—0,089	0,091	0	-0,004
—	50	—0,08	0,083	0	0
1	1	—0,0059	0,003	0	0
—	5	—0,0002	0	0	0
177
На рис. VII.8 приведены графики Ял для х=1 при различных
р/ и Fo, построенные по уравнению (VII.2.59).
Предельные значения Ra таковы: при t—0, Rn=0, при t=oo,
RJI = oo, т. е. снижение пьезометрического уровня происходит в те-
чение всего периода откачки и теоретически оно может беспре-
дельно увеличиваться. Сравним рассматриваемую схему со следую-
щими крайними случаями: 1) на границе полосообразного пласта
расход равен нулю, т. е. пласт ограничивается непроницаемыми
Рис. VII. 8. Трафи-
ки безразмерного
сопротивления /?л
по формуле
(VII. 2.58) при
1 с fl/
X=1;fo = T2
контурами (рис. VII.9, а); 2) на границах пласта напор сохраняется
постоянным (рис. VII.9, б). При этих условиях сохраняется основ-
ная расчетная формула (VII.2.58), но в ней вместо /?л следует при-
нимать соответственно /?Л1 и 7?лг, имеющие следующие выра-
жения:
для
стр. 129

первого случая при х=0,	=0 (см. [10],
=4-тИ'~з:?)+2
п =1
(—l)n+1 cos /.„хе
(VII.2.63)
178
и для второго случая
(при х=0, 3=0):
Ял2=-Т-
со	_ _ji р
(—1)л+181п Х„хе л ° .
п =1	п
(VII.2.64)
где Х„ = (2/г-1)-^-.
Решение (VI 1.2.64) получено
нами тем же методом, что и в ос-
новной задаче, рассматриваемой
в данном параграфе.
На рис. VI 1.8 пунктирными
линиями показаны графики 7?Л1 и
Т?л2, а также график 7?лз, постро-
енный по формуле (VII.2.53) для
безграничного пласта. Сравнивая
их с аналогичными графиками
для полуограниченного пласта
(см. рис. VII.7), видим, что в по-
лосообразной схеме влияние осу-
шения пласта в области выхода
его на поверхность сказывается
еще в большей степени.
В самом деле, расход в сече-
нии х=0 в соответствии с об-
щим выражением (VII.2.39) и
(VII.2.54) в данном случае будет
<7,=о = -7о^, (VII.2.65)
Рис. VII. 9. Схемы к расчету линей-
ного ряда скважин при различных
граничных условиях
♦ 1
где R^ =
-<ро
Л=1 cos Х„ — - _pnaz sin \п
(VII.2.66)
и уже через непродолжительное время
<7л-=0^ 2 (1 4- ?/) ’
(VII.2.67)
В рассмотренных решениях было принято, что в области выхода
на поверхность водоносный пласт как бы находится в вертикаль-
ном положении, в реальных же условиях он имеет наклонное зале-
гание. В. М. Шестаковым методом последовательной смены ста-
ционарных состояний решена аналогичная задача с учетом наклона
пласта [7].
179
В данном случае контур водоносного пласта, по мере его осуше-
ния будет передвигаться в горизонтальном направлении
(рис. VII.10), причем на движущейся границе должно выполняться
следующее условие:
k dS _ dL
(j. dx dt '
(VII.2.68)
Время, за которое кривая депрессии достигнет контура пласта,
можно приближенно определить по выражению
(VII.2.69)
Рис. VII. 10. Схема к расчету линейного ряда скважин в полосообразном
пласте с учетом наклона его кровли и подошвы.
/ — начальный уровень подземных вод; 2 — уровень при откачке в первый период;
3 — то же, во второй период
За это время понижение напора на линии скважин Зл опреде-
лится так:
S,--(VII.2.70)
Во второй стадии, когда начинается снижение уровня и осуше-
ние пласта на контуре, уравнение баланса (VII.2.1) при постоянном
погонном расходе скважин qo может быть получено, исходя из сле-
дующих соображений.
Элементарное количество воды, освобождаемое пластом в пре-
делах открытой части пласта, будет:
=	(VII.2.71)
То же из напорной части пласта
dVB2 = ?*l	.	(VII.2.72)
В этих выражениях
и SK —понижение уровня за элементарный отрезок вре-
мени dt соответственно на линии скважин и на контуре;
I — текущее расстояние до контура;
тк — видимая мощность пласта на контуре.
180
Таким образом, согласно (VII.2.1) получим:
Vb	• (VII.2.73)
Принимая, как это принято в методе последовательной схемы
стационарных состояний, что кривая депрессии в каждый момент
времени может быть выражена "по формуле Дюпюи, т. е.
q0 = 2km S*~Sk ,	(VII.2.74)
и имея в виду, что (см. рис. VII.10)
/ =	(V1I.2.75)
после интегрирования (VII.2.73) получается следующая прибли-
женная формула для определения понижения уровня на линии во-
дозабора:
(VII.2.76)
/?Л
Здесь
л
(1 — А) Эк/о	((1 — л)* 2 — 0,5) +
(VII.2.77)
Г	1—2/.
2 (l-O.S/O-y^-Mo+l
On	О	И*	Е?
о. ™—, рк= —— и по-прежнему гп=—5-.
2Amtg7 к Р-тк	н J °	%
В частном случае без учета уклона пласта (при у=90° и Х=0)
имеем:
ft - 2<тУОш (ft + 0'5^
1 \
ЗкА) / ’
(VII.2.78)
т. е. выражение, близкое к выражению (VII.2.59), полученному
по строгому решению.
Из сопоставления формул (VII.2.77) и (VII.2.78) видно, что при
учете уклона пласта снижение уровня на линии скважин оказы-
вается несколько меньшим. Следовательно, допущение о верти-
кальности пласта в области выхода его на поверхность обеспечи-
вает запас в расчете понижения уровня и соответственно дебита
водозабора.
При сложных геометрических очертаниях водоносного пласта
для ориентировочных расчетов расхода водозабора можно приме-
нять следующее очевидное балансовое соотношение:
2Scp (HmK : I1* (4) "U)
(VII.2.79)
где Sep — среднее допустимое понижение уровня, принимаемое
в зависимости от общей мощности пласта и технических
возможностей откачки;
t— расчетный период.
181
В заключение отметим, что все приведенные решения для рас-
сматриваемой схемы частичного осушения водоносного пласта в об-
ласти выхода его на поверхность получены на основе предпосылки,
что интенсивность инфильтрационного питания в этой области
в процессе эксплуатации водозабора не изменяется по сравнению
с бытовыми условиями. Если такие изменения имеют место (напри-
мер, в результате уменьшения испарения с поверхности подземных
вод или привлечения части поверхностных источников), то это
должно учитываться в граничном условии (VII.2.5). Соответственно
в последней приближенной формуле (VII.2.79) в правой части дол-
жен быть добавлен член Де/ик, где Де — интенсивность инфильтра-
ции в процессе эксплуатации водозабора.
§ 3. «Закрытые структуры». Общий баланс подземных вод
Водоносные пласты ограниченных в плане размеров, окружен-
ные слабопроницаемыми породами, или «закрытые структуры», как
указывалось выше (см. § 1 настоящей главы), во многих случаях
служат источником водоснабжения. Поэтому большое значение
имеет выбор надежного метода расчета водозаборов в «закрытых
структурах». Это тем более важно, что в практике изысканий и про-
ектирования оценка водопритоков в «закрытых структурах» до не-
давнего времени часто необоснованно производилась по схеме Дю-
пюи, т. е. принималось, что в процессе откачки в таких условиях
на контуре водоносного пласта напор не понижается, что приводило
к резкому завышению расчетных водопритоков.
Каковы источники питания водоносных пластов в «закрытых
структурах»? При наличии в них напорных водоносных горизонтов
приток воды в начальные периоды обеспечивается упругой отдачей
пласта, т. е. дополнительным объемом воды, высвобождающимся
из пластов при снижении напора в результате расширения воды
сжатия пласта. Этот объем воды может оказаться ощутимым по ве-
личине в тех случаях, когда происходит существенное снижение на-
пора и объем водоносных пластов значителен.
При снижении напора ниже кровли водоносного пласта основ-
ную роль в водопритоках начинают играть статические запасы, из-
влекаемые непосредственно из осушаемых частей пласта. В опреде-
ленной мере, как и в ранее рассмотренных полузакрытых пластах,
статические запасы поступают также из краевых частей структуры,
где водоносные пласты выходят на поверхность.
Однако этим не исчерпываются все возможные источники пита-
ния. Название «закрытые структуры» нами сознательно дается
в кавычках, так как в действительности они не являются абсолютно
закрытыми и изолированными. Из окружающих водоносные пласты
пород, несмотря на их слабую водопроницаемость, некоторое коли-
чество воды все же может поступать, и это должно учитываться при
гидрогеологических расчетах. На площади «закрытых структур»
происходит также инфильтрация атмосферных осадков, определен-
182
ная доля которых даже в засушливых районах идет на питание во-
доносного пласта. Здесь же нередко наблюдаются потери поверх-
ностного стока из постоянно или периодически действующих водо-
токов. И, наконец, следует учитывать возможность перетекания
воды из ниже- и вышележащих водоносных слоев через слабопро-
ницаемые подошву и кровлю основных водоносных пластов.
Таким образом, общие водопритоки или ресурсы подземных вод
Q3 в рассматриваемых условиях могут быть выражены следующим
уравнением?
Qa = Qynp + Qcr + Qbh + <3ннф + Qnep’ (V1I.3.1)
где индексами «упр», «ст», «вн», «инф» и «пер» обозначены коли-
чества воды, обеспечиваемые соответствующими источниками — уп-
ругими и статическими запасами, притоком из внешних зон, ин-
фильтрацией атмосферных осадков и перетеканием воды из сосед-
них горизонтов.
Оценка общих ресурсов подземных вод Q3, как и в других типах
водоносных пластов, может производиться путем гидродинамиче-
ского расчета водозаборных сооружений, поскольку при этом,
вообще говоря, в самих расчетных схемах должны учитываться все
основные источники питания и другие природные факторы. Однако,
как правило, для водоносных пластов ограниченной площади рас-
пространения целесообразно сначала устанавливать общие ре-
сурсы, оценивая каждую составляющую балансового уравнения
(VII.3.1), с последующим их суммированием, а затем уже произво-
дить выбор и расчет водозаборных сооружений.
Такой метод имеет то преимущество, что указанное определение
общих ресурсов можно сделать с более полным учетом реальной
природной обстановки. Например, можно довольно точно устано-
вить площадь водоносных пластов и изменения их мощности, непо-
средственными наблюдениями определить потери поверхностного
стока и расходы источников в пределах «закрытой структуры» и
граничащих с ней участков и т. д.
Выявленные указанным путем общие ресурсы подземных вод
рассматриваются в качестве основы для расчетов водозаборных
сооружений и используются для контроля правильности результа-
тов таких расчетов. Во многих же случаях инженерные решения
могут приниматься непосредственно по результатам балансовых оп-
ределений. Так, например, задаваясь той или иной производитель-
ностью скважин Q3, можно ориентировочно оценить общую дли-
тельность возможной их эксплуатации Т3:
Т =_______Vynp V'CT_____	(V11.3.2)
Э Qa Qbh Финф Qnep ’
где Уупр и VCT — упругие и статические запасы, определяемые по за-
висимостям, приведенным в главе II.
При оценке эксплуатационных запасов подземных вод для водо-
снабжения обычно принимается не полная величина Vynp и VCT>
183
а только некоторая их часть (около 50—60%). Если же задан экс-
плуатационный срок Тэ, то по (VII.3.2) при известных величинах
QBH, Рииф и Qnep находится производительность скважин Q3.
Затруднения обычно вызывает определение внешних водоприто-
ков QBH из окружающих «закрытые структуры» горных пород, ха-
рактеризующихся слабой водопроницаемостью. Поступление воды
из них в естественных условиях, до начала откачки, будет соответ-
ствовать минимальным размерам внешних водопритоков; в про-
цессе эксплуатации величина QBH может только возрасти, но не
уменьшиться. В связи с этим с определенным «запасом надежности»
в смысле заведомого преуменьшения расчетного дебита водозабора
по сравнению с действительным можно принимать:
QBH~Q6,	(VII.3.3)
где Qe — приток подземных вод из окружающих пород в естествен-
ных условиях.
Питание водоносного пласта путем инфильтрации атмосферных
осадков и потерь поверхностного стока в пределах площади «за-
крытой структуры»
QhH* = Z^ + Qp.	(VII.3.4)
Здесь % —так называемый коэффициент просачивания или коэффи-
циент стока, показывающий, какая доля от суммы осадков W идет
на питание водоносного пласта на площади его распространения
Епл; Qp — потери воды из поверхностных источников (см. формулу
(II.2.7) в главе II).
В практике нередко суммарная величина Qn„0 может быть
приближенно оценена по расходам источников, выходящих по пе-
риферии «закрытой структуры».
Наконец, поступление воды в эксплуатируемый пласт из сосед-
них по вертикали слоев для предварительного суждения об общих
водопритоках может быть вычислено по выражению
Qnep^-^^O-^cp)^,	(VII.3.5)
где ko и то—коэффициент фильтрации и мощность раздельного
слабопроницаемого слоя;
Но — напор питающего слоя;
ЯСр — средний пониженный напор эксплуатируемого пла-
ста за прогнозируемый период откачки.
Гидрогеологические расчеты скважин, выполняемые на после-
дующем этапе, после указанной приближенной оценки общих ресур-
сов подземных вод «закрытой структуры», как и во всех других
случаях, требуют определенной схематизации природных условий.
В частности, для этих целей реальные пласты могут быть в плане
представлены в виде правильной геометрической фигуры, напри-
мер, круга радиусом
/?к~	•	(VII.3.6)
184
Точно так же реальную систему скважин нередко можно «приве-
сти» к кольцевой системе радиусом
,	(VII.3.7)
где Fnn и FM — соответственно действительные площади всего пла-
ста и участка расположения водозабора. Схематизируются также
действительные границы пласта в разрезе, распределение прово-
димости в различных направлениях. При этом мощность пласта и
коэффициент фильтрации могут быть установлены по средним их
значениям (среднеарифметическим, средневзвешенным по площади
и т. д.).
Такая схематизация, разумеется, приводит к тому, что резуль-
таты расчетов оказываются приближенными, но это не умаляет их
значения, так как без подобных расчетов вообще невозможно обо-
снованно выбрать количество скважин, их размещение и режим
работы.
§ 4. Расчет скважин в круговом пласте
без учета перетекания из соседних слоев
Задача о расчете кольцевой системы скважин, располагающейся
в центре кругового пласта радиусом RK (рнс. VII.11), решается
на основе уравнения (VII.2.4). В данном случае, выражая его в по-
лярных координатах, получим:
/ d-'S	,	1	dS \ ,	Де	ds	,,,,,	. ,,
а -I----------S— н-------=757-	(VII.4.1)
(dr1	1	г	dr I 1	г,	dt	'	'
Условие на. внешней границе в случае непроницаемой внешней
области формулируется следующим образом:
/>0, г = /?к,	-£=0,	(VII.4.2)
при постоянном притоке Qo со стороны внешнего контура,
/>0, r = /?K,	=	(VII.4.3)
k dr	2nkm	v '
Питание пласта путем инфильтрации атмосферных осадков на
Де
площади структуры учитывается в самом уравнении членом ---------
(т] — водоотдача).
Заменим кольцевую систему скважин галереей с расходом Q,
равным суммарному расходу всех скважин, и равномерно распре-
деленным по кольцу радиусом г0. Тогда условия на галерее можно
записать в таком виде:
/>0, г = г0
dS, I _ dS_
Г dr |ги4-0 Г dr
185
Эти условия выражают принятую предпосылку о постоян-
стве расхода скважины, обеспечиваемого сработкой запасов
в зоне r0<Zr<ZRK (между кольцевой системой скважин и конту-
ром пласта) и во внутренней зоне О<г^го (внутри кольцевой
системы).
Формулировка условий (VII.4.4) дана в нашей работе [4]. Там
же излагается приближенное решение рассматриваемой задачи при
Рис. VII. 11. Схемы к расчету водозаборных
скважин в круговом пласте
различных условиях на
контуре пласта. Некото-
рые результаты этого ре-
шения опубликованы в
статье [3]. Позднее такая
же задача была исследо-
вана В. Н. Щелкаче-
вым, В. Е. Влюшиным и
О. Н. Хариным [18], при-
чем ими получено строгое
решение при указанных
условиях (VII.4.4).
Анализ показывает,
однако, что в «закрытых
структурах» более илп
менее значительных раз-
меров по сравнению с
размерами кольца сква-
жины (при ^к>5г0) до-
статочная практическая
точность достигается при
замене реальной скважи-
ны стоком, т. е. при усло-
вии постоянства расхода
на скважине исчезающе
малого радиуса.
Приведем здесь основ-
ные расчетные зависимо-
сти, полученные при та-
кой постановке задачи.
Непроницаемый контур пласта (рис. VII. 11, а)
В соответствии с решением Маскета, при условии (VII.4.2) по-
нижение уровня S в любой точке г в любой момент времени t оп-
ределяется по следующей хорошо известной уже теперь формуле
(см. [6, 12, 17], а также указанные ранее работы [3, 4]):

(VII.4.5)
186
?! = Ss"cos "6 2j 7"(х"-;2Гм)^^7^е Xn,mF°,	(VII.4.6)
n =0	m=l	\ П, m ) n ( n,
где £n = l, когда n = 0, a e=2, при n=l, 2, ,..
xn, m — положительные корни уравнения J'n (xn)=0,
9 — угол между радиусами-векторами точки расположе-
ния скважины и точки М, в которой определяется по-
нижение уровня (рис. VII.12, а),
Рис. VII. 12. К расчету скважин в круговом
пласте
г* — приведенное расстояние точки М от центра скважины
(или кольцевой системы скважин).
г* = 'У,	(VII.4.7)
Ф = ]/”1 - Гм (1 - Д2) - Д2 + г2 е\
''=4-~-Н?«-д2)’	(VIL4-8>
где гм — расстояние от центра пласта до точки
А— тоже, до скважины;
г — расстояние от скважины до точки М (рис. VII.12, а).
В случае центрального расположения скважины А=0, г = гм
(см. рис. VII, 126) и
ф = е’.	(VII.4.9)
При удалении водозаборных скважин от центра пласта на рас-
стояние не более 0,5/?к для ориентировочных расчетов можно при-
нимать 1,5н-1,7.
Функция ф1, входящая в уравнение (VII.4.5) и выражаемая
двойным рядом (VII.4.6), со временем быстро убывает. В частно-
сти, когда скважины располагаются в центре пласта
?i = У 4^- F° •	(V1I.4.10)
Q	л =1 п 0 п
187
Численные значения <pi в этом случае представлены в
табл. VII.6.
Таблица VI 1.6
Значения функции <j>i по формуле (VI 1.4.6)
Fo	Г			
	10~5	0,1	0,3	0,5
0,01	0,584	0,523	0,251	0,044
0,05	0,222	0,212	0,102	0,047
0,1	0,098	0,095	0,068	0,026
0,3	0,005	0,005	0,003	0,001
0,5	0	0	0	0
Следует заметить, что величина <pi, становится пренебрежимо
малой после окончания периода перераспределения напора внутри
кругового контура. На самом контуре в течение этого периода по-
нижения напорного уровня близки к нулю и контур не оказывает
влияния на динамику сработки ресурсов подземных вод в пределах
пласта.
Длительность этого периода при центральном расположении
скважины, как следует из таблицы VII.6,
О2
/^(0,1	0,2)-^.
При эксцентричном расположении скважин величина <pi, опре-
деляемая по выражению (VII.4.6), остается ощутимой более про-
должительное время. Расчеты, проведенные Д. А. Манукяном
на сеточном электроинтеграторе по схеме Либмана в весьма широ-
ком диапазоне изменения гм, г и 0 показали, что пренебрежение
величиной q>i в основной расчетной зависимости (VII.4.5) при вре-
^2
мени (14-1,5) —— дает относительную ошибку не более 54-7%.
До указанного времени, следовательно, для расчета скважин
в круговом закрытом пласте можно пользоваться теми же форму-
лами, что и для неограниченного (или, при близком расположении
скважин, полуограниченного) пласта (см. главу II и- § 2 настоящей
главы).
При <pi = 0 зависимость (VII.4.5) для практических расчетов
будет иметь следующий вид:
S—-?~Л,+^?-1п Дг-	(VII.4.И)
тсд/п 0 1 2itkm г*	х	'
188
Для группы любым образом расположенных взаимодействую-
щих скважин на основе этой формулы можно, пользуясь методом
суперпозиции течений, составить общую расчетную зависимость
п
QcyM
nkm
у-1п^
km г*
(VII.4.12)
где Qj = Qi, Q2,	, Qn — расход каждой скважины (или коль-
цевой системы скважин);
QcyM — суммарный расход всех скважин;
г* =г* , г* , г* — приведенное расстояние точки, в кото-
рой определяется понижение уровня,
до соответствующих скважин, опреде-
ляемое по формуле (VII.4.8) в зависи-
мости от гм, Д{, Г{ (см. рис. VII. 12, а).
Следует заметить, что эксцентричность скважин может быть
учтена в тех случаях, когда при приведении реального контура
пласта к круговому скважины не выходят за пределы этого кон-
тура. При сложном очертании границ пласта последний можно раз-
делить на отдельные участки или блоки, не прибегая к расчету
взаимодействующих скважин. Это определяется тем, что в усло-
виях одновременной откачки из нескольких скважин в «закрытых
пластах» можно принять
Qi ___ @2	__ Qn
Fi F2  Fn •
(VII.4.13)
Здесь Qi, Q2, ..,, Qn — расходы скважин, дренирующих соответ-
ствующие участки (блоки) площадью Fi, Fz, ... , Fn, при сработке
запасов подземных вод, сосредоточенных в границах этих участков
(при изменяющейся мощности пласта можно вместо площадей
принимать объемы пласта на участках).
Соответственно будем иметь:
.......(VII.4.14)
где RKt, ......Rkn — приведенные радиусы участков.
Формулы (VII.4.11) и (VII.4.12) показывают, что при откачке
из скважин в закрытом круговом пласте с непроницаемой внешней
границей понижение уровня в любой точке как бы складывается из
двух частей:
а)	понижения, происходящего в течение всего периода откачки
и выражаемого членами Fo и ~^сум F0', оно одинаково во всех
nkm nkm
189
Q 1 Лк
мого членами ——— ш—— и
2пкт г*
Рис. VII 13. Графики изменения вели-
чины и скорости понижения уровня
в круговом пласте
точках пласта, линейно зависит от времени и численно равно пони-
жению, которое было бы достигнуто при равномерном отборе воды
из пласта (т. е. при постоянном удельном расходе в пределах всей
его площади);
б)	понижения, обусловленного наличием скважин и выражае-
2 Qi ] Лк
-7—7—1п——, эта часть пони-
2nkm г*.
1=1	г
жения уровня не зависит от вре-
мени и по своей величине прибли-
зительно равна понижению в кру-
говом пласте в условиях устано-
вившегося движения.
Действительная скорость по-
нижения уровня в любой точке
определяется следующей фор-
мулой:
~kmR*
Таким образом, действитель-
ная скорость постоянна во време-
ни и не зависит от координаты г,
т. е. кривая депрессии в круговом
пласте снижается параллельно
самой себе. На рис. VII.13 пока-
заны графики S — t и Уд—t, иллюстрирующие сказанное.
Практический интерес представляет динамика понижения
уровня на контуре кругового пласта в рассматриваемых условиях
(при r=RK). В этом случае, как следует из (VII.4.5) — (VII.4.8),
при расположении скважины в центре пласта
(VIL4.I6)
(VII.4.17)
т. е. общие закономерности изменения уровня здесь в общем те же,
что в остальной части пласта, но абсолютная величина понижения
несколько меньше, чем в самой скважине. Легко видеть, что ряд
(VII.4.17) со временем очень быстро убывает и при практических
расчетах производительности водозаборов им можно пренебрегать.
190
Решение, той же задачи с учетом притока воды
из внешней области (рис. VII. 11, б)
Принимая условия (VII.3.3) и (VII.4.3), можно получить сле-
дующую расчетную зависимость для определения понижения
уровня [3, 4]:
s -44",F" - т.+ъ)+isL [in +4 (44 ~ °’75]+
+&[т(4Н4	(VH.4.18)
Здесь
00
<Р2 = У	е-&0	(V1I.4.19)
а остальные обозначения те же, что в формуле (VI 1.4.10) и после-
дующих.
При выводе формулы (VII.4.18) принято, что Qg<Q. В против-
ном случае использование уравнения (VII.4.1) теряет смысл. Если
расход на контуре пласта равен расходу скважины, т. е. Qg — Q,
фильтрация приобретает установившийся характер. При этом рас-
чет производится по обычной формуле Дюпюи.
Заметим, что излагаемая методика расчета скважины в круго-
вом пласте с постоянным расходом из внешней области, так же как
в рассматриваемой далее схеме с площадной инфильтрацией и пе-
ретоком через слабопроницаемые слои, строго говоря, действи-
тельна при расположении скважин в центре пласта, когда поток
асимметричен.
Исходя из общих соображений, можно, однако, предположить,
что и в этих случаях эксцентричность расположения скважин при-
ближенно может быть учтена так же, как в схеме собственно за-
крытого пласта с непроницаемым круговым контуром, т. е. во всех
расчетных формулах следует вместо координаты точки принимать
некоторую приведенную величину г*. Тогда, например, приведен-
ную формулу (VII.4.18) (учитывая, что последний член с множи-
телем Qg в ней мал по сравнению с другими членами) для дли-
тельных периодов откачки (когда <pi«фг~0), можно представить
в таком виде:
Fo + ^-1п4, (VII.4.20)
nkm ° 1 2itkm г* ’	х	7
а для группы взаимодействующих скважин
п
S^_Qzy.M~Q(i Ло 4- VIn Д-, (VII.4.21)
-km	' ^r.km г*
1 = \	1
где г* определяется по выражениям (VII.4.7) — (VII.4.8).
191
Решение задачи с учетом инфильтрационного питания
в пределах кругового пласта (рис. VII. 11, в)
Исходным в этом случае является дифференциальное уравнение
(VII.4.1). Величиной Ае в нем оцениваются инфильтрация атмо-
сферных осадков и потери поверхностного стока в пределах круго-
вого пласта по выражению (VI 1.3.4). Они условно считаются рас-
пределенными равномерно по всей площади, т. е.
, Оинф
Де =----у.
Коэффициент 1] в уравнении (VII.4.1) характеризует водоот-
дачу. .В напорных пластах при наличии в их кровле слабопрони-
цаемых пород, содержащих горизонт грунтовых вод со свободной
поверхностью, как было показано в § 1 главы VI, можно принять
г|~ ц 4-цЛ, а в безнапорных пластах г] = ц (ц — водоотдача при
осушении пласта, р,* — то же, без осушения пласта, обусловленная
деформациями воды и пласта; подробнее об этом см. в главе II).
Уравнение (VII.4.1) должно быть решено при тех же граничных
условиях, что и в предыдущей задаче. Кроме того, принимается,
что в момент начала откачки из скважин возникает дополнитель-
ное питание пласта с интенсивностью Ае. Предполагается при этом,
что воды, поступающие до начала откачки путем инфильтрации и
за счет потерь поверхностного стока с общим расходом1 фИнф, не на-
капливаются в пласте, а являются транзитными. И только с вводом
в действие скважин эти воды задерживаются в пласте, и благодаря
этому могут быть использованы.
Решение задачи при указанных условиях легко получить сведе-
нием исходного уравнения (VII.4.1) к обычному уравнению Фурье
путем подстановки новой переменной
S*=S- —.	(VII.4.22)
При этом получаем ту же зависимость (VII.4.18), но в правой ее
части добавляется член —ф- Fo [4/1.
nkm
При длительных откачках, когда ф1=ф2=0, в соответствии
с этим выражение для определения понижения уровня S будет
выглядеть так:
+ Q in Ак,. (VII.4.23)
r.km	° 1 Ir.km г*
И для взаимодействующих скважин
п
S —''~4S б~9инф Fo + "X -9%-111 А- • (VII.4.24)
^km	° } 2r,km г* '	7
192
Здесь все обозначения известны из вышеизложенного. Таким обра-
зом, поступление воды путем инфильтрации в пласт на площади
структуры финф отражается в результатах расчетов так же, как
приток из окружающих горных пород Qg.
Указанное решение можно использовать также для определе-
ния суммарного расхода скважин, который может быть получен
в течение заданного периода t при понижении уровня к концу
этого периода, равном S. Если принять, что расходы скважин
равны, т. е. Qt = Q, и суммарный расход QcyM=nQ (п — общее чи-
сло скважин), то из формулы (VII.4.24) получим:
_ 'ZnkmS + 2 (Qg + Ринф) Fо
4gсум
(V1I.4.25)
п	₽
2Ло+
i = l	ri
n
При больших t, когда 2F0	2 ln > эта формула стано-
вится идентичной балансовому уравнению (VII.3.2). Следует еще
раз обратить внимание на то, что при соизмеримых величинах рас-
хода водозабора Q и суммарного питания Qe + Финф фильтрация
в рассматриваемых водоносных структурах может приобрести
установившийся характер. При этом расчеты скважин могут
производиться по следующим зависимостям, вытекающим
ния уравнения (VII.4.1), если положить в нем =0.
При Q финф
Q  о	<?инф/?к	/ Г	1 r<i — го \
°	Ыт (F2 - г0	2	% р
при (? = (2б + <2иНф
о с Фб + Рииф^2 / (/?2 — Го) , г , <?инф(г2 — Гд)
д 0	Ы.т	1 го + 2*m(/?2-r2) ’
из реше-
(VII.4.26)
(VII.4.27)
где S, So — понижения уровня соответственно в любой точке пла-
ста с координатой г и в скважине при г = го. При выводе этих
формул принимались следующие условия:
г.	dS Л	dS
при г=Кк'. в первом случае =0, во втором — г—— =—
фб
2nkm ’
на скважине при r=r0 в обоих случаях S=So.
Пример расчета. В мульде известняков, окруженной весьма
слабоводопроницаемыми сланцами с интрузиями гранитов
(рис. VII.14), заключен водоносный горизонт мощностью Не=
193
= 40 м. Общая площадь мульды F = 25- 106 м2. Средний коэффи-
циент фильтрации известняков & = 15 м/сутки:, коэффициент пьезо-
проводности а = 1,5-104 м21сутки. На окраине мульды круглого-
дично действуют источники с суммарным дебитом около 40 л/сек.
В пределах мульды намечено строительство групповых водоза-
боров 1 и II (см. рис. VII.14) на период /р=25 лет=9125 суток.
Расстояние водозаборов от центра пласта Дх= 1000 м и Ац=
= 1200 м. Расстояние между водозаборами г= 1400 м, приведен-
ный радиус каждого из них го=15О м.
Рис. VII. 14. К примеру
расчета водозабора в
круговом пласте
Требуется определить возможный дебит водозаборов при усло-
вии, что к концу указанного периода эксплуатации tp уровень сни-
зится не более чем на 5 = 25 м.
Решения 1. Статические запасы при ц = 0,03, объеме пласта
Упл = 40 • 25 • 106= 109 м3, коэффициенте возможного их использо-
вания а=0,6 составят:
qct _	- 109	2000 Осушки.
2.	Приток из внешней области устанавливается, исходя из пред-
положения, что при эксплуатации водоносного пласта источники
на периферии мульды поступят в водозабор, т. е.
QBH = 40 л)сек = 3500 м31сушки.
Таким образом, предельные ресурсы мульды
Q3 = 2000 + 3500 = 5500 м21сутки.
194
3.	Исходя из этого, принимается производительность каждого
водозабора Qi = Qn = 2660 м3/сутки (по три скважины с дебитом
QCKB=800— 1 000 м3/сутки).
4.	Определяем понижение уровня в водозаборе II, отстоящем от
центра на расстоянии Дп=1200 м. По формуле (Ш.3.6) имеем:
= М.
5.	По формулам (VII.4.8).
= ]/1 -0,18(1 -0,18)-0,18+ 28 • 10~4 е(0,75~°Л8) = 1,45.
Следовательно,
rf, = 1,45 • 150 = 217 м.
Точно также
= V1 - 0,18 (1 - 0,13) - 0,13 + 0,25 е(0,75~0,5,0,28) = 1,77,
г*_п=1,77 • 1400 = 2480 м.
6.	Формула (VII.4.21) для безнапорного потока имеет вид:
S=//e- 1 f- 2 9з + 9вн Fo --%-1п4г- -^г-1пЛ- .
е V	Kk ° T.k г* tk r*
о at
Подстановка численных значений в эту формулу дает:
с лп 1/77™ г, 5200 — 3500 . 7 к 2600 “	2800
5 = 40- |/ 1600 - 2 w17,5 - ЗД4-И5-1П 217 .
= 23,2 м.
Эта величина понижения близка к заданной. Аналогично можно оп-
ределить понижение уровня в водозаборе I, а также в любой точке
пласта.
§ 5. Расчет скважин в круговом пласте
с учетом перетекания из соседних слоев
Исходными в данном случае являются дифференциальные урав-
нения, аналогичные уравнениям, приведенным выше при рассмот-
рении методов расчета водозаборов в слоистых системах
(см. главу VI):
alv2S1-Z»I(S]-S2)+^ = ^-
a2V2S2 - (5,-50=-^-
(VII.5.1)
Здесь
Si, S2 — понижения уровня в пластах 1 и 2 в любой
точке г в любой момент времени t\
195
a*, a*, bi, b2 — коэффициенты, определяемые из табл. VI.2;
Ае — модуль питания верхнего пласта № 1 (см.
§ 4 п. настоящей главы).
Будем считать, что откачка с постоянным расходом Q произво-
дится из пласта 2, т. е.
/>0, lira г
гч-0 аг
Q
2-km ’
(VII.5.2)
а контур пласта — непроницаемым:
i>0, r = RK,
__ dS.2 _ п
dr dr
(VII.5.3)
Рассмотрим сначала эту задачу, исходя из предположения, что на-
пор в верхнем слое в процессе откачки не изменяется, т. е. Si=0.
Тогда в (VII.5.1) остается только второе уравнение, решение кото-
рого приведено нами в работе [4].
Введем новую функцию
f7*=t7eM, (U = S2 — S}).	(VII.5.4)
При этом второе уравнение (VII.5.1) преобразуется в обычное
уравнение теплопроводности
a*2vV = ^.	(VI1.5.5)
Граничное условие (VII.5.2) выразится так:
/>0, г —0	=	(VII.5.6)
’	dr	zr.km	'	'
Условие (VII.5.3) не претерпевает изменений, а в качестве началь-
ного условия для простоты примем
zf = O, = =	(VIL5.7)
В главе VI уже было показано, что при этом решение может быть
получено в самом общем виде для понижения уровня, отсчитывае-
мого от некоторого первоначального (статического) в рассматри-
ваемом пласте.
Таким образом, нам следует решить в сущности ту же задачу,
что и в § 4 данной главы, но при дебите скважины, изменяющемся
по зависимости (VII.5.6). Это легко сделать, воспользовавшись ре-
шением (VII.4.5). Поступая, как и прежде (см. главу V, где приве-
дены решения для скважины с изменяющимся во времени деби-
том) ,получим:
t
=	(VII.5.8)
2~km J	dt '	'	'
196
где S и производная от S по t находятся из указанного решения
(VI1.4.5). В результате выражение (VII.5.8) с учетом (VII.5.4)
представится в следующем виде:
(VII.5.9)
Напомним, что здесь в соот-
ветствии с табл. VI.2 В = I/ —,
, k0
причем b — ------- при наличии
Г]т0
одного питающего пласта и
l(kQ koo \
о = —I------------I — при двух
г) \ т0 т00 /
питающих слоях: k0, то, kOo, mOo—
коэффициенты фильтрации и
мощности ниже- и вышележа-
щих слабопроницаемых пластов
(рис. VII.15). Остальные обоз-
начения те же, что в решении
(VII.4.5).
Понижение уровня S отсчиты-
вается от первоначального уров-
ня пласта, из которого произво-
дится откачка; в данном случае
S=Hez—Hz, где Hz — уровень
пласта 2 в процессе откачки.
Формула (VII.5.9) поддается
упрощению. Прежде всего заме-
тим, что при t = oo ею описы-
вается понижение уровня в ус-
ловиях установившегося дви-
жения:
Рис. VII. 15. Схема к расчету сква-
жины в слоистом круговом пласте
(VII.5.10)
197
Но для установившегося движения легко получить решение в та-
булированных функциях Бесселя [4, 16]. При этом
(VII.5.11)
Сравнивая (VII.5.10) и (VII.5.11), находим выражение для ряда
(VII.5.12)
С учетом этого полученный результат решения (VII.5.9) может
быть представлен в следующем виде:
(V1I.5.13)
5 =
где
Этот ряд быстро сходится и по своему численному значению
сравнительно с другими членами мал. Практически для прогно-
зов на длительные периоды эксплуатации и в условиях, когда спра-
ведлива предпосылка о постоянстве напора в питающих слоях,
можно пользоваться формулой (VII.5.11). Эта формула для опре-
деления понижения уровня в самой скважине (при —1) су-
В
щественно упрощается:
(VII.5.15)
198
При значительных размерах пласта (когда —— > 1,5—2) вто-
В
рым членом в скобках по сравнению с первым можно за малостью
пренебрегать. В этом случае формула (VII.5.15) становится иден-
тичной формуле для неограниченного пласта.
Для определения понижения уровня на контуре пласта (при
г=7?к) из формулы (VII.5.11) получаем:
QRK

(VII.5.16)
Представляет интерес получение решения более общей задачи
для рассматриваемых условий, а именно — с учетом изменения на-
порных уровней в обоих пластах, связанных через глинистые сла-
бопроницаемые слои. Такая задача в последнее время была де-
тально рассмотрена О. Н. Хариным и В. Е. Влюшиным [16].
Однако, так же как и для неограниченных по простиранию
пластов, полученное решение, несмотря на всю его ценность, к со-
жалению, очень громоздко и неудобно для практического пользо-
вания (хотя указанные авторы немало потрудились, чтобы выра-
зить решение в наиболее доступной форме). Приемлемый с этой
точки зрения результат может быть получен, если положить основ-
ные параметры взаимодействующих пластов одинаковыми, т. е.
принять в уравнениях (VII.5.1)
а ] —	— ^9 — b.
При таких условиях нами найдено решение в следующем виде
(принимаем для простоты Де=0):
Знак плюс в правой части следует принять при определении
уровня Si в верхнем слое 1, знак минус — при определении уровня
S2 в нижнем слое 2 (см. рис. VII.15). Предполагается, что откачка
ведется одновременно из обоих пластов с расходами соответственно
Q1 и 0.2.
Легко видеть, что по построению формула (VII.5.17) аналогич-
на соответствующей формуле, выведенной ранее для неограничен-
ного пласта. Первый член в правой части здесь характеризует
динамику уровня в изолированном пласте (без перетекания), вто-
рой— динамику в слоистом пласте с учетом перетекания при
199
постоянном напоре в питающем слое. В соответствии с этим обозна-
чения в (VII.5.17) следует принимать по решениям (VII.4.I0) и
(VII.5.13).
Возможность использования решения (VII.5.17) при различных
параметрах проводимости и пьезопроводности обоих пластов ог-
раничивается теми же критериями, которые были рассмотрены для
неограниченного пласта (см. главу VI).
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VII
1.	Биндеман Н. Н., Бочевер Ф. М. Региональная оценка эксплуата-
ционных запасов подземных вод. «Советская геология», № 1, 1964.
2.	Бочевер Ф. М. Расчет притока подземных вод к водозаборным соору-
жениям с учетом осушения пласта в области выхода его на поверхность. Изв.
АН СССР, ОТН, № 4, 1961.
3.	Бочевер Ф. М. К оценке эксплуатационных запасов подземных вод
в ограниченных по площади водоносных пластах. «Разведка и охрана недр»,
№ 11, 1962.
4.	Б о ч е в е р Ф. М. Расчет водозаборных и водопонизительных скважин
в «закрытых пластах». Сб. «Вопросы гидрогеологических расчетов водозаборов
и дренажей», № 5. ВОДГЕО, Госстройиздат, 1963.
5.	Бочевер Ф. М. и Веригин Н. Н. Методическое пособие по расче-
там эксплуатационных запасов подземных вод для водоснабжения. Госстройиз-
дат, 1961.
6.	Бочевер Ф. М., Кожевникова Е. А. О методике оценки запасов
подземных вод для водоснабжения в долинах рек Центрального Казахстана.
«Разведка и охрана недр», № 9, 1957.
7.	Бочевер Ф. М., Шестаков В. М. О расчете притока подземных
вод к водозаборным сооружениям в напорном пласте с учетом частичного его
осушения на контуре. Научные сообщения ин-та ВОДГЕО, Гидрогеология, 1962.
8.	Гиринский Н. К. Некоторые вопросы динамики подземных вод, сб.
№ 9, Госгеолиздат, 1947.
9.	Калугин С. К. Опыт разведки и определения запасов подземных вод
Джезказган-Улутауского района. Сб. «Водные ресурсы Казахстана». Тр. научно-
технической конференции, состоявшейся в г. Алма-Ата 23—26 апреля 1956 г.
Изд. АН Казах. ССР, Алма-Ата, 1957.
10.	Лыков А. В. Теория теплопроводности, Гостехтеориздат, 1952.
11.	Маменко Г. К. Гидрогеологическое обоснование водозабора подзем-
ных вод на примере Верхне-Сокурского артезианского бассейна. Бюлл. научно-
технической информации Гидропроекта, № 14, 1962.
12.	М аскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. Гостоп-
техиздат, 1949.
13.	Плотников Н. И. Поиски н разведка подземных вод для крупного
водоснабжения. Изд. МГУ, 1965.
14.	Рыжик И. М., Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов
и произведений. Гостехтеориздат, 1951.
15.	Тихонов А. Н. н Самарский А. А. Уравнения математической фи-
зики. Гостехиздат, 1951.
16.	Харин О. Н., Влюшин В. Е. Определение поля давлений в много-
пластовых системах при упругом режиме фильтрации. Тр. МИНХнП им. Губ-
кина, вып. 57. Изд. «Недра», 1966.
17.	Щ е л к а ч е в В. Н. Упругий режим пластовых водонапорных систем.
Гостоптехиздат, 1959.
18.	Щелкачев В. Н., Влюшии В. Е., Харин О. Н. Вывод расчетных
формул для определения давления в ограниченном пласте в условиях упругого
режима. Изв Высш, учебн. зав., Нефть и газ, № 11, 1964.
VIII
Расчеты водозаборов
подземных вод
в долинах рек
и конусах выноса
§ 1. Гидрогеологические особенности речных долин.
Расчетные схемы
Подземные воды речных долин являются одним из основных ис-
точников водоснабжения населения и промышленности. К ним при-
урочены многочисленные водозаборные сооружения нередко весьма
значительной производительности (порядка 50—100 тыс -м2! сутки,
а иногда и более).
В долинах крупных рек средней полосы СССР, а также в юж-
ных районах нашей страны, в Средней Азии и Казахстане распро-
странены мощные водоносные песчаные и гравелисто-галечные
накопления, слагающие пойму и целую серию надпойменных
террас. Общая ширина таких долин обычно составляет несколько
километров, а в некоторых случаях, например в местах впаде-
ния в основную реку ее притоков, ширина их увеличивается до
десятков километров.
Примером таких обширных речных долин, заключающих обиль-
ные запасы подземных вод, являются долины Волги и ее крупных
притоков — Камы, Оки и других рек в европейской части СССР.
На многих участках этих рек ныне действуют крупные водозаборы
и имеются благоприятные возможности для сооружения новых во-
дозаборов, удовлетворяющих все возрастающие здесь потребности
в воде на нужды хозяйственно-питьевого и производственного во-
доснабжения.
Мощность водоносных аллювиальных отложений указанных
речных долин достигает 40—50 м. Водопроницаемость их ко-
леблется в широких пределах в связи с неоднородностью аллю-
виальных отложений. В среднем, однако, для них характерны
довольно высокие значения коэффициента фильтрации (от 15 до
30—40 м] сутки).
Важнейшим фактором, определяющим условия эксплуатации
водозаборов в долинах рек средней полосы, является наличие в них
мощных постоянно действующих поверхностных водотоков, с кото-
рыми гидравлически связаны водоносные аллювиальные отложе-
ния. Благодаря этому представляется возможным устройство
здесь так называемых инфильтрационных водозаборов,
201
производительность которых обеспечивается в основном фильтра-
цией речных вод.
При оценке эксплуатационных запасов подземных вод в таких
условиях водоносные горизонты можно рассматривать ограничен-
ными только с одной стороны, а именно — со стороны реки, а
в глубь берегов вследствие удаленности бортовых частей долины
считать водоносные горизонты простирающимися «бесконечно
далеко», т. е., иначе говоря, в данном случае применима схема
«полубесконечнего» или «полуограниченного» пла-
ста.
Для иллюстрации такого типа водоносных горизонтов в речных
долинах на рис. VIII. 1,а приводится гидрогеологический разрез
по одному из участков левого берега Волги.
Следует заметить, что с точки зрения расчета водозаборов
к указанным обширным долинам, сложенным аллювиальными обра-
зованиями, приближаются приречные массивы водоносных корен-
ных пород, например известняков, песчаников и др. В данном
случае следует уже говорить не о речной долине в узком смысле
этого слова, а о придолинной области. Но здесь также, несмотря
на значительные естественные ресурсы (динамические и стати-
ческие) водоносных горизонтов, связанных с коренными породами,
и обширную область их распространения, режим эксплуатации
водозаборов, размещенных вблизи русла, определяется в основном
фильтрацией речных вод.
На самой реке условия устанавливаются в зависимости от ее
уровенного режима. При этом в большинстве случаев необходимо
учитывать «несовершенство» речных русел, т. е. неполную их
врезку в водоносный пласт, а также заиленность русловых отложе-
ний и наличие в них глинистых прослоев и линз, затрудняющих
фильтрацию воды из реки в водоносный пласт при действии водо-
заборов.
Иная схема расчета должна быть принята в долинах рек, имею-
щих относительно небольшие поперечные размеры. В этом случае
уже нельзя считать водоносный горизонт простирающимся «беско-
нечно» в сторону от реки. В зависимости от геологического строе-
ния и гидрогеологических условий, которыми характеризуются
борта долины, здесь могут быть поставлены различные условия.
Например, если борта сложены весьма слабопроницаемыми поро-
дами— глинами, глинистыми сланцами и т. п., — можно пренебре-
гать притоком из них в водоносные аллювиальные отложения за
его малостью.
При постоянном речном стоке основное питание водозабора
в таких условиях осуществляется, как и в предыдущей схеме, за
счет фильтрации из реки.
В отдельных, в общем редких, случаях приток подземных вод
со стороны бортовых частей долины оказывается по своей величине
ощутимым и его следует учитывать. Например, на террасах с высо-
ким цоколем в местах причленения к ним более низких террас
202
в последние может происходить перетекание воды, причем интен-
сивность перетекания (расход) практически является постоянной
(см. рис. VIII. 1,6).
Рис. VIII. 1. Схемы речных долин
Вместе с тем борта долин нередко сложены породами гораздо
более водопроницаемыми по сравнению с аллювиальными отложе-
ниями, например сильно трещиноватыми и закарстованными изве-
стняками. При откачке подземных вод из аллювиальных песков
203
снижение уровня в бортах будет в этом случае незначительным,
поэтому практически напор здесь, как и в реке, можно считать
неизменным в процессе откачки. К той же схеме можно отнести
участки, где водоносный горизонт со стороны берега ограничи-
вается староречьем, вытянутым озером или другой близко располо-
женной рекой.
Такие условия особенно благоприятны для размещения водо-
заборных сооружений, поскольку при этом обеспечивается быстрое
восполнение срабатываемых запасов подземных вод в результате
двусторонней фильтрации поверхностных вод.
Сказанное относится к долинам крупных рек, имеющих по-
стоянно действующие водотоки. Для приближенных аналитических
расчетов производительности водозаборов и оценки эксплуата-
ционных запасов подземных вод такая долина во многих случаях
может быть представлена в виде вытянутой полосы, ограниченной
двумя параллельными контурами («пласт-полоса»): с одной сто-
роны совпадающим с рекой (схематически рисующейся в данном
случае в виде прямой линии), где задается напор, а с другой —
с линией борта долины, сложенного слабоводопроницаемыми поро-
дами, или водотоком, (озером, староречьем); соответственно усло-
вия здесь выражаются величинами расхода и напора. Дно долины
принимается горизонтальным и непроницаемым.
В южных районах с сухим климатом значительные запасы под-
земных вод находятся также в долинах рек, лишенных постоянного
поверхностного стока. Замечательны в этом отношении, например,
долины Центрального Казахстана — Жаманши, Токрау, Талды и
некоторые другие.
В пределах указанных долин залегают довольно мощные (до
25 л) аллювиальные песчано-галечные отложения с потоками под-
земных вод большой производительности. В основном они форми-
руются в верховьях, где выпадает сравнительно большое коли-
чество атмосферных осадков (до 350—400 мм в год). Пополнение
запасов подземных вод на всем протяжении долины происходит за
счет фильтрации речных вод. В основании и бортах долин залегают
весьма слабоводопроницаемые породы, и приток подземных вод
в долины извне практически можно считать равным нулю.
Однако поступление речных вод происходит непостоянно, так
как поверхностный сток даже в годы высокой водности наблю-
дается в течение сравнительно короткого времени, а в маловодные
годы совсем отсутствует. Через каждые 35—40 лет отмечаются
подряд 4—5 безводных лет. Но несмотря на такое крайне неравно-
мерное распределение поверхностного стока и затяжные безвод-
ные периоды, колебания уровня подземных вод здесь невелики (до
1 —1,5 м в год), что объясняется значительным объемом водо-
носных аллювиальных отложений, представляющих собой своего
рода подземные водохранилища.
Практическое использование подземных вод в указанных усло-
виях как раз и основывается на периодической сработке стати-
204
ческих запасов воды, заключенных в аллювиальных отложениях, и
восполнении их фильтрующимися речными водами в паводковые
периоды одного или ряда лет.
В процессе восполнения запасов помимо «боковой» фильтрации
из рек через дно и берега русла важную роль играет вертикальная
фильтрация на площади поймы при ее затоплении во время па-
водков.
В соответствии с этим в значительной мере определяется схема
водозаборного сооружения в такого рода долинах. В отличие от
преобладающих в предыдущих схемах линейных прирусловых во-
дозаборов здесь оказывается целесообразным более или менее
равномерное расположение скважин на площади с целью макси-
мального использования статических запасов в маловодные пе-
риоды. Однако и в данном случае краевые (прибортовые) участки
долины обычно приходится исключать, поскольку мощность аллю-
виальных отложений в краевых зонах сокращается и, что особенно
существенно, в. этих зонах подземные воды нередко оказываются
минерализованными, непригодными для питья. Это связывается
со слабым поступлением поверхностных паводковых вод и полуза-
стойным режимом удаленных от русла участков распространения
водоносных аллювиальных отложений. Реальный разрез одной из
долин с охарактеризованными условиями дан на рис. VIII. 1,6.
Задача оценки эксплуатационных запасов подземных вод
в аллювиальных отложениях долин с периодически действующими
водотоками, как правило, разделяется на две части. Вначале опре-
деляются общие ресурсы (динамические и статические) подземных
вод в районе намечаемого расположения водозаборов и произво-
дится расчет динамики их сработки в маловодные периоды, затем
дается прогноз восполнения ресурсов в многоводные периоды,
когда появляется речной сток.
Длительность возможного периода сработки запасов подземных
вод определяется по данным гидрологических наблюдений, причем
используется статистический ряд маловодных лет 95—97% обеспе-
ченности.
В периоды отсутствия речного стока водоносный горизонт
в рассматриваемых долинах рек может быть схематически пред-
ставлен в виде полосы, ограниченной с двух сторон непроницае-
мыми контурами (вблизи бортов долины). В разрезе водоносный
горизонт также схематизируется путем осреднения мощности и
введения некоторой постоянной ее величины вместо действительной
переменной мощности в поперечном сечении долины. По дну до-
лины, как и в предыдущих случаях, проводится горизонтальный
водоупор. Площадь поперечного сечения в расчетной схеме прини-
мается приблизительно равной действительной площади.
Из приведенного краткого обзора гидрогеологических особен-
ностей и условий практического использования подземных вод
в речных долинах видно, что для целей расчета они могут быть
представлены в виде следующих расчетных схем [11, 20, 21]:
205
1. Долины весьма значительной ширины — полуограниченный
пласт с условием на контуре S=f(t).
2. Долины ограниченной ширины — пласт-полоса с разнород-
ными условиями на контурах: Si = f(t) и g2=const. Здесь S— по-
Рис. VIII. 2. Схемы к расчету скважин вблизи
реки в долинах весьма значительных («беско-
нечных») поперечных размеров
а — берег русла реки прямолинейный («полуограни-
ченный пласт»); о —берег русла схематически пред-
ставляется в виде угла («пласт-угол»)
нижение уровня подзем-
ных вод, q — расход, t —
время.
Применительно к этим
схемам далее излагается
методика гидрогеологи-
ческих расчетов водозабо-
ров. Кроме того, отдельно
рассматривается вопрос
об учете несовершенства
речных русел.
§ 2. Долины весьма зна-
чительной ширины
(«полуограниченный
пласт»)
Расчеты водозаборов в
этом случае производятся
по формулам,, которые
легко составить, пользуясь
методом зеркальных ото-
бражений и сложения
фильтрационных течений.
Эти формулы были выше
(в главе VII) получены
как предельные при рас-
смотрении методики рас-
чета водозаборов в полу-
ограниченных водоносных
пластах с учетом частич-
ного их осушения в об-
ласти выхода на поверх-
ность. Представляются
они в следующем виде
[20, 27] (рис. VIII.2,а).
Одиночная скважина и группа любым образом
расположенных взаимодействующих скважин
При расчетах соответственно имеем:
для одиночной скважины
- таг	- &(-»')];	(V1H.2.1)
206
для группы любым образом расположенных
взаимодействующих скважин
5 =
п
М - Ei(-а')]•	(VIII.2.2)
I = 1
В этих формулах
2	2
ri	'	_	Pi
а‘	4at	’	а‘	4at	’
г— расстояние точки, в которой определяется понижение уровня
S, до реальной скважины, р — то же до зеркального отображения
скважины.
При определении понижения уровня в одной из скважин прини-
маются следующие обозначения:
го—радиус скважины, в которой определяется понижение
уровня;
ро — расстояние от этой скважины до ее зеркального отобра-
жения;
Tj и р<-— расстояния от той же скважины соответственно до всех
взаимодействующих с ней реальных скважин и их зеркальных ото-
бражений;
Qo, Qi=Qlt Q2, Qn — расход каждой скважины, QcyM— сум-
марный расход всех скважин;
Qi
pi=—------, i=l, 2, ..., п, где п — число взаимодействующих
У сум
скважин. Значок ▼ показывает, что из суммы исключается сква-
жина, в которой определяется понижение уровня.
2
При длительных откачках, когда < 0,05 н- 0,1, из зави-
4at
симости (VIII.2.2) получаем хорошо известную формулу Форхгей-
мера для стационарных условий:
п
•5=-2^|"7Г + та-2тМп-^- (VI1I.2.3)
При откачке из одной скважины второй член в правой части
уравнений (VIII.2.2) и (VIII.2.3) исключается, а при определении
уровня в точке, удаленной от всех скважин, первый член выпадает.
В связи с извилистостью береговой линии реки и наличием
меандр нередко бывает целесообразно принимать в схеме контур
пласта в виде некоторого угла (см. рис. VIII.2,б). В этом случае,
207
если считать угол равным 0= —, где п — целое положительное
число (п= 1,2,3, формула для расчета скважин может быть
выражена следующим образом:
2/1 -1
S = - Ei(-а) + -5-2- У (-1)’Ei (-bi).	(V11I.2.4)
4~km v ' 1 4r.km ** '	’ v	v	’
У = 1
Эта формула получается из решения, данного М. М. Гылыбо-
вым [34]. При п=1 она становится идентичной формуле (VII.2.1)
(для одиночной скважины, т. е. без суммы в правой части), а при
Л»
п = 2, Qo = —, кроме реальной скважины следует учитывать три
зеркальных отображения, что соответствует схеме «пласта-квад-
ранта» [20].
При длительных откачках вместо формулы (VIII.2.4) имеем:
Q 1П РтРз • • • Р»-1
‘2тгкт гор2 . . . р2п_2
(VIII.2.5)
Линейный ряд скважин весьма значительной
протяженности (рис. VIII.3)
При большом числе скважин, расположенных параллельно реке
в удалении от нее на расстоянии L, для расчета можно использо-
вать зависимость, получающуюся при замене реального £яда сква-
жин галереей с погонным расходом
х	_ Реум
^0 — —2Г“ ’
Рис. VIII. 3. Схема к расчету ли-
нейного ряда скважин вблизи реки
где QcyM — суммарный расход сква-
жин;
I — полудлина галереи.
При этом, используя известное
решение из теории теплопроводности
для бесконечной линейной системы
постояннодействующих источников и
применяя зеркальное отображе-
ние [21], получим:
о Qi I • -с |1—х I
5 = -щт— V Ео terfc -——J—
2kms r 0 I 7	2
1 -L x \
-ier/c±^.	(VIII.2.6)
Здесь ierfc z — функция, определяемая по таблице и графику, при-
-т — х	at
веденным в приложении II; х = —, Fo = -^-,
остальные обозна-
чения ясны из рисунка.
208
При длительных откачках формула (VIII.2.6) принимает сле-
дующий вид:	с Qx
° — 2kmz 
(VIII.2.7)
При определении понижения уровня непосредственно в скважи-
нах ряда, а также в точках, отстоящих от ряда в глубь берега,
прих>£.	£=-2^.	(VIII.2.8)
Для определения понижения уровня в скважинах ряда к выра-
жению (VIII.2.8) следует добавить величину дополнительного
сопротивления, определяемого в зависимости от размеров скважин,
степени их несовершенства и расстановки в пределах ряда. При
этом получим:
е___ Q
(VIII.2.9)
где £ — поправка на несовершенство скважины, определяемая
в соответствии с указаниями, данными в гл. V, г0 — радиус сква-
жины.
Во всех приведенных здесь формулах: о — половина расстояния
( 1 /
между скважинами I о =------—; I—половина длины ряда, п —
общее число скважин
При действии береговых водозаборов фильтрация со временем
приобретает установившийся характер, кривая изменения уровня
подземных вод в этих условиях довольно быстро выполаживается
и становится параллельной оси абсцисс (рис. VIII.4). В соответ-
ствии с этим прогнозы на длительные эксплуатационные периоды
практически следует производить по формулам (VIII.2.3), (VIII.2.5)
и (VIII.2.7) —(VIII.2.9) для ста-
ционарного потока.
Задача о расчете бесконечных
линейных рядов скважин в рас-
сматриваемых условиях полуогра-
ниченного пласта в более стро-
гой постановке исследовалась
Н. Н. Веригиным [27], а также
Н. Н. Веригиным и В. С. Сарки-
сяном [28]. Однако приближен-
ные расчеты по формулам
(VIII.2.6) — (VIII.2.9) при опреде-
лении понижения уровня в сква-
жинах дают практически одина-
ковый результат с расчетами по
графикам и таблицам, в которых
выражены решения указанных
авторов.
Рис. VIII.4. График понижения уров-
ня при откачке из скважнн вблизи
реки
209
При устройстве крупных водозаборов подземных вод в долинах
с постояннодействующим речным стоком часто возникает вопрос
о том, в какой мере эксплуатация таких водозаборов может отра-
зиться на общем водном балансе реки.
При оценке суммарных ресурсов подземных вод в пределах
крупных речных бассейнов необходимо учитывать, что изъятие
подземных вод в размерах, обеспечиваемых инфильтрацией атмо-
сферных осадков и поступлением воды из поверхностных источни-
ков, приведет к соответствующему уменьшению открытого водного
стока. Однако при устройстве водозаборов на локальных участках
влияние эксплуатации подземных вод на открытый водный сток
должно оцениваться в зависимости от конкретных гидрогеологи-
ческих и гидрологических условий, схемы размещения водозабор-
ных сооружений, длительности их эксплуатации и т. д. [10].
Для выявления некоторых общих закономерностей рассмотрим
простейшую схему фильтрации при откачке из скважины вблизи
реки с учетом естественного берегового потока подземных вод.
Так же, как это мы делали для скважины в неограниченном пласте
(см. § 6 главы V), составим следующее уравнение:
5 = 5СКВ + \= - -т?- Ei (~	тт) +	,
скв 1 е \r.km \ \at ) 1 у 4а/ ) 1 km
где — бытовой расход подземного потока,
Г2 = у2 4-(Ло_Л)2;
р2 = у2 + (Ло + л)2.
Составляющая скорости фильтрации по координате х
V -- k dS ~ Q I х°~* I *о + х	q6
к дх ~ Ъип г2	е т- р2	е у т ' 
(VIII.2.10)
Здесь т — мощность пласта.
р2
При более или менее длительных откачках (когда - — <
4a.t
<0,05-?-0,1) формируется квазистационарный режим фильтрации
и можно принимать
+-t7-V’ (VIII.2.И)
х 2r.m I г2 1 р2 / т	'	'
Приравнивая нулю это выражение, нетрудно получить коорди-
нату точки разветвления потока, через которую проходит линия,
ограничивающая область питания скважины. При этом можно
представить себе такие случаи [17, 43].
1.	Расход скважины целиком обеспечивается фильтрацией из
реки (рис. VIII.5, а).
2.	Расход скважины обеспечивается притоком подземных вод
только со стороны берега (рис. VIII.5,б). Раздельная точка
210
Рис. VIII.5. Схемы фильтрационных течений к скважине вблизи реки.
(максимум кривой депрессии) находится между скважиной и рекой.
Координаты раздельной точки
у,„ = 0, х,„= ]/х0(х0-, (Q<^6). (VIII.2.12)
1	\	'’Чб /
3.	Расход скважины обеспечивается береговым потоком, но раз-
дельная точка смещается к реке (касается ее, рис. VIII.5,в).
Ут = ^,п = 0, (Q =кх0<7б).	(VIII.2.13)
4.	Расход скважины обеспечивается береговым потоком под-
земных вод и фильтрацией из реки (рис. VIII.5,г). В данном слу-
чае образуются две раздельные точки, координаты которых
У,п =	-*о) - ^,„ = 0, (Q>^6). (VIII.2.14)
Через раздельную точку проходит так называемая раздельная
или «нейтральная» линия тока, ограничивающая область питания
скважины. Уравнение функции тока ф легко получить из (VIII.2.11),
используя известное соотношение Даламбера — Эйлера:
Ф = - f dy = (arctg + arctg
<7бУ + С-
(V11I.2.15)
Полагая ф=0 при х=0, получаем С=0. Тогда, задаваясь любым
Q
значением у и ф = —% ,
можно из (VIII.2.15) найти координаты х
раздельной линии тока.
211
Величина расхода из реки Qp определяется по тому же выраже-
нию (VIII.2.15):
Qp = 2mJ Vx\x=ady.
о
Подставляя сюда Vx по (VIII.2.10), получим интеграл, подоб-
ный тому, который рассматривался нами в главе V [см. выраже-
ние (V.6.6)]:
у _ I
9Г) Г* р 4at
Qp = -V~f ^T-z-dZ~2q6ym, (VIII.2.15a)
о
где	у„, = — .
Значения интеграла в формуле (VIII.2.15) можно определить по
графикам, приведенным на рис. V.1,
В первой схеме, при <?б=0 (см. рис. VIII.5,а), теоретически
фильтрация из реки происходит на фронте бесконечно большой
протяженности (ут = оо).
В этом случае
	(VII1.2.16)
Эта формула нами уже приводилась в предыдущей главе.
Следует, однако, учитывать, что в реальных условиях фильтра-
ция из реки может осуществляться лишь на ограниченных участках.
Это связано с извилистостью русел, их заиленностью и частой
сменой водопроницаемых русловых отложений водоупорными поро-
дами.
При длительных откачках, пользуясь в качестве исходной фор-
мулой (VIII.2.11), можно получить следующее выражение для
расхода из реки [8]:
Q₽ = arctg - 2q6ym.	(VIII.2.17)
г	'*0
Здесь ут определяется по (VIII.2.14).
Ширина «зоны захвата» берегового потока В — 2ут при этом
находится из следующего балансового соотношения:
Q = arctg + 2 (В - у,„) <76.
к	хт
Решая это последнее уравнение относительно В, получаем
5=^-arctg-^- + y,;i.	(VIII.2.18)
У т.
212
Для иллюстрации в табл. VIII.1 приведены результаты рас-
чета Qp, ут и В при некоторых значения xq, Q, q§.
Таблица VII 1.1
Пример расчета по формулам .(VIII.2.14), (V1I1.2.17) и (VIII.2.18)
Л*(„	Q, м3/сутки	(?&, м2-с утки	Ут' -,£	В, м	Qp( мЛ!сут,ки	<?₽ ~о~100' %
50	1000	0,2	279	981	786	78
50	1000	0,6	156	645	625	62
50	1000	1,0	117	494	518	51
200	826	0,2	472	1997	427	52
200	826	0,6	218	1071	184	22
200	826	1,0	112	722	8	10
Мы видим, таким образом, что доля речных вод в общем рас-
ходе скважины может быть весьма существенной.
При откачке из группы взаимодействующих скважин, любым
образом расположенных вблизи реки, оценку баланса с выявле-
нием отдельных составляющих источников, которыми обеспечи-
вается расход скважин, наиболее надежно можно производить
путем построения фильтрационных сеток (графически или на ос-
нове моделирования) с использованием метода сложения течений.
При расчетах береговых водозаборов во всех рассмотренных
схемах, в том числе в тех, где расход водозабора обеспечивается
целиком притоком подземных вод со стороны берега, влияние реки
должно учитываться. Понижение уровня под действием откачки из
скважин в таких условиях теоретически должно происходить во
всех точках пласта, не только в «зоне захвата», ограничивающейся
нейтральной линией тока, но и за ее пределами вплоть до реки
(хотя фильтрации из последней и не возникает).
Однако при небольшой длительности откачек (и значительных
расстояниях скважины от реки) результаты расчетов по приведен-
ным формулам (VIII.2.1) и (VIII.2.3) оказываются практически
близкими к результатам, получаемым по формулам для неограни-
ченного пласта. Продолжительность этого периода th находится по
следующему соотношению [2]:
9
(VIII.2.19)
/ \
Здесь X = ц ) определяется по графику, изображенному на
рис. VIII.6.
Заметим, что в последнее время в связи с проблемой охраны
подземных вод от загрязнения структура фильтрационного по-
тока к скважине вблизи реки в стационарных условиях подробно
213
анализировалась в работах В. М. Шестакова [44], Е. Л. Мин-
кина [37], В. М. Гольдберга [33] и других авторов.
§ 3. Оценка заиленности
и неоднородности русловых отложений
Выше уже указывалось, что прогноз производительности бере-
говых водозаборов крайне осложняется несовершенством речных
русел.
Под несовершенством в данном случае понимается неполная
врезка русел в водоносный пласт (их «висячесть»), а также заилен-
ность русловых отложений и наличие в них слабопроницаемых
глинистых прослоев и линз, затрудняющих фильтрацию воды из
реки в водоносный пласт.
Исследованию влияния этих факторов посвящены работы
С. Ф. Аверьянова [2, 4], В. М. Григорьева [31, 32], Н. Н. Вериги-
на [26], В. М. Шестакова [46], А. И. Арцева [8], Е. М. Селюк и дру-
гих авторов. Нами эта задача решена для скважины и водозабора
линейного типа в условиях неустановившегося движения под-
земных вод. Полученные при этом результаты были доложены
на координационном совещании по фильтрации в Ленинграде [18]
и подробно изложены в статье [19]. Кроме того, с точки зрения
определения гидрогеологических параметров пласта эта задача1
рассматривалась в нашей совместной с М. М. Гылыбовым ста-
тье [23].
При оценке заиленности и неоднородности русловых отложений
можно исходить из двух предпосылок.
Согласно первой из них интенсивность процесса заиления и
аккумуляции глинистого материала в руслах рек в основном опре-
деляется естественными гидрогеологическими и геологическими
условиями и практически не зависит от интенсивности эксплуата-
' В июне 1965 г. появилась статья М. Хантуша [25], в которой приводится
решение для скважины в подобных условиях.
214
ции водозабора. Этот процесс является длительным и, вообще
говоря, нестационарным, поскольку режим речного стока изме-
няется как по сезонам, так и в многолетнем разрезе. Тем не менее,
учитывая постоянное чередование аккумуляции и эрозии речных
наносов, во многих случаях можно принимать некоторую среднюю
(условнопостоянную) степень заиленности и неоднородности ложа
реки на участке расположения водозабора. Ввод в действие водо-
забора если и приводит к активизации и усилению заиления, то
в таких размерах, которые по своим масштабам не могут сравни-
ваться с естественными русловыми процессами.
Вторая предпосылка основана на том представлении, что заиле-
ние русел и формирование глинистого экрана, затрудняющего
фильтрацию из реки, — это процессы, обязанные в значительной
степени существованию и эксплуатации самих водозаборных соору-
жений. Последние в соответствии с такой точкой зрения всегда
вызывают заиление или, во всяком случае, существенно усиливают
и активизируют его. В связи с этим со временем производитель-
ность береговых водозаборов обязательно должна уменьшаться.
Опыт эксплуатации многих береговых водозаборов, например,
в Татарии и Башкирии, как это видно из материалов, приведенных
в статье А. И. Арцева [8], подтверждает реальность обеих предпо-
сылок: первой — на незарегулированных реках, особенно в тех слу-
чаях, когда они находятся в стадии активного формирования русла,
второй, — как правило, на зарегулированных реках (водохрани-
лищах) .
Исходные уравнения и краевые условия
Схематизируя действительную картину фильтрации, можно
принять, что заиленность русловых отложений и заключенные в них
глинистые прослои в фильтрационном отношении проявляются
одинаково и могут поэтому оцениваться обобщенно. Это тем более
допустимо, что практически даже при самых тщательных изыска-
ниях нельзя отделить собственно заиленный слой от глинистых
прослоев, которые в свою очередь также чрезвычайно изменчивы
по мощности и составу.
С учетом этого обстоятельства заиленные и неоднородные рус-
ловые отложения представляются нам в виде единого слоя со
средней проницаемостью, существенно более низкой, чем у ниже-
залегающих русловых отложений и отложений в берегах.
Всю область, в которой происходит фильтрация к берего-
вому водозабору, в этом случае можно разделить на зоны
(рис. VIII.7, а):
I — русловую, в которой происходит фильтрация речных вод
через заиленные и слабопроницаемые глинистые слои постоянной
суммарной мощностью то со средним коэффициентом фильтрации
k0 в нижележащие отложения мощностью mi и коэффициентом
фильтрации ki,
215
II — береговую зону расположения водозабора, где существует
поток грунтовых вод, в естественных условиях (до начала эксплуа-
тации водозабора) направленный нормально к реке (или от реки);
мощность этого потока изменяется в глубь берега, средняя его
мощность m2, коэффициент фильтрации /?г;
Рис. VIII.7. Схемы
к расчету скважи-
ны вблизи реки
с учетом несовер-
шенства русла.
III — береговую зону на противоположной по отношению к водо-
забору стороне реки; в этой зоне также имеется естественный поток
грунтовых вод, связанный с рекой, средняя мощность его тз; коэф-
фициент фильтрации к-з.
Поскольку водопроницаемость заиленного и глинистого слоя
в русле сравнительно мала, т. е. ko<^ki, можно пренебречь в нем
горизонтальными составляющими скорости фильтрации. Кроме
216
того, можно считать, что непосредственно в русле фильтрация уже
через короткий промежуток времени будет происходить при
«жестком» режиме и упругие силы будут сказываться в малой сте-
пени (во всяком случае, по сравнению с береговой областью их
роль можно считать ничтожной).
Тогда исходные дифференциальные уравнения для каждой зоны
могут быть выражены в таком виде:
Зона I
d2S.	1 dS,	/	ьп	\
—L_a4$ _L .1	а02=_^  1	(VIII.3.1)
дх1	1 ах dt \ (Jun)xma] '	'
Если исходить из первой предпосылки, то можно принимать
а° = const, при второй предпосылке ko = ko(t), та = т0(1) и
а°=а°(/), где t — время.
Зоны II и III
^ + 7?- = ТГ- • (' - « '“>	(VIH.3.2)
(VI1I.3.3)
где Нег и Hi — отметки уровня в береговых зонах до начала от-
качки и в процессе откачки;
, ,	/	(km)i \
di — коэффициент пьезопроводности (	j— I ;
kmt — проводимость, ц* — коэффициент водоотдачи пласта
в береговых зонах (в безнапорных потоках fem, =
=khcpi и ц* = ц) ;
х, у — координаты области движения подземных вод,
t — время.
На «склейте» всех этих зон должны быть поставлены условия
четвертого рода, т. е. условия равенства самих искомых функций
понижения и нормальных составляющих скоростей фильтрации.
В зоне II на водозаборе могут быть поставлены условия первого
или второго рода. В зонах II и III на бесконечности следует при-
нять условия ограниченности искомых функций. И, наконец, в ка-
честве начального условия во всех зонах можно принять нулевое
значение искомых функций.
Решая при этих условиях систему уравнений (VIII.3.1) —
(VIII.3.3), можно получить самый общий результат. Однако для
анализа некоторых важных закономерностей фильтрации в рас-
сматриваемых условиях достаточно рассмотреть задачу в более
простой постановке.
Допустим, что выдерживается первая из указанных в самом на-
чале предпосылок относительно формирования заиленного и гли-
нистого экрана в русле, т. е. cc°=const. Примем также, что режим
фильтрации в русловой зоне является жестким (при этом, однако,
здесь имеет место неустановившееся движение, как и в береговых
зонах, с которыми русло непосредственно связано).
217
Общее решение уравнения (VIII.3.1) при
dSi
dt
= 0 выражается
так:
5, =	+ В^\
(VIII.3.4)
где А и В — произвольные постоянные, определяемые из условий
на границах зоны I:
при х = 0,	51=51(0, /);
при х=-ЧЬ, Sx = Si(-2b, t).	(VUI.3.5)
После нахождения Л и В и подстановки их в (VIII.3.4.) по-
лучим:
= *,(0, 1} Sl";;(g+J)l -S,(-24,	(Vlll.3.6)
Указанное решение существенно упрощается, если пренебречь
влиянием фильтрационного потока с противоположной стороны.
Это может быть сделано двумя приемами. Во-первых, можно при-
нять, что при ограниченной ширине русла на противоположном
берегу на таком же расстоянии от реки располагается водозабор
с тем же расходом (см. рис. VIII.7, б). Во-вторых, можно положить
ширину русла бесконечно большой, т. е. практически рассматривать
не реку, а водохранилище (см. рис. VIII.7,в). В том и другом слу-
чаях фильтрационный поток будет симметричным, причем ось сим-
метрии в первой схеме располагается посредине русла, а во второй
она относится в бесконечность.
Граничные условия для первой зоны при этом формулируются
следующим образом:
а)	при ограниченной ширине русла
х = 0,	Sl = Si(0, t) \
х= — Ь,
4^- = 0
дх
(VIII.3.7)
б)	при бесконечно большой ширине русла
х = 0,	$, = 5,(0, t) |	(VIII.3.8)
х= — сс, 5, = 0 J
В соответствии с этим для первой схемы (ограниченная ширина
русла) будем иметь решение в таком виде
S1 = (°- о Chtch^)a2L •	(VII1.3.9)
и для второй схемы (бесконечно большая ширина русла)
5, =5,(0, 0[sh(a°x) + ch(<x0x)].	(VII1.3.10)
2В
Граничные условия, при которых должно решаться уравнение
(VIII.3.2), будут иметь вид
х=0, х= —26 (на контакте русловой и береговых зон)
=
dS 
(VIII.3.11)
Эти равенства выражают собой условия четвертого рода.
Но учитывая уравнения (VIII.3.6), (VIII.3.9) и (VIII.3.10), после
их дифференцирования найдем:
для асимметричной схемы фильтрации
ds„	S,.. (—2b, t) 1 e (0 a	in v	
Л —и’	дх — Л1-2	d>i^’	ch(2W) J	
6S,,,	5., (0, t)	, (VIII.3.12)
л: =—26,  'н = а,_3 ’ дх	13	Hw S'H( -26, /)] ]	
		(V1II.3.13)
		
для симметричной схемы фильтрации
х = 0, —LL = XSn.	(VIII.3.14)
Здесь коэффициент X выражается так:
для первой схемы (ограниченная ширина русла)
Z = a°th(da°);	(V11I.3.15)
для второй схемы (бесконечно большая ширина русла)
. __ (fe/»)i . о
' (km),
(VIII.3.16)
Уравнения (VIII.3.12) и (VIII.3.14) относятся уже к условиям
третьего рода. Последнее из уравнений для симметричной схемы
для рассматриваемой задачи было впервые составлено Н. Н. Вери-
гиным [26].
На удаленных границах области фильтрации в берегах при
±оо и (/-> ±оо, S, =0.
Водозаборные сооружения, как уже указывалось, располага-
ются во II зоне. При этом рассматриваются две схемы: а) одиноч-
ная скважина и группа любым образом расположенных взаимо-
действующих скважин (двухмерный поток) и б) линейный ряд
219
скважин весьма значительной протяженности (одномерный поток).
В обоих случаях на водозаборах принимается условие постоянства
расхода. Математическая формулировка этого условия приводится
далее для каждой из указанных схем водозабора.
Одиночная скважина
Примем, что скважина-сток располагается в точке с координа-
тами Хо и t/o=O. При этом имеем;
<>0, limr—=	= const; (VI1I.3.17)
г_>0 °г	2л. (km)2	'
(г = У(л-л0)2 + у2'| .
При этом условии и условиях (VIII.3.12) и (VIII.3.14) решение
уравнения (VIII.3.2.) находится тем же методом, который был ис-
пользован нами выше при рассмотрении фильтрации в полуограни-
ченном водоносном пласте с учетом частичного его осушения
в области выхода на поверхность (см. § 2 главы VII). Подробно
оно изложено в упоминавшейся работе [19].
Результат решения представляется в следующем виде:
Для асимметричной схемы фильтрации
 s,,= 2dUw' + A'’)-	<V,IL3-18)
/г, = -	(-	- ei(--i.)].	(vin.3.20)
p — Vz(-k + x0)2 + у 2,
1 Г ел da
^ = L~p) a-^7 '	(VIII.3.21)
— co
ne(2^x) y'T ~ £
Rz==L-1---------—Г ?3- J	(VIII.3.22)
— CD
Последнее выражение получено в предположении, что в зоне III
поток является одномерным.
Здесь символом L~l обозначено обратное преобразование функ-
ции /?г и R3. К сожалению, оно остается в данном случае нераскры-
тым в силу трудности перехода от изображения к оригиналу. Далее
будет показано, что эта задача существенно упрощается для
установившегося движения.
220
В выражениях (VIII.3.21) и (VIII.3.22), кроме того, принято:
С = ).
£ cth2 (2Ь°)
(VIII.3.23)
x = I*«h aoth (2£ao)
(VIII.3.24)
A = toy — | х — х013; Б = icy — л03,
р — параметр преобразования по Лапласу, Xi-з определяется по
(VIII.3.13).
Для симметричной схемы фильтрации. Для опре-
деления понижения уровня Зц так же, как в асимметричной схеме,
могут быть использованы формулы (VIII.3.18)— (VIII.3.21), но
в последней из них вместо С следует принимать %, выражающееся
для ограниченной ширины русла, — по (VIII.3.15) и для беско-
нечно большой ширины русла — по (VIII.3.16). Другим методом
решение аналогичной в математическом отношении задачи, как и
для симметричной схемы фильтрации, было получено Л. М. Альт-
шулером [7]. Им исследовалось температурное поле трубы в мас-
сиве, причем на границе массив — воздух предполагалось наличие
теплообмена, т. е., как и в нашей задаче, принималось условие
третьего рода. Л. М. Альтшулером найдено выражение для Ri
в явной форме:
- №
/?2 = 2ех+Го-^
—--------=-----do, (VIII.3.25)
2 /Л,
где x=Z,(x+x0), y = ty, F0 = №a2t.
Интеграл в формуле (VIII.3.25) для некоторых значений пара-
метров х, у и Fo в работе [7] табулирован. Там же показано, что
для малых моментов времени этот интеграл можно упростить1.
Сумма R=Ri-\-R2 в решении (VIII.3.18) представляет собой об-
щее сопротивление при действии скважины вблизи реки. Функция Ri,
1 Следует отметить, что решение рассматриваемой задачи для асимметрич-
ной схемы фильтрации тем же методом и в том виде, что в работе [7], позднее
получил Н. И. Гамаюнов.
221
выражающаяся по (VIII.3.20), может быть названа основным
сопротивлением при условии, что река имеет непосредственную
гидравлическую связь с водоносным горизонтом, т. е. без учета
несовершенства русла, его заиленности и неоднородности.
Функция Rz характеризует дополнительное гидравлическое
сопротивление, обусловленное именно этими факторами — несовер-
шенством, заиленностью и неоднородностью. Любопытно, что коэф-
фициент X, которым в полученных решениях выражается экрани-
рующий эффект кольматации и неоднородности русла, для
асимметричной и симметричной схем фильтрации отличается
только значением аргумента гиперболической функции: при асим-
метричной схеме он равен 2ба°[см, формулу (VIII.3.24)], при
симметричной в случае ограниченной ширины русла — Ьа°
[см. формулу (VIII.3.15)], а в случае бесконечно большой ширины
русла — бесконечности [см. формулу (VIII.3.16)].
При Х=оо, когда условия третьего рода (VIII.3.12) и (VIII.3.14)
переходят в условие первого рода (в этом случае k0 = oo и
5п(0,/) = Sni(—2b, t) =0), #2=0 и общее сопротивление #=#i.
При л=0 указанные условия переходят в условие вто-
/	.	. dSa(O,t) dSm(-2b,t) \
рого рода I при этом ко=О и -----------=---------г------= 01,
/ р2 \
#2 = —Eiy------’ в соответствии с чем общее сопротивление
в решении (VIII.3.18) будет:
R =	+ Ei (- -g-)] . (Vlll.3.26)
Найдем теперь расчетные зависимости для стационарного по-
тока к скважине в рассматриваемых условиях.
Полагая в полученных решениях t—” оо и используя известное
правило операционного исчисления, согласно которому оригинал
функции f (t) в преобразовании Лапласа при времени равен
пределу рТ при р->0, из (VIII.3.20) и (VIII.3.21) получаем:

00	_
^2 = 2 J-1£q=-a-cos(ya) ds.
о
(VIII.3.27)
(VIII.3.28)
Здесь х=Х(х+хо), у = ку, остальные обозначения прежние.
При у=0, ch(ycr) = 1 вместо выражений (VIII.3.27) и
(VIII.3.28) получаем:
#2 = -2е*Ег (-х).	(VIII.3.29)
Этой формулой можно пользоваться при определении пониже-
ния уровня в зоне II, в точках, расположенных на горизонтальной
222
линии, проходящей через центр скважины. В частности, на стенке
скважины, при у=0 и x=x0+r0 (г0 — радиус скважины), имеем:
г0
(VIII.3.30)
R2 = -2e2x‘lEi(-2x0^.
(VII1.3.31)
Значения безразмерного сопротивления R2 по формуле
(VIII.3.28), найденные нами численным способом, приведены
в табл. VIII.2 и в виде графиков изображены на рис. VIII.8.
Таблица VIII.2
Безразмерное сопротивление R2 по формуле (VII 1.3.28)
у
X	0	Ю-4	ю-3	IO"2	Ю-1	1
10-5	21,600	17,640	12,868	8,178	3,706	0,642
10-4	17,268	16,958	12,858	8,178	3,706	0,642
IO"3	12,676	12,676	12,178	8,168	3,710	0,700
10-2	8,156	8,156	8,156	7,570	3,732	0,720
10-1	4,030	4,030	4,030	4,030	2,158	0,764
1	1,192	1,192	1,192	1,192	1,192	0,824
2	0,722	0,722	0,722	0,722	0,722	0,632
3	0,526	0,526	0,526	0,526	0,526	0,490
5	0,342	0,342	0,342	0,342	0,342	0,336
Для определения понижения уровня в зоне III при установив-
шемся движении из (VIII.3.22) аналогичным путем получаем:
$ = - --	9..	- R ,	(VH1.3.32)
111 2и (й/га)2 ch (26г°)	3	'	'
где безразмерное сопротивление /?з определяется по (VII 1.3.28) при
х = х0 =
Напомним, что для установившегося движения приведенные
расчетные зависимости справедливы как для асимметричной, так
и для симметричной схемы фильтрации. В первом случае, как уже
указывалось выше, параметр Л, характеризующий степень неодно-
родности и заиленности русловых отложений, определяется по вы-
ражению (VIII.3.24), а во втором — по выражениям (VIII.3.15) и
(VIII.3.16).
Полученные решения для одиночной скважины на основе прин-
ципа сложения фильтрационных течений легко обобщаются для
случая откачки из взаимодействующих скважин, любым образом
223
Рис. VIII.8. График безразмерного сопротивления Т?2 -по формуле
(VIII.3.28)
расположенных в береговой зоне. При этом для определения пони-
жения уровня в зоне расположения скважин имеем:
s°° =	2	(уш.з:зз)
и в зоне III, на противоположном берегу,
5»3 = 2- (Ы)7сН (2бЧ°У 2	•	(VIII.3.34)
Здесь 5Вз — общее понижение уровня в точке х, у в момент вре-
мени t под влиянием откачки из всех скважин,
QcyM — суммарный расход скважин;
о __ Qi
Pi ” QcyM ’
Rh, Ru и Язг — безразмерные гидравлические сопротивления,
вычисляемые по приведенным выше формулам для каждой i-той
скважины, координаты точки расположения которой Хог=О, </ог=О
(ось х является «скользящей» и проводится через центр каждой
скважины), 1 = 1, 2, 3, ... , п (п— общее число взаимодействую-
щих скважин).
224
Линейный ряд скважин весьма значительной протяженности
Метод вывода расчетных зависимостей в данном случае, так же
как для скважины, аналогичен примененному ранее при рассмот-
рении задачи о частичном осушении водоносных горизонтов в об-
ласти выхода их на поверхность (см. § 2 главы VII). Граничное
условие иа линии водозабора ‘принимается здесь в соответствии
с выражением (VII.2.44). Условие на линии реки сохраняется
таким же, как для скважины, т. е. в виде (VIII.3.12) и (VIII.3.14).
Результат решения при этих условиях представляется в следую-
щем виде (подробный вывод см. в работе [19]):

(VIII.3.35)
№3.36)
Rx = № (ierfc -11 х| - ierfc ,
\	г v r0 j
R2 = L-'FM /?3 = Z-1F2(p).
(VIII.3.37)
(VIII.3.38)
Выражения Fi(p) и Fz(p) представляют собой изображения по
Лапласу соответствующих оригиналов искомых безразмерных
сопротивлений Rz и R3. Для асимметричной схемы фильтрации
последние выражаются при этом в громоздком виде и поэтому при-
водятся далее только для установившегося движения.
В случае симметричной схемы фильтрации
1 \erfc _ г<1+х)+щ.^ i\+x ур-V .
'	J 2 VF0	J 2 /Ао	° )
(VIII.3.39)
Формулы (VIII.3.37) и (VIII.3.39) по внешнему виду анало-
гичны ранее приведенным формулам (VII.2.52) и (VII.2.51); они
приводятся здесь для удобства пользования формулой (VIII.3.35).
Напомним, что в этом решении qo— единичный расход линей-
ного водозабора, а I — его расстояние от реки. Функции Ri и Rz
по-прежнему характеризуют основное и дополнительное гидравли-
ческие сопротивления — без учета несовершенства русла и с учетом
такового.
На рис. VIII.9 приведены графики суммарного сопротивления
R=Ri-]~Rz, построенные по (VIII.3.37) и (VIII.3.39) при х=1, т. е.
при определении понижения уровня на линии водозабора (исходные
данные см. в табл. VI 1.3 предыдущей главы. Там же на рис. VI 1.7
показаны графики Rz, применительно к рассматриваемой здесь
задаче о притоке к береговому водозабору в них следует вместо р
принимать л). Легко видеть, что при больших значениях X(Z/^5),
225
что отвечает относительно высоким коэффициентам фильтрации
закольматированного и глинистого экрана в русле k0 и малым его
мощностям то, величина дополнительного сопротивления R2 мала
по сравнению с основным сопротивлением Ri. При этом своего
предела, соответствующего практически установившемуся движе-
нию, она достигает сравнительно быстро при Fo^ 100.
Рис. VIII.9. Графики безразмерного сопротивления R=Ri+R2 по формулам
(VIII.3.37) и (VIII.3.39)
При малых значениях А(Х/<5), т. е. при низких значениях
коэффициента фильтрации ko и больших мощностях т0, сопротив-
ление R2 возрастает и при этом максимальное его значение уста-
навливается по истечении более длительного времени, при
Fo>2000.
Предельные значения R2 можно получить, полагая в (VIII.3.39)
Fo-^-оо. При этом получим:
i 
(VIII.3.40)
Переходя к этому пределу в выражении (VIII.3.37) для Ri,
будем иметь:
— х	—	_
Rt = х = — при значениях х от 0 до 1; Ri= 1 при х 1.
226
Формулы для расчета установившегося притока подземных вод
к линейной системе скважин вблизи реки представляются в таком
виде:
при значениях х от 0 до 1
+	<VIIL3-4I>
при X > 1
s"™7Hjr!z+4-).	<™.3.42)
S'.N (^)A(2W	(VIIL3-43)
Эти формулы действительны для асимметричной и симметрич-
ной схем фильтрации при соответствующем выборе значений пара-
метра л.
Таким образом, при установившемся движении дополнительное
сопротивление, обусловленное заиленностью и неоднородностью
русловых осадков, оказывается не зависящим от координаты х и,
следовательно, от удаленности водозаборного сооружения от реки.
Это совпадает с выводами, сделанными ранее В. М. Шестаковым
на основании приближенного решения, полученного им для схемы
фильтрации из водохранилищ и каналов при отсутствии водозабор-
ных сооружений.
Заметим, что во всех приведенных зависимостях величина пони-
жения уровня S, как обычно, отсчитывается от первоначального
(до начала откачки из водозабора) уровня подземных вод и, таким
образом, в них учитывается наличие естественного берегового
потока подземных вод. При этом предполагается, что первоначаль-
ный уровень и естественный поток подземных вод формируются
под влиянием всех факторов, учитывающихся при выводе формул
для понижения уровня, в том же числе заиленное™ и неоднород-
ности русловых отложений.
Изложенная методика расчета береговых водозаборов в таких
условиях, разумеется, не охватывает всей совокупности явлений,
происходящих в русловой зоне и в берегах рек при длитель-
ной и интенсивной эксплуатации водозаборных сооружений. В част-
ности, как мы указывали с самого начала, в ней не находит пря-
мого отражения кольматация русловых и береговых осадков во вре-
мя эксплуатации. Этот фактор в ряде случаев, особенно на зарегу-
лированных реках, может оказаться весьма существенным.
Однако закономерности процесса кольматации на сегодня изу-
чены слабо. В связи с этим первостепенное значение преобретает
постановка постоянных комплексных — гидрогеологических и гид-
рологических— наблюдений на участках действующих береговых
водозаборов. По данным таких наблюдений, а также опытно-
227
фильтрационных исследований, выполняемых при изысканиях для
обоснования проектов береговых водозаборов, могут быть также
наиболее надежно определены исходные параметры для расчетов
по методике, изложенной в настоящем параграфе.
§ 4. Долины ограниченных поперечных размеров
(«пласты-полосы»)
Схемы таких долин показаны на рис. VIII.10, а, б, в. Условие
на скважине во всех этих схемах принимается в виде (VIII.3.17),
т. е. так же, как во всех предыдущих случаях, рассмотренных
в настоящей главе, скважина моделируется стоком с постоянным
дебитом. В соответствии с этим для вывода расчетных формул
в пластах ограниченных поперечных размеров, представляемых
Рис. VIII.10. Схе-
мы к расчету сква-
жин в полосообраз-
ных пластах
в форме вытянутых полос, ограниченных параллельными прямоли-
нейными контурами, можно воспользоваться методом зеркальных
отображений и сложения фильтрационных течений. При этом на-
личие второго контура вызывает необходимость последовательных
отображений не только реальной, но и всех воображаемых сква-
жин относительно каждого контура, так что общее число отобра-
жений возрастает до бесконечности.
Схема отображений видна из рис. VIII.11. В табл. VIII.3 приве-
дены выражения для первых радиусов-векторов точки М(х, у),
в которой определяется понижение уровня, т. е. расстояний этой
точки от реальной скважины и ее отображений. Там же даны
общие формулы для n-го и п*-го отображений (пип* — их поряд-
ковые номера, см. рис. VIII.11).
228
Используя функции линейного источника (см. формулу (IV.2.1)
в главе IV), можно представить расчетные зависимости для рас-
сматриваемых схем пласта в виде двух бесконечных сумм этой
функции по п и п*, принимающих все значения от —оо до -)-оо.
Рис. VIII.11. К выводу
расчетных зависимостей
для скважины в полосо-
образных пластах. Схема
зеркальных отображений
Знаки расхода воображаемых скважин зависят от условий на кон-
турах: в случае отображения относительно непроницаемого контура
воображаемые скважины, как и реальные, моделируются источни-
ками с положительным знаком, а при отображении относительно
контура с постоянным напором — стоками с отрицательным зна-
ком. В табл. VIII.3 показаны знаки расхода первых отображений
в соответствующих схемах пласта.
Подробный вывод расчетных формул для одиночной и взаимо-
действующих скважин по указанной методике дан в наших рабо-
тах [14, 15]. Основные результаты приведены также в статье [13]
<и в книгах [20, 21].
229
Таблица VI11.3
Схема отображений для полосообразного пласта
Индексы скважи- ны и ее отобра- жения	Выражение для раднуса-вектора	Знак расхода Q для различных схем (рнс. VII 1.11)		
		схема а	схема б	схема с
0	р2 = г2 = (х_Хо)2 + /2	4-	4-	_1_
1	р2 = (х-2£-х0)2 + у2	4-	—	4-
—1	р11=(х-г2£-л0)2 + у2	4-	—	4-
2	р2 = (х — 42.— х0)24-у2	—	4-	_±_
—2	pL2 = U + 42.— *о)24-у2	4-	4-	4-
Общий член	p2=(x-2/?Z-x0)2 + y2	~г	(-1)"	— .
0*	Ро* = (* + *о)2 + У2	—	4-	_i_
1*	р2» = (х — 2Z. Н- х0)2 + у2	—	—	4-
—1°	р!!* = (-V 4- 22. + х0)2 4- у2	—	—	—
2*	р2* = (х — 4L + xq)2 + у2	—	4-	
-2*	pL2* = (х + 42. + х0)2 + у2	—	4-	-4
Общий член	Р2, = (х — 2л*2. + -«о)2 + У2	—	(-1)"	4-
При получении расчетных зависимостей общее гидравлическое
сопротивление R нами было разделено на основную часть Ri— не
зависящую от времени и являющуюся функцией только координат
области фильтрации, и дополнительное сопротивление R2, изменя-
ющееся (как будет видно из дальнейшего — быстро убывающее)
во времени.
Применительно к каждому типу пласта имеем следующие
схемы.
Схема а — на обоих контурах пласта Si, 2 = 0.
Общая зависимость для определения понижения уровня S в лю-
бой точке пласта в любой момент времени имеет вид
SW=0—R(“),	(VI1I.4.1)
где	(х, хо, у, /) — суммарное гидравлическое сопротивление:
ОО	00
R^ = 2 А- % В,
П= —00	л*=	— 00
‘	р2	Л	р2.
О	Гп	О	*Л*
1 4а (/-Ч)	1	~ 4а (/ -т)
1 ~-------------d^ В= I ----------------------dt.
J t — т ’	J t — т
О	О
(VHI.4.2)
(VIII.4.3)
230
В соответствии с сказанным суммарное сопротивление может
быть представлено так:	, 7
Г
Rw = R[a}(x, х0, y)-J&\x, х0, у, t),	(VIII.4.4)
1 1n ch COS 2 (q ~Т /.)	/VIИ Л С\
- ~Т 1П ch 2$ — cos 2	’	(VIIL4.5)
. “ и.
R-2a} = ~2" 2 lcos 2ft + k) — cos 2/г (?] — /.)] X
п= 1
X [ e-2n’ erfc (4 - а) + erfc (4 + а)1 • (VIII.4.6)
Здесь
*=й--	= а = 7#’ (VIIL4-7)
erfcz= 1 — Ф(г).
Ha стенке радиусом Го при у=0 и х=хо±го
Ма, = 1п
0,64/. sin 2/.
со
(VIII.4.8)
<х>
^а) =24 lcos Ш _ cos 2rapol erfc (4) ’ (Vin.4.9)
л = 1
(0 —
(^Ро — 2£ )
at
Графики по (VIII.4.9) в зависимости от Fo=-^- приведены
на рис. VIII.12. Легко показать, что при Fo>0,054-0,1, при опре-
делении понижения уровня в скважине значением R^ ввиду его
малости по сравнению с /?“, определяемой из уравнения (VIII.4.8),
можно пренебрегать. Для точек пласта, более или менее удален-
ных от скважины, как следует из анализа выражений (VIII.4.5) и
(VIII.4.6), дополнительное сопротивление R&> можно не учитывать
при Го >0,5 4-0,8.
Формулы (VIII.4.5) и (VIII.4.8), вытекающие как частный слу-
чай из приведенного здесь общего решения, совпадают с форму-
лами, полученными С. Ф. Аверьяновым [3] и А. В. Романовым [42]
при рассмотрении задачи о расчете скважин в такой же схеме
пласта, но в условиях установившегося движения.
231
Рис. VIII.12. Графики безразмерных сопротив-
лений R2 по формулам (VIII.4.9) (схема а),
(VIII.4.16) схема б) и (VIII.4.24) (схема в)
для скважины в полосообразных пластах
Схема б — на одном контуре 5 =0 , на другом q =0.
В данном случае
(VIII.4.10)
Я= 2	+ 2	(VIII.4.11)
П— — ОО	П* = — со
где А и В выражаются по (VIII.4.3).
Поступая как в предыдущем случае получим:
=	х0, у) — R2(x, х0, у, t), (VIII.4.12)
причем
/?,=4-т ;ch^ cos^±i;Hcij -cosb-Mi (VIII 413)
1	2 (ch $ — cos (т| + л) ] [ch ; — cos(ig — л)| * v	7
oo
^94” 2 [1 ~(n~~] icos,l+k) +cosn('i - X)1 x
л = 1 L
X e n: erfc (-J- - a) + e"’ erfc (17 + a)] •
(VIII.4.14)
Соответственно при определении понижения уровня в скважине
/?1 = 1п 1’27^ct«x ,	(VIII.4.15)
ОО	__
Я2= 2 [ tcos 2/гд + cos erfc (77
п = 1
(VIII.4.16)
Обозначения здесь прежние.
Графики Rz по (VIII.4.16) показаны на рис. VIII.12, б. Из графи-
ков, а также из формул (VIII.4.13) и (VIII.4.14) следует, что в дан-
ной схеме пласта дополнительное сопротивление Rz становится
относительно малой величиной при Го>0,254-0,5 — в случае опре-
деления понижения уровня в скважине и при Fo>0,5 = 0,8 — в уда-
ленных от скважины точках пласта.
Аналогичная схема пласта в условиях установившейся фильтра-
ции исследовалась Н. А. Огильви [39].
Схема в — на обоих контурах <?i,2 = 0.
Общая зависимость для определения понижения уровня в таких
условиях по аналогии с охарактеризованными схемами записы-
вается так:
2r.km '
СО	со
к= 2 А+ 2 в-
П = — со	11*:=-- со
(VIII.4.17)
(VIII.4.18)
233
При разделении суммарного сопротивления находим:
/? = 2к V~F~oierfca.-\- х0, у) —/?2(х, х0, у, I),	(VI1I.4.19)
где
о _ _Lln___________________------------------- (VIII.4.20)
^1— 2 4 [ch25 — cos2 (?;-г X)J |ch2g — cos2 (/j — л)1	v,
₽2=4' 2 V lcos2/z(7l + X) + cos2/z(7I “ Л) X
n = 1
X e-2/,; erfc (v - a) + zn'erfc (4 + a) ’	(VIH.4.21)
А при определении уровня в скважине, при у=0, х = х0±г0.
/г^З.ббГ^+^ДлГо, О)-/?2(хо, 0, /),	(V111.4.22)
причем
^==1"7Й^Г’	(™-4-23>
^?2 = 2 “й" lcos + cos 2/гр°1 erfc ("ir) ’ (VIII.4.24)
п~ 1
Графики /?2 в соответствии с (VIII.4.24) приведены на
рис. VIII.12, в.
Время, в пределах которого следует учитывать при расчетах /?2,
определяется теми же критериями, что и в первой схеме.
При выводе указанных решений для полосообразного пласта
нами были подробно табулированы функции дополнительного
сопротивления Rz (а,б, в). Результаты вычислений в табличной
форме функции Rty приведены в работе [15]. Однако, как ясно из
вышесказанного, эти функции при расчетах водозаборных соору-
жений на длительные эксплуатационные периоды в большинстве
случаев могут быть опущены из-за их малости по сравнению с дру-
гими членами в расчетных уравнениях. При необходимости же
прогноза производительности скважины на короткие отрезки вре-
мени можно пользоваться приближенными формулами, получен-
ными путем однократного отображения реальной скважины отно-
сительно контуров пласта. При этом имеем:
о)__	Ei / г- + Ei __ Ро* U Ei _
4-km	4at I ~ I 4at J ~	4at I I
(VIII.4.25)
где выражения для г, р* и р* и знаки в прямых скобках прини-
маются по рис. VIII.11 и табл. VIII.3.
234
Численные сопоставления показали, что расчеты по приближен-
ной формуле (VIII.4.25) при времени, в течение которого оказы-
вается ощутимой величина Rz, практически совпадают с расчетами
по точным формулам (отклонения, как правило, не превышают
3-5%).
Функция Ei использована. при
выводе расчетных формул для сква-
жин в полуограниченных и поло-
сообразных пластах в работах
Н. Н. Веригина [27, 28]. Отметим
еще, что задача о притоке подзем-
ных вод к бесконечным линейным
рядам скважин в полосообразных
пластах исследована С. Н. Нумеро-
вым [38].
На основе изложенных здесь ре-
шений для одиночной скважины
нетрудно по методу сложения филь-
трационных течений получить фор-
мулы для расчета любым образом
располагающихся взаимодействую-
щих скважин. Общая зависимость
Рис. VIII. 13. Схема к расчету
взаимодействующих скважин в по-
лосообразных пластах
для определения понижения уровня SB3 в точке М при этом будет
иметь вид (рис. VIII.13)
с(а. в)______ V о о(а, о, в),
дв3 —	л0'-’у'-’
i = 1
(VIII.4.26)
где <?сум — суммарный расход всех скважин;
<2сум '
Qi — расход i-той скважины;
л'о; — абсциссы точек расположения скважин;
х— то же точки М, в которой определяется понижение
уровня;
yi — ординаты этой точки, отсчитанные относительно каждой
скважины в отдельности, т. е. начало координат яв-
ляется «скользящим», оно проходит через каждую сква-
жину (i=l, 2, ..., v; v — число взаимодействующих
скважин).
В формуле (VIII.4.26) безразмерное сопротивление /?(о’б’в)
определяется по данным выше формулам соответствующих схем
а, б и в. В сущности здесь так же, как в неограниченных водо-
носных пластах, эффект взаимодействия скважин может учиты-
ваться путем расчета понижения уровня, вызванного каждой
скважиной в отдельности, и последующего суммирования этих
«частных» понижений. Это справедливо и при разновременном
включении скважин (или их остановке) — во всех случаях следует
235
Рис. VIII.14. Графики понижения уровня
в полосообразных пластах
учитывать время от фактического начала (или остановки) сква-
жины до конца прогнозируемого периода.
Изложенная методика расчета скважин в долинах рек ограни-
ченных поперечных размеров приобретает практическое значение
при проектировании водозаборов на длительное время, когда
в процессе откачек влияние контуров пласта, т. е., иначе говоря,
коренных склонов долин или склонов более высоких террас, ста-
новится ощутимым и поэтому должно учитываться при оценке
эксплуатационных запасов под-
земных вод и производитель-
ности водозаборов.
Наиболее благоприятными
в отношении использования
подземных вод для целей водо-
снабжения являются первые
две схемы полосообразных пла-
стов айв. Эти схемы соответ-
ствуют реальным условиям до-
лин с постояннодействующими
поверхностными водотоками
(одним или двумя), гидравли-
чески связанными с водоно-
сными горизонтами и обеспе-
чивающими постоянное их
пополнение в процессе эксплуа-
тации. Благодаря этому прн
действии водозаборов с постоянным дебитом уровни подземных вод
во всей зоне влияния водозаборов относительно быстро стабилизи-
руются и движение подземных вод приобретает установившийся
характер. Кривые понижения уровня при этом асимптотически при-
ближаются к прямым, параллельным оси абсцисс, на которой отло-
жено время (рис. VIII.14).
В указанных схемах водозаборные скважины целесообразно
располагать параллельно поверхностным водотокам в небольшом
удалении от них. При этом следует учитывать заиленность и неод-
нородность русловых осадков. Приближенно это может быть сде-
лано по методике, изложенной в § 3 настоящей главы для полу-
ограниченных водоносных пластов.
Наиболее неблагоприятной с точки зрения восполнения сраба-
тываемых запасов подземных вод является последняя из рассмот-
ренных схем полосообразного пласта (схема в). Она, как уже
отмечалось, характеризует долины, коренные склоны (или высокие
террасы) в которых сложены весьма слабоводопроницаемыми
породами, а поверхностный сток в реке длительное время отсут-
ствует. В этом случае водозаборы обеспечиваются только за счет
поступления подземных вод с верховьев долины и осушения емкости
водоносного пласта (и происходящей при этом сработки стати-
ческих запасов).
236
При эксплуатации водозаборов с постоянным дебитом в подоб-
ных условиях только в первый период, когда влияние границ пласта
еще не сказывается, снижение уровня происходит по закону,
близкому к логарифмическому (в зависимости от времени). Но
в дальнейшем темп снижения уровня возрастает и оно становится
прямо пропорциональным квадратному корню из времени (см.
рис. VIII.14). При этом уже не происходит стабилизации уровня,
как это имеет место при наличии границ с постоянным напором.
Теоретически при времени t—> оо водоносный пласт должен быть
полностью осушен.
Реальные условия длительной эксплуатации водозаборов здесь
создаются только при наличии значительных статических запасов
подземных вод (т. е. при большом объеме водоносных пород) и
при возможности периодического восполнения срабатываемых
запасов подземных вод за счет фильтрации в пласт речных
вод (в многоводные периоды, когда появляется поверхностный
сток).
В соответствии с этим водозаборные скважины в рассматривае-
мом типе пласта следует размещать таким образом, чтобы обеспе-
чивалось более полное и равномерное осушение водоносных пород.
Это может быть достигнуто, например, путем создания сетки или
одного-двух линейных рядов скважин в центральной (осевой) части
пласта, где обычно мощность его является максимальной.
Кроме того, во многих случаях представляется целесообразным
расположение скважин в виде поперечного ряда для более полного
перехвата бытового потока подземных вод.
Расчет водозаборов и оценка подземных вод здесь производятся
в обычной последовательности: 1) в соответствии с выявленной
емкостью и динамическими запасами водоносного пласта наме-
чается та или иная схема расположения скважин; 2) задается
максимально допустимое по техническим условиям понижение
уровня и ориентировочно определяется расход скважин, при под-
держании которого постоянным к концу расчетного периода уро-
вень подземных вод снизится на заданную (допустимую) величину;
3) производятся контрольные более подробные расчеты понижения
уровня в неблагоприятных точках пласта, испытывающих макси-
мальное влияние скважин; 4) проводится расчет возможного вос-
полнения запасов подземных вод в многоводные периоды.
Для ориентировочной оценки дебита водозаборов целесообразно
использовать относительно простые расчетные зависимости для
линейных рядов скважин, которые приводятся ниже.
Поперечный линейный ряд скважин (рис. VIII. 15). Для опре-
деления понижения уровня в точке М при расположении скважин
в виде поперечного линейного ряда, заменив скважины галерей
с постоянным дебитом
Q _ QcyM
С!'> = 2? = Г~
(VIII.4.27)
237
(где Q — расход одной скважины; QCyM— суммарный расход всех
скважин ряда; 2а — расстояние между скважинами; L — ширина
долины, равная длина ряда) можно воспользоваться формулой
5 = ierfc	(V11L4-28)
* У * о
„ at ~ У  с
где, как и в предыдущих случаях, Ло=-^-, у=у-, ierfcz — функ-
ция, значения которой в зависимости от z = —-даны в прило-
2У5О
жении II.
Продольный ряд скважин (см. рис. VIII.15, б). Решение задачи
о притоке к продольному ряду скважин, или точнее — к галерее,
Рис. VIII.15. Схемы к расчету ли-
нейных рядов скважин в полосо-
образных пластах
а — поперечный ряд скважин; б — про-
дольный ряд скважин
располагающейся асимметрично по
отношению к непроницаемым конту-
рам пласта, можно получить на
основе следующей системы уравне-
ний:
(VIII.4.29)
дх1 a dt '	’
Здесь i=l,2; Si — понижение
уровня в левой части пласта, до
ряда (0<x^Z, см. рисунок); S2—
понижение в правой части пласта,
после ряда (Z^x-CL).
Условия на контуре пласта бу-
дут
dSi (0, t) _ dS} (L, t) 
дх	дх
(VIII.4.30)
и на линии скважин
t > 0, х=/,
<Э$1 ф=_^о (VIII.4.31)
дх дх km v	'
Начальное условие обычное: t=
= 0, Si = S2=0.
При указанных условиях искомое
решение выражается следующим
образом:
238
S^ = -^r [2Л« - 4- + i I(£ - О2 + *2] + ?1 + ?2] , (VIII.4.32)
S2 =	[2F„ - 1- + -1 [(£ - x)2 + Z2] + ?1 + ?2].	(VIII.4.33)
В этих формулах q0 — единичный расход галереи (суммарный —
с двух сторон).
Функции epi и <р2 выражаются в виде ряда:
1 £
?i. 2 =	cos ^F°- (VIII.4.34)
л = 1
Здесь Z. определяется так. В выражении для q>t X = 1 -+-
I
L
х
~L
причем верхние знаки берутся при вычислении Si, а нижние при
/ х
вычислении S2; в выражении дляфг X = 1-------т~. В обоих слу-
чаях входящий в формулы безразмерный параметр времени
Ряд (VIII.4.34) очень быстро сходится, и практически уже через
короткое время после начала откачки, когда /?о>0,3 — 0,5, его зна-
чения по сравнению с остальными членами в формулах (VIII.4.32)
и (VIII.4.33) становятся пренебрежимо малыми. При этом указан-
ные формулы приобретают элементарно простой вид и становятся
чрезвычайно удобными для предварительных расчетов.
При х=1, т. е. при определении понижения уровня непосред-
ственно в галерее,
+ 4-4-('--г)]-	<™'4 36>
а на контурах пласта
	до Г р   1 I 1	\2
2Cr = z.)~ km [ °	6 ~г 2 \ L )
(VIII.4.36)
(V11I.4.37)
Важнейшее значение для рассматриваемых долин с временно-
действующими водотоками, как уже отмечалось нами, имеет оценка
восполняемости срабатываемых запасов подземных вод путем
фильтрации поверхностных вод в многоводные периоды. Впрочем,
этот вопрос является нередко актуальным и при прогнозах произ-
водительности водозаборов в долинах постояннодействующих рек.
Поэтому в следующем параграфе кратко излагаются некоторые
приемы расчета фильтрации из рек в водоносные пласты.
239
§ 5. Оценка восполнения запасов подземных вод
в речных долинах
Восполнение запасов подземных вод, срабатываемых в речных
долинах при длительной эксплуатации водозаборных, сооружений,
может происходить путем «боковой» и «площадной» фильтрации
воды из рек в паводковые периоды.
Под боковой фильтрацией понимается поступление воды из
реки в пласт через берега русла (когда не происходит затопления
поймы). Такая фильтрация существенно сказывается на динамике
уровня подземных вод в зоне влияния водозабора и должна учи-
тываться как в долинах с постояннодействующими водотоками (это
приобретает значение в случаях малой мощности водоносного
пласта), так и особенно в долинах с периодическим поверхностным
стоком.
Для количественной оценки эффекта боковой фильтрации пред-
ставляется возможность использовать известные решения задачи
о подпоре подземных вод вблизи рек и водохранилищ. Исходя из
принципа суперпозиции течений, можно при этом рассматривать
отдельно изменения уровня подземных вод в берегах под влиянием
паводков. Полученные таким путем величины повышений (или
понижений) уровня должны алгебраически складываться с соответ-
ствующими изменениями уровня, обусловленными эксплуатацией
водозабора. Результирующее понижение уровня в любой точке
береговой области фильтрации будет
S = S» + 25pi,	(VIII.5.1)
i = l
где SB и SPi — изменения уровня подземных вод соответственно под
влиянием водозабора и колебаний горизонта воды в реке.
Величина SB определяется по формулам для расчета скважин,
приведенным в предыдущих параграфах настоящей главы. Для
нахождения величины SPi можно пользоваться зависимостями,
данными в табл. VIII.4. В этой же таблице указаны выражения для
оценки расхода Qp и объема Vp фильтрационных речных вод (обе
величины — на 1 пог. м длины фронта возможной фильтрации из
реки).
В табл. VIII.4 обозначения следующие:
So —величина подъема (или понижения горизонта воды в реке;
erfc z = 1 — Ф (г);
(см. приложение II),
со
v ± sine“nW", (VIII.5.U)
п=\ 1
4 V + 1	- (2п +- !)(£ — х) -2r(2n + ‘)2f'o	.
= V 2d (2л1 1)2 C0S~------Г2£ ----- (VIILo-12)
240
Таблица VIII.4
Формулы для расчета фильтрации воды из рек
Эти функции получены из решений задачи о распространении
тепла в «ограниченной пластине» при условиях соответственно 1-го
рода и смешанных условиях, 1-го и 2-го родов — на ограничиваю-
щих поверхностях пластины (см., например, [36]). В математи-
ческом отношении эта задача соответствует рассматриваемым
здесь схемам фильтрации. В этом плане она подробно исследова-
лась в работах Н. Н. Веригина [1] и С. Ф. Аверьянова [5].
241
Функции ср*, <р** и Ф*, ср** вытекают из указанных функций ф1
и фг при определении расхода и объема фильтрационных речных вод:
,	(VU1.5.13)
(х = 0)
(х= Z.)

t
При их построении использованы вычисления, сделанные в указан-
ных работах [1,5].
Формулы, приведенные в табл. VII 1.4, действительны для слу-
чая, когда величина S0=const, т. е. в реке поддерживается постоян-
ный горизонт. Для учета его изменений во времени реальную кри-
242
вую S0=S0(t) можно представить в виде ступенчатого графика.
Это дает возможность суммировать влияние каждого подъема или
снижения горизонта воды в реке, принимая время его действия от
момента возникновения скачка до конца прогнозируемого периода:
Рис. VIII. 17. Графики
функций Ф2, Ф2* И ф2** ПО
формулам (VII 1.5.8).
(VIII.5.9) и (VIII.5.10)
- х с at
прих=г, Ло = -
для So при времени t, для S'=Soi — So — при времени t—tt и т. д.
(см. график на рис. VIII.18).
Такая методика расчета применительно к рассматриваемой
задаче оценки восполнения ресурсов подземных вод при действии
водозаборов использована в работах [16, 24].
Следует отметить, что при значительных понижениях уровня
подземных вод в результате откачки из скважин, когда происходит
«отрыв» уровня от дна реки (при отсутствии поверхностного стока
это всегда имеет место), строгое решение задачи о фильтрации из
243
реки связано с большими математическими трудностями. Поэтому
в изложенной здесь методике расчета начало восполнения прини-
мается с момента достижения водами, поступающими из реки, по-
верхности подземных вод, т. е. исключается из рассмотрения так
называемая «фаза промачивания». Это допущение делает задачу
приближенной, но в большинстве случаев оно может быть принято,
так как водоносные отложения в русле реки в целом обладают
обычно высокой водопроницаемостью, а продолжительность филь-
трации до поверхности подземных вод, как будет показано далее,
мала.
Рис. VIII. 18. Схемы к рас-
чету «боковой» фильтрации
из русла реки
Рис. VIII.19. Схемы к расчету
«вертикальной» фильтрации при
затоплении поймы
Площадная фильтрация речных вод при затоплении поймы
обеспечивает наиболее благоприятные условия восполнения запа-
сов подземных вод, срабатываемых при эксплуатации водозаборов.
Фильтрация при этом происходит по вертикали с градиентами,
равными или превышающими единицу, а общий объем воды, посту-
пающей таким образом в пласт, оказывается значительным.
Расчеты фильтрации при этом производятся по следующим за-
висимостям:
При однородном строении поймы (рис. VIII. 19, а). В данной
схеме можно принять, что на поверхности поймы поддерживается
постоянный напор. При этом условии [40]
z _ д/у ш (1 +
К
(VIII.5.15)
Здесь
z — глубина просачивания воды от поверхности поймы, АЯ—
суммарная высота слоя воды над поверхностью поймы (А/70) и
244
капиллярного давления менисков на границе раздела «сухого» и
увлажненного грунта ДЯК-
Капиллярное давление в песках незначительно и при расчетах
по формуле (VIII.5.15) им можно пренебрегать. Легко видеть, что
даже при больших величинах So время t невелико, и восполнение
запасов в однородных песчаных грунтах при вертикальной филь-
трации паводковых вод практически всегда обеспечивается.
Пользуясь формулой (VIII.5.15), можно определить время /,
за которое поверхностная вода профильтруется на глубину г. Время
полного заполнения осушенного при эксплуатации водозабора
объема грунтов to будет соответствовать z=Sq. Соответственно
общий объем воды
1/р = н50Л	(VIII.5.16}
где F— площадь поймы, в пределах которой возможна фильтра-
ция.
При двухслойном строении поймы (см. рис. VIII. 19,б). В этом
случае сначала по формуле (VIII.5.15) определяется время to про-
сачивания воды через верхний слабопроницаемый слой (в формуле
следует принять z=mo, к = Ко). Высоту капиллярного поднятия,
которой здесь уже пренебрегать нельзя, приближенно можно найти
по такой зависимости [45]:
(VIII.5.17)
V к
Фильтрация в песках под верхним слоем будет происходить
при постоянном расходе
к Д/70Н—ДЯК + то	(VIII.5.17а)
7 ’	то
При этом для расчета продвижения фронта просачивания может
быть использована следующая формула [9, 40]:
t=	(VIII.5.18)
При достижении сниженного зеркала подземных вод z—So и
t = to.
Общий объем воды, фильтрующейся в пласт, составит
Ур = 7/0.	(VIII.5.19)
Поскольку при фильтрации речных вод одновременно ведется
откачка из скважин, объем воды V, которым могут быть воспол-
нены использованные запасы подземных вод, приближенно оцени-
вается по разности
l/ = Vp-QcyM/0,	(V111.5.20)
где Qcyw — суммарный расход водозабора.
2-15
Кроме указанных аналитических расчетов для оценки воспол-
нения запасов подземных вод следует пользоваться также факти-
ческими данными гидрометрических наблюдений, которыми во
многих случаях достаточно надежно определяются потери поверх-
ностного стока на участке расположения водозабора [35, 41].
§ 6. Оценка запасов подземных вод
в конусах выноса предгорных областей
Конусы выноса являются крупнейшими коллекторами подзем-
ных вод и играют значительную роль в водоснабжении многих
крупных городов и промышленных предприятий. Подземные воды
конусов выноса широко используются также для орошения.
Запасы подземных вод в конусах выноса нередко исчисляются
кубометрами в секунду. Соответственно и проектируемые в их пре-
делах водозаборы представляют собой крупные и дорогостоящие
инженерные сооружения. Выбор наиболее рациональной схемы и
оценка производительности водозаборов приобретают поэтому
весьма важное значение даже в тех случаях, когда проектируемый
суммарный отбор подземных вод не превосходит общих естествен-
ных ресурсов.
Конусы выноса образуются, как известно, в результате накопле-
ния аллювиальных и пролювиальных осадков в потоках горного
типа при выходе последних на равнинные предгорные пространства.
Многочисленные конусы выноса прослеживаются, например, вдоль
Копет-Дага и горных массивов Больших Балханов, где, сливаясь,
они образуют непрерывный предгорный шлейф, к которому приу-
рочены потоки подземных вод большой производительности.
Примерно такого же типа, но, пожалуй, даже еще более мощ-
ный бассейн подземных вод находится на восточном склоне Кав-
казского хребта в пределах так называемой Хачмас-Кубинской
котловины, где мощность аллювиально-пролювиальных отложений
достигает 350—400 м.
В последние годы проведены детальные гидрогеологические ис-
следования на конусах выноса предгорных равнин, спускающихся
в Ферганскую котловину в Узбекской ССР. Здесь в районах Сох-
ского, Исфаринского, Фергано-Маргеланского и других конусов
выноса выявлены весьма значительные запасы подземных вод,
которые в настоящее время используются далеко не полностью
[29, 30].
Такие же исследования выполнялись в Казахстане, например
на конусах выноса предгорной зоны Заилийского Алатау [46, 47],
в Киргизии в предгорьях Киргизского хребта и во многих других
районах СССР.
Результаты указанных исследований важны не только по тем
практическим выводам, которые можно сделать на их основе в от-
ношении водообеспеченности каждого конкретного района в отдель-
ности; они представляют также большой интерес с точки зрения
246
установления общих гидрогеологических закономерностей в конусе
выноса.
В строении крупных конусов выноса предгорных областей
наблюдаются следующие особенности (рис. VIII.20). В головной
и средней своих частях конусы выноса сложены мощной толщей
преимущественно гравийно-галечниковых осадков. По мере про-
движения от гор эти отложения замещаются песками, супесями и
глинами; перемежаясь с последними в вертикальном разрезе, они
образуют слоистую систему.
Рис. VIII. 20. Гидрогеологический разрез через Сохский конус выноса [I, 2]
/-гравийно-галечниковые отложения; 2 — пески; 3 — пески с гравием; 4 — суглинки и
глины; 5 — супеси и суглинки; 6 — уровень подземных вод
В пределах равнинной области, т. е. по существу уже за грани-
цами собственно конусов выноса, в верхней части разрез пред-
ставлен преимущественно глинистым материалом; пески здесь за-
легают на более или менее значительной глубине. В верховьях
конусов выноса подземные воды залегают на глубине от 30 до
100 я. Общий уклон зеркала подземных вод в сторону периферий-
ных частей конусов меньше уклона дневной поверхности, и глубина
залегания зеркала подземных вод в этом направлении умень-
шается.
Весьма характерно для конусов выноса «выклинивание» под-
земных вод, т. е. выход их на поверхность в виде многочисленных
родников и ключей, суммарный расход которых в крупных конусах
достигает 10—15 м31 сек. Выходы родников и ключей приурочены
к той части конусов выноса, где происходит смена гравийно-галеч-
ных и песчаных отложений глинистым материалом, который обу-
словливает подпор подземных вод и тем самым создает условия
для интенсивной их разгрузки. При этом родники и ключи распре-
деляются здесь в более или менее узкой зоне, которая носит назва-
ние зоны выклинивания подземных вод.
247
В зоне выклинивания поток подземных вод, как уже отмечалось,
разделяется глинистыми отложениями на ряд горизонтов, верхние
из которых (как правило, наиболее водообильные) непосредственно
связаны с атмосферой и находятся под влиянием климатических
факторов. Более глубокие водоносные горизонты изолированы от
поверхности хорошо выдержанными глинистыми слоями. Разгрузка
этих горизонтов происходит путем перетока в верхние слои, а также
в крупные реки, ограничивающие конусы выноса. Например,
в Фергане такой дренирующей артерией является Сыр-Дарья.
В верхней пачке существенно глинистых отложений равнинной
части конусов выноса подземные воды залегают на небольшой
глубине, в связи с чем происходит интенсивное их испарение, обу-
словливающее засолонение воды и пород. В глубоких горизонтах
подземные воды здесь сохраняют относительно невысокую мине-
рализацию, и, таким образом, в разрезе по вертикали наблюдается
как бы обратная гидрохимическая зональность. В противополож-
ность обычным условиям, характерным для средней климатической
зоны, в данном случае минерализация подземных вод с глубиной
не возрастает, а напротив, уменьшается.
Геологические условия и водоносность отложений конусов вы-
носа заметно изменяются не только по направлению от гор к рав-
нинной части, но также и вдоль горного склона. В боковых пери-
ферийных зонах, на контакте с соседними конусами выноса, вводо-
носных гравийно-галечниковых и песчаных отложениях возрастает
количество суглинков и глин, и в целом водопроницаемость всей
толщи по сравнению с осевой частью конуса выноса резко умень-
шается.
Основными источниками питания подземных вод конусов выноса
являются фильтрационные потери стока из рек и ирригационной
сети, меньшее значение имеет приток подземных вод со стороны
горных массивов и инфильтрация атмосферных осадков непосред-
ственно в пределах площади конусов выноса. Поступление поверх-
ностных и подземных вод извне, т. е. из других бассейнов обычно
составляет малую величину и практически его можно не учитывать.
Так, по данным В. Ф. Шлыгиной [47], баланс подземных вод
конусов выноса северных склонов Заилийского Алатау предста-
вляется в следующем виде (в процентах от общих естественных
ресурсов подземных вод):
1)	фильтрационные потери из рек и ирригационной сети —
70—85;
2)	подземный сток со стороны горного массива — 8—14;
3)	инфильтрация атмосферных осадков — 9;
4)	конденсационные воды — 2.
Такие соотношения в общем характерны и для конусов выноса
других районов.
Из изложенного вытекает, что подземные воды конусов выноса
в значительной мере формируются непосредственно в пределах пло-
щади их распространения. При этом, несмотря на относительно
248
большие размеры в плане, конусы выноса все же являются огра-
ниченными элементами с такими хорошо выраженными контурами,
как линия контакта отложений конуса выноса с горным массивом,
зона выклинивания и замещения гравийно-галечниковых и песча-
ных отложений глинистым материалом, крупные реки, дренирую-
щие водоносные отложения в низовой периферийной части конусов
выноса, а также линии контакта различных конусов выноса вдоль
склона.
В таких условиях оценке эксплуатационных запасов и расчетам
производительности водозаборных сооружений, так же как это
предусматривалось при рассмотрении закрытых водоносных струк-
тур (см. главу VII), должно предшествовать рассмотрение баланса
подземных вод и выявление таким путем суммарных ресурсов под-
земных вод [6, 22].
При расчетах производительности водозаборов водоносные от-
ложения конусов выноса в соответствии со сказанным выше можно
прежде всего разделить на две части по вертикали: нижнюю, содер-
жающую комплекс высоконапорных водоносных горизонтов, относи-
тельно слабо связанных с атмосферой, и верхнюю — безнапорную
или слабонапорную, в которой осуществляется активный водообмен
с атмосферой и поверхностными водными источниками.
Такое разделение, как отмечалось, происходит в нижней трети
конусов выноса, при переходе в равнинную их часть, где пролю-
виальные песчано-галечниковые отложения замещаются глини-
стыми слоями, вследствие чего создается поэтажная система водо-
носных горизонтов. При этом нижние горизонты, изолированные от
дневной поверхности глинистыми перекрытиями, обладают напором,
величина которого возрастает с углублением и по абсолютной
своей величине достигает нескольких десятков, а иногда и сотен
метров.
Нижний напорный комплекс имеет весьма широкое распростра-
нение и прослеживается во всей равнинной части конусов выноса.
Благодаря этому здесь представляется возможным его использо-
вание одиночными или групповыми водозаборными скважинами
практически в любом пункте. Количество скважин и схема их раз-
мещения определяются в каждом конкретном случае исходя из
проектируемой их производительности и гидрогеологических пока-
зателей (проводимости и величины напора) водоносных гори-
зонтов.
В верхней безнапорной или слабонапорной водоносной части
конусов выноса наиболее благоприятные условия для размещения
водозаборных сооружений создаются в зоне выклинивания, где на
поверхность выходят многочисленные источники и таким образом
происходит интенсивный дренаж водоносного горизонта.
В этой зоне водоносные отложения по сравнению с другими
частями конуса выноса, как правило, обладают наиболее высокой
водопроницаемостью и, что весьма существенно, эта зона является
своего рода замыкающей — в ней наиболее полно выражены
249-
динамические запасы подземных вод, формирующиеся в верхнем
комплексе на всей остальной площади конуса выноса (а также
в пределах горного массива) в результате инфильтрации атмосфер-
ных осадков и потерь поверхностного стока из рек и оросительной
сети.
Размещение и группировка водозаборных скважин в таких
условиях определяются соотношением между дебитом проектируе-
мого водозабора и общими ресурсами подземных вод, оценивае-
мыми для верхней зоны всего конуса выноса в целом на основании
водного баланса.
Если дебит проектируемого водозабора составляет малую долю
общих ресурсов, скважины располагаются на локальных участках
с наибольшей проводимостью водоносного горизонта, а также
вблизи источников, которые могут быть привлечены к водозабору
при снижении уровня и образовании депрессии в поверхности под-
земных вод в процессе эксплуатации. В случае, когда дебит водо-
забора соизмерим с общими ресурсами, скважины следует распо-
лагать в зиде одного-двух или более линейных рядов приблизи-
тельно нормально основному направлению потока подземных вод.
Разумеется, и при таком расположении точки резмещения
отдельных скважин в пределах рядов должны выбираться с учетом
конкретной обстановки. Предпочтение во всех случаях должно
отдаваться местам с более высокой водопроводимостью водо-
носного горизонта и лучшими условиями восполнения запасов под-
земных вод. Количество скважин, их дебит и расстояния между
ними определяются гидрогеологическими расчетами.
Для расчета водозаборов в нижнем комплексе напорных водо-
носных горизонтов конусов выноса, в связи с удаленностью водо-
заборов от горного массива и большой протяженностью этих гори-
зонтов в равнинной части, обычно можно принимать схему безгра-
ничного пласта. Лишь в некоторых случаях, когда напорные
водоносные горизонты получают выход в долины крупных рек
(например, в Ферганской котловине, где конусы выноса спускаются
в долину Сыр-Дарьи), причем водозаборные скважины распола-
гаются в сравнительно небольшом удалении от них, для расчета
можно пользоваться схемой полуограниченного пласта с граничным
условием 1-го или 3-го рода по линии реки, т. е. рассматривать
последнюю в качестве «контура питания» с учетом несовершенства
русла, его заиленности и неоднородности русловых осадков.
Методика расчета в обоих случаях аналогична методике, при-
меняемой при оценке производительности водозаборов в крупных
артезианских бассейнах и долинах рек.
Водоносные горизонты верхнего безнапорного и слабонапорного
комплексов конусов выноса для расчета в большинстве случаев
можно схематизировать, полагая, что с верховой, горной стороны
они являются неограниченными, поскольку водозаборные сооруже-
ния располагаются, так же как и в нижней напорной зоне,
в значительном удалении от вершин конусов выноса.
250
С низовой стороны граница верхнего водоносного комплекса
проводится ниже зоны выклинивания и замещения песчано-галеч-
никовых отложений глинистыми осадками. Таким образом, водо-
носные горизонты верхнего комплекса во всех случаях схемати-
чески представляются как полуограниченные пласты. При этом
в зависимости от намечаемой интенсивности эксплуатации и усло-
вий питания водоносных гори'зонтов можно выделить следующие
случаи:
1. П о л у о г р а и и ч е н н ы й пласт при отсутствии
дополнительных источников питания, или, точнее,
при неизменяющихся условиях питания водоносных горизонтов до
и после ввода в действие водозаборных сооружений. В данном слу-
чае предполагается, что при наличии в зоне выклинивания источ-
ников они сохранятся и в процессе эксплуатации водозаборов. Это
дает основание для постановки здесь граничного условия 1-го рода,
т. е. можно считать, что вдоль зоны выклинивания имеется «контур
питания», на котором понижения уровня не происходит (5Н=О).
Если зона выклинивания выражена слабо и источники отсутст-
вуют, причем водоносные песчано-галечниковые отложения заме-
щаются мощной толщей практически непроницаемых глинистых
пород и не связаны с крупными поверхностными водотоками и во-
доемами, то для большей надежности расчетов в такой схеме
можно принять граничное условие 2-го рода, т. е. с низовой сто-
роны провести непроницаемый контур (QK=0) [12].
Водозаборные сооружения в обоих случаях размещаются в виде
одиночных скважин или отдельных локальных групп скважин, а
при необходимости более полного использования общих ресурсов
подземных вод — в виде линейного ряда скважин.
2. Полуограниченный пласт при изменяющихся
условиях питания после ввода в действие водозаборных
сооружений. В этой схеме учитывается возможность привлечения
части источников подземных вод, выходящих на поверхность в зоне
выклинивания. Иными словами, принимается, что в процессе
эксплуатации произойдет инверсия источников и они полностью
или частично будут «обращены» на питание водоносного горизонта.
При одиночных и локальных групповых водозаборах (рис.
VIII.21,a) интенсивность дополнительного питания водоносного’
горизонта в результате инверсии источников будет различной в за-
висимости от проектируемой производительности отдельных водо-
заборов и их размещения. Некоторые наиболее удаленные от водо-
заборов группы источников могут оказаться вне зоны влияния
водозаборов и сохранятся в процессе их эксплуатации.
При значительной величине проектируемого водоотбора сква-
жины, как и в предыдущей схеме, располагаются линейно (рис.
VIII.21,б) и при этом все группы источников оказываются в зоне
их влияния.
Граничное условие с низовой стороны в рассматриваемой схеме
в большинстве случаев формулируется как условие 2-го рода, т. е.
251
принимается схема «полузакрытого пласта» с непроницаемыми
контурами (QK=0). Но в отдельных случаях здесь возможна по-
становка условия 1-го рода (SK = 0).
Расчеты водозаборов в первой из указанных схем производятся
по методике, изложенной в главе VII. Во второй схеме, в которой
Рис. VIII.21. Схемы к
расчету скважин в кону-
сах выноса с учетом
«инверсии» источников
а — «дискретная» группа
скважин; б —линейная
система скважин
учитывается инверсия источников в зоне выклинивания, общая
формула для прогноза производительности водозаборов может
быть представлена в следующем виде:
(VIII.6.1)
i=l	j=l
Здесь первой суммой в правой части оценивается действие водо-
заборных скважин с расходами Q(®) = Q(1B), Q(B),..., Q(B) (п—
общее число скважин), а второй — эффект, связанный с привлече-
нием источников, расходы которых QW = QW, QW, ... , Q<“) (fe —
число источников); /?(’>, R&)—безразмерные гидравлические сопро-
252
тивления, определяемые в зависимости от принятой расстановки
скважин, схемы пласта, характера граничных условий и намечае-
мого режима эксплуатации водозаборов.
Так, например, если в схеме «полузакрытого пласта» с условием
Qftz=0, для скважин получим:
=	(VIII.6.2)
Точно так же, моделируя источники «нагнетательными скважи-
нами» получим:
(viii.6.3)
В этих формулах R=\,5~i/ at; рг-, г{ — расстояния точки, в кото-
рой определяется понижение уровня S, от реальной i-ой скважины
и ее отображения относительно непроницаемого контура пласта
с низовой стороны конуса выноса; г,, pj — то же, от источников
(«нагнетательных скважин»).
Определенная условность такого метода расчета связана с тем,
что нам заранее неизвестно действительное влияние, которое могут
оказать проектируемые водозаборные сооружения на источники.
Поэтому расчеты следует сначала производить по первой схеме,
без учета инверсии источников, задаваясь условием постоянства
напора в местах их выхода в зоне выклинивания. На основании
такого расчета устанавливаются понижения уровня и возможные
потери источников. Затем расчет производится повторно уже с уче-
том инверсии источников на участках выхода тех из них, где может
произойти существенное понижение уровня.
Следует иметь в виду, что рассмотренные расчетные схемы
являются приближенными. В них не находят отражения, например,
имеющиеся на конусах выноса реки и каналы, гидравлически свя-
занные с водоносными слоями; условна предпосылка о безгранич-
ном простирании водоносных горизонтов в направлении к горному
массиву и т. д.
Если строение конусов выноса, их геометрические очертания и
распределение гидрографической сети таковы, что их нельзя пред-
ставить в виде указанных простейших схем, расчеты производитель-
ности водозаборов следует выполнять на основе моделирования или
путем экстраполяции опытных и опытно-эксплуатационных данных.
В частности, с помощью моделирования представляется возмож-
ность более точно учитывать инверсию источников [22].
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VIII
1.	Абрамов С. К., Биндеман Н. Н., Бочевер Ф. М., Вери-
гин Н. Н. Влияние водохранилищ иа гидрогеологические условия прилегающих
территорий. Госстройиздат, 1960.
2.	Аверьянов С. Ф. Расчет осушительного действия глубоких дренажей.
Научн. записки МГМИ, т. XV, М., 1948.
253
3.	Аверьянов С. Ф. Расчет линейной системы артезианских колодцев.
Инженерный сборник АН СССР, т. V, вып. 2, 1949.
4.	Аверьянов С. Ф. О фильтрационном расчете дамб обвалования. «Гид-
ротехническое строительство», № 8, 1954.
5.	Аверьянов С. Ф. Фильтрация из канала и ее влияние на режим
грунтовых вод. В кн. «Влияние оросительных систем на режим грунтовых вод».
Изд. АН СССР, 1956.
6.	Аверьянов С. Ф. Горизонтальный дренаж при борьбе с засолением
орошаемых земель. Изд. АН СССР, 1959.
7.	Альтшулер Л. М. Температурное поле труб в массиве. Журнал тех-
нической физики, т. XXVII, вып. 7, 1957.
8.	А р ц е в А. И. Определение эксплуатационного дебита инфильтрацион-
ных водозаборов. Водоснабжение и санитарная техника, № 4, 1964.
9.	Биндеман Н. Н. Определение водопроницаемости горных пород ме-
тодом инфильтрации при неустановившемся движении. «Разведка и охрана недр»,
№ 7, 1958.
10.	Биндеман Н. Н., Бочевер Ф. М. Региональная оценка эксплуата-
ционных запасов пресных подземных вод. Советская геология, № 1, 1964.
11.	Бочевер Ф. М. Типизация гидрогеологических условий для целей рас-
чета запасов подземных вод. Советская геология, № 9, 1958.
12.	Бочевер Ф. М. Методика расчета эксплуатационных запасов подзем-
ных вод в конусах выноса предгорных областей. Бюлл. научно-технической ин-
формации МГиОН СССР, № 3. Госгеолтехиздат, 1959.
13.	Бочевер Ф. М. Неустановившийся приток грунтовых вод к скважине
в долинах рек. Изв. АН СССР, ОТН, № 1, 1959.
14.	Бочевер Ф. М. Расчет водопонизительных установок в долинах рек,
ограниченных слабоводопроницаемыми бортами. Тр. совещания по вопросам во-
допонижения в гидротехническом строит. ВНИИ ВОДГЕО. Госстройиздат, 1959.
15.	Бочевер Ф. М. Расчет сработки запасов грунтовых вод в долинах рек
засушливых областей. Тр. лаборатории инженерной гидрогеологии ВНИИ
ВОДГЕО, сб. 3. Госстройиздат, 1960.
16.	Бочевер Ф. М. Оценка эксплуатационных запасов подземных вод
в долинах рек засушливых областей. «Проблемы гидрогеологии». Госгеолтехиэ-
дат, 1960.
17.	Бочевер Ф. М. Расчеты водозаборов в различных гидрогеологических
условиях. Материалы семинара: «Проектирование, строительство н эксплуатация
водозаборов подземных вод». Изд. Моск. Дома науч-техн. пропаганды им.
Ф. Э. Дзержинского, 1962.
18.	Бочевер Ф. М. Об оценке производительности береговых водозаборов
с учетом заиления и неоднородности русловых отложений. Тр. координац. сове-
щаний по гидротехнике, т. XXV, ВНИИГ им. Б. Е. Веденеева. Изд. «Энергия»,
1966.
19.	Б о ч е в е р Ф. М. Оценка производительности береговых водозаборов
с учетом несовершенства речных русел. Тр. Лаборатории инженерной геологии
ВНИИ ВОДГЕО, вып. 13. Госстройиздат, 1966.
20.	Б о ч е в е р Ф. М. и В е р и г и н Н. Н. Методическое пособие по расче-
там эксплуатационных запасов подземных вод для водоснабжения. Госстройиз-
дат, 1961.
21.	Бочевер Ф. М., Гармонов И В., Лебедев А. В., Шеста-
ков В. М. Основы гидрогеологических расчетов. Изд. «Недра», 1965.
22.	Бочевер Ф. М., Гуркина Н. Ф., Лапшин Н Н. Оценка эксплуа-
тационных запасов и расчеты водозаборов подземных вод в конусах выноса
предгорных областей. Тр. ин-та ВСЕГИНГЕО, вып. 1, «Динамика и режим под-
земных вод», Ротапринт, 1967.
23.	Бочевер Ф. М., Гылыбов М. М. Оценка заиленности и неоднород-
ности русловых отложений по данным откачек. «Разведка и охрана недр», № 2,
1966.
24.	Бочевер Ф. М., Кожевникова Е. А. О методике оценки запасов
подземных вод в долинах рек Центрального Казахстана. «Разведка и охрана
недр», № 9, 1957.
254
25.	Бочевер Ф. М., Львова В. Н. Опыт оценки эксплуатационных за-
пасов подземных вод для целей водоснабжения. «Водоснабжение и сантехника»,
№ 5, 1957.
26.	В е р и г и н Н. Н. К вопросу о расчете подземных водозаборов в условиях
плоского движения грунтовых вод. ДАН СССР, т. XIV, № 2, 1949.
27.	В е р и г и н Н. Н. Расчет прямолинейных бесконечных рядов скважин.
Тр. Лаборатории инженерной гидрогеологии ВОДГЕО, сб. 4. Госстройиздат,
1962.
28.	В е р и г и н Н. Н., С а р к и с я н В. С. Методы расчета подземных водо-
заборов и вертикального дренажа в полуограниченном водоносном пласте. Тр.
ин-та ВОДГЕО, вып. 13, 1966.
29.	Гейнц В. А. Формирование запасов подземных вод на конусах выноса
и использование их в ирригации (на примере конуса выноса р. Сох). Тр. Узбек-
ского гидрогеологического совещания, Ташкент, 1959.
30.	Гейнц В. А. Некоторые особенности регулирования стока поверхност-
ных и подземных вод на конусах выноса. Тр. Всесоюзного гидрогеологического
съезда, т. IX. Гидрометеоиздат, 1959.
31.	Григорьев В. М. О влиянии заиления речных русел на производи-
тельность береговых инфильтрационных водозаборов. Водоснабжение и сани-
тарная техника, V 6, 1957.
32.	Григорьев В. М. Теоретические основы расчета инфильтрационных
водозаборов с учетом заиления речных русел. «Водоснабжение и санитарная
техника», № 6, 1960.
33.	Г о л ь б е р г В. М. Изменение минерализации подземных вод при экс-
плуатации береговых водозаборов. «Разведка и охрана недр», № 12, 1963.
34.	Г ы л ы б о в М. М. Расчет водопонижения и притока к скважинам в кли-
нообразных пластах. Докл. Болгарской академии наук, т. 18, № 8, 1965.
35.	Куделин Б. И. Принципы региональной оценки естественных ресурсов
подземных вод. Изд. МГУ, 1960.
36.	Лыков А. В. Теория теплопроводности. Гостехтеориздат, 1952.
37.	Минкин Е. Л. Влияние подсасывания поверхностных вод на качество
инфильтрационных береговых дренажей. «Разведка и охрана недр», № 12, 1965.
38.	Н у м е р о в С. Н. О неустановившейся фильтрации в полосообразном
пласте к прямолинейной цепочке совершенных скважин. Изв. АН СССР, ОТН,
№ 1, 1958.
39.	О г и л ь в и Н. А. К вопросу о расчетах каптажных буровых скважин
в пластонапорных водоносных системах. Тр. лаборатории гидрогеолог, проблем
АН СССР, т. X, 1951.
40.	По лу бар инова - Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод.
Гостехтеориздат, 1952.
41.	Попов Л. Н. и Баранов В. А. Определение запасов подземных кар-
стовых вод гидрогеологическими расчетами. Изд. ВНИИ ВОДГЕО, 1952.
42.	Романов А. В. Приток подземных вод к водозаборам и дренам. Сб.
«Вопросы фильтрациононых расчетов гидротехнических сооружений», Госстрой-
иэдат, 1952.
43.	ФорхгеймерФ. Гидравлика. ОНТИ, 1935.
44.	Ш е с т а к о в В. М. Основы гидрогеологических расчетов при фильтра-
ции из хранилищ промстоков. Изд. ВНИИ ВОДГЕО, 1961.
45.	Шестаков В. М. Оценка сопротивления ложа водоемов при гидро-
геологических расчетах. «Разведка и охрана недр», № 5, 1964.
46.	Ш л ы г и н а В. Ф. Особенности гидрогеологических условий конусов вы-
носа в предгорном шлейфе Заилийского Алатау. Изв. АН Казах. ССР, серия геол,
наук, вып. 3(54), 1963.
47.	Ш л ы г и н а В. Ф. Подземный сток с северных склонов Заилийского
Алатау и его роль в питании подземных вод конусов выноса. Изв. АН Казах.
ССР, серия геол, наук, вып. 4, 1964.
Обобщенные
]Х системы
скважин
§ 1. Основы методики расчета
обобщенных систем скважин
Для расчета водозаборов в последнее время широко использу-
ется прием, основанный на представлении групп взаимодействую-
щих скважин в виде так называемых обобщенных систем.
Сущность этого приема состоит в том, что реальные группы
скважин заменяются бесконечным множеством линейных источни-
ков с постоянным расходом, равномерно распределенным по линии
или площади, приблизительно соответствующим действительному
расположению скважин. Суммарный расход этих источников при-
нимается равным расходу реальных скважин:
п
QcyM = 2	=	(IX.I.I)
l — l
где Qi — расход t-ой скважины (п — общее их число),
q — расход на единицу длины контура или площади <о, в пре-
делах которых располагаются скважины.
Таким путем большое количество скважин заменяется одним
укрупненным сооружением, например горизонтальной дреной, гале-
реей или «большим колодцем» и т. д. В данном случае влияние
взаимодействующих скважин оценивается суммарно не только в
удаленных точках, но и на самих участках расположения скважин:
здесь они тоже как бы обобщаются. Это дало основание называть
их обобщенными системами [5, 6].
Для расчета обобщенных систем скважин могут быть использо-
ваны исходные зависимости для источников с постоянной интен-
сивностью, приведенные в табл. IV. 1. Выделяя бесконечно малый
элемент линии или площади dco, можно определить соответствую-
щее бесконечно малое изменение уровня dS на расстоянии г*,
вызванное расходом источников на этом элементе qda>. На-
пример, если в качестве исходной принять функцию непрерыв-
нодействующего линейного источника, которым моделируется соот-
256
ветствующая скважина в условиях неустановившегося движения
(см. формулу (1V.2.1) в табл. (IV.1), получим:
dS = _^L
wkrn
4a(l-t)
---d~.	(IX. 1.2)
О
Путем интегрирования этого уравнения применительно к принятой
схеме водозабора можно получить расчетные зависимости для по-
нижения уровня S и гидравлического сопротивления R.
Точно так же можно поступить, используя функции для линей-
ного источника в стационарном потоке (формула (IV.2.1)'
в табл. IV.1) или для точечного источника при нестационарном и
стационарном режимах (формулы (IV.2.2) и (IV.2.2.)' в той же
таблице). В последнем случае будут получены расчетные зависи-
мости для несовершенных систем, действие которых происходит
в одной горизонтальной плоскости водоносного пласта. Для совер-
шенных скважин эти зависимости должны еще интегрироваться
вдоль вертикали (по координате Z).
Заметим, что аналогичные решения для обобщенных систем мо-
гут быть найдены и непосредственно из исходных дифференциаль-
ных уравнений фильтрации, приведенных в главе 111 [см., напри-
мер, уравнения (III.3.6) и (III.3.10)]. Для этого в них следует
принять определенную интенсивность инфильтрации Ле на соответ-
ствующем участке расположения водозаборов.
Основной особенностью обобщенных систем взаимодействующих
скважин в указанном их понимании является постоянство расхода
на единицу длины или площади, в пределах которых распределя-
ются скважины. Именно поэтому их можно назвать «линиями
равного притока» или «площадками равного притока» [19].
Понижение уровня подземных вод, вызванное действием обоб-
щенных систем, естественно меньше понижения уровня в самих
скважинах, поскольку при этом из рассмотрения исключаются
зоны наибольшей деформации депрессионной поверхности вблизи
каждой скважины. Однако, пользуясь методом фильтрационных
сопротивлений, величину дополнительного понижения уровня
в скважинах можно определить отдельно. Тогда полное понижение
в них S выразится суммой:
S = Sm + ASCKB,	(IX. 1.3)
где Sa — понижение уровня, обусловленное действием обобщен-
ной системы;
ASckb — дополнительное понижение уровня в самой скважине.
Соответственно полное безразмерное сопротивление R выразится
так:
R = Rm + Д/?скв.	(IX. 1.4)
Здесь величина Ra характеризует внешнее сопротивление, которое
зависит от размеров участка взаимодействующих скважин, условий
257
на границах водоносного пласта, коэффициента пьезопроводности
и продолжительности действия скважин. Величина Д7?скв — это до-
полнительное сопротивление, определяемое в зависимости от рас-
становки скважин внутри системы; его можно назвать внутренним
сопротивлением.
Рассмотрим решения для обобщенных систем скважин в виде
прямой линии (галереи), ограниченных и неограниченных разме-
ров, бесконечной полосы, кольца и ограниченной площади. При
этом в начале найдем выражения для определения Sw и Ra>, а затем
общие для всех систем зависимости, по которым может быть
вычислено дополнительное понижение в скважине Д5СКВ и соответ-
ственно дополнительное сопротивление Д7?Скв.
§ 2. Линейная система скважин
ограниченной протяженности
Линейный ряд скважин с расходом каждой скважины Q заме-
няем равномерно распределенными источниками с суммарным рас-
ходом Qcy-м, равным суммарному расходу реальных скважин.
Рис. IX. 1. Схемы к расчету линейной системы скважин
/ — напорный пласт; 2 — безнапорный пласт
258
Длина ряда 21 (рис. IX. 1). При этом единичный расход источников
Фсум
2Z ’
(IX.2.1)
Расход на бесконечно малом элементе dt, в данном случае

(1Х.2.2)
Расстояние от точки М, в которой определяется понижение уровня
S до элемента dt, (см. рис. IX.1), будет
r* = /(x-Q2 + y2.
(IX.2.3)
Подставляя эти выражения в уравнение (IX. 1.2) и интегрируя его
в пределах от 0 до S и от —I до -\-1, получим:

QcyM п
— 4яАтп Л'л’
(IX.2.4)
где /?л — безразмерное гидравлическое сопротивление при действии
линейной системы скважин.
=	М +	?-)•	(IX.2.5)
Здесь
_ “	—Р2 Z
/.“VI	0X2.6)
’0±	.
X о _ у й У	_ (1 + .к)2
Х~ ~Г' Р+— 1 + х' |Z-x|’ ао+— 4F0 ’
(I-;)2
°- 4ГО ’
Fo = ^-, Ф (Vz) — интеграл вероятности.
Значения интеграла (IX.2.6) в широком диапазоне изменения ао±
и р+ приведены в табл. IX.1 и в виде графиков изображены на
рис. IX.2.
259
Таблица IX.l
Значения функции 7(а0+1 3±) по формуле (IX.2.6)
1	₽						
4«0±	0,01	0,05	0,1	0,15	0,30	0,50	1
1,26 • 10-2	0,314	0,251	0,157	0,094	0,010	0	
1,66  10-2	0,471	0,314	0,220	0,136	0,026	0,003	
2,5 • 10-2	0,544	0,440	0,314	0,209	0,057	0,006	
2,77  10-2	0,628	0,471	0,330	0,241	0,073	0,009	
3,12 • 10-2	0,680	0,503	0,361	0,272	0,089	0,016	
3,54 • 10-2	0,732	0,534	0,408	0,304	0,110	0,019	
4,16 • 10-2	0,785	0,597	0,455	0,356	0,141	0,031	
5,10  10-2	0,858	0,660	0,518	0,419	0,183	0,050	0
6,25  10-2	0,942	0,754	0,613	0,503	0,246	0,078	0,002
8,333 • 10-2	1,094	0,880	0,754	0,628	0,346	0,138	0,005
0,125	1,257	1,100	0,958	0,838	0,529	0,258	0,027
0,25	1,728	1,571	1,429	1,288	0,937	0,587	0,143
0,5	2,200	2,136	1,979	1,843	1,466	1,055	0,419
2,5	3,770	3,613	3,456	3,320	2,922	2,457	1,519
5	4,400	4,273	4,131	4,000	3,592	3,123	2,221
25	5,969	5,875	5,733	5,592	5,184	4,706	3,780
50	6,754	6,566	6,424	6,283	5,822	5,397	4,468
250	8,325	8,168	8,027	7,896	7,482	7,006	6,070
500	8,953	8,891	8,734	8,587	8,179	7,696	6,763
2500	10,611	10,493	10,336	10,189	9,786	9,305	8,372
25 • 103	12,881	12,786	12,629	12,493	12,048	11,608	10,675
25 • 1(И	15,237	15,08	14,938	14,797	14,388	13,911	12,978
25 • 106	19,792	19,698	19,541	19,405	18,996	18,517	17,584
1				0				
««0±	2	3	5	10	15	20	100	200
1,26 • 10-2 1,66 • 10-2 2,5 • 10-2 2,77 • 10-2 3,12  10-2 3,54  10-2 4,16 • 10-2 5,10 • 10-2 6,25 • 10-2 8,333 • 10-2 0,125 0,25 0,5 2,5 5 25 50 250 500 2500 25 • 103 25 • 104 25 • 106	0 0,02 0,040 0,652 1,160 2,608 3,279 4,871 5,562 7,170 9,472 11,775 16,380	0 0,002 0,246 0,603 1,886 2,536 4,107 4,796 6,401 8,705 11,005 15,611	0 0,024 0,143 1,034 1,612 3,124 3,805 5,404 7,705 10,008 14,613	0 0,035 0,218 0,579 1,820 2,442 4,035 6,329 8,631 13,237	0 0,034 0,178 1,126 1,715 3,245 5,519 7,819 12,424	0 0,004 0,049 0,701 1,221 2,679 4,945 7,273 11,845	0 0,219 1,822 4,036 8,629	0 0,04 0,697 2,663 7,197
260
Пользуясь формулами (IX.2.4) — (IX.2.5) и графиками на рис.
IX.2. можно определить понижение уровня в любой точке пласта
с координатами х, у.
При х = 0, т. е. для точек, расположенных на линии, перпенди-
кулярной к линии скважин и проходящей через ее середину, будем
иметь:
1
4Л.
(IX.2.7)
Графики R. -=0 для значений Fo до 3000 (1пГ0 = 8) и значений
у до 3, построенные по (IX.2.7), представлены на рис. IX.3. Числен-
ные значения даны также в табл. IX.2 *.
Выражение (IX.2.5) и интеграл в формуле (IX.2.6) получены в связи
с решением задачи для «прямоугольной площадки» (подробно об этой задаче
см. далее в § 5 настоящей главы).
2GI

Рис._1Х. 3. Графики безразмерного сопротивления
R„/x=0 по формуле (1Х.2.7) для линейной си-
стемы скважин
Рис. IX. 4. Графики безразмерного сопротив-
ления Кл/у=0 по формуле (IX.2.8) для ли-
нейной системы скважин
Таблица IX.2
Безразмерное сопротивление /-_0 по формуле (1Х.2.7)
ро	1П5О	у = 0,15	У =0,3	У — 0,5	у = 1		7=з	У = 5
0,0125 0,025 0,050 0,125 0,25 0,5	—4,382 —3,689 —2,996 —2,080 —1,387 —0,694	0,093 0,213 0,413 0,837 1,291 1,841	0,011 * 0,059 0,184 0,527 0,939 1,463	0,006 0,049 0,259 0,588 1,056	0,026 0,144 0,419	0,003 0,040	0,002	
2,5	+0,916	3,321	2,919	2,456	1,592	0,652	0,246	0,024
5	1,609	3,997	3,592	3,121	2,222	1,160	0,603	0,143
25	3,218	5,592	5,185	4,707	3,779	2,607	1,886	1,034
50	3,909	6,283	5,825	5,398	4,468	3,279	2,536	1,612
250	5,521	7,892	7,483	7,005	6,070	4,871	4,107	3,124
500	6,214	8,585	8,177	7,698	6,762	5,562	4,796	3,804
2500	7,824	10,193	9,786	9,307	8,371	7,170	6,401	5,404
Для определения понижения уровня при у=0, т. е. вдоль линии,
на которой расположены скважины, из (IX.2.5) получаем:
R, | у = О
1 + .г
2
+ VkFo
(IX.2.8)
Это решение в несколько ином начертании впервые было дано
Н. С. Пискуновым [15]. Значения функции Л -=0 приведены
в табл. IX.3 и в виде графиков на рис. IX.4.
При необходимости получить значения по графикам на рис.
IX.3 и IX.4 для /?о>3000 (lnF0>8), можно пользоваться следую-
щей зависимостью:
^ = «..17^7 •	(1Х.2.9)
где 7?л — искомое гидравлическое сопротивление для момента
времени, отвечающего Fo\
R.-ii — гидравлическое сопротивление, определяемое при любом
значении Foi в пределах прямолинейной части графиков.
Располагая значениями Rч~=0 и Rv~=0 , можно по формуле
(IX.2.4) определить величину понижения уровня S в точках, рас-
полагающихся вдоль двух взаимно перпендикулярных линий:
х = 0 и у = 0. По этой формуле легко решить также обратную
задачу — по заданным понижениям на указанных линиях найти
суммарный расход QcyM линейной системы скважин.
263
Таблица IX.3
Безразмерное сопротивление R л'7=0	по Формуле (Х.2.8)
Fo	1пЛо	X							
		0	0,6	0,8	1.0	1,5	2,0	3,0	5,0
0,08	—2,526	1,001	0,955	0,856	0,504	0,025	0,001	0,000	0,000
0,1	—2,303	1,117	1,053	0,936	0,560	0,040	0,002	0,000	0,000
0,2	—1,609	1,552	1,411	1,236	0,792	0,121	0,017	0,000	0,000
0,4	—0,916	2,083	1,859	1,626	1,117	0,288	0,079	0,004	0,000
0,5	—0,693	2,271	2,023	1,773	1,245	0,366	0,118	0,008	0,000
1,0	0,000	2,889	2,582	2,290	1,713	0,679	0,820	0,059	0,001
2,0	0,693	3,545	3,200	2,881	2,271	1,154	0,668	0,219	0,016
з,о	1,099	3,935	3,579	3,250	2,628	1,470	0,936	0,337	0,051
5,0	. 1,609	4,435	4,067	3,730	3,097	1,904	1,325	0,672	0,160
7,5	2,015	4,835	4,498	4,121	3,482	2,272	1,667	0,929	0,330
10,0	2,303	5,119	4,743	4,395	3,758	2,538	1,921	1,171	0,448
20,0	2,996	5,809	5,420	5,081	4,435	3,200	2,534	1,759	0,891
30,0	3,401	6,211	5,832	5,482	4,835	3,385	2,952	2,130	1,204
50,0	3,912	6,721	6,339	6,003	5,341	4,099	3,447	2,608	1,642
100,0	4,605	7,416	7,032	6,681	6,032	4,789	4,129	3,278	2,270
200,0	5,299	8,109	7 722	7,373	6,721	5,475	4,819	3,961	2,936
300,0	5,704	8,513	8,128	7,778	7,126	5,881	5,220	4,362	3,328
500,0	6,215	9,024	8,639	8,289	7,637	6,390	5,728	4,872	3,834
750,0	6,620	9,430	9,044	8,694	8,045	6,795	6,138	5,279	4,234
1000,0	6,908	9,717	9,332	8,982	8,332	7,087	6,424	5,565	4,520
2000,0	7,601	10,411	10,025	9,674	9,024	7,774	7,115	6,255	5,214
3000,0	8,007	11,732	10,430	10,080	9,430	8,170	7,519	6,660	5,615
Для точки, находящейся в центре линейной системы скважин,
при х=у=0, из (IX.2.7) и (IX.2.8) имеем
। -=-=0 = -Ei (- -4^7) + 2 V^FO Ф •	(IX.2.10)
Этому уравнению соответствуют верхние кривые на рис. IX.3 и
IX.4.
При	Fo > 4ч-6, (1Х.2.11)
На концевых участках линейной системы скважин при х± 1,
У = 0	___
Я. I ;= f = -и (- тУ+ф (7W	<1Х .2.12)
Ь=0
и при
Fo>4-:-6
Ял|Г=±1~1"-Д^-	(IX.2.13)
(у = 0
264
Таким образом, величина /?л в концевых точках несколько
меньше, чем в центре, что легко объясняется менее значительным
влиянием всей системы на концевые участки, где понижения
уровня, естественно, являются минимальными по сравнению с дру-
гими точками на линии расположения скважин.
Рис. IX. 5. Абсо-
лютная (А) и отно-
сительная (е)
ошибки, допуска-
емые при замене
линейной системы
скважин единой
скважиной—«боль-
шим колодцем»
[см. формулы
(Х.2.14) и (Х.2.15)]
Ошибка, допускаемая заменой действительного ряда «дискрет-
ных» скважин линейной обобщенной системой при определении
понижения уровня в скважинах, как показывают численные сопо-
ставления с точным решением, уже при /-'о>5 не превышает 3—
5%. При этом достаточно, чтобы число скважин в ряду было боль-
ше трех. Такие сопоставления производились Н. С. Пискуновым
[16], В. М. Шестаковым [21] и др. В последнее время подробный
265
анализ этого вопроса, подтверждающий указанный вывод, сделан
Н. Н. Веригиным и В. С. Саркисяном [9].
При определении понижения уровня в точках, находящихся на
некотором расстоянии от линейной системы скважин, влияние по-
следней сказывается примерно так же, как и от одиночной укруп-
ненной скважины с тем же суммарным расходом.
На рис. IX.5 приведены графики, построенные по результатам
сопоставительных расчетов по формулам (IX.2.4) и (IX.2.7) для
линейной системы и формулы (IX.2.1) для одиночной скважины.
На них даны значения:
абсолютной ошибки
Д = /?л + £/(-^У	(IX.2.14)
и относительной ошибки
г =\	/ 1ООЭ/	(IX.2.15)
Здесь к=у при определении	и к = х при определении
р _
Как следует из рассмотрения графиков, при z/ = xj>,l,5 по исте-
чении сравнительно непродолжительного времени (при Ко>6)
можно при определении гидравлического сопротивления с точ-
ностью до 5—7% пользоваться обычной формулой для одиночной
скважины; при этом изолинии напоров имеют форму, близкую
к окружности.
Это, однако, относится только к линейным системам скважин
ограниченной длины. Линейные системы скважин весьма значи-
тельной (теоретически бесконечной) протяженности характери-
зуются иной структурой течения и для расчета таких систем
должны применяться методы, излагаемые в следующем параграфе.
§ 3.	Неограниченные системы скважин
Допустим, что скважины более или менее равномерно распола-
гаются в водоносном пласте на площади, которую схематически
можно представить в виде вытянутой полосы шириной 21 (рис.
IX.6, а).
Решение задачи о притоке подземных вод при действии такой
системы скважин можно получить тем же методом, что и для огра-
ниченной линии. Удельный расход системы на элементе, обуслов-
ливающий понижение уровня dS, в данном случае будет
266
Подставляя это выражение в уравнение (IX. 1.2) и интегрируя
его в пределах от —оо до +°° по координате х, от —I до +/ по
координате у и от 0 до t по времени, мы получим искомую фор-
мулу для определения S в любой точке водоносного пласта.
По этому методу аналогичная в математическом отношении задача
решалась в теории теплопроводности [11], а также в теории фильт-
рации применительно к прогнозу режима подземных вод на
Рис. IX. 6. Схемы к расчету полосообразной (а) н линейной (б)
систем скважин весьма значительной («бесконечной») протя-
женности
орошаемых территориях [8, 16]. В наших обозначениях это решение
будет иметь следующий вид:
^ол = 4^^пол-	(IX.3.2)
пол
Гр
4
icrfc
ierfc
1+у
11-71 ।
1+У
Vf0
(IX.3.3)
Здесь со — площадь расположения скважин, остальные обозначения
прежние.
Следует иметь в виду, что в пределах полосы расположения
скважин нужно принимать t/^l, за ее пределами у>\ (всюду со
знаком +).
267
Если скважины располагаются по линии неограниченных раз-
меров (т. е. когда /->0, см. рис. IX.6, б), то вместо (IX.3.2) тем же
путем получим:
=	(IX.3.4)
R,in = ^Foierfc^-.	(IX.3.5)
fyin (& > ^>)
Рис. IX. 7. Графики безразмерных сопротивлений для полосообразной
(Лпол—сплошные линии) и линейной (/?Лп — пунктирные линии) си-
стем скважин по формулам (IX.3.3) и (IX.3.5)
о «	г at ~ У	г
В обоих случаях г0 = -^-, у = -±-, причем L — некоторый
линейный размер, равный, например, действительной протяженности
ряда скважин (можно вместо L принимать также расстояние
между скважинами), q — единичный расход ряда скважин (двусто-
ронний) .
На рис. IX.7 приведены графики /?Пол и /?лн. построенные по
формулам (IX.3.3) и (IX.3.5) для различных у и Fo. Из рассмотре-
268
ния этих графиков следует, что если положить QCy>i равным q, то
различия в результатах расчета уже при у = 1 (на рис. IX.7 без-
размерные координаты обозначены: уц— для полосовой и ул — Для
линейной систем) оказываются практически совершенно несущест-
венными. Следовательно, за пределами полосовой области оценка
понижения уровня во всех случаях может производиться по про-
стой формуле (IX.3.5), т. е. суммарный расход полосовой системы
скважин можно считать сконцентрированным на линии.
Представляет интерес сравнение результатов расчета по форму-
лам, приведенным выше для линейного ряда ограниченной длины,
и данной здесь формуле (IX.3.4) для неограниченной системы.
Ошибка е, допускаемая при определении понижения уровня
в центре ограниченной линейной системы скважины при замене ее
бесконечной системой, в соответствии с формулами (IX.2.10) и
(IX.3.4) выразится следующим образом:
Ei tVI + 2 erfc (—U-
e =	j00=—L—iL-----------__	iooi°/0].
Кл	~Ei I -	1 + 2 Ф (---7=- I
(IX.3.6)
Значения e по этой формуле приведены в табл. IX.4.
Таблица IX.4
Ошибка, допускаемая при замене ограниченной линейной системы
неограниченной системой (по формуле 1Х.3.6)
Ео	0,1	0,3	0,5	0,7	1	2	3
6, °/о	0,31	6,93	10,37	15,61	22,7	41,5	59,1
Ео	4	5	10	20	30	50	100
е, °/о	68,2	78,8	119,0	170,0	214,0	270,0	374,0
Как видно из табл. IX.4, использование формулы (IX.3.4) для
неограниченной линейной системы без поправок возможно только
при значениях Fo<0,5. В этом случае ошибка в результатах рас-
чета не превышает 10%. При Fo=l она уже больше 20%. Следо-
вательно, при длительных откачках расчет по формуле (IX.3.4)
требует введения поправочных коэффициентов, уменьшающих ве-
личину безразмерного сопротивления и понижения уровня в соот-
ветствии с данными табл. IX.4.
§ 4.	Кольцевая система скважин
В случае, когда скважины располагаются по контуру, близкому
к круговому, можно, как и в предыдущих схемах для линейных
рядов скважин, заменить последние источниками, равномерно
269
распределенными по окружности следующего радиуса (рис. IX.8).
(IX.4.1)
где L — действительная длина контура расположения скважин.
При этом единичный расход кольцевой системы
«=-^,	(IX.4.2)
где Qcy.M — суммарный расход реальных скважин.
х
М(х,у)
Рис. IX. 8. Схемы к расчету кольцевой системы скважин
/ — напорный пласт; 2 — безнапорный пласт
Бесконечно малое изменение напорной функции dS обусловли-
вается расходом элемента Rodq
qRod^ = -^d?.	(IX.4.3)
Расстояние точки М, в которой определяется понижение S, от
элемента Rodq, т. е. от любой точки на окружности радиуса Ro,
выражается так:
г* = ]' r2+^-2r/?0cosT .	(IX.4.4).
270
Подставляя эти формулы в исходную зависимость (IX. 1.2) и
интегрируя последнюю в пределах от 0 до S и от 0 до 2л, можно
получить следующее выражение для определения понижения
уровня S и гидравлического сопротивления /?к в случае действия
кольцевой системы скважин при замене их кольцевой галереей:
5 =ТЖГ^-	(IX.4.5)
До	1 — 7а	, - -
=	(IX-4.6)
о	\	/
с at - г
Г~Ъ'
Здесь /о — обозначение функции Бесселя, от мнимого аргумента
первого рода нулевого порядка.
Рассматриваемая задача о притоке к кольцевой системе сква-
жин при замене их галереей ранее была исследована В. Н. Щел-
качевым [22]. Позднее она рассматривалась также В. П. Пилатов-
ским [14]. Анализ этих решений и расчетные графики, построенные
на их основе, приведены в наших работах [5, 6].
В самое последнее время В. Н. Щелкачев вновь обратился
к этой задаче. В его работе [24], а также в совместной статье
с В. Е. Влюшиным и О. Н. Хариным [25] приводится особенно де-
тальное изложение решения, причем оно представлено в виде хо-
рошо сходящихся рядов, вполне доступных для анализа и прак-
тического счета.
По этим работам нами уточнены и дополнены ранее составлен-
ные графики для безразмерного сопротивления RK, приведенные
на рис. IX.9. Численные значения графиков даны в табл. IX.5.
Как следует из рассмотрения графиков и таблицы, в начальные
моменты времени, примерно до Fo^ 3,5 (1пЕ0^ 1,25), величина 7?к
внутри окружности ниже, чем непосредственно на ней. Минималь-
ные значения /?к в этот период наблюдаются в центре кольцевой
системы г = 0, где, как это вытекает из (IX.4.6),
[7=0	4ЛО ) ’
(1Х.4.7>
Таким образом, понижение уровня в центре кольцевой системы
взаимодействующих скважин определяется по такой же зависи-
мости, что и для одиночной скважины с расходом QcyM-
Расход кольцевой системы обеспечивается притоком из внутрен-
ней зоны (QB) и внешней зоны (QH) водоносного пласта, причем
в каждый данный момент времени суммарный расход
QcyM = QB + QH-	(IX.4.8)
271
В дифференциальной форме это выражается следующим обра-
зом:
/>0, г = /?0(г=1), г^-1	— г 4^-1	~-1Гь— = const.
°v 7 dr j/?0—о dr	2-km
(IX.4.9)
Решение (IX.4.6) отвечает этому условию. В указанных выше
работах В. Н. Щелкачева приводятся развернутые формулы, позво-
ляющие вычислять значения QB и Qu на любой момент времени.
Однако анализ этих формул показывает, что при более или менее
длительных откачках удельный вес притока из внутренней зоны
в общем дебите кольцевой системы становится ничтожным и
основную часть дебита составляет приток из внешней зоны. При
Fo^ 1,25 с точностью до 10% относительную величину притоков
из внутренней и внешней зон можно определить по следующей
зависимости:
(IX.4.10)
272
Безразмерное сопротивление RK по формуле (IX.4.6)
Таблица fX.5
Fo ln Fo
		0	0,4	0,8	1,0	1.5	2,0	3,0	5,0
0,082	—2,500	0,012	0,041	0,184	0,326	0,035	0,001	0,0	0,0
0,135	—2,000	0,061	0,107	0,280	0,420	0,077	0,008	о,о	0,0
0,223	—1,500	0,180	0,231	0,411	0,545	0,147	0,028	0,0	0,0
0,368	—1,000	0,389	0,442	0,590	0,711	0,251	0,075	0,005	0,0
0,607	—0,500	0,682	0,786	0,849	0,936	0,401	0,161	0,018	0,0
1,000	о;о	1,044	1,075	1,165	1,280	0,614	0,802	0,062	0,001
1,649	0,500	1,456	1,477	1,537	1,582	0,917	0,529	0,156	0,009
2,718	1,000	1,899	1,913	1,953	1,982	1,269	0,822	0,334	0,040
4,482	1,500	2,364	2,373	2,397	2,416	1,659	1,188	0,590	0,130
7,389	2,000	2,844	2,848	2,864	2,875	2,105,	1,584	0,920	0,328
12,183	2,500	3,331	3,333	3,343	3,350	2,563	2,023	1,306	0,556
20,086	3,000	3,826	3,835	3,830	3,834	3,039	2,484	1,735	0,888
33,115	3,500	4,323	4,318	4,334	4,324	3,523	2,960	2,186	1,277
54,598	4,000	4,809	4,815	4,817	4,818	4,013	3,467	2,657	1,706
90,017	4,500	5,304	5,313	5,314	5,315	4,507	3,937	3,140	2,161
148,413	5,000	5,802	5,812	5,812	5,813	5,004	4,482	3,629	2,634
244,692	5,500	6,332	6,312	6,312	6 312	6,502	4,930	4,124	3,117
403,429	6,000	6,810	6,810	6,810	6,811	6,007	5,427	4,619	3,607
655,142	6,500	7,310	7,310	7,310	6,310	6,500	5,925	5,116	4,107
1096,688	7,000	7,809	7,809	7,810	7,810	6,999	6 424	5,614	4,596
1088,042	7,500	8,311	8,309	8,309	8,309	7,499	6,924	6,113	5,094
2980,958	8,000	8,810	8,810	8,810	8,810	7,999	7,423	6,613	5,593
Qb
Отсюда видно, что при FO>3,5 отношение —— составляет ме-
Чн
нее 2%. При этом понижения во всех точках внутри кольца
скважин выравниваются, т. е. здесь заканчивается сработка «бугра»
в депрессии подземных вод, образующегося вначале при пуске
скважин. Для определения при /?О>3,5 во всех точках г=0— 1
может применяться формула (IX.4.7).
Для оценки влияния кольцевой системы на удаленные точки во-
доносного пласта можно в еще большей степени, чем для линейного
ряда, пользоваться приемом, основанным на замене кольцевой
системы единичной скважиной. Это подтверждается графиками,
показанными на рис. IX.10; они построены по результатам расчета
абсолютной и относительной ошибок, получающихся при такой
замене.
Относительная ошибка е определена по соотношению, анало-
гичному (IX.2.14),

—1
4ЛО )
100%.
Б =
Л
К
(IX.4.11)
273
Практически расчеты по формуле для единичной скважины
в данном случае вполне допустимы уже на расстоянии 1,5 от оси
кольцевой системы, когда Fo>5. При этом относительная ошибка
не превышает 5%.
Любопытно, что абсолютная ошибка для каждой точки имеет
максимум, хотя, как и следовало ожидать, по мере удаления от
кольцевой системы значения ее резко убывают. Относительная же
ошибка, напротив, с удалением возрастает.
Рис. IX. 10. Абсо-
лютная (А) и отно-
сительная (е)
ошибки, допуска-
емые, при замене
кольцевой системы
скважин единич-
ной скважиной
(«большим колод-
цем»)
Наличие экстремума на графиках абсолютной ошибки, по-види-
мому, можно объяснить влиянием периода сработки запасов под-
земных вод внутри кольцевой системы. Следует, однако, подчер-
кнуть, что эти своеобразные изменения ошибок локализуются во
времени и при Fo>5 они, как уже отмечалось, несущественны.
§ 5.	Площадная система скважин
Если водопонизительные скважины располагаются не по . кон-
туру, а в пределах некоторой площади, последнюю во многих слу-
чаях можно представить в виде круга радиусом
или Я„=£.	(IX.5.1)
где F— площадь действительной площади расположения скважин,
ар — периметр этой площади (указания по выбору формулы для
определения /?о даны в конце настоящего параграфа).
274
X
Рис. IX. 11. Схемы к расчету круговой площадной системы скважин
/ — напорный пласт; 2 — безнапорный пласт
Тогда, заменив реальные скважины множеством равномерно
распределенных в пределах круга источников с суммарным расхо-
дом Qcy>i (рис. IX.11), получим следующее выражение для единич-
ного (на единицу площади) расхода:
QcyM
Я
(IX.5.2)
Бесконечно малое изменение напорного уровня при этом будет
вызвано расходом на элементе площадью prfpdcp
?prfpdcp=-^- prfprf?.
(IX.5.3)
Расстояние до точки М от этого элемента:
г* = ]/ г2 + р2 — 2гр cos о .	(IX.5.4)
Подставив теперь (IX.5.3) и (IX.5.4) в уравнение (IX. 1.2), с учетом
зависимости для кольцевой системы (IX.4.6), получим следующие
выражения для определения понижения уровня S и безразмерного
275
сопротивления
скважин:
/?пл при действии площадной круговой системы
с _ СсУ” г>
°пл 4хЫ Апл ’
(IX.5.5)
(IX.5.6)
._at -____г
° = Г~^'
Рис. IX. 12. Графики безразмерного сопротив-
ления 7?пл по формуле (IX.5.6) для круговой
площадной системы скважии
Задача о притоке к кру-
говой площадной системе
скважин рассматривалась
Н. С. Пискуновым [15] и
И. А. Чарным [17]. Гра-
фики по выражению
(IX.5.6) были составлены
нами в 1960 г. [5, 6]; при
этом использовано реше-
ние для кольцевой систе-
мы, изложенное в работе
[18]. В недавнее время
эта же задача детально
исследовалась В. Е. Влю-
шиным [10], который с
помощью операционного
метода представил реше-
ние в виде хорошо сходя-
щихся рядов при малых
и больших величинах Fo.
На рис. IX.12 и в
табл. IX.6 приведены уточненные и дополненные по этому решению
значения RCJl для различных значений г и Fo. В центре круговой
площади (г=0), как показано в работах [15, 17], безразмерное
сопротивление выражается в следующем виде:
^пл|7=о	4^)+ 4Г0(1 -е~^).	(IX.5.7)
Второй член в правой части здесь при возрастании Fo в пределе
дает единицу. Поэтому практически уже при FO>1—1,5
(1Х.5.8)
к0
Здесь RK— безразмерное сопротивление для центра кольцевой
системы, определяемое по (IX.4.7).
276
Таблица IX.6
Безразмерное сопротивление Rali(r, Fo) по формуле (Х.5.6)
	1пдо	Г								
Fo		0	0,3	0,5	0,7	1	1,5	2	3	5
										
0,082	—2,5	0,325	0,320	0,306	0,275	0,048	0,001	0,000	0	0
0,135	—2,0	0,517	0,501	0,469	0,407	0,162	0,018	0,004	0	0
0,223	—1,5	0,782	0,752	0,694	0,597	0,329	0,061	0,007	0	0
0,368	—1.0	1,114	1,068	0,984	0,852	0,542	0,161	0,039	0,001	0
0,607	—0,5	1,502	1,442	1,334	1,171	0,810	0,324	0,117	0,01	0
1,000	0,0	1,929	1,859	1,734	1,545	1,138	0,558	0,263	0,048	0,001
1,649	0,5	2,384	2,306	2,168	1,962	1,519	0,865	0,489	0,142	0,006
2,718	1,0	2,854	2,772	2,626	2,407	1,940	1,232	0,790	0,315	0,037
4,482	1,5	3,388	3,252	3,101	2,874	2,390	1,644	1,156	0,574	0,121
7,389	2,0	3,828	3,741	3,586	3,354	2,860	2,090	1,570	0,908	0,294
12,183	2,5	4,320	4,232	4,075	3,840	3,341	2,555	2,014	1,298	0,554
20,086	3,0	4,814	4,725	4,567	4,330	3,832	3,036	2,482	1,730	0,886
33,115	3,5	5,317	5,227	5,068	4,830	4,327	3,524	2,963	2,188	1,279
54,598	4,0	5,814	5,724	5,565	5,326	4,812	4,002	3,439	2,651	1,700
90,017	4,5	6,312	6,229	6,062	5,823	5,305	4,498	3,927	3,130	2,152
148,413	5,0	6,812	6,721	6,561	6,322	5,802	5,000	4,421	3,619	2,624
244,69	5,5	7,310	7,220	7,061	6,821	6,332	5,545	4,948	4,143	3,091
403,43	6,0	7,841	7,719	7,559	7,319	6,810	6,000	5,420	4,608	3,575
665,14	6,5	8,309	8,219	8,059	7,819	7,309	6,498	5,841	5,120	4,081
1196,7	7,0	8,809	8,719	8,559	8,319	7,809	6,998	6,402	5,611	4,584
1808	7,5	9,295	9,219	9,059	8,819	8,301	7,502	6,944	6,114	5,059
2981	8,0	9,809	9,719	9,559	9,319	8,810	7,996	7,424	6,612	5,592
На внешнем контуре площадной системы скважин (г=1) по
истечении сравнительно короткого периода, когда Fo^l—1,5, для
определения безразмерного сопротивления можно пользоваться
формулой (IX.4,7). Ошибка е, допускаемая при этом, не превы-
шает 5—8% (табл. IX.7).
Таблица IX.7
Ошибка, допускаемая при определении Rnn!.F=\ 1,0 формуле (IX.4.7)
FO	In 7^	Г=1		
		*пл		В [%]
0,607	—0,5	0,810	0,936	15,6
1	0	1,138	1,230	8,1
1,649	0,5	1,519	1,582	4,2
2,718	1	1,940	1,982	2,2
При определении понижения уровня в точках, удаленных от пло-
щадной системы, последнюю, как и в предыдущих схемах, пред-
ставляется возможным заменять единым колодцем с суммарным
277
расходом QcyM- На расстояниях 1,5 уже при Fo>5 абсолютная
и относительная ошибки, допускаемые заменой площадной системы
единичным колодцем, не превосходят 3—5%. При этом закономер-
ности их изменения в первый период откачки (при FO<Z5) при-
мерно такие же, как в кольцевой системе (см. графики на
рис. IX.13).
В работе В. М. Шестакова [20], в связи с фильтрацией из экра-
нированных бассейнов, приближенно рассматривалась площадная
Рис. IX. 13. Абсолютная (А) и относительная (е) ошибки,
допускаемые при замене круговой площадной системы скважин
единичной скважиной («большим колодцем»)
система источников и стоков, имеющая в плане форму прямоуголь-
ника. Из полученных в ней результатов устанавливается, что для
центра прямоугольника во всем диапазоне соотношений сторон
последнего (от 1, т. е. квадрата, до 0, что соответствует линейной
системе) по прошествии непродолжительного времени (когда
1) величина гидравлического сопротивления может быть опре-
делена, как и для круговой площади, по формуле (IX.5.7), если
приведенный радиус Ro исчислять по периметру действительной
площади [см. формулу (IX.4.1) ].
Более точное решение для площадной системы в форме прямо-
угольника может быть получено тем же методом, что и для других
схем. В данном случае интегрирование функции для единичного
278
источника (IX,1.2) следует производить
щади прямоугольника *, удельный расход
рого (рис. IX.14)
по соответствующей пло-
скважин в пределах кото-
(IX.5.9)
(?сум
Ч~ 4W •
Рис. IX. 14. Схемы к рас-
чету прямоугольной пло-
щадной системы скважин
ШШШШШ
Бесконечно малое изменение уровня dS будет вызвано расходом
на элементарной площадке dr]d£:
q dtd-r]=-^j£-d-ridZ.
(IX.5.10)
1 Эта задача решалась совместно с Н. Н. Лапшиным и А. Е. Орадовской.
279
Подставляя (IX.5.10) в (IX.1.2) и интегрируя по х от — I до+/
и по у от — b до а также по времени от 0 до t, получаем:
по
br.km Кал'

(IX.5.11)
И°л = 11±^1[р1/1 (р1( 4) - р2/2(р2, а0+)] ±
40
± lk=2^[p3/3(p3, ао-) - 04/4(р4, «Б-)], (IX.5.12)
46
где
Ш, “о±)=^Г J Ф (/*) Ф ,
ао
(1Х.5.13)
у — Ь
х + 1 ’
₽з
Х А ____ Ъ р _____
I ’	I ’ Го — 12
|х —1\ ’
Рис. IX. 15. Графи-
ки функции / по
формуле (IX.5.13)
280
Интеграл (IX.5.13) может быть представлен еще в таком виде
ОО
I, М - ф ® (ft ± TjJ- J ф (ft V?) “z +
V
+ -Т^ J	(IX.5.14)
Численные значения полного интеграла по выражению (IX.5.13)
приведены в табл. IX.8 и в виде графиков изображены на рис. IX. 15.
Значения последнего интеграла в (IX.5.14) использованы нами вы-
ше для расчета линейной схемы (см. формулы (IX.2.6) и (IX.2.7)
и рис. IX.2 и IX.3) Ч
По зависимостям (IX.5.11) — (IX.5.12) можно определить пони-
жение уровня и расход при действии системы взаимодействующих
скважин практически любой конфигурации в плане. В табл. IX.9
приведены значения для некоторых точек внутри и вне площади
расположения скважин при различных соотношениях сторон пря-
моугольника, а на рис. IX.16—абсолютные и относительные
ошибки, допускаемые при замене прямоугольной системы круговой.
Из рассмотрения рисунка следует, что замена прямоугольной си-
стемы круговой возможна в сущности во всех случаях. При
Fo>2,54-5 ошибка, допускаемая при соотношении сторон прямо-
, 1
угольника от 1 до
не превышает 3—5%, но «приведение»
Ь , ,
прямоугольника к кругу следует осуществлять при — ~ 1 (когда
система в плане близка к квадратной) по площади, т. е. принимать
Ко «2 у —, и при -г<1 — по периметру, принимая	,
f л	I	л
что соответствует указанным выше формулам (IX.5.1).
§ 6. Взаимодействующие системы скважин
Расчеты взаимодействующих систем скважин, так же как и еди-
ничных скважин, производятся по методу наложения течений
с использованием приведенных в предыдущих параграфах основ-
ных расчетных зависимостей. Общая формула для определения
понижения уровня в любой точке пласта в любой момент времени
1 Численное интегрирование выполнено В. И. Пагуровой на ЭВМ в Вычис-
лительном центре АН СССР.
281
Таблица IX.8
Значения функции /(а±> Р<) по формуле (IX.5.13)
₽
4а0	IO-2	0,05	0.1	0,15	0,3	0,5	1	2	3	5	10	15	20	100	200
1,25 • 10-2 1,66 • 10-2	0,400 0,500	0,320 0,400	0,270 0,350	0,220 0,293	0,127 0,170	0,078 0,106	0,039 0,053	0,019 0,026	0,013 0,018	0,008 0,011	0,004 0,005	0,003 0,004	0,002 0,003	0	
2,5  10-2	0,550	0,480	0,420	0,367	0,243	0,156	0,078	0,039	0,026	0,016	0,008	0,005	0,004	0,001	
2,77 • 10-2	0,575	0,520	0,450	0,400	0,267	0,174	0,087	0,043	0,029	0,017	0,009	0,006	0,004	0,001	
3,12 • 10-2	0,600	0,540	0,490	0,427	0,297	0,196	0,098	0,049	0,033	0,020	0,010	0,007	0,005	0,001	0
3,54 • 10-2	0,650	0,600	0,530	0,473	0,333	0,220	0,112	0,056	0,037	0,022	0,011	0,008	0,005	0,001	0,001
4,16 • 10-2	0,700	0,660	0,580	0,520	0,377	0,250	0,131	0,065	0,043	0,026	0,013	0,009	0,006	0,001	0,001
5  10-2	0,800	0,720	0,650	0,587	0,437	0,302	0,157	0,078	0,062	0,031	0,016	0,010	0,008	0,002	0,001
6,25 • 10-2	0,900	0,820	0,750	0,680	0,517	0,370	0,196	0,098	0,065	0,039	0,020	0,013	0,010	0,002	0,001
8,33 • 10-2	1,000	0,920	0,880	0,813	0,640	0,476	0,258	0,130	0,084	0,052	0,026	0,017	0,013	0,003	0,001
0,125	1,300	1,180	1,100	1,033	0,850	0,660	0,384	0,194	0,129	0,078	0,039	0,026	0,019	0,004	0,002
0,25	1,700	1,640	1,570	1,500	1,300	1,080	0,701	0,370	0,247	0,148	0,074	0,050	0,037	0,008	0,004
0,5	2,300	2,200	2,120	2,053	1,847	1,606	1,151	0,661	0,445	0,267	0,134	0,090	0,067	0,014	0,007
2,5	3,800	3,700	3,600	3,533	3,323	3,064	2,552	1,794	1,336	0,843	0,424	0,284	0,213	0,043	0,021
5	4,400	4,200	4,280	4,207	3,997	3,736	3,189	2,411	1,893	1,263	0,644	0,436	0,327	0,066	0,033
25	6,000	5,960	5,880	5,807	5,593	5,330	4,772	3,956	3,379	2,596	1,567	1,078	0,813	0,163	0,081
50	6,700	6,640	6,570	6,500	6,287	6,020	5,462	4,642	4,056	3,848	1,958	1,527	1,172	0,237	0,118
250	8,300	8,760	8,180	8,107	7,893	7,630	7,069	6,244	5,653	4,823	3,608	2,887	2,391	0,545	0,273
500	9,000	8,960	8,870	8,800	8,587	8,322	7,762	6,936	6,344	5,513	4,233	3,545	3,023	0,672	0,340
25 • 102	10,600	10,560	10,480	10,407	10,193	9,932	9,371	8,555	7,953	7,118	5,880	5,125	4,581	1,698	0,878
25  101	13,000	12,860	12,780	12,713	12,500	12,234	11,673	10,848	10,255	9,420	8,180	7,420	6,871	3,743	2,097
25 • 104	15,200	15,160	15,090	15,013	14,803	14,536	13,976	13,150	12,557	11,723	10,482	9,722	9,178	6,016	4,647
25 • 106	19,900	19,780	19,690	19,607	19,403	19,142	18,698	17,756	17,162	16,628	15,096	14,327	13,778	10,018	9,240
Таблица IX.9
Безразмерное сопротивление R °л по формуле (Х.5.12)
ро	‘"'’о	4-					A-_L 1 ~ 2				
		у = 0	у = 1	у=2	у=Э	у = 5	У=0	у = 1	у=2	у=3	у = 5
0,05	—2,996	0,157	0,079	0	0		0,303	0,006	0	0	
0,25	—1;387	0,701	0,370	0,020	0,001		1,080	0,181	0,020	0,001	
0,5	—О;694	1,152	0,661	0,092	0,007	0	1,606	0,434	0,092	0,007	0
2,5	0,916	2; 552	1,793	0,740	0,262	0,054	3,064	1,525	0,740	0,262	0,054
5	1,609	3,189	2,411	1,245	0,593	0,204	3,737	2,137	1,245	0,593	0,204
25	3,219	4,772	3,956	2,683	1,823	0,979	5,330	3,677	2,683	1,823	0,979
50	3,912	5,462	4,641	3,354	2,461	1,580	6,021	4,362	3,354	2,461	1,580
250	5,521	7,069	6,244	4,944	4,025	2,986	7,629	5,964	4,944	4,025	2,986
500	6,214	7,762	6,937	5,635	4,830	4,015	8,322	6,656	5,635	4,830	4,015
2500	7,824	9,371	8,545	7,243	6,317	5,255	9,931	8,265	7,243	6,317	5,255
ро	ШЛ0	ь _ 1 1 “ 5					Ь 1 1 ~~ ю					Ь	1_ 1 ' 20				
		у = 0	у = 1	у = 2	у = 3	у =5	у = 0	у = 1	у = 2	у =3	у = 5	у=0	у = 1	7 = 2	у = 3	7 = 5
0,05 0,25 0,5	—2,996 —1,387 —0,694	0,384 1,398 1,948	0,006 0,181 0,434	0 0,020 0,092	0 0,001 0,007	0	0,652 1,568 2,121	0,006 0,181 0,434	0 0,020 0,092	0 0,001 0,007	0	0,752 1,634 2,199	0,006 0,181 0,434	0 0,020 0,092	0 0,001 0,007	0
2,5	0,916	3,449	1,525	0,740	0,262	0,054	3,607	1,525	0,740	0,262	0,054	3,691	1,525	0,740	0,262	0,054
5	1 ;6О9	4,104	2,137	1,245	0,593	0,204	4,284	2,137	1,245	0,593	0,204	4,367	2Л37	1,245	1,593	0,204
25	3,219	5,702	3,677	2,683	1,823	0,979	5,880	3,677	2,683	1,823	0,979	5,880	3,677	2,683	1,823	0,979
50	3,912	6,393	4,362	3,354	2,461	1,580	6,572	4,362	3,354	2,461	1,580	6,644	4,362	3,354	2,46b	1,580
250	5; 521	7,999	5,964	4,944	4,025	2,986	8,184	5,964	4,944	4,025	2,986	8,262	5,964	4 944	4,025	2,986
500	6>14	8,694	6,656	5,635	4,830	4,015	8,873	6,656	5,635	4,830	4,015	8,954	6,656	5,635	4,830	4,015
2500	7,824	10,300	8,265	7,243	6,317	5,255	10,483	8,265	7,243	6,317	5,255	10,556	8,265	7,243	6,317	5,255
~Щ25 tfi 25	250 2500Fe 7^25 25	25	250 2500Fo	0J5 2$ ~25	250 2500 Fo
Рис. IX. 16. Ошибки, допускаемые при замене прямоугольной системы скважин круговой пло-
щадной системой радиусом Ra (Ra вычисляется по 1 и 2 схемам) н линейной системой (схема 3)
при этом может быть представлена в следующем виде:
Z = 1
VCy.M
где	Qi, Q2, • • •, Qk — расходы каждой системы скважин;
QcyM — суммарный расход всех систем;
Ri = Rai, Ra2, , Rau — соответствующее безразмерное гид-
равлическое сопротивление, опреде-
ляемое по формулам и графикам,при-
веденным в § 2—6 (они обозначены
индексами «л», «к», «пл» соответ-
ственно для линейной кольцевой и
площадной систем) в зависимости от
FOi и линейных параметров (напри-
мер, х, у — для линейной системы,
г — для круговой кольцевой и пло-
щадной систем и т. д.).
Расчеты взаимодействующих систем скважин могут быть
существенно упрощены, если учесть результаты выполненного выше
анализа структуры фильтрационного потока в удалении от каждой
системы. Как было показано, во всех случаях на расстоянии, рав-
ном максимальному размеру системы и даже на менее значитель-
ном (около 3/< этого размера, т. е. 3/4 длины линейного ряда или
диаметра круговой системы), влияние ее сказывается так же, как
одиночной скважины. Это дает возможность производить расчеты
взаимодействующих систем по следующей приближенной зависи-
мости:
К
РЛо + 2
1 = 1
2П
4^0 /
QcyM
(1Х.6.2)
где первый член в скобках характеризует часть понижения уровня,
обусловленную откачкой из данной системы, в пределах которой
определяется суммарное понижение S по формуле (IX.6.2). Под
знаком суммы даются безразмерные гидравлические сопротивления
для остальных систем, выражаемые, как для одиночной скважины,
интегральной показательной функцией. Этим членом, следова-
тельно, оценивается часть понижения уровня в данной системе под
влиянием взаимодействия с другими системами, отстоящими на
расстоянии г, от нее. Значок ▼ показывает, что данная система из
суммы исключается.
При одинаковых расходах скважин в каждой системе и более
или менее равномерном их распределении расстояния г» отсчиты-
ваются от геометрического центра каждого участка, а в случае
285
существенных различий дебита и неравномерного распределения
скважин — от центра тяжести участка, определяемого по формулам
V.2.10 (см. § 2 главы V).
При включении отдельных систем скважин в разное время или
выключении части из них величины понижений уровня, как и для
одиночных скважин, определяются путем суммирования соответ-
ствующих понижений, обусловленных действием каждой вновь
вводимой системы, причем в расчет принимается фактический
период времени, начиная от момента их включения.
Остановка той или иной системы учитывается путем включения
такой же воображаемой системы с обратным по знаку расходом.
Таким образом, влияние пуска и остановки прослеживается в тече-
ние всего периода, начиная от каждого изменения расхода. Тем
самым как бы наследуется предшествующая депрессионная поверх-
ность. Вновь вводимые системы (равно как и их остановка) приво-
дят к изменению именно этой депрессионной поверхности, а не
первоначальной, определяемой так называемым статическим уров-
нем до начала откачек.
§ 7. Системы скважин в водоносных пластах
ограниченных размеров
Используя тот же приближенный прием, что и при расчетах
взаимодействующих систем в неограниченных водоносных пластах,
можно получить соответствующие расчетные зависимостй для пла-
стов, ограниченных в плане контурами питания или стока и непро-
ницаемыми контурами. Производя в этих случаях зеркальное
отображение реальных систем относительно указанных контуров,
можно отображенные (воображаемые) системы заменять оди-
ночными скважинами с тем же суммарным расходом.
Рассмотрим, например, ранее исследованные схемы полуогра-
ниченного пласта, пласта-квадранта и пласта-полосы. Расчетные
зависимости для этих схем будут иметь следующий общий вид:
5=та-(^+^отобР)-	(ix.7.1)
Здесь — безразмерное гидравлическое сопротивление реальной
системы в неограниченном пласте, определяемое по формулам,
данным в § 2—6. В случае линейной системы = (см. фор-
мулы (IX.2.5) — (IX.2.13)) в § 2). Для кольцевой системы Rm = RK
(формула (IX.4.6) в § 4) и для площадных систем = (фор-
мулы (IX.5.6) — (IX.5.14) в § 5). Котобр — безразмерное сопротивле-
ние отображений реальной системы относительно границ пласта.
Применительно к указанным схемам пластов в соответствии
с выражением (IX.7.1) получим расчетные зависимости, приведен-
ные в табл. 1Х.10. Формулы (IX.7.12), (IX.7.14) и (IX.7.16) (см.
табл. IX. 10) получены в результате ограниченного числа отобра-
286
жений реальной системы скважин относительно контуров пласта.
При длительных периодах откачки количество отображений сле-
дует увеличивать (см. схему к выводу расчетных формул для сква-
жины в полосообразных пластах в § 3 главы VIII), причем общее
количество отображений определяется желаемой точностью расче-
тов.
Формулы для R при определении понижения уровня в центре
системы (точка 0 на рисунках, формулы во второй колонке табл.
2
1Х.10) действительны при /^2,5	. В них гпр — некоторый
приведенный радиус системы взаимодействующих скважин, выра-
жаемый следующим образом:
линейная система — гпр 0,37/
кольцевая система — гпр = /?0
круговая площадная — гпр~ 0,61/?0
(IX.7.18)
Если в рассмотренных пластах, ограниченных прямолинейными
контурами, находится не одна, а несколько обобщенных систем
скважин, расчеты производятся по методике, изложенной в преды-
дущем параграфе. Следует лишь иметь в виду, что в данном случае
оценка влияния каждой системы производится с учетом ее отобра-
жений по формулам, приведенным в табл. IX.10.
При региональной оценке эксплуатационных запасов подземных
вод обычно принимается схема равномерно распределенных сква-
жин по всей площади водоносного пласта. Условно вся площадь
пласта разбивается на квадраты со стороной I и в центре каждого
квадрата как бы размещается скважина с расходом Q. Единичный
расход при этом будет:
<7 = 4 = -^’	(IX.7.19)
где Ro — приведенный радиус окружности, определяемый по при-
ближенной формуле, вытекающей из равенства площадей этой
окружности и квадрата:
0,564/.	(IX.7.20)
Исходя из предпосылки о равномерном отборе воды на всей
площади пласта, задача расчета скважин в этом случае может
быть решена на основе следующего уравнения:
^ + ^=4-	<1х-7-21)
Рассмотрим три схемы пласта (рис. IX.17): в схеме а пласт с одной
стороны ограничивается линией, на которой поддерживается
постоянный напор (река, канал), а с другой — линией, через кото-
рую протекает постоянный расход. В схемах бив условия на
границах однородные: в первой из них заданы напоры, во второй —
расходы.
287
Безразмерные сопротивления
					Зависимость для		
Тип пласта		Схема			при определении понижения уровня в любой точке пласта	№ формулы	
1а с одним контуром питания -	К I	1 X  41 —Ф		7 ь 9	\ 4at )	(IX.7.2)	
16 с одним непрони- цаемым контуром	о • Ст- I	I X f — »у		п я >’	R = RW-Ei \ /	(IX. 7.4)	
Па с двумя пересе- кающи- мися кон- турами	т — -	л /Iй 1 1	л Al А	X	/	„2 \ /? = /?т+ £/__₽1_ + \ 4at /	(IX. 7.6)	
	1		i#- £ |	V Г	+ Е/-eJ-JM 4а< ]	4at j		
питания			•и				
Пб с двумя пересе- кающи- мися кон-	/Л	Е /1	IV ( У . 1	м к г	/	„2 \ R = Ria+Ei _Л_ _ \	4а< у	(IX. 7.8)	
турами: питания и непро- ницае- мым	1 “	IJ *-Z/- '»»»»»»»» ?	ННИ/НП -0	У L	/	„2 \	/	2 \ -Ei -21L +£/	1 у 4а< у	4at У		
288
Т а бл и ц a XI.0I
для ограниченных пластов
определения			Радиусы-векторы для отображений	
	при определении понижения уровня в центре системы	№ фор* мулы	при определении Я0тобр в удалении от водозабора	при определении Я0тобр в центре водозабора
	/? = 21п_£_ г пр	(IX.7.3) ।	р2 = *2 + (22. + у)2	р2 = 4£2
	/?= 21п 1|13дЛ Lf пр	(IX.7.5)	То же	То же
	/? = 21п. Р|Р-П. 'прРш	(IX.7.7)	Р? = x2 + (2Z.I + y)2 p2I = (2Z.II + x)2 + y2 Pni=	+ -*)2 + + (2Z, + у)2	р?=4Л2 P1I = 4£11 Pin = 4 G’l + ^-п)
	/? = 21п Р1р1" гпрРц	(IX.7.9)	То же	То же
289
Тип пласта	Схема						Зависимость для					
							при определении понижения уровня в любой точке пласта				№ формулы	
Пв с двумя пересе- кающи- мися ие-	О \ Л		1	V i'	X	1 „I	R =	-Ra — Ei	4at	j —	(IX.7.10)	
проница-	1 •			О	J	r*	— Ei	Pn \	Ei	^2 \ Pin 1		
еМыМи конту-								4aZ / /		4at у		
рами	ч-о											
П1а с двумя парал- лельными		X		VI У,		H f	R = + £^- -Ei	Rm + Ei Pn _	(— jL \ 4at Ei — -	') + „2 \ Pl" I _	(IX.7.12)	
конту- рами	1"	ч -4-|	J	'~Lx~“ /					4at J r2	\ - P1V I 4at у	+ Ei	4at у Py 4at у		
питания												
П1б с двумя парал- лельными конту- рами:		X		VII	X		R = + Ei	Ra-Eit--й. I 4at A'j + a-f- 4at /	\		+ n2	\ Pill | _ 4at у	(IX.7.14)	
питания и непро- ницае- мым	1					У ,H	— Ei	„2 \ _ PlV \ 4at у	+ Ei	- Py 4at у		
		"	Z										
Шв с двумя				vni			/? = — Ei	Ra~Ei Pn \ _ 4at у ,2 \ PlV |	( pl			
парал- лельными непрони- цаемыми	о $ 11 5 еН fj		d		У	X	Lt			4at -Ei	„2 \ Pill ]_ 4at у Pv \	(IX.7.16)	
	1	\ i:t'			—J	I у go			Pi I			
конту- рами			I	1		»		4at /		4at ) /		
												
290
определения			Радиусы-векторы для отображений	
	при определении понижения уровня в центре системы	№ фор- мулы	при определении ^?отобр в удалении от водозабора	при определении ЯОТобр в центре водозабора
	R = 4 In 2,25а<	- V ГпрР[ Рц Р| II	(IX.7.11)	Р2 = л-2 + (2£, + У)2 Рп = (2in + х)2 + У2 ₽1П =(2^П + х)2 + + (2£, + у)2	Pi = ^i Pii = 4£2i ₽П1 —4	+ ^п)
	0,64£ sin —j— R = 2 In		— Г пр	(IX.7.13)	Pl = *2 +(2£1 + У)2 Рп =х2 + (2£ц —у)2 Рщ = х2 + (2£ + у)2 р2у = *2 + (2£ — у)2 Ру = х2 + (2 (£ £]) + + У12	р2=4£2 Рп = 4£ц Р?п = ^2 Pjv=4£2 р2=4 (2£j + £ц)2'
	It! 1,27£ ctg R = 2 In	 г пр	(IX.7.15)	То же	То же
	0,16£ -г 2 In	1	т- 1	uLj гпр • sin д	(IX.7.17)	То же	То же
291.
Математически эти условия записываются так:
схема а: /> О, х = 0, 5 = 0, x = L, ~^ =
схема б: />О, х = 0, x = L, 5 = 0;
-g-; (IX.7.22)
. (IX.7.23)
Рис. IX. 17. Схемы к расчету
равномерно распределенных
скважин в полосообразных
пластах
схема (в):
/>0, х = 0, х= L, -^- = 0.
’ дх
(IX.7.24)
Начальное условие для всех схем:
/ = 0, 5 = 0.	(1Х.7.25)
Уравнение (IX.7.21) путем подста-
новки
5* = 5-_g_	(1Х.7.26)
приводится к обычному уравнению тепло-
проводности. При этом условие (IX.7.22)
при х=0 и условие (IX.7.23) при х=0
и x = L изменяются.
х = 0, x = L, 5* = -^-. (IX.7.27)
Остальные условия остаются без из-
менений.
Решения математически подобных за-
дач для схем а и б известны в теории
теплопроводности. Применительно к рас-
чету подпора подземных вод в районе
водохранилищ и на орошаемых терри-
ториях они рассматривались в работах
С. Ф. Аверьянова [2] и Н. Н. Вери-
гина.
В указанный здесь постановке решения для всех
могут быть представлены в следующем виде [7]:
<?____ г>
5 2km Кп >
трех схем
(IX.7.28)
где Rn — безразмерное гидравлическое сопротивление, обозначаемое
для схем а, бив соответственно Rn(a), Rn(5), Rn(e} и выражаю-
щееся так:
/?„(«)=-^-(2 -	- 8Ж	(IX.7.29)
:292
ЯЖ) = 1(1 ~4г)~2Ж Ло),
Я„(*)=^
(IX.7.30)
(IX.7.31)
Здесь
L — ширина водоносного пласта;
q — единичный расход скважин; опреде-
ляется по (IX.7.19) и имеет размер-
ность м/сутки (в отличие от бытового
расхода qe, выражающегося в
м2!сутки};
\|э — функция, зависящая от
К - —
Fo
at
4L2
x = T’fo
at
соответственно для схем (а) и (б)
2L ’
и
00
Ж Л)) = 4 Z(2nli)-3si^(2»- 1)Хе-(2п-,)”'’Л. (IX.7.32)
Численные значения этой функции приведены с табл. IX.11.
Значения ф(Х, Fo) по формуле (IX.7.32)
Таблица IX.11
X	Fo				
	10-4	5-10“4	10 3	10 2	2-10~2
0,1 и 0,9	0,045	0,045	0,044	0,038	0,033
0,25 и 0,75	0,034	0,094	0,093	0,084	0,075
0,5	0,126	0,125	0,125	0,115	0,105
X	Fo				
	з-ю-2	5-10 2	0,1	0,3	0,5
0,1 и 0,9	0,03	0,025	0,015	0,002	0,0003
0,25 и 0,75	0,068	0,056	0,034	0,004	0,0007
0,5	0,096	0,079	0,048	0,007	0,0009
Из табл. IX.11 видно, что при Fo> 0,5 функцией ф(Х^0) в вы-
ражениях (IX.7.29) и (IX.7.30) можно за малостью пренебрегать.
В этих случаях указанные выражения характеризуют устано-
вившееся распределение понижения уровня во всем водоносном
горизонте.
293
В схеме b, как следует из формулы (IX.7.31), вследствие отсут-
ствия постоянного источника питания понижение уровня непре-
рывно увеличивается.
В удалении от границ водоносного пласта при указанном равно-
мерном размещении скважин на всей его площади расчёт скважин
можно производить, рассматривая только одну ячейку в пределах
квадрата (см. рис. IX.16). Запасами, сосредоточенными в этой
ячейке, будет обеспечиваться производительность каждой скважины
и между ячейками образуются «водоразделы», на которых гради-
енты потока равны нулю. Иначе говоря, каждая ячейка как бы
ограничивается непроницаемой плоскостью и представляет собой
«закрытую структуру». Методика расчета таких структур подробно
рассмотрена нами в главе VII.
Заметим, что изложенный здесь расчет площадных равно-
мерно распределенных систем скважин может быть сделан также
с учетом происходящего питания водоносного пласта в процессе
откачки. Для этого в исходное уравнение (IX.7.21) вместо q сле-
дует ввести модуль питания есум, который выразится разностью:
всум = я - ев,	(IX.7.33)
где ев определяется по фромуле (П.2.1) и (П.2.2) главы II.
§ 8. Определение понижения уровня в скважине
Для определения понижения уровня непосредственно в одной из
скважин при расчетах обобщенных систем взаимодействующих
скважин необходимо, как нами уже отмечалось, к найденному
понижению для обобщенной системы Sw добавить дополнительное
понижение ASCKb [см. формулу (IX.1.3)]. Для этих целей можно
воспользоваться следующей зависимостью:
(IX.5.1)
где Qckb — расход данной скважины, в которой определяется пол-
ное понижение уровня;
А7?скв— дополнительное или внутреннее гидравлическое сопро-
тивление, определяемое в зависимости от расстановки
скважин
Д/?скв = 1п^- + С0.	(1Х-5.2)
Эта формула внешне сходна с формулой (V.2.27), данной
в главе V. Но вместо условного радиуса влияния гвл, характери-
зующего всю область, возмущенную откачкой из системы взаимо-
действующих скважин, здесь вводится некоторая условная «внутрен-
няя область влияния» данной скважины, радиус которой г„ нахо-
дится по следующим соотношениям.
294
Для контурных систем (линейных, кольцевых) при оди-
наковых расстояниях между скважинами 2о [5; 13] (рис. IX.18, а)
а
я
п
(IX.8.3)
а при разных расстояниях между сква-
жинами 2ffi, 2ог, (рис. IX.18, б), как
показано в работе [5, 13],
(IX.8.4)
г — - а1 + а2
«~	2г.
Рис. IX. 18. К расчету
дополнительного пониже-
ния уровня в скважине
по формулам (IX.8.2) —
(1Х.8.5)
Рис. IX. 19. К определению
величины £о при расчетах
обобщенных систем скважин
Для площадных систем скважин (рис. IX.18, в, г)
r„^0,47	(IX.8.5)
где Fo — площадь круга, равная площади указанной внутренней
области влияния скважины, границы которой проводятся посредине
между соседними скважинами.
Выражение (IX.8.5) вытекает из сравнения понижений уровня
в закрытом круговом пласте площадью Fo при равномерном отборе
воды из него (т. е. при постоянном удельном расходе в пределах
всей площади), и при откачке из скважины, расположенной
в центре пласта [5, 6].
295
В первом случае понижение уровня будет равно
* = -Д-	(IX.8.6)
Во втором случае, как следует из решения, приведенного выше
для «закрытого пласта» (см. главу VII),
/ 1/А	\
in Г 71 -0,75	(IX.8.7)
2~km \ г0 ’	/ 1 i>-*Fo	'	'
В этих формулах обозначения те же, что прежде. Вычитая
(IX.8.6) из (IX.8.7), получим дополнительное сопротивление, обу-
словленное наличием скважины, равное первому члену в правой
части формулы (IX.8.2), причем в нем гп определяется по (IX.8.5).
В формуле (IX.7.2) £0—дополнительное сопротивление, связан-
ное с несовершенством скважины и определяемое по указаниям,
данным в § 5 главы V. Следует при этом учитывать, что дополни-
тельное понижение уровня ASCKb отсчитывается от уровня, сфор-
мировавшегося под действием обобщенной системы. Поэтому для
безнапорных потоков в соответствии с рекомендацией В. М. Ше-
стакова расчетная мощность пласта т и длина водоприемной части
скважины I принимаются следующими (рис. IX.19):
m^ht-Sw,	(IX.8.8)
где йе— полная мощность водоносного пласта;
/о — действительная длина фильтра;
/м — понижение уровня в данной точке, определяемое по фор-
мулам, приведенным в предыдущих параграфах для обоб-
щенных систем.
§ 9.	Примеры расчета обобщенных систем
взаимодействующих скважин
Пример 1. В безнапорном потоке подземных вод весьма боль
ших размеров в плане мощностью йе = 30 м сооружается водозабор
из 11 скважин, расположенных линейно (рис. IX.20). Расход каж-
дой скважины Q = 7 л/сек=605 Алеутки, общий расход системы
QcyT = 7X10=70 л/сек=6050 м31сутк,и. Расстояния между скважи-
нами 2о = 80 м, общая длина ряда 2/=2(п—1) о= 10 • 80=800 м.
Коэффициент фильтрации водоносного пласта k= 15 м/сг/тки, коэф-
фициент водоотдачи ц=0,22. Требуется определить понижение
уровня подземных вод So в центре ряда (на рис. IX.20, а. — точка 1)
и Si — на расстоянии 200 м (точка 2) через ii = 100 суток,
/г = 300 суток, /3= 1000 суток.
Решение:
1.	Определяем коэффициент пьезопроводности по фор-
муле (III.2.3) главы III.
а 3°о 225 = 2220 ^IcymoK.
296
2.	Безразмерные параметры времени Fo при этом будут (см.
формулы (V.2.4) главы V.
д, 2220 -100 i оо д, 2220 - 300 л . _
^о.1 =---4002— = 1,38, Ло.2 =---4002— = 4,17,
р 2220 • 1000	, q оу ~ о 7?	2®® г> г
Л>.з =---Joos---=13,87,. У1 = 0, у2 =-^ = 0,5.
3.	Воспользуемся графиками на рис. IX.2 для определения без-
размерного сопротивления £7/7=0 при указанных значениях yi, у2.
а)	б)
Для первого момента времени (£1 = 100 суток, Fo. i = l,38, In Fo. i=
=0,32) и точки 1 в центре ряда по графикам находим 7?Л1=3,2.
В соответствии с этим по формуле (IX.2.4), с учетом фор-
мул (Ш.4.4) главы III, имеем:
^• = Т2^ПГ3.2 = 102-8 *’•
so ! = 30 - V302 - 2 • 102,^=3,65 м.
297
4.	Таким путем сделаны расчеты для других значений t (и соот-
ветственно Fo) для точек 1 и 2. Результаты расчета приведены
в табл. IX.12.
Таблица IX. 12
Понижение уровня в точках 1 н 2 (к примеру расчета № 1)
У	t	го		по графику 7?л на рнс. IX.2	по формуле (IX.2.4)	по формуле (III.4.4)
0	100	1,38	0,32	3,2	102,8	3,65
	300	4,17	1,43	4,27	136,6	4,98
	1000	13,87	2,67	5,44	174,4	6,51
0,5	100	1,38	0,32	1,94	62,4	2,16
	300	4,17	1,43	2,94	94,4	3,92
	1000	138,7	2,62	4,13	132,6	4,80
Определяем понижение уровня в скважине в последний момент
времени /3=100 суток. Скважина совершенная (£о=0), радиус ее
ro=O,15jw. По формулам (IX.8.2) и (IX.8.3) имеем:
Д/?скв = 2 • 0,091 1п ЗД4400)15-=0,81.
По формуле (IX.1.4)
Ro 3 = 5,44+ 0,81 =6,25.
Следовательно, по формуле (IX.2.4)
Uo.3 = 12? 15 6,25 = 200,7 .и2.
По формуле (Ш.4.4)
,3 = 30 - /302 - 2 • 200,7 = 7,7 м.
Расчеты по строгой формуле (V.2.9) (без обобщения скважии)
дают 7,4 м (табл. IX.13). Практически такой же результат (7,6 м)
мы получаем и при неравномерном расположении скважин вдоль
линии и разных дебитах скважин (табл. IX.14).
Пример 2. Водозаборные скважины в безнапорном пласте изве-
стняков, имеющем весьма большие размеры в плане, распола-
гаются в виде концентрированной группы на площади F1 = 30 500ji2
(рис. IX.21). Общее количество скважин в группе «1=8, расстояние
между скважинами 2^ = 50 м.
Расход каждой скважины Qt=10 л/сек = 864 м31сутки. Сум-
марный расход всех скважин QcyMi = rtiQi = 8- 864«6912«
«6900 м31сутки. Мощность водоносного пласта йе=60 м, коэффи-
циент фильтрации £ = 30 м{ сутки, коэффициент пьезопроводности,
определенный по опытным откачкам, а = 3,5- 105 м21сутки.
298
Таблица IX. 13
Расчет линейного ряда при равномерном расположении равнодебитных скважин
при £= 1000 суток по формуле (V.2.9)
№ скважины, 1	хЧсутки		2,25at ,2 rl	,	2,25а/ ,2 rl		Л .	2,25gf PjIn	-2~ rl
0	550	0,15	2,22 • 108	19,219	0,091	1,749
1	550	400	3,14  10i	3,441	0,091	0,313
2	550	320	4,87 • 101	3,886	0,091	0,354
3	550	240	8,67  101	4,463	0,091	0,406
4	550	160	1,95 • 102	5,273	0,091	0,480
5	550	80	7,8  102	6,659	0,091	0,606
6	550	80	7,8  102	6,659	0,091	0,606
7	550	160	1,95 • 102	5,273	0,091	0,480
8	350	240	8,7  101	4,463	0,091	0,406
9	550	320	4,87 • 102	3,886	0,091	0,354
10	550	400	3,12 • 101	3,441	0,091	0,313
10						
In / — 1	2,25а/ 2 г.	—	—	—	—	6,067
Qcvm ц= Y£yM- \ 4itft £ i-	,	2,25а/ Г	—	—	—	—	194,82
S = Ле = у *2 _ 2и		—	—	—	—	7,4
Таблица IX. 14
Расчет линейного ряда при неравномерном расположении разнодебнтных
скважин при /=1000 суток по формуле (V.2.9)
№ скважины, I	m?Icy тки	ri,M	2,25g/ 2 ri	.	2,25а/ 4	?/	2,25а/ pjn- 2 rl
0	550	0,15	2,22 • 108	19,219	0,091	1,749
1	200	400	0,31 • 102	3,441	0,033	0,114
2	300	380	0,35 • 102	3,544	0,051	0,181
3	900	180	1,54 • 102	5,037	0,149	0,750
4	100	100	5,00 • 102	6,214	0,016	0,099
5	400	10	5,00  104	10,819	0,066	0,714
6	100	40	3,12 • 103	8,046	0,016	0,129
7	800	100	5,007 • 102	6,214	0,132	0,820
8	800	300	0,44  102	4,017	0,132	0,530
9	400	350	0,44 • 102	3,794	0,066	0,250
10	1500	400	0,31 • 102	3,441	0,248	0,853
2,25а/ 2>ln r2 Qcvm 10	2.25а/		—	—	—	—	6,189
U~ 4itft 2	r t	—	—	—	—	198,74
5 = Ле —	/ h2 — ‘lu			—	—	7,6
299
Указанная группа скважин эксплуатируется в течение tt =
= 5000 суток (около 15 лет). По истечении этого времени на рас-
стоянии г2=15 000 м в том же водоносном пласте сооружен второй
групповой водозабор на такой же площади F2=30 500 мг из п2=10
6)
1
' *•
0,-6900
ts5000^
-------
Рис. IX. 21. Схемы к при-
меру расчета круговой
площадной системы сква-
жин
скважин с расходом каждой скважины Q2=20л/сек = 1728м2/сутки
и общим расходом QCyM2=n2Q2=10* 1728=17 280 м^сутки. Рас-
стояния между скважинами здесь 2<т2=40 м.
Требуется определить величину понижения уровня в центре
первой группы через 6 = 5000 суток и понижения в центрах обеих
групп через 6=10 000 суток.
Решение:
1.	Представим действительную площадь, занимаемую каждой
группой скважин, в виде круговой с радиусом, определяемым по
(IX.5.1)
300
2.	Находим гидравлическое сопротивление
^ = ^^==13,9. 104.
По формуле (IX.5.8) при этом получаем:
/?пл = 6,12 • 13,9 • 104 = 13,31.
3.	Следовательно, по (IX.2.4)
=-19^%Г 13>31 = 243,8 л2,
1	12)00 • оо
а по (Ш.4.41
Si = 60 - /602-2 • 243,8 = 4,2
4.	При взаимодействии обеих групп находим сначала гидрав-
лическое сопротивление по формуле (IX.6.1) с учетом последующих
указаний по методике расчета водозаборов при разновременном их
включении.
Применительно к рассматриваемой в этом примере схеме рас-
четная зависимость будет иметь вид (см. график Q — t на рис.
IX.21):
а)	для определения понижения через £>=10 000 суток в центре
первой группы
^?пл.1 = 1п 6,12Fo2 — ф2Е1 —	,
где
р _____ д/ □ ____ QcyM 1 д ___ QcyM 2
'о. 2	£>2	» ri ""Г)	1 г2 Г) ♦
^О. 1	vcy.u	VcyM
б)	для определения понижения к тому же моменту времени
в центре второй группы
^'пл.2 = ?21П6,12/:'0 2-1	’
где
с _____ а (^2	/1)
1 о. 2—1	d2
•/'О. 2
Остальные обозначения те же, что прежде.
Подставим численные значения в указанные формулы:
р 3,5 • 1Q5 • IO4 ?7 g . 1Q4.
°-2	1122	-''°	>
р	3,5- 105 (104-5- 103)
г о. 2-1—	]122	’
301
=-S=°’286; =™-=°-714;
i = 0,286 In 6,12 • 27,8 • 104-0,714 X
y Ei Г_______225 • 106_____ _ 6.
A c [4  3,5 • 105 (104 — 5 . юз) —°-
/?пл 2 = 0,714 In 6,12 • 13,9 • 104 — 0,296 X
X£*[-
225 • 106
4 • 3,5 • 105 • Ю4
= 10,55.
5.	Теперь находим U и S:
rr 24180	„ ooc ,
~ 12,56 • 30 6 ~ 385л£ ’
Sj = 60 -/602-2 • 385 = 6,8 m.
^2=	‘ 10,55 = 676
L 12,00 • <30
52 = 60-/6Q2-2 • 676 = 12,7 m.
6.	Определим понижение уровня в точках н = 7500 м и
г2=15 000 м (в центре второй группы) за счет откачки из первой
группы с раходом 6900 м31 сутки при £1 = 5000 суток.
Fj 2
Учитывая, что в обоих случаях —=f—1,5, можно определять
•Ко.1
влияние откачки из группы скважин по формуле (IX.6.2). При этом
получим:
г _	6900	„./	75002	\	2
С'1-ц—	12,56 • 30	4  3,5  105 • 5 • 103 } —
ц = 60 - /60^2 • 77,1 = 1,2 М-,
п _	6900	р.1	15 0002	2
^2.и	12,56 - 30	4 • 3,5 • 105 • 5 • 103
s2 ц = 60 - /602-2-53 = 0,9 м.
7.	Понижение в точке Г1 = 7500 м под влиянием откачки из
обеих групп скважин к концу периода /2=10 000 суток опреде-
ляется аналогично. Гидравлическое сопротивление при этом
Rm = ^\Ei
-


п-тис--/ —75002	\
0,714^ 4 . з,5 . IQs . 5 . юз ) ~ 4>4-
302
Следовательно,
U = i?2^18V = 4>4 = 282 м\
5 = 60 - K602 - 2 • 282 = 5 m.
Найденные понижения уровня показаны на рис. IX.21.
Результаты приведенных расчетов по формулам для обобщен-
ных систем скважин в данном примере были нами сопоставлены
с результатами расчетов по точным формулам. При этом, как и
для линейной системы (см. предыдущий пример), получены очень
близкие значения понижений уровня как при равнодебитных сква-
жинах, так и в случае существенно различных дебитов (от 100 до
10 000 м?! сутки) и при неравномерном размещении скважин (при
расстояниях между ними от 50 до 150 м).
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ IX
1.	Абрамов С. К., Биндеман Н. Н., Бочевер Ф. М., Вери-
гин Н. Н. Влияние водохранилищ на гидрогеологические условия прилегающих
территорий. Госстройиздат, 1960.
2.	Аверьянов С. Ф. Фильтрация из каналов и ее влияние иа режим
грунтовых вод. Сб. «Влияние орошения на режим грунтовых вод». Изд. АН
СССР, 1956.
3.	Борисов Ю. П. Определевие дебита скважин при совместной работе
нескольких рядов скважин. Тр. ВНИИ им. Губкина, вып. 11, 1951.
4.	Бочевер Ф. М. Гидрогеологические расчеты осушения при карьерной
разработке месторождений полезных ископаемых. «Разведка и охрана недр»,
№ 8, 1959.
5.	Б о ч е в е р Ф. М. Приближенные гидрогеологические расчеты крупных
водозаборов и водопонизительных установок. Обобщенные системы взаимодей-
ствующих скважин. Изд. ВОДГЕО, М., 1961.
6.	Бочевер Ф. М. Гидрогеологические расчеты крупных водозаборов под-
земных вод и водопонизительных установок. Стройиздат, 1963.
7.	Бочевер Ф. М., Гармонов И. В., Лебедев А. В., Шеста-
ков В. М. Основы гидрогеологических расчетов. Изд. «Недра», 1965.
8.	В е р и г и н Н. Н. О течениях грунтовых вод при местной усиленной ин-
фильтрации. ДАН СССР, т. 20, № 5, 1950.
9.	Веригин Н. Н., Саркисян В. С. Метод расчета подземных водо-
заборов и вертикального дренажа в полуограниченном водоносном пласте. Тр.
ВОДГЕО, вып. 13, Гидрогеология. Госстройиздат, 1966.
10.	Влюшин В. Е. Метод непрерывного распределения стоков по площади
для подсчета пластового давления при разработке крупных нефтяных залежей.
Тр. МИНХ и ГП, вып. 55. Изд. «Недра», 1965.
11.	Карслоу Г. и Егер Д. Теплопроводность твердых тел. Изд. «Наука»,
1964.
12.	П а в л о в с к а я Л. Н. Вопросы фильтрационных расчетов водопонизи-
тельных установок в котлованах гидротехнических сооружений. Сб. трудов со-
вещания по водопонижению в гидротехническом строительстве. Госстройиздат,
1959.
13.	Павловская Л. Н. Фильтрационные расчеты водопонизительных уста-
новок в строительных котлованах гидротехнических сооружений. Изв. ВНИИ!"
им. Веденеева, т. 64, 1960.
14.	Пилатовский В. П. К задаче о неустановившейся фильтрации упру-
гой жидкости к круговой галерее. ДАН СССР, т. 89, № 4, 1953.
303
15.	Пискунов Н. С. Определение передвижения контура нефтеносности
и падения давления при эксплуатации крупных месотрождений. Тр. ВНИИ нефти
и газа, вып. VI, 1954.
16.	Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения подземных вод.
Гостехтеориздат, 1952.
17.	Ч а р н ы й И. А. Методы расчета неустановившегося притока грунтовых
вод к скважинам при глубинном водопонижении. Инженерный сборник, т. XXIII.
Изд. АН СССР, 1956.
18.	Ч а р н ы й И. А. Подземная гидромеханика. Госгеолтехиздат, 1958.
19.	Шестаков В. М. Расчет водопонизительных установок сложных кон-
туров в плане. Сб. «Опыт искусственного понижения уровня грунтовых вод на
строительстве электростанций». Госэнерг<^здат, 1956.
20.	Шестаков В. М. О фильтрации из экранированных бассейнов. Тр.
лаборатории гидрогеологии ВОДГЕО, сб. 4. Госстройиздат, 1962.
21.	Шестаков В. М. О применении метода фильтрационных сопротивле-
ний для расчетов контурных систем скважин. Тр. лаборатории гидрогеологии
ВОДГЕО, сб. 4. Госстройиздат, 1962.
22.	Щ'елкачев В. Н. Исследование неустановившегося потока упругой
жидкости к круговой батарее стоков. ДАН СССР, т. 79, № 4, 1951.
23.	Щелка чев В. Н. Упрощение решений дифференциального уравнения
Фурье для задач, связанных с включением круговых батарей источников и сто-
ков. ДАН СССР, т. 101, № 2, 1955.
24.	Щ е л к а ч е в В. Н. Упрощение расчетов притоков к круговой галерее
в условиях упругого режима. Тр. МИНХ и ГП, вып. 48. Изд. «Недра», 1964.
25.	Щелка чев В. Н., В л ю ш и н В. Е., X а р и н О. Н. Методика подсчета
пластового давления и притоков к галерее после ее пуска с переменным деби-
том. Тр. МИНХ и ГП, вып. 55. Изд. «Недра», 1965.
Прогноз
производительности
водозаборов
по данным откачек
из скважин
§ 1. Общие замечания
Большие затруднения при оценке эксплуатационных запасов
подземных вод и расчетах водозаборов возникают в связи с неодно-
родностью водоносных пород в фильтрационном отношении.
Аналитическими методами задачи расчета водозаборов в неод-
нородных пластах решаются, как правило, только при наличии так
называемой упорядоченной неоднородности (см. главу II.). Эти
задачи рассматриваются во многих работах (см., например, [3, 9,
11, 12, 14, 15, 16] и др). В случае же, когда неоднородность носит
неупорядоченный или хаотический характер, она практически не
может быть учтена в расчетах даже путем моделирования.
В таких условиях наиболее надежным является расчет дебита
водозаборных сооружений, произведенный на основе результатов
опытных и опытно-эксплуатационных откачек.
Опытные и опытно-эксплуатационные откачки, особенно когда
они производятся длительное время со значительной интенсивно-
стью, позволяют обобщенно оценивать фильтрационные свойства
пласта, рассматривая его в зоне влияния водозабора как бы одно-
родным, с некоторыми средними величинами водопроводимости.
Кроме того, в результатах расчета по данным откачек получают
также обобщенное отражение дополнительные сопротивления на
входе воды в скважины (сопротивления фильтра и породы в при-
скважинной зоне и т. д.) и возможные нарушения линейного закона
фильтрации.
В основу рассматриваемого далее метода расчета водозаборов
по данным откачек положена предпосылка о том, что кривая
депрессии фильтрационного потока со временем приобретает
форму, соответствующую стационарному потоку в аналогичных
условиях неоднородности; градиенты напора в каждом сечении
здесь обратно пропорциональны водопроводимости, а скорости
(расхода) — одинаковы.
Вместе с тем при длительном действии водозаборов скорость
снижения кривой депрессии во всех точках пласта выравнивается
и не зависит от координат х, у. Важно отметить при этом, что
305
величина скорости снижения кривой депрессии при откачке из сква-
жины определяется по некоторой средней водопроводимости пласта
в целом.
Это дает возможность разделить прогнозируемый период, на ко-
торый рассчитывается водозабор, на две стадии: первая соответ-
ствует длительности откачек, а вторая, наибольшая, охватывает все
остальное время и, что является самым существенным, в этой ста-
дии процесс фильтрации является квазистационарным. В соответ-
ствии с этим полное понижение уровня, вызываемое эксплуатацией
водозабора, может быть также выражено двумя слагаемыми.
§ 2. Основные расчетные зависимости.
Пример расчета
Основная зависимость, используемая для расчета производи-
тельности водозаборов на основе результатов откачек, предста-
вляется в следующей форме:
п
5 = 5о + 2Т $/ + дЖ	(Х.2.1)
i=i
Здесь S— понижение уровня в той или иной скважине водоза-
бора, состоящего из п скважин;
So — понижение уровня, вызванное откачкой из данной
скважины с расходом Qo (в условиях одиночной ее
работы, без учета влияния взаимодействующих сква-
жин) ;
Si — понижение («срезка») уровня в этой же скважине,
обусловленное откачкой из i-той возаимодействую-
щей с ней скважины с расходом Qc,
Si — суммарное понижение под влиянием всех совместно
работающих скважин (знак ▼ показывает, что из
суммы исключается данная скважина, в которой оп-
ределяется понижение уровня S);
AS(0 —дополнительное понижение уровня в той же скважине,
происходящее с течением времени в результате
общей сработки запасов подземных вод в пласте.
Величины So и S, определяются по кривым дебита, получаемым
по данным откачек и по графикам «срезок»; последние строятся по
результатам наблюдений за понижениями уровня в различных
точках пласта под влиянием откачек из взаимодействующих сква-
жин.
Кривая дебита, как известно, представляет собой график зави-
симости дебита Qo от понижения So (рис. Х.1,а). Во многих слу-
чаях этот график аналитически может быть выражен двучленной
зависимостью следующего вида:
So = 4Qo + 5Q6.	(Х.2.2)
306
где А и В параметры, определяемые по результатам откачек.
Наиболее просто это делается с помощью линейной анаморфозы
зависимости (Х.2.2), т. е. построения графика в координатах
-5-	Qo; опытные точки в этом случае ложатся на прямую линию,
Qo
угловой коэффициент которой равен В.
Надо заметить, что хотя формула (Х.2.2), как это показано
В. М. Насбергом [13] и Н. К. Гиринским [8], является наиболее
обоснованной в теоретическом отношении, тем не менее практи-
Рис. X. 1. Графики дебита, «срезок» уровня и изменений уровня во времени
[см. формулы (Х.2.2) — (Х.2.6)]
чески часто лучшие результаты достигаются при использовании
степенной зависимости
S0 = pQq0,	(Х.2.3)
где р и q — параметры, определяемые также на основании отка-
чек, причем q может изменяться от 1 до 2.
Для нахождения значений р и q результаты откачек пред-
ставляются в виде графика в координатах IgSo^-lg Qo; при этом мы
получаем прямую, угловой коэффициент которой равен пара-
метру q, а отрезок, отсекаемый на оси 1g So, равен 1g р.
Располагая параметрами А и В или р и q, можно принять опре-
деленную расчетную величину расхода Qop (или понижения Sop) и
определить соответствующее понижение (или расход Qop).
Для определения понижений («срезок») уровня Si должны быть
по фактическим данным построены графики срезок, отвечающие
зависимости
Si=/(Qi, r;),	(Х.2.4)
где Qi — расход i-той скважины, отстоящей на расстоянии Гг от
точки, в которой наблюдается понижение уровня S. В большинстве
случаев зависимости (Х.2.4) могут быть представлены серией
307
прямых линий, выходящих из начала координат (см. рис. Х.1.,б);
следовательно, для каждой точки пласта
S^CiQi,	(Х.2.5)
где Ci — угловой коэффициент соответствующей прямой (при дан-
ном значении г<)-
При существенной неоднородности пласта целесообразно графи-
ки срезок строить по различным направлениям. Это дает возмож-
ность выявить влияние определенным образом ориентированной
трещиноватости, тектонических разломов, фациальных изменений
пород и т. д.
По указанным графикам срезок, так же как по кривым дебита,
можно, задаваясь расходом QiV, определить величину срезки
УРОВНЯ Sjp.
В пластах с постояннодействующими источниками восполнения
запасов подземных вод — вблизи крупных рек, водохранилищ, при
наличии гидравлической связи с другими водообильными пластами
и т. д. — фильтрация, как уже отмечалось нами при рассмотрении
аналитических методов расчета, приобретает со временем устано-
вившийся характер. Последний член в уравнении (Х.2.1) при этом
можно положить равным нулю. Указанная методика в этом случае
по существу аналогична широко известному «методу срезок», пред-
ложенному в свое время М. Е. Альтовским [2] и А. М. Агаджа-
новым [1].
Следует подчеркнуть, что, поскольку эта методика сводится
к наложению фильтрационных течений, она является теоретически
вполне обоснованной. Учитывая это обстоятельство, можно при
отсутствии фактических данных о взаимном влиянии скважин исчи-
слять величины Si по имеющимся теоретическим решениям.
Вопрос о допустимой экстраполяции опытных данных по кри-
вым дебита и графикам срезок решается в зависимости от конкрет-
ных гидрогеологических условий, конструкции скважин, техни-
ческих средств откачки и других факторов. Нередко принимаемые
на приктике пределы экстраполяции (1,54-3) S® (S® — понижение
уровня, фактически достигнутое при откачках) могут быть расши-
рены, а расчеты будут вполне оправданными при более значитель-
ном превышении прогнозируемых понижений уровня над опыт-
ными.
При неустановившемся движении существенное значение приоб-
ретает величина AS(/), входящая в уравнение (Х.2.1). Для опреде-
ления этой величины используются данные откачек, выполняемых
при неустановившемся режиме, которые могут быть выражены гра-
фиками (см. рис. Х.1, в):
S = fdQ, t),	(Х.2.6)
где S — понижение уровня при расходе Q;
t — время.
308
Задаваясь дебитом скважин и определенным сроком их эксплуа-
тации, можно по указанным графикам определить расчетную вели-
чину .
Поскольку, однако, длительность опытных и опытно-эксплуата-
ционных откачек, на основании которых составляются графики
S — t, обычно гораздо меньше эксплуатационного периода, весьма
важно правильно интерпретировать графики и выразить их в ана-
литической форме, максимально соответствующей природным усло-
виям. Задача эта, правда, облегчается благодаря отмечавшейся
нами выше общей закономерности, в соответствии с которой при
длительных откачках снижение уровня происходит во всех точках
неоднородного пласта с одинаковой скоростью, определяемой сред-
ней водопроводимостью в пределах площади активного влияния
откачки.
Исходя из этого можно, например, для рассмотренных в преды-
дущих главах типов неограниченного и полуограниченного пластов
пользоваться следующими приближенными формулами для оценки
величины AS(0:
а)	неограниченный пласт
д5(/)~	(Х.2.7)
4тс (Л/и)ср А). ср
б)	полуограниченный пласт с одним прямолинейным непрони-
цаемым контуром
Д5(,)~	(Х.2.8)
(£/И)ср	^0. ср
в)	пласт с двумя взаимно пересекающимися прямолинейными
непроницаемыми контурами
(Х.2.9)
К (л/й)ср tOt Ср
В указанных формулах: Qp— проектируемый расход всех сква-
жин; tp. ср — средний («приведенный») расчетный период эксплуа-
тации; t0. ср — средняя («приведенная») продолжительность отка-
чек; (km) ср — средняя водопроводимость пласта.
Величины tp. Ср и t0. ср определяются из следующих выражений:
О, In t + Q in t 4-...-{- Q In t
vlp Ip v2p 2p	r v-;p -Jp
1 pcp~	Qp.cyM
.	.	<?lp1^lo + <?2pl^2o+- + Q,pln^o
°-cp ’	Qp.cyM
(X.2.10)
(X.2.11)
Здесь Qip, Q2p, ..., QVp — расчетный (проектируемый) расход сква-
жин на периоды Лр, /2р, ..., tVp\ ti0, ^20, •••> tvo — продолжитель-
ность откачек из соответствующих скважин.
309
Величина (km)Cp может быть исчислена как средняя арифмети-
ческая или средневзвешенная по площадям различных участков
расположения скважин:
2 (km)i
(^)сР~^----------- (jX.2.12)
или	'

(Х.2.13)
где Fi F2, ..., Fv — площади участков расположения скважин
(всюду, здесь v — число скважин и участков).
Приведенные выражения для AS(0 выводятся из аналитических
решений для соответствующих типов водоносных пластов при осред-
нении параметров km пав пределах площади размещения сква-
жин. Для примера рассмотрим схему безграничного пласта. По
истечении длительного времени, когда интегральная показательная
функция может быть заменена ее логарифмическим приближением
(см. § 2 главы V), понижение уровня в любой скважине при
эксплуатации группы, состоящей из v взаимодействующих скважин,
определяется по следующему уравнению:
1	2,25ас0/; п	'
5 = 4тс (Л/И)ср 2 Qi р 1п	’	(Х.2.14)
 /ср ; = 1	ri
где Qi.p и tj.p — проектируемый расход и длительность эксплуата-
ции каждой скважины.
Допустим, что до пуска в эксплуатацию каждая из этих сква-
жин в разное время опробовалась откачками с расходами Qo,
Qi, ..., Qv длительностью t0, ti, ..., tv и при этом фиксировались
понижения уровня не только в самой скважине, из которой произ-
водилась откачка (радиус этой скважины г0), но также в точках
расположения всех остальных скважин, отстоящих от данной сква-
жины на расстояниях п, г2, ..., rv-
По той же формуле (Х.2.14) понижение уровня в данной сква-
жине к концу откачек из всех взаимодействующих скважин может
быть выражено так:
С°	Ir.
О О =	— 1П
4л (Ы)ср
г»0__ ।
51 — 4г. (Ы)ср 1П
2,25<zCj/0
(Х.2.15)
2,25^Ср/|
Q, . 2,25аср/2
— 4к (Ы)ср Ш
зю
где 3° , 3° , ..., 3° — понижения уровня в данной скважине с ин-
дексом «с», вызванные откачкой из скважин 0, 1, ... , v.
Найдем из (XI.2.15) члены In—’ -2—р - и подставим их в уравне-
ние (XJ.2.14). В результате получим:
S = T55+|^-+t^<M1"'’-'- (Х.2.16)
vO	vl	*о. ср
Здесь первые члены, не зависящие от времени, представляют собой
понижения уровня Sop и SjP, которые имели бы место в данной
скважине под влиянием эксплуатационной откачки из нее с деби-
том Qop и всех взаимодействующих скважин с дебитами Qip к концу
периода опытных откачек, т. е.
о   Qo.p „о. с.   Qi-P со
г>0,р— Qo до’ °'-р— Qt г>1'
Эти величины находятся по кривым дебита и графикам срезок,
составляемым по фактическим данным откачек. Значения 1р.ср и
t0. ср в уравнении (Х.2.16) определяются по формулам (Х.2.10) и
(Х.2.11).
Из приведенных формул видно, что в неограниченных и полу-
ограниченных пластах (с непроницаемым контуром) дополнитель-
ное снижение уровня ДЗ(О рассчитывается, как и при аналити-
ческих расчетах, по логарифмической зависимости, т. е. прини-
мается, что с течением времени скорость снижения уровня заметно
уменьшается.
В пластах, ограниченных двумя параллельными непроницае-
мыми контурами (пласты-полосы), величина AS (t) пропорцио-
нальна корню квадратному из времени t. Наконец, в совершенно
закрытых пластах, при отсутствии подтока воды извне, зависи-
мость ДЗ(О от времени будет линейной и скорость снижения уровня
постоянной.
При расширении существующих водозаборов для определения
приведенного времени откачки t0. сР можно пользоваться факти-
ческими данными о дальности действия (или «радиусе влияния»)
водозаборов /?вл. В этом случае
(Х.2.17)
где ф численный коэффициент, определяемый по указаниям, дан-
ным в § 7 главы V.
Отметим, что изложенная методика расчета водозаборов по
данным откачек в условиях неустановившегося движения подзем-
ных вод применена нами в 1954—1955 гг. при проектировании
крупного водозабора на Южном Урале. Основные результаты вы-
полненного тогда расчета опубликованы в статье [7]. В более общем
311
виде настоящая методика освещена в докладе на симпозиуме пс
водным ресурсам, состоявшемся в 1961 г. в г. Риме [5, 17], и й изла-
гаемой здесь работе [4]. В настоящее время она широко Исполь-
зуется в практике гидрогеологических работ, выполняемых сщелью
оценки эксплуатационных запасов подземных вод.
Пример расчета.
В напорном водоносном пласте известняков, распространенном
на весьма большой площади, намечено устройство водЬзабора
Проектируемый Водозабор /
Существу-
ющий МозаЬор2
Рис. X. 2. Схема расположе-
ния водозаборов. К примеру
расчета по опытным данным
с дебитом Qi=24 000 м3/сутки. По резуль-
татам гидрогеологических изысканий уча-
сток для размещения водозабора выбран
в 12 км от существующего городского во-
дозабора (рис. Х.2), имеющего Произво-
дительность Q2=13 000 м3!сутки, пущен-
ного в эксплуатацию около 12 лет назад.
На участке заложения нового водозабора
пробурены четыре разведочно-эксплуата-
ционные скважины, каждая из которых
опробована откачками. Результаты отка-
чек и данные по наблюдениям за дейст-
вующим городским водозабором приве-
дены в табл. Х.1.
Таблица Х.1
Водозабор	№ скважины	Длитель- ность откачки t, сутки	Дебит <2, м*)сутки	Понижения уровня к концу откачек в скважинах водозаборов 1 и 2, м				
				водозабор 1				водоза- бор 2
				1	2	3	4	
Проектируемый	1	5	900	4,3	1,5	0,5	0,35	0,4
водозабор 1	2	4	1 100	4,6	4,7	1,8	0,6	—
		< 15	700	0,5	1,1	3,7	1	—
	3	20	1 300	1,1	2,4	7,3	2,1	0,1
		( 22	2 000	1,6	3,5	12,2	3,8	О.з
	4	3	1 300	0,6	0,8	2	5,2	
		1500	8 300	—	—	2,7	1	10,6
Действующий								
водозабор 2		2700	13 000	—	—	1	—	19,2
Мощность водоносных известняков изменяется от 40 до 50 м,
сверху и снизу они перекрыты толщей глин. Высота напора под-
земных вод над кровлей известняков 60—65 л. Требуется определить
возможность эксплуатации намеченного водозабора в течение 25 лет
(<р = 9100 суток) при условии, что в момент пуска нового водоза-
бора производительность городского водозабора будет также уве-
личена до <22 = 22 000 м3/сутки, т. е. современный водозабор из него
возрастет на 9000 м31 сутки.
312
Максимально допустимое понижение пьезометрического уровня
принимается 5ДОП~65 м (до кровли водоносных известняков).
Решение
1.1 Судя по результатам пробно-эксплуатационных откачек из
скважин, пройденных на участке проектируемого водозабора, дебит
одной скважины может быть доведен до 3000 м2 3 4 * */сутки (около
35 л/сек). Следовательно, всего должно быть 8 скважин. Условно
принимается схе
скважрнами 400
Рис. X. 3. Графики
—Qo- К примеру
расчета по опыт-
ным данным
2. Наиболее нагруженной является скв. 3. Определяем для нее
величину понижения So по уравнению (Х.2.1), используя зависи-
мость (XI.2.2). По фактическим данным откачек из скв. 3 строим
£
график —т----Qo (рис. Х.З.). Непосредственно из графика нахо-
Qo
дятся параметры кривой дебита: А=4,75- 10-3, B = tgy = 7,25- 10-7.
Таким образом, S0=4,75 • 10-3  Qo+7,25 • 10-7. Q3 м.
При Qo=3OOO мЧсутки S0=4,75 • 10~3 • 3000+7,25  10“7  30002=
=20,8 м.
3. Понижения уровня S, под влиянием остальных взаимодей-
ствующих скважин проектируемого водозабора и городского водо-
забора определяются также по фактическим данным; графики сре-
зок, построенные по этим данным, показаны на рис. Х.4. Вели-
чины Si и суммарное понижение SSi приведены в табл. Х.2.
4. Теперь по формуле (Х.2.7) определим величину AS(rf). Пред-
варительно находим средние значения tp. Ср и t0. ср, для чего исполь-
зуем выражения (Х.2.10) и (Х.2.11). Заметим, что в данном случае
313
Таблица Х.2
Водозабор	№ скважины	Проектируемый дебит Ql • I03, м3/сутки	Расстояние скважины ОТ СКВ. 3 Гр м	Понижения уровня в сив. 3 м
Проектируемый	2	3	400	5
водозабор 1	4	3	400	5
	1	3	800	2,2 2'2
	7*	3	800	
	5*	3	1200	1 6
	8*	3	1200	1 6
	6*	3	1600	l,f2
Действующий водозабор 2	—	22	12000 SSz = 20,6	1,8
Примечание. Звездочками отмечены вновь намечаемые скважины, из которых не
производилось откачек. Понижения уровня под действием этих скважин приняты по гра-
фикам срезок, причем условно принято, что этн понижения достигаются по истечении
4 суток.
Рис. X. 4. Графики
— Qi< К примеру рас-
чета по опытным данным
Рис. X. 5. Графики Q — t.
К примеру расчета по
опытным данным
314
городской водозабор следует как бы расчленить на три водозабора
согласно графику, данному на рис. Х.5. Расходы и время их дей-
ствий следующие:
Q2p = 8300 м3]сутки;
А| р /р -(- Аг, 1 Аг, 2 = 91001500 -|- 2700 = 13 300 суток;
Q2p = 13 300 — 8300 = 5000 м3[сутки-,
Аг, р = + Ai, р = 9100 + 2700 =11 800 суток;
Q-ip = 22 000 — 13 000 = 9000 м3/сутки-,
61р = А> = 9Ю0 суток.
Период эксплуатации для всех скважин проектируемого водоза-
бора, как уже указывалось, принимается 1Р=9100 суток.
В соответствии с этим имеем:
по выражению (Х.2.10)
1П*р.ср =
_ 24 • 103 In 9100 + 8,3 • 103 1п 13300 + 5 • 1031п 11 800 + 9 • Юз 1п 9100
46000	— У.4
по выражению (Х.2.11)
,	3 • 103 (In 5 4 1п 4-In 22 4-In 3 4-4 In 4) 4
^o. ср	*"
4-	22 000 In 4200 + ln 270°)
\ loUUU	10 UUU	/ /ID
46000	— тч о.
Таким образом, по (XI.3.7)
4S<')=W^ = t9'2-4 5 * *'8> = 23-“-
Здесь принято среднеарифметическое значение проводимости
kmcp, определенное по данным откачек из всех скважин проекти-
руемого и городского водозабора и близкое к 700 м21сутки.
5. Суммарное понижение
Sp = 20,8 + 20,6 + 23 = 64,4 м,
что не выходит из пределов допустимого.
Точно так же по имеющимся данным производится расчет город-
ского водозабора. Понижение уровня в нем к концу принятого
расчетного периода времени /р=8100 суток при расходе Q2p=
= 22 000 м3/сутки составит 58 м.	.
315
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ X
1.	Агаджанов А. М. Расчет дебитов взаимодействующих скражин
в артезианском потоке. «Азербайджанское нефтяное хозяйство», № 1, 1928.
2.	Альтовский М. Е. Методическое руководство по расчету взаимодей-
ствующих скважин и артезианских водозаборов. Госгеолиздат, 1947.
3.	Борисов Ю. И. Интерпретация кривых гидродинамического исследо-
вания продуктивных пластов в случае их неоднородности по площади. Тр.
ВНИИ, вып. XIX. Гостоптехиздат, 1959.
4.	Бочевер Ф. М. Гидрогеологические расчеты крупных водозаборов под-
земных вод и водопонизительных установок. Госстройиздат, 1963.
5.	Б о ч е в е р Ф. М. Гидрогеологические расчеты эксплуатационные запа-
сов подземных вод для водоснабжения. В кн. «Проблемы комплексного изуче-
ния засушливых зон СССР с целью их освоения». Изд. АН СССР, 1963.
6.	Б о ч е в е р Ф. М. К гидрогеологическим расчетам водозаборных соору-
жений в неоднородных водоносных пластах. «Вопросы фильтрационных расчетов
гидротехнических сооружений», сб. № 4. Госстройиздат, 1964.
7.	Бочевер Ф. М., Львова В. Н. Опыт оценки эксплуатационных за-
пасов подземных вод для целей водоснабжения. «Водоснабжение и сантехника»,
№ 5, 1957.
8.	Г и р и н с к и й Н. К. Некоторые вопросы динамики подземных вод. Сб.
«Вопросы гидрогеологии и инженерной геологии», № 9. Госгеолиздат, 1947.
9.	Гусейн-ЗадеМ. А. Особенности движения жидкости в неоднородном
пласте. Изд. «Недра», 1965.
10.	Г у с с е й н о в Г. П., В е л и е в М. Н. Движение упругой жидкости в уп-
ругом кусочно-однородном пласте. Тр. АзНИИ по добыче нефти, вып. 18, Баку,
1967.
11.	Максимов В. А. О неустановившемся притоке упругой жидкости
к скважинам в неоднородной среде. ПМТФ, № 3, 1962.
12.	Май дебор В. А. Простейшие случаи одномерного движения упругой
однородной жидкости в упругом неоднородном пласте. Тр. ГроэНИИ, 1'959.
13.	Насберг В. М. Обобщенная формула Дюпюи—Краснопольского. Изв.
«ТНИС ГЭИ», № 1, 1947.
14.	Т у к а е в А. Г. Построение функции давления в кусочно-одиородиом
пласте переменной мощности. Высш, учебн. зав., Нефть и газ, № 11, 1961.
15.	Щелкачев В. Н. Применение операционных методов к решению за-
дач о движении упругой жидкости в упругом пласте. ДАН СССР, т. 79, № 5,
1951.
16.	Щелкачев В. Н. Графики понижения—восстановления забойного
давления и скин-эффект в простейших условиях неоднородного пласта. Тр.
МИНХ и ГП им. Губкина, вып. 33, 1961.
17.	В о ch eve г F. М. Hydrogeological designs of the exploatation resurces
of underground waters supply. Symposium of Athens grounwater in arid Zones.
Приложения
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Значение функции — £i(—г)
z
Л’	лг-ю-6	ЛМО 5	Л'-10-4	ЛМО-3	лмо-2	N • 10-1	
1	13,2383	10,9357	8,6332	6,3315	4,0379	1,8229	0,2194
1,1	13,1430	10,8404	8,5379	6,2363	3,9436	1,7371	0,1860
1,2	13,0560	10,7534	8,4509	6,1494	3,8576	1,6595	0,1584
1,3	12,9759	10,6734	8,3709	6,0695	3,7785	1,5889	0,1355
1,4	12,9018	10,5993	8,2968	5,9955	3,7054	1,5241	0,1162
1,5	12,8328	10,5303	8,2278	5,9266	3,6374	1,4645	0,1000
1,6	12,7683	10,4657	8,1634	5,8621	3,5739	1,4092	0,0863
1,7	12,7077	10,4051	8,1027	5,8016	3,5143	1,3578	0,0747
1,8	12,6505	10,3479	8,0455	5,7446	3,4581	1,3098	0,0647
1,9	12,5964	10,2939	7,9915	5,6906	3,4050	1,2649	0,0562
2	12,5451	10,2426	7,9402	5,6394	3,3547	1,2227	0,0489
2,1	12,4964	10,1938	7,8914	5,5907	3,3069	1,1829	0,0426
2,2	12,4498	10,1473	7,8449	5,5443	3,2614	1,1454	0,0372
2,3	12,4054	10,1028	7,8004	5,4999	3,2179	1,1099	0,0325
2,4	12,3628	10,0603	7,7579	5,4575	3,1763	1,0762	0,0284
2,5	12,3220	10,0194	7,7172	5,4167	3,1365	1,0443	0,0249
2,6	12,2828	9,9802	7,6779	5,3776	3,0983	1,0139	0,0219
2,7	12,2450	9,9425	7,6401	5,3400	3,0615	0,9849	0,0192
2,8	12,2087	9,9061	7,6038	5,3037	3,0261	0,9573	0,0169
2,9	12,1736	9,8710	7,5687	5,2687	2,9920	0,9309	0,0148
3	12,1397	9,8371	7,5348	5,2349	2,9591	0,9057	0,0131
3,1	12,1069	9,8043	7,5020	5,2022	2,9273	0,8815	0,0115
3,2	12,0751	9,7726	7,4703	5,1706	2,8965	0,8583	0,0101
3,3	12,0444	9,7418	7,4395	5,1399	2,8668	0,8361	0,00894
3,4	12,0145	9,7120	7,4097	5,1102	2,8379	0,8147	0,00789
3,5	11,9855	9,6830	7,3807	5,0813	2,8099	0,7942	0,00697
3,6	11,9574	9,6548	7,3526	5,0532	2,7827	0,7745	0,00616
3,7	11,9300	9,6274	7,3252	5,0259	2,7563	0,7554	0,00545
3,8	11,9033	9,6007	7,2985	4,9993	2,7306	0,7371	0,00482
3,9	11,8773	9,5748	7,2725	4,9735	2,7056	0,7194	0,00427
4	11,8520	9,5495	7,2472	4,9482	2,6813	0,7024	0,00378
4,1	11,8273	9,5248	7,2225	4,9236	2,6576	0,6859	0,00335
4,2	11,8032	9,5007	7,1985	4,8997	2,6344	0,6700	0,00297
4,3	11,7797	9,4771	7,1749	4,8762	2,6119	0,6546	0,00263
4,4	11,7567	9,4541	7,1520	4,8355	2,5899	0,6397	0,00234
4,5	11,7342	9,4317	7,1295	4,8310	2,5684	0,6253	0,00207
4,6	11,7122	9,4097	7,1075	4,8091	2,5474	0,6114	0,00184
4,7	11,6907	9,3882	7,0860	0,7877	4,5268	0,5979	0,00164
4,8	11,6697	9,3671	7,0650	4,7667	«2,5068	0,5849	0,00145
4,9	11,6491	9,3465	7,0444	4,7462	2,4871	0,5721	0,00129
5,0	11,6289	9,3263	7,0242	4,7261	2,4679	0,5598	0,00115
5,1	11,6091	9,3065	7,0044	4,7064	2,4491	0,5478	0,00102
5,2	11,5896	9,2871	6,9850	4,6871	2,4306	0,5362	0,000907
319
N	z						
	7V-10~6	;v-io~5	ЛМСГ4	TV-ltr3	N  IO-2	TV-ltT1	N
5,3	11,5706	9,2681	6,9659	4,6681	2,4126	0,5250	0,000809
5,4	11,5519	9,2494	6,9473	4,6495	2,3948	0,5140	0,000720
5,5	11,5336	9,2310	6,9289	4,6313	2,3775	0,5034	0,000641
5Л5	11,5155	9,2130	6,9109	4,6134	2,3604	0,4930	0,000571
5,7	11,4978	9,1953	6,8932	4,5958	2,3437	0,4830	0,000509
5,8	11,4804	9,1779	6,8758	4,5785	2,3273	0,4732	0,000453
5', 9	11,4638	9,1608	6,8588	4,5615	2,3111	0,4637	0,000404
6	11,4465	9,1440	6,8420	4,5448	2,2953	0,4544	0,000360
6,1	11,4300	9,1275	6,8254	4,5283	2,2797	0,4454	0,000321
6,2	- 11,4138	9,1112	6,8092	4,5122	2,2645	0,4366	0,000286
6,3	11,3978	9,0952	6,7932	4,4963	2,2494	0,4280	0,000256
6,4	11,3820	9,0795	6,7775	4,4806	2,2346	0,4197	0,000228
6,5	11,3665	9,0640	6,7620	4,4652	2,2201	0,4115	0,000203
6,6	11,3512	9,0487	6,7467	4,4501	2,2058	0,4036	0,000182
6,7	11,3362	9,0337	6,7317	4,4351	2,1917	0,3959	0,000162
6,8	11,3214	9,0189	6,7169	4,4204	2,1779	0,3883	0,000145
6,9	11,3068	9,0043	6,7023	4,4059	2,1643	0,3810	0,000129
7	11,2924	8,9899	6,6879	4,3916	2,1508	0,3738	0,000116
7,1	11,2782	8,9757	6,6737	4,3775	2,1376	0,3668	0,000103
7,2	11,2642	8,9617	6,6598	4,3636	2,1246	0,3599	9,22  10-5
7,3	11,2504	8,9479	6,6460	4,3500	2,1118	0,3532	8,24 • 10-5
7,4	11,2368	8,9343	6,6324	4,3364	2,0991	0,3467	'7,36 • 10-5
7,5	11,2234	8,9209	6,6190	4,3231	2,0867	0,3403	6,58 • 10-5
7,6	11,2102	8,9076	6,6057	4,3100	2,0744	0,3341	5,89 • 10-5
7,7	11,1971	8,8946	6,5927	4,2970	2,0623	0,3280	5,26 • 10-5
7,8	11,1842	8,8817	6,5798	4,2842	2,0503	0,3221	4,71 • 10-5
7,9	11,1714	8,8689	6,5671	4,2716	2,0386	0,3163	4,21  10-5
8	11,1589	8,8563	6,5545	4,2591	2,0269	0,3106	3,77 • 10-5
8,1	11,1464	8,8439	6,5421	4,2468	2,0115	0,3050	3,37  10-5
8,2	11,1342	8,8317	6,5298	4,2346	2,0042	0,2996	3,02 • 10-5
8,3	11,1220	8,8195	6,5177	4,2226	1,9930	0,2943	2,70 • 10-5
8,4	11,1101	8,8076	6,5057	4,2107	1,9820	0,2891	2,42  10-5
8,5	11,0982	8,7957	6,4939	4,1990	1,9711	0,2840	2,16 • 10-5
8,6	11,0865	8,7840	6,4822	4,1874	1,9604	0,2790	1,94 • 10-5
8,7	11,0750	8,7725	6,4707	4,1759	1,9498	0,2742	1,73 • 10-5
8,8	11,0635	8,7610	6,4592	4,1646	1,9393	0,2694	1,55 • 10-5
8,9	11,0523	8,7497	6,4480	4,1534	1,9290	0,2647	1,39 • 10-5
9	11,0411	8,7386	6,4368	4,1423	1,9187	0,2602	1,25 • 10-5
9,1	11,0300	8,7275	6,4258	4,1313	1,9087	0,2557	1,11 • 10-5
9,2	11,0191	8,7166	6,4148	4,1205	1,8987	0,2513	9,99 • 10-6
9,3	11,0083	8,7058	6,4040	4,1098	1,8888	0,2470	8,95 • 10-6
9,4	10,9976	8,6951	6,3934	4,0992	1,8791	0,2429	8,02 • 10-6
9,5	10,9870	8,6845	6,3828	4,0887	1,8695	0,2387	7,19  10-6
9,6	10,9765	8,6740	6,3723	4,0784	1,8599	0,2347	6,44 • 10-6
9,7	10,9662	8,6637	6,3620	4,0681	1,8505	0,2308	5,77 • 10-6
9,8	10,9559	8,6534	6,3517	4,0579	1,8412	0,2269	5,17 • 10-6
9,9	10,9458	8,6433	6,3416	4,0479	1,8320	0,2231	4,64 • 10-6
320
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Значения функций Ф(г), erfc(z), ierfc(z), Perfc(z), Io(z), /,(?), K0(z), K\(z)
z	Ф (г)	erfc (г)	ierfc (z)	i2erfc (z)	л (г)	/. (г)	A'o (г)	К, (г)
0,0	0,0000	1	0,5642	0,2500	1,0000	0,0000	ОО	ОО
0,01	0,0113	0,9887	0,5542	0,2444	1,0000	0,0050	4,7212	99,9739
o;o2	0,0226	0,9774	0,5444	0,2438	1,0001	0,0100	4,0285	49,9547
0,03	0,0338	0,9662	0,5350	0,2335	1,0002	0,0150	3,6235	33,2715
0’04	0,0451	0,9549	0,5251	0,2282	1,0004	0,0200	3,3365	24,9233
0,05	0,0564	0,9436	0,5156	0,2230	1,0006	0,0250	3,1142	19,9097
0,06	0,0676	0,9324	0,5062	0,2179	1,0009	0,0300	2,9329	16,5637
0,07	0,0789	0,9211	0,4969	0,2129	1,0012	0,0350	2,7798	14,1710
o;o8	0,0901	0,9099	0,4878	0,2080	1,0016	0,0400	2,6475	12,3742
0,09	0,1013	0,8987	0,4787	0,2031	1,0020	0,0450	2,5310	10,9749
0,10	0,1125	0,8875	0,4698	0,1984	1,0025	0,0501	2,4271	9,8538
0J1	0,1236	0,8764	0,4610	0,1937	1,0030	0,0551	2,3333	8,9353
0J2	0,1348	0,8652	0,4523	0,1892	1,0036	0,0601	2,2479	8,1688
0ДЗ	0,1459	0,8541	0,4437	0,1847	1,0042	0,0651	2,1695	7,5192
0,14	0,1569	0,8431	0,4352	0,1803	1,0049	0,0702	2,0972	6,9615
0,15	0,1680	0,8320	0,4268	0,1760	1,0056	0,0752	2,0300	6,4775
0,16	0,1790	0,8210	0,4186	0,1718	1,0064	0,0803	1,9674	6,0533
0,17	0,1900	0,8100	0,4104	0,1676	1,0072	0,0853	1,9088	5,6784
0,18	0,2009	0,7991	0,4024	0,1635	1,0081	0,0904	1,8537	5,3447
0,19	0,2118	0,7882	0,3944	0,1596	1,0090	0,0954	1,8018	5,0456
0,20	0,2227	0,7773	0,3866	0,1557	1,0100	0,1005	1,7527	4,7760
0,21	0,2335	0,7665	0,3789	0,1518	1,0111	0,1056	1,7062	4,5317
0,22	0,2443	0,7557	0,3713	0,1481	1,0121	0,1107	1,6620	4,3092
0,23	0,2550	0,7450	0,3638	0,1444	1,0133	0,1158	1,6199	4,1058
0,24	0,2657	0,7343	0,3564	0,1408	1,0144	0,1209	1,5798	3,9191
0,25	0,2763	0,7237	0,3491	0,1373	1,0157	0,1300	1,5415	3,7470
0,26	0,2869	0,7131	0,3419	0,1338	1,0170	0,1311	1,5048	3,5880
o;27	0,2974	0,7026	0,3348	0,1304	1,0183	0,1362	1,4697	3,4405
0,28	0,3079	0,6921	0,3278	0,1271	1,0197	0,1414	1,4360	3,3033
0,29	0,3183	0,6817	0,3210	0,1239	1,0211	0,1465	1,4036	3,1775
0,30	0,3286	0,6714	0,3142	0,1207	1,0226	0,1517	1,3725	3,0560
0,31	0,3389	0,6611	0,3075	0,1176	1,0242	0,1569	1,3425	2,9441
о;з2	0,3491	0,6509	0,3010	0,1145	1,0258	0,1621	1,3136	2,8390
0,33	0,3593	0,6407	0,2945	0,1116	1,0274	0,1673	1,2857	2,7402
0,34	0,3694	0,6306	0,2882	0,1087	1,0291	0,1725	1,2587	2,6470
0,35	0,3794	0,6206	0,2819	0,1058	1,0309	0,1777	1,2327	2,5591
0,36	0,3893	0,6107	0,2758	0,1030	1,0326	0,1829	1,2075	2,4760
0,37	0,3992	0,6008	0,2722	0,0998	1,0345	0,1882	1,1832	2,3973
0,38	0,4090	0,5910	0,2637	0,0976	1,0364	0,1934	1,1596	2,3227
0,39	0,4187	0,5813	0,2579	0,0950	1,0384	0,1987	1,1367	2,2518
0,40	0,4284	0,5716	0,2521	0,0925	1,0404	0,2040	1,1145	2,1844
0,41	0,4380	0,5620	0,2465	0,0900	1,0425	0,2093	1,0930	2,1202
0,42	0,4475	0,5525	0,2409	0,0875	1,0446	0,2147	1,0721	2,0590
0,43	0,4569	0,5431	0,2354	0,0852	1,0468	0,2200	1,0518	2,0006
0,44	0,4662	0,5338	0,2300	0,0828	1,0490	0,2254	1,0321	1,9449
0,45	0,4755	0,5245	0,2247	0,0806	1,0513	0,2307	1,0129	1,8915
0,46	0,4847	0,5153	0,2195	0,0783	1,0560	0,2261	0,9943	1,8405
0,47	0,4938	0,5062	0,2144	0,0762	1,0584	0,2415	0,9761	1,7916
0,48	0,5027	0,4973	0,2094	0,0740	1,0609	0,2470	0,9584	1,7447
0,49	0,5117	0,4883	0,2045	0,0720	1,0635	0,2524	0,9412	1,6700
321
z	Ф (z)	erfc (z)	lerfc (z)	Perfc (z)	Л, (z)	h(z)	Ko(z)	K,(z)
0,50	0,5205	0,4795	0,1996	0,0700	1,0635	0,2579	0,9244	1,6564
0,52	0,5379	0,4621	0,1902	0,0661	1,0687	0,2689	0,8921	1,5749
0,54	0,5549	0,4451	0,1811	0,0623	1,0742	0,2800	0,8614	1,4994
0,56	0,5716	0,4284	0,1724	0,0588	1,0799	0,2911	0,8321	1,4292
0,58	0,5879	0,4121	0,1640	0,0555	1,0859	0,3024	0,8042	1,3638
0,60	0,6039	0,3961	0,1559	0,0523	1,0920	0,3137	0,7775	1,3028
0,62	0,6194	0,3806	0,1482	0,0492	1,0984	0,3251	0,7520	1,2458
0,64	0,6346	0,3654	0,1407	0,0463	1,1050	0,3367	0,7277	1,1923
0,66	0,6494	0,3506	0,1335	0,0436	1,1119	0,3483	0,7043	1,1420
0,68	0,6638	0,3362	0,1267	0,0410	1,1190	0,3600	0,6820	1,0948
0,70	0,6778	0,3332	0,1201	0,0382	1,1263	0,3719	0,6605	1,0503
0,72	0,6914	0,3086	0,1138	0,0362	1,1339	0,3838	0,6399	1,0083
0,74	0,7047	0,2953	0,1077	0,0340	1,1417	0,3959	0,6202	0,9686
0,76	0,7175	0,2825	0,1020	0,0319	1,1497	0,4081	0,6012	0,9311
0,78	0,7300	0,2700	0,0965	0,0299	1,1580	0,4204	0,5829	0,8955
0,80	0,7421	0,2579	0,0912	0,0280	1,1665	0,4329	0,5653	0,8618
0,82	0,7538	0,2462	0,0861	0,0262	1,1753	0,4454	0,5484	0,8298
0,84	0,7651	0,2349	0,0813	0,0246	1,1843	0,4581	0,5321	0,7993
0,86	0,7761	0,2239	0,0767	0,0230	1,1936	0,4710	0,5164	0,7704
0,88	0,7867	0,2133	0,0724	0,0215	1,2032	0,4840	0,5013	0,7428
0,90	0,7969	0,2031	0,0682	0,0201	1,2130	0,4971	0,4867	0,7165
0,92	0,8068	0,1932	0,0642	0,0187	1,2231	0,5104	0,4726	0,6915
0,94	0,8163	0,1837	0,0605	0,0175	1,2334	0,5239	0,4591	0,6675
0,96	0,8254	0,1746	0,0569	0,0163	1,2440	0,5375	0,4459	0,6447
0,98	0,8342	0,1658	0,0535	0,0152	1,2549	0,5512	0,4333	0,6228
1,0	0,8427	0,1573	0,0503	0,0142	1,2661	0,5652	0,4210	0,6019
1,1	0,8802	0,1198	0,0365	0,0099	1,3262	0,6375	0,3656	0,5098
1,2	0,9103	0,0897	0,0260	0,0068	1,3937	0,7147	0,3185	0,4346
1,3	0,9340	0,0660	0,0183	0,0046	1,4693	0,7973	0,2782	0,3725
1,4	0,9523	0,0477	0,0127	0,0030	1,5534	0,8861	0,2437	0,3208
1,5	0,9661	0,0339	0,0086	0,0020	1,6467	0,9817	0,2138	0,2774
1,6	0,9763	0,0237	0,0058	0,0013	1,7500	1,0848	0,1879	0,2406
1,7	0,9838	0,0162	0,0038	0,0008	1,8640	1,1963	0,1655	0,2094
1,8	0,9891	0,0109	0,0025	0,0005	1,9896	1,3172	0,1459	0,1826
1,9	0,9928	0,0072	0,0016	0,0003	2,1277	1,4482	0,1288	0,1597
2,0	0,9953	0,0047	0,0010	0,0002	2,2796	1,5906	0,1139	0,1399
322
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Введение........................................................   3
I
КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАПАСОВ ПОДЗЕМНЫХ ВОД
§ 1. Классификация запасов подземных вод по гидрогеологическим
условиям ......................................................... 7
§ 2.	Классификация эксплуатационных запасов подземных вод
по степени изученности ...................................... 13
Литература к главе I........................................ 16
II
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ВОДОНОСНЫХ ГОРИЗОНТОВ
§ 1.	Основные типы водоносных образований. Принципы схемати-
зации водоносных пластов для целей расчета водозаборов 18
§ 2.	Условия питания водоносных горизонтов.................. 20
§ 3.	Режим фильтрационных потоков. Водоотдача пластов ...	28
§ 4.	Водопроводимость пород................................. 36
Литература к главе II..................................... 30
III
ИСХОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Вводные замечания....................................... 42
§ 2.	Безнапорные водоносные пласты (грунтовые воды со свобод-
ной поверхностью)........................................... 43
§ 3.	Напорные водоносные пласты ............................ 46
§ 4.	Связь между уравнениями для безнапорного и напорного пла-
стов ....................................................... 49
Литература к главе III.................................... 51
IV
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ
ГИДРОГЕОЛОГИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ ВОДОЗАБОРОВ
§ 1. Основные типы и схемы водозаборных сооружений и задачи их
расчета.......................................................... 53
§ 2. Расчетная модель скважины. Основные решения............ 57
§ 3. Фрагментирование потока подземных вод. Метод фильтраци-
онных сопротивлений .................................... 65
Литература к главе IV..................................... 68
323
V	Стр.
РАСЧЕТЫ ВОДОЗАБОРОВ В АРТЕЗИАНСКИХ БАССЕЙНАХ
§ I.	Гидрогеологические условия артезианских бассейнов и их
схематизация для целей расчета .............................. 70
§ 2.	Одиночные скважины и группы, состоящие из небольшого ко-
личества взаимодействующих скважин (дискретные группы). 76
Откачки при постоянном дебите скважин......................... —
§ 3.	Откачки при изменяющемся дебите скважин....................... 80
§ 4.	Расчет водозаборных скважин при постоянном понижении
уровня ...................................................... 95
§ 5.	Об учете несовершенства скважины............................. 105
§ 6.	Динамика снижения уровня при откачке......................... 109
§ 7.	О радиусе влияния скважины................................... 113
Литература к главе Vх........................................... 122
VI
СЛОИСТЫЕ ВОДОНОСНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 1.	Напорные горизонты, перекрытые слабопроницаемой пачкой
водоносных пород, связанных с атмосферой.................... 125
§ 2.	Водоносные горизонты в слоистых толщах. Расчетные схемы.
Исходные уравнения.......................................... 132
§ 3.	Решение при постоянном напоре в соседних горизонтах без
учета водоотдачи разделяющих слоев.......................... 135
§ 4.	Решение при изменяющемся напоре в соседних горизонтах без
учета водоотдачи разделяющих слоев.......................... 143
§ 5.	Решение при изменяющемся напоре в соседних горизонтах
с учетом водоотдачи разделяющих слоев....................... 154
Литература в главе VI........................................... 157
VII
РАСЧЕТЫ ВОДОЗАБОРОВ В ПОЛУЗАКРЫТЫХ
И ЗАКРЫТЫХ СТРУКТУРАХ
§ 1.	Гидрогеологические условия и расчетные схемы................. 159
§ 2.	Полузакрытые пласты. Влияние осушения пласта в краевой
области..................................................... 163
§ 3.	«Закрытые структуры». Общий баланс подземных вод . . .	182
§ 4.	Расчет скважин в круговом пласте без учета перетекания
из соседних слоев........................................... 185
§ 5.	Расчет скважин в круговом пласте с учетом перетекания
из соседних слоев........................................... 195
Литература к главе VII.......................................... 200
VIII
РАСЧЕТЫ ВОДОЗАБОРОВ ПОДЗЕМНЫХ ВОД В ДОЛИНАХ РЕК
И КОНУСАХ ВЫНОСА
§ 1.	Гидрогеологические особенности речных долин. Расчетные
схемы................................... 201
§ 2.	Долины весьма значительной ширины («полуограниченный
пласт»)................................. 206
§	3.	Оценки заиленности и	неоднородности русловых отложений .	214
§	4.	Долины ограниченных	поперечных размеров (пласты-полосы)	228
§	5.	Оценка восполнения запасов подземных вод в речных долинах	240
§ 6.	Оценка запасов подземных вод в конусах выноса предгорных
областей................................ 246
Литература к главе VIII.................... 253
324
IX	Стр.
ОБОБЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ СКВАЖИН
§ 1.	Основы методики расчета обобщенных систем скважин . . .	256
§ 2.	Линейная система скважин ограниченной протяженности . .	258
§ 3.	Неограниченные системы скважин....................... 266
§ 4.	Кольцевая система скважин............................ 269
§ 5.	Площадная система скваж'ин........................... 274
§ 6.	Взаимодействующие системы скважин.................... 281
§ 7.	Системы скважин в водоносных пластах ограниченных раз-
меров .................................................... 286
§ 8.	Определение	понижения уровня в скважине.............. 294
§ 9.	Примеры расчета обобщенных систем взаимодействующих
скважин................................................... 296
Литература	к	главе	IX.................................. 303
X
ПРОГНОЗ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ВОДОЗАБОРОВ
ПО ДАННЫМ ОТКАЧЕК ИЗ СКВАЖИН
§ 1. Общие замечания...................................... 305
§ 2. Основные расчетные зависимости. Пример расчета ....	306
Литература в главе X.................................... 316
Приложение I. Значение функции —Ei(—z)......................... 319
Приложение II. Значения функций Ф(г), erfc(z), ierfc(z), i2erfc(z), Io(z),
K(z), Ko(z), K,(z)	....................................... 321