Избранные задачи по вещественному анализу - Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н.

Author: Макаров Б.М. Голузина М.Г. Лодкин А.А. Подкорытов А.Н.
Tags: анализ математический анализ функциональный анализ математика задачи по математике вещественный анализ
ISBN: 5-02-013951-3
Year: 1992
Similar
Избранные задачи по вещественному анализу
Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ
Элементы функционального анализа в задачах
Арифметика, алгоритмы, сложность вычислений
Text
                    Б. М. МАКАРОВ, М. Г. ГОЛУЗИНА,
А. А. ЛОДКИН, А. Н. ПОДКОРЫТОВ
ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ
ПО ВЕЩЕСТВЕННОМУ
АНАЛИЗУ
Допущено Государственным комитетом СССР
по народному образованию
i качестве учебного пособия для студентов университетов,
обучающихся по специальностям
"Математика" и "Прикладная математика"
МОСКВА "НАУКА"
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 9 2

ББК 22.161
М15
УДК 517@75.8)
Макаров Б. М., Г о л у з и н а М. Г., Л о д к и н А. А., П о д-
к о р ы т о в А. Н. Избранные задачи по вещественному анализу:
Учеб. пособие для вузов.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,
1992.- С. 432.- ISBN 5-02-013951-3.
Особое внимание уделяется темам, связанным с классически-
классическими разделами анализа (асимптотика, вычисление интегралов и
сумм рядов, выпуклые функции). Многие задачи могут быть ис-
использованы как материал для занятий в студенческом кружке.
Большинство задач сопровождается указаниями или решениями.
Для студентов младших курсов университетов, физико-мате-
физико-математических факультетов педагогических институтов и технических
вузов с расширенным курсом математики, а также для преподава-
преподавателей высшей математики.
Ил. 40. Библиогр. 43 назв.
Рецензенты:
кафедра математического анализа механико-математического
факультета Новосибирского государственного университета (заве-
(заведующий кафедрой академик Ю. Г. Решетняк).
член-коррсспонцонт РАН Л. Д. Кудрявцев
м 1602070000-043 qq o.
053 @2)-92 33'91
ISBN 5-02-013951-3

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .
Список обозначений
Часть I Часть II
Задачи
Глава I. Введение 9
§ 1. Множества ........ 9
§ 2. Неравенства 15
§ 3. Иррациональность 22
Глава II. Последовательности 26
§ 1. Вычисление пределов 26
§ 2. Усреднение последовательностей . . 29
§ 3. Рекуррентные последовательности . . 32
Глава III. Функции 34
§ 1. Непрерывность и разрывы функций 34
§ 2. Полунепрерывные функции .... 38
§ 3. Непрерывные и дифференцируемые
функции 39
§ 4. Непрерывные отображения .... 43
§ 5. Функциональные уравнения .... 45
Глава IV. Ряды 47
§ 1. Сходимость 47
§ 2. Свойства числовых рядов, связанные с
монотонностью ....... 49
§ 3. Различные утверждения о рядах ... 52
§ 4. Вычисление сумм рядов 55
§ 5. Функциональные ряды 56
§ 6. Тригонометрические ряды .... 59
Глава V. Интеграл 63
§ 1. Несобственные интегралы от функций
одной переменной 63
§ 2. Вычисление кратных интегралов . . 66
Глава VI. Асимптотика 70
§ 1. Асимптотика интегралов 70
§ 2. Метод Лапласа 75
§ 3. Асимптотика сумм 80
§ 4. Асимптотика неявных функций и ре-
рекуррентных последовательностей . . 86

Глава VII. Функции (продолжение) ... 88 284
§ 1. Выпуклость 88 284
§ 2. Гладкие функции 96 291
§ 3. Многочлены Бернштейна 101 298
§ 4. Почти периодические функции и после-
последовательности 105 308
Глава VIII. Мера и интеграл Лебега . . . 111 317
§ 1. Мера Лебега Ш 317
§ 2. Измеримые функции 115 323
§ 3. Суммируемые функции 117 324
§ 4. Интеграл Стилтьеса 126 337
§ 5. е-энтропия и меры Хаусдорфа . . . 129 340
§ 6. Асимптотика интегралов высокой крат-
кратности 135 349
Глава IX. Последовательности измеримых
функций 140 362
§ 1. Сходимости по мере и почти везде 140 362
§ 2. Сходимость в среднем. Закон больших
чисел . 143 363
§ 3. Функции Радемахера. Неравенство Хин-
чина ......... 148 366
§ 4. Ряд и преобразование Фурье . . . 155 373
Глава X. Итерации преобразований отрезка 160 379
§ 1. Топологическая динамика .... 160 379
§ 2. Преобразования с инвариантной мерой 169 397
Ответы 412
Дополнение I , . 421
Дополнение II . 4 ........ 423
Дополнение III . 425
Список литературы 428
Предметный указатель . . ..... 430

ПРЕДИСЛОВИЕ
Этот задачник предназначен в первую очередь для студентов,
желающих углубить свои знания по математическому анализу,
и преподавателей, ведущих семинарские занятия и кружки на ма-
математических факультетах университетов. От обычно используемых
задачников он отличается несколько большей трудностью задач,
среди которых имеется ряд известных теорем анализа. Несмотря
иа это, для решения задач I—VII глав и § 1 главы X не требуется
особой подготовки, и в значительной части задачи доступны уже
студентам первого курса во втором семестре. Все необходимые для
решения этих задач сведения содержатся в стандартных универ-
университетских учебниках по математическому анализу, в частности, в
книгах В. А. Зорича [7], Л. Д. "Кудрявцева [16], У. Рудина [23] и
Г. М. Фихтенгольца [29]. Задачи глав VIII и IX и § 2 главы X
предъявляют несколько большие требования к уровню подготовки
читателя и предполагают его знакомство с основными понятиями
теории меры. Соответствующие сведения можно найти в последней
главе упомянутого учебника У. Рудина и, в более полном виде,
в книгах А. II. Колмогорова и С. В. Фомина [14] и Б. 3. By лиха [4].
Содержание первых семи глав, включающих около, двух тре-
третей всех задач! не выходит за рамки классических тем анализа
(функции, производная, интеграл, асимптотика). Как здесь, так и
в последующих главах, мы не стремились к максимальной общно-
общности и, оказавшись перед необходимостью выбирать между более
и менее общей формулировкой задачи, часто отдавали предпочте-
предпочтение последней. Главы VIII—X менее традиционны для задачника
по анализу. Кроме вкусов авторов, критерием при отборе материала
для этих глав слуокила программа курса математического анализа,
принятая в Ленинградском университете. Задачи, выходящие за е?
рамки и относящиеся к теории функций вещественной переменной
(несмотря на всю условность этого разделения), в задачник не
включались. Так, например, мы не использовали много привлека-
привлекательных задач, решение которых опирается на теорему Лебега
о дифференцировании интеграла по переменному верхнему преде-
пределу. В книге также почти не нашли отражения задачи, связанные
с комплексным анализом. Читателей, интересующихся этим кругом
вопросов, мы отсылаем к широко известному сборнику Г. Полиа
и Г, Сеге [21] и к книге Е. Титчмарша [27].

Мы стремились объединять задачи, посвященные отдельным те-
темам или методам, в циклы, в пределах которых можно было бы
шаг за шагом исчерпать тот или иной круг вопросов с достаточной
полнотой. Отчасти из-sa этого нам не удалось избежать известной
неоднородности в степени трудности соседних задач, которая на
протяжении одного цикла может заметно возрастать. Поэтому не-
нередко более трудные задачи сменяются сравнительно простыми,
и читатель, не решив какой-либо задачи, не должен чувствовать
себя обескураженным и вполне может надеяться на успех при
решении последующих задач.
Краткие, а часто и подробные решения большинства задач
приведены во второй части задачника. Однако мы рекомендуем
читателю не торопиться использовать эту часть книги и не упу-
упускать шанс придумать лучшее решение, чем то, которое там при-
приведено.
Литература по анализу и, в частности, учебники и сборники
задач содержат необъятный материал, и мы думаем, что лишь не-
немногие из предлагаемых задач могут претендовать на оригиналь-
оригинальность. Мы видели нашу цель прежде всего в том, чтобы попытать-
попытаться систематизировать и ввести в повседневный обиход задачи, со-
содержащиеся (иногда в неявном виде) в труднодоступных (особенно
Зля студентов) источниках, а тпкже в математическом фольклоре.
Искушенный читатель заметит наряду с традиционным материалом
заимствования из «Математического просвещения» «American
mathematical Mothly», сборников [19], [22], [24] —[26], [38] и др.
Литературными ссылками задачи сопровождаются лишь в исклю-
исключительных случаях.
Общее редактирование задачника осуществлялось Б. М. Мака-
Макаровым.
Мы выражаем искреннюю благодарность нашим друзьям и
коллегам А. Б. Александрову, Д. А. Владимирову, Е. Д. Глускину,
Ю. Г. Дуткевичу, В. В. Жуку, К. П Кохасю, М. Ю. Любичу,
Г. И. Натансону, А. В. Осипову, А. И. Плоткину, О. И. Рейнову,
Б. А. Самокишу, С. В. Хрущеву и Д. В. Якубовичу, многочисленные
советы и критические замечания которых оказали нам большую
помощь. Мы обязаны им также рядом изящных задач.
В задачнике принята следующая система нумерации задач и
ссылок."В пределах одной главы задачи нумеруются двумя числа-
числами, первое из которых обозначает номер параграфа, а второе —¦
номер задачи в параграфе. При ссылках на задачу из другой главы,
сначала указывается (римской цифрой) номер главы. Например,
задача VII.2.5 — это задача 2.5 из главы VII.
Мы будем признательны всем читателям за отзывы и заме-
замечания.
Авторы

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
IN — множество натуральных чисел;
Z — множество целых чисел;
Ц — множество рациональных чисел;
К — множество вещественных чисел;
R — расширенное множество вещественных чисел;
С — множество комплексных чисел;
R™— арифметическое re-мерное пространство;
0 — пустое множество;
А УС В — прямое (декартово) произведение множеств А и В;
card (A) — мощность множества А;
f(A) — образ множества А при отображении /;
f~l{A)—полный прообраз множества А при отображении /;
А — замыкание подмножества А пространства Ки;
В(х; г) —открытый шар с центром в точке х и радиусом г;
Bn(r) —map .8@; г) в пространстве Rn;
В™ —шар В"A);
gn-i — единичная сфера с центром в нуле в пространстве Ки;
/j, /f — обозначение характера монотонности функции / (не-
(невозрастание, неубывание); _
f\A, /^ — обозначение равенств lim / (х) = А (А е 1К) для
повозрастающой (неубывающей) функции /;
f(x) — O(g(x)) при iei (или на множестве А)—обозначе-
А)—обозначение для соотношения |/(^)[ ^C[g(j)| для всех х^А, где
С— некоторое положительное число;
f(x) =O(g(x)) приж^а ('или / (х) = О (g (x))\ — обозначение
\ х->а )
для соотношения f(x)=O(g(x)) на некоторой окрестности
точки а;
f(x) ~ g(x) при х~+а I или / (х) ~ g (х) \ — обозначе-
\ х^а )
нио для соотношения f(x) = q>(x)g(x), где Ф (х) ->- 1;
f(x) = o(g(x)) при х-»а /'или / (х)=о (g(x))\ — обозначение
I х-*а )
для соотношения f(x) = (p(x)g(x), где ф(ж) -vO;
{пп}п>с — последовательность (отображение, заданное на мно-
множестве целых чисел, больших или равных с е R);
2j ап — обозначение ряда и его суммы;

fn{x) f(x) на А — обозначение равномерной сходимости по-
последовательности функций {/„}п>с к функции / на множестве А;
В обозначениях, связанных с последовательностями: Пт ап,
ап ~ Ь„ при ге^-оо и т. д. мы часто опускаем указание ге->-оо
и пишем: Птаи, ап~ Ъп ж т. д.; {ап} —обозначение для {ап}п>й
2ап— обозначение для 2 ап''
>1
() •— множество функций, непрерывных на множестве X;
С1'(А)—'множество функций, г раз непрерывно дифференци-
дифференцируемых на промежутке ДсЕ@<г<+»);
Lipa(A)—множество функций /, удовлетворяющих условию
/(х) —](у)= О(\х — у\а) на квадрате ДХ ДсК (условие Лип-
Липшица па промежутке ДсК с показателем a > 0);
Lipa — множество Lipa (lR);
3?°(А) — множество измеримых по Лебегу почти везде конеч-
конечных функций, определенных на (измеримом) подмножестве А
пространства К";
SEr(A) —множество таких функций / из 3?°(А), что функция
]/|г суммируема на множество А;
3?°° (А) —множество таких функций / из 3?°(А), что истинный
супремум [/| конечен;
vraisup/— истинный супремум функции / из i?0(A);
А
%п — мора Лебега в пространство R";
X ¦— мера %i;
а„ — объем (re-мерная мера Лебега) шара Вп\
[х] — целая часть вещественного числа х;
х mod у — обозначение для числа ж — — I у (ж, у еК, у > 0);
п. в.— сокращение слов «почти везде».

Часть I. ЗАДАЧИ
Глава I. ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Множества
Двоичной последовательностью называется последова-
последовательность, «состоящая из нулей и единиц», т.. е. после-
последовательность е = {ej, где eh = О или 1 при любом
ieN. Множество всевозможных двоичных последова-
последовательностей мы будем обозначать буквой S.
Говоря о множествах, элементами которых, в свою
очередь, являются множества, мы будем использовать
термин «система множеств».
1.1. Пусть ^(N) —система всевозможных подмно-
подмножеств множества N. Докажите, что
а) множества S и 9* (М) равномощны;
б) множества S и Н X Н равномощны.
1.2. Докажите, что множество S имеет мощность кон-
континуума.
1.3. Докажите, что множества К2 и R3 имеют мощ-
мощность континуума.
1.4. Докажите, что множество всех последовательно-
последовательностей вещественных чисел имеет мощность континуума.
1.5. Докажите, что множество непрерывных функций,
заданных на отрезке [а; Ь], имеет мощность континуума.
1.6. Существует ли система % подмножеств множества
N, удовлетворяющая условиям:
а) St имеет мощность континуума;
б) card (А П/?)<+оо для любых А, Вей?
1.7. Существует ли система Ш- подмножеств множества
N, удовлетворяющая условиям:
а) Щ. имеет мощность континуума;
б) для любого числа t и любых множеств А, В е %
неравенство \а — Ъ\ <t справедливо лишь для конечного
числа точек aei, b^B?

1.8. Существует ли система % подмпожеств множества
N, удовлетворяющая условиям:
а) §( имеет мощность континуума;
б) система §t упорядочена по включению, т. е. из лю-
любых двух множеств, входящих в St, одно содержится в
другом?
1.9. Пусть #"(N) = {A cz f\J j card (Л) < + оо}— си-
система всех конечных подмножеств множества N. Дока-
Докажите, что
а) система ^"(N) счетпа;
б) существует такая биекция ф: #"(N)->N, что
А)у(), если АсВ(А,В(=&~(Щ.
1.10. а) Введем в множестве R+ = @; + оо) отноше-
отношение эквивалентности, считая, что х ~ у, если х/у е Q
Докажите, что пересечение каждого класса эквивалентно-
эквивалентности с любым (непустым) содержащимся в R+ интерва-
интервалом непусто.
б) Введем на окружности S1 = {г е С 11 z | = 1} отно-
отношение эквивалентности, считая, что z ~ ?, если zjt, =
= e2nie, где 6eQ. Докажите, что множество предельных
точек любого класса эквивалентности совпадает с S1.
1.11. Пусть S1 = {zeC||z| = А}. Множества А, В <=
с: i?1 называются конгруэнтными, если существует такое
число а<= К, что В = {zeia\z e А), т. е. множество В «по-
«получается из множества А поворотом па угол ее»-
Докажите, что существует такая последовательность
{?„} попарно не пересекающихся и конгруэнтных мно-
множеств, что Sl = U Еп.
1.12. Докажите, что па плоскости можно расположить
континуум попарно не пересекающихся пятерок, но лишь
не более чем счетное множество восьмерок.
1.13. Птичьим следом будем называть множество на
плоскости, являющееся объединением трех (лежащих на
различных лучах) отрезков, имеющих общий конец —
вершину следа (рис. 1). До-
Докажите, что на плоскости
можно расположить лишь не
более чем счетное множество
попарно не пересекающихся
птичьих следов.
1.14. Под Т-образной фи-
гурой будем понимать объ-
объединение двух взаимно пер-
pHCi i пендикулярных отрезков, се-

редина одного из которых является концом другого.
Оцените сверху число N попарно не пересекающихся Т-
образных фигур, образованных отрезками единичной дли-
длины и содержащихся в квадрате со стороной а.
1.15. Докажите, что в пространстве можно располо-
расположить лишь не более чем счетное множество попарно не
пересекающихся «обручей»—цилиндрических колец фик-
фиксированного радиуса (толщина обручей равна нулю).
1.16. После проигрыша всех соревнований Балде бесы
(которых было бесконечно много) решили заняться физ-
физкультурой и организовали спортивные секции. В каждую
секцию входило лишь конечное число бесов, но секций
было так много, что в любой бесконечной компании бе-
бесов можно было указать по крайней мере двух, записав-
записавшихся в одну секцию. Докажите, что за исключением
конечного числа бесов лентяев каждый из бесов был за-
записан в бесконечное множество секций.
1.17. Пусть последовательность {Ап} конечных под-
подмножеств множества N густо покрывает N, т. е. для
любого бесконечного множества В czN найдется такой
номер иг, что cardE П Ат)~> 2. Докажите, что
а) натуральные числа, принадлежащие лишь конеч-
конечному числу множеств А„, образуют конечное множество;
б) существует такое бесконечное множество EczN,
что для любого числа к е Е справедливо включение
Е\ U Л„с={1,2, ...Д-1}, где Ah = {п е= N | к е= Ап).
1.18. Если {AJ, {Вп} — две последовательности конеч-
конечных множеств, каждая из которых густо покрывает N
(см. задачу 1.17), то найдутся такие номера р и q, что
card (Л р 0Bq)>2.
1.19. Пусть ?сК и (х + у) 12 е= Е для любых х, у е=Е.
а) Верно ли, что ?^[500; 1000], если ?=>[0; 1] и
1990 е^?
б) Докажите, что если Int Е Ф 0, то Е — промежуток.
1.20. Найдите все предельные точки множеств
а) [пГ1 + тГг\ п, т е N); б) \т + п V2 \ т, п е Z),'
в) \Ут-У^\т,п^М}; г)
m, n e N[.
Ут+Уп
1.21. Пусть 5cz@; +°°), ЕФ0. Докажите, что если
x/2 e E и Ух2 + у2 е Е для любых х, у ^Е, то U =
= [0; +00).
1.22. Пусть Ecz К2. Докажите, что
а) если семейство открытых кругов {5«}ке54 таково,

что Ecz U Ва, то существует такое не более чем счет-
U
ное множество А0<=А, что Е cz [} Ва;
еА
0
б) существует не более чем счетное подмножество
множества Е, замыкание которого содержит Е.
1.23. а) Множество называется дискретным, если лю-
любая его точка изолированная. Докажите, что всякое диск-
дискретное множество на плоскости не более чем счетно,
а его замыкание не может иметь внутренних точек.
б) Точку а множества Е cz R будем пазывать полу-
полуизолированной, если существует такое s > 0, что но
крайней мере один из интервалов (а — е; a), (a;'a-he)
но содержит точек множества Е. Докажите, что множест-
множество полуизолированных точек любого множества Е <= К
не более чем счетно.
1.24. Пусть Е cz N, card E = + °° • Докажите суще-
существование такого числа а> 1, что бесконечно много чисел
[а1] (к е N) содержится в Е.
1.25. Пусть G— открытое не ограниченное сверху
множество в К. Существует ли такое положительное
число хо, что множество G содержит бесконечно много
точек вида пхо (п е N)?
1.26. Пусть {GJ — последовательность открытых не-
неограниченных сверху подмножеств множества К- Дока-
Докажите, что существует такое число хо > 0, что каждое из
множеств Gn содержит бесконечно много точек вида
тх0 (т е N).
Канторовым множеством К называется пересечение
множеств Кп cz R (n e N), которые определяются сле-
следующим образом. Множество К\ получается удалением
из сегмента [0; 1] средней трети — интервала A/3; 2/3).
Иными словами, К\ есть объединение двух сегментов
До = [0; 1/3] и А, = [2/3;1],
которые мы будем называть сегментами первого ранга.
Множество .Кг получается удалением средних третей
из сегментов первого ранга, т. е. является объединением
четырех сегментов
Аоо = [О; 1/9], Aoi=[2/9; 1/3], Аш = [2/3; 7/9],
Ац = [8/9;1],
которые мы будем называть сегментами второго рлпга.

Дальнейшее построение продолжается по индукции:
множество Кп+\ получается удалением средних третей из
сегментов га-го ранга. «Нумерацию» сегментов га-го ранга
удобно производить с помощью индексов Ei, ..., eni где
8j может принимать значения 0 и 1. Индексы сегментов
1-го и 2-го рангов уже указаны, дальнейшая индексация
производится по индукции. Пусть сегменты га-го ранга
уже снабжены индексами, AEl...en — один из них. Два сег-
сегмента (тг+1)-го ранга, получающиеся после удаления
средней трети сегмента Ае „Еп, «нумеруются» так: левый
обозначается А^.,^0, а правый — A8i...Enl. Множество
Кп+\ есть объединение всевозможных сегментов (ге + 1)-
го ранга.
1.27. Докажите, что
а) множество К имеет мощность континуума;
б) множество К замкнуто и не имеет изолированных
точек;
в) сумма длин интервалов, составляющих множество
[0; 1]\К, равна единице.
1.28. Пусть К — канторово множество.
а) Докажите, что число t принадлежит К в том и
только том случае, когда оно представимо в виде t =
= ^2г^Ъ~3, где Е3 равно нулю или единице;
б) опишите множества
1.29. Пусть множество Е cz О? обладает свойством:
для любых точек х, у^Е, х<у, существует такая точ-
точка z^E, что х < z < у. Обязательно ли замыкание мно-
множества Е содержит внутреннюю точку?
1.30. Постройте дискретное множество на плоскости,
замыкание которого имеет мощность континуума. Суще-
Существует ли дискретное множество па прямой с таким свой-
свойством? (Определение дискретного множества см. в зада-
задаче 1.23.)
1.31. Пусть К есть пересечение множеств Кпа
с: [R (гее N), которые определяются следующим образом.
Множество К\ получается удалением из сегмента А =
~[а; Ъ) непустого интервала 8—(р, q), концы которого
не совпадают с а и Ъ. Иными словами, К\ есть объеди-
объединение двух сегментов Ло = [а; р] и Ai = [g; b], которые
мы будем называть сегментами первого ранга,

Множество Къ получается после удаления из сегмен-
сегментов До и Ai интервалов бо, Si, концы которых не совпа-
совпадают с концами До и Ai соответственно. Множество ДЛ68
(е = 0, 1) состоит из двух сегментов, из которых левый
мы обозначим ДЕо, а правый — Aei. Таким образом, Къ
есть объединение четырех сегментов Доо, Доь Дю, Аи,
которые ъ:лл будем называть сегментами второго ранга.
Дальнейшее построение продолжается по индукции.
Пусть построено множество Кп, состоящее из сегментов
га-го ранга. «Нумерацию» сегментов га-го ранга удобно
производить с помощью индексов 8], ..., En, где в] мо-
может принимать значение 0 или 1. Индексы сегментов
первого и второго рангов уже указаны, дальнейшая ин-
индексация производится следующим образом. При построе-
построении сегментов (га+1)-го ранга из каждого сегмента га-го
ранга Ле ...еп удаляется непустой интервал 6Ei Еп, кон-
концы которого не совпадают с концами сегмента Де ...е„-
Разность АЕ Еп\бЕ ^ состоит из двух сегментов
(п + 1)-го ранга, из которых левый обозначается ДЕ ...Епо>
а правый—Д8 .. Ри1. Множество Кп+\ есть объединение
всех сегментов (тг+1)-го ранга. Если множество К —
оо
= П Кп по имеет внутренних точек, то оно называется
71=1
обобщенным канторовым множеством.
Докажите, что
а) множество К имеет мощность континуума;
б) множество К замкнуто и не имеет изолированных
точек;
в) К—обобщенное канторово множество в том и
только том случае, .когда 1„ -»- 0, где 1п — максимальная
длина сегментов га-го ранга.
1.32. Пусть {ДЁ1...Еп}, где пеМ,Е,- может принимать
значения 0 или 1,— семейство непустых ограниченных
интервалов, удовлетворяющих условиям
2) при каждом га eN интервалы ДЕ 8 и Д> > не пе-
Г" " гг...гп
ресекаются, если (гх; .. .: гп) Ф (е^; ...; е^).
Положим Gn = U ДЕ . .еп. Докажите, что мно-
e1,...,ene{o;i}
оо
жестко А = П ^« имеет мощность континуума,

1.33. Докажите, что непустой интервал нельзя пред-
представить в виде объединения последовательности попарно
не пересекающихся замкнутых множеств.
1.34. Докажите, что плоскость нельзя покрыть после-
последовательностью замкнутых кругов без общих внутрен-
внутренних точек.
оо
1.35. Пусть — °° <а < b < +°°, (а; Ъ) cz (J Еп. Докажи-
71=1
те, что замыкание хотя бы одного множества Еп имеет
внутреннюю точку.
1.36. Докажите, что множество иррациональных чисел
не является объединением последовательности замкнутых
множеств.
1.37. Пусть v = {nj — строго возрастающая последо-
последовательность натуральных чисел,
\ = О ИЛИ 1}.
а) Докажите, что множество Еч замкнуто и не имеет
изолированных точек.
б) Докажите, что следующие утверждения эквива-
эквивалентны:
1) ?, не содержит внутренних точек;
2) nh+\ > 1 + nh бесконечно много раз;
¦V^ —Till
3) разложение ? = .2<8ft2 (где ек = 0 или 1) един-
единственно.
§ 2. Неравенства
2.1. Докажите, что для любой конечной последова-
тольтшсти {ah}k=i вещественных чисел найдется такой
помер те{0; 1; ...; п], что
2 «л — 2 °к < max I ah |
(при m = 0 считаем, что равна нулю первая сумма, а при
т = п — вторая).
2.2. Пусть {ak}k=i ¦— конечная последовательность по-
положительных чисел п М = го'ах ад, т = min a^. Дака-
жито, что
2 ak

2.3. Пусть {й/г}™=1—конечная последовательность не-
неотрицательных чисел, причем S = а\ + п2 + ... + ап < 1.
Докажите неравенства
а) T±j> П A + аЛ)>1 + 5;
б) > П A
Левые .неравенства строгаю, если 5 > 0. Правые нера-
неравенства строгие, если среди чисел {akfil=1 по крайней ме-
мере два положительны.
2.4. Пусть {аь}"=1 — конечная последовательность ве-
вещественных чисел, причем ah>—1 при /с = 1, ..., п. До-
Докажите, что
а) если S = ai + ... + ап >0, то Д A + аи) < 1 +
>S Sn
+ -ту- + ... + —j-; равенство возможно лишь в тех слу-
случаях, когда га = 1 или а\ = ... = ап = 0;
) т^т^^
п
^ р ^ XI A + afc); равенство возможно лишь в
п- Kh<n
случае, когда ах =...== ап = 0.
2.5. Пусть {]?„} — последовательность простых чисел,
занумерованных в порядке возрастания (pi = 2). Дока-
Докажите неравенства
б) 1 + >, — > In ln Pm.
<n<m Pn
2.6. Для конечных последовательностей вещественных
чисел {<2ft}/Ui и {bfe}?L=i_символами [ah}1=1 и {bk)L=i (соот-
(соответственно K)"=i a {&fe)ft=i) обозначим неубывающие (со-
(соответственно нелозрастающие) поресташовкп этих после-
последовательностей. Докажите неравенства
2.7. Пусть {afe}™=1 и {bfe}ft=1—конечные последователь-
последовательности вещественных чисел. Докажите перавемства
2 айЬй<— 2 ak 2 feft< 2
fe«n lfe ft

При решении следующих задач может оказаться по-
полезным преобразование Абеля
2 акЪк = апВп + 2 («ft — tffc+i) Bk,
где Вк = Ъ\ + ... + bk (k = l, ..., n). Это равенство осо-
особенно удобно использовать в тех случаях, когда после-
последовательность {а/;}™=1 монотонна.
2.8. Пусть {«&}&=! и {ЪрУ1=1 — конечные последова-
последовательности вещественных чисел, причем последователь-
последовательность {<2ft}ft=i не возрастает и неотрицательна. Докажите
неравенства
а) ах min (bL + . . . + Ьк) ^ 2 ак^и^. а
k h
б) 2 «/At ^ «i ™ах | Ъ± + ... + Ьй |;
в) m 2 ak ^ 2 «й^й ^ -^ 2 «ft>
где
»г= min у- Fj + . . . + &fc) и il/ = max -j-(bx+ . . . + &й).
При этом множитель М нельзя заменить на меньший,
а множитель т — па больший.
2.9. Пусть {afe}ft=i и {b,l}t^1— конечные неотрицатель-
неотрицательные последовательности, причем последовательность
{«й}"=1 но возрастает. Рассмотрим такой номер т е
е{1; 2; ...; п], что m max fefe^ 2 ^ft- Докажите, что
2 «A<f max й,Л 2 «ft-
Kft.<n \К/г«;п J Kh^m
Если те max fc& = 2 bk, то
n кй<п
I max й,Л 2 «ft < 2
)
2.10. Пусть {aft}"=i — конечная последовательность ве-
вещественных чисел. Докажите, что
1
^-^-(/г2—1),гдеА =
max | aft — ak+11;

б) если последовательность {ai,}h=i мопотоппа, то
и
где 6= rnia \а^—flft+il*
14-h-Cn
В каких случаях эти неравенства обращаются в ра-
равенства?
2.11. Пусть {ай}?=1 — неубывающая выпуклая (или
певозрастающая вогнутая) последовательность вещест-
вещественных чисел. Докажите неравенства
1
Зл.
l«ft<n
7 2
l«fe<n / °" 1</;<п
Если последователыпюсть {aP}k=1 не возрастает и выпукла
(или не убывает и вогнута), то знаки неравенств следу-
следует заменить am противоположные.
2.12. Пусть {<2ft}h=i и {&7г}/г=1—конечпые последователь-
последовательности неотрицательных чисел. Докажите, что
Ь
а) если min (Ъ^ — ар) = Л ^ О, то у Ьх . . . Ъп '.
>А + У
гг —
п л;
б) у (at + bj) . . . (ап + bnj > У ах . . . ап + К &i • • • Ъп,
1 \ж
+ ) ш х
2.13. Докажите, что функции
I-* 1 Ч— строго монотонны па каждом из промо-
жутков (—оо; —1) и @; +0°).
2.14. Докажите, что
а) (п/е)" < п\ при п еМ; б) п\ < п (п/е)п при п>11.
Из этих неравенств следует, что п\ = (п/е)п п ", 0 <<
<а„<;1. Более точные представления факториала рас-
рассматриваются в задачах П.2.10 и II.2.11.
2.15. Докажите, что при любом ie[0; 1] справедли-
справедливы неравенства
fA М + т\р + И — х\р < ?р~' и ¦+- ^р^ /п>9\.

Какое из неравенств б) и в) сильнее другого?
1 p(
г) A + xf + (р - 1) A - xf < 41 p(l + *РJ
2.16. Пусть bgN и ?е[0; га]. Докажите неравенства
. ! *\п л .
а) 0<е~ — 1 — - <-е~при га>1;
б) ?!е-7'<е-' —fl —•?¦) при га>2;
в) e-'-fl--1)n<-^7=e-' при га>36.
t
~n
г) Докажите, что 0^11-I 1 —е ^~е при
га > 1 и t е [0; Уга].
2.17. Пусть neN и ?е[0; w]. Докажите неравен-
неравенства
В следующей задаче рассматриваются соотношения,
которые дополняют классические неравенства
sin х < ж < tg х, 1аA + х)<х< ех — 1,
arctg ж < ж < arcsin x.
2.18. Докажите неравенства
а) A + х) In2 A + х) < ж2 при ж > — 1, х Ф 0;
б) —^у- < arctg ж при х > 0;
* + «*
в) ж2 < In A + tg2 ж) < sin x tg ж при х е @; я/2);
г) Зж — ж3< 2sin(na;/2) при же@; 1);
д) х3 <С sin2 ж tg х при ie@; я/2).
е) Справедливо ли на промежутке @; я/2) неравен-
неравенство х3+е <(sin xJ+e tg ж при каком-нибудь фиксирован-
фиксированном положительном б?
2.19. Докажите неравенства
а) (ех— 1IпA + ж)>а;2 приа;>0;
б) tg х arctg x > х2 при же;@; я/2);
в) (A + ж)р-1)(A + а;I/р-1)>а;2 при х > 0 и р >
> 0, р Ф 1. Что будет при j? < 0?
г) (A-ж)р-1)A-A + а;I/'))>а;2 при je@; 1) и
/X —1. Что будет при рв(_1; 0)?

'2.20. Докажите неравенства
— sin \-k-x) arcsinx < х2 < sin xarcsinх при х е @; 1).
В задачах 2.21—2.27 рассматриваются интегральные
неравенства, которые являются аналогами уже рассмот-
рассмотренных сумматорных неравенств. Их доказательство мож-
можно получить двумя путями: или предельным переходом
в оумматорном неравенстве, или модификацией доказа-
доказательства, использованного в дискретном случае. Отметим
также, что с помощью предельного перехода неравенства
из задач 2.23 и 2.24 переносятся на случай несобствен-
несобственных интегралов по промежутку вида [а; +°°).
2.21. Пусть функция / интегрируема на промежутке
[а; Ъ), 0<7n = inf/, M=sup/. Тогда справедливы не-
неравенства
ъ ъ
б) {Ъ — af < / (х) dx ¦—— < {Ъ — аJ у ^ '
imM
а а
2.22. Пусть функции fug монотонны на промежутке
[а; Ь]. Если монотонность одного типа, то справедливы
неравенства
ь
\ f(x)g(a + Ъ — x)dx^l
<
ъ
1
Ъ —-а
а
о о
dx J g (x) dx < j / (ж) g (x) dx.
Если монотонность разного типа, то знаки неравенств за-
заменяются на противоположные.
2.23. Пусть функции / и g интегрируемы на проме-
промежутке [а; 6], причем /I, f>0. Для ie[e; Ъ\ положим
X
G(x) = §g{t) dt,
о

Тогда справедливы неравенства
ъ
a) /(a) inf G(ж)< [ /(х) g(x)dx </(а) sup
б)
J / (х) g (x) dx
(а) sup
\a<x<b •
a<x<b
2.24. Пусть функции / и g интегрируемы на прюме-
я;утке [а; Ъ], причем j\ и 0<g^l. Положим с =
ъ
= \ g (x) dx. Тогда
b h a+c
Ь—с а а
2.25. Пусть /еС1 ([а; Щ), б = min | /' |, А= max | /' |.
[а\Щ [о;Ь]
Тогда
ь / ъ \ а
Равеист!во выполняется лишь для линейных функций.
2.26. Если непрерывно дифференцируемая функция
/ не убывает и выпукла (или не возрастает и вогнута)
на промежутке [0; 1], то
(x)dx-n f(x)dx
О О '
Для неубышающей вогнутой (или невозрастающей вы-
выпуклой) функции зттакгт тшрэвопстп замопяются на про-

тивоположные. Равенство возможно лишь для линейной
функции.
2.27. Пусть функции / и g положительны и интегри-
интегрируемы на промежутке [а; Ь]. Тогда справедливы не-
неравенства
I 1 Г 1 if
а) ехр _ j In / (х) dx <; ^га \ f (x)
idx (аналог не-
¦ - ' i - и — aj ¦ ' '
а ^ а
равенства Коши о среднем арифметическом и среднем
геометрическом);
Ь \ / Ъ \
б) ex \-L-Unf(x)dx +ех l-J-fln (x)dx)<
/ Ъ v
/if I
^ exp r I In (/ (x) + g (x)) dx (аналог неравенства
V о — a j i
v a '
Минковского — см. задачу 2.12 6)).
'2.28. Пусть 0<а<& и К — множество всех таких
неотрицательных и не возрастающих на промежутке
[а; Ь] функций /, что
ъ
af(a)=:bj(b) и ^f(x)dx=l.
а
Докажите, что для любых функций fug из К справед-
справедливо неравенство
ъ
!
max (/(ж); g (х))
У а +УЬ '
Для каких функций достигается равенство?
§ 3. Иррациональность
3.1. Пусть ieK. Докажите эквивалентность утвер-
утверждений
а) х <ф, Q;
б) существует бесконечно много несократимых дро-
т> I 1
бей plq (geN,peZ) таких, что х — — < —;
в) существует такая последовательность {pk/qJrt^i
несократимых дробей {qu eN,Pte Z)< что q,, -> + °° и
х - 7Tk = ° (-„-) ПРИ ft ~" + °°.

В последующих задачах используется обозначение
5 (#) = х — [х] — дробная часть вещественного числа х.
3.2. Пусть a;elP\Q. Докажите, что последователь-
последовательность {8(пх)} плотна на @; 1).
3.3. а) Докажите, что последовательности {sin re2} и
{sin 4"} не имеют пределов,
б) докажите, что если последовательность {sin(8 ¦ 2")}
имеет предел, то он равен нулю и 9 = np2~q, где
q е= N, р е= Z-
3.4. Пусть х^ К. Докажите эквивалентность утвер-
утверждений
a) ieQ; б) множество {б (ге1992ж) [beN} конечно.
3.5. Покажите на примерах, что последовательность
{бA0'"ж)} может быть всюду плотной и может быть нигде
не плотной на @; 1).
3.6. Найдите множества частичных пределов последо-
последовательностей
a) {smre273}; б) {Vnsin ]/
в) {sin(яге372)}; г) {sinlnre};
д) {sm(jire In re)}.
3.7. Найдите множества частичных пределов последо-
последовательностей
а) {б(геж)}, где is 1; б) {б(геж)}, где ieK\Q;
в) {б(геа)}, где ае@; 1); г) {б(ге572)}.
3.8. Существует лп такое вещественное число х, что
б (хп) <= [1/3; 2/3]
для всех номеров ге?
3.9. Пусть /еС([0; 1]) и х e R \Q. Докажите, что
ЗЛО. Пусть х={хх; .. .; хт) e^\Rm\Qm. Докажите, что
существуют такие целые числа j)\, . . ., рт и натуральное
число q, что
k,-p,/<7l<(Z"<1+1/m> (i = l, 2, .... m),
при этом знаменатель q можно взять сколь угодно боль-
большим.
3.11. Пусть ап = min | ]/2— m/n\, neN. Докажите, что
mtzS
а) Bге)-2<ап<Bге)-';

б) если строго возрастающая последовательность но-
номеров {щ} такова, что ссп.^. C/n](j <= N), где С —
фиксированное число, то in) растет по крайней мере как
геометрическая прогрессия: n1+\Jn,j Ss= 1 + 1/8С (таким
образом, оценка снизу в неравенстве а) груба для боль-
большинства номеров).
В задачах 3.12—3.18 {ej — произвольная последова-
последовательность из +1 и —1, {raj—строго возрастающая по-
последовательность натуральных чисел.
3.12. Докажите, что сумма ряда 2 ?ft2 иррацио-
иррациональна, если
lim (nkhi — nh)= + оо.
п п ... п^
3.13. Пусть lim— = 0. Докажите, что
nh+x
\ v^ (— i)ft
а) сумма ряда ? иррациональна;
б) если —^^(?> 1 при ieN, то сумма ряда V —
п/г ¦" "ft
иррациональна.
3.14. Пусть lim /%= + оо. Докажите, что
а) сумма ряда J/^ —иррациональна;
б) если ——~^Q^>1 при /jeN, to сумма ряда
X — иррациональна.
3.15. Пусть а — алгебраическое число степени не
выше га (т. е. а является корнем алгебраического много-
многочлена степени га с целыми коэффициентами). Докажите,
если а иррационально, то существует такое число са > 0,
что \а — pJq\ > caq~n для всех р е Z и g e N.j
3.16. Пусть Jim у иь = + оо. Докажите, что
ч V (- 1)й
а) 4iicjjo^- -не является квадратичной нррацпо-
п.
нальностью;
б) если —— ^<?> 1 при AeN, то число V— и^
является квадратичной иррациональностью.

3.17. Докажите трансцендентность чисел 28/>2 '
(лиувиллевы числа).
3.18. Пусть Пт у Ий> 1. Докажите, что
V (— l)h
а) сумма ряда 7, — является трансцендентным
nh
числом;
б) если —— ^(?>1 при ieN, то сумма ряда ^ —
ft it
является трансцендентным числом.
3.19. Пользуясь разложениями е — 2j ^Т и е * ~
(-1)"
-—р-, докажите, что:
а) число е иррационально;
б) Ле2 + Be + С ?= 0, если А, В, С — целые числа, не
равные пулю одновременно.
3.20. Иррациональность числа я.
а) Пусть
Я/2
1 Г (л2 \п
1п = — \ I — -—¦ г21 cos tdt (n = 0,1, 2, . ..).
—Я/2
Докажите, что /п = Р„(я2), где i\—-алгебраический мно-
многочлен степени не выше п с целыми коэффициентами;
б) выведите отсюда, что я2 (а следовательно, и я) —
иррациональное число.
3.21. Иррациональность значений экспоненты в ра-
рациональных точках.
а) Пусть
х
Г /г\ 1 | ('г2 t2\n pi rlt (n П ( 9 ^
т j
Докажите, что
где Л„, 5„ — алгебраические мпогочлепы степени п с це-
целыми коэффициентами;
б) выведите отсюда, что er^Q, если reQsr^=0.
3.22. Иррациональность значений тангенса в рацио-
рациональных точках.

а) Пусть
ж
In(x) = - Г (х2 — t2f cosidt (ra = 0,1,2, ...)•
—ж
Докажите, что /n (x) = Cn (ж) cos x + Sn (x) sin x, где Cn,
?„ — алгебраические многочлены степени не выше п с
целыми коэффициентами;
б) выведите отсюда, что tgr^Q, если reQ.r^O.
Глава II. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 1. Вычисление пределов
1.1. Пусть xn = -j=
. Найдите пре-
преу- л \ l)
дел limj;n.
1.2. Пусть a;ra = к п —n~~ • Найдите supa;K, inf xn,
lim г», lim xn.
1.3. Найдите пределы
о—nh/(n+h)
a) lim 2 2^cos/|; б) lim
1.4. Вычислите предел последовательности {х„}, где
П sinf—
11 8Ш „3/2
1.5. Пусть не R и ж„= J? f—^1-)"- Найдите предел
lim xn.
1.6. Пусть 5И =
а) Найдите предел 1цп?„;
б) выясните характер монотонности последовательно-
последовательности {SJ;
в) верно ли, что Sn < 2 при любом и е N?
1.7. Вычислите предел lim— ¦/(« +1)(ге +2)... (п + п).
1.8. Пусть последовательность натуральных чисел
{кп} такова, что кп/п -+ р, кп s? п. Вычислите предел

1.9
a)
б)
в)
г)
и)
. Найдите
lim
lim
lim
lim
T Z
У. -
пределы
к
'.п
к
2'
к -\- п
. я
sin -р
1
У'к
1.10. Найдите пределы
a) lim sin {2леп\); б) lira resinBяеге!);
в) limre2siaBnere!); г) lim nv sin(n(V2 + 1)").
1.11. Пусть неубывающая положительная последова-
последовательность {xj имеет конечный предел а. Докажите, что
сходимость ряда 2 (а — хп) равносильна соотношению
Xi ¦ Х2.. . хп ~ Сап при некотором С > 0.
1.12. Пусть а > 0 и хп = у а + ]/ а + . . . + У а
(п корней). Докажите, что
а) хп^1а = 4A+ /1 + 4а); б) Zo - яв
при
(a)
некотором C«x > 0. Чему равно Сг?
Q /- =
о / о
6 + V 6 + ... + у 6 (ге корней).
Докажите, что 2 — хп ~ —'— при некотором С > 0.
A2)
1.14. Пусть р> 1 и тп= у\ + |/l + ... + f^l (re
корней). Докажите, что последовательность {хп} сходится
к положительному корню уравнения хр — х — 1 = 0.
1.15. Пусть р > 1 и {с„} — неотрицательная последова-
последовательность. Положим хп = у с _[_ |/с _|_ _ _ _ +у/сп Для гее
s N. Докажите, что сходимость последовательности {жп}
равносильна ограниченности сверху последовательности
(Ч

1.16. Докажите, что
а) 3= у 1 + 2}/ 1 +
б) 3 = у 5 + lA + 2 ]Л + 3 ]/8 + 4 /9+Т77;
в) cos ж =
. а X , ЗХ ¦. / . а X . ЪХ _ Г . <, X
m2y+ cosy I/ sm2-^- + cosT}/ sin2-g-+...
при I ж I ^ л/2;
r) 9 = ]/3m2u4+u1]/3M4m6 + u6/3u6m8+. ..,где {uj
последовательность чисел Фибоначчи: щ = U2 = 1
и un+i = ц„ + цп_1 при га > 2;
д) 2л;2 = ^2хТйТг + Гх /2xrxr2 + Т2 ]/2хТ2Т3 + ."Г
при х^ 1;
здесь {Г„} — последовательность значений многочленов
Чебышёва в точке х: То = 1, Г, = ж, Гп+1 = 2хТп - Г„_,.
1.17. Пусть хп=у I + У 2 + . . . + ]/ге. Докажите,
"/ 1 /""
что jn->SGK и уа — Xn^yJ/ —•
1.18. Докажите, что хп ->- 0, если ^
а. -[-
-— (а. [ ага + 1\
1.19. а) Докажите, что lim ^едля любой
\ ап j
положительной последовательности {aj-
б) Для любого числа a IS? e укажите такую положи-
положительную последовательность {aj, что — ^-Ч -> а.
\ ап j
1.20. Пусть {ап} такая последовательность веществен-
вещественных чисел, что an+m s? ап + ат. Докажите, что существует
предел lim (яя/в) е К и он равен inf(an/re).
1.21. Пусть последовательность вещественных чисел
{xj такова, что хп+\ — хп ->- 0. Докажите, что множеством
ее частичных пределов является промежуток с концами
lim xn и lim xn.
1.22. Пусть последовательность вещественных чисел
{xj такова, что xn+i + хп ->- 0. Докажите, что множество

ее частичных пределов либо бесконечно, либо содержит
не более двух точек.
1.23. Пусть последовательность вещественных чисел
{xj такова, что хп — хп-2 -*- 0. Докажите, что — ж„->0.
1.24. а) Приведите пример такой ограниченной расхо-
расходящейся последовательности {хп}, что хп+\ — хп -»¦ 0.
б) Существует ли такая ограниченная последователь-
последовательность {хп}, что Xn+i — хп ->• 0, но последовательность
не имеет предела!.
n
1.25. Пусть {х„) — такая последовательность веще-
вещественных чисел, что при любом С > 1 существует предел
Jim X[Cny Докажите, что последовательность {хп) име-
имеет предел.
§ 2. Усреднение последовательностей
2.1. Пусть {xj — последовательность вещественных
чисел. Докажите, что —(х1 + . . . + хп)^уЬ, если хп -*• L-
Обратное утверждение справедливо лишь при условии
2 к {xk —• Xk—x) = о (re).
2.2. Пусть й„^0 i 4= 2 a/i^>- + °°- Для произ-
вольной последовательности {ж„} вещественных чисел по-
положим
1
Докажите, что
Km хп < Шп ж„ ^ lim ж„ ^ lim xn.
В частности, жп ^^ а, если жп ^^ а (при а„ = 1 отсюда сле-
следует первое утверждение задачи 2.1).
2.3. Пусть 4 — бесконечное подмножество множества N,
А = {пг; п2; . . .}, рп = card{me4|m^n}.
Если существует предел 8 (Л) = lim — pn, то он называ-
называется плотностью множества А (или плотностью последо-
последовательности {пк}). Докажите, что

а) 0(Л)=Пт(ЬЧ);
б) для любого числа а е [0; 1] существует такое мно-
множество 4cN, что 8(А) = а.
2.4. Пусть {хп} ¦— последовательность вещественных
чисел. Докажите, что
а) если г„^-аеК, то - ?d \xh—а|^-0;
б) если при некотором йёК справедливо соотнопте-
1 V i . п
ние — 2л \хь — а I ~^~^-> т0 существует такая последова-
Кк-Кп
телыюсть {пк} плотности 1 (см. задачу 2.3),
в) если последовательность {хп} ограничена и для не-
некоторой последовательности {raj плотности 1 3"nft—*-а-,
1 ^^
то — /_, \xh — а\ —у 0.
2.5. Пусть 0 < а„ < 1 при га е N.
а) Покажите на примерах, что существование одного
Km — (ах + .. . + ап) и lim— {а\ + . . . + а?)
из пределов
не связано с существованием другого;
б) пусть
¦а и
Докажите, что а2 < & < а и что & может принимать лю-
любые значения между а2 и а.
2.6. Пусть уп-\ < уп и lim у„ = + °°. Если последова-
последовательность вещественных чисел {ж„} такова, что существу-
существует предел Пт " __ "~'-=1еЕ, то —->Z (теорема Штоль-
ца — дискретный аналог правила Лопиталя). Сформули-
Сформулируйте и докажите подобное утверждение для неопреде-
0
ленностей типа -г-
2.7. Докажите, что
а) 2 Т^1пге;
2
2

У hJl^J^Ln1^ (сс<1);
Jmt l-a, 1 — ее ч "
1
д)
2тга
2.8. Докажите, что
а) ^j к ~- re (tx>> 0),
б) 2 kah - пт (а < 0);
в) S Л!~Лг! (й>0);
Д) S^!
Результаты задач 2.9, 2.10 играют большую роль в ма-
математическом анализе. Они будут использоваться при ре-
решении многих последующих задач.
2.9. Докажите, что
-|-= Inn+ v + o(l).
Число f = 0,5772 ... называется постоянной Эйлера.
2.10. Докажите, что
]п (;?!)= 2 lnfc = (rc + j\lnn—n+ C+ оA).
С помощью формулы Валлиса покажите, что С = у]пBя),
откуда следует формула Стирлпнга:
2.11. Докажите, что для всех bgN выполняются не-
неравенства
l) < п\ <УЪт(п/ef еи{Пп).
В частности,

2.12. Докажите, что при п ->- + °°
а) 2 кР = г4г7 ™1+P + ар + оA), если /)е(-1; 0];
°/ JL я = 1 -I- n ~г " ~> 1jp "г ° w> если
ГТ7 п1+Р + 4 "Р + Г2 "Р" + 7р + °A)'
если /; е @; 2].
2.13. Докажите, что при п ->- + °°
а) 2 Т1пРА = ТТТ + С + °A)' еспир>-1;
б)
в)
у А!
2.14. Докажр1те, что
а) ^
б) 2, In AI = -
я — 1 re + С»
2
§ 3. Рекуррентные последовательности
3.1. Пусть хо = а, х\ = Ъ, хп+2 ^= ^-(хп + 2хп+1) (neN).
Докажите, что существует предел lim xn, и найдите его.
3.2. Пусть хо = а, х\ = Ъ. Найдите предел \хтхп в сле-
следующих случаях:
я} я = A — — I ж , 4- — х * (п = 2-3- V
/ П ^ иу 71-1 И 7J 2 \ >>•••/!
б) .т„+1 = (l - ~) .г„ + ~ Хп-г (п е N).
/ 2 \
3.3. Пусть i,eK и жп+1 =2-|— ) хп — 1.
\ П I

а) Для каких значений х\ последовательность ixj
расходится? Какова асимптотика {х„}?
б) Для каких х\ последовательность ixj сходится?
Чему равен Km ж„?
3.4. Пусть Ъ е О?, an-+ «e R и х„+1 = яп + Ьх„. Дока-
Докажите, что
а) хп-+ i _у если|Ь|<1;
в) ж„~5Ь"-1, если |Ь|>1 и 8 = ^
3.5. Пусть последовательность {жп) и число peR
таКОВЫ, ЧТО Х„+1 < рт„ +A — p)xn~l ДЛЯ Любого 72 =
= 2, 3, ... Докажите, что если р > 0, то существует пре-
предел lim;rn eR, а при р =SJ 0 это утверждение неверно для
некоторых последовательностей.
3.6. Пусть положительная последовательность {#„) и
число ре й? таковы, что хп+1^ х^х^Ух при и = 2, 3, ...
Докажите, что если ps@; 2), то последовательность {xj
сходится, а для р<?=@; 2) это утверждение неверно для
некоторых последовательностей.
3.7. Пусть последовательность неотрицательных чисел
ixj такова, что хп <! {хп-\ + хп^.2)/п2 для п — 3, 4, ...
Докажите, что хп = 0{1/п\).
3.8. Пусть ieN, 0 < р < а/к, {xj — неотрицатель-
неотрицательная последовательность. Докажите, что
а) если хп = О f^±±^±^l=±\ т0 Хп=О ((In re)
б) если хп =
в) если хп = О (*-1 + ;; +*-*), то ,и -
и Хп=
3.9. Пусть AreN, Л f + оо,
)
— такая неотрицательная последовательность, что
1
(Ж + + Ж
Докажите, что хп = О (ЛЙРп), если 0 < Р& < 1/A + 6).

3.10. Пусть /teN, An f + oo, A\ > l и (xj — та-
такая неотрицательная последовательность, что хп ^
^ -j- (ж„_! + .. • + #n-fc) при п> к. Докажите, что
А
= 0(e°n(A1...An)-1/k), где .?„ =
Т7=
п у А- — 1
1<з<п у
В частности, хп = О(A + г)п(А\ ... Ап)~ш) для любо-
любого е>0; если же ряд j?\j~^г" сходится, докажите, что хп =
VA
((Al...An)).
3.11. Пусть fcGN,a>0,{in}—неотрицательная по-
последовательность. Докажите, что
а) если Xn<^+^^-\rox
для любого е > 0;
б) если хп ^ -^ ^z:-, то
при 0 < а < к,
1I) при а = к, хп = О {(n\)~a/h) при
\ ^ хп~1 Т" • • • Т" xn—h n 2ft ' ' "' /.
в) если ж„< —— -, то хп = О \е ],
г) если хп< — , то хп = О Ц^ ].
Глава III. ФУНКЦИИ
§ 1. Непрерывность и разрывы функций
1.1. Опишите множества функций /: R->R, обла-
обладающих одним из следующих свойств (е, б, xv x2 e К):
а) Ve Яб>0 (\х\ — х2\ < б =>¦ \f(z\) — /(агг) I < е);
б) Vg>0 Эб (\xl-x2\ <8^ \f(x])-f(x2)\ <е);
в) Ve >0 Эб>0 (xl-x2<8^- \f(zi)-f(x2)\ <e);

r) Ve>0 VS>0
Д) Ve >0 Я6 >0(\xl-x2\ <6=^ \f(xi)-f{x2)l >e);
е) Ve>0 ^8>0(\xl~x2\ <e^ \f(xi)~ f(x2) I <6);
ж) ve>0 Яб>0(!/(ж1)-/(х2)| >е => \xx-x2\ >6);
а) Яе>0 Уб>0(к!-а;21 <6=J- l/(ari)-/(i2)l <e);
u) Ve>0 36>O(xi ~x2<8^ f(xi)~f(z2) <¦&).
1.2. Пусть функция / определена на К- Докажите
эквивалентность следующих свойств функции /:
а) функция / непрерывна на R;
б) множество У (G) = {х (= К | / (ж) (= G} открыто для
любого открытого множества GcR;
в) множество У (Z1) = {х е К | /(ж) е /"} замкнуто
для любого замкнутого множества fcK;
г) для любого ceJ? открыты множества
Г\(- «>; с)) жГ\(с; +оо));
д) для любого сеК замкнуты множества
Г\(-°°; с}) шг\[с\ +«>)).
ж) Достаточно ли условие «для любого сеК мно-
множество/~1({е}) замкнуто» для непрерывности функции/?
1.3. Докажите, что любая функция, определенная на
множестве Е cz [R, имеет не более чем счетное множе-
множество точек разрыва первого рода.
1.4. Пусть Ел, Еп — счетные множества, содержащие-
содержащиеся в [0; 1], Ел П Ец = 0. Определите на [0; 1] функцию,
которая в точках Ец непрерывна только слева, в точках
Еп только справа и непрерывна в остальных точках от-
отрезка [0; 1].
1.5. Пусть Dn (/) (Du (/)) — множество точек, в кото-
которых определенная на К функция / разрывна слева (со-
(соответственно справа). Верно ли, что если одно из этих
множеств не более чем счетно, то и другое также не бо-
более чем счетно?
1.6. Пусть /о — функция Дирихле:
A при же Q,
при г
а) Докажите, что /0 (х) = Km lim cos2nBjmre!) при лго-
^ т->оо п->оо
оом ieK.
б) Существует ли такая последовательность непре-
непрерывных па К функций {/„}, что /0 (ж) = lim fn(x) при
П-»оо
любом х <= [R?

1.7. Докажите, что множество точек разрыва произ-
произвольной функции, определенной на промежутке А с К,
есть множество типа FQ, т. е. объединение последователь-
последовательности замкнутых множеств. Верно ли это, если функ-
функция определена на произвольном метрическом про-
пространстве?
1.8. Определите на К функцию с заданным множе-
множеством точек разрыва Е, если:
а) Е — замкнутое множество;
ос
б) Е = U Еп, где Еп — замкнутое множество для лю-
бого heN.
1.9. Определите на интервале @; 1) такую функцию,
что любой непустой интервал А <=:((); 1) содержит кон-
континуум ее точек непрерывности и точек разрыва.
1.10. Докажите, что функция /, определенная на про-
промежутке <я; ЪУ, непрерывна тогда и только тогда, когда
а) функция / обладает свойством Коши (т. е. образ
каждого промежутка (р; q) <= <я; ЪУ является промежут-
промежутком) и
б) множество f~l({y)) замкнуто для любого jeK.
1.11. Докажите, что определенная на отрезке [я; Ь]
функция непрерывна тогда и только тогда, когда ее гра-
график связен и замкнут.
1.12. Пусть Е с К, функция / определена на Е и
имеет в каждой неизолированной точке множества Е ло-
локальный экстремум. Докажите, что тогда множество f(E)
не более чем счетно. Верно ли это, если Е — сепарабель-
ное метрическое пространство? произвольное метрическое
пространство?
1.13. Опишите все непрерывные на отрезке [а; Ъ\
функции, имеющие в каждой точке интервала (а; Ъ) ло-
локальный экстремум.
1.14. Пусть функция / определена и взаимно одно-
однозначна на промежутке (я; Ъ) и непрерывна в точке
с^(а; Ъ).
а) Обязательно ли функция / ' непрерывна в точке
/(с)? Всегда ли /"' имеет односторонние пределы в точке
/(с)?
б) Будет ли функция / ' непрерывна в точке /(с) при
условии, что / строго монотонна?
1.15. Пусть /eC(((i; &>). Докажите, что функция /
взаимно однозначна тогда и только тогда, когда она стро-
строго монотонна.

1.18. Пусть положительная функция / определена и
дифференцируема на промежутке [а; +°°). Докажите,
что если inf/'(а.-)/У(ж)>0, то
а) 1{х) = °(/(A + б)ж)) при х ^+оо для любого б > 0;
б) /"'(z) ~ /~'(ez) ПРИ z -> + оо для любого е > 0.
1.17. Докажите, что если /еС([0; +°°)) и для лю-
любого х З5 0 существует предел limf(nx), то существует
предел Пчг / (ж)- Докажите ото, если предел lim / («,г)
существует лишь для точек х из некоторого непустого
замкнутого множества без изолированных точек.
1.18. Определите на [0; + °°) функцию /, удовлетво-
удовлетворяющую условиям:
а) Пт / (пх) = 0 для любого ie[0; + °°);
П->ос
б) / ограничена на любом конечном промежутке и
имеет разрывы только первого рода;
в) множество частичных пределов функции / на бес-
бесконечности заполняет К (ср. с задачей 1.17).
1.19. Определите на [0; + °°) функцию, удовлетворяю-
удовлетворяющую условиям:
а) lim / (пх) — 0 для любого х е [0; + °°);
п->оо
б) множество значений / на любом непустом интерва-
интервале А с [0; +оо) заполняет R (ср. с задачей 1.17).
1.20. Докажите, что если /еС([0; +°°)) и f(x+h) —
— f(x) -*¦ 0 при х ->- + оо для любого /ге К, то / (х + h) —
— / [х) ZX- 0 при х -> + оо на любом конечном промежутке,
и, следовательно, функция / равномерно непрерывна
на [0; +оо).
1.21. Пусть б > 0, /еС([0; 1]). Будем говорить, что
график / имеет горизонтальную хорду длиной б, если
найдется такая точка ie[0; 1—6], что f(x) = f(x+8).
Докажите, что если /@)=/A), то для любого га (= N
найдется горизонтальная хорда длиной 1/га. Пока-
Покажите, что д.чя хорд другой длины это, вообще говоря,
неверно.
1.22. Докажите, что если /еС(К) и f(x + h)~
~ 2/(ж) + f(x — h)->- 0 при h ->¦ +оо для любого ieK,
то / — линейная функция.
1.23. Будем говорить, что функция /: R—>¦ К непре-
непрерывна по Чезаро, если из условия
~ \х 1 + • • • + хп) —*¦ х0

следует, что
Опишите все функции, непрерывные по Чезаро.
1.24. Пусть f(x) = П A + zlft) при 0 =ss х < 1. Дока-
жите, что:
а) существуют такие С\ > 0, Сг > 0, что С\ ^
<У1 - ж/(ж)<С2 для всех хе[0; 1);
б) функция 1/1 —zf(z) не монотонна на промежут-
промежутке [0; 1);
в) функция VI — xf(x) не имеет предела при х -*¦
-» 1-0.
1.25. Существует ли непрерывная на промежутке
[0; 1] функция, у которой- все множества постоянства
счетны (равномощны N)?
1.26. Пусть функция / определена и раздельно непре-
непрерывна на квадрате Q = [0; 1]Х[0; 1]. Докажите, что най-
найдется такая последовательность {/„} функций, пепрерыв-
ных на Q, что /„(ж; у)->- f{x\ у) при любых х, у ег [0; 1]
(т. е. / — функция первого класса Бэра на Q).
1.27. Пусть функция / определена и раздельно непре-
непрерывна на R2. Докажите, что если / обращается в нуль
на всюду плотном в [R2 множестве (т. е. множестве, за-
замыкание которого совпадает с R2), то / = 0.
§ 2. Полунепрерывные функции
Пусть AcR — произвольный промежуток. Функ-
Функция /, определенная на А и принимающая, может быть,
значение — °° (+ °°), называется полунепрерывной снизу
{сверху), если
для любой точки аеД.
2.1. Пусть функция / определена на К. Докажите, что
следующие свойства функции / эквивалентны (сравните
с задачей 1.2):
а) функция / полунепрерывна снизу;
б) множество f~l((c; +°°)) открыто для любого
в) множество /~1((—°°; с]) замкнуто для любого

г) если хп -*- а, то / (а) < sup / (хп);
nsN
д) для любой точки sgR и любого числа е > 0 най-
найдется такая окрестность V точки а, что f(z)>f(a)—z
при х е У.
2.2. Докажите, что
а) характеристическая функция множества Е а К
полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда мно-
множество Е открыто;
б) функция /: К->С?, определяемая равенством
( 0, если х — иррациональное число,
j tx\ = i/n, если х = т/п, где п е N, m e Z и то/ге —
[ несократимая дробь,
полунепрерывна сверху.
2.3. Докажите, что если функция полунепрерывна
снизу на отрезке [а; Ъ] и принимает лишь конечные зна-
значения, то она достигает наименьшего значения на [а; Ь]
(и, следовательно, ограничена снизу). Верно ли, что она
ограничена сверху?
2.4. Пусть g — произвольная функция, определенная
на промежутке Дс R, / (х) = Kmg(y),(jeA). Докажи-
те, что функция / полунепрерывна снизу.
2.5. Пусть ifJaeA — семейство полунепрерывных сни-
снизу функций, определенных на промежутке А с; К, и
пусть / (х) = sup /а (х) < + оо для любого х ег Д. Докажи-
те, что функция / полунепрерывна снизу. Верно ли это
для функции h — inf /a? Будет ли функция h полунепре-
А
рывна снизу, если семейство {/cJksa конечно? счетно?
2.6. Докажите, что функция /: [a; b] -> R полунепре-
полунепрерывна снизу, если и только если
[й; Ъ]), g<fl.
§ 3. Непрерывные и дифференцируемые функции
3.1. Пусть
Alf (х) = Дй/ (Ж) = / [х + Д) _ / (*), A«+i/ (Ж) = Д, (д«/ (ж)).
Докажите, что функция / <= С (К) является полиномом
степени не выше т тогда и только тогда, когда
&h V(ж) = 0 при любых i,/igE

3.2. Пусть /€=С'([0; +оо)). Докажите, что f (х) +
+ KX)~^~L е К1 ПРИ х ""*" + °° тогда и только тогда, когда
f{x) ->- L и /' равномерно непрерывна на [0; + °°).
3.3. Пусть функция / дифференцируема на отрезке
[а; Ъ]. Докажите, что если /'(а)/'(&)< 0, то существует
такая точка се(в; Ъ), что /'(с)=0.
3.4. Пусть функция / диффренцируема на [а; Ъ]. До-
Докажите, что если множество
замкнуто при любом ie(R, то /еС'([и; &]).
3.5. Пусть функция / определена на промежутке
[а; Ъ]. Докажите, что f^Cl([a; Ъ]) тогда и только тог-
тогда, когда отношение -^ (/ (х -f- Щ — / (а*)) стремится при
h ->- 0 к конечному пределу равномерно на [а; Ъ].
3.6. Пусть f^C((a; Ъ)) и для любого х<^(а; Ъ) су-
существует конечный предел
Imi ± (/ (х + h) -f(x-h)) = g (х).
а) Докажите, что если g > 0 на (а; Ь), то функция /
возрастает, а если g ^ 0, то функция / постоянна.
б) Докажите,что если geC((e; 6)), то / е С1 ((а; 6)).
3.7. Пусть функции /, g определены на интервале
(а; Ъ) и удовлетворяют условию: для любой точки х s
е(а; &) существует такое положительное число 6* > 0,
что f(x + h)~f(x — h)=2hg(x) при 0 < А < б*. Докажи-
Докажите, что если функция / дифференцируема, то она явля-
является многочленом не выше второй степени. Верно ли это,
если функция / непрерывна? Если обе функции /, g не-
непрерывны на (а; &)?
3.8. Пусть F cz R ¦— замкнутое множество без внутрен-
внутренних точек. Докажите, что существует такая строго возра-
возрастающая функция /еС1(К|), что /' (х) = 0 тогда и толь-
только тогда, когда х е F.
3.9. Пусть /gC([0; 1]). Эквивалентны ли утвер-
утверждения:
а) функция / постоянна на [0; 1];
б) VxeE( /(*)~/(а!)
в) Vxze @; 1K{хп}: хп-±х,хпфх,^п> 'w->0.

Пусть функция / определена на промежутке {a; b} d
ь
с К. Вариацией Var(/) функции / на (а; ЬУ называется
а
наименьшая верхняя граница всевозможных сумм
\f(xk+1) — f(xh)\, где xh<xk+i, xh^<a; ЬУ, к =
I4<
= 1, ..., п. Функция / называется функцией ограничен-
ь
ной вариации на (а; ЬУ, если Var (/)< +оо. Символом
а
V((a; ЬУ) будем обозначать множество всех функций,
имеющих ограниченную вариацию на (а; ЬУ.
3.10. Пусть }^V([a; Ъ}), g(*) = Var(/) (are (а; Ъ]),
а
g(a) = 0. Докажите, что если функция / непрерывна в
точке с <= [а; Ь], то и функция g непрерывна в этой точке.
ь
3.11. Пусть / е С1 ([а; Ь]). Докажите, что Var (/) =
3.12. Пусть 1<а<2, f(x) = x2cos(x-a) приО<ж<1,
/@) = 0. Докажите, что /eF([0; 1]), / дифференцируе-
X
ма на [0; 1],но функция g(х) = Var(/) не дифференци-
а
руема в нуле. Существует ли g'(Q) при а = 1?
3.13. Пусть а, ^>0, /(ж) = ж" cos (яг") при 0 < ж < 1,
/@) = 0. Докажите, что
а) |е7([0; 1]), если и только если а > §;
б) / <= Lipi ([0; 1], если и только если а ^= р + 1;
в) если а<Р + 1, то /eLipT([0; 1]), где 7 =
(Р + 1)
(Р )
3.14. Пусть 0 < ^ < 1. Постройте функцию /е
eLipT([0; 1]), не имеющую ограниченной вариации ни
на каком невырожденном промежутке Д <= [0; 1].
3.15. Укажите такие функции /, geC([0; 1]), что
а) /e=F([0; 1]) H/^Lipa([0; 1]) при любом a > 0;
б) g& V( [0; 1]) и g s Lipa( [0; 1]) при любом a < 1.
3.16. Пусть функция /: [R->-[R непрерывна и 2я-пе-
риодична,

Докажите, что <р е Lipi,2, точнее, что
Ф (и) — ф (v) К 8 [ и — v |1/2 max | / (х) \.
Пусть при ж е [0; 1]
ч 2sfe
1-7Г<ж. ей = 0или1
График функции / изображен на рис. 2. Функцию / на-
называют канторовой функцией (а ее график—«канторо-
вой лестницей»).
3.17. Докажите, что
а) если х=
где eh = 0 или 1, то/(ж) =2 ~х
2*
б) /еС([0; 1]);
в) на средней трети каждого промежутка Де ...ея>
определенного при построении канторова множества (см.
§ 1.1), функция / постоян-
постоянна и принимает значение
1/2
1/4
П
/Г
Г!
!
3.18. Найдите длину гра-
графика канторовой функции.
3.19. При каких а > G
канторова функция входит в
класс Lipa([0; 1])?
3.20. Пусть К — обобщен-
обобщенное канторово множество,
Де...^ —сегменты п-то ран-
ранга, участвующие в определе-
определении множества К (см. опре-
определение обобщенного кан-
канторова множества в задаче 1.1.31). Пусть, далее, а =¦
= infi?, b = snpK, 68 sn— интервалы, удаляемые из
сегментов Дв ...в„ при построении сегментов (п + 1)-го
ранга. Определим на [а; Ъ\ функцию ф следующим об-
образом:
Ф (а) = 0, ф (ж) = 1/2, если ж <= [а; Ъ] \(Д0 U Д2);
О 1/9 2/91/3 2/31/9 8/9
Рис. 2
V 8"
если х i
-= sup {ф (t) | а < i < ж, if ^ if}, если х i
/t, а -< ж.

Функцию ф будем называть канторовой функцией, соот-
соответствующей множеству К.
а) Докажите, что функция ф возрастает и непрерыв-
непрерывна на [а; Ъ].
б) Докажите, что для любой точки хо^К ж любого
числа h > 0 справедливо неравенство
+ h) — ф (хо — h) > О
(функция ф возрастает в любой точке множества К).
3.21. Пусть F cz R — замкнутое множество без изоли-
изолированных точек. Докажите, что существует такая функ-
функция /^ C(R), что
а) /'(х) = 0 при любом ieK\.F;
б) f(x + h)—f(x — h)>Q при любом х ^ F и лю-
любом h > 0.
Говорят, что функция /, определенная на промежут-
промежутке Д, содержащем точку с, принадлежит классу Lip (а; с)
(а>0), если существуют такие положительные числа L
и б, что \f{x) — f(c)\ ^L\x~~ c\a для любой точки х из
пересечения А Л (с — б; с + б).
3.22. Пусть а>0, /еС"(Д), М>= (же Д|/'(а:) = 0}—
множество критических точек функции /. Докажите, что
а) если /'eLip(a; с) для любой точки сеД, то
N0 = ixe A|/eLip(l + a; x)}\
б) если функция / дважды дифференцируема на Д, то
N0 = {xs A|/e= LipB; x)}.
§ 4. Непрерывные отображения
4.1. Пусть P(z) = ao+ а^+ ... + amzm (z es С)- До-
Докажите, что образ P(F) любого замкнутого множества
F cz С снова есть замкнутое множество. Верно ли это
для произвольного многочлена от двух переменных?
4.2. Пусть
Го = {г е С 11 z | = 1, г ф — 1}; ср (z) = Im z/A + Tlo z).
Докажите, что ф есть взаимно однозначное отображение
Го на К. Найдите ф.
4.3. Существует ли разбиение отрезка [0; 1] на два
непересекающихся множества А и В, каждое из которых

можно отооразить на другое взаимно однозначно и вза-
взаимно непрерывно (гомеоморфно)?
4.4. Определим на отрезке [0; 1] функции ф и f сле-
следующим образом. Пусть ^е [0; 1|, t = 'Ei3~hah, где
at = 0, I, 2. Тогда ф @ = 2 3~ftpft, где Pi = «i; p2 = a2,
если a2 — четное число, [52 = 2 — аз, если а2 — нечетное
число; р„ = а2,г-ь если аг + а4 + ... + агп~2 — четное чис-
число, и р„ = 2 — a2n-i, если а2 + а4 + ... + а2„_2 — нечетное
число (п > 2). Аналогично 1|) (i) = 2 3""ftYft> где у, = а%
если ai—четное число, и у, =2 — а2, если ai — нечет-
нечетное число; у„ = а2п, если ai + аз + ... + агп-i — четное
число, и у„ = 2 — а2п, если а\ + аз + ... + a2n-i — нечет-
нечетное число (п > 1).
а) Докажите, что функции ф и -ф корректно опреде-
определены и непрерывны.
б) Пусть /: [0; 1] ->- К2 — отображение с координат-
координатными функциями ф и г|> (/@ = (ф(^); ^(^) ПРИ ^е
^ [0; 1]). Докажите, что / отображает отрезок [0; 1] на
квадрат [0; 1]Х[0; 1]. Схематически отображение / опи-
описано на рис. 3. Каждый из отрезков А*, к = 1, 2, ..., 9,
а Ъ
* I
14 J
^—I 1 , 1
i ; . l.
i^
Л3 /J^ /JT Jf7 /i7 i's Л5
ff //9 2Л9 37^ 4/i? ¦Vi' c/S1 7/J d/S 1
Рис. 3
отображается на квадрат с тем же номером (рис. 3, а).
На рисунке 3, б показан обход единичного квадрата при
разбиении отрезка на 92 частей.
в) Докажите, что система уравнений
имеет не более четырех решений при любых |, г\ е [0; 1].

Укажите g, rj, для которых эта система имеет четыре
решения.
г) Докажите, что множества постоянства функций
ср и i|; (т. е. множества ф~'({с}) и ^"'({с}), сеК) не
имеют изолированных точек.
д) Докажите, что ф, а|) е= Lipi/2( [0; 1]), но
Ф, 4' ^ Lip«( [0; 1]), если а >1/2.
4.5. Непрерывное отображение отрезка на квадрат
называется кривой Пеано. Пусть и и v — координатные
функции произвольной кривой Пеано, заданной на от-
отрезке [0; 1]. Докажите, что если и, yeLip«([0; 1]), то
a ^S 1/2. (Таким образом, гладкость координатных функ-
функций кривой Пеано, построенной в предыдущей задаче,—
наилучшая из возможных.)
4.6. Докажите, что любые два обобщенных канторо-
вых множества гомеоморфны, т. е. между ними можно
установить взаимно однозначное и взаимно непрерывное
соответствие.
§ 5. Функциональные уравнения
5.1. Опишите все функции f^C(X), удовлетворяю-
удовлетворяющие уравнению fBx) — f(x) при любом я<=Х, в следу-
следующих случаях:
а) Х = К; б) Х = @; +«>)'.
5.2. Пусть функция /: R->fl? удовлетворяет урав-
уравнению
Докажите, что:
а) f(rx) = rf(x) (reQ, x€= К);
б) если функция / ограничена сверху на некотором
непустом интервале, то она линейна, т. е. f(x) =
= ах(х(= К),где д = /A);
в) если функция / разрывна хотя бы в одной точке,
то ее график есть плотное в К2 множество.
5.3. Опишите все монотонные функции /: @; + сю)—>¦
~>S, удовлетворяющие уравнению /(ху) == /(х) + / (у)
(ж, у>0).
5.4. Опишите все функции /eC(R), удовлетворя-
удовлетворяющие уравнению
при любых i,

5.5. Найдите все функции /: R->[R, удовлетворяю-
удовлетворяющие системе уравнений
при х, у е R.
5.6. Пусть веЧп>1. Опишите все такие функ-
функции /: K->[R, что f(x + yn) = f(x) + fn(y) при любых
5.7. Пусть функция /еС (К) при некотором о > О
удовлетворяет условию
при любых а;,!/еК. Докажите, что / представима в ви-
виде суммы линейной функции и функции, не превосходя-
превосходящей о по абсолютной величине.
5.8. Пусть функция /еС(К) удовлетворяет условию
при любых i,yeK. Докажите, что f(x) = ax2 при лю-
любом геК, гдеа = /A).
5.9. Пусть функция /еС(R) удовлетворяет усло-
условиям /^0, f{x)f(y) = f(i х2 + у2) при любых ж, г/eR.
2
Докажите, что f(x) = eax при любом геК (а — фикси-
фиксированное число).
5.10. Пусть а > Ь > 0. Опишите все такие функции
/sC(@; +°°)), что разность f(ax) — f(bx) не зависит
от х^@; +о°).
5.11. а) Опишите все функции среС((О; 1]), удов-
удовлетворяющие условию ф (х2) = 2ф (х) при 0 < х К. \.
б) Опишите все неубывающие функции /еС(@;1)),
удовлетворяющие условию f(x2) — f2(x) при 0<ж<1.
5.12. Найдите такую непрерывную строго возрастаю-
возрастающую функцию /: R-vR, что f(x2)=fi(x) при любом
геК. '_
5.13. Пусть /? = {ге С [ | z| <! 1}. Найдите все не^
прерывные взаимно однозначные отображения / круга В
на себя, удовлетворяющие условию /(z2) = /2(z) для
всех z^B.
5.14. Докажите, что существует единственная моно-
монотонная функция /:[O;l]-v[R, удовлетворяющая усло-
условиям
f(x) = 2f{x/3) и /
при любом х е= [0; 1].

5.15. Найдите все функции /еС2 (К2), удовлетво-
удовлетворяющие условиям
/(«; y)=*f(v, х)
При ЛЮбыХ X, У, Z 6E R.
5.16. Для каких непрерывных функций /: R->K
найдется такая функция g: [R2->R, что f(.xy) =
( f())(\R)?
Пусть G и б' — произвольные группы (с мультипли-
мультипликативной записью групповой операции). Отображение
ф: G -*¦ G' называется гомоморфизмом, если оно сохра-
сохраняет групповую операцию, т. е. если ср(ху) = ф(ж)ф(у),
для любых х, у е G. Если ?' — группа комплексных чи-
чисел, равных по модулю единице, то гомоморфизм груп-
группы G в группу S1 называется характером группы G,
5.17. Найдите общий вид характеров в группах:
a) Z; б) Z X Z; в) Zm (группа вычетов по мо-
модулю т).
5.18. Найдите общий вид непрерывных характеров в
группах (аддитивных): a) R; б) Кп; в) К X Z; г) С и
группах (мультипликативных); д) S1; e) R+ = @; + оо);
ж) С=С\{0}.
5.19. Опишите все непрерывные гомоморфизмы ф
группы G в группу G' в следующих случаях (использу-
(используются обозначения, введенные в предыдущей задаче):
a) G = R, G' = К; б) б = R, б' = R+;
в) б = R+, б' = К; г) б = R+, б' = R+;
д) с = R, б' = 51; е) б = С, б' = С.
Глава IV. РЯДЫ
§ 1. Сводимость
1.1. Сходится ли ряд*) 2^f"< гДе еп = 0, если в деся-
десятичной записи числа п имеется цифра 9, и е„ = 1 в про-
противном случае?
*) Напомним, что 2 ап — обозначение для ряда 2 а
п-

1.2. Сходятся ли ряды:
а
) V |cos2n|. g \ |sin(«+inra)|. ,
, о тг V COS F in It)
l.o. Докажите, что ряд 7, - — сходится лишь
при а > 1.
1.4. При каких р > 0 сходятся ряды
; б) yiZLii ; в) >arccosp , , ...
где v(n) — число цифр в десятичной записи числа п!
1.5. Сходятся ли ряды
„a
Здесь х(п) — число делителей числа п, рп — п-в простое
число, ф(га) — число взаимно простых с п чисел, мень-
меньших п.
1.6. Докажите, что при а> 1 ряд
у± *
** па |sin(nV2n
01
сходится.
1.7. Сходятся ли двойные ряды:
min i
. V max (re; т) , ,
В/ Ai ТТ Т~> / ^d 5 , 5 >
; (и; т) \ "S НОД {п; т) ш
. VI
IIOK(re; то)
Здесь НОК(/г; пг) — наименьшее общее кратное чисел п
и т; НОД (га; т) — наибольший общий делитель чисел п
и та; е(тг; т?г)=1, если числа га и ??г взаимно просты,
е (га; ттг) — 0 в противном случае.
1.8. Проверьте, что сумма ряда
i-±+±_i+!+±_!+i+±_i+l+A_
1+2 + 2 1+4 + 4 2 + 4 + 4 2 + 8 + 8
_±4-! + J--- + - +--- + -+--- +
4 + 8 + 8 4 + 8^8 4 ^ 8 ^ 8 4 + --*

(группа членов -^ + ¦^т — — повторяется 2" раз)
равна 1. Укажите перестановку, после которой сумма
ряда станет равной — 1.
§ 2. Свойства числовых рядов, связанные
с монотонностью
2.1. Пусть а„ >0, ап\. Докажите, что сходимость ряда
2 arccos2 (an/an+1) равносильна ограниченности после-
последовательности {ап}.
2.2. Пусть ап I 0. Докажите, что
а) ряды 2% и 22™а2„ сходятся или расходятся од-
одновременно;
б) если 2а»== + оо> т0 2min(a»; 1/га) = + °°;
в) если 2 ап/п = + оо, то 2A/") min(an; 1/ln я) = + оо
В решении многих последующих задач используется
преобразование Абеля для рядов: если последователь-
последовательности {ап} и {bj таковы, что последовательность ianBn}
сходится (здесь Вп = Ъ\ + ... + Ъп), то ряды 2 аЛ и
2 (ап — an+i) Вп сходятся или расходятся одновременно.
В случае, когда ряд 2 Ьп сходится, может оказаться по-
лезпым другой вариант этого утверждения: если после-
последовательность {а„рп} сходится (здесь рге = Ъп + &n+i + ...),
то ряды 2 ап^п и 2 (ап — a-n+i) Pn+i сходятся или расхо-
расходятся одновременно. Доказательства этих утверждений
легко получить, применяя преобразование Абеля (см.
гл. I, § 2) к суммам 2 «А- Преобразование Абеля
особенно удобно применять в случае монотонной после-
последовательности {а„}.
2.3. Пусть ап \ 0. Докажите, что 2 ап < + °° тогда и
только тогда, когда а„ = оA/?г) и 2(ап — an+1)n<i + оо.
2.4. Пусть а„ \ 0. Докажите, что 2(а?»/га) < + °° тогда
и только тогда, когда а„ = оA/1птг) и 2 (а» — an+i) lnre<
<+ оо.
2.5. Пусть р > 1 и ап\ 0. Докажите, что из сходимо-
_!L_. вытекает сходимость ряда 2 а%. Суще-
ственна ли монотонность?

2.6. Пусть ап ^ 0. Докажите, что
а) если ряд "^апхп сходится, то ап 2 #й = оA);
б) если а„>0 для всех n = N, то существует такая
неотрицательная последовательность {а;,,}, что ап 2 xfe =
== ° A) и 2 атАг = + оо.
Существенна ли монотонность {ап} в утверждениях
а) и"б)?
2.7. Пусть 4,Юи ряд 2хп сходится. Докажите, что
РЯД 2а?А СХОДИТСЯ И 2 айЖ& = °{ап)-
2.8. Пусть /?>0, 5,?eN, (?>1. Пусть {«^-не-
{«^-неотрицательная последовательность и Лге =¦«[ + ...+ ап.
Докажите эквивалентность следующих утверждений:
2.9. Докажите, что ряд 2вГ~\л^ сходится, если 8 > 0 и
последовательность {xj такова, что — ^ хк-+0. Всегда
Kk-in
ли сходимость абсолютная? Всегда ли сходится ряд
2.10. Пусть а„ 4 0, Ъп\0 и 2ап==2^«= +°°- Всегда
ли расходится ряд ~^тт (an; bn)?
2.11. Пусть ап > 0 и ?„ = fli + ... + а„, ^„ -> «>. Дока-
Докажите, что
^1==+00' б) У~^7< + °° при любом в>0.
2.12. Пусть ап^0, 2ап< + °° и а„ = 2 aft« Дока-
жите, что
в)
е
г) Всегда ли V т/===¦ < + °°

2.13. Пусть р>1, ап>0 и '¦п = 2аь< + °°- Дока-
жите, что
a) 2
а) 2fln<42y rn/n;
б) если гл = О(п~а) для некоторого а > О, то
для любого g > /?/(<% + 1).
2.14. Пусть {aj — положительная монотонная после-
последовательность, ап ^ 1 для всех номеров п и an-^a<+°°.
Докажите, что ряд
расходится, если а — 0 или а = 1, и сходится в осталь-
остальных случаях. Что будет при а=+°°?
2.15. Пусть / — положительная возрастающая на про-
промежутке [1; + °°) функция и /(#)->- + «> при ж -^ + оо.
Докажите, что ряды
сходятся одиовреметтпо (/ '¦—обратная к / функция).
2.16. Пусть функция / убывает к нулю на промежут-
промежутке [0; +°о); последовательность {aj неотрицательна и
ограничена, ^ап— + оо. Докажите, что ряды 2/(?г) и
^i ап!(а1 + . . . + а„) сходятся ими расходятся одновре-
одновременно.
2.17. Пусть ап \ 0 и 2ап = ^- Для произвольного
множества vcN суммой частичного ряда, соответству-
соответствующего v, будем называть величину A (v) = JLi яп (по
определению Л@) = 0). Докажите эквивалентность сле-
следующих утверждений:
а) суммы всех частичных рядов заполняют промежу-
ток [0; А];
б) ап «S an+i + а„+2 + ... для всех номеров п.
2.18. Существует ли такой ряд ^ап, что а„ ¦!• 0 и сум-
суммы всех его частичных рядов (см. 2.17) заполняют кан-
торово множество?

2.19. Пусть а„ I 0 и 2an= + сю- Докажите, что суще-
существует такая последовательность номеров inh}, что nh<
<nh+u Япй<1/& и 2anft= + оо. Можно ли отказаться
ОТ МОНОТОННОСТИ {<Jn}?
2.20. а) Докажите, что если ряд 2 ап сходится, то
найдется такая последовательность Хпt+°°, что ряд
2 ап^п сходится.
б) Пусть ряд 2 я" расходится, Х„ -> +°°. Всегда ли
будет расходиться ряд 2^"ап? Что будет, если Хп t +°°?
2.21. Пусть {^„} — последовательность положительных
чисел.
а) Докажите, что ряд ^ Т^~ Расх°Дится-
о) Верно ли, что ряд Л «п j расходится, если
п
а„ ! 0 и 2 «п = + °°?
§ 3. Различные утверждения о рядах
3.1. Существует ли такая последовательность {ап},
ап ?= 0, что ряды У, ап и У, —к— сходятся? Можно ли
подобрать положительную последовательность {a,J?
3.2. Пусть ряд 2 ап сходится. Может ли расходиться
ряд 24? 2«п89?
.3.3. Пусть ап>0 и2ап<+ °°- Докажите, что
3.4. Пусть 0 < ап < 1. Докажите, что из сходимости
ряда 2JTH7- CJieWeT сходимость ряда ^ in(l + ra) •1JeP"
но ли обратное утверждение, если ап \ 0? Можно ли от-
отказаться от монотонности?
3.5. Пусть ап>0 ^^-~< + °°- Докажите, что су-
существует такая последовательность номеров inh} плот-
плотности 1 (см. задачу II.2.3), что anh->0.
3.6. Докажите, что следующие утверждения эквива-
эквивалентны:
а) 21 я» I < + °°;

б) для любой последовательности номеров {%} плот-
плотности 0 (см. задачу И.2.3) ряд 2anft сходится.
3.7. Пусть ряд 2 ап абсолютно сходится и 2 аь.п = О
для любого ieN. Докажите, что ап = 0 для любого п.
3.8. Докажите, что если ряд 2 #„2^ сходится для лю-
любой последовательности {хп), стремящейся к нулю, то
К1< + оо.
3.9. Докажите, что следующие два свойства последо-
последовательности {%„} эквивалентны:
а) 2|^п — Vfi| < + оо;
б) если ряд 2 я" сходится, то и ряд 2 ^пап сходится.
3.10. Пусть функция ср монотонна и ограничена на
промежутке [0; +°о). Докажите, что 2ф(8л)ап ->
->- ф( + 0JапДля любого сходящегося ряда2а«-
е->+0
3.11. Постройте положительную последовательность
{aj со свойствами:
а) я«-+0; б) 21G« = + °°; в) если а„й|0, то 2а«^2.
3.12. Постройте положительную последовательность
{aj со свойствами:
а) а„-^0; б) 2 «n = +0;
в) если возрастающая последовательность номеров
г , % -V
т*} такова, что sup-—- <' -(- оо, то ряд 7janb сходится.
3.13. Пусть {«„}—последовательность положительных
чисел. Положим Ап = п\ + .. . + ап, ап = 1 \-...
ап яп+1
Докажите, что следующие шесть утверждений эквива-
эквивалентны:
а) Ап = О{ап); б) а„ = ОA/а„);
в) - " gg ?! < 1 для всех п е N;
г) at < -f оо и —^ii- ^ </2 < 1 для всех neN;
д) а? + . . . + а? = С («п)> если р > 0;
e)-lr + -l-~ + ...=O/-U еСлир>0.
n+i \ I
Из утверждений а) — е) следует утверждение

ж) для любого Q > 1 существует такой номер L = LQ,
что—-—^Q при neN, т. е. последовательность {ап)
а
распадается на L подпоследовательностей Un'} =
= {anL+i} {I = 0,1, . . ., L — 1), каждая из которых ра-
растет не медленнее геометрической прогрессии:--—^ 5г<2-
4г
Докажите, что если последовательность {ап) монотонна,
то ж)=*- а). Верно ли это утверждение для немонотонных
последовательностей?
3.14. Пусть {aj — последовательность положительных
1 1
чисел. Положим Ап — «i + ... + ап, ос„= 1 Ь ...
ап an+i
Докажите, что следующие семь утверждений эквива-
эквивалентны:
а) Ап-1 = о(а„); б) alif] = оA/ап);
в) An-i = o(An); г) а, <+оо и an+i=o(an);
д) а\ + . .. + an-! = o(aft), если р>0;
1 1 / 1 \
-i, если и>0;
"п+1
ж) an_i = о(ап).
Из утверждений а)~ж) следует утверждение
з) у an—v + °°- Покажите на примерах, что з) =?>а)
даже для монотонных последовательностей; если же
¦\f ап\ + оо, то утверждения а) — ж) выполняются.
3.15. Пусть р > 1, ап > 0 и А, = ^—^ — (га е= N).
Докан?ите, что
б)
3.16. Пусть an>0 для всех «eN и ряд 2а" схо-
У а^г • • • ап сходится, а ряд
расходится.
3.17. Пусть функция / определена на R- Докажите,
что следующие свойства функции / эквивалентны:
а) f(x) = O(x) при х -> 0;
б) для любого абсолютно сходящегося ряда ,^ а„ ряд
2j f {(in) абсолютно сходится;
в) для любого абсолютно сходящегося ряда 2 й» РЯД
/ (ап) сходится.

3.18. Пусть функция / определена на К. Если для
любого сходящегося ряда 2 ап РЯД 2 / (я«) сходится, то
f{x) = Cx в некоторой окрестности нуля.
3.19. Пусть счетное множество Q содержится в интер-
интервале @; 1), infB = 0, sup Q = l. Докажите, что для лю-
любого числа х <= @; 1) можно так занумеровать множество
Q = {q\] Q2', ...}, что
9" '
§ 4. Вычисление сумм рядов
В задачах 4.1—4.11 вычислите суммы рядов (суммы
4.7—4.9 выражаются через постоянную Эйлера — см. за-
дачу IL2.9).
4.1.
4-3- 2
4.5. 2d~ an{m), где m e N, m>l и an(m) = l, если
не делится на т, а„(т) = 1 — т, если и делится на т.
4.6. 2 « (ch 2w - 1) е~"\
ifiSffl* I ^ МШ
4.8.
4.Ю.
00
- f —
dx.
4.Ц. 2-
2ПП
X
dx.
ПП

4.12. Докажите, что
Л/2
2 1 __ 4 BЛ')>! Г 2 2jv ,
„2 ~ я BJV — 1)П J X C0S X
В частности,
1 + А. + А.+ +А4
4.13. Пусть s > 1. Докажите, что
б) 2-Чг = ^С1 +.2-)~1A + З-8)-1. . .A+ р-'),
YI П->оо
где pi =¦ 2, j>2 = 3, ...— простые числа, занумерованные
в порядке возрастания; Х(п)—1, если число простых де-
делителей числа п (с учетом их кратности) четно, Я(«) =
= —1 в противном случае (ЯA) = 1).
4.14. Докажите, что
4.15. Докажите, что при UI < 1
а) Z^z^
п = 2da(n} >гд0 т(ге)~"число делителей,
а (??.)¦—сумма делителей числа п.
§ 5. Функциональные ряды
5.1. При каких р, д>0 и х, у <= R сходится ряд
cos-— + sin-f
5.2. Пусть Х„ ->- 0. Сходится ли ряд ^Хие~|Х~г" равно-
'х "'
мерно на R? Оцените sup
„-|х-п|
при условии, что
Unl «S 1 при любом be
5.3. Сходится ли ряд J—)(l + j^_ ( п)- равно-
равномерно на [0; + со)? Оцените sup 2"A+x) (l+^ ___ {{+хПу

5.4. Сходится ли ряд J^mmlxn];-^) при х > 0? Схо-
Сходится ли он равномерно на @; +°°)? Оцените
( 1 '
2j
5.5. Пусть ияе1?, Ьп>0, ап = О(Ьп), 2 ^ = + °°>
и пусть ряд
сходится при UI < 1. Докажите, что ряд
Л (*) = 2 «nin
сходится при UI < 1 и
^< iim Edl
^(
(сравните с задачей 11,2.2). В частности, если ап ~ сЪп,
с Ф 0, то Л (i) ~ cB(t) при t -*• 1 — 0; если ап = о (Ь„), то
/1(/) = о(#(г)) при i^-1-O.
5.6. Докажите, что если ряд 2 ап сходится, то
^ antn->- 2 а« при г-^ 1 — 0 (теорема Абеля).
п.,-о п^О _^
5.7. Если частичные суммы 5„ ряда 2 ап таковы, что
существует конечный продел
.. s1\-...+sn
Jim — = I,
п
то ряд
Л (t) = 2 ajn
сходится при U1 < 1 и A(t) -> L Таким образом, метод
Абеля суммирования рядов (вычисление предела
Iim 2 antn) сильнее метода средних арифметических
(метод Чезаро).
5.8. Пусть &п>0, 2^п= + °° и ряд
^ (о = 2 ып

сходится при \t\ < 1. Если последовательность {ап}п>о
такова, что существует конечный предел
то ряд
сходится при UI<1 и A(t)/B(t)-+l при t-+l — 0.
5.9. Пусть последовательность {ап} такова, что ап >
> -1 при п е N и
Докажите, что при Itl < 1 сходится произведение
11A +antn)=-A (t)
и Л(?)-^Л при i —*- 1 — 0, если 2ап< + °°- Можно ли
отказаться от условия 2 ап < + °°?
5.10. Пусть а > 1/2. Докажите, что
а) Ряд ^n~asm (их уп) сходится при любом з;еК;
б) при 1/2 < а < 1 сходимость равномерная на [а; А],
0 < а< А, но неравномерная на [0; А];
в) при ос = 1 сходимость равномерная на [0; А],
А>0.
5.11. Пусть
Докажите, что
0< Пш (| / (ж) |/ln In ж)< + оо, Ит | / (х) 1 == 0.
5.12. Пусть /(ж) = ^an\smnx\, где а„>0 и 2«п<
< + °°- Докажите, что /^Lipi тогда и только тогда,
когда 2 пап < + оо.
5.13. Пусть последовательность многочленов {Рп)
удовлетворяет условиям:
а) степень Рп не выше т f= N для всех beN;
б) существует конечный предел Р(х) = limPn(х) для
всех же [ос; [3], « < р.
Докажите, что Р является мпогочленом степени не
выше т и PnZj-f1 на любом конечном промежутке.

5.14. Пусть -оо^а<Ь^+оо, fn^C{(a; Ь))\ fn>0
(»eN) и / = 2/п- Докажите, что если функция /
непрерывна на (а; Ь), то
ъ ъ
с ^ с
\ i (т\ Г-':- >' I i 1т\ г1, у
1 J \ ) ^тл 1 III \^J U1""
а а
§ 6. Тригонометрические ряды
6.1. Пусть {Ап), UpJ—числовые последовательности,
Ап -*¦ +°°. Докажите, что в любом непустом интервале
найдется такая точка х, что lira cos (Anx + <pn) = 1-
6.2. Докажите, что ап, bn ->- 0, если
ап cos nx + bn sin nx ->- 0
при п -+ +oo для любых х <= [a; p], a < p.
6.3. Укажите такое множество 2? <= [0; 2п] мощности
континуум и такую последовательность 5п-^+°°, что
smBnxzX-Q па /?.
6.4. Докажите, что 2 (I ап \ + | Ьп |) < + °°> если
2 I «я cos nx + &n sin ш; | ^ const на [a; p], a <C p.
6.5. Докажите, что при х ег @; л)
Sn (x) = sin x + ... + sin nx = О (rain (re; l/z));
Cn (x) = cos x + ... + cos nx — 0 (rain (re; l/ж)).
6.6. Вычислите пределы
я/2 Я/2
.. 1 Г I sin Ах | , ,. 1 (' sin2 Ax л
lira т—j- \ J—: -dx и lira -=—т \ —. dx.
А-^ + оо шА J Sin X A-*+°o шЛ J Sin Ж
о о
Какова асимптотика интегралов (см. 6.5)
я я
С/ 'С1 | fj *У I \ | ^ ( 'У 1 I fi "У )»
I* \ I I ' '• J 1 '* \ / I
—Я
г. п тт ^ ехр (гяге(з: — ln[l/n]))
o.v. Докажите, что ряд У, ————р —— расхо-
у»
дится для любого ieR.
6.8. Вычислите суммы рядов:
> V4 sin nx _ с-\ 'V cos nx .
. v/ / ,. п sin nx _ ч V^ sin ;

6.9. Докажите, что
a) v I sin x I = 1 — 2
б) ~ | cos х | = 1 — 2 \ (— 1
.n cos 2nx
В задачах 6.10—6.21 последовательность {Я„} убыва-
убывает к нулю. При решении этих задач может оказаться
полезным преобразование Абеля (см. § 2).
6.10. Докажите, что ряды ^kn cos пх и 2^»sinnx схо-
сходятся равномерно на любом замкнутом промежутке, не
содержащем точек 2п/с (AeZ)-
6.11. Докажите, что при ie@; л)
6.12. Докажите, что ряды 2 \i sia. nx sin тх и
%п cos гаж sin mx (m e Z) равномерно сходятся на R.
6.13. Докажите, что если g (х) = ^ Хп sin пх для
то
я
2 [
= — g (x) sin m-.r
0
6.14. Докажите, что равномерная сходимость ряда
2 ^n sin пх на R равносильна соотношению Хп = о(Цп).
6.15. Докажите, что равномерная ограниченность ча-
частичных сумм ряда 2 ^nsi'inx равносильна соотноше-
соотношению А„ = ОA/п).
6.16. Пусть Кп — ОA/п) и функция ф абсолютно ип-
тегрируема на промежутке [а; Ь]. Докажите, что ряд
2 Ancp(a,-)sinna; можно почленно интегрировать на про-
промежутке [а; Ъ]. Используя результат задачи 6.8.а), вы-
вычислите сумму ряда 2 п~2-
6.17. Пусть /(ж)=2 К, cosnx. Докажите, что
J | / (х) | dx < + оо, если ^~К<+ оо.

6.18. Пусть g(x)= S Ksinnx. Докажите, что
f Is(x) I dx < + oo тогда и только тогда, когда
1Л»<+ ОО.
л
6.19. Пусть 2^-А,п<+сзо, / (ж) = 2 Я^, cos пж,
2^-» s^n nxi ФеС([0; я])- Докажите, что ряды
2^-пф B-')C0S пх и S^-пф (ж) sin пх можно почленно интегри-
интегрировать на [0; п]. В частности,
п
\
f (x) cos mx dx = у A,m (meN),
о
6.20. Докан<ите, что при ж е @; л\
. 'V sin А:ж п й\ "V cos *
6.21. а) Пусть g (x) = 2^ ~f 8ш иа;» Докажите, что
на [0; я].
б) Пусть / (х) = у + ^ ?и„ cos пх. Докажите, что ес-
если последовательность {Хп)п>о выпукла и А,„ -*¦ 0, то / ~> 0
на R и |/(ж)^< + оо.
о
6.22. Пусть Sn (х) — n-я частичная сумма ряда / (х) ==
2 sin пх ,- г> / \ тт
, Мп — max 5n (ж). Докажите, что
(явление Гиббса).
6.23. Пусть 1(х)= 2 chexkx. Докажите, что
\h\<N
Г
тГ при А = ±1« ••- ±7V' если

6.24. Пусть /(я) = 22 ncos4n?. Докажите, что /е
е Lip 1/2, но /^ Lipa при а> 1/2.
6.25. Пусть f(x) = 2 4~" sin 3"ж, где Л е= A; 3). Дока-
Докажите, что / е= Lipaj Где a = log3.4, но /^Lips при § > а.
6.26. Пусть /(ж) = 2 3~"'гsin3n^. Докажите, что /е
•='Lipa при любом ае@; 1). Верно ли, что /sLipi?
6.27. Пусть J {x)f~ ^]2™п81п]Bл/<!а) Докажите, что
а) /^Lipa при любом ае@; 1];
б) функция / не дифференцируема ни в одной точке.
6.28. Докажите, что следующие три свойства тригоно-
тригонометрического ряда
эквивалентны:
а) 2 (l«n| + IMX + °°;
б) частичные суммы
SN(x)= 2 (ancosBnx)+bnsiaBnx))
<<N
равномерно ограничены на некотором промежутке
[а; Ь], а < Ъ;
в) частичные суммы Sk (x) равпомерно ограничены
на R.
6.29. Рассмотрим две последовательности алгебраиче-
алгебраических многочленов {1\К»о и {Q>,K>-o (мпогочлопът Руди-
на — Шапиро), которые определяются рекурронтно сле-
следующим образом: Ро==<?о=1,
Рп+1 (z) = Рп (z) + zznQn (z). Qtl+1 (z) = 1>п B) - /'<?„ (г)
(гг = О, 1,2, ...).
Докажите, что
а) степень многочленов Рп и (?„ равна 2" — 1;
б) все коэффициенты многочленов Р„ и <2П равны ±1;
в) если Ы=1, то \Pn(z)\2+ \Qn(z)\2=-2n+1.
6.30. Пусть RN (N = 0, 1, 2, ...) —естественная про-
проекция множества всех алгебраических многочленов на
множество многочленов степени не выше N (Rn анну-
аннулирует одночлены, степень которых больше N, и не ме-
меняет одночлены, степень которых не превосходит N).
Докажите, что при \z\ — 1 и при любых N, п <=, N спра-
справедливы неравенства
Шя {Рп) (s) I ^ Ю W, \RN (Qn) (z)_! <¦ \0(N.

6.31. Докажите, что существует ряд 2 s,k^m, где
ft.>0
Eft = ±l, для всех частичных сумм Sm(Q) которого спра-
справедливы неравенства
a) max |5m(e)|<10 /m;
г
2Я
б) J | 5т (9) | dQ > 1/"/717зТ
6.32. Используя последовательность {гк}к>о из задачи
6.31, убедитесь в том, что существует непрерывная функ-
функция / вида / (9) = 2 ahem такая, что 2 I ak \Р — + °о для
любого р < 2.
6.33. Пусть последовательность {eft} с: С удовлетво-
удовлетворяет условию (ср. с задачей 6.31)
max 2 eAe*'
I Kh<n
Докажите, что при а > О
a) max
eeR
б) max
OeR
в) фугакция /(9) — 2j -г-0-^ет входит в класс Lipa.
6.34. Докажите, что существует такая функция /е
« Lipi/j вида /(9)= 2 сье%т, что 2 |cft|= + °° (ср- с
задачей IX.4,13),
Глава V. ИНТЕГРАЛ
§ 1. Несобственные интегралы от функций
одной переменной
В задачах 1.1 — 1.11 исследуйте сходимость интегралов.
J 1 Г 1 S'D ж I Лх |2 Г dx
* ' J .x2sin2X ' ' ' J l-L«PSin2«'
0? 0 '
+оо 4"°°
1Л. f *" ¦ 1.4. f - x4dx ¦

+°° +00
\dm
«г Г | sin хр \ dx , с Г | . / р , . о \ г
1.5. I ' ~— 1.6. 1 I sm {хр + In* х) I
1 1
+00 4-00
1.7. f —^ . 1.8. Г хр | sin х f dx.
+» +00
1.9. j cos (xb — x)dx. 1.10. J sm{xp-\-ax+b)dx, p>i.
о о
+ 00
1.11. j sin (x In x) dx.

1.12. Вытекает ли из сходимости интеграла J f(x)dx
сходимость интегралов
+оо +оо
a) j f{x)dx; б) j \1(х)ф
1 1
X
1.13. Пусть / (х) = ж""8 j *~2 In 11 — *21 <Й (х > 0). При
о
+ОО
каком е > 0 сходится интеграл J / (x) dx?
+ОО
1.14. Вычислите интеграл Фруллаяи 1 -dx,
о
где функция / непрерывна на [0; +°°) и удошлетваряет
одному из условий:
+ 0О
. С f (х) ,
а) интеграл ] —i-i dx сходится;
1
б) при некотором Т > 0 для всех х > 0 справедливо
раязенство f(x + T) = f(x);
в) существует конечный предел Z = lim / (ж).
+
+ 0О
+
1.15. Пусть интеграл' ) f(x)dx сходится. Докажите,
что

а) для любого е > 0 сходится интеграл j е 8Х/ (х) dx\
о
+ ОО +ОО
б) J e~sxf{x)dx-> \ f(x)dx при е->- + 0
о о
(ср. с теоремой Абеля — задача IV.5.6).
В задачах 1.16—1.38 вычислите интегралы. Некоторые
из них выражаются через постоянную Эйлера у (ом. за-
задачу И.2.9).
+оо л/2
¦L\n\i — x2\dx. 1.17. In (sin x) dx.
о
1.18. \^-dx. 1.19.
J1z
о о
-J-OO -J-00
1,20. f-4-fo. 1.21. f 5™
о о
+ oo +oo
1.22. J^
о
1.24. T-0"^ 1-25.
J x J xz
0 —°O
(a, 6 e R).
-}-00 +°°
1.26. fl^^. 1.27. \^dx.
о 0
1.28. f1-008*^- f ~^Ar.
1.29. j
о
+ OO
1.30.
о
0
f cos{xP) ~cos

1
1.31. f i. dx. 1.32.
J A-х) In2 {1)
dx. 1.32. [dx.
A-х) In2 {1-х) J 1 + ex
1.33. Используя результат задачи 1.2.16.а), докажите,
что
С помощью формулы Стерлинга найдите значение инте-
+ 0О
Р —х2
грала Эйлера — Пуассона j е dx.
—оо
1.34. f e~X ~ e~2X dx, где р= ? — 1, к = 0,1, 2,3,4, 5.
J хр г
о
1.35. j e <?ж. 1.36.
о
л от \ Г sin г , -. f cos ж ,
1.о7. а) I —^=аж; о) 1 —j=dx.
о о
1.38. \ " йж, где я (ж) — число простых чисел, не
J х — х
X — X
о
превосходящих х.
§ 2. Вычисление кратных интегралов
В задачах 2.1—2.7 требуется вычислить данные ин-
интегралы.
2.1. j j \lnx-lny\e-(x+v)dxdy.
о о
2.2. a) J max (ж^ ...; хп) dxl .,. dxn;
[o;i]n
б) I min (Xj^; ...; жп) dxx .., dxn;

2.3.
2.4.
J
Rn
a)
R2
.(max^; ...;*„))
1 A 1 ЛхАУ
e(x +y )/2'
R"
2-6- Ш J ех2+у2-и2-в2 dx dy du dv.
2 222
2.7. J е(Лж' ж'Aа; (ж e R4, Л — положительно опре-
(Ах,х)<1
деленная матрица).
2.8. Пусть
А = \х = (х{, ж2; х3; ж4) е R
Для каких ieR4 конечен интеграл
К (t) = J e-(Xlt) da;?
A
Чему он равен?
В за,дачах 2.9—2.13, говоря о случайном выборе точек,
мы подразумеваем, что вероятность выбрать точку, при-
принадлежащую некоторому множеству, пропорциональна
его мере (длине, площади, объему).
2.9. На отрезке [а; Ъ] случайным образом выбирают-
выбираются две точки. Найдите среднее значение М расстояния
между ними. Какова вероятность Р того, что это расстоя-
расстояние больше Ml
2.10. На отрезке [0; а] случайным образом выбира-
выбираются три числа. Какова вероятность того, что они явля-
являются длинами некоторого треугольника?

2.11. На отрезке [—а; а] случайным образом выби-
выбираются две точки и, v.
а) Что вероятнее: корни уравнения z2 + uz + v = 0
лежат на вещественной оси (вероятность Pi (a)) или кор-
корни этого уравнения не лежат на вещественной оси (ве-
(вероятность Рч{а)I К чему стремятся вероятности Р\{а),
Р${а) при а ->- +°°?
б) Какова вероятность того, что биквадратное уравне-
уравнение z4 + uz2 + v = 0 имеет как вещественные, так и комп-
комплексные корри?
2.12. В единичном круге случайным образом выби-
выбираются две точки. Каково среднее значение 5 площади
круга, построенного'на соединяющем их отрезке как на
диаметре?
2.13. На окружности радиуса R случайным обравом
выбираются две точки. Найдите
а) среднее значение L длины соединяющей их хорды;
б) среднее значение а угла (^я), образованного про-
проведенными в эти точки радиусами.
2.14. Пусть р < 1 и
Ф (ж; У)= J j {{х - uf + (у - vf)-p/2 du dv,
M2+D2«l
T (x; y)= j f In {{x - uf + {У~ vf) du dv.
U2+D2«l
Докажите, чтоФДеС'Д и найдите ?.
2.15. Пусть
2 *ь Д< 1,хг, . ..; я«> о).
«ft<n J
2
Докажите, что при любом (eR справедливо равенство
2.16. Докажите, что при т, п е N, т^.п, [о>0,*спра-
ведливо равенство
f
J(e
n( + 1+...+n) {m
где Ai/(o)==A/(o)=/(o + l)-/(e), A»/(o) = A (An-i/(o)).

2.17, Пусть ah (к ~ О, 1, 2, ..., п) — положительные
числа.
а) Докажите, что для любой неотрицательной и не-
непрерывной на [0; +°°) функции / справедливо равен-
равенство
г.
@-1 -\- (Я2 &l) Х1 "Г @-3 ^2/ "^1^-2 "Т • • •
I / ~ \ \ П—1 П—2 7 j
= j ...) j(ao + (al — a0)x1 + (a2 — ао)хг+ ...
Qn
. . . -f- \ttn ^0/ ^n) Q'^'l • • • Q^ni
где
= (К; ...; xn)
KKti
б) Вычислите интегралы
. ,ж„>о].
J
С С тп-1 п-2 ¦,
I I xi X2 xn—i axi • ¦ • xn
L0;i]« (а1+(а2-Я1)Ж1 + (а3-а2)Ж1Ж2+- • •+(во-вп)ЯГ ' •Г»Г+1'
Г ^ • ¦ ¦ dxn
' ' ' J («„ ¦+¦ («!-%) ^ + («a -«„) ^2 + • ¦ • + {«n ~ «o)*n)"+1'
2.18. Докажите, что
а) если функция / непрерывна и неотрицательна на
то
R-
б) при 0 < р < '] и а& <= К (А: — j , 2, . . ., п) спра-
справедливо равенство
^ L{a'
2.19. Пусть /еС2([0; 1]Х[0; 1]). Найдите предел

Глава VI, АСИМПТОТИКА
§ 1. Асимптотика интегралов
1.1. Пусть - °° <а< Ь«? + оо; /, ge=C([a; b)), g>Q.
Докажите, что
ь
а) если \ g (t) dt = + оо и / (t) ~ g (t) при t ->- b — 0, то
а
\f{t)dt~§g (t) dt при х -у Ъ — 0;
а а
Ъ
б) если \ g(t) dt = + оо и f(t) = o(g(t)) при t-^Ъ—0,
а
ж / ж \
то j / (*) Л = о\§ g (t) dt при х -> Ь — 0;
в) если ^g(t)dt<: + оо и /(i)~ g(f) при t-+b — 0,
а
6 Ь
то §f(t)dt~ j ir@^ ПРИ ж->Ь —0;
X X
Ь
г) если § g(t)dt< + оо и f(t)=o(g(t)) при t-+b — 0,
а
ь
то j / (г) dt = о М g (t) Л при ж ~> Ъ — 0.
1.2. Найдите асимптотику при I->-1—0 интегралов
t
а) / \i) —
о
1
е-л <чр /4\
Oj Jt {LJ —
О
Л
=
1 — 2* cos г + Г
о

1.3. Найдите асимптотику при А -*¦ +°° следующих
интегралов:
%А А
А
в) j | sin ж | еа!х dx (a <= R); г)
я
+ 00
д) j Л~х йж (а <= К).
А
1.4. Найдите асимптотику при А -*¦ +°° следующих
интегралов:
+ 00 1
а) с * — (р ]> 0); б) \ е dx;
1 О
+ 00 +00
В\ 1 р ' п t" т\ I P In T /J ? (Г) I П?\
' J J
0 2
1.5. Найдите асимптотику при ?г ~> +оо интегралов
2Я(П+1)
(
а) ап =
2ЯП
+ао
б) Р«= j —-dx (p>0);
яп
Г
ЯП
1.6. Докажите, что при е -*¦ +0
v Г sin2 х 1 1 -. Г cos2 х , 1
а) J l^dx~Te б) J ^1+г^^ге;
1 1
ч Г sin х j . . (* cos x , я
в) \ dx—> 1; г) \ аж'^-тг е.

1.7. Докажите, что при р-*--)-™
a) J sin (xp) dx ~ л./Bр); б) | cos (xp) dx-> 1.
о ' ¦. о
1.8. Пусть функция ф непрерывна на R и имеет пе-
г
1 Г
риодГ>0, причем СФ = — J^(i)di=^O. Докажите, что
о
1
1.9. Докажите, что при А -> +°°
Я/2
. Г /sin Л.г\2 , л . ^ ...
а) \ —: ах = -^-А + 0A);
о
о
Я/2
, (* cos2 х dx я
.) 1 +cosa Az 41/2"'
Л/2
ч Г /sin ЛжУ , к лч , /-> / л\
) I —: dx = -^ А3 + О (А).
' J \ sm х j 3 v '
г)
о
1.10. Найдите асимптотику при А -+ +°° следующих
интегралов:
А
С '¦ 2
а) \ ——- d.z (p^l);
о
еч Г | sin x \v I cos 1
6) j ! L__
в,
о
l
A
sin x
Г [sin.
; J X?
г)
A

1.11. Пусть функция / убывает к пулю па [я; +°°),
а функция ф непрерывна на R и имеет период Т > О,
г* г
причем ) (p(t)dt = 0. Докажите, что
г
^ КА) \ I ф (О I dt при А > п.
1.12. Пусть функция / убывает к нулю на [я; +°°),
¦а функция ф непрерывна на R и имеет период Т > 0.
Докажите, что
А А
J
dt = Cv)f(t)dt + I + O[
а а
ГД6 т +~
СФ = y j Ф @ dt, I = j (Ф (О - Сф) / (О Л.
О о
1.13. Пусть функция / неотрицательна и монотонна
на [а; +°°), а функция ф непрерывна на R и имеет
период Т > 0, причем
т
о
Докажите, что
+ *> А + 1 /А \
а) если j f(t) dt = + оо и j / (f) Л = о J / (f) Л I,
а
ТО
А
при А-++ оо;
а а
4-ОО Д+1 /+СО \
б) если ( / (t) dt < + схз и (' / (г) ей = о f / (if) dt),
ТО
\ / (О Ф @ dt~Cv J / (?) А . при А -> + схз.
А Л ¦ '
1.14. Пусть je=C\\a; Ъ}), а функция «в непрерывна
т
на R и имеет период Т > 0; Сф = -^- j ф (t) dt. Докажите,

что
ь ь
lim j / (t) ф D*) Л = Сф / (О Л.
1.15. Пусть /еС([в; Ь]Х[—1; 1]). Докажите, что
Ь Ь 2Я \
Г" \ СI С \
I (А) = / (х, sin Ах) dx -> тг- / (х, sin i) Л da;.
а а чо '
1.16. Найдите асимптотику при е -»¦ +0 следующих
интегралов:
a) j e-*{l-*~e) dx; б) j e"^8-1^.
о о
1.17. Докажите, что при е -»- +0
a) §x?xdx = 1 - | + ^- + О (83);
о
1
1
б) Je~tlV'xdx = 1 - 2е - е2 Ine + О(е2);
о
о
1.18. Пусть функция / положительна и интегрируема
на промежутке @; 1) и для некоторого числа р из про-
1
межутка A; 2] конечен интеграл J \lnf(x)\pdx. Докажи-
те, что
1
<\jf(x)dx = 1 + г § In f(x)dz + 0(ер), е-> + 0.
о о
1.19. Докажите, что
я я
. Г I sin пх\ -. 2 , ,. Г . . , , dx ,
a) I J ыж ~ — ш тг; б) I max | sin кх \ — ~ Inn;
0 х л J Kfe<n ^
о о
я
. Г I sin Ax I dx , ,
в) I max -1—:—;—L — -— In in п.
' J 2«fe«n lnk X

§ 2. Метод Лапласа
2.1. Пусть /еС([0; я/2]). Найдите предел
Я/2
Jim n \ xf (х) cosnzdx.
е
р ^2
2.2. Пусть 0 > 0 н Cg = | е ей. Докажите, что при
о
А -> + оо
о//а е/У'л
a)
о >" " о
2.3. Пусть 8 > 0. Найдите асимптотику при А -*¦ +°°
пптопралй
г*
\ cosA х dx.
о
2.4. Убедитесь в том, что асимптотика при А ->- +°°
следующих интегралов не зависит от параметра 0 > 0:
е
dx
а) |A-^)А«гж (Р<1); б) J
о
в
к) [cosAxdx (8<я/2); г)
о о
в е
In A -[-*) \Л , . ('/'sin.r
О О
е
ж) \\nA{e — x)dx @<e— 1).
о
2.5. Н-айдите асимптотику при А -* +оо следующих
интегралов:
1 +оо
a) \{l-Xv)Adx(p>0); б) f_if_(p>0);
о ^ u + *;
Я/2
в) | a.'pcosA^dx Ср> — 1).
о

Характерная особенность задач 2.2—2.5 заключается
в явлении локализации — асимптотика интеграла зависит
от поведения подынтегральной функции лишь в окрест-
окрестности одной точки. Этот эффект отчетливо проявляется
и в более общей ситуации при изучении важных интегра-
интегралов вида
ь
ф(А)= \cpA(x)dx,
где функция ф неотрицательна и кусочно монотонна. При
больших значениях параметра А график функции срА
имеет резко выраженные «горбы» в окрестностях тех
точек, в которых функция ф имеет строгий локальный
максимум. Разбивая при необходимости промежуток
[я; Ъ] на -несколько промежутков, можно считать, что <р
монотонна па [а; Ъ). При этом достаточно рассмотреть
лишь случай, когда ф убывает. Тогда значения функции
фА в точках, далеких от точки я, пренебрежимо малы по
сравнению с ее значениями в точках, близких к я, кото-
которые и дают основной вклад в интеграл Ф(А). Для на-
нахождения главной части Ф(А) остается аппроксимиро-
аппроксимировать в окрестности точки я функцию <р более простой и
(вычислить получившийся интеграл. В реализации изло-
изложенной схемы и заключается метод Лапласа исследо-
исследования интегралов вида Ф(А), а также их модифи-
модификаций.
Чаще всего встречается случай, когда разность <р(а) —
—ф(х) является бесконечно малой степенного типа, т. е.
ф(а)-Ф(,г) ~ C(x-af F',(т>0).
х->а+0
Он исследуется в задаче 2.0. Получающийся при этом
результат называют асимптотической формулой Лапласа
(в задаче 2.6 ради краткости формулировки предположе-
предположено, что ф(я)—1). Читатель без труда сформулирует ана-
аналогичное утверждение, если функция ф возрастает па
[я; Ь] и
ф(Ь)-Ф(а-) ~ С(Ь- х)°.
b
Отсюда ораву вытекает асимптотическая формула Лапла-
Лапласа и для кусочно монотонной функции.

2.6. Пусть —°° <а < Ъ < +°°, функция ф положитель-
ь
на и убывает на [я; b), J ф (х) dx < + оо и
а
1 — ф (х) ~ С (ж — яI/р (С, р > 0).
ж-»а+о
Докажите, что
ф (А) = Г ФА (ж) <*ж" - ¦
а
В частности, Ф (А)~ 1/(АС) при р = 1, Ф(Л) ~ у
при р = 1/2.
2.7. Пусть —°° < а<Ъ ^ +°°, функция ф положитель-
ь
на и убывает на [a; b), \ cp(x)dx < + оо и lim ^ —
^а+о^-в)
= + оо при некотором р > 0. Докажите, что ]фА(а;)йа; =
а
= о(Л р) при А -*¦ +°о.
2.8. Пусть —о°<а<&<+оо5 функции fug абсо-
абсолютно интегрируемы на промежутке (я; Ъ), />0 и
f(x)~g-(x) при ?->а + 0. Пусть, далее, функция ф не-
неотрицательна и строго убывает на [я; Ъ). Докажите, что
ь ь
\ g (x) фА (х) dx ~ \ f (х) фА (х) dx.
2.9. Найдите асимптотику при А ->¦ +°о следующих
интегралов:
а)
в)
ж)
я
I sii
0
А
fex
0
1
1
) (i
о U
j
0
,A^,;
(A — x)A dx;
dx
"r ) \ )
eA(x~x > dx (p>:
6)
r)
1); з)
+ CX.
1
0
+ CX.
J
0
Я/2
J |
0
1
й
COS (й?)
sin ж cte
x e
dx (a t
(p<
= R);
2);
IX,

2.10. Найдите асимптотику при п -*¦ + оо (п е N) сле-
следующих интегралов:
a) §(a + cosx)ndx (e>0); б) j (-^)*с^;
о о
2
в) J(l_4z + 2^f-^|,
о
В следующих задачах рассматриваются интегралы ви-
да Ф(А) =J JAix)dx, где функция /а, не будучи уже
а
функцией вида, рассмотренного в задаче 2.6, сохраняет,
однако, ее характерную особенность: с ростом А график
функции fA имеет все более резко выраженный «горб» в
окрестности той точки хА, в которой fA достигает наи-
наибольшего значения. Хотя результат задачи 2.6 здесь не
применим, тем не менее идея решения сохраняется: пред-
ставив функцию /А в виде е и заменив в некоторой
окрестности точки хА функцию In fA ее тейлоровским
разложением, а интеграл по промежутку (я; Ъ) — инте-
интегралом по окрестности точки хА, находим главную часть
Ф(А). Основную трудность при этом представляет выбор
окрестности. С одной стороны, она должна быть не слиш-
слишком большой, так как в противном случае смажется по-
погрешность, вызванная применением формулы Тейлора.
С другой стороны, для нейтрализации второй погрешности,
вовнитающей при замене интеграла по промежутку
(я; Ъ) интегралом по окрестности, ее нельзя брать слиш-
слишком малой. Удачный выбор окрестности, который позво-
позволил бы хорошо оценить обе указанные погрешности, и
составляет главное содержание решения.
Отметим также, что в случае, когда хА -*¦ х0 при А —
-*- +°°, может оказаться более удобным рассматривать
тейлоровское разложение функции In fA в окрестности
точки х0.
2.11. Найдите асимптотику при А ->- +°° следующих
интегралов:
0 j 0

в) j exP(A - х)А dx @<p< 1).
о
2.12. Докажите, что для любого вещественного числа р
[\\nx\p(l-x)Adx ~
о A">+oc
2.13. Докажите, что при А ->¦ +°°
1 1/2
a) j — ~ -j—j-; 6) i dx —
о о
В следующих задачах изучаются асимптотичеокие
свойства Т-фунщии Эйлера
х—1 —г j. т^> О
о
2.14. Докажите формулу Стирлинга Г A + х)
2.15. Докажите, что Г (х + с) — а; Г (ж) для любого
X
2.16. Докажите, что \ 1хё~* dt ~ -| Г A + х).
2.17. Пусть ф — положительная функция, определен-
определенная на @; +°°). Докажите следующие утверждения:
Ф(к)
ф {х)~х =0^ Km _ 1Л\ ч Г ixe-'* = -i;
ф(Ж)
б) lim *W-X = + оо^ lim F7T1— f Л-'Л=1;
ЖН)+сх> > Ж Ж^+оо Х К1 -Г Х) J
mix) — х 1 Г ж -г
в) Нт ^ф=—= — оо<^» lim f e (Й=0.

§ 3. Асимптотика сумм
3.1. Пусть ап > 0, ап ->- 0. Докажите, что
а) если 2 ап = + °° и Ъп ~ ап, то i 2 ^fe— 2 afe!
б) если2!ап= + °° и ^п—o(an), то 2 &й=
~- 2
n
г) если 2ап<+ оои6„ = о (ап), то 2
в) если 2 ап < + оои6я~ ап, то 2 bk /~- 2
3.2. Пусть ап \0, у~^0, ае R. Докажите, что
а) если 2 &% = О (rcv), то ап = О )
б) если 2 (&™яь =- о(пу), то я„ = о (пу~а~1);
в) если 2 кааи = О {п~у), то ап =0 (п~у~а~1);
г) если 2 /свяй = о(?г~?), то an =io(ra~v~"a~1).
3.3. Пусть ^ > 0 и 2 kaZh ~ пу. Докажите, что
к
а) если 7 > а, то Sn = x1+ ... + ?„ -— -J_a ny~a;
б) если if = а, то S* — Х\ + .. • + хп ~ ¦у In n;
в) если ¦у < а, то ряд 2жп сходится и
3.4. Пусть ^>0, аеК и ряд 2&°^fc сходится, при-
причем 2 ка%ь ~ п~у. Докажите, что
а) если 7 < —а, то Sn=xx + ... + хп~ .^ 7f n~a~y;
б) если ^ = —а, то <S« = ^i + ... + хп ~ 11n n;
в) если if > —а, то ряд 2^" сходится и
ni-v
3.5. Пусть а„ t 0, <Sn = ai + a2 + • • • +а« "~ 1 —у' Где
а) Докажите, что а„ ~ п~\-
б) Можно ли утверждать, что а„ ~ 1/га, если Sn ~ In n?

3.6. Пусть ап I О и 2«п< + оо, причем 2аь~ "~Л
где 'у > 0. Докажите, что я„ ~ ¦уи.
3.7. Пусть а>0 И1П= ^ -уA —) • Докажи-
те, что ж„ ~ min(l; a)In п.
3.8. Пусть т(к) —число делителей натурального чис-
числа к. Докажите, что
(A) = n (In га + 2y-l) + 0(Yn).
Здесь f — константа Эйлера (см. задачу П.2.9).
3.9. Пусть аЛО, У»»<+ °° и/(О = *У—^т—
при i S? 0. Докажите, что поведение функции / при t -»¦ +«>
тесно связано с поведением последовательности {пУан},
точнее, существует такое число О 0, что справедливы
неравенства
a) sup / (t)^.C sup n ]/an;
*
б) lim / (?)< С Ига и /сс^;
t-»+oo
в) lim и V^«n ^ С lira / (i).
3.10. Пусть /: [0;+oo)->[R —неотрицательная невозра-
стающая функция, ф (К) = /г2 / (^)> ^ > 0. Докажите, что
+ 0О
lim ф(й)= f f(t)dt.
ft-»+o о
Верно ли это, если функция / непрерывна, но не моно-
монотонна?
3.11. Определите асимптотику следующих сумм при
t -+ +оо;
3.12. Пусть /(р) = 2 ^~^ ПРИ Р > 0- Докажите,
Р

3.13, Пусть функция / неотрицательна и убывает на
[1; +°о). Докажите, что
+ 00
а) если J }(t)dt = + оо, 10
1
П+1
2
в частности,
б) если / (t) dt < + оо, то
«у
1
+ 00
в частности, если /(х) = о{ \ f(t)dt\ при х ->+°°, то
\ х }
3.14. Если функция / монотонна на [т; п] (m,n^Z),io
/(ft)-
+ 0O
В частности, если / монотонна на [1; + оо), J / (t) dt
i
= + оо и /(ж) = о I j /(<)dt |при х -> +оо, то
\1 /
3.15. Пусть M,N<=Z, M< iV, функция / (вообще го-
говоря, комплекснозначная) интегрируема на промежутке
[М - 1/2; N + 1/2], и пусть
W+1/2
А= 2 /(A)- j

I /
а) Докажите, что I A I <1 -тг Var (/). В частности, если
1 M-l/2
/ монотонна, то
б) Если /е С2 ([М-1/2; N+ 1/2]), то
N+1/2
д = ~т I ('-м - у)V(*)
M-l/2
и, следовательно,
JV+1/2
М-1/2
В частности, если / выпукла или вогнута, то
3.16. Докажите, что
п (i+*)~a4?-* п (i + 4.
3 _ ()
— 5 ¦(/ пе2
для некоторых положительных чисел А ж В.
3.17. Пусть aeK\N, »eN и
— а\ _ (га —а)(№—а —1) ... A —а)
л J ~ »!
Докажите, что существует такое число Са ^ 0, что
)
П ) па'
3.18. Докажите, что
a)
б) у^1! B!J (З!K ... (п\)п ~У7г/
в) n/l.22.3» . . . «и~

3.19. Пусть а > 0. Докажите, что при п->- +
а> Zd к ~ ТЕР ' -^ a I
¦>
a In и'
.an
3.20. Докажите, что У — ~-~е .
3.21. Докажите, что 2 V Сп~ у/~2пп 2п 2.
3.22. Пусть iVeN.zeCH Re z > 0. Докажите, что
где константа в 0-члене не зависит от z и iV.
3.23. Пусть jVeN, zeC и Re 2 > 0. Докажите, что
где константа в О-члене не зависит от z и iV.
3.24. Пусть ех'^(О; 1). Докажите, что при х -*¦ +0
2Ы
В
где А, В — положительные числа, зависящие от а.
3.25. Докажите, что существует такое число аое
е@; 1), что для любого а ~> «о частичные суммы ряда
2 С OS ПХ
~ равномерно ограничены снизу, а для любого
ае@; «о) это неверно.
Что можно сказать об ограниченности снизу частич-
частичных сумм ряда
3.26. Пусть teC'(k +°°)), Ф, ij!/>0 и ф =
на [я; +<»). Докажите, что
J e-?lj3(i) dt « чр~х A/е) + О A) при s -»- + 0.,

3.27. Найдите асимптотику при t -*¦ 1 — 0 сумм
рядов *)
в) 2^ (p>0); г) 2«°П
Д) 2 *@П)П (я>0); е) 2in!.
3.28. Найдите асимптотику при t ->¦ 1 — 0 сумм рядов
а) 2 Л" (р>-1); б) 2(lnn)p*n
3.29. Найдите асимптотику при t -*¦ 1 — 0 сумм рядов
; — 1 + г" ; ^ 1 + г"
-у ^ . у ntn
в) ^ A + г«)^; Г) ^
г»J;
с
-(TZ7f; 3)
3.30. Найдите асимптотику при i -*• 1—0 сумм рядов
4?
3.31. Найдите асимптотику при t -*¦ 1 -- 0 сумм рядов
а) Т (I) = 2 т (га) in; б) 6' @ = S о (п) **»
где х{п)—число делителей, а(п)—сумма делителей
числа п.
*) Напомним, что 2ап""™ обозначение ряда j?j вП'

§ 4. Асимптотика неявных функций и рекуррентных
последовательностей
4.1. Пустьг(?) = j e^" 3 du (t e R),?(z) — обратная к
t
z(t) функция, Докажите, что i(z)~ V21n(l/z) при
4.2. Пусть хп — корень уравнения х = tg x, лежащий
в интервале (пга; я (га+ 1)), ieN, Докажите, что
_ л 1_
п ~~ 2 пп
4.3. Докажите, что каждое из следующих уравнений
определяет в некоторой окрестности точки (а; Ъ) беско-
бесконечно дифференцируемую неявную функцию у, и найди-
найдите коэффициенты разложения
у (х) = Ъ + а\ (х — а)+ ... + ап(х — а)" + •..
a) yev~-x = 0, a — b~0, ге = 3;
Biyt-j г _i— /jj-У -у> — I I rt 1 Н It у) ~1 •
r) z/ln z/- ж = 0, a = 0, 6 = 1, ra = 3;
e) arctg(x + z/)— x— 2z/ = 0, a = b = 0, ra = 6.
4.4. Докажите, что уравнение Кеплера y = M + xsiny,
где Л/—фиксированный положительный параметр, опре-
определяет в окрестности точки @; М) бесконечно дифферен-
дифференцируемую ' функцию у, причем у (х) = М + х sin M -j-
. о sin 2M , г\ i -w n
+ х2—g Ь ^ (х ) ПРИ ж "»" 0.
4.5. Убедитесь в том, что область определения неяв-
неявных функций, рассматриваемых в задаче 4.3, содержит
полуось [а; +°°), и докажите, что при х -*- +°°
\ I \ 1 11 , In In .Г /In In Г>
а) /у (,r) = in x — ln In x -\—j h о [ -
6)
In x
In4 x , ( In4;
Г 8 Ух
1пж 1пж 1 In2 ж . /ln2x
JL. + х1п1пж _i_ J (ln ln x? , /O
-111 x m ж In i I In

д) yW^-xi + l-e*'* +0\
4.6. Пусть хп = h(xn-i), гдега(х)=-
(а и р— положительные постоянные). Докажите, что
(ап)ир
4.7. Пусть х0 = 1О3, а-'п = хп-г — 'Л-г (гае N). Докажи-
Докажите, что ж1000 л; —10~3 с точностью К)-
4.8. Найдите асимптотику рекуррентных последова-
последовательностей xn = f(xn-i), xo>O, в следующих случаях:
a) f(x) — хA — х), жо<1; б) /(a;)=sina:, хо<я;
в) / (х) = т~~ъ; г) / (ж) =
д) /(х)=1пA + х); е) /(а:)=
ж) / (х) = —^-; з) /(х) =
1 + У ж
4.9. Пусть С, р, хо>О и х„ = a:n-i+ CariZ?. Докажите,
что
а) х„ ~ (^гаI/р; б) ^^
4.10. Постройте такую положительную на @; +°°)
функцию /, что рекуррентная последовательность хп —
— f(xn-i), xo>O, удовлетворяет соотношению хп~ l/lnn.
4.11. Пусть жое(-1; 2), ж„ = ж„_1(а;„-1~1) (и е N).
Найдите асимптотику последовательности {хн}.
4.12. Пусть а0 = 1, ап = an_x + ( 2 а^ ('г е ^)-
\o<h<n I
Докажите, что ап ~ У2 In п.
4.13. Пусть 1р1<1, Яо-=1, fln = an-i + ( 2 «&)
\o<fe<n /
(и е N). Найдите асимптотику последовательности {aj.
4.14. Пусть р е К, а0 = 1, ап = an_x + f 2
\o«fc<n
(neN). Найдите асимптотику последовательности {aj.

Г л an a VII. ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
§ 1. Выпуклость
Функция /: <а; Ь} —>¦ О? называется выпуклой
(строго выпуклой), если для всех точек xi, хге<а; Ь>
и чисел X), %2 > 0, ^1+^2 = 1, выполняется неравенство
при х\ ?= Х2. Если функция (—/) выпукла, то функция /
называется вогнутой.
1.1. Докажите, что выпуклая функция / удовлетворя-
удовлетворяет неравенству Иенсена
/( 2 V
для любых
хх, ..., хп m (a; b), Xlt ..., Х„ е [0; 1],
1.2. Пусть функция / задана па промежутке <а, 6>,
a;i < х < хз — точки из <а; 6). Рассмотрим хорды, соеди-
соединяющие точки графика / с абсциссами х\, х2; х\, хъ и
Х2, хз. Угловые коэффициенты этих хорд суть соответ-
соответственно
Докажите, что для выпуклости функции / необходимо
и достаточно, чтобы для любой тройки точек х\ < х% < жз
из <а; 6> выполнялось неравенство
(лемма о трех хордах). Проверьте, что указанное выше
двойное неравенство равносильно тому, что
/(*«)

1.3. Пусть функция /, заданная на промежутке А,
удовлетворяет неравенству
для всех xi, хге А. Докажите, что:
а) / удовлетворяет неравенству Иенсена
(*;), *j6=A (/=1, ...,П)
для любых рациональных Xj е [0; 1], 2 ^з = 1;
б) если функция / непрерывна, то она выпукла.
1.4. Докажите, что условие непрерывности в задаче
1.3.6) можно заменить следующим: функция / ограничена
сверху на каком-нибудь непустом интервале (р; q)<=A =
= <а; ЪУ (или даже на (р; q)\Q)-
1.5. Докажите, что для функции /: (a;fr)-»-!R равно-
равносильны три утверждения:
а) / выпукла;
б) надграфик
Г+ = {(х; i/)GR^e (a; b), у > / (х)}
функции /— выпуклое множество;
в) через каждую точку графика функции / можно
провести опорную для надграфика прямую (т. е. такую
прямую, что все точки надграфика лежат выше нее).
1.6. Докажите, что если /— выпуклая на [0; 1] функ-
функция, то функция <п(х) = f(x)+ /A — х) убывает на
[0; 1/2].
1.7. Докажите, что если функция, заданная на про-
промежутке, выпукла локально, то она выпукла-
1.8. Докажите, что выпуклая функция /, заданная на
(о; /?>, непрерывна на (а; Ь) и имеет там конечные воз-
возрастающие односторонние производные f-(x), f+(x),
а /' (х) существует всюду, за исключением не более чем
счетного множества точек. Докажите, что /^Lipi(A) для
любого замкнутого промежутка А <=(а; Ъ).
1.9. Докажите, что функция f^C((a; b)) выпукла
тогда и только тогда, когда для всех ie(a; b) выпол-
выполняется неравенство
Lf (х) = Tim h~2 (/ (x + h) — 2/ (х) + / {х - h)) > 0.
7

В частности, если Ь/(х)=0 при всех х^(а; Ъ), то
/ — линейная функция; если / дважды дифференцируе-
дифференцируема в (а; Ь), то она выпукла тогда и только тогда, когда
Г=эОв (а; Ъ).
1.10. Докажите, что для выпуклости функции /е
еС(<а; Ь>) необходимо и достаточно, чтобы для всех
хе(а; Ь) и таких h>0, что x + h, x — h^ia; ЪУ, вы-
выполнялось неравенство
x+h
x—h
1.11. Всякая выпуклая на [а; Ъ] непрерывная функ-
функция является пределом равномерно сходящейся убываю-
убывающей последовательности:
а) кусочно линейных выпуклых функций;
б) дважды непрерывно дифференцируемых выпуклых
функций.
1.12. Докажите, что если функция / выпукла и строго
монотонна, то /~' либо выпукла, либо вогнута.
1.13. Пусть функция / выпукла на [а; Ъ], функция g
выпукла и возрастает на [с; d]. Докажите, что если име-
имеет смысл суперпозиция g ° /, то она выпукла.
1.14. Пусть /еС(@; +°°))- Докажите, что тогда
функции xf{x), /A/х) выпуклы или нет одновременно.
1.15. Пусть функция / выпукла на К и lim =
= lim —— = 0. Докажите, что / постоянна.
Х->—оо Х
1.16. Пусть функция / выпукла на [а; +°°). Докажи-
те, что существует предел lira i_L_; = Z е К, при-
чем I >—°°.
J.17. Пусть функция / возрастает и вогнута на
[0; +°°), /@)=0. Докажите, что для всех х, у>0 вы-
выполняется неравенство f (х + у) ^ f (x) + f (у).
1.18. Докажите, что если функция /: 10; оо)—»-!R диф-
дифференцируема, вогнута и неотрицательна, то х/'(х)< f(x)
для всех х 5г 0.
1.19. Докажите, что если / — выпуклая функция на
[а; °°), то функция ф(х) = /(& + х) —/(х) возрастает
{Ъ > 0).
1.20. Пусть / выпукла и возрастает на [0; °°), /@) =
= 0. Докажите, что длл любых чисел а0 ^ ai ^= • • •

.., ^ й„ 5? О выполняется неравенство
2 (-i)ft/M>/( 2 (-1)
4
1.21. Последовательность {ап} cz К называется вы-
выпуклой (вниз), если Л2а„ = ап+2 — 2an+i + ап > 0, т. е.
a-n+i^: у(я?г + Яп+г) Для любого neN. Докажите, что
если последовательность {aj выпукла, то;
а) an+p^(pan+P+q + qan)](p + q) (р, ?eN);
б) последовательность {ап} монотонна или существует
такой номер т>1, что а\ ^ а2^=. .. ^ ат ^ am+i ^
s? am+2 «S . . .
1.22. Пусть {ап}п>о — ограниченная выпуклая по-
последовательность (см. задачу 1.21). Докажите, что:
а) а„|ае R; б) ап —an-i= оA/и);
в) 2 (и + 1) &?ап = я0 — а.
1
1.23. Пусть /еС([0; 1]), / > 0, jP = J / (ж) da;, M =
о
«= max/. Докажите следующие неравенства:
а) если / вогнута, то
1 1
a') \xf(x)dx^~P; a") \x2f(x)dx^^-P;
J о J ^
0 О
б) если / вогнута и монотонна, то
1 1
б') j f (x) dx^~ Р2: б") j f (x) dx < 2PS;
о о
в) если / выпукла и min / = 0, то
1
1
в') J xf (x) dx^^; в") j x*f {
о о
г) если / выпукла, монотонна и min/ = 0, то
1 1
г') §f(x)dx^jMP; г")
о о
Все восемь неравенств имеют простой механический
смысл. Например, неравенства б) означают, что среди

равновеликих подграфиков функций данного класса пап-
болыпим статическим моментом и наибольшим моментом
инерции относительно оси х обладают треугольники.
1.24. Пусть функция / не убывает на [0; 1/2J и
/A — х) = f(x) на [0; 1]. Докажите, что для любой вы-
выпуклой на [0; 1] функции «р справедливо неравенство
1 11
1 / (х) Ф (х) dx^.\f(x)dx\(p (x) dx.
о оо
1.25. Докажите, что для того, чтобы интеграл
1
J / (х) ф (х) dx был неотрицательным для любой выпуклой
о
на [0; 1] функции ф, необходимо и достаточно, чтобы
функция / удовлетворяла условиям:
1 1
a) J / (x) dx = 0; б) J xf (x) dx = 0;
о о
а
в) j (а — х) j (x) dx^O для любого ае@; 1).
о
1.26. Пусть функция / неотрицательна па @; +°°)
и /(ж)-»-0 при х -*¦ +°°. Докажите следующие неравен-
неравенства:
а) если / убывает, а > 0, то j / (x) sin ax dx^O;
о
б) если / выпукла, то j f (x) cos axdx^ 0.
о
В обоих случаях знак равенства возможен лишь для
1.27. а) Пусть ап, Я„>0 (ne=N);
Докажите, что In / — выпуклая функция на К.
б) Положительная функция / называется логарифми-
логарифмически выпуклой, если функция In / выпукла. Докажите,
что логарифмически выпуклая функция выпукла и что
сумма логарифмически выпуклых функций логарифми-
логарифмически выпукла.
1.28. Пусть /еС(@| +00)), /A)= 1.
а) Докажите, что эквивалентны утверждения

(X, У^@; оо));
2) существует такое /?е[0; 1], что }{х) = хр (х<^
е@; оо)).
Убедитесь, что условие 1) нельзя заменить условием
( + /Jl + Щ
уе@; оо)).
б) Докажите, что эквивалентны утверждения
ж, уе=(О; оо));
4) существует такое /?е(—°°; 0] U [1; +°°), что /(ж) =
ж1> (же@; оо)).
1.29. Пусть
«» &3 > 0, 7 = 1,..., и;
+ 1
Докажите неравенство Гёлъдера
1.30. Пусть ZjX), 7 = 1, ..-, и, р?=0. Положим
Докажите, что:
а) % монотонно возрастает;
б) lim % (р) = (хх ,.. хпI/п;
в) lim к (р) = max{xx; ...;хп};
г) lim % (р) = min {хг; . ..; ж„};
д) функция Ц>(р) — {'Х'(р))р логарифмически выпукла
на @; +оо).
Сформулируйте аналоги этих утверждений для неот-
неотрицательной функции из С([0; 1]).
1.31. Пусть / — кусочно непрерывная функция,
/: [а; Ъ]-^[ш\ М], ф — выпуклая на [тп; М] функция,

p— непрерывная и неотрицательная функция на [а; Ь),
ь
причем j p(x)dx = 1. Докажите, что тогда:
фU^-
/с \ г
б) ф I J / (х) р (х) dx < J ф (/ fa;)) p (x) dx;
\а J a
в) если /> 0, то
ъ . \ —1 i ь
p(x)f(x)dx.
1.32. Пусть Аи, Аи ..., 4„ — вершины вписанного в
окружность выпуклого многоугольника, причем вершины
Ао и Ап фиксированы. Как выбрать точки Аи ¦ ¦ ¦, Ап-и
чтобы периметр и площадь
многоугольника были наи-
наибольшими (при заданном п) ?
1.33. Точечный источник
света, помещенный в точке
@; b), b>0, освещает об-
область, которая является под-
графиком неотрицательной
выпуклой функции / е
еС'([0; оо)), /@)>Ь. Лучи
света отражаются от графи-
графика/и от оси х по известно-
известному закону. Будет ли освещена вся область, если
lim / (х) = 0?
Пусть / — выпуклая функция, /: К-»-К. Преобразо-
Преобразованием Лежандра функции / называется функция
/* (х) = sup (xt - / (t)) (x e= К).
teR
Рис, 4
Величина /* (х) показывает, насколько нужно опустить
проходящую через начало координат прямую с угловым
коэффициентом х, чтобы она стала опорной к надгра-
фику функции / (рис. 4).

1.34. Докажите, что если функция/: К->(—оо; оо]
выпукла, то
а) /* выпукла;
б) множество D(f) = {х е К | f(x) < + 00} — проме-
промежуток, и если точка t не лежит на границе D(f), то
/(?)= sup ig(t) \g — линейная функция, g^f};
в) (/*)*@ = /@i если ? не принадлежит границе
?>(/);
г) выполняется неравенство Юнга f(t)+ f*(x)^> xt для
всех ж, «еК;
д) функция /* конечна в интервале
A=(inf/'(*); sup/'@),
где infimum и supremum вычисляются по тем точ-
точкам t^D(f), в которых существует /'(?). Для х^А
supremum в определении f*(x) достигается;
е) если s_ = /1 (i) < /+ (t) = s+, то'/* линейна на
промежутке [s_; s+]; если / линейна на промежутке
[а; Ъ], то /* не дифференцируема в точке p = f'(t),
te=(a; b);
ж) если D(f)= (а; ЬУ, а / — строго выпуклая и диф-
дифференцируемая в (а; Ъ), то /' непрерывна на (а; Ъ); /*
дифференцируема на интервале А = if (t) \t e (a; b)} и
при этом функции /' и (/*)' взаимно обратны;
з) если f<g, то /* > g*.
1.35. Докажите, что если функция ф строго возраста-
возрастает и непрерывна на [0; +°°), ф@)=0, ¦ф = 1ф~1, то для
а^[0; +°°), 6е[0; вирф) выполняется неравенство
1.36. Найдите преобразование Лежандра и напишите
неравенство Юнга (см. задачу 1.34 г)) для следующих
функций:
a) f(t)=W; б) f(t)=\t\>/p (p>\);
в) график / — выпуклая ломаная;
oo, если
Д) /(f) = (-Vr^Tr?' если 1^1<а'
1 + оо, если 111 >> а (а> 0);

{I
— т- — In t. если t > 0,
2
+ oo, если ? ^0;
m)f(t) = et.
1.37. Рассмотрим совокупность W пар (/; g) выпук-
выпуклых функций на R, удовлетворяющих условию эд ^
*S/(a;) + g(i/) для всех ж, jeR. Назовем пару (/0; go)e
s PF экстремальной, если из соотношений / «S /о, g ^ go,
(/; g)e PF следует, что / = /о, g = go- Докажите, что пара
(/о! go) экстремальна тогда и только тогда, когда /0 =
*
= ?о> S'o = /о-
1.38. Укажите примеры функций, удовлетворяющих
условию /*(?) = /(—ж)(жеК). Докажите, что един-
единственной функцией, совпадающей со своим преобразова-
преобразованием Лежандра, является функция f{t)= t2/2.
§ 2. Гладкие функции
2.1. Докажите, что если функция / дифференцируема
т раз на интервале (а; Ь) и х, x + mh^(a; b), то
где 0< 8 < m (определение А™/(ж) см. в задаче III.3.1).
2.2. Пусть ah, bu, cjgK, ch Ф 0 при й = 1, ..., w.
Докажите, что если /eC(R),
/ (ж) = 2 «ft/ (^ft^ +
к
при всех х, jeR, то /еС°°A?).
2.3. Докажите, что для любой функции f ^ С°° ([а; Ь])
и любых чисел е>0, beN найдется такой многочлен
Р, что \f{h)(x)~- Рт(х)\ <е для всех хе[а; 6], k =
= 0, 1, ..., п.
2.4. Пусть /еС°° (К), / ^ 0. Докажите, что если
функция / обращается в нуль на некотором непустом
интервале, то sup|/( (х)\ — + оо.
2.5. Пусть )(х)= Ц Pk(x)eQh{x), где Р„ <?, {ft =
= 1, . •., и)— вещественные многочлены, 1бК. Докажи-
Докажите, что / имеет копечноо число нулей.

2.6. Пусть /еС"([О; +оо))-, /@)= Km /(ж). Дока-
жите, что для каждого neN функция /<п) обращается в
нуль.
2.7. Пусть /еС2(@; 1]) и /(я).= оA), /"(^) = О(ж-2)
при а; ->• +0. Докажите, что /'(з:)= о(аг') при ж ->- +0.
2.8. Пусть /, g — гладкие четные 2Г-периодическио
функции, убывающие на промежутке [0; Т]. Докажите,
г
что их свертка, т. е. функция h (t) = \jf(x)g(t— x)dx,
—г
обладает теми же свойствами.
2.9. Пусть / п раз дифференцируема на [0; 1],
/Cft> @) = /(ft) A)= 0, к = 1, ..., и-1. Докажите, что для
некоторого х выполняется неравенство
2.10. Пусть А — интервал, / е= С2(А), Mft= sup| /№) (х)
к - 0, 1, 2.
а) Докажите, что в случае А = R выполняется нера-
неравенство Mi ^ У2 iM0M2 и что константа У2 не может
быть уменьшена.
б) Получите аналогичное неравенство в случае, когда
A = R+.
в) Докажите, что если А = [0; 2], Мо, М2 ^ 1, то
М1 =Si 2 (оценка точная) •
г) Изучите вопрос для произвольного ¦ промежутка
А= [а; Ь].
2.11. Докажите, что если /еС2([0; оо)) и
j [ / (х) | dx < оо, то выполняются неравенства:
о
оо оо
a) \f{0)\*^2$\f(x)\dx§\1»(x)\dx;
б)
Являются ли эти оценки точными?
1
2.12. Найдите min ] | /" (х) |2 dx при условии, что /
о

2.13. Пусть /е С00 ($?). Докажите, что если для
каждого ieR найдется такое число neN, х1Т0 /<и) (х) = О,
то / — многочлен.
2.14. Пусть {ап) — произвольная последовательность
вещественных чисел. Докажите, что найдется функция
/S5C°°(R) вида
для которой /(п) @) — а„ (п е N).
2.15. Пусть а = (%; ...;я„)еК", /eC~(iRn). Дока-
Докажите, что если /(а) = 0, то
/0*0= 2 (я* - a.-) gj (х),
где
&(а) = ?(а) (/==1. ...,«).
2.16. Пусть аеК" i пусть F — отображение множе-
множества ^"(К™) в R, удовлетворяющее условиям (/,
°°(R")):
a)
б)
в) () (/)g() /()E
Докажите, что F(f)— ? cJJ^~(a) Для некоторых
'3
Су, ..., c»ei.
2.17. Пусть /, g — неотрицательные непрерывные
функции, заданные на [0; °°). Докажите, что если для
некоторого числа С S3 0 выполняется неравенство
t
то
для всех ? 3s 0 (неравенство Гронуолла).
Выведите отсюда, что если feeC'([0; °°))', h@)=0,
число М>0 ж \h'(t)\<M\h(t)\ при «^=0, то й = 0.

Санкция /: Кп-*-С называется положительно опре-
определенной, если
m
f(ti-h)zfzh^O A)
для любых векторов tx, ..., iffl e R", zlt ..., zmeC и
любого meN.
Функция / называется условно положительно опреде-
определенной, если неравенство A) выполняется при дополни-
дополнительном условии, что z\ + ... + zm = 0.
2.18. Докажите, что
а) функция / (t) = ei(a;t) (t e= Rn), где aef,- поло-
положительно определенная;
б) функция f(t) = A cos (a; t) + B(t<= R"), где яеЕ'",
Л, 2?eR, Л > 0,— условно положительно определенная.
2.19. Докажите, что если р, — конечная мера в R '¦>
-го функция
f(t) = $ e-H*V)d {x) (ieR")
Rn
(преобразование Фурье меры р,) положительно опреде-
определена.
2.20. Докажите, что функции
положительно определены.
2.21. Докажите, что
а) функция / (t) = — \\t f (t e R") — условно поло-
положительно определенная;
б) при 0 < р < 2 функции / (t) « - || t f (t e R") ус-
условно положительно определены.
2.22. Докажите, что если функция, /: R"->C поло-
положительно определена, то
а) / положительно определена;
б) / ограничена;
в) из непрерывности в нуле следует равномерная не-
непрерывность /.
2.23. Докажите, что если функция f(t)=e"p{') поло-
положительно определена при всех s > 0, то функция
ф: К -> С является условно положительно определенной.

Пусть Л = [а; Ъ], /еС3(А), 1'(х)Ф0 (х^А).
Производная Шварца Sf функции / определяется фор-
формулой
21' {x> ,
2.24. Проверьте, что для вещественных функций,
удовлетворяющих перечисленным выше условиям, спра-
справедливы утверждения:
а) если суперпозиция / ° g определена, то
S(f°g\ (х) = Sf (g (х)) (g' (х)J + Sg (x);
б) если п (х) = и суперпозиция g = h ° f опре-
определена, то 5g (ж) = 5/(ж);
в) если Sf(x)<0 для всех х<^ А, то для любого в?
е= также 5(/")(ж)<0 (жеД);
г) если 5/(ж)<0, то 5(/~1)(у)>0 в точке y — f(x);
д) для того чтобы выполнялось неравенство Sf{x)< О
(хеД), необходимо и достаточно, чтобы функция g =
= 1/'1~1/2 была выпуклой;
е) если Sf(x)<0 для всех хеД| то функция |/'|
не имеет строго положительного локального минимума
в (а; Ъ) («принцип минимума модуля»).
Почему важна именно отрицательность (а не поло-
положительность) шварциана, можно узнать из задач
XJ .37-40.
2.25. а) Проверьте, что функции f(x) = sin x, f{x) —
= arctg x, j (x) = xe~x, f (x) = e~"x , f(x) = Ax2 + Bx + С
удовлетворяют условию Sf(x)<0, если f(x)?=0, а функ-
функции f(x) = x + x3, f(x) = tgx, f(x) = ctgx — нет
(ж, А, В, CeR).
б) Проверьте, что любой многочлен / степени п 13» 2,
все нули которого вещественны, удовлетворяет условию
?/(аг)<0, если /'(ж)^0.
2.26. Пусть
— ц,) (у _ Ж)
; х; у; z) =
B — г/)
(ы>, ж, г/, z — попарно различные числа). Докажите, что
если /еС'(А), /' кусочно монотонна и для любых точек
х\ < Х2< х$< Х4, принадлежащих одному интервалу мо-

иотонности функции /, выполняется неравенство
R(f(zi); f(x2); f(x3); /(ж4))> R(xx; х2; хъ\ x4),
то функция I/'| не имеет строго положительного локаль-
локального минимума во внутренних точках.
§ 3. Многочлены Бернштейна
3.1. Пусть гае N, г = 0, 1, 2, ... Для хе R положим
$п,г(х)= Ц k nk
Докажите, что
а) Snj+1 (х) = х A — х) (S'n,r (x) + nrSn,r~\ (x)), r (= N
б) 5„,0(а;)=1; 5«.i (ж) = 0; 5„|2(а;) = гаа:A -ж);
5„,3(ж) = иа:A-а:) A-2ж);
5И,4 (ж) = гаж A - х) A + 3 (га - 2)х A - ж)).
3.2. Пусть neN, б>0. Для х^[0; 1] положим
^1 s~th k /л л7Х—h
— — X
n
Докажите, что:
а) о„.в(ж)<1/Dб2га);
б) а„,в(ж)
п
Пусть beN. Многочлен
называется многочленом Бернштейна функции/: [0; 1]—viR.
3.3. Найдите многочлены Бернштейна следующих
функций:
a) f(z) = xm, m = 0, I, 2; б) f(x) = ax, a>0.
3.4. Пусть функция / определена на промежутке
[0; 11, neN. Докажите, что
а) Bn(f; 0)=/@) нй,(/; 1)=/A);
б) Вп (f; х) > 5^ (/; ж) для всех х е [0; 1].
3.5. Докажите, что:
а) если функция / возрастает (убывает) на проме-

жутке [0; 1], то многочлен Берпштейна Bn(f) возраста-
возрастает (убывает) на [0; 1];
б) если функция / выпукла (вогнута) на [0; 11, то
Bn(f)—выпуклый (вогнутый) на [0; 1] многочлен-
3.6. Пусть функция / определена и ограничена сверху
на промежутке [0; 1]. Докажите, что
а) Вп (/; х) <; sup / для всех heN и ig[0;1);
[o;i]
б) если интервал А содержится в промежутке [0; 1],
то lim Вп (/; х) ^ sup / для всех х еА;
П-^ + оо Д
в) если интервалы А и А' таковы, что Ас=А'с:[0; 1]
и sup / < sup /, то можно указать столь большой номер
А'\А Л
N = N(f; А; А'), что Sn(/;«)<sup/ для всех хеД
и n>N,
3.7. Пусть функции / и g ограничены на промежутке
[0; 1] и совпадают в окрестности точки жое[О; 1]. До-
Докажите, что последовательности {Bn(f; x0)} и iBn(g; xo)}
сходятся или расходятся одновременно и в случае схо-
сходимости имеют общий предел.
3.8.. Пусть функция / ограничена на промежутке
[0; 1]. Докажите, что
а) если / непрерывна в точке ха е [0; 1], то
Bn(f\ жо)-+/М;
б) если / непрерывна в каждой точке замкнутого про-
промежутка А, А <= [0; 1], то Bn(i)^tf на А;
в) если жое(О; 1)—точка разрыва первого рода
функции /, то
Вп (/; х0) -> 1 (/ (х0 + 0) + / (х0 - 0)).
3.9. Пусть /еС([0; 1]). Докажите, что
а) если J / (х) хп dx = 0 для п = 0, 1, 2, ..., то / = 0;
о
б) если j" / (ж) (ж"+1 A — xf)"dx = Q для «eN, то/
о
линейная функция.
3.10. Пусть /еС([0; 1]) и |/(ж) g"(x)dx = 0 для
о
любой функции geC2([0; 1]), равной нулю в окрестно-
окрестностях точек 0 и 1. Докажите, что /—линейная функция.

3.11. Пусть /еС([О; я]) и s > 0. Докажите, что су-
существует тригонометрический многочлен Т вида 71(i) =
2 апcos 1%t такой, что \f(t)—T(t)\<z для всех
*е[0: я].
3.12. а) Пусть /еС([0; 1]Х[0; 1]). Для га
я х, jeK положим
$» (/; з:. 2/) =
Докажите, что &n{f)z?f на [0; 1]Х[0; 1] при «-+•+«>.
б) Пусть /еС([0; я] X [0; я]) и е > 0. Докажите,
что существует тригонометрический многочлен Т вида
Т (и; v) = 2j 2 flft,j cos /ш cos /у
kN jN
такой, что I/(и; у)—Г (и; v) I < е для всех и, v^[0; л].
3.13. Пусть /еС([0; 1]). Докажите, что МГ (/) =fc /W
на [0; 1].
3.14. а) Пусть /^LipojO; 1]. Докажите, что для всех
N же [0; 1] справедливо неравенство
где Ж—некоторая положительная постоянная, завися-
зависящая только от функции /.
б) Пусть ае@; 1] и fa(x)= \x — 1/2]а. Докажите,
что для всех веМ справедливо неравенство
3.15. а) Если функция / выпукла на промежутке
[0; 1], то Bn(f; x)>f{x) для всех п е N и х^[0; 1].
б) Если непрерывная на промежутке [0; 1], функ-
функция / такова, что #„(/; ж)>/(ж) для всех jigNi o;s
е [0; 1], то / выпукла на [0; 1].
3.16. Пусть /еС2([0; 1]). Докажите, что
Вп (/; х) - / (х-) = ili=^ (/" (а:) + ев (а:)),
где последовательность функций {е„} равномерно на
[0; 1] сходится к нулю (формула Е. В. Вороновской).

3.17. Пусть /еС([О; 1]), ?еС2([0; 1]) и функ-
функция g равна нулю вне интервала (а; Ъ), где 0<а<&<
< 1. Докажите, что
1
4)) * (¦?)-* J
3.18. Пусть функция /: [0;11->К такова, что
sup \Bn(f; x) — f(x)\ = оA/п). Докажите, что функция
/ линейна.
3.19. Пусть /еС([0; 1])- Докажите, что условие
/@), /A)gZ необходимо и достаточно для того, что-
чтобы функция / являлась пределом равномерно сходящей-
сходящейся на [0; 1] последовательности алгебраических много-
многочленов с целыми коэффициентами.
3.20. Пусть функция / определена на промежутке
[0; 1] ..Докажите, что
где
3.21. Пусть / (ж) = хт (х е К), т = 0, 1, 2, ... Дока-
Докажите, что
а) Bn(f)z?f на любом конечном промежутке;
б) |5„(/; ж)| «smax(l; \x\m) при любом же К.
3.22. Пусть/(х) = 2стжтдля xs(~R; R), где Л>1.
Докажите, что
а) Bn(f)z?.f па любом промежутке [—г; г], если
0<r.<R;
б) если сш S= 0 для любого т, то Bn(f)> / на [0; 1]
иЯ„(/)</на [1;Д).
3.23. а) Докажите, что при фиксированном bgN мно-
многочлены xh(l — x)n~h, к = 0, 1, ..., п, образуют базис в
пространстве многочленов, степень которых не превы-
превышает п.
б) Докажите, что коэффициенты ап разложения мно-
многочлена Р степени т по таким базисам при га 3s m, об-

разующие таблицу
а0 а1 ат~1 ат
ат ат ¦¦¦ ат ат
„0 1 т „m+l
ат+1 ат+1 ат+г ат+1
, e
удовлетворяют равенствам
al^1 + а* (к = 1, 2, . .., 7?)
(ср. с равенствами для биномиальных коэффициентов Сп)-
в) Докажите, что условие Р(.х)>0 при ге@; I) не-
необходимо и достаточно для того, чтобы при достаточно
большом п числа «,», к = 0, 1, ..., п, не обращались одно-
одновременно в пуль и были неотрицательны.
§ 4. Почти периодические функции
и последовательности
Будем писать х^=у, если \х — у\<г, и ж =j^(modi),
если существует такое целое к, что \х — у — к\ < г.
Множество X cz R назовем относительно плотным, ес-
если существует такое L > 0, что в каждом промежутке
длины L найдется хотя бы одно число из X.
4.1. Докажите, что если % — иррациональное число,
то для любых в?[0; 1) и 8>0 найдется такое пeZ,
что raA, = a(mod 1). Проверьте, что множество таких п
относительно плотно на прямой (ср. с задачей 1.3.2).
4.2. а) Докажите, что если A,i, Хг^О и отношение
?ч/А,2 иррационально, то для любых а\, аге[0; 1) и е>0
найдется такое ieK, что
Xj J=ai (mod 1), %2t = а2 (mod 1), A)
Обратно, если система A) разрешима относительно t при
любых а\, п2, s, то Xi/'Хг иррационально.
б) Докажите, что при иррациональных Xi, X2, Я1А2
существует относительно плотное на прямой множество
целых решений системы A).
4.3. Какому условию должны удовлетворять числа
?»i, . .., X/je К, чтобы система уравнений
Х^0(modi), j = I, 2, ,..,&,

имела при любом 8 > 0 решепие t, удовлетворяющее ус-
условию UI > lA.il для некоторого i?
4.4. Какому условию должны удовлеворять числа
Ях, . .., %и ^ R. чтобы система уравнений
для произвольных aj, ..., аАе[0; 1) и е>0 имела
а) вещественное решение I;
б) относительно плотное множество решений?
4.5. Какому условию должны удовлетворять числа
Я,х, ..., X/je К, чтобы система уравнений
"куп = пг (mod 1), г = 1, ..., к,
для произвольных а\, ..., ак^[0; 1) и е>0 имела
а) целое решение т;
б) относительно плотное множество целых решений?
4.6. Пусть f(x) = sin(ax + b) + sia(cx + d),x^№, при-
причем ас Ф 0. Докажите, что если функция / не равна тож-
тождественно нулю, то она принимает значения разных
знаков.
Определенная на К комплекспозначная функция /
называется равномерно почти периодической (р. п. п.),
если для любого е >0 найдется такое число L = L(e)>
> 0, что в каждом интервале длины L найдется по край-
крайней мере одно число т (s-почти период), для которого
|/(ж + т) — f (х) | <s при всех igE
4.7. Докажите, что каждый тригонометрический ква-
квазимногочлен
k
обладает свойством равномерной почти периодичности.
Проверьте, что / периодичен тогда и только тогда, когда
множители Я,1, .. ., %п попарно соизмеримы (т. е. их от-
отношения рациональны).
4.8. Пусть /еС(R") — функция, имеющая период 1
по каждому аргументу, ах, ..., aneR—рационально не-
независимые числа, рх, ..-, pns[R. Докажите, что
функция
Ф @-= / («1* — Pi! •••; anf —р„), iSER>
равномерно почти периодична.

4.9. Докажите, что если /—р. п. п. функция, а числа
?(е) ограничены при малых е, то / периодична.
4.10. Докажите, что р. п. п. непрерывная на R функ-
функция равномерно непрерывна на прямой и ограничена.
Существуют ли неограниченные р. п. п. функции? Сле-
Следует ли непрерывность из ограниченности?
4.11. Докажите, что предел равномерно сходящейся
на R последовательности р. п. п. функций — р. п. п.
функция.
4.12. Докажите, что если у р. п. п. функции произ-
производная существует и равномерно непрерывна, то она так-
также является р. п. п. функцией.
4.13. Докажите, что если первообразная F непрерыв-
непрерывной р. п. п. функции / ограничена, то она также явля-
является р. п. п. функцией.
4.14. Пусть /gC(R), h<= К, /Л(ж) = f(z + h). Дока-
Докажите, что функция / обладает свойством р. п. п. тогда
и только тогда, когда для каждой числовой последова-
последовательности {h,,} из последовательности {/лп} можно вы-
выбрать равномерно сходящуюся на О? подпоследователь-
подпоследовательность (компактность семейства сдвигов).
4.15. Докажите, что сумма и произведение непрерын-
пых р. п. п. функций ¦— снова р. п. п. функция.
4.16. Докажите, что для каждой непрерывной р. п. п.
функции существует среднее значение
= lim ± Г f(x)dx.
Т->4-оо " <J .
4.17. Докажите, что
а) </, g^^Mdg), где /, g— непрерывные р. п. п.
функции, а функционал М определен в предыдущей за-
задаче, обладает свойствами скалярного произведения (в
частности, </, /> = 0 тогда и только тогда, когда / — 0);
б) функции фл,(ж) = еЛх, К ее К, образуют несчетное ор-
ортогональное относительно этого скалярного произведения
семейство;
в) величины cXh = М (f<fxk) (Kk <= К, к=1, ..., п)
удовлетворяют неравенству
(неравенство Бесселя для системы {cpj). Выведите от-
отсюда, что ел Ф 0 лишь для счетного множества значений

Я. Может ли это множество быть произвольным счетным
подмножеством К?
4.18. Пусть {aj, ап е {0; 1; 2},— непериодическая по-
последовательность. Последовательности {Ьп} и {с„} опре-
определим следующим образом:
ГО, если ап = 0, f 1, если ап = 2,
1^1, если я„ =/= 0; п 1 0, если ап=/=2.
Докажите, что хотя бы одна из последовательностей ibn),
{cj непериодична.
Назовем двоичную последовательность s = isj, к е N,
почти периодической, если для любого «слова»
(sA+i; ...; eh+i) (будем также писать ek+lek+2... ek+i) из 8
существует такое число LgN, что множество
{п €Е N | en+j = ek+j, / = 1, . .., 1}
пересекается со всеми отрезками натурального ряда дли-
длины L. Аналогично определяется почти периодичность для
двусторонних последовательностей {?h}k<=%-
4.19. Пусть {eh}h<=z — почти периодическая последо-
последовательность, !{х)= 6[Х] (igR, [х]— целая часть числа х).
Является ли / р. п. п. функцией?
4.20. Верно ли, что для всякой почти периодической
последовательности {ъ^пе.! существует предел чезаров-
ских средних lim Л ги?
4.21. Пусть S = {{х; у) \кх < у === Л;(ж + 1)+ 1) — поло-
полоса в К2, к — иррациональное число, а 2 = S П Z2 —
множество целых точек в S. Докажите, что ортогональ-
ортогональные проекции точек из Б на сторону полосы (рис. 5)
разбивают ее на отрезки, длины которых принимают
ровно два значения а и Ь. Перенумеровав отрезки целы-
целыми числами в порядке их расположеник на прямой, по-
положим 8; = 0, если z'-й отрезок имеет длину а, и е, = 1 —
в противном случае. Докажите, что последовательность
{}iez почти периодична.
4.22. Рассмотрим последовательность
в = {8 J = 0110100110010 110...
(последовательность Морса), формально определяемую
равенствами гг = 0, р2 = 1, sft = 1 — Rft_2« ПРИ 2" </е ^
е N)- Докажите, что она почти периодична.

4.23-. Пусть для конечной последовательности («сло-
(«слова»)
А = 8]82 ...8„
пз нулей и единиц А0 означает А, А1 — t\Zz.. . е„, где
eft = l — 8ft. Определим последовательность 8, задавая се
начальные отрезки Ар, которые определяются рекуррент-
по: Ай — любое слово: Ао = ег ... еп,
А, = A^Al* ... А]1,
где %i... %i — некоторое слово из нулей и единиц,
А2 = A^Ai* . . . А*™, щ е {0; 1},
и т. д. Таким образом, Ао служит началом А\, А\ — нача-
началом Ач и т. д. Бесконечная последовательность {АР}
определяет некоторую последовательность е. Докажите,
что 8 периодична или почти периодична.
4.24. Последовательностью складок называется после-
последовательность s = {sn}ne=N нулей и единиц, начальные от-
отрезки которой Ап длины 2/е — 1 (/с = 2™, п <= N) имеют
sx (где s, — 1 — Sj). Назва-
Название последовательности объ-
объясняется тем, что со словом
Ап можно связать последова-
последовательность складок бумажной
полоски, образующихся на
ней в результате п + 1-крат-
1-кратного ее сгибания (сначала
вид
Рис. 5
A^1O0111O0iOOO11O
Рис. 6
пополам, потом еще раз пополам и т. д.). Если, дви-
двигаясь по полоске, каждой складке, приводящей к пово-
повороту налево, поставить в соответствие единицу, а складке
«поворот направо»—нуль, то получится Ап (рис. 6).

Последовательность s однозначно определяется заданием
чисел szn, п — 0, 1, 2, ...
Докажите, что всякая последовательность складок
почти периодична, но не периодична, даже если ограни-
ограничиться членами с достаточно большими номерами.
4.25. Докажите, что последовательности складок (см.
задачу 4.24) обладают следующим свойством (почти пе-
периодичность по Беаиковичу): для каждого г > 0 найдутся
такое число L > 0 и такие числа тт g N (m g N), что
а) если v(А)—число тех тш, которые попадают в
интервал Д cz К+, то v(Ai)<2v(A2) для всех интервалов
длины Ь\
б) для каждого bigN
^ —
6.
—; ; I <Tt ^Г*
4.26. Докажите, что если хп = (— 1) n, wge N, где
{sj — последовательность складок, то при любом iGR
существует предел
{коэффициент Фурье), причем
ct=-i(- If 2-{ш+1\х2П, если t = B/ + 1) 2-(m+2\
и с, = 0 в остальных случаях. Убедитесь, что справедли-
справедливо «равенство Парсеваляь
4.27. Рассмотрим двоичную последовательность
г = {rn}nsN = 00010010000111010001001011100010 . ..
(последовательность Рудипа — Шапиро), начальные от-
отрезки Ап которой, имеющие длину 2", имеют вид Ап =
= CnDn, где Сп и Dn — слова длины 2п~\ причем А\ =
= Сф\ = 00, а при п > 1 Л„, С„, Z)n определяются ре-
куррентно: Сп = Ап-.1, Dn = Cn-xDn-x, An = CnDn (^Dn-i
получается из Z?n,_i заменой 0 *-*• 1).

Докажите почти периодичность этой последовательно-
последовательности. Заметим, что последовательность ^(— 1) "j являет-
является последовательностью коэффициентов многочленов Ру-
дина — Шапиро (см. задачу IV.6.29).
Глава VIII. МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
В этой главе слово «мера» означает меру Лебега в ik
или па сфере Sm~x = [х е >кт \\\х\\ = 1). Мера Лебега в
~кт обозначается символом Хт, а при т = 1 — буквой а.
§ 1. Мера Лебега
1.1. Пусть Ehc=(O; I) (k=l, 2, ..., Ж),
>ЛГ —1. Докажите, что Я ( [) Eh)>0.
2
и /
1.2. Пусть E<^Sl, zi, ..., ZjvE^1, jx — мера Лебега на
Sl («длина дуги»). Докажите, что если
то повернутое надлежащим образом множество Е содер-
содержит все точки z\, ..., zN, т. е. найдется тажая точка zoe
е 51, что zozft е ? ПрИ к = 1, 2, ..., N.
1.3. а) Докажите, что если ?cKffl, Ят(?')>1, то
найдутся две (различные) точки х, х' е Е, у лоторых раз-
разности соответствующих координат суть целые числа.
б) Пусть V a 1R"' — выпуклое центрально симмет-
ричпое относительно нуля множество, Ят-G)>2т. Дока-
Докажите, что V содержит точку а?= 0 <с целыми координа-
координатами.
в) Пусть V cz R'm — выпуклое центрально симметрич-
симметричное относительно нуля множество, Xm(V)>N2m, где N —
некоторое натуральное число. Докажите, что V содержит
по крайней мере 2N отличных от нуля точек с целыми
координатами.
1.4. Какова мера множества тех точек из интервала
@; 1), у которых при разложении в десятичную дробь
а) на заданном месте стоит цифра 4;
б) стоящая на заданном месте цифра является про
стым числом;
в) на двух заданных местах стоят заданные цифры;
г) на двух заданных местах стоят цифры разной чет-
четности?

1.5. Какова мера множества чисел из интервала
@; 1), в десятичной записи которых присутствует циф-
цифра О?
1.6. Пусть Eh с: @; 1) (к е N). Верно ли, что существу-
/ • \
ет такая подпоследовательность {Ekj}> что Х\ (~| Е^ 1>
>- 0, если выполнено одно из условии
a) lim X {Eh) = 1; б) lim X (Eh) > 3/4?
1.7. Пусть а^>0, 2aft<°°- Рассмотрим множество
неравенство | х — p/q | << ccq/q, где р <= Z,l
jeN, имеет бесконечно много решений/'
Докажите, что Х(А) = 0.
1.8. Пусть О<0<1, EczKm, 0<Хт<(Е)<оо. Дока-
Докажите, что найдется такой куб Д, что ВХт(&)<Хт(Е Л Д).
1.9. Пусть -?', Ео cz R произвольные измеримые
множества положительной меры. Докажите, что
а) точка 0 — внутренняя для множества Е — Е =
б) в Е найдутся две (различные) точки, расстояние
между которыми рационально;
в) множества Е + Ео, Е • Ео имеют внутренние точки.
1.10. Пусть ?cR, X(E)^>0. Докажите, что если
-тг{х + у)ев Е для любых точек х, у е Е, то Е — проме-
промежуток (ср. с задачей 1.1.19).
1.11. Пусть v = {пк}—строго возрастающая последова-
последовательность натуральных чисел, и пусть
¦^v = I 2j sft2 ft ] Sft = 0 или 1}
(см. задачу 1.1.34).
а) Когда X(EV) = O?
б) Докажите, что если
lira ("л-н — пи) > 2 + log2 m (т ев N),
то мпон^ество Е(т) = Ev + Ev + ... + Ev (m слагаемых) име-
имеет меру пуль.
в) Пусть
Докажите, что если lim(rew.i—геЛ)=°°, то Х(Н)

1.12. Пусть
= U или
«-I2
Докажите, что Е — замкнутое множество, не имеющее
внутренних точек, и Х(Е) = 0. Верно ли, что мера мно-
множества Е + Е + ... + Е (т слагаемых) равна нулю при
любом т е N?
Пусть А — замкнутый промежуток длины Iq. Зададим
последовательность {Оп>о положительных чисел, удовлет-
удовлетворяющих условию 2ln << ln—\ (n e N). Рассмотрим мно-
множество Ei <= А, содержащее концы промежутка А и со-
состоящее из двух замкнутых промежутков До и А] длины
h каждый. Промежутки До и Ai назовем промежутками
первого ранга. Заменяя 1\ на h и повторяя ту же опера-
операцию с промежутками До и Ai вместо А, мы получим че-
четыре промежутка Доо, Aoi, Лю, Аи второго ранга (Доо U
U Aoi с До; Аю U Ац с: Д]), объединение которых обозна-
обозначим через Е%. Аналогично строятся промежутки третьего,
четвертого и т. д. рангов. Объединение 2" промежутков
ранга п обозначим через Еп- Множество Е = f| En на-
называется множеством канторовспого типа, построенным
с помощью определяющей последовательности {1п}пз.о на
промежутке А (ср. с построением капторова множества
и обобщенного канторова множества на с. 12—14).
1.13. а) Какова определяющая последовательность
для канторова множества?
б) Какова определяющая последовательность для
множества из задачи 1.12?
в) Когда множество из задачи 1.11 будет множеством
канторовского типа? Какова в этом случае определяющая
его последовательность?
1.14. Постройте множество /?<=¦[() ;1] канторовского
типа, имеющее положительную меру. Покажите, что мера
такого множества может быть сколь угодно близка к
единице.
1.15. Докажите существование такого множества А с:
с [0; 1], что для любого (непустого) интервала Ас
с@; 1) К (А Л Д)>0 и 1(А\А)>0.
1.16. Пусть А с 4R2 — выпуклое компактное множе-
множество, Ае — 8-окрестность множества А, т. е. множество

U В(х\&). Докажите, что <к2(Ас) = а+ Ъе + се2, и най-
хеА
дите коэффициенты а, Ь, с.
1.17. Докажите, что всякое (непустое) открытое под-
подмножество пространства R" может быть представлено в
виде объединения последовательности попарно не пере-
пересекающихся шаров п множества пулевой меры.
1.18. Пусть {?¦„} — последовательность попарно кон-
конгруэнтных подмножеств множества S1, удовлетворяющая
условиям (см. задачу 1.1.11):
S1 = U Еп, Еп П Ет = 0 при пфт [п, т <= N).
Докажите, что множества Еп неизмеримы.
1.19. Под сдвигом на 6 по модулю 1 будем понимать
отображение х >->¦ {х -f 9} (же [0; 1)), где {г/} — дробная
часть числа г/. Заменяя поворот на угол 2я9 сдвигом на
6 по модулю 1, постройте по аналогии с задачами 1.1.11
и 1.18 неизмеримое подмножество промежутка [0; 1).
1.20. Используя результат задачи 1.19, покажите, что
всякое множество Е а К1, имеющее положительную
меру, содержит неизмеримое подмножество.
1.21. Пусть Я — система подмножеств множества N,
удовлетворяющая условиям:
1) если card (Л) = card (N\^4) = оо, то А<^% тогда
и только тогда, когда N \Л ф %;
2) если А^% Cc=N, card(C)<°°, то 4UCe$l и
(Существование такой системы множеств можно
доказать с помощью леммы Дорна (см., например, [13],
с. 55).)
Докажите, что множество ?'=/2 2~ \Ае, Sll пеиз-
\ША $
меримо.
1.22. Будем говорить, что множество Е cz !Rm порож-
порождает паркет, если его сдвиги на всевозможные векторы
с целочисленными координатами покрывают Rm, не на-
налегают друг на друга, т. е.
при 1ф1' (/, reZm).
Докажите, что мера измеримого множества, порож-
порождающего паркет, равна единице.

1.23. Пусть Ecz\R , ?,m(Z?)>0, A — счетное плотное
в R множество. Докажите, что
т \ U (а + I
as A
§ 2. Измеримые функции
Символом 3>0(Е) мы обозначаем множество всех изме-
измеримых по Лебегу почти везде конечных функций, опре-
определенных па (измеримом) множестве Е с R™. Две функ-
функции из S^(E) называются эквивалентными на множестве
Z?o ^ -Е1, если они совпадают почти везде на Ео. Символом
%Л обозначается характеристическая функция множества
2.1. Пусть f^2>0(E), I/I «? 1 почти везде (п. в.) па
Е с: R . Докажите, что если 1/1 <1 на множестве поло-
положительной меры, то найдутся пе эквивалентные друг
другу функции /i, /ге^(?), удовлетворяющие условиям
1/Г! =?= 1 п. в. па Я, |/21«?1 п. в. па Е, / = (/, + /2)/2.
2.2. Приведите пример определенной па К монотон-
монотонной фуакции, пе эквивалентной непрерывной функции
тш на каком (непустом) интервале.
2.3. Функция Дирихле (равная единице в рациональ-
рациональных точках и нулю в иррациональных точках веществен-
вещественной прямой) разрывна в каждой точке, по эквивалентна
непрерывной функции. Существует ли такая функция из
5?0( [0; 1]), что любая эквивалентная ей на [0; 1] функ-
функция разрывна в каждой точке этого промежутка?
2.4. Пусть К — каяторово множество, / — канторова
функция (см. задачу III.3.17), и пусть
(ie[0; 1]).
Докажите, что
<а) функция g строго возрастает;
б) Щ(К))>0;
в) найдется такое (измеримое!) множество Н<=К,
что множество g(ff) неизмеримо.
Пусть Z?c:Rn, 1^&a(E), и пусть при любом *<=[]?
мера множества E(f < t)= {x e E\f(x)< t} конечна.
Функция

называется функцией распределения функции / (на мно-
множестве Е). Функции, имеющие одинаковые функции рас-
распределения, называются равноизмеримыми.
2.5. Докажите, что функция распределения непрерыв-
непрерывна слева. Когда она непрерывна в точке t0 (= К?
2.6. Найдите функции распределения па [0; 2я]
функций
a) sin х; б) cos я; в) sinCa;/2); г) sinBa: — л/4).
2.7. Равноизмеримы ли функции sin х и sin (пх + ее)
(»eN, йеК) на множествах а) [0; 2я]; б) [0; я]?
2.8. Пусть F — функция распределения функции / е
(( ))
а) Найдите функции распределения функций f + C,
Cf(C>O),f.
б) Пусть f — продолжение функции / на множество
К с периодом Т, g(x)= f(x — C) (ie@; Г)). Найдите
функцию распределения функции g.
2.9. Пусть Ecz^n,K(E)'=i,f^2'0(E).
ia) Докажите, что существует единственное число to
такое, что
и
для любого 8 > 0.
б) Докажите, что XnE(f<to)> 1/2.
в) Число Л/, удоавлетворягощее неравенствам
KE(f>M)>U2,
называется медианой функции /. Единственна ли ме-
медиана?
Пусть Ecz\Rn, Xn(E)<+°°, fez&O(E). Положим
f*(T)=ml{t\K«E(f>t)<T}, те[0; Я„(Е)].
Функция /* называется невозрастающей перестановкой
функции /.
2.10. Докажите, что функции / и /* равпоизмерт-шы.
Предполагая, что функция распределения F функции /
непрерывна и строго возрастает, выясните, как связаны
F и /*.
2.11. Найдите невозрастающие перестановки следую-
следующих функций:
a) si:n х на [0; 2я]; б) sin (ж/2) на [0; 2я]; в) Щх
на @; п).

2.12. Найдите невозрастающую перестановку функции
f(x; У) = х2 + у" \х> + у*<\).
2.13. Пусть 1(х)= 2 T~V
.... а„ >0, cv ...,гвеК. Докажите, что при любом
X{seR|/(i)>i} = Л/*. Х{ж е= К | / (ж)< — Ц = 4Д,
где 4 = 2
§ 3. Суммируемые функции
В этом параграфе все рассматриваемые множества и
функции предполагаются измеримыми. Множество функ-
функций, суммируемых по мере Лебега на множестве Е с: К01.
обозначается символом S'(E); для обозначения интеграла
по море Лебега от функции / по множеству Е мы, как
правило, используем символ \f(x)dx. Характеристнчо-
Е
екая функция множества А обозначается символом %л.
3.1. Пусть объединение любых трех множеств семей-
семейства Ei, E2, ..., EN совпадает с промежутком [0; 1].
Положим
Выразите через Si и Л'г интеграл
i
/= ff 2 lEh(x)Ydx.
3.2. Пусть каждая точка промежутка [0; 1] принад-
принадлежит по крайней мере к множествам семейства Ей
Е2, ..., EN. Докажите, что для некоторого п справедливо
неравенство л(Еп)> k/N.
3.3. Пусть Е с; Km, lm {E)<°°, f^S0 (E). Докажите
эквивалентность следующих условий:
а) !^&{Е); б)МЯ(|Л>*))<оо;
й>1
п) 2 1Лт(Е (к <Jf\< к+1))<оо.

3.4. Пусть множества Ekcz\R (ieN) попарно раз-
различны, 2j ^m (Eh) < °° i и пусть
An = {x ^ 0?m ж е Z?fc в точности при re значениях к),
В„= [х ^\Rm\x ^ Eh не менее, чем при п значениях /с).
Докажите, что множества Ап, Вп измеримы и
3.5. а) Докажите, что ряд 22~™| х—rn\~l12, где {rj —
произвольная числовая последовательность, сходится
почти везде на О?.
б) Постройте функцию из i?0(R), не суммируемую
ни на каком (непустом) интервале.
3.6. Может ли всюду дифференцируемая па [0; 1]
функция иметь производную, не суммируемую на [0; 1]?
3.7. При каких реК функция / суммируема па за-
заданном множестве в следующих случаях:
а) f(x) = x-P(—i.)M, a:e=(l;+oo);
б) /(х) = х—рsin х, же @; + сю);
в) / (х) = х-р (- 1L/*], х е @; 1);
г) / (х) = е-*р»ьЧ х е= @; + оо);
д) / W = -—в^-з—' х е (°; + °°)-
1 -\- х sm .r
3.8. Суммируемы ли указанные ниже функции / на
множестве [—1; 1]Х[—1; 1]? Найдите повторные ин-
интегралы
— 1 \—1
если
dx, \[\f{x-y)dx\dy,
а) / (х; у) = -5^-а; б) / (х; у) =
^ г) /(^ У) = 7

(во всех случаях значение /@; 0) может быть определе-
определено произвольным образом).
3.9. При каких реЕ функция
f{x;y) = \l-xy\-P ((z; j/) ge R2)
суммируема на множестве Е в случаях
а) Я = [0; 1]Х[0; 1|; б) Е = [0; 2]Х[0; 2];
в) Е = {(х; у)е=[0; 1] X [0; 1] I (х - 2J + г/2 ^ 2,
2 + 2)
3.10. а) _Пусть р>0, Ecz'
); г)), то
dy
Докажите, что если
i
dz
при любом igR.
б) Докажите, что
ejx dx
для любого множества Е <= [0; 2я].
в) Докажите, что
dx dy
х + iy
для любого множества Е (Е •
3.11. Пусть р, t>0, Ее
что
конечной меры.
. Докажите,
р | /(ж) \рdx.
В частности, при р = 2 мы получаем неравенство Чебы-
шёва;
3.12. Докажите, что если | / |»> е= 2" (?)
XmE(\f\ >t) = o(rp) при ?->
то
Приведите пример, показывающий, что обратное утверж-
утверждение неверно.
3.13. Пусть р > 0, Е <= \Rm, f^g°(E) nlmE(\f\^t) =
O(t~
\\
при
2
. Докажите, что если
() р Д,
то \f\»—e=2'(E) при любом вв@; р).

3.14. Пусть Е cz\R , feS'(E). Докажите, что
\\y(x)\Pdx—+XmE (|/|=^=0).
Е
3.15. Пусть /, g^g°(E): f, g>0. Докажите, что
если
[g(x)dx = l, \g(x)}(r)dx< + оо,
то
g(x)lnf(x)dx
р-^+0
Можно ли отказаться от условия j g{x)f(x)dx<^ + оо?
Е
3.16. Пусть геК, х = [х\ + 2 ^п^''\ где 8,, = sft (x) =
= 0 или J,— двоичное представление числа х.
1 1
а) Найдите интегралы j &k(x)dx, \ &h{x) гт (х) dx,
о о
(к, т е N, /с ^ т);
ГI 12
б) Найдите интеграл ] сг„ (х) ¦ — dx, где ап (х) =
о
1 V / \
= О (я-2).
в) докажите, что
3.17. Пусть жей?, ж= М + 2ей10"/г, где е;< =
= 8А(ж) = 0, 1, ..., 9 — десятичное представление числа х.
Пусть / — одна из цифр 0, 1, ..., 9, и пусть
1, если гг{х) = j,
о, если ?,х{х)ф].
Найдите интегралы (к, т еМД^ т)
а)
б) j fl,- (Ю^ж) aj (КГ'^х) dx.

3.18. Пусть а (= К, я ?=0,1; х = S еА (x) 10-*—
десятичное представление числа х, хе@, 1). Положим
I а, если е„ (х) -ф 0 при любом и;
[(х) — I li если первое e,i(.r)=^0 имеет четный номер;
[ 0 в остальных случаях.
1
Докажите, что функция / измерима, и найдите ] f (x) dx.
о
3.19. При построении канторова множества из проме-
промежутка [0; 1] последовательно удалялись интервалы дли-
длины 1/3, 1/9 и т. д. (см. с. 12). Пусть f{x)=n на интер-
интервалах длины 3~", /(ж) = 0 па капторовом множестве.
а) Докажите, что функция / измерима и найдите
1
\f(x)dx.
о
б) Найдите функцию распределения F функции / и
невозрастающую перестановку /* функции / (см. опреде-
определения перед задачами 2.5, 2.10).
3.20. Пусть К — замкнутое подмножество промежут-
промежутка [а; Ъ],
— расстояние от точки х е IR до множества К. Докажи-
Докажите, что при любом s > 0 функция
f |>' (ж) dx . т..
'¦ ,«+1 (^ ^ ^
суммируема на К.
3.21. Докажите равенства @<а<°°)
а
a) j / ( max | xh \\ dx = m2m j" tm~xj (t) ill;
[—a',a]m ^ ^ 0
a
_ Г , , ч , Г m-i /Г \
о) J / (x) dx = J i M / (fy) aAm_1 (г/) | ai,
[—a;a]m 0 \max|{/ft|=i J
где функция / предполагается неотрицательной, Km~i —
(т — 1)-мерная мера Лебега на границе куба [—1; 1]т.

Ниже символ jxm_i обозначает меру Лебега (площадь
поверхности) на сфере iS"" = \х е Rml \х\\ = 1}. Пло-
Площадь сферы, т. е. величина \Lm-y(Sm~l), обозначается
символом am-i.
3.22. Докажите по индукции справедливость равенств
a) J / (х{, . ..; xn_x; xn) d(xn-i (ж) ==
s"-i
= Г sin G J J /(«jsinB, ..., Un-xSinQ, cos 9) й|дп_2 (м) Й9
oo
6) f /(x) da; = f Г^
Rn 0
где функция / предполагается суммируемой соответствен-
соответственно на iS"-1 или R". Заметим, что формула а) остается
справедливой и при п = 2, если под S0 понимать границу
отрезка [—1; 1], т. е. двухточечное множество {— 1; 1),
а меру цо считать состоящей из единичных нагрузок, по-
помещенных в точках +1 и —1.
3.23. а) Пусть Г={жеЕЦ?п|О<!|х|<г(ж/||х||)}, г-неот-
г-неотрицательная непрерывная функция, определенная на Sn~\
Докажите, что Я„G1) = — /¦n(co)d(An_1(ci)).
б) Пусть А — ограниченная окрестность нуля в про-
пространстве R™,
р (х) = sup {\(х;у)\\у<=А}, V = [х <= К" | р (х)< 1}.
Докажите, что
sn-i
При решении задач 3.24—3.26 полезно использовать
формулу (см. задачу 3.22)
а<\\х\\<Ъ

где / — (измеримая) неотрицательная на промежутке
<я; &> @<а<&^оо) функция, а„ = МЯ@ *)
3.24. Пусть Е — (измеримое) подмножество полуоси
@; +°°), АЕ= [x€a<$.n\\\x\i=E). Докажите, что
К (АЕ) = пап \ t г dt.
Е
В задачах 3.25, 3.26 и других символом у„ обозначена
стандартная гауссовская мера в Я?™, т. е. мера с плот-
плотностью Bя)-в/ае-М1*Ч
3.25. Вычислите /п(г) = ч„E@; г)) (г>0).
3.26. Пусть а > 0, iTa — конус в пространстве R4:
Ка = {(«!; а;2; ж3; ж4) еЕ К41 х^ + х| + х| <a2Xi}.
Найдите ft(Ka).
3.27. Вычислите объем обобщенного тора Т е Я?4:
Ж1; .г2; ж3; х4) е R41 (xi; Ух\ + х32 +
где i5 — круг с центром в точке @; а) и радиусом R «? а.
3.28. Пусть в пространстве Я?2 задано компактное
подмножество Л, лежащее в верхней полуплоскости. Если
То — тело, получаемое вращением в Я?3 множества А
вокруг аси х\, то по теореме Гульдина Яз(/'о)="Яа(^4Jя^о,
где г/с — ордината центра тяжести множества А. Считая,
что R3 канонически вложено в Я?4, рассмотрим тело Т,
«получающееся при вращении А вокруг оси х\ в R4»:
Т =-. {(хх; х2; х3; х4) е= Я?41 [х{, ]/'х\ + xl + xl) e= а].
Докажите, что справедлива следующая модификация тео-
теоремы Гульдина:
где р — радиус инерции множества А относительно оси
xi, т. е. положительное число, определяемое равенством
у2 dx dy.
3.29. Пусть в пространстве Я?2 задано компактное
множество А, лежащее в полуплоскости х% ^ 0. Считая,

что К?2 канонически вложено в R , рассмотрим множе-
множество Т—«тело, получающееся при вращении А вокруг
оси х\ в К™»:
Г = {{х{, х2; . ..; хп) <= [Rn| (ж,; |/"ж22 + . . . + xn2)
Докажите, что
а) Я„ G1) = ап_2
б) Уп{Т) = -^
^ ' А
где ^^(Т1) — «гауссовский объем множества Т» ("fn — мера
в R" с плотностью Bл)-"/2е-И12/2).
3.30. Найдите меру множества
An(p) = !(Xl; ...;xn)
3.31. а) Вычислите интеграл
sn-l
б) докажите, что при m, n e N, 1 ^ иг < п., т + g >
> 0, справедливо равенство
j
3.32. Пусть а, Ъ ^ S^, В — угол между векторами
я, 6@ «с 9 «? я). Докажите, что
Г ' 2 \
sign (я, х) sign F, .т) rt|ir, .J(x) = {l 9 an_,.
3.33. Пусть
oo
/» = j Yn E @; r)) A - yn (B @; /•))) dr.
о
Докажите, что
а) /B = 4" J Jll^ll-II^III^
б) /n—>Bn)-i/«.

3.34. Пусть А сг Я? — открытое звездное относитель-
относительно нуля множество, Qa{x) = inf U> OU~'a; ^ A} \х e
е R") — калибровочная функция множества А, и пусть
[I — такая вероятностная мера на R", что
J |(х, y)\ d[i(x)<i+oo при любом г/еК".
Докажите, что
j
iff
= — J J
RnRn
3.35. Пусть функция / суммируема в кубе (? = [0; 1)т
и имеет период 1 по каждой переменной. Докажите, что
а) при сдвиге Q на любой вектор интеграл / (х) dx
Q
не изменяется, т. е. при любом а е Rm
§f(x)dx= j f(x)dx, где а + Q = {a + у \ у <= Q};
Q ci+Q
б) если А — произвольная целочисленная матрица
размера иХв с определителем, равным единице, то
j fjx) dx = \ f (x) dx.
Верно ли это утверждение, если определитель матри-
матрицы А равеп единице, но ее элементы могут не быть це-
целыми числами?
3.36. Пусть Т — произвольное выпуклое компактное
тело в К™. Докажите, что если (п—1)-мерный объем
проекции Т на любую гиперплоскость не меньше S, то
-у, где V = ln(T).
3.37. Пусть Т с [R™ — выпуклое компактное цент-
центрально симметричное относительно нуля тело, Э — эллип-
эллипсоид максимального объема, содержащийся в Т:
Э<=Т, Xn(9) = suy{%n(%)\S'c=T, (Г - эллипсоид}.
Докажите, что Т<=-УпЭ.
3.38. Пусть К cz С—замкнутое ограниченное множе-
множество положительной (плоской) меры. Определим

функцию <р равенством
Докажите, что
а) ф е= С (С), 2ф B) —* Я2 (iQ;
б) функция ф голоморфна вне К.
3.39. Отождествляя естественным образом простран-
пространство С2 с R4, рассмотрим на сфере S3 функции фт,„
(т, п = 0, 1, 2, ...), определяемые равенствами
а) Вычислите интегралы
J I Фт.п(Si! ?2) |2 d\is (ti, У (m, n = 0, I, 2, ...)',
s3
б) докажите, что система {фт,п}т,п=о ортогональна;
в) докажите, что если ряд ^ ат,пЦ>т,п равномерно
сходится на fi4 и его сумма равна /, то справедливо сле-
следующее обобщение интегральной формулы Коши:
где (?,; ;2) е- 54, S4 = {(?1; У е С21 |и
§ 4. Интеграл Стилтьеса
В задачах 4.1—4.4 функция h определена на промежут-
промежутке, яо которому берется интеграл в правой части равен-
равенства, измерима и неотрицательна.
4.1. а) Пусть 0 «5 а < Ъ s? 00,
Е {{, ...;жт)<=Кт|а< max
Докажите, что
h
f h ( max I жА П etc = m2m f tm~xh it) dp,
б) докажите, что
oo
h I max \xh\\dx=m\(t-~ IO"-1 h (t) dt.

4.2. а) Пусть
Om (г) = UXl; ...; хт) е= (Rm | 2 Ы < г).
[ ft J
Докажите, что
f
h
Om(r)
б) пусть ah > 0 (A; = 1, 2, ...,
Вычислите интеграл j e
4.3. а) Пусть 0 =s? a < b «s <»,
{|<|k||<}
Докажите, что
ъ
\h(\x\\)dx = mam \ tm~~xh(t)dt;
E a
б) пусть p > 0,
Докажите, что
Щ 2 | ли |p f/Р) ^ = mCm (p) f fm~"x/i (t) dt,
где Ст(/)) = ЯтD(р)) (по поводу значения Ст(р) см.
задачу 3.30).
4.4. Пусть Е с !Rm,
Докажите, что
) |л(||х||)йх= \h(t)dgE(t);
Е
а) | \
Е о
б) если ?я^С"([0; + °°)), то

4.5. Пусть А сг Я?2 — выпуклое ограниченное мно-
множество,
p(z) = inf {\\x-y\\\ у^А}
— расстояние от точки are Я?2 до множества А. Найди-
Найдите интеграл J е~Р(*) dx.
4.6. Пусть о — канторова функция (см. задачу
Ш.3.17). Вычислить интегралы
1 1
a) ]xda(x); б) J x2da(x);
о о
1 1
в) J a (x) dx; г) J a (x) da (x);
о
г
д) J <т'A — ж) da (x).
о
4.7. Пусть К — канторово множество, о — канторова
функция. При каких реК конечны интегралы
С С da (x) da (у)
а) J j (J+W '
J J ((г — иJ + (у
где
{(х — uY 4- (v — v)")y"
о о
4.8. Пусть К — канторово множество, о — канторова
функция. Определим функцию <р равенством
0 0
Докажите, что
а) ф<=С(С), 2ф(г)—> 1;
б) функция ф голоморфна вне множества КХК (ср.
с задачей 3.38).

§ 5. s-энтропия и меры Хаусдорфа
Рассмотрим подмножество А пространства К и по-
положительное число е. Множество С сг Я? называется
г-сетыо множества А, если А с: U Z?(x;e). Пусть
с
N(A; e)'=m]n {cavdi(C) \С — е-сеть множества А)
— минимальная мощность е-сети множества А. Если
множество А ограничено, то iVi(j4; e)<°° при любом
е > 0. Функция Н(А; е) = Iog2 N{A; е) называется е-эн-
тропией множества А.
5.1. Множество Е d Я?" называется г-различимым, ес-
если расстояние между любыми двумя его точками не
меньше е. Пусть
М(А; е) = шах (card(?) \Е<=А, множество Е е-различимо)
— максимальная мощность е-различимого подмножества
множества А. Докажите, что
N(A; e)<M(A; г)<ЩА; е/2).
5.2. Пусть А — ограниченное подмножество простран-
ства к •
а) Докажите, что если А имеет внутреннюю точку, то
Н(А\ е)~ «Iog2(l/e)' при е ->- +0;
б) напомним, что внешней мерой Я„(Л) множества
A cz R™ называется величина
Яп (А) = inf {Я„ (G) \AczG,G — открытое подмножество
мнол?ества Я?™}.
Докажите, что если Яп(Л)>0, то N(A; e)>Ce~n, где
С —некоторая положительная постоянная.
5.3. Найдите асимптотику (при е -»- +0) е-энтропии
множеств
а) 12~п\п<=Ы}; б) U~n|«e=N];
в) {2~1 п е= NJ¦; г) (/Г" | /г еЕ N} (ее > 0);

Метрической размерностью (.метрическим порядком)
ограниченного подмножества А пространства К"г называ-
называла т а т-— И (А; е) /
ется величина M-aim Л = шп -л ггт-г соответственно
Ё^ + 010^2A/8) V
r (A) - lira JL^il)
5.4. Найдите метрические размерности и метрические
Порядки графиков следующих функций:
a) f(x) = sin лх, 0«сжйс1;
5.5. Найдите метрические размерности и метрические
порядки следующих множеств:
а) ЛХГ— 1; 1] с= К2, где А —
б) графика функции f(x) = sin (я/ж2), 0 < х «? 1;
оо
в) (J S (n~~lfz), где S(r) — окружность с центром в
п=--1
нуле и радиусом г.
5.6. Найдите метрические размерности и метрические
порядки следующих множеств:
а) АХ1— 1; 11 cr [R3, где Л = {1/1п(« + 1)|пеМ};
'б) графика функции f(x)=sm(neUx), 0<ж«?1;
оо
в) U S(l/ln(n + 1)).
5.7. Найдите метрическую размерность и метрический
порядок каиторова множества.
5.8. Найдите асимптотику е-энтропии множества
8ft = О ИЛИ 11.
oo
5.9. Определим возрастающую последовательность
} натуральных чисел, положив nft = /c + m!, если т\ «с
/с < (иг + 1)!, и рассмотрим множество
^ == {2 e?t2""ft efe = 0 или l}.
Пусть, далее, AL = А + Л + ...+ А (арифметическая сум-
сумма, состоящая из I слагаемых). Докажите, что
а) М-А\т(А)= 1, г{А)= 1/2;
б) Х(А,) = 0 при любом IeN.
5.10. Пусть ?: [0; +°°)^[0; +<») —строго возра-
возрастающая функция такая, что ^F (N) cz N. Рассмотрим
множество
№O|ft = 0 или 1}.

Докажите, что
Л [A; s) ~ W~\log2 A/8)) при е-> + 0.
5.11. Найдите метрическую размерность и метриче-
метрический порядок множества
при любом к
х = 2 еА2~\ еА = 0,1, Цифры еА, щ
А = (х; j/)eK! v _ft имеют одина-
Z/=Zji1ft3 , г)й = 0,1, 2, новую четность
[кривая Хиронака).
5.12. Пусть Aa\R\ A,=A+A + ... + A [I слагае-
слагаемых). Докажите, что
•а) ©ели г [А) —0, то 1(/1;) = 0 для любого leN;
•б) если г(Л)< Z~', то Я'(Л;) = 0;
в) верно ли, что если г[А)> 1/2, то Х[А+А)>0?
(Рассмотрите множество из задачи 5.3, д).)
Меры Хаусдорфа. Пусть 4сК", р, & > 0. Положим
\iP\
B{xh,rh),
Отметим, что в определении |iP(/l; е) ипфимум вычисля-
вычисляется по всевозможным счетным покрытиям множества А
]парами, в том числе и такими, центры которых не при-
принадлежат множеству А. Функция \ip, определенная на
системе всех подмножеств пространства R™ равенством
цр(А) = sup {цр (А; е)|е > 0} = lim цр [А; р.),
называется р-мерной [внешней) мерой Хаусдорфа.
5.13. Пусть р > 0. Докажите, что
а) если множество А счетно, то Цр(А)= 0;
б) ешЛсу}', то iip[A)<]xp[A');
в) если 4с U Аи, то S
г) если множества Л, В находятся на положительном
расстоянии друг от друга, т. е.
d = inf {\\x — у\\\х<вА, 1/еЙ>0,
то
и
\iP[AUB; ъ)=\1р\А; г)+\кр[В; в) при 8 < d/2.

5.14. Пусть А с R". Докажите, что
а) если 0 <р <п и цр(А)< °°, то кп(А) = 0;
б) ц„(А) = 0 тоща и только тогда, когда ()
5.15. Пусть A<=Sn~\ vn-\ — лебегова мера на Sn~l
(«площадь поверхности»). Докажите, что
а) если 0<р<п—1 и \ip,(A) = O, то vn-i(^4) = 0;
б) j.in_iD).= 0 тогда и только тогда, когда \\-\(А) =
= 0.
5.16. Докажите, что
а) если 0<p<q, то цР(А)> цд(А);
б) -если 0< цр(А)< °°, то \Хд(А) = О при q>p и
= °° при q<p.
Число р = inf iq\цй(А)= 0} = sup {q\щ(А) = °°) назы-
называется хаусдорфовой размерностью множества А. Мы бу-
будем обозначать его символом dimH(A).
5.17. а) Докажите, что для ограниченного множества
4cR" справедливо неравенство dimH (А) ^ г (А) —
= lira H № е) •
a
б) пусть Лй с: К™ (А: = 1, 2, ...). Докажите, что
dimH (U АЛ = sup dimHDft).
U>i ; ft
5.18. Диаметром ограниченного множества Сс Е
называется число
diam (С) = sup {IIж — у\\ \х, у s С}.
Пусть р > 0, 4с R™. Определим модифицированную
р-мерпую меру Хаусдскрфа \iP(A) следующим образом:
= sup j inf I 2 (diam (C^jf \Acz \j Си, diam (Си) < e) |*
Докажите, что
и, следо|Вательно, в определении хаусдорфовой размер-
размерности вместо цр можно использовать цр.
5.19. Найдите хауодорфову размерность р и вычислите
М-р(-4) Для следующих множеств:
а) А =[а; Ь]; б) 4 = ^;
в). Л = [0; 1]Х[0; 1]; г) А = [0; 1]",

5.20. Найдите хаусдорфову размерность р и вычисли-
вычислите \1р{К) для канторова множества К. Докажите, что
функция ф, определяемая равенством
совпадает с канторовой функцией.
5.21. Найдите длтн{А) и M-dim(A) для следующих
множеств
а) А—К, К — капторово множество;
б) А=А0, где Л = A +Щ^Г:
в) A=KUA0.
Напомним теперь понятие множества каиторовского ти-
типа, необходимое в последующих задачах (ср. с определением
канторова множества и обобщенного канторова множе-
множества, в § 1 гл. I). Пусть {/п},г>о — последовательность
положительных чисел, удовлетворяющая условию 2/„ <<
< In—i (neN). Множеством капторовского типа с опре-
определяющей последовательностью {1п)п>о назовем пересече-
пересечение множеств Кп, которые строятся следующим образом.
Пусть А — произвольный промежуток, длина которого
равна Iq. Удалим из промежутка А симметричный отно-
относительно его середины интервал б так, чтобы каждый
из сегментов, составляющих множество А\б, имел длину
1\. Левый из этих сегментов обозначим Ао, правый —Аь
Сегменты Ао и Ai будем называть сегментами первого
ранга. Положим ifi = AoUAi. Пусть множество К,,, яв-
являющееся объединением 2" промежутков п-го ранга длипы
/„, ужо построено. Из каждого сегмента А8 е?1 и-го ранга
удалим симметричный относительно его середины интер-
интервал fie ...е„ так, чтобы каждый из сегментов, составляю-
составляющих множество А8 ^XSe 8л, имел длину ln+i. Левый
из этих сегментов обозначим символом Ае ...епо> правый—¦
^е ...е„г- Сегменты &е1...гп?п±1 будем называть сегментами
(п+1)-го ранга и положим
Kn + l = U ^Р1---Е„Рп + 1'
Множество канторо:вского типа, построенное па отрез-
отрезке [0; 1] по определяющей последовательности {2~пр}п>о,
где р>1, будем обозначать символом К(р). Заметим, что
при р = Iog2 3 множество К(р) есть классическое каыто-
рово множество.

5.22. Пусть Е^[0; 1] — множество капторовского ти-
типа, 0 < цр(Е)< °°, аЕ — соответствующая Е канторовская
функция. Докажите, что
5.23. Пусть 0 < j5 < 1, Е aR — множество канторов-
ского типа, 1п — длина промежутков п-то ранга. Докажи-
Докажите, что
а) если lim2nZ? = 0, то ц$(Е) = 0;
б) если Ит2"Й>0, то ]хР(Е)>0;
в) \лр(Е)= °° тогда и только тогда, когда 2 1п->-оо.
г) Докажите, что dimn (Е X Е) = 2 divnH (E).
5.24. Пусть А — множество аз задачи 5.9.
а) Убедитесь, что А — множество капторовского типа,
и найдите его определяющую последовательность {?„}п>о-
б) Найдите хаусдорфову размерность р множества А.
в) Найдите Iim2"^.
5.25. Пусть А, В — множества канторовокого типа с
1
определяющими последовательностями
, . о t
{In + 1 3~n}n>o соответственно, и пусть p = dimH(A), q =
= dimB(B). Докажите, что
а) р = q = Iog3 2 (напомним, что Iog3 2 — хаусдорфова
размсрость канторова множества);
б) цр(А) = 0, |дРE)=+°°, и, следовательно, при лю-
любом />0 величины jxi(A), \Xi(B) могут принимать лишь
значения 0 или +°°.
5.26. Пусть neN, Е а {0; 1; ...; п—1), т =
= Ccxrd(E), 1 «s; m < п. Найдите хаусдорфову размерность
множества
А = I 2 Чьп~и | а-к ^ Е при любом к е
U
5.27. Пусть
^ = ( 2 flftlO~fe | ah e {0; 1; 2; 3; 'i} при любом А е= N}.
U
Найдите clim77(yl) ц dimH(^ + y4) и убедитесь, что
din^ (A) > 1/2, no dimH(A + A)<1.
5.28. Пусть К — множество капторовского типа,
dimH(K) > 1/2. Докажите, что существует тамая непре-
непрерывная функция q>: С-^-С, что limzq>(z) = l и ф голо-
Z—»оо
морфиа вне множества /? X i^.

§ 6. Асимптотика интегралов высокой кратности
В этом параграфе символы Вп (г) и ?"""'(/-) обознача-
обозначают соответственно га-мерный (открытый) шар и (п—1)-
мериуго сферу с центром в пуле и радиусом г. Если ра-
радиус равен единице, то мы будем просто писать Вп, Sn~x.
Меры Лебега в Rn и Sn~l обозначаются соответственно сим-
символами %„ (объем) и (in_i (площадь поверхности). Объем
пгара Вп обозначается а„, а площадь сферы S'1^1—on-i-
Символом у„ обозначается стандартная гаусеовская мера
в R", т. е. мера с плотностью Bя) г ' 2. Если х =
='(xi; ...; хп) — га-мерлын вектор, 0<р < +°о, то Wx\\p
есть, по определению, ( 2 \xh\P) , а |^|1сО= max \xh\.
} \
Для обозначения евклидовой нормы вектора х, т. е. ве-
величины 1Ы!г, мы, как и прежде, будем ишользов'атъ обо-
обозначение 1Ы1, опуская индекс. Наконец, под средним зна-
значением функции /, суммируемой по мере ц, на множестве
Е @ < \хЕ < +°°), мы, как обычно, понимаем величину
Е
При решении ряда задач этого параграфа удобно
пользоваться формулой (см. задачу VIII.3.22.6))
6.1. Докажите, что
а) — \ x\dx = , • б) — \
' ап J х re + 2' «» J
6.2. Толщина арбузной корки равна 1/20 радиуса ар-
арбуза (считаемого шаром). Какой процент от объема ар-
арбуза составляет корка а) в трехмерном пространстве?
б) в 100-мерном пространстве?
6.3. Попавшую в 1000-мерное пространство Алису
спросили, как делать топкие стеклянные обручи (сфери-
(сферические пояса), чтобы их ширина равнялась 1/10 дпамет-

pa. «Нет ничего проще,—ответила Ллиса,— иужтго вы-
выдувать сферы, а потом отрезать лишнее» (рис. 7). Каков
будет процент отходов при этой технологии?
6.4. В шаре Вп случайным образом выбирается точка
х='(х\; ...; х„). Что вероятнее при больших п: \х]\ <
< 10~3 плп \х\\ > 10~3? (Предполагается, что вероятность
попадашгя точки в данное
множество пропорциональна
море множества.)
6.5. На сфере Sn~l слу-
случайным образом выбирают
две точки. Пусть Ln — сред-
среднее зпачетпте расстояния меж-
между пимп. Найдите Пш Аг-
n-ico
Ряс- 7 6.6. Пусть Рп — нормиро-
_ ванная мера Лебега на сфере
Sn~l A/п). Докажите, что координаты па этой сфере
«асимптотически распределены по нормальному закону»,
т. е. что при любых ff,l)eB\,fl<i, справедливо равен-
равенство
lim Рп {(х,; ...;хп) es 5" ( /п) | а < хп < Ъ) =
о
= -4=Л,
6.7. Пусть функция / непрерывна па замкнутом шаре
Вп, М = тах|/| и при любых йе5"-' и ге[0; 1] спра-
~вп
ведлива оценка 1/(г©) — /(©)|<йA— г), где h — воз-
возрастающая непрерывная на промежутке [0; 1] функция,
обращающаяся в нуль в нуле. Докажите, что среднее зна-
значение функции / па шаре Вп и па сфере S"'1 близки в
следующем смысле: при любом ее@; 1/2) справедливо
неравенство
аи1 ] / (х) dx — ой1 ) /(co)d|in-i(cD)
S71-l
6.8. Докажите, что при любом (jgK шттогралы
J \х± .. . xn\q/n dyn(x) имеют при п-+°° конечный поло-
R"
жительный предел.

6.9. Докажите, что при любых gelR,0-
осп1 J \\x\\ldx ~ ой-1 J \\x\\ldiin-1(x).
6.10. Пусть ^п — мера в К" с плотпостыо
1/471) е
а) убедитесь, что уп(^.п) = 1;
б) -найдите предел lim уп (Вп);
71-» ею
в) докажите, что J йуп{х)<.2у п-е~пг 2при 0<
6.11. Докажите, что при любых
II x ijp ayn [X) ~ on—i J ll x \v aun_1 [X)
(определение меры уп см. в задаче 6.10).
6.12. Докажите, что \ \xf dyn{x) ~ nq/2 (gn
6.13. Докажите, что при любом
Символ а,гХЬп, где {а„}, {Ьп}—положительные число-
числовые последовательности, используемый в задачах 6.14,
6.15 и некоторых других, означает, что
В аггалопгчгтом смысле это обозначение используется на-
нами по только для последовательностей, ню и для произ-
произвольных семейств положительных чисел.
6.14. Пусть 5еК,»1,иеМ, 2 < т «S n, m + q>0,
X = [Х^\ . . . ; 2'п) ?Е и\ ,
Докажите, что
-I ; °j ¦» m,n
и / m-*oo \
т^оо \ ft

6.15. Докажите, что при любых ge R, 0<р<°°
Jn[P,4)— J
(Рассмотрите последовательно случаи
а) д>0, 0<р<2; б) 0 < г/</;, /^ 2;
в) 2<р<д; г) гу < 0.)
6.16. Докажите, что при любых q e R, 0 <р < °°
|| Я || OJX W П
Sn-i
6.17. Докажите, что радиус г„ тара Вп(гп), объем
которого равен единице, выражается формулой
,/ п (л 1п" ъ /1
7-„ = 1/ -75—г 1 + а 1 Ь о —
' г Bяе) \ я ' re \ я
и найдите а и Ъ.
6.18. а) Б1ар Вп (г) касается всех ребер га-мерного
куба [—1; 1]". Сравните при больших п объем куба и
объем шара.
б) Куб [ — 1; 1]" разбивается координатными плоско-
плоскостями па 2" кубов. В каждый из них мы вписываем шар,
а затем рассматриваем шар Вп(р), касающийся внешним
образом всех шаров, вписанных в кубы. При каких п
справедливо включение 5я(р)?=[—1; J]"? Что больше
при больших п: объем куба [ — 1; 1]" или объем ша-
ра Я»(р)?
6.19. Найдите асимптотику радиуса р„ шара Вп(рп),
гауссовский объем которого равен 1/2.
6.20. Пусть ап, Ь„, с„ — средние значения функции
1/ltalli на множествах Оп, Вп, [—1; ]]п соответственно,
где Оп есть га-мерный октаэдр:
Докажите, что ап = т-, Ьп X i/hi, с„ = 1/га.
6.21. Пусть /„, /„, К„ — средние значения функции
lbII2/IWIi па множествах Оп, Вп, [—1; 1]" соответственно.
Докажите, что
а) /„ ~ 2/га; б) /„ X 1/Уга; в)^„Х1.
6.22. Пусть Оп + е5" — е-окрестность октаэдра Оп.

а) Найдите предел
lim .
б) Найдите при п -»- + °° асимптотику отношения
I 2 \"+1
6.23. Докажите, что Я„ (Ап) ~ 2 — I , где
...,ж„>0 )"
6.24. Пусть Vn — центрально симметричное относи-
тельно нуля выпуклое множество, содержащееся в кубе
(—1; 1)". Докажите, что если Я„G„)>C/2)", то при
достаточно большом п множество 2Vn содержит такую
точку a=(ai; ...; а„) с целочисленными координатами,
что 2 | «й | > и/10.
6.25. Докажите, что
а) * Г
I/ п J
Г |U||& -^ ;
I/ п J п^оо I/O
Co;i]n
в) \ f (Ухг .. . хп) их -> / (е-1) (/е С([0; 1]));
[o;i]«
-J-oo
6.26. Пусть f>0, J/(a;)da; = l, 0<p<oo. Дока-
жите, что
а) f . . . f / (ж,) / (,rg) . , , / (xr,) dxt . , . dxn -> 0
tl~.ll <-- Я^ОП
прп любом с- > 0;

б) / (xj) f (x2) ... f (xn) dx1 . ,. dxn -> 0 при любом
9 n^°°
в) можно ли в п. б) заменить п9 на (con«I/p, где
о)п > О, со„ -> О?
6.27. Докажите, что для любого п ж любого вектора
аеК справедливо неравенство
Ар||а||< B~п [ | (х, a) f dx)liP < Вр[|а||,
где (?„ = [—1; 1]", АР, Вр — положительные постоянные,
зависящие только от р (ср. с задачей 3.31.а)).
Глава IX. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ
В этой главе, как и в предыдущей, символ %т обо-
обозначает меру Лебега в пространстве Rm (X — Xi), симво-
символом 3?Q(E) обозначается множество всех измеримых по-
почти везде конечных функций, определенных на мно-
множестве Е.
Мы предполагаем, что читатель знаком с основными
фактами теории функций (теоремы Лебега и Рисса о
связи между сходимостями по мере и почти везде, тео-
теорема Лебега о предельном переходе под знаком интегра-
интеграла, теорема о почленном интегрировании положительных
функциональных рядов, неравенство Бесселя, теорема
Рисса ¦— Фишера, полнота тригонометрической системы
функций). Некоторые из перечисленных теорем посто-
постоянно используются в решениях (например, теорема о
почленном интегрировании положительных рядов), без
других (например, теорем Лебега и Рисса) сама поста-
постановка ряда задач, как нам кажется, пе может быть по-
понята с достаточной полнотой, даже если эти теоремы
формально не используются в решениях.
§ 1. Сходимости по мере и почти везде
1.1. Сходятся ли указанные низко, функциональные
последовательности {/n}nSai по мере и почти везде на
.промежутках Д? Имеют ли они суммируемыр мажо-
мажоранты?

а) М*) = ПЛП
1 -{- п х
б) /nW = i~v
в) ]п(х) = пхе~пх\ А = @;1);
г) fn(x) = nize-nxt, Л=A;+оо);
Д) /nW = -т-г^> А= A;+ оо);
?' д=@;1);
ж) /„(а) = \х-1/п\1/2, Л=@; 1).
1.2. Пусть aeR, {а}=а— [а] — дробная часть чис-
числа а, и пусть /„ — характеристическая функция проме-
промежутка с концами {Inи), Aп('г + 1)} (bgN) (если
{In(и + 1)} < {Inn}, то мы считаем /„ тождественным ну-
нулем). Докажите, что
а) Km fn(x) = 1 при любом х^@; 1);
П->оо
б) /rcfti (x) -v 0 почти везде на @; 1) при любом
О 1. (Ср. этот результат с результатом задачи П.1.25.)'
1.3. Постройте такую последовательность {gn} с:
c^fO; 1), что gn -v 0 по мере, lim gn(x) = + оо п. в.
П->оо П-»оо
на @; 1), lim gn{x) = — оо п. в. на @; 1).
П-»оо
1.4. Пусть функции /п (и е N) монотонны на проме-
промежутке @; 1) и /п -> / по мере. Докажите, что функция /
П-»оо
совпадает почти везде с монотонной функцией /о и
/п (ж) ->• /о (х) в точках непрерывности /0.
ПНКХЭ
1.5. Пусть /п (ж) = | sin (Апх + cpn) |Р", где х s @; ~2п),
а {4„}, {ф„}, {pj — вещественные числовые последова-
последовательности, удовлетворяющие условиям lim \Ап\ > 0, рп -*¦
-*¦ +°°. Докажите, что/п->-0по мере на @; 2я). Обяза-
П-»оо
тельно ли /п(я) —>- 0 почти везде на @; 2я)? Рассмотри-
те пример
cos y mix
где m^[Yn\, k = i

1.6. Пусть {Ап), {ф„} — вещественные числовые по-
последовательности,-^ -»- оо. Докажите, что
П->ос
lira sin (Апх + фп) = 1 п. в. на R,
Km sin (Апх -)- фп) = — 1 п. в. на R.
1.7. Докажите, что
со
?г1/3 f e~x sin™ (?гж + ф„) dx -> О
о п^°°
для любой последовательности {ф„}п>1 с; R.
1.8. Пусть {/n}n>i cz i?° (К), я > 0. Докажите, что если
ТО
Нт /п (ж) ^ а п. в. на R.
1.9. Пусть {/„}n>1 с: 210 (R), е„ -> 0,е„>0. Докажите,
что если
то
а) fn(x) —> 0 п. в. на
П-^ОО
б) для любого числа е > 0 найдется такое множество
есК, что Це)<'е и /п ^ 0 на R\e.
1.10. Докажите, что сходимость почти везде «устойчи-
«устойчива» в там смысле, что если {fn}n>\ ^ 3?° @; 1), /п(ж) -»- 0
71-><х>
п. в. на @; 1), то существует такая последователь-
последовательность {Аг}п>1 с К, что Ап-^ oo,Anfn(x)-> 0 п. в. на
@; 1). Останется ли это утверждение верным, если за-
заменить интервал @; 1) на R?
1.11. Пусть {/„Wc^°@; 1), /„(х) -> /(ж) п. в. на
@; 1). Докажите, что существует функция ge^fO; 1)
(«регулятор сходимости») и последовательность {en}nSslc;
с: К такие, что е„ -> 0, |/п(ж)— f(x) I < eftg-(x) п. в. па
@; 1) при любом гае N. Останется ли это утверждение
верным, если заменить интервал @; 1) на [R?

1.12. Докажите, опираясь на результат предыдущей
задачи, теорему Д. Ф. Егорова: если {jjn>\ <= 2?0{0; 1),
( () п, в. на @; 1), то для любого числа е > 0'
П->оо
найдется такое множество е<=@; 1), что Л(е)<е и
/n nj / на @j 1)\е. Останется ли эта теорема верной, ес-
П->оо
ли заменить интервал @; 1) на К?
1.13. Пусть {/„Uic S°{0; 1). Докажите, что /„ ->- 0
по мере тогда и только тогда, когда для любой подпосле-
подпоследовательности [fnh] найдется, в свою очередь, подпосле-
подпоследовательность Hnh.\i сходящаяся к нулю почти везде
на @; 1).
1.14. Пусть{/„}п>1с:^0(К), ?e^(K),[/,,(i)k?(i)
п. в. на К при любом леМ. Докажите, что если функ-
функция g удовлетворяет условию
Я{жеК|^A)>е}<оо при любом е>0, A)
то из сходимости последовательности {/„}n>i к нулю по-
почти везде на R следует, что/п—*¦ 0 по мере. Верно ли
это, если условие A) нарушено?
1.15. Пусть
U»#ic^0@; 1), {/„}„>! с ??°@; 1),/оег°(О; 1),
и пусть
fn.u—*¦ fn по мере, /„—> /0 по мере.
Докажите, что найдется такая строго возрастающая по-
последовательность номеров {kn}n>i, что/п,йп—»-/0 ло мере
(«теорема о диагональной лоследователы-юсти»). Верно
ли аналогичное утверждение, если сходимость по мере
заменить
а) равномерной сходимостью па @; 1)?
б) сходимостью почти везде на @; 1)?
в) поточечной сходимостью на @; 1)?
§ 2. Сходимость в среднем. Закон больших чисел
В этом параграфе буква Е везде обозначает измери-
измеримое подмножество пространства Rm конечной (лебего-
(лебеговой) меры. Символ S'(E) (S"X'(E)), где г — положи-
положительное число, обозначает множество функций из 9?°{Е),

удовлетворяющих условию
| | / (х) \r dx < оо СИ/ lioo = vrai sup | / (x)\<z <
Е \ Х1=Е
Символом ll/llr обозначается величина [ J | / (х) \r dx ]
Мы будем говорить, что fn—*U в пространстве S?r (E)
(сходимость в среднем с показателем г), если
2.1. Пусть f<^3"(E). Докажите, что
а) если 0 < s < г, то / е i?s (E);
б) если Хт(Е)=1, то функция si-»-|/||, возрастает на
промежутке @; г].
2.2. Пусть {/„)„>!, {gJn>i<=&T(E), /о, fteS"(?).
Докажите, что
а) если ||/п —/о I-—* 0, то /„—> /0 по мере;
б) если 1 /„ — /0 ||г -^- 0, || gn — g0 ||r —> 0,
П»оо П*оо
то
2.3. Пусть {jn)n>icz S'l{E). Докажите, что если
In —> 0 по мере и sup |] /n \\L < оо, то
для любой функции g s 2>1{E).
2.4. Пусть U^c^2^), /0е^2(Я)_ Докажите,
что если /„•—>f0 по мере и ||/п||,—>-1|/0||2, то ||/„—/0||2—> 0.
2.5. Пусть /, g^S°{E), 0<a<Xm(E). Положим
Ja (/) = inf {t\km{xe=E\ \f{x)\>t) <a). Величина Ja (/)
называется квантилъю (ср. определение Л*(/) с определе-
определением невозрастающей перестановки функции / перед за-
задачей VIII.2.10; квантиль Jifi(j) есть медиана функции
1/1 —см. задачу VIII.2.9). Докажите, что
а) Ja(f)^J»(f) при 0<р<а;
б) Ja(aj)=\a\Ja(j) при любом аеК;
В) Ja(f+g)^Ja/2U)+Ja/2(g);
г) /n-^/о по мере (/„, foeS'o(E)) тогда и только
тогда, когда/а (/п —/о)—*¦ 0 при любом а, 0<а<Хт(Е).
2.6. Пусть М<= З?2{Е)?-в. пусть II/II2<CII/I!i для любой
функции /elf, Докажите, что

а) если 0<г<1, то найдется такое число 0 = 8(г)',
что 11/111 «SCell/Hr для любой функции /elf;
б) найдется такое число а = а(С)>0, что 11/111 <
s^2Xm(E)Ja(f) для любой функции f<^M;
в) если {/„}„>1 с М, то |] /та ||2 ¦—*¦ 0 тогда и только тогда,
когда fn-—*¦ 0 по мере.
П->00
2.7. Пусть {/„} cr З?2(Е) и при некоторых С, б>0 и
любом и е N выполняются неравенства H/J^^C, U/Jli^
5= б. Докажите, что если ряд 2 а"/« (х) почти везде на
Е сходится абсолютно, то zj | «п |<С °°-
2.8. Докажите, что если ряд 2 I an sin (пх + ср„) | схо-
дится на множестве положительной моры, то 2 Iflnl-^C00»
2.9. Пусть {/„}n>i — ортогональная система в 3?2(Е),
1 v ,
Докажите, что если
то а„ -»- О1 по мере. (Различные варианты этого утверж-
утверждения носят название закона больших чисел.)
2.10. Докажите сходимость по мере на интервале
(—л; п) следующих последовательностей {fjn>i\
п\ -С (v\ __ *
2 ^sin
/«и=4-
2.11. Найдите предел
я
hm arctg -— 7, к sin- kx dx,

2.12. Пусть {/„}n>i—ортогональная система в 3?2(Е),
\fn{x)\ ^ М почти везде на Е при любом neN, и пусть
сти = — 2d fk' Докажите, что
а) .2Ы.<оо;
б) оп(х)-+ 0 почти везде на Е.
(Последнее утверждение часто формулируют, говоря,
что для последовательности {/„}n>i справедлив усилен-
усиленный закон больших чисел.)
2.13. Пусть {/„}„>1 — ортогональная система в 3?2(Е),
°п= — 2 /ft-Докажите, что если 2 гс~3/2||/п||2<°°, то
h n^l
ап(х)^0 п. в. на Е, т. е. для последовательности {/„}„>i
справедлив усиленный закон больших чисел. Докажите,
кроме того, что функция g = sup \an | принадлежит 3?2(Е).
п
2.14. Пусть еп(х)— п-ж знак двоичного разложения
числа х е@; 1),
оп(ж)
X<h<n
Докажите, что
а) оп-—> 1/2 по мере;
пн>оо
б) стп(ж)—> 1/2 п. в. на @; 1).
Последнее означает, что для почти всех чисел из проме-
промежутка @; 1) нули и единицы в их двоичном разложе-
разложении встречаются одинаково часто.
2.15. Зафиксируем одну из цифр 0, 1, ..., 9, скажем
т, и пусть ст(х)=1, если десятичное разложение числа
х— [х] имеет вид 0, т..., и ст(х) = 0 в противном слу-
случае. Положим
Используя тот же метод, что и в предыдущей задаче, до-
докажите, что
а) ov—> 1/10 по мере;
б) ап{х) —> 1/10 п. в. на @; 1).
Число х<^@; 1) называется нормальным, если при
любом peN его разложение в р-ичную дробь содержит

все «цифры» (числа О, 1, ..., р — 1) одинаково часто.
Известно, например (см. [12]), что число
х = 0,1234567891011 . .. 19202122 ...
нормально (десятичное разложение х состоит из выпи-
выписанных одно за другим всех натуральных чисел (в де-
десятичной записи)).
2.16. Обобщая задачи 2.14 и 2.15, докажите, что поч-
почти все числа интервала @; 1) нормальны.
1
2.17. Пусть /е= 2*2@; 1), \f(x)dx = 0. Для произ-
произвольных beNhe>0 положим
Еп(г)=\(х1; ...;;rn)sE@;l)
Докажите, что Хп(Еп (е)) —>- 0.
/Ы
2.18. Пусть
; 1), \ jn(x)dx = 0 при лю-
любом neN. Для произвольных п ее N и е>0 положим
1
Докажите, что Я„ (Еп (е)) -> 0, если
i? 2
2.19. Пусть cpeC(R), 8ир|ф|<;оо. Найдите предел
R
п Г .
lim
2.20. Пусть {an}n>i c= R, {fjn>i — ортонормирования
последовательность в 2>2(E),Sn= 2 ^kfk- Докажите,
_
что если 2 V ппп < оо, то
а) 2 | S — S 21|< оо, где S = 2 «ft/ft!
fe>i" " fe^i
б) ряд 2 anfn (з1) сходится почти везде на Е;
f
в) s

3. Функции Радемахера. Неравенство Хинчина
Пусть reeN, k<=Z,An,h = (k/2n; (k + i)/2n). Опреде-
Определим функцию г„ на множестве R равенством
Функции г„ называются функциями Радемахера.
3.1. а) Докажите, что для любого ueN и любого
набора (sJi^fe^n, где числа ед принимают значения +1
или — 1, найдется такая точка t<^@; 1), что rh(t)= eft
при А; = 1, 2, . . ., re. Какова мера множества таких точек?
б) Докажите, что г, (? + 1)= n{t), rn(t)= n {2n~H\
(te=\R, веМ).
в) Пусть а„(х)-— га-й знак двоичного разложения чис-
числа ie@; 1). Докажите, что ап(х) = A — гп(х))/2 почти
везде на @; 1).
г) Найдите сумму ряда 2 2"nrn (x) (x e @; 1)).
3.2. Докажите, что
1
a) L {тг @; .. •; rn (t)) dt = 2-" 2 Ф(ех; ...; е„);
0
1
J
1
J Ф1 (^ @) ф2 (г2 @)... Ф„ (г„
= П
3.3. Пусть mi, m,2, ..., тп — попарно различные пату-
ральпые числа. Докажите, что
1
а) |ф(гт1@; ^@;...; rmn{t))dt =
о
1
ф(г1(^); r2(i); .„;гя (*))<Й;
б)
о
в частности, {г,,},,>1 ~- ортонормпрованттая система в
S4Q; 1),

3.4. Вычислите интегралы
} it 2 rk(x)/2k I it 2 3~krk(x)
а) \ е k^1 dx; б) J e h>x dx;
о о
1 V , .
П Z Лш1 Cfe^feiX/
О
г) Докажите, что если if, а„ е R, а„->-0, 2ап = °°! то
dx —> 0 при
3.5. Докажите, что для любых чисел с\, сг, ..., с„
справедливы неравенства
1
\
а) \\ 2
б) f 2 \ск\Л112^в\\ 2
Й J I
где А, В — абсолютные постоянные.
3.6. Докажите, что для любых чисел ед (к, j
справедливы неравенства
1 1
a)
2
б) f 2 |с«|М1/2<
1 I
2 |
KftJ^n
2 chyh(t)rj(s)
dtds,
где 4, В —¦ абсолютные постоянные.
3.7. Докажите, что
а) {r3rk}i^j<h есть ортонормированная система й
О; 1);
б) для любых чисел сл (l^/<&) справедливы не-
неравенства
1
2 ciftri (x) rh(x)
<h
Sh|2
! cjft | ^= ° ,) -<-J
'¦]<h<n J q Kj<Kn
где Л, 5 •— абсолютныр постояипыо,
dx,

3.8. Докажите, что для любых чисел с\, сг, .. ¦, сп
справедливы неравенства
а) (I 2 chsm2hxidx^A( 2 |cft|aV;
2Я
6) [ 2
2
Ch Sill ,
dx,
где А, В — абсолютные постоянные.
3.9. Докажите, опираясь на результаты задач 3.5—
3.8, что для любого f>0 и любых чисел ск, сл справед-
справедливы неравенства
а)
@; 1) || 2 chrh (х) > *Ц АгГЧ 2 к/4|2|2;
I h J \k J
б) Цх е @; 1)
(ж) rh (x)
2 Cfe sin 2 a;
в)
где Ль 42, Аз — абсолютные постоянные.
ЗЛО1. Пусть ап (х) = ~
те, что
а)
б) 2 | ffn (ж) |4 < оо п. в. на @; 1).
2
1)). Докажи-
Каждое из утверждений а), б) влечет равепство
Нт оп(х) =0 почти везде на @; 1), которое известно под
названием усиленного закона больших чисел. Используя
связь между функциями Радемахера и знаками двоично-
двоичного разложения (см. задачу 3.1. в)), выведите отсюда, что
двоичное разложение почти каждого числа содержит
«поровну» нулей и единиц (см. задачу 2.14).
3,11. Пусть С — произвольная квадратная (пХп)~
матрица, А — множество всевозможных векторов в К",

координаты которых равны ±1. Докажите, что
а) 2 (СхтУУ^К^Ч 2 (Сх,у)Л2;
д \А )
б) ( 2 (Сх,у)Л1/г^Кг2-п 2 \(Сх,у)\,
где Zi, Кч,— абсолютные постоянные.
3.12. Пользуясь теоремой единственности для преоб-
преобразования Фурье конечных борелевских мер, найдите
функции распределения следующих функций:
а) /(*) = -?-
б) /(а;)= 2
) (x e= @, 1));
(ie(O;l)), где
произвольная (ire обязательно возрастающая) последова-
последовательность попарно различных натуральных чисел.
3.13. Пусть Д — один из промежутков Дт|< (см. опре-
определение функций Радемахера). Докажите, что при тп^п
(m, n e N, ?>0, ah e О?) справедливы неравенства
г < I 2 «Л (ж)
д I ККп
а) 2 «Л (я
6) \ e i<k<m dx^ \ e i<k<n ^х.
к a
Кроме того, если/? =[а;е @; 1) | 2 akrk(x)
Kkm
то
в)
г)
(a:)
da:
2
S ahrh(x)
dx:
dx.
3.14. Используя неравенство cli(s)^es
кажите, что при av a2,
ливы неравенства
lt c2,. . . i
= 0<), до-
справед-
а) Я,[же @; 1)|
[
гдел2= 2 4;
б) X [х е @; 1) |
[
где с2 = ~j I ch
k
2
2
ЛИ
J

Кроме того,
в) если ? = [ж е @; 1) | sup I 2 awn{x)
>Ц, то
Л2 = 2
г) если
2 ЯЛ (ж)
то
1
esg2(«)da; <; оо для любого числа s]>0.
о
3.15. Докажите, что если 2|aft|2 < °°) то ряд
2 аъУъ. (ж) сходится почти везде.
3.16. Докажите, что если ряд 2 «Л сходится по ме-
ре на каком-нибудь множестве положительной меры, то
2 К|2<°°-
3.17. Докажите, что эквивалентны утверждения
а) 2 |aft|2<°°;
б) ряд 2 akrk сходится в 2V(Q; 1) при некотором:
^@; 2);
в) ряд 2 «Л сходится по мере на множестве @; 1);
Mi
г) ряд 2 akrk сходится почти везде на множестве
@; 1).
3.18. Докажите, что если ряд ^ahsm2 ж сходится по
h-> 1
мере на каком-нибудь множестве положительной меры,
то 2 I аи\г < °°-
3.19. Пусть 2 |я/Иг<°о. Докажите, что
к
а) если vraisup
2
с Л
¦<оо для некоторого (не-
(непустого) промежутка Л, то
6) если vrai sup
sin z ж
пустого) промежутка Л, то
же Л
2
<оодля некоторого (пе-

В задачах 3.20, 3.21 мы будем рассматривать систему
функций Хаара {hm}m>o. Эта система определяется сле-
следующим образом. Каждое натуральное число т единст-
единственным образом представило в виде т = 2" + к, где
га, к — целые неотрицательные числа 0 ^ к < 2™. По оп-
определению полагаем ho(x)=l для любого ie@; 1);
( 2"/2 при А-/2П< х < (к + 1/2)/2п,
Лт И = - 2П/2 при (ft + l/2)/2n < х < (fc + l)/2",
[ 0 при прочих значениях ie@; 1).
3.20. Докажите, что
a) {hm}m>o — ортонормированпая система в 3?2@; 1);
б) если
Э= та
= [з;е@; 1)
t\, то при
2
E
в) если
2 ahhk (x)
@; 1) j max
то
где ^ =
г) если 2
то ряд
сходится поч-
ти везде на @; 1).
3.21. Опираясь на то, что ряд Фурье по системе Хаа-
Хаара любой суммируемой па промежутке @; 1) функции /
сходится к ней в J?'@; 1), докажите, что
а) он сходится почти везде на @; 1);
б) если Е = \х (= @; 1) I sup Sn [х) \ > t), где Sn —
п-п. частичная сумма ряда Фурье функции / по системе
Хаара, то %(Е)< Il/Hjr1.
3.22. Используя результат задачи 3.14, докажите, что
при любом р > 0 и любых ах, а2, ..., ая е К справедли-
справедливо неравенство Хинчина
IY1'2,
A
<вр( 2
/
где AP, Bp — положительные постоянные, завпсящпе
лишь от р, и lim \Bv/yp) ^e~x/2. Точное значение ве-
личин Ар, Вр найдено в [37].

3.23. Докажите, что утверждения а) — г) задачи 3.17
эквивалентны утверждению
д) ряд 2 akrh сходится в ??р@; 1) при любом р из
@; +00).
3.24. Докажите, что для любого тригонометрического
многочлена 2 ckeihx (n ^ 2)
lft|
а) можно указать такие числа eft = ±l (к = 0, ±1,
±2, ..., ±«), что
где с > 0 — абсолютная постоянная;
б) можно указать такие числа eft = ±l (к = 0, ±1,
±2, ..., ±п), что
sup
2 Wih* < 10/In га f 2 Ы*\т.
\h\<n l|ft|<n
3.25. Доскажите, что при любом а > 2 найдутся такие
числа рп > 0, что ряд
у an In n
будет сходиться почти везде. Выведите отсюда, что
<1
~\/2п In И
почти везде.
3.26. Пусть {njj^i — произвольная возрастающая по-
последовательность натуральных чисел. Докажите, что
lim
У 2га. In/
1 почти везде на @; 1).
Если / = ОAп/гл), то мы получаем отсюда весьма слабый
вариант закона повторного логарифма:
lim
...+гпЛ*)\
1 почти везде на @; 1),

§ 4. Ряд и преобразование Фурье
4.1. Вычислите свертку функций /с */с в следующих
случаях (с>0):
б) /с (^)=BEC2)-re/2e-lrf/Bc2) (
в) /с (ж) = "Г"#~т~; г" (
" с \ х
с -\- х
4.2. Пусть 0 < а < 1, /, go. — 2я-периодические (изме-
(измеримые) функции,
vraisnp|/(a;)|<oo, ga(x) = \x\~a при |ж|^л.
R
Докажите, что функция
2Я
Ф (*) = 1 / B/) ?<* (ж — У) dV (x e К)
о
входит в класс Lipi_a.
В задачах 4.3—4.16 символом ~J(n) обозначаются ко-
коэффициенты Фурье суммируемой на промежутке
(—я; я) функции / относительно ортогональной системы
Iе Inez-
4.3. а) Пусть J, g<sg2(—n; я), h — jg. Докажите,
что если f(n) = g(n)=0 при п < 0, то и h(n)=0
при га < 0.
_ б) Пусть f<^2"°(—я^я), Ф = ef. Докажите, что если
f(n) = 0 при п < 0, то и Ф (п) = 0 при п<0.
4.4. Пусть /e^'f-n; к). Докажите, что
тогда и только тогда, когда
я
/(ж)= j g (у) h (х — у) dy почти везде на (—я; я),
—я
где g, h — 2я-периодические функции, входящие в класс
22п\ я).

4.5. Пусть /s^~(—л; я). Докажите, что числа
f{n)Jl/\n\ (neZi пфО) являются коэффициентами
Фурье функции, входящей в класс Lipi/2-
4.6. Докажите, что если 0 < a sS 1 и / —• 2я-пер_иоди-
ческая функция, входящая в класс Lipa, то f(n) —
/Ы
()
4.7. Докажите, что если / — функция ограниченной
вариации на промежутке [—я; я], то f(n) — O(l/n).
4.8. Пусть f(x) = xcos{l/x) при 0 < Ы < я, /@)==
== 0. Докажите, что хотя функция / не является функ-
функцией ограниченной вариации на [—я; я] (см. задачу
Ш.ЗЛЗ.а)), но/(ге) = 0A/ге).
4.9. Пусть 0<а<1, ап = О(п~{1+а)). Докажите, что
функция/(х) — 2 й'п^пх (же R) входит в класс Lipa.
Верно ли это при <х= 1?
4.10. Пусть !(х) = У, -\smBn]\x\) (же К). Дока-
п
жите, что ряд Фурье функции / расходится в точке
х = 0.
Пусть/eS>i (-Я; я), ?„(*)= 2 J (k)e
ikx
\
п — 0, 1, 2, ...) — частичная сумма ряда Фурье функ-
функции /. Положим
Суммы а„ называются суммами Чезаро — Фейера. Легко
убедиться, что
Я о Х ~У
, с sm n —о—
а„ (х) = -V— / (и) — dy.
—я sm —2—
4.11. Докажите, что последовательность сумм Чеза-
Чезаро — Фейера, соответствующая 2л-периодической непре-
непрерывной функции, сходится к ней равномерно на К.
4.12. Пусть / — 2я-периодическая функция, /sLip^,
где 0 < а < 1. Докажите, что
а) \ап(х)— j(x)\ <С1па при любом геК, где С—
¦постоянная, зависящая от а и /, но не от х;
б) II/ — ?„112 = О(п~а), где Sn — га-я частичная сумма
ряда Фурье функции /.

4.13. Пусть / — 2я-перподнческая функция, /sLipa.
Докажите, что если а>1/2, то 2 / (^) | < оо. При а =
== 1/2 утверждение становится неверным (см. задачу
IV.6.34).
4.14. Пусть /eS'1)-я; я). Докажите, что если
П/ — С7П!11 = o{iln), то / = const почти везде.
4.15. Пусть /ej2?2( — л; я). Рассмотрим функцию f,
определяемую равенством
/ (я) = - i 2 / (») sign (и) е'пх (ж е= (- я; я)).
Докажите, что функция f вещественна, если веществен-
вещественна функция /.
Функция / называется сопряженной к /. С одним из
многочисленных применений этого важного понятия чи-
читатель может познакомиться в двух следующих задачах,
заимствованных из [41].
4.16. Пусть 1 = щ'< п\ < пч < ... < пт — натуральные,
а. ао, а\, ..., ат — произвольные комплексные числа,
и пусть
/*(*)= 2 a}eini*
h ft
(мы считаем, что а3 = 0 при / > т). Пусть, далее,
где е — произвольное положительное число, gh — функ-
функция, сопряженная к gk (см. определение в задаче 4.15).
Докажите, что
а) \Fz(x) I < е при любом х е(—я; я);
б) если 2p-1<q<2p, то
4.17. Пусть 1 ^ п\ < гаг < ... < пт (щ е N). Докажите,
что для любых комплексных чисел ci, с2, ..., ст справед-

ливо неравенство
я
Д, Cje dx^-y
где у — положительная абсолютная постоянная (у ^ 10 2).
Преобразованием Фурье функции /е^г(Ки) назы-
называется функция /, определяемая равенством
где (s, t)— скалярное произведение векторов s,s, (e 0?n.
4.18. Вычислите преобразования Фурье функций, ука-
указанных в задаче 4.1.
4.19. Найдите преобразования Фурье функций Эрмита
hn (х) = ex4 ("i)
Преобразованием Фурье конечной меры ji, заданной
по крайней мере на борелевских подмножествах прост-
пространства R™, называется функция ji, определяемая ра-
равенством
Rn
где (s, t) — скалярное произведение векторов «,(еКп.
Преобразование Фурье меры в О?1, порожденной не-
неубывающей ограниченной функцией g, обозначается сим-
символом g.
4.20. Пусть F — функция распределения функции /е
е 2* (Е), где Е cz Rm, Хт (Е) < ~. Докажите, что
F{s) = le~umdx (seK).
i
4.21. Пусть a (s) = je~is( da (t) (seK),rfle а — кан-
o
торова функция (см. задачу III.3.17). Докажите, что
a(s) А 0 при s ->- оо.
1
4.22. Пустьа1(ж)= j a (ж — у) do (у) (же К), где о —

канторова функция (а(х) — 0 при х < О, а(х)—1 при
х> 1). Докажите, что
а) Gi строго возрастает на промежутке [0; 2];
б) oi (s) A 0 при s -»- °°.
Решения задач 4.23—4.27 опираются на следующие
теоремы единственности:
Если /eS11^") и /"=0, то /(ж) = 0 п. в. в 0?"^
Если A — конечная борелевская мера в К и ji s 0,
то ji = 0 (см., например, [20], с. 302).
4.23. Докажите, что если свертка суммируемой на 1R
функции / с функцией е тождественно равна нулю,
то }(х) = 0 п. в.
4.24. Пусть при t > 0
= sup ( 2 eh2~h 2
< t, ek = 0 или l],
J
= 0 при i<0.
Докажите, что
а) ?eC(K);
б) ^'@=0 почти везде на К;
в) ^(S)=e
+CXJ
j
г)
4.25. Пусть v = {reA}ftSsi — произвольная строго возра-
возрастающая последовательность натуральных чисел, vi =
{K {}i- Пусть, далее,
2~"b< f, efe = 0 или l] при f> 0,
J
g(t) = { 2 sfe2-
^ (i) = 0 при i < 0,
функции g\ и g2 строятся аналогичным образом с по-
мощыо последовательностей vi и V2 соответственно. До-
Докажите, что
)
на К;
gi(t) = O почти везде на К, g% (t) = 0 почти везде

в) Убедитесь, что функция g «делима» в том смысле,
что
-\-оо
g (х) = \ g1 (х — t) dg2 (t) при любом х е [R.
— сю
4.26. Докажите, что если две конечные борелевские
меры в О?1 принимают одинаковые значения па всевоз-
всевозможных полупространствах (т. е. множествах вида
ji g R" [ (i; a)^c), где аеК", сеК), то они совпадают.
4.27. Найдите общий вид вероятностной борелевской
меры в пространстве К™, инвариантной относительно ор-
ортогональных преобразований и являющейся в то же
время произведением двух мер, сосредоточенных на не-
нетривиальных ортогональных подпространствах.
Глава X. ИТЕРАЦИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ОТРЕЗКА
§ 1. Топологическая динамика
1.1. Пусть для функции /: N—vN при любом neN
выполняется неравенство f(n + 1) >/(/(«)). Докажите,
что f(n) = n при любом beN.
1.2. Существует ли непрерывная функция/: [R—»-О?
удовлетворяющая уравнению / ° / = F в следующих
случаях:
a.) F(x)=-x; б) F(x) = ex; в) F(x) = х2 - 2?
Обозначим через Ых (или просто Id) тождественное
отображение множества X в себя (т. е. 1с1(ж) = ж для лю-
любого х из X). Отображение h: X ~+X назовем инволюци-
инволюцией, если h <> h == Ых.
1.3. Пусть f(x) = x + I, g(x) = x — l (геК). Подбери-
Подберите две инволюции h п к таким образом, чтобы выполня-
выполнялись соотношения h° к = /, к °'k = g.
1.4. Докажите, что каждая биекция есть композиция
двух инволюций.
Неподвижной точкой отображения /: X ->¦ X называ-
называется такая точка iel, что ж = /(х).
1.5. Докажите, что непрерывное отображение /: А->
-> К, где Д — некоторый промежуток, обладает непо-
неподвижной точкой в каждом из следующих случаев:

а) A = [a; Ъ),
б) Д=ф; 6], ()
в) / — инволюция.
1.6. Пусть функция /еС([а; b]) монотонно возрас-
возрастает, /([а; &])<=[а; 6], Докажите, что для каждого х0 =
е [а; &] последовательность ж„ =/(жп_!)(гае N) сходится
к неподвижной точке. Верно ли это, если / — убывающая
функция?
1.7. Пусть /eC(R). Для iogIR положим ^i = /(x0)',
xh = f(xh_1)(k <= N). Докажите, что если для некоторого
A у 1
жо^Кпоследовательность { га ^ ж*|ограничена, то / об-
I (К h<n I
ладает неподвижной точкой. Верно ли это для непрерыв-
непрерывного отображения /: С -> С?
1.8. Докажите, что конечная группа аффинных преоб-
преобразований плоскости обладает неподвижной точкой (об-
(общей для всех преобразований группы).
Отображения /: Ai -»- А] и g: А2 -*¦ Аг (Ai, Аг — ин-
интервалы на прямой) называются топологически сопря-
сопряженными, если существует такая непрерывная биекция
(гомеоморфизм) h: A2-»-Ai, что f=h°g°h~l (т. е.
h° g = f ° h). В этом случае будем употреблять обозначе-
обозначение / °° g, а отображение h будем называть сопрягающим.
В задачах 1.9—1.12 предполагается, что отображения
непрерывны, заданы на интервалах и переводят их
в себя.
1.9. Докажите, что отношение топологической сопря-
сопряженности есть отношение эквивалентности, т. е.
а) /оо/;
б) /cog тогда и только тогда, когда g m/;
в) если /i со /2, /г °° /з, то /i со /3.
1.10. Докажите, что топологически сопряженные ото-
отображения одновременно обладают или нет следующими
свойствами:
а) взаимная однозначность;
б) монотонность определенного типа;
в) односторонняя ограниченность (без уточнения ее
типа);
г) ограниченность.
1.11. Докажите, что топологически сопряженные ото-
отображения имеют

а) одинаковое количество промежутков монотонности;
б) одинаковое количество неподвижных точек.
1.12. Докажите, что если / °° g, то промежутки, на ко-
которых выполняется неравенство f(x)>x, переводятся со-
сопрягающим отображением h в промежутки, на которых
выполняется такое же или противоположное строгое не-
неравенство для отображения g (в зависимости от характе-
характера монотонности отображения h). Докажите, что если ]
и g заданы на R и одно из отображений /, g нечетно,
то биекциго h можно считать возрастающей.
1.13. Выясните, будут ли определенные на R отобра-
отображения / и g топологически сопряжены в следующих
случаях:
а) f(x) = x2, g(x) = x2n (га = 2,3, ...);
б) /(ж) = cos ж, g{x) = smx;
в) f(x) = cos х, g(x) = —cos x;
г) f(x) = smx,g(x)=—sinx;
Д) f(x) = x + sin x, g (x) = x + cos x.
1.14. а) Пусть f(x) = x2, g {x) = x2 + ax + b (x e= R).
Опишите множество тех пар (а; Ь), для которых f°°g.
б) Для каких «gR можно указать такое teK, что
отображения f(x) = 1 — ах2 и g (х) = Ъх A — х) (х е= R) то-
топологически сопряжены? Опишите множество всех воз-
возникающих при этом чисел Ъ.
в) Докажите, что отображения g и g: [0; 1] ->- [0; 1],
g(x)= 2g(x)= 3x(l — ж), не являются топологически со-
сопряженными.
г) Для какого а е= R и для какого промежутка А =
= [р; q] cr R отображение /: А ->• A, f(x)= 1 — аж2 топо-
топологически сопряжено с отображением g: [0; 1]->-[0; 1]
вида g(х) = ЬхA — ж)?
1.15. Докажите топологическую сопряженность не-
непрерывных отображений /, g: [—1; 1]-^[—1; 1], зада-
задаваемых следующим образом:
¦а) /(ж)=1-2Ы, g(x)=l-2x2 (ie[-l; 1]);
б) / = /п (га е N) — «пилообразное» отображение, нри-
2к
нимающее значения (— ])*+" в точках —1 Ч , (Хй><
^ га, и линейное в промежутках между ними (рис. 8),
a g = Тп — многочлен Чебышёва, задаваемый соотноше-
соотношением Тп (cos t) = cos nl (рис. 9);
в) докажите, что функции из п. а) сопряжены как
отображения из R в R.
1.16. Пусть /: [ai; fei]-»[ai; Ъх}, g: [a2; b2] -»¦ [а2; Ь2] -
гомеоморфизмы отрезков, не имеющие неподвижных вну-

трению точек. Докажите, что / ^ g. I Гроверьте, что ут-
утверждение останется в силе, если отрезки заменить от-
открытыми интервалами.
i _
Рже. 9
1.17. Расклассифицируйте, с точностью до топологи-
топологической сопряженности, гомеоморфизмы отрезка на себя,
имеющие конечное множество неподвижных точ<ек, в чис-
число которых входят концы отрезка.

Пусть / — отображение промежутка А с К в себя,
f{x)=x, f(x)=f(x), rWB/r'W) при га>1.
Будем говорить, что метод последовательных приближе-
приближений с начальной точкой хо е А сходится, если существу-
существует предел Нтг», где хп = /"(х0).
1.18. Пусть функция /<=С([а; Ъ)) возрастает. Дока-
Докажите, что метод последовательных приближений сходит-
сходится для любой начальной точки хо е [а; Ъ], если
а) f(x)<x при х> a, f(a) = a;
б) f(x)>x при x<b, f(b)=b.
1.19. Докажите сходимость метода последовательных
приближений для любой начальной точки ioeA и най-
найдите limin для следующих отображений /:
а) f(x) = sa:ctgx, A = R;
б) f(x) = fx~T2, A = [-2; +оо);
в) /(?) = (?-2)/2, A = R;
д) /(x) = i^+-ij, A = @; +оо);
е) / (х) = -arcsin ^-^' А = (°; + °°);
ж) /(х) = с/B + х) (с>0), Д = [0; +оо).
1.20. Выясните, при каких начальных точках х0 из
области задания отображения / сходится метод последо-
последовательных приближений, и найдите limxn в следующих
случаях:
а) f(x) = x + $inx;
б) f(x) = x(x-l);
в) /(ж) = 1 + аж2 @< а^ 1/4);
г) /(ж) = 1-аж2 @<а«= 3/4);
д) /(Ж) = Ж2 + (lll/
е) / (х) = х2 + A — 2с) х + с2 (ce=[R);
1/D — Зх) при х ^ 4/3,
2х3/Cж3 - J), если \х\ф1//3,
з) / (ж) = ,
1 ±1, если х = ±1//3.

Будем называть неподвижную точку х* отображения
/ притягивающей, если для хо, взятых из некоторой ок-
окрестности точки х*, последовательность ж„ = /"(.то) схо-
сходится к х*. Если для не кото-рой окрестности U непод-
неподвижной ТОЧКИ X* П ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОЧКИ Xo^U, Xq?=X*,
найдется такой номер по, что ж«о ф. U, то х* называется
отталкивающей.
1.21. Пусть х* — неподвижная точка отображения /,
причем / дифференцируемо в х*. Докажите, что
а) если [/'(ж*) I < 1, то х* — притягивающая;
б) если \f (х*) I > 1, то х* — отталкивающая;
в) покажите на примерах, что неподвижная точка
может быть ни притягивающей, ни отталкивающей.
1.22. При каких значениях параметра а и при каких
гобЕ последовательность итераций хп = /п(х0) сходит-
сходится, если
а) f(x) = l + ах;
б) f(x)=i-a\x\ (a>0);
в) f(x)=i — ax2 (а>0);
г) f{x) = ax (а>0).
Пусть ф — дифференцируемая функция, заданная на
промежутке А, Л'Ф—отображение, заданное в тех точках
геД, где ср'(х)?=О, формулой
Лгф {х) г= х — -^гщ-
Легко видеть, что неподвижные точки отображения N9
совпадают с корнями функции ср. Будем говорить, что
итерационный процесс Ньютона с начальной точкой Хо
сходится к с, если
xk = Nl (x0) -+ с.
1.23. Пусть (реС2(Д), се А, ф(с) = 0, \ц)'(х)\>т>
> 0 для х s Д. Докажите, что если точка хо достаточно
близка к с, то
а) итерационный процесс Ньютона, начатый в хц,
сходится к с;
б) имеет место «супереходимость»: \х^ — с\^.Мд1 ,
где М>0, 0<q< 1,/teN.
1.2^. Докажите, что если феС"(Д), сеД, ф(с) =
= ф'(с)= ... =ф("-°(с)== 0, cp("'(c)?=O, то для началь-
начальных точек хо, достаточно близких к с, итерационный про-

цосс Пыотопа счодится к с, причем |.г,; — с\ С Mq*
(М >0, 0<q< 1).
1.25. Пусть феС2([а; Ъ))—такая функция, что
Фф">0в(а; Ъ) и ф(а)=ф"(Ь)=.О (или ф(Ь) = ф"(а) =
= 0). Проверьте, что для любой начальной точки из
[а; Ъ] итерационный процесс Ньютона сходится
к корню ф.
1.26. Пусть Р ¦— многочлен, имеющий лишь простые
вещественные корни. Докажите, что если хо — точка пе-
перегиба Р (т. t). P" (xq) ='0), то итерационный процесс
Ныотопа, начатый в точке иъ, сходится к корню Р, при-
причем так могут быть найдены все корни, за исключением
минимального и максимального.
Назовем множество \хп = /™ (х0) | п е Nj траекторией
точки хо. Если траектория конечна, то, очевидно, суще-
существует такое леМ, что точки хо, х\, ..., хп-\ попарно
различны, а х„ = хо, хп+\=х\, ... В этом случае хо на-
называется периодической точкой, число п — ее периодом,
а набор (х0; х\\ ...; хп-\)—п-циклом. Будем говорить,
что п-цикл притягивающий, если точка хо — притягиваю-
притягивающая неподвижная точка для /", и отталкивающий, если
х0 — отталкивающая неподвижная точка /".
1.27. Пусть (а-1*; х\; . ..; Xn~i)— га-цикл отображения /.
Докажите, что
а) если I (/") (ж0)[<с1,то для хо, взятых из некоторой
окрестности хй, выполняется соотношение
fmn + k (Л'о) —^ ЖА, /с = 0, . . ., П — 1;
б) если | (/")'(х*) | > 1, то для некоторого 8>0 и
любого
х0 е (х*0 — s; а* + е), хй ф х*0,
найдется TaKoii номер тп, что
/'" (-^о) — xk 2^ е Для всех к = 0, 1, . .., п — 1.
1.28. Пусть / — непрерывное отображение отрезка А
в себя, /о, /ь h, • • •— конечная или бесконечная после-
последовательность отрезков, причем /о с A, /,i+i cz f(In) при
любом >г 5э 0. Докажите, что
а) существует такая последовательность отрезков
А'о => A'i -> К-2 "-э .,., Ао с У о, что /" (А„) = УИ (п > 0);

б) существует такая точка /еД, для которой хп =
~ ]"(х)<= /„ лрп любом п.
1.29. Докажите, что если непрерывное отображение
отрезка в себя имеет 4-цикл, то оно имеет также 2-цикл.
1.30. Пусть /: А -*¦ А—непрерывное отображение от-
отрезка в себя. Докажите, что следующие утверждения эк-
эквивалентны:
а) существуют такая точка s^i, что точки b = f(a),
c — f(a), d = f(a) удовлетворяют неравенствам d^a<
<:b < с или с < Ъ < a «S d;
б) в А существует точка, имеющая период три;
в) для любого meN в А существует точка, имею-
имеющая период т.
Импликация б) =>¦ в) (и задача 1.29) являются част-
частными случаями следующей теоремы А. Н. Шарковского
[30]. Пусть /: А -*¦ А — непрерывное отображение (А =
= [а; Ь]). Рассмотрим натуральный ряд, упорядоченный
следующим образом:
1, 2, 4, 8, ..., 2",„„, 2т ¦ 7, 2 • 5, 2Щ • 3, ...
...,2-7, 2-5, 2-3, .,.,7,5,3.
Если р стоит в этом ряду левее г/ и / обладает д-циклом,
то / обладает такжр /ыщклом.
1.31. Докажите, что при п 5= 2 многочлен Чебышёва
Тп, заданный па отрезке- [ — 1; 1] (см. задачу 1.15), об-
обладает циклами произвольного порядка.
1.32. Найдите значения параметра а, при которых
отображение / (х) — 1 — а\х\ (х е 3?) обладает а) 2-цик-
лом; б) 4-циклом; в) 3-циклом, и выясните, когда эти
циклы являются притягивающими.
1.33. Пусть / (х) = 1 — ах2 (же К). Найдите нижнюю
границу значений параметра а, при которых / имеет
а) притягивающий 2-цикл; б) отталкивающий 2-цикл;
в) 4-цикл; г) 3-цикл.
1.34. Пусть
/(Ж)= Ъх{\ -1)Aб[0; 1]), 0< fr < 4.
Найдите нижнюю границу значений параметра Ъ, при
которых / имеет
а) притягивающий 2-цикл; б) отталкивающий 2-цикл;
в) 4-цикл; г) 3-цикл.
1.35. Пусть жо^(О; 1) — неподвижная точка непре-
непрерывного отображения /: [0; 1] -> [0; 1]. Докажите, что

если в точке хо одпосторопыие производные /+ (х0) отри-
отрицательны it /+ (xo)f_(xo) > 1, то / имеет 2-цпкл. В част-
частности, 2-цикл существует, если f (хо)< —1.
1.36. Пусть g—кусочно гладкое отображение отрезка
[0; 1] в себя. Докажите, что если \g'(x)\>a>l во
всех точках, где производная существует, то g имеет
2"-цикл при любом кеМ, Покажите на примере, что это
неверно, если гладкость отображения нарушается в счет-
счетном множество точек.
В задачах 1.37—1.39 мы будем рассматривать отобра-
отображения отрезка А = [а; Ъ] в себя, принадлежащие классу
С3(А) и такие, что производная Шварца Sf (см. задачи
VII.2.24, VII.2.25 и определение перед ними) отрица-
отрицательна в тех точках х, которые не являются критиче-
критическими точками / (т. е. там, где f'(x)?=0). Класс таких
отображений обозначим через S(А).
1.37. Пусть /е5(Д) и множество критических точек
/ конечно. Докажите, что для каждого п е N преобразо-
преобразование / может обладать лишь конечным числом ге-циклов.
1.38. Пусть /е5(Д), g = fn (re 5*1), х < у < z — по-
последовательные неподвижные точки отображения g. До-
Докажите, что если отрезок [х; у] до содержит критиче-
критических точек g, то g'(y)> 1.
1.39'. Пусть отображение /е5(А) имеет единствен-
единственную критическую точку се(и; Ь). Докажите, что каж-
каждый притягивающий цикл отображения / притягивает
траекторию одной из точек а, с, Ъ и, следовательно, /
может иметь не более трех притягивающих циклов.
1.40. Докажите, что отображение вида /(ж) = 1 —
— ах2 (х е R) при a ==S 2 не может иметь более одного притя-
притягивающего цикла, а при я = 2 имеет га-цикл для любого
reeN, но ни один из них но является притягивающим.
\Л\. Пусть ф — непрерывное отображение окружно-
окружности в себя, имеющее неподвижную точку п 3-цикл.
а) Докажите, что ф имеет также «-циклы при всех
п > 3.
б) Обязательно ли <р имеет 2-цикл?
1.42. Пусть / — непрерывная возрастающая функция
иа прямой, удовлетворяющая условию
/(*+!) = /(*)+1,

Докажите, что
а) отооражение z=e r-*q>(z) = e задает гомео-
гомеоморфизм окружности Sl = {z I Ы = 1), сохраняющий по-
порядок следования любых трех точек, и произвольный
сохраняющий ориентацию гомеоморфизм окружности
может быть задан таким образом;
б) если предел
существует для некоторого х0 е [R, то он существует и
для любого хеК;
в) если отображение фт имеет неподвижную точку
при некотором meNjo предел а существует и являет-
является рациональным числом;
г) если никакая степень <р не имеет неподвижных то-
точек, то предел а существует и является иррациональным
числом;
д) если две различные функции /i и /г определяют
один гомеоморфизм ф, то соответствующие пределы а\ и
СС2 отличаются на целое число.
Определенное таким образом для произвольного со-
сохраняющего ориентацию гомеоморфизма ф: S1 -*¦ S1 чис-
число a mod 1 называется числом вращения этого гомеомор-
гомеоморфизма. Это понятие введено Л. Пуанкаре.
§ 2. Преобразования с инвариантной мерой
Пусть X — измеримое подмножество пространства
R , (х — о-конечная мера, заданная на измеримых (по
Лебегу) подмножествах множества X. Неотрицательная
измеримая функция / называется плотностью меры ц.,
если
для произвольного измеримого множества А <= X (в этом
случае принято обозначение d\x = fdXn =¦ fclx). Две плот-
плотности порождают одну и ту же меру тогда и только тог-
тогда, когда они совпадают почти везде на X. По известной
теореме Радона — Нпкодима мера и. имеет плотность
тогда и только тогда, когда она абсолютно непрерывна
(относительно меры Лебега), т. е. когда ц(А)=0, если
Хн(А)=-0 (см. [14]). Говорят, что мора ц. эквивалентна

море Лебога, если ц.(Л) = 0 тогда тт только тогда, тогда
Х„(А) = 0. Будем говорить, что отображение Т: Х~+Х
сохраняет меру \х, пли что мера \х инвариантна относи-
относительно Т. если \х.(А)— \х(Т~1 (А)) для любого измеримо-
измеримого множества yfej. Если v — мера, заданная па изме-
измеримых подмножествах множества Y с К , то говорят,
что v — образ меры \i при отображении Т: X -+¦ Y, если
v (В) =¦ ц(Т~' (В)) для любого измеримого множества
В с У (будем в этом случае писать v = ?'[i).
2.1. Проверьте, что следующие преобразования сохра-
сохраняют меру Лебога:
a) T(x)^Bx)modl (же[0; 1]);
б) Т (z) = z" (z<=C,
в) Г(а.0 = ж-4 (^R\ {О})-
2.2. Проверьте, что преобразование
(«преобразование пекаря») сохраняет меру Лебега Х2-
2.3. Пусть Х = [0; 1)Х[0; 1), А= L'j У ~ Чел°-
численная матрица, причем с1е[Л = ±1. (Зпределим пре-
преобразование ТА: X -> X формулами 7IA(a;i; Жг) = (г/1; J/2),
г/1 =(ацЖ1 + ai2a;2)mod 1, 172 =\ач\Х\ + а.22Х2) mod 1,
где (ж[; жг)'е^. Докажите, что
а) ТА взаимно однозначно;
б) ТА сохраняет мору Лебега.
' / гягж 2то'ж \
Отооражение (^; ж2) >-»• ^е '; е "J позволяет отож-
отождествить X с тором Т2 = S1 X ?' и ?"А с автоморфизмом
712 как группы. Это дает право назвать преобразование
ТА автоморфизмом тора.
Упомянем принципиальный результат: на всякой
компактной группе G существует нетривиальная конечная
мера и., инвариантная относительно сдвигов:
где
А <= G, g е G, gA = {gx\xeA], Ag=-ixg\x^A}.

Эта мера определена однозначно (с точностью до посто-
постоянного множителя) и называется мерой Хаара. Ее един-
единственностью можно воспользоваться при решении сле-
следующей задачи.
2.4. Пусть отображение ТА- X-+X — такое же, как в
предыдущей задаче, но det A e Z> Idet-4|>1. Такое
отображение (уже не взаимно однозначное) называется
эндоморфизмом тора. Докажите, что оно сохраняет меру
Лебега.
2.5. Проверьте, что отображение
Т (х) = -i mod 1 (х е= @; 1J)
сохраняет меру d\\ = dx.
2.6. Найдите абсолютно непрерывную инвариантную
меру
а) для отображения Тп: [¦—1; 1]-»¦ [ — 1; 1], где Тп —
многочлен Чебыпгёва (см. задачу 1.15.6);
б) для отображения/: [R->-!R, где f(x)—l— 2а;2.
2.7. Докажите, что отображение Т обладает инвари-
инвариантной (соответственно конечной инвариантной, абсо-
абсолютно непрерывной инвариантной) мерой тогда и только
тогда, когда этим свойством обладает некоторая ого
степень Т" (п е N).
2.8. Пусть Т: [а; Ь] -+¦ [а; Ь] — строго монотонное не-
непрерывное преобразование. Докажите, что оно обладает
абсолютно непрерывной инвариантной мерой.
2.9. Пусть отображение Т: [а; /;|->-[а; Ь] кусочно
монотонное и гладкое. Докажите, что если оно обладает
притягивающим циклом (см. § 1), то Т не сохраняет ни-
никакую конечную меру, эквивалентную лебеговой.
2.10. Существует ли нетривиальная мера па R, инва-
инвариантная относительно всех
а) гомотетий Я»: х <-* ах (а Ф 0);
б) аффинных iJ|H4)opi;vion;iiijjri А„ /,: ,с ^ д.с 4 Ъ{а, Ь 62
fc_S',f/-AO)?
В случае утвердительного ответа .приведите пример.
2.11. Существует ли нетривиальная мера на @; +°°),
инвариантная относительно всех преобразований вида
а) Тр: х^*хр{рф(}); б) Sb,p: x>-*bxp (рфО, Ь>0)?
В случае утвердительного ответа приведите пример.

Мера ц в [R называется квазиинвариаитной относи-
относительно сдвигов, если для каждого аеЕ™ условие \i{A)=-
= 0 равносильно условию и (Л + а) = 0.
2Л2. Докажите, что
а) если мера и. в R" эквивалентна лебеговой мере Я„,
то |и квазиинварнантна относительно сдвигов;
б) если ц, квазиинвариантпа относительно сдвигов,
причем мера любого ограниченного множества конечна,
то |и эквивалентна Хп.
2ЛЗ. Пусть Т — такое преобразование множества
X сг О?" в себя, что образ ТХ„ меры Я„ обсолютно непре-
непрерывен относительно Кп, и пусть / — произвольная сумми-
суммируемая на X функция.
а) Докажите, что существует такая функция /* е
е5"(Х), что
f(x)dx = $j*(x)dx (Ac=X), A)
а) а
и при этом /* определяется однозначно с точностью до
значений на множестве меры дуль.
Соответствие/3: /•-*¦/* называется оператором Перро-
Перрона — Фробениуса, связанным с Т.
б) Если XcR" —¦ область, Т — гладкое взаимно од-
однозначное отображение, причем det7"(x)M=0 (iel), то
в) Если X — [0; 1], Т кусочно дифференцируемо и
множество Т~1{х) конечно (х<=Х), то
Pi (и)- У f(x)
1 1 (У) - ?i | г (т) |
во всех точках, для которых определена правая часть
равенства.
г) Если Х=[0; 1], /еС([0; 1]) и Т кусочно моно-
монотонно, то
д) Для того чтобы мира d\,i^fdx была инвариантна
относительно Т, необходимо и достаточно, чтобы для по-
почти всех iel выполнялось равенство Pf(x) = f(x).

Пусть п (= N, А; = [ (i — 1)/п; i/n] (i = 1, ..., и). Рас-
Рассмотрим неотрицательные функции на [0; 1), постоян-
постоянные на промежутках А;. Каждая такая функция задает-
задается вектором c=(ci; ...; сп) значений, которые она при-
принимает на Ai, ..., А„. Будем для наглядности такую
функцию обозначать через /с. Множество неотрицатель-
неотрицательных векторов в 0?" обозначим через R+.
2.14. Пусть Т: [0; 1)-»-[0; 1)—произвольное преоб-
преобразование.
а) Докажите, что для каждой функции вида
/с (с е R+) существует единственная функция fd \d e 0?+)'
удовлетворяющая равенствам
J /с (х) dx = j fd (x) dx,
= l, ..., п,
причем вектор d имеет вид d = пс, где я = (pi])ij=i—не-
(pi])ij=i—некоторая матрица, определяемая преобразованием Т.
Отображение сн- яс — дискретный (конечномерный)
вариант оператора Перрона — Фробепиуса.
б) Найдите матрицу я и докажите, что 2 Pij = 1
(/ = 1, ..., п).
в) Докажите, что существует такой вектор р е К'{,
v Ф 0, что nv — v (с этой целью рассмотрите последова-
последовательность векторов ir = — JJ я и, ме R+).
2.15. а) Пусть Т: [0; 1]-*-[0; 1]—отображение, зада-
задаваемое формулой
f 2x при ж^ 1/2,
^^'"(з/г —а: при а:>1/2.
Найдите общий вид абсолютно непрерывной инвариант-
инвариантной относительно Т меры.
б) Пусть 71: [0; 1)->-[0; 1)—отображение, задавае-
задаваемое формулой
х + 1/3 при х < 2/3,
2 - 2ж при а; > 2/3.
Укажите какую-нибудь абсолютно непрерывную инвари-
инвариантную относительно Т меру.
в) Пусть Т: [0; 1] -*¦ [0; 1]—отображение, задавае-
задаваемое формулой Т (х) =• х/2. Найдите неподвижную точку

vn для дискретного оператора Перрона — Фробениуса
(при четном п) и докажите отсутствие инвариантной
конечной абсолютно непрерывной меры для Т. К чему
сходятся меры d\in= fvndx при п -*¦ °°, если их нормиро-
нормировать условием цп([0; 1))=1?
2.16. Пусть Q = {z e С | Imz>0}. Найдите абсолютно
непрерывную меру, инвариантную относительно всех
конформных автоморфизмов Q, т. е. отображений
71(z)=2?+i, Где а, Ъ, с, deR и det (* d)>0.
2.17. Пусть Р = {(х; г/) е R21 х > 0} и для каждой
точки (а; Ь)е Р определим преобразования Д,|Ь и i?a,b
полуплоскости Р в себя:
^а,ь(ж; у) = (ах; ay + b), Rafi(x; y) = {ax; bx + y).
Найдите абсолютно непрерывные меры ць и |л,в на Р,
инвариантные относительно всех преобразований ЬаЪ и
Ra.b соответственно.
Отметим, что преобразования, о которых идет речь,
¦отвечают преобразованиям левого и правого сдвига на
группе (по умножению) матриц
т. е. преобразованиям
MXiV у-* Ма,ъМх>у, МХ:У ^ MXtVMa,b.
Меры Iь и цн называются мерами Хаара (левой -и пра-
правой) для этой группы.
2.18. Докажите, что если преобразование Т: [а; Ь] -*¦
-+[а; Ъ] сохраняет некоторую конечную абсолютно не-
непрерывную меру, то Т топологически сопряжено с не-
некоторым преобразованием того же промежутка, сохра-
сохраняющим меру Лебега.
Существование инвариантной меры (не обязательно
абсолютно непрерывной) часто устанавливается с по-
помощью следующей теоремы Боголюбова — Крылова:
Для всякого непрерывного отображения компактного
множества в себя существует конечная инвариантная мера.
2.19. Докажите, что если Т — гомеоморфизм окруж-
окружности S1 с иррациональным числом вращения а (см. за-
задачу 1.42), то Т связан с поворотом Та окружности на
угол a (ra(e2"'x)~'e2l"(c+a>) следующим образом: h°T=*

¦= Та о h для некоторого непрерывного отображения
h: Sl-+Sl.
В дальнейшем будем предполагать, что мера ц ко-
конечна и удовлетворяет условию нормировки ц(Х) = 1
(такие меры называются вероятностными).
Пусть Т — преобразование множества X. Множество
А <^ X называется инвариантным, если Т~х (А) = А. Пре-
Преобразование Т, сохраняющее меру (х, называется эргоди-
ческим, если для каждого инвариантного множества
А <= X справедливо одно из двух: либо \i(A)=*0, либо
ц(Х\А) = 0. '
2.20. Измеримую функцию /, заданную на множестве
X с мерой ц, назовем инвариантной относительно преоб-
преобразования Т, если f{Tx) — f{x) для почти всех х. Дока-
Докажите, что для эргодичности Т необходимо и достаточно,
чтобы всякая инвариантная измеримая функция совпа-
совпадала с константой почти везде.
2.21. Эргодичны ли следующие преобразования:
а) T{x) = {x + a)modl, Х = [0; 1), ц = Х;
б) Т (х) -=\2х) mod 1, X = [0; 1), \х = %;
в) Т (z) = z"(tt(= N), zeZ = 5', ц —лебегова мера
на окружности;
г) Г — автоморфизм тора (см. задачу 2.3);
д) Т — эндоморфизм тора (см. задачу 2.4) ?
2.22. Пусть X — множество в R , которое является
замыканием множества своих внутренних точек, Т —
преобразование X, сохраняющее меру Лебега. Докажите,
что если Т эргодично, то для почти всех iej траекто-
траектория точки х всюду плотна.
2.23. Пусть Х = [0; 1)" — и-мерный тор (веМ), S —
сдвиг х >-»• у = S (х), задаваемый формулой У& =
= (xft +czft)mod 1, к=Л, ..., п. При каких значениях
а\, ..., ап сдвиг эргодичен?
2.24. Докаясите, что отображения отрезка [0; 1] в се-
себя, задаваемые формулами
Т(х) = Bх)mod I, S{x)=l—\2x — l\,
метрически сопряжены. (Преобразования Т: X-+X п
S: Y -+¦ Y, сохраняющие меры \х и v соответственно, на-
называются метрически сопряженными, если существует
такое измеримое отображение h: X -*¦ Y, что h\\ = v и
S ° h(x) = h°T(x) для почти всех х<^ X.)

2.25. Докажите, что отображение Т отрезка [—1; 1]
в себя, сохраняющее меру \\, эргодично, если
а) Т (х) = 1 — 2 | х |, d\i = ~ dx;
б) T{x)--=i~2x\ dix= ,1 Tdx;
я/1-я2
в) Т — Tn — многочлен Чебышёва (см. задачу
1.15.6)), d|i= — * dx.
л V 1 — х"
2.26. Докажите, что если Т: Х^Х — преобразова-
преобразование, сохраняющее вероятностную меру \х, а / — положи-
положительная функция, то 2/(^ (х)) = + °° Для почти всех
(относительно р,) iel.
Основной теоремой теории преобразований с инвари-
инвариантной мерой (или «эргодичеекой теории») является эр-
годическая теорема Биркгофа—Хинчина (см. [3], [15]):
Пусть Т ¦— сохраняющее вероятностную меру \х пре-
преобразование множества X, f — измеримая функция,
причем
J I /(x) I йц(a:)< + oo.
Тогда для почти каждого (в смысле меры \х) i^I су-
существует предел
и)=/(*)• (•)
При этом функция J инвариантна и
/ (х) d\i {x)
Если Г эргодично, то / оказывается константой (см. за-
задачу 2.20), равной j / (x) d\i (x) (т. е. среднему значе-
х
нию / на X). Предел в левой части равенства (*) навы-
вагот средним значением f вдоль траектории точки х.
2.27. Пусть Т: X -*¦ X — эргодическое преобразование,
сохраняющее вероятностную меру ц, А — измеримое под-
подмножество в X. Пусть г„ = 0, если Тп(х)ФА, е„ = 1,
если Тп(х)^А (и^О). Докажите, что для почти всех

jeX существует предел
0<к<п
(среднее число попаданий траектории в множество А), и
найдите его.
Вероятностные меры (.и, Ц2 на X называются взаимно
сингулярными, если существует такое множество А <= X,
что
2.28. Пусть Ц1 и Ц2 — две вероятностные меры на X,
Т — преобразование, эргодическое относительно как ць
так и цг. Докажите, что меры \х\ и цг либо совпадают,
либо взаимно сингулярны.
2.29. Рассмотрим иррациональный сдвиг
?(ж) = (ж + a)modi (же=[0; l) = I,aeR\Q).
Он эргодичен согласно 2.21.а). По эргодической теореме
для любой суммируемой функции / на X и для почти
всех iel выполняется равенство
а) Докажите, что если f^C([O; 1]), то для сдвига S
можно утверждать большее, а именно, что равенство A)
справедливо для любого х е [0; 1). (Предположите вна-
вначале, что /@) = /A), а-затем рассмотрите общий случай.)
б) Докажите, что если А = (а; ЬУ <= [0; 1), %&(х) = 1
при isAjj (x) = 0 при х Ф А, то
i 2 Хд(^*И) = Ь-а
для всех ж е [0; 1).
Если {Sh(x)} заменить произвольной последователь-
последовательностью {xh}, то свойство б) называют равномерной рас-
пределенностъю этой последовательности (см. [21]).
2.30. Пусть
— двоичное разложение числа х^[0; 1). Докажите, что
для почти всех i e [0; 1) существует предел
lhn

(частота появления единицы) п пайдпте ого. Ответьте
и а аналогичный вопрос для разложений в р-ичную дробь.
2.31. Докажите, что если преобразование Т: Х-*-Х,
сохраняющее вероятностную меру ц, обладает свойством
(свойство перемешивания относительно меры и,), то Т
эргодпчно.
2.32. Докажите, что преобразование Т{х) — {2х)тсюА\.
(is[0; 1)) перемешивающее (относительно меры Ле-
Лебега).
2.33. Пусть ре@; 1), g = l— p, \ip — мера на отрез-
отрезке [0; 1], задаваемая на отрезках с двоично-рациональ-
двоично-рациональными концами следующим образом: если ei, ..., е„е
е{0; 1},
(здесь х — 2 ('xk/2h)— двоичное разложение числа х),
то
а на остальные отрезки мера распространяется по адди-
аддитивности. Проверьте, что
а) преобразование Т(x) = Bx)mod 1 перемешивающее
относительно меры jip (см. задачу 2.31);
б) jj-i/2 = Я;
в) меры цР и А, взаимно сингулярны при р ?= 1/2;
г)ц. взаимно сингулярна с иРз при р\^р2-
2.34. Пусть ah — первая цифра десятичной записи чис-
числа 2к (к = 0, 1, ...), т. е. ао=1, ai = 2, ai = h, аз = 8,
«4 = 1, ••• Какова частота появления в этой последова-
последовательности цифры р^И; 2; ...; 9}?
Как известно, всякое число х из промежутка @; 1]
можно однозначно представить в виде непрерывной дроби
1
ж==
что также записывается в виде х = [а\\ а?, ...], где а\ =
= а\{х), а,2 = а,2{х), ...— натуральные числа. Такая дробь
содержит конечное число членов в том и только том
случае, когда х рационально. Конечная цепная дробь
\а\\ . . .; ап] однозначно записывается в виде несократимой

дроби p,Jqn- Бесконечная цепная дробь является преде-
пределом конечных:
[а\; а2] ...] = Jim [ач; ...; a,,) = \im(pv/qn),
число
Рп_ _ Рп И
Чп Чп (х)
называется подходящей дробью. Несложно проверяется,
что
' ' ., 1
Яп
Чп+1
С разложением чисел в цепную дробь связано преоб-
преобразование Гаусса
Г(ж)= -jmodl (xe=@; 1]).
Действительно, пусть x = [ai; «г; •¦¦], г/= [аг; «з; • ¦ ¦] •
Тогда x—l/(a,i + y), откуда следует, что у — Т(х). С по-
помощью Т числа ап записываются так:
al(x) = [l/x], a2(x) = ai(T(x)), ..., an(x) = al(T-1 (x)).
Преобразование Гаусса сохраняет меру Гаусса
А
du == —— dx
r 1 -(- х
(задача 2.5). Мера \х вероятностная при Л = 1/1п2.
2.35. а) Для преобразования Гаусса Т установите
справедливость при некотором С > 0 неравенства
где А, Вс@; 1], п e N, Выведите отсюда эргодичность
преобразования 7'.
б) Докажите, что для почти всех х = [аь я2; ...]
1) относительная частота, с которой число ieN
встречается среди чисел би, аг, . . ., равна
In 2 ' к (// + 2)
а, + ¦ • • - г «„
2) lim — = + <>э;
0. ,. V тт /. , 1 \lnfc/ln2
3) Ьтп,'а1...ап= П. 1 + гг-г^ ;
4) lim^gn = ехр(я2/A2 Jn 2)), где gn — знаменатель
п~ж подходящей дроби.

Часть И. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ
Глава I. ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Множества
1.1. б) Рассмотрите отображение е>->(е';е"), где s = {s^},
в' = {e2A-i}, e" = {827:}, и убедились в том, что это биекция.
1.2. Используйте разложение чисел отрезка [0; 1] в двоичные
дроби.
1.3. Используйте результаты задач 1.2 и 1.1. б).
1.4. Замените множество R множеством В двоичных последо-
вательностеи и докажите, что оно равномощно множеству а™=
= S X S X S ... Для этого рассмотрите отображение
где т,<*> = {<й); ^fe); • • •}, nf> = V-iBi-D {к' /е N)> и Убе-
дптесь в том, что ото бяекция (ср. с решением задачи 1.1. б)).
1.5. Используйте результат задачи 1.4, опираясь па то, что не-
непрерывная на [я; 6] функция определяется своими значениями в
рациональных точках.
1.6. Замените множество N множеством Q и рассмотрите си-
систему сходящихся последовательностей рациональных чисел с по-
попарно различными пределами.
1.7. Используйте результат задачи 1.6, заменив множество N
множеством {2; 22; 23; ...}.
1.8. Замените множество N множеством Q и рассмотрите си-
систему множеств вида (—°о; а) П Q» где оеК.
1.9. Рассмотрите множество ff~n = {ief (N) | max A = п]
(nsN), докажите, что cardan) = 2п~К Полагая ф@) =0, оп-
определите ср по индукции с помощью равенства фD) = 2п~1 +
+ ф(Л\{ге}) (у!еУл,леН) и убедитесь в том, что так опре-
определенная функция ф обладает всеми требуемыми свойствами.
1.11. Опираясь на аксиому выбора, образуйте множество Е\,
выбирая по одной точке из каждого класса эквивалентности, опи-

сапного в задаче 1.10.6). Рассмотрите всевозможные повороты мно-
множества Е\ на углы 2я6, где 9 е Q, 0 < б < 1.
1.12. Сопоставьте восьмерке пару точек с рациональными ко-
координатами, взяв по одной точке внутри каждой из ее петель.
1.13. Рассмотрите вначале птичьи следы, у которых длины со-
составляющих отрезков отделены от нуля. Используйте ту же идею,
что и в задаче 1.12, беря точки с рациональными координатами во
всех трех углах, соответствующих птичьему следу, достаточно
близко к ого вершине.
1.14. С каждой Г-образяой фигурой свяжем полукруг радиуса
i/A, построенный так, как показано на рис. 10. Покажите, что эти
Рис. 10
полукруги попарно но пересекаются. Складывая их площади, по-
1 32
лучаем: — „ A/4J N < а2, т. е. N < — а2 < 11а2.
1.15. Пусть Р — плоскость симметрии обруча О, перпендикуляр-
перпендикулярная его оси. На этой оси зафиксируем симметричные относительно
плоскости Р точки М и М', расстояние между которыми равно
диаметру обруча. Рассмотрим шары с центрами в точках М и М'
и радиусо-м S (рис. 11). Будем называть эти шары сопутствующи-
сопутствующими обручу О. Будем рассматривать обручи, ширина которых не
меньше числа е > 0. Докажите, что при любом г > 0 найдется
такое число б > 0, что если оба шара, сопутствующие обручу О,
пересекаются с шарами, сопутствующими обручу О', то и сами
обручи О и О' пересекаются.
1.16. См. решение задачи 1.17. а).
1.17. а) Пусть &т~{п е N | Ап э т\. Рассуждая от противного,
рассмотрите такое бесконечное множество JW = /m1;m2; ...}cN,
что card (Дт.) < -|- оо при любом /eN. Убедитесь, что в неко-
некотором бесконечном подмножестве множества М ие может быть
двух точек, вводящих в одно и то же множество Ап.

б) Пусть А^ = {п\к е Лп]. В силу п. а) найдется такой но-:
мер т.\, что множество Е — [) Ап бесконечно. Заменяя N на
Е\, Л„ на Ап ----- Лп П 1''х и снова иснолму» утверждение а), мы
видим, что найдется такой номер m-z > mh что множество Е% =
= U ^и бесконечно. Используя индукцию, мы построим мно-
2
жество ? = {m,; m2; ,..}, которое и является искомым.
1.18. Рассмотрите множество Е из п. б) задачи 1.17 и убеди-
убедитесь в тол, что если card(?" П Вч) ^ 2, то найдется такой номер р,
что card (Л р П B<i) ^ 2.
1.19. б) Сначала с помощью индукции докажите, что если
к I к\
х, ij(=E, к = 0, 1, . .., 2", то 2«ж + 11 — — ¦ у (= Е при любом
пев N.
Пусть [р; q] czE, a<=E, и пусть для определенности а>д.
Докажем, что [р; а] с; Е. Пусть с = яир{ж > /?| [р; ж) с; Е). Ясно,
ао
2
Рис. 12
что [р; с) ей. Допустим, что с <а. Рассмотрим такую точку aot
1
(= Е, что с < а(), -fj- (/' -|- а()) < с (рис. 12). Гогда
х е (/-, с) =
п, следовательно, Е —> р; —-—5 1,
что противоречит определе-
1
шпо с, посиольку у (г -{- а0) -> с
1.21. Убедитесь, что вместе с каждой точкой а множество Е со-
содержит все точки вида ауп (ле;^), а также содержит сколь
угодно малые числа.
1.22. а) Пусть S ~ система всевозможных кругов, у которых
координаты центра и радиус рациональны. Яспо, что если х е Ra,
то найдется такой круг В'е!7, что х е В' а Ва, Для каждого
круга из & зафиксируем произвольным образом содержащий его
круг Ва (если такой круг существует). Убедитесь, что система вы-
выбранных таким образом кругов является искомой.
б) При каждом п е N пайдите такое не более чем счетное
множество Еп cz -Е, что Е a (J В(х;1/п). Рассмотрите U Еп.
<хеЕ ni

1.23. Докажите стетпос.ть множества
Еп = {х<=Е\Е[\В(х; i/n)\{x} = 0}.
б) Докажите счегность каждого из множеств
Е+={хе=Е\ Е П (х; х + Цп) = 0},
Е- = {хеЕ\Е[) (х ~ Цп; х) = 0}.
Для этого проверьте, что для различных точек х, х' е 7?+ (пли
г, х' е Е~^ промежутки (х; х + 1/ге), (#'; ж' + 1/м) (соответствен-
(соответственно (х — 1/п; х), (х' — -\/п; х')) не пересекаются.
1.24. Примените результат задачи 1.25 к множеству G =
= U (Inn; In (га+1)).
1.25. Заметим сначала, что если 0 < р < д, то найдется такое
со
число с, что [с;-\-оо) cz (J (np;nq).
Пусть 0 < р < <7, msN. Используя сделанное замечание, мы
видим, что существуют числа х\ е (р; q) и пу <= N, удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям: «! > т, п\Х\ <= G. Следовательпо, найдется такой
новырождепный сегмент [pi\ q\\ cz [p; q], что п\х е G при любом
х е [^ь gi]. Заменяя [р; q] на [pi; gi], m на п\ и повторяя рас-
суждения, шл построим такой невырожденный сегмент [р%; д2] с:
с [Рь ?i] и натуральпое число п2 > «i, что п2х <= G при любом
х е [/)г; <?г]- Продолжая отот процесс, мы получим последователь-
последовательность вложенных промежутков, общая точка которых будет ис-
искомой.
1.26. Рассуждайте так же, как и при решепии задачи 1.25, за-
заменяя на каждом шаге множество G множеством Gk так, чтобы
каждое из них использовалось бесконечно много раз (например,
в такой последовательности: Gu G2, Gu G2, G?, Gl} G2, G3, G4, ...).
1.27. а) Убедитесь в том, что капторово мпожество равпомощ-
но множеству двоичных последовательностей (см. задачу 1.2).
1.28. б) Используйте результат пункта а).
1.29. Рассмотрите, например, множество E=K\Q, где К—¦
канторово множество.
1.32. Убедитесь в том, что Л содержит множество, имеющее
мощность континуума. Для этого рассмотрите множества
ех епе{0,1> 1 2 п х а
где А обозначает замыкание промежутка А, и докажите, как и в
оо
задаче 1.27. а), что множество Q = П Qn равномощно множест-
ву двоичных последовательностей. Проверьте, что множество Q\A
не более чем счетно.

1.33. Допустим, что интервал (а; Ъ) ограничен и {Fn} — после-
последовательность попарно пе пересекающихся непустых замкнутых
множеств, содержащихся в (а; Ъ). Докажем, что (а; Ь)\ U F^— 0.
Пусть p = miFu g = supF1. Тогда интервалы Дэ — (а; />), Ai =
= (g; b) непусты и множества F^ = Fn f] До, F^ — Fnf\ Дх
замкнуты. Заменяя (а; Ъ) на До и множества Fп на непустые мно-
множества F^, мы построим интервалы Доо и Ащ. Проведя ото по-
построение для интервала Дь мы получим интервалы Д10 и Дц. Ин-
Интервалы Доо, Доь Дю> Аи не пересекаются с множеством ^i U F2
и друг с другом. Продолжая этот процесс по индукции, мы по-
построим семейство интервалов IДЕ Е ], удовлетворяющее ус-
условиям задачи 1.32, а также удовлетворяющее равенству Де Е П
п
AU Fh—0 при любом п и любых Ei, ..., г„. Теперь остается
сослаться на утверждение задачи 1.32.
1.34. Найдите прямую, не содержащую точек касания данных
кругов. Используйте результат задачи 1.33.
1.35. Пусть Еп — замыкание множества Е„. Рассуждая от про-
противного, постройте такую последовательность вложенных сегмен-
сегментов Дп cz (а; Ь), что Д„ П Е„ = 0 при любом п е N.
1.36. Используйте результат задачи 1.35.
§ 2. Неравенства
2.1. Пусть Sm= 2 ak~ 2 ak- Ясно, что So =
l-tffe-Sm m<h<in
= —Sn. Пользуясь тем, что последовательность {^„j}^ меняет знак,
подберите такой номер р, что Sp и Sp-i имеют разные знаки,
и покажите, что хотя бы одно из чисел \SP\ и |<SP~i| не превос-
превосходит max \ak\.
2.2. а) Воспользуйтесь неравенствами
У м
2
lk
б) Правая часть неравенства сразу следует из правой части
неравенства а). Левая часть доказывается по индукции. Отметим
также, что левая часть неравенства б) является частным случаем
неравенства 2.7 при Ъ^ = 1/ац.
2.3. Правые неравенства легко доказываются по индукции. Для
доказательства левых неравенств достаточно заметить, что
ТТ A + аЛ JT A — а А ^ 1, и воспользоваться правыми не-
равенствами.

2.4. а) Воспользуйтесь неравенством Коши о среднем арифме-
арифметическом и среднем геометрическом и биномом Ньютона.
б) Воспользуйтесь неравенствами 1 + а ^ еа/A+а' и е"^ 1 +
-|- — • Ь • ¦ • + ?-г при а > — 1, а 5s 0.
1! и!
2.5. а) Представьте каждый сомножитель левой части в виде
суммы геометрической прогрессии и перемножьте получен-
полученные ряды.
б) Пользуясь неравенствами а) и ]пA + I) ==: t, имеем
п
Логарифмируя, получаем
2 Р-^«+ 2 ?
2.6. Достаточно доказать только правое неравенство (левое
неравенство следует из правого, примененного к последовательно-
последовательностям {a/t}" и {~^k)T)- При этом можно считать, что последова-
последовательность {^ft}" не убывает — этого можно добиться, изменяя
нумерацию. Допустив, что для некоторых номеров / < i выполнено
неравенство а3 > я,, докажите, что перестановка чисел а3- и сц в
последовательности {я^}™ увеличит сумму 2 akPk-
Эти неравенства имеют простое механическое истолкование.
Пусть имеется п гирь весом а\, ..., а„ и на рычаге, вращающемся
в вертикальной плоскости вокруг неподвижной точки О, имеется
п крюков, удаленных от точки О на расстояния Ь\, , .., Ъп. Тогда
S affik ~ статический момент этой системы. Он максима-
лен, если вес гирь растет при удалении от точки О. Если же вес
гирь убывает, то статический момент будет минимальным.
2.7. Для доказательства правого неравенства рассмотрите двой-
двойную сумму
2 2 {\-Ъ){\->*)
н воспользуйтесь тем, что ее слагаемые неотрицательны.

Левое неравенство доказывается аналогично илп может быть
выведено пз правого, примененного к последовательностям
Ы и {-Ь„}.
2.8. Для доказательства неравенств а) и в) воспользуйтесь пре-
преобразованием Абеля. Неравенство б) следует из неравенства а).
Множитель М нельзя уменьшить: зафиксируем j'e{l; ...; п]
и рассмотрим последовательность ah = 1 при 1 ^ к sg; /, а^ = О
при / < к <? п. Тогда
Следовательно, M ^ (&х + ... + й),7 для любого |е{1; ...; «}.
2.9. Для доказательства первого неравенства воспользуйтесь
преобразованием Абеля и неравенством
max b;Win(A:; m
Второе неравенство следует из первого, примененного к последо-
последовательностям {аг —an-k + l}l и {kn-fc+l}™.
2.10. Воспользуйтесь тождеством
1 у в2_ /1 у e,y=j_ у у к-«.у.
\ I
Для оценки двойной суммы сверху примените неравенство
\ак — <Ъ 1 ^ А| к — /1, а для одепки снизу — неравенство | я;, — а, | ^
~^§\к— /[ (оно следует из монотонности последовательности
(аЛп). Отметим, что неравенство б) справедливо и для немоно-
немонотонной последовательности, если положить б = min
2.11. Решение аналогично решению предыдущей задачи, но
вместо неравенств S|А; — j\ gj \au — а}\ ^ А[к — /1 используются
неравенства (/ — к) (ah+l — ak) ^ а} — ak sg; (/ — к) [а, — <zj_i) при
1 < к < / <g п.
2.12. а) С помощью неравенства Коши о среднем арифмети-
арифметическом и среднем геометрическом докажите, что производная фупк-
п,--,
ции ср (ж) = -j/ («j -\- х} ... (ап + .«) ие меньше единицы.
б) Используя неравепство а), докажите сначала частиьп! слу-
случай, когда а к = 1 при к = 1, .. ., п. Общий случай сводится к част-
частному, если положить bh = с\а^ при к = 1, . .., п.
2.13. Для выяснения знака производных воспользуйтесь не-
неравенствами t/(l + l) < In (I + i) < t при t > —1, t Ф 0.
2.14. Неравенства доказываются по индукции. Для обоснова-
обоснования индукционного nepevofla воспользуйтесь неравенствами
/ 1 \п / 1 \п+1
11 + — < е < 11 + — , которые вытекают из результата
\ п ) \ п

предыдущей задачи. Для доказательства неравенства б) прп п —
= 11 воспользуйтесь тел, что е < 11/4.
2.15. Неравенство в) сильнее неравенства б), так как
Это следует из легко проверяемых соотношений 0A)= 0 и
е'(*)<о.
в) При р = 2 неравенство очевидно Для р > 2 по-
положим 4 = T~zr\' ?еA;-) и докажем, что функция / (х) =
A + 3-)fJ + A - x)v
/ дч^д свое наибольшее значение па промежут-
промежутке [0; 1] принимает на концах этого промежутка. Для этого убе-
убедимся в том, что функция / сначала убывает, а затем возрастает,
т. е. f (х) < 0 при х е @; с) и f'(x) > 0 при х е (с; 1), где с —
некоторая точка промежутка @; 1). Ясно, что
Так как нас интересует знак f(x), то мы будем изучать функцию
Положим г = /) — 1, I — Цх п заметим, что q— 1 = 1/г, г> 1.
Тогда
где
ф(/) =
Ясно, что
<р (/) -> —<х>, ф (t) ->- 2.
Теперь пам достаточно проверить, что функция ф возрастает. Не-
Несложные преобразования дают нам, что
{u {t) ~

Заметим, что Плп [/(*) = lim F(J) = 2. Поэтому для до-
доказательства неравенства ф'D)>0 достаточно убедиться в том,
что обе функции U, V строго возрастают (в этом случае V(t) <
< 2 < U(t) при t > 1). Так как V (t) = 2rt° о A + — - i~a
(t - IJ V r t
1 a „
и функция a (<) = у + —— t положительна при I > 1 (a(l) = 0
и a'(t) = a(t~^" ~ l~2) > 0), то U'(l) >0 при I > 1. Рассмотрим
теперь функцию V. Поскольку /-F'(*) = 1 — 11 +—^ (—— ) ,
' I — 1 —>
положительна при t > 0. Это вытекает из очевидных соот-
с — 1
ношений P(t) -> 0 при
г) Докажите, что производная функции
1-- -
Ф (i) = 4 р A + Жр)р - A + xf — (р—1)A — ^J
отрицательна на промежутке @; 1). Для этого полезно предста-
представить ф'(ж) в виде xty(llx) и исследовать знак функции i|) иа
A; +°°).
2.16. а) Левое перавенство вытекает и:! соотношения
ln(l + x) sg; ж, а: > ¦—1. Для доказательства правого неравенства
г2 / ? Уг
проверьте, что фупкция ф(г)=- — + е 1 — — возрастает па
га V «/
промежутке [0; и]. Для этого представьте ф'(*) в виде qi'(l) =
= ?i|>B) и покажите, что -ф(г) ^ i|)(l) > 0.
б) Надо проверить, что функция ф (*) = —« + е [ 1 — — не
в \ п I
превосходит единицы на промежутке [0; и]. Поскольку на концах
промежутка это неравенство выполнено, то достаточно установить,
что ф(*) s^ 1, если ф'(П = 0, т. е. е 11 — — =_. Но в этом
\ п I п
случае
в) Можно считать, что ts [0; 2\п). Пусть t — 0/и, где бе
[0; 2). Тогда доказываемое неравенство равносильно неравенству

l-e»*n 1-^1 <—. т.о.
0 sg; фп(9) = 9}'й"+ raln(l — 9/l're) — ln(l -- 0/2).
Дифференцируя по ге, покажем, что фп^ф»+1:
- ,11- - . . 6
• = гтт^ + In
где г]з (м)= к +21п A — и) + —^—. Поскольку i|) @) = 0 и \у (и) =
—-—j ^ 0, то ¦»]) (и) ^г 0, т.е. Фп<фп+1. Осталось доказать,
что ф36 (9) > 0 на промежутке [0; 2). Так как фд6 (9)= ^
то
min ср„„ = Фо„ C/2) = 9 + 36 In C/4) + In 4 = 0,9297 ...
to;2) 36 -6
Отметим, что неравенство в) выполнено при п ^ 30, но не выпол-
выполняется при п sg; 29.
2.17. Левое неравенство следует из соотношения In A — х) <
2
<—х— _- при 0 < х < 1. Для доказательства правого неравенст-
ва рассмотрим функцию Ф (<) = e~;2'Bn) — е1 A — t/n)n. Так как
ф@) ^ 1/Уеи и ф(и) ^ l/fent то достаточно доказать, что ф(*) ss:
<1/V^ если Ф'(*)=0, т. е. e~i2/Bn> = ег A - г/и)"-1. Но в
этом случае
2
2.18. а) Доказывая неравенство if(i)=-^—— In2 (I + х) > 0,
1 + х
представьте функцию ф' в виде ц>'(х) = (l + ^)ij)(^) и проверьте,
что sign -if (a:) = sign x.
б) Изучите характер мопотонности функции
Ф (х) — arctg х
и воспользуйтесь тем, что 0 = ф (9) = lim ф (х).
г) Рассмотрите функцию ф(ж) = 2 sin (яз/2) + аг3 — Зж при
ж е [9; 1]. Исходя из графика ф"', последовательно постройте
графи!;и фупкций ф", ф' и ф.

д) Рассмотрите футткцшо ф(ж) — sin^ x Ig х -- зл п последова-
последовательно докажите, что ф'" > 0, ф" > 0, ф' > 0, ф > 0 (ц>'" (х) =
= F + 8C0S2;z)tg4a:).
е) Сравните тейлоровские разложения функций cos x и
2^19. Эти неравенства являются частными случаями нера-
неравенства
/ (ж)
где я, г/ > U, у sg / (i) и фупкция / такова, что ~JT~ t • Неравен-
, ч /W /(«) ^^
ство (*) следует из неравенства х *^ z ПРИ z = ' '^' ^ т-
В неравенство в) при р < 0 следует изменить знак. Для доказа-
доказательства достаточно заметить, что при р <. 0 справедливы нера-
неравенства
|A + *I>-1К|р|* и \(i+x)''P-i\ <х[\р\.
При р s (—1, 0) неравенство г) справедливо для х, близких
к единице, но в окрестности нуля оно но выполнено ¦— для доказа-
доказательства достаточно рассмотреть тейлоровское разложение функ-
функции, стоящей: в левой части неравенства.
2.20. Правое неравенство является частным случаем неравен^
ства (*). Левое неравенство является частным случаем неравен-
неравенства, обратного к неравенству (*):
/(^)Г1(г/)<а"г/. (**)
де х > 0, у 5s 1{х) и положительная функция / такова, что —— f .
/ И / (г)
Неравенство (¦*'*) следует из неравенства ~^~ ^=-~^~ при
2.28. См. [34]. Достаточно доказать неравенство для ступенча-
ступенчатых функций из К. Если /i, /2 е К, то /,= a/i + A — a)/2 e /f для
любого числа а из промежутка @; 1). Легко видеть, что для лю-
любой функции g
max (/; g) 5=; а шах (/,; g) -p A —a) max (/2; g).
Поэтому
Ъ
\ max(/ (x); g(x))dx^
а
( Ь. Ъ \
<max | max (f1 (x); g(i))dx; j max (/2 (x); g (x)) d,x .

fic.'in число «ступонок», отвечающих функции / е. К, больше двух,
то такую функцию легко представить и виде полусуммы двух дру-
других функций из К. Действительно, пусть С\ ^ С2 ^ ... ^ Сп > 0 —
все значения функции /, /г 53 3. Тогда можно так подобрать числа
е. б > 0, что функции /±, имеющие те же промежутки постоянства
и принимающие на них значения Ci(l ± f), C2(l =F 8), С3, ..., CV-i,
С„A ± б), попадают в if. Это приводит к тому, что иптеграл
ь
\, max (/ (х); g (x)) dx достигает максимального значения на фуик-
а
циях, состоящих из двух ступенек. Каждая такая функция имеет
вид fs— Calais) + С2^Ь\ъу гДе *'е (а; 6), а кооффициепты
6
С\ и Сг однозпачно определяются из условия fs е ^: С1=5 ,^ >,
а
С2 = ^ ,fe _ . . Если а < t < s < 6, то
ь
J
max (ff (x): f, (x)) dx = —-— \2b ~b — — a —
Правая часть максимальпа при s[t = уь/а и равна в этом случае
§ 3. Иррациональность
3.1. а) =ф- б) Достаточно доказать, что для любого чпсла
Q е N найдутся такие целые числа р и ?, что 1 ^ g cj <? и
1
- nrt (TaK как пРавая часть неравенства стремится к ну-
ж •—
Ч
Ч
,чю при ()—>- + °°, а левая часть по условию а) положительна, то
Р I
отсюда следует, что найдутся решения неравенства х — — < —s
Ч q
со сколь угодно большими знаменателями q).
Зафиксировав число CeN, разобьем промежуток [0; 1) на
<? конгруэнтных промежутков 0; — , I —; —), ..., И — _; 1|
и рассмотрим точки &п = пх— [пх] при п = 0, 1, ..., Q. Ясно, что
S,i i= [0; 1). Поскольку число этих точек больше числа промежут-
промежутков, то по крайней мере один из них содержит две точки &н и 63,
О ^ к < / :?j Q. Следовательно,
UQ > |б,- - 8*| == \jx - [jx] - кх + [кх] \.
Взяв q = j — к п р = [jx] — [кх], получим, что w > \ qx — р |.

в) =>¦ а) Допустив, что х,= p[q, где peZ и jeN, получим
Р1к— qPh-^-О при к-у+оо. Так как P1k~ IVh^T-, то отсюда
следует, что pqh— qph = 0, т. е. />/?' = Pkfqn для всех достаточно
больших иоморов к, а это противоречит условию.
3.2. Воспользуйтесь результатом задачи 3.1.
3.3. а) Достаточно доказать, что последовательность {sin 4™}
не имеет предела. Допустим, что это не так: sin 4™ —>-1. Если I = 0.
то 4" = я/с„ + е„, 4n+1 ='|Яйп+1 + en+i, где ^in+1eZ И
е„ -> 0. Следовательно, 0 = яD/с„ — kn+i) + 4е„ — en+i. Поэто-
Поэтому для достаточно больших га имеем Акп = кп+и т. е. кп = А 4™,
где 4eQ. Но тогда из равенства 4™ = пкп + еп вытекает, что
1 = пА. Это невозможно, так как число я иррационально (см. за-
задачу 3.13).
Если I ф 0, то из равенства sin 4r'+1 = 4 sin 4" cos 4" X
X A — 2 sin2 4") получаем, что существует предел последователь-
последовательности {cos 4"}. Следовательно, 4П = 2пкп + ср +еи, где 0 < |<р| < я,
ineZ, еи->0. Так как 4"+' = 2я/с„+1+ ф + en+i, то
0 = 2яD/сп—fcn+i) + 3<p +48n—er.+i, а это возмогкно лишь при
Ф = ±2я/3. Поэтому для достаточпо больших ге разность
4/сп — ^л+1 постоянна и равна либо 1 (ес(ли ф==^2я/3), либо ¦—1
(если ф = 2я/3). В первом случае по индукции легко показать, что
кп = А ¦ 4™ + 1/3, где isQ. Но тогда из равенства
2я
4™ = 2якп — ~з~+ ?п следует, что itfeQ. Случай ф = 2я/3 рас-
рассматривается аналогично.
б) Представьте число 0 в виде 9 = ят -|~ я^ еь%~ ' гДе
т = [0/it], Ей = 0 или 1.
3.5. Рассмотрите числа 0,101001000100001000001... (после и-й
единицы следует и нулей) и 0,1234567891011121314151617181920...
(выписываются все натуральные числа в десятичной записи).
3.6. В случаях а), б), г) можно использовать результат зада-
задачи II.1.21. В случае в) рассмотрите числа п = B/сL + /,
/ = 1, ..., 47г. Считая число к большим, покажите с помощью фор-
формулы Тейлора, что sin (ягез/2) = s;n ( Зя zl ) + О Ш.
\32 к* } \к*)
3.7. б) Воспользуйтесь результатом задачи 3.2.
в) Воспользуйтесь результатом задачи II.1.21.
г) Используйте тот же прием, что и в решении задач 3.6. в).
3.8. Докажем, что для любого промежутка [р; <?], 0 ^ р < q sg
sg 1, существует такое число ieR, что Ь(хп) е [p',q] при т^Ы.
Для этого подберем такое число me N, что числа а ¦= т -\- р и
& = т + g удовлетворяют неравенству
a(q-p)^2. (*)
Ясно, что б(г/) е [jb; g] для всех }е,[и; &]. Из неравенства (*)

следует, что Ъг — s2 ^ 2. Поэтому промежуток [а2, Ь2] содержит
промежуток вида ["Ч+/>; "Ч + д], где «^eN. Пусть [аг; f»,] с
сг [а; 6] —такой промежуток, что a\ — mi~\~P и Ь^ — "lt ~Ь ?•
Ясно, что б (г/2) е [р; д] для всех г/ е [at; bj]. Из неравенства (*)
следует, что длипа промежутка [aj; by не мепьше двух:
Ъ\ - а* > а, {Ь\ - а*) = «^ (q ~p)>a(q-p)^ 2.
Поатому промежуток [«^; 6'Jj содержит промежуток вида
[»'2 + р; тг+з], где т2 е N. Пусть '[а,2; 62] сг [аи &i] — такой
промежуток, что а\ ~ т2 + р, б| = т2 + 5- Ясно, что б(г/3) =
е [?; 9] Дпя всех J/е [а2) Ьз]- В силу перавенства (*) длина про-
промежутка [а*; Ь|] не меньше двух:
&2 - 4 > \ (&2 - «a) = \{q~V)>a{q-V)>1.
Продолжая построение по индукции, получим последовательность
вложенных промежутков {[а;,.; &&]}. Искомая точка берется из их
пересечения.
В заключение отметим, что числа х, удовлетворяющие усло-
условию задачи, образуют множество мощности континуум. Для дока-
доказательства достаточно незначительно изменить решение, заменив
неравенство (*) неравенством a(q — р) ^ 3. Это позволяет на
каждом шаге удваивать число промежутков, обладающих требуе-
требуемыми свойствами. В результате получаем обобщенное канторово
множество, все точки которого удовлетворяют условию задачи.
3.9. Непосредственные вычисления доказывают утвер?кдение
для функций / вида f(t) = cos Bnmt) (m = 0, 1. 2, ...). Отсюда
следует справедливость утверждения для всех функций / вида
f (')= 2 amcos Bnmt). Остается воспользоваться теоремой
м
о
Вейерштрасса (см. VII.3.11).
3.10. Используйте ту же идею, что и при доказательстве
утверждения а) =^> б) задачи 3.1: для любого числа l?eN су-
существуют такие целые числа q, pi, ..., рт, что 1 ^ q ^ Qm и
\xj — Pilq\ < 1/qQ при / = 1) • ¦ •> т- Для доказательства разбейте
куб [0; 1)т па Qm копгруэнтпых непересекающихся кубов и рас-
рассмотрите точки б„ = (8(геж1); ...; Ь(пхт)) е [0; 1)т при
п = 0, 1, . . ., Qm.
3.11. а) Правое неравенство очевидно. Допустив, что
— < 7~2 для некоторых т, п е N, получим
in2
~ rfi
Следовательно, |2ге2— m2\ < 1, что невозможно.

б) Из неравенств
anj =
yj-
следует, что
т. е.
'
rej+i — п3) —
уг--
Ч+i
2С
j) | sg 2С//г;,
Так как а„ > 1/4ге2 для любого и е N, то
1
1С
(n
J+1 - «/ i+xj *, (nj+1 »,)
откуда следует доказываемое перавенство.
3.12—3.14. Проверив, что остаток ряда мажорируется первым
слагаемым этого остатка, покажите, что выполнено утверждение
в) задачи 3.1.
3.15. Пусть Р — такой алгебраический мпогочлеп степени п с
целыми коэффициентами, что Р(а.) = 0. Достаточно рассмотреть
дроби plq столь близкие к а, что \а — p/q\ < 1 и P(p/q) ф 0. По-
Поскольку qnP(p/q) e= Z\{0}, то \P(p/q)\ 5г q~". С другой стороны,
разложив многочлен Р{1) по степеням t—а, получим
\Р{р1ч)\= ft
Таким образом, g~n ^ \P(p[q) | ^ const \pfq — а\. Доказанное
утверждение называется теоремой Лиувилля.
3.16. б) Положим а = X ~ и докажем, что для любого е > 0
¦*»¦ "ft
существуют решения неравенства |а — p/q\ < e/g2 со сколь угодно
большим geN. Так как аф Q (см. задачу 3.14), то по теоре-'
не Лиувилля отсюда следует, что число а не является квадратич-
квадратичной иррациопальпостыо.
Поскольку
т+г
m h
Q
то достаточпо доказать, что
"m+l
Допустив противное, получим, что ге
.. njj,. Положим Lm = и^г - • • ит- Тогда последнее перавен-
перавенство примет вид Lm+1 ^ CLm, и поэтому
'm+l-
Следовательно,
„m+l,
n
3?n+1
чт0 противоречит условию.

3.17. См. решение следующей задачи.
3.18. б) Рассуждения, аналогичные решению задачи 3.16, по-
называют, что из равенства lim у ге^= +°° при пекоторомЛ7ь=ГЧ),
Лг> 1, следует, что сумма ряда у — не является алгебраическим
**i nh
?1
числом степени N. Осталось заметить, что из условия Иди упк> 1
jy^
следует, что lim. у reft= + °° для всех TV e N.
fe->oo
3..19. а) Ясно, что е - У ?- = -—^_, где 0 < 0„ < 3.
^™ fCl [ft -г- 1)!
Допуская, что е = р/g, где р, q e N, и умножая па ?«!, подучаем
-- 2 i-
re+1
><>¦
Левая часть этого равенства есть натуральное число, а правая
стремится к нулю с ростом п, что ведет к противоречию.
б) Если Ае2-\-Ве + С = 0, то Ае + Се eZ. Это возможно
лишь при Л = С = 0 — доказательство аналогично решению зада-
задачи а).
3.20. а) Интегрируя по частям, проверьте, что
б) Допустим противное: n2=p[q, где р, } е N. Тогда
qnPn(p/q) = gn/n>0.
Ото равенство ведет к противоречию, так как его левая часть есть
натуральное число, а правая стремится к нулю с ростом п.
Полученный результат, как и результаты двух следующих за-
задач, установлен (другим способом) еще Ламбертом. В книге [32]
читатель найдет историю и развернутое изложение Зтой темы.
3.21. Решение апалогично решению предыдущей задачи.
3.22. а) Решение аналогично решению задачи 3.20. а).
б) Допустим противное: tgr = p/g, где peZ,(!eN. Пусть
г = а[Ь, где а, 6 е N. Тогда
Cn(a/b) cosr-f- Sn(a[b) sin r = In(r).
Отсюда следует, что
Левая часть этого равенства есть целое число, а правая стремится
к нулю с ростом п. Чтобы придти к противоречию, остается убе-

диться в том, что 1п(г)ф0 для достаточно больших п. Если
г ^ я/2, то это очевидно. Пусть г > я/2. Тогда
Я/2
п! /„ (/¦) = 2 Г (?2 — i2)'1 cos tdt + O \[i- —?)"]>
n J \\ 4) J
о
я/з
г" (г - г)и и' + О {(г2 - я2/4)")
J
о
Глава II. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 1. Вычисление пределов
1.2. Проверьте, что последовательности {хы} и {ад-ч} воз-
возрастают. Для вычисления их пределов можно воспользоваться
формулой Валлиса.
1.3. Покажите, что рассматриваемые суммы мало отличаются
от суммы геометрической прогрессии.
1.4. Запишите х в виде хп = ТТ sm Wп > и изучите In xn,
1& (к/**2)
()
используя формулу Тейлора.
1.5. Первая половина слагаемых дает бесконечно малый вклад.
Поэтому
п ¦%?[ I а — }\п
1.6. а) Основной вклад дают последние слагаемые:
2 (II- 2 КГ-
/"п
Сумма остальных слагаемых бесконечно мала, так как
k 4
max

б) Представьте разпость Sn — Sn+{ в виде Un + Vn, где
1 ¦ 4 27 256
+ + +
Неравенство Vn^ 0 получите, используя убывание на @; оо)
функции / (г1) = ( —-— I при любом а > О. Проверьте, что
Un > 0 при п ^ 8. Неравенства между Sn при 1 sg n ^ 8 устано-
установите непосредственно.
1.7. Для исследования величины (п + 1) (и + 2) ... (ге + п) =
= Bи)!/ге! воспользуйтесь результатом задачи 1.2.14. Другое ре-
уг(« + 1) (ге+ 2) ...
гаение получим, если заметим, что In-1—;—!'
является интегральной суммой, соответствующей интегралу
In A + х) dx.
о
1.8. Воспользуйтесь результатом задачи 1.2.14.
1.9. В задачах а)—г) надо воспользоваться тем) что рассмат-
рассматриваемые суммы мало отличаются от интегральных сумм. В зада-
задаче д) покажите, что сумма заключена между интегралами
l—1/n
dt
У*
xi i" О
1.10. а)—в) Используйте равепство е~^, ту
г) Сравните A/2+1)" с целым числом (р + 1L A — 1/2)".
{л: а; а1 1
— •—...—[ к по-
а a ajneN
ложительному пределу равносильна сходимости ряда
= Y]n(i-lz>
1.12. а) Сходимость последовательности вытекает из ее моно-
монотонности и неравенства хп ^ 1 + ]/а, которое доказывается по ин-
индукции. Для вычислепия предела воспользуйтесь тождеством
б) Поскольку ^=а + го, то
; .- _ а~ х
а п — 1 |

и, следовательно,
*«-*„ = (*«-*!) П Ра + 'НГ1-
Kh<n
Поэтому
a
и можно воспользоваться результатом задачи 1.11:
С„
*«-*» = (*«-*!) П (ia
При а = 2 нетрудно убедиться в том, что zn = 2 cos (я/2п+1), и по-
поэтому 2 — in~ я2/4п+1.
1.13. Поскольку
то 2 — хп = ОD.~п). Пользуясь результатом задачи 1.11, полу-
получаем, что
D + 2xft + 4) ~ const
х
1.14. Монотонность последовательности {хп} очевидца. Огра-
Ограенность следует из неравенства-гп^ ]/ 1 + хп^У 2з*п, т. е.
Р/ р~~^
1U5. Если х„ -> С < +°°, то хп = ]/ сх + ... + у сп < С и
следовательно, |/ у . •. y^cn^ С, т.е. сп < Ср . Для доказатель-
доказательства обратного утверждения достаточно заметить, что из нера-
неравенства сп ^ Ср следует неравенство
Используя результат предыдущей задачи, получаем, что последо-
последовательность {хп} ограничена, а этого достаточно для сходимости,
так как последовательность возрастает.

1.16. Из результата предыдущей задачи следует, что сходи-
сходимость последовательности
] дс а к, Ь* ^ 0, раипоснльна О]'раппчсппости сверху последователь-
последовательности I—1па -]- ^ — lnbftl. Поэтому выражепия, стоящие в
правых частях равенств а)—д), являются пределами сходящихся
последовательностей (в примере г) надо воспользоваться неравен-
неравенством ип ^ 2п, а в примере д)—неравенством Тп ^ Bх)п при
.г ^ 1, которые легко доказываются по индукции). Для пахожде-
1 «я продела последовательности, определешюи равенством (*),
рассмотрим такую лоследовательпость {0„}, что
Заменив в равенстве (*) а„ на Q^i получим оценку сверху для хп:
(иослгдпее равенство следует из соотношепия (*'*)). Чтобы полу-
получить для х„ оценку снизу, воспользуемся (п — 1) раз неравенством
f i b' (при а, Ъ Js 0 я С 5*1). Это дает г/и <
r=- Таким образом, бг 1 / -—-^ < ^"n < Sj,, и, следо-
вательно, г„->01, если —In n->-0.
2й 9П
Проверьте, что в примерах а)—д) соотношепию (**) удовлет-
удовлетворяют следующие последовательности {On}:
«i)i4-2; б) я-|-2; в) cos ^ г) 3(/2)г+2; д) 2хТп.
При рещепии примеров г) и д) воспользуйтесь представлением
чисел Фибоначчи и многочленов Чеоышёва:
Эти равенства доказываются по индукции.
1.17. Сходимость последовательности {хп} вытекает из резуль-
результата задачи 1.15. Для оценки разности a — xN запишем ее в виде

(a — xjv)= 2 (х?г+1 ~~ xn) и рассмотрим величину zn+i — xn:
N
К 2 4- n
П
ft
где .r^ft) = К /с -f- у (к 4-1) + ... 4- "!/"• Используя рекуррентную
формулу ж^* = К А 4" X5i''i+1 > последовательно докажите, что
б) xW = У к + —|- -I О A/~|Л) при 1 < /с < и;
в) 4'°= У* охр A/B//7L- О {ilk312)) при !</<:<«; (при
этом постоянные в О-чпонах не зависят не только от А, но и от ге).
С помощью равенства в) и результата задачи 2.12. а) покажите, что
т. е.
const
Отсюда немедленно вытекает, что
const
a — хлт ~ x
Поэтому, используя результат задачи 1.2.14, получаем
1.18. Положим ^п~^п~ ~rn-v ТогДа
m<h<n

Так как хк -> 0, то при больших т вторая сумма будет малой при
всех п J3= '". Прп фиксированном т первая сумма сколь угодно ма-
мала, если п достаточно велико.
1.19. а) Допустив противное, получим для больших п, что
< j-Xi?) , откуда —i_ < —— —!L±i. Это невоз-
\ п п+ 1 п и +1
ложно, так как частичные суммы ряда 7Л—~—rrl110 пРе"
-*¦ \ п п + 1)
восходят йь
б) Рассмотрите последовательности ап = пс (цри с > 1) и
яп = re In (п + 1).
1.20. Пусть l~inl —— е [— оо; -f оо) ц ? > г. Зафиксируем
/г
такой номер да, что я,,,//», < L. Представив произвольный номер
п > т в виде п = km + /, где Л- (= {0; 1; 2; ...} и/е{1; 2; ...; т},
голучпм, что
In = ffSm + j SC ffftm -|- «j ^ /,1Gm -(- О,,
и, следовательно,
п и п п и
Таким образом, для любого числа L > I имеем
I s=; lim ajn ^ lim anfn s: L,
откуда следует, что
lim »„/« = иш sB/n = Z, т. е. anfn ->- Z.
1.22. Примените результат предыдущей задачи к последова-
последовательностям {.Г2;,} И {x2h-\}-
1.23. Примените теорему Штольца (см. задачу 2.G) к последо-
последовательности {X2hfk} И {^2ft+l//i-}.
1.24. б) Для построения такой последовательности можпо по-
поступить следующим образом. Рассмотрим последовательность про-
j,reHtyTKOB {Дл} таких, что Ап расположен левее Дп-ц. Определим
функцию /eC(S) равенством /(?) = (—1)", если t е А„, а меж-
между промежутками An и An+i пусть / линейна. Полоя;им х„ = j(n).
Ясно, что если длины смежных к An интервалов неограниченно
возрастают, то з-,!+1 — хп~>0. С другой стороны, последовательно
подбирая длины промежутков Ап достаточно большими, можно до-
1
биться, чтобы среди чисел ~^~ (хх + х0 -\- ... -J- хп^ были сколь
угодно близкие как к +1, так и к •—1.
Другой пример мы получим, рассмотрев последовательность
{sin In n).

1.25. Пусть lima;,, < а < Ь < lim xn. Рассмотрим мпожсства
?*1=|ге е N | хп<. а) и ?2= {ге е N | хи > 6}. Как установлено в
задачах 1.1.24—1.1.26, найдется такое число С > 1, что каждое из
множеств Е\, Е2 содержит бесконечно много чисел вида [С*],
а это несовместимо с предположением о существовании предела
lim. х
h->+°° [Ck]-
§ 2. Усреднение последовательностей
2.2. Левое перавепбтво следует ия правого, примененного к по-
последовательности {—хп}. Для доказательства правого неравенства
достаточпо рассмотреть случай, когда lim хп = I < +°°. Пусть
L > I и го = mi — такой номер, что х„ < ? при п > от. Тогда
1 V
m<h<n
1 "V 1
Следовательно, lim xn s=: Z, для любого L > I, т. е. lim ж„ < I.
к Рп к
2.3. а) Если пь sg п < < <
б) Если 0 < а ^ 1, то, например, 4={»eN| [an] >
1 р„
>[а(и— 1)]}. В этом случае а — — <¦ — < а.
2.4. а) Примените результат задачи 2,1 к последовательности
{К-«1Ь
б) Пусть 8 > 0, 4E={neN| | а-п — а | > е}. Проверьте, что
6(/1е)=0. Пусть pjt(re) = card {AUh П [1; и]} и числа \ = щ<
1 1
< п\ < щ <... таковы, что ~рй+1(п) <~ ПРИ п > ге*- Положим
4= U VflK-ii nftl п В = Ы\А={т? т2; ...}. Тогда О (В) = 1
и ^&-«-
2.5. а) Для построения последовательности {вп}, имеющей пре-
предел lifli— -1 по не имеющей предела lim a + • ¦ • + а»
11
11 п
достаточно несколько изменить решение задачи 1.24. б): пусть {bk}
образуют чередующуюся последовательность из +1 л —1 на каж-
каждом промежутке Ап, а па смежных тштервалах 1>к = 0. При надле-
надлежащем выборе длин промежутков н длин смежных интервалов
B-\-b "I
последовательность \ —-г— \ будет требуемой. Для построения
, , . «?+••• +<
последовательности {ап}, имеющей предел Цш— ^,но не

имеющей предела iim -i— , рассмотрите последователь-
УЬ
V
2 + 1
ность { 1/ —¦?-
Другой пример получим, рассмотрев последовательность {Сп}:
3 + (- if
если
[log re] — четное число,
3-1-2 ( 1\
I —! i—ii_, если [log2 n] — нечетное число.
1 1
Из трех пределов lim — (с\ + ... + с?), lim— (Сг+ ...+ Сп)
и lim — ( YGi + ¦ ¦ • + Ycn) существует лишь второй.
б) Неравенство а2 ее b следует из неравенства Коши. Для по-
построения последовательности {ап} с заданными пределами
,. ал + ¦¦¦+ ап ,• а\+ ••¦ +ап
а = lim — — и Ъ — lira —i , где О ?С а2 ^ b sC
п п
sc; a ^ 1, рассмотрите последовательность, принимающую значе-
значение а па множестве А с: N плотности а (см. задачу 2.3) и значе-
значение [} на множестве N\^4. Докажите, что за счет выбора пара-
параметров аир можно добиться выполнения требуемых равенств.'
2.6. Можно считать, что I ^= 0. При этом достаточно рассмот-
рассмотреть лишь случай I = 0: если 0 < I < +оо, То вместо последова-
последовательности {хп} надо рассмотреть {хп — ly-n}, а если 1 — +<х>: то
следует поменять местами последовательности {хп} и {yn} (усло-
(условия хп+1 > хп и жп -> + оо выполнены, так как xn+i — г» > yn+i — уп
для достаточно больших и). Считая, что еп = -—^—— -*-0, дока-
докажи »п—1
жсм, что ~ -> 0. Поскольку
ТО
При большом т вторая сумма мала для всех п > то, так как s^ -v 0.
При фиксированном 7» первая сумма мала, так как уп ->+оо.
Другое решение получим, если применим результат задачи 2.2
к последовательностям й« = i/ti—J/n-i и ^п3^-^ —— (вместо
У11 ~ Уц—%

2.7. Воспользуйтесь теоремой Штольца.
2.8. Воспользуйтесь теоремой Штольца. В примерах г) и д)
используйте результат задачи 1.2.14.
2.9. Для доказательства сходимости последовательности
(In п —. Л __1 воспользуйтесь тем, что сходимость последова-
KJ-Sti j
тельпости {хп} равпосильпа сходимости ряда 2 (хп — хп— i)- Воз-
Возникающий при этом ряд сходится — это следует из легко проверяе-
проверяемого неравенства
Другое решение получим, если, пользуясь неравенством
1 1 1 1 1
1W~~<г^т~"~<(X-\f цри x>ii заметим>что
несобственный интеграл I [ f^f — ~НТ сходится; поэтому су-
2
ществует конечный предел последовательности
2.10. Решение аналогично решению задачи 2.9.
2.11. Из формулы Стирлинга следует, что для доказательства
правого неравенства достаточно убедиться в возрастании последо-
последовательности
и!
Поскольку
ге+1
где
то достаточно проверить, что ф@ > 0 при t > 0, а ото вытекает
из равенств <р@) = 0 и
Ф (f) " 6 A + tf B + tf '
Левое неравенство доказывается аналогичпо.
2.12—2.14. Решение аналогично решению задачи 2.9,

§ 3. Рекуррентные последовательности
3.1. По индукции докажите, что последовательность {хп} имеет
вид {Aqn + В}, и определите параметры А, В, q.
3.2. а) Так как
— — 1 /х —х
то
lim хп = х0 + 2 К ~ xn-i) =
i) D-
3.3. Поскольку на каждом шаге происходит почти удвоенно
члена последовательности {хп}, естественно рассмотреть после-
, л \ХА п n + i i
довательность {Уп} = \—^ ¦ Очевидно, что уп+1 =—fr~ Уп ~
Уп+1 Уп 2-(n+1) n
т. е. _iizJ-_ _Л = — Следовательно,
re -J-1 и п +1
Vn = nlh- 2 Тг
Отсюда получаем, что
-п = и2" I " ' -y
Поэтому хп ~ n2n~l(xt — ln (е/4)) при Xi^=ln(e/4), а в против-
противном случае
3.4. Считая, что Ь ф 0, рассмотрим последовательность
Уп = xjbn. Тогда уп+1 = уп + осп, где ап = ап/Ьп+}. Ясно; что
»„+1 = У1+ S afe- Если |6|>1 и 5=^0, то Tn+1/bn+1==
Уп+1 -+y1+2iak = s/b' т- е- T"+1 ~ Sbn- Если же |Ь| > 1 и
= 0, то
г/„+1 = у1+ _
h>n
bn+k+i

Отсюда получаем утверждение б). Осталось рассмотреть случай,
когда 0 < \Ь\ < 1. Имеем
Поэтому *,г+1=ч1ГЬ
3.5. Если р s^ О, то последовательность х„ = (р — 1)" не имеет
предела, хотя х„+1 = рхп + A — p)xn-i. Если р ^ 1, то либо
xn+i^xn для всех neN, либо хп+[ s^. xn для п^п0 (так как
из неравенства ?и .^ < х„ следует, что xn+i < жп дляге^г/го).
Пусть 0 < р < 1. Положим Z = hma;n, L = lim хп. Поскольку
последовательность {хп} ограничена сверху (числом max{xi; xi}),
то L < +оо. Допустив, что I < L, зафиксируем два числа V и L',
I < V < L < ?',— их выбор уточпим позже. Тогда для всех доста-
достаточно больших п имеем хп-\ < L'. При этом можпо так выбрать п,
что хп < Z', и, следовательно, xnfi < pZ' + A — p)V = Я. Так как
Хп < V < X, то хп+2 < Я, агл+з < Я, ... Поэтому Z. == limi» sg Я,
т. е. L ^ pi'-\- A — р)?'. Но это певерно, если число Г выбрана
достаточпо близким к I, a L' ¦— к L.
3.6. Поскольку последоватсльпость {In о-,,} при р s @; 2) имеет
предел (см. предыдущую задачу), то достаточпо доказать, что при
таких значениях р последовательность {хп} ограничена. Это оче-
очевидно, если ре @; 1], так как в этом случае xn ^ max {ж,; х?}.
Если ре A; 2), то перемпожив неравенства хп+х < хихп—i ПРИ
и = 2, 3, . . ., N, получим
Следовательно,
Отсюда следует ограниченность последовательности {хп} при
?e(U).
Если р ф @; 2], то последовательность {ехр (р — II1} расхо-
расходится, хотя хп+\ = хпхп^.- При р = 2 можно взять последова-
последовательность {2™}.
С
3.7. Докажите, что из неравенств хп—х **= /„ л\\ и жп_2 ^
С С
^ (ге —2)! слеДУет неравенство хп ^ -^у-. Константу С подберите
так, чтобы последнее неравенство выполнялось при ге= 1, 2.
3.8, Доказательства этих утверждений аналогичны. Мы огра-
ограничимся сяутаом в), Зафиксируем 6 е @; а/к). По условию сущест-

вует такое число С = 6р > 0, что ?п^~С — для п =
= к + 1, к + 2, ... Пусть 31 > 0 такое число, что х^ < Afe~P; '2 ПРИ
/ = 1, 2, ..., ге—1. Тогда л„ ^ кСМ~ . Поэтому хп <
^, если кС s? exp (и(а— рА) + $к2/2). Зафиксируем
теперь столь большой номер пр, что Л-С s^ exp (п (с. — $к) + рА2/2)
при ге ^ "в. Можно считать, что ne ^ /с. При достаточно большом
Л/ = Л/р для /1=1, ., ., пр будет выполпяться неравенство
хп< Ме~$п*^2 Сираведливость его для всех последующих номе-
номеров ге обеспечивается выбором! тгр.
3.9. Рассуждая так же, как при решении предыдущей задачи,
получаем, что достаточно доказать, что р(ге—к)\аАп-к —
— фп— 1) 1пЛ„->+оо. Положил для краткости ап = 1пАп. За-
Зафиксируем число y > 9, выбор которого уточним позже. Для до-
доaJ
статочно больших номеров / имеем /II — -^—- <Y> т- е.-1-1> 1
\ a I a
—. Следоватольпо,
a~-h= П ^> П
( h f i \\
Таким образом, %_/*> an M ~ V~ + ° [~Tj U и поэтому
i A + Y)+ О A/ге)) >¦ + оо,
П-»+оо
если y выбрано достаточно близким к числу 8.
CeSm
3.10. Пусть С >0 —такое число, что жт < h/ при
Г А!---Ат
1 ^ "I < ", ге > &. Тогда
»—1

Поэтому
Се'»
yrAi...An 1 An ' }ЛА1...Ап
(последнее неравенство вытекает из неравенства е* 5г 1 + 0- Вы-
Выбрав множитель С столь большим что хп^ ъ, ~ ПРИ га ==
/Л1.../!„
= 1, 2, ..., А1, получаем отсюда, что ото неравенство выполняется
для всех номеров п.
3.11. Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи. В при-
примере г) используйте результат задачи 2.14. б).
Глава III. ФУНКЦИИ
§ 1. Непрерывность и разрывы функций
1.2. ж) Рассмотрите, например, разрывную строго возрастаю-
возрастающую функцию.
1.3. Пусть Ш/ (х) — колебание функции / в точке х, т. е.
со, (х) = lim ! sup ,/ (у) — inf f (у)\, и пусть А — множество
6-»о \\У—х|<6 \у—х|<6 )
точек разрыва первого рода функции /. Яспо, что А — U Ап, где
Ап = {х <= А | ш/(х) J5 1/л}. Если допустить, что множество Л не-
несчетно, то несчетным будет по крайней мере одно из множеств
{Ап}, скажем, Ат. Пусть ха — неизолированная точка множества
Ат (см. задачу 1.1.23.а)), и пусть {x/J с Ат, xk~+x0, хкфхо
ieN), Не умаляя общности, можно считать, что хн > х0 при
любом к е N. Докажем, что функция / не имеет в точке х0 пре-
предела справа. Действительно, так как хк е Лт, то найдутся такие
точки ^ ж^ и х"ь^ что | ^ - х J < | хй - ж0 |,^ | x"k — zft | < [ xft — т0 |
11 1 f (x'h) ~~ f i.r'h) I ^ l/Bm)- Ясно, что ^->жо, ^fe-^^o- Таким
образом,
/(z)
- Hill /H>nS
Другое решепие получим, если докажем счетность множеств
А^_, где
j?r = {х е -Е | существует правосторонний предел / (х+0)
и / (х + 0) >/(*)},
а множества Л^-, А< п Л^ определяются аналогично. Для дока-
доказательства счотности множества А^ сопоставим кагкдой точке

x e A> прямоугольник Рх = (x; x + e) X (l\ L), где /(x) < I <
< L < f(x + 0), a e = ex > 0 столь мало, что /(г) > L для всех t <=
<= (х; х + е). Легко видеть, что Рх П Ру = 0, если а;, у е 4^ и
х ф у. Выбирая в каждом прямоугольнике Рх точку с рациональ-
рациональными координатами, получаем взаимно однозначное отображение
множества А+ в Q X Q.
Аналогично доказывается счетность множеств А^_, А_, А_.
\Л. Рассмотрите функции ip и 1|э:
0 прн х < 0, ГО при х < 0,
чЬ (х) = {
1 при т>0; w [1 при т>0.
Искомую фупкцию можно получить как сумму ряда, члены ко-
которого имеют вид Я(ф(.г- — t) -\- \\)(х — s)), где teu, seu.
1.5. Предположим что множество Лп(/) по более чем счетно,
и докажем счетпосгь множества /)л(/). Пусть со/(х) — колебание
функции / в точке х (см. рсгаепие задачи 1.3). Ясно, что Дд (/) =
оо
= U ^/j, где Ah = {¦« е Dn(() \ w/(x) J5 1Д"}. Если допустить, что
множество Дл (/) несчетно, то песчетпым будет хотя бы одно из
множеств {Ah}, скажем Ат, а вместе с ним и множество
A =Am\Dn{f). Пусть жо—такая точка множества А, что
(х0; ж0 + е) П А Ф 0 при любом е > 0. (См. задачу 1.1.23. б).) За-
Зафиксируем такую последовательность {хп}сА, что хп->хо,
з-„> жо(ге е N). Так как iue4, то найдутся такие точкихп, xnj
что хд < 4 < а;п, х0 < 4 < ^„, | / «) - / «) | > l/2w. Поль-
Пользуясь непрерывностью функции / в точке х0 справа и переходя
к пределу в последнем неравенстве, мы приходим к противоречию.
1.6. б) Допустим, что последовательность {/«} с указанными
свойствами существует. Построим такую точку eeR, что после-
последовательность {fn(c)} не сходится, и тем самым придем к противо-
противоречию.
Пусть До — произвольный замкнутый промежуток, х\ — произ-
произвольное рациопальное число, принадлежащее внутрспнооти До-
Найдем такой номер гц, что I /0 (х^ — fn (x^ I <; 1/3, т. е.
11 — /та (x^^l/З. Пользуясь непрерывностью функции /„ > за-
зафиксируем такой замкпутый промежуток At с центром в точке хи
что Д[ с До п I 1 —/п (х) < 1/3 для любого х(=Дь Пусть ж2 —
иррациональное число, принадлежащее внутренности Дь Найдем
такой номер п2 > пи что | /0 (ж2) — / (х^ | < 1/3, т. е. | /п (ж2) |<
< 1/3. Зафиксируем такой замкнутый промежуток А2 с центром в
точке Х2, что Д2 с Ai и | /„ {х) I < 1/3 )для любого х <= Д2. Теперь
берем произвольное рациональное число хз, принадлежащее внут-

реппости промежутка Лг, и повторяем проделанные построепия, за-
заменяя До на Да, а х\ на хз и т. д. По индукции мы построим такую
последовательность номеров {rik} и последовательность замкнутых
вложепных промежутков {Аи}, что | 1 — /„ ,ЛХ) I < 1/3 при
т<=;Д2г-1 и 1/,7,,(х)|<1/3 ПРИ жеД21. Откуда следует, что
|^rtaj i(r)—/i^r)|^^''^ в точкеге= 0 Aft, и, следовательно, последо-
последовательность {/и(с)} пе может иметь предела.
1.8. а) Рассмотрите функцию, равную единице на не более чем
счетном подмножестве множества Е, замыкание которого совпадает
с Е (см. задачу 1.1.22. б)), и нулю в остальных точках.
б) Рассмотрите ряд 2 3~П(Рп> ГДС Ф« ~~ Функция, построенная
так, как описапо в указании к п. а), для множества Е = Еп.
1.9. Изучите функцию
/ (*) =
1
—ц—^, если в троичном разложении числа х <= @; 1)
содержится п едпшщ (ге = 0, 1, 2, ...),
0, если в троичном разложении числа х е @; 1)
содержится бесконечно много единиц.
1.10. Докажите, что если Нтп / (х) < с < lim / (х) и с Ф j(x0).
то множество /~'({с}) не замкнуто.
1.11. Используйте результат предыдущей задачи.
1.12. Убедитесь в том, что не умаляя общности, можно считать,
что функция / имеет в каждой точке множества Е максимум. Рас-
Рассмотрите множество
EB = {xz=E\l(y)^f(x) при \х — у\<е, jeE}
(е — фиксированное положительное число) и докажите, что функ-
функция / локально постоянна па Es. Воспользуйтесь результатом за-
задачи 111.22. а). Другое решение получим, если модифицируем рас-
рассуждения, проведенные во втором решении задачи 1.3.
Для сепарабольпого метрического пространства приведенные
соображения сохраняют силу. В случае пееепарабельного простран-
пространства результат неверен. Для получения контрпримера рассмотрите
по содержащее изолированных точек пространство X\S, где X —
отрезок с дискретной метрикой, S —{z<=C\\z\ = l} и функцию
f(x; z) = х.
1.13. Используйте результат задачи 1.12.

1.14. a) Рассмотрите, например, функцию
A — x при —
; }—гг~ при
/(*) = { l + x^ + b] F
—^ , г —¦П при 1 < ж < 2
2 + B - х)-1 + [B - г)] F ^ ^
п точку с = 0.
1.15. Рассуждая от противного, докажите с помощью теоремы
Больцано — Коши отсутствие взаимной однозначности.
1.16. а) Воспользуйтесь формулой конечных приращений па
промежутке {х; A +8)х].
б) Считая, что е < 1, и рассуждая от противного, папдите та-
такую последовательность {г„}, что zn-v + °° и
-1 1 _х
где б — пекотороо положительное число. Используйте п. а).
1.17. Предположим, что предел Нт / (х) не существует. Тогда
найдутся такие числа а и Ь, что а < Ъ и множества С„ =
= {х < 0\f(x) < a}, G], = {х > 0\{(х) > Ъ) не ограничены. Пусть
х0 > 0 — такая точка, что каждое из множеств Ga и Gb содержит
бесконечно много точек вида пхо (п е N) (см. задачу 1.1.26). По-
Поскольку последовательность {/(пх0)} не может иметь предела, мы
приходим к противоречию.
1.18. Рассмотрите функцию
{хп, если х=урп,
0, если х ф у рп при любом п е N,
где {рп} — последовательность простых чисел, а {хп} — последова-
последовательность, множество частичных пределов которой заполняет R
(например, произвольным образом занумерованное множество Q).
1.19. Рассмотрите разбиение многкества R+= @; -f- oo) на клас-
классы эквивалентности, считая, что х ~ г/, если г/г/ е Q- Устаповив
произвольным образом взаимно однозначное соответствие между
множеством построенных таким способом классов эквивалентности
и множеством R, определите функцию / на @; +оо) равенством
f(x) = i/(l + [х]), где (eR соответствует классу эквивалентно-
эквивалентности, содержащему х.
1.20. Докажите, что утверждение «/ (х -f h) —- f (x) zX- 0 при
а-->4-оо на любом конечном промежутке» равносильно утвержде-
утверждению: Ve ;
< Ьг п lira sup |7 (,r + h) ™'f (я) | «й е.

Последнее утверждение докажите, рассуждая от противного
и строя такую последовательность вложенных сегментов
{Ап} и числовую последовательность {хп}, что хп-+-\-оо и
\j(xn + h) — f(xn) \ 5s е при h е Дп.
1.21. Докажите, что функция Ц>(х) =f(x-\- 1/ге) —/(ж) прини-
принимает нулевое значение на промежутке [0; 1 — 1/ге]. Если б ф 1/п,
б > 0, то рассмотрите функцию /(ж) = ф(ж) — Ах, где феС (R),
(f @) = 0, фA) = А ф 0, ср имеет период б.
1.22. Докажите, что вместе с f(x) указанным в условии задачи
свойством обладает и функция f(—x), и сведите задачу к случаям,
когда функция / либо четна, либо нечетна. В первом случае убе-
убедитесь, что /(ж)->/@) при х->--{-оо, и выведите отсюда, что
/ = const. В случае когда функция / нечетна, докажите, что
1
—^~ { (пх) -»- / (х) при любом х е R, и, опираясь на это, проверьте,
что f(kx) = %f{x) при любом X е R.
1.2S. Как и в предыдущей задаче, сведите вопрос к случаю,
когда функция / либо четна, либо нечетна. Если / четна, то пред-
предположив, что f(xv) Ф f@), рассмотрите последовательность
{(—1)"ж0}. Если функция / нечетна, то докажите, что fCkx) =
= ^f(x), рассмотрев последовательно случаи X е N, \eZ, leQ,
XeR.
1.24. а) Из равенства
A + х) A + х2) ... (l + ж2") ... = A - xf1 (| х |< 1)
следует, что f(x)f(x2) = A — ж)-1. Поэтому f (ж2) sg (I — z)-1 <
s= f(x), т. е. 1 < VT^xf (x) < 1Л + Т/ж< /2.
б) Вычислив логарифмическую производную функции
ft^O 1 -f Ж2'4
получим
V1
2V
, 2"
+ Ж
* 2i
Так как j-qri > t . fa ПРИ < e @; У2 — 1), то при ж27 е
е@; "I/ 2— 1) ряд^ (— 1)" 2П— Лейбницев и его сумма отри-
и>7 1 + я2
цательна. Непосредственные вычисления показывают, что S(х) < 0
при 0,93 < х < 0,945.

в) По доказанному в п. б) найдутся такие точки s и t из про-
промежутка (У2— 1; 1),. что s<t, F(s) >F(t). Положим sn = si~n,
tn=:t («:=0,1,2,...) Пользуясь тождеством Fix) = '—% F(x4)
1 + х"
л г „
и убыванием функции——- на промежутке (У2—1;1), полу-
1 + х
чаем неравенство
__ i + sn 1 + К
Cn) ~i+slF (*»-l) ~ 1 + *2 F(^-l)>
1 + s.
Таким образом, F(sn) — F(tn) ^ F(s) — F{t) > 0, хотя sn, *n->l.
1.25. Рассмотрите множество Q = f-1(K)c [0; 1], где / =
= (ф; Ф) — кривая Пеано (см. задачу 4.5),
? = {(*; у)\0\^х^1, у= 0, 1, 1/2, 1/3,...}.
Проверьте, что сужение <р|<? обладает требуемым свойством (ис-
(используйте результат задачи 4.4. в)). ПрЮдолжите надлежащим
образом функцию <P'|q с множества Q на [0; 1].
1.26. При каждом ие N и х «= [0; 1] определите /„(ж; г/) ли-
линейной интерполяцией по узлам уь. = /с/и (к = 0, 1, 2, . .., и) со
значениями /(ж; /с/и).
1.27. Рассуждая от противного, видим, что |/(а; у)\^С при
| у — Ъ ] < е для некоторых а, 6 е R, С > 0, 8 > 0. Пусть
Ек = {у «= (Ь - е; 6 + е) I / (я; 2/) > С/2 при | ж — я I
№
Покажите, что U ?'ft= (Ь — е; Ь +е), и воспользуйтесь ре-
результатом задачи 1.1.33. Докажите, что если замыкание множест-
множества Ет содержит интервал (а; р), то /(ж; г/) # 0 в прямоугольнике
[а — —; a + J- X (а; Р).
\ m m /
§ 3. Непрерывные и дифференцируемые функции
3.1. Покажите, что иптерноляциопный полином Р степепи т
для функции /, построенный по узлам 0, h, 2h, ..., mh, совпадает
с / во всех точках M(AeZ). Выведите отсюда, что P(t)=f(t)
при * = М/2" (iez,ne N).
3.2. Покажите, что /' (х) >. 0, предполагая, что нре-
дол Ига / (х) существует. Существование последнего предела

докажите, рассуждая от противного: если ос = Ига / (х) < Р =
= lim / (х), то найдется такая последовательность ?п-^+0°,
что f(xn) = 0,
Другое, предельно краткое, но не столь поучительное доказа-
доказательство равспства Нш. / (х) = L получим, применив к паре
функций exf(x) и ех правило Лопиталя.
Для доказательства обратного утверждения покажите, что
из соотношения /' (¦г) ^ 0 следует, ввиду равномерной нс-
жн>+оо
прерывности /', что функция / не удовлетворяет критерию Боль-
цэно '— Коши на бесконечности.
3.3. Предполагая, что /'(а) < 0 < /'(Ь), докажите, что наимень-
наименьшее значение фупкции / достигается внутри промежутка [ai b].
3.4. Воспользуйтесь результатами задач 3.3 и 1.10.
3.5. При проверке необходимости воспользуйтесь равномерной
непрерывностью функции /' на промежутке [а! Ь].
3.6. а) Предположим сначала, что g(x) >0 при же (а; Ъ),
и допустим, что найдутся такие точки xi, Х2 = (а; Ь), что х\ < х2
и i{x\) > /(^г)- Не умаляя общности можно считать, что j(x{) = 1,
/(я2) =—1- Пусть
х = sup{a; е {хй х2) \f(y) ^ 0 при у е (xf, х2)}.
Существует такая последовательность {^п}, что hn > 0, An-*-0,
1 (х + hn) < 0. Поэтому ? (ж) = Him —i— nJ v ^- < 0,
что невозможно. Следовательно, функция / возрастает. В общем
случае следует рассмотреть функцию fs(x) = f(x)-\- ex, где 8 — про-
произвольное положительное число. Если g = 0, то полученный уже
результат следует применить к функциям / и —/.
б) Примените п. а) к функции / — G, где G — первообразная
функции g.
3.7. Если функция / дифференцируема, то g = /' и, следова-
следовательно, /е С"°°((а; Ь)). Продифференцировав тождество f(x + h) —
— f(x— h): = 2hg(x) два раза по h, убедитесь, используя 3.6. а),
в том, что /" = const. Используя 3.6. б), м,ы видим, что этот ре-
результат сохранится, если функции / и g непрерывны на (а; Ъ).
Если предполагать лишь непрерывность /, то результат становится
неверным (f(x) = \x\, g(x) = signx).
3.8. Рассмотрите первообразную функцию <р, определенной ра-
равенством ф(ж) >= inf {\х — у\ \у е F) (ieK).
3.9. Для доказательства утверждения б) =>- а) изучите множе-
множество Ее ~ {% ?5 [0; 1] | |/(j) — /@) | sg еж}, где е — произвольное
положительное число, Докажите, что sup (Е~ г\ @; с)) = с при лю-

бом с е @; !)• Из в) не следует а). Соответствующий контрпример
ложно получить, рассмотрев одну из координатных функций кри-
кривой Пеано, построенной в задаче 4.4, и воспользовавшись тем, что
множество постоянства этой функции не имеет изолированных
точек (см. утверждение г) этой задачи).
3.12. Оцените приращение функции / па участке монотонности.
При а = 1 полезно воспользоваться результатом предыдущей за-
задачи. При а = 1 ff'(O) = 2/я.
3.13. а) См. указание к предыдущей задаче.
б) Оцените /'(.г).
в) Покажите, что \{(х + h) - f(x) | = О( \J(x0 + h) - /(*„) |),
где х0 — конец наименьшего из участков монотонности функции /,
длины которых не меньше 1г.
3.14. Рассмотрите ряд с членами вида kkf(x— а&),где /—функ-
/—функция из предыдущей задачи с надлежащим образом выбранными
параметрами.
3.15. Рассмотрите функции
f(x) = (In B/х))~\ g(x) = e-{'xcosel'x при 0 < x <g 1,
/@) = g-(O) = 0.
3.16. Убедитесь в том, что
я
| ср (х + h) - ф (х) | < max | / (х) | (' |co(z + h) - | z Г1/2 | dz,
я-eR ^
где (о — 2я-псриодическая функция, совпадающая с Isl'2 па про-
промежутке [—я; я], и оцените интеграл в правой части неравенства.
3.17. При доказательстве непрерывности функции / используй*
те ее монотонность.
3.18. Зафиксировав n<=N, оцените спизу длину ломаной с
вершинами в точках М3 = (j3~n; /(/3~™)) (/ = 0, 1, ..., 3"), рас-
рассмотрев суммы
2 p(MfM.+l) и 2 p(^;%i).
где К — канторово множество, р — метрика в R2.
3.19. Вычислите приращение канторовой функции па проме-
промежутке [0; 3~п].
§ 4. Непрерывные отображения
4.1. Докажите, что ограниченность последовательности {г,,}
равносильна ограниченности последовательности {P(zn)}. Для про~
извольного многочлена от двух переменных (папример, для
Q(x; у) = х) ото неверно. Проверьте, что Q (F) = К\{0}, гдо
F = {(х; у)\ху "^ 1} — замкпутое множество.

4.3. Для построения одного из возможных примеров рассмот-
рассмотрите двусторонние числовые последовательности {xk}kez и
{Ук}кеъ! Удовлетворяющие условиям ... < ун-i < х\ < у к. <....,
iiil Xh. = О, sup хк = 1, и образуйте множества
Л = {0} и U [xh; уЙ), ? = {1}U U [jrft; *ft+1).
Искомый гомеоморфизм можпо получить, отображая каждый про-
промежуток [хк\ у к) cz А на промежуток [г/-*; x-h+i) с В, а нуль —
в единицу.
4.4. а) Корректность онредедепия проверяется непосредствен-
непосредственным вычислением ср и "ф в троично-рациональных точках. Непре-
Непрерывность ф и ч|> вытекает из совпадения любого наперед заданного
числа первых цифр, получаемых при представлении в виде троич-
троичных дробен (без цифры 2 и периоде) достаточно близких точек
t,t'e= [0; 1].
б) Используя разложение чисел отрезка [0; 1] в троичные дро-
дроби 0,0,0^0^ ... =2aft3~'', где а;, = О, 1 или 2, убедитесь и том,
что если |, г| е [0; 1], | = 0,PiP2p3. .., ч = O.'fiMs. ¦ -, то I = ф@.
т) = "ф(*), где ? = 0,7,ia2»:;- • ¦, а цифры ah a2, ... определяются по-
последовательно следующим образом:
G,, если а, —¦ четное число,
2-—7i> если a2 — печстпос число, ...;
(|3И, если (х2 -г a4 + ¦.. ~l~ a2n—2 — четное число,
2~Рп> есл|1 а2 + а4+• • .+a2n—2 ~нечстное число;
!7„, если о^ -|- а3 + ... -{- сс2)г_1 — четное число,
2 — 7ni если а1 -|- ag + ... + a2n~i ~~ нечетное число.
в) Различные решения системы ср(г) = |, \p(t) = ц могут по-
получаться лишь из-за неединственности представления чисел |, т) е
е [0; 1] в виде троичных дробей. Проверьте, что при
| = 2/9 = 0,02000...= 0,01222... и ц = 1/3 = 0,1000. < = 0,0222...
система имеет четыре решения:
5/108 = 0,001020202..., 11/108 = 0,002202020...,
13/108 = 0,010020202..., 19/108 = 0,011202020...
г) Пусть I = 0,а!а2«з ¦ •. е Ф~'({с}). Если среди цифр сс2а беско-
бесконечно много четных, то заменяя а2* при достаточно большом к на
2 — a2fti получим точку из 9~'({c})i сколь угодно близкую к t. Если

a2h = 1 при к 5s к0, то следует рассмотреть точку (к ^ кй)
. .. a2ft-i0B —
получающуюся из t заменой цифр ай = 1 и агы-2 = 1 нулями,
а «2i+i —числом 2 — a.2h+\- При рассмотрении множества Ф~'({с))
рассуждспия аналогичны.
д) Докажем, что ф s Lip1/?2 ([0; 1]). Пусть 2<raeN, р =
= [m/2],t, t'(=[0;i], «=0,a1aaa3 ..., i' = 0,о^а2ад ... n 3~m<
< f — i' < 3~'n+1. Если aj = a'v ..., am_1 = a'm_v то
ф(п=о,р1р2...ррр;+1...
и, следовательно, |ф(?) — (f(t') | ^ 3~? ^ f3 |t' — t\1/2. Предполо-
Предположим теперь, что паидется такой помер к ^т— 1, что акфа.к.
Будем считать, что к — наименьший помер с этим свойством. Тог-
Тогда, ввиду неравенств 3+'" ^ t — I' < 3~m+1, разложения для ( и ('
должны иметь вид
t = 0,«i... aft-ia*0 ... 0a,,,am+i...
и
Г = 0,ах
2 ...
(если хоть одпа из цифр clh+i, j. ., ccm_i не нуль или хоть одна из
цифр ak+v •••'am-i меньше двух, то i— t' ^ 3-m+1). Могут
представиться следующие четыре случая:
1) к = 21 — четное число, a2 + at + . • • + «ft — четное число,
2) к = 21 — четпос число, а2 + а* + • • • + та — нечетное число,
3) /c=2Z—1 — нечетное число,
число,
А) к — 21 — 1 — почетное число,
число.
В первом случае мы видим, что
ф@ =o,p,p2...p,o..
«i + «з +
+ аз + • • •
• + аь — четное
почетное
ор;р;
;+1..
Ф(о=о,р1р2...р,о
Следовательно,
1ф@-«р(О1 О,- з-р
Остальные случаи рассматриваются аналогично.
4.5. Пусть 8 > 0, N = 1 + ,[1/е]. Точки /„ '= /.-/^ (/с = 1, ..., N)
образуют е-сеть для отрезка [U; 1]. Проверьте, что точки
(u(tk), v(tk)) образуют б-сеть для квадрата [0; 1] X [0; 1], где
б ^ Сеа. Докажите, что число точек б-сети для квадрата не мень-
меньше, чем С06~2.

4.6. Пусть В — мпожостБО всех двоичпых последовательно-
последовательностей и
— семейства, с помощью которых определяются обоищеппыс кан-
торовы множества К и К (см. задачу 1.1.31). Определим отображе-
отображения ф: S ~*-К, ф: 3-+К равенствами
оо
Ф(е) = {, где (е П АЕ ...Е ,
п=1 1 п
ср (е) = 7, где i s П АЕ F
(е = {e/J e S). Докажите, что ф и ф являются биекцжями, а / =
= ip о ф-1 — гомсоморфпое отображение К па #.
§ 5. Функциональные уравнения
5.2. в) Из утверждения а) следует, что фупкция / пе линейна
и, следовательно, /(ж0) =^=жо/A) для пскоторого х0 s К. Ото нера-
неравенство равносильно линейной независимости векторов
е'= A;/A)) ие"= (го;/(х0)).
Поэтому множество {se' -\- te" \ s, (siR} совпадает с R2, а мно-
множество {se' + te" | s, i e С} плотно в iR2. Осталось заметить, что
точки se' + ie" принадлежат графику функции / при любых рацио-
рациональных л! (это следует из утверждения а)).
5.3. Примените результат предыдущей задачи к функции
g(*)=/(e*).
5.4. Убедитесь в том, что /A) =/(—1) = 0, и докажите, что
1
функция / печетпа. Рассмотрите функцию g (r) = ~ / (х) (х > 0) и
используйте рассуждения, ироведопныо при решении задачи 5.3.
5.5. Используйте результат задачи 5.2.
5.6. Докажите последовательно, что /@) =0, f(xn) = (f(x))n
и 1(х + у) = i{x) + j(y) при х, е IR. Используя равенство
/((та + у)п) = (г/(я) + г/)", где г s С, убедитесь л том, что
/(ж2) = ±{f{x)Y при любом ж s IR; воспользуйтесь результатом
задачи 5.2.
5.7. С помощью индукции докажите, что
/Ы-/( 2
(peN).

Выведите отсюда, что отношение (п eN) ограничено.
Зафиксируем такие строго возрастающие последовательности
f(nh)
|гей} с: N и |;nft} с: N, что существуют пределы А = lim —-— и
/i
/ (— тЛ
В = lim 7. Докажем,, что lim :
'"ft я->+оо
= Л, lim
/х\
+
Для любого 8 > 0 зафиксируем такой номер иь, что сг/и^ < 8 и
О <;: s <
+ /(«)
< е. Пусть х > 0, р = [ж/геь]. Тогда ж = рпк + s,
Из неравенства (*) следует, что справедливо
op, и поэтому
Для достаточно больших х из последнего неравенства вытекает,
/И
что
fix)
X
<3е. Аналогично доказывается, что —^- •
Переходя к пределу при х -»- +,оо в неравенстве
/ Bх) ,/(-*) / (:
? ' ? а:
мы убеждаемся в том, что А = В. Рассмотрим теперь функцию
f(x) =f(x)—Ах и проверим, что |/(ж)| ejo при любом х е R.
В самом деле, ясно, что f(x)/x-*-0 при i-+oo и, как и функция
/i f удовлетворяет неравенству (-»). Поэтому
при любых 2е К, ге ее N. Считая, что х ф 0 а переходя в послед-
последнем иеравепстие к пределу, мы получаем требуемое.
Заметим, что оценку для функции f улучшать пель.чя. В этом
мс/кпо убедиться па примере функции /(ж)=тахA— \х\; 0).
5.8. Убедитесь в том, что /@) = 0 и функция / четпая. Дока-
жсм; что если / Ф 0, то f(x) фО при х ф 0. Для этого проверим, что
если f(a) ф 0 (а > 0), то J(x) Ф 0 на @; а). В самом деле, пусть
это пс так и пусть с — наибольший корень функции / на интервале
(П; а). Тогда /(с/2") = 0 при любом reeN и поэтом/
/(cl-'l + 2-2») = /(с) ¦+ /(с/2п) = 0. Так как сЦ + 2« е (с; а)
при достаточно большом и, то мы приходим к противоречию с вы-
выбором числа с. Заметим еще, что число а можно выбрать сколь
угодно большим, поскольку /B™а) = Anf(a) ф0. Итак, Цх)ф0
при х ф 0. Будем считать, что /A) = 1 и рассмотрим множество
А = {х > 0|/(ж) = ж2}. Проверьте, что его замыкание совпадает
с [0; + °°) (см. задачу 1.1.21).
5.9. Докажите, что /@) = 1 и что функция / — четная. Убеди-
Убедитесь в том, что если f(x0) =0, то f(t) =0 при \t\ 5s \xo\. Выве-

дито отсюда, что f(x) > 0 при любом х е R. Проверьте, что
функция g (х) = In / (ж) (х е R) удвлетворяет условию предыду-
предыдущей задачи.
5.10. Докажите, что функция g(x) = ](ex) является суммой
линейной п периодической функций.
5.11. а) Рассмотрите функции ty(x) = ф(х)/1пж (х е @; 1)) и
//(«)= я|)(е~е") (веК).
б) Проверьте, что 0 sg / sg 1 и что если f(x0) = 0 (f(x0) = 1)
в некоторой точке х0 е @; 1), то / == 0 (/=1). Считая, что 0<
< / < 1 в @; 1), докажите, что Пт /(ж)=0, Нт / (х) = 1 и что /
жн>+0 хн>1—о
строго возрастает. Рассмотрите функцию g(f) = InjIn /(e-f) | и
воспользуйтесь результатом задачи 5.10.
5.12. Предполагая, что искомая функция h нечетна, убедитесь
в том, что функция Ф (*)— In (h (e*)) (* <= К) строго возрастает
и удовлетворяет уравнению фB?) =4ф(*). Найдите решение этого
уравнения.
5.13. Проверьте, что /@) = 0, /A) = 1. При z Ф 0 рассмотрите
фупкцию g \z) = f i\ z\) и) пользуясь взаимной однозначностью g
на каждой окружности |г| = г, последовательно докажите, что при
, е @; 1]
g(r) =, 1, g(-r) = -1, g(ir) = ±j, г(гег«/4) = e±in'\ и т. д.
Выводите отсюда, что функция g(z) совпадает либо с z/|z|, либо с
2,/|z|. Докажите, что функция /i(f) = |/@l возрастает па @; 1).
Представьте f(t) в виде h(t)el'f{t) и воспользуйтесь результатом
аадачи 5.J 1.
5ЛА. Докажите последовательно, что /@) i= 0, /A) = 1 (и, сле-
довательпо, функция / возрастает), /A/2) = 1/2, /(ж) = 1/2 лрн
a: s [1/3, 2/3]. С помощью индукции убедитесь в том, что па интер-
интервалах, дополнительных к капторову мпожеству, функция / совпа-
совпадает с капторовой функцией (см. задачу 3.17).
5.15. Докажите последовательно, что
а2/
= const,
дх ду
f(x; y)=Axy+ g(x) +g(y), g" = const.
5.1р. Проверьте, что если /(я) =f(b) при \а\ ф \Ъ\ и функ-
функция g существует, то f(l) =f(ct) при некотором с, \с\ <1 и лю-
любом IsR, Выведите отсюда, что / ^ const.
5.17. а) Проверьте, что при каждом |eS' отображение cpt:
Z-bS1, определяемое равенством щ(к) = lk, является харак-
характером. Докажите, что каждый характер <р имеет вид <Ре, где

5.18. а) Проворьте, что при каждом teK отображепие <р<:
К-+5 ' определяемое равенством (fj(i) = el:t(ieK), являет-
является характером. Если ф — произвольный непрерывный характер, то
при п Зг N справедливо неравенство Re <pB~n) > 0. Пусть фB~ )=
= ег°°, | Оо| ,< я, 0 = 2Л'ОО. Проверьте, Что cpB~n)=eie2™" при лю-
любом «е N] и докажите, что ф = фе.
б)—г) Используйте а) и аналогию с задачей 5.16. б).
д) Проверьте, что при каждом raeZ отображение ф„: Sl-*-Sl,
определяемое равенством <pn(?) = ?" (? е5'), является характе-
характером. Чтобы доказать, что каждый характер ф имеет такой вид,
изучите множество ф ({1}). Докажите, что оно конечно, если
ф ф 1, и что для некоторого тп е N и любого Ъ, е ф ({1}) спра-
справедливо равенство §™ = 1. Докажите, что если п е N— наи-
наименьшее из таких т, то ф = ц>п или ф = ф-п.
е) РТспользуйте изоморфность групп К+ и К.
ж) Используйте изоморфность групп С н R+X51.
6.1*9. а) См. задачу 5.2.
б) Рассмотрите In <p(х).
в) Рассмотрите ф(ех).
г) Рассмотрите In ф(ех).
д) См. задачу 5.18. а).
с) Используйте изоморфность групп С и R+X51. Докажите,
что если <р: S1 -> R+ — непрерывный гомоморфизм, то ф=1.
Р1спользуйте п. г) и результат задачи 5.18. ж).
Глава IV. РЯДЫ
§ 1. Сходимость
1.1. Найдите число тех номеров гее [1(F; 1OV+1), у которых в
десятичной записи нот цифры 9, и оцените сверху сумму
10JV<n<10JV+1
10JV<n<10JV+1
1.2. а), б) Рассмотрите числители соседних слагаемых и пока-
покажите, что они не могут быть одновременно близкими к нулю,
в) Достаточно доказать, что расходится ряд
У ^ (| sin (и - IJ | + I sin /г2 | + | sin (п + IJ | ).

Для этого покажем, что числитель ограничеп спизу положитель-
положительным числом. Действительно, если это не так, то для сколь угодно
больших номеров ге имеем ге2 = лк + е, (п — IJ = лк' + е',
(ге + 1J = яА:" + 8", где к, к', i'eZ и |е|, |e'|, |e"| < 1/4. По-
Поэтому 2 = (ге — IJ— 2ге2 + (п+1J = л(к'+к" — 2к) + е'+
+ е" — 2е, что невозможно.
1.3. При а ^ 1 рассмотрите суммы стт= 2 ra~acosF In гс), где
iVm = {ге е N | 2лот < 6 In re < 2лт -\- я/4},
и докажите, что ат А 0.
1.4. а) Отдельно рассмотрите случаи />>1и0<р<1.
б) Для изучения сумм 2 (~ ^)Ш ге~Р воспользуйтесь
m2<n<(m+iJ
результатом задачи VI.3.13 при 1/2 < р sg; 1.
в) Используйте соотношение arccos г ~ 1'2A ~ х) при
х -> 1 — 0.
1.5. а) Очевидно, что т(ге) ^ 2уп.
б) Используйте результат задачи 1.2.5. б).
в) Воспользуйтесь равенством ср(/>„) = рп — 1.
г) Докажем более общее утверждение: если ап > 0, ап \ и
2 — = -J- оо, то 7,1 3 = + °°> трр Ап = пап (Ло. = 0).
п ** пп nn—i
Положим
—А '
П П—1
Так как среднее гармоническое не превосходит среднего арифмети-
арифметического, то
hn^h 2
Следовательпо,
! 2ат 1 2m+1
2m<K<2m+l 2 2
Поэтому
(последний ряд расходится по теореме Коши—см. задачу 2.2. а)).

1.6. Пусть
= min V2 — '
meN
1
Так как «н < ^, то надо показать, что
Положим
где Со = 1/4 и Ст | + оо (выбор последовательности {С,} уточпим
позже). Так как с.„ > С0гс~2 (см. задачу 1.3.11. а)), ю N = UiVm.
1 1
Пусть Л'т = {щ; пг\ ...}. Поскольку Cm—i~i^an <-~2п~' то
;«i > 2G,„_1. Используя результат задачи 1.3.11. б), получаем, что
1 V
Следовательно,
neJVm'
<
Ваяв Ст = 2™, получим
1.7. Влгесто двойных рядов удобно рассматривать суыдгы вида
У) I 2 ••• ]• В примерах д) и ж) рассмотрите такую сумму,
распространенную лишь на простые значения т, и воспользуетесь
результатом задачи 1.5. б).
е) Воспользуйтесь неравенством
НОД (от; n) ^ -v I
НОД(т;я)=г ' ft,j>l V ' ' к "
а) Примените равенство НОК(?г; от)НОД(?г, от) = пт и прием,
использованный при решении задачи е).

1
1.8. Каждая дробь г^ (ге=0, 1, 2, ...) встречается в ряде 2" раз
со знак,ом (+) и 2" раз со знаком (—). Искомую перестановку по-
получим, умножив ряд на (—1).
§ 2. Свойства числовых рядов, связанные
с монотонностью
2.1. Если njs,ti А 1, то ряд расходится. Пусть a,,/an+i->l.
Так как arccos х —¦ У2A — х) при x-*-i—0, то данный ряд схо-
сходится одновременно с рядом
повременно с рядом
"n+i
а последний — од-
^=limln ^1.
2.2. а) Используйте неравенства 2та т
б), в) Воспользуйтесь утверждением а).
2.3. Для доказательства соотношения ап = оA/п) воспользуй-
воспользуйтесь результатом задачи 2.2. а).
2.4. Для доказательства соотношения ап — о (I/Inn) восполь-
воспользуйтесь результатами задач 2.2. а) и 2.3.
2.5. Используя результат задачи 2.3, покажите, что
а^ = о[п~х'ра1^~ху Для немонотонной последовательности утверж-
утверждение неверно; контрпримером является последовательность
ап = 1 при гс = 2й, а„ = 0 при п ф 2к.
2.6. а) Пусть O"m = 2 ^пап (СТо==0)- ^а счст изменения
^1 можно считать, что от->0. Пусть е > 0 и |ат| < 8 при т > Af
(Me N). Тогда, положив сг=тах 1ат|, получим
1 1
г+l
M<n<m

Так как am->0, то lim аъ
^ 2s. Отсюда, ввиду про-
извольноцти е > 0, следует требуемое утверждение.
Для немонотонной последовательности {а„} утверждение не-
неверно; соответствующий контрпример легко построить, взяв хп = 1
при »eN
б) Выделим подпоследовательность номеров {пъ) так, что
anh/anh__ *== ^/2, и положим хп= ^/(^апь) ПРИ п = Пк и Жп== 0 при
пфп\. Ясно, что 2Vn —2^/'^):=="t" °°- Пусть иа ^ m <
Тогда
2 т(тГ~*
Чтобы доказать утверждение б) для немонотонной последова-
последовательности {ап}, следует выделить такую подпоследовательность
\av ]»что а = таха-, и повторить для нее приведенное выше
рассуждение.
2.7. Примените преобразование Абеля к ряду 2 ahxh =
sup r. —> 0.
j n-»oo
aft(rft"~rft+i)' где rfe~ S xp ж воспользуйтесь тем, что
—> 0.
2.8. а) ФФ б) Так как
2
то достаточно доказать, что ряды
M 2п2%
сходятся или расходятся одновременно. Применяя к ряду ^д пре-
преобразование Абеля, получаем, что это утверждепие равносильно
соотношению Anq = ° {пп). Из сходимости ряда 2i это соотпо-
пгсние вытекает в силу результата задачи 2.6. а). Если же сходит-
сходится ряд 2ц' т0
2 m~A+P3L g->0,
n/2<m<n m
и поэтому га~рг4и3->0.
Утверждение а) ^=^ в) доказывается аналогично.

2.9. Воспользуйтесь преобразованием Абеля. Ряд 2(| хп |/rel+E)
расходится, например, при хп = (— 1)пУ?г и 0 < е sg: 1/2. Ряд
2 (хп/п) расходится, если х„ = 1/1п A + ге).
2.10. Нетрудно построить такие положительные, но не монотон-
монотонные последовательности {«„} и {$п}, что ^ап == 2 Рп ~ ~^~ °° и
2min(an; Pn)< + оо.Требуемые монотонные ряды получим, если
рассмотрим ряды
а + — 4- + —+ — ' 4-— 4-
(слагаемые вида ~ и — повторяются пъ. раз) при подходящем
выборе последовательности {пь}.
2.11. а) Так как ЛТ~= Л1 ~-~ё— ("V^0)' т0 РЯД расхо-
** п **\ п I
г» г»
О^ . ^ 71 1
дится, если —о—А 1- Если же —s—-»-1, то расходимость сле-
дует из расходимости ряда2 ln {Sn—i/Sn)~ ^'im ^n (
б) Сравните данный ряд с рядом 2 {^ri—i ~ ^nS)-
2.12. в) Воспользуйтесь неравенством апе "^ \ е dt.
г) Рассмотрите контрпример а„ = 2~п'.
2.13. а) Воспользуйтесь неравенством
Внутреннюю сумму оцените с помощью неравенства Гёльдера.
б) Примените утверждение а) к остатку ряда 2 а<кф
2.14. Рассмотрим сначала случай а > 0. Положим ап = а„ — а.
Ясно, что исходный ряд сходится одновременно с рядом
2ап—1 ~ ап
, , , >¦¦ Если аф i, то этот ряд сходится, а если а = 1, то
in ^u -j- ranj
2 a , — a
(см. задачу

2.12. а)). Пусть теперь an\Q. Можно считать, что ап < 1 для всех
п е ЕМ.Из расходимости ряда / — 1 I следует, что расходит-
ся ряд
1
2 {ak-ilah) ~ п
Используя неравенство между средним арифметическим и средним
геометрическим, получаем, что тдяд
У п
расходится.
Если «ге-^+оо, то рассматриваемый ряд может сходиться
(например, ап = пп) и расходиться (например, ап = 2").
2.15. Заметим, что из сходимости каждого из рядов вытекает,
что x/f(x)-^0 при ж^-+оо (для доказательства оцените снизу
суммы
2 ;?
сходится одновременно с рядом
Используя преобразование Абеля и соотношение x/j(x)~+0 при
2^-+°°, получаем, что этот ряд уходится одновременно с рядом
^ 1 + [/(А)] ' т- е- одновременно с рядом ^TW"
2.16. Положим 5„ = о! + .. . + оп, So = 0. Если 2/ (R)< + °°>
оо
то 1 / D) di < + оо. Следовательно,

Если же 2 / (п) = + °° > т0 \ f(t)dt= + oo. Разбивая этот ин-
о
тограл па сумму интегралов по промежуткам [Sn-i; Sn], полу-
получаем, что ряд 2 anf {sn-i) расходится. Поэтому расходится п
РЗД 2 anf {$п) — Для доказательства достаточпо заметить, что
ряд 2an (f (Sn) ~ f (Sn-i)) сходится (это следует из ограничен-
ограниченности последовательности {ап}).
2.17. а) =>¦ б) Если ап > 2 ап Дпя некоторого номера пщ го
°
о
ап < Р = 2 ап- Легко видеть, что суммы всех частич-
пых рядов пе попадают в интервал (а, р).
б) =>¦ а) Зафиксировав число se @; 4], постройте с помощью
индукции такую последовательность номеров v = {rai; re2; ...}, что
пк — minjra sN[n> «ft._1> % + ... -f а„ _ + an < sj. Проверь-
Проверьте, что A (v) = 4-.
2.18. Рассмотрите ряд 2 2^П-
2.19. Возьмем щ наименьшими из возможных, т. е.
Bj=iniii |7i е N ] ап < Ц и wft= min {ns N | re > nft_1, an<l/A} при
к ^s 2. Предположим, что 2 апг,< + °°- ТогДа «пь" ° №№)•
Следовательно, существует такой номер N, что enft<l/(A+l) при
к 5s JV. Тогда в силу определения последовательности {ге^} имеем
rik+i = 1 + rih для всех к ^ N. Поэтому достаточно далекие остатки
рядов 2 ап и 2 ап% совпадают, что несовместимо с усло-
Я й>1
вием задачи.
Для немонотонных последовательностей утверждение неверно.
Следующий пример предложен А. А. Шульманом.
Рассмотрим последовательность {я*}, где жь = ' 1 /?п ТТ» если
2п~[ ^ 7с < 2". Ясно, что а:*->- 0. Кроме того, ряд 2 жй расходится:
2 (А 2
г 2
Рассмотрим теперь такую последовательность номеров {kj}, что
хк. < IIj при / е N. Для произвольного га е N положим

Пусть
т = card Рп, М = max Рп, \1 = 2п — ,
г = min Bft ¦
Тогда
V х
С. другой стороны,
-А 2
i \ 2
поэтому п2 > т/и., и следопательно
|in
Таким образом,
2.20. а) Если an ^ 0, то можно воспользоваться результатом
задачи 2.12,6). В общем случае возьмем две последовательности
ек 4 0 ц ц.л f -|~°° такие, что2еА^й<+ ос- По последовательности
{бь} посмотрим такую последовательность номеров Nu f +oo, чю
2 aj < sft при и > т > Nu. Положим К, = (д^, если
т<}4, it
h < / < Л'к+ь Тогда при Nh < m s? iV^+i имеем:
In и \-1 .
б) Рассмотрите контрпример кп — [ 1 + (— 1) TT^I 'nrt>
- 1)"
e-u^ft~ TT^- ]':<'JI11 же ^-. 1-1 °°, то ряд 2 Vn расходится, таг;
как в противном случае по признаку Дирихле сходился бы ряд

2.21. а) Используя неравенство между средним арифметиче-
арифметическим и средним геометрическим, получаем
¦V, M~N Iх" hi у- ¦ 1» - -' _, >i/(.v_ji,
^ М \1^ tN ) ^ М \1 ' 1Л7
Поэтому 7. й f ^ ~ ДЛЯ Д°статочпо больших М еН,
б) С помощью результата задачи 1.2,8 в) оцените снизу часгич-
V 1 ~-" г»-и
иые оумны ряда 7, "п .11/
§ 3. Различные утверждения о рядах
(-if W
3.1. Например, ап= —-—. Если же а7, > 0, то > I a
п\
2
COS I ТГ ЯП )
2 1'' 1
~т~гг~~^Г-Ддя больших показателей етепе-
B/BН
ни удобно рассматривать ряды вида
3.3. а) Зафиксировав параметр л > 1 (выбор его уточним поз-
позже), разобьем сумму ^(аиI—1'" на две: в первой суммирование рас-
распространено па те номера п, для которых ап ^ Х~", а во второй —
на остальные. Легко видеть, что первая сумма не превосходит
}. 2jan, а вторая — 2^1~?'- Минимизируя величину , ^ +
-\-К^ап 1Ю IiCl'M к > 1, получаем, что ^"nI"7"^!1^'V 21 "«)".
б) Оцепите сверху сумму тех слагаемых, для которых a™ sc: n~3.
3.4. Положим Ьп = аге/1п(]/а„). Тогда In fcM ~ In ап и, следова-
следовательно, ап ~ йц In A/^n). По условию *?Ъп<1^-оо, откуда с по-
.мощью результата задачи 3.3. б) получаем, что 7,177/. inJ-^- -L „n,
и поэто.му 2dTuTi < т °°-
n>l
Обратное утверждение неверно — рассмотрите последователь-
последовательность {ап} такую, что ап — 1/2 при n = 2k и ^an/'].a(i-j- п.) < +оо.

Если же ап \ 0, то из сходимости ряда 2 anfin (^ "г ге) получаем,
что й„/1п A + 'г) = оA/п), откуда следует, что а„/\п (i/an) =
= О(я„/1п га).
3.5. Из результата задачи 2.6. а) следует— (Sj-f.-.r»-,,)-»-
->-0. Остается воспользоваться результатом задачи II.2.4. б).
3.6. б) =*- а) Можно считать, что ап S5 <>¦ Допустив, что
2a?i ~ ~^~ °°' построим такую пооледопательпость {'?*} плотности 0,
что ряд "V я, расходится. Поскольку но крайней море одни пз
рядов ~^а2т п 2 a2m+i расходится, то сущиствует множество
Л^г CZ М плотности 1/2 такое, что 2 ап = Н-°о. Поэтому
2 йя ^ 1 для достаточно большого PjSN. Ана-
логично строятся множество N2 cz Л7! плотности 1/4 и номер
Рг> Р\ такие, что 2 a>i = + °° н 2 «„>1- По
n^N2 "еЛГ2Г|(Р1'Р2]
индукции построим последовательность вложенных множеств {Л*3}
и строго возрастающую последовательность номеров {Р3} таких,
что ттлотпость Nj равна 2~3 и 2j an^ 1. Искомую
neNMpJ-vpj]
последоцатсльность {гц; н2; ¦ • ¦} получим, занумеровав в порядке
возрастания элементы множества Л-- U (Nj (] (Pj—x'Pj])- Плот-
Плотность Q(A) множества Л равна нулю, так как б (А) sg 0(Л7,) = 2"-'
для любого / е N.
3.7. Зафиксировав номер т и положительное число е, проверим,
что |а,„|<Е. Пусть М — такой помер, что S | a»i | < е- По-
?|.>ДГ
СКОЛЬКУ dim + «2Im + Лцт + • ¦¦ = 0 ДЛЯ ЛЮООГО I = 2, 3, . . ., ТО ИЗ
равенства ат + я2т + »зт + . ¦. = 0 следует, что для некоторого
множества N а {М\ -1/+1; ..} справедливо равенство
"т"г 2 "н"=0- Следовательно, | ат | < 2 I an \ < Б-
ne.iV «елг
3.8. Допустим, что 2 I ап | = "Ь °° • Пусть 2 | "
+i
1
^Э= /с (ieN), Положим tn = -j- sign аи, если »л < к sg
Тогда ^,(-^0 гг, очевидно, 2'»вп = "Ь00-
3.9. а) => б). Для доказательства сходимости ряда 1\пап вос-
воспользуйтесь преобразованием Абеля.
б) => а) Допустим, что 2 | ^-n ~ "An+i | = '" °°- Пусть Sn =

2.11. а)). Следовательно, 2 an(^n~~ ^n+i)=: + 00' гДе ап ~
= -х- sign (Xn — Я,п+1). Используя преобразования Абеля, по-
получаем, ЧТО 2 («п - an-i) К = + °° - хотя РЯД 2 (Ягг ~an-l)
СХОДИТСЯ.
3.10. Достаточно рассмотреть случаи ср(+О) = 0. Для оценки
суммы 2 f (е'г) я« разбейте ее на две: 2 п 2 " Псполь-
i«n«JV n>N
зуя преобразование Абеля, покажите, что вторая сумма мала для
всех s > 0, если N достаточно велико.
3.11. В последовательности {1/ге} переставьте члены при
2h~l <c п ^ 2* в порядке возрастания.
3.12. В последовательности {1/«} переставьте члены при
(/.' — 1)! < п ^ А;! в порядке возрастания.
3.13. а) н=*-в) Неравенство А„^Сап = С(Ап— Ап~\) равпо-
сильпо неравенству Ап_^ 1 —^-1 Ап. Аналогично доказывается,
что б) н=*- г).
а) и в) =^ б):
б) и г) =*- а);
Таким образом, первые четыре утвррждешгя равпосилъиьг. Дока-
ап Ап
жем теперь, что а) -=> ж): так как ^ С -: ^giCq', то
"п 1
я ^ 77 Для достаточно большого номера /л Утверждение
n+L v
ж) => а) очевидно, если ап\. Пример последовательности
2, 3, 22, З2, 23, З3, ... показывает, что оно неверро для немонотон-
немонотонных последовательностей.
Осталось доказать, что а) н=*- д) и б -ф=ф- е). Докажем первое
утверждение (второе доказывается аналогично). Достаточно дока-
доказать, что а => д) (обратное утверждение получим, если применим
это утверждение к послодонателыюсти { яп] = {"][])¦ Так как
a) =i- ж), то
3.14. Решение аналогично решению предыдущей задачи.

3.15. а) Положим «и == __ | ап^-п * ~ ^-п и Докажем, что
jj ага^0 для всех iVeN. Так как а„ = И/4„ —
— (п— 1)Ап-\ (очитаем, что Ао = 0), то
а„ = | пр —А А* — Р(п~{)
Из неравенства
^„_,Д. .. ....
Р
(его легко установить, исследуя на минимум функцию <р(ж) =
= il — — | Лр -4-J- жр — Арх при ж ^ 0) следует, что
I PI п Р п
Таким образом,
т. е.
для всех Л*" е N.
б) Р1спольяуя неравенство Гельдера (задача VII.1.29), из нера-
венства а) получаем /, А% sg n А \ ^ "п | \^лп] > от-
откуда следует, что >] Л^ < —5_ V о^ — неравенство Харди —
Ландау.
3.16. Расходимость ряда У,~^ ("i~\~ •¦• 1 ая) следует пз нора-
а + ... +а а
венства — ^ — и расходимости гармонического ряда.
2п,
|/ Oj... a.n заметим, что
/ /
при Р > 1 )/ах . .. an < -i 111 !L_ (см. задачу VII.1.30).

Ш перлвенстпа Хардц Ландау (см задачу Л 15. б)) внтсмгает, что
Устремляя р к бесконечности, получаем неравенство Кярлемана:
3.17. Утверждения а) => б) и б => в) очевидны. Докажем, что
в) =*- а). Допустим противное: существует такая последователь-
последовательность я„->0, что |/(flm)/fln|->¦+°°. Не умаляя общности можно
считать, что 0 < а„ < 1/2«2 и Хп = /(а„)/я„ > ». Рассмотрим ряд,
полученный из ряда 2 а« повтореппеи каждого слагаемого Рл
раз, /'„ = [1/п2а„], Этот ряд сходится: 2 | 2 f!n |=
1
—4j*nPn ^=.Zj(l/«~)- Однако ряд, составленный из значений функ-
функции /, расходится:
V / V f(a
3.18. Докажем сначала, что в некоторой окрестности нуля
функция / нечетна. Допустим противное. Тогда существует такая
последовательность я,,-»-0, что j(an) +/(—ап) = Ли ?= 0. Вольмелг
последовательность |Л;(}С!М такую, что Я„Ал A D. Тогда ряд,
полученный п.ч ряда «i — «i + яг—«2 Н- . •. повторением п-\\ лары
членов Рп раз, сходится. Однако ряд, составленный из значений
функции /. расходится, так как РпАя ¦/>¦ 0.
Ясно, что функция / непрерывна в нуле (см. задач5' 3.17). До-
Докажем, что / непрерывна в некоторой окрестности нуля. Допустим
противное: существует такая последовательность точек разрыва
{а„}, что ап —>-0. Для любого " е Н найдется такое число
е-и -> 0, что
для любого б > 0. Возьмем такие последователыюстн {Ри} С N
л {tn} a 1R, что Р„е„ А 0, |/(а„) - /(/¦„) | > ег, и ^ ^n | an~ f» | <
< + °° ¦ Ряд, получепный из ряда а\ — <i + п-2 — ?а + ¦ . . повторе-
повторением Рп раз пары о л — /„, сходится, а р,нд пз соответствующих зна-
значения функции / расходится, так как
2 (/ Ы -1 (tn))\ - 2 рп (/(«»))-/»
ftP
^Рпвп АО,

Итак, функция / непрерывна и нечетна в некоторой окрестности
нуля.
Докажем теперь, что в некоторой окрестности нуля /(-г -t- h) -j-
;-/(.r — h) = 2/(х). Если это не так. то найдутся последовательно-
последовательности •!"„ —>- 0 н '' и ->- 0, для которых
/(¦<'„ I- /(п) + /(¦гп — /'и) — 2/(.Гц) — Л„ ч- П.
Возьмем такую последовагедьи'Н'ть номеров /'„ [ | гс(. что /VV, /¦»¦
/<- 0. Ряд. полученный ли ряда
U, -| /»,) 4 (-г,- In) -- -Ti- -сi 1- ... 4 (г„ 4 /',.) "I-
I- (-г,. - /'.,) —г„ - г„ | ...
ппвторрннем 1'п pa.; каждой группы слагаемых (.''„ -\-Ь„) |-
4- (J1,, — h,,) -- .т„—.г„, очевидно, сходится. Однако ряд, составлен-
in,[]'i ii:i соответствующих .sna'ieinn'i функции /, расходится, так как
Итак, в некотором промежутке [- б; б] функция / Ш'чегпа. не-
ьрерынна и удовлетворяет равенству
iipn |"J. |/'| ci; б Слсдоватглыю (см. задачу JII.5 2), функнпл /
.iiinei'iHa па [—&', б].
3.10. Очевидно, что если {qn} — требуемая последовательность,
т(> числа гт~ ¦'' ~' 2 lir" ' ('"о ~ "|Г) удовлетворяют пера-
1 <li<m
ненству 0 <(¦„,< 2'"'". Поэтому, подбирая число 7т-и (после того
ьаь числа д\, . . ., qm у;кс найдены), псооходпмо добиваться импод-
пеиия 'iL'pauciiCTjia 0 < г„, — 2"'"~'g,,l+1 < 2~~', т е. ператчк-тла
Ясно, что пыиолнепис итого цералепства для всех '/'е N доста-
достаточно дли соот1гошеннн г„,->-0. т. с ;i:i;i равенства ^ ~\^J1^ '¦ '<-!''-
трудно проверить, что еслп неравенство (*) иьщолнено для неко-
некоторого номера, то оно оудет выполнено и дли предыдущего номера,
а следовательно, н для всех предыдущих по.мсрок.
Т1ос.1едоиателыюст]> {(/»} оудем строить по индукции. При :>том
можно считать, что множество Q у;ке как-то мапумеровапо. Норто-
Нортону можно говорить о первом элементе и любом его непустом под-
подмножество.
13 качестве r/i возьмем первый элемент из (Л удовлетворяю-
удовлетворяющий неравенству (*) при п =0, т. е. 2х ¦— 1< q\ < 2х. Ш усло-
lutii infO = 0, sup Q == 1 следует, что такие элементы существуют.

Допустим, что числа ?ь . • •, In уже построены н неравенство (*)
выполнено при т = 0, ..., п — 1. Пуцгь д — первый элемент в мно-
множестве <?\{<?i; .. .; ?ti}. Если ?е Bп+1гп — 1; 2"+1г„), то положим
qn+1 = q. Неравенство (*) будет выполнено при т = п. Если
q ф. B1г+1г„ — 1; 2"+1г„), то рассмотрим два случая:
а) G 5г2"+1;-„; б) gs?2n+Vn^l.
В случае а) положим М= [\og2(q/r,,)]. Тогда г„2Л/«С g <
< rn2-v+l. В частности, .1/ > п. Подберем числа <7« +1, • • ¦! Чм из
<?\{?ь .• .; <?п} столь малыми, Что
Взяв gM+I = q, подучим, что rM > 2~M~lqu+i и 2м+1гм — 1 <
< 2м + 1гп—1 < ?м+1, т. с. число qn + i удовлетворяет неравенству
(*) при т = М, значит, (*) выполнено при т = 0, 1, ..., М.
В случае б) рассмотрим первый номер М > п, для которого
г„ — B-"-' + ... + 2~м) < (q + 1J-м-'. Такой номер существует,
так как при Ж-*-+оо левая часть стремится к г„ — 2~п = rn-i —
— (qn + lJ~n < 0 (см. неравенство (*) при т = п— 1). Подберем
теперь числа qn+\, ¦ ¦., <1н из <?\{?i; ...; qn} столь близкими к еди-
единице, что
,- —,. („ o-1-i г | ,, о-А1\ ? + *!
Взяв 9з1 + 1 = (?, получим 2м+1гм — 1 < g« + i. По выбору числа М
имеем
Т. 0.
Таким образом, неравенство (*) выполнено при т r= M, а следова-
следовательно, и при m — 0, 1, ..., М-
§ 4. Вычисление сумм рядов
4.1. Воспользуйтесь равенством 3sincp — sin Зф = 4 sin3q>.
4.2. Воспользуйтесь равенством 3 cos ф + cos Зф = 4 cos3 ср.
4.3. Воспользуйтесь равенством
Л/2
Л/2
4.4. Воспользуйтесь равенством I cos2n+11 dt =Bre)!!/Bre +1)!!
о
4.5. Рассмотрите частичные суммы Snm,
4.6. Воспользуйтесь результатом задачи VII. 1.22. в).

4.7. Измените порядок суммирования.
4.8. Покажите) что
2 (-ч-^-ы 2 4-2 4-1-
N N N^N
2 ^
K7K2N Кп < N
н замените суммы на соответствующие асимптотические выраже-
выражения (см. задачи II.2.9 и И.2.13. а)).
4.9. Покажите, что
где
(-1)*
и, преобразовав a» к виду afe = — Л —;-, воспользуйтесь
ft1ift
асимптотикой частичных сумм гармонического ряда.
4.10. Сведите интегрирование в каждом интеграле к промежут-
промежутку [2я; +оо). Чтобы обосновать перемену порядка суммирования
С sia nx ,
и интегрирования, представьте интеграл | dx в виде
2Я
sia nx¦ fix\ qI—\ где 7\tsm. Затем воспользуйтесь pe-
pear \nN j
2Я
зультатами задач 6.16, 6.8. а) и формулой Стирлинга.
4.11. Решение аналогичпо решению предыдущей задачи.
4.12. Обозначим правую часть доказываемого равенства через
In- Достаточно доказать, что /jv_i — -^jv"'—« и In->-0. Для до-
N
касательства первого утверждения воспользуйтесь известным ра-
рая/г
Г 2№,л, я B7V — 1)!!
вепством I cos г at = _— '— и двукратным интогрирова-
о
пием по частям. Для доказательства второго утверждения заме-
заметим, что
- 4 BДГ)И f
я BЛГ-1)!1 U
Следовательно, lim In ^ 2е2. В силу произвольности в > 0 полу-
получаем, что In^-0.

4.13.. а) Пользуясь равенством A — x)~l — 1 + х + х2 +
2 п
при ж = р~5, p2s, ..., докажите, что
б) Решение аналогичпо решению задачи а).
4.14. Воспользуйтесь резупьтатаии задач 4.12 и 4.13. а).
4.15. Представив дробь ln/(i — tn) в виде суммы геометриче-
геометрической прогрессии, докажите тождество
где Ъп = 2j аь (к\п означает, что п делится на /.•).
k\n
§ 5. Функциональные ряды
5.2. Если|Яп|<1, то, взяв х.~т-\-в, т<=1, fl <=
5.3. Так как
A + х) ... A + хп) ~~~ A + х) ... A + ж71) A + х) . .. A + *")'
то частичные суммы ряда равны
Sn(*> = l- IT A+^)~1-
Kh^n
Очевидно, что Sn(x) ->-1 при ге->- оо, если х ^ 1, и sup 5п(г)—11=
= 2~п. Если 0 sC ж < 1, то
5„ (*) —> S (х) = 1 - П (* + в*)'1-
П-*со h>1
Таким образом, sup S (х) = 1. Равномерная сходимость па про-
ж>о
межутке [0; 1] следует из неравенств
A + х) ... A + х2т+1) ^ A + х) ... A + х2т)
J2.rn, J2,m
^ A + г) ... A + хт) < A + хт)т < т{т-\)'
5.4. Сходимость ряда при х > 0 очевидна. Она не равномерная,
так как общий член ряда гг„(ж) пе стремится равномерно к нулю:

un(ijn\) = 1. Для оценки суммы ряда разобьем ее на две суммы:
+ 2 > гДе N e N таково, что N1 sc 1/ж < (N + 1)!
(если ж > 1, то первая сумма равна нулю, а вторая не превосходит
2AМ!) = е-1). Тогда
n>N n>N
Следовательно, 2т^п('г'ж! 1/("!х)) < 7/2.
5.5. Докажите, что lim В (t) = -f- оо и что при t ->-1 — О
верхние (нижние) пределы отношений А AI В (t) и 2 ап^П1^Х1)
n>N
одинаковы при любом N <= N.
5.6. За счет изменения а0 можно считать, что Sn = ао + • • •
... + ап-+ 0. Тогда из равенства ^ апг™ == (^ — 0 2 ^vf1 п°лу-
чаем, что
Подобрав больнгой помер /V, сделаем малым второе слагаемое, а за-
затем за счет выбора t близким к единице сделаем малым первое
слагаемое.
Другое решение можно получить с помощью равопства
V „ *п — м — л "V <? tn — V с /»/ \i t»
2 V ^ Ч Z *г Z^1 / 2 *
и результата предыдущей ;;адачи.
5.7. Сходимость ряда 2 %¦*" ВЬ1Текает из соотношения
а„ = Sn — Sn.-] = О(п). Так как
2 v = A - о 2 *vn = A - оа 2 (sa+¦. ¦+5Я) *п =
то, используя результат задачи 5.5, получаем требуемое.
5.8. Воспользуйтесь равенством
a (t)m а) = 2 (%+¦ ¦ •+««) «7 2 (&0 + • • • + *п
и результатом задачи 5.5,

5.9. Сходимость произведения JJ^ (l f arfi) равносильна
сходимости ряда
2>(i + «n«").
Так как
|ln(l + aBi")| =o(tn),
то этот ряд (а вместе с ним и произведение) оходится для всех
(е (—1; 1). Соотношение A(t)-*A при I -> 1 — 0 равносильно
соотношению
при
С помощью формулы Тейлора оно сводитсн к равенству
ап (*п " О + ° (««) A - *")) = °-
i—о
которое следует из теоремы Абеля (см. задачу 5.6).
Мример a,i = (— 1)пУ2/и + 1/п показывает, что от условия
2а|< + °° отказаться нельзя. Действитольно, в этом случае
f т/Л (f _ о + JL (t"
Г re re
! + ' Г
и, следовательно, л W = ехр > - I +о A) -> 2 при й -^- 1 ¦— 0.
А \« п I
5.10. Покажите, что вместо данного ряда можно рассматривать
знакочередующийся ряд ~^^т{х), где
w\-2a
gin
Для исследования суммы 2 s'n (яж "V ге)
воспользуйтесь
результатом задачи VIi.3.14.
5.11. Для х >- 4 положим iV = [log4 ж]. Тогда
С. другой стороны, взяв хт — nDm + 4m~! + ... + 4 + 1) (m

получпм
. -vi l g.n / l . l
' Г га) — 2d IT I "T 6"
2
Равенство Hni / (z) = О следует из легко проверяемого соот-
соотношения /(я4'") — U(ijm),
5.12. Если /е^Ур,, то /(л/2ЛГ) — O(l//V), п поэтому
t sin —^ = О |_— V Отсюда следует, что 2 иа„ = 0A).
5.13. Воспользуйтесь тем, что коэффициенты полинома Рп удов-
удовлетворяют линейной системе (т + 1)-го порядка, и докажите, что
они выражаются через значения Рп в фиксированных точках
t-k<= [a; Р] (А = 0, 1, ..., т). Выведите отсюда, что коэффициен-
коэффициенты полиномов Рп сходятся.
5.14. Докажите, что ряд 2j fn равномерно сходится на лю-
любом промежутке [a; (J] с: (а; Ь) (теорема Дини).
§ 6. Тригонометрические ряды
6.1. Постройте подпоследовательность номеров {пи} и последо-
последовательность вложенныхпромежутков, на которых cos(^nA:c"b4)nft)^
_1_
6.2. Представьте ап cos пх +, Ъп sin пх в виде рп cos (пх + ф„) и,
допустив, что pn A 0, воспользуйтесь результатом предыдущей за-
задачи.
6.3. Сравните с задачей 11.1.10. а),
6.4. Проинтегрируйте частичные суммы ряда по промежутку
[а; Р] и покажите, что при некотором ^ > 0
ь
I I an cos пх + Ъп sin nx\dx~^y у а^-\- b?.
а
/ 1 1
6.6. Воспользуйтесь ограниченностью функции I sjn^ ~~' "
на промежутке @; л/2] и результатом задачи VI.l;10. а), в).
6.7. Сравните суммы
2 и~1/2 exp (inn (х — In ПА]))
1 ^Л
о^ (#) = ,—. \ exp (tnn (д; — In к)).

Покажите, что ak (.г) ¦/>- 0, если последовательность {к,} такова,
что In Л-,- < х + 2roj < in A + /v3) G«j?=Z) для всех |eN.
¦w—i 1
6.8. Найдите сумму ряда J^~z" Для z *= ^' lzl < u> u B0C"
пользуйтесь теоремой Абеля (см. задачу 5.6).
1 1/1 1\
6.9. С помощью равенства т~1 7 ~ ~|Г [ <)п | — 2;г i -[ I зада-
ча сводится к предыдущей.
6.10—6.12. Применив преобразование Абеля, попользуйте ре-
результат задачи 6.5.
6.13ч Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи и ра-
равенством
[ 0 при т Ф п,
sm nx sin mx dx = I
я/2 прп т — п.
и
6.14. Для доказательства соотношения Хп = оA/?г) рассмотрите
сумму 2 Xhsinkx при х = я/Bга). Если Я,п = оA/п), то
для равномерной оценки остатка разбейте его на две суммы, первая
из которых содержит слагаемые с «малыми» номерами (не прево-
превосходящими я/Bж)"). Оценивая ее, воспользуйтесь неравенством
|sin г| ?^ \t\. Для оценки второй суммы используйте преобразова-
преобразование Абеля и результат задачи 6.5.
С. 15. Решение аналогично решению предыдущей задачи.
С.16. Можно считать, что fa; b] a [0; я] (в противном случае
разобьем промежуток [а; Ь] иа несколько промежутков). Если
'( > 0, то можно воспользоваться результатом задачи С. 10. Если
а = 0, то, пользуясь результатом задач 6.10 и 6.5, оцените интегра-
интегралы от остатка ряда но промежуткам [0; е] и [е; Ь] при малом
е > 0.
6,17. С помощью преобразования Абеля и результатов задач 6.6
и 2.4 покажите, что при некотором С > 0 справедливы неравенства
JI
2
Яп cos «г
для всех N<=N. Пользуясь резуль-
результатом задачи 6.10, убедитесь в том, что интегралы I \f(x)\dx
г
ограничены равномерно но г <= @; я).
6.18. Доказательство абсолютной интегрируемости функции g
я
аналогично решению предыдущей задачи. Если J I 8 (х) \йх<Л~°°>
о
то проинтегрируйте почленно ряд (см. задачу 6,16)

2 g (x) ~sin nx по промежутку [О; л] и воспользуйтесь резуль-
результатом задачи 6.13.
6Л9. Повторяя решение задачи 6.17, докажите, что при М ^ Л"
V
I '+' V I
t л-.
о
где рл--*-0. В силу равномерной сходимости ряда 2 п Cos nx
па промежутке [е; п] (см. задачу 6.10) отсюда вытекает, что
cos nx
и, следовательно,
6.20 а) Рассуждая от пропитого, |)ассмютрите точку .то е
@; л), в которой сумма Л'„ (г)= ^ -—тт^ имеет пспо-
ложительнып кпнимум. Пользуясь необходимым условием экстре-
экстремума \Sn (хЛ = О), убедитесь, что sin пх0 ^ 0, и, следовательно,
сумма >Ьгп-1 также принимает неположительные значения. Продол-
Продолжение этого рассуждения приводит к противоречию с тем, что
Si(x) = sin ж > 0 на @; л).
б) Докажите, что локальные минимумы функции
2_ cos кх па промежутке Г0; п] образуют возрастающую
к
последовательность.
6.21. а) Используйте преобразование Абеля и результат задачи
6.20. а).
б) Положим Dn(x) =-?"+ cos х + ,. . + cos nx = 2 sin (г/2)
(D0 = l/2), Тогда
/ W = -у" + 2 ^н (Аг (^) - ^п-1 (*)) = 2 (Х« ~ %п+1) Dn (*)¦
Поскольку

то с помощью преобразования Абеля получаем
Заметим, что
я
о о
Поэтому (см. задачи 6.10 и 5.14)
л
f{x)dx = JL
я
= ~2~ V
6.22. Докажите, что локальные максимумы функции Sn на
промежутке [0; я] образуют убывающую последовательность.
6.23. Воспользуйтесь тем, что
-я
—я
6.24. При изучении величины \f(x) — f(y)\ представьте раз-
разность х—у (считая х > у) в виде х—*у = 2п 2 8ft4~~ , где
6а е= {0; 1; 2; 3} и ер =/= 0. Разбейте ряд
й iZjf) sin
на две суммы: 2 и 2' каждую из которых оцените
KWp n>p
отдельно. Чтобы доказать, что / ф. Lipa при а > 1/2, оцените снизу
разность /@) — f(x) при х = 2зт/4т (т <= Щ или воспользуйтесь
результатом предыдущей задачи.
6.25. Решение аналогично решению предыдущей задачи.
6.26. Используйте тот же прием, что и при решении задачи 6.24,
т
Функция / не входит в класс Lipb так как / (х) > -у х при х =
= лЪ~т~1 (т е= N).
6.27. а) Оцените снизу f(x) при х = 1/m! (me N).

б) Для произвольной точки ieK рассмотрите содержащие
ее промежутки [ап; f>,J (я ^ га0), где а„ = рп/п\, $п = {рп + sn)/«!,
pn=[;m!], sn<= N, sn ^ га/2. Для оценки величины
1/(Р«) —/(ап) I снизу используйте неравенство
sm(jrt!_n.)cos(Ji*!(an + pn))
SID
— 2
Покажите, что sn можпо выбрать так, что
Убедитесь, что в этом случае
о SJL Bрп + sn)
со S
6.28. б) =*> в) Воспользуйтесь тем, что при TV > iV0 разность
SN (x) — SN (х) имеет период л/2 ° и поэтому
max I SN (x) — 5jy (ж) I = maxl 5„ (х)
если номер No достаточно велик.
в) =>- а) Запишем сумму «Szjv в виде
BП*+Фп),
где сп = у а% + b%, ср„ е [—я; я] при я = О, 1, ..., 2N, и рас-
рассмотрим неотрицательный тригонометрический многочлен
RN(x)= JJ (l + cosB2n^+ ф2п)) (произведение Ф. Рисса).
Легко видеть, что Rn имеет вид
RN (х) = 1 + 2 cos B2Пж + ф2„) + 2 ah cos (*'г "^ ^ft)'
где ai = «2 = а4 = ... = <z2h— ... = 0.
Пользуясь равенствами
я
( cos (mi 4- ф) c°s (kx 4- 'ф) йж = 0; т,ке2, \т\Ф\к\
(ортогональность тригонометрической системы), получаем
¦ 2JV И RN (x) ах —
Z

Положим
тгому
= sup SM{x). По условию S<+oo, По-
(sRMeN '
(.г)
Таким образом, 2 (| a2n | -f | 62n|) <= 2'^.V. Сумма
2j (I "'2I + 11 '^~ | ^2n+i |) оценивается аналогично, только вместо
многочлена Rx(x) рассматрипается проиаводсиис
7iN (.r) =--- П С1 Ьros B2u+1-r -I- (''г»и))-
В маключеппс отметим, что irpn доказательстве утверждения
в) =*- а) попользовалась лишь ограниченность сумм ^л-(-т) сверху.
Поэтому ряд ^1 ( | "п | "f | ''„|) сходится, если суммы S:y(x) рав-
равномерно ограничены сверху на кчком-то промежутке [я; /)], а-,; !>.
6.29. Проведите доказательство но индукции
6.30. Утверждение очевидно при iV = 0, 1. Допустим, что нера-
неравенства верны для N < 2т при некотором "is N, п убедимся в
том, что они верны и при 2'" sg AT < 2m + 1. Заметим прежде всего,
что ЯЛ.(Р„) = Р„ и Rx(Qn) = Qn при га ^ m, и в jtom случае; спра-
справедливость доказываемых неравенств следует пз результата задачи
П.29. ti). Проверьте, что при in + 2 г^ п
Поэтому достаточно оценить Rx(Pm+i) и Rn-(Qm+i). Ясно, что
nN (Рп + 1) (г) =-" Рт М п- ?ППЫ (Qm) (:), ¦
где М = Л* — 2™. Если М <с 2m~' s;; Л72, то, используя индукционное
предположение, мы получаем, что
н поэтому
1'Jf sr 1О1'Л72,
\P.n(z) i 4- iOlTV/2 < l^-f 10l'lV/2
Если же :1Г> 2m-', то

где L = М — 2'" -' ^ 2'" -'. Поэтому
N (рт+г) W | < | Рт (*) | + | ЛД1 (
< 2(т+1)/2 + 2т/2 + 10 УГ < У2Л' + У Л" + 10 |/А < 10 У А'.
Полином Jix(Qm+i) оценивается аналогично.
0.31. Рассмотрите последовательность {Sk}hjso, члены которой
при к < 2" совпадают с коэффициентами полинома Рп из задачи
0.29. Для доказательства неравенства а) воспользуйтесь результа-
результатом задачи 6.30. Для доказательства неравенства б) используйте
соотношения
2Я 2Я
2я (т + 1) = I | Sm F) I2 dQ < max I 5m (8) | f | Sm (8) I d6.
6.32. Рассмотрите ряд ^ —=—;—el , где последователь-
^ У* ]n" к
ность {6^} определена в указании к задаче 6.31. Для доказатель-
доказательства равномерной сходимости ряда воспользуйтесь преобразованием
Абеля,
6.33. а), б) Используйте преобразование Абеля.
в) Пусть /@) = SK(Q) +Ял-(Э), где 5л-(9)—Л'-я частичная
сумма ряди, определяющего функцию /. Тогда
1/@)-/@')| < |5п@)-5„(9')| + |Яд-@)| + |/*.v@')|.
В:!ян Л'= fl/|0— 0'|], оцените остатки Их с ном^ощыо утвержде-
утверждения и) Для оценки разности 5.\-F) —SK(Q') воспользуйтесь нера-
неравенством
| ,?Л, F) - SN (В') | < | 9 - 6' | max | S'N (x)
н утверждением а).
6.34. Используйте результаты задач 0.31 п 6.33. в) при а= 1/2.
Глава V. ИНТЕГРАЛ
§ 1. Несобственные интегралы от функций
одной переменной
1.1. Рассмотрите интегралы по промежуткам [1,-п; (к + 1)л].
1.2. Для оценки интегралов по промежуткам [кл; (к + 1)я]
2
воспользуйтесь неравенствами ~ х < sin х <х При же@;зт/2).
1.3.—1.7. Решения этих задач аналогично решению задачи 1.2.

1.8. Используйте результат аадачп VI.2.У.
1.9. Интегрируя по «тетям
А А
— 1
А
= о A) + 6 I _ sin (х3 — х) dx,
J (З.г--1)д
сводим исходный интеграл к абсолютно сходящемуся интегралу.
1.10.—1.11. Решения этих задач аналогично решению зада-
задачи 1.9.
1.12. а) Рассмотрите функцию f(x) = га, если ie [n; п + п~3]
(гае N), f(x) = 0 в противном случае.
б) Рассмотрите функцию f(x) = z2 sin (хр), где р > 3.
1.13. При исследовании сходимости интеграла на бесконечности
с помощью результата задачи 1.16 и интегрирования по частям по-
покажите, что / {х) ~ ttj при х ->• +оо.
1.14. а) Найдите предел интеграла
+ оо ЕЬ
(а.г) / ^ .с) ^ __ i / ( ) ^1 ПрИ g _^ _|_ q
е Еа
Г
б) Если I / (t) dt ~ 0, то см, задачу а). В противном случае
и
Т
рассмотрите фупкцшо j (х) = / (г) — — \ / (?) dt.
о
в) Найдите предел интеграла
а еь аь
J х J * J *
Е Еа Аа
при Л ->- + со, ё ->¦ 0.
1.15. а) Из второй теоремы о среднем значении следует, что
для любых чисел А и В, 0 < А < В, найдется такое число
Се [А; В], что
В
А
X/ (x) dx = е~Аг f / (ж) As,

Так как интеграл \ / (.г) dx сходится, то все интегралы вида
о
с
/ (х) dx малы, если А достаточно велико. Поэтому малы ипте-
А
в
С dx
тралы \f(x)~E^> а это равносильно сходимости интеграла
E
А
¦i-oo
I
dx
e
0
Заметим, что если функция / непрерывна на [0; +°°), то дока-
доказываемое утверждение легко получить интегрированием, по частям:
А А
e~Exf (x) dx = e~eAF {A) + е (' e~EXF (x) dx
п о
(здесь F(x)= ^ f(t)dt\.
\ о
б) Представим разность интегралов в виде
-ft» +00
f f(x)dx- j" е~гх1 (x) dx =
о о
А +"° +оо
= j" A - е-8*) / (.г) dx f f / (.г) rfa: - j" e~Rxf (r) dx.
О А А
При больших Л послодпие для интеграла малы для всех s О О
(оценка третьего интеграла следует нз второй теоремы о среднем
значении). Устремляя 8 к нулю при фиксированном А, делаем ма-
малым первый интеграл.
1.16. С помощью интегрирования по частям вычислите сумму
интегралов по промежуткам [0; а] и [1/а; +оо) при а <= @; 1).
Я/2 Я/2
1.17. Так как /= ]л (sin x) dx = 1 In (cos x) dx, то
о о
л/2 Л Я/2
2/= Г In *22?Ld*= If In JE5ld<= fin 1*1 Л=
о
= /_ JLln2.

1.18. Разложив A — х)'1 в ряд, почленно проинтегрируйте его
и воспользуйтесь результатом задачи IV.4.12. Чтобы обосновать
почленное интегрирование сулмы ряда, покажите, что
1 1
lim Г /'У хп In Л dx = lim [±Ых dx = Q.
N^ + ooJ ^> I JV-.+ooJ 1 — X
о \п^л ! о
Для доказательства последнего равенства воспользуйтесь оценкой
1 1/2 X
1^1
О 0 1/2 -1/2 J
2
1.19. В предыдущеи задаче сделайте замену переменной х >-* х .
1.20. Дважды интегрируя по частям, получаем
л 2 j (*
J ch2x J
о о
, \ хе i dx т 1 i /j i —2х\ j i In t j,
= 4 \ =2 1 In A + e :i ) dx = \ dr.,
J 1 J e~2x J J t - 1
0 0 0
Остается воспользоваться результатом задачи 1.18.
1.21. Продифференцируйте интеграл по параметру а.
1.22. Используйте результаты задач 1 21 и 1.15. б).
1.23. Интегрированием по частям сведите задачу к преды-
предыдущей,
1.24. Введя под интегралом множитель с~сх и вычислив полу-
получившийся интеграл с помощью дифференцирования по парамет-
параметру е, воспользуйтесь результатом задачи 1.15. б).
1.25. С помощью интегрирования по частям получаем, что
+ ОО
С
(eiax - l) (eib* ~ 1)
dx —
х
Jbx\
—оо
— (i (a -j- b) ci(a+b^ — iaeiax - ibelbx) dx -=
г dr
— \ (a sin ax -f- b sin bx — (a ^- b) sin (a -|- 6) .r) — =
:,, ( | п | + | ь | -| a !- Л | )
Остается воспользоваться результатом задачи 1.22.

/ x Y"
1.26, 1.27. Замените е~х иа I 1 — ~^~ I и
воспользуйтесь нсранеп-
ством задачи 1.2.16. а).
1.28. С помощью результата задачи 1.24 исходный интеграл
1 +сх>
Г 1 — е~х Г е~х
сводите к разности I dx — j dx. Воспользуйтесь нн-
J х J х
О 1
тегрнровапиел! но частям и интегралом из задачи 1.26.
1.29. Сведите задачу к предыдущей.
1
1.30. Сведите данный интеграл к разности I dx —
J х
и
— \ —. dx и воспользуйтесь результатом задачи 1.2В.
i
1.31. С помощью интегрирования до частям, п замены пере-
переменной сведите данный интеграл к интегралу Фруллани (см, за-
задачу 1,14).
1.32. Рассмотрите интеграл по цромежутку [А; +°°) (Д > 0) и
докажите, что он равен I —ln(l--|-e x)dx, Воспользовавшись pa-
д
венствоы
in A + е-*) = In A — e~2x) — In A — е-*),
сведите последний интеграл к интегралу
2Д
JLln(l- Г"*)**
J.
Д
и покажите, что с точностью до бесконечно малой при Д ->¦ 0 он
2Л
равен интегралу I dx.
J х
д
1.34. При /.: = 1, 3, 5 сведите данный интеграл к интегралу
Эйлера — Пуассона. При к — 4 используйте результат задачи 1.14.
1.35. Интегрируя по частям в неопределенном интеграле, полу-
получаем

Следовательно,
+00 +00
1.36. Обозначим искомый интеграл через I(а). Продифференци-
Продифференцировав по а при а > О и сделав замену переменной х^а/х, получим,
что i"(a) =--21 (а), ц, следовательно, /(а) =^С'е"-'а. Осталось вос-
воспользоваться интегралом Эйлера — Пуассона: С = 1@) = Ул/2.
1.37. а) В силу результата задачи 1.15.6)
Г
J
где
+ ОО
/(е)= J B™±e-**dx.
о
Для вычисления интеграла /(е) при в > 0 воспользуемся равев-
ством
Ух Т/я J
У1 о
(см. задачу 1,33):
/(в)
= Jl.^ Г е^8х sin а; ( Г е-*»2 dy ) dx =
О Х О '
+ оо /+оо \ +оо
- 2 Г Г Bin я fe |rf 2 Г ^
Т/я J I J е(в+Л> T/S J l+(e-f/J
о ч о
Поэтому
+оо -f-co
T/J b-+o Т/я J 1+j/4 I 2
о о
б) Решение аналогично решению задачи а).
1.38. Вычислив интегралы по промежуткам [pk', Ph+\] (где
Р\ = 2, />2 = 3, ... — простые чиЛпа, занумерованные в порядке

возрастания), убедитесь в том, что
+ ОО
Г
2
и воспользуйтесь результатом задачи IV.4.14. а).
§ 2. Вычисление кратных интегралов
2.1. Представьте данный интеграл в виде
dy dx.
\J \ Vj
о
Во внутреннем интеграле сделайте замену переменной у = tx
((е @; 1)) и измените порядок интегрирования.
2.2. Пользуясь симметричностью областей интегрирования и
подынтегральных функций относительно произвольных перестано-
перестановок переменных, убедитесь в справедливости равенств
а)
to;un
= п\ I x1dxl
оо о
б) \ min (х^, ... ;хп} dxx ... dxn —
[oil]™
1 Ж1 ХП— 1
= п\ J dxx j dx2 ... j xn dxn;
0 0 0
С dx ...dxn
в) J — x 'x(;g r—yy, =
[1H
f ^ (Л Г dxn
2.3. Воспользуйтесь интегралом Эйлера — Пуассона (см, зада-
задачу 1.33).
ах -\- by
2.4. а) Считая, что а2 + Ь2 > 0, положим и = -шГ— гг ' у ==
|/ а" + Ь"
= еж + dy, где end выбраны так, чтобы преобразование (х; у) -*-

— (и, v) было ортогональным. Тогда х2 -\- у2 = и2 + v2, и. следова-
следовательно.
f f| ах + by | e-(^
J J
2
-f CO
б) Перегадите к новой системе координат, одна из осей которой
направлена вдоль вектора а,
2,5. Пусть IHI =г а. Не умаляя общности, можно считать, что
х = @; 0; а). Переходя к сферическим координатам, получаем
sin 6 i
-ei и и о ' r--2arcos6-
l l
= ±1 \rV r ~ 2ar cos 6 + a" lo=c\ dr = ±ii r (r+a-|t—a| ) dr.
a J a J
о о
Мы предоставляем читателю довести вычисления до конца.
2.6. Ясно, что
\ j Г I exi+yi'~uC~vidxdy du dv =
= II е**+У* ( jj e-^+^dudv'Xdxdy.
Для вычисления двойных интегралов используйте полярные коор-
координаты.
2.7. Выбирая в К4 ортогональный базио так, чтобы в нем
матрица А имела диагональный вид, с помощью соответствующего
ортогонального преобразования переменных получаем
J •»•¦¦"•= ПИ
{АХ,х)<1
где %н (/¦¦ = 1, 2, 3, 4) — собственные числа матрицы Л. Сделав за-
замену переменных iik = }'А;Л, мы пидим, что

Остается заметить, что ?ч?»з^-зЯ-4 = det Л, а интеграл вычисляется
с помощью полярных координат (см. задачу 2.6),
2.8. Пусть t= (?i; f2; h; tt). Очевидно, что
Положим s = (t2; t3: 1ц), у = (z2; ж3; л:4). Тогда внутренний пнте-
грал в (*) можно записать следующим образом: \ e~~^v's> dy =
I
= /(«). С помощью ортогонального преобразования переменных
задачу можно свести к случаю, когда вектор s имеет вид (а; 0; 0),
а = \\s\\, и, таким образом,
Вычисляя последний интеграл, мы видим, что он равен
—т-' cli (ягЛ — -7Т- sh (aj;Л.
a v " а у J/
После noflqiaHOBKii этого результата в («¦) K{t) принимает вид
а"
о
Этот интеграл конечен тогда и только тогда, когда л < t\, т. е. (по-
(поскольку а = || s ll=]/^2 + *| + *l) при « е= Int Л. Мы предоставляем
читателю провести вычисление последнего интеграла.
2.2. Убедитесь в том, «гто
ъ ь
М --= L__ \Ux~y\dxdy п Р= S{E\,
(b — af J J F — я)"
где ?={(.г; у) |ж, у е= [а; Ъ], \х - у\ > (Ъ - а)/Щ, S(E) -пло-
-площадь Я.
2.10. Пусть для определенности х igZ у ^.z. Эти числа являются
сторопами некоторого треугольника, если и только если z ^ х + У-
Следовательно, чтобы найти искомую вероятность, нужно вычис-
вычислить объем пирамиды {(х; у; z)\O^x^y^.z^a1z^x + y}.

2.11. а) Вещественность корней определяется знаком дискри-
дискриминанта, равного в2— iv. При а > 4 рассмотрим на плоскости в, v
квадрат [—о; а] X [—я; а] и параболу г> = в2/4 (рис. 13). Пусть
S — множество точек квадрата, ле-
лежащих выше параболы. Уравне-
Уравнение z2 + uz + v == 0 имеет вещест-
вещественные корни тогда и только тог-
тогда, когда (в; v) ф S. Поэтому всег-
всегда Pi (a) > 1/2. Так как площадь
множества S равна "о" а , то
1
Рис. 13
б) Биквадратное уравнение
имеет как вещественные, так и
комплексные корни в том ж толь-
только том случае, когда v < 0. Поэто-
Поэтому соответствующая вероятность равна 1/2.
2.12. Убедитесь в том, что
5=1 Г Г f Г Г Л ((я - м)Ч @ - "J) <*" <*Л d* <&•
11 2 2 \ 8 /
2.13. Убедитесь в том, что
2Л 2Я
\ В
о о
•O-^-Л
— 1
б) а =.
где ? = {(ф; г))) |0 < г|) <ф г^ 2л, ф—
2.14. Легко видеть, что
; г/) =
где я = }'х2 + у2 и
/(а)= jj ((«-^Ч^2
g (а) = \ ^ In ((м — аJ + у2)
n n
Докажем, что / е С'([0; + °°)) и /'@) = 0, отсюда, очевидно,

следует гладкость функции Ф. Покажем, что
/»= J [ {{(u-aJ~\-v2)-^)'adudv. (**)
U2+V2<1
При а > 1 это равенство легко установить, рассматривая отношение
~Ц U (а "т~''-)—f {"¦))¦ Для обоснования предельного перехода при
/г-vO под знаком интеграла достаточно воспользоваться формулой
копочпых приращений и неравенством (в — аJ -\- v2 ^ (а — IJ > 0.
Пусть теперь as [0; 1). Заметим, что функция, стоящая под
знаком двойного интеграла в равенство (**), абсолютно интегри-
интегрируема па круге {(и; v)\u2 + v2 sg 1}:
ff \(...)'\dudv = \p\ ff
JJ
Рассмотрим множество ? = {(и; t>) |в2 + t>2 ^ 1, ]u| ^ 1, |y| ^ 1}
и представим функцию / в виде
1 1
f ((ц - aJ + у2)-Р/г Jm йу—
_ J j ((в - af + У2)-Р/а da Л = f1 (a) - f2 (a).
E
Так как при a s [0; 1) на множестве Е справедливо неравенство
(и—аJ+ v2^ (a— 1J> 0, то
Поскольку
1-о 1
-l-o-l
то |,бС'(|[0; +оо)) и
1 1
-1 -1

1 1
= - j J (((u-
Из полученных представлений для f[ (а) п /^ (а) следует равен-
равенство (* *).
Таким образом, для всех а !> О, а ф 1, имеем
/' (а) =
u=-Vl—v
ill»
= — 1 ((cos ф — aJ + sin2 ф)3'2 cos ф dq>.
—я
Отсюда следует, что функция /' непрерывна на множестве [0; 1) (J
U (I; + оо) и имеет конечный предел при а-> 1. Так как функция /,
очевидно, непрерывна на [0; + °°), то /еС'([0; +°°))- Ясно, что
/'@)=0.
Аналогично доказывается гладкость функции S ж равенство
п
g' (а) = — 1 cos ф In (l — 2a cos ф -f- <^) dtp. Поэтому
J
—я
Л /Я/2 Л \
sm ф йф , [ 1 , I I
- 2a cos +J = 1 J J / =
Я/2
g^ ( + l|)
H-a) -Vcos2cp «
= 2я min (a; a).
Поскольку
1
g@)= \ f 1п(м2 + у2)Л<,^=2л f rlnr2dr = — л,
U2+D2<1 О
то g(a) = я (а2 — 1) при а е [0; 1] п g(a) = 2л In а при а > 1.

2.13. Воспользуйтесь методом математической тгадугадии.
Г dx
2.16. Пусть /„ (а) = — р. Ясно, что
J а- + х + • • • + ха
Ш1п
f
dx
С другой стороны,
1
1
с
J п~1
о
Поэтому
1
о
По индукции получаем, что
Н&) /п\ — Л Т ln\ Ik — 19 п \\
71 * ' h 71 k \ / * l,^j...,'b 1J.
В частности,
4Г' (п) = А»-!7! (й) = ДП-1 AП (п + 1) - 1П й) = К AП й).
т. е.
Таким образом, требуемое равенство доказано при т — п. Докажем
его для 1 ^ иг < я индукцией от т +, 1 к та. Равенство A) оеггь
база индукции. Допустим, что т < и и
J (в + *х + ... + ^)"т"х d* =
Р1'нтегрируя это равенство по промежутку [а; ?1]

получаем
/ p \
= i tl Д \a y In a da .
то!(п-т—1)! nU I
B)
Заметим, что
P
an—rn „n—m
_ an
и, кроме того, An(^"-m — an~m) =0, поскольку Д„(р(я)) = 0, если
степень полинома р меньше п. Поэтому Из B) следует, что
J ((a + x1+...+xn)-m-($+x1+... + xn)~m)dx =
[o;i]n
"An(p"-mln|3-an-mlna). C)
(т — 1)!(ге —m)!
Так как
Д„(РЧпр)|-»-0 при р-^.+°°, если к < п, D)
то, переходя к проделу в равенстве C) при E ->¦ + оо, получаем
требуемый результат.
Соотношение D) следует из равенств
Дп/(*) =/(п)(* + 6„ге), где 0<Gn<l,
(*ft In *)<»> =
прп n
2.17. а) В интеграле ] / (а„ + (^ - aQ) ^ + ... +(а„- ао)^„)
Qn
X cf^ ... dxn
сделайте замену переменных у\ = 1 — жь уг =
= аго/j/i, . •., i/n = жп/у1- Воспользуйтесь индукцией.
б) Оба интеграла (интегралы Фсйнмана, см. [31], с. 77) могут
быть вычислены с помощью индукции.
2.28. а) Считая, что ah Ф 0, сделайте замену переменных
х = и, ах + by = cv: где с = \а\ + \Ъ\. Это приводит к равенству
I

Убедитесь в том, что впутреннпи иптеграл равен
A + »»)
б) Опираясь на п. а) для обоснования индукционного перехода,
докажите с помощью индукции, что
1
c +
dx1 ... dxn
При с = 0 это приводит к равенству
1
x1... dxn
t\pdt
Последний иптеграл выражается через Г-функцию Эйлера:
Л/2
/
J 1 + f2 J
JT/2
cos' ф sinp ф йф =
1
= COS-P-1 ф Sin"-1 ф d Sin2 ф = S(P-1)/2 A - s)-(P + D/2 ds =
о о
__JP + 1 l-p\
я
COS IT p
2.19. Представьте иптеграл в виде суммы интегралов по квад-
квадратам
к~1. &1чЛ/ —1. /I И <^~ к, } ^.п).
Чтобы вычислить эти интегралы с точностью до о(ге~4), замените
функцию / ее многочленом Тейлора второй степени, построенным
для точки
к —1/2. / — 1/2

Глава VI. АСИМПТОТИКА
§ 1. Асимптотика интегралов
1.2. а) Воспользуйтесь соотношением 1 — ха ~ аA — х) при
б) Сравните интеграл Ж{1) с интегралом
их
о ,
1/2 A - *) A - te) A + I)
в) Сравните интеграл 3?(t) с интегралом, получающимся из
него заменой cos х па 1 ¦— х2[2.
1.3. а) Воспользуйтесь соотпошепием
J 1 1_ (_i
In a; In Л + О A) In 4 "•" \дп2
б), в) Используйте результат задачи 1.1. а),
г), д) Проинтегрируйте но частям и воспользуйтесь результа-
результатом задачи 1.1. г).
1.4. а) Сделайте замену переменной у = xv[A.
б) После замены переменной у = Ах2 проинтегрируйте по
частям.
в) В показателе экспоненты выделите полный квадрат.
+ 0О
г) Представьте интеграл в виде А Ыр А
J
2/А
^—-г) Т
in AI et
и Д°"
кажите, что
]RljE= \ f^ -|-ОA),
2/А в 2/Ав
Для этого при р > 0 воспользуйтесь соотношением
| A + z)P— 1| = 0(|z| + \z\p) (z > —1). При р < 0 проверьте, что
i/Va
2/А
и оцените интеграл
-1
— воспользовавшись
е '
In A
i/Va
тем, что [ (z + 1)р — 1| = 0(z) (z > —1/2).
1.6. а), б) С помощью интегрирования по частям докажите ог-
cos 2x
раниченность интеграла
х1+Е
о-х при е ^ 0.

в) Для оцепкп интеграла по промежутку [я/2; + °°) дважды
проинтегрируйте по частям.
+ ОО
г) Представив интеграл в виде б A + е) \ _ dx, дока-
J х 'ъ
о
жите, что можно перейти к пределу под знаком интеграла. Восполь-
Воспользуйтесь равенством (см. задачу V.1.22)
-f оо -f оо
x
о
1.7. а) После замепы переменной у = xv решение аналогично
решению задачи 1.6. г).
б) С помощью замены переменной у = xv и интегрирования по
частям докажите, что интеграл по промежутку [1; +°°) бесконеч-
бесконечно мал.
t
1.8. Пользуясь ограниченностью интегралов \ (ф (") — Сф) du,
Г Ф (*) - Сф
покажите, что при е ^ 0 ограничепы интегралы 1 ^~+s ^'
1.9. а) Воспользуйтесь ограниченностью функции х~2 — sin~2 x
на промежутке @; я/2).
б) Сделайте замену переменной у = Ах и воспользуйтесь ре-
Jn cos у ,
-. /-" "У
А
проинтегрируйте ого по частям.
Я/2 , Я/2
Г cos" ж йж С sin ж Ас
Пусть 1(А)= — г— и /D)= — g—. Яс-
J 1 -|- cos Ax J I 4- cos Лж
НО, ЧТО
Я/2
J
АЛ/2 я/2
1 Г dx ('
1 + COS2 я: А +оо J I + COS2* Zl/l'
О О
Докажите, что I (А) — J (А) * 0. См. также задачу 1.14.

г) Воспользуйтесь соотношением х~*—sin~4 х = О(х~2) и ре-
результатом задачи а).
1.10. Представьте интеграл в виде суммы интегралов по про-
промежуткам '[пп; я(ге+1)] (п е N) и оцените каждый из них
сверху и снизу. См. также задачу 1.13.
1.11. Воспользуцтесь соотношением
а+Г
/ @ Ф @ dt
а+Т
J" (/ («) - / («)) Ф (*) dt < (/ (а) _ / (а + Г)) J | Ф (i) | dt.
1.12. Воспользуцтесь результатом предыдущей задачи.
1.13. Решение аналогично решению задачи UO.
1.14. Можно считать, что Сф = 0 (иначе следует рассмотреть
функцию ф = ф — Сф). Представив данный интеграл в виде суммы
интегралов по промежуткам длиной Т/А, воспользуйтесь соотноше-
соотношением
(-(-Г/А
[
/
[ f(xL(Ax)dx
i + T/A
(f (x) - f (t)) q> (Ax) dx
т \ 1
где Шу (б) = sup | / (V) — / (t") | — модуль непрерывности
функции /.
1.15. Пусть Дь — промежутки вида [2пк/Л; 2я(к + 1)М], к =
¦=р, ..., д, содержащиеся в [а; Ь]; а>/ ¦—модуль непрерывности
функции /. Тогда
f / (z; sin
= О {IIА) + О (с
Следовательно,
/(-4) =оA)-|-^
; sin
Ь /2Л
I С I Г
2л J I J
а \ о

В заключение отметим, что в условии задачи вместо sin Ах
можно взять любую непрерывную на R периодическую функцию,
1.16. а) Сделаем замену переменной х = i/Д, где Д = ДЕ — ма-
малый положительный параметр. Имеем
Подберем теперь параметр Де так, чтобы при е ->¦ +0 нодыптограль-
ная фупкция стремилась к положительной интегрируемой функции.
Нетрудно видеть, что взяв Д8 = 8In A/е), получим
expjj-r-J — д- 1 >- е~К
Поэтому для доказательства соотношения
+ 00
*-*A-*~е)й~гжг
о
достаточно обосновать предельный переход под знаком интеграла
Для изучоиия интеграла, стоящего п левой части, разобьем его на
сумму интегралов по промежуткам [0; l/|lne|], [In2 е; +°°) и
[1/| In e [; 1п2е]. Первые два интеграла оцепим сверху. Из неравен-
неравенства и1"8 — и <5 еA — и) при в > 0 и 0 < s < 1 следует, что
ехр(D/ Ё-
Поэтому
1п2ё ]п2е
Так как подыптеграпглтая фупкция равномерно ограничена
сверху при t > 0 и 0 < s < J, то интеграл по промежутку
[0; 1/|1пе[] бесконечно aa.ii. Для «ычислепия интеграла по проме-
жутку [1/|1пё|; In2 е] представим разность! -д1 — -д- в впде
t ( о „ t'
-h\e

Следовательно,
(I (U-E t\ С
l/ll
1п2е
dt Г dt
)
J (И ) J )
Х/|1ПЕ| l/llnsl 1/|)ПЕ|
б) Рошспио этого примера апалогично реттгепшо примера а).
1.17. а) Воспользуйтесь соотношением
б) Сделав замену церемонной l = е/Уж, получаем
1 +°° , 1 ,
Г
1\г
~г1 у
dx = 2е2 -g- dZ = 2б2 -у- й« + О (е").
ё
Остается воспользоваться тейлоровским разлоя;епием экспопенты.
в) Разбейте промежуток [0; 1] на промежутки [0; 0] и [0; 1],
где 0 = 0е = о(е/1пе). Интеграл по промежутку [0; 0] не прево-
превосходит 0. На промежутке [0; 1] замените экспоненту ее тейлоров-
тейлоровским разложением, предварительно проверив с помощью интегри-
интегрирования по частям, что
1
dx
In* (x/e) ' Г" ° \6
e
-V).
In Q)
Убедитесь в том, что при 08 = s/ln2s для остаточного члена в до-
/ е In | In е |
называемой формуле получается оценка О I ——5
\ J.I1 6
1.18. Воспользуйтесь неравенством
V прн«>0,
1.19. а) Сделайте замену переменпой t = nx и оцените инте-
интегралы по промежуткам [(к—1)я; кп] сверху и снизу,
б), в) Докажем более общее утверждение:
я
С dx ^i ak
q
если невозрастающая последовательность положительпых чисел
{ik} такова, что последовательность {кси,} не убывает.
Положим М{х)= max aftlsinta:|. Так как I sin i\ < \t\, то
Kft«Sn
М(х) ^ хпап, и поэтому интеграл по промегкутку [0; 1/п] дает

ограниченный вклад. Для оценки интеграла сверху воспользуемся
тем, что М(х) sg max (atx; 2а2х; ...; какх; ак+й ...; ап) = какх,
ес|Ли х 5s I/A. Следовательно,
я i/(b-D
5
Для оценки интеграла спизу заметим, что па промежутках
[п/Bк + 2); пBк] (к — 2, ..., п) справедливо неравенство М(х) ^
2
2
- aft sin Aa: ^ — йжя^, и поэтому
Я Я/2 ft
2 f i^T=ow+ 2 ?•
§ 2. Метод Лапласа
Я/2
2.1. Так как (га + 1) | sin ж cos™ x dx = 1, то достаточно дока-
о
зать, что
я/2
( (xf (х) — / @) sin x) cos™ xdx = o (i/n).
о
Зафиксировав произвольное число г > 0, получаем для интеграла
по промежутку [е; я/2] оценку O(cosne) = оA/ге). Для оценки
интеграла по промежутку [0; е] заметим, что на этом промежутке
| я/(я)—ДО) sin ж | < бе sin ж,
где б. = sup
E
Sin ;
¦ О.
__ е->+о
2.2. Сделайте замену переменной у = х)/А.
2.4. Проверьте, что интеграл по каждому промежутку [а; 8],
0< а < 9, экспоненциально убывает при А -*¦ -\-<х>.
2.5, а) Ясно, что

Поэтому
1 -J-°° -f-oo
v 1 '
-xp)Adx^ f
J
С другой стороны, для любого положительного числа а, пмеем
1 а ... а
Km Л1/р Г (l - хр)А dx > lim
4->+оо J А^+оо
О
Следовательно,
lim
J
Из приведенного решения следует, что ту же асимптотику
имеет интеграл по любому промежутку '[0; Э], 0 < 0 < 1.
б), в) Решение аналогично решению задачи а). В задаче в)
предварительно сделайте замену переменной у = xi+v,
2.6. Не умаляя общности, можно считать, что а = 0 и С = 1
(в противном случае следует сделать замену переменной
у = Ср (х — а)). Зафиксируем числа I я L, 0 < I ¦< 1 < L, и подбе-
подберем такое положительное число 0, что
lxl/* sg 1 — ф(ж) <?ж"р < 1 при 1е@;в).
Разобьем интеграл Ф(Л) на сул1му интегралов по промежуткам
[0; 0] и [0; Ъ). Для первого из них справедлива двусторонняя
оценка
е ее
\ A — LxVl>)A dx < f фА (х) dx^ f (l — Z^1/p)A fc,
О 0 0
а второй интеграл легко оцопивается сверху
ь ъ
j" фА (ж) йг < фА-1 @) j ф (х) dx = o (A~v).
ё 6
Поэтому
е
f
е
lim Ap f A - Lz1^L & < lim АРФ (А) <
е
< Irm АрФ {А) < ШК ЛР f A - lxllv)A dx,
Д-»-|.О0 А-» + °Р ¦*

Следовательно (см. решение задачи 2.5. а)),
?-РГA+р)< lim ЛРФ(Л)< lim АРФ {А) < ГРГ A + р).
А +
В силу произвольности чисел I и L, 0 < I < 1 < L, отсюда выте-
вытекает равенство lim АРФ (А) = Г A + р).
А->+°°
2.7. Решение аналогично решению предыдущей задачи.
ь
2.8. Положим h — g — f и докажем, что j h (ж) фА (я) & =
а
(Ь \
— о\ I / (.г) ф^ (^) fc I. Зафиксируем произвольное число е > 0 и
I ^ /
\о /
пусть § такое число из интервала (а; Ь), что |А(я:
х е (а; Р). Тогда
h (x) фА (х) dx
p
sf(x) при
h (x) фА (х) dx
ФА (Р) J I А
| Лг.
Следовательно,
ь ь
j А (ж) фА (x)dx < е j / (ж) фА (г) Лв + О (фА (Р)).
а а
/ Ь \
Покая!ем теперь, что фА (р) = о I I / (х) фА (ж) dx I. Для
\а )
ф (
этого за-
\а )
фиксируем число а из интервала (a; J5) и заметим, что
Ь а а
Г / (х) фА (х) (fa > [ / (ж) фА (х) dx > фА (а) Г / (х) dx.
а а а
а
Так как ф(а) > ф(Р) и \ f (x) dx > 0, то
а
ФА (р) = о (ФА (а)) = о ( | / И ФА (ж) dx).
Таким образом,
точно велико.
Г/г (х) фА (.-с) й.г
2е / (г) <рА(.г) Ja;, если А доста-
о

2.9. Используйте асимптотическую формулу Лапласа (зада-
(задача 2.6).
б) Применив результат задачи 2.8, замените cos (ax) на 1.
в) Сделайте замену переменной х = Ау.
г) Осповной вклад дает интеграл по промежутку [0; 1]. Ис-
Используя результат задачи 2.8, замените в пен sin ж на х и после
этого сделайте замену перомеппой у = х2~р.
о) Проверьте, что основной вклад дает интеграл по промежут-
промежутку '[0; я/4]. В этом интеграле замените cos x иа cos Bx).
з) С помощью результата задачи 2.7 покажите, что основной
вклад дает иптеграл но промежутку [1/2; 1].
2.10. в) Сделайте замену переменной х = у2.
2.11. а) Легко видеть, что ха.->- 1 при А -+¦ + оо. Сделав замену
переменной х — I ¦{-1, получим
Так как
11—\ ехр [ — ~y ? — Y~A t + О (Atz)j at,
то в случае Ле3->0 имеем
у \
i+bVa
1-eVA
Поэтому h ~ У2яе/4, если е,УА -v -f °° (например, е = Л~2/5). Ин-
Интеграл h легко оценивается сверху:
Для оценки интеграла /з проверьте, что подынтегральная функция
не убывает на промежутке [—1; —в], если е = А~21Ь. Поэтому
б) В этом примере жа = 1. После замены переменной у =
= 1 •— а; получаем
1 8 1
.| Г = ^ + j^

Так как A — у) In D — А у) — In 4 — — A + In 4) г/ + 0(у2), то
е
Ух —U + u
Г
~ p(l +In4)
о о
Поэтому 1\ ~ A + О(е2))!(р In 4), если ерA -f In Л) -*+оо. Пусть
е = 1/}*1п4. Интеграл h оценим сверху, пользуясь убыванием
подынтегральной функции
/2 < ехр {р A — е) In (А — Аг) — р In A) <
в) Сделайте замену переменной у = жД4, С помощью формулы
Тейлора изучите интеграл по промежутку [0; A~2/s], а интеграл
по промежутку [Л~2/3; 1] оцените сверху, пользуясь убыванием
подыптегральной функции па промежутке ![4~2/3; 1] при боль-
большом А.
2.12. Оцепите сверху интегралы по промежуткам [0; 1/D In4)]
ж [B In 4)/4; 1]. При вычислении интеграла по оставшемуся про-
промежутку воспользуйтесь соотношением
[In ж] = A + оA)) In 4 при же [[1/D In 4); B1п4)/4].
2.13. а) Обозначим даппый интеграл через Ф(А). После заме-
замены переменной х и-» Ах получаем
А А
ф (А) = -А J -j^ka = о WVa) + 4 j -^етг •
о Va
Рассмотрим функцию t = xlax на промежутке [У4, А], и пусть
х = ф@ '— обратная к ней функция. Тогда
АЫА
j
(VA\nA)h
Для изучения полученного иптеграла рассмотрим функцию ф' при
больших значениях аргумента
(p'(i) = 1/A + In я) = 1/1пж + ОA/1п2а;).
Так как In х + In In x = In t, то In я = In t + О (In In t), и следова-
следовательно, ф'@ = 1/lnt + О ((In lni)/ln2;). Поэтому для всех t из
промежутка [()/4 1п4)/2; 4 In 4] имеем
lnln4\ 1

Отсюда сразу вытекает, что
AlnA
lnlnA
б) Решение апалогичпо решению задачп а).
+ 00
(* I А -\- f \ %
2.14. Записав ГA + ж) в виде х(х/е)х \ I—т—I dt, восполь-
J V е J
зуйтесь асимптотической формулой Лапласа (задача 2.6).
2.15. Используйте формулу Стирлинга.
2.16. Решение аналогично решению задачи 2.14.
2.17. а) Пусть ф(ж) = ж + В]'х (8 = 9(ж)). В силу результата
ф(х)
1 Г 1
предыдущей задачи равенство Пт ., ,. , , I Iх(Г dt = —
х~>+оо l \L  ¦Ч J "
_ о
х +0 Yx
+
1 С
равносильно равенству lim "рТПТГгТ \ ^Хе~г dt=*Q. Сделав
_ х
замену переменной t = а; + и^ж и воспользовавшись формулой
Стирлипга, получаем, что оно равносильно соотпошепию
о
которое справедливо лишь в случае 8 (х) >- 0.
б), в) Доказательство этих утверждений аналогично доказа-
доказательству утверждения а).
§ 3. Асимптотика сумм
3.2. Оцените снизу суммы 2 kaak.
3.3. Выразите суммы Sn u an через числа tm = ^ ^^k
KfK.m
и воспользуйтесь результатами задач II.2.7. б) и в).
3.4. Выразите суммы Sn через числа tm = 2 кахк п вое-
пользуйтесь результатами задач II.2.7.б) и в).
3.5. а) Зафиксируем пропзвольное число М> 1. Ясно, что
(Мх~у — 1
1-т

Так как
SiMni — Sn = ецмп1 -I- ... + an+i <С ап{[Мп] — п) <с (М — 1)пап,
то для любого U > 1 справедливо неравенство
пУ'1 М1-"* - 1
Ит пУап > lim j^—j E[Mn] - 5n) = щ _ 1} A _ v)-
П-»оо n->oo '
Поэтмгу
Для доказательства неравенства 1шл\^1 покажите, что
71-^ сю
при тге е @; 1)
„ . пУ
Inn Л1 ,„ < lim j—^ (Sn
_ m) A _
In 2
б) Рассмотрите последовательность я,г = "Tjj" при 2* ^C re
< 2*+1.
3.6. Решение аналогично решению задачи 3 5. а).
3.7. При а ;=: 1 воспользуйтесь соотношением A — 1/л)*
= 1 + О (kin), a при а > 1 — равенством
2 т
3.8. См. [5]. Легко видеть, что т(/е) равпо числу точек
(u; v) e N, лежащих на гиперболе uv = А. Поэтому сумма Т(п)
равна числу точек (u; v) s N, лен^ащих не выше гиперболы
uv ^ ге. В сил;у симметрии множества {(и; у) е N2 | uv ^ re} отно-
относительно прямой и = у для вычисления Г(ге) достаточно под-
подсчитать число 2'(га) точек в множестве
Е = {(и; у) е N2 | uv < й,„ ^ у~}
и учесть, что точки, лежащие в квадрате [0; ]/«.] X [0; т/п], входят
и в множество, симметри'шое Е (сделайте рисунок). Это дает
Т (ге) = 2Т (п) -Y\/n? ==
Дл;я вычисления вознякшей суммы можно воспользоваться

следующим уточнением результата задачи И.2.9:
2 lV
которое легко проверить с помощью теоремы Штольца (задача
П.2.6).
3.9. а) Пусть о = sup refov Так как «„ sg aP-jri2, то для любого
номера N имеем
iV to2
+
Взяв ^V = 1 -|-1 [ai], получим при i
1 +
/ex—
Если }ке t <~ [0; 1/a), то
1 + at fa2
Неравенство б) доказывается аналогично.
в) Для оценки величины Пш / (?) спизу зафиксируем
t-7+5o
большой номер п. Тогда для всех I из промежутка [l/]'an_i; l/]/anJ
имеем
2
т
n—i re—1 /¦—
1 ,__
Следовательно, Ит / (t) > -g- lim re ]/ar
3.10. Воспользуйтесь неравенствами s / (t) й{ < ф (й).^
1 f (t) dt. Для немопотонных функций равенство неверно,
о
Например, если /(ге) = 1 при любом neN, то срA/ге) = +оо4
При этом нетрудно добиться, чтобы интеграл 1 / (t) dt cxo-.
о
дился.
3.11. Используйте результат предыдущей задачи.
+ 0O

3.12. Ясно, что
Fn) ")•
Пользуясь формулой Тейлора, получаем, что / (р) = О (р)
fe+i
1 1 Г dt ( 1
^ J +°^
, yi 1 _ 1 С
-4- р т ;—> Так как = I
' ^-Л I'll- А 4\1+Р /91- J_ 1\P
ft^O k
ТО
ft+1
3.13. Воспользуйтесь неравенствами f(k-\-1) ^ \ / @ dt < / (/с).
ft
3.14. См. указание к предыдущей задаче.
3.1,5. Достаточно оценить величину
ft+l/2
ft-i/a
В п. а) воспользуйтесь равенством
h ft+l/2
Afe= j (/Ч*) - / @) dt + f (/ (A) - / (*)) Й.
ft-l/2 ft
В п. б) с помощью интегрирования по частям докажите, что
h ft+i/2
j j
ft-l/2 ft
Заметим, что из равенства п. б) интегрированием по частям можно
получить оценки разности Д, содержащие производные более вы-
высоких порядков,
3.16. Воспользуйтесь результатом задачи 3.13. а) и формулой
Тейлора.
/?г_а —1\
3.17. Пользуясь рекуррентной формулой I ) =
а (п-—а\
~а_ п I п I, задачу можно свести к случаю а < 0. Тогда
/ге —<х\ у / а\
[ п \~ 2d ( Т)' Остается Еосрадъ.зппаться резуль-

татом задачи 3.13. а). Заметим, что из свойств Г-фупкции (см. за-
дечу 2.15) вытекает равенство Са = 1/ГA — а).
3.18. После логарифмирования в шт. а) и б) используйте ре-
результат задачи 3.14, а в п. в) — задачи 3.15.6).
3.19. а) — в) Используя результат задачи 3.14, замените сум-
суммирование интегрированием. Получающиеся при этом интегралы
рассмотрены в задачах 2.11. б) и 2.13. а). В п. в) предварительно
используйте формулу Стирлинга.
г) Найдите асимптотику суммы последппх [j/'n] слагаемых
и покажите, что сумма остальных слагаемых достаточно мала.
3.20. Достаточно доказать, что 2 п ^ ~ ^^- Для этого
>
воспользуйтесь интегральным представлением остатка в формуле
Тейлора для экспоненты и результатом задачи 2.9. в).
3.21. Найдем асимптотику сумм S^ = 2 (^'п)Р> гДе
р — фиксированное положительно число. Так как числа Сп
быстро возрастают при 1 ^ к ^ га/2, то основной вклад в рассмат-
рассматриваемую сумму вносят слагаемые с номерами, близкими к га/2
(как видно из последующего, достаточно учесть примерно ге2/3 цент-
центральных членов).
Предполагая, что п = 2т, имеем
1«? k<m I
Чтобы найти главную чарть полученной суммы, заметим), что при
к> 1
Ста j-j 1 — //та та / ¦ri 1 — j/m\
Из соотношения 0 < — 21 — In (fT~j) = ° (*3) (° < f < W) сле-
следует, что
A + О (т~Щ) е~кЧт при к < m2/3,
Cm
Таким образом (см. задачу 3.14),
m-k\p
^1
e m i

Для получения окончательного результата остается проверить, что
Ci ~ 4т/У^1, откуда вытекает, что S™ ~ у= (у пТ'^ 2пР.
3.22. Обозначим сумму ряда через флт(г). Ясно, что
dt.
0
Поэтому
i -zYn_ -zYn+t 2 г- /'p-*Yn
О
3.23. Используя результат задачи 3.15. б), получаем
„-z/n _
j j
JV-l/2 JV—1/2
Интеграл 7 легко вычисляется. Для оценки интеграла / запишем
его в виде
/=Т J
W-1/2
¦ f
JV—1/2
Получившийся интеграл можно оценить, разбив его на сумму ин-
интегралов по промежуткам <[к — 1/2; к + 1/2] (А !> iV', А- е N);
длят оценки птой суммьд примоцито результат прпдьтдуще|'1 задачи.

х С
3.24. Используя тождество cos (nx) = 2 gin , ^\ cos(xt)dt,
n-l/2
получаем
(+ОО ч
2 С cos (xt) \
1/2 /
а_1 Г COSi;
J У"
О
Аналогично доказывается, что
+00
sin nx л
">i о
Из результата задачи VII.1.26 следует, что интегралы
+ 00 +00
(* cos v С sia v
А = 1 —— dv я В = \ —— dv положительны.
3.25. С помощью приема, использованного при решении пре-
предыдущей задачи, получаем для х е @; я)
N Nx
созпх Ccoa(xi).__ _,.. —, Г cos у 1Л/.<
—~r dv + 0 A).
Отсюда следует^ что равномерная (относительно ieN и
х е [0; я]) ограниченность снизу сумм 2 п~а cos nx РаЕ~
Г COS V
носильна тому, что иптеграл I (и) = I —— dv неотрицателен
о
ЗЯ/2
/* /1 л q у
цри и ^ 0. Ясно, что niin I (и) = / (Зя/2) = 1 —— dv. Осталось
u>o J va
Г cos v
., что функция / (а) = 1 —^- йу один раз меняет знак
о
на промежутке @; 1). Так как /@) =—1 и /A — 0) =+°о, то
достаточно убедиться в монотонности функции /. Легко видеть, что
ЗЯ/2 Я/2
(* cos v 1 С cos v 1

Пользуясь убыванием функции v~a cos v на промежутке @; я/2),
получаем
Л/2 Я/2
С 1 С 1
In— Л>>0.
Л/2 /
С cos v 1 С 1
\ —^-In—rfy>cosl In—
¦•л sin nx
Аналогично изучоппс сумм > сводится к изучению
Ad а
231
~ С sin у
интеграла / («) = \ —^~ dv, который положителен для всех
о
а > 0.
3.26. Положим А = ^-'(l/e), С = sup i); D)Л[)' (i). Тогда
+oo
A
= __ e + f (e-e*«
i
Оцепим интегралы /i и h'
a
+00
Л
+ 00
A
3.27. a) — д) Пользуясь монотонным убыванием общего члена,
покажите, что суммирование можно заменить интегрированием
(см. задачу 3.14). Для исследования получающихся интегралов
воспользуйтесь результатами задач 2.9. ж) и 3.26.
е) С помощью неравенства (га/3)" < га! < (п/2)п сведите за-
задачу к задаче п. д).
3.28. Так как при фиксированном t e @; 1) общий член ряда
не монотонно стремится к нулю, то к этим рядам не применимо
неравенство задачи 3.14. Следует отдельно рассмотреть частичную

сумму, в которой оощтш члсп возрастает, и остаток ряда, в кото-
котором общий член убывает.
В и, б) воспользуйтесь результатом задачи 1.4. г).
3.29. а)—е), з) Решение аналогично решениям задач 3.27 и
3.28. В пп. О') и е) воспользуйтесь результатами задач V.1.18 и
V.1.19.
ж), и)—м) Разложпто ощцпй Ti:ron ряда в степонпой ряд и
измените порядок суммирования.
3.30. См. указания к задачам 3.27—3.29.
3.31. Воспользуйтесь результатами задач IV.-i.15 и 3.29. д), е).
Другое решение задачи а) получим, если воспользуемся ре-
результатами задач 3.8, IV.5.8 и 3 28. б) при р = 1.
§ 4. Асимптотика неявных функций и рекуррентных
последовательностей
АЛ. С помощмо интегрирования по частям докажите, что
1 + 0A) _/2/2
z(l) = в при ¦{-*+<». Поэтому
t2 t2
]nz = — y — In i + о A) —- ~~2'
'Следовательно, ?.(.") ~ 1'2 In A/z) при z->+0.
4.2. Покажите, что уп — Хп — я/г— я/2 является бесконечно
малой величиной. Для того чтобы получить асимптотику последо-
последовательности {г/я}, в равенство хп = tg хп замените хп па уп + яге +
+ я/2 и перейдите к эквивалентным величинам.
4.7. Нетрудно видеть,, что для любого числа а > 1 справедли-
справедливы неравенства
ф(*) = 1^<*A-*)<пЬ=11)(аО прп
Итерируя функции (р и i[), получаем двустороннюю оценку
гм^<-т»<гт1^'сслц жо
1 0 999 1
При 7г = 1000 и а — jj-ygy пмоом Ю" jV^j < ^xooo < Y 10~3- СЛе"
1 1
допателыю, 0 < -^ Ю~3 — ^J000 < у Ю^в.
4.8. Ясно, что яп|0. Асимптотику последовательности {.ти}
молшо найти с помощью приема, использованного при решения
предыдущей задачи. Для этого функцию / оцените в окрестности
пуля сверху и снизу функциями, рассмотренными в задаче 4.6,
а затем сравните их итерации.

Другое рошеппс осповапо па следующих соображениях, кото-
которые применимы и в более сложных ситуациях (см. задачи 4.12—
4 14). Рекуррентная последовательность ж„ = /(ж„_1), х0 > О, оче-
очевидно, сходится к пулю, если функция / такова, что 0 < /(?) < t
для всех f > 0. С польощыо рисунка легко понять, что последова-
последовательность {хп} быстро сходится к нулю, если разность t — f(t)
велика, и медленно в противном случае. Поэтому для нахождения
асимптотики последовательности {хп} целесообразно рассмотреть
функцию ср(г) =? — /(?)• Тогда рекуррентная формула прини-
принимает вид
Хп— Хп-\ = —<f{xn-i).
Считая, что хп — это значение в точке п некоторой гладкой функ-
функции 6, определенной на [1; +°°), получаем
9 (га) — 6(ге—1) =-Ф(9(гс-1)).
Если приближенно заменить разность 6(ге) — Э(ге—1) па произ-
производную 9'(ге— 1), то окажется, что функция 9 удовлетворяет «диф-
«дифференциальному уравнению» 6'«—<рF). Решая его, находим
6A) 6A)
Г dt Г dt
| VU)*n' т-°-*» = е W «Ф-'М.где ф (У)= ] ^T(Jj-
6(п) у
Для обосповапия этих эвристических соображений надо изу-
изучить разпости Ф(хп) —Ф(хп-\) и, используя дапное рекуррептиое
соотношение, убедиться в том, что они стремятся к единице. Тогда,
сложив равепства Ф(хк) — Ф(ж^_1) = 1 + оA) при /с = 1, ..., п,
мы получим Ф(хп) =тг + о(ге), т. с. хп = Ф"х(п + о{п)). Иногда
для упрощения выкладок вместо функции Ф удобпое рассматривать
функцию Ф, ей эквивалентную. Например, в случае f (х) — х ~
ж~о—'Сх1^®, где Сир — фиксированные полол;птельныо посто-
постоянные, имеем
f dt С dt !
Ф (У) = t-^f(t) ~ \ Ct1+V ~ ^Тр" ~ Ф (г/
у у
Рассматривая разность Ф(хп) — Ф(жп_]), получаем
Ф (хп) - Ф (^^х) = ^ (.г-" - .r-f ) ~ "-^1+ "
1 ~ 1
Отсюда следует, что -—^ = Ф (хп) ~ п, т. е. хп ~ — -

4.9. а) Воспользуйтесь пдеей, omicaniioii в решсппи задачи 4.7.
б) Уточним результат п. а). Так как
то
Х1 = пр + О (In в) = !»/>( 1 -!- О
Таким образом, г»= («p)"f(l + !fn). гДе уп = 0(Aпл)/л). Под-
Подставляя полученные выражения для хп и ?n-i в рекуррентное со-
отпошение, мы получаем с помощью формулы Тейлора
т. е.
n2
р— 1
Отсюда следует, что пуп — ¦ 2 ]п ге + О A).
¦4.10. Достаточно решить следующую задачу: построить на
@; +оо) такую функцию /, что последовательность хп = f{xn-i)
совпадает с наперед заданной строго убывающей к пулю последо-
последовательностью {оси}. Можно считать при этом, что <хп = <р(ге), где
ф —строго убывающая на [0; +°о) функция, lim ф (г) = 0.
Тогда равенство /(a;n_i) = хп = ф(га) равносильно равспству
/(ф(ге— 1)) = ф(га), которому удовлетворяет, например, функция
/@ ='КрA + ф-'@).
4.11. Рассмотрите последовательности {х2п} и {xzn-i}.
4.12. Спачала докагките, что а„|+оо. Используя при s e @; 1)
неравенство
1п
докажите, что ап ~ a[Sn]. Выведите отсюда, что
lim (ai 4- ... 4- an)lnan ^ 1
и, следовательно, п{ 4- а2 + ... + ап ~ пап. Поэтому
2 2О/ N 2an 2
ап+1 ~ап~ 2ап (ап+1 - ап) = ао + ... _|_ an -~ 7
откуда вытекает, что d*n ~ 2 In re.

4.13. Сначала докажите, что ant+°°, яи+1 ~ ап, ап = о(Ап),
где Ап = а0 + ... + ап. При 0 ^ р < 1 последпие два соотношения
очевидны. При — 1 <р < 0 они следуют из двусторонней оценки
О < m«A -П'Ъ+Р) < ап < МгеA-Р>/A+г') (re
Оценка сверху вытекает из очевидного неравенства
Оцепку снизу можно доказать по индукции, если выбрать число
т е @; 1) так, чтобы оно удовлетворяло неравенству
при всех п'
Из этих соотношений получите последовательно, что
/1 — р\р/(р-1)
ап+1 ~ап~ (-2Г )
и, наконец,
откуда
1.14. Докажите последовательно, что ant+°°i an+i '^ am
яи+1 = 0 (sn)> гДе "?n = ao+ ••• + ап' Последнее соотношение сле-
следует из неравенства
Jim
справедливого для любого фиксированного номера к. При р ф —1
выведите отсюда, что
<\\ ~ <+1 - (Р + 1) </Sn ~(P + 1) (In Sn+1 - In Sn).
Поэтому при р <—1 существует конечный предел lim 5В = Ир,
1 п
т. е. ап+ _ an = — + о A), откуда а„ ~ — = Срп. При р > — 1
Р Р
справедливо соотношение a^+1 ~ (Р + 1) In Sn -*¦ + оо. Исполь-
Используя теорему Лагранжа о среднем, докажите, что отсюда следует

равепство
Sn+i(luSn+i)-r"P+» - 5n(ln5n)-P/(p+D = (p + 1)p/(p+D + o(l),
т. e. Sn(lnSn)-pnp+i) „ n(p + 1)p/(p+D.
Поэтому In Sn ~ In n и, следовательно, a^1 ~ (p + 1) In Sn ~
~{p-\-i)\nn.
Bb)!!
При p = —1 докажите по индукции, что о.п — ,^n ^uj •
Глава VII. ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
§ 1. Выпуклость
1.1. Используйте индукцию (предварительно проверьте, что
выпуклая комбинация 2j ^'jxj попадает в <«г; &>).
хч Х9 х? хл
1.2. Положите X. =— -, % =— и папишитс псра-
вспство Иенсена для xz =
1.3. а) Так как некоторые числа Xj e Д можно брать одинако-
одинаковыми, то достаточно доказать неравенства Иенсена для среднего
арифметического п чисел. Докажите это сначала для п = 2*. Про-
Проверьте, что если неравенство верно для среднего арифметическо-
арифметического п произвольных чисел, то оно остапется верным и при замене п
па п — 1. б) Воспользуйтесь п. а).
\Л. Можно считать, что р, q е (а; Ъ). Пусть К == sup / (х).
р<ж<7
Сначала проверьте ограниченность / сверху на любом промежутке
[с; f/J, (p; q) cz [с; d] с (а; Ь). Для этого рассмотрите мпожество
Е = {же'[с; d\ \j(x) sg С}, где С = max (/(с); /(с!); К), и, используя
результат задачи 1.1.19, убедитесь, что Е = [с; d]. В случае огра-
ограниченности сверху функции / па (Р~, ?)\Q убедитесь, что /
ограничена и на (р; д), поскольку каждая точка этого интервала
ость середипа некоторого промежутка с концами в (Р\ 2)\(Q-
Непрерывность / в точке х е (с; d) следует из неравенств
-^ U (х) - С) < / (х) - / (х - б) < / (х + 5) - / (*) < -J- (С - / (.г)),
где 5 — произвольно малое положительное число, т ¦% п — наиболь-
наибольшие целые числа, для которых х — тд, х + геб <= [с; d]. Средпсе
неравенство очевидно, правое доказывается с помощью неравенства
Иенсена (см. 1.3. а)) для точек х, х + б, х + геб, левое — аналогично.
1.5. а) ^=^ б) очевидно. Для доказательства импликации б) =>
=ф- в) рассмотрите множество К= U Я(Г+—с), где ceR —
Л^0
точка графика. Покажите, что К—выпуклый копус, КфЫ", и
возьмите прямую, содержащую один из его граничных лучей. Для

доказательства в) =ф- б) проверьте, что Г+ есть пересечение полу-
полуплоскостей.
1.6. Пусть 0 ^, х < у ^ 1/2. Представьте у и 1 — у в виде вы-
выпуклых комбинаций точек х и 1 — х и воспользуйтесь выпук-
выпуклостью.
1.7. Используйте лемму Бореля о покрытиях.
1.8. Воспользуйтесь леммой о т,рех хордах (задача 1.2).
1.9. Рассмотрите сначала случай, когда L(x) > 0 для всех
же (а; Ъ). Пусть xi, х2 е (а; Ь), х\ < х2, и пусть у = g(x) —урав-
—уравнение хорды, проходящей через точки графика с абсциссами х\ и хч.
Положим /] = /—?. Ясно, что L-j^ (x) = Lj (х)>0 и для выпукло-
выпуклости / достаточно, чтобы неравенство f\(x)ss:O выполнялось при всех
i e [ii; х2]. Предполагая противное, убедитесь, что L. (х) <! О
в точке х, где функция U достигает своего наибольшего значения
ил \xi, x2]. В общем случае (L(x) ^ 0) рассмотрите фупкцип
/с(ж) = /(ж) + еж2, 8 > 0, и перейдите к пределу при 8->0.
1.10. Для доказательства достаточности перепишите неравон-
h
ство в виде 2g (/ [х + i) + / (ж — <) — 2/ (ж)) df ^ 0 и восполь-
о
зуйтесь предыдущей задачей. Необходимость очевидна.
1.11. а) Воспользуйтесь равномерной непрерывностью и «спря-
«спрямите» график хордамр.
б) Используя п. а), убедитесь, что достаточно рассмотреть
лишь функции вида [i-s[.
1.12, 1.13. Воспользуйтесь леммой о трех хордах (задача1 1.2).
1.14. Проверьте, что неравспство Иенсена для одной фупкцип
преобразованием х ^ i/x переводится в неравенство Иенсена
(с другими коэффициентами) для другой.
1.15. Используйте существование и монотонность односторон-
односторонних производных (задача 1.8).
1.16. Сведите задачу к случаю а = 0, /@) =0 и проверьте
монотонность функции J(x)[v.
1.18. Воспользуйтесь леммой о трех хордах (задача 1.2) для
точек 0, х — й, х @ < h < х).
1.19. Достаточно проверить, что cp(zi) ^ф(ж2) для всех х\ <
< Х2, Х2 — х\ < Ь. Это следует из леммы о трех хордах (задача 1,2),
примененной в точках х\, х2, х\ + Ь и хг, х\ + Ь, х2 + Ъ:
= b

1.20. Будем считать, что п = 2т + 1 — почетное число, так
как всегда ыожпо добавить нуль в качестве последней точки. Для
а г?Г Ъ функция n-»/(d-fi)-/(e-f i), i>0, возрастает
(см. задачу 1.19). Следовательно,
2
2
i<h<m
i = 0, ..., m — 1,
~ O2m+l).
Сложив эти неравенства, получим требуемое.
1.21. Опираясь на неравенство ап+\ — ап
жите, что
.an+p+q an+p
^ а-п+г -— «п+1, дока-
Истолкуйте это нера-
вепство геометрически.
1.22. См. задачу IV.2.3.
1.23. Проверьте, что можпо рассматривать только кусочно-
линейные функции указанного класса (см. задачу 1.11. а)). Даль-
Дальнейшие рассуждения поясним для двух неравенств.
а') Разобьем подграфик функции на треугольники с общей
вершиной @; 0), соединив ее о точками излома графика (рис. 14).
Рис. 14
Рис, 15
Пусть к-й треугольпик ограничен графиками функций <Pfc и Фа+i,
0 = Ф1 sc Фа ^ Фа+1 ^ Ф» =/, (fK+i(x) = (fh{x) вне проекции /ого
треугольника на ось абсцисс. Тогда / = 2 (Ф/t+i ~ <Pfc)*
Докажите неравенство а') для каждой функции фА+! — фц, а затем
сложите эти неравенства. Убедитесь, тто требование выпуклости
существенно.
г') Продолжая прямолинейные отрезки графика до пересече-
пересечения с осью абсцисс, получим разбиение подграфика на треуголь-
треугольники (рис. 15). Введем функции фА A ^ к ^ N) так же, как в пре-

дыдущем случае. Тогда /2 = 2 ((fft+i ~ ФьI Проверь-
«fc<W
те, что
1 1
И - ф| (*)) dx = j Mh j (Ф/г+1 (х) - cpft (*)) to,
о о
где Mk — высота к-то треугольника.
1.24. Замените интегрирование по [0; 1] интегрированием по
[0; 1/2]. Воспользуйтесь результатами задач 1.6 и 12.2,2.
1.25. Для проверки необходимости рассмотрите функции
ф (х) = С, ф {х) = Сх (С es R)
и
Ф (х) — шах @; а — х) (ое@;1)).
Для доказательства достаточности используйте, что кусочно-ли-
кусочно-линейная выпуклая функция является суммой с положительными
коэффициентами функций вида <f(x) = max @; а — х) и линейной
функция.
1.26. а), б). Представьте данные интегралы в виде суммы
интегралов по промежуткам длины 2я[а. В п. б) воспользуйтесь
результатами задачи 1.6.
1.27. а) Воспользовавшись неравенством Бупяковского, про-
проверьте, что /"/ — /'2 5s 0.
б) С помощью задачи 1.11. б) м,ожно ограничиться случаем
дважды дифференцируемой функции. Логарифмическая выпук-
выпуклость такой функции / означает, что /"/—/'2 ^5= 0. Проверьте, что
для суммы таких функций /, g справедливы неравенства
(/" +' е") (f + g)> (Iff + 1s"eJ > (/' + g'Y.
1.28. (См. '[18]). Ограничимся доказательством эквивалентно-
эквивалентности 3) и 4).
Поскольку / выпукла (см. задачу 1.3. б)), в каждой точке х
существуют односторонние производные /_ и /+,-/_ (х) < /+ (х)
и всюду, за исключением счетного множества, /_ (х) —- /+ (х) (см.
задачу 1.8). Докажем, что существует /'A)- Пусть h > 0. Тогда
= [/ A) + /+ A) А + о №] [/ A) - /1 A) Ь + о W] =
откуда /+ A) $J /_ A) и, учитывая противоположное неравенство,
/+(!) =/_(!)• Пусть р —}'(!). Зафиксируем х так, чтобы су-

ществовала f'(x). Рассмотрим функцию Ф{1) = f(t)f(x/t), t > 0.
Она дифференцируема в точке 1 и удовлетворяет соотношению
Ф(«) </(ж) =ФA) для воех t. Поэтому Ф'A) = 0, т. е.
/'(i)/(*)-/(i)p/'(*) = о,
р/(х) = xf(x). (*)
Таким образом, производная f'(x), существующая на плотном
в @; +°°) множестве ?', совпадает на нем с непрерывной на
@; +°°) функцией (р}(х))/х. Отсюда, в силу монотопности/+ ц
f'_ (см. 18), следует, что /еС'@; +°°). Теперь из уравнения (*)
легко вытекает, что f(x)=Axi>, где А = 1, поскольку /A) = 1,
а ограничение на р обусловлено выпуклостью /. В связи с усло-
условием 1') рассмотрите функцию f(x) = min (^х; i) (.re @; -foo)).
1.29. Напишите неравенство Иенсена для функции f(x) = х?
в виде
7 2 W)"<7 2 С?Ъ
Kj4.fl
где с= 2 с]> хз = a-jltj, Cj = bjtj, и подберите ыадлежа-
щим образом числа tj > 0.
1.30. а) Если 0 < г < s, то воспользуйтесь неравепством Гёль-
де,р-а с р = s/r (см,, предыдущую задачу). Если г < s < 0, то при-
мените соотношение (и (— <)) == I — V ^- . Если
V
г < 0 < s, то используйте п. б).
д) Неравенство Иопсена для фупкции In ф в точках г, s,
Яг -1- [.is (X, ц, > 0, X + ц, = 1) превращается в неравенство Гёль-
дера, если положить aj~xY' ^j==xljS' P = 1Д, 3 = 1/м-
Для непрерывной положительной функции / следует опреде-
/1 \1/р
лить к(р) как \fp[x)dx\ , а вместо (xi ... хпI/п рассмотреть
VoJ )
(} \
exp I In/(г) йж . Утверждения а) ¦—д) сохраняют силу.
\ J I
\о /
1.31. Неравенства а), б) суть непрерывные аналоги неравен-
неравенства Иенсона и могут быть получены из него предельным пере-
переходом. Другой способ доказательства неравенства б) (более ебще-
го, чем а)) таков. В силу 1.11 можно предполагать существование

ср". Положив J = \ f {$) P (я) dx, по формуле Тейлора получим
a
Ф (/ (x)) = Ф (/) + ф' (I) (/ И - /) + -j ф" (с) (/ (х) - /J >
Требуемый результат получается после домпожения этого нера-
неравенства на р и интегрирования по [а; Ъ].
в) Используйте б) при ф(?) = In A/?).
1.32. Обе величины наибольшие в случае, когда точки А\,
А% ..., An-i делят дугу, соединяющую Ао и Ап, на равные части.
Для доказательства воспользуйтесь вогнутостью синуса на проме-
промежутке [0; я].
1.33. Рассмотрим произвольный луч, выходящий из точки
S = @; Ь), 0 < b </@). Пусть At = (хг; уг), j = 1, 2, ...— после-
последовательные точки отражения луча от графика, a Bi — от оси х.
Тогда каждому лучу отвечает (конечная или, возможно, бесконеч-
бесконечная) последовательность (траектория) SA1B1A2B2... или SB\A2B2Az...
(точка А\ отсутствует, если первое отражение происходит от
оси х). Мы докажем существование такого числа М, что для всех
лучей sups^M (это означает, что освещена лишь ограни-
г
ченная часть подграфика).
1) Заметим сначала, что если xn+i < хп при каком-нибудь п,
то хп+п < хп при всех к > 0 (луч выходит из области).
2) Пусть SA®B® g ... — единственная траектория, для
которой три точки S, A®, Sj лежат на одной прямой,
Л? = (ж?; г/9). Тогда для любой другой траектории, содержа-
содержащей точку А2, имеет место неравенство х^<х\ (в этом убе-
убедиться совсем легко).
3) Пусть re 5s 2, xn+i > xn, <fh <s @; я/2) — угол между звенья-
звеньями ломаной, примыкающими к Bh, и осью х, 6ц = | arctg /' (хь) |
(рис. 16). Тогда, благодаря выпуклости /,
Уп — г/л+i < (tg 6n) {хп+1 — Хп) ¦

Учитывая также, что
2г/п > Уп + Уп+\ = (tg9n) (жп+i — хп) и Ф« — фп-i = 26П,
получим неравенство
^» ~ Уп+1 %еп tg 29та
откуда
*в fn < tg <Р„ ~ tg фп
% (Фп ~ Фп-l) sin Фп-1 sin Фп-1
tgcp ~sin9cos(f 9)
г/„ > tgcpn ~sin9ncos(fn —9n-1) sin
Следовательно,
Заметим, что 91>6j = | arctg/' (ж°) |, ^2 > y\. Следователь-
Следовательно, в качестве М можно взять число Г1 (yl sin 0j).
L34. а) Заметьте, что /* — поточечная вервшяя грань семей-
семейства линейных функций htA{x) = xt — а по всем парам, (*; а), для
КОТОРЫХ (!> /(*).
б) Используйте неравенство Иенсена и задачу 1.5.
в) Используйте п. б) и тот факт, что gXb(t) =xt—
при всех feR тогда и только тогда, когда Ъ ^ sup {xt — / (t)) =
teR
= f* (x)> а также указание к п. а).
д) Очевидно, что для выпуклой функции Ф, дифференцируемой
в точке t, равенство ф'(?) = 0 является достаточным условием
минимума. Поэтому если в точке * существует f'(t) = х, то supre-
mum в определении /* (х) достигается в точке *. Пусть а < Ь,
a = f(a) и Р =/'(Ь) существуют и конечны, ж.е (а; Р). Тогда
значения /* в точках аир конечны и, следовательно, /* конечна
на (а; {!) (см. п. б)).
ж) Функция /' не может иметь скачков и строго монотонна,
следовательно, непрерывна, и множество ее значений — действи-
действительно интервал. Отсутствие дифференцируемости /* в точке х
означало бы, что t_ = (/*)_ (х) < t+ = (/*)+ (х), а тогда функ-
функция /** = / была бы линейна на \t-\ t+] (см.. п. е)), что противо-
противоречит строгой выпуклости /. Аналогично, диффсренцируемость /
влечет строгую выпуклость /*. Для Строго выпуклой дифференци-
дифференцируемой функции / для каждого геА равенство f*(x) =xt — f(t)
достигается лишь при таких t, для которых f'(t) — х. Аналогично,
для (е (й; Ъ) равенство f(t) =f**(t) = xt — f*(x) достигается
лишь при тех х, для которых (f*)'(x) = t. Это и означает, что /'
и (/*)' взаимно обратны.
1.35. Используйте задачу 1.34.
1.38. См. задачу 1.36. а), е). Для доказательства единственно-
единственности используйте задачу 1.34. г), з).

§ 2. Гладкие функции
2.2. Проинтегрируйте данное тождество по у по промежутку
[0; 1].
2.3. С произвольной степенью точности аппроксимируйте /(И>
равномерно на [а; Ъ] многочленом. (Возможность такой аппроксп-
мации следует, например, из 3.8.6).)
2.4. Изучите ряд Тейлора функции / в крайней точке про-
промежутка, на котором i{x) = 0.
2.5. Примените индукцию по и. Воспользуйтесь формулой
f (n
\
и, рассуждая от противного, изучите производные функции
2.6. Докажите, что либо /' [х) ^> q, либо /' имеет
бесконечно много экстремумов.
2.7. Пусть х, б 65 @; 1). Тогда
F - 1) х/' (х)
где х s= (Sx; а;). Поэтому
f(x) — f(8x) 1 —б
/(*)-/F*)
O\(i—S)=s\ =
~ 1-6
Выбирая б близким к единице, делаем малым второе слагаемое,
а затем, за счет выбора х — первое слагаемое.
2.8. Проверьте, что
~h'(t) = ~ j f (X) g (t -X) dX= ^ f (X) (g (Х+ t) -, g (X-t))dX=
T 0
/ tx+t T
= JJ+j J + J
\ р о х-г г—
—T 0
Tx+t / tx+t T x+t
j j JJj J J j
о я—г \ р о х-г г—г гт—x—t
где Р — прямоугольник с вершинами @; ?), (t; 0), (Г; Т — t) и
B' — t; 21). Так как Р с [0; Г]2, то первый интеграл неотрицате-
неотрицателен, а остальные два интеграла равны нулю в силу нечетности
функции g'.

2.9. Запишите /A/2) по формуле Тейлора: /A/2) = }(х0) + ...,
полагая ха равным 0 и 1.
2.10. а) Исходя из тождества
f'W=2h f (/' {X) ~~ f' [X
—h
dt
• f(x + h) -j(x-h)
2h
и применяя к подынтегральному вырая«ению формулу Лагранжа,
приходим к неравенству
1 ( С
/'(*)|<гА J
для всех h > 0. Выражение в правой части имеет минимум, рав-
равный -\/2М0М2. Неравенство превращается в равенство для кусочно-
х 1 t \
гладкой функции / (ж) = \ 2 ~\- ср (и) du\ dt, где ф(и) =
о \ о /
, ф(и) =0 при
= —2 sign и при |и| г^
прерывной функцией фЕ
и I > 1. Заменяя ср не-
так, как показано на рис. 17, получим
С2 — гладкую функцию /е, причем для
nee Mi/iM0M2 -»- У2~при е->-0.
Доказанное неравенство допускает
следующее механическое истолкова-
истолкование: если движение точки происходит
на отрезке [—Мо', Мо], а ускорение по
абсолютной величине всегда не пре-
превосходит М2, то ни в какой момент
времени скорость точки не может быть
слишком большой. Точнее, она не пре-
превосходит У2Ж0М2. С аналогом этого
факта все знакомы из школьного курса
физики: при свободном падении (с ну-
нулевой начальной скоростью) мгно-
мгновенная скорость тела равна l'2gS, где S — пройденный телом путь,
g — ускорение силы тяжести.
б) Замените в предыдущем рассуждении промежуток
[x — h; х + h] па [х; х-\-Щ. В результате получится неравенство
Мх ^; 2УЖОЖ2.
г) Примените аналогичный прием, выбирая Л из промежутка
[0; F — я)/2] и интегрируя по [х; х + h] или по [х — h; h) в зави-
зависимости от знака X1— (о + &)/2.

в) В uiOiii случае удобно цри.иешпь ииое рассуждинми, Скла-
Складывая почленно равенства
f(x)-f@)=xf'(x)--2 *У(с,).
/ B) - / (х) = B-х) f (х) + j B - zJ /" (ся),
получил
2/' (х) = / B) - / @) + у {/Г {Су) - B - т? f" (c2)),
откуда сразу следует искомая оценка. Ее точность демонстрирует
2
а;
пример: / (ж) = ~ 1-
(X)
2.11. Из сходимости интеграла \ I /" (х) \ dx (если интеграл
о
расходится, то доказывать нечего) вытекает, что существует
оо
с = lim /' (.г), а из сходимости \ | / (х) \ dx — что с = 0. Рас-
о
смотрим функцию g, задаваемую условиями
(будем для определенности считать это число положительным).
Она убывает, выпукла и удовлетворяет неравенйтву g(x) ^c /(г)
(следствие неравенства g' (х) < /' (х) = — I f" (t) dt). Прово-
J
дем касательную к графику g в точке 0. Тогда а =
точка ое пересечения с осью х. Сравнивая площади,, получаем:
сю оо
¦j f @) а < Г max (g (х); 0) dx < | / (х) \ dx,
о о
откуда
Заменяя сначала |^'@)| на \ | /" (х) | dx и затем
о
метрическое средним арифметическим, получаем а) и б).
среднее гео-

Для доказательства того, что константы 2 и ('2 не могут быть
улучшены, аппроксимируем функцию h(x) = max (I — кх; 0)
{к > 0) выпуклой функцией /se=C2([0; +<»)), как показано на
рис. 18.
Тогда
!/№+?)
/" (х) dx =
= к,
и поэтому
оо
= (/ (О)J = 2-^,-к и 2 J |
оо
б) J
dx
/с = -[/2 = У2 / @)
при А- = 1/|'Z.
2.12. По Формуле Тейлора
\f"{t)(i-t)dt,
откуда следует, что
j /" @ A -
dt
= | а, |. Применяя к инте-
интегралу неравенство Буняковского, получаем оценку снизу:
1/2
1
"Уз"
Равенство достигается в том случае, когда функции f"(l) i 1-1
пропорциональны, откуда / (t) = -g t (t — 1) (t — 2).
2.13. Пусть Fn = {х\Р-пЦх) = 0}, Gnr=U\Fn. Докажите
вспомогательное утверждение (А): Если / не является много-
многочленом на некотором открытом интервале Д, то для любого п най-
найдется составляющий интервал Д-Л непустого открытого множества
Gn П Л, на котором / не является многочленом.
Из (А) легко выводится утверждение задачи: предположив,
что / не многочлен на R, построим последовательность вложен-

ных интервалов An = (а„; &„) a Gn, [an+u bn+l] а Дя, пересечение
которых непусто, что противоречит условию.
Предположим, что (А) не выполняется, т. е. что для некото-
некоторых п и Д функция / — не многочлен на Л, но ее ограничение на
любой составляющей интервал множества Gn П Д является много-
многочленом. Обозначим символом а(х)
(х <= Д) максимальный промежуток,
обладающий свойствами: жео(ж)~
с: A, f\a(x) — многочлен. Проверьте,
что если ограничения / на два при-
примыкающих промежутка — многочле-
многочлены, то / — многочлен на их объеди-
объединении. Покажите, что если а — гра-
граничная точка а(х), то: 1) сущест-
существует последовательность хь. е Fn,
xh?=a, xh-*-a; 2) /(m> (a) = 0 для
всех т ^ га; в) /(?l) обращается
в нуль на а(х). Тогда, в частности, j{n)(x) = 0 для всех п еС,П
П Д, что невозможно. (Решение Д. Ю. Бураго).
2.14. Формальным почленным дифференцированием получите
рекуррентное соотношение, связывающее последовательности {ап}
и {[}„}. Убедитесь, что за счет выбора [Jn можно добиться возмож-
возможности почленно продифференцировать ряд.
2.15. Можно считать, что а = 0. Тогда
11 1
± 1.
Рис. 18
о 5
и в качестве g, (ж) можно взять
2.16. Заметьте, что если / констапта, то из б) и в) вытекает,
что F(J) = 0. Двукратное применение результата предыдущей за-
дачп дает представление
= / (а) -г- 2 (^ ~ *j) Ь («) + 2 (^i - ")) (^ - aft
hi
ik W.
где
((о) = -j— (а). Остается еще раз воспользоваться а), б), в).
2.17. Отбрасывая тривиальный случай, когда / = 0, будем счи-
считать, что число а = inf {t\f(t) > 0} равно нулю (иначе можно сде-
сделать замену и = t— о). Тогда из условия вытекает, что при t > 0
f(t)g(t)
с + j /
(ж) Л:

Переходя к первообразным, получаем неравенство
1п\с+ \ 1 (х) g (x) dx < In С + ( g (x) dx.
\ 0 / 0
Тогда
С + J / (*) g (x) dx < С ехр И g (Я) dx j,
0 \9 /
откуда непосредственно вытекает требуемое.
Для доказательства следствия заметим, что поскольку | h (t) \ =
t t
h' (x) dx <; I | h' (x)\ dx, то условию первой части задачи
удовлетворяют функции f(i) = \h'(l)\, g(t) = М и число С = 0.
2.18. а) Воспользуйтесь тем, что /(/, — 1ц) = /('.,)/(//,)¦
б) Воспользуйтесь тем, что cos (a; I) есть полусумма двух
положительно определенных функций.
2.20. Представьте функции fag через их преобразования
Фурье.
2.21. б) Воспользуемся тождеством
,„ С cos (x; t) — 1
-И =са „ , цп+га dt- r«G cra>°
„' I! l 11
Rn
(ср. с задачей 1.26.6). Тогда (см. задачу 2.18.6)
= с*[
(cos
2.22. б) Вос[Юльзу11тесь тем, что, как следует из неравенства
A), матрица
/@) f(l)
положительно определена при любом f e К.
в) Воспользуйтесь положительной определенностью матрицы
/@)
при любых t , t e R,

2.23. Пусть zx, ..., zm s С и zi + ... + zm = 0. Тогда при s > 0
e'VCj-'ft) _ !
VV
Переходя в этом неравенстве к пределу при s -*¦ 0, получаем нера-
неравенство
2 Ф(';-'к)г
2.24. Утверждения в), г) следуют из б), б) следует из а) и то-
того, что Sh(x) = 0 (х Ф —8/ч), а) проверяется непосредственно,
1
д) вытекает из равенства g — — -^gSf.
Для доказательства е) воспользуйтесь тем, что из условий
)"(х0) = 0 и Sf(x0) <0 следует, что f'{x)f'"{x) <0 в некоторой
окрестности точки х0, и рассмот-
рассмотрите возможные комбинации зна- ss \ __^
ков f'(x), f"(x), f"(x) по обе сто- ' '"
роны от хв.
2.25. б) Пусть й(, ..., ап-\ —
корпи многочлена f(x). Тогда
4B:
Рис. 19
2.26. Предположим, что а = /'(с) > 0 — минимальное значе-
значение /' в окрестности точки с. Тогда график функции / выглядит
так, как изображено на рис. 19. Выбирая х\, х%, хз, хц, как показано
на рисунке (причем х2 и х3 достаточно близки к точке с), имеем:
/ Ы - / (Ъ) / (Хз) - / К) t (Xl) - / (*3) / (Я2) - / Ы
где Si, e2, 83 — малые положительные числа, а через 6 обозначено
/ ы - / к) _
выражение . Переходя в этом равенстве к пределу
xt~xi
при х-2, х3-+с, получаем Ъ(а—Ъ) < 0, что противоречит условию.
Полезно отметить, что если функция /еС3(Д) монотонна, то
справедливость неравенства из условия задачи для произвольной
четверки точек х, < х2 < хг < ж4 равносильна условию Sf < 0.

§ 3. Многочлены Бернштейна
3.1. б) Для вычисления сумм Sn,o и 5П|1 воспользуйтесь бино-
биномом Ньютона и равенством
0<k<n
Суммы Sni, Sni и Sni4 вычислите с помощью рекуррентной фор-
формулы а).
3.2, а) Сравнивая суммы а„,о и Sn:l (см задачу 3.1), получаем
б) Сравните суммы on,e и SnA и воспользуйтесь неравенством
SnA(x) < тг2/4.
3.3. а) Используйте результат задачи 3.1.
3.4. б) Воспользуйтесь неравенством
Bn((f~Af; х) =Вп(р; х) -2ABn(f; х) + 42 > О
при Л = Bn(f; x).
3.5. Убедитесь в том, что
-о.-') 2
3.6. а) Воспользуйтесь равенством 2 ^п2^ A"~ х)п~~к = 1.
б) Достаточно рассмотреть случай, когда sup / = 0 (в против-
д
ном случае следует рассмотреть функцию /=/ — sup/). Тогда
д
f(kjn) ^с 0, если fc/n s А, и, следовательно,
¦г—ft
Осталось воспользоваться неравенством а) задачи 3.2.

в) Пусть sup/ = O. Можно считать, что sup / <!-—1 (птого
д д' \ д
можно добиться, умложая функцию f на положительную постояН'
ную). Положим Д = (а; Ь), Д' = (к; р), 0^а<а<6<^<1,
Л/= sup /. Тогда
[0.11
- x)n'k + 2 ^ )
— У — У — У -i У
Докажем, что ^l*^ 2г дл'1 7Ю«таточно больших веМ (неравенст-
(неравенство ^4^2^ Доказывается аналогично). Поскольку слагаемые в
сумме ^_i"e уоывают, то достаточно доказать, что
МпС\?п]х[ап1 A - z)n-t«"J < с\?п]х[ап1 A - х)п~1ап\
т. е.
МпС\?п] (xl(\ - Ж))[««]-[ОП1 < с\?п1.
Левая часть :>того неравенства убывает с ростом х. Поэтому его до-
достаточно проверить при х = а. Так как л/ С\]'п^ >P~v(i—p)p~1
(см. задачу TI 1.8), то достаточно убедиться в справедливости не-
неравенства а'Л{\ — а)'"а < atc(l — а)'~а при а < а, а это очевидно,
так как левая часть последнего неравенства убывает с ростом а
и совпадает с правой частью при а = а.
3.7. Применив неравенство б) задачи 3.6 к функциям (/ — g)
и {g — f), покажите, что #„(/; х0) —Bn(g\ х0) -*¦ 0.
3.8. а) Примените неравенство б) задачи 3.6 к функциям
(f(x)-f(xo)) и (f(xo)~/(x)).
б) Зафиксируем е > 0 и подберем такое число б = бе > 0, что
|/(/) — 1(х) | < е, если х е Д, t ев [0; 1] и |i — х\ < б. Пусть М =
= ,чцр|/|. С помощью неравенства а) задачи 3.2 получаем
Го;1]
2 (/(*/»)-/И)
Таким образом, \Bn(f; х) —}{х)\ < 2е, если п > М/Bеб2) us4.

в) Достаточно рассмотреть случай, когда f(x) = 1 прп х ^ х0
и f(x) = 0 при х > х0. Тогда
\П—h
Для подсчета этой суммы разобьем ее на две части Si и S2, выде-
выделив вклад слагаемых с «палыми» номерами:
S
6
(здесь б = 6„ — малы!! положительный параметр, выбор которого
мы уточним позже). Оценивая сумму Si с помощью неравенства
3.2.а), мы видим, что Si = ОA/(п52)). С помощью формул Стир-
линга и Тейлора получаем, что для слагаемых, входящих в 5?,
справедливо равенство
Теперь будем считать, что б = б„ выбрано таким образом, что
га8^^- + оо и п8^->-0 (например, б„ = п-2/5). Тогда Si = o(l) и

3.9. а) Из условия следует, что \ / [х) Вп (/; х) dx = 0 для
о
гее N.-Так как Bn(f)^f на [0; 1] (см задачу 3.8.6) при Д =
1 1
f f (x) dx = lim f / (x) Bn (/; x) dx = 0,
О О
и, следовательно, / = 0.
l
б) Ясно, что \ (ах -\- Ь) (xn+1 (I — xf)" dx = Q для всех а, Ь eR
о
ureeN. Пусть f (х) = f (х) — (ах-j-Ь), где а и & подобраны
так, чтобы
1 1
f J(x) dx = 0 и Г 7 И ж йж = 0.
о о
1 1
Так как f 7(ж) (жп+1 A — xf)" dx = 0, то числа Мп= [j(x) xn dx
о о
удовлетворяют рекуррентному соотношению
г 1
Пользуясь равенствами Мо = \ } (ж) dx = 0, Af х = \ / (х) х dx = Q,
о о
получаем отсюда, что Мп = 0 для всех п = 0, 1, 2, ... Осталось
воспользоваться результатом задачи 3.9.а).
3.10. Покажем, что можно ослабить условия на функцию g из
класса С2([0; 1]), потребовав лишь, чтобы она и ее первые две
производные обращались в нуль на концах промежутка [0; 1].
Действительно, для любой такой функции g и для любого числа
/ж —Д\
Ле=@; 7г) функция gA, равная gL _ 2д 1 при ie[A; 1 — Д]
и нулю в противном случае, удовлетворяет условиям задачи. По-
Поэтому
1 1-Д
~ 2Д)) g" (x) dx.

1
Отсюда следует, что I / (х) g" (х) Ах = 0. В частности, это равен-
о
ство справедливо для функций g вида g(x) = xp+n(i— х)р, где
р > 2 и re 5s 0. Переходя к пределу при р -»- 2, получаем, что
1
1 / (ж) (ж2+и A — жJ)"йж= 0 для любого п Js 0, а это равно-
о
сильно (см. задачу 3.9.6)) линейности функции /.
3.11. Примените результат задачи 3.8. б) при Д = [0; 1] к функ-
функции f (х) — /(агссоэж).
3.12. а) Сформулируйте и докажите двумерный аналог нера-
неравенства а) задачи 3.2, а затем модифицируйте решение зада-
задачи 3.8.6).
3.13. С помощью индукции докажите тождество
*<„г) (/;*) =
= п (в -, 1) . .. (п - г +
где
() - / iv), tsff (v)
Воспользуйтесь равенством Л?"'/ (у) =~/гМ У + ~9 1, где 0е (№; 1).
3.14. а) Пусть число М > 0 таково, что |/(ж) — f(y) \ ^
sg; М\х — у |а для всех х, у е [0; 1]. Тогда
„ (/;*)-/(*)! =
Положим ph = С^жй A — x)n~h. Из результата задачи 3.1.6) сле-
^ ^, (к у хA- х)
дует, что ? ^=1и 2j рЬЫ~х} ~ п -
неравенством Гёльдера (см. задачу VII.1.29), получаем
| Вп (/; х) - / (х) | <
B-а)/2 / -г, (к \2\а/2 (хЦ—х)\а/2
B ) ^р}
/ -г, (к \2\а/2
B ^т— ) =
6) Для оценки снизу Sn(/a; 1/2) рассмотрим суммы
»ай= 2 с*** а - *)"-* i * - в* ia.

Из неравенства Гёльдера следует, что sa+b(x) < («ра(ж)I/г> X
1 1
X (sqb (х)I/q, если р, q > 1 и — -j-— = 1. Подберем параметры а,
Ъ и р так, что
4 — а
I 2а 2 — а
а + b = 2, ар = a, bq = 4 I а = ^ _ а, 6 = 4 ^ _ а,
4 — а\
g, ? = 2 _'д )• В этом слутае последнее неравенство при-
принимает вид
s2 (ж) < s2/D-a) (х) gB-«)/D-a) (ж)_
Так как (см. задачу 3.1.6)) s2(a) =ASn]2(a;) = nx(l — х) и s4(a;) =
= д?„]4(ж) ^ п2хA — ж), то геа/2жA — x)^.sa(x). Следовательно,
n-asa(x) ^ жA — ж)/гаа/2. При х = 1/2 получаем
Bn(U; 1/2) -/„A/2) = В„(/„; 1/2) = re-»sn(l/2) ^ 1/D«а/2).
3.15. а) Запишем Вп (/; ж) в виде Bn(f;x)= ^ Pkf (к1п)'
где pft = С^жй A — ж)и~й. Так как 2 pft = 1 и
(см. задачу 3.1.6)), то с помощью неравенства Иенсена (задача
VII. 1.1) мы получаем
Pk\\=f{x).
j
6) Допустим противное: существуют такие числа а, Ь, х, что
j? . л Ту X
0<«<КК1и /(ж)> гПГ^ / (ь) + ь^Г^ / («О- Будем счи-
считать, что /(а) = /F) = 0 (этого можно добиться, вычитая из / ли-
линейную функцию). Кроме того, можно считать, что / (х) = max /.
[а;Ь]
Из результата задачи 3.6. в) следует, что Bn(f; x) </(х) для до-
достаточно больших га, а это противоречит условию.
3.16. Для оценки величины Дп (ж) = Вп (/; ж) — / (х) —
— 2^ /" (х) запишем разность 5„(/; х) —/(ж) в виде
г
Воспользуемся таким вариантом формулы Тейлора
/" () (г J+(г )
где функция ф непрерывна на квадрате [0; 1] X [0; 1] и равна
нулю при t = х. Полагая t = к/п, получаем
к \ f"(x)[k \2 [ к \( к \2
) + ЧД ) + ( ]()

Подставив это выражение в (*) и воспользовавшись результатом
задачи 3.1.6), приходим к равенству
т
Зафиксируем теперь произвольное число 8 > 0. Пусть 6 = бЕ > 0
таково, что |ф(<; ж) | < 8, если \t — х\ < б. Тогда
ж A —ж) Мх A — ж)
где М = sup|ф[. Таким образом, ]Д„(ж)| sc2sx(l — ж)/га, если и>
3.17. По поводу задач 3.17, 3.18 см. [40]. Положим
A
1
/(/) = j
Из результата задачи 3.16 следует, что 5„(ф)->/(ф) для любой
функции феС2([0; 1]). Для доказательства сходимости в общем
случае запишем сумму Sn(f) в виде Sn(f)= ^ f(jln)an,i> гДе
Достаточно убедиться в ограниченности сумм 2] I an jl- Дейст-
вительпо, пусть 5] I an i I ^ с> ¦^== тах I (жA — ж) ^ (ж))- За-
фиксируем произвольное число 8 > 0 и подберем такую функцию
Ф е С2([0; 1]), что max | / (х) — ф (ж) | < s (в качестве ф можно
0<<1
взять многочлен Бернштеина BN(j) с достаточно большим поме-
ром TV — см. задачу 3.8.6) при Д = [0; 1]). Тогда
| sn и ~ Ф) |
- Ф)
1 sn (ф) -

Следовательно, Sn(j)->I(f) для любой функции /еС([0; 1]), ес-
есara,j I= ^ (!)• Для оценки этой суммы восиоль-
зуемся гладкостью функции g: g I— j = g I —j + g' ("^")"~re~~ +
O
Vi I
S[ T
. Это дает
cl
П—J
к \) ! ft \n-j к — j
2 D/0-4
»-J /ft — / 2
Так как функция ^ равна нулю интервала (а; Ь), то отсюда
следует, что
где
n max I ? I + ^n max \g'\ + O{i) Cn,
k\n-j
c.-~i 2°%
Изменив порядок суммировапия и воспользовавшись результатом
задачи 3.1.6), получим
Осталось доказать ограниченность сумм Ап и Вп. Для оценки сум-
суммы Ап запишем ее в виде
где Ф,@ = P{n — t)n~i при F [0; га]. Используя результат зада-
задачи VI.3.15. б), получаем
п \
i
2 Ф, (А) = j Ф, (*) dt + О

'Гак как функция ср^ па промежутке [0; п] меняет знак лишь два
раза, то
п
[ | ф- @ \dt < 4 max | Ф' (t) I.
Несложные вычисления показывают, что
max ф. (t) = ф. (/) и max I Ф'. (f) I = I ф'. (/ + О ("]/«)) I.
Ф; @
Из равенства ^- (t) — n t, ,, (/—t) следует, что при /
e [ore; bra]
max I ф'. (t) I sg -~Z max ф ^ _ о l-—r=. f (n — j)n~} .
<t<n ' l/ra o<t<n \ V ra /
С учетом равенства
n 1
ra"+1
о о
получаем отсюда
= 0A).
Сумма Вп оценивается аналогично.
3.18. Воспользуйтесь результатами задач 3.17 и 3.10. а).
3.19. Необходимость условия / @), /(l)eZ очевидна. Если же
оно выполнено, то многочлен / Cnf (— 1 \х A — х)п мало
отличается от многочлена Bn(j; x):
2 Chnf{kln)xh(i~x)n~k
ft-
1
Остается воспользоваться результатом задачи 3.8.6) при Д = [0; 1].
3.20. Для вычисления В-п ' (/; 0) используйте тождество, при-
цеденное в решении задачи 3.13.
3.21. а) Убедитесь в том, что ДЛ/ = 0 при к > т и воспользуй-
воспользуйтесь формулой для Bn(f; x) из предыдущей задачи. Равномерная
сходимость следует из результата задачи IV.5.13.

б) Запишем Bn(f; x) в виде
Я„(/;аО = н-т ^ Ътс\х]1{\-
й-Ch-cn
где
Fx @),
Легко видеть, что
причем все коэффициенты
dm ,
i«j«
max
! неотрицательны. Поэтому
j,m -- ? i,ml I --»
)
dm
— ^ @).
Осталось заметить, что F\(t) = eni и, следовательно,—^^@) = пт.
По поводу этой задачи см. также работу С. Н. Бернштейна [2].
3.22. а) Очевидно, мы можем считать, что г > 1. Зафиксировав
произвольное число 8 > 0, подберем столь большой номер N = N,,
чт0 2 \ст\гт < г. Пусть Р(х)= 2 V™ и Р(ж) = /(*)-
m>JV 0<m<N
— Р(х). Тогда Я„(/) — f = Bn(P)— P + Bn(p) — р. Разность
Вп(Р) —Р равномерно мала на [—г; г], если п достаточно велико
(см. задачу 3.21. а)). Так как
2
m>N
2 I
m>N
то остается оценить Вп(р', х). Для этого воспользуемся неравенст-
неравенством 3.21.6):
2 I сш I max A; | х \т) < 2 |
m>N m>N
е-
Более тонкий результат получен в работе Л. В. Канторовича [9].
б) Воспользуйтесь неравенствами 3.15. а) и 3.21.6).
3.23. а) Сделайте замену переменной у = х/A—-ж).
б) Воспользуйтесь тем, что умножение на ж + A — х) не ме-
меняет многочлена.
в) Необходимость условия очевидна. Для доказательства до-
достаточности вычислим коэффициенты вп. Пусть Р (х) = 2j bjX:i.
04.j4.rn

Сделаем замену переменпой y = x/(i — x). Тогда из равенства
2 ъ^= 2 <**A-*)
*A-*)"-* следует, что
апУ ¦ Приравнивая коэффициенты при равных степенях
переменной у, получаем
Поэтому а\~> 0 при /с = 0, 1, ..., га для всех достаточно больших
номеров га, если многочлен Р положителен на всем промежутке
[0; 1]. В общем случае представим многочлен Р в виде Р(х) =
= хаР{х) A — х)ь, где Р > 0 на [0; 1]. Так как коэффициенты
разложения многочлена Р по базису {xh(l — х)п^а-ь-к}о^к^п-а-ь
положительны, то из этого представления вытекает, что коэффи-
коэффициенты @М разложения многочлена Р по базису
{xh(i — x)n~h}osiksin положительны для к = а, а + 1, ..., га — Ь и
равны нулю для остальных к.
§ 4. Почти периодические функции
и последовательности
4.1. Положим б(х) = ж— [ж], /;„ = б(геЯ). Поскольку Я ирра-
иррационально, /)„ ф р,„ при и =?*= т. Заметим, что рп+т = (рп +
+ рт) mod 1 при любых п, т eZ. Для любого N > 1/в среди то-
точек /)i, ..., рп найдутся две, расстояние между которыми меньше 8.
Пусть /ч, кг (&i, k^^-N)—такие номера, что 0 < pft —/>fe < 8, и
пусть т = /с i — /с2. Тогда 0 < рт < г. Пусть reN таково, что
1 — 8 < ргт < 1. Тогда если р„ е= (а — в; а + в), то либо />п+та, ли-
либо рп+гт попадает в этот же интервал. То же можно сказать об
одной из точек рп-т, Рп-гт- Таким образом, расстояние между со-
g
седними решениями уравиеиия гаЯ = a (mod 1) не превосходит
/, = г|77г|, что доказывает второе утверждение.
4.2. а) Рассмотрим множество
Г={(ж; y)|*(i) = 6(V), у(*) = 6(У); ieR}-
Проверьте, что при иррациональном Xi/X2 множества Ах —
= {x(t)\y(t) = 0}, Ау = {y{t)\x(t) = 0} всюду плотны на [0; 1)
(воспользуйтесь 4.1). «Кривая» Г состоит из отрезков (рис. 20),
которые получены при пересечении квадрата [0; 1) X [0; 1) с се-
семейством параллельных прямых, имеющих угловой коэффи-
коэффициент X2Ai и проходящих через все возможные точки мно-

жеств /l.vX{0}, {0} X Ay. Ее называют иррациональной обмоткой
тора Т1 = [0; 1)Х[0; 1) se R2/Z2. Мы рекомендуем читателю про
следить за движением точки (x(t); y[l)), где, например, хA) —
= t mod I, y{i) = i}'2 mod 1, на достаточно большом промежутке
изменения параметра t. Из описанной выше структуры множест-
множества Г следует, что оно всюду плотно в
[0; 1) X [0; 1), что равносильно разре-
разрешимости системы A).
Рассмотрим последовательности
1
ib = т~ (k -f- а ), yh — y(tk).KaK уста-
1
новлено в задаче 4.1, существует отно-
относительно плотное множество таких
s
к<=1, при которых Vk— a2- В то же
время ад = z(tk) = «ь
б) Перейдем к целым решениям си-
системы A). Иррациональность %\ и %2 Рис. 20
приводят к тому, что точки ph~ (xh', у и),
где на этот раз Xk = x(k), ун — у(к), оказываются попарно раз-
различными. Тогда ри имеют точку сгущения. Следовательно, для лю-
бого s > 0 найдутся такие к
,
Z, что координаты |, т) точки
Ph —Рк е ^ удовлетворяют условию |? | < s, |т)| < 8. Из ир-
иррациональности Я2/А.1 следует иррациональность т]/?, и поэтому об-
обмотка тора Г = {(б (|t); б (r)i)) | i s R} всюду плотна в квадрате Т2.
Пусть m = к1 — к2: Тогда точки prm, r e. 1, образуют 8")'2-сеть на
каждом отрезке, из которых состоит Г, а значит, и в квадрате
Q4
is,
?
Qi
s
Qz
aep+Q,
Рис. 21
Пусть pn = (xn; Уп)~ такая точка, что \хп — а\\ < 8, \уп — а2\ < е.
Для каждого из четырех открытых квадратов Qi, ..., ?>4 (рис. 21)
со стороной е, примыкающих к углам квадрата Т2 и содержащихся
в нем, подберем натуральные числа г\, ..., г4 так, чтобы точка Pr.m
попадала в ?>, (одно из чисел г; можно взять равным единице).

Тогда для любого п, являющегося решением системы A), одно из
чисел п + rim также будет решением A) (а также и одно из чисел
п — ггт, см. рис. 21). Из оттого следует, что в каждом интервале
длины L = max ri | т | на прямой имеется по крайней мере од-
но целочисленное решение нашей системы.
4.3. Докажем, что система разрешима при любых Хи ..., %п.
Положим tn = гаД,, хг(Ьп) = 8{Xttn), f=l, ..., к, га е= Z.
Тогда Xl(tn)=0, а точки рп= (x2(tn); . ..\ xk(tn)) s Th~x =
_ [0; 1)Х... Х[0; 1) ИМе[от точку сгущения. Рассуждая, как и ре-
k—1 раз
шенин предыдущей задачи, напдем такое га0 ^ 1, для которого
*<D)<е-
4.4. Докажем, что для вещественной разрешимости системы 1[ри
любых Я], ..., ah и s числа %и ..., \k должны быть рационально не-
независимыми (несоизмеримыми), т. е. соотношение «ili + ¦ • • гаДь =
= 0 (п^ е Z) должно выполняться лишь при щ = ... = пи = 0.
Пусть га , ..., nteZ и система имеет решение t при любых зна-
значениях ai, ..., аь. и 8. Тогда j A,»t — а» — "Ч | < 8, г = 1, ..., к, для
некоторых »у .,., mk e=J, т. е. | 2 гегV " 2 геЛ ~2 "А |<
<e2|rei|- Если 2"jA.i = 0> т0 в силу произвольности в отсюда
следует, что 2 niai e ^- Поскольку числа аи ¦.., ад произволь-
произвольны, и, = ... = re* = 0. Опираясь на задачу 4.2.а), можно по ин-
индукции доказать, что рациональная несоизмеримость чисел %\, ...
..., Ль гарантирует существование относительно плотного множест-
множества решений.
4.5. Покажем, что необходимым и достаточным условием по-
положительного ответа на вопросы а) и б) является рациональная
независимость чисел Xi, ..., Ль по mod 1. Предполагая существо-
существование целого решения т и фиксируя произвольные числа
H.J,..., nseZ,приходим, как и в предыдущей задаче, к неравенству
| 2 пгКт - 2 \аг - 2 "гтг | < 8 2 | Пг |-
Если B гег^г) m°d 1 = 0, то 2 ni^im s Z, и, следовательно, в си-
силу произвольности 8, 2'ггаг6=^' откуда, как и равьгае, вытека-
вытекают равенства п\ = ... =гц1 = 0. Доказательство достаточности по-
получается обобщением рассуждения из решения задачи 4.2.6).
А.б. Если а и 6 соизмеримы (т. е. число а/b рационально), то
функция / периодична, а среднее значение / за период равно ну-
нулю. Если я/6 иррационально, то найдутся сколь угодно близкие
точки максимума (минимума) обоих слагаемых (см. задачу 4.2.а).
4.7. Для проверки первого утверждения рассмотрите систему
уравнепий Xht = 0 (mod 2я), k = i, ..., га, и воспользуйтесь за-
задачей 4.3 (см. также задачу 4.15).

Предположение о периодичности / влечет справедливость тож-
тождества 2aft^e "k ~~ ^' е к "^® (т—период). Полагая bh =
= afe (е — I) и дифференцируя это тождество в нуле, получаем
равенства 2 ^Г^й = ^' т = 0, 1, 2, ... Поскольку %н попарно
различны, определитель Вандермонда det (Я™)^=1т=о отличен от
нуля и, следовательно, все bk равны нулю. Но это возможно лишь,
если ^fe i-> т е hh попарно соизмеримы.
4.8. Используйте задачу 4.4.
4.9. Пусть существует такое L > 0, что для любого е е @; е0)
в промежутке [1; 1 -f LJ имеется т8, удовлетворяющее неравеству
| / И - / (х + те) | < е, х s R. A)
В силу компактности отрезка найдутся такая последовательность
е„ | 0 и такое т, чтотЕ -^-т. Переходя к пределу в неравенстве A),
мы убеждаемся в том, что т является периодом /.
4.10. Равномерная непрерывность и ограниченность доказыва-
доказываются почти так же, как в периодическом случае. Например, для
оценки \f(x\) —/(#г) I используйте почти период т, взятый в про-
промежутке (—х\\ —х\-\-Ь). Ответы на остальные вопросы — как и в
периодическом случае: существуют; не следует.
4.12. Рассмотртие функции щ(х) =Л~'(/(х + h)—j{x)) (h > 0).
Они равномерно почти периодичны и равномерно на R стремятся
к /' при h -*¦ 0.
4.13. Пусть для простоты, F вещественная, M = swpF(x), m =
R
= inf F (х), е > 0, а х\ и х2 таковы, что F{x{) < т + е/6, F(x2) >
R
> М — е/6. Пусть d = \xi —х2], L — L(e,/Cd)) — число, выбранное
по определению почти периодичности для /. Если т является
е/Cd)-почти периодом /, то для ;, = хг + т, i = 1, 2, выполняется
неравенство
~ F (h) = ^ (хг) + j / (*) dx ~ ^ (zi) - J / И dx =
*' 2e
+ J (/ («1-х)-/ («)) drt>Af-m-j
- F
= M — /я — e.
Отсюда следует, что в каждом интервале длины L -\- d найдутся та-
такие 2[ и z2, что f (zi) < те + е, F(z2) > Ж — в. Тогда для любого ж

и такого Z[ е (т; х + L + <¦?)• что -^('0 < m + E, имеем
/ (х) dx —
X+%
-F (Zj) - j
= ,Р (*, + т) - F (Zj) - J (/ (и + т) ~ / (и)) At >
ж
> то •- (то + е) — (Л -(- d) е = — е A + L -f- rf).
Аналогично доказывается, что F(x + т) — F(x) < еA + L -f й) для
все ж, откуда следует требуемое.
4.14. Необходимость. Рассмотрите последовательности
{f(x + hn)}, ieft и, пользуясь диагональным процессом, выбе-
выберите подпоследовательность к^ = кп, так, чтобы последовательно-
последовательности {f(x + кг)} сходились для всех ie Q. Для доказательства рав-
равномерной сходимости последовательности I/й.| на R воспользуйтесь
равномерной непрерывностью /.
Достаточность. Предположите противное: существуют
ео > 0 и последовательность интервалов {An}, длины которых dn
стремятся к бесконечности и в каждом из которых, нет е0-почти
периодов /. Выберите последовательность {hh} и подпоследователь-
подпоследовательность интервалов \Ап \ таким образом, чтобы
Докажите, что из последовательности \fh ] нельзя выбрать рав-
номерно сходящуюся подпоследовательность, рассмотрев
4.15. Для случая суммы воспользуйтесь критерием почти пе-
периодичности из предыдущей задачи. В случае произведения ис-
используйте равенство fg = ((/ + g-J — (/ — gJ)/i.
4.16. Пусть L = L (e) — такое число, что любой промежуток
длины L содержит е-почти период функции /, С = sup | / (t) |.
Используя почти период т, взятый из интервала (а; а -\- L), a e 1R,
т а+т
CL
докажите неравенство
1 Г If
2у 1 / (х) dx — gyr 1 / (х
*) л)
-Т а-Т
Т
1 С
Ф (D = IF J
) dx
Выведите отсюда, что для qp (Т) — ipf I f (x) dx справедлива оцен-
т
CL
ка | ф (пТ) — ср (Т) 1 < е -f- -у- (n e N). Затем докажите, что

/1 1 \
i) — Ф (r2) I < 2e + сл {T + Y) для такйх Ti " Г2' чт0
Т1/Т2 еС.
4.17. а) Поясним лишь, как из равенства </; /) = 0 следует,
что / == 0.
Пусть |/(.z) |г > е > 0 р некотором интервале (а; 6). Тогда в
каждом интервале длины L — L(e/2) найдется такое т, что
\f{x) |2 > е/2 для х е (а + т; 6 + т). Следовательно,
If
2f ) I/W
1 Г2Г1 е Ъ — а
в) Пусть g= 2 dhb.h' 4eC' A = l, ..., re. Тогда
/; - я> -I- С/; -
2 D - %) 5h - 2
Полагая dh = c,, приходим к доказываемому неравенству.
Счетность множества ненулевых «коэффициентов Фурье» с% вы-
вытекает из того, что ввиду конечности АТ(|/|2) для каждого neN
множество {А,| \с%\ ^ 1/ге} конечно. С другой стороны, для каждо-
каждого счетного набора Х\, Я,2, ... и произвольного абсолютно сходяще-
сходящегося ряда V ak ряд У\ ahel'hX равномерно сходится на R, причем
его сумма /—р. п. п. функция (см. задачи 4.7, 4.11). В силу рав-
равномерной сходимости
0 при %^%k.
Более подробно с затронутыми вопросами можно познакомиться,
например, в [17].
4.18. Воспользуйтесь равенством ап = Ьп + сп.
4.19. Равномерная почти периодичность / влечет периодич-
периодичность {ел}-
4.20. Неверно. Соответствующий пример удобно описать в обо-
обозначениях задачи 4.23. Пологките Ао = 0, Ар = Ар_1А^)__1 ... А^_х
(peN).
4.21. Пусть р = (m; re) e 2. Рассмотрим соседние с р точки
(m + I; re), (m; n ± 1). Заметим, что проекции отрезков, соединяю-
соединяющих (»г+ 1; и) с G'г> "- + 1). а (™—1; п) с (т; ге— 1), на пря-

мую, перпендикулярную сторонам полосы, равны ширине поло-
полосы, откуда следует, что одна и только одна из вершин каждого из
упомянутых отрезков принадлежит Б. Соединив отрезками каждую
точку из 2 с двумя соседними, получим бесконечную ломаную,
лежащую в S, звенья которой параллельны осам координат, от-
откуда легко следует первое утверждение.
Докажем второе утверждение. Рассматривая расстояния от по-
последовательных вершин р, ломаной до прямой у = кх, деленные на
У1 + к2, получим последовательность {^},е2' г> s [0; 1). Тогда
xi + \—Хг = 1/(/с + 1) = а, если ребро ptpi+i вертикально (будем
считать, что в этом случае е, = 1) и xt+i — x, — —kl(k-\- 1) =
= а—1, если р,рг + 1 горизонтально (е, =0). Таким образом, ес-
если считать, что р0 = @; 0), то хг = га mod 1. Пусть es+1 ... e»+i —
произвольное слово, и пусть xs+j = max {xs+u ...; xs+i), 6 =
= 1 — xs+J. Ясно, что в каждом отрезке Z достаточно большой
длины найдется такое число I, что xt+1 е A — б; 1) (см. зада-
задачу 4.1). Легко видеть, что тогда разности xt+l —х,+г, i = 1, ..., I,
одинаковы, а значит, «слова» e3+i...e3 + ; и 8( + 1...бг+г совпадают.
Рис. 22
Аналогичная задача в пространстве приводит к построению ин-
интересного разбиения плоскости. Пусть теперь So —открытый слой

пространства Ik , расположенный между двумя иараллель-
ными плоскостями Р и Q, причем Р(]23 = {@; 0; 0)}, Qf\23 =
= {A; 1; 1)}, a. S — SoU P- Ортогонально спроектировав отрезки,
соединяющие пары соседних точек в S(]23, на Р, мы получим
отрезки, ограничивающие некоторые параллелограммы. Эти парал-
параллелограммы покрывают Р, и их внутренности попарно не пересе-
пересекаются (рис, 22). Полученное покрытие замечательно тем, что оно
состоит из параллелограммов всего трех сортов, не является пе^
рмодическим (т. е. не переходит в себя ни при каких сдвигах), но
является квазпизриодическим в том смысле,'что любая конечная
его часть встречается бесконечное количество раз. Доказательства
этих фактов оставляем читателю.
4.22. Сначала убедитесь, что если А = Ап= е1 ... е п, то е име-
имеет вид А^АЫЫ'АЫЧ1..., где А0 = А,А1=Н — е^ ...; 1 — е V
т. е. верхние индексы снова образуют последовательность 8. Пусть
В — любое слово из в. Если п настолько велико, что слово Ап со-
содержит В, то, как легко видеть, В содержится в каждом слове дли-
длины 2И+2.
4.23. Полезно выделить случай, когда существует такое ге, для
которого Ap+i = АрАр.. .Ар при всех р ^ п. В этом случае е име-
имеет вид АпАпАп ... и, таким образом, оказывается периодической.
В противном случае для слова В из е подберем какое-нибудь
слово вида Аи, содержащее В. Тогда отыщется такое к > 0, что в
слово An+h будут обязательно входить слова Ап и А^. Поскольку
е получается соединением слов An+k n А^^, во всяком слове, дли-
длина L которого равна удвоенной длине An+k, содержится Ап и, сле-
следовательно, В.
Интересно отметить, что е периодична лишь в упомянутом
выше случае, а также если Ар+1 = АрА^АрА^ .,. АхрАр при всех
достаточно больших р (проверьте).
4.24. Очевидно, что s имеет вид As^AsiuAs^As^ ..., где к =
= 211(леМ), Л = Л„ = si...s2fc-i, -1 = sak-i...si. Отсюда сразу
следует почти периодичность.
Если через а(ге) обозначить (—1) "(в е N), то последователь-
последовательность {а(ге)} характеризуется свойствами:
1
1) аBп+ 1) = (— 1)иаA); 2) s2n = -j (а Bп) + 1) —снова по-
последовательность складок. Предположим, что последовательность
(sn\n>n имеет период t = 2aBb + 1). Тогда а(п + 2аBЬ + 1)) =
= о(п) для всех п^ п0. Положив п равным 2а+'т, придем к ра-
равенствам aBaBm -f 2b -J- 1)) = aBa+1m), m ^ m0. Обозначив
aBam) через аа(т), получим последовательность aa, удовлетворя-

ющую 1) п 2). Следовательно,
aaBm + 2b 4-1) = (—l)m+f)aa(l) = аа+,(го), m^ m0.
Но тогда aa+2(m) = (—IJm+6o\j(l) = const, что невозможно.
В качестве следствия апериодичности отметим, что если чис-
числу х е [0; 1), разложение которого в бесконечную двоичную дробь
имеет вид х = 0,eie2... (для однозначности такой записи предпо-
предположим, что среди е„ всегда бесконечное число нулей), поставить
в соответствие у = 0,s,s2..., где {sn} —- последовательность скла-
складок, задаваемая равенствами « п — еГ1^.1, п = 0, \, ..., то получим
функцию, заданную на [0; 1), непрерывную в иррациональных
точках, непрерывную справа в двоично-рациональных точках и при-
принимающую только иррациональные значения.
4.25. Примем за т,„ числа вида п2 , т е N (эти числа удов-
удовлетворяют условию а)) и запишем s в виде AskAs2hAsSbAstk... с
к = 21~\ где А а А — слова длины к — 1 (см. решение задачи 4.24).
Поскольку длина слова AskAs2h равна 21, среди п чисел aj —
= I sj+x —' sj ' / = 41 - - - > ni по крайней мере A—l/k)n чисел
(отвечающих тем s3, которые попадают в какое-нибудь слово ви-
вида А или А) будут нулями. Следовательно,
1 V 1
при достаточно большом I, откуда следуют свойства б) и в).
4.27. Каждое конечное слово w из г содержится в некотором
слове Ап. Проверьте, что /¦ имеет вид BjB2Bs..., где каждое слово
В, имеет длину 2"+3 и содержит Ап. Поэтому любое слово из г дли-
длины 2"+4 содержит Ап и, следовательно, ш.
Отметим несколько любопытных свойств последовательностей
складок s (см. задачу 4.24) и Рудина— Шапиро г.
Если определить s равенствами s2ft= k mod 2, А- = 0, 1, 2, ...,
то /-„+i совпадает с/ 2 s^ — n\moA2, re е N ^•]1 = 0).С этими
последовательпостями связана также интересная кривая (лома-
(ломаная) на плоскости (рис. 23, сплошная линия). Она составлена из
чередующихся «горизонтальных» и «вертикальных» звеньев рав-
равной длины, причем повороты (на 90°) ломаной направо и налево
отвечают, как в задаче 4.24, нулям и единицам последовательно-
последовательности s. Эта ломаная связана с последовательностью г так: числа
г;, г2, ... отвечают горизоптальвшм звеньям ломаной, взятым по
порядку, причем гп = 0, если п-е горизонтальное звено проходится
слева направо, и гп = 1, если справа налево (последовательность
«вверх — вниз» прохождения вертикальных звеньев также напо-
напоминает последовательность Рудина — Шапиро).

С ломаной, отвечающей последовательности s, можно свя-
связать новую ломаную, изображенную на рис. 23 пунктиром. Она
получается из сплошной следующим образом: мы заменяем каж-
каждое звено двумя новыми, служащими катетами равнобедренного
треугольника с исходным звеном в роли гипотенузы. При этом
20212Z Z3 24
s = 01100011011100 iho 110 oo io 0111001
—Г T ! T I I I T I ! I I III
r = o 001001000011101
Рис. 23
вершина такого треугольника отклоняется от сплошной ломаной
поочередно то вправо, то влево. Обратите внимание на то, что но-
новая ломаная получилась из старой поворотом и сжатием в ]/2 раз.
По второй ломаной можно построить третью аналогичным спосо-
способом, затем четвертую, и так далее. Такая последовательность ло->
маных в пределе заполняет сектор на плоскости, ограниченный
двумя сторонами угла в 45°, т. е. определяют кривую пеановского
типа. Попробуйте самостоятельно исследовать кривые, возникаю-
возникающие подобным образом из последовательностей складок с другим
чередованием нулей и единиц в последовательности Is n] ('напри-
I 2 J \
мер, s =lYa также соответствующие предельные множества па
2 /
плоскости. Подробнее о вопросах, затронутых в задачах 4.24—4.26,
можпо прочитать в статьях [35], [42].
Глава VIII. МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
§ 1. Мера Лебега
1.1. Воспользуйтесь равенством Л "^
где Е'к = @; i)\Eh. Докажите, что Я ( U Е'Л < 1.
Eh = @; 1)\ U E'h,
1.2. Рассмотрите множества Е^=~ zfe 1Е (к = 1, ..., т) и, ис-
используя задачу 1.1, убедитесь, что Л Е^Ф0- Возьмите точ-
точку zQ из множества Л Ek.

1.3. а) Разобьем пространство 1Нт на кубы с вершинами в точ-
точках решетки 1т: >Ят = [} Qv где Q, == {I + у\у s [0; 1)™}.
«Сдвинем» все множества Е П Qi в куб [0; 1)™, т. е. рассмотрим
множества Ег = {х — 1\х е Е П Qi). Так как
l i
то множества Ei не могут быть попарно дизъюнктными. Следо-
Следовательно, найдутся такие различные векторы I', I" e 2т, что
Ег, П Ev, Ф 0. Пусть « <= Ev П ?г„. Тогда а — х' — 1' =
= х" — Г', где х', х" е Я. Таким образом,0 ф х' — ж" =Г -/"eZm.
б) Рассмотрите множество ? = j-rj- a; | x e у| и используй-
используйте п. а).
1 }
~2 x[x^V> и, рассуждая по
аналогии с решением п. а), докажите, что найдется точка, при-
принадлежащая но крайней мере (N-j- 1) множеству Ei. Выведите от-
отсюда, что в Е найдутся попарно различные точки хи х%, ..., xN^.i
такие, что xt — x^ s Zm. Рассмотрите такой номер s, что точка
xs пе принадлежит выпуклой оболочке остальных точек. Проверь-
Проверьте, что все точки :t(xh — xs), где к ф s, попарно различны и, сле-
следовательно, являются искомыми.
1.5. Докажите, что мера множества тех точек интервала @; 1),
у которых ни одна из первый п цифр десятичного разложения не
равна нулю, есть (9/10)".
1.6. а) Рассмотрите такие множества Еп 5 что 2(^—^Г^"ь))<
< 1. Используйте ту же идею, что и при решении задачи 1.1.
б) Рассмотрите множества Еп cz @; 1), состоящие из точек,
у которых п-я десятичная цифра не равна нулю, и убедитесь, что
X ( П ЕпЛ = (9/10)т (ср. с решением задачи 1.5).
1.7. Рассмотрите множества Н = U ?; ?
4 о<р<д \ 1 Ч I
(q = i, 2, ...) и убедитесь, что Л с: U Н при любом msN.
g
1.8. Ввиду регулярности меры Лебега найдется такое откры-
открытое множество G zd E, что
Qlm(G) <Xm(E). (*)
Пусть G =. иАи, где А„ — попарно не пересекающиеся кубы. Из не-
неравенства (*) следует, что 9 2^т (л?г) < 2 ^т(Еп Аи)- Поэтому
хотя бы для одного номера п = п0 должно выполняться неравенст-
неравенство QXm (Аи ) < Хт (Е П Аи у Полагая Д = Ап^, получаем требуе-
требуемый результат.

1.9. Пусть Я = Е — Е, А — такой промежуток, что — X (Л)<
Л) (см. 1.8). Докажем, что П => ( — -у X (Д); — А, (А)]
1
Пусть ] х ] <— А, (А)- Проверим, что (Я П Д) П {х + Е [\ h) ф 0,
Действительно, в противном случае
С другой стороны, поскольку \х\ < А,(А)/2, мы имеем, что
3
X (A U (.г + А))< — I (А), и поа гому I {{Е П A) U (* + ? П А)) <
3
<! A, (A U (ж + Д))^ ~ ^ (^)' TJT0 противоречит неравенству (*).
Пусть у е (Е П А) П (х + -Е1 П А). Так как г/ е х + ^ П А, то
найдется такая точка х' е Е П А, что г/ = х + х'. Таким образом,
х = у — х', где у, i' е ? П А с й, т. е. х е Я. Тем самым включе-
включение
/ 1 1 "\
I — ~2~ А- (А), "у X (А) 1 с Я доказано.
б) Это утверждение непосредственно вытекает из а).
1.10. С помощью задачи 1.9.в) убедитесь, что Int E Ф 0, и ис-
используйте результат задачи 1.1,19.
1.11. а) Если K(EV) = 0, то IntEv = 0, и поэтому (см. задачу
1.1.34) Пк+\> гел + 1 бесконечно много раз. Если же пд.+1>
> nk, -[- 1 при j e N, то в двоичном разложении точек из Ev циф-
цифры, стоящие на местах с номерами nh.-\-l, суть нули, из чего
следует, что %(EV) = 0 (ср. с решением задачи 1.5).
б) Убедитесь, что если nh,^_1-—nft.^ 2-|-log2 m, то в двоич-
двоичном разложении точек множества ?¦<"¦) цифры, имеющие номера
raft. +1, суть нули.
в) Используйте представление
П= U -?-
m,n=l ft>1
1.12. Убедитесь, что при любом натуральном п множество Е
монсно покрыть 2"+' промежутками длины 1/ге!.
1.14. Из определения множества Е канторовского типа на от-
отрезке [0; 1] с определяющей последовательностью {ln}n>o следу-
следует, что X (Е) + 2 2" Aп — 2'n+i) — !' гДе го = *• Поэтому Л (Я) >
>0 тогда и только тогда, когда 2 2™ (ги ~ 2'п-ы) < *• Так кан
последняя сумма может быть сколь угодно мала, то мера множест-

ва канторовского типа, построенного на отрезке [0; 1], может быть
сколь угодно близка к единице.
1.15. Используя указание к задаче 1.14, докажите, что справед-
справедлива
Лемма. Пусть А — произвольный конечный (непустой) ин-
интервал, 0 < 0 < 1. Существует такое компактное множество К а А,
что
а) Int# = 0;
б) %(К) = 0ЦД);
в) \\К состоит из попарно не пересекающихся интервалов,
длины которых не превосходят половины длины интервала Д.
Чтобы получить требуемое в задаче множество А, проделаем
следующее построение. Пусть До = @; 1), 9j > 0, V ®j < *• По-
з>о
строим в соответствии с леммой (при 0 = 0О) компактное подмно-
подмножество Ко интервала До. Пусть А^1-* (ne N) -- интервалы, состав-
составляющие множество А0\К0, а #„ — построенные в соответствии
с леммой (при 0 = 0i) компактные подмножества этих интервалов.
Пусть, далее, АB) (п е N) — интервалы, составляющие множест-
множество AQ\^.ff0U U -Й^)' а -^т? ~ построенные в соответствии с
леммой (при 0 = 02) компактные подмножества этих интервалов.
Продолжая этот процесс, мы с помощью индукции получим семей-
ство мпожеств \К^п .>:tj- Положим A = Kol) \J \J К"'. Про-
Проверьте, что
3 = 0
Убедитесь, что любой (непустой) интервал ДсАо содержит неко-
некоторый интервал А^, и поэтому
$ и Я,(ДП^)>
Убедитесь, кроме того, что
U U U К<
3 = 1+1 и=1
и заменяя Д на А^ и А на A' — K<^\J U U кЦ\ до-
3=1+1 п=1
кажите, что вместе с равенством (*) справедливо и равеп-
ство Я(Д(^)\4') = Я(Д(^)) Д A — Gj), откуда следует, что
%{А\А)>0.

1.16. Предположим спачала, что А — выпуклый многоугольник
с вершинами Mi, ..., Мп, и пусть L — длина граничной ломаной.
Вместе с каждым звеном MjMj+] (/ = 1, 2, ..., п, Mn+i = А/,) гра-
граничной ломаной рассмотрим лежащий вне А открытый прямоуголь-
прямоугольник Pj, у которого длина стороны, перпендикулярной отрезку
MjMj+i, равна е. Ясно, что
n
U Pj
3=1
n
и и
3=1
где Sj — сектор круга B(Mf, e), заключенный между прямоуголь-
прямоугольниками Pj-i и Р} при / > 1 и между Pi и Рп при / = 1. Легко убе-
убедиться, что сумма центральных углов, соответствующих &тпм сек-
секторам, равна 2я. Поэтому
2
Случай произвольного компактного выпуклого множества исчер-
исчерпывается с помощью аппроксимации его выпуклыми много-
многоугольниками.
1.17. Очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда Xn(G) <
< оо. Представим множество G в виде объединения попарно не пе-
оо
ресекающихся кубических ячеек: G = (J Qj. В каждую ячейку
впишем шар 5^0)- Ясно, что Xn(Sj0))/Xn(<?j) = ап/2", где ап =
= Хп{В(О; 1)). Поэтому
\ .и ±ч i — /, лп v v \"j ; — I a 2»
где g = 1 —an2-n < 1. Положим Gt = G\ \J Ж°>. Множество G,
открыто, и, повторяя описанную выше процедуру, мы получаем
такие шары вФ, что
С помощью индукции получаем семейство {¦Bjft'}"j=i попарпо не
пересекающихся шаров такое, что
= 0.
(оо оо \
G \ U U Bf
1.18. Обозначим буквой а меру Лебега на Sl. Если допустить
измеримость хотя бы одного из множеств Еп, то ввиду их копгру-
пнтности и инвариантности меры о относительно вращения все они
измеримы и будут справедливы равенства а{Еп) — а(Ет)

при любых п, т е N. Пользуясь счетной аддитивностью меры, мы
получаем, что
Таким образом, 0 < V cr (.E.J <; оо, что невозможно ни в случае,
когда а(Е|) > 0, пи в случае, когда a{Ei) = 0.
1.19. Разобьем числа промежутка [0; 1) на классы эквивалент-
эквивалентности, считая два числа эквивалентными, если их разность рацио-
рациональна. Пусть С—множество, имеющее с каждым классом экви-
эквивалентности ровно по одной общей точке, и пусть Сд — образ С при
сдвиге на 6 по модулю 1. Занумеруем все рациональные числа про-
промежутка [0; 1) в последовательность {0п} и положим Еп — С^ .
Поскольку сдвиг по модулю 1 сохраняет измеримость и меру мно-
множества, множества Еп измеримы или нет одновременно и в случае
измеримости имеют одинаковые меры. Допуская измеримость мно-
множеств Еп и рассуждая так же. как и при решении задачи 1.18, мы
снова приходил к невозможному неравенству 0 < 2 Л (^i) <- °°"
1.20. Пе умаляя общности, будем считать, что Е а [0; 1).
Пусть Еп — множества, построенные при решении задачи 1.19. По-
Положим //„ == Е П Еп. Ясно, что Е = U Н . Допустим, что все мно-
жества Нп измеримы. Тогда хотя бы одно из них имеет положи-
положительную меру и, следовательно, содержит (несовпадающие) точки,
расстояние между которыми рационально (см. задачу 1.9.6)), что
противоречит построению множеств Еп-
1.21. Убедитесь, что если х е @; i)\Q, то х<=Е тогда и толь-
только тогда, когда 1 — х ф Е. Докажите, что справедлив и более об-
общий результат: если ieA\C, где Д — произвольный промежуток
вида (А/2"; (к + 1)/2"), п = 0, 1, 2, ..., к = 0, 1, ..., 2" — 1, и ж' —
точка, симметричная точке х относительно середины промежут-
промежутка А, то х е Е тогда п только тогда, когда х' ф Е.
Допустив измеримость множества Е, выведите из этого свойст-
1
ва, что Х[Е[\а) = -гр X (о) для любого интервала а с @; 1). По-
Последнее противоречит результату задачи 1 8.
1.22. Пусть Q = [0; 1)т. Положим Qi = / + Q и Е1 — ~1 +
+ E[\Qt (ielm). Проворьте, что (J Et = Q п Ег П Ev = 0
при I Ф V.
1.23. Пусть с > 0, Р = [—с; с)™. Достаточно проверить, что
кт(Р\ U (а^Е)\—0. Пусть е — произвольное положительное
\ аеА )
число и Q — такой куб, что (см. задачу 1.8)
<еЯт(<?). С1)

Убедитесь, что можно найти такие точки а.\, вг, • •., вд-ei, что
Ра [) (*n + Q) и ^ K(an + Q)<^m(P)- B)
Тогда
а в силу A) и B)
Е МК + 0)\К + я))< 2 s^K + ?)<2e
Ввиду произвольности 8, из C) и D) следует равенство
\ U (а + Е))=0..
§ 2. Измеримые функции
2.1. Докажите, что при некотором 8 > 0 множество
Е,= {х<=Е\ \f(x)\ sCl-s}
имеет положительную меру, и рассмотрите функции
2.2. Рассмотрите функцию / (^)=2 ^~"fPo (ж ~ г»)> гДе фо =
==Х[о+<»), а {г„} — произвольным образом занумерованное мно-
множество рациопальных чисел.
2.3. Рассмотрите характеристическую функцию множества из
задачи 1.15.
2.4. б) Найдите длины образов промежутков 7г-го ранга, исполь-
используемых при построении канторова множества (см. задачу 1.1.27).
в) Используйте результат задачи 1.20, гарантирующий сущест-
существование неизмеримого подмножества множества g(K)-
2.13. Докажем первое из требуемых равенств. Пусть с{ <
< е2 < ... < сп, и пусть cn+i = -f-oo. Ввиду строгого убывания
функции / от +оо до —оо на каждом из интервалов (с*; Ch+i)
(/> =1, 2, ..., п) мпожество Et = {х е К | / (х) > ?\ есть объедине-
объединение интервалов (си; хи), где хк — такая точка, что j(xh)=t,
сп < жл < с^+1. Таким образом,
Чтобы найти сумму 2 хю заметим, что точки хи суть корни урав-
уравнения f(x) = t7 или равносильного ему уравнения
г К1*-/ _ /р /г\ ГТТо Р (т\ — В в /'г г \
¦v Л •*-..-*¦ > '
2

Последнее уравнение, очевидно, можно переписать в виде
txn-(t 2 ck + A)xn-1 + Q(x)=0,
\ Kh<n J
где степень полинома Q{x) меньше п — 1. По теореме Виета
2 ч= 2 'h+M>
что приводит к требуемому результату.
Второе равенство доказывается аналогично.
§ 3. Суммируемые функции
3.1. HchOj что
1
+3 f 2 (х|. (*) хЕ, (х) +%Е (*) х|. И)
1
+в f 2 ХВ. (*) ХЯ. (*) %Ek (*) dx = + S
где s3=
Для вычисления 53 заметим, что так как Ei U Z?,- [) Ей = [0; 1]
при 1 «s l < i < к «S N, т°
X[q;i]== %Ei "f" ^Ej + Xsft Xe^Xej У-Е^Е^ '
" XejXe& + Ie^e'^e^.
Следовательно,
- %{Ej П ^) - Я(К, П ^
Суммируя эти равепства по 1 ^ I < / < к ^ N, находим S3.
3.2. Из условия задачи следует, что 2 %Е ¦ (ж) 5s к ПРИ лю"
бом х е [0; 1].
3.5. а) Докажите сходимость ряда 2 j 2~™ | х ~ rn p1/2 dx>
А
где Д — произвольный конечный промежуток.

б) Пусть ф (х) =2 2 п\х~гп\ 1/Г2' где {/•„} —последователь-
—последовательность, состоящая из всех рациональных чисел, занумерованных
произвольным образом. Рассмотрите функцию ср2.
3.6. Рассмотрите функцию
/О при х = О,
m~U2sin(l//) при хфО.
3.10. а) Пусть Ех = {х — у | г/ е #}. Ясно, что
E
EY
Положим Л=?*ЛЯ@; г), С = ЕХ\А. Тогда Хт(С) =
и
Поэтому
<
= ial{\\z\\~p\
(С) < [
; г)}.
|ГР dz
В(о;г)\а
= f z\rpdz+ f
J |)«U-p&= f \\z\rpdz.
;r)\A в('о;г)
в(о;г)
б) Убедитесь, что при некотором а е [0; 2я] справедливо ра-
равенство
1 егж йж = 1 cos (х — a) dxx
и используйте ту же идею, что и в п. а),
в) Убедитесь, что
Яйх dy Г Г х dx dy
где i?' — множество, получающееся из Е поворотом. Для оценки
интеграла
Их dx dy
-^Г~,—]j
Е> Х +У
рассмотрите множество
на котором функция х/ (х2 + у2) велика, и нодберите t так, чтобы

мера Et равнялась мере Е'. Докажите, как и в ц. а), что при та-
таком выборе t снраведлпво неравенство
х dx dy ^ Г Г х dx dy
"/
и вычислите последний интеграл.
р
3.15. Ясно, что интеграл I g (x) In / (х) dx существует. В слу-
Е
чае, когда он конечен, докажите, опираясь на неравенство
что
Е
v f ^
Е
Если \ g (ж) In/(ж) <йг = — оо, го рассмотрите функции /б =
= max (б; /), где 0 < б < 1, и перейдите в неравенстве
j у (
сначала к верхнему пределу при р -у +0, а затем к пределу при
б-> + 0.
3.16. б) Воспользуйтесь попарной ортогональностью функций
8ft-1/2 (к = 1, 2, .., п).
3.20. Представим множество (а; Ъ)\К в виде объединения
U (а^, рл попарно не пересекающихся интервалов. Тогда Is (x) —
= \^ \ Р_у/) ^ Поэтому
«ft
dy. A)
Оцепим внутренний интеграл, стоящий в правой части равенст-

ca A). Считая, что у е= (an4, рл), мы получаем
ah ь
^х 4- Г ^
. I * — у
1/1
Иа основании этого неравенства из A) следует, что
К
.) s
3.21. Ясно, что а) следует из б). Для доказательства б) разбей-
разбейте куб [—а; а]т на 2т пирамид, основаниями которых служат гра-
грани куба, а вершины находятся в начале координат. Для вычисле-
вычисления интеграла по каждой из этих пирамид используйте теорему
Фубини.
3.22. Чтобы избежать трудностей, связанных с проверкой изме-
измеримости функции на подмножествах, размерность которых мень-
меньше ге, будем считать, что функция непрерывна. (Общий случай
исчерпывается с помощью аппроксимации ) Используя полярные
и сферические координаты, легко установить базу индукции. Пусть
формулы а), б) справедливы для Sn~2 и К™ соответственно. За-
Заменяя f(x) на /(ж)х[о,1]A1я11)> гДе Х[о,п — характеристическая функ-
функция промежутка [0; 1], мы видим, что
1
j / (х) dx = j г" j j / (fco) rf}V-2 (со) j dt. A)
вп-г о Is™-2
Перейдем к доказательству равенства а). Пусть
Докажем, что
J /(^; ...; хп_^ xn)d[in_1{x) =
s+
Я/2
= [sin"~2e| I* /(UjSinG; ...; ип_х sin 0; cos 0) d|Jn_2(w)l ^0.
о Is"—2 J
B)

В самом деле,
Используя равенство A), получаем
„и—1
После замены переменной t = sin 0 мы приходим к B). Аналогич-
Аналогично доказывается, что
= ism q\ \ xtu. sm0; ...; un , sm 0; cos 0} &1„ ,(u)\dQ.
л/2 ls™~2 J
Перейдем к доказательству равенства б). По теореме Фубипи
dx =
R™ R1
Пользуясь индукционным предположением, преобразуем внутрен-
внутренний интеграл, после чего получаем
/ (х) dx =
j / (rBl; ...; run_x; xn) d[in_2 (u)) dr\ dxn.
3»~2 J j
Перейдем теперь к полярным координатам хп = I cos 0, г = t sin 0
в полуплоскости (хп; г), г ^ 0. Это даст нам, что
(x) dx = j f"-1 j sin71 0 X
X
( f / {tux sin 0; ...; гн„_1 sin 0; г cos 0) йцп_2 (м)| c?el йг.
lgn-2 J J

Пользуясь уже доказанным выше равенством а), мы видим, что
л
fsm™~20| f /(«i^sinG; ...; tun_1sinQ; г cos 0) d\in_2 (и)| dQ =
sn~l
а, таким образом,
oo
j / (x) dx = j г" ( j / {Ш) d\in^ (со) 1 rft.
3.23. а) Примените формулу б) задачи 3.22 к характеристиче-
характеристической функции множества Т, изменив справа порядок инте-
интегрирования.
б) Используйте п. а).
3.24. Примените приведенную перед задачей 3.24 формулу, счи-
считая, что / — характеристическая функция множества Е.
3.25. Используя формулу, приведенную перед задачей 3.24, по-
получаем
1п (г) = B
dt -
Г («/2)
о
Функция In (г) называется распределением «хи»-квадрат с ге-степе-
шши свободы и часто используется в математической статистике.
3.26. По теореме Фубини
где
Поэтому
(ка)х = U»;«; 0
arctga
= JL
Я
о vo
Дальнейшие вычисления мы предоставляем провести читателю.

3.27. В сечепип множества Т гиперплоскостью х\ = х мы полу-
получаем множество
Тх =
где
Sx ={
Поэтому
=[a- /л2 - ж"; а + V R." - ar J.
о+Уд
h {Тх) = J
dy,
и, следовательно,
-л
-я
Г , 2 I
4яг/ dy; йг.
/к? J
Заключительные вычисления мы оставляем читателю.
3.28. Пусть А' — проекция А на ху, Ах = {у \ (х; у) е А}. Ясно,
что Х4 (Г) = |^(ГЖ) to, где Гх=((^а; ху; \У
А
Так как Л3 (Тх) = j 4яу2 йу, то
(Г) = fff 4я/ dy\ dx = 4л f (
А' {А j A
А' {А
что и требовалось.
3.29. Воспользуйтесь равенствами
где А' — проекция А ва ось х\, Ах = {у \ (х; у) е Л},
Тх = {(х2; ...; хп) е R^l/^+.-.+x'^ Ax),
и, пользуясь сферической инвариантностью множества Тх,.

покажите, что
Уп-i (Тх) = {2n)~W* Г an_2/e-^ dy.
3.30. Пусть Vn(t) = Kn UX]} ...;*„)
t > 0. Убедитесь, что Vn(t) = Vn(i)tn- Пользуясь этим
равенством и теоремой Фубини, докажите, что Fn(l) =
1
= 2Fn-i(l) j(l— tvfn~x)lp dt. Выразив интеграл через фупк-
о
цию Г, докажите искомую формулу по индукции.
3.31. а) Ввиду инвариантности меры \in-i относительно враще-
вращения можно считать, что а = i|a||ei, где е\ = A; 0; ...; 0). Поэтому
gn-1
Л/ \ _г2— —г2
f, r2\_r2
Внутренний интеграл справа есть площадь сферы5"~2( yl — х2),
и поэтому он равен on_2 (l — ж2^""^2. Следовательно,
I = ZH^l || a f 2 гр A - г2)(п-2)/2 йг =
а"~1 о
1
= TtlZ- || а |Р
ап-Х
о
On_2 Г((р+1)/2)-Г(в/2)
Подставляя в это равенство значения оп-г и оп-\, получаем ис-
искомый результат.
3.32. (См. [36].) Ввиду сферической инвариантности меры мы
можем считать, что а = в|, Ь = cos 0 ei + sin 0 ег, где ei =
~ A; 0; ,..; 0), р» = @; 1; 0; ,,.; 0), Таким образом, нам следует

вычислить интеграл
/= I / (хх; ж2) ^Цп_1 (ж), где f(u; v) =
gn-l
= (sign и) • sign (м cos 9 + v sin 8). Ясно, что
dx ...
X
/(l' 2) х
J ТЛ—г2—ж2
2 2 ' 1 2
„2\ _ 2_ 2
X
X
Внутренний интеграл справа есть не что иное, как площадь
/ \
- V^_^
+
\
V
+ /
+ \
+
Рис. 24
(п — 3)-мерной сферы радиуса У 1 —г2 — г2. Поэтому
/= JJ /(«;i;1on_3(l-«a-i;a)(n-4)/a^di; =
a8
2Jt
1
= о„_3 j ]' / (г cos ф; г sin q>) (l - r2)(n-*)/2 r dA dq>.
О 0 J
Очевидно, что /(г cos ф; г sin ф) =/(созф; в1пф), и, следовательно,
2Я 1
/ = ап_3 j / (cos ф; sin ф) dtp j (l - r2)^-1^2 r dr =
0
2Jt
2Jt
/ (cos ф; sin ф) йф = " 3 \ (sign cos ф) sign cos (ф—Э) d<$.
n — 2J n — 2J
о о
Мы предоставляем читателю убедиться, что последний интеграл
равен 2я — 40 (рттс, 24, где ппо круга указан тоак, cos ф, а впут-

ри — знак cos (ф — 0)). Поэтому / = п _2 °п-з (* ~ ~ 6}' п
по-
2я
скольку а„_1= п __ 2 0„_3, мы получаем треоуемый результат.
3.33. Утверждение а) есть частный случай задачи 3.34. Исполь-
Используя а) и формулу, приведенную перед задачей 3.24, получаем
ОО 00
1п = -*_ Bя)-" (nanf j j | г - p | (rpf-1 a-O-W)/2 йг dp.
о о
Переходя в интеграле в правой части равенства к полярным ко-
координатам, приходим к равенству
Л/2 оо
If С г/
1п = -^—2—7^ 1' cos Ф ~ sin Ф I (sin ф-cos ф)"~х йф 1 ипё~и '2 du =
2 Г (га/2) J " J
о о
==2У2Г(В+1/2)ПсозХ_3.п_ф
2"Г2 (/г/2) j I 2 2
Л
2
= 21/2Г(/г + 1/2) Г sin" Ф cos q>
2"Г2(ге/2) J sin (ф/2) + cos (ф/2)
Остается заметить, что
л/2
Г
J
sin"-1 Ф cos ф d
sin (ф/2) + соэ (ф/2) поо „ т/2
о v
(см. задачу VI.2.8) и использовать формулу Стирлинга.
3.34. Так как AzdB(O; е) при некотором 8 > 0, то дд(ж)
sg; ||ж||/е, и поэтому
ЯА W - ?Л (У) | Ф (*) d^ (У) <
— f f(INI + b!lLi(z)^a/)<— Г/ У
6i вДк*<
Пусть %tA — характеристическая функция множества
Тогда
_ ji (tA)} dt j( J JA [ л ] )
хгА(ж)[1-хгАЫ]4#(ж)Ф(г/). A)
RnR» I» J

Если qA(x) > дл(у), то %tA{x) [1 — ЗСмЫ] = 0; если qA{x) <
<<Ыг/), то %1л(х)[1 — %1л{у)] = 1 при дЛ(ж) s? « < дл{у) и
= 0 при t ф [qA{x); qA(y)]. Поэтому
Х«а И t1 - ХгА W] Л = max {1а (у) - 1а №'<
о
С помощью последнего равенства из A) получаем, что
и, (М) [1 - [Л (М)] й« = [ [ max (дд (i/) - qA (x); 0) й[х (^^[х {у) =
О R« К"
= 4" f J На (*) - 1а (у) | ^ (*) ^ (»)•
3.35. Пусть ? ^ дт — измеримое множество, порождающее
паркет (см. задачу 122). Докажите, что 1 f{x)dx= f (x) dx (от-
Е Q
сюда при Е = а + Q и Е = A (Q) мы получаем утверждения а)
и б)). Для проверки этого равенства рассмотрите множества Qi =
= i -f Qt Et = —1 + E П <?i (г е Zm) и убедитесь в том, что
U E, = Q, Е1Г\Е,, = 0 при г^Г.
Ввиду периодичности функции / ясно, что \ f (x) dx= \ f (x) dx.
Остается воспользоваться счетной аддитивностью интеграла.
В случае, когда матрица А не целочисленная, рассмотрите
пример
1
1, / (х; у) = sin Bnx)
и z/
3.36. Пусть d = iiam(T). Можно считать, что точки 0 =
— @; 0; ...; 0) и D = @; 0; .. ; 0; d) принадлежат множеству Т.
Пусть Q — проекция Т на гиперплоскость хп = 0. Рассмотрите ко-
конус К с вершиной в точке D и основанием Q. Так как
то достаточно доказать, что V ^ Хп(К)- Для этого убедитесь в том,
что пересечение конуса К с любой прямой I, проходящей через
множество Q параллельно оси хп, есть отрезок, длина которого не
превосходит длины отрезка, получающегося при пересечении I с
множеством Т. Построив плоскость, проходящую через прямую I
п ось хп, рассмотрите в ирц точку М е? Т, которая лпибодее удал.е-

на от этой оси и расположена по ту же сторону от нее, что и I.
Докажите, что при пересечении прямой I с конусом К и треуголь-
треугольником ODM получаются отрезки равной длины.
3.37. Проверьте, что выпуклая оболочка двух эллипсоидов, по-
получаемых один из другого сдвигом, содержит эллипсоид большого
объема. Выведите отсюда, что эллипсоид Э центрально симметри-
симметричен относительно нуля. Не умаляя общности, можно считать, что
9 = Вп. В таком случае
%n{<S) sc: «n, если S аТ, cf — эллипсоид. A)
Допустим, что х0 е Т, \\хо\\ > У п. Очевидно, можно считать, что
х{) = (с; 0; ...; 0), где с = \\хи\]. Рассмотрим множество Т\ — выпук-
выпуклую оболочку шара 8п и точек ±ж0. (Двумерное сечение S мно-
множества Т\ плоскостью, проведенной через ось х\, изображено на
рис. 25.) Очевидно, что Т\ с Т. Возьмем точку а, лежащую на оси
Рис, 25
0 < а < с, и рассмотрим оллинс Е, определяемый неравенством
2
Ь2 а ось у взята в плоскости сечепия
д 2
—+ ДгС 1, где Ь2 =
- Ъ2
—
с" — 1
перпендикулярно оси х\. Проверьте, что Е a S. Из этого включе-
включения следует, что Тх содержит эллипсоид 8'а, полученный вращени-
вращением Е вокруг оси xi в пространстве iRn. Пусть V(a) = \n(Jga),
{%а)х = {(Ч .¦.;хп)е^п\(х;х2;...- хп) е Ж а\ =
= Ux ¦ ...;хп е
Тогда
о
У (а) = Хп_г ((За)х) dx =
¦1-7\
Г
п-1
1 — —j.
а
(П-1)/2
2 _ 2 \ (п-1)/2

Ясно, что F(l) — ап
A) = «n!
> 0. Поэтому при я, близ-
близV —1
кпх к единице, и я > 1 будет справедливо неравенство V(a) > ап,
хотя <8а cr Г, что противоречит неравенству A).
3.38. Непрерывность и ограниченность функции ф и ее голо-
голоморфность вне К устанавливаются с помощью следующей теоремы
(см., например, [1], с. 169).
Теорема. Пусть р > 1, Е с: R7*, Хт(Е) < <х>, {/„} — последо-
последовательность измеримых на Е функций. Если /„->/о по мере на
множестве Е н sup \ I /п (х) \р dx < оо, то функции /0, /„ (га =
= 1, 2, ...) суммируемы на Е и 1 I /п (ж) —/0(г)| dx->0; в част-
ности, I fn (х) dx-+ \ /о (х) dx. Если множество К вполне не-
Е Е
связно, то функция ф доставляет пример (принадлежащий Д. Пом-
пейю), показывающий, что теорема Лиувилля перестает быть спра-
справедливой, если вместо целых функции рассматривать функции не-
непрерывные и ограниченные в С и голоморфные вне К. По поводу
уточнения отого результата см. задачу 4.8 (пример Урысона).
3.39. а) Пусть р, q > ~1г IM = Jj ^ |2p| ?2 fq йц3 (S7; Z2)- Тогда
- ш
X
- J
х*+у<?1
У 1-х3-у2
1 — Х% — у2 — I?
(т; у; и; v) =
Г2 7У2 7У2
X
в) Заметим, что ряд 2 (п ~\~ 1) (S>izi + ?22г)П равномерно схо-
дится в шаре
+
; 1, так как
[ Z2 ]2 ^ я < 1, где я =

Поэтому
= 2 С +1 j
Вычислим интегралы, стоящие в правой части равенства A):
2
Подставляя этот результат в правую часть равепства A), полу-
получаем
z
1'
Zi 2j
§ 4. Интеграл Стилтьеса
4.1. а) Пусть сначала b < оо. Проведем решение в этом случае
в несколько шагов.
Шаг 1: функция h непрерывна па [я; Ь]. Разобьем промежу-
промежуток [а; Ь] па части точками а = t0 < h < . • • < in-i < ta = 6.
Положим
MM; l]m) = B0m
Тогда
I A (max I .rft |) dr = 2 \ h (max | жй |) dx =
я 0<ft<n^«||<'
= 2 4^)^(W)-^(^)]= 2
o<h<n

где tih ik e [Л; tk+i] (к = 0, 1, ..., n — 1). Таким образом,
л
1 /г (max I хъ I Wj —
.) v i я i /
а
Шаг 2: функция /г ограничена на [а; Ь]. Рассмотрим после-
последовательность {hn} неотрицательных непрерывных на [а; Ъ] функ-
функций, сходящуюся к h почти везде на [а; Ь]. Не умаляя общности
можно считать, что hn sg: sup h. Убедитесь, что hn (max | x^ \) ->
->- h (max [ xu \) а. в. на Е. Пользуясь теоремой Лебега о предельном
переходе под знаком интеграла, мы видим, что равенства
ь
Г hn (max \хк\)йх = mlm f tm~4n (t) dt (re = 1, 2, ...)
'e a
приводят к требуемому результату.
Шаг 3: функция ft произвольная (измеримая, неотрицатель-
неотрицательная). Требуемый результат получается с помощью аппроксимации
последовательностью ограниченных измеримых функций.
Случай Ъ = +оо исчерпывается с помощью предельного перо-
хода от конечных промежутков к бесконечному.
б) Рассуждения проводятся по той же схеме, что и в п. а).
При этом функция F(t) = Bt)m заменяется функцией (t^ 1)
|, max xh <,«} = (t - l)m.
4.2. Рассуждения проводятся по той же схеме, что и при ре-
решении задачи 4.1.а). Функция F(t) = Bl)m заменятся функцией
4.3. Рассуждения проводятся по той же схеме, что и при ре-
щепии задач 4.1.а). Функция F(t) = Bt)m заменяется функцией
Fi{t) = Хт{В{0; г)) == amtm, где ат = Хт(В@; 1)), i > 0.
4.4. Рассуждения проводятся по той же схеме, что и при реше-
решении задачи 4.1.а).
4.5. Ясно, что Ге~р(ж)йж=Я2(Л)+ f е"р(ж) dx. рассуж-
R2 R2\A
дая по той же схеме, что и при решении задачи 4.1. а), покажите,

что е р(х> dx = \e~ldF (t), тце F (t)=% (АЛ, Af— U В [x;t).
R2\A о
Используйте результат задачи 116.
4.6. а) Убедитесь, что интеграл есть предел сумм
»~ 2 2 ?•
е1 е„е{о',2} к/кл °
б) используйте тот же прием, что и в п. а.);
в) используйте то, что график функции о центрально симмет-
симметричен относительно точки A/2; 1/2);
г) докажите, что I a (x) da (х) = -к- a" (t) (?>0) или исполь-
о
зуйте тот же прием, что при решении задачи п. а)
д) используйте равенство а(х) + оA — х) = 1 (же К).
4.7. а) Пусть Q, = [0; 3->] X [0; 3^], Es = <?A<?3+i (/ = О,
i, 2, ...). Ясно, что
1 1
Я da (x) da (у) S? С С tfo (г) ^Д (у)
(ж2 + н2)Р/'2 — ¦» J j (x" -\- у2I^2 '
О 0 3^° Ej
Так как 2~р/2 ¦ З'р <^ {х2 + У2)~р/2 < 3"+1)p на Е„ то
Поэтому ряд (#) сходится одновременно с рядом
б) Пусть ^ = [в —3-J; к + 3-^] X [v — 3~t; v + 3~>], E, =
~ CAQj+i (/ = 0, 1, 2, ...). Рассуждая как и в п. а), убедитесь,
da (x) da (у)
JJ ((x-uf
что интегралы J J ((ж _ ttJ _j_ (^ _ у)а)Р/2 допускают оценку,
аналогичную (##),
4.8. Решение этой задачи опирается на результат задачи 4.7 и
проводится по той же схеме, что и решение задачи V.2.15. По су-
существу впервые функция <р рассматривалась в [28], с. 93, где она
была построена как предел функций, являющихся интегральными
Г (¦ da (I) da (л)
суммами для интеграла I ,? . .„>,-.
J .} z ' \ъ ~т 1Ц!
О О

§ 5. е-энтропия и меры Хаусдорфа
5.1. Если Ео— Е-различпыое подмножество множества А с мак-
максимальным числом точек, то оно образует Ё-сеть, и, следовательно,
Л'(А; е) г?Г card(i?o) = М(А; г). С другой стороны, различные точ-
точки из Ео можно аппроксимировать с точностью до е/2 лишь раз-
различными точками, и поэтому М(А; г) sg Л'(А; е/2).
5.2. а) Используйте результаты задачи 5.1 при подсчете мини-
минимального числа точек Е-сети для куба.
б) Пусть Е > 0, множество Е — минимальная е-сеть для А, т. е.
card(ZJ) =N(A; г). Тогда
Ac U В (х- г) и Я* (А) < 2 К (в {*' Е)) = N (А; е) апгп,
хеЕ
откуда следует искомое неравенство с С = ап Хп(А), где <%п —
n-мерный объем единичного шара.
В решениях задач 5.3—5.12 при употреблении символов О, о,
'— мы для краткости опускаем указание «8 -*¦ + О».
5.3. а) Пусть s>0,2-<m+1><8<2-m, т. о. т= [log Г2A/в)].
Очевидно, что точки 1, 2~', . ., 2~т е-различимы и образуют 2е-
сеть. Поэтому (см. задачу 5.1) N(A; 2ё) <m-f- l^tffi; в/2), от-
откуда следует, что Н(А; г) ~ log2 log2(l/8).
г) Пусть ё > 0, т-а— (т + 1)~а <е< (т— 1)~а — т~а, т. е.
т—1 sg(a/EI/(a+1)s^ т + 1. Ясно, что точки 1,2~а, ..., т'а Ё-раз-
личимы. Если к ним добавить точки вида кг, где к = 1, 2, ..., р,
рг ^С т~а < (р + 1)е, то мы получим s-сеть множества 4 =
= {и~а | n e N}. Так как р= [1/(гта)], то р = О(т). Поэтому
в/2) и ND; е) = О(т). Тогда (a/e)I/(a+1) ^
е/2) + 1, N(A; г) = 0(8-1/<а+1>), откуда вытекает, что
1 . /Г
Задачи 5.4, 5.5 и 5.6 решаются аналогично. Приведем решение
задачи 5.4.6).
5.4. б) Вместе с заданным числом 8 > 0 рассмотрим положи-
положительное число б, выбор которого уточним позже. Разобьем множе-
множество А — график функции sin (nix) на промежутке @; 1] — па ча-
части Вц и Сб, где Bf, — часть А, содерл:ащаяся в прямоугольнике
рь = @; б,) X [— 1; 1], а С6=А\В6. Длина С6 есть
л2 я
1 + "jcos2 —(^;=О(б~1). Поэтому число iV(Ce; e) оцени-
б
вается величиной l6je = О((ё6)~'). Число N(B6; e) не пре-
превосходит N(Pc,; е), и поэтому N(Bi$; г) = 0Fе~2). Выберем б так,
чтобы оценки для N(Bn; г) и N(Cc; e) были одинаковыми по по-
порядку, для чего положим S = }'е,. Тем самым мы получаем оценку
Л7(А; ё) = O(?ri/2). Чтобы убедиться, что число е-различимых то-

чек в множестве А имеет порядок s~3/2, рассмотрим промежутки
Aft = [Щ2к + 1); 1/B/с)] при к = 1, 2, ..., [1/Bуё)] и соответству-
соответствующие им участки графика Гь Так как /(А*) = [0; 1] при любом к,
то, используя е-различимые точки, лежащие в [0; 1], можно ука-
указать по крайней мере [1/е] различимых точек в Гь. Поскольку рас-
расстояние между соседними промежутками Ah не меньше s, точки,
лежащие на различным дугах 1\, будут е-различными. Общее чис-
число построенных нами s-различимых точек, лежащих в А, есть
— 3 1
[1/е] • [1/BУе)]. Таким образом, Н(А; е) ~ тг log2 —.
5.7. Пусть е> 0, 3-(т+1> < е <3"т, те.т= [log3 A/е)]. Кон-
Концы промежутков то-ro ранга Ае _ е (см. определение канторова
множества перед задачей 1.1.27), очевидно, s-различимы и обра-
образуют е-сеть. Поэтому N(C; s) <: 2 • 2mt^N(C; г/2). Отсюда следу-
следует, что Н(С; е) ~ Iog3(l/e) = (log, 2) • Iog2(l/e).
5.8. Пусть е > 0, l/(m + 1)! < 8 sg i/ml Точки вида 2 ek/k^
0
где e,h = 0 или 1, е-различимы и образуют 2е-сеть. Поэтому
N(A; 2e) ^ 2m+! ^: N(A; е/2). Из определения числа m следует,
что ln(l/e) -^ mlnm, т. е. m ~ AпA/е))Дп1пA/е). Следовательно,
Я (Л, 8) - AпA/е))Дп1пA/е).
5.9. Утверждение а) следует из результата задачи 5.10, если
учесть, что в рассматриваемом случае Ч*1 (х) = ж + т! при т! ^
s=: ж < (т + 1)! и, как легко убедиться, lim — Ч~~г (у) = -^,
Йг5 T(if) = l.
По поводу утверждения б) см. задачу 1.11.
5.10. Пусть s>0, 2-4?<m+!> < е < 2-?<m), т. е. т =
= [1F-!(log2(l/e))]. Очевидно, что точки 2 ък2~ур<'к\ где eft =
= 0 или 1, 8-различимы и образуют 2е-сеть. Поэтому N(A; 2e) ^
2т ^:N(A; е/2). Следовательно,
Н(А; 2е) <т<ЯD; е/2). A)
Не умаляя общности можно считать, что функция Ч*1 линейна на
каждом промежутке [га—1; га] peN), Тогда, как легко убе-
убедиться, W (х + h) — Т (ж) ^; /г при ж, fe ^ 0, и поэтому
^-Чу + тО-^-ЧуХч (у, л^о). B)
Из A) следует, что
//(Л; 2E)-l<4f-I(log2(l/E)) <ЯD; е/2) + 1.
Вместе с B) ото приводит к требуемому результату.

5.11. Пусть ё > 0, 3-<т+!'< е sg 3П, 2-(р+''< е sg 2~p. Расслют-
рим точки (х; у) <= А с координатами х = 2 Eft2~ft, у =
= 2 iife3'~fe + 2 Efe3~fe- где ё* = °или !> ^ = °.!или
и Eft, i"]ft имеют одинаковую четность при к =д: т. Ясно, что эти точ-
точки е-различиыы и образуют 4е-сеть. Число этих точек равно
3m2»-m. Поэтому
N(A; 4е) «S Зт2?-т sg N(А; е/2),
т. е.
ЛD; 4s) < [log3(l/s)]log2C/2) + [Iog2(l/e)] ^H(A; е/2).
Следовательно, 7/(Л; е) ~ B — log3 2)log2(l/e).
5.12. а) Пусть е > 0, множество Е — минимальная e/m-сеть для
A, card i? = N (А; е/т). Тогда множество Em = E-}-E-\-...-\-E
(т слагаемых) есть Е-сеть для Ат, и card (Em) ^ (N(A; e/m))m.
Следовательно, Н(Ат; е) ^ тН(Л; е/т.) =оAп A/е)), что возмож-
по, только если Я„(Л) =0 (см. задачу 5.2).
б) Решение аналогично предыдущему.
в) Нет. Контрпримером служит указанное множество.
5.13. а) Если множество А счетно, А = {xt; ж2; ...}, то для
вычисления \ip(A; e) рассмотрите покрытие А шарами B(xh; е,2~к).
в) Пусть ё > 0, [В [xlh; rl^)}'^=1 — такое покрытие множества
Av что ^<8 ПРП всех '. AsN и 2 (
Тогда
^ D; s) < 2 2 D)р < 2 К (А0 + е^г) = 2
Ввиду произвольности числа е > 0 получаем требуемое.
5.14. а) Пусть 8 > 0, а {В (xk; rft)}^°=1 — такое покрытие мно-
множества А, что г* < е при всех к е N и 2 гй ^ Ир (^) + 1- Тогда
= 2
n—p.
Поэтому %*n (A) < 2 ^ E (ял! rfe)) < a»e"~P (fip (-4) + 1)- из чего
ввиду произвольности ё > 0 вытекает требуемое.
б) Если |хв(Л) = 0, то %п{А) = 0, так как А можно покрыть
такой последовательностью шаров {В (xk; ^)}^°=1i что сумма
2 г™> а следовательно, и сумма 2 К(в(хр' rh)) буДУт сколь,
угодно малы,

Еслп ЯП(Л) = 0, то множество А можно покрыть такой после-
п
дователыюстью кубов {Qj}JLv Qj = Д (а{ — Ilj> ai + hi)' что
сумма 2 ^n(Qj) = 2 (~h])n будет сколь угодно мала. Тогда
i>i з>1 _
«описанные около кубов» шары В(а,\ }'nhj), где а~ (a:J; ...; а^),
очевидно, таяжс будут образовывать покрытие для А, а сумма
2 CV n^j')n будет лишь множителем (Уге/2)" отличаться от сум-
2 2 BА,)".
5.15. Поскольку (при т-^1) vn_x (б1" П 5 (а; г)) =
1
"Vr=T=ii5"> где а = @; • • -; 0; 1)j в"~'F^ -проек"
У -1 ||ж II
вЧ)
ция мнол;ества S" П В (а; г) па плоскость хп — 0, то существуют
такие постоянные т > О, М (зависящие от размерности), что
mrn~\ ^ Vn_l E'n-1 f] В(Ж; г)) ^ i(fr"-! при всех х <= Sn~K Используя
это обстоятельство, требуемые результаты можно получить про-
простой модификацией решения задачи 5.14.
5.16. а) Это утверждение очевидно, так как если rp. ^ 1, то
б) Доказательство того, что \iq(A) = 0, если g > р и \ip(A) <
< + оо, аналогично решению задачи 5.14.а). Если цР(А) > 0 и
О < д < р, то \iq(A) = оо, так как иначе мы вступили бы в проти-
противоречие с уже доказанной частью утверждения.
11 (А'< rj)
5.17. а) Пусть г; > 0, г; ->- 0 и ]og^ {jr , ->- г (А). Пусть,
далее, q>r(A), a ?j — такая т-^-сеть для множества А, что
card(?j) = Л'D; Tj). Тогда ^4 с: U В (х\ г\ и при достаточ-
по больших / справедливо неравенство Н(А; r3) < q log2A/г,). По-
Поэтому
Следовательно, ,ug(/t) < оо при д>г(Л), из чего (см. зада-
задачу 5.16.6)) вытекает, что Aimn(A) ^ ''(-4).
б) Неравенство
sup с11тя (Ah) < dim
H
очевидно. С другой стороны, если q > sup dimH (-4Й)) то для
k
любого е>0 можно найти такое покрытие lg (xi ¦ 7i:\}°°

множества Aj, что
Следовательно,
.и 4
.7—1
( °° \
Таким образом, Ц и А- = О, из чего, в силу выбора q, вытэ-
кает, что
/со \
dimH U АЛ < sup dimH (Л/4).
5.18. Ясно, что
/е = inf 2 (diam (сл))Р \А с U Cfe, diam (Сй)
f _, . оо .
^ 1 —. (ft) " (ft1 ft)' ft ^ I — "'» \ ' ' '¦
Переходя к пределу при е •> + 0, получаем неравенство
МЛ) <2РМ^)-
С другой стороны, пусть С^ (/с sN)—такие множества, что
СО
А с „У, с°' "ft = diam (c°ft)<е п /ё+ 8 > 2 '¦й-
Если sft е С°, то С° с: ? (.rft; rft) с: 2? (rft; A -|- е) ?-,?), и поэтому
1
/Е+е>-——— (J. (Л; s (I-|-s)). Отсюда, переходя к пределу
A -f" ej ^
при е ->- -|- 0, получаем, что цр (Л) 52 (i^ (Л).
ОО
5.19. а) Если [а; Ь\ с U (-T/j"~''й; 'T/i. ~ ''ьI то л СИЛУ счетпой
полуаддпт ивпостп одномерной меры Лебега X мы получаем, что
Ъ — а<: 2 2rft. Следовательно, [Xi([a; &]) ^ (Ь — а)/2. С другой сто-
ft
роны, разбивая сегмепт [а; Ъ] на равные части произвольно малой
длины, легко убедиться, что jxi([a; 6]) ^ F — а)/2.
б) Зафиксируем число е > 0. Будем считать его настолько ма-
малым, что разность I — h между длипоц дуги I и длиной h стяги-

вающей ее хорды меньше г1, если I < е. Пусть Ac \j В (х,: г,),
п < ё, Lk = А П #(ад; га), и пусть 7ц — длина хорды, стягивающей
дугу Lk, а г/А — середина этой хорды. Яспо, что hk sg: 2га, Lk = A(]
ПВ\Ук'Тк1г)- Поэтому УЛ/2)>уУгбA-8), где г4 —
длина дуги Ьи- Таким образом, -к- > '1ъ~^ —2— /L к^ л (^ — 8)>
и, следовательно, iii(A; e) ^пA — е).
С другой стороны, разбивая окружность на п равных частей
длины 2я/га < Е и покрывая эти дуги кругами, центры которых ле-
лежат на серединах стягивающих их хорд, а радиусы равны я/га, мы
я
видим, что (X (Л; ё) <тг —- = я, и, следовательно, и,1D)г<я.
в) Это частный случай утверждения г).
г) Пусть G — открытое подмножество пространства Еи, ё > О
Найдем такие шары В (xk; rft) (к е N), что
Сс UB (*ft; rh), rk<e, 2 rk < lln (G< 8) + s.
Тогда
f"n (И ^ Zj Kn \B \xk' rk)) an Zj rk<an (M-n \y, e) + e).
Ввиду произвольности е получаем, что
Рассмотрим теперь такие шары Z? (г/й; pft) (/« s N), что
pft < Е, 5(^ft; рй) П В (у,; р,) = 0 при к ф /,
(см. задачу 1.17). Зафиксируем еще шары B{zu; Ьи), покрывающие
множество е и удовлетворяющие условиям 2 ^fe<8' ^ <е
(/се N) (см. задачу 5.14.6)). Тогда ffc ij (fi (z,,; Sft)U5(^ft; pft)) и
/ (X)

Ввиду произвольности е > 0 это даёт нам неравенство jxn (G) ^
^ ап ^п (^)> которое вместе с неравенством («) приводит к окон-
окончательному результату: \in (G) = а^ (G). В частности,
1*„ ([0; 1]") = мп (@; 1)") = «-1.
5.20. Заметим, что если р — log3 2, то A + 2/)*> < 1 + iv при
0 ^ t ;=; 1. Поэтому если некоторый промежуток длины I разбит
на три части, длины которых l\, l2, h таковы, что l{ ^ k < h, то
iv < q + z3p- (*)
Используем это неравенство, чтобы вычислить \iP(K; 1/2). По оп-
определению,
цр {К; 1/2) = inf 2, [-^Г
Ясно, что условие 6^ — аи < 1 можно отбросить, а покрытия счи-
считать конечными и состоящими из замкнутых промежутков. Итак,
Ир (К; 1/2) = ir
Пусть сегменты [а\\ Ъ{\, ..., [а^; bN] образуют покрытие множест-
множества К. Уменьшая их в случае необходимости, мы можем считать,
что любые два из пик не имеют общих внутренних точек. Пусть
min{bft — ak\k = 1, 2, ..., Л'} = Ът — ат = б, Д = [ат; Ьт].
Хотя бы один из соседних с Д промежутков — обозначим его Д' —
находится от Д на расстоянии, не превосходящем 8. Пусть До —
наименьший промежуток, содержащий А и А'. В силу неравенст-
неравенства (*) мы получаем, что б^^;бр + (8')р, где б0, 6' — длины проме-
промежутков До, Д' соответственно. Таким образом, заменяя промежут-
промежутки Д и Д' промежутком До, мы снова получаем покрытие множест-
множества К, состоящее из N—1 сегмента [я^; fo^j, .. Дядт^; bJy_1J, при-
причем такое, что 2 {}\ — a'ii)P^ 2 Q'h — акУ- Продолжая
этот процесс, мы, не увеличивая па каждом шаге сумму р-х сте-
степеней длин промежутков, образующих покрытие К, придем к по-
покрытию, состоящему из одного сегмента [0; 1]. Это дает нам, что
р.р(К; 1/2) ~^2~р. Так как обратное неравенство очевидно, то мы
получаем, что р.Р(К; 1/2) = 2~v. П.; соображении подобия следует
равенство ц/яп [0; 3~n]; -g-3-")= 2-р-3-"р = 2~^+п> при лю-
бом не N. Пусть ДЕ е —одип из промежутков тг-го ранга,
°n

участвующих в определении канторова мпожества. Очевидно, что
() [0; 3"»]; \ 3
Поскольку промежутки тг-го ранга находятся друг от друга на
расстоянии ^3"", то (см. задачу 5.13.г))
КГ\А • —
x ene={o,i}
Таким образом,
цр (Я) = lim \iv [к- j 3~п) = 2-Р.
Чтобы найти фуакциго ер, заметим, что она непрерывна на
[0; 1] и постоянна на интервалах, дополнительных к К, а ее при-
приращение на промежутке ДЕ е есть 2рц (К П АЕ Е ^ = 2~п- Те-
иерь с помощью индукции легко доказать, что в крайних точках
сегмента Дк Е значения функции <р совпадают со значениями
канторовой функции.
5.21. а) См задачу 5.20.
б) См. задачи 5.3.д) и 5.13.а).
5.22. Пусть ф(г) = цр(Е (] [0; ж]), 0 < х sg 1, и пусть АЕ _ Е
где ей = 0 или 1,— промежутки тг-го ранга, соответствующие мно-
множеству Е. Так как все множества Е П Ае _ _ Е конгруэнтны друг
другу, то цр (E(]/±e Еи) = 2"пцр (?). Следовательно, прираще-
приращение функции ф на каждом промежутке ДЕ __ Е пропорционально
приращению функции а е- Кроме того, функция ф, как и аЕ, по-
постоянна па интервалах, дополнительных к Е. Теперь с помощью
индукции легко доказать, что в крайних точках сегментов ДЕ Е
значения функций jip (E) аЕ и ф совпадают. Поскольку множество
таких точек всюду плотно в Е, мы получаем требуемое.
5.23. Пусть о> — канторова функция, соответствующая мно-
множеству Е, a = \im2nlfv {«ь} — такая последовательность натураль-
натуральных чисел, что 2 hl% -> а. Пусть е — произвольное положитель-
положительное число. Далее будем считать номера nh такими, что ^nh<Ё1
2 Illft <с о- + е. Рассмотрим теперь покрытие Е сегментами ранга пи
(при фиксированном к). Тогда мы получим (X (Е; е) ^ 2 Ч^ <
< а -[- е. В частности, мы видим, что если я = 0, то (Хр (?) = 0,
а если в < оо, то и ,u2J (Е) < оо.

Пусть теперь 0 < с < а < оо. Зафиксируем такой номер то, что
1т < е, 2п1% > с при п ^ то и рассмотрим произвольное покрытие
множества ? интерзалами {xj — ry, Zj + rj)i удовлетворяющими
условию Г]<1т (/ = 1, 2, ...). Выберем номера S] так, что 25.<^
< >¦] < ^_г Тогда 2г. < Ц_2, ^ > т и
2 ^ > 2 % > < 2 ^Sj=12 2^+2=т 2 °* (ч-) >
i 2 (СТ^
Последнее из написанных выше неравенств справедливо в силу
счетной полуаддитрпзности меры, порожденной функцией ав.
Итак, мы доказали, что для любого покрытия Е интервалами
(xj — г3-; х} + г,) достаточно малой длины справедливо неравен-
неравенство 2 rPjP* с/4 откуда следует, что \хР(Е) ^ с/4 > 0. В част-
ности, если а = 4 °°, то ввиду произвольности числа с <С а мы
получаем, что цр(Я) =4-°°-
5.24. Проверьте сначала, что 2~"ft < 1Ь < 2-2~Ий (А = 1, 2, ...),
и докажите равенства ]1т(к[пь.) —- 1/2, lim(kfith) = 1.
5.25. Используйте результат задачи 5.23.
5.26. Пусть е > 0, N— такое натуральное число, что га~<№+!> ^
^ е < n~N. Тогда точки 2 аип"П' гДе а* s .Е (& = 1, 2, ..., Л?),
образуют е-сеть для множества А, мощность которой равна
(cnrdE)N = mN. Поэтому
П(А; г) ^ log2 mN = iVlog2 m s^ p Iog2(l/e), где р = (log2 7?i)/log2 re.
Следовательно (см. задачу 5.17), дашн(Л) ^г(А) = р. С другой
Ой
стороны, если A cz \j (x. ~ г.; х- -\- г^, то сумму 2 rj можно
оцепить снизу следующим ооразом. Пусть а — канторова функция,
соответствующая множеству A, a kj — такие номера, что п ^ J ^
< 2r. < rThi (i e= N). Тогда

а [*i ~
Последнее неравенство справедливо ввиду счетной полуаддитивно-
стп меры, порожденной функцией а. Таким образом,
М-4) > 1/BРт) > 0 и dimH (A) ^ р.
5.27. Для вычисления dimH(A) и й1та.н(А + А) используйте ре-
результат предыдущей задачи.
5.28. Рассмотрите функцию
1 1
И da (и) da (v)
о о
где а—канторова функция, соответствующая множеству К (см.
задачу III.3.20). Используйте ту же идею, что и в задаче 4.8.
Известно (см., например, [10]), что функция с указанными
свойствами не существует, если dimH(?) < 1/2. По поводу случая
Aш1Н(/О = 1/2 см. [8], с. 346— 348.
§ 6. Асимптотика интегралов высокой кратности
0.1. в) Применив теорему Фубини, убедитесь, что
г
Г | r ip jt _ 2га Г <Р (г2 — i2VK-3)/2 п
Bn(r) 0
Выразите последний интеграл с помощью функции Г и восполь-
воспользуйтесь ее свойствами.
6.4. Применяя теорему Фубини, мы видим, что
е
f /г . . ч _ ДИ I | | - 1 Г (л _ r2\(
t ( 1' • • •' п) I I x I ' — J и—1 \г — '
7l—1)/2
—1
Правые части этих равенств эквивалентны при п -у оо (см. задачу
VI.2.4). Поэтому
*пХК {{xv ¦ ¦ ¦' хп) е 5й 11 хх |
:e —•-:
Пн>оо

6,5. По определению
gn—1 gn—1
Ввиду сферической инвариантности меры |xB-i мы получаем, что
Ln= ип_1 l lie —х || d\xn_1 (x), где е = A; 0; . ..;0).
sn-l
Последний интеграл следует свести к интегралу по отрезку [—1; 1]
и воспользоваться асимптотической теоремой Лапласа. Получае-
Получаемый результат |limLn = ~J/2\ свидетельствует, что радиусы,
проведенные в две случайно взятые на сфере точки, «как прави-
правило», почти ортогональны.
6.6. Будем считать, что 0 ^ а < Ъ ^ у?г. Тогда
Рп - рп{(*{, • • •; *ПИ я" (У") I«<*п< Ь1 =
= -~("~1)/2 Г Г —Yndxx... dxn_t
an-1 ) '" I Л/п -г2 -г2
2 2 2 ' 1 • •' И—1
Приведите этот интеграл к виду
Vl-bVn
Сделав в последнем интеграле замену переменной и = yi — l2jn,
получаем
Остается перейти к пределу под знаком интеграла и найти предел
стоящего перед ним множителя.
6.7. Представим интеграл a j / (ж) dx в виде
а~г j /(x/lHD dx + /х + ^2 + /з.
вп
где
БиA—е)

Ясно, что \1{\ s? M(l - е)и, |/3| <МA — e)n, /2<ft(s). Кроме
того,
1
«й1 j / Wll * II) dx =-. a'1 J г" j j / (to) ^„^ (w)j
Bn 0 Is™ I
Так как щя = On-i, то
a I" / (г) dx - o~l1 j / (x) d\\n_t (x)
I
6.8. Представьте данный интеграл в видо
dr =
= \x\4'ne~x lzdx
и воспользуйтесь тем, что
Х2я
6.9. Воспользуйтесь формулой (*), приведенной в начале па-
параграфа.
6.10. а) Используйте результат задачи V.2.3.
б) Используйте результат задачи V.2 16.
в) Пусть /= dyn(x). Тогда
Г (п/2)
1 + 8
2l-n/2fi-
?г/2е-(п-1)/2 Г (
1+s
Так как
2 — In t — .,
1 A + е)
2 - Ь A + e) - -z
Г (n/2) > (д/2)

то
j
Аналогично получаем, что
1-е
J dyn(x)*
[«Kl-8
Следовательно,
J
^УП/п-е.о-п
CO
• e j e
8»/2 j
Q
6.11. Пользуясь формулой (*), приведенной в начале § 6, по-
получаем
Rn R™
(X) = Щ'2 j || X
c= (ге/2д)"/2 J rn-i+?. е-пг«/г ( J || ш ||« d^,, (со) ) dr.
Кроме того,
(n/2n)n/2 \rn
0
'1 Г (n/2)
6.12. Используйте формулу (*), приведенную в начале § 6, и
соотношение Т{а-\-с) ~ асГ (а) (см. задачу VI.2.15).
6.13. Пусть
(оо \71
1 - УгГп f й-г'2/2 du\
Тогда
R" О
оо /¦ со \ п—1
Г *' ( 1 - \\ Г е-"*72

сю
Изложим z @ =У2/л *\е-и2/2 du. Ясно, что z' (t)=— УИл-е~^^,
i
i
г @) =1, z (t) ? 0. Поэтому, делая в интеграле, стоящем
в правой части равенства A), замену переменной z = z(t), мы
получаем
1
I * Й, <*Yn (*) = п J *9 (г) A - г)" <Ь,
Rn о
где t(z) —функция, обратная к z(t). Так как
то (ом. задачу VI.4.1) t{z) = Y21n (l/z)(l + a(z)), где a(z)-^->0.
Следовательно,
l
f II *l?, dyn (x) = n j B In (l/z)M/2 A + a («))« A - z)" <2z. B)
R" 0
Используя результаты задач VI.2.8, VI.2.12, получаем, что
1
\ (In (l/z))'/2 (I + a (z))* A - z)™-1 dz ~
8
1
~ f (In (l/z))«/2 A — z)™-1 <fz ~ (In re)
Вместе с равенством B) это приводит к требуемому результату.
6.14. Рассуждая так же, как и при решении задачи 6.11, заме-
замените данный интеграл интегралом по гауссовской мере. Затем ис-
используйте результат задачи 6.13.
6.15. Используя неравенство |Ы1Р ^ nl/p\xi ...xn\l/n и резуль-
результат задачи 6.8, получаем при q > 0 оценку для In(p; q) снизу,
а при q < 0 — сверху.
а) Оценим 1п(р; (?) сверху. Так как |Ы1Р ^ reI/p~I/2lkll2, то
/„ (р, q) < n^lv-Ф Г || х ц| dyn (ж)_ Применяя результат задачи 6.12,
получаем требуемое.
б) В этом случае
/+оо \q/p
l )

в) Так как \\х\\р < я'/р-'/з . ||а;||?1 то
ln (р; q) < ni'P-1 J || я |1J <2Yn (х) = r
Оцевим /n(p; g) при g < 0 спизу. Пусть а = —g. Тогда
ll
1 = J II * llf • II * llf • dyn (x) < 1I* (p; a) ¦ /i* (p; g).
Поэтому /га(р; g)^/~1(p; я), и остается воспользоваться оценкой
для /п(р; в) сверху.
6.16. Используйте результаты задач 6.11 и 6.15.
яп/аги
6.17. Пользуясь равенством 1 = —-— и формулой Стар-
Г (re/2 -f~ 1)
лввга, получаем, что
2яе \ 2п In
6.18. а) Убедитесь, что радиус шара равен in— 1.
б) Убедитесь, что радиус шара равен-Ц-?—1; воспользуй-
Li
тесь формулой Стирлинга.
6.19, Убедитесь, что
о
т с помощью результата задачи VI.2.17.a) убедитесь, чтор^/2=
= п/2 + о (п1/2)-
6.20. Пусть * > 0, Оп (t) =f(«i; ...; хп) s Rn| 2 | ** | <
| |ft
| j
=Xn(On(i)) = Bt)n/n\ Найдем среднее значение an(t) функ-
функции H^ll^ на On{t). Ясно, что
t t
Brtn J ц tn J «-1 *
v ' о
Brtn t
v ' о о
Оценим Ь„. Так как H^llj ^Уп|]ж]|, io
В"

Для оценки Ъп сверху зафиксируем число 8 > 0, выбор которого
уточним ниже. Тогда
) Вп\О(У)
.{2гУп)п 2 , «„
1 2 Bг)п fT)
Таким образом, Ья< ^= +—.J^.B^^.-ii-. /. И»
пользуя формулу Стрилинга, легко убедиться в том, что второе
/ 1 (в i/li"\n\
слагаемое есть О r-p= I s I/ —— I . Взяв 8 = 1/У2, мы получаем,
что Ъ„ ^ У2/гг"+ оA/угёУ.
Перейдем к оценке с„. Пусть G(t) = A,n([—f; i]"). Тогда G(t) =
— Bt)n, и так как | х± | + ... + | хп | < п max | ift |, то
2"ге
о
С другой стороны, применяя тот же прием, что и при оценке свер-
сверху чисел Ъп, мы имеем
С* С*
I й+2~п J
era re! nV '^ era
re .(Sre)"-1^ 1
re — 1 re! ere'
Используя формулу Стриливга, легко убедиться, что первое слагае-
слагаемое в правой части последнего неравенства есть О ((ее)"), Взяв
е = 1/3, мы получаем, что с„ ^ 3/ге + оA/ге).
, _ге!ге С г / {"
-1 VOn.jd—|и|)
¦:••*» . \^
= ге1ге Гц2/ Г df @ ^„

где F ft) = Xn_1 (On_1 ({)) = Bi)"-1/(« - 1)! Поэтому
1 /l — U. \
Так как и2 ^ в2/(» + t) ^ »2/f, то
l l
n2 (B _ 1)j>-2 A^0. Л < /n < Д2 (B - 1) j <"-3 (L=± « ~
О О
б) Пусть a \lllldx = Jn. Так как ЫЬ^УгёЫг, то
J IIх Hi
вп
вп • О
Оценка для /п сверху следует из неравенства Jn ^ a^* I и
оценки для 6„ в задаче 6.20.
в) Ясно, что
К -
J -J-KI+M+... + I*»!'
[n
Используя неравенство I х I + ... + I xn I ^ n max I xh\, получаем:
Оценка Kn сверху следует из неравенства Кп ^ 2
и оценки для с„ в задаче 6.20.
6.22. б) Заметим сначала, что
J \\х Hi
«и
W

Убедитесь, что
On{l + e.fn) П [—1; 1]"с=О
Из этих включений следует, что
n\ re! n re!
где Vn = Kn(On + еВп), т. е.
Be Угё)п
n<lL(i + 8уд»,
re!
re!
Используя соотношение (*), получаем
I „ (eVn) e „
«п 4о. «» иуге; 'е „Г»уз 1л
Отсюда, в частности, следует, что —2- I -»- el/
\ССп ) я^ + оо Г ТС
6.23. Пусть 0 < t < 1,
..; ж») еЛи|0<жи< 0 (в>2)
Л,(г) = [О; г],
Тогда Vn (i) = \ Fn_j A — и) du при n^i, и поэтому
о
У'п @ = ^_! A-0. К @ = ~ ^г-г (<) (п > 2).
Выведите отсюда, что
27JT 2(
Пусть /¦ (х) = 2 ^h A) *2h' G (ж) = 2 T/2h+i
зуясь соотношениями (*), проверьте, что 'F(x) cos г ь^ 1,
G(a:) cos ж ^ sin ж, т. е. ^(ж) = 1/cos т, <3(ж) = tg x. Воспользу-<
емся разложениями

Заменяя в них х на я/2 — х, мы получаем
cos x & Bfc - i)a j? - *2 ^ B* -
Следовательно (при |ж|<я/2),
2х
COS X
:2m
' ' am 4-Г
gX
= У 8х У 1 2х
S n*Bkif?U
Таким образом,
2m
Я
я
Bfc
Отсюда вытекает, что Vn(i) = 2B/я)п+1A + 0A/3")).
6J2-5. Так как А,„BУ») > 2я C/2)", то множество 2Vn содержит
по крайней мере C/2)" точек с целочисленными координатами (см.
задачу 1.3.в)). Заметим, что ненулевые координаты этих точек
могут быть равны лишь +1 или —1, поскольку 2Fncz (—2; 2)".
Пусть Кп — количество точек с коордипатами 0 и +1, у которых
число ненулевых координат не превосходит т = [д/10]. Ясно, что
Проверьте, что Кп < C/2)" при больших п, из чего и следует, что
множество 2Vn содержит искомую точку.
6.25. а) Зафиксируем произвольное положительное число в и
рассмотрим множество
re 3 j
По неравенству Чебышёва и ввиду попарной ортогональности

функций х^ — 1/3 (к = 1, 2, ..., re) на [0; 1]" мы получаем
* 6 Г
(Таким образом, 1Ы|/}'ге «почти совпадает» с 1/уЗ на множестве,
мера которого сколь угодно близка к единице.) Следовательно,
Уге.
<
I
i/Уз
II» И _ l
Уп Уз
dx +
1
e da:
Гак как Кп(Еп(?)) -*-0, то при достаточно больших п
[0,1]"
б) Рассмотрите множество
> е
д докажите, что кп (Еп (е)) ——> 0. Используйте непрерывность
функции / в точке 1/2.
в) Так как
In а: йж = —¦ 1,
рассмотрите множество
?я (в) =((*,;... ;*n)
> е
я используйте те же соображения, что и в пп. а), б).

г) Заметив, г]т0 1_ Г ^x^e—^l2dx = ']/2jn, рассмотрите
множество
6.26. в) Очевидно, достаточно рассмотреть лишь случай, ког-
когда пып -*¦ оо. Пусть
°п|.
и
Найдем такое число б > 0, что \ f (x) dx < е~1. Пусть
-б
х = fa ...;хп)е=Ап, Е (х) = {/ s N 11 х-1 > б}.
Ясно, что card?(ж) ^ [гею„/бр]. Положим N — [гмоп/Ьр],
& = {В<=:{1; 2; ...; n} j card В = JV},
св=1К; •••;*n)siRn||*b|<6 при ss4
Тогда у4„ cr U Со. Так как
J... ^j {xl)...j(xn)dx1...dxn
то, следовательно,
<
\-6
n-JV
<е
-(n-Л-)
Оценивая С%, получаем:
C% < nN/Nl < (
Вместе с A) это дает нам
e"
/ 2&р
_п N 2+1п—
(
я 1
\ 6?
, 2
In
2б
Поскольку и>п Id —— -> 0 при п -*¦ оо, мы при достаточно больших п
получаем, что 1п ^ е~п/2.

6.27. Из неравенства Гёльдера следует, что величина Sp (a) =
= 12~п | (х; а) |р dx \ возрастает с ростом р. При р = 2 она
{ Qn I
совпадает с ||о||/]'3. Таким образом, правое неравенство нетривиаль-
нетривиально лишь при р > 2, а левое — при р < 2. Докажем правое неравен-
неравенство. Очевидно, это достаточно сделать в случае, когда Hall = 1.
Будем сначала считать, что р = 2т — четное число. Пользуясь не-
неравенством t2mlBin)\ «g ch t, получаем
Г {х; aJm dx < Bm)! Г ch (x; a) dx = 2n Bm)! JJ fL^,
Qn Qn
где ак (к = 1, 2, ..., n) — координаты вектора а. Воспользовавшись
неравенством ^е г; получаем
± s с2
2-" Г (ж; aJm dx < Bт)! е 2 КЬ^ = Bт)! е1/2.
Отсюда вытекает, что 5гт(а) ^ 2т||а||. В случае произвольного
р > 2 найдем такое натуральное число т, что 2т ^ р < 2т + 2.
Тогда
5,(в) й?52пг+2(а) <=: Bт + 2)[\а\\^ (р + 2)||о||.
Перейдем к доказательству левого неравенства при р е @; 2).
Рассмотрим такое число в е @; 1), что 2 = Qp + A — 9) -4. При-
Применяя неравенство Гёльдера с показателем 1/8, получаем
| (*; a) fP.\ (х; а)\ «^ .dx <
(*; a) |4 d^V"9.
j
j
V j \ Qn
Следовательно,
т. e.

Глава IX. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИИ
§ 1, Сходимости по мере и почти везде
1
1.2. б) Убедитесь в сходимости ряда ~S\ \ /f fci (х)
1
/f fci
*>Ч
1.3. Рассмотрите функции g-n = (—1)" ¦ п • fn, где /„ — функ-
функции из задачи 1.2.
1.5. Пусть Апе N. Тогда функции \sm(Anx + ср„) | и |sin .т|
раввораспределепы на @; 2я). Поэтому
@; 2я) 11 sin (Лп* + Фп) |Рп > е} =
= %[хе @; 2л) 11 sin ж | > e1/Pnl —»- 0.
П->оо
Если ЛП^Ы, то следует рассмотреть наименьший интервал, со-
содержащий @; 2л) и целое число периодов функции
j sin (Л иа: + фп) |, и воспользоваться аналогичными соображениями.
1.6. Чтобы доказать первое из требуемых равенств, рассмот-
рассмотрите множества
Еп(е) ={ie @; 2л) | sin {Апх + <р„) < 1 — е} (е > 0)
и докажите, что для любого е > 0 найдется такая последователь-
последовательность номеров {riklk^i, что пересечение Л Еп (е) имеет пуле-
ft>p h
вую меру при каждом peN.
1.7. Так как при любом 4еМ
Mie ((k— in; l;n\ [sin (пх + ф„)|« > 1/я} =
= Цге @; л) jsitis: > n'l'n} = O(((ln rc)/«)i/2).
то
J
)
J
(h-l)n;
откуда следует, что
¦ Sin" GИ + фп)
1.9. а) Воспользуйтесь результатом задачи 1.8.
б) Рассмотрите множество е = (J (х е К | I /„ (я:) I > е Д при
достаточно большом р.

1.10, Не умаляя общности, можно считать последовательность
ifn}n>i убывающей. Рассмотрим такую последовательность
I/„ 1 , ЧТО
е @; 1) [ /nfc > l№2j < I/*2 (/V = 1,2....).
используя результат задачи 1.9.а), убедитесь, что последователь-
гмсть {Ап}п>1< ГД° Ап — k при «ft^«<nft+i. является искомой.
1.11. Пусть {/1„}о| — такая последовательность, что Лп-^-оо,
Лп(/п(^) — f(z)) ->-0 п. в. на @; 1). Докажите, что функция
•> = sup | Лп (/п — /) j является искомой.
1.12. Рассмотрите множество е = {х <= @; 1) | #(г) > С}, где
э—функция из задачи 1.11, С — достаточно большое положитель-
положительное число.
1.15. Рассмотрите такую последовательность {кп}п»и что
X \х е @; 1) 11 /n ft (x) — fn (x) > 1/и1 < 1/и, и воспользуйтесь
включением
с= (* s @; 1) 11 fnihn (х) - /п (*) | > e/2j и
U{^e@; 1) 11 /п (х) - /о (.г) | > е/2}.
б) Воспользуйтесь теоремой Егорова (задача 1.12).
в) Воспользуйтесь результатом задачи III.1.6.
§ 2. Сходимость в среднем. Закон больших чисел
2.1. Воспользуйтесь неравенством Гёльдера.
2.2. а) Воспользуйтесь неравенством
X {х s ? 11 /п (х) ~ /() (*) | > е} < ^r J | /п (г) - /0 (.г) \Чх.
Е
2.3. Воспользуетесь неравенством Буняковского и абсолютной
ээпрерывпостьго интеграла.
2.4. Докажите, что
2.6. а) Для оценки интеграла j | / (ж) | da; представьте |/| в ви-
Е
Ц5 произведения |/|' ¦ l/j1"' и подберите числа г>0 н s> 1 так,
что st = г, A — l)s' = 2, где s' = s/(s— 1); воспользуйтесь нера-
зэаством Гёльдера.

б) Пусть а>0, ?(a)={ie?j \f(t) | > /«(/)}. Ясно, что
ga и
[
< V« II / И2 + ^m (Я) /« (/) < С У а |] / Pj + %т (Е) Ja (/).
Следовательно, если СУа ^ 1/2, то
у II / lij < A - С Уа) || / Ц, < Хт (Е) /а (/).
2.7. Зафиксируем число е > 0, выбор которого уточним позже.
и положим/ = 2 | anfn \- -Ясно, что найдется такое число t > 0, что
Ят(й()<8, где Et = {x(=E\f(x)>t}.
Тогда
Число е > 0 выберем так, чтобы Cfe < 6/2. В этом случае
j |/n(*
E\Et
Следовательно.
откуда
я>1
2.8. Докажите, что Hm \ I sin (пх -f- <pn\ I d.r > 0 для любого (из-
В
меримого) множества Е cz @; 2л), и воспользуйтесь результатом
задачи 2 7.
2.9. Воспользуйтесь результатом задачи 2.2.а).
2.10. Воспользуйтесь результатом задачи 2.9.
2.11. Докажите, что мера множества
н(-я;я) -
стремится к нулю при п ->- оо.
2.12. б) Докажите, что I ап I < I а 2 I + 2Л//А, Где fc = [У«].

2.13. Пусть Ah=
2„—3/2 a f ||2 ->.
\\fn$ (k=0, 1, 2, ...). Тогда
2
л—3
h
Поэтому
2 Л-
3>0
Таким образом, а 2 (я) -+0 я. j. на Е. Пусть теперь п = к2 -\- р, где
k = [1/ri],
k, и пусть g —
2 ra~3/2/
ra
2/n- Ясн0> чт0
= З'ЦЕ), и, следовательно, coft (ж) =
= 2 ra~3/2/
ra
2/n (x) ->0 п. в. на Е.
Кроме того. I an I
\ У
I a 2I и почти везде на Е
и w
Ы 2
к"
2.14.6) Как установлено в VIII.3.16, I [ ап (х) — -у) da;=
о
= О (l/га2). Поэтому ряд Zj (оп (д) ~ ТI
сходился почти вез-
ле, и, следовательно, ап{х) — 1/2->-0 п. в. на @; 1).
2.15. Решение аналогично решению предыдущей задачи.
2.17. Используйте неравенства Чебышёва и попарную орто-
ортогональность функций f(x,), f{xi), ..., f(xn) в кубе @; 1)™.
2.18. Решение аналогично решению предыдущей задачи.
2.19. Рассмотрите функцию f(x) = х2 — 1/2л (х е R) и меру
2
V с плотностью е~лх . Докажите, что мера f X Т X • • • X If (?г со-
сомножителей) множества
п («О = {(*!; ••¦;^)

стремится к нулю при и ->- оо, и, следовательно, интеграл
1 т\ 2
1| 1|2 ~я||жИ
С
I
J
dx мал при больших га. Интеграл
—\xf\e
xf\e л"да' da: близок к <рA/2л) при малом е > О.
l2 = 2 ai
2.20. а) Так как j| S - Sft jl2. = 2 ai
б) Ясно, что S 3 (ж) -—>- 5 (ж) п. в. на Е. Пусть п = к2-\- р,
"¦ h->oo
где к = [in], 0 < р < 2к. Тогда
2,2^ р "^yl ~\/j /7^/? ???
Так как ряд 2 V i aj/j (х) сходится почти везде, то Rh (х) —> О
почти везде. Таким образом,
| Sn (х) - S (х) | < | Sn (х) - Shi (х) | + | S (x) - Sh2 (x) | <
< Y2Rh (x) + I S (x) — S a (ж) I —н» О п. Е.
в) Из предыдущего неравенства следует, что \Sn — S\ ^ g,
где функция g = 1/ 2 2 V/ а1/| +1/ 2
5ь2 f суммируем в
с квадратом. Ясно, что ^«i sg \S\ + \Sn — S\ sg \S\ + g, \S\ |se
§ 3. Функции Радемахера. Неравенство Хинчина
3.4. а)—в) Воспользуйтесь результатом задачи 3.2.6).
г) Используйте то, что бесконечные произведения JJ cos xcn и
П>1
сходятся одновременно.
3.5. Убедитесь с помощью З.З.б), что для вещественных с*
1
¦,Л* йх— У с4 4- 6 У с2сг
(<з( 2

б) Используйте идею решения задачи 2.6.а).
3.6. Представьте двойной интеграл в виде повторного и ис-
используйте результат задачи 3.5.
3.7. Решение аналогично решению задачи 3.5.
3.8. Решение аналогично решению задачи 3.5.
3.10. Используйте результаты задач 3.9.а) и 3.5,а).
3.11. Используйте равенство (С = (cji)i<j,K»)
о 0 | i«i,ft
2 [ | 2
х.уел о 0 | i«i,ft<n
и результат задачи 3.6.
3.12. Вычислите F(s), используя равенство
+00 1
F(s)= j e-istdF(t) = ^e-isi^dx,
—оо О
где F — искомая функция распределения, и результаты пп. а), бI
задач 3.3, 3.4.
3.13. а) Используйте неравенство треугольника и индукцию-
по п (га ^ т).
б) Используйте выпуклость функции s >-» exs и индукцию по п
(п^ т).
в), г) Представьте множество Е в виде объединения проме-
промежутков вида Д„,ь (к = 0, 1, ..., 2™ — 1) и используйте пп. а), б).
3.14. а) Не умаляя общности, будем считать, что А — 1 (иначе-
можно заменить t на At'). Введем множества
Е_ =[х е @;
1
2 ahrh
Kh<n
I
Пусть s — положительное число, выбор которого мы уточним поз-
позже. Тогда
dx < в* J e 1<T*n «te =
О
Выбирая s так, чтобы правая часть неравенства была минимальна
(s = t), получаем, что Х(?+)^е~г .Мера множества Я_ оцени-
оценивается аналогично.

б) Используйте утверждение а) и включение
s (о; 1)
2
'/V2jlj{a
@;1)
где as = Re(cs), (Jft = Im(cA).
в) Представьте множество ?¦ в виде объединения попарно не
пересекающихся промежутков вида Дщ,/, гДб 1 ^ те ^ га, 0 ^ / <
< 2™, выбранных так, что
max
при ieAraJ.
Тогда из неравенств а), б) предыдущей задачи следует, что
X (E) < t-1
(*)
da; < At
.—i
l
ch/s 2
К \ l*h
„-si
Оценка последнего интеграла проведена при доказательстве ут-
утверждения а).
г) Пусть F — функция распределения функции g. Пользуясь
установленным в пункте в) неравенством 1 —F (t) ^ 2e~i '^A '
и считая, что s < 1/BЛ2), мы получаем
dx
0
Если же
= sup
00 ОО
= j в"* dF (О < is j «e-(l/
, то мы рассмотрим функцию gl (x) =
где число N выбрано так, что А^ =
1
т. Г 28g,CC)
Как уже показано выше, I е ах < оо.
о
Кроме того, g(x) ^.K-\-g1(x)t где К== 2 |aj|> и поэтому
82{х) < 2Е2 + 2g\ (x). Следовательно,
1 1

3.15. Очевидно, все числа а& можно считать веществе иными.
Пусть Sn(x) — п\гх(х) +¦ • • + апгп(х). Используя результат за-
задачи 3.14.в), докажите, что для любого числа s > 0 мора шюжест-
ва (х е= [0; 1) sup | Sn+ (х) — Sn (х) | > el пе превосходит
-1 B 4)
\h>n I
1/2 „
. Выведите отсюда, что
Hie @; 1) Шп Sn (х) - lim Sn (x) > el = 0.
t П^°о n-*oc f
3.16. Сужая в случае необходимости множество Е, можно све-
свести задачу к случаю, когда сумма ряда / ограничена па Е. Пусть
|/| г=: С на Е. Рассмотрим подпоследовательность \Sn | ^ час-
частичных сумм данного ряда, равномерно сходящуюся к / на Е. Оче-
Очевидно, мы можем предполагать, что I Sn (x) I <[ 1С при любых
хеЕ, к s N. Зафиксируем натуральное число т, выбор которого
уточним позже, и положим
Докажем ограниченность последовательности {Uh}h>\, что достаточ-
достаточно для решепия задачи. Ясно, что
2с vm > (I <*ч «)• *у"> (l^s v, «
Следовательно,
•
-2-./ 2 а)а\л/- 2 ffri(*)r|(.)d*V. a)
у т<]<
Поскольку семейство {rj-r;}[aSj<i есть ортонормировапиэя система
(см. задачу 3.7.а)), то в силу неравенства Бесселя
Мы будем считать число т настолько большим, что 49Ш <Х{Е).
Тогда из A) вытекает, что
(Г -| 1С УХ (Е)J > X (Е) Uh ~ 2UhQm > -^ t/ft.

Итак, при указанном теыборе т и при всех пи> т мы получаем
неравенство
что и требовалось.
3.17. Ясно, что а) =ф- б) =$- в) (см. задачи 2.2, 2.1). Импликации
в) =>- а) =4- г) установлены в задачах 3.16 и 3.15. Наконец, г) =>¦ в)
по теореме Лебега. -*"Ч
3.18. Решение аналогично решению задачи 3.16. Сохраняя вве-
денпыо там обозначения и считая, что Е а @; 2л), мы вместо не-
неравенства A) тюлучаем
(пТ + 2С ~УпЖ)Т < 2 а) \ sin2 2^ d* ~
sin 2га
E
М0Ж-
fX (E) 1 Г Х
sin 23x dx = —-r— — -z \ cos 2]Arlx dx —*¦ -
E E
но выбрать т настолько большим, что \ sin2 2^x dx>-j-\ (E) при
E
\ siu2:ixsm2lxdx\ , вос-
E j
пользуйтесь равенством
Г 1 / С С
sin Vx sin 2lxdx = -s- / cos Bг — 2J) г & — cos Bг -f 23')
J 2 J J
E \E E
и неравенством Бесселя для тригонометрической системы.
3.19. а) Убедитесь, что из ограниченности суммы ряда 2 апгп
па промежутке Д следует ее ограниченность и па @; 1). Пусть
2 агИ'п ^ С на @; 1). Зафиксируем произвольное натуральное
число п и рассмотрим такой промежуток Д„,ь= (к/2п; (к + 1)/2") с:
с: @; 1), что г, (ж) = sign а3- при х е Ди а, / = 1, 2 ..., п. Так как
\ г. (а;) (/ж = 0 при / >«. то
Таким образом, 2 | aj | ^ ^ при любом ra

б) Используйте идею решепия задачи IV.6.28.
3.20. б) Используйте идею решения задачи 3.13.в).
в) Используйте идею решения задачи 3.14.в).
г) Используйте идею решепия задачи 3.15.
3.21. а) Пусть Sn— и-я частичная сумма ряда Фурье функ-
функции /, а е — произвольпое положительное число. Докажите, что
max | Sn+ (х) - Sn (х) |> в] <
Выведите отсюда, что
л \х <= @; 1)
sup
N
1
Я'п+Р И ~ Sn (х) | > el < в j | f(x)-Sn(x) | dr.
i n
Для завершения доказательства остается повторить рассуждения,
использованные при решениях задач 3.15 и 3.20.г).
б) Пусть Еп=\х<= @; 1) I sup | Sm (х) | > t\. По образцу рас-
рассуждений, использованных при доказательстве утверждения в)
предыдущей задачи, докажите, что %(Еп) sg; Н^пН^, после чего ос-
остается лишь перейти к пределу при ге->-оо.
3.22. Докажем, что 2 akrh '^Bp( 2 at \ • Второе не-
неравенство может быть получено с помощью метода, использован-
использованного при решении задачи 2.6.а). Пусть F — функция распределе-
распределения функции ^ ahrh ' Пользуясь полученной в задаче 3.14.а)
оценкой 1 — F (t) ^ 2е~* '^2А ', где А2 =
при любом р > 0
аЬ убедитесь, что
2 Vh ix)
l<h<n
: = j IP dF @ ;
0
:2Pj>-e-2
i' уР^е
dy.
]!ьтразив последний интеграл через функцию Г и воспользовавшись
формулой Стерлинга, мы получаем требуемую оценку для Bv.
Доказательство неравенства Хипчяна, не использующее явно
свойства функции распределения, можно получать но апологии с
решением задачи VIII.6.27.
3.23. Импликация д) =>¦ б) тривиальна, импликация а) =>- д)
следует из неравенства Хиячипа.

3.24. Будем считать, что 2j | ch \ = х« Рассмотрим функцию
п /т. t\ — XI r r /f\ fi—ikx / с- in f _ in. a\\
г \л, о/ — ^ к n+h+1 \ I ^ t= к, i t: \vi, ijj.
а) Используйте вытекающее из задачи 3.22 неравенство
1
j | Р (х; t)\dt^z а, где а > 0 — абсолютная постоянная.
о
б) Если мы убедимся, что мера множества
Я = {(е@;1) max \Р(х; t)\> 10 l/\a~n\
\ жек )
меньше единицы, то взяв (не двоично-рациональную) точку t0 из
@; 1)\? и положив гп = rn+h+i(h), мы получим искомый тригоно-
тригонометрический многочлен. Чтобы оценить меру Е, заметим, что
max | Р (ж; t) \ «почти реализуется» в одной из точек х3 = Bnj)ln~,
хеш.
] = 0, 1, ..., ге2. В самом деле, если \х — ж,-| ^ я/ге2, то
8Ш^?
\ Р (х' t) —ч Р (х•' t\ I "^ ^У ! с
Поэтому max \Р(х; г)\*С jt/1/гс + max I P(x.\ t) I. Следовательно,
Е cz U е @; 1) max | Р (х.; t) | > A0 — я/Уп In re) УЕГгё] с:
Накопец, ясно, что
Ed U
= [fe @; 1) max | P (xr, t)\>& Vlnrel.
I Kj<n2 J
Как установлено в задаче 3.14.6), мера каждого из множеств в
правой части последи его включения не превосходит 4е~91п " =
= 4ге"9. Следовательно,
Х(Е) ^% (Е) < ге24ге-9 = 4ге~7 < 1 при re ^ 2.
Как видно из последнего неравенства, sup | P (x; t) | s^ioyiu n
при всех t, принадлежащих множеству @; 1)\Е, мера которого
близка к единице. Таким образом, расставляя знаки ед случайным
образом с помощью подбрасывания монеты, мы в подавляющем
большинстве случаев будем получать многочлены, удовлетворяю-
удовлетворяющие требуемой оценке.
Отметим, что многочисленные результаты, относящиеся к за-
затронутым в этой задаче вопросам, можно найти в [11].

3.25. Положите р„ — 2In п. Убедитесь с. помощью неравенств?
1
гп (х)
Хинчина, что ряд > \ ——— , ¦ их сходитсй
*¦ J \ у an inn )
21пга
у an inn
при любом а > 2. При доказательстве этого используйте оценку
+ е.Iе, справедливую при любом е>0 и достаточно
большом р (см. задачу 3.22). Из сходимости рассмотренного ряда
v |j | 21пп
следует, что ряд /, -¦ / : сходится поп-
ти везде, что возможно лишь в том случае, если почти везде
— | г (*) + • • • + гп (х) |
lim , — < 1.
п-»оо у an in re
3.26. Используйте ту же идею, что и при решении предыду
щей задачи.
§ 4. Ряд и преобразование Фурье
4.2. Яг.тто, что при h > 0 и любом геК
я
| ф (х |- h) — ф (х) К L 1 | ga (у -(- Л) — ga (у) | А/,
—л
где L— vrai sup| /(.г) |. Убедитесь, что интеграл в правой части не-
R
равопства не превосходит ihl~aJ({ — а).
4.3. а) Используйте равенство
it
л
h (re)= lim к—
fc->oozn;
~л
где Si,, Sh— /с-е частичные суммы рядов Фурье функций / и g
соответственно. Предварительно докажите, что II h _ SJ5k II >- О
(см. задачу 2.2.6)).
б) Представьте Ф в виде суммы ряда У, гг и используйте
утверждение а).
4.4. Воспользуйтесь равенством f(n) = 2ng(n)h(n) (гее Z).
4.5. Вычислите коэффициенты Фурье ф(ге) функции ф = / * g\:
(ом. задачу 4.2) и убедитесь, что при п ф О
ф (те) = а 7—- -f- О

«It
4.6. Воспользуйтесь равенством / (п) = — 1 fix-]-— \e~mxdx.
2я J \ *l I
—я
4.7. Воспользуйтесь интегрированием по частям.
4.8. Выразите f(n) через интегралы
я я
Г xe±i(nx±lMdx = 0 A/п) ± Г * d A е±Цпх±1/х) \ _
J J п + 1/ж2 \ l J
о %IYn
Последний интеграл оцените с помощью интегрирования по
частям.
4.9. Пусть \ап\ г=гС'/ге1+а (п = 1, 2, ...). Убедитесь, что
эс'| -^ п>\х—ж'1"
Докажите, что каждая из сумм в правой части неравенства есть
О(\х-х'\«).
При а = 1 рассмотрите функцию / (ж) = 2 (е%пх/п2) и про-
верьте, что ее производная не ограничена на интервале @; я).
4.10. Пусть Sj (х) = ^ /"(ге) еМЖ- 4 М =
Убедитесь, что
sm(inft+l/2)
*
ж, где /и, = 2 .
sin (ж/2) —' -"- ft'
о
Докажите, что
sin (ж/2)
Я . 2
i, . sm тьх
-^5 -
Воспользуйтесь результатом задачи VI.1.10.
4.11. Воспользуйтесь равенством
л
ап (ж) - / (х) =-. _L_ f (/ (ж-^ t) ~ f (x)) siPa("*/2) du (*)
2"re J_n sin2 (t/2)
я
Докажите, что J—^^AHHlLdt—^-0 при любом б > 0, и
2пп J i- (j/2)

выведите отсюда, что при любом
где о)/ — модуль непрерывности функции /.
4.12. а) Пользуясь формулой (*) из решения предыдущей за-
задачи, докажите, что
о
где Со ¦— постоянная.
б) Воспользуйтесь результатом утверждения а) и экстремаль-
экстремальным свойством частичных сумм ряда Фурье.
4.13. Пользуясь неравенством Буняковского и утверждением
б) предыдущей задачи, докажите, что У\ \ { (re) | =
— О BA/2~а'/г).
— 1
4.14. С помощью неравенства |ф (&) I ^* o^fll ФП^ примененного к
функции ф = / — ол, убедитесь, что при к Ф 0 коэффициенты
чФурье }(к) функции / равны нулю.
4.15. Используйте равенство /(—re) =/(re) (bsZ).
_, -8 S |/,-W|
4.16. Ясно, что |^е(ж)|< 2 |/й(ж)|е i>fe • Поэтому
утверяодение а) вытекает из результата задачи IV.2.12.B). Для до-
доказательства б) убедитесь, что
к
К Ы - aq = -L Г / Fs (х) - ^ h
С помощью результата задачи 4.3.6) выведите отсюда, что
-е 2 hfix)
J 2
и, следовательно,
я
п. ух) I dx —
я
=i у у Г / (х) |
Остается воспользоваться неравенством Буняковского.

4.17.
я
[
—я
Воспользуйтесь неравенством
Е * с/ПзХ
dx>&
л
где е — достаточно малое положительное число, 7^ — функция, по-
построенная в предыдущей задаче са, = i~]ci!\ci\ (/ = 1, 2, ..., т).
Неравенство задачи 4.17 в частном случае, когда С[ =
= с2 = ... = 1, было высказано Дж. Литтлвудом в виде гипотезы.
Оно было доказано почти полвека спустя С. В. Конягиньш
(«О проблеме Литтлвуда», Изв. АН СССР, сер. мат., 1981, т. 45,
№ 2) и одновременно Мак Ги, Пиньо и Смит,ом (см. [41]).
4.18. а) Убедитесь, что функция /c(s) является решением диф-
дифференциального уравнения y'(s) + csy(s) = 0.
4.19. Используя re-кратное интегрирование по частям, докажи-
то, что
k Is) ^
in dsn\e J
V —оо
Cum вычисления последнего интеграла примените результат зада-
чи 4.18.
4.21. Так как а B/3 + t) = 1/2 + a(t) при 0 ^ t s^ 1/3, то
1/3 1 1/3
a(s)= I* e~utda (t) + Г е~ыйа (г)-^ f e~isldo (t) ]
.' J J
/
J
2/3
1/3
1/3
ff (i) ^ A
e tslda (t).
Используя индукцию, покажите, что
Выведите отсюда, что
a(s) = в""/2 Д cos(«-3-fe).
ft>i
Из последнего равенства видно, что
| о BяЗп) | = -1- IT cos B«3-й) Ф О
при любом n

4.22. л) Пут. О ¦-- х < у < 2. Так как
у х
г{у)= \a(y — t) da (t) > Г а (у — /) da (t) >
о о
X
*^ \ @1(Х1—«^ do (t) =o, (^'),
о
то функция <Ji пе убывает. Для доказательства ее строгой моно-
монотонности убедитесь, что найдутся сегменты и-то ранга
[кЗ~п; (к +1K-"] и [Z3n; (i + 1K"]
(см. определение канторова множества на с. 12) такие, что
О sc: к, I < 3», х < (к + 0/3" < (к + I + 1 )/3" < у
(ср. с задачей I 1.28.6)). Тогда
fk + l+i\ /k+,
о1 (У),- ¦ Oj (*) ^
(ft-l 1K"
^
б) Убедитесь, что ai(s) = (a(s)J, и воспользуйтесь результа-
результатом предыдущей задачи.
4.23. Воспользуйтесь тем, что преобразование Фурье свертки
суммируемых функций равно произведению их преобразовании
Фурье.
4.24. а) Убедитесь, что множество зпачений функции g всюду
плотно в промежутке [0; 1] и воспользуйтесь монотонностью.
б) Изучите интервалы постоянства функции g и найдите мо-
мору их объединения.
в) Используйте тот же прием, что и при решении задачи ¦'< 21.
г) Изучите преобразование Фурье меры, соответствующей
функции
-I оо
A(.r)= I" g(x-t)dgBt) (isR).

4.25. Решение аналогично решению предыдущей задачи.
4.26. Докажите, что
J e~iudFs(u),
= J
где
Fg (и) = n{te R™:| (s; t) < и} (и <= К).
4.27. Пусть [х — мера, удовлетворяющая условиям задачи. Тог-
Тогда [х = р.1 X Ш, где [Xi, (Xz—борелевские вероятностные меры на
подпространствах L я М соответственно. Так как мера ц инвариант-
инвариантна относительно вращений, то dim L + dim M — п. Ввиду инвари-
инвариантности меры [х относительно вращения мы видим, что jx(s) =
= [x(||s||a), где а — произвольный нормированный вектор. Инвари-
Инвариантность меры |х относительно ортогональных преобразований вле-
влечет, что меры [xi и [Х2 также инвариантны относительно таких преоб-
преобразований (в L и М соответственно). Поэюму [Х[(«) = (д,|(||и||и0),
[х2(у) = (Х2(Цу||г-'о), где u<=L, teJf, а щ, v0 — произвольные нор-
нормированные векторы из подпространств L и Ы соответственно.
С помощью теоремы Фубини мы получим, что
ц(и+ v) =щ(и) • [х2(у), где ue=L,ve=M.
Поскольку Цк + v\\ = У1|м||2+ ||у||2, отсюда следует равенство
[х(У1ЫР+ НуН2«) = щA1и||ио) • MIHk). (i)
Пусть фD) = \i(ta) при i > 0. Полагая поочередно в равенстве A)
и = 0 и к = 0, мы видим, что
Таким образом, из равенства A) вытекает, что
ф {У*\ + 'l) = Ф
Пользуясь результатом задачи III.5.9, мы получаем, что ф (t)=
= e~ci при { ^ 0. Итак, (х (s) = <f *'' , причем с ^ 0, поскольку
|(x(s) | ^ 1. Если с = 0, то (х — единичная нагрузка, сосредоточен-
сосредоточенная в начале координат. Случай с > 0 соответствует гауссовской
мере с плотностью Dяс)~п/2е~"ж||2;'Dс).

Глава X. ИТЕРАЦИИ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ОТРЕЗКА
§ 1. Топологическая динамика
1.1. С помощью индукции докажите, что при каждом леМ
справедливы неравенства п ^С /(re) < min{/(&) \k > п).
1.2. а) Докажите, что /@) =0, и исследуйте знак j{x)
при х > 0.
б) Докажите, что функция / строго возрастает и что inf / =
= а е (— °о; 0), /(о) =0. Зафиксируйте произвольную строго воз-
возрастающую функцию /оеС([а; 0]), удовлетворяющую условиям
/0(в) = 0, /о@) = еа, и, используя уравнение, продолжите ее на R.
в) Докажите, что функция / должна строго возрастать на
[0; оо), строго убывать на (—°°; 0] и удовлетворять неравенству
/@) 5*0, что невозможно, поскольку F и, следовательно, / прини-
принимают отрицательные значения.
1.4. Пусть /: X-*¦ X — биекция. Для произвольной точки jeX
ПОЛОЖИМ Хо = X, Xi=f(x), X-l=f~l(x), Xz = f(Xi), X-2 =
—¦ /~1(ж_|), и т. д. Обозначим через Orb (x) множество {ж{}{е7' и
назовем его орбитой элемента х. Возможны два случая: а) найдет-
найдется число sgN, для которого Хг Ф хй при i = 0, ..., п — 1, а хп =
= х0. В этом случае Х{ = xn±i для любого ieZ и множество
Orb (ж) состоит ровно из п точек; б) хп ?= ха при всех п > 0. Тогда
хгФх3 при всех гф], г,/е Z, и множество Orb (ж) бесконечно.
Нетрудно понять, что орбиты двух точек х и у либо не пере-
пересекаются (если ^^ОгЬ(ж)), либо совпадают. Таким образом, все
множество X распадается на попарно не пересекающиеся подмно-
подмножества Ха, каждое из которых является орбитой любой своей точ-
точки и, следовательно, инвариантно относительно /. Достаточно оп-
определить искомые инволюции (обозначим их через h и к) для каж-
каждого Ха в отдельности, выбрав в нем точку хд произвольно. Это
можно сделать следующим образом: для жг- е Ха = Orb (x0) поло-
положим в случае a) h(x,) = xn+\-i, k(x{) = хп-г, в случае б) /г(жг) =
= Х[-г, k(xi) = x-t.
1.5. Убедитесь, что разность х — f(x) не может сохранять знак,
и воспользуйтесь теоремой Больцапо — Копти.
1.6. Последовательность {хп} монотонна. Для убывающей
функции утверждение неверно (например, f(x) = 1 - г, г е [0; 1]).
1.7. Отсутствие неподвижной точки влечет монотонность после-
последовательности {хп}. Далее — как в предыдущей задаче. В комп-
комплексном случае неподвижной точки может не быть: рассмотрите
отображение /, задаваемое формулой / (z)= (| z | + 1) ег(|г|+1> (г <= С).
1.8. Рассмотрите среднее арифметическое образов произвольной
точки относительно всех преобразований группы.

1.13. а) Для построения сопрягающего отображения h восполь-
воспользуйтесь методом решения задачи III.5.12 (см. также задачу 1.18).
б) Пусть Л (sin ж) = cos/г (ж), где h: R -> R—непрерывная биек-
ция. Докажите, что h([—i; 1]) = [—1; 1], и используйте строгую
монотонность h.
в), д) Подберите линейную функцию h.
г) См. указание к п. б).
1.14. а) Принимая во внимание результаты задач 1.11 и 1.12,
убедимся, что раз точка х = 0 является точкой минимума и не-
неподвижной точкой отображения /, то в случае, когда / go g, точка
х = —а/2 должна играть ту же роль по отношению к g, откуда вы-
вытекает необходимость условия Ъ = (а2 — 2а)/4. В случае выполне-
выполнения этого равенства g{x) приобретает вид (ж + а/2J—а/2 и не-
нетрудно подобрать линейную функцию, сопрягающую fug.
б) Сравнивая число неподвижных точек у / и g, приходим к
выводу, что если f oa g, то а ^ —1/4. При всех таких а, отличные
от нуля, для Ъ = 1 + У1 + 4а (при а = 0 положите 6 = 0) су-
существует линейная функция, сопрягающая / и g (h(x) =
= Dж — 2)/F —2)). Заметим, что при этом Ь может оказаться
любым, кроме Ь = 2. При Ъ = 2 точка максимума отображения g
является одновременно неподвижной точкой, чего пе бывает у ото-
отображений / ни при каком а.
в) Предполагая, что g wj g и g о h — h ° g, приходим к заклю-
заключению (см. задачу 1.10), что h переводит неподвижные точки ото-
бражепия g в неподвижные точки отображения g (т. е. А@) = 0,
h A/3) = 2/3), а промежутки монотонности для g — в промежутки
монотонности для g. Однако на самом деле g монотонно на [0; 1/3],
a g не монотонно па [0; 2/3] = h([0; 1/3]). Противоречие.
г) Во-первых, из условия g([0; 1]) с: [0; 1] вытекает, что b к
е [0; 4], из условия /(Л) с: Д — что а-<^2, из условия g@) =
— g(i) — что f(p) — f(q), т. е. р = ~-q, а из условия g(i)) = 0 —
что р или q — неподвижная точка /. Кроме, того, по тем же нршш-
нам, что и в п. б), справедливы ограничения: а !Э= -1/4, Ь Ф 2.
Пусть х\, х% (х\ г^. хг) — корни уравнения 1 — ах2 = х. Рассмот-
Рассмотрим случаи: а) ое [—1/4; 0], Д = [—xt; х\]; Р) а <= [--1/4; 0),
Д= [~х2; х2]; Т) «е @; 2], Д= [ж,; -ж,]; S) а е= @; 2], Д =
= [—«2; хгУ, А) бе [0; 1];ВNе [1; 2); Г) бе B; 4]. Сравни-
Сравнивая число неподвижных точек у / и g, приходим к выводу, что ес-
если / оо g-, то случай а) несовместим с В) и Г), [}) и ¦у) несовмести-
несовместимы с А). Рассуждая по аналогии с пунктом в), обнаружим также
несовместимость а) с В) и ^) с А). В случае б) не выполняется
условие /(Д)сгД. Отображения fug, относящиеся к случаям
а) и А) (соответственно р) и В), у) и Г)), сопряжены при а =
= Ъ(Ь — 2)/4. Сопрягающее отображение такое же, как в и. б).
1.15. а) Является частным случаем б) при п = 2. Сопрягаю-

л
щее отображение— h (z^sin-j х. в) Сопрягающее отображение
нечетно и при х > 1 задается формулой А(г-) = спя (ж— 1).
1.16. Очевидно, что разности f(x)—х и g(x)—х сохраняют
знак внутри промежутков. Выберем произвольно точки с0 s
s (a,; &i) и doe (я2; Ь2). Пусть {ск} и {йя}, neZ, —их траек-
траектории под действием / и g, т. е. cn+i = f{cn), dn+i = g(drl), we Z.
Эти последовательности монотонны и сходятся, благодаря непре-
непрерывности / и g, к неподвижным точкам, т. е. к концам промежут-
промежутков, когда п -*• ± оо. Пусть, для определенности, функции fag
возрастают.
Определим гомеоморфизм Л: [а2; Ьг] -> [af, &i] следующим об-
образом. Положим /г(я2) = а\, h(b,) = Ьь h(dn) = с„ (»е Z). На от-
отрезке [й0; ^i] зададим h так, чтобы получить гомеоморфизм этого
промежутка на [с0; с{], а на остальных промежутках [dn; dn+{] no-
ложим *(*) =/»(*(*—(*))), где />(*) =х, /'(*) =/(*), /"(^) =
= /(/""'(я)) при w > 1, /п = (/"")"' при ге < 0. Проверьте, что оп-
определение корректно и что h — гомеоморфизм, сопрягающий / и g.
1.17. Пусть / — гомеоморфизм [а; Ъ], а = хо < х{ < ...
... < хп = Ъ — все его неподвижные точки, ег-(/) = sign(f(x) — х),
где х — произвольная точка из (xi-\~, Xi), i = 1, ..., п. С помощью
задач 1.11 и 1.12 убедитесь, что если / оо g, то у них одно п то же
число неподвижных точек, а наборы чисел Ei (/) и 8{ (g) либо сов-
совпадают, либо (в случае убывающей сопрягающей функции) удов-
удовлетворяют соотношению en+i-i(f) = —Sj(g), i= 1, ..., и. Для про-
проверки достаточности этого условия для топологической сопряжен-
сопряженности fag заметьте, что / осуществляет гомеоморфизм каждого
отрезка [xi-\; xi\, i = 1, ..., п, на себя. Если [yt-\; yt] —1-й от-
отрезок, ограниченный неподвижными точками отображения g, то
f \xi~v4] °° g \vi-i,Vi\ ^см- предыдущую задачу). Проверьте,
что в случае выполнения равенства Е{ (/) = Ei (g) сопрягающие
отображения 1ц удовлетворяют условиям Л.(z/x—0 = *i-i, Mi/0 =
= Xi, что позволяет «склеить» из них сопрягающее отображение,
заданное на [а; Ъ]. Если tni-i-i(f) =—^t(g), то это означает, что
ограничение g на i-ii промежуток (считая от точки а) сопряжено
с ограничением / на Z-й промежуток, считая от точки Ь, причем со-
сопрягающий гомеоморфизм меняет ориентацию, что опять позволя-
позволяет построить единый сопрягающий гомеоморфизм h на [а; Ь] (пря-
(прячем h(a) = Ъ, h(b) — a).
1.18. По теореме о монотонной последовательности предел
]imxn = с существует. Соотношение хп+\ = /(^п), по непрерывно-
непрерывности /, приводит к равенству /(с) = с. Поведение итераций иллюст-
иллюстрирует рис. 26.
1.19. Для выяснения характера поведения последовательности
{хп} полезно изобразить процесс ее построения графически. Для

рассматриваемых функций это сделано на рис. 27—32. В случаях
а) — г) воспользуйтесь задачей 1.18 (случай а) — рис. 27, слу-
случай б) — рис. 28, случай г) — рис. 29). В задаче пункта д) (рис. 30)
точка хи независимо от положения ха, попадает на промежуток
х,
Рис. 26
[1; оо), на котором можно воспользоваться задачей 1.18. В пунк-
пункте е) (рис. 31) такую же роль играет промежуток @; 1].
В задаче ж) (рис. 32) проверьте, что единственной неподвиж-
неподвижной точкой является точка х* = У1 + с — 1. При х > х* выполня-
выполняется неравенство х* <f2(x) = f(f(x)) < х, а при х < х* — нера-
неравенство х < j2(x)<.x*. Поэтому существуют ]imij,,= I и Нтг2п+1 =
= V, удовлетворяющие соотношениям f(l) = I, f2(l') = I', откуда
1 = 1' = х*.
1.20. Решение этих задач аналогично решению задач 1.10.
В пунктах б) — г) интервал тех значений х0, при которых имеется
сходимость, имеет вид [—р; р], где р = max(|?i|; \t2\), a th i2 —
корни уравнения f(l) = t. В пунктах г), д), з) полезно рассмот-
рассмотреть последовательности {х2п}, {х2п+,} (см. решение зада-
задачи 1.19.ж)). В случае отображения из п. з) при ха е A/У5; 1/УЗ)
последовательность {х2п} монотонно возрастает, а {х2пЛ •)
убывает при п, меньших щ = min{re| \xn\ > 1/УЗ}. В зависимости
от четности щ предел равен 1 или —-1. При х0 е (—1/УЗ; —1/У5)
ситуация симметричная. Если |а:0| = 1/У5, то х2п = х0, х2п+\ =
= —х0, и предел не существует. Если \хо\ < 1/У5, то ж„->0.
/ (х) — х*
1.21. а
+1 — х*
Из соотношения
/' {х*) следует,
: сп\х0 — х*\, 0 < с < 1, при х0 достаточно близких
к х*; б) доказывается аналогично.
в) Рассмотрите отображения / (х) = 1 —х (х <= У.) п / (.г) ~ 1 +
1 2
+ -г х (х <= О?).

1 1
-z
— 1
V
1
/
-1
A
0 vz
I I
/
r
i
2
Рио. 27
Рис. 28
Рис. 29

1-
1 2
Рис. 31
2
Рис. 32

1.22. Заметим вначале, что если функция / непрерывна, а ите-
итерации хп сходятся к пределу х*, то ж* — неподвижная точка для \
а), б) G помощью задачи 1.21 покажите, что при \а\ > 1 ие-
подвижные точки являются отталкивающими и, следовательно, хп
не имеет предела, если хп не стабилизируется начиная с некото-
некоторого па. Рассматривая графики, убедитесь, что при \а\ < 1 для лю-
любого хо пределом хп служит едянствеиьая неподвижная точка.
Случаи а = ±1 тривиальны.
Изучим отображение из п. г) (в случае в) можно использо-
использовать те же соображения). Пусть а > 1. Исследуя знак минимума
выпуклой функции ф(г) = а* — х, равного A + In In a)/ln a, убеж-
убеждаемся, что неподвижные точки х, х (х ^ х) функции / сущест-
существуют лишь при а е A; е1/е]. При этом (см. задачу 1.18) хп-*-х при
Хо < X, Хп -*¦ °° При Хо > X, Хп = X При Хй = X.
Если а < 1, то / обладает единственной неподвижной точкой х*.
Если а < е~е, то /'(х*) <—1, и поэтому (см. задачу 1.21) х* не
может служить пределом хп, если хй =?= х*. При а = [е~е; 1) дока-
докажите, что функция р = t о / возрастает и удовлетворяет неравенст-
неравенствам /2(ж) > х при а; < ж*, f(x) < а; при а: > ж* (для этого рассмот-
рассмотрите (/2)' и (/2)")i и, пользуясь задачей 1.18, убедитесь, что x?n =
= /2п («о) ->- «*, Ж2п+1 = /2n+1 Ы -> ж* для всех х0 s 1R.
1.23. а) Проверьте, что N'^ (с) =0, и воспользуйтесь зада-
задачей 1.21.а).
б) По формуле Тейлора
О = Ф (с) = Ф (*) + Ф' (х) (с ~ х) -f -j Ф" (Е) (е - ЖJ,
где | ленгат между ж и с, откуда
Полагая в этой формуле ж = ад и записывая а:а-ц в виде а;д —
'й), получаем соотношение
xh+l — °~ 2 ф' (xh) (xh C) '
откуда вытекает оценка | a;ft+1 — c|<L|a;ft-— cl2^..,
1.2-5. Проверьте, что N (с) ~- i — 1/re.
1.26. Проверьте, что па промежутке между любыми двумя со-
соседними точками экстремума многочлена Р он имеет корень и точ-
точку перегиба. Затем воспользуйтесь задачей 1.25.

1.27. Воспользуйтесь тем, что i
(/")' Ы = Г {fn~X <*.)) /' (fn~2 Co)) • • • f (*о) = ¦
- П /'(*,) =</">'ю-'
0<j<n ;
А = 0, ..., и — 1, и задачей 1.21.
1.28. а) Воспользуемся простым утвержденном:
(А) Если /, /—отрезки и /с/(/), то найдется такой отрезок ¦
Kczl, что/(А') =/.
В самом деле, пусть / = [in; М], а х, у s / — такие точки, что |
/(ж) sg т. ((у) 5s 71/, и пусть х < у. Положив
w = min{? ее [х; y]\f(t) ^ М}, |
z = max {« е [ж; w] \f(t) sg m}. I
K=[z;w]t ']
получим искомый отрезок. j
Положим Xq = /о, а остальные отрезки определим индуктивно: |
если уже построен отрезок Кп-\ со свойствами Ж„_1 cz Kn-2t\
fn~{{Kn-{) — /¦„_[, то, применяя (А) к отрезкам 1п-и 1„ cz f(In~i) = J
= /™(.ffn_i) и отображению /", отыщем отрезок KnczKn-\, для ко-;'
торого fn(Kn) = /„. |
б) Для любой точки х из непустого пересечения Г) Кп име-'
ем: fn(x) <=/„. " ''
1.29. Пусть точки w < x < у < г образуют 4-цикл. Проверьте,
что независимо от порядка, в котором эти точки отображаются.!
друг в друга, среди промежутков [w; x], [х; у], [у; z] найдутся!
два (назовем их I ж J), для которых выполняются соотношения
/(/) zdJ, f(J) zdI. Докажите, что найдется такол отрезок Kczl, пе
содержащий концов /, что f(K) zd К, ж воспользуйтесь зада-
задачей 1.28.
1.30. Достаточно доказать, что из а) следует в) (импликации
в) =ф- б) =>- а) очевидны). Предположим для определенности, что|
точки а, Ь, с, d расположены в порядке d sg; a < Ь < с. Обозначим;
отрезок [а; 6] через L, отрезок [6; с] —через /{ и для произволь--;
ногр т 5= 2 положим /о = ... = /щ-2 = R, 1т-1 = L, Im = R', где
R' cz R — отрезок, не содержащий концов R. Из условия а) следует,)
что f(R) zz> L, f(R) zd R, f(L) zdR', и, следовательно, всегда f(In)
гэ /ji+i. Благодаря утверждению 1.28, найдется такой отрезок Кт
<zzR', что fm(Km) = ImzD Кт. Если применить к f™ утверждение,;
сформулированное в задаче 1.5.6), то найдется такая точка х0 <= Кт<
что хт = /™(х0) = х0. Остается проверить, что ]п{х)—хпф
при 0 < п < т.
Если хп = х0 при 0 < п < т, то это означает, что все точки :
к = 0, 1, 2, ..., имеют число п своим периодом. Тог а, поскольку;

число т — 1 представиыо в виде рп + q (peN,0 ^<? < п)-> %т-\ =
= i,e R', что противоречит включению хт~\ е L, вытекающему
из определения точки хо. Случай т. = 1 (т. е. наличие неподвиж-
неподвижной точки) тривиален (см. задачу 1.5.а)).
Доказанное утверждение принадлежит Т. Ли и Дж. Йор-
ку [39].
1.31. Рассмотрим отрезки А; = [cos Bя/п); cos (я/гс)] и А2 ==
= [cos (я/и); 1], которые отображение / = Тп взаимно однозначно
отображает на отрезок [—1; i]. Примем точку cos Bn/n) за с, за
Ъ — единственную точку из Ai, для которой /(Ь) = с, за а— един-
единственную точку из А2, для которой /(а) = Ь, за d — единицу. Тогда
/(с) = d и с < Ь < а < d, откуда следует (см. задачу 1.30), что f
имеет циклы любого порядка.
1.32. б) Интересен лишь случай, когда а > 0. Раскрывая моду-
модули па восьми промежутках, на которые прямая делится точками
0, ±1/а, +(а— 1)/а2, ±(я + 1)/я2,
решите уравнение
1 — а|1 — а11 — а\х\ \ \ =х
и убедитесь, что его решения содержатся среди чисел вида
х = A + е,о + е2а2)/A + е3я3), где еь е2, е3=±1,
причем при 1<я<яо= A + "|/5)/2 лишь два из них: р == 1/A — а)
и у = 1/A +а), оказываются корнями уравнения (ото, очевидно,
неподвижные точки /). При а ^ я0 все восемь чисел указанного
вида являются корнями, причем если перенумеровать их в поряд-
порядке возрастания, то х, = р, хъ = q, а тройка {х2; хА; х6} и
{х3; хъ'- xj} образуют циклы, совпадающие при я = а0 Они оттал-
отталкивающие, что вытекает из неравенства \f'(x)\ >1 при х = ,г,-
(г =],.., 8) (ср. с решением задачи 1.21). В случае —1 < а г=г 1
остается, только один корень д, при я ^: —1 корней нет. Характер
графиков для трех значений параметра показан на рис. 33.
1.33. а), б) Поскольку каждая неподвижная точка отображе-
отображения / является неподвижной точкой любой ого итерации /я, то мпо-
гочлен четвертой степени f(x)—х делится па квадратный трех-
трехчлен f(x) —.г В результате деления получается многочлен а2х2 —
- ах + 1 — я, имеющий вещественные корни при а ^ 3/4. Если а ^
:gr 3/4, то неподвижные точки f2 сводятся к двум неподвижным точ-
точкам /. При я > 3/4 имеются две точки х\ и х% удовлетворяющие со^
отношениям f(x) = х, ](х)фх. Легко понять, что j(x\) = х2,
f(X{) = хи т. е {х{; х2} — 2-цикл. Характер графика /2 при а < 3/4,
я = 3/4 и а > 3/4 отражен на рис. 34.
Поскольку (f)'(*i) =//(^1)/'Ы = (-2яя:,)(~2ая:2) =
= 4a2xix2 = 4A — а), то в интервале 3/4 < а < 5/4 цикл окажется
притягивающим, а при а > 5/4— отталкивающим (см. задачу 1.27).

в) Докажем, что при a s^. 5/4 отображение / не имеет 4-диклов.
Случай а ^ 1 почти очевиден, и мы будем считать далее, что а > 1.
Рис. 33
Рис. 34
Положим Р(х) = р(х) = 1 — аA — ахйJ (ieK). 4-циклу / соот-
соответствуют два 2-цикла Р. Эти 2-циклы мы и будем искать. Найти
2-цикл отображения Р означает найти решение системы
удовлетворяющее условию х -ф у.
Пусть L, Lg — графики функции у = Р(л), х = Р(у) соответ-
соответственно (рис. 35—37). Ясно, что кривые L и L, симметричны друг

Рис. 35
Рис. 36

другу относительно прямой у = х и по аккуратно нарисованным
эскизам этих графиков нетрудно получить интересующий нас ответ.
Приведем теперь строгое рассуждение. Убедитесь, что для про-
проверки отсутствия у системы A) нетривиальных решений достаточ-
достаточно доказать отсутствие решений с абсциссами из промежутков
Рис. 37
[1 — а; х0], [^ь 1], где х0, х\ (х0 < xi) — тотки, образующие 2-цикл
отображения /. Рассмотрим сначала промежуток [xi; 1]. Пусть
Q — определенная на [х\\ 1] функция, график которой совпадает с
участком кривой L3. Иными словами, Q — функция, обратная к су-
сужению Р на промежуток [1Ца, х0]. Наша цель—убедиться, что
Р(х) =?'iQ(x) при х е (ж0; 1]. Заметим прежде всего, что
Р'(х) <0, Р"(х) <0, Р'"(х) <0
при х > 1/Уа и, кроме того, \Р'(х0) \ ^ 1 (именно здесь играет роль
условие а ^ 5/4).
Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции и
обозначая Q(x) через t, мы получаем:
<?' (x)=-pji)'
Очевидно, что
Q" И = -
(Р'
<?W(.,:) = _.
=Q(x{) =
P'(Xl) -
Р" (X)
" (ОL
\р' (ОM

Убедимся, наконец, что Р'"{х) — Q"'{x) > 0 при х <= (.гь 1). В са-
самом деле, поскольку \P'(t)\ е? 1 и at2 ^ 1 при же (хи 1), мы
имеем
, 24a3i Dа2 (За*2 - l)J
^ __ 48 а* (8а2J
^ | Р' (t) |4 + 3 | Р' (t) |5 > °"
Из доказанного следует, что разность Р{х) —Q{x) строго воз-
возрастает на \_x\\ 1]. Таким образом, система A) не имеет решении
с абсциссами из промежутка (xi\ 1]. Тогда она вообще не имеет
решении с положительными абсциссами. Если же допустить, что,
(х; у)—такое решение системы A), что 1 — а < х < хц, то пара
точек (/(ж); /(г/)) также будет решением системы A), что, однако,
невозможно, поскольку f(x) >/(l — а) >0 (при проверке послед-
последнего неравенства снова используется условие a s^ 5/4).
Если а > 5/4, то Р'(х0) < — 1 < Q'(x0) < 0 и существование не-
нетривиальных решений системы A) следует из соображений, свя-
связанных с теоремой Больцано — Коши.
Заметим, что при а = 2 система A) имеет 12 нетривиальных
решений (рис. 38), которые образуют три 4-цикла (точки, порож-
порождающие один цикл, помечены на рисунке одинаковыми значками).
г) *) В силу утверждения п. а) и задачи 1.29, при а ^ 3/4 ото-
отображение / циклов не имеет. Пусть а > 0 и р, q — неподвижные
точки /. С помощью эскиза графика у = f(x) нетрудно заметить,
что при возрастании параметра а число неподвижных точек ото-
отображения f может лишь увеличиваться (проследите за перемеще-
перемещением точек, отвечающих экстремумам /3, на рис. 39, а затем по-
постарайтесь провести строгое рассуждение). Проверьте, что не сов-
совпадающая с р и q неподвижная точка отображения /3 порождает
3-цикл. При a sg 3/4 неподвижные точки f — только р и q, а при
больших значениях а отображение /3 имеет восемь неподвижных
точек. Таким образом, существует минимальное значение а0 пара-
параметра, при котором число неподвижных точек /3 больше двух.
Пусть
а = а0, f(xi)=xu x2 = !{xi), x3 = f(x2), х1Ф р, q.
Точки х\, Х2, хз образуют 3-цикл, и каждая из них является корнем
уравнения f{x) = х, причем х\, ж2, х3 обязательно должны быть
кратными корнями, так как в этих точках графики у = /3(ж) и
у = х имеют касание. Принимая во внимание число корней и сте-
степень многочлена Р(х) = f(x) —ж, делаем заключение, что Р(х) =
*) В решении этой части задачи принимал участие Р. Сибилев.

y=P(x)
Рис. 38
Рис. 39

= Л (х — р) (х — q) (х — х,У(х — х2J(х— ж3J. Разделив Р(х) па
х — j(x) — а2х2 + х—1 — а2(х — р) (х — q), придем к равенству
—asx6 + я5ж5 + (За5 — я4)ж4 4" («3 — 2а4) з:3 + (За3 — За4 — а"-)х2 +
-f а3 ~ 2а2 4- а - 1 = -а6(ж - я,J(ж — ж2J(ж - ж3J =
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получил!
систему из шести уравнений относительно а, Ъ, с, d. Исключение
Ъ, с и d из этой системы приводит к уравнению Dя—7J = 0, от-
откуда следует, что а должно равняться 7/4, а проверка подтверж-
подтверждает, что в этом случае система совместна. Таким образом, при
а < 7/4 3-циклов пет, при а = 7/4 отображение /3 имеет 5 непод-
неподвижных точек (р, } иЗ точки, образующие цикл), при а > 7/4
/J имеет 8 неподвижных точек, а именно р, q и еще шесть точек,
каждая из которых, как уже отмечалось, должна входить в 3-цикл.
Следовательно, 3-циклов при а > 7/4 ровно два.
1.34. Воспользуйтесь задачей 1.14.г).
1.35. Пусть L — кривая, симметричная графику отображения /
пад промежутком [ж0; 1] относительно прямой у =х и
Ч(х) = (/(ж), х), хо^х^ 1,
-- ее параметризация. Убедитесь, что в силу условий на односто-
односторонние производные найдется такое число б > 0, что точки f(.r)
лежат под графиком /, если х0 < х < х0 -\- 8. С другой стороны,
точка 1A) лежит выше графика / (или на нем), и поэтому график
/ и кривая L пересекаются. Абсцисса точки пересечения порожда-
порождает 2-цикл.
1.36. Рассмотрите отображение / = g2 и докажите, что / име-
имеет неподвижную точку, удовлетворяющую условию предыдущей
задачи. Проверьте, что точки 2-цикла отображения / порождают
2п-цикл отображения g. Для построения примера рассмотрите оп-
определенную на [0; 1] непрерывную функцию, графиком которой
является ломаная с вершинами в точках II——; 1
п = 1 2
1.37. Пусть g = /и. Это отображение также принадлежит клас-
классу 5(Д) (см. задачу VII.2.24.B)) Предположение о том, что равен-
равенство g(x) = х справедливо для бесконечного числа точек, влечет,
но теореме Лаграгока, выполнение равенства g'(x) = 1 также на
бесконечном множестве. Следствием этого является наличие у
функции |g'| бесконечного множества точек локального миниму-
wfi. Из «принципа лгашшума модуля» (задача VII.2.24.e)) вытека-
вытекает, что g, а значит и /, имеет бесконечное число критических топок.

1.38. Существуют такие точки в и v, что х < в < у < v < z и
f'(u) = g'(v) = 1. Утверждение следует теперь из «принципа ми-
минимума модуля» (задача VII.2.24.e)) для промежутка [в; v].
1.39. Пусть х е (а; Ъ) — притягивающая неподвижная точка
для g = f (n<=N) (если х = а или х = 6, то доказывать нечего).
Тогда \g'{x)\ <1.
а) Пусть сначала [ё"'(ж) j < 1. Рассмотрим максимальный про-
промежуток <r; s>, содержащий ж, траектория {gm(y)} любой точки
у которого притягивается к х. Если г > а, то gm(r) ф (г; s)
ни при каком m (следствие максимальпости промежутка), и если
s < 6, то gm(s) ф (г; s) при иг е. N. Таким образом, упомянутый
промежуток имеет вид [я; s), (г; 6], [я; 6] или (г; s). Первые
три возможности сразу приводят к доказываемому утверждению.
В четвертом случае из очевидных соотношений g({r; s)} a (r; s),
g{r), g(s) ф (г; s) следует, что g(r), g(s) e {r; s}. Предположение,
что g(r)=r, g(s)=s, приводит, благодаря утверждению 1.38,
к неравенству g'(х) > 1, что невозможно. Если g(r) = s, g(s) = г,
то g2(r) = r, g2(s) = s, что невозможно по аналогичной причине.
Таким образом, мы приходим к выводу, что g (r) = g (s), но
тогда, по теореме Ролля, в интервал (г; s) попадает критическая
точка р отображения g, которая притягивается к х. Поскольку
g = /и, точка р должна иметь вид fh (с), SeN, откуда сразу сле-
следует доказываемое утверждение.
б) Пусть теперь [g'(a:)[ =1. Заменяя, если нужно, g на g2,
мы можем считать, что g'(x) =1. Пусть (г; s)—максимальный
интервал, содержащий х и не содержащий других неподвижных
точек отображения g. Он непуст, так как множество неподвижных
точек g конечно (задача 1.37). Тогда либо g(y) > у при всех
у е (?¦; х), либо g(y) < у при у е (х; s), так как в противном
случае в каждом из интервалов (г; х), (ж; s) нашлось бы беско-
бесконечное множество точек t, в которых g'(t) > 1, что ведет к про-
противоречию с принципом минимума модуля (VII.2.24.e)) и конеч-
конечностью множества критических точек отображения g.
Допустим, для определенности, что g(y) > у при у е (г; ж).
Если г = а и g возрастает на [а; х], то траектория точки а при-
притягивается к х (см. задачу 1.18). Если г = а и g не монотонна
на [а; х], то некоторая критическая точка р отображения g по-
попадает в интервал (а; х), и па отрезке [р; х] функция g воз-
возрастает. Тогда траектория {gm(p)} притягивается к х. Если
г > я, то g(r) =г, и в интервале (г; х) найдется, по теореме
Лагранжа, такая точка z, что g'(z) =1. Учитывая, что g(z) > z,
g(x) = х, g'(x) = 1, и снова пользуясь принципом миниму-
минимума модуля, приходим к выводу, что векторная критическая
точка р лежит между z и х и притягивается к. х.

Рассуждение завершается так же, как в п. а). Доказанное
утверждение принадлежит Д. Зингеру [A3]*)
1.40. Пусть р < 0 — неподвижная точка /, q = — р. Тогда
при а =^2 справедливо включение f([p; q]) cz [p; q], причем
р — отталкивающая неподвижная точка, /"(?) —р при п "^ 1 и,
в силу утверждений VII.2.25.а), 1.39, притягивающий цикл обя-
обязательно притягивает траекторию точки 0. При а = 2 отобра-
отображение / есть многочлен Чебьтшёва Т2 и можно воспользоваться
задачами 1.31 и 1.39.
1.41.**) а) Выберем направление обхода окружности так,
чтобы при таком обходе неподвижная точка t и точки цикла
встречались в порядке t -»- а -*-Ь ->- с -> t, где ф(а) = Ъ, ф(Ь) = с,
Ф(с) = а. Если ж и г/ — две точки окружности, то через [х; у]
будем обозначать дугу, обход которой в выбранном направлении
начинается с точки х и кончается точкой у. Будем говорить,
что выполняется условие Ао, если <p([t; а]) :э [а; Ь], и условие
Ai, если ф([?; а]) :э [6; я] (очевидно, что одно из этих условий
всегда выполняется). Будем записывать это символически сле-
следующим образом: 40=(ф([*; а]) :о [а; Ъ]), Ai—(<$([t; а] г>
^> [6; а]). Точно так же всегда справедливо одно из двух условий
в каждой из следующих пар:
50= (ф([я; Ь]) г> [6; с]),51= (Ф([я; 6]) => [с; 6]);
С„= (Ф([6; е])=> [с; а]), С,= (ф([Ь; с])=> [а; с]);
*]) => [г, *]), ^1 = (ф([с; *])=> [а; *]).
Всегда справедливо но крайней мере одно из шестнадцати выска-
высказываний вида
А, &ВВ &Cs &De, 8, = 0, 1.
Проследите, что каждый раз среди промежутков с концами
?, а, Ь, с найдутся либо два промежутка /, J со свойствами:
Ф (/) э/, ф (/) гз / U /, либо три промежутка /, J, К со свойствами
Ф (/) гэ /, ф (/) Г) К, ф (Я) гз / U К. Модифицируя рассуждения, ис-
использовавшиеся при решении задачи 1.30, проверьте, что всегда
найдется точка ж, итерации которой последовательно посещают
промежутки
J, J, .., /, I, J или К, К, ..., К, I, J, К
п—1 п—2
и фи(ж) = ж, причем точка ф*(ж) не совпадает с х при к<п.
*) Обширный материал об итерациях преобразовании отрезка
содержится в книге [33].
**) Решение этой задачи сообщено нам Ю. Хохловым.

б) Параметризуя окружность обычным образом, отождествим
ее с промежутком [0; 2л). Рассмотрите отображение /:
[0; 2л) -»- [0; 2л), задаваемое формулой
П < t < 2я/3,
2я\
- -q- mod 2.тт,
/(') =
и перенесите его на окружность. Точке я/3 отвечает неподвижная
точка окружности, точкам 0, 2л/3, 4я/3 — 3-цикл, в то же время
2-цикла, как легко видеть, нет.
1.42.6) Проверьте, что из неравенства т^х —xQ<.m.-\-
+ 1 (га е Z) следует, что
' < fn (х) — fn (ж0) <
любого га е N.
в) Пусть фт(г0) = 20 = е ".Тогда /т(ж0) = ж0 +/с для неко-
некоторого целого /с. Воспользуйтесь тем, что при n = lm-\-r(le
s= N, 0< г <иг) /™(ж ) можно представить в виде /г(ж0)+^, и
докажите, что а = ft/тге.
г) В этом случае /т(ж) — ж не может быть целым числом ни
при каких тге^1, ieR. Тогда при фиксированном т и некотором
ieZ выполняется неравенство
ft <fm(x) —х < /с+ 1.
Полагая в этом неравенстве .г- равным 0, /"'@), ...,/('~I)m@)
и складывая получившиеся неравенства, получим, что
flm @) < I (к + 1) (I e N)
Ik
и, в частности,
Из этих неравенств следует, что
lm
2
т'
Поменяв ролями I и т и сложив получившиеся неравенства,
получим:
Г @) __ /' @)
т I
откуда сразу следует существование предела а при хо = 0 и, зна-
значит, при всех геК.
Остается проверить, что при рациональном а некоторая сте-
степень ф имеет неподвижную точку.

Пусть сначала а — 0 Если предположить, что неподвижной
точки нет, то {/"@)} — монотонная последовательность (скажем,
возрастающая). Предположение, что \т @) Js 1 для некоторого
т ^г 1 влечет /кт@)^к, fceN, что противоречит соглашению
а = 0. Но тогда последовательность {/т@)} ограничена, и ее пре-
предел оказывается неподвижной точкой, вопреки предположению.
Случай а = к/т сводится к предыдущему переходом к функ-
функции g(x) = fm(x) — к, задающей отображение фт.
д) Покажите, что /[ и /2 отличаются на целое число.
§ 2. Преобразования с инвариантной мерой
2.1. Достаточно сосчитать меры прообразов интервалов
(или дуг).
2.2. «Преобразование пекаря» удобно представлять как ком-
композицию отображений Ти Tz, представленных на рис. 40 (оправ-
в
А
Рис. 40
дывающем название этого преобразования). Сохранение площади
каждым из преобразований Ть Т2 очевидно.
2.3. а) Если Т(х^хг) = т{х'^ х'г), то z4 = ailXl + а^х2 ~
"¦* (а11ж1 "Ь апхг) е ^ (г = 1,2). Решая ату систему, мы нолучим
(благодаряусловию |det А \ = 1), что ^-ijeZ, ж2 — ж2 е Z, но
это возможно лишь при х^ = xv х2 = х2.
б) Рассмотрим линейное преобразование ТА: K2-*-K2,J зада-
задаваемое матрицей А. Оно обратимо и сохраняет меру Лебега.
В частности, Х2(Т~1(В)) = Х2(В) для всех Bel, Пересечения
Cv=T~^1{B)C\(X-{-v), где^у е Z2, непусты лишь для конечного
множества векторов v, а их сдвиги лежат в X, попарно не
пересекаются (см. п. а)) и составляют множество Т~1(В). См. так-
также решение следующей задачи.
2.4. Рассмотрите меру v = Г
риантна, как и мера Лебега, относительно сдвигов (все суммы
рассматриваются по модулю единица):
= Я2 (Т^1 (В + ТА (х))) =
+ х) = ^2 iTA1 (S0- В^Х, у<=Х. A)
на X = а2/!2. Она инва-
инваv (В + у) = v (В + Т

Поэтому (см. утверждение перед формулировкой задачи) v = сХ.
Полагая в A) В ==Х, получаем, что с = 1. Таким образом,
2.5. Достаточно проверить, что \i(T~' (А)) =|хD) для всех
множеств /1 вида @; а], 0 < a s? 1. Поскольку
мера прообраза равна
_! Г dx
In 2 J i+x
¦\-к)— In к + In A + к 4- а) — la i
l/(h+o)
1
In 2 J 1 + ж '
о
2.6. а) Воспользуемся топологической сопряженностью Тп
и пилообразного отображения /„ (задача 1.15.6)), которое сохра-
сохраняет меру Лебега (это очевидно). Найдем образ меры Лебега
относительно сопрягающего отображения: |Х = ЛЯ, где h(x) =
я
= sin ~2 х (же [—1; 1]) (он, очевидно, и будет искомой инвариант-
инвариантной мерой). Для промежутков имеем:
2
[X ([я; х]) = Я ([fe (я); А (ж)]) = — (arcsin х — arcsin a),
2dx
откуда й[Х=—~г==- (j х | < 1). Понятно, что меры Яиц
я У 1 — ж
можно умножить на произвольную константу,
б) Используйте задачу 1.15. в).
2.7. Для доказательства достаточности рассмотрите меру
v (А) = — (|х (А) + ... + [X (тп~г (А))), где ц —мера, инвариант-
инвариантная относительно Тп.
2.8. Пусть сначала Т возрастает. Обозначим через F мно-
множество неподвижных точек отображения Т, через G — дополне-
дополнение Р. Если Д = (а; р) — какой-нибудь максимальный интервал
из G, то а, ре? и, очевидно, Г(Д) = Д. Поэтому достаточно до-
доказать утверждение для каждого такого интервала.

Пусть с— произвольная точка из Д. Если положить х„ = Тп(с),
п^Ж (Т обратимо), то отрезки Л„, имеющие х„ и хп +i своими
концами, образуют покрытие Д Для любой положительной функ-
функции /го ?= 5Р1 (До) определим меру v0 = hodx на До и продолжим
ее нулем па Д\До- Меры \п = Т""\о отличны от нуля на Ап и также
абсолютно непрерывны. Равенство v= 2 vnопределяет искомую
ябЗ
меру (бесконечную).
Если Т убывает, то рассмотрите Т2 и воспользуйтесь утверж-
утверждением. 2 5
2.9. Пусть Т имеет притягивающий га-цикл. Тогда отображе-
отображение S = Тп имеет притягивающую пеподвижную точку х*. Пусть
/ > 0 — плотность некоторой меры [X. Покажем, что найдется
такое множество А, что S'l(A)rjA и \i(S~l(A)\A) > 0. Эти
соотношения противоречат либо инвариантности относительно S,
Если S'(x*) >0, то S монотонно возрастает в некоторой
окрестное™ х*, и тогда найдутся такие точки с и d, что
х* е (с; d) и 4 = (с; d) удовлетворяет упомянутому выше усло-
условию. Если S'(х*) < 0, то заменим S на S2. Если S'(х*) = 0, то при
1
|ж—-ж*|<8 (е достаточно мало) 1 S (х) — S (ж*) | < у | ж — ж* |,
откуда следует существование искомого множества А.
Отсутствие меры с требуемыми свойствами у отображения Т
следует из задачи 2.7.
2.10. а) Пусть сначала а > 0. Отображение Яа, рассматри-
рассматриваемое на каждой полупрямой (— оо; 0) и @; -f- <x>) в отдель-
отдельности, топологически сопряжено со сдвигом х >-» х -\- In а на R
(сопрягающий гомеоморфизм h(t) = —е* в первом случае
и h(t) = e! во втором). Проверьте, что образом меры Лебега отно-
относительно h служит мера на R\{0}, задаваемая плотностью
f(x) z= \/\x\, и что эта мора инвариантна относительно всех На-
б) Докажем, что в этом случае искомой меры [х не сущест-
существует. Поскольку (х должна быть, в частности, инвариантной отно-
относительно сдвигов, ее значения на промежутках должны быть
пропорциональны длине, т. е. ц = к% A; > 0). Но такая мера,
очевидно, не инвариантна относительно гомотетий (случаи
к — 0 или к = оо приводят к тривиальным мерам).
2.11. Воспользовавшись топологической сопряженностью этих
преобразований с подходящими преобразованиями из задачи 2.10,
проверьте, что в случае а) инвариантная мера имеет вид
dx а в случае б) нетривиальной инвариантной меры нет.
х | In х\ '
2.12. а) Пусть 4сКя, ц (А) = 0. Тогда и \п(А), К(А + у),
ц(А + у) (у<= 0?™) равны нулю.
либо конечности меры ц.

б) Квазиргавариаптность ц означает существование такой функ-
функции / па Rn X R™, что для всех ssR" i
¦ {y+A)=\f(x; у) rfn (x) A)
и f(x', у) > 0 при почти всех х, у. Достаточно проверить рав-
посильпость равенств \i(A) —0 и -%п{А) = 0 лишь для ограни-
ограниченных множеств. Проинтегрируем равенство A) по такому
множеству У, что Xn(Y) > 0. Пусть %е обозначает характеристи-
характеристическую функцию множества Е. С одной стороны,
Y
R™
*(y
7 f X
R™
-Л)^ =
у (г/) хд (
f *v) U <
Y Rn
Ж~,)^0
с) = j" dt
R™
[I (Z) =
f У fa
\ Xy (.a
;-г)х_4(едх(Ж)=
С другой стороны,
{х; у) dji (х) = f й,и (.г) f / (ж; у) rfy.
Приравнивая правые части этих равенств, заключаем, что из
%п(А) =0 следует, что I — 0, а тогда, так как /(ж; у) > 0 и
Я,„(Г) > 0, получаем, что и \х(А) =0.
По теореме Радона — Никодима мера ц задается некоторой
плотностью g. Покажем, что множество в={ж|^(ж)=0} имеет
пулевую меру Лебега. Допуская противное, рассмотрим семей-
семейство трансляций е + xk множества е с помощью векторов Xk,
образующих счетное плотное подмножество в R™. Множество
C=Rn\U (e -f- x^ имеет пулевую меру Лебега (см. задачу
VIII.1.23), а тогда и ц.(С) =0. Но также и ц(е + хк) =ц(е) =0,
т. е. \i (Rn) = 0. Противоречие.
2.13. а) Если />0, то
А н* v(A) = I / (ж) dx (AciX)
— абсолютно непрерывная мера на X, и существование /* выте-
вытекает из теоремы Радопа — Нпиодидта. Если / произвольна, то ее
можно разложить в азпость неот ицательных функций.

б) Пусть />0. U и F — такие окрестности точек х и
у=?Т{х), что г/ = ?'-' (F). Тогда
[ / (г) <Ь = f / (г/) dy = [ / (Г (г)) | det Г' (г) | Лс.
и v и
Применяя «дифференцирование по области», т. с. деля обе части
на Xn(U) и переходя к пределу при условии, что окрестность U
стягивается в точку х, получим требуемое,
в) Доказывается аналогично.
г) Проверьте равенство A) для множеств А = [0; а],
0<а< 1.
2.14. a)
дг
откуда
(АЛ
в) Заметим, что если й = пс, то
г г } з
Поэтому преобразования
и I-* пи п м к» t/m) =
отображают компактное множество
(С>0)
в себя. Следовательно (для фиксированного usSlJ., и^о), п0"
следовательность {i>(m>} обладает предельной точкой v = lira у ^m^.
Поскольку я непрерывно,
= lim пу™г' = lim ¦— У,
. . 'ui #**¦!
г
im h( г' + _ (п
i [
= lim h( г' + _ (п и — и j = lim v( l) = v = (v ; v • ...; vJ\.
i [ m{ } i

Из теоремы О. Перрона следует, что если р-1} > 0 при всех
i, /, то такая предельная точка единственна, не зависит от
и <= К, а также что ь\ > 0 при всех г. Ф. Фробенпус распростра-
распространил этот результат на некоторые неотрицательные матрицы
(см, например, книгу Ф. Р. Гантмахера «Теория матриц»).
2.15. а) Неподвижную точку дискретного оператора Перро-
Перрона— Фробепиуса (см. задачу 2.14), т. е. собственный вектор v
матрицы я, отвечающий собственному числу единица, легко
отыскать (при четном п) алгебраическим путем. При этом ока-
оказывается, что i-k = 0 при к <С /г/2, " vk = v., при к > /г/2.
Это подсказывает ответ: если Pf = / (Р — оператор Перрона —
Фробениуса, см. задачу 2.13), то j(x) =0 при ж<1/2, f(x) =
=. /C/2 _ х) при х > 1/2. Для его проверки напишем равенство
[ 1 / 1 \
/f г/1 прп г/< 1/2,
3
(см. задачу 2.13.в)), откуда
2-п а^» 2"~(Ilf1^
f f(y)dy= f Pi{y)dy= f /B)rfz, n=l, 2, ...»
0 0 0
что возможно лишь при
f f(y)dy = O (n <= Ы).
2-('«+l)
Следовательно, /(г/) =0 1[очти всюду на [0; 1/2]. Из этого
моментально следует, что /(г/) = Pf(y) = /C/2 _ у) при у > 1/2.
б) дискретный оператор Перрона—Фробениуса при п = 3 за-
записывается матрицей
/0 0 1/2\
я= 1 0 1/2
V0 1 0 /
(см. задачу 2.14.а)). Вектор v = A/5; 2/5; 2/5) удовлетворяет
равенству яу = о. Положите }(х) = 1/5 при х < 1/3, f(x) = 2/5
яри ж > 1/3 и убедитесь, что мера d\i = /йж инвариантна относи-
относительно Т.
в) Преобразование Т не имеет абсолютно непрерывной пн-
вариантной меры, потому что у него есть притягивающая не-
неподвижная точка (см. задачу 2.9). Неподвижные точки v e [Rre для
оператора п имеют вид 14 = с, гя = 0 при к > 1. Соответствующие

lui меры на отрезке задаются плотностями fx(x) — п при х ^ 1/п,
fv(x)=O прн х > 1/п. Если \in — мера, задаваемая такой плот-
плотностью, то очевидно, \in(A)-+0, если 4 = (е; 1), 8 > 0, и
Ип([0; 1)) = 1. Это позволяет считать предельной меру, сосредо-
сосредоточенную в точке 0 (она инвариантна относительно Т, но не
задается никакой плотностью).
2.16. Пусть /—функция па Q, удовлетворяющая условию
P'j = / (задача 2 13 6), д)). Обозначив /@; 1) через С и записывая
уравнение PJ = / для отображений гн. yz (у > 0), получим, что
/@; у) = 67</2. Применение такого ж о приема к отображениям
z i^> z + х (ieR) приводит к равенству j(x; у) = /@; у) —С/у2.
Остается заметить, что произвольный автоморфизм Т есть супер-
суперпозиция автоморфизмов рассмотренного вида, и поэтому PJ =/
для всех Т.
2.17. Благодаря результатам 2.13.6), д) плотность fL меры
цх, доляита удовлетворять соотношению
fL (ах; ау -|- Ь)~ — fL (x; у). A)
Полагая х = 1, i/ = 0, 4 = /L(l; 0), отсюда получаем: /L(a; Ъ) =
= 4/а2 для любых (а; Ъ) е= Z5. Очевидно, что такая функция удов-
удовлетворяет уравпепию A). Аналогично из уравнения
1
/л (аг-; 6г -\-y) — — fR (x; у)
находится плотность fR меры (лл.
2.18. Пусть /—плотность инвариантной меры для Т. Рас-
Рассмотрите функцию
\-1 х
а /а
и проверьте, что отображение 5 = ЬГ»/г1 обладает требуемым
свойством.
2.1!). Достаточно ограничиться случаем, когда а е [0; 1)
(см. 1.42д)). Пусть [х — конечная мера на 51, которую сохра-
сохраняет 2' (она существует по теореме Боголюбова — Крылова).
Можно считать, что \i(Sl) = 1. Отождествляя S1 с промежутком
[0; 1), рассмотрим функцию h(x) =[x([0; х\). Утвержде-
Утверждение 1.42.в) гарантирует, что Т не имеет периодических точек.
Следовательно, траектория каждой точки бесконечна, а тогда
мера каждой точки равна пулю и функция h непрерывна,
й @) = 0, h(x)-+l при х-+\. Пусть р = ц([О; Т@)]). Тогда
ц([Т@);Т(х)]))тоИ= (Р + ц([0; х])) mod 1 =
= (h(x) + р) mod 1.

Отсюда видно, что ft « Г = Гц о h, где Т$ — поворот окружности
на угол р е [0; 1).
Для доказательства того, что Р = а, рассмотрим какую-ни-
будь функцию /: R-s-R, удовлетворяющую условиям: /(ж) =Г(ж)
при же [0; 1), /(я + 1) =/(ж) +1 для всех я е R, и проверим,
/п@)
что lim ;г =р (см. 1.42.6), д)).
Пусть V —мера на R, ограничение которой на каждый про-
промежуток вида [/с; к + 1) (к е Z ) получается из меры [х сдвигом
па /с. Тогда нз инвариантности ц вытекает, что для neZ
Поэтому р = — v ([0; f @)]), Но так как |v([0; у]) — у\ < 1 для
всех г/,
S = liin^ v ([0; /" @)]) = liim -^ /" @) = а.
2.20. Если Т не эргодично, то найдется такое инвариантное
множество А, что [х(Л)>0, ц(Л)>0, гДе А = Х\А. Тогда
функция /, принимающая значение а на Л и Ь(=^=а) на Л,
инвариантна и пе постоянна. Напротив, если / — существенно
непостоянная функция, то найдется такое число с, что мно-
множества
A = {x,e=X\f(x) 2s с} и А
имеют положительную меру. Если / к тому же инвариантна,
то Л и Л инвариантны, и Т по эргодично.
2.21. а) Воспользуемся предыдущей задачей и заметим, что
для доказательства эргодичности достаточно проверять функции /
из i?2([0; 1]). Всякая такая функция, как известно, расклады-
раскладывается в ряд Фурье:
2 ()
71EZ
причем, в силу теоремы единственности, последовательность
коэффициентов {сп} определяет функцию / однозначно (с
точностью до значений на множестве меры нуль). Функции
g(x) =f{T(x)) отвечает ряд Фурье
2
2П1Я.П 1П1ХП
Если f(x)—g(x) почти везде, то сп = cne2nian при всех neZ.
При иррациональном а отсюда следует, что сп = 0 при п ^=0,
1. е. ряд Фурье для / сводится к константе. Теорема единствен-

постп утверждает, что тогда ](х) = со почти везде, что влечет
эргодичность. Если a = k/l^Q, то отличными от нуля могут быть
коэффициенты cml (m<= Z), т. е. существуют непостоянные ин-*
вариантные функции.
б) Рассуждая как в а), возьмем функцию
и из равенства
иолучим соотношения: d = сгя = С4я =... для всех пе=Т. Усло-
Условие /е2"!A) или V I сп |2< оо приводит к тому, что cH = О
¦лег
при ге Ф О, откуда, как в п. а), следует эргодичность Г.
в) — аналогично б), так как преобразование Т можно трак-
трактовать как отображение i^itimodl промежутка [0; 1).
г), д). Функции из 2?2{Х) «раскладываются» в двойной ряд
Фурье
-tn 2ягп х Ътп у ^ 2яг(п х+п у)
Тогда
~ 2 Cnne2ju(Tv-+nv).
Обозначим векторы {п\; п2) и (т^ ?п2) через п и m соответ-
соответственно. Тогда т = 4*?г, где А* — матрица, полученная тран-
транспонированием А. Если / инвариантна, то сп = с .* = с(А*^п==- ¦•'
и сходимость ряда 2 I cm f приводит к тому, что если траек-
траектория {(А*)кп) вектора п бесконечна, то сп = с.* = ... = 0.
Если собственные числа матрицы А не являются корнями из
единицы, то (A*)hn Ф п ни при каких к eN, п ее Z \{0}. В та-
таком случае, как выше, /(г) = сОо почти всюду, т. е. ТА эргодично.
В противном случае найдутся число к ее N и такой вектор
tsK2, что (A*)hu = v. Поскольку матрица А* составлена из
целых чисел, то и вектор v, удовлетворяющий этому соотноше-
соотношению, можно считать целочисленным. За ненулевую инвариантную
фунцию можно принять сумму экспонент, отвечающих векторам
v, A*v,..., (^l*)ft—1ь>. Следовательно, ТА не эргодично.

2.22. Пусть траектория {Тт{х)} точки х не плотна в X. Это
означает, что существует такой открытый шар В (с рациональ-
рациональными координатами центра и рациональным радиусом), что
х ф. U Т~т (В) = GB. Так как GB открыто, %n(GB) > 0. Из эрго-
дичности следует, что %n(X\GB)=0 (рассмотрите инвариантное
множество П Т~п (Gs) с СЛ . Поскольку шары с рациональными
«е^ 1
параметрами образуют счетное семейство {5ь}, объединение
е== U (X\Gr, \ имеет нулевую меру. Всякая же точка, попадаю-
к V h'
щая в Х\е, имеет плотную траекторию.
2.23. Если S эргодичен, то по предыдущей задаче траектория
почти всякой точки всюду плотна, а это, в силу результата
VII.4.5.а, влечет линейную независимость ai,..., ап над Q по
модулю 1. Достаточность этого условия доказывается, с помощью
рядов Фурье (модифицируйте решение задачи 2.21.а)).
2.24. Покажем, что преобразования Т и S допускают одина-
одинаковое «символическое представление». Пусть D — множество
двоично-рациональных чисел в / = [0; 1], X = I\D. Поскольку
Я(О)=0, достаточно предъявить такое измеримое обратимое
сохраняющее меру Лебега преобразование h: X -+¦ X, что
S о h = h о Т.
ПустьЛц=[0; V2J П.Х, А\=[г1г\ 1] П X. Определим последова-
последовательно множества
Докажите, что эти множества обладают следующими свойствами:
1) % (Ah^ П А* П • ¦ ¦ П А.Л = 2"" для любых /м < к2 < ...
\ 1 ^ 11}
¦ ¦ ¦ < A'n, h, ¦ ¦ ¦, in s {0; 1} (проверяется по индукции);
2) множество П А'~ состоит из одной точки для любой по-
/t=-i h
следовательности {ik}, h e {0; 1}, причем каждая точка из X
однозначно представима в виде такого пересечения.
Последнее свойство позволяет отождествить точки из Л
с двоичными последовательностями, причем ?('i; h\ ¦¦¦) = ('2; *з! •¦¦)¦
Пусть х = QjXiXi...— двоичное разложение точки из X.
Полагая ^ = хк, получим двоичную последовательность, опреде-
определяющую (с помощью 2)) точку уе! Положим h (х) = у.
Очевидно, что Т (х) = 0,ж2а;3..., откуда следует равенство
S о h = h о Т.
Остается убедиться, что h измеримо и сохраняет меру Лебе-
Лебега (обратимость h очевидна). Это следует из того, что для

любого интервала вида
х
^ = <V ¦•.,*„ = En ' eft^{O;ib
выполняются равенство
ч\ ¦*»
и свойства 1). Измеримость h следует из того, что для любого
диоично-рационального отрезка А = [А-/2П; (к + 1)/2п] ранга п
его прообраз /г~'(ДПХ) совпадает с А'П X, где А'=
= [г/2"; (г+1)/2«].
2.25. а) Воспользуйтесь тем, что линейной заменой Т превра-
превращается в преобразование S из предыдущей задачи и, следова-
следовательно, метрически сопряжено с отображением a;->-2a;modl (же
е [0; 1)), которое эргодично (см задачу 2.21.6)).
б) С помощью решения задачи 2.6.а), в котором устанав-
устанавливается метрическая сопряженность отображений ж >-> 1 — 2х%
и жн-> 1 — 2|ж|, сведите задачу к предыдущей.
в) С помощью задач 1.15 6) и 2.6.а) замените отображе-
отображение Тп пилообразным отображением /„. Затем, модифицируя
утверждение из задачи 2.24, замените /„ отображением
in nx mod 1 (же [0; 1)), эргодичность которого фактически до-
кузана в 2.21 в).
2.26. Для всякого достаточно большого к е N множество
Ар, = {х е X\j(x) ^ 1Д-} имеет положительную меру. Рассмотри-
Рассмотрите множество В тех точек х из Ли, для которых Тп (х) ^ А^, n^N
(иевозвращающиеся точки). Проверьте, что
Т~ш (В)Г\В = Т~{ш+п){В) П Т~п (В) = 0 при всех m, n е= N.
Конечность меры множества X приводит к тому, что ц(В) =0,
из чего следует, что почти всякая точка ге4 возвращается
в него бесконечное число раз, т. е. f(Tn(х)) ^ 1/к для бесконеч-
бесконечного множества номеров, и 2 / \Тп (х)) ~ + °°-
Чтобы завершить доказательство, исчерпайте X множества-
множествами /Ц.
2.27. Примените эргодическую теорему к характеристической
функции множества А.
2.28. Пусть В а X — такое множество, что [Xj (В) Ф [X2(S),
%я — его характеристическая функция. По эргодической теореме
для i = 1,2
1
Ф (ж) = Нш —

для всех х из множества у},-, для которого щ(Аг)=1. По-
Поскольку Ai Л 42 = 0, отсюда следует доказываемое утверждение.
2.29. а) Пусть сначала выполняется условие /@)=/A).
Тогда можно представлять себе / заданной на окружности, где
она будет равномерно непрерывна. Для произвольного е > 0 су-
существует такое S > 0, что если | (х — х') mod 1) < б, то
\(Sh (х) - S1' (*')) mod 11 < 6 п | / {Sk (x)) - f (Sk (х')) | <8(ieN).
Пусть Q'n{x) = — jV /('?(x))i x' — такая точка, в которой,
o«ft<n
кроме того, выполняется равенство A). Тогда \ап{х) — ап(х')\ < е
при всех п, откуда следует, что
1 1
\ f (x) dx — е < lira afn (x) < Пш afn (х) < ( / (х) dx + e.
о о
Ввиду произвольности е отсюда вытекает равенство A) для
точки х. Если /@)^/A), то можно подобрать такие функции
S, /ieC([0; 1]), что
1
B{O) = g A). А @) = h A), g < / < h и j (ft (x) - g (x)) dx < e.
о
После этого остается воспользоваться неравенствами
о* (х) < 4 (а:) < а? (.г), о* (а:) - (^ (х) < е (х е [0; 1]).
Для доказательства б) замените в этом рассуждении функ-
функцию / функцией %д.
Доказательство утверждения а) без использования эргодиче-
ской теоремы см в задаче 1.3.9.
2.30. Пусть Т(х) —2а; modi. Для тех же [0; 1), которые не
являются двоично-рациопальными числами (как всегда, мы прк
рассмотрении вопросов, связанных с мерой, пренебрегаем мно-
множеством меры нуль), равенство х\ = 1 означает, что Th(x) e
е [1/2; 1). Так как Т эргодично (задача 2.21.6)), то по эргодиче-
ской теореме искомый предел для почти всех х равняется 1/2
(задача 2.27). Точно так же доказывается, что для р-ичноц систе-
системы счисления соответствующая частота равна 1/р. Отсюда сразу
выводится следующий факт: множество тех х, для которых при лю-
любом р все цифры в р-м'шоГг записи числа х встречаются одинаково
часто (такие числа называются нормальными), имеет меру
единица.
2.31. Если А инвариантно, то Т~п(А) П А = А при всех nsN
и соотношение (*) приводит к равенству р.(А) = ([х(Л)J, т. е.
\л(А) равно нулю или единице.

2.32. Пусть Xz=2d^i' У = 2j 7ji (°'h' Ук *= {°; !}) ~ двоичные
разложения чисел x и у из [0; 1). Если Т (х) = у, то г/й = arft+1
(ieN), Докажем сначала соотношение (*) из предыдущей
задачи для множеств вида
\...гп *-- {* е [0; 1) | xh, к ¦= 1, . .., ;»} (eft ее {0; 1})
(назовем их цилиндрами). Если А = Д„ „ , В = А» , то
(при п > /и)
4 П Т~п{В) = {я|г1 = еь ..., хт = г,п, жп+[ = т][, . .., жи+р = т]р}.
Вычисляя меры этих множеств, получим
и, следовательно, соотпошспие (#) выполняется. Почти так же
оно проверяется для множеств А и В, представимых в виде конеч-
конечных объединений цилиндров (в частности, для всех промежутков
с двоично-рациональными концами). Всякое измеримое множест-
множество Л можно аппроксимировать с любой точностью е множеством
А', представимым в таком виде (это означает, что %(А\А')-{-
-\-%(А'\А) < в). Будем в этом случае писать А= А'. Если
? = ?', то п Т~п(Щ_=Т-п(В'), А[]Т-п(В)^А'Г\Т-п(В'). Отсю-
Отсюда следует, что Lm \%(А П Т-п(В)) — %(А)%(В)\ < 2е. Посколь-
Поскольку е произвольно, соотношение (*) задачи 2.31 доказано.
2.33. а) Доказательство такое же, как в случае меры Лебега
(см. предыдущую задачу).
б) Проверьте совпадение мер па промежутках вида
[/,¦/2»; (/-•+ 1)/2»].
в), г). Воспользуйтесь эргодичностью j.ip (см. задачу 2.31) и
утверждением 2 28.
2.34. Пусть первая цифра числа 2h равна р. Это означает,
что для некоторого m <= N справедливо неравенство
m + lgP^klg2< m + lg(p+l). A)
Рассмотрите преобразование S(x) = (х + a) mod 1 на промежутке
[[0; 1) с а = lg 2. Соотношение A) означает, что Sh@) e
е ['g/'i lg (P + !))• Ввпду иррациональности а, искомый предел
равен lg A + 1/>) (см. 2 21.а, 2.29.6).
2.35. а) Рассмотрим множества Ао а ¦- {? е @; 1] | а± (х) =
= а , ..., ап (х) — an|, которые являются промежутками моно-
монотонности отображения Тп. Пусть i|) = грп а — функция, опре-
определенная на [0; 1J являющаяся обратной к ограничению Тп

на Л = Аа а ¦ Пользуясь явным выражением для \р:
Чп
-г t
(мы опускаем элементарные выкладки), можно вычислить дли-
длину А:
1
Л)
Если А = [а; р) cz [0; 1], то
Я (Г- (А) П А) = * (Р) - * («) = (Р -
Поскольку дробь в правой части заключена в пределах между
1
-к X (Д) и 2Х(Д), мы приходим к неравенству
|ц4)А (Л) < X (Т~п (А) П Д) < 2Я D) Я (Д)
для произвольпого промежутка А с [0; 1), а следовательно, и для
произвольного измеримого множества А. Если заменить X на меру
Гаусса \и, плотность которой заключена между 1/B In 2) и 1/1п 2,
то, заменив константу 2 па С = 4/1п 2, мы можем написать нера-
неравенство
~ ц (А) ц (Д) < ц (Г"" (А) П Д) < <7ц (Л) [I (Д). A)
Так как значение меры любого промежутка можно восстановить
по ее значениям на всевозможных промежутках вида Д„
и± • • ¦ ап
(это следует из того, что Я(Д„ а \ < 2~n+1V то в неравен-
неравенстве A) мы можем Д заменить произвольным множеством. Пусть
теперь Л — инвариантное множество, а место Л взято множество
Z = @; 1] \ А. Тогда -^ ц (А) ц (А) ^ М- (Л П Л) =¦•¦= 0, откуда сле-
следует, что ц (Л) =0 или ц (Л) =0.
61) Примените утверждение 2.27.
62) Поскольку - ^ eft = ^ 2 «i^W)- эргодп-
ческую теорему слздуэт применить к функции f(x) = ал(х).

Однако эта функция не суммируема, так как f(x)=k при
ie A/D + 1); 1/к). Поэтому заменим / меньшей функцией
/я = min (/; N), для которой
Полученное выражение неограниченно возрастает при 7V->oo, и,
значит, интересующий нас предел также бесконечен.
63) Примените эргодичес^кую теорему к функциям f(x) =
= lnai(x).
64) Проверьте сначала равенство рп(х) = qn-i(T(x)), из ко-
которого вытекает, что
(х))
и, следовательно,
Если положить /(х) =1пх, то последнее выражение будет отли-
отличаться от суммы — ^ / (Тк (я)) аа величину
которая стремится к нулю, потому что для всех х е @; 1)
In
— 1
l
(последнее неравенство доказывается по индукции, для чего по-
полезно выписать рекуррентные соотношения, связывающие рп и qn
с Pn-i, g»-i, Pn~2, дп-2- Всевозможные сведения о цепных дробях
можно почерпнуть в книге А. Я. Хинчина «Цепные дроби»).
Наконец,
fK1
1 ПХ
ln2 1 + ^
121n2-

ОТВЕТЫ
Глава I
1.6. Да. 1.7. Да. 1.8. Да. 1.14. N s= 11а2. 1.20. а) {0, 1, 1/2,
1/3 ...J; б), в) R; г) [-1; 1]. 1.25. Да. 1.28. б) [0; 2], [-1; 1].
1.29. Нет. 1.30. Например, множество вершин правильных и-угольни-
1
ков, вписанных в окружности радиусов 1 — — с центром в фикси-
фиксированной точке. На прямой — множество середин интервалов, до-
дополнительных к канторову множеству.
2.10. Тогда и только тогда, когда {aft}s=i — арифмети-
арифметическая прогрессия. 2.15, в) =ф- б). 2.18. е) Нет. 2.19. в) При р < 0
знак неравенства следует изменить; г) при р е (—1; 0) неравен-
неравенство выполнено при всех же @; 1).
3.6. а) [_1;1];б)К;в)-д) [-1; 1]. 3.7. а) |о; \\ .. •;i^
если х = plq — несократимая дробь; б)—г) [0; 1]. 3.8. Да.
Глава II
1.1. 1/2^ 1.2. sup хп = lim xn = Уя/2; inf xn = х2 = У1/2;
lim хп = У2/я. 1.3. а), б) 2. 1.4. е-8. 1.5. е°+'/(е—1).
1.6. а) е/(е—1); б) «S, < 52 < ... < 56 > S7 > 58 > ...; в) 56 =
= 2,002...; Sn<2 при га =^ 6. 1.7. 4е"'. 1.8. — ^1п^— A — р) X
X In A — р), если р е @; 1); 0, если р = 0 или р = 1.1.9. а)^-1п2;
б) я/8; в) тг1п5; г) я In 2; д) я. 1.10. а) 0; б) 2я; в) +оо; г) 0.
1.12. б) С2 = я2/4.
3.2. а) е-1(х0 + (е - 1)ж,); б) е-1/г((Уе - 1)х0 + Ж1). 3.3. а) хп ~
~ ^"-'(xi—1 + 21п2) при xi ф 1 — 2 In 2; б) ж„-»1 при »i =
= 1-2 In 2.
Глава III
1.1. а), д) Пустое множество; б) множество всех функций;
б), г) множество постоянных функций; е) множество функций,

ограниченных на каждом конечпом промежутке; ж) множество
функций, равномерно непрерывных па R; з) множество функ-
функций, ограниченных на IR; и) множество неубывающих функ-
функций, равномерно непрерывных на R. 1.2. Нет. 1.5. Да. 1.6. б) Нет.
1.7. Да. 1.12. Утверждение верно для сепарабельного и неверно для
песепарабельного пространства. 1.14. а) Нет; б) да. 1.23. Функция
вида ах + Ъ. 1.25. Да.
2.3. Нет. 2.5. Для конечного семейства функций верно, для
счетного — нет.
3.9. а) -ФФ- б), из б) не следует а). 3.12. Да, g'@) = 2/я. 3.18. 2.
3.19. a<log32.
1 - t2 It
4.1. Нет. 4.2. ф-1 @ = к , о + i . , 2- 4-3- Да- 4.4. в) На-
1 + Г 1 + t
пример, | = 2/9; г\ = 1/3.
5.1. а) Постоянные; б) /(ж) = g(ln ж), где g — произвольная
непрерывная па R функция, имеющая период In 2. 5.3. f(x) =
= А\пх. 5.4. f(x)=Axlnx при iefi, ж ф 0, /@)=0.
5.5. f(x) == 0 или f{x) = ж. 5.6. }(х) = 0, /(ж) = х и, кроме того,
/(ж) =— ж, если тг —нечетпое число. 5.10. /(ж) = Л In ж + АAпж),
где й — произвольная непрерывная на R функция с перио-
периодом Г = 1п {alb), A = T~l{f{a) — f{b)). 5.11. а) фA) =0, ф(ж) =
= Aпж)ЯAп |1пж|) при 0 < ж < 1, где Н — произвольная непре-
непрерывная на R функция, имеющая период In2; б) /(ж)=0,
/(ж) =1, / (ж) = хеВ>{Щ 1пж|) при 0 < х < 1, где со — непре-
непрерывная на R функция, имеющая период In 2 и удовлетворяю-
удовлетворяющая условию со (t + h) — со (J) > —h при t, ieE, h > 0. 5.12. На-
Например, /(ж) = (signж) |z|llnMl при ж=И=0, /@) =0. 5.13. /(г) =г
шш/B)=гпри \z\ = 1,/@) =0,
/ Ы = I 7 1еС0(Ш ' ln |zl !) р'Aп Ы) H(ln I In |г| 1),
при 0 < |г| < 1, где со, II—непрерывные вещественные функции
с периодом In 2, со (i + h) — co(i) > — h при t, h <= R, h>0.
5.15. f{x; y) — a(x2 + 4zi/ -f !/z) + b (x + j/) + с, где я, Ь, с — про-
извольпые вещественные числа. 5.16. Если /# const, то функ-
функция g существует тогда и только тогда, когда / строго монотон-
монотонная или / четная, строго монотонная на [0; 4-°°)-
В ответах к задачам 5.17, 5.18 буква ф обозначает характер.
5.17. а) ф(ге)=г;п (neZ), где I e= S1; б) ф {к; I) = t\l,[
{{к; 1))<=22), где ?г, ^2 s 51; в) ср (га) = ^п (и е Zm), где ^ — корень
"j-й степени из едпппцьт. 5.18. а) ф (х) — ег1х (ieR), где (el;
б) ф (х) ~- ег(х' ', где (х, t) — скалярное пропзпедение пектороп х, t
в FR"; в) Ф (ж; га) = eitx'Qn (х е= Ы, п е Z), где t е К, ? s 5г; г) ср(г)^
:._ei(t Uc г+s 1ш г)/г ^.рч { ssR- g) ср (t) — t™(? €= S1) где и s

s Z; e) ф (x) = emnx (* > 0), где t e= К; ж) ф (z) = eitln^ (z/[z| )n
(zeC), где feK, reeZ. 5.19. Произвольный непрерывный гомо-
гомоморфизм ф определяется равенствами а) ф (х) = ах; б) ф (х) = еах;
в) ф (х) = я In х; г) ф(я) = ха; д) ф (ж) = eiax; е) ф (z) = | z [ Vblnlz|X
X(z/|z|)n, где а, Ъ — произвольные вещественные числа, neZ,
Глава IV
1.1. Сходится. 1.2. а) —в) Расходится. 1.4. а) р >0; б) р > 1/2;
в) р > 2. 1.5. а) Сходится; б)—г) расходится. 1.7. а), б), д), ж)
Расходится; в), г), е), з) сходится.
2.5. Для немонотонных последовательностей утверждение не-
верпо 2.6. а) Да; б) нот. 2.9. Но всегда. 2.10. Не всегда.
2.12. г) Не всегда. 2.14. При а = + °° возможна как сходимость,
так и расходимость. 2.18. Да. 2.19. От монотонности отказаться
нельзя. 2.20. б) Ряд 2 \гап может сходиться, но если Хп f + оо,
то он расходится. 2.21. б) Верно.
3.1. Да. Положительную последовательность подобрать нельзя.
3.2. Да. .3.4. Обратное утверждение верно, если ап\0. От моно-
монотонности отказаться нельзя.
4.1. -у (х — sin ж). 4.2. -г- cos х — cos3 x. 4.3. \jr. 4.4.
4.5. Inm. 4.6. -.4.7. i-y. i.8. (у ~~
0 * '
/ 1пГ2л)\ я
4.9. 7+In 2. 4.10. я A-—^-2|. 4.11. уA-]пя).
5.1. 2г/ < х2, q > 2р. 5.2, 5.3. Да. 5.4. Ряд сходится неравно-
неравномерно. 5.9. От условия 2 а\ "< °° отказаться нельзя.
6.3. Например, ¦?' = B(E/i//l'!) | E;t = 0 или l], Bn = 2я7г! 6.6. Пре-
8 ~
делы равны 2/я и 1/2; Ьп ~ — Inn, Lre ~ 2 In re. 6.8. а) (я —ж)/2
приО<х<2я; б)—cos— In tg -^ — -^ sin Tf при 0 < a: <
1 x x n x
< 2я; в) — ж/2 при |х| < я; r) -j sin -^ In tg -^- + -^ cos -у
лрп 0 < а; < 2я.
Глава V
1.1. Интеграл сходится. 1.2. Интеграл сходится при р > 2.
1.3. Интеграл сходится в следующих трех случаях: q <; — 1, г и р
произвольны; д^ —1, ?" ^ 1, ! + ?</'; Q ^ — 1) ?" > 1,
1 + д < /*/г. 1.4. Интеграл сходится в следующих трех случаях:
д <—1, г н р произвольны; д ^ — 1, г s? 0, р > U; д^—1,
г > 0, 1 + 5 < р/г. 1-5- Интеграл сходится, если д>1,
Р sg 0 или д > 1 + р, р<0. 1.6. Интеграл сходится при

g < — ij ^>0. 1.7. Интеграл сходится при p < 1, g > 1. 1.8. Ин-
Интеграл сходится, если р < —1, g сС 0 пли g > 0, 2 (/7 + 1) < q.
1.9.— 1.11. Интегралы сходятся. 1.12. а), б) Нет. 1.13. При любом
@) --|г ( / (х) dx \ In -^ ;
0. 1.14. а) /@Iп(Ь/а); б) I/
в) (ДО) — Z)ln(b/a). 1.16. 0. 1.17.— у 1л 2. 1.18. -я2/6. 1.19.-я2/12.
1.20.я2/6. 1.21. я/2-arclga. 1.22. л/2. 1.23. л/4. 1.24.0. 1.25.я(|я| +
+ |Ь|_|а + 6|). 1.26. -1. 1.27. f + n2/6. 1.28. f
1.29. G ~ 7) Т- * -30- (? ~ i)T' 131-ln 4- L32- ~ T ln'2 2- ll33> ]'^
1.34. 3/4; ^у^ Т/я; 1/2; A/2-1) У у; In 2; 2(У2~- 1)я.
1.35. )'яТ 1.36. -~е~2а. 1.37. а), б) yHJT: 1.38. In Т
2.1. 2 In 2. 2.2. а) п/(п+ 1); б) 1/(ге+ 1); в) п\ г~п. 2.3. {2п)п'\
2.1 а) 2}'2я(а2 + й2); б) 2
—-у [| а: ||2 при \\x\\ ^ 1, 4я/C1Ы|) при Ikll > 1. 2.6. я2(сЫ - 1).
2.7. я2(с1е1Л)-'/2. 2.8. I e Int (А); АГ @ = 8я(г2-^ - i2- ^)-~2
при i=(<i; <2; *з! U)slnt(/1). 2.9. Л/=(й — я)/3, > = 4/9.
2.10. 1/2. 2.11. a) Pi (я) >1/2 при любом а, Р (а) —>¦ 1; б) 1/2.
4
2.12. я/4. 2.13. a)— R; б) 5 я/6. 2.14. Ч' (х, у) = я(х2 + if- — 1)
при ж2 + у2 ^1 и ?(х; у) = я In (ж2 + г/2) при х2 + у2 > 1.
1 1
2.17. (/г!а1а2. ..«„)-'. 2.19. ^ j | (/'^2 (.г; j/) -f /'^2 (.r; j/)j dx Cij.
Глава VI
1.2. а) а-х| In A-01; б) 21 In A - t) [; в) -у A - t)~\
2 1 .2 1
1.3. а) Л/1пЛ; б) Л; в) — А; г) у^ е > Д) Лае~А. 1.4. a) —In Л;
6) y^ «A; в) 1/я1ел/4; г) Л 1пр Л. 1.5. а) Bл»3)-1; б) (-1) V(
_ 1 Ль~р In A
в) (-1)" (л/грр. 1.10. а) -2JZTJ, прнр<1, -у- при р = 1;
2 In Л 2 Л1-р 2 2 Лг~р
б) В) 1ЫА 1 )
1.16. а), б) (е Цпе Ip1.

2.1. /@). 2.3. У jjW 2.5. а), б)
г) Г B - р) ^~2; д) j -\/WA; о) Л~2; ж) ^_е <-1~1МхРА, где гр=
у Л
= р1^1"-^, Ср = у2пхр1(р-1); з) А~К 2.10. а) (
б) УЭДB^); в) ~у J(i+ (_!)» Уг). 2.11. a)
б) ЛР/(р In Л); в) СрАл, где Ср =
о
3.11. а) я/B«); б) 1/я1/2. 3.27. а), в) г [н-у] A - t)~1/p;
где S (t)=(p | In 11 )ll<x~v\~_
~ (P(l - t))m~v); r)|ln(l-i)l/lna; д), e) | In A - t) |/
/In | ln(l~ i) |. 3.28. а) Г A + p)/(l - iI+p; 6) | In A — i) |p/(l — «)¦
3.29. a) In2/A-Z); 6) n2/(l2 A - tf); в) 1/2 A ~ t);
r) | In A - i) |/ln а; д) | In A - t) |/A - i); о), ж) я2/(б A - tf);
з) | In A - t) 1/A - tf; n) - (In 2)/(l - 0; к) - 1/2 A - t);
л) -я2/12A-гJ; м) -In 2/A —tf. 3.30. а) я/4 A — t);
л i 2 я2 1 I In A — ^ 
3.31. а) | In A - t) |/A - t); б) ^- A - t)~2.
4.3. а) y = x-x*+-jx*+...;6) y = i+X-J^-^(x
5 о - ж—1 9 „ 109 „
+ jg(*-0 +..-; в) у = —г- —16(* — 1) + j92(* — 1)
Г) у = 1 + а: - -j + -у п- • • ¦; Л) г/=-.г-"+ х'5- г4+ х5 - -j.
х 8
е) y = -j + 15^-!-V7+--- 4-8- а) 1/"". б
г) Уз/Bп); д), е) 2/«; ж) 4//г2; з) Bга)~1/4. 4.10. Например, f{x) =
= ж — х2е"~1//ж при 0 < х < 1, / (j) = / A) при ж>1. 4.11. Если
последовательность {•«„} но становится стационарной, то жп ~
~ (— l)"/"j/2re или (— i)n~xl~\/2n в завпепмости от выбора xQ.
В частности, первый случай осуществляется, если 0 •< х ¦< 1.

4.14. й„-((р+1Iп/гIЛР+1) прпр>-1, ап~Упп при р =
= — 1, an ~ Ср« при р < — 1, где Ср — константа, зависящая от р.
Глава VII
1.33. Нет. 1.36. а) х9-/2; б) \x\"Iq, где д=р!(р—1); в) +оо вне
промежутка [rain/'; max/']; кусочно линейная функция, имею-
имеющая точками излома значения /' на промежутке [min/'; max/'];
значения (/*)' суть точки излома фупкции /; г) +оо
1
при х ^ О, — — | х \q при х < 0, где g = р/(/> — 1); д) а}'1 + ж2;
е) /(—ж); ж) ж In х — х при ж > 0, 0 при х = 0, + оо при х < 0.
2.12. За2.
3.3. а) Вп(/0; х) == х,
4.3. При произвольных Я;. 4.4. а), б) Xi, ..., Xj линейно незави-
независимы над Q. 4.5. а), б) %i,...,Xh линейно независимы над Q по
модулю 1. 4.19. Только если {e;J периодична. 4.20. Нет.
Глава VIII
1.4. а) 1/10; б) 4/10; в) 1/100; г) 1/2. 1.5. 1. 1.6. а) Да;
б) нот. 1.11. а) Если 17пГ(геА+1 — п) ^ 2. 1.12. Да. 1.13. а) 1п = 3"";
б) 1п= 2 (!/*¦'); в) если nk+i> n.k+ 1 бесконечно много
k>n
раз; в этом случае 1т = 2 2 Й- ^»*6. я = Х2(-4), Ъ = L, с~Л,
k>m
где Z —длина кривой, ограпичивающеи множество Л.
2.2. Например, 2 2^™^(о;+«>) С ~~ гп)> гЛе {гп}п>\ — последова-
тельность всех рациональных чисел. 2.3. Да. 2.5. Тогда и только
тогда, когда Ят{х <= E\f(x) = t0} = 0. 2.6. а), б), г) F(x)=k +
+ 2 arcs in х при |х| sg I, F(x) = 0 при ж<—1, F(x)=2n при
2
i^ 1; в) F{x) = 0 при х < —1, ^ (ж)=-^-(п-[- 2arcsina:) при —1 s^
2
< х < 0, 7^ (х) = у (л -[- 4 arcsin .г-) при 0 sC г гС 1, F(x) = 2я при
аг>1. 2.7. а) Да; б) пет. 2.8. a) F(t-C), F(ЦС), F (V't); б) F{l).
2.9. в) Вообще говоря, нет. 2.10. /*(т) = F~l(%m{F.) — т),
0^т<Ят(й). 2.11. a) sin((jt-T)/2) @5Ст«с2я); б) cos(x/4)
); в) ctgx @ < т < я). 2.12. /*(т)=}'1 — т/я @ fiS т <я).
3.1. 6C^-(GC^_1-1)^ + 6(^-1)^. 3.6. Да. 3.7. а) />> 1;
б) 1<^<2; в) р<1; г) р > 2; д) _1<^<2. 3.8. а), б) Да;
0, 0; в) нет; 0, 0; г) нет; —л2 я, 3.9. а) р <; 2; б) />< 1; в) р < 3.

3.15. Нет, как видно па примере Е = @; 1), g == 1, / (х)— е1^ х,
3.16. а) 1/2, 1/4; б) 1/Dге). 3.17. а) 1/10; б) 1/100. 3.18. 1/11.
3.19. а) 3; б) F(«)=0 npn t s^ I, f@ = l—B/3)" при
re<J<K+l; /*(т)=ге при B/3)"- s? т < B/3)"-'.
1 С — 1 ^ /
q ок _ . ,2— +~e~ldt. 3.26. — i aids л —
6-г°- Г (и/2) J * я \ ё
о
3.27. л2/?2Dа2 + Я2). 3.30. 2«Г« A + 1/т>)/Г A -f п/р).
3.31. а) п/, Г «Р +0/2) Г» (,,/2)
2УлГ((я-1)/2)Г((« + р+1)/2)
";нг -|- /г +
9 2
3.39. а) — (сп У"!-
'т А- п -I- 1 \ m+?V
4.2. б) -
^4l)l).4.5.X2D)
+ Z/+ 2л, где Л — длина кривой, ограничивающей множество А.
4.6. а) 1/2; б) 3/8; в) 1/2; г) 1/2; д) 1/2. 4.7. а), б) р< 2 log3 2.
1 1
5.3. а), б) log2 log2 A/8); в)-^ log2 log2 A/е); г) -^j iog2 A/s);
д) log2 A/&). 5.4. а) 1; б) 3/2. 5.5. а), б) 5/3; в) 4/3. 5.6. а), б), в) 2.
5.7. log3 2. 5.8. (ln(l/g))/lnln(l/s). 5.11. 2-log32. 5.12. в) Нет.
5.19. а) р = 1, |Х!(у1) = (Ь —а)/2; б) р = 1, |х,(/1) = я; в) р = 2,
(Х2D)=я-1; г) ? = ге, |xn(/l) = a.5.20. р = log3 2, [xp(Z)=2-3>.
5.21. a) dimH(A) = М-Аш (А) = log3 2; б) dimH D) = 0\
il/-dim D) = 1; в) dimH (А) — log3 2, il/-dim D) = 1.
5.24. а) Zm= 2 2~П'1' б) I/2; в) °°- 5-26- (lnm)/lnre.
3.27. dimffD) = (In 5)/In 10, dimH D -[- A) = (In 9)/In 10.
6.2. a) Около 14%; б) более 99%. 6.3. Менее 0,25%. 6.4. Ве-
Вероятность того, что \х\\ < s, стремится при п -> оо к единице
для любого 8 > 0. 6.5. У2. 6.10. б) 1/2. 6.18. Отношение объемов
куба и шара эквивалентно: а)~\/леп[ ; б) Л/пеп\ —) е'п.
\ пеУ Vя6/ _
В случае б) шар содержится в кубе при п г^ 9. 6.19. рп=}'ге +
+ оA). 6.22. б) —¦ Belnfl*eu ^" -
Глава IX
1.1. Сходимость по море есть во всех случаях, кроме д). Сум-
Суммируемая мажоранта есть только в случаях б), г). 1.10, 1.11. Ут-
Утверждение верно и для К. 1.12. При замене @; 1) на R теорема

перестает быть верной. 1.14. Если условие нарушено, то ут-
утверждение неверно. 1.15. а), б) Да; в) нет.
2.11. я2. 2.19. фA/2я).
1
3.1. г) 1-2х, 3.4. a) (sint)t; б) e~il^ f eixtda (х) ¦
о
п
в) JJ ch(zchy 3.12. а) ^—канторова функция; б) F(t) = A + t)/2
fe=i
при \t\ sg 1, F(t) = (l + singt)/2 при |f|>l.
4.1. а), б) //—-о; в)/с+с. 4.9. Нет. 4.18. a), 6) /c =
= Bnlc)n/2fi/c; в) e~'csL 4.27. Нагрузка в пуле или мера с плот-
плотностью BясГп/2е~М2/Bс) (с>0).
Глава X
1.2. а) Нет; б) да; в) нет. 1.3. Л(я) = 1 — х, /с(л:)=— т.
1.13. а) Да; б) нет; в) да; г) нет; д) да. 1.14. а) Ъ = (я2 — 2а)/4,
яеЯ?; б) для я 5г —1/4, я ф 0: Ь = 1 ±|1 + 4я; для я == 0:
Ъ = 0; 6sR\{2}; г) для а = Ъ(Ъ — 2)/4 при 6 е= [0; 2) U B; 4);
при этом Д= [—х,; X,] при я е [—1/4; 0], Ь е [0; 1];
Д= [— х2; х2] при яег [—1/4; 0], Ь «ее [1; 2]; Д = [х{; —xi]
при я е @; 2], Ъ е B; 4), где xi,a-2 (ii ^ ж2) — корни
уравнения /(я) = х. 1.19. а) 0); б) 2; в) —2; г) 1; д) 1; с) 1;
ж) У5 —1. 1.20. б) Шпжп = 0 при х0е(— 1; 2); ]шг„ = 2
при хое{—1; 2}, Иш х„ = + оо при остальных значениях х0;
в) предел равен (l_fl_4a)/2a при \ха\ < A + У1 — 4а)/2а,
A + fl — 4а)/2я при ]хо[ = A + |1 — 4а)/2а, + оо при остальных
.?(.; г) предел равен ( — 1 + Ц + 4а)/2я при \хе\ < A + yi + 4я)/2я,
(~1 — У1 + 4а)/2а при \хо\ = A + У1 +4я)/2я, + оо при осталь-
остальных х0; д) предел равен A — yl — 4с)/2 при \хо\ < A + yl — 4с)/2,
A + yi — 4с)/2 при |хо| = A +У1 — 4с)/2, +оо при осталь-
остальных х0; е) предел равен с при х0 е [с — 1; с]; + оо при осталь-
остальных х0; ж) [imxn — 1/3 при х0 Ф 1, \rnixn = 1 при х0 = 1;
з) предел равен 0 при \хо\ < 1/|'5; 4 1 при ]хо| > l/j'S,
не существует при |го[=1/У5. 1.22. а), б) хп ->- 1/A + а) при
|я| < 1 и любом хо, при остальных я последовательность либо
расходится, либо стабилизируется; в) при я ^; 3/4 — см. ответ к
задаче 1.20.в), при я > 3/4 последовательность либо расходится,
либо стабилизируется; г) при а е \е~'; 1] для всех х0 е К после-
последовательность {х,,} сходится к единственной неподвижной точ-
точке /; при яе A; е1/е) пмеем lim хп == х прп яа < х, liro .rn = 1гГ

при ха = х, lim xn = +00 при х0 > x, где x, x (x < x) — непод-
неподвижные точки /; при остальных а последовательность {хп} либо
расходится, либо стабилизируется. 1.32. а), б) При а = 1 имеется
континуум 2-циклов {t; 1 — i) (ie [0; 1/2)) при а > 1 — один
отталкивающий 2-цикл {A — а)/A + а2); A + а)/A + а2)} и от
одного до трех отталкивающих 4-циклов; в) при а> A + У5)/2 =
=. 1,618... имеется два отталкивающих 3-цикла:
1 — а — а2 1 + а — а2 1 + а + а!
а3 ' 1 + а3
1 — я + а2 „ 1 + а — а2 1 — а — я2
при а = A + ")/5)/2 опи сливаются в один. 1.33. а) а = 3/4;
б), в) а = 5/4; г) а = 7/4. 1.34. а) 6 = 3; б), в) Ь = 1 +f6 = 3,449...;
г) 6 = 1 + 2У2"= 3,828... 1.41. б) Нет.
Adx Adx
2.6. a) cfy= , -; б|ф = -7=ж- при|а:|<1,
К1 у i
dx
при || 1 D 50) 210 ) Д &
dx
{хфЩ; б) нет. 2.11. а) Да, d\x.= х\Ых\ (хфО, 1); б) нет.
2.14. a) Pij = Л(Л^ П Г-1(Дг))А(Д<)- 2.15. ф = /йж, где a) f(x) =
!= 0 при я< 1/2, f(x) = /C/2 —ж) при х > 1/2; б) /(ж) = 1/5
при х < 1/3, /(ж) =2/5 при а; > 1/3; в) предельная мера со-
dx dy dx dy
средоточена в точке 0. 2.16. dp, — ——. 2.17. dpL=—|—,
У х
#в= Х У> 2.21. а) Да, если и только если а иррационально;
б) да; в) да; г), д) да, если и только если среди собственных чи-
чисел матрицы А нет корней из единицы. 2.23. «i, ..., ап должны
быть линейно независимы под Q по модулю 1. 2.27.
2.30. 1/2; Цр. 2.34. lg(i

ДОПОЛНЕНИЕ I
Мы установим здесь один интересный факт, показывающий,
что арифметические свойства вещественного числа, обсуждавшиеся
в главе I, могут неожиданно сыграть решающую роль в исследова-
исследованиях, па первый взгляд далеких от этой тематики.
Тригонометрическим многочленом от двух перемеппых х, г/—К
будем называть сумму.
Г (г- i,\ — "V с РЧпх+ту)
i- [X, У) — 2j cn,me '
в которой лишь конечное число коэффициентов сп m e С отлично
от нуля. Рассмотрим проектор Ра, действующий в мпожестве всех
таких мпогочленов:
Г& (х, У) — Zj cn,me
(n;m)e?J
(Q — некоторое подмножество в Z2). Будем называть проектор Ро
ограниченным, если существует такое число Са > 0, что для всяко-
всякого мпогочлена Т справедливо неравенство
|PQr (x; y)\^CQmax\T (х; у)\. (*)
х,у " х,у
Мы рассмотрим простой случаи, когда Q — полоса, т. о.
Q = {(и; щ) е Z2 | |те — Я»|< А} (Я е R, А > 0).
Оказывается, ограниченность такого проектора равносильна рацио-
рациональности коэффициента X (см. работу Э. С. Белинского в сборни-
сборнике «Теория отображений и приближение функций», Киев, 1983).
Прежде чем доказывать это утверждение рассмотрим аналогич-
аналогичную задачу в одномерном случае: для любого тригонометрического
многочлена
Q О = 2 c.eiki
ftes
(среди коэффициентов ch s С лишь конечное число отлпчных
лт пуля) положпм

Будем считать, что JV>2n N
ма ряда Фурье функции Q, то
Так как PQ — частичная сум-
сум2 sin s/2
Поэтому проектор Р ограничен: \PQ(t)\ < С max
sin (N +1/2) s
2 sin s/2
причем
Из результата задачи IV.G.6 следует, что C^constlniV. Пример
многочлена
2 i*™=i
показывает, что оценку для С существенно улучшить нельзя: с од-
одной стороны (см. IV.6.15) \Qo(t)
и Л'), а с другой стороны,
1
;А (число А не зависит от t
PQa(-t)-2i
Kh<N
и поэтому
Kh<N
Таким образом, в одномерном случае С X In N.
Для лучшего понимания дальнейших руссуждений отметим
принципиальное различие между полосой с рациональным коэф-
коэффициентом наклона и полосой, коэффициент наклона которой ир-
иррационален. Именно это различие порождает обсуждаемый эффект.
В случае рационального коэффициента наклона для любой прямой
L cz R справедлива альтернатива: либо L cz Q, либо множество
L П Si содержит ограниченное число целочисленных точек (верх-
(верхняя граница зависит от полосы Q). Если же %ф€}, то ситуация
иная: ыожпо провести такую прямую L, что множество L [\ Q бу-
будет содержать сколь угодно большую серию целочисленных точек,
координаты которых образуют арифметическую прогрессию.
Рассмотрим теперь проектор на полосу с рациональным коэф-
коэффициентом наклона. Пусть % = p/q, где peZ, g> s N, р и q взаим-
взаимно простые. Подберем такие целые числа ро и д0, что рро + <?<?о = 1.
(Р — q\
Целочисленная матрица задает линейное отображение,
\"о о /
которое биективно отображает Z2 на себя (так как определитель
матрицы равен единице, то обратная матрица целочисленная). Сде-
Сделаем замену
п = пр -
т' -- пд
¦ rnq.
о
'V
у' —

Тогда
Т{х-,у)=
с Жп'х'+m'y') _ Tt, r. ,
сп',т'е — 1 (х > У
(здесь с'п/>т, ^ cn,Po+m,gim,p_n,gJ. Так как неравенство
\т — Хп\ ^ Д равносильно неравенству \п'\ ;?Г дЛ, то в новых ко-
координатах проектор Pq записывается следующим образом:
Р Т (г- 7/1— "V / Лп'х' + гп'у')
гп1 (Z, У) — 2j cn',m'e
Следовательно, действие проектора Pq сводится к действию
одпомерного проектора по переменной а/, и поэтому Са ^
eg const In B + (?А)-
Рассмотрим теперь случай, когда % ^Q. Подберем такую не-
несократимую дробь p/q, "что | X — р/д | гс: q~2. Пусть L — прямая, про-
проходящая через точкя @; 0) и (q; p). Так как р и q взаимно просты,
то все целочисленные точки на L имеют вид (kq; kp), к е Z. Ясно,
что
Q П L = {(kq; kp)\k^l, | к |< N}
при некотором N > 0. Покажем, что N ^ дД. Для этого пред-
представим число X в виде X = p/q + S/g2, [ 0 | ^ 1. При \к\ ^ дД имеем
т. е (kq; kp) e fi П L для такях А
Рассмотрим действие проектора Pq на многочлены Г, у которые
коэффициенты сп т равны кулю при (га; т) ф L, т. е. на много-
многочлены Т(х; У)= % akeih^x+Py). Ясно, что
Из рассмотрения одномерного случая следует, что ограниченность
проектора Ра, т. е. неравенство (*), возможно лишь при
Са ^г const In N ^г COnsl ].П(дД).
Так как знаменатель q может принимать сколь угодно большие
значения, то Са = + оо для полосы с иррациональным коэффици-
коэффициентом наклона.
ДОПОЛНЕНИЕ II
Пусть частичные суммы Sn(x) тригонометрического ряда
V2 + 2 (пк COS кх + bh sin кх)
с вещественными коэффициентами неотрицательны на множестве
Е cz [0; 2я] и Я (Я) > 0. Тогда 5„(ж) = о (и2) почти везде на Е
(в частности, а„, 6„ = о(п2)).

Таким образом, ограниченность частичных сумм тригонометри-
тригонометрического ряда снизу возможна лишь в случае, когда эти суммы не
слишком велики сверху. Этот результат, полученный Дарсоу (см.
J. London Math. Soc., v. 35:2, 1960) был существенно усилен
С. В. Конягиным (см. Мат. заметки.—1988.—Т. 44, № 6), дока-
доказавшим, что неотрицательность частичных сумм на множестве по-
положительной меры влечет их ограниченность почти везде на этом
множестве. Следовательно, тригонометрический ряд не может рас-
расходится к +°° на множестве положительной меры. Более того, для
произвольного вещественного тригонометрического ряда с не обя-
обязательно положительными частичными суммами на множестве Е,
Я (Е) > 0, справедлива альтернатива: либо последовательность
{Sn(x)} ограничепа для почти всех х<=Е, либо ton Sn(x) —
= — оо и Hm Sn (х) = 4- °° Для почти всех х <=Е. Если же
Х(Е) = 0, то, как показал А. М. Олевский (см. Collog. math., 1990,
v. 60—61, № 2), существует ряд Фурье, у которого сумма равна
+°° на Е и конечна вне Е.
Мы докажем лишь более простое утверждение, сформулирован-
сформулированное в начале этого дополнения. Для доказательства нам потребу-
потребуется хорошо известный факт — почти все точки измеримого мно-
множества Е являются его точками плотности:
1
lim -к- % (Е Л (х — е; х + е)) = 1
для почти всех х <=Е.
Пусть х — какая то точка плотности множества Е Точка 0 —
точка плотности множества F—{t^x\ t<=E}\]{x —1\ t^E}.
Зафиксируем числа и и v, я/2 < и < v < л; их выбор уточним поз-
позже. Так как 0 — точка плотности множества F, то для достаточно
больших п множество F [) [ujn; v!n\ не пусто, т. е. можно указать
такой номер N, что для всех n^N существует ф„ sft и sC
=s; гаф„ ^ v. Пользуясь тем, что х ± фп ее Е для п ^ N, получаем
Sn{x ± фп) 5s 0- Поэтому
= а /2 -f- 2 (ah cos ^х ~f~ ^k sin ^x) cos ^f-ri ~
= Sn (x) cos щп + 2 sk (x) (cos !{(tn - cos (/?
o^fe<o
Таким образом, при п ^ А7 спраяедливо неравенство
Пусть w = — vjcos и (w>l), an = S0(x) + • • • + Sn(x). Тогда
°n — °n-r^ °n-v и П0Э10МУ а« «? С1 + u;'/ra)a-! ^ (! + l/«)wa-i.

Следовательно,
ап < A
(;
Итак,
Осталось заметить, что iuf (— и/cos и) < 3, и поэтому можно так
(я/г; я)
подобрать параметры г* и у, что w = —м/cos v < 3.
ДОПОЛНЕНИЕ III
Рассмотрим хорду, получающуюся при пересечении выпуклой
замкнутой кривой Г и прямой L. С какой скоростью убывает длина
хорды, если прямая L, не меняя оюего направления, приближается
к некоторой опорной прямой? Ясно, что это определяется порядком
касания опорной прямой и кривой Г. Длина хорды может вообще
не стремиться к нулю, если кривая Г содержит отрезок, параллель-
параллельный прямой L. Интуитивно ясно, что это исключительный случай.
То же самое можно предположить о касании порядка выше двух.
Иначе говоря, для «большей части» опорных прямых порядок их
касания с кривой Г не выше двух, и поэтому для длин соответст-
соответствующих хорд справедлива оценка 0(/б) (s — расстояние между
прямой L и параллельной ей опорной прямой). Одним из возмож-
возможных истолкований этого нечеткого утверждения, дающим количест-
количественную оценку, является неравенство
л
1 и,2 (ф; е) йф< const S.
Здесь |i(cp; е) —длина хорды, отстоящей от опорной прямой на рас-
расстояние е; угол гр задает направление опорной прямой (вектор еф =
= (cos rp; sin ф) перпендикулярен ей и направлен в сторону от
кривой Г); константа зависит только от Г. Таким образом, в сред-
среднем по всем поворотам опорной прямой скорость убывания длины
хорды в кривой Г не меньше чем в окружности.
Мы докажем, что константа, стоящая в правой части неравенст-
неравенства, определяется лишь двумя величинами г и R, если кривая со-
содержится в круге радиуса R и содержит круг радиуса г. Доказывая
такое неравенство, можно считать, что Г — гладкая строго выпук-
выпуклая кривая.
Обозначим через yw ту точку на Г, в которой вектор е,,, являет-
является внешней нормалью к Г. Достаточно доказать, что для малых
s > 0 (например, е < г/2) справедливо неравенство

Отсюда следует требуемое неравенство, так как
= 2
Для каждого ср через <р + Д(ф) (соответственно, ф — б(ф)) обо-
обозначим угол наклона внешней нормали к Г в конце (соответствен-
(соответственно, в начале) хорды длиной jx (ср; е) ортогональной вектору еф (уг-
(углы Д(ф) и б(ф) зависят от е). Нетрудно видеть, что 0<б(ф),
Д(ф)^6г.н<я при s <= @; г). Так как |^ (ф; е) =ctg Д (ср) +
), то
Для оценки получившегося интеграла впишем в кривую Г лома-
ломаную, каждое звено которой стягивает дугу «высотой» е. Эта лома-
ломаная, вообще говоря, не замкнута, и поэтому ее первое и последнее
звенья пересекаются. Рассмотрим три соседних звена. Пусть они
стягивают дуги, длины которых равны Z_, U, 1+. Пусть вектор еф
перпендикулярен средней хорде (т. е. у — «вершина» средней
дуги). Точка г/ф _6^ф -, разделяет дуги длиной Z_ и Zo, а точка
уф0+А(Ф„) ~ДУГИ Длиной 10 и Z+. Докажем, что
ig2 б
Достаточно оценить интеграл но промежутку [ф0; Фо + Д(сро)]. При
этом, не умаляя общности, можно считать, что ср0 = 0. Положим
Д = Д@). Отметим сначала равномерные по сре[0; Д] оценки:
| cig Д(ф) | ^ -8г,в(^о ~Ь '+)/Е и |ctg б(ф) j sj Br,R(lo -\- Z+)/e.
Мы проверим лишь первое из этих неравенств. Для этого введем
систему координат и л v с центром в точке у,., так, что положи-
положительное- направление оси OU совпадает с вектором е$+„, а оси
OV — с вектором еч—я/2 (кривая Г лежит в полуплоскости
и ^ 0). В повыше координатах кривую можно представить как объ-
объединение графиков вогнутой функции М и выпуклой функции Лт,
заданных на некотором промежутке [0; и], и ^ 2г. Нетрудно ви-
видеть, что \N(u)\, \M(u)\ s^Dr.n\i(ii: ср) приме [0; г]. Если А (ф) ^
sg я/2, то, пользуясь вогнутостью функции М, получаем
0<с1дД(ф) = il/'(e) ^ Л/(е)/е ^Г DriR]x(<p\ е)/г ^ Dr R(l0 + Z+)/8.
Если же Д(ф) > я/2, то
cig Д(ф) | ^: (|Лг(е) | + [х(ср; е))/е < A + Dr,n) (k f h)/e.

Для оценки интеграла от ctg2 Д (ср) заметим, что функция
а(ф) =ф + Л(ф) возрастает, я поэтому а(ф) >а@), т. е. Д(ф) ^
5s Д — ф. Учитывая, что Д(ф) s^ 0г,н < я, получаем отсюда
ctgA(cp) = ОA/(Д —ф)). Итак,
/ 1 г0 + г +
1 ctg Д (ф) [ <; Lr R min I д __ ; —
Следовательно,
С 9 „г О + +
\ ctg" Д (ф) аф $^ 2L д .
о
Для оценки интеграла от с^аб(ф) заметим, что ctgб(ф) =
= ОA/гр). Действительно, так как б(ф) ^ 0г,в < я, то достаточно
рассмотреть случаи б(ф) < я/2 и, следовательно, 0<ctg6^) ^
^ |Л'(е) |/е. Поскольку j Л7(е) j sin ф ^ 2е, 0 ^ ctg о (ф) ^ 2/sin ф =
= ^A/сР) (так как 0 ^ ф ^ А ^ вг,п < я). Итак,
Следовательно,
А
Неравенство (*) доказано. Суммируя все такие неравенства,
соответствующие различным звеньям ломаной, получаем (I? — дли-
длина Г):
Г
2 I (ctg2 Д (ф) + ctg2 б i
J
— п

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Акилов Г. П., Макаров Б. М., Хавип В. П. Элемен-
Элементарное введение в теорию интеграла.— Л.: Изд-во ЛГУ, 1969.
2. Бернштейн СП. О сходимости некоторых последователь-
последовательностей многочленов // Бернштейн С. II. Собрание сочи-
нопий— 1954. Т. 2.— С. 187—196.
3 Б и л л ж н г с л е й П. Эргодическая теория и информация.—
М.: Мир, 1969.
4. В у л и х Б. 3. Краткий курс теории функций вещественной
переменной.— М.: Наука, 1973.
5. Г е л ь ф о н д А. О., Л и н н и к Ю. В. Элементарные методы
в аналитической теории чисел.— М.: Физматгиз, 1962.
6. Дороговцев А. Я. Математический анализ. Сборник за-
задач.— К.: Вища школа, 1987.
7. Зорич В. А. Математический анализ, ч. 1 и 2.— М.: Наука,
1981, 1984
8. Иванов Л. Д. Вариации множеств и фупкций.— М.: Наука,
1975.
9. К а и т о р о в и ч Л. В. О сходимости последовательности по-
полиномов С. If. Бернттейпа за пределами- основного интервала //
ИЛИ, ОМЕН, 1931 — С. 1103—1115.
10. К а р л о с о п Л. Избранные проблемы теории исключитель-
исключительных множеств — М.: Мир, 1971.
11. К а х а ц Ж.-П. Случайные функциональные ряды.— М.: Мир,
1973.
12. К а ц М. Статистическая независимость в теории вероятностей,
анализе и теории чисел.— М : ИЛ, 1963.
13. Келли Д. Л. Общая топология.—М.: Наука, 1968.
14. Колмогоров А. Ы, Фомин С. В. Элементы теории фупк-
фупкций и функционального анализа 6-е изд—М.: Наука, 1989.
15. Корнфельд И. П, Синай Я. Г., Фомин СВ. Эргоди-
Эргодическая теория.— М.: Наука, 1980.
16. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ, т. 1 и 2-М.:
Высшая школа, 1970.
17. Левитан Б. М. Почти периодические функции.— М.: Гостех-
издат, 1953.
18. Л о з а н о в с к и й Г. Я. Характеризация степенной функции по-
посредством функциональных неравенств / Качественные и при-
приближенные методы исследования операторных уравнении,
вып. 2 —Ярославль, 1977 —С. 162—165.
19. Математика сегодня/Научный сборник под ред. А. Я. Дорогов-
цева.— К.: Вища школа, 1982.

20. П а р т а с а р а т ж К. Введение в теоржю вероятности и теорию
меры.— М.: Мир, 1983.
21. Пол и а Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа, т. 1, 2,—
М.: Наука, 1978.
22. Р е ш е т н я к Ю. Г. Сборник задач по курсу математического
анализа.— Новосибирск: Новосибирский государственный уни-
университет, 1979.
23. Р у д и н У. Основы математического анализа.— М.: Мир, 1976.
24. С а д о в н и ч и и В. А., Г р и г о р ь я н А. А., К о н я г и н СВ.
Задачи студенческих математических олимпиад.— М.: Изд-во
Московского ун-та, 1987.
25. С а д о в н и ч и й В. А., П о д к о л з и н А. С. Задачи студенче-
студенческих олимпиад по математике.— М.: Наука, 1980.
26. С е р г е е в В. Н., Т о н о я н Г. А. Студенческие математиче-
математические олимпиады.— Ереван: Изд-во Ерев. ун-та, 1985.
27. Титчмарш Е. Теория функций—2-е изд.—М.: Наука, 1980.
28. Урысон П. С. Труды по топологии и другим областям ма-
математики, ч. 1.— М.; Л.: Гостехиздат, 1951.
29. Ф и х т е и г о л ь ц Г. М. Курс дифференциального и инте-
интегрального исчисления, т. I, II, III.— М.: Наука, 1969.
30. Ш а р к о в с к и и А. И. Сосуществование циклов непрерывно-
непрерывного отображения прямой на себя // Укр. мат. журн.— 1964.—
Т. 16, № 1— С. 61—71.
31. Ш в а р ц Л. Математические методы для физических наук.—
М.: Мир, 1965.
32. Ш и д л о в с к и й А. Б. Трансцендентные числа.— М.: Наука,
1987.
33. Collet P., Eckmann J.-P. Iterated maps on the interval as
dynamical syslems.— Basel: Birkhauser, 1980.
34 С О n n e s А., И a a g о r u p U., Slormer E. Diameters of
state spaces of type III factors // Lect. Notes Math.— 1985.—
V. 1132 —P. 91—116.
35. D e k k i n g ,M.. Mendes France M., van dor Poor-
ten A. J. Folds! / Math. Intelligencer—1982.—V. 4, No 3.—
P. 134-138.
36. G г о t h e n d i о с k A. Resume de la theorio metrique des pro-
duits tensoricls topologiques / Bol. Soc. Mat. Sao Paulo.— 1956.—
V. 8, No 1—2.—P. 1—79.
37. Haagerup U. The best constants in the Khintchine inequa-
inequality / Proc. Inter. Conf. «Operator algebras, ideals and their
applications in theoretical physics», Leipzig, 1977, Teubner Texte
Math— 1978.— Leipzig.— S. 69—79.
38. К1 a m b a u e r G. Problems and propositions in analysis.— N. Y.,
1979.
39. L i T.-Y., Yorke J. A. Period three implies chaos / Amor.
Math. Monthly— 1975.— V. 82, No 10.— P. 985—992.
40. Lorentz G. G. Approximation of functions.—N. Y., 1966.
41. McGehee O. C, Pigno L, Smith B. Hardy inequality
and the Ll norm of exponential sums / Ann. of Math.— 1981.—
V. 113, No 3.—P. 613—618.
42. Mendes France M., Tenenbaum G. Dimension des
courbes planes, papiers plies et suites de Rudm-Shapiro / Bull.
Soc. Math. France.—1981.—V. 109, No 2.—P. 207—215.
43. S i n g e r D. Stable orbits and bifurcations of maps of the inter-
interval // SIAM J. Appl. Math.—1978.—V. 35, No 2.—P. 260—267.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм тора 170
Асимптотическая формула Лап-
Лапласа 76
Вариация функции 41
Гипотеза Литтлвуда 376
Гомоморфизм 47
Дробная часть числа 23
Закон больших чисел 145, 146
— повторного логарифма 157
Инволюция 160
Интеграл Фешшапа 260
— Фруллаии 64
— Эйлера — Пуассона 66
Иррациональная обмотка тора
309
Итерационный процесс Ньюто-
Ньютона 165
Канторова лестница 42
Квантиль 144
Кривая Пеано 45, 213, 215
— Хиропака 131
Лемма о трех хордах 88
Медиана функции 116
Мера гауссова 123, 124, 137—139
— ипвариаптиая 160, 170, 171
— квазиинвариаптпая 172
— Хаара 171, 174
— Хаусдорфа 131
модифицированная 132
Метод Абеля 57
— Лапласа 75
— последовательных приближе-
приближении 164
— Чезаро 57
Метрическая размерность 130,
131
Метрический порядок 130
Многочлены Берпштейна 101—
104
— Рудина — Шапиро 62, 111
— Чебышёва 28, 162, 167, 171,
176
Множество инвариантное 175
— канторово 12, 51, 115, 121,
128, 133
обобщенное 14, 42, 45
— канторовского типа 113 133,
134
— относительно плотное 105,
106
Надграфик 89
Иевозрастающая перестановка
функции 116, 117, 121, 144
Неподвижная точка 160—165
— — притягивающая (отталки-
(отталкивающая) 165
Непрерывная дробь 178
Неравенство Бесселя 107
— Гёльдера 93
— Гроиуолла 98
— Иенсепа 88, 89
— Карлемана 234
— Харди — Ландау 234
— Хинчина 153
— Чебышёва 119
— Юнга 95
Оператор Перрона — Фробениу-.
са 172, 173
Отображения метрически сопря-
женные 175
— сопрягающие 161
— топологически сопряженные
161

Перемешивание 178
Плотность последовательности
29, 52
Последовательность двоичная 9
— выпуклая (вогнутая) 18, 61,
91
— Морса 108
— почти периодическая 108—
110
¦— по Бозиковичу НО
— равномерно распределенная
177
— Рудипа — Шапнро ПО
— складок 109
Постоянная Эйлера 31, 55, 65. 81
Преобразование Абеля 17, 49, 60
— Гаусса 179
— Ложапдра 94—96
— Фурье 99, 151, 158, 159
— эргодическое 175.
Пример Помпеню 336
— Урысона 336, 339
Принцип минимума модуля 100
Производная Шварца 100, 168
Равпоизмериыые функции 116
Распределение «хи»-квадрат 329
Среднее значение вдоль траек-
траектории 176, 177
Теорема Лбеля 57. 65
— Боголюбова — Крылова 174
— Гульдина 123
— Дипи 241
— Егорова 143
— Лиувилля 174
— о диагональной последова-
последовательности 143
— Радона — Никодима 169
— Шарковского 167
— Штольца 30
— эргодическая Биркгофа —
Хинчипа 176
Траектория 166
Уравнение Кеплера 86
Формула Стирлипга 31, 66, 79
Функция выпуклая (вогнутая)
21, 88—96, 102
— гамма Эйлера 79
— Дирихле 35, 115
— инвариантная 175
— капторова 42, 115, 128, 133,
158, 159
— логарифмически выпуклая
92, 93
— ограниченной вариации 41
— первого класса Бэра 38
— положительно определенная
99
— полунепрерывная снизу
(сверху) 38
— равномерно почти периодиче-
периодическая 106
— Радеыахера 148—154
— распределения 116, 151, 158
— сопряженная 157
— условно положительно опре-
определенная 99
— Хаара 153
Характер группы 47
Хаусдорфова размерность 132—-
134
Цепная дробь 178
Цикл 166
Числа лиувиллевы 25
— нормальные 146, 147
— Фибоначчи 28,
Число вращения 169, 174
Шварциан 100, 168
Эндоморфизм тора 171
Явление Гиббса 61
Г-фупкция Эйлера 79
8-почти период 106
е-различимые множества 129
8-сеть 129
е-энтропия 129

Учебное издание
МАКАРОВ Борис Михайлович, ГОЛУЗИНА Мария Геннадиевна,
ЛОДКИИ Андрей Александрович, ПОДКОРЫТОВ Анатолий Наумович
ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ ПО ВЕЩЕСТВЕННОМУ АНАЛИЗУ
Заведующий редакцией А. П. Баева
Редактор .4. Ф. Лапко
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технический редактор С. Я. Шпляр
Корректор М. Н. Дроиоеа
ИБ Л° 32528
Сдано в набор 24.12.90. Подписано к печати 13.03.92. Формат 84x108/32.
Бумага тин. J\« 2. Гарнитура обыкновенная. Печать высокая.. Усл.
печ. л. 22,68. Усл. кр.-отт. 22,RS. Уч.-изд. л. 23,06. Тираж 3680 экз.
Заказ № 627. С—043.
Издательско-лроизвэдствеппое и книготорговое объединение «Наука»
ОГ'лавнпн ледаг;цп:т фпз!гко-математической лптературь[
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
"Четвертая типография иодателтзСтва «Паука»
G30077 г. Новосибирск, 77, Станиславского, 25