Механико-математический факультет МГУ
Практикум по гидромеханике

ЗАДАЧА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА АВТОКОЛЕБАНИЙ

ПЛОСКИХ ЗАТОПЛЕННЫХ ФОНТАНОВ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА АВТОКОЛЕБАНИИ
ПЛОСКИХ ЗАТОПЛЕННЫХ ФОНТАНОВ

Целью задачи является демонстрация эффективности использо-
вания теории размерностей при экспериментальном определении зависи-
мости периода автоколебаний плоских затопленных фонтанов от основ-
ных определяющих параметров.

При истечении жидкости из вертикальных плоских каналов, выход-
ное сечение которых затоплено, возможны два режима фонтанирования -
с образованием вытекающей из-под поверхности жидкости свободной
струи и без нее, лишь с изменением формы поверхности жидкости над
каналом.

Существуют широкие диапазоны значений скорости истечения,
глубины начального затопления и ширины канала, при которых главной
особенностью этих режимов является четко выраженный устойчивый ав-
токолебательный характер перемещения жидкости над каналом с сущест-
венным изменением формы свободной поверхности.

При фонтанировании с образованием свободной струи (рис.1а) по-
следняя периодически колеблется относительно плоскости симметрии ка-
нала. Относительно этой плоскости имеет место периодическое измене-
ние формы поверхности жидкости над каналом и в случае отсутствия
свободной струи (рис.16). .

Эффект автоколебаний выражен очень сильно. Он устойчиво суще-
ствует даже при значительном отклонении угла наклона канала от верти-
кали (до 30°).

Диапазону устойчивых автоколебательных режимов предшествует
весьма узкий диапазон стационарных режимов течений с очень неболь-
шим симметричным возвышением свободной поверхности над каналом, а
Рис.1.
за пределом диапазона автоколебательных режимов находятся сущест-
венно нестационарные режимы течений без четко выраженных колебаний
и очень большой высотой свободной струн.

Таким образом, эксперименты свидетельствуют об отсутствии
симметрии у рассматриваемых течений относительно плоскости симмет-
рии канала и их существенной нестационарности за исключением указан-
ного стационарного режима с относительно небольшим симметричным
возвышением уровня жидкости над каналом.

В то же время, все известные, достаточно многочисленные работы,
относящиеся к рассматриваемой проблеме, содержат только стационар-
ные решения задач о плоском затопленном фонтане, которые обладают
свойством симметрии и, следовательно, не описывают в большинстве
случаев реальной картины течений.

Эти симметричные решения, очевидно, не являются устойчивыми
за исключением указанного выше предельного случая.

Исследуемое явление представляет собой характерный пример, так
называемого, парадокса симметрии, когда "симметричная задача не обя-
зательно имеет устойчивые симметричные решения".

Теоретический и даже численный анализ таких течений в точной
постановке представляет значительные трудности и едва ли возможен в
настоящее время, поскольку он требует решения очень сложной неста-
ционарной краевой задачи в области с неизвестной границей течения.

Из этого следует, что единственным способом, позволяющим изу-
чить механизм и основные закономерности фонтанирования жидкости в
автоколебательном режиме, является проведение экспериментальных ис-
следований рассматриваемого класса течений.

Общий вид установки и два из возможных режимов фонтанирова-
ния с автоколебаниями схематически показаны на рис.1. Установка имеет
две параллельные прозрачные стенки, укрепленные на плоском основании
1 (с шириной S и длиной L), в нейтральной части которого устанавлива-
ется сменная деталь 2, содержащая плоский канал шириной 8 и подводя-
щий к ней участок трубопровода с краном 3 для регулирования величины
начальной средней скорости воды Г’ов выходном сечении канала.

На концах основания установки размещаются вертикальные вкла-
дыши 4 в форме водослива с острой кромкой. Изменением их высоты h0
может создаваться различная глубина начального заглубления выходного
сечения канала.

При выполнении настоящей работы рассматривается только част-
ный случай, когда h0 = 0. Затопление выходного сечения канала в этом
случае связано лишь с наличием слоя вытекающей из канала воды, расте-
кающейся к обоим концам основания установки, под которыми располо-
жены сливные воронки 5.

Ширина канала 8 может быть равной 0,1 см; 0,2 см; 0,3 см и 0,4 см.
Ширина основания S=1 см.

Среднерасходная скорость Го истечения из канала определяется пу-
тем деления объемного расхода воды q, вытекающей за одну секунду из
установки на площадь выходного сечения канала, равную 5-8, т.е.

q

Расход q находится делением объема воды Q, вытекающего
S о

из установки, за время Д/, на длительность этого промежутка времени,

т.е. q = —. Величина объема ^определяется с помощью мерных ци-
Д/

линдров.

Основной искомой величиной при выполнении настоящей задачи
практикума является среднее значение периода автоколебаний т, которое
может быть найдено в экспериментах любым из двух способов: либо де-
пением какого-либо значительного промежутка времени на число наблю-
давшихся в течение него поперечных колебаний уровня воды над выход-
ным сечением канала, либо путем измерения промежутка времени, за ко-
торый происходит определенное количество колебаний, с последующим
делением длительности его на это число колебаний.

Внимательное изучение физических особенностей наблюдаемых те-
чений позволяет сделать вывод о том, что основной причиной существо-
вания автоколебаний является возникновение в окрестности затопленного
участка вытекающей из канала струи периодически меняющих направле-
ние на противоположное поперечных перепадов давления, сообщающих
частицам жидкости в струе на ее затопленном участке соответствующий
импульс. Эти перепады давления в случае свободного фонтанирования
вызываются импульсами, приходящими с места падения свободной струи
на поверхность жидкости, а при режимах, когда свободное фонтанирова-
ние отсутствует, связаны и с отличием в значениях гидростатической со-
ставляющей давления из-за разной глубины жидкости по обеим сторонам
от канала.

Анализ изучаемого явления позволяет выявить возможные опреде-
ляющие параметры, от которых зависит период автоколебаний т и пред-
положить, что имеет место зависимость:

X = ср р, 5, JJ., Z2)	(1)

где g - ускорение силы тяжести, р - плотность воды, р, - динамический
коэффициент вязкости, Ц - геометрические параметры, характеризующие
наряду с 5 конструктивные особенности установки (например, ширина
основания S, длина основания L и др.).

Можно было бы попытаться найти экспериментальным путем вид
зависимости (1), изменяя, например, первый ее аргумент и определяя при
каждом его значении величину периода т, зафиксировав при этом значе-
ния всех остальных аргументов. Но тогда, пришлось бы повторять этот
опыт столько раз, сколько существует всевозможных комбинаций значе-
ний остальных аргументов.

Очевидно, что количество таких опытов будет огромным, не гово-
ря уже о трудностях, связанных с их практическим осуществлением. Ведь
в этом случае необходимо проводить опыты с жидкостями, имеющими
разную вязкость и плотность, с различными значениями ускорения силы
тяжести, ширины щели и т.п.

Использование теории размерностей позволяет найти
искомую зависимость гораздо быстрее, существенно со-

кратив длительность экспериментов.

Действительно, выбрав в классе систем единиц измерения, напри-
мер, в {L, М, Т}, в качестве максимально возможной из числа аргумен-

тов размерно-независимой совокупности аргументы 5, g и Ц, согласно

IZ-теореме теории размерностей для безразмерного периода автоколеба-

ний Тбудем иметь:

(2)

Число опытов, необходимых для получения вида такой зависимо-
сти, не столь велико, поскольку число аргументов у неизвестной функции
существенно сократилось. •

Сделав попытку построить зависимость безразмерного периода Т

от первого аргумента

при различных значениях остальных ар-

гументов (например, за счет изменения 5 в опытах с водой) можно убе-
диться в том, что все получаемые экспериментальные значения Тгруппи-
руются в окрестности одной единственной кривой.

Это означает, что существенным в соотношении (2) является лишь

первый аргумент гг= ~.. , который называется числом Фруда и явля-

pg

ется одним из основных безразмерных параметров в тех гидродинамиче-
ских процессах, где важную роль играет сила тяжести.

При выполнении задачи требуется построить экспериментальную
зависимость Т = T(Fr} для каждого из 3-х значений 8=0,2 см; 0,3 см и 0,4
см в диапазоне таких расходов воды, когда удается визуально с помощью
секундомера определить среднее значение периода автоколебаний Т лю-
бым из двух указанных выше способов.

Удобно, например, найти промежуток времени, за который совер-
шается к колебаний. После деления его длительности на к получается
средняя продолжительность одного колебания, т.е. период Т.

Можно воспользоваться и другим из указанных способов, т.е. за-
фиксировать определенный достаточно большой промежуток времени и
разделить его на количество имевших место в течение него колебаний.

Очевидно, что в первом случае период Т будет найден тем точнее,
чем больше к, а во втором случае тем большая точность будет достигну-
та, чем большее число колебаний будет происходить за выбранный про-
межуток времени.

Имеющийся опыт проведения таких экспериментов указывает на то,
что приемлемая точность достигается, например, уже при выборе А=30.

Можно рекомендовать также в этом случае для каждого значения
8 начинать опыт с небольшого расхода воды, но такого, когда уже имеет-
ся возможность уверенно выполнить подсчет числа колебаний, азаканчи-
вать опыт при максимально возможных расходах, при которых автоколе-
бания носят еще вполне регулярный характер. В пределах этого диапазо-
на расходов целесообразно провести измерения периода еще при 2-х или
3-х промежуточных значениях расхода. При 3-х значениях 5 такие опыты
дадут 12 или соответственно 15 экспериментальных точек, которых впол-
не достаточно для построения искомой зависимости T=T(Fr).

Среднерасходная скорость V,, необходимая для вычисления числа
Фруда, находится при каждом режиме по указанной ранее формуле
q

Уо =----.Необходимо при этом иметь в виду, что значение V* будет

S -5

найдено тем точнее, чем за более длительный промежуток времени Д/
измеряется расход Q= q At.

Для нахождения линии на графике, в окрестности которой доста-
точно близко к ней по обе ее стороны располагаются экспериментальные
точки, можно воспользоваться, например, методом наименьших квадра-
тов или иным методом аппроксимации.

В рассматриваемой задаче вместо этого имеет смысл представить
все экспериментальные результаты также и в логарифмическом масштабе,
т.е. откладывая на осях ординат и абсцисс не значения Т и Fr , а их лога-
рифмы, т.е. In Т и InFr.

Если при обработке результатов опытов в таких переменных все
экспериментальные точки окажутся расположенными в окрестности пря-
мой линии InT^lnA+n’lnFr. то это будет означать, что искомая функция
T=T(Fr) может быть представлена в виде степенной зависимости вида
T=AFrn.
Коэффициент А в этой формуле найдется потенцированием значе-
ния ординаты в точке пересечения оси ординат с прямой линией, а пока-
затель я, очевидно, равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс.

Правильно оформленная задача должна содержать:

1.	Указание цели задачи.

2.	Схему экспериментальной установки (рис.1).

3.	Описание методики применения теории размерностей, которое дано в
настоящей разработке.

4.	График с экспериментальными данными в переменных Т и Fr (на мил-
лиметровке). Экспериментальные точки, относящиеся к разным 8 изо-
бражаются на этом и других графиках разными значками. Например,
для 3=0,4см - кружочками (о); для 8=0,Зсм - крестиками (х); для
8=0,2см - треугольничками (А). Здесь же, на графике указывается, к ка-
ким 8 относятся использованные значки.

5.	График с экспериментальными данными в переменных InТ и \nFr (на
миллиметровке).

6.	Формулу для периода автоколебаний, полученную после анализа экс-
периментальных данных с указанием численных значений коэффициен-
тов А и п (если получит подтверждение факт степенной зависимости
безразмерного периода Тот числа Фруда).

7.	Оценку погрешности, с которой получены результаты (не обязательно).

Для сдачи зачета кроме представления оформленной работы и
объяснения ее содержания, необходимо уметь доказывать Л -теорему,
демонстрировать применение этой теоремы к конкретным случаям и, ко-
нечно, иметь представление о том, что является причиной существования
устойчивых автоколебательных режимов фонтанирования.

**********

Замечание.

Приступая к эксперименту, необходимо убедиться в горизонтально-
сти основания установки, что можно сделать, сравнив расходы воды, сте-
кающей за одинаковый промежуток времени с обоих концов основания
установки.

Для желающих ознакомиться подробнее с теорией размерностей, с
особенностями автоколебательных режимов фонтанирования затоплен-
ных плоских струй и приближенной теорией, позволяющей найти форму-
лу для периода автоколебаний при Ло=0 и До^0, рекомендуется следую-
щая литература:

1.	Седов Л.И. Методы подобия и размерностей в механике (любое
из 13-ти изданий этой монографии).

2.	Карликов В.П., Трушина О.В. Об автоколебательных режимах
истечения плоских струй жидкости из-под свободной поверхности. Тру-
ды МИАН, 1998, том 223, с.83-104.